DIKTAT KULIAH
M E T O D E S T A T I S T I KA KA
Dr. I MADE SUMERTAJAYA, M.Si GUSTI NGURAH ADHI WIBAWA, S.Si, M.Si
DAFTAR ISI
DAFTAR ISI ....................................... ................................................ .................................. ii 1 PEND PENDAH AHUL ULUA UAN N ........................................................................................................... 1 1.1 Penge Pengerti rtian an Statist Statistika ika ........................................................................................ 1 1.2 Bebera Beberapa pa Istila Istilah h dal dalam am Statis Statistik tika a ................................................................... 2 1.3 Peranan Peranan statistika statistika dan Perkemba Perkembangan ngannya nya .................................................... 4 1.4 1.4 Lati Latiha han n Soal Soal ........................................................................................................ 5 2 PENY PENYAJ AJIA IAN N DA DATA TA ....................................................................................................... 6 2.1 2.1 Pend Pendah ahul ulua uan n ....................................................................................................... 6 2.2 Penyajia Penyajian n Data untuk Peubah Peubah Kategorik Kategorik ....................................................... 6 2.3 Penyajia Penyajian n Data untuk Peubah Peubah Numerik Numerik ......................................................... 9 2.4 2.4 Lati Latiha han n Soal Soal ...................................................................................................... 12 3 UKURAN UKURAN PEMUS PEMUSATA ATAN N DAN DAN PENYE PENYEBARA BARAN N DATA DATA .................................................. 13 3.1 3.1 Pend Pendah ahul ulua uan n ..................................................................................................... 13 3.2 Ukuran Ukuran pemus pemusata atan n .......................................................................................... 13 3.3 Ukuran Ukuran Penye Penyeba baran ran ......................................................................................... 18 3.4 Kemiri Kemiringa ngan n distri distribus busii data data ............................................................................. 21 3.5 Kerun Keruncin cingan gan distrib distribus usii data data ........................................................................... 21 3.6 Penyajia Penyajian n data data denga dengan n diagram diagram kotak kotak garis garis (boxp (boxplot) lot) ............................. 22 3.7 3.7 Lati Latiha han n Soal Soal ...................................................................................................... 24 4 KO KONS NSEP EP DASAR DASAR PELU PELUANG ANG ....................................................................................... 25 4.1 4.1 Pend Pendah ahul ulua uan n ..................................................................................................... 25 4.2 Ru Ruang ang Contoh Contoh dan Kejad Kejadian ian ........................................................................... 25 4.3 4.3 Oper Operas asii Ke Keja jadi dian an ............................................................................................. 26 4.4 Cara Meng Menghitu hitung ng Ukuran Ukuran Ruang Ruang Contoh Contoh ...................................................... 27 4.5 Pelua Peluang ng Suatu Suatu Kejad Kejadian ian .................................................................................. 30 4.6 Pelua Peluang ng Bersya Bersyarat rat ............................................................................................ 31 4.7 4.7 Kaid Kaidah ah Baye Bayess .................................................................................................... 33 4.8 4.8 Lati Latiha han n Soal Soal ...................................................................................................... 34 5 KO KONS NSEP EP DASAR DASAR PEUB PEUBAH AH ACAK ACAK ............................................................................... 36 5.1 Penge Pengerti rtian an Peub Peubah ah Acak ................................................................................ 36 5.2 Sebar Sebaran an Pelua Peluang ng Diskret Diskret................................................................................. 37 5.3 Sebar Sebaran an Pelua Peluang ng Kontin Kontinu u ............................................................................... 38 5.4 Nilai Nilai Harap Harapan an Peuba Peubah h Acak Acak ............................................................................ 39 5.5 5.5 Raga Ragam m Peub Peubah ah Ac Acak ak ........................................................................................ 40 5.6 Sifat Sifat Nilai Nilai hara harapan pan Dan Ragam Ragam ...................................................................... 40 5.7 5.7 Lati Latiha han n Soal Soal ...................................................................................................... 41 a. Pelua Peluang ng semua semua tv yang yang terb terbeli eli tidak tidak ada yang yang rus rusak. ak. .............................. 41 b. Pelu Peluan angg ada ada satu satu tv yang yang rusa rusakk ..................................................................... 41 c. Tent Te ntu ukan kanlah lah nila nilaii X ......................................................................................... 41 d. Cari Carila lah h fung fungsi si seba sebara ran n pelua peluang ng X ................................................................. 41 e. Hitung Hitunglah lah nil nilai ai tenga tengah h dan ragam ragam X. ........................................................... 41 ii
6
SEBARA SEBARAN N PELUA PELUANG NG TEORIT TEORITIS IS ................................................................................ 42 6.1 6.1 Seba Sebara ran n Binom Binom ................................................................................................. 42 6.2 Sebar Sebaran an Hiper Hipergeo geomet metrik rik ................................................................................ 44 6.3 6.3 Seba Sebara ran n Pois Poisso son n ............................................................................................... 46 6.4 6.4 Seba Sebara ran n Sera Seraga gam m ............................................................................................. 47 6.5 6.5 Seba Sebara ran n Norm Normal al ............................................................................................... 48 6.6 6.6 Lati Latiha han n Soal Soal ...................................................................................................... 51 7 SEBAR SEBARAN AN PERC PERCON ONTO TOHAN HAN ....................................................................................... 54 7.1 7.1 Cont Contoh oh Ac Acak ak...................................................................................................... 54 7.2 Te Teori ori Peng Pengamb ambila ilan n Contoh Contoh ............................................................................. 54 7.3 Sebar Sebaran an Contoh Contoh dari dari Rataa Rataan n (Mea (Mean) n) ............................................................ 55 7.4 Sebar Sebaran an contoh contoh dari dari (n-1)S (n-1)S2/ 2/ 2 .................................................................. 56 7.5 Sebar Sebaran an t-stud t-studen entt ............................................................................................ 56 7.6 Seba Sebarran F .......................................................................................................... 57 7.7 Sebaran Sebaran Contoh Contoh Bagi Beda Dua Nilaitenga Nilaitengah h ............................................... 57 7.8 7.8 Lati Latiha han n Soal Soal ...................................................................................................... 58 8 PEND PENDUG UGAAN AAN PARA PARAME METE TER R ....................................................................................... 59 8.1 Pendu Penduga ga Param Paramate aterr ......................................................................................... 59 8.2 Pendu Pendugaa gaan n Nilai Nilai tengah tengah .................................................................................. 60 8.3 Pendugaa Pendugaan n Beda Dua Nilai Teng Tengah ah Populasi Populasi ............................................... 61 8.4 Pendu Pendugaa gaan n Propo Proporsi rsi ......................................................................................... 63 8.5 Pendu Pendugaa gaan n Beda Beda Dua Propo Proporsi rsi ....................................................................... 64 8.6 8.6 Lati Latiha han n Soal Soal ...................................................................................................... 65 9 PENG PENGUJ UJIA IAN N HIPO HIPOTE TESI SISS ............................................................................................ 67 9.1 Hipote Hipotesis sis Statist Statistik ik ............................................................................................ 67 9.2 Pengu Pengujia jian n Hipote Hipotesis sis ......................................................................................... 68 Keadaan yang sesungguhnya .................................................................................... 68 9.3 9.3 Uji Uji Satu Satu Arah Arah Dan Dan Dua Dua Arah Arah ........................................................................... 71 9.4 Uji Rataa Rataan n Popula Populasi si ......................................................................................... 72 9.5 9.5 Lati Latiha han n Soal Soal ...................................................................................................... 77 10 ANAL ANALIS ISIS IS RE REGR GRES ESII DA DAN N KO KORE RELA LASI SI...................................................................... 78 10.1 10.1 Regr Re gresi esi Lin Linea earr Sederh Sederhana ana ........................................................................... 78 10.2 10.2 Pendu Pendugaa gaan n Koefis Koefisien ien Reg Regres resii ..................................................................... 79 10.3 10.3 Pengu Pengujia jian n Hipote Hipotesis sis Bagi Bagi Koe Koefis fisien ien Re Regre gresi si ............................................ 80 10.4 10.4 Pera Peramal malan an / Pendu Pendugaa gaan n Bagi Bagi Y ................................................................. 82 10.5 10.5 Kese Ke sesu suai aian an Mo Mode dell ......................................................................................... 83 10.6 Kore Korela lassi .......................................................................................................... 84 10.7 10.7 Lati Latiha han n Soal Soal .................................................................................................. 89 DAFTAR PUSTAKA ........................................................................................................... 90
iii
1 1.1
PENDAHULUAN
Pengertian Statistika Statistika merupakan
suatu
cabang
ilmu yang mempelajari
berbagai teknik
perancangan, pengumpulan data, pengolahan data, penyajian data, dan pembuatan kesimpulan berdasarkan data yang dimiliki. Data yang dimiliki seringkali tidak lengkap sehingga dalam pengambilan keputusan tentunya akan menimbulkan ketidakpastian, dengan kata lain ada peluang kesalahan dalam pengambilan keputusan. Dengan statistika diharapkan peluang kesalahan yang terjadi sekecil mungkin. Berdasarkan cara pengolahan datanya, statistika dibagi ke dalam dua kelompok besar, yaitu statistika deskriptif dan statistika inferensia. Statistika deskriptif merupakan bidang statistika yang mempelajari cara atau metode mengumpulkan, menyederhanakan dan menyajikan data serta meringkas data sehingga bisa memberikan informasi yang jelas dan mudah dipahami.
Dalam statistika deskripsi belum sampai pada upaya menarik suatu
kesimpulan, tetapi baru sampai pada tingkat
memberikan suatu bentuk ringkasan data
sehingga khalayak/masyarakat awam statistika pun dapat memahami informasi yang terkandung dalam data. Beberapa teknik statistika yang termasuk dalam kelompok ini seperti distribusi frekuensi, ukuran pemusatan dan penyebaran data. Sedangkan statistika inferensia merupakan bidang statistika yang mempelajari cara atau metode penarikan kesimpulan berdasarkan data yang diperoleh dari sampel untuk menggambarkan karakteristik atau ciri dari suatu populasi. Gambaran penarikan kesimpulan dari data dengan menggunakan analisis statistika secara ringkas disajikan pada bagan berikut ini:
Gambar 1. Tahapan analisis statistika
1.2
Beberapa Istilah dalam Statistika Beberapa istilah yang sering dijumpai dalam statistika, diantaranya adalah:
1. Populasi dan contoh Populasi adalah suatu keseluruhan pengamatan atau obyek yang menjadi perhatian kita. Sedangkan Sampel adalah bagian dari suatu populasi. Jadi jika dikaitkan dengan Teori Himpunan, populasi adalah himpunan semesta/ruang contoh, sedangkan sampel adalah himpunan bagian. Populasi bersifat ideal atau teoritis, sedangkan sampel bersifat nyata atau empiris. Meskipun gambaran tentang populasi sangat ideal, namun sangat jarang digunakan untuk penelitian, pada umumnya yang dipakai adalah sampel, dengan alasan :
Waktu yang diperlukan untuk mengumpulkan data lebih singkat.
Dana yang digunakan lebih sedikit
Dengan Statistika Inferensia dapat diperoleh generalisasi. Artinya hasil perhitungan yang diperoleh dari sampel, dapat digunakan untuk menyimpulkan karakteristik dari populasi.
2. Parameter dan statistik Parameter adalah nilai besaran atau karakteristik yang dihitung/diukur dari seluruh unsur yang ada dalam populasi, sedangkan statistik adalah nilai besaran atau karakteristik yang dihitung dari sampel. 3. Peubah/Variabel Peubah merupakan suatu karakteristik dari suatu objek. Beberapa contoh variabel antara lain seperti: nama, umur, tinggi badan, berat badan, asal SMA, dan jenis kelamin merupakan karakteristik peserta mata kuliah metode statistika. Berdasarkan nilai-nilainya, peubah bisa dikelompokkan dalam dua kelompok, yaitu numerik dan kategorik.
Suatu peubah dikatakan numerik jika nilai dari peubah itu
merupakan bilangan yang mencerminkan nilai yang sesungguhnya, bukan hanya sebuah kode. Misalnya tinggi badan 176 cm, merupakan peubah numerik karena 176 merupakan nilai hasil pengukuran yang sebenarnya.
Berbeda dengan kalau hanya sebuah kode
misalnya pendidikan diberi kode 1 untuk SD, 2 untuk SMP dan seterusnya. Yang seperti terakhir itu adalah kategorik. a. Peubah Kategorik, terdiri atas dua jenis lagi : 1. Peubah Nominal, yaitu jenis peubah yang penggolongannya atau pengkategoriannya hanya berupa nama saja (lambang), tidak ada urutan yang memberikan makna tertentu. Yang termasuk dalam peubah ini, misalnya -
jenis kelamin : laki-laki, perempuan
-
warna : merah, kuning, ungu, hijau, dsb
2
Tidak ada alasan tertentu kategori mana yang disebut di awal dan mana yang di akhir. 2. Peubah Ordinal, yaitu jenis peubah yang pengkategoriannya bisa diurutkan berdasarkan kriteria tertentu yang bermakna. Yang termasuk dalam jenis peubah ini, misalnya : -
pendidikan : SD, SMP, SMA, Diploma, S1, S2, S3. Urutan tersebut merupakan urutan pendidikan rendah ke tinggi.
-
tingkat kesetujuan : sangat tidak setuju, tidak setuju, netral, setuju, sangat setuju. Urutan tersebut dari tingkat yang paling tidak setuju hingga setuju.
b. Peubah Numerik dibagi lagi menjadi dua jenis, yaitu: 1. Peubah Selang (interval), yaitu peubah yang nilai-nilainya numerik tapi tidak bisa dirasiokan satu dengan lainnya. Hal ini karena nilai 0 pada peubah ini bukan nilai nol mutlak, tapi merupakan kesepakatan saja.
Misalnya suhu (dalam derajat
celcius), merupakan peubah selang karena 0 pada peubah ini adalah kesepakatan orang yaitu suhu ketika air membeku pada tekanan 4 atm. Jika ada sebuah benda bersuhu 5oC dan benda lain bersuhu 100 oC, tidak bisa dikatakan bahwa benda kedua suhunya 20 kali benda pertama. 2. Peubah Nisbah (rasio), yaitu peubah yang nilai-nilainya numerik dan bisa dirasiokan satu dengan lainnya. Hal ini terjadi karena nilai 0 pada peubah ini bersifat mutlak. Yang termasuk peubah ini adalah : -
Produksi gabah (dalam ton/ha), merupakan peubah rasio karena kalau produksinya 0 berarti tidak ada gabah yang dihasilkan. Jika produksi gabah petani A sebesar 4 ton/ha dan petani B sebesar 8 ton/ha, maka petani B memperoleh gabah 2 kali lebih banyak dari petani A.
-
Berat (dalam kg), merupakan peubah rasio karena kalau beratnya 0 itu berarti bendanya tidak ada, serta juga dapat dirasiokan.
Peubah dalam skala pengukuran rasio ataupun selang bisa dinyatakan sebagai peubah dalam skala pengukuran ordinal maupun nominal, setelah dikategorikan terlebih dahulu. Misalnya pendapatan per bulan sebuah keluarga. Jika diukur dalam satuan rupiah maka itu merupakan peubah rasio, namun jika peubah yang sama kemudian nilai-nilainya dikelompokkan menjadi misalnya : -
< 1 juta
-
1 juta s/d 2 juta
-
2 juta s/d 5 juta
-
> 5 juta
maka yang terakhir menjadi peubah ordinal.
3
Atau kalau misalnya yang diukur adalah diameter ujung bolpoin pada suatu pemeriksaan pengendalian mutu produk (diukur dalam mm).
Kemudian dikategorikan
seperti berikut : -
< 1 mm atau > 2 mm dinyatakan tidak memenuhi syarat
-
1 mm s/d 2 mm dinyatakan memenuhi syarat
Pada akhirnya diameter bolpoin dinyatakan menjadi dua kategori : memenuhi syarat dan tidak memenuhi syarat, dan ini adalah peubah nominal. Pengetahuan tentang jenis peubah ini sangat perlu untuk diketahui karena menyangkut analisis yang digunakan dan ketajaman analisisnya. Setiap analisis hanya bisa untuk jenis peubah tertentu, tidak sembarangan. Jadi perlu diperhatikan benar analisis apa yang bisa untuk data kita. 4. Data Data adalah semua bentuk keterangan yang berhubungan dengan variabel tertentu yang dicatat dari objek yang sedang menjadi perhatian.
Dilihat dari rentang waktu
pengumpulannya, data dapat dibedakan ke dalam tiga kelompok, yaitu data runtun waktu, data cross section, dan data panel. Data runtun waktu adalah hasil pengukuran pada satu atau lebih variabel yang pengamatannya dilakukan secara teratur sepanjang periode tertentu. Data cross section adalah data yang tersusun dari satu atau lebih variabel yang dikumpulkan dari banyak objek pada satu masa tertentu. Sedangkan data panel adalah data yang tersusun dari satu atau lebih variabel yang berasal dari banyak objek yang dicatat secara teratur sepanjang periode tertentu.
1.3
Peranan statistika dan Perkembangannya Istilah STATISTIKA (statistics) berasal kata STATE, karena pada awalnya pengumpulan
data diperuntukkan oleh perumus kebijakan negara, misalnya saja pemungutan pajak, data kelahiran, data kematian, potensi sumberdaya, dan kebutuhan tenaga militer. Perkembangan pesat statistika didominasi pada perkembangan di bidang pertanian dan psikologi Dewasa ini statistika memegang peranan yang sangat penting dalam berbagai bidang. Penggunaan statistika bisa dikatakan telah diterapkan oleh seluruh bidang, antara lain:
Medis: pendeteksian penyebab timbulnya penyakit, pencarian hubungan teknik pengobatan dan penyembuhan, penentuan dosis dan komposisi obat
Pertanian: pencarian galur tanaman dengan produksi terbesar (pemuliaan), pencarian teknik pemupukan, penentuan faktor pendukung keberhasilan produksi tanam
Bisnis: segmentasi pasar, peningkatan citra merek produk, peningkatan kualitas produk
4
Industri: perencanaan desain produk yang bisa diterima pasar, pemilihan bahan baku yang sesuai
Sosial: penentuan faktor-faktor demografi yang mempengaruhi keberhasilan pembangunan, penentuan strategi penyuluhan, penentuan strategi peningkatan motivasi
Ekonomi: hubungan antar peubah ekonomi, pemodelan ekonometrika Perce Percepata patan n penera penerapan pan statist statistika ika men menjad jadii semaki semakin n berkem berkemban bangg secara secara luas luas dengan dengan
adany adanya a kem kemaju ajuan an di bidang bidang komput komputer er dan tekhnol tekhnologi ogi softwa software. re. Dengan Dengan adanya adanya kompu komputer ter penghitungan statistik menjadi semakin cepat, teliti, dan akurat, sehingga peranan statistika menjadi semakin berkembang di berbagai bidang kehidupan terutama dalam analisis data dan keperluan perencanaan. perencanaan. Beberapa contoh paket paket program statistika antara lain:
1.4
SAS (Statistics Analysis System )
SPSS (Statistics Program Science For Social)
MINITAB
Latiha Latihan n Soal Soal
1. Jelaskan Jelaskan apa apa yang yang dimaksud dimaksud dengan dengan : a. statistik b. statistika c. sta statis tistika ika deskripti iptiff d. stat tatistika tika infer ferensia e. data numerik f. data kategorik g. data diskret h. data kontinu 2. Data apa kiranya kiranya akan dicatat dicatat seorang seorang kepala desa untuk untuk mengukur mengukur:: a. produktivitas produktivitas lahan sawah di desany desanya a b. tingkat tingkat penghasilan penghasilan penduduk penduduk di desan desanya ya c. potensi potensi tenaga tenaga kerja di desany desanya a d. keberadaan keberadaan kepala keluar keluarga ga di desanya desanya e. kemajuan kemajuan pelayanan pelayanan kesehata kesehatan n ibu dan anak anak di desanya desanya 3. Seorang Seorang petugas keamanan keamanan jalan raya lintas cepat mencatat mencatat setiap peristiwa peristiwa kecelakaan kecelakaan lalu lintas yang terjadi di jalan raya itu. Yang dicatat adalah: a. jenis kendara kendaraan an bermotor bermotor yang yang mengalami mengalami kecelakaan kecelakaan b. warna warna kendaraa kendaraan n bermot bermotor or itu itu c. um umur ur pengem pengemudi udi d. panjang panjang batas tapak mengerem mengerem di jalan raya sebelum sebelum kendaraan kendaraan tersebut tersebut bertabrakan bertabrakan e. ruas jalan tempa tempatt kecelakaan kecelakaan itu terjadi terjadi f. Jalur alan tempat tempat kecelaka kecelakaan an terjadi terjadi manakah dari data yang dicatat tersebut menghasilkan: (i) data numerik (ii) (ii) data data kate katego gori rikk bers berska kala la nomi nomina nall (iii) (iii) data data katego kategorik rik berska berskala la ordin ordinal al
5
2
2.1
PENYAJIAN DATA
Pend Pendah ahulu uluan an Data yang telah dikumpulkan, dikumpulkan, baik dari populasi maupun maupun dari sampel, perlu ditata atau
diorganisir, diolah dan disajikan secara sistematis dan rapi sehingga mudah dan cepat dipahami dan dimengerti. Teknik penyajian data umumnya disesuaikan dengan jenis peubah yang akan disajikan. Namun secara garis besar ada dua cara penyajian data, yaitu tabel dan grafik/gambar. Ada beberapa bentuk tabel yang biasanya digunakan, seperti tabel frekuensi. Sedangkan beberapa bentuk gambar, seperti diagram batang, diagram lingkaran, diagram dahan daun, histogram, diagra diagram m kotak kotak garis garis dan scater scater plot. plot. Penggun Penggunaan aan bebera beberapa pa teknik teknik penyaj penyajian ian data data tersebu tersebutt disesuaikan dengan tipe peubahnya.
2.2
Penyaj Penyajian ian Data Data untuk untuk Peub Peubah ah Katego Kategorik rik Peubah kategorik merupakan suatu peubah yang nilainya hanya berupa sebuah kode.
Tehnik Teh nik penyaj penyajian ian data data dari dari peubah peubah jen jenis is ini dapat dapat dilaku dilakukan kan dengan dengan men menggu ggunak nakan an tabel tabel frekuensi atau gambar. Untuk lebih memahami teknik penyajian data, berikut ini diberikan data karakteristik anggota koperasi simpan pinjam “HARMONI”. Tabel Karakteristik Anggota Koperasi simpan pinjam “HARMONI No Jenis kelamin 1 0 2 0 3 1 4 1 5 0 6 0 7 1 8 1 9 0 10 1 11 0 12 1 13 1 14 0 15 0 16 1 17 0 18 1 19 1 20 1 Keterangan: Jns Jns Kel. Kel. : Aga Agama ma : Pdd Pdd :
Tinggi (cm) 175 154 167 169 149 162 163 170 165 166 168 172 161 159 155 165 160 170 162 164
Berat (kg) 65 50 59 60 48 53 55 69 63 58 53 56 53 50 46 57 51 61 51 58
Agama 1 1 1 2 1 1 2 3 1 1 4 1 3 1 2 5 4 1 1 3
0 =Per =Perem empu puan an;; 1=La 1=Laki ki-l -lak akii 1=Is 1=Isla lam; m; 2=Kr 2=Kris iste ten; n; 3=Ka 3=Kath thol olik ik;; 4=Hi 4=Hind ndu; u; 5=Bu 5=Budh dhaa 0=Ti 0=Tida dakk seko sekola lah; h; 1=SD 1=SD;; 2=SL 2=SLTP TP;; 3=SL 3=SLTA TA;; 4=S0 4=S0/S /S1/ 1/S2 S2/S /S33
6
Pendidikan 0 0 1 0 2 2 1 1 1 2 2 3 3 1 2 3 3 4 4 2
Dari Dari peubah peubah-peu -peubah bah yang yang diamat diamati, i, yang yang termasu termasukk peubah peubah kategor kategorik ik adalah adalah jen jenis is kel kelami amin, n, agama dan pendidikan. Penyajian data dari ketiga peubah tersebut dapat dilakukan dengan: 1. Tabel Tabel frekue frekuensi nsi Tabel Tabel atau daftar daftar merupa merupakan kan kum kumpul pulan an angka angka yang yang disusu disusun n men menuru urutt kategor kategori-kat i-katego egori ri data. data. Tabel Tabel frekue frekuensi nsi merupa merupakan kan gambar gambaran an frekuen frekuensi si atau atau banyak banyaknya nya objek objek men menuru urutt katego kategori ri yang yang ada. ada.
Selain Selain men menyaj yajika ikan n frekuen frekuensi si data, data, untuk untuk memuda memudahka hkan n interp interpret retasi asi
bias biasan anya ya dala dalam m tabe tabell juga juga disaj disajik ikan an pers persen enta tase se dari dari masin masing-m g-mas asin ingg kate katego gori ri yang yang merupakan merupakan rasio dari frekuensi masing-masing masing-masing kategori terhadap total objek yang ada. Ada tiga jenis tabel frekuensi berdasarkan banyaknya peubah yang terdapat pada tabel, yaitu tabel satu arah, dua arah dan multi arah. a. tabel satu arah arah yaitu tabel tabel yang hanya hanya terdiri terdiri dari satu kategori kategori atau peubah misalnya akan disajikan tabel banyaknya anggota koperasi menurut jenis kelamin, maka tabel yang diperoleh adalah: Jen Jenis Kel Kelamin amin
Frek Frekue uen nsi
Per Persen sentase tase
9 11
0.45 0.55
Perempuan Laki-laki
Total 20 1 Dari tabel di atas kita dapat mengetahui mengetahui bahwa anggota koperasi sebagian besar adalah laki-laki. b. tabel dua arah, arah, yaitu tabel tabel yang terdiri terdiri dari dua kategori kategori atau dua dua peubah misalnya akan disajikan tabel banyaknya anggota koperasi menurut jenis kelamin dan tingkat pendidikan, maka tabel yang diperoleh adalah: Pendidikan *)
Jenis Kelamin perempuan
Laki-laki
Total
Total
Data
0
1
2
3
N
2
2
4
1
% Bar is
22.2%
22.2%
44.4%
11.1%
0.0%
100.0%
% Kolom
66.7%
40.0%
66.7%
25.0%
0.0%
45.0%
% Total
10.0%
10.0%
20.0%
5.0%
0.0%
45.0%
1
3
2
3
2
11
% Bar is
9.1%
27.3%
18.2%
27.3%
18.2%
100.0%
% Kolom
33.3%
60.0%
33.3%
75.0%
100.0%
55.0%
% Total
5.0%
15.0%
10.0%
15.0%
10.0%
55.0%
3
5
6
4
2
20 20
% Bar is
15.0%
25.0%
30.0%
20.0%
10.0%
100.0%
% Kolom
100.0%
100.0%
100.0%
100.0%
100.0%
100.0%
% Total
15.0%
25.0%
30.0%
20.0%
10.0%
100.0%
N
N
Keterangan: *) 0=Tidak sekolah; 1=SD; 2=SLTP; 3=SLTA; 4=S0/S1/S2/S3
7
4 9
2. Gambar Penyajian data dengan gambar/grafik adakalanya lebih efektif dalam menyajikan informasi/karakteristik suatu data. Pesan visual yang diberikan oleh gambar selain lebih menarik untuk dilihat juga lebih memudahkan dalam melakukan pembandingan. Gambar/grafik yang biasanya digunakan untuk data dengan peubah kategorik adalah: a. diagram batang. Diagram ini berupa batang-batang yang menggambarkan nilai dari masing-masing kategori. Untuk membuat diagram batang, data yang diambil biasanya diambil setelah dalam bentuk tabel frekuensi atau tabel kontingensi. Pada contoh di atas, jika frekuensi jenis kelamin anggota koperasi disajikan dalam bentuk grafik akan berupa: 12 10 i s n e u k e r F
8 6 4 2 0 Perempuan
Laki-laki
Jenis Kelamin
Sedangkan jika frekuensi jenis kelamin dan tingkat pendidikan dari anggota koperasi disajikan dalam bentuk grafik akan berupa: 5 i s n e u k e r F
4 3 2 1 0 perempuan
Laki-laki Jenis Kelamin
Pendidikan: 0
1
2
3
4
b. Diagram lingkaran. Diagram ini berupa lingkaran yang terbagi-bagi dalam beberapa bagian. Masing-masing bagian merupakan representasi dari berbagai kategori, dan luas dari bagian itu berdasarkan persentase masing-masing kategori. Jika frekuensi anggota
8
koperasi menurut jenis kelamin
disajikan dalam bentuk diagram lingkaran, maka
langkah-langkah pembuatannya adalah: -
hitung luas masing-masing kategori: Perempuan = 360o x 45% = 162o Laki-laki
-
2.3
= 360o x 55% = 198o
gambarkan masing-masing kategori berdasarkan besar luasannya
Penyajian Data untuk Peubah Numerik Peubah numerik merupakan suatu peubah yang nilainya merupakan bilangan yang
mencerminkan nilai yang sesungguhnya, bukan hanya sebuah kode. Tehnik penyajian data dari peubah jenis ini dapat dilakukan dengan menggunakan tabel frekuensi atau gambar. Beberapa teknik penyajian data yang biasanya digunakan pada data dengan peubah numerik adalah: 1. diagram dahan daun Diagram dahan daun digunakan untuk mendapatkan gambaran pemusatan data dan perkisaran data. Diagram ini terdiri atas sebuah “dahan” yang dilekati “daun-daunan”. Dahan terdiri atas buku-buku yang melambangkan satuan terbesar, sedangkan daun melambangkan satuan berikutnya.
Misalnya dibuat diagram dahan daun untuk peubah
tinggi badan anggota koperasi, hasilnya adalah:
Stem-and-leaf of Tinggi Leaf Unit = 1.0 1 2 4 10 10 4 1
14 15 15 16 16 17 17
N
= 20
9 4 59 012234 556789 002 5
9
Sedangkan untuk peubah berat badan adalah: Stem-and-leaf of Berat Leaf Unit = 1.0 1 4 6 2 4 8 6 5 0011 9 5 333 10 5 5 10 5 67 8 5 889 5 6 01 3 6 3 2 6 5 1 6 1 6 9
N
= 20
2. tabel distribusi frekuensi Dengan tabel frekuensi, karakteristik penting suatu data dapat diketahui melalui pengelompokan data ke dalam beberapa kelas dan kemudian dihitung banyaknya pengamatan yang masuk ke dalam setiap kelas. Adapun langkah-langkah dalam menyusun tabel frekuensi adalah: a. tentukan rentang data yaitu selisih dari nilai terbesar dengan nilai terkecil suatu data b. tentukan banyaknya kelas yang digunakan. Ada suatu kaidah yang dapat digunakan untuk menentukan banyaknya kelas (c) yang ditentukan oleh ukuran kumpulan data n yaitu kaidah Sturge, dimana:
c
9 1 3.3 log n
untuk n 250 untuk n 250
c. Hitung lebar selang kelas yaitu rasio antara rentang data dengan banyaknya kelas d. Hitung banyaknya pengamatan pada setiap kelas e. Hitung frekuensi relatif tiap-tiap kelas yang merupakan rasio antara frekuensi kelas dengan total pengamatan (n). Misalnya akan dibuat tabel frekuensi untuk peubah tinggi badan. Bentuk tabelnya adalah: Selang
Nilai tengah kelas
Frekuensi
frekuensi relatif
148.5
-
151.5
150
1
0.05
151.5
-
154.5
153
1
0.05
154.5
-
157.5
156
1
0.05
157.5
-
160.5
159
2
0.10
160.5 163.5 166.5 169.5 172.5
-
163.5 166.5 169.5 172.5 175.5
162 165 168 171 174
4 4 3 3 1
0.20 0.20 0.15 0.15 0.05
20
1.00
Total
10
3. Histogram Histogram merupakan grafik dari tabel distribusi frekuensi. Histogram digambarkan pada sistem salib sumbu X-Y. Kelas-kelas selang diletakkan pada sumbu X, sedangkan frekuensi kelas diletakkan pada sumbu Y. Misalkan tabel frekuensi tinggi badan dibuat dalam bentuk histogram, akan diperoleh gambar seperti berikut ini.
Berdasarkan histogram yang terbentuk, dapat diketahui bentuk sebaran dari data tinggi badan. Bentuk histogram ini dapat mengalami perubahan tergantung banyaknya kelas dan lebar selang.
Dengan adanya komputer, berbagai histogram dengan lebar selang yang
berbeda-beda dapat dibuat. Dari berbagai hasil itu kemudian dapat dipilih histogram yang memberikan gambaran yang diinginkan. Selain menggunakan data dari tabel distribusi frekuensi, histogram juga dapat dibuat berdasarkan tabel distribusi frekuensi relatif. Bentuk histogramnya sama, yang berbeda hanya skala pada sumbu Y. 4. Scatter Plot Plot ini merupakan grafik yang digunakan untuk melihat hubungan antara dua buah peubah numerik.
Misalkan kita ingin tahu hubungan antara tinggi badan dengan berat badan.
Grafik yang diperoleh mungkin akan berupa grafik sebagai berikut :
11
) g k ( n a d a b t a r e B
80 70 60 50 40 30 20 10 0 145
150
155
160
165
170
175
180
Tinggi badan (cm)
2.4
Latihan Soal
1. a. Mengapa data perlu disajikan dengan menggunakan tabel dan grafik, jelaskan! b. Dalam hal tertentu mengapa penyajian data dengan grafik lebih baik daripada dengan tabel ? 2. a. sebutkan beberapa cara penyajian data dengan tabel b. sebutkan beberapa cara penyajian data dengan grafik 3. buatlah disain tabel : a. tabel satu arah mengenai data pendidikan yaitu jumlah mahasiswa menurut fakultas . b. tabel dua arah mengenai data pembelian barang yaitu banyaknya barang yang dibeli oleh perusahaan menurut jenis barang dan harga. c. Tabel tiga arah mengenai data investasi menurut negara asal, lokasi usaha dan jenis usaha. 4. Buatlah contoh grafik garis, batang, dan lingkaran untuk menggambarkan suatu karakteristik data tertentu.
12
3 3.1
UKURAN PEMUSATAN DAN PENYEBARAN DATA
Pendahuluan Pada setiap upaya pengumpulan data untuk menjawab suatu masalah, selalu diperoleh
hasil pengukuran atau pencacahan berupa angka-angka yang cukup banyak. Oleh karena itu setiap kegiatan pengumpulan data diikuti oleh suatu kegiatan meringkas data sehingga mendapatkan bentuk yang lebih mudah dipahami. Peringkasan data dimaksudkan untuk mencari sesederhana mungkin informasi dari data yang dikumpulkannya tapi memiliki pengertian yang dapat menjelaskan data secara keseluruhan.
Untuk keperluan ini dalam
statistika dikenal istilah ukuran pemusatan dan ukuran penyebaran.
3.2
Ukuran pemusatan Ukuran pemusatan merupakan suatu gambaran
(informasi) yang memberikan
penjelasan bahwa data memiliki satu (mungkin lebih) titik dimana dia memusat atau terkumpul. Ukuran-ukuran pemusatan yang sering digunakan antara lain modus, median, kuartil, desil, persentil, rata-rata (aritmatic mean), geometric mean, dan harmonic mean. Modus
Suatu nilai data yang paling sering terjadi atau yang mempunyai frekuensi paling tinggi. Suatu kumpulan data mungkin saja mempunyai modus lebih dari satu buah. Contoh 3.1
Berikut ini adalah data sampel rata-rata pendapatan 25 rumah tangga desa A per bulan (dalam juta rupiah). 1.5 2.0
0.9 2.0
0.5 2.4
1.3 3.0
1.0 2.2
1.2 1.5
1.5 1.6
1.4 1.6
1.7 1.5
1.8 1.0
1.2 0.8
1.0 1.5
1.9
Berdasarkan data di atas, maka modusnya adalah 1.5. Median
Median adalah suatu nilai data yang membagi dua sama banyak kumpulan data yang telah diurutkan.
Apabila banyaknya data ganjil, median adalah data yang tepat ditengah-
tengah, sedangkan bila banyaknya data genap, median adalah rata-rata dua data yang ada ditengah. Langkah-langkah yang dapat digunakan untuk mencari nilai median cara sebagai berikut:
Urutkan data amatan mulai amatan terkecil sampai data amatan terbesar
13
Posisi median (nmed) = (n+1)/2
Jika posisi median bernilai bulat maka median adalah X [(n+1)/2] sedangkan jika bernilai pecahan maka median adalah rata-rata dari X [n/2] dan X[n/2+1]
Contoh 3.2
Berdasarkan data pada contoh 3.1, maka nilai mediannya dapat dihitung dengan tahapan: 1. urutkan data menggunakan diagram dahan daun: Stem-and-leaf of C1 Leaf Unit = 0.10 1 1 3 6 9 (6) 10 7 5 3 2 1 1 1
0 0 0 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 3
N
= 25
5 89 000 223 455555 667 89 00 2 4
0
2. posisi median (nmed ) = (n+1)/2 = 26/2 = 13 3. karena nmed bernilai bulat, maka median (m) = X [13] = 1.5 Kuartil
Kuartil adalah nilai-nilai yang menyekat gugus data menjadi empat kelompok data yang masing-masing terdiri dari 25% amatan.
Nilai-nilai yang menyekat data menjadi empat
kelompok data tersebut dikenal dengan sebutan kuartil 1 (Q1), kuartil 2 (Q2) dan kuartil 3 (Q3). Kuartil 1 (Q1) adalah nilai data yang menyekat kumpulan data yang telah diurutkan sehingga banyaknya data yang lebih kecil dari Q1 adalah 25 % dan yang lebih besar dari Q1 adalah 75 %. Kuartil 2 (Q2) sama dengan median yang merupakan nilai pembatas 50% data disebelah kiri Q2 dan 50% data disebelah kanan Q2. Kuartil 3 (Q3) adalah nilai data yang menyekat kumpulan data yang telah diurutkan sehingga banyaknya data yang lebih kecil dari Q3 adalah 75 % dan yang lebih besar dari Q3 adalah 25 %. Langkah-langkah perhitungan yang dapat digunakan sebagai pedoman dalam menentukan nilainilai kuartil adalah sebagai berikut:
Urutkan data mulai data amatan terkecil sampai data amatan yang terbesar
Hitung posisi kuartil 2 (n q2), caranya sama dengan perhitungan posisi median, n q2 = (n+1)/2
14
Jika posisi kuartil 2 bernilai bulat maka kuartil 2 adalah X [(n+1)/2] sedangkan jika bernilai
pecahan maka kuartil 2 adalah rata-rata dari X[n/2] dan X[n/2+1] Hitung posisi kuartil 1 dan 3 dengan menggunakan rumus berikut:
nq1 = (posisi kuartil 2 terpangkas +1) / 2 = (n q2* + 1) = nq3 Penetapan nilai kuartil 1 dan kuartil 3 prinsipnya sama dengan penentuan kuartil 2. Nilai
kuartil 1 posisi dihitung mulai pengamatan terkecil sedangkan nilai kuartil 3 dihitung dari pengamatan terbesar. Contoh 3.3
Berdasarkan data pada contoh 3.1, maka nilai kuartilnya dapat dihitung dengan tahapan: 1.
urutkan data
0.5 1.5
0.8 1.5
0.9 1.6
1 1.6
1 1.7
1 1.8
1.2 1.9
1.2 2
1.3 2
1.4 2.2
1.5 2.4
1.5 3
1.5
2. hitung q2: a. nq2 = (n+1)/2 = 26/2 = 13 b. q2 = X[13] = 1.5 3.
hitung q1: a. nq1 = (nq2* +1)/2 = (13+1)/2 = 7 b. q1 = X[7] = 1.2
4. hitung q3: a. nq3 = (n+1) – n q1 = (25+1) – 7 =19 b. q3 = X[19] = 1.8
Selain dengan cara seperti di atas, untuk mencari nilai kuartil dapat juga dilakukan dengan cara interpolasi, yaitu dengan tahapan sebagai berikut: 1. urutkan data 2. tentukan posisi kuartil, nqi = i(n+1)/4; dengan i = 1, 2, 3 3. jika nqi bulat, maka qi = x[nqi] 4. jika nqi tidak bulat, maka qi = x[nilai bulat] + nilai pecahan (x [nilai bulat+1] – x[nilai bulat]) Contoh 3.4
Misalkan untuk menentukan nilai kuartil pada contoh 3.3 digunakan cara interpolasi, maka hasilnya adalah: 1. posisi kuartil:
15
a. nq1= (n+1)/4 = 26/4 = 6.5 b. nq2= 2(n+1)/4 = 26/2 = 13 c. nq3= 3(n+1)/4 =3(26)/4 = 19.5 2. nilai kuartil: a. q1 = x[6] + 0.5(x[7] – x[6]) = 1.0 + 0.5(1.2 – 1.0) = 1.1 b. q2 = x[13] = 1.5 c. q3 = x[19] + 0.5(x[20] – x[19]) = 1.8 + 0.5(1.9 – 1.8) = 1.85
Desil
Desil adalah nilai-nilai yang membagi segugus pengamatan menjadi 10 bagian yang sama. Nilainilai pembaginya ada 9, dilambangkan dengan D1, D2, …, D9, mempunyai sifat bahwa 10% data jatuh di bawah D1, 20% jatuh di bawah D2, …, dan 90% jatuh di bawah D9. Dengan cara interpolasi seperti dalam penentuan kuartil, maka tahapan dalam menentukan desil adalah: 1. urutkan data 2. tentukan posisi desil, ndi = i(n+1)/10; dengan i = 1, 2, ..., 9 3. jika ndi bulat, maka di = x[ndi] 4. jika ndi tidak bulat, maka di = x[nilai bulat] + nilai pecahan (x [nilai bulat+1] – x[nilai bulat]) Contoh 3.5
Berdasarkan data pada contoh 3.1, maka nilai desil ke-3 dapat dihitung dengan tahapan: 1. urutkan data (hasil seperti contoh 3.3) 2. posisi desil-3: nd3 = 3(n+1)/10 = 3(26)/10 =7.2 3. nilai d3: d3 = x[7] + 0.2(x[8] – x[7]) = 1.2 + 0.2(1.2 – 1.2) = 1.2 Persentil
Persentil adalah nilai-nilai yang membagi segugus pengamatan menjadi 100 bagian yang sama. Nilai-nilai pembaginya ada 99, dilambangkan dengan P1, P2, …, P99, bersifat bahwa 1% dari seluruh data terletak di bawah P1, 2% terletak di bawah P2, …, dan 99% terletak di bawah P99.
16
Dengan cara interpolasi seperti dalam penentuan desil, maka tahapan dalam menentukan persentil adalah: 1. urutkan data 2. tentukan posisi persentil, npi = i(n+1)/100; dengan i = 1, 2, ..., 99 3. jika npi bulat, maka pi = x[npi] 4. jika npi tidak bulat, maka pi = x[nilai bulat] + nilai pecahan (x [nilai bulat+1] – x[nilai bulat]) Contoh 3.6
Nilai persentil 10 dan 90 Dari data pada contoh 3.1, dapat dicari dengan tahapan perhitungan sebagai berikut: 1. urutkan data (hasil seperti contoh 3.3) 2. posisi persentil: a. np10 = 10(n+1)/100 = 10(26)/100 =2.6 b. np90 = 90(n+1)/100 = 90(26)/100 = 23.4 3. nilai persentil: a. p10 = x[2] + 0.6(x[3] – x[2]) = 0.8 + 0.6(0.9 – 0.8) = 0.86 b. p90 = x[23] + 0.4(x[24] – x[23]) = 2.2 + 0.4(2.4 – 2.2) = 2.28
Rata-rata
Rata-rata sering juga disebut dengan nilai tengah. Nilai ini merupakan ukuran pemusatan data yang menimbang data menjadi dua kelompok data yang memiliki massa yang sama. Dengan kata lain nilai tengah merupakan titik keseimbangan massa dari segugus data. Apabila x 1, x2, ...,xN adalah anggota suatu populasi terhingga berukuran N, maka nilai tengah populasinya adalah:
1 N
N
Xi
i 1
sedangkan jika x1, x2, ...,xn adalah anggota suatu contoh berukuran n, maka nilai tengah contoh tersebut adalah:
x
17
1 n
n
i 1
Xi
Contoh 3.7
Berdasarkan data pada contoh 3.1, maka nilai rata-ratanya adalah:
x
n
1
X n
i
i 1
1 25
(1 . 5
0 .9
...
1 .5 )
38
1 . 52
25
Rata-rata terpangkas
Karena dalam menentukan nilai rata-rata suatu data mempertimbangkan seluruh nilai pengamatan, maka sifat nilai rata-rata tidak “kekar”
(unrobust) artinya nilai rata-rata
terpengaruh oleh nilai ekstrim. Jika ada nilai ekstrim besar, maka rata-rata akan bergeser ke kanan (ke nilai besar). Sebaliknya jika ana nilai yang ekstrim kecil, rata-rata akan bergeser ke kiri 9 ke nilai kecil). Dengan demikian diperlukan kehati-hatian dalam menggunakan rata-rata. Untuk mengatasi keberadaan data ekstrim sering disarankan untuk menggunakan rata-rata terpangkas (trimmed mean). Misalkan rata-rata terpangkas 5%, artinya kita menghitung ratarata setelah membuang 5% data terkecil dan 5% data terbesar. Contoh 3.8
Berdasarkan data pada contoh 3.1, jika akan dihitung rata-rata terpangkas 5%, maka tahapannya adalah: 1. urutkan data 0.5 0.8 0.9 1 1 1 1.2 1.2 1.3 1.4 1.5 1.5 1.5 1.5 1.5 1.6 1.6 1.7 1.8 1.9 2 2 2.2 2.4 3 2. buang 5% nilai pengamatan terkecil dan 5% terbesar (25 x 5% = 1.25 1). Jadi nilai yang dibuang adalah 0.5 dan 3. 3. hitung nilai rata-rata dari 23 data lainnya (tanpa 0.5 dan 3)
x*
3.3
1 n*
n*
i 1
Xi
1 23
( 0 .8
0 .9
...
2 .4 )
34.5 23
1 .5
Ukuran Penyebaran Ukuran penyebaran data memberikan gambaran seberapa besar data menyebar dalam
kumpulannya.
Dengan ukuran penyebaran kita dapat melihat seberapa jauh data-data
menyebar dari titik pemusatannya. Ukuran penyebaran yang sering digunakan antara lain : Wilayah (Range)
Ukuran penyebaran data yang paling sederhana adalah mencari selisih pengamatan terkecil dengan pengamatan terbesar. w = xmax-xmin
18
Ukuran ini cukup baik digunakan untuk mengukur penyebaran data yang simetrik dan nilai pengamatannya menyebar merata. Tetapi ukuran ini akan menjadi tidak relevan jika nilai pengamatan maksimum dan minimum merupakan data-data ekstrem. Contoh 3.9
Berdasarkan data pada contoh 3.1, wilayah dari data tersebut adalah: W=3.0 – 0.5 = 2.5 Jangkauan antar Kuartil (Inter Quartil Range)
Jangkauan antar kuartil mengukur penyebaran 50% data ditengah-tengah setelah data diurut. Ukuran penyebaran ini merupakan ukuran penyebaran data yang terpangkas 25% yaitu dengan membuang 25% data yang terbesar dan 25% data terkecil. Ukuran ini sangat baik digunakan jika data yang dikumpulkan banyak mengandung data pencilan. Jangkaun antar kuartil dihitung dari selisih antara kuartil 3 (Q 3) dengan kuartil 1 (Q 1), atau dapat dirumuskan sebagai berikut: Jak = Q 3 -Q 1 Contoh 3.10
Jangkauan antarkuartil dari data pada soal 3.1 adalah: JAK=q 3 – q1 = 1.8 – 1.2 = 0.6 Ragam (Variance)
Ukuran penyebaran data yang paling sering digunakan adalah ragam. Ragam merupakan ukuran penyebaran data yang mengukur rata-rata jarak kuadrat semua titik pengamatan terhadap titik pusat (rataan). Apabila x1, x2, ...,xN adalah anggota suatu populasi terhingga berukuran N, maka ragam populasinya adalah:
2
1 N
N
(Xi
)2
i 1
dan apabila x1, x2, ...,xn adalah anggota suatu contoh berukuran n, maka ragam contoh tersebut adalah: s2
n
1
(X n -1
i
x ) 2
i 1
Bentuk rumus di atas dapat diuraikan menjadi lebih sederhana untuk memudahkan perhitungan yaitu:
s
2
x
n n x x i i 1 i 1 n ( n 1) n
n
2 i
n ( x )
i 1
n
1
2
2
2 i
Akar dari ragam dikenal dengan simpangan baku yang dinotasikan dengan , sedangkan simpangan baku contoh dilambangkan dengan s.
19
Contoh 3.11
Ragam dari data pada soal 3.1 adalah: 2
n n x x i 25 (1 .5 2 0 . 9 2 ... 1 . 5 2 ) 38 2 i 1 i 1 n ( n 1) 25 ( 25 1) 25 ( 64 .94 ) 1444 0 .299 n
2 i
s
2
600
Sedangkan simpangan bakunya adalah:
s
s2
0 . 299
0 .547
Koefisien keragaman
Ukuran penyebaran data seperti jangkauan, ragam, simpangan baku, dan jangkauan antar kuartil merupakan keragaman mutlak. Ukuran keragaman ini tidak dapat dipakai untuk membandingkan penyebaran dua kelompok data atau lebih. Untuk tujuan tersebut, ukuran keragaman yang dipakai merupakan keragaman relatif. Salah satu ukuran keragaman relatif yang sangat terkenal adalah koefisien keragaman (KK) yang dirumuskan sebagai berikut :
KK
S x
100%
Contoh 3.12
Koefisien keragaman dari data pada contoh 3.1 adalah: KK = (0.547/1.52) x 100% = 35.97% Perlu diketahui bahwa sebagian besar data (sekitar 70%) berada pada kisaran x
s . Gabungan
informasi dari kedua nilai tersebut akan lebih berguna dalam menyajikan informasi mengenai data dibandingkan hanya nilai rata-rata saja. Perhatikan hasil ringkasan terhadap data pendapatan rumah tangga (juta rupiah per bulan) dari dua desa berikut ini: Desa
rata-rata ( x )
simpangan baku (s)
A B
1.5 1.4
0.547 0.214
Jika kita hanya menyajikan nilai rata-rata saja dari kedua desa, maka dapat dinyatakan bahwa rumah tangga di kedua desa memiliki pendapatan yang relatif sama. Penjelasan yang lebih banyak akan diperoleh jika kita melihat nilai simpangan bakunya. Desa A memiliki simpangan baku yang lebih besar daripada desa B. Artinya pendapatan rumah tangga di desa A lebih heterogen dibanding di desa B.
20
3.4
Kemiringan distribusi data
Kemiringan adalah derajat atau ukuran dari ketidaksimetrisan suatu distribusi data. Salah satu cara yang dipakai untuk menghitung derajat kemiringan distribusi data adalah rumus pearson, yaitu :
dengan
x
mod s
atau
3( x med ) s
: derajat kemiringan pearson
x
: rata-rata hitung
mod
: modus
s
: standar deviasi
med
: median
Jika :
0 distribusidata simetris 0 distribusidata miring/men julur ke kiri 0 distribusidata miring/men julur ke kanan Semakin besar nilai || maka distribusi data akan semakin miring artinya semakin tidak simetris. Contoh 3.13
Berdasarkan data pada contoh 3.1, derajat kemiringan dari distribusi datanya adalah:
3( x med ) s
3(1.52 1.5) 0.547
0.165
Karena nilai > 0, maka distribusi data menjulur ke kanan (seperti yang terlihat pada diagram dahan daun pada contoh 3.2)
3.5
Keruncingan distribusi data
Keruncingan distribusi data merupakan derajat atau ukuran tinggi rendahnya puncak suatu distribusi data terhadap distribusi normalnya. Keruncingan distribusi data disebut juga dengan kurtosis. Ada tiga jenis kurtosis : 1. leptokurtis yaitu distribusi data yang puncaknya relatif tinggi 2. mesokurtis yaitu distribusi data yang puncaknya normal 3. platikurtis yaitu distribusi data yang puncaknya relatif rendah Untuk mengukur kurtosis digunakan koefisien kurtosis persentil (k) dengan rumus :
21
k dengan
JAK p 90
k
: derajat kurtosis
q1
: kuartil 1
q3
: kuartil 3
p10
: persentil ke-10
p90
: persentil ke-90
p10
q1 ) p 90 p10
1 2
(q3
Ada tiga kriteria untuk menentukan keruncingan distribusi data, yaitu: 1. jika k = 0.263, maka distribusinya mesokurtis 2. jika k < 0.263, maka distribusinya platikurtis 3. jika k > 0.263, maka distribusinya leptokurtis
Contoh 3.14
Derajat keruncingan distribusi dari data pada contoh 3.1 adalah:
q1 ) k p90 p10 1 2
( q3
1 2
(1.85 1.1)
2.28 0.86
0.75 1.42
0.528
Karena nilai k > 0.263, maka distribusi datanya leptokurtis yaitu data yang memiliki puncak relatif tinggi.
3.6
Penyajian data dengan diagram kotak garis (boxplot) Untuk menggambarkan letak relatif berbagai statistik secara menyeluruh dapat dirancang
suatu bagan yang disebut diagram kotak garis. Dinamakan demikian karena bentuknya terdiri atas kotak persegipanjang yang berekor ke kiri dan kanan. Penyajian informasi dalam bentuk boxplot, lebih meringkaskan informasi walaupun data asli tidak ditampilkan. Informasi yang dapat diperoleh dengan penyajian boxplot antara lain :
Kesimetrikan penyebaran data, dapat dilihat dari apakah box (kotak) terbagi dua oleh garis median sama besar atau tidak dan apakah ‘ekor’ kiri (bawah) dan ‘ekor’ kanan (atas) sama panjang atau tidak.
Keanehan data, jika data pengamatan berada di luar batas BB 1 dan BA1 disebut pencilan minor dan jika data pengamatan berada di luar batas BB 2 dan BA2 disebut data ekstrem.
22
Bagan kotak garis dapat digambarkan sebagai berikut: + BB2
BB1
Q 1
Q 2
Q 3
BA1
BA2
keterangan: Q 1, Q 2, Q 3 adalah nilai kuartil 1, 2 dan 3; BA1=Q 3+3/2(Q 3-Q 1); BA2=Q 3+3(Q 3-Q 1); BB1=Q 1-3/2(Q 3-Q 1); BB2=Q 1-3(Q 3-Q 1) Diagram Kotak Garis juga dapat digunakan untuk perbandingan sebaran. Contoh 3.15
Bentuk diagram kotak garis dari data pada contoh 3.1 dapat dibuat dengan tahapan sebagai berikut: 1. tentukan nilai kuartil (k1= 1.1, k2 = 1.5, dan k3 = 1.85) 2. hitung batas bawah dan batas atas: a. batas bawah: BB1 = q1 – 3/2(q3-q1) = 1.1 – 3/2(1.85 – 1.1) = -0.025, untuk BB2 tidak perlu dihitung karena sudah tidak ada nilai pengamatan yang kurang dari nilai BB1. b. Batas atas : BA1 = q3 + 3/2(q3-q1) = 1.85 + 3/2(1.85 – 1.1) = 2.975 BA2 = q3 + 3(q3-q1) = 1.85 + 3(1.85 – 1.1) = 4.10 3. grafiknya adalah:
23
3.7
Latihan Soal
1. Berikut ini adalah 40 data nilai MK. Metode Statistika I, program studi D3 Statistika semester 1 : 40
21
54
26
98
74
54
35
46
65
54
23
47
85
75
78
65
34
23
20
56
55
40
41
75
65
26
63
51
50
74
25
45
54
65
35
35
36
39
46
a. Buatlah diagram daun untuk data di atas, bagaimana pola sebaran datanya? b. Tentukan nilai rata-rata dan ragam dari data di atas c. Tentukan nilai kuartil dan jangkauan antar kuartilnya d. Buatlah tabel distribusi frekuensi kemudian buat histogramnya. e. Buatlah diagram kotak garisnya. Apakah ada data ekstrim? 2. Pemerintah ingin mengevaluasi besarnya subsidi minyak yang akan disalurkan kepada masyarakat pedesaan dan perkotaan. Untuk mengevaluasi besarnya subsidi yang disalurkan, pemerintah melimpahkan tugas ini kepada suatu lembaga riset. Penelitian dilakukan pada 10 desa/kelurahan yang berstatus pedesaan dan 15 desa/kelurahan yang berstatus perkotaan. Data konsumsi minyak tanah (liter) per kapita diperoleh sebagai berikut: Pedesaan: 0.20 0.16 Perkotaan: 0.10 0.26
0.17
0.15
0.11
0.13
0.14
0.15
0.17
0.28
0.27
0.15
0.18
0.19
0.15
0.19
0.21
0.25
0.18
0.15
0.16
0.21
0.33
a. Buatlah diagram dahan daun untuk kedua gugus data tersebut! b. Hitunglah rata-rata dan ragam konsumsi minyak tanah pada masing-masing daerah c. Buatlah diagram kotak garis untuk kedua gugus data tersebut. Apakah mengandung data ekstrim? d. Berdasarkan diagram kotak garis yang Anda buat, apakah ada indikasi bahwa konsumsi minyak tanah di daerah perkotaan lebih besar daripada di daerah pedesaan? Jelaskan!
24
4 4.1
KONSEP DASAR PELUANG
Pendahuluan
Statistika adalah ilmu pengetahuan tentang pengumpulan dan analisis data dengan tujuan untuk menarik kesimpulan/inferensia mengenai populasi. Bila data telah terkumpul, kita dapat menggunakan inferensia statistika untuk memilih di antara berbagai model alternatif yang tersedia. Proses penarikan inferensia ini sangat bergantung pada teori peluang. Bila statistika pada hakekatnya merupakan suatu penalaran induktif (yaitu dari hal khusus/sampel yang diketahui ke hal umum/populasi yang tidak diketahui), maka teori peluang bekerja dalam arah sebaliknya, yaitu bersifat deduktif (dari hal umum/populasi yang diketahui ke hal khusus/sampel yang tidak diketahui). Deduksi menjawab pertanyaan-pertanyaan seperti: Bila populasinya diketahui, bagaimana sifatsifat sampel yang akan ditarik dari populasi tersebut? Apakah sampelnya akan dapat mewakili populasi?
Hanya bila masalah-masalah deduktif ini teratasi, maka kita dapat membalik
argumentasi dan mengajukan pertanyaan: Seberapa tepatkah kita dapat mendeskripsikan suatu populasi yang tidak diketahui berdasarkan data sampel yang teramati? Teori peluang memberi kerangka dan model-model bagi statistika. Model pada hakekatnya adalah suatu mekanisme acak dan teori peluang mempelajari model ini untuk mengetahui konsekuensinya. Model-model ini didasar kepada asumsi tertentu. Statistika memilih satu atau lebih model untuk menganalisis data/sampel yang diambil dari populasi dengan cara tertentu (acak). Bila model sesuai terhadap data, maka model dapat digunakan untuk menganalisis data. Bila model tidak sesuai, maka harus dicari model lain yang sesuai.
4.2
Ruang Contoh dan Kejadian
Untuk mempelajari peluang, kita membutuhkan konsep percobaan acak. Percobaan diartikan sebagai suatu tindakan yang dapat diulang-ulang di bawah kondisi tertentu. Bila percobaan yang diulang-ulang itu selalu memberi hasil ( outcome) yang sama, percobaan dikatakan deterministik, bila tidak demikian maka percobaan dikatakan acak atau stokastik. Dalam kerangka ini, teori peluang digunakan untuk meramal atau memprediksi hasil suatu percobaan acak. Perhatikan sebuah percobaan acak sederhana berupa pelemparan sebuah dadu bersisi enam yang seimbang. Hasil yang mungkin diperoleh dari percobaan ini ialah munculnya sisi 1, 2, 3, 4, 5, atau 6. Percobaan ini termasuk acak karena kita tidak bisa memastikan sisi apa yang akan
25
muncul. Dengan menggunakan konsep himpunan, suatu himpunan/gugus yang memuat semua hasil yang berbeda, yang mungkin terjadi dari suatu percobaan dinamakan ruang sampel (sample space). Sedangkan unsur-unsur dari suatu ruang sampel disebut titik sampel. Ruang sampel dapat dipandang sebagai himpunan semesta bagi permasalahan yang dihadapi. Ruang sampel dilambangkan dengan S. Dengan demikian, ruang sampel dari percobaan di atas ialah S={1, 2, 3, 4, 5, 6}. Ruang kejadian adalah himpunan bagian (anak gugus) dari ruang sampel, yang memiliki karakteristik tertentu. Ada dua jenis kejadian, yaitu kejadian dasar dan kejadian majemuk. Kejadian dasar hanya terdiri dari satu unsur, sedangkan kejadian majemuk minimal terdiri dari satu unsur. Dengan demikian, suatu kejadian dasar juga merupakan kejadian majemuk. Suatu kejadian dinotasikan dengan huruf kapital (A, B, ..., dan seterusnya). Sebagai contoh, kejadian terambilnya kartu hati dari seperangkat (52 helai) kartu bridge dapat dinyatakan sebagai A = {hati} yang merupakan himpunan bagian dari ruang contoh S={hati, sekop, klaver, wajik}. Jadi A adalah kejadian sederhana. Kejadian B yaitu terambilnya kartu merh merupakan kejadian majemuk, karena B = {hati
wajik} = {hati, wajik}. Perhatikan
bahwa gabungan atau paduan beberapa kejadian sederhana menghasilkan kejadian majemuk yang tetap menjadi himpunan bagian ruang contohnya. Suatu kejadian mungkin saja berbentuk himpunan bagian yang meliputi seluruh ruang contoh S. demikian juga sebaliknya, suatu kejadian dapat berbentuk himpunan bagian dari S yang tidak mengandung satu pun anggota yang disebut dengan ruang nol atau himpunan kosong dan biasanya dilambangkan dengan
.
Sebagai contoh, bila A menyatakan kejadian menemukan
suatu organisme mikroskopis dengan mata telanjang dalam suatu percobaan biologi maka A =
. 4.3
Operasi Kejadian
Suatu keuntungan dari penggunaan notasi himpunan bagi kejadian adalah kita dapat melakukan operasi himpunan terhadap kejadian. Beberapa operasi himpunan yang dapat dilakukan untuk kejadian: Komplemen suatu kejadian A terhadap S
adalah himpunan semua unsur S yang tidak
termasuk A, biasanya dinotasikan dengan lambang A c.
26
Contoh 4.1
Ruang contoh melempar sebuah dadu : S={1,2,3,4,5,6}
Jika A = {1,3,5}, maka A c = {2,4,6}
Irisan dua kejadian A dan B
adalah kejadian yang unsurnya termasuk dalam A dan B,
dinotasikan dengan lambang A B. Contoh:
Ruang contoh melempar sebuah dadu : S={1,2,3,4,5,6}
Jika A = {1,2,3} dan B = {2,4,6}, maka A B = {2}
Gabungan dua kejadian A dan B adalah kejadian yang mengandung semua unsur yang
termasuk A atau B atau keduanya, yang dinotasikan dengan lambang A B. Contoh 4.2
Ruang contoh melempar sebuah dadu : S={1,2,3,4,5,6}
Jika A = {1,2,3} dan B = {2,4,6}, maka A B ={1,2,3,4,6}.
Kejadian A dan B dikatakan saling terpisah (mutually exclusive) bila A dan B tidak memiliki
unsur persekutuan (bila A B = ) Contoh 4.3
Ruang contoh melempar sebuah dadu : S={1,2,3,4,5,6}
Jika A = {1,3,5} dan B = {2,4,6}, maka A dan B saling terpisah, karena A B =.
Kejadian A dan B dikatakan saling bebas bila A dan B tidak saling mempengaruhi.
Contoh 4.4
Pada pelemparan dua uang logam, kejadian munculnya sisi muka dari uang logam pertama dan uang logam kedua saling bebas
4.4
Cara Menghitung Ukuran Ruang Contoh
Dalam menghitung peluang suatu kejadian, kita tidak perlu mendaftar unsur-unsur dari suatu kejadian dan ruang sampelnya, tetapi cukup dengan menghitung banyaknya titik sampel suatu kejadian dan ruang sampel tersebut. Berdasarkan banyaknya unsur suatu ruang sampel, ruang sampel dapat dibedakan menjadi dua jenis yaitu ruang sampel diskret dan ruang sampel kontinu. Suatu ruang sampel dikatakan diskret jika banyaknya unsur dari ruang sampel tersebut berhingga atau tidak berhingga
27
terhitung (countable). Sedangkan ruang sampel dikatakan kontinu jika ruang sampel memuat semua bilangan dalam suatu interval tertentu. Jika ruang contoh suatu percobaan terdiri atas kejadian dasar yang diskret terhingga, ada tiga kaidah dasar cara menghitung banyaknya ukuran ruang contoh, yaitu: 1. pengisian tempat yang tersedia ada dua kaidah yang dapat digunakan untuk pengisian tempat yang tersedia, yaitu kaidah penggandaan dan kaidah penjumlahan. Pada kaidah penggandaan, misalnya n 1 adalah banyaknya cara mengisi tempat pertama, n 2 adalah banyaknya cara mengisi tempat kedua setelah tempat pertama terisi dan nk adalah banyaknya cara mengisi tempat ke-k setelah (k-1) tempat-tempat sebelumnya terisi, maka banyaknya cara mengisi k tempat yang tersedia adalah: n1.n2. ... .nk Contoh 4.5
Pada sebuah dealer motor tersedia 4 merk sepeda motor. Masing-masing merk menyediakan 3 jenis kapasitas silinder. Masing-masing sepeda motor dikeluarkan dengan 2 macam warna. Jika seorang pengojek hendak membeli sepeda motor baru, berapa macam pilihan yang dapat dilakukan olehnya? Pikiran pengojek sewaktu memilih merk bercabang empat, sewaktu memilih kapasitas silinder bercabang tiga dan sewaktu memilih warna bercabang dua. Jadi, pilihannya ada 4 x 3 x 2 = 24 macam Kaidah penjumlahan digunakan jika dalam mengisi tempat kedua setelah tempat pertama terisi tidak dapat dilakukan menggunakan benda-benda yang digunakan sebagai pilihan untuk mengisi tempat pertama. Jadi, misalnya n 1 adalah banyaknya cara mengisi tempat pertama, n2 adalah banyaknya cara mengisi tempat kedua dan n k adalah banyaknya cara mengisi tempat ke-k, maka banyaknya cara mengisi k tempat yang tersedia adalah: n1 + n2 + ... + nk
Contoh 4.6
Dari Jakarta kita dapat pergi ke Bogor menggunakan kendaraan bermotor
melalui (1)
Parung, (2) jalan lama Cibinong, atau (3) jalan tol Jagorawi. Dari Bogor kita dapat ke Bandung melalui (1) Sukabumi atau (2) Cianjur. Dari Jakarta kita juga dapat ke Bandung melalui (1) jalan tol Cikampek atau (2) jalan lama Bekasi lewat Purwakarta. Hanya ada satu jalan raya dari Purwakarta menuju Bandung. Ada berapa pilihan untuk pergi ke Bandung dari Jakarta?
28
Jika melalui Bogor ada 3x2 pilihan dan jika melalui Purwakarta ada 2x1 pilihan. Jadi, banyaknya pilihan ada 3x2 + 2x1 = 8 macam 2. permutasi Pemilihan benda-benda dari suatu gugus benda-benda
S = {e1, e2, …, en} dapat dilakukan
dengan permutasi. Permutasi merupakan kejadian dimana susunan objek yang terpilih diperhatikan. dimana jika
Misalkan memilih orang untuk membentuk kepengurusan suatu organisasi, Si A terpilih menempati posisi ketua berbeda maknanya dengan Si A terpilih
menempati posisi wakil ketua. Banyaknya permutasi n benda yang berlainan adalah n!
Contoh 4.8 Banyaknya permutasi yang berbeda yang dapat disusun dari huruf-huruf dalam kata “LATIH” adalah 5! = 120 Banyaknya permutasi n benda berlainan jika diambil r benda sekaligus (r
Pr
n!
(n r )!
Contoh 4.9 Dari 5 orang kandidat akan dibentuk susunan pengurus (Ketua, Wakil, Bendahara) N(S) = P53 = 5!/(5-3)! = 60 Banyaknya permutasi n benda berlainan yang disusun melingkar adalah (n – 1)!
Contoh 4.10 Dalam suatu ruangan diskusi dengan bentuk meja melingkar, akan berlangsung diskusi yang akan diikuti 6 peserta. Banyaknya cara keenam orang tersebut duduk pada 6 kursi yang disusun melingkar adalah (6 – 1)! = 5! = 120 cara. Banyaknya permutasi yang berlainan dari n benda jika n1 diantaranya berjenis pertama, n2 berjenis kedua, …, nk berjenis ke k adalah:
n! n1!n2 !
29
n k !
Contoh 4.11 Banyaknya permutasi yang berbeda yang dapat disusun dari huruf-huruf dalam kata “CACAH” adalah 5!/(2!2!1!) = 30 Banyaknya cara menyekat suatu himpunan n benda dalam r sel, masing-masing berisi n 1 unsur dalam sel pertama, n 2 dalam sel kedua, …, adalah:
n n1 , n2 ,
n! , nr n1 !n2 !
nr !
,
dengan n1+n2+…+nr = n
Contoh 4.12 Ada suatu kelas yang terdiri atas 12 orang. Banyaknya cara untuk membagi kelas tersebut dalam tiga kelompok yang terdiri atas 5, 4, dan 3 orang adalah 12!/(5!4!3!)=27720 cara
3. kombinasi Selain permutasi, Pemilihan benda-benda dari suatu gugus benda-benda …, en} juga dapat dilakukan dengan cara kombinasi .
S = {e1, e2,
Kombinasi merupakan kejadian dimana
susunan objek yang terpilih tidak diperhatikan. Misalkan memilih sejumlah orang
untuk
menempati suatu sejumlah kursi tempat duduk, dimana susunan tempat duduk tidak menjadi perhatian. Kombinasi tingkat r dari n unsur/objek dapat dirumuskan sebagai berikut: n
C r
n!
( n r )!r !
nx ( n 1) x ( n 2) x... x 0!
( n r ) x ( n r 1) x... x 0! xr !
Contoh 4.13 Dari 5 orang akan dibentuk tim cepat tepat yang beranggotakan 3 orang. N(S) = C53 = 5!/(5-3)!3! = 10
4.5
Peluang Suatu Kejadian
Ada tiga pendekatan yang dapat dilakukan untuk menentukan peluang suatu kejadian. Pendekatan tersebut adalah: 1. secara intuitif kita mungkin merasa, atau didukung oleh percobaan, bahwa dari k hasil percobaan mempunyai kemungkinan sama untuk muncul;
30
2. peluang suatu kejadian dapat dihitung berdasarkan kepada frekuensi relatif yang teramati dari serangkaian percobaan; 3. peluang suatu kejadian ditentukan secara subyektif berdasarkan pandangan pribadi. Jika A adalah suatu kejadian sembarang, terdapat tiga aksioma peluang: 1. 0 P(A) 1 2. P(S) = 1 3. P(Ai Aj) = P(Ai) + P(Aj), asalkan Ai Aj = Berdasarkan aksioma (3), misalnya, kita dapat menentukan peluang suatu kejadian sebagai jumlah peluang masing-masing titik sampel yang menjadi anggota kejadian tersebut. Beberapa sifat peluang: 1. untuk sembarang dua kejadian A dan B yang merupakan himpunan bagian S, maka peluang paduan dua kejadian tersebut adalah: P(AB)= P(A) + P(B) – P(AB) 2. untuk sembarang dua kejadian A dan B yang merupakan himpunan bagian S berlaku: P(B) = P(BA) + P(BAc) 3. untuk setiap kejadian A berlaku: P(A) = 1 - P(Ac) 4. Jika A dan B saling bebas, maka P(AB) = P(A) + P(B) 5. Jika A1, A2, ..., An saling bebas, maka P(A1A2...An)= P(A1) + P(A2) + ... + P(An)
4.6
Peluang Bersyarat Seringkali di dalam penerapan kita tertarik pada peluang yang terkait dengan sebagian dari populasi (ruang sampel). Di sini kita berkepentingan dengan kendala tambahan yang dikenakan oleh sebagian dari populasi yang mungkin saja tidak berlaku bagi populasi keseluruhan. Peluang yang terkait dengan subpopulasi ini dinamakan peluang bersyarat (conditional probability ). Contoh 4.14 Jika sebuah dadu seimbang digulirkan, maka ruang contohnya adalah S={1, 2, 3, 4, 5, 6}. Jika A adalah kejadian munculnya dadu yang bersisi genap, maka P(A)=P{2, 4, 6} = ½. Bila ada informasi tambahan bahwa sisi yang muncul lebih besar dari 3, maka ruang sampelnya adalah S*={4, 5, 6}, sehingga peluang memperoleh sisi genap dengan adanya informasi ini adalah P(A)=P{4, 6} = 2/3.
31
Dari teladan di atas terlihat bahwa informasi tambahan berakibat ruang contohnya menyempit dari S={1, 2, 3, 4, 5, 6} menjadi S*={4, 5, 6}, dan pada gilirannya akan mengubah nilai peluang. Permasalahan peluang seperti tersebut di atas disebut peluang bersyarat. Jika A dan B dua kejadian, peluang bersyarat bagi A setelah B dilambangkan oleh P (A|B) didefinisikan sebagai
P( A | B)
P ( A B) P( B )
, asalkan P(B) 0
Dari definisi di atas, kita memperoleh kaidah penggandaan berikut, yang penting untuk menentukan peluang irisan dua atau lebih kejadian. P(AB) = P(A)P(B|A) P(ABC) = P(A)P(B|A)P(C|(AB)) Contoh 4.15 Dalam sebuah kotak berisi 2 bola merah dan 3 bola biru. Jika diambil dua buah bola tanpa pemulihan. Tentukanlah: a. peluang kedua bola yang terambil berwarna merah! b. Peluang terambilnya bola merah pada pengambilan pertama dan biru pada pengambilan kedua! Jawab Karena bola hanya dibedakan menurut warna, maka sebagai ruang sampelnya adalah: S={M1M2, M1B2, B1M2, B1B2}, dengan M1M2 artinya terambilnya bola merah pada pengambilan pertama dan merah pada pengambilan kedua. Dengan demikian, a.
P(M1M2) = P(M1)P(M2|M1) =(2/5)(1/4) = 2/20
b.
P(M1B2) = P(M1)P(B2|M1) =(2/5)(3/4) = 6/20
Penerapan penting dari peluang bersyarat adalah pada masalah kebebasan antar dua kejadian. Di dalam bahasa sehari-hari, dua kejadian dikatakan bebas bila kejadian yang satu tidak ada kaitannya dengan kejadian yang lain. Namun, secara tepat dalam pengertian statistik, pengertian kebebasan antar dua kejadian adalah: 1. dua kejadian A dan B dikatakan bebas (stokastik) bila P(A|B) = P(A) 2. berdasarkan kaidah penggandaan untuk irisan dua atau lebih kejadian, dua kejadian A dan B dikatakan bebas bila P(AB) = P(A)P(B)
32
4.7
Kaidah Bayes
Penerapan menarik lainnnya dari peluang bersyarat adalah apa yang disebut peluang pasterior; hal ini diberikan oleh Kaidah Bayes. Pada teladan di atas, dengan mudah kita dapat menjawab pertanyaan berapa peluang terambilnya bola biru pada ambilan kedua, bila pada ambilan pertama terambil bola merah? Karena pada ambilan pertama diperoleh merah, maka di dalam kotak masih ada 1 merah dan 3 biru, sehingga peluang terambilnya bola biru pada ambilan kedua bila pada ambilan pertama terambil bola merah adalah ¾. Sekarang pertanyaannya dibalik. Bila pada ambilan kedua terambil bola biru, berapa peluang pada ambilan pertama terambil bola merah, P(M1|B2)? Menurut rumus peluang bersyarat,
P( M 1 | B2 )
P ( M 1 B2 ) P ( B2 )
Akan tetapi, P(M1B2) = P(M1)P(B2|M1) Dan P(B2) = P(M1B2) + P(B1B2) = P(M1)P(B2|M1) + P(B1)P(B2|B1) Sehingga
P( M 1 | B2 )
P ( M 1 ) P ( B2 | M 1 ) P( M 1 ) P( B2 | M 1 ) P( B1 ) P( B2 | B1 )
(2 / 5)(3 / 4) (2 / 5)(3 / 4) (3 / 5)(2 / 4)
1 2
Perhatikan bahwa informasi terjadinya B 2 telah mengubah peluang awal dari P(M 1)=2/5 menjadi P(M1|B2)=1/2. Contoh di atas mengilustrasikan teorema berikut yang dikenal sebagai Kaidah Bayes: Bila kejadian-kejadian B1, B2, ..., Bk merupakan sekatan dari ruang sampel S dengan P(B i) 0 untuk i = 1, 2, ..., k, maka untuk sembarang kejadian A yang bersifat P(A) 0,
P( B j | A)
P ( B j ) P( A | B j ) P( B1 ) P ( A | B1 ) P ( B2 ) P( A | B2 )
33
P( Bk ) P( A | Bk )
;
j
1, 2,
, k
4.8
Latihan Soal
1. Suatu kesebelasan sepak bola memiliki: a. kaus oblong biru, kuning, merah dan hijau b. celana pendek putih dan hitam c. kaus kaki putih, hitam dan hijau Berapa macam kombinasi warna seragam kesebelasan yang dapat disusun? 2. Ada berapa banyak cara 6 orang dapat didudukkan pada sebuah sofa jika yang tersedia hanya 4 tempat duduk? 3. Ada berapa banyak cara 7 buku dapat disusun pada rak jika: a. sembarang susunan dimungkinkan b. 3 buku tertentu harus selalu berdiri berdampingan c. 2 buku tertentu harus menempati ujung-ujung? 4. Dari 4 apel merah, 5 hijau, dan 6 kuning, berapa banyak kemungkinan pilihan yang terdiri atas 9 apel bila setiap warna harus diambil 3? 5. Agen penjual komputer ECS Pentium IV mempunyai stock barang sebanyak 5 buah, dua diantaranya dalam kondisi rusak.
Seorang mahasiswa membeli tiga buah komputer,
hitunglah: a. Berapa banyaknya kemungkinan komputer yang terpilih b. Berapa banyak kemungkinan dua komputer yang terpilih dalam keadaan rusak c. Berapa banyak kemungkinan ketiganya dalam kondisi baik? 6. Dari 5 buah bilangan yaitu 1,2,3,4,5 diambil 3 bilangan secara serentak.
a. Berapakah banyak kemungkinan bilangan yang terpilih ketiganya ganjil b. Berapakah banyak kemungkinan bilangan yang terpilih dua genap dan satu ganjil c. Jika ketiga bilangan terpilih disusun menjadi sebuah bilangan, ada berapa kemungkinan bahwa bilangan tersebut bernilai ganjil. 7. Dari 5 orang sarjana ekonomi dan 7 orang sarjana tehnik akan dibentuk suatu tim yang terdiri atas 2 sarjana ekonomi dan 3 sarjana tehnik. Ada berapa banyak tim itu dapat dibentuk jika: a. Setiap sarjana ekonomi dan tehnik boleh ikut dalam tim. b. Seorang sarjana tehnik tertentu harus masuk tim c. Dua orang sarjana ekonomi tidak boleh ikut dalam tim itu. 8. Dua kartu diambil secara acak (satu-satu) dari sekumpulan 52 kartu Bridge yang dikocok dengna baik. Tentukan probabilitas untuk memperoleh 2 kartu as jika : a. pengambilan kartu pertama dikembalikan
34
b. pengambilan kartu kedua tidak dikembalikan 9. Satu kantong berisi 5 bola putih dan 3 bola merah. Satu kantong yang lain lagi berisi 4 bola 4 bola putih dan 5 bola merah. Jika dari setiap kantong diambil sebuah bola, tentukan peluang kejadian terambilnya : a. dua bola itu putih b. keduanya merah c. satu putih dan satu merah 10. Dalam suatu penelitian menunjukkan bahwa setiap 100 produk yang dihasilkan suatu pabrik pada siang hari (S) 2 diantaranya cacat (C), dan setiap 100 produk yang dihasilkan pada malam hari (M) 5 diantaranya cacat. Selama 24 jam kerja, 100 produk dihasilkan pada siang hari, dan 60 produk dihasilkan pada malam hari. Dengan rumus bayes, hitunglah peluang bahwa suatu produk cacat yang dipilih secara acak dari 160 ptoduk yang dihasilkan selama 24 jam : a. diproduksi pada malam hari b. diproduksi pada siang hari 11. Sejumlah kelereng berwarna dimasukkan ke dalam tiga kotak yang tidak dapat dibedakan sebagai berikut : Warna
Kotak 2
Kotak 1
Kotak 3
Merah
2
4
3
Putih
3
1
4
Biru
5
3
3
Sebuah kotak diambil secara acak dan kemudian dari kotak yang terpilih tersebut diambil secara acak sebuah kelereng a. hitung peluang terambilnya kelereng putih b. bila diketahui kelerengnya putih, berapa peluang bahwa kelereng itu berasal dari kotak 2
35
5
5.1
KONSEP DASAR PEUBAH ACAK
Pengertian Peubah Acak Istilah percobaan atau percobaan statistik telah digunakan untuk menjelaskan
sembarang proses yang menghasilkan satu atau lebih ukuran bagi factor kebetulan. Sering kali kita tidak tertarik pada keterangan rinci setiap titik contoh, namun hanya pada suatu keterangan numeric hasil percobaan. Misalnya, ruang contoh yang rinci bagi percobaan pelemparan uang logam sebanyak tiga kali dapat dituliskan sebagai : S = {GGG, GGA, GAG, AGG, GAA, AGA, AAG, AAA}. Bila kita hanya tertarik pada berapa kali sisi gambar muncul, maka nilai numeric 0, 1, 2, atau 3, dapat diberikan pada setiap titik contoh. Bilangan-bilangan 0, 1, 2, dan 3 merupakan besaran acak yang nilainya ditentukan oleh hasil percobaan. Nilai-nilai itu dapat dipandang sebagai nilai-nilai yang dapat diambil oleh suatu peubah acak atau variable acak X tertentu, yang dalam hal ini menyatakan berapa kali sisi gambar muncul bila sekeping uang logam dilempar tiga kali. Dari uraian di atas dapat disimpulkan bahwa peubah acak adalah suatu fungsi yang nilainya berupa bilangan nyata yang ditentukan oleh setiap unsur dalam ruang contoh. Kita
dapat menggunakan huruf kapital, misalnya X, untuk melambangkan suatu peubah acak, dan huruf kecil, dalam hal ini x, untuk menyatakan salah satu di antara nilai-nilainya. Dari ilustrasi pelemparan uang logam di atas, kita lihat bahwa peubah acak X bernilai 2 untuk semua unsure dalam himpunan bagian E = {GGA, GAG, AGG} ruang contoh S. Jadi setiap kemungkinan nilai X menyatakan kejadian yang merupakan himpunan bagian ruang contoh S bagi percobaannya. Ada 2 macam ruang contoh : 1. Ruang Contoh Diskret Bila suatu ruang contoh mengandung jumlah titik contoh yang terhingga banyaknya. 2. Ruang Contoh Kontinu Bila suatu ruang contoh mengandung jumlah titik contoh yang tak terhingga banyaknya Sehingga peubah acak pun ada 2, yaitu peubah acak diskret (peubah acak yang didefinisikan di atas ruang contoh dikret) dan peubah acak kontinu (peubah acak yang didefinisikan di atas ruang contoh kontinu. Dalam prakteknya peubah acak kontinu digunakan untuk data yang diukur . Misalnya tinggi, bobot, suhu, jarak, atau umur. Sedangkan peubah acak diskret digunakan untuk data yang berupa hitungan atau cacahan. Contohnya banyaknya produk yang cacat, banyaknya
kecelakaan pertahun di suatu kota dan banyaknya kelereng merah yang diambil pada suatu percobaan .
36
Contoh 5.1 Pada pelemparan tiga uang logam, bila X menyatakan banyaknya muncul sisi angka, tentukan : a. nilai-nilai peubah acak X b. Sebaran peluang X Penyelesaian :
Pelemparan tiga uang logam mempunyai ruang contoh : S={(AAA), (AAG),(AGA),(GAA),(GGA),(GAG),(AGG),(GGG)} a. Karena X menyatakan banyaknya muncul sisi angka, pada S, maka nilai-nilai dari X adalah : X={0, 1, 2, 3} X=0, artinya tidak ada sisi angka yang muncul X=1, artinya ada satu sisi angka yang muncul X=2, artinya ada dua sisi angka yang muncul X=3, artinya ketiganya muncul sisi angka b. Peluang dari nilai-nilai X adalah : P(X=0)=P(GGG)=1/8 P(X=1)=P(GGA)+P(GAG)+P(AGG)=1/8+1/8+1/8=3/8 P(X=2)=P(AAG)+P(AGA)+P(GAA)=1/8+1/8+1/8=3/8 P(X=3)=P(AAA)=1/8 Sehingga sebaran peluang X adalah :
5.2
X=x
0
1
2
3
P(X=x)
1/8
3/8
3/8
1/8
Sebaran Peluang Diskret Yaitu sebuah table atau rumus yang mencamtumkan semua kemungkinan nilai suatu
peubah acak diskret beserta peluangnya. Pada peubah acak diskret, setiap nilainya dikaitkan
dengan peluang tertentu. Misalnya pelemparan uang logam sebanyak 3 kali. Peubah acak X menyatakan banyaknya sisi gambar yang muncul. Dengan mengasumsikan peluang yang sama untuk setiap kejadian sederhana, maka semua kemungkinan nilai X berikut peluangnya adalah x
0
1
2
3
P(X=x)
1/8
3/8
3/8
1/8
Perhatikan bahwa nilai-nilai X mencakup semua kemungkinan sehingga total peluangnya sama dengan 1 Seringkali, suatu peluang peubah acak dinyatakan dalam sebuah rumus, yang merupakan fungsi nilai-nilai x. Biasanya dilambangkan dengan f(x), g(x), r(x) dan sebagainya.
37
Himpunan semua pasangan berurutan (x,f(x)) disebut fungsi peluang atau sebaran peluang bagi peubah acak X. Sifat-sifat peubah acak diskret : a. f(x)=P( f(x)=P(X=x X=x)) b. f(x) f(x) 0 c.
f ( x) 1 x
5.3
Sebara Sebaran n Peluan Peluang g Kontinu Kontinu Untuk memahami pengertian sebaran peluang kontinu, perhatikan ilustrasi berikut:
Suatu peubah acak menyatakan tinggi badan semua orang yang berusia di atas 21 tahun. Antara 2 nilai sembarang, misalnya 163.5 dan 164.5, terdapat tak terhingga banyaknya tinggi badan. Dan sangat sulit sekali untuk mencari tinggi badan yang tepat 164 cm.Tetapi tidak demikian, bila kita membicarakan peluang terambilnya seseorang yang tingginya antara 163 sampai 165. Dalam hal ini kita berhadapan dengan sebuah selang nilai peubah acak, dan bukan tepat satu nilai peubah acak. Sehin Sehingga gga sebaran sebaran peluan peluangg peubah peubah acak acak kon kontinu tinu tidak tidak dapat dapat disajik disajikan an dalam dalam bentuk bentuk tabel, tabel, tetapi tetapi sebara sebaran n ini ini dapat dapat disajik disajikan an dalam dalam bentuk bentuk rumus rumus.. Rumus Rumus ini merupak merupakan an fun fungsi gsi nilai-nilai peubah acak kontinu X, sehingga dapat digambarkan sebagai kurva kontinu. Fungsi fungsi kepek kepekata atan n peluan peluang g atau fungsi peluan peluangg yang yang digamb digambark arkan an dengan dengan kurva kurva disebu disebutt fungsi kepekatan. Kebanyakan fungsi kepekatan dalam analisis satistika bersifat kontinu untuk semua
nilai X, dan luas daerah menyatakan besarnya peluang.Karena nilai peluang positif, maka fungsi kepekatan seluruhnya terletak di atas sumbu x. Fungsi kepekatan peluang dibuat sedemikian rupa sehingga luas daerah di bawah kurva dan di atas sumbu x sama dengan 1.Sehingga dapat Fungsi Kepeka Kepekatan tan Peluan Peluang g peubah peubah acak acak kontin kontinu u X adalah adalah fungsi fungsi peluan peluang g disimpulkan bahwa Fungsi yang digambarkan dengan sebuah kurva, dengan luas daerah di bawah kurva dan di atas sumbu x sama sama deng dengan an 1, dan dan bila bila luas luas daer daerah ah di bawa bawah h kurv kurva a anta antara ra x=a x=a dan dan x=b, x=b, meny menyat atak akan an peluang X terletak antara a dan b, P(a
Sifat-sifat peubah acak kontinu : b
a. P(a< P(a
b. f(x) f(x) 0
c.
f ( x)dx 1
38
5.4
Nila Nilaii Harap Harapan an Peub Peubah ah Acak Acak
Nilai harapan dari peubah acak adalah adalah pemusatan pemusatan dari nilai nilai peubah peubah acak jika percobaannya percobaannya dilakukan secara berulang-ulang sampai tak berhingga kali. Secara matematis nilai harapan dapat dirumuskan sebagai berikut:
n x x p( xi ), jika X p.a diskret i 1 Ε ( X ) x f ( x )dx, jika X p.a kontinu i i Contoh 5.2
Jika diketahui distribusi peluang dari peubah acak X sebagai berikut:
X P(X=xI) Xip(xi)
0 1/6 0
Nilai peubah Acak X 2 3 1/6 1/6 2/6 3/6
1 1/6 1/6
4 1/6 4/6
5 1/6 5/6
Dengan demikian nilai harapan p.a X adalah: E(X) = 0 + 1/6 + 2/6 + 3/6 + 4/6 + 5/6 = 15/6 E(3X) = 3 E(X) = 45/6
Contoh 5.3
Ruang contoh untuk percobaan dua buah uang logam adalah S = {GG, GA, AG, AA} Karena keempat titik contoh berpeluang sama untuk terjadi, peluang-peluang tersebut dapat dipandang sebagai frekuensi relatif bagi kejadian-kejadian itu dalam jangka panjang. Sehingga jika seseorang melemparkan dua uang logam yang setimbang berulang-ulang kali, maka ratarata ia akan memperoleh 1 sisi gambar perlemparan adalah 1, yang didapat dari
= E(Y) = 0.1/4 + 1.1/2 + 2.1/4 = 1 Misalkan X adalah suatu peubah acak diskret dengan sebaran peluang X P(X=x)
X1
X2
…….
Xn
F(x1)
F(x2)
…….
F(xn)
39
Maka nilai tengah atau nilai harapan harapan peubah acak g(X) adalah n
g ( x )
E ( g ( X )) g ( xi ) f ( xi ) i 1
5.5
Ragam Ragam Peuba Peubah h Acak Acak
Ragam dari peubah acak X didefinisikan sebagai berikut: = E(X-E (X-E(X (X)) ))2
V(X) V(X)
= E(X2) – [E(X)]2 Contoh 5.4
Untuk contoh sebelumnya, ragam dari peubah acak X adalah: = (0+1/6 (0+1/6+4/ +4/6+9 6+9/6 /6+16 +16/6+ /6+25/ 25/6) 6) - (15/6) (15/6)2
V(X) V(X)
= 55/6 - 225/36 = 105/36
5.6
Sifat Sifat Nilai Nilai harapa harapan n Dan Dan Ragam Ragam a. Bila Bila a dan b kon konsta stanta nta,, maka maka
aX b
a x b a b
b. Nilai harapan harapan jumlah jumlah atau selisih dua atau lebih lebih peubah acak sama dengan dengan jumlah jumlah atau selisih nilai harapan masing-masing peubah.
X Y
X Y
dan X Y
X Y
c. Nilai Nilai harapan harapan hasilkal hasilkalii dua atau lebih lebih peubah peubah acak yang bebas bebas satu sama lain sama dengan hasilkali nilai harapan masing-masing peubah acak. Jadi jika X dan Y bebas, maka
X Y
XY
d. Bila X suatu suatu peubah peubah acak acak dan b konstant konstanta, a, maka
X 2 b
X 2 2
e. Bila X peubah peubah acak acak dan a adalah adalah konstan konstanta, ta, maka 2 aX
f.
a 2 X 2 a 2 2
Ragam jumlah jumlah atau atau selisih selisih dua atau lebih lebih peubah acak acak yang bebas bebas sama dengan dengan jumlah jumlah ragam masing-masing peubah acak. Jadi bila X dan Y bebas, maka
X 2 Y
X 2 Y 2
2
dan X Y
X 2 Y 2
40
5.7
Latihan Soal 1. Dalam suatu gudang terdapat 7 pesawat televisi. Dua diantaranya rusak. Sebuah hotel membeli secara acak 3 dari ketujuh televisi tersebut. Bila X menyatakan banyaknya televisi yang rusak yang terbeli oleh hotel tersebut, tentukanlah : a. Peluang semua tv yang terbeli tidak ada yang rusak. b. Peluang ada satu tv yang rusak c. Tentukanlah nilai X d. Carilah fungsi sebaran peluang X e. Hitunglah nilai tengah dan ragam X. 2. Suatu peubah acak diskret X mempunyai sebaran peluang
f ( x)
3 1 x 3 3 x x 4 4
untuk x
0,1,2,3
Tentukan nilai tengah X 3. Tentukan nilai harapan banyaknya kaset jazz, bila 4 kaset diambil secara acak dari sebuah koleksi yang terdiri dari 5 kaset jazz, 2 kaset klasik dan 3 kaset polka. 4. Misalkan sebuah peubah acak X memiliki sebaran peluang sebagai berikut X
0
1
2
3
P(X=x)
8/27
4/9
2/9
1/27
Tentukan nilaitengah X 5. Dengan menanamkan modalnya dalam suatu stock tertentu, seseorang dapat menerima keuntungan $4000 setahun dengan peluang 0.3 atau kerugian $1000 setahun dengan peluang 0.7. Tentukan nilai harapan penerimaan orang ini dari stock tersebut. 6. Misalkan X menyatakan hasil bila sebuah dadu setimbang dilemparkan. Tentukan
g ( X ) 3 X
g ( X ) , bila
2
4
7. Untuk soal nomor 4, hitunglah g ( X ) ,
bila
g ( X ) (2 X
1) 2
8. Dari soal nomor 4, tentukan simpangan baku X. 9. Peubah acak X yang menyatakan banyaknya potongan coklat dalam sebuah kue mempunyai sebaran peluang sebagai berikut : X
2
3
4
5
6
P(X=x)
0.01
0.25
0.4
0.3
0.04
Hitunglah ragam X
41
6
SEBARAN PELUANG TEORITIS
Secara garis besar, sebaran peluang teoritis dapat dibedakan atas sebaran diskret dan sebaran kontinu. Sebaran diskret adalah fungsi peluang dari peubah-peubah acak diskret, seperti Bernoulli, Binomial, Hipergeometrik, Poisson, dan lain-lain. Sedangkan sebaran kontinu adalah fungsi peluang peubah-peubah acak kontinu, antar lain Seragam , Normal, dan lain-lain. Berikut ini akan diuraikan beberapa jenis sebaran peluang diskret dan sebaran peluang kontinu.
6.1
Sebaran Binom Peubah X yang menyatakan banyaknya kesuksesan dalam n ulangan suatu percobaan
binom disebut peubah acak binom, dan sebaran peluang bagi peubah acak binom disebut sebaran binom. Ciri-ciri percobaan binom :
a. percobaannya terdiri atas n ulangan b. dalam setiap ulangan, hasil percobaannya hanya ada 2, yaitu sukses atau gagal c. peluang sukses, dilambangkan dengan p, dan untuk setiap ulangan besarnya peluang sama, tidak berubah-ubah d. ulangan-ulangan tersebut bersifat bebas satu sama lain Bila suatu ulangan binom mempunyai peluang sukses p dan peluang gagal q = 1-p, maka sebaran peluang bagi peubah acak binom X, yaitu banyaknya kesuksesan dalam n ulangan yang bebas, adalah
n x n x b( x; n, p ) p q , untuk x = 0, 1, 2,…….,n x Nilai sebaran di atas diperoleh dari uraian berikut ini : 1. pandang peluang sukses x dan gagal n-x dalam suatu urutan tertentu. Karena ulangan semuanya bebas, maka peluang tiap hasil yang berbeda dapat digandakan. Tiap sukses terjadi dengan peluang p dan gagal dengan peluang q=1 – p. jadi peluang untuk urutan tersebut adalah p x qn-x . 2. tentukan banyaknya semua titik contoh dalam percobaan tersebut yang menghasilkan x yang sukses dan n-x yang gagal. Banyaknya ini sama dengan banyaknya cara memisahkan n hasil menjadi dua kelompok sehingga x hasil berada pada kelompok pertama dan sisanya, n-x hasil, pada kelompok kedua. Banyaknya x hasil yang sukses dapat dinyatakan dengan n . x
42
3. karena pembagian kelompok pada (2) saling terpisah, maka peluang x sukses diperoleh dari hasil penggandaan n dengan p x qn-x . x
Nilai tengah dan ragam bagi sebaran binom b(x;n,p) adalah np
dan 2
npq
Sebaran Binomial Kumulatif
Ada kalanya perhitungan peluang sebaran binomial lebih mudah dilakukan dengan memakai sebaran kumulatif. Bila pada n percobaan terdapat paling tidak sebanyak r sukses, maka sebaran binomial kumulatif yang ditulis P(X r), dengan r
P( X r ) b(r , n, p ) b(r 1, n, p)
b(n, n, p)
n
b( x, n, p ) x r
Untuk memperoleh nilai peluang binomial kumulatif dapat menggunakan tabel sebaran binomial. Contoh 6.1
Dari hasil kajian akademik diperoleh bahwa peluang dosen hadir dalam kegiatan belajar mengajar sebesar 90%. Jika proses belajar mengajar per semester dilakukan sebanyak 14 kali, hitunglah : a. peluang dosen hadir dalam kegiatan belajar mengajar sebanyak 10 kali ! b. peluang dosen hanya tidak hadir satu kali ! c. peluang dosen hanya tidak hadir pada pertemuan ke 14 ! d. peluang dosen hanya hadir pada pertemuan pertama ! Penyelesaian :
X = banyaknya dosen mengajar dalam satu semester p = 0.9, n = 14
n x n x 14 x 14 x b( x; n, p ) p q , sehingga b( x;14,0.9) 0.9 0.1 , x=0, 1, 2, …, 14 x x a. P(X=10)=
14 10 14 ! 0.9 0.11410 0.910 0.1 4 (1001)3.49 5 0.035 10!(14 10)! 10
Atau dengan melihat tabel binom : P(X=10) = P(X10) – P(X9) =
10
9
x 0
x 0
b( x;14,0.9) b( x;14,0.9) = 0.0441- 0.0092 = 0.0349
43
b. Jika dosen tidak hadir sekali, maka ada 14 kemungkinan dosen tersebut tidak hadir dari 14 pertemuan. Dengan demikian peluangnya :
14 1 0.1 0.9141 14(0.1)(0.254) 0.356 1 c. Karena sudah ditentukan bahwa dosen tidak hadir pada pertemuan ke 14, maka peluangnya :
0.11 0.9141 (0.1)(0.254) 0.0254 d. Karena sudah ditentukan bahwa dosen hanya hadir pada pertemuan pertama, maka peluangnya :
0.91 0.1141 (0.9)(113 ) 9 14 0 Contoh 6.2
Seorang penjual mengatakan bahwa 25% dari seluruh dagangannya rusak akibat truk yang membawa barang itu mengalami kecelakaan. Jika seseorang membeli barang dagangan itu sebanyak 10 buah, tentukan : a. peluang orang itu akan mendapat 5 barang yang rusak b. peluang orang tersebut memperoleh minimal 3 tetapi kurang dari 7 barang yang rusak c. rata-rata dan simpangan baku barang yang rusak penyelesaian
Misalkan X = banyaknya barang yang rusak p = 0.25, n = 10 a. P(X =5) =P(X5) – P(X4) = 0.9803 – 0.9219 = 0.0584 b. P(3X<7)=P(3X6) = P(X6) – P(X2) =0.9991-0.6778 = 0.3213 c. µ = n.p = 10x0.25 = 25, = n.p.(1-p) = 10x0.25x0.75 = 1.875
6.2
Sebaran Hipergeometrik
Ciri-ciri percobaan hipergeometrik :
a. suatu contoh acak berukuran n diambil dari populasi yang berukuran N b. k dari N benda diklasifikasikan sebagai sukses dan N-k benda diklasifikasikan sebagai gagal Banyaknya kesuksesan X dalam suatu percobaan hipergeometrik disebut peubah acak hipergeometrik,dan sebaran peluang bagi peubah acak hipergeometrik disebut sebaran hipergeometrik.
44
Bila dalam populasi N benda, k benda diantaranya diberi label sukses dan N-k benda lainnya diberi label gagal maka sebaran peluang bagi peubah acak hipergeometrik X, yang menyatakan banyaknya kesuksesan dalam contoh acak berukuran n, adalah
k N k x n x , h( x; N , n, k ) N n
untuk x = 0,1,2,…..,k
Nilaitengah dan ragam bagi sebaran hipergeometrik h(x;N,n,k) adalah
nk N
dan
2
N n N 1
.n.
k k 1 N N
Contoh 6.3
Dalam suatu kantong terdapat 10 bola merah dan 5 bola putih. Bila diambil 3 bola secara acak, tentukan peluang untuk memperoleh 0, 1, 2, dan 3 bola merah! Penyelesaian :
Misalkan : N1
: banyaknya bola merah =10
N2
: banyaknya bola putih=5
N
: banyaknya bola = N1 + N2 = 10+5=15
n
: banyaknya sampel yang diambil
X
: banyaknya bola merah yang diperoleh
Kombinasi bola merah yang diperoleh adalah
10 k
Kombinasi bola putih yang diperoleh adalah
5 3 k
Kombinasi semua sampel yang diperoleh adalah
15 3
Maka peluang untuk memperoleh banyaknya bola merah X=k dalam sampel tersebut adalah :
10 5 k 3 k , k=0, 1, 2, 3 P( X k ) 15 3 Dengan demikian :
45
10 5 0 3 10 , P( X 0) 455 15 3
10 5 1 2 100 P ( X 1) 455 15 3
10 5 2 1 225 , P( X 2) 455 15 3
10 5 3 0 120 P ( X 3) 455 15 3
Perhatikan bahwa P(X=0)+ P(X=1)+ P(X=2)+ P(X=3)=1
6.3
Sebaran Poisson Percobaan yang menghasilkan nilai-nilai bagi suatu peubah acak X, yaitu banyaknya
hasil percobaan yang terjadi selama suatu selang waktu tertentu atau di suatu daerah tertentu disebut percobaan poisson. Bilangan X yang menyatakan banyaknya hasil percobaan dalam suatu percobaan poisson disebut peubah acak poisson , dan sebaran peluangnya disebut sebaran poisson.
Sebaran peluang bagi peubah acak poisson X, yang menyatakan banyaknya hasil percobaan yang terjadi selama suatu selang waktu atau daerah tertentu adalah
p( x; )
e x x!
,
untuk x = 1, 2, …..
sedangkan dalam hal ini adalah rata-rata hasil percobaan yang terjadi selama selang waktu atau dalam daerah yang dinyatakan, dan e = 2.71828…. Sebaran poisson cocok digunakan untuk n besar dan p kecil sekali, sedangkan binom cocok untuk n kecil dan p besar.
np
dan 2
np
Contoh 6.4
Bila variabel acak X mempunyai sebaran binom denagn n=100, p=0.005, hitunglah P(X=15)! Jawab :
f(x)=P(X=x)=
100 0.005 x 0.995100 x , x= 0, 1, 2, ……, 100 x
maka : f(15)=P(X=15)=
100 0.00515 0.99585 15
46
Peluang ini sulit dihitung karena n=100 adalah besar dan p=0.005 adalah kecil. Oleh karena itu kita pakai pendekatan sebaran poisson, yaitu :
np =100(0.005)=0.5 p( x; )
e x x!
p ( X x )
e
,
0.5
0.5 x
x!
, x= 0, 1, 2, ……, 100
Maka
p ( X 15)
6.4
e
0.5
0.515
0.00000
15!
Sebaran Seragam
Sebaran peluang seragam adalah suatu bentuk sebaran peluang dimana untuk setiap titik pengamatan pada suatu selang nilai tertentu mempunyai peluang yang sama. Sebaran peluang seragam untuk data diskrit dapat dituliskan sebagai berikut: P(X=x) = 1/n : x = 1, 2, ..., n sedangkan sebaran peluang seragam untuk data kontinu dituliskan sebagai berikut: f ( x)
1 ba
;a xb
Nilai harapan peubah acak X adalah: b
E ( X )
b
xf ( x)dx x a
a
1 (b a )
dx
1
1
(b a ) 2
b
x
2 a
1 (b a) 2 2 (b a )
1
(b a ) 2
Ragam peubah acak X adalah: 2
b
V ( X )
E ( X ) E ( X ) x 2
2
a
2
b 1 1 1 2 f ( x)dx (b a) x dx (b a) 2 a (b a ) 2 2
2
1 1 1 1 V ( X ) (b a) (b a) 2 (b a) (b a) 2 3 (b a ) a 2 3 2 12 1
x
3
b
47
2
6.5
Sebaran Normal Suatu peubah acak kontinu X yang memiliki sebaran berbentuk genta disebut peubah acak
normal. Bila X adalah suatu peubah acak normal dengan nilaitengah
dan ragam 2 , maka
persamaan kurva normalnya adalah
n( x; , )
1 2
e
1 x 2
2
, untuk - < x <
sedangkan dalam hal ini = 3.14159…. dan e = 2.71828…. Bila nilai-nilai dan diketahui, maka kurva normal itu telah tertentu dengan pasti. Misalkan bila = 50 dan =5, maka ordinal-ordinat n(x;50,5) dengan mudah dapat dihitung untuk berbagai nilai x, dan kemudian kurvanya dapat digambar. Sifat-sifat kurva normal :
a. Modusnya hanya satu dan terletak di x = b. Kurvanya simetris/setangkup terhadap garis tegak x = c. Grafik selalu berada di atas sumbu x atau f(x)>0 d. Kurvanya mendekati sumbu x secara asimtotik dalam dua arah, jika semakin menjauhi nilaitengahnya e. Luas daerah di bawah kurva dan di atas sumbu x sama dengan 1 Kurva sembarang sebaran peluang kontinu atau fungsi kepekatan dibuat sedemikian rupa sehingga luas daerah di bawah kurva yang dibatasi oleh x = x1 dan x = x2 sama dengan peluang bahwa peubah acak X mengambil nilai antara x = x1 dan x = x2. Untuk menghitung nilai peluang sebaran normal, dari kalkulus integral sangatlah rumit. Sehingga untuk menghindari hal itu digunakan table kenormalan atau table normal baku, yaitu dengan mentransformasikan setiap pengamatan dari peubah acak normal X menjadi suatu nilai peubah acak normal Z dengan nilaitengah nol dan ragam satu. Transformasi normal baku atau transformasi Z yang dimaksud adalah
Z
X
Nilaitengah Z adalah nol, karena
E ( Z )
1
E ( X )
1
( ) 0
sedangkan ragamnya adalah
48
2 Z
2 X
2 X
1
2
2 X
2
2
1
Sehingga sebaran normal baku adalah sebaran peubah acak normal dengan nilaitengah nol dan simpangan baku 1. Bila X berada di antara x = x1 dan x = x2 maka peubah acak Z akan berada di antara nilai-nilai padanannya.
Z 1
X 1
,
Z 2
dan
X 2
Karena semua nilai X yang jatuh antara x1 dan x2 mempunyai nilai z padanannya antara z1 dan z2, maka luas daerah di bawah kurva X sama dengan luas daerah di bawah kurva Z. Dengan demikian P(x1
1 2 P(a x b) f ( x)dx e 2 a a b
b
z 2
z 2
P( z1 Z z 2 ) f ( z )dz z z 1
1
12 z e 2 1
2
dx
2
dz
Contoh 6.5
Untuk sebaran normal dengan = 50 dan = 10, hitunglah peluang bahawa X mengambil sebuah nilai antara 45 dan 62. Jawab : Diketahui x1 = 45 dan x2 = 62
= 50 dan = 10 Ditanyakan P(45
Z 1
Z 1
X 1
dan
45 50 10
0.5
dan
Z 2
Z 2
X 2
62 50 10
Dengan demikian P(45
49
1.2
Contoh 6.6
Untuk sebaran normal dengan = 300 dan = 50, hitunglah peluang peubah acak X mengambil nilai yang lebih besar dari 362. Jawab : Diketahui
= 300 dan = 50 Ditanyakan P(X>362) = …..?
Z Z
X
362 300
= 1.24
50
P(X>362) = P(Z>1.24) = 1 – P(Z<1.24) = 1 – 0.8925 = 0.1075 Contoh 6.7
Suatu penelitian yang dilakukan oleh seorang mahasiswa menyebutkan bahwa secara rata-rata seorang pengunjung mengeluarkan uang belanja di suatu pusat perbelanjaan adalah Rp 247.000,00 dengan simpangan baku Rp 84.600,00. Jika diasumsikan sebaran normal, berapakah : a. peluang orang itu mengeluarkan uang belanja paling sedikit Rp 300.000,00 b. peluang orang itu mengeluarkan uang belanja antara Rp 200.000,00 sampai Rp 400.000,00 c. jika diasumsikan banyaknya pengunjung mencapai 200 orang setiap hari, berapa banyaknya orang yang diperkirakan mengeluarkan uangnya untuk berbelanja sebanyak-banyaknya Rp 150.000,00 penyelesaian
Misalkan X = besarnya pengeluaran uang belanjaan setiap pengunjung suatu pusat perbelanjaan dalam ribuan rupiah.
247, 84,6 ,
n = 200
a. P(X300) = ….? Nilai X harus ditransformasi ke nilai Z, yaitu
z
x
z
300 247 84,6
0.63
dengan demikian P(X300) = P(Z0.63) = 1 – P(Z<0.63) = 1 – 0.7357 = 0.2643 b. P(200X400) = ….?
50
z1
x1
z 2
x 2
z1
z 2
200 247 84,6
400 247 84,6
0.56
1,81
P(200X400) = P(-0,56 Z 1,81) = P(Z 1,81) – P(Z-0,56) = 0.9649 – 0.2877 = 0.6722 c. misalkan m =banyaknya pengunjung yang mengeluarkan uang paling banyak Rp 150.000,00 m = nP(X150) P(X150) = P(Z-1,15) = 0.1251 Jadi m = 200(0.1251) = 25 orang
Contoh 6.7
Nilai ujian statistika sebagian besar mahasiswa mempunyai sebaran normal dengan rata-rata
=34 dan simpangan baku =4. Jika X menyatakan nilai-nilai mahasiswa tersebut, berapakah batas nilai Xo agar 10% dari kelompok nilai terendah berada di bawah Xo ? Penyelesaian :
Diketahui = 34 dan = 4
Z
X
Z
X 34
4
X 34 4
P(XXo)=0.1 P
Xo 34
4
0.1
P(ZZo) = 0.1
Dari tabel sebaran normal kumulatif diperoleh Zo=-1.282 Maka Xo=34+(-1.282)4=28.87 Jadi batas atas nilai untuk 10% kelompok mahasiswa yang mendapat nilai terendah adalah 28.87
6.6
Latihan Soal 1. Peluang seseorang sembuh dari suatu penyakit darah adalah 0.4. Bila 15 orang diketahui menderita penyakit ini, berapa peluang bahwa a. sekurang-kurangnya 10 orang dapat sembuh b. ada 3 sampai 8 orang yang sembuh c. 5 orang yang sembuh 2. Pupuk urea yang ditawarkan kepada petani ada dua jenis yaitu urea tablet dan urea biasa. Dari hasil survey diketahui 3/5 petani menggunakan pupuk urea tablet dan 2/5 petani menggunakan pupuk urea biasa. Jika empat petani dikunjungi ke lapangan, hitunglah :
51
a. peluang tidak ada petani yang menggunakan pupuk urea tablet. b. peluang tiga petani menggunakan pupuk urea tablet. c. paling banyak dua petani menggunakan urea tablet. 3. Menurut teori genetika, suatu persilangan kelinci percobaan akan menghasilkan keturunan warna merah, hitam, dan putih dalam perbandingan 8:4:4. Hitunglah peluang bahwa diantara 8 keturunan ada 5 yang berwarna merah, 2 hitam, dan 1 putih. 4. Bila 5 kartu diambil secara acak dari seperangkat kartu brigde, berapa peluang diperoleh 3 kartu hati 5. Putri hendak menanami halaman depan dan samping rumahnya dengan tanaman bunga. Dari sebuah kotak yang berisi 3 umbi tulip, 4 umbi daffodil, dan 3 umbi hyacinth, ia mengambil 5 umbi secara acak untuk ditanam di halaman depan dan 5 umbi sisanya di halaman samping.
Berapa peluang ketika musim bunga tiba di halaman depan
berbunga tulip, 2 daffodil dan 2 hyacinth 6. Misalkan bahwa secara rata-rata 1 orang di antara 1000 orang adalah pecandu alcohol. Hitung peluang bahawa dalam suatu contoh acak 8000 orang terdapat kurang dari 7 pecandu alcohol. 7. Sebuah restoran menyediakan salad yang rata-rata mengandung 5 macam sayuran. Hitunglah peluang bahwa salad yang disediakan mengandung lebih dari 5 macam sayuran a. pada suatu hari tertentu b.
pada 3 diantara 4 hari berikutnya
c. pertama kali dalam bulan April pada tanggal 5 April 8. Misalkan secara rata-rata 1 di antara 1000 orang membuat kesalahan angka dalam melaporkan pajak pendapatannya. Bila 10000 formulir diambil secara acak dan diperiksa, berapa peluang ada 6, 7, atau 8 formulir yang mengandung kesalahan 9. Pada ujian statistika, nilai rata-ratanya adalah 74 dan simpangan bakunya 7. Bila 12% diantara peserta ujian akan diberi nilai A, dan nilai itu mengikuti sebaran normal, berapakah batas terendah bagi A dan batas nilai tertinggi bagi nilai B 10. Rata-rata tinggi anjing pudel jenis tertentu adalah 30 cm, dan simpangan bakunya 4.1 cm. Berapa persentase banyaknya anjing pudel jenis tersebut yang tingginya lebih dari 35 cm, bila tinggi menyebar normal dan dapat diukur sampai ketelitian berapapun. 11. untuk soal nomor 9, hitunglah a. nilai tertinggi D, bila 10% nilai terendah mendapat nilai E b. nilai tertinggi B bila 5% mahasiswa mendapat nilai A
52
c. nilai terendah B bila 10% mendapat nilai B, dan 25% mendapat nilai C 12. Di suatu daerah diketahui 10% penduduknya tergolong kaya. Suatu sampel acak terdiri dari 400 penduduk telah diambil. Tentukan peluang : a. paling banyak 30 orang yang tergolong kaya b. antara 30 sampai 50 orang yang tergolong kaya c. 55 orang atau lebih yang tergolong kaya 13. Krisis moneter menyebabkan tingkat penjualan rumah mengalami penurunan. Dari seluruh developer di Kota tertentu diketahui tingkat penjualan rata-rata 1 milyar dengan simpangan baku 0.2 milyar. Jika diasumsikan tingkat penjualan menyebar normal : a. hitunglah peluang sebuah developer mempunyai tingkat penjualan minimal 1.2 milyar b. Jika di daerah tersebut terdapat 50 developer, estimasikan jumlah developer yang mempunyai tingkat penjualan 0.5 sampai 1 milyar.
53
7 7.1
SEBARAN PERCONTOHAN
Contoh Acak Hasil suatu percobaan statistika dapat dicatat dalam bentuk numerik ataupun huruf.
Bila sepasang dadu dilantumkan dan jumlah mata dadu yang terjadi merupakan hal yang ingin diselidiki, sehingga hasilnya dicatat dalam bentuk numerik. Suatu POPULASI terdiri atas keseluruhan pengamatan yang menjadi pusat perhatian. Banyaknya pengamatan dalam populasi dinamakan UKURAN populasi. Tiap pengamatan dalam populasi merupakan satu nilai dari suatu peubah acak (X) dengan suatu sebaran peluang f(x). Oleh karena itu, sering kita mendengar tentang istilah populasi binomial, populasi normal, atau secara umum disebut sebagai populasi f(x). Istilah tersebut sebenarnya mengacu pada harga peubah acak X yang memiliki sebaran binomial, normal atau sebaran peluang f(x). Hal pokok yang menjadi pusat perhatian seorang statistikawan adalah menarik kesimpulan tentang parameter populasi yang tidak diketahui. Pada populasi normal, misalnya, parameter µ dan 2 mungkin tidak diketahui dan hendaknya ditaksir berdasarkan keterangan yang diperoleh dari contoh yang mewakili suatu populasi. Contoh yang mewakili suatu populasi disebut contoh acak, apabila setiap anggota populasi mempunyai peluang yang sama untuk dipilih sebagai contoh.
Dengan demikian dasar teori pengambilan contoh perlu dipelajari
dengan baik. Misalkanlah x1, x2, x3, ...., xn merupakan n peubah acak bebas yang masing-masing memiliki sebaran peluang f(x). Gugus x 1, x2, x3, ..., xn didefinisikan sebagai contoh acak berukuran n dari populasi f(x) dan sebaran peluang gabungannya ditulis sebagai: f(x1,x2,x3,...,xn) = f(x1)f(x2)f(x3)...f(xn).
7.2
Teori Pengambilan Contoh Tujuan utama menarik contoh adalah untuk mendapatkan keterangan mengenai
parameter populasi yang tidak diketahui. Misalkan kita ingin menarik kesimpulan mengenai proporsi penduduk Indonesia yang menyukai kopi robusta. Sangatlah tidak efesien jika kita menanyai
seluruh
penduduk
Indonesia
dan
kemudian
menghitung
parameter
yang
menggambarkan proporsi sebenarnya. Tetapi sebagai pendekatannya akan diambil contoh acak yang cukup besar dan kemudian dihitung proporsi yang menyukai kopi robusta.
Nilai ini
kemudian dipakai untuk menarik kesimpulan mengenai proporsi sesungguhnya. Suatu nilai yang dihitung dari contoh disebut statistik. Karena banyak contoh acak yang mungkin diambil dari suatu populasi yang sama maka statistik yang diperoleh akan berlainan dari contoh ke contoh. Karena itu, statistik merupakan peubah acak yang hanya tergantung pada contoh acak yang diamati.
54
7.3
Sebaran Contoh dari Rataan (Mean) Sebaran contoh yang penting untuk dibahas adalah rataan ( x ). Misalkan contoh acak
berukuran n pengamatan diambil dari populasi normal dengan rataan µ dan simpangan baku (). Tiap pengamatan x i, i=1,2,...,n adalah contoh acak yang memiliki sebaran normal yang sama dengan populasi yang menjadi pusat pengambilan contoh. Rataan contoh mengikuti sebaran normal dengan rataan dan ragam adalah sebagai berikut:
E ( x ) x2 var( x ) 2 / n Teorema Limit Pusat: Jika contoh acak diambil dari populasi sembarang dengan rataan µ dan simpangan baku
, maka sebaran dari rataan ( x ) dapat dihampiri normal jika n cukup besar, dengan rataan µ dan galat baku / n. Dengan kata lain, Z
x
/
n
~ N ( 0 ,1 )
Pertanyaan yang sering muncul akibat teorema di atas adalah seberapa banyak n yang harus diambil dan berapa batasan n yang dapat dikatakan cukup besar ?
Untuk menjawab
pertanyaan ini tentunya diperlukan hampiran n yang cukup baik. Berdasarkan pengalaman diketahui bahwa jika n>30 maka sudah cukup digunakan sebagai pendekatan teorema limit pusat. Untuk data pengamatan yang mengikuti sebaran Binomial juga dapat dihampiri dengan sebaran normal dan tidak bertentangan dengan teorema limit pusat.
Untuk memahami
permasalahan ini, kita kembalikan lagi pada sebaran Bernoulli: xi=1, jika percobaan sukses xi=0, jika percobaan gagal Peubah acak x1, x2, ..., xn adalah saling bebas, dan setiap pengamatan memiliki sebaran peluang sebagai berikut: x 0 1 ---------------------------------f(x) (1-p) p dengan rata-rata p dan ragam p(1-p). Akibat dari teorema limit pusat maka sebaran contoh dari rataan adalah mendekati normal dengan rataan p dan ragam p(1-p)/n jika n besar. Dengan demikian proporsi contoh dari kejadian sukses dalam percobaan Bernoulli mengikuti sebaran;
55
p p
Z
7.4
p (1 p ) / n
~ N ( 0,1)
Sebaran contoh dari (n-1)S2/ 2 Bila contoh acak berukuran n diambil dari populasi normal dengan rataan µ dan
simpangan baku , maka diperoleh suatu nilai statistik S yang merupakan simpangan baku contoh. Sebaran contoh S 2 hanya sedikit kegunaannya dalam praktek, oleh karena itu akan dibahas sebaran dari peubah acak (n-1)S2/ 2.
Dengan menjumlahkan semua kuadrat dari
pengamatan dikurangi rataan contoh mudah terlihat bahwa: n
( x
i
x ) 2
2 ~ 2 db n 1
i 1
( n 1) S 2
2 2
2 ~ db n 1 2
dengan demikian diperoleh bahwa (n-1)S / menyebar khi-kuadrat dengan derajat bebas n-1. Teorema berikut tidak ditunjukkan dengan bukti yang lengkap. Teorema : Bila S2 ragam contoh acak berukuran n diambil dari populasi normal dengan ragam 2, maka peubah acak,
2 = (n-1)S2/ 2 menyebar khi-kuadrat dengan derajat bebas n-1.
7.5
Sebaran t-student Dalam prakteknya jarang sekali orang begitu beruntung mengetahui ragam populasi
yang digunakan sebagai acuan dalam pengambilan contoh acak. Untuk contoh acak berukuran n 30, taksiran 2 yang baik adalah statistik S 2. Apa yang terjadi dengan
( x -µ)/( / n)
bila diganti dengan S ? Selama S2 merupakan taksiran yang baik bagi 2 dan tidak berubah dari contoh ke contoh dan untuk n 30 maka nilai tersebut masih baik dihampiri dengan normal baku Z. Tetapi bila ukuran contoh kecil (n<30), nilai S berubah cukup besar dari contoh ke contoh dan nilai tersebut tidak lagi menyebar normal baku.
Dalam hal
ini kita menghadapi sebaran
statistik yang akan disebut dengan t-student.
t
x
s /
n
dimana nilai ini adalah peubah acak yang menyebar t-student dengan derajat bebas n-1.
56
7.6
Sebaran F Salah satu sebaran yang terpenting dalam statistika terapan adalah sebaran F. Statistik
F didefinisikan sebagai nisbah dua peubah acak khi-kuadrat yang saling bebas, masing-masing dibagi dengan derajat bebasnya. Misal peubah acak U dan V menyebar khi-kuadrat dengan derajat bebas v1 dan v2 dimana U>V maka sebaran F dapat ditulis sebagai berikut: F = (U/v1) / (V/v2), Teorema : Bila S12 dan S22 adalah ragam contoh acak berukuran n 1 dan n2 yang diambil dari populasi normal masing-masing dengan 12 dan 22, bila S12 S22 maka,
{(n1 1)S1 / 21 } / v1 2
F
{(n2 1) S 2 / 2 2 } / v2 2
menyebar F dengan derajat bebas v1=n1-1 dan v2=n2-1
7.7
Sebaran Contoh Bagi Beda Dua Nilaitengah Bila contoh-contoh bebas berukuran n1 dan n2 diambil dari dua populasi yang besar 2
2
atau takhingga, masing-masing dengan nilaitengah 1 dan 2 ragam 1 dan 2 , maka beda kedua nialitengah contoh, X 1
X 2 ,
akan menyebar menghampiri sebaran normal dengan
nilaitengah dan simpangan baku
X X 1
2
1 2
dan
X X 1
2
12
n1
22 n2
Dengan demikian
z
( x1 x 2 ) ( 1
2 )
( / n1 ) ( / n 2 ) 2 1
2 2
merupakan nilai normal baku Z
Bila dua peubah acak X dan Y bebas dan masing-masing menyebar normal dengan 2
2
nilaitengah x dan y dan ragam x dan y maka beda X-Y menyebar normal dengan nilaitengah X Y
x y
2
dan ragam X Y
X 2 Y 2 .
57
7.8
Latihan Soal 1. Sejenis tambang dibuat dengan kekuatan regangan rata-rata 70 kg dan
simpangan
baku 5 kg. Dengan mengasumsikan populasinya takhingga, bagaimana galat baku nilatengahcontoh itu berubah bila ukuran contohnya a. dinaikkan dari 64 menjadi 196 b. diturunkan dari 784 menjadi 49 2. Tinggi 1000 mahasiswa menghampiri sebaran normal dengan nilaitengah 160 cm dan simpangan baku 5 cm. Bila 200 contoh acak masing-masing berukuran 25 ditarik dari populasi ini, dan nilai tengah contohnya diukur sampai satuan sentimeter terdekat, tentukan : a. nilaitengah dan simpangan baku sebaran penarikan contoh bagi X b. banyaknya nilaitengah contoh yang jatuh antara 158 dan 162 cm c. banyaknya nilaitengah contoh yang jatuh di bawah 158 cm 3. Hitunglah : a. t 0.025
bila
v
14
b. t 0.995
bila
v
7
c. P(T<2.365) bila v = 7 d. P(-1.356
-2.567) bila v = 17 f. P( t 0.005
T t 0.01 )
g. P( (T t 0.025 ) 4. Diberikan sebuah contoh acak berukuran 24 yang ditarik dari suatu populasi normal, tentukan k bila a. P(-2.069
58
8 8.1
PENDUGAAN PARAMETER
Penduga Paramater Dalam Statistika dikenal adanya istilah parameter dan statistik. Parameter adalah nilai
penciri dari suatu data populasi, diantaranya nilai tengah populasi ( ), ragam populasi ( 2), proporsi populasi (P) dan lain-lain. Sedangkan statistik adalah nilai penciri dari suatu data contoh, diantaranya nilai tengah contoh ( x ), ragam populasi (s 2), proporsi populasi (p) dan lain-lain. Untuk memperoleh gambaran yang baik mengenai populasi, maka statistik yang ˆ
dipakai untuk menduga parameter haruslah merupakan penduga yang baik, yaitu penduga yang mempunyai tiga ciri : a.
merupakan penduga tak bias dari , yaitu E( ) ˆ
ˆ
= , artinya harapan penduga , sama ˆ
dengan . b.
merupakan penduga yang efisien, artinya bila ada lebih dari satu penduga, maka penduga ˆ
yang efisien adalah penduga yang mempunyai variansi paling kecil c.
merupakan penduga yang konsisten, artinya bila sampel yang diambil makin besar, maka ˆ
nilai
akan semakin mendekati nilai . ˆ
Sebuah nilai bagi suatu statistik ˆ
. Misalnya nilai
populasi
disebut ˆ
suatu nilai dugaan bagi parameter
x bagi statistik X , yang dihitung dari suatu contoh berukuran n,
merupakan nilai dugaan bagi parameter populasi . Begitu pula p ˆ
x n
merupakan suatu nilai
dugaan bagi proporsi sebenarnya p dalam suatu percobaan binom .
Ada dua jenis penduga parameter yaitu: a. Penduga titik Bila nilai parameter dari populasi hanya diduga dengan memakai satu nilai statistik
dari sampel yang diambil dari populasi tersebut, maka statistik disebut pendugaan ˆ
ˆ
titik.
Contoh : a. x merupakan penduga titik bagi parameter populasi . 2
b. S merupakan penduga titik bagi c. p ˆ
x n
2
merupakan penduga titik bagi proporsi sebenarnya p
59
b. Pendugaan selang Suatu dugaan selang bagi parameter populasi adalah suatu selang yang berbentuk
1 ˆ
2 , dengan ˆ
1 ˆ
dan 2 bergantung pada nilai statistik ˆ
tertentu dan juga pada sebaran penarikan contoh bagi
Bila P( 1
untuk suatu contoh ˆ
. ˆ
2 ) = 1 - , untuk 0< <1, maka kita mempunyai peluang 1- untuk
ˆ
ˆ
memperoleh suatu contoh acak yang menghasilkan suatu selang yang mengandung . Selang
1 ˆ
2 ,
yang dihitung dari contoh yang terpilih, disebut selang kepercayaan (1-
ˆ
)100%, nilai 1- , disebut koefisien kepercayaan atau derajat kepercayaan , dan kedua
titik ujungnya, 1 ˆ
dan 2 , masing-masing disebut batas kepercayaan sebelah atas dan ˆ
sebelah bawah.
8.2
Pendugaan Nilai tengah Bila x adalah nilai tengah contoh acak berukuran n yang diambil dari suatu populasi 2
dengan ragam diketahui, maka selang kepercayaan (1-)100%, bagi adalah
x z / 2
n
x z / 2
,
n
sedangkan z / 2 adalah nilai z yang luas daerah di sebelah kanan di bawah kurva normal baku adalah /2. Galat baku pendugaan , bila x digunakan untuk menduga , kita percaya (1- )100%, bahwa galatnya tidak melebihi z / 2
n
. Ukuran Contoh bagi pendugaan , bila x digunakan
untuk menduga , kita boleh percaya (1- )100%, bahwa galatnya tidak melebihi suatu niali tertentu e bila ukuran contohnya diambil sebesar n =
z / 2 e
2
Bila x dan s adalah nilaitengah dan simpangan baku contoh acak berukuran n<30, yang diambil dari suatu populasi berbentuk genta dengan ragam
2 tidak diketahui, maka selang
kepercayaan (1- )100%, bagi adalah
x t / 2
s n
x t / 2
s
,
n
sedangkan t / 2 adalah nilai t dengan v = n – 1 derajat bebas yang di sebelah kanannya terdapat daerah seluas /2.
60
Contoh 8.1
Dari data contoh berukuran 15 diperoleh nilai tengah contoh dan ragam contoh sebagai berikut:
x = 10.366 s2 = 1.946 Penduga bagi parameter nilai tengah populasi adalah sebagai berikut: x
s x
10.366 2
s / n
1.395 /
15
.....
Sedangkan penduga selang untuk nilai tengah populasi dengan tingkat kepercayaan 95 % adalah:
x – t(0.025;db=14) s/n x + t(0.025;db=14) s/n 10.366 – 2.145 x 1.395/ 15 10.366 + 2.145x 1.395/ 15 10.366 – 0.773 10.366 + 0.773 9.593 11.139
8.3
Pendugaan Beda Dua Nilai Tengah Populasi Bila x1 dan x 2 masing-masing adalah nilaitengah contoh acak bebas berukuran n1 dan 2
n2 yang diambil dari populasi dengan ragam 1 kepercayaan (1- )100%, bagi 1
( x1 x 2 ) z / 2
12 n1
dan 22 yang diketahui, maka selang
2 adalah : 22 n2
< 1
2 < ( x1 x 2 ) z / 2
12
n1
22 n2
,
sedangkan dalam hal ini z / 2 adalah nilai peubah normal baku z yang luas daerah di sebelah kanannya sebesar /2. Bila x1 dan x 2 masing-masing adalah nilaitengah contoh acak bebas berukuran kecil n1 2
dan n2 yang diambil dari dua populasi yang hampir normal dengan ragam sama 1 tidak diketahui nilainya, maka selang kepercayaan (1- )100%, bagi 1
( x1 x 2 ) t / 2 s p
1 n1
1 n2
< 1
2 < ( x1 x 2 ) t / 2 s p
22
yang
2 adalah :
1 n1
1 n2
,
sedangkan dalam hal ini sp adalah nilai dugaan gabungan bagi simpangan baku populasi, dan
t / 2 adalah nilai t dengan v = n1+n2-2 derajat bebas yang luas daerah di sebelah kanannya sebesar /2.
61
s
2 p
(n1
1) s12 (n 2 1)s 22 n1 n2 2
Contoh 8.2
Dua buah perusahaan yang saling bersaing dalam industri kertas karton saling mengklaim bahwa produknya yang lebih baik, dalam artian lebih kuat menahan beban. Untuk mengetahui produk mana yang sebenarnya lebih baik, dilakukan pengambilan data masing-masing sebanyak 10 lembar, dan diukur berapa beban yang mampu ditanggung tanpa merusak karton. Datanya adalah : Perusahaan A Perusahaan B
30 50
35 60
50 55
45 40
60 65
25 60
45 65
45 65
50 50
40 55
a. Hitunglah rataan dan ragam dari kedua data perusahaan tersebut. Jawab
x1
x 2
30 35
40
10 50 60
42,5
55
10
2 1
s
56,5
s
2 2
n
x x 2 1
2
i
n(n 1) n
x x 2 2
n (n 1)
2
i
10(19025) - (425) 2 10(9) 10(32525) - (565)
2
10(9)
106.94 66.94
b. Buatlah selang kepercayaan 90% bagi selisih rataan perusahaan B dengan perusahaan A, dengan mengasumsikan ragam kedua populasi sama. Jawab
( x 2
x1 ) t (
s
2
,db ) p
(1 / n2 ) (1 / n1 )
2 1 ( x 2 x1 ) t (
(56,5 42,5) t ( 0 ,05;18) 9,32 1 / 10 1 / 10 14 1,734(4,17) 2 6,77 2
s
2
, db ) p
(1 / n 2 ) (1 / n1 )
2 1 (56,5 42,5) t ( 0, 05;18) 9,32
1 / 10 1 / 10
1 14 1,734( 4,17)
1 21,23
catatan : karena ragam sama, maka : 1) db = n1 + n2 – 2 2) ragam gabungan : s
2 p
(n1
2
1) s12 (n2 1) s 22 9(106,94) 9(66,94) 86.94 n1 n 2 2 18 2
Bila x1 dan s1 , dan x 2 dan s 2 masing-masing adalah nilaitengah dan ragam contoh acak bebas berukuran kecil n1 dan n2 yang diambil dari dua populasi yang mendekati normal 2
dengan ragam tidak sama 1
)100%, bagi 1
22
yang tidak diketahui nilainya, maka selang kepercayaan (1-
2 adalah : 62
2
s1
( x1 x 2 ) t / 2
n1
2
s2
n2
2
< 1
s1
2 < ( x1 x 2 ) t / 2
n1
2
s2
n2
,
sedangkan dalam hal ini t / 2 adalah nilai t dengan derajat bebas
s 22 / n2 ) 2 v [( s12 / n1 ) 2 /(n1 1)] [( s 22 / n 2 ) 2 /(n2 1)] (s12 / n1
yang luas daerah di sebelah kanannya sebesar /2. Contoh 8.3
Jika pada contoh 8.2 ingin diduga selang kepercayaan 90% bagi selisih rataan perusahaan B dengan perusahaan A, dengan mengasumsikan ragam kedua populasi berbeda, maka dugaan selangnya adalah: ( x 2
x1 ) t ( ,db)
( s 2 / n2 ) ( s1 / n1 ) 2
2
2
2 1 ( x 2 x1 ) t ( ,db) 2
(56,5 42,5) t ( 0, 05;17) 66,94 / 10 106,94 / 10 14 1,74(4,17) 2 6,74 2
( s 2 / n2 ) ( s1 / n1 ) 2
2
2 1 (56,5 42,5) t (0,05;17 )
66,94 / 10 106,94 / 10
1 14 1,74( 4,17)
1 21,26
ingat : karena ragam tidak sama, maka :
db
8.4
(s12 / n1 s22 / n2 ) 2 (s12 / n1 ) 2 /(n1 1) (s22 / n2 ) 2 /(n2 1)
(10.34 / 10 8.18 / 10) 2
2
2
(10.342 / 10) 2 / 9 (8.182 / 10) 2 / 9
17,10 17
Pendugaan Proporsi Bila p adalah proporsi keberhasilan dalam suatu contoh acak berukuran n, dan q =1ˆ
ˆ
p , maka selang kepercayaan (1- )100%, bagi parameter binom p adalah : ˆ
p z / 2
pq ˆ
ˆ
ˆ
pq ˆ
ˆ
ˆ
n
n
,
sedangkan dalam hal ini z / 2 adalah nilai peubah normal baku z yang luas daerah di sebelah kanannya sebesar /2. Bila p digunakan sebagai nilai dugaan titik bagi p, maka kita dapat percaya (1- )100%, ˆ
bahwa galatnya tidak lebih besar dari z / 2
pq ˆ
ˆ
n
63
Bila p digunakan untuk menduga p, maka kita dapat percaya (1-)100%, bahwa ˆ
galatnya tidak melebihi suatu besaran tertentu e bila ukuran contohnya diambil sebesar
n
z 2 / 2 pq ˆ
e
ˆ
2
Contoh 8.4
Suatu perusahaan mempunyai 1250 karyawan. Pihak manajemen ingin mengetahui besarnya proporsi yang merasa kurang puas dengan jaminan sosial yang mereka terima. Untuk maksud itu diambil sampel sebanyak 100 orang dan dari hasil wawancara ternyata ada 10 orang yang menyatakan kurang puas dengan jaminan sosial yang diterimanya. a. Bila manajer perusahaan itu dalam memperkirakan menggunakan interval kepercayaan 99%, maka dugalah interval proporsi karyawan di perusahaan tersebut yang kurang puas dengan jaminan sosial yang mereka terima. Jawab :
p ˆ
x / n 10 / 100 0,1 p z
p (1 p ) / n
ˆ
ˆ
ˆ
2
p p z
p(1 p ) / n
ˆ
ˆ
ˆ
2
0,1 z 0, 005 0,1(0,9) / 100 p 0,1 z 0,005 0,1(0,9) / 100 0,1 2,565(0,03) p 0,1 2,565(0,03) 0,02 p 0,18 b. Berapa banyak sampel yang harus diambil agar kita bisa percaya 99% bahwa proporsi dalam sampel paling jauh berjarak 0.03 dari proporsi populasinya. 2
n
8.5
z / 2
4g 2
2,565
2
4(0,03) 2
1827,56 1828
Pendugaan Beda Dua Proporsi Bila p1 dan p 2 masing-masing adalah proporsi keberhasilan dalam suatu contoh acak ˆ
ˆ
berukuran n1 dan n2, serta q1 =1- p1 dan q2 =1- p 2 , maka selang kepercayaan (1- )100%, bagi ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
selisih antara dua parameter binom p1 dan p2 adalah :
( p1 ˆ
p 2 ) z / 2
p1q1 ˆ
ˆ
ˆ
n1
p 2 q 2 ˆ
ˆ
n2
p 2 ) z / 2
p1 q1 ˆ
ˆ
ˆ
n1
p 2 q 2 ˆ
ˆ
n2
sedangkan dalam hal ini z / 2 adalah nilai peubah normal baku z yang luas daerah di sebelah kanannya sebesar /2.
64
8.6
Latihan Soal
1. Jelaskan kriteria-kriteria penduga yang baik ? 2. Diketahui suatu populasi mahasiswa berukuran 500 orang. Dari populasi tersebut diambil sampel acak sebanyak 100 orang, kemudian diukur berat badannya. Ternyata rata-rata berat badan mahasiswa adalah 60 kg dengan simpangan baku 10 kg. a. buatlah interval kepercayaan 90% b. berapa interval kepercayaannya agar rata-rata populasi terletak antara 58<<62 c. berapa sampel yang diperlukan agar kita percaya 90% bahwa rata-rata sampel berjarak paling banyak 5 kg dari rat-rata sebenarnya ? 3. Untuk menduga dinamika migrasi penduduk dalam penerapan otonomi daerah, sebuah konsultan mensurvei daerah BOTABEK (Bogor, Tangerang, Bekasi) dan menemukan 12% dari sampel acak sebanyak 2300 keluarga akan keluar dari BOTABEK ke daerah asal. Jika perkiraan populasi keluarga di BOTABEK sebanyak 7.800.000 keluarga, bentuklah dugaan interval kepercayaan 95% atas jumlah keluarga yang akan keluar dari BOTABEK ke daerah asal 4. Pada tahap pemasaran perumahan baru, sebuah developer akan memperoleh imagenya melalui perbaikan sarana umum yang ada di perumahan yang lama (seperti perbaikan jalan, taman, dst). Dari sampel 50 yang diambil secara acak sebelum ada perbaikan sarana umu diketahui ada 10 responden yang mempunyai image kurang baik terhadap developer tersebut. Setelah dilakukan perbaikan sarana umum, ternyata masih terdapat 7 dari 48 responden yang mempunyai image kurang baik terhadap developer. Dengan tingkat kepercayaan 95%, buatlah pendugaan proporsi untuk image developer sebelum dan setelah perbaikan sarana umum. Dari pendugaan tersebut, apakah bisa dikatakan ada peningkatan image bagi developer 5. Suatu perusahaan mempunyai 1250karyawan. Pihak manajemen ingin mengetahui besarnya proporsi yang merasa kurang puas dengan jaminan social yang mereka terima. Untuk maksud itu diambil sampel sebanyak 100 orang dan dari hasil wawancara ternyata ada 10 orang yang menyatakan kurang puas dengan jaminan social yang diterimanya. a. Bila manajer perusahaan itu dalam memperkirakan menggunakan interval kepercayaan 99%, maka berapa proporsi seluruh karyawan di perusahaan tersebut yang kurang puas dengan jaminan social yang mereka terima b. Berapa banyak sampel yang harus diambil agar kita bisa percaya 99% bahwa proporsi dalam sampel paling jauh berjarak 0.03 dari proporsi populasinya. 6. Suatu perusahaan rokok menghasilkan dua jenis rokok, yaitu filter dan kretek. Pimpinan perusahaan itu mengatakan bahwa penjualan rokok filter lebih besar 8% daripada rokok kretek. Dari sampel diperoleh bahwa ternyata 42 diantara 200 perokok lebih menyukai
65
filter dan 18 di antara 150 perokok lebih menyukai kretek. Buatlah interval kepercayaan 95% untuk perbedaan persentase penjualan dua jenis rokok tersebut. Simpulkan apakah selisih sebesar 8% yang dinyatakan pimpinan perusahaan tersebut bisa diterima ? 7. Suatu sampel acak sebanyak 8 batang rokok merk tertentu mempunyai rata-rata kadar nikotin 3.5 mg dan simpangan baku 1 mg. Buatlah interval kepercayaan 99% untuk rata-rata nikotin yang sesungguhnya rokok merk itu, bilamana diasumsikan kadar nikotin tersebut menyebar normal 8. Dari sampel acak 12 mahasiswi suatu perguruan tinggi, diperoleh bahawa rata-rata uang saku bulanannya adalah Rp 500.000,00 denag simpangan baku Rp 50.000,00. Bila diasumsikan uang saku menyebar normal, buatlah selang kepercayaan 90% untuk rata-rata uang saku mahasiswi tersebut. 9. Data berikut menunjukkan masa putar (dalam puluhan menit) film yang diproduksi dua perusahaan Perusahaan A
11 9 10 7 15 12 8 10 13 14
Perusahaan B
10 9 12 9
8
7 9
6
8 15
Buatlah interval kepercayaan 95% untuk beda rata-rata masa putar film yang diprodukasi oleh dua perusahaan tersebut, jika di asumsikan masa putar film mempunyai sebaran normal dengan ragam tidak sama.
66
9
9.1
PENGUJIAN HIPOTESIS
Hipotesis Statistik Sering permasalahan yang kita hadapi tidak hanya menyangkut pendugaan parameter
suatu populasi, tetapi juga menyangkut cara pengambilan keputusan berdasarkan data yaitu pengujian hipotesis. Hipotesis merupakan suatu asumsi atau anggapan yang bisa benar atau bisa salah mengenai suatu hal dan dibuat untuk menjelaskan suatu hal tersebut sehingga memerlukan pengecekan lebih lanjut. Bila hipotesis yang dibuat itu secara khusus berkaitan dengan
parameter populasi, maka hipotesis itu disebut hipotesis statistik. Jadi hipotesis statistik adalah suatu asumsi atau anggapan atau pernyataan atau dugaan mengenai satu atau lebih populasi. Langkah-langkah atau prosedur yang dilakukan dengan tujuan untuk memutuskan apakah kita menerima atau menolak hipotesis mengenai parameter populasi disebut pengujian hipotesis. Jadi pada pengujian hipotesis kita ingin mengetahui atau menguji apakah parameter
satu populasi, yaitu sama dengan nilai tertentu yaitu 0 atau tidak. Kalau kita mempunyai dua populasi masing-masing dengan parameter 1 dan 2, kita ingin menguji apakah 1 = 2, dan sebagainya. Untuk suatu hipotesis yang dibuat, hanya dua kemungkinan yang akan kita putuskan, yaitu kita akan menolak hipotesis atau kita akan menerima hipotesis, setelah kita manghitung statistik dari sampel. Menolak hipotesis artinya kita menyimpulkan bahwa hipotesis tidak benar, sedangkan menerima hipotesis artinya tidak cukup informasi/bukti dari sampel untuk menyimpulkan bahwa hipotesis harus kita tolak. Artinya walaupun hipotesis itu kita terima,
tidak berarti bahwa hipotesis itu benar. Sehingga dalam membuat rumusan pengujian hipotesis, hendaknya selalu membuat pernyataan hipotesis yang diharapkan akan diputuskan untuk ditolak. Hipotesis yang dirumuskan dengan harapan untuk ditolak disebut hipotesis nol yang ditulis H0. Penolakan hipotesis nol akan menjurus pada penerimaan hipotesis alternatif atau hipotesis tandingan yang ditulis H 1 atau Ha . Contoh 9.1 1. Pengujian hipotesis bahwa suatu jenis obat baru lebih efektif untuk menurunkan berat badan. Maka rumusan hipotesisnya adalah : H0 : obat baru = obat lama H1 : obat baru lebih baik dari obat lama 2. Pengujian hipotesis bahwa teknologi baru dapat meningkatkan kualitas buah-buahan. H0 : teknologi baru = teknologi lama H1 : teknologi baru teknologi lama
67
3. Seorang dokter menyatakan bahwa, lebih dari 60% pasien yang menderita sakit paruparu di suatu rumah sakit adalah karena merokok. H0 : p = 0.6 H1 : p 0.6
9.2
Pengujian Hipotesis Dalam membuat rumusan pengujian hipotesis, hendaknya kita selalu membuat
pernyataan hipotesis yang diharapkan akan diputuskan untuk ditolak. Hipotesis yang dirumuskan dengan harapan akan ditolak biasanya disebut sebagai hipotesis nol/awal, yang dilambangkan dengan H 0 . Ini menyatakan bahwa setiap hipotesis yang ingin diuji dinyatakan
dengan H 0. Penolakan H 0 mengakibatkan penerimaan suatu hipotesis alternatif atau hipotesis tandingan yang dilambangkan dengan H 1 . Suatu H 0 mengenai suatu parameter populasi akan
selalu dinyatakan sedemikian rupa sehingga parameter tersebut nilainya tertentu (satu nilai), sedangkan H1 memungkinkan beberapa nilai. Ada beberapa dasar yang dapat digunakan untuk merumuskan hipotesis, antara lain (1) berdasarkan pengetahuan yang diperoleh dari teori, (2) berdasarkan hasil penelitian terdahulu, (3) berdasarkan pengalaman, atau (4) berdasarkan ketajaman berpikir.
Seperti telah dijelaskan sebelumnya bahwa kebenaran atau ketidakbenaran suatu hipotesis tidak pernah diketahui secara pasti. Dengan adanya faktor ketidakpastian ini mengakibatkan timbulnya suatu resiko/kesalahan yang harus ditanggung oleh pembuat keputusan itu sendiri.
Dalam pengujian hipotesis dikenal dua jenis kesalahan, yaitu kesalahan
jenis I (galat I) dan kesalahan jenis II (galat II). Galat I adalah kesalahan akibat menolak hipotesis nol, padahal hipotesis nol benar . Sedangkan galat II adalah kesalahan akibat menerima hipotesis nol padahal hipotesis nol tersebut salah. Peluang melakukan galat I disebut taraf nyata uji dilambangkan dengan , sedangkan peluang melakukan galat II dilambangkan dengan .
Hubungan antara hipotesis nol, keputusan, jenis kesalahan, dan peluang melakukan jenis kesalahan secara ringkas disajikan pada tabel berikut. Tabel Jenis kesalahan dalam menolak dan menerima hipotesis nol Keadaan yang sesungguhnya Keputusan
Hipotesis nol (H0) benar
Hipotesis nol (H0) salah
Menolak H0
Galat I, = P(Galat I)
Keputusan tepat, K=1-
Menerima H0
Keputusan tepat, 1 -
Galat II, =P(Galat II)
68
Oleh karena menyatakan peluang menolak H0 yang benar, maka kita mengharapkan nilai sekecil mungkin. Sebab tidaklah pantas sesuatu yang sesungguhnya benar kita tolak. Demikian juga dengan yang menyatakan peluang menerima H 0 yang salah, kita mengharapkan nilainya juga sekecil mungkin, karena tidak pantas juga sesuatu yang salah kita terima. Namun dalam kenyataannya memperkecil atau membuat dan sekecil mungkin secara sekaligus tidaklah mungkin, karena ternyata ada hubungan antara dengan , yaitu memperkecil nilai akan mengakibatkan membesarnya nilai , demikian juga sebaliknya. Usaha untuk memperkecil nilai dan dapat dilakukan dengan memperbesar ukuran contoh. Dalam praktek pengujian hipotesis, nilai yang sering digunakan adalah 0,05 dan 0,01. Jika yang digunakan adalah 0,05, dapat diartikan bahwa kira-kira sebanyak 5 dari setiap 100 kasus bahwa kita akan menolak Ho yang benar. Dengan kata lain, ada keyakinan 95% bahwa kita telah mebuat keputusan atau kesimpulan yang benar. Untuk setiap pengujian dengan memakai nilai tertentu, kita dapat menghitung nilai
. Ternyata bahwa nilai ini tergantung pada nilai parameter populasi, yaitu , sehingga dapat dinyatakan sebagai suatu fungsi, yaitu (), yang disebut fungsi ciri operasi (CO). Nilai K = 1 - disebut kuasa uji. Kuasa uji adalah peluang menolak Ho bilai suatu tandingan tertentu benar. Jika K( ) = 1 - ( ) , maka K( ) disebut fungsi kuasa.
Beberapa sifat penting dalam pengujian hipotesis : -
Galat I dan galat II saling berhubungan. Menurunnya peluang yang satu akan menaikkan peluang yang lain.
-
Ukuran wilayah kritik, yang berarti juga peluang melakukan galat jenis I, selalu dapat diperkecil dengan mengubah nilai kritiknya.
-
Peningkatan ukuran contoh n akan memperkecil dan secara bersama-sama.
-
Bila hipotesis nolnya salah, nilai akan sangat besar bila nilai parameternya dekat dengan nilai yang dihipotesiskan. Semakin besar jarak antara nilai yang sesungguhnya dengan nilai yang dihipotesiskan, maka semakin kecil nilai .
Contoh 9.2
Suatu jenis deterjen baru diduga dapat mencuci bersih 70% dari bercak pada pakaian. Untuk menguji dugaan ini, deterjen ini digunakan pada 12 bercak yang dipilih secara acak. Bila kurang dari 11 bercak yang hilang maka dugaan kemampuan deterjen tersebut dalam mencuci 70% dari bercak pakaian diterima. a. hitunglah galat I dengan menganggap bahwa p = 0,7 b. hitunglah galat II jika ternyata p = 0,9 Jawab Hipotesis : Ho : p = 0,7 vs H1 : p > 0,7
69
X = banyaknya bercak pakaian yang berhasil dicuci Nilai kritis : 11
a. P ( galat I ) P ( X 11 | p 12
b ( x;12,0.7) 1
x 11
b.
0,7)
10
b( x;12,0.7) 1 0.915 0.085 x 0
P( galat II ) P( X 11 | p
10
0,9) b( x;12,0.9) 0.341 x 0
Contoh 9.3
Suatu contoh acak 400 pemilih di suatu kota ditanya apakah mereka mendukung kenaikan 4% tarip listrik untuk penerangan jalan yang amat diperlukan. Bila lebih dari 220 tapi kurang dari 260 pemilih yang mendukung kenaikan tarip maka disimpulkan bahwa 60% pemilih mendukung. a. cari peluang melakukan galat I bila 60% pemilih yang mendukung kenaikan tarif. b. Berapa peluang melakukan galat II dalam prosedur pengujian ini bila sesungguhnya hanya 48% dari pemilih yang mendukung kenaikan tarif listrik ? Jawab Hipotesis :
Ho : p = 0,6
vs
H1 : p 0,6
Nilai kritis : 220 < X < 260 Karena n besar, maka untuk menghitung galat I dan galat II digunakan hampiran normal. a. menghitung
= np = 400(0.6) = 240 = (npq) = {400(0.6)(0.4)} = 9.80 nilai kritis menjadi : 220.5 < X < 259.5
P( galat I ) P( X 220 | p
0.6) P( X 260 | p 0.6) P( X 219.5 | 240) P( X 260.5 | 240) X 219.5 240 X 260.5 240 P( ) P( )
9.80 9.80 P( Z 2.09) P( Z 2.09) 2 P( Z 2.09) 2(0.0183) 0.0366
b. menghitung
= np = 400(0.48) = 192 = (npq) = {400(0.48)(0.52)} = 9.99 P( galat II ) P(220 X 260 | p 0.48) P (220.5 X 259.5 | 192)
P(
219.5 192
X
260.5 192
) P(2.75 Z 6.86) 9.99 9.99 P( Z 6.86) P( Z 2.75) 1 0.997 0.003
70
9.3
Uji Satu Arah Dan Dua Arah Suatu uji hipotesis statistik yang alternatifnya bersifat satu-arah, seperti 1. H o : o dan H 1 : 0 atau
2. H o : o
dan H 1 : o
disebut uji satu-arah. Wilayah kritik bagi bagi hipotesis alternatif > 0 terletak seluruhnya di ekor kanan sebaran tersebut, sedangkan wilayah kritik bagi hipotesis alternatif < 0 terletak seluruhnya di ekor kiri. Dalam pengertian ini, tanda ketaksamaan menunjuk ke arah wilayah kritiknya. Uji hipotesis statistik yang alternatifnya bersifat dua-arah, seperti
H o : o H 1 : o disebut uji dua arah, karena wilayah kritiknya dipisah menjadi dua bagian yang ditempatkan di masing-masing ekor sebaran statistik ujinya. Hipotesis alternatif 0 menyatakan bahwa < 0 atau > 0. Hipotesis
nol, H0,
akan selalu dituliskan dengan tanda kesamaan sehingga
menspesifikasi suatu nilai tunggal. Dengan cara demikian, peluang melakukan galat I dapat dikendalikan. Apakah kita harus menggunakan uji satu-arah atau dua-arah, bergantung pada kesimpulan yang akan ditarik bila H0 ditolak. Sebagai contoh, sebuah peusahaan rokok menyatakan bahwa kadar nikotin rata-rata rokok yang diproduksinya tidak melebihi 2,5 miligram. Pernyataan dari perusahaan tersebut dapat ditolak jika rata-rata () lebih besar dari 2,5 miligram dan dapat diterima jika lebih kecil atau sama dengan 2,5 miligram. Dengan demikian kita akan menguji H0 : = 2,5 H1 : > 2,5 Meskipun kita menuliskan hipotesis nol-nya dengan tanda sama dengan, namun itu harus dipahami sebagai mencakup semua nilai yang tidak dicakup oleh hipotesis alternatifnya. Akibatnya, menerima H0 tidak boleh diimplikasikan bahwa tepat sama dengan 2,5 miligram, namun harus diartikan bahwa kita tidak mempunyai bukti yang cukup untuk mendukung H 1. Beberapa langkah yang perlu diperhatikan dalam pengujian hipotesis: 1. Tuliskan hipotesis yang akan diuji Ada dua jenis hipotesis: a. Hipotesis sederhana Hipotesis nol dan hipotesis alternatif sudah ditentukan pada nilai tertentu H0 : = 0 H0 : 2 = 02 H0 : P = P0
vs vs vs
H1 : = 1 H0 : 2 = 12 H0 : P = P1
71
b. Hipotesis majemuk Hipotesis nol dan hipotesis alternatif dinyatakan dalam interval nilai tertentu b.1. Hipotesis satu arah H0 : 0 vs H0 : 0 vs
H1 : < 0 H1 : > 0
b.2. Hipotesis dua arah H0 : = 0 vs
H1 : 0
2. Deskripsikan data sampel yang diperoleh (hitung rataan, ragam, standard error dll) 3. Hitung statistik ujinya Statistik uji yang digunakan sangat tergantung pada sebaran statistik dari penduga parameter yang diuji. Misalnya H0: = 0 maka x maka statistik ujinya bisa t-student atau normal baku (z) ˆ
t h
x
0
s / n
atau z h
x
0
/ n
4. Tentukan batas kritis atau daerah penolakan H0 Daerah penolakan H0 sangat tergantung dari bentuk hipotesis alternatif (H1). Misalnya, H1: < 0 Tolak H0 jika th < -t(; db)(tabel) H1: > 0 Tolak H0 jika th > t(; db)(tabel) H1: 0 Tolak H0 jika |th | > t(/2; db)(tabel) 5. Tarik kesimpulan
9.4
Uji Rataan Populasi
Berikut ini adalah pengujian rataan populasi untuk satu populasi No 1
Bentuk hipotesis H0 : = 0 vs H1: 0
Statistik uji a. Contoh kecil & ragam pop tidak diketahui
t h
x 0 s / n
b. Contoh besar atau ragam pop diketahui
z h
Daerah kritis (Daerah penolakan H0) |th | > t(/2; db=n-1)(tabel)
x 0
/ n
72
|zh | > z(/2)(tabel)
2
H0 : 0 vs H1 : < 0
Sda
th < -t(; db=n-1)(tabel) zh < -z()(tabel)
3
H0 : 0 vs H1 : > 0
Sda
th > t(; db=n-1)(tabel) zh > z()(tabel)
Contoh 9.4
Pemerintah berencana untuk melaksanakan sebuah program peningkatan mutu siswa. Dari sebuah sekolah diketahui bahwa sebelum dilaksanakan program tersebut, rata-rata nilainya adalah 7,1. Untuk melaksanakan program tersebut, sebanyak 40 siswa secara acak dipilih dari sekolah tersebut. Data baru yang diperoleh memiliki rata-rata 7,3 dengan simpangan baku 0,15. Berhasilkah program tersebut (gunakan alpha 5%) ? Jawab Karena yang ingin diketahui apakah ada peningkatan mutu pendidikan setelah diadakan program tersebut, maka : -
hipotesisnya : H0 : = 7.1 vs H1 : > 7.1.
-
titik kritis : Z0,05 = 1,645 (digunakan uji Z karena n relatif besar , n = 40)
-
Stat. Uji : Z hitung
-
Karena Zhitung > 1,645 maka tolak H 0, artinya ada peningkatan rata-rata nilai setelah diadakan program peningkatan mutu siswa tersebut sehingga dapat dikatakan bahwa program tersebut berhasil dilaksanakan.
X o s x
7,1 7,3 0,15 / 40
8,43
Contoh 9.5
Batasan yang ditentukan oleh pemerintah terhadap emisi gas CO kendaraan bermotor adalah 50 ppm. Sebuah perusahaan baru yang sedang mengajukan ijin pemasaran mobil, diperiksa oleh petugas pemerintah untuk menentukan apakah layak perusahan tersebut diberikan ijin. Sebanyak 20 mobil diambil secara acak dan diuji emisi CO-nya. Dari data yang didapatkan, rata-ratanya adalah 55 dan ragamnya 4.2. dengan menggunakan taraf nyata 5%, layakkan perusahaan tersebut mendapat ijin ? Jawab - Hipotesis H0 : = 50 vs H1 : > 50 titik kritis : t(0,05;19) = 1,729
X
Stat. Uji : t
-
Karena thitung > 1,729 maka tolak H0, artinya emisi gas CO kendaraan bermotor yang akan dipasarkan oleh perusahaan tersebut melebihi batasan yang ditentukan oleh pemerintah sehingga perusahaan tersebut tidak layak untuk memperoleh ijin untuk memasarkan mobilnya.
s x
55 50
-
2,05 / 20
10,91
73
Contoh 9.6
Seorang pelamar untuk jabatan salesmen menyatakan bahwa dia sanggup melakukan penjualan minimal 7 unit barang sehari. Untuk membuktikan hal itu, manajer personalia memberikan waktu selama 12 hari. Hasil penjualan selama tes tersebut adalah sebagai berikut : 4, 5, 8, 3, 6, 4, 4, 8, 7, 3, 4, 5. Ujilah apakah pernyataan orang tersebut didukung oleh data (gunakan alpha 10%). Jawab Untuk menguji pernyataan salesman bahwa dia sanggup menjual minimal 7 unit barang sehari , maka : Hipotesis H 0 : >= 7 vs H1 : < 7 -
titik kritis 10% : t(0,10;11) = 1,363, gunakan titik kritis –1,363
-
x
s
xi
n
2
x
4 5 ... 5 12
5,08 ;
n( x ) 2 (4 2 5 2 ... 5 2 ) 12(5,08) 2 3,174 n 1 11 x 0 5,08 7 3,73 : t 2 i
-
Stat. Uji
-
Karena thitung < -1,363 maka tolak H 0, artinya rata-rata penjualan barang oleh salesmen tersebut tidak lebih dari 7 unit barang per hari tetapi kurang dari 7 unit.
s x
1,78 / 12
Untuk menguji perbedaan dua nilai tengah populasi dapat dibedakan menjadi dua kasus yaitu kasus saling bebas dan kasus berpasangan. Berikut ini uji ipotesis untuk dua contoh saling bebas. No 1
Bentuk hipotesis H0 : 1-2 = 0 vs H1: 1-2 0
Statistik uji a. Contoh kecil & ragam pop tidak diketahui
t h
( x1 x 2 ) 0 s ( x1 x2 )
dimana:
s x1 x 2
1 1 ; 12 22 s g n1 n2 s 12 s 22 ; 2 2 1 2 n 1 n2
b. Contoh besar atau ragam pop diketahui
z h
( x1 x 2 ) 0 ( x1 x2 )
74
Daerah kritis (Daerah penolakan H0) |th | > t(/2; db)(tabel)
n1 n2 2; 12 22 db dbefektif ; 12 22
|zh | > z(/2)(tabel)
2
H0 : 1-2 0 vs H1 : 1-2 < 0
Sda
th < -t(; db)(tabel) zh < -z()(tabel)
3
H0 : 1-2 0 vs H1 : 1-2 > 0
Sda
th > t(; db)(tabel) zh > z()(tabel)
Sedangkan berikut ini adalah uji hipotesis untuk dua contoh yang berpasangan No 1
Bentuk hipotesis H0 : D = 0 vs H1: D 0
Statistik uji c. Contoh kecil & ragam pop tidak diketahui
t h
d 0 s / n
d. Contoh besar atau ragam pop diketahui
z h 2
H0 : D 0 vs H1 : D < 0
Daerah kritis (Daerah penolakan H0) |th | > t(/2; db=n-1)(tabel)
|zh | > z(/2)(tabel)
d 0
/ n Sda
th < -t(; db=n-1)(tabel) zh < -z()(tabel)
3
H0 : D 0 vs H1 : D > 0
Sda
th > t(; db=n-1)(tabel) zh > z()(tabel)
Kedua kasus tersebut dibedakan oleh metode pengambilan contohnya. Dua contoh dikatakan saling bebas jika pemilihan unit-unit contoh pertama tidak tergantung pada bagaimana unitunit contoh kedua dipilih dan sebaliknya. Sedangkan dua contoh dikatakan berpasangan jika pengambilan unit-unit contoh pertama memperhatikan bagaimana unit-unit contoh kedua dipilih.
Keterkaitan kedua contoh pada kasus berpasangan ditentukan oleh suatu peubah
kontrol (control variable) misal lokasi, kemiringan lahan, tingkat pendidikan, kondisi sosial ekonomi dan lain-lain. Contoh 9.7
Dua jenis program manajemen pemasaran diterapkan pada sebuah perusahaan retail untuk mengkaji program mana yang lebih efisien meningkatkan penjualan mingguan. Kedua program tersebut dievaluasi dengan cara mencatat penjualan selama 9 minggu. Program pertama mampu memberikan rata-rata nilai penjualan mingguan sebesar 230 juta dengan simpangan baku 10 juta, sedangkan program kedua rata-ratanya 210 juta dengan simpangan baku 9 juta.
75
Jika diasumsikan kedua kondisi sama, ujilah apakah kedua program memberikan hasil yang berbeda ? (gunakan 5%) Jawab Untuk mengkaji program mana yang lebih efisien, Hipotesisnya : H0 : 1 - 2 = 0 vs H1 : 1 - 2 0 -
titik kritis untuk = 5% :
t(0,025;16) = 2,120
(ingat : kondisi sama ragam sama,
sehingga db = n1+n2-2) -
-
ragam gabungan : s Stat. Uji : t
2 p
(n1
1) s12 (n2 1) s 22 8(100) 8(81) 90,5 n1 n 2 2 16
( x1 x 2 ) d 0 s p (1 / n 1 ) (1 / n2 )
230 210 0 9,51 1 / 9 1 / 9
4,46
Karena |thitung| > 2,120 maka tolak H 0, artinya ada perbedaan dalam tingkat efesiensi peningkatan penjualan mingguan antara program pertama dan yang kedua, di mana program yang lebih efisien adalah program yang pertama.
Contoh 9.8
Seorang mahasiswa Budidaya Pertanian ingin membandingkan produksi dari dua varietas kacang tanah. Kemudian kedua varietas kacang tanah tersebut ditanam pada delapan lokasi yang berbeda tetapi setiap varietas ada pada setiap lokasi. Data produksi (ton perhektar) kedua varietas tersebut diperoleh sebagai berikut : Varietas\lokasi
1
2
3
4
5
6
7
8
Var 1
6.25
5.30
7.10
6.45
6.00
4.83
5.40
6.80
Var 2
5.50
5.80
6.00
7.50
6.25
4.85
5.00
6.50
ujilah apakah kedua varietas memberikan hasil yang berbeda, jika berbeda mana yang menurut anda lebih baik? (gunakan 5%) Jawab Kasus di atas termasuk kasus pengamatan berpasangan, sehingga perlu dicari beda dari varietas 1 dan varietas 2, yaitu di : 0.75, -0.5, 1.1, -1.05, -0.25, -0.02, 0.4, 0.3 -
Hipotesis H0 : d = 0 vs H1 : d 0
-
titik kritis : t(0,025;7) = 2,365 nilai statistik :
-
d 2 s d
-
d
i
n
d
0.75 ( 0.5) ... 0.3 8
0.091
n(d ) 2 3.4379 8(0.091) 2 0.482 sd 0.694 n 1 7
2 i
Stat. Uji : t
d d s d / n
0.091 0 0.694 / 8
0.371
Karena thitung < 2,365 maka terima H0, artinya belum cukup bukti untuk menyimpulkan bahwa kedua varietas kacang tanah tersebut memberikan hasil produksi yang berbeda.
76
9.5
Latihan Soal
1. Jelaskan istilah berikut : a. hipotesis
b. hipotesis statistik
c. pengujian hipotesis statistik
d. hipotesis nol
e. hipotesis alternatif
f. kesalahan jenis I
g. kesalahan jenis II
h. taraf signikansi
i. uji satu arah
j. uji dua arah
k. niali kritis
l. nilai kritis
m. satistik uji
n. statistik hitung
2. Suatu perusahaan memproduksi lampu listrik yang umurnay mendekati sebaran normal dengan nilai rata-rata 80 jam dan simpangan baku 40 jam. Dengan menggunakan sampel acak sebanyak 30 lampu ternyata rata-rata umur lampu hanya 775 jam. Ujilah hipotesis bahwa = 800 dan lawan alternatifnya 800 jam, denagn memakai taraf signifansi = 0.01 3. Seorang pimpinan perusahaan ingin meningkatkan kualitas sumber daya karyawannya di bidang produksi. Dia berharap setelah mereka mengikuti kursus, cacat produksi bisa berkurang 10%. Pada suatu saat tertentu setelah para karyawan mengikuti kursus diketahui bahwa dari sampel sebanyak 20 produk yang diambilsecara acak ternyata terdapat 3 produk yang cacat. Dengan menganggap distribusi menyebar normal, apakah harapan pimpinan itu terbukti dalam sampel tersebut. Gunakan = 10% 4. Suatu perusahaan garmen ingin mengembangkan produksi kemeja. Pimpinan perusahaan menyatakan bahwa bila paling sedikit sebanyak 30% yang berminat membeli kemeja tersebut, maka perusahaan akan memperluas usahanya. Untuk itu diadakan penelitian yang melibatkan 200 responden dan ternyata terdapat 70 responden yang tertarik membeli kemeja tersebut. Dengan taraf = 1%, ujilah pernyataan pimpinan tersebut, apaakh ia akan memperluas usahanya atau tidak, dengan asumsi populasi menyebar normal. 5. Sebuah sampel yang terdiri atas 100 kendaraan bermotor masing-masing telah dipilih dari populasi kendaraan bermotor yang ada di Bekasi dan Bandung. Di Bandung ditemukan sebanyak 72 kendaraan yang telah melunasi pajak kendaraan, sedangkan di Bekasi hanya 66 kendaraan saja yang telah melunasi pajak kendaraan. Ujilah perbedaan proporsi kendaraan yang telah melunasi pajak di dua kota tersebut dengan memakai = 1%
77
10 ANALISIS REGRESI DAN KORELASI
Dalam penelitian ada kalanya dilakukan pengamatan terhadap lebih dari satu ciri terhadap tiap-tiap anggota contoh. Hubungan antara ciri-ciri yang diamati itu sering menarik perhatian, sehingga timbullah masalah korelasi dan regresi. Pada masalah korelasi dibicarakan keeratan hubungan antara dua ciri atau lebih, sedangkan pada masalah regresi kita menduga bentuk hubungan antara ciri-ciri tersebut.
10.1 Regresi Linear Sederhana Dalam kehidupan sehari-hari seringkali kita ingin melihat hubungan antar peubah. Umumnya suatu peubah bersifat mempengaruhi peubah lainnya, peubah pertama ini disebut peubah bebas sedangkan peubah yang kedua disebut peubah tak bebas. Secara kuantitatif hubungan antara peubah bebas dengan peubah tak bebas dapat dimodelkan dalam suatu persamaan matematik, sehingga kita dapat menduga nilai suatu peubah tak bebas bila nilai peubah bebas diketahui. Persamaan matematik yang menggambarkan hubungan antara peubah bebas dengan peubah tak bebas sering disebut persamaan regresi . Regresi linear sederhana adalah persamaan regresi yang menggambarkan hubungan antara satu peubah bebas (x) dan satu peubah tak bebas (y), di mana hubungan keduanya dapat digambarkan sebagai suatu garis lurus.
Sehingga hubungan kedua peubah tersebut dapat
dituiskan dalam bentuk persamaan : Yi = + Xi ……………(1) dengan : Yi = peubah tak bebas Xi = peubah bebas
= intersep / perpotongan dengan sumbu tegak
= kemiringan garis / gradien Dalam praktek, seringkali kita tidak dapat mengamati seluruh anggota populasi, sehingga hanya mengamati n buah contoh acak dan diperoleh pengamatan berukuran n serta dapat dilambangkan dengan {(xi, yi), I = 1, 2, …, n}. Persamaan yang kita peroleh adalah dugaan dari persamaan (1) dan dapat dituliskan :
Y i ˆ
a bX i
……..(2)
dengan a adalah penduga bagi dan b adalah penduga bagi .
78
Untuk peubah bebas xi, nilai pengamatan yi tidak akan selalu tepat berada pada garis persamaan (1) untuk garis regresi populasi atau pada persamaan (2) untuk garis regresi contoh. Dengan demikian akan terdapat simpangan sebesar i untuk populasi atau ei untuk contoh, sehingga diperoleh persamaan : Yi = + Xi + i (persamaan regresi populasi) ……..(3) Yi = a + bXi + ei (persamaan regresi contoh)
….…(4)
Untuk melihat pola hubungan antara X dan Y pertama-tama kita plotkan nilai pengamatan (xi, yi) pada bidang kuadran dua. Jika hasil plot menunjukkan pola titik-titik yang menyerupai garis lurus, maka penggunaan regresi linear sederhana untuk melihat pola hubungan antara kedua peubah tersebut sudah tepat.
10.2 Pendugaan Koefisien Regresi Untuk menduga parameter dan terdapat bermacam-macam metode yang dapat digunakan, salah satu diantaranya adalah metode kuadrat terkecil (MKT). Prinsip dasar dari MKT adalah meminimumkan jumlah kuadrat galat (JKG) antara data aktual (data yang diperoleh dari hasil pengamatan) dengan data dugaan. Secara matematik dapat dijabarkan sebagai berikut : Yi = + Xi + i dan Y i ˆ
a bX i
Sehingga diperoleh dugaan galat sebesar :
ei
i Y i Y i ˆ
ˆ
n
dan misalkan q
ei2 i 1
maka untuk mendapatkan penduga kuadrat terkecil dari parameter regresi adalah dengan meminimumkan nilai q, nilai q ini disebut juga JKG. Dengan menggunakan bantuan pelajaran kalkulus maka nilai dugaan parameter regresi dapat diperoleh sebagai berikut : n
b
( x
i
x )( yi y )
i 1
x
n
n
i 1
n
i
x
2
n
n
x y x y i
i 1
i
i
i 1
i 1
n 2 n xi xi i 1 i 1 n
2
i
dan
a
y bx
besaran nilai a dan b dapat diinterpretasikan sebagai berikut : pada saat x bernilai nol maka besarny nilai dugaan y adalah sebesar a, sedangkan nilai b menunjukkan besarnya perubahan nilai y jika terjadi perubahan pada nilai x satu-satuan.
79
10.3 Pengujian Hipotesis Bagi Koefisien Regresi Seperti halnya dalam pendugaan nilai tengah, maka penilaian tentang tingkat keyakinan terhadap hasil dugaan b memerlukan informasi tentang ragam dari b, atau lebih tepatnya adalah informasi tentang pola sebaran b. Untuk dapat mengetahui informasi ini, kita terlebih dahulu membuat beberapa asumsi mengenai model regresi. Berdasarkan persamaan (3), beberapa asumsi yang harus dipenuhi yaitu i adalah bebas terhadap sesamanya dan menyebar normal dengan nilai tengah nol dan ragam 2 [i (0, 2)]. Berdasarkan model (3) di atas, dengan konstanta dan sebagai parameter regresi dan xi bukan sebuah peubah acak, maka y i adalah suatu peubah acak yang menyebar normal dengan E(yi) = + xi dan Var(yi) = 2 untuk semua i. Nilai a dan b merupakan dugaan bagi parameter dan . Dengan pengambilan contoh acak berulangkali dapat diperoleh nilai dugaan yang berbeda bagi dan . Nilai-nilai dugan tersebut dapat dipandang sebagai nilai-nilai peubah acak A dan B. nilai-nilai A dan B tersebut tergantung pada keragaman nilai peubah acak Y 1, Y2, …, Yn. Penduga koefisien b adalah kombinasi linear dari peubah acak yi, yaitu berupa n
b
( x
x )( yi y )
i
i 1
n
x
x 2
i
n
n
wi ( yi y ) wi y i w1 y1 w2 y 2 i 1
wn y n
i 1
i 1
dengan wi
( xi
x )
n
x
i
n
; dan karena
x
wi
0,
n
maka
i 1
2
w y 0 i
i 1
i 1
dengan demikian b adalah peubah acak dengan nilai harapan
E (b) E (
n
n
n
n
w y ) w E ( y ) w ( x ) w w x i
i
i
i 1
karena nilai
i
i
i 1
n
w
i
0
n
i
i 1
n
maka x
i 1
sehingga
n
n
w w x 0 i
i 1
n
i
i 1
n
n
w x w x w x w ( x i
i 1
i
i
i 1
i
i 1
i
i
i 1
i
i
x ) 1
i 1
jadi b merupakan penduga tak bias bagi karena E(b) = .
80
i
i 1
n
i
wi xi i 1
Ragam dari b adalah n
Var (b) Var (
n
n
n
w y ) w Var ( y ) w i
2 i
i
i 1
2
2 i
i
i 1
y bx
i
x ) 2
i 1
2
n ( xi x ) 2 i 1
i 1
selanjutnya untuk nilai dugaan a
( x
2
2 n
( x
i
x ) 2
i 1
kita peroleh
E ( a ) E ( y b x ) E ( y ) x E (b) x
x
Var (a) Var ( y b x ) Var ( y ) ( x ) Var (b) 2
2
n
dan
2
( x ) n
( x
i
2
x ) 2
i 1
2 1 ( x ) 2 n n 2 x x ( ) i i 1
karena Y1, Y2, …, Yn bebas dan menyebar normal, maka A dan b juga menyebar normal dengan nilai tengah dan ragam seperti di atas. Karena ragam dari A dan B mengandung parameter 2 yang umumnya nilainya tidak diketahui, maka perlu dilakukan pendugaan untuk nilai tersebut. Parameter 2 merupakan ragam galat pada model yang menggambarkan keragaman acak dari keragaman galat percobaan di sekitar garis regresi. Penduga tak bias bagi 2 adalah s2, yaitu n
s
2
JKG n2
e
2 i
i 1
n2
bJ xy J yy b 2 J xx n2 n2
J yy
dengan : n
J xx
n
( xi x ) 2 xi2 i 1
J xy
i 1
n x i i 1 n
n
n
i 1
i 1
2
; J yy
( x i x )( y i y ) x i y i
n
n
i 1
i 1
( y i y ) 2 y i2
n y i i 1
2
n
n x n y i i i 1 i 1 n
Untuk menguji hipotesis apakah intersep bernilai tertentu (miaslnya k) dapat diuji dengan menggunakan statistik uji t, di mana hipotesisnya dapat dituliskan sebagai berikut : H0 : = k lawan H1 : k Statistik ujinya dapat dirumuskan sebagai berikut
81
t hitung
a k
Var (a )
a k sa
nilai statistik uji ini mengikuti sebaran t-student dengan derajat bebas n-2. Jika |t-hitung| > t(/2,
db=n-2)
atau jika peluang nyata lebih kecil dari nilai taraf nyata yang ditetapkan maka
hipotesis nol ditolak. Selang kepercayaan (1 - )100% bagi parameter adalah : a - t/2, (n-2) sa a + t/2, (n-2) sa dari selang kepercayaan ini dapat kita lihat kisaran nilai intersep yang dapat diyakini dengan tingkat keyakinan sebesar (1 - )100%. Untuk melihat apakah peubah X berpengaruh terhadap peubah Y juga dapat diuji dengan menggunakan uji t-student. Misalkan ingin diuji apakah perubahan setiap X satu-satuan akan mengakibatkan Y akan berubah sebesar k satuan, naka hipotesis dari pertanyaan ini dapat dituliskan sebagai berikut : H0 : = k H1 : k Statistik ujinya dapat dirumuskan sebagai berikut
t hitung
b k
Var (b)
b k sb
nilai statistik uji ini mengikuti sebaran t-student dengan derajat bebas n-2. Jika |t-hitung| > t(/2,
db=n-2)
atau jika peluang nyata lebih kecil dari nilai taraf nyata yang ditetapkan maka
hipotesis nol ditolak. Selang kepercayaan (1 - )100% bagi parameter adalah : b - t/2, (n-2) sb b + t/2, (n-2) sb
10.4 Peramalan / Pendugaan Bagi Y Dalam analisis regresi peubah X bersifat tetap. Untuk suatu contoh acak yang berukuran n pada nilai x yang sama kita mungkin mendapatkan nilai y yang bervariasi. Dengan kata lain nilai y i dalam pasangan (x i, yi) merupakan nilai suatu peubah acak Y dengan nilai tengah y dan ragam y2.
82
Persamaan Yi = a + bX i dapat digunakan untuk menduga y dari beberapa nilai y pada nilai x tertentu dan dapat pula digunakan untuk menduga nilai tunggal y 0 bila x = x0. Bila y0 = a + bx0 maka y0 akan menyebar normal dengan nilai tengah y0 sama dengan y pada x = x0 dan 2 y0
ˆ
1 ( x x ) 0 2 2 , dengan n (n 1) s x
s
n
1
( x n 1
2 x
i
x) 2
i 1
2
2
ˆ
ˆ
Penduga bagi y0 adalah s y0 . Untuk memperoleh nilai dugaan ini 2 diduga dengan s2. Adapun selang kepercayaan (1 - )100% bagi y untuk x = x 0 adalah :
t / 2,( n 2) s y2 y y 0 t / 2,( n 2) s y2
y 0 ˆ
ˆ
ˆ
0
ˆ
0
Untuk mendapatkan selang kepercayaan bagi sembarang nilai tunggal y0 dari peubah Y0, maka kita perlu menduga ragam selisih antara nilai y 0 yang diperoleh dari garis regresi bila ˆ
pengambilan contohnya dilakukan berulang-ulang pada x=x0 dengan y0 yang sesungguhnya. Kita dapat memandang y 0 ˆ
y 0 sebagai
nilai peubah acak Y 0 ˆ
Y 0 ,
yang sebaran penarikan
contohnya menyebar normal dengan nilai tengah dan ragam sebagai berikut :
E (Y 0 Y 0 ) 0 ˆ
y0 y0
2
dan
y0 y0
ˆ
2
2
ˆ
ˆ
ˆ
1 ( x0 x ) 2 2 1 2 n (n 1) s x
Penduga bagi y0 y0 adalah s y0 y0 . Agar nilai dugaan ragam ini diperoleh, maka 2 diduga dengan ragam contoh (s 2). Selang kepercayaan (1- )100% bagi nilai tunggal y0 bila x=x0 adalah
y 0 ˆ
t / 2,( n 2) s y2 y y0 y 0 t / 2,( n 2) s y2 y ˆ
ˆ
0
0
ˆ
0
0
10.5 Kesesuaian Model Ada beberapa petunjuk yang dapat digunakan untuk melihat kesesuaian dari model yang diperoleh, diantaranya : 1. koefisien determinasi (R2) yaitu suatu ukuran yang digunakan untuk melihat kemampuan model dalam menerangkan keragaman nilai peubah Y. Kisaran nilai R 2 mulai dari 0 sampai 100%. Semakin besar nilai R 2 berarti model semakin mampu menerangkan perilaku peubah Y. Sebagai contoh, ingin diketahui pola hubungan antara biaya iklan yang dikeluarkan oleh suatu perusahaan dengan banyaknya produknya yang
83
terjual, diperoleh nilai R2 sebesar 80%, ini berarti bahwa model regresi yang kita peroleh menunjukkan bahwa 80% keragaman dari produk yang terjual sudah dapat diterangkan oleh faktor biaya iklan yang dikeluarkan, sedangkan 20% lainnya keragaman dari produk yang terjual dipengaruhi oleh faktor lain. Adapun rumus untuk menghitung R2 adalah
R
2
1
JKG JKT
2
2
b s x 2
s y
2. Kuadrat tengah galat (KTG). Semakin kecil nilai KTG maka model regresi yang diperoleh akan lebih baik dalam menggambarkan pola hubunagn antara peubah bebas dan peubah tak bebas. Namun penggunaan KTG sering kali menemui masalah yaitu seberapa besar nilai KTG agar model dikategorikan sebagai model yang baik. Permasalahan ini timbul karena mengingat KTG tidak memiliki batasan yang jelas. Tetapi jika terdapat beberapa model yang dibangun, maka penggunaan KTG sebagai alat untuk memilih model terbaik akan cukup efektif. 3. membuat plot antara nilai sisaan, ei, dengan xi atau dengan yi . Perilaku ei yang ˆ
dianggap layak akan terlihat apabila nilai-nilai tersebut membentuk suatu pita yang mendatar di sekitar garis e = 0. Jika tebaran nilai-nilainya berbentuk corong dapat memberi petunjuk adanya keheterogenan ragam dan jika tebaran nilainya melengkung menunjukkan kekurangtepatan dari model regresinya.
Berdasarkan plot sisaan kita
juga dapat mendeteksi kemungkinan adanya pencilan dengan memeriksa apakah ada nilai/titik yang memencil atau jauh dari nilai-nilai sisaan yang lain.
10.6 Korelasi Ukuran korelasi linear antara dua peubah yang paling banyak digunakan adalah koefisien korelasi contoh (r). Koefisien korelasi ini menggambarkan tingkat keeratan hubungan linear antara dua peubah atau lebih. Besaran dari r tidak menggambarkan hubungan sebab
akibat antar dua peubah atau lebih tetapi semata-mata menggambarkan keterkaitan linear antar peubah. Nilai dari r berkisar antara –1 sampai 1 (-1 r 1). Nilai r yang mendekati 1 atau –1 menunjukkan semakin erat hubungan linear antara kedua peubah tersebut. Sedangkan nilai r yang mendekati atau sama dengan nol menggambarkan tidak ada hubungan linear antara kedua peubah tersebut, tetapi mungkin saja mempunyai hubungan yang tidak linear. Koefisien korelasi antara peubah X dan Y dapat dirumuskan sebagai berikut :
r
J xy J xx J yy
s xy 2
2
s x s y
b
s x s y
84
dengan s xy
J xy /(n 1),
s x2
J xx /(n 1),
s y2
J yy /(n 1)
Koefisien korelasi contoh, r, merupakan sebuah nilai yang dihitung dari n pengamatan contoh. Contoh acak berukuran n yang lain tetapi diambil dari populasi yang sama biasanya akan menghasilkan nilai r yang berbeda. Dengan demikian kita dapat memandang r sebagai suatu nilai dugaan bagi koefisien korelasi linear populasi, . Bila r dekat dengan nol, kita cenderung menyimpulkan = 0. Tetapi jika nilai r mendekati –1 atau 1 disarankan agar kita menyimpulkan 0. Masalahnya sekarang adalah bagaimana mendapatkan suatu uji yang akan mengatakan kepada kita kapan suatu nilai r berada cukup jauh dari suatu nilai tertentu 0, agar kita mempunyai cukup alasan untuk menolak hipotesis nol bahwa = 0 dan menerima alternatifnya. Hipotesis alternatifnya, H1, biasanya salah satu diantara < 0, > 0, atau
0. Uji terhadap hipotesis nol = 0 didasarkan pada besaran
1 2
1 r 1 r
ln
yang merupakan suatu nilai
peubah acak yang menyebar menghapiri normal dengan nilai
tengah (0,5)ln[(1+)/(1-)] dan ragam 1/(n-3). Jadi statistik ujinya adalah menghitung
Z hitung
n 3 1
2
1 0 1 r 1 ln 1 r 2 1 2 0 ln
n3
2
(1 r )(1 0 ) (1 r )(1 0 )
ln
jika taraf nyata yang digunakan sebesar , maka keputusan akan menolak H 0 jika: a. Zhitung < Z,
untuk H1 : < 0
b. Zhitung > Z,
untuk H1 : > 0
c. |Zhitung| > Z/2, untuk H1 : 0 Secara intuisi, koefisien korelasi dapat ditafsirkan dalam dua cara, yaitu: 1. sebagai arah hubungan antara dua ukuran yang berarti mereka cenderung untuk meningkat atau menurun bersama-sama (berhubungan secara positif), yang satu meningkat yang lain menurun (berhubungan secara negatif), atau pergerakan mereka terpisah (tidak berkorelasi). 2. sebagai suatu kekuatan asosiasi yang berarti bahwa jika nilai absolut korelasi bergerak menjauhi nol maka dua ukuran berasosiasi semakin kuat.
85
Contoh
Sebuah penelitian dilakukan oleh seorang pengusaha untuk menentukan hubungan antara biaya pemasangan iklan per minggu dan hasil penjualan produknya (dalam jutaan rupiah). Data yang diperoleh adalah sebagai berikut : Biaya iklan
6
2
1
2
1
7
6
3
5
4
2
8
4
3
5
Penjualan
57
40
33
37
34
58
54
43
49
49
38
62
47
45
51
a.
Tentukan persamaan garis regresinya
b.
Benarkah pernyataan pengusaha mengatakan bahwa dengan peningkatan biaya/ iklan per juta akan meningkatkan penjualan sebesar 5 juta rupiah ?
c.
Dugalah besarnya penjualan mingguan bila pengeluaran untuk biaya iklan sebesar 4,5 juta !
d.
Buatlah selang kepercayaan 95% bagi penjualan mingguan rata-rata jika biaya iklannya sebesar 2,5 juta !
e.
Buatlah selang kepercayaan 90% bagi nilai dugaan penjualan mingguan bila biaya iklan yang dikeluarkan sebesar 3 juta.
f.
Bagaimana kesesuaian model regresi yang anda peroleh ?
g.
Hitunglah koefisien korelasinya.
Jawab: No.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
Biaya iklan (x) 6
Penjualan (y) 57
2
40
1
33
2
37
1
34
7
58
6
54
3
43
5
49
4
49
2
38
8
62
4
47
3
45
5
51
59
697
86
x2
y2
xy
36
3249
342
4
1600
80
1
1089
33
4
1369
74
1
1156
34
49
3364
406
36
2916
324
9
1849
129
25
2401
245
16
2401
196
4
1444
76
64
3844
496
16
2209
188
9
2025
135
25
2601
255
299
33517
3013
a. n
n
n
x y x y i
i
i
i 1
b
i 1
n
x
n
2 i
i 1
y b x
i
i 1
xi i 1
n
a
n
2
15(3013) 59(697)
b
y i
xi
n
n
15(299) (59) 2
697 15
4,06
59 15
4072
1004
4,06
30,50
Interpretasi : Jika tidak ada biaya yang dikeluarkan untuk iklan, maka rata-rata hasil penjualan produk perminggu mencapai 30,5 juta rupiah. Jika biaya untuk iklan mengalami kenaikan satu juta, maka hasil penjualan akan mengalami perubahan sebesar 4,06 juta rupiah.
b. pengujian Hipotesis : H0 : = 5 vs H1 : ≠ 5 Nilai = 5%, t(0,025,13) = 2,160
t hitung
b 0 sb
b5 sb
dimana
sb
2 n
( x
i
x ) 2
i 1
s2
2
ˆ
J yy s
2
J yy
33517
b 2 J xx ; n2 (697) 2 15
n
13
2,04 66,93
i 1
1129,73
1129,73 ( 4,06) 2 (66,93)
Sehingga s b
yi2
dengan J yy
n y i i 1
J xx
299
2
n
n
dan J xx
xi2 i 1
(59) 2 15
n x i i 1
2
n
66,93
2,04
0,18
Dengan demikian
t hitung
4,06 5 0,18
5,22
karena |thitung| > 2,160 maka tolak H0, artinya tidak benar pernyataan pengusaha yang mengatakan bahwa dengan peningkatan biaya/ iklan per juta akan meningkatkan penjualan sebesar 5 juta rupiah. c. Penjualan = 30.5 + 4.06 Biaya iklan
= 30.5 + 4.06(4.5) = 48.77
87
d. alpha 5% untuk x = 2.5, maka y = 30.5 + 4.06(2.5) = 40.65
t / 2,( n 2) s y2 y y 0 t / 2,( n 2) s y2 1 ( x0 x ) 2 2 1 (2.5 3.93) 2 2 s 2.04 0.20 dengan s y n J 15 66 . 93 xx y 0 ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
0
ˆ
0
0
SK 5% : 40.65 -2.16(0.2) ≤ y 40.22 ≤ y ≤ 41.08
≤
40.65 + 2.16(0.2)
e. alpha 10% untuk x = 3, maka y = 30.5 + 4.06(3) = 42.68
t / 2,( n 2) s y2 y y0 y 0 t / 2,( n 2) s y2 y 1 ( x0 x ) 2 2 1 (3 3.93) 2 2 dengan s y y 1 s 1 15 66.93 2.04 2.20 n J xx y 0 ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
0
0
0
ˆ
0
0
0
SK 10% : 42.68 -1.771(0.2) ≤ y0 42.33 ≤ y ≤ 43.03
≤
42.68 + 1.771(0.2)
f. Kesesuaian model uji apakah biaya iklan berpengaruh nyata Keakuratan model :
R
2
1
JKG JKT
2
2
b s x 2
s y
2
b J xx J yy
(4,06) 2 (66,93) 1129,73
x100% 97,66%
g. Koefisien Korelasi
r
R
2
0,977
0,99
Dengan menggunakan tabel sidik ragam alpha=5%: Sumber keragaman Regresi Galat Total
Derajat bebas 1 n-2 n-1
Jumlah kuadrat (JK) JKR=b2Jxx JKG=JKT-JKR JKT=Jyy
Kuadrat tengah (KT) KTR=JKR/1 KTG=JKG/(n-2)
Sumber keragaman Regresi Galat Total
Derajat bebas 1 13 14
Jumlah kuadrat (JK) 1103.25 26,48 1129,73
Kuadrat tengah (KT) 1103.25 2,04
88
F-Hitung
F-Tabel
KTR/KTG
F(1,n-2)
F-Hitung
F-Tabel
540,81
F0,05(1,13)= 4,67
10.7 Latihan Soal Berikut ini disajikan data mengenai laju pertumbuhan sektor ekonomi dan sektor industri (dalam %) dari tahun 1994 sampai dengan tahun 2003. Tahun 1994
1995 1996 1997
1998 1999 2000
2001 2002 2003
Laju pertumbuhan sektor ekonomi
2
4
7
3
6
5
6
8
7
7
Laju pertumbuhan sektor industri
1
2
12
5
9
11
12
14
13
10
a. Menurut Anda, manakah yang tepat sebagai variabel X dan variabel Y ? Jelaskan alasannya ! b. Buatlah plot dari data di atas ! Bagaimana pola penyebarannya (linear atau tidak) ? c. Dugalah persamaan regresi linear sederhana y = a + bx. Interpretasikan model dugaan yang Anda peroleh. d. Ujilah pada taraf nyata 5% apakah laju pertumbuhan sektor industri berpengaruh positif terhadap laju pertumbuhan sektor ekonomi ? e. Dugalah nilai koefisien korelasi antara kedua variabel tersebut ! f. Apakah antara kedua variabel tersebut mempunyai hubungan yang positif ? uji pada taraf nyata 1%. g. Hitunglah koefisien determinannya! Apakah model regresi yang Anda peroleh pada point (c ) cukup akurat ? Jelaskan !
89
