6s-1
Linear Programming
Operations Management OPERATIONS RESEARCH William J. Stevenson
Rosihan Asmara http://lecture.brawijaya.ac.id/rosihan http://rosihan.com
8th edition
6s-2
Linear Programming
METODE TRANSPORTASI
suatu metode yang digunakan untuk mengatur distribusi dari sumber-sumber yang menyediakan produk yang sama, ke tempat-tempat yang membutuhkan secara optimal
6s-3
Linear Programming
Metode Stepping-Stone
Contoh : Suatu perusahaan yang mempunyai 3 buah pabrik di W, H, P. Perusahaan menghadapi masalah alokasi hasil produksinya dari pabrik-pabrik tersebut ke gudanggudang penjualan di A, B, C
6s-4
Linear Programming
Tabel Kapasitas pabrik Pabrik
Kapasitas produksi tiap bulan
W
90 ton
H
60 ton
P
50 ton
Jumlah
200 ton
6s-5
Linear Programming
Tabel Kebutuhan gudang Gudang
Kebutuhan tiap bulan
A
50 ton
B
110 ton
C
40 ton
Jumlah
200 ton
6s-6
Linear Programming
Tabel Biaya pengangkutan setiap ton dari pabrik W, H, P, ke gudang A, B, C Biaya tiap ton (dalam ribuan Rp)
Dari Ke gudang A
Ke gudang B
Ke gudang C
Pabrik W
20
5
8
Pabrik H
15
20
10
Pabrik P
25
10
19
6s-7
Linear Programming
Penyusunan Tabel Alokasi Aturan
1. jumlah kebutuhan tiap-tiap gudang
diletakkan pada baris terakhir
Ke Dari Pabrik W Pabrik H Pabrik P Kebutuhan Gudang
2.
kapasitas tiap pabrik pada kolom terakhir
3.
biaya pengangkutan diletakkan pada segi empat kecil
Gudang A 20
X11
15
X21
25
X31 50
Gudang B 5
X12
20
X22
10
X32 110
Gudang C 8
X13
10
X23
19
X33 40
Kapasitas Pabrik
90 60 50 200
6s-8
Linear Programming Penggunaan Linear Programming dalam Metode Transportasi
Tabel Alokasi Ke Dari Pabrik W Pabrik H
Gudang A 20
X11
25
X31
Kebutuhan Gudang
20
X22
10
X32
Pabrik
8
X13
10
X23
19
X33
110
50
Kapasitas
Gudang C 5
X12
15
X21
Pabrik P
Gudang B
40
90
60
50 200
Minimumkan Z = 20XWA + 15XHA + 25XPA + 5XWB + 20XHB + 10XPB + 8XWC + 10XHC + 19XPC
Batasan
XWA + XWB + XWC = 90
XWA + XHA + XPA = 50
XHA + XHB + XHC = 60
XWB + XHB + XPB = 110
X
X
+X
+X
= 50
+X
+X
= 40
6s-9
Linear Programming
Prosedur Alokasi pedoman sudut barat laut (nortwest corner rule).
1. Mulai dari sudut kiri atas dari X11 dialokasikan
sejumlah maksimum produk dengan melihat kapasitas pabrik dan kebutuhan gudang 2. Kemudian setelah itu, bila Xij merupakan kotak
terakhir yang dipilih dilanjutkan dengan mengalokasikan pada Xi,j+1 bila i mempunyai kapasitas yang tersisa 3. Bila tidak, alokasikan ke Xi+1,j, dan seterusnya
sehingga semua kebutuhan telah terpenuhi
6s-10 Linear Programming
Tabel Alokasi tahap pertama dengan pedoman sudut barat laut Ke Dari
Gudang A
Pabrik W
20
50
Kapasitas
Gudang C 5
Pabrik
8
40
Pabrik
90
15
20
10
60
H Pabrik
25
P Kebutuhan Gudang
Gudang B
50
60 10
10
19
40 110
50 40
200
6s-11 Linear Programming
Metode MODI (Modified Distribution)
Formulasi
Ri + K j = Cij Ri
= nilai baris i
K j
= nilai kolom j
C ij
= biaya pengangkutan dari sumber i ke tujuan j
6s-12 Linear Programming
Metode MODI (Modified Distribution) Langkah Penyelesaian
1. Isilah tabel pertama dari sudut kiri atas ke kanan bawah 2. Menentukan nilai baris dan kolom dengan cara: •
•
Baris pertama selalu diberi nilai 0 Nilai baris yang lain dan nilai semua kolom ditentukan berdasarkan rumus Ri + K j = Cij. Nilai baris W = R W = 0 Mencari nilai kolom A: RW + K A = CWA 0 + K A = 20, nilai kolom A = K A = 20
Mencari nilai kolom dan baris yg lain: RW + KB = CWB; 0 + KB = 5; KB = 5 RH + KB = CHB; RH + 5 = 20; RH = 15 RP + KB = CPB; RP + 5 = 10; RP = 5 RP + KC = CPC; 5 + KC = 19; KC = 14
6s-13 Linear Programming
Tabel Pertama RP + KC = CPC; RW + KB = CWB + K A = 20; K A = 20 0 + KB = 5; 5KB+=K5C = 19; KC = 14
Baris pertama = 0RW + K A = CWA 0
Ke Dari
Gudang
Gudang
Gudang
Kapasitas
A = 20
B =5
C = 14
Pabrik
Pabrik
W = 0 Pabrik
H = 15 Pabrik
20
50
8 90
40
RH + KB = CHB RH + 5 = 20; RH = 15 15 RP + KB = CPB RP + 5 = 10; RP = 5 25
20
50
10 60
60 10
10
P =5 Kebutuhan Gudang
5
19
40 110
FORMULASI Ri + K j = Cij
50 40
200
6s-14 Linear Programming
3. Menghitung Indeks perbaikan Indeks perbaikan adalah nilai dari segi empat air (segi empat yang kosong). Rumus :
Cij - Ri - K j = indeks perbaikan
Tabel Indeks Perbaikan : Segi empat air
Cij - R i - K j
HA
15
PA
25
WC
8
–
0
HC
10
–
15
–
–
15 - 20 5
-20
20
0
14
-6
–
–
indeks perbaikan
–
14
-19
6s-15 Linear Programming
4. Memilih titik tolak perubahan
Segi empat yang merupakan titik tolak perubahan adalah segi empat yang indeksnya
bertanda negatif dan angkanya terbesar indeks Segi empat air Cij - R i - K j yang memenuhi syarat adalah segi perbaikan empat HA HAdan dipilih -20 15sebagai 15 - 20segi empat yang akan diisi PA 25 5 20 0 –
–
–
WC
8
–
0
HC
10
–
15
–
14
–
14
-6 -19
6s-16 Linear Programming
5. Memperbaiki alokasi
1. 2. 3. 4. 5.
Berikan tanda positif pada • terpilih (HA) Pilihlah 1 • terdekat yang mempunyai isi dan sebaris (HB), Pilihlah 1 • terdekat yang mempunyai isi dan sekolom (WA); berilah tanda negatif keduanya Pilihlah 1 • sebaris atau sekolom dengan 2 •yang bertanda negatif tadi (WB), dan berilah • ini tanda positif Pindahkanlah alokasi dari • yang bertanda negatif ke yang bertanda positif sebanyak isi terkecil dari • yang bertanda positif (50)
Jadi •HA kemudian berisi 50, •HB berisi 60 50 = 10, • WB berisi 40 + 50 = 90, • WA menjadi tidak berisi –
6s-17 Linear Programming
Tabel Perbaikan Pertama Ke Dari
Gudang
Gudang
Gudang
Kapasitas
A = 20
B =5
C = 14
Pabrik
Pabrik
W = 0
20
50
40 (-)
Pabrik
H = 15
50
20
25
10 60
10
10 50
90
60 10 (-)
(+)
P =5
8
90 (+)
15
Pabrik
Kebutuhan Gudang
5
19
40 110
50 40
200
6s-18 Linear Programming
A) Tabel Pertama Hasil Perubahan Ke Dari
Gudang
Gudang
Gudang
Kapasitas
A = 20
B =5
C = 14
Pabrik
Pabrik
20
Pabrik
90
15
20
10 60
10
50
Pabrik
25
10
10
P =5 Kebutuhan Gudang
8
90
W = 0
H = 15
5
50
19 50
40 110
40
Biaya transportasi = 90(5) + 50(15) + 10(20) + 10(10) + 40(19) = 2260
200
6s-19 Linear Programming 6. Ulangi langkah-langkah tersebut mulai langkah nomor 2 sampai diperoleh biaya terendah
Tabel Kedua Hasil Perubahan Ke Dari
Gudang
Gudang
Gudang
Kapasitas
A = 20
B =5
C = 14
Pabrik
Pabrik
20
5
Pabrik
15
50
20
10
10
10 (-)
Pabrik
25
10
P =5 Kebutuhan Gudang
90
90
W = 0
H = 15
8
(+) 10
20
19
40 (+)
50
60
110
50
30 (-) 40
200
6s-20 Linear Programming
B) Tabel Kedua Hasil Perubahan
Ke Dari
Gudang
Gudang
Gudang
Kapasitas
A = 20
B =5
C = 14
Pabrik
Pabrik
20
Pabrik
90
15
20
10
10
50
Pabrik
25
10
20
P =5 Kebutuhan Gudang
8
90
W = 0
H = 15
5
50
110
60 19
30
50 40
Biaya transportasi = 90(5) + 50(15) + 10(10) + 20(10) + 30(19) = 2070
200
6s-21 Linear Programming
C) Tabel Ketiga Hasil Perubahan
Ke Dari
Gudang
Gudang
Gudang
Kapasitas
A = 20
B =5
C = 14
Pabrik
Pabrik
20
W = 0 15
8
30
90
(+) 20
10
10
50
Pabrik
25
20
P =5 Kebutuhan Gudang
90 60 (-)
Pabrik
H = 15
5
10
50 (+)
50
110
60 19
30 (-)
50 40
Biaya transportasi = 60(5) + 30(8) + 50(15) + 10(10) + 50(10) = 1890
200
6s-22 Linear Programming
D) Tabel Keempat Hasil Perubahan Ke Dari
Gudang
Gudang
Gudang
Kapasitas
A = 20
B =5
C = 14
Pabrik
Pabrik
20
5
Pabrik
H = 15
15
20
10
10
50
Pabrik
25
60
10
19
50
P =5 Kebutuhan Gudang
90
30
60
W = 0
8
50 110
50
40
200
Tabel Indeks perbaikan Segi empat air
Cij - R i - K j
indeks perbaikan
WA
20 – 0 – 5
15
HB
20 – 2 – 5
13
PA
25 – 5 – 13
7
PC
19
6
5
8
Tabel D. tidak bisa dioptimalkan lagi, karena indeks perbaikan tidak ada yang negatif
6s-23 Linear Programming
TERIMAKASIH
6s-24 Linear Programming
TUGAS
Pelajari :
Metode Vogel atau Vogel’s Approximation Method (VAM)
6s-25 Linear Programming
Metode Vogel’s Approximation Langkah-langkah nya: 1. 2.
3. 4.
Susunlah kebutuhan, kapasitas masing-masing sumber, dan biaya pengangkutan ke dalam matrik Carilah perbedaan dari dua biaya terkecil (dalam nilai absolut), yaitu biaya terkecil dan terkecil kedua untuk tiap baris dan kolom pada matrik (Cij) Pilihlah 1 nilai perbedaan-perbedaan yang terbesar di antara semua nilai perbedaan pada kolom dan baris Isilah pada salah satu segi empat yang termasuk dalam kolom atau baris terpilih, yaitu pada segi empat yang biayanya terendah di antara segi empat lain pada kolom/baris itu. Isiannya sebanyak mungkin yang bisa dilakukan
6s-26 Linear Programming
Tabel 5.11.
F e as i b l e s o l u t i o n m u l a -m u l a d a r i m e t o d e VA M
Gudang
Pabrik
Kapasitas
Perbedaan baris
A
B
C
W
20
5
8
90
3
H
15
20
10
60
5
P
25
10
19
50
110
40
9 50 Pilihan XPB = 50
5
5
2
Hilangkan baris P
Kebutuhan
Perbedaan Kolom
P mempunyai perbedaan baris/kolom terbesar dan B mempunyai biaya angkut terkecil
6s-27 Linear Programming
Tabel 5.11.
F e as i b l e s o l u t i o n m u l a -m u l a d a r i m e t o d e VA M
Gudang
Pabrik
Kapasitas
Perbedaan baris
A
B
C
W
20
5
8
90
3
H
15
20
10
60
5
50
60
40
5
15
2
Kebutuhan Perbedaan Kolom
Pilihan XWB = 60 Hilangkan kolom B
Kebutuhan Gd B menjadi 60 baris/kolom krn telah diisi B mempunyai perbedaan kapasitas (dihilangkan) terbesarpabrik dan WP=50 mempunyai biaya angkut terkecil
6s-28 Linear Programming
Tabel 5.11.
F e as i b l e s o l u t i o n m u l a -m u l a d a r i m e t o d e VA M
Gudang A Pabrik
B
C
Kapasitas
Perbedaan baris
W
20
8
30
12
H
15
10
60
5
50
40
5
2
Kebutuhan
Perbedaan Kolom
Kapasitas Pabrik W menjadi 30 krn telah W mempunyai perbedaan baris/kolom diangkut ke pabrik B=60 (dihilangkan) terbesar dan C mempunyai biaya angkut terkecil
Pilihan XWC = 30 Hilangkan baris W
6s-29 Linear Programming
Tabel 5.11.
F e as i b l e s o l u t i o n m u l a -m u l a d a r i m e t o d e VA M
Gudang A
B
C
Kapasitas
Perbedaan baris
60
5
W Pabrik
H
Kebutuhan
Perbedaan Kolom
15
10
50
10
Pilihan XHA = 50 Pilihan XHC = 10
H mempunyai Kebutuhan gudang C menjadi 10 krn perbedaan baris/kolom terbesar dan C mempunyai biaya angkut telah diisi pabrik W=30 (dihilangkan) terkecil
6s-30 Linear Programming
Matrik hasil alokasi dengan metode VAM Ke
Gudang
Gudang
Gudang
Kapasitas
A
B
C
Pabrik
Dari Pabrik
20
W Pabrik
H
50
Pabrik
P Kebutuhan Gudang
50
5
60
15
20
25
10
50 110
8
30
10
10
19
40
90
60
50 200
Setelah terisi semua, maka biaya transportasinya yang harus dibayar adalah 60(Rp 5,-) + 30(Rp 8,-) + 50(Rp 15,-) + 50(Rp 15,-) + 10(Rp 10,-) + 50(Rp 10,-) = Rp 1.890,-
