CAPITOLO 10
Moto in canali aperti
CANALE APERTO Canale aperto e un condotto nel quale il liquido scorre con una superficie libera, sogget ta alla pressione atmosferica, Il moto e originato dalla pendenza del canale e della snperficie liguida. Una soluzione approfondita di quesh problem1 particolari del moto dliflclle, e d1pen -de da dati sperimentali che debbono coprire un gran numero di condizioni,
e
MOTO PERMANENTE E UNIFORME 11 moto permanente e uniforme comprende due condizioni di moto: quello permanente, come definito nel mota in tubazioni, si riferisce alla condizione in cui le caratteristiche del moto in ogni -punto non cambiano nel tempo (iJVjct = 0, cyjCt = 0, ecc.). 11 mota uniforme e riferito alle condizioni in cui profondita, pendenza, velocita e sezione trasversale rimangono costanti per una data lunghezza di condotto (8yloL = 0, (~VjaL = 0, ecc.), La linea delle altezze totali e parallela alla superficie del liquido (piezornetrica) e J12 j2g
e sopra di essa. Questo non vale nel caso di mota permanente non uniforme,
MOTO NON UNIFORME, 0 VARIO Il mota non uniforme, 0 vario, si verifica quando la profondita del liquido varia sulla . lunghezza del condotto, doe oyjeL =F 0.11 moto non uniforme pub essere permanente 0 non permanente; 10 si classifica anche come tranq uillo, rapido 0 critico. MOTO LAMINARE 11 mota laminare in canali aperti si realizza per valori del numero di Reynolds R E = 2000 o meno; il mota comunque PUQ essere laminare fino a R E = 10.000. Per il moto in canali a
perti R E =4RVjv, in cui R e il raggio idraulico,
LA FORMULA DI CHEZY per il moto uniforme e permanente, sviluppata nel problema I, e
v = C.jifS
(1)
in cui V = velocita media in mfs, C = coefficiente, R = raggio idraulico, S = pendenza della superficie libera dell'acqua, 0 della linea dell'e nergia, 0 del fondo del canale; nel caso del mota uniforme permanente queste linee sono parallele. IL COEFFICIENTE C si pub ottenere usando una delle seguenti espressioni:
jfJ
c=
23
c= 1
+
0,00]55
S
+
(2)
(Kutter)
(3)
1
n
+ .s: (23 + 0,00155)
.jR
(vedi problema 1 )
S 160
MOTOINCANALIAPERTI
C=
C
!R1/ 6 n
=
87
1+ C
=
m/ft C
-23,2 19 (1,811 R
e
+ "R)
161
(Manning)
(4)
(Bazin)
(5)
(Powell)
(6)
E
Nelle espressioni da (3) a (5), n ed m sono coefficienti di rugosita determinati da prove fatte esclusivarnente in acqua; alcuni valori vengono dati nella tavola 9 dell'appendice. In genere si preferisce la formula di Manning [nella quale si e conservato n in unita anglosassoni (ft 1/ 6 ) in modo che la costante 1,486 che compare nella formula originale si riducesse all'unita (n.d.t.)] La formula di Powell sara discussa nei problerni 9 e 10. LA PORTATA (Q) nel caso di mota uniforme e permanente si puo avere applicando la formu la di Manning:
(7) Le condizioni associate ad un mota uniforme e permanente si chiamano normali. Da qui i termini profondita normale e pendenza normale. LA PERDITA DI CARICO (h L ) in termini della formula di Manning sara hL =
[;~3J2
L, usando
S = hIiL
(8)
Nel mota non uniforme (vario), si possono usare con ragionevole accuratezza dei valori medi di V e R. Un canale lungo andra diviso in brevi tratti, nei quali le variazioni in profon dita siano circa della stessa grandezza. DISTRIBUZIONE VERTICALE DELLA VELOCITA' La distribuzione verticale della velocita in un canale aperto puo essere assunta come para bolica nel caso del mota laminare, logaritmica nel caso del moto turbo1ento.
Nel mota laminare uniforme in grandi canali aperti di profondita media Ym, 1a distribuzio ne della velocita puo essere espressa dalla V
gS
1 2
-;-lvYm - :2Y )
0
wS
1 2
v = ~(yYm - 2Y )
(9)
La velocita media V, che si ricava da questa equazione nel problema 3, diviene V
= gSy~
V
0
= wSY~ 3~
3v
(10)
Nel caso di moto uniforme turbolento in grandi canali aperti la distribuzione di velocita (studiata nel problema 4) puo essere espressa come l' = 2,SJto/p In (Y/Yo) 0 r = S,7S.,./to!p 19 (Y/Yo) (11)
- ,~: ':4"
«l,
~,.
ENERGIA SPECIFICA L' energia specifica (E) viene definita come energia per units di peso (m kg/kg) con rife rirnento al letto del canale, cice E = profondita + altezza cinetica = Y + J;'2/2g (l2A) Una espressione pill corretta del termine energia cinetica sarebbe rJ.V 2/2g. Si veda il capi tolo 6 per la discussione del coefficiente Q di correzione dell'energia cinetica. In funzione della portata q per unita di apertura del canale b (cioe q = Q/b), E
=y +
(1/2g)(qjy)2
o
(l2B)
162
MOTO IN CANALl APERTI
Per un mota uniforme, l'energia specifica resta costante sezione per sezione. Per mota
non uniforme l'energia specifica pub aumentare, 0 diminuire, lunge il canale.
PROFONDITA' CRITICA La profondita critica tv c) per una portata unitaria costante q in un canale rettangolare si ha quando I'energia specifica e minima; come si dimostra nei problemi 27 e 28, 3
Yc
= VQ2/g =
=
iE c
V~/g
(13)
Questa espressione si pub trasformare, dandoci:
Vch/uii
o
1 in flusso critico
(14)
JJ"iic
Percio se il numero di Froude N F = V = 1, si ha flusso critico. Se N F >- 1 si ha
flusso supercritico (flusso rapido); se N F < 1 il flusso e subcritico (flusso tranquillo).
PORTATA UNITARIA MASSIMA
La portata unitaria massima (qma'll) in un canale rettangolare, per qualsiasi energia specifi ca assegnata E, vale, come si vedra nel problema 28, . qmax
VYi!c
=
Vg(iE)3
=
(15)
IN CANALI NON RETTANGOLARl E PER FLUSSO CRITICO, come si vede nel problema 27, Q2b' gA~
Q2 _ A~
. 9 - V in cui b'
e l'ampiezza della
0
1
(16)
superficie dell'acqua. Possiamo trasformare la (16) dividendo per A~: (17)
o in cui il termine A c/b' si chiama profondita media Y m
•
MOTO NON UNIFORME Nello studio del mota non uniforme un canale aperto viene di solito suddiviso in tratti lunghi L, chiamati rami; per determinare l'andamento del profilo di rigurgito a monte, l'equa zione dell'energia (vedi il problema 39) porge L in m
=
(Vi/2g
=
+ Y2) - (V~/2g + Yl) 80 - 8
- E1 So - 8
E2
=
E1 - E2 8 - 80
(18)
~ cui So = pendenza del fonda del canale; S = pendenza della linea dell'energia.
Per rami successivi nei quali i cambiamenti in profondita siano all'incirca gli stessi, il gra diente di energia S si pub scrivere
8
=
V media ( n p2/3
)2
o
(19)
.I'medio
Profili superficiali per condizioni di mota gradualmente vario in grandi canali rettangola ri si possono analizzare usando l'espressione dy dL
e
==
80-8 (1 - V2/gy )
(20)
II termine dy/dL la pendenza della superficie dell'acqua con riferimento alletto del ca nale. COS! se dy/dL e positivo, la profondita va aumentando verso valle. Nei problemi 44 e 45 sara sviluppata l'equazione, insieme ad un sistema di classificazione dei profili superficiali.
MOTO IN CANALI"APERTI
163
STRAMAZZI A CRESTA LARGA si possono usare per misurare la portata in un canale. La portata unitaria e q = .jg(jE)3/2, in cui E e l'energia specifica riferita alla cresta dello stramazzo, ovvero il battente a monte, piu l'altezza cinetica di avvicinamento. A causa dell'at trito, la portata reale e dal 90 al 92% del valore dato da questa formula, L'equazione approssi mata diventa q = 1,67H3 / 2 (vedi il problema 52). SALTO IDRAULICO 11 salto, 0 risalto, idraulico si verificaquando un flusso supercritico si trasfonna in un flus so subcritico. In questo caso l'elevazione della superficie liquid a aumenta bruscamente nella di rezione del moto. Nel caso di flusso costante in canale rettangolare, come si vede nel proble rna 46, q2 (Yl + Y2) (.)1) g = YIY2 2 ,;;
PROBLEMI RISOLTI 1.
Sviluppare l'equazione generale (di Chezy) per il moto unifotme e pennanente in un cana le aperto . .
Fig. 10·1
Soluzione: Consideriamo nella fig. 10·1 il volume di liquido ABCD a sezione trasversalecostante A e lunghezza L. n moto e permanente (accelerazione nulla), quindi il volume si puo considerare in equilibrio; sommia mo Ie forze agenti in direzione dell'asse X: forza sull'area AD - forza sull'areaBC + W sen 0 - forze reslstenti
=0
(hL )
wnA - wliA + wAL sen 9 - 't.,pL = 0
in cui To e 10 sforzo di taglio ana parete (kg/m2) , che agisce su di una superficie pari ana lunghezza L per il perimetro bagnato p, AUora wAL sen 9 = 't.,pL e to = (wA sen 9)Jp dato che R = Alp e 9 = tg 9 = S per piccoli valori di e. Come visto nel problema 5 del capitolo 7, to = (wjg)f(V 2j8). Anora wRS
= (wjg)f(V 2j8)
Nel caso di moto laminare, si puo assumere f
0
V
= wRS
= J(8g/f)RS = c~
(A)
(B)
= 64IRE :
c = J(8gj64)RE = 1,107~
(C)
164
2.
MOTO IN CANALI APERTI
Dimostrare che in un grande canale aperto, in condizioni di moto laminare uniforme, la distribuzione verticale della velocita segue una legge parabolica CYm = profondita media del canale).
Fig. 10-2
Soluzione:
Quando veloeita e profondita sono relativamente piccole e riflettono un numero di Reynolds < 2000,
la viscosita diviene per il mote il fattore dominante. E il moto che ne risulta e laminare. (per canali
aperti, R E si definisce pari a 4RVjv.) Per il volume, isolato quale corpo libero, che e tratteggiato in fi
gura, possiamo applicare la 'kFx = 0:
F 1 -F2 + w(y .. -y)dLdz sen ex
Essendo F I
=F2
dl. dz = 0
avremo
= w(y.. -y) sen ex
t
Nel mote laminare
t
= Jl dt'/dy, da cui abbiamo dv
w = -(V,. I'
=
y)sen a dy
wS
-(Ym - y) dy
Per i piccoli valori dell'angolo 0:, associati alla pendenza dei canali aperti, sen L'integrazione della (A) ci porge v
wS = -(yy,. I'
~y2)
(A)
I'
+
0:
= tg 0: =
.
C
pendenza S.
(B)
essendo v = 0 quando y = 0, il valore della costante C = O. L'equazione (B) do grade che rappresenta una parabola.
e una equazione di secon
3. Quanto vale la velocita media V nel problema 2? Soluzione:
in cui dz
Velocita media V
=
Q -A
=
'fJ ddAQ
=
J v dA =J dA
J (yy,. .~ y2 ) dy dz J dy dz - v,. dz
(lOS/II)
e una costante (dimensione perpendicolare al piano del disegno). V
=
wS dz
py.. dz
i'"( . •
YY
-I
~Y
2)d Y
= wSy;' 31'
4. Per un moto uniforme e permanente in grandi canali aperti stabilire una relazione teorica che dia la velocita media su superfici lisce. Soluzione:
hi generale per un moto turbolento 10 sforzo di taglio t
e
T
si pub esprimere nella forma
= p/2(dvjdz)2
in cui 1 la lunghezza di mescolamento, funzione di z (vedi capitolo 7).
165
MOTO IN CANALI APERTI
Fig. 10
43
D'altra parte, come nel problema 1, espressione (A), grandi canali coincide con la profondita.
'0 =
wRS = whS, dato che il raggio idraulico R nei
Nelle strato limite avremo, essendo y molto piccolo, z ~ he,
~ To. Possiamo
quindi uguagliare i valori
di To, cioe
=
pI2(dv/dz )2
o
unS
Proviamo ad integrare questa equazione con un valore di /.= k(h _ z)(Z/h)1/2 , .Allora dv - dz
Siano y ==
(h - z)
e riy
=
. cc; [
= - tlz; dv
=
]
V9S~(_1_) k h- z
allora
vuSh'
=
+ Y(dy)
Zl !2
v gS k(h - z)(z/h)1/2
e
-k-
Essendo To/p = u-1IS/p = oS1I, dv
Per
Y ·= y.,
l ' =;
= tv9P(~)
0; allora C
o
= (-1Ik)..;;::JP In Y o v
l'
= tVT./P Iny + C
e
= i VT./p In (Y/ Y. )
(A)
Nota: Trascurare il piccolo tratto di curva logaritmica a sinistra di Yo impone una approssimazione , ma da risultati soddisfacenti eben dentro i limiti della precisione richiesta, dato che Yo to piccolo. Per il valore di quest'ultimo si veda il problema 5. Nell'espressione (A) si ha k 5::: O,40:e la costante di von Karman. Dato che il termine sioni mIs, losi denomina velocita di taglio, indicandolo con v. ; COS!
NP
v = 2,5v. In (Y/Yo)
Dalla Q = AV = (h x 1)V = J v(dy x V
(h
ha dimen (B)
r
otteniamo il valore della velocita media V. Percio
1)
_ J v(dy x 1)
-
emol
A 1)
_ -
2,5v. -h-
. (In y - In v .)dy
o
Usando la regola di L'Hopital ricaviamo la velocita media per superfici hsce in presenza di strato limite:
V
Dimostreremo nel problema 5 che Yo re nella forma .
= 2,5v.[ln
=
h -In Yo - 1]
v/9v. Di conseguenza Ie equazioni (B) e (C) si possono scrive
•
v = 2,5v. In (9v.,y/v)
e
V
(C)
= 2,5v.[ln
h -In(v/9v.) - 1]
(.6)
(E)
>~
.
_ .~.~
.
!~
MOTa IN CANALl APERTl
166
Di solito la velocits media in un canale aperto si assume pari a quella rilevata in un punto al 60% della profondita (misurata dalla superficie libera), Se accettiamo questo valore di y possiamo porre la veloci ta media, dalla (B) precedente, nella forma
Dal problema 5,
)'0
= 0/103.
AUora per canali aperti la velocita media diventa, essendo il raggio idrauIi
coR =h, (F)
5.
Trovare il valore di Yo nel problema precedente. Soluzione:
Per superfici lisee, nello strato limite (laminate),
to = p.(dr/dy)
= vp(dt'ldy)
aVid)'
0
= {tJp)/v = v;/v
(costante)
lndicando con 0 10 spessore dello strato limite,
~f dv =
(t,;h,)
J:
a dy
0
(A)
Dai dati sperimentali risulta RE, ;;;: 11,6 (praticamente costante). Quindi,
•
o
1>
= 1],6v/r.
.. (B)
. Se poniamo y = 0 nell'equazione (B) del problema precedents, (e)
Cornbinando la (C) e la (A), In />!Yo = v,}/2,5v.
RE,)2,5;;; 4,64, (D)
ADora, daDa (B),
6.
{) ] ],6v v 103 - ]031'. - 9v.
l'=-~--~.0
(E)
Acqua a 15°C circola in un grande canale liscio rettangolare (n = 0,009); la profondita Confrontare il valore di C che si ottiene dalla formula di Manning, con quello che si ha usando la V = 2,5v.]n 41,2R/b.
e di 1,2 m, la pendenza 0,0004.
Soluzione: Con la formula diManning, C = (l,O/n)R1/ b = (1,0/0,009)(1,2 1/ 6 ) = 114,5.
(a)
(b) Uguagliando la formula di Chezy per la velocita media V con l'espressione data: C
Sostituendo la v.
= JKSR
= .JRs = 2,5t.
ln 41.2R/t5
del problema 4, C = 2,5.Ji In 41,2R/1>
Per acqua a 15°C abbiamo v = ],]32 x 10- 6; prendendo t5 C = 97,5.
7.
= 11,6v/t'.
(A)
dalla (B) del problema 5, troviamo
e di 1,2 m, la pendenza di 4 m su lO.OOO m. Nell'ipotesi che il canale sia liscio, con la formula teorica della velo cita vista nel problema 4, calcolare i valori delle velocita teoriche per incrementi di I / 10 della profondita. (b) Confrontare la media dei valori della velocita a 0,2 e 0,8 volte la pro fondita, con quella a 0,6. (c) Localizzare i punti a velocita media sotto il pelo libero. U sare come viscosita cinematica 1,40 x 10- 6 m2/s.
(a) In un grande canale rettangolare scorre acqua; la profondita
MOTO IN CANALI APERTI
Soluzione: (a) Dato che v.
167
= M = JgRS = Jihs e)'1) = .,,/9t,., tJ =
2,51:. ln Y/>'I)
= 2,5(2,303).jihs
]8 9v.y/v
= 5.75
/9,8(1 2)(00004)] 9yJ9,8(l,2)(O,0004) " g 1,4 X 10- 6 = 0.3945 x lg 4,41 X 105y
v
(A)
Usando la (A) si ottengono per la velocita r i seguenti valori: Profondita
(b)
8.
%
y(m)
441.oo0y
Ig44].OOOy
v (m/s)
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 92,5 95,0 97.5 99,75
1.20 1.08 0,96 0.84 0.72 0,60 0.48 0.36 0.24 0.12 0.09 0.06 0.03 0,003
529.200 476.280 423.360 370.440 317.520 264.600 211.680 158.760 105.840 52.920 39.690 26.460 13.230 1.323
5,7236 5,6779 5,6266 5,5687 5.5018 5,4226 5,3257 5,2007 5.0246 4.7236 4,5987 4.4226 4,1216 3,1216
2,261 2,243 2,223 2,200 2,173 2,142 2,104 2,054 11985 1,866 1,816 1,747 1,628 1,233
I
I
I I
I
I
La media dei valori corrispondenti al 20% e all'80% di profondita e V = ,(2,223 + i,985) = 2,104 m/s. n valore per il 60% e 2,104 m/s. Simile concordanza e rara.
Supponendo corretta la formula di Manning per il calcolo di C, Quale valore di n soddisfe.. ra il metodo visto nel problema 6? Soluzione:
Uguagliando i valori di C secondo l'espressione (A) del problema 6;
Rl/6
= 5,75J"i ]g (41;R)
= 5,75.Ji]g
n v Sostituendo i valori e risolvendo, n = 0,0106.
(41,2RhSR) 11,6"
9. Usando I'equazione di Powell, che portata di liquido circolera in un canale rettangolare liscio, largo 0,6 m, con una pendenza 0,010 e una profondita di 0,3 m? Usare v = 0,000039
m2/s. Soluzione:
L'equazione (6) e Per canali lisci elR
C
=0
C -23,20 lg (1,8]1. RE
E
+ -) R
e piccolo e si puo trascurare; allora C
= 23.20 Ig 0,5521RE!C
Dai dati forniti possiamo valutare REIC tramite la V 0,5521RJC
Allora C = 23,2 ]g 329,
= cj"Rs:
RE = 4RV/v = 4RCj"Rs/v 0,5521 (4)(0,15)3/2(0,01)11 2/0,000039 = 329
= 4R 3J')'S l /" / V =
= 5~.4 e Q = CAj"Rs = 58.4(0,18v'0,15(0,01) = 0,407 m3/s
(A)
168
MOTO IN CANALl APERTI
10. Con la formula di Powell trovare C per un canale rettangolare di 0,6 m per 0,3 m quando V =: 1,65 mIs, elR =: 0,002 e v =: 0,000039 m2/s. Solnzione:
Calcoliamo prima RE
=
4RV/v = 4(Ot15)(1,65)/0,OO0039 = 25.385. Allora
C C = -23,20 19 (1,811 25.385
+ 0,002)
Risolvendo con successive approssimazioni, troviamo che C =: 52 va bene. II Powell ha tracciato dei grafici di C in funzione di R E per diversi valori della rugosita relativa fiR', ed essi semplificano i calcoli. Si puo trovare nei diagrammi una stretta analogia con la formula di Colebrook per il mote nei tubi. 11.
(a) Trovare una correlazione tra coefficiente di rugosita f e coefficiente di rugosita n. (b) Quanto vale i1 valore medio delle sforzo tangenziale ai lati e sul fondo di un canale rettan
golare largo 3,6 m e profondo 1,2 m, con una pendenza di 1,60 m/l 000 m? Soluzione: Assumendo la formula di Manning come base di correlazione,
(0)
c-- "Jj -fiQ (b)
1
=
f =
'ii=
Dal problema 1, T
=:
area 3 6 x 12 1 60 ) (pendenza) =: lOOO( , , )(_t_) perimetro bagnato 1,2 + 3,6 + 1t2 1000
wRS = w(
o
= 1,152 kg/m 2
12. Che portata si pub ottenere in un canale rettangolare rlvestito di cemento, largo 1,2 m, con una pendenza di 4 m su 10.000 m, se l'acqua che circola e profonda 0,6 m? Usare il coefficiente C di Kutter e di Manning. Soluzione: Con il C eli Kutter: dalla tavola 9, n = 0,015. Raggio idraulico R = I t2(0,6)/2,4 = 0.30 m. Dalla tavola 10, per S = 0,0004, R = 'Ot30 ed n =: 0,015, il valore di C = 54.
(0)
Q = AV = ACjRS = (1,2 x Ot6)(54)J'o,30 x 0,0004 (b)
= 0,426 m 3/s
Con il C di Manning, R 2/3 S1I2 = (12 x 06)_1_ (030)2/3(00004)112 = 0430 m 31s Q = AV = A.2.. n " Ot015" ,
13. In laboratorio e stata misurata una portata di 0,393 m 3/s in un canale rettangolare lar go 1,2 m e profondo 0,6 m. Se la pendenza del canale e 0,0004, quanto vale il coeffi ciente di rugosita del suo rivestirnento? Soluzione: Con la formula di Kutter,
(0)
Q
= 0,393 = ACjRS =
(1,2 x 0,6)CJ[(1,2 x 0,6)/2,4](OtOOO4)
Interpolando, nella tavola 10, n (b)
=:
e
C = 50
0,016.
Con la formula di Manning, Q = Ot393
= A2..R 2/ 3 S1/2 = (1,2 n
x Ot6r!-(0,3)2J3(0,0004)l J2 1 n
n
= 0,0164.
Usare n
= 0,016.
169
MOTO IN CANALI APERTI
14. Che pendenza dovra avere una tubazione vetrificata da fognatura per smaltire, con un dia metro di 60 em, 0,162 m''3/s restando piena a meta? Che pendenza sara necessaria se la se zione e completarnente riempita? (Dalla tavola 9: n = 0,013.) Soluzione; Raggio idrauIico R
=
.
Ie
area
tf)
(0)
~(7t perunetro bagnato Q = 0,162 = A..!.R2 / 381/ 2 = t(inHO,6)2 x (1/0,013)(0,15)2/381/ 2,
(b)
R
n
= !d =
,
= ~14T'd) = id =
0,15 m, come prima, e A = in(0,6)2. Allora
0,15 m.
.jS= 0,0528
.jS= 0,0264 ed 8
ed 8
= 0,00279.
= 0,00070.
15. In un canale trapezoidale dalla base larga 6 m la pendenza delle pareti e I : I, la profondi ta del liquido e 1,2 m e la pendenza e 0,0009. Per un valore di n = 0,025, quanto vale la portata a regime? Soluzione: Area A = 6(1,2) + 2(iHl,2) = 8,64 m, R = 8,64/[6 + 2(1,2.J2)] = 0,92 m. Q = (l/n)AR 2 /381/ 2 = (1/0,025)(8,64)(0,92)2/3(0,03) = 9,S m3/s
16. Due tubazioni in cemento (C = 55) debbono raccogliere la portata uscente da un canale aperto a sezione semiquadrata larga 1,8 m e profonda 0,9 m (C = 66). La pendenza di entrambe le strutture e 0,00090. (a) Determinare it diametro delle tubazioni. (b) Trova re la profondita dell'acqua a regime nel canale rettangolare se la pendenza diventa 0,0016, usando C = 66. Soluzione: (0)
~e = Qtubazioni AC.jRs = 2AC.jRs
(I,S x 0,9)(66)
~_1-,8-3:-60-,9-(-0,-000-9-~ = 2(i7td2)(55»){ 10,0009) 2,15 = 1,30ds/2
(b)
Per una profondita y, l'area A
. ~. "
2,15 = (I,Sy)(66)
.
ed
= 1,8y ed il raggio idrauIico R
I,SI';2Y (0,0016),
1,8y'
I ,SI-;2Y
= 1,225 m
ISy , . Per la stessa portata Q, I,S + 2y
= 0,814,
y3 -0,2275y = 0,2050
~~.
i:'
~ :,
~'
..
Risolvendo con approssimazioni successive:
Per y = 0,720 m, (0,373 - 0,164) Per y = 0,717 m, (0,368 -0,163)
"
" :f "
~~. ,f....
.JS" !~
I
I
~,~',
Cosi, la profondita, con I'approssimazione del rom,
=1=
=
0,205 (diminuire y). 0,205 (va bene).
e di 0,717 rn.
17. Un tube da fognatura vetrificato medio 'e installato con una
pendenza di 0,00020 e convoglia 2,30 m'3/s quando la se
zione e piena a1 90%. Che dimensione dovra avere? Soluzione:
Dalla tavola9, n
= 0,015.
CalcoIiamo il raggio idrauIico R (vedi fig. 104).
A cerchio - (settore AOCE - triangolo AOCD)
R =- = ------------'--- P arcoABC Angelo
e=
arc cos (0,40d/O,50d) = arc cos 0,800, 9 = 360 52'.
Fig. 10·4
:-:.
170
MOTO IN CANALl APERTI
Area del settore AOCE = [2r36"52')/360"]tt1td2) = 0,1612d2 • Lunghezza dell'arco ABC = nd - [2(36"52')/360'] (1td) = 2,498d. Area del triangolo AOCD = 2HHO,40d)(0,40d tg 36"52') 0,12oo{/2. t1td2
-
(0.1 612d2
O.l200d2 )
R
(a)
Usando il coefficiente C di Kutter (assunto uguale a 55 in prima approssimazione), Q=
CAjRS,
2,30
= 55(0,7442d2).j0,298d(0,00020),
Controlliamo c: R = 0,298
x 2,212 = 0,659
d S/ 2 = 7,278(55/62) = 6,456 (b)
O,7442d2 2,398d = 0,298d
o
d'/2 = 7,278,
d = 2,212 m
me 1a tavola 10 da C = 62. Ripetiamo il calcolo: d
= 2,109 m (il nuovo C va bene).
Usando il C di Manning, e Ie precedenti informazioni,
Q 2,30 = _1_ (0,'7442d2 )(O,298d)213(O,OO020)1/2, 0,015
d 8 / 3 = 7,347,
d = 2,112 m
18. Quale sara la profondita dell'acqua che scorre in un canale largo 6 m, con una pendenza di 0,00010, in ragione di 6,00 mS Is? Usare n = 0,015. Soluzione:
Usandola formula di Manning,
Q=
1
;AR
2 3S 1 2 / / ,
6,00
1 6y 2/3 0,015 (6y) 6 + 2y) (0,01),
6y 1 5 = y(-_"_ )2/3 , . 6 + 2y
Con successive approssimazioni troviamo che il valore y = 1,50 m soddisfa l'equazione, L'acqua scorre ra con una profondita di 1,50 m; e la cosiddetta profondita normale.
19. Che 1arghezza deve avere un canale rettangolare per convogliare 13,5 m S /s d'acqua con una profondita di 1,8 m, su di una pendenza di 0,00040? Usaren = 0,010. Soluzione:
Con 1a formula di Manning, per A = 1,8b ed R = 1,8/(b + 3,6), riso1vendo per successive approssimazio
ni, troviamo la larghezza richiesta b = 3,91 m.
20. Calcolare i coefficienti di efflusso K e K', da usare nell'equazione di Manning, che sono riportati nelle tavo1e 11 e 12 dell'appendice, Soluzione:
I coefficienti di effiusso da usare nella formula di Manning si possono valutare nel modo che segue. L'a
rea di una sezione retta qualsiasi si PUQ esprimere come A = F I y 2 , in cui F I e un coefficiente adimen
sionale ed y2 e il quadrato della profondita; similmente il raggio idraulico R PUQ essere espresso come
R = F2Y. Allora la formula di Manning si trasforma nella
o
K
Analogamente, in funzione di una larghezza di base -b, A = F)b 2 Qn _ F F 2 / 3 b 8/ ) S I /2 3 4
K'
e R
F4b.
(1)
Allora (2)
Le tavole 11 e 12 forniscono i valori di K e K' per sezioni trapezie rappresentative, ma detti coefficien ti si possono calcolare per qualsiasi sezione.
171
MOTO IN CANALI APERTI
21. Quali sono i coefficienti di efflusso K, K' per un canale rettangolare largo 6 m e profon do 1,2 m? Confrontare con i valori delle tavole 11 e 12. Soluzione: (a)
A
= F1)"",
7,2
= F1(1,2),
F2 = 5,0. R
La tavola 11 indica che per ylb (b)
A
= F3b2,
7,2
= F3(36),
7,2/8,4
= 1.2/6 = 0,20,
F3 = 0,20. R
La tavola 12 indica che per y/b
= F2Y,
= F4b,
K
7,2/8,4
= 1,2/6 = 0,20,
= F2(1,2), = 4,00.
F2 = 0,714. K == F1ri/3 = 4,00.
(Va bene)
= F4 (6),
F4
= 0,143.
K'
= F3p213 = 0,0546.
K' = 0,0546. (Va bene)
22. Risolvere il problema 18 usando i coefficienti di efflusso della tavola 12. Soluzione:
Dal problema 20, equazione (2),
Qn
6(0,015) (6)813(0,0001 )1/2
,-
=K,
b8/3 SI/2
= 0,0757 = K
,
La tavola 12 indica che per trapezoidi a lati verticali un K' pari a 0,0757 rappresenta un rapporto pro fondita-larghezza compreso tra 0,24 e 0,26; interpolando, y/b = 0,250. Allora Y = 0,250(6) = 1,50 m, come si e trovato nel problema 18.
23. Risolvere il problema 19 usando i coefficienti di efflusso della tavola 11. Soluzione:
Dal problema 20, equazione (1),
QIJ y 813 S1/ 2
k
13,5(0,010) (1,8)8/3(0,0004)1/2 = 1,41
= K,
=K
= 1,40 corrisponde al rapporto ylb = 0,46. Allora b = 1,8/0,46 = 3,9'1, come visto nel problema 19.
24. Un canale a sezione retta trapezoidale trasporta 24,3 m3/s; se la pendenza e S = 0,000144; n = 0,015; larghezza di base b = 6 m; pendenza delle pareti 1 verticale su 1,5 orizzonta le, si calcoli la profondita normale di flusso YN con la formula e con l'uso delle tavole. Soluzione: (a)
Con la formula,
2~,3
= _ 1_ (6YN 0,015
ovvero
+ 1,5y~)(
30,4
=
't
= 2,4 :
+ 1,5n)s/3
+ 2YN.J3,25)2/3
(6YN (6
Controlliamo YN
6YN + 1,5n )2/3(0,000144)1/2 6 + 2YNJ3,25
30,4;' (14,4 + 8,64)5/3 (6 + 4,8J3,25)2/3
0
30,4
=1=
31,2 (abbastanza approssirnato).
La profondita di flusso si PUQ calcolare, con prove successive, fino alla precisione richiesta. La pro fondita normale e leggennente inferiore a 2,4 m,
(b) Prima eli usare la tavola 12 in appendice: Qn
b8/~SI/2
24,3(0,0] 5)
= (6)8/J(l).OOO144)ii~ = 0,256 = K
,
172
MOTO IN CANALl APERTI
Dalia tavola 12, per una pendenza delle pareti di 1 verticale su 1,5 orizzontale,
ylb
= 0,38, XI
Interpolando per K'
:; 0,238
= 0,256 abbiamo
e
yjb = OAO, K'
yjb = 0,395. Allora YN
= 0,262 = 0,395(6) = 2,370 m,
25. Per un'assegnata area trasversale, detenninare Ie dimensioni ottimali di un canale trapezoi dale. Soluzione:
L'esame dell'equazione di Chezy indica che, per una
assegnata sezione retta e un'assegnata pendenza, la
portata attraverso un canale a rugosita assegnata sa ra massima quando il raggio idraulieo massimo. E
il raggio idraulieo sara massimo per un perimetro ba gnato minimo, Rif~.h,,",ldoci alla fig. 10-5,
I
e
A = by
tg 8)
b
Fig. 10-5
b = Ajy - y tg 8
o p
+ 2(!y)(y
r-e-
= b + 2y
sec 8
p
0
= Ajy -
y tg 8
+ 2y sec 8
Derivando p rispetto a y ed uguagliando a zero, dpjdy = - Ajr - tg 8
(Massimo)R
=~ = p
Note:
+ 2 sec 8 = 0 • 0
A :; (2 sec 8 - tg 8)y2
(2 sec 8 - tg 8)r (2 sec 8 - tg 8)y2jy - Y tg 8
y
+ 2y sec 8 = '2
(1) Per tutti i eanali trapezoidali, la sezione idraulica ottima si ha quando R simmetrica sara un semiesagono.
= yj2.
La sezione
e
= 0°), A = 2r e aneora A = by, da cui y = bj2, oltre alia R = yj2.Coslla profondita ottima pari alia meta della larghezza, con il raggio idraulico uguale alia meta della profondita stessa.
(2) Per un canale rettangolare (quando
e
e
(3) Per una data area il minor perimetro quello del cerehio. Un canale aperto semicireolare smaltira pin acqua eli qualsiasi altra forma (per Ia stessa area, pendenza e fattore n).
26. (a) Determinare la sezione piu efficiente di un canale trapezoid ale, n = 0,025, per convo gliare 12,6 m3 Is. Per prevenire l'erosione la velocita massima deve essere 0,90 m/s; la pen denza delle pareti Iaterali e di 1 verticaIe su 2 orizzontale. (b) Che pendenza S sara neces saria? Riferirsi alla figura del problema 25. Soluzione: R :;
(a)
A
=
!. = ~ :; by + 2
2 p b + 2y.J5 QjV = 12,6OjO,9O = by + 2y2
b
0
0
= 2Y.J5 b
= (14 -
4y
(1)
2r)jy
(2)
Uguagliando Ie (1) e (2) otteniamo y:; 2,38 m, Sostituendo nella (2), b Per questa sezione, b = 1,12 m e y = 2,38 m. (b)
= 1,2 m.
173
MOTO IN CANALI APERTI
27. Trovare l'espressione della profondita critica, l'energia specifica critica e la velocita criti ca (a) in canali rettangolari, (b) per canali qualsiasi. E
Flusso
Energia potenziale , /
subcritico
W
. ]i ~
/
J .
v.
Y
=E
+ 2g
T
Flusso supercritico
Flusso subcritico
'r y.
l...-I'.......L-_ _--==
_
E Q costante
Q
,E costante
(a)
(b)
Fig. 10·6
Soluzione: (a) CanaIi rettangolari. Per deflnizione,
=y
2 + V2g =
= y + l...(9.)2 (1) 2g y La profondita critica per una data portata Q si ha quando E e minima. Seguendo il normale pro E
Y
+ l...(Q/b)2 2g y
cedinnento eli calcolo, dE tly
= .i.[1J + l... ely 2g (9..)2J y
--
1 - ..!L gy3 - 0,
u.
= Vq2/ g
(£)
Eliminando q nella (1) e usando i valori della (2),
=
E.
Essendo q = yV (b
,
gy~
y • .,.. - 22
sv;
= unita), l'espressione (2) porge
v, = ..;g:y., (b)
=
3
'2 Y •
(3)
V; _ y. 2g -
2'
W
Canali qualsiasi. E = 71 + ~; = y + ig~)' Per una Q costante, dato che l'area A varia con la profondita y, dE dy
=
1
+
Q2
2
2g ( - A 3
•
dA dy)
=
Q2 dA 1 - A 3g dy
=
0
L'area dA si definisce come ampiezza della superficie dell'acqua b' x dy, Sostituendo nell'equazio ne precedente abbiamo o
(5)
Equazione che dev'essere sodelisfatta nelle condizioni eli flusso critiche. II secondo membro e una funzione della profondita y, ed ein genere necessaria una soluzione per tentativi per trovare il va lore eli y c che soddisfa l'equazione (5).
"
]74
MOTO IN CANALI APERTI
Dividendo Q2 per A~,
0
in funzione della velocita media, la (5) S1 puo scrivere:
v:»
Ar/b'
v,
0
=
VgAr/b'
(6)
Introdueendo la profondita media Y m, uguale all'area A divisa per la dimensione di superfieie b', l'equazione (5) si puo riscrivere
Q = A ...jgA/b' = .4.yg:y:"
v, = VgA,.fb' =
Inoltre
yg;;:"
0
(7) V;/gy,,,
==
1
(8)
L'energia speeifiea minima risulta, usando la (8), (9)
Per un canale rettangolare A c
= b'y.;
e la (6) S1 riduee alla preeedente equazione (4)~
La fig. 10~6 rappresenta l'equazione (1) messa in.grafico due volte, la prima a Q eostante, la secon da a E eostante. Quando fl flusso sta per diventare eritieo ne risulta una superficie instabile che ten de a formare onde. Non
e mai eonsigliabile progettare canali con pendenze vicine alia critica,
28. Derivare I'espressione della massima portata unitaria q in un canale rettangolare per una data energia specifica E. Soluzione: Se risolviamo la (1) del problema 27 rispetto a q otteniamo q = yj2g(E - .1')1 /2; derivando rispetto a y ed uguagliando a zero otteniamo Yc = iE. L'equazione (2) del problema 27 diventa allora o
Riassumendo, le caratteristiche di flusso eritieo per canali rettangolari sono:
= ~Vq~/g
(a)
Emili
(b)
qm..x =
(0)
Yc
Yiile
== y'g(-BEcrs
iE~ = V~/g
(d) Vr/Viiic = NF
= Vq2/g
== 1
(e)
Flusso tranquillo,
if)
Flusso rapido,
0
0
subcritico, si ha quando N F < 1 e y!Yc > L
supercritieo, si ha quando N F > 1 e yjyc < 1.
29. Un canale rettangolare trasporta 5,4 m 3/s. Trovare 1a profondita critica y c e 1a velocita critica V c per (a) una larghezza di 3,6 m, (b) una larghezza di 2,7 m. (c) Che pendenza puc provocare la velocita critica in (a) se n = 0,020? Soluzione: (a) Yc
= .Jq2jg = .J(5,4i3,6lj9,8 = 0,612 m,
Vc
yrg;:; = ~x
0,612 = 2.45 rn/s
y:
= .Jfjg = .J(5,4/2,7)2j9,8 = 0:742 m, Vt = JgYe = J9,8 x 0,742 = 2,70 m!s
V = ~R2/3S1/2 245 = _1_(3,6 x 0,612 )2/3S 1/2 S
(e) c n ' •. 0,020 4,824 ' = 0,00683.
(b)
30. Un canale trapezoidale, le cui pareti laterali hanno una pendenza di 2 orizzontale su 1 ver ticale, trasporta una portata di 16 m 3/s. Se la larghezza sul fondo e di 3,6 m, calcolare (a) la profondita critica; (b) 1a velocita critica.
175
MOTO IN CANALI APERTI
Soluzione: L'area A.
= 3.6)'. + 2 (~,v.
(a)
x 2y,)
= 3.6y. + 2)';.
e la larghezza in superficie
e b' =
3,6 + 4)'•.
1I6jl (3 6l' + 2)'1 )3 ' . L'espressione (5) del problema 27 ci reca - = ' .' 9.R 3.6 + 4y. Risolvendo per tentativi questa equazione, Y. (b)
= 1,035 m,
La velocita critica Vc si determina mediante l'equazione (6) del problema 27:
' = rg;:t; =
Verifichiamo: per y
J,
V'lf
= J'.
=
19.8(3,726 + 2,142) = 273 /s 3.6 + 4,14 ' m
Y.
= QI A. = 16/[3,6(1 ,035) + 2(1,035 )2] = 2,73 m!s
1.035, V.
31. Un canale trapezoidale ha 6 m di larghezza suI fondo , la pendenza delle pareti e di I : 1 e I'acqua ha una profondita di 1,00 m. Per n = 0,0 15 e una portata di 10 m 3 Js, calcola re (a) la pendenza normale, (b) la pendenza critica e la profondita critica per 10 m 3 Js, (c ) la pendenza critica alla profondita normale di 1,00 m. . Soluzione: Q=
(a)
(h1
A~R2J) S~1 , 11
10 =
7
J .
(tl
+ 1)(- -)(
0.015 6
= .R ~
+ 2fi
)Z/3SiF ,
SN = 0,000626
liAr V
10 e V = = 9,8(6y. + Y:) 61' + y2 • ~ 6 + 2y, Uguagliando i termini della velocita, calcolando Ie radici e semplificando, v
.
A
+ )'.1]3 = 20,4 3 + J'. che risolta per approssimazioni successive ci da la profondita critica Y. = 0.634 m. [ y,(6
La pendenza critica si trova con l'equazione di Manning:
10 ::= [6(0,634) + (0,634)1](_1_)(6(0,634) ;:. (0,634)2 )2/3S1/2 • 0,015 6 + 2(0,634)2)
S,
= 0,0029
Pendenza che manterra un mota critico, uniforme alla profondita critica di 0,634 m con una por tata Q = 10 m3Js. (c)
Dalla (a) per YN = 1,00 m, R del problema 27,
V,
=J
= 0.793 me A = 7,00 m 2 • D'altra parte
gA/b' = J 9.8(7.00)/[6 + 2(1)]
applicando l'equazione (6)
= 2,928 m/s
Sostituendo questi valori nell' equazione di Manning si ottiene : 2.928 = (J/O,OI5)(0,793)2/3 S1/1.
S, = 0,00263
Questa pendenza genera un mota critico uniforme.nel canale trapezoidale alla profondita di 1,00 m, Si noti che in questo caso la portata vale Q = A V = 7,00(2,928J= 20,496m3 Is.
32. Un canale rettangolare largo 9 m trasporta 7,30 m3 Js con una profondita di 0,90 m. (a) Quanto vale l'energia specifica? (b) Determinare se i1 flusso e subcritico 0 supercritico. Soluzione: (a)
E =Y
(h)
,II,
V1
1
Q
1
7,30
+ 2g "" Y + ig('A)1 = 0,90 + J9,6(9 )( 0,90)2 = 0,941 m (kg mJkg)
= .yq2/g = .y(7,30/W/9.8 = 0,406 m.
. n flusso e subcritico, dato
che la profondita
e maggiore della profondita cntica, (Vedi problema 28,) ...,
.
.~;'.~
....
~~
. .
MOTO IN CANALl APERTI
176
33. Un canale trapezoidale ha una larghezza suI fondo di 6 m; le pareti hanno una pendenza di 2 orizzontale su I verticale. Quando la profondita dell'acqua e di 1,00 m la portata va le 10 mS/s. (a) Qual e l'energia specifica? (b) 11 flusso e subcritico 0 supercritico? Soluzione: (a) Area A
= 6(1,00) +
2(i)(I,OO)(2,00) = 8,00 m 2. E
(b)
Usando la
Q2
g:::;
A3 b~'
= y + 2.( Q f = 1,00 + _1_( 10)2 = 1 08 m 2g A
(10)2
9:s =
19,6 8
'
(6yc + 2y:)3 . . . 6 + 4yc • Risolvendo per tentativi, y e
La profondita reale e maggiore di quella eritica: i1 flusso
= 0,61 m,
e subcritico.
34. La portata di un canale rettangolare (n = 0,012) largo 4,5 m e di 10,80 mS/s quando la pendenza e di 1 m su 100 m. Determinare se i1 flusso e subcritico 0 supercritico. Soluzione: (1) Cerchiamo le condizioni critiche per i1 canale: qma",
= 10,80/4,5 = ..;gy:
e
Yc -= 0,838 m
(2) La pendenza critica per la suddetta profondita critica si puo trovare con la formula di Chezy-Man Ding:
_ _1_ 4,50 x 0,838 10,80 - (4,50 x 0,838)(0,012)(4,50 + 2(0,838»
2/3
Poiche la pendenza del canale supera quella critica, i1 flusso t '. r, I I·
1/2
Se'
S, = 0,00215+
e supercritlco.
35. Un canale rettangolare largo 3 m convoglia una portata di 12 mS/s. (a) Tabulare (in mo do da peter tracciare un diagramma) I'energia specifica in funzione della profondita di flusso, per profondita che vanno da 0,3 a 2,4 m. (b) Trovare I'energia specifica minima. (c) Che tipo di flusso si ha quando la profondita vale 0,6 m e 2,4 m? (d) Se C = 100, quali pendenze sono necessarie per mantenere le profondita di (c)? Soluzione: y2 (a) Dalla E = y + 2g Per Y
(b)
(Q/A)2
=Y + ~
= 0,30 m,
•
abbiamo: E = 0,30 +
(12/0,90)2 2g
= 0,60 -= 0.90 = 1.20
= 0,60 +
= 1.50
= 1,50 + 0,544
== 1.80 = 2,10 '= 2,40
== 1,80 + 0,453 :::; 2,10 + 0,389 :::; 2,40 + 0,340
= 0,90
1,36
= 3,02
m kgjkg
= 1,96
= 1,807
+ 0,907
= 1,880 = 2,044 = 2,253 = 2,489 = 2,740 m kgjkg
= 1,20 + 0,680
11 valor minimo ill E si trova tra 1,96 e 1,880 m kg/kg. Con l'equazione (2) del problema 27, s,
m
=
~(l2/3)2/9,8
= 1,178 m.
Allora Emin = Ee = iYe = j(l,178) = 1,767 m kg/kg,
Notare che E = 1,96 per una profondita y = 0,60 m , ed E = 2,04 per y = 1,50 m. Questo si vede
anche nella fig. (a) del problema 27: due valori della profondita per una data energia specifica
quan~o la portata Q e costante.
177
MOTO IN CANALl APERTI
(c)
A 0,6 m di profondita (al disotto della profondita critica) il flusso
e subcritico.
~
e supercritico; a 2,4 m il flusso
Q=~~
= 1,8 m2
= 1,8/4.2 =
0,429 rn, 12 = 5S(1,8»0,4298 e S
=:
0,0343.
Per y = 2:4 m, A = 7,2 m2 e R = 7,2/7,8 = 0,923 m, 12 = 5S(7,2»0.9238 e S
=:
0,000995.
Per)'
0.6 m, A
e
R
36. Un condotto rettangolare (n =: 0,012) e tracciato con la pendenza di 0,0036 e traspor ta 16,0 m 3/s. Che larghezza sara richiesta in condizioni di flusso critico? Soluzione:
Dal problema 28,
= Jii!. Ouindi
qmax
16,O/b
= J9.8y:.
Con approssimazioni successive possiamo confrontare la portata risultante con quella di enunciate. Tentativo 1. Poniamo b =: 2,5 m: Yc = .j!(l6,O/2,S)2/9,8 = 1,6] m.
ADora R = Alp = {2,5 x 1,61)/5,72 = 0,704 m
e Q = AV = (2,5 x
1,6l)[O,~12(O,704)2/3((l,0036)lf2J = 15,9 m3/s.
Tentative 2. Poiche la portata deve aumentare, sia b =: 2,53 m. ADora Yc e
Q. =
= 106,0/2,53)2/9,8
= 12.53
AV
= L60 m,
R = (2,53 x 1,60)/5,73 = 0,706 m
1 (0.706)2/3 (0,0036) 1/2] x 1,60)[ 0,012
16,0 m.)Is.
Questo risultato e eccezionalmente esatto.
37. Con una energia specifica costante di 1,98 m kg/kg, qual avere in un canale rettangolare di 3,00 m di larghezza?
e la massima portata che si pub
Soluzione:
Profondita critica u,
~E
=
j(1.98)
= 1.32 m. (Yedi equazione (1), problema 28.)
Velocita critica Vc =
-liic = ~9,8 x ],32 = 3,60
Portata massima Q =
AV
Usando la '1m3"
= (3,00 x
mIs, e
1.32)(3.60) = 14,2 m3/s.
= .;g;: (equazione (b) del problema 28), otteniamo
Portata massima Q = .hqmax
= 3,00)9,8(1.32)3
= ]4,2
m3/s.
38. Un canale rettangolare largo 6 m, n =: 0,025, trasporta acqua con una profondita di 1,50 m ed una pendenza di 14,7 m su 10.000 m. Attraverso il canale e posto uno stramazzo senza contrazione C, alto 0,735 m (m = 1,90). Assumendo pari a 30,00 la quota del fondo del canale subito a monte delle stramazzo, calcolare su un ramo del canale stesso la quota del la superficie dell'acqua in un punto A, 300 m a monte. Soluzione:
Calcoliamo la nuova quota della superficie dell'acqua in B, fig. 10-7 (prima del rigurgito a valle). Si no
ti che i1 flusso e non uniforme, poiche dopo la messa in opera della stramazzo profondita, velocita ed
aree non sono costanti,
MOTO IN CANALl APERTI
178
Fig. 10-7
= (6 X
Q
1,50)(1/0,025)(9/9)2/3(0,00147)1)2
= 13,80 m3/s
Per una profondits ipotetica di 1,80 m subito a monte della stramazzo,
Velocita a monte
V
= Q/A
= 1!,80/(6 x 1,8) = 1,28 m/s
(1 28)2
(1 28)2
2g
La formula della stramazzo porge 13,80 = 1,90 x 6[(H + ~ )3/2 - (-'_)3/2]. "y>
(H
+ 0,0836)3/2 = 1,210 + 0,024 = 1,234 e
ADora
H = 1,066 m
Ahem Z = 0,735 m Profondita y = 1,801 m (ipotesi esatta)
La nuova quota in A dovra trovarsi fra 31,941 e 32,241. Proviamo una quota di 32,10 (controllando con l'equazione di Bernoulli). Nuova area in A Velocita media
=
9,96 m2
6(32,10 - 30,44)
e
= 13,80/9,96 = 1,39 m/s.
V
= !(1,28 + 1,39) = 1,33 m/s. ~
Raggio idraulico medio
= !(10,80 + 9,96)/[!(9,60 + 9,32)] =
Vn 1,33 x 0,025
Perdita di carico hL = (R 2 / 3 )2 L = ( (1,10)2/3 )2(300)
110 m,
= 0,292 m,
Applichiamo ora l'equazione di Bernoulli tra A e B, riferimento in B,
32,10 + (1,39)2/2g
che si riduce a
La differenza, 0,03 m,
= 31,80 + (1,28)2/2g
31,91 = 31,88 (approssimativamente).
e assorbita dal semplice coefficiente di rugosita n, Una ulteriore approssimazione e corretta la quota di 32,10 m.
non sembra giustificata:
39. Sviluppare una formula che fomisca la relazione lunghezza-energia-pendenza per il mota non uniforme in problemi rientranti nel caso precedente. Soluzione: Applicando l'equazione dell'energia tra le sezioni 1 e 2 nella direzione del moto, con riferimento ad un piano posto al disotto del fonda del canale, avremo energia in 1 - perdita di carico (Z1
+ Y1 +
V~f2g) - hL
=
(Z2
= energia in 2
+ Y2 +
La pendenza della linea dell'energia in S vale hL/L; allora h L
e (Zl -
z2)/L; allora
Z1 -
S"L
Z2
= S"L.
+ (,1 -
V~/2g)
= SL. La pendenza So del fonda del canale
Riordinando e sostituendo, Y2)
+
(Vff2g - Vi/2g)
= SL
179
MOTO IN CANALI APERTI'
Negli studi sui canali aperti questa' espressione di solitosi rlsolve rlspetto allalunghezza L. COSt
=
Lin metri
(Yl + V;J2g) - (Y2 + V:/2g)
8
80
=
E1 - E2
(A)
8-80
I problemi cheseguono illustreranno l'uso dl questaespressione.
40. Un condotto rettangolare (n = 0,013) elargo 1,80 m e trasporta 1,78 m S /s d'acqua, In una
certa sezione F la profondita edi 0,96 m. Se la pendenza de! fonda del condotto ecostan
te e uguale a 0,080400, trovare la distanzatra lasezione F e quella in cui la profonditt edi
0,81 m. (Ragionare su di un ramo di condotto.)
Soluzione:
Supponiamo che la profondita 0,81 sia a monte di F. Usererno gli indici 1 e 2 al sohto modo.
= 1,221 ro/s-, V2 = 1,782/1,728 = 1,032 mis,
Al = 1,80(0,81) = 1,458 ro2 , A2
= 1,80(0,96) = 1,728
m
Y1 = 1,782/1,458
,
= 1,458/3,42 = 0,426 m
R 2 = 1,728/3,72 = 0,465 m
R)
= 1,126 snl«, R medi o =0,445 m, Allora, per un moto non uniforme,
QuincU Vm edia L
2
= (Yi/2g + Y2) -
(Yf!2g So - S
(0,077 + 0,~1) = -556,5 m
0000400- (0,013 x 1,126) )
, (0,445)2/3
+ ,) = (0,055 + 0,96) -
n segno menosignifica chein realta Ia profondita eli 0,81 m si trova a valle di F, non a monte. .
41.
Questo problema illustra il metodo da impiegare; una maggiore precisione si pub ottenere assumendo pro fondita intermedie: 0,900 m e 0,855 m (0 profonditapiu esatte con interpolazione) calcolando i valori eli ilL e sommandoli; in tal modo epossibile tracciare una curva che da il profile eli rigurgito a monte; questa curva non euna linearetta. Un canale rettangolare largo 12 rn convoglia 25 rns /s d'acqua con una pendenza di 0,00283.
Nella sezione 1 la profondita e di 1,35 m; nella sezione 2, 90 rn a valle, di 1,50 m. Qual valor medio del coefficiente di rugosita n? Soluzione:
= 12(1,50) = 18 rol , = 12(1.35) = 16,20 m2 ,
A2 A)
=
Quineli Vmedia 1,465 m/s e R m edi o L
= (Yi/2g + Y2) S
en = 0,0282.
Yf!2g
( nV
o -
R2/3
Y2 Y)
.= 25/18 =
1,39 m/s
= 25/16,20 = 1,54 m/s.
= 18/15 =
R2 R)
ei1
1,20 m
= 16,20/14,70 = 1,10 m
=1,15 m. Per un.moto non uniforme + Y),
90 = (0,0984
f
+ 1,500)-
(0,1215
+ 1,350)
n x 1,465 0,0283 - ( (1,15)2/3 f
42. Un canale rettangolare, largo 6 m, ha una pendenza di 1 rn su 1000 m. Nella sezione 1 la
profondita e di 2,550 m; nella sezione 2, 600 m a valle, di 3,075 rn. Se n = 0,011, determi nare la portata probabile in rn s Is. .
Soluzione:
Conriferimento al.lettodella correntenellasezione 2,
energia in 1 = Y1 + YU2g + Zl = 2,550 + V:l2g + 0,600 energia in 2 = Y~ + Vi/2g + Z2 = 3,075 Yi!2g + La cadutanellalineadelle altezze totali (dell'energia) =energia in 1 - energia in 2. Essendone incognito il valore, assumeremo un valore eli provaper Ia pendenza. (3,150 - 3,075) + (YV2g - Vi/2g) perdita di carico (1) Pendenza S = = 600
+
L
.
°
Poniamo S =0,000144. Sonoinoltre necessari i valori di A media e R m edio :
A1 = 6(2,550) = 15,300 m2 , R 1 = 15,300/11,10 = 1,38 m
A2 = 6(3,075) = 18,450 m2 , R 2 = 18,450/12,15 = 1,52 m
Ouind! ArMdl•
= 16,875 m2
e
Rmedlo
= 1,45 m.
180
MOTO IN CANALI APERTI
(1) Prima approssimazione. Q
= A m (1/n)R;f3 S ' /2 = 16,875(1/0,011)(1 ,45)2/3(0,000144)'/2 = 23,58
m3/s
Controlliamo i1 valore eli S nella precedente equazione (1):
= 23,58/15,30 = 1,54, = 23,58/18,45 = 1,28,
V, V2
s = (3,150 -
V;/2g V~/2g
= 0,121
= 0,083
3,075) + 0,038 = 0000188 600 '
Il graeliente dellalinea delle altezzetotali e0,113 m su 600 rn; epiu alto del valore ipotizzato. . (2)
Seconda approssimazione. 0,000210
Ponendo S = 0,000210, Q = 23,58(0,000144),/2 = 28,50 m3/s. Controlliamo eli nuovo: V,
= 28,50/15,30 = 1,86 mfs,
q/2g
= 0,177 m
= 28,50/18,45 = 1,54 m/s) V~/2g = S = (3,150 - 3,075) + 0,055 = 0000217
V2
600
0,122 m
'
Questapendenza e ragionevolmente approssimata a quella proposta. Abbiamo eli conseguenza la por tata approssimata Q ::; 28,50 m 3 Is.
43. Un serbatoio alimenta un canale rettangolare largo 4,50 m, n ::; 0,015. All'ingresso, l'altezza dell'acqua nel serbatoio edi 1,87 m al di sopra delletto del canale (vedi fig. 10-8). Su una lunghezza di 240 m il condotto scende di 0,216 m. La profondita, subito a monte di uno stramazzo, posto all'estremita di scarico del canale, e di 1,24 m. Determinare, su di un ramo del condotto, la capacita del canale, supponendo che la perdita di carico all'ingresso valga 0,25 J1 /2g.
. . . . . . - - - - - - 240 m - - - - - - . . . - l
Fig. 10-8
Soluzione:
L' equazioneeli Bernoullitra A ed 1, riferimento in 1, ci d~
(0 + trasc. + 1,87) - 0,25 ~ /2g::;
e
L
=
W :/2g + y.) - (V~/2g + YI) m s• _ ( nV )2 R~3
(0
+ ~/2g + yd
(1)
(2)
Queste equazionivanno risolte per approssimazioni successive, finche L non approssima, 0 non e uguale, a 240m. Poniamo Yl ::; 1,50 m; allora daIla (1) abbiamo qj2g = (1,87 - 1,50)/1,25 = 0,296 In, V, = 2,41 tal», e . q = Vl'V, = 1,50(2,41) = 3,61 m 31 s, V2 = 3,61/1,24 = 2.91 m3/s .
MOTO IN CANALI APERTI
e
Rmedio
=:
!(R1
181
Vmedia =: !(2,41 + 2)91) = 2,66 m/s
+ R 2 ) = ![(4,5 x 1,50)/7,5 + (4)5 x 1,24)/6,98] =: 0,85 m
Sostituendo nellaprecedente equazione (2) troviamo L
= 113 m.
Portiamo il valore diYl a 1,60 me ripetiamo i calcoli,Tabulandoi risultati:
Note
L 1,60 2,06 3,30 2,66 2,36 0,867 345 m 1,57 2)17 3,40 2,75 2,46 0,862 246 m
diminuire Y 1 risultato soddisfacente
La capacitadel canale sara 3,40 X 4,5 =: 15,30 m3/s.
Ne1 casosia necessaria una maggiore approssimazione, cominciare dal1'estremo inferiore, e per una porta
ta unitaria q = 3,40 m3/s, si trova la lunghezza del ramo in corrispondenza ad un punto in cui1a profon
dita eall'incirca di un 10% maggiore di 1,24, vale a dire 1,36; quindi ad una profondita di 1,48 m, e cod
via. Se1asommadellelunghezze superai 240 m, diminuire il valore di Yl, ottenendo COS1 un maggior
valore di q,
44. Trovare l'espressione che da la pendenza della superficie liquida nei grandi canali rettangola ri per un mota graduaImente vario, . Soluzione:
L'energia totale per chilogrammo di fluido, rispetto ad un piano arbitrario di riferimento, sara
H :::: y + V'!./2g + z in cui il fattore di correzione ex dell'energia cinetica si assume pari all'unita.. Derivando questa espressione rispetto ad L, distanzalungo il canale,abbiamo dH
_
dL
-
dy dL
+
d(V 2/ 2g )
dL
+
dz
(A)
dL
Per canali rettangolari (0 per canaliampi a profondita mediaYIn), si ha y2 d(q2/2gy2) dL
= _ 2q
2 (d U ) 2gy3 dL
= (q/y)2 e
= _ V2 (dY ) gy dL
Sostituendo nella (A), usando1a dH/dL = -S (pendenza dellalinea dell'energia), e la dzidl; denzade11etto del canale),otteniamo du V2 (dY ) S - S :::: dL - gy dL - e
0
dy _
dL -
So- S
(1- Y~/gy)
= SoS 1 - N;'
=:
-So
(pen~
(B)
.
Il termine dy/dL rappresenta1apendenza della superficie dell'acquarispetto alletto del canale, Quando il canale scende nella direzione del flusso, So e positivo;similmente S epositivo (sempre). Nelmota unifor.. me avremo S =So e dy/dL = O. .Un'altra forma dell'equazione (B) si pub ottenere nel modo che segue. La formula di Manning e Q =: (l/n)AR 2/ 3 S 1I2 Risolvendo rispetto alla pendenza dellalinea dell'energia, usando q = Q/b, A = by edR =Y per grandi canali rettango1ari, avremo
Similmente si pub scrivere la pendenzadelletto del canale,in funzione dellaprofondita normaleYN e del coefficiente nN: n~ (q2 b2/b2y~) dz
aL
y~/3
Allora l' equazione (8) diventa _ 'n 2 (q2 b2/ b2 yll) y4 /3
::::
182
MOTO IN CANAU APERTI
(e)
dy dL
Tramite Ie Q/b = q = YN[(l/nly~3S~/2]
0
dy
dL J~
-1
;. ~
;
i.
1 t
(nq)2[l/y~O/3
=
_ 1/yl 0/3] (D)
1 - (yJy)3
(nq)2 _
-
= y~0I3So, Sf>
[1 1-
I'equazione (D) diventa
(YNly)J013]
(E)
(y~/y}3
Esistono delle condizioni limiteper i profili di super.fici liquide. Per esempio quando la Y .tende aYe Il de.. nominatore eli (E) tende a zero.Pereio dyjdL eliventa infinita, e Ie curve tagliano perpendicolarmente la Ii nea eli profondita critica, Di conseguenza i profilisuperflciali in prossimita diy :::: Yc sonosoltanto appros.. simati, . Analogamente, quando y tende ad YN Il numeratore tende a zero: le curve tendono aslntoticamente allapro.. fondita normale. Infine,quando y tende a zero,Il profilo superficiale si avvicina perpendicolannente alletto del canale: e que.. sto eimpossibile nelleipotesi che riguardano il moto gradualmente vario,
45. Sintetizzare i1 sistema di classiflcazione dei profili di superfici per i1 moto gradualmente vario nei grandi canali, Soluzione: Una quantita di condizioni differenti puo dar luogo in un canale a dodicidiversi tipi di moto vario (non.. uniforme). Nella espressione (E) del problema 44la profonditay aumenta a valle lungeil canale per valori positivi eli dy jdl; diminuisce per valori negativi, Nella tavola che segue presentiamo un sommario dei dodicidifferenti tipi di moto vario; diversi verranno discussi, e illettore potra anallzzare i restanti.
e
La pendenza del canale si classifica "lieve" quando detta pendenza So tale chela profonditanormale YN >Y c' Sela profonditay maggiore eli YN e Y c' la curva si dice di "tipo 1"; sey compresa tra YN e Yc' eli tipo 2; sey minore di YN e eliyc, di tipo 3.
e
e
e
Si puc notare ehe per le curve del tipo 1, dato che la veloeita diminuisce per l'aumentataprofonelid,la superficie dell'acqua deve tendere ad un asintoto orizzontale (vediM1 , C1 e Sl).ln modo analogo le linee chesi avvicinano allalineadi profonditanormaletendono ad essa asintoticamente. Come osservato in pre.. cedenza, le curve che si avvicinano alla linea di profondita critica la intercettanoverticalmente, date> ehein simili casi il denominatore dell'espressione (E) nel problema 44 diventa zero.Di conseguenza Ie curve per Ie pendenze critiche fanno eccezione a quanto si edetto in precedenza, dato che eimpossibile per una cur':' va di profile essere contemporaneamente tangente e perpendicolare allalineadi profondita critica, In tutti gli schemi della figura seguente la scala verticale emolto amplificata rispetto a quella orizzontale;
come si vedra nei problemi numerici per le curve tipoM1 , tali profili.possono estendersi per centinaia di metri,
La tavola nellapagina seguente fornisce le relazioni tra pendenze e profondita,il segno di dy jdL, il tipo di profllo, il simbolo per Il profile,Il tipo di flusso, e uno schema grafico cheda la forma delprofilo.Da ogni disegno si puo vedere se i valori eliy in ciascun profile sono piu grandi 0 piilpiccolidiYN e/oyc'
- ;
183
MOTO IN CANALl APERTI Pendenza del canale
Lieve·
0< S < s,
Profilo di
Relazioni tra pl'Ofonditi
y> YN
> Ye
yN > Y
> u-
Y.v > Ye > Y
rlgurgito
+
+
Tipo diflusso
A monte
Subcritico
A valle
Subcritico
Amante
A valle
Y>Ye
Simbolo
Formade1l'l'Ofilo
Supercritico
Subcritico
Orizzontale
S=O YN =
00
Ye>Y
Y
> Ye::: YN
+
A monte
Supercritico
+
A monte
Subcritico
Critica SN YN
= Sr: = y,
Parallelo alletto
Y
Pronunciata S> s,» 0
.entice
+
.Amonte
Supercritico
> Yr>Y...
+
Amante
Suhcritico
YN
1Ie > Y > YN
~/e
Uniforme,
>Y
Ye
> YN > Y .
+
Y>Ye
Avalle
Supercritico
A monte
Supercritico
Avalle
Subcritico
A monte
Supercritico
Negativa
S
00
Ye>Y
+
,>,.~
~
--1;:---...l.
(.
184
MOTO IN CANALI APERTI
46. Sviluppare per un canale rettangolare un'espressione che fornisca la relazione tra le profon dita a monte, e a valle, di un salto idraulico, Riferirsi alla fig. I 0-9. Soluzione: Consideriamo il corpo libero compreso tra Ie sezioni 1 e 2, e ragioniamo per ooa larghezza unitaria del ca.. nale e per una portata unitaria q: PI
= whA = W(1YJ)Yl = !wY1 e analogamente
P2 = twy~
E per il teorema della quantita di mota, AP;t: dt
=
A L.\
• , di quantita 1 moto
= W (AV;;)
• f
wqdt --(VI V2 ) g L.
r
---n---- Linea dell'energia
W \1"
Profondita crrtica
~---L
---.-.I
Flusso subcritico
Transizione
Flusso supercritico
Fig. 10-9
Poiche V2Y2
V 1Yl e VI
q/Yl' l'equazione precedente si trasforma nella
t/g = iYIY2Lvl + Y2) Y;
= !YIY2LvJ
+ Y2)
(1) (2)
Si etrovato che la lunghezza del salto variatra 4,3 Y2 e 5,2 Y2.
Per la relazione tra L/Y2 ed il numero ill Froude v1/.jii;, si veda a pagina 73 dellaEngineering Hydraulics eli Hooter Rouse, John Wiley & Sons, 1950. Il saldoidraulico eun dissipatore ill energia; per il progetto eli bacini di calmacon salti idraullcl, eimpor tante conoscere la lunghezza del salta e la profondita Y 2 • Siha una soddisfacente dissipazione di energia se Vi/WI = 20+80..
47. Un canale rettangolare largo 6 m trasporta 11 m 3/s d'acqua, e va a scaricarsi su di un gratic cio largo 6 m, a pendenza nulla, con una velocita media di 6 m/s. Qual e l'altezza del saIto idraulico? Quanta energia viene assorbita (perduta) nel salta medesimo? Soluzione: (a) Vi = 6 mIs, q = 11/6 = 1,833 m3/s/m di larghezza, Y = q/V1 = 0,306 m. Allora
+ Y2), (1,833)2/9,8 = !(0,306)Y2(0,306 + Y2), 2,245 = 0,306Y2 + y~ da cui Y2 = -1,659 m, + 1,353 m. Non avendo significato fisico la radice negativa,Y2 = 1,353 m, e f/g = !Y1Y2LvI
l'altezza del salta idraulico e (1,353 - 0,306) = 1,047 m, Notare che y, = 1(l,833)2/9,8
0
1iYJY2Lvl
+ Y2) = 0,70 m,
Di conseguenza il flusso a 0,306 m di profondita esupercritico, e a 1,353 m esubcritico.
185
MOTO IN CANALI APERTI
(b)
= 2,143 m kglkg. 1,353)]2/2g -+- 1,353 = 1,447
Prima delsalto, E t ::::: Vf/2g + Yt ::::: (6)2/2g + 0,306 Dopo il salto,
£2::::: V~/2g
+ Y2 = [11/(6 x
Perdita di energia al secondo
= wQH
=
1000(11 )(2,143 - 1,447)
= 7656
m kg/kg,
m kgfs.
48. Un canale rettangolare, largo 4,80 m, convoglia una portata di 5,20 m3/s. La profondita dell'acqua a valle del salto idraulico e di 1,26 m. (a) Qual ela profondita a monte? (b) Qual ela perdita ill carico? Soluzione: (a)
(5,20/4,80)2/9,8 = 0,63Y1 (Yl
+ 1,26),
Y1 ::::: 0,135 m
= 4,80(0,135) = 0,648 m2, V1 ::::: 5,20/0,648 = 8,025 m/s
A 2 = 4,80(1,26) = 6,048 m2 , V:z = 5,20/6,048 = 0,860 m/s
E 1 = Vf/2g + }'t (8,025)2/2g + 0,135 = '3,421 m kg/kg
El = V!/2g + Y2 = (0,860)2/2g + 1,26 = 1,298 m kglkg
At
(b)
Perdita di energia = 3,421 - 1,298 ::::: 2,123 m kg/kg
0
m.
49. Dopo aver tracimato sopra 10 sfioratore in. cemento di una diga, 243 m3/s d'acqua passano su di un graticciato piano in cementa (n = 0,013). La velocita dell'acqua alIa base della sfio ratore e di 12,60 mis, la larghezza del graticcio di 54 m. In queste condizioni si verifica il salto idraulico; la profondita del canale a valle e di 3,00 m, Affinche il saito sia contenuto sul graticcio, (a) quanta lunge deve essere quest'ultimo? (b) Quanta energia va perduta tra il piede dello sfioratore e il lato a valle del salto 7
Fig. 10..10
Soluzione: (a) Osserviamo la fig. 10..10: calcoliamo primala profonditaY2 nel lato a monte del salto idraulico: q2/g
= !Y2Y30'l + Y3),
Inoltre,
(243/54)2/9,8 ::::: !(3)Y2{Y2
+ 3),
Y:4 ::::: 0,405 m
Yl = q/V1 = (243/54)/12,6 = 0,357 m
Calcoliamo ora la lunghezzaLAB del flusso ritardato:
= 12,60 mis, 'Vi/2g = 8,10 m, V~ =Q/Y2 =4,50/0,405 = 11,11 m/s
VI
R 1 = (54 x 0,357)/54,714 = 0,352 m
V!/2g = 6,30 m,
R2 = (54 x 0,405)/54,81
= 0,399 m
]86
MOTO IN CANAU APERTl
Allora Vmedia
= 11,855 mis, LAB
Rmedlo
= 0,376 m,
= (Vij2g + Y2) -
(VV2g
e
+ Yl)
= (6,30 + 0,405) (8,10
°_
+
0,357)
(0,013 x 11,855
Sf) - S
(0,376)2 /3
= 20,0 m
2 )
e
La lunghezza del salta La tra B e C compresa tra 4,3 Ya e 5,2 Ya; assumendo il valore conservativo
di5,OYa,
. L R = 5,0 x 3,0 = 15,0 m
Quindi la lunghezza totale ABC = 20,0 + 15,0 = 35,0 m (circa). (b)
Energia in A = Yl + VrJ2g = 0,357 + 8,100 = 8,457 m kg/kg. Energia in C = Y3 + Vi/2g = 3,000 T (1,5)2j2g = 3,115 m kg/kg. Perditatotale di energia = wQH = 1000(243)(5,342) = 1,40 x 106 m kgjkg.
SO. Stabilire per quale relazione tra Ie variabili che figurano nella fig. 10-11 il salto idraulico al di sotto di uno sfloratore non si sposta verso valle. (L'uso dei parametri adimensionali che seguono venne proposto dal prof. E.A. Elevatorski; vedi "Civil Engineering", agosto 1958). Crestadella sfioratore
2
Fil'.10-U
Soluzione: Applichiamo l' equazione dell'energia tra una sezione a monte della diga,in cui si misura h, e la sezione 1; trascuriamo l'altezza cinetica dovuta allavelocita di approccio a monte: (h + d) + 0 + trasc. perdite (trascurate) = 0 + 0 + V1/2g ossia
VI::
V2g(h
+ d). 3/s/m
Essendo q = YI VI (m
di larghezza),
YI
1/1
ovvero
= ;1 = V2g(: + h)
Dal problema 46, la relazione del salta idraulico
1A 111 2
== qV 1 (Y2 -
s
Yl)
...;2U (d/h + 1)1/2h1/2
fA)
e 0
Y2 -Yl ±
Risolvendo,
q
=
Vyi + 8qVt/g 2
Dividendo per Y 1 otteniamo una espressione adimensionale: (B)
187
MOTO IN CANALI APERTI
Essendo Y2
= (d -
D), 12/Yl
= (d -
D)YI
viene sostituito in (B) insieme al valore diYl della (A):
d -D - = Yl 2(d - D)V2U (d/ h
+ 1) 1/'1 h 1/'1
-'----'---'----'-----.,;,-- + q
./ -J[ vI + 8q2/U!l 1 - 1] J """--S-(-2:l-'2-)(-g3-/2-)(-a-/ h-+-1-)3t2h-a-/2 1 + -'-----"-''''---...:....:---'--,
=
1
W
L'equazione si mette in forma adimensionale moltiplicando il membro di sinistra per hlh, dividendo tutto . per yrs e raccogliendo:
(h
3/;l/2)(d
~ D)(*+ 1)"2 + 0,353
=
I termini adimensionali di (C) si possono scrivere: D
q
j1"2
d
= h'
"a = Ii
L'equazione (C) diventa allora: r. l
(17 3 -
l7 t
)(r.a + 1)"2
+ 0,353 -= V! -+ 2,828"1 (r.:l -I- 1)3/2
(D)
II prof. Elevatorski ha tracciato una soluzione grafica della (D), che permette un'immediata soluzione.Per valori calcolati di 1Tl e 1Tz Il grafico da il valore di 1T3' (Vedi "CivilEngineering", agosto 1958). Il prof. Elevatorski afferma, commentando l'omissione della perdita di energiasulla fronte dello sfioratore: "Trascurandola perdita dovuta all'attrito, si riscontra nel bacino di calma un lieveincremento dell'altezza dell'acqua a valle del salto. Un salto lievemente rigurgitato costituisce, tutto considerate, un miglior dissi patore d'energiarispetto ad un altro progettato per la profondita Y2."
51. Determinare la quota del bacino di uno sfioratore se q la cresta delle sfioratore si trova a quota 60 m. Soluzione:
~
5 m" Is/m, h = 3 m, D = 21 m, e
Usando i rapporti adimensionali introdotti nel precedente problema,
XI
= gl/2h3/ 2/q
= 3,13{3 3/ 2)/5 = 3,253,
1t'2
= Djh = 21/3 = 7,00,
X3
= d/h = d/3
L'equazione (D) del problema 50 si puc> scrivere allora nella forma: 3,253{d/3 - 7,OOO)(d/3
+ 1)1/2 + 0,353 = )0,125 + 2,828(3,253)(d/3 + 1)3/2
Risolvendo per tentativi con 1Ta = d/3 troviamo 1T3 = 77,4, ovvero d sfioratore e(60 - 25,8) = 34,2 m sopra il piano di riferimento.
52. Stabilire I'equazione che da la portata su di uno strarnazzo a parete spessa, assumendo perdite di carico nulle. Soluzione:
Nellasezionein cui si verifies portata critica,
q = VeYc' Ma v, V;/g = jEc, e Vc = )g(jEc)' All04
ra il valore teorico della portata q nrventa
'q =
Jg(jEc) x jEc = 1,70E;/2
Comunqueil valore di Ec edifficile da misurare accu
ratamente: la profondita critica non si puc> localizzare
con precisione. L'equazionein pratica diventa
q = CH 3/ 2 ~ 1,67H3 /2
Per accurati risultati 10 stramazzova tarato sul posto.
= 25,8 m. n livellodel bacino dello
V1
~L
------
I~ Fig. 10412
188
MOTO IN CANAU APERTl
53. Sviluppare una formula per un misuratore di portata critica, illustrandone l'uso. v;'
2i"
- -l _
.r-I Linea dell' etlergia
~I_
--
-.
Fig. 10-13
Soluzione: Un metodo eccellente per misurare la portata in canali aperti el'uso di un restringimento. Non enecessaric misurare la profondita critica. La profondita Y 1 si misura a brevedistanzaa monte del rilievo nelletto del canale, rilievo che dev'essere lungo circa3 Yc ed avere un'altezza tale che la velocita critica si verifichi su di esso. Per un canale rettangolare a larghezza costante,l'equazione di Bernoulli si applica tra Ie sezioni 1 e 2, nelle qualila perdita di caricoin moto accelerato si assume pari ad un decimo della differenza tra Ie altezze cine tiche, ossia YI
Y' + ---!. 2g
IY'
- - (---!: 10 2g
Y' - ---'-) 2g
=:
Y' (v + ~ + z) 2g C
in cui si trascura la leggera pendenza delletto del canale tra 1 e 2. Riconoscendo E. == Y. + V;/2g e raggrup pando i termini, otteniamo (y't
(YI -
·,
ovvero
Essen do q ==
v1Yr,
Z
+ 1,10vi/2g) == [z + 1,0E. + ioHE.)] +
1,l0Vf/2g) == 1,033E. == 1,033(~.yq2jg)
q == 1,62(yt q == 1,62(y1
z + 1,10Vi;2g)3/2
(A)
Z
(B)
+ 0,0561q2fyi)3/2
,
1:
.:
-,
l ', .
i• ;. ~
i .
•
lliustriamol'applicazione dell'espressione (B) considerando un canale rettangolare largo3 m, con un misu ratore di profondita critica avente dimensione z = 0,330 m. Se la profondita misurata eYl = 0,726 m, qua ela portata q? Trascuriamo, in prima approssimazione, l'ultimo tennille della (B). Anora q == 1.62(0,726 0,330)3/2 == 0,404
m3/s/m di larghezza
Usando ora l'intera equazione (B), troviamoper tentativi q = 0,435. E di conseguenza, I '
: I
'
~
Q == q(3) == 0,435(3)
.
== 1,305
m 3js
MOTO IN CANALI APERTI
189
~;
,:;:'"
PROBLEMI SUPPLEMENTARI
r
54. Indicando conYN la profondita nel problema 1, trovare un'espressione per il mote laminarelunge una lastra piana di larghezza infinita, considerando il corpo Iibero del problema suddetto di larghezza unitaria. Risp: y~ = 3vV/gS 55.
n coefficiente I
d'attrito di Darcy viene generalmente associato a tubazioni. Calcolare comunquedetto coef ficiente per il precedenteproblema, usando la soluzionetrovata per il medesimo. Risp. 961Rr:
56. Dimostrare chela velocitamedia V si puo esprimere nella forma O,32v.R 1/ 6 jn. 57. Dimostrare chei coefficientin di Manning edl di Darcy sono fra lore collegati dall'espressione.» = O,113j1/2R 1/ 6 58. Valutarela velocitamedianel canale rettangolare del problema7, integrando l'area compresa nella curva profondita-velocita. Risp. 2,087 m/s 59. Con quale pendenzail canale di fig. 1Q..14 puo convogliare 14,80 m3 Is? (C= 55.) Risp. 0,00407
r-
2•4 m
---j
T L
1
1.2 m
:j Fig. 10-)4
60.
61.
62. 63.
64. 65.
66. 67. 68. 69.
r
1.2m
-L
I----
6.0m
n = 0.020
Fig. 10-15
n canale di fig. 1Q..15 ha una pendenza di 0,00016; ad un certo punto esso attraversaI'argine di una strada ferrata per mezzo di due tubi di cementa (n = 0,012) che hanno una pendenza di 2,5 m su 1000 m, Che Risp. 1,245 m diametro-ditubi bisognausare? In un canale a sezione semiquadra circola una portata di 2,20 m 3 Is; esso elunge 1200 m, e su questa lun ghezza ha una pendenza di 0,6 m, Con la formula di Manning, e. per n =·0,012, determiname Ie dimensioni. Risp. 1,952 m X 0,976 m In un canale rettangolarelargo2,45 m circolaacqua profonda 1,90 m. La velocitamedia edi 0,58 m/s. Qual ela pendenzaprobabile del canale se C = 55? Risp. 0,000149 Un canale tagliato nella roccia (n = 0,030) e di sezione trapezoidale, con una Iarghezza suI fondo di 6 m e una pendenza dei fianchi di 1:1. La velocitamedia permessa e- di 0,75 m/s. Con quale pendenza del 'canale Risp. 0,00067 si otterra una portata di 5,40 m3 Is? Quale sarala portata d'acqua in una tubazione da fognature vetrificata, nueva, dal diametro di 60 em, se in essa la corrente arriva a meta sezione e la pendenza edi O,002S? Risp. 0,153 m3/s Un canale (n = 0,017) ha una pendenza di 0,00040 e una lunghezza di 3000 m. Supponendo che il raggio idraulicosiaR = 1,44 In, che correzione bisognera apportare alla pendenza per avere la stessa portata se il Risp. NuovaS = 0,000554 coefficiente di rugosita diventa0,020? Quale sarala profondita dell'acqua in un canale aV di 90° (n = 0,013) con la pendenza pari a 0,00040, se la sRisp. y = 1,54 m . ' portata edi 2,43 m3 Is? Una certa quantita di Iegname viene usata per costruire un canale triangolare aVo Quale angolo al vertice Risp. 90°' daraIa massima portata per una pendenza assegnata? L'acqua scorre conuna profondita di 0,9 m in un canale rettangolarelargo 6 m, n = 0,013, S,= 0,0144. Quale sarebbela profondita, per Ia stessaportata, con una pendenza di 0,00144? Risp. 1,98 m 3 Un canale convoglia 1,20 m Is con una pendenza di 0,50 m su 1000 m; la sezione erettangolare, il coeffi ciente di rugosita n = 0,012. Trovare Ie dimensioni ottime, cioe quelle che determinano il minimoperime Risp. 0,778 m X 1,556 m tro bagnato,
190 70.
71. 72. 73.
74. 75.
MOTO IN CANALIAPERTI
Un canale rettangolare rivestito,largo 5 m, trasporta una portata-ai U,;)U m3/s con una profondlta di 0,85 m, Trovare n sapendoche18 pendenzadel canale edi 1,0 m su 500 m. (Applicare la formula di Man ning.) Risp; 0,0122 Trovare il valormedic dello sforzo tangenziale sul perimetro bagnatodel problema70. Risp; 1,269 kgfm2 Dimostrare con la formula di Manning che -la profondita teoricaper 18 velocita massima in un condotto cir colare e0,81 volteIl diametro. Disegnare il canale trapezoidale di efficienza massima per trasportare 17 m3/s allaveloeita massima di 1,0( mfs. Usare n = 0,025, e la pendenza delle pareti di 1 verticale su 2 orizzontale. Risp: y =2,622 m, b = 1,238 m Calcolare nel problemaprecedente la pendenzadel canale. Risp. 0,000436 Quale tra i due canali iii fig. 10-16 convogliera la maggior portata, se entrambihanno la stessapendenza? Risp. (b), sezione trapezia
~ ~. ~ ==:p13/
I. •
/I
O
6,0 m
= 0,010
:te.
,..
j
4
(b)
«(I)
Fig. 10-16
Un pozzo a sezione quadrata ha un lato di 2,4 m, ed einstallato comein fig. 10-17. Quanto vale il raggio idraulico per una profondita d'acqua di 2,3? Risp. 0,70 m 77. . Qual eil raggio dellacondotta semicircolare B di fig. 10-18 sela sua pendenzaS = 0,0200 e C = 50? Risp: r = 0,538 m
76.
'"
.;
Fig. 10-18
78. 79. 80. 81. 82; 83.
Calcolare.l'energia specifica nel caso in cui una portata di 6 m3/s circoli in un canale rettangolare largo3 m. con una profondita di 0,90 m, Risp. 1,152 m Calcolare l'energiaspecifica nel caso in cui una portata d.i 8,4 m3/s circoli in un canale trapezoidale, la cui base elarga 2,4 m, la pendenza delle pareti e 1:1, e la profondita ed.i 1,17 m, Risp. 1,38 m Una tubazione da fognatura dal diametrointemo di 1,8 m convoglia una portata di 2,18 m3/s quando la profondita edi 1,2 m. Quanto vale l'energiaspecifica? Risp. 1,275 m Nel problema78, a qualiprofondita puo circolare l'acqua, per una portata di 6 m3 Is, per un'energia speci fica d.i 1,5 m kg/kg? Quanto vale la profondita critica? Risp. 0,438 m, e 1,395rn, 0,742 m 3/s; In un canale rettangolare largo 3 m la portata e di 7,16 m determinare se il flusso esubcritico 0 supercri tico alle profondita di 0,6 m, 0,9 m e 1,2 m. Risp. Supercritico, subcritico, subcritico .In un canale rettangolare largo3 m la portata vale 7,16 m3/s quando la velocita edi 2,4 m/s. Determinare la natura del flusso. Risp. Subcritico
]91
MOTa IN CANALI APERTI
84. Trovarela portata in un canale fettangolare largo 3 m, per una profondita critica di 0,966 rn.
Risp; 8,92 m3/s
85. Determinare la pendenza critica di un canale rettangolare largo 6 m, n 26,5 m3/s Risp. 0,00208 86. 87.
88. 89.
90.
91.
92.
=:
0,012, quando la portata edi
Un canaletrapezoidale, dalle pareti a pendenza 1:1, trasporta una portata di 20 m3/s; per una larghezza di fondo di 4,8 m, calcolare la velocitacritica. Risp. 3,03 m/s Un canale rettangolare lungo 1800 m, largo 18 m e profondo 3 m trasporta 54 m3/s d'acqua (C =: 40). La pulitura del canale porta C a 55. Se la profondita all'estremo superiore rimane di 3 m, trovare, usando solo Risp. Y2 = 3,274 m un ramo, la profondita all'estremo inferiore per la stessa portata. Un canale rettangolare (n = 0,016) tracciato con una pendenza di 0,0064 trasporta 16 m3/s d'acqua, In condizioni di mota entice, che larghezza sara necessaria? Risp. 2,54 m Un canalerettangolare (n =: 0,012) elargo 3 m ed ha una pendenza di 0,0049; trasporta 4,5 m3/s. Per avere un flusso critico il canale dev'essere contratto: che larghezza dovra avere la nuova sezione, se trascuriamo Risp. 1,335 m ogni perdita originata dallagraduale riduzione in larghezza? In un canale rettangolare largo 3,6 m, C =: 55, S = 0,0225, la portata edi 13,5 m3/s. Se la pendenza cambia in 0,00250, a quale distanza dal punto di variazione si otterra una profondita di 0,825 m? Ragionare su di un Risp. 31,50 m ramo. Usando i dati del problema 90, (a) calcolare la profondita critica nel canale a minor pendenza, (b) calcolare la profondita necessaria per avere mota uniforme nel canalea minor pendenza, (c) calcolarela profondita immediatamente prima del salto idraulico, usando la formula del problema 46. (Si osservi che, come si evisto nel problema 90, questa profondita si trova a 31,50 m dal punta di variazione della pendenza.) Risp: 1,125 m, 1,512 m, 0,825 m Uno stramazzo a cresta largaha un'altezza di 0,40 m rispetto al fondo di un canalerettangolare largo 3 m. Si misura sullo stramazzo un battente pari a 0,60 m. Determinate la portata approssirnativa nel canale, usando c =: 0,92. Risp: 2,35 m 3ls.
Dirnostrare che la profondita critica in un canale triangolare e2 JI';/g. 94. Dimostrare chela profondita critica in un canale triangolare si PUQ esprimere corne i 4/5 dell'energia speci fica minima. 95. Dimostrare che la profondita critica in un canale parabolico epari ai 3/4 dell'energia specificaminima se il canale ha profondita jt, e larghezza b' al pelo libero. 96. Dimostrare che per un canale rettangolare la portata q per metro di larghezza vale 1,704E~;. 93.
97. Per un canale triangolare, dimostrare che la portata Q 98. Dimostrare che per un canale parabolico la portata Q =
O.6335(b'/Yc)E~;. 1,1068b'E~~.
