Alfonsi Orsi - Problemi di Idraulica e Meccanica dei Fluidi.pdf

ROBLEMI DI IDRAULICA

E MECCANICA DEI FLUIDI

ALFONSI ORSI

-

( :AsA Et >tTRt< :t� AMmu >stANA

PROBLEMI DJ IDRAUUC A E MECCANJCA DEl FLUID I

PROBLEMI DI IDRAULICA E MECCANICA DEI FLUIDI

GIANCARLO ALFONSI ENRICO ORSI ISTill."TO DI lDRAt.1JCA POUTICNICO DI MJLANO

(e a; CASA EDITRICE AMBROSIANA MILANO

Ambrosiana C.E.A. Casa Editrice Copyright
PREFAZIONE

M e dì ada�mento

. azione elettl'()(tiea, di riproduVO . . ::ari::� �� ((.'()rTipl'esi mictOfilm e le copio lotostatkNtl d

zzo

pao$1. sono riServati per tutti i

i

di ciaSCtJn VOlume . rivatoe ìndMdualel nei limitidel15"1o R:ltoCOPe per uso pef'SO(Iaie (ciOè P . . che adéfiSCOI"'I aft'accotdo tra possono essere eHenuate to _CASA dell8 dicembre 2000. �:e� CNA 8 SNS AIE · SIAE · ovtsto in tale accordo. dietro pa� to de l reditOI'e potr à concodere a pagamento Per riprodlJzj()(ll ad uso numero di pagine non superiOI'e al 15% a: per tale tipo di riproduziOne vanno Inoltrato ===��=��IT�':ne.Le richieste

�!.aie

AssOdazlone Italiana per i Diritti di RiproduziOne

delle Opere deU'IngegnD v!adelleErbe2 20121 MilanO tet.etax02809506

e-mai:aldrOOioUt

·

(AIORO)

editor\ale.

considera rare le opere fuori del proprio catalOgO W: degli �semplarl dì taliopere esistenti nelle biblioteche è consentila, ·

!:editore. per quanto di propna la � a mezzo tot

nanza

considerarsi rare 1e opere dicui esiste. nel catalOgO Non ioleopere antOioglche. ==��=·le�sentiincataloghldialtrleditor

Pur non mancando raccolte di esercizi di idraulica è sembrato opportuno, anche su sollecitaziatte degli studenti, compilanre una nuova, basata sull'esperienza acquisì· /a nei corsi di esercitazioni di Idraulica e Meccanica dei Fluidi svolti negli ultimi an· ni presso il Politecnico di Milano. Si osserverà che nel presertte volume sono stati sviluppati tutti gli esen:ili propo sti nel testo di Idraulica dei Proff. Citrini e Noseda mentre alcuni dei problemi dei capitoli 4 e 7 sono stati derivati per gentile concessione dei Proff. Adami e Di Silvio dal volume

«

Esen:izi di Idraulica», Padova 1973. LA raccolta è stata ino/Jre amplia·

/a per risultare più completa nei riguardi di applicazioni più specifiche di meccanica

Prima edizione: 1984

dei fluidi e per presentare a/ermi problemi proposti nelle prove scritte d'esame. 2004

Le applicazioni relative ai vari argomenti sono precedute da un richi4mo dei concetti e delle formule fondamentali per la loro interpretazione e risoluzione. Si è colta inoltre l'occasiatte per introdurre nei testi e nelle risoluzioni l'ormai obbligatorio Sistema Intemazionale di unità di misura.

Giancarlo Alfonsi

Realizzare un libro è un'operazione complessa, che richiede numerosi controlli:

Enrico Orsi

sul testo, sulle immagini e sulle relazioni che si stabiliscono tra loro.

L.:esperienza suggensce che è praticamente impossibile pubblicare un libro privo di e"ori. Saremo quindi grati ai tenori che vorranno segnalarceti. Per segnalazioni o suggerimenti relativi a questo libro rivolgersi a: C.E.A. Casa Edhnce Ambrosiana

1

:,�:r::n:

�.

fax 02 52202262

e-mail"�cearedai9tin.ìt

Stampato da Tecnograflca Milanese

via Monte Grappa 6. Fizzonasco di Pieve Emanue le (MI) per conto dalla C.E.A. Casa Ed�rlce Ambrosiana, via Gargano 21,20139 Milano

Milano, Novembre 1984

INDICE

Prefazione ...................... ....................................... Indice

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..

.

.

.

.. .

.

v vn

. .. . . . . . . .......... . . . .. .......... ..

Sistemi di unità di misura Proprietà fisiche dei fluidi ......................................................... . .

2

Misura e distribuzione della pressione .

3

Spinte idrostatiche

4

Cinematica dei fluidi ............................................. ...................

Equilibrio relativo .... .

.....

.

12

. . .... . . . .. . .. . ...

...

.

..

.

.

..

..

..

.

.....

..

...

.

... . .

. . . .. . .

.

36

.

108

Estensioni ed applicazioni ................... .................. .. ...... .............

138

6

Spinte dinamiche . ...... .. .. .. .. ......... ............................................

171

7

Macchine a fluido . . . .... .. .. ... .......... .... .............. .............. ............

8

Moto dei fluidi reali

Teorema di Bernoulli

5

.

..

..

�elle condotte in

p�ssione .. ...... ...... ...............

202 221

fJo9

Fluidi non newtoniani . .. .. .. .... ...... ....... .. ... ..................................

305

IO

Sistemi di lunghe condotte..........................................................

316

l 11 12

.

.........................................

366

o=nti a superficie libera ...... ... .. ................ ...... ........................

385

Moto vario nelle co=nti in pressione

(

..

.

.... oto vario nelle co=nti a superficie libera ...... ...... ..................

446

.................................... 14 (Foronomia . ....... ...... . ... .. ....... ...............

450

13

.

..

"' U

16

·

Moti di filtrazione

..

.. ...... .. ... ... ......................... ..........................

Strato limite ................................... Azione delle co=nti sugli ostacoli . .......... .

17

........................................ Analisi dimensionale e sirnilitudine...... ..

.............................

.... ........ ... Appendice .. ... .. ............................ .

461

474 481 493

l SISTEMI DI UNITÀ DI MISURA PROPRIETÀ FISICHE DEI FLUIDI

I? i�raulica il si�tema di unità di misura finora comunemente adottato è stato il S1stema Tecruco (MKS) basato sulle tre unità fondamentali: kp (chilogrammo-peso)

F (forza) L (lunghezza)

m (metro) s (secondo)

T (tempo)

Recentemente è stato introdotto fonda sulle unità:

il Sistema Internazionale (SU (*) che si

kg (chilogrammo-massa)

M (massa) L Ounghezza)

m (metro)

T (tempo)

s (secondo)

In questo sistema l'unità di misura della forza è un'unità derivata, denomi nata Newton (N). Essa è definita come la forza capace di imprimere ad una mas sa di l kg l'accelerazione di l m s -:. Il fattore di conversione dell'unità di forza dal Sistema Tecnico a quello In· ternazionale risulta pari al valore dell'accelerazione di gravità: ·

l kp

e

l kg

·

9,806 m s-2 •

9,806 N

•

celerazione di gravità 9,806 avendo adottato come valore medio europeo dell'ac m· s-2. fluidi SODO le Le principali grandezze che interessano la meccanica dei seguenti:

Sistema Internazionale Sistema Tecnico

(') Il Sistema !ntemaionlle �

p [kg m-51 p(kp s2 m_.) •

•

•

obbllptcrio dal1982. Si wda l'çpendic<.'

•

E MECCANICA DEl FLUIDI PROBLE�U DI IDRAULICA

2

. e moltiplicaorr occ le ona azi ern Int llo que a ecr uco T Per passare dal Slstema . fattore 9 ,806. il per den sità lla d e re il valore .

Peso Specifico

l

SlSTEt>.li DJ UNITÀ D I MISURA

Lavoro, Energia, Calore


E, Q (N ·m] L, E, Q [kp ·m]

L,

All,unità di misura nel Sistema In ternazionale si dà il nome di Jo ule Risulta:


l kp ·m

. a quello Internazionale è co ' u r Tec a stem Sl l d e e on si er nv co di n fattore

9,806.

=

(J)

·

9,806 J

Potenza

Sistema Internazionale Pressione

PO·s-1]

Sistema Tecnico


9 ,SO

3

Anche in questo caso il fattore di conversione fra i due sistemi è pari a

t'unità di misura della pressione nel Sistema Internazionale viene chiamata

P [kp

•

m

•

s-1]

Nel Sistema Internazionale l,unità di misura della poten za viene denomina ta Watt (W). In appendice sono riportati i fattori di conversione fra le più com uni unità di misura, nonché le proprietà fisiche di alcuni fluidi di frequente impiego nella • tecruca.

Pasca! (Pa).

Tensione Supe rficiale

PROBLEMI

Sistema Internazionale

1.1. densità.

Sistema Tecnico n fattore di moltiplicazione per passare dal Sistema Tecru co a quello Inter nazionale è ancora 9,806.

Il peso specifico di un liquido è 'Y

Viscosità Dinamica

Sistema Tecnico

� [Pa � [kp

•

•

s] s

•

m -l]

Viscosit4 Cinematica

La viscosità cinematica

907 1 N m-3. Determinarne la •

La densità del liquido vale: p

Sistema Internazionale

=

polo

1.2.

(g

=

=

� g

=

925 kg m-3• •

Determinare il peso di una massa di liquido di 9,83 m s-2).

50 kg che si trova al

•

Il peso vale: v

è definita come:

•

Ne consegue che tale grandezza viene espressa con le medesime unità di m i sura, sia nel Sistema Tecnico che nel Sistema Internazionale.

G

-=

mg

•

491,5 N.

1.). Un liquido ha una densità. P • 12� k g specifico sulla terra e sulla luna (l accelenwone g1• 1,67 m· s -2).

-3

• ·eH ��er:ìJ a g

il luna

ame

�

ICA DEl FLUIDI PROBLEMI DI IDRAULICA E MECCAN

U peso specifico del liquido vale:

1 SISTEMI DI UNITÀ 01 MISUR A

y = pg = 11767 N

sulla terra

y = pg1

sulla luna

=

2004 N

·

·

m -3

U peso specifico è ricava bile dalla relazione:

�= w

13,6 N

·

·

�= "fin

P�n

"'(fin

la quale, tenendo conto della condiz ione: "'(rin = 2jin

fornisce:

P�n

m-3

=

2 prr,

Riapplicando l'equazione di stato nella forma:

Per quanto riguarda la densità, essa è deduci bile dalla: p= l= 1,39 kg g

_

m_,.

il 1.4. Un volume W= 2,5 m3 eli aria pesa G = 34 N. Valutare peso spe cifico e la densità dell'aria.

y=

per una trasformazione isoterma . (n - l) assume, fra la condtz ione iniziale e finale, la forma: '

m -3.

1.5. Calcolare il peso specifico dell'aria alla pressione assoluta p* = 980,6 kPa e temperatura T = 80 °C. Dall'equazione di stato dei gas si ottiene:

P� \Y/ in= P�n \VJ fin

si ottiene:

da cui: hr.n

=

l

2

h;0

=

0,70 m

b) In virtù della proporzionalità, a g costante, tra peso specifico y e densità p, si può procedere in maniera del tutto analoga al punto a) e ritrovare:

v= _L= 94 '91 N . m-3 ' RT

Wr.. = 2\Y/;0•

in cui:

cioè: hr.. = 2 h;. = 2,80 m.

1.�.

Un gas è contenuto

in un cilindro chiuso da un pistone a perfetta te· :t�· clistant� h= 1,40 m dal fondo. Determinare a quale clistanza deve portarsi ptstone affmche. , mantenendosi costante la temperatura: a ) il1 pe50 pecifico del gas raddop � pi il suo valore· bl a denml del gas si climez zi.

•

a) L'equazione di stato dei gas perfetti

7

·cost.

l. 7. Due gas rispettivamente di peso s�fico Y• 13 N m-l e Tl • 5 m-3 occupano l'uno un volume W, • 5 m3, l'altro Wl= 8 n/. a tem Determinare in quale rapporto stanno i volumi dei due gas quando, peratura costante, essi raggiungono lo stesso peso specifico. =

N

•

.

deUa uasformazio l pesi G 1 e G2 deUe due masse di gas, costanti nel corso ne, valgono:

G1• y,W, • yn. W•no G2

•

'(lWl • ynoWlno

DEl FLUIDI ULICA E MECCANICA PROBLEMI Dl iDRA

6

1 SISTEMI DI UNITÀ DI MISURA

1.1�. Un recipiente chiuso contiene W = 12 m3 di acqua (t= 2 . 109 Pa) alla �ress1one Po = l MPa. Ammesso che le pareti del recipiente siano rigide de termmare il volum� IlW d'acqua che è necessario immettere nel recipient� per ottenere una press10ne P• = 100 MPa.

w,"" e' nca\ . ·abile da·. Il rapporto --\Yium

·

°C e alla pressione assoluta 4 temperarura T 1.8. Un gas alla per esso la costante R vale 200 ; m 0,2 W occupa un volume p* 784,5 kPa gas. del sa mas la e ità 'are la dens m . oK- Determin ha: dei gas si Dall'equazione di stato =

=

�

, Nell'ipotesi di rec�piente rigido, la variazione Il.\VJ di volume, consegueme . ali .mcremento di p:ess10ne Àp (p,-pO) è totalmente imputabile alla variazio ne d1_ volume del hquido presente inizialmente. e segue: =

=

p =

� = 1,28 kg gRT

·

m-J

e la massa del gas perciò vale: m= p W

ÀW =

t

. -- = 0,256 kg

LlW

secondo la relazione: La variazione À W è proporzionale a Àp

0,594 m3.

balla:

gRT

ne dello 0,04% quando la sua pressio 1.9. Un volume di liquido si riduce inarne il modul o di e.lasticirà a com· Determ MPa. 1,5 = Àp di tata viene aumen sia costante al variare della pressione. , pressione cubica ammettendo che questo

=

è pieno d'acqua 1.11. Un tubo rigido orizzontale chiuso ad una estremità all'altra estremità determina (t= 2 · 109 Pa). Un pistone a perfetta tenuta posto osi di 0,05 m. Determinare la un aumento di pressione Àp = 100 kPa spostand lunghezza L del tubo.

p*W

=

:J!.... Àp

=

_:J!.._Àp t

in cui:

e:

Ll\VJ = -0, 05

cubica o modulo dove con t si è indicato il modulo di elasticità a compressione di elasticità di volume. e consegue:

t=-

\1(1 !l Àp W

=

3750 MPa

Si noti � he l'� l�vato valore di t consente, nella gran parte dei casi pratici, di _ rare 1 hqutdt come fluidi incomprimibili . constd � Vtceversa ne• gas è quasi sempre necessario tenere conto della comprimibi . , lita attraverso un modulo t variabile con la pressione secondo l'espressione: t • np

�sse ndo n �compreso fra l

e 1,67) U valore dell'esponente che n e caratterizza la ras 1 ormaz1one termodinamica.

2 1tD4

si ottiene: L� lOOOm. 0,4 mm è sospesa o del diametro D • liquid di goccia Una 1 · 12 l'est no d�a à. Fra l'interno e_ densit ugual di ma re a teiiSlone su quido div rso 2500 Pa. Determma ione Àp una diffe renza di press ia. del liquido della gocc . e le azioni in....,. --.,; • superfJc·e della .. forze agenti sulla Dall'equilibrio fra le

� �li

j

�

•

ternc si ricava:

t

2s �p--

.E. 2

soc;;rfie ::

NICA DEl FLUIDI PROBLEMJ DI IDRAULICA E MECCA

8

l

s

=

_!2.. 6-p= 4

0,25 N

·

m-'-

· di una goccia d'acqua del . 1.13. Deterrrunar 1a ressioner p· all'interno 20 oc, quando la pression�, esterna è a t m ratu a d1ametro D= 0,05 mm * = 101300 Pa (s = 0,073 N · m ). pa pari a quella normale atmos fert

all :

di

.r.

La relazione di Laplace: 6-p

=

p;-pe = S

� = 0° � = 135°

+

o i raggi principali di curvatura della superficie ed s la • 1 ed R, rappresentan = D/2) m. tensione superf•'a'ale, si semplifica nel caso m esame (R, = R, =

P•-P•

o

2s p;= p,+--= 107140 D

pa.

1.14.

Determinare la risalita capillare h dell'acqua a 20 °C (y m-3) in un tubo di vetro del diametro D = 4 mm.

in

cui:

e

�

•

0°

è

4s cos yD

s

•

�

=

0,07} N

yD

L'azione tangenziale che

T =

9806

La legge di Jurin·Borelli che lega la risalita capillare h alle caratteristiche geometriche del tubo e a quelle fisiche del liquido, si può scrivere nella forma: =

4s cos

h=

2

h

(acqua) (!Tiercurio)

�

= -0,0057 m .

1.16; Un cubo di lato a= 0,20 m e pesante G ": 250N scortt u.un pia· � no inclinato di ex = 20° sull'orizzontale sul quale v1 e uno strato d olio dello spessore 6-n = 0,03 mm ed avente viscosità 11 = 5 · 10-3 Pa • s. Calcolare la velocità di regime del cubo.

da cui:

•

'

2s

=

2

N

9

fluido sovrastante sia aria

1.15. Un tubo verticale del diametro interno D= 2 mm contiene mercu· rio a 20 °C. Determinare l'effetto di capillarità sulle letture del pie>ometro.

0ve R

.ò.p

il

Con procedimento del tutto analogo a quello indicato nel problema pre· cedente e assunti i parametri geometrici e fisici caratteristici del caso in esame (s = 0,54 N · m-1; y = 133362 N · m-3; � = 135°) si ha:

(; ;J ,

SISTEMI DI UNITÀ Dl MISURA

Nel caso in cui quest'ultimo sia di vetro ed l'angolo di contatto � assume i valori:

e cioè:

Si ricordi che � dipende dai fluidi interessati al fenomeno e dal materi ale costituente il capillare.

=

G sen

pari

a:

ex= 85,5 N

T

't. -2 . 2137,6N

a

•

m_,

•

,

4 Dalla legge di Newton si ricava allora:

v. � -12,8 m "

m-•

l'angolo di contatto.

cubo esercita sullo strato d'olio è

e quindi lo sforzo wùtario vale:

0,0074 m

•

il

v, 02

1.17,

-• .

e duta v, 0,08 m {"�0 l�::! didi �ameno o, 0,01 m e �ere ��OOoN 'm-' e 40000 N. m-•. � �t� del liquido.

In un liquido si rtS pe • di due • 0,64 m ' ,co • 0,02 � e di peso � Determmare peso •!'<"" •co eY•VI·

•

•

·

'Y2

•

•

,-•

!O

-

MECCANICA DEl FLUIDI PROBLEMI DI IDRAULICA E

l

.

al m ovimento uniforme di una sfera è data dalla legge La resistenza opposta di Stokes: --

F = 3rq.
D'

" p = (y-yo) -6

SISTEMI DI UNITÀ DI MISURA

Il

PROBLEMI SUPPLEMENTARI 1.18. Calcolare la densità del vapor d'acqua saturo alla pressione assoluta p* = 40 kPa e temperatura T IO 0C.

=

1.19.

Un gas con peso molecolare 48 è alla temperarura T = 300 °C e al· la pressione assoluta p* 100 kPa. Determinare il suo peso specifico e la sua densità.

=

1.20. Determinare la pressione necessaria per ridurre dell'l% un certo volume d'acqua (t= 2 · 109 Pa), ammesso che inizialmente questo si trovi alla pressione atmosferita.

e cioè:

{

essendo l il peso specifico della sfera e ""(o il peso specifico del liquido. Applicando questa relazione alle due sfere si o!liene il sistema:

l8f.LVI 1"1- yo= --, DI

1.21. Determinare il diametro minimo di un tubo di vetro per la misura del livello dell'acqua, tale che l'errore di capillarità non superi 0,2 mm. 1.22. Un pia!lo distante 0,03 mm da un piatto fisso si muove alla velo cità di O 6 m . s-l e richiede una forza di 400 N · m-l per mantenere questa ve· locità. eterminare la viscosità del fluido fra i due �iatti.

D

1.2}.

Un cono con raggio di base R = 0,05 m, � to h= 0,10 ruota at· torno al suo asse alla velocità costante w = l O rad · s 1 . Un film d olio �n VI· scosità f.l = 5 . 10- 3 Pa . s e spess ?re o = 0,6 mm lo separa dal suo conterutore. Determinare il momento necessano a mantt:nere m moto il. cono.

l8f.LV2 r>-ro= -, D,

!"•.

-

da cui si ricava:

Il=

D1Dhr>-I1)

!S(V,D!-VIDj)

= 1,042 Pa

·

s

.

ametro 0 U n albero circolare del en�ro un �Dare cu:co� lu • 1,20 m • s -l . 50 orza An • 0,2 mm, sotto l aziOne di una f fluido fra albero e collare .

V

1.24.

�

•

o 10

i

.

m scorre alla velocità con un gioco

o 20 m

"f:. Det�nare la viscositl del

13

2

MISURA E DISTRIBUZIONE DELLA PRESSIONE

pocion'

delle componenti normali del · a 1a presst'one equivale al modulo 1 rostauc In 'd · · · · · prima equaztone car d'm ale de 11a stauca. tensore (tsotropo) degli sforzi. Dalla

applicata ad un volume elementare di fluido sottoposto alle forze di superficie e di massa, si ottiene: p p ò p. ò ò. pF=grad p=-•+-J+-k z x ò ò ò y che rappresenta l�e..indefinita_ck_Ua_statÌQI dei fluidi. Nel caso dei fluidi incomprimibili risulta in particolare che: - le forze di massa ammettono potenziale (F

si dà il nome di quota iezometrica e · la stessa per tutti i _punti di un fluido sante e incom nrm · e, l!LQJJ.iete. Da ciò segue anche che 13 pression;-au E:.enta linearmente_ arcii.'iiùnuit:e-della quota geodetica pro mecne al peso specifico r del flu' do. Ad ogni volume di fluido in quiete si può associare un piano dei carichi idrostatici (relativo o assoluto) definito come il piano orizzontale (z = cost.) su cui giacciono i punti del fluido a pressione (relativa o assoluta) nulla. La giacitura del piano dei carichi idrostatici relativo è individuabile dal li· vello che il fluido raggiunge in un tubo che mette in comunicazione il recipiente con l'atmosfera (piezometro). Il valore della pressione in un fluido in quiete è ricavabile una volta nota la posizione del piano dei carichi idrostatici, attraverso la relazione:

=

"'P=lh

...__..

in cui h è l'affondamento del generico punto al di sotto del piano dei carichi - idrostatici. Senza entrare nel dettaglio dei vari dispositivi per la misura della pressione, si ricordano due_ relazioni relative al manometro semplice ed a quello differenziale: manometro semplice:

grad U);

le superficie equipotenziali sono anche isobariche, e viceversa; - le superficie equipotenziali sono anche superficie di ugual densità (isocorel Nel campo gravitazionale, in cui si può ammettere valga la:

r

_ e nell'ipotesi che il fluido sia incomprimibile ed isotermo, dall'integrazione dell'equaziçne indefinita si deduce l'equazione fondamentale della statica dei fluidi pesanti ed incomprimibili Clegge di Stevino): p z +-

r

"''T""'-""' h:6

,. 1F=-g grad z

�

r 6

1

�

=

cost.

In essa z indica la quota geodetic a del generico punto misurata rispetto ad un qualsivoglia piano orizzontale di riferime nto, viene denominata altezza pie r zometrica, mentre alla somma:

:.èc

Z+�

r

_

manometro

differenziale:

t omeuiehe dd liquido conteDU o ° la differenza di quote piez avendo indicato con � ale. differenzi , etro manom dal nness• nei recipienti inrerco

14

DEI FLUIDI PROBLEMI DI IDR:\L!LICt\ E MECCA!'\ICA

· tà, l'equazione indefi. di incomprimibili . . . Ove SJ· debba nnuncJ"are all'ipotesi al campo gravltaziOnale va scntta: nita di equilibrio di un fluido soggetto grad p + y grad z =O · . risolve il problema della distribuzione della L'mtegraztone dJ" taje equazione . Pressione nel campo flUido. . . e eub "ICa t praticaNel caso dei liquidi (modulo di elasticità a compressiOn : relazione alla mente costante) si perviene

z)

( zo p= -t 1 n l - y

o -]

[

2 MISUR. o\ E DISTRIBUZIONE DELLA PRESSIONE

�a pressione nella tubazi�ne al piano campagna è pari a quella all'estremità superiore aumentata del contributo dovuto alla colonna di liquido alta 220 m'· si ha perciò: p= PI

t

in cui yo rappresenta il peso specifico alla quota zo del piano dei carichi idrostati· ci del liquido. · · · ocli . namtca carattenstl· Per i gas bisogna invece distinguere la relaziOne term ca; trattandosi di un'isoterma si perviene alla: p*= p/le -(pog>/p81

15

2.2 • Un edificio è alto h = 220m . supen. ore della . �apra il piano campagna. Se all'estre· nutà tubazione di distnbuz10ne di acqua ("'f = 9806 N. m-3) de· _ ve a�e:st _ una pressiOn e rel�tiva p,= 100 kPa, calcola re quale deve essere, in condiztoru stauche, la pressione nella tubazione al piano campagna.

+

rh =2,26 MPa

2.3. Un recipiente chiuso alto h= 5 m contiene nella metà superiore ben· zina ("'f, = 7850 N · m-3) e nella metà inferiore acqua (y,= 9806 N · m-3). Se sul fondo del recipiente la pressione relativa è P<= 7 · lO' Pa calcolare quanto vale la pressione p, nel punto più alto del recipiente. La pressione all'interfaccia dei due fluidi vale:

mentre per l'adiabatica si ha: n p*=pt l- -l n

(

n

�z)-;;=1 pt

Non sembra superfluo ricordare che operando con gli aeriformi occorre far rife rimento alle pressioni assolute.

PROBLEMI 2.1. In un punto di un liquido affondato h= 15 m sotto la superficie li· bera, la pressione relativa vale p= 120000 Pa. Determin are il peso specifico del liquido e la pressione assoluta in quel punto.

p; =pr-"'1'>

� 2

=

6,75

·

105 Pa

Analogamente attraversando il fluido superiore si ottiene: P•=p;-"'1'1

h

"2

=

6,56

·

10, pa.

2,4. li recipiente in figura contiene un liquido di peso sJlCC!fiCO r= �5 N . m-3. Determinare le indicazioni a del mano_metro semplice a meruno metallico. (rm = 133362 N · m-3) ed n del manometro

Ricordando la relazione:

si ottiene per il peso specifico:

y

z

8000 N

,

m-3

La pressione assoluta vale: p•

&

rh

+

p:· h r

+

101296

•

221296 Pa.

il met sul piano orizzontale passan e per La pressione esercitata dal fluido r

PROBLEMi DI IDRAULICA

16

E A·IECCANICA

DEl FLUIDI

2

equiHbrata da queUa esercitata nel ra nisco infer.iore del manometro semplice � ; ne segue: mo di destra dalla colonna Ll di mercuno yhz Ll

=

=

MISURA E OISTR lBUZIONE DELLA. PRESSIONE

17

menisco di separazione. Calc olare la differenza 0 di. quota delle superficie libere dell'acqua e del kerosene.

YmLl

0,86 m

Analogamente la pressione alla quota del baricentro del manometro metalli co vale: yh,

=

158850 Pa

equivalenti a: n

=

1,59 bar.

2.5. Determinare l'indicazione del manometro differenziale a mercurio (ym = 133362 N · m-3) inserito fra i due recipienti in figura contenenti ambe due acqua (y = 9806 N · m-3).

Dall'equilibrio delle pressioni sul piano A-A del menisco di separazione si ' deduce: PA

h

8

=

=

=

y .h

Ykd y.

=

=

d- h

=

)'kd

1,64 m 0,36 m.

2. 7. Un piezometro inclinato è collegato ad un recipiente contenente ac qua (y = 9806 N • m-3). Determinare l'inclinazione ex del piezometro in modo che ad un cambiamento di pressione Ap � 980,6 Pa corrisponda uoo spostamen to del menisco nel piezometro b a l m.

Essa vale: A

N

•

•

(

3 ---l_ Ym-y

•

0,397 m.

�ad un �f.iente pieno d'acqua (y

2 . 6 . Un piezometro Uega m-3) contiene kero sene lk •

ON

•

m

) per un'altezza d

•

Essendo:

9806 2m aopra il ••

Ap. yBB'

•

980,6 Pa

18

FLUIDI PROBLEMI DI IDRAULICA E MECCANICA DEI .

si orriene:

BB' = 0,1 m

2.9. Del gasolio (y = 8825 N . quell? B. Ammesso che sia chiusa

pressione relativa nel suo punto più alto.

e:

ex= are sen

BB' �

AB

19

m-J e • stato t!ava sato dal recipiente A a l'cstremi à m . A (o m B) del sifon

�

e, calcolare la

=5° 44'21".

�

j/

-

-f

h1 :3m

2.8 . Cal�ola;e la di�ferenza (pA-pa) fra le pressioni nei punti A e B dei . mdicati m figura (II= 9806 N· m-3, l>= 14710 N . m-J . recipienti ' )'m = 8335 N · m-3).

• A

-

'--- ----

t ''T

-

-

r

� B

r

La pressione relativa nel punto più alto del sifone vale: se è chiusa l'estremità in A : P= -r
+

h2l = -70600 Pa

Essendo: se è chiusa l'estremità in B: P'1 = PN PB = PN si ottiene:

+

+

12(�

�lm +

p= -yhi

•

-26475 Pa.

hi-hl)

2.10. Il recipiente indicato in figura contiene tre liquidi di diverso peso liqui specifico. Dimostrare che la posizione dei piani di separazione &a i diversi libera del di, ammessi incomprirnibili, è indipendente dalla quota della superficie liquido più alto.

FLUIDI MECCANICA DEI IDRAULICA E PROBLEMl DI

20

2

MISUR A E DISTRIBUZ IONE DELLA PRESS IONE

La pressione all'interfaccia A -A fra acqua e gas vale: PA

=

ÀYa

=

21

1961 Pa

ed equivale alla pressione all'interno della condotta gas; in caso contrario la pressione P in corrisponde s della condotta vale:

al�a SI. trascu:.l il. peso del

:a

. re a generatnce supeno

Trascurare dunque il peso del gas equivale a commett ere un errore pari a:

( 1961-1950) 100

t=

sul piano di 9uota Z2 � Con i simboli della figura, si scriva che la pression_e d1 destra del rec1p1ente; SI uguale considerando sia la zona di sinistra s1a quella ottiene:

=

In una condotta cilindrica orizzontale contenente gas illuminante in 3 quiete (y1 � 39 N · m- ) si misura la pressione con un manometro semplice ad 3 acqua (ya � 9806 N • m- ) sul quale si legge un dislivello pari a 11. Valutare l'errore che si commette nel calcolo della pressione in corrispon denza alla generatrice superiore deUa condotta, quando si trascuri il peso specifi co del gas.

0,6%.

a) gas incomprimibile;

z3(y3-y!l

b) legge isoterma.

Questa relazione indica che il legame fra le tre quote z�, z2 e Z 3 dei piani di separazione è indipendente dalla quota zo del pelo libero del liquido più alto.

2.11.

=

2:12. Alla base di una colonna verricale per la distribuzione di gas illumi· nante m un edif1c.'o alto h = 180 m, il gas ha peso specifico y0 = 34 1 • m·3, a]. la pr�ss10ne relativa po = 147000 Pa. Ritenuto il fluido in quiete, calcolare la press10ne relauva del gas all'estremità superiore della rubazione nei seguenti casi:

da cui esplicitando si ricava: z!lrz-rl) + z z(y3-y2l

1950

La pressione atmosferica vale p:= 9,6

•

104 Pa.

a) NeU'ipotesi di incomprimibilità la pressione all'estremità superiore della tubazione equivale alla Po diminuita di ro h: PA

•

po-yoh

=

140880 Pa

b) Ricordando la relazione valida per l'isoterma (p*

il caso specifico:

p�.

po

+

p: • 243000 Pa

da cui: pl • 249200 Pa e: pa. pl-pl• 153200 Pa.

•

pl e -t� si ha per

24

E MECCANICA DEI FLUIDI A IC UL RA ID I D MI LE PROB

. . atici del liquido ost idr i ich car dei o ian e l d � lO lZ � 2.15. Assegnata la p A di hA 2m nel siisco men il te stan r so m . 6 0 = di peso spedfico r• � 98 7845 N m-3, 133362 N . m-3 e 'Y2 1 0 stema in figura, n�� = o o di pes uid spe liq del ci ati ost idr i ich car ia p d determinare la postzwne d . ru. . s10 es pr e 11 e d ru r amr cifi o 'Y2 e traca.are 1· eli ag

�

:�

� �� Jci

•

=

2

25

MISURA E DISTR IBUZIONE DELLA PR ESSIONE

� � 6 Noti A la geom tria de] . tema sche at�zato in fig ura ed i pesi � sl?ec1ftc1 )'m> ì• > 12, deternu� nare grasift�ca mente •

1,

•

l'mdicazione del manomet ro

differenztale A2.

•

c

--·--·�

·��-·

.-..p.c.i. 2

. -·

l •

•

•

•

•

•

•

•

•

'

2

l l l

•

•

•

•

•

p.CJ.

•

•

p.C.I .

1

l l l

p.c.i. 1 •

art a

-Y;

Essendo noto hA la pressione in A si ricava dalla:

Tracciati i diagrammi delle pressioni, si noti che l'indicazione Az dd mano metro differenziale è data dalla lunghezza del segmento AB, che è pari a: BC

•

AB=

e la pressione in B: PB

•

=

PA-lml1

=

18278 Pa

Essendo poi:

2.17. Nota la geometria del sistema in fJgUr� ed i pesi specifici l•= 9806 N m-3 e Y: = 7845 N m-3, determin� 'indicazione n del manometro me tallico e tracciare i diagrammi delle presstoru.

�

•

•

PB= l�B si ha:

r---1-hs

•

PB l2

.

•

2,33 m

•

a=-r:...:•;.;:•;.._"""!_�-� -

2=\�

·

1'2

-

l diagrammi

ba

-

-

-

_

-

_

•

·-

-

-

-

,,_-

-

-

-

+

4-�

•

0,34 m

delle pressioni sono segnati in figura.

----- _......,

- -- --

-

�

•

-

,----

. n livello 8 del piano dei carich i idrostatici 2 rispetto al pi an o d ei ca ri ch i idtostattd 1, vale:

8

tg BAC

=

..

-

p.c.i.2

28

MECCANICA IDRAULICA E PROBLEMI DI

DEl FLUIDI

2

MISURA E DISTRIBUZIONE DELLA. PRESSIONE

29

c) Dalla relazione:

si ha:

A,

=

ò --1 -

=

0,08 m

"l'm-"(

d) I diagrammi delle pressioni sono segnati in figura.

2 .20. l due recipienti A e B contenenti ambedue liquido dello stesso peso specifico y, sono collegati da un micromanometro differenziale realizzato secon do lo schema della figura. Individuare la re.lazione che fornisce l'indicazione del manometro in funzione delle caratteristiche del sistema.

T

a) Nel punto A la pressione vale: PA

=

-ymA1

=

•

-6668Pa

l

i dell'acqua nel set L'innalzamento di A sopra il piano dei carichi idrostatic tore II è: hA=�= 0,68m

Nel punto B si ha:

'Y

ps = PA-yh,

=

-14513 Pa T-

Considerando la pressione costante in ogni punto del volume occupato dall'aria, nel punto C essa risulta:

,n{Pa

pc- ps + rmA2- -s5

't HJ.41o

b) Dalla relazione: -

� 'Y

+

S

�-

_a "t

+

2

=-

t co ��i.ì'O

h

si ricava n dislivello s fra i piani dei carichi idrostatici nei due settori:

S

•

1,01 m

i:::;�:;r::::;Z:::J

ss,l.,lrfcv

- l6

r- -

hz

l

j::::�====�

6

__

l

--

t\ DEI FLUTDI TC N .'\ C C E M E A C LI PROBLEMl DJ IDRAU

30

2

zontale passante per il z ri o o n ia p l su i n io ss re p elle S.1 espnma 1' uguaglt'anza d f1co j1 e "(2; s1 otuene: 1 ec sp o es p 1 d i fra i liquid so as b iù p e n io az ar p se i d piano ·

·

·

·

MISURA E DISTRJBU ZIONE DELLA PRESS IONE

31

P R O B L E M I SUPPLEM ENTARI

·

.

n

2� 1 )+ � o + 2 h 1C r + ) o d rh 1 + y1h2 = 1ch.-

2 22 Cal colare la pressio 15700 N . m-3; lm = •

(y

=

1333� deU,�!_!�

•

·

N .

contenuta nel recipiente in figura ).

da cui si ricava:

o ("(t -y) + � ("(2 -jt)

•

r

r h

fico varia co n la leg ge eci sp so pe i cu il o uid liq un bia ab Si . 2.21 a superficie libera. Indi· all a enz nd po ris cor in ore val = il yo o end ess p2, y y0 + k damento h sotto la su fon l'af con ne ssio pre la del e ion iaz var di ge leg la e viduar perficie libera stessa.

:3m T 6:0,20 m - _!_

•

-

---

--

-

a

Dall'equazione indefinita dell'idrostatica proiettata lung o la verticale si ha:

r+

dp dz

=o

e quindi introducendo l'assegnata legge di variazione del peso specifico e la va riabile h in direzione opposta a quella di z e con origine sulla superficie libera ove la pressione è nulla, si ha:

2.23. Un tubo ad U lungo complessivamente L= l m è chiuso ad una sua est�emità e termina all 'altra con un imbuto alto 8 = cm,' nel quale si pone mercuno {ym = 133362 N m-3) in modo da chiudere l'aria nel rubo. Ammesso che l'aria si comprima isoternùcamente, determinare l'altezza h deJ mercurio contenuto nel tubo quando l'imbuto è pieno fino all'orlo.

5

·

dp = ro+ k p2 dh Integrando con la condizione al limite p = O per h = O, si ottiene: h

o

dh:

p

.o

--

dp

ro

+

-

--

-

h

l_ --

kp 2

e:

P•

T tg{h �).

l sistema de o lic al et m ro et om an m l de n 2.24. Determinare l'indicazione N m-3). m-3; Yo in figura (ya •

9806 N

•

•

3

83 5

•

DEI FLUIDI ULICA E MECCANICA PROBLEMI DI IDRA

32

2 t-.USURA E DISTRIBUZIONE DELLA PRESSIONE

33

Sono note la quota h, = 3 5 m della s pe f'!te . nspetto . al fondo del � d . libera serbatoio e l'indicazione ti,2 = 0 ' 06 e manometro differenziale. Determinare: d)

gli '1'7ssori h;,, ed h,,, rispettivamente dello strato di liqUl'do infenorc . e supenore .

("(a 9806 N m-3), aria ed 2.25. n recipiente in figura contiene acqua A, le pressioni assolute e relative nei punti re Calcola m-3). N 8825 ("(o= olio =

·

·

Be C.

A

l_ h\:1,!>

m

T-

-,.

1_

- .i

h3:2

h2:3m

m

2.26 • . ll serbat�io �- f�a, lungo L = 4,50 m in direzione normale al di· segno, �onttene due liqwdi di peso specifico y; = 12748 N • m-3 e 'Y• = 9806 N • m_ · Su un� parete �el serbatoio, inclinata di a sull'orizzontale, sono ricava· te due p� P1ezometr1che, una a contatto col liquido superiore e l'altra con quello infenore· ad esse (ann• o; a · di � m !r.> .1· d uo; rauu. lll?omet�o differenziale mercurio (-y., : 133362 N merusco mfer10re s1 trova a quota a = 0,20 m sotto. il fondo del ser a o . . . Sono noti gli spessori h; 1 • 1 ' 5 m ed h'·' = 2 m nspetttvamente dello stra· . to di liquido inferiore e di qu ' elio supenore. Si richiede:

b � ic:'

.

a) la quota h1 rispett al · di ep az�one dei due liquidi, del piano dei � carichi �statici del q o url enore, . b) l'indicazton e A1 del manometro di(f ereu=u __,_,e; c) il tracciamento del diagramm • a delle pressioni sulla parete inclinata.

ft�d

al disegno, 2.27. n serbatoio A in fig>!ra, lungo L in direzione normale contiene acqua (y = 9806 N · m-3). superficie libera dell'acqua, In esso galleggia, emergendo di o = 2,2 m sulla a di lato a = 8 m; esso contiene benzi· un serbatoio a campana Ba pianta quadrat Su una parete della campana è ricavata na di peso specifico "(b = 7060 N • m-3• un manometro semplice a mercurio una presa piezometrica; ad essa fa capo b = 3,5 m sotto il cui menisco inferiore si trova a quota ("(m = 133362 N · m-3) . il tetto della campana manometro; si ammetta inoltre tra· È assegnata l'indicazione A = 0,3 m del na. campa della re scurabile lo spesso Si richiede:

benzina la suPerfi· dei carichi idrostatici della a) la distanza o1 tra il piano ; cqua cie libera dell'a DE di separazione fra della campana, del piano quota hb, sotto il tetto la b) acqua e benzina; mi delle pressioni. c) il tracciamento dei diagram

•

A DEl FLUIDI IC N A C C E M E 1 IDRAULICA PROBLEMJ D

.34

p.c.i.

b,

, �

•

-

•

-

t

l cl

t n�•n_a b_

2

___

..

--=-

·

e) il tracciarnento dei diagrammi delle pressioni nei due casi

!l

• -

F

:l �

1

•-

b

B

--

l

rb

A

f

N

)'"' h

'

l

Il

.

o

1

A2

T

-

-

-

·

-

-

------.c.� •

4-'•

"E

-

-

T T T......

v

-

-

-

b2

Ol

-

-

-

l

i

\ \,

T _l

h2

:-::::_

-

6t

b

� .

-·

·•·

olio

.

. l

.

. -. +-1·�

acqua •

.

-

+-

-

D

A y

35

d) !•indicazione A2 del manometro ad aria .

•

__ -�

MISURA E DISTRIBUZiONE DELLA PRESSIONE

L l

a

�

•

' c l T

2.28. La vaschetta V ed il serbatoio cilindrico C, a sezione circolare ad asse orizzontale, sono collegati da due manometri differenziali: quello superiore è ad aria (peso specifico trascurabile), quello inferiore a mercurio (ym 133362 3 N m- ). Sono assegnati: il diametro D= 6 m del serbatoio C, l'indicazione b.= 0,12 m del manometro a mercurio e l'affondamento h= 2,2 m dell'asse del serbatoio rispetto alla superficie libera della vaschetta V . I recipienti contengono entrambi acqua (y 9806 N m-3). Si richiede: =

•

=

•

a) n dislivello 81 fra i piani dei carichi idrostatici; b) l'indicazione b.t del manometro differenziale ad aria. La vaschetta V contiene acqua ed il serbatoio C olio di peso specifico Yo -:a 8825 N !11-3• Sono assegnati i dislivelli h1 7 m ed h2• 2,4 m dei meni scbi M ed N nspettivamente del manometro a mercurio e di quello ad aria ri spetto alla superficie libera nella vaschetta V. Si richiede: •

..

c:) il dislivello � tra i piani dei carichi idrostatici;

M

là T

-

--

--i4Yrnf• >'m

J

3 SPINTE IDROSTATICHE EQUILIBRIO RELATIVO

=

L

p n dA

=

M è il momento statico di A rispe tto

alla retta di sponda; I è il momento d'inerzia di A rispet to alla retta di sponda; I,y è il momento centrifugo di A rispet to ai due assi coordinati.

lA

yh n dA

(l)

ove p rappresenta la pre�siOne a ente nel baricentro dell'areola dA. S, ed S.' risultano equivalenti alle spinte che si l due compone�u onzzonta . esercitano sulle. prOieztom A, e A?. deIla su perficie sui piani yz e xz rispettivacontenuto te mentre il componente verucal e S' eq uivale al peso del fluido . . . h. . e a colonna cilindrica verticale compresa fra la superficie ed il ptano d et cane t idrostatici. . . Nei casi i cui la superficie su cur st vuole valut�re 1 a s!"· �ta abb'ta u ì" c?nfi f . razione non semplice del punto di vis�a geom�tnco, puo rrsultare ':'t [ e :" '?' . . lla risoluzione del problema l'applicazrone dell eguazrone globale d.i..equilib�t� _ su d statico; ciò è sicuramente verificato o nel c colo d:lla sp�_ nta comple�stva un corpo completamente immerso o nel caso m cut_ l equaztone stessa sta applica _ _ bile ad un volume fluido, reale o fittizio, defunitato dalla genertca superftcte e da una (o più) superficie piane. Nella: ·

37

in cui:

. . di una generica superficie A La spinta S esercitata da un fl mdo in quiete su è definita come:

S

SPINTE IDROSTATICHE EQUIUBRIO RELATIVO

t

Qualora ci si trovi in presenza di fluidi di piccolo peso specifico (tipico è il caso dei gas) è spesso lecito ammettere che la pressione sia costantei ciò equivale a considerare il fluido sottratto al campo gravitaz ionale. In tali condizioni la proiezione della spinta secondo una qualsivo glia direzione x è pari al prodotto della pressione p del fluido per la proiezione A, della superficie su di un piano normale alla direzione prescelta. Vi sono situazioni in cui anche per i liquidi valgono le considerazioni testé riportate per esempio condotti o recipienti di modeste dimension i rispetto all'al tezza piezometrica dei fluidi in essi contenuti.

�ll

fo

PROBLEMI

�

�

3 1 Un serbatoio per acqua ha il fondo orizzontale di area A l� m>. Deternunare il modulo S della spinta sul fondo quando l'acaua nel serbatoio ha 3 6 m sul fondo stesso ('( 9806 N m- ) una profondità h =

•

- .

il termine delle forze di superficie n va suddiviso nei suoi diversi componen ti: lupinta incognita e le eventuali altre spinte sulla rimanent e parte del contorno . La spinta S su di una superficie piana risulta essere una forza ad essa nor male ed avente modulo pari al prodotto della pression e nel suo baricent ro per l'area della superficie stessa. La retta d'azione di S interseca la superfi cie nel centro di spinta la cui posi zione rispetto al riferimento cartesiano ortogonale costituito dalla retta di spon da (!ntersezione fra il piano dei carich i idrostatici e quello cui la superficie ap partiene) e da una delle rette di massima pendenza, è indivi duata dalle coordinate:

E

•

....!.. M

'Il-

i

.!!L

M

�··

Essendo la spinta data da:

S e considerato che

in questo

-

•

=

=

caso

=

poA

è ho

=

=

. /.;jl�"'

�-/

-yhoA

h, risulta:

S. 7060}2 N. b l :5 m e larga L 2,5 m .) 2 Una paratoia rettangolare vertieale alta il modulo della spinta è ince;ni�rata sul lato orizzontale piil basso. Determin� •

•

A DEl FLUJOI LIC:\ E MECCANIC PROBLEMI DI JDR.>\U

38

.

3

era C, nell'ipotesi che l'ac· alla cerni . · ed il suo momento M rispetto suli a parat ola 3 m suli a cerruera stessa abbia una profondtta h oria parat della e mont qua a 6 m-3). N 980 (y ·

=

·

=

n modulo della spinta equivale al prodotto della pressione nel baricentro della paratoia �r la sua superficie: S mentre il valore di verso la relazione:

s

•

Mè

�-eo 2

•

=

poA

=

yhoA

=

=

� 2

_

IDROSTATICHE EQUILIBRIO RELATIVO

.

S

La forza

F'

(

Lb3

Lb AB+

) �

�

0,667

m

M

•

S

s

•

55159 N

·m.

•

•

_

i-

F' =- =

Ae

=

pe-rh

=

4000 N E

nel cilindro C1 vale:

127324 Pa

•

cilindro

C,.

117518 Pa

che moltiplicata per l'area Ao dà il modulo della spinta sul pistone G e quindi anche quello della forza P che deve essere applicata a G perché il sistema sia in equilibrio: P.

3.3. All'estremità A della 1 a AB . è pp1ICata dulo F �a forza verticale di m��000 N mentre l'estreO:� B è couegat al p1sron� E che scorre nel C:l· � comunica zione _c, m con il cilindro C ch � eilindri contengono acqua (y 9806 N , m_J1 iuso dal PIStone G; ambedue i

F

dove Ae è l'area del pistone E supposta uguale alla sezione del In corrispondenza al pistone G la pressione è: pari a: po

e quindi:

=

La pressione in corrispondenza del pistone PE

12 ---,--:. .-=-----,.-

39

agente nel punto B della leva ADB vale in modulo:

F'

per il braccio s valutabile attra

.

b ��

82738 N

fornito dal prodotto di

�-� 2 M

SPINTE

. . Ammessi trascurabili i pesi p r n det p15tor u � della leva e l'aderenza dei pistoni, determinare la forza p eh c;r e essere applicata al pistone G affinché il sistema sia in condizioni di equili ri

poAo . 59071 N.

ierata in A ata con lato a 2,5 !r• incern 3.4. La paratoia piana AB quadr (y 9806 N • m ) Supposto rrasc:u· e appoggiata in B, è a contatto con acqua •

•

.

40

A DEl FLUIDI ULICA E MECCANIC PROBLEMJ DI IDRA

3

. . F che si scarica sull'apparatol3, determinare la forza rabile il peso propriO della paratoia. sar io per iniziare ]'apertura della poggio B ed il momento M neces

.

SPINTE IDROSTATICH E EQUIUBRJO RELATIVO

ll, momento di S

rispetto alla cerniera A, in ztare l apertura della paratoria, vale in modulo:

S(�-AC)

= 331933

equilibrio con M per

N

·m

mentre l forza F che si scarica sull'appoggio B (reazione � bile dali equilibno de1 momenti rispetto ad A:

S(�-AC) F

/ ;x

/

=

41

poter ini

vincolare) è determina

=Fa

132773 N.

3.5. Uno sbarramento è costituito da un elemento a forma di diedro, la cui base orizzontale di traccia AB è appoggiata sul terreno, con perfetta tenuta in A. Ritenuto trascurabile il peso proprio della struttura, determinare la più pie· cola lunghezza L della base AB in modo che l'elemento non si ribalti e l'angolo ex per cui tale lunghezza è minima.

l

n modulo della spinta sulla paratoia è fornito dal prodotto della pressione nel baricentro G per la superficie A della paratoia stessa. Risulta: AC

h

3,75

= -- =

sena

m

i--•� ho

S

=

=

GC sena

poA

=

rho

=

=

4

m

D centro di spinta è individuato dalla sola coordinata ma pendenza passante per n baricentro G: ç l

•

6,U

! M

3.7S

•

•

..!.. M

a xldx a'-xo

ç

•

•

•

Affinché la struttura non si ribalti occorre cheia spint� complessiva sull'ele _ mento ABC passi al limite per B, vale a dire che SI& nullo il momento �r:o delle spinte su AB e BC; considerato un elemento di_ larghezza urutana a spinta su AB vale in modulo:

245150 N

159 ,50

31,25

5,104

m

m3

t

B

t

sulla retta

di

sAB. rHL

massi

verticalmente verso n basso.ed suo momen to rispetto a B vale peraò:

è diretta

è applicata nel baricentro del lato AB·' il

L l H l M,- SAB2•2T L

m4 mentre la spinta su

BC

vale in modulo:

Sac

•

!._ ..!.. 2 TH__! sena

CANICA DEI FLUIDI EC M E CA LI U RA ID l PROBLEMI D

42

3

B: a d a nz ta is d la al a at ic pl ap Be ed è è diretta normalrnente a a=

H

l

iò: rc pe le va B a to et sp ri to en om U suo m M2 = Ssca

=

l 6 l

Si calcoli dapprima la spinta sulla parte di paratoia immer sa :

'

sen
3

a' H3

sen

2

=

h

•

La coordinata

H3

sena

h

2

-

a' L= 164410 N

�=

..

L=

= 2,54 m

� del centro eli spinta è pari a:

sen2a

da cui si ricava:

43

--

S= 1

Dall'uguaglianza dei momenti Mt ed M2 si ottiene: l lrHL2=6 1 2

SPINTE IDROSTATIC HE EQUILIBRIO RELAT IVO

I

lvi

con:

H

----

3 sena

I=

La minima lunghezza L è quella per la quale è massimo se n a e cioè quando risulta a = 1C/2.

.. o

=

Lx2dx= 32,77 m4 L a' h

M= ----= 19,36 m3

2 sena

e: 3.6. La paratoia piana rettangolare AB larga L= 6 m ed incernierata in A, è rigidamente collegata con il peso P. Essendo h= 2,2 m, valutare il peso P occorrente per iniziare rap ert ura del l la paratoia nel 'ipotesi di trascurarne il peso proprio (y 9806 N m-3).

'

a

e= 1,7 m L'equilibrio dei momenti rispetto ad A porta a scrivere:

•

Sa' =

Pb

da cui: P=

Sa"

b

=

S(a-a '

b

+El

=

177560 N.

con due lati oriz. re la go an tt re e di � cal ru . ve a an pi a oi ra pa na U 3. 7. ! il .su� bari� er p te n sa as p e o a un ad o rn to m e ar ot ru ò i, pu al zont m pos•zJo Ja O at ar p la re e n te man . momento nec ario . che a perail tro Dimostrare co qu purc hé , l mon te c a a a l ell' f ndit 8 pro al d te en nd pe di in ne verticale è . sa er m m so te en toia sia totalm

n::� � {d

ICA DEI FLUIDI N CA EC M E CA U U RA PROBLE�U DI ID

44

3

SPINTE lDROSTA TICHE EQUILIB RIO RELATIVO

45

n modulo della spinta equivale . al prodotto della p r e sstooe Po nel ha. del triangolo per la sup er fic ie A del ncentro lo stesso:

.-1- -!"A ... - ..-:ho -�G);d.l �-

S

'

-

ll/

2

y

•

lf2 J.

=

poA

=

rh

�o=

_Io.:.._ M

in cui M è il �ome�to statico dell a su rficie risp etto alla retta di sponda r ed Io � il m om en to d merzta della superf.i. ct. e rtspetto all'ass e baricentrico ·parallelo ad r. Nel caso specifico:

e:

M

l

uva �ente sulla metà su�rtore ed inferiore della paratoia, e b1 e b2 ne individua no, nspetto alla cerniera C, i relativi centri di spinta. �na variazione del livello (situazione 2) induce una variazione uniforme di presstone:

b

�he no alt�ra la dif!er nza fra i momenti ori � ginatisi nel caso precedente I n fa l contrt uu alla vanazt tt i . one del momento risultano:

4M•. 4F1

M

ço

h

a

36

..[3

{3 2

=

a

8

h

-

2 a 24h

•

. . . è incernierata lungo il lato oriz· A 3. 9. La p aratOla p tana trtango1are AC . sia in zontale AA. Determinare il pes� P da a�plicare mB aff hé la aratoia N. m-3). equilibrio sot to l,azio ne della spmta dell acqua a monte 1 98

•te.

•

...._

__

cll m: daÌ· �

•

2

L 4

3.8. Determinare il modul post 0 dell spmta su lato a totalmente di un triansolo equila sommerso tero d i aHo�to h sott n a � . Parete Verticale ll. c:ui b o la superfide a ri c e n tr o è to •• . ostrue che la pos•zl zione � indipenct one del suo pun· etlte mton . nto O tt ent•tnento del tria x sotto u nsolo e calcolarne baticentro.

3 2 a -__3..f _ 2

Per il triangolo equilatero lo è un invariante rispetto all'asse baricentrico ri spetto al quale viene calcolato. Ne segue che:

�ove F • ed F2 sono le risul!anti dei sistemi di forze parallele che agiscono rispet

l1p =rh

2

--

. zione del centro d i spinta La posi rispetto al bart'centro e' valutahile attraverso l a rel aztone:

M= Ah=

Con riferimento alla situazione caratterizzata dalla superficie libera l, risul equilibrante la paratoia vale in modulo: ta che il momento

a2f3

a

:

2.Sm

f_. _ lA

_ _

�----�

A

�

t>:

1.2m

--e1

8

l

��--'"t?� •

-

•

�

_ji r:

p

H:\8m

y c -

--

-

CA DEl FLUIDI ULICA E MECCANI PROBLEMI DI IDRA

46

La spinta

S

modulo: sulla paratoia vale in

S=

l

SPINTE IDROSTATICHE EQUILISRJO RELATIVO

La posizione del baricentro dalla relazione:

yhoAP = 3922 N

a spinta dalla relta di spond La distanza del centro di

è

G,

--

data da:

G,O=

cl

12

---

H'

ç=

Il momento di

S

peso

P

M

rispelto ad M=

li

I

A p6 -- - = Ap h }

=

A

P=�= b

La spinta

3922 N .

U� tubo circolare ad asse orizzontale di raggio R = l ,5 m è chiuso alle due ememttà da due (:iatti circolari verticali. Calcolare il modulo S della spmta su di uno dei due piatti quando il tubo contiene acqua con profondità h = 2 m ("( = 9806 N m-l) ed al disopra aria alla pressione atmosferica.

3.10.

+

47 . Ottiene

A,) OG2

S

vale in modulo:

S=

y(h-R

+ OG,)A, =

43050 t_

3.11. Un recipiente cilindrico ad asse orizzontale a sezione retta paraboli ca, è chiuso alle due estremità da pareti piane verticali. Determinare il modulo S ed il punto di applicazione della spinta su di una delle due pareti di estremità, quando il recipiente contiene acqua con profondità h= 2m (r = 9806 N · m-l).

·

n modulo s della spinta su ognuno de . due p . at dotto della pressione 1 u verticali è dato dal pro nel baricentro dell a J superficie interessata per la sua area A,.. Risulta: .

aR-c
O s1.

OG, = 0,377 m

N· m

momento M risulta:

il

centro

= 0914 m '

A,(G,O + OG,) = (A,

vale in modulo:

la cui azione equilibra

A1

al

. N �ta la posizione di G, è possibile dedurre.quella di G2 sfruttando l'equili _ bno de1 momenu rtspetto alla retta orizzontale contenente G2:

0,6 m

S(ç +H-hl= 4707

dell'area A, rispe110

•

5,006m2

ata vale: L'area della superficie bagn

A

•

. m2 .! hv'li. 3,771 3

I CANICA DEl FLUID C E M E A C LI U RA PROBLEMI DI ID

48

3

la quantità: el d a er b li e ci fi er p su la o fondato sott af ' e ro t n e c n a b il e tr en m .

mentre per A

=

SPINTE lDROST ATICHE EQUIU BRIO RELATIVO

Az si ha:

2 ho= -h= 0,8 . m 5

Po2= -1373 Pa S2= -6095 N.

n modulo della spinta vale perciò: s= rhoA

=

29583 N

ç

=

=

.

a) � P�?to di applic�zione della spinta sulla superficie piana di tra ccia BC è . il ptu basso posstbile;

h3Vh

5 I = _10 _ __ Aho M

3.13. Un recipiente prismatico ad asse orizzontale lungo L 10 m, ha la sezione retta indicata in figura. Ammesso il recipiente pieno d'acqua (y = 98 06 N m-3) f100 al 00rdo AC, individuare l'angolo per il quale: =

D centro di spinta si trova sull'asse della parabola affondato sotto la superfi cie libera della distanza: 32

49

1,14 m .

b) il modulo della spinta su BC è massimo. In ambedue i casi determinare il modulo della spinta su BC.

o

2 m è chiu 3.12. Un tubo circolare ad asse orizzontale con diametro D so ad una estremità da un piatto inclinato di
t---R= 3m

=

l

A �""'-

=

·

•l

=

•

Ya

,

D:2m

, __ ---

/

,

l l l l

�"

/

�x

a) Si trovino in funzione di tp, le espressioni della spinta e della posizione del centro di spinta.

D alle relazioni:

BC

S = PGA

hs

=

=

2 R costp = a

B C sinrp

=

2 R cosrp senrp

n modulo s della spinta vale: Po= per

A

•

At

A"'J"m-"'(a

a

+

D 2

2L sentp COS2tp R h y 2 . L C s = r s B 2

si ottiene: Pot = 25.300 Pa St = 112.3.30 N

La coordinata

e

tto e sp n ta u1 sp i d o d el centr .

•

•

e-

I M

alla

retta di sponda vale:

PROBLEMJ DI rDRAULlCA E MECCANICA DEI FLUIDJ

50

3

dove: a

I= L

SPINTE lDROSTATICHE EQUILIBRIO RELATIVO

In tali condizioni la spinta assum e in modulo il valore:

x 2 dx=

S = 679516 N.

o a

M

=

L

o

x dx= 2 L R 2 cos 2
da cui risulta: .

ç=

3.14. �,ap�rtura circolare pra ticata nella parete pia na in figura è chiusa da una parat01a p1ana . Ammesso che il li q ido a monte e a valle sia acqua (y 980 � . 6 N m-\ va lu ta re le co m po ne nt i onz.zontale So e vert icale Sv della spinta. =

4

R cos
3

L'affondamento del centro di spinta è pari a: h' =

4

-

o

3

51

.

--

R cos

...

y

e la condizione per cui tale affondamento risu1ta massimo è: d h' --

dcp

ovvero:

=0

1t

cos
O�cp�2

U modul o S della spinta è dato dalla differenza fra quello S 1 della spinta da sinistra e d s 2 da destra, dove: S1

Per questo valore di

=

rh• A= rh•

s2= rh2A= rh2

2 1tD 4 1tD

S = 624050 N

dcp

s = s.-s2= rCh.-hl)

=O

ovvero:

Essen d o I, angol o verticale Sv: cos2
4

Risulta:

b) La condizione per c u i il moduJo della spin ta è massimo è d a ta d a: dS

2

ex

di 45 o '

1tD 4

2

= 61612 9 N

. s o è uguale a quella e a1 t on tzz or e nt ne mpo co la

S

So= Sv=

..[2

•

4 35670 N.

V2 2

cp. 35° 16 '

3.15. 8335

•

.

•

lu

f��

Il recipiente prismatico m 6 N m -":l), acqua (Y2 980 •

.

m

L e

3 m, contiene olio 12.356 glicerina (yl •

•

•

52

J FLUIDI PROBLEMI D1 IDRAUUCA E MECCANICA DE

3

è necessario applicare al bor do che F le nta zzo ori za for la are min ter De 3). mN e , per ma nte ner la in superiore delia parete EABCD, incernierata alla bas equilibrio.

ht

•

•

- -

b: 1, 2

O lr o

· - -

•

Glicenna

/

/

m

s2

/

d:2m

=

4,10 m

=

lt b

+

c "(2� _---.:.,. 2

sen 45o

m ·

L= 110456 N

__

# x

dove: Ioz =

�

mod

+ d sen 45o

sen 45°

·

o

/

+

c

----

ed è ap pl ic at a ne l ce nt ro di spinta , post . o ad una dis tanza dal baro.cen��P � a.

/

/

t -ç,t sen 45°

. La spinta Sz esercitata dall' acq ua sulla parte BC d ella parete, risulta modulo: .

c

-

b

----

c: 1.5 m

- -

.

-

=

-

AcQua

l l l nl '

F

53

n braccio di s l rispetto al . ra la cerrue . D vale:

.

-a :0,7 m

SPlNTE IDRO STATICHE EQUlLI BRIO RELATIVO

spinta St, esercitata dall'olio sulla parte AB de lla parete, : St = 'Yl

b 2

b sen 45o

____

L

=

risulta in

BC2

2 c . -=. BCL = --.:. 2 12 12 sen 45°

c

--

sen 45°

PG2BCL

L= 2,39 m

4

S2 sen 45°cL = 15,93 m3 2 sen 45° cL 2 1

12 sen 4 5 °

2 5461 N

-

eo2 = 0,15 m

Essa è applicata nel centro di sp mta posto ad una distanza sponda pari a:

c In= -- - _ _ - o- --eo2 +d sen 45° = 2,32 m 2 sen 4 5

·

dalla retta di

Per quanto riguarda la glicerina, risulta: d 11 b + rzc + y3- dL 2

dove:

z

222402 N

baricentro ed è ap pl ic at a ne l centro di spinta posto ad una distanza dal

a: xa

xd x = --:;.L Mt =L o sen2 45o

__

e- 1,13

m

b o

hdh

•

4,32

m

3

t�o, d

Io, •

2

12

M, dL

•

2

m4

G, pari

E MECCANICA DEI FLUIDI A IC UL RA ID 01 I M LE PROB

54

PG3dL

MJ =

"(3

3

55

Questa �p in ta è d ir tt a oriz o � � ntalmente da sinistra verso destra _ e d è applicata nel bancen t ro e c10e al dtsotto ' dell'asse dt' rotazto · ne, alia dist. anza da questo:

= •

�03 = 0,11

SPINTE IDROS TATICHE EQUlllB RIO RELATI VO

m

2 D Xt = = 0,318 3 1t

d b3 = --�03 = 0,89 m 2

m

•

Il braccio della forza F vale: b4 = a

b

+

+

c

+

Sulla parte superiore della paratoia si eserci ta invece la spinta:

d = 5, 4 m

S2 =rho

Per requilibrio dei momenti rispetto alla cerniera si può scrivere:

da cui: F

=

ho= il

103-442 N.

3.16. In un tubo circolare di diametro D 1,50 m ed asse orizzontale è inserita una valvola a farfalla incernierata rispetto ad un asse orizzon tale bari centrico. A sinistra della valvola il tubo è pieno d'acqua, a des tra esso è pie no soltanto a metà. Determinare il mòmento che occorre appli care all a valvola per mantenerla nella posizione verticale di chiusura (y 9806 N . m-3). =

-

•

-

X2

=

6:0,80 m -

•

•

•

•

...,

0:1,50 m

--

2 D -= 1,232 m 2 3 1t

1tD4

T

y

+

D

Questa spinta diretta orizzontalmente da sinistra verso destra è applicata nel centro di spinta che dista dall'asse di rotazione della quantità:

=

-

8

= 10674 N

essendo:

•

-

1tD2

2

Io

D -

3

7t

2

D

3

1t

M

-

128 2 D 3 1t

-

2 D 3 1t Y 1ti 8

(�2-64)02 -

144 1t2ho

2

xD2 8

-

ho

= 0,28i m

odulo: m in le va a ol lv va a all e ar ic pl ap da to Il m om en

r \..

ed ha verso orario.

Sulla parte di valvola posta al disott0 de1 su . o asse di rotazio spinta: ne si e se rc it a la Sa

•

l A+

•

D 2

. rma di . . fo la a h o id u q li i d o n reciptente pae . .o n u d l ' e w tc . rt e v punto te e� re -' a a p L d os ne 3 17 1zt p la 1ndivi·duarc. m. 4 b ed·alto 0 della ll e CJU un rettangolo largo a = 8 m a e l a ugu s1a ·angolo ADE tr ui a sp a m� 5 . 1 di spmta. E in modo che il modulo del l izi centn dei one os p la e lt o r e ar n nu m sp in ta sul trapezio ABCE. Deter .

•

•

•

•

13429 N

•

•

A DEI FLUIDI IC N A C C E M E A C I DRAULI PROBLEMI D I

56

3

SPINTE IDROSTATICH E

EQUILIBRIO RELATIVO

57

e q u in d i: • - -

3 xo=-a= 6 4

-

tr:'

Assunti du e assi coordinati x e y con origine nel ve rtice A e con le direzioni ind ica te in figura, le coordinate Xc e Yc del centro di spinta sono da te dalle relazioni:

m

Yc =

S)=rh)AJ=l

2

t

:

"

r affondamento del baricentro del rettangolo e A 1 essendo h1 = 2 rettangolo.

=

ab l'area del

=

r hv\2

=

r

il momento statico della superficie rispetto all'asse

3

=

hXo =

2

lx =

2 l

ybzA.z.

2

4

•

lxy = x3

8

yhaA 1

3

=32m

= 96m4

h2 =

72

m4

e quindi:

8

sl

Ye

3 xoh3 •

4

xob2

xo.

3 •

4

2,25 m

h= 3m

Per il trapezio ABCE ·SÌ h a:

da cui: ab:&

4

3

3

l

ovvero:

xob3

l'area

Affinché i moduli delle spinte sul t�olo AE D e su l trapezio ABCE siano uguali il modulo della spinta sul triangolo deve essere pari alla metà di quello sul rettangolo e cioè deve essere: Sz •

2 Xob

2 Xoh

essendo h2 h 1'affondamento del baricentro del triangolo e A2 del triangolo. 3

2 b

X4 3

x.

Per il triangolo AED si ha: - A 2= Mx = h:z.n

2

x;

il momento centrifugo della superficie rispetto agli assi

D modulo della spinta sul triangolo AED vale: s2

Mx

I il momento d'inerzia della superficie rispetto all'asse

2

b

lx

essendo:

II modulo della spinta sUll'intero rettangolo ABCD vale: ab

m

Ma•

2 (3a -2xo> h 6

• 32 m'

x

ed y;

DEI FLUIDI LICA E MECCANICA PROBLE�U DI IDRAU

58

(4a-3xo)b'

I, =

12

= 74,67 m•

(2i-xij)b'

I,,=

=

8

3

SPINTE IDRO STATICHE. EQUI LIBRIO RELATIVO

ah3

184 m• ç =-L

h

M

e quindi: 2 l_ (2a -xo'> x ,= 4 (3a-2xo) y,

-

2

(3a-2xo)

5,7 5 m

=

2

modulo della spinta su ciascun rettangolo vale:

2,33 m.

S

3.18. Un recipiente avente la forma di un prisma rettangolare ABECDF, la cui base ABE è un triangolo isoscele, ha le dimensioni indicate in figura. U piano ABCD è orizzontale. Ammesso il recipiente pieno d'acqua ("( = 9806 N m-3), determinare i moduli ed i punti

- 1,25 m

_

ah

Rettangoli ACEF e BDEF.

U

(4a-3xo)b

l =

12

3 =

59

Il centro

n

=

Y .!2._ 2

�

h2 +

l a 4

L= 125007

N

centro dj spinta si trova sulla mediana dd rettangolo alla distanza: ,

2

f.:q-

.,=3

·

a h +-= 170m ' 4

dal lato superiore del rettangolo.

!--- •'2m �

��------�•lo

3.19. In un serbatoio chiuso contenente liquido dj peso specifico "( = 9806 N m -J ed aria, è installato un mano(lletro differenziale a mercurio ("(m = 133362 N m-3)

·

dal liquido sulle pareti AB e CD (AAB

E

Triangoli ABE e CDF.

n

modulo della spinta su ciascun triangolo vale:

S

•

'Yl!_ .!!!_ 3

2

•

20429

e Ym

N

-=:;._-""1

=

.!:.. m2; Aco = 4 m2; 4

h

�

0,8 m).

•

EI FLUIDI D A IC N A C C E M E A IC L PROBLEMI DI IDRAU

60

3

ei d u e se rb atoi è n o id u q li el d i ic at st ro id carichi i de · ·aru t · p 1 a r t o � o . li ve11 11 dis e: dato dalla relazion r r �7,56 m mo=À

SPINTE lDROSTATICHE EQUILIBRlO RELATIVO

a) Per l'equilibrio, il peso p della cam , an a de v essere pari alla spinta verti� l iqu ido e il ch l'a e ria all'interno esercuan cale o s ulla campana stessa. . La spmta s ulla superficie di traccia PQ val . e m modulo:

r

SPQ

el m er cu ri o , si ha: d i ic at st ro id i ch ri ca ei d piano il a d r a u tg r o t n ua q r Pe o' 06 m h r o )'m

=

i

l

.

·

'

La spinta su

AB

vale in modulo:

SAB = r h ol AAB

=

•

APQ

156859 N

=

è verticale e diretta verso l'alto. . Le sp int e sulle superficie di traccia PM e QN do vute all'aztone dell, an. a all'in terno della campana, valgono in modulo:

=

=

7702 N

s;,M

=

SQN

=

2

i

l . L o o cos 3--

.

ed il centro di spinta dista:

90584 N

=

Le spin te sulle medesime superficie dovute all'acq ua all'esterno, valgono in modulo:

dalla retta di sponda. La spinta su CD vale in modulo: •

Sco

=

S"'PM = S"QN

iho2Aco

=

=

l cos 30°

L

=

2 2 646 N

Le spinte totali risultano:

s'PM

3.20. In un serbatoio liberamente comunicante con l'atmosfera e conte nente � quido di peso specifico r 9806 N m-l, è in equilibrio una campana rovesciata. Con i dati geometrici riportati in figura ed assumendo una dimens ione tra sversale L 4 m, determinare:

=

sQN

=

67938 N

Le loro eomponenti verticali sono pari a:

•

=

l r2

47069 N

è rivolta verso l'interno ed il centro di spinta coincide con il baric entro della su perficie stessa.

SPM.

=

SQN

.

= 67938 sen 30°

=

33969 N

=

La sp int a totale verticale vale dunque:

a) il peso P della campana; b) l'indicazione Il del manometro differenziale

0

("(m

=

133362 N . m-3).

s l

,Om---1

-

M

-

BJ. y

Ym .....

b)

-

p. c. i.

-

i-

___

•

•

SPM.

+

SQN. � +

=

224797 N

p= 224797 N

_

-

=

e quindi:

__

rr====�- - __,_ -

61

•

risulta: , le a zi n re fe if d o tr e anom Per ciò che riguarda il m PA. rmfl

'(m

+

PB

da cui: . PA-PB A Tm

•

0,15 m.

ECCANICA DEI FLUIDI M E A C U U R.A ID PROBLEMl DJ

62

.3

uicli di peso sp ec ific? e �q du t en en nt co , so iu ch � 3.21. In un serbatoio un ma no me tro se mpliJan tal ms no so 3 mN 7 76 11 3 e y . N 06 8 9 t Y enziale co n liq uido fer 3 dif tro me no ma un ed ) m. N ce a mercurto ( 1m 13 362 -3 . C onos�end o 1''m dicaziOne m : N 4) 78 � � . manometrico di peso specifico ns10ne trasversale del me la d1 e no rcu me a e lic mp se tro me 0,05 m del mano Il' serbatoio L 3 m, determinare: -

::

_

_

-

]

=

SPINTE IDROST ATICHE EQUIUB RJO RELATIVO

e quindi:

·

Ò2

.

i du e liq uid i 11 e 12; de ci ati ost idr i ich car i de ni pia i de i ion siz po a) le ne del pia no dei izio la pos e iale enz fer dif o etr nom ma del Il" one azi dic ]'in b) d carichi i rostatici del liquido manometrico y�;

b) La pressione alla quota del punto H è:

PH

=

·

PM-jl

o,5

=

SAS -

-

-

--

ll"

o

-

-

r,

/

--

.

-. .

PM-r2(o,5-A")-y�ah

=

0,25 m

• .

�, si trova al .J: sotto de11' onz· zonm

3 tale che:

w

"(mo3 = PK

-

�h=

l_

-0,85 m

-

·-. ·-· ·- ·--·- .. 1,0 m

c) La spin ta SAB sulla porzione eli traccia AB della parete

y�

-

•

•

.

•

•

y2

5ec

/

m

8

&3

--

Ofim

O,S

K

=

lJ pi an o de i carichi idrostatici del liquido t ale passante pe r il punto K di. un segmento

A

-

PK-"(mAH

da cui:

c) Ja spinta sulla parete ABC.

-

-0,32 m

=

=

Ym

=

·

=

Il

63

-

SAB

. •

-+-·-. -·-·

p.C.I.

c

.

� Il m

=

Y•

ò,- 0,3

+

08 1

2

•

0,8 . L

=

vale in modulo:

18357 N

ed è diretta verso l'interno essendo il liquido a contatto con la parete a press ione relativa negativa. La spinta SBc sulla parete di traccia BC è pari in modulo a: SBc

a) La pressione alla quota del punto p vale:

l

=

12 --02

•

2

l

·

L

=

63 54 N

ed è diretta verso l'esterno. La spinta totale vale dunque: da cui:

SABC

s.=

-0,68 m

cioè n piano dei carichi idrostatici del li qu!.do . dt peso specifico Ya si trov stanza Ss al . sotto a alla d i � dell'orizzontal.e di nf enme!lto passante per La presstone PM d p. sulla superficte i se paraztone fra i due U quidi vale:

=

12003 N

ed è diretta verso l'interno. �e � �· ;;, li; � � . � et m rO et om an e del m 3.22. Assegnata l'indi cazion er a i si es n n co ) � 8 e ,0 0 quella d e l m an o m et ro differenzial (A cia LM sa: aC tr i d a sull a pec ifico dd li· determina re la spinta totale che il liqui. do e�rc� s o e m :, L t� di on of pr LM. 2 pendo ch e il serbatoio ha una m-l; N. 362 13 ( m N 84 quido in esso contenuto è y • 7 5 • Tm • •

m).

df u� ;

A DEI FLUIDI IC N A C C E M E RAULICA PROBLEMI D I ID

64 Q.C.i

A •

•

p.c.i. e

•

""

'(

i.lm

•

.7':

/

/

•

l?· c.

.

•

•

•

•

•

•

•

•

•

•

3

/

.

.

t '

A

•

l l

--·

N

SLM

-y

Ym

ed è diretta da A verso B.

n =

=

t_� O.Sm ._

=

•

los

=

l

Il

lm I -

r

T

=

e'= di sponda.

p.c. 1 p.c.i. 2

•

•

•

l> •

•

•

·7�

•

...

•

=

a

n

636163 N

Scs'(

s

--- - - - - - ----

+--�--

-

metro metallico è pari a:

M'

ac:

�ovuta al liquido nella zona B vale in modulo: LML'

•

595997 N

n

•

101

"(2

=-'m

ido 2 di u q li el d lo el u q a d ta is d l n piano d e i carichi idrostatici del liquido una quantità a tale che:

éd è applicata alla distanza:

dalla sua retta di �nda.

'l

L'altezza del piano dei carichi idrostatici 2 rispetto al baricentro del mano

I'

YhoBLML'. y a+ 0,5-0,S- LM se n 45° 2

•

\ \ \

di traccia LM vale

=

/

•

l ,28 m

LML '

'

1

•

20 m

•

SlM

.

-

•

sen 45 0 Y a+ a+ 0,5-0,8- LM 2

ed è applicata ad una distanza:

dalla sua retta La spinta

dY �l �:: �

·

·

n

La spinta che il liquido nella zona A esercita sulla parete . in modulo:

Si.M = rhoALML'

40166 N

=

•

D dislivello fra i piani dei carichi idrostatici del liquida nelle due zone A e B del serbatoio è:

a

=

3.23. N ot i i pesi specifici dei due li 'di ntenutJ nel serbatoio in figura 7845 N m-3, r2 '' (y1 10787 N. m-3) . one el d mano met r met�· l . ? ba r), 0,54 determinare la spinta che i lic o (n rc 1 ta s ulla parete di tracoa ACB sa pe nd o c h e l a superf.Jct·e di separazione fra l. due liqw..J! w la diVl'de 1D · . due ali eh l dim e e ugu a sua ens1one trasversale è L - 3 m (h2 partl = 2 5 m; AB 3 m).

L'altezza del piano dei carichi idrostatici del liquido nella zona B del serba toio rispetto al baricentro del manometro metallico, è pari a: a

Su.s

=

Il

65

EQUiliBRIO RELAT IVO

L a spinta totale vale dunque in m odulo..

=

-

SPINTE IDROSTATIC HE

da

cui: 8.

0,94 m

66

PROBLEMl

Dl

3

NICA DEI FLUIDI A C C E M E A C U U fD RJ\

in modulo: le a v te re a p a ll e d C A La spinta sulla parre SAc

=

•

SPINTE lDROSTAnCHE EQUILIBRIO RELAT IVO

Le reazioni che si scaricano ai du e estrenu. sw. cerchi valgono:

·�H

vh3 = A = 6384 N

AG sen 45° AC L = 102719 N 2 h + o l "( L = C tA o h r 2

tanza: ed è applicata ad una dis

çl

=

I

t_ __.,;.

1 m-

h 1- -- = 24260 N 3H

B=

MI

ed è applicata ad una distanza:

T1 =

AD

mentre quella nel cerchio inferiore:

o

dalla sua retta di sponda. La spinta totale vale dunque in modulo:

2

BD 2

249816 N.

l ,20 m 3.24. Un recipiente cilindrico ad asse verticale, del diametro D e alto H = 4,00 m è costituito da doghe trattenute da cerchi alle due estremità. Valutare la tensione alla quale è soggetto ognuno dei due cerchi quando il reci piente contiene acqua fino all'altezza h 2,50 m
=

=

-

3.25.

Il fondo di un recipiente cilindrico del diametro D= 3 m, è costi· tuito da una semisfera. Il recipiente contiene acqua (y = 9806 N m-3). Deter minar e il modulo S della spinta sulla sernisfera: •

/

•

y

h

•

,,,,,,,,,, ,,,,,r,,,�,,,,,,

,,.. .-

j

o

30° sull'orizzontale.

--

•

-

Cl=

-

•

l l

t

= 14�56 N.

b) nel caso in cui il suo asse sia inclinato di

o

H

m-

= 3830 N

a) neJ caso in cui il recipiente sia verticale;

l l l

o

all,estrer.nità inferiore. L a ten sio ne nel cerchio superiore vale:

•

=

.

alJ 'estremità superiore e:

. dalla sua retta di sponda. m modulo: le va te re pa lla de B C rte pa lla su La spinta CB sen 45° =, 147097 N L CB + h2 il = L B C Scs= r2ho2 2

S

67

,, ,, ,

-

.,.___

D

h;6m

/

� ___..,.

Ciascuna generatrice del cilindr n o uò essere considerata co poggiata agli estremi me u n a trave a p caricata co0 agramma delle pressioni contenuta. dovuto all'acqua

--

DEl FLUIDI ULICA E MECCANICA PROBLEMl DI IDRA

68

.

g1 bal di equilibrio statico al volume com. di scrivere: su pi o diam etrale, consente

:r:t � :,

uaz a) L'applicazione dell'e9 ca e preso fra la calotta senusfen

3

SPINTE IDROSTATICHE EQUILIBRIO RELATIVO

69

chiuso alle estre�là dal pian? dei carichi idrostatic i e dal piano diametrale della se misfera; essa e diretta verticalmente verso il basso.

•

+ Ilo+ II, = O

G

S,

=

r(1tD3 12

dove: ne; G è il peso del volume in considerazio n0 è la spinta sulla semisfera; • te volume di liquido su quell o conSJ"derato · n l è la spinta esercitata dal rtmanen .

attraverso il piano diametrale della senusfera. Essendo:

S

+

� sena h,)= 147293 N 4

s = -Js� + s� = 214519 N. 3.26. La parete di un recipiente è corrugata con elementi di forma semi circolare di raggio r = 10 cm. Calcolare le componenti orizzontale e verticale della spinta sul primo tratto di parete (di larghezza unitaria) che contiene 4 cor· rugazioni (y = 9806 N · m-3).

=-fio

•

e le forze rutte verticali, risulta in modulo:

r

s =c+ n, G

yJ1t (lD)3 2

=

S

•

=

69315 N

381230 N

b) La componente orizzontale s. della spinta è pari alla spinta sulla superfi· cie proiezione della semisfera su un piano verticale; essa perciò vale:

So

•

1tD'

rhz-- coscx 4

•

155958 N

ed è diretta verso sinistra. La componente verticale della spinta è pari, in generale, _ _ me liqwd al peso del volu· o com P_reso fra la sup erficie curva ed il piano dei _ carichi idrostatici; nel Pa_r:ttc olare m esame, tale comp onente è pari al s era ptu il peso de 1 v peso del volume della senù· olum e cilindrico di sezione ellittica:

S.

. spinta vale: La compon ente ortzzont ale della

i"

So

r

.

4

•

2r cos 30

o

•

3397 N

La comp onent e verticale vale:

1tl)1

4 sencx

+

•

s:. r

[�

(4

•

o 2rl' cos 600sen 60

+

�] 2

.uuN.

•

CANICA DEI FLUIDI EC M E CA UU RA O P.ROBLEMJ DJ J

70

�

. ru o o -c co n o tr so a v � u . . 3.21 modulo figura. Determm_3fe il (j 9806 N m ).

.

o d'acqua ha le dimensioni indicate in spinta sulla superficie tronco-conica

a�li�

SPINTE lDROS TATlCHE EQUlL lBRIO RELATIVO

71

risulta in modulo:

•

•

=

3

Di

+

4

•

-

-

,.,.,

o

-

n. =rh.

r

-

n2

h1:o.sm

c_

-

=

rCh.

+

D. D 2 -;,.__;;_ 4

+

1tD2 '

4

=

+

4

=

16071 N

347 N

1tD22

h2>

Dl

=

4

49290 N

-

S

=

32872 N .

•

3.28. Determinare il modulo e la retta d'azione della spinta dell'acqua sulla paratoia a settore circolare lunga L 6 m, rappresenta in figura (; 9806 N m-3). =

=

·

A ��-.��--�_.8 l

l

-

·l Poiché la superficie tronco-conica ha il suo contorno giacente su superficie piane, può essere applicata l'equazione globale di equilibrio statico al volume di liquido compreso fra le due basi del tronco di cono. Rsulta:

G

+

Do + D a

+

D2

=

o

dove: G è il peso del volum e tronco-conic o; Do la sp ta esercitata dalla superfi cie laterale del tronco di cono sul volu me in constderaztone;

�

Dz

�

�p ta esercitata sul volume suddetto attrave rso la al liqw do sopra superficie circolare stante;

è la reazione esercitata sul volum e dalla superfic ie AB; Essendo:

s--no

T

---

t

h2 :4m

_

_j!_-

A

\H \

......

......

...300-

......

l

l

l l

. . del raggio re lo va al salire ri ile ib ss po è n . In ba se ag li el em en ti geometna no della paratoia e dell'angolo

�:

�

gè � la

<5: O,S m1 -

h1: 3m

r se n � r

cos

=

8

•

0,5 m

(6oo-�). OC

•

Ne segue: tg �

•

0,06147

n t�

n calcolo de lla spinta sulla para globale di equilibrio statico applicata seguente:

30 Jl' 3•

•

r. 8,15 m

zione a u q e l' d o. o r · ''" ut• ene condotto neDa figura flu ido di ume

�l � .

4,5 m

·

72

PROBLEMI

I ANICA DEI FLUID DI IDRAUUCA E MECC

G

+

llo + ll, S= llo

=

3

O

SPINTE lDROSTA TICHE

La compon ente orizzontale deUa

EQUIUBRlO RELA TIVO

. sprnta vale:

73

. Essa �iace �ul piano verticale conten ente . l.a btsettrtce . dell'angolo del reo. ptente ed e applicata sotto il pelo libero alla distanza:

=

3m

La componente verticale vale:

-

Risulta, in modulo:

G=Y

l

1tr2 LJ2

n,

=

l r l L AB OH

yhH ABL

=

=

1241145 N

(75•-�) 1176887 N S.= G + n, cos (75°-�) = 440272 N So=

Sv = Y

46091 N

n, seo

2 1tr

=

82151 N

Il modulo della spinta vale perciò:

s

=

s ..Js� + � = 1256544 N s. tgtp = s:- = 69° 29' .

) (� -4 H--H 12

ed

è

=

..Js� � 169204 N +

=

inclinata sull'orizzontale dell'angolo:

=

. 3.�9. L'angolo di un recipiente enente acqua ,è �agomat o a cono co me mdic�to in figura. Individuare il m 0 e la retta d a21one della spinta sul quarto di cono e determinare l'angol 0 ex per il quale la spinta passa per il punto E (y = 9806 N • m-3).

:cl

T l r

� = are tg� = 29° 2' s •

ver striscia della superficie conica delimitata da due piani . Si consi�eri una . alla base iofinitesima; la ttcali passanti per l' a�se del cono ed avente larghezza alla superficie stessa ed è spinta agente su questa striscia è diretta normalmente la retta d'azione di tale 3H/4; a pari libero pelo il sotto a t distanz una applica a ad ad una distanza x dal pelo li posto P punto un in cono del ra l'asse spinta incont bero pari a:

tutte per il punto P, ce dementari passano . Poiché le spin te sulle singole stris spmta deve passare per la se o; punt to ques �che la spin ta complessiva passa per il punto E, deve risultare:

ECCANICA DEI FLUIDI M .E A IC UL RA ID DI l M PROBL:E

74

3

75

si ricava il m od ul o della spinta S come:

da cui si ricava:

S

del r ec i�iente in figura è 3.30. L'apertura circolare prat�cata �ella parete S della spmta sulla valvola chiusa da una valvola conica. Deterrrunare il m odulo (y 9806 N m-3). =

SPINTE IDROSTATIC HE EQUILIBRIO RELATIVO

·

•

=

�S� Sf +

=

7 527 N.

3 . 31. L, apertura circolare di . diametro D 1 0 f? 3 m prattcata nella Pare pi an a de l recipiente contenente liquido te di peso speci leo i . l 9806 N m mdi· ca to m f'1gura, e c hlu sa da una sfera di 5 . diametro D m . D e te rm inare mo· dulo e retta d'azione della spinta del li quido sulla f r _

-

.

-

-

,

·

� � �� _

--

• -

---

y

r

h:Sm

h:4 m •

--

.

Con riferimento al volume fluido ABCE,

s tatico conduce a scrtvere: .

G +no+ nAE

ovvero:

S

G

Essendo:

=

o

Il:

D

G

di equilibrio

��a Si applichi l'equazione globale di eq brio s�aric� al_ �olume ginato pieno di liquido avente lo stesso p1ano de1 canchi 1drostanc1 del liqwdo contenuto nel serbatoio; si ha:

4

yWABCE

=

=

S

TI peso G ha

9627 N

.3594 N

G •

Sv

So •

+

llABC

=

o

da cui la spinta sulla sfera risulta:

valgono rispettivamen te:

l AE yh -n:

�CA,

ui}i

G + nAc

=fio= -fiAE-G

I moduli delle forze DAE e

nAE

l'equazione globale

=

=

flABC'

=

-G-fiAc

modulo:

y wABCA

=

y -16

f o l. 1 h n -023 _.!. 6 4 "'

+

hi

•

1D cw:

fiAE sen 45o. 6807 N nAE co s 45o-G .3213 •

•

N

-==- - n • 4 4'

•

0,05

m

•

624 N

76

PROBLEW DI tDRAUUCA

E

MECCANICA

DEI FLUIDI

l

re piana AC ha modulo: La spinta sulla superficie circola

.JG2+n�c-2GftAc COSO<= 2373 N

Essendo:

passa per il centro della sfera ed è inclinata rispetto all'orizzontale dell'angolo: (-G+nAccos45°)_ - 34o17 , l"= are tg s.= are tg n AC sen45°

S,

n

s=no

S= -G-n,

risulta, in modulo:

D G=y_!_"( 3 2 sen 60°

Determinare modulo e retta d'azione della spinta sul fondello sferi co del recipiente cilindrico in figura, contenente acqua (y 9806 N m-3); si considerino i due casi in cui l'indicazione del manometro semplice a mercurio y ( ., = 133362 N m-3) vale:

3.32.

=

77

G è , il peso. del volume ABC . . A pensato nemp · d' acqua; · 1to n l e la spmta sulla superfiCie circolare di traccia AC'· no è la spinta sulla calotta sferica di traccia AC.

n modulo della spinta sulla sfera vale: =

RELATIVO

in cui:

D nAc = r 7t f h = 2773 N 4

s

SPINTE IDROS TATICHE E QUlUBRJO

D cos60° )2•

2 sen60°

•

3

[

•

a) .:l.,= 1,00 m; b) .:l.2 0,20 m.

D

2

sen60°

D ( 2 sen60°

D cos6oo )] 2 sen60°

=

9609 N

D2 n, = [ym.:l.-y(a +L sen 30°)]7t-. 234130 N 4

=

S = ..J(TI, cos 30°)2 + (G +n, sen30°)2 239079 N •

n 1"1

• are tg

( G + n, sen30°) n, cos300

•

320

b) n problema va affrontato in modo del tutto analogo al punto a), cam biando solamente n,:

nel baricentro di AC in . Essa è dirett a verso l'interno essendo la pressione feriore a quella atmosferica: a) Si applichi l'equazione glob ale di equilibno statieo al volume ABCA: •

.

G+U, +Doo

.

S

•

..J(ll, cos ;oo)i + �2

-

are tg

(G

n, sen ;oor

(G-0,

sen

30°)

n. cos 300

•

•

96600 N

25o.

PRO.BL.EMJ

78

DI JDRAUUCA E MECCANICA DEI FLUIDI

. - 2 m e lu n gh ez za L D ro et a m 8 m, disposto di . di o dr lin ci n U .3.3 .3 · vo della parete di fondo. Esso vie ne for za to m acqua pn e con l'asse verticale, . Trascurand o il peso prop sotto l'azione Òl. una fo:za . vertlcale p - 98060 N. .rdi to 1 · f ° m azione ·isoterma, deternunare a postzlone del cilindro e n:�'ipotesJ 6 . m-3; p:= 101296 Pa). equilibrio del cilindro (r =

_

,

•

·

_

� �;� �

·

·

( �

o

l·

F •-

�,_

. .. .

l\ �

-

P.cl 2 P. c.r.,

--

-

-

-

h

-

-

l

-·

•

-

y

-

-

-

-

-

t

-

l'

-

· · -·

ARtA

L

--

-

•

••

---

.B.. - . . - -- -. 1 l� � -+-l l Ym l l l l --

ARIA l'

79

II serbatoio rappre sentato in figuta è diviso in due camere denti c o n te ne n ti a�qua (y = 9�?6 N.· indipen m 3) c o n sovr tante aria � Una sfera di. d ia m e t r o D e msenta pressione. � , nell apertura cttco lare prancata nella pa e r e divisoria. Nota l'indicazione A del m a n o m e tr . o differenziale a merc urio = 133362 N m-3), determinare le comp onenti orizzontale So e verticale S. d lla spinta esercitata dall'acqua sulla sfera. 3.34.

·

•

SPiNTE IDROSTATIC HE EQUILIBRIO RELATIVO

3

l

-

-, l

1

ACQUA

�

l

•

--

�

p=

F

1tD

�2

-

=

Detta x la lunghezza di cilindro occupato n e isoterma, si ha dall'aria, essendo la trasformazio :

. Inoltr e dall' eguaglianza deUe pressio otttene: ni sul piano di separazione acqua-aria si

facendo sistema

2

-

A C O UA

y

31213 Pa

4

e

l

l l �

y

La pressione relativa deU'aria all'interno de cilindro �i deter mina dall'eq · ! librio fra la forza F e la � spinta sul fondo supenore d el cili. ndro, e v a le perc1o . .

l

y[h -(L-x)]

•

p

fra queste due rela zioni e risolvendo rispetto ad h, si ricava :

dislivello La differenza d! P�cs: stone dell'aria nelle due zone è �i a Aym; il te a sinin me va tu pe ns o ut en nt co do ui liq l de l . . atlC ost � fra 1. ptaru . . dei cartchi tdr 0 stra e a destra, vale perc t.ò ·· .

·

·

8

=

�.l!!..-h y

•

. La componente orJZzontale della spinta

. ed è diretta da suustra verso destta . .

8.02 m

sulla sfera vale:

MECCANICA DEI FLUIDI PROBLEMI DJ IDRAUUCA E

80

spinta è d�etta v�rs? l'alw ed è pari alla La componente verticale S, ?ella liqwdo alto o e seztone ellituca di area: somma del peso del cilindro

}

SPINTE. lDROSTATI CHE EQUlLlBRlO RELA TIVO

risulta in modulo:

2:. (Dsen 45°)2 cos 60° 4

n;= ed

il

sfera. peso del volume liquido spostato dalla

S, = yo2:.D' sen2 45° cos 60° 4

de

y --= 31108 N. 6

3.35. Determinare i moduli S, ed S, delle spime sulle superficie di trae ABC e DEF del sistema indicato in figura (y1 =9806 N · m-3; y, = 7845

N· m-3; n=0,78 bar).

( �:o' n

s;

nD3

+

Yt

)

h,-h, "rl

=

10295

N

�= l0296N

=

IX

+

81

,

=arc tg

G'

""j1;"

=54'

Si appl i chi ora l'equazion �obale di equilibrio statico al medesimo volume � _ l� _s uperf t�te DEF a contatto solamente con il fluido 2. DE F D constderando Con analogo stgruftcato det stmboli risulta:

c·

•

n,·. n.; a o

s;= -n.; s; =c· n; •

C•

•

y,.!..m� = 131N 3

m=
. Si applichi dapprima l' u · one ft' baie di equilibrio statico al volume DEFDconsiderando la su..,. · wo EF ��'0 ..tCJe a contatto solamente con il fluido 1:

PK

'

G' +Di+Dci- o in

cui: � �il peso del volu me DE Di � la spinta che si - : FDpensato riempito di fluido l•· --..wta attr averso

la n uo• �la spinta deDa calotta sferica DEF.

•

•

lo'+

359069

n;.

Si •

..JG •1 + lliz 44333N

Ot•

•

G•

•

are tBiif

Essendo poi: La spinta totale si ottiene daDa $0111 i

Pa

44333N

risulta:

· ,___ deDa bue Clfcouon: semisfera DEFD;

S' -n.; SI•-G'-D

Tthtl�

s,

•

•

10'

vale ia modulo: del vettOn• Sl e S(e

(«' -«•). 540)7N ..Jstz + sr•-2st sr COli

82

I ECCANICA DEl FLUJO M E A C LI U A R ID PROBLEMJ DI

li b ri o statico al volume ABCA : ui eq eli e al ob gl e on zi ua eq Si applichi ora j'

G

+

Il1

Ilo =

+

O

3

SPINTE lDROSTATI CHE EQUIUB ' RIO RELAnvo

Essendo:

o

s2= -no2

risulta: a, pr so o tt ri sc to n ua q a te en Analogam s2

S2

S = G2

2

=-Ilo

=

G

+

IIt

G2 ì2.ml =

3

3

= (pK-I2h3)1trj s2

ll;2

+

risulta in modulo:

G = y2 I_m� = 444 N llt

83

= 98862

=

99306 N

n

IT,12 = 12

N

105

·

Ìl

+

S2 = �G22

+

=

ht

TI2i

555 N

1td = 28209 N =

28214 N

o

Determinare il modulo S della spinta che si esercita sulla superficie 4903 N m-3; dt ttaccta ABC (lt = 7845 N m-3; 12 = 9806 N m-3; "(m n = 0,88 bar).

. 3.�6.

•

•

=

•

si app lich i ora l'�q�azione globale di equilibrio statico al volume BKCB const. derando la superf1c1e BKC a contatto solamente col fluido 2. Analogamente a quanto scritto· sopra, risulta:

•

c;;+ n i2 A: 0,2

ncn

+

=

o

s; = lloi �· = -Gi-Di2

m n

2

G,2 = ·n-ma = 164 N 3

3

r,

•

llf2 12 =

-

Si applichi dapprima l' BA considerando la s u�&J

10s

•

12

-

--

s;

+ ht

.JG;2

=

+

+

+

rt ma= 13153 N

=

13154 N

r2

n;1

2

e �KC co� B H A � � e sf te ot cal e du lle su e Si valutino ora le spinte Si Si . mboli, sa t de o at fic gm ss o Con analog siderandole lambite soltanto dal fluido l. risulta:

Gi + Dia + Doa

one ... 1�bale i equilibrio statico al volume AH· d 18Z1H fS"' e A B • contatto solam nt e e col fluido 2:

'

. &Il dD:

•

n

G2

·

•

Dia

+

Dcn

•

o

Si. lloa

o

Si. -Gi-Dia

:..

Ael vol� AlmA . di rie mPtto fluido . 2; 'la spinta attraverso la circolate di traccia AB; l la �ue 4e11a: -U. .. t.o..! ��!q èU tctcda AHB.

•

Gi n:••

PHn:rl·

[n. lO'+

Si

•

•

Y• 2 )

y�

+

m-J

y.6

+

.Jo;i flif +

•

444 N

Yl(h,-hJ-4})-d. •

27,47 N

27541 N

IDRAULICA E MECCANICA DEI FLUIDI

PROBLEMI DI

84

)

Inoltre:

SPINTE lDRO STAnCHE EQU ILIBRIO

Gt

+

Il l'i

+

UO', = O

st =

Gt rrt, +

Gt = y1�1rrl 3

Dt, = [pH

+

Y• (rz

st= ..JGt2 +

+

=

risulta, passando ai mod uli:

131 N

G = Y• 2_1trl = 3

r,)]1rr? = 12734 N

ntl=

n,=

12735 N

e

SI�

o

La spinta esercitata dal fluido 2 sullo stantuffo S è pari in modulo a:

3.37. Determinare l'indicazione n del manometro metallico quando il si stema ind icato in fir,ra è in equilibrio (y1 = 9806 N · m-3; n = 7845 N • m-3;

n=

1314 N

S, = 1314 N

La spinta totale sulla superficie di traccia ABC si ottiene dalla somma dei

Sl, s;: S{

85

s, =-n. s, =G. n,

st =-IlO',

vettori

RELA nvo

Essendo:

11767 N · m-).

s2 = rzh."rl

=

789 N

La pressione sulla base inferiore dello stantuffo vale:

s,-sz p= --2- = 4178 Pa 1tr) e l'indicazione del manometro: n = (p +

3.38.

galleggia in immersione.

.

•

10-s= 0,065

.

�

�

ABCA:

)

nD3 2 l.o-h yp-= v••_!t_h 2 3 6 in Risolvendo l'equazione di terzo grado

h:

h' -1,2 h2 + 0,2304 si ricava:

h• 0,939m.

•

o

tme:,�di�àO,�O: P

tggl

gall

(

.

bar.

Una sfera in plastica (yp = � 25 N • m- ) del acqua !ra = 9806 N • m ). Determmare

di Dall'equilibrio &a peso della sfera e spinta

Si �ponga di poter trascurare - • i P�pn d-��= applicbi l'eqllazione � elemenu. del SIStema. S1 globale di equili'bri._... .. o statico al volume G+D1 +Do-o

yJhz)

·amento si ha··

E MECCANICA DEl FLUIDI JCA UL A R ID I D I M E PROBL

86

3

SPINTE IDROST ATICHE EQUil iBRIO RELATIVO

87

m e del peso specifico Ys 50 O D tro 13000 di l e d ra sf a n U � cui pe o specifico varia in funzione dell'a[. 3 e .unmersa m un liq N m. libera secondo la legge l = 11000 + l 000 h. f'1Cle r pe su la o tt so h fondamento . I o. della sfera ne 1 liqU'd io ibr uil eq di e on zi si po la e ar in Determ

3.41. V aiutare la frazione di volum e emergente di un ·c berg, sa che il peso specifico del ghiaccio è l& 8825 pen d? N m-3 -3 e quello d 'ac qua sa lata N m . 005 10 = e i

che il peso specifico varia liLa spinta che nceve 1a sfera, tenuto presente nearmente con l'affondamento, vale:

Det�o requilibno

J.J�

��il

.

.

=

=

�

�

·

s

3 1tD 6

=

(11000

+

1000 h)

=

W, il volume dell'iceberg e a.W la $1

y,W

6

(11000

-

1- jg l

.

)W

a.

=

0,118.

3.42. Determinare il mirùmo valore dd rapporto D/L di un cilindro cir col are ret to di peso specifico "(t, Per quale� dr? galleggi a condizioni di . , equilibrio stabile con l asse vertt c ale m un liqwdo di peso speofico l ·

•

=

1 (1

d a cui:

Per l'equilibrio deve risultare: 1tD3

=

�

+

1000 h)

da cui si ricava:

vale:

�

L.l!.. 'Y

. L,altezza metacentnca e: '

.3.40. Un cubo con lato a= m l è formato nella su a metà inferiore d a ma teriale di peso specifico I = • 13000 N m-3 e nella metà superiore d a materiale di peso specifico 12 = 7000 N m-3. Esso è immerso in un re cipiente contenen te due liquidi di peso specif ico ! = 9000 N m-3 e r4 12000 N m-3• Deter 3 minare la posizione di equilibrio del cubo.

8

Io

=

•

•

=

w

-A

ove:

•

. lndi� �lto con x l'affon damento del cubo nel liquido più pesante, per I' equili· br1o fra il peso del cubo e quello del liquido spostato, si ha:

Il

da cui si ricava:

x

•

a

X• + la -2y3 2(y4-Yl)

•

.!.(L-hl 2

deve Mfinché l'equilibrio sia stabile •

0,333 m.

�

In conclizioni di equilibrio con asse verticale l'affondamento h del cilindro

h=

Is-11000 h= = 2,00 m. 1000

•

�ll

frazione di volume che emerge, per

ha :

CJ. =

essendo h l'affondamento del centro della sfera

.

.

e ssere :

DEI FLUfDI UUCA E MECCANICA PROBLE.M.I DI IDRA

88

e c ioè:

l

SPINTE lDROSTAnCHE EQUILIBRIO RELA TiVO

Si calcolino dapprima i pesi dei due cub· 1 e d iii oro peso complessivo:

• "o

89

P,= y, W = 6276 N

64

P2 = Y2W = 8630 N p= 14906

Ora si determinino i pesi dei volumi d'acqua spostat i:

da cui si ottiene:

(

)

Pi = Y•W = 7845 N

_!2_�8.1!... 1-.1!... . L

r

r

P;= raW' = P-P2 = 7061 N dove W' è il volume sommerso del cubo più leggero.

7 m, profon Una chiatta ret tang ol are è lunga L = 50 m, larga b 75 !06 N(y. = 9806 N m -3). Determinar e l'im m e pesa P da a = mersione h della chiatta vuota e il carico T che essa può contenere con un franco Il= 0,3 m. 3 · 43

2,5o

=

Risulta:

=

2,

W' =

·

·

Per determinare l'immersione della chiatta vuota si ponga il peso del volu me c(j acqua spostata uguale al peso della chiatta, doè:

..!1 = O'72 m1 Y•

IlW = W-W' = 0,08 m1 Per quanto riguarda la tensione T, essa è pari alla d ifferenza fra il peso P2 e la corrispondente spinta di Archimede, doè:

p= ,.w= rabLh

da cui: h

--p

=

=

rabL

p

0,80 m

3.45. Una vasca rettangolare larga = 5 m, l� L= 6 m e prof?nda _ 9806 N m ). In essa vtene posto un galleggante h = 3 m contiene acqua (y. 1,47 105 N. pesante P Determinare di quanto si alza il l ivello nella vasca. =

Per trovare il massimo carico T con un franco di Il formula precedente h= (a-/l), si ricavi il peso:

P'

•

'YabL(a-/l) = 7,55

•

106

=

0 , 3 m si ponga nella

N

•

4,80

•

106 N.

W.

:

•

�;

L Y•

•

15 m1

da cui:

3.44. Due cubi IJ!lbedue n vo 1 w • 0 8 , _'f3 h�o l'uno.� spe· c:ifico :rs• 7845 N. m-3 e l'atU 'Y 87 N m ; esss sono uruu da una 6me fìsuta al centro di una . 2 di fleda •• aascun • cubo, e sono messi in acqua (y. 9806 N m-,). .._,., Determinai; quale frazione di vol ume '" "W del eubo plll _. acqua e la te . leggero emers e nsione T della fune . •

•

n volume w d. acqua spostato vale:

e gli si sotttagga quello della chiatta wota. Risulta:

T

•

=

•

llh • __::!!__ Lb

•

0,5

m.

-!j Junao L 5 m, � inc:erN m-!J. (ya. 9806 Un c:ilindro in lesno (ya • te men parzial e vertieale. nierato ad una estremità la con cilindro ' l asse del Determinare l' anaolo ex formato clal 3.46.

=-·:acqua

•

N·

CANICA DEI FLUIDI EC E M A IC UL RA ID PROBLEMJ Dl

90

3

-

-

SPINTE IDROS TATICHE E QUlliBRlO RELAT lVO

3.47. Un cilindro di d iametro D 0,80 m e lungo P= 2650 N. Esso è m a n tenuto im L= 2 m pesa merso. a u 9806 N m-3) con l'a oriz ontale mediante il siste m a indic � f�q a
_

y-�-a

:1m

=

·

·

·

·

--

- -!!.

4 c: -

-

-�-

-

--

--

--

-

-

BLoeco DI CALCESTRUZZO

L'equilibrio dei momenti del peso del cilindro di legno e della spinta di gal JeggiameJltO sulla parte immersa rispetto alla cerniera, porta a scrivere:

Pht = Sln in cui h t e In sono i bracci delle due forze. Essendo poi:

P= Y t L +

L a spinta di Archimede agente sul cilindro vale in modulo:

a

S'

_ _

__

=

COS
in cui Ab è la sezione del cilindro e:

ht

=

2

ra 1tD L = 9858 N 4

La spinta netta verso l'alto vale: a

1 L+ 2

S

sencx

COSOt

S' -P = 7208 N

=

mentre la tensione della fune è pari a: L

a

2 risulta: "'(t

l 2

L

+

a __,;,; ; -

coscx

2

COS« • «.

sencx

coscx

+

T

a

s 2

= 3604 N

Per l'equilibrio deve essere: •

"'(aL

0,3.547

69° 13'.

L

2

+

a __; ,; coscx

_

Pc•YcWc=T+raWc

_ _

da cui: Wc. 0,245

)

m

Pc. 6007 N.

CCANICA DEI FLUID1 E M E A C LI U .," PROBLEMl DI IDlVl

92

del cliametro D e, al ic rt ve 1 '20 se as ad o ic dr ' ilin c . · ne a Un reop1ente ., 48 ce 1 ac 10 n az .h co er so os m e en v1 coesso · do ui liq di eno e m, alto. h 2,�0 m �t ll'accelerazione per la de re lo va il e ar in m e; et D o tale o e z on r d �zt m e i stant n z i liquido esce dal recipiente. d volu e el d o c de t.m un e l ua q •

•

,

3

-

.

•

.

•

=

�

=

in cui posto A

=

grad U si ha: grad z

9

+

=0

g

r

'

U

= cost.

•

a

h

-

(l)

Nel ca so specifico l'accelerazione centrifuga ammette co me potenziale: •

.. t--- o

k

+

c10e: .

-

93

L'equaz ione indefinita in condi ioni z di equil'b l no . relauvo può essere scritta: p(g-A) grad p

=

.

SPlNTE IDROSTATICH E EQUiliBRJO RELA TIVO

U

=

l

-

2

2 2 (a) r

+

cost.

che introdotto nella (l) fornisce:

... .,

,...--

Sul fluido agisce, oltre al campo gravitazionale, quello delle forze d'inerzia

derivanti dal movimento del recipiente che lo contiene, rispetto al quale esso a� pare in quiete. Nel caso in studio e con riferimento alla figura il campo di forza derivante da g e a ammette delle superfici equipotenziali ad esso normali; tra queste la nuova superficie libera. Per la fuoriuscita del volume liquido W essa si dispone inclinata rispetto all'orizzonte di un angolo ex tale che:

Con i dati del problema sarà quindi: •

-

e dovendo essere Pt

1tD2 l l 1tD2 -D tgcx--= --h 4 2 4 10

tgcx =

3

a = 3,27 m

�: �·

•

a

Jdtazione

(a)

del redpi

:e.

ta di h

l

-

2g

P2 risulta in definitiva: •

s-•.

•

-

.

.

-

g

s-l.

•

0.60 m. Determinare la velocitl di •

•

+

,

3.49. Un recipiente conten �'nte liqw·do ruota a velocitl costante intorno Jd �:asse verticale La pressi ne m n unto che dista radialmente rs :&a�•asse di rotazio �e � ugual 0,60 m a. un altro punto ch e dista f2 aan•use che è ad una 1,20 m ota pi

: � '!ieÌÌ m

0,6 m)

wd

diametro � d , te en m or ri pe su o rt ape Un Ciii.ndro circolare retto, 3 ;o 1 ve · a are enrun t De li d D = l m alto H = 2m con asse verticale, è pieno di qw1 °· 'area dell a et l m a e . u q , a ' dro mtor no al suo asse per Ioctta , di rotaz10ne (a) del cilm del fondo è asciutta. valere: e ev d o d n fo l su o tt u ci n diametro del cerchio che rimane as •

=-

=

+

w = 3,30 rad

da cui: l

= (z

p2

DJ

•

D {2

e: al er en g e n o zi ua eq a Poiché la superficie libera h

��

2g

-

z •

cost.

J

DEl FLUIDI LICA E MECCANICA PROBLEt-.U DI IDRAU

94

bordo dd recipiente e deve passare per il

(

di diametro D, z = O,

r

=

�1)

(z �

H,

r=

�)

e per la circonferenza

95

=

grad p

dove A = grad U, conduce all'espress ione:

--

z+ P

w2D2

D ---H =-16 g 8 g

r

4� =17,72rad ·s-1 . w= --D

3.51. Un tubo ad U contenente acqua ruota intorno al suo asse verticale di simmetria y. La distanza fra gli assi dei rami verticali è D = 0,50 m ed in con· dizioni di quiete il livello liquido dei due rami è h = l m sopra l'asse del tratto orizZ?ntale. Determin�e la velocità di rotazione w del tubo ad U per la quale la pressmne nel punto d'mcontro fra l'asse di rotazione e l'asse del tratto orizzon· tale è pari all'atmosferica.

w2r2

-- = cost ·

(l)

28

Infatti l'accelerazione centrifuga ammette potenzial e :

da cui si ricava:

.

E EQUILIBRI O •• n�;. l.A TIVO

L'equazione indefinita dell'equilib rio relativo:

p(g-A)

si ha:

w2 2

SPINTE IDROSTAT ICH

U = _..!_o>'r2 + COSI . 2

li valo�e della co tant ella (!) è deducibile dal � valore che assume il rim0 �� P membro nel punti A m cm e: D

f=-

z =l m

2

Imponendone lo stesso valore nel punto B in cui si ha: Z=0 si ottiene:

3.52. n sistema in figura ruota con velocitÌl costante n • 100 giri al mi nuto attorno all'asse verticale a-a. Determinare la posizione dei livelli nei due recipienti cilindrici. a

D2:QOS"'

' T

--

-

b: 1,00m

t-

:),00 ..

a:t20tn

1

__ o

l

J·

PRO.BLEMJ DI

96

ID R AUUCA

I MECCANICA DEI FLUID

E

.3

l'equazione de lla superficie lia ur fig in ti ca di in to en rim Con g li ass1· di rife bera è la seguente:

SPINTE lDR OSTA nCHE .

EQUTUsruo

RELAnvo

PROBLEM I SUPPLEME NTARI

.3. 53. La figura fornisce la form . a della parete vertt. �ale di chiusura di un recipie nte . pieno d'acqua fino . al bordo AB. D etermmare il . modulo ed il punto d'applicaz10ne de11a spmta s ulla parete (y 9806 N m_3).

o

2g

==

ondenza ali' ass e di rotazione. sp rri co in era lib e ici erf sup lla de ota essendo h la qu .m corrt. sponden za de11 a superfia er lib e . 1ct f. r pe su lla da a nt iu gg ra b1 La quota vale: de cilindrica del recipiente di sinistra (ù

ht = h+

.

A r'----�--�' e_

r

h: 3m

l

c

t----r---l

mentre quella h2 in corrispondenza all'asse dd cilindro di destra, vale:

-

J

--

2g

La quota h incognita si può determinare imponendo l'uguaglianza dei volu mi in condizioni di quiete e di moto; si ha cioè:

1tDi + 1tD� b 4 4

o

w2L2

•

h2=h+

·

..-��--o= s m -=--.!•l

202

8g

97

(2a + b+ L)

3. 54. La parat?ia pian� rettangolare in figura è .incernierata lungo il suo _ lato onzzontale superiore, ed e lunga L=7 m. Deterrmnare la forza verticale F

necessaria per aprire la paratoia, il liquido essendo acqua sia a monte che a valle (y=9806 N m-3). •

=

--

F

"'/i--� :2 H:6m

r

-

aven�o �esso, data l'esiguità di D , che la superficie libera ne l cilindro di de 2 stra Sta p1ana. Introducendo per h1 ed h le es · · · 1vendo npress1oru già d etemuna 2 t e e riSo spetto ad h, SI· ha·,

-

-

•

·

� JJi

h

a

0

a+

'

b-

n2Df 4��

-

3600

•

16 g

'

+Dj

Di+ Di

a+ h\

4r

n2 L2

36 00

e qmnd1. :

•

28

1 1

=

1,38

m

d to in e ar ot � ò pu � A re la go � 3.55. La paratoia piana rettan a p su o i1 ga aun bor
�

=

•

ha

• h+

�• h+

4 �n2Di 3600. 8 8

�n2L2 3600

•

28

•

2,78

m

• 51,68 m

.

•

'

"'

r

� cJd as: � : :J: :

DEI LICA E MECCANICA PROBLE!-.11 DI IDRAU

98

larga B - 2 m; il peso · a rettan2olare u; figura è · 3.56. La p�atoJa N . m -'l. Determinare la forza orizzontale P da spec i o dell ol io e posizione indicata nella 1a paratoia sia in" equilibrio ' �c "c applicare m A a ff _)). m N 9806 (y,

rh;

=

3

FLULDJ

��

SPINTE IDROSTAT ICHE

EQUILIBRIO

RELATIVO

Calcolare la spinta totale c he i flu"di di esercitano sulla superficie cil ndrica di traccia i e pro nota ·la geometria dell'intero sistema.

3.58.

99

.. �B pes? s��·f•co "(1, "(2 e "(3

on

ta

L, supponendo

·

0,80m

ol10

}.57. Un recipiente tronco-conico di peso P e spessore s, è immerso in un fluido di peso specifico y. Supponendo nota la geometria del sistema ed in parti· colare la quota h, del piano di separazione fra il liquido e l'aria contenuta nel re· cipiente, determinare la forza da applicare al recipiente stesso affinché rimanga in equilibrio. Si risolva il problema anche nelle condizioni in cui il piano di separazione liquido-gas, sia a quota h: maggiore del piano dei carichi idrostatici del liquido.

}.59. Il tappo tronco-conico indicato in figura chiude_J'�pertura �l.are di diametro D presente nel recipiente che contiene due liqwdi so_vrappos!l ! ':"': miscibili, di pesi specifici Y• e .Y�· s��posti ?Dti tutti gli elementi geomemct SI determini la spinta totale che 1 liqwdi esercttano sul tappo.

l OO

lCA E MECCANICA DEI FLUIDI PROBLE�U DI IDRAUL

}

. . . r figura ha il fo n dello superio re co. . in . cat o d O lC d cilin te n te p t J.60. n rec . di . ' . . Supposta nota l d aria. e 1 ca one cifico o es p J d O ld U fl el d e en ti n co n.ic0 e Sf� sistema si determini la spinta sulla deJ } a e om ge a a tt tu e ro et /l del manom perfide l aterale del fondello. m

t·

·

m

n

zt

.

SU-

3. 62.

SPINTE IDROS TATICHE EQUILIBIUO RELATIVO

101

Determinare l'indicazione n del m an m parte superiore del recipiente in figura all c �: � e �o o� g t� im � di a a �� si i d e :n n e di equilibrio della valvola sferica di peso trascurabi e o i � : :� le e d m t d�t n l imite .

ARIA

-

n

-

A a

•

j_

y

T

l

a

l

6

3.63.

Calcolare la Spuita esercitata sulla calotta sferica di tra�a diametro D dai fluidi di peso specifico "(1 e "(2 (dall'esterno} e "(l ed ana . terno) supponendo note le dimensioni geometriche dell'intero ststem a .

•

3.61. Un recipiente

è diviso in due parti da una parete oriz zontale nella qual è praticata un'apertura circol are chiusa da una sfera. Nella pa rt infe riore e del recipiente si ha aria alla pressi one p l ,2 bar. Ritenuto tr ascurabile il peso proprio della sfera determinare a quale quota deve portarsi l' ac q u a nella parte super iore affinché la sfera risu lti in condizioni di equilibri o (y 9806 N m 3).

e

=

=

-

--•

r,

--

--

---

•

ARIA

"3

y2 � -

f

A •

•

-

•

y -+-. ..

tria, il �me la ta no è ·t: . YA• U6 . m o 3.64. Del sistema mdicat al lic:o etal dei fluidi e l'indicazione� d� man sull a spinta 1a d'olio in cui pub sconere p to u � ·di �brio. z oru ABC quando il sistema � m con .

a r

i

a

�

; :de � S df ·

plso

A-�. e

(dali

m

MECCANICA DEI FLUIDI E A UL1C RA '0 T , L o� l\U LE PROB

102

3

SPINTE IDROSTATICHE EQUlLlBRJO RELATIVO

D liquido è acqua (yt 9806 N m-3�; è noto l'affondamento a1 _ . della v a lv o la nspetto alla generatnce su penore del serbatoio. · Determinare: =

ARIA

•

a)

b) n

d)

·

=

6864 N

·

l'affondamento a2 della valvola. . p.c.i. benzina .

.

·.

.

.

.

·-·

-·- ·

z:o

·

soglia DEF lungo rispetto al piano della paratoia e la Calco lare la spin

p.c.e. acqua .....- ·-· _ --· •

e

-

y

··-.

.

--

·

·�

-

�p A

C......._ ""'....:... �� ''-�"' """:�A---N.--r---

o

F

�

6 n batoio in figura, conte ' éiU .. ..J 1. � _.w.zo nente liquido in pressione è asse ., nt111e con cilindrico sezione · 1are di diametro D � una�alvola cilindr ca 2 m ; superiormente è i ... di ., d� lfi _ metro d 0,10 m, a v e n t e peso pro bili· su di essa prio e d at• &gJ sc e u n p eso P �el 196 N. La vaschett posta al co a �tenente lo stesso liquido� un è ad esso collegata m e d ia nte i e a a · lllercurio (y, 133362 N m-3); la uota h. et ta nola e pari 8 0 �o alla aenerattic:e inferi 90 m. ISCh ore d el cilindro

�

-·

G

-

�· - ·-· -·

-

o

,

•

-

0

�badi;U0'

•

'SU�t� ..

l_--

•

•

•

•

0,5 m

m-3); è nota l'indicazione /l2: ll1 del

la spinta S2 sulla superficie circolare AB;

�.

3.6). La paratoia cilindrica in figura è appoggiata sulla la generatrice contenuta nel piano assiale inclinato di 45° orizzontale. Sono assegnati il raggio r = 1 ,5 m, la lunghezza L= 10m quota dell'acqua a monte e a valle di essa (y = 9806 N m-3 ). ta S che si esercita sulla paratoia.

=

l'indicazione �. d e l manomet ro differenziale; la spinta S1 sulla superficie circolare AB.

n liquido è benzina·(y2 manometro. Determinare:

c)

103

•

A DEI FLUIDI ULICA E MECCANIC PROBLE�U DJ IDRA

104

3

è costituito da due parti: una di lunghez z 3.67. U serbatoio in figura ?806 N �-3, è cilindrica a se peso specific� r L= 4,6 m contiene liquido di l asse mclinato di un angolo ex = 450 con m l = D etro circolare di diam zione a 06 ' superiormente da una calotta sferic di raggio r sull orizzontale ed è chiusa ica, è ad a�s: verticale ed è sormo n tata da �n cilindr ssa anch'e parte, m; l'altra un di foro dia to prauca e metr � o 2,5 m .su . fondello pian� a quota zr valvola sfenca di diametro D2 = 0,5 m. Subito sotto il D1 0,3 m chiuso da una io il cui menisco infe mercur a e semplic etro manom fondello piano è inserito un riore è alla quota Zm = 2,1 m. inferiormente liquido di peso spe La parte verticale del serbatoio contiene 2,30 m del piano orizzontale passa Zl cifico y = 9806 n m-3 fino alla quota aria. È nota l'indicazio e te per il centro della valvola sferica e superiormente =

�

·

=

=

=

=

•

A, = 0,06 m del manometro. Determinare: a)

la quota z, del piano dei carichi idrostatici del liquido;

b)

la spinta S, sulla valvola sferica;

c)

la spinta S, sulla calotta sferica.

Lay�e verticale del serbatoio è piena di liquido di peso specifico r. ,. ta l mdicaztone A2 A' del manometro Determinare: =

d) e)

�

_

SPINTE IDROSTAT ICHE

EQUILTBRJO

RELATIVO

105

. . 3.68. U serbatoio ad asse onzz ontale In f•gura, cont ene nte liquido di pe 9806 N m-'. è cilindr ico so speCI. fICO r , hi 3 SeZione Circol are di di o D= 3 m; una delle due superfici trasver ali d'' c usura è costituita da un tta sfen c� di raggio r = 2,5 m. Ad esso inn.sta o nella .parte superiore un altro tronco cilindnco ad asse verticale sormontato =

.

/

::�

J

, a una dist anza a= O 15 m dal!a gen a o on zontale; su di esso è praticar u oro uso a una valvola conic a con ang o ver-

� d

trice superiore, da un fondello pi circolare di diametro d = o 60 m tice di 60o. Al fondello piano del serbatoio è appli.cato un mano metro semplice a me 133362 N m-')' il cui merusco superiore dista curio (Ym h1 1 m dall'as stesso. sçrbatoio del E assegnata l'indicazione A 0' 15 m de1 manometro semplice. Si richiede: '

� �r

�

.

=

=

=

a) b)

. . la spinta s esercitata dal liquido sul fonden0 sfeneo del serbatoio'· la sptnta S ' c he si esercita sulla valvola conica. ·

È no-

·

la quota Z2 del piano dei carichi idrostatici del liqUI-dO,. la spinta S2 sulla valvola sferica.

3.69.

in acqua (y

N immerso P1 9,5 N neU'uia e l'J 4,7 Un pezzo di roccia pesa roccia. e il peso specifico cleUa 9806 N m-3). Determinar •

•

•

•

•

P

•

� 1:

diametro D l m, 3. 70. Un cilincbo metallico ciel m l lzzO ("(c� 22554 !" · 5000 N. Calcolare quanto c;akestn verticale , emersa mantenendosi con l asse

re nd cilincbo affinch� esso di 8 0,50 m. •

5 m, pesa

SI�� •

ecqua

E MECCANICA PROBLEMl DJ IDRAUUCA

106

11120�

DEI

FLUJOJ

3

N m -3) dello spessor s ;. 11. Un elisco di piombo (jp � N m 3 ). Det alleggia in un recipiente contenente mercurio (jm er. ferro (yr m-3) dello are Io spessore che deve avere un disc? tesso diametro affinché posto su quello drptombo, I a faceta supenor e di questo m sotto la superficie libera del mercurio. tro:vi a o =

:� :1

·

=

�

=

1.33.362 ?6487 �

:

0,03

•

=

·

o:o5

=

=

=

22554

ti

b:0.2� m

l_ _ .... . ..

r

.: .

--

--

-

--

• a

--

T h:\SO

-

=

9806

. Un recipiente tronco-c · · " ru di ri ?ruco m condiz1o poso co nt ie ne acqua con profondità h = . m Det narne a vel I. �nà di rotazione intorn o a ll'as· se, per la quale il li�ello Ji i qu d e pareti raggaunge il bo rd o senza tracimare (y N m-3). 3. 74.

:::Ji

•

Uw •

h:o.so rn

• y --

•

r

l •

l

_

_

l l•

-

-

-

-

� . .

-.

-

-

l 141•----l:O,SO m -----...t

•

t-

-

m

.

h{20-;;;

-

a:0,20m

l Dt=\10

·

t -t

L=: ":

=2

=.

o 50

-

-

=

l

-

.

- ·

1 3. 73. Un ecipiente cilindrico ad as se orizzontale de l di am et ro D � 1 Om e u o 4 m e completamente pieno d'acqua; quando es so è fe rm o la pre�sio ne r atl va m corrispondenza alla ge ice superiore è nu ne ra tr . lla· D et erminare la spm. ta sul l e due superficie pian · e Cll'co1ar1, · quando il rea.p1.ente è sottoposto ad elerazione costante a = 5 m s-2 in direzione orizzontale (y

9306

-

st�so

t

l•

t•

acqua

•

--

.

·

calce struzzo

N

·

.

l•

133362 ---.�..jO:O)m ._1•-=-�

. ��).

� sl di_ un vetcolo con il fondo e �e colo . Determ ina �� tu quando il vetcolo ha una •

•

..---.-'1

� �

3,5

107

0,70

000

=

IDROSTATICHE EQ UllJBRIO RELATIVO

U tu bo ad U indicato in figura e' post del tubo orizzontale e diretto come il movi re la posi�jone dei livelli liquidi nei due br a c l 2 m s- • acceleraziOne a 3 . 7 5.

J. 12. Nella parete superiore orizzontale di un recipiente chiuso conte N· m-3), è praticata un'apertura di diametro D= nente acqua (j N collegato con una fune ad un blocco l m chiusa da un disco di peso P , N m-3) completamente imme rso nell'a cqu a. Nota di calcestruzzo (jc l'indicaz·ione del manometro semplice a mercurio inserito nel recipiente, deter minare il minimo volume del blocco di calcestruzzo necessario a mantenere chiu N m-3). sa l'apertura (jm

= 9806

SPINTE

H

=

(r =

alto m lungo 3. 76. Un recipiente p�allelepipedo largo b , _ açqua 2 m e con il fondo onzzontale contiene un volume W 8 m d m · s�2 di = a e ion az ler ce ac a un ad sto po tto N m-3). Esso è so =

9806

2,5

'

.alte_ zza raggtunta l l lco Ca a. ezz � retta orizzontalmente nel senso della sua lu� SI esercuano sulle due che te in sp le e te ien ci re l de dall'acqua al le due estremità � facce normali alla direzione del movunento. •

4

CINEMATICA DEI FLUIDi

109

Estendendo il ragionamento ai fluidi com pnmt · "bi["t, s1. ha:

4

UIDI CINEMATICA DEI FL div (pv)

amente definito quando sia nota la Un campo di moto fluido risulta complet funzione:

v

=

v(x,

y,

+

� Òt

=

0

Esamin?ndo i poss�bili movim�n ti che possono avvenire in un mezzo fluido' _ . si possono nconoscere 1 seguenti ttp1: - traslazione, la cui velocità ha per componenti nelle tre direzioni

z ; t)

coordinate

ile assume L'equazione di continuità in una corrente di fluido incomprimib la forma:

u, v, w deformazione lineare, la cui velocià ha per componenti:

mentre nel caso di fluido comprimibile si deve considerare la portata di massa

pQ in luogo di quella volumetrica Q, ovvero: ò(pQ)

+

ò(pA)

òs

Òt

tre piani deformazione angolare, la cui velocità ha per componenti nei =

coordinati:

O

Nd moto permanente queste espressioni diventano rispettivamente: òu 21)= òz

ò(pQ) òs

n principio di continuità si . . . può esprtmere .m forma .mdeftr uta nel modo se· guente (fluidi incom primibili):

(l)

div v

•

O

òw

-

òx

au av 2C=-+ òx òy

=o

cioè:

+

componenti: da un ve ttore di rotazione, rappresentata

aw

av

2w. = -ay-a; òw òu 2w,.sa;--ax

l

PROBLEMI DJ IDRAULICA

110

E

fo.·IECCANICA DEl FLUIDI

del vettore rotazione soddisfano alia Si può riconoscere che le componenti definizione di rotore:

2

w= rot v

Nei casi in cui: rot v ;t< O si hanno i moti rotazionali, mentre se si verifica: rot v = O

il moto si dice irrotazionale; le condizioni di irrotazionali tà sono dunque:

�-�=0 ay

az

au aw -=0 az

ax

4

CINEMATICA DEl FlUIDI

Ili

.

Se la linea è chi�sa, l'integrale prende il . nome di CirColazione r:

�

r = v. ds = (u dx +v dy +w dz)

'

Quando il moto è a potenziale, risulta:

18. ( 8

aop a'l' a - dx + -dy + -dz op =m _ , aX ay az

) T.. T8

e la circolazione r = o. L'int�oduzi�ne de!la funzi�ne potenziale �= 'l' (x, y, z) per il moto perma n �nte n� ll equaz10ne di conunutta. per t flwdi_ mcomprimibili, conduce alla rela· z10ne di Laplace:

�-�=0 ax

ay

. Dette condizioni implicano l'esistenz a d'J una funztone cp = cp (x, y, z; t) po· tenziale delle velocità, tale che:

.

�+�.o ax

òy

tale che: nza di una funzione 4> (x, y), che rappr esenta la condizione di esiste _ u•i4'

òy

ovvero: v = gradcp

· . L'integrale, esteso ad una hnea di estr emi B B' Vten e detto flus d el prod otto scalare v • ds so de1 vettore v ' ed ��:• p an· a:

l.. •

v · ds.

l"'

• (u dx + v dy + w dz)

v.

_.!t ax

dett a funzione di . e viene perciò , __ di corrente w•n la quale è costante l ungo ogru ano il reùcorrente. 1 loro orro gonali, form a 4> ':!ore dell a velocità in o gni punto Le linee a cp • cost. e que!f,Ù v passi e rrs aversa i l campo h a colato di flusso, da cui è della port ta c e attr noto valore del campo di moto, una volta stesso.

. :fu:�

!12

DEl FLUIDI UCA E MECCANICA PROBLEMI DI IDRAU

4

io e are al metodo della rappresentaz � conforme per Si vuole infine accenn . U na funziOne w = f(z) dJ vanabde comp lessa ionali irrotaz moti l'analisi dei : z = x + iy può scriversi come w= f(z) q>(x, y) + i cl>(x, y)

113

Detta s la dis��nza fra i due dischi, la portata deflue nte attraverso la super.. ftcte laterale del cilindro di raggto ro ed altezza s vale: Q= 2mosV0

=

s no soddisfatte le condizioni di Cauchy. Essa è una funzione analitica se � mana: Riemann fra parte reale e parte tmmag

CINEMATICA DEl FLUIDI

Tale portata sarà identica a quella che attraversa anche la ge nenca super fl·

cie di raggio r. Ne segue:

2mosVo = 21trsV

Se poi le funzioni q> e cl> sono la funzione potenziale e la funzione di corrente di un moto irrotazionale (si noti che le condizioni di analiticità coincidono con quelle di irrotazionalità) è possibile sfruttare le proprietà delle funzioni analiti· che nello studio di tali casi. In particolare si può notare che la f rappresenta una corrispondenza funzio nale fra i punti z di un piano x, y e i punti w di un piano q>, cl> in cui si conserva no invariati gli angoli (rappresentazione cordorme); al reticolato a maglie rettan· _ golart_ nel ptano complesso fra linee equipotenziali e linee di corrente corrispon _ de, attr�v�so la f, un altr rencolato, fra le stesse famiglie di linee, a maglie ret· ? tangolart m genere curvilinee, nel piano reale.

PROBLEMI · U n fluid � incomprimibile defluisce in direzione radiale fra due dischi Parale .Se la ve 1 ocna_ per r = ro O' 5 m è part a vo = 4 m • s 1 . - mdivt'd uare l'andamento della v•loc' ' ' t'a V l ungo il raggto.

N

4.2. Una tubazione circolare chiusa ad una estremità, ha una fessura larga a disposta lungo una generatrice; a monte della fessura defluisce una portata Q = 40 l . s·'- La componente, normale al piano della fessura, della velocità di uscita del liquido varia secondo la legge: v=(2+x)

-l

m· s

tutta la a) determinare la lunghezza L che deve avere la fessura per erogare portata in arrivo; sopra dato, individuare b) ritenuto ancora valido l'andamento delle velocità fessura affmché la portata la legge con cui deve variare la larghezza della _ e deter�are la nu�va lun· erogata per unità di lunghezza sia costante che ali estremo di moote so ammes , fessura la avere deve ghezza L1 che m. questa abbia una larghezza ao e 0,006

·

=

·

t-�· t.�:. t to dx di fessura "' genen·co trat d·' a) La portata defluente dQ. vdA

•

vadx

è

pari

a:

PROBLEMJ DI IDRAULICA E MECCANJC,\ DEI FLUIDI

!14

4

Integrando suUa l ung hezza L deUa fessura . ed .esprimendo la velocità di uscita con la legge di variazione che la carattenzza, st h a:

Q� da

cui

J

L

0 (2

+

x)adx

�

2aL •

+

che

aL2 -2

Dererr;Unare la port�ta c�e att vers a . per �� è soddisfatta la conunmta l mtero

Le portate che pass ano attraverso le

b) Dal primo tratto dx di fessura fuoriesce la portata:

Qy =

dQ= v aodx con: �

2m

·

l

Q,=

L= 2,16 m

l

A,

s-•

Q,� Tale portata equivale al prodotto deUa portata specifica (costante) sviluppo dx. Ne segue:

Q/Lt

per lo

A,

l

udydz =

l

vdxdz

l

A,

�

1!5

ciascuna faccia del cubo e mos trare

cubo.

superficie aventi per normali i tre

coordinati valgono:

si ricava:

v

CINEMATIC A DEl FLUIDI

.

(4-x2

A,

A,

wdxdy =

l

(3

A,

+

+

assi

y)dydz

2y-z)dxdz

2z(x-l)dxdy

Tenuto conto che le superficie considerate sono dei quadrati di lato L= l m , integrando si ricava:

{Q,= 4,5-x2

Qy = 2,5

L,= 3,33 m Analogamente per l'elemento generico di ascissa x ed altezz a a l'ugu aglia nza del· le portate uscenti, consente di scrivere: ..Q_ v(x) adx

�

. L,

dx = 2aodx

(2 + x)a dx= 2aodx

•=� .

te 1 un flwdo mcomprimibile def init o dal la se· :

guente distribuzion e

{u = 4-xl v w

•

•

3

+

y

+ 2y-z

2z(x-1)

2y

· 1e facce dd cubo risultano aUora: Le portate che attraversano le smgo

y =o

Q,0 = 4, 5 m1 Q,o = 2,5 m1

z=O

Q,o =O

x=O

•

s -1

•

,-1

• Q., = 3,5 m1 • s1 Qy1 = 4,5 m • s-• Q,,= -l rr?. s-•

, . continuità deve essere: Perché sia soddisfatta l equazione di

2+x

4.3. Si consideri un cubo con ili ai tre assi coordinat ato L= 1 m d"lspos to con 1. latt. para lleli. i nel pnm . o qua�ante va nel campo di c�n � vertice nell moto.r:=�� 'origine; esso si tro

+

Q,= -z

Q,o

+

Q,o

+

Q.o-Q,,-Q,,-Q,, =o

.

equwo. voti si verifica che questa . . sopra nca lntroducendo i valori numetlet ne è soddisfatta .

4.4. relazioni:

definito dalle . fluido inco mpruru"bil e è n campo di moto di un {u-6x v• -6Y w • -7t

PROBLEMl DI IDRAULICA

116

E �IECCANICA

DEI FLUIDI

e delle linee di corrente. Individuare le equazioni generali delle traierrorie

4

Le equazioni delle traiettorie si ricavano scrivendo che lo spostam ento ele mentare subito da una particella nel generico istante ha componenti:

{

dx � u (x, y, z; t) dt

CINEMATICA DEI FLUIDI

�=� 6x

-6y

dy� v (x, y, z; t) dt

� Y= x z

Nel caso in esame queste relazioni assumono la forma:

dx� 6 x dt dy

�

dz

�

-6 y dt -7 t dt

che inte�rate fra il valore iniziale e quello generico dello spostamento e del tem po, forruscono: _ dx_ � 11(1 6x

l. . l, ,,

da cui:

dz

Y

dt

to

=

zo-}_ to ln � 6

x0

•

4.5. Nella sezione iniziale di un condotto rettangolare lungo L defluisce una portata Qo � 300 l · s-1• Due delle facce del condotto sono porose: attraver· so quella superiore entra del fluido con distribuzione parabolica della portata lungo il percorso e valore massimo q, = 80 l ·s-1 • m- ; da quella laterale esce del fluido con distribuzione lineare e portata massima pari a q2 = 10 1 l · s- ·m 1 . Deternrnare:

a) la portata Q, nella sezione estrema di valle dd condotto; la pottata < minima. b) l'ascissa xm della sezione del condotto nella quale

]'

dY_ � dr 6y "

_ _

l., l' ..

l'

dz

=�

che per integrazione forniscono:

dz � w (x, y, z; t) d t

f l

117

ov vero:

=

=

4-7 t dr

Yoe-"•-"'

Le linee di co rrente relative all'ist . . ante to sono defm ne dalle relazioni: dx dy • ,_ dz ...._ _ _ _ u(x'y, z; to) v(x, v, z; tol w(x, y, z; to)

ressioni: hanno le seguenù esp portate q, e qz In funzione dell'ascissa x, le -' · x2 l· s-' m q1 • 888,9 qz

•

x IO(L� )

l

'

s- '

·

m-'

-

118

4

E MECCANICA DEl FLUIDI PROBLEMI DJ IDRAULICA

.

a di valle è pari a: a) La portata nella sezione estrem Q,= Qo +

J>• J: dx-

qzdx

da cui:

CINEM.ATICA

DEl FLUIDI

119

Si assuma un s stema di assi cartesiani di rifer iffiento con l'asse l y coinciden pas�ante per la te con la pare.te e asse sorgente S1. Data la scelta degli assi, nei punti deil as�e Y. la_ vdoCita deve avere componente lungo x nuila. Lo stesso a v vi ene, per ragt om d1 s.Jmmetna, .anche nel moto irrotazion ale generato dalla moto d• due punu sorgente _ compo siz ione d e l gemelli, S1 ed S, sti in posizio , ne simmetrica nspetto alJ asse y constderato. Tale caso pertantoP<; _ e eqlllva 1ente 3 uello in esame. . . Il moto a potenziale d1 un punto sorge nte Isolato puo, q essere determinato ri cor d ando che le linee di corrente sono rette nascenti dal punto e che la portata Q che passa attraverso tutti 1 ,ce�c l avent� ce�tr� nel pu_mo stesso e, cos t e. Se la sorgente è posta all ort gtne degli asst, I espressiOne _ �� della velocua e:

!

x

.

Q, = 306,5 l

·

s·'

.

b) Esprimendo la portata neila generica sezione x come: Q, = Q0 +

l: dx-1: q1

�

qzdx

si ottiene:

Q,=

x2

888,9 f + 5 L-- lOx +

Qo

3

La sezione neila quale la portata è minima si ricava ugu agliando a zero la derivata prima di Q, rispetto ad x: d

Q,

dx

=

-

888 '9x2 + �-10 =O L

-

.

x= 0,089 m.

Le sue componenti lungo

4.6.

Determinare il moto che da un punto sorgente 51 si svolge nel semi· piano limitato da una parete posta ad una distanza m deila sorge nte stess a, dalla quale viene erogata una porta ta Q.

v=

B

O

(x>

x ed y . valgono r ispettivamente: Qx

Vx

2n(x2

Qy

Vy y>)l/2

+

.

nte Introducendo la funzione di corre

.

+il

�' SI. può saivere anche:

vc.!l -m

m

ay

cioè:

�-

l

Qy

2n(x2"+il

dx

•

Q .!. + cost. are tg y -:;:""

4

NICA DEl FLUIDI ULICA E MECCA PROBLEMI DI IDRA

118

e e' pari a·. sezione estrem a di valJ a) La portata nella

Q.= Qo

+

l:

q1dx-

l>

zdx

da cui:

Q.= 306,5 l ' s-' a sezione x come: b) Esprimendo la portata nella generic

Q,= Q0 +

l:

q1 dx -

l:

CINEt.iATICA DEl FLUIDI

119

Si assum a un s!stema di assi cartesiani di riferiffiento con l'asse y coinciden te con l a. pare,t e e l asse x p�s�ante per la sorgente S1. Data la scelta degli assi, asse la veloCJta Y del! deve avere componente punti lungo x nulla. Lo stesso nei . a vvie ne, per ragtom dt stmmetna, anche nel moto irrotazionale generato dalla com posizione del moto di due punti sorgente gemelli, S1 ed S2 posti in posizione . è equivalente a sim metrica rispetto all'asse y considerato Tale caso pertanto , . . quello in esam e. . 11 mot o a potenziale dt un punto sorgente tsolato puo essere determinato ri cordando che le linee di corrente sono rette nascenti dal punto e che la portata Q che passa attraverso tutti i cerchi aventi centro nel punto stesso è costante. Se la sorgente è posta all'origine degli assi, l'espressione della velocità è:

V-

q, dx

si ottiene:

Q

2r.(x2+

/)112

y 5 x2 x3 Q' = 888' 9- +---lO x+ Qo L 3

v

v

p

La sezione nella quale la portata è minima si ricava uguagliando a zero la derivata prima di Q, rispetto ad x: dQ

dx

e

o

2 ,=888 '9x + �-10=O L

ente: x ed y valgono rispettivam Le sue componenti lungo

x= 0,089 m.

u=

. 4.�.. Determinare il moto che da un punto sorgente S1 si svolge nel semi· p1ano �tato da una parete posta ad una distanza m della sorgente stessa, dalla quale vtene erogata una portata Q.

v=

Vx ( 2 + y2)112 x ( 2 x

Vy y2)112 +

Qx 2 21t(x +/l Qy

21t(x2 .

ere anche: 't' • st può scriv di corrente J. Introducendo la funzi one

y

v s� ùy -m

+/l

m

cioè: l

E MECCANICA DEI FLUIDI PROBLEMl DI IDRAULICA

120

pettivamente alle co ord ina te (m O) e Se i punti sorgente sono situati ds � i (-m, O), le espressioni delle relative funzioni eli corrente ePt e 2 son o dat dal a isca x ±m. tu sti so si x ad do an qu , te en ed ec pr e relazion •

4

CINEMATICA DEl FLUIDi

4. 7. Sia da to un moto tra due · piam . parall . · e 1· 1 di sposti alla distanz"a 2 'b b . La d .Jstn uz10ne d e11 a velocità del flw·do (.mcompn . mib.l 1 e) , con riferimento a · f. gli assi 1 e a seguente: 1gura m .

'

La funzione di corrente del moto composto è data qui ndi da:

� = cPJ +cP2

=

_Q.;::._

are tg

21t

x+ m y

+ are tg

u

x-m y

121

=

a(b2-/)

V=O Dimostrare che u n tale tipo di mot0 e , rotazmnale e ricavare l'esp ressione della funzione di corrente. .

e le componenti della velocità da: •

y

U=

Q

x-m +---�- (x+m)2+y 2 (x-m)2 + tj x+m

b

•

V=

Qy 21t

l

(x+m)2+i

+

l

(x-m i + y

l

2

b

La figura illus�ra l'andamento delle liaee di ce ttente. Le componenti del vettore rotazione risultano: 1 aw_iJv Wx= oz 2 iJy. Wy =

l

2

iJu- aw iJx

iJz

1 (fv au Wz=iJ v 2 iJx " li m o to è pertanto rotazionale (wz �O) ove è Wz =O.

0

=

=o

=

ay

tranne

che per i punti dell'as se

ne: io iz d n co la ta a ic if er v do è La funzione di corrente esiste quan

d.lV

V=

au ax

+

av =o ay

lli. ib m ri p m co in i id u fl i r se m p re soddisfatta p e

x

PROBLEMJ DJ ID.RAULlCA E MECCANICA DEI FLUlDI

122

4

Essendo la funzione eli corrente definita dalle relazioni: u

aq, =

v=-

a ) Si applichi il teorema di Berno ulli fra un punto d . i riferimento uno genenco:

.

ay

ClNEMATIC A DEl FLUIDI

123 (1-C)

ed

o p zo + P + � = z + v2 + -2g ì 2g ì

aq,

·

ax

si ha:

posto:

�= Ponendo q,

=

udy

no zo = -= 0,75 m 2

=

O Rer y= O si ottiene:

�

=

ay b2-

i

.

3

l'espressione dell'altezza pìezometrica in un gene rico punto, risulta:

4.8.(*) La figura rappresenta la sezione verticale di un co nv erg en te a se zione rettangolare (no= 1,50 m), nel quale passa un a portata d'acqua unitaria q 3 m2 s-1 (y 9806 N m-3): =

=

•

·

a) supponendo il moto irrotazionale, dete rminare l'andamento de lle pr es sioni lungo la parete superiore del conv ergente, sa pe nd o ch e la pr es si on e relativa nel punto 1-C è pari a 1961 2 Pa ; b ) restando invariata la portata, calcolare a quanto deve sc en d er e la pressio ne nel punto 1-C perché inso rga la cavitazione in qualche p u n to del convergente; c) determinare la portata ch e passa nel convergente qu ando la differenza di pressione fra i punti 1-C e 16-C è di 19612 Pa. 1 2 3 4 5 6

J

A

8 c

'

.

4n o

8

4s

�

r- YJL

j

13 14

75

16 e

c

\�

4so

12

A

4

D E

7

�10, -......

"o/2

o

1

v5 -- = 0,204 m 2g

�=2 m "(

E

P = Po v5 --+Zo-Z+ -2g "'( r

(l)

in cui i valori del rapporto .;./v'l, si possono ricavare dal reticolato di flusso( *). L'a nda men to del la pressione lungo la parete superiore è riportato nella tabella e nella figura seguenti. l

PUNTO

l

'2

v

v5

1-2 vo ,

z

,v o

2'

v

2g

[m)

A 1-2 A 2-3 A 3-4 A 4·5 A 5·6 A 6·7 A 7-8 A 8-9 A 9-10 A 10-11 A 11-12 A 12-13 A 13-14 A 14-15 A 15-16

1,500

o

0,98

1,500

0,02

0,94

1,500

0,86 0,56

1,500 1,500

0,06 0,14 0,44

0,94

1,400

2,90

1,270

4,60 5,75

1,180

4,25 4,07 4,0 2

1,125 1,125

,y

0,012 -0,388 -0,735 -0,970 -0.806 -0,663 -0,626 -0,617 -0,612 -0,612

-3,07 -3,02 -3,00 -3.00

+

zo-z

(ml 1,250 1,250 1,250 1,250 1.250 1,350 1,480 1,570 1�5'90 1,610 1.625 1,625 1,625 1,625 1.625

0,004 0,012 0,029 0,090

-4,75 -3.95 -3,25

1,125 1,125

4,00 4,00

Vo1

'-

o

0,06 -1.90 -3 ,60

1,160 1,140 1,125

1-2

(m]

l

4,95

l po -

2'

v

'

l

p r

[m]

1,250 1,254 1,262 1,279 1,340 1,262 1,092 0,835 0.620 0.804 0,962 0,999 1,008 1,013 1,013

y

•

Il

(*) n rapporto v/vo

(*)

Per poter risol vere il pre sente problem rema di Bemoum a. �ne aver .

�

dato apptossunauvamente dal rappono: •

�no a.é!t.

si� affront ato il capitolo 5. che tratta del teo·

An

fra un lato della maglia in

un

punto

di

As

rifen·mento e un lato della

1: nel punto comidcrato.

�.. .. • ID..

A DEI FLUIDI PROBLEMI DI IDRAULJCA E MECCANIC

124

4

-

·

LINEA OEI C�� !OT�L_!_.

-

-·

·

LINEA PIEZOMETRICA -

-

·

-

·-.-

v�g

.

•

DEl FLUiDI

125

c) La port�ta conv?gliata s i può dedurre dalla equazio ne (1). Indicati con po/i l'altezza p 1e z o m e tn c a nel punto 1-C e con p/y quella nel punto 16-C si può scnvere:

-.-.-.- .-

•

·

l

CINEMATICA

l l

Po-p .l

2g

.

La tabella fornisce il valore: "o/2

o

nel pun to 16-C, pari a quello nel punto A 15-16. Poiché: po - p

.. .:.....;.. __ __, ..:.

y b) Si riconsideri l'espressione term.me: •

(1).

Rimanend0 la portata invariata, il

si ha:

ij

v

và 2g

2

--

v 1 v5

2g

vo = 3,62 m· s

�

cav�t�zione insorge qum do la pressione assoluta nel p u n to A 9-1O, (di presstone Iruruma) scen de al valore della tensio ne di vapore. A ll a temperatu d i 2ooc, la tensione di ra vapore dell'acqua è pari a 2314 Pa. L a pressione a ss o lu nel punto A 9-10 va ta le:

=

(101296 + 6080)

==

� ;i h •

•

:tr

-l

e la portata convogliata ( per metro�di larghezza): q = vono

=

5 '4 3 m

2

s . -l

•

. . curva bidimen· ne lla flu sso di il �ucolato ato co m ple t av er D op o (*) 4 9 mento del nu· l'a nd a mi na re ete r d sionale orizzontale rappres�� tata nella ftgura. esterno. me ro di Eulero lu ng o l latl mterno ed

107376 Pa

•

vale a dire 105��2 Pa superiore alla tensione di vapore. questo punto Sl r Affinché la pressione di tduca di tale ent. 1t à, occorre ch t Poi e ane he la press.tone . r . a pann n . n.do di tferunen· t!a· In conclusio g nte ne, quindi, la cav a quan ° a pte itazione nel c o n v er· s s to n e r e la t iv a di diferimento si a Pa. bbassa fino a -85 50

0,667 m

=

La velocità di riferimento vo è quindi:

rimane quello indicato nella ta bella per tutti i punti del converge nte; l'andamen to delle pressioni, dunque, ri mane quello calcolato in preced enza a meno de l ter· mine po/y.

p*

= 2m

•

.

4

1

roblem• occom Per poter risol\'ere il presente P rema di BemouUi

(•)

tratta dd teoche 5o lo ' c:ap . ato t\'er 8''l affrontato il

•

A DEI FLUIDI IC N A C C E M E A AULIC PROBLEMI DJ IDR

126

4

CINH1ATICA DEl F LUIDl

127

Una volta completato il reticolato di flusso, il num ero d.L E�ero neJ. vari punti può essere determinato attraverso la corrispondente d.lmen s lone Lln deUe maglie. Assumendo·. .

8no

= n o 4

' ( del moto corrispondenza indisturb ato un in po a monte della curva) si ha: v

--

vo

8no

-

8n

. c10e:

no

48n

'

2

v Eu= 1- 2 - 1vo

no

2

48n

_

. SI otnene sul ve�tic� esterno della D valor e massimo del numero di E l _ _ n r u u mo sul ve:uce mterno. n nu· he· larg o più ' curva, dove le maglie son q . mer o di Eul ero tende ad annullar SI l ad� ove il moto ntorna indisturbato . no/4). (8n

�:[t

.

=

. . . In tutti i casi in cui non vi siano varraztoru di. pressione dovute alla quota, il teorema di Bernoulli si scrive:

r o o t t n le a ia ia z p o a n 1 t e à e · m t 1 n e o c la v o p del l� 4.10.(*) Le componc:nti � . ru: essto espr t n e u e e g ll s e a t o o a d r n d d o s n 1 n o ad un c i li '

.

Po "(

+

v8

:;_

2g

___;

=

p

-

+

r

y2

u = Vo

2g

ovvero: = 1-

v

2

(2)

ne di io iz d n co a ll a o n fa is d d i date so n io ss re sp e le e h c re a c fi a) v e ri ir ro ta zionalità; a del tt o d ri è à it loc e v la el cilindro d te n o m a a z n ta is d le a b) valutare a qu isturbata; d in a ll e u q a o tt e sp ri l% investita ra ie in im c a n u i d te rso mon e v io z a p is m e l s e n e h ssioni re p e ll e d c) supponendo c to n e m a d n lare l'a o lc a c , le a n io z ta o r ir 1• d a l vento il me>to sia h m k 0 0 1 ento di v n u a ir p s o d n a u q sulla sua superficie

P-po 2 v p o

è n Dumero di Eule o e Il e p . cm.:atterizza la distribuzio ne pression i nel ca m po d i moto considerato Ol ché numero di Euler o dipen e esclusiv amente da l rap· P9rto cleiie veloci� so definito dalla sola forma geom ; ; etrica che de lim ita il dl moto, u pen d entem ente dalla portata e dalle caratteristiche de l o.

� ,

(l)

ed il te en rr c la el d o a at rb tu is d in à velocit d o v� Vo e �o. so n o rispettivamente la ragg1o de l cilindro:

vo

2

:

+

2 r�xy v=- Vo (x2 + y 2)2

n rapporto adimensionale: Eu=

1

2(y 2 x 2) ro (x 2 + y2)2

�

•

l

(*) Per poter risolvere rema di Bcrnoulli.

U

a presente problem

occorre

aver si�

olo 5°. che it p a c il to ta n ro aff

tratta

dd teo

E MECCANiCA DEI FLUIDI PROBLEMI 01 IDRAULICA

128

4

CINEMATICA DEI FLUIDI

y

129

y •

v

.

" '

r

, ,

"

l

Si assuma costante e pari a r = 11,8 N

· m-3

peso specifico dell'aria.

il

Sostituendo le espressioni di u e v e ponendo r - �x2 -

a) Affinché il moto sia irrotazionale, dev'essere: -

iJv

Vt

ax

2

-

ay

=

Voro

2y(3x2 -y2) (x2

y2)3

+

-

av

ax

�

�.r::.;::�:!��}�� il =

l

,2 l ro u=Vol-

n

valore di

x

per cui si h a u = o' 99 x

=

l

J

voe'

ro :i: _r== =.JO,Ol

r40 r4

+

=

v

.

= :i:

10

ro

.

•

sen 8-v COS 8

=

v, = 2Vosen 9

: lli ou rn Be di a em or te il do an ic pl ap a av L'andamento delle pressioni si ric =

po +p

v� 2

cioè:

�U: ��

Ve a U

otuene: ·

e la ulla ann si ale rm no te nen po com la ) ro (r ro nd l cili de e ici erf sup lla Su velocità è uguale all a sua componente tangenziale:

. d.t: qum

Ciò significa che già ad una d. s a di ? diametri dal cilindro la è praticamente indist urb ata �:r:.: • corrente e non e del a presenza dell'osta colo . c) Per tro vare la distrib . uzi =� =; �e la distribuzio e d : �J::s:::n ne sulla cimi ��ra, è prima neces· u a sua super f tcJe; a ta l fin e è op· sare alle coordi�nate polari La �lirnente tangell 2iale della �elocnà Ve, . rezione Sl �tttene p ro ie tangente al cilindro 1e ttando nella d i· due componenti u e v: •

·

Vn=-Vo cos9

el oci à si ha l ngo )'�se. x. do e es sa (ch e è � : ] pari va �e Vo a dJ s�anza mfuuta verso mo nt e e diminuisce fino ad annullarsi sulla superfi C1e . deJ, c ili ndro. ponen do y O nella espressione (1), cioè mettendosi sull' asse x� si ottiene: x

y Sl 2

Analogamente si ottiene l'espressione della componente normale della velocità:

Derivando le espressioni date, si trova: du

=Vo sen9 l

+

e: n ie tt o si à it l ve a ll e d e n oc Sostituendo l'espressio

v3 l p•po+P 2

-

4V3 sen 9 v�

V02

•

po + p 2

(1- 4

o: ponend no ottengo si minima Le pressioni massima e

.!e.. o ae

sen 19)

E MECCANICA DEI FLUIDI PROBLEMl DI IDRAULICA

130

4

131

-

"

.

CINEMATICA DEl F lUIDI

Determinare il profilo alare 4 11 di Zukovsky avente corda c 3 m, 0' 15 e curvatura rapporto spessore su corda s/c O,O5, e tracc1are alcune li . . P . ll . nee eli corrente n e e sue vtcmanze ' m condiztoru d.l volo al a l velocità Vo= 110 t e con l' ango lo di incidenza
'

.

•

cwe:

ap

=

ae

P -

2

-

.

=

2 o Vo(8 senu cose) = O

_ -

-

·

o

•

, per e nte me iva ett , risp ndi qui no han si imi min e irru ass � er I. val � ssima) . (pressiOne eli nstagno) e per e 90° (velocità ma Nel caso della ciminiera, si ha: Po Pa = O

=

oo

=

•

'Y

=

P Vo

=

=

�

=

g

100 krn

·

1,2 kg h-1

=

·

m-3

27,8 m. s-•

..."ndro n. s ulta � 'andamento della pressione sulla superficie verso monte del cilt . pereJo: P= 463,7.(1-4 sen49) . . . . Nella tabella che segue ne sono riportati alcuru valon ed m ftgu ra ne è data la rappresentazione grafica. 9

senO

180° 150° 135° 120° 90°

o 0,5 0,71 0,87 1

c

\ l l b

0-4 sen29) l

o -1 -2 -3

p[Pa] 463,7 o -463.7 -927,4 -1391,1

a del enz fer con cir a un ad o nd lica app o gon en ott si y vsk ko I profili alari eli Zu . r origine O, la n co nte ide inc co n no ç ro nt ce il te en av i y), , ptano co m�lesso z(x sky: ov uk -Z tta Ku di tta de , me or nf co ne io az rm sfo tra (l)

VENTO

Vo 1800

ferenza on rc ci la el d ' ne io ez rs te in ll' de a l asciss nella q u al e b è il valore assoluto del x. con la se miretta negativa dell'asse asse x l' el d e n io ez ir d la el n si te en orme svolg if n u to o m n u ra e d si n co si Se o ra ne con una o p m co si lo e ) e ss a l' el d a quello o ri a tr n co o rs e (v o V tà ci c o n velo circonferenza la x, ad paral e l lo ed asse m à inten sit avete C mazione) dopp ietta nel punt o trasfo r deUa ental e fonda m erenza circo nf (dett a C nte, centr o risult a di raggio Roe moto del O corrente cf> di linea la come può essere interpretata l'intensità: tta dopp ie alla ca purché si attri buis •

m

•

21tVolÙ

senti il pro rappr e e ment al za fonda nfere n circo deUa Affmché la trasfOl"mata sia: che re occor p, s e curvatura ore spess c, filo aven te corda l

c b· 4

A DEI FLUIDI PROBLEMI DI IDRAULICA E MECCANIC

132

4

e che il centro della circonferenza a bbia ascissa (b e), con: e=

s

cos�= 1

----

1,299 c

o

tg�=�

ed ord nata:

e quindi:

h = 2bp

Ro

Inoltre il raggio della circonferenza dev'essere: =

b(l +e)

b(l+e)

=

+i[2be(l +cos9) senO + 2b�sen29]

2 b cos9

=

l 1 e

.

•

.

z

piano

o Inoltre, not and o che i due punti ai quali compete lo stesso valore di� dev porto no avere a no rm a del la (2) eguali e di segno opposto le anomalie 9, il rap spessore/corda può scriversi: 1)1-1)2 -

ç

�=z+�

z •

c

m

l

l l

l l .... c

�,

4be(l +cos9.)sen9. 4b

e vale: ° 60 = 9, per ha si o, sim as m e pertanto il suo valore caratteristico, ossia il

.!.

�2

(2)

-

c

i�

•

!:

=

=

Queste relazioni hann . o carattere approssun ato, e so n o tanto pt'u' Vlc quelle esatte, quanto p i . tne a iù piccol'1 sono g l ango l'J P . Q e y , _?SSia quanto m in centric·t t a' deIl a cir o re è l'ec conferenza rispetto al . 'l ortgtne de g li assi.

•

(b +be)

Ponen�o nella (2) 9 = 0° e 9 180° si ottengono le ascisse rispettivamente 2b} e del bordo di uscita (�2 = 2b) del profilo alare del bordo eli attacco (�1 e, quindi, l'espressione della corda:

l

-

=

.

� = �+ i'T}

P•ano

cos�

_

. . Anche per r si può porre cos r = 1 Con qu te s po JZIOru la trasformata l . . della ciconferenza fondamentale cioè l'equazione de prof il0 alare, do po alcuni passaggi, può scriversi:

•Y

il

=

(b +be)

h= (h+ be) tg�= (b +be)�= b(l + e)�= b�

•

b

133

Infatti, poiché � è piccolo si ha:

i

Ro

CINEMATICA DEl FLUIDI

l ..l

=

e

J{j 4

=

1,299e

o fra rt � p ra il e m co a it in ef d profilo, el d ra u at rv cu e di al tu en Infine, la perc i � e la d re o al v so es st o n u enti ad la se m is o m m a d e ll e ordinate corrispond eorda, è: !)l

+

2c

!)l

•

CCANICA DEI FLUIDI ME E A fC UL RA JD DI MJ LE PROB

134

r a2 pe ha si o) m si as (m o tic is er tt ra ca re lo n suo va

=

4

900 e vale:

iy

paano

CINEMATICA DEl FLUID I

il)

•

�- h p= 2b 2

135

z

piano

o

ç

-

oti come in base alle ipotesi semplificative fatte all'inizio nei profili di Zukovs y, Io spessore dell'ala dipende solamente dall'�scissa delJ'e�centricità della circonferenza fondamentale mentre la perceqtual� d1 c�rv�tura dtp�nde SO· Iamente dall'ordinata della stessa che, per questo mouvo, st chiama ordmata di curvatura. s·1

:

Assunto un sistema cartesiano X, Y di riferimento con origine nel centro C della circonferenza, è possibile tracciare le linee di corrente relative alla doppiet· ta in corrente uniforme mediante la: o

m 21t

l

•

-Vo y2

----

x2

+

=

cost.

componendo con la costruzione di Rankine le linee di corrente della doppietta con quelle del moto uniforme. Si ottiene così la rappresentazione del mot o eli una corrente, uniforme all'infinito, che investe un ostacolo cilindrico di sezione c?incidente co� la c�conferenza fondamentale (la quale, per verifica, dev e coin· ct?ere co� la lin�a di corre te � 0). In tale mot.o i due pun ti eli rist agn son o o � gh estremJ del dtametro onzzontale della circonferenza . Mediante la tra sfo rm a zione conferi?e O) si otterrebbe. a q�esto punto il moto att orn o ad un profilo . alare av�nt� mctdenza �ulla e prtvo di portanza sul qu ale i pu nt i di ristagno S1 ed S2 co nct�ono con gli estremi della cord a, che si chiamano bordo d'attacco e ! bordo d uscita.

Se al moto così ottenuto si aggiunge un vortice irrotazionale con centro in c avente verso antiorario e circolazione r, i punti di ristagno si abbassano sulla c�conferenza, mentre sul profilo trasformato essi arretrano, e cioè S, � allonta· na dal bordo d'attacco ed S2 si avvicina a quello d'uscita. L'ipotesi di Zukovsky assume che si sviluppi attorno al profilo un vortice avente proprio quella circola zione r che porta il punto di ristagno $2 a coincidere col bordo �'uscita� il corri· spendente punt o d} rist-ag�o della circonferenza fondamentale vtene. cos1 portat? . nferenza stessa con la serruretta negaucirco della 10ne a coincidere con l'mtersez va dell'asse x . •

•y

piano

piano

z

ç

M

=

O(

.....

l'o

iY p

iy

p1ano •

z

piano

ç m

s,

:U

. Ruotando ora il vento el 1 a� tv o ( ct a velocità Vo) di un angolo uguale a of: içJIQ d'incidenza ex i nti rJ agno rtmangono sul cerchio fondamentale a g li del diametr� allei indica .qualitativament 1 l:�._mentre sul profilo trasform ato si spostano uesw-a. �� ....

·

:: : :

�

·

: a ll e n e c u d a tr i s e n Tale condizio r.

-4nVoRo sen

(ex+�)

PROBLEMI DI IDRAULJCA E MECCANICA DEI FLUIDI

136

4

nella quale �= 2p è ]'angolo che Ja congiungente il centro C col punto di ristagno fa coIl' asse delle x. . . Le linee di corrente del moto risultante che, c�>n nfenmento agl1 assi X ed Y, si scrivono:

•

�

r t y m ln :: - -Vo --: = --::2 y 21t X 2 + 21t

+

Ro

y2

U n m o to p ia n o è definito dalle relazioni:

4.12.

u =

= cost.

si ottengono componendo con la costruzione di Ran }ne le linee di corrente della . doppietta più il moto uniforme, già trovate, con le !tnee dJ corrente del vortice. L'applicazione della trasformazione di Kutta-Zukovsky ai punti della cir conferenza fondamentale e delle linee di corrente consente di ottenere il cercato profilo alare e le linee di corrente nelle sue vicinanze. Tale operazione può essere eseguita osservando che la funzion e di trasfor mazione (1), scritta in forma esponenziale, diventa:

137

PROBLEMI SUPP LEMENTARI

.

.Vx2

CINEMATICA D EI FLUIDI

+

Uo

at

•

v = v0

k

•

Individuare l'equazione delle traiettorie e delle linee di corrente al generico . Jstante to.

4.13. Un mo to tridinlensionale è caratterizzato dalla seguente distribu zione della velocità: u =-x v= 2y

per cui la trasformata di un punto P si ottiene com e somma de l vettore OP di r�o vettore R ed anomalia a con un vettore OP' di rag gio vettore b2fR e ano malia a -

.

Ppc,iy) '-...,PCIJ,i 7))

w= 2-z •

Individuare l'equazione della linea di corrente che passa pe.r il punto di coordinate (1, l, 1) . 4.14. In una sezione trasversale di un tubo circolare la velocità è distri· buita secondo la legge: l

/

1-

V=V

o

P'

r

2

R

essendo:

iy,,

v1

R

= =

4 m • s-1 la velocità sull'asse;

0,10

m

il raggio della tubazione;

v la velocità alla distanza r dall'asse.. ed i coefif · ia ed m à it oc d v a 1 e o zt se Calcolare la portata defluente .n .a lle quantità di moto. e e e ch eu denti di ragguaglio delle potenze cm

�

•

10°

•

d

5

ovvero:

5

TEOREMA DI BERNOUUI EST ENSIONI ED APPLICAZIONI

òH

TEOREMA DI BERNOULLI ESTENSIONI ED APPLICAZIONI

òs

•

139

1 òv

g òt

=

-

- -

avendo indicato con:

(6')

•

il car.ico total e ,dell'elem7nt� fluido c?.nside:at�, cioè la somma della quota piezo metnca e �eli altezz� CJ..?etlca. ��ll1potes1 di moto permanente l'integrazione della (6, ) riSpetto ali asc1ssa curvilinea s porta a scrivere:

L'equazione indefinita dei fluidi perfetti (equazione di Eulero):

p(F-A)

grad p

=

·

(l)

per un fl�d� pesante . ed incomprimibile proiettata sui tre assi della tern a intr in seca di. riferunento, st trasforma nelle tre relazioni scalari:

a

as a

an

z

+ _e_ r z

+

l dv

=

P

-

g

•

dt

•

ab

z+

_e_ l

(2)

::0

z

+

-

v

2

2g

+

l

=

cost .

(7)

Rinunciando all'ipotesi di moto permanente l'equazione (6') integrata frt i punti l e 2 di una generica traiettoria, dà: H2-H1

(4 )

Dalla (3) e dalla (4) deriva che per r-+ oo la quota p . tezometnca:

=

p

cioè nel moto permanen te di un fluido perfetto pesante.incomprimibile l'energia specifica si manti ene costante lungo ogni traiettoria.

(3)

--

r

a

H (s)

l

•

2

l

=

-

g

l

-

òv

ds

at

assume e tal to ico car il te an ist to ina rm te de un in e essendo H 2 ed H1 i valori ch n.ei due punti.

.

z

Esunsione ai fluidi realj (moto pernumn�u)

+_p_ l

non varia in tutto il Piano · normale ove la distr•'bUZ 1one della pressione è di tipo 'dr l ostattc:o (correnti lineari o gra . dualmente variat e). Essendo nel caso più generale: •

·

v

daDa {2) deriva: a

as

Z+

n

•

v[t. s {t)]

,;. -L+-y 1

2g

·-

(5)

1

av

g

at

•

•

rti are pa • rm fo a un e m co to ta re rp inte D teorema di Bernoulli può essere dl �e rm pe . ot m el d so ca el N a. gi er en l' el d e n io az rv del principio d i conse ro are T er l � �s c:o e rr co oc ) (7 la el d fluido reale in una espressione dd tipo o n P n go en rv te m e ch a gi er en ioni di mini c h e te n ga n o conto delle dissipaz

tend

cesso di moto:

:

·

H(s). Ho- Jds-Ll, •

l

o

aene: ascissa eli amente rl pettiv _, : neDe ezt . tot car1ch i Seli energia subita dall'unità eli au dove H (s) e Ho sono 1 ta pe n se re p p ra e ch . te en d ca perdita rica s e O; J � la a aeneric: Àl e tr rso. mena o rc pe i d l it n 'u ll e n o id u l peso de fl •

(6) •

•

t o:dJ :i. •

•

•

�

A DEl FLUIDI LICA E MECCANIC PROBLE�U DI IDRAU

140

o permanente) nte di sezione finita (mot Estensione ad una con-e ulli (fluidi per i di validità del reor�ma. di Berno Si dimostra che nell'ipotes no la corrente, n flusso elementan che costitUISCo fetti) in ciascuno dei rubi di mane costante la potenza: dP = ydQH = cast. una corrente si potrà calcolare la potenza: Analogamente in ogni sezione di

(8)

H(s) =Ho-

l{ )

z + .E.. vdA

A

rl �vdA

:

A

Y

2g

=cast.

(8')

Nel caso particolare delle correnti lineari in ogni sezione risulta costante la quota piezomerrica; la (8') si può quindi scrivere nel modo seguente:

(

( )

)

p V2 V2 P=y z +-Q + ycx -- Q=y z +.E..+ ex-- Q= yHQ = cost. y 2g 2g y

!A

•

(

v2

)

+

2g

l'

'l defluisce nella condona ad 5.1. Un liquido perfetto (y= 8825 N · mo Q= 60 l · s-1 la portata , calcolare la asse verticale indicata in figura. Essend A-A e B-B. differen za fra le pressioni nelle sezioni

�-

�

vdA

i i

.

H

•

z

+

+

V2

Ct"2g

•

cost.

(lO)

l ilp v2 z + -- + --- -ds = cosr. ils 2g o y(p)

PROBLEMI

v'dA

j A_:è_

l ilv

In condizioni di moto permanente si annulla il secondo membro dell'equazione (10), che integrata rispetto ad s, fornisce:

· · ed è pari al rappono fra la potenza ctneu em. va della corrente e quella di � eff una corrente fittizia di . _ ugun al pon_ata con d1strlbu z10ne uniforme della velocità ' pari al valore medio V trmonuo: .

_f. "(

élp

l

---:y(p) Ts = -g- Tt

V'A

r

Jds-l:;À;

Il teorema di Bernoulli pu� essere applicato ad un fluido perfetto comprimi . bile; m tale caso il peso �pec1f1co (o vvero la densità p) non può più riguardmi _ come una costanr:, ma risulta funziOne della pressione secondo l'equazione di stato che carattenzza la trasformazione termodinamica che si verifica nd corso del proces so di moto. In queste ipotesi l'equazione di Eulero conduce alla:

è il coefficiente di ragguaglio (o di Coriolis) per la potenza cinetica: P,

\:

Esten sione ai fluidi comprimibili

éJ

P= r

141

Anche la (9) dev� ess�re modificata al fine di tener como delle dissi pazioni che mte rvengono se il flu1do che SI considera è reale:

Ts z + 2&

ovvero:

dove:

TEOREMA DI BERNOULU ESTENSIONI ED APPUCAZIONI

(9)

viene detto carico totale e . rappresenta l'energ�� specifica media del fluido che attraversa la sezione.

r

�r

c: 0.3"'

. .L.

! . .Id

d•

_.., . ,....�.O.Im

NICA DEJ FLUJDJ CA EC M E CA UU RA JD DJ PROSLEMl

142

5

TEOREMA Di BE RN OULLl ESTENSIO NI ED APPUCA Zl O Ni

_:� 1 43

---=.:..:..:..:_

o il liqui nd se B; es e B-A A i on zi se le a fr i l l ou rn Si applichi il teorema di Be do perfetto:

__

--

-

-

-

--

o

r

+

V�

=

2g

PB

ZB +

r

+

v�

\

y

•

2g

H:2m

A

quindi:

v� 2g

-

•

v� 2g

•

o1:o,osm

•

L'equazione di continuità consente di scrivere: l

a) Assunto come piano di rife · e t I qul e lo contenen te l'asse d ��a o I tra un punto dell a superfioe tubazione , l'applicazione del teore libera d el ser batoto e d uno allo sbocco consente di scrivere:

: & �� li

•

da cui:

·

·

v� 28

=

ZA +

0,076 m

Analogamente:

Vs =

As

=

7 ,64 m

v�

+

2g

l •

Q

PA

•

Annullandosi i termini P A,

VA,

�

=

Zs +

l

2g

�

=

v� 2g

__;; ;._ __

l

.

+

V�

e p5 si ottiene:

ZA ::: 2 m

s-1

Ps

'

c10e:

Vi 28

=

V,

2,97 m

e quindi:

Nel sistema in fig ura defluis� un liquido perfetto m ) · Determin are:

5:�·

•

a) la portata Q effluente· ' b) la pressione relativa p1 l ungo l' ass e del prt· mo tronco

•

s-•

27,71

•

s-•

icie libera rf pe su la a fr li ul no er B i d a b) Un'ulteriore applicazione dd teorem uce alla: nd co e on zi ba tu di co on tr d el serbatoio ed una sezione nel primo

PA-pa-= 15876 Pa.

N

6,26 m

Q= v.�-

!

•

=

� w!

ZA•

(y

=

980 6

. t ubaztone.

�+ "(

Vi 2g

da cui: •

-79674 Pa.

CANICA DE.l FLUIDI EC M E CA UU RA ID DI l PROBLEM

144

"

lcolare la por), ca -3 m N 25 88 (y to et rf pe do 5 3 l Ne11,.tpotesJ· di liqui · o val ore d e11a porta stm as m ta il · tre ol in ·t re ua vid di In . ra gu fj m . e on tata Q de SJ one di sbocco. zt se 11 a de a ot qu lla de e ar ri va al scaricabile dal sifone, ·

da cui:

·

=

TEOREMA DJ BE.RNOUL U ESTENSIONI ED APPLICAZIONI

S "

145

·

Vmax

Qmax

c

l

a

T

:2m

-

-

--

H:3m s

o

r

•

s-1

In tali condizioni limite risulta:

ed ulteriori aumenti del dislivello non inducono incremend della portata scaricabile. Nella condotta in figura defluisce una portata Q= 240 l· s-1 di olio (y = 8140 N m-3); ammesso il liquido perfetto, determinare l'indicazione Il del manometro differenziale ("fm = 133362 N m-3). 5.4.

•

0:0,075

60,25 l

s-1

t

---

.A

=

·

H= 9,48 m '

-

13,64 m

=

s

·

·

l

)

Assunta la sezione di sbocco S-S come riferimento per le altezze geodetiche ed applicando il teorema di Bernoulli fra la superficie libera del serbatoio e la se zione di sbocco del sifone si ottiene:

v.= 7,67 m· s-1 Q = 33,9 l

·

s-1

. D valor mas imo della portata scaricabile da l sifone si ha qu an do nella se� � zion C-� SI raggiunge pressione � assoluta nulla, ovvero quando la piezometri a c relauva dista da essa della quan tità: *

li=-11 48m t

l

In tali condizioni è p . ossib il e c a1 co la re . Qmax applicando il teorema di Be r· noulli fra il serbatoto · e la seZione C-C: ZA

•

Zc

+

D� -!;L l

+

V2

mu

2g

•

, , _ -11 48 • --ç

+

V�u 2g

. . vale: -2 2 e -1 1 i n o zi se e 1 ra f rtca La differenza di quota p1ezomet

8

•

Zl

+

l!i1

-

Z2

+

.E!. l

•

V I _ Vi 2g

2g

•

0 ,40 m

iale: . z n e r fe if d o tr e m o n a ca del m SU . rl e tt ra ca e n io z la re a che introdotta nell

&

•

4. Tm-T l

ICA DEI FLUIDI PROBLEMJ DJ IDRAULICA E MECCAN

146

� '

fornisce: A= 0,0026 m.

•

TEOREMA DI BERNO' Ulll ESTENSIONI ED APPLICAZIONl

147

5 .6. Nel sistema in figura la portata convogliata dalla condo tta n verticale effluis c e e ll 'a tmo sf e ra i n direzione radiale orizzontale attraverso un a superficie cilindrica di di am et ro D2 2 m e di altezza s O J)Or'"m . Nota l'indicazione � 0,40 m del manometro semplic e a mercurio ()'m 133362 N m-3), determinar e nell'ipotesi di liquido perfetto: =

=

=

. . . 9806 N . m -3) e di distribuzione 5.5. NeU'ipot_e�i di liqut o r fetto ( l'indic one n (bar] del mano metro met uniforme della veloclta, deternun . dicato in figura (Q 100 1 s _ ; lico inserito nella condot� come tn Ym 133362 N m-3).

�

�

Jzi

:.

_

=

=

=

•

a) la po rta ta del liquido effluente
•

=

8335 N

·

m-3);

•

l

•

Yl c

l

\ •

\

o

•

l o= 0.3 •

•

h:2m

A

r-

01 :0.20

m ---..

T

A:0 .9m

_j

_9

T

•

•

---

l •

l

l

•

h:

l

•

1,SO m

l •

Ym

l

'

•

D

l

manometro semplice consente di de terminare la pr es sio ne nel punto B: PB

=

àym

=

• -

A

120026 Pa

'--- o 2

La pressione in corrispond enza all'asse della condotta sarà conseguentemente:

H

•

28

•

10,34

')

•

rn

h+

manometro metallico è inserito come la presa tot; conseguente dinamica di un tubo di Pi· mente la sua indic azione è proporzionale corren te: al caric o totale della

m Y 4

e quindi: •

•

rH

•

1o-s

•

1,014 bar.

h+

4J!a_ + l

2 v� s v.;;. • ... - - +

2g

da cui si ricava:

D

n

l

•

Con riferim ento all'asse della condot ta il carico totale vale:

1,4:.)

2m -----�

'-�:o_osm

. to AC, n caat pi il te en en nt co o ell qu o nt me eri rif di a) Assunto qu ale ptano rico totale del liquido vale:

P= Ps-=-rh = 100414 Pa

1J2

:

-

Q. KDfDzs

T

+

-

2

s -

2

+

2g

148

PROBLEMI DI

IORAUUCA

E

MECCANICA

5

DEl FLUIDI

o; in esso perciò si ha: b) Il punto A è un punto di ristagn

e quindi:

(

PA = y -

s

2

Q

)

+ ----"�' --

2gJt2D l s 2

=

TEOREt.1.A

DI

BERNOULU ESTE NSIONI ED APPL ICAZIOz-.11

b) per a = 30o la massima quota h raggiu nta dal getto,. c ) l' angol o ex per il qua 1e è massima la distan za L.

149

154905 Pa.

5.7. Trascurando la resistenza dell'aria, determinare l'altezza h di un get 1 to d'acqua verticale con velocità iniziale V =20m s- • Se la sezione iniziale ha un'area A = 02, 0m2, calcolare la portata Q del getto , e la sua atea A, all'altezza h,= IO m. ·

Per trovare l'altezza h del getto si applichi il teorema di Bernoulli fra la se zione di sbocco (a quota z = O) e la sezione del getto alla massima altezza ove sia pressione che velocità risultano nulle:

il

a) Per determinare la portata Q, si applichi teorema di Bernoulli fra la se zione di diametro D1 in cui è inserito il manometro metallico e la sezione di sbocco 2-2:

�=h 2g h= 20,4m

: La portata risulta

n.

Z1 + ..L..!- + "(

Q=VA= 4m3• s-•

N

•

2g

Q.

il

.

•

VÌ P2 Z2 + - + -"(

2g

�-10,2 m "(

h,.�=h 2gA�

5.8. Per boccagli f r ammes o il liquido perfetto (y m-3) e nulla la resist � , e�:dell� arta � determ.1nare: , a) la portata efflu ente quando n l bar;

=

Essendo:

all'al�".":�:.:.il �e�rh�:a di Bernoulli fra la sezione A, all'altezza h1 e quella da cui:

V� --

risulta: •

9806

Q

V,A,

•

•

24,81

V,fu

•

s-•

an· . 30o si otùene applic ta dal getto per 01 • b) La massima quota h ragg IU� massima raggiunta dal di sbocco e quella i ne sezto a fra do il teorema di Bernoulli

:;

CANICA DEI FLUIDI EC M E CA UU RA ID 1 0 PROBLEMl

150

l

ce alla su a co m po nen te du ri si à it loc ve Ja e lla nu ra getto m c w 1 a pressJOne e anco 2 cos ex: orizzontale o ·

·

·

V =V

•

Z2+

2g

--

= (Z2+ h)+

vz

•

2g

=

a

V =' 2g

+

2g

c) Le relazioni utilizzate al punto b) sono del tutto analoghe a quel le che de scrivono il moto di un corpo animato da una certa velocità iniziale che si muo ve nel campo gravitazionale; in tale situazione l'angolo che a pari veloc ità iniziale rende massima la gittata è eli 45°.

a+

�

� ?

·

.

,-4

8,31 m

=

\

•

Q2 --..� .,...:: 2�2-. 1tD '

Risolvendo rispetto ad h si ha:

h= 2,04 m

151

Se l a por tata da fornire al tender è Q 5 1 s-t ap lic han o il te rema .di l & ? a sezione d'imbocco e quella eli sbocco Bern ou lli a d lla aztone e 1 equaz1o ne di continuità, si ha: =

'

v�

TEOREMA DJ BERNO ULLl ESTENSlONI E D APPLICAZIONI

•

s-•

=

29,9 Krn

.

h-l.

5.10. Una tubazione circolare di diametro D1 ad asse verticale sbocca nell'atmosfera; ammesso che il liquido effluente sia perfetto e si comporti come un sistema continuo, determinare la forma della vena liquida a valle della sezio ne di sbocco.

o

5. 9. Alcune locomotive a vapore erano munite di una tubazione come quella rappresentata in figura per prelevare l'acqua posta in una vasca fra l e ro taie e sollevarla nel tender. Determinare, nell'ipotesi di liquido perfetto, la velo� cità minima min della locomotiva necessaria per sollevare l'acqua fino alla bocca di scarico e quella V necessaria per sollevare una portata Q = 5 l s l

l

V

•

-

•

.

l

•

l

-

•

l l l

0:0,10m

-

•

---

a:

v

, 3,5

-

•

l

m

z

•

--

-

•

Pensando l'acqua nella v :c� m !Doto co� veloci à pari a quella della loc omotiva considerata ferm a � a V 5 otttene a plicando il te or em a di B er no ul li fra p un punto nella vasca (z ) e 1 a sezione di sbocco della tubazione:

l

·

; p/�·: �

v�

;n

�

.

•a

2g

v-.�- 8,29 m

verticale asse un assunto Bernoulli di a r o te il . le a v 1 e con indicate Poiché lungo il getto co, s . sezione di a n e ll rJ.gl o n co . z diretto v e rs o il basso . a. h S1 , z ta rJca quo e n e g a ll a e o c oc sb o le velocità all

vf

----·

•

s-1

-

29,8 Km

•

h-l

2g

-z

+

v2

2g

V

V

CCANICA DEI FLUIDI PROBLEM.l 01 IDRAUUCA E ME

152

�

TEOREMA D I BE RNOULLl ESTEN SIONI ED APPLIC AZIONI

Essendo per l'equazione eli continuità:

153

o

. ta z, si rica va in aven d o rn · d tcato con D il d1·ametro del getto alla generica quo definitiva: 4

l

----

l+

2gz

MANOMETRO DIFFERENZIALE

. La differenza eli pressione tra il fluido indisturbato (presa sta tica) e quella di rist agn o sulla pun ta del tubo di Pitot (presa dinamica) è ricavabile dal teo rema di Bernoulli:

2

Vt

.5 1 1 Un siluro ad asse orizzontale viaggia alla velocità V = 20 m s -t ad un affondamento h = 2 m sotto la Stlperficie libera. Determinare l'indicazione n del manometro metallico collegato ad una pre sa posta sul naso del siluro (r = 9806 N m-3). .

v2

•

.

Ap

=

p - 2

=

r

v2

g

2

= 18 57 Pa.

·

.S .13. Calcolare l'altezza eli apertura a della paratoia a battente in figura larga L ::;; 2 m affinché scarichi una portata Q = 2,5 m3 s-1 con un•altezza d'acqua h1 pari a l m (Cc 0,61) . •

• -

-

-

-

=

---

-

---

v

-·-

c

. D naso del siluro si comporta come la testa di un tubo di Pitot e perciò ' nsulta: P -=h+ 1

�

v2 --

2g

e la sezione ia to ra pa lla de te on m a 1 1e on zi n teorema di B ernOulli fra la se contratta, s1 scnve: •

2,195 b a r.

S.t2. Un aereo da turis vola dal alla Vel OCJ.�à �. 2 0 km re la. differe h -•; d e te rmina� nza di pressio ne s ata tu bo di Pltot J.JlStallato tachimetro ("(arta. 3 a bordo co m e 11,8 N m ) . •

c

1

P= 219530 Pa n •

a

•

•

h.+

Vi

2g

2 Q -.. h 1 + -__.;;:::2:2ghfL

-=

•

hc

hc

+

+

v�

,.__.; ._

2g 2 Q -__.;:�l :-:;L2 ;-2ghc

A DEl FLUIDI IC N A C C E M E A C LI U PROBLEMl DI IDRA

154

l

isce: che risolta per tentativi forn =

0,325 m

TEOREMA DI BERNOULLI ESTE NSIONI ED APPUCAZlONI

Nella sez ion e

cità è Vl

o

hc

5

=

.J2gh2

A2 e

agliando le

Ugu

•

a=

=

Cc

0,533 m.

=

1

•

UOm

Io,5O

•

4

due espressioni si ottiene: 2

Cc

l

d:O.am·r-

-

-Ac

-·-

.J2gh2

D 4

02

h1

=

3, 19 m m

sotto il foro.

• -..,... ---� �-�_, h: 3,5 m

0: 0,02m •l .,...

0,012 m la velo-

. No ti il dislivello h tra le su perfici libere ' il coeffiaente di contra· 5.15 . . lnare la portata effluente attraverso la eteriD d d ametro di il O 61 ed ' ztone C " '. . di� luce m cata m f tgura.

l•

l

=

•

--

•

V2A2

1tDi

=

cioè il diametro di 12 mm si stabilisce a 2 , 09

o

..

=

h2 =

a è pr ati cat a una lu ce in pa ur fig in to ica ind o toi ba ser 1 de ?o fon l Su . 5.1� quale dis tan za dalla luce il a are ol c l Ca m. 2 0,0 = D tro me dia nte av: tile sot rete 0,61). 0,012 m (Cc getto ha un diametro D2 =

{

Q

da cui: hc

. dov e il diametro e, quello nc hiesto D2 a portata:

155

-

c

•

�,.l •

c -

-

•

Le linee di corrente del getto di dispon gono praticamente parallele nella se. Zlone contratta di area:

l

lazione: re la al d e n ie tt o si , ce lu la trlverso La portata Q, che defluisce at

l

Q

•

. Situata ad una distanza . pan a .oul,5 dta metri dal foro. In tale sezione il car .co l rts ta h 1 1 l l m e la velocità V 1 La o p rtata è dunque:

•

IL

,ro1 .J2gh 4

•

2,5 ml

•

s -'

•

m cw:

•

•

'

•

v2gh1•

l'. 0,6.

0,61 Cc one contraZi � coefficie nte il d, o diametr ,te � flu f e a t a t r Co noscendo il po la e r determ•na •

5.16. , le ia z n e r e f if d O r t e m e l'indicazione 4 del mano

E MECCANICA DEI FLUIDI CA UU RA ID DJ MI LE OB PR

156

�

c A

o

y

f

?t

ar 1 a

--

157

Qualunq e ia il livello all' n ter?o el vaso, all'estrem � � . en ità inferiore del tubo . tra�a dell ��a. la resstone e pan al l atmosferica e perciò il pian � . o dei carichi Jdrostatlcl del liqmdo e sempre alla stes sa quota dell'estremità inferi ore del tubo. La portata erogata dalla luce vale:

•

--

TEOREMA DI BERNOULLl EST ENSIONi E D AP PUCAZiONI

�

.....!..__ 8

d:Q5m

·-·

--·

- · -·

-

6:0.08

-T

-----

m

>'m

=

=

La differenza 8 di quota piezometrica fra i serbatoi A e B vale:

ò

!l Im-I ey

=

e la portata: Q •

=

7td2

f.l

�ò

v2go

4

•

Jn CUI:

=

=

5 .18. Sul fondo di un serbatoio avente la forma di un paraboloide di ro· tazione, è praticata una luce a spigolo vivo di area A 10-4 m2• Inizialmente il serbatoio è pieno d'acqua con profondità hu 3,60 m; de· ter min are , trascurando le inerzie locali, il tempo T necessario ad abbassare il li· vell o nel serbatoio di Il 2 m, in assenza di alimentazione del serbatoio stesso 0,6). (f.l =

1,01 m

0,524 m3

'

=

·

s

-1

�r0:3 m� l l l•

l

•

f.l

=

0,6.

l

•

5.17. Un vaso di Mariotte ha sul fondo una luc e circolare a spi gol o viv o. Dimostrare che la portata della luce è costante qualunque sia il liv ell o del liq uid o all'interno del vaso, purché superiotre all'estremità inferiore del tu bo eli en tra ta dell'aria. Calcolare la portata per le dimension i indicate in figura (f.l 0,6).

--

l

h0:3,60 m

=

r

l •

azione della qu l'e a, ur fig in ti ca di in r) , (y ni ia es rt Con riferimento agli assi ca curva meridiana del serbatoio è:

•

• '

•

t

y=

- -

•

•

•

'

•

•

•

• •

t

ll

•

•

•

•

ho

r3

2

r

ha: si tà ui in nt co i d o pi ci in pr il P er

fA-A� dt h:2,o 0:0.08

m

'1 1--

v

2 04 'r

=

rn

•

-7tr2 dy

i ai limiti: n io iz d n co le n co o d n ra g Inte t.

t

•

o

T

y. ho. 3,60 Y. ho-4

•

m

1,60 m

EI FLUIDI D A IC N A C C E M E A UC PROBLEMl DI IDRAU

158

TEOREMA DI BERNOUUJ ESTENSIONI ED APPUCA ZlONl

�

b ) Per tr ov ar e rmdicazione n2 del m nom tro m�t alli.co 2 s1. a pp�chi il tec re ma di Bernoulli fra le due sezioni corri pon denu. aJ due manometn metallici:

�

risulta: o

dt

Z1

= •

Dt

•

105

+

+

Q

2

-� �

2gAl

=

Z2

da cui:

+

02 --:::..

•

y

....:___

_

l

ndicazione de l m a l'i a, ur fig in e on zi ba tu lla de ni sio en m 5.19. Note le di = 9806 N m -3; (y e � al zi en er ff di o ell qu di e r) ba 2 nometro metallico l (n1 "(m = 1.33362 N m-3), determinare: ·

=

2 Q

l 05

+

l

Af A�

·

2gAi

lo-s = 1,96 bar.

C:on i da�i ri�rt�ti in f�gura det�rminare la portata effluente Q e tracctare la linea det car1chl total i e la ptezometrica (y 9806 N m-3 .' 13.3362 N m-1). "(m

?·20.

=

•

=

·

o

ne; a) la portata Q che defluisce nella tubazio b) l'indicazione n2 del manometro me tal lic o 2.

LINEA DEl CARICHI TOTALI

1

0.4m

-.-DJ�-·-·

2 v

1� 2

2g

/ l

m

---

l l

-

-

-

2m

-

·

-

-

li. Jg

;'

--

��

--

O.Jm

---

-

o

a) Per trovare la portata si utilizzi l'equazione del venturimetro: 2g4 Im-I

dove:

A2 le

aree

della •

tub&Qone

•

ZA

2

2 0,196 m

e della seztone ristretta del m.isura tore, da cui: •

Q

•

0,4Sl m3•

1-l

0.1m = }

e B: A ti n u p i a fr i ll u o n r e i B Si applichi il teorema d

l

0,79 m

.

y

----

-

•

-

-

m

At

2

-

A

O,

·-·

v,

LINEA PIEZOMETRICA

-

sono

159

•

+

-�·

+

Vi 2g

•

ZB +

..e!. T

Vi + 2g

•

m cw:

a.A-O,S• T

T

Ax. T

-0,5

•

0,86

m

.

E MECCANICA DEl FLUIDI PROBLEMl DI IDRAULICA

160

.E!'-= 5

m

ZA

= 0 =0

TEOREMA DI BER NOULLI ESTENSIO NI ED APPLICAZ IONI

. a) Si applichi il teorema di Bernoulli fra la sez10ne cornspondente alla masstma altezza :

y

ZB

S

Z1

+

JL(J,-�) = AA Ao 2g

Vì

P•

- + --

y

!Usulta:

2g

Q=

A,Ao

.JAt-Al

=

.

Z2-Zt

0,168

m3

•

s-•

Q effluente; .:1 del manometro

l'indicazione

=

8,5

m

cos 45°

.E!.= o "!'

Risulta:

Vl-Vl 45° ---' '----':cos2 -'--= 8,5 m

5.21. Conoscendo le dimensioni del condotto, il coefficiente d i contra· zione C,= 0,85 dell'ugello e la massima quota a cui arriva il getto d'acqua in fi. gura (y = 9806 N · m-3; Ym = 133362 N · m-3), determinar e: a) la portata

2g

.E.!_= o "!'

La linea dei carichi totali e la piezometrica sono segnate in figura.

b)

V__!.._ + 2 y p

v,= v,

0,071 m2

.J2g(4,14) =

2

+

in cui:

4,14 m

AA = 0,018 m2 A8

= Z2

161

sezione contratta di sbocco e la

2g

V,= 18,26 m·

s-•

"DÌ

Q= v,-- c,= 30,47 1

c) la linea dei carichi totali e la piezom etrica.

•

4

differenziale;

_,

s

b) lnd.tca ndo con O la differenza di quota piezometrica fra la sezione con· denza del manome· · · cornspon tratta di sbocco e la sezione interna al condotto m tro, si o tti ene: o

a

_st_ 2gA'

=

0,151 m

dove: D2

2

1t A.--. 0,0177 m 4

da

cui: A

•

0_L- • 0,012 m y.. -y

o, è una retta orizz on· essendo il liquido perfett c) La .linea de�.. can.chi 10 eli ento segnato in figura. 1, an h 8 . triCI tale La ptezome

�

DI MECCANICA DEl FLUI E C.'\ LJ U RA ID J D I PROBLEM

164

5

m il cui profilo deJ fondo è rap2 L go ar l re la go an tt re 5.24. Nel canale m3 5-I d'acqua. Nell'ipotesi di Q _-5 . a at rt po a un e rr s co a, ur presentato m f'tg . fondità della corrente ne Ua sepro i ibil ss po ue d 1 e e ar m liquido perfetto, dererm _ olo. 1v sc llo de lle va a zione _

.

w : = -' -.---� ·----

t

n1 :l,O

- - -

-.., '-

'-

-

-

-

m

TEOREMA DI BER l0ULU ESTE�SI0:-.:1 ED APPLICAZIO:-.ll

165

b) il car ic o per il quale nel barice ntro della sezlone nstretta si raggiu ngerebbe la pressione assoluta nulla. ·

·

--

r

- .__.

____

_

H

h"2

a: 2m

--•

Per il teorema di Bernoulli si ha:

--

2gh�L2

5.26. Ritenuto il Hquido come perfetto (y 9806 N· m-3), determinare la portata del sifone in figura, e le pressioni nei punti A e B.

da cui si deduce:

=

.----:::._:-- - Scartando la radice negativa, i due valori della profondità della corrente dj valle risultano: h2 h2

=

0,326 m

=

3,289 m.

�----:_..;.•'::!--t - -

=

=

a) la portata ffluen te e la pressione nel b � aricentro della sezione ri st re tt a, per un canco H 1,5 m; =

Ot: 0.2m H: ,,OOm

20 cm2 pari al si di liquido perfetto (y 9806

N · m ), de termm _ are:

--

-

r

�.2�. Il tubo dive�gente in figura ha un'area d j sbocc5> � doppt � quella della se . z1one nstretta. Nell'ipote <:_

-

1>:2, Om

1---:-=----t

PROBLEMI SUPPLEMENTARI

-

166

S TEORE MA 01

PROBLEMI DI IDRAULICA E MECCANICA DEl FLUIDI

BERNCULLI EST ENSIONi ED APPUCAZIONI

167

5.27. Calcolare quale angolo a d'inclinazione iniziale deve avere il tt _ ? !"'!raggiungere il tetto dell'edificio in figura con il minimo valore della ve OCI!a tnlZiale Vo. Determinare anche il valore di Vo.

r

h:2,0

/

m

H:-30 m

/

t------ l:-40

m

l . -----+1 . . \ �t� ; b�� prat cata nella p a

5.28. Determinare la portata della luce . s . ol rete del serbatoio in figura (r = 13000 N m-

i

-

5.30. Un serbatoio cilindrico del diam profondità ho = 2,25 m; sul fondo del serbato vo con area A = 7,5 . 10-4 mz. Determinare:

D

.

,

ac�ua co�

�� prarl�t:!!t�:: splgOlo Vl·

a) in condizioni di moto permanente la portata della luce;

ARIA

b) in co11; dizioni di moto �ario, trascurando le inerzie locali, il tempo T ne cessarlo ad � bbassare il livello nel serbatoio di A • 1 m, nel caso che _ aUmentato con una portata costante Q. a 1 I •• questo sl8

-t.

specifico 5.:n. D serbatoio A contiene un fluido perfetto di peso imbocco ben raecor 9806 N m-l praticamente in quiete; da esso parte con termina con un ugello dato una condotta di diametro D 0,08 m, la quale aD'ori2zontale, diameuo termi tronco-<:onico, ad asse inclinato di 60° rispetto Nel baricentrO C della nale d 0,05 m e coefficiente di conuazione Cc 0,85. o ad un piano ori2zontale di ri· sezione contratta, posto a quota %c 2 m rispett o. il to ad un manometrO metallic ferimento, è inserito un tubo di Pitot collega cui centro è posto a quota ZN 1,60 m. manometrO metallico- Si richiede: È assegnata l'indicazion e n 0,1 bar del

l'l :l, !IO"'

l

y

•

•

•

•

•

•

•

----+ DzO.OStn

•

a) la portata

5.2

9. Nelle par figura eti di un serbatoio pieno d' o come indicato nel la .. Determinare le portat e no son� praticate due fessure za da ciascuna e f fl uentt per unità di lunghez· fessura.

Q erogata;

nel serbatoio; ca; totali e della Unea piezometri c) il cracdamento della linet del carichi . ugello daD' ente ef f l u getto dal d) la quota massima zo rqsiunta b) la quota z del nquido

--------�_L

__

__ _

, DEl FLUIDI UCA E MECCANICA PROBLEMI DI JDRAU

168

D getto

TEOREMA DI BERNOUl.U ESTENSIONI ED APPLICAZIONI

a) la portata Q

erogata dalla condotta.

La condotta termina con un ugello tronco-conico di lunghezza L, 0,075 3 la ponata Q1 l . 10· =

e coefficiente di contrazione C,= 0,85. Assegnata ero ga t a dalla condotta, si richiede : m' . 5 m

169

sbocca liberamente nell'atmosfera. Si richiede:

-•

=

b) il d iametro terminale du dell'uge�o; cl l'indicazione ò. del manometro differenziale; d) l'indicazione n [bar] del manometro metallico.

y

A

.. r:O

5.32. Il serb atoio A contiene acqua (y = 9806 N m-3) praticamente in quiete, la cui superficie libera si trova a quota z. l m rispetto ad un piano orizzontale di riferimento z • O; da esso parte, con imbocco ben raccordato a quota Zo • 0,5 m, una condotta di diametro 01 0,075 m ed asse inclinato di 30° rispetto all'orizzontale, nella quale è inserito un venturimetro; esso è costi tuito da un tronco convergente di lunghezza L. • 0,075 m, un tronco a sezione ristretta di diametro !h • 0,050 m e lunghezza L, 0,035 m ed un tronco di vergente di lunghezza L.! 0,15 m . . �.at�en�e •. monte e a valle del tratto convergente del venturimetro sono �11 1 rauu di un manometro differenziale a glicerina ( ., 12258 y N•m ). N� �one N della condotta è inserito un manometro metallico M, il cui baricentro 11 trova a quota ZM • O 70 m Si fa !:ipotesi� !'acqua si co� rrl come un liquido perfetto e che possa· po . DO ntenem trascurabili tutte le perdite di carico. Sono ��te le lunabezze L, 0,225 m ed 14. 0, 190 m del tronchi di � tra. rupettìvamente 1 monte e • valle del venturimetro.

...

·

e

•

•

•

•

•

•

__

l

-

- - !!!.-

contiene liquido 1 O m COStante' . a liveD o z. da esso JIC" m e t ticamCII S.)3. n serba ! OIO tn a r p _, m seguiti N m a perfetto di peso s : ott una cond ameuo Ih SO:.O � i due rami te, con imbocco una �tta di di 4 da un conv�nte e da e a VIlle del c:onverP�� N •m . te mon Je • mezcurio (T• 13)... I mmediat ��-..t a di un manometro cum:zço•

flaurao6

c s�

4, di� g• ;

•

•

·

•

•

·

PROBLEMI DJ IDRAULICA E MECCANICA DEI FLUIDI

170

La condotta di valle sbocca liberamente nell'atmosfera. Nel centro della se zione terminale, posto a quota z5 = 6 m, è inserito un tubo i it'?t colleg ato ad un manometro metallico il cui centro è a quota a = 7 m. St nch1ede:

� �

a) la portata

Q1

6 SPINTE DINAMICHE

erogata;

b) il tracciamento della linea dei carichi totali e della linea piezomet rica; c) l'indicazione

.11

d) l'indicazione n1

del manometro differenziale;

[bar]

del manometro metallico.

La condotta di valle sbocca in un serbatoio a livello costante. cazione t., = 0,2 m del manometro differenziale. Si richiede: e) la portata

Qz

È

L'equaz ione indefinita del moto di un fluido:

nota l'indi

p(F-A)

erogata;

O

la quota Zv del livello del serbatoio di valle;

g)

il

r

r acciarnento della linea dei carichi totali e della linea piezometrica .

òcl>x

= --

òx

� acl>z + -- + òy

--

òz

integrata su di un volume finito W, delimitato dalla superficie chiusa di contor no A, fiss a nello spazio, dà luogo all'equazione globale di equilibrio dinamico:

G+ll+M,-Mz+I=O

(l)

dove:

y

risultante delle forze di massa (costituite dalla forza peso in presenza dd so lo campo gravitazionale);

è la

è

; la risultante degli sforzi agenti sulla superficie di contorno

M= è il

flusso netto

di

è

v.v dA

g

M,-M>

· di contomo·' fitoe quantità di moto auraverso la super

l uo

l/

la risultan te delle inerzie

I

·-w

a(pv) ar

Joeali.

dW

·

' dell'equazt<>; 'à osservato sull impiego modo del tutto anal'?go a quanto enientemente sfruttata at conv ssere e u !' ne globale di equilibrio stattco, la. (l) e m con dizioni dina miche. fini della determinazione deUe spmt

In

�1

172

PROBLEMI

6

JDR.AULlCA E MECCt\�ICA DEI FLUIDI

01

173

Si applichi ora l'equazione globale dell'e uili' . o d. na t nuco al volume liq uin q do compreso fra la sezione iniziale del bocca · i gl o e la sezione contratta; si . : e n e u r o

A tale scopo si deve scegliere opportunamente il volume W in modo che iJ termine n sia scomponibile in una parte rappresentante la spinta incognita e in una o più altre di valutazione più immediata. Si fa notare che in condizioni di moto 'Permanente si annulla il termine 1 delle inerzie locali.

�

.

dove:

G è il pe so del volume liquido considerato . diretto ver calmente v rso il basso, � n � e on d tta zi re 'a ssa i pa per il baricentr del volurne stesso e la c ui d modulo: ·

PROBLEMI 6.1. Ammesso il liquido perfetto, determinare la spinta che si scarica suJ boccaglio tronco-conico rappresentato in figura (Cc = O, 90; n O '2 bar·' r 9806 N m-3).

G

=

=

SPI 'TE DINAMI CHE

·

=

-yW =i

1t

= 78,4 !

12

è Ja reazione del boccaglio uguale ed opposta alla spinta S da determinare� n� è l � s �i �ta che �i esercita s�a sezione iniziale del boccaglio; poiché il piano . det cart chi IdrostatlcJ della sezJone si trova alla quota:

Ilo

n

t --

+ •

a:O,Sm

\ \c,

-

•

n

·

10 5

---

r

+a

+

L sencx

i sopra il bar centro, essa ha modulo pari a: [n

'

105 + y(a + L sena}]

·

Di

n

4

è dire tta nor mal men te alla sezione stessa secondo il ,.e�o della corrente ed è ap Io/M al di otto del baricentro. do plicata nel cen tro di spinta alla distanza ço orizzonta le tra icen bar asse alJ' tto rispe e ion sez la del zia ner nto d•i ve 10 è il mo me rispetto alla linea di o tic sta nto me mo il M ed a) nd spo di ea a o Hn all lel le (pa ral sponda.(*) Ne deriva: =

Ritenuto che la sezione contratta . C-C de l g tto e ffluente, neUa qu al e . . l filet� tJ sono tutti rettilinei e paralleli e perei'o la pressione e, ovunque ugual e all' atmo· sferica, si verifichi ad una distan . z p n a 0 2 valle della se zione terminale de l ' boccaglio, si applichi il teorem . a J ernou J ra una sezi one della tubazione a monte dello stesso e la sez• 'one contratta:

d �

a+

n

•

lOs

i

�t

Vi

02 + -...;_ = -2 sena + 28

da cui, associando l'equazione di conttn . uJt . à:

v1 s1 ncava la ponat a: •

•

Vc2 2g

l

ho=

n

•

10 5

+ a + L sencx= 2,74 m

1tDi

•

.,

n.

=

rho

4

c

't't • t

4,

1tDf - , , c 7t0� c c \' =Q 4 4 � un pia·

�zaont tm\ N OS ad � aa o v � .A _,__ �umuato k t ti �du�W�Knte ta uon n o (*) Sa ricordi eh� neU� eo�tn no ia p Nto C'OIM iJ ... .. s.,_ eli • �n a un • .nd no dei carich• idrostatici (t qu ddJa iellOM da una quota ptri alla quoti paeiC\mttrica

�� d;fi •

6 SPII'\TE DINAMICHE

I E MECCANICA DEI FLUID PROBLEMI DI IDRAULICA

174

M =

nDl � = 4

cosa

�o = � M

3 0,0994 m

= 0,0008 m

essendo ivi nulla la pressio ita sulla sezione contratta; Il2 è la spinta che si eserc nulla; ne relativa, tale spinta è pure corrente rispettivamente ne!Ja di quantità di moto della M 1 ed M2 sono i flussi moduli valgono ncUa sezione contratta: i loro e glio bocca del le inizia sezione rispettivamente: M1 = pQV1 = 82,8 N M2 =pQV,

=

368

N

�

llo+M,-M2=0

in cui:

llo= -S = M,-M,

Passando ai moduli: M1 = M2 =pVi.= IOOOON ·m-'

e l'asse della tubazione. ed hanno ambedue come retta d'azion

S, =M1-M2 cos 70° = 6580 N· m-•

e della spinta risultano rispettivaLe componenti orizzontale e vertical mente:

So= (n,

S.= G-{n,

+

=

f

=

s; =

+

are tg

524

N

�= 22° 33'. So

6.2.

Determi nare il �odulo S della spinta del getto piano sulla piastra in Ig r� s1a qua �do questa e ferma, Sia quando si muove con velocità V 1 = 3 , s nella d1rez. one del getto. In quest'ultimo caso valutare la potenza P ce· a ll p•astra. l processo di moto avviene su un piano orizzontale (y = 9806 :

� d r-)': �

S=

M,-M,) senC< = 201 N

s .Js� �

S,. = M2 sen 70°

M,-M,) COSC< = 438,9 N

+

p er cu i

:

l

l

,,

+

S� = 11472 N

s� =M',-Mi cos 70° s;

;

l

.Jsl

1

9397 N· m-

=

·

m-'

moto valgo· i flussi di quantità di tra è in movimento Ne l caso in cui la pias no in modulo: · m -• V-V1) = 7000 M',= M2 = pVa(

- )

't

175

Si scriva l'equazione glo!;>ale di equilibrio dinamico applicata al volume di . o ?elimltato dalle �CZIOnl l-l e 2-2 c profondità unitaria; essendo il moto OUld peso G non lo 1nfluenz� c delle forze di superficie Il l'unica non nulla è piano, _ Ja reazJOnC delia p13Stra flo. Risulta quindi:

S'

=

=

M2 sen 70°

=

=

4606 'o m-•

65 78 N· m-'

.J5'; + §!= 8030 N· m-'

movimento alla piastra in La potenza ceduta

p= s;v,

=

13,8

vale quindi:

kW.

9(ym

;,.,

•

133362 N

t::, ;

,

nuto il li·

); rite 30 N . m-' ale e S. ver· . S oriz on con l'angolo e mente

85 . ur crrc . ola olio (y � ne Nella curva in fig a e le com rtat � a po Q l nare a rfetto determi quido diametro vana sulla curva; il ticale della spinta bar). m-'; n • 1,5

6 3·

z t

6

ANICA DEl FLUIDI PROBLEMJ DI lDRAULlCA E MECC

176

r a:

-

S n

=

SPlNTE DINAMICHE

- llo = G

+

177

ll t + ll2 + M t- M2

(l)

Passando ai moduli si ha:

0,6 m

•

1

-

-

-

�

in cui il volume W si valuta come quello di un tronco di cono di altezza 2ttr/ 8 ; L

1

=

H, = PtAt = (n

•

·

lOs + ya) A , = 10965 N

Per trovare n2 bisogna anzitutto calcolare h = Zt - Z2 che risulta: h = r-r cos 45° = 0,26 m

•

Riapplicando il teorema di Bernoulli fra le sezioni iniziale e terminale della curva s 1 otttene: •

Si applichi il teorema di Bernoulli fra una sezione di diametro D 1 ed una a valle della curva, di diametro D2:

•

•

cui:

2. 2 Q Q�P• + 2gA� 2gAi 1

La differenza di quota piezometrica:

o= Zt+

2 - Z2 + P l

p1

....:....;._

l

2 P = + 1 2gA� Q

P• + h+ l da

2

•

= 154837 Pa

e quindi:

è data da:

Per le quantità di moto risulta:

o=� Im-I =O 29 3 m '

l

dove � = 0,02 m è l'incUcazione del manometro

Q=

d iffere nziale ; ne segue:

-- --=----= 0,084 m1 :1 1 --

2gA�

•

-=--

- -

.

n2

+

Do + M.- M2

D

o

_

p

At Q

2

A2

= 86,8 N

= 195,4 N

rispettivamente verticale , sull a e ull oriZZOntale s ) (l e n io az u Proiettando req .mta: sp lla de S. si ottengono le componenti So ed 7474 N o 5 4 cos 2 M S o- n · n 2 COS 45o + Ma·

2gAf

•

+

M2

s -1

Per determinare le co mponenti S ed Sv d e , 11a sptnta sulla curva l equazione globale d i equilib rJ. o dinan°uco al tronco di curva:

G+ n 1

M't = p

Q

2

si applichi

•

-

·S. ._ G + n 2 sen 45o

+

M2 sen 45o

•

3278 N.

CANICA DEl FLUIDI EC M E CA UU RA JD DI I M PROBLE

178

•

al�, efluisce olio ic rt ve no pi un in sto po a, ur fig � 6.4. Nel sistema in come un qUJdo pe.rfett�. ! or mp co si e er en rit ò pu � si e ch 3) m(r 9316 N . mta che Sl scan sp lla de le ca rn ve Sv e e tal on izz or So ti Determinare Je componen ca sulla flangia A-B (n 0,98 bar; Cc 0,85).

6

SPINTE DINAMICH E

179

e quindi:

�

•

�

=

=

=

-.. .-...l;oJ=2 __ .o 2_m . l

.�. · " ... · \ -· -........

= 5187 N

__ .

l � :O,J

l

c:

•T�

,.

1m --+1

•

\

Risulta:

l

l l A

l

l

/

l

/

•

z :O

Sv= G

-·

·-

-·-·-

2594 N.

=

8

6.5. Tracurando tutte le perdite, calcolare le componenti So orizzontale e Sv vertic ale della spinta sul tronco a T compreso fra le sezioni A, B e C, giacente in un �iano venjcale; il liquido in circolazione ha peso specifico 'Y = 83 3 5 N m- (n= 1,7 bar).

L'applicazione dell'equazione globale di equilibrio dinamico al volume flui do compreso fra la flangia A-B e la sezione contratta, permette eli scrivere:

·

dove:

-

S=

t--

-llo

e passando ai moduli: =

.. ,

...

.

b : 1.8 ,

•

•

G

·

•

rW = 2594 N

l l Al o1:1SO ,,,.,_ �·

c :1,6m

D2=CUm

o,

0,4m.

•

A

a:2m

= 6598 N n2=o

n( �-

Applicando il teorema di Bern . 0ul1l' fra 1a seztone A B e la seztone co nt ra tta, si ha:

e:

D)=D.2m

...

- · ·� c

m

l

. �-c

J

_ ..

·

e fluido deli· m lu vo al co ami din o ri lib ui eq e di al Si ap plichi l'equazione glob mitato dalle sezioni A-A, B-B e C-C:

·

� 'Y

+

=

2r

(l)

+ •

da cui:

dove:

Q

e

86,2

l

•

5-1

•

l

s--Do

DEl FLUIDI CA NI CA EC M E A lC UL RA ID PROBLEMI DI

180

zontale, si ottiene: iz or e on zi re di lla ne ) e (l on zi Proiettando ] equ a '

So= nA +MA

SPl 'TE DINAMICHE

6

6.6: Dal l a s e zion e terminale del tubo di 1fi gura � e ha .il propn.o se in . un ptano onzzonta � l �, defluisce la portata Q = 12 _ . sec valutare la coppta M ne. . ces san a perché il dispositivo no n ruott at torno al l 'asse verticl e a di tracc ia O 3 (y = 9806 N m- ).

� '

.

e passando ai moduli:

•

--T

o.3m

l

con: -

nA

=

181

1tD21 PA 4...:... _

1t D2l ...:... = 19268 N (n . 10 - y a) 4

·-·-·-·-·

s

=

= 152 N •

L

:

1,00

/. -'-;t- .

l . --L ...

•

\jl l

m

---:--:---�

La co�pia M deve equilibrare l'azione del flusso di quantità di moto uscen . te M 1 per il suo bracc10 b:

So= 19420 N

-

Proiettando la (l) in direzione verticale, si ha: Sv

=

G = lls + llc-Ms-Mc

e

e passando ai moduli: =

G + lls-Tic-Ms +Mc

0,85

=

m

quindi:

M Sv

IO CUJ: •

h= (L-0,3 tg 30°) sen 60°

=

Mtb

=

15,5 N

·

m.

6. 7. Trascurando gli attriti meccanici, ed ammesso che ambedue i bocca 10 l s-1, determinare, in gli del sist em a in figura eroghino la stessa portata Q Ca) del sistema attorno one azi rot di à ocit vel la te, nen ma per to mo i di ion condiz all'asse verticale della tubazione adduttrice.

•

=

G

ns

=

PB

1tD2 4

2

=

(n

=

•

yW = 2972 N D� lOs -ra-yc) 1t

4

=

=

=

a

e quindi: Sv

•

7 6 8 5 N.

120 N 68 N

9896 N 5131 N

o :0.1"' l• �

,_ �..- l1•

' ,""-

-

·

2

,

-

.. · -..

-

2

•

� '-

./

l

� i •

di uant ità _di fluss i dei ti mom en � fra i equil ibrio c'è cost .) (c.> A regi me essere: qum di Dev e ne. rota zio all'asse di risp etto bocc agli dai usce nti mot o =

(l)

•

182

PROBLEM1

NIC A D IDRA UUCA E MECCA I

D EJ FL U I DI __ __ ___

6

_ ___ __ _

w(t)= eiAdt (cost.

•

•

1D cw:

V1= V

4Q Wfi = 2 1tD

+

t=O

·

s-

B

1

Si arriva al medesimo risultato anche studiando il transitorio di avv iam en to. Infatti:

cost. =A e quindi:

o

•

m cw:

I è il momento d'inerzia del sistema rispetto all'asse di rotazione;

t w ()

=

-

B (l l\

_A

-c:-·t )

=

V(r2-r1) rf

+

ri

[1-e--pQr
La condizion e di regime viene raggiunta in teoria in un tempo infinito ed è . carattenzzat·J dal valore della velocità angolare: V(r2-r1) w = lim w{t)= 2 2 t-oo ( f} + f2)

w è I'accelerazione angolare; r è il momento delle quantità di moto. Ne deriwa:

A

_

W= O

si ha:

0,255 rad

B

Essendo per: •

Sostituendo i valori risulta quindi: =

Be-iAdt d t)

+

w(t) = cost. eAt

sono le velocità relative ai due boccagli.

w

183

+ Wfl

•

•

SPINTE DINAMICHE

=

0,255 rad

•

-l s .

6.8. Amm esso il liquido perfetto, determinare la componente orizzontale dell a spin ta su di una parat0ia piana verticale a spigolo vivo me sbarra un canale alta rett ang olar e largo L 2 m lasciando aperta sul fondo una 1luce rettangolare N m-3; 6 980 (y sm3 l a tat por la ce Q luis def ale l can m. Ne 0,2 a Cc 0,6). =

da cui:

=

=

=

2 .E9_ w = (rt •

+

I

2 r2)w

+

Posto: A=

_

.EQ. ( i d> I r

pQV

B=

·

I

-

(r2-ra)

risulta:

(a)= Aw •

+

B

•

=

•

ICA DEI FLUIDI AN CC ME E A IC UL RA ID DI MI PROBLE

184

dità pa ri on ha of e pr nt rre co la ia to ra pa lla de lle va Nella sezione contratta a ont� de� a parat�ia a ne zio s a un fra lli ou rn eli Be a � rem il � a Cca; applicando teo . nbuzlOne tdr os ta uca ist (d ta na �a e nt ove si possa ritenere la corrente gradualm � s1 ha: , lle va a tta ra nt co ne zio se e la ) ni sio es pr lle de h

2 V

+

--

2g

Cca

=

185

6·9· Un getto d'acqua bid imensionale ( . -3 06 98 m ) dt spessore s 0,1 m e velocità uniform e V 3 m N l-1 · s urta comro una p astra piana lunga t 0,8 m incernierata attorno ad un as L ' . se onzzo tale as am p � er il suo lato su pe ri or e. Ammesso il liquido perfetto e sapen c e a ptastra ha un peso t ' � 1177 N m- per unità di larg·hezza, determm p are: _

=

·

_

-

•

=

d � l

=

v� +

SPINTE DINAMICHE

6

.

a) l'angolo

.

di cui s'inclina la piastra rispet to alla verticale·, b) la divisione della portata operata dalla piastra.

2g

--

à: Da questa relazione, associata all'equazione dj continuit

Ot

si ricava, per tentativi, la profondità h della corrente a monte della paratoia che risulta:

-

y..rJ.

h= 0,989 m

4

cJ..-�

•

Applicando ora l'equazione globale dell'equilibrio dinamico al volume liqui do compreso &a la anzidetta sezione di monte e la sezione contratta, e proiettan dola sull'orizzontale, il componente orizzontale della spinta sulla paratoia val.e in modulo:

\ -

l

'l

-

•

� <

�

-

'

tA'

L

I\ A

l

�b-.(

essendo:

nM

=

l -vl Lh2 2

=

9591 )5 N

il modulo della spinta sulla sezione eli monte·

,

M 2c

il modulo della spinta sulla sezi one contratta·

'

M.

•

pQV

=

Essendo A-A la prima sezione che non risente dell'�i�ne della pias�, �p di usota plicando il teo rem a eli Bernoulli fra detta sezione e le sez1oru B-B e C-C della corrente dalla piastra, si hanno le relazioni:

2 V

505,6 N

2g

--

il modulo del flusso eli quan tità di moto entrante· '

M2

=

pQVc

=-

4166,7 N

il modulo del flusso di quantità di moto U$Cen te. Ne deriva: So

•

5789,2 N .

v2 2g

--

da cui:

•

•8+

vi 2g

a-Lcoset

+

l Vç

2g

v 8 .Jv1-2ga •

Ve

•

.Jv2-2g(a-L c:oset)

NICA DEI FLUIDI CA EC M E A IC UL RA ID DJ l M PROBLE

186

6

lume.liq� al vo o k � na di o ri lib ui eq ll' de e Si a lichi ora ]'equazione global di larghezza urutana; co on tr un r pe -C C e , -A A do comp o fra le sezioni ha: trascurando il peso del volume, s1

:':S

�-B

l

SPINTE DINAMICHE

187

Proiettando la (l) lungo la dir . ne della piastra e ezlo passando ai moduli, si ottiene: .

•

(l)

Ml sen (a-�)-M2s +M2c: O

che associata all'equazione di continuità fornisce: .

essendo:

, tal e tto è do rfe ui pe il liq é kh po a; str pia lla su e nt rre co S la spinta esercitata dalla ssa; ste tra as pi a all te en alm rm no tta re di è a int sp cui r;todulo vale pQ,V = p,V2s = 900 M1 il flusso di quantità di moto entrante il de l getto m arr1vo; e ass ali te den pon ris cor ne zio d'a ta ret ha ed 1 mN

pQV sen (a-�)-pQaVs + pQcVc =O

•

.

vamente attraverso le se etti risp i ent usc to mo di à ntit qua di si flus j c e M2 M28 e C-C i cui moduli valgono pQsVB e pQc Vc; esse son o amb edu e di zioni . rette secondo la piastra, ma in realtà non danno momento rigorosamente nullo

Q= Qs + Qc d a cui, essendo:

B-B

Per 1' equilibrio alla rotazione della piastra deve essere: P

L 2

sena

=

Q = Vs = 0 ,3 m2

•

s-1

si ha:

V sen («-@)+Va 1 c = = 0,17 3 m · s-• Q Q Ve+ Vs

M d cos� 1

-

6.10. Un serbatoio a sezione quadrata di lato L= 0,6 m è pieno d'acqua con profondità ho= l m. Sulla sua parete verticale è praticata una luce circolare di diametro d= 0,05 m, con centro alla distanza a= 0,2 m dal fondo. Trascu attriti e l'inenia locale, calcolarct la legge di variazione nel tempo della rando forza F necessaria a mantenere fermo il serbatoio durante il suo vuotamento (T = 9806 N m-3; Cc = 0,61).

a

gli

--

•

.

·-

·-

/

� :)QO ·-

•

/

•

-

L-

da cui:

•

_.,

2Mid cos@ PL

-=

55o 5'

a • d-[d sen� +d cos� tg(
V a • 1,32 m. s-1 Ve

•

3,25

m

•

5-1

l

F

f

•

- __ .... ... -· d �

f

ICA DEl FLUIDI N CA EC M E CA U U RA ID I PROBLEMI D

188

6

al volume liq�ido co rru na di o ri lib ui eq ll' de e al Applicando l'equazione glob tto effluente, la spmta ge l de a tt ra nt co e on zi se la al contenuto nel serbatoio fino vale: agente sulle pareti del serbatoio

SPINTE DINM1JCHE

189

La condotta di aspirazione AD , e farmataalda un tratto tronco-conico AB nel q �a le il diametro dec resce dal valore D t al v or D2, da un tratto BD avente � � dJametro D 2 costante. U m ot o è pe rmaneme e st tratti l'acqu a come un liquido per fe tto . . Nella sezione tnimediatameme a monte della macchi na è applicato il vuotometro M2. A �segnati i diametri interni Dt 0' 3 m, 02 0,2 m e lo spessore . delle tubaz10ru s 0,02 m:

•

.

dove:

=

azione orizzontale e m o d' a tt re n co e, nt ce us o ot m di à M2 è il flusso di quantit cità nella sezione lo ve la e V te en flu ef a at rt po la dulo pari a pQV, essendo Q amemo; contratta al generico istante del vuot G è il peso del volume liquido.

=

. a) tracciare la linea dei carichi totali e la pt. ez ometnca della condotta di aspirazione; b) calcolare l'indicazione 02 del vuotometro e la sp. mra Sss· che st scanea . flangia B-B '. sulla

•

ontale, aff in ch é rimanga izz or no pia un su re rre sco ò pu o toi ba ser il Poiché par ia a M2; è perciò ne ces sar io sia F za for la e ant ist i ogn in che e orr occ , mo fer effluente Q. individuare J'andamento nel tempo della portata

=

.

•

E

Dall'equazione dell'efflusso, considerato il liquido perfetto, si ha:

�

�

!

F'

P l

o

2 d .J2g(h-a) Q= Cc 7t 4

.

'

(l)

•

�

�vendo in icato �on h a qu�ta ella superf cie libera del serbatoio al generico Istante t; 1 equaz10ne dt contmmtà formsce moltre:

l

_

l

(2)

-LINEA

z:O 1--------PI�ZONETRICA -

-

--

-

---

p�,

Ricavand ?. h dali � differenziando e sostituendo nella (2) questa viene . Integrata fra ltstante truz1ale t O, in cui: =

d 7t Q= Qo=Cc 4

2

v'2g(ho-a)

dotta con la del ali tot i ich car dei ea lin la to, fet per ido liqu esi di pot a.) Nell'i serbatoio A; da del era lib ie rfic supe la per te san pas 1e nta zz.o è ori r e ion d'aspiraz pertan ; /2g V2 che eti cin e ezz alt lle de osi nd ssa ba ab ca tri ess a si ricava la piezome orizzontale per ò, rci pe e, ali tot i ich car i de ea lin a all a lel ral pa è to la piezometrica ò essere pu e nt ge er nv co o nc tro il r tre en m , BD il u·atto a diametro costante � alcune sezioni. in g /2 V i in rm te i do lan lco i ca nt pu r tracciata pe

e l'istante generico, ottenendo in definitiva:

e quindi:

b) L'indicazione del wotometro vale: 02

N

•

6.:11• La pompa P estrae dal s · A contenente ac qu a (y rb atoJo 9806 m 3) la portata Q= 0,11 -l m3. s la manda nella condotta pr em en te EF.

:

=

=

-1 0,2

+

V�

2g

•

10-S

=

-1,47 bar

�

m?vimen�o in a u q ac l' e � i S ta in sp la La spinta S8w è la risultante del m qwete a u q ac l e m e S la el AB e di qu te n ge er v n co el d a rn te in e et ta sulla par esso. st te en rg ve n co el d a rn te ete es n e l serbatoio esercita sulla par

190

6

I CANICA DEI FLUID C E M E A C LI U RA PROBLEMJ D I ID

nel converge nte to u n te n o c W a u cq 'a d a1 volu�e o d n a c li p p a a v ca ri si i La S arruco: m d o ri ib il u eq i d le a b I'equazjone glo

SPINTE

DTNAMJCHE

191

. p�r i baricentri delle rispettive sezioru· , le spmte n e n B . passano per i rispettiv1 cen tn di spmta, st.tuati, rispetto ai baric entn, dalla A parte opposta delle linee di spo nd a ad una distanza: .

.

•

(l)

�

=

Io

(2)

M

!rascurando la piccola spinta sulla corona circol are che cosu.tw

nella quale:

sce la "Seztone d Imbocco del convergente, Se e' l a sp.mta t.dr osta . ttca sulla p�ete troncoc�:mJca esterna de l convergente stesso. Essa si calcol eli a col metod o d eJ componenti, che , nel cas o particolare si riducono a due Qu o on. zzont al ll e o e pan all a . . spmta s u1Ia corona circolare, di diametri (DI + 2 s) e (D2 + 2 s), ot :e nuta prote t tan do la superficie esterna del convergente su di un plano ventc al e normale all'asse; il suo modulo vale: .

Gi è il peso del volume W;

.

•

'

me ris pe tt iv am en te lu vo O SS Ste llo su e at cit er es te in sp flA fls e fio sonO le ella ch e si tr ov a a de qu da , A' Ane zio se lla de ra ist sin a va dali�acqua che si tro del convergente; te re P.a lla da e B' Bne zio se lla de a str

'

·

·

•

portata entrante e di quella lla de to mo di ità ant qu di ssi flu i o son MA ed MB uscente. Essendo, per il principio di azione e reazione Si otnene:

=

-

D o, dalla (l) si

il verso è da destra verso sinistra; la retta d'azione, parallela all'asse del conver gente, passa per il centro di spinta della corona circolare suddetta, che si indivi dua applicando la (2) alla corona stessa. D componente verticale Dv ha modulo uguale a quello del peso del volume d'acqua:

•

nella quale i vari addendi hanno i moduli:

llv = Ge = Y

=

Ds

=

y H1-

225,9 N

2 v2 2g

l

=

53,8 N

M A= pQV •• 171,6 N Ma • pQV2• 385 N Si noti che la spinta n è . n ol verso l'esterno de l vo lum e perché ris ult a negativa l'altez za piftQm:etr a e tr o d� �zione B-B'. Si noti anche c:he, mentre f1ussi quantità di moto MA ed Ma pas san o

l� k � �

,

1 12

n[(DJ

+ 2s)1 +(Da + 2s) (02 + 2s) + (02 + 2s)�2,5 � 600,4 N =

che si può immaginare contenuto nel t ronco di cono delimitato dalla superficie sovrasta est ern a del convergente; ciò in quanto il peso del volume liquido che lo la verti è one direzi La . sto oppo no seg con ma te, vol due o tat pu de ve essere com baricentro del vo il ne zio lica app di nto pu , il lto l'a so ver sso ba l da cal e, il ve rso lume anzidetto. tzon ale 6.12. Davanti al getto ad asse oriz 2S m; d dall'ugello di dimensioni assegnate (D • 0.

9806 N· m-3) �te 0,5 D;� 0,8.5) SJ ponga

(y •

=

•

successivamente: •

al getto; e ar ol ic nd perpe a an pi a tr as pi 1) una la sezion_e to � qu a rg la re la go an tt re e sezion 2 ) u n a canaletta rett ilinea d i con la di· ° 0 6 i d lo go n l'a te an rm ontale e fo zz ri o as.se J' te en av , ta at tr n co rezione d el getto; piano el n te en ac gi e 1' con a � l caso 2) m e d a ll e u q e m co a tt e al n a c a n u ) .3 a verticale. D su ° 0 3 i d o at n cli in verticale d e l getto ed

192

PROBLEMI DI IDRAULICA E MECCANICA DEI FLUIDI 6

Asse.gnate le dimensioni geometriche della parte terminale della condotta e 133362 N m-3) Ll = 2 m, rindicazione del manometro a mercurio Crm calcolare:

-

•

=

•

- •

SPINTE DINA MICHE

193

-!:J�E.A C:ARIC�I TOTALI •

o

Q;

a) la portata

b) l'indicazione n del manometro metallico M collegato al tubo di Pitot;

v.2 � 2g

c) le spinte sul convergente e sulla curva AB della condotta; d) le spinte sulla piastra piana e sulla canaletta nelle due posizioni indicate ai punti 2) e 3);

-

l l l l

e) le frazioni di portata che effluiscono dalle due estremità della canaletta nelle situazioni indicate ai punti 2) e 3). -·-·

l: 2m -

:0.50 •

c

-

2g

-

\l2

•

a) Applic d o il teorema di Bernoulli tr a la sezione in � metro a mercuno e ]a sezione contratta si ha:

D+ a ..I!!.+ v2

o ,, ,

.

......

,

-

.

2g

r

-

--

_...,_,

40 o

l•A• l

-

D

.,. o.ao -1d/z�

.,�li

di

-·--·-

•

•

e posto il mano.

'

v� 28

Q � V= A

•

Q.

b) Poiché V è la velocità nella sezione in cui è applicato il tubo di Pitot, l'indicazione del manometro ad esso collegato vale: n • y A .l!!.+ r

l

=

cw.

dalla quale, essendo:

si ricava

l l

---

V2

2g

+

D-2D

·

10-5

c) Applicando l'equazione globale di equilibrio dinamico al volume liquido compreso tra la sezione f.p e la sezione contratta, si ottiene:

G,c

+

n,

+

Dc

+

fio

+

MF-Mc

•

o

•

•

ECCANICA DEI FLUIDT M E CA UU RA ID I D I PROBLEM

194

SPINTE DrNAMJCHE

6

195

essendo Mc pQVc il modulo de1 flusso della quantità di moto contratta nella sezione . d.2) Si applichi r equazio ne globale di equilib . . no cllr:arruco al volume compreso fra la sezione contratt a C -C e le sez.loru_ 1 ·l e 2-2· . . . rilevando ehe su tutte tre le sez10ru cttate, come sull e a superficie d l li w.d o a contatto on l' tmo 9 agisce la pressione atmosferic sfera, � � a e pertanto 1 spmte sono nulle, l equaz1ooe m e la forma: assu=

nella quale: ido; Grc è il peso del volume liqu ercita su l vo lu m e es F Fne zio se fla de ra St Dl a SI fl F è Ja• spinta che }'acqua considerato; . C-C es�rcita su1 voIurne ne zw se lla de a str de a a t · a tu si a llc è la spmta ehe 1'acqu ·

·

.

•

·

·

:

considerato; . . terale; . ie la ic rf pe su la o ng lu e sc bi su e rr0 e la spmta ch e il volum ante; tr en a at rt po lla de o ot m di tà ti MF è il flusso deUa quan nte. ce us a at rt po lla de o ot m di à tit an Mc il flusso della qu ,

dove:

�<:

llo è la spinta esercitata dalle pareti e dal fondo della canaletta

O. Per pressione atmosferica, la e isc ag tta ra nt co ne zio se lla ne é ich Po sulla superf1c1e laterale era osf atm i' dal · ata rcit ese a t · spm ]a ulla n e o · l0 stesso motlv . a eserc1tata dalia parete mt sp la n co ide inc co o D nto rta pe , e EC tto del tronche te vale allora: en erg nv l co su S4 nta spi la te; en erg nv co l de ida sol =

sul vo1urne liqw· d o! la qu ale pe r l'.lJ?Otest. di liqw"do per fetto non ha componenti tangen . , ziali e qumdi e contenuta m un piano vertical e perpendicolare all'asse della cana 1etta. La sp in ta subita dalla canaletta vale allora: ·

·

'

o

(l) La spinta Ss sulla curva AB si ottiene applicando l'equazione globale di equilibrio dinamico al volume liquido che la occupa; si ha:

Proiettando la

(l) sulla verticale, si ottiene il componente verticale della spinta: S2v

li mod ulo del componente orizzontale S2o si ottiene proiettando la (l) su un asse orizzontale perpendicolare ali' asse della canaletta, e vale:

dove: Gt\B è il peso del volwne liquido,

Slo

DA è la spinta esercitata dal liquido di sinistra sulla sezione A-A; Do è la spinta che l'involucro torico esercita sul volume in questione; MA è il flusso della quantità di moto nella sezione A-A;

s2

Mc

cos

30°

Si ha:

=

G

+

s2o

n calcolo può essere eseguito dopo che Ja risposta al quesito di cui al punto e) avrà fornito gli elementi per la valutazione del peso G .

Ms è il flusso della quantità di mo to nella sezione B-B. •

prece· den te ottenendo ancora un equazione formalmente tdcnuca alla (1): (questa vol ola su ta tut te le forze sono contenute nel piano verticale del getto). Protettand di u n ass e perpendicolare all'asse della canaletta, si ha: .

d.3) Si applichi l'equa_zione �obale in modo a�fatt� analogo al

•

�.1) � sp�ta s. sulla pi�tr� si calcola applicand? l'equazione globale di

equilibno dinamico al volume liqwd o compreso tra la sezione contratta e la ia p stra Tenendo P sente che il liq uido� perfetto e che pertanto la sp in ta � per � �dicolare alla piastra, dalla proiezione di detta equazione sull'asse de l getto si ottiene: .

=

Infine, si ha:

Ds è la spinta che il liquido eli destra esercita sulla sezione B-B;

•

G

=

•

s •• Mc

S3

•

G

sen

30°

+

caso

Mc cos 30°

sono .alla stessa ta let na ca lla de ità m tre es le e tto ge l c l'asse de n 'eh_�. e. l) rOI lianza ag gu l'u al a rt po li oul rn Be di a m re teo quota e alla stessa pressione, il Ve. Vt

•

V2

ANICA DEl FLUIDI C EC M E A C LI U RA PROBLEMJ DI ID

196

6

SPINTE DINAMI CHE

197

-

Poiché è lecùo trascurare i termin i:

uità alla: n ti n co eli e n io az u eq i l' d in e qu

Ac = A1

+

(2)

A2

ht

o

--...,;._

tale), si n zo iz è e or h (c ta et al n ca a ll de (l) sull'asse e l ba o g1 e 0n z1 ua eq 1' o d an tt 1e Pr0 ottiene: Mc cos 60° =M, -M2

2

·

COS

60°

·

da ta la loro m od es ta entità ' dalle (4) e

•

V

0SSJa

t

=

•

pV2Ac cos 60° pVrA,-pViA2

=

comuni: i or tt fa i i br em m e du ai do an in im ed el

A2

�

tte ]'individuazione di me per , la (2) con a em t < sis in e, on azi equ a est Qu e quindi delle frazioni eli portata:

A1

51•

ncavano 1e ve 1OCJt · à: •

�V�- 2gL cos 30°

v2 ..Jv�

=

r5) \

+

2g L cos 30°

ch e tro d o�te insieme con la ne e (6) e (7), portano ad un sistema lineare nel le mcogrute h t ed h2, la cut. nsoluztone fornisce gli spessori della corrente alle . usctte dell a can alet ta, e conseguentemente e le frazioni di portata:

(�)

�

A1, A2

e

Si conoscono cosl anche gli spessori: ht

=

At dc

della corrente in uscita, cile servene per il cal col o del peso G nel punt0 d.2). Approssimativamente si pl:lÒ porre:


(3) e.2) TI problema si risolve applica ndo il teorema di Bernoulli due volte tra la sezione contratta e le sezioni di uscita A1 e l'equazione di continuità e I'.e uazi?ne globale di equilibrio dinamico proietta a lungo l'asse della canaletta, � ctoe scnvendo le equazioni:

la 6.13. Dal boccaglio a d asse orizzontale schematizzato in figura esce portata Q 1,4 l s-1; il getto tocca il suolo, posto a? h 3 m sott� l'asse del . Determinare la spmta sul boccaglio, ammes =, m 6 L za tan a dis un ad , boccaglio so il liquido perfetto (y 9806 N m-3). =

A2 ;

v� 2g

v� 2g

=L cos

30°

+

=L cos

30°

+

hl .2

hl 2

cos

COS

60°

60°

+

+

Vi 2g

Vi 2g

=

G ces

30o

+

Mt-M2

•

=

'

0:0,025 m

(4)

(5) (6)

Mc cos 60o

=

•

(7)

h:3 m

' l

l l·

L:6 m

,

..

MECCANICA DEI FLUrDI PROBLEMJ DJ JDRAUUCA E

198

=

.

·

199

o

•

.

.

=

•

·

SPiNTE DINAMI CHE

6 l 6. � getto vertic ale effluente dal . boccagl io tn ftgura, viene 90 d� una ptas r a piana deviato di o r iz z o ntale eh e �esa p � 600 N. Ritenendo il p e rf e tt o , determmare a q liqUI'do uale alt ezza st. dispo . ne 1a ptastra (y 9806 n = 2 b ar ) . N m-J.,

a alla quale corrisponde la ur fig in la pa lla de 1 V à cit lo ve la e 6.14. Calcolar 2,5 0 m s -1 V è te en rr co lla de à cit lo ve la a; at massima potenza svilupp (y 9806 N m-3). =

6

=

•

.

v

v

o

l

l

6.15. Una piastra piana circolare si muove con velocità V = 5 m s-1 in 1 direzione contraria a quella di un getto con area trasversale costante A = O 30 12 m s-1•• Determinare la potenza necessaria al moto d�lla m2 e velocità V2 pjastra il cui peso è trascurabile (y 9806 N m-3). ·

=

•

l

•

=

a:

•

1,2 m

•

l

•

l •

l •

6.17. D getto d'acqua orizzontale (y 9806 N m-3), effluente dal boc chello term inale dell'impianto in figura, investe una piastra piana circolare gia· cente su di un piano verticale I diametri della tubazione e della sezione teiminale del convergente sono ri· tuba spettivamente D= 0,1 m e d= 0,03 m. Le lunghezze dei tratto curvo di l 1 m. zione (raggio di CW'Vatura r = 20 m) e del bocchello sono L 10 m e lico M in tal me o etr nom ma l de bar 2,5 n e on azi dic l'in , ltre Sono noti, ino m rispetto al piano 3 ht.t ota qu a sto po è tro cen bari cui il 2 e ion ito ser nella sez termina· ione z se lla de tro baricen il per e nt ssa pa O z zo tale di riferimento orizn cien· ffi coe il ed ta es qu da tta ra nt co ne zio se lla ch llo, la distanza d/2 de le dd boce te di contrazione Cc 0,8. Determinare: •

• •

l •

l l

1'-

l l l v, l l ..-�---D: 1,5 rn ---�

.

•

•

•

•

=

•

•

a) la portata

Q circolante nell'impianto;

•

200

6 SPINTE DINAMICHE

FLUIDI A E MECCANICA DEI PROBLEMJ DI lDRAUUC

la spinta . piastra per contrastare F d a appli care alla b) la forza onzzontale a; stess ra piast sulla o del gett curva e sul bocchello. S della corrente sulla c) la spinta complessiva

6.18. La turbina T scarica attraverso un diffusore tronco-conico, di !un· ghezza L= 3 m in un serbatoio sufficientemente grande perché l'acqua ("( 9806 N m-3) vi si possa ritenere in quiete. Il baricentro della sezione ini· l m, si trova a quota z 1 0,08 m ri· ziale A-A del diffusore, di diametro 01 spetto al liveUo dell'acqua nel serbatoio; la sezione terminale B-B ha diametro Dz 2 m. L'asse del diffusore forma un angolo di 45° con l'orizzontale. L'impianto è fermo. Si richiede: =

•

=

=

=

a) la spinta S, sul diffusore. .Nell'impianto circ?la la portata Q 3 m3 s-•. Si possono ritenere trascu· . _ rabili le perdite lungo il diffusore. Si richiede: a

•

b) il tracciamento della linea dei carichi totali e della piezometrica lungo il . diffuso re; c) la spinta Sz esercitata dalla corrente sul diffusore.

201

MACCHiNE A FLUlDO

7

203 -

7

MACCHINE A FLUIDO .

' p

•

•

'

'[,tf\-

__..·-\.

1

La differenza di potenza di una corrente tra ingresso e uscita di una mac china a fluido, consente di effettuare la seguente distinzione nei due tipi fondamentali: - macchine motrici (turbine) in cill il carico totale a monte di quello a valle Hv;

_l

HM è maggiore

- macchine operatrici (pompe) in cui viceversa il carico totale a valle è maggiore di quello a monte.

l

Dall'indicazione del manometro differenziale si ricava il dislivello:

Ò La potenza effettivamente ricavata da una turbina (o ceduta da una pompa) è legata a quella teorica attraverso il rendimento 7); più precisamente: nelle macchine motrici: P

=

=

À

1

'Ym-"f 'Y

3,78 m

fra le quote piezometriche della corrente nelle sezioni di uscita e di entrata della pompa. La prevalenza ÀH, e cioè la differenza fra i carichi totali della corrente im mediatamente a valle e a monte della pompa, vale perciò:

7)"( Q (HM- Hv)

V�-Vi

•

nelle macchine operatrici:

ÀH •

�

=

=

ò

+

2g

=

3,86 m

essendo:

v.=

c:ll

n rendi�e o una turbina può spingersi fino ad oltre 0,90, me ntr e quello delle pompe e ertore a quello delle turbine di pari potenza ed è no rm alm en te compreso fra.0,60 e 0,85.

Q At

monte e a te en m va ti et sp ri te en rr co le velocità medie della corrente vale: la al e ced pa m po P a I e ch . L a potenza c

PROBLEMI

Pc:

7 .l. Fra le sezioni di entrata e di setta � . d eIla �mp� ral?presentata in fi gura, è inserito un man . ometro diff rel ta1e che fo rru sce ltndicazione Il • 0,3 m. Nota la portata Q= o,o5 l _ m 5 50 evata alla pompa, de te rm in ar ne la potenza Cr 9806 N m-3. v 13336 2 N m 3 ; Tl • O ' •m , 75). •

•

�

l

•

•

=

�

•

yQi.\H

•

1892,6 W

•

1,89 kW

pari a: le è ir rn fo e rr co P oc e ch p m en tr e la potenza pP.

Pc 'l

•

2,52 kW.

a

valle della pompa.

204

PROBLEMJ DI IDRAULICA E MECCANICA DEl FLUIDI MACCHIN E A FLUIDO

7

7. 2. Della turbina rappresentata in figura si con?scono l a �ote_nz� _ p = 9000 kW ai morsetri dell'alternatore ad es�a acco�p!ato, l�. mdJcaz �oru _ . n1 37,3 bar ed n2 0,5 bar dei �ue n:�nometn me �allict msentJ nspetttva mente nelle sezioni di entrata e di uscna della turbma e la portata Q 3 m3 s-1• Determinare il rendimento del gruppo turbina-alternatore (y = 9806 N m-3). =

P = T)

=

rQ

o

1000

205

Q2

+

2g

=

=

9000 kW

da cui si ricava il rendim ento:

•

·

T) = 0,809 . f

�

. 7. 3. . Determinare la potenza P c: u� a dalla pom pa in figura; il liquido è d� n�ene rs t perfetto (y 12258 N m ) ; il manometro met allico forrus .. · ce l'm dicaz10ne o= 0,78 bar (jm 133362 N. m-3). =

·

=

•

-

l

a =3m h:7m 0:0.25m •

•

p

--

+

"2

dette

Zt

e

Z2

0

=

tamente a monte e a valle della turbina·, le quote dei baricentri dei m anometri, si ha infatti: Zt

+

Pt l

-

z2

P2 +

l

=

!

a

+

105 --(n t- n2) = 3 78,3 m 'Y

·

Introdu cendo 4H nell' es rp rendimento globale del gru p po

+

:1

Q2 2g

Nei due tronchi di condotta, a monte e a valle de lla pompa, portata e velo cità media sono costanti. perfetto la differenza fra h e

Nell'i potesi di fluido

2 V -2g

=

h-

n

1

At�

�ne de11 a potenza, dov con 11 si � in dicato il � btna- ai ternatore, SI. otttene:

da cui la

o

105 ·

'Y

'

iSulta es presso dalla relazione: l

'

netica della corrente:

Indi . ca e codi� At ed A2 le aree delle sezioni a mo nte e a valle della turbina il Salt0 u t ile �.&H que st a ( p ari ali a diff erenza . . . d1 cartco totale della corre seztoru a monte e a vall nte nelle e) r.

AH= ò

�----

•

Dalle indicazioni dei manometri si de duce la differenza 8 di quota piez . ome trtca deHa corrente nelle sezioni im media

-- - -y 4:Um

_p_ è ap ri all'altezza ci l

0 64 m ,

portata:

Q. VA. 0,173 m3 s-• o

Dall'indicazione del manometro differenziale si ricava la

•

4H. 4 X•-X ...

•

17,78 m

prevalenza:

•

NICA DEI FLUIDJ A CC E M E A C LI U RA ID PROBLEMI DI

206

MACCHINE

7

A

FLUIDO

207

'

in cui la prevalenza �H vale:

e quindi: p= yQAH =37,7 kW.

Z2 +

· u n liqujdo con peso sp ecie sc ui fl de e al qu 1 7 .4. Per il stste�a ·m f . ritengono tr as cu rabili si e al qu il r pe e , ( n m N 7 8 7 0 1 y = . ftco re: na rrru te de , co ri ca di e it rd pe tutte le

1_ �� b�)

·

·

2g

-h,

=

21,1 m

P=83,8 kW

•

.

--

Ne segue:

l

'

a) la portata effluente Q; . hqutdo; al pa m po la al d ta u d ce P a b ) Ja potenz getto. l da a nt iu gg ra m h a m si as m ta c) la quo

Vi

'

c) La m�sima altez za hm ra�giunta d� getto si può calcolare applicando . nuovamente il teorema di Bernoulli fra la sezlone di sbocco ed il punto di massi ma altez za dove la velocità si riduce alla sola componente orizzontale:

•

v�

v�

=Z2+hm+-2g 2g

Z2+

--

con: '

v2= 20,82 m • s-•

o

�- - --=--

l

da cui: hm= 11 m.

z:

o

Ritenendo trascurabili le perdite di carico lungo il diffusore, deter 7 ; ra; essa ha un minare la portata Q e la potenza P sull'asse della turbina in figu =4,9 bar). Van 1; m• N 55 73 = "(m 3; mN 06 98 ("( 0 0,8 = T} to rendimen lutare inoltre la spinta sul diffusore.

-·--

,

_....;:;.

n

.

=

a) L'applicazione del teorema di Bernoulli fra la sezione in cui è inserito il manometro metallico e la sezione di sbocco, consente di scrivere: Z1 +

---

2 Q � +2g A l

=

•

•

Z2 + •

da cui, essendo z

1

=

0: h

:2m -

Q= ..

z:O

b) La potenza ceduta dalla pompa è data da lla relazione: p.

rQaH 1000

(kW]

l

MECCANICA DEl FLUIDI PROBLEMl 01 IDRAULICA E

208

7 MACCHINE A FLUIDO

ulli fra la sezione di appli. chl il teore,;,a di Berno Per trovare la portata . o nel ser b atOio.. sbocc di e sezion la e a uscita della turbin

. ��

P2 + Z2 +T

dove tutte le forze in gioco sono verticali e valgono in modulo:

G=TW n2 =P2A2 n,= p,A, M2 = pQV2 M,= pQV3

v2'v22 = -Z) +.E!.. +2g •

--

T

2g

Essendo:

(-Z3 + �3) ( lP2) -

Z2 +

-

�-� 2g 2g

=

ò

La spinta S, esercitata dal liquido in quiete del serbatoio sulla superficie esterna del diffusore è diretta verticalmente verso il basso ed ha modulo pari al peso G' del volume liquido compreso fra la parete esterna del diffusore e la su· perfide libera del serbatoio. In definitiva la spinta totale sul diffusore è pari a:

e:

S

o= A�= 0,175m T

�---__::o 2gA�

D

salto disponibile

= 0,562 m3

___

l

-

l

•

=

S;+ S,.

7 .6. Una pompa solleva acqua (T = 9806 N • m-3) da un serbatoio come mostrato in figura. Ammesso che il liquido si comporti come perfetto, detenni· nare la componente orizzontale So della spinta sul suppono della pompa, quando la sua potenza teorica è P a IO kW (C, • 0,90).

si ha:

Q=

209

s-1

2gAj

AH risulta:

p - zv+ v + v� AH=HM-Hv= ZM+ PM + y lg y Tg

v�) {

(

)

z:O

in cui:

HM•ZM+ n·

IO'

2

---

T

Hv

•

3+

Q 2+ --

Q2 2gAl

2gA,

•

=

54,38 m

0,38 m

4H-54m

della potenza Introducendo nell'espressione

� P-'l •238kW 1000

pompa:

p. yQIUI

La spinta � sulla parete interna del diffusore viene . il. !�rema globale. d�'equih'brio dinamico al volume ztoru 2-2 e 3-3; s1 ncava:

della

determinata applicando liquido compres o fra le se

: il valore della prevalenza

.àH Hv-HM •

81•G+n:+n,+ Mz-M,

•

1,5

(

+

2�)

210

I FLUIDI PROBLEMI DJ IDRAULICA E MECCANICA DE

7

si ottiene l'equazione:

4248,6 Q3 + 1,5 Q-1,02

=

MACCHINE A FLUIDO

A pp lic ando il teo�e a � Ber oulli fra la sezione di uscita del bocca � ? glio ed . � punto ove il getto conuncta a ncadere (e quindi l'acqua ha veloc ità nula l ) s1 rtcava: .

o

'

•

che risolta per tentativi fornisce il valore della portata:

3 Q= 0,06O m · s

211

h=

-J

Applicando l'equazione globale � e9u�i ?rio dinamic? al �oJume delimitato dai piani verticali passanti per !e seztoru �l m gress o e di usc1ta della pom pa e proiettandola nella direzione onzzontale SI ha:

·

v� --

2g

•

Vu = 19,81 m· s-1 essendo V u la velocità media della corrente all'uscita del-boccaglio; nota Vu si ot tiene la portata:

So = n.+ ll2 dove:

= r 1,5

y2 +

--

=

2g

2 1tD

--

4

=

362 N

!

Ammesse trascurabili le perdite di carico nelle condotte di aspirazione e di mandata, la prevalenza della pompa è pari a:

�H = h

2542 N

So = 2904 N.

P=

7. 7. Una pompa fissata ad una zattera galleggiante deve prod urre un get to che raggiunga una quota h sopra la sezione terminale del boccaglio eli usci ta ad asse verticale. Ammesse trascurabili tutte le perdite eli carico, determinare la por tata Q e Ja potenza P della pompa (y = 9806 N m-3; 11 = O, 75). •

:20m

-

xQ�H T) 1000

=

11,7 kW.

l

Una turbina Pelton, con una girante di diametro . D = 2 m è mossa 7 8 to da una velo ma aru ed m 5 0,0 = d tro me dia di ico ndr cili a cqu d'a to get da un cità V = 60 m s-1 (T 9806 N m-3). Calcolare: .

.

•

=

•

cita us di lo go an un o nn ha e ch i hia cc cu i su te en a) la spinta massima SM ag di 1500; . .. mple 200 gttl co te an gir la do an qu to en im nd re il ed a b) la potenza sviluppat al minuto primo.

-

b:1 p -

---

a + b = 23 m

e quindi la potenza vale:

e, in definitiva:

h

+

ZATTERA

m ·-

- --

-·-·

212

l FLUIDI PROBLEMJ DI IDRAULICA E MECCANICA DE

7

da una velocità: ato im an o iai cch cu un eli su nta spi lla de lo co a) Il cal

. 7 9· Un a turbina radiale ha la · ante c on le se ent J c aratteristiche : gu o RJ = 1,5 m; R2 = 1,0 m· �� = 60o· � o 2 essore. de�a girante (para lle ' .lo all �sse di rotazione) � b = 0,5 0 m. ua ndo· l p e del distnbut?re sono ango 1 la te dJ
-

Q

,

solidale al cuc chi aio può essere eseguito scegliendo un sistema eli riferimento da un get to con stesso; ciò equjvale a considerare il cucchiajo in quiete investito una velocità:

213

MACCHINE A fLUIDO

�

;o

.

J

V'= V-U

La spinta S agente sul cucchiaio, si può ricavare appli cand o l'equ azion e globale eli equilibrio dinamico al volume tratteggiato in figu ra (sì trascuri il peso G):

:::>•

S = ME- Mu o

Proiettandola nella direzione del getto si ha: S

=

pQ(V- U)

+

2p

Q 2

(V- U) cos

(1t-�) = pQ(V- U) (l

La spinta massima si verifica per U = O e vale in modul o: SM = pQV(l

+

cos 30°)= 13191 N

b) La velocità periferica della ruota risulta: 21t

U =Cù D = 2

200 D = 21 m 60 2

•

s-t

Conseguentemente la potenza ritraibile è: p= SU= pQ{V-U)(l

+

+

cos 30o)

L'appli��zione delrequazione � �ontinuità permette di valu tare le compo nentJ. radiali VR1 e VR2 della veloctta assoluta V all'ingresso e all'uscita della macchina: VRJ21tR1 b =Q

VR1 = 3,18 m

VR221tR2b =Q

VR2= 4,77 m· s-1

La potenza del getto vale: P• = rQH = r Q

2g

ed il rendimento:

7)

•

p

P,

•

= 212 kW

0,849.

s-1

relativa L a condizione di massimo rendimento si realizza quando la velocità o il triangolo del uat ivid ind ì cos ulta Ris e. pal alle te gen tan lta risu so res ing in 1 W lla di que e 1 W a ativ rel tà oci vel la e urr ded no sso po si cui da le velocità in entrata trascinamento U •·

cos 30°)U = 180 kW

v2

•

V1 VELOCfTA' A$0l.UTA W1 VELDCITA• RELATIMENTO A IN lRASC D A rT C LD E V 1 U

214

PROBLEMI DI IDRAULICA E MECCANICA DEI FLUIDI

I moduli delle grandezze vettoriali dj cui sopra risultano:

Vr=

="

12,3 m

·

s1 ottiene: •

ru

=

--

R1

u2 =

u2

=

R2

=

6, 7 rad

·

•

La potenza assorbi ta dalla macchi na si puo relazione: ' calco1are impieg ando la

s 1

7 ·1 O· L,elica eli un . aeroplano devl e p od u e - pmta F = 1�00? far o a r e l' pparecchio alla N per � velocità � = 50 kg. Calc_ lare il diametro dell e li ca affmché il rendim m � ento sia TI·• = 0 8 ( 2 l 4 Pa , ). m

�

•

V

� � �h � _

6, 7

m

•

s- 1

1

Analogamente rimane individuato il triangolo delle velocità in uscita:

l t l

2 •

l l l

tv

:

1

• • • • • • • • • • • • • • • • •

V2 VELOCITA' ASSOLUTA

(

4

e :v,

l

1

i

[ : ..

•

D • • • •

l l

:

l

2

l l

§!

'

l

l

'

3

4

l

Vn

=

=

vR2 coso

=

W2 seno- V2

V 2 VVb VL =

9,54 m. s-•

+

=

•

3,49 m. s-1

5, 9 1 m

Introducendo la relazione:

•

s-1

•

VIU

Vn

...

.. .. ..

Si consideri un'elica di aeroplano che si muove con velocltA Va nell'atmo sfera in quiete. Assunto un sistema di riferimento solidale con rapparecchi o si può osserva re che l'aria a monte dell'tlica (ove il flusso è ancora indisturbato) è animata da una velocitA V 1; I'elica stessa produce un'accelerazione dell'aria per cui a valle di essa la nuova velocitA è pari a V4. •

Con riferimento aDa figura si consideri il tubo di flusso che circoscrive l'eli· ca con le sue sezioni 1-1, 2-2, 3-.3 e 4..4. Risulta: ·

tg(lsoo -ocù

•

..

1

ENTO

3 l

,

..

�

W2 VELOCrt.6: RELATIVA � VELOCrTA DI TRASCrNAN

w2

215

s-1

= 3,68 m · s-1

u,

MACCHINE A FL UIDo

7

4Q � P• • P4 • Pa • O

PROBLH.U DI lDRAUUCA E MECCANICA DEl FLUIDI

216

La differenza di pressione fra la sezione 3-3 e 2-2 è quella che genera la spinta F sull'elica ed è pari alla resistenza incontrata dall'aeromobile:

7 MACCHINE A FLUIDO

(� )

v.= v, 2 Applicando il teorema di Bernoulli fra le sezioni 1-1 e 2-2 e fra le sezioni 3-3 e 4-4, ed il teorema della quantità di moto al volume compreso fra le sezioni 1-1 e 4-4 (assunto come riferimento l'asse dell'elica supposto orizzontale), si ot

D=f

tengono le seguenti relazioni:

v�

v�

2

2

Pl +p.-= P• + p.-

.

217

Si ottiene:

Tj

=104m- s-•

8F Pa>t(V�-V�)

1 ,85 m.

=

7 .11. Il consumo orario di un turbog etto è di 20000 N di combu . . snbile quando la velocità dell'aereo è di 700 km _h-'. Supponendo che H rapporto in peso fra combustibile ed aria sia di 1:30 termmare la potenza utile m dette ' decondizioni sapendo che il di dd' getto è di 0,3 m e che il peso specifico del gas co;,busto è 1'& = 2,9 m .

��

Combinando tra loro le precedenti espressioni si ricava:

v,= v,= F

&

v.+ v, 2

V�) (Vi-->tD' - --p. 4 2

�tenz� totale che l'e�ca ced� alla corrente è quella che accelera la por-

tata tempo):

veloatà V, alla veloatà Ve (mcremento di energia cinetica nell'un ità di

P

••

cità

n

�:

potenza utile

rendimento

è

è

p.Q

evl- V�) 2

queUa che occorre per spinge re l'aereo mobile alla velo-

Un motore a rurbogeno è essenzialmente costituito da un compressore fun zionante a kerosene il quale raccoglie l'aria esterna dalla presa onteriore e la espeUe, compressa, attraverso il geno posteriore. Clùamando U la velocità dell'aereo rispetto all'atmosfera in quiete, e V la velocità relativa (cioè rispetto all'aereo) dei sas di scarico, le diverse velocità con riferimento all'aereo sono indicate in figura. La spinta è data dalla differenza fra i flussi di quantità di moto uscente (aria e combusaèile) e quantità di moro en trante, cioè:

F • (p.Q. + p.QJV-p.QaU in cui p.Q. e p.Q. sono rispettivamente le combustibile. Nel caso in esame si ha:

dato:

'l•!!_• P.

2VI v.+ VI

p.Q.

•

x.Q.

•

l

p.Q.. 30p.Q.

•

portate

0,57 ka 17,1

ka

•

•

s-1 s-1

di !DISSI dell'aria e

del

'!CA DEl FLUIDI A CC ME E A IC UL RA ID DI MI LE PROB

218

7

.

2 p= Pa7tD

=

è Ja densità del gas di scarko.

0,3kg

·

m-3

F Pu

=

=

·

d

s-1

11252 N

-

v4 \v l

l

16

1 l

l

•

• •

..

=: • • ..

:v, ..

t

l

• • •

l l

l

2

!

E •

l l l

4

2

3

VI

-2

V4 VI

+l

=

o

=

309,2kW.

•

1 L'impianto è percorso da una portata Q = 3m3 s- • Nella sezione di ingress o della turbi na è inserito un manometro metallico,il cui centro è alla quota Z3 7 m e la cui indicazione è n = 4,5 bar. Nella sezione iniziale del diffusore è inserito un manometro semplice a mercurio, il cui menisco a contatto con l'at , m. Si richiede: 16 mos fera è a quota Z4 •

=

·

p= PaQ

-

V4 2

b) il tracciamento del diagramma delle pressioni all'interno del diffusore.

•

Con riferimento alla figur uò r della v�l�ità V4 e che Ja pressi:n�1 � �� r;d ��e la veloci.tà Vt.è mag gior e a t e e ca è maggiore dJ quella P a valle O ehca assorbe energia l dalla corrente) . La potenza che il mulino può assor h'tre dalla corren te d'aria è data dalla relazione:

CVi- Vl>

3 vl

a) la spinta S1 sul diffusore;

•

l

V4

7 �3.. La turbina in figura (j = 980 6 N m-3) è alimentata da una tuba. ztone di diametro D = l m e scarica in una tubazione di diametro D = 1 2 m 1 segujta da un diffusore tronco-conico. La sezione iniziale del diffusore, di diam� tro D t, e' a quota Z1 = -2m; la sezione terminale,di diametro 02 = 2,4 m è a quota z2 = -0,5 m . L'impianto è fermo. Si richiede: •

o

l l

2


l l l

l

1

v,

Pmax

..

Yt

V4

Sostituendo nelJ'espressione della potenza il valore trovato si ha:

4

l l

funzio ne del rapporto V N 4 l·.

0,33 = VI •

•

1

m

v4

FU= 2188kW.

•

.

219

da cu i , scartando la radice negativa , si ottiene:

_7.12. Calcolare la massima potenza utile che può fornire un mulino aven te diametro D= 20 m quando soffia un vento con velocità V1 = 50 Km . h-1 1,24 kg m-3). (pa =

-

- Pa7tD2

dP

Risulta:

V= 829 m

V3l

V4 3

FLUIDO

+l - vl + vl Derivando una volta ques . ta rei . r etto V4 Vl e pone uguale a zero si giunge alla ndo il risultato a { determi �f�:e ld� e val ore del rapporto �ra le a monte e quella a val le del, velocità l el ica che dà uogo all a potenza massuna: 16

V=

p8

À

. es L, pressiOne precedente si pu, o espnm ere

La velocità d'uscita del gas si ricava dall'equazione di continuità in termini di portata di massa:

nella quale:

MACCHINE

(Vi-Vl) 2

•

=

c) l'indicazione 4 del manometro semplice;

d) la spinta s2 sul diffusore;

e) f)

'interno del diffusore; all i on ssi pre lle de a m diagram l de to en am ccl tra il to il suo rendi no a, bin tur lla ne sse ll'a su ile ab av ric (kW] P la potenza 0,8.5. men to 7J •

ECCANICA DEl FLUIDI M E A IC UL RA ID DI J M LE PROB

220 -

-

l •

8

-to, l

T

ZJ

\

--

D

DIAGRAMMA DELLE PRESSIONI

f z,

l ,.

l •l

02

-

•

l

l l

8 e IN M VI M NTO

•

LI UI0

•

l

---

•

l

%2

zl

l

•

-

LrQUIOO IN QUIETE

--

•

•

__

l l

l �

c

l

=

•

•l

02

Un importante problema ddl'idraulica tecnica è qu ello dell'individuazione della relazione fra la cadente J della corrente e le altre grandezze da cui es-sa può dipendere: are a e forma della sezione trasversale;

7.14. Nel sistema in figura l'acqua viene considerata come un liquido l m3 s-1, il diametr? perfetto (y = 9806 N m-3); assegnati la portata Q 0,85 ed il terminale d = O, 125 m deU'ugello, il coefficiente di contrazione Cc rendimento T) = 0,89 della ruota Pelton, si considerino le tre situazioni: ·

M O T O DEI FLUIDI REALI NELLE CONDOTTE IN PRES SIONE

- scabrezza della parete interna; - portata o velocità media della corrente; - viscosi tà, densità ed eventualmente comprimibilità del fluido convogliato.

•

•

=

Salvo diversa indicazione ci si riferirà d'ora in avanti a condotte cilindriche (condizione necessaria per il verificarsi del moto uniforme) a sezione circ�lare. Dal punto di vista dinamico è necessario in�ividuare prev�ntivamente il re gime di moto - laminare o turbole�to - che m esse s1. realizza. . A tal fine si fa comunemente riferimento al valore assunto dal raggruppa mento adimensionale (numero di -Re)tnalds):

l) il getto investe una pala isolata di turbina Pelton ferma; 2) il getto investe una pala isolata, che si muove di moto traslatorio con ve locità U parallela all'asse del getto; 3) il getto investe una ruota Pelton che può girare con divers e velocità an golari w, per ciascuna delle quali il moto si ammette permanente. In tutti i casi sopraelencati, le pale hanno un angolo di uscita Determinare:

�

=

180°.

a) per la situazione di cui al punto l) la spinta subita dal la pala isolata; b) per situazione di cui al punto 2) la spinta subita dalla pa iso la lata, in funZJone di U;

�

VD p .R�= l.l (

c) per la situazione di cui al punto 3) la copp ia motrice M e la potenza P erogata dalla turbina, in funzione di (&) .

proporzionale al rapporto tra cnuco: •

•

VD

=

v

sforzi turbolenti e quelli viscosi. n valore

gli

•

Rece2000 . te: per en m isa ec pr ù pi · o· ot m di car att eri zza il passaggto. fra .1 due regum · per --=11-) ., .. uw 0: ç n a.n. r• i d o '1 are go re o o R e < Ree è sta bile il regtme 1a nunare (o viscos la co� al e tr ol ità loc ve e or tt ve e In Re > Ree: è stabile il regime turbolento. con carette e on zi ita ag di e nt ne co a un ponente di trasporto, amem tte anche re stocastico. . . sir co an un . di , to en ol rb tu llo ue me �n q La contemporanea esistenza, �te e neUa on zi in st di re o ' l er lt 'u un e on p un · ne VISCOSa' · azlo gnificativo termine di disstp vero: ov o nt le · rbo tu · e un reg 1 e d e . . ton descrtz ·

•

.

-- ·

-·

-

Ys

:�

, •

'c

v, .

• •

,

iJ

�

(

•

•

PROBLEM1

222

DI

A DEl FLUIDI IDRAULICA E MECCA�IC

À

=

E.

À

D

E.,

, Re

À

l

p

64 Re

=

l

•

À

A

La resistenza ridotta risulta:

J= J(V,D, t,p) =

t

D

ove si è indicato con À il numero indice di resistenza o resistenza ridotta definita attraverso la formula di Darcy-Weisbach:

•

Si osservi che in moto laminare l'espressione della cadente è indipendente dalla scabrezza della condotta; essa infatti risulta completamente ricoperta dallo strato limite laminare . Si noti inoltre che nella relazione che fornisce la velocità media esiste una dipendenza funzionale da un coefficiente di forma ex che nel caso particolare di sezione circolare vale 1/2 e che assume valori diversi per altre forme di sezione come indicato nella seguente tabella.

TABELLA 8.1 VALORI DEL COEFFICIENTE DI FORMA l

U confine fra i due tipi di moto turbolento sopra citati è rappresentabile dalla condizione: Re*

=

u* \1

t = '\ 'to .!. \1

p

Lama indefinita su piano inclinato Triangolo equilatero Quadrato Rettangolo: b/a 0,5 b b/a 0,25 b/a 0,1 a =

=

70

=

•

•

Si riportano qui di seguito le relazioni per il calcolo della cadente in moto uniforme per diversi regimi di movimento e tipi di condotte.

1

=

::

ex=

1

ex= ex .. ex •

=

•

1/3 0,60 0,56 0,52 0,44 0,38

'Regime turbolento

•

*). i( lisc i tub in ne zio nsi tra o di ent bol tur to - Mo Formula di Blasius:

Regime 14minare Formula di Poiseuille:

À

1t

Q= 128

223

è il raggio idraulico .cioè il rapporto fra t•area della sezione ed il contorno bagnato.

p, f.t)

turbolento: ) te en m ta lu so as (o te en m ra pu to � -

À

IN PRESSlONE

dove:

. . . de ancora dalla en p di e n m de ca J t la i cu . - moto rurbolen t� di tra�slZJ�ne al cre scere del numero di t s n e ce re dec " rrusura v1a vJa ;u• ' Vi.SCOSI·ra, Reyno1ds:

J =](V, D,

MOTO DEI FLUIDI REALl NELLE CONDO 'ITE

8

xJD4

=

0,316 Re�·25

ci): Formula di Prandti-Von Karman (per tubi lis

IL

l

VI

ovvero:

•

2 log -

2�51 Re VI

l

(*l

A

. 1. 11. rutt•oai ne1. rub1. lisc

·10 esclusiv � •-� .-:

amen

te moto

turbolento di

uansiJjooe.

8

MECCANICA DEl FLUIDI E CA LI RAU I D PROBLEMI DI

224

•

tubi scabri. in ne tra nsi zio di nto tur bol e - Moto . Formula di Colebrook-White:

1 VA

2,51

= -2log

P�r a��volare l' u.�o de 11 espress10ru mterpoI an, tra

l

+

Re VA

C= t

3,71

D

Gauckler-Sttickler

�

8

Ne a pagina se ente è riportato l'a baco di Moody, rappresentazione graf . � i ca ne l p1ano logarttrruco Re, À della formula di Colebrook-White a parametro t/D (m ot o turbolento) e quella di Poiseuille (moto lamin are). Nel co mp ut o delle dissipazioni energetiche ch.e intervengono nel moto dei flu idi , oltre alle perdite continue (o distribuite) pari a l:t )i Li, occorre tener con to anc he delle eventuali perdite di carico localizzate imputabili pri ncipalmente alla pre sen za di zone di intensa agitazione turbolenta (brusco allargame nto o re stri ngi men to della sezione, curve o gomiti, imbocchi non raccordati e sboc chi, dispositivi di strozzamento, ecc.). La perdita di carico viene valutata con una relazione del tipo:

---

t

Re-

D

con:

D -z log 3Jlt

4

Kutter

m

c= k
•

)_ = _!_

225

-

& ��: t

À::Àcc 1+

1 00

----

l
•

te diverse u l eli Colebrook sono stat e ela bo ra s riportano le seguenti (Citrini, Cozzo):

f e

MOTO DEl FLUID I REALI NELLE C ONDOTTE lN PRE SSIONE

vz

•

AH= n-2g

e:

l

-./A

t 5 ,8 = 2 log - � o. -= + -3-,7-l_D_ R-e9 •

•

con n variabile da caso a caso. Nella tabella che segue si riportano i valori d� perdite che possono caratterizzare alcune fra le più frequenti situazioni pratiche .

valida per 4000 � Re � lO7•

TABELLA 8.U PERDI1'E DI CARICO ...AL.u..&.nTE

- Moto puramente turbolento. •

Formula di Prandtl-Von Karman (tubi scabri):

l -� VA

=-2 log

l

•

3,71 D

--

•

Imbocco a spigolo vivo (90°) Imbocco aggettante

Esse si differenziano fra loro per le esp ressioni de l coefficiente di scabrezza C [ml/l s-l) ela00rate da divers 1 ncercator1: •

•

•

l

•

Brusco allargamento CD2 >2Da)

Bazin l

Brusco restringimento CDa >2Dv

--

vz

•

Sbocco in un serbatoio

t

Nella pratica ingegneristica spesso si usano le cosidette formule prat iche che derivano dalla formula di Chèzy:

l

.t.-

2g

l

-!:_-=1

0,5

r

:---1

=

j l t � 1 l * t l l 02 i l r o,

o,

•

v2

2g

1,16

vl

2g

rJ,- v1> 2

2g 0,5

vl

2g

8

ICA DEl FLUlDJ N A C EC M E A C LI U PROBLEMI DJ IDRA

226

-

o

g

•

ci

o

�:1

MOTO DEI FLUID I REALI NELLE CONDOTTE lN PR ESSiONE

TABELLA 8 m VALORI D E I COEFFIC IENTI DI SCA REZ ZA PER LE TUBAZION I

o o o

�Cl)

B

�ater�aJ� dei

tubi e loro specificazioni: . en upo di ravesum to e stato delle pareti

m

k

lm11�1)

[m113·s-1)

Vetro -

Materie plastiche

ww��+H� - Ol��HH��rtt/��hri � l l W-..WW-1++-tH-fH+*t-HHtH-1 '"'1� J 1-+-t+H-tH tl +H-HhH-tH-t+t -H 'f /

2 ll mm � � � MD � .� � m H ' sm tt � 111 1.ft,� t , /:.ttt+·itt-t,fiH H+t+t --#----1--+lHff-f!Hm 1-+-#I+U-ti.+tlf+HH-t-fH-t+H'-ti � -

ll Il

�'-+-

,,

polivinil cloruro

·

polietilene . polipropilene

-

l

lmml 0,001 .. 0,002

-

-

0,002 - 0,004

Metalli co/crati •

rame . ottone allumiruo

.

piombo

-

-

-

.

0,004 O .Ql 0,01.5 .. 0,05 ..

-

Cemento amianto

vecchj e nuovi

�

:/1/rll 1/N r"-f-H 44--rl--f--Hf.H.AA'+I-11lrtfl ,.1/ +r 1rH/

227

Acciaio (tubi tra/ilati)

tipo Mannesmann, nuovi tipo Mannesmann, in servizio corrente bitumati, nuovi bitumati, centrifugati, nuovi, giunti Gibault, d�350 mm

,.,

Acciaio (tubi •

0,10

110-100

0,10•0,1.5

0,10 0,16 0.10

0,16 0,23 0,16

95 83 9S

0,2. 0,5 9,6. 1,2 0,2 � 0,5

-

-

-

0.01

saldati)

non nvesuu, nuova bitumati o catramati a freddo, nuovi bitumati a caldo catramati, in servizio corrente •

0,06

•

•

0,06 0,10 -

0,10 0,16 -

110. 100 95 -

0,10 + 0,15 0,2-0,5 0,02.5 + 0.04 0,6. 1.2

0,16

0,23

83

0,16

0,23

83

0,6. 1.2

0,20

0.275

75

1,5. 2,0

0,29

0,375

65

3.5·6

0,16 0.23 1>.29

0,23 0,29 0,375

83 73 65

0,6. 1.2 2·4 3.5 ·0.6

0,36

0,45

60

0,23

0.29

73

0,12 0,18

0,17S

o.n

90 80

0.23

0,29

Lamit>ra (tubi chiodtJti)

•

l

chiodatura chiodatura lindrico chiodatura doppia

long. doppia. giunti conici long. doppia, trasv semplice, giunto ci· in servizio corrente long. tripla o quadrupla, trasversale

Ghisa

nuova in servizio corrente, qualunque diametro in servizio da diversi anni in servizio da molti anni, fortemente incrostati e tubercolizzati centrifugata fusa verticalmente bitum. o catram. per immersione, d<400 mm in servizio corren te •

Cnnenlo

i l f :1

Figura 8.1:

Abaco

di Moody.

l d

1ft

-

Q Cf

l •

...

lisciato accuratamente, d<200 mm ben lisciato (acqua limpida), d>400 � . ben lisciato curve strette (acqua non limpsda), d<400 nun centrifugato cnte, arm ato costruito fuori opera. in servizio cort d>600 mm te. armato costruito fuori opere. in senriJio corren 400
Gm

nuova in servizio da anni •

-

-

0,10

0.16

0,12

0,175

0.18

0.2'

0,4+0.7 1.2 ·1,8

73 -

80 68

1.2•1,8

2.5··�

8

A DEl FLL'IDI IC N A C EC M E A C LI U PROBLEMI DI IDRA

228

MOTO DEl

. La formula di Po·Iseuille nso · lta nsp . etto al diametro, f orrusce;

Nella tabella 8.III sono riportati, per alcuni dei materiali usualmente impie gati nelle tubazioni, i valori dei coefficienti di scabrezza:

D=

e C di Bazin; on si es pr es ll' ne r m nell'espressione C di Kutter; Strickler; rle ck au G � C e on si es pr es ll' ne k nella formula di Colebrook-White.

4

128 vQ 1tgJ

PROBLEMI

= 0,0595 m.

l � �� d ��

•

·

isce un a po rta ta flu m de 5 = 0,0 D tro me dia di e on azi tub a un 8.1. Lungo Q= l l s-1 di olio (v= 2 10-4 m2 s-1). a di carico per una Controllare se il moto è laminare e calcolare la per dit

.

•

·

lunghezza L= 300 m di condotta. é, Determinare inoltre il diametro che dovrebbe avere la tub azio ne affinch con la stessa portata, ;e perdite di carico si riducano alla met à del valo re prim a calcolato.

•

.....

•

l •

-

l

T

•

Si calcoli il numero di ReynoJds per individuare il regime di moto:

l

b

•

Re =

229

Un a1b�ro ad asse verticale con di . _8.� amet o D, = 0,15 m ruota alla veloc lta di n = 200 gtr i a) minuto ed ha u pp rt ngo � � 0,�5 m con diametro int ern o D2= 0,1502 m; tra supp r e ro Vl e olio con viscosità . fl= 0,0098 Pa s. Calcolare la potenza nece ssarta per mantenere ·� rotazi. one l'a]bero , am me sso che la velocità dell'olio v.ar.u lineram ente entro l'mtercapedi ne, il che può ritenersi lecito dato il suo p l ccolo spessore. ·

•

·

FLUIDI REALI NELLE CONDOTTE IN PRESSIONE

VD

1tVD

v

l

4Q

= ---=--= 123,3 < Ree

•

lr

D regime di moto è dunque quello laminare. Ne segue:

À

=

. 6 4

Re

=

l

•

02 •

0,503

k

l

ll

[l

l

l

o,

da cui:

Lo sforzo tangenziale: 't'=IJ. '

La perdita di carico è: 4H =

JL= 39,87

4H'

m

e

·

=

a

J' L= 19,94 m

ove:

quindi: l

1'

=

0,0665

dn

la so er av tr at ti ni fi i in rm te in o at ol in condizioni di regime può essere calc relazione: z 4V 154 N m't'• V. 4r

Affinché la perdita d"1 carico � · ezz1, h1s AH SI· dam · ogna ch e sia: ·

dV

4V

• (l)

Da 2

•

•

2n

200 60 .

Da 2

PHORLE.\ll

230

UIDI C:\:\'IC/1 Drl n C E ,\l [ r\ IL 'I DI IDR:\L

8

MOTO DEl FLUIDI RE ALI NELLE C0.1\DOTTE l� PRESSIONE

231

b) Considerando uno del. due blocchi separatam n e e io il blocco 2, esso è soggetto alJa forza G2 sencx 7,47 N e : all � � � �� . La loro differenza

�

=

facciala aJ suppor ro f e a lb 'a ll e d ie ic rf e p su stante su!Ja co 't' o rz o sf lo o d n e Ess vale: T a iv ss le p m o c a rz fo to, la ata da: La poten za richiesta è d

- G2 sencx- T2 F-

==

0,47 N

rappresent a la forza trasmessa dal blocco 2 alla barra. . . 8.4. Un serbatoio cilin dr.lco contenente olio d.� Vlscosna . cmematica -1 2 -4 . 10 m s , ha sezione orizzontale A 1 4 m ed altezza H 2 11 = v 5 . . b c ben raccordato, una tubazio�e c � Da questo serbato1o si diparte c n 0,1 m e lungh�zz dia' etro D ' �a cw estremità di valle sbocca ;' . nell atmosfera alla quota del fon do de 1 ser batOlo. Ammesso eh e il serbatoio sia . . . pteno, neil,.lpotest dt regime di mot larrunare . e trascurando le inerzie locali determinare il tempo necess a r . io a ottenere nel serbatoio una profondit� 2 m. H2 ,

P= TV= Tw

D1 2

=

28,5 \YJ.

'

.

=

�

=

_

{Tn_ �� ':,

�

-

.

0 ' 7 p a s, Clai in figura vale f.l ch oc bl i tto so io ol il' de tà i os sc vi La 8. 3. 2 , m 02 O A se ba di ea ar scun blocco ha un · costante l liquido sta de re sso spe l� cco bl� n scu cia to sot e ch tta Si amme . eterm1nare: m ) D m . 6 0 s , NI· 50 G · mm 1 2 = ' N; s1 25 , (G 2 ==

.

.

d

·

=

=

=

,

=

_

quale la velocità di moro uniforme dei due blocchi è a) lvango l o (X per l O, 30 m s ' b) la forza F a cui è soggetta la barra che collega i due blocchi.

�

'

--

·

-

--

----

·

�) La componente del peso G - G

-------

G2 nella direzio n e d el m o to equiv al e + l_ a reglfe, fihi alla somm a delle due forze v t scose T 1 e T 2 ch e SI sviluppano sotto i blocc · ·

·

•

'

ente al rr o c a ll e d a c ti e in c a zz che 1' alte a tt e m m a si , a c fi ri e v l serbatoio e e Salvo successiva d ra be li ie ic rf e p su vello fra li is d aJ o tt e sp ri e il b è alla io to a rb se lo s b o c c o sia trascura l e n o ll e v li l quale il e n t te n ta is o c ri e n perdita di a ll i a r a p a lt s e z io n e di sbocco; nel ge su ri H o dislivell il , o c oc b s i d e n io minare: la to o qu o t a H rispetto a ll a sez m i d i s te o p ,i ll e perciò n a h i S . a tt o d n o c carico continua nella

·

•

da cui: sencx

=

ex=

O, 14933 go 35'

•

•

H - JL •

PROI:ILEMI DI

232

8

FLL'IDI MECCANICA DEl E ICA IDRAVL

MOTO DEl FLUIDI REALI NELLE CO NDOTTE IN PRESSIO NE

233

8. 5. Individuare le condizioni di moto m regime laminare uniforme in un cond otto rettangolare molto largo attraversato da un fluido newtoniano incomprimibile. .

da cui:

'

7tgD4

Q=

H

128 vl

ed anche: Re=

VD v

=

eynolds sia inferiore R di o er m nu il 1 H H r pe e ch Si verifichi innanzi tutto que un r al e pe ar qu in m la te en am iv tt fe ef sia o nza che il mot a 2000, e di consegue H � H J. Risulta: =

Ret = 122

z:O

Per la conservazione dei volumi si ha: Se la larghezza del condotto è molto grande rispetto alla sua altezza 2a, si può considerare il moto come piano e quindi far riferimento ad un tronco di condotto dj larghezza unitaria.

da cui, introducendo per Q l'espressione sopra determinata, si ottiene: 7tgD4 128 VAtL

t

=

dt =

dH

-

H

Integrando con le condizioni ai lirrùti H = H 1 per t T 1, si ricava:

T1

_

-

128 vA1L H1 ln 4 1tgD H2

Assunti gli assi coordinati x, y come indicato in figura, applicando le equa zioni di Navier-Stokes si ottiene:

=

=

0 e H

=

H2 per

1705 s

-pg sen
l -

•

. . Per verificare l'effettiva trascurabilità dell'alt ezza cm ettc� allo sbocc o, valuti il rapporto 8 fra questa ed il carico H cornspo ndente; sl ha : .

.

Il massimo valore di 8 si realizza per H - H 1 e vale: -

Omu

=

0,019.

òx

:0

a z+_p_ òx "(

•

(

SI

alle pareti (y nulla sia velocità che la ndo impone ed Integrando due volte s1 rtcava: •

.

òp

•

•

=

±a)

'

23�� 4

PHOBL[,\ll

l\\ l (C.A:--:IC :\ ()l l E A ( LI L' \ I\: !D DJ

Il l 'l!JI

8

----

________ ____ __

La portata q

MOTO DEl FLUIDI R EALI NELLE CO ' . � · 'DO T TE IN PR ESSIONE

235

Quando nella tubazione è inserito . assialmente il filo met · · alli co ' il movunento av�tdene att�averso 1 o �paz to anulare fra tuba zione e filo interno con mod alità ' che st eterrru na no const d erando l'equilibrio di un cilindro coasst·a1 e d.1 spessore · · · · f · m m tt es t m o dr, raggto Int e rn o generico r e lunghezz a L.

tto vale: o d n co i d o tr e m r e p

·

Sul cilindro coassiale considerato si esercitano le seguenti azioni:

La velocità massima vale:

- peso Uma;c

e

=

2v

G

=

"'(27\rLdr

con componente assiale pari a

q uella media:

gJ a2 V= q --=2a

3v

=

2

- Umax-

3

- spinta sulla corona circolare di monte diretta assialmente e di modulo:

8.6. Indi v iduare l'effetto di un filo metallico di diametro Dt = 0,004 m disposto lu ngo l'asse di una tubazione di d i a met ro D2 = 0,05 m lungo la quale defluisce una portata Q 11 s-1 di olio (v 2 10-5 m2 s-1); determinare in par ticol are la differenza fra i valori delle c aden ti nei due casi, senza e con il filo. =

=

·

·

•

•

avendo indicato con Pt la pressione nel punto l;

- spinta sulla corona circolare di valle diretta as sialmente ma con verso contrario al moto, e di modulo:

avendo indicato con p2 la pressione nel punto 2;

�

�

dd

azione tangenziale sulla superficie interna del c ndro; in cando �o lo sforzo tangenziale costant su rutta la superf1ae per la sunmetrla � movimento, l'azione tangenziale vale:

el moto; d so n se el n te en m al si as ed è diretta · essa vale·. o, dr ilin c 1 e d a rn te es e ci lla superfi - az io n e tangenziale su 21t(r + dr) 't+

::o

Nella tubazione senza filo metallico la ca dente v al e:

]1

=

128 vQ

1tgD1

=

0,01329

e d è diretta assialmente

.

m

d't dr

dr L

moto. senso contrario a1

ora elencae rz fo · le e tt tu eli e . vettona1 a somm · 1 � : 0 dr otuene ilin . c l e s1 d o e ri ib il dell1ass u eq ne P er l' elia direzio n o d an pr01ett o,· te d e v e e ss e re ugu ale a zer d 't dr L= O dr

236

PROBLEW DI IDR.IH"UCA E .\lECCA "\"ICA 0[/ FLL"IDI 8

da cui trascurando gH infinùesimi di orcline superiore e tenendo como che: ZJ

o

SI

P1

+

- Z2

r

+

P2 r

.

. .

MOTO DEl FLLilDI R EALJ NELLE C O 'r--.: o O D E IN PRESSIO;-.;E . .

=]L

u

ncava:

=

d-r

La portata

y]=-+r

In questa relazione] è una costante e essere scri. tta:

dr

t

, è funzione soltanto di r· es sa puo anche

Q

d(n)

Tenendo ora presente che:

=

Do/2

27:rudr

=

rry] 128 !J.

Applicando questa relazi · . one al caso m esame SI ottiene :

dr

ed integrata rispetto ad r:

2

vale: ·ou2

•

=

Yl

D� 2 2 D 24 -r + --..::._� D2--I , D2 n D, 2r 4 In D2

•

___!_ ] y r 2 r

Q

rJ

4tJ.

o

"t

]2 =n+ A

=

128 vQ

l

7tgD�

•

,

1-

'D , , D2

4

-

,

'

t = -fj. du dr

--

si ottiene:

y]

r

2

2

=

237

lr; defmmva s1 ncava:

-fl

r

du dr

•

=

+A

]t ---� �-� -2 ( 1 _a ) 2 1-a4 + Ln a

=

'D 2 2 , 1, D2 , D2 In D,

-

'

J

0,02182

avendo posto:

da cui integrand o nuovamente rispe tto ad r si ha: flu =A ln r-y] r + B 4 Le due costanti . di mtegr · aztone A e B zioni ai limiti·. si deducono . tmpo nendo le due condi2

8. 7. Un oleodotto lungo 20 km è costituito da una condotta di diametro D O, 15 m. Calcolare la potenza necessaria a convogliare una portata Q 80 3 m h-1 di olio avente peso specifico y = 9120 N· m-3 e viscosità dinamica f..l 0,22 Pa s. Si consideri la condotta orizzontale e si trascurino i termini cmettc1. =

=

•

u =o

per

U=O

per

=

•

·

•

•

La potenza necessaria

a

convogliare l'olio è data dall'espressione: P=yQ.1H

8

JDR,\L'LI<. PROBI [.\\1 DI

238 -

A ,1c \ ' ·\ 1- '·n< ·

DI· l

.

·

n t 101 -·--

a con· bisogn che 611 l'energia

o rulta c n a l Q l ' IJ·o !CO de IJ' ? ·r· specl peso il dove l è . del flUido. peso Ji traumta sono h� o i c p fenre a il' e ,0 , . t· d'l pre 1·te\ . quota stessa ' dJ o to) e tato�Ila ru� recapi colon di viene sa in metri Poiché l'olio espres AI I u ( l'energia l a con d otta. .. eucl, lungo . CJ . ru uite . distrib � ' arico scurabili i terrn: c l d ne d' mccre le per \ a ' sana queUa neces dato da: è Reynold Il numero di

6H

J

,

·

239

MOTO DEl FLUIDI REALI NELLE CO�DOTTE IN PRESSIO:'\E

n

'

A

=

. + .

l/n

l ,26 m

·

s

=

-

=

•

•

=

·

_

=

Q : a c u i c o r r is p o n d e

799

Re

=

=

O, 99 m

·

s-1

PVD = 623624 �

ottiene : si lisci tubi i per Blasius di formula Utilizzando la

•

=

=

·

l'interno è: a al u cq 'a ell d a u r e m tà ci o el La v

-1

da cw si vede che il motO è laminare. La cadente J vale:

=

·

A

V Re= p D �

).

0,043

=

2 0,316 Re-0' 5

=

0,0112

•

da cui:

e:

.1H=

JL

=

-yQ.1H 1000

=

175,3 kW

Si osservi che, per evitare forti pressioni nella tubazione è opportuno fra . Zionare la potenza richjesta in un certo numero di stazionj di pompaggio disloca te lungo il percorso. Val la pena infine controllare che il termine cinetico (t V2/ 2 sia �significante in confronto alle perdite di carico: anche ponendo il � _ _ coe �hc1ente di ragguaglio (t = 2, essendo il moto laminare, detto termine risulta pan a 0,16 m.

V2

J

865 m

altezza che dev'essere pari alla prevalenza da assegnare alla pompa. La potenza utile della pompa è perciò: P=

lln

8.8. Un tubo Escio dj diametro D 0,8 m convoglia una portata d'acqua -1 Q 0,5 m3 s �� 1,27 lo 3 Pa _s� 1 9806 N m-3). Si valuti la perili ta di carico che s1 ha per chilometro ili condotta.

e: U numero di Reynolds val

J

.

l/ n

�

la densità p , o tr e a m i d o u s o t ta, D il d n o _ c nella media dove V è la velocità dinamJca. viscosità sua . la . dell'olio e � o tu ene : Sl tubo, del sezione A la e Q portata la Nota

V=

-

pVD

Re=

Q

•

=

). 2 gD

--

=

0,7 .

l 10-

m. 7 O , vale tta condo di o metr . per chilo carlCO di ta La perdi .

•

l

tro D a di en:� � e ro v tu a bo un 98 O 6 N ( 8 • 9 • Attravers. o . =: . l l s 42 9 ::: . o q i: l a a p calcol C, : 20 s1 r a 0191 d'acqua 0' J e lonl cond.iz misura in queste .

portata una passa O l m rr:-3). Se la cadente che si

.

=

olds; Reyn di . a) il numero alle pareu; e nzial b) lo sforzo tange za À; ten resis di ti del pare c) il nu roero delle . e. nte ivale equ d) la scabrezza

tubo

·

.

8

PROBLHU

240

DEl

MCCCANICA E LICA 01 IDR.�U

=

v2 h= H-0,5---JL 2g 2g v2

Re

--

VD = 120000

=

e d e s s e ndo :

v

10

y
=

4,68 N

2 gD1 2 v

__.::: �

= 0,061

•

0,026

=

JL

=

12, 24 m

,

2 v

2,51 Re

VA

--

2g

=

=

e.= 3,71D 10

2g

J=

mma d i a gr a di al d si ar v ca ri ò u p a della condott te en al iv u eq a zz re ab sc a d) L 120000, o p e R e 26 ,0 0 À. i or al v la coppia di el d za en d n po is rr co in y, d Moo to ad E.: et sp ri a at it ic pl es e it h -W ok ro pure dalla formula di Coleb -1/2� -

= 0,23 m

m-2

·

risulta: À. a tt o d ri a z n e st si c) La re "" -

v2

0,5

risulta: pareti alle nziale b) Lo sforzo tange =

risulta:

= 0,25 mm.

8.10. Nella condotta orizzontale di figura defluisce acqua con velocità media V = 3 m s-1; l'indice di resistenza vale À 0,02. Determinare la quota h dell'acqua nel piezometro indicato in figura.

=

0,46 m

h= 17,07m.

figura. � a tt o d n co la el n te ua d e fluen cq 'a d ta a rt po la e r a tter u K di a z z re b a c 8.11. D e t er m in s i d oefficiente c n u a d ta a z iz er tt a iaio è car La c o n d o tta in acc vivo. a spigolo è o l'imbocc 0,30 m112 e m

l

=

·

=

---

--

-

-

-

-

-

-

--

-

IY

-

..

--

T

-

H: 30m

_l_

l

v •

•

•

/0:0.1Sm

h

_L

•

-

-

-.1 •

L: 200m

•

'

• •

,

f

ndo: esse er Kutt u1a d'1 orm f a l con ciente C coeffi il Si calcoli D A = 4
. Per il calcolo dell'altezza ineog�·ta h 51· puo app1.tcare il teorema di Bernoulli esteso ai fluidi reali tenendo m questo caso deUa perdita di imbocco e di quella continua lun o la cond ,

�

��;�

H= h+

v2 2g

+

v2 0,5--+ JL 2g

r

y :90"'

-

• -

241

da cui:

,

·

l • PRESSIO:\E

FLUIDI

essendo la \'Ìscosità s-1; · m 2 l'

tta è V condo ll a ne d'ta 2 a) La veloc1ta me -l si ha· s · -6 m 10 qua v = dell'ac tica cinema

MOTO DEl FLUIDI REAU NELLE CON, DOTTE

C=

-11�0�0---

__

l+

2 ro

{D

=

lll s 47,7 ro .

-l

PROBLb\ll

242

La cademe

J

101\t\l"UCA

DI

[ ,\11

<
D[ l

l Il Il);

---

8

---

MOTO DEl FLUIDI REALI

il l l 1

0,5

Q

=

Q2

0,5

2gA�

•

L'applicazione del teorema di Bernoulli fornisce:

=

CONDOTIE Il'\ PRESSIO� E

243

d a per iJ brusco allargamento in corrispo . . ndenza alla van.azto n e d el dta met ro da D 1 e D2. Esse valgono rispettivamente:

risulta:

Y

� ELLE

•

l

2

2 gA

'

=

�

=

25,85 Q2

l

2 2 Q A � A i A 1A 2 ----=-----=...:.!. .:....: � +

---

2g

da cui:

=

16,64 Q2

Applicando il teorema di Bernoullj fra un punt o sulla superf"lCte · libera de1 · · · ser bat01o d t monte e 1a sezione contratta a valle del convergente, si ha:

8.12. Le condotte in acciaio dell'impianto indicato in figura hanno sca brezza definita dall'indice m 0,45 m112. Calcolare la portata Q effluente tra scurando la perdita localizzata nella curva. =

-=:-!.-=--wl - -

--

-

-

-

-

da cui:

Q = 86,6 l

-

·

s-1 •

8.13. La condotta in acciaio indicata in figura ha una scabrezza assoluta 10-5 m; determinare il dislivello Y necessario rché essa convogli una por e. F -o 1 tata di 20 l s- d'acqua a 20°C (v= 10 rn2 s- ). Determinare inoltre la por tata defluente in corrispondenza ru un dislivello Y1 2Y. =

Y

=18m

·

•

=

•

-

-----------

--

T v

•

-- - -- --

Si calcolino i coefficienti C per le du e condotte con la , formu1 a eli K utter: 1

r

-1 +l3• 33, m 2 s c. e mediante la relazione:

c2

=

]

-

=

37,8 m03•

s-l

•

r c

C2
· le cadenti e quindi 1e perd ite conttnue lu n go l. due tratti di condotta:

Le altre perdite di carico che si verificano sono quelle d't

relativa: a zz re ab sc la el d e s ld o i Reyn Si calcoli il valore del numero d

,

l

Re= ,

un ·

bocco

e

VD --

v

&

d'1 Bor-

=

D '

4Q nvD

=

= l,7

0,000067

·

lOs

8

rl.i.. ID! PROHU \11 DI I[)R:\l"IIC:\ E w:CCJ\'•.:1(,\ Dr l ----

.

dice

questi due valori si risale al numero in Entrando neiJ'abaco di Moody con di resistenza À: À

=

MOTO DE! FLUIDI REAL I NELLE CO�DOTTE IN PRESSIO:-IE

).!'

0,017

=

l-

(l

+

da cui:

ÀQ' , J =2gDA ·

Y

=

0,5

v'

-2g

+

JL

=

+

0,00713

v'

-2g

=

8 ----) ' l R eD

V"= 1,63 m. s-•

1,52 m

l.!"=l-(1+

=

v' 0,5-2g

+

ÀV' v' v' JL +--=l 5-- +--L 2g ' 2g 2gD

...:_

Non conoscendo a priori il regime di movimento, non è possibiJe risalire di rettamente al valore della resistenza ridotta. Si può quindi procedere per tentati vi assumendo dapprima che l'indice di resistenza sia queUo che compete al moto assolutamente turbolento e quindi funzione soltanto deUa scabrezza relativa E/D.

v•v

=

0,0157

)

=

=

244280

0,0166

D

V 11 1 = 1,59 m. s-•

(l)

=

Rc11

Re11

Nel caso in cui si ha invece un disli\ 'eiJo fra i due serbatoi pari a Y 1 , appli cando l 'equazione del moto fra monte e valle della condotta, si ottiene: Y,

245

si ottiene:

Re111 =238613

l-(1 + Re

111� D

)

= 0,0168

Dall'abaco di Moody, oppure dall'espressione: l

(

v•v

D)·'

l-= 4 log 3,71�

=

Re1v =236950

1,58 m . s -• 8

si ottiene:

) =0,0167

l-= 0,0111 Sostituendo nella (l) a À il valore l! = l_ ora trovato, si ricava: V' = 1,91 m

·

,-•

Re'

=

-

Re-

D

·

s-•

Re v= 237483

286935

L'avve ��t� det�rminazione eli Re1 consente di verificare la fondatezza ,. _ truzJ�e dJ moto assolutamente turbolento e nel caso non si riveli cor dclllpotesJ r�tta permette d1 effettuare successive valutazioni di À fino ad un valore suffi c•entemente corretto. Nel caso i.n esame ed usando l'espressione intcrpolarc: 8 À=l-(1 + --,- )

v v = 1,58 m e quindi:

•. Q� VVA = 27,91. ,· a sono in acciaio con coc.fa nar la portata d 'acqu

in figur Le condot;e del s.tstema �. ndicat?n. ' d t r • _( 35 m fic.iente dl scabrezza di Ku�cr T m · s ) defluente (v • 0,01008 · 10 .

8.14.

e e mi e

PIWRLE.\\1 DI Il) R.:\ L'!.l( '' E

246

------

8

L"__ )f ·L_II O I _I_F_ \ _ :_ IC_ ' _: _: C_:_:_:: \_ .l_:: ,\l !::

MOTO DEI F LU • ID I REA L l !'\ELLE CONDOTlE IN PRESSI ONE

SI •

ncava: •

Q=

-• - ----

T v: 16m

.....

L1:

50

l m

-

l.;: Bo

...

247

•

_ ---_

0,0673 m 3

•

1 s-

Al fine eli verificare la fondatezza dell'ip otesi d'1 partenza (moto puramente . tur bo len to ) SI· ca1 co lino dappnma velocità media, nu mero d.1 R eyno lds ' ed mdi ce . d.1 res tstenza:

,

·

.:S.. - -- ---

À

=

m

2g DJ y2

Per ognuno dei due tronchi di condotta risulta:

D •

V1

Ret Àt

U djslivello Y fra i due serbatoi è pari alla somma delle perdite di carico lo calizzate e continue e perciò risulta: Y

=

vt

0,5 -2g

+

J .L,

•

·

çt

v2

•

=

=

=

Re2

531746

À2

0,0593

=

1 2,14 m . s-

=

424777

0,0518

Per ognuna delle due coppie di valori Re 1, À 1 e Re2, À2, si verifichi che i punti da esse individuati sull'abaco di Moody cadano effettivamente nella zona di moto puramente turbolento.

8.15. Nella condotta di lunghezza L= 120 m, diametro D 0,1 m, sca· brezza t = 0,0001 m, che collega i due serbatoi A e B, l'imbocco è ben raccorda to. U manometro differenziale inserito fra il serbatoio di monte e la prima sezio ne della condotta a valle dell'imbocco fornisce l'indicazione A. Determinare la portata defluente nella condotta ed il dislivello Y fra i due serbatoi (j = 7845 2 4 s-1; lm 9806 N m-3) N m-3; v= 0,0233 10- m

(l)

+

3,35 m

=

=

Ritenuto, salvo successiva verifica, che il moto avvenga in regime puramen te turbolento, il calcolo delle cadenti viene effettuato con la formula di Chèzy:

•

=

•

·

·

•

•

essendo:

----

---

--

CR

-

1

=-

4

e:

100 Y
•

Q= VI

1tD� 4

l

-

-

8

A

=

-- - l

•

=

r y

D

ri 5f}�ttiva mente il ra�? io idraulico ed il coefficiente . di scabrezza (C 1 m . s_ 1 c2 39 m 2 s-1). Associando alla (l) l'equazione dj co ntinuità:

-

Ym

8

FLUIDI MECCANICA DEl E CA IDRAULI PROBLE MI DI

248

i carico e d e it rd e p o n n a h si non , ato in esso d ? r c a c r ben zione se a m ri p a ll e n Poiché l'imbocco e e io to nel serba h e . c n t e m o z ie p te o u delle q . perciò la differenza a: n a , p o c c o b m 'i ll e d e ll a v a della condotta

MOTO DEl FLUIDI REALI NELLE CONDOTTE

IN PRESSIONE

249

'

( -c',, -c'so">--

H:6m

, '

_j_

--

-. v ---

indi: u q a h si ; te n e rr co a ll ica de è uguale all'altezza c i n et

!1 rm-r

V

-

•

2

-

2g

r

La formula di Kutter fornisce:

da cui si ricava:

•

V= 1,4

m

s

·

-l

•

C=

100 _ _

__

l + e:

Q= 0,011 m

•

2m

m

l/2

s

m

J=

l l

Re=

l

= 60116

J (L1 + L2) = 3554,85

Dall'abaco di Moody, con riferimento alla curva di parametro t/D = 0,001 si .ricava allora il corrispondente indice di resistenza À = 0,0235 a �ezzo del quale si deduce il valore della cadente: ·

v

2gD

L+

o vale: cc o b im l' al co ri ca i d a it La perd

l

�Ht= 1,16

"' l

l

= 0,02348

Q

2

2g A

2 Q 59,90 2 =

e quella allo sbocco: 2 = 51,64 Q

l

•

•

1

Il dislivello Y fra le superficie libere dei due serbatoi è pari alla somma di tutte le perdite di carico e cioè la perdita continua e quella localizzata allo sboc co; risulta quindi: 2

0

2

•

l

J=À

s-1

l

Nota la velocità V, si può calcolare il numero di Reynolds della corrente: VD

•

Si ricavino la cadente e le perdite di carico continue nella condotta:

-l

3

= 42,7

__

V

2

2g

--

=À

L D

+l

2g

In totale risulta:

l

•

l , '

1

2 v --

1

=

2,92 m.

ovvero: Q

l ' l

8.16. La tubazione che collega i due serbatoi in figura è in acciaio (� =�,3 m111); determinare come varia la portata al variare del livello nel serba toto di valle.

\

•

\

=

16,52

V'i (*)

.e 'l)

cast· ·tn C'W· il dislivello OeJ · o corrett Kutter ruulta di formula b Il turbolento. che. l unptego deU nte e osservar purame fa Si moto (*) tu azione la el n c rr u d m da bia u n valore ta le ,.

•

Y ab-

250

PRt >lll.f .\li

\:L< l

DI iUR \l ! il \ l

"Il

1 l ' 'ili

\ DI

8

-

la prcsqone assoluta è mag ttil d(l con i!J dc nw pu o�m in o and qu o Ciò è \·er il mns tmo \·alorc di Y per cui si \'Criftca giore di zero, occorre pe rciò ri -�rcarc tale condizione on·ero -----

P�t

=

P�t

-t

Pa

l -Ìr----.-,�L . .

O

=

=

Z\1

-

y

l , l(;)

•

---

2g

+

T

te p�

•

'

J L1

�l

-

l

•

,'

'

l

..v

1...._

L'applic.tzione Jel reorem.1 di BernoulJj fra un punto del crbawio di monte e la sezione M porca a scri\·cre: \'�M

MOTO

DEl PLUIDI RE \l '• l

N CLLE

CO:'IiDOITE

,

----1...

----

(" '\(;)

!:'li

251

PRES�IO'-:E

1

p.

- --- -. T' - .;:-=... -:.-...

'•

l

\',�1

-

2g

essendo:

--

l

da cui: VM

Gmu

=

=

2,22 m

VMA

·

s-1

Ammesso inizialmente che non si \'erifich.i moto a canaletta, si ha:

69,76 I. s-I

=

Y

In queste co ndi zioni deve risultare:

y

=

Zt- Z2

=

•

dove per v�

1,}6

17,85 m

=

2g

Q=

Q

m

=

16,52

..[\r

69,76 l

·

·

.

'

•

:

J' (Lt

+

Lù -

·

s-1

� �:d

4

,

2.55 m s-1, quindi la corri· Da questa relazione si ricava la velocità V' 3 s-1. m O spandente portata Q' = 0,0 od punto Con tali valori della vdocità e della portata b pressione assoluta val re eli pres o col pic più il nde spo rri ale qu {al ta dot la con del o vat M più ele sione) si deduce dalla relazione: ·

•

ò

= Qmax.

.

•

2g

vale l'espressione:

'

. . . La tubazione che colle a J d e serh atol mdtcatt m figu ra trasporta � � . acqua (y = 9806 N m-3)· essa ' m acclato con coefficiente di scab 1/3 -• rezzn di StrickJer k = 70 m * E Pa In �ension� di vapore dell'ne· qua, determinare Ja po ta;a 4 c al e00� utsce lne7UO a tubaztone e il tronco di questa lungo il quale il moto è a can etta. 8.17

+

=

per Y < 17t85 m > 17,85

J'

0,52g

l V'

•

Concludendo:

per Y

=

2 V'

.

* a P ---

i

-

-

dove p: è lo pre i ne

d

+

* ·� . tl _l i i

+

\T'l

--

2g

+

0,5

* �- -4,21 r

atm

feri01 (a�· lutu).

V'2

--

m

2g

+ J'L l

(l)

252

ILUDI !'ROJH.lMl DIIDRAt'l.l(,\ r MHCI\ �

bbc ncgati \·a · poic�C::· ciò non è fi :ica La pressione assoluta in M ri�ultcr� funztOnamcm<_> reale sa�n quella per CUI nel mentc ammissibile, b condizione d1 alla tensione d1 ':apore: Imposta questa con unto M la pressione assoluta è pari si ricava �Uora l cffcttJ\'O valore della _vel_o izionc (pt1 = pt) nella relazione (l) _ Q, che c anche la mass1ma convoglwbtle ·r' v c della corrispondente portata di valle (V= 1,18 m · s -1; serbatoio del livcUo del variare al e l a tubazion Q= 0.037 m'· s-'l. . carattcnzzato dal fatto che A valle della sezione 1\l si ha moto a canaletta, tub della se ionc la �zionc; nella restan � la corrente occupa soltanto parzialmcntc _ ; SI compon a come se te pane si ha vapore alla press10ne costante Pr l� corrcm_c assoluta c.:. paraJicla fosse a superficie libera e risulta accelerata; la p1czometnca alla superficie libera della corrente alla distanza p�/y.

� d� �

II tronco di moto a canaletta termina nella sezione N dove la piezometrica assoluta, tracciata a partire da valle per la portata Q, risulta sopraelcvata di pNy. In tale punto la corrente rioccupa l'intera sezione dl'Ua condotta, ed ivi si manifesta una perdita di carico localizzata dovuta al brusco aiJargamento della corrente. · m-3) teorica 8.18. Calcolare la massima portata d'acqua (y, = 9806 che può defluire nella condotta in figura caratterizzata da un coefficiente di sca 112 con imbocco a spigolo vivo. 3 brezza di Bazin r = 0,2 m

8

c

MOTO DEl FLUI[}! REALI NELLE CO:>·mOTTE IN PRESSIO�E

25}

la cadente:

J

4Q' C'D,Al

=--- =

5162 ' Q'

La perdita di carico continua in condot ta nel tratto di lunghezza

JL,

e que!Ja d'imbocco è pari a:

t.H,

=

=

L1 vale:

30972 Q'

v' Q' 0,5 ' =O 5 -2g • 2g Al

=

413 13 Q' .

Nel tratto di condotta con diametro D2 < D1 si realizza un incremento ri spetto a �1 1, �ella v locità media V2 con conseguente aumento dell ' altezza ci�eti � . ca e diminuzione d1 quota piezometrica. Se si rag�iunge in condotta un valore di pressione assoluta nullo, ivi si in . �ta�ra una sezione d1 co�t rol �o �ale da consentire il deflusso di una portata Om:u . mdtpendente dalle cond1z1om d1 valle. Tale Qmn può essere calcolata applicando il teorema dt B ernoulh fra il serbatoio c la succitata sezione di controllo: *

Q' H +___.E!_= t.H, + JL, + --2g Al Y• da cui:

Qmu

=

22,4

l

•

s-1•

8.19. Individuare l'andamento della portata d'acqua (y, = 9806 N. m-3) defluente nella condotta del sistema indicato in figura, al variare della quota del livello nel serbatoio di valle. La tubazione in acciaio di lunghezza L e diametro D è caratterizzata da un coefficiente di scabrezza di Bazin 1 = 0,16 m112; si ri tengano trascurabili le perdite di carico nel venturimetro; la tensione di vapore dell'acqua sia pt = 147 0 Pa . ..

Si calcoli il valore di C con la formula di Bazin nel tratto di condotta di dia· metro 0 1:

87 C= __ ___ l

+2r... vn,

=

35,4 m'/2.

s -'

?5"11 -

8

t t\'.'1<. t\ Ofl rU 1!)1 (C ,\I E i\ I( ..'L Ri\l ID I PHOHLE.\11 D

rdite di cari pe le e tt di tu a m m so la al ri pa è U dislivello y tra i due serbatoi ha cioè: co continue e localizzate: si

y

=]L+

ed associando l'equazione di continuità: D2 n V= Q= 4

vz. --

2g

si :i cava l_a 9max e qu�ndi, sostitue �do n�lla (l), si determina il più piccolo valore Y del dJshvello fra 1 due serbatoi per il quale s1_ ha la Omu. Risulta:

formula di Chèzy· la n co le bi la lco ca è e nt de ca la ve do

y2

J

Y* = 5,64 m

= --: :---

C2CR

Per Y < Y* il legame tra dislivello e portata è dato dalla (l); per Y > Y* la portata è costante e pari a Omax.

con: C=

7 8_

__

__

255

MOTO DEl FLUIDI REALI !\E LLE CONDOTTI:. 1:-.: PRESSIO i"E

= 43,2 m'/2

•

8.20. Il tubo di scarico del serbatoio indicato in figura, è in materiale flessibile e perciò la sua sezione di sbocco nell'atmosfera può essere spostata a quote diverse. Nell'ipotesi eli tubo liscio ed essendo nota la tensione di vapore del liquido (p t 14 70 Pa), individuare le quote alle quali occorre disporre lo sbocco allo scopo di scaricare la iù grande portata d'acqua possibile (l = 9806 N m-3; p 1 v = 0,01008 10-4 m s- ).

s-t

=

•

·

•

•

Esprimendo Y in funzione della portata si ha: L

l

4

z

CD

+

2g

·

- 18165 Q2

·

(l)

\ l l l

-•

•

Questa relazione, escluso il campo delle piccole portate per le quali il regi me è laminare oppure turbolento di transizione, costituirebbe il legame fra livel lo nel serbatoio eli valle e portata, qualora non esistesse il venturimetro; infatti in corrispondenza al tronco ristretto di questo si verifica una diminuzione eli pressione. Affinché sia valida la (1), è necessario che nel punto M più elevato del tronco ristretto del venturimetro la pressione assoluta sia maggiore della tensio ne di vapore; quando il livello nel serbatoio è tale che la pressione assoluta in M è pari alla tensione di vapore pt, la portata raggiunge il valore Omax che non su bisce ulteriori aumenti pur abbassandosi ulteriormente il livello nel serbatoio eli valle.

l

l

h: 1m

l

J

l \ l l \

• •

T

•

.......

lJ

•

......

......

A..

�

y

v

2 v 2g

-

l

' .....

>-'"

8 .....

.....

.....

......

.....

.....

.....

......

•

......

•

La pressione assoluta p�t è individuata dalla relaz ione :

yM

Pn

*

+

ì'a

* =

-=P'-Mì'a

+

v� 2g

+

JL' O: 0.2

dove p: è la pressione atmosferica. Imponendo la condizione: •

* PM

=

* Pt

m

ta che !uno n si ca ri et m o ez l el d en o ,and . a� Tracciato qualitativrunente l colare la ti ar p in , e· iv at eg n o , Oru r a ti ve sl es pr le B A a tt o nd co i d co . go il tron ztone A A se a all za en d n spo rn co if'lCS m p iù grande depressione st ver ·

·

J ·

�:� ·

.

··

·

A PROBLEMJ DI IDRAULIC

256

E MECCA"--ICA

DEl FLUIDI

8

-------

rtata scaricata e in conse po la ta en m au , co oc sb di e Abbassando la sezion possibili s?ltant� no so ti e m au ti es qu ; A in ne io � guenza aumenta la depress_ _ re o al masstmo uguale alla tenstone dt , gw ag m e A finché la pressione assoluta tn vapore e cwe:

MOTO DEl FLUIDI RE ALI NELLE CONDOTI E IN PRESSIOI':E

257

� � t%

. 8 21. Affinché la pompa de11' '�� a to sollevame to indicato in figura, � 3 nel quale circola acqua ("( = 9806 N a a ta un_ funztonamento regolare, è necessario ch e l'altezza piezometc ri a. ss oluta nel bancen ro della sezione di en� trata della pompa sia al minimo pan h ad = 3 m Deterrrunare 1a masstma qu ota h . c e s1 pu o assegnare al baricentro de11 a seztone d tngresso, quando si deve solle · vare la portata Q - o, 03 ml ·s-t L , tmbo c c' s · 0I0 vtv o , e la tubazione h a scabrezza E = 0,0001 m (v = O,OÌ008 10-4 s� .

•

.

•

'

.

•

·

·

'

· ,.

*

PA + Pa

*

=

Pt

* Detta Y la quota dello sbocco (misurata rispetto aJ livello nel serbatoio) per la quale si verifica questa condizione, ogni ulteriore aumento di Y (e cioè ab bassamento dello sbocco), non può determinare un 'ulteriore diminuzione della pressione assoluta in A e di conseguenza la portata scaricata non aumenta o l t re il valore Omrut corrispondente alla quota Y*.

y

=

JL +

da cui, imponendo la già citata

=

2g

PA

h+

ì'

= 14,81

V

pt -p:

ì'

m

·

p

--- - -O:

0,1!i

m

+ ]L

condizione PA = pt - p:,

16 Q�ll)t =--�=--=h+ 2g 1t2D4

-

T

Tenuto conto delle perdite continue lungo la tubazione e indicata con h la quota della sezione A, si può scrivere:

v2

�i� \�

.

=

si ha: Applicando il teorema di Bernoulli tra il serbatoio e la sezione d'ingresso della pompa, si ha:

11,18 m

z

s-1

+

p* ì'

v2 P: = -=-- -0,5 -- -]L

+

2g

ì'

dove la cadente J si valuta a mezzo dell'abaco di Moody; calcolato il numero eli Reynolds e la scabrezza relativa, dall'abaco si determina rinelice di resistenza À e quindi la cadente. Imposta nella soprascritta relazione la condizione:

Essendo: Re

=

VD --

\1

=

2938500

À = 0,316 Re-()·2s = 0,00763

1=

ÀV2 28 D

p* -==h

•

ì' d a ess a si ricava la massima quota gre sso della pompa.

z

alla quale può essere posta la sezione eli in

Risulta:

= 0,4265

Y* = 23,98 m Le quote cercate sono quelle per cui y

>

Y*.

-1 V = l, 7 m • s )

Re= 252627

.!.. D

=

3 o 6 7 • 1o,

8

·CC:\:"'1( ·\ DL! FU'!Dl PROBI E.\11 O! !DRAl'L!C1\ f ,\II

258

=

0,0189

r

= 10,33

z =

CONDOTTE l� PRESSIO �E

259

�

*

Pa

N ELLE

•

Ritenute trascurabili le p erdite di can.co lungo 'u ge�o, applicando il teorema di Bernoulli fra la sezione d i entrata e quella di usci ta si ha:

À=0,0193 J

MOTO DE! FLUIDI REALI

y2

H=Y-JL=

rn

u

2g

essendo V u = Q/L. la velocità di uscita dalJ'uge lJo. . · do l'equazione di continuità: Associan

6, 35 m.

L'impianto idroelettrico indicato in fig u r a è equipaggiato con turbi ne Pelton; se 2: 0,071 m2 è l'area di sbocco delJ'ugello terminale della condot ta forzata, determinare la portata Q e Ja potenza P dell'impianto. Ammesso che l'impianto funzioni per 8 ore al giorno con la portata Q calcolata e per 10 o re a] ortata Q/2, determinare l'energia giornalmente prodot ta (k = 90 giorno con p m113 ·s-'; r =980 6 N m-3; 71 = 0,81; rj' = 0,80).

8.22.

=

s i ricava il v al re �ella o p rtata Q e quindi anche il � ia co r re nte al l uscita dall , ugello. Risulta: Q= 6,251 m3

•

V = 4,06 m

---

J

:::

•

·

v

al ore del carico totale H del-

s-1

s-l

0,00825

H= 395,03 m La potenza dell'impianto va l e: Y=400

QH r P_ = 19622 k\Y./ - 1) 1000

m

Quando la portata è dimezzata, essendo la cadente proporzionale al quadra to della velocità e quindi de ll a portata, il carico vale: H'

=

Y

_

_!_]L= 4

398,76 m

e la potenza:

��i�o t'inl:bocco dell'ugello terminale è pari al dislivello y diminuito

n delle pe

_ e carico contmu lungo la condotta forzata; esso vale perciò: H=Y-]L

dove la cadente J viene calcolata con la formula di Strickler:

P'

=

TJ'

r

Q

1000

2

H'= 9781 kW

L'energia giornaliera prodotta dalrimpianto equivale a:

E

=

8 P

+

10 P'

=

254786 kWh.

8.2.3. Nel l 'impianto idroelettrico indicato � !i.gura J: coo?otte sono in l er k= 70 acciaio aventi scabrezza caratterizzata da] coeff1c1ente di Stnck

,\IECCA,,'ICA J'ROBLH.!! DI IDRAULICA E

260

DI- l rJ

m'Il. 5-1; se l'indicazione del ma�? me_t ro diffe renziale è 16.

nare la porlata e la potenza delltmptanto (")' N

·

m-3; �

= 0,85).

=

8

UIDI

9806 N

MOTO DEl FLUID I REALI i\!ELLE COi'•m OTIE

= �)?6 m

V J, =,c l ,D,

m, dc��rmi , "!' m _ l ))362

4

J,L,

=

=

l�

PRESSIO:\E

261

o,o1n

4,80 m

C,= 53,5 m'" . 5- t

Y=l50m

h=

0,0632

J,L, = Vì

2g

=

6,32 m 1,85 m

e quindi:

LIH U manometro differenziale fornisce attraverso la sua indicazione la diffe renza di quota piezometrica tra il serbatoio dj monte e la sezione iniziale della condotta a cui è coUegato: o= LI

"l'm-"!'

r

In assenza di perdite di carico tubazione:

o

=

0,756 m

corrisponde aU'altezza cinetica nella

=

137,03 m

P.= 3456 kW. La condotta forzata dell'impianto idroelettrico indicato in figura è Q= 5 m3 ,-t (y = 9806 N . m-3)_ed -111 s è caratterizzata da un coefficiente di scabrezza di Stricker k = 75 m1 l'imbocco è a spigolo vivo; si valutino le perdite di carico lungo il diffusore co� la formula di Gibson, ponendo m= 0,4. Determinare:

.

8.24.

m acCiruo, convoglia una portata d'acqua

a) la potenza sull'asse della turbina

•

•

(�

=

0,8);

b) l'indicazione n [bar) dd manometro metallico;

c) l'indicazione

Vt Q

=

=

3,85 m

3,025 m3

s-1

·

•

s-1

La potenza della turbina in kW è data daUa relazione:

P-� -T)

dove:

C1

E

;•

---;f-)'

k (D

1000

•

55,6 mt /2 , s-1

LI

del manometro differenziale

(")'m =

7 845 N

·

m-3).

-

• :"H \ ()LI FJL'IJ)I t-1EL.C .\ [ A l.IC IDR t\1 DI PROHL r .\\l

262

·

------- -

·

f)

j�rn �

v:. 3 ..-

2g

__.:

=

307,6

4

m112

·

s

-

P2 l

-

= v�_ v� 2g

o = 1,4

m

2g

-

263

(V 2-V3)2 m 2g

m

� = 7,01 m.

•

essendo:

= 61,4

Z2 +

Risulta:

_

J/6

MOTO DEI FLUIDI REALI NELLE CON DOTTE IN PRESSIO NE.

salto netrb'na è necess ario valutare iJ di carico (di le i rd pe le e tt tu di tO i u, i )· �

. e Il a) Per il calcolo della �otcn�a bJ c to .1H che è pari al salto dispom e, allo s occo . or us ff di l ne . ue in nt o, co cc bo im

01

8 --

--

8.25. L'impianto indicato in nafta (J' = 7845 N m-3; v= 8

figura deve sollevare la portata di 80 l s-1 10-6m2• s-1); le tubazioni sono da conside di rarsi lisce e le perdite localizzate dovute alle curve, nulle. Determinare la potenza della pompa (Tl 0,80).

'

·

·

·

=

e:

Jl

=

=

0,0173

--

La potenza sull'asse della turbina vale:

p=

Tl

rQ�H = 1000

v :go

--

12070 kW -

Vt Pm Ym = + ____.:... .; ... +)t L t 2g

- -

+ 0,5

ì'

n

=

Pm •

p o1: 0.3

Vt

m

11 calcolo del numero di Reynolds nelle condotte 1 e 2 rispettivamente, fornisce:

2g

___: :__

da cui:

Pm =

-- ------

m

b) L'altezza piezometrica pmfì' nel baricentro del barometro metallico si può valutare nel modo seguente:

i

-

4Q

287,3 m

10-5

=

mD.

v

28,17 bar

=

4,24

•

104

v

c) L' in dicaz ione � del manometro differenziale è l eg ata alla differenza le quote piezometriche delle sezioni estreme del diffusore dalla relazione:

o fra

tl Si possono così valutare le ca den W e is bach: ·

J

l

e

· t e la formula di Darcy ia n d e m J2

J= in cui

o

si ric ava applicando il teorema eli Bernoull.i fra le stesse sezioni:

P2 V�.;... Z2 +- + _ i

2g

=

PJ V5 Z3 + - + _.;;._+ i

2g

m

2 (V 2V3 )-.:... -.. 2g

25 per il calcolo dell'indi ce di . . Re -0, - O,316 À s Bla sm di for mul a impiegando la resistenza. Risulta:

Àt

=

0,022

l• =

0,0048

JCA E MECCANIC:\ PR08LE�11 DI JDRAL'L

264

DCI F1 L'IDI

8

MOTO DE! FLUIDI REALI NELLE CONDOTTE IN PRESSIONE

Supposto ben raccordato l'imbocco , la pre valen za della pompa vale:

]2 = 0,0114 ltano: su ri ue in nt co co ri ca di e it rd pe per cui le

H

J1L1 = 0,48 m

J ILI

=

+

hL2

+

265

v.22

2g

dove le cadenti sono valutate con la formula di Chèzy:

]2L2 = 6,82 m

v2

J=

La potenza della pompa in kW è data d�a relazione:

C2
essendo:

1QLlH 11 l 000 .

.

ill cw:

LlH = Y

+

Vr 0,5-;__ 2g

+

]tLt

+

]2L2

V�

+

-2

g

-

=

La prevalenza è una funzione quadratica della portata e del coefficiente di scabrezza m, cosicché potrà scriversi:

97,47 m

e quindi:

(l) P= 76,5 kW.

dove:

8.26. La pompa inserita nell'impianto rappresentato in figura, ha una ca ratteristica esprimibile con la relazione:

H= 5,5

+

16

�=

270 Q-31950 Q2

2g�D1

è funzione di m; si ottengono perciò due diversi valori di di tubi nuovi e usati:

IJ liquido circolante è acqua (r = 9806 N m-3); le tubazioni sono in ac ciaio con coefficienti eli scabrezza di Kutter m O, 12 m 112 a tubi nuovi ed m 0,175 m112 a tubi usati. Noto il rendimento della pompa 11 = O, 72, supposto costante al variare della portata, determinare, per le due condizioni di tubi nuovi e usati, la portata e la potenza assorbita dalla pompa.

� per le due condizioni

•

�D: 57346

=

=

-----

--- -

--

-

---

-

(3u 80504 =

ottiene il sistema: si a mp po lla de ica ist ter rat ca la n co (l) la do Associan

�Q2 H= 5,5

H=

,

+

•

270 Q -31950 02

· prevalenla e Q a at rt po la e sc ru or , f gauv� . ch e risolto ' escludendo la soluz10ne ne . . Risulta·. . au us e vl uo n l b tu di i n io za H della pompa p er le due condiz ·

.

o,...... l, .....

9o

O.to

- tubi nuovi:

l't)

Q0 0,0095 m =

'>!

Hn

c

5,18 m

-1

3 •

s

266

DI PHOBLEJ\11 DI IDRJ\l'LI(A E .\IHCA!':ICt\ DI'l l Llii -

------

p

n

-

yQniin 'T) l 000

-

ti

------

- w bi usati·

+

Hu

Pu

=

=

V�-V� 2g

_ A - u

Ym-"(

y

l

�

D�

-

l

D1

)

Eguagliandola alla caratteristica dell'appare cchio, si ottiene la relazione:

5,54 m

yQuHu 'T) 1000

267

la perdita dj carico vale:

0,6 7 k \Xl

=

MOTO DEl FLUIDI REALI :-IELLE COND OTIE IN PRESS!O:\E

l

0,6.3 kW.

=

D�

l

D�

dalla quale si ricava:

8.27. Nell'impianto a circuito chiuso rappresentato in figura, in cui circo la acqua (y 9806 N· m -3), è inserito un apparecchio le cu i perdite dj cari co sono espresse dalla relazione:

La prevalenza H della pompa è pari alla somma eli tutte le perdite eli carico continue e localizzate; si ha cioè:

=

con K 6400. Le tubazioru sono in acciaio con scabrezza E = 0,000 1 m. No ta l'indicazio ne .1 del manometro differenziale inserito fra l'entrata e l'uscita dell'apparec _ _ chjo, deterrrunare la portata dell'impianto e la potenza da fornire alla po m pa (v= 0,01008 10-4m2• 7J = 0,70; lm = 1.33362 N· m-3).

dove cadenti si calcolano valendosi deil' abaco eli Moody: determinato il nume ro d Re ynolds e individuata la curva di parametro t/D, si ricava l'indice di stenza À e quindi la cadente J.

le

=

resi

i

s-1;

·

E

- = 0,00083

Ret = 263095

Dt

p o,= 0,12"'

Re2

=

E

209821

-

D2

=

0,00067

Àt À2

=

0,020

= 0,0195

H= 9,3 m L2:: 150m

�::

0,15

m

rQH

-T

T} 1000

6:0,)1

t

Poiché la differenza eli q è a:

chio pari

3,26 kW.

.

rm

�. �

•

uota plezometnca fra entrata e uscita dell app ar c -

=

·

·

'

A Xrn-r r

e

·

i

;

=

mercuno o del 1ero tuito da hanno r z =

• .

.

10

gu e O �: I.e ris t�i e g ed.J ;�n:!�u� o':; ; � � � � it � le due sezioni e della e? � · ti os c e 2 b u cr tron e lunghezza l v=

•

_

�

(y = 9806 N m-) ra m ft to en am dd fre raf t di o ian mp 8.28. Dell 'i , 16 m 3 D , m 12 0, = 2 l D , m -l) s< o no ti 10 diametri Dt = 0, 5 dei vari tr on ch i di condo ·· o,os , m L = 0 L; 25 , 1 .tn .caz: n 20 �� J 6 �� Li ser o ra A-A N = 362 133 (ym clifferenzJale a pompa. 5 7 0 = T) o t en im cl e : r � il t ronc conver�ente B-B di estremità D3 è L eli diametro s 1 a tr 0. , 5 !Il) in ento (D Il f �sc1. o tub' 5 m. . m 0 3 0 0 ' . n = 5000 tub1c1ru di daametro d . e. ar eternun scab ez a t = O,OOOl m. D I tubi .

m

_

=

=

=

J'ROBLrMI IJI�IJ(.\· �l(l.::_'-ll:\�!l ll�>l__

268

a) la portata

Q

b) lo potcnzo p

pompo 1-- 1

MOTO IJ(\ FLLIDI REt\Ll i":EI.U:. (0"\:DOTTE \'\: PRESSIO:-..E

269

Si può dunque scrivere:

circolante nell'impianto;

[k Wl de l lo

b

v�

�H= 1,16--

_..j

2g

+),L,+ j,L,

v�

-- + Jl

•

2g

+

vz

0,5 32g

+

v'2 )JL3., ),L, .2g

Per il calcolo delle cadenti si utilizzi la formula di Darcy-Wcisbach. L'indi cc di resistenza ),, relativo ad ogni tronco di tubazione, si ricava dall'abaco di Moody in funzione del corrispondente numero di Reynolds e della scabrczza

relativa.

Nei tubicini, poiché Re< 2000, il moto risulta laminare e la cadente può essere determinata con la formula di Poiseuille. Risulta:

del

) s·

lichi il teorema di Bernoulli tra le sezioni A-A e B-B di inserzione o ritenendo trascurabili le perdite di carico nel convergente:

�an��

'

Q A P ZA + +., A 2g i "'(

=

zs

PB +"'(

+

' Q 2g M

Essendo:

1,16

Re1 =

Rez zA

(

+

; ) (zs �) =�"'(m;"'( =

P

-

+

113393

= 94494

b) La prevalenza �H

è

=

0,0089

m3

2g

= 0,076 m

·- = 0,001

),,

D,

· - = 0,00083

0,15 m

)>Lz

=

=

Àz

o,

si ottiene:

Q

�

0,022

=

0,022

),

0,0144

=

h= 0,0058

0,116 m

= 0,032 m _.':1_ 2g •

ç'

data dalla differenza dei carichi totali fra le sezioni

À=

Re=�=756 1tdnv

di valle e di monte della pompa. Tale differenza coincide, nel caso in esame, con la somma di tutte le perdite di corico poiché è nullo il dislivello geodetico. Per quanto riguarda le perdite di carico localizzate, trascurando le perdite

J=0,091

Jl= 0,457 m

y2

' 0,5 2g

nel convergente, nei cambiamenti di direzione, di imbocco e di sbocco nei rubi cini, bisogna mettere in conto: la perdita di imbocco nella condotta di diametro

D�, la perdita di sbocco·dalla condotta di diametro Dz al tamburo di diametro D del fascio tubiero (dove la velocità è praticamente nulla), quella di imbocco nella condotta di diametro Dr, e quella di sbocco nel serbatoio. Per quanto concerne le perdite continue il fascio tubiero costituisce un si stema di condotte in parallelo per le quali il dislivello piezometrico fra le sezioni di estremità deve essere uguale; ne consegue che le perdite di carico in ciascun tubicino sono uguali fra loro e che la perdita complessiva nel fascio tubiero è pa ri alla perdita in un solo tubicino.

.0._ = 0,0847 Re

Re,= 70824

· -

D,

=

_ & _

D,

=

�

0,005 m

ÀJ

0,00063 J,L,

Re.. 141710

=

= 0,0218

h�

0,0014

J•

0,045

0,08 m

0,00125

)..

�

0,0225

�

270

PROBLE/111 DI I DR;\ l'l.

l( •\ F �\L( CA '\:l C /1 !>El

J4IA

FLl�D..:_I�---- --

8

l, 13 m

=

�

definitiva si ottiene:

�H = 3,21 m yQ�H "fj 1 000

P=

dove i pedici g, c e s contraddistinguono le grandezze relative alla galleria, alla condotta forzata e alla galleria di scarico. La potenza della turbina vale quindi:

= 0,37 kW.

P_ 8.29. Per l'impianto idroelettrico rappresentato in fi�u ra i� eu� transita l� . erogata dalla potenza turbina e 1 liveU1 Q determinare la ne1 due pozz1 portata , piezometrici. Individuare poi l'andamento de11 a potenza m funz10ne de11a portata. ·

000 1 Tl -

•

·

Mettendo in evidenza la portata e posto genericamente:

16 L

.J--. ...-o-:-1 - =.....

-

- - --- --- --- - . --

·-·--.

-·-.

-

21

-

�

.

'

l g.

Dg. Kg

'

� -----=-0�,--:-41-:-::34

---- ----

.

l H

l

1 Hv

T

T

z :O

Po s to:

kt

+

4/3

\ 4

� Q Y -Q2 �& 1 00

------

. Le p er dit e di carico continue vengono valutate con la for mu la di Strickler:

� s:ùt� util� H della turbina è pari al . tol, d

p = 1}

y

l

\ 4

si ha:

' '

l

k2�D

=

--

', �

(kWn Wj

yQH

•

-.

271

re di a duzione e di scarico; ritenuto b en raccordato l'imbocc . o ed iJ tronco di passaggto dalla gallena alla condotta forzata si ha:

vi --=0,16m 2g In

MOTO DEl FLUIDI REALI :\ELLE CO :\DOTIE. IN PRt. SSIO :--JE

l

dislivello geodetico Y fra i due serba munUlto d1 tutte le perdite di carico continue e localizzate lu ng o le co ndot-

k2

(

+

�c �s +

16 +

2g 1t

2D!

l = TI 1 000 16

=

�& �c �s +

+

+

2 g 1t2D!

anche: . . ha si T}, to nd im en re il te co stan e ritenuto, in prima approsstmazJOne,

p=

ktQ(Y -i<2 Q2)

; nulla r e della portata a ri va al za po te n to della en d an l' e isc fin de e ch ne � io relaz raggiungere un a fin o a, po rta t la nta con au me n a da pp ru a po te nz O, la per Q =

massimo quando:

•

272

PROBLE.\II DI IDRA l 'LI t i\

E

l'-lf< CANIC .\

L _ ' I _ID_ C DL_ I r_ _

8

---

-

MOTO DEl FLUID I REALI NELLE CONDOTIE IN PR ESSIO:-.:E

273

e c1oe p er: .

'

Q=

=--

,.,.�

y

-=-= =--= --

-

-

-

-

3 k2

àH •

ovvero:

---

•

--

- -

2 Q 2 k

=

--

· -

-

y 3

T

,

----�·--

v

.

-

vale a clire quando il complesso delle perdite di carico è pari ad un terz o del salto disponibile. In corrispondenza a dette condizioni la potenza assume il valore:

- ---

•

- -

-

- -r-

l

òH ,__ h 1:10

-

-

Jl1:0.6 m

-h2:4 m

.

T

.

.

.

.

•

M"" ../y .

l

.Jl

l

L)= 2,8 m

L r

-

-

Nel caso in cui sia presente il divergente a valle della turbina, il salto utile �H vale:

e cioè quando tutto il salto disponibile è utilizzato per vincere le per dite di canco. •

(pozzo piezometrico eli monte)

-

'f ----

L1= 2m

I livelli nei due pozzi piezometrici corrispondono alle quote piezometriche della corrente nelle sezioni ove essi sono inseriti; assunto quale piano eli riferi mento il livello del serbatoio di valle, le quote dei due livelli nei pozzi piezome trici valgono:

-

m

,

Per valori maggiori della portata, la potenza diminuisce fino ad annullarsi quando è:

-

= 5,33 m

..,

da cui:

f

p

=

T}

rQL\H 1000

=

37, 6 kW

Nel secondo caso risulta invece: (pozzo piezometrico eli valle).

8.30. Nota la cadente 0,01 identica nei due tratti di co J n do tt a e la port�ta ,Q 0,8 m3 s-1 calcolare la po tenza estraibile dalla turbina nel le d u e si tu�zlOru schematizzare in figu ra (T} = 0,9). La perelita di ca rico nel divergente �� e valutata con la form ula eli Gibson, ponendo m = 0,5 (y = 9806 =

=

�� ; r

•

'

v2

v2

�H= h,-h 2-JLt-JL3-0,5 2g - 2g

=

5,07 m

p= 35,8 kW. e metallico . etto ,. . man om del bar - 3 '7 n� n Jo � ic d m l a at n eg ss A . 8.31 . f'tgura, deterrrunare la portata d ac' m tanto le dimensioni geometnche dell'lDlp

�1

PHOHI f.\11 01 JDKJ\l"Ll(t\

274

8

c t\lLLlt\ '.;l( l\ l H:l Il l 11)1

980(> 1 : m-3), .b p�· qua che deDuiscc in condizioni di regime permane�tl' _("Y 0,85 c om pre o d d1ffusort:l c le hncc dc1 can renza ricavabilc dalla turbina (7] enti di chj totali e piczometrica, sapendo che le perdite di �arico nei cambiam . tiC
MOTO DEl FLUIDI RE ALI N, ELLE CO '�JOOTIE

=

•

ln CUI: •

�.

•

HM= !QQm

"""

.

o1

l l

P_ -

l

--------------

l

12.6 "'

l

•

l

_l_

-

-

-

-

-

-

-

-

t�:

�

- - - --

-- -

-

·

-

-

-

-

1,32 m

11

rQ!lH = 597 1000

kW.

·

La fase di produzione di energia ha durata di 8 ore con portata costante QT = 10 m3 s- 1; all'inizio di questa fase il dislivello fra le due vasche è Y0 = l 00 m. Le pompe hanno la seguente curva caratteristica:

-� -.., ·�=- :=-� ,.�t:---·-.. \_.,.?-:� :·T.·

- - - - ....__ .._ _ .._ o.g _"' ..e;-. _ ...; __.._ • e 1

•

-

HM= ZM +

n

·

105

i

---

+

Q2 � -- = 2g A5

40

+

0,202

H=

-

J tLt-0,2

v�

V2

-}2L2-0 '2 3 -} L3 2g 3 2g

=

Q2

43 , 4-0 , 8222

150-0,6

Q1

Determinare: a)

Esso deve uguagliare il valore HA depurato delle perdite di carico:

HA

2g

=

8.32. L'impianto idroelettrico con pornpatura indicato in figura, è com preso fra due vasche: quella di monte con superficie orizzontale costante L;1 = 28000 m2, quella di valle con superficie orizzontale costante � = 35000 m2• La condotta forzata in acciaio (k = 70 rn113 s-1) ha imbocco ben raccorda to con perdite trascurabili; la perdita nel distributore si può assumere pari a 0,5 V2/2g essendo V l a velocità nella condotta forzata; la perdita lungo i diffusori può essere considerata trascurabile (j = 9806 N m-3).

Il valore del carico HM all'ingresso della turbina vale:

HM=

+

•

l

-

zs

v�

,

6H

' m-

H v=

La potenza risulta:

o2: 1 ,.,

l

l

40,68 m

'

---

12.6 ,.,

275

�H= HM-Hv = 39,36 m

?'

I�Om

PRESSIO:'\E

Il salto utilizzabile dalla turbina è:

=

con diametro Ds = O, 9 m.

IN

b) c)

Q2

rbine (T] 0,85); tu lle da a at og er a nz te po lla de po m te 1' andamento nel . e; m r tu lle namento de l'energia prodotta nelle 8 ore di funzio rbtta dalle pom· so as a nz te po lla de e a at rt po lla l'andamento nel tempo de pe (T) 0,81); r souevare il volu· pe ia ar ss ce ne pe m po lle de la d u ra ta di funzionament? m e pr ecedentemente turbmato; me; lu vo to et d e ar v e ll so er p 1•en er gt a assorb1' ta dalle pompe e duranre il eh as v e u d le el n j ll det 1't ve l' a n d a m e n to nel tempo sollevamento.

�

=

d)

Confrontando le due espressi oni si ottiene: l

e)

f)

.

.

=

8

c)

1:--.:

MOTO OEI FLt..:ID! RE:\LI i':ElLE CO�DOTTE

PRF.SSJO�E

2i7

Il dislivello fra i serbatoi nel generico istante t del sollevamento vale:

r,

La prevalenza della pompa vale perciò:

(

l

) l'

l

V'1 H= V,+ - +--::- 0Pdt + L --+ 1 k'
a)

U

H

essendo

V il

=

Vl Vl Vl V- -----,----;i7J L, - -- - 0,5 -2g 2g k cR

(

'

l

j''

V= Vo-- Ordt-- Qrdt 2:2 o 2:, ,o e quindi:

2g

(

1

1

)

=

(

v'

v'

l

Vo -Qrt 2:,

l

)

(

[k\XI]

erogata dalle turbine

1

1

)l'

- +--:;-- Opdt 2:, ,o 2:,

o,5

L,

150-0 •60� =v,+

v'

t- k' �13 L,-2-0,5--'-= 96,055-0,000643 t H= V o-Or � + � 2g 2g "" "' ' cR L'andamento nel tempo della potenza seguente:

(

+

o,5

2gDi

Derivando rispetto

è perciò il _

QrH Pr = TJ y = 8010-0 • 0536 t

)

aJ

l

-

z;,

) l'

l +2:,

Opdt + 0,0377

o

.

I:

Pr dt

=

57901

kWh

All'istante finale del funzionamento a turbina (t1 = 28800 s) il dislivello fra

1 due serbatoi vale:

V,

�

Y o - 0Tt ,

(__!__ + __!__ ) E, 2:,

-dO

dt

·

=

(

l

-

z;,

)

dOP l +- o.+ o,o,53s o.-dt

L2

e quindi: l

l

+ L: ' --2:,-=-:-:-:: _...:='l ,2 + 0,07538

�

-0,0000504

si ottiene: Integrando rispetto al tempo =

81,49 m

o2.

tempo si ricava:

1 2 o. •

(

1000

b) L'energia prodotta nelle 8 ore di funzionamento delle turbine vale:

Er =

+

Poiché deve essere verificata anche l'equazione caratteristica della pompa, risulta:

+--:;-E2

+

2g

' 16 + 7 oP k2
dislivello fra i due serbatoi al generico istante t, che vale: l

v'

v'

+ 0,5__!_ + 0,5__!_ = v,

salto motore delle turbine vale:

0,0000504' OP- 0P0-

t

8

ANICA DEI FLUIDI PROBLEMI DI IDRAUUCA E MECC

278

iniziale, che si ric ava da lla essendo Q po il valore della portata all'istante relazione: 150-0,6 Q�o = Yl + 0,0377 Q�o

da cui si ottiene:

•

8.33. La condotta forzata in lamiera d'acciaio saldata alimenta la turbina a reazione T secondo l'assegnato diagramma giornaliero delle portate. Sono no· te: la portata Q 10m3 s - 1 , le quote degli specchi liquidi nella vasca di carico A e in quella di scarico B (in entrambe le quali racqua si considera in quiete); i diametri e gli sviluppi dei vari tronchi di condotta; il coefficiente eli scabrezza 1 70 m 13 s-1 da introdurre nella formula di Gauckler della condotta k Strickler; l'area A = 4,5 m2 della sezione eli sbocco del diffusore; il rendimento T} = 0,85 del gruppo turbina-diffusore-alternatore; la tensione ammissibile a tra 100 MPa dell'acciaio costituente la condotta: zione CJam =

•

=

e quindi:

Qp =

10,365-0,0000504 t

85,539 + 6,2694

·

10-4 t-1,5244

10 9t -

·

2

La potenza assorbita dalle pompe ha perciò l'espressione:

QpH r Pp = = T) 1000

10738

o,o2648 t-0,57401 . 1o-6 t2

+

+

o,9306

•

lo-12e

d) La durata t2 del sollevamento è ricavata dalla relazione:

28800 OT

t2 =

o

•

=

•

H=

279

MOTO DEl FLUIDI REALI NELLE CONDOTTE IN PRESSIONE

Qp dt

a) per la situazione di moto permanente con portata Q, determinare la li nea dei carichi totali e la piezometrica della condotta, la potenza Pu, in kW, ai morsetti dell'alternatore, la potenza Pd dissipata lungo la condot ta e il rendimento globale T}g dell'utilizzazione;

b) calcolare l'energia E, io kWh, che l'impianto eroga in un giorno funzio· nando secondo l'assegnato diagramma cronologico delle portate.

c) calcolare gli spessori (minimo 8 mm, incrementi successivi di 4 in 4 mm) da assegnare alla condotta, ammettendo che nella sezione immediata· mente a monte del convergente la massima sovrapressione �p rispetto alla pressione idrostatica possa raggiung_ere il 12% di quest'ultima.

da cui: 288000

=

10,365 tl-0,0000252

d

l

e quindi: t2

=

().��

29970 s

80m

e) L'energia assorbita dalle pompe durante l'intero sollevamento vale :

f) Indicata con Z1

p= E

f2

l 3600

P dt 0 p

=

Z1

Z2 •

•

Z1

+

z2- l I4

t

dt Qp �. O

tQ dt o p ·

c:

l

g�

l l l l l l

9131 8 kWh

o .., , ·� 't$'

dìbatO O di mo�te �,1S. tan�e iniziale deJ sol'!iaiJ: �iazS:� J t� Olo di valle, il loro andamento

il livello nel 5 levamento e quindi z2 z1_ y1 u nel tempo è dato rispett ivamente

l

=

l l l l l l

205m

·

Zl + 0,00037 t- 0,18 0 10-8t2

�

Q

-

:0

l

l

Hm H

l ll

l l

-

--

l l

l l l l

-

-

- -

�

z •-81,49-o,ooo; t + 0,12. to-9r.

l l l l l

l l

-

-

-

-

-

-

8

•

MECCANICA DEI FLUIDI PROBLEMI DI IDRAULICA E

280

pr�sentano singolarità in c�rri� a) Le linee piezometrica e dei carichi tot� _ d1amet:o e presenta vanaz�?n_t spondenza delle sezioni in cui la condotta camb1a c sta te: cto e di inclinazione ove essa cambia pendenza, anche se a di�etro � � . della linea det cartchi to�a dovuto al fatto che la] è definita come abbassamento _ e non sulla prOieZJO· li lungo l'unità di percorso, misurata sull'asse della corrente ne orizzontale. Si definisce salto lordo la differenza:

8

MOTO DEI FLUIDI REALI NELLE CONDOTTE

n rendimento globale dell'utilizzazione risulta:

__P_.

TI.=

__

-yQH

=

TJ...É!!!_ H

ossia è pari al prodouo del rendimento T) del sistema turbina-diffusore alternatore per il rapporto salto utile/salto lordo che può intendersi come rendi mento delle canalizzazioni. b) Quando viene turbinata la portata Q', tanto il carico dissipato lungo la condotta, quanto la perdita di sbocco diminuiscono nel rapporto (Q' /Q)2. tanto il salto utile diventa:

Per

(

V'

)( )

H�= H- Y+-fs" . J?etta V, la velocità della corrente nella sezione terminale del cliffusore e ' qwndi W/2g la perdita di sbocco, si ha:

H,= ZB +

Q' '

Q

e la potenza utile risulta:

P:-� u T) 1000

Yl_ 2g

e, in definitiva:

Infine l'energia giornaliera vale:

H.-H-Y-YL

E

2g

Si noti che in questaù rei f sore pereh� questa ver u rurbina-difrfuso e-alternato re

La

281

_ [kW] P.=...@_ 1000

1000

Nel caso specifico, trascurando le modeste perdite di carico per imbocco e variazione di sezione, risulta:

PRESSIONE

mentre quella dissipata lungo la condoua vale:

tra le quote degli specchi liquidi nei serbatoi A e B; salto utile la elifferenza:

tra i carichi totali nelle due sezioni eli entrata e eli uscita del sistema turbina diffusore. Indicato con Y il complesso delle perelite di carico tra il serbatoio e l'imbocco della turbina si ha:

IN

:tone_ non c·tgura la perdita di carico y' lungo il elif. (:::e J'nto attraverso il �e�dimento del sistema ·

a nota a if ne eserazto).

potenza ottenibile ai morse tti dell'alternatore

Pu•'l� 1000

lkW]

è:

•

lOPu

+

141':.

[kWh]

c) Noti i diametri, si ricava dalla formula di Mariotte il massimo affonda· mento sotto la piezometrica di colpo d'ariete, tollerabile con un certo valore del· lo spessore e. Esprimendo lo spessore in millimetri e il diametro in metri si ha:

.E. y

•

� yD

•

20,4.!. D

. Di qui la costruzione gra fica indicata in figura

[m]

282

A DEl FLUIDI PROBLEMI DI IDRAULICA E fo.-!ECCANIC

8

t.tOTO DEI FLUIDI REALI NELLE CONDOTTE IN PRESSIONE

283

Pertanto, se si considerano la turbina e il diffusore come un unico sistema idraulico, il salto utile è

ed il rendimento deve tener conto delle perdite che si verificano nella macchina, lungo il diffusore e allo sbocco di questo; detto Tlm• tale rendimento (che differi sce da quello TJ del gruppo turbina-diffusore-alternatore perché gli manca il fat· tore relativo all'alternatore), la potenza utile PT sull'asse della turbina è:

(l) Se, invece, si considerano la turbina e il diffusore separatamente (come, per esempio, si deve fare nello studio della macchina e nel progetto del diffusore), il salto utile si riduce al valore:

Poiché HuT tiene già conto delle perdite lungo il diffusore e allo sbocco, la potenza utile sull'asse della rurbina dev'essere questa volta calcolata mediante il rendimento T]T della sola macchina:

t:==�====t:�L:��;+�� m) 1.

Nota

_n diffusore è sostanzialmente un condotto divergente (quasi sempre ad asse curv�eo), la eu sez1o e trasversale aumenta da A, a A,. L a perdita di carico ! � conunua lu go di esso SI valuta come una frazione della � differenz a di altezza ci _ netica tra l 1mbocco e lo sbocco, ponendo:

Y, =a n

{ �! - �:)

coefficiente sperimentale a varia normalmente da 0 ' 15 a 0• 2o· L andamento della lin d · 'd;Dc · hi t �ali � della pie�met_rica lungo il diffu. sore � schematizzato nella gu a qu e SI nota che il carJco totale Hc nella sezione di uscita della m cchin quello H, nella vasca di scarico di una quantità pari alla somma ella . r ta contmu a Y, lungo il diffusore e della perdita localizzata di sbocco V�/2g:

f� �� d ;. 'df'" H.:

•

Hu

+

Y,

+

_yt_ 2g

PT Paragonando la

(l)

e la

(l'),

=

(l')

7JTyQHuT

si trova la relazione:

Dalla figura che segue si può notare che il diffusore detemùna il recupero sotto forma di quota piezometrica della parte di altezza cinetica:

:!l__...Y1__y,- za- (zc 2g

2g

+

k) y

Paragonando il funzionamento di un condotto di scarico rutto a sezione co stante pari a Ac, con quello di un diffusore che si allarga da Ac ad A, si può no tare che nel primo caso la perdita di sbocco sarebbe:

v� 2g

>

v� 2g

carico di perciò n sistema turbina-diffusore, a paritl � za, _funzion�bbe con un nel secondo uscita H, maggiore, e pertanto con un carico utile Hu mmore che

MECCANICA DEI FLUIDI PROBLEMJ DJ IDRAUUCA E

284

l::

, di caso. In questo senso S . l_puo . d1 s

quella utile.

8 MOTO DEl FLUIDI REALI NELLE CONDOTTE IN PRESSIONE

di ridurre la perdi ta

essenzialmente he la funzione del diffusore è ente il carico co e di aumentare conseguentem

metriche e calcolare le indicazioni dei manometri lenza manometrica della pompa;

'

v2f2g

--·-· · -

·-

rT l

Hv .,.

Hv

l

8.34. La condotta A è costantemente alimentata con una portata eguale a quella che ne viene derivata e le sue dimensioni sono sufficientemente grandi perché l'acqua in essa si possa ritenere in quiete. Si considerino due situazioni di moto permanente nella derivazione: l) 2)

bocchello nella posizione bocchello nella posizione

ed Mz e la preva·

b) tracciare la curva caratteristica Tl{Q);

t -·-

z=O

M1

285

B; B'.

�segnate le d!meJ?S iO� geometriche (01 • 0,15 m) e gli indici di scabrezza m dt Kutter det doverst tronchi della derivazio ne (m1 • 0,45 m112; 1 m2 • !D� c 0,275 m 12) il numero di giri n' • 1440 giri al minuto e le CIUVe ca· , rattensuche AH(Q) e P(Q) della pompa, l'indicazi one n • 20 kPa del manome· tro metallico M: a) per ciascuna d� e due situazioni, determina re la portata Q e la potenza P [kW] assorbita daDa pompa, tracciare le linee dei carichi totali e piezo.

c) supponendo che la temperatura dell'acqua sia di l0°C (y = 9806 N · m-3), determinare la portata massima che la pompa può estrarre dal· la condotta A; inoltre, supposto che la portata debba essere erogata dal bocchello nella posizione B', calcolare la potenza da fornire alia pompa, che all'uopo dovrebbe essere sostituita a quella assegnata, assunto un rendimento 7J = 0,75 .

MECC�NICA DEl FLUIDI PROBLEt.U DI IDRAUUCA E

286

8

. . . eli cui al punto l). a) Si constd�n d�ppruna.la situazione . di tubazione cilindrico lungo La perdita dt cartco conunua m un tr neo formula di Chèzy: vale Y _ ]L , essendo J legata alla portara alla

-

J

Q'

J�

in cui:

c�

L

C2A2
Determinate le perdite di carico continue e localizzate e le alte ze cineti he � � relative alle diverse sezioni, si possono tracciare le linee dei carJch1. totali e piezometrica. . . Le indicazioni dei due manometri M1 e M2 valgono nspetuvamente:

�-100

m

l+-V
Le perdite eli carico localizzate si calcolano in funzione della portata con le seguenti formule: - per imbocco:

per brusco allargamento da Dt a D,:

Q' ( l a,� 2g

l

)

-;;;-p;;

nella

'

2

[�� l

L;

CfM
Q'

2g 3

0,5

l

2g

(

l

l

)

'

0,4

-;;;- p;; + 2gA� +

nella quale:

Ho= Hor·

8,5-(2

+

n

'..,

10 ')-7001

=

l

2gM

l

•

0,73'

Pcv

[bar]

n,� (p.-1,5y)

·

10_,

[bar]

In modo analogo si procede per la situazione di cui al punto 2), ponendo (l) il valore:

0.00!1

.O. H

ml 24

t-

l

20

(l)

-6,04 m

è la prevalenza geodetica. Tracciate sullo stesso diagramma la curva caratteristica !\H(Q) della pompa e la rappresentazione grafica della (1), che è la curva caratteristic della tubazi a o ne, l'ascisa s del punto intersezione misura la portata Q1 e l'ordinata la prevalen· za total� � ·della pompa . In corrispondenza dell'ascissa Q1 si legge sulla curva car&tterìsllca P(Q) della pompa la potenza assorbita Pcv [CV]; la stessa in kW vale:

Ptw

10-'

(

8,5- 2

n·

IO')

+ --y- +

70 D,= 14,96 m

della prevalenza geodetica.

o,4-A,

+ 2gAl +

·

Ho� H02=

Dall'esame dell'andamento qualitativo della linea dei carichi totali si vede che, detta VY2g l'altezza cinetica nella sezione contratta del bocchello, la preva lenza totale !\H della pompa è legata alla portata dall'equazione:

!\H m Ho+ Q

n,� (pm-1,5y)

e Ja prevalenza manometrica:

per brusco restringimento da D, a D,:

a,�

287


16F=

)

p ccv •

(l) (2) Ul (4)

l

7-.......K.

/�

12

l

no,.;

BOlO

i=-

-

,

/

bZ"\

:1UO

1\®

gjrrMn

\

•

/

Cuauerisria. deUa condotttl (situaaione l) cu.ttcristiao delLo c:ondott• (slruulone 2) c.,..rtcristiao deD• pompo • Poto""' usorblt• P •

4H 4H!Ql P(Q).

Olmo/si

l

p

(0

• o

l

B020

BOIS

0/

6 2

BOlO

2 l ISOO

OCIJmonl

2000

288

A DEl FLUIDI PROBLEMI DI IDRAULICA E MECCANIC

8

b) La curva caratteristica TJ(Q) deUa pompa si traccia per punti leggendo, in due curve carat corrispondenza d'un generico valore di Q i valori �H e P sulle

teristiche note e ricavando T) con la: TJ

MOTO DEI FLUIDI REALI NELLE CONDOITE IN PRESSIONE

che, tenuto conto della (2), si può anche scrivere:

•

rQLlH

=

735 Pcv

ossia:

c) Tutte le grandezze relative alla situazione di portata massima saranno contrassegnate con il pedice M, in aggiunta agli altri eventuali indici o' pedici re lativi aUa portata Q. La portata QM è la massima per la quale la corrente entra in cavitazione aU'ingresso deUa girante deUa pompa. Essa si determina imponendo che la pres sione P<;M nel punto più alto G deU'ingresso deUa girante non scenda al disotto deUa tensione di vapore rh, del liquido aUa temperatura di esercizio: questa con dizione si scrive in pressio . ni assolute:

�M = h, e in pressioni relative:

�-10,33 = PGM = h,-10 33

--

'

r

(3)

Si dimostra che Llh ha l'espressione: Llh=

2 n' 100

QM ]2/3 [(- ) -KS

ove K (in genere compreso tra 0,65 e 0,90) è la frazione deU'area dell'ultima se zione della condotta aspirante occupata dal mozzo ed S, detto «numero caratte ristico di aspirazione», è funzione del seno dell'angolo di ingresso, deUa velocità periferica e della velocità assoluta nel punto di massima depressione aU'ingresso deUe pale. Per giranti normali è S= 2,6 + 3,2. Si assuma KS = 2,2. AUora il va lore .àh in funzione deUa portata e del numero di giri della macchina è dato dal diagramma aUegato.

r

r

P�iché fr� l'ultima sezione R-C deUa condotta di aspirazion e e l'ingresso . deUa gtrante SI venf1ca una caduta di pressione .àh, l'altezza piezomettica nel punto R vale:

Ritornando infine aUa (3) si nota che tutti i termini del secondo membro so no funzioni di Q. Perciò, tracciata la curva:

vtM

� � �

r

r

+

Llh= h,-10 '33

+

�·

+

� r

•

z,. +

�+� 2

r

la portata massima ordinata:

+

.àh

QM

è l'ascissa deUa sua intersezione con l'orizzontale di

�..,.- 2 + �-z.,- � 2 r r

(

(2)

Bemo� ene alizzato fra l'imbo cco in A e la � � :�==�:R.� t:namacon�otta di aspirazione, si ottien e l'equa zione:

sezio

viM -

F(Q) = -.àh-1,5--- 2 -L, C,
.àh

e quindi la quota piezometri ca deUa sezione R-C vale: z,. +

289

)

La potenza è:

essendo pompa.

HvM e HmM i nuovi carichi totali nella sezione d'uscita e di entrata della

290


8

Si verifichi che la depressione nella sezione contrana all'imbocco. non supe· ri in modulo la tensione di vapore; in caso contrario la portata massima si ricav_a dalla: 2,88

vl., 28

=

2

+

�-� r

2

+

Una volta determinata la portata massima convogliabile QM e la corrispon dente prevalenza, si verifichi la condizione di funz ionamento (numero di giri n') della macchina utilizzando il diagramma sotto riportato.

20

(10,33-h,J

16 14 2

�

10

! �

& -'�

17 vv / v v v ....

8 6 4 2

8.oo1 ·

1/

v A l/ ...�i

t. h Cm l

%:0

291

MOTO DEI FLUlDI REALI NELLE CONDOTTE IN PRESSIONE

l i /

l

l l l

"'

<-'v v

- :..-

-1-.....

l l

1,0

0,010

o.crJfsl

8.35. Da un serbatoio S si stacca una tubazione metallica lunga L = 100 m, di diametro D = 0,3 m e scabrezza t = 0,0003 m, al termine della quale è in serita una saracinesca. Il serbatoio contiene gas di viscosità f.1. = 0,00098 Pa · s e densità p1 = 1,961 kg · m-3 alla temperatura T c 15°C e alla pressione assoluta p1 = ?94000 Pa. . . . E nota l'indicazione n2 = 1,57 bar dd manometro metallico M2 mseruo nella sezione immediatamente a monte della saracinesca. Determinare: a) la portata

in massa Q,. convogliata nella condotta.

Si deve convogliare la portata

Q;,= 1,4 kg

•

.-•. Determinare:

b) L'indicazione n2 (bar] del manometro metallico M2.

s

292

8

PROBLEMI DI IDRAUliCA E MECCANICA DEl FLUIDI

MOTO DEI FLUIDI REALI NELLE CONDOTTE IN PRESSIONE

a) Nel caso di fluidi comprimibili, trascurando le differenze di quota lungo l'ascissa s, il teorema di Bernoulli general1zzato s1 scnve:

293

�=� p p

con p pressione assoluta e T temperatura assoluta.

2gD + � ds= � +� V pV2 2D J=

Dal sistema di tre equazioni differenziali così ottenuto si perviene, per so stituzione, all'equazione:

wz

--

O

Esprimendo la conservazione della massa lungo la condotta, in forma diffe renziale, si ha:

dp p1A2 -- + pdp poQ� P

Po In +

{

- = COst.

� =-� p

IL

pv=& A

Re

Q D .. !LA

e

=

..2. p

D

RT.

COSI.

O

À poA2 2 2 --(p2-Pol +-L= O 2D 2poQ� P2 = n2 • IO' + p: 2 poA (p�-p})

(

)

2po 1n.2l. +�L p2 2D

[ ( 5,76 Re•·•

À = 0,25 log

+

t

3'71 D

)l

-2

..

n sistema nelle due incognite Q e À non è risolubile direttamente; convie ne procedere per successive approssimazioni ponendo come valore iniziale di À quello relativo al moto puramente turbolento e operando quindi rome segue:

..

l calcolo di Q H calcolo di Re f----j calcolo di À l

COSI .

essendo IL variabile praticamente s 1 0 0) con 1 a tem�ratura. Introducendo la legge isoterma (nell'ipotesi di gas perfetto e d l.fferenz1ando, s1_ ha:

pz

Q m=

�potiz�and� che il processo di movimento sia isotermo, come è lecito fare in t�ttt. J casJ m cw la condotta non sia termicamente isolata e non si abbiano velo Cl!� troppo elevate, ne consegue che il numero di Reynolds, e quindi l'indice di reSIStenza À, è costante lungo la condotta. Infatti: Re= pVD

-

o

z D 4-

v

À 2D

-ds-

dove p e po sono i valori di densità e pressione assoluta all'interno del serbatoio. Integrando tra un punto l del serbatoio e la sezione terminale 2 della condotta, si ha:

Qm= pAV= cost. A= 7t

+

l

l

l

..

n calcolo si arresta quando fra due valori successivi di Q vi sono differen ze percentuali trascurabili.

Essendo:

8

E MECCANICA DEl FLUIDI PROBLHII DI IDRAULICA

294

o l

2 3

Qm[kg ·S-I]

À

Re

1,006 0,900 0,893 0,892

0,01962 0,02473 0,02514 0,02517

00

42706 38197 37900

IOOIC.QI/Q

10,6 0,8 0,1

i

lrl(p,fp2)

pi [kPa]

IOOIC.pl/p

o

o

l

0,362 0,414 0,421

204,8 194,5 193,0 192,8

5,0 0,8 0,1

2 3 Risulta:

Risulta: Qm = 0,892 kg

'

295


pi = 192,8 kPa n2

S-I

b) Si ha:

-

=

0,91 bar.

PROBI.;EMI SUPPLEMENTARI D cilindro pesante G = 20 N in figura cade con velocità di moto uniforme V= 0,18 m· s-1; calcolare la viscosità dell'olio. 8.36.

FILM D'OliO

À'

=

[ (

0,25 log

•

5,76

-T

)]->

h:0,1Srn

_l

Re'o.• + 3,'7'i"D

..D Re'= Q'

Oz:O,JOS m

!LA pi

=

2 O',; �pl-(l:_L +In-El_) P• p,A2 20 pi

La presen>a dell'incognita pi nell'argomento del logaritmo rende impossibi· le la soluzione diretta; conviene procedere per successiv e approssim&>ioni po n,en�o come valore �iale di pi quello che si ottiene trascurando il termine loga· ntJDJco e arrestando il calcolo quando le differenz e percentuali fra due successivi valori di pi risultano trascurabili. Essendo: Re'

•

59418

).•. 0,02365

8.37. Calcolare la viscosità dell'olio sotto il piatto in figura� avente f�rma quadrata di lato a = 0,6 m, pesante G = 100 N � che si muove .di moto unif�>r . fra p•atto e p1ano . me con velocità V= 0,2 m · s- 1 ; lo spessore del film d , olio m dinaro vale s • 10-• m.

ICA DEl FLUIDI PROBLEMI DJ IDRAULICA E MECCAN

296

8

di un liquido è L'apparecchio di Engler per la misura della viscosità

8 . 38 D, d� fondo del quale ha tru: costituito da un recipiente cilindrico di diametro a e di dt lunghezza . bocco ben raccordato un rubo capillare verticale e la rel�ztone fra l� o . Ammesse trascurabili le inerzi_e locali indi�iduar . il livello nel rectptente pasSI viscosità del liquido ed il tempo t necessario perche dalla quota ho a quella ht.

&��;. d ·

·

-- r

r

------

l

297


Nell'impianto idroelettrico indicato. in figura le condotte sono in acciaio aventi scabrezza caratterizzata dal coefficiente di Strickler k= 70 m113 s-1 ; se l'indicazione del manometro differenziale vale l!= 0,27 m, deter minare la portata e la potenza dell'impianto; il rendimento della turbina è pari a 7J 0,85; le perdite di carico lungo il diffusore si ritengano trascurabili (y= 9806 N m-3).

8.40. •

=

·

. t---il· : -_l

-+-c.

Fra l'anello e il supporto dell'albero in figura vi è dell'olio (fL= IO 10-3 Pa s) con uno spessore s 10-4 m. Calcolare la coppia da appli care all'albero per mantenerlo in rotazione alla velocità uniforme di n 500 giri al minuto.

8.39. ·

·

=

=

8.41. Dell'impianto in figura sono noti: i diametri D, = 0,05 m e Dz 0,01 m delle condotte, le rispettive lunghezze L, 12 m ed Lz IO m e le quote a= 0,10 m e b= 0,40 m. I tubi sono lisci ed hanno imbocco ben raccor dato; il serbatoio A è alimentato da una portata costante Q1 0 004 m3 s-•. ! Il liquido è olio di peso specifico Y• 7845 N • m- e viScosità 1-'• 0,0078 Pa s; è nota la quota ZA,t 5 m del livello del serbatoio A. Determinare: =

=

=

=

•

=

=

•

=

a) la quota z8•1 del livello del serbatoio B; b) la portata Qz uscente dal tubo di diametro Dz; c) il diametro 08 della luce a spigolo vivo, affmché il livello in B rinlanga a quota za.t. A seguito della immissione nel serbatoio B di una portata costante Q' di aJ. tro liquido dello stesso peso specifico, ma di maggiore viscosità, la viscosità �a miscela assume il valore fLz 0,0098 Pa s. Ammesso ehe la portata 02 resn m· variata, determinare: •

l i--01:0,10111 ..]l

•

d) la quota za.z del livello del serbatoio B;

E MECCANICA DEI FLUIDI PROBLEMI DI I.DRAULICA

298

� n - -c-;

della luce; e) la portata Q8•2 effluente ; O il valore della portata immessa Q: serbatoio. g) la quota ZA.> del livello del

·�

8

Qz

=

'1)2 =

299

MOTO DEl FLUIDI REAU NELLE CONDOTTE IN PRESSIONE

0,8 Q, per tz 14 ore; con la portata 0,82. Determinare: =

Q2

il rendimento del gruppo sia

f) l'energia E [kWh] che l'impianto eroga in un giorno.

l

'A)

I r�==:::·�----. 8.42. Dell'impianto in figura sono assegnati: le quote z, = 420 m e z, 50 m dei livelli dei serbatoi, la quota Zu = 51 m del centro della sezione ter minale dell'ugello, i diametri D, 1,4 m, D, 1,2 m, 0 = 1,0 m dei tre tron 3 chi della condotta, le lunghezze L, = 130 m, L2 280 m, Li 130 m, Lj = 235 m, L) 56 m dei vari tratti di condotta, il loro indice di scabrezza m = 0,275 1 m 12• Le perdite di carico localizzate nei restringimenti si ammettano trascurabili. c

c

=

=

=

=

�

no not�: il diam�tro D. 0,4 m della sezione terminale dell'ugello, il suo coef� aente di contt"';ZJ�>ne C, 0,85 ed il rendimento 'Il• 0,85 del gruppo turbma-alternatore. St nchiede: c

•

•

8.43. Dell'impianto in figura sono assegnati: le quote z., 24 m e 30 m dei livelli nei serbatoi, i diametri D, 0,5 m della condotta di man data, le rispettive l�ezze L1 = 200 m ed Lz 150 m ed il loro indice di sca brezza m 0,375 m L'imbocco della condotta di aspirazione è ben raccordato; il punto più alto della sua sezione terminale è a quota zt. • 20m. 0,400 m3 s-• di liquido � pes,o specifi L'impianto solleva la portata Q1 0,70. St rtchiede: co y. 9806 N m-3; il rendimento della pompa è 'lt c

z,

•

•

•

a) la portata Q1;

•

b) il tracciamento della linea dei carichi totali e della linea piezometrica; c) la potenza P. ll
cl) la potenza Pd ll
In un slomo l'impianto eroga la portata Q1 per t1

•

•

•

•

•

a) il tracciamento della linea dei earichi totali e della linea piemmetrica; •

10 ore e la portata

b) la potenza P, ll
8

A DEl FLUIDJ IC N A C EC M E A C U PROBLEMl DJ lDRAU

300

ltezza m a ss i 'a n u e il b si is m am è a, p m ento del!� po am n o zi n fu re la go re il Per ermmare: et D . m 7 = x a m h e n io z ma di aspira o

pianto. im l' al d e il ab ev ll so ax m O c) la portata massjma

t=::l

l

l1Ht

l l l l

---

·-·-·

rYI 2g

N

·

MOTO DEI FLUlDl REALI NELLE CONDOTTE lN PRESSIONE

m-3; v= 0,000001 m2 ç•; )'m= 133362 N m-3). I tubi hanno scabrezza t 0,001 m. Determinare: =

a) la portata

Q

circolante nell'impianto;

[kW]

della pompa.

I tubi sono lisci; la portata è ancora c) la potenza P2

--

[kW]

l l

Q.

Determinare:

della pompa.

:---

l

o

·

•

b) la potenza Pt

_;2l2

301

l l

-T JL

l l

l

l l

rL

l l l

O)

l

Zy 02

Q A 8

o,

i à

p l

8.44. Dell'impianto a circ:uito chiuso in figura sono noti: i diametri 0,10 m, � 0,12 m, DJ 0,12 m e D.- 0,08 m dei vari tronchi di con � , le. rispete tiv lunghezze L1 30 m, � 40 m, L3 60 m ed � 50 m, ' l Ul •ca�one A 0,025 m del manometro differenziale a m ercurio inserito tra le �tr@ù"t del convergente ed il rendimento 'l • O, 75 della pompa. tra i tronchi a diametro D2 e D,, � cosdtuito da �tm· D 0,003 m e 5 m, (y 9806 L

��

� •

a

•

•

•

•

•

•

=

•

•

•

del sistema scltet�) L, t Di , (Zi e ch tri me geo e ch sti eri att car le te 8.4.5. No nente: matizzato in figura, si valuti, nell'ipotesi di regime perma

a) la portata circolante tra le vasche A e B; b) la spinta sulla calotta sferica C--C;

o UV . ell di liv bo tu l ne e ys Ya i id i flu fra la cc rfa c) la posizione dell'inte

I FLUIDI PROBLEMI DI JDRAULICA E MECCANICA DE

304

. dei livel· SI conosc ono Qp, 7Jp, le quote . di o cat m to sot nto pia ll'im De 49 8 olute E. çle1 van tronc h.1 ass zze bre sca ]e e tri me dia i zze e lu h ng se le li ne l rbatoi, · ' ini e. le portate circolanti, la potenza della tu tt no rm e s de r che ] o compongono. l . pompa e la spinta sulla calotta sfenca C-C. ! ·

.

.

•

•

·

·

9 FLUIDI NON NEWTONIANI

____

•

8 --

A

y,/A c

AR l A

c

Classificazione generale dei fluidi dal punto di vista reologico. v: o

-

t., �1 o,

c

Puramente

•

•

vtscost

o

- 't

indipendente dal tempo: Newtoniani

z:O

8.50. Dell'impianto di produzione e sollevamento indicato in figura si co noscono tutte le caratteristiche geometriche (dislivelli, diametri, lunghezze, sca brezze) nonché l'indicazione .1 del manometro differenziale a mercurio e i rendi menti della turbina, della pompa e della linea elettrica che le collega. Si determini la portata sollevata tra i serbatoi B e C.

Alla Bingham

Pseudoplastici Dilatanti

't- 'to 't

't

=

=

•

=

k tn kr0

lLP'Y (n

l) (n > l) <

---

c

A

v,,. are

B

•

tg l"

UIDI A E MECCANICA DEl FL PROBLEMI DI IDRAULIC

306 - -r

307

FLUIDI NON NEWTONlANl

9

PROBLEMI

djpendente dal tempo: •

Tixotropici

9.1. Di un fluido di peso specifico i = 10040 N m-3 che si muove in regime laminare in un condotto di diametro D, si è rilevata la cadente per vari valori della portata Q; i valori misurati sono stati rielaborati per ricavare le copp1e:

Reopectici

·

•

"t'o=

i

4

8V

•

��<��----j· •

DJ

D

•

Y :cost: Y1

•

Y:cost= )1

I valori di "t'o vanno da 10 a 120 Pa; posti in i punti sono ben interpolati dall'equazione:

un

grafico a scale logaritmiche

o

t

-ro

t

=

5,9

8v

0,47

(l)

D

Si vuole costruire il grafico J(Q) per un tubo di diametro D = 0,5 m e per lO �"t'o� 120 Pa.

Viscoelastici

Essendo:

l= ll

+

Q= V

l2

2 1tD

4

1t D3 SV =O 0123 SV = D 32 D '

(2)

e:

Elastoviscosi "t' = G r •

J= +

WY

•

À=

dy

è la velocità di deformazione angola re; dt

G è un coefficiente avente significato analogo al modulo di tangenziale.

(3)

il numero di Reynolds generalizzato, Re, ovvero quello per cui in analogia al ca so newtoniano, risulta:

'Y è la deformazione angolare; l=

rD

= 0,0008 "t'o

o

m cw:

•

4 'to

64 Re,

--

vale: elasticità •

4

r DJ

•

308


Essendo infatti:

2 pV 8

n' 8V

..._ --,--., .,:. --

K'

(n)

D

si ha: =

D"' n' zpv gn'- l K'

+

K'

n' l

Pseudoplas tici (legge di potenza)

4 'te -

K [(3n

3

l

l

+

per cm:

•

'to

'te

1-

+

5,42

c

D

fino al qual.e si ha moto laminare per la (l) è:

l)/4n]0

,.. 1- o'

-:o

, 'to,

.

4 'te 1 3 'to

�p +

l 'te 4 3 'to,

1.sJ

BV

32,7 Pa

In corrispondenza del valore minimo di

'te

•

'to

=

't0<: =

\.

3 \ 'to,

4,52

=

•

11 valore di

�

n

l)

Regc = 1430

1430

Newtoniani

__

_

risulta:

•

Alla Bingham

___;_ +_ O_n 1.:... _ )2 .. n( n + 2)tn 2)/(n.

=

(n)

D

Fluidi

309

Essendo:

Le espressioni eli n' e K' per i fluidi pseudoplasdci e per quelli alla Bingham sono riportati nella tabella che segue:

1

FLUIDI NON NEWTONJANI

con:

n' V 8

yDJ = K' 4

Reoo=

9

'to

=

l O Pa si ha dalla (l):

n'

8V D

•

'to

J/0,47 =

5,9

3,07 s-1

e sostituendo ndla (2) e nella (3): Nel caso in esame si ha:

Q n= n' = 0,47 K' -

D2 p 8K'

=

=

0,0377 m3

=

5,42

8V D

1,53

(n)

J = 0,008

Tra questi due punti estremi del regime laminare la legge J(Q), sostituendo la (l) e la (2) nella (3), risulta:

J 6464

1

}c= 0,026

8V 2- n'

L'espressione di Re, critic o è:

•

Sostituendo nelle stesse formule i valori critici, si ottiene:

5,9

D

s

-

c

0,0373 Q0•47

che nel grafico sotto riportato (andamento di J in funzione di Q), è rappresenta· ta da una retta.

310

PROBLEMl DJ IDRAULICA E MECCANICA DEl FLUIDI

0,1

l _l l J :0,0960

8

J ·6

o

4

/

2

/

� �

0,01

1/ �.-" v

8

� o � ..;.�

v

....,... .. .

- - -,- --

/ ,o � C , •

..{) � .

dopo aver fissato Reg il valore di ). può essere valutato risolvendo r equazione:

2 l 0,2 '/2) -n ).l ( =�1 VA - n 'o,7s og Reg Con n'

Per

'to > 't0c

6

•

4

2

6

8

'to

= 'Y

4

Reg

=

3000

À = 0,0282

Reg

=

5000

À

=

0,0235

•

=

62 ç1

Q= 0,763 m3

=

86,67 s-1

Q = 1,066 m3

8V

D

--

•

•

s-1

'to = 54,2 Pa

s-1

'to =

88,26 Pa

J

=

0,043

J

=

0,071

Riportati questi punti sul grafico, la retta che li congiunge rappresent� la legge del moto turbolento; essa si arresta in corrispondenza del valore masstmo eli 'to = 120 Pa, cioè per J 0,0960.

= 32,7 Pa si ha moto turbolento; essendo: :E>

0,47 si ha:

e sostituendo tali valori nella (7), nella (2), nella (5) e nella (3), si ha rtspettlvamente:

D

4

=

0,6 n'0.45(2-n') l,2 n'

•

8V

2

+

_

6 4

311

FLUIDI NON NEWTONlANl

9

=

J 9.2. Un fluido pseudoplastico di peso specifico 1 = 9806 N sufficientemente bene ì1 modello di Ellis con:

risulta:

� '�'O

yD À� À 2 ='to = pV = 4 2gD 8 Sostituendo la (5) e la

8V 2

D

À = 0,50 À

8V D

=

2 2,59 m

s-

Calcolare la portata che si muove in un condotto eli diametro con una cadente J = 0,12. Lo sforzo in parete vale:

,Re,

5,42

1

•

«=2

Essendo :

D

-1

(5}

(6)

•

N

m-3 segue

2

(2) nella (3), si ha:

8V

•

·

(7)

'to

•

D= 0,08 m

PROBLEMI DI IDRAUUCA E MECCANICA DEl FLUIDI

312

9

data da: è ia ed m ità loc ve la e, ar in m la è o ot Se il m

D V=2

o .;;_ 't o 4

+

_

9.3. Una sospensione di argilla in acqua si comporta come un fluido alla Bingham con:

o

J. - ( 'to) " �

= 0,92

-

a+ 3

313

FLUIDI NON NEWTONlANI

m ·

'te=

s-1

20 Pa

lJ.p= 0,0328 Pa

e:

·

s

r=l4120N ·m-3 Calcolare la portata che si muove in un tubo di diametro O, 18. una cadente J

D = 0,05

m

con

=

Per verificare se il moto è laminare, conviene assimilare il modello di Ellis alla legge di potenza trascurando o; si ha allora:

•

Lo sforzo tangenziale alla parete vale:

DJ x = 31�77 Pa 'to =

l n=-= 0,5 o

1

= .3 ) 78 N

f da

4

a

•

•

s"

·

Ammettendo che il moto sia laminare, si ha:

m-z

cui:

V= n' = n= 0,5

K'

=

K

.3n+l 4n

0

oz -

.32

xl 1 �p

-

4

+

.3

_;_

-

4

x JD

_

3

= 1,29

m ·

s-1

Applicando la formula approssimata:

= 4,226 N

•

s0

•

•

m-2

Ve= 19

-

p

Si ha:

n' Qn' V2p Re,= gn'-lK'

4 't e

1

si ha: =

167

Vc = 2,2.3 m

•

s-1 >V

per cui il moto è laminare. Per controllo, si calcoli il numero di Reynolds genera lizzato; secondo le formule della tabella riportata nel problema 9.1, si ha:

ed inoltre: Cl>(n) = 4,.31 Re1c= 1500

n moto è quindi laminare; l'indice di resistenza risulta:

n'

•

K' Re1

0,25

=-

=

8,38 60.3

Cl>(n) = 8,63 - 0,22.

6464 Cl>(n)

•

749 > Rea

.314

CCANICA DEI FLUIDI ME E A lC UL RA ID DI t-.U PROBLE

9

Si ha ioolrre:

·

e sostituendo nell'espressione del numero di Reynolds generalizzat0 �ritico este sa ai fluidi alla Bingham, si ottiene:

8-ro o O À= 2 = , 106 V p e quindi:

64 Re,= -À-

=

Repc =

603

=

0,00253 m3

=

•

s-'.

"( = 16337 N

·

•

s

m-3

Esso si muove in un tubo di diametro D Reynolds critico e la cadente corrispondente.

=

0,06 m; calcolare il numero di

ll numero di Hedstrom He, assume il valore:

2 D c H e= p:t 2 fl.p

=

6 2,3 . 10

Risolvendo per tentativi la relazione :

'tOc

•

"t<><:

=

5,76 Pa

4"t0c = 0,023. ]e=

4, 71 Pa

flp = 0,0035 Pa

ottiene:

3

-

per cu1:

o

'te

•

3

+

l

•

Una sospensione eli ossido eli torio in acqua si comporta come un fluido alla Bingham con:

SI

--

--

4 ____; "te_ 1--

"tOc

4

9.4.

He

Inoltre:

uguale a quello calcolato prima. La portata vale:

Q = V 1tD2

3 't � e: 1� 'tOc =-'te 'tOc

•

He

=

16800

0,818

315

FLUIDI NON NEWTONIANl

•

rD

"te

4

= 20587

10

n dime�ionamento va condotto per la condizione di tubi usati, e quindi adottan?o gli op o:_ ni �al r � d7l coefficiente e delr esponen�e della fo�mul� r, � � . mononua J = kQ D . Potche il dislivello (zA- ZB) deve uguagltare le perdtte dt carico lungo la condotta, si ha:

10

E T T O D N · O C E H G N U L SISTEMI DI

•

m

Si definiscono lunghe condotte quei sistemi di tubazioni in cui si può tra cco, curve, ecc.} scurare l'insieme delle perdite di carico localizzate (imbocco, sbo rispetto a quelle distribuite; ciò trova fondamento nel fatto che a regime l'altez za cinetica ha un valore modesto rispetto ai dislivelli piezomettici. Ulteriore conseguenza è la pratica coincidenza della linea dei carichi totali con la linea piezometrica. La determinazione delle perdite di carico continue si effettua secondo le modalità illustrate nel captto1o 8. Di fronte alla duplice esigenza del dimensiona mento e della verifica, sempre presenti in questo tipo di problemi, ove possibile è conveniente ricorrere per il calcolo della cadente a formule eli tipo monomio immediatamente esplicitabili rispetto a J, Q o D. Nello studio delle lunghe condotte assumono particolare interesse i seguenti problemi:

cut s1 assume: •

•

k = 0,0020 n = 5,44 ottenendo: 1/n

= 0,312 m

Tale diametro non coincide in generale con nessun diametro commerciale; la condotta va perciò realizzata in due tronchi di diametri D·1 e D2 scelti fra quelli più prossimi a D, l'uno minore e l'altro maggiore: D1 = 0,300 m

- verifica del funzionamento del sistema in relazione all'eventuale variazione eli scabrezza della condotta nel tempo;

D2 = 0,350 m

Indicate con L1 ed L2 le lunghezze dei due tronchi, deve essere:

- struttura particolare delle reti; - fattori eeenomici;

L= Lt

- possibili e più convenienti tracciati altimetrici.

+

ZA-ZB =

PROBLEMI

L2

kQ2CLtDI0

+

L2Di0)

da cui si ricava:

10.1. La portata Q = 0,1 m3 s-• d'acqua deve essere trasferita dal ser batoi. o A a qu�o B a mezzo di un'unica condotta in acciaio di lunghezza L. De _ _ . termmare 1 diametn da assegnare alla condotta.

La= 14751 m

•

L2

z=

7249 m.

16.2. Due serbatoi di nafta (fL = 0,0039 Pa s; l= 8.335 N m-3) le cui superficie libere hanno un dislivello Y, sono collegati da una condotta in acciaio (e= 10-4 m) di lunghezza L 4000 m:

-

•

- -

A

317

SISTEMI DI LUNGHE CONDOTTE

·

•

zg: 200m •

0,25 m, a) supponendo che la condotta abbia diametro costante pari a D determinare la portata Q; l m3 s-1, determi b) supponendo che occorra trasferire una portata Q' nare il diametro teorico D, e dimensionare la condotta, tenendo conto dei diametri commerciali. •

- -

B ..

.

•

•

CCA�ICA DEl FLUIDI PROBLEMJ DI 1DRAULICA E ME

318

-

----

-

- -- -

-

10

-

-r-

SISTEMI DJ LUNGHE CONDOTIE

si ha:

A

À l

Y:30

l

319

=

0,0211

Ritornando alla relazione di Darcy, risulta:

m

l

l l l l l

Q = 64 '8 l •

---B

,__

_____

L:4000

l

m

.

s-l

b) Per trovare il diametro teorico D, si può usare la formula di Contessini per le condotte in acciaio nella condizione di tubi usati, essendo quest'ultima la situazione di funzionamento più gravosa:

------t

da cui:

a) Nell'equazione delomoto:

D,= 0,7S4 m

Ja cadente J si può esprimere con la formula eli Darcy-Weisbach:

Si potrà quindi progettare la condotta come composta di due tratti con diametri Da= 0,75 m D2 = 0,80 m

dove À è data dalla formula di Colebrook-White: 1

2,51

VA = -2log

rispettivamente. Le lunghezze relative si ricavano dal sistema: 1

Re VA

+

L= Lt

t

-

3,71 D

con:

+

Y = ] aLt

Lz +

]2L2

con: t

- = 0,0004

Jt

D

=

2

0,0020 Q Dìs"44 = 0,0096

}2 = 0,0020 Q2DiS,4o4

Essendo: Re

VA

=

� "2gDJ

•

J

� g

=

850 kg

y •

L

•

•

L1-= 1104 L2

m-3

0,007'

0,067

da cui:

IL

P

=

•

m

2896 m.

La lunga condotta che collega i serbatoi A e B dev e erogare nel no· do N la portata QN e far pervenire al serbatoio B la portata Q2. Noti i livelli in 10.3.

ICA DEI FLUIDI AN CC E ME A IC UL RA ID DJ M1 PROBLE

.320

10

otta ed il tipo dj tubazione ch e si nd co di hi nc tro e du i de e ezz . gh lun 1 A et·n B,e . are a11 a con dotta. gn se as a d r1 et u am ·r 1 e ar in rm te de vuole impiegare,

che associata alla (l) ed avendo assunto: k

•

zA: 300

1-::_!!"":-�� A

=

0,0020

n= 5,44

m

•

-

321

SISTEMI D1 LUNGHE CONDOTTE

•

ex =

-

z8: 200

--

m

1,56

consente di inruviduare i diametri teorici:

-

--

8

D1

=

0,425 m

D2

=

0,367 m

N

L'effettiva realizzazione della condotta avviene poi a mezzo di diametri commerciali la cui scelta sarà determinata soddisfacendo alle sole condizioni idrauliche .

•

- Via pratica per tentativi. La condizione idraulica da soddisfare è l'uguaglianza del dislivello disponi bile (zA-zs) con le perdite di carico e cioè:

(l)

Noti i costi unitari c per la serie dei diametri commerciali, si fissa un diame tro commerciale D1 di tentativo, e dalla (l) si deduce il corrispondente valore teorico del diametro Di; scelto per il tronco di valle il diametro commerciale D 2 immediatamente superiore a D2 si valutano i costi unitari Ct e c1 corrispondenti ai diametri Dt e D2 e quindi il costo totale della condotta:

�er

rendere detertninato � pr ble a occorre imporre un'altra con diz ion e � � . che �� assume di carattere econonuco 1mponendo che sia min ima la passività . dell mt�ra condotta; n�I caso che le condotte siano realizz ate tutte con tub i dello _ stesso t1po, detta condizione si trasforma più sempli cemente in quella di minimo costo. �er giu?gere alla �oluzione del problema si può procedere per due vie: l'una anali. ttca e l altra prattca per tentativi.

Ripetuto il calcolo per alcuni valori di D�, si sceglie in definitiva la coppia di diametri commerciali Dt e D2 per i quali è minimo il costo C. Va notato che con questa coppia di diametri l'intera perdita di carico della condotta risulterà un poco inferiore al dislivello disponibile (zA-zs); sarà perciò eventualmente possibile sostituire un tronco di condotta con un diametro più l. (ZA -zs). piccolo in modo da utilizzat;.e completamente il dislivelo

- Via analitica. Ritenuto di poter esprimere n costo urutano c delle condotte con una relazione del ti a1 · esse do ao, a t ed ex dei coefficie � nti costanti pe r ogni tipo e asse pre� stone, con Ot di norma compres . o tr a 1 e 2, la . condizione di nurumo cost o per il nodo N porta alla rela zione:

d.i�bo·

'cl+ �

·

.

10.4. Nel sistema di lunghe condotte rappresentato in figura, nel nQdo N viene erogata una portata assegnata QN. Noti i livelli nei due serbatoi, le lun ghezze ed i diametri dei due tronchi di tubazione, le scabrezze a tubi nuovi ed usati determinare:

2 0,0020 Q D-5•44) per la condi

a) le portate defluenti nelle tubazioni (J zione a tubi usati; -5•26)
•

10

CAKICA DEl FLUIDI EC M E CA UU RA 10 DJ PROBLEMI

322

uttrice che occorre inrid la lvo va lla de o ric ca di ita rd 1 pe a c) l a pOSlZlOne e m qu al unq �e punto de 11 a e ch fin af i, ov nu bi tu a e on serire nella condizi penore ad h. o su le ua ug a ric et om ez pi a zz te 'al un a bi condotta si ab ·

·

/

Risulta:

•

·

l'tLt

=

J2L2 -

A

-

-

-

TUBI USATI

"-..:::t-I R

l

t.H ·

-

-

l i , ..,. - - - - -�..._, ----. ----- ...J 1 .t h TUBI NUOVI 1 ---- --- .:-::.---1-�-�-�-E.-...1 -8-

_ ._1

-

-

______

s

126,99 m

=

23,63 m

c) Se in ogni punto della condotta l'altezza piezometrica deve essere supe riore o al minimo uguale ad h, occorre inserire una valvola riduttrice in un punto qualsiasi a valle di S ove la piezometrica dista proprio di h dalla condotta. La perdita di carico della valvola riduttrice vale:

----------

l

's��-�1::__.:l��.,�

(.

1� oo .,�o , . ''o

0

323


IN

,

lz=

g o oo

t(\

02:: 0,2� t(\

o

10.5. n sistema in figura è costituito da condotte in acciaio (J 0,0012 2 2 Q D-5 6 per tubi nuovi; J 0,0020 Q2D 5•44 per tubi usati). Determinare: =

•

=

a) a tubi nuovi ed usati la quota z2 del livello nel serbatoio B, quando è nulla la portata nel tronco NB; a) Allo scopo eli individuare la direzione della corrente nella tubazione NB, si valuti la quota piezometrica HN nel nodo N nell'ipotesi che nella condotta AN defluisca la portata QN; si ha:

b) se la quota nel serbatoio B è uguale a quella nel serbatoio A, le portate nei singoli tronchi, sia nella condizione di tubi nuovi che usati.

�� -t - -A

z1: 1SO m

,

-- -

-

8

La portata Q2 è diretta da N a B o viceversa a seconda che sia HN :=: zs. Es sendo verificata la prima condizione CHN > z8), le portate defluenti nelle due condotte sono definite dal sistema eli equazioni: Q1

=

QN

ZA-ZB

=

+

c

Q2

J.L.

+

]2L2

dove le cadenti vanno espresse con la formula mono mia �r tubi usati. Risulta: Q.

Qz

•

-:

--

0,239 m3 0,086 m3

•

•

a) Essendo nulla la portata nel tronco NB si ha:

s-• s-•

per cui l'equazione del moto tra i serbatoi A e C fornisce:

h?> Se�pre .con le portate Q. e Q2 ora valutate si calcolino le cadenti

Jl e ]i a tu 1 nuo e SI traco. a partire da l serbatoio di valle la piezometrica che risulta � e �1u assa di quella a bi usati e ch e taglia la condotta nel p�to R. Fra !t;t . a il punto 51 msta�a un cor�ente che O «Upa solt�nt o parzial� mente • d condotta, a valle di R st ha mvece una corrente m pressione.

jjv;:� � ÌC:: dfa

�

- Tubi nuovi 0,0012 Q'2D i5 •26L•

+

0,0012 Q'2Di''26L 2

•

20m •

MECCANICA DEI FLUIDI PROBLEMJ DI IDRAULICA E

324

10

da cuj:

SISTEM.l DI LUNGHE CONDOTTE

325

Risolvendo il sistema risulta:

Q' = 146,3 I

s-1

·

Ql

o

e:

Q2 z2 =HN

=

z.-JILt

=

141,33 m

Q3

- Tubi usati

=

=

=

99) l l . s -l 7 5) l l . s-l 174,2 l

·

s-1

- Tubi usati 0,0020 Qi 2D}5'44Lt + 0,0020 Q32Di5•44L3 = 20m

da cui

Q" =100,8 I e:

·

0,0020 Q22D25'44L + 0,0020 Q32D)5•44L3 =20m 2

s-1

Q'{ + Qi =Qj

o

z2

=

Zt-JiLt =141,48m

I coefficienti �i risultano:

b) In queste ipotesi il processo di movimento è retto dal sistema formato da un'equazione del moto fra i se�batoi A e C, da un'equazione del moto fra i ser batoi B e C e dall'equazione di continuità al nodo N; da esso si possono rica vare le portate nei tre tronchi di condotta:.

�i

Zt-Z3 =}tLt + }3L3 Z2-Z3

} L + }313 2 2 Q.+ Q =Q3 2

=

Pi

•

=

ot 0012 oa�S.26� y . 1';u� ... �·lem e delle gran·

=

405,2

�.

704,8

Pl·

528,6

1507,6

�3

=

1130,7

·

s-1

·

Q3 =119,31

•

s-1•

20 m

Ql + Ql':z Q3

Pi

=

Qi =51,0 I s-1

0,0012Qi2Di5•26LJ + 0,0012 Q32 Di5•2�L3 = 20 m

Ragp gru �ando nel coefficiente dezze note , SI ha:

�i

Qi =68,3 I •

0,0012Q22Di5·�6L + 0,0012 Q32Di5•26L3 2

838,8

da cui si ha:

=

- Tubi nuovi

=

10.6. Il sistema di lunghe condotte rappresentato in figura è costituito da tubazioni in acciaiO.Uper le quali può adottarsi la formula monomia per tubi usati J 0,0020 Q2D-5• • Sono note le lunghezze ed i diametri dei singoli tronchi di tubazione e le quote dei serbatoi A e C. Determinare: =

a) la quota che deve assumere il livello nel serbatoio B, affinché sia nulla la portata in arrivo al serbatoio B stesso; in tali condizioni calcolare anche la portata che defluisce da A a C; b) le portate convbgliate nei diversi tronchi al variare della quota del livello in B .

•

A OEJ FLUIDI PROBLEMI DJ IDRAULICA E MECCANIC

.326

10

- .. --A -

327


Nel secondo caso (zs > zs) vale invece il seguente sistema: .... .... .... o

---8

zc:400

Se fosse: m

zs

--- c 03:0,2s

=].L.

ZA-ZC

+

=

Q. = 0,0714 m3

Q3 che

Q2

]3L3

dove le cadenti sono espresse dalla formula assegnata. Ricavata la po�tata 9 0,0798 m3 s-1, la quota de] serbatoio B, affinchè . s a nulla la portata m arnvo, deve essere uguale alla quota della piezometrica nel 1 nodo N: =

•

=

0,0136 m3

Q3 = 0,0850 m3

b) Se la quota del serbatoio B è diversa da quella z8 ora calcolata la po rt at a f1 de �en e l ramo N B diretta dal nodo N verso il serbatoio B, opp�re dal ser bat n o a secon a e la qu?ta zs sia minore oppure m aggiore di za. el pr.uno caso (zs < zs) vale il seguente sistema di equazioni:

01�

J�

Q.= 02

+

Q3

=].L.

+

]2L2

ZA-Zc

=

J1Lt

+

}3L ,

Se fosse: = 500 m

r.isulterebbe: •

Q2

•

Q3

•

0,0929 m' 0,023.3 ml 0,0696 m3

•

•

•

5-• 8-t 8-t

•

s-1 s-1.

s-1, la perdita di carico complessiva Y &a i

c) con la stessa perdita di carico sopra calcolata, la nuova portata del siste ma, quando fra i punti B e C si aggiunge una quarta tubazione di diame tro 06 0,30 m e lunga !..(. 900 m. =

__

:100m

1200m o,:o.&o m L

:

L2:800 m D2=o.35 m L :1500 m

D

Ds= 0,50 m •

Q.

•

s-1

b) con la stessa perdita di carico sopra calcolata, il diametro equivalente D dell'unica tubazione lunga L 3 che sostituisca le tre condotte fra i punti B e C, senza modificare la portata;

A ZB

•

=

ZA-ZB

•

10.7. n sistema di lunghe condotte rappresentato in figura è tutto forma to da tubi in acciaio nuovi (j = 0,0012 Q2D-5•26); determinare: a) con una portata Q. = 350 I punti A e D;

��

700 m

risulterebbe:

m

a) Se la portata Qz in arrivo al serbatoio B è nulla, la portata Q 1 defluisce da A a C deve essere tale da soddisfare la relazione:

=

'-4= 900 m "- 04: 'tID m

a) Per determinare la perdita di carico complessiva Y &a i punti A e D oc corre prelimin&trmente valutare la suddivisione della portata nei tre rami del parallelo BC.

FLUIDI PROBLEMl DJ IDRAULICA E MECCANICA DEI

328

•

10

A tal fine si scriva il sistema:

]2L2 = }3L3 Q.= Q2

+

=

col�ta si avrà anche un nuovo valore . ma: re il Siste

]4�

Q3

+

Q4

SlSTEl\U DI LUNGHE COND01"l'E

=

Q'1 della portata complessiva. Si può scrive

Ha-Hé:= J2L2

Qs

329

=

�Qi

HB-Hé: J3L3 = �3Q)2 =

Sviluppando le espressioni delle cadenti ed introducendo j dati risulta:

(�;

=

kDi"),

HB-Hc=)64

�l = 21,15 �2 = 240,1 �3 = 472,7 �4 = 13.3,8 �s = 68,97 da cui:

Ha-H<:= J4L = �4Q�?

01 = 02

+

Y = �1Q'12

Q3 +

+

=

�6QÌ

Q� + 06 = Qs

(H8-H8

+

�sQ'12

da cui si ottiene:

o

Q2 = 114'7 l . s-l

10.8. Il sistema di lunghe condotte rappresentato in figura è formato da tubi in acciaio di lunghezza e diametro noti; la cadente può calcolarsi con la for s mula monomia J = 0,0020 Q2o- ·44• Note le quote dei livelli nei serbatoi determinare:

Q3 = 81' 7 l . s-l Q4 = 153,6 l

•

s-1

La perdita di carico Y' fra i punti B e C risulta:

a) le pertate defluenti nei diversi rami della rete; b) il diametro dell'unica tubazione di lunghezza L2 che sostituisca le due condotte fra i nodi R e T, senza modificare le portate;

Y' = �2� = �3Qj =�Q�= 3,16 m

c) le nuove portate del sistema quando &a i nodi R e T si aggiunga una ter za tubazione di lunghezza Ls e diametro Ds.

mentre quella complessiva:

Y = Y'

+

}tLJ

+

JsL, = 14,2 m

b) n diametro equivalente D risulta dalla reiazto . ne: z8:4IO "'

da cui: D

•

O,S2 m

i:) L'aggiunta &a i punti B e C di un nuovo tron co eli condotta(� provoca una nuova c:lbtribn d proces� di moto avveng a �n

i:

\.2:1000,.,

.!':Js

or 0.25 ,

607,8) e deU •te � paraDelo; nell'ipotes i che il steas �wta cli carico Y precedentemente cal-

:

•

•

IDI PROBLEMi DI IDRAULICA E MECCANICA DEI FLU

330

a) Le portate defluenti sono definite dal seguente sistema di equazioni:

•

Risulta:

01

=

Oz + 03

Q1 = O, 1506 m3

Ot

=

04

Q2

ZA

-za =}t LI + ]zLz

+

331

SISTEMI Dl LUNGHE CONDOTTE

10

}4�

=

0,0484 m3

Q3 = 0,0727 m3

'

•

2� =}313

05 = 0,0295 m3

·

•

•

•

s-1 s-1 s- 1 s-1 .

Risulta:

QJ 02 03

=

0,1429 m3

=

0,0572 m3

=

0,0857 m3

•

•

10.9. L'anello a diametro costante rappresentato in figura, è situato su di un terreno orizzontale e di esso sono note le portate ai nodi, le lunghezze dei lati ed il carico Ho= 180 m rispetto al terreno nel nodo A di ingresso. Determinare il diametro dell'anello in modo che il carico sia ovunque supe riore o al minimo u�ale ad H1 = 100m. Le tubazioni sono in acciaio e la rdati va cadente può esse�e valutata con la formula monornia J 0,0020 Q2D-5 44

s-•

•

s-1 s-1

'

=

b} Se si �ole sostituire � com�lesso delle due tubazioni fra R e T con . , un uruca tub�o!le senza :nodifJcare il valore della portata del sistema, occorre � che essa abbta di etro D2 tale da consentire il deflusso � di Q mantenendo in . , 1 variata la perdita di ca.nco fra R e T; deve perci ò sussistere la relazione:

•

8

}lL2 = ]2L2 0,0020 QiD'2-5•44� = 0,0020 Q� D 25 44L2 •

da cui:

•

0,3'68

A

=0,35 m c) Con l'inserimento dell a terza c00dotta fra 1· nodi R e T, le portate risultano viceversa definite d al seguente SIStema:

/

--�-----� L3: 10000 m

-"'0,'1SO � QA:

3

m

•

1

s-

C

� � 0-:0,10ml.�1 .,;

.

Q1·02+Q3+Q;

Imponendo la condizione che la somma algebrica delle perdite di carico dell'intero anello sia nulla, si ha la relazione:

Ol=O. ZA-ZB

•

}tLl + }2�

+

J4�

oppure:

12� •J3Ll 12� ·JsLs

•

la prima valida se la portata Q2 è diretta da B verso C, la secor:�da in � contra rio; tenuto conto che ranello è a diametro e scabrezza costanti, espliatate le ca-

332

E MECCANiCA DEI FLUIDI A IC UL RA ID DI MJ LE OB PR

10

SISTEMI DI LUNGHE CONDOTIE

333

tte relazioni diventano: cri as pr so e du le a mi no mo , a u1 m f or 1 denti· con a .

oppure:

Associando poi ad ognuna di esse le corrispondenti equazioni di continuità ai nodi:

E

L3:400m

OA 01

=

=

o .+ Q3

OB

+

02

nel primo caso

QE: 100 l/s

•

OA

=

Ot

+

03

QB

=

Ql

+

Q2

nel secondo caso

Assunte le direzioni della corrente indicate in figura, tenuto presente che le condotte hanno tutte ugual diametro e scabrezza, si ha:

•

si ottiene il sistema atto ad individuare le portate che percorrono i lati dell'anel lo; la soluzione effettiva è quella per la quale il sistema fornisce valori reali delle portate . D minimo earico è localizzato nel nodo C nel primo <::aso e nel nod o B nel secondo caso; il diametro dell'anello sarà perciò definito rispettivamente dall e relazioni: Ho-H,

=

0,0020

Q�D-5•44L3

Ho-Ht

=

0,0020

Qto-5•44L1

�a sol�zione effettiva risulta essere quella del primo caso esam . inato·' si ottiene infatu:

LsQ�

+

�Q�

=

L2Q�

LtQl

+

LlOi

=

L2Q �

QA

=

Q3-Q1

Qs

=

Q, + Q2

+

QE

=

Q2

+

Q2

•

•

D

tro

0,0836 m3 0,0664 •

m3

•

s-1 s

1

-

•

0,286 m.

10.10. La rete in t:---8 �w- �IC COSh• tu•ita da condotte aventi tutte ugual diamee seabrezza. Determinare le portate dei singoli lati.

Q3

Q4

Risolvendo questo sistema si ottiene:

Q, Q2

Q.

+

Qs

Q3

Q4 Qs

=

3,11

=

38,11

=

46,91

=

15,0 l

=

35,0 l

•

•

•

·

•

s-• s-1 s-• s-• s-•.

� 10.11. Determinare le portate dei singoli rami d�a maglia in figura iostituita da condotte tutte di ugual diametro e scabrezza; il lato AB è ad erogaZ ne uniforme lungo il percorso.

l FLUIDI PROBLEMJ DI rDRAULICA E MECCANICA DE

334

10

SISTEMI

Dl

335

LUNGHE CONDOTTE

a,

-------�---.-. L1: S?O m: L cE

10.12. _D�terminare le portate dei singoli rami della maglia rappresentata

. a, costltwta da condotte di ugual djametro e scabrezza; il lato AB eroga .m ftgur

uniformemente lungo il percorso la differenza fra la portata concentrata entrante 0,0020 Q2D-5 •44). ed uscente (J

o

150m

=

Oc=100ljs -=-� - �c l•

02

1SOm

E

L2:1f�Om

Q) L4:

-

A

L3:80

200 m

--

-·-

,e

l

p�0.2S 1/s-m 200m

l o

�

E

Ot-SO lfs

T

L1:: 2000 m

80m

�1

l

0:0,200m

l

•

OE ]JLl

=

=

=

Qt +

E

-·

o o o

•

N

-

a.,

--

L2 : 2SOO m

Tenendo conto dei versi di percorrenza delle portate nei tronchi della ma glia indicati in figura, si può scrivere il seguente sistema dj equazioru: Qc

A

..

Ou=0.040

Q2

3 -1

8

m. s

Q3 + Q1 }2L;z + yAB+ ]3L3

La portata unitaria p del lato AB vale:

in cui per le cadenti si può adottare una formula monomia del tipo:

J

=

kQ2o-o

��f:O��:o�eet��e ugual scabrezza e diametro, la terza equazione

diven

La perdita di carico yAB nel tratto ad erogazione uniform è e pari a: YAs

(

=

kD-n� Q�+ Qc-Qe)2 3

-

Q2 (Qc- QE)

Possono verificarsi, in dipendenza dei valori delle grandezze caratteristiche della maglia, due possibili copdizioni di funzionamento, differenti per la direzio ne della corrente nel lato UB. Se il lato UB è percorso da B verso U, la perdita di carico YAB nel lato AB, adottata per il calcolo della cadente una formula monomia, vale:

Risolven do il sistema si ottiene :

Q. Qz Q3

=

•

•

391

•

• s-

611·

s

11 1

s

•

-• -• .

Tenuto presente che le condotte hanno tutte egual diametro e scabrezza, le portate defluenti nei lati della maglia sono definite dal seguen'te sistema di equaztoru: •

••

))6

[

A DEI FLUIDI PROBLEMI DI JDRAUUCA E MECCANIC

IO

in

cui

�

J,L, + YAB+ ],L, Quest'ultima ipotesi

l'ultima equazione diviene:

[

z (QE-Qu)2 L2Q2z = L1Q21+ r.. Q 1 + J relazione indipendente da k e da D. Risultando Q,< O non si verifica questa situazione. Se invece il lato UB è percorso da U verso B, il lato AB risulta alimentato da ambedue gli estremi, e all'interno di esso si ha un punto neutro N con portata nulla. Indicate con 1..4 e U le lunghezze dei due tronchi in cui resta diviso il lato AB dal punto N, le perdite di carico nei due tronchi valgono:

.

337

Analogamente a quanto visto sopra, l'ultima equazione risulta indipendente da k e da D:

QE �Q,+ Qz Qu �Q;+ Q,

]zk

SISTEt.U DI LUNGHE CONDOTTE

Le ponate defluenti nei lati della maglia restano allora definite

SIStema:

Qe•Q,+ Qz

L.•L4+U JzLz + J,L,

Q,

�

0,0512 m3

•

s-•

Qz

�

0,0488 m3

•

s-•

Q,

�

0,0088 m3

•

s

1..4

�

U

�

+

YaN

-

1

853,3 m 146,7 m.

10.13. La rete di condotte in figura è tutta formata con tubazioni dello stesso diametro e della stessa scabrezza. Determinare le ponate nei diversi lati.

r-

l BI

)()()m

dal seguente

t�.· L

�-Lf

•

quella che effettivamente si realizza risultando:

2

l/s

��:�

200m

Qu•Qz-Q, Q, Q,

J,L, + YAN

è

-

' l l l ,,u"\r.

�1

m

_ L--6!;.,F ----�E -300m

•l

Per risolvere il problema si usano le equazioni già viste in precedenza; si può scrivere infatti un'equazione di continuitl per ogni nodo (l::Qj • 0) ed un'equazione del moto lungo ciaseuna m aglia (I:I3!Q1IQ1I• O).

FLUIDI PROBLEMI DI IDRAULICA E MECCANJCA DEl

338

•

10

Si può giungere alla soluzione usando un �e �odo per succ:ssive approssim� zioni (metodo di Cross) che consiste nel dare at smgoh tronchi della rete una di stribuzione di portate qualsivoglia (nel �ispetto delle equazioni di continuità ai nodi) e valutare quindi il termine AQ secondo cui correggere le portate per avvi cinarsi ai valori reali. Se Qi è Ia portata attribuita ad un singolo tronco di condotta, dovrà ri sult a re (relativamente alla maglia cui appartiene):

I risultati sono qui di seguito riportati: MAGLIA

AB FB AF

,

�2Q: MAGLIA

�

'

. Si noti che � n:onchi comuni a m.agli e diverse va attribuita la som ma alge . brtca delle c��eztoru rela tve alle maglie cw appartiene e che le portate assumo � n? segno postuvo o negativo a seconda che siano concordi o discordi con il verso di percorrenza delle maglie prestabilito. . Nel caso in esame i termini � si riducono alle lun ghe zze avendo le tubazio ru t ut te ugual scabrezza e diametro. Le equazioni di continuità ai nodi risultano:·

•

AB FB AF

103

[m3 s-1) •

� Qo

� Q5

+24 +10 + 12

1,44 -0,20 -0 48

46

0,76

+16 + 1.5 + 8 +10

+1,28 +0,4.5 -0�6 + 0,20

49

1,77

+60 -20 -40

200 .500 400 .500

TRONCO

l

·

400 .500 300

BC CE FE FB

2

Qo

�

TRONCO

l

-

da cui risul ra trascurando

339


+80 +30 -20 + 20

Qo

·

400 500 300

103

[m3 s-1 ]

103

+

-8,26

•

-18,06

•

�Q•

��

6Q. 103

+20,7 + 5,1 +14,48

1,07 -0,05 -0,70

-3, 97

40.28

0,32

•

+51,74 -10,20 -48,26

6Q.

.

QA

=

2

� 400

1

AB FB AF

Osc

=

Osc Qc QcE =

+

QcE
Q-AF

c

Qpa

Le equazioni del moto lungo le

=

+

QE

200 500 400

SQP

Qo

·

10 3

sono mvece:

0,77 +0.07 -0,.59 +0,05

38,66

0,30

POl

PQi

+ 19,11 + 5,06 + 15,67

0,91 -0,05 -0 82

39,84

0,04

11,61 + 3,93 + 16,86 + 5.06

+ 0,67 + 0,03 -0,71 +0,05

37,46

0,04

•

47,77 -10,11 -52,23 +

+58,06 + 7,86 -42,14 + 10,11

+

+12.39 + 5,87 + 15,3 + 5,1

[m3 s-1]

•

+

+

•

valori delle portate dopo la 3 • iterazione risultano:

QAB Qb

•

47,3 l

0AF

•

5Z,71

Ocs

•

7,3 1

•

•

•

S-

I

1 s-

s-•

OFB

•

10,1 l

Qsc 57,5 l •

Qf'E. 42,71

6Q

·

3 10

-0,50

•

•

I

-3,88

+

+

Qn

LABQis L�AF LnQb LacQic Ia
500 .300

BC CE FE FB

2

+61,94 +11,74 -38,26 +10,20

500

TRONCO

+

+

200 500 400

MAGLIA

QAB OAF

QAB QFB

BC CE FE FB

·

·

•

s-1 s-• s-•

-0,.53

•

340

PROBLEMI DI IDRAUUCA E MECCANICA DEl FLUIDI

10

10.14. La condotta in acciaio in figura alimenta tre utenze A, B e C che assorbono 2 l s-1 ciascuna (y 9806 N m-3): =

·

·

341

SISTEM1 DI LUNGHE CONDOTTE • •

�a �otenz� assorbita dalla pompa supponendo nulle le perdite nel tronco d, asptraz10ne nsulta:

o

a) determinare la prevalenza e la potenza della pompa in modo che 1 'altez= sia 10 m al di sopra deJ livello del ser C punto hc nel za piezometrica = ento rendim un T) 70; endo suppon monte, a batoio b) se si escludono le utenzeA e B, calcolare quale portata arriva in C, man tenendo in quel punto invariata la quota piezometrica (si supponga co stante il rendimento della pompa).

rQHp T} 1000

O,

d-o.oeom -

r

•

-

�

-

-qoao m d ,j._

-

l

l•

00 m lPA :5

l

l

�l·

:soo m AS

l

La quota piezometrica in P è:

�l·

la::SOO m

'J l

3,) kW

b) Essendo la portata costante in tutta la condotta si ha:

-

-t �

---

J l•

d·ooeom .

=

ed il carico totale:

�l

H

hp

=

v2

+ --

2g

=

hp

2 Q

+

2gA2

ed infine, la potenza della pompa dev'essere: Applicando l or a auckler-Sttickler ed assumendo un coef� � ..iente k fic 80 m s , s1 ottiene la perdita di carico unitaria lungo il tubo:

f

=

p=

� ��

J

=

•

s-1

y2 .,.., --=-,. -3 / 4
QAB

=

41

•

m

=

s

-

1

� ql:lota piezometrica in p (subito a v

V PA

=

l ,2 m

•

S-l

alle dela ' le l po m pa ) è da ta dalla quota C p1u perdite nei tre tronch i d i condotta: hp

•

hc + JscLsc+}ABLAB+}PALPA

n carico totale in p è:

•

3,5 kW

=

10 Q+ 1,732

•

106Q3

Questa equazione cubica può essere risolta per tentativi; nella seguente ta bella ne sono riportati cinque, con l'ultimo sufficientemente corretto.

-I S

·

106Q2) =

..

N

O,S m

·

T) 1000

0,250

le rispettive velocità medie risultano: V AB

1 ,732

ctoe:

Essendo la portata nei diversi tr atti:

.

+

•

.

Qsc = 21

rQ(lO

41,87 m

•

41,8 m

1

2 3 4 5

Q [m)·s-1) l . 10-2 8 10_, •

5 4 4,9

•

•

•

10_,

10_, 10 -,

Q)

lO Q 0,1 0,08

0,05

0,04 0,049

l. o 51 0,125 0,064. 0,118. •

•

•

1,732·106Q3 101 101 10� 10� 10�

1,73 0,88

0,216 0,111 0,204

lOQ + 1,732·106Q, 1,83 0,96 0,266 0,151 0,2H

Risulta:

Si noti che l'ipotesi di rendimento costante al variare delle condizioni di funzionamento della pompa non è rigorosa. Essa può essere ritenuta valida in

•

ANICA DEI FLUIDI PROBLEMI DJ JDRJ\ULlCA E MECC

342

zionamento della pompa no n son o fun i eli ion eliz con e du le che o dat o cas o est qu . One esatta del problema sarebbe necessa uzi sol una Per molto diverse tra eli loro. che indicano il reale valore rio conoscere le curve eli funzionamento della pompa del rendimento in funzione della portata.

343


10

Nella tabella che segue sono riportati sei tentativi, di cui l'ultimo sufficien temente corretto:

o

t/D3

Qs [m3 s-1]

N

Nel sistema di lunghe condotte rappresentato in figura circola � lO m2 s 1 ; 112 O, (v ifico spec peso nafta con assegnata viscosità e r 9218 N m- 3); le condotte, di cui sono noti diametri e lunghezze, sono tut te dello stesso tipo con scabrezza t = 0,0001 m. Note le quote dei livelH nei ser batoi e la portata Q = 0,2 m3 s-1 sollevat-.a dalla pompa, determinare le portate Q8 e Qc che giungono ai serbatoi B e C e la potenza della pompa (T) O, 75).

10.15.

=

-

=

·

•

·

•

•

l

v) [m·ç')

0,100 0,1.50 0,130 0,140 0,138 0,139

2 3 4 5 6

0,0005

=

2,o.n 3,056 2,648 2,852 2,811 ' 2,832

Re3

À)

)3

45473 68209 59115 63662 62753 63207

0,0226 0,0211 0,0216 0,0213 0,0214 0,0214

0,0191 0,0402 0,0309 0,0354 0,0345 0,0349

R�

)..

)4

56841 28421 39789 34105 35241 34673

0,0221 0,0250 0,0235 0,0242 0.0240 0,0241

0,0.570 0,0162 0.0297 0,0225 0,0238 0,0232

28

hLJlml 395,74 500,82 454,48 476,94 472,33 474,63

=

-1l

N --

- L l"" --

l

'

l l l l

AH

-

t/04

--

�8:300

2 3 4 5 6

' ---'t-=-----�� ', ...... ' '' , '

zc:tso m ....._"!:! _� � -- � -

v. [m·s-11

0,100 0,050 0,070 0,060 0,062 0,061

3,183 1,592 2,228 1,910 1,974 1,942

•

l m

s-'1 Qc [m3

l'

= 0,0004

0, 1 39

}3L3

= zc +

Q=Qs+Qc

•

J.J....

•0

dove le cadenti J3 e J,. funzioni r is e Qc, .sono da valutarsi sulla base della formul� di Colebroor:v:;ndte , vv en OSI e abaco di Moody. n calcolo va condotto per tentativi che a < ss r sl or g�zat}: fis�to un valore di tentativo per la portata �� :� d d Q ' �uwone di contmw. tà la por tata Qc e quindi i due numer i di' R olds comspondenti a mezzo dei quali, unitamente ai valori delle sca brezze ve r/p3 � 1{04, dall' abaco di Moody si deducono i corrispondenti valo & ri d ce di res�tenza. À e q� nd d i quelli della e a t J À V 2/ (2 g D ); � si v � erifica . se alo n di 1 nsulta soddisfatta e . Nn l quaZJone di congruenza dei � � chi D ...u - colo dovrà essere ripetuto detta lincbé .. ..:-L! � .. congrueua dei 'lioal ·u;m 11Sulti D\AIWH -� ..1 ! - L &tta.

'Q

• ll�{0 �,;��

=

A

•

HN

•

=

•

s-1

474,38 m

Note le pol'tate, si possono ora calcolare, sempre avvalendosi dell'abaco di Moody, le cadenti e quindi le perdite di carico nei diversi tronchi della rete. Risulta: •

Vt

=

1,592 m·

� 11�

�

948,31 376,35 566,04 464,57 483,81 474,12

• m3 s-

Qc = 0,061 m3

ZB +

J� [m]

Risulta:

0B =

Per la congruenza del carico e per la continuità nel nodo N de ve essere:

2C +

ÀJ

a:

Re1 = 56841

s-1

0,0205

La prevalenza della pompa vale: 4H.

(za-zAl

+

01

= 0,00025

}l= 0,00685

0,0212 R�

À.

�

•

7'788

�

02

]2. 0,02787

J•L• + J2L2

+

J,L,

•

•

0,00033

'83,15 m

•

CCANlCA DEI FLUIDI PROBLEMI DJ IDRAULJCA E ME

344

10

e quindi la potenza:

rQ�H 1j 1000 •


345

da cui: =

1433 kW.

Q3

=

43,04 l s-1 •

Q4= 46,96 l s-1 ·

10.16. La portata d'acqua (ya Iun�he condotte in figura, è Q= 90 I 12 m1 di Bazin). Determinare:

=

·

9806 N m-3) della pomp? ?ella rete di s-1; le condotte sono m accJato (y 0,23 ·

=

b) Per calcolare la potenza della pompa occorre valutare la prevalenza aH, ovvero la differenza fra il carico a valle e quello a monte della pompa stessa. Risulta:

a) le PQrtate che giungono ai serbatoi B e C;

b) la potenza della pompa (1J

=

• ----c..-.---

yt:1SO m

O, 70).

da cui: H Q x � P= 1j 1000 .

fy�10m -- - - --- - --�...� .. --

8

=

213,2 kW.

-:_4=

10.17. n sistema di lun�e condotte in figura è costituito da tubazioni in 44 acciaio usate U 0,0020 Q2o-s· ). Volendo convogliare una portata d'acqua 3 (X 9806 N m- ) Q3 30 l s-1 nel serbatoio B, determinare: =

=

=

•

•

a) la portata Q4 che arriva nel serbatoio C; b) la potenza della pompa (Tl 0,67). =

a) n_ sistema che perm:ne ?i riso lvere il problema proposto è fo rm at , o da un equazione del moto relattva at du e tronchi di cond otta in cui si vogliono tro· vare le portate e dall'equazion e di continuità nel nodo N: -

(HN-Hd-(HN-HB)

=

--

-

--

-

---

}4�-J3L3

Q. Q3 + Q 4 Utilizzando la formula di Chèzy: N

con:

a) Si consideri il sistema for'!lato daH' equaz�one �el mo!o rel�ti'-:a alle

87 C . --..;:; .:..__ 2y 1 + VfJ

condotte che congiungono i serbatoi A e C, e dali equazione di contmwtà nel nodo N: fu-Hc

Qa

•

•

]aLa+ ].J....

Qa + Q.

•

•

Q_, + Q.

PaQJ + (l.QJ

346

NICA DEI FLUIDI A C C E M E A C LI U PROBLEMl DI IDRA

Risulta:

o

�4= 1258 Q1 = 125 J

Q4= 95 J

•

•

347

n diametro della condotta forzata può essere individuato facendo riferimen to a condizioru economiche che tengano conto della passività della condotta, del mancato introito, dovuto alle perdite di carico durante il funzionamento a turbi na, e delle maggiori spese di energia per perdite di carico durante il sollevamento.

�l = 233,8

da cui:

SISTEMI Dl LUNGHE CONDOTIE

10

-

s-1

Con riferimento ad un tronco di condotta di lunghezza urutaria, indicata con H l'altezza piezometrica di colpo d'ariete, lo spessore s della condotta può essere calcolato con la formula di Mariotte:

s_,

a si deve dapprima valuta re la pre mp po lla de za ten po lla de o col cal il r Pe b) valenza �H:

s=

rHD

--=--

2a

dove a è il carico di sicurezza del materiale. da cui:

La passività annua della condotta vale perciò:

�H= 10,50 m

o

e:

P=

yQ�H 1} 1000

=

4,6

kW.

10.18. La condotta forzata dell'impianto di accumulazione rappresentato in figura è percorsa per 8 ore aJ giorno dil monte verso valle dalla portata Qr e per 12 ore aJ giorno al senso contrario dalla portata:

= p Q

2 Qr

p = rCm'Ym1tDs= ICm'Ym1t_:r_ HD2= KcHD2 2a essendo: r

il tasso annuo di passività;

Cm

il costo dell'unità di peso del materiale;

'Ym il suo peso specifico. Sempre con riferimento al tronco unitario, i mancati introiti annuali duran te il funzionamento a turbina valgono:

3

lOTJT 8 . 250 eT= 1}T ykQlo-n 8. 250 eT= KTo-n ST = T}T

ciò per 250 giorni all'anno. Determinare il diametro da assegnare alla condotta.

-

---

-----

1000

1000

essendo:

eT il prezzo unitario dell'energia prodotta; 1)T

il rendimento della turbina.

Analogamente le spese annue di energia per il sollevamento valgono:

p.

S

yQ p}p

'lP 1000

12

•

250

Cp

ykQ�o-a •

'lP 1000

CANICA DEl FLUIDI EC M E A IC UL RA ID PROBLEMT DJ

348

10

essendo:

metri metallici M1 ed M2 nell'ipotesi che la temperatura della nafta sja di 5°C;

to; en am ev so i d ia rg ne � l'e el d io il costo unitar mpa. 1JP il rendimento della po

Cp

ista economico è quell� per il " o nt pu l da te ien en nv co : più tro . n diame passtvtta e ctoè quello che soddisfa alla le te tut di ma som la a nim mi lta risu quale condizione:

c) la perdita di carico della valvola riduttrice V e le indicazioni dei mano metri Mt ed M2 quando la temperatura della nafta sale a 25°C.

�.

p

+

Sr

+

Kp) o-n Sp KcHD2 (KT +

=

+

=

- _,, AH

minimo

"' ,

l so

l

Derivando rispetto a D ed annullando si ricava in definitiva: l

349


.... J

-.

'

T-�·�2!101 11,-

.

PIEZONETRICA

- .....

a

s•c

r PIEZOMETRICA

a

2s•c

.... ..... ../',

.... � · -- · -. -

-- ----

....

- · ---. �� 9 .........

. -....

:1Sm s.m.

1/(J! +2j

8

H o

Da questa relazione appare che il diametro dovrebbe essere continuamente e, più precisamente, diminuire da monte verso valle. variaoile con

H

lo pratica la condotta viene realizzata in tronclri a diametro costafite le cui lunghezze viengono definite in modo che fra gli estremi di ciascuno di essi H ab bia una variazione dell'ordine di 150 + 200 m. 10.19. D serbatoio B è alimentato dal serbatoio A med iant e una pompa . nafta attraverso la che convoglia condotta in acciaio AB sboccante nell'atmosfe ra 0,5 m al di sopra della quota zs del livello nel serbat io B. Poiché il liquido è s�ttopo�to ad un'escu ione termica compresa tra 5°C e 25°C, è necessario l'im x; piego di una valvola nduttrice di pressione affinché la portata rim an ga costante nelle diverse condizioni di temperatura. Assegnati:

�

- le quote dei serbatoi A e B; - la lunghezza L- 750 m della - la scabrezza

'

•

6

•

condotta·,

- la portata Q= 0,05 m3 s-•; - n peso spec•·aco e la visc osità cinematica della nafta alle due temperatu· re CO lderate (nafta a 5°C: y • 8481 N m-3, v = 5,5 92 10-6 � 2 m • s ; nafta a 25oC: "( 8327 N m-3, v. 3 307 10-6 m2 s-1), , determinare: •

•

•

•

•

•

a) il

diametro pià economic o D della condotta di pomp atura AB· h) la potenZa p,. da fo rnite aDa .P.Qmpa ('l 0.6 5) e le itldicazioni ei mano· •

p

----

-

A

a) Il diametro più economico è quello per il quale risu1ta minima la passività annua p, cioè la somma del costo dell'energia dissipata per effetto delle perdite di carico in un anno e dell'onere annuo del costo dell'impianto. Si calcolino i va lori di p per una serie di diametri commerciali, e dal diagramma p-D si individui il diametro commerciale che più si avvicina alla a>ndizione di minima passività. - Determinazione

10_. m della tubazione;

•

6m

d

del

costo dell'energia

Poiché è fissata la portata Q, per ogni diametro commerciale si può deter minare la cadente J,. dall'abaco di Moody; calcolato infatti il numero di Rey nolds, si può leggere sulla curva� p�etro f./D l'ordinata. l che g corrispo� J,.L (sJ trascurmo le perdi· de e ricavare J, Si ha coslla perd1ta di carco te nella condotta di aspirazione). Si determini successivamente la potenza dissipata:

�

�H,.

•.

yQAH,. 'l 1000

•

[kW]

A E MECCANICA DEI FLUIDI PROBLEMJ DJ IDRAULJ.C

350

10

no: an un in a at ip ss di a gi er n l'e di e quin .1E

=

• •

Ambedue i manometri segnano la stessa indicazione Oa lunghezza del tron co tra essi interposto e la perdita di carico dovuta alla valvola completamente aperta sono trascurabili), che vale:

8760 .1P [kWh] •

funzione) ed il relativo costo. n prez in te en ua' tin con nto pia l'im o nd tte (amme ? 0 C/kWh. zo dell'energia venga assunto pan a 12 - Determinazione dell'onere annuo di impianto. Si calcoli il costo della condotta con i prezzi per metro riportati nella tabella seguente e comprensivi di trasporto ed l. V.A.

DN

40

50

65

80

100

125

150

f./m

8000

11000

14000

18000

22000

27000

36000

DN f./m

200 56000

•

250

300

78000

98000

351

SlSTEPvU DJ LUNGHE CONDOl"I'E

350

400

115000

450

133000 150000

n

__

"()o (Ho

L'onere annuo si ottiene moltiplicando il costo per il tasso r di interesse, ammortamento e manutenzione, che si può assumere pari al20%. Non si metta no in conto il costo del macchinario e il costo di scavo perché rappresentano spe se pressocché indipendenti dal diametro, e quindi ininfluenti sul nl lnimo. s?mmand� onere di impianto e onere di energia, entrambi fun zioni di D, è . possib�e �strwre la funzio e del tipo indicato in figura , che consente di indivi � duare il diametro commercale che ottimizza l'im pianto.

AH5o- 6)

105

[bar]

c) Calcolata la nuova cadente, e quindi la perdita di carico AH2�o, la differenza AH5o "fso - AH2,0 "f25° rappresenta la perdita di carico da realizzarsi con la valvola riduttrice. L'indicazione del manometro M2 è: n =

"(25o
+

AH2so- 6) s

10

500 171000

+

[bar]

mentre quella del manometro M1 rimane immutata. 10.20. Un gasdotto a profilo praticamente orizzontale di lunghezza L = 500 km, costituito da una tubazione in acciaio (t = 0,04 mm) di diametro D = 835 mm (34"), convoglia gas naturale avente la composizione indicata nella tabella 10.20.1. Sono assegnati: - la portata Q

=

200 ST m3

•

s-1;

- la p.ressione nella sezione iniziale Pt =70 bar; - la temperatura m�a del gas lungo il percorso Tm

=

10°C

Determinare:

2 ANNO

ONERE DI IMPIANTO

ONERE Dt ENERGIA

a) il numero e la posizione delle centrali di compressione da inserire lungo il gasdotto affmché la pressione non discenda al di sotto del valore P2 =50 bar; b) la distribuzione della densità lungo il gasdotto;

c) la distribuzione della velocità lungo il gasdotto .

•

o

b) La potenza della p ompa risulta: Ps.

•

.r,.Q 1)1000

[kW]

0,933 0,033 0,0085 o.oo35

CsHaz � •• N2 c�

0,0015 0,0015 0,0090 0,010

352

MECCANICA DEl FLUIDI E CA UU RA ID DI I M PROBLE

10

Caratteristiche fisiche dei componenti gas

C H. C2H6 C.JHa C..H1o CsH12 C6HI4 N2 co2

peso molecolare

16,043 30,070 44,097 58,124 72,151 86,178 28,013 44,010

presslone crmca Pc [bar]

Temperatura critica Te [°K]

46,9 49,7 43,3 38,7 34,3 30,7 34,5 75.4

185,6 305,5 369,9 425,2 469,7 507,5 126,1 304.3

•

•

M

•

•

353

-

SISTEMI Dl tUNGHE CONDOTTE

noto dalla termodinamica che il prodotto pw assume il significato di lavo ro di spostamento dell'unità di massa del fluido in moto attraverso una sezione eli un condotto o, più genericamente, attraverso la sezione di ingresso eli un defi· nito volume in condizioni eli regime permanente alla pressione p. Infatti se si im magina che alla pressione costante p il fluido sposti, a partire da tale sezione, uno stantuffo ideale, il passaggio dell'unità eli massa 1/w attraverso tale sezione richiede il lavoro pw.

È

Questo prodotto è detto anche lavoro di flusso e nel tempo dt subisce un mcremento: •

•

dN

Peso molecolare della miscela: �iVi Mi = 17,475 Pressione psuedo-critica della miscela: L;iVi Pci = 47 bar Temperatura pseudo-critica della miscela :EiVi Tci = 193,5 °K.

d(pw) =pdw +wdp

Sostituendo nella (l) questa espressione e la prima �uazione della termodi namica scritta nella forma: dU = dq-pdw

o

Si consideri l'unità di massa del gas (avente volume specifico w e peso g) e la si segua nel suo movimento all'interno di una condotta: lo spazio da essa per corso nel tempo dt sia l'arco elementare ds misurato lungo l'asse della condotta, e abbia proiezione verticale dz . Si applichi a tale unità di massa il principio di conservazione dell'energia scrivendo che l'energia termica cdq fornitale attraverso la parete della condotta è pari alla somma della variazione di energia interna dU, della variazione di ener gia cinetica d(V2/2) =VdV e dei lavori esterni elementari esercitati contro le for ze normali (di pressione) agenti sul contorno dell'elemento, contro la forza peso e co�tro le resis.te � t�enziall provenienti dalla parete . Designati questi tre lavon elementan nspettJvamente con dN, gdz e dL, il principio di con ser vazione dell'energia si traduce nell'equazione: dq =dU +VdV +dN + gdz +dL

=

sJ otuene: •

•

wdp +VdV

+

(2)

gdz = -dL

che è l'equazione del moto permanente in forma differenziale. Si osservi che se la si applica ad un fluido perfetto (dL =O) ed avente p = 1/w cost; essa diventa: =

d

P p

+

v� +gz =0 2

che divisa per g ed integrata coincide con il teorema di Bernoulli.

(l)

La (2) si presenta perciò come una generali�zaziof!e di tale teorema. Te�uto v Ioettà è conto che nelle condotte che trasportano gas il terrrune dovuto. alla c: il traCCiato non sempre trascurabile e cosl pure qu�llo do�to alla quota quando presenti dislivelli notevoli, la (2) SI semplifica nelle: •

wdp• -dL dz

ovvero dp.

-

-pdL

(3)

-

es� att�one al sign��to pr si , ze en ist res lle de dL o or lav n e lar lco r Pe ca diamente sub1ta (o me ale ge tao la forza � J e ch sia os e, nt de � dinamico della ca iJ condotto. rre perco e ch do flw l de peso di itl un ll, a) da esercitat

.354

NICA DEI FLUIDI CA EC M E A IC UL RA ID PROBLEMJ DI

10

assa (che pesa m di ità un ll' da ta .. bi su te en am di me e . Perclo la forza tangenzt·a1 te: en st si re ro vo la il e pi m co ds . gJ e 1ungo i1 percorso g) e

SISTEMI DI LUNGHE CONDOT TE

355

si perviene in definitiva all'equazione differenzial e:

•

dL ch e,

=

gJ ds

(9)

riversi: sc ò pu À, za en st si re di o er m nu il '" ... .. traducendo dL

À

=

2 v

2D

ds

La (3) assume in definitiva la forma: 2 v ds dp= -pÀ 2D . che può essere integrata dopo avere espress� À del moto, del condotto e del fluido. A tal fme Whlte: 1

vr..

= -2log

Si supponga che le variazioni di temperatura lungo la condot sian suffio ta . oenten:ente n:�este �a non influenzare il numero di Reynol ds e conseguente . mente il �oefftctent� di attrito À. Si consideri inoltre, in prima approssimazione, costante il fattore di comprimibilità Z e pari ad un valore Zm medio tra i valori �/Zs .all'inizio ed alla fine del tratto. Separando le variabili ed integrando la (9) s1 ottiene:

(4)

� funzione SI

2,51

delle c�ratteristiche usa la formula di CoJebrook-

l

� =-+

Re VA

-

3,71

e.

D

Ps z Ts m

Poiché: (5)

Per integrare la (4), conviene farvi figurare i valori delle grandezze caratte ristiche del fluido in un opportuno stato di riferimento, che si assumerà coinci dente con lo <> in cui T= l5°C = 28 8,2°K e p= 1,013 bar. Scritta l'equazione di stato del gas (reale) nella forma:

L

posto:

l Tds =Lo L

L

Q� DS

L o

Tds

Tds

o

si ha:

.l_= ZRT

(6)

p

in cui Z è il «fattore di comprimibilità» e denotati col pedice s i valo relativi ri allo stato standard di riferimento, si ha: p= Ps

p Ps

T, T

Zs Z

(7)

Fac�ndo . ora figurare nella (4) la porta ta volumetrica Q in luogo della velo· . atà, ossta sct1vendo:

(4')

(10) Questa è la relazione che viene comunemente impiegata per il calcolo delle perdite di carico nei gasdotti. a) Nella (l O) compare il fattore di comprimibilità Zm che tiene conto del fatto che il gas reale si comporta in maniera diversa da quello ideale; esso va va· lutato 1ille condUioni di temperatura e pression� medie nel tratto, e lo si ricava tramite il diagramma sottoriportato in funzione della temperatura e pressione pseudocritiche ridotte, definite come rapporto tra la temperatura e pressione ef fettiva e la temperatura e pressione psuedocritica calcolate per il gas (pPc= l ,28; Tpe: 1,46). In questo caso si tratta di temperatura e pressione pseudocritiche in quanto ci si riferisce anziché ad un solo gas ad una miscela di più gas. Al piede delle tabelle di pag. 351 e 352sono riportati i calcoli per la deter· minazione di tali grandezze relative al gas naturale convogliato. Nell•ipotesi che le variazioni di temperatura e di pressione non influenzino il numero di Reynolds ed il coefficiente di attrito À, la determinazione di tali •

e notando che Q è proporzi onale a

w= l/

p e che quindi la (7) può essere scritta:

Q=Q,A T P T.

Z Z.

(8)

E MECCANICA DEl FLUIDI ICA UL RA ID DI �U LE OB PR

356

10

ori Pr:n della densità e Om della porval dei e bas la Sul ta fat re se es grandezze deve 1au nspetuvamente aJ co c e to por tras di ie med i rata, corrtspon denu· a11e conc:lizion con la (7) e Ja (8). ·

·

·

·

o

SISTEMJ DI LUNGHE CO NDOTIE

Poiché la forma della (5) impedisce il calcol � diretto di À ' l'applicazione pratica si esegue con l'impiego dell'abaco di Moo dy. Calcolato il numero di Reynolds (*):

DIAGRAMMA PER LA DETERMINAZIONE OEL FATTORE 01 COMPRIMIBILITA' 1,

1o

1

2

3

4

5

6

Re=

1

RATURA TEMPE PSEUOO CRITICA RIDOTTA

357

pmVmD lJ.T

si legga sulla curva di parametro t/D l'ordinata À che gli corrispond e. Si ricavi quindi tramite la (l 0) la distanza fra due successive centrali di compressiOne. •

b) La distribuzione delle pressioni lunga la condotta si ottiene dalla (10) scrivendo:

----L 1.7

- 1 J---

___

2

Ps TmZm 2L( ) Pt-Ps"' Qs x ns .,(- Ts ,

16

In conseguenza della variazione di pressione la densità della miscela lungo il gasdotto varia anch'essa secondo la (7). I diagrammi delle distribuzioni delle P2(x) e delle p(x) lungo il gasdotto pos sono essere costruiti per punti calcolandone i valori in un conveniente numero di sez1oru. •

•

c) A norma della (8) la variazione di pressione comporta una variazione del la portata e quindi della velocità lungo il gasdotto. n diagramma della distribu zione della velocità può essere costruito per punti, analogamente a quanto fatto per la pressione e la densità.

Calcolo della viscosità JI.T della miscela Nel caso di una miscela di gas la viscosità viene calcolata con la formula di Herning e Zipperer: 0,25

�---+--+----1:---�u in cui f.C.i è la viscosità dinamica ricavabile dal diagramma seguente, � il peso molecolare e Vi la frazione volumetrica del componente i-esimo. Si ottiene in tal modo la viscosità della miscela ad una certa temperatura e alla pressione assoluta di 1,013 bar. Per passare a diverse condizioni di tempera-

(*)

Per

il ca1c:olo di

f&T al seaua

il proccdimeato riportato al termine dd problema.

CA E MECCANICA DEl FLVIDl PROBLEMI Df lDRAUU

)58

10

orto tra la vi sc os ità della mi pp ra il r pe fJ.T e ar lic tip ol m e rr tura e pressione occo ella al la temperatura vo lu ta, m a alla qu e ta lu vo ne sio es pr e ra tu scela alla tempera bar. 13 O l i d ta lu so as ne o si es pr 1

359


RAPf<>RTO 01 VlSCOSITA'

•

/"'/�1

ntal·mente dai diagrammi allegati in fun me eri sp o nit for ne vie rto po rap Tale eudocritiche ridotte. ps ni sio es pr e re tu ra pe m te lle de zione

:! � .... N

O o 0:: et u -

VISCOSITA' DINAMICA COMPONEN-TI GAS NAT'URALE .

OSSIGENO

o o :::> w

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ELi e

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OSSIOG 01

CARBONI() AZOTO

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C
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- CARBONICA ceo ) 2

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lfAPPOQTO DI VIS:COStT� f4/P,t

15

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ANIDRIDE

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70

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ETANO

lDROGENO

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l'eUTANO l pE N'fANO •

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CC3H4) cc4HI)) CCsH12J ccr»...,v

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20

30

TEMPERATURA

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50

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•

-

•

•

MECCANICA DEI FLUIDJ PROBLEMl DI IDRAULICA E

360

10

• •

PROBLEMI SUPPLEMENTARI 60 m e Zv le q�ote _zm ti: no o son 15 m ura fig in to ian mp ll'i De . 10.21 serba�oto di val)e; a port�ta d'ac rispettivamente del 1serbatoio di monte e�deJ_ ta; l andamento ptano·altunetrico qua Q O, l m3 s- che deve essere convoglia della condotta, realizzata in acciaio. Problema di dimensionamento: tubi usati. Determinare: =

!

=

•

=

a) il diametro teorico Dr della condotta; b) le lunghezze La e Lb rispettivamente del tronco a diametro commercia le Da< D, e del tronco a diametro commerciale Db >D,;

l'area libera Cc:= 0,7.

a

=

=

�

=

=

a) il carico .

•

·

HN

iÌi

nel nodo N·,

5 m);

della �alvola, noto il suo coefficiente di contrazione

QN.

e) la potenza P che deve avere la pompa (TJ = O, 75) da installare in altema· tiva alla condotta di diametro D3.

,. 1\

l

l

l l

·�-

·-

·-

. \

- ----y

\

•

\

AH

•

\

•

•

...

La ...

l

----

Clti\bialftento d �

1200"'

l l

•

-

•

---

l l l l l l l l l l

\ \

•

l

---

valle. Determinare:

d) il diametro teorico D3 da assegnare ad una condotta di scabrezza &3 = 0,00005 m da disporre in parallelo a quella di diametro D2;

•

l l l i l l l l l

Q1 nel serbatoio di

Si vuole convogliare l'intera portata

--------

l l l, t"

�-l

•

=

c) la portata

d) il carico � da dissipare mediante una valvola riduttrice affinché rimanga invariata la quota Zm del serbatoio di monte;

f)

�

=

,

Problema di verifica: tubi nuovi. Determinare:

(hmin =

10.22. La lunga condotta in figura, collegante due serbatoi eli cui sono note le quote Zm = 100 m e Zv = 20 m è costituita da due tubazioni aventi ri spettivamente diametri D1 0,300 m D2 = 0,150 m, scabrezze t1 0,0001 m ed t2 = 0,00005 m, lunghezze L1 4200 m ed k 1800 m· il serbatoio eli mentato da una portata costante Q1 0,100 m3 monte è eli liquido eli 3 1. peso speciftco i 9806 N m- e viscosità cinematica v= O 000001 m2 ç Nel punto N di variazione del diametro sussiste la possib tà di erogare una portata QN. Determinare:

b) la portata Q2 che affluisce nel serbatoio . di valle·

c) l'ordine di posa dei due tratti di differente diametro.

e) la posizione della valvola riduttrice

361

SISTEMl DI LUNGHE CONDOTIE

•

l l. H

-- , -- -

i.

N

�

.

\ \\ .

\

�2:.1Jl3

. \

l

•

2

l

1

.._+--- L1 --,...•+1•..,__•

•

•

�-�4-;

•l

L2

•

•

·-·-

•

CANICA DEl FLUIDI PROBLEMI DI TDRAUl1CA E MEC

362

n vogliare le . portate d'acqua co n vo de si A o toi ba � ser l . . l0.2J. Da 3 batoi B e C, a nspetuvamente ne1 ser s-1 m 0 06 o 3 Q e -1 s ' J m . 030 02 - O C , di cm sono note le ri. N N B N A to ila af tr o ai ci ac in te ot nd co ' mez o elle tre 't nom . on 00 o 34 al S 3 tre L e d s m 00 19 12 m 00 27 ' spetuve 1unghezze L 1 164 m det nspetttvt ser batot. te Je quote ZA - 230 m, ZB = 170 m ed zc = are. mm ter u. De usa J tub : nto me na sio en dim di a lem ob Pr a) i diametri commerciali D1, D2 e DJ più economici per le tre con dot te; b) le perdite di carico 82 e 83 delle valvole riduttrici da inserire rispettiva mente sulle condotte di diametro D2 e DJ;

; d

•

=

•

·

'=

=

·

·

_

·

·

•

•

•

·

.

c) le portate Q2 e Q3 convogliate nei serbatoi B e C nel caso di valvole ri duttrici completamente aperte.

Problema di verifica: tubi nuovi. Determinare:

10

SISTEMI DI LUNGHE CONDOTI.E

363

Sono assegnate le quote dei serbatoi A, Be C contenenti un pro dotto petrolifero (fL = 15 10-4 Pa s, i = 8100 N m-3); la condotta OQRS è realizzata con tubi in acciaio (scabrezza t = 2 10-4 m) come la più nuova con dotta TQ (t = 10-4 m). La condotta TQ è esclusa; lungo OQRS defluisce la portata Q 1 = O, 15 3 s-1• Si richiede: m 10.24.

•

·

·

•

•

a) il calcolo del diametro teorico D,; b) il dimensionamento effettivo, suddividendola in due tronchi per i quali si adottano il diametro commerciale immediatamente inferiore e superio re a D,, disponendo il cambiamento di diametro a valle al nodo Q; c) il tracciamento della linea piezometrica.

d) le perdite di carico 82,0 e 83,n delle valvole riduttrici, occorrenti per con· vegliare le portate Qz e Q3; e) le portate Q2.n e Ql.n con�ogliate nei serbatoi B e C nel caso di valvole riduttrici completamente aperte.

In B è richiesta la portata 02 = 1,2 Qa; l'integrazione necessaria è fornita nel nodo Q mediante pompatura. Sono richiesti: d) il dimensionamento della condotta TQ; e) il tracciamento delle nuove linee piezometriche;

f)

il calcolo della potenza della pompa (T)

=

0,65).

-

----

--

A

�.n

....,__ o l-- ---- l

l l l -

l

l l l l l l l

- - TUBI USATI

l l l l•

l

--l

TUBI NUOVI

l

l l AH

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l

-t- ...__

l l l

-

N • 1...

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l

l

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- l1 ------.tL3

-....r ..

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l l l l l l ,

-+·\-l l

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l

l l l l

B

•

l 'OO&AMENTO DIAME

l L1 L:20QO m

l

l

•

., ..,

l l

� -------m oo �� ---1�·�--

l

01 l

•

TRO l

•l• L2 L:2000m

l •l ·l

E MECCANICA DEl FLUIDI CA UU RA JD DJ I M LE PROB

364

IO


365

•

, collega i du e serbatoi A isa gh in a at zz ali re I, GH EF ta ot 10.2.5. La cond etrico della tubazione ed il di im alt to en am nd l'a i at gn se As . to ot e B di un acqued portata Q = 0,04m3 s-1 affluente nel la ta no , toi ba ser i de ote qu le slivello tra . anente: rm o pe ot m di i on izi nd co in e ar in rm te serbatoio A, de

10.26. La rete di condotte ;..,. u• acct'
•

=

a) la distribuzione delle portate Qi nei singoli lati;

portata Q ed al dis live llo asse a) il diametro D della condotta relativo alla gnato di 70 m; e· b) la massima portata Q* che teoricamente potrebbe defluir nella condot ta di diametro D e la lunghezza del tronco GM nel quale il mot o si svol ge a canaletta;

b) il tracciamento delle piezometriche di tutti i lati. Lt L2 L3 � Ls

c) i diametri teorici ed i corrispondenti diametri commerciali da adott are per il deflusso della portata Q;

4

d) la posizione delle valvole riduttrici V1 e V2 per il buon funzionamento dell'impianto .

= 300m = 150m 500 m = 400m = 400m =200m

Dt = 350 mm D2 = 300mm Dl 250mm D4 = 300mm Ds 200m.m D6 = 250mm

=

=

=

Per tutte le situazioni �onsiderate si richiede il tracciamento delle linee piezometriche.

A --

-

-

-

--

-

-

m

E

l 25m 40,33m •

-

E

l l

l l

l l

l l

l l

l l

l

!:nm .� m

..

l l l l l l l

40m

Li4S.QQ m

:::

·

11

Qualora l� manovra .non sia istantanea si origina un treno d'onde ascenden te che nell� pnma fase di �olpo. diretto è il solo ad interessare la corrente, men tre suc.cesstvamente alla nfless10ne ad esso se ne sovrappone uno discendente (fa�e di contraccolpo).. La f�e di .colpo diretto per una condotta lunga L e con ri fenmento ad una sez10ne di ascissa s, ha durata pari a:

11

I T N E R R O .C E L L E N IO R A MOTO V IN PRESSIONE

'ts mentre per l'otturatore vario di moto hj i fenome generat alcuni ivestono da nza importa ot vo� � � � � . v�1az1oru. p1u o. meno rap1de della portata, con conseguente propagazione di un or:d� ru p�essJOne lungo Ja condotta. Tale perturbazione si sposta con velocità (celerlta) parl a �ueUa del �uono; in particolare qualora lo stato dj sollecitazione nella condotta sJa ben rappresenrato dalla formula di Mariotte ' la ce 1en·ta' assume l'espressione:

•

=

c*

==

-;

E

Nel caso di una chiusura, con tempo di manovra te> 'to, al tempo: 2L 'to = c

e' la celerità del suono nel mezzo indefinto (pari a 1425 m s -• per l'acqua a soC); è il modulo di comprimibilità del fluido.. . nte con e' il modulo di elasticità lineare de1 matert'ale costitue la dotta. •

. . Taie fenomeno si può riscontrare negli 1. '1 1an . . ntt? P u di sollevamento per avviamento o arresto della pompa e neglt' .lmpta Idr oe lettrici in conseguenza delle manovre dell'otturatore. Per un corretto inquadramento de) f m m�e considerare sia la effettiva ce -�d o del colpo d'ariete occorre co l ertt eUa perturbazione, sia le caratteriSti elastiche del liquido e della c�ndott a. Per dò che eoneeme 1 1e r. nom eru che l ven. f'lc�� nelle condotte forzate di . & PU:tJ 1dr�ettrici l'applicazione del te�rema de llsmpulso per jJ cas o teorico m_novra lStantanea porta all' . espressione della sovrapressione:

pari a:

ne sio res ap vr so la e or rat tu 'ot all 'to te< sa er ev vic Se valore:

assum

e al tempo

te

il

�p= pc (V o-Vr) ). ca us ra br ov an (m te en am ne ta an ist ta nu ve av e ss fo ra come se la chiusu l re ne to ra tu ot · a an sim as m ne io ss re ap vr so lla de e on zi ta Agli effetti della valu locità ve lla e de on zi ria va la re ea lin e ar er id ns co a ss po si e caso in cui sia te > 'to haud: ic i-M ev lli A di a ul rm fo la al o rs co ri te en m al rm nel tempo, si fa no 4Pmu.

·

·

è

in poi alle onde te an ist o est qu da 'to; po tem al ità loc ve la r V n co avendo indicato ascendenti cominciano a sovrapporsi quelle discendenti.

•

=

=

2L c

�p= pc(Vo-Vr)

m cw:

c*

==

'to

la sovrapressione all'otturatore

::::;;:E. D 1+E e

-;=

2(L-s) c

è:

Colpo d'ariete

c

367

MOTO VARIO NELLE CORRENTI IN PRESSIONE

.

·

*

pcVo'to te

• :1:

2pLVo te

•

4P in c:ui Vo e Vr la manovra.

•

pc:
. sono le veloat • A medie

•

Ul

condotta rispettivamente prima e dopo

Oscillllzlolli di

miiSIII

to av ot nd un co e di on zi se a un di a at rt po di ne io az Nel caso in cui la vari n a lu bi ta ab ot nd la co a or al qu re pu op o ng lu venga in un tempo sufficientemente o i1 tempo che oc gi in pi m te i tr al li ag te on fr di 'ar'e ghezza limitata, � lecito traSC\,U la le perturbazioni impiegano • percorrer .

CANICA DEI FLUIDI �C M E A IC UL RA ID I D PROBLEMI

368

11

o vario vien e svilu pp at o ot m di so es oc pr le ta eli o alitic ,.mquadramento an L · e 1pouzzan d0 · . , c1o 10m b az r · rtu pe lle de ità · ler ce • ll to della w valore inf11 . nell 1potes1· .J: mabile. or ef d m ta ot nd co la e le bi il liquido incomprirni ·

.

'

·

·

PROBLEMI io. di un li�uid o in un tubo ad var to mo I d ni azi equ le e par lup Svi .1. 11 � � . m regtme l arru nare . ze en ist res di o cas i ne , nte sta co e ion sez di U Indicato con � il dislivello fra i menischi, con L l a lunghezza di tubo occu pato dal liquido, con V la velocità media, con D il diametro e con v la viscosità cinematica dd liquido, le equazioni del moto e di continuità f or niscono :

L. dV g

+

dt

�

32 vL 2 V= 0 gD

+

MOTO VARIO NEUE CORR ENTI IN PRESSIONE

369

Possono verificarsi tre possibili soluzioni e quindi tre diversi andamenti del . . : l livello, a seconda che nsult

T}=<ù Si ammetta che all'istante iniziale (t = O) il liquido entro il tubo sia fermo (V = O; d�/dt = 0) e che il dislivello fra i menischi sia pari a Ao.

- T}>

(ù

In questo caso le due radici ottiene:

a.

•

e b sono reali e distinte e perciò dalla (l) si •

dalla quale risulta che il dislivello tende asintoticamente a zéro senza che inter venga alcuna oscillazione; ciò si verifica quando la viscosità del liquido è molto grande o meglio quando le resistenze viscose sono preponderanti rispetto alle forze d'inerzia, cosicché risulta eliminata ogni tendenza all'oscillazione.

d� --=2V dt Posto:

- "fl
16 v

In questo caso le radici a e b sono complesse e coniugate e perciò dalla (l) si

ncava: •

2

(ù

2g =

---:;...

L

derivando la seconda equazione rispetto a t e sostituendo nella prima, si ricava: D dislivello � fra i menischi subisce delle oscillazioni smorzate aventi periodo costante pari a: &>

equazione differenziale lin . eare omogenea del second o ordine il nerale risulta: .

A

•

Aeat

+

•

+

2-.,x

+

Integrale ge.

ed ampiezza decrescente con il tempo e tendente asintoticamente a zero.

Be bt

(l)

dove a e b sono le radic i dell,equazione:

�

cw .

- 'l•(A) Le due radici

(i)2

•

o

a

e b sono uguali fra loro e perciò dalla (l) si ottiene: Il

•

.loe.... (l

+

'l t)

CANICA DEl FLUIDI EC M E CA LI U RA ID PROBLEMI DI

.370

11


ticamente a zero to in as do en nd te te en m ua in nt U dislivello il diminuisce co senza subjre oscillazioni. conviene scriverle in e, tt do de a or U ot zi la re ]e Allo scopo dj generalizzare do: forma arumensionale ponen

't=

t

21t

---

t

=

-

371

-

--

1J

-

.

-

•

-

-

-

v

--

Si ottengono allora le relazioni:

a ) Lo sviluppo L del tubo risulta: -TJ
•

L=

W A

=

_4W..,.2 1tD ___

=

4,07 m

Trascurando le perdite di carico, il sistema formato dall'equazione del moto e dall'equazione di continuità che caratterizzano tale processo di moto equivale all'equazione differenziale del secondo ordine delle oscillazioni armoniche:

Nel sec?ndo caso è compresa anche la situazione di liquido perfett a cui o . corrisponde il valore t = O e la relazione:

a

cw:

=

a) il periodo t* delle oscillazioni · bl � Yalore della massima veloci

�

2g L

cos (27t't). l'integrazione della quale conduce alla: _!:a_ Ao

=

•

•

Ca>=

11..2• Un .�bo ad U di diametro D = 0,05 m contie ne il vo lum e d'acqua . W = 8 litn; n�ll tstante � cui il liquido è in quiete, fra i menis chi nei due ram i . del tub 0 sussiste un disbv ello Ào 2 m. Trascurando le perdite di carico deternunare:

e)

ln •

� del liquido;

•

cos(wt)

•

cos 21t

ove:

il tem t! �e intercorre fra ri&tante in cui il liquido è fermo e que11o nel quwe il dislivello fra ·1 m . _u !t.. erus�aU .:: pan a �� 1 m. •

•

27t -t*

t

t*

(1)

DEl FLUIDI LICA E MECCANICA PROBLEr-.11 DI IDRAU

372

·

di ampiezza pan a periodo delle oscillazioni, ·

è

il

� o.

11


373

11.3. Con riferimento allo schema di impianto idroelettrico rappresenta· to in figura, si valuti:

Nel caso in esame:

w= 2,19,4 s-I

a)

t* = 2,86 s

il periodo e l'ampiezza dell'oscillazione nel pozzo piezometrico di area L; = 15 m2 conseguente ad una manovra istantanea di chiusura (o aper· tura) completa;

/

può assumere la forma: b) Nel rubo l'equazione di continuità

b) l'area L;, della sezione del pozzo piezometrico tale da contenere l'am· piezza dell'oscillazione entro il valore di 8 m. Si supponga di poter tra· scurare le perdite di carico in galleria.

�=-2V dt

che� associata aUa:

�=cos(wt) do

D: 2m

l: 1000

m

fornisce la relazione: �sen(wt)

V=

I massimi valori ovvero agH istanti:

di

velocità si verificano quando

t* t=-

(2)

il

dislivello

/!>.

risulta nullo,

l=

Z = Vo

4

risulta:

{Ti\ sen(wt) v -;r:

(1)

con:

v

.... m

. �) Inserendo i valori st otttene:

a) Nelle conclizioni ipotizzare il sistema formato dall'equazione dd moto e da quella di continuità si traduce nella:

2._,.

e

4

Sostituendo nella

(2)

2

:1:2,19 m.

/!>.o� 2 m /!>.1 ,

•

1

m, w=

wt,

2 ' 19

s-1 nell'equazione

(1)

'

•

1

2•cos(wt1)

,, •

s-1

•

La (1) rappresenta un 'oscillazi"?M smusot·dale vello statico con periodo t* e amptezza Z..:

1,047

0,477

s.

t*

•

� 6)

•

2n

f'"fr v g;:

•

che

139 s

si sviluppa intorno al

Ji.

374

E MECCANJCA DEI FLUIDI A IC UL RA ID DJ I PROBLEM

Zm =

± Vo

LA

11

avendo posto:

= 10,3 m

gE

c*

o

ione si ric av a: laz te re en ed ec pr lla da m 8 = Zm e lor va il b) Prefissato

t

=

- = 1425 m p t

E1 =25m2

-

E

=

0,01

'to = =

179 s.

Risultando te

< 'to

21

c

1,43 s

=

(manovra brusca) la sovrapressione è pari a: .1 = pcVo = 5,6

11.4. L'otturatore della condotta in figura si chlude in un tempo te O8 S con variazione �ne are q .a v�Jocità? la C�ndotta è in acciaio COn s essore . r . stante e= 8 mm; il liqwdo m c1rcolaz10ne e acqua (y = 9806 N m- ) con velo· cità media Vo= 5 m s-1 in condizioni di regime permanente. Determinare, tra· scurando le perdite di carico, la sovrapressione massima all'otturatore e nella se· zione M·M posta a L1 = 800 m a monte di esso . =

�

C�·

•

•

106 Pa

La durata della fase di colpo diretto per la sezione M·M risulta: 'tM =

·

2(L-L,) c

= 0,358

S <

�

per cui la sovrapressione massima dp viene valutata con la formula di Michaud: =

-

s-1

•

La durata della fase di colpo diretto per la sezione dell'otturatore è:

In tale situazione il periodo tf risulta: tf = 27t

375

MOTO \IARJO NELLE CORRENTI I N PRESSI ONE

2,5

•

106 Pa.

--

-

-

mma delle 11 .5. Per l'impianto schematizzato in figura costruire il diagra ch e pa�· ale tot a sur chi di are line r no ma una per re, ato tur 'ot ni . sio sovrapres � � � .mdi· . s, 4 te durt ten do dalla masstma apertura con una veloctta Vo= 5 m .s tone M··M. viduare la sovrapressione critica all'otturatore e nella sez .

�

•

----

La celerità della pertu rbazione è deducibile dalla: c

c* - -;=====;;;=--

1+..!_0 E

e

a

1118 m. s-•

=

A DEI FLUIDI IC N CA EC M E CA PROBLEMl DI IDRAUU

376

l a du ra ta della l de e or gi ag m ta ul ris te ra su iu eli ch r Dalla formula di urato e che a l la sezione M-M.

esame. il te� �el caso a ll a s1 o tt ie W l po co i fase d Michaud risulta dunque:

�

MOTO VARIO NEUE CORR ENTI IN PRESSIONE

d) il vo lum e Umax dell'aria contenuta nella cassa d'aria nel cas o che questa sia priva di strozzatura; e) il vo lum e Umax, 1 nel caso di cassa d'aria con strozzatura ottima· f) le perdite di carico � che la strozzatura ottima deve causare· g) la verifica dell'assenza di depressioni in condotta.

o

,

all 'otturatore:

,

Vo'to 2 pc = Apam= te

•

106 Pa

'- t-

yo

- nella sezione M-M: Apmax=

pcVo'tM te

= 5

•

·- -

· -·

- ·

·-

·--.

·--

+------l

lOs Pa

-

-

· --

'-·---�--=��-

-

-

-

l

l l

l

l

l

p

/

l

7 /

'

/

2'to

con:

_.;._--..4•1

11.6. L'im ianto di sollevamento in figura convoglia a reg ime la portata p Q= 0,15 m3 s- ; la condotta di mandata, lunga L= 150 0 m, ha dia me tro D 0,30 m e spessore e= 0,004 m (y 9806 N m-3). . Sono noti inoltre la tensione ammissibile Gam= 60 N rnm-2 del materiale �stttuent� la c ndotta ed il carico statico h. l 00 m misurat o rispetto al centro � di una � one �ediatamente a valle della pompa. lmpWlto pnvo di cas sa d'aria. Det erminare:

c

•

:z

=

•

=

c* --;::::::: ===: : :=- = l 077 m D l+ ex e -

•

Vo

•

a) la variazione di pressione 4p che si verificherebbe ne l caso resto della pompa;

detÌ: necessaria pompa.

..f

a) In assenza di cassa d'aria, il problema del moto vario va trattato come un problema di colpo d ariete. La variazione di pressione è dunque fornita dalla formula:

/

"to to-t.--te

l

l r.

/

pc v

-

l

l

sovr apre ssio ne

o

/

--

l

Si riporta in figu ra l'an dam ento qua litat ivo dell a a1J 'otturatore.

b)

377

•

�

·

_

11

0

meno l'inserzione

=

•

1 s-

4Q 2 = 2 , 12 m· s -l nD

ove cè la celerità de lle perturbazioni nel mezzo (sistem �1liq�do-condotta), c* è la celerità del suo no nel liquido posta pari a 1425 m s , ex il rapporto a mo del materiale codulo di comprimibilità del liquido e modulo .di elasticità 1/100 nel caso di acqua e acCiaiO). . stituente la condotta (ex e pos1t1vo a monte. a mp po lla de lle va a o tiv ga è ne l\p e zial e All'istant ini

di brusco ar

�

•

��are

di una cassa d'aria subito a valle

•

Impianto con cassa d'aria . Si richiede:

.

l cassa d'aria è necessaria qualora: b) l'inserzione dela

c) la pressione Pmu ammiss ibile in condotta; •

1) nella fase eli colpo diretto (4p negativo

a

valle della pompa) si determini-

378

CANICA DEI FLuiDI EC M E A IC UL RA ID PROBLEMI DI

11

-

. . neg ativ e con conselute asso ni ssio pre · · no ulti s rt , O no depressJOru o, � eggl . vena,. l d ra u tt ro J guenti fenomeni d . . . . . della pom pa) s1 venf1chino e vall a • tivo posi (il 1 po o cc ra di cont . P 2) nella .fase . e amrrussl"bil"L m st as m le el qu di i or gi ag m u press10r Nel caso in esame risultando:

MOTO VARJO NELLE CORRENTI lN PRESSI ONE

cr,

noto il quale si può determinare il volume d'aria Us della cassa d'aria in con dizioni statiche:

.

Jlp

Hs = P:

=

_

-

i

i

379

cr

122 m

:

UsHs A=

· · · · 1 a suuaz10ne 1·por1·zzata al punto l) per cui si rende necessaria l'ins erst ven·ftca zione della cassa d'aria.

V2

AL

=

Us=

2

1tD2

0,071 m2

4

Vij

aHs

O, 180 •

-- =

AL

=

= l , 22m3

2g

Sulla parte sinistra del grafico, in corrispondenza all'ascissa ho si legga sulla cur va di parametro a l 'ord in ata Zmin = 0 , 42 , valore relativo al volume d'aria mas simo UmaJC sulla base del quale deve essere dimensionata la cassa d'aria. Dall 'equazion e di stato si h a :

c) Potendosi applicare la formula di Mariotte, si o ttiene :

-

�

d) D problema va risolto con l'im�ieg� dei ��fi ci ad im e n s o �ali sottoripor . rati. Si calcoli anzitutto la massima oscillaz10ne pos1t1va amnusstbile Zmax de] ca rico nella cass,a d'aria rispetto al carico assoluto statico: .

Hmin

UmaJC =

*

Hs = hs

+

Pa

�

max P x Zma = l Zmax

=

-

hs

=

JL

•

Hs

=

O 57 '

Us.l

•

0,0012

ho

L

•

22,8 m

Umax.l

•

H,

0,21

Sul grafico relati vo al . l' esponente n 1 ' 4 e a �assa d' ana senza strozzatura, in corrisponde nza ai va . lon calce:co1at•t di Zm u e ho st legga il . valore del paramet o r •

Z mi n )

+

m

3

-

Vij

AL

=

GIHS

-----

2g

Us, t =

(1

+

= 0,42 m3

Zmio,I)Vo

=

0,67 ml

f) La strozzatura ottima è per definizione quella che prod��e, per � ��locità V o di regtme, una perdita di. carico Ko tale da prov. ocare nell tstante m1z1ale la stessa depressione Zmin che s1 ha al ternu.ne de Ila pruna fas� di moto vario · Si ha ·

dunque:

Ko

Yo •

(l

l ,8

=

=

Ai fini del calcolo della cassa d'aria va nno considerate le condizioni più sfa . vorevoli che sono quelle rela tive a minime perdite di carico in condot e a tra ta sfor�azione adiabatic d�ll ' aria contenuta nella cassa d'aria. Le perd � ite di carico a reg1me Yo vanno qwnd1 cal colate nelle situazioni di tubi nu ovi·' si us i la formula monomia di Contessini: Yo

V:- n----:-:

e) Si proceda come al punto precedente: s� grafie� relativo a cassa d'aria con strozzatura ottima ed all'esponente n = 1,4 s1 legga il valore a1 0,53 e sul la parte di sinistra il valore Zmin,l 0,48. Noti questi valori, si ha:

63 m

=

Z minH s

Us

-

=

Zmax =

110,3 3 m

+

Hs

=

=

Yo

+

IZmial

•

Yo

+

IZmin,JHsl

g) Basta verificare che in ambedue i casi sia: *

Hmln >..E!-

T

•

10,13 m

•

75,8 m

ICA DEl FLUIDI N A C C E M E A C U RAU PR08l.EM1 DI ID

.380

11

. lta: su ri to n a u q in a v ti si o , p TaJe venf.Jca e =

Hs (l

. 1 = Hs(l HDlJO,

+

+

=

=

Z�irJ = 64 m

Zmin,t)

381

11.7. Una condotta costituita da due tronchi in serie di dia metro esterno 0,007 m ed s2 = 0,011 m e lunghezze L1 Dc = 0,3 m, co n spessori St 15 0 m ed L2 = 100 m, co�ega i due serbatoi A e B. All'estremità di valle è inserita una valvola intercettatrice a comando elettromagnetico e con spina a cono. È nota la legge T}(t) 1- t2, valida per te � l s, secondo cui var1a durante J la manovra eli chiusura, il grado eli apertura T} = a/o0 della luce anulare della val vola (c*= 1425 m s-1; t/E= 0,01). Nota la portata Q= 0,040 m3 s-1 ed il coefficiente di efflusso tLo 0,8 della valvola, si richiede:

•

Hmio

MOTO VARIO NELLE CORR ENTI IN PRESSIONE

=

57,4 m.

=

·

•

a) il calco lo della sezione

=

della luce a valvola completamente aperta; b) il calcolo dei parame·tri car-atteristici della condotta equivalente; ao

c) il diagramma di sovrapressione alla valvola.

--

-

:-

-

:--:- - I(;J,-

.

-

-

-

·-·

T �L2J2 -

-

-

l l l l l l l

0 L- � �� --��-� �0� --

--

--

SENZA

--

H0:3Sm

--

STROZZATURA

ho= if" 8

zmu=

Zmax Hs

a) Considerando la valvola co�e una luce a battente, la portata effluente si può valutare come:

(l)

Q. �o..J2gH

dove H è il dislivello fra la quota piezometrica a monte e. a valle della valvola; tre �ueD� a quest'ultima quota può assumersi pari a quella del serbatoJO B, men di di canco monte s1 valuta sottraend o alia quota del rbatoio di monte I a per ta f.uuta dalia �ormula di Contes sim J • 0' 0012 Q2o-s:l6 In prima ap�. J d con e }L i e di canco localiztza e e l'altezza cinetica. t"""""t prossimazione si trascurano le -� Risulta: ·

·

·

·

-0,1

n�1.4 t::: :::�-;-----t--+---4=-..�::]

......

--

CON STROZZATURA OTTIMA

PROBLEMI DJ

382

ICA IDRAULICA E MECCAN

DEl

11

FLUIDI

�10TO VARIO . NELLE CORRENTI IN PRESSIONE

383

·

li di una condotta

a quel in esame equivalgon? b) I parametri della condotta del tron co tmmed�ar.ame �re a mon te diametro pari a _quel lo

sempJice avente un + L,) de1 smgoh tronchi ed ezza L pan alla somma (L, dell'otturatore, una lungh risulti: una celerità c tale che

la quale lega le sovrapressioni e le velocit'3 .0� lla seztone 3 monte dell'otturatore in due istanti omologhi dei ritmi consceuttvl ( n- l ) ed n. Essendo: LlH. =H.-Ho e:

L, L, L -=-+C2 Ct c esse co si può estendere a condotte compl Tale procedimento approssimato nti fra purché i diametri non siano molto differe stituite da più tronchi in serie loro. Risulta:

�;

V

H.+ Hn-•-2Ho =�(V._,_ V.) g

'

o anche posto

c* =;=-= 1200 m· s-1 -;== ==''='==;= c,=_!_ (D,-2 s,) .

la (2) si può scrivere:

� Y2. �n · Ho =

s,

E

(2')

� �-•-2= +

c __(Vn-1-V,.) gHo

(2")

a!J

D a (!), indicando con a. la sezione della luce all'istante generico del rit· dal mo n-estmo e suppo�endo che il coefficiente di efflusso 1-10 sia indipendente grado d1 apertura, SI otuene: L __ c= ---:___: :: = 1228 m L, L2 -+c, Cl

.

�JH;:"= .:!..E_ Vo ao 'JH;;

s-1

e quindi, essendo

I parametri caratteristici della condona equivalente sono quindi:

� = >'in: ao

D= D,-2 s, = 0,278 m L= L, + L, = 250 m c

2

1228 m

c) D diagramma delle sovrapre · nna .di _liquido) può essere costruit � · d: AIIievt. T aie procedimento fo v o della _sovrap...Ssione in t s VI. l: r l az one di partenza è:

1

�

•

5-

Se si pone:

1

(3) · all'otturatore (espresse in metri di co_ nd? rtc?rso alle equazioni concatenate �•verst empi significativi prescelti, il

� f� r all��;;ded 10 que n omologhi dei ritmi successi·

< t

.1H••

_

c

• H·-· +- (V ... ·-·- v\ aJ g

(2)

la (2") si trasforma nella:

ico del primo a partire da un istante gener Per istanti omologhi successivi, della manovra nre che prima dell'inizio ritmo (doè per n • l, 2 . . . ), tenuto prese

ICA DEI FLUIDI N CA EC M E CA Ll U RA JD PROBLEMI DI

384

atenate, valido per nc co i on zi ua eq di a m te sis il - 1 , Sl ottiene l T) ,. .. T) e ,. " - "tt to er te ap en 1 am et p turatore com ot da re ti ar p a ra su u c hi manovre di �

=

=

o

_

·

t;T-1 tj

+

t:f-2

� t;i-2 +

• • • • • • •

••

• •

••

=

=

2K{l-T)t�t) 2K(T)t�t-Tl2�)

12

(4)

2K(T)2�-T)3�)

• • • • • • •

••

• • •

••

• • •

•

• • • • • • • • •

•

I:e correnti a superficie ?bera sono cosl denominate per il fatto che la parte

i ini iali Ho ( * ) e VoJ si Assegnata la rubazione1 e quindi c, e le �ondizion . � � gene�tco Istante �� com pre so po1 elto S zo mez per K tare valu � può . . . + t vt nel primo ritmo e calcolau gli tstantl omologhi det �ttrru �uccesst . (tJ . o! . are t cornspondenu grad t di rrmn dete ono poss si T)(t ), . .. ) nota la legge t1 + . apertura T)t, 1}2 ecc. , La prima delle (4) diviene un equaziOne di secondo grado nell uruca mcognita �1 con radici reali, una positiva e una negativa; solo quella positiv a ha si gnificato fisico e da essa si risale al carico H •· Si sostituisca il valore �J così calcolato nella seconda equazione in l:2 che ha una sola radice positiva di interesse tecnico. Calcolato� si potrà, a mezzo della terza delle (4), calcolare � e cosl via; il sistema è tale che ciascuna delle equazioni che lo costituisce può essere risolta solo quando lo sia stata l'equazione precedente. Determinati i valori di H all'ot turatore negli istanti t 1; t 1 + to; t 1 + ecc. per tracciare il diagram ma delle sovrapressioni con maggior precisione bisogna ripetere il procedimento sceglien do altri opportuni valori t2, t3, t. ecc. ed operare come sopra indicato .

�eli� �3).

2to;

o

•

CORRENTI A SUPERFICIE LIBERA

o

=

•

•

,

•

•

•

·

2 to;

super10r� del lor� c�ntorno e a contatto con un aeriforme (generalmente }'aria atmosfenca) e qumcli presentano una superficie isobarica su cui la pressione rela tiva è uguale a zero. Spesso ci si riconduce ad esaminare correnti lineari, fatto che autorizza a considerare idrostatica la distribuzione delle pressioni e con pendenza del fondo così piccola da poter considerare le sezioni trasversali come verticali. Nelle correnti a superficie libera la condizione di moto uniforme non si ve rifica così spesso come avviene in quelle in pressione ma per esse è più &equente il regjme di moto permanente in cui la linea piezometrica (coincidente con la su perficie libera) si allontana o si avvicina alla linea dei carichi totali a seconda che si abbia una corrente accelerata o ritardata. Pur essendo molto rara nelle correnti a superficie libera la situazione di mo to rigorosamente unifolllle, essa si verifica sovente in via approssimata; per tale condizione vale la relazione di Chèzy:

ovvero: (l) in cui C si può calcolare con le relazioni di Bazin, Kutter e Strickl�r già esamina te in precedenza ed in luog o della cadente J compare la pendenza ' del fond �. La . moto unifor di za altez ata ed port fra oco univ relazione (l) stabilendo un legame me ho, prende anche il nome di scala delle portate. Dallo studio della funzione che rappresenta l'energia specifica E di una cor rente gradualmente variata in una generica sezione in funzione dell'altezza h:

!1_��derata la limitata endrl delle perdire di Cltlc:o �.

•

Ho pub confonclenl con

U

d.Wivello fra i due

si può riconoscer e che esiste un valore k (cosiddetto critico) dell'altezza in corri-

12

PROBLEMJ

.386

DEl DI IDRAULICA E MECCA!"ICA

CORRENTI A SUPERFIC IE LIBERA

.387

•

FLUIDI

ette un va lo re massimo .quando h as�um � il va lore critico; l'altezza la quale amm dunqu.e an ch � .quel va lor e di h per cm st ha il massimo c rit ic a è della portata a . . arità d i energta s p ec iftc a . . P Con siderato u n alveo c ili n dr1 co m cu J transiti una portata Q in cond izioni a s d ri � t e t m e �minat a l ��ez.za d'acqu� h che in esso si instau dj moto un ifo r e, ? , m de or ag e ll g a alt ezza cnuca, � alveo s1 �ce a debole pendenza ; ra. Se ho risul� (la corrente umforme e una corrente lenta); �e mve:e ho nsulta minore di k, l'al veo si dic e a for�e pendenza (la corre�t� u�f�rme e una corrente veloce). La si tuazione di confme fra le due ora deflrute e l al veo con pendenza critica, in cui la corrente uniforme è quella corrispondente allo stato critico. .

. . o, ovvero il �o t o im in m re o al v n u a h . tftca er�t a s � e l' e al u � q l tone e d tz e con� al T a. at rt spondenza po i d tà ri pa nergta a l go e tm o im in m p� alore di h per v il r pe avviene con il ca fi ri ve si ·e te r a corren e p co u cn to a st ta a in m viene deno cui risulta: •

.

�

�

t

.

A3

--

B

=ex

Q

'

2

g

dove:

L'esame dell'equazione differenziale del profilo di una corrente gradual mente varia ta i n moto perm anen te con portata costante permette di individuare . moto permanente che si d i possono profili verìficare j possibili

u ida q li e n o zi se lla e d ea ar ]' è A

. zlOne se lia de à it m m so la al za ez h rg B è la la ic a data da: it cr tà ci lo ve te en nd po is rr co la mentre o

.

.

.

Alvei a debole pendenza:

g A -

Ve=

ex B

-

-

N� caso in cui la sezione sia rettangolare e quindi A

=

-

Bh risulta:

3 exq

-

----- -=--

--

-

-

-

-

g - h> ho> k: si tende asin toticamente al moto unifor�e verso I"?on e e ver so val le ad un asintoto orizzontale; la corrente e lenta e rttar ata (profilo D l); verso valle all e nte mo so ver e rm ifo un to mo al de ten si h h k: > > - o a (p to critico co n tangente verticale; la corrente è lenta accelerat

�

•

Ec:

=

3

Emin

=

-

2

�f��

k

dove:

D2); . erso il fondo verso v e e all v o rs ve o ttc cn o at ho> k> h: si tende allo st monte; la co rre nt e è veloce e ritardata (profilo 03>· .

_

q=

Q B

Alvei a forte pendenza: -----

è la portata per unità di larghezza. Sulla base di quanto finora detto si possono definire come correnti veloci quelle con altezza minore di quella critica (e conseguentement veloci maggi tà e o re di Ve) e correnti lente quelle con altezza maggior e (V< Ve). Pensando invece che sia prefissato per una sezion trasve e rsale il valore

--

-

--

-

- - -..�

dell'energia specifica E, l'espressione della funzio ne che esprime la portata in funzione dell'altezz-a è:

Q •A

-

l -

-

-

--

1:"-..

-,� t:, ::.: --

--

�

-

-

:::: :=: ::� ......

0... <" .. l:t.i

-

T

ho

....l ..

k (E-h) Clt

•

k

DEl FLUID � ICA MECCAN E CA PROBLEMJ DJ JDRAUU

388 _

_

_

12 -

e a d un a si n to to oriz te n o m so er v o ic it cr �tato lo al e d n te si ho > k > h ata (profilo Fl); d r a it r e ta n le è te n e Ja corr zontale verso valle; e v er so valle al moto te n o m so er v q ic it cr o at st k >h >ho si tende allo rofilo F2); (p ta ra le e c c a d e e c lo e v è uniforme; la corrente iforme verso val un o ot m al e te on m o rs ve k >ho >h si tende al fondo ). 3 F lo fi ro (p ta a rd ta ri e e loc le; la corrente è ve

CORRENTI A SUPE RFICIE LIBERA

(seguito}

Natura deUc: pareti

di un a corrente lenta in o ic it cr o at st lo so er av tr at n passaggio che avviene diverse: n el primo caso in à it al od m n co e en vi av a rs ve una corrente veloce e vice tipo F2 av vi en e in m od o gra l de o un in 2 D po ti ilo of pr fatti l'evoluzione eli un uno ti po Fl 3 ad o D tip ilo of pr un da o gi ag ss pa il duale, mentre nel secondo caso ssono calcolar e e po si at ug ni co e zz te al i cu le to al ris implica la formazione di un o dinamico. ri lib ui eq di e al ob gl ne io az qu l'e o applicand iciente k della formula eff l co de i lor va i o an ort rip si e nt ue seg Nella tabella rel az ion e alle caratteriin era lib cie rfi pe su a ti ren cor le r pe ler ck tri di Gauckler-S stiche delle pareti. .

Canalìzzazioni in materia/; naturali in terra a tracciato regolare in terra sinuosi e lenti senza vegetazione � n terr � sinuosi e lenti con folta vegetazione tn roccta a forma regolare in roccia a forma irregolare in terra non curati e con folta vegetazione

33-6.3 33-43 25·B 25·40 20-29 8·20

Corsi d'acq:111 ttaturali . d'acqua puliti diritti e sen"a . piccoli corsi. di' pianura, '""" nstagru . . . ' . . �li co�st d1 ptanura puliu, smuosi con stagni e secche ptcc tratt� l ent1 con er b acce e stagni profondi . stagni profondi notevolmente tratti molto erbost, o stac�1au· da al� � acchie r_n i ftL :aja, ciottoli e poch masst. 1 au nptdt fiumi di montagna, con fondo in tyu fIUml d'l montagna con f ondo in ciottoli e grossi massi, lati ri idi

30·40 22-30 13-20 7·13 20·33 14·25

Golene con erba aree coltivate con sottobosco con molti alberi

20.40 20·50 14·29 8-13

Gr�ndi fiumi (larghezza in superficie maggiore di 30 m) seztone regolare senza mass.i o vegetazione sezione irregolare

17·40 10-29

�

.

TABELLA 12.1 VALORJ DEL COEFFICIENTE DI SCABREZZA DI STRICKLER PER CORRENTI A SUPERFICIE LIBERA

Natura delle pareti Tubazioni in ottone liscio in acciaio, saldati in acciaio, chiodati in ghisa, rivestiti in ghisa, non rivestiti in ferro grezzo i n ferro zincato � lucite (perspcx) m vetro in cemento lisciato in malta di cemento calcestruzzo finiro

PROBLEMI lih12.1. Si deve convogliare una portata Q= 20 m3 5-1 in un canale 8 pe· o ero co� pendenza del fondo i 0,0008. termma;e la profondità e la vdocità media di moto uniforme per le se guenti 1orme di canale: 1

77-111 71-100 59-77 71-100 63-91 67-83 59-77 100-125 77-111 77-100 67-91 71-91 63-83 59-91

cakestruzzo non finito di fognatw"a vetrificate in

•

a)

asfalto con fondo m

ghiaioso e

i lat " In •

ou L:estruzzo

canale rettangolare rivestito in b 5 m;

calcestruzzo

=

b) canale trapezio scavato in terra de 2:3, larghezza della base b

40 m113 3,50 m;

(k

=

=

•

(k

=

70 m113

•

•

s-1) largo

s-1), pendenza delle spon

70 m113 c) canale trapezio rivestito in cal ec struzzO {k delle sponde l: l, larghezza della base b 2,50 m.

•

s-1), pendenza

=

·

:i

=

J?�

Gm41iwlion l i .. � ,.,,,etali . .

� �te, sezione regolare � 'e• sezione irregolare � . �tnaao su sc av i in roccia � ptetruco cementato � muratw"a 1 secco

389

4)-63 40-56 45-59 33-59 29-4) 63·77 40-59

•

•

(llptl

t-

b

•l

t�•

-f

t--b--.f

MECCANICA DEl FLUIDI E ICA PROBLEMI Dl IDRAUL

390

12

•

CORRENTI A SUPERFICiE LIBERA

niforme si usi la for u to o m i d a zz e lt a d e tà media ci lo e v re a in rm te e d a) Per mula di Chèzy:

391

1,5 115 + 3,5h0 3,6ho + 3,5 S ostituendo si ottiene:

dove: /6 1

v

=

1,13 (1,5h5 + 3,5ho)

bho

2ho + b

..;;.,_ _ _

A

4

ho

=

A

5ho

2ho + 5

__ _ _:;, _

2ho + 5

= 2,09 m

(7 + 3ho)ho 2

a:

2

= 2,5ho +bA

t,98(2,5ho + 113>

13 + hà:._ o __ 2,5h;._ _ 2 -20 =o _;: =-__; 2,83 ho + 2,5

__ _

velocità: che risolta fornisce il valore ho = 2,05 m cui corrisponde la

V = 2,14 m

•

s-•.

o

•

l canale in fi. ne ta lia og nv co e m or if un o ot m di 12.2. Calcolare la portata lena go in tà di on of pr la e 09 00 0, gura essendo la pendenza del fondo i

s-1

.

•

s-1

si arriva all'equazione:

b) Anche in questo caso si usi la form . . ula di Chèzy, tn cw.

2 11 9 2 , + 2 p= ..,, �2 + 4 �

(5 + 2ho)ho

A=

Seguendo il secondo procedimento si verifica che per ho = l, 91 m la prece. dente relazione risulta soddisfatta ' per cu1..

5ho

•

p= 2
21 3

Si può gi�ng �re alla soluzione attraverso la costruzione della scala delle por· tate e succ �sslva �terpolazione del valere cercato, oppure con la risoluzione nu _ dell equaZione per tentativi. mertca

__

m

c) Essendo:

�12-1,15ho-2,87 =O

V= 1•98

� = 1,35

V=

Si ottiene:

213

-20 =o

Per questo valore di ho risulta:

'---'

2 1 3 21 CR k 2 1 1/ 2 11 i = C
= 1,98

213

che risolta per tentativi, fornisce ho = 2,19 m.

da cui:

Q

3,6ho + 3,5

__

Q

=

l ,5hij + 3,5ho

h= 2,50

•

m.

3,5 + 3,6ho

3,5ho + 1,5�

l

�------120m--------��

•

CCANICA DEI FLUIDI PROBLEM.I Dl IDRAULICA E ME

392

di scabrezza diversi per i tratti ABCD e ti icien coeff e u d ta en es pr a1 e n can 1v1"dere la portata d e fluen te Q nei d" sud o ssari nece , e nte e m te DEF Conseguen one A1 (ABCDD') e A 2 (D'D EF). zi se lla da ti lia og nv Q co Q e "b 2 uu 1 due con trt Per la prima risulta: 2 143,13 m A1 ·

·

CC?RRENTI A SUPERFI CIE LIBERA

12

-

Fino all'altezza h =AB la scala delle portate della cunetta è direttamente fornita dalla: -

.

·

Q=AC�

•

•

=

P1

=

in cui i vari termini valgono:

A(h)=

29,68 m

da cui:

e:

A (h)

=

P(h)

A2 = 303,13 m2

da cui:

123,54 m

=

=

h10h=5h2

=

=

60

Qu and o h sup era AB il calcolo della portata va eseguito esprimendo la res i stenza com e som ma dei contributi dovuti alle diverse parti del contorno P1 e P2 k cara tter izza te dai coef ficie nti di scabrezza ka e 2; si perviene così all'espressione:

o

P2

�

5 h2 :; 2==1=o=::;=� 2 h r. v -=h_+_ o + h

c= k
Per la seconda:

393

2,45 m

I coefficienti C 1 e C2 vanno calcolati mediante gli indici di scabrezza delle diverse parti del contorno ed il raggio idraulico de ll'in �era s�io�e! si �rviene in _ tal modo alla velocità media corrispondente aJ. diversi gradi di nemp1 mento.

e:

In definitiva:

12.4. Tracciare per un canale a sezione rettangolare di larghezza b = 4 9806 N m-3), le curve adimensionali: m e per la portata Q � 15 m3 s-1 (y =

•

E

12.3. La cunetta late di rale di una st . r a d a h a la r.10rma e ]e dirnens1oru m cate in fi a· la d o è 1= � � della 0,03. Tracciare la scala delle portate tt

CU:

·

(yP.:�s��l��

-

·

-

k

·

= ft

•

h k

-

o

L'energia E della corrente è esprimibile come: -

-

-

-

-

-

•

mentre l'altezza critica k vale: B

•

1,13 m

12

E MECCANICA DEI FLUIDI A IC UL RA ID I D I EM PROBL

.394

i f1 ri lo i d va i at rt po ri no so ti en gu se N ella tabella e nella figura

E k

0,25 0,50 0,75 1,00 1,25 1,50 2,00 2,50

9,27 2,81 1,8.5

3,00 4,00

e la

6

d) canale triangolare con scarpa delle sponde 1 : 1.

c) canale circolare con diametro D = 5 m;

•

2

-.

0�----�----+-----�----� o 1 2 3

In maniera del tutto analoga si può calcolare e tracciare la curva f2 avendo la spinta dinamica l'espressione:

4

h/k

k ,

a) canale rettangolare:

b) canale tra�zio:

c) canale cir colar e :

s

fk'b

0,25 0.50 0,75 1,00 1,25 1,50 2,00 3,00 4,00

fornisce, risolta in generale per tentativi, l'altezza h a cui corrisponde l'energia specifica E. Poiché risulta:

h

2 l 2 Q s =-rh h+ p �- . 2 bh

s

Per ogni portata Q l, espressione:

(l)

•

h k

5 m;

8

'

2,40 2,91 },45 4,56

=

b) canale trapezio con scarpa delle sponde l : l ,5 e larghezza alla base b = 3 m;

1,69 1,77 1,94

·

=

a) canale rettangolare di larghezza b

o

-

rva h = h(Q) per i seguenti canali car 12.5. Tracciare la cu attenzzan dal . . .f. 4 m deli, energia spec1 1ca: valore E ·

l l•

fica. loro rappresentazione gra h k

h k

395

CORRENTI A SUPERFICIE LI BERA

l l

a

A= h h+

A=

2

h

3

cxo7tr2 180

- -

cx0 =

are

A

1 h2h 2

cos

(r

-

,...--....2.. h) 2rh - h

.J

r-h --

r

#b 4,01 2,11 1,61 1,49 1,58 1,79 2,50 4,83 8,25

d) canale triangolare:

•

'

l

=

11:

ni di A Sostituendo nella (l} le varie espressio spandenti valori di:

2

h2

•

A(h)

•

SI

ncavano •

•

•

1 com-

•

0oo----r--T--�--P-� 3

h/k

che vengono riportati nella tabella seguente

.

UIDI l PROBLEMJ DI IDRAULICA E MECCANICA DE FL

.396 s-1) 3 [m Q

o

•

h[m) o 0,25 0,50 0,75 1,00 1,25 1,50 l,75 2,00 2,25 2,.50 2,75 3,00 3,25 3,50 3,75 :3,,85 3,9:5 4

o 10,72 20,72 29,94 38,,36 45,91 52,5.3 58,14 62,64 65,92 67,81 68,09 66,44 62,.34 54,81 41,53 33,02 19,56 o

•

o 2,83 8,15 14.55 21,40 28,20 34,57 40,53 45,81 50,15 53,:26 54,64 54,38 51,75 45,90 34,98 27,78 16,46 o

o 6, 79 13,81 20,96 28,13 35,20 42,02 48,45 54,29 59,33 6.:3,29 65,82 66,44 64,41 58,47 45,68 36,77 22,04 o

•

CORRENTI

12

A

SUPERFICIE LlBERA

397

l' area della luce in modo che la portata Q 0 700 3 s-1 � ' f f l u ' e ef n t e m ne a n l ale e lui a ll sc fe a m atmo c n onte in condizi�ni dt' S ra d moto uru f orme. =

._., o 0,54 2,0 7 4, 49 7,67 11,48 15 ,7 6 2 0 ,3 5 25 ,0 6 29 ,6 6 33,31 3 7 ,4 5 39,87 40,52 38 ,3 7 31,14 25,4.3 15 ,4 5 o

·

n

t·-.-�-p

l

La profondità di moto uniforme ho della corrente viduata a mezzo della formula di Chèzy:

di portata Q ' viene ìndi-

Q= ACJéru

,

dove: In �igur11 sona riportate le rurve h

=

h (Q, E) per le sit ua zio ni indi€ate.

bho (H=- �h+ 2�

h c· m·> E:ta:4

-

t-��C=

.Jm m+ .[m 100

Poiché è impassibile esplicitare in questa farmula la profondità ho, per il su0 calcalo occ0rr.e procedere pe! tentativi, oppure per via grafica attraverso il traceiamento della seala delle portate Q Q (ho) che si ottiene dalla predetta fermula calcolando per diversi valori di ho i corrispondenti valori della portata. Procedendo in tal mode si ottiene:

2

==

1

o o-- ;20� � ---& ---,� o o o. ml••-1 --

--

�

•

: :

aÙ•':J"

A [m2]

c s-•) (m•'a

C.JGfi (m s-1)

Qs·•] (m3

0,10 0,30 0,60 0,80 0.90 1.00 1.01 1,0 5

0,060 0.180 Q,J60 0,480 0,540 0,600 0,6'06 0,630

0,075 0,150 0,200 0.218 0,225 0,2)1 0,211 0,2))

64,61 72,08 74,88 75,69 75,97 76 21 76,2) 76,)1

0,560 1),88} 1,059 1,118 1,140 1,158 1,159 1.166

0,034 0,159 0,}81 O,S37 0,61' 0,69' 0,70} 0.734

•

•

•

--

Un canale a sez1o ne rett�o1are di za del tIondo i 1arghezza b = 0,60 m, pend 0 , 0 0 1 e c: en· oefficiente di sca ch.iuso alla sua est . b r ezza di Kutter m = O renlità di ali d 15 ml/2 � una luce a spigolG p a r e verticale nella vivo con c nt o quale � praticata tezza 0,30 m su l fondo, De terminar e 12.6.

ho [mJ

;

•

•

,

1-

J

CANICA DEI FLUIDI EC M E CA Ll U RA PROBLEMI Dl ID

398

Nota la profondita dalla rel azione: .

,

ho

il carico h sul la luce l' Ol rri è individuato anche

_ -

12

-

h= ho-P= 0,71 m


399

•

L'intera sezion e bagnata vi en e divisa in due zone: una di area M N P RS T rem ag cu a co ra eli i m pe ve te o il al coefficiente di scabrezza . a l'al laov m1, l'altra co. • 1·ta dalla restante zo na gol ena le con coeff 1c1·ente eli scahrezza m2 sutu ·

. teorema di Bern oulli fra un punto della corrente del canaApplicando o�a il ale ove no n si se nt e ancora te rm in ar et e ll d a e te on m p a e On Ie neUa prt·ma sezi e ·contratta, SI. ha: ion sez lla de . tro en nc b il a d e e, l uc lia l'influenza de

�

m ot o uniforme vi en e calc l ta come La portata somma delle portate del ?� le due zone considerate separatamente, e c1oe:

.

ho+

v�

vz

=P+--

2g

essendo:

2g

•

dove:

QV = -� Bho o

vc =

dove:

A1 = h(b +

Q :::..__

__

h=

Q

2g

CcAL

P1

l

2 C cA d (

+

a(b +

na)

= 32,50 m2

_

essendo Cc = 0,61 il coefficiente di contrazione della luce e quindi: 2

2na)

l

AL

h+

2a �l + n2 = 12,40 m

la sua area; si ha

=

2,621 m

100� 1 /2 m 48,05 = c.= m•+ �

2

) (bho

-

=

da cui si ricava:

Q2

=

21 A2C2 .JmJ

3

=

20,557 m

•

•

-• s

-1 s

dove:

12.7. L'alveo eli un corso d'acqua co n golene UÒ essere schematizzato come in figura Siano m1 l, 75 m1 1: e m2 = 2,50 m1 J i coefficienti di scab . rez za rispettivamente dell'alveo di m agra e delle golene. Determinare la port ata di moto uniforme corrispondente ad una profondità d'acqua h = l 25 m in go le na , essendo i 0,0005 la peden ' za del fondo. =

pl

=

LI + Li+

2h.Jl

+

n

2

•

=

•

N n:o.e

.�-'---· �

T

p

h

a:2,S m e in

definitiva: Q

•

77 ,09'J m

J

-1

• s

•

25,20 m

•

12

CANICA DEl FLUIDI EC M E CA UU RA ID l PROBLEMJ D

400

CORRENTI A SU PERFICIE LIBER A

401

•

interamente rivestito co n laio ez ap tr le na ca un re a z z· ali re .12·8· s·1 deve 112 il ,3 5 o, m 0 l nd fo de za m en 5 nd pe la 0,001 . stre l� calcest�uzz0 . Essendo i gltare a canale pieconvo da a portat 5-J la . rn3 8 Q b a, zz :re a sc l .. coeffictente d 1 a l arg.hezza m cunetta b e l. a re una ern det e nd spo le ' del rpa sca . no ed n O 6 la .e a a r pe rum l t· su 1c1 nu ere d ren d el da do mo in ale can 1 e d 'H ta di ·f on o pr rivestimento.

Si ottiene:

=

H= 1,42 m

=

•

-

_

.

h= 1,61 m

=

,

Q�a�ora, c�m � � norma ne lla p:atica, al �anal si assegni un cert o franco f, � . la condizione di m1rumo penmetro e ancora tdenhca e perciò si ha: •

'

l

'

'

H

'

'

l

'

'

l

l

l

--l

•

......

b

le

,

l

H

e di conseguenza:

l

A= 2H(H

f)(Nl

+

+

oz-n)

�·nH-!

•

P= 2(2H

+

fJYl

Affinché sia minima la su�rficie del rivestimento, deve essere minimo il contomo bagnato e cioè la sezione deve essere di minima resistenza. Per sezieni trapezie cen sponde dì pari scarpa n, Ja minima Fesjstenz� si verifica quand0 sia ìl fondt> che le due sponde sono tangenti àl semicerchio di raggio pari alla pro· fondità H; in tale siruazione si ha:

+

n�

-

+

2 (H

mH2

+

On

•

In modo del tutto at1alog0 a quanto sopra visto .si ottiene per f

e quindi:

H

R=

� �ce�do . queste

_ �r Qtentat'tvt. .

H

[m) 1,00 1.20 1,40 1,44 1,42

I, 51

H 2

b

A

[m]

[m]

� [m ]

1,00 1,20 1,30 1,35 1,32 1,33

1,472 1,699 1,812 1,868 1,8:34 1,846

2,072 2,902 3 3:69 3,616 3,467 3,516

espr-�ssioni nell'equa�ione à el m o to u n if or m e , etttene un equaztone nell"un ica incognita H' che va risolta per

p

[m]

(m]

3,804 4,498 4,844 5,017 4,913 4,948

0,545 0,645 0,695 0,721 0,706 0,711

c

[ml'l

•

5-11

67,83 69,65 70,44 70,81 70,59 70,66

c�

(m

•

s-1)

=

0,,0 m:

Q [m3 s-1) •

4,018 6,287 7,662 8,420 7,964 8,111

1,939 2,166 2,274 2,329 2,297 2,307

•

e in definitiva: A

[m2] l.7.32 2,49S 3,)95 3,592 ),493

(R

(m) 0,50 0,60 0,70 0,72 0,71

c

(m'Il

•

H= 1,32 m s-'l

66,89 68,87 70,50 70,79 70,65

c"'
(m

•

s-1]

1,8J2 2,066 2,2U 2,327 2,306

[m3

Q •

b

s-1]

3,173 5,15' 7,7,6 8,),7 8,054

m

3

=

1,83 m.

. . rtata Q 9 po di e , n t rre o c 12.9. Determinare l altezza cnttca di ��. base b 2 50 m e alla s-t defluente in un canale trapezio con mts��ezza =

•

scarpa delle sponde l : l .

=

�

ANICA DEl FLUTDI CC E M E A C LI U RA ID I PROBL.EM1 D

402

CORRENTI A SUPERF ICIE LlBERA

12

403

•

Sia l'area A. ch. e la larghezza in sup e rficie B sono funzior·u d'l h seconeo .J 1e toru: espress enti segu .

k

l

180

�

• a L'altezza cn•tic

D 2

�01t

e ete rnu·na st• .J

2

-

2

-h

2

D 2

h-h2

dalla condizione: B

B

l

=

2,5

+

2

=

2

D 2

h-h2

vaiutando A e B per diversi v:alori h di tentativo, si perviene alla �oluzione richie sta quando il tirante d'acqua sòddisfa la prima relazione sopra scritta.

dove si pone: a=

D

2k

o

Risulta:

Sostituende si ottiene:

k

eh-e risolra per tentativi fo�nisce: k

=

=

1,02 m.

12 .11. Tracciare la sc-ala delle portate crhiche in funzione della profon dità per le seguenti s ezioni:

0,96 m.

12.lò� 9eterminare l'altezza critica di una conente di portata Q 4,5 m3 s-1 defluente un un canale di sezione cireolare di diametro D 2 m. =

•

=

- se.zione rettangolare eon largh�za h

=

5 m;

- sezione tt:apezia con -scarpa delle sponde 2 : 3 e larg}lezza alla base h m· ' - sezieJile drcolare can diametro D

=

=

3

5 m;

- sezione triangolare con scarpa delle sponde l : l. re la va ca ri ile ib ss po è ite ed eh en b' pro 11ema preo !}alla relaztene gtà utilizzata .. porta�a criti�a Qc in funzione di h (scala dell e portate cnu e) . •

•

•

•

•

_1 Rt:J

.

o --�-1

�'altezza eritica coincide

relazu!>ne:

gA(h) B(h)

con l'altezza d'acqua p er cu i vi en e soddisfatta la

(si � posto

ex

•

l)

, per le se, Jatl QU.W (h) Oc Q al ri a Nel l a tabel o a l e g u s ente so!l �� nt ':\."0 .· ��il problema 12.S): . . �oru proposte (per le espresstom di A A "'11 51 ___

.

•

•

•

•

·

_ _

•

•

12

CANICA DEI FLUIDI EC M E A lC UL RA [D PROBLE� U DI

.

404 OtCm3 • s-•J hfmJ

•

-

a: da cui risult

o

-

0,4 7 1,87 4 16 7,32 11,.32 l6,1) 21,74 28,11 35,23 43,09 51.69 61,05

0,07 0,3.9 1, 08 2,21 .3,87 6, 10 8,9 7 12 ,53 16 ,8 2 21 ,8 9 27,7 7 .34,52

.

1,21 ),52 6,66 10,56 15,21 20,59 26., 70 33,57 4J ,20 49,60 58,78 68,77

1,96 .5,.34 10,17 15,66 21,89 28,77 36,25 44,29 52,85 61,90 71,42 81,37

0,25 0,50 0,75

1,00

1,25 t,JO l, 7.5. 2,00 2,25 2,50 2,75 3,00

CORRENTI A SUPE RFrCIE Ll'BERA

•

Ìn un alveo a sezione rettangolare di larghezza Ò 2 m, coeffi 12 b2 se br.ezza m= 0,1.5.m112 e pendenza del fondo i= 0,001 defluisce una ciente portata Q= 6 m.l s-1• Stabilite se l'�eo è a debole o a forte pendenza. =

di �

·

ho= 1,47 m Per la stessa po rt at a Q l'altezza critica k è data dalla relazio ne: 3

Q2 g b2

=

0,97 m

e quindi r alv�o è a deb ole pendenza: Si ricordi ch e un� stesso alv eo nsulra essere a debole seconda della por tata m esso defluente.

.o

a forte penden2a a

12 .13. In u n alv eo

•

-h

r_. l

b ----.-t� L>icesi alveo a debole o a forte P-endenza quello in cui la corrente di moto uaiform� è un corrente rispet�v ment lenta � o veloce e cioè quello in cu i la � � . pr��ondità ho � moto uruforme e nsp,etttv-ame nte maggiore o minore dell'altezza ertttca �· Traccia a l scala delle portate per l'alveo in esame, sulla base della for t_' � mula di Chèzy, S1 rteava la profondità ho di moto uniforme corrispondente alla portata assegnata Q:

bo [m)

A

1,00 1,20

.:

·.

.

c

[m�

[m]

[m'n s-•]

2,000

0,500

82 4 9 83,11 83,36 83,58 83,77 83,70

2,400 2,600

1,)0 1,40

1,50 1,46 1,47

2,800 3,()()() ..2,920

•

,

0,54' 0.565 0,58J

•

2,940

'

0,600 . . 0:,59) 0 ,595 •

;

.

83,72

C v'Gli

Q

lm·s-1]

[m3 ·s-1]

1,845 1,941 1 982

3,�89

,

2, 01 9 2,0,2 2,038 2,042

4,659

5,153 5,6,3 6,156

5,952 6, 004

l .,

Si traccd, sulla base della formula di Chèzy, la scala delle portare dell'alveo . e su�eessiva ment e la scala delle altezze eritiche sulla base della rdaztone: •

-

�ssendo A l'area della sezione bagnata, funzione nota della profondità h

e:

dA Bdh à h. it d n fo ro p a l d d e n io 2 1a larghezz-a della sezione in superf1c1e, pu m �a furdin !l indmche Q* e h* a Le due curv e si inco ntra no m 1:l1l punto di 000 uniformoto di � tà fon pro dua due zone: l'una nel la qu�e per una data rne è maggior e della corrispondente altezza cnt1C4 (la corren e d i moto uniforme aie verifica il è lenta e quindi l'alveo è a debole pendenza); Ja -te risulta� contrari0 e quindi l, alveo è a forte pendenza. Lli � .

·

9. LI

�

j is s�� aen::

12

NICA DEI FLUIDI CA EC M E CA LI U RA ID I PROBLEMl D

406

ho [m)

A] [ ml

cR [m)

1,00 1,50 1,80 2,00 2,05 2,03

4,000 6,750 8,640 10,000 10,353 10,211

0,686 0,932 1,068 1,155 1,177 1,168

60,09 63,70 65,26 66,14 66,35 66,27

•

407

Si riporta il grafico delle due curve ora individuate.

'

c [m1/2 s-11

CORRENTi A S U P E RFICIE LIBERA

C.JéRi [m·s-1)

Q -1 [m3 s ]

2,727 3,369 3,694 3,894 3,942 3,923

10,908 22 ,7 38 31,915 38,941 40,814 40,058

h0.tt

[m)

•

o

•

2 DEBOLE PENDENZA

----

FORTE PENDENZA

•

da cui si ha:

ho= 2,03

20

m

lO

Si noti che le due curve si incontrano per: h= h*= 1,05

n tracciamento della scala delle altezze critiche Q = Q(k) con: o

40

Q

[ml/s]

m

Q = Q* = 12 m3 s-1 •

Q=

g

A Se ho< h* l'alv eo è a debole pendenza, se invece ho> h* l'alveo è a fone pendenza.

B

A= kb + nk2 12 .14. Un canale retta ngolare rivestito in calcestruzzo (k 75 1 m11 3 s- ) , largo h = 5 m e con pendenza del fondo i= 0,01 deriva da un ampio bacino con acqua in quiete a mezzo eli un imbocco ben raccordato per il qu ale le

B=h+2nk

=

•

fornisce i seguenti risultati:

perdite sono trascurabili. Determinare la portata del canale ed il profilo di moto permanente della corren te quando il li vello nel bacino è alla quota H = 5 m sop ra la soglia dell'im· bocco e ritenendo il canale molto lungo.

k [m)

A [m2j

B [m )

Q 1) [ m3·s-

1,00 1,50 1,80 2,00 2,05 2,10 2,07 2,08

4,000 6,750 8,640 10,000 10,)5) 10,710 10,495 10,566

5,000 6,000 6,600 7,000 7,100 7,200 7,140 7,160

11,206 22,424 30,962 )7,436 39,157 40,912 39,851 40,202

--

H

•

·� .

't

da cui:

k e quindi l'alve o �

a

•

forte pendenza.

2,07 m

-

12 CORRENTI A SUPERFICI E LIBERA

FLUIDI ULICA E to.IECCANICt\ DEI PROBLEMI DI iDRA

408

te lenta n:enrre a '_'alle deUa corre�te è sicuramen All'ingresso dei canale la il passaggro_ da cor. l alveo a forre pendenza; ndo esse oce vel a so lia è certamente ne m corçspondenza deU a soglt ove s 1 mstauavvie e veloc nte re te Jenta 3 corre o. critic ra Jo stato

�

relazione che defini sce il citrico totale rispetto al La portata si ricava dalla fondo:

H=h+

Q'

--

2gA 2

h= k=

dell'eq

manente con

finite:

metodo delle differenze

dove, dette i e i + l due sezioni successive distanziar Il5' H- e H;. '• sono'. ca· richi relativi alle due sezioni riferiti al fondo e J la c dente va ' lutata con le rela· zioni de l moto uniforme in base a grandezze edie 11 profilo della corrente è qualitativamente seg ato in figura.

:

Essendo nella sezione con altezza critica:

409

are l'andamento dei pr ofilo si puo · , p ocedere all'integr Per determin azione ll uazion e differenzi ale del moto per

:

�

Un canale rett ��gol��e di larghezza b= 4 m e coefficiente di sca· . . 1 • s brezza dt Stnckler k .= 70. m . ha pendenza del fondo i = 0,0008 inferiore . alla cnnca. �s so denva da un ampto bacmo con acqua in quiete a mezzo di un manufatto d tmbocco accordato �on perdite di carico trascurabili. Supposto �

12.�5

2-H =3' 33m 3

?"�

. il canale di lunghe�za tnfmtta, determmare la portata in esso defluente quando il livello nel bacmo e alla quota H = 3, 50 m sopra la soglia d'imbocco.

si ha:

Q= bk� = 95,3 m3

•

s-t

Si d�ve ora determinare l'altezza di moto uniforme profilo di moro permanente.

ho per poter tracciare il H

con:

ho(1148

•

ho

5 + 2ho

Risolvendo

per

)2/3

•

95,3

tentativi si ottiene:

(l)

ho= 2,265 m

� profilo della corrente

.

veloce è fl nzato m :; ame, partendo con l'alt k � stato d�� condizioni a monte e nel :O· ezza crltJco e tangente verticale in rnspo d enza della

è Nel canale derivato re a debole pendenza la corrente di moto uniforme lenta e perciò non risente delle perturbazioni di monte; in esso si verifica �uindi la ha st co il moto uniforme. In particolare in corrispondenza alla soglia d'imboc profondità ho legata alla portata Q dalla equazione di Chèzy:

•

• soaJia, tende 85m toucamente

all'altezza di moto uniform e.

a vale H, aven· · D'altra parte l'energia specifica rispetto al fondo� � nsultare: _ do nte nuto trascurabili le perdite d'imbocco; deve perClb

(2)

lCA DEI FLUIDI N A C C E M E A C LI PROBLEMI DI IDRAU

410

12

CORRENTI A SUPE R.FlCIE UBERA

411

•

essere contemporaneamente no vo de co oc mb d'i gli·a · ru st· rt avano ho e Q Nella sezione della so to az u e eq u d le el d � sistema do n ce fa ). (2 ' . a l e ) (l soddisfatte la che esprunono la (l) e e rv cu le o nd ia · cc tra ica af gr r VI_a (si può anche procedere pe . eli Q e di ho) ri al o v 1 ce us . crOCIO deftr in i d to n u p ro lo il ): (2 la U sistema risulta:

Detta x la distanza della generica sezione del raccordo da que a .uuziale ' la �n . sua Iarghez.za val e:

·.

·

·

·

.

•

•

•

•

La pr of on d ità h de lla corrente nella generica seztone si deduce dalla relazione: da cui si ottiene: l

4/3

4 ho

2ho + 4

-5

·

(3,5-ho) = O

1

che va risolta per tentativi. U profilo può assumere due diversi andamenti: profondità crescente nel senso del moto se la corrente nella sezione terminale è veloce oppure profondità decrescente nel senso del moto se la corrente è inizialmente lenta. Per individua re l'una o l'altra eventualità è sufficiente confrontare l'altezza critica nella sezio ne terminale:

che risolta per tentativi fornisce: •

ho= 3,235 m e quindi:

•

Q

=

29,5 m3

•

s-1• con la prof ond ità h2. Se risu lta h2 < k2 la corrente è veloce ed il profilo crescen te; se è h2 > k2 la corr ent e è lenta ed il profilo decrescente. Nella sez ion e intermedia x = 5 m si ha:

12.14. La larghezza di un canale rettangolare viene ridotta da b1 a � a mezzo di un tronco lungo L con pareti piane e fondo orizzontale· nell a sezione i ter�ale del tronco di raccordo la corrente di portata Q 10 m . s-1, ha pro fondita h2 1,80 m. Ame m sse trascurabili le perdite di carico' determinare l'andamento del profilo nel tronco di raccordo. =

=

•

• • Ri sol ve nd o per tentatiVI, s1 otuene: •

l l•

l:Dh

•

h. 2,06 m

l l

-1

Nella sezione iniziale ov e b

Poiclté il fondo è orizzo . ntaie� le � --1 : wte d i c�r1co vengono rit en ut e trascu rabili, lungo il tronco di · raccordo m nane costante il val or e dell'en rispetto al fondo, pari ergia specifica " 8 quc . ne te - uo nella sezto rminale:

•

2,19

•

ba

•

4

m

si ba:

0,319 2

h da cui:

m

-

::

. :

'·.

.. ;_

ba

•

2,1211l

•

e &:4_

12

CA 'ICA D E I FLUIDI C E M E A C U U A R PROBLEMl DI ID

412

tti la co rr e n te è inizial fa ; in to o m el d so n se el n te 11 profilo risulta decrescen mente lenta in quanto: •

k1

·

=

g bi

�

__.:::..

=

0,86 m< ht

413

. da cui si ricava hm; imm ediatamente a m·onte deUa paratota la corrente è in ogni caso lenta. - Alveo a debole pendenza

•

3 Q


(ho> k;

i< 4J

La pro fon dit à hm è maggiore di ho e perci, il p fl della corrente a monte 0 1 t ' � ' della paratoia è co nc av o verso l alto co profon ta ec�escente �erso monte; esso tend e al prof ilo di moto uniforme a monte e ad un asmtoto onzzomale a vall e · e contratta si attua l'uni...."' profilo di. (profil o D l) . Dopo l a seziOn corrente veloce 0 m alveo a de bole pen denza: t ale profilo concavo verso l'alto, a profondita , creh · . ' scenti ver so v alie e tend e all,altezza cn· ttca che verrebbe ragg1u · nta con tangente · . · ale (pro filo D3) ; pnma di ragg1ungere lo stato cr1t' 1' co 1'nterv1ene un ns veruc · alto' _:. il profilo e, quello di moto uniforme La sua pos·1Zto a v alle d. el qucue · ne vten · · e m. · di ug�aglianza delle spinte totali a monte e a valle del d.lVl'd uata dal ia con di ztone nsalto stesso espressa, nel caso m esame, dalla relazione:

� �

ove: e al in rm te e on zi se lla ne a nt eosì come è le

·

·

·

·

3 m, coeffi 12.17. In un canale a sezione rettangolare di larghezza b 112 pendenza del fondo i 0,001 defluisce una e m ciente di scabrezza m= 0,45 portata Q= 10 m3 s-1• Ammesso il canale eli lunghezza infin ita, individuar e l,andamento del profilo di moto permanente nel caso venga inser ita in una sezio ne intermedia una paratoia che lascia aperta· sul fondo una luce rettan golare di altezza a 0,90 m(y 9806 N m-3; Cc: 0,61). =

rht

=

2

•

=

=

/ - --

• •

l ho.v

J

, ...-

=

·

-L_

�Ft

01

,,

--tJ'

l

hm

-

-

-

l ;a

k

f, _;

+

-

C:a

·

,

-

-

ho •l

-

F)

•

'

-

. n profilo a monte e a valle detlla par atola assume andamento dif fer ent e a se· conda che l'alveo sia a debole o a . . 10rte pend · t enza' s1 cons 1·d ermo perc1ò separata· mente le due situazioni e si va . lufmo 1e ptoiondJtà ho eli moto un ifo rm e e l' altez· za critica k. Immediatamente a valle del la ara 1a, l enuta a spigolo vivo, si forma la sezione contratta con profo ndità p� 8 �ca nela quale la co rre nt e è veloce. Am· • · messo che nel passaggio so tto la p o a no si abbian o per dit e di car ico , la pro !-1 f�ndità hm della corrente l a mont essa SI può calcolare applicando n te or em a di BernouUi: •

=

rh� 2

h

+

P
(2)

bho

dalla quale si ricava la profondità h t della corrente veloce a monte del risalto· tracciato il profilo di corrente veloce potrà allora essere individuata la sezione di profondità pari ad h 1, nella quale esso si localizza.

(ho< k;

- Alveo a forte pendenza

·

a

b

Q p 2 hh.

i > ic)

e La pro fon dit à nel la sezione contratta è inferiore a quella di moto uniform scente e perciò il profilo a valle, concavo verso il basso, presenta profondità cre (pra. le val a to ini inf all' e rm ifo un to mo di ella qu a nte de ten da mo nte ve rso val le alveo a forte in ta len nte rre co di lo ofi pr un ha si oia rat pa lla filo F3). A mo nt e de monte tendendo rso ve sce cre de hm e lor va l da e ch à dit on pendenza, co n pr of rso il ve o av nc co , ilo of pr il ); Fl o fil ro (p le ca rti all'altezza cr iti ca co n tangente ve si ha un ilo of pr tto de o ng Lu . lle va a ito fin in alr e basso, ha un as in to to orizzontal ione del risalto· siz po La e. rm ifo un o ot m il a tin ris risalto a m on te d�l quale si rip nella o� ; za en nd pe le bo de � o ve r� r pe viene de fi ni ta co m e gi à detto più sopra l nsalto. de lle va a te en m ta ia ed m Im a nt le (2) la profondità h1 è quella di corrente portate Q lle de a al sc la a, m le ob pr l de ti Introducendo i da

=

Q (ho) risulta:

·

.

•

:df

(l)

ho [m] 1,00 1,50 1,60 1,70 1,80 1,78 1,76

A [mJ] ),00 4,50 4,80 s.to 5,40 5,)4 5,28

(Il (m)

c (m •n.,-•J

C�i (m·s-11

Q 1) (m' · s

0,600 0,,0 0,774 0�797 (),818 0,814 0,810

6),2' 65,81 66,16 66,48 66,78 66,72 66,66

1,55 1,80 1,84 1,88 1,91 1,90 1.90

...65 8.11 8,84 9,57 10,31 10.16 10.02

-

12

ANICA DEI FLUIDI C C E M E A IC L U A PROBLElvU D I IDR

414

CORRENTI A SUPE RFIC1E LIBERA

Imponendo l'u Jlglianza delle en � erg�e s ecifiche subito a monte della para � . (E m) e n el la sez10ne contratta (Ec) tota s1 puo determinare il valore dell'altezza d'acqua hm a m on te della paratoia; infatti:

da cui si ottiene: •

ho= 1,76 m ·

a1

Si ha inoltre:

k

=

a1 c

1,04 m

enza. nd pe le bo de a è eo lv l'a h < k d tan o o s Ri u1 . otuene: . s1 (1 lla , ) da m 55 0 a_ C POlCh'e c -

Vtc=

.

'

0,566 h�

415

Ete

= 2,42 m

che risolta per tentativi fornisc�:

Etm

=

=

E 1c

=

Ccal

=

Q

ate

Vtc

+

2g

0,42 m

= 5,04 m 2

h1m

+

hm= 2,31 m Si ha un profilo DI a monte della paratoia mentre a valle si h a un profilo D3 seguito dal risalto e dal moto uniforme.

=

=9,52 m·s-1

baie

=

0,70 m

Q --�::2- -2 -=2ghtmb

da cui si ricava: h tm

=

5,01 m

Analogamente, per l'apertura a2 = 1,20 m si ha: 1 1 12.18. Un canale rettangolare rivestito in calcestruzzo (k 75 m 13 s- ) con larghezza h= 5 m ha il fondo con pendenza i = 0,0005 e alla sua estremità di valle presenta un salto di fondo; in esso defluisce una portata di 20 m3 s-•. In una sezione del canale posta 150 m a monte del salto, è inserita un a par ato ia piana verticale con bordo inferiore a spigolo vivo. Tr acciare il profilo di mo to permanente della corrente a valle della paratoia pe r le due seguenti aperture del la paratoia stessa: a1 = 0,7 m; a2 1,2 m (Cc 0,6). =

a2c = Cca2 = 0,72 m

•

•

=

=

-

d a cui: h:zm

=

2,11 m

e contraton zi se lla de za en nd . po ls rr co m e al t to N el le du e situazioni la spmta ta vale rispettivamente: •

1 2

yafch

+

pVtcO

·

•

194845 N

ICA DEI FLUIDI N A C C E M E A C U U PROBLEMI DI l DRA

416

s2T

1 =

2

-

2 b ra2c

+

pVzcO

12

CORRENTI A SUPERFI ClE UBERA

417 •

=

123850 N

h

h

-

-

.àE lml

-

[m]

[m]

[m)

1000 J

0,42 0,46 0,50 0,55 0,60 0,66 0,74 0,80 0,86 0,90 0 ,9 4

0,4 4 0,48 0,525 0,575 0,63 0,70 0,77 0,83 0,88 0,92

0,374 0,403 0,434 0,468 0,503 0,547 0,589 0,623 0,652 0,673

54,5 41,5 31,4 23,7 17,9 13,0 9,7 7,8 6,5 5,7

•

Nel canale risulta invece: = 1,18 m

k=

•

3 Ek=-k=l,77m 2

•

•

Si tracci ora il profilo di moto permanente a partire dal salto dj fondo (h = k) sulla base dell'equazione:

c

.às {m)

0,729 0,552 0,516 0,381 0,3H 0,303 0,155 0,112 0,056 0,044

13,50 13,46 16,69 16,40 19,14 24,27 16,81 15,38 9,29 8,43

tAs lml

ST

{N]

13,50 26.96 43,65 60,05 79,19 103,46 U0,27 135,65 144.94 153,37

179058 166163 152905 142187 131950 121555 115711 111171 118768 106787

Da l confronto del le spinte totali si osse.rva che in questa situazione Sy è sempre mag gior e �ella spin ta totale della �orrente lenta; quindi nel canale si in . staura solo il profilo dt corrente veloce ntardata . - a2

=

1,20

m

�E

i-J

•

Risulta: h [m)

h [m)

Gl [m)

1000}

�E [m)

�s [m]

Las [m]

5T (N]

1,18 1,28 1,38 1,48 1,58 1,60

1,23 1,33 1,43 1,53 1,59

0,824 0,868 0,910 0,949 0,972

2,4 1,9 1,6 1,3 1,2

0,012 0,030 0,044 0,054 0,012

6,24 21,14 40,89 67,73 17,77

6,24 27,38 68,27 136,0 153,77

101943 104689 1 07768 111847 112769

-

-

-

ii, iii e J indicano i valori medi del tira nte d'.acqua, del raggio idraulico e de lla cadente nel generico

intervallo tra le sezioni i e i + 1. A nalogamente, a partire dalla paratoia, si traccino i profili di moto permanente relativi alle due aperture (corrente veloce ritardata). - &t•

0,70 m

h [m]

h [m]

1000}

�E [m]

�s [m)

Us [m)

Sy [N]

0,72 0,76 0.80 0,88 0,96 1,06 1,12 1, 18

0 ,74 0,78 0,84 0,92 1,01 1 ,09 1,15

0,571 0,595 0,629 0,673 0,719 0,759 0,788

11,0 9,0 7,5 5 .7 4,3 3,5 3 ,0

0,121 0,098 0,141 0,088 0,059 0,016 0,0044

11,59 11,03 20,21 16,95 15,44 5,30 1,80

11,59 22,62 42,83 59,78 75.22 80,52 82,32

119447 115711 109915 10.5944 103032 102198 101943

-

-

-

•

nsente di co li ta to te in sp lle de e e all d e onte da ili n confronto dei prof !D aratoia in cui le due spinte si individuare la sezione R-R a arca �Oh m ] e ritardata loc ve te . en rr co da io s� SS: P a 51 i uguagliano ed attraverso un risalto a corrente lenta accelerata. *

•

•

d:n

truzzO ben lisciato ces cal in za en ud es nv 12.19. Un canale rettangolare 0,0008 con· i o nd fo l de (k 80 ml/3 s-•) largo b 2100 m e con ene co vi le na ca l de =a ... c:w rm te m e pen n 6 m3 s ; m una sez1o voglia la portata Q . nale; la cresta della ca el d o d n fo il Struita una soglia ben ra�ta a tO '"1d· O DI i d l it d n !o ro p la al pW n soglia � pesta ad una quota valle a e te n o m a e t ren cor a eu �" " anente°d .Jm rme. Trac:ctare _.t!1 di moto ftfl n prw.uo . �� soglia. •

•

•

-=

•

•

,

.

•

•

-

•

:flr! r

•

418

12

MECCANICA DEl FLUIDI E CA PROBLEMI DI IDRAULI .

-

--

419


-----------

o •

l hs:ho

-l to de lla sc al a en am ci ac tr il ro ve ov i iv at nt te r pe La formula di Chè zy risolta oto u ·f or�e di a zz te l l'a re ua d v! in di no to en � � delle portate de] canale cons , e l energ1a s m 68 ,5 l V à ot 1o ve la de on isp rr ho 1, 78 m, a cui co

�

=

·

=

specifica:

E = ho

v2 +

2g

--

+l_ 2

% ,

12.21 Esa�are l'andamento dei profili di m oto permanente di due al : . . ve1 success1v1 di div ers a pendenza (i1 "(; ' ) convogliant1· una portata Q nota. 02 -

-

·

ho1

k-E viene recuperato con un rigurgito a mon te. A valle e dopo il

'l

passaggio attraverso lo stato critico, si instaura un tronco di corrente veloce che successiv�ente, attraverso un risalto, torna lenta nelle condizioni di moto uniforme. Risulta: •

k=

. � ,

.

= 1,92 m

to L'ostacolo costituito dalla soglia impone il passaggio attraverso lo sta cri tico della corrente che la sormonta; il deficit di energia specifica nec essa ria hs

Individuate co n la formula di Ch è le due profon .ta di m to � uniforme ho,J e ho,2
= 0,97 m 3 2 k = 1,46

m

•

•

'1 c •c

. � � •

'"}

�

. l profili sono quelli indicati in figura; il passaggio attraverso lo stato critico avv1ene spontaneamente ed è localizzato in corrispondenza del cambiamento di pendenza. 12.22. Esaminare l'andamento del profilo di moto permanente della cor rente in due alvei successivi a debole pendenza Ci1 >h) nei quali scorre una por tata Q no ta . 01

da cui:

hm= 3,20 m. s ione rett d olare di larghezza b e coefficiente di � d scab!;'; �U�s:US: a n ch pende.nze diverse il ed Ì2 > ia, am· i �d bedue superi ori alla critica In-:ll w Q. s:e l an amento del profilo di m ot o perma· nente eorp ris ondente alla Porta;:

''� ' . c •

•

--k.-. 12<1e

i.

12

ICA DEl FLUIDI N A C EC M E A C LI U PROBLEMI DI IDRA

420

.

te nel tr at to a monte en rr co di o fil ro il p ed h < 0·2 Essendo i 1 > 12, SI ha ho.J e c or re nti du be am o nd · se es ti at . rar da ta· nf . 1 ' " . . .ente lenta n sara dt upo Dl ' Cl. , corr 2, m en tr e la pere ho rm ifo un o ot m di a zz te al 1' taura lente, neJ tratto a v e Sl bu�s e a m�nte ge ne ra nd o il nd te es si za en nd pe di o nt e m turbazione dovuta al ca ro ta profilo Dl eU rigu rgito. .

�

1 defluisce in un canale rettangolas3 m 52 19 Q a at ' t r po . . ' Una 12 23 i m f tgura d eterrrunare il t ta or r ip ti da n i Co sa er div a re a due tratti con pen denz . nella formula eli -l s 1/3 m 60 k s· a m su as l . te en an profilo di moto perm Gauck1er Strick1er . •

_

·

·


421

da cui si ott iene l'equazione: 213

4ho.J --... .:: ho.1 __ 4 :.:...:. + 2 h o - l .

-

o ,36

=

o

che risolta pe r tentativi dà il valore:

·

·

h o.t = 0,60 m

•

-

-

N el se co nd o tratto si ottiene invece l'espressione: 4ho , 2 o.2 _ __� _;: h 2h o ,2 + 4

213

-0,47

=

o

che dà il valore: ho,2 F3 ho2 '

h

=

0,72 m

L'and ame nto del profilo è segnato in figura. Si noti che le correnti sono en trambe veloci, essendo ambedue i tratti a forte pendenza, e quindi non si ha nes sun risalto in relazione al cambiamento di pendenza.

12.24. Un canale di sezione rettangolare, larghezza b 6 m e scabrezza k = 60 m113 s-1 passa dalla pendenza h 0,01 alla pendenza h 0,001. Sa pendo che la portata è Q 50,9 m3 s-1, determinare l'andamento del rofilo � della corrente e la sezione in cui si localizza il risalto (y = 9806 N m- ).

--

=

=

•

l

=

�b:4m�

=

•

·

Per determinare il profilo si devono calcolare l'altezza critica k e le alt ezz e di moto uniforme per i due tratti di canale. L'altezza critica vale:

F1 ..

-<

-

k=

•

3 sb2

Nel primo tratto si ha:

l

o

ho,1

= 1,34 m

�-..

•

.

,

h'

l l

k

-- .... -

.

12 •

Si cal col i dapprima l'altezza cnuca:

con:

•

A,

=

4ho,,

ID \1\ l

-

o,

4h J -..;.:.: �

2ho••

+

4

•

•

1,94 m

ho,2

'ICA DEI FLUIDJ MECCA E IDRAULICA PROBLE�U DI

422

o

6 hol, + 6-• � - - o.� 2h

ho'1

3

2/

-1,41

=

ho.1

'!_

_

.

=

•

=

o

01

-,-

1,44 m

=

-

k

=

=

(l)

-ybh2 +p 2

2

l..2 TbUO

,l + p

---

-

-

v

-

=

_!_ vb hà 2 + l'! 2

l

'

l"'

Ci

bho,J

=

367243 N

(j

bho.2

=

451211 N

· Essendo maggiore la spinta da v all nel canale a forte .. e, il risaito è Situato ' pendenza La sezl'one m · cut s1. veru1ca e .-.-n ��... m cw la corrC ?te ha un'altezza h' . cm:,_ sostitnita nella relazione (l) , detemuna una spmta parl a S l: ·

--

·

8

l•

h'

=

+

-

l H!..

--

--

�l

.._b�

Occorre anzitu tto determinare se , per la portata Q, il canale è a debole oppure a forte pen enza; a questo scopo si valutino l'altezza criticza k e la profon . dità di moto uniforme. La prima è definita dalla relazione:

-

14,7

che va risolta per tentativi. della se ba lla su ta cia ac tr e at rt po lle de a al La seeonda vi en e dedotta dalla sc formula del moto uniforme:

Q

·

·

h'3 -12,5 h'

H -

-

=

Sz

l

?

Risulta: l

•

02

02

,

figura. I profili di corrente sono Segnati in l cambiamento di de a us ca a ica rif ve si e ch to al s ri il e Per ciò che concern lazione: la re n co lle va da a ell qu e nte mo da a int sp la o pendenza, si calcolin s

-

l

-

•

3,3 m

l

-

ho

iene: tt si to o at tr o d n co e s il r pe o og al an o tu tt Procedendo in modo del

ho.2

423

. . . lib era s1 trova alla quota H cte 3 sopra il fondo .nella sezio ne terminale del : u di a vi re In il e. profilo della- rrente quando canal • m esso defluisce la portata Q 45 m3 s (y 9806 N m 3) .

ho,l

e che risolta dà:

•

CORRENTI A SUPE RFiCIE LIBERA

12

dalla relazione di Chèzy data è tratto , e del primo uniform moto di L'altezza azione: all'equ porta ta che sviluppa

•

=

Se ho>k il pendenza. casi. Si considerino separatamente i due

tre en m za en nd pe le o eb d a è e ca n al

o

2,54 m.

- ho>k;

'l\1h» � Slt sezione�cr� ·a con cunetta larga h 4 m, scarpa • �� clence- m sca ezza k 65 ml/3 s-1 e pen denza del � -0081 i.n1 un serbatoi RJ0 o con acqua ID qwete nel quale la superfi·

�

•

•

i<

ic

rsi In ta li condizioni possono verifica del valore di H.

•

.

•

2 l/ 2/3
.

a)

H>ho

tre

se

ho< k il canale è a forte

ndenza diverse situazioni di dipe

12

A DEJ FLUIDI IC N A C C E M E A C AULI PROBLEMJ DI IDR

424

CORRENTI A SU PERFICIE LIBERA

terminale e qu in di sune zio se lla ne H ad n a p nte, La profondità della co : re uendo verso m on te e tenin m di o an m an ru �rm periore a quella di moto all'infinito a monte (pr of ilo ,a e rm ifo un Jt n o ro p la re ge n iu gg ra a e d ale all'inifinito a valle. nt zo riz l'o al e nd te e lto l'a erso D l); il profilo è concavo v

f � �

·

.

b)

�0�0

terminale va via via. eree ion sez lla ne H a ri pa te en rr co " f ' to l'm La prof onelita della ' e f al u tru a orm ur to d"t mo a ell qu ere ng giu rag e a d n te e scendo verso monte o il basso. rs ve o av nc co è ilo of pr il , . 2) D monte ( profilo c)

·

H
·

- ho
•

dh ds

1-

1-

k

2 v 2ffi4/3

Q2

dA

gA3

dh

(l)

�

co n p�enza d a.sezio�e terminale dove è nota la profondità h,. L'integrazio ne per dif fer enz e f1n1te puo essere condotta prefissando �h pari ad una frazione della diff ere nza lho-htl ed individuando a mezzo della (1), scritta in forma fi nita, la dist anz a �s esistente fra la sezione di profondità hi e quella con p;-ofon dità h;+�. Introducendo i dati del problema, la scala delle portate Q

·

=

Q(ho) risulta:

i>ic

H�k

La corrente non è influenzata dal livello nel serbatoio e perciò trattandosi di una corrente veloce, defluisce nel canale in condizioni di moto uniforme. b)

.

·

,

lidalla quo ta della superficie to nza lue inf più è non . te ren Cor la del o fil o pr Il . . . re alizza lo sta to cnttco bera nel serbatoio; nella sezione terminale de l canale st del caso prec ede nte con pro1lond't ta' k n profilo ha andamento analogo a quello · (pl"ofilo D2) e presenta tangente verticale nella seztone termmale.

a)

'ef fe tt iv o tracciamento dei L pro . .fili se,gnati in fi-c on �ra v1ene ottenuto median, . 1 m zt pe on te gr r e a diff erenze finite dell equazi te one de.l moto permanente:

k
425

•

•

H>k>ho

Nella sezione terminale del canale la profondità della corrent e è pari ad H, e perciò la corrente è lenta; a monte si verifica perciò un profilo di corren te len ta in alveo a forte pendenza con profondità decrescente verso mon te e tend ente all'altezza critica con tangente verticale; il profilo concavo vers o il basso ha un asintoto orizzontale a valle (profilo Fl). Lungo detto profilo interviene un risal to, a monte del quale la corrente veloce defluisce nel canale in con dizieni di mo to uniforme. La sezione ove si localizza il risalto vie ne individuata sulla base della condizione di uguaglianza delle spinte totali monte e a valle di ess o. Per la cerrente veloce di monte con profondità no ta ho la spinta totale S1 vale:

�

ho [Jn]

A (ml]

c rm•n.s-1]

C.f
Qs-1) (m3·

1.00 1,.50 2 ,0 0 2,30 2,3.5 2,36

4,60 7,35 10,40 12 •37 . 12,71 12,78

0,726 0,980 1,200 1,321 1,341 1,345

61,63 64,78 67,01 68.09 68,26 68,29

2,35 2,87 3,28 3,50 3,54 3,54

10,80 21,08 34,1'4 43.31 44,94 45,27

da cui: ho= 2,35 Essendo poi: o

g

.•,

Sa

=

ll

+

M

=

1ht»A

+

pQV

m

A B

per:

essendo hb l'affondamento de l baricentro della sezione e V la ve loc it à media del la corrente .

k. ho

•

2,35 m

·

Tracciato il profilo di co rrente lenta si uò P ! per ogru se �1one, valut �e la corrispondente spinta t . 0tale S2, il r�alto s1 localizza nella seztone do ve nsulta 52. s,. •

•

.

·

B

•

Qc

b •

+

2nk

S4,35

•

6,82

3 m •

s

m

-1

o H >ho. d n e ss e l D o fal ro p il a h D canale� a debole pendenza. Si

12

ICA DEl FLUIDI N A C C E M E A C U U PROBLEMI DI JDRA

426

a b = 5 �! zz he rg !a te en av ed re la go an zione rett se i d , B A e al an c D . 6 2 . 12 0,001 e coefft= 1 za en nd pe n co J 5m2 12 Q t ta o p la re ia gl vo � co e v e . d In nel lago èB la cui profondità è h 1 = 4 m. � � r - O 5 c ent C ��l �: l:��;a � da a::gnare allo sbocco del lag"o affinché l'acqua scor J iJ canale. o tt tu in e rm fo ni u o ot m n ra co ·

� �

Q

.__.

·--·

Il termine cinetico vale: -

- 29

-

� · -- · -

-

"' --

=

0,021 m

per cui risulta:

..

À = ht-hoc

427

ho= 3,76 m

�

�

LlBERA

che ri so lt a pe r tentativi fornisce per r altezza eli moto uru.forme .il valore :

•

_

-

CORREI\:Tl A SUPE RFlCIE

o

o

--

2 v

2g

=

0,22 m.

12.27. Un canale a sezione rettangolare eli larghezza b, coefficiente di scabrezza m e pendenza di fondo i< ic deriva da un serbatoio e termina a valle con un salto di fondo; neJ serbatojo la superficie libera si trova alla quota H so pra la soglia di imbocco. Determinare la portata defluente nel canale ed il corrispondente andamento del profilo dj corrente.

Risultando il canale a debole pendenza, la corrente è lenta . L, applicazione del teorema di Bernoulli fra il serbatoio di valle ed un punto della corrente a monte conduce a: H

À

=

2 v ht-ho--2g

Si calcoli ho con la formula eli Chèzy, dove C è da to da : C=

100

o

m

�

112i 112
2ho ... 5 1/2 5 ho ' 2ho 5 + \

l

----

l+

S i ottiene l'equazione:

l

'

l

+

0,75

-0,76. o

�

ta�iv te r pe lt� so ri \'a a m , ta ia . ed m im { n pr ob le m a no n è eli soluzione ° a 51 c e V1 d n fo di o lt sa l de za en pres Nella sezione terminale del canale, la si instauri lo sta to critico con altezza:

k·

3

Q

12

PROBLEMJ DI JDRAUUCA E MECCANICA DEl FLUIDI

428

Nel canale si ha allora un profilo con profondità crescente verso monte che ten de all'infinito a monte alla profondità di moto uniforme ho; sulla soglia di im bocco la profondità corrispondente a detto profilo sia hs. Ritenute. trascurabili le perdite d'imbocco, l'energia specifica rispetto al fondo sulla soglia deve essere pari ad H: si deve perciò verificare la condizione:

CORRENTI A SUPERF ICIE LIBERA

429

1 a

ll

l l l

(l)

l

•

1:0.001

l

14 1SO m

La portata defluente nel canale deve in definitiva avere valore tale che la profondità hs sulla soglia d'imbocco soddisfi la (l) e contemporaneamente appar tenga al profilo di moto permanente con altezza critica nella sezione terminale.

SOOm

a) Si effettui il calcolo della portata applicando il teorema di Bernoulli tra la sezione contratta, che si verifica a valle della paratoia, ed una sezione a monte:

I successivi tentativi per valutare la portata possono essere cosl organizzati: - prefissare un certo valore di portata Q ;

- individuare la relativa altezza critica k;

- tracciare a partire dalla sezione terminale il corrispondente profilo eli moto permanente;

- determinare la profondità hs e la relativa energia specifica rispetto al fondo:

Es

-

'

(Q ) ,

12.28. non lisciato situazioni:

k=

si può tracciare la curva a quale sJ ncava il cercato valore eli Q per E, = H.

·

3

Q

sb

2

= 1,89 m

dalla scala u d si e r i! n u o ot m � zza di o_ � In iz ia n d o d al p ri m o tratto, l'alte equaztone. l I V ti ta n te er p o d en lv delle portate o p p u re si ottiene riso

�

· Un canale rettan�olare largo b = 6 !� ' e �esttto m calcestruzzo . (k = 60 ml/3 5-f) ha il profil0 mdicato m ftgura. Pe r le due .

•

a) apenura della paratota a = 1, 2 m,· bord 0 della paratoia arr oto nd ato CCc= 0,90); •

'

Risulta: 6h0

hO-��

b) paratoia completamente aperta, determinare la portata del canale e tracciare il profilo della corrente N m·3). •

eli stato critico k con la formula valida per alvei di sezione

l

�pe tend�Jueste ope��ioni �r diversi valori eli Q s

hc è l'altezza nella sezione contratta. Risulta:

Si valuti l'altezza rettangolare:

2 Q � Es= hs + - �b h� 2g2 _

dove

6+2h0

(y

•

9806

e si ottiene il valore:

2/l

-1,36. o

bf,. 1,40 m

CCANICA DEl FLUIDI PROBLEMJ DI IDRAULICA E ME

430

12

r i due tratti success ivi i pe re va tro di e ett rm pe to en am ion rag o log Uri ana valori: •

n

ho ho

=

=

3,2 m

CORRENTI A SUPERFI CIE LIBERA

431

b) Nel ca so di paratoia completamente . ha . apert il sa o della cor rente attraver so lo stato critico in corrispondenz d ggl � a so

: !U J

La portata viene ricavata dalla relazion e:

2,1 m

11 tracciamento dei profili di corrente a valle della paratoia. (a part ire dalla . te. . erenze fmt dtff e dell odo met il con ttua sezione contratta) si effe Per quanto riguarda il risalto che si verifica al cambi�ento di penden za . due spmre e dalla le eserc1tat calcolare possono si debole, forte a da nell'alveo corrente a monte e a valle di esso, con la relazione: 1 2 s = -rbh 2

+

•

2 (2 p --=-bh

Q= bk� = 81,82m3

=

•

s-1

Le alte zze di mot o uniforme per i vari tratti sono pari a:

Per la spinta da monte risulta: S1

dove:

ho= 2m

360927 N

mentre per quella da valle: s2 = 451239N (si è sostituito h con i valori hO e ho , consid erando cioè le correnti sia a monte che a valle, molto prossime all'altezza di moto uniforme). Esse�do ma gi?re la spinta da valle, il risalto è localizzato a m on te del pri g mo carnbtamento di pendenza. L'andamento dei proiili di corren te è indicato in figura.

hO = 4,78m

hO

=

3,14m

Nel tracdamenro dei profili di corrente si nota che i passaggi attraverso lo stato critico sono due, uno localizzato sulla soglia di derivazione (passaggio da corrente lenta a veloce)· ed uno in corrispondenza del risalto dovuto al cambia mento di pendenza da forte a debole e localizzato nella sezione in cui le spinte totali da monte e da valle si eguagliano. Indicativamente in figura esso è stato segnato a monte dei primo cambia: mento di pend enza risultando maggiore la spinta da valle (52 905454N) di quella da monte (5• 675257 N). =

=

•

- -

F1

h" o

02

h" o l

h'!!

o

12

NICA DEI FLUIDI A C C E M E A C LJ U PROBLEMI DI IDRA

432

ri�estito in caJc�struz7..0 � m ? = b. rg la re la go an tt ? 12.29. Un canale re 1 m ftgura. Detenrunare. la to tca md l/3 filo pro h ) . 5il a ben li setato (k = 75 m d"J corrente; l e perd lte -� l fi ro p 1 e d to en am ? a l' e � portata nel canale e tracciar 9806 N · m ). = (r li bi ra cu as tr o n ga n te all'imbocco si ri ·

----

H:4m •

l

. ' : O,o o1

e. ]e altezze di moto uniforme per gli altri due tr atti di canale valgono . : te en m va tt et nsp - nel secondo tratto: 5-=ho -o --2h + 5

-1,43 = o

/"

"o· o,

':o.ooo

2h 0

•

sOOO m •l• 580 m

Q

=

7

l .,•114•-700 m

I profili di co�r �nte sono se �ati in figura. Si noti che il primo passaggio at . . travers� lo stato cr1uco, che s1 venflca al passaggio della corrente lenta nel primo tratto di alveo a quella veloce nel secondo, è localizzato nella sezione dove avvie ne il cambiamento di pendenza, mentre il secondo, che si verifica con un risalto si trova a monte della sezione corrispondente al secondo cambiamento di pen: denza in quanto la spinta da valle (S2 = 536885 N) è maggiore di quella (St 440878 N) da monte. =

02

L'equazione in hO è:

2h 0 + 5

-5,43 =o

hO= 4 m

___.

Ak
+ 5

Q= �(H-ho)2gA2

213

213

5 ho

Facendo sistema fra 1'equazione di Chèzy (ipotizzando moto unifor�e in pros �imità dell'incile) e quella di Bemoulli fra monte e valle della soglia d' imboc co, s1 ha:

5 h0

213

- nel terzo tratto:

.

l

,.

433

ho = 1,5 m

l

l l l

CORRENTI A SUPERF ICiE LIBERA

h'o

1 -'(13,96-3,49 h(>)1 2 =Q

che risolta per tentativi fornisce:

K

hO= 3,5 m Sostituendo questo valore in . . . una dCl nle due equazto ru del Sistema si ha:

e con ve: :n rr co a n u is u � efl d re la go � 12 .30. In un canale a sezione rettan fl. di ne wo ru va la e ar un n er et D 3 m. 3 m 5-• e co n profondità ho. locità V profondità conseguente a: te; a rd o cc ra ben e rm fo n co fondo, l e d m 0 ,, 0 a to n e m a z n ) .I a u inn ate. rd o cc ra n e b e rm fo n co el fondo d m 0 ,3 0 a to n e m a ss ) a n b u abb •

L,altezza critica vale:

=

2 3 E

•

•

•

2,67

m

•

A DEl FLUIDI IC N CA EC M E CA LI U PROBLEM1 DI IDRA

434

12

. del fondo compatibile co n l e to en am alz n . m o n su as m il Individuare tnoltre condizioni eli monte; . s-I 5 4, . = m V tà ci lo . ve n co te en rr co a c) npetere t c�c'oli n�l caso eli un abbassamento de l fono to en am alz inn n co e , m 6 O h con profondIta o do a= 0,10 m.

CORRENTI A SUPERFICIE liBERA

mentre l'uguaglian za delle energie specifiche consent e di sc nvere la re1az1. o ne:

.

·

·

E o +a= ha+

'

0,30 m a) Innalzamento a rattenstJCl de 11a co rre nt e: ca i nt me ele gli te en am tiv en ev pr o lin Si calco =

q= Vho = 9 m v

2

--

2g

·

-1

2 •

q 2ghi

ha= 3,40 m

l e:

s

A= ha-ho= 0,40 m

Eo = 3,46 m

= 0,46 m

2

da c u i:

·

·

435 .

Il ma ssim o innalzaroento del fondo arruu compatibile con le condizioni di monte è quello che corrisponde all'uguaglianza Eo Ek + amax; ne consegue:

•

=

•

o

3

q

g

=

Ek

2,02 m

=

3 - k = 3,03 m <

2

Eo

amu

La corrente è lenta (V< Vk). Con riferimento alla figura, l'uguaglianza del le energie specifiche di moto uniforme e sulla soglia, conduce a scrivere:

=

Eo-Ek

0,43 m

=

c) Le grandezze caratteristiche della corrente risultano essere:

vfflg

- - - - ----

hs

=

k

Eo

=

a

+ hs

+

La corrente è veloce

da cui:

hs

Conseguentemente:

b) Abbassamento

=

=

3

q g

=

1,03 m

0,91 m

a =

=

=

-0,50 m

3 -k

2

92

2�

da cui:

0,30 m

h. 0,65 m

Come nel caso preced ente:

Eo

=

1,63 m

•

3,46 m

=

1,35 m

ottiene: si a) o nt pu al o tt fa to an qu a O pe ra nd o in maniera simile

2,50 m

hs-ho

Ek

=

(V> Vk).

Eo =a+ ha+ Il

Eo

e:

A

•

h.-ho. O,OS m

12

ICA DEI FLUIDI N CA EC M E CA Ll U RA JO PROBLEMJ DI

436

CORRENTI A SUPERFI CIE LIBERA

to b) si ha: un p al o tt fa o nt ua q a te en m Analoga 2 q Eo + a h s + 2gh;

A

437

9

l

l

=

da cui: hs

=

8

8-b

0,565 m

l

l

l

e quindi: A= h5-ho

-0,035 m.

=

l l

l l l

3 m, è pe;corso da �a 12.31. Un canale a sezion:_{ettangolar� largo B terrrunare le vana corrente con velocità V = 3m s e profondJtà ho 3 m. De zioni A di profondità conseguenti a: =

>»»>»>7//>h»YM>m/m;;;;m;;, A B

=

•

l l

o

a) una diminuzione della larghezza b 0,3 m; · b) un aumento della larghezza b 0,3 m. =

=

b) Allargamento b 0,3 m Analogamente a quanto appena svolto, si può scrivere: =

·

Determinare inoltre la minima larghezza del canale compatib ile con le con dizioni della corrente a monte; c) ripetere i calcoli quando la corrente di monte ha velocità V 4,5 m s-1, profondità ho 0,6 m e le variazioni della larghezza sono b 0,5 m. =

=

•

da cui:

•

=

a) Diminuzione della larghezza b

=

0,3 m

hB

=

3,10 m

e: fl

hB-hA

=

=

0,10 m

2

EA

=

ho

v +

2g

=

3,46 m

A •

Imponendo EA

=

Es si ha: •

l l l

•

l l

Ne segue: hB

•

l

/l

a

hB-hA

•

-0,18 m

l

•

l

2,82 m

e qutn .di :

8 l l

l l l l

//))J // ;;;m;w 8 // )/)m>r ; ); m;m;w A

CCANICA DEl FLUIDI ME E CA UU RA ID DI MI LE OB PR

438

12 -


439

ha= 0,43 m

di una corre nte za en es . pr in e pr m se è si i iat ud st si 51 osservi. ehe net due ca lenta; infatti: .

o

vk

�

=

=

5,42 m

.

Il

s-1 >v

==

ha-hA= -0,11

dalla: Le condizioni estreme si deducono infine

Ek

Eo

=

=

l l l

3,46 m

l l

l k

Ne segue B'

=

2 =

-

3

Ek

2,307 m

=

2,46 m e quindi bmax

c) Restringimento b

=

=

=

m

l

Si n ot i ch e nei due casi ora considerati la corrente iniziale è veloce; infatti:

0,54 m

Vk

=

�

2,43 m

=

·

s-1
0,5 m· 12.32. Un can ale rettangolare ]argo B 3 m, è per corso da una corrente con velocità V 3 m s-• e profondità ho 3 m. Sul fondo del canale si dispo ne una sog lia alta a 0,60 m. Determinare l'entità del sollevamento o della su· perfide libe ra da essa provocato subito a monte. Determinare inoltre il restringi· men to della .;ezio ne del canale che, in assenza della soglia, provocherebbe lo stesso rtgurE:,tto. =

=

•

=

=

EA

v

ho +

=

2

1,63 m

=

2g

•

•

Imponendo che:

•

Eo

•

=

ho +

st ottiene:

hs

=

hs-hA

=

=

0,20 m

Ek

=

1,5

Risulta:

6

t l

l t;se A

r l l • t

·

k

=

Ek

l -

3,46

1,5

=

m

3,03 m

o

•

_J_

2g

=

3

0,80 m

e quindi: Il

2 v

+

a>Eo

· . te a farle suen ci ffi su in è e rm ·� 0 u o ur t mo m • cioè l'e ne rg ia de lla corrente m arravo esenpr a o fin di in qu a ·t a rg 1 ngu , ta en nte, pe ra re una soglia eli O '60 m. Taie corre . · · · tarsi a monte della soglia con l' energaa rrumma neccssaraa· .

·

- Allargamento b. 0 ,5 m

E.. •Ek+a

h ID +

2 Q .--�-�

2g�

•

3,63 m

440

MECCANICA DEI FLUIDI E ICA IDRA UL PROBLEMJ DJ

12

CORRENTI A SUPERFlCIE L IBERA

-

da cm:

o, 25 are tg 5

ex =

hm= 3,24 m •

e:

5

-

AB=

0 =hm-ho= 0,24 m . . zione talla se de to en im ng tri res un da to a oc ov pr Lo stess o ngurgJto sarebbe le che:

da cui:

= 5,005

=

h

t

v2 +

q g

2° 51'

m

� profilo di corrente lungo il conve rgente viene valutato nell'ipot esi di , energta costante:

E 3

COS
--

=

441

2g

=

1,05

m

per differenze finite attraverso il grafico:

o

q= 11,79 m

2 •

s

-l . . tra 1 val on

e: •

b

=

Q

=

q

2,29 m

h2F 0,95 m .

Q 2

e

Q

a cui corrispondono i tiranti d'acqua

1 ,5

Ne segue:

h t

=

l m e

h

B-b

=

0,71 m.

1,0S l l

•

•

l

l

12.33. In un canale rettangolare è inserito un tronco convergente, lung o 5 m, che porta la larg hezza del valore B 1 = 2 m al valore B2 = l ,5 m; esso ha pa reti piane, simmetriche rispetto all'asse; la portata è di 2 m3 s-1 e, nel la sezio ne iniziale, la profondità è h = l m. Determinare il profilo della corrente lungo t il convergente e la componente nella direzione del moto della spinta sulle pareti.

l l

•

2m

\5m

�------- 5-m -------� � ...

'

•

t

hA

B

f

ha

'"'""""Jn»>,»»»»,h»»>Y)}.

•

l

0/2

o/\S

0/b

lle pareti del con Ipotizzando un profilo rettilineo, la spinta su ognuna de vergente vale:

S

1 111

2

h t

l

e la componente compless1va ne11a •

S'

•

+

2

h 2 2 XB

..J!--

gm;10 1one

2Stget

•

•

•

23338 N

del moto vale:

2334 N.

12

MECCAt'-:ICA DEi FLUIDI E CA IDRA UU DJ PROBLEMI

442

le, viene determinata imponendo l'uguag1·1anza tra , · l energia specu :tlc · a nca Ek che compere EA e qu e Ila cn· aHa larghezza Bm:

da B1 � 3 m a a tt do ri e en vi re la go an tt re La larghezza di un canale 12 34 co n pareti re ttili_ m 15 L o ng lu do or cc ra . dJ l ,50 m a mezzo d'l un tronc o . ra cc ord o l a co rr en te B2 dt co on l tr e iniziale de on zi se lla ne 1 . e al t on · zz on o nd nee e fo � tendo tra sc uet m m A m 50 1 , . h 1 a d' tt f , on o 3 · ha una pr 5 . dl ��rtata Q - 3 m ofilo dt. co rr en te nel pr l de to en . am nd l'a e ar · un n r te . . rabili le perdite di cartco, de . e l ementl determJnare tn al i gl i tt ru ti ria va in o nd ne te tronco d.J raccordo. Man e d'.l v alle de l 0n z1 se 11 a a a at gn se as re se · es ò pu e l1l1Ill 1 arghezza ch ·a · o1tre 1a J1l m ·� ne11a se zto ne dJta on f o pr la ta ica dif mo a ng ve he c tronco di raccor do senza iniziale. •

-

.

==

==

..1: w

monte

-

.

·

443

3 3 q E A - 1,523 = Ek = 2 g

_

_

CORRENTI A SUPERFICIE LIB ERA

da cui:

·

q = 3,204 m2

·

Bm =

Q q

•

1 s-

= 0,94 m.

1 2


12.? 5.

2 1 o

TI c anale i� figura è c sti uito da due tronchi mo lto lunghi di cui ? � , quelJo dt mo nte e a seZlone tr�pezta di larg�ezza di base b = 1,6 m e scarp� n = 2/3. Son o note le pendenze 11 0,0005 e 12 = 0,0002 e gli indici di scabrez za m1 0,25 m 112 ed m2 = 0,75 m112 rispettivamente del tronco di monte e di quello di valle. Si chiede: =

=

h1

hz

l

:;;;m;;;;;h,m;;;;m»»>>m/,,,,;r))))>) ,

a) il tracciamento, per ciascun rronco, delle scale deUe aree A; nei contorni bagna ti P, dei raggi idraulici
Et = h t

Vl

+

2g

l

=

1,523 m

Qma>. del tronco a sezione circolare;

c) le profondità di moto uniforme corrispondenti a

Q, = Omu, 02 =

d) il disl ivel lo A fra il fondo dei due canali affinché per la portata Qmax non si abbia rigu rgit o nel tronco circolare.

da cui:

•

=

h1

1,42 m

o •

profilo di corrente può essere tracciato, per differenze finite , a partire da l D di��a

•

,,

1

l l l l

"2

:_1A l

h= h

Q B

.i:. &inima arghezza Bm che può essere assegnata alla sezione di valle del uo raccorJo, senza che veng a modificata la profondità nella sezione inizia·

4

l Orna x e Q 3 = 3 Orn.u;

Trascurando le perdite di carico tra le sezioni l e 2 si ha:

h2

3

l l

l

•

l

NICA DEl FLUIDI MECCA E ICA IDRAUL PROBLEMi DI

444

12

la o g n a e tt n re io z se a a cc o b da una . ulta . costlt al è ago 1 a un 1). ,6 0 c (C B A a li g so la 12 36. La presa . d el terrru·ne d atOla ar l d' muruta hi li c o c e o sp ll ? e m d 3 ta o u q b la fondo; re larga l a d � m 0 4 O SJ ta _eli ' La paratoia e solleva runare: Deterr m 2 H qm'do e 1

CORRENTI A SUPERF ICIE LlBERA

La paratoia è sollevata di s

445

O , 25 m dal fondo; s1 ·

=

.

=

•

·

e) il tracciamento dei profili di moto permanente.

=

-

•

_

,

neh'1e de:

-

. a) la portata Q 1; paratOla. della monte a hJ b) l'altezza d'acqua

hio liquido è H •· c ec sp lo el d ta o u q la sollevata·, te n e m a t 1 e p m o c e a La paratm Determinare: . ,

c) la portata Q2.

53

=

Q3 ta ta r P? a l re ga o er e ev d La presa n are : 0,80 m dal fondo. D ete rrru

=

8 m

3

s

-

•

1 o n paratoia sollevata di c l

o

del lago; do ui liq o hi c c pe s llo de 3 H lo d) il livel toia. ra pa lla de te on m a h3 a qu ac d' za e) l'altez

h, •

1

-

k

-

-

� -

-

•

,, --

8

...

t

�

. .

• •

il\.c

c�

-

H) H

l

h,

1

T

s,

5

s,

•

A

Ccs3

h3

•

•

o.,

t

0.3

e

12.37. n canale in figura è a sezione rettangolare larga h 4 m; in corri spondenza della sezione B-B, dove la pendenza passa dal valore h 0,001 a quello i2, è inserita una paratoia con bordo a spigolo vivo (Cc 0,61). Sono no 2 11 75 ti: l'indice di scabrezza m= 1, m e le altezze di moto uniforme ht 1,30 m ed h2 0,45 m rispettivamente del tronco a monte e di quello a valle della paratota. Determinare: =

=

=

=

=

•

a) la portata

Q;

b) r altezza critica k; c) la pendenza

h.

La paratoia è completamente sollevata. Si richi ede:

d) n traa:iamento dei profili di moto permanente.

-

-·

o

•

•

13

MOTO VARIO t-:E LLE CORRENTI A SUPERFICIE LiBERA

e l'equazione di continuità:

13

azLm

o

I T N E R R O C E L L E MOTO VARIO N A R E B I L E I C I F R E P A SU

•

m

=

ÀQ

447

(2)

cut: •

a è la celerità assoluta·, c è la celerità rdativa;

•

i si de te rm in� cu in te en an rm pe o qt m in -a er lib ie In una cortente a superfic _ One det_ta on da di zi ba ur rt si forma una pe a, at rt po lla de e on zi ria va ca us br una e. nspetto alla o v� rs v� e ch te on � o r� ve sia e ar ag op pr ò traslazione. Essa si pu raptde vanaztoru della seo nn ha st to gg ssa pa o su al ed , na igi or sezione in cui si te. zione bagnata e deiJa velocità delia corren

V ed A sono la velocità media e l'area della sezione deU a corrente · . m dtsturbata; , . Lm e la larghezza medta del canale in corrispondenza all' area hagnata dal fronte d'onda;

z è l'altezza me dia del fronte d'onda,·

llQ è la variazione subita dalla portata al passaggio del fronte.

gen ere la seg ue nte in tta ado si ne zio sla tra di de on le del nti fro Nei con terminologia:

'

Si osservi che per modesti valori di z rispetto all'altezza h della carente in. dtst�rbata l' espressi�:me della celerità relativa si riduce a quella di Lagrange per _ le ptccole perturbaz10m: c=

- onda positiva è quella che determina un sopraelevamento dell a superfi cie libera;

•

m

- onda negativa è quella che ne determina un abbassamento;

±

cut:

A '\ g L

•

L è la larghezza del canale in corrispondenza della superficie libera.

- onda discendente è quella che si propaga nella stessa direzione della corrente permanente preeststente; •

- onda ascendente è quella che si propaga in direzione opposta a quest'ultima.

PROBLEMI 13.1. 11 canale di scarico di un impianto idroelettrico ha sezione rettango 0,0005, lunghezza 200m, pareti e lare con larghezza L= 4,50 m, p_endenza i 1 70 m 13 s-1); esso sbocca in un serbatoio di ampie fondo in calcestruzzo (k dim ens ion i il cui livello è alla stessa quota della superficie libera nella sezione pianto l'im del a ssim ma a tat por la lia vog con sto que ndo e qua ale nal can mi del te-r Q 3 0 m3 s-• in condizioni di moto uniforme. nel canale in conseguenza era lib cie rfi pe su lla de i on izi nd co le re na mi ter De tacco totale dis � bru un da ite tu sti co ine cch ma lle ne di un a manovra ripetuta e (0-+ 0,5 Q). ial rZ pa co ac att co us br un da po m te e ev (Q O) se gu ito dopo br

.I .fronti d'onda delle. onde positive sono in genere ripidi e tendono a scom porsi m ondulazioni secondarie tutte sovrastanti la superficie libera del moto permanente; i fronti d'onda negativi sono invece più spianati e non present ano · ondulazioni secondarie.

=

=

Per ciò che ri uarda la trattazione analitica di questo tipo di mot o vario nel � la fase del pass�o ?el fro1_1te d'onda, per le pratiche applicazioni si pos son o �dottare procedimenti globali. analoghi a quelli utilizzati per lo studio del risalto m mot� permanente, determmando altezza e celerità del fro nte . Nella fas e del pas�aggio del corpo dell'onda si possono invece applicare le equazioni de l mo to . yano_per le correnti che tengono conto sia de lle resistenze alle pa ret i ' sia de lle merzte. Nell'ipotes ldi canale priSmauco e di var1az1one brusca della portata ' il teo. , rema dell unp ulso applicat0 8d un appropriato volume Interessato da l pa ssa gg io . dea1 fronte conduce a scnvere: ·

·

·

·

-

m3

·

g

·

A

,Lm

3 +

2

Z

+

•

=

•

·

•

•

massima di 30 a at rt po la al e nt de on isp rr co e rm ifo La pr of on di tà di moto un s-• vale:

.

ho

•

3,46

m

e la ve lo cit à media corrispondente è:

(l)

V . ':·

}

•

1,93 m

•

s-•

13 DEI FLUIDI A IC N A C C E M E RAUUCA PROBLEMl DI ID

448

MOTO VARIO NE LLE CORRENTI A SUPERFICIE L IBERA

iscendente di altezd a iv at g e n . a d n 'o n u e st genera al t to o c c a t is d l e d o All'att .ta a. . n le ce e . u 30 m3 sQ A ta a rt o p za z , della celenta assoluta e e n io ss re p . . es l' re fa is d d no so I valort di a e eli z devo à: l'equazione di continuh ,

•

__

·

.

a = V+

A " g Lm

3 2

+

,

(l)

z+

(2)

AQ = azLm 1n •

Essendo:

CUI: •

z

Q

A=

v

o

---

=

4

15,5

ho-z

m2

•

Zm.ax ,

Risolvendo per tentativi si ottiene:

a

=

t!'

s-•

•

Mentre quest'onda muove verso il serbatoio in corrispondenza del quale si riflette dando luogo ad un'onda positiva ascendente di alt�za z' - z, celerità a' a e portata AQ' AQ viene effettuata la manovra di attacco con la 15 formazione di un'onda positi�a discendente di altezza z", portata AQ:' . . m3 s -l e celentà a . proce dendo come ne l caso appena trattato, s1 possono rmtilizzare le espressioni (l) e (2) in cui V O ed ottenere: =

=

=

-

=

.

,

•

=

r' a"

-=

=

0,58 m o

5,74 m

•

s-1

essendo: A

•

Lm
•

·�

10,9 m2

� sez� �� e intermedia del canale, l'onda positiva ascendente z' e quella positiVa nucote 7!' si incontrano ongman do due nuove onde po sit ive , un a discendente e l'altra ascendente . cGlar� � valo�e � del massimo J: sopraelevamento delle ondulazio· ni d PGSittva discendente con l' au si lio de l se gu en te gr af ic o •

•

� :J:

·

= 2,04

�u = 1,18 m.

-1,04 m

= 6,42 m

=0,24

s1 ottiene: •

Lm = 4,5 m

z

"

449

14

14

FORONOMIA

451

•

FORONOMIA

� = 0,5 - Tubo addizionale esterno o luce di Venturi: -

-

-

Si riportano nel seguito J� equazioni dell'efflusso dalle luci che più frequen temente trovano pratica appltcazwne.

h

l �-

l

Luci a battente

0-·-·-

f

- Luce circolare in parete sottile:

-20

l

--

h� .i_ "

l

0-

-·

Q

-

T

l!

=

3

2 D 7t

p:

'Y

4

··..f2gh

l!= 0,8 4 p: � h>3 'Y

Q

=

l!

7t

D2 4

"2g(h + 10,33)

IL ii= 0,6 •

- Tubo addizion ale interno o bocc a d i Borda:

Luci a stramazzo - Stramazzo Bazin (formula di --

h

l

--

p

Rehbock):

452

PROBLEMl DI IDRAUUCA E MECCANICA DEI FLUIDI

14

+

h 0,054 p

Per

c

(.L= 0,61

ex

=

45o si ha lo stram azzo Thomson ·

- Stramazzo a larga soglia:

- Stramazzo rettangolare (Hègly o Francis):

•

�;. - ·� · --- ·,T � �2· -- · �

b.... . h

E

T

t-L-i

2

15 f.Lh tgcxv'2gh-

he = h + O, 0011 m f.L = 0,402

453

8

o

•

FORONOMIA

h

1 J

o

k

--�.......

� --

�

Q = f.LL'hv'2gh L'= L-0,2 h f.L = f.LBa.zin

Q= JLA.J2gh

- Stramazzo Cipolletti:

•

r·

f! T

--

se è trascurabile 1'altezza cinetica della corte nte in arrivo: fA.

h

_l

1 l•

l

Q

- St ramazzo triangol are:

a

•l

(!Lh..J2gh

l'= 0,415

=

0,385.

PROBLEMI 14.1. Lo stramazzo Bazin (De quello Cipolletti @versano nel redpien· te A, che è in comunicazione a mezzo della luce in parete sottile @di diametro D 0,25 m col �iente B, nel quale arrivano anche le portate Q3 dello stra· mazzo Thomson e Q.. dello stramazzo Francis (4). Inoltre il recipiente A =

Q)

scarica una portata Qs attraverso la luce munita di tuliO addizionale esterno (V ed il recipiente B versa a mezzo della luce di Borda (i) di diametro D nel reci· piente C. Questo nella parte superiore contiene aria in pressione ed è munito d'una valvola di rientrata d'aria; da esso la portata effluisce attraverso la luce in parete sottile ®di diametro D' 0,7, D (y 9806 N m-3). Assegnati i caric hi h1 0,2 m e h. ha degli stramazzi Bazin e Francis ed i rapporti (QJQ1) 0,6; (QJQ1) 0,2 e (Qs/Q..) 0,8 determinare:

•

•

•

-

-

•

•

•

h

•

•

•

a) le portate Q1 e Q.. ed i carichi 112 ed h.t rispettivamente dello stramazzo (supposte trascu rabili le velocità d'arri· Cipo lletti e di quello vo a quesd due

•

14

454

A DEl FLL'IDI IC � A C C E M E RAULICt\ PROBLEMI DI !D

quando e i m g r<:> i d i m ir 7 a u t enti alle si d n o p is rr o c l! h d e ; b) i carichi hs, h6, h n = 0,8 b�r; a n g se M o ic il manometro metall

FORONOMIA

455

con: •

he =h,

+

0,0011 m

•

duca si ri s o h ic M e il , a rd o B i d iusa la luce h c , é h rc e p te n e rr o c) il tempo occ mide. a ir p j d o c n o tr l e d re fino alla base inferio

flt

=

0,402

0,054

+

he p

Cipolletti: (2)

._.t..- •.

ht

=

0,415

--

� .t �l�

p: 0.8

m

l:

m

1,0

lJ. Thomson:

(3)

o

A lJ-3

0,61

=

Francis:

(4)

t!

1.1.4

M

=

0,415

•

- Luci: SEZIONE •-

c

E-E

·"oo --·

E T

,_..

·-

-

-

·-

E

T

- 2,6S�

Venturi:

.ha

4.0

0

l'

H

l•

; 10,33

l

Qs

=

(5)

�-tsA

(5')

-

11!---..1(

f

hs

>

4 10,33 3 f'S

.

Le formule da applicare per le varie bocche sono )e seJtuenu : - Stramazzi:

:Baen i :

=

0,61

: Parete sottile rigurgitata

06

•

(l)

•

f1-6A ..J2g h6

(A6 F

0,61

(6)

456

14

ICA DEl FLUIDI AN CC ME E A IC UL RA ID DI MI PROBLE

b) N ot a

Borda con contropressione pc:

:=

Q6

0,5 1

Parete sottile da un recipiente in pressione:

Qs

=

+

Pc

(8)

j)

+

Q4

Qs

=

hs

ILS = 0,61

Q6

Q7

�� :�

•

.

·

,

105

� -

=-

9806

=

0,518 m ·

?

� �

�� : �

s-l

.

n

�, il canco h

06 = 139,36 l s-1

L � e ssa si de ucono i v or 02 e 03, i qu , i s e t f ule �egli stramazzi Clpolletti e Thomson, consentono di determin h d h3· Applicando la (4) si ricav a la porrata 04 dello stramazzo Francis. ul a

Q7

=

Os

=

330,36 l 330,361

s-1

·

·

s-1

e quindi:

�

Q4 = 1:57,81 5-1 •

=

1,10 m

h,= 17,04 m

e conseguentemente:

ha= 11,45 m

Q2

=

99,6 l

Q3 = 33,2 l

•

•

s-l 5-1

Qs = 126,24 l . 5- t Note le portate polletti e Thomson,

+

. si r ca�;ano mediante le (6), (7) ed (8) rispetn.va meme il dislivello ed il !Jvello hs ' ponendo nell e formu le (7) e (8):

(8')

'

Q l = 166 j

Q7 = Q3

Risulta:

J g hs �sA ..2

� �� i ��: ��

Q2-Qs

y

o

=

+

Pc

Parete sottile da un recipiente a superficie libera:

Qs

Ql

=

�

2g hs

�sA'

457

Qs si ottiene hs med.lante la (5) . C a lcolate le portate:

(7)

�7

FORONOMIA

. Q. 2 e Q3, dalle equazioni car atterJ·stlc he degli stramazzi· Ct" · . . . Sl ricavano i rispetti

VI

car chi·: 1

superiore del e rt pa lla ne a ut en nt co ia ar ll' de e m il volu . �) Chiusa la luce res og pr ta en m au ce lu lla da a qu ac r�c1p en te C , pe r effetto dell'efflusso dell' rmazione fo 1 as tr a un do en gu se va ol ev a ri pponendo che l'a su e, tr e en am m e, Jv nt � ndo la legge di co se p* ta lu so as e on si es pr ts ot er m a, diminuisce n el contempo la

(j),

@

Boy le-Mariotte:

p* l:(H-h)

•

� D10

•

•

0,221

m

(9)

K = costante

atoio C. rb se el d le ta n o z z ri o in c u i :E è l'area della sezione ione ss re p a ll e d re lo a v il e g n iu ll'aria ragg e d e n io ss re p la i u c valvola di a d Dall'istante t' in ra u rr e p a l' a) 5 2 1013 a p* te n e d n po is rr o c ten· n O, a m C to atmosferi c a (p to a rb se l e d re o rte superi a p a ll e n e n io ss re p e n tr a ta d'aria fa sl che la •

h3

•

ga il va lo re costante p

•

O.

�

e_ll

458

PROBLEMI DI IDRAULICA E MECCA�ICA DEl FLL'IDI

•

Applicando al serbatoio C l'equazione di continuità: Qdt

l;dh

=

(lO)

•

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----

--

FO H):-.; OMIA !

Per la restante pane pris --------�- -------�4�59 matica il tempo di vuot amento st. calc relazione: ola con la ---

che espnme l'eguag1·lanza tra il \tolume d'acqua uscente dal serbatoio in un gene. zJOn . e de1 vo1 uJ esimo dt e la corrispondente \'ana nco mterva11o di tempo m f'ru't • abil't: van le do aran sep , ene otti me d'acqua in esso contenuto, si

l-l

2L

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fk

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0.61 A'"V2g

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5

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L: =

-

Q

ottenuta dalJ'integrazione della (lO"'). l

(l O')

dh

che, integrata, permette di determi�are il �empo di vuotamento. I? essa E è co _ stante per la parte p rismatica e funz10ne di h per la �arte tr?nco p1rarrud e; per t< t', Q è funzione di h sia direttamente, per trarru te della pressione p dell'aria secondo le (8) e (9), mentre per t �t e funzJOne della sola h seco ndo la (8'). L equazione (10') diventa allora: per t< t':

��

At

�

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•

dt =

L:

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J.LsA' ffg

dh

r====:;:;:======-

-

h+

K

----

y2:(H-h)

!:.Jig

----

A s 1-L

v'h dh

m

che è la (lO'") scritta per incrementi finiti ponendo i valori medi �e hm rispet· tivamente della sezione del serbatoio e del carico sulla luce nell'in tervallo di tempo At.

(l O'")

--

l

(101325 +n· lOs)!:ho

8>

5g

-10,33


Pertanto, fino al livello h8 dato dalla:

-

__ _L_m_=0,61A'

•

dt=-

m

=

(l O")

per t�t ':

;J,:e r �

Infine, per la parte t•·onco piramidale il tempo di vuoramento si . a col cal an cora col metodo delle differenle finite servendosi della relazione:

��

=

101325l:(H-h8)

svuotamen o si calcola per � differenze finite , suddillide nd o . l'altezz a parti eguali e servend osi della relazione: �t=----� �� 0,61A'

.fig

che è la (l OW) scritta per in nell.,intervallo di

tempo

Ah

�r==��=== :-K hlll + -- �- - - - -10,3 3 1' � (H - h m)

�rementt f•liU.ti. ponendovi il carico

4

·

medio hm sul la luce

b�

ato A e 14 2 Un a tubazione liscia di diametro D= 0,12 m .coll � i Jero f8SCIO B conte e ti acqoa (11= 10--<� m2 s-1); lungo essa è 3 mm St ntengano t rascura stituito da 2 00 t�bet�t. di d"ta?"etro terno d uolo tol a è M1 ale nzi ere di tro me te lizza loca o tutte le perd1te d�;artc tubo addizionale un sto J po è u m). 1 0, Il 8530 N m (y1 da no so C T po tap 1 0 o chi e e ess e rie ntr ant che pu ò � ,a u o stramazzo un so er rav att e J isc flu a � circolare in pare te sottile e � . ente. an rm pe o ot m ru zto ua stt ue d e 1 o Th om so n. Si considerin

�

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posi��

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S

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d (;

fo�� di B f

Be

eg

�

tu

ff

collegati una luce

cfi

n a)

: addizionale è chiuso. Determin�

tubo la pH)rtata �;

[bar] del manometro b ) l'indicazione in j c) il dislivello llH d) la quota zv a CUI SI deve porre

n

�r�

bili

Ml;

livelli B e dello stramazzo iJ v�:tice

Thomson.

A DEl FLUIDI IC N CA EC M E A IC UL RA PROBLEMI DJ ID

460 A

il

::�o all � �

lO% r� ;

15

i M2 au m enti del d e n io az ic d in l' e ch so es . ddizionale e amm b e zc, deterrrunare: e zs at ri va in o d an a t azione precedente rest

MOTI DI FILTRAZIONE

•

e) la nuova portata

Q';

M 1; f) la nuova indicazione 11' di

o addizionaJe. b tu aJ e ar gn se as da 2 D ro g) il diamet p.

l

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1 -� t-L2 -;;>m-1

--

\50m

Il moto di fil tra zio ne monodimensionale è r etto dalla legge di Darcy:

t

l

A

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L: SO m

N• 2500 TUBEnt � lmm

8

-::

c

dove J è la cade nte e V la velocità di filtrazione pari al rapporto fr� la portata e l'area comples siva, vuoti più pieni, della sezione normale alla corrente. Il fattore f di p roporzion alità, funzione del fluido e del mezzo, viene definito permea},ilità. Più i n generale per un moto tridimensionale si può sc:rivere:

f

V

so

•

=

-

f grad z

+

1:. l

erficie isopiezomesup alla re ola dic pen per to pun i ogn in lta risu V che ue seg Ne . . tric a pas sante per quel punto. de1 graru, o er_r di dd i or v i i tat or rip no so N ell a tabella seguente .� _ up 1 di terreru. m alcuru l J r pe ità loc ve lla de e à lit bi della permea

m�o

�

.

=

TABELLA tS.I RE DI TERNI I IP T I N U C AL I D E H IC IST GRANDEZZE CARATTER

l

Qualità del terreno

Fango Sabbia finissima Sabbia fine Sabbia media Sabbia grossa •

Sabbia grossa

G

shiaietto

Diametro medio [m m]

0,01 0,01 0,06 0,1 0,2 0,4 0,5 0,6 0,8 1-.0 2,0 ,,o

Permeabilità [cm · s-1]

·-

0,0000183 0,000293 0,00066 0,00183 0,007)2 0,029) 0,0438 0,0659 0,117 0,183 0,7)2 4,580

Velocità ddl•acqua

per}·

[cm

•

l

s-1]

0,000058 0,000922 0,00208 0,00576 0,0231 0,0922 0,1441 0,208 0,369 0,576 2,307 14,41 •

{:\ Dr. l I'Ll'IDI �l :\ .C E( J\I E t\ IC t;L RA ID DI PROBLE�ll

462

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Filtrazione in

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le caraneristiclle geomeujc he del filtro e ' la \'i�cosità del fluido.

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in falda freatica •

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i11dustriali

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processi

Pe r un filtro omogenei) d'l Sf> ...t · one tra s,·er,. "le A e lu ngh ezza L, avente pera • meabilirà specifica k k la 1 egge dt Darcy: v

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in falda artesiana

-_ � \ , ,

MOTI ��L TRAZIO�E

f

o

_,.,

lS .

Ua ponata in alcune si de o ol lc ca il r pe i on zi la re le Si riporrano nel seguito ione in processi az ltr fi lla su i nn ce i de e to imen tuazioni elementari di atting indusrriaH.

Pozzo

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Trincea drenante

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neo di ge o m o ke ca n u ta si o ep d ante k, si st co i d ro lt fi n i d u su o d an Qu costaPte:

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legge: la o d n co se , e ri se in ti e demen u d i so r e v ra tt a e n la filtrllzione avvie •

�P

•

+

KdQ

(2)

ICA DEl FLUIDI PROBLEMI DI IDRAULICA E MECCAN

464

��

W e m fil lu vo al le na zio or op pr e ar er id ns co ò Lo spessore TL-c del cake si pu rma: ,fo la. tto so v .c eh e pu o si or p , !'. e nt sta co la r trato e lo stesso avviene pe

Kc =

W=

CW

+

(3 )

Kr)Q

La (3) consente eli ricavare la caduta di pressione all'istante gen:r ic.o t, quando si conosca la legge Q(t) con Ja quale Ja portata ha attraver�ato il filtro _ porvt: fme, tal a basta, 0); = (t cake del dall'inizio della deposizione

l

o

(4)

Q(t)dt

'

filtro

- Se la filtrazione avviene a portata costante Qo, la

(4)

(3)

(4')

diventa: Ap = CQàt

+

K,Qo

la (3) assume la forma: QW dt

=

•

c

2CAPot

(6)

- Se la fa se a ca du ta di pressione costante segue ad una a ponata costante Qo ch e è durata fino all'istante tt, ha filtrato il volume \Y/1 ed ha raggiunto una cad uta di pressione finale eguale a Apo, si deve integrare la (3) con la nuova con dizione iniziale che per t = t 1 W= W l· Posto:

st ot ue n e : •

•

W=

- K,

+

..JKl

+

2C(Apot

+

B)

(8)

c

e quindi:

dW dt

PROBLEMI

_poAL::._ ... CW + Kr

__

CW dW

+

Introducendo la condiz ione iniziale che per t

•

O, W

•

O si ha:

•

.

D

•

�r.!e:

•

KrdW

�

12,5 Q a at rt po a n u attinge O 25 m �ta di spessore costante .s 4 m fiume )a cui superfiae libera n u da ta ta

po zz o P di �10 ro . l . s- t d a una falda arteSiana e pe rmeabllità f 0,0.3 cm· s si ammette orizzontale.. 42 m del t � �· ordina co la ta na Asseg � . e. eli assi indicato in figura, Sl nchied

lS.l.

che si può integrare separan do le variabili ottenendo: Apodt

+

che descrive la funzione W(t). Per confronto co n la (2), si ha anch e la legge di var"1az·1one de11 a portata con il tempo:

(5)

fornendo una caduta di pressione crescente linearm ente col tempo. - Se la filtrazione avviene a caduta di pression e costante Apo, essendo: Q=

�K�

si semplifica nella :

W= Qot e la

+

(7}

t

Casi partc i olari di operazione del

-Kr

•

Ap = (CW

o

465

Q u e st'equazione di secondo g . . rado ha la radtce " postttv a:

Pertanto la filtrazione segue la legge:

w=

MOTI Dl FlL TRAZIONE

•

•.

centrO

del

rispetto al sistema

. ptezomttrtca superfici e la o t t so nel pozo z Uvel lo del a) l'abbassamento Ao d�faldamdU�n;

� mi lsopielo linee delle b) l'equazione

.

•

15

DEl FLUIDI ICA MECCA=' RAULICA E PROBLEMI DI ID

466

l

l

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467

d a l centro de l pozzo l'abbassamen to (o l''tnnal zame mo) della piezometric p a ri a: a

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l

MOTI DI FILTRA ZlONE

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...-

Scrivendo questa relazione per i singoli pozzi p e p t e somman o al . d gebnca· mente, s1 trova che l' a bb assamento m un punto generico di coordinate x ' ., y e c10e d 1stante:

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T

s

.t

dal centro del pozzo P e:

ro

(l) dal centro del pozzo P,, vale:

l

y

l

Il=

Q 2itsf

=

r, ln-

(2)

r

Seri vend o la m edesi ma relazione per un punto qualunque del perimetro del pozzo P, si ricava:

l

Ilo = x

essendo r 1

=

2

Q 21tsf

In

rt ro

=

9,65 m

xt

� %�C: nd punto ge-

ento p iez m a ss ba ' ab l ), (2 lla ne ) (l le o � nd b ) In tr o du ce all a or1' d e n ta es rt ca e at in rd oo c nenco x, y v1ene espresso 1n .

·

.

Q

27tsf n fenomeno è fisicamente identico a quello che si avrebbe in uno strato im permeabile planimetricamente indefinito, soggetto all'azione cont emp oran ea del pozzo assegnato e del pozzo immagine P1, disposto come in figura, nel quale vie ne immessa una portata uguale a Q. Pertanto i quesiti si risolvono sovrapponen do gli effetti dei due pozzi. a) L'estrazione (o immissione) della portata Q da un po zzo iso lat o posto al centro di un'«isola» circolare di raggio R provochereb be in un pu nto a dis tan -

In

(x + x.) + Y 2 1 (x-xtl + Y

•

41tsf

In

)2

2

(x+ Xl + Y 2 2 ) + (x-x1 Y

condizione dalla e defmit ) sono e eh I e o z ie p so (l � Posto que o. logaritm Le linee e q u ip o tenzi ali del omento rg a e a z n a st o c c o s t a n t e c h e implica la .

ll =

Q

•

st 'ultimo uguale a

1 risulta: c

.

.

�Ù

•

(3)

468

ICA DEl FLUIDI \1\ Ct EC M E A IC UL RA ID PROBLEMI DI

l�

ta: en iv d li ia nz te po ui eq ee n li e delle Sviluppando ]a (.3} ]'equazion 2 2 y + x

-

l

2x x,

1

c

+ -

c

+

x

.

o

cp = Vx +C

l

li e di alcune linee ia nz te po ui eq ee lin lle de to en In figura è riportato l'andam di corrente.

Ricordando che:

cp

l

a un a falda artesiana nt me ali eo Jln tti re o nt me da an ad F me 15.2. Il fiu uni�orme con velocità di to mo di e ov mu si e ch m 6 s re sso spe di oriz-zontale, . 50 m da l . Alla distanza L me fm al e lar ico nd rpe pe e on ezi dir in V e ion filtraz falda per tut to Io spe sso re. fiume un pozzo di raggio ro 0,15 m attraversa la 5m 9,8 = ho to rba istu ind zo poz nel m e IO H me fiu nel lli live Assegnati i erminare: e la permeabilit à f 0,0025 m • s..,1 dell'ammasso filtrante, det =

=

=

=

a) la velocità di filtrazione V;

b) l'abbassamento del livello nel pozzo quando da esso si estra e la port ata Q 0,010 m3 s-1;

In corrispondenza del centro del pozzo si ha:

-fho

da cui:

•• • • •

••• •

• •• •

•• •• •

•• • •

•••

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S

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••• •• • • • ••• •

•••• •

SUPERFICIE PIEZOMETRICA DELLA FALDA INOISTURBATA

H

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F

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.

. .. ... .. .. . . -. -·

1 l . . __. l ... l l

l • J J..•.1,.1... , •:t•,••.:•

.

•:• Y: • • •• • • . •, �·�•A'; .•tt •.• �·--·•.-�·'··'· . .,� ..• :.,•s . •. . . .. . ,. ., "" '-' ' ' ::

.

SORGENTE

.•

POZZO

L

f

=

9

·

10-6 m

•

s-•

.

l

-

H-ho =

b) Quando dal pozzo viene estratta la portata Q, i1 sistema fiume- falda in moto uniforme - pozzo è equivalente a quello formato da una falda artesiana in· definita in entrambi i versi dell'asse x ed animata da un moto uniforme con ve· locità V, nella quale si trov-a una sorgente ed un pozzo di eguale portata Q, posti simmetricamente rispetto alla sponda del fiume che coincide con l'asse y, alla di· stanza L da esso. Con le coordinate cartesiane presc:elte, le linee equipotenziali del moto risultante sono espresse dalla relazione: fJ = Vx

_.. � , l

l

' ••

h ."c.

... ····'·. ·

s

'•'

VL-fH

la quale non è ch e la legge di Darcy.

TERRENO

• ••• •

••

=

•

•

••

-fh

-fH =c

c) l'andamento di alcune linee di corrente del sistema. •••• • •

=

ed imponendo che sia soddisfatta la condi . z tone al contorno h =H per x =O, si ottiene:

=

=

469

Assunto un sistema cartesiano di r·1f . . �runento avente gmngen te p o z z o -f iu m e norm come asse x 1a conale a quest, · ulumo e come asse y la ·... v tc· m a al pozzo le linee ptu . sponda de1 fiurne · e qwpo tenztali ' hanno equaztone . :

•

2 1 =

MOTI DI FILTR AZIONE

·.•••

•

. • •

•

•J.'e..

+

2 x + L ) +t In ( {x-L} 2 + y2 � Q

Poiché per x= O risulta q>1

�L --4-·L--1

a) Quando dal pozzo non viene st att a al cuna portata , la fal da è indistur. r � bata e pertanto le linee equi t al n un mot o uniforme svolgentesi �on velocità V in direz r e

f::r::� �� : �

•

+

c.

(l)

-fH, daDa (l) si ottiene:

-fH. c.

e pertanto essa diventa:

•

f•

•

-fh'

•

Vx +

(2)

I\ Del FI.UIDI PROBLEMI Dl IDRAULJCA E MECCA��IC -

470 Per

x

= L ed y =

± ro

�� --

--

si ha:

q>1 = -fho = VL

Q +

47ts

2 r& 2! ) + : ( In rfi

,

=

-fhO

=

VL

Q

-

+

27ts

In

.

2L ro

471

l y fH

· · co Jo nspetto ad L, non si commette apprezzabile errore traEssendo ro p1c 2 e pertanto puo scnverst. ) (2L di nti fro con nej r5 do scuran ' m Tl

MOTI DJ FILTRA ZIONE

-'l

' ....

. .

...

-

-fH

::::-s--:::..

-1. -5 .') - .:> //_...../::,/ .. �/ /'/7/ ./�Vv / - v" ...... / ' ''-� L

,

L'abbassamento deJ livello nel poz.zo conseguente all'estrazione della porta ta Q, vale quindi:

..

�.,

"""''' l �

=""-=""-;' , ��,, ....... ' """. "..."' J""""'-, �.. '1\. '\. ...... �... ....... ..

8

-·

4

,/

'�

,

-

_

....... \ M ' ......._ ........ ,À,' ....... "" � ....... "'\.'\."....... ' ...... ...."" ""-' l ,....,_ ... ... .... ... � _, ,...""'-.. ...., �

;<

-

t.

-

�

6 4 2 o

x ..

...

7•;. ' ...... , --/ VA / j,/'�. ·,' _/// 1",/ /C,' :::!' /i'/ :./ .. :;:. � -

M

c) Si traccino le linee di corrente componendo con la costruzione di Ranki ne le linee di corrente della sorgente (rette uscenti dal punto rappresentante la sorgente e formanti con l'asse delle 'x angoli e = 21ts�JQ) e quelle del pozzo (rette dirette verso il centro del pozzo e formanti con l, asse delle x angoli e = -21tS�p/Q) e successivamente le linee di corrente del moto uniforme (rette parallele all'asse x di equazione y = �u/V) tracciate per un certo numero di valori di � SJ cPP e �U·

15.3. Un filtro lavora a portata costante Qo per t1 = 20 minuti ed il volu me wl di filtrato è pari a 135 litri. La caduta dj pressione i ni ziale è Apo = 3500 Pa e quella alla fine dei 20 mi n u ti è Ap1 = 35000 Pa. Successivamente il filtro lavora sotto quest'ultima pressione differenziale, costante. Si determinino le leggi di variazione del volume filtrato e della corrispondente portata in funzione del tempo. ·

Durante il periodo t1 di funzionamento, la portata Qo costante vale:

Qo 9

-7

LINEE 01

l l

,,

l l

;

6 -

l

ti

=

6,75 l

Dalla (5), con la condizione iniziale 4po

s 't'p

l

=

wl

•

. -l mm

3500 Pa e t= O si ricava:

=

_,

,

l ,

-3

Kr

Apo =

Qo

A mentre la condizione up1 •

x

•

C

=

=

= 518,52 Pa

•

1-1

35000 pa al tempo

llpa-K.Oo 2 Qota

•

ta

34 ,S7 Pa

•

•

min

20 min uti fornisce:

J 2min -

•

detummate s1 ra o e z z e d a n r g Je to ot od Riscrivendo la (5) do� �ver m. tr e 4p nella n io ss re p i d ta u d (l la el d . tempo pu ò ottenere la legge di vartazlone nel fase a portata co stan te :

•

•

,

Ap

•

1S1S

t +

3500

DEl FLUIDI CA I'\I CA EC M E A IC UL RA ID I D I EM PROBL

472

la (8) te an st co A p u a e f as va st es cc su Per 1a (t). funzioni W W(t) e Q Q Poiché risulta: ·

e

15 l

la (9) forniscono direttamente le

B

=

o

.

473

15 4 Calcolare la caduta d'l . -1 press10ne Ap d'l . una corrente di Q m = l k g s d'atla a 20oC (p 3 portata l 2 kg m · " tr av er sa un letto cili. ndr'1c o cost r- - 18 3 10-6 Pa . s) che at? l'tu't 1 o da s fere di d· lamet ro d l ' 25 cm m mamera ta 1e da pr es en . , disposte tare una porosua E o 38 Il d ia m et ro e l'altezza del lett o di sfere sono pan nspetttvam . ente a D 1 2 m e L 2,4 m. .

.

.

=

=

=

MOTI DI FILTRA ZIONE

·

'

•

,

•

·

=

=

314984 Pa · min

'

·.

.

=

=

)

si ha: W(t)

-518,52

+

=

.J2419900r-21509151

(8')

34,57 35000

Q(t) =

La relazione che, in funzione dei va ri parametn f151c . 1. .e ge�metrt. cr. , fornisce la caduta dj pressione at traverso il mezzo poro , scn so puo verst: .

Àp

(9')

.J2419900t-21509151

•

Nella figura che segue sono riportati gli andamenti nel tempo delle funzioni Àp, W e Q, sia per la fase a portata costante (t< t t) che per la fase a Àp cost an te (t> tJ).

(l)

=

•

1D CUl:

p V

è la densità del fluido;

À'

è l'indice di resistenza, ricavabile dalle relazioni seguenti:

è la velocità di filtrazione;

À'

6p(Pa)

600

=

Re'

30'000

À'

20'000

=

600 Re'

taooo

20

40

À' 60

t(minl

=

w (l l

Re ' è il

300

nu m ero

100

40

OCt/s)

60

t C

min)

7

per

l �Re' � la'

=

pVd

IL (1- &)

..IJ

4 Q.;:.;m;;.d. '!"'""

-

_

7tD2(.L(l- &)

__

_

=

974

Dalla (2" ), si ricava: À'

=

7,62

sione: pres di ta u ca a st ie ch ri d che sostituito n el la (1), fornisce la

4

4p. 2692 Pa. 20

40

60

Umin)

(T)

(2"')

Re'> 1 04

per

7

(2')

di Reynolds associato alla velocità di filtrazione, pari a:

200

Re'

+

Re'< l

per

(3)

16

STRATO liMlTE AZlONE DELLE CORRENTI SUGLI OSTACOLI

475

piana d i spessore trascurabile ' lunghezza L e profo ' · · · ndit'a m d eIla su a super ftcte st sviluppa def'uuta, · in prossimità una z a d'1 moto fortemente dissipativ terizzato d a forti gradienti o e caratdi veloci

16

��

STRATO LIMITE AZIONE DELLE CORRENTI

z

•

SUGLI OSTACOLI v

•

In. una corrente fluida che interagisce con un co rpo solido si possono distin guere due zone in cui il movimento avviene con modalità diverse: - una prima zona in prossimùà del corpo (strato limite), caratterizzata da forti graclienri di velocità, all'interno deUa quale si esplicano gH effetti dell'attrito del fluido sulle sue pareri; - una seconda zona, più estesa, nella quale iJ fluido si può considerare pri vo di viscosirà. Convenzionalmente lo spessore nata in cui si ha: u

o dello

L'interazione fra la corrente e la lastra provoca un aumento di spessore del · · · lo stra to limi. te (che all'uu zt� ha c�r�ttere laminare) lungo l'asci . . ss�, provocando 1� generazione di una zona di transtztone e poi di una zona in cui lo strcuo limite diventa puramente turbolento. In prossimità della parete permane comunque un sottilissi mo strato in moto lam inar e chiamato substrato limite laminare.

strato l im ite è definit o pari all'ordi

STRATO LIMITE TURBOLENTO

,

ZONA 01 TRANSIZIONE =

0,99 v

STRATO LIMITE LAMINARE ,

,

'!--

v

u

1----

,

..... _

SU8STRATO LIMITE LAMI4ARE -----------

o

L'eventuale scabrezza della lastra modifica la localizzazione della zona di transizione fra i due regimi.

Strato limite all,imbocco di

una

condotlll

laminare, si ha All'imbocco di una condotta e in cui la corren te a regime sia maa no • • I ' • ma e· rm ifo un è à t o' o va -' a ll de one uZJ tn b dis dapprtma una zona m cw a i , rso e fmo a s o pes su il a nt me au ite lim ato str lo co boc ll no ch e d si allontana da im raggiungere la condizione di regime. ·

,

; :!�

s

del lo t

' i h aman o nel se ito a c � � �ni concetti generali del fen ome no di sviluppo ' . ' o ll mt te tn cast sempil c t.

Strato limite lungo una lastra

.

/Jian4

Con riferimento ad un l . f uido · compr . 'b'J l e ed tsotermo che si muove con velo cità costante nella �n_u direzione de e x posnt e. v quando esso incontra una lastra

ll

,.

• •

•

' .· ·.

•

.

ARI STRATO LIMITI t.AMtN

•

.

.

••

•

•

.

•

•

•

.

•

•

• •

t •'

.

•

• • •

•

·.

•.

. ·' .

'

.,

.

.

�

PROBLE!>U

476

I CANICA DE I FLUID EC M E A C U U RA ID DI

R

· · della quale ciò si ve rif ica a nz de on sp rri co in XL a La lunghezza appross1mau� mesq: è data dalla relazione di Bouss XL=

1 6_ STRATO LlMlTE AZIONE DE LLE

_ __

_ __

isult a ndo

av iJs

>O

· ime sia turbolento, il· fenomeno reg a to mo il a ott nd co lla ne cw m o · Ne1 cas · eressare }' Int era a Int d f' mo li · ite m ato str lio de re sso spe llo de dell' accresc1men to hezza d a 30 a 60 di ametn. g lun di na zo a un in e ien v v a io, gg ssa pa sezione di

SL'CLI

OSTACOU

477

a monte della . ne sezio A-A' si ven.f.tca che la quota

piezometrica d im inuisce lungo l'asc1·5sa s,

0,03 Re D

CORRE. 'TI

.

,

ctoe:

·

·

·

A valle della sezione di massim o spessore n. sul ta v . 1ceversa: av

.. .

.

.

.

,... ..,. . .. .. ' .. . .....

.

. . .

.

.

. ..

as

P..--:-,,..

una

e

'

......

.

-

corrente fluida

STRATO LIMITE TURBOLENTO

corpi di spessore non trascurabile

su

a as

z. _p_ >O l

.�

STRATO LIMITE lAMIII4ARE

Azione di

e si ve rif ic a un ra pi do inspess ime m o dello str at o 11' ""; ""te ed evemualmente il suo . d.1stacco con g ene ra zio n e della sc i a .

Da l punto di vista �in am i co si può affermare che in un a situazione di moto _ r�lati �'O fra un corpo solido e un campo fluido si genera una forza agente nella dtreziOne de] moto, detta resistenza e pari a:

�

Per un corpo solido con spessore non trascurabile ed opportunamente profi lato immerso in una corrente fluida si può notare che, disponendosi le traietto rie come indicato in figura, la velocità in prossimità del contorno cre sce fino alla se zione A-A di massimo spessore, per poi diminuire procedend o verso val le. in cui A è la sezione ma estra e CR è il coefficiente di resistenza. A

l'

v

Sui corpi asimmetrici nasce un'altra forza, detta portanza, diretta normal mente al moto e pari a:

,...

_l_ l

s

or

"

.

+--· _1 ' l •

•

•

-� in cui Cp è il coefficiente di portanza. Si riportano nella res istenza •

' "

.

tabella seguente alcum

.

\'alori dei coefficienti di •

l 16

ICA DEI FLUIDI N A C EC M E A C LI U RA PROBLEMI DI ID

478

l

STRATO liMITE AZIONE DELLE CORRENTI SUGLI OSTACOLI

479

•

PROBLEMI 16.. 1. �alcol e lo spessore � 8 dello s�rato �te che si sviluppa su di una lastra p 1a n a mvesuta da u n a . corrente d ana unif orme con velocità V m · s- a ll a dis ta nza x 14 1,7 m dal bordo d'att acco (v 1,6 . 10-s m2 s-1).

Re

=

=

=

•

Lastra piana (tangente) -...

---

�L--1

Lastra p1ana (normale)

Re<2000 7 2000
o

Re> 103

i

d

r/

•

Re

=

Vx

=

1, 4 9

·

x

della piastra vale:

106

Facendo l'ipotesi che lo strato limite sia laminare si può usare la relazione:

L/d l 5 10 20 30

•

•

-112 33 Re 1, -IIS 0,074 Re

Il n u m ero di Reynolds relativo al la lunghezza

1,18 1,2 1,3 1,5 1,6 1,95

00

_! x

6 --'-4 ' 1� ;:;-2Re

;

=

=

0,57 cm

Ipotizzando invece lo strato limite turbolento, si avrebbe invece:

---

0,376 s Re•'

x

=

3,29 cm

Disco circolare

Sf era ._...

l' " l' d

' ..... �

Cilindro circolare

h ..__. _.

l, 17

• d .l.

-··

-v�'/)

� l'

--fèf"-

. . Dove do dectdere sulla ma�tore attendibilità di una delle due ipotesi si � calcoli la dista?�a x! dal b�rdo d attac in cui inizia la zona di transizione, fat: to che si veriftca m corrtspon denza el valore sperim entale del numero di Reynolds:

d

Re' 24 Re112 0,47 0,2

Re<1 l 03< Re < 3 105 Re> 3 105 •

•

l 5 lO 20 30 00

3,2

•

10 5

Risulta: xy

L/d

•

0,63 0,8 0,83 0,93 l 1,2

=

"

v

Re'

•

0,366

m

turbolento. . te limi o at tr s di si te po l'i da cui si vede che è più attendibile l t d ese orz a a 15 Ja f 16 2 r L a · m:e�::! ata Calcolare zs;a p.• 1 z e h m_, 1 5i d _, e lar go tan ret ne llo ca rte ). 2 ka , golo retto (v • 1,6 10 •

,

•

.

•

•

d

90 km. h-•) su di un 3m investito ad an·

•

480

CCANICA DEl FLUIDI PROBLEMI DI IDRAUUCA E ME

17

Il numero di Reynolds vale: Vd = 4 69 ,

Re=

v

Dalla tabella 16.1 si ottiene CR R

=

CRp

6 10

·

V

=

1,2, per cuj:

2

2

Ld

t

ANALISI DIMENSIONALE E SIMILITUDINE

=

20,3

.

3 10 N.

Di fronte all'esigenza di esaminare . o di prevedere il comportarnen 1 o t · 1 una d 1 corre nt e f u1d � 1n parttco a J con di·zion i, è possibile studiare il fenomeno � su modello, ovvero m una s ala dtv�rsa da quella or iginale e più agevole per le indagi � ni da svolgere. Il protoupo ed il modello devono esse re fra loro in similitudine in modo tale eh� il fenomeno fisico che si realizza sia il medesimo e che quindi i ri _ su lta ti trovati su l modello possano essere opportunameme attribuiti al reale sen za che se ne alteri l'attendibilità. l tip j di similitudjne che si possono realizzare vengono identif icati anraver so par ame tri adimensionali da costruire dopo avere opportunamente riscritto le equazioni che reggono il fenomeno stesso (analisi diretta). In altri casi si può far uso del metod o dell'analisi dimensionale basato sul teorema 7t (o di Buckin gham); con esso è possibile ricavare i gruppi adimensionali caratteristici di un certo fenomeno senza conoscere le equazioni che lo reggono a patto di identifi· care correttamente tutte le grandezze fisiche da cui esso dipende. Se infatti fra una grandezza q a e altre qo-a grandezze q2. . qD esiste una re lazione del tipo: ·

·

,

·

.

f(q., q2,

•

.. . .

qn)

=

.

(1)

O

�ura usa= le

essa dev e rimanere valida qualunque sia i1 sistema di unità di a varie q; essendo z m il numero delle unità fondamentali del SIStem P la relazione ( 1) si può scrivere: =

f( qa, q2,

..

.. q.; ra , .... ro-.J

fa (qa .... qml

•

cost.

•

to,

O (2)

entali e am d n fo le al d se er iv d i on si dimen qm sono le 'ran ezze dove le q1 ezze • e le grand . q ti en n a m ri le a fi fr ra . . rn-m sono i ra pp or u adimenslon · fondamentali. incom fluidi dei caso nel (2) azione rel • e ch ) 1t a m Si dimostra (teore PP1 adi aru 3 da m a at rm . fo a ltr a un une ad rl e pr m se ò pu si 3 • ili m b in c ui mensionali q, tali che: • • • •

.

.

�

�

·

�

�m!

-

'

17 CCANfCA DEl FLUIDI ME E CA UU RA ID DJ Ml LE PROB

482

almente inon si en m di e t el c es pr li ta en am nd le grandezze fo . m CUI qk, q�, qm sono . come. re ve n sc o pu s1 o n u 1 es to en dipendenti. L'argom ,

·

·

.

.

,

.

483 . S1 r eal'1zza quindi la similitu dIn ' e fra proto u. . . po e modello quando adlmensJOn ali 1ti c h e caratterizzano i j il fenomeno assumo no lo stesso valo due processi. j L e g ra n d e z z e da considerare . . . nell'ambu ' o �el. flwdl mcomprimibili sono quelle che compaiono nell'insieme . d e n e equaztoru che desc . . . nvono questa categona d'1 fenomeru (correnti in pressione ' a pel0 libero. ecc.). In generale si può scrivere:

��

·

-

•

e l'equazione del fenomeno:
. . • .

ANAUSJ DIMEN SIONALE E SlMILITUDINE

f(p, f.l,

1tm-3) = O

Dette allora q), q2, .... q�Ie misure di q1, q2, .... qm nell'originale, le misure qi, qi, .... q� delle stesse grandezze nel modello si possano ottenere dalle prece denti moltiplicandole per i rapporti di riduzione deducibili dalle rispettive equa zioni dimensionali. Se lunghezza L, massa M, e tempo T sono le tre grandezze fondamentali, . . per una genenca q st avrà:

�

•

E

è l a comprimibilità [ML-l T-2]

s

è la tensione superficiale [MT-2]

g

è la J' accelerazione di gravità '[LT-2]

L

è la lunghezza [L]

V

è la velocità [L11]

t

è il tempo [TI

�p

è il salto di pressione [ML-l T-2]

m

sono j vari coefficienti numerici. La

( 4),

supponendo i coefficienti numeri costanti, diventa:

ft (p, ��

L' À=-

IL=

't=

M'

s, g, L, V, t,

dove:

pV L

L = ÀCIIJ.jl'ty c( ovvero in forma più gen erale:

=

=Re

è il numero di Reyno)ds;

li

2 V p '

•

•

Ra

2 LV p .. .. -- W e s

Raylesh; di numero il � Weber; � iJ numero di

O tre

L '

p VL'

•

'

�p)

Vt

fL

T'

s1 ottiene: •

t,

Evidenziando ora come terna fondamentale le si ha:

M"

T"

(4)

1 è la viscosità [ML-I T- ]

Ponendo poi:

L"

o

è la densità [ML-3]

p

o

=

cut:

m

(3)

s, g, L, V, t, Ap, m)

•

•

ed anche:

t,

grandezze

.o

p, V ed L

I A�ICA DEl FLL'ID C C E M E A C LI U A R PROBLEMI DI ID

484 v

=

�

17

\1

Vt

-

L �p 2 pV

è il gruppo cinematico;

1t't

=

=

-

,

ex

=

Pr

numero di Prandtl

che rappresenta il rapporto fra la viscosità del flu ido e ]a d.f l fustvtta teruuca a . · ·1 k · C k/ · par1 a p p, m cm e 1 rapporto fra 1 calori specifici a pression e cost ante ed a 1 vo urne costante. Pe r i d�e criteri di similirudine più frequenti nell'idra ulica (Revnolds e . · · · ali Froude), SJ nportano nella tabella seguente i coefficienti di scala delle pnnC1p . . . gran dezze m f unz10ne d1 quello geometrico À.

è il numero di Eulero.

Eu

485

che rappresenta il rapporto fra la velocità deli a corrente e la celerità del suono nel mezzo;

è il numero di Froude;

Fr

ANALlSI DIMENSI ONALE E SIMILIT UDl�E

·

·

·

..

,

li che: ta ni di tu ili m si re za iz al re ue nq Si possono du Re" Re' =

Ra'

=

Ra"

Fr'

=

Fr"

We'

=

We"

TABELLA 17 .I COEFFICIENTI DI SCALA Lunghezza Area Volume Tempo Velocità Accelern. Portata Forza

_, "' -: - _, ''-'t -

Eu'

=

Eu"

A seconda dei casi e non potendo i tipi di similitudine ora esamina ti realiz zarsi contemporaneamente, si deve scegliere il criterio di similitudine più adatto in dipendenza dei caratteri del processo fisico da studiare. Al verificarsi di fenomeni più particolari si possono costruire altri gruppi adimensionali, quali: _fL_

=

v

St

numero di Strouhal

in cui f è la frequen�a del fenomeno periodico; p

-p. vz

p

=

Th

À

Fr

À

À l

i

PROBLEMI do per 17 .1. Ricavare le condizioni di similitudine per il moto di un flui fett o incomprimibile non soggetto alla gravità. il numero di Eu è me esa in so ca l ne e ien erv int e ch le na sio en Il gruppo adim lero; occ orr e cioè che sia:

EUor

=

EUmod

ovvero: caratteristica di Allievi.

!lp

pV2

-�

or

---

Ap u

Per i fluidi comprimibili, si po . ssono mettere m evi.denza altri gruppi adi· mensionali caratten. st.lc.l, .an paru. col are:

v c

•Ma

numero di Mach

l

,

numero di Thoma;

2

aV = A gH

Re

'

- 1

pV2jmod Apor flpmod

•

(pV1)mod (pV2)or

486

17


ANALISI DIME NSIONALE E SIMillTUD!t»E

l

r6p= - -yrP fv

L Re= pV

Essendo r,= l (stesso fluido fra originale e modeUo) si ha:

i"'

l

ft;p = -y r. che è l'unica condizione di similitudine da rispettare. Come si vede la scala geo metrica non in[erviene.

�

=

Pmod V mod lmod i"'mod

17.2. Ricavare col metodo deU'analisi diretta le condizioni eli similitudine per il moto di un fluido reale in modo che nel modeUo si abbiano le stesse perdi te di carico continue che neiJ'originale. Ponendo:

In generale si può scrivere:

r,= l

r• =l Dovendo valere sia neU' originale che nel modeUo, si ha: si ha:

r,=

l T

Dividendo fra loro le due espress ioni, risulta:

E��o,

=

Eumo
Ponendo ad esempio:

da cui:

l'k=l si ba: 17 4 .

.

un fluido similitudine per U moto eli Analizzare le condizioni di

comprimibile.

17

ICA DEl FLCIDI N A C C E M E A C AULI PROBLEMI DI IDR

488

ANALISI DIME NSIONALE E SlMlLITUDlNE

489

di Rey o ll e u , q ro le u i E d ro e m sono il nu ti n e in rt e p li a n o si n e I gruppi aclim ch: oolds e quello eli Ma f(Eu, Re, Ma )

Euor Reor M�r

=

=

Eumod

=

Remod

=

O

rA.. p

Mamod

=

r pr2v

Ponendo

•

rv

=

re

dello si h a : Se il fluido è il medesimo nell'originaJe e nel mo

si ha:

l

rv = -

À

r,

=

l rvrt

e l unica soluzio ne p ossibile è quella ban Ja e con tutti i gr u ppi ugu a l i a l. '

Pu ò allora pensare ' " . al e. nCJJ ongm

S�

17.5. libera.

di usare nel modello

. un fluido dt"verso che

. Analizzare le condizioni di similitudine per le correnti a superficie

'

=

À

nelds e quella ey R di e in d tu ili m si la a fr à it Si nota co m e d si a incompatibil da quella e er d in sc re p ò er p . uò p si , rbolento dt Froude; se il m o to è p u ra m ente tu di Reynolds, ottenendo:

Si può scrivere: f(Re, Eu, Fr, 7tt) •

•

m cw:

Re

è il numero di Reynolds· Eu è il numero di Eulero· Pr è il numero di Froud · ' � e il gruppo di cinematico. '

�

..

=

0 la struttura nale, io dimens l'analisi ando utilizz 17 .6. Si determ ini, rettangolare. zzo strama uno dell'equazione d'efflusso da Si può scrivere:

(1)

17

FLUIDI DEl !'!ICA E MECCA LICA IDRAU PROBLEMI DI

490

in cUl:

p g

17.7. Su un modello in similitudine di Froude, costruito in scala geome 1 e la portata Q= 1,5 ç m· V 0,5 = ità veloc la ate misur no vengo 1/25 , trica 1 5-1. Determinare le corrispondenti velocità e portata nell'originale.

unitaria; ta porta è la è il carico; è la dens1ta; . , di gravita. one lerazi è l'acce .

•

'

Essendo À = 25 dalla tabella 17 .I si ha:

si ha: (l) la itando Esplic

V or q

=

{.(h, p, g)

Oor

. ure r e rv te m o u p n o . , n n·mo membro p l co nelta omoge per z l·al m e n t e Cln p e s s e e c h a lt vi u . is r osser o n e Si 1 fenom "l te emen eguent . e di f • · Cons ress10 nell'esp fondamentali: � zze grande le d a due so e d dipen e o nematic '

'

q

=

.

·

h(h, g )

e: scriver quindi può Si

•

q

=

helg f'

h [L]

2 g (L1 ] t q (L2T- ] L2T- 1 Risulta:

491

a meno di un fattore adimensionale k da determinare sperimentalmente.

•

q h

ANALISI DIMENSIONALE E SlMlLITUDlNE

=

La L�T-2'

f

2=Cl+� -l: -2�

da cui: 3 Cl= 2 1 �=2 La ricercata equazione di efflusso risulta in definitiva: q·h�

l

=

=

V mod rv

Omod rQ

=

=

"\ 1/2

V mod"

"\S/2 Qmod"

=

=

·2 5 m ,

•

469 m3 ,

s•

1

s 1.

APPENDICE

493

•

J

Per in dicare le unità dj misura di cui ai co mmi pre edenu . s 1 devono usare � . . . es cl us iv am en te le denominazioni . le defmtztom ed 1 Slroboli. previsti nel ' l'allegato . .

APPENDICE

.

Art. 2

UNITÀ DI MISURA DEL SISTEMA INTERNAZIONALE

Le prescrizioni di cui all'articolo precedente si ap , pli c ano , neu·e atuv1ta · eco. · · · · h nomtc e, net setton d eIl a saruta e della stcure zza pubblica e neUe operaztoru· di . . . · . · o, ag1·1 strum en . carattere amrruntstrattv u · dt nu sur a un p1P oat1· , a11 e m1suraz10ru . -c ef . . . f ettuate ed alie tnd'tcazto m di grandezza espresse in unità di mis ura. ·

·

,

·

·

"

�

Art. 3

.198?,

Viene riportato il Decreto del Presidente della Repub lica 12 ag? s to n. , per l'attuazione della direttiva (CEE) n. r� tzva alle unzta dr mtsura, pubblicato sul Supplemento Ordinario alla Gazzetta Uf/zctale n. 302 del 3 novembre

802,

80/181 �

·

E autorizzat0 l'i m piego di unità di misura diverse da quelle legali: '

a) nei settori della navigazione marittima ed aerea e del traffico ferroviario, qualora tali unità siano contemplate da convenzioni o da accordi interna zionali che vincolano J•Italia o la Comunità economica europea;

1982.

TI Presidente della Repubblica visti gli articoli 76 e 87 della Costituzione; vista la legge 9 febbraio 1982, n . 42, recante delega al Go\ 'erno ad emanare nor me per l'attuaz ione delle direttive della Comunità economica europea; vista la direttiva n. 80/181 del 20 dicembre 1979, emanata dal Consiglio delle Comunità europee, concernente il ravvicinamento delle legislazioni degli Stati mem �i relativi alle unità di misura; considerato che in data 8 giugno 1982, ai terrruru dell'art. l della legge 9 febbraio 1982, n. 42, è stato inviato lo schema del presente provvedimento ai Presidenti della Camera dei deputati e del Senato della Repubblica per gli adempimenti ivi pre vist i ; tenu!o conto dell osservazioni formulate in sede parlamentare; � considerato che nsulta cosl completato il proced imento previsto dalla legg e di

b) per i prodotti e le apparecchiature immessi in commercio e/o in servizio alla data del 31 dicembre 1982 e per i relativi componenti e ricambi.

�

delega; su�a pr?posta del Mi�st r� �r � coo dinamento intern o delle politiche comuni � tane, di concerto con 1 Mmastrl degli aff ari est eri del tesoro deU·industria del c?mmercio e de� ·artigianato e di grazi a e giustizi� ; ' . Vl S ta la deliberazione de) Consiglio dei Ministri adottata nella riunione del 2.3 lu glio 1982; emana il seguente decreto:

•

Tuttavia i dispositivi indicatori degli strumenti di misura indicati nella let· tera h) devono essere conformi alle disposizioni del presente decreto entro il 31 dicembre 1985. Nel settore disciplinato dal paragrafo I de�a Norr_na internazionale �S� presentaztoru 2955 del 1° marzo 1974 - Elaborazione della informaztone: Rap mitate � � ie ser no ndo pre com che i em sist di so l'u per ità un re alt di di unità SI e m matena ISO a rm no ssa ste lla da e sat fis i on izi scr pre le o can pli ap si ca rat ter i», . di unità contemplate dal presente decreto. . . . m P!unm . . e, o 1 � c � di go p1e 1� ! 89 19 e br m ce di 31 È autorizzato fino al eviSte � art l, pr li lega ra su rru di ità un lle de a un di i costituite dall'indicazione di ver· d tà uru n co SSe ìl'e p es ru zto ca m u p1 o a i . pr im o co m m a accompagnata da un d: e l te an o� ed pr re se es ve de le ga le ità se. In tal cas� l'indicazione dell'un arl a qu e del p o en m al re se es no vo de e on zi ca mensioni dei caratteri di tale indi o. an gn pa m co ac r e ch i on zi . . ca di in lle de i caratt�r �ezza in -aa� esa di m lo di C8Z m l e care re o Gli strumenti di misura devon un'unica unità di misura legale. «

Le unità di misura leg . ali da ilizzare per esprw ere grandezze sono quelle riportate nel capitolo 1 del l'ale l ga al presente decreto . Sono ritenute le ali fm � al 31 di cembre 198S le unit� ad espriemere sran di misura d�stinate ezze riportate nel capito lo II dell'allegato al pres

decreto.

l

%

•

ente

.

•

·"

·

·

·

dt

.

Art. 4 Art. l

.

,

to alia et g g so è to e cr e . d te n se re p l e d i . izion � is d e ll a e en a tr n c e u q Ch1un yw . 0 00. 0 . 0 .5 1 . L a O . O . ? .O O O S L a n ua r u. � � }i P p a � te n e sanzione am�stran�a. pec precec:l ma d a l com ta la p m e n co a v n s� u u r o zJ sl po is d e ll e d La sanz1one IJ!lmu a z n a rv e ss o n )• e m trl me � È tta salva rapplicazione della_let dall' ufficio provinciale . 9 re b m e v o n . 4 2 e g g mma oosntw· e c o m ri di cui alla le p ' l a m Eraztoni d i cui e l o n ta re c n o c ge penale. ove i fatti che scano reato.

. r-;

�

� ��e;; fa •

•

APPENDICE

A DEl FLUIDI IC N A C C E M E i\ AULIC PROBLEMI DI IDR

494

•

Art. 5

data al Ministe an em è d to re ec d te n se re p one del La vigilanza sulJ'applicazi esercita tramite l'ufficio le e ch o at an gi ti ar l' el d e cio ro dell'industria, del commer i. ic tr e m li a ci in v ro p i ic ff u centrale metrico e gli

- Unità di tempo

•

U secondo è la durata di 9.192.631. 77 f O. . . dent e alla �ranstztone fra i due livelli iper tru m o del cesto 133. (13a CGPM, 1967, ris. 1).

a quello de lla sua vo si es cc su no or gi il e or ig v in . . � pr�sente decreto enrra iana. a al ic It bl ub ep R la el d le ta tc ff U a pubbhcaz10ne nella Gazzett o, sa rà in se..rito ne lla Raccol at St llo de o ill l sig de ro nj m , ro e cr � �resente de . . � lica italiana. E fatto obblig o a bb pu Re lla de i et cr de t de e gt leg le ta ufftctale del ar e . rv se os rlo fa di e lo ar rv se os di ti et sp chiunque

- Unità di temperatura termodinamica zione 1/273,16 della fra la è , ica am din mo ter atura per e t m di ità un in, v kel 11 . . . ua acq ll• de plo tri nto pu l de tca am din mo ter a ur temperat (13• CGPM, 1967, ris . 4) . - Unità di quantità di sostanza

U n ità

Grandezza Nome

metro chilogrammo secondo ampère kelvin mole candela

Le definizioni delle urutà SI di base sono le seg uenti· . -Umtà di lunghezza

Simbolo

•

m kg s

A K mol cd

·

la dj

Ut• CGPM, 1960 , -Unità di

,

ns. •

6).

una sor di , e n o direzi ta a in na determ u in , sa o in m lu 11 hertz e tà si n � l 0 4 5 a La candela è l'inte z n e u a di freq c ti a m ro oc n o m e n io a radiaz steradiante. allo watt gente c h e emette un 1/683 direzione è tale in ca energeti la cui intensità . 3l. s ri , 9 7 9 1 , M P G C (161 •

iitlli� d onda nel w�to dei-

J cn:'':.

nte entità ta ne ie nt co e ch a em st si un i stanza d La mole è la quantità di so o 12. ni rbo ca di mi gram o il ch 2 1 omi in 0,0 at i gl o n so ti an u q ri ta en ; esse elem te ca fi ci spe re se es o n o ev d elementari tà ti en le , le o m la sa u si o Quand raggrupre u p p o , e ll ce ti ar p e tr al i, ni, elettron io , la co le o m i, m to a re e possono ess lle. e ic rt a p li ta i d ti a c ifi ec p a m e n ti sp . 3). {148 CGPM, 1971, ris luminosa tà si n te in i d à it n U -

·

m ! nghezza pari a 1.650.763'73 1 � è la u comspondente aUa transizione &a

ne corrispon e o stato fondamentale dell'ato -

J

sottomuiJipli decimali

Lunghezza Massa Tempo Inttnsit� di corrente elettrica Temperatura termodinamica Quantità di sostanza Intensità luminosa

. lla radtazio

L' ampère è l'intensità di una corrente elettrica costante che, mantenuta in . u r · · · 1are tradue conduttori paralleli rettilinei· di lunghezza 1 mna di· eztone · orco . scurabil e, posu alla distanza di un metro l'uno dall'altr� n vuoto, p�odurrebbe fra quesu. conduttori una forza eguale a 2. lO-' ne�, ton su ogru metro di lung hezz a. (CIPM, 1946, ris. 2, approvata dalla 9a CGPM, 1948).

CAPITOLO I UNITÀ DI MISURA LEGALI DISCIPLINATE DALL'ART. 1, COMMA PRIMO l. l. Unità SI di base

. PJ r�odl de .

- Unità di intensità di corrente elettrica

o

e

Il chilogrammo è l'unit'a d.t massa; es . . so è p ar i al la m as sa d el p . ro to u po mterna zto na le de l chilogrammo os CGPM , 1901 ' pag. 70 del resoconto). .

Arl. 6

l. Unità SI, loro multipli

495

,

Pto e 5 ds deU atomo

peratura em t di SI nità speciali dell'u simbolo e Nome 1.1.1. ratura Celsius

nel caso della tempe

C!\�IC:\ DEI FLt:IDl EC M E A IC UL RA ID DI J EM PROBL

496

APPENDICE

l •

1.2.3. Unità derivat e SI che hanno nomi es1m · bol"1 specta ·r1

Unità

G ran dezza

Simbolo

Nome g ra do Celsius

Temperatura Celsius

o

';)

.._

;;

•

c.�

:

=

=

' •

,

1.2. Altre unità SI

l

Unirà Grandezza

Nome ra di an le

piano

Angolo solido

Simbol o l

sreradianre

, '

Hz N Pa

voh ohm . s aemens farad weber tesia henry lumen lux becquerel

v

gray stevert o

s-

J w

J . s-1

n radiante è l'angolo piano compreso tra due raggi che , sulla cir con fer enz a un cerchio, intercettano un arco di lunghezza pari a quella de l raggio. orma internazionale ISO 31-l, dicembre 19 65).

Q

�

ml·k.g s ->-A -1 · -1 m ·k g-1 ·s> ·Al -2 k& •

• A. v• c. vV ·s \X1b ·m -2 -a \XIb ·A

s F \Vb T H lm lx

lm·m

Bq

m · -' ·s• ·Al -z m2 · ·s ·A-,

� �

. s- . A -' m kg ·s-l·A-z · cd·sr -2 m cd ·u -l s

-·

•

.

J. kg-1 _, J. kg

G>·

S\"

ml·s-1 m:.çz

•

•

Alcune unità derivate dalle unità SI di base o supplementari possono essere espresse impiegando Je unità del capitelo I. . . In particolare, alcune unità derivate SI pos�ono essere espress e con 1 �orru _ . . _ ed i simboli speciali riportati nella tabella d1 cw so� , per sempto._ I mna - oppure N s ·m s kg m come a della viscosità dinamica può essere espress

•

�

•

�J

•

oppure Pa ·s. l. 3. Prefissi e loro simboli che sen·ono cimali

- Unità eli angolo solido

Le unità derivate m�o coere te dalle unit à SI di base e dalle u n it à sup· SI vengono tndi ate m � e Jante espressio i algeb � riche sotto fo rm a d i � de1le umtà S I d1 base e delle unità supplementari S I con un pari.ad 1.

2 m ·k g·s-l A-1

W- A-1 V·K1

�a

t

.2.2. Unità derivate S I

kg

N·m

c

l

m-1 · k g ·s-l m -• . . s-l m2.'kg ·s-1 m2·k&·s-• s ·A

l·m-2

•

Lo steradiante è l'angelo solido, che, av endo il vertice al centro di una sf e delimita sulla superficie di questa un'area pa ri a quella di un qu ad ra to di la to tJgu al raggio della sfera. internazionale ISO 31-1, dicem bre 1965).

in unità SI di base o supplementari

Nomi speciali dell'unità di potenza: il nom� •vohalmpe�•. �mbolo eVA•. per esp�mcre la potenza apparente della c_orrente elettrica alte n ta e il no";le • v�r·: stmbolC' to:\•ar•. per espnmere la potenza � � _ elettric� reattiva. Il nome ccvar• non t snclwo m nsoluzroru della CGPM

sr

- Unità di angolo piru1o

A uività (irraggiamento ionjzzante) Dose assorbita1 energia massica impartita, k erma, indice di dose assorbita Equivalente di dose

hen� ne\\·ton pasca l joule watt coulomb

in altre unità SI

(l)

rad

11' CGPM, 1960, ris. 12). Le definizioni delle unità supplementari SI sono le seguenti:

�

Energia, lavoro, quantità di calore Potenza (l). flusso energet ico Quantità di elettricità, carica elettrica Tensione elettrica, potenziale elettrico, forza elettromotrice Resistenza eleurica Conduttanza Capacità elettrica Flusso d'induzione magnetica Induzione magnetica lnduttanza Flusso luminoso Illuminamento

1.2.1. Un,ità supplementari SI

Angolo

Frequenza Forza Pressione e tensione

Espressrone

Simb.

Nome

c

. tra due tem o T · r a dalla differenza t Tf e d , e t n els La ternpera� u�a na � o o rv� inte Un in. keJv ,15 273 To e To c perature rer�oclinanuche in o in gradi Celsius. kelv in essi espr ssere e no sso po ura rat pe tem dt a enz differ . . . L'unjtà «grado Celsius» è uguale al1 unita «kelvm».

�

Unità

Grandezza

· -

"

497

a

,y t sottomu/tipli Je. ��li designare ta1um· mu..

Fattore

Pre fisso

Si m bolo

Fanore

PrefiS$0

Simbolo

t o•• 5 1 0 1 2 1 01 109 1 06 103 102 101

exa

E p T G M k h da

to-• l lO� 10-3 10-6 t o-' 2 to-1 u tot IO t

deci

d

centa

c

pet a

tera gaga •

mega kilo

eno deca

•

milli •

l'lUCI'('

nano

m

f.L n

piCO

p

atto

a

•

femto

f

decimali deUa unità di mass a parola «grammo» e dei loro

.pli ul m o tt ltipli e S
ANICA DEI FLUIDI C EC M E A C LI U A R ID PROBLEMI DI

498

APPENDICE

•

499

,

Avvertenze: i prefissi dj cui al punt o 1.3 si applicano soltanto at· norru «g . . . ra. . 1 solta dO» e «gon» e d 1 relat1v1 s1mb01 nto al simbolo < (gon».

simboli al si�bolo >r fraziOne, un pr ef'1sso pu o ess ere a un . di · ma for ro sot ta sen e r la cw �sp resswne SI p inatore che figura.no .al, numerat· ore, al den om ' fferentemente alle ità un . · legato mdi . tJ me d·tante glUstappoma f or oe c . osu mp co 1 ssi efi pr i i tat · o VIe 0 m entramb'J. S on . t sopra. cu i d si is ef pr iù p di e on zi si

·

•

•

3.

'

•

e sottomultipli decimali di li ltip mu di ati izz tor au li cia spe !.4. Nomi e simboli unità 51

l l

U ni tà Grandezza

l o

litro tonnellata baE

Volume Massa Pressione e tensione

L t

bar

(l}

l l

=

1 dm3

=

10-3 m3

Unità

Grandezza

l t = Mg = 103 kg

Nome

l bar= 105 Pa

(2)

Massa Energia

(l) Per l'urutà litro possono essere utilizzati i stmbola «l» e «L» (16' CGPM, 1979, ns. 6) . (2) Unità che, neU'opuscolo deU'Ufficio internazionale dei pesi e misura, è compresa tra le unità ammes se temporane2mente. .

L'unità di massa atomica è pari a 1/12 della massa dj un ato mo del nudi 12 C. de L'elettronvolt è l'energia cinetica acquisita da un elettrone che passa nel vuoto da un punto ad un altro che abbia un potenziale superiore dj 1 volt.

Relazione

Simbolo

Nome

Unità definite indipendentemente dalle sette unità SI di base

.

•

Valore

Simbolo u eV

unità di massa atomica elettrom•olt

1,6605655 ·10-17 kg eV= 1,6021892·10-19 J

l u l

=

t l

Avvertenze: i prefissi ed i simboli di cui al punto l. 3 si applicano alle unità ed ai simboli elencati nella tabella del punto l. 4.

Il valore di queste unità, espresso in unità SI, non è conosciuto esa�amen· te. I valori indicati sono estratti dal bollettino CODATA n. 11, del dicembre 1973, del Consiglio internazionale delle Unioni scientifiche.

2.

i Avvertenze: a queste due unità ed ai loro simboli si applicano i preHssi ed simboH di cui al punto 1.3.

Unità definite in base alle unità SI, tipli decimali di queste

Nome

•

Simbolo

angolo giro (*) (l) (a) grado centesimale

(*) oppure gon (*)

Relazione

(*)

l gon

7t rad 200

=

7t

o

180

minuto d'angolo

l

secondo d'angolo

,

mmuto ora giorno •

mm •

h d

•

lal ( ). D segno (*) dopo un nome

l' -

7t

rad

10800 7t t• 648000 l mi n 60s 1 h- 3600s 1 d. 86400s •

Unità Grandezza

rad

rad

•

o un simbolo d " unità ru� .• . ord11 c:h.e que ti no n fig ti daDa CGPM, daDa urano negli elenchi compi· CIPM e daDa BIPM � Q ue sta osservaz1one s1 applica al complesso. pr"eHnte allegato nel suo (a) Non esisre un sim bolo internazionale. ·

ione licaz app di tori set in nte m� ica un ssi me am fil i un di 4. lJnilà e nomi specializzati

l angolo giro = 2n rad gon

grado scssagesimalc

Tempo

che non sono multipli o sottomul

Unità

Grandezza Angolo piano

ma

Vergenza dei sistemi ottici Massa deUe pietre preziose Area delle superfici agrarie e dei fondi . Massa Jineica deUe fibre tessili e dci filati

1 diottn. a

diottria (*) carato metnco

tex

(*)

1

c

l m-

1 carato metrico ..

•

ara

Valore

Simbolo

Nome

1 a

a tex ( ) *

•

l tex

�

2 1O •

kg

101m2 •

10-6kg ·m-·

. D mul . 3 1. . to . n u p l a i cu i d i o l prefiss an t· te p ap s tà um e st ue q é � A vvert enze:
E MECCANICA DEl FLUIDI PROBLElYU DI IDRAULICA

500

APPENDICE

'

501

'

5.

Unità composte

FATTORI DI CONVE RSIONE

lo I .si costituiscono unità composte. Combinando le unità di cuj al capito

Unità Tecniche e Unità SI •

CAPITOLO ll UNITÀ DI MISURA LEGALI DISCIPLINATE DALL'ART. 1, COMMA SECONDO

Grandezza

l

l

Grandezze, nomi di unità? simboli e valori.

'

1 ,Pressio.rre sanguigna Angolo piano

Attività di radionuclidi ' fiose assorbita Equiv,ale.nte cdi dose Esposizione (raggi x o y) Viscosità dinamica Viscosità cinem.atica

Nome millimetro di mercurio (*� eutre raà rem (*) .. ron.tgen pGJS'e stokes •

•

(l) Simbolo del «grado centesJm · al e».

c;ntesimale..

<.) Quand� il

1J secondo (!omma

Simbolo mmHg g

*)

(*) (1)

€i rad (2� rem (*")

R p

St

Valore

l' =

1t

m 2 m m3

m

l

m2

l

m3

angolo piano

rad

angolo solido momento d'inerzia di superficie

lunghezza area

.

accele.raz,ione

200 l Ci= 3,7·10 10 Bq 2 l rad = H>-' Gy, l rem = 10-2 Sv l R = 2,58·10_. C·kg-• l P= 10-1 Pa·s l St = 10-4 m2 ·s-1

dell'art. l si applic'i al simbolo' e

. nome rad può generare c:onfusIon ' e oon i1 svn • bolo de] r-ad1anr.e, si può Simbolo de1 r-ad.

ut

non aJ

ilizzare

ve)oçit-à angelar:e

rd come

i prefissi ed i loro simoo 1 li eli1 cw· a1 punto 1..3 de l eapitolo I si a�pli . cano alle unirà ed ai simboli indn:' ·a tl• ne pr sente punto, ad eccezi-one del � mdlfme·tro di mel'curio e de l suo SI. rn bolo e c .J el stmholo '· Fino alla data indicata nel l'art . l , comma secondo, le un ità di cui al capitolo possono essere combinate t ra di lor o 0 co n quelle del capitolo I per costituire urutà eom})i!)ste.

-

ac.çeler'clzione angelare frequenza

àensit� for.za l

peso spedfico

l

sr

rad

sr

l

�r

s.r

l

m4

m•

l

m•

m•

t

.$

s

l

s

s

l

m· s-1

m·s�- 2 �ad ·s-•

l

m -�

-l m·s

-1 rad ·s

1

l

rad •s -2

ì

rad·s-1 rad ·s-'2

rad·s-1

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l

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1

H�

Hz

l

Hz

l

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1

rad•s-1

Hz rad ·s- •

l

kg

9,806

kg

l

-1

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3 kg· m-

9,806

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kp

N

9,806

N

kp·m -3

quantità di mo.to rpamento

kp·m

viscosltl dinamica viscosità cinematica

-•

l

m·s,m•s-2

kp•s

portata di volume • portata 10 peso

l

rad

a

kp·s2·m_.

0,102

kp

0�102

J

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9,806

w

kp·m·s-

w

0�102 0,102 1

0,102 1.,36·10

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w

735,5

kg•m·s -1

9,806

kg·m·s-1

kp•s

0,102

N·rn

9,806

N•m

kp·m

O,l02

kp·m·s 2

0,102

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Pa

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Pa

9,806

Pa

l

·m

-1 N ·m kg·s-1

N ·m-1

9,806

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kg•S 3 m ·s -1 N •S-1

9,806 9,806

N

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Pa·s m2·s-•

9,806

Pa·s m.t·s-1

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0,102

9,806

9,806

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kp·s2·m-1

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l

kp·m-3

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m·s-2

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l

l

9,806

9,806

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m•s -

N ·m

_,

CV

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m

l

kp

tensione s uperficiale

moltipl. per

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,ptenza

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a

l

1 ·m·s -

pressione

Urùtà Tecniche

m3

kp·m

momento d'inerzia

....

l

lav<:>ro, e11ergia, quantità di ca1ore, eflta1pia

c:h una forza

da

SI

[])2

kp�s2· m

massa

per

Unità

m 2 m m3

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grado

·

n

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velocità

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SI

a

tempo

1 mrn.H g = 1.33,322 P a

Unità

-+

da

volume

. umtà

Grandezza

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1

l

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-l

kp ·m

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k p•m

ò,102

0>102 0,102

0,102 l

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kp·s·m-2 m 2·s-•

0,102 1

.

-

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-

�TfORI DI CONVERSIONE Unità Anglosassoni e Unità SI

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Unita Anglosassone

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Unità Anglosassoni - Unità SI da

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a

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per

moltipl.

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per

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ft

m

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pollice quadrato yarda quadrata

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(U.S.A.)

secondo

al secondo

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m

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•

•

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0,3048

m

2,54. w-z

m

0 ,9144

6,4516·10--4 0,8361

2,8317. 10 -2

1,6387. l o-s ·l

mJ

0,3048

m ·s-1

ft.s-1

5,1444. 10 -1

m·s-1

1,6093

km·h-1

fscpd -

-

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piede al secondo quadrato

ft s-z

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in ·s-2

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lbm

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-

l ,.308

'T1 r

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o -

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6,29

3,281

s-1

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o m

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1,094

mi· h-1

1,944

m .r· h-1

•

1 0,621

, .

. -

•

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m •5

m·s-2

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kg

lbm

0,3048

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kg

9,0718·10 2

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N·m

1,356

libbra per pollice

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kg·m2

1,356

lb·fr-2

Pa

Jb· in

N·m

0,11298

3,281 39,37 2,205

lb s 2 • ft-l 2 ·10 3. J m b

kg

0,0685

·

kg

momento di una

forza

Cì ).

FATTORI DI CONVERSIONE Unità Aqglosassoni e Unità� SI

to) !qpi l !accelerazione

-

-

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-

0,159

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1,196

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0,9144

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mJ 3 m

o -

lO,764

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0,738

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Pa

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t

0,0209

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per secondo quadrato

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Pa

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CARATfERlSTICHE FISICHE DELL'ACQUA Tcnaptrahu• (OCJ

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Viscosirà Dinamica l'· l 04 [ P a <;)

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9798

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Densità p(kg·m 'l

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l

1,305

l

11,37

l,138

9788

10,00

1,002

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8,00

0,804

l

0,66 1

l· l

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l

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0.5�5

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La d ensitl p e la viscmiri l'

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22,7

70,70

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7345 12257

l

l

19847

l

43 .25

l

47314

59,2J

l

1012%

20, l

.

7

67,07

l

Modulo di Elasticir?! (a compressione cuhica)

Tensione di Vapore p,(Pa )

l l

22,8 22,9

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rdsn�ioni sc:�tut·nti: dell'acqua possono rurrr anche rsprrsse. in (unzione della remperarur11 T(°C) 1111nwerso le

0.0000529t9 T -0,00000()5322 Tz

O,OJJ-7 T

l

1,776

998,2

(•) Ri.tto aU'aria

•

l

•

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so

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Tensione Superficiale ( "' ) s·10l(N·m-1J

•

·

9793

998,7

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•

Viscosità Cinematica fl 2 l v· 1 O [m s- )

0,00022 y2)-1

+

0,00001 000 445 T">

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CARATTERISTICHE FISICHE DJ ALCUNI FLUIDI{�)

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Tt· n'it,nt:

TnlSÌont·

Modulo Ji Ebsticitit

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10100

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789,38

77}6,9

1202,2

1.52

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792,32

7766,4

590. �

1.84

18.08

l(,. J 8

O,75 l 8 -9

Anilina

1021,8

10022

446(,,6

4. l7

Azoto

1,167

10.943

17. }6

14 .8 8

Benzina

750

7354

&nzolo Elio (0°C)

880

8630

642

0.7 3

1. 751

21.57

121.86

6992

230,05

0,327

8139

9610

1260

12356

799200

Idrogeno

0.0837

0,8213

9,12

12,0 l (,}4 ,28 108.96

Kerosene Mercurio Na ha

800.17

7845

1867

13600 940 .. 970 1190,5

1H362 9217 .. 9� Il

1566

880

8629

Acqua di Mare ( 15°C)

Anidride Carbonica

E1ere E1ilico Gasolio leggero Glicerina

Ninobenzolo

O. Iii

703,1 800

a

11669

(l

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lm··� J l

'

l ·

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8.R}

5864

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trllSCllntbi Jc

29.42

995.3

l 1,28 '

l

2,33 0,115 1100 ... 8200 1.54

16,77

58973

5. l

65,21

trascurabi le

.39 ,22

505

trascurabile

261,82

42,75

trascurabile

> 'O 'O m z o (') m

Olio Lubrificante

S.A.E. JO

Olio Lubrificante S . A.E. 50 •

468237

532,33

.

:'

920

9021.�

927,51

Olio d'Oliva Olio di Ricino Ossigeno Teuadoruro di

8H122

910 960 1,334

8923 9414 13,052

99041 980600 20,1

108,84 1021.5 15.07

3 3,34

C.rbonio To1uolo n 5°C)

1588,6 836,45

15631 8531,22

1000,2

0,63

25.69

.

12130

-

(*) Salvo diversa indicazione i valori ri[)Ortaci sono relacivi

a

20°C cd a li :� pressionç

:umo,.fcrico.

("'"') RispNIO ull'urin.

VI o .......

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•

l

l

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• •

•

ALFABETO GRECO

..

•

...

\57962.

B1bJtbteca

Alfonsi Orsi - Problemi di Idraulica e Meccanica dei Fluidi.pdf

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