BAB I PENDAHULUAN
1.1
Latar Belakang
Dalam kehidupan sehari-hari kita sering melihat benda yang sedang bergerak. Banyak aspek fisika yang dapat digali dari keadaan gerak benda tersebut. Bagian gerak benda disebut mekanika. mekanika. Mekanika terbagi menjadi dua yaitu kinematika dan dinamika. Kinematika Kinematika adalah bagian dari mekanika yang mempelajari tentang gerak tanpa memperhatikan apa/siapa yang menggerakkan benda tersebut.
Partikel
adalah benda dengan ukuran yang sangat kecil. Partikel merupakan suatu pendekatan/model dari benda yang diamati. Pendekatan benda sebagai partikel dapat dilakukan bila benda melakukan gerak translasi murni. translasi murni. Gerak disebut gerak translasi bila selama bergerak sumbu kerangka acuan yang melekat pada benda (x’,y’,z’) selalu sejajar dengan keranggka acuannya sendiri (x,y,z). Menganai analisis gerak partikel dalm tiga dimensi memiliki cakupan yang lebih luas dibandingkan dengan partikel yang bergerak pada satu atau dua dimensi. Pembelajaran dinamika partikel dalam tiga dimensi akan lebih membahas terkait dengan sifat-sifat dari gaya konservatif, syarat–syarat dari sebuah gaya konservatif dan p engaruhnya engaruhnya terhadap hukum-hukum hukum-hukum kekekalan dari besaran fisika yang berlaku pada dinamika gerak partikel itu sendiri, termasuk juga mengetahui mengetahui gaya sentral, konsep medan gaya gaya kuadratik terbalik, terbalik, serta Hukum Kepler pada Gerak Planet yang memang berhubungan dengan gerak partikel dalam tiga dimensi. Berdasarkan hal hal tersebut, maka melalui penulisan penulisan makalah yang berjudul “ Gerak Partikel dalam Tiga Dimensi”, penulis mencoba menguraikan secara jelas terkait dengan gerak partikel tersebut. 1.2
Rumusan Masalah
Berdasarkan latar belakang tersebut dapat dirumuskan beberapa masalah yaitu sebagai berikut. 1.2.1 Bagaimana konsep gaya konservatif ? 1.2.2 Bagaimana konsep gaya sentral pada benda tunggal ?
1
1.2.3 Bagaimana keadaan gerak partikel karena pengaruh gaya sentral ? 1.2.4 Bagaimana lintasan medan gaya sentral dan potensial efektif ? 1.2.5 Bagaimana konsep medan gaya kuadratik terbalik ? 1.2.6 Bagaimana hukum kepler pada gerak planet ? 1.3
Tujuan Penulisan
Berdasarkan rumusan masalah tersebut tujuan yang ingin dicapai dalam penulisan makalah makalah ini adalah sebagai berikut. 1.3.1 Untuk menjelaskan konsep gaya konservatif. 1.3.2 Untuk menjelaskan konsep gaya sentral pada benda tu nggal. 1.3.3 Untuk menjelaskan keadaan gerak partikel karena pengaruh gaya sentral. 1.3.4 Untuk menjelaskan lintasan medan gaya sentral d an potensial efektif. 1.3.5 Untuk menjelaskan konsep medan gaya ga ya kuadratik terbalik. 1.3.6 Untuk menjelaskan hukum kepler pada gerak planet. 1.4
Manfaat Penulisan
Adapun manfaat yang didapat dalam penulisan makalah ini adalah sebagai berikut. 1.4.1 Bagi Penulis Melalui penulisan makalah yang berjudul “Gerak “ Gerak Partikel dalam Tiga Dimensi”, Dimensi”, penulis mendapatkan manfaat yakni penulis lebih memahami materi terkait terkait dan mendapatkan pengalaman tambahan tambahan seperti pengalaman pengalaman dalam mengumpulkan bahan, memahami dan menganilisis materi-materi serta
mendapat
pengalaman
mengenai
teknik
penulisan
makalah,
penggabungan materi materi dari berbagai sumber. 1.4.2 Bagi Pembaca Melalui penulisan makalah yang berjudul “Gerak “ Gerak Partikel dalam Tiga Dimensi”, Dimensi”, penulis mengharapkan mahasiswa yang membaca makalah ini akan lebih dapat memahami materi terkait sehingga dapat dijadikan dasar untuk memahami materi mekanika selanjutnya. se lanjutnya.
2
1.5 Metode Penulisan
Di dalam penulisan makalah ini, adapun metode yang digunakan adalah metode kajian pustaka, yakni dengan mengkaji buku-buku yang relevan dengan materi serta literatur lain seperti internet.
3
BAB II PEMBAHASAN
2.1
Konsep Gaya Konservatif
Gaya konservatif bukanlah nama sebuah gaya, melainkan menjelaskan sifat sebuah gaya. Apabila usaha total yang dilakukan suatu gaya pada sebuah benda, selama benda berpindah menjauhi posisinya semula hingga benda tersebut kembali lagi ke posisi semula, sama dengan nol, maka gaya tersebut termasuk ke dalam gaya konservatif. Suatu gaya disebut konservatif jika usa ha yang dilakukan oleh gaya tersebut pada suatu benda tidak bergantung pada lintasan yang dilalui benda, tetapi hanya bergantung pada perubahan posisi awal dan posisi akhir benda. Berikut Berikut merupakan contoh gaya gaya yang termasuk ke dalam gaya gaya konservatif: 1.
Gaya gravitasi (tarik) digambarkan dengan gerak planet.
2.
Gaya coulomb/ gaya elektrostatis (tarik dan to lak).
3.
Gaya tarik dalam molekul (intermolekuler) atau gaya Van Der Walls yang dituliskan sebagai berikut:
() = −
Dalam hal ini
dan
pers. 1 adalah konstan. Persamaan diatas disebut persamaan
Lennard-Jones. 4.
Atom dalam kubik Kristal yang yang berosilasi harmonik ditentukan ditentukan dengan gaya central.
5.
Gaya inti yang ditampilkan oleh Yukawa Yukawa dituliskan sebagai berikut:
() = − Dalam hal ini
dan
pers. 2
adalah konstan.
Misalkan sebuah partikel dengan massa
mendapat gaya luar
()
yang
merupakan sebuah fungsi kedudukan, sehingga partikel tersebut berpindah dari kedudukan
ke kedudukan
, seperti yang ditunjukkan pada gambar 1.
4
Gambar 1. Kerja yang dilakukan oleh gaya
Kerja atau usaha yang dilakukan oleh gaya
terhadap partikel selama
dapat didefinisikan dalam persamaan berikut: = ∫ .
bergerak dari ke
pers. 3
atau dapat juga dituliskan sebagai berikut: pers. 4 = ∫ . dengan merupakan komponen gaya sepanjang garis singgung lintasan. Karena itu, apabila gaya sejajar dengan sumbu X dan benda bergerak sepanjang sumbu X tersebut, maka kerja yang dilakukan oleh gaya tersebut dapat dituliskan dalam persamaan berikut: pers. 5 = ∫ . Grafik dapat digambarkan sebagai fungsi jarak (s), seperti pada gambar 2 berikut:
5
Gambar 2. Kerja yang dilakukan pada partikel yang bergerak dari A ke B sama dengan luas daerah di bawah kurva yang diarsir
= . yang dilakukan gaya sepanjang pergeseran kecil sama dengan luas persegi panjang kecil, dengan alas dan tinggi . Oleh karena itu, kerja total yang dilakukan terhadap partikel selama bergerak dari ke sama dengan luas daerah di b awah kurva yang dibatasi oleh komponen gaya ketika partikel di titik dan . Kerja
Laju kerja yang dilakukan terhadap suatu benda yaitu kerja setiap satuan waktu, disebut daya. Secara sistematis daya (P) dapat ditulis sebagai berikut: pers. 6 = Karena = . , maka pers. 7 = . = . dengan merupakan kecepatan partikel. Jika massa partikel konstan, integral dalam persamaan (3) tereduksi menjadi:
. = .. = . = . 6
= 12 [] = ( −) ( −)
pers. 8
sehingga,
merupakan energi kinetik partikel, yang ditulis dengan
persamaan (9), dapat juga ditulis sebagai berikut:
= − = .̇ = (̇ +̇ +̇) =. (̇. +̈ ̇.̈+̇.̈ ) =̇̈=̇. = =. =++
pers. 9 sehingga
pers. 10
Energi kinetik sebuah partikel dengan massa m yang bergerak dalam ruang tiga dimensi didefinisikan.
pers. 11
Laju perubahan energi kinetik partikel adalah:
Laju perubahan tenaga kinetik dalam selang waktu
pers. 12 partikel bergerak sejauh
dapat dinyatakan:
dengan
pers. 13 pers. 14
||
Persamaan (14) menyatakan kerja yang dilakukan gaya F dalam tiga dimensi, dalam arah perpindahan
. Usaha ini sama dengan jarak perpindahan
dikalikan dengan nilai komponen gaya F dalam arah perpindahan.
Berdasarkan persamaan (10) kerja yang dilakukan oleh gaya terhadap
=. = = ( −)
partikel sama dengan perubahan energi kinetik partikel. Apabila besar dan arah gaya
konstan, maka kerja yang dilakukan gaya tersebut, selama partikel
berpindah dari A ke B adalah:
7
= . − .
pers. 15
Persamaan (15) menunjukkan bahwa kerja yang dilakukan tidak bergantung pada lintasan yang menghubungkan titik A dan B. Pada gambar 1, ditunjukkan bahwa kerja yang dilakukan oleh gaya F tetap sama apabila partikel melalui lintasan (1) atau lintasan (2) karena
( − ) tetap
sama. Salah satu contoh penerapan persamaan (13) adalah kerja yang dilakukan oleh gaya gravitasi bumi seperti yang ditunjukkan pada gambar 3:
Gambar 3. Kerja yang dilakukan oleh gaya konservatif
Dalam hal ini:
= − = − ( − ) = ( − ) + ( − ), Sehingga:
= (− )[( − ) + ( − )] = − ( − ) = −
pers. 16
Jika kerja yang dilakukan medan gaya dari suatu kedudukan ke kedudukan lain adalah sama untuk sembarang lintasan yang melalui dua kedudukan tersebut, maka medan gaya tersebut disebut konservatif. Secara sistematis dapat dinyatakan bahwa suatu medan dikatakan konservatif jika integral kerja
∫., tidak 8
tergantung pada lintasan integrasi. Didefinisikan suatu fungsi energi potensial sebagai berikut:
() = ∫ () = −∫ ()
pers. 17
dan keterkaitannya dengan gaya F(x) yaitu sebagai berikut:
() = − () Jika suatu partikel berada di
pers. 18
̅ (,,) di bawah gaya yang bekerja dari ke ,
maka kerja yang dilakukan yakni: pers. 19 = ∫ (). Fungsi energi potensial () = (,,) sebagai kerja yang dilakukan oleh gaya ketika partikel dari titik ke dalam hal ini: pers. 20 () = ∫ (). = − ∫ (). Jika kerja yang dilakukan dalam lintasan tertutup → → seperti pada gambar (4), maka:
→→ = ∮ . = 0
pers. 21
Gambar 4. Kerja yang dilakukan dalam lintasan tertutup dari titik P ke Q dan kembali ke P
Secara fisis jelas bahwa suatu sistem tidak mungkin konservatif jika dipengaruhi oleh gaya gesekan atau gaya-gaya disipatif lainnya. Perubahan fungsi energi potensial ketika partikel yang bergerak dari posisi ke
̅ + ̅ yakni: = −.
̅
pers. 22
9
Bila dibandingkan dengan definisi gradient, yaitu
= .,
dapat
dinyatakan:
= .
pers. 23
sehingga, pers. 24 = − = −∇ () dengan () merupakan energi potensial. Dimana energi potensial () ini merupakan sebuah fungsi dari posisi r . Laju perubahan energi potensial dinyatakan sebagai berikut:
̇() = ̇ + ̇ + + ̇
pers. 25
dalam bentuk gradient dari V dapat dinyatakan sebagai berikut:
∇() = + +
pers. 26
dengan menggabungkan persamaan (25) dan (26), maka diperoleh hubungan berikut:
̇ = ̇. ∇()
pers. 27
Secara matematika gradien sebuah fungsi adalah sebuah vektor, yang menyatakan turunan parsial maksimum dalam arah dan besaran dari fungsi tersebut.Secara fisika gradien negatif dari fungsi energi potensial menyatakan besar dan arah dari gaya yang bekerja pada sebuah partikel yang berada dalam sebuah medan yang dihasilkan oleh partikel lain. Tanda negatip menyatakan partikel yang dipengaruhi oleh medan gaya didorong untuk bergerak ke arah penurunan energi potensial. Keadaan ini dapat diilustrasikan seperti gambar berikut: V tinggi
v
V rendah
Gambar 5. Arah gerak partikel dalam medan potensial
Persamaan (24) menyatakan hubungan antara gaya F yang bersifat konservatif dengan energi potensial dari sistem gerak partikel yang dipengaruhi oleh gaya konservatif tersebut. Persamaan (24) menyatakan bahwa untuk sebuah sistem gerak yang dipengaruhi oleh gaya konservatif berlaku hubungan bahwa gaya tersebut merupakan gradient negatif dari energi potensial sistem gerak
10
partikel tersebut. Dalam suku-suku komponen arah sumbu tiga dimensi dari gaya dapat dinyatakan:
=− ; =− ; =−
pers. 28
Persamaan (30), menyatakan bahwa jika gaya yang bekerja pada sebuah partikel bersifat konservatif maka komponen-komponen gaya dinyatakan oleh negatip dari turunan parsial dari fungsi energi potensialnya.
= ∫ . = −
Ketergantungan gaya konservatif F terhadap vektor kedudukan r tidak konstan sehingga kerja
yang dilakukan gaya dari titik awal A ke titik akhir B
dapat dinyatakan sebagai perbedaan energi potensial pada titik awal dan titik akhir. Oleh karena itu, jika gaya F merupakan gaya konservatif, maka: pers. 29
Jika medan gaya yang bekerja pada suatu partikel merupakan medan konservatif, maka persamaan (10) dan persamaan (29) dapat digabungkan seperti pada persamaan berikut:
atau
− = − + = + + =+= + = =+=
Besar
pers. 30
pers. 31
disebut energi mekanik total atau energi total partikel dan
biasanya diberi lambang E. Jadi energi mekanik total partikel sama dengan jumlah energi kinetik dan energi potensial, yaitu: pers. 32
Berdasarkan persamaan (30) dan (31) d apat dituliskan:
yang menunjukkan bahwa energi total partikel adalah konstan yaitu:
pers. 33 pers. 34
Persamaan (34) dikenal sebagai hukum kekekalan energi mekanik, yang menyatakan bahwa energi total partikel ( E ) adalah kekal jika gaya-gaya yang bekerja pada partikel itu merupakan medan gaya konservatif.
11
2.2
Konsep Gaya Sentral pada Benda Tunggal
Gaya Sentral ditunjukan oleh sebuah partikel yang selalu menunjukan arah tertentu yang disebut pusat gaya. Selanjutnya dengan mengambil pusat gaya sebagai pusat koordinat, gaya sentral oleh partikel ini tergantung dengan jarak r
̂
dari pusat gaya yang dapat ditampilkan sebagai berikut: F(r) = F(r)
pers. 35
Dalam hal ini r merupakan vektor satuan arah radial. Gaya sentral bersifat
̅ |̂ | ̅ || ∇ ̂ ̂ () ̂ ̂
konservatif, oleh karena itu energi mekanik dari partikel konstan dan vektor satuan dapat ditulis = /
, sehingga persamaan diatas dapat ditulis:
F(r) = F(r) /
pers. 36
Untuk mendapatkan fungsi energi potensial maka gaya sentral pada posisi dan gaya konservatif dapat dinyatakan sebagai:
pers. 37
Curl = x = 0
Persamaan tersebut ditulis dalam komponen yakni: F = Fx + Fy + Dan diperoleh: Fx =
Fz =
( x + y +
z)
̂ − ̂ − −
F(r) ; Fy =
F(r) ; Fz = F(r)
pers. 38
pers. 39
Sehingga persamaan (40) dapat dituliskan sebagai berikut:
∇ ∇ − () () () () ∇ z − y () x =
+
+
pers. 40
Persamaan tersebut akan benar apabila ketiga komponen tersebut sama dengan 0, sebagai contoh:
( x )x =
pers. 41
Harus sama dengan nol, sehingga persamaan (39) akan menjadi: =
= z
= z
pers. 42
Dengan cara yang sama, =y
pers. 43
Substitusikan persamaan (42) dan (43) ke persamaan (41) sehingga menghasilkan: ( x )x =
pers. 44
12
1/2
Dari hubungan r = (x 2 + y2 + z2)
=
dan
∇ ∇
pers. 45
=
Disubstitusikan dengan persamaan (44) sehingga diperoleh: pers. 46
( x )x = 0
∇ ∇ ∇V (r) ∇ ∇ ̂ ∇V ̂
Dengan cara yang sama dapat diperoleh ( x )y = 0
dan
( x )x = 0
pers. 47
Jadi gaya sentral F adalah ( x )x = 0, dalam hal ini implikasi gaya sentral adalah konservatif sehingga fungsi energi potensial adalah: pers. 48
F(r) = - grad V (r) = -
Dalam koordinat bola, operator gradien =
+
mempunyai persamaan, pers. 49
+
Oleh karena fungsi energi potensial (V) merupakan fungsi jarak r, maka V = V(r) dan besaran
dan
tidak memberikan pengaruh pada persamaan (48) tersebut
sehingga:
F=-
pers. 50
=
Besar gaya F diberikan oleh: F=-
pers. 51
Sehingga diperoleh hubungan: V = V (r) = -
∫ ()
dr
Jika dua benda terpisah dengan jarak r =
| |
pers. 52 dan keduanya berinteraksi dengan
gaya sentral F (r). Benda tersebut sebagai titik massa, sehingga sebagai:
13
Gambar 6. Partikel m1 dan m2 pada posisi r1 dan r2
Sistem yang terdiri dari dua partikel dan didiskripsikan dalam enam koordinat. Jika r 1 dan r 2 adalah dua buah vektor posisi dari partikel m 1 dan m2 (gambar 5.) maka persamaan untuk dua partikel tersebut yakni: m1
̈ = F(r) ̂...........(a) ; m ̈ = - F(r) ̂...........(b) 2
pers. 53
dalam hal ini r = r 1 – r 2 gaya diantara dua buah partikel saling menarik jika F(r) < 0 dan menolak jika F(r) > 0. Deskripsi dari 6 koordinat r 1 dan r 2 merupakan dasar yang cocok untuk sistem dengan alternatif koordinat tersebut, dimana 3 koordinat di pusat massa R dan 3 koordinat posisi relatif dengan r, yaitu:
= m ̅ + m ̅ ̅ = ̅ - ̅
(m1 + m2)
1 1
1
2 2
Gaya eksternal terjadi jika
pers. 55
2
adalah gerak pusat massa dan
pers. 54
̅ gerak relatif satu partikel dengan partikel lain.
= 0, gerak pusat massa adalah gerak:
14
Gambar 7. Posisi Pusat Massa Dua Buah partikel m1 dan m2
Pembagian persamaan (53a) sengan m 1 dan persamaan (53b) dengan m 2 diperoleh:
̈ - ̈ = + F(r) ̂ Sehingga dapat disusun:
( ̈ - ̈ ) = F(r) ̂
pers. 56 pers. 53
Atau,
pers. 58 = F(r) ̂ = + pers. 59 = atau Dalam hal ini merupakan pengurangan massa. Dengan menggunakan persamaan (58) untuk mendapatkan ̅ = ̅ (t) dan kemudian untuk menyelesaikan ̅ dan ̅ dengan menggunakan persamaan (54) dan (55) diperoleh: pers. 60 ̅ = + ̅ 1
2
1
Dan
̅ = - ̅ 2
pers. 61
Dengan kata lain gerak pusat massa dengan kecepatan yang seragam maka:
̈ = 0
pers. 62
15
Dalam hal ini sebagai penyelesainnya:
= V ̅ + 0
pers. 63
0
Dengan kondisi awal t = 0; V0 = 0; R 0 = 0, maka origin bertepatan dengan pusat massa dan persamaan (60) dan (61) diperoleh:
̅ = ̅
pers. 64
1
Dan
̅ = - ̅ Dalam hal ini ̅ dan ̅ diukur dari pusat massa. Jika m >> m , maka: = + ≈
pers. 65
2
1
2
2
1
Dan persamaan (58) akan menjadi:
̈ ̂ sedangkan ̅ = ̅ - ̅ ≈ ̅ . Dalam hal ini d apat dianggap sebagai persoalan gerak m1 = F(r) 1
2
1
gaya sentral pada benda tunggal. 2.3
Keadaan Gerak Partikel karena Pengaruh Gaya Sentral
̈ ̂ pers. 66 = () Mendiskripsikan dengan dan dapat ditentukan ̅ () jika diketahui bentuk gaya sebtralnya (). Pada persamaan
Gambar 8 . Sistem dua benda yang ekivalen dengan persoalan suatu benda
()̂ bekerja searah ̅ , oleh karena itu tidak dapat menghasilkan torsi ̅ pada pengurangan massa . Ini berarti momentum angular untuk massa terhadap sumbu yang melalui pusat gaya adalah konstan. Jika ̅ merupakan Gaya sentral
momentum linier untuk
16
partikel bermassa , maka torsinya adalah :
̅ = = (̅ × ̅ ) = (̅ × ̅ ) = ̅ × + ̅ ×̅
pers. 67
tetapi,
= = ̅ ×̅ = 0 Oleh karena itu
̅ = = ̅ × pers. 68 = 0 pers. 69 mengingat bahwa, | × | = | || | 0 = 0 ̅ = pers. 70 dan momentum sudutnya adalah = ̅ × ̅ = konstan. Jika momentum anguler dari massa adalah konstan, maka besar dan arahnya tertentu dalam ruang sehingga vector ̅ dan ̅ harus berada pada bidang yang , dan gerak partikel dengan massa terbatas pada bidang tegak lurus dengan yang tegak lurus seperti gambar 4.
Gambar 9. Gerak partikel dibawah pengaruh gaya sentral
Penggunaan bidang kordinat polar
(,), maka persamaan gerak partikel
̈ = ()̂ dapat dinyatakan sebagai, ̈ − ̇ ̂ + ̈ + 2̇ ̇ = ()̂ atau, ̈ − ̇ = () ̈ + 2̇ ̇ = 0
pers. 71 pers. 72 pers. 73
17
̅ ̇ == =( ) = ̇ = =+() = ( ) ( ) =−∫ = +() = ̇ + ̇+() ̇ = = ̇ + +() ̈− =() ̈̇− ̇=()̇ ̇ + ()̇ = − () =− () + +() =0 + +() ==
Untuk menentukan energi gerak partikel maka ditinjau momentum sudut
dari suatu partikel bermassa yang berada pada , sehingga , oleh karena konstan maka
pers. 74
Bila system tidak disipatif dan gaya sentral ad alah konservatif, energi total adalah konstan yaitu,
Dalam hal ini energi potensialnya
, dan E di dapat dalam
kondisi awal,
Substitusi untuk
akan didapatkan,
Teorema energi dapat dijelaskan sebagai berikut, oleh karena
pers. 75
dan mengalikan pada kedua sisi dengan
didapatkan,
pers. 76 pers. 77
̇ pers. 78
persamaan sebelah kiri dapat dinyatakan sebagai,
Sedangkan sebelah kanan ditulis dengan,
pers. 79
pers. 80
Dengan demikian persamaan (47) dapat dinyatakan sebagai
atau,
pers. 81 pers. 82
seperti persamaan (45) dengan suku pertama sebagaienergi kinetic dan suku kedua merupakan energi potensial.
̅
Untuk menentukan luas sapuan maka ditinjau gaya sentral F(r) yang gayut
̅()
dan momentum angular konstan dalam besar dan arah.
Ditinjau partikel bermassa pada posisi
, pada waktu t dari gaya O, seperti
pada gambar 5. Selama interval waktu dt, partikel bergerak dari P ke Q dan pada
18
titik Q berada pada posisi
̅
̅ ( +). Luas daerah dA yang disapu oleh vector
posisi sama dengan luas segitiga OPQ yaitu
= () = = = ̇ atau Substitusikan ̇ = ,ℎ = =
pers. 83
yang berarti kelajuan luasnya konstan.
Gambar 10. Luasan dA yang disapu oleh vector posisi dalam waktu dt
Persamaan (73) merupakan Hukum II Kepler dari gerak planet dan juga dikenal sebagai hukum persamaan luasan. Jika gerak partikel periodic dengan T, maka dapat diintegralkan persamaan (73) dan d ihasilkan,
∫ = ∫ atau =
pers. 74
Oleh karena momentum sudut konstan maka dapat dinyatakan,
= × = ×
pers. 75
Gambar 6. Menunjukan benda bermass m bergerak dalam orbit mengelilingi benda bermassa M, sehingga momentum liniernya
̅ = ̅ , dengan ̅ merupakan
kecepatan singgung.
19
Gambar 11. Hukum II Kepler atau Hukum Kesamaan Luasan
maka,
= =
= =
dalam hal ini luasan kecepatan adalah konstan, sehingga jika r bertambah, maka v dan
= = .
Kembali pada persamaan (43) dan persamaan kekekalan energi (46) yakni bahwa
̇ dan = ̇ + + () = = , Untuk = ( + ) dan ≫ ; ≈ , Persamaan (41) dapat dinyatakan sebagai ̈ = () + ̇, dan dapat dibuat dalam kasus satu dimensi jika dapat diganti ̇ dengan , dinamakan gaya efektif ( F eff ) yakni,
() = () + ̇ = () + (57) Dalam hal ini ̇ = yang merupakan gaya sentrifugal F , sehingga = ̇ = (58) Dan dihasilkan, ̈ = () (59) cent
Yang dapat diperlakukan sebagai suatu p ersamaan dalam satu dimensi.
() dapat dinyatakan sebagai, () = ∫ () = ∫ () + Untuk potensial efektif
pers. 75 20
= () + ̇
Diasumsikan r s tak terhingga, sehingga didapatkan
() =() + = ̇ = = −() − =∫ () ̇ = = = + ∫ () () ̇ = = = ̇, = ̇ ̇ ̇ = () = ∫ () () =
pers. 76
Dengan demikian potensial efektif merupakan jumlah potensial real dan potensial sentrifugal atau barier sentrifugal yang dinyatakan sebagai,
pers. 77
Dan dari persamaan kekekalan energi diperoleh,
pers. 78
Serta hasil integrasinya didapatkan,
Sedangkan dari persamaan (74) dapat dinyatakan sebagai,
Dan hasil integrasinya didapatkan Untuk mendapatkan hubungan
atau
pers. 79
pers. 80
pers. 81
dapat dilakukan cara sebagai
berikut,
Substitusi untuk dan dari persamaan (78) dan (80) didapatkan,
Dan hasil integrasinya,
Karena konstan terhadap waktu, maka
pers. 82
akan bertambah teratur sesuai dengan
waktu.
Untuk gaya yang tergantung dan pangkat jarak radial yaitu,
pers. 83
21
Dan k adalah konstan, maka untuk n=1 gaya berkorespondensi dengan kasus gerak osilasi harmonic, dan n=-2 gaya berkorespondensi dengan hukum kuadrat terbalik, missal gaya gravitasi dan gaya coulomb.
̈ ( ) ̇ = − = ̇ = = 1 1 ̇ ̈ ̇ = − =− =− ̇ =− ̇ = − =− ̈ = − = ̇ =− ̈ = ̇ ̈ ̇ 1 = − +=− =−− (()) ) ( . ≠0, =0 ≠0 ̇ =0 = ̇ ==0 Untuk nilai n tertentu sebagai penyelesaian umumnya dalam bentuk integral clips. Kembali pada persamaan
baru
sehingga,
dan mensubstitusikan parameter
dan d idapatkan dan yaitu,
pers. 84
Atau,
Sedangkan turunan keduanya,
pers. 85
Atau,
Substitusi untuk , dan dalam persamaan (41), didapatkan
Yang dapat ditulis sebagai,
pers. 86
pers. 87
Atau,
Persamaan di atas merupakan persamaan diferensial yang dapat digunakan untuk menyelesaikan
, sebaliknya jika orbit partikel yang diberikan dalam
koordinat polar
maka dapat diselesaikan untuk menentukan gaya
Untuk
persamaan di atas tidak ada, dan persamaan
hal ini
, dalam
, yang berarti jalan partikel
merupakan garis lurus menuju titik pusat koordinat.
22
2.4
Lintasan Medan Gaya Sentral dan Potensial Efektif
Sebuah gaya F dikatakan sebagai sebuah gaya sentral jika garis kerja gaya tersebut selalu melalui sebuah titik tetap yang disebut titik pusat. Jika titik tersebut dipilih sebagai titik pusat maka F akan selalu sejajar terhadap vektor posisi r. Karena hasil perkalian vektor antara dua buah vektor sejajar adalah nol maka hasil ini dapat dipakai sebagai sebuah kondisi yang harus dipenuhi oleh sebuah gaya sentral, yaitu:
pers. 88
r F 0
Bila gaya F merupakan gaya sentral maka momentum anguler partikel adalah tetap sesuai dengan persamaan berikut : L rxp
L rxm.r ) L m( rxr
.r ) ( r .r ) L m(r L m(rxr ) L rxF L 0 Diperoleh hasil bahwa bila gaya F merupakan gaya sentral maka momentum anguler partikel adalah tetap.
m(rxr) rxF L Laju perubahan momentum angulernya merupakan
pers. 89 (momen gaya)..
Dalam bentuk yang sederhana pernyataan ini mengandung dua konsep fisi yaitu : -
Pertama, arah dari L tetap dan besarnya L juga tetap.
-
Kedua, dengan pernyataan di atas berakibat bahwa r dan v haruslah terletak dalam satu bidang tetap, dengan kata lain gerak partikel dibatasi oleh bidang yang dibentuk oleh vektor posisi dan vektor kecepatan.
Potensial Energi
Jika kerja yang dilakukan medan gaya dari suatu kedudukan ke kedudukan lain adalah sama untuk sembarang lintasan yang melalui dua kedudukan tersebut, maka medan gaya tersebut disebut konservatif. Secara sistematis dapat dinyatakan bahwa suatu medan dikatakan konservatif jika integral kerja
∫.
, tidak
23
tergantung pada lintasan integrasi. Didefinisikan suatu fungsi energi potensial sebagai berikut:
()= () =− ()
Bila kurva C dituliskan sebagai batas sepanjang pengintegrasian r - r s dan gaya F yang bekerja bernilai nol, maka fungsi enegi potensial dapat d inyatakan dengan:
F (r ).dr 0 C
Untuk memahami energi potensial dan menunjukkan besarnya energi potensial pada suatu gaya yang bekerja, maka perhatikan contoh berikut. Diketahui sebuah fungsi potensial energi V(x,y,z). Pada konversi yang sama pada gaya F(x,y,z), kita dapat menghitung curl untuk menentukan bagaimana bentuk suatu fungsi potensial energi tersebu t. Nilai curl F = 0, maka F dapat menunjukkan fungsi potensial energi, yakni V . Sebagai contoh: a) F x axy
F y az 2
2 F z ax
b) F x ay ( y 2 3 z 2 )
F y 3ax( y 2 z 2 )
F y 6axyz
Dimana a adalah konstan, sehingga dapat dhitung besarnya curl pada kasus pertama (a):
F F y F x F z F y F x j xF i z k y z z x x y xF (2 az )i (2ax) (ax) k Besar gaya dikatakan konservatif jika ,
xF 0 terlihat
bahwa
gaya-gaya
diatas tidak konservatif. Pada kasus a) tidak terdapat potensial energi, sementara pada kasus b) terdapat potensial energi yang saat ini kita akan menganalisisnya. Kita ambil dari r 0 = 0, berawal dari komponen fungsi suatu gaya x,y,z, kemudian mengintegrasikan (0,0,0) menjadi (x0,y0,z0) sepanjang melakukan pengintegralan pada persamaan:
24
( x0 , y0 , z 0 )
V ( x0 , y 0 , z 0 )
C 1
C 2
C 3
F .dr F .dr F .dr F .dr
( 0 , 0, 0 )
Perhatikan gambar berikut.
Gambar 12. sebuah jalan untuk mengintegralkan (0,0,0) hingga (x0,y0,z0)
Sepanjang C1, kita memiliki y=z= 0
Fx,= F y, = Fz = 0
dr = i dx
jadi, x0
. 0 F .dr = F dx x
0
C 1
Sepanjang C2, kita memiliki x = x0 z= 0
F x ay ( y 2 3 z 2 )
F y 3ax( y 2 z 2 )
F x ay
F y 3ax 0 y 2
3
dr = j dy
jadi, y0
F .dr = F .dy ax y
0
y 03
0
C 2
Sepanjang C3, kita memiliki x = x0, y= y0,
2
2 F x ay 0 ( y 0 3 z 2 ) F y 3ax0 ( y 0 z ) F y 6axyz 2
dr = k dz jadi, z 0
F .dr = F .dz 3ax y z
C 3
0
0
z 02
0
25
Jadi energi potensial dengan besar r 0 = 0 diperoleh: V ( x0 , y 0 , z 0 ) ax0 y 03 3ax0 y0 z 02 Faktanya bahwa, salah satu jalan untuk menentukan potensial energi adalah berdasarkan prosedur diatas, atau singkatnya mencoba untuk menemukan fungsi yang mana gradiennya akan memberikan fungsi dari gaya tersebut. Dan yang paling penting pada kasus gaya konservatif adalah adanya gaya sentral, yakni gaya yang secara langsung selalu mengarah pada pusatnya O. Sesuai dengan prinsik gaya konservatif, telah dijelaskan bahwa untuk sebuah gaya konservatif berlaku energi potensial hanya bergantung pada r. Pada sistem gaya-gaya konservatif berlaku dua hukum kekekalan yaitu; pertama, hukum kekekalan energi: 1 2
pers. 90
mr 2 V(r) E tetap
dan kedua, hukum kekekalan momentum anguler: pers. 91
mr x r L tetap Berdasarkan pada pembahasan sesion 4.3
pernyataan dari hukum kekekalan
momentum anguler berakibat bahwa gerakan partikel dibatasi pada sebuah bidang, dengan demikian p ermasalahan secara efektif menjadi gerak du a dimensi. Dengan membentuk persamaan dalam koordinat polar r, dalam bidang tersebut maka kedua hukum kekekalan di atas dapat dinyatakan menjadi: 1 2
2 r 2 2 ) V(r) E m(r
pers. 92
dan pers. 93
mr 2 L
Sebuah informasi penting tentang gerakan partikel secara langsung dapat diperoleh tanpa memecahkan persamaan tersebut untuk memeproleh r dan sebagai fungsi dari waktu. Besaran dapat dieleminasi untuk menghasilkan
, yaitu; sebuah persamaan yang hanya mengandung r dan r 1 2
mr 2
2
L
2mr 2
V(r) E
pers. 94
persamaan ini disebut persamaan energi radial. Untuk harga L tertentu yang diberikan, maka persamaan akan memiliki bentuk yang sama dengan persamaan energi satu dimensi dengan fungsi energi potensial:
26
U(r)
L2
2mr 2
V(r)
Dengan persamaan di atas mudah dimengerti bahwa suku
pers. 95 L2
2mr 2
dalam hal ini
merupakan energi potensial efektif , yang berhubungan dengan sebuah gaya
L2
2mr 3
.
Gaya ini merupakan gaya sentrifugal mr 2 . Persamaan 4.33 dapat digunakan hanya untuk penyelesaian gaya konservatif. Jika
r 2 berharga positip maka gerakan dibatasi untuk harga r pada mana U(r)
L2 2
2mr
V(r) E
pers. 96
harga maksimum dan minimum dari jarak radial dinyatakan oleh harga r sesuai dengan persamaan 96. Sebagai contoh tinjaulah sebuah ossilator isotropik yaitu sebuah ossilator
yang arah ossilasinya equivalen dalam setiap arah. energi 2
potensial ossilator adalah V( r ) = ½ k.r . Fungsi U(r ) ditunjukkan pada gambar di bawah. Partikel memiliki keadaan setimbang pada posisi minimum sebesar: 1/ 4
L2 r = m.k
pers. 97
Gambar 13. Fungsi energi radial U(r ) terhadap r
27
Jika harga E sama dengan harga minimum U, maka r sama dengan nol dan r memiliki harga tetap sebagai posisi dari minimum, dalam kasus ini partikel akan bergerak dalam lintasan melingkar. untuk harga E yang besar gerakan dibatasi pada daerah b r a yang diberikan oleh penyelesaian dari persamaan . Jika partikel pada awalnya berada pada posisi r o dari titik awal dan bergerak dengan kecepatan awal vo dalam arah yang memebentuk sudut dengan arah radial maka harga dari E dan L adalah: E = ½ m vo2 ½ k. r o2 pers.98 Konservasi energi menurut persamaan:
E mr 1 2
2
2
L
2mr 2
V(r) K rad V cent ( r ) V ( r )
pers. 99
Dalam hal ini K rad V cent (r ) merupakan energi kinetic dan V (r ) sebagai energi potensial. V cent ( r ) K ang merupakan energi kinetic untuk gerak angular. Dua suku yang dikombinasikan bersama-sama sebagai energi potensial efektif sehingga, E 12 mr 2 Veff (r) Dalam hal ini Veff V cent (r ) V (r )
L2
2mr 2
V (r ).
pers. 100
yang serupa dengan gerak partikel Energi total E gayut dengan variabel r dan r dan V ( x) dengan Veff (r) maka satu dimensi jika x diganti dengan r, x dengan r diperoleh metode diagram energi. Dalam gaya sentral, gerak partikel terikat dalam dua parameter, yakni energi ( E ) dan momentum sudut ( L). Disamping itu jarak radial r berubah terhadap waktu, demikian pula berubah setiap waktu. Pada gerak melingkar, besaran r dipertahankan konstan dan sama dengan r 0 .
28
Gambar 14. Grafik V(r), Vsent , Veff , untuk suatu gaya harmonic isotropic (a), dan (b) gerak partikel dengan energi E>E0, dibatasi r1 (rmin) < r < r2 (rmak ).
Untuk F(r) = - Kr atau V(r)
Veff (r ) V cent (r ) V (r )
1 2
L2 2
2mr
Kr 2 maka potensial efektif menjadi:
Kr 2
pers. 101
Grafik dari V(r), Vsent , Veff , terhadap r, diperlihatkan pada gambar 7, dalam hal ini
Veff mempunyai suatu nilai minimum pada r 0 . Untuk memberikan energi total E ( E > E0 = [ Veff (r ) ], maka osilasi partikel diantara dua nilai ekstrim dari r yakni, r 1=r min atau r 1(r min) < r < r 2(r mak ), dua titik tersebut merupakan titik balik dari geraknya dan pada titik ini kecepatan radialnya sama dengan nol (r = 0), sehingga persamaan energinya menjadi:
E V (r )
L2
2mr 2
0
pers. 102
Pada gambar 15 diperlihatkan suatu potensial atraktif V(r) terhadap r yang dimulai dari r = 0, yang mempunyai potensial negative sangat besar, akan
29
bertambah dengan kenaikan r mempunyai dan mencapai nol ketika r tak berhingga, sehingga V(r) - , pada r = 0, dan V(r) 0 ketika r
Gambar 15. Grafik V(r) terhadap r untuk gaya atraktif invers kuadrat, 16 b. Veff terhadap r untuk nilai L berbeda.
Sedangkan gambar 16 menunjukkan grafik V eff (r) terhadap suatu nilai, jika energi partikel kurang dari pada eneri minimum Em, maka tidak ada gerakan yang
adalah imajiner. Untuk energi partikel, E = E m, tak ada mungkin karena hasil r gerak radial, oleh karena itu partikel harus bergerak melingkar dengan radius r 0. Jika energi potensial lebih besar dari pada nol, E = E 4, maka gerak partikel adalah terbatas, dalam hal ini partikel menuju ke pusat gaya dengan jarak r 4 dan kemudian memutar kembali ke tak terhingga, sehingga hanya ada satu titik balik pada r = r 4.
Gambar 17. Grafik Veff terhadap r untuk suatu nilai L.
30
Untuk partikel dengan nergi antara E = 0 dan E = E m ( missal E 1) seperti gambar 9, maka gerak partikel akan dibatasi pada nilai r = r 1 = r min dan r = r 1 = r mak , dan titik pada r 1 & r 2 merupakan titik balik atau gerak partikel dibatasi oleh 2 lingkaran dengan jejari r 1 & r 2 seperti pada gambar 10.
Gambar 18. Gerak partikel dengan energi 0 > E > Em
2.5
Konsep Medan Gaya Kuadratik Terbalik
Pada sebuah partikel vector gaya”kuadrat terbalik ” secara umum dapat dituliskan:
F
K r 2
r
pers. 103
sedangkan besarnya gaya tersebut dapat dituliskan:
F (r )
K
pers. 104
r 2
Dari persamaan tersebut besar energi potensial yang diberikan oleh gaya tersebut dapat ditentukan dengan mengintegralkan persamaan gaya diatas dari nilai
∞
hingga r, sehingga didapatkan: r
V (r ) F (r )dr r s r
V (r )
K
r
2
dr
r s
r
V (r )
K
r
2
dr
31
V (r )
K
pers. 105
r
Dari persamaan tersebut berlaku untuk nilai K<0 adalah berupa gaya tarik dan untuk K>0 adalah berupa gaya tolak. Berbicara mengenai gaya kuadrat terbalik terdapat dua kasus yang bias ditinjau yakni: 1) Gaya gravitasi yang menyatakan bahwa “setiap benda menarik benda lain dengan gaya yang sebanding dengan perkalian massa-massanya, dan berbanding terbalik dengan kuadrat jarak yang memisahkan kedua benda”. Secara matematis dapat dituliskan
F (r ) G
m1m2 r 2
pers.106
K r 2
Dari persamaan tersebut, tanda “-“ menyatakan bahwa gaya gravitasi selalu berupa gaya tarik dimana dari persamaan tersebut dapat diketahui 11
bahwa K Gm1m 2 dengan besar G 6,67 x10 Nm / kg 2
2
2) Gaya Coulomb yang menyatakan bahwa “besar gaya yang bekerja pada dua muatan sebanding dengan muatan-mutannya dan berbanding terbalik dengan kuadrat jarak antar kedua muatan”. Secara matematis dapat dituliskan:
() = = ε =8,85x10C/
dimana dari persamaan tersebut dapat diketahui bahwa
=
pers. 107 dan besar
Berdasarkan nilai energi potensial diatas maka persamaan untuk nilai potensial efektif untuk medan gaya kuadrat terbalik dapat dituliskan: V eff (r ) V (r ) V eff (r )
K r
L2 2mr 2
L2
pers. 108 2
2mr
Berdasarkan persamaan tersebut hubungan antara nilai V eff terhadap r untuk masing-masing nilai K dan L dapat dilihat p ada grafik berikut.
32
Gambar 19. hubungan antara nilai V eff terhadap r
Dari grafik diatas dapat dilihat bahwa nilai minimum pada energi potensial efektif mK 2
adalah saat V eff
2 L2
. Hal ini karena energi potensial efektif akan bernilai
minimum ketika berada pada posisi setimbang yakni pada saat: dV eff dr dV eff dr
0 sehingga (r )
d K
dr r
L2
mr 2
K r 02
L2 mr 3
0
Dari persamaan tersebut didapatkan bahwa r 0
L2 mK
pers. 109
Selanjutnya dengan mennsubtitusikan nilai r 0 untuk setiap r pada persamaan umum energi potensial efektif untuk medan gaya kuadrat terbalik maka diperoleh: V eff (r 0 )
V eff (r 0 )
K r 0
L2
2mr 0
K L2
2
L2
L 2m mK mK
V eff (r 0 )
mK 2 2 L2
2
2
K
L2 mK
L2 2m(
L2 mK
)2
pers. 110
Pada suatu benda yang memiliki energi potensial efektif minimum maka benda tersebut akan bergerak dalam suatu lintasan yang berbentuk lingkaran dengan jari-
33
jari sebesar
L2 mK
. Sedangkan pada benda yang memiliki energi potensial efektif
yang kurang dari nol dan dan lebih besar dari nilai
mK 2 2 L2
maka benda tersebut
akan berosilasi pada dua titik balik seperti yang ditunjukan oleh grafik berikut.
Gambar 20. Titik Balik pada Gerak Partikel
Selain itu untuk benda yang memiliki energi potensial efektif yang besarnya
≠
negatif dan untuk L 0 maka lintasan gerak partikel tersebut adalah berbentuk elip. 2.6
Hukum Kepler pada Gerak Planet
Berbicara mengenai gerak planet selalu diindentikan dengan tiga hukum yang dinyatakan oleh Kepler yakni sebagai berikut. 1. Hukum I Kepler (hukum orbit/elips) yang menyatakan bahwa “planet bergerak dalam bidang datar berbentuk ellips dengan matahari berada pada salah satu titik fokus tersebut”. 2. Hukum II Kepler (hukum kesamaan luas) bahwa luas (S) yang menyatakan bahwa vektor posisi yang disapu oleh garis penghubung antara planet dan Matahari dalam selang waktu (t) yang sama adalah sama. 3. Hukum III (hukum periodik) yang menyatakan bahwa “perbandingan kuadrat periode revolusi (T2) terhadap pangkat tiga dari jarak rata-rata planet ke Matahari (jari-jari elips = R3) adalah sama untuk semua planet. Berdasarkan hukum I dan II Kepler diketahui bahwa persamaan luasan orbit planet yang berbentuk elips secara matematis dapat dituliskan:
34
LT 2
ab a 2 1 e 2
pers. 111
Dimana:
a Sumbu semi mayor a
L2
1
k 1 e 2
1 e 2
L2 ka
b sumbu semi minor
e eksentrisitas massa reduksi Mm
( M m)
Dari persamaan diatas jika kedua ruas dikuadratkan dan dengan mensubtitusikan nilai 1 e 2
L2 ka
maka didapatkan persamaan berikut:
L2 a 4 2 ka
L2T 2
T 2 a
3
2
4
4 2
pers. 112
k
Dengan mensubtitusikan nilai k GMm dan nilai menjadi: T 2 a3
maka persamaan diatas
4 2 G ( M m)
pers. 113
Dan persamaan Kepler tentang gerak planet pada akhirnya dapat ditulis: T
4 2
2
G ( M m)
a3
pers. 114
Pada beberapa kasus untuk massa m yang sangat kecil jika dibandingkan dengan M maka persamaan tersebut biasanya ditulis: T 2
4
pers. 115
2
GM
a3
35
Contoh Soal
1. Sebuah partikel bermassa konstan m bergerak dalam bidang XY karena
=+=cos+si n >
pengaruh gaya F , sehingga vektor kedudukannya dinyatakan sebagai berikut:
dengan , , dan
adalah konstanta positif (
).
a. Tentukan gaya yang bekerja pada partikel!
b. Tunjukkan bahwa medan gaya tersebut adalah konservatif! Penyelesaian:
= = [( cos +sin )] ==(−(cos−si cos−n) sin) − = =− ̂ ∇×=− − 0 = (0) − (−)+ (−) − (0) +̂ (−) − (−) =0 ∇×=0 = = = =
a. Gaya yang bekerja pada partikel ditentukan sebagai berikut:
b. Pertama-tama dicari curl F sebagai berikut:
Karena
, maka gaya tersebut adalah konservatif.
2. Dari soal nomer 1, tentukanlah:
a. Energi potensial potensial partikel pada kedudukan
dan
b. Energi total partikel
c. Kerja yang dilakukan gaya selama partikel bergerak dari kedudukan sampai kedudukan
36
Penyelesaian:
=−− =− + + ̂ = = =0
a. Gaya yang bekerja pada partikel adalah:
Hubungan antara gaya dan energi potensial:
Berdasarkan dua persamaan tersebut d iperoleh
Dengan mengintegrasikan secara berturut-turut terhadap x, y, dan z , serta
= 121 + 12 = 21 ( +) = 2 =+ = 12 (+) =∶ = =: = = =−sin+cos =. =+
menghilangkan konstanta-konstantanya, diperoleh:
Karena
, maka energi potensial juga
dapat dituliskan sebagai berikut:
Untuk Untuk
b. Kecepatan partikel
Sehingga,
37
= 112 = 2 (+) = 12 (+) =+ = 121 [(+) + (+)] = 21 [(+) +(+)] = 2 ( +) Energi kinetik partikel
Energi potensial partikel
Energi total partikel
Terlihat bahwa energi total partikel adalah konstan.
=
= 1 = − = 2 ( − )
c. Kerja yang dilakukan oleh gaya selama partikel bergerak dari kedudukan ke kedudukan
adalah:
38
BAB III PENUTUP
3.1 Kesimpulan
3.1.1 Suatu gaya disebut konservatif apabila usaha yang dilakukan oleh gaya tersebut tidak bergantung pada lintasan yang dilalui benda, melainkan
=( −)
hanya bergantung pada posisi awal dan posisi akhir benda.
3.1.2 Sebuah gaya dikatakan sebagai gaya sentral apabila garis kerja gaya tersebut selalu melalui sebuah titik tetap yang disebut titik pusat. Dalam
̅ ̅ ̅ ̅ ≈ , ̅() ( ) ()̂ ̅ ̅ =̅ × ̅
persoalan gerak gaya sentral pada benda tunggal berlaku: =
1 -
2
3.1.3 Pendeskripsian
karena pengaruh gaya sentral dapa
dilakukan melalui gaya sentral
1
dan gaya sebtralnya
bekerja searah
, oleh karena itu tidak dapat
menghasilkan torsi pada pengurangan massa angular
untuk massa
. selain itu
. Ini berarti momentum
terhadap sumbu yang melalui pusat gaya
adalah konstan yang secara metematis dapat d ituliskan: = konstan.
3.1.4 Dalam gaya sentral, gerak partikel terikat dalam dua parameter, yakni energi ( E ) dan momentum sudut ( L). Disamping itu jarak radial r berubah terhadap waktu, demikian pula berubah setiap waktu. Pada gerak melingkar, besaran r dipertahankan konstan dan sama dengan r 0 . 3.1.5 Persamaan potensial efektif dinyatakan dengan: Veff V cent ( r ) V ( r )
2
L
2mr 2
V ( r ).
3.1.6 Persamaan Konsep Medan Gaya Kuadratik Terbalik dinyatakan dengan:
F (r )
K r 2
39
