METODE TRANSPORTASI
1. PENDAHULUAN Metode
Transportasi
juga
bisa
digunakan
untuk
menyelesaikan
permasalahan
Linearamming. Tujuan dari metode transportasi adalah menentukan pola pengiriman yang paling baik dari beberapa sumber (supply) ke beberapa tujuan (demand) sehingga meminimalkan total biaya produksi dan transportasi. Salah satu fungsi dalam dunia usaha adalah guna tempat. Panen padi yang melimpah di Pulau Buru kehilangan nilai ekonomisnya karena kapal jarang merapat di Pulau Buru untuk mengangkut hasil bumi ke Ambon dan sekitarnya yang membutuhkan. Bawang merah yang melimpah di Brebes juga perlu diangkut ke kota-kota lain agar lebih bermanfaat. Dalam hal ini alat transportasi merupakan fungsi yang menambah nilai pada hasil bumi tersebut. Manajemen Operasi bertugas untuk memilih sarana dan sistem transportasi yang paling efisien. Cara penyelesaian kasus semacam ini dikenal de ngan metode transportasi. Metode transportasi dapat digunakan untuk menyelesaikan beberapa persoalan optimasi. Persoalan transportasi berkenaan dengan pemilihan route (jalur) pengangkutan yang mengakibatkan biaya total tot al dari pengangkutan itu minimum. Perumusan persoalan pertama kali dikemukakan oleh F.L. Hitchock pada tahun 1941, kemudian diperluas oleh T.C. Koopmans. Pada tahun 1953, W.W. Cooper dan A. Charnes mengembangkan metode STEPPING-STONE, dan selanjutnya pada tahun 1955, sebagai modifikasi
dari
DISTRIBUTION).
metode
Stepping-Stone,
dikembangkan
metode
MODI
(MODIFIED
2.
I.
PERSOALAN METODE TRANSPORTASI Persoalan Transportasi I (Permintaan
=
Penawaran)
Sebuah perusahaan (FR.Co) menerima suatu kontrak untuk menyediakan batu kerikil untuk tiga proyek pembuatan jalan di kota-kota Greenville (A), Fountain (B) dan Ayden (C). Kebutuhan batu kerikil di kota-kota kot a-kota tersebut adalah:
Perusahaan FR.Co mempunyai tiga pabrik batu kerikil yang terletak di kota-kota Kinston (W), Wilson (X) dan Bethel (Y). Masing-masing pabrik dapat menyediakan batu kerikil sebanyak:
Dari kedua tabel di atas, dapat dilihat bahwa total kapasitas dari ketiga pabrik (W,X dan Y) tepat sama dengan kebutuhan di tiga proyek (A,B dan C). Kasus semacam ini dalam dunia nyata sangat kecil kemungkinan terjadinya, namun sebagai cara untuk belajar metode transportasi, contoh ini akan membuat belajar menjadi lebih mudah. Perusahaan FR.Co telah menghitung biaya pengangkutan dari ketiga pabrik ke ketiga proyek. Biaya-biaya itu adalah:
2.
I.
PERSOALAN METODE TRANSPORTASI Persoalan Transportasi I (Permintaan
=
Penawaran)
Sebuah perusahaan (FR.Co) menerima suatu kontrak untuk menyediakan batu kerikil untuk tiga proyek pembuatan jalan di kota-kota Greenville (A), Fountain (B) dan Ayden (C). Kebutuhan batu kerikil di kota-kota kot a-kota tersebut adalah:
Perusahaan FR.Co mempunyai tiga pabrik batu kerikil yang terletak di kota-kota Kinston (W), Wilson (X) dan Bethel (Y). Masing-masing pabrik dapat menyediakan batu kerikil sebanyak:
Dari kedua tabel di atas, dapat dilihat bahwa total kapasitas dari ketiga pabrik (W,X dan Y) tepat sama dengan kebutuhan di tiga proyek (A,B dan C). Kasus semacam ini dalam dunia nyata sangat kecil kemungkinan terjadinya, namun sebagai cara untuk belajar metode transportasi, contoh ini akan membuat belajar menjadi lebih mudah. Perusahaan FR.Co telah menghitung biaya pengangkutan dari ketiga pabrik ke ketiga proyek. Biaya-biaya itu adalah:
Perbedaan biaya dari tiap-tiap pabrik ke masing-masing proyek itulah yang sebenarnya menjadi masalah, sebab harus dicari kombinasi yang menyebabkan biaya angkut total menjadi minimum Seandainya, biaya angkut dari tiap-tiap pabrik ke masing-masing proyek per muatan-truk adalah sama, maka tidak menjadi masalah, sebab muatan dari pabrik manapun diangkut ke proyek manapun akan menyebabkan pengeluaran biaya yang sama.
1. Menyelesaikan Persoalan Dengan Metode Stepping-Stone Langkah 1, Menyusun Tabel Transportasi
Tabel transportasi disusun seperti di atas: y
Kebutuhan/permintaan (proyek) diletakkan pada kolom
y
Kapasitas/penawaran (pabrik) diletakkan pada baris
y
Kolom paling kanan berisi total kapasitas pabrik pa brik (sesuai baris pabriknya)
y
Baris paling bawah berisi total kebutuhan proyek p royek (sesuai kolom proyeknya)
y
Biaya, diletakkan di sudut kanan atas pada setiap sel (kotak) yang bersesuaian antara baris (pabrik) dengan kolom (proyek) (pro yek)
Langkah 2, Menyelesaikan Pemecahan I (Awal)
Metode STEPPING-STONE, menuntun pemecahan persoalan trasnportasi dengan memulai membuat alokasi material dimulai dari sel kiri atas menuju sel kanan bawah. Dasar alokasi metode ini adalah memenuhi dulu kebutuhan proyek pada kolom paling kiri, baru kemudian mulai memenuhi kebutuhan proyek pada kolom sebelah kanannya, dst. Atau dengan lain kata, habiskan dahulu kapasitas pabrik pada baris paling atas, kemudian mulai menggunakan kapasitas pabrik pada baris di bawahnya. Ingat sekali lagi, dimulai dari kiri atas, ke kanan bawah.
Penjelasan tabel pemecahan awal: y
Segi empat WA, berisi 56, kebutuhan proyek A = 72 truk, kebutuhan proyek A ini harus dipenuhi terlebih dahulu, maka seluruh kapasitas pabrik W digunakan untuk memenuhi proyek A.
y
Segi empat XA, berisi 16, kebutuhan proyek A = 72 truk, sudah disediakan oleh pabrik W sebanyak 56 truk, sehingga perlu mengambil dari pabrik X, 16 truk.
y
Segi empat XB, berisi 66, kapasitas pabrik X
=
82 truk, sudah digunakan untuk
memenuhi kebutuhan proyek A, 16 truk, sisa kapasitas pabrik X (66) digunakan untuk memenuhi kebutuhan proyek B. y
Segi empat YB, berisi 36, kebutuhan proyek B = 102 truk, sudah disediakan oleh pabrik X sebanyak 66 truk, sehingga perlu mengambil dari pabrik Y, 36 truk.
y
Segi empat YC, berisi 41, kapasitas pabrik Y = 77 truk, sudah digunakan untuk proyek B sebanyak 36 truk, sisanya 41 truk digunakan untuk proyek C.
Pemecahan awal seperti di atas adalah NORMAL, yaitu jumlah segi empat yang berisi (WA, XA, XB, YB, YC)
=
(rim requirement - 1) rim requirement
=
jumlah baris + jumlah
kolom Jika dihitung, biaya yang ditimbulkan dari pemecahan awal itu adalah:
Apakah total biaya dari pemecahan awal ini minimum? Perlu diuji. Langkah 3, Uji Perbaikan Sebenarnya alokasi muatan dapat dilakukan pada setiap segi empat. (tidak hanya di segi empat-segi empat WA, XA, XB, YB dan YC). Uji perbaikan pada segi empat WB: Bagaimana seandainya ditempatkan muatan ke segi empat WB? Jika satu muatan akan ditempatkan pada segi empat WB, maka harus dikurangi satu muatan dari segi empat WA, ditambah satu muatan pada segi empat YA dan dikurangi satu muatan pada segi empat YB ( supaya total kapasitas dan total kebutuhan/ jumlah ke kanan dan jumlah ke bawah tetap)
Perhatian sekarang pada segi empat-segi empat WB, WA, XA dan XB. Jika satu muatan ditempatkan pada segi empat WB, maka penempatan sekarang menjadi:
Bagaimana dampak perubahan penempatan tersebut pada total biaya? Perubahan biaya karena perubahan penempatan itu dapat di hitung: P enambahan biaya:
Pada segi empat WB 1 muatan × $ 8 + 8 Pada segi empat XA 1 muatan × $ 16 + 16 P engurangan biaya:
Pada segi empat WA 1 muatan × $ 4 - 4
Pada segi empat XB 1 muatan × $ 24 - 24 Total perubahan biaya = - $ 4 (berkurang $ 4) Perhitungan ini dapat dilakukan secara langsung dengan mengikuti jalur uji. Jalur uji WB +WB, -WA, +XA, -XB Perubahan biaya (+$8 -$4 +$16 -$24) -$4 Selanjutnya dapat diuji juga pada segi empat-segi empat kosong yang lainnya. Uji perbaikan pada segi empat YA:
Jalur uji: +YA, -YB, +XB, -XA Perubahan biaya: +8 -16 +24 -16 $ 0 Uji perbaikan pada segi empat XC:
Jalur uji: +XC, -XB, +YB, -YC Perubahan biaya: +16 -24 +16 -24 $16 Uji perbaikan pada segi empat WC:
Jalur uji: +WC, -WA, +XA, -XB, +YB, -YC Perubahan biaya: +8 -4 +16 -24 +16 -24 -$12 Perubahan biaya pada uji terhadap segi empat-segi empat yang tidak digunakan disebut indeks perbaikan (improvement index). Secara singkat, indeks perbaikan-indeks perbaikan pada semua segi empat yang diuji dapat digambarkan sebagai berikut:
Tampak dalam tabel di atas angka-angka yang dilingkari menunjukkan indeks perbaikan pada segi empat di mana angka tersebut berada. Indeks perbaikan ini berarti perubahan biaya jika satu muatan dipindahkan ke segi empat tersebut. WB: jika satu muatan dipindahkan ke segi empat WB, biaya akan berkurang $4 WC: jika satu muatan dipindahkan ke segi empat WC, biaya akan berkurang $12 XC: jika satu muatan dipindahkan ke segi empat XC, biaya akan berkurang $16 YA: jika satu muatan dipindahkan ke segi empat YA, biaya akan berkurang $0
Langkah 4, Memilih Segi Empat Dengan Indeks Perbaikan Paling Bagus Dari ke empat segi empat yang diuji, ternyata segi empat XC memiliki indeks perbaikan paling bagus (pengurangan biaya paling besar), segi empat XC inilah yang dipilih.
Sekarang dilihat jalur yang berkenaan dengan indeks perbaikan pada segi empat XC tersebut:
Langkah 5, Memindahkan Muatan Ke Segi Empat Yang Dipilih Jalur yang berkenaan dengan indeks perbaikan yang dipilih (XC) adalah XC, XB, YB dan YC. Indeks perbaikan -$16 artinya, jika satu muatan dipindahkan ke XC, biaya akan berkurang $16. Agar pengurangan biaya dapat maksimal, maka tidak hanya satu muatan sebaiknya dipindahkan ke XC. Berapa banyak muatan dapat dipindahkan ke XC ? Kaidah yang dipakai adalah angka terkecil pada posisi negatif (the smallest stone in a negative position). Di antara segi empat-segi empat XC, XB, YB dan YC, yang berada pada posisi negatif adalah segi empat XB dan YC. Segi empat XB berisi 66 dan YC berisi 41, sehingga angka terkecilnya adalah 41 (pada segi empat YC), oleh karena itu agar pengurangan biaya dapat meksimal, 41 muatan dipindahkan ke segi empat XC.
Langkah 6, Membuat Tabel Transportasi Yang Baru Setelah pemindahan muatan sebanyak 41 ke segi empat XC, tabel transportasi sekarang adalah:
Setelah dibuat tabel transportasi yang baru, "pekerjaan" selanjutnya adalah mengulang kembali. langkah 3, yaitu uji perbaikan. setelah uji perbaikan, jika diperlukan lanjutkan lagi dengan langkah 4, memilih segi empat dengan indeks perbaikan paling bagus, lanjutkan lagi dengan langkah 5, memindahkan muatan ke segi empat yang dipilih dan terakhir langkah 6, membuat tabel transportasi yang baru lagi. Langkah 3, Uji Perbaikan ...................................................................................#2 Diuji indeks perbaikan pada segi empat kosong WB, WC, YA dan YC. Sebelum dapat menemukan indeks perbaikannya, haruslah terlebih dahulu ditemukan jalur-jalur yang berkenaan. Jalur-jalur yang berkenaan dengan segi empat WC, YA, YC dan WB adalah sebagai berikut:
Setelah ditemukan jalurnya, sekarang dihitung indeks perbaikan pada setiap segi empat yang diuji. (dihitung dengan cara seperti di depan, selanjutnya dipilih indeks perbaikan paling bagus dan dilanjutkan dengan memindahkan muatan ke segi empat yang dipilih. Langkah 4, Memilih Segi Empat Dengan Indeks Perbaikan Paling Bagus......................#2 Indeks perbaikan, serta segi empat yang dipilih dapat dilihat pada tabel berikut:
Langkah 5, Memindahkan Muatan Ke Segi Empat Yang Dipilih .....#4 Ingat kembali kaidah angka terkecil pada posisi negatif. Untuk segi empat-segi empat WB, WA,
XA dan XB, pada posisi negatif adalah WA dan XB, masing-masing WA = 56 dan XB = 25, maka muatan sebanyak 25 dapat dipindahkan ke segi empat WB
Langkah 6, Membuat Tabel Transportasi Yang Baru .......................#2 Setelah pemindahan muatan sebanyak 25 ke segi empat WB, maka tabel transportasi yang baru adalah:
Setelah dibuat tabel transportasi yang baru, "pekerjaan" selanjutnya adalah mengulang kembali langkah 3, yaitu uji perbaikan. setelah uji perbaikan, jika diperlukan lanjutkan lagi dengan langkah 4, memilih segi empat dengan indeks perbaikan paling bagus, lanjutkan lagi dengan langkah 5, memindahkan muatan ke segi empat yang dipilih dan terakhir langkah 6, membuat table transportasi yang baru lagi. Langkah 3, Uji Perbaikan ..................................................................................#3
Diuji indeks perbaikan pada segi empat kosong WC, XB, YA dan YC. Sebelum dapat menemukan indeks perbaikannya, haruslah terlebih dahulu ditemukan jalur-jalur yang berkenaan. Jalur-jalur yang berkenaan dengan segi empat YC, WC, YA dan XB adalah sebagai berikut:
Setelah ditemukan jalurnya, sekarang dihitung indeks perbaikan pada setiap segi empat yang diuji. (dihitung dengan cara seperti di depan, selanjutnya dipilih indeks perbaikan paling bagus dan dilanjutkan dengan memindahkan muatan ke segi empat yang dipilih. Langkah 4, Memilih Segi Empat Dengan Indeks Perbaikan Paling Bagus.................#3 Indeks perbaikan, serta segi empat yang dipilih dapat dilihat pada tabel berikut:
Langkah 5, Memindahkan Muatan Ke Segi Empat Yang Dipilih .....#3 Ingat kembali kaidah angka terkecil pada posisi negatif. Untuk segi empat-segi empat YA, YB,WB dan WA, pada posisi negatif adalah YB dan WA, masing-masing YB = 77 dan WA= 31, maka muatan sebanyak 31 dapat dipindahkan ke segi empat WB Tabel 23. Pemindahan muatan ke segi empat yang dipilih
Langkah 6, Membuat Tabel Transportasi Yang Baru .......................#3 Setelah pemindahan muatan sebanyak 31 ke segi empat YA, maka tabel transportasi yang baru adalah:
setelah dibuat tabel transportasi yang baru, "pekerjaan" selanjutnya adalah mengulang kembali langkah 3, yaitu uji perbaikan. setelah uji perbaikan, jika diperlukan lanjutkan lagi dengan langkah 4, memilih segi empat dengan indeks perbaikan paling bagus, lanjutkan lagi dengan langkah 5, memindahkan muatan ke segi empat yang dipilih dan terakhir langkah 6, membuat tabel transportasi yang baru lagi. Langkah 3, Uji Perbaikan ..................................................................................#4 Diuji indeks perbaikan pada segi empat kosong WA, WC, XB, dan YC. Sebelum dapat menemukan indeks perbaikannya, haruslah terlebih dahulu ditemukan jalur-jalur yang berkenaan. Jalur-jalur yang berkenaan dengan segi empat WC, YC, WA dan XB adalah sebagai berikut:
Setelah ditemukan jalurnya, sekarang dihitung indeks perbaikan pada setiap segi empat yang diuji. (dihitung dengan cara seperti di depan) langkah 4, memilih segi empat dengan indeks perbaikan paling bagus...................#4 Indeks perbaikan, pada setiap segi empat kosong dapat dilihat pada tabel berikut:
Dari tabel di atas dapat dilihat bahwa sekarang sudah tidak ada indeks perbaikan yang negatif, artinya pemindahan muatan ke segi empat-segi empat yang diuji tersebut tidak akan mengurangi biaya. Jadi sampai di sini sudah tidak perlu dilanjutkan lagi, dengan lain kata, sudah tidak perlu ada segi empat yang dipilih, jadi pemecahan ke empat (Tabel 24) di atas adalah pemecahan yang optimal (total biaya angkut minimal).
Namun, jika di perhatikan pada uji indeks perbaikan, ditemui indeks perbaikan 0 (nol), yaitu pada segi empat XB. Hal ini berarti, jika muatan dipindahkan ke segi empat XB, tidak akan terjadi pengurangan maupun penambahan biaya, alias biayanya sama saja. Oleh karena itu pada segi empat dengan indeks perbaikan 0 (nol), muatan boleh dipindahkah atau tidak dipindahkan. Seandainya muatan dipindahkan ke segi empat XB, maka muatan yang dapat dipindah ke XB adalah sebanyak 41 (ingat kembali: angka terkecil pada posisi negatif ). Setelah pemindahan muatan sebanyak 41 ke segi empat XB, tabel transportasi yang baru menjadi:
Jika dihitung biaya total dari pemecahan optimal alternatif ini adalah:
Total biaya dari pemecahan optimal alternatif ini adalah minimum, sama dengan total biaya pada pemecahan optimal (Tabel 24) Cara seperti di atas adalah pemecahan persoalan transportasi PENAWARAN
=
PERMINTAAN dengan menggunakan metode STEPPING-STONE. Pengembangan metode STEPPING-STONE adalah metode MODIFIED DISTRIBUTION (MODI). Metode MODI sebenarnya prinsip dasarnya sama dengan metode STEPPING-STONE, hanya saja dalam menghitung indeks perbaikan ada sedikit perbedaan. Jika dengan metode STEPPING-STONE, sebelum menghitung indeks perbaikan harus terlebih dahulu ditemukan jalur uji-nya, pada metode MODI, jalur uji tidak perlu ditemukan dahulu. Pada MODI, hanya perlu ditemukan satu jalur uji yaitu jalur pada segi empat yang memiliki indeks perbaikan paling bagus (segi empat yang dipilih). 2.
Menyelesaikan Persoalan Dengan Metode Modified Distribution (MODI)
Sekarang diselesaikan persoalan transportasi perusahaan FR.Co di atas dengan menggunakan metode MODI. Ada sedikit modifikasi terhadap tabel transportasi dengan menggunakan metode MODI. Ditambahkan nilai R (row) untuk baris-baris dan C (column) untuk kolom-kolom. R1 untuk baris pertama, R 2 untuk baris kedua dan seterusnya. C1 untuk kolom pertama, C2 untuk kolom kedua dan seterusnya. Nilai R dan C di sesuaikan dengan biaya angkut pada segi empat-segi empat yang terisi, dengan terlebih dahulu memberi nilai R1 = 0 (nol). Untuk nilai R lainnya serta nilai C, dapat dihitung dengan rumus:
dimana: * Ri adalah R pada baris yang bersesuaian dengan segi empat yang terisi. * Ci adalah C pada kolom yang bersesuaian dengan segi empat yang terisi. * Biaya pada segi empat terisi ij; biaya pada segi empat yang bersesuaian dengan R dan C yang diperhitungkan Menyelesaikan persoalan transportasi perusahaan BGC di atas dengan metode MODI: Langkah 1, Menyusun Tabel Transportasi (Modi)
Tabel transportasi dibuat mirip dengan metode STEPPING-STONE, hanya dengan tambahan "tempat" untuk meletakkan nilai R dan C. Nilai R1 = 0, sedangkan nilai R lainnya serta nilainilai C, ditentukan kemudian setelah muatan dialokasikan. Langkah 2, Menyelesaikan Pemecahan I (Awal) Metode MODI, menuntun pemecahan persoalan transportasi dengan memulai membuat alokasi material dimulai dari sel kiri atas menuju sel kanan bawah (sama dengan pada STEPPINGSTONE)
Alokasi muatan sama persis dengan STEPPING-STONE (lihat Tabel 5), perbedaan hanya sekarang ditambahkan nilai R dan C. Nilai R dan C: R1 = 0 ditentukan awal C1 = 4 R1 + C1 = 4 (biaya pada segi empat terisi WA) R1 = 0 R 2 = 12 R 2 + C1 = 16 (biaya pada segi empat terisi XA) C1 = 4 C2 = 12 R 2 + C2 = 24 (biaya pada segi empat terisi XB) R 2 = 12 R3 = 4 R3 + C2 = 16 (biaya pada segi empat terisi YB) C2 = 12 C3 = 20 R3 + C3 = 24 (biaya pada segi empat terisi YC) R3 = 16 Nilai R dan C dihitung berdasarkan biaya pada segi empat terisi. Karena nilai R1 sudah ditentukan di awal (yaitu sebesar 0), maka selanjutnya nilai C dan R yang lainnya dapat dihitung. Hitung dahulu nilai R atau C yang sudah bisa dihitung, jadi tidak selalu setelah R1 kemudian C1, kemudian R 2, kemudian C2..dst. Langkah 3, Uji Perbaikan Uji perbaikan (menghitung indeks perbaikan pada segi empat tak digunakan) pada STEPPINGSTONE, harus terlebih dahulu ditemukan jalur uji-nya. Pada MODI, tidak perlu
terlebih dahulu menemukan jalur uji. Indeks perbaikan pada segi empat kosong dengan MODI dapat dihitung dengan rumus:
dimana: * Ri adalah R pada baris yang bersesuaian dengan segi empat yang terisi. * Ci adalah C pada kolom yang bersesuaian dengan segi empat yang terisi. * Indeks perbaikan ij; indeks perbaikan pada segi empat kosong yang bersesuaian dengan R dan C yang digunakan untuk menghitung. * Biaya pada segi empat kosong ij; biaya pada segi empat yang bersesuaian dengan R dam C yang diperhitungkan Rumus di atas dapat juga dituliskan:
Dari rumus di atas dapat dihitung indeks perbaikan pada segi empat -segi empat kosong. WB: R1 + C2 + Indeks Perbaikan = 8 0 + 12 + Indeks Perbaikan = 8 Indeks Perbaikan = -4 ($) WC: R1 + C3 + Indeks Perbaikan = 8 0 + 20 + Indeks Perbaikan = 8 Indeks Perbaikan = -12 XC:
16 - R 2 - C3 = Indeks Perbaikan 16 - 12 - 20 = -16 YA: 8 - R3 - C1 = Indeks Perbaikan 8-4-4=0 Semua indeks perbaikan tersebut di atas dapat dilihat pada tabel berikut:
Angka yang dilingkari menunjukkan indeks perbaikan pada segi empat di mana angka itu berada. Langkah selanjutnya adalah memilih indeks perbaikan yang paling bagus Langkah 4, Memilih Segi Empat Dengan Indeks Perbaikan Paling Bagus Dari ke empat segi empat yang diuji, ternyata segi empat XC memiliki indeks perbaikan paling bagus (pengurangan biaya paling besar), segi empat XC inilah yang dipilih
Setelah indeks perbaikan yang paling bagus dipilih, selanjutnya adalah menemukan jalur untuk segi empat yang dipilih tersebut.
Tabel 33. Jalur pada segi empat yang dipilih.
Setelah menemukan jalurnya, selanjutnya: Langkah 5, Memindahkan Muatan Ke Segi Empat Yang Dipilih Jalur yang berkenaan dengan indeks perbaikan yang dipilih (XC) adalah XC, XB, YB dan YC. Berapa banyak muatan dapat dipindahkan ke XC ? Kaidah yang dipakai adalah angka terkecil pada posisi negatif (the smallest stone in a negative position). Di antara segi empat-segi empat XC, XB, YB dan YC, yang berada pada posisi negatif adalah segi empat XB dan YC. Segi empat XB berisi 66 dan YC berisi 41, sehingga angka terkecilnya adalah 41 (pada segi empat
YC), oleh karena itu agar pengurangan biaya dapat meksimal, 41 muatan dipindahkan ke segi empat XC.
Langkah 6, Membuat Tabel Transportasi Yang Baru Setelah pemindahan muatan sebanyak 41 ke segi empat XC, tabel transportasi sekarang adalah:
Tabel di atas sudah dilengkapi dengan nilai R dan C serta indeks perbaikan pada setiap segi empat kosong. Setiap kali dibuat tabel transportasi yang baru, nilai R dan C harus dihitung ulang. Nilai R1 ditentukan
=
0 (nol), nilai C dan R lainnya dihitung dengan cara yang sama
seperti di atas, demikian juga indeks perbaikan pada segi empat kosong-nya. Setelah diketahui nilai R dan C beserta indeks perbaikan pada segi empat-segi empat kosong, jika masih ada indeks perbaikan yang negatif, diulang lagi mulai LANGKAH 4, yaitu memilih segi empat dengan indeks perbaikan paling bagus, selanjutnya diteruskan sampai membuat tabel transportasi yang baru.
Langkah 4, Memilih Segi Empat Dengan Indeks Perbaikan Paling Bagus...................................#2 Dari Tabel 35 di atas, dapat dipilih segi empat dengan indeks perbaikan paling bagus. LANGKAH 3, UJI PERBAIKAN (Menghitung Indeks Perbaikan)................................#2 Indeks perbaikan pada segi empat kosong dihitung dengan cara seperti di atas, dengan rumus:
Setelah diketahui indeks perbaikan pada segi empat-segi empat kosong, jika masih ada indeks perbaikan yang negatif, dilanjutkan ke langkah 4, yaitu memilih segi empat dengan indeks perbaikan paling bagus, selanjutnya diteruskan sampai membuat tabel transportasi yang baru. Langkah 4, Memilih Segi Empat Dengan Indeks Perbaikan Paling Bagus .......................#2 Dari Tabel 35 di atas, dapat dipilih segi empat dengan indeks perbaikan paling bagus. Indeks perbaikan yang paling bagus adalah -4, terletak pada segi empat WB
Langkah 5, Memindahkan Muatan Ke Segi Empat Yang Dipilih .....#2 Ingat kembali kaidah angka terkecil pada posisi negatif. Untuk segi empat-segi empat WB, WA, XA dan XB, pada posisi negatif adalah WA dan XB, masing-masing WA XB = 25, maka muatan sebanyak 25 dapat dipindahkan ke segi empat WB
=
56 dan
Langkah 6, Membuat Tabel Transportasi Yang Baru .......................#2 Setelah pemindahan muatan sebanyak 25 ke segi empat WB, maka tabel transportasi yang baru adalah:
Tabel di atas sudah dilengkapi dengan nilai R dan C, nilai R1 ditentukan yaitu NOL, sedangkan nilai C dan R lainnya dihitung dengan cara seperti di atas. Setelah dibuat tabel transportasi yang baru, selanjutnya adalah mengulang kembali LANGKAH 3, yaitu UJI PERBAIKAN (menghitung indeks perbaikan), jika diperlukan lanjutkan lagi sampai dengan Langkah 6, Membuat Tabel Transportasi Yang Baru Lagi. Langkah 3, Uji Perbaikan (Menghitung Indeks Perbaikan)................................#3 Langkah 4, Memilih Segi Empat Dengan Indeks Perbaikan Paling Bagus ........................#3
Setelah jalur ditemukan, langkah selanjutnya adalah Langkah 5, Memindahkan Muatan Ke Segi Empat Yang Dipilih ....#3 Langkah 6, Membuat Tabel Transportasi Yang Baru .......................#3
Setelah dibuat tabel transportasi yang baru, berikut dihitung nilai R dan C-nya, dihitung lagi indeks perbaikan pada setiap segi empat kosong. (Nilai R dan C, beserta Indeks Perbaikan dihitung dengan cara seperti di depan)
Dari tabel di atas dapat dilihat bahwa tidak ada lagi indeks perbaikan yang negatif, artinya, pemecahan IV (Tabel 43) di atas sudah optimal, tidak perlu dilanjutkan lagi. Metode MODI maupun STEPPING-STONE menghasilkan tabel-tabel transportasi I, II, III dst., yang sama, hanya caranya yang agak berbeda. Selanjutnya masuk pada persoalan transportasi II, yaitu jika permintaan tidak sama dengan penawaran. 3. Membuat Tabel Awal dengan Northwest Corner dan Least Cost 1. Membuat Tabel Awal Transportasi Dengan Northwest Corner Rule
Tujuan teknik transportasi adalah menentukan cara pengiriman barang yang paling baik dari beberapa pemasok menuju pada beberapa daerah pelanggan sehingga meminimalkan biaya produksi dan transportasi. Biasanya dijumpai kapasitas produksi untuk masing-masing pemasok dan jumlah permintaan untuk masing-masing daerah. Dalam teknik transportasi perlu ditentukan terlebih dahulu kapasitas untuk tiap pabrik, keperluan dan daya tampung untuk masing-masing gudang, dan biaya pengiriman dari setiap sumber menuju masing-masing tujuan. Matriks 6.2 menggambarkan biaya pengiriman per unit dari kota asal (Pabrik) ke kota tujuan (Gudang). Dalam kasus ini, kota asal adalah Yogya, Malang, dan Denpasar. Sedang kota tujuan adalah Jakarta, Semarang, dan Surabaya. Biaya pengiriman barang per unit dari Yogya ke Jakarta adalah 5, dari Yogya ke Semarang adalah 4 dan dari Yogya ke Surabaya adalah 3, dan seterusnya.
Yang menjadi kendala dalam kasus transportasi adalah kapasitas pabrik dan kapasitas gudang. Daya tampung gudang kota Jakarta adalah 300, Semarang adalah 200, dan Surabaya 200.
Kapasitas pabrik di kota Yogya adalah 100, Malang adalah 300, dan Denpasar adalah 300.
Kita harus mendistribusikan barang dari pabrik ke gudang dengan biaya yang paling murah. Dari data tersebut bisa kita buat matriks transportasi. Tujuan pembuatan matriks adalah meringkas dan menyajikan dengan jelas data yang ada. Permasalahan distribusi barang tersebut akan diselesaikan dengan menggunakan metode Northwest Corner Rule, yaitu barang dari kota yang terletak pada baris paling atas, dikirim ke kota tujuan pada kolom paling kiri. Langkah-
langkah berikut perlu diperhatikan dalam menjalankan aturan pojok kiri atas (Northwest Corner Rule). Dimulai dari kotak pojok kiri atas. 1. perhatikan kapasitas pabrik dari masing-masing baris. 2.
kaitkan dengan permintaan masing-masing gudang untuk setiap kolom.
3. Teliti kembali apakah ada kesesuaian antara persediaan dan permintaan. Kapasitas pabrik Yogya adalah 100. Kebutuhan gudang Jakarta adalah 300. Oleh karena itu, untuk sementara seluruh hasil produksi dari Yogya dikirim ke Jakarta. Karena daya tampung gudang Jakarta adalah 300. Sementara ini baru mendapat kiriman dari Yogya 100 unit, maka masih terdapat kekurangan sebesar 300 ± 100 = 200 unit. Kekurangan ini diambilkan dari pabrik berikutnya, yaitu Malang. Kapasitas pabrik di Malang adalah 300. Jakarta masih kekurangan 200.
Maka 200 unit dari Malang dikirim ke Jakarta, sedangkan sisanya (100) dikirim ke kota
tujuan berikut, yaitu Semarang. Kapasitas gudang di Semarang adalah 200. Baru mendapat kiriman dari Malang sebesar 100 unit. Perlu adanya kiriman tambahan dari kota berikut, yaitu Denpasar sebesar 100. Mengingat kapasitas pabrik Denpasar adalah 300, dan baru terpakai 100 yang dikirim ke Semarang, maka masih tersisa 200 untuk dikirim ke Surabaya. Jumlah ini sesuai dengan daya tampung gudang di Surabaya. Oleh karena itu kasus ini dikenal Demand = Supply (D = S).
Berdasarkan penyebaran dengan menggunakan Northwest Corner Rule tersebut di atas, perlu diadakan kalkulasi biaya pengiriman. Perhitungan kalkulasi biaya terlihat pada Tabel 1, dimana total biaya pengiriman adalah sebesar 4.200
2.
Membuat Tabel Awal Dengan The Least Cost Rule
The least-cost method berusaha mencari solusi awal yang lebih baik, yaitu dengan memusatkan perhatian pada biaya pengiriman yang paling murah. Adapun langkah-langkah penerapan the least-cost method adalah sebagai berikut.
1. Biaya D ± C dan E ± C adalah biaya yang terendah dari seluruh matriks ($3). Untuk sementara kita alokasikan D ke C. Karena kapasitas C 200 dan kapasitas D hanya 100, maka masih kurang 100. Karena kapasitas Pabrik D sudah terpakai semua maka D ± A dan D ± B kita silang.
2.
Biaya terendah dari kota yang belum tersilang adalah E ± C. Kita alokasikan dari E ke C sebesar 100 untuk memenuhi kebutuhan kapasitas gudang C. Dan kota F ± C kita silang, karena tidak memerlukan pengiriman lagi.
3. Dari empat kotak kosong yang memiliki biaya yang terendah adalah E ± B ($4). Dari E kita kirim 200 unit ke B. Dan tinggal satu kota tujuan lagi yaitu A. Seluruh kapasitas F (300 unit) kita kirim ke A.
Perhitungan total biaya pengiriman dengan menggunakan the least cost method terlihat pada tabel 6. 2. Dengan menggunakan biaya yang terkecil diperoleh solusi yang lebih baik (4100) dibandingkan dengan menggunakan the northwest corner rule (4200).
4. Penyelesaian dengan Vogel Approximation Method (VAM) 1. Menghitung Biaya Peluang Dengan Vam Vogel Approximation Method (VAM) yang dikembangkan oleh Vogel pada prinsipnya mencari opportunity cost (biaya peluang). Untuk setiap baris dan kolom, dibandingkan dan dihitung selisih antara biaya terendah dengan yang lebih tinggi. Pengiriman dilakukan dari kota asal ke kota tujuan dengan memilih selisih biaya terbesar dan terendah. Selisih biaya dihitung dengan cara mengurangkan biaya terendah pada biaya satu tingkat di atasnya.
Matrik I menunjukkan biaya transportasi, kapasitas pabrik dan kapasitas gudang. Berdasarkan tabel tersebut Vogel membuat perhitungan untuk masing-masing baris dan kolom perbedaan biaya yang termurah dengan biaya yang lebih mahal.
Pada baris PA, biaya pengiriman terendah adalah dari PA ke G2 (23). Biaya terendah berikutnya adalah dari PA ke G1 (27). Biaya peluang pada PA adalah 4 (27 ± 23). Pada baris PB, biaya pengiriman terendah adalah dari PB ke G1 (10). Biaya terendah berikutnya adalah dari PB ke G4 (32). Biaya peluang pada PB adalah
22
(32 ± 10). Selisih biaya menunjukkan
penghematan yang bisa dilakukan pada baris atau kolom. Semua perhitungan selisih biaya pada baris dan kolom terlihat pada Matrik 7.2.
Dari seluruh perhitungan tersebut terlihat bahwa selisih terbesar terdapat pada kolom G4 (25). Hal itu berarti perusahaan akan menghemat 25 satuan biaya kalau mengirim pertama ke kolom G4. pada kolom G4 tersebut kita pilih kotak dengan biaya terendah dalam hal ini adalah baris PB. Sebagai percobaan awal semua kebutuhan G4 dikirim dari PB sejumlah 40 unit. Untuk mengisi kotak yang lain, diulangi cara yang sama, yaitu dengan menghitung biaya peluang berdasarkan baris dan kolom, kemudian pilih biaya peluang terbesar dan alokasikan pada kotak dengan biaya terendah, dengan mempertimbangkan supply dan demand.
2.
Mengisi Kotak lain Pada VAM
Dalam permasalahan transportasi, Opportunity cost (biaya peluang) antara baris supply dan kolom demand dimengerti sebagai selisih antara biaya terendah dan biaya terendah berikutnya. Langkah-langkah Vogel Approximation method adalah sebagai berikut. 1. pada setiap baris dan kolom, pilih biaya terendah dan alternatif biaya terendah berikutnya pada kotak yang belum terpakai. Selisih antara biaya terendah dan altiernatif biaya terendah berikutnya merupakan opportunity cost (biaya peluang) bagi baris atau kolom. 2.
pilihlah opportunity cost yang tertinggi di antara baris dan kolom
3. alokasikan sebanyak mungkin unit pada baris atau kolom pada kotak dengan biaya terendah. Untuk mengisi kotak kosong yang lain, dihitung kembali biaya peluang berdasarkan baris dan kolom. Baris PB yang kapasitasnya sudah habis digunakan, tidak diperhitungkan dalam proses perhitungan biaya peluang. Perhitungan biaya peluang berdasarkan baris dan kolom dapat dilihat pada Matriks 7.3. Dari perhitungan biaya peluang tersebut, terlihat bahwa selisih biaya terbesar terletak pada kolom G2, yaitu sebesar 31. Oleh karena itu kita akan mengalokasikan pada kolom G2 dengan memilih kotak dengan biaya terendah, yaitu kotak PA ± G2. Untuk menentukan berapa yang harus dialokasikan ke kotak PA ±G2, perlu mempertimbangkan kapasitas Pabrik PA dan Gudang G2. karena permintaan pada G2 70 sementara kapasitas Pabrik PA 150, maka kita alokasikan sebesar 70. sehingga kapasitas Pabrik PA masih tersisa 80 unit yang bisa dialokasikan ke gudang lainnya.
Perhitungan biaya peluang (opportunity cost) pada baris dan kolom tersebut diulangi lagi untuk baris dan kolom yang masih terdapat kapasitas sisa. Distribusi akhir untuk kasus tersebut terlihat pada Matriks 7. 4 dan total biaya minimum terlihat pada Tabel 7.1, yaitu sebesar 8240.
II. Persoalan transportasi II (Permintaan
Contoh kasus: Permintaan <>
Penawaran)
Misalnya ada sedikit modifikasi dari persoalan transportasi perusahaan FR.Co, dimana sekarang kapasitas pabrik W menjadi 72 muatan truk, maka total kapasitas pabrik menjadi 235 muatan truk. Pemecahan awal dari persoalan di atas adalah:
Tampak ada sedikit perbedaan antara Tabel 44 di atas dengan Tabel 5. Untuk menyelesaikan persoalan transportasi dimana permintaan tidak sama dengan penawaran, tidak bisa dilanjutkan begitu saja dari tabel seperti Tabel 45, di atas. Pada kasus permintaan < penawaran =" total"> J ika permintaan > penawaran, maka perlu ditambah baris dummy ( baris bayangan)
Pada kolom (dan juga baris) dummy, 'dipasang' biaya angkut sebesar 0 (nol). Untuk kasus di atas, setelah dilakukan penambahan ko lom dummy, tabel transportasinya menjadi:
Untuk selanjutnya, pemecahan I itu dapat diuji dan diteruskan baik menggunakan metode STEPPING-STONE maupun MODI, sampai diperoleh pemecahan optimal. Pemecahan optimal untuk kasus di atas adalah: Tabel 47. Pemecahan optimal persoalan transportasi (permintaan < penawaran)
Tampak dari tabel tersebut, pada kolom dummy ada muatan sebanyak 20 (di pabrik X), itu berarti bahwa sebenarnya ada kelebihan penawaran di pabrik X, atau dengan lain kata, sebaiknya pada pabrik X disisakan 20 muatan truk. III. Persoalan transportasi III (Degenerasi)
Jika normal, maka pada pemecahan I (awal) persoalan transportasi, segi empat yang terisi adalah sebanyak Rim Requirement -1, {(jumlah baris + jumlah kolom) - 1}. Degenerasi adalah jika pada tabel transportasi, jumlah segi empat yang terisi kurang dari Rim Requirement - 1. Contoh:
Dari tabel di atas, dapat dilihat bahwa segi empat yang terisi hanya 4 buah (WA, WB, XB dan YC), sehingga ada 'jalur yang terputus' dari segi empat terisi XB ke segi empat terisi YC. Jika jalur terputus, maka penyelesaian menggunakan metode STEPPING-STONE akan mengalami jalan buntu karena tidak dapat menemukan jalur untuk uji perbaikan, demikian juga jika menggunakan MODI, akan tidak dapat menemukan nilai R dan C, karena persamaan Ri + Cj =
Biaya pada segi empat terisi, tidak akan dapat diselesaikan. Masalah degenerasi ini diatasi dengan cara mengisi segi empat yang dapat membuat jalur
menjadi tidak terputus (membuat jembatan) dengan muatan sebesar 0 (nol). Jadi pada kasus di atas, 'jembatan' dapat dibuat dengan menempatkan muatan sebanyak 0 (nol) pada segi empat XC atau YB. Setelah diberi 'jembatan', tabel pemecahan I yang baru adalah:
Untuk selanjutnya, persoalan tersebut dapat diselesaikan dengan cara seperti biasanya, baik menggunakan STEPPING-STONE maupun MODI sampai didapatkan pemecahan yang optimal. Degenerasi dapat terjadi baik pada pemwcahan awal maupun pada pemecahan selanjutnya. Jika terjadi degenerasi di pemecahan kedua, ketiga dst., cara mengatasinya sama yaitu dengan cara membuat 'jembatan' dengan menempatkan muatan sebanyak 0 (nol) pada salah satu segi empat kosong, hingga jalur tidak terputus. Demikianlah persoalan transportasi beserta penyelesaiannya menggunakan metode STEPPINGSTONE dan MODI.
BAB II PENUTUP & RANGKUMAN
1. Rangkuman
Modi method digunakan untuk menguji apakah suatu matriks sudah optimal atau belum. Angka indeks positif menunjukkan terjadinya penambahan biaya apabila satu unit produk dikirim ke kotak kosong tersebut. Angka indeks negatif menunjukkan bahwa akan terjadi pengurangan biaya apabila satu unit produk dikirim ke kotak yang berindeks negatif tersebut.
The northwest corner rule diterapkan pada metode transportasi dengan mengirimkan barang dari kota asal pada baris paling atas ke kota tujuan pada kolom paling kiri. Dengan menggunakan the least cost method, pengiriman barang dimulai pada biaya yang terendah. Cara ini memberikan solusi yang lebih murah dibandingkan dengan menggunakan the northwest corner rule.
Vogel Approximation Method mendasarkan pada konsep opportunity cost (selisih antara biaya terendah dengan biaya satu tingkat di atasnya), untuk setiap baris dan kolom. Untuk melakukan alokasi ke setiap kotak dipilih biaya peluang terbesar, kemudian pilih kotak yang mempunyai biaya terendah.
2.
Penutup
Demikianlah makalah yang dapat kami sampaikan semoga ada manfaatnya khususnya bagi penulis dan umumnya bagi pembaca. Dan kami mengucapkan mohon maaf yang sebesarbesarnya atas kesalahan dan kekurangan dalam pembuatan makalah ini
DAFTAR PUSTAKA
Buku : Toha, Hamdy A. (1997). Operation Research: an introduction, Prentice Hall, NJ. Levin,Richard I., et al. (1992). Quantitative Approaches tomanagement, 8th edition, New York,McGraw-Hill International Editions. Internet :
[email protected] ;
[email protected] http://wit.salatiga.biz www.gkmin.net/download/wm334_metode_transportasi.pdf . www.stekpi.ac.id/skin/Modul%20OR/bab6-A.pdf library.gunadarma.ac.id/10204559-pi_fe.pdf elearning.upnjatim.ac.id/courses/MMA108/document/Handout_Buku_II/Metode_Analisi s_Dat pdf?cidReq=MMA108