Metode Iterasi Titik Tetap 2015

METODE ITERASI TITIK TETAP

disusun guna memenuhi tugas mata kuliah Metode Numerik Dosen Pengampu : Dr. Rochmad, M.Si. Rombel 01 (Selasa, 0.00!0".#0 $%&'

dimodiikasi dan dipresentasikan oleh: )elompok * 1. +ia +ia Pui Pui

(*10 (*101* 1*11-0 00' 0'

-. Septi Ra Ratnasari

(*101*1-0-'

#. /ept /eptaa abi abib b

(*10 (*101* 1*11-0 0' '

*. erlina la N. N.

(*101*1-0'

JURUSAN MATEMATIKA MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS NEGERI SEMARANG 2014

M234D2 %32R5S% 3%3%) 3235P A. Metode Metode Itera Itera!! T!t!" T!t!" Te Teta#

Metode Metode iterasi iterasi titik titik tetap tetap disebu disebutt uga uga metode metode iterasi iterasi sederh sederhana ana,, metode metode langsu langsung, ng, atau metode metode substit substitusi usi berunt beruntun. un. Meto Metode de ite iterasi rasi tit titik ik tet tetap ap ada adalah lah metode 6g memisahkan 7 dengan sebagian 7 6ang lain sehingga diperoleh : 7 8 g(7'. )esederhanaan )esederhanaan metode ini karena pembentukan pembentukan prosedur prosedur iterasin6a 6ang mudah dibentuk sebagai berikut. 1. bah bah per persa sam maan aan

f ( ( x )=0 menadi bentuk x = g ( x ) , x

-. bentuk bentuk menadi menadi prosed prosedur ur iterasi iterasi g ( ¿¿ r ) , x r +1= ¿ #. terk terkaa sebu sebuah ah nilai nilai a9al a9al x 0 ,

x 1 , x 2 , x 3 , … ,

*. hitung nilai

6ang konergen konergen ke suatu titik s,sedemikian s,sedemikian

sehingga

f ( ( s )= 0 dan s = g ( s ) . )ondisi iterasi berhenti apabila

| x r+ − x r|< ε 1

atau atau bila bila meng menggu gunak nakan an galat galat relati relati hamp hampira iran, n, krit kriteri eriaa berh berhen enti tin6 n6aa iter iterasi asi din6atakan

|

|

| x r+ − x r|

dengan

1

x r +1 ε dan

< δ δ telah ditetapkan sebelumn6a.

;ontoh 1 ;arilah akar persamaan
2 f ( ( x ) = x −2 x −3 =0 dengan metode iterasi titik tetap.

ε =0.000001 .

Pen6elesaian : 3erdapat 3erdapat beberapa kemungkinan prosedur iterasi iteras i 6ang dapat dibentuk.

1

Metode Iterasi Titik Tetap

a.

2

−2 x −3=0 2 ⟺ x =2 x + 3 ⟺ x =√ ( 2 x + 3 ) Dalam hal ini, g ( x ) =√ ( 2 x + 3 ) . x

Prosedur iterasin6a adalah x r+1= √ 2 x r + 3 .5mbil terkaan a9al x 0=4 .

3abel iterasin6a:

r

| x r+ − x r|

xr

1

0 1 # * > =   " 10 11 11# 1* ampiran akar x =3,000000

*,000000 #,#1==-> #,10#* #,0#*#> #,011**0 #,00#11 #,001-0 #,000*-# #,0001*1 #,0000* #,00001= #,00000> #,00000#,000001 #,000000 .

0,=##> 0,-1- 0,0="#=0,0--"*> 0,00=-" 0,00->*1 0,000* 0,000-0,0000"* 0,0000#1 0,000010 0,00000# 0,000001 0,000001 0,000000

(Proses iterasin6a konergen monoton 6ang membentuk ?ig?ag mendekati hampiran akar x =3,000000 '.

b.

x

2

−2 x −3=0

⟺ x

( x −2 )= 3

⟺ x

=

3

x − 2

Dalam hal ini,

3

g ( x )= . x − 2

Prosedur iterasin6a adalah x r+1=

3

.

x r −2

5mbil terkaan a9al x 0=4 .

2


3abel iterasin6a:

r

| x r+ − x r|

xr

1

0 *,000000 1 1,>00000 !=,000000 # !0,#>000 * !1,-=#1> > !0,"1"#>> = !1,0-=-*  !0,""0=  !1,00#0>1 " !0,"""* 10 !1,000##" 11 !0,""" 1!1,0000# 1# !0,"""" 1* !1,00000* 1> !0,"""""" 1= !1,000000 1 !1,000000 ampiran akar x =−1,000000 .

-,>00000 ,>00000 >,=->000 0,1> 0,#*#0# 0,10-=" 0,0#=* 0,01-1> 0,00*0== 0,001#>> 0,000*>0,0001>1 0,0000>1 0,00001 0,00000> 0,000001 0,000000 0,000000

(Proses iterasin6a konergen berosilasi 6ang membentuk spiral mendekati hampiran akar x =−1,000000 '.

c.

x

2

−2 x −3=0 2

⟺ x

x −3

=

2 2


x r −3

.

2

5mbil terkaan a9al x 0=4 . 3abel iterasin6a: r

| x r+ − x r|

xr

1

0

*,000000

-,>00000

1

=,>00000

1#,1->000

-

1",=->000

11,**>#1#

#

1"1,00#1#

10=1,#=1*

3


*

1->-,*#-1>"

1==>>#>,"*00

...

...

...

x 0=4

%terasin6a diergen, artin6a pemilihan

untuk prosedur iterasi

2

x r+1=

x r −3 2

menghasilkan proses iterasi 6ang menauhi hampiran akar

x .

2 f ( x )= x −2 x −3 =0 dengan tebakan

@adi, diperoleh akar persamaan dari

x 0=4 dan

a9al akar

ε =0.000001 adalah

x =3,000000 atau

x =−1,000000 .

;ontoh 3entukan akar hampiran dari persamaan x 3−2 x + 1 =0 , dengan x 0=2.
ε =0.00001 .

Pen6elesaian : 3erdapat beberapa kemungkinan prosedur iterasi 6ang dapat dibentuk. 3

a'

3

x −2 x + 1 =0 Diperoleh

⇔ 2 x

= x + 1

⇔ x

=

x + 1 2

3

x + 1

g ( x ) =

3

2

. 3


x r + 1 2

5mbil terkaan a9al x 0=2

3abel iterasin6a adalah r

Ar

B(ArC1'!Ar B

0

-

-,>

1

*,>

*1,>=->

-

*=,0=->

*-1,0

#

*=,1*

>,#2C1#

4


...

...

...

x 0=2

%terasin6a diergen, artin6a pemilihan

x r+1=

x r

3

+1

2

untuk prosedur iterasi

menghasilkan proses iterasi 6ang menauhi hampiran akar

x .

b)

3


⇔ x

( x −2 ) +1=0 2

⇔ x

( x −2 )=−1 2

⇔ x

=

−1 2 x −2

−1

g ( x ) = 2 x −2


−1 . 2 x r −2

5mbil terkaan a9al x 0=2 3abel iterasin6a adalah r

Ar

B(ArC1'!Ar B

0

-

-,>

1

!0,>

1,01*->1

-

0,>1*-"

0,0-=1#-*0*

#

0,>">=1

0,0111110=-

*

0,=0=-

0,00>00=-#1

>

0,=1#=

0,00-#1#-*

=

0,=1>""-

0,00101-#"



0,=10#

0,000>00=



0,=1>1

0,000-#"#>#

"

0,=1-

0,00011-"

10

0,=1"##

>,#--*2!0>

11

0,=1"=

-,>1*>"2!0> 5


1-

0,=101-

1,112!0>

1#

0,=10-#

>,=0**#2!0=

%terasi berhenti pada iterasi ke!1#, karena B(ArC1'!Ar Bε 6aitu >,=0**#2!0=  0,00001. @adi hampiran akar dari hasil iterasi tersebut adalah 780,=10-#.

c'

3


⇔ x

3

=2 x −1

1

⇔ x

=( 2 x −1 ) 3

1

g ( x ) =( 2 x −1 ) 3 1

Prosedur iterasin6a adalah x ¿ ( 2 x −1 ) 3 . r+1 r 5mbil terkaan a9al x 0=2 3abel iterasin6a adalah

r 0

xr

| x r+ − x r|

-

0,>>>

1

1,**-->

0,-00=>

-

1,-#>1>

0,0"0>

#

1,1#1-

0,0>-"

*

1,0*1*

0,0#0"-

>

1,0>#-11

0,01"-=

=

1,0#*->

0,011"#-



1,0--#>*

0,00==



1,01*==

0,00*""

"

1,00"="=

0,00#-#

10

1,00=*-#

0,00-1>"

11

1,00*-=*

0,001*-"

1-

1,00-#*

0,000"*

1

6


1#

1,001=

0,000=#

1*

1,001->=

0,000*1"

1>

1,000#=

0,000-"

1=

1,000>>

0,0001=

1

1,000#1

0,0001-*

1

1,000-*

,->2!0>

1"

1,0001=>

>,>2!0>

-0

1,00011

#,=2!0>

-1

1,0000#

-,**2!0>

--

1,0000*"

1,=#2!0>

-#

1,0000##

1,0"2!0>

-*

1,0000--

,-*2!0=

%terasi berhenti pada iterasi ke!-*, karena B(ArC1'!Ar B  ε 6aitu ,-*2!0=  0,00001. @adi hampiran akar dari hasil iterasi tersebut adalah 781,0000--.

&erdasarkan # kemungkinan iterasi 6ang terbentuk, maka diperoleh akar hampiran dari persamaan

3 x −2 x + 1 =0 dengan

ε =0.00001 dan terkaan

nilai a9al 708 - adalah 780,=10-# dan 781,0000--.

E"!te$! da$ "et%$&&a'a$ t!t!" teta# •

3eorema 1 @ika  kontinu pada E,F dan ()∈E,F maka  mempun6ai titik tetap di dalam E,].

•

3eorema -

7


@ika  memenuhi kondisi seperti pada teorema 1 dan terdierensial pada interal terbuka (,' dengan G 1 untuk setiap ∈(,' maka titik tetapn6a tunggal.

Kr!ter!a Ko$(er&e$!

Diberikan prosedur iterasi x r+ 1= g ( x r ) . Misalkan x 8 s adalah solusi

f ( x )=0 sehingga

f ( s )= 0 dan

s = g ( s ) . Selisih antara x r+1 dan

s

adalah

x r+1− s = g ( x r ) −s

¿

g ( x r ) −s

( x r −s )

( x r− s )

HHHHHHHHHHHHHHHHH

(I' 3erapkan teorema nilai rata!rata pada persamaan (I' sehingga diperoleh:

x r+1− s = g ' ( t )( x r− s ) x r+ 1 < t < s . Misalkan galat pada iterasi ke

6ang dalam hal ini iterasike

−r

dan

−(r + 1 ) adalah

ε r = x r− s dan

ε r +1= x r +1− s

maka persamaan dapat ditulis menadi

ε r + 1= g ' ( t ) ε r atau dalam tanda mutlak

|ε r+ |=|g ' (t )||ε r|≤ K |ε r| 1

Misalkan

x 0 dan

6aitu s − h < x < s + h .

.

x

berada dalam selang seauh

2 h dari

s,

@ika iterasi konergen di dalam selang tersebut, 6aitu

x 0 , x 1 , x 2 , x 3 ,… menuu

s , maka galat setiap iterasi berkurang. @adi,

haruslah dipenuhi kondisi:

|ε r+ |≤ K |εr|≤ K |εr + |≤ K |ε r− |≤…≤ K r + |ε | 2

1

3

1

1

2

0

)ondisi tersebut han6a berlaku ika r +1

K

→ 0 untuk

r →∞ disini

.

g ' ( x ) ≤ K < 1 . )arena K < 1, maka

| x r+ −s|→ 0 1

.

Teore)a 8


Misalkan

g ( x ) dan

g ' ( x ) s

6ang mengandung titik tetap tersebut. @ika

|g ' ( x )|< 1

akan konergen ke

|g' ( x )|>1

di dalam selang

dan nilai a9al

[ a ,b ]=[ s −h , s + h ]

x 0 dipilih dalam selang

untuk semua x ∈ [ a , b ] maka iterasi x r+1= g ( x r )

s . Pada kasus ini

s

disebut uga titik atraktif . @ika

untuk semua x ∈ [ a , b ] maka iterasi x r+1= g ( x r ) akan diergen

dari s.

Sehingga dapat disimpulkan bah9a di dalam selang I =[ s− h , s + h ] dengan s titik tetap, maka: 1. @ika

0 < g ' ( x )< 1

untuk setiap

x ∈ I , maka iterasikonvergen

monoton, -. ika

−1 < g ' ( x )< 0

untuk setiap

x ∈ I , maka iterasikonvergen

berosilasi, #. ika

g ' ( x )> 1 untuk setiap x ∈ I , maka iterasidivergen monoton,

dan *. ika

g ' ( x )<−1

untuk setiap

x ∈ I , maka iterasidivergen

berosilasi.

al tersebut ditunukkan oleh gambar sebagai berikut:

Proses

iterasi

konergen

beberapa nilai a9al

untuk

x 0 dan proses

iterasin6a membentuk ?ig?ag 6ang mendekat

ke

akar

0 < g ' ( x )< 1 .

)onergen monoton

9


untuk

Proses

iterasi

konergen

x 0 dan proses

beberapa nilai a9al iterasin6a mendekat

membentuk ke

untuk

spiral

akar

6ang untuk

−1 < g ' ( x )< 0 . )onergen berosilasi

Proses iterasi diergen untuk beberapa nilai a9al

x 0 dan proses iterasin6a

membentuk ?ig?ag 6ang menauh dari akar untuk g ' ( x )> 1 .

Diergensi monoton

Proses iterasi diergen untuk beberapa nilai a9al

x 0 dan proses iterasin6a

membentuk spiral 6ang menauh dari akar untuk g ' ( x )<−1 .

Diergensi berosilasi

10


5nalisis pencarian akar persamaan

2

x – 2 x – 3= 0

dengan bermacam!

macam prosedur iterasi dan tebakan a9al terkadang konergen dan diergen. Prosedur iterasi pertama: g( x' =

xr 1 +

- xr + #

=

(- x + #' 1

gJ ( x ' =

( - x + #'

3erlihat bah9a

¿ g ' ( x )∨¿ 1 untuk x di sekitar titik tetap s =3 . )arena

itu, pengambilan tebakan a9al x 0=4

1

¿ g ' (4 )∨¿

- ( + #'

konergen sebab x

1 =

#

r +

Prosedur iterasi kedua:

x

−

r

-

akan menghasilkan iterasi 6ang

=

0.1>0 < 1.

.

#

g( x ' =

−

x

gJ ( x' = −

#

( x − -' -

3erlihat bah9a

¿ g ’ ( x )∨¿ 1 untuk x di sekitar titik tetap s =3 . )arena

itu, pengambilan tebakan a9al x 0=4

−

akan menghasilkan iterasi 6ang

#

¿ g ' (4 )∨¿ (* -' - = 0.> < 1. − konergen sebab x Prosedur iterasi ketiga g( x ' =

x

-

−

= r +1

x

r

−

#

-

#

-

gJ ( x ' = x

3erlihat bah9a

¿ g ' ( x )∨¿ 1 untuk x

di sekitar titik tetap

s =3. )arena

itu, pengambilan tebakan a9al x 0=4 akan menghasilkan iterasi 6ang diergen sebab

¿ g ' (4 )∨¿∨4 ∨¿ 4 > 1 .

11


Contoh 3 3 x + 6 x – 3 =0 , tentukan selang sehingga prosedur iterasi

Pada persamaan #

( − x r + #' x r 1 = konvergen. = +

Pen6elesaian: g( x' =

(− x# + #' =

gJ ( x' =

x

-

-

S6arat konergen adalah − x

-

⇔

<

⇔−

⇔

@adi,

|g' ( x )|<1

1<

1

− x

-

<

-

1

- > x - > −-

⇔−

- < x - < -

rai satu per satu: x-K !- (tidak ada x 6ang memenuhi' x- -, dipenuhi oleh ⇔

x -

⇔−

−

-<0

- < x < xr 1 = +

@adi, prosedur iterasi

(− x # + #' =

konergen di dalam selang

−

- < x< - .

Dapat dipilih x 0 dalam selang tersebut 6ang menamin iterasi akan konergen.

Contoh 4 itunglah akar

f ( x ) =e −5 x x

2

dengan metode iterasi titik tetap.
ε =0.00001 . 3ebakan a9al akar x 0=0.5

12


Pen6elesaian: Salah satu prosedur iterasi 6ang dapat dibuat, x

2

e −5 x = 0 x

⟺e

⟺ x

=5 x 2

=

√

⟺ xr + 1

e

x

5

=

√

x r

e

5

3abel iterasin6a : r

| x r+ − x r|

xr

1

0

0,>00000

0,0*-#*

1

0,>*-#*

0,0-11*

-

0,>">"*

0,00=>0=

#

0,=0-*>#

0,001"=#

*

0,=0**1=

0,000>"#

>

0,=0>010

0,00010

=

0,=0>1"

0,0000>*



0,=0>-**

0,00001=



0,=0>-=0

0,00000>

"

0,=0>-=>

0,000001

10

0,=0>-==

0,000001

11

0,=0>-=

0,000000

ampiran akar x =0,605267 . @adi, diperoleh akar persamaan dari akar x 0=0.5 dan

f ( x )= e −5 x x

ε =0.00001 adalah

2

dengan tebakan a9al

x =0,605267 .

Contoh 5 ;arilah akar persamaan berikut:

x

3

−3 x −20= 0

13

melalui beberapa prosedur


1

a. x =( 3 x + 20 ) 3 3 x −20 b. x= 3

(

c. x = 3 +

20

x Pen6elesaian:

)

1 2

a. Dalam hal ini

1

g ( x ) =( 3 x + 20 ) 3 . Prosedur iterasin6a adalah 1

x r+1= ( 3 xr + 20 ) 3 . 5mbil terkaan a9al x 0=3 dan

¿ 0,000001 .

3abel iterasin6a:

r

| x r+ − x r|

xr

1

0

#,000000

0,0-#1

1

#,0-#1

0,00=*-

-

#,0"">"

0,0000=

#

#,00=>

0,0000*

*

#,00*"

0,00000"

>

#,00>

0,000001

=

#,00>"

0,000000

ampiran akar x =3,080859 .

b. Dalam

x r+1=

hal

x r

3

ini

− 20 3

3

x −20

g ( x ) =

3

.

Prosedur

. 5mbil terkaan a9al x 0=3 dan

iterasin6a

adalah

¿ 0,000001 .

3abel iterasin6a: r

| x r+ − x r|

xr

1

0

#,000000

0,=====

1

-,######

1,0=#*

-

#,*01=0

0,*-1*0

14


#

-,""*0

0,1#=>#1

*

#,11=#1

0,0*>*1

>

#,0=#1

0,01=1>=

=

#,0*"=

0,00>>#



#,0"*>0

0,001"-



#,01#*-

0,000=*

"

#,00=">

0,000--1

10

#,00"1=

0,0000=

11

#,00*0

0,0000-=

1-

#,00==

0,00000"

1#

#,00>

0,00000#

1*

#,00=0

0,000001

1>

#,00>"

0,000000

ampiran akar x =3,080859 .

( )

20 c. Dalam hal ini g ( x ) = 3 +

x

( )

x r+1= 3 +

20

xr

1 2

. Prosedur iterasin6a adalah

1 2

. 5mbil terkaan a9al x 0=3 dan

¿ 0,000001 .

3abel iterasin6a:

r

| x r+ − x r|

xr

1

0

#,000000

0,10"1-=

1

#,10"1-=

0,0#=0

-

#,01-==

0,01-#

#

#,0*1*"

0,00**1#

*

#,0"#=

0,001>0

>

#,01-**

0,000>1=

=

#,00-

0,0001=

15




#,00"0*

0,0000=0



#,00**

0,0000-1

"

#,00=>

0,00000

10

#,00>

0,00000-

11

#,00=0

0,000001

1-

#,00>"

0,000000

ampiran akar x =3,080859 . Dari ketiga prosedur 6ang diberikan tern6ata menghasilkan

x = 3,080859 . al ini menunukkan

hampiran akar 6ang sama 6aitu 3

x −3 x −20= 0

bah9a akar dari persamaan

adalah kembar dengan

x =3,080859 .

*. A'&or!t)a

Proses iterasi titik tetap:

f ( x )=0 ke dalam bentuk x = g ( x ) .

1. bahlah -. 3entukan

sebuah

nilai

a9al

x 0 ,toleransi, dan

umlah iterasi

maksimum. x #. itung

g (¿¿ r ) . x r + 1=¿

*. ntuk

nilai

x 1 ,

a9al x 0 ,

x 2 , … . di mana barisan

suatu titik s. +imit dari titik 6akni

kita

dapat

x 1 ,

hitung

berturut!turut

x 2 , HH konergen pada

s adalah suatu titik tetap dari

g ( x ) ,

s= g( s) .

>. )ondisi iterasi berhenti apabila

| x r+ − x r|< ε 1

dengan

ε telah

ditetapkan sebelumn6a.

16


MULAI

Defnisikan ungsi +. D!a&ra) A'%r

Input, tol, iter Iter = 0

Iter = iter + 1

x 0 : harga awal

=

tol : toleransi

!a tol Iter > iter Tidak

Tulis hasil Selesai Tulis asil

17


D. Pro&ra) Metode Itera! T!t!" Teta# #ada T%r,o Pa-a'

Program iterasititiktetap dengan prosedur iterasi

g ( x ) =√ ( 2 x + 3 ) L

uses 9incrtL

ar 70, 7b, tol, epsilon:realL iter:integerL

unction g(7:real':realL begin

g:8srt(-I7C#'L

endL

begin 9riteln(JProgram Mencari Nilai 5kar dengan Metode %terasi 3itik 3etapJ'L 9riteln(J J'L

9ritelnL 9riteln(JMencari 5kar dari Persamaan g(7'8srt(-I7C#'J'L

9ritelnL 9rite(Jarga 59al8J'L read(70'L

9rite(J3oleransi8J'Lread(tol'L

iter:80L 9riteln(Jiterasi

7(r'

7(rC1' B7(rC1'!7rBJ'L

epsilon:8tolC1L

9hile (iter8iter' and (epsilonKtol' do

begin iter:8iterC1L

18


7b:8g(70'L

epsilon:8abs(7b!70'L 9riteln(iter:#,J J,70:1>:>, J J, 7b::>, J J, epsilon:11:*'L

70:87bL endL

i(epsilontol' then

begin 9riteln(J3oleransi terpenuhiJ'L

9riteln(Jasil 5khir8J,7b:->:='L end else 9riteln(J3oleransi tidak terpenuhiJ'L end.

asil Program

19


DAFTAR PUSTAKA D6er, ;harles. -00-. Fixed Point Iteration. niersit6 o +eeds. Munir, Rrinald. -010. Metode Numerik. &andung:%normatika. Nasution, 5 O /, isbullah. -001. Metode Numerik dalam Ilmu eka!asa "i#il. &andung:%nstitut 3eknologi &andung. Rochmad. -01-. $ahan %&ar Mata 'uliah Metode Numerik. Semarang:niersitas Negeri Semarang. http:999.google.co.idurlQ sa8tOrct8O8Oesrc8sOsource89ebOcd8--Ocad8raOuact8Oed80;;%5 &4&Ourl8httpT#5T-T-7a.6img.comT-kT-groups T---"1##*>T-1>#1-*0T-name T-NM2R%).pptOei8rp6U4aUM>S6uSbkVD*;Ousg85;N-",d.c-2 diunduh pada tanggal = 4ktober -01*.

http:ediskm.sta.gunadarma.ac.idDo9nloadsiles#=1##)esalahanCdanC5kar CPersamaan!2S.ppt diunduh pada tanggal = 4ktober -01*.

20


Metode Iterasi Titik Tetap 2015

Recommend Documents