MAKALAH
ANALISIS NUMERIK “METODE TERBUKA“
OLEH:
DIANA ARIFUDDIN
HASNAWIYAH
JURUSAN MATEMATIKA
FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI
UNIVERSITAS ISLAM NEGERI ALAUDDIN
MAKASSAR
2010
KATA PENGANTAR
Puji dan syukur senantiasa kita panjatkan ke hadirat Allah swt atas segala nikmat dan karunia-Nya. Shalawat dan salam semoga tercurah kepada Rasulullah saw, keluarga, sahabat, dan para pengikutnya. Amin. Atas berkat rahmat Allah sajalah, sehingga penyusunan makalah ini dapat terselesaikan tepat pada waktunya. Tak lupa pula, ucapan terima kasih kepada semua pihak yang telah membantu sehingga makalah ini dapat diselesaikan, khususnya kepada dosen pembimbing mata kuliah Analisis Numerik. Penyusun menyadari bahwa makalah ini masih jauh dari kesempurnaan. Untuk itu, kritik dan saran yang membangun dari pembaca sangat diharapkan guna perbaikan pada penyusunan selanjutnya. Harapan penyusun, semoga makalah ini dapat dijadikan bahan bacaan bagi semua pihak.
Makassar, April 2010
Penyusun
DAFTAR ISI
HALAMAN JUDUL
KATA PENGANTAR
DAFTAR ISI
BAB I PENDAHULUAN
BAB II PEMBAHASAN
BAB III PENUTUP
DAFTAR PUSTAKA
BAB I PENDAHULUAN
Untuk mendapatkan penyelesaian matematika yang menjabarkan model suatu persoalan nyata bidang rekayasa, seiring solusi yang di cari berupa suatu nilai variabel x atau variabel t sedemikian rupa sehingga terpenuhi persamaan f(x) atau f(t) = 0 yang digunakan dalam model. Dalam beberapa kasus, melalui faktorasi f(x) atau f(t) = 0 dapat diperoleh penyelesaian seperti yang diinginkan, akan tetapi, jauh lebih banyak jabaran persamaan dalam model mempunyai bentuk yang rumit, sehingga teknik analitis matematika murni tidak dapat memberikan solusi.
BAB II PEMBAHASAN A. Metode Titik Tetap Metode ini kadang-kadang juga dinamakan juga metode lelaran sederhana, metode langsung, atau metode sulih beruntun. Kesederhanaan metode ini karena pembentukan prosedur lelarannya mudah dibentuk sebagai berikut: Susunlah persamaan f ( x)=0 menjadi bentuk (x)= g(x). Lalu, bentuklah menjadi prosedur leleran xr+1= g(xr ). Dan terkalah sebuah nilai awal x0 , lalu hitung nilai
x1, x2, x3,…… yang mudah -mudahan
konvergen ke akar sejati s sedemikian sehinnga, F(s) = 0 dan s = g(s). Kondisi berhenti lelaran dinyatakan bila
│xr+1 - xr │< € Atau bila menggunakan galat relatif hampiran
│
│<
Dengan € dan telah ditetapkan sebelumnya. Program lelaran titik -tetap ditunjukkan oleh program 3.5. Program 3.5 Metode lelaran titik-tetap; Procedure lelaran_titik_tetap(x: real);
{ mencari akar f(x) = 0 dengan metode lelaran titik-tetap K.Awal : x adalah tebakan awal akar, nilainya sudah terdefinisi K.Akhir: akar persamaan tercetak di layar } Const
Epsilon = 0.000001; Var
x_sebelumnya:=x; function g (x:real) : real;
{ mengembalikan nilai g(x). Definisikan g(x), ) lihat contoh 3.2 } Begin Repeat
x_sebelumnya :=x; x:=g(x); until ABS (x-x_sebelumnya) < epsilon; { x adalah hampiran akar } Write ( ‘Hampiran
akar x = ‘, x:10:6 );
end;
Pogram 3.5 hanya menangani lelaran yang konfergen. Program harus dimodifikasi menjadi program 3.6 untuk menangani lelaran yang divergen. Salah satu cara penanganannya adalah dengan membatasi jumlah maksimun lelaran (Nmaks). Jika jumlah lelaran lebih besar dari pada Nmaks, maka diasumsikan lelarannya divergen.
Program 3.6 Metode lelaran tiik-tetap (dengan penanganan kasus divergen).
Procedure lelaran_titik_tetap (x: real); { mencari akar f(x) = 0 dengan metode lelaran titik-tetap
K.Awal : x adalah tebakan awal akar, nilainya sudah terdifinisi K.Akhir: akar persamaan tercetak dilayar } Const
epsilon = 0.000001;
Nmaks = 30: Var
x_sebelumnya: real; { hampiran nilai akar pada lelaran sebelumnya } i : integer;
function g (x:real) : real;
{ mengembalikan nilai g(x). Definisikan g(x), ) lihat contoh 3.2 } begin
i :=0; repeat
x_sebelumnya :=x; x:=g(x); until ABS (x-x_sebelumnya) < epsilon) or (I > Nmaks); { x adalah hampiran akar } If i > Nmaks then write ( ‘Divergen!’ ); else write (‘Hampiran akar x = ‘, x:10:6); end;
Contoh Program metode titik tetap: x=0; x2=exp(x)/9; epsilon = 0.0000001; iterasi=0; fprintf('iterasi x(i) |x(i+1)-x(i)|\n'); while abs(x2-x)>=epsilon
x2=x; x=exp(x)/9; fprintf(' %3g
%8.7f %8.7f\n',iterasi, x2, (x2-x));
iterasi=iterasi+1; end akar = x2; fprintf('Akarnya adalah fprintf('Jumlah Iterasi
= %8.7f\n', akar); = %g\n', iterasi);
B. Metode Newton-Raphson Salah satu cara untuk mencari akar kuadrat suatu bilangan adalah dengan melakukan iterasi berdasarkan suatu persamaan tak linier. Metode Newton- Raphson merupakan metode yang relative cepat menyelesaikannya secara numerik. Masalah utama yang dihadapi pada metode Newton Raphson adalah dalam hal menentukan nilai awal iterasi. Dengan pemberian nilai awal yang salah, maka iterasi akan menjadi lambat dan bahkan kadang-kadang tidak konvergen. Karena tidak ada petunjuk yang pasti untuk menentukannya, makabiasanya nilai awal tersebut hanya ditentukan dengan prinsip coba-coba. Penelitian ini mencoba mengevaluasi unjuk kerja metode Reza (1990) dalam menentukan nilai awal iterasi Newton Raphson pada kasus pencarian akar kuadrat suatu bilangan bulat. Asumsi:
•
f(x) Kontinu dan dapat dapat diturunkan (differetiable) pada [a, b]
•
Nilai akar dugaan awal (x0) berada pada interval [a, b] dapat ditetntukan
f ' ( xi ) xi
xi xi
1
1
f ( xi ) xi
xi
1
f ( xi ) f ' ( xi ) xi
f ( xi ) f ' ( xi )
Langkah-langkah Menentukan Akar Menentukan akar suatu fungsi/persamaan tidak linear dengan metode Newton-Raphson: 1) Andaikan xi sebagai akar dugaan awal 2) Tentukan xi+1 dengan
X i
1
X i
f ( X i ) f ' ( X i )
3) Andaikan xi= xi+1 ulangi langkah 2 dan 3 hingga hasilnya cukup akurat, misalnya bila
xn
xn
1
xn
, =bilangan bulat positif kecil.
1
Contoh :
Deksripsi : Metode Newton Rapshon menggunakan formula atau algoritma untuk mendapatkan nilai x maka :
x[n+1] = x[n] – f(x)/f`(x)
Parameter awal x diinput dan nilai e = 0.0005
f(x) = fungsi persamaan x + 3x – 10 = 0, maka x = 2 atau x = -5, jadi kita menginputkan 2
bilangan x awal apabila mendekati 2 maka hasil x akhir = 3, dan apabila mendekati = -5 maka hasil x akhir = 5
f`(x) = fungsi turunan pertama f(x) 2x + 3
nilai e = 0.0005
kondisi dimana perulangan berhenti nilai mutlak (Absolute) |x[n+1] – x[n]| < e, dimana hasil x[n] = x.
Contoh Program Newton Raphson:
x0=1; y0=2; disp('Metode Newton Rapshon untuk persamaan nirlanjar'); disp('f1(x,y)=3x^2 + xy - 1');
disp('f2(x,y)=4y + 2xy - 5'); disp('iterasi
akar1
akar2');
for iterasi=1:100; x1=x0-((3*x0.^2+x0*y0-1)*(4+2*x0)+(4*y0+2*x0*y0-5)*(x0))/((6*x0+y0)*(4+2*x0)(x0)*(2*y0)); y1=y0+((3*x0.^2+x0*y0-1)*(2*y0)-(4*y0+2*x0*y0-5)*(6*x0+y0))/((6*x0+y0)*(4+2*x0)(x0)*(2*y0)); fprintf(' %3g
%10.7f %10.7f\n', iterasi, x1, y1);
if (abs(x1-x0)<0.000001)||(abs(y1-y0)<0.000001); break; end; x0=x1; y0=y1; end; akar1=x1; akar2=y1; fprintf('Akar akarnya adalah %10.7f dan %10.7f\n',akar1, akar2); fprintf('Jumlah iterasi = %g\n',iterasi);
BAB III PENUTUP A. Kesimpulan
Metode iterasi sederhana adalah metode yang memisahkan x dengan sebagian x yang lain sehingga diperoleh : x = g(x). dikenal juga sebagai metode x = g(x) Bentuk iterasi satu titik ini dapat dituliskan dalam bentuk x(n+1)=g(xn) Dimana n=0,1,2,3,....
