Idrologia Tecnica, Sistemazione Dei Corsi d'Acqua, Idraulica Fluviale

UNIVERSITÀ degli STUDI di TRIESTE Facoltà di Ingegneria Dipartimento di Ingegneria Civile ed Ambientale

Corsi di

IDROLOGIA TECNICA SISTEMAZIONE dei BACINI e dei CORSI d’ACQUA prof. ing. Elpidio Caroni

APPUNTI   

Andrea Lisjak

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[email protected]

Trieste, 5 dicembre 2007

Indice I

Idro Idrolo logi gia a Tecnic ecnica a

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1 Idrolo Idrologia gia e misure misure idrau idraulic liche he

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1.1 Ciclo Ciclo idrolo idrologic gicoo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.1 1.1.1 Bilanci Bilancioo idrolo idrologic gicoo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2 Bacini Bacini im imbrif briferi eri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.1 Delimitazio Delimitazione ne del bacino bacino imb imbrifero rifero . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3 Processi Processi idrologici idrologici fondament fondamentali ali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.1 Precipitazio Precipitazione ne piovosa piovosa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4 Misure Misure di prec precipi ipitaz tazion ionee . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4.1 1.4.1 Pluviom Pluviometr etroo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4.2 1.4.2 Rad Radar ar meteor meteorolo ologic gicoo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4.3 Valutazione alutazione dei volumi volumi d’afflusso d’afflusso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.5 Misure Misure di portata portata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.5.1 1.5.1 Mul Muline inelli lli idrome idrometric tricii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.5.2 Profilatori Profilatori di velocità velocità ad ultrasuoni ultrasuoni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.5.3 1.5.3 Misure Misure di di livell livello: o: scala scala delle delle portat portatee . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.5.4 1.5.4 Sezion Sezionii stabil stabilii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.5.5 Misura mediante mediante traccianti traccianti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.6 Evaporazi Evaporazione one e misure di evaporazi evaporazione one . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.6.1 1.6.1 Psicro Psicromet metro ro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.6.2 Determinazi Determinazione one del tasso tasso di evaporazi evaporazione one . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.6.3 1.6.3 Strumen Strumenti ti di misura misura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.7 Infiltrazione Infiltrazione e misure misure di infiltra infiltrazione zione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.7.1 1.7.1 Infi Infiltro ltromet metro ro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.7.2 1.7.2 Legge Legge di Horton Horton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.7.3 Valutazione alutazione del ruscell ruscellamen amento to superficial superficialee . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.8 Rispost Rispostaa idrolo idrologic gicaa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.8.1 Separazione Separazione dell’idrogr dell’idrogramma amma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.8.2 Separazione Separazione dello ietogramma ietogramma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.8.3 Funzione unzione di risposta del bacino bacino . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.9 Modelli Modelli di idrogra idrogramma mma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.9.1 1.9.1 Metodo Metodo sperime speriment ntale ale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.9.2 Modello della corrivazion corrivazionee o cinematico cinematico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.9.3 Modello italiano italiano o dell’inv dell’invaso aso lineare lineare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.9. 1.9.44 Model Modello lo di Nash Nash . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.9.5 Interpretaz Interpretazione ione probabilis probabilistica tica dell’idrog dell’idrogramma ramma unitario unitario istantaneo istantaneo . . . . . . . . . . . 1.10 Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.10.1 1.10.1 Determinazi Determinazione one dell’idrogramm dell’idrogrammaa di Nash . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 Statist Statistica ica degl deglii estrem estremii

3 4 6 6 8 8 10 10 12 12 14 14 15 16 20 23 24 25 25 28 29 29 30 30 33 33 34 35 39 39 40 46 49 52 53 53 55

2.1 2.1 Gene Genera rali lità tà . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.1 Metodo della curva curva inviluppo inviluppo . . . . . . 2.1.2 Probabilità Probabilità associat associataa all’ev all’evento ento di piena piena 2.1.3 2.1.3 Richia Richiami mi di probab probabili ilità tà . . . . . . . . . iii

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INDICE

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2.1.4 2.1.4 Curva Curva di durata durata del delle le porta portate te . . . . . . . . . . . 2.1.5 2.1.5 Curva Curva di di utili utilizza zzazio zione ne . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.6 Frequenza requenza cum cumulata ulata empirica empirica . . . . . . . . . . . 2.1.7 2.1.7 Modelli Modelli di probab probabili ilità tà . . . . . . . . . . . . . . . Modelli probabilisti probabilistici ci in idrolog idrologia ia . . . . . . . . . . . . . 2.2.1 2.2.1 Il caso caso delle delle portat portatee al colmo colmo di di piena piena . . . . . . 2.2.2 2.2.2 Metodo Metodo dei dei picch picchii sopra sopra una una soglia soglia . . . . . . . . 2.2.3 Metodo del del massimo massimo in un interv intervallo allo di di tempo tempo . 2.2.4 2.2.4 Tempo di ritorno ritorno . . . . . . . . . . . . . . . . . . Stima numeric numericaa dei parametri parametri statisti statistici ci di adattamen adattamento to . 2.3.1 2.3.1 Richia Richiami mi di statist statistica ica . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.2 2.3.2 Metodo Metodo dei mom momen enti ti . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.3 2.3.3 Metodo Metodo di Gum Gumbel bel . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.4 Metodo dei minimi quadrati quadrati lineari lineari . . . . . . . . 2.3.5 Metodo della massima massima verosimigl verosimiglianza ianza . . . . . . Applicazio Applicazioni ni all’in all’intensi tensità tà di pioggia pioggia . . . . . . . . . . . . 2.4.1 Linea segnalatric segnalatricee di possibilità possibilità pluviometric pluviometricaa . . Applicazio Applicazioni ni alle alle portate al colmo colmo di piena . . . . . . . . 2.5.1 Pioggia Pioggia di progetto progetto ad intensità intensità costante costante . . . . . 2.5.2 2.5.2 Calcol Calcoloo del della la portata portata . . . . . . . . . . . . . . . . 2.5.3 Modello della corrivazion corrivazionee lineare lineare . . . . . . . . . 2.5.4 Modello dell’inv dell’invaso aso lineare lineare . . . . . . . . . . . . . 2.5.5 2.5.5 Modello Modello di Nash Nash . . . . . . . . . . . . . . . . . . Test statistic statisticii di adattament adattamentoo di una distribuz distribuzione ione . . . 2.6.1 2.6.1 Passi Passi di un test test . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 2.6. 2.6.22 Test est χ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.6.3 Test di Kolmogoro Kolmogorov–Smi v–Smirnov rnov . . . . . . . . . . . Eser Eserci cizi zi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.7.1 2.7.1 Determ Determina inazio zione ne del della la LPP . . . . . . . . . . . . . 2.7.2 Valutazione alutazione della durata critica critica . . . . . . . . . . Appen Appendi dice ce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.8.1 Alcune Alcune distribuzio distribuzioni ni di probabilità probabilità . . . . . . . . 2.8. 2.8.22 Valor alorii di cα,N per il test di Kolmogorov-Smirnov

Andrea Lisjak

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3 Idrolo Idrologia gia e risors risorse e idrich idriche e

3.1 Elementi Elementi di geomorfolog geomorfologia ia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1.1 3.1.1 Superfic Superficii e versa versant ntii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1.2 3.1.2 Tettoni ettonica ca . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1.3 3.1.3 Mo Movim vimen enti ti franosi franosi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2 Morfometria Morfometria dei dei bacini bacini e delle delle reticol reticolii idrografici idrografici . . . . . . . . . . . 3.2.1 3.2.1 Forme orme dei bacini bacini . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.2 3.2.2 Forme orme delle delle aste aste fluvia fluviali li . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.3 Forme delle reti idrografic idrografiche he . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.4 Sistemi Sistemi di ordinam ordinamento ento delle reti: leggi di Horton–Strah Horton–Strahler ler . . 3.2.5 3.2.5 Retico Reticoli li sinteti sintetici ci . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3 Modelli di formazio formazione ne del del deflusso deflusso superfici superficiale ale . . . . . . . . . . . . . 3.3.1 Schema Schema hortoniano hortoniano e schema schema dunnia dunniano no . . . . . . . . . . . . . 3.3.2 3.3.2 Formula ormula di Fántol Fántolii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3.3 3.3.3 Metodo Metodo del del Curve Curve Num Number ber (CN–S (CN–SCS) CS) . . . . . . . . . . . . . 3.3.4 3.3.4 Modello Modello “fisico “fisico”” di Green– Green–Amp Amptt . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3.5 3.3.5 Formula ormula di Phi Philip lip . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3.6 Probabilit Probabilityy Distribu Distributed ted Moisture Moisture Model Model (PDM) (PDM) . . . . . . . . 3.3. 3.3.77 Top Model Model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4 Idrogramma Idrogramma Unitario Unitario Istantaneo Istantaneo Geomorfolog Geomorfologico ico . . . . . . . . . . . 3.4.1 Approccio Approccio basato basato sul metodo metodo di Horton–S Horton–Strahle trahlerr . . . . . . . 3.4.2 Approccio Approccio basato basato sulla funzione funzione di ampiezz ampiezzaa . . . . . . . . . .

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. 58 . 60 . 62 . 63 . 64 . 64 . 64 . 65 . 68 . 69 . 69 . 70 . 71 . 72 . 73 . 75 . 76 . 79 . 79 . 80 . 80 . 82 . 84 . 86 . 86 . 88 . 91 . 94 . 94 . 95 . 97 . 97 . 100 101

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Andrea Lisjak

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3.5 3.5 Eser Eserci cizi zi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147 3.5.1 Determinazi Determinazione one dei parame parametri tri di Horton–Stra Horton–Strahler hler del fiume fiume Cellina Cellina . . . . . . . . . . . 147 3.5.2 Determinazi Determinazione one dello GIUH del torren torrente te But But . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149

II

Idra Idraul ulica ica flu fluvia viale le

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4 Moto Moto permanen permanente te nelle nelle corren correnti ti a pelo libero libero

4.1 4.1 Gene Genera rali lità tà . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.1. 4.1.11 Ipote Ipotesi si . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2 Caratteristic Caratteristiche he energetic energetiche he della corren corrente te in una sezione sezione . . . . . . . . . . 4.2.1 4.2.1 Portat Portataa assegn assegnata ata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2.2 Energia Energia specifica specifica assegnata assegnata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3 Alvei Alvei a debole debole penden pendenza za e a forte forte pendenz pendenzaa . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3.1 4.3.1 Ipotesi Ipotesi di moto moto unif uniform ormee . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3.2 Pendenza Pendenza critica critica per sezioni sezioni rettangolari rettangolari larghe . . . . . . . . . . . 4.4 Carattere Carattere cinemati cinematico co dei dei due tipi di corrente corrente . . . . . . . . . . . . . . . . 4.4.1 Celerità Celerità di propagaz propagazione ione delle delle perturbaz perturbazioni ioni di livello livello . . . . . . . . 4.4.2 4.4.2 Numero Numero di Froude roude . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.5 Correnti Correnti in moto permanente. permanente. Profili del pelo pelo libero libero . . . . . . . . . . . . 4.5.1 Equazione Equazione differen differenziale ziale del profilo profilo del del pelo libero . . . . . . . . . . 4.5.2 4.5.2 Alvei Alvei a debol debolee pende pendenza nza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.5.3 4.5.3 Alvei Alvei a forte forte pendenz pendenzaa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.5.4 Osservazion Osservazionii generali generali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.5.5 Tracciamen racciamento to quantitativ quantitativoo dei profili profili di moto moto permanente permanente . . . . . 4.6 Passaggio Passaggio attravers attraversoo lo stato critico. critico. Il risalto risalto . . . . . . . . . . . . . . . . 4.6.1 Passaggio Passaggio gradual gradualee da corrente corrente lenta lenta a corrent correntee veloce veloce . . . . . . . 4.6.2 Passaggio Passaggio gradual gradualee da corrente corrente veloce veloce a corrent correntee lenta lenta . . . . . . . 4.7 Esempi Esempi app applic licati ativi vi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.7.1 Procedura per la determinaz determinazione ione dei profili . . . . . . . . . . . . . 4.7.2 Presenza Presenza di una una paratoia paratoia piana piana in alve alveii a debole pendenza pendenza . . . . . 4.7.3 Presenza Presenza di una una paratoia paratoia piana piana in alve alveii a forte pendenza pendenza . . . . . . 4.7.4 Cambio Cambio di di pendenza pendenza con paratoia paratoia piana piana . . . . . . . . . . . . . . . 4.7.5 Passaggio Passaggio sopra una soglia di fondo fondo . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.7.6 Stabilizzaz Stabilizzazione ione di un un risalto risalto idraulico idraulico . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.7.7 4.7.7 Passa Passaggi ggioo fra le pile pile di un ponte ponte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.8 Tracce dell’onda dell’onda di piena . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.8.1 Valutazione alutazione della portata in condizioni condizioni di piena piena . . . . . . . . . . . 4.8.2 Valutazione alutazione di variaz variazioni ioni del coefficien coefficiente te di scabrezza scabrezza . . . . . . . . 4.9 Estrapolazion Estrapolazionee della della scala delle portate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.10 Alvei Alvei con sezioni sezioni composite o con scabrezza scabrezza eterogenea eterogenea . . . . . . . . . . . 4.10.1 4.10.1 Calcolo Calcolo della portata portata totale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.11 Curve nei canali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.11.1 4.11.1 Correnti Correnti lente lente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.11.2 4.11.2 Correnti Correnti veloci veloci . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.12 Alvei Alvei in letti alluvionali: alluvionali: condizioni condizioni di stabilità . . . . . . . . . . . . . . . 4.12.1 4.12.1 Introduzione Introduzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.12.2 4.12.2 Caratterizza Caratterizzazione zione del sedimento sedimento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.12.3 4.12.3 Condizioni Condizioni critiche: critiche: inizio del trasporto trasporto solido . . . . . . . . . . . . 4.13 Principi Principi di modellistica modellistica idraulica idraulica da laboratorio laboratorio . . . . . . . . . . . . . . . 4.13.1 4.13.1 Derivazion Derivazionee di una scala . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.14 Ulteriori considerazioni sulle correnti veloci . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.14.1 4.14.1 Propagazion Propagazionee di perturbazioni perturbazioni di livello livello infinitesime infinitesime . . . . . . . . 4.14.2 4.14.2 Propazione Propazione di perturbazioni perturbazioni di livello livello finite . . . . . . . . . . . . . 4.15 Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.15.1 4.15.1 Tracciamen racciamento to di un profilo di moto permanente permanente . . . . . . . . . . .

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vi

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4.15.2 4.15.2 Localizzazio Localizzazione ne di un risalto risalto in corrispondenza corrispondenza di un salto di fondo . . . . . . . . . . . 212 4.15.3 4.15.3 Calcolo Calcolo della portata sfiorabile da uno stramazzo stramazzo laterale . . . . . . . . . . . . . . . . 214 5 Moto Moto vario vario nelle nelle corre corrent ntii a pelo libero libero

5.1 Equazi Equazioni oni del moto moto . . . . . . . . . . 5.1.1 Equazioni Equazioni di de Sain Saint–V t–Venan enantt 5.2 5.2 On Onde de di pien pienaa . . . . . . . . . . . . . 5.2.1 5.2.1 Modello Modello di Boussi Boussines nesqq . . . . 5.2.2 5.2.2 Modello Modello cin cinema ematic ticoo . . . . . . 5.2.3 5.2.3 Modello Modello paraboli parabolico co . . . . .

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6 Trasport rasporto o soli solido do

6.1 Introd Introduzi uzione one . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.2 Caratterizzaz Caratterizzazione ione dei materia materiali li trasportati trasportati . . . . . . 6.3 Condizioni Condizioni critiche: critiche: inizio del trasporto solido . . . . 6.3.1 Formulazio ormulazione ne di Shields: Shields: curva di instabili instabilità tà . 6.4 Trasport rasportoo solido solido al al fondo fondo . . . . . . . . . . . . . . . 6.4.1 6.4.1 Metodi Metodi di misura misura . . . . . . . . . . . . . . . . 6.4.2 6.4.2 Metodi Metodi di calcol calcoloo . . . . . . . . . . . . . . . . 6.5 Trasporto solido in sospensione sospensione . . . . . . . . . . . . 6.5.1 6.5.1 Metodi Metodi di misura misura . . . . . . . . . . . . . . . . 6.5.2 Equazione Equazione della diffusione– diffusione–dispersi dispersione one . . . . 6.5.3 6.5.3 Metodi Metodi di calcol calcoloo . . . . . . . . . . . . . . . . 6.6 Trasporto solido totale . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.6.1 6.6.1 Metodi Metodi di calcol calcoloo . . . . . . . . . . . . . . . . 6.7 Modella Modellamen mento to del del fond fondoo . . . . . . . . . . . . . . . . 6.7.1 6.7.1 Forme orme del del fondo fondo mob mobile ile . . . . . . . . . . . . 6.8 Resistenz Resistenzaa al moto moto degli degli alvei alvei a fondo fondo mobile mobile . . . . 6.8.1 Determinazi Determinazione one della resistenza resistenza superficiale superficiale . 6.8.2 Determinazi Determinazione one della resistenza resistenza di forma forma . . . 6.8.3 Determinazi Determinazione one della resistenza resistenza globale globale . . . 6.9 Geomet Geometria ria idrauli idraulica ca . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.9.1 6.9.1 Metodo Metodo “at statio station” n” . . . . . . . . . . . . . . 6.9.2 6.9.2 Metodo Metodo “downst “downstrea ream” m” . . . . . . . . . . . . . 6.9.3 Relazione Relazione larghezza larghezza e portata portata “bankfull” “bankfull” . . . 6.9.4 6.9.4 Teorie eorie del regime regime . . . . . . . . . . . . . . . .

III

. 217 . 218 . 220 . 220 . 220 . 222 225

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Siste Sistemaz mazio ione ne dei dei cors corsii d’acq d’acqua ua

263

7 Sistema Sistemazio zione ne dei bacini bacini mont montani ani

7.1 Sistemazio Sistemazione ne dei versanti versanti . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.1.1 Interven Interventi ti di raccolta raccolta e allonta allontanamen namento to delle acque acque 7.1.2 Interven Interventi ti di consolidam consolidamento ento del pendio . . . . . . 7.2 Briglie Briglie e soglie soglie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.2.1 7.2.1 Genera Generalit litàà . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.2.2 7.2.2 Struttu Struttura ra del della la briglia briglia . . . . . . . . . . . . . . . . 7.2.3 Dimensiona Dimensionamen mento to della gáveta gáveta . . . . . . . . . . . 7.2.4 Dimensiona Dimensionamen mento to della della vasca vasca di dissipaz dissipazione ione . . . 7.2.5 Dimensiona Dimensionamen mento to statico statico della briglia briglia . . . . . . . 7.2.6 7.2.6 Filtraz Filtrazion ionee sotto sotto le le brigl briglie ie . . . . . . . . . . . . . . 7.2.7 7.2.7 Altri Altri tipi tipi di brigli brigliee . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.3 Difese Difese di sponda sponda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.3.1 7.3.1 Genera Generalit litàà . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.3.2 7.3.2 Difese Difese lon longit gitudi udinal nalii . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.3.3 7.3.3 Difese Difese sporgen sporgenti ti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

265

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. 265 . 265 . 266 . 268 . 268 . 269 . 271 . 272 . 275 . 278 . 281 . 285 . 285 . 285 . 290

Andrea Lisjak

INDICE

vii

8 Sistema Sistemazio zioni ni fluvi fluviali ali

8.1 8.1 Gene Genera rali lità tà . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.1.1 Aumento Aumento della della capacit capacitàà di portata portata delle delle sezioni sezioni . . . . . . 8.1.2 Diminuzion Diminuzionee della portata di progetto progetto . . . . . . . . . . . 8.2 Regolazio Regolazione ne delle delle portate portate a mezzo mezzo di serbatoi serbatoi . . . . . . . . . . . 8.2. 8.2.11 Digh Dighee . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.2.2 8.2.2 Casse Casse di espans espansion ionee . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.3 Arginatura Arginatura dei corsi d’acqua d’acqua . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.3. 8.3.11 Argi Argina natu ture re . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.3.2 Distanze Distanze dagli dagli argini argini per piantagion piantagioni, i, scavi scavi e manufatti manufatti . . 8.3.3 8.3.3 Filtraz Filtrazion ionee nel nel corpo corpo argina arginale le . . . . . . . . . . . . . . . . 8.3.4 8.3.4 Stabil Stabilità ità degli degli argini argini . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.3.5 Protezione Protezione delle rive e delle delle arginature arginature . . . . . . . . . . . 8.3.6 Stabilizzaz Stabilizzazione ione degli alvei alvei di di magra magra . . . . . . . . . . . . .

305

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INDICE

Andrea Lisjak

Parte I

Idrologia Tecnica

1

Capitolo 1

Idrologia e misure idrauliche Nei paesi occidentali il consumo medio di acqua è di circa 500l capite,, che che equiv equivalg algono ono a 500l//giorno pro capite 3 200m /anno. Sup Suppone ponendo ndo una popolazi popolazione one mondial mondialee di 5 mil miliard iardii di persone persone si arriv arrivaa a 1000 1000 mil miliar iardi di 3 di m /anno. L’acqua disponibile sulla Terra è circa 1, 4 × 109 km3 (1 km3 = 10 9 m3 ). L’acqua è così distribuita: - 97,2 97,2 %: oceani; oceani; - 2,2 %: calotte calotte polari e ghiacciai; ghiacciai; -

∼ 0, 6 %: acque del sottosuolo (falde acquifere);

- rimanente: acque di superficie. Le acque di superficie sono così distribuite: - laghi: 125 125..00 0000 km3 ; - laghi salati: 100 100..000km3 ; - fiumi: 1.30 3000 km3 . Residuano: - umidità del suolo: 70 70..000km3 ; - atmosfera: 13 13..000km3 .

1.1 1.1

Cicl Ciclo o idro idrolo logi gico co

La presenza dell’acqua sulla Terra è di tipo dinamico, ossia caratterizzata da una serie di scambi continui tra: •

atmosfera;

•

superficie solida e corpi idrici;

•

sottosuolo;

•

oceani.

L’insieme di questi flussi d’acqua prende il nome di ciclo idrologico. In particolare si hanno: (A) precipitazioni : passaggio passaggio dall’atmosfer dall’atmosferaa alla superficie solida solida ed agli oceani (pioggia, (pioggia, neve, grandine e rugiada); (B) evaporazione : passaggio dallo stato liquido al suolo a quello di vapore in atmosfera; 3

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Capitolo 1. Idrologia e misure idrauliche

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(G) traspirazione : passaggio passaggio dell’acqua dell’acqua dal sottosuolo sottosuolo direttamente direttamente in atmosfera atmosfera grazie all’azione all’azione dei vegetali; (C) ruscellamento: trasferimento sulle superfici solide ai corpi idrici e agli oceani; (F) infiltrazione : passaggio passaggio dalla superficie solida al sottosuolo; sottosuolo; (E) esfiltrazione : passaggio passaggio dell’umidità dell’umidità del sottosuolo sottosuolo (non saturo) saturo) in superficie; (D) sorgenti subacquee : passaggio passaggio delle acque sotterranee sotterranee nei corpi idrici o negli ocean o ceani. i.

Figura Figura 1.1. Ciclo idrologico.

Il movimento continuo del ciclo idrologico è possibile grazie all’ energia solare , la quale produce i trasferimenti men ti di calore che rendono rendono possibile tale moto. Dal punto di vista degli aspetti dinam dinamici ici l’ atmosfera è la parte più importante in quando è la prima ad assorbire tale energia. I principi fisici fondamentali del ciclo sono: 1. il principio di conservazione della massa : dà luogo al bilancio idrologico; 2. il principio di conservazione conservazione dell’energia : spesso non viene considerato in quanto, vista la complessità dei processi, in idrologia ci sia accontenta del primo. La differenza tra idrologia e idraulica è essenzialmente dovuta alla scala di osservazione spazio-temporale : •

•

idraulica : m

−→ km, s −→ min; (serve a tralasciare tralasciare gli effetti effetti della stagionali stagionalità). tà). idrologia : km −→ . . . , anno solare (serve

1.1.1 1.1.1

Bilanci Bilancio o idrolo idrologico gico

Analizziamo una superficie di area A e sia V il volume accumulato su tale area a causa delle precipitazioni. Se si suppone di spargere in maniera uniforme tale volume su tutta la superficie si ottiene un’altezza d’acqua pari a: h=

V A

L’equazione fondamentale del bilancio idrologico è: dV = Qin dt

− Qout

Per poter applicare concretamente tale equazione bisogna: •

definire A;

•

conoscere i flussi in entrata ed in uscita.

(1.1)

1.1. Ciclo idrologico

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5

Se si analizza analizza il ciclo idrologico idrologico alla scala dell’anno dell’anno solare si può ammettere, ammettere, a meno di approssimazioni approssimazioni più o meno grandi, che se ci si trova in un ciclo di un anno medio, dopo un anno le condizioni dovrebbero essere uguali a quelle di un anno prima: dV dt Esempio



anno anno solare

≈0

Figura 1.2. Esempio di bilancio idrologico.

Consideriamo un anno medio: - pioggia pioggia che cade cade sulla superficie superficie degli oceani: oceani: 1120 mm; - pioggia pioggia che cade cade sulle sulle terre emerse: emerse: 720 mm; - acqua che che evapora evapora dalla superficie superficie degli degli oceani: 1250 mm; - acqua che che evapora evapora dalla superficie superficie solida: solida: 410 mm; - acqua che che passa dalla superficie superficie solida a quella degli oceani: 310 mm (rispetto alla superficie superficie solida), 130 mm (rispetto alla superficie degli degli oceani); - acqua che viene scambiata scambiata a livello livello di sottosuolo: sottosuolo: trascurabile trascurabile.. Facendo acendo una media ogni anno cade sulla superficie terrestre 1 m d’acqua. Il volume di pioggia annua è pari a: V pa = 500

× 106 × 10

−3

= 500. 500.00 0000 km3 /anno

Il volume d’acqua in atmosfera è pari a: V atm atm = 13

× 103 km3

Ciò significa che il tempo di permanenza dell’acqua in atmosfera è estremamente breve: mediamente ogni anno l’intera quantità d’acqua presente in atmosfera si riversa sulla Terra circa 40 volte ( = V pa /V atm atm ), quindi la durata media della permanenza dell’acqua in atmosfera è di circa 9 giorni (365/40). Altri esempi di tempi di permanenza sono: - fium fiumee Po: 700km, v=1 m/s, m/s, circa 200 ore ossia ossia 10 giorni; giorni; - sottosuolo: 30 anni.

6


1.2 1.2

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Baci Bacini ni imbri imbrifer ferii

Si definisce bacino imbrifero o idrografico relativo alla sezione S la porzione di territorio in cui le piogge cadute contribuiscono al deflusso nella sezione S. Il primo termine si riferisce esplicitamente a tale definizione mentre il secondo è relativo alla distribuzione dei canali che raccolgono le acque da una superficie e le portano alla sezione S.

Figura Figura 1.3. Bacino imbrifero.

Si definisce reticolo idrografico il grafo formato dalle aste fluviali e orientato dalle zone a potenziale gravitazionale tazionale maggiore verso quelle a potenzionale potenzionale minore. Normalment Normalmentee nelle zone imbrifere, imbrifere, ossia nelle zone dove le portate sono generate, il reticolo è ad albero, ossia è costituito costituito da tante sorgenti e da una sola uscita detta sezione di chiusura del bacino . I corsi d’acqua possono essere suddivisi ciascuno in tre parti principali: 1. bacino imbrifero propriamente detto : il processo fondamentale è la raccolta d’acqua, corrisponde alla zona montana; 2. canale di trasporto : il processo fondamentale fondamentale è l’interaz l’interazione ione con le falde freatiche freatiche (in condizioni condizioni di magra il fiume cede acqua alle falde freatiche), corrisponde alla zona in cui non ci sono più grossi affluenti; 3. foce : il processo fondamentale fondamentale è l’interaz l’interazione ione col corpo idrico recettore.

1.2.1 1.2.1

Delimita Delimitazio zione ne del del bacino bacino imb imbrif rifero ero

Le linee di massima massima penden p endenza za dei versanti versanti tagliano tagliano perpendicolarme perpendicolarmente nte le linee equipotenziali equipotenziali,, il moto avviene quindi parallelamente ad esse e sono dette linee di spartiacque . Le zone di crinale sono invece dei massimi locali nella superficie topografica. I massimi di curvatura delle curve di livello possono essere: - zone di crinale ; - aste fluviali . L’utilizzo del DTM (Digital Terrain Model) è molto utile per il riconoscimento automatico dell’andamento degli espluvi e degli impluvi.

1.2. Bacini imbriferi

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Figura 1.4. Linee di massima pendenza e crinali.

Figura 1.5. Linee di espluvio e linee di impluvio.

Acque sotterranee

A contribuire alla portata di un fiume non c’è solo l’acqua di ruscellamento in superficie ma anche una componente di filtrazione nel terreno. A rigore quindi l’analisi topografica è sufficiente solamente per il ruscellamento e non per i moti di filtrazione, i quali forniscono acqua nei periodi asciutti. Approssimativamente

Figura Figura 1.6. Influenza delle condizioni geostrutturali sul bacino idrologico.

possiamo dire che della pioggia che cade mediamente: - 1/3 evapora; - 1/3 s’infiltra; - 1/3 scorre in superficie.

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1.3

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Processi Processi idrolog idrologici ici fondame fondament ntali ali

1.3.1 1.3.1

Precipi Precipitazi tazione one piovo piovosa sa

Il fenomeno fondamentale per la precipitazione piovosa è la condensazione ossia il passaggio dell’umidità dell’atmosfera dallo stato di vapore allo stato liquido quando l’atmosfera risulta satura. La massima quantità di vapor d’acqua che la miscela aria può contenere è detta tensione di vapor d’acqua saturo . La condensazione è essenzialmente dovuta ad un raffreddamento : sottraendo sottraendo calore ad una massa umida essa diventa satura e si ha la condensazione. La probabilità maggiore è quella che una goccia d’acqua vada a formarsi attorno ad un granello di pulviscolo pulviscolo atmosferico atmosferico.. Una volta che una microgoccia microgoccia si è formata è più probabile probabile che si abbia un’altra un’altra condensazione attorno ad essa. Le nuvole sono sono gocce gocce d’acqua d’acqua allo stato liquido liquido.. Su di esse esse agisce agisce il loro peso proprio e le tensioni tangenziali dovute ai moti turbolenti dell’aria. Si ha una precipitazione precipitazione piovosa quando a causa di un particolare raffreddamento si ha un ingrossamento delle gocce d’acque e la rottura dell’equilibri dell’equilibrioo di forze che si era instaurato precedentemen precedentemente. te. I processi fondamentali di raffreddamento sono 3: 1. raffreddamento ciclonico : è legato alla circolazione atmosferica ed al trasferimento di masse d’aria a differente contenuto termico e d’umidità da zone ad alta pressione a zone a bassa pressione ;

Figura Figura 1.7. Zona anticiclonica e ciclonica nell’emisfero Nord.

2. raffreddamento orografico : quando una corrente d’aria incontra una catena montuosa la massa d’aria tende ad innalzarsi e, dal momento che gli strati alti dell’atmosfera sono più freddi, si ha un raffreddamento; 3. raffreddamento convettivo : se la superficie del terreno è molto calda essa riesce a scaldare l’aria che, diventando più leggera, tende a salire per la spinta archimedea, in superficie arriva altra aria che a sua volta si scalda e risale formando una colonna ascendente che mentre sale si raffredda (meccanismo convettivo). Circolazione ciclonica

La scala a cui avviene avviene è molto ampia: ampia: 1.000–5.00 1.000–5.0000 km (le carte sinottiche sinottiche dei meteorologi meteorologi sono a livello livello di continente). Per effetto dell’ accelerazio accelerazione ne di Coriolis , dovut dovutaa alla alla rotazio rotazione ne terres terrestre, tre, gli spostam spostamen enti ti non sono sono rettilinei ma (nell’emisfero Nord): •

circolazione circolazione anticiclonica anticiclonica (avviene attorno ad un centro di alta pressione ) è oraria ;

•

circolazione circolazione ciclonica (avviene attorno ad un centro di bassa pressione ) è antioraria .

Le masse d’aria che arrivano in queste zone possono avere contenuti di umidità e temperatura diverse in quanto possono provenire da Nord, Sud, Ovest o Est. Si consideri, per esempio, un centro di bassa pressione con dell’aria fredda proveniente da Nord e dell’aria calda proveniente da Sud. Si definisce: - fronte : zona di contatto fra masse d’aria diverse;

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1.3. Processi idrologici fondamentali

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- fronte caldo : zona del fronte dove spinge l’aria calda; - fronte freddo : zona del fronte dove dove spinge l’aria fredda.

Figura 1.8. Fronte caldo e fronte freddo.

Consideriamo la sezione A-A’: nel centro si parla di fronte occluso ossia l’aria ristagna, si ha una stratificazione dell’aria (aria calda sopra, aria fredda sotto) con formazione di nuvolosità diffusa o deboli piogge. Consideriamo la sezione B-B’: •

l’aria calda che arriva trova l’aria fredda ferma, che avendo un’inerzia maggiore (più densa) tende a rimanere al suolo causando lo scivolamento dell’aria calda sopra di essa: si ha una condensazione in verticale lungo il fronte con grande sviluppo in pianta, ne conseguono: - forti sistemi nuvolosi ; - piogge di media-bassa intensità .

•

l’aria fredda che arriva s’insinua sotto l’aria calda che a sua volta tende a sollevarsi molto più rapidamente idamente che nel caso precedente, precedente, a causa dell’elev dell’elevata ata quantità quantità di moto dell’aria dell’aria fredda: si ha una condensazione con modesto sviluppo in pianta, ne conseguono: - sistemi nuvolosi modesti ; - piogge di intensità elevata .

Tutto questo meccanismo si sviluppa spazialmente in un quadro sinottico (>1.00 (>1.0000 km), km), al suo interno interno si hanno zone di prec fronti (100-1000 (100-1000 km), esistono esistono infine dei nuclei di precipitazio precipitazione ne precipita ipitazione zione legate ai fronti più elevata detti celle di scroscio (1-10 (1-10 km). km). La misura misura delle pioggia pioggia è fortem fortemen ente te influenza influenzata ta da questi questi meccanismi. Circolazione orografica

Le masse d’aria che passano sopra i mari e le pianure si caricano di umidità per evaporazione, quando incontrano una catena montuosa s’innalzano e si ha la generazione di sistemi nuvolosi e precipitazioni. Circolazione convettiv convettiva a

È legata legata alla presen presenza za di superfic superficii calde calde che che riscal riscaldan danoo l’atmo l’atmosfe sfera ra per contat contatto: to: l’aria l’aria calda calda tende tende ad innalzarsi, si ha una diminuzione di pressione nella zona bassa e un richiamo di altre masse d’aria fredda dalla superficie. Il processo termina quando la superficie cessa di essere calda. Dal momento che la corrente ascensionale che si sviluppa è molto forte le gocce d’acqua per cadere devono devono avere dimensioni dimensioni molto grosse. È questo questo il meccanismo, meccanismo, tipico delle celle di scroscio, che porta alla formazione dei cosiddetti temporali estivi (eventi brevi ma intensi).

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Figura 1.9. Sezioni A-A’ e B-B’.

Figura 1.10. Circolazione orografica e convettiva.

1.4 1.4 1.4. 1.4.1 1

Misure Misure di preci precipit pitaz azio ione ne Pluvi Pluviom ometr etro o

Un pluviometro è essenzialmente costituito da un recipiente con bocca orizzontale di forma circolare che consente consente l’accumul l’accumuloo dell’acqua dell’acqua di precipitazi precipitazione. one. Esso viene disposto in aree aperte in modo da evitare evitare schermature dovute alla presenza di edifici o coperture vegetali. Passato un certo tempo ∆t, detto intervallo di osservazione , si misura l’acqua raccolta all’interno dello strumento 1 . 1 Nel caso di misurazioni effettuate ad intervalli di tempo piuttosto lunghi (es. pluviometri stagionali) si ricorre all’utilizzo di un film d’olio in modo da ricoprire ricoprire la pioggia pioggia che si raccoglie raccoglie nello strumento strumento ed impedirne impedirne l’evaporazio l’evaporazione. ne.

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1.4. Misure di precipitazione

11

Si definisce altezza di pioggia [mm]: ∆h =

V Ω

(1.2)

dove: - V : volume accumulato; - Ω: area della superficie di captazione captazione (valore (valore standard Ω = 0, 1 m2 ). Si misura l’altezza invece che il volume di pioggia in quanto si vuole estrapolare il campionamento puntuale sull’area sull’area attorno ad esso. Si definisce intensità di pioggia [mm/giorno]: j =

∆h ∆t

(1.3)

Servizio Idrografico Nazionale

Il vecchio Servizio Idrografico Nazionale 2 era dotato di una rete di osservatori con una densità media di uno strumento strumento ogni 300 − 400km2 . Esso osservava osservava le cosiddette cosiddette piogge giornaliere : piogge cadute tra le 9 a.m. del giorno precedente e le 9 a.m. del giorno di osservazione. I dati venivano poi pubblicati sugli Annali Idrologici (parte I). Pluviometri registratori (pluviografi)

Dal momento che per gli eventi importanti il dato giornaliero non è sufficiente si è resa necessaria l’introduzione accanto al pluviometro di uno strumento che registrasse l’andamento nel tempo dell’altezza di pioggia. •

Pluviometro a bilancia : l’ago della bilancia bilancia è dotato di un pennino che che lascia una traccia su una carta

ad orologeria (gli apparecchi più moderni sono di tipo digitale). Il difetto principale di questi pluviometri è che quando la vaschetta si riempie bisogna andare a svuotarla. •

Pluviometro a sifone : il serbatoio è dotato di un sifone che, una volta innescato, fa svuotare il serbatoio.

I difetti sono il fatto che il sifone può non innescarsi e che esso risente molto delle impurità della pioggia. •

Pluviometro a vaschetta basculante : una volta che la prima vaschetta si riempie ( 20cm3 = 0, 2 mm) si

forma una coppia ribaltante che fa svuotare la vaschetta piena e mette sotto raccolta quella vuota. Su una carta ad orologeria il ribaltamento viene indicato con uno scatto sul diagramma, quando si arriva al bordo della carta l’andamento viene invertito. invertito. L’avanzamento L’avanzamento del rullo di carta è di 2 mm/ora ossia una striscia striscia di carta da 40 cm ogni settimana. settimana. I difetti principali sono la difficile taratura meccanica dello strumento e il fatto che durante il ribaltamento una parte di pioggia non viene raccolta. Sorgenti principali di errore

Il problema principale delle misurazioni effettuate con pluviometri è la signific significativi atività tà della misura misura . In particolare la World Meteorological Organization (WMO) ha individuato 5 sorgenti principali di errore: 1. l’esposizione :

−5 % ÷ −80 % 2. l’evaporazione : ∼ −1 % 3. lo splash in e lo splash out : ∼ +1 % 4. l’adesione : ∼ −0, 5 % 5. l’orizzontalità della bocca : ∼ −0, 5 % 2

Servizio nato per scopi energetici ed agricoli attualmente passato alle competenze delle Regioni (ARPA)

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Nivometri

I nivometri sono particolari pluviometri che raccolgono e poi sciolgono la neve, misurandone la quantità. Gli errori che si commettono nel misurare le precipitazioni nevose sono ancora più grandi in quanto avendo la neve una velocità di caduta più bassa della pioggia essa risente maggiormente della turbolenza dell’aria.

1.4.2 1.4.2

Radar Radar meteoro meteorolog logico ico

Il principio fisico sfruttato dal radar meteorologico è che onde radio con lunghezza d’onda comparabile alla dimensione delle gocce d’acqua vengono riflesse dalla presenza d’acqua in atmosfera. Il radar meteorologico è in grado di vedere non tanto la pioggia (ad eccezione dei modelli che sfruttano l’effetto doppler) quanto il contenuto d’acqua in atmosfera, ossia soprattutto le grosse masse d’acqua a quote (nuvole). Esso esegue esegue una sorta di tomografia ossia una serie di spazzate con alzo variabile (ossia elevate (nuvole). rivoluzioni con inclinazione variabile) in modo da riconoscere la struttura verticale degli ammassi nuvolosi. Il risultato fornito è quello del contenuto d’acqua liquida sopra pixel di circa 1 km2 . I dati forniti vengono poi elaborati mediante specifici algoritmi che permettono di: •

fornire una buona distribuzione spaziale delle precipitazioni ;

•

fornire solamente un’indicazione di massima sull’ intensità di pioggia (classi di intensità).

Il raggio d’azione è al massimo massimo di 100–200 100–200 km, oltre comincia comincia a risentire risentire eccessiva eccessivamen mente te dell’effetto della curvatura terrestre. La Regione Friuli Venezia Giulia è attualmente coperta da 2 radar meteorologici situati a: - Téolo (Veneto - Colli Euganei); - Fossalòn di Grado.

1.4.3 1.4.3

Valutazi alutazione one dei dei volu volumi mi d’afflu d’afflusso sso

Una volta ottenute le misure puntuali di pioggia il passo successivo è quello di passare ad una stima del volume volume complessivo complessivo di pioggia pioggia caduto su una determinata determinata area. La definizione definizione corretta corretta del problema della valutazione del volume d’afflusso V richiede a sua volta la definizione di: a) area topografica A; b) intervallo di tempo ∆t (per esempio: 1 ora, 6 ore, 1 giorno, 1 anno); Siano P i le posizioni a cui sono associate le altezze di pioggia hi cadute nell’intervallo di tempo ∆t: P i

−→ hi

(in ∆t ∆t)

Metodo delle isoiete

Date le altezze di pioggia nelle posizioni P i il metodo consiste nel tracciare le curve di uguale altezza di pioggia (isoiete). Generalmente di suppone un andamento lineare dell’altezza di pioggia tra due posizioni. Le isoiete possono venir venir tracciate con diverse diverse equidistanze: equidistanze: se si adotta un’equidist un’equidistanza anza di 100 mm allora il passaggio passaggio da una isoieta isoieta all’altra comporta un salto di 100 mm nell’altezza nell’altezza di pioggia. pioggia. Una volta definita l’area A sulla quale si vuole effettuare la valutazione del volume d’afflusso, si fissano delle aree di competenza Ai tali che:



Ai = AV ∆t =



Ai H i

Ad esempio si può assegnare l’altezza H 1 = 1000 1000 mm a tutta l’area A1 compresa compresa tra le isoiete isoiete 950 e 1050mm. 1050 mm. I vantaggi principali di tale metodo sono:  le isoiete seguono un andamento plausibile delle precipitazioni;  le isoiete possono tener conto di come varia la topografia dell’area;

1.4. Misure di precipitazione

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(a)

13

(b) Figura 1.11. Metodo delle isoiete.

 è possibile sfruttare conoscenze acquisite in precedenza per modificare in maniera opportuna l’anda-

mento delle isoiete.

Gli svantaggi principali di tale metodo sono: - il procedimento di tracciamento può essere molto soggettivo ; - se le altezze hi nelle posizioni P i variano o se varia il tempo ∆t su cui vengono valutate allora bisogna ricalcolare nuovamente le aree Ai . Metodo dei poligoni di Thiessen o dei topoieti

Con questo metodo ad ogni punto dell’area A viene assegnata un’altezza di pioggia pari a quella misurata nella posizione P i più vicina. Di conseguenza conseguenza per individuare la aree Ai , associate alle altezze hi , bisogna considerare i segmenti congiungenti posizioni P i vicine e tracciare il luogo dei punti equidistanti da entrambe le posizi p osizioni oni considerate, considerate, ossia gli assi dei segmenti. segmenti. Il volume d’afflusso sull’area sull’area A è pari a: V ∆t =

 

Ai hi

L’altezza media di pioggia caduta sall’area A è pari a: V h= = A

I vantaggi principali di tale metodo sono:

Ai hi A

·

 la suddivisione delle aree dipende esclusivamente dalla posizione dei pluviometri quindi, una volta

determinate, al variare dei valori hi non serve che vengano ricalcolate.

Gli svantaggi principali del metodo sono: - è un procedimento meno flessibile del precedente in quanto non è possibile tener conto di altre nozioni acquisite precedentemente. Osservazione

Per entrambi i metodi considerati l’afflusso di precipitazione in una determinata area può dipendere da misure effettuate al di fuori dell’area in esame.

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Figura 1.12. Metodo di Thiessen.

1.5 1.5

Misu Misure re di port portat ata a

Si consideri una sezione trasversale al moto medio di un canale, si vuole sapere qual’è la massa che passa in tale sezione sezione nell’unità di tempo. Dal momento che l’acqua viene considerata considerata incompressibil incompressibilee ( ρ = cost), parlare parlare di portata volumetrica equivale a parlare di portata di massa : Q=

 ·

v n dA

(1.4)

A

Il calcolo della portata si traduce praticamente in un’integrazione numerica, in cui si valutano le componenti ortogonali vni della velocità rispetto alla sezione considerata per ogni area ∆Ai in cui viene suddivisa l’area A della sezione: (1.5) Q≈ vni ∆Ai

 i

Ciò significa che per ogni ∆Ai si deve eseguire almeno una misura di velocità.

1.5.1 1.5.1

Muline Mulinelli lli idromet idrometric ricii

Nei mulinelli l’elicaa viene viene messa in moto moto dal filetto filetto fluido che l’attra l’attrave versa rsa.. Ad un mulinelli idrometr idrometrici ici ad elica elica l’elic giro completo di elica corrisponde una determinata distanza percorsa dall’acqua detta passo idraulico idraulico 3 , misurando quindi il numero di giri n nel tempo ∆t e noto il passo idraulico p dell’elica si ricava la velocità del filetto fluido: n · p v≈ (1.6) ∆t

Il mulinello ad elica valuta di per sé la componente normale della velocità purché il suo asse sia perpendicolare alla sezione da valutare. L’operazione di misura delle velocità col mulinello idrometrico può essere effettuata: •

al guado : utilizzando un’ asta idrometrica per sostenere lo strumento e misurare la profondità dell’acqua;

3 Si noti che il passo idraulico non corrisponde esattamente al passo d’avvitamento dell’elica, ma esso viene valutato nelle canalette idrauliche, dove è possibile regolare la velocità dell’acqua e misurare il numero di giri dell’elica.

1.5. Misure di portata

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•

15

in sospensione con un battello : per tener conto dell’effetto di trascinamento dell’acqua nella valutazione della profondità si è soliti utilizzare un’approssimazione di tipo triangolare.

La differenza fondamentale fra il mulinello idrometrico ad elica e quello a cucchiaie è che quest’ultimo misura direttamente il modulo della velocità (la rotazione è indifferente alla direzione della velocità). Poi mediante un giroscopio si determina la direzione ed il verso della pinna e si risale alla componente normale di velocità. Durata della misura

La durata dell’intervallo di misura ∆t deve essere sufficientemente lunga (30”-1’) per due motivi principali: 1. utilizzando i mulinelli idrometrici si misurano sempre n giri interi, quindi si possono perdere i mezzi giri in partenza ed i mezzi giri alla fine: v

≈ n∆· pt ± 12 ∆ pt

È bene che n sia sufficientemente elevato. 2. a causa della turbolenza si hanno fluttuazioni del campo di velocità nel tempo (variabili in funzione della classe di turbolenza), turbolenza), quindi ∆t deve essere tale da mediare tali effetti. Numero di punti misurati

Maggio Maggiore re è il numero numero di pun punti ti su cui si valu aluta ta la veloci velocità tà e mig miglio liore re è la stima della portata. portata. Un giusto giusto compromesso tra stima corretta della portata e tempo globale di misura è dato da 30 punti . Dal momento che la distribuzione delle velocità lungo la verticale in un canale rettangolare è di tipo logaritmico, la misura effettuata ad una profondità pari a 0, 6y dovrebbe corrispondere alla misura della velocità media lungo la verticale . In questo modo si può effettuare una stima con un’unica misura su ogni verticale considerata. Leggermente più precisa è la stima mediante 3 misure : v = (v ( v0,2 + 2v 2v0,6 + v0,8 )/4

(1.7)

Figura Figura 1.13. Profilo di velocità in un canale rettangolare.

1.5.2 1.5.2

Profilato Profilatori ri di di veloci velocità tà ad ultr ultrasuo asuoni ni

Tali strumenti emettono emettono in maniera diagonale rispetto alla direzione direzione del flusso un’onda sonora. Se l’acqua l’acqua fosse perfettamente limpida ci sarebbe un solo eco dal fondo, in realtà la presenza di impurità fa sì che gli echi di ritorno siano più di uno. L’intervallo di tempo ∆t trascorso tra l’emissione del suono e il ritorno fornisce la distanza dell’ostacolo che ha provocato l’eco.

16


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Figura 1.14. Profilatore di velocità ad ultrasuoni.

La mutazione di frequenza tra il segnale emesso e quello ricevuto dà invece, grazie all’ effetto Doppler , indicazioni sulla velocità del flusso. Con questi strumenti è possibile effettuare moltissime misure tuttavia si possono avere dei problemi nella taratura dello strumento.

1.5.3 1.5.3

Misure Misure di liv livello ello:: scala scala delle delle portate portate

La registrazione registrazione in continuo continuo delle portate con uno dei sistemi sistemi visti non è praticamente praticamente possibile. possibile. Ciò che invece si può misurare con continuità è il livello Z , da cui si può mediante una relazione univoca del tipo Q = Q(Z ), detta scala delle portate dell’alveo, risalire alla portata.

Figura Figura 1.15. Scala delle portate.

Dal momento che il fondo del canale può subire delle variazioni Z viene sempre riferito ad una scala detta scala idrometrica , la quale a sua volta è riferita in maniera assoluta al livello medio del mare (zero assoluto). Le scale idrometriche vengono materializzate mediante stadie fissate alle spalle dei ponti o ad altre strutture rigide e fisse. Durante l’onda di piena Q(Z ) non è più biunivoca ma forma un ciclo d’isteresi detto cappio di piena . Proprio durante le onde di piena tuttavia le misure di portate non sono possibili, essenzialmente per due motivi: 1. le velocità sono elevate elevate ed il fiume trascina trascina del materiale materiale asportato dalle sponde; 2. essendo essendo in un transitorio bisognereb bisognerebbe be essere essere veloci nella misura. In generale comunque i cappi di piena sono piuttosto schiacciati per cui la consuetudine è quella di approssimarne l’andamento con la curva di moto permanente. Idrometri

I tipi di idrometri più diffusi sono:

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•

stadie;

•

a galleggiante;

•

a sensore di pressione;

•

a gorgoglio d’aria;

•

ad ultrasuoni4 ;

•

con polvere di sughero (misure di massima altezza).

17

Figura Figura 1.16. Idrometro a gorgoglio d’aria.

Determinazione della scala delle portate

Supponiamo di installare uno strumento nuovo e di effettuare una serie di misure di livello in periodi di magra. All’aumentare del livello Z aumenta sia la sezione A che la velocità media V . Consideriamo infatti un canale regolare in moto uniforme , sussiste la ben nota relazione di Chézy :



V = C gRi f

- C : coefficiente coefficiente d’attrito; d’attrito;

(1.8)

- R: raggio idraulico ( Ω/p con p perimetro bagnato); - if : pendenza del fondo. Si noti come all’aumentare di Z il raggio idraulico R aumenti facendo aumentare anche V . Ne consegue che all’aumentare del livello Z la portata aumenta più che linearmente , sussiste infatti una relazione di potenza del tipo: (1.9) Q = k (Z − Z 0 )α dove Z 0 è il livello idrometrico per cui Q = 0 .

4 Necessita di correzioni in base alla temperatura dell’aria dalla quale dipende la densità dell’aria, dalla quale a sua volta dipende la velocità delle onde sonore. Risente molto del problema delle vibrazioni dovute al vento.

18


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Figura 1.17. Perimetro bagnato.

La stima di k , Z 0 ed α avviene attraverso la relazione: log Q = log k + α log(Z log(Z

− Z 0)

(1.10)

Z 0 viene trovato per tentativi finché i punti sperimentali si dispongono su una retta.

Figura 1.18. Stima di Z 0 , k e α.

Il passo successivo è quello di valutare la scala delle portate per portate grandi grandi , per fare ciò è necessario ricorrere ad un’operazione di estrapolazione . Essa Essa può avveni avvenire re second secondoo tre livelli livelli di precis precision ionee (ordine (ordine decrescente): 1. Si utilizzano le equazioni del moto permanente gradualmente variato tarandole sulle sezioni disponibili ed applicandole poi anche alle altre. 2. Si considera la relazione: Q = A V

·

con V velocità media, e si istituisce una scala delle velocità medie . Supponendo il livello dell’acqua orizzontale e conoscendo la sezione trasversale del canale si valuta A in funzione di Z , mentre V viene estrapolata sulla base delle misure di velocità effettuate per piccoli valori di Z . Rispetto all’estrapolazione diretta di Q (metodo 3) l’estrapolazione di V è più sicura in quanto da un certo Z in poi V varia di poco. 3. Si estrapola, graficament graficamentee o analiticame analiticamente nte,, la legge ricavata ricavata per le parti basse anche alle parti alte. Instabilità della scala delle portate

Se durante le portate di piena il fondo cambia assetto (mutamento delle barre di fondo) la scala delle portate non cambia di molto.


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(a) Scala delle velocità.

19

(b) Area della sezione trasversale.

Figura 1.19. Metodo 2 per la determinazione della scala delle portate.

Se invece durante le portate di magra il fondo cambia assetto (si possono avere anche migrazioni del canale all’interno dell’alveo) la scala delle portate subisce forti variazioni sia nella sezione considerata sia per tutto un tronco di alveo a monte e a valle. Le portate di magra non sono importanti per la valutazione

Figura 1.20. Instabilità della scala delle portate.

della sicurezza delle zone rivierasche bensì per la valutazione della risorsa : si può affermare infatti che il volume d’acqua che passa ogni anno per la sezione di misura è formato per metà da piene e per metà da magre ed esaurimenti.

Figura Figura 1.21. Alveo di magra.

20


1.5. 1.5.4 4

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Sezio Sezioni ni stab stabili ili

Le misure di portata andrebbero fatte in corrispondenz corrispondenzaa delle cosiddette cosiddette sezioni stabili , ossia quelle sezioni che, grazie al fondo sufficientemente rigido, non variano al passaggio dell’onda di piena: •

possono possono essere essere stabili stabili per loro natura: emersione emersione di roccia (soglie geologich geologiche); e);

•

possono essere rese stabili da opere di stabilizzazione trasversale: – traverse di presa; – briglie briglie o soglie soglie di stabilizzazione stabilizzazione:: opere trasversal trasversalii (meno di 15 m); realizzate, realizzate, per p er esempio, esempio, a

valle delle pile dei ponti, servono ad evitare i fenomeni di sottoerosione delle fondazioni.

Figura Figura 1.22. Sezione stabile.

Stramazzi

Nel caso in cui l’ efflusso sia libero, ossia non condizionato dai livelli d’acqua a valle, allora la scala delle portate Q = Q(Z ) è nota a priori. Si può infatti assimilare questo tipo di struttura a degli stramazzi : luci attraverso cui passa un flusso d’acqua che non sia sotto battente.

(a) Sezione longitudinale.

(b) Sezione trasversale.

Figura Figura 1.23. Stramazzo in parete grossa.

Stramazzo rettangolare in parete grossa: Q = 0, 385 385Bh Bh



2gh

(1.11)


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21

Stramazzo rettangolare in parete sottile: Q = C Q Bh



2gh

(1.12)

con C Q funzione funzione delle condizioni condizioni di flusso e dalla spessore dello stramazzo. stramazzo.

Figura 1.24. Stramazzo in parete sottile.

Figura 1.25. Sezione trapezia di uno stramazzo.

Stramazzo Stramazzo trapezio in parete sottile: sottile:



Q = C Q (B0 h + mh2 ) 2gh

Stramazzo triangolare in parete sottile: Q = C Q mh2

In generale sussiste un relazione del tipo:



Q = khα

2gh

(1.13)

(1.14) (1.15)

con: - α = 1, 5 per sezioni rettangolari; - α = 2, 5 per sezioni triangolari; Carico piezometrico e carico cinetico

Per essere esatti nelle espressioni viste il carico piezometrico h dovrebbe essere accompagnato da quello cinetico v2 /2g, tuttavia se il petto p dello stramazzo è almeno pari ad h allora il termine cinetico è trascurabile rispetto a quello piezometrico.

22


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Figura Figura 1.26. Relazione generale per gli stramazzi.

Bisogna tener conto del carico cinetico nei casi in cui, a causa dell’ alluvionamento dell’alveo in seguito alla diminuzione di velocità a monte della traversa, il petto dello stramazzo diminuisce di molto. Uno stramazzo funziona correttamente con tiranti minimi di 5 cm, sotto tale valore si hanno problemi dovuti a fenomeni di adesione. È importante inoltre che i filetti fluidi siano rettilinei e che non ci siano quindi contrazioni laterali.

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1.5.5 1.5.5


23

Misura Misura median mediante te traccia tracciant ntii

Tale tipo di misura consiste nell’immettere, a portata costante, una sostanza diluita nel corso d’acqua, generalmente cloruro di sodio o coloranti alimentari. La portata è pari a: Q=q

C i C d

− C d − C b

(1.16)

- C i : concentrazione iniettata; - C d : concentrazione diluita (a valle); - C b : concentra concentrazione zione di base (a mon monte); te); - q: portata immessa. Per poter effettuare una misura di questo tipo è necessario attendere di essere a regime con l’immissione e la diluizione (circa 30 minuti). La misura risulta precisa nei casi in cui: - il canale non è così piccolo da essere misurato “a secchi”; - il canale non è così grande da rendere necessario necessario l’utilizzo l’utilizzo degli idrometri idrometri a muli mulinello nello.. Esiste anche una versione di tale misurazione con diluizione ad impulso istantaneo .

24


1.6 1.6

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Evapo Evapora razio zione ne e misure misure di evapo evapora razio zione ne

Consideriamo uno specchio d’acqua oppure un terreno saturo d’acqua.

Figura 1.27. Evaporazione.

Se l’atmosfera al di sopra di tale superficie è ferma allora il tasso di evaporazione E (mm/h) è legato alla presenza di umidità nell’atmosfera. Il fenomeno dell’evaporazione è un classico fenomeno diffusivo e quindi segue la prima legge di Fick : de E = −K (1.17) dz

- e: tensione di vapore; - de/ dz : gradiente verticale della tensione di vapore. All’interno di una miscela di gas ogni componente ha una propria pressione che contribuisce a formare la pressione della miscela: la tensione di vapore e è la componente di pressione che riguarda il vapore acqueo. Sussiste infatti la legge di Dalton : (1.18) p = pi

 i

In base alla legge dei gas perfetti si ha che:

e = ρv Rv T = 1, 61 61ρ ρv RT =

⇒

ρv = 0, 622

e RT

(1.19)

ρv corrisponde alla densità del vapore acqueo ed è detta umidità assoluta [M/L 3 ]. L’aria umida , avente una pressione p, è una miscela miscela composta da vapor acqueo, avente pressione e e da aria secca (miscela di vari gas), avente pressione p e. Ne consegue che la densità della miscela è:

−

ρm

− 

p e e p = + 0, 0, 622 = 1 RT RT RT

−

e 0, 378 p

(1.20)

Se e = 0 allora ρaria secca = p/RT . Si noti come la densità densità dell’aria umida sia inferiore inferiore a quella dell’aria dell’aria secca. Si definisce tensione di vapore saturo es la massima umidità assoluta dell’aria a temperatura T . In corrispondenz corrispondenzaa di es si ha la densità dell’aria umida minima. es dipende da T attraverso l’equazione di Clausius-Clapeyron . In via approssimata si può assumere:



17 17,, 67 67T T es = 6, 112 exp T + 243, 243, 5

Si definisce umidità relativa (%): r=

e es



(1.21)

(1.22)

L’umidità relativa può essere misurata sfruttando la modifica di certe prorietà di taluni materiali al suo variare (esempio: igrometri a capello ), oppure mediante lo psicrometro.

1.6. Evaporazione e misure di evaporazione

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1.6.1 1.6.1

25

Psicr Psicrom ometr etro o

Lo psicrometro è costituito da due termometri, uno a bulbo secco ( T A ) ed uno a bulbo bagnato soggetto a ventilazione ( T B ). Si osserva che T A > T B in quanto la ventilazione produce un’evaporazione dal batuffolo di ovatta ovatta con conseguen conseguente te estrazione di calore. La differenza di temperatura ∆T = T A − T B dipende da quanta acqua riesce ad evaporare e dalla differenza di umidità ∆E rispetto alla condizione di saturazione es (se r = 100% allora T A = T B ). Scrivendo l’equilibrio termico : (T A

(1.23)

)(ρc p + ρv c pv ) = (ρ ( ρs − ρv )Le − T B )(ρc

- c p : calore calore specifico specifico dell’aria dell’aria secca a pressione pressione costante; costante; - Le : calore latente di evaporazione Supponendo che sia evaporata tutta la ρs − ρv allora: e r= =1 es

−

c p p (T A 0, 622 es

− T B )

− 1

0, 622 622cc pv e c p T



(1.24)

Definendo Definendo una temperatura temperatura virtuale virtuale detta temperatura di rugiada (◦ C) : T A 0, 378 378e/p e/p

(1.25)

es = 6, 11 + 0, 0, 61 61T T ∗

(1.26)

T ∗ =

1

−

Si ottiene: e: r=

e =1 es

146T T B ) − 0, 00066 eps (T A − T B )(1 + 1,1, 146

(1.27)

con p in mmHg e T in ◦ C. Si ha in questo modo un sistema lineare di 3 equazioni ( 1.25, 1.25, 1.26, 1.26, 1.27) 1.27) in 3 incognite ( e, es e T ∗ ).

1.6.2 1.6.2

Determi Determinaz nazion ione e del tasso tasso di di evapor evaporazio azione ne

Il tasso di evaporazione E può essere valutato seguendo 2 principi fondamentali: 1. fenomeno fenomeno diffusivo diffusivo + aria in movimen movimento; to; 2. approccio energetico. Approccio energetico

Isolando un sistema e facendo un bilancio energetico si ottiene la quantità di energia che è possibile spendere per l’evaporazione: 1. energia energia radiante (infrarossa); (infrarossa); 2. scambi scambi termini sotterranei; sotterranei; 3. riflessioni di energia da superfici; 4. radiazioni emesse; 5. energia condotta dall’atmosfera (calore sensibile); 6. evaporazione (calore latente). latente).

26


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Figura 1.28. Bilancio energetico.

Superfici d’acqua a pelo libero

Vale la seguente formula di Rohuwer , adatta soprattutto per i laghi : E = 0, 771(1, 771(1, 465

es − e p)(0,, 44 + w) − 0, 0005 p)(0 1, 33

(1.28)

- p: pressione pressione atmosferica atmosferica (hPa); - w: velocità velocità media giornaliera del vento (km/h); - e: tensione di vapore (hPa); - es : tensione di vapore saturo (hPa). Vale la seguente formula di Coutagne : E =

es (1 r) 1, 33(0, 33(0, 47 + 0, 0, 035 035T T ))

−

(1.29)

- E : tasso di evaporazi evaporazione one (mm/giorno) (mm/giorno) mediata nell’arco di un mese; - r: umidità relativa media mensile; - T : temperatura media mensile ( ◦ C). Superfici di terreno terreno (evapotraspi (evapotraspirazio razione) ne)

Nella valutazione del tasso di evaporazione da superfici di terreno bisogna tener in conto l’effetto della traspirazione dei vegetali, i quali, per ottenere i nutrimenti necessari, prelevano l’acqua dal terreno con le

radici e la trasportano fino alle foglie, dove evapora. Con riferimento alla figura 1.29 analizziamo l’andamento del carico piezometrico durante il percorso che l’acqua compie. Inizialmente esso scende sotto il livello delle radici, si ha poi un aumento del carico grazie al risucchio risucchio osmotico osmotico operato dalle radici: l’acqua tende a muoversi dalla zona a minor concentrazione verso quella quella a maggior maggior concentrazion concentrazionee attraverso attraverso una mem membrana brana permeabile. permeabile. Lungo il fusto la perdita di carico non è molto elevata elevata in quanto quanto le fibre vegetali vegetali offrono una resistenza resistenza minima. Giun Giunti ti alle foglie, foglie, grazie ai pori micrometric micrometricii di cui esse sono dotate, interviene interviene il fenomeno fenomeno della capillarità , il quale fornisce fornisce all’acqua una certa differenza di potenziale. L’organismo vegetale è in grado di regolare la portata a livello delle foglie variando ariando il diametro dei tubicini tubicini di cellulosa cellulosa che trasportano l’acqua. l’acqua. La traspirazione traspirazione è quindi legata a tre fattori: 1. il tipo di specie vegetale ; 2. la stagione ;

1.6. Evaporazione e misure di evaporazione

Andrea Lisjak

27

Figura 1.29. Traspirazione: andamento del carico piezometrico.

3. la disponibilità disponibilità d’acqua d’acqua nel terreno. Si definisce evapotraspirazione ET la somma dell’evaporazione libera dal suolo e della traspirazione vegetale. Si definisce evapotraspirazione potenziale ET P l’evaporazione che si avrebbe se il terreno fosse sempre in grado di fornire la completa disponibilità d’acqua alle specie vegetali. Vale la seguente formula di Penman , necessitante di misure meteoclimatiche molto precise:

   1

ET P = ρe Le

dove:

∆ γ

+1

∆ W + Le B (e∗s γ

∗

−e )



(1.30)

- ρe : densità dell’acqua evaporata; - Le : calore latente di evaporazione; - ∆ = des / dT (tabellato); - γ = cB p con cB costante di Bowen ( ≈ 6, 1 × 10−4 ◦ C−1 );



- W = (Qi − Qu )/A: flusso netto di calore con cielo limpido limpido (valore (valore astronomico astronomico dipendente dipendente dalla stagione e dalla latitudine, tabellato); - B : coefficiente coefficiente di trasferimen trasferimento to turbolento turbolento (in mm/giorno, mm/giorno, tabellato). Vale la seguente formula di Penman giornaliera : ET P =

∆ H 0, 27 27E E  ∆ 0, 27

· − −

[mm//giorno] [mm

(1.31)

dove: - ∆ = des / dT (tabellato); - H = W (1 W (1 − ϕ)(0, )(0, 18 + 0, 0, 55 55S S ) − B [0, [0, 56 − 0, 092(e 092(es r)0,5 ](0, ](0, 10 + 0, 0, 90 90S S ) (in mm/giorno); - r = e/es : umidità relativa; - ϕ: rapporto tra superfici riflettenti ed opache; - S : frazione di soleggiamento (tempo in cui il sole è visibile rispetto alla durata complessiva del giorno);

28


Andrea Lisjak

- E  = 0, 0 , 35 35ees (1 − r)(1 + 0, 0, 0061 0061w w) (in mm/giorno); - w: distanza sfilata dal vento in un giorno all’altezza 5 di 2 m (espressa (espressa in km); - pressioni pressioni in mmHg mmHg (1 hPa=1 hPa=1 mmHg/1,33) mmHg/1,33).. Vale la seguente formula di Thornthwaite , che fornisce la ET P media mensile: ET P = 16

  10 10T T m ϑ

a

k

[mm//mese] [mm

(1.32)

dove: - T m : temperatura media del mese in cui si fa la stima di ET P (◦ C). - ϑ: coefficiente numerico, detto indice termico annuale , che rappresenta la temperatura media nel mese considerato e negli undici precedenti:

 m

ϑ=

i=m−11

T i 5

1,514

T i > 0

(1.33)

- a = 6, 75 × 10−7 ϑ3 − 7, 71 × 10−5 ϑ2 + 1, 1, 79 × 10−2 ϑ + 0, 0, 4924 - k: coefficiente coefficiente che dipende dal mese e dalla latitudine latitudine (tabellato); (tabellato); k ≈ 1 nel caso di latitudini nulle (equatore) e mese di 30 giorni, ad una latitudine di 45◦ k vale 0,8 a gennaio, 1,31 a luglio e 0,75 a dicembre.

1.6. 1.6.3 3

Stru Strume men nti di misur misura a

Evaporimetri

Sono serbatoi contenenti acqua a livello costante che misurano la quantità d’acqua che è necessario immettere per mantenere tale livello costante. Generalmente vengono disposti su galleggianti in mezzo ai laghi. Lisimetri

Della porzione di terreno considerata si misurano gli scambi idrici: •

celle di pressione per il peso;

•

piezometri all’esterno e regolatori di flusso per far variare il contenuto d’acqua all’interno del lisimetro;

•

pluviometri;

•

flussi sotterranei.

L’evaporazione viene ricavata per differenza. Sono strumenti tipici di stazioni di agricoltura sperimentale.

5

Se le misure sono state effettuate ad una quota z diversa diversa da 2 m si può ipotizzare ipotizzare un profilo logaritmico logaritmico di vento: vento: w = wz ·

log2 log z

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1.7. Infiltrazione e misure di infiltrazione

29

Figura Figura 1.30. Lisimetro.

1.7 1.7

Infiltr Infiltraz azio ione ne e misu misure re di infilt infiltraz razio ione ne

L’infiltrazione viene definita mediante il il tasso di infiltrazione f : volume d’acqua che si infiltra attraverso l’unità di superficie del terreno nell’unità di tempo (mm/ora).

Figura 1.31. Infiltrazione.

1.7.1 1.7.1

Infil Infiltr trom ometr etro o

È costituito da un cilindro metallico infisso nel terreno in cui viene versata dell’acqua con un battente costante, si misura la quantità d’acqua che è necessario immettere per mantenere il livello costante. Per evitare che la misura venga falsata da moti di filtrazione non verticali si adottano gli infiltrometri a doppia camicia .

Figura Figura 1.32. Infiltrometro a doppia camicia.

30


1.7. 1.7.2 2

Andrea Lisjak

Legge Legge di Horto Horton n

La legge di Horton afferma che il tasso di infiltrazione segue una legge decrescente di tipo esponenziale: f = f ∞ + (f (f 0

Si noti come:

de−t/k dt



= t=0

−

−t/k ∞ )e

(1.34)

− f

1 −t/k e k



= t=0

− k1

(1.35)

Figura Figura 1.33. Legge di Horton.

Infiltrazione e ruscellamento

Si definisce capacità di campo il massimo volume d’acqua d’acqua assorbibile assorbibile dal suolo. Ogni suolo è caratterizz caratterizzato ato dal punto di vista della legge di infiltrazione di Horton dai parametri f ∞ , f 0 e k . Consideriamo un suolo su cui piove con un’intensità di pioggia j . Si possono presentare 2 casi: 1. j < f : tutta la j s’infiltra ossia f e = j < f ; 2. j > f : una parte di j s’infiltra ossia f e = f < j mentre una parte r = j − f > 0 o rimane in superficie, superficie, se questa è piana, o contribuisce al ruscellamento superficiale. Si noti come la legge di Horton venga applicata direttamente a bacini interi , anche se questa nasce come legge puntuale; in questo caso si pone il problema del significato dei parametri t∞ , t0 e k per l’intero bacino.

1.7.3

Valutazione alutazione del ruscellamen ruscellamento to superficiale superficiale

Nella valutazione del ruscellamento alla scala di un bacino con f s’intendono non solamente le acque che effettivamente s’infiltrano ma tutte quelle che non ruscellano, ossia anche quelle che evaporano (durante e dopo la pioggia) o che ristagnano. Schema di Horton

Analizziamo una sequenza di piogge, come riportato in figura 1.34. Se si considerano le altezze medie di pioggia cadute in intervalli di tempo ∆t costanti costanti allora si può analizzare analizzare la sequenza in termini termini di intensità intensità media semplicemente dividendo le altezze per ∆t. Per valutare il ruscellamento superficiale basta confrontare all’interno di ogni periodo l’intensità di pioggia con l’infiltrazione. Si possono presentare 2 casi principali.

Andrea Lisjak

1.7. Infiltrazione e misure di infiltrazione

31

1. Per effetto di precipitazioni precipitazioni precedenti precedenti f = cost. L’altezza d’acqua che s’infiltra in ∆t è pari a: F 1 = f ∆t

·

2. Il tasso d’infiltrazione d’infiltrazione è decrescen decrescente te mediante mediante legge di Horton. Horton. Si noti come per ogni ∆t solitamente si prende il valore centrale di f e lo si considera costante su tutto l’intervallo di tempo.

(a) Tasso di infiltrazione costante.

(b) Tass ssoo di infiltrazione decrescente.

Figura 1.34. Schema di Horton.

Schema ad area contribuente

Si consideri un bacino idrografico su cui comincia a piovere con una certa intensità. Ovviamente sia l’intensità l’intensità di pioggia, pioggia, sia il tasso di infiltrazione infiltrazione,, sia l’intensità l’intensità di ruscellame ruscellamento nto sono funzione funzione sia dello spazio che del tempo: j = j (t, x), f = f ( f (t, x), r = r(t, x). Se si prescinde dalla dipendenza dipendenza dello spazio spazio e si considerano considerano dei valori medi su tutto il bacino si trascura il fatto che: - a fondo valle: la pendenza è piccola, l’acqua ristagna, il terreno è umido e si arriva a f ∞ abbastanza velocemente; - nelle zone di spartiacque: la pendenza è elevata e si arriva a f ∞ molto lentamente. Per tener conto di questo fatto si può pensare che l’area Ab del bacino sia formata da due sottoaree: •

•

area assorbente A : f = f 0

→ ∞ ossia tutta l’acqua che piove infiltra; area contribuente Ac = Ab − A : f = f 0 = 0 ossia tutta l’acqua che piove ruscella. 

Uno schema di tale tipo, alternativo a quello di Horton, è detto schema ad area contribuente . Si definisce coefficiente coefficiente d’afflusso (alla rete idrografica): ϕ=

Ac Ab A = Ab Ab

−

(1.36)

I valori di ϕ si trovano tabellati in funzione del tipo di bacino (parchi: ϕ = 0, 1 ÷ 0, 2, centri commerciali: ϕ = 0, 7 ÷ 0, 9). La portata di pioggia vale: Q p = j · Ab (1.37) La portata di infiltrazione vale:

Qinf = j A

·

(1.38)

32


(a) Suddivisione del bacino.

Andrea Lisjak

(b) Diagramma di ruscellamento ed infiltrazione.

Figura 1.35. Schema ad area contribuente.

La portata di ruscellamento vale: (1.39)

Qr = j Ac

L’intensità di ruscellamento media sul bacino vale: r=

·

Qr Ac =j = ϕ j Ab Ab

·

(1.40)

Il tasso effettivo di infiltrazione vale: f e = j

− r = j · (1 − ϕ)

(1.41)

Le differenze differenze principali principali tra questo modello e quello di Horton sono: - nello schema ad area contribuente l’intensità di pioggia può essere piccola a piacere ma c’è sempre un quantità di ruscellamento; - la legge di Horton è variabile nel tempo mentre il coefficiente di deflusso è inteso come una costante. La scelta di quale schema utilizzare dipende dal tipo di bacino: •

•

bacini bacini con grosse diversità diversità di copertura del terreno (es. fognature fognature urbane) sono ben rappresent rappresentati ati dallo schema ad area contribuente; bacini agricoli uniformi dal punto di vista della copertura vegetale sono ben rappresentati dallo schema di Horton.

1.8. Risposta idrologica

Andrea Lisjak

1.8 1.8

33

Rispos Risposta ta idrol idrolog ogic ica a

Uno dei problemi centrali dell’idrologia è la determinazione dei deflussi causati in una data sezione di un corso d’acqua dagli afflussi meteorici al bacino idrografico corrispondente. L’analisi della relazione esistente tra piogge e portate, ossia la cosiddetta trasformazione trasformazione afflussi-deflussi o risposta idrologica , è di fondamentale importanza in quanto le misure di deflusso presentano difficoltà e costi di molto superiori rispetto alle misure di precipitazione.

Figura 1.36. Risposta idrologica.

Le relazioni viste in precedenza per la valutazione dell’intensità di ruscellamento, nel caso dei due schemi, rappresentano cosa succede in un punto rappresentativo di tutto il bacino. Da qui a passare alla valutazione della portata, il ruscellamento deve essere prima raccolto e trasportato sino alla sezione S 0 dove si vuole valutare Q. Esse Esse permetto permettono no quindi quindi solame solamente nte di dire che che il volume volume d’acqua d’acqua affluito affluito alla alla rete è pari pari al volume d’acqua defluito dalla sezione S 0 di chiusura del bacino:



d

Ab



∞

r(t) dt =

0

Q(t) dt

(1.42)

0

Dal momento che le portate nei corsi d’acqua continuano per un certo tempo dopo che la precipitazione è cessata significa che la risposta idrologica deve venir rappresentata mediante leggi: - esaurienti nell’interpretare il fenomeno; - semplici. Questa trasformazione viene analizzata in termini di sistemi linear l ineari i . Prima di poter effettuare tale operazione bisogna semplificare l’idrogramma in uscita attraverso la cosiddetta separazione dell’idrogramma .

1.8.1 1.8.1

Separaz Separazion ione e dell’id dell’idrog rogram ramma ma

Si vuole effettuare una separazione dell’idrogramma in base alla diversa provenienza delle acque che formano la portata. L’idrogramma è costituito da: - deflusso di base (Qbase ): legato all’esaurimento delle sorgenti; - ramo di risalita ; - colmo di piena ; - ramo di discesa : legato allo svuotamento dei canali; - ramo di esaurimento. Per poter effettuare la separazione dell’idrogramma tra:  risposta rapida , legata alla portata di ruscellamento ( QR );  risposta ritardata o differita , legata all’esaurimento delle falde attraverso la portata di base ( QB );

è necessario individuare:

34


Andrea Lisjak

Figura 1.37. Separazione Separazione dell’idrogramma. dell’idrogramma.

→ punto A: facilmente individuabile in quanto l’idrogramma in questo punto è caratterizzato da un netto cambiamento di pendenza;

→ punto B: da questo punto in poi le portate non sono più legate al ruscellamento superficiale ma solo al deflusso profondo;

→ la linea congiungente A con B: si ipotizza, in maniera del tutto convenzionale, essere una retta. Regime di esaurimento delle sorgenti

Dall’analisi delle sorgenti si è potuto osservare che dopo i periodi piovosi la portata decresce in maniera esponenziale, le sorgenti hanno quindi un regime di esaurimento esprimibile mediante la legge: Qs = Qs (t) = Q0 e−t/k

(1.43)

Ammettendo che il ramo di esaurimento sia dominato solamente dal regime di esaurimento delle sorgenti, è possibile individuare il punto B e quindi il tempo tB corrispondente effettuando la trasformata logaritmica di Q(t) (e basta) e fittando quindi i dati con la retta: ln Qs (t) = ln Q0

1.8.2 1.8.2

− t/k

(1.44)

Separa Separazion zione e dello dello ietogra ietogramma mma

Si definisce ietogramma l’andamento delle piogge nel tempo. La pioggia può essere scomposta in 3 componenti: 1. pioggia efficace : contribuisce alla portata di risposta rapida QR (deflusso rapido ); 2. alimentazi alimentazione one delle falde : contribuisce alla portata di base QB ; 3. perdite : contribuiscono all’evapotraspirazione ET . D’ora in poi ci si occuperà solamente della trasformazione della pioggia efficace ( j = je ), ottenuta o mediante l’applicazione dello schema di Horton o di quello ad area contribuente, in deflusso rapido ( Q(t) = QR (t)).


Andrea Lisjak

35

Figura 1.38. Regime di esaurimento delle sorgenti.

1.8.3 1.8.3

Funz unzion ione e di rispos risposta ta del del bacino bacino

Ipotesi di modello lineare

Tutto ciò che succede nel bacino e che fa sì che, a partire da una pioggia efficace, si abbia un certo deflusso rapido viene inglobato in quella che prende il nome di funzione di risposta del bacino . Dal momento che si suppone il modello lineare essa gode di 3 proprietà: 1. conservazione della massa :



d

Ab



∞

je (t) dt =

0

QR (t) dt

(1.45)

0

2. proporzionalità : j1 (t)

3. additività :

j1 (t) j2 (t)

−→ Q1(t) allora m · j1(t) −→ m · Q1(t)

−→ Q1(t) −→ Q2(t)

⇒

= j1 (t) + j + j2 (t)

−→ Q1(t) + Q2(t)

(1.46) (1.47)

Idrogramma unitario istantaneo - IUH

Si definisce impulso unitario o impulso di Dirac un evento piovoso avente le seguenti caratteristiche:

 

j dt 0 h=1

→∞ →

(1.48)

La funzione di risposta viene solitamente data come risposta risposta all’impulso all’impulso unitario unitario, e successivamente, a partire da questa e sfruttando la convoluzione, è possibile ricavare la funzione di risposta (idrogramma) per un qualsiasi qualsiasi segnale di pioggia in entrata. entrata. Una tale funzione funzione di risposta u(t) è detta idrogramma idrogramma unitario istantaneo (IUH - Instantaneous Unit Hydrograph). Dal momento che l’equazione di continuità deve valere anche per l’idrogramma unitario istantaneo si ha:



∞

0

u(t) dt = 1

(1.49)

36


(a) Proporzionalità.

Andrea Lisjak

(b) Addittività. Figura 1.39. Proprietà dei sistemi lineari.

Figura Figura 1.40. Idrogramma unitario istantaneo.

Ne consegue che u(t) ha le dimensioni di [ T −1 ]. Dal momento che non si possono avere avere portate negative, negative, l’idrogramma l’idrogramma istantaneo istantaneo unitario applicato ai bacini idrografici deve essere tale che: u(t) ≥ 0 ∀t (1.50) Se si vuole ottenere la portata Q in m3 /s allora bisogna far sì che il tasso di ruscellamento superficiale sia espresso in tale unità di misura, in particolare esprimendo l’area del bacino Ab in km2 e l’intensità di pioggia


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37

efficace je in mm mm//h si deve effettuare la seguente trasformazione: r(t) =

1 Ab je 3, 6

(1.51)

Convoluzione

Per ottenere la portata Q(t) ossia la funzione funzione di risposta risposta si deve procedere alla convoluzione dell’idrogramma istantaneo unitario con il tasso di ruscellamento superficiale (il quale agisce come una specie di moltiplicatore), ossia si deve risolvere il cosiddetto integrale di convoluzione 6 :



t

Q(t) = r(t) u(t) =

∗

0

r (τ ) τ )u(t

τ ) dτ − τ )

(1.52)

dove: - t: istante in cui si vuole valutare la Q(t); - τ : istante in cui cade la pioggia; - t − τ : la risposta risposta alla pioggia pioggia che che cade cade in τ parte dal valore 0 in corrispondenza di t = τ , ossia è traslata di una quantità pari a τ . Nota quindi u(t) e nota la pioggia r(t) si risolve questo integrale, generalmente per via numerica in quanto r(t) non è analitica, e si ottiene la funzione di risposta del bacino.

Figura Figura 1.41. Convoluzione.

6 Tale afferma affermazio zione ne potrebb potrebbee essere essere dimost dimostrata rata sia sfrutt sfruttand andoo le propri proprietà età dei sistem sistemii linear linearii sia l’int l’interp erpret retazi azione one probabilistica dello IUH.

38


Andrea Lisjak

Idrogramma unitario - UH

Nel caso in cui il segnale r(t) è costante su intervalli ∆t l’integrale di convoluzione si semplifica leggermente:

 

∆t

Q(K ∆t) =

2∆t

r(τ ) τ )u(t

0

τ ) dτ + − τ )

∆t

= r1

 

K ∆t

r(τ ) τ )u(t

∆t

τ ) dτ + . . . + − τ )

k ∆t

u(t

 

r(τ ) τ )u(t

(K −1)∆t

τ ) dτ = − τ )

K ∆t

τ ) dτ + . . . + rk u(t − τ ) τ ) dτ + . . . + rK u(t − τ ) τ ) dτ − τ ) 0 (k 1)∆t (K 1)∆t Ponendo θ = t − τ si ha dθ = − dτ e gli estremi di integrazione diventano θinf = [K − (k − 1)]∆t 1)]∆t e θsup = (K ( K − k )∆t )∆t, quindi, considerando solamente il termine k-esimo, si ha: −



−

(K −k+1)∆t

rk

u(θ ) dθ = rk wK −k+1

·

(K −k)∆t

(1.53)

dove: - rk : intensità intensità di ruscellame ruscellamento nto nel k-esimo k-esimo ∆t; - wK −k+1 : “peso” K-k+1-esimo, i pesi wi (adimensionali) sono tali che:



wi = 1

(1.54)

In questo modo l’integrale di convoluzione si riduce ad una ben più semplice sommatoria pesata di convoluzione : K

QK =

 i=1

ri wK −i+1

·

(1.55)

La sequenza dei pesi wi è detta idrogramma unitario (UH - Unit Hydrograph).

unitario. Figura Figura 1.42. Determinazione dell’idrogramma unitario.

Dal punto di vista storico l’idrogramma unitario è stato introdotto negli anni ’30 mentre l’idrogramma unitario unitario istantaneo istantaneo negli anni ’60 (Nash). La differenza fondamen fondamentale tale fra i due è che lo IUH è una caratteristica universale del bacino idrografico mentre lo UH dipende anche dal passo ∆t adottato per il segnale in ingresso.

1.9. Modelli di idrogramma

Andrea Lisjak

1.9 1.9

39

Model Modelli li di idro idrogr gram amma ma

Per il calcolo pratico della risposta idrologica di un bacino ad un evento piovoso si distinguono due fasi: 1. definizione dello IUH o dello UH del bacino: proprietà del bacino idrografico che può essere ottenuta integralmente per via sperimentale oppure mediante modelli teorici basati su parametri sperimentali; 2. risoluzione dell’integrale di convoluzione o della sommatoria di convoluzione per una determinata pioggia (generalmente di intensità costante e durata limitata).

1.9.1 1.9.1

Metodo Metodo speri sperimen mental tale e

Permette di ottenere l’ idrogramma unitario UH di un bacino idrografico, noti che siano uno ietogramma ed il relativo idrogramma sperimentale. a) Si effettua la misurazione misurazione di un evento evento mediante mediante misuratori di pioggia e di livello, livello, si ottengono ottengono quindi lo ietogramma e l’idrogramma. b) Si effettua la separazione dell’idrogramma ottenendo QR (t) e quindi V R (volume di ruscellamento pari al volume dovuto alla risposta rapida). c) Si effettua la separazione separazione dello ietogramma ietogramma determinando determinando r(t): - 1◦ modo: applicando lo schema di Horton si cerca f (costante) tale che il volume d’afflusso sia pari al volume di ruscellamento: f : V A = V R

- 2◦ modo: applicando lo schema ad area contribuente si cerca ϕ tale:



d

ϕ : V tot tot =

j dt =

0

h Ab = 1000

·

⇒

(a) 1 modo.

ϕ=

V R V tot tot

(b) 2 modo.

◦

◦

Figura Figura 1.43. Separazione dello ietogramma.

d) Si effettua la cosiddetta deconvoluzione ossia si risolve (nel senso dei minimi quadrati) un sistema lineare sovradimensionato con incognite i pesi wk , ossia: K



k=1

dove:

k

εk2

= min

εk = Qk

− xk

xk =

 i=1

ri wk−i+1

·

(1.56)

40


Andrea Lisjak

- xk : portate calcolate; - Qk : portate misurate.

1.9.2 1.9.2

Modello Modello della della corri corriv vazione azione o cinemat cinematico ico

In tale modello si osserva che esiste ed è unico il percorso che l’acqua percorre e che congiunge un punto P qualsiasi del bacino alla sezione di chiusura S 0 . Tale percorso è caratterizzato da una velocità di percorrenza v(x) che non dipende né dall’intensità di pioggia né dallo stato di saturazione del bacino, essa è quindi una costante nel tempo del percorso 7 .

Figura Figura 1.44. Metodo cinematico.

Si definisce tempo di corrivazione del punto P il tempo che la goccia di pioggia che cade in tale punto impiega a raggiungere la sezione di chiusura S 0 , tempo che è costante in quanto la velocità è costante: tc = tpercorrenza P →S0 =

L v

(1.57)

Si definiscono linee isocorrive i luoghi dei punti che hanno il medesimo tempo di corrivazione. Per ricavare l’idrogramma unitario istantaneo IUH conviene far riferimento non alla funzione di impulso unitario unitario bensì alla sua funzione integrale, integrale, ossia alla funzione scalino unitario o di Heaviside .

7 Si noti come la velocità di percorrenza possa variare all’interno del percorso in quanto la velocità sui versanti è di un ordine di grandezza inferiore a quella nei canali.


Andrea Lisjak

41

Figura 1.45. Funzione di Heaviside.

Una volta ricavata la funzione di risposta s(t) a tale funzione calcolandone la derivata si può risalire alla funzione di risposta impulsiva: u(t) =

ds(t) dt

(1.58)

Figura 1.46. Risposta impulsiva e risposta alla funzione di Heaviside.

Si consideri quindi una pioggia, rapportata direttamente all’area del bacino, che possa essere rappresentata da una funzione di Heaviside. Al tempo t∗ l’acqua che è caduta fino a quel momento si è messa in moto verso la sezione S 0 , considerando la pioggia che è caduta al tempo t = 0 si possono distinguere 3 casi: 1. la pioggia caduta lungo l’isocorriva tc = t∗ esce dalla sezione al tempo t∗ ; 2. la pioggia caduta sopra l’isocorriva tc = t∗ al tempo t∗ deve ancora uscire dalla sezione S 0 ; 3. la pioggia caduta sotto l’isocorriva tc = t∗ al tempo t∗ è già uscita dalla sezione S 0 . Con riferimento alla figura 1.44: •

porzione A : sta alimentando l’uscita dal bacino

42


Andrea Lisjak

Figura 1.47. Ricerca della risposta alla funzione di Heaviside.

•

porzione A : è ancora in moto verso l’uscita.

Ne consegue che al generico tempo t la portata in uscita vale: 

Q(t) = r

· AA(bt)

(1.59)

Per ricavare la risposta del bacino è sufficiente tracciare quindi la funzione delle aree A , adimensionalizzate rispetto all’area Ab , rispetto al tempo.

Figura 1.48. Funzione delle aree adimensionalizzate A /Ab .

Tale funzione è crescente all’aumentare del tempo in quanto le aree A aumentano, finchè si arriva al punto idraulicamente più distante dalla sezione S 0 . Si definisce tempo di corrivazione o di risposta del bacino T c il massimo dei tempi di corrivazione del bacino: T c = max(tc ) Ab

(1.60)

Modello della corrivazione lineare

Il metodo della corrivazione lineare si presta bene ad essere applicato alle reti di canali irrigui e alle fognature. Esso ipotizza che la funzione di risposta alla funzione di Heaviside sia di tipo lineare : s(t) =

 

0 t/T c 1

t<0 0 t T c t > T c

≤ ≤

(1.61)


Andrea Lisjak

43

Ne consegue che l’idrogramma unitario istantaneo è definito da: I U H = u(t) =

 

0 t<0 1/T c 0 t T c 0 t > T c

≤ ≤

(1.62)

Figura 1.49. Metodo della corrivazione lineare: semplificazione introdotta.

Consideriamo quindi il caso di una pioggia con intensità costante r(t) = r (in m3 /s) di durata limitata d.

Figura 1.50. Funzione di impulso.

Per ricavare la funzione di risposta conviene pensare la funzione r come somma di due funzioni scalino una positiva ed una negativa, calcolare le rispettive funzioni di risposta ed effettuare la somma algebrica delle due. Si possono presentare 3 casi: 1. d < T c : la portata al colmo vale: Qmax = r

· T dc = r · ε

(1.63)

dove: - ε: coefficiente di attenuazione della piena . 2. d > T c : la portata al colmo vale: Qmax = r

3. d = T c : la portata al colmo vale: Qmax = r

L’onda di piena è di tipo triangolare (isoscele).

(1.64)

44


Andrea Lisjak

lineare: calcolo della funzione di risposta per d < Figura 1.51. Metodo della corrivazione lineare: T c .

Il metodo delle corrivazione lineare è completamente definito dal parametro T c . Il tempo di corriv corrivazi azione one è tuttavia un concetto concetto generale generale , che si applica a tutti i modelli di idrogramma e che equivale al tempo necessario affinché abbia termine lo IUH. Formula di Giandotti per la stima del tempo di corrivazione di un bacino

La formula di Giandotti , proposta dall’ing. Giandotti negli anni ’30 e facente parte del cosiddetto metodo di Giandotti per la determinazione delle portate fluviali (oramai caduto in disuso), fornisce una stima del tempo di corrivazione di un bacino : √ T c =

4 Ab + 1, 1, 5L 0, 8 H m Z 0

√

−

dove: - T c : tempo di corrivazione del bacino in ore; - Ab : area del bacino in km2 ; - L: lunghezza dell’asta principale in km; - H m : altitudine media del bacino in m: 1 H m = Ab



Z (x, y) dx dy

Ab

- Z 0 : quota della sezione di chiusura del bacino (zero idrometrico) in m.

(1.65)


Andrea Lisjak

Dividendo sopra e sotto per

45

√L si ottiene: T c =

 

4

√

Ab /L + 1, 1, 5 L

0, 8 (H m

− Z 0)/L

(1.66)

si può quindi osservare che il tempo di corrivazione di un bacino è direttamente dir ettamente proporzionale alla dimensione della larghezza ed alla dimensione longitudinale ed inversamente proporzionale alla pendenza. Per determinare l’altitudine media di un bacino a partire dalla carta topografica che lo rappresenta: 1. si considera una curva curva di livello livello e si trova trova l’area del bacino bacino avente avente altitudine maggiore; maggiore; 2. si effettua questa operazione per varie curve di livello ottenendo la cosiddetta curva ipsografica del bacino ; 3. si cerca il valore medio di tale curva ossia, con riferimento alla figura 1.52, 1.52, H m tale che V 1 = V 2.

Figura Figura 1.52. Determina Determinazion zionee dell’alti dell’altitud tudine ine media media di un bacino bacino idrografic idrografico o mediante mediante la

curva ipsografica.

46


1.9.3 1.9.3

Andrea Lisjak

Modello Modello italian italiano o o dell’in dell’inv vaso linear lineare e

Un invaso è un serbatoio da cui esce dell’acqua, essa può uscire da: •

•

uno stramazzo:

 ∝  ∝

Q = C Q kh

2gh

h3/2

Q = C Q ω

2gh

h1/2

una luce di fondo sotto battente:

Figura Figura 1.53. Stramazzo e luce di fondo sotto battente.

Se immaginiamo l’invaso come un serbatoio cilindrico di volume W allora: Q = Q(W ) W )



attraverso attraverso una relazione con h3/2 attraverso attraverso una relazione con h1/2

L’invaso lineare è una via di mezzo tra questi due invasi, ossia si ha: Q = Q(W ) W ) =

W k

(1.67)

con k = [T ] T ]

Con tale metodo si immagina il bacino come un immenso serbatoio lineare dove la portata uscente è funzione lineare del volume immagazzinato nel bacino 8 . Determinazione dello IUH

Si ricava ora direttamente la risposta all’impulso, costituito dal riempimento istantaneo a t = 0 con un volume W = 1. Per fare ciò è necessario disporre di un’equazione un’equazione che descriva descriva l’and l’andamen amento to della portata p ortata nel tempo, essa può essere facilmente ottenuta applicando l’equazione di continuità al bacino: dW = Qin dt

− Q =⇒

k

dQ = dt

−Q =⇒

dQ = Q

− k1 dt =⇒

d(ln Q) =

− dkt =⇒

ln Q =

− kt + cost

Applicando la condizione iniziale: Q(0) = W/k = 1/k 1 /k, si ottiene: u(t) = Q(t) =

1 −t/k e k

(1.68)

È di immediata verifica 9 che lo IUH così definito gode delle proprietà dell’idrogramma unitario istantaneo. 8 Si noti che a questo punto si ragiona già in termini di afflusso efficace, il bacino è già per così dire impermeabile e quindi le componenti di infiltrazione ed evapotraspirazione sono già state scontate. 9

u(t) ≥ 0 ∀t perch` ch ` e k ≥ 0 ∧ e−t/k > 0


Andrea Lisjak

47

Figura 1.54. Portata in uscita da un invaso lineare.

Determinazione dell’idrogramma di risposta ad una pioggia costante di durata limitata

Si può verificare che la risposta alla funzione scalino di durata d e afflusso R è costituita da: - ramo di risalita : - ramo di discesa :

−t/k

)

(1.69)

Q(t) = Qmax e−(t−d)/k

(1.70)

Q(t) = R(1

−e

La portata al colmo si ottiene per t = d: Qmax = R(1

−d/k

−e

(1.71)

)=R ε
·

Con riferimento alla figura 1.55 si ha che A1 (corrispondente al volume di pioggia che entra nel bacino e viene immagazzinato) deve essere uguale a A2 (corrisponden (corrispondente te al volume volume di pioggia pioggia che comincia comincia ad uscire una volta che l’evento è finito). Il metodo dell’invaso lineare è completamente definito dalla costante di invaso k : k=

W Q

(1.72)

Si noti come per entrambi i metodi lineari il colmo di piena si ha nel momento in cui la pioggia termina. La differenza principale fra i due metodi è invece: metodo dell invaso invaso lineare : ε = 1 d metodo della corrivazione lineare : ε = 1

⇐⇒ → ∞ ⇐⇒ d ≥ T c

Ricaviamo ora analiticamente le espressioni 1.69, 1.69, 1.70 e 1.71 relative alla portata Q(t) in uscita nel caso di afflusso R costante per una durata pari a d. Si distinguono due casi. - Ramo di risalita: 0 ≤ t ≤ d.



t

Q(t) =

0



0

∞

u(t) dt =



∞

0

1 R e−(t−τ )/k dτ = R k

1 −t/k e dt = −e−t/k k

 

∞

0

= e−t/k

 



0 ∞

t/k

e−t/k eτ /k d(τ d(τ /k) /k) =

0

= 1 − lim e−t/k = 1 − 0 = 1 t→+∞



48


Andrea Lisjak

Figura 1.55. Metodo Metodo dell’inva dell’invaso so lineare: lineare: funzion funzionee di risposta per afflusso afflusso di intensità intensità

costantee durata fissata.

−t/k

= Re



t/k

x

 − −  −  · −t/k

et/k

e dx = Re

0

La portata al colmo vale:

Qmax = Q(d) = R 1

1 =R 1

e−t/k

e−d/k = R ε

Il fattore ε < 1 è detto fattore di attenuazione della portata in uscita . Esso tiene conto del cosiddetto effetto d’invaso, ossia del fatto che l’acqua viene trattenuta dall’invaso e ceduta gradualmente nei tempi successivi. - Ramo di discesa: t > d . Q(t) = Q(d)e

−(t−d)/k

−(t−d)/k

= Rεe

− 

=R 1

−d/k

e

−t/k

e

d/k

·e

 −

= R ed/k

1 e−t/k


Andrea Lisjak

1.9. 1.9.4 4

49

Model Modello lo di Nash Nash

Il modello di Nash opera con una successione di n serbatoi lineari , aventi tutti la medesima costante di tempo k: W i Qi = (1.73) ∀i = 1, . . . n k

Figura Figura 1.56. Modello di Nash.

Applicando a ciascun serbatoio l’equazione dell’invaso: dW i = Qi−1 dt

− Qi

(1.74)

ed integrando in successione queste equazioni si ottiene Q(t). IUH di Nash

Per valutare lo IUH nel suo complesso si deve applicare ricorsivamente la regola che fornisce lo IUH dell’insieme di due elementi posti l’uno in serie all’altro. Per brevità si riporta solamente il risultato finale, ossia il cosiddetto IUH di Nash : 1 u(t) = kΓ(n Γ(n)

 t k

n−1

e−t/k

(1.75)

La funzione Γ(n corrisponde per n ∈ N a (n − 1)!. Essa tuttavia è definita anche per n ∈ R: Γ(n) corrisponde



∞

Γ(n Γ(n) =

xn−1 e−x dx

(1.76)

0

Dal momento che questo integrale non dà luogo ad una forma analitica esso può essere risolto solo numericamente. Stima dei coefficienti

n

e

k

I coefficienti n e k possono essere visti rispettivamente come dei parametri di forma (numero di serbatoi) e tempo (costante di invaso). Essi sono difficilmente correlabili ad una particolare geometria del bacino, vengono quindi determinati sulla base di misurazioni di Q e di j . Il procedimento per ricavarli si sviluppa in più fasi.

50


Andrea Lisjak

Figura Figura 1.57. IUH di Nash per n = 1 , 2, 3 (qualitativo).

1. Si effettua la separazione separazione dell’idrogra dell’idrogramma: mma: Q = QR + Qb . 2. Si effettua la separazione dello ietogramma ricavando l’intensità di pioggia efficace/affluente. 3. Si trasforma la pioggia efficace j in afflusso mediante la relazione: r=

1 jA b 3, 6



4. Si effettua un confronto tra la portata registrata QR e la portata stimata Q:

 

t

Q(t) =

r(τ ) τ )u(t

0

τ ) dτ − τ )

Si definisce l’errore al tempo t come:

δt (n, k ) = QR (t)



− Q(t)

I valori ottimali di n e k si ottengono imponendo la condizione: N



δt2 (n, k) = min

(1.77)

t=1

Si tratta di un problema non lineare ai minimi quadrati . Dal momento che le piogge sono registrate ad intervalli di tempo temp o costante conviene lavorare con l’idrogramma unitario a passo temporale costante. Bisogna quindi calcolare i pesi wk :



k∆t

wk =

(1.78)

u(t) dt

(k−1)∆t

Poichè, come si è visto, l’integrale non è analitico, per il suo calcolo si possono adottare, per esempio, due diversi metodi numerici di approssimazione: - Metodo dei trapezi : wk

≈ u(tk

wk

≈ u(tk

−1 )

+ u(tk ) ∆t 2

·

- Metodo del punto medio : −1

+ ∆t/ ∆t/2) 2) ∆t

·

(1.79)


Andrea Lisjak

51

Ovviamente queste approssimazioni sono accettabili solamente se ∆t  k (costante (costante d’inva d’invaso). so). Nel caso contrario bisogna spezzare l’intervallo di tempo in tanti sottointervalli ed effettuare la somma dei pesi calcolati sui sottointervalli: 10

w∆t =



w∆τ con ∆τ ∆τ = ∆t/10 t/10

1

(a) ∆t  k.

(b) ∆t > k Figura Figura 1.58. Calcolo approssimato dei pesi.

Una volta nota la sequenza di pesi wk si può calcolare la portata: t

  Qt =

i=1

ri wt−i+1

(1.80)

52

1.9.5


Andrea Lisjak

Interpreta Interpretazione zione probabi probabilistica listica dell’idr dell’idrogramm ogramma a unitario unitario istantaneo istantaneo

Si è visto che la funzione u(t) gode delle proprietà:

  ≥ u(t)

+∞ 0

0 t u(t) dt = 1

∀

Ne consegue che l’idrogramma unitario istantaneo può essere interpretato come una funzione di densità di probabilità (PDF), la cui variabile aleatoria associata è un tempo e viene detto tempo di residenza o di ritardo del bacino T r .

Figura 1.59. Interpretazione probabilistica dello IUH di Nash (Distribuzione di Pearson -

III tipo).

Il tempo di residenza rappresenta l’intervallo di tempo che intercorre tra la caduta a terra di una goccia qualsiasi e la sua restituzione alla sezione di chiusura del bacino. L’aleatorietà del processo sta nel fatto che dal momento che la goccia d’acqua viene scelta a caso essa può cadere ovunque e quindi fare un percorso qualsiasi. Esistono vari metodi di interpretazione probabilistica dello IUH. Nel caso dello IUH di Nash esso rappresenta una funzione di densità di probabilità caratterizzata da due parametri ( n e k) che viene detta distribuzione di Pearson del III tipo o distribuzione gamma incompleta a 2 parametri .

1.10. Esercizi

Andrea Lisjak

1.10 1.10

53

Eser Eserci cizi zi

1.10.1 1.10.1

Determi Determinaz nazion ione e dell’id dell’idrog rogram ramma ma di Nash Nash

Dati •

Ab : area del bacino idrografico;

•

φ: coefficiente d’afflusso;

•

n, k: parametri dello IUH-Nash;

•

serie temporale di piogge a ∆t = 1 ora ora per 25 ore.

Incognite •

Q(t): idrogramma.

Svolgimento (concettuale)

1. Separazione dello ietogramma mediante mediante il coefficiente d’afflusso: peff = p φ

·

2. Trasformazio rasformazione ne delle piogge piogge efficaci efficaci in portate: R=

1 Ab peff 3, 6

3. Calcolo dei pesi wj (approssimazione dell’integrale mediante metodo del punto medio): 1 wj = ∆t kΓ(n Γ(n)

·



( j

4. Convoluzione: Convoluzione:

5)∆t − 0, 5)∆t k



n−1

t

Q(t) =

 i=1

ri wt−i+1

e−

(j −0,5)∆t 5)∆t k

54


Andrea Lisjak

Capitolo 2

Statistica degli estremi 2.1 2.1

Gene Genera rali lità tà

L’andamen L’andamento to nel tempo dei fenomeni fenomeni piovosi piovosi e delle portate nei fiumi è fortemente fortemente oscillan oscillante. te. Il transito di una piena comporta sempre: - spostamento di materiale in alveo; - asportazione dei vegetali in alveo; - erosione erosione concentrata concentrata in corrispondenz corrispondenzaa delle strutture rigide presenti presenti in alveo. alveo. Il dimensionam dimensionamento ento delle opere fluviali fluviali deve deve essere essere tale da consentir consentiree il passaggio passaggio di eventi di piena di una certa entità , i quali quindi devono essere in qualche modo valutati.

2.1.1 2.1.1

Metodo Metodo della della cur curv va invil inviluppo uppo

In passato il metodo adottato dal Genio Civile era quello di valutare una piena comunque grande mediante la costruzione delle cosiddette curve inviluppo. Una curva inviluppo è una curva che nel piano Ab , Qcolmo/Ab sottende tutti punti corrispondenti ad eventi misurati. Le opere che dovevano essere costruite erano dimen-

Figura Figura 2.1. Curva inviluppo.

sionate per sopportare una portata al colmo ottenuta come funzione dell’area del bacino preso in esame mediante la curva inviluppo. I difetti principali di questo metodo erano: 55

56

Capitolo 2. Statistica degli estremi

•

Andrea Lisjak

man mano che le osservazioni aumentavano qualche punto cominciava a cadere oltre la curva inviluppo precedentemente tracciata, con la conseguenza che le opere realizzate fino a quel momento non erano adeguate alla nuova piena;

•

man mano che le osservazioni aumentavano le opere da realizzare aumentavano di dimensione;

•

non teneva conto del tipo di area in cui il fiume passava (e quindi del rischio associato).

2.1.2 2.1.2

Probab Probabilit ilità à associata associata all’ev all’even ento to di pien piena a

Associando Associando una probabilità ad un evento di piena si passa dal considerare una portata comunque grande , concetto estremamente debole dal punto di vista statistico, all’associare un certo rischio ad un determinato evento di piena. Il rischio è dato dal “prodotto” di 3 fattori: rischio = probabilità (evento) (evento)

alore esposto × esposizione × valoreesposto

- Probabilità Probabilità associata associata all’evento: all’evento: dipende dall’ idrologia delle piene . Può essere diminui diminuito to mediante mediante la costruzione costruzione di opere strutturali: casse di espansione espansione,, . . . . - Il valore di ciò che è esposto: dipende dalla politica urbanistica . Può essere diminuito evitando di mettere attività ricche in zone suscettibili di allagamenti. I cosiddetti piani di bacino servono a porre dei vincoli urbanistici che tengano conto dell’assetto fluviale. - L’esposizione L’esposizione:: dipende da interventi interventi non strutturali. strutturali. Può essere diminuito mediante procedure di allarme meteorologico e piani di evacuazione adeguati. Noi ci concentreremo sulla valutazione del rischio idrologico, ossia della probabilità che capiti un evento causante danni.

2.1.3 2.1.3

Richia Richiami mi di probab probabilit ilità à

Probabilità

La probabilità associata ad un evento è un numero compreso tra 0 e 1. Si immagini un esperimento (esempio: il lancio di una moneta), a seguito del quale viene effettuata una misura x. Il campo della della probabi probabilità lità è quello che permette di associare una probabilità ad una classe di uscita sull’esito dell’esperimento, prima che questo venga fatto. Variabili aleatorie

Nell’ingegneria civile ed ambientale si opera con variabili aleatorie generalmente appartenenti ad R+ . La variabile aleatoria è indicata con la lettera maiuscola X mentre il valore numerico della misura con la lettera minuscola x. Funzione di probabilità cumulata

La probabilità di non superamento di un determinato valore x è una funzione di x che viene detta funzione di probabilità cumulata (CDF- Cumulative Distribution Function) (adimensionale): CDF CD F = F X (x) = prob(X prob(X

≤ x)

(2.1)

2.1. Generalità

Andrea Lisjak

57

Figura Figura 2.2. Funzione di probabilità cumulata.

Funzione di densità di probabilità

La probabilità di contenimento in un intervallo è definita da: prob(x prob(x

∆x) ≤ X ≤ x + ∆x

essa dipende oltre che da x anche da ∆x e quindi risulta poco utile, al contrario invece della funzione di densità di probabilità (PDF - Probability Density Function): prob(x prob(x

P DF = f X (x) = lim

(2.2)

∆x

∆x→0

È evidente che:

∆x) ≤ X ≤ x + ∆x

F X (x + ∆x ∆x) ∆x→0 ∆x

f X (x) = lim

− F X (x) =

dF X (x) dx

La dimensione di f X (x) è quindi [x]−1 . Quiz

√

Consideriamo una circonferenza di raggio r ed il triangolo equilatero in essa inscritto, il cui lato vale 3r . Supponendo di tracciare una retta a caso che tagli la circonferenza definendo una corda di lunghezza c, si vuole sapere: prob(c >

√

3r ) =?

È possibile ragionare in 3 modi. 1. Considerand Considerandoo un fascio di rette parallele parallele si ottiene: prob(c >

√

3r) = 1 /2

2. Considerand Considerandoo un fascio di rette uscente uscente da P , punto di tangenza, si ottiene: prob(c >

√

3r) = 1 /3

3. Considerand Considerandoo una corda ed il suo punto centrale centrale assieme al cerchio inscritto inscritto nel triangolo equilatero, equilatero, di raggio r = r/2. si ottiene: 

prob(c >

√

3r ) =

1 πr 2 = 2 4 πr 

È evidente che nessuna di queste probabilità corrisponde alla probabilità cercata, la quale dovrebbe essere unica, in quanto esse si riferiscono a 3 variabili aleatorie diverse e quindi non commisurabili.

58


(a) I modo.

(b) II modo

Andrea Lisjak

(c) III modo

Figura Figura 2.3. Possibili soluzioni del quiz.

2.1. 2.1.4 4

Curv Curva a di durat durata a delle delle portat portate e

Consideriamo un corso d’acqua e la variabile aleatoria corrispondente alla portata Q nella sezione S 0 di chiusura del bacino. A questa variabile aleatoria rimane associata una funzione di probabilità cumulata: CDF CD F : F Q (q) = prob(Q prob(Q

≤ q)

la quale esprime la variabil variabilità ità della portata nella sezione sezione S 0 in un giorno qualsiasi ad un’ora qualsiasi. Si definisce curva di durata delle portate : F 1 Q (q ) = prob(Q prob(Q > q) = 1

− F Q(q)

(2.3)

Figura Figura 2.4. Curva di durata delle portate.

Normalmente tale curva viene riportata, per questioni di comodità tecnica, in un piano in cui: - ascisse: F 1 Q (q) trasformata in durata %:  1

⇒ 365 giorni/anno: 365 giorni all’anno la portata è maggiore del valore ad esso associato ( qmin);  0 ⇒ 0 giorni/anno: per nessun giorno all’anno la portata è maggiore del valore ad esso associato.

2.1. Generalità

Andrea Lisjak

59

- ordinate: q. La qmin può anche essere nulla (fiumi che vanno in secca). Applicazione alle opere di presa ad acqua fluente

Consideriamo un’opera di presa che capti l’acqua da un corso d’acqua la cui curva di durata delle portate è rappresentata in figura 2.5. 2.5. Sia q∗ la massima portata prelevabile da tale opera (portata di dimensionamento). men to). Nel caso non vi siano vincoli vincoli di alcun tipo l’area V rappresenta il volume d’acqua prelevato in 1 anno.

Figura Figura 2.5. Applicazione della curva di durata delle portate alle opere di presa ad acqua

fluente.

In realtà esistono dei vincoli che limitano il prelievo delle portate da un corso d’acqua. Essi possono essere di 3 tipi. 1. Deflusso Deflusso Minimo Minimo Vitale (DMV). Portata d’acqua minima, stabilita per legge (L. 183/89), che le utenze devono rilasciare al corso d’acqua per garantire la sopravvivenza delle specie biotiche nel tratto compreso compreso tra l’opera di presa e quella di reimmission reimmissione. e. Ne consegue consegue che: - in condizioni di magra: si privilegia il DMV e si riduce la portata utilizzata qu ; - in condizioni di piena: si capta tutta la q∗ e si rilascia una portata maggiore del DMV. 2. Portata minima accettabile accettabile Qmin. Capita Capita che per proble problemi mi tecnici tecnici (esempio (esempio:: funzio funzionam namen ento to delle turbine) la portata prelevata non deve essere inferiore ad un determinato valore. 3. Portata massima accettabile Qmax. Capita che se la portata del fiume è maggiore di un determinato valore non può essere prelevata prelevata alcuna portata p ortata (esempio: (esempio: trasporto solido eccessivo eccessivo negli impianti impianti idroelettrici).

60


Andrea Lisjak

Figura 2.6. Deflusso minimo vitale.

Figura Figura 2.7. Applicazione della curva di durata delle portate alle opere di presa ad acqua

fluente con vincoli.

2.1.5 2.1.5

Curv Curva di utilizza utilizzazion zione e

Data una curva di durata delle portate, senza vincoli, resta definita una portata media di deflusso : Qm =

V totale totale 365 giorni giorni

(2.4)

Sia: - q∗ : portata di dimensiona dimensionamen mento; to; - qu = V /365 giorni giorni: portata media di utilizzo. Si definisce rapporto di captazione : χ=

q∗ Qm

(2.5)

2.1. Generalità

Andrea Lisjak

61

Figura Figura 2.8. Portata di dimensionamento e portata di utilizzo.

Si definisce rapporto di utilizzo : η=

qu Qm

(2.6)

La curva di utilizzazione è la curva che descrive l’andamento del rapporto di utilizzo in funzione di quello di captazione. - Se q ∗ = 0 allora χ = 0 e η = 0: non si prende acqua. - Se q ∗ aumenta allora χ aumenta ma η aumenta di meno a causa del minor aumento di qu ; - Se q ∗ → +∞ allora η → 1 perchè qu

→ Qm.

Figura Figura 2.9. Curva di utilizzazione.

Sulla base di queste queste consideraz considerazioni ioni ne consegue consegue che all’aumen all’aumentare tare delle dimensioni dimensioni dell’opera di presa (au∗ mento di q e quindi di χ) non corrisponde un aumento proporzionale del beneficio ottenuto (aumento di qu e quindi di η). Se si considera una curva di durata delle portate con la presenza di vincoli allora tale effetto (sproporzione tra aumento dei costi e aumento dei benefici conseguenti) è ancora più marcato.

62

2.1.6 2.1.6


Andrea Lisjak

Frequen requenza za cumu cumulata lata empiric empirica a

Data la variabile aleatoria Q si osserva un certo numero di realizzazioni, l’andamento della distribuzione di probabilità può essere desunta, mediante un’ operazione operazione statistica , dalle frequenze di accadimento . Mettendo in ordine le portate dalla più piccola alla più grande, indipendentemente dall’ordine cronologico (tabella 2.1), 2.1), è possibile costruire un grafico di frequenza cumulata empirica (figura 2.10). 2.10). Tabella 2.1. Costruzione della frequenza empirica cumulata.

ordi ordine ne

porta portata ta

freq freque uenz nzaa cumu cumula lata ta

rego regola la di Weibu eibull ll

1 2 ... i ... N

Qmin Q2

1/N 2/N ... i/N ... 1

1/(N+1) 2/(N+1) ... i/(N+1) ... N/(N+1)

...

Qi

...

Qmax

Figura 2.10. Frequenza cumulata empirica.

Assumendo la probabilità come: probabilit` a=

numero di casi favorevoli numero di casi possibili

allora si ha che: frequenza cumulata

prob(Q ≤ q ) ≈ prob(Q

Per evitare che a QN corrisponda un probabilità unitaria e a Q0 una probabilità nulla, si utilizza come espressione della frequenza cumulata una funzione del tipo: F i =

i p N + q

−

La più comune è la frequenza cumulata empirica di Weibull : F i =

i N + 1

(2.7)

Il difetto di questo modo di operare è che si è dipendenti dal campione, per cui al suo variare è possibile che i valori della portata massima e minima cambino.

2.1. Generalità

Andrea Lisjak

63

Si vuole quindi un’approssimazione esprimibile in termini analitici che non sia semplicemente un’interpolazione delle osservazioni, ma qualcosa di più significativo, ossia la vera distribuzione di probabilità F Q (q ) da cui discendono le osservazioni .

2.1.7 2.1.7

Modell Modellii di di pro proba babi bili lità tà

I modelli di probabilità servono a trovare F Q (q). Sono Sono dei dei modelli concettuali concettuali basati sulla descrizione accurata dell’esperimento considerato, ancora prima che questo venga effettuato. Nel caso del lancio della moneta il modello concettuale è quello dell’equiprobabilità, in quanto non c’è alcun motivo per preferire una faccia o l’altra. Modello additivo

Siano X 1 , X 2 , . . . , Xn delle variabili aleatorie dotate delle rispettive funzioni di distribuzione di probabilità, sia Z una variabile aleatoria tale che: Z = X 1 + X 2 + . . . + X n

Ci si chiede se si può dire qualcosa sulla distribuzione di probabilità di Z sulla base delle distribuzioni di X i . A tal proposito sussiste il cosiddetto teorema del limite centrale : se n → ∞, comunque siano distribuite X 1 , X 2 , . . . , Xn allora Z tende ad avere una distribuzione normale (o gaussiana ): ):

√12π e

f X (x) =

−x2 /2

(2.8)

L’ultima relazione scritta rappresenta la cosiddetta gaussiana standardizzata , ossia avente media nulla e deviazione standard pari a 1. Per passare da una variabile z, avente media M z e deviazione standard S z , a quella standardizzata basta effettuare la sostituzione: x=

z

− M z S z

Nel caso delle portate si ha: f Q (q ) =

1 exp 2πσ q

√

−

1 (q q )2 2 σq2

−



(2.9)

Modello moltiplicativo

Siano X 1 , X 2 , . . . , Xn delle variabili aleatorie dotate delle rispettive funzioni di distribuzione di probabilità, sia Z una variabile aleatoria tale che: Z = X 1 X 2 . . . X n

·

· ·

Tale modello può essere ricondotto ad un modello additivo mediante i logaritmi delle singole distribuzioni: n

log Z =



log X i

i=1

Una volta ricondotti ad un modello additivo nei logaritmi, per il teorema del limite centrale, log Z è distribuita come una normale e quindi Z ha una distribuzione log-normale .

64


2.2 2.2

Andrea Lisjak

Modelli Modelli pro probab babil ilist istici ici in in idrol idrolog ogia ia

2.2. 2.2.1 1

Il caso caso delle delle port portate ate al colmo colmo di di piena piena

Per dimensionare dimensionare le opere fluviali interessa interessa la portata al colmo Qc . All’interno di un evento la portata che interessa a questo scopo è solamente quella massima. A questo proposito per trovare la variabile aleatoria giusta si rendono rendono necessari necessari dei modelli: modelli: •

metodo dei picchi sopra la media;

•

metodo del massimo in un intervallo di tempo.

Figura Figura 2.11. Evento di piena.

2.2. 2.2.2 2

Metod Metodo o dei picc picchi hi sopr sopra a una sogli soglia a

Si considera la sequenza continua delle portate nel tempo. Si sceglie una portata di soglia qs e si separano gli eventi come porzioni di grafico che stanno costantemente sopra la portata di soglia. Per ogni evento si prende poi il solo valore massimo.

Figura 2.12. Metodo dei picchi sopra una soglia.

2.2. Modelli probabilistici in idrologia

Andrea Lisjak

65

In questo modo si ottiene una serie di valori N ea ea di piena che oltrepassano la soglia. Di fatto viene effettuato un campionamento di eventi aventi una certa significatività. L’intervallo medio di attesa tra due eventi successivi, espresso in giorni, è dato da: τ =

365 N ea ea

(2.10)

Distribuzione di Frechet

La distribuzione delle eccedenze x = Qc − qs è una distribuzione esponenziale o di Frechet , con funzione di probabilità cumulata: (2.11) F X (x) = 1 − e−λx Tale modello non è molto utilizzato in quanto i dati pubblicati pubblicati non forniscono forniscono tutti i picchi picchi sopra una certa soglia. soglia. Risulta Risulta quindi più facile, a meno che non si abbia accesso accesso ai dati originali, originali, ricorrere ricorrere al metodo del massimo in un intervallo di tempo.

2.2.3 2.2.3

Metodo Metodo del massim massimo o in un int interv ervallo allo di di tempo

La serie serie tempora temporale le viene viene separa separata ta ad interv intervall allii ∆t = 1 anno, in ques questo to mod modoo si ries riesce ce ad avere avere una distribuzion distribuzionee più omogenea omogenea delle portate. All’interno All’interno di ogni ∆t si prende la portata massima: max(Qc ) ∆t

Si effettua in questo modo un campionamento ogni ∆t e con un intervallo medio di attesa τ = ∆t.

Figura Figura 2.13. Metodo del massimo in un intervallo di tempo.

Tale metodo è più comodo del precedente, tuttavia, a differenza del primo, presenta lo svantaggio statistico che servono servono almeno almeno 20-30 valori valori (e quindi quindi osserva osservazioni zioni per 20-30 anni) per effettuare effettuare un’indagini un’indagini statistica statistica significativa. Modello del valore estremo: estremo: distribuzio distribuzione ne di Gumbel Gumbel

Il metodo del massimo in un intervallo di tempo conduce al modello probabilistico del valore estremo : X : è distribuita in maniera qualsiasi ed è osservabile nel tempo; Y = max∆t (X ): è detto estremo.

66


Andrea Lisjak

Ci si chiede cosa si può dire a priori sulla distribuzione di Y quale che sia la distribuzione di X . Tale ale problema è stato studiato da Gumbel : se gli estremi sono molto alti (all’ampliarsi dei ∆t) allora: F Y Y (y )

valore estremo → 3 tipi di distribuzione : distribuzioni del valore

La più nota è la distribuzione del valore estremo del 1◦ tipo (EV1 - Extreme Value 1st type) o distribuzione di Gumbel Gumbel , la quale ha una funzione funzione di prob probabilit abilità à cumulata cumulata (standardizzata) nota anche come doppia esponenziale : F Y (2.12) Y (y ) = exp(− exp(−y )) Derivando la doppia esponenziale si ottiene la funzione di densità di probabilità (standardizzata):

(2.13)

f Y Y (y ) = exp[ exp( y )] exp( y )

−

− ·

(a) (a) Dist Distri ribu buzi zion onee di prob probab abil ilit itàà cum cumulat ulata. a.

−

(b) (b) Funzi unzion onee di dens densit itàà di prob probab abil ilit ità. à.

Figura Figura 2.14. Distribuzione di Gumbel.

La doppi doppiaa esponenziale esponenziale gode delle proprietà delle distribuzioni di probabilità: - F Y Y (y ) > 0 ∀y - y → −∞ : exp(−y ) → +∞ =⇒ exp(− exp(−y)) → 0 - y → +∞ : exp(−y ) → 0 =⇒ exp(− exp(−y )) → 1 È possibile istituire un rapporto tra la variabile standardizzata y e la variabile non standardizzata Qca , mediante dei parametri di adattamento α e β (portate): y=

ottenendo quindi:

Qca β α

−

− − −  − −  − − − 

F Qca (q ) = exp f Qca (q) =

1 exp α

(2.14)

q

exp

β

α

exp

q

β

α

exp

q

β

α

(2.15) (2.16)

In questo modo è possibile adattare una distribuzione standard teorica ai campioni osservati. Stima grafica dei parametri di adattamento

Le trasformazioni di variabili si prestano bene ad essere impiegate per cercare la distribuzione reale in maniera empirica: data una sequenza di portate ordinate si cerca di adattare la rappresentazione a scalini della frequenza cumulata empirica facendo variare i parametri di adattamento della distribuzione di Gumbel.

2.2. Modelli probabilistici in idrologia

Andrea Lisjak

67

Si osserva innanzitutto che la trasformazione tra Qca e y è lineare: lineare: Qca = β + β + αy

Inoltre: F Y prob(Y Y (y) = exp( exp( y )) = prob(Y

−

−

F Q (qi )

≤ y)

≈ N +i 1

Ma vale: F Q (qi ) = F Y Y (y )

in quanto: se y ∗

∗

prob(Y ≤ y ) allora q → prob(Y

∗

= β + β + αy∗

Quindi: F Y Y (y )

∗

∗

∗

prob(Q ≤ q ) e prob(Y prob(Y ≤ y ) = prob(Q prob(Q ≤ q ) → prob(Q

≈ N +i 1 = exp(− exp(−y))

da cui si ottiene: y=

− ln

   ln

N + 1 i

(2.17)

Date quindi delle coppie (Qi , yi ) esse vengono plottate su un piano Q, y e poi interpolate linearmente al fine di trovare α e β .

Figura Figura 2.15. Determinazione grafica dei parametri di adattamento per la distribuzione di

Gumbel.

68


2.2. 2.2.4 4

Andrea Lisjak

Tempo empo di di rito ritorn rno o

Ci si chiede qual’è l’intervallo medio di attesa tra 2 eventi di superamento di un certo valore q ∗ o, equivalentemente, quante volte bisogna tentare l’esperimento (ossia quanti anni bisogna aspettare), in media, per superare un certo valore q∗ . La risposta è data dal tempo di ritorno : T R =

1

−

Poiché di norma τ = 1anno si ha: T R =

1

−

τ F Q (q ∗ )

(2.18)

1 F Q (q ∗ )

(2.19)

È facile vedere che il tempo di ritorno altro non è che una parametrizzazione della probabilità : F Q (qT R ) = 1

− T 1R = T RT R− 1

(2.20)

Se T R = 100 anni anni si ha una probabilità di non superamento del 99 %: significa che, preso un qualsiasi periodo di osservazione di un anno, la probabilità che la massima portata in quell’anno sia inferiore a q100 è del 99%. È evidente che con il tempo di ritorno si misura il rischio accettabile accettabile : maggiore è il tempo di ritorno fissato per determinato evento, maggiore è la portata al colmo corrispondente e maggiore è il rischio idrologico associato. associato. Esso viene stabilito stabilito dalla consuetudin consuetudinee progettuale o dalla normativ normativaa ed è fissato in funzione funzione del tipo di opera che si va a realizzare: - fognat fognature ure:: 5 ann anni; i; - argini dei fiumi: si progettano per piene con T R = 100 anni metro); anni (+1 metro); - sfioratori sfioratori delle delle dighe: dighe: 1000 anni.

Andrea Lisjak

2.3

2.3. Stima numerica dei parametri statistici di adattamento

69

Stima Stima numeri numerica ca dei param parametri etri statis statistici tici di di adattam adattamen ento to

La struttura intrinseca di probabilità non è nota, però è possibile partendo da una serie di realizzazione della variabile variabile aleatoria aleatoria cercare di approssimare approssimare al meglio meglio la vera distribuzione distribuzione di probabilità. probabilità. In pratica si ˆ effettua un adattamento della F X (x) ad un campione ossia una stima approssimata della vera distribuzione F X (x). Ciò avviene in due fasi: 1. ricerca ricerca di una famiglia famiglia di distribuzion distribuzionii da attribuire alle osservazion osservazionii (vedi (vedi paragrafo paragrafo 2.2); 2.2); 2. stima numerica numerica dei parametri statistici statistici di adattament adattamentoo del tipo di distribuzio distribuzione ne scelta.

2.3.1 2.3.1

Richi Richiam amii di statis statistic tica a

Momenti statistici

Data una funzione di densità di probabilità f X (x): si definisce momento del I ordine o media :

 

+∞

xf X (x) dx

(2.21)

xn f X (x) dx

(2.22)

mX =

−∞

si definisce momento di ordine n:

+∞

mn =

−∞

si definisce momento centrale di ordine n:

  +∞

S n =

(x

−∞

− mX )n f X (x) dx

(2.23)

Il momento centrale del II ordine è detto varianza : S 2 = σ 2 =

+∞

(x

−∞

− mX )2f X (x) dx

(2.24)

Stima dei momenti statistici (momenti statistici campionari)

Nel caso in cui il modello probabilistico sia di tipo equiprobabile si ha che: la media campionaria campionaria vale:

la varianza campionaria non distorta (unbiased) vale: 2 S X

=

(2.25)

xi

=1

N

 −

1 N

N



1 x ¯= N i

1

i=1

(xi

− x¯)2

(2.26)

70


2.3. 2.3.2 2

Andrea Lisjak

Metod Metodo o dei dei momen momenti ti

Il metodo dei momenti momenti fu per la prima volta volta proposto proposto da Pears Pearson on nel 1894. Il concetto concetto su cui si basa è molto semplice. Si consideri la PDF f X (x; θ1 , θ2 , . . . , θm ) per la quale i parametri θj , j = 1, 2, . . . m devono essere essere stimati stimati sulla base del campione campione X 1 , X 2, . . . , Xn di X . I momenti teorici della vaariabile aleatoria X valgono:



+∞

mi =

xi f ( f (x; θ1 , θ2 , . . . , θm ) dx

i = 1, 2, . . .

−∞

Essi sono in generale funzione dei parametri sconosciuti: mi = mi (θ1 , θ2 , . . . , θm )

È possibile inoltre determinare i momenti campionari dei vari ordini sulla base del campione di X : n



1 M i = n

X ji

i = 1, 2, . . .

j =1

Il metodo dei momenti afferma che al fine di determinare una stima dei parametri θ1 , θ2 , . . . , θm basta numero ero sufficient sufficientee di momenti momenti campionari campionari ai corrisponden corrispondenti ti momenti momenti teorici. teorici. Risolven Risolvendo do un eguagliare un num numero di equazioni pari al numero dei parametri da stimare si ottengono i valori stimati dei parametri. Applicazione alla distribuzione di Gumbel

Consideriamo il caso della distribuzione di Gumbel :

− − −  − −  − − − 

F X (x) = exp 1 exp α

f X (x) =

Dalla distribuzione teorica si ha che:

x

x

exp

β

α

β

α

exp

x

exp

β

α

media = media(α, media(α, β ) varianza varianza = varianza( varianza(α, α, β )

Dalle osservazioni sperimentali si ha che: x ¯ = numero S 2 = numero

Avendo in questo caso 2 parametri da determinare si ottiene un sistema di 2 equazioni in 2 incognite ( α, β ): ):

 

N

+∞

mX =

xf X (x) dx = β + β + γα = x ¯=

−∞

 i=1

+∞

S 2 =

xi N

2

(x

−∞

− mX )2f X (x) = π6 α2 = S X2

La costante γ è detta costante di Eulero-Mascheroni e vale vale 0,5772. 0,5772. . . . Riarrangiand Riarrangiandole ole si ottiene ottiene:: S X α= π

√

6=

√6 π

  −

β = x ¯

N

1

N

− γα

1

i=1

(xi

− x¯)2

(2.27) (2.28)

Andrea Lisjak

2.3.3 2.3.3


71

Metodo Metodo di Gum Gumbel

Questo metodo può essere applicato solo alla distribuzione di Gumbel. Stimando graficamente la frequenza empirica cumulata di non superamento mediante la regola di Weibull: F i =

i N + 1

si ottiene, come già visto in precedenza, una variabile standardizzata: yi =

− lnln N +i 1

In un campione di dimensione [N ] p ossono no calcolare la media e lo scarto quadratico medio campionari campionari di N ] si posso y:

S Y Y =

Osservando che: y=

N

   − 1 y¯ = N

yi

i=1

N

1

N

x

1

(yi

i=1

− y¯)2

− β =⇒ x = β + β + αy α

si suppone che esista una relazione del tipo: x x ¯ y y¯ = S X S Y Y

−

risolvendo in x si ottiene:

S X x=x ¯+ (y S Y Y

−

− y¯) =

−  x ¯

S X S X y¯ + y S Y S Y Y Y

da cui si possono riconoscere riconoscere le espressioni espressioni delle stime dei parametri α e β : α=

β = x ¯

S X S Y Y

− S S XY Y y¯

(2.29) (2.30)

Si può dimostrare che se N → +∞ allora il metodo dei momenti applicato alla distribuzione di Gumbel ed il metodo di Gumbel coincidono.

72

2.3.4 2.3.4


Andrea Lisjak

Metodo Metodo dei dei minim minimii quadr quadrati ati lineari lineari

Il metodo dei minimi quadrati lineari è semplicemente un affinamento numerico del metodo grafico visto per la determinazione dei parametri di adattamento della distribuzione di Gumbel, esso è quindi privo della giustificazione teorica del metodo dei momenti. Esso è inoltre estremamente sensibile al valore assunto dagli estremi. Dal punto di vista operativo si plottano su di un piano i punti (xi , yi ) con i = 1, . . . , N corrispondenti alle coppie osservazion osservazionii – variabil variabilii standard standard della distribuzione. distribuzione. Si effettua effettua poi un’in un’interpolaz terpolazione ione lineare ai minimi quadrati risolvendo il sistema lineare sovradimensionato: N

 i=1

(xi

− yi(α, β ))))2 = min

(2.31)

Si noti come essendo i valori xi noti e i valori yi stimati si debba porre in ascissa i primi ed in ordinata i secondi, altrimenti si ottengono dei risultati leggermente diversi.

Figura 2.16. Metodo dei minimi quadrati lineari.

Andrea Lisjak

2.3.5 2.3.5


73

Metodo Metodo della della massim massima a vero verosim simigli iglianza anza

Il metodo della massima verosimiglianza fu per la prima volta introdotto da Fisher nel 1922. Sia f X (x; α, β ) una PDF della variabile aleatoria X e siano α e β , per semplicità, gli unici due parametri che devono essere stimati dai valori campionari x1, x2 , . . . , xN . Si definisce funzione di verosimiglianza (likelihood function) di una serie di n valori campionari: N

L(x1, x2, . . . , xN ; α, β ) =



f X (xi ; α, β )

(2.32)

i=1

Quando i valori campionari sono dati la funzione di verosimiglianza diventa, in questo caso, una funzione delle 2 variabili α e β . La procedura procedura di stima di α e β basata sul metodo di massima verosimiglianza consiste nel scegliere come stima di α e β quei particolari valori che massimizzano la funzione di verosimiglianza. È possibile dare dar e una giustificazione intuitiva della definizione di L: con riferimento alla figura 2.17 se i valori di α (parametro di scala) e β (parametro di posizione) non sono corretti il valore assunto da L diminuisce, ne consegue che devono esistere dei valori di α e β che massimizzano la funzione di verosimiglianza.

(a) Variazione di β .

(b) Variazione di α.

Figura 2.17. Costruzione della funzione di verosimiglianza.

La stima di massima verosimiglianza (MLE - Maximum Likelihood Estimate) dei valori di α e β , basata sui valori campionari x1, . . . , xN , può essere ottenuta come soluzione di un problema di ricerca di massimo di una funzione di 2 variabili e quindi ottenibile come soluzione delle equazioni:

L

∂ /∂α = 0 ∂ /∂β = 0

L

(2.33)

Dal momento che L è sempre non negativa e raggiunge il suo massimo per i medesimi valori di α e β di log L (in quanto il log è una funzione monotona crescente), è in generale più conveniente ottenere la MLE effettuando la trasformata trasformata logaritmica logaritmica di L: N

log

L=



log f X (xi ; α, β )

(2.34)

i=1

e risolvendo le cosiddette equazioni di verosimiglianza :



∂ log ∂ log /∂α = 0 ∂ log ∂ log /∂β = 0

L L

(2.35)

74


Andrea Lisjak

Applicazione alla distribuzione di Gumbel

Se f X (x) è una funzione di Gumbel:

− −  − − − 

1 f X (x) = exp α

x

β

exp

α

x

exp

β

(2.36)

α

applicando appli cando le proprietà proprietà dei logaritmi si ottiene: ottiene: ln

N ln α − L = −N ln

N



1 α

N

(xi

− β )

i=1

 −

e−

xi −β α

(2.37)

i=1

Imponendo le condizioni di ricerca del massimo si ottiene un sistema non lineare di 2 equazioni in 2 incognite (α, β ). ). ∂ ln ∂ ln ∂α

L = − N + α

1 α2

N



(xi

i=1

∂ ln ∂ ln N = ∂β α

L

− β ) − −

1 α

1 α2

N



e−

N



(xi

i=1

xi −β α

−

− β )e

xi −β α

=0

=0

i=1

Dopo alcuni “semplici” “semplici” passaggi passaggi algebrici si ottiene ottiene un’equazio un’equazione ne non lineare lineare in α:

 −   −    −  −    N

−xi /α

xi e

i=1

1 N i

N

n

xi

e−xi /α = 0

α

(2.38)

i=1

=1

La quale può essere risolta, ad esempio, con il metodo di sostituzione, dopo averla scritta nella forma: α=

x ¯

N N −xi /α −xi /α i=1 e i=1 xi e N −xi /α i=1 e

=x ¯

N −xi /α i=1 xi e N −xi /α i=1 e

Una volta trovato il parametro α si può calcolare β mediante la relazione: β = α ln

N

N −xi /α i=1 e

(2.39)

2.4. Applicazioni all’intensità di pioggia

Andrea Lisjak

2.4

75

Applica Applicazio zioni ni all’in all’intens tensità ità di pioggi pioggia a

La serie temporale delle precipitazioni è molto più oscillante e “casuale” di quella delle portate in un corso d’acqua. d’acqua. L’interes L’interesse se è in ogni caso rivolto ad eventi eventi che abbiano una durata minima dei quali interessa sapere: - la durata; - il volume d’acqua scaricato.

Figura 2.18. Serie temporale dell’intensità di pioggia.

Le variabili intercorrelate intercorrelate con cui ci si confronta sono: 1. l’intensità di pioggia j [L/T] (mm/h); 2. l’altezza di pioggia h [L] (mm); 3. la durata d [T] (h). I dati su cui ci si appoggia sono quelli del Servizio Idrologico Nazionale , il quale fornisce fornisce1 le massime altezze di pioggia annue per assegnate durate di 1, 3, 6, 12, 24 ore. La distribuzione delle piogge viene indagata per mezzo del metodo dei massimi annuali , che conduce al modello probabilistico del valore estremo e quindi alla distribuzione probabilistica di Gumbel . Poic Poiché hé le variabili aleatorie sono 5 si hanno 5 diverse distribuzioni di Gumbel, una per ogni durata. Tabella 2.2. Distribuzioni di probabilità per le diverse variabili aleatorie.

durata durata

variabi ariabile le aleato aleatoria ria

F H H (h)

1 3 6 12 24

H 1 H 3 H 6 H 12 12 H 24 24

F H H 1 (h) F H H 3 (h) F H H 6 (h) F H H12 2 (h) 1 F H H24 4 (h) 2

Una volta trovati i parametri di adattamento α e β per le singole distribuzioni, distribuzioni, è possibile, possibile, fissata la durata dell’evento, conoscere la probabilità corrispondente al superamento del massimo annuo. 1 Gli Annali Idrologici fornivano anche i valori delle massime altezze di pioggia giornaliere per 1, 2, 3, 4, 5 giorni consecutivi. Tali dati, a differenza delle massime altezze di pioggia annue per durate assegnate, che vengono ottenute mediante pluviografi, venivano ottenuti mediante pluviometri manuali e quindi si riferivano solamente ai valori massimi registrati alle 9 di mattina ed indipendetemente dalla durata dell’evento.

76


2.4.1 2.4.1

Andrea Lisjak

Linea Linea segnalat segnalatrice rice di possib possibilit ilità à pluviom pluviometr etrica ica

Tracciando in funzione della variabile standardizzata di Gumbel y = − lnln1/F lnln1/F i valori dell’altezza di pioggia, corrispondenti alle 5 durate, si ottengono 5 rette , una per ogni variabile aleatoria.

Andamento o dell’alt dell’altezza ezza di pioggia pioggia in funzion funzionee della variabi variabile le regolarizza regolarizzata ta Figura 2.19. Andament di Gumbel per 5 diverse variabili aleatorie H i , corrispondenti alle massime altezze di pioggia annue per durate di 1, 3, 6, 12, 24 ore.

Tale grafico può essere letto in due maniere distinte: 1. fissata un’altezza di pioggia h si ottiene la probabilità di non superamento per ogni singola durata: questa aumenta al diminuire della durata; 2. fissata fissata una probabilità probabilità di non superamento superamento (ad esempio attraverso attraverso un tempo di ritorno) ritorno) si ottiene ottiene per ogni singola durata l’altezza di pioggia: questa aumenta all’aumentare della durata. Dal momento che lo scopo è quello di ottenere l’altezza di pioggia in funzione del tempo di ritorno anche per eventi di durata diversa da quella per cui vengono forniti i dati allora si è di fronte ad un problema di interpolazione . La curva segnalatrice della possibilità pluviometrica (LPP - Linea di Possibilità Pluviometrica) è una forma analitica semplice che, per un assegnato tempo di ritorno (ossia una determinata frequenza), lega l’altezza di pioggia alla durata dell’evento. Assegnato un T R e quindi una frequenza: F = 1

− T 1R = T RT R− 1

si calcola: yT R =

− lnln T RT R− 1

si entra nel grafico precedente e per ciascuna durata d si ottiene ottiene h. Si riportano i 5 punti nel piano d, h e si effettua in’interpolazione mediante una relazione di potenza del tipo: h = adn

(2.40)

h = atn

(2.41)

oppure nella forma classica: Si noti come una LPP sia valida soltanto per un determinato tempo di ritorno. Stima grafica dei parametri

a

e

n

Sul piano bilogaritmico la relazione h = atn diventa bilineare: log h = log a + n log t

(2.42)

Andrea Lisjak

2.4. Applicazioni all’intensità di pioggia

77

Figura Figura 2.20. Linea segnalatrice di possibilità pluviometrica.

I valori di a ed n si ottengono quindi interpolando con una retta i 5 punti corrispondenti alle 5 durate.

Figura Figura 2.21. Stima grafica dei parametri a ed n.

Relazione tra l’intensità media di pioggia e la durata

Una volta ottenuta la LPP è possibile costruire una relazione tra l’intensità media di pioggia e la durata: j =

h = atn−1 t

(2.43)

Si osservi come: •

a parità di tempo di ritorno, all’aumentare della durata l’altezza di pioggia aumenta quindi: n> 0

•

l’intensità media di pioggia nei massimi annuali deve essere maggiore di quella calcolata su tempi maggiori (a meno che non si sia nel caso particolare di intensità di pioggia costante), quindi all’aumentare

78


della durata l’intensità media di pioggia diminuisce: n<1

Andrea Lisjak

Andrea Lisjak

2.5 2.5

2.5. Applicazioni alle portate al colmo di piena

79

Applic Applicaz azio ioni ni alle alle portat portate e al colmo colmo di pien piena a

Si vuole applicare la LPP alla determinazione delle portate di piena in sezioni di un corso d’acqua in cui non si hanno misure di portata . Ciò può essere eseguito con la seguente serie di passi: 1. si sceglie un tempo di ritorno T R e si calcolano i parametri a ed n della LPP (vedi paragrafo 2.4.1); 2.4.1); 2. si sceglie l’altezza h e la durata t∗ di una pioggia tipo che ottemperi alla LPP; 3. si sceglie un modello di trasformazione trasformazione afflussi–deflus afflussi–deflussi, si, tale scelta scelta consiste a sua volta in una doppia scelta: (a) scelta scelta del modello con cui valutare valutare il ruscellame ruscellamento: nto: i. modello di Horton: f 0 , f ∞ , k; ii. schema schema ad area contribuen contribuente: te: φ; (b) scelta dello IUH: i. modello della corrivazion corrivazionee lineare: lineare: T c ; ii. modello dell’invaso dell’invaso lineare: k ; iii. modello di Nash: n, k; 4. si applica il modello afflussi–defl afflussi–deflussi ussi alla pioggia scelta ottenendo ottenendo una portata uscente ; 5. si calcola il massimo della portata uscente ricava ricavando ndo la portata al colmo di piena ; 6. si calcola il massimo della portata al colmo al variare della durata della pioggia ricavando la portata critica .

2.5.1 2.5.1

Pioggia Pioggia di di progett progetto o ad inten intensità sità costa costant nte e

La pioggia tipo più utilizzata per problemi di progetto è quella ad intensità costante. In tal caso la determinazione della portata di ruscellamento può essere fatta in maniera equivalente con entrambi i metodi visti: jeff = jtot

− f = jtot

−  1

f

jtot

= jtot φ

·

Nel seguito verrà utilizzato lo schema ad area contribuente .

Figura Figura 2.22. Pioggia ad intensità costante.

80

2.5. 2.5.2 2


Andrea Lisjak

Calco Calcolo lo della della portat portata a

La portata uscente dipende sia dalla jeff che dalla durata t∗ . Assegnato Assegnato uno uno I U H = u(t) essa si ottiene risolvendo l’integrale di convoluzione: Ab Q(t) = 3, 6



t

jeff (τ ) τ )u(t

0

−

Ab jtot φ τ ) τ ) dτ = 3, 6

·



t

u(t

0

τ ) dτ − τ )

Cambiando la variabile integranda si ottiene: Ab jtot φ Q(t) = 3, 6



t

(2.44)

u(τ ) τ ) dτ

max(0,t−t ) ∗

Figura 2.23. Generico idrogramma istantaneo unitario.

Portata al colmo di piena

Il massimo della portata si ottiene quando l’area dello IUH calcolata tra (t − t∗ ) e t è massima: Ab jtot φ Qc = max Q(t) = max t t 3, 6

·





t

u(τ ) τ ) dτ =

max(0,t−t ) ∗

Ab jtot φ Ab jtot φ  max ε = ε t 3, 6 3, 6

·

·

(2.45)

Il massimo di quell’integrale in cui solo gli estremi dipendono da t si ottiene, applicando la regola di Lagrange :





t

t : u(t ) = u(t

∗



− t ) =⇒ ε

=

u(τ ) τ ) dτ

(2.46)

max(0,t −t ) 

∗

Portata critica

Si definisce portata portata critica la massima portata al colmo di piena che si ha al variare della durata della pioggia: (2.47) Qcrit = max Qc = max max Q(t) t

∗

t

∗



t



In maniera del tutto convenzionale si attribuisce alla portata critica Qcrit lo stesso tempo di ritorno della pioggia che l’ha generata.

2.5.3 2.5.3

Modello Modello della della corri corriv vazione azione linea lineare re


Definendo lo IUH con il metodo della corrivazione lineare si possono presentare due casi.


Andrea Lisjak

81

Figura 2.24. Applicazione della regola di Lagrange allo IUH.

Figura 2.25. IUH definito mediante il metodo della corrivazione lineare.

1. t∗ < T c −→ t = t∗ :

ε =

t∗ T c

La portata al colmo di piena vale : Qc =

Ab φ a t∗ n−1 t∗ Ab φ a t∗ n = 3, 6 T c 3, 6 T c

· · ·

· · · ·

(2.48)

Poiché n > 0 allora la portata al colmo di piena aumenta all’aumentare della durata della pioggia. 2. t∗ > T c −→ t = T c :

ε = 1

La portata al colmo di piena vale: Ab φ a t∗ n−1 Qc = 3, 6

· · ·

(2.49)

Poiché (n − 1) < 1 allora la portata al colmo di piena diminuisce all’aumentare della durata della pioggia. Portata critica

Se t∗ < T c allora la portata al colmo aumenta all’aumentare della durata, se t∗ > T c la portata al colmo diminuisce all’aumentare della durata, ne consegue che il massimo si ha per una durata t∗ = T c : Ab φ a T cn−1 Qcrit = max Qc = Qc (t = T c ) = t 3, 6 ∗

∗

· · ·

(2.50)

82


(a) t < T c .

Andrea Lisjak

(b) t > T c .

∗

∗

Figura Figura 2.26. Valutazione della portata al colmo di piena.

2.5.4 2.5.4

Modello Modello dell’in dell’inv vaso lineare lineare


Definendo lo IUH col metodo dell’invaso lineare si ha: u(t) =

1 −t/k e k

Dal momento che u(t) è una funzione decrescente il massimo di ε si ha per t = t∗ e quindi:

Figura 2.27. IUH definito mediante il metodo dell’invaso lineare.

ε = 1

−t∗ /k

−e

La portata al colmo di piena vale quindi:

− 

Ab φ a t∗ n−1 Qc = 1 3, 6

· · ·

∗

e−t

/k

(2.51)


Andrea Lisjak

83

Portata critica

La portata critica vale:



 − 

Ab φ a t∗ n−1 Qcrit = max[Qc ] = max 1 t t 3, 6 ∗

∗

· · ·

e−t

∗

/k

(2.52)

Dal momento che Qc è una forma analitica senza punti di discontinuità, la durata tcrit a cui corrisponde la portata al colmo massima può essere essere calcolata calcolata imponendo la condizione condizione:: dQc d = ∗ ∗ dt dt

Si ha quindi:





   − 

d t∗ n−1 ε = (n dt∗ t

∗ n−1



n ε

−1 +

t∗

·

dε dt∗



t∗ n−1

e−t

1

∗

/k

(2.53)

=0 

− 1) · t n 2 · ε + t n 1 · ddtε ∗ −



∗ −

∗

= 0=

⇒

t∗ −t e k

∗

/k

= (1 (1

− n)

=0

· −  1

e−t

∗

/k

(2.54)

L’equazione 2.54 costituisce un’equazione non lineare in t∗ che risolta fornisce il valore della durata t∗ = tcrit per cui Qc (tcrit ) = Qcrit . È prassi comune definire un tempo adimensionale θ definito dal rapporto tra la durata corrispondente alla portata critica e la costante di invaso: tcrit (2.55) θ= k

La relazione 2.54 diventa quindi: θe−θ = (1 (1

  −θ

− n) 1 − e

(2.56)

La quale può essere sviluppata in modo da ottenere una relazione esplicita tra n e θ: n=

1

−θ

1)e − (θ + 1)e 1−e θ −

Figura Figura 2.28. Andamento di θ, ε e D in funzione di n.

La figura 2.28 rappresenta graficamente la relazione 2.57. Si noti come:

(2.57)

84


Andrea Lisjak

- se n = 0, 42 allora tcrit = k (θ = 1 ); - se n > 0, 42 allora tcrit > k (θ > 1); - se n < 0, 42 allora tcrit < k (θ < 1). Sfruttando la relazione 2.55 la portata critica può essere espressa come: Qcrit =

Ab Ab φak n−1 θn−1 ε = φakn−1 θ n−1 (1 3, 6 3, 6

  

−e

−θ

)

  

D

(2.58)

D

Il valore assunto da D può anch’esso essere plottato sul medesimo grafico di θ e di ε. Effettuando la seguente approssimazione : D

(2.59)

≈ 0, 65

allora per un calcolo approssimato della portata critica si può utilizzare la relazione: Qcrit

≈ 0, 65 3A, b6 φakn

−1

(2.60)

Figura Figura 2.29. Andamento della portata al colmo in funzione della durata.

2.5. 2.5.5 5

Mode Modell llo o di di Nas Nash h


Definendo lo IUH secondo Nash si ha:

 

1 u(τ ) τ ) = k Γ(m Γ(m)

Anche in questo caso bisogna calcolare:

τ k

m−1

e−τ /k

t

ε = max ε = max t

t

(2.61)



u(τ ) τ ) dτ

max(0,t−t ) ∗

Il massimo di tale integrale si ottiene, per tentativi, cercando t tale che: u(t ) = u(t

∗

−t )

Trovato t si calcola numericamente l’integrale 2.46 e si applica l’equazione 2.45 trovando quindi la portata al colmo di piena Qc per una durata assegnata t∗ .

Andrea Lisjak


85

Portata critica

Per trovare la portata critica Qcrit si calcola la portata al colmo di piena per varie durate t∗ e si trova, nuovamente per tentativi, la portata in corrispondenza della quale si passa dall’aumento alla diminuzione del suo valore.

86


2.6

Andrea Lisjak

Test statis statistici tici di adatt adattame ament nto o di una distri distribuzi buzione one

Una volta scelta la famiglia di distribuzioni ed effettuato l’adattamento con uno dei metodi visti ci si chiede se, indipendentemente dal metodo utilizzato, la distribuzione di probabilità cumulata ottenuta F X (x; a, a ˆ, ˆb), basata sui parametri di adattamento aˆ e ˆb stimati, sia rappresentativa del campione e quindi se la scelta del modello probabilistico e l’adattamento siano stati soddisfacenti oppure no. Se infatti la distribuzione di probabilità ipotizzata non è corretta, il modello probabilistico risultante con i parametri stimati in qualsiasi maniera, anche la più elegante, non può offrire una corretta rappresentazione del fenomeno fisico o naturale che sta alla base. Equivalen Equivalentemen temente te la domanda può essere essere così formulata: formulata: il campione campione osservato osservato è plausibile plausibile che sia ˆ estratto a caso dalla distribuzione F X (x; a, a ˆ, b)? La risposta risposta può essere data data mediante mediante dei test statistici di adattamento di una distribuzione . Essi sono dei metodi per verificare l’adattamento di una distribuzione ipotizzata per una determinata variabile ariabile aleatoria sulla base di un campione di realizzazi realizzazioni. oni. Il problema della verifica di un modello sulla base di informazioni tratte dai campioni ricade quindi nell’ambito della verifica delle ipotesi statistiche . Principio che sta alla base dei test statistici di adattamento

Consideriamo la media campionaria di una distribuzione: N



1 x ¯= xi N i=1

Dal momento che il valore di x¯ cambia al variare di xi , allora essa può essere considerata a sua volta come una variabile aleatoria X . Si consideri una generica statistica p con associata la variabile aleatoria P : essa possiede una distribuzione di probabilità F P p) incognita a meno che non si verifichi una certa ipotesi, detta P ( p) ipotesi nulla : F P P ( p|H 0 ), che rende nota la distribuzione del parametro P .

Figura 2.30. Funzione di densità di probabilità della statistica P .

Se una media campionaria p1 dovesse cadere nelle zone di coda di tale distribuzione di probabilità allora è possibile ipotizzare che l’ipotesi H 0 non sia vera e quindi che la distribuzione che ne consegue non sia quella giusta.

2.6. 2.6.1 1

Passi assi di un test test

1. Si definisce una statistica P : regola per calcolare calcolare un numero numero da un campione (esempio: (esempio: la media). Essa serve a fornire una misura della deviazione della distribuzione osservata, costruita sulla base del campione, dalla distribuzione ipotizzata. 2. Si determina una ipotesi H 0 , detta ipotesi ipotesi nulla , in base alla quale è nota la distribuzione della statistica.

Andrea Lisjak

2.6. Test statistici di adattamento di una distribuzione

87

Per costruire un criterio criterio per la verifica delle ipotesi è necessario necessario anche stabilire stabilire un’ipotesi un’ipotesi alternativ alternativaa H 1 rispetto alla quale verificare l’ipotesi H 0 . Esempi di ipotesi alternative possono essere: – un’al un’altra tra distribuzione distribuzione ipotizzata; – l’ipotesi che H 0 non sia vera: in seguito si farà uso di questa. 3. Si definisce definisce una distribuzione distribuzione delle aree di non rigetto : campo delimitato da p e p (nel caso di test a due code ) o solamente da una delle due (nel caso di test ad una coda ), tale per cui se il valore calcolato della statistica P è interno si può dire che H 0 è vera, se invece il valore calcolato della statistica è esterno allora si può dire che H 0 è falsa. Si definisce un livello di probabilità α su cui valutare il campo di rigetto dell’ipotesi H 0 : α = area sottesa da f P p) esternamente a p a p e p P ( p)

I test per la verifica delle ipotesi sono comparati in termini della probabilità degli errori che possono essere commessi. Si possono presentare due tipi di errore di base: (a) errore del I tipo : H 0 è vera ma l’ipotesi viene comunque rigettata ( α grande); (b) errore del II tipo : H 0 è falsa ma l’ipotesi viene comunque accettata ( α piccolo). Defininendo H 1 come l’ipotesi esattamente opposta di H 0 si ha che: - se α è grande allora β , corrispondente alla probabilità di accettare H 0 quando H 0 è falsa (e quindi H 1 vera), è piccola (errore del I tipo grande); - se α è piccolo allora β è grande (errore del II tipo grande); ne consegue che la scelta della probabilità α è legata al fatto che al diminuire della probabilità di commettere un errore di un tipo aumenta quella di commettere l’altro. Nel costruire un test statistico c’è quindi la necessità di controllare i due tipi di errori cercando di minimizzare l’errore globale. Per un dato test, la valutaz valutazione ione della probabilità probabilità degli errori del I tipo può essere essere fatta quando l’ipotesi H 0 è data e quindi è specificata la distribuzione di probabilità; la definizione di un’ipotesi alternativa implica delle probabilità di commettere errori del II tipo. Nel nostro caso l’ipotesi alternativa è semplicemente l’ipotesi che H 0 non sia vera e quindi il fatto che la classe delle alternative sia così ampia rende difficile l’utilizzo degli errori del II tipo come criterio. Generalmente si lavora solamente con errori del I tipo, fissando i seguenti limiti di confidenza : α=

 

1% 5% 10 %

Figura Figura 2.31. Correlazione tra errore del I tipo ed errore del II tipo.

88


Andrea Lisjak

4. Calcolo di pα e pα . Nel caso di test ad una coda destra si cerca: pα : prob prob((P





≤ pα) = F P P ( pα) = 1 − α

Nel caso di test a due code si cerca: pα : prob prob((P







α/2 pα : ≤ pα) = F P P ( pα) = α/2

prob prob((P





α/2 ≤ pα) = F P P ( pα) = 1 − α/2

  Figura 2.32. Determinazione di pα e pα per α = 95%. 95%.

5. Si calcola la statistica dal campione ottenendo ottenendo un valore p∗ che viene confrontato con pα e pα : - se pα ≤ p∗ ≤ pα : H 0 con probabilità 1 − α è vera; - se p∗ > p α ∨ p∗ < pα : H 0 con probabilità 1 − α è falsa. Ipotesi H0 dei test statistici di adattamento

Nel caso dei test statistici di adattamento H 0 è che il campione osservato [xi ; i = 1, 2, . . . , N ] rappresenti N valori della funzione di distribuzione cumulata stimata F X (x; a, a ˆ, ˆb). Ciò equivale a supporre a che F X (x; a, a ˆ, ˆb) sia la vera distribuzione di probabilità che dà luogo al campionamento effettuato.

2.6. 2.6.2 2

Test est

2 χ

Il test statistico χ2 di adattamento (chi-squared goodness-of-fit test) fu introdotto da Pearson nel 1900. Consideriamo il caso, che più comunemente capita di affrontare, in cui i parametri della distribuzione di probabilità siano stati stimati con uno dei metodi visti in precedenza sulla base del campione. Al fine di verificare l’ipotesi H 0 si definisce come statistica del campione la differenza tra il diagramma della frequenza costruita dal campione, campione, e la corrispondente corrispondente funzione di densità di probabilità definita definita per ipotesi. ipotesi. empirica , costruita La frequenza cumulata empirica può essere valutata mediante la regola di Weibull: F i =

i N + 1

Per poter definire empiricamente la funzione di densità di probabilità f X (x) è necessario valutare la frequenza per classi : si suddivide suddivide l’asse l’asse x in una serie di classi contigue e si contano quanti eventi sono avvenuti in ciascuna classe. 1a classe : x < x1 2a classe : x1

≤ x < x 2 . . . M + 1 − esima classe : xM ≤ x

Se si hanno M separatori x1 , x2 , . . . , xM allora il numero di classi M c = M + 1.


Andrea Lisjak

89

Probabilità osservata

La probabilità osservata associata associata alla classe i-esima è data dalla frequenza frequenza empirica: f i =

Oi xi xi−1

(2.62)

−

- Oi : numero di eventi osservati che ricadono nella classe (xi−1 , xi ); - xi − xi−1 : ampiezza della classe. Il numero di eventi osservati ricadenti nella classe i-esima vale quindi: Oi = f i (xi

·

(2.63)

− xi

−1 )

Probabilità teorica

Come si è detto nella classe generica (xi−1 , xi ) non ricadono solo le osservazioni bensì anche eventi estratti direttamente dalla distribuzione teorica f X (x; a, a ˆ, ˆb) ipotizzata. La probabilità teorica associata alla classe i-esima è data da:



xi

pi = prob(x prob(xi−1

≤ x < xi) =

xi

f X (x, a, a ˆ, ˆb) dx = F X (xi ; a, a ˆ, ˆb) 1

−

− F X (xi

ˆ

a ˆ, b) −1 ; a,

(2.64)

Se il campione è composto da N eventi il numero di eventi atteso nell’i-esima classe è dato da: (2.65)

E i = N pi

·

Figura Figura 2.33. Probabilità teorica associata alla classe (xi−1 , xi ).

Statistica del test

La statistica del test è data da:

M c

D=



(Ok

− E k )2

(2.66)

E k

k =1

Essa costituisce costituisce una naturale misura della deviazione deviazione ai minimi quadrati. quadrati. Si noti come D sia una statistica in quanto è funzione degli Oi , i quali a loro volta sono funzione del campione x1 , . . . , xN . Se la distribuzione che genera il campione è proprio quella che si è stimato, ossia l’ipotesi H 0 è vera, si può dimostrare che la statistica D ha una distribuzione del tipo χ2 : 2

f D (d) = χ (D, ν ) =

    2ν/ 2 Γ 0

ν 2

−1

d(ν −2)/2 e−d/2

se d 0 se d < 0

≥

(2.67)

90


Andrea Lisjak

- ν = M c − 1 − n p : parametro parametro che definisce definisce i gradi di libertà , con n p pari al numero di parametri stimati (nel nostro caso 2: aˆ e ˆb). Si noti come questa distribuzione sia indipendente dal tipo di distribuzion distribuzionee ipotizzata. ipotizzata. Livello di confidenza

Supponiamo di voler accettare una probabilità di errore del I tipo pari ad α. Il test χ2 prevede che l’ipotesi H 0 venga respinta quando: M c

d=



k=1

(Ok

− E k )2 > χ2

E k

α,ν

(2.68)

2 dove d è il valore di D basato sui valori del campione xi , i = 1, 1 , . . . , n e χα,ν assume un valore tale che: 2 prob(D prob(D > χ α,ν )=α

(2.69)

il cui valore si ottiene mediante tabelle in funzione di α e dei gradi di libertà ν . Il valore di α è detto anche livello di confidenza : esso rappresent rappresentaa l’area sottesa dalla funzione f D (d) 2 alla destra di χν,α . Se per esempio α = 0, 05 significa che effettuando il test si respinge l’ipotesi H 0 nel caso in cui la misura della deviazione d, calcolata da un determinato campione, cade all’interno della regione del 5 %, o, in altre parole, parole, ci si aspetta di respingere respingere H 0 per il 5 % dei casi casi in cui H 0 è vera. Procedura di esecuzione del test

1. Si suddivide suddivide l’asse x in un numero M c di classi e si valutano per ogni classe il numero di eventi osservati Ok che vi cadono dentro. Dal momento che solitamente si preferisce lavorare con delle classi equiprobabili, ossia con un numero costante di eventi attesi per ogni classe: E 1 = E 2 = . . . = E k =

avente quindi probabilità: pk =

N M c

E k 1 = N M c

la suddivisione delle classi sull’asse x viene effettuata in modo tale che, se l’ipotesi H 0 è vera, allora ci si dovrebbe dovrebbe aspettare un numero uguale di eventi eventi osservati osservati in ogni classe. classe. Per garantire garantire questo risultato l’ampiezza degli intervalli viene trovata con l’operazione riportata in figura 2.34. 2.34. 2. Si stimano, a partire dai dati, i parametri aˆ e ˆb di adattamento, mediante il metodo di massima verosimiglianza (od un altro metodo), ottenendo F X (x; a, a ˆ, ˆb). 3. Si calcola, a partire dalla distribuzione ipotizzata con i parametri stimati, il numero di eventi atteso 2.65) E k per ogni classe (equazioni 2.64 e 2.65) 2 . 4. Si sceglie un livello di confidenza α e si determina χν,α

5. Si costruisce il valore misurato d della statistica (equazione 2.68). 2.68). 2 , altrimento la si accetta. 6. Si rifiuta l’ipotesi H 0 se d > χν,α

I vincoli di affidabilità del test sono: - affinché il test sia significativo: ν ≥ 2 =⇒ M c ≥ 5 =⇒ M ≥ 4 - E k

≥ 5 ∀k (almeno 5 eventi per classe); - (=⇒ N ≥ 25). Il test χ2 è definito un test esatto nel senso che tiene conto del fatto che si sono utilizzati i medesimi parametri di adattamento sia per l’esecuzione del test che per la valutazione del numero di eventi attesi.


Andrea Lisjak

91

Figura Figura 2.34. Determina Determinazion zionee dell’ampi dell’ampiezza ezza delle delle classi classi (M c = 5) in modo che sian siano o

equiprobabili.

2.6.3

Test di Kolmogor Kolmogorov– ov–Smirn Smirnov ov

Il test di Kolmogorov–Smirnov (K-S test) si basa su una statistica che misura la deviazione dell’ istogramma cumulato di frequenza rispetto alla funzione di distribuzione cumulata ipotizzata F X (x; a, a ˆ, ˆb). Data un insieme di valori campionari x1, x2 , . . . , xN di una variabile aleatoria X si possono considerare due istogrammi di frequenza cumulata ( diversi da quello ottenuto con la regola di Weibull): F i+ =

i − i 1 F = N i N

−

(2.70)

Figura 2.35. Approssimazioni empiriche della funzione di distribuzione cumulata.

Statistica del test

Rispetto alle due frequenze cumulate empiriche definite è possibile valutare due distanze : −

Di =

La statistica del test è definita da:



i

−1 F F X (xi ) − N N

 

Di+



= F FX (xi )

D2 = max Di+ ; Di− i=1



−

i N



(2.71)

(2.72)

La distribuzione della statistica D2 è difficile da ottenere analiticamente , tuttavia i valori assunti dalla funzione di distribuzione possono essere calcolati numericamente e valutati per numerosi valori. È tuttavia

92


Andrea Lisjak

Tabella 2.3. Costruzione delle CDF empiriche e delle distanze.

Ordine Ordine

Osserv Osservazi azione one

F i−

F i+

1 ... i ... N

x1

1−1 N

...

1 N

...

xi

i−1 N

i N

... ...

...

...

xmax

N −1 N

N N

  

D−

  

− 1N 1 ... F FX (xi ) − iN 1 ... F FX (xN ) − N N 1 −

F FX (x1 )

−

−

  

D+

  

− N 1 ... i F FX (xi ) − N ... F FX (xN ) − N N F F X (x1 )

possibile dimostrare che la distribuzione di D2 è indipendente dalla distribuzione ipotizzata e che, fissato un livello di confidenza α, se N diventa grande ( N ≥ 50) allora: cα,N =

α √vN

- vα : valore che dipende da α. Livello di confidenza

Supponiamo di voler accettare una probabilità di errore del I tipo pari ad α. Il K-S test prevede che l’ipotesi H 0 venga respinta quando: N d2 = max Di+ ; Di− > c α,N (2.73) i=1

 

dove d2 e il valore di D2 basato sui valori del campione xi , i = 1, . . . , N e cα,N assume un valore tale che: prob(D prob(D2 > cα,N ) = α

(2.74)

il cui valore si ottiene, mediante tabelle, in funzione di α e di N . Procedura di esecuzione del test

1. Si riordinano i valori xi osservati dal più piccolo al più grande. 2. Si valutano valutano le funzioni funzioni empiriche empiriche F i+ e F i− . 3. Per ogni xi si valuta F X (xi ) mediante la distribuzione ipotizzata, eventualmente adattata mediante uno dei metodi visti. 4. Si costruiscono le differenze Di+ e Di− . 5. Si sceglie un livello di confidenza α e si determina mediante tabelle cα,N . 6. Si calcola la statistica d2 (equazione 2.72). 2.72). 7. Si rifiuta l’ipotesi H 0 se d2 > cα,N , altrimenti la si accetta. L’esecuzione del test può essere anche di tipo grafico (figura 2.36) 2.36) tracciando una fascia di accettabilità ˆ compresa tra la F X (x; a, a ˆ, b) e ± cα,N e verificando che l’istogramma di frequenza cumulata empirica sia sempre interno a tale fascia. Osservazioni

Le caratteristiche principali del K-S test sono: •

è valido per tutti i valori di N (a differenza del test χ2);

•

utilizza i dati osservati nella loro forma non aggregata (a differenza del test χ2 );

•

è valido solamente per distribuzioni continue;

Andrea Lisjak


93

Figura 2.36. Esecuzione grafica del test di Kolmogorov–Smirnov.

•

i valori di cα,N si basano basano su distribuzion distribuzionii ipotizzate ipotizzate completamente completamente specificate (ossia senza stima dei parametri di adattamento), quando i parametri della distribuzione devono venir stimati allora non esiste, a differenza del test χ2, alcun modo rigoroso per correggere il test.

94


2.7 2.7

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Eser Eserci cizi zi

2.7.1 2.7.1

Determi Determinaz nazion ione e della della LPP

Dati

Alla stazione meteorologica di Gemona si sono registrati i seguenti valori di pioggia, di cui si riportano solamente alcuni valori delle medie e delle deviazioni standard campionarie. d N ¯ (mm) h σh (mm)

1 ora 50 42,60 14,05

3 ore 50 ... ...

6 ore 50 ... ...

12 ore 50 ... ...

24 ore 50 ... ...

Svolgimento semi-concettuale

Supponiamo di aver effettuato un’adattamento statistico col metodo dei momenti e di aver trovato per le 5 distribuzioni i parametri di adattamento α e β . Fissato un tempo di ritorno, ad esempio pari a 10 anni, si calcola la corrispondente variabile regolarizzata di Gumbel e si trovano 5 valori di altezza di pioggia. d: h: j :

1 ora 61, mm mm 61mm 1mm//h

3 ore 90 mm mm 30mm 0mm//h

6 ore 108 mm mm 18mm 8mm//h

12 ore 134 mm mm 11,2mm 2mm//h

24 ore 176 mm mm 7,3mm 3mm//h

Si passa dunque alla stima dei parametri a ed n della LPP in base alla relazione: ln h = ln a + n ln t t

ln t

ln h

1 3 6 12 24

0,00 1,10 1,79 2,48 3,18

4,11 4,50 4,68 4,90 5,17

Figura Figura 2.37. Determinazione dei parametri a ed n.

Dall’interpolazione grafica lineare dei valori calcolati si ottiene: n

31a a ≈ 60 ≈ 0, 31

2.7. Esercizi

Andrea Lisjak

95

L’equazione della LPP è quindi: h = 60 60tt0,31

2.7.2 2.7.2

Valutazi alutazione one della della dur durata ata critic critica a

Dati

La LPP è definita da h = 60 60tt0,31 , l’area del bacino è pari a Ab = 150km2 ed il coefficiente d’invaso vale dell’invaso lineare con coefficiente coefficiente d’invaso d’invaso k = 2, 5ore φ = 0, 35. Si valuti la durata critica sia col metodo dell’inv sia col metodo di Nash con m = 2. Svolgimento

Col metodo dell’invaso lineare si deve risolvere l’equazione non lineare in t : 

t = (1

Da cui sostituendo i valori numerici si ha: t

  − − − 

− 1, 725

n) 1

1

e−t

e−t





/k

/2,5

et



et



/k

/2,5

k

=0

La quale può essere risolta per tentativi mediante alcune iterazioni: - t = 2 ore ore: =⇒ −1, 06 - t = 1, 1 , 5ore: =⇒ 0, 08 - t = 1, 1 , 6ore: =⇒ 0, 05 - t = 1, 1 , 7ore: =⇒ 0, 02 - t = 1, 1 , 8ore: =⇒ 0, 018 Si può assumere con buona approssimazione tcrit ≈ 1, 8ore. Col metodo di Nash si deve seguire la procedura riportata nel paragrafo 2.5.5. . . .

96


Andrea Lisjak

2.8. Appendice

Andrea Lisjak

2.8 2.8 2.8.1 2.8.1

97

Appe Append ndic ice e Alcune Alcune distri distribuz buzion ionii di prob probabil abilità ità

)

p

p − i s 6 1 o − p t r 1 N u C (

a i r p t p − e m 2 1 − m 1 p i N s A

τ

1 +

α

5 / 9

3

6

9

4 . 5

2

6 9 3 1 . 1

+

3

3

)

(

a z n a i r a V

) p 1 ( p N

τ

0

0

1

τ

a n a i d e M

2

2 1 / 1

1

5 . 0

0

)

T N I ( x a m

−

0

5 . 0

0

α

e t a z z i d r a d n a t s i n o i z u b i r t s i d e n u c l a i d i t n e i l a s e h c i t s i r e t t a r a C

a i d e M

p N

o p m a C

÷ 0

÷ 0

1 ÷ 0

÷

i r t e m a r a P

p , N

τ

−

N

τ

∞

∞

m −

N

)

p −

1

(

m

p

⎞ ⎟ ⎟

N m

)

τ −

≤ i

(

)

)

(

1 0 = = ) )

x x

( (

X

e m o N

e l a i m o n i B

n o s s i o P

X

f f

(

e m r o f i n U

∞

1

2

π

6

3 9 6 . 0

5 6 6 3 . 0

0

0

1

2 7 7 5 . 0

∞

∞

÷ 0

÷

∞ -

÷ 0

−

α

−

−

⎞ ⎟ ⎠ ) x

1

x t n p ≤ e x m e 0 i r m ! t ⎠ l e τ m s a

⎜ ⎜ ⎝ = e ⎛ n = m o i = s m s X = e r P X p s P E

α

1 > α 1 - e s α o l o s

τ

≤

a d o M

α

2

x

1 2

−

(

p x − e ⎛ ⎜ ⎝ 1 p − α x e x π

1 2 =

)

α Γ =

1

(

)

)

(

(

x X

f

x

] ) )

x

−

(

−

[

p x e

1

= )

x

(

X

F

f

a a t e l m p m a m G o c n i

x

−

(

X

1

e l a m r o N

∞ -

e l a i z n e n o p s E

p x e

−

p x e

= )

x

(

X

F

l e ) b 1 m V u ( E G

o r d a u q i h C e n o i z u b i r t s i d a l l a a t a g e l e o p i T I I I n o s r a e P e m o c e h c n a a t u i c s o n o C 1

98


i s o t r u C a i r t e m m i s A a z n a i r a V

3

0

0

6

6

9

9

4 . 5

2

2

6 9 3 1 . 1

+

3

3

α

α

2

2

)

a −

α

2

b 1 2 1

−

α

2

a

2

k

(

a d o M

. r a P

α

2

2 / ) b + a (

o p m a C

α +

a n a i d e M

a i d e M

e t a v i r e d i n o i z u b i r t s i d e n u c l a i d i t n e i l a s e h c i t s i r e t t a r a C

5 / 9

Andrea Lisjak

k

2

2

k

2

k

)

π 6

a

(

b

k 3 9 6 . 0

k 3 β 9 + 6 . 0

a 5 + 6 b 6 3 . 0

b

0

β

b

2 / ) b + a (

b

b ÷ a

÷

b , a

b , a

β + α

α

k

∞

k

k

∞

∞

÷ 0

∞ -

β

÷ 0 k ,

k ,

β , α

α

∞

÷ 0

k

+ k

a 2 + 7 b 7 5 . 0 ∞

÷

∞

÷

β

∞ -

β

b , a

, k

⎞ ⎟ ⎠

β

⎞ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎟ ⎠ − k 2 ⎞ ⎟ ⎠ x k x

b

−

b a a ≤ − − x x b ≤ a = )

x

(

e n o i s s e r p s E

e m o N

X

n i

f

x

− − ⎛ ⎜ ⎝ ⎛ ⎜ ⎝

a

p x e

⎛ ⎜ ⎝

1 2

1

1

−

p x e

−

π

1 2 a = )

x

(

X

f

x k

⎛ ⎜ ⎝ )

1

α

(

Γ

k = )

x

(

X

f

k / x −

(

β

p x e

x

1

α α − ⎝ ⎟ ⎠ ⎞ ⎟ ⎠ ⎛ ⎜ ⎜ ⎞

p x e

⎤ ⎥ ⎦ ⎞ ⎟ ⎠ ⎞ ⎟ ⎠ )

− k

⎛ ⎜ ⎝ )

1 α Γ k (

β

− k x

− =

1

x

(

X

F

=

−

x

a

− ⎛ ⎜ ⎝ − ⎛ ⎜ ⎝ p

p x e

)

b

− =

)

x

(

X

F

)

x

x e

− ⎡ ⎢ ⎣

p x e

= )

x

(

X

F

(

X f

e m r o f i n U

i r e t l a e m m a r r o a N p 2

i i e r r l a t a t o t a e e i r a t a e e l l z t m m m p a m p a n 1 e e r m m m r m m n a a a a a o p a o p r o c c a G n G p n 3 p s i 2 i a a E

e i r l a t e i z m n a e r n a o p p s 2 E a

l e ) b 1 m V u E G (

Andrea Lisjak

2.8. Appendice

99

100

2.8. 2.8.2 2


Valor alorii di

cα,N

Andrea Lisjak

per il test di Kolmogorov-Smirnov

Kolmogorov-Smirnov Test

(Se il rapporto calcolato è maggiore del valore sotto indicato, si rigetti l’ipotesi nulla al livello di confidenza prescelto.)

DIMENSIONE CAMPIONARIA (N)

LIVELLO di SIGNIFICATIVITÀ per D = MAX [ F 0(X) - S n(X) ] .20

.15

.10

.05

.01

1

.900

.925

.950

.975

.995

2

.684

.726

.776

.842

.929

3

.565

.597

.642

.708

.828

4

.494

.525

.564

.624

.733

5

.446

.474

.510

.565

.669

6

.410

.436

.470

.521

.618

7

.381

.405

.438

.486

.577

8

.358

.381

.411

.457

.543

9

.339

.360

.388

.432

.514

10

.322

.342

.368

.410

.490

11

.307

.326

.352

.391

.468

12

.295

.313

.338

.375

.450

13

.284

.302

.325

.361

.433

14

.274

.292

.314

.349

.418

15

.266

.283

.304

.338

.404

16

.258

.274

.295

.328

.392

17

.250

.266

.286

.318

.381

18

.244

.259

.278

.309

.371

19

.237

.252

.272

.301

.363

20

.231

.246

.264

.294

.356

25

.210

.220

.240

.270

.320

30

.190

.200

.220

.240

.290

35

.180

.190

.210

.230

.270

OLTRE 35

1.07 __ √N

1.14 __ √N

1.22 __ √N

1.36 __ √N

1.63 __ √N

Capitolo 3

Idrologia e risorse idriche 3.1 3.1

Eleme Elemen nti di geom geomor orfo folo logi gia a

3.1.1 3.1.1

Super Su perfic ficii e versa ersan nti

Le superfici possono essere distinte in: •

superfici superfici strutturali : sono sono costitu costituite ite da un’ un’uni unica ca uni unità tà geolog geologica ica,, dispost dispostaa suboriz suborizzon zontal talmen mente te ed

affiorante sulla superficie del terreno (figura 3.1); 3.1);

Figura Figura 3.1. Superficie strutturale.

•

superfici di spianamento : sono costituite da unità geologiche geologiche differenti differenti che, disposte disposte originariame originariamente nte

inclinate, sono state spianate per effetto di fenomeni di natura erosiva (figura 3.2). 3.2).

Figura Figura 3.2. Superficie di spianamento.

La figura 3.3 riporta un classico esempio di erosione differenziata : a partire da una superficie di spianamento le rocce a maggior resistenza meccanica rimangono intatte mentre quelle più scadenti vengono erose con la conseguen conseguente te creazione di superfici superfici inclinate. inclinate. Si definiscono definiscono versanti o falde versanti le superfici inclinate. Esistono diversi tipi di versanti in relazione alla disposizione degli strati ed al conseguente meccanismo di formazione: •

seguito a fenomeni fenomeni erosivi differenziati differenziati in corrispondenza corrispondenza di strati versanti a gradinata : si formano in seguito suborizzontali con caratteristiche meccaniche diverse (figura 3.4); 3.4); le rocce tenere sono caratterizzate da fenomeni erosivi diffusi mentre le rocce dure sono interessate perlopiù da fenomeni di crollo; 101

102

Capitolo 3. Idrologia e risorse idriche

Andrea Lisjak

Figura Figura 3.3. Resti di una superficie di spianamento ( a − a) conservati su rocce dure ( d).

Figura Figura 3.4. Versante a gradinata, con pareti e cornici dove affiorano le testate dei banchi

più duri; ripiani o terrazzi di denudazione ( t) in corrispondenza all’esposizione degli strati di rocce tenere.

Figura Figura 3.5. Esempio di rilievo tabulare o mesa; torrione isolato o testimone. t = rocce più

tenere.

•

rilievi tabulari : si formano quando uno strato di roccia dura giace sopra ad uno di roccia tenera (figura

3.5); 3.5); •

rilievi monoclinali monoclinali : si forman formanoo in seguit seguitoo a fenome fenomeni ni erosiv erosivii in corrispo corrisponde ndenza nza di strati strati inc inclin linati ati

in seguito a fenomeni di tipo plicativo (figura 3.6); 3.6); in queste condizioni la stabilità dei versanti è

Figura 3.6. Asimmetria strutturale delle valli e dei rilievi “monoclinali” (strati inclinati).

fortemente condizionata dalla giacitura degli strati in relazione alla superficie topografica; •

rilievi monoclinali di tipo hogback : sono rilievi monoclinali che si formano in seguito alla presenza di

un’alternanza di strati inclinati duri e teneri (figura 3.7). 3.7).

3.1. Elementi di geomorfologia

Andrea Lisjak

103

Figura 3.7. Rilievi monoclinali di tipo hogback (su strati duri e teneri molto inclinati).

(a) (a) Rili Riliev evii mono monocl clin inal alii di tipo tipo ques questa ta..

(b) (b) Disp Dispos osiz izio ione ne dell dellee valli alli in aree aree con con form formaz azio ioni ni rocciose a strati inclinati .

Figura Figura 3.8. Terminologia specifica. S : superfici strutturali. A puntini: rocce tenere.

3.1.2 3.1.2

Tetton ettonica ica

I terremoti sono la testimonianza evidente che movimenti orogenetici di natura tettonica sono tuttora in atto. Si noti come i movimenti tettonici possano dare problemi anche sul breve–medio periodo, ossia proprio quello che riguarda alcune opere dell’ingegneria civile. Faglie

I piani che separano blocchi di roccia in movimento relativo tra loro sono detti faglie (figura 3.9). 3.9). La figura 3.10 illustra diverse possibili evidenze morfologiche di una faglia.

Blocchi a comportam comportamento ento rigido, rigido, dislocati dislocati da faglie. faglie. 1. Piani Piani di faglia (qui Figura Figura 3.9. Blocchi per semplici semplicità tà sono consid considera erati ti solo solo esemp esempii di “faglie “faglie dirette” dirette”). ). 2. Blocco Blocco sollevat sollevato, o, che forma forma un Horst Horst o pilastro pilastro tettonico. tettonico. 3. Blocco abbassato abbassato,, che forma forma un Graben o fossa tettonic tettonica. a. 4. Blocchi Blocchi inclinati, inclinati, che danno danno luogo a depressioni depressioni di angolo di faglia. S. Scarpate di faglia.

104


Andrea Lisjak

Schemi di scarpate scarpate di faglia faglia e loro evoluzion evoluzione. e. A. Scarpata Scarpata “fresca”, “fresca”, faglia faglia Figura 3.10. Schemi ancora attiva. B. Scarpata di faglia ormai poco riconoscibile in seguito all’erosione del blocco sollevato e alla sedimentazione su quello abbassato. Questo esempio può derivare da A, parecchio tempo dopo la cessazione del movimento della faglia. C. Scarpata Scarpata di faglia che tende tende a retrocedere per fenomeni fenomeni erosivi, e, nella parte inferiore, a venir sepolta. D. Scarpata di faglia “ringiovanita” in seguito ad una ripresa del movimento, partendo da una situazione del tipo schematizzato in B.

Figura 3.11. Schemi Schemi di scarpat scarpatee di linee di faglia. faglia. A. Scarpata Scarpata di linea linea di faglia faglia di senso

opposto al rigetto: l’erosione ha eliminato la roccia 1 e quasi completamente la roccia 2 sul blocco sollevato. Un nuovo gradino si è formato per erosione selettiva, in quanto la roccia 2 è più tenera della roccia 1. C’è inversione del rilievo. B. Scarpata di linea di faglia nello stesso senso del rigetto: l’erosione è in uno stadio più avanzato; la roccia 1 e in parte la roccia 2 sono state eliminate anche sul blocco abbassato. Anche questo gradino si è formato per erosione selettiva, la roccia 2 è più tenera della roccia 3.

Pieghe

Non sempre i movimenti tettonici portano alla formazione di faglie ma, se la duttilità della roccia ro ccia è sufficiente, si formano delle pieghe (figura 3.12). 3.12).


Andrea Lisjak

105

Figura Figura 3.12. Terminologia relativa a strutture a pieghe e a rilievi tettonici risultanti. Qui

si immaginano limitatissimi gli effetti dell’erosione; si è impostata una rete idrografica che segue le pendenze determinate dal piegamento della superficie, ed è in corso di erosione una valle trasversale.

Figura Figura 3.13. Tipi morfostrutturali morfostrutturali schematici in una catena costituita da una serie di pieghe

parallele.

3.1.3 3.1.3

Movim Movimen enti ti franos franosii

Masse coinvolte

Con riferimento alla figura 3.14 si definiscono: •

suolo : porzione di terreno sotto la superficie topografica topografica soggetta soggetta ad azioni di alterazione alterazione da parte

della biosfera (radici vegetali, animali), caratterizzata da un forte contenuto in materia organica;

106


•

substrato alterato : porzione di roccia in posto fortemente alterata;

•

regolite : insiemte di suolo e substrato alterato.

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Figura 3.14. Suolo e regolite.

Classificazione dei movimenti franosi

I movimenti franosi possono riguardare: – il suolo; – il regolite; – la roccia roccia in posto. posto. I movimenti franosi possono essere suddivisi in due grandi gruppi in base alla velocità del movimento: 1. movimenti lenti : sono caratterizzati caratterizzati da velocità velocità dell’ordine dell’ordine del m/anno (figura 3.15); 3.15); (a) soil creep : avviene a scapito di un sottosuolo caratterizzato da strati che tendono ad opporsi al movimento; (b) soliflusso : l’inclinazione degli strati non contrasta il movimento;

Figura 3.15. Movimenti lenti del regolite.

2. movimenti veloci : avvengono in tempi dell’ordine dei minuti e delle ore (figura 3.16); 3.16); (a) frana di crollo; (b) frana di scivolamento; (c) frana con movimento movimento rotazionale rotazionale (figura 3.17); 3.17); (d) smottamento; (e) frana per colamento.

Andrea Lisjak


Figura Figura 3.16. Alcuni tipi di frane.

Figura 3.17. Nomenclatura di una frana di tipo rotazionale.

107

108

3.2 3.2 3.2. 3.2.1 1


Andrea Lisjak

Morfo Morfome metri tria a dei bacini bacini e delle delle retico reticoli li idrog idrografi rafici ci Forme orme dei dei baci bacini ni

Si faccia riferimento riferimento al bacino idrografico riportato in figura 3.18.

Figura 3.18. Bacino idrografico.

Parametri areali

I parametri areali ( [L2 ]) di un bacino idrografico sono: 1. area Ab . Parametri lineari

I parametri lineari ( [L]) di un bacino idrografico sono: 1. perimetro P : lunghezza complessiva degli spartiacque; 2. lunghezza L: lungh lunghezza ezza del canale principale; principale; 3. diametro Db : massima distanza tra la sezione di chiusura ed un punto del perimetro; 4. lunghezza della rete drenante LR : lunghezza lunghezza totale del reticolo reticolo drenante; 5. asse vettoriale : composizione vettoriale degli assi dei canali affluenti principali. Parametri adimensionali

I parametri adimensionali ( [−]) di un bacino idrografico sono essenzialmente dei parametri di forma perlopiù legati ad una classificazione morfologica del bacino e quindi meno interessanti dal punto di vista ingegneristico–applicativo: 1. fattore di forma : F =

Ab Db

(3.1)

3.2. Morfometria dei bacini e delle reticoli idrografici

Andrea Lisjak

2. circolarità : C =

Ab 2 P /4π

=

4πA b P 2

109

(3.2)

Pendenza dei versanti

Per quanto riguarda i versanti e con riferimento alla figura 3.19 si definisce pendenza locale del versante : iv =

∆H L0

(3.3)

dove: - ∆H : equidistanza isoipse; - L0 : distanza media tra le isoipse; L0

≈ L12+AiL2

(3.4)

Figura 3.19. Determinazione della pendenza locale dei versanti.

Sfruttando la relazione 3.4 la pendenza locale del versante può essere approssimata con: iv

≈ ∆H (L2A1 i+ L2)

(3.5)

Date le pendenze locali dei versanti, ossia quelle riferite alle aree Ai , è possibile ottenere la pendenza pendenza media del versante come media pesata con le aree Ai delle pendenze locali. Pendenza dei canali

Per quanto riguarda i canali la loro pendenza tende a diminuire dalla sorgente verso la foce. Esistono diverse forme di identificazione della pendenza media. Con riferimento alla figura 3.19 si ha: ic 20−80 =

Z 80 % Z 20 % L20−80

−

(3.6)

Da un punto di vista invece idraulico si definisce pendenza media ic di un canale composto da una serie di tratti a pendenza variabile e caratterizzato da una portata specifica q costante la pendenza costante di un canale a sezione rettangolare che fa percorrere in moto uniforme il canale nel medesimo tempodel primo. Nel calcolo della pendenza media si utilizzano le relazioni ben note dall’idraulica dei moti a pelo libero, ossia la relazione di Chezy in forma adimensionale:

√

√

v = C gy c q = Cy gyc

I principali difetti di questa definizione di pendenza media sono:

(3.7)

110


Andrea Lisjak

Figura 3.20. Dete Determ rmin inaz azio ione ne dell dellaa pende pendenz nzaa medi mediaa di un cana canale le seco second ndo o crit criter erii

geomorfologici.

– si suppone che la portata specifica sia costante da monte a valle; – il coefficiente di scabrezza adimensionale è anch’esso supposto costante da monte verso valle; In ogni caso l’utilità di una definizione di un parametro medio in presenza spesso di una forte variazione spaziale sta nella possibilità di poter ottenere dei risultati semplificati utili in alcune valutazioni quantitative. Densità di drenaggio

Si definisce densità di drenaggio: DD =

LR Ab

(3.8)

Tale parametro esprime i km di rete idrografica presenti in media ogni km2 di bacino idrografico. Distribuzione delle altitudini

La distrib distribuzi uzione one del delle le altitu altitudin dinii in un bacino bacino idrogr idrografic aficoo è rappre rappresen sentata tata dal dalla la curva ipsografic ipsografica a A = A(z ) (figura 3.20) 3.20) la quale esprime esprime la distrib distribuzi uzione one delle delle aree aree del bacino bacino rispetto rispetto alle quote. Nel caso di bacini lacustri si considera come altitudine la quota dell’incile (ossia la quota della soglia dell’emissario). Adimensionalizzando le aree rispetto all’area del bacino Ab si ottiene la funzione di distribuzione di probabilità cumulata delle altitudini all’interno del bacino: F Z (z ) =

A(z ) Ab

(3.9)

A partire dalla curva ipsografica si può ricavare l’ altitudine media Z m del bacino (figura 3.22): 3.22): 1 Z m = Ab



Z (x, y) dx dy

(3.10)

Ab

Tale parametro viene ad esempio utilizzato nella formula di Giandotti per la stima del tempo di corrivazione di un bacino.

3.2.2 3.2.2

Forme orme delle delle aste fluviali fluviali

Andamento planimetrico

Si definisce sinuosità di un corso d’acqua il rapporto esistente tra la lunghezza in asse del canale e la lunghezza in asse della valle.


Andrea Lisjak

111

Figura Figura 3.21. Curva ipsografica.

Figura Figura 3.22. Determinazione dell’altitudine media di un bacino idrografico a partire dalla

curva ipsografica.

La determinazione della lunghezza del canale può essere resa difficile dal fatto che esso può variare la propria lunghezza a seconda che sia in fase di piena o di magra, mentre la determinazione della lunghezza della valle solitamente è resa agevole dal fatto che molti canali sono compresi tra vecchi terrazzi alluvionali, in caso contrario si considera l’asse della fascia individuata dalle tangenti all’andamento planimetrico del canale. Sulla base dell’andamento planimetrico i corsi d’acqua possono essere suddivisi in (figura 3.23): 3.23): – rettilinei ; – di transizione ; – regolarmente regolarmente sinuosi ; – irregolarmente irregolarmente sinuosi ; – tortuosi . Sempre sulla base dell’andamento planimetrico i corsi d’acqua possono essere suddivisi in: •

a canale unico : sono tipici di:

112


Andrea Lisjak

Figura Figura 3.23. Classificazione delle forme fluviali in base all’andamento planimetrico.

– pendenze molto elevate (dell’ordine dello 0,01) e quindi dei torrenti di montagna, dove la geome-

tria della valle costringe il canale nel fondovalle (thalweg); – pendenze estremamente piccole (dell’ordine dello 0,001-0,0001); •

a canali canali multipli : questi questi canali (braided rivers, rivers, nella letteratura letteratura inglese) inglese) sono caratterizza caratterizzati ti dalla

presenza quasi permanente di filoni di corrente che si separano e poi si ricongiungono, essi sono tipici delle pendenze medie: – uscite delle vallate alpine; – conoidi; – tratti intermedi di trasporto dei canali. Sezioni trasversali

Da un punto di vista delle sezioni trasversali si possono avere: •

sezioni trapezie : sono tipiche dei canali alpini;

•

sezioni rettangolari molto ampie : sono tpiche dei canali multipli;

•

sezioni compatte fortemente incise : sono tipiche dei canali di pianura;

Andrea Lisjak


113

le sponde risultano ben marcate grazie alla presenze di numerosi vegetali e alla coesione del materiale costituente la sponda; in queste sezioni le piene ordinarie viaggiano a pelo delle sponde mentre le piene maggiori fuoriescono da questa sezione in una area di espansione di piena , la cui funzione è quella di creare la pianura alluvionale ; gli argini sono dei presidi artificiali che hanno lo scopo di contenere tale area di espansione dentro una certa zona, che è funzione dei beni da proteggere.

3.2.3 3.2.3

Forme orme delle delle reti reti idrog idrografi rafich che e

Nella parte montana del bacino idrografico i canali non sono quasi mai isolati ma vanno a costituire una rete ramificata, la quale viene percorsa dall’acqua sempre nello stesso verso, in quanto il moto è dovuto alla diferenza di potenziale gravitazionale che si trasforma in energia cinetica. Da un punto di vista topologico la rete idrografica puà essere definita come un grafo orientato avente una sola radice, coincidente con la sezione di chiusura, e diverse ramificazioni. Le forme che la rete idrografica può assumere sono diverse e sono legate all’interazione tra processi orogenetici e fenomeni erosivi (figura 3.24) 3.24)

(a)

(b) Figura 3.24. Forme delle reti idrografriche.

Tra queste vale la pena ricordare: – radiale : il processo processo assolutame assolutamente nte prodominante prodominante è quello quello orogenetico orogenetico,, tipica dei coni vulcanici; vulcanici; – dendritico : il process processoo assolu assolutam tamen ente te predom predomina inante nte è quello quello erosivo, erosivo, che che si esplic esplicaa su formaz formazion ionii litologiche omogenee; – a traliccio : determinata abbastanza dal processo orogenetico, tuttavia l’erosione ha svolto il suo ruolo, forma che si ha ad esempio quando la rete idrografica si impone su una struttura a faglie; – a forme anostomosate : tipica tipica di bacini idrografici di pian pianura, ura, caratterizzata caratterizzata dalla presenza diffusa di laghi e stagni.

3.2.4 3.2.4

Sistemi Sistemi di ordin ordinamen amento to delle delle reti: leggi leggi di Horton– Horton–Str Strahle ahlerr

La forma della rete e il senso unico di percorrenza dell’acqua produce una relazione gerarchica fra i diversi rami che costituiscono costituiscono la rete. Tale gerarchia gerarchia è stata ad esempio utilizzata utilizzata dalle popolaz p opolazioni ioni per dare un nome ai fiumi: partendo dalla foce si è proceduti verso monte seguendo il corso d’acqua principale. La relazione gerarchica è tuttavia anche quella che permette la creazione di sistemi di ordinamento delle 3.25). Esistono Esistono diversi metodi che consentono consentono di dare un ordine numerico numerico alle reti idrografiche idrografiche,, reti (figura 3.25).

114


Andrea Lisjak

nel seguito verrà esposto quello introdotto da Horton (anni ’30) e successivamente corretto da Strahler: metodo di Horton–Strahler .

Figura 3.25. Alcuni sistemi di ordinamento delle reti idrografiche.

Cenni alle teoria dei grafi

Un grafo è costituito da un certo numero di punti P nel piano, collegati da un certo numero di lati L. È possibile possibile che in un grafo alcuni punti rimangano rimangano isolati. Per creare un grafo ad albero si costruisce il primo lato e poi si agganciano i lati successivi.

−→ In un grafo ad albero vale:

L = P

−1

(3.11)

−→ Se il grafo risulta disconnesso vale:

L = P

− C

(3.12)

dove C è il numero di parti connesse.

−→ Se il grafo presenta delle maglie chiuse il numero di maglie indipendenti o numero ciclomatico vale: M = L − (P − 1) (3.13) Regole per la numerazione delle reti secono Horton–Strahler

Le reti trattate trattate da Horton e Strahler sono esclusiv esclusivamen amente te quelle ad albero. Con riferimento riferimento alla figura 3.26 la numerazione della rete avviene secondo le due regole di seguito riportate. 1. Individuate Individuate le sorgenti, sorgenti, da queste queste scaturiscono scaturiscono canali di ordine ω = 1. 2. Alla confluenza tra due canali si distinguono due casi:

Andrea Lisjak


115

(a) se confluiscono confluiscono due canali dello stesso ordine il canale canale uscente ha l’ordine aumentato aumentato di uno: α

− β −→ γω α = ωβ −→ ωγ = ωα + 1

(3.14)

(b) se confluiscono due canali di ordine diverso si mantiene l’ordine maggiore tra i due: α

max(ωα , ωβ ) − β −→ γωα = ωβ −→ ωγ = max(ω

(3.15)

Figura 3.26. Ordinamento di una rete idrografica secondo il metodo di Horton–Strahler.

Il “difetto” di questo metodo è che esso distingue i nodi tra: – effettivi: sono nodi di termine per il canale di monte e di inizio per il canale di valle. – fittizi: sono nodi di termine per il canale di monte ed intermedi per il canale di valle; Parametri

massimo ordine del canale nella sezione di chi chiusura. usura.  Ω: ordine del bacino , ossia massimo  nω : numero di canali di ordine ω.

La sua determinazione determinazione risulta relativamen relativamente te facile. facile. Partendo Partendo tuttavia dalla cartografia cartografia ci può essere una certa arbitrarietà nella separazione tra canali attivi e canali effimeri.  Lω : lunghezza media dei canali di ordine ω .

La sua determinazione determinazione influenzata influenzata da due fattori di distorsione distorsione:: – la posizione delle sorgenti sorgenti viene spesso individuata con una certa arbitrarietà; arbitrarietà; – LΩ è un dato statisticamente poco affidabile in quanto ottenuto come media di un solo valore (problema di distorsione legato all’inferenza statistica).  Aω : area media drenata dai canali di ordine ω . Si osservi come tale area comprenda non solo le falde

versanti che danno direttamente sul canale di tale ordine bensì le aree che competono ai tributari di monte.

Anche in questo caso la determinazione di AΩ = Ab è caratterizzata da un problema di inferenza statistica.

116


ω

n

1 2 .. . Ω

.. . 1

L

A

L1 L2

A1 A2

LΩ

Ab

.. .

Andrea Lisjak

.. .

Tabella 3.1. Parametri di una rete idrografica secondo il metodo di Horton–Strahler.

Per ogni bacino idrografico e rispettiva rete idrografica analizzata è possibile ottenere una tabella come la ??. Sulla base di numerosi dati relativi a reti idrografiche di bacini naturali, di forma tipicamente dendritica, Horton e Strahler formularono delle leggi che individuano una tendenza razionale nello sviluppo delle reti idrografiche. Prima legge di Horton–Strahler

Si definisce rapporto di biforcazione il numero medio di canali di ordine ω che insiste su canali di ordine ω + 1: nω (3.16) RB = nω+1

La prima legge di Horton–Strahler afferma che “il rapporto di biforcazione RB per una rete idrografica è costante su ω”. Poiché nΩ = 1 si ha che: nΩ−1 = RB nΩ = RB

·

2 nΩ−2 = RB nΩ−1 = RB

·

... k nΩ−k = RB

La prima legge di Horton può quindi essere così formulata: Ω−ω nω = RB

(3.17)

Effettuando la trasformata logaritmica si ottiene: log nω = (Ω (Ω

− ω) · log RB

(3.18)

Ne consegue consegue che riportando su di un piano ( ω, log nω ) i punti relativi ad una determinata rete idrografica, il rapporto di biforcazione può essere determinato a partire dal coefficiente angolare della retta che interpola tali punti (figura 3.27): 3.27): RB : log RB = tan ϕ

Si noti come l’adattamen l’adattamento to può essere effettuato normalmente normalmente oppure imponendo imponendo il passaggio passaggio per il punto punto (ω, 1). Seconda legge di Horton–Strahler

Si definisce rapporto di lunghezza : RL =

Lω+1 Lω

(3.19)

La seconda legge di Horton–Strahler afferma che “il rapporto di lunghezza RL per una rete idrografica è costante su ω”. Si ha che: L2 = L1 RL

·

Andrea Lisjak


117

Figura Figura 3.27. Determina Determinazion zionee del rapporto rapporto di biforcazi biforcazione one mediante mediante la prima prima legge di

Horton–Strahler. 2 L3 = L2 RL = L1 RL

·

·

...

Lk+1 = L1 RkL

·

La seconda legge di Horton può quindi essere così formulata: −1 Lω = L1 Rω L

·

(3.20)

Effettuando la trasformata logaritmica si ottiene: log Lω = log L1 + (ω (ω

− 1) · RL

(3.21)

Ne consegue che riportando su di un piano ( ω, log Lω ) i punti relativi ad una determinata rete idrografica, il rapporto di lunghezza lunghezza può essere essere determinato determinato a partire dal coefficiente coefficiente angolare angolare della retta che interpola tali punti (figura 3.28). 3.28). Per problemi di inferenza statistica alle volte può essere opportuna effettuare l’adattamento escludendo gli ordini estremi e considerando solo quelli intermedi.

Figura Figura 3.28. Determina Determinazion zionee del rapporto di lunghezz lunghezzaa mediante mediante la seconda seconda legge di

Horton–Strahler.

118


Andrea Lisjak

Terza legge di Horton–Strahler

Si definisce rapporto di area : RL =

Aω+1 Aω

(3.22)

La terza legge di Horton–Strah Horton–Strahler ler afferma che “il rapporto di area RA per una rete idrografica idrografica è costante costante su ω”. Si ha che: A2 = A1 RA

·

A3 = A2 AL = A1 R2A

·

·

...

Ak+1 = A1 RkA

·

La terza legge di Horton può quindi essere così formulata: −1 Aω = A1 Rω A

(3.23)

·

Effettuando la trasformata logaritmica si ottiene: log Aω = log A1 + (ω (ω

(3.24)

− 1) · RA

Ne consegue che riportando su di un piano ( ω, log Aω ) i punti relativi ad una determinata rete idrografica, il rapporto di lungh lunghezza ezza può essere determinato determinato a partire dal coefficiente coefficiente angolare angolare della retta che interpola tali punti.

Determinazione del rapporto di area a partire dalla densità di drenaggio

La lunghezza totale di tutta la rete vale: Z =



li

(3.25)

Z Ab

(3.26)

i

La densità di drenaggio è definita da:

DD =

Se il bacino è grande si può assumere: (3.27)

DDΩ−1 = DDΩ

Ne consegue che:

Z Ω−1 AΩ−1

≈ AZ ΩΩ =⇒ AAΩΩ 1 = RA = Z Z ΩΩ 1 −

−

Applicando la prima e seconda legge di Horton–Strahler si ottiene: Ω

Z Ω =



Ω

nω Lω =

ω =1



ω −1 L1 RL

ω =1

ω−1 da cui moltiplicando numeratore e denominatore per RB si ottiene:

   Ω

Z Ω = L1

−1 RΩ B

ω =1

RL RB

  Ω

ω −1

=

−1 L1 RΩ B

ω =1

RL RB

ω −1

Ponendo β = RL /RB e sapendo che 1 + β + β + β 2 + . . . + β Ω−1 = (β Ω − 1)/ 1)/(β − 1) si ha: Z Ω = L1 RbΩ−1

β Ω 1 β 1

− −


Andrea Lisjak

119

In definitiva si ottiene: −1 RΩ Z Ω β Ω 1 β 1 β Ω B RA = = Ω−2 = R B Z Ω−1 β 1 β Ω−1 1 β Ω−1 1 RB

· −− ·

3.2.5 3.2.5

−

−

·

−

(3.28)

Reticol Reticolii sinteti sintetici ci

Dari il rapporti RB , RL e RA di un bacino ed alcuni valori caratteristici come A1 ed L1 è possibile costruire una rete idrografica ipotetica. Imponendo ad esempio Ω = 4 si ottiene: ω

n

L

1 2 3 4

R3B R2B RB

L1 L1 RL 2 L1 RL 3 L1 RL

1

· · ·

Analogamente se da Ω = 4 si volesse passare ad una rete con Ω = 5 si avrebbero avrebbero dei rapporti costanti. costanti. Cenni alla teoria dei frattali

I frattali sono figure geometriche che si ottengono modificando una figura geometrica di base mediante una regola fissa ripetuta all’infinito all’infinito.. In tali figure esistono esistono dei rapporti geometrici geometrici che rimangono costanti. costanti. La presenza di frattali in natura è alquanto diffusa. Si considerino i seguenti esempi: •

1o esempio esempio (triangolo di Sierpinski): Sierpinski): a partire da un triangolo equilatero equilatero si divide divide ciascun lato a metà

e si elimina dalla figura il triangolo interno, si procede poi allo stesso modo con i nuovi triangoli che si vengono a creare; •

2o esempio: a partire da un triangolo equilatero si divide ciascun lato in tre parti uguali e si sostituisce

al segmento centrale il triangolo equilatero avente come lato quel segmento, si procede poi allo stesso modo con i nuovi triangoli che si vengono a creare; facendo il limite per un numero di triangoli che tende ad infinito si ottiene una figura avente area finita ma perimetro infinito; •

3o esempio: esempio: a partire da un quadrato quadrato si divide ciascun lato a metà e si tracciano tracciano i quadrati, di procede

poi allo stesso modo con i nuovi quadrati che si vengono a creare. Si definisce dimensione frattale : D=

log N P log N

(3.29)

dove: - N P : numero di pezzi autosimili; - N : rapporto dimensionale dimensionale o fattore di ingrandimento. ingrandimento. La dimensione dimensione frattale non dipende dall’“ingra dall’ “ingrandime ndimento” nto” della figura (ossia da N ). Se si considera il triangolo di Sierpinski si ha che: – N = 2

– N = 4

−→ N P = 3 : −→ N P = 9 :

D=

D=

log3 log2

≈ 1, 58

log9 log log 3 = log4 log log 2

≈ 1, 58

Poiché Poiché la dimensione dimensione frattale del triangolo di Sierpinski Sierpinski è 1,58 esso non può essere considerato considerato né una linea né una superficie. Se si considera il 3o esempio si ha che:

120


(a) Triangolo di Sierpinski.

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(b) . Figura 3.29. Esempi di frattali.

– N = 2 −→ N P = 4: – N = 3 −→ N P = 9:

D=

log log 4 =2 log log 2

D=

log log 9 =2 log log 3

La dimensione del quadrato è quindi 2. Applicazione alle reti idrografiche

Le reti drenanti naturali sono state studiate come oggetti frattali, ossia come oggetti formati, fino ad una determinata scala 1 , da parti autosimili. È possibile attribuire a reti descritte secondo il metodo di Horton– Strahler Strahler una dimensione dimensione frattale: frattale: pur essendo costituita costituita da elementi elementi lineari (dimensione (dimensione unitaria) unitaria) essa possiede possiede una dimensione dimensione che tende a 2. Questo come conseguen conseguenza za del fatto fisico che la rete raccoglie raccoglie le acque su di una copertura areale convoglia convogliandola ndola in canali canali lineari. lineari. Il vantaggio derivante dallo studio dei reticoli idrografici secondo la teoria dei frattali si manifesta nella possibilità di comprendere meglio la funzione esercitata dalla forma della reticolo nella produzione degli eventi di piena (vedi paragrafo 5.3(b)). 5.3(b)).

1

Ciò non vale se si arriva a considerare la rete idrografica a livello del versante.

3.3. Modelli di formazione del deflusso superficiale

Andrea Lisjak

3.3 3.3

121

Modell Modellii di formaz formazio ione ne del deflus deflusso so superfi superfici cial ale e

3.3.1 3.3.1

Schem Sc hema a horton hortoniano iano e schema schema dunni dunniano ano

Dall’Idrolo Dall’Idrologia gia Tecnica Tecnica si è visto come la valutaz valutazione ione delle perdite p erdite nei bacini in relazione relazione alla produzione produzione di deflussi in alveo possa essere valutata secondo due schemi differenti:  schema hortoniano : il comportamento del bacino viene supposto omogeneo e il coefficiente di ruscel-

lamento è pari alla differenza tra l’intensità di pioggia e il coefficiente di infiltrazione: r=j

(3.30)

− f

 schema dunniano : il bacino viene suddiviso in:

– parte impermeabile di area Ai : l’infil l’infiltrazio trazione ne è nulla ( f = 0) e tutta la pioggia si trasforma in ruscellamento ( j = r); – parte infinitamente permeabile di area A p : l’infi l’infiltrazi ltrazione one è infinita ( f → ∞) e tutta la pioggia infiltra nel terreno ( j = f ). Complessivamente si può scrivere: Ab = Ai + A p j Ai + 0 A p Ai r= =j =j ϕ Ab Ab

·

·

·

·

(3.31) (3.32)

dove ϕ è detto coefficiente di afflusso. È evidente che queste schematizzazioni permettono delle valutazioni molto semplici del coefficiente di ruscellamen cellamento. to. Se si vogliono vogliono fare delle valutazioni valutazioni più complesse complesse ed elaborate è necessario necessario riconoscere riconoscere che i bacini non si comportano né esattamente come il modello di Horton né esattamente come il modello di Dunn.

3.3.2 3.3.2

Formula ormula di Fántoli Fántoli

Formula di Fántoli

I primi ad accorgersi di quanto riportato sopra sono stati i costruttori di fognature. A Milano il prof. Fántoli si rese conto che il coefficiente di afflusso non è una costante bensì dipende dall’intensità di pioggia. Per la valutazione del coefficiente medio di afflusso alla rete egli propose quella che va sotto il nome di formula di Fántoli : 1/3 (3.33) ϕ = C F F · h dove:

- C F F : coefficiente di Fántoli (costante); - h: altezza di pioggia. L’inconveniente derivante dall’utilizzo di tale formula sta nel fatto che per altezze di pioggia molto grandi il coefficiente di afflusso può superare il valore unitario (figura 3.30), 3.30), cosa che è fisicamen fisicamente te impossibile impossibile dal momento che il ruscellamento non può essere maggiore dell’intensità di pioggia. Formula di Fántoli–Lombardo

Per porre rimedio a questo difetto negli anni ’60 la formula di Fántoli è stata modificata da Lombardo in modo tale che il coefficiente di afflusso tenda asintoticamente al valore unitario (figura 3.31): 3.31): ϕ = C F F h

·

1/3

se ϕ

75ϕ ϕ = (1 − 0, 25) ≤ 0, 75

 · 0, 75 C F F

3

1 se ϕ > 0, 75 h

(3.34)

122


Andrea Lisjak

Figura 3.30. Rappresentazione grafica della formula di Fántoli per la determinazione del

coefficiente di afflusso.

Figura 3.31. Rapp Rappre rese sent ntaz azio ione ne grafi grafica ca dell dellaa form formul ulaa di Fánt Fántol oli– i–Lo Lomb mbar ardo do per la

determinazione del coefficiente di afflusso.

3.3.3 3.3.3

Metodo Metodo del del Curve Curve Number Number (CN–S (CN–SCS) CS)

Il metodo CN–SCS (Curve Number – Soil Conservation Service 2 ) è un metodo basato su numerose misure dirette eseguite su bacini di drenaggio sperimentali. Con tale metodo si prendono in considerazione le altezze di pioggia cumulate P = h (espresse in mm) il ruscellamento R anch’ess anch’essoo cum cumulato ulato nel tempo. Inizialmen Inizialmente te la pioggia pioggia va a sopperire sopperire alle carenze carenze idriche preesistenti, dalle quali viene completamente completamente assorbita. Tali Tali carenze, le quali rappresentano un parametro I A (Initial Abstraction) da darsi al metodo, sono costituite dall’acqua di adesione fogliare o di altre superfici, da piccoli piccoli invasi, invasi, da depression depressioni, i, . . . . Si ha quindi che che finché finché tutta la I A non è riempita il ruscellamento è nullo: (3.35) R = 0 se P ≤ I A

Successivamente si ha:

R=

(P I A )2 se P > I A P I A + S

− −

(3.36)

2 Tale servizio fa parte dello United States Department of Agriculture e la sua funzione è quella di prevenire la desertificazione dei suoli, intesa come rimozione della sua parte fertile.

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123

Per comprendere il significato del parametro S è utile ragionare in termini di altezze in funzione dell’altezza di precipitazione: (3.37) S = lim F P →∞

S rappresenta quindi il volume disponibile all’interno del suolo per immagazzinare l’acqua infiltrata (storage

o immagazzinamento).

Figura 3.32. Rappresentazione grafica del metodo CN-SCS.

Un’altra assunzione fatta dal metodo è che: I A = λS con λ

≈ 0, 2

(3.38)

Determinazione del parametro di immagazzinamento S

Per la determinazione del parametro di immagazzinamento S il metodo CN-SCS introduce il coefficiente CN mediante la relazione: 1.000 (3.39) C N = 10 + S

124


con S espresso espresso in pollici, pollici, oppure: oppure: CN =

1.000 10 + S/25 S/25,, 4

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(3.40)

con S espresso espresso in mm. Invertend Invertendoo la relazione 3.40 si ottiene: S =



1.000 CN

− 10

·

25 25,, 4

(3.41)

dove CN varia tra 0 e 100: – CN = 0 =⇒ S → ∞: terreno infinitamente permeabile; – CN = 100 =⇒ S = 0 : terreno impermeabile. Il coefficiente CN dipende da: 1. costituzio costituzione ne pedolo p edologica gica e litologica litologica del substrato substrato (tabella 3.2); 3.2); 2. tipo di copertura del suolo (tabella 3.3). 3.3). Tabella 3.2. Metodo CN-SCS: tipi di suolo.

Gruppo Gruppo

Descri Descrizio zione ne

A

Scar Scarsa sa pot potenzi enzial alit itàà di deflu deflussso. so. Comprende Comprende sabbie profonde profonde con scarsissimo scarsissimo limo e argilla; argilla; anche ghiaie profonde, profonde, molto permeabili. permeabili.

B

Pote Potenz nzia iali lità tà di deflu defluss ssoo mo mode dera rata tame mennte bass bassa. a. Comprende la maggior parte dei suoli sabbiosi, meno profondi che nel gruppo A, ma il gruppo, nel suo insieme, mantiene alte capacità di infiltrazione, anche a saturazione.

C

Pote Potenz nzia iali lità tà di deflu defluss ssoo mo mode dera rata tame mennte alta alta.. Comprende suoli sottili e suoli contenenti notevoli quantità di argille e colloidi, anche se meno che nel gruppo D. Il gruppo, a saturazione, ha scarsa capacità di infiltrazione.

D

Pote otenzi nziali alità di deflu defluss ssoo mo molt ltoo alta alta.. Comprende la maggior parte delle argille con alta capacità di rigonfiamento, ma anche suoli sottili con orizzonti pressoché impermeabili in vicinanza della superficie.

Difetto del metodo

Il metodo CN–SCS è adatto alla descrizione di un singolo evento, tuttavia da un punto di vista previsionale presenta un grosso difetto: dal momento che tale metodo non prevede il ritorno del sistema nelle condizioni di partenza risulta difficile l’analisi di una serie di eventi, la capacità di infiltrazione infatti diminuisce all’aumentare dell’altezza di pioggia tuttavia quando l’evento termina l’acqua si asciuga ed il sistema si riporta verso le condizioni iniziali.


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125

Tabella 3.3. Metodo CN-SCS: valori di CN per tipo di suolo e tipo di copertura.

Copertura

Suolo

Terreno Terreno coltivato: coltivato: senza trattamenti di conservazione con trattamenti di conservazione Terreno da pascolo cattive condizioni buone condizioni Praterie buone condizioni Terreni boscosi o forestati: sottile, sottobos bosco pov povero, senza foglie buon sottobosco e copertura fogliare Spazi aperti, prati rasati, parchi: buone condizioni, copert pertuura erbo rbosa > 75 % cond condiz izio ioni ni norm normal ali, i, cope copert rtur uraa erbo erbosa sa pari pari 50% Aree Aree comm commer erci cial alii (cop (coper ertu ture re im impe perm rmea eabi bili li 85%) Dist Distre retti tti indu indust stri rial alii (cope (copertu rture re imper imperme meab abil ilii 72 %) Aree residenziali residenziali con copertura copertura media del: 65 % 38 % 30 % 25 % 20 % Parcheggi impermeabilizzati, tetti Strade pavimentate, con cunette e fognature inghiaiate o selciate, con buche in terra battuta

3.3.4 3.3.4

A

B

C

D

72 62

81 71

88 78

91 81

68 39

79 61

86 74

89 80

30

58

71

78

45 25

66 55

77 70

83 77

39 61 74 80 49 69 79 84 89 92 94 95 81 88 91 93 77 61 57 54 51 98

85 75 72 70 68 98

90 83 81 80 79 98

92 87 86 85 84 98

98 98 98 98 76 85 89 91 72 82 87 89

Modello Modello “fisico “fisico”” di Green– Green–Amp Amptt

Consideriamo un suolo omogeneo ed isotropo tale per cui l’analisi di una sua colonna equivale all’analisi del suolo nel suo complesso (figura 3.33). 3.33). Man mano che piove si osserva l’avanzamento di un fronte umido che procede verso il basso come un impulso rettangolare, governato dalla legge di Darcy: v=

−K · ddH x

(3.42)

dove: - H : carico carico piezometric piezometrico; o; - x: distanza percorsa nel senso del moto. Supponiamo di avere: - ψS : carico piezometrico in superficie; - ψF : carico carico piezomet piezometric ricoo sul fronte fronte umi umido, do, è presen presente te infatti infatti un potenzi potenziale ale capillar capillaree che che tende tende a risucchiare l’acqua verso il basso. Sia inoltre: - θS : contenu contenuto to d’acqua nella zona satura; satura;

126


Andrea Lisjak

Figura 3.33. Modello di Green–Ampt.

- θi : conten contenuto uto d’acqua nella zona non satura. Si ha quindi: dF f = = K S dt

·

dH ψS + z = K S dz z

− ψF = K S ·

·

poiché per continuità vale: z=

ne consegue che: dF = K S dt

·

(ψS



1+

ψS

− ψF z



F θS

(3.43)

(3.44)

− θi

)(θS − θi ) − ψF )(θ +1 F



(3.45)

Tale relazione costituisce un’equazione differenziale ordinaria con variabile indipendente il tempo t. Assegnate le condizioni iniziali : t = 0 −→ F = 0 (3.46)

è possibile integrare in t al variare di F ottenendo una soluzione implicita 3 ossia per quale tempo t si ha una determinata altezza di infiltrazione F ( formula di Green–Ampt ): ): F t= K S

−

(θS

)(ψS − ψF ) − θi)(ψ ln K S



1+

(θS

−

F θi )(ψ )(ψS

− ψF )



(3.47)

Per poter utilizzare questa formula è necessario conoscere alcune caratteristiche del terreno: – coefficiente di infiltrazione K S ; – porosità θS ; – umidità iniziale θi . È necessario inoltre formalizzare i potenziali. Il risultato che si ottiene è simile alla formula di Horton tuttavia è ricavato partendo da uno modello fisico del terreno.

3

La soluzione F ( F (t) di tale equazione differenziale è invece di più difficile determinazione.

Andrea Lisjak

3.3.5 3.3.5


127

Formu ormula la di di Phi Philip lip

La formula di Philip per la determinazione del tasso di infiltrazione in un suolo è la seguente: f = A + B (t

− t0)

−1/2

(3.48)

dove: - t0 : tempo relativamente antecedente all’inizio dell’infiltrazione; - A: parametro; - B : parametro. I tre parametri sono valori sperimentali che devono devono essere determinati mediante misure dirette di infiltrazione nel terreno. Se si considera un tempo t0 negativo si ha (figura 3.34): 3.34): A+B t0 f ∞ = A

f 0 =

√−

(3.49) (3.50)

Figura 3.34. Rappresentazione grafica della formula di Philip.

In generale si può affermare che l’utilizzo di una formula piuttosto che di un’altra dipende essenzialmente dalla confidenza tecnica di chi la usa con una o con l’altra e dalla disponibilità numerica dei parametri in essa contenuti. La formula di Horton è più diffusa in ambito idrologico mentre quella di Philip lo è in ambito agronomico.

128


3.3.6 3.3.6

Andrea Lisjak

Probab Probabilit ility y Distribu Distributed ted Moistu Moisture re Model Model (PDM)

Dal momento che l’obiettivo ingegneristico è la valutazione dell’infiltrazione alla scala del bacino idrografico, il quale presenta notevoli disomogeneità sia dal punto di vista della copertura che del tipo di substrato, è evidente che l’utilizzo di formule come quelle di Horton, Philip e Green–Ampt, fa sorgere un problema di fondo: è possibile partire da valutazioni puntuali e poi considerare tali risultati rappresentativi dell’intero bacino bacino idrografico? idrografico? E ancora: ancora: il comportamento comportamento medio può essere essere utilizzato per modellare correttamente correttamente il comportamento reale del bacino? Tale problema ha cominciato a trovare delle soluzioni teoriche a partire dalla fine degli anni Settanta. A questo proposito il primo modello è stato il Probability Distributed Moisture Model di Wood . Idea di base

Gli elementi di immagazzinamento multiplo possono riempirsi durante gli eventi piovosi e svuotarsi durante rante i periodi tra gli eventi. eventi. Se qualche serbatoio serbatoio è pieno allora le precipitazi precipitazioni oni successive successive raggiungono raggiungono direttamen direttamente te i canali canali come ruscellamen ruscellamento to superficiale. superficiale. Una lenta componente componente di drenaggio drenaggio può svuotare svuotare i serbatoi nel periodo tra gli eventi, contribuendo alla recessione dello scarico nei canali e ripristinando l’immagazzinamento iniziale prima dell’evento dell’evento successivo. Si tiene anche conto dell’evapotraspirazione da ciascun serbatoio durante i periodi intra–evento. Ad ogni evento evidentemente i serbatoi con la capacità minore si riempiranno per primi e cominceranno a produrre ruscellamento superficiale per primi. La capacità di ciascun serbatoio è supposta rappresentare una determinata proporzione del bacino in modo che man mano che i serbatoi si riempiono la percentuale di area producente producente ruscellamen ruscellamento to può anche anche essere calcolata. calcolata. Questa Questa area si espande espande durante gli eventi eventi e si contrae negli altri periodi in maniera tale che essenzialmente la distribuzione dei serbatoi rappresenta un’area contribuente dinamica alla produzione di ruscellamento. La distribuzione dei serbatoi usati nel modello è solamente una distribuzione di serbatoi concettuali e il problema nasce su quale tipo di distribuzione può essere più appropriata per un determinato per un determinato bacino. Supponendo un’intensità di pioggia j e un tasso di infiltrazione f omogenei omogenei nel bacino bacino ma variabili ariabili nel tempo, ad un determinato determinato istante l’altezza l’altezza infiltrata infiltrata F è all’i all’incirca ncirca costante costante nel bacino. bacino. Diagrammand Diagrammandoo la profondità Z (m) in funzione della capacità di campo C (m) (figura 3.35) 3.35) si ha che: •

la capacità di campo non può essere superiore alla profondità, al massimo può essere Z = C ;

•

se C = 0 è evidente che l’altezza di pioggia infiltrata è nulla;

•

se C t è la capacità di campo all’istante t ed F è l’altezza infiltrata si possono presentare due casi: 1. se F ≤ C t il terreno è saturo; 2. se F >

All’aumentare dell’altezza infiltrata F la capacità capacità di campo al tempo t aumenta e quindi l’area contribuente varia nel tempo: il bacino si comporta come un polmone che si espande e si contrae. In realtà tale modello si occupa solamente della fase di espansione ossia quella di creazione delle piene. Ipotesi probabilistica

L’ulteriore ipotesi su cui si basa il modello è che l’altezza infiltrata F è indipendente dalla distribuzione spaziale della capacità di campo nel bacino, ciò che conta è la sua distribuzione di densità di probabilità f C C (c). Algoritmo di calcolo

Sulla base del modello di comportamento del bacino e dell’ipotesi vista è possibile sviluppare un algoritmo per il calcolo del volume d’acqua immagazzintato nel terreno. 1. Al tempo t la capacità d’immagazzinamento vale: ct = c

dove:

(3.51)


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129

Figura Figura 3.35. Andamento della capacità di campo in funzione dell’altezza d’acqua.

- c : capacità critica che distingue i terreni saturi da quelli non saturi. Il volume d’acqua immagazzinato nel bacino è dato dalla somma integrale delle singole capacità pesate per la loro rappresentatività all’interno del bacino, espressa dalla funzione di densità di probabilità:



S =



c

∞

cf C C (c) dc =

0



cf C C (c) dc + c

0

c



c

∞



f C C (c) dc =

[1

0

− F C C (c)] dc

(3.52)

Noto S è possibile, mediante tale relazione, calcolare c . 2. Si effettua ora un bilancio alla superficie del bacino, in modo da tenere conto che della pioggia che cade una parte ruscella, ruscella, una parte infiltra ed una parte evapotrasp evapotraspira: ira: j = r + f + e

(3.53)

Dal momento che durante gli eventi piovosi l’atmosfera è pressoché satura il contributo dell’evapotraspirazione è pressoché trascurabile, consideriamo quindi solo il tasso: π = r + f

(3.54)

L’incremento infinitesimo di capacità di campo dc corrispondente ad un incremento dt vale: – zona satura: dc = 0 ; – zona non satura: dc = π dt, in quanto tutta l’acqua che cade infiltra. Immaginando un tasso π costante su intervalli di tempo ∆t si ha che : c (t + ∆t ∆t) = c (t) + π∆t

(3.55)

Dal momento che il ruscellamento avviene solamente nella zona satura si ha che:  r = π F C C (c )

·

(3.56)

130


Andrea Lisjak

3. Sempre nell’ipotesi di π costante su intervalli di tempo ∆t il volume d’acqua ruscellato vale:



t+∆t

V R =

t



t+∆t

r(τ ) τ ) dτ = π



F C τ )) dτ = π C (c (τ ))

t



c (t+∆t)

c ( t )

F C C (x) dx

(3.57)

4. La variazione di volume immagazzinato nell’intervallo di tempo ∆t vale: ∆S = π ∆t

− V R

(3.58)

Riepilogando si ha che: 1. S −→ c 2. c −→ r (passo non necessario dal punto di vista del calcolo) 3. r −→ V R 4. V R −→ ∆S Ciclando tra i passi 1, 3 e 4 è possibile descrivere l’andamento del tempo dell’area contribuente, ossia di quella porzione di bacino che contribuisce al ruscellamento. Tale modello ha avuto esclusivamente risonanza teorica teorica in quanto presenta il grosso limite applicativo che necessita della conoscenza diretta della funzione di densità di probabilità della capacità d’immagazzinamento del bacino f C C (c).

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3.3. 3.3.7 7


131

Top Model Model

Il passo successivo è stato quello di considerare come punto di partenza il concetto probabilistico del PDM e di cercare modelli teorici basati su parametri morfometrici del bacino, dipendenti direttamente dalla f C C (c). Una soluzione di questo tipo è stata proposta alla fine degli anni Settanta da Beven con un modello rappresen rappresentante tante l’interazi l’interazione one idrologica a livello livello della superficie del terreno: terreno: tale modello è noto come Top Model ed è quello attualmente più utilizzato. Il Top Model si presenta come una struttura aperta ed è distribuito gratuitamente con un file sorgente scritto in lingu linguaggio aggio Fortran. Fortran. Nel seguito ne verranno verranno esposti i principi principi generali. Assunzioni fondamentali

Il Top Model parte da 3 ipotesi di lavoro. 1. È intuitivo intuitivo pensare che in un bacino idrografico idrografico le zone sature si dispongano attorno attorno alle aste fluviali, fluviali, in quanto esse coincidono coincidono con le emergenze emergenze della falda stessa. Ciascuna Ciascuna di queste zone sature è in equilibrio con una ricarica stazionaria proveniente dal pendio di area contribuente a (figura 3.36). 3.36).

Figura 3.36. Top Model: ipotesi 1.

2. La tavola d’acqua è subparallela alla superficie in modo tale che il gradiente idraulico efficace sia uguale uguale alla penden p endenza za superficiale superficiale locale tan β (figura 3.37). 3.37). La dinamica della zona satura può essere approssimata mediante rappresentazioni successive stazionarie della zona satura su un’area a drenante in un punto del pendio.

Figura 3.37. Top Model: ipotesi 2.

3. Il profilo di trasmissività può essere descritto da una funzione esponenziale del deficit di immagazzinamento, con un valore T 0 quando il terreno è saturo sino in superficie (deficit nullo) (figura 3.38). 3.38).

132


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Figura Figura 3.38. Top Model: ipotesi 3.

Flusso stazionario nella zona satura e indice topografico

Sotto le ipotesi viste in ogni punto i del pendio la portata unitaria sotterranea in zona satura può essere descritta dalla seguente equazione: qi = T 0 tan β exp( β exp(−Di /m) /m) (3.59)

dove:

- Di : deficit di immagazzinamento locale per unità di superficie [L] - m: parametro parametro che controlla controlla la velocità velocità di dimin diminuzion uzionee della trasmissività trasmissività all’aumentar all’aumentaree del deficit di immagazzinamento, - T 0 e tan β : valori locali riferiti al punto i. Poi sotto l’assunzione che, in ogni momento, esista un flusso quasi stazionario attraverso il terreno, assumento un tasso di ricarica r spazialmente omogeneo verso la tavola d’acqua, si può scrivere: (3.60)

qi = ra

Combinando le due equazioni è possibile derivare una formula per ciascun punto che metta in relazione la profondità locale della tavola d’acqua all’indice topografico ln(a/ ln(a/ tan β ) in quel punto, punto, al parametro parametro m, alla trasmissività locale satura T 0 ed al tasso di ricarica r: Di =

−m ln

 

ra = T 0 tan β

a −m ln T 0 tan − m ln r β

(3.61)

Si noti che quando il terreno è saturo il deficit locale è nullo e come il terreno si asciuga e la tavola d’acqua scende i valori numerici del deficit di immagazzinamento aumentano. Un’espressione per il deficit medio può essere ottenuta mediando arealmente la somma su tutti i punti interni al bacino: 1 D= A

 −   Ai

i

m ln

ra T 0 tan β

=

−

1 m ln r + A

 −   Ai

i

m ln

a T 0 tan β

(3.62)

Assumendo r spazialmente costante si può scrivere una relazione tra tr a la profondità media della tavola d’acqua, la profondità locale della tavola d’acqua, le variabili topografiche e la trasmissività satura:

 −  

Di = D + m γ

ln

a T 0 tan β

(3.63)


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133

dove: - ln(a/T ln(a/T 0 tan β : indice topografico di Beven ; γ =

1 A



Ai ln

i

a T 0 tan β

(3.64)

È possibile definire un valore medio di tramissività areale : ln T e =

1 A



(3.65)

Ai ln T 0

i

L’equazione (3.63 ( 3.63)) può essere riarrangiata in: D





− Di = − λ − ln a m tan β

+ [ln T 0

− ln T e]

(3.66)

dove: - λ = (1 ( 1/A /A))



i

Ai ln(a/ ln(a/ tan β ): costante topografica del bacino

Tale equazione esprime la deviazione che esiste tra la profondità media della tavola d’acqua nel bacino (deficit) e la profondità locale della tavola d’acqua (deficit) in ogni punto in termini di deviazione dell’indice topografico dalla sua media areale, e la deviazione del logaritmo della trasmissività locale dal suo valore integrale areale. Tale relazioen è scalata mediante un parametro m. Indice topografico come indice di similarità idrologica

L’implicazione dell’equazione (3.63 ( 3.63)) è che in ciascun punto del bacino con il medesimo valore dell’ indice topografico : I T = ln

  a T 0 tan β

si prevede che rispondenderà idrologicamente in maniera simile. Non è quindi necessario eseguire i conti per ciascun punto dello spazio ma solo per diversi valori dell’indice topografico. Nella maggiorparte delle applicazione del Top Model la distribuzione dell’indice topografico viene discretizzata cretizzata in un certo numero di increment incrementii rappresen rappresentant tantii appropriati appropriati percentuali percentuali del bacino: bacino: una volta valutata la distribuzione dell’indice topografico sul bacino è possibile costruire delle classi comprese tra dei valori prefissati ( I T 1, I T 2 , . . . ) e successi successivvament amentee attribuir attribuiree ad ogni ogni classe classe l’area Ai della superficie di bacino bacino avente avente indice indice topografico compreso. compreso. Si può quindi costruire costruire un istogramma istogramma di frequenza frequenza delle aree aventi indice topografico all’interno di tali intervalli (figura 3.39). 3.39). Adimensi Adimensionali onalizzand zzandoo poi tali aree Ai rispetto all’area del bacino idrografico Ab si ottiene un diagramma di frequenze relative confrontabile con una funzione di densità di probabilità . Ad ogni passo, quegli incrementi con elevati valori dell’indice topografico vengono predetti come saturi o avent aventii basso deficit d’immagazzin d’immagazzinamen amento. to. I calcoli calcoli per ciascun ciascun incremento incremento vengono completati completati con una componente di zona non satura. Derivazione dell’indice topografico

L’analisi della topografia del bacino è richiesta ai fini della derivazione della funzione di distribuzione di a/ tan β . Al fine di otte ottene nere re valo valori ri discre discreti ti di a/ tan β è necessario effettuare un campionamento della topografia. Attualmente viene utilizzata una tecnica computerizzata basata per la derivazione della funzione di distribuzione distribuzione dell’indice dell’indice topografico basata sulla divisione del bacino in unità di sottobacino sottobacino.. Ogni unità viene poi discretizzata in piccoli elementi locali di pendio sulla ase dei percorsi di flusso dominanti. Esistono Esistono poi altre tecniche tecniche più evolute basate sull’utilizzo sull’utilizzo di DTM.

134


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Figura 3.39. Top Model: Model: istogr istogramm ammaa di frequ frequenz enzaa delle delle aree aree in funzi funzione one dell’i dell’ind ndice ice

topografico.

Umidità del terreno: flussi in zona non satura

La struttura base del terreno può essere utilizzata per modellare varie descrizioni di processi che avvengono in zona non satura. satura. Una formulazione formulazione assume che l’immagazz l’immagazziname inamento nto nella zona delle radici per ogni valore dell’indice topografico sia svuotata solo dall’ evapotraspirazione , e che l’acqua sia aggiunta allì’immagazzinamento della zona non satura solo dopo che la zona delle radici ha raggiunto la capacità di campo . Il drenaggio è assunto essenzialmente verticale ed il flusso di drenaggio per unità di area qv viene calcolato per ogni classe dell’indice topografico. Una forma spesso utilizzata è: S uz uz qv = (3.67) Di td

dove: - S uz immagazzinamen amento to [L] nella zona non satura (drenaggio (drenaggio per gravità); gravità); uz : immagazzin - Di : deficit di immagazzinamento locale per drenaggio a gravità e dipendente dalla profondità locale della tavola d’acqua [L]. Schematizzazione del processo di infiltrazione

È possibile analizzare il Top Model con la seguente schematizzazione del singolo elemento (figura 3.40). 3.40). Con riferimento alla figura 3.40 si supponga un’intensità di pioggia j , nel sottosuolo sottosuolo si posson p ossonoo individuare individuare 4 zone ideali: 1. zona di immagazzinamen immagazzinamento to a livello livello delle radici; 2. zona non satura costituita dai pori più piccoli; 3. zona in cui si ha il flusso di ricarica della falda, costituita dalla frazione più grossolana; 4. zona satura al di sotto della falda. Se il deficit diminuisce a livello di bacino si hanno sempre maggiori contatti fra la superficie topografica e la falda; inoltre l’immagazzinamento viene ad essere legato al deficit stesso con la sostituzione di T ( T (D) con K 0 (D): – se j > K 0 allora r = j − K 0; – se j < K 0 allora r = 0.


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135

Figura 3.40. Top Model: schematizzazione del singolo elemento.

Finché non viene raggiunta la capacità massima del suolo di immagazzinare l’acqua ( S r < S r, r,max ) si ha che il tasso d’infiltrazione vale: (3.68) f = min( j,K min( j,K 0 ) e quindi l’immagazzinamento vale: S r (t + ∆t ∆t) = S r (t) + f ∆ f ∆t

(3.69)

Una volta che la capacità di immagazzinamento massima del terreno è stata raggiunta l’ infiltrazione profonda I comincia a ricaricare la falda: – se S r < S r max allora I = 0; – se S r

≥ S r max allora I = f .

Con il Top Model la superficie del bacino viene distinta in due porzioni: 1. porzione porzione che produce dirttamente dirttamente ruscellamento ruscellamento di tipo hortoniano hortoniano ( D = 0); 2. porzione porzione che produce ruscellament ruscellamentoo per annu annullame llamento nto del deficit. Il Top Model può essere suddiviso in 2 moduli: 1. un modulo complesso complesso che controlla controlla il ruscellame ruscellamento nto a scala locale mediante il modello di Horton o ad area contribuente (?); 2. un modulo di trasporto secondo secondo i concetti concetti dell’idrogramm dell’idrogrammaa unitario. È evidente che rispetto al metodo CN-SCS il Top Model permette, in quanto maggiormente legato alla fisica del sistema, di seguire anche una successione di eventi piovosi oltre che il singolo evento. Varianti al modello base

Esistono numerose varianti al Top Model con le quali tener conto di ulteriori processi idrologici, tra le quali: •

è possibile prevedere un modulo che calcoli l’acqua che arriva alla sezione di chiusura del bacino in seguito al deflusso di base dovuto all’esaurimento delle falde sotterranee ; in questi casi è possibile valutare la portata di base in termini di deficit d’immagazzinamento medio del bacino: Qb = Q0 exp

−  D m

(3.70)

136


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Figura Figura 3.41. Top Model: schematizzazione dell’intero bacino idrografico.

•

•

è possibile prevedere un modulo che calcoli l’acqua che arriva alla sezione di chiusura del bacino per effetto dello scioglimento delle nevi ; è possibile prevedere un modulo che calcoli le perdite nel bacino dovute all’ evapotraspirazione ; in questi casi si utilizza una formula come quella di Penman.

La versioni attuali del Top Model usano due serbatoi per rappresentare la zona non satura, uno rappresentante gli immagazzinamenti per intercezione e dovuto alle radici, per il quale viene calcolato un deficit aggiuntivo dovuto all’evapotraspirazione, e un magazzino di drenaggio che controlla la ricarica della zona satura. La rappresentazione dell’infiltrazione può essere anche inclusa nel modello mediante approcci più esplicitamente fisici (esempio Horton).

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3.4

3.4. Idrogramma Unitario Istantaneo Geomorfologico

137

Idrogra Idrogramma mma Unita Unitario rio Istan Istantane taneo o Geomorfo Geomorfolog logico ico

Esistono situazioni in cui è necessario conoscere la risposta idrologica di un bacino, rappresentabile dall’idrogramma unitario istantaneo (IUH - Instantaneous Unit Hydrograph), in tempi relativamente brevi e quindi prescindendo dall’esecuzione di misure di precipitazione e di portata. I primi modelli di questo tipo sono stati proposti verso la fine degli anni Settanta e i primi anni Ottanta. Dal momento che essi permettono la ricostruzione della risposta idrologica in termini di IUH basandosi esclusivamente sulla morfologia del bacino e quindi su dati topografici vengono detti Idrogrammi Unitari Istantanei Geomorfologici (GIUH Geomorfological Instantaneous Unit Hydrograph). Il problema della determinazione dello GIUH è stato affrontato dai primi ricercatori che hanno studiato tale problema (Gupta e Rodriguez–It Rodriguez–Iturbe) urbe) secondo secondo due punti di vista differenti. differenti.

3.4.1 3.4.1

Approcc Approccio io basato basato sul sul metodo metodo di Horton Horton–Str –Strahle ahlerr

Tale approccio al modello è stato per la prima volta pubblicato nel 1979 sulla rivista Water Resources Resources Research . Esso parte da una serie di concetti fondamentali:

 tempo di residenza nel bacino;  ordinamento del reticolo idrografico secondo il metodo di Horton–Strahler;  interazione debole tra le particelle d’acqua. Tempo di residenza nel bacino

L’idrogramma unitario istantaneo può essere interpretato come una funzione di densità di probabilità avente come variabile aleatoria il tempo di residenza nel bacino (detto anche anche tempo di risposta): risposta): una quantità quantità d’acqua piovuta in un punto qualsiasi del bacino ha una densità di probabilità u(t) di uscire al tempo t dalla sezione sezione di chi chiusura usura del bacino. L’aleatoriet L’aleatorietàà del processo processo sta nel fatto che non è noto a priori il punto da cui parte il percorso della gocciolina di pioggia verso la sezione di chiusura.

Figura Figura 3.42. Funzione di densità di probabilità associata al tempo di residenza nel bacino.

Ordinamento del reticolo idrografico secondo il metodo di Horton–Strahler

Il bacino idrografico viene rappresentato mediante un reticolo di canali ordinato secondo il metodo di Horton–Strah Horton–Strahler. ler. Esso è quindi caratterizzat caratterizzatoo dai parametri RB , RL ed RA e da canali di ordine ω = 1, . . . , Ω.

138


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Interazione debole tra le particelle d’acqua

La pioggia che dà luogo a ruscellamento (ossia la pioggia efficace, valutata mediante uno dei metodi visti in precedenza) è schematizzabile mediante n particelle particelle identich identiche, e, avent aventii cioè ugual massa, debolmente debolmente interagenti tra di loro. Il tempo di residenza della particella i-esima dipende dal suo percorso verso la sezione di chiusura:



T i =

ti,k

(3.71)

k∈percorso

dove: - T i : tempo di residenza della particella i-esima; - ti,k : tempo parziale di percorrenza della particella i-esima del tratto parziale k − esimo appartenente al percorso; percorso; in maniera simile a quanto visto per il modello cinematico o della corrivazione si può assumere: ti,k =

Lk vk

(3.72)

dove: - Lk : lunghezza del tratto parziale k − esimo; - vk : velocità media di percorrenza del tratto k − esimo, considerata come una caratteristica propria del tratto e non del numero di particelle che lo percorre (ipotesi di interazione debole). Interazione debole tra le particelle

Bisogna innanzitutto procedere alla scomposizione del bacino e del reticolo idrografico tenendo presente il metodo di ordinamentodi Horton–Strahler. 1. Il bacino viene suddiviso in: vengono individuati individuati in base all’ordine all’ordine di Horton–Strah Horton–Strahler; ler; −→ canali cω (ω = 1,1 , . . . , Ω): vengono aree elementari contribuenti contribuenti rω : rappres rappresen entan tanoo tutti tutti i percors percorsii al di fuori fuori della rete di canali canali −→ aree permane permanent ntee (prati, (prati, tetti, tetti, strade, strade, . . . ), l’ordi l’ordine ne ω dell’area è uguale a quello del canale a cui afferisce; si noti come nella determinazione dell’area di ordine ω di debba seguire un procedimento leggermente diverso da quello visto nel metodo di Horton–Strahler: essa comprende esclusivamente l’area che afferisce al solo canale di ordine ω e non le aree a monte afferenti a canali di ordine inferiore; deve essere: Ω



rω N ω = Ab

(3.73)

ω =1

dove: - N ω : numero di aree di ordine di ω; - rω : area media delle aree di ordine ω .

2. Tutti i possibili percorsi fisici della pioggia efficace per arrivare alla sezioen di chiusura vengono riassunti, in base all’ordinamento di Horton–Strahler nella seguente maniera: se consideriamo consideriamo un bacino bacino idrografico idrografico di ordine Ω = 4 si hanno 8 possibili percorsi: (a) (b) (c) (d)

−→ c4 −→ S ; r3 −→ c3 −→ c4 −→ S ; r2 −→ c2 −→ c3 −→ c4 −→ S ; r2 −→ c2 −→ c4 −→ S ; r4


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139

Figura 3.43. Determinazione delle aree elementari rk .

(e) r1 −→ c1 −→ c2 −→ c3 −→ c4 −→ S ; (f) (f ) r1 −→ c1 −→ c3 −→ c4 −→ S ;

(g) r1 −→ c1 −→ c2 −→ c4 −→ S ;

(h) r1 −→ c1 −→ c4 −→ S .

3. Dal momento che il tempo di residenza è assunto come una variabile aleatoria, la probabilità che venga venga seguito seguito il percorso s − esimo è data da: ps = πr pr→c pc→c . . .

·

·

·

(3.74)

dove: - πrω : probabilità che una particella cada nell’area elementare r; essa è direttamente proporzionale al’estensione delle aree di ordine ω : πrω = N ω

· Arωb

(3.75)

- prω →cω : probabilità che ci sia il passaggio della particella dall’area rω al canale cω ; dal momento che aree di ordine ω afferiscono solamente a canali di ordine ω si ha: πrω →cω = 1

(3.76)

- pcω →cω >ω : probabilità che ci sia il passaggio della particella da un canale ad un altro canale di ordine maggiore; sia dato per esempio un bacino di ordine Ω = 4 e sia N 1 il numero di canali di ordine 1, si possono presentare i seguenti casi si trasferimento di una particella da un canale di ordine 1 verso altri canali: 

(a) c1 −→ c2 con m1 numero di canali di ordine 1 che afferiscono a canali di ordine 2: pc1 →c2 =

m1 N 1

(3.77)

(b) c1 −→ c3 con m2 numero di canali di ordine 1 che afferiscono a canali di ordine 3: pc1 →c3 =

m2 N 1

(3.78)

140


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(c) c1 −→ c4 con m3 numero di canali di ordine 1 che afferiscono a canali di ordine 4: pc1 →c4 =

Deve essere inoltre:

m3 N 1

(3.79)



(3.80)

ps = 1

Determinazione dello GIUH

Il tempo di residenza nel bacino relativo al percorso s − esimo vale:



T s =

(3.81)

T k

k ∈percorso

Il tempo di residenza nel bacino ovviamente dipende dal percorso seguito, tuttavia in termini formali è possibile scrivere: (3.82) T B = δs · T s



k ∈p.p.

dove: - p.p.: percorsi possibili; - δs è la delta di Dirac.

La probabilità che il tempo di residenza di una particella sia inferiore a T B vale: prob(T prob(T b < t) t) =



prob(T prob(T s < t) ps

·

s∈p.p.

(3.83)

L’idrogramma unitario istantaneo essendo una funzione di densità di probabilità è la derivata della funzione di probabilità cumulata: d (3.84) u(t) = prob(T prob(T b < t) t) dt

dopo alcuni passaggi passaggi si ottiene: ottiene: u(t) =



ps [f 1 f 2 . . . fΩ ]

s∈ p.p.

dove:

· ∗ ∗

(3.85)

- ∗: integrale di convoluzione; - f k : funzioni funzioni di densità densità di probabilità dei tempi di residenza all’interno all’interno dei singoli singoli elementi. elementi. Ipotizzando che le funzioni di densità di probabilità siano espresse in forma esponenziale (figura 5.3(b)): 5.3(b)): (3.86)

f k = λk exp( λk t)

−

le convoluzioni assumono un’espressione semplificata: k

 ∗  

f 1 f 2 . . . f k =

∗ ∗

dove: cjk =

cjk exp( λjt λjt))

−

j =1

k j =1 λj

k i=1∧i =j (λi

− λj )

(3.87)

(3.88)

Dal momento che nella maggiorparte dei casi si lavora con un tempo discreto è possibile sviluppare un algoritmo di calcolo per la risoluzione di tale problema.

Andrea Lisjak


141

Velocità media nei canali e di ruscellamente superficiale

I valori della costante λk sono legati al tempo di residenza delle singole particelle nel k−esimo elemento. La lunghezza media dei canali di ordine ω è data da: ω −1 Lω = L1 RL

(3.89)

Se vc è la velocità media di trasferimento nei canali allora il tempo medio di percorrenza di un canale di ordine ω è dato: Lω tω = (3.90) vc

Se il k − esimo elemento è costituito da un canale di ordine ω allora si può assumere: λk =

1 vc = Lω tω

(3.91)

La velocità media di trasferimento lungo le falde versanti vr è invece di un ordine di grandezza più piccolo rispetto a quella di trasferimento trasferimento nei canali (0,1 m/s contro 1–1,5 1–1,5 m/s). Ipotizzando Ipotizzando di adottare per le aree 3.44) si ha che la distanza percorsa lungo il versante dell’area rk una schematizzazione rettangolare (figura 3.44) r di ordine ω è pari a: Bw rω Lrω = = (3.92) 2

2Lw

Se il k − esimo elemento è costituito da un’area di ordine ω allora si può assumere: λk =

1 trω

=

vr rω = Lrω 2Lω vr

(3.93)

Figura 3.44. Schematizzazione rettangolare delle aree rk .

Soluzione di Rodriguez

La soluzione soluzione di Rodriguez Rodriguez parte dalle seguenti seguenti ipotesi: 1. medesima medesima velocità di trasferimento trasferimento V per ogni canale di ordine ω ed ogni superficie r; 2. approssimaz approssimazione ione triangolare triangolare dello GIUH (figura 3.45); 3.45); tale forma di idrogramma idrogramma unitario istantaneo istantaneo è caratterizz caratterizzato ato da due parametri: – tc : tempo al colmo; – u : valore massimo; esso definisce anche il tempo tB in quanto:



tB

0

u(t) dt =

tB u =1 = 2

·

⇒

tB =

2 u

(3.94)

142


Andrea Lisjak

Figura 3.45. Soluzione di Rodriguez: idrogramma unitario istantaneo triangolare.

Partendo da un bacino idrografico ordinato secondo il metodo di Horton–Strahler ed eseguendo una serie di elaborazioni statistiche Rodriguez ha ricavato le seguenti espressioni per la determinazione dei parametri tc e u : tc =

· 

1, 31 R0L,43 0,55 RB

u = 0, 44

· ·  RA

−1

·

V LΩ 0,38 R− L

(3.95)

· LV Ω

(3.96)

Soluzione di Rosso

A partire dai parametri del bacino idrografico RB , RL , RA e LΩ la soluzione di Rosso definisce definisce i parametri parametri n e k dello IUH di Nash :

  − 

(3.97)

 

(3.98)

1 u(t) = Γ(n Γ(n)

t k

n−1

t k

exp

La costante di tempo degli n serbatoi lineari è pari al tempo di percorrenza dell’ultimo canale scalato per una certa quantità che dipende dalla forma della rete: k = 0, 0 , 70

RA RB RL

0,48

LΩ V

Il numero n di serbatoi lineari non dipende né dall’area del bacino Ab né dall’ordine Ω del bacino bensì solo dall’articolazione della rete idrografica: n = 3, 29

  RA RB

0,78

0,07 RL

(3.99)

Andrea Lisjak

3.4.2 3.4.2


143

Approcc Approccio io basato basato sulla sulla funzi funzione one di di ampiezza ampiezza

Tale approccio al modello si deve a Gupta, Waymire e Rodriguez–Iturbe. Funzione di ampiezza della rete idrografica

Tale metodo di determinazione dell’idrogramma unitario istantaneo geomorfologico prescinde da qualsiasi forma di ordinamento del reticolo idrografico e dall’analisi di ciò che avviene sui versanti . Esso Esso si si ba basa sa esclusivamente sulla descrizione del reticolo mediante una funzione di ampiezza .

Figura Figura 3.46. Determinazione della funzione di ampiezza di un bacino.

Si definisce funzione di ampiezza del reticolo idrografico N ( N (x) il numero di canali che si trova ad una distanza x dalla sezione di chiusura S del bacino, tale distanza non viene misurata in linea d’aria bensì con riferimento ad un’ascissa curvilinea lungo gli assi dei canali (figura 3.46). 3.46).

Figura 3.47. Funzione di ampiezza di un bacino (qualitativa).

Ipotesi di base

L’ipote L’ipotesi si di base base di tale approccio approccio è la seguent seguente: e: per tutti i pun punti ti distan distanti ti x dalla sezione di chiusura la densità di probabilità g(t; x) che la goccia d’acqua immessa nel bacino alla distanza x esca al tempo t è la medesima. La variabile aleatoria associata a tale distribuzione è il tempo di percorrenza T p,x da x ad S . Con riferimento alla figura 3.48 si può dimostrare dimostrare che: g (t; x + y) = g (t; x) g  (t; y )

∗

(3.100)

144


Andrea Lisjak

Figura Figura 3.48. .

Dal punto di vista operativa risulta opportuno utilizzare delle funzioni di densità di probabilità che godano della condizione di semigruppo , ossia tali che il risultato della convoluzione sia una funzione della stessa forma di quelle in ingresso: •

distribuzione impulso di Dirac;

•

distribuzione gamma incompleta;

•

distribuzione normale.

L’idrogramma unitario istantantaneo è pari alla convoluzione di tutte le funzioni di densità di probabilità lungo le aste: u(t)

≡

1 f ( f (t; 0) = Z

dove:



∞

N ( N (x)g (t; x) dx

(3.101)

0

- Z : lunghezza totale della rete idrografica; -

 

∞

0

∞

0

g (t; x) dt = 1 N ( N (x) dx = Z

In pratica si pesano le densità di probabilità locali con il numero di canali che stanno a quella distanza (figura 3.49). 3.49).


Distribuzione impulso di Dirac

Utilizzando la distribuzione impulso di Dirac si ha:

 − ∗  −   − 

δ t

x v

δ t

y v

=δ t

x+y v

(3.102)

Andrea Lisjak


145

Se si ipotizza che tutta la rete 4 venga percorsa da con la medesima velocità v allora il modello che si ottiene è proprio quello cinematico. cinematico. Se le funzioni funzioni di densità densità di probabilità probabilità sono costituite costituite dall’impulso dall’impulso di Dirac allora il modello diventa di tipo deterministico: è certo certo che la goccia goccia immessa immessa alla distanza distanza x esca alla sezione di chiusura al tempo x/v in quanto la densità di probabilità è infinita.

Figura 3.50. Funzione impulso di Dirac.

Distribuzione gamma incompleta

La distribuzione gamma incompleta o di Pearson del III tipo è la seguente: 1 g (t; x) = k Γ(x Γ(x)

·  −  t k

x−1

exp

t k

(3.103)

Tale distribuzione non viene tuttavia utilizzata in quanto g (t; x) dipende da x e quindi dalla dimensione della rete, il che risulta in contraddizione col fatto che il numero di serbatoi lineari dipende solo dall’articolazione della rete idrografica. Distribuzione normale

La distribuzione normale è la seguente: g(t; x) =

√

x

4πDt 3

exp

−

(x

ct)2 − ct)

4Dt



(3.104)

Affinchè i parametri c e D siano adimensionali deve essere: c = [LT [ LT −1 ]D = [L [ L2 T −1 ]

(3.105)

Si dimostra che tale distribuzione è soluzione dell’approssimazione parabolica delle equazioni di moto vario nei nei canali canali (paragrafo (paragrafo 5.2.3). 5.2.3). Tale modello presenta due vantaggi: 1. parte da una descrizion descrizionee della rete che prescinde prescinde dal suo ordinamento ordinamento;; 2. i coefficienti c e D sono legati ad un processo fisico come la propagazione dell’onda di piena in una rete idrografica (paragrafo 5.2). 5.2).

4

In realtà è sufficiente che la velocità sia costante con la distanza x.

146


Andrea Lisjak

Risoluzione numerica del problema

Consideriamo l’espressione dello IUH definita da: 1 u(t) = Z



∞

(3.106)


0

e la funzione funzione di densità densità di probabilità gaussiana: gaussiana: g (t; x) =

√

x

4πDt 3

exp

−

(x

Ct )2 − Ct) 4Dt



(3.107)

Si noti come in questa formulazione g(t; x) diventi a parametro t e variabile x. N ( N (x) è una funzione costante a tratti, in quanto quanto la sua determinazion determinazionee avviene per passi spaziali costanti costanti (ad esempio di 50 m), e definita definita da valori reali a valori interi. L’integrale può quindi essere scomposto nel seguente modo: 1 u(t) = Z



x1



x2

N ( N (x)g(t; x) dx +

0

dove:



L

N ( N (x)g (t; x) dx + . . . +

x1

1 = Z

  

L

g (t; x) dx

N i

i=1

xi

N ( N (x)g(t; x) dx =

...

xi



1

−

- N i = N ( N (x) per xi−1 ≤ x ≤ xi . Dal momento che per t = 0 la funzione g (t; x) non è definita si impone u(0)=0.

(3.108) (3.109)

3.5. Esercizi

Andrea Lisjak

3.5 3.5 3.5.1 3.5.1

147

Eser Eserci cizi zi Determi Determinaz nazion ione e dei parame parametri tri di Horton–St Horton–Strah rahler ler del fiume Cellina Cellina

Si vuole determinare: – rapporto di biforcazione RB ; – rapporto di lunghezza RL ; – rapporto di area RA mediante mediante il metodo della densità densità di drenaggio; drenaggio; del reticolo idrografico del fiume Cellina, con i dati riportati in tabella 3.4. Tabella 3.4. Parametri di Horton–Strahler relativi al reticolo idrografico del fiume Cellina.

ω

n

Ltot (km)

L (km)

1 2 3 4 5 6 7 8

9.171 2. 2.195 492 110 25 8 2 1

633,25 259,73 89,29 54,55 40,23 14,98 22,60

0,29 0,53 0,81 2,18 5,03 7,49 22,60

Determinazione del rapporto di biforcazione

Interpolando linearmente i punti riportati in figura 3.51 e calcolando la pendenza della retta ( tan ϕ) si ottiene: RB = exp(tan ϕ) = 0, 26 10,00

8,00

6,00

n g 4,00 o l

2,00

0,00 0

1

2

3

4

5

6

7

-2,00

Figura Figura 3.51. Determinazione del rapporto di biforcazione.

8

9

148


Andrea Lisjak

Determinazione del rapporto di lunghezza

Interpolando linearmente i punti riportati in figura 3.52 e calcolando la pendenza della retta ( tan ϕ) si ottiene: RL = exp(tan ϕ) = 1, 99 2,50

2,00

1,50

1,00

0,50 L n l

0,00 0

1

2

3

4

5

6

7

-0,50

-1,00

-1,50

-2,00

Figura 3.52. Determinazione del rappporto di lunghezza.

Determinazione del rapporto di area

La determinazione determinazione del rapporto di area viene effettuata effettuata a partire dalla densità di drenaggio. Definendo Definendo β = RL /RB = 7, 7 , 60 e Ω = 8 si ha: Ω

RA = RB

· β Ω β 1 − 1 = 1, 99 −

(3.110)

3.5. Esercizi

Andrea Lisjak

3.5.2 3.5.2

149

Determi Determinaz nazion ione e dello dello GIUH del del torren torrente te But

Si vuole determinare l’idrogramma unitario istantaneo geomorfologico, secondo l’approccio GWR, relativo al torrente But, con sezione di chiusura alla confluenza nel fiume Tagliamento, nell’ipotesi di funzione di densità di probabilità normale (equazione 3.53), 3.53), noti che siano: – la funzione di ampiezza a passo spaziale costante ∆x = 0, 0 , 5 km (figura 5.3(b)); 5.3(b)); – l’area del bacino idrografico: Ab = 300 300 km2 ; – la portata al colmo di piena: 700m3 /s; – la pendenza media dell’asta principale: if = 0, 0 , 01; – la larghezza larghezza media dell’asta principale: principale: B = 0, 2 km; – la velocità media di trasferimen trasferimento to dell’acqua dell’acqua sui versanti: versanti: vv = 0, 1 m/s; – la velocità media nei canali: vc = 2 m/s; 35

30

25

20 ) x ( N

15

10

5

0 0

5

10

15

20

25

30

35

Distanza x dalla foce (km)

Figura Figura 3.53. Funzione di ampiezza del torrente But.

Stima dei parametri c e D

La lunghezza della rete idrografica vale:



N

Lmax

Z =

N ( N (x) dx =

0



N

N i ∆xi = ∆x ∆x

i=1



N i = 327, 327, 8 km

i=1

La densità di drenaggio del bacino idrografico vale: DD =

Z Ab

−1

≈ 1 km

Il tempo di corrivazione corrivazione del bacino può essere essere stimato stimato come somma del tempo di percorrenza dei versanti versanti e del tempo di percorrenza percorrenza dell’asta principale: principale: T c = tv + tc =

0, 5 km L + vv vc

≈ 1, 5 + 4,4, 5 ≈ 6 h

150


Il parametro di celerità vale: c=

L T c

Andrea Lisjak

km//h ≈ 5, 4 km

Il coefficiente di diffusione D può essere stimato mediante l’approssimazione di Hayami: D

Q = 0, 63km2 /h ≈ 2Bi f

Determinazione dell’idrogramma unitario istantaneo

L’idrogramma unitario istantaneo è dato da: 1 u(t) = Z



Lmax


0

Tale integrale viene risolto numericamente sia perché la funzione N (x) è data a passo costante sia perché la g(t; x) non è integrabil integrabilee analiticame analiticamente. nte. Si ha quindi: quindi:

 

1 u(tj ) = Z i

N

xi

N i

=1

xi

1

−

x tj

1 exp 2πσtj

√

−  −   1 2

x

2

ctj

σtj

dx

j = 1, 1, . . . , M

dxi

j = 1, 1, . . . , M

dove: - σtj =



2Dtj

Approssimando l’integrale della g (t; x) mediante rettangoli si ottiene: N



1 u(tj ) = Z i

=1

xi N i ∆x t

1 exp 2πσ tj

√

−  −   1 2

xi

ctj

σtj

2

Calcolando u(t) con una scansione temporale di mezz’ora per un tempo complessivo di 15 ore ed imponendo u(0) = 0 si ottiene uno GIUH il cui andamento è rappresentato in figura 3.54. 0,4

0,35

0,3

0,25 ) 1 ^ h ( ) t ( u

0,2

0,15

0,1

0,05

0 0

2

4

6

8

10

12

Tempo (h)

Figura Figura 3.54. Idrogramma unitario istantaneo geomorfologico del torrente But.

14

Parte II

Idraulica fluviale

151

Capitolo 4

Moto permanente nelle correnti a pelo libero 4.1 4.1


Si tratta essenzialmente delle correnti idriche che percorrono i corsi d’acqua naturali (fiumi, torrenti) o i canali artificiali (di bonifica, di irrigazione, di fognatura, di impianti idroelettrici, di navigazione interna). Queste correnti sono caratterizzate dall’avere la parte superiore della superficie di contorno non a contatto con una parete parete solida, solida, bensì bensì con un gas, gas, che che nel nella la più grande grande general generalità ità dei casi casi è l’atmo l’atmosfe sfera. ra. Questa Questa superficie si dice superficie superficie libera libera o pelo libero libero, essa è una superficie superficie isobarica isobarica ( p = cost), almeno se si considerano tronchi di corrente non eccessivamente estesi.

4.1. 4.1.1 1

Ipote Ipotesi si

Studio a grande scala

Lo studio delle correnti a pelo libero viene effettuato su grande scala, non andando quindi ad indagare su ciò che avviene puntualmente (per lo studio dei cui fenomeni si rendono necessarie le equazioni di NavierStokes). Stokes). Invece Invece quindi di ragionare ragionare in termini termini di forze e sforzi si ragiona in termini di energia (grandezza scalare) e quantità di moto (grandezza vettoriale). Correnti lineari o gradualmente variate

Salvo situazioni eccezionali, in genere limitate a brevi tratti di corrente e che andranno esaminate caso per caso con apposita trattazione, si fa riferimento al caso delle correnti correnti lineari o gradualmente variate : esse sono caratterizzate da una trascurabile curvatura delle singole traiettorie e quindi da una distribuzione sensibilmente idrostatica della pressione in ogni sezione trasversale. Ne consegue che l’intersezione di una generica sezione trasversale con la superficie libera risulta una retta orizzontale . È possibile quindi parlare della quota del pelo libero di una generica sezione e definire un profilo longitudinale del pelo libero della corrente , o più semplicemente profilo del pelo libero, come linea d’intersezione della superficie libera col cilindro a generatrici verticali contenente una generica traiettoria (il quale si discosterà assai poco da un piano verticale). Teoria unidimensionale

Lo studio del moto può essere condotto secondo la teoria unidimensionale, con riferimento cioè ad una sola coordinata spaziale : l’ascissa curvilinea s misurata misurata lungo una traiettoria. Ne consegue consegue che del vettore velocità v si considera solamente la componente componente assiale e si trascurano le componenti orizzontali e verticali nel piano della sezione. Tale teoria viene inoltre ulteriormente semplificata semplificata ipotizzando che la pendenza dell’alveo in cui si muove la corrente, corrente, e quindi la pendenza di tutte le traiettorie e del profilo del pelo libero, siano trascurabili, trascurabili, sicché 153

154

Capitolo 4. Moto permanente nelle correnti a pelo libero

Andrea Lisjak

le sezioni trasversali possano assimilarsi, senza sensibile errore, a piani verticali . Tale ipotesi ipotesi risulta risulta ben accettabile in quanto valori tipici di pendenza dei corsi d’acqua sono: - lungo i fondo valle: 1/100; - lungo i conoidi: 1/1.000; - lungo le pianure alluvionali: 1/10.000. Così facendo si possono inoltre prendere le componenti orizzontali di spostamento e di velocità al posto di quelle lungo l’ascissa della traiettoria: if =

− ddzsf ≈ − ddzxf vs ≈ vx

(4.1)

Andrea Lisjak

4.2

4.2. Caratteristiche energetiche della corrente in una sezione

155

Caratter Caratterist istic iche he energetic energetiche he della della corrent corrente e in una sezione sezione

Si fissi l’attenzione l’attenzione su una generica generica sezione trasversal trasversalee di una corrente. corrente. Sia assegnata la geometria della sezione, in modo che l’area Ω della parte di essa occupata dalla corrente ( area bagnata o area della sezione liquida) possa considerarsi funzione nota dell’altezza y misurata a partire dal punto più basso del contorno: (4.2)

Ω = Ω(y Ω(y )

Il carico totale della corrente vale: H = zf + y + α

V 2 = h + hc 2g

(4.3)

- quota geodetica del fondo: zf ; - profondità della corrente: y; - carico o altezza piezometrica : h = zf + y ; - carico o altezza cinetica : hc = αV 2/(2g (2g )

 

- V : velocità media nella sezione trasversale: V = Ω v dΩ /Ω = Q/ Q/Ω Ω - α: coefficiente di Coriolis; serve a tener conto della non uniforme distribuzione della velocità nella sezione sezione trasversale trasversale.. Nel seguito si ipotizzerà ipotizzerà sempre α = 1. Si definisce energia specifica specifica della corrente nella sezione considerata il carico totale misurato rispetto al fondo dell’alveo: V 2 Q2 E = y + α =y+α = H − zf (4.4) 2 2g

2g Ω

Figura Figura 4.1. Carico totale ed energia specifica.

4.2.1 4.2.1

Port Portata ata asseg assegna nata ta

Supponiamo prefissata la portata Q della corrente. Tale portata può muoversi attraverso l’assegnata sezione trasversale trasversale per ogni valore valore dell’altez dell’altezza za y e quindi dell’area bagnata Ω compreso tra lo zero ed il massimo consentito dalla sezione: aumentando y , e quindi Ω, diminuirà la velocità media V della corrente e viceversa. Ne risulta che l’energia specifica è una funzione univoca univoca dell’altezza y : E = E (y)

(4.5)

156


Andrea Lisjak

- Se la profondità y diminuisce, tendendo a zero, tende a zero l’area Ω, aumenta e tende all’infinito la velocità V , e quindi l’energia specifica E tende all’infinito. - Se la profondità y aumenta, tendendo all’infinito, tende all’infinito l’area Ω, diminuisce e tende a zero la velocità V e quindi il carico cinetico, di conseguenza l’energia specifica E tende a ridursi alla sola parte piezometrica y , ma con essa cresce pure indefinitamente. La curva dell’energia specifica E (y) deve quindi avere un asintoto coincidente con l’asse delle E e un altro asintoto obliquo nella retta coincidente con la bisettrice del quadrante, di equazione E = y. Ne conse consegue gue che, essendo la E (y ) positiva, essa deve presentare un minimo per un ben determinato valore positivo di y.

Figura 4.2. Curva dell’energia specifica E = E (y ).

La condizione di minimo si trova imponendo: dE =1 dy

−

Q2 2 2g Ω 3

=0 · dΩ dy

(4.6)

Incrementando di dy l’altezza y l’incremento di area bagnata vale dΩ = B · dy + k( dy)2 e quindi, a meno di infinitesi di ordine superiore in dy , si ha dΩ/ dΩ/ dy = B , con B = B (y ). Il minimo di E si ha quindi per quel valore di y per cui risulta: Ω3 Q2 = B g

(4.7)

Il valore di y che soddisfa la relazione 4.7 viene indicata con yc e si dice altezza critica . Stato critico

Dicesi altezza critica di una corrente a pelo libero di assegnata portata Q, quell’altezza yc per cui risulta minima l’energia specifica E rispetto al fondo dell’alveo. Dicesi stato critico della corrente quella particolare condizione in cui essa viene a trovarsi quando la sua altezza assume valore critico.

Andrea Lisjak


157

Dicesi velocità critica V c la velocità media corrispondente corrispondente allo stato critico. critico. Dalla relazione relazione 4.7 si ha: Q2 Ωc =g 2 Ωc Bc

V c2 =

(4.8)

Poiché il rapporto ym = Ω/B rappresenta genericamente la profondità media della corrente ed indicando con ymc il valore che ym assume assume in corrispondenz corrispondenzaa dello stato critico, critico, la relazione relazione 4.8 può scriversi come: V c =

√g · ymc

(4.9)

Figura Figura 4.3. Profondità media della corrente.

Sezioni rettangolari

Nel caso delle sezioni rettangolari la trattazione risulta estremamente semplice dal punto di vista analitico. Si può fare riferimento in questo caso ad una portata unitaria , per unità di larghezza dell’alveo: q=

Q B

(4.10)

Essendo Ω = By , si ricava subito dalla 4.7 che: yc =

 

(4.11)

√g · yc

(4.12)

3

Q2 = gB 2

3

q2 g

e dalla 4.9, essendo in ogni caso Ω/B = ym = y : V c =

Il valore minimo dell’energia specifica può infine essere ricavato dalla 4.4: E min min = E c = yc +

yc 3 = yc 2 2

(4.13)

Nel caso particolare della sezione rettangolare si ha dunque che, in corrispondenza dello stato critico, un carico cinetico pari alla metà dell’altezza della corrente ed un’energia specifica pari a 3/2 della profondità stessa. Sezioni di forma generica

Poiché vale la relazione 4.9, 4.9, per una sezione di forma generica si può scrivere: E c = yc +

ymc 2

(4.14)

158


Andrea Lisjak

Figura Figura 4.4. Sezione rettangolare.

Correnti veloci e correnti lente

Ogni punto della curva E (y ) rappresenta una particolare corrente di portata Q. Il punto di minimo divide la curva in due tratti. - il tratt trattoo a sinistra del punto di minimo rappresenta correnti che hanno un’altezza y minore dell’altezza critica yc e quindi una velocità media V maggiore della velocità critica V c : correnti veloci ; - il tratto a destra del punto di minimo rappresenta correnti che hanno un’altezza y maggiore dell’altezza critica yc e quindi una velocità media V minore della velocità critica V c : correnti lente .

Figura Figura 4.5. Correnti veloci e correnti lente.

4.2.2 4.2.2

Energi Energia a specifica specifica assegna assegnata ta

Tutte le considerazioni viste, ed in particolare quelle relative allo stato critico, possono essere anche riprese osserva osservando ndo i fatti da un altro pun punto to di vista. Sempre Sempre assegnata assegnata la sezione sezione trasversale trasversale prefissiamo prefissiamo il valore dell’energia specifica E della corrente, e studiamo come varia la portata Q al variare dell’altezza y . I limiti di variabilità della y sono, in queste condizioni, lo zero e la stessa E , non potendo il carico piezometrico superare quello totale.


Andrea Lisjak

159

Conviene risolvere l’equazione 4.4 rispetto a Q:



Q = Ω 2g (E

La portata Q si annulla in due casi:

(4.15)

− y)

1. y = 0: si annulla l’area Ω; 2. y = E : si annulla il carico cinetico e quindi la velocità. Variando y tra questi due limiti, i valori della portata Q devono dunque passare per un massimo.

Figura Figura 4.6. Andamento della portata Q in funzione della profondità y della corrente.

Imponendo Imponendo la condizione di massimo :

 −  −

dQ = dy

2g (E

y)

·

dΩ dy

−



gΩ

2g(E

− y) = 0

(4.16)

e moltiplicando ambo i membri per 2g (E y) (che è non nullo in quanto sicuramente la soluzione non è y = E ) e ricordando che dΩ/ dΩ/ dy = B , si ottiene: y = E

− 2ΩB = E − y2m

(4.17)

Ma si riconosce dalla 4.14 che questa condizione si ha proprio in corrispondenza dello stato critico ; e si trova quindi che la portata massima compatibile con l’assegnata energia specifica E si ha proprio quando y = yc . Ne consegue una seconda definizione dell’altezza critica: dicesi altezza critica di una corrente di assegnata energia specifica E rispetto al fondo dell’alveo, quell’altezza a cui corrisponde il massimo valore della portata. Sezioni rettangolari

Nel caso particolare di sezioni rettangolari ( ym = y e Ω = By ), l’altezza critica vale: yc = E

− y2c = 23 E

(4.18)

e il valore massimo della portata :

√

Qmax = Qc = By c gy c =



2 √ BE 3 3

2gE

(4.19)

160


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Esempio di sezione trapezia

(a) Portata nulla.

(b) Portata massima. Figura 4.7. Esempio di energia specifica fissata.

Consideriamo un lago con all’interno dell’acqua ferma, dalla cui sponda esce un canale che si porta via dell’acqua. Si vuole valutare la portata in uscita nei casi in cui: - il canale s’immette s’immette in un altro lago avent aventee la stessa stessa profondità riferita alla sezione sezione dell’incile; dell’incile; - il canale va verso valle senza nulla che faccia aumentare l’altezza della sezione. Il canale è a sezione trapezia isoscele con B0 = 5 m ed m = 2, l’altezza della corrente nel lago è pari a y = E = 2 m rispetto al livello zero definito dall’incile. Nel primo caso il livello energetico è assegnato y = E

Figura Figura 4.8. Sezione A-A’.

ed è costante. La portata è quindi nulla. Nel secondo caso la corrente si adatta alla profondità che preferisce, arriva quindi all’altezza critica: yc = E

− ymc 2

Sostituendo al posto di ymc l’espressione dell’altezza media si ottiene un’equazione non lineare in yc che può essere risolta, ad esempio, per tentativi: 2

yc = E

myc = 1, 45 m − 12 · BB00y+c +2my 2myc

Una volta ricavata l’altezza critica yc la portata si calcola mediante la relazione:



Qc = Ω 2g(E



− yc ) = (B0yc + myc2)

2g(E

37, 63 63,, m3 /s − yc) = 37,

(4.20)

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4.3 4.3

4.3. Alvei a debole pendenza e a forte pendenza

161

Alv Alvei a debol debole e penden pendenza za e a forte forte pende pendenz nza a

Finora ci si è limitati all’esame delle relazioni esistenti tra l’altezza d’acqua, l’energia specifica e la portata per una assegnata sezione trasversale. Si vuole ora estendere l’osservazione ad un tratto di alveo di lunghezza finita , abbracciante la sezione stessa.

4.3.1 4.3.1

Ipotes Ipotesii di moto moto uni unifo form rme e

Viene formulata l’ipotesi che la corrente si muova di moto uniforme, ossia un moto in cui le condizioni trovano in una sezione sono le stesse stesse di quelle quelle che si trovano trovano in qualsiasi qualsiasi altra. Affinché Affinché idrauliche che si trovano ciò avvenga la forma della sezione deve essere sempre uguale e la pendenza del fondo deve essere costante, quindi il canale deve essere di tipo prismatico o cilindrico . Caratterizzazione idraulica del moto uniforme

In condizioni di moto uniforme la velocità media V è legata alle caratteristiche dell’alveo (pendenza, scabrezza, forma della sezione trasversale trasversale)) e della corrente corrente (profondità, (profondità, area bagnata, bagnata, raggio raggio idraulico) idraulico) dalla legge del moto uniforme , che di norma si esprime attraverso la legge di Chézy :

 ·

(4.21)

V 0 = χ R if

dove:

- χ: indice di scabrezza avente le dimensioni della radice di una accelerazione [L1/2 T −1 ], ne consegue che i coefficienti che compaiono nelle formule che la definiscono hanno un valore che dipende dal sistema di riferimento adottato; - if : pendenza del fondo (al posto della cadente J ); ); - R: raggio idraulico, nel caso di sezione trasversale rettangolare : R=

Ω By y = = 2y 1 + 2y/B 2 y/B P B + 2y

(4.22)

La relazione di Chézy può anche essere scritta con l’indice di scabrezza in forma adimensionale :

 ·

V 0 = C g R if

- C : indice di scabrezza adimensionale .

·

(4.23)

La definizione del coefficiente C avvie avviene ne per mezzo mezzo di formu formule le emp empiri irich chee (Bazin (Bazin,, Kutter Kutter,, Strick Strickler ler,, . . . ), che lo pongono in relazione con un altro indice di scabrezza e con il raggio idraulico, formule valide per le situazioni di moto puramente turbolento (come è quello nei canali).

4.3.2 4.3.2

Penden Pendenza za critica critica per sezioni sezioni rettan rettangola golari ri larghe larghe

Consideriamo il caso semplice della sezione rettangolare molto larga, per il quale, essendo B può porre R ≈ y . Si vuole calcolare in questo caso il valore della pendenza critica ic . La relazione di Chézy può essere scritta in termini di portata unitaria:



q = V 0 y = yC gyi f

·

 y allora si (4.24)

da questa è possibile ricavare la profondità del moto uniforme : y0 =

 3

q2 gC 2 if

(4.25)

ed uguagliandola all’altezza critica fornita dalla 4.11 si ricava il valore della pendenza critica : ic =

1 C 2

(4.26)

162


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Si presentano due possibilità: – if < i c : alvei a debole pendenza (y0 > yc ) −→ correnti uniformi lente (V 0 < V c ); – if > i c : alvei a forte pendenza (y0 < yc )

−→ correnti uniformi veloci (V 0 > V c).

Si noti come la pendenza critica dipenda dalla portata ed in particolare diminuisca al crescere di essa. Per rendere evidente evidente questo fatto si consideri consideri la formula formula del moto uniforme di Gauckler-Strickler 1 , ossia la formula di Chézy con indice di scabrezza calcolato secondo Gauckler e Strickler: /

1 2 V 0 = K s R2/3 if

(4.27)

Confrontandola, mediante rapporto con la formula di Chézy con coefficiente di scabrezza adimensionale, si ottiene l’espressione dell’indice di scabrezza secondo Gauckler e Strickler:

√

C gR 1= K s R2/3

=

⇒

K s R2/3 −1/2 K s 1/6 C = R = R g g

√

√

(4.28)

Se la portata è piccola il raggio idraulico è piccolo, per la relazione 4.28 il coefficiente adimensionale di Chézy è anch’esso piccolo e quindi ic è grande. Ciò significa significa che un alveo di assegnata assegnata pendenza if può essere a debole pendenza (corrente lenta) per piccole portate e a forte pendenza (corrente veloce) per portate maggiori.

Figura Figura 4.9. Relazione tra pendenza critica e portata.

Considerand Considerandoo un campo di variabilità ariabilità di C tra 7 e 20 si ottengono valori della pendenza critica dell’ordine −2 di 10 e quindi nelle situazioni pratiche si devono considerare sia alvei a forte che a debole pendenza.

1 Del tutto identica alla formula di Gauckler-Strickler è la formula di Manning , la più diffusa fra i tecnici anglo-americani: sola differenza è che in luogo di K s vi compare il suo inverso K s = 1/n 1 /n, i cui valori, almeno nell’originaria tabellazione, erano riferiti al sistema di misura inglese.

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4.4 4.4

4.4. Carattere cinematico dei due tipi di corrente

163

Carat Caratter tere e cinem cinemati atico co dei dei due tipi tipi di corren corrente te

Lo stato critico delle correnti a pelo libero è stato individuato sulla base di considerazioni considerazioni energetiche energetiche . La distinzione fra correnti lente e correnti veloci non è tuttavia una semplice definizione analitica , bensì è proprio la diversità di comportamento fisico dei due tipi di correnti che è tale da giustificarne la distinzione. La differenza sta soprattutto nelle modalità con cui si propagano le perturbazioni di livello : si riconosce che la celerità di propagazione propagazione delle piccole perturbazioni è superiore alla velocità velocità del movimento movimento nelle correnti lente, inferiore invece nelle correnti veloci.

4.4.1 4.4.1

Celerità Celerità di propa propagazi gazione one delle delle perturba perturbazio zioni ni di livello livello

Si abbia una corrente corrente in un alveo alveo rettangolare, rettangolare, supponiamo supponiamo il moto uniforme (ipotesi comunque comunque non necesnecessaria) di altezza altezza y0 e velocità media V 0 . Ad esso si sovrapponga un’onda positiva di altezza δ, sicché dopo il passaggio passaggio del suo fronte l’altezza risulti y1 = y0 + δ .

Figura 4.10. Propagazione di una perturbazione di livello.

Si definisce celerità assoluta a della perturbazione la velocità con cui il fronte d’onda avanza rispetto all’alveo fisso; si definisce celerità relativa c = a − V 0 la velocità con cui la perturbazione si propaga rispetto alla corrente di base, di velocità V 0 . Si può facilmente dimostrare che, se si considera un δ infinitesimo infinitesimo,, vale vale la seguente seguente espressione espressione di Lagrange : √ (4.29) c = ± gy

Confrontiamo ora il valore della celerità c trovata per le perturbazioni infinitesime con quello della velocità iniziale V della corrente. Correnti lente

Se la corrente è lenta la velocità V è, per definizione, inferiore alla velocità critica, mentre l’altezza y è maggiore dell’altezza critica yc . Confrontando Confrontando l’espressione l’espressione di Lagrange per c con la 4.12 si ha che: V <

√gyc < √gy = |c|

(4.30)

La celerità di propagazione delle piccole perturbazioni in una corrente lenta è maggiore della velocità della corrente. Ne consegue che le piccole perturbazioni provocate in una corrente lenta possono non solo propagarsi √ lungo l’alveo verso valle, con celerità assoluta a = V + gy > 0, ma anche verso monte, con celerità assoluta √ a = V − gy < 0. Immergendo verticalmente un bastone in una corrente lenta si forma attorno al punto di immersione un’onda circolare che si espande sempre circolarmente ma contemporaneamente il suo centro si sposta verso valle con la corrente, ossia con velocità V : il fronte d’onda riesce riesce però a propagarsi propagarsi anche verso monte, monte, seppur con celerità minore che verso valle.

164


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Correnti veloci

Se la corrente è veloce la velocità V è, per definizione, superiore alla velocità critica, mentre l’altezza y è minore dell’altezza critica yc . Confrontando Confrontando l’espression l’espressionee di Lagrange per c con la 4.12 si ha che: V >

√gyc > √gy = |c|

(4.31)

La celerità di propagazione delle piccole perturbazioni in una corrente veloce è minore della velocità della corrente. Ne consegue che le piccole perturbazioni provocate in una corrente veloce non possono che propagarsi √ verso valle, in quanto anche quelle che rimontano la corrente con celerità relativa c = − gy presentano √ rispetto all’alveo una celerità assoluta a = V − gy > 0, e si propagano quindi verso valle. Immergendo Immergendo verticalmen verticalmente te un baston bastone e in una corrente veloce la velocità con cui il centro dell’onda circolare segue la corrente è superiore alla celerità c, e quindi anche il fronte dell’onda diretto contro corrente è costretto a spostarsi spostarsi verso valle. Ne derivano, derivano, per inviluppo inviluppo delle successive successive posizioni posizioni assunte assunte dall’onda circolare, due fronti d’onda rettilinei.

(a) Corrente ferma.

(b) Corrente lenta.

(c) Corrente veloce.

Figura 4.11. Propagazione di piccole perturbazioni.

4.4. 4.4.2 2

Numer Nu mero o di di Fro Froud ude e

Le osservazioni appena fatte possono essere a base di un facile criterio pratico distintivo dei due tipi di corrente. Si definisce numero di Froude il rapporto tra la velocità della corrente e la celerità delle piccole perturbazioni: V (4.32) Fr = √ gy

- F r < 1: correnti lente; - F r > 1: correnti veloci; - F r = 1 : stato critico. Si noti come quanto dimostrato per gli alvei rettangolari sia valido anche per gli alvei con sezione trasversale di forma qualsiasi , sostituendo alla y l’altezza media ym e ricordando che per essi la velocità critica vale √gymc . Dal momento che il tipo di corrente costituisce la condizione al contorno per la valutazione dei profili di moto permanente permanente , in quanto, come si vedrà nel seguito, nel caso di corrente lenta la condizione è determinata dal livello di valle mentre nel caso di corrente veloce la condizione è determinata dal livello di monte, ne deriva che nei due casi si hanno dei profili di aspetto totalmente diverso.

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4.5 4.5

4.5. Correnti in moto permanente. Profili del pelo libero

165

Corre Corren nti in moto moto perman permanen ente. te. Profili Profili del del pelo liber libero o

Consideriamo una corrente in moto permanente permanente con le sole condizioni che la pendenza pendenza sia piccola piccola e le variazioni di sezione piuttosto graduali , sicché la corrente stessa possa considerarsi lineare. La condizione di moto permanente equivale a considerare nulle tutte le variazioni rispetto al tempo (ossia uttavia se tali variazion variazionii sono molte lente lente (ossia ∂/∂t ≈ 0) è possibile comunque analizzare ∂/∂t = 0). Tuttavia approssimativamente il moto come una successione di moti permanenti . Le caratteristiche geometriche possono essere invece funzione dello spazio (ossia y = y (x)) così come quelle dinamiche (ossia V= V ( V (x), Q = Q(x)). Principio di conservazione della massa

Isoliamo un tronco di alveo di lunghezza ∆x compreso tra le sezioni 1 e 2.

Figura Figura 4.12. Tronco di alveo.

Applicando il principio di conservazione della massa o principio di continuità si ha che: dW 12 12 = Q1 dt

(4.33)

− Q2

Poiché si è in condizioni di moto permanente il termine a sinistra della relazione 4.33 è nullo e deve quindi essere: (4.34) Q1 = Q2 =⇒ Q = cost

(a) Nodo.

(b) Afflusso continuo. Figura Figura 4.13. Variazioni di portata.

L’unico caso in cui si può avere una variazione di portata tra le due sezioni 1 e 2 si ha in presenza di afflussi o deflussi deflussi nel tratto considerato. considerato. Esistono Esistono due tipi di afflussi/defl afflussi/deflussi: ussi: 1. nodo : Q3 = Q1 + Q2

2. afflusso/deflusso continuo :



(4.35)

x

Q(x) = Q0 +

0

ql (η ) dη

(4.36)

166


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L’andamento della portata sezione per sezione è quindi noto in ogni caso. Principio di conservazione dell’energia

Figura Figura 4.14. Applicazione del principio di conservazione dell’energia.

Lungo il tronco isolato l’ abbassamento del fondo vale (nell’ipotesi che la pendenza sia piccola): (4.37)

∆z = if ∆x

·

l’abbassamento della linea dei carichi totali vale: (4.38)

∆hf = J ∆x

·

essendo J la cadente , ossia la perdita di carico per unità di lunghezza. Il pelo dell’acqua, ossia la linea piezometrica , potrà essere discendente o ascendente nel senso del moto, anche rispetto all’orizzontale. Applicando il principio di conservazione dell’energia tra le sezioni 1 e 2 si ha quindi: H 1 = H 2 + ∆h ∆hf =

⇒

∆z + y1 +

V 12 V 2 = y2 + 2 +∆h +∆hf 2g 2g

        E1

Da cui si ottiene:

4.5.1 4.5.1

(4.39)

E 2 E 1 = if ∆x

−

E2

− J

(4.40)

Equazio Equazione ne differe differenzi nziale ale del profi profilo lo del pelo pelo libero libero

Se la lunghezza del tronco di alveo isolato tende a zero ( ∆x → 0) allora si ottiene l’equazione differenziale del profilo del pelo libero di una corrente gradualmente variata in moto permanente: dE = if dx

− J

(4.41)

Con questa equazione si esprime il fatto che l’energia specifica totale rispetto al fondo aumenta per l’abbassamento del fondo stesso e diminuisce per effetto delle resistenze. Tenuta presente la definizione di E è possibile scrivere: dy dx

2

= if − J − gQΩ3 dΩ dx

(4.42)

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167

Sempre per un alveo del tutto generico, l’area Ω della sezione bagnata può variare non soltanto perchè varia y ma anche con la x possono variare forma e le dimensioni della sezione trasversale, quindi considerando che Ω = Ω(x, Ω(x, y(x)) si ha:

  − −

dΩ ∂ Ω = dx ∂x

∂ Ω dy ∂ Ω + = ∂y dx ∂x y=cost



+B y =cost

dy dx

(4.43)

La forma più generale dell’equazione differenziale del profilo del pelo libero di una corrente gradualmente variata in moto permanente con portata costante risulta quindi: dy dx

Q2 B g Ω3

1

Q2 ∂ Ω = if gΩ3 ∂x

− J

(4.44)

Tale equazione risulta integrabile per p er qualsiasi tipo tip o di alveo solamente con metodi numerici (metodi spettrali, metodi alle differenze). Si noti come Ω e B siano funzione nota di x e y . Nel caso particolare che l’alveo sia cilindrico si annulla l’ultimo addendo del primo membro e sia Ω che B restano restano funzioni funzioni note della sola y. Alvei cilindrici

Si vuole ora trarre dalla 4.41 indicazioni qualitative circa l’andamento dei possibili profili di moto permanente nel caso di alvei cilindrici, per cui la E risulta funzione funzione di x per il tramite della sola y , ossia E = E (y (x)); si ha quindi:

Si trae dalla 4.41: 4.41:

dE dE dy = dx dy dx

(4.45)

dy if J = dE dx dy

(4.46)

−

Studiando il segno della funzione fratta è possibile valutare l’andamento della profondità della corrente in funzione di x e quindi, di fatto, il profilo del pelo libero. Per quanto riguarda il denominatore si è già visto che:

→ y < yc (correnti veloci): dE/ dy < 0; → y > yc (correnti lente): dE/ dy > 0; → y = yc (correnti critiche): dE/ dy = 0. Per quanto riguarda il numeratore esso si annulla in condizioni di moto uniforme, in quanto in questo caso la linea dei carichi totali risulta parallela al fondo ( if = J ) e si ha di conseguenza dy/ dx = 0, che è appunto la definizione di moto uniforme. Accettando poi per la perdita di carico unitaria l’espressione: J =

V 2 Q2 = C 2 gR C 2 gRΩ gR Ω2

(4.47)

si riconosce che essa è tanto più piccola quanto maggiore è y (con y crescono tutti i fattori del denominatore) e quindi:

→ y < y0: if − J < 0; → y > y0: if − J > 0; → y = y0: if − J = 0. Conviene ora studiare separatamente quel che può avvenire negli alvei a debole e forte pendenza.

168

4.5. 4.5.2 2


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Alv Alvei a debol debole e pende pendenz nza a

Assegnata la portata è possibile ricavare l’altezza del moto uniforme y0 dalla relazione di Chézy (relazione 4.25 per sezioni rettangolari larghe) e l’altezza critica yc dalla relazione 4.7 (relazione 4.11 nel caso di sezioni rettangolari larghe), si troverà y0 > yc . Tracciamo allora due rette parallele al fondo e distanti da esso rispettivamente yc e y0 (quest’ultima corrisponde al profilo del moto uniforme). Queste due rette ed il fondo dell’alveo delimitano 3 zone, entro ognuna delle quali può svilupparsi un profilo di moto permanente.

Figura 4.15. Profili del pelo libero: alvei a debole pendenza.

Profilo D1 - profilo di rigurgito

Per y > y 0 > yc si ha una corrente lenta con altezza superiore a quella del moto uniforme. Sia il numeratore che il denominatore della 4.41 sono positivi e quindi dy/ dx > 0, il che significa che la corrente è ritardata . Se ci si spinge verso monte si trovano valori di y decrescen decrescenti ti e quindi quindi sempre più prossimi prossimi ad y0 ; anche la pendenza del profilo tende a if : il moto uniforme viene raggiunto asintoticamente verso monte. Se ci si spinge verso valle si trovano valori di y crescenti e, teoricamente, possono tendere all’infinito; la resistenza tende con ciò ad annullarsi ed il numeratore del secondo membro della 4.41 tende ad if ; il denominatore invece tende all’unità come si riconosce dal fatto che la E (y ) ha un asintoto nella bisettrice del primo quadrante: dy/ dx tende a if , il che significa che il profilo tende a disporsi orizzontalmente , in quanto il pelo dell’acqua si solleva rispetto al fondo di altrettanto di quanto il fondo si abbassa rispetto all’orizzontale. Profilo D2 - profilo di richiamo

Per y0 > y > yc si ha una corrente corrente lenta con altezza altezza inferiore a quella del moto uniforme. Il numeratore numeratore della 4.41 risulta risulta negativo negativo mentre il denominatore denominatore risulta positivo e quindi dy/ dx < 0, il che significa che la corrente è accelerata . Se ci si spinge verso monte si trovano valori di y crescenti e quindi tendenti ad y0 , valore che viene raggiunto in via asintotica. Se ci si spinge verso valle si trovano valori di y decrescenti e quindi tendenti a yc e il profilo raggiunge lo stato critico con tangente verticale. Profilo D3

Per y0 > yc > y la corrente risulta veloce: si è di fronte ad una corrente veloce in un alveo a debole pendenza. Sia il numeratore che il denominatore della 4.41 sono negativi e quindi dy/ dx > 0, il che significa che la corrente è ritardata . Se ci si spinge verso valle le altezze y crescono e tendono a yc , altezza che il profilo teorico raggiungerebbe con tangente verticale: il profilo è quindi ascendente non solo rispetto al fondo ma anche rispetto all’orizzontale.

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169

Se ci si spinge verso monte le altezze y decrescono: il profilo teorico, dopo aver tagliato il fondo dell’alveo, presenterebbe valori di y negativi, privi ovviamente di significato fisico: con ragionamento analogo a quello svolto svolto per p er il profilo D1 si riconoscere riconoscerebbe bbe l’esistenza l’esistenza di un asintoto orizzontal orizzontale. e. Per riconoscere l’effettivo andamento del profilo in prossimità del fondo , occorre nella 4.41 esplicitare la J . Sup Suppone ponendo ndo per sempli semplicit citàà l’alv l’alveo eo rettan rettangol golare are molto largo ( R ≈ y), adottando l’espressione di Gauckler-Strickler per il coefficiente C : J =

ricordando inoltre che:

q2 q2 = C 2 y 3 g K s2 y 10/3 dE =1 dy

risulta: dy = dx

if

(4.48)

2

− gyq 3 2

− K qy q 1 − gy

2 10/ 10/3 s 2 3

Per y tendente a zero il numeratore è infinito di ordine 10/3, mentre il denominatore è infinito di ordine 3; la frazione tende quindi all’infinito, ed il profilo si dispone verticale .

4.5.3 4.5.3

Alvei Alvei a fort forte e pend penden enza za

Per un’assegnata portata l’altezza del moto uniforme risulta inferiore all’altezza critica: y0 < y c . Si tracciano le rette y = y0 (profilo del moto uniforme) e y = yc , che delimitano, delimitano, col fondo dell’alveo dell’alveo,, 3 zone, entro ciascuna ciascuna delle quali può svolgersi svolgersi un profilo di moto permanente. permanente.

Figura 4.16. Profili del pelo libero: alvei a forte pendenza.

Profilo F1

Per y > yc > y0 si ha una corrente lenta , la sola corrente lenta lenta possibile in alveo alveo a forte pendenza. pendenza. Sia il numeratore che il denominatore della 4.41 sono positivi e quindi si ha dy/ dx > 0. Se ci si spinge verso monte si trovano valori decrescenti delle y, che tendono al valore critico yc , il quale viene raggiunto con tangente verticale : il profilo risulta dunque ascendente rispetto al fondo . Se ci si spinge verso valle , per profondità crescenti teoricamente fino all’infinito, una ragionamento identico a quello svolto per il profilo D1 porta a riconoscere l’esistenza di un asintoto orizzontale .

170


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Profilo F2

Per yc > y > y0 si ha una corrente corrente veloce, con altezza maggiore maggiore di quella quella del moto uniforme. uniforme. Il numeratore numeratore della 4.41 ha il numeratore positivo ma il denominatore negativo e quindi dy/ dx < 0 ed il moto risulta accelerato . Se ci si spinge verso monte le y tendono a yc che il profilo raggiunge con tangente verticale . Se ci si spinge verso valle le y decrescono e tendono a y0 mentre la pendenza del profilo tende a if ( dy/ dx → 0); il moto uniforme viene ripristinato asintoticamente verso valle. Profilo F3

Per yc > y0 > y la corrente è ancora veloce e la sua altezza è inferiore a quella del moto uniforme. Numeratore e denominatore della 4.41 sono entrambi negativi e quindi dy/ dx > 0: moto ritardato . Se ci si spinge verso valle per y crescenti si tende asintoticamente al moto uniforme; la pendenza del profilo tende pure a quella del moto uniforme, sicché il profilo, pur riguardando una corrente ritardata risulta discendente rispetto all’orizzontale. Si ci si spinge verso monte il profilo teorico, dopo aver attraversato il fondo, presenterebbe valori di y negativi, crescenti in valore assoluto, e col solito ragionamento si riconoscerebbe una tendenza ad un asintoto orizzontale.

4.5.4 4.5.4

Osserv Osservazio azioni ni general generalii

Dal confronto dei 6 profili di moto permanente è possibile trarre qualche conclusione di carattere generale. •

•

•

Alvei a debole pendenza : il moto uniforme, che è di corrente lenta, viene sempre raggiunto asintoticamente verso monte. Infatti una perturbazione (scostamento dal moto uniforme), originata in una sezione qualsiasi di una corrente lenta, può risalire lungo l’alveo fino all’infinito a monte. Alvei a forte pendenza : il moto uniforme, uniforme, che è di corrente corrente veloce, viene raggiunto asintotica asintoticamen mente te verso valle. Infatti una perturbazione , originata in una sezione qualsiasi di una corrente veloce, non può che propagarsi verso valle. Allo stato critico si tende sempre : – verso valle: alvei a debole pendenza; – verso monte: alvei a forte pendenza.

•

Dei 6 profili 4 corrispondono a correnti ritardate, mentre 2 a correnti accelerate (questi ultimi si svolgono nell’intervallo di altezze comprese fra quella critica e quella del moto uniforme, indipendentemente dalla pendenza dell’alveo).

4.5.5

Tracciamento racciamento quan quantitativ titativo o dei profili profili di di moto permanen permanente te

Si è visto come i profili di moto permanente siano analiticamente rappresentabili a mezzo di una ODE del I ordine. Per poterla risolvere è necessario definire una condizione al contorno: si impone la condizione che in una determinata sezione x∗ si abbia una determinata determinata altezza y∗ : y (x∗ ) = y ∗

(4.49)

Tale condizione va ricercata in corrispondenza della causa perturbatrice , che provoca, in una certa sezione, un’altezza y diversa da quella di moto uniforme: tale altezza andrà stabilita in base al modo di agire della causa perturbatrice. Si noti come la causa perturbatrice possa esercitare la propria influenza : •

diventa lenta per causa sua): se la corrente è veloce verso monte soltanto se la corrente è lenta (o diventa infatti le perturbazioni si propagano con celerità relativa inferiore alla velocità della corrente e quindi non possono risalire l’alveo;

Andrea Lisjak

•


171

diventa veloce per causa sua): si può dimostrare per verso valle soltanto se la corrente è veloce (o diventa assurdo.

Sulla base di queste considerazioni si può affermare che la condizione al contorno per la precisazione dell’integrale particolare dell’equazione del profilo, e quindi il punto di partenza per il materiale tracciamento del profilo stesso, va ricercata:

→ all’estremo a valle se la corrente è lenta ; → all’estremo a monte se la corrente è veloce . In questa sezione estrema dovrà quindi ritenersi nota l’altezza y∗ determinata dalla causa perturbatrice e quindi sarà noto anche il dislivello y ∗ − y0 rispetto al moto uniforme. Metodo alle differenze finite

Per il tracciamento per punti del profilo di moto permanente conviene scrivere l’equazione differenziale del profilo del pelo libero sostituendo sostituendo incrementi incrementi finiti ai differenziali: differenziali: ∆x =

∆E if J

−

(4.50)

Metodo o alle alle diffe differe renz nzee finit finitee per il trac tracci ciam amen ento to dei dei profil rofilii di moto moto Figura Figura 4.17. Metod permanente.

1. Si suddivide l’altezza del rigurgito y ∗ − y0 in un sufficiente numero di parti ∆yi = yi − yi−1 (non necessariamente uguali, anzi col criterio di adattare la fittezza della suddivisione all’andamento del profilo cercato, che almeno qualitativamente è noto a priori). 2. Per ciascuna delle altezze yi estreme dei singoli intervalli ∆yi si possono calcolare a mezzo della 4.4 (o dedurre dal grafico della curva dell’energia specifica) le corrispondenti energie specifiche E i ; quindi le differenze ∆E i spettanti spettanti a ciascun ciascun intervallo, intervallo, a partire dal più vicino alla causa perturbatrice. perturbatrice. 3. Mentre la if è nota, la cadente J ¯i da attribuire al singolo intervallo viene determinata adottando la formula di Gauckler-Strickler (relazione 4.48 nel caso di sezioni rettangolari larghe) e facendo la media aritmetica delle J riferite agli estremi dell’intervallo. 4. Mediante la 4.50 si calcola la differenza ∆xi , cioè la lunghezza del tronco di corrente lungo la quale l’altezza varia di ∆yi .

172


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Si noti come questo procedimento, pur essendo stato esposto con implicito riferimento agli alvei cilindrici (i soli per i quali si possa parlare di moto uniforme), sia valido in generale . Per un esempio numerico si veda l’esercizio 4.15.1.

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4.6

4.6. Passaggio attraverso lo stato critico. Il risalto

173

Passa Pa ssaggi ggio o attra attrav verso lo stato stato criti critico. co. Il risal risalto to

Per semplicità consideriamo solamente il caso di alvei cilindrici , formati da tratti a pendenza costante . Ci si chiede se è possibile il passaggio passaggio graduale graduale , cioè con profilo profilo continuo continuo, attraverso lo stato critico e in caso affermativo in quali circostanze esso possa avvenire.

4.6.1 4.6.1

Passagg Passaggio io graduale graduale da corren corrente te lenta lenta a corrente corrente veloce veloce

Una corrente che da lenta tenda a diventare veloce dovrà essere accelerata , in modo da raggiungere lo stato critico verso valle con altezze via via decrescenti: il solo profilo di corrente lenta che possa soddisfare questo requisito è il D2. Superato lo stato critico, la corrente, ormai veloce, dovrà ancora essere accelerata e tendere verso valle al moto uniforme: il solo profilo di corrente veloce che possa soddisfare questo requisito è l’F2.

Figura 4.18. Passaggio attraverso lo stato critico: da corrente lenta a corrente veloce.

Cambiamento di pendenza dell’alveo

Affinchè ci sia il passaggio graduale di una corrente da lenta a veloce è dunque necessario un cambiamento di pendenza nell’alveo, da debole a forte. Tale condizione è tuttavia sufficiente : quando l’alveo l’alveo presenta presenta un simile cambiame cambiamento nto di penden p endenza za e non esistano lungo di esso altre cause perturbatrici, perturbatrici, il passaggio passaggio graduale descritto avviene avviene sempre, sempre, perchè avviene spontaneamente . La causa perturbatrice infatti, rappresentata appunto dal cambiamento di pendenza, è situata all’estremo a valle della corrente lenta e a quello a monte della corrente veloce , sicché su entrambe può esercitare la propria influenza, che si estende fino all’infinito. Proprio in corrispondenza della sezione dove avviene il cambiamento di pendenza si stabilisce l’ altezza critica yc .

4.6.2 4.6.2

Passagg Passaggio io graduale graduale da corren corrente te veloce veloce a corren corrente te lenta lenta

Consideriamo il caso di una corrente veloce che tenda a diventare lenta. Essa deve essere ritardata in modo da raggiungere verso valle lo stato critico per altezze crescenti: il solo profilo di corrente veloce che soddisfa questo requisito è il D3, che si svolge in alveo a debole pendenza . Superato lo stato critico, la corrente, ormai lenta, deve ancora essere ritardata in modo da allontanarsi dallo stato critico stesso: stesso: il solo profilo che soddisfa questo requisito requisito è l’F1, che si svolge in alveo a forte pendenza . Cambiamento di pendenza dell’alveo Condizione necessaria per il ricercato passaggio graduale attraverso lo stato critico è un cambiamento di

pendenza da debole a forte. Questa volta però tale condizione condizione non è sufficiente : il cambiamento di pendenza, a valle della corrente veloce e a monte della corrente lenta, non può esercitare alcuna influenza né sull’una né sull’altra.

174


Andrea Lisjak

Figura Figura 4.19. Passaggio attraverso lo stato critico: da corrente veloce a corrente lenta.

La corrente veloce deve essere provocata (nell’alveo a debole pendenza) e condizionata nel suo svolgimento svolgimento da una causa situata a monte , ad esempio una paratoia che obbliga la corrente a passare attraverso una luce battente ad essa soggiacente. Analogamente la corrente lenta deve essere provocata (nell’alveo a forte pendenza) e condizionata nel suo svolgimento da una causa situata a valle, ad esempio un’altra paratoia . È evidente che le due paratoie devono proprio essere regolate in mo do che i due profili di moto permanente da esse provocati raggiungano l’ altezza critica nella sezione dove ha luogo il cambiamento di pendenza ; se si varia di poco l’apertura anche solo di una delle due l’altezza critica viene raggiunta in una sezione diversa da quella del cambiamento di pendenza e quindi non si può realizzare il passaggio graduale attraverso lo stato critico. Il passaggio passaggio graduale graduale di una corrente da veloce a lenta è possibile teoricamente ma con probabilità nulla , perchè subordinato al verificarsi contemporaneo di due circostanze entrambe con probabilità nulla. Risalto idraulico

Il passaggio di una corrente dallo stato veloce a quello lento avviene quindi attraverso una discontinuità , un brusco sollevamento del pelo libero, detto risalto idraulico o salto di Bidone . Questo brusco sollevamento nella sua manifestazione più tipica è accompagnato dalla formazione di un imponente vortice superficiale ad asse orizzontale, che assorbe aria presentandosi schiumeggiante, e dissipa rilevanti quantità di energia.

Figura Figura 4.20. Risalto idraulico.


Andrea Lisjak

175

Interpretazione teorica

L’interpre L’interpretazion tazionee teorica teorica del fenomeno è possibile possibile da ottenere ottenere applicando applicando l’ equazione globale dell’equilibrio dinamico (conservazione della quantità di moto) al breve tronco di corrente che comprende il vortice.

Figura 4.21. Applicazione dell’equazione globale dell’equilibrio dinamico.

Consideriamo un tronco di corrente in alveo cilindric cili ndrico o, compreso fra la sezione 1 che precede immediatamente il risalto e una sezione 2, che lo segue, alla minima distanza necessaria perché si possa considerare ristabilita la linearità della corrente e quindi la distribuzione idrostatica delle pressione. Applichiamo a questo tronco l’equazione globale dell’equilibrio dinamico, proiettandola nella direzione del moto e trascurando : - la componente componente del peso nella direzione stessa stessa (equivale (equivale a supporre che il fondo sia orizzonta orizzontale); le); - la resistenza resistenza dell’alveo. dell’alveo. Le forze da mettere in gioco sono quindi: - le spinte idrostatiche sulle sezioni estreme 1 e 2; - le quantità di moto delle masse che attraversano le sezioni nell’unità di tempo. Si può quindi scrivere: Π1 + M 1 = Π 2 + M 2

(4.51)

La somma della spinta idrostatica Π e del flusso della quantità di moto M è detta spinta totale S della corrente.

Figura 4.22. Generica sezione trasversale dell’alveo.

Consideriamo ora una generica sezione trasversale dell’alveo. Siano:

176


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- Ω: area bagnata; - B : larghezza del pelo libero; - ηG : immersione del baricentro sotto il pelo dell’acqua. La spinta totale può essere scritta come: S = γ



η dΩ + ρQV = γ ΩηG + ρ

Ω

Q2 = S (y ) Ω

(4.52)

Essa risulta funzione univoca di y quando si consideri la portata costante (Q = cost) e la geometria della sezione nota . Dal momento che: - se y → 0 allora S = [0 + ∞] → +∞ - se y → +∞ allora S = [+∞ + 0] → +∞ S (y ) deve presentare un punto di minimo. Il valore di y che dà luogo al minimo di S si ottiene imponendo la condizione: dS =0 dy

Conviene prima esprimere la profondità ηG del baricentro come rapporto tra il momento statico della sezione rispetto al pelo libero e l’area della sezione stessa: ηG =



1 2

η 2 dB Ω

a meno di infinitesimi di ordine superiore si ha quindi: dS = γ dy



2

y dB

2

Q B = γ Ω − ρ 2 = 0 − ρ QΩ2 dΩ dy Ω

di cui si ottiene proprio la condizione che definisce lo stato critico : Q2 B =1 = g Ω3

⇒

Ω3 Q2 = B g

(4.53)

Così come l’energia specifica E anche la spinta totale S ha il proprio minimo in coincidenza con lo stato critico. Alvei a sezione rettangolare

Nel caso di sezione rettangolare la spinta totale vale: 1 Q2 S = γB y2 + ρ 2 By

ed il suo minimo si ha quando: dS = γBy γB y dy

cioè per: y = yc =

2

Q =0 − ρ By 2

  3

Q2 = gB 2

3

q2 g

(4.54)

Il punto di minimo suddivide suddivide dunque dunque anche anche il grafico rappresentant rappresentantee la S (y ) in due rami, di cui uno (per y < y c ) rappresenta situazioni di corrente veloce e l’altro (per y > y c ) situazioni di corrente lenta. In base alla 4.51 le due altezze y1 e y2 delle sezioni che delimitano il risalto devono trovarsi allineate su una medesima parallela AB all’asse delle y: esse sono dette altezze coniugate del risalto.

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177

Figura Figura 4.23. Andamento della spinta totale in funzione dell’altezza della corrente.

Il grafico di figura 4.24 può essere tracciato in base alla 4.52 per una qualsiasi sezione ; esso consente di risolvere il problema della determinazione dell’altezza a valle del risalto nota che sia quella a monte, o viceversa.

Figura 4.24. Altezze coniugate del risalto.

Nel caso di sezione rettangolare è pure agevole la soluzione analitica . Con riferim riferimen ento to ad una strisci strisciaa di larghezza larghezza unitaria, percors p ercorsaa dalla portata q = Q/B , la 4.51 si scrive: 1 2 q2 1 q2 γy 1 + ρ = γy 22 + ρ 2 y1 2 y2

da cui:

y22

− y12 = q2 y2 − y1 = y3 y2 − y1 2

g

y1 y2

c

y1 y2

178


e quindi: quindi: y1 + y2 =

2yc3 y1 y2

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(4.55)

Essa è una relazione simmetrica tra y1 e y2 in cui la portata entra come parametro attraverso l’altezza critica yc . Essa consente di calcolare una qualsiasi delle altezze coniugate del risalto quando sia nota l’altra. Se ad esempio è nota l’altezza y1 , l’equazione di 2◦ grado in y2 fornisce come radice significativa: y1 y2 = 2

−   −   1+

1+

8yc3 y13

=

y1 2

1+

1 + 8F 8 F r12

(4.56)

Nel caso di sezione rettangolare è pure abbastanza semplice il calcolo dell’ energia specifica dissipata nel risalto : E 1

− E 2 = y1 −

q2 y2 + 2g

− 1 y12

1 y22

= y1

3 2 2 − y2 + y2c y2y2−y2y1 1 2

da cui, eliminando yc attraverso la 4.55, si ottiene:

3

E 1

− E 2 = (y24y−1yy21)

(4.57)

Forme di risalto idraulico

In funzione della velocità della corrente in entrata e quindi del suo numero di Froude cambia l’ aspetto esteriore del risalto idraulico: - 1 < F r1  1, 7: il risalto assume un aspetto ondulato ; - 1, 7  F r1  2: il risalto assume l’aspetto di un vortice ad asse orizzontale; - F r1 > 3: il risalto risalto assume assume l’aspett l’aspettoo di un vortice ad asse orizzontale con formazione di un’ onda frangente . Lunghezza del risalto

La lunghezza LR del tronco di corrente interessato dal risalto è un elemento che non si può valutare con precisione perché, mentre è abbastanza ben individuabile sperimentalmente la sezione iniziale , altrettanto non può dirsi per la sezione terminale del risalto stesso. Esistono in letteratura alcuni valori sperimentali sperimentali della lunghezza di risalto, espressi in funzione del numero di Froude F r1 e parametrizzati o rispetto alla profondità di valle y2 o rispetto all’ampiezza del salto y2 − y1 . Tabella 4.1. Lunghezza del risalto.

F r1

LR /y2

2 3 5 10 15 20

4,4 5,3 6,0 6,1 5,9 5,5

LR /(y2

− y1)

7,6 7,2 7,0 6,6 6,2 5,7

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179

Esempio

Consideriamo Consideriamo un torrente torrente di montagna (corrente (corrente veloce) che si getta in un lago (corrente (corrente lenta). Vogliamo ogliamo individuare il punto in cui si forma il risalto applicando la condizione S 1 = S 2 .

Figura Figura 4.25. Determinazione della posizione del risalto.

Supponiamo che le cause pertubatrici a monte siano lontane, in modo da poter assumere a monte del risalto l’altezza di moto uniforme y0 , si trova quindi F r0 e si calcola: y0 y2 = 2 ∗

−   1+

1 + 8F 8 F r02

È possibile quindi seguire il profilo F1 verso monte finché si ottiene un valore di y pari a y2∗ , è questo il punto in cui si forma il risalto. Approssimando il profilo F1 come orizzontale si può scrivere: y1

∗

− if x = y2

y1

∗

− y2 =⇒ x ≈ if

180


4.7 4.7

Andrea Lisjak

Esemp Esempii appli applica cativ tivii

4.7.1 4.7.1

Procedur Procedura a per la determ determina inazion zione e dei profi profili li

1. Trovare l’altezza critica yc . Nel caso di alvei a sezione rettangolare vale la relazione: yc =



q2 g

3

2. Trovare l’altezza di moto uniforme y0 . Nel caso di alvei rettangolari larghi ( R ≈ y ): y0 =

 3

q2

C 2 gi f

y0 =

 

3/5

q

1/2

K s if

Nel caso di alvei rettangolari si deve risolvere l’equazione non lineare in y0 : q

− K sy0

  By 0 B + 2y 2y0

2/3

1/2

if = 0

Determinare se l’alveo è a forte o debole pendenza. 3. Determinare le condizioni al contorno e/o i vincoli interni . 4. Verificare la presenza di un eventuale passaggio da una corrente veloce a monte ad una lenta a valle e quindi la formazione di un risalto idraulico. In caso affermativo ricorrere all’equazione globale dell’equilibrio dinamico. Nel caso di alvei a sezione rettangolare la relazione per le profondità coniugate del risalto idraulico vale: y2 =

y1 2

−   −   1+

1+

8yc3 y13

=

y1 2

1+

1 + 8F 8F r12 F r1 =

q √ y1 gy 1

Trovare la posizione del risalto (nell’ipotesi che esso abbia un profilo verticale) in modo tale che y1 ed y2 siano una coppia di profondità coniugate.

Andrea Lisjak

4.7.2 4.7.2

4.7. Esempi applicativi

181

Presenza Presenza di di una parat paratoia oia piana piana in alve alveii a debole penden pendenza za

Consideriamo l’effetto della presenza in una determinata sezione di un alveo cilindrico, di una paratoia piana, pia na, che che obb obblig lighi hi la corren corrente te a defluire defluire attrave attraverso rso una luc luce. e. La portata portata Q costante in moto uniforme assume l’altezza y0 . Essendo l’alveo a debole pendenza il moto uniforme vi si dovrebbe svolgere in regime di corrente lenta. Condizioni al contorno

Poiché si è in un alveo a debole pendenza la condizione al contorno va ricercata a valle . Dal momento momento che che non è presente nulla si suppone che le eventuali cause perturbatrici siano sufficientemente lontane in modo da poter supporre che il profilo sia asintotico con il profilo di moto uniforme (D1 o D2). Vincoli interni

La luce della paratoia si comporta come un foro in un serbatoio, la portata uscente vale:



q = C v C c a 2gy m

dove:

(4.58)

- C c : coefficiente di contrazione; - C v : coefficiente correttivo per la velocità di approccio; - C Q = C c · C v : coefficiente di portata; - a: altezza della luce della paratoia; - ym : altezza della corrente immediatamente a monte della paratoia. L’altezza della corrente contratta è quindi da ritenere nota e pari a: ye = C Q a

(4.59)

Nella sezione contratta contratta la corrente deve necessariamente essere veloce : dal momento che l’area della sezione stessa e la velocità sono determinate dalla posizione della paratoia, la quale, rispetto alla sezione contratta, è situata a monte, la corrente non può essere lenta altrimenti la paratoia non potrebbe esercitarvi alcuna influenza. Nella stessa sezione contratta l’energia specifica rispetto al fondo vale: E e = ye +

V e2 2g

(4.60)

Essa deve essere maggiore di quella competente al moto uniforme: prima che questo venga ricostituito verso valle la corrente veloce dovrà dissipare più energia che non la corrente uniforme (vedi relazione 4.47) 4.47) e questa quantità in più dovrà essere stata accumulata in precedenza e trovarsi disponibile nella sezione contratta. Supponendo nulla la perdita di carico nell’efflusso, l’altezza ym che si stabilisce a monte della paratoia è subito determinata in base al grafico di figura 4.27 come quella della corrente lenta cui compete l’energia specifica rispetto al fondo E e . Nel caso di alveo a sezione rettangolare si ha: ym =

q2 2 a2 2g C Q

(4.61)

Tracciamento del profilo

Poiché la corrente a monte della paratoia è lenta deve essere ym > y0. Nel tronco di canale a monte si stabilisce un profilo di tipo D1 che è possibile tracciare per punti partendo dal suo estremo a valle dove è nota l’altezza ym .

182


Andrea Lisjak

Figura Figura 4.26. Paratoia in alveo a debole pendenza: profilo del moto.

A valle della paratoia si stabilisce invece un profilo di tipo D3, ossia l’unico di corrente veloce realizzabile in alveo a debole pendenza. Esso può essere tracciato partendo dalla sezione contratta dove è nota l’altezza ye . A valle il profilo D3 tende all’altezza critica la quale però non viene raggiunta a causa dell’intervento di un risalto idraulico che riporta la corrente allo stato lento, ripristinando il moto uniforme di altezza y0 .

Figura 4.27. Parat Paratoia oia in alveo alveo a debole debole penden pendenza: za: ene energi rgiaa specific specificaa ed altezz altezzaa della della

corrente.

Posizione del risalto

Nota l’altezza di valle y0 è possibile possibile calcolare, calcolare, nell’ipotesi di sezione sezione rettangolare rettangolare,, l’altezza l’altezza coniugata coniugata y1 a monte: y1 =

y0 2

−   −   1+

1+

8yc3 y03

=

y0 2

1+

1 + 8F 8 F r02

Il risalto ha luogo proprio in quella sezione in cui il profilo di corrente veloce raggiunge l’altezza y1 .

Andrea Lisjak


183

Aumento dell’area sotto la paratoia

Aumentare l’altezza ye significa traslare verso monte senza deformazione il profilo D3 della corrente veloce e quindi il risalto. Quando l’altezza nella sezione contratta supera il valore y1 coniugato di y0 il profilo D3 scompare del tutto e il risalto risulta addossato del tutto alla paratoia ( risalto annegato ). L’efflus L’efflusso so non è più libero, libero, bensì rigurgitato, e il livello a monte non dipende più soltanto dall’apertura della paratoia bensì anche dal livello che si viene a stabilire a valle, a ridosso di essa.

184

4.7.3 4.7.3


Andrea Lisjak

Presenz Presenza a di una parato paratoia ia piana piana in alvei alvei a forte forte pendenza pendenza

Condizioni al contorno

Poiché si è in un alveo a forte pendenza la condizione al contorno va ricercata a monte . Dal momento che non è presente nulla si suppone che le eventuali cause perturbatrici siano sufficientemente lontane in modo da poter supporre che il profilo sia asintotico con il profilo di moto uniforme (F2 o F3). Vincoli interni

La paratoia origina ancora subito a valle una sezione contratta di altezza ye ; e subito a monte si stabilisce un’altezza ym , che è possibile determinare come in precedenza. Anche in questo caso, subito a monte monte della para paratoia toia , la corr corrente ente risulta risulta lenta : è necessa necessario rio che che ciò avvenga affinché la paratoia possa agire su di essa in modo da procurare quell’incremento di energia specifica occorrente per vincere le maggiori resistenze della corrente a valle (vedi relazione 4.47), 4.47), che si svolge con altezze inferiori a quella del moto uniforme. Tracciamento del profilo

Figura 4.28. Paratoia Paratoia in alveo a forte pendenza: profilo del moto.

Il profilo di moto permanente che si stabilisce a valle con y < y0 è del tipo F3, asintotico al moto uniforme. Lo si può tracciare per punti a partire dalla sezione contratta in cui è nota ye . A monte della paratoia si stabilisce invece un profilo di tipo F1, ossia l’unico di corrente lenta realizzabile in alveo a forte pendenza. Esso può essere tracciato partendo dall’estremo di valle dove è nota l’altezza ym . A monte il profilo F1 tende all’altezza critica la quale però non viene raggiunta a causa dell’intervento di un risalto idraulico che riporta la corrente corrente allo stato veloce, veloce, ripristinando ripristinando il moto uniforme di altezza altezza y0 . Posizione del risalto

Nota l’altezza di monte y0 è possibile calcolare, nell’ipotesi di sezione rettangolare, l’altezza coniugata y2 a valle: y0 y2 = 2

−   −   1+

1+

8yc3 y03

=

y0 2

1+

1 + 8F 8 F r02

Il risalto si ha proprio in quella sezione in cui il profilo di corrente lenta F1 raggiunge l’altezza y2.


Andrea Lisjak

4.7.4 4.7.4

185

Cambio Cambio di di pendenza pendenza con para paratoia toia piana piana

Consideriamo un alveo a debole pendenza a valle di una paratoia che vi determina una corrente veloce con profilo D3. Supponiamo che dopo un tratto più o meno lungo l’alveo diventi a forte pendenza. Siano yo e y0 le altezze di moto uniforme nei due tronchi d’alveo e yc l’altezza critica. Si possono presentare due diverse situazioni a seconda della lunghezza L del tratto d’alveo a debole pendenza: 1. lunghezza minore di quella necessaria ( Lc ) affinché il profilo D3 pervenga allo stato critico; 2. lunghezza maggiore di quella necessaria ( Lc ) affinché il profilo D3 pervenga allo stato critico.

Figura Figura 4.29. Cambio di pendenza con paratoia piana: profilo del moto.

L < Lc

In questo caso la corrente resta ovunque veloce . A valle alle del della la sezione sezione dove dove ha luogo il cambia cambiamen mento to di  pendenza si sviluppa un profilo di tipo F2 o F3 a seconda che y0 sia minore o maggiore dell’altezza raggiunta dal profilo D3. Al limite si può avere in corrispondenza del cambiamento di pendenza proprio l’altezza critica yc , nel cui caso si avrà verso valle un profilo F2, partente proprio da yc . L > Lc

In questo caso la corrente veloce non può svilupparsi fino a yc ma interviene prima un risalto che la trasforma in corrente lenta. lenta. L’altezza L’altezza critica viene quindi a cadere proprio proprio in corrispondenza corrispondenza del cambiame cambiamento nto di pendenza e a monte si ha un profilo D2 fino alla sezione dove ha luogo il risalto. Posizione del risalto

La localizzazione della sezione in cui avviene il risalto non è immmediata in quanto non si conosce a priori nessuna delle due altezze coniugate. Il procedime procediment ntoo da seguir seguiree è: per alcune alcune sezioni sezioni (AM, (AM, BH, . . . ) del profilo profilo di monte monte D3 (o di quello quello di valle) alle) si determ determina inano no le altezze altezze coniug coniugate ate (AM’, (AM’, BH’, BH’, . . . ) e si riportan riportanoo a partire partire dal fondo. fondo. Gli estremi estremi superiori superiori (M’, H’, H’, . . . ) si trova trovano no su una una curva, curva, detta luogo del risalto, che si traccia unendoli “a sentimento”: essa taglia il profilo di valle (o di monte) proprio nella sezione dove avviene il risalto.

186


4.7.5 4.7.5

Andrea Lisjak

Passag Passaggio gio sopr sopra a una una soglia soglia di di fondo fondo

Supponiamo che una soglia di altezza a e di modesta lunghezza interrompa la continuità di un alveo. Energia specifica elevata e/o altezza della soglia piccola

Figura 4.30. Passaggi Passaggio o sopra sopra una soglia di fondo fondo (energia (energia specifica elevata): elevata): profilo profilo del

moto.

Sia E 0 l’energia specifica della corrente in arrivo, supponiamo che nel breve percorso della corrente lungo il raccordo raccordo iniziale della soglia soglia le dissipazio dissipazioni ni siano trascurabili: trascurabili: sopra la soglia soglia si ritrov ritrova la linea dell’energia dell’energia alla medesima medesima quota che a monte monte della soglia. soglia. Ciò significa che l’energia l’energia specifica specifica risulta minore: E 1 = E 0

(4.62)

−a

Analizzando il grafico dell’energia specifica in funzione dell’altezza. •

Alveo Alveo a forte pendenza endenza : la corrente corrente veloce passa dall’altez dall’altezza za y0 del moto uniforme ad un’altezza y1 > y 0 .

Il pelo libero di solleva ed il sollevamento risulta maggiore dell’altezza stessa della soglia. •

Alveo Alveo a debole debole penden pendenza za : la corren corrente te len lenta ta passa passa dal dall’a l’alte ltezza zza y0 del moto uniforme ad un’altezza y1 < y0 . Poiché l’inclinazione della E (y ) è minore di quella della bisettrice degli assi risulta y0 y1 > a.

Il pelo libero della corrente sulla soglia si abbassa .

−

Energia specifica piccola e/o altezza della soglia elevata

In questo caso può darsi che l’energia specifica E 0 della corrente in arrivo non sia sufficiente per farle oltrepassare la soglia. Ciò avviene quando la retta di equazione E = E  = E 0 − a non taglia il grafico della E (y), essendo appunto E  < E c . •

Alveo a debole pendenza : la corrente è costretta a rigurgitare, il suo livello si solleva e con ciò, essendo

la corrente lenta, aumenta l’energia specifica, fino al minimo valore indispensabile. Questo viene raggiunto quando sulla soglia si stabilisce proprio lo stato critico, con altezza yc e carico totale E c rispetto al piano superiore della soglia stessa. Subito a monte avremo un carico totale E 1 = E c + a rispetto al fondo dell’alveo, e corrispondentemente un’altezza y1 > y 0 : un profilo di rigurgito del tipo D1 si estenderà fino all’infinito a monte . Raggiunto lo stato critico sulla soglia, la corrente, sempre accelerando, diventa subito a valle veloce , in quanto le sue condizioni sono determinate proprio dalla soglia (causa posta a monte). Nell’ipotesi che anche al termine della soglia non intervenga sensibile dissipazione di energia, l’altezza y2 subito al piede della soglia è fornita dal grafico della E (y ). Deve seguire un profilo di tipo D3, di corrente veloce ritardata in alveo a debole pendenza, interrotto infine da un risalto che ristabilisce il moto uniforme.


Andrea Lisjak

187

Figura Figura 4.31. Passa Passaggi ggio o sopra sopra una una soglia soglia di fondo fondo (energ (energia ia specific specificaa eleva elevata) ta):: ene energi rgiaa

specifica ed altezza della corrente.

(a) Alvei a debole pendenza.

(b) Alvei a forte pendenza.

Figura Figura 4.32. Passa Passaggi ggio o sopra sopra una una soglia soglia di fondo fondo (energ (energia ia specific specificaa picco piccola) la):: ene energi rgiaa

specifica ed altezza della corrente.

•

Alveo a forte pendenza : anche anche in questo questo caso si stabil stabilisc iscee sulla sulla soglia soglia lo stato critico. critico. Ciò richied richiedee

tuttavia un sollevamento della linea dell’energia anche a monte e quindi un’influenza della soglia sulla corrente in arrivo, ne consegue che questa deve diventare lenta , assumendo subito a monte l’altezza y1 corrispondente al carico totale E 1 = E c + a. Si stabilisce un profilo di rigurgito di tipo F1, di corrente lenta in alveo a forte pendenza, che inizia a monte con un risalto. Varcato lo stato critico sulla soglia, a valle la corrente ridiventa veloce ; ma subito al piede, nell’ipotesi nell’ipotesi che anche allo sbocco non si dissipi energia e quindi il carico totale rispetto al fondo resti E 1, si ha un’altezza y2 < y0 , in quanto in una corrente veloce un aumento di energia corrisponde ad una diminuzione di altezza. Il moto uniforme viene ristabilito asintoticamene verso valle, a mezzo di un profilo del tipo F3.

188


Andrea Lisjak

Passaggio o sopra sopra una soglia soglia di fondo (energia specifica specifica piccola): piccola): profilo profilo del Figura 4.33. Passaggi moto per alvei a debole pendenza.

Figura 4.34. Passaggi Passaggio o sopra sopra una soglia soglia di fondo (energia specifica specifica piccola): piccola): profilo profilo del

moto per alvei a forte pendenza.

4.7.6 4.7.6

Stabiliz Stabilizzazi zazione one di di un risalt risalto o idraul idraulico ico

La determinazione della posizione del risalto serve ad individuare le zone in cui il fondo del canale sarà sottoposto sottoposto a forti sollecitazioni . Essendo Essendo infatti il risalto risalto un fenomeno fortemente fortemente dissipativ dissipativoo esso provoca provoca delle forti perturbazioni di pressione verso il fondo, le quali si trasferiscono al materiale costituente il fondo movimentandolo ed inducendo fenomeni di disgregazione. Consideriamo lo sfioratore di una diga: esso è costituito da una sorta di scivolo che permette di scaricare a valle l’eccesso d’acqua dovuto ad un’onda di piena. Poiché la pendenza di tale scivolo può raggiungere anche il 100 % gran parte dell’energia presente alla sommità si trasferisce a valle, dove dove viene dissipata mediante mediante un risalto, di cui è necessario stabilizzare la posizione al piede dello scivolo. Il risalto tende infatti a spingersi molto a valle in quanto: y2 y3 = 2 

Le possibilità che si presentano sono due.

−    1+

1 + 8F 8F r22

y0 v


Andrea Lisjak

189

1. Approfondire la vasca di una quantità a in modo tale che: y0 v + a = y3

2. Creare uno sbarramento, detta controbriglia , di altezza b in modo che: ys + b = y3 =



⇒ b = y3 − ys

Figura Figura 4.35. Stabilizzazione di un risalto idraulico: profilo del moto.

L’altezza ys può essere ottenuta considerando le formule per gli stramazzi : Q = C Q Bs ys



2gy s =

⇒ ys

≈  3 yc 2

A valle della controbriglia si formerà un altro risalto, il quale tuttavia sarà molto più piccolo, in quanto gran parte dell’energia sarà stata già dissipata nella prima vasca.

Figura Figura 4.36. Stabil Stabilizz izzazi azione one di un risalt risalto o idrau idraulic lico: o: ene energi rgiaa specific specificaa ed altezz altezzaa della della

corrente.

190


4.7. 4.7.7 7

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Passa Passagg ggio io fra fra le pile pile di un un ponte ponte

Il processo di movimento in questo caso è del tutto paragonabile a quello visto per il caso della passaggio sopra una soglia di fondo, tuttavia in questo caso: - si mantiene costante l’energia specifica E rispetto al fondo; - varia la portata q per unità di larghezza. Consideriamo una corrente che supponiamo contenuta in un alveo a sezione rettangolare larga B1 , sia Q la sua portata e quindi q1 = Q/B1 la portata per unità di larghezza del canale. Facciamo l’ipotesi che il passaggio tra le pile del ponte avvenga senza sensibile dissipazione di energia (E = cost). Fra le pile la larghezza complessiva della sezione liquida si riduce a B2 < B1 e quindi la portata unitaria aumenta diventando q2 = Q/B2 > q 1 . Piccolo restringimento

Consideriamo separatamente i due casi di alvei a debole e a forte pendenza; siano y0 e y0 le rispettive altezze di moto uniforme. •

Alvei a debole pendenza : poichè a parità di y all’aumentare di q si ha un aumento di E , ne consegue

che per effetto del restringimento: - yc aumenta; - y1 < y0 : la corrente si abbassa . •

Alvei a forte pendenza : in maniera analoga si ha:

- yc aumenta; - y1 > y0 : la corrente si alza .

(a) Profilo del moto.

(b) Energia specifica ed altezza della corrente.

Figura 4.37. Passaggio tra le pile di un ponte (piccolo restringimento).

Si trova quindi lo stesso fenomeno che si era trovato studiando il passaggio sopra una soglia con l’osservazione che: l’aumento ento della della portata unitaria si attua mediante un aumento aumento di velocità velocità al quale  corrente lenta : l’aum corrisponde una diminuzione della quota piezometrica ( y); l’aumento nto del della la portata portata uni unitar taria ia si attua attua med median iante te una dim dimin inuzi uzione one del dell’e l’ener nergia gia vel oce e : l’aume  corrente veloc cinetica, che porta ad un aumento dell’area liquida.


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191

Grande restringimento

Può anche in questo caso succedere che, se il restringimento della sezione è piuttosto rilevante, l’energia disponibile nella corrente in arrivo non sia sufficiente a superare l’ostacolo. Interviene un rigurgito che realizza subito a monte del ponte p onte una corrente lenta con carico totale E 1 > E 0 . In particolare la corrente si porta ad un livello energetico pari al minimo valore indispensabile per il passaggio fra le pile, ossia quel valore per cui il passaggio si realizza allo stato critico con altezza: yc1 =

Il valore dell’energia è quindi pari a: E 1 =

 3

q22 g

3 yc1 2

Il valore di y1 è ottenibile risolvendo l’equazione non lineare: 3 2

 3

q22 q2 = y1 + 1 2 g 2gy 1

Figura Figura 4.38. Passa Passaggi ggio o attrav attravers erso o le pile pile di un ponte ponte (forte (forte restri restringi ngimen mento) to):: ene energi rgiaa

specifica specifica ed altezza della corrente corrente per alvei alvei a debole pendenza. pendenza.

•

Alvei a debole pendenza : il rigurgito provocato dal ponte si estende fino all’infinito a monte, secondo

un profilo di tipo D1. La corrente, attraversato lo stato critico fra le pile, diventa veloce subito a valle, con altezza y2 deducibile dal grafico di figura 4.38, nell’ipotesi che anche allo sbocco la dissipazione di energia sia trascurabile trascurabile.. Segue un profilo D3, di corrente corrente veloce, che termina termina con un risalto, a valle del quale si ristabilisce il moto uniforme . •

Alvei a forte pendenza : subito subito a mon monte te del ponte si ha un profilo profilo di tipo F1, di corrent correntee lenta, lenta, che che inizia con un risalto, a monte del quale si ha il moto uniforme della corrente veloce.

A valle del ponte, subito dopo lo sbocco, la corrente veloce ha altezza y2 < y0, ed il moto uniforme viene ristabilito asintoticamente, a mezzo di un profilo di tipo F3. Condizione di non attraversamento della profondità critica

La condizione affinché in assenza di perdite non si verifichi l’attraversamento della profondità critica è che l’energia specifica della corrente indisturbata sia maggiore od uguale all’energia specifica critica per la

192


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Figura 4.39. Passaggi Passaggio o attravers attraverso o le pile di un ponte (forte (forte restringimen restringimento): to): profilo profilo del

moto per alvei a debole pendenza.

Figura 4.40. Passaggi Passaggio o attravers attraverso o le pile di un ponte (forte (forte restringimen restringimento): to): profilo profilo del

moto per alvei a forte pendenza.

portata assegnata: y0 1 +

q12 2gy 02 1

 ≥ 3 2

3

q22 g

Il numero di Froude della corrente indisturbata vale: F r0 =

V 0 q1 = √gy √ y0 1 gy0 1 01

(4.63)


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e quindi la 4.63 diventa: F r02 1+ 2

−

3 2

  F r0 B1 B2

193

2/3

(4.64)

≥0

Nel caso di uguaglianza, ad ogni valore del rapporto di restringimento B2 /B1 corrispondono due soluzioni positive per i numeri di Froude F r0 , che si indicano come numeri limite F L : F L < 1 e F L > 1. La corrente si mantiene ovunque lenta nel passaggio attraverso il restringimento se risulta F r0 ≤ F L ed analogamente ovunque veloce veloce se F r0 > F L . Il diagramma di figura 4.41 rappresenta l’andamento delle soluzioni F L in funzione del rapporto di restringimento B2 /B1 . Si individuano 3 campi: 1. il moto avviene avviene in condizione condizione di corrente corrente sempre lenta: moto subcritico ; (equivale al caso dell’alveo a debole pendenza con piccolo restringimento); 2. il moto avviene avviene in condizione condizione di corrente corrente sempre veloce: moto supercritico ; (equivale al caso dell’alveo a forte pendenza con piccolo restringimento); 3. il moto avviene con transizione attraverso la profondità critica: - 3 : alveo a debole pendenza con grande restringimento; - 3 : alveo alveo a forte pendenza con grande restringimen restringimento. to.

Figura 4.41. Andamento delle soluzioni F L in funzione del rapporto di restringimento.

Valutazione del rigurgito per il moto in condizioni subcritiche

Quando il punto di coordinate assegnate (F r0, B2 /B1 ) cade in campo 1 il rigurgito ∆y, cioè la sopraelevazione del pelo libero a monte del restringimento rispetto alla profondità y0 della corrente indisturbata 2 , si può calcolare con la formula empirica di Yarnell : ∆y = k2 (k2 y0

−

0, 6 + 5F 5 F r02 )

− 1

 − 

B2 + 15 1 B1

B2 B1

4

F r02

dove k2 è un fattore di forma delle pile , i cui valori sono indicati nella figura 4.42.

2

Questo rigurgito non è riportato nel disegno di figura 4.37(a).

(4.65)

194


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Figura Figura 4.42. Fattore di forma k2 delle pile del ponte per la formula di Yarnell.

4.8 4.8

Tracce racce dell’ dell’ond onda a di di pien piena a

Si è già detto nel capitolo 1 che in condizioni di piena risulta estremamente difficoltoso eseguire delle buone misurazioni dirette della portata in un corso d’acqua. d’acqua. Risulta Risulta a tal proposito interessan interessante te valutare valutare le tracce lasciate sulle sponde dalle onde di piena: esse sono formate generalmente o da una striscia di limo depositato o dal segno segno dell’erba piegata. piegata. Tali tracce hanno il vantaggio vantaggio di rimanere ben visibili anche alcuni giorni dopo l’evento permettendone così un rilievo mediante picchettaggi da parte di una squadra topografica.

Figura Figura 4.43. Picchettaggio della traccia dell’onda di piena.

4.8.1 4.8.1

Valutazi alutazione one della della portata portata in condiz condizion ionii di piena piena

Per la valutazione della portata in condizioni di piena è quindi possibile seguire un procedimento di questo tipo. 1. Si riporta in un grafico x − Z l’andamento della quota del fondo Z f f in un funzione della coordinata longitudinale x rispetto ad un sistema di riferimento per le quote, ciò avviene per punti attraverso il rilievo rilievo topografico di una serie di sezioni sezioni trasversali trasversali del canale. 2. Si riportano sullo stesso grafico le altezze altezze dei pun punti ti picchettati picchettati Z P P (x). 3. Noti il coefficiente di scabrezza del canale K s e la condizione al contorno y0 , altezza di monte o di valle a seconda del tipo di corrente, si sfrutta l’equazione del profilo del pelo libero in moto permanente y = y(x; Q, K s , y0 ) (calcolabile alle differenze finite) per trovare la portata Q che minimizza una determinata funzione obiettivo relativa a:

− Z P P

(4.66)

 

(4.67)

ε = y + Z f f

4. Tipi possibili di funzione obiettivo sono: (a) minimi quadrati : min Q

ε2

4.8. Tracce dell’onda di piena

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195

Figura 4.44. Valutazione della portata mediante la traccia dell’onda di piena.

(b) minimax : min (max ε ) Q

4.8.2 4.8.2

||

(4.68)

Valutazi alutazione one di vari variazio azioni ni del coefficient coefficiente e di scabrezz scabrezza a

La differenza esistente tra i punti del profilo calcolati alle differenze finite e i punti calcolati può essere utile, entro certi limiti, per la valutazione di eventuali variazioni di scabrezza del canale nel tratto considerato.

Figura 4.45. Variazione del coefficiente di scabrezza: profilo del pelo libero.

In base alla formula di Gauckler-Strickler si ha che: Q = K s R2/3 ΩJ 1/2

Grazie alla picchettatura del profilo e al rilievo topografico delle sezioni è possibile conoscere Ω, R, y ed entro entro certi limiti J . Rimane incognita la coppia Q, K s . Supponiamo di aver scelto un unico valore di K s1 costante per tutto il tronco di canale considerato ma che in realtà questo passi dal valore K s1 nel primo tratto ad un valore K s2 > K s1 nel secondo (vedi anche relazione 4.26). 4.26). Ciò che che si ottien ottienee è un profilo profilo che ben si adatta ai punti misurati nel primo tratto e male a quelli del secondo. ...

196

4.9 4.9


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Estra Estrapola polazi zion one e della della scala scala dell delle e portate portate

In tratti di alveo in cui è noto il coefficiente di scabrezza K s i profili di moto permanente possono essere utilizzati per tarare la scala delle portate ed estrapolarla per alti valori della portata stessa. Si è visto come in condizione di corrente lenta una perturbazione a valle produca un profilo di tipo D1 o D2 che converge verso monte a quello di moto uniforme. Il procedimento da seguire è il seguente: si fissa una portata Q e si calcola il profilo del moto permanente soggetto ad ipotesi arbitrarie circa la profondità y a valle ( yc , y1 , y2 , . . . ), in questo modo si riesce a determinare determinare alle alle differenze differenze finite il livello livello h corrispondente nella sezione di misura dove è installato l’idrometro ( hc , h1 , h2 , . . . ). Se la dist distan anza za tra sez sezio ione ne a vall vallee e sezione di misura a monte è grande allora i valori di h convergono ad un unico valore (quello di moto uniforme). uniforme). Per ottenere il livello livello corrispondente corrispondente alla portata Q si effettua la media degli h calcolati.

Figura Figura 4.46. Calcolo Calcolo dei profili profili del pelo libero.

Ciò può essere fatto per diversi valori della portata Q ottenendo in tal modo altre coppie (Q, h) da utilizzare per la determinazione della scala delle portate.

Figura 4.47. Estrapolazione della scala delle portate.

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4.10 4.10

4.10. Alvei con sezioni compos posite o con scabrezza eterogenea

197

Alvei Alvei con sezion sezionii co compo mposi site te o co con n scab scabrez rezza za eterog eterogene enea a

La sezione trasversale dei corsi d’acqua a pelo libero è spesso costituita da parti chiaramente diverse tra loro per la forma, la profondità e talvolta anche per la scabrezza. Negli alvei naturali la parte centrale, più profonda, costituisce il letto di magra (K s = 35 ÷ 45 m1/3 s−1 ), mentre le parti laterali si estendono sopra le golene (K s = 15 ÷ 25 m1/3 s−1 in presenza di vegetazione rada) fino agli argini maestri , destinate al contenimento delle portate di piena.

Figura 4.48. Esempio di alveo con sezione composita e scabrezza eterogenea.

4.10 4.10.1 .1

Calco Calcolo lo della della port portata ata tota totale le

Il deflusso deflusso in queste condizioni condizioni avviene con velocità velocità differenti differenti nelle varie varie parti sia per variazione ariazione del raggio raggio idraulico sia del coefficiente di scabrezza. Per il calcolo della portata totale si può scrivere, in base alla legge di Gauckler-Strickler: (4.69) Q = K s ΩR2/3 J 1/2 = K · J 1/2 dove K è detta capacità di convogliamento (conveyance). Dal punto di vista operativo si ipotizza che il livello d’acqua sia orizzontale lungo tutta la sezione e si valutano separatamente i contributi alla portata delle singole sottosezioni in cui si può suddividere l’intera sezione. sezione. La separazione separazione si fa di solito solito mediante rette verticali. verticali. Si può quindi scrivere: scrivere: Q=



Qi =

√

J



K i

(4.70)

i

Le singole capacità di convogliamento riferite alle sottosezioni si possono calcolare una volta che siano noti il coefficiente di scabrezza, l’area della sottosezione ed il raggio idraulico: 2/3

K i = K si Ωi Ri

(4.71)

Per la valutazione del perimetro bagnato delle singole sottosezioni può venire il dubbio se considerare o meno l’interfaccia di separazione liquido–liquido. A tal proposito esistono due possibilità operative: 1. si suppone che le tensioni tangenziali tangenziali all’interfaccia liquida, al pari di quelle all’interfaccia liquido-aria, siano trascurabili e quindi non si considerano tali tratti; 2. alcuni autori sostengono che: •

•

per quanto quanto riguarda riguarda le sottosezioni sottosezioni relative relative alle aree golenali si debba trascurare trascurare tale interfaccia interfaccia in quanto la velocità in tali zone è più piccola di quella del canale principale; per quanto riguarda la sottosezione relativa al canale principale si considera anche tale interfaccia in quanto, essendo le sezioni adiacenti a velocità più bassa, l’attrito non è trascurabile.

198

4.11 4.11 4.11 4.11.1 .1


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Curv Curve e nei nei ca cana nali li Corre Corren nti lente lente

L’effetto di una curva su una corrente lenta è messo in evidenza dalla inclinazione che assume la superficie libera, con una sopraelevazione sulla sponda esterna ed una depressione su quella interna. Lo studio del fenomeno si può condurre in modo semplificato su una curva circolare a fondo piano e pareti verticali assumendo che le velocità dipendano dal raggio di curvatura r come nel vortice irrotazionale irrotazionale .

Figura 4.49. Curva circolare in un canale.

Ogni elemento fluido è soggetto alla forza specifica verticale g dovuta al potenziale gravitazionale e ad una forza centrifuga specifica orizzontale pari a V 2/r. Il pelo libero libero deve perciò perciò assume assumere re una pendenz pendenzaa trasversale per disporsi perpendicolarmente alla risultante di queste due forze. Ne consegue che la pendenza del pelo libero è data da: ∂y V 2 = ∂r gr

ed avendo assunto: V =

con c1 intensità del vortice, si ottiene:

c1 r

∂y c21 = 3 ∂r gr

Figura Figura 4.50. Andamento del pelo libero nella sezione trasversale di una curva circolare.

Integrando questa equazione fra i raggi r1 interno e r2 esterno della curva e le corrispondenti quote del pelo libero y1 e y2 si ha: ∆y = y2

−

c2 y1 = 1 2g

− 1 r12

1 r22

(4.72)

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4.11. Curve nei canali

Essendo V m la velocità sulla curva di raggio medio rm e B = r2 equivalentemente: ∆y = y2

−

V m2 B y1 = g

·

199

− r1

la larghezza del canale si ha

3 rm r12 r22

(4.73)

Formula di Grashof

Con buona approssimazione si può sostituire al raggio medio aritmetico quello medio geometrico, quindi 3 /r 2 r 2 con 1/r , e a V la velocità media V nel nella la sezione sezione.. Si ottiene ottiene in questo modo la formula di rm m m 1 2 Grashof : 2

∆y

≈

V B grm

(4.74)

Essa fornisce una valutazione tecnicamente 3 soddisfacente del dislivello ∆y per rm /B ≥ 1, 5.

4.11 4.11.2 .2

Corre Corren nti veloci eloci

Il caso delle corrente veloci risulta notevolmente più complicato in quanto non essendo tali correnti influenzate da ciò che succede a valle la corrente “urta” violentemente contro le sponde esterne della curva, per cui si creano nel pelo libero dei sovralzi sovralzi che si propagano propagano verso valle valle attaccati alla parete. parete. La trattazione trattazione analitica del problema viene quindi tralasciata.

3 Una tipica tipica applicazio applicazione ne tecnica tecnica che necessita necessita della della conoscenza conoscenza del dislivell dislivelloo del profilo trasversale trasversale è il dimensionamento degli argini . Questo dislivello non viene invece tenuto in considerazione nel tracciamento dei profili longitudinali del pelo libero.

200


4.12 4.12 4.12.1 4.12.1

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Alv Alvei in letti letti alluvi alluviona onali: li: co condi ndizi zion onii di stabil stabilità ità Introd Introduzio uzione ne

I corsi d’acqua naturali assumono una forma che è legata al tipo di sedimento presente sul fondo e sulle sponde e agli aspetti idrologici idrologici che si esplicitano in quel corso d’acqua. Normalmente i corsi d’acqua vengono considerati come qualcosa di fisso e stabile nel loro andamento plano-altim plano-altimetrico etrico;; in realtà così non è: è evidente, evidente, ad esempio, esempio, che per riuscire riuscire a riempire riempire di sedimenti sedimenti le pianure alluvionali i corsi d’acqua devono nel tempo invadere tutta la pianura. L’arginazione di un corso d’acqua equivale a fissarne l’andamento planimetrico e quindi ad impedire alluvionamenti della pianura circostante e ad imporre un alluvionamento selettivo della fascia interarginale. Ne consegue che col tempo il canale compreso tra gli argini maestri si alza e quindi il livello del piano campagna al suo interno diviene più alto di quello esterno. Tale innalzamento per sedimentazione riguarda soprattutto le golene.

Figura Figura 4.51. Arginazione di un corso d’acqua.

Si noti come questo tipo di dinamica fluviale non avvenga solamente alla scala dei tempi geologici (migliaia d’anni) bensì anche a quella che riguarda la vita tecnica delle opere di ingegneria fluviale (decine d’anni). Ne consegue che l’analisi del trasporto solido (valutazione della portata solida e dell’inizio del trasporto al fondo) e dei fenomeni di modellamento dell’alveo e di resistenza siano di grande interesse ingegneristico.

4.12.2 4.12.2

Caratter Caratterizz izzazio azione ne del del sedi sedimen mento to

Densità

Dal punto di vista idraulico la prima caratteristica distintiva dei materiali trasportati dalla corrente è la loro densità ρs . Dimensioni

Ipotizzando di approssimare un granulo con un ellissoide, s’individuano i seguenti elementi: - diametro massimo Dmax: corrisponde corrisponde alla massima massima distanza tra due punti appartenenti appartenenti al ciottolo; ciottolo; - sezione maestra : corrisponde alla sezione di area massima tra tutte quelle ortogonali all’asse massimo; - diametro minimo Dmin : è il diametro minimo tra tutti quelli appartenenti alla sezione maestra; - diametro medio Dmed: è il diametro appartenente alla sezione maestra ortogonale al diametro minimo. La caratterizzazione di un miscuglio di granuli di varie dimensioni avviene mediante la distribuzione granulometrica , corrispondente alla distribuzione di probabilità dei diametri dei granuli all’interno del miscuglio. Dal momento che la sedimentazione in un corso d’acqua non è omogenea, nel campionare i sedimenti per effettuarne effettuarne l’analisi granulometrica granulometrica bisogna stare molto attenti alla rappresentatività del campione . In funzione della dimensione dei granuli la tecnica di analisi granulometrica varia:  limi e argille: aerometria ;

4.12. Alvei in letti alluvionali: condizioni di stabilità

Andrea Lisjak

201

 sabbie e ghiaie: setacciatura (il passaggio attraverso il setaccio è condizionato dal diametro medio

della sezione maestra);  ciottoli: campionamento per numero alla superficie .

La terza tecnica consiste nel misurare direttamente il diametro medio di singoli elementi lapidei campionati a caso. Il prelievo casuale di ciottoli dall’alveo avviene avviene solitamente mediante mediante grigliatura (gridding, quadrillage): si materializza, mediante fili e picchetti, una griglia a maglia quadrata sovrapposta al deposito alluvionale. L’apertura della maglia deve essere maggiore della dimensione massima del masso più grosso presente sul luogo del campionamento, in modo da evitare di prendere in considerazione due volte lo stesso elemento lapideo. Il numero N di nodi deve essere sufficientemente elevato: generalmente per questioni di comodità se ne consid considera erano no 100. Median Mediante te un filo a pio piombo mbo ci si pone nel nodo e si misura misura il masso masso stante stante sulla  verticale. In generale il numero N di diametri misurati è inferiore a quello degli N nodi in quanto capita spesso che il filo a piombo vada a cadere su sedimenti fini affioranti. La percentuale di passante alla più piccola misura ( D ) è data da: p =

N



− N · 100 N

La distribuzione granulometrica degli elementi misurati si ottiene con una tabella del tipo 6.1. 6.1. Tabella 4.2. Distribuzione Distribuzione granulometrica ottenuta mediante campionamento per numero.

k

D

1 2

D1 D2

N 

D

.. .

.. .

% passante (N (N (N

1)/N · 100 − 1)/N 2)/N · 100 − 2)/N

.. .



− N )/N · 100

Per ottenere la distribuzione granulometrica complessiva è necessario necessario riscalare riscalare a p la curva granulometrica ottenuta per i fini. Velocità di caduta in acqua ferma

Strettamente connessa con la dimensione e con la densità della particella è la sua velocità limite ws di caduta libera in acqua ferma . La sua espressione per sfere di diametro ds e densità ρs è: ws =

dove: - C R : coefficiente di resistenza .

1 C R

√

  −  4 3

ρs

ρ

ρ

gd s

(4.75)

202


4.12.3 4.12.3

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Condiz Condizion ionii critic critiche: he: inizio inizio del del trasporto trasporto solid solido o

I primi tentativi empirici di esprimere quantitativamente la condizione di equilibrio del materiale incoerente posto sul fondo di canali percorsi da acque torbide risalgono alla fine dell’Ottocento. La ricerca della larghezza, della profondità e della pendenza necessaria per raggiungere una condizione in cui il deflusso di una data portata mantiene in movimento tutto il carico di materiale solido, senza deposito e senza erosione dell’alveo, richiede di associare all’ equazione del moto della corrente altre condizioni che riguardano appunto il fenomeno del trasporto solido e lo stato di equilibrio del fondo. La prima interpretazione teorica del fenomeno di inizio del trasporto solido si deve a Shields (1936). Condizione critica per il fondo

L’indagine effettuata da Shields fu rivolta ad individuare la relazione che il valore τ cr cr della tensione al contorno τ 0 , ossia quella che provoca il primo movimento del materiale sul fondo, ha con le proprietà µ e ρ del fluido e con le caratteristiche ρs e ds dei granuli. Si definisce condizione critica per il fondo l’inizio di instabilità dell’equilibrio dei sedimenti. Tensione tangenziale sul fondo

Considerando un canale con pendenza if , con una corrente in moto uniforme ed isolando un tronco di lunghezza unitaria, si ha che: - la resistenza agente sul fondo vale ( p: perimetro bagnato): τ 0 1 p

· ·

- la forza agente (peso dell’acqua dell’acqua proiettato lungo la direzione del moto) vale: γ Ω 1 sin if

· · ·

≈ γ · Ω · if

uguagliando i due termini si ottiene il valore della tensione tangenziale agente sul fondo in moto uniforme : (4.76)

τ 0 = γ R if

· · Nel caso di alvei a sezione rettangolare molto larga ( R ≈ y): τ 0 = γ · y · if

(4.77)

Velocità di attrito



Invertendo e applicando la legge di Chézy ( V = C gRi f ) si ottiene: τ 0 = γyi γy if = ρgyif =

da cui si definisce la velocità d’attrito :

V V = = C ∗

ρV 2 C 2



τ τ0 ρ

(4.78)

Formulazio ormulazione ne di Shields: Shields: curva curva di instabilità instabilità

Si suppone che in condizioni critiche la resistenza al moto dei granuli di diametro ds e peso p eso specifico γ s , che dipende linearmente dal peso del granulo immerso (ossia il peso proprio depurato della spinta archimedea) ed è quindi proporzionale a: (γ s

− γ )d3s

uguagli la forza di trascinamento al fondo all’inizio del trasporto: 2 C R τ cr cr ds

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4.12. Alvei in letti alluvionali: condizioni di stabilità

203

Sulla base delle informazioni sperimentali si può ritenere che il coefficiente C R sia funzione, a parità di forma dei sedimenti, di un numero tipo Reynolds costruito costruito con grandezze caratteristic caratteristiche he del moto attorno al granulo: - velocità d’attrito V ∗ ; - diametro del granulo ds ; - viscosità cinematica del fluido ν = µ/ρ. Esso viene detto numero di Reynolds d’attrito : V ∗ ds Re = ν ∗

Ne deriva che:

 

τ cr V ∗ ds cr = f (γ s γ )ds ν

−

Il legame tra Re∗ ed il parametro di stabilità :

τ ∗ =

τ 0 (γ s γ )ds

−

(4.79)

(4.80)

(4.81)

è rappresentato, in condizioni critiche, dalla curva di instabilità di Shields , riportata nel grafico di figura 4.52. 4.52.

Figura 4.52. Curva di instabilità di Shields.

Tale curva è stata ricavata sulla base di numerose esperienze su materiali incoerenti di differente densità, ma sempre con forme pseudosferiche e con granulometria uniforme . Per l’applicaz l’applicazione ione ai letti alluvionali , dal momento che interessa principalmente che non vengano trasportati i ciottoli più grossi, si verifica la condizione di stabilità con il D80 della distribuzione granulometrica. È evidente l’analogia con l’andamento delle curve che rappresentano la dipendenza funzionale del coefficiente di resistenza dal numero di Reynolds nei moti nelle condotte in pressione (diagramma di Moody). Anche in questo caso sono ben visibili due regimi limite : - per bassi Re∗ (fino a circa 2) le particelle restano immerse nello strato dominato dalla viscosità: ∗ τ cr =

τ cr cr (γ s γ )ds

−

(4.82)

è inversamente proporzionale a Re∗ ; ∗ - per alti valori di Re∗ (maggiori di 300-400) la turbolenza è completamente sviluppata e τ cr diventa ∗ indipendente da Re , assestandosi su un valore pari a circa 0,06.

204


4.13 4.13

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Princip Principii di modelli modellistic stica a idraul idraulica ica da da laborato laboratorio rio

Mediante i modelli da laboratorio è possibile studiare fenomeni idraulici particolarmente complessi che non sono possib p ossibili ili da analizzare analizzare mediante modelli fisico-matematici . L’applicaz L’applicazione ione principale principale di tali modelli è relativa alle costruzioni costruzioni idrauliche . Il vantaggio fornito dalla riproduzione mediante modello di un prototipo deriva dalla possibilità di tenere sotto controllo tutte le condizioni dell’esperimento e di misurarne con una certa facilità i principali parametri fisici. È evidente che nella maggior parte dei casi la riproduzione del prototipo in scala reale non è, per questioni di spazio, fattibile. fattibile. Risulta Risulta inevitabile inevitabile quindi la realizzazi realizzazione one di modelli in scala ridotta imponendo una determinata scala di rapporto tra una misura effettuata sul prototipo e la misura analoga effettuata sul modello. Scala geometrica

Si definisce scala geometrica del modello: modello: nL =

xP xM

(4.83)

dove: - xP : misura di lunghezza relativa al prototipo [L]; - xM : misura di lunghezza relativa al modello [L]. Risulta sempre nL ≥ 1, nel caso di uguaglianza si parla di modelli in scala reale . Leggi e condizioni di scala

Una volta definita la scala geometrica bisogna definire le scale per le altre grandezze del modello idraulico: tempo, velocità, velocità, portata, portata, viscosità, viscosità, . . . . Per poter fare ciò bisogna bisogna tenere tenere conto di: •

leggi di scala : sono leggi fisiche valide sempre sia nel modello che nel prototipo;

ad esempio: esempio: legge di gravitazi gravitazione, one, legge legge di resistenza del moto, moto, . . . •

condizioni di scala : sono condizioni che il realizzatore del modello impone;

sono legate ad un giudizio di rilevanza che viene attribuito a particolari gruppi adimensionali che discendono direttamente dal teorema di Buckingham 4 ; nel caso dei problemi idraulici si consideran considerano: o:

√

- numero di Froude: rapporto tra le forze inerziali ( V ) e quelle gravitazionali ( gym ); - numero di Reynolds: rapporto tra le forze inerziali ( V ) e quelle viscose ( ν/4 ν/ 4R). A seconda del fatto che il fenomeno sia dominato da inerzia e gravità o da inerzia e viscosità si pone l’uguaglia l’ugu aglianza nza tra modello e prototipo di uno dei due numeri. numeri. Dalle considerazi considerazioni oni che seguono sulla derivazione di una scala risulterà evidente come la condizione di uguaglianza di entrambi i numeri sia possibile solo nel caso, molto particolare, di modelli in scala reale.

4.13.1 4.13.1

Deriv Derivazio azione ne di una scala scala

Il processo di derivazione di una scala si basa su alcune leggi. - Se una quantità è data dalla somma di due o più quantità allora la scala è data dalla somma delle scale: (4.84) Z = X + X + Y −→ nZ = nX + nY 4 Il teorema di Buckingham o teorema π afferma che dato un problema descritto da un certo numero di equazioni in cui siano presenti n variabili fisiche, se le dimensioni fondamentali di queste n variabili sono x, allora il problema può essere completamente descritto da n − x variabili adimensionali. È possibile quindi studiare il medesimo problema usando un numero inferiore di variabili purché queste siano adimensionali. Adimensionalizzare un’equazione significa moltiplicare o dividere i suoi membri per variabili fisiche finché tutti i membri non diventano privi di dimensioni.

Andrea Lisjak

4.13. Principi di modellistica idraulica da laboratorio

205

- Se una quantità è data dal prodotto di due o più quantità allora la scala è data dal prodotto delle scale: (4.85) Z = X · Y −→ nZ = nX · nY Si parla di modello modello distorto distorto quando la scala delle lunghezze in una direzione è diversa dalla scala delle lunghezze lunghezze in un’al un’altra. tra. In questo caso non vale la regola regola della somma. Deriviamo ora le scale per le due condizioni di scala viste in precedenza. Condizione di scala alla Froude

Supponiamo che la condizione di scala sia: nF r =

Ne consegue che:

F rP =1 F rM

(4.86)

√nng V · nH = 1

dove: - nV : scala delle velocità; - ng : scala dell’accelerazione di gravità; - nH : scala altimetrica.

Supponendo, come è lecito fare per le applicazioni tecniche di questo tipo, che ng = 1 si ottiene: nV =

Poiché V = x/t si ha che: nV =

√nH

(4.87)

√nH = nL nt

(4.88)

Supponendo che il modello non sia distorto ( nH = nL ) si ottiene: nt =

√nL = √nH = nV

(4.89)

Per quanto riguarda la scala delle portate si ha che: nQ =

n3L / = n5L 2 nt

(4.90)

ReP =1 ReM

(4.91)

Condizione di scala alla Reynolds

Supponiamo che la condizione di scala sia: nRe =

Ne consegue che:

nV nH =1 nν

·

Dal momento che per le applicazioni idrauliche principali si utilizza acqua 5 nν = 1 e quindi: nv =

1 nH

(4.92)

5 Un esempio di modello in cui si utilizza un fluido diverso dall’acqua è il modello di Hele-Shaw : il moto di un sottile strato d’olio tra due lastre di vetro parallele equivale al flusso d’acqua in un mezzo poroso omogeneo ed isotropo.

206


Andrea Lisjak

È evidente quindi che la condizione affinché possa valere sia la condizione alla Froude che quella alla Reynolds è che: √ 1 nV = nH = (4.93) −→ nH = 1 nH

e quindi che il modello sia in scala reale. Applicazione ai modelli idraulici

Nel caso dei modelli idraulici applicati alle costruzioni idrauliche si impone la condizione di scala alla Froude , in quanto lo scopo principale non è quello di simulare gli effetti viscosi e di attrito (risultato ottenibile con un una condizione di scala alla Reynolds). Valgono inoltre le seguenti considerazioni:  dal momento che il modello considera effetti localizzati se la regione non è troppo estesa le perdite di

energia sono piccole;  anche tenendo in conto le perdite di energia, dal momento che ReM e ReP sono noti è possibile

mediante le leggi di scala correggere, ad esempio, la scabrezza di parete del modello in modo da ottenere lo stesso effetto del prototipo. Bisogna fare attenzione quando ReM < ReP in quanto in tal caso lo spazio percentuale occupato dallo strato limite nel modello diventa maggiore di quello occupato nel prototipo.

4.14. Ulteriori considerazioni sulle correnti veloci

Andrea Lisjak

4.14 4.14 4.14.1 4.14.1

207

Ulterior Ulteriorii conside considerazi razioni oni sulle sulle corr corren enti ti veloci veloci Propaga Propagazion zione e di perturba perturbazio zioni ni di livello livello infinite infinitesim sime e

Quando una corrente veloce incontra un ostacolo lungo il suo percorso si generano delle onde di superficie che si muovono lungo il flusso ed allo stesso tempo vengono trasportate verso valle. Il risultato complessivo è la formazione di un fronte d’onda obliquo analogo alle onde caratteristiche di Mach del flusso supercritico. La formazione di tali onde è illustrata in figura 4.53

Figura Figura 4.53. Movimento di piccole perturbazioni di livello in corrente (a) lenta, (b) critica

e (c) veloce.

Si può dimostrare che vale: sin β =

c 1 1 = o v F r M a

(4.94)

Le due alternative sono giustificate dal fatto che tale equazione è applicabile sia alle onde di compressione in gas comprimibili sia alle onde di superficie in un liquido.

4.14.2 4.14.2

Propazi Propazione one di pertur perturbazi bazioni oni di di livello livello finit finite e

Si consideri un flusso stazionario all’interno di un canale, al contatto con le irregolarità delle pareti dell’alveo si ha la formazione di un pattern di fronti d’onda stazionari (figura 4.54). 4.54). In tal caso tuttavia non è possibile applicare l’equazione ( 4.94) 4.94) in quanto essa è valida nell’ipotesi di onde √ lunghe e di ampiezza infinitesima , per cui c = gy . Onde maggiori tuttavia viaggiano a velocità molto più elevate: gL 2πy c2 = tanh (4.95) 2π

L

dove: - L: lungh lunghezza ezza d’onda finita dell’onda; dell’onda; Deviazione di sponda

Un esempio di perturbazioni di livello finite è la deviazione delle pareti verticali di un canale di un angolo finito ∆θ (figura 4.55). 4.55).

208


Andrea Lisjak

Figura Figura 4.54. Pattern di fronti d’onda stazionari in un canale uniforme.

Figura 4.55. Vist Vistaa in pian pianta ta di un fron fronte te d’on d’onda da incl inclin inat ato o in cond condiz izio ioni ni di fluss flusso o

supercritico.

Poiché il fronte d’onda che si forma è caratterizzato da un dislivello finito pari a ∆y, l’angolo di deviazione β 1 non è valutabile mediante la relazione ( 4.94). 4.94). È tuttavia tuttavia possibile analizzare analizzare il problema considerando considerando il fronte d’onda come un risalto idraulico sul quale è sovrapposta parallelamente al fronte del risalto una determinata componente di velocità. Tale componente deve essere la stessa da entrambe le parti del fronte, in quanto la variazione di profondità presenza di alcuna alcuna forza diretta parallelamen parallelamente te al fronte. fronte. Si può quindi quindi scrivere: scrivere: ∆y non implica la presenza v1 cos β 1 = v2 cos(β cos(β 1

− ∆θ)

(4.96)

L’equazione di continuità di esprime esprime considerand considerandoo le componenti componenti di velocità velocità normali al fronte d’ond d’onda: a: v1 y1 sin β 1 = v2 y2 sin(β sin(β 1

− ∆θ)

(4.97)

L’equazione di conservazione della quantità di moto è analoga a quella vista per i risalti idraulici con v1 sin β 1 al posto di v1 :

    

v12 sin2 β 1 1 y2 = gy 1 2 y1

Da quest’ultima di ottiene: sin β 1 =

1 F r1

1 y2 2 y1

y2 +1 y1

y2 +1 y1

(4.98)

(4.99)

Andrea Lisjak

4.14. Ulteriori considerazioni sulle correnti veloci

209

la quale si riduce alla ( 4.94) 4.94) quando l’onda è infinitesiva e y2 → y1 . Sponde curve

Il caso particolare particolare di onde infinitesime infinitesime può essere ulteriormen ulteriormente te approfondito approfondito eliminando eliminando v2 /v1 tra le equazioni (4.96 ( 4.96)) e (4.97): 4.97): tan β 1 y2 = y1 tan(β tan(β 1 ∆θ)

−

(4.100)

Fissando y2 = y1 + ∆y ∆y e facendo tendere ∆θ a zero si ottiene: dy y v2 = = tan β dθ sin β cos β cos β g

(4.101)

Tale equazione esprime l’aumento continuo di profondità della corrente lungo una sponda curva (figura 4.56). 4.56).

Figura 4.56. Pattern di onde dovuto al flusso lungo un sponda curva.

Per ogni valore di θ di determina non solo il valore di y in corrispondenza della sponda ma anche lungo una linea che parte dalla sponda stessa. stessa. L’integraz L’integrazione ione della ( 4.101) 4.101) dipende dalle assunzioni che vengono fatte circa la dissipazione di energia.

210


4.15 4.15 4.15.1 4.15.1

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Eser Eserci cizi zi Tracciame racciament nto o di un profilo profilo di moto permanen permanente te

Si vuole tracciare il profilo di moto permanente gradualmente variato di una corrente con portata per unità di larghezza pari a q = 8 m2 /s che transita in un alveo a sezione rettangolare molto larga che passa da una pendenza pendenza del 4 % ad una pendenza di 0, 8 m/km. Si supponga che il coefficiente coefficiente di scabrezza scabrezza dell’alve dell’alveoo /3 −1 1 secondo Gauckler-Strickler sia pari a K s = 45 45 m s . Svolgimento

1. Determinazione della profondità critica. yc =

  3

q2 = g

3

82 = 1, 87 m 9, 81

2. Determinaz Determinazione ione delle due profondità di moto uniforme. uniforme. Alveo Alveo con pendenza del 4 % (tronco di monte):

    √      √  3/5

q

y0 m =

K s

=

if m

3/5

8 45 0, 04

= 0, 93 m < 1, 87m =

⇒ alveo a forte pendenza

Alveo con pendenza di 0, 8 m/km (tronco di valle): y0 v =

3/5

q

K s

=

if v

8 45 0, 0008

3/5

= 3, 01 m > 1, 87m =

⇒ alveo a debole pendenza

3. Valutazione delle condizioni al contorno.

Il tronco di monte in condizioni di moto uniforme è in corrente veloce, quindi, in assenza di condizioni specifiche, si può supporre che all’ estremo di monte il profilo converga alla profondità di moto uniforme: y ≡ y0 m .

Il tronco di valle in condizioni di moto uniforme è in corrente lenta, quindi, in assenza di condizioni specifiche, si può supporre che all’ estremo di valle il profilo converga alla profondità di moto uniforme: y ≡ y0 v . 4. Valutazione dei vincoli interni. L’unico vincolo interno è la variazione di pendenza che, trasformando la corrente veloce in corrente lenta, genera un risalto idraulico. 5. Determinaz Determinazione ione della posizione posizione del risalto. risalto. Numero di Froude della corrente veloce di monte: F r0 m =

q 8 √ = = 2, 85 √ y0 m gy 0 m 0, 93 9, 81 × 0, 93

Numero di Froude della corrente lenta di valle: F r0 v =

8 q √ = = 0, 0 , 49 √ y0 v gy 0 v 3, 01 9, 81 × 3, 01

Altezza coniugata dell’altezza di moto uniforme di monte: y0 m y2 = 2 

−  1+

1 + 8F 8F r02 m

 −  0, 93 = 2

1+

1+8

×

2, 842



= 3, 31 m > y0 v = 3, 01 m

4.15. Esercizi

Andrea Lisjak

211

(a) Profilo del moto.

(b) Spinta totale in funzione dell’altezza della corrente.

Altezza coniugata dell’altezza di moto uniforme di valle: y0 v y1 = 2 

−  1+

1 + 8F 8 F r02 v

 −  3, 01 = 2

1+

1+8

×

0, 492



= 1, 06 m > y0 m = 0, 93 m

Ne risulta che S 2 < S 1 e quindi che la corrente sul cambio di pendenza tende a spingere il moto uniforme lento verso valle. Poiché la corrente veloce si propaga nell’alveo a debole pendenza l’unico profilo possibile è il D3. Il risalto si forma quando l’altezza l’altezza vale y1 = 1, 06 m. Per individuare la posizione del risalto idraulico basta calcolare calcolare alle differenze differenze finite l’andamento l’andamento del profilo D3 tra le altezze 0,93 m e 1,06m, 1,06 m, utilizzando utilizzando le relazioni: E = y + y (m)

E (m)

J (m/km)

0,93 0,95 1,00 1,05 1,06

4,70 4,56 4,26 4,01 3,96

40,3 37,5 31,6 26,9 26,0

Si ottiene ottiene x = 23, 23 , 27 m.

∆E (m)

-0,14 -0,30 -0,25 -0,05

q2 q2 ∆E J = ∆x = / 2 10 3 2 2gy y K s if J

−

J (m/km)

38,9 34,6 29,3 26,5

∆x (m)

x (m)

3,67 8,88 8,77 1,95

0 3,67 12,55 21,32 23,27

212

4.15.2 4.15.2


Andrea Lisjak

Localizza Localizzazion zione e di un risalto risalto in corrispon corrisponden denza za di un salto di fondo fondo

In un canale rettangolare si presenta un salto di fondo di altezza δ = 1, 00 m. Con la porta portata ta per unità unità di larghezza q = 6, 00 m2 /s la profondità, a valle del gradino, vale 3, 50 m. Calcola Calcolare re entro entro quali limiti limiti può oscillare la profondità ym della corrente a monte del gradino affinché il risalto resti localizzato in corrispondenza del gradino stesso. Si considerano come posizioni estreme del risalto idraulico quella in cui la sua sezione iniziale coincide praticamente con la sezione del salto di fondo (caso A) e quella in cui, spostandosi il risalto verso monte, la sua sezione terminale viene a trovarsi molto vicino al gradino senza sorpassarlo (caso B). Al caso A corrisponde il limite inferiore della profondità di monte mentre al caso B il limite superiore: è evidente per quanto visto in precedenza che, nel caso di correnti veloci, un aumento della spinta verso valle si ha con una diminuzione dell’altezza della corrente a monte.

Figura 4.57. Localizzazione di un risalto in corrispondenza di un salto di fondo: caso A e

caso B.

Caso A

Si applica al risalto l’ equazione della quantità di moto, tenendo conto anche della spinta verso valle fornita dalla parete dello scalino: (ym + δ)2 q2 yv2 q2 S γ +ρ = γ + ρ = 2 ym 2 yv B

Sostituendo i dati nell’equazione, il termine noto diventa: yv2 q2 + = 7, 17 m2 2 gyv

quindi, dall’equazione della quantità di moto divisa per γ : (ym + 1, 1, 00)2 6, 002 + = 7, 17 m2 2 9, 81 ym

×

si ottiene: ym = 0, 63 m. Caso B

Dal momento che il risalto idraulico è spostato tutto a monte del gradino è come se quest’ultimo non ci fosse. fosse. Ne consegue che si può applicare applicare direttamente direttamente l’equazione l’equazione della quantità quantità di moto come fatto per il risalto in alveo rettangolare, che equivale in ultima analisi ad applicare la relazione per la determinazione delle profondità coniugate del risalto idraulico. Il numero di Froude nella sezione a valle vale: F rv =

q 6, 00 √ = = 0, 485 √ yv gy v 2, 50 9, 81 × 2, 50

4.15. Esercizi

Andrea Lisjak

213

L’altezza della corrente a monte coniugata di quella a valle vale: ym

yv = 2

−   −  1+

1 + 8F 8 F rv2

2, 50 = 2

1+

1+8

×

0, 4852



= 0, 87 m

Il risalto resta quindi localizzato sul gradino finché la profondità di monte è contenuta nel campo 0, 63 m < ym < 0, 87 m.

214

4.15.3 4.15.3


Andrea Lisjak

Calcolo Calcolo della della portata portata sfiorab sfiorabile ile da uno uno stramazzo stramazzo latera laterale le

Uno sfioratore sfioratore laterale sulla sulla sponda di un canale rettangolare rettangolare largo largo 5,0 m ha soglia soglia lunga 8,0 m alla quota d = 1, 30 m sul fondo. Si vuole calcolare la portata sfiorabile in moto permanente partendo da un valore a monte Q0 = 25 25 m3 s−1 ed essendo imposta a valle l’altezza d’acqua yL = 2, 10 m sul fondo.

Figura 4.58. Canale con stramazzo laterale.

Svolgimento

In prima approssimazione, considerato che la profondità della corrente lungo lo sfioratore sarà mediamente attorno attorno a 2 m, si valuta la portata media sfiorata per unità di lungh lunghezza ezza con la formula per gli stramazzi: stramazzi:





− d)3/2 = 0, 40 2 × 9, 81 × 0, 73/2 = 1,1 , 0 m3s 1/m La portata finale deve risultare quindi intorno a QL = 25 − 1, 0 × 8, 0 = 17m3 s 1 e ad essa corrisponde qm = C Q

2g(ym

l’energia specifica:

E L = 2, 10 +

2

×

−

−

172 9, 81 52

× × 2, 102 = 2,2 , 234m

Si esegue quindi il calcolo del profilo con passo ∆x = 1 m utilizzando le equazioni:

   

dQ(x) = q (x) dx qu (x) = C Q 2g (y d)3/2 E = y + Q2 (x)/2g Ω2 = y + Q2 (x)/2gB 2 y2 = E L = cost

−√

−

(4.102)

ottenute ipotizzando l’energia specifica costante lungo il tronco di canale interessato dallo stramazzo (che equivale a trascurare le perdite di carico in quel tratto), scritte nella forma: E = yi + Q2i /2g52 yi2 = 2, 2 , 234 m ∆Qi = qi = C Q 2g (yi d)3/2 Qi+1 = Qi ∆Qi

√

−

(i = 0, 0 , 1, . . . , 7)

−

e conoscendo le condizioni del moto nella sezione iniziale ( Q0 = 25m3 /s). I risultati risultati sono sono riportati riportati nel quadro che segue:

4.15. Esercizi

Andrea Lisjak

x (m)

Q (m3 s−1 )

y (m)

q (m3 s−1 /m)

0 1 2 3 4 5 6 7 8

25,000 24,240 23,411 22,514 21,549 20,521 19,430 18,277 17,067

1,869 1,903 1,936 1,967 1,996 2,024 2,051 2,076 2,099

0,760 0,829 0,897 0,965 1,028 1,091 1,152 1,210 -

215

Si constasta constasta un’ottima concordanza concordanza del valore valore finale dell’altezz dell’altezzaa d’acqua con il dato 2,10 m. La portata complessivamente sfiorabile risulta pari a 25 25,, 00 − 17 17,, 07 = 7, 7, 93 m3 s−1 . Profili del moto lungo la soglia

Come al solito si effettua la distinzione: •

corrente lenta : il profilo lungo la soglia dello sfioratore è crescente verso valle;

l’energia specifica E è data dalla corrente indisturbata di valle; •

corrente veloce : il profilo lungo la soglia dello sfioratore è decrescente verso valle;

l’energia specifica E è data dalla corrente indisturbata di monte. Generalmente si evita di costruire sfioratori laterali in correnti veloci senza averle prima rallentate in quanto la diminuzione dell’altezza della corrente può essere tale da far sì che lo stramazzo non venga più alimentato e che, in presenza di una corrente lenta a valle, si formi un risalto idraulico.

(a) Corrente lenta.

(b) Corrente veloce.

Figura Figura 4.59. Profili di moto su uno stramazzo laterale.

Osservazione Osservazione:: afflusso laterale laterale perpendicolare perpendicolare alla direzione direzione del canale

Nel caso in cui i filetti fluidi affluenti siano perpendicolari alla direzione della corrente nel canale, la variazione di quantità di moto è notevole (grande dissipazione di energia) per cui non si può applicare la conservazione dell’energia ma bisogna riccorrere alla costanza della spinta totale: S (x) = γη g (x)Ω + ρ

Q2 = cost Ω

(4.103)

q (x) dx

(4.104)

dove la portata è nota e varia secondo:



x

Q(x) = Q0 +

0

216


Figura Figura 4.60. Canale con afflusso laterale.

Andrea Lisjak

Capitolo 5

Moto vario nelle correnti a pelo libero 5.1 5.1

Equa Equazi zion onii del del moto moto

Si considerano in questo capitolo correnti a pelo libero soggette a variazioni graduali di sezione e velocità nello spazio e nel tempo. Sebbene la loro superficie superficie libera sia necessariamen necessariamente te in movimen movimento, to, tali correnti correnti conservano forma quasi cilindrica, velocità sensibilmente parallele alla direzione del moto e distribuzione idrostatica della pressione nelle sezioni trasversali (figura ??). I fenomeni ondosi che rientrano in questo schema sono quindi caratterizzati da piccole pendenze e da piccole curvature del pelo libero. La densità del liquido si può ritenere sempre ed ovunque costante.

Figura 5.1. Schema di una corrente lienare in moto vario.

Le equazioni di moto vario, escludendo afflussi e deflussi laterali, si dimostra essere: ∂ (ρQ) ρQ) ∂ (ρΩ) + =0 ∂x ∂t

 

∂ z+ ∂x

dove:



d p U 2 + β = γ 2g

τ 0 − g1 ∂U − ∂t γR

- x: ascissa lungo il fondo dell’alveo della corrente in esame; - t: tempo; - ρ: densità; 217

(5.1) (5.2)

218

Capitolo 5. Moto vario nelle correnti a pelo libero

Andrea Lisjak

- Q: portata; - z : quota dell’asse dell’asse baricentrico baricentrico della sezione di area Ω; - Ω: area della sezione bagnata; - p: pressione nel baricentro della sezione di area Ω; - γ : peso specifico; - U : velocità media nella sezione di area Ω; - β : coefficiente coefficiente di ragguaglio ragguaglio della portata di quantità di moto; - g: acceleraz accelerazione ione di gravità; gravità; - R: raggio idraulico della sezione ( R = Ω/B Ω /B ); - τ 0: perdita perdita distribui distribuita ta di energi energiaa totale totale,, per uni unità tà di peso e lun lunghe ghezza zza,, dovut dovutaa alle alle resist resistenz enzee al contorno.

5.1.1 5.1.1

Equazio Equazioni ni di de Sain Saint–V t–Venan enantt

Imponendo la condizione di densità costante ed assumendo q uasi uniforme la distribuzione delle velocità nella sezione , in modo da poter il coefficiente di ragguaglio della portata di quantità di moto β = 1, si ottengono le cosiddette equazioni di de Saint–Venant :

−→ equazione di continuità : equazione dinamica dinamica : −→ equazione

∂Q ∂ Ω + =0 ∂x ∂t





∂ p U 2 z + + β = ∂x γ 2g

(5.3)

τ 0 − g1 ∂U − ∂t γR

(5.4)

La posizione posizione β = 1 trova trova giustificato giustificato impiego nelle appli applicazio cazioni ni tecniche tecniche anche per la modesta importanza del termine cinetico e per la limitata approssimazione con cui è valutabile il termine rappresentativo delle perdite di carico effettivo per unità di lunghezza dovute alle resistenze al contorno e che solitamente viene indicato j e valutato mediante la formula di Chézy : j =

τ 0 U 2 = 2 γR C gR

(5.5)

Canali rettangolari

Indicando con zf la quota del fondo della sezione normale di un canale e con y la profondità misurata nel piano della sezione, sezione, coinciden coincidente te con la quota del pelo libero sul fondo, la pendenza pendenza vale: if =

dzf dx

(5.6)

Le equazioni di de Saint–Venant, per alveo di sezione rettangolare rettangolare , diventano: ∂ (U y) ∂y + =0 ∂x ∂t ∂y U ∂U 1 ∂U + + = if ∂x g ∂x g ∂t

(5.7)

− j

(5.8)

Trascurando nella 5.3(b) la variazione di velocità nel tempo si ottiene l’ equazione del moto permanente : ∂y U ∂U + = if j ∂x g ∂x

−

(5.9)

Andrea Lisjak

5.1. Equazioni del moto

219

Trascurando anche le variazioni di velocità e profondità della corrente nello spazio si ottiene l’ equazione del moto uniforme : (5.10) if − j = 0

220

5.2


Andrea Lisjak

Onde di pie piena

Una delle applicazioni più importanti delle equazioni del moto vario delle correnti a pelo libero riguarda la simulazione simulazione matematica matematica della propagazione propagazione delle onde di piena negli alvei alvei naturali. naturali. Per questi calcoli l’equazione equazione di continuità continuità e l’equazione equazione dinamica della corrente corrente , senza afflussi e deflussi laterali, si usano scrivere nelle forme: ∂Q ∂Q (5.11) + =0 ∂s

∂t

∂y U ∂U 1 ∂U + + = if ∂x g ∂x g ∂t

− j

(5.12)

La complicazione numerica richiesta per la soluzione di tale sistema consiglia il ricorso a modelli semplificati , utili anche per mettere in evidenza qualche aspetto di carattere generale delle onde di piena.

5.2. 5.2.1 1

Modell Modello o di di Bou Bouss ssin inesq esq

Il più semplice di tali modelli è quello suggerito da Boussinesq nel 1872, basato sull’assunzione che il passaggio dell’onda di piena dia luogo ad una successione di stati quasi uniformi , in modo che risulti sempre: if

− j = 0

L’ipotesi si giustifica con il riferimento ad onde di periodo molto lungo, per cui la corrente è soggetta a variazioni ariazioni estremamente estremamente graduali graduali nello spazio e nel tempo. L’equazion L’equazionee dinamica si riduce allora ad una relazione tra la portata Q e la profondità y, o la sezione bagnata Ω, espressa dall’equazione del moto uniforme. Tale legame è espresso dalla cosiddetta scala delle portate (o di deflusso ): Q = k Ωm

(5.13)

con k ed m generalmente assunti costanti. In generale, per le sezioni larghe e larghissime, l’esponente m ha valori compresi tra 3/2 (sezione rettangolare) e 5/3.

5.2. 5.2.2 2

Modell Modello o cinema cinematic tico o

Dalla considerazione della scala delle portate: Q = k Ωm

insieme all’equazione di continuità:

∂Q ∂Q + =0 ∂s ∂t

si ottiene l’equazione del modello di propagazione delle piene detto cinematico . La denominazion denominazionee deriva deriva dall’importanza del ruolo svolto dalla condizione condizione cinematica cinematica di continuità continuità in questo schema di calcolo. Indicando con c la derivata di Q rispetto ad Ω: c=

e tenuto conto che:

dQ Q = m = c(Q) dΩ Ω

∂Q dQ ∂ Ω ∂ Ω = = c(Q) ∂t dΩ ∂t ∂t

dall’equazione di continuità si deduce che: ∂Q ∂Q + c(Q) =0 ∂t ∂x

(5.14)

che è l’equazione differenziale del modello cinematico . L’integraz L’integrazione ione è immediata immediata con il metodo delle caratteristiche . L’equazione alle derivate parziali ( 5.14) 5.14)

5.2. Onde di piena

Andrea Lisjak

221

è equivalente al sistema di equazioni differenziali ordinarie: dx = c(Q) dt ∂Q ∂Q + ∂t ∂x

·

(5.15)

dx dQ = =0 dt dt

(5.16)

di cui la prima fornisce fornisce l’unica famiglia di curve caratteristich caratteristiche. e. Qui c indica la celerità di propagazione di uno stesso valore di portata. Con riferimento ai predetti valori di m si ha: m−1

c = kmΩ kmΩ

Q =m = Ω

÷ 3 2

5 3

U

(5.17)

Dalla costanza di Q sulle caratteristiche, espressa dall’equazione ( 5.16) 5.16) deriva che le caratteristiche stesse sono rette la cui pendenza sul piano x, t cresce con il crescere del valore della portata nella sezione x = 0. Come mostra la figura 5.2, assegnata per x = 0 la condizione al contorno: Q(0, (0, t) = F ( F (t) per t

≥0

(5.18)

e posta inoltre la condizione che Q sia limitata per s → ∞, è immediata la conoscenza della Q = Q(x, t) in tutto il tratto in esame: (5.19) Q(x, t) = F ( F (τ ) τ ) dove τ è un tempo definito impli implicitame citamente nte dalla t = τ +

x c[F ( F (τ )] τ )]

(5.20)

ottenuta integrando l’equazione delle caratteristiche ( 5.15). 5.15).

Figura 5.2. Propagazione di un’onda di piena secondo lo schema cinematico.

Dato il legame tra Q ed Ω rappresentato dalla scala di deflusso, le variazioni di sezione si propagano con la stessa stessa celerità celerità del delle le variazi ariazioni oni di portata. portata. Inoltre Inoltre,, poiché poiché c risulta crescente con Q, la propagazione è tendenzialmente accompagnata da una distorsione che, in assenza di attenuazione, dovrebbe rendere il l’avanzamento. fronte dell’onda sempre più ripido con l’avanzamento.

222


5.2. 5.2.3 3

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Modell Modello o para parabol bolico ico

Un secondo schema semplificato, per lo studio delle onde di piena, si ottiene considerando trascurabili i termini inerziali dell’equazione di de Saint–Venant, per cui quest’ultima si riduce a: ∂y = if j ∂x

(5.21)

−

L’approssimazione risulta del tutto giustificata, come si dimostrerà più avanti, negli alvei con con pendenz pendenza a molto dolce . Tenendo conto anche dell’equazione di continuità: ∂Q ∂ Ω + = 0, 0, ∂x ∂t

(5.22)

della definizione della scala delle portate: Q = k Ωm ,

e dell’equazione del moto uniforme:



Q = C Ω gRi f ,

(5.23)

tale sistema di PDE del I ordine di tipo iperbolico è riconducibile ad un’unica PDE del II ordine di tipo parabolico, la quale può essere scritta nella forma: ∂Q ∂Q ∂ 2 Q +c =D 2 ∂t ∂x ∂x

(5.24)

nota come equazione di convezione–diffusione . Il coefficiente c è detto coefficiente coefficiente di convezione convezione ed ha la medesima espressione della celerità del modello cinematico: c=m

Q Ω

Il coefficiente D è detto coefficiente di diffusione ed è ottenibile mediante l’ approssimazione di Hayami : D=

k 2 Ω2m Q = 2BQi f 2Bj

≈ 2QBicf

(5.25)

La diffusione aumenta all’aumentare della portata per unità di larghezza (canali ben incassati) e al diminuire della pendenza. Come ordine di grandezza il coefficiente D si aggira attorno ai 1.000 − 50 50..000m2 /s. La possibilità di sostituire il sistema iperbolico di partenza cui corrisponde un doppio valore della celerità, con una forma parabolica che ammette una sola determinazione determinazione della celerità, è giustificata giustificata dal particolare particolare tipo di fenomeni fenomeni propagatori propagatori in esame: esame: quello quello delle onde di piena . Esse sono caratteri caratterizzate zzate anche, anche, oltre che da variazioni della sezione e della portata molto lente nel tempo e nello spazio, da una propagazione esclusivamente verso valle . Dalla 5.24 risulta evidente anche l’ attenuazione del colmo dell’onda : per un osservatore osservatore che si muova muova con la celerità c la portata varia infatti con la legge: ∂ 2 Q D 2 ∂x

Si possono presentare presentare due casi. •

•

Se D = 0 allora Q è costante e l’osservatore vede sempre la stessa portata Se D > 0 allora Q varia proporzionalmente a D in funzione della curvatura della portata in x (con x che va da monte a valle). Con riferimento alla figura ?? si possono distinguere 2 zone: 1. zona di colmo: ∂ 2 Q/∂x2 < 0 =⇒ dQ/ dt < 0 ossia la portata al colmo, per effetto diffusivo, tende a diminuire nel tempo; 2. zona pre– e post– colmo: ∂ 2 Q/∂x2 > 0 =⇒ dQ/ dt > 0 ossia la portata, per effetto diffusivo, tende ad aumentare nel tempo.

5.2. Onde di piena

Andrea Lisjak

223

(a) .

(b) . Figura 5.3. Propagazione dell’onda di piena nel tempo.

La propagazione dell’onda di piena nello spazio è tale per cui la portata al colmo tende ad abbassarsi mentre le code tendono ad allargarsi, ne consegue che da monte verso valle il colmo di piena diminuisce di intensità ma aumenta di durata. L’equazione 5.24 del modello parabolico si può risolvere in forma analitica se la si linearizza assumendo valori costanti per i coefficiente c e D. Per questa linearizzaz linearizzazione ione conviene conviene attribuire attribuire ad essi i valori corrispondenti, in moto permanente, ad una portata media dell’evento di piena. La soluzione è data nella forma di un integrale di convoluzione :



t

Q(x, t) =

u(x, τ )Q(0, (0, t

0

(5.26)

τ ) dτ − τ )

dove: - Q(0, (0, t) è la portata nella sezione x = 0 per t ≥ 0; - u(x, τ ) τ ) è la risposta del sistema lineare ad una portata impulsiva unitaria : x u(x, t) = exp 2t πtD

√

−

(ct x)2 4Dt

−



Figura Figura 5.4. Propagazionne nel tempo di una funzione impulso di Dirac.

(5.27)

224


Andrea Lisjak

Capitolo 6

Trasporto solido 6.1 6.1

Intr Introdu oduzi zion one e

I corsi d’acqua naturali assumono una forma che è legata al tipo di sedimento presente sul fondo e sulle sponde e agli aspetti idrologici che si esplicitano in quel corso d’acqua. Normalmente i corsi d’acqua vengono considerati come qualcosa di fisso e stabile nel loro andamento plano-altim plano-altimetrico etrico;; in realtà così non è: è evidente, evidente, ad esempio, esempio, che per riuscire riuscire a riempire riempire di sedimenti sedimenti le pianure alluvionali i corsi d’acqua devono nel tempo invadere tutta la pianura. L’arginazione di un corso d’acqua equivale a fissarne l’andamento planimetrico e quindi ad impedire alluvionamenti della pianura circostante e ad imporre un alluvionamento selettivo della fascia interarginale. Ne consegue che col tempo il canale compreso tra gli argini maestri si alza e quindi il livello del piano campagna al suo interno diviene più alto di quello esterno. Tale innalzamento per sedimentazione riguarda soprattutto le golene.

Figura Figura 6.1. Arginazione di un corso d’acqua.

Si noti come questo tipo di dinamica fluviale non avvenga solamente alla scala dei tempi geologici (migliaia d’anni) bensì anche a quella che riguarda la vita tecnica delle opere di ingegneria fluviale (decine d’anni). Ne consegue che l’analisi del trasporto solido (valutazione della portata solida e dell’inizio del trasporto al fondo) e dei fenomeni di modellamento dell’alveo e di resistenza siano di grande interesse ingegneristico.

225

226

Capitolo 6. Trasporto solido

6.2

Andrea Lisjak

Caratter Caratterizza izzazio zione ne dei dei mate material rialii traspor trasportati tati

Densità

Dal punto di vista idraulico la prima caratteristica distintiva dei materiali trasportati dalla corrente è la loro densità ρs . Dimensioni

Ipotizzando di approssimare un granulo con un ellissoide, s’individuano i seguenti elementi: - diametro massimo Dmax: corrisponde corrisponde alla massima massima distanza tra due punti appartenenti appartenenti al ciottolo; ciottolo; - sezione maestra : corrisponde alla sezione di area massima tra tutte quelle ortogonali all’asse massimo; - diametro minimo Dmin : è il diametro minimo tra tutti quelli appartenenti alla sezione maestra; - diametro medio Dmed: è il diametro appartenente alla sezione maestra ortogonale al diametro minimo. La caratterizzazione di un miscuglio di granuli di varie dimensioni avviene mediante la distribuzione granulometrica , corrispondente alla distribuzione di probabilità dei diametri dei granuli all’interno del miscuglio. Dal momento che la sedimentazione in un corso d’acqua non è omogenea, nel campionare i sedimenti per effettuarne effettuarne l’analisi granulometrica granulometrica bisogna stare molto attenti alla rappresentatività del campione . In funzione della dimensione dei granuli la tecnica di analisi granulometrica varia:  limi e argille: aerometria ;  sabbie e ghiaie: setacciatura (il passaggio attraverso il setaccio è condizionato dal diametro medio

della sezione maestra) o campionamento per peso sul volume ;  ciottoli: campionamento per numero alla superficie .

La terza tecnica consiste nel misurare direttamente il diametro medio di singoli elementi lapidei campionati a caso. Il prelievo casuale di ciottoli dall’alveo avviene avviene solitamente mediante grigliatura (gridding, quadrillage): si materializza, mediante fili e picchetti, una griglia a maglia quadrata sovrapposta al deposito alluvionale. L’apertura della maglia deve essere maggiore della dimensione massima del masso più grosso presente sul luogo del campionamento, in modo da evitare di prendere in considerazione due volte lo stesso elemento lapideo. Il numero N di nodi deve essere sufficientemente elevato: generalmente per questioni di comodità se ne consid considera erano no 100. Median Mediante te un filo a pio piombo mbo ci si pone nel nodo e si misura misura il masso masso stant stantee sulla sulla  verticale. In generale il numero N di diametri misurati è inferiore a quello degli N nodi in quanto capita spesso che il filo a piombo vada a cadere su sedimenti fini affioranti. La percentuale di passante alla più piccola misura ( D ) è data da: p =

N



− N · 100 N

La distribuzione granulometrica degli elementi misurati si ottiene con una tabella del tipo 6.1. 6.1. Tabella 6.1. Distribuzione granulometrica ottenuta mediante campionamento per numero

alla superficie.

% passante

k

D

1 2

D1 D2

(N (N

1)/N · 100 − 1)/N 2)/N · 100 − 2)/N

i

Di

(N

− i)/N · 100

N 

D

.. . .. .

.. . .. .

(N

.. . .. .



− N )/N · 100

6.2. Caratterizzazione dei materiali trasportati

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227

Il problema successivo è quello di ottenere la distribuzione granulometrica complessiva . A tal propos proposito ito è stata dimostrata (Kellerhals, Price) l’ omogeneità statistica dei due tipi di campioname campionamento. nto. Di conseguenza conseguenza è sufficiente riscalare i valori delle ordinate della curva granulometrica relativa ai fini moltiplicandoli per p (figura 6.2). 6.2).

Figura Figura 6.2. Unione delle due curve granulometriche.

Una volta ottenuta la distribuzione granulometrica complessiva, dal punto di vista applicativo risultano importanti alcuni suoi parametri : prob((D  percentili : dx : prob

≤ dx) = x;

· diametro mediano d50;  parametri di dispersione :

· d84 − d16; · d75 − d25. Velocità di caduta libera in acqua ferma

Strettamente connessa con la dimensione e con la densità della particella è la sua velocità limite w di caduta libera in acqua ferma . La sua espressione per sfere di diametro ds e densità ρs è ( formula di Newton ): ): ws =

1 √C

R

  −  4 3

ρs

ρ

ρ

gd s

(6.1)

dove: - C R : coefficiente di resistenza . La figura 6.4 rappresenta l’andamento tipico della curva w = w(ds ), con ds diametro della sfera di ugual volume del granulo, per granuli quarziferi di diversa forma in acqua a 20◦ C (ρs /ρ = 2, 2 , 65).

228


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Figura Figura 6.3. Velocità di caduta libera di granuli di quarzo con diversi parametri di forma

ψs .

6.3 6.3

Condi Condizi zioni oni criti critic che: inizi inizio o del traspor trasporto to soli solido do

I primi tentativi empirici di esprimere quantitativamente la condizione di equilibrio del materiale incoerente posto sul fondo di canali percorsi da acque torbide risalgono alla fine dell’Ottocento. La ricerca della larghezza, della profondità e della pendenza necessaria per raggiungere una condizione in cui il deflusso di una data portata mantiene in movimento tutto il carico di materiale solido, senza deposito e senza erosione dell’alveo, richiede di associare all’ equazione del moto della corrente altre condizioni che riguardano appunto il fenomeno del trasporto solido e lo stato di equilibrio del fondo. La prima interpretazione teorica del fenomeno di inizio del trasporto solido si deve a Shields (1936). Condizione critica per il fondo

L’indagine effettuata da Shields fu rivolta ad individuare la relazione che il valore τ cr cr della tensione al contorno τ 0 , ossia quella che provoca il primo movimento del materiale sul fondo, ha con le proprietà µ e ρ del fluido e con le caratteristiche ρs e ds dei granuli. Si definisce condizione critica per il fondo l’inizio di instabilità dell’equilibrio dei sedimenti. Tensione tangenziale sul fondo

Considerando un canale con pendenza if , con una corrente in moto uniforme ed isolando un tronco di lunghezza unitaria, si ha che: - la resistenza agente sul fondo vale ( p: perimetro bagnato): τ 0 1 p

· ·

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6.3. Condizioni critiche: inizio del trasporto solido

229

- la forza agente (peso dell’acqua dell’acqua proiettato lungo la direzione del moto) vale: γ Ω 1 sin if

· · ·

≈ γ · Ω · if

uguagliando i due termini si ottiene il valore della tensione tangenziale agente sul fondo in moto uniforme : (6.2)

τ 0 = γ R if

· · Nel caso di alvei a sezione rettangolare molto larga ( R ≈ y ): τ 0 = γ · y · if

(6.3)

Velocità di attrito



Invertendo e applicando la legge di Chézy ( V = C gRi f ) si ottiene: τ 0 = γyi γy if = ρgyif =

da cui si definisce la velocità d’attrito :

V V = = C ∗

6.3.1 6.3.1

ρV 2 C 2



τ τ0 ρ

(6.4)

Formula ormulazio zione ne di Shield Shields: s: cur curv va di instabil instabilità ità

Si suppone che in condizioni critiche la resistenza al moto dei granuli di diametro ds e peso specifico specifico γ s , che dipende linearmente dal peso del granulo immerso (ossia il peso proprio depurato della spinta archimedea) ed è quindi proporzionale a: (γ s

− γ )d3s

uguagli la forza di trascinamento al fondo all’inizio del trasporto: 2 C R τ cr cr ds

Sulla base delle informazioni sperimentali si può ritenere che il coefficiente C R sia funzione, a parità di forma dei sedimenti, di un numero tipo Reynolds costruito costruito con grandezze caratteristic caratteristiche he del moto attorno al granulo: - velocità d’attrito V ∗ ; - diametro del granulo ds ; - viscosità cinematica del fluido ν = µ/ρ. Esso viene detto numero di Reynolds d’attrito : Re∗ =

Ne deriva che:

V ∗ ds ν

 

τ cr V ∗ ds cr = f (γ s γ )ds ν

−

Il legame tra Re∗ ed il parametro di stabilità :

τ ∗ =

τ 0 (γ s γ )ds

−

(6.5)

(6.6)

(6.7)

è rappresentato, in condizioni critiche, dalla curva di instabilità di Shields , riportata nel grafico di figura 6.4. 6.4. Tale curva è stata ricavata sulla base di numerose esperienze su materiali incoerenti di differente densità, ma sempre con forme pseudosferiche e con granulometria uniforme . Per l’applicaz l’applicazione ione ai letti alluvionali , dal momento che interessa principalmente che non vengano trasportati i ciottoli più grossi, si verifica la condizione di stabilità con il D80 della distribuzione granulometrica.

230


Andrea Lisjak

Figura Figura 6.4. Curva di instabilità di Shields.

È evidente l’analogia con l’andamento delle curve che rappresentano la dipendenza funzionale del coefficiente di resistenza dal numero di Reynolds nei moti nelle condotte in pressione (diagramma di Moody). Anche in questo caso sono ben visibili due regimi limite : - per bassi Re∗ (fino a circa 2) le particelle restano immerse nello strato dominato dalla viscosità: ∗ τ cr =

τ cr cr (γ s γ )ds

−

(6.8)

è inversamente proporzionale a Re∗ ; ∗ - per alti valori di Re∗ (maggiori di 300-400) la turbolenza è completamente sviluppata e τ cr diventa ∗ indipendente da Re , assestandosi su un valore pari a circa 0,06.

La limitazione più restrittiva alla curva di Shields deriva dal fatto di essere riferita a materiali omogenei, cioè con granulometria granulometria praticamente praticamente uniforme. uniforme. L’applicaz L’applicazione ione di tale criterio alle condizioni condizioni reali deve essere essere fatta con la consapevol consapevolezza ezza che esso costituisc costituiscee un criterio criterio di massima, massima, in quanto quanto ottenuto ottenuto con valutazioni valutazioni di laboratorio laboratorio in canalette canalette artificiali (figura 6.5). 6.5).

6.4. Trasporto solido al fondo

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231

Figura Figura 6.5. Schema di canaletta idraulica da laboratorio.

6.4 6.4

Traspo rasporto rto soli solido do al fo fondo ndo

Il trasporto solido al fondo è dovuto al materiale che si stacca dal fondo, percorre una certa distanza e poi ricade nel breve periodo nuovamente sul fondo. Esso consiste quindi in una sequenza di saltazioni, confinate in una fascia limitata del tirante idraulico.

6.4.1 6.4.1

Metodi Metodi di misu misura ra

La misura diretta del trasporto solido al fondo può essere effettuata mediante campionatori locali , costituiti da una sorta di scatole adagiate sul fondo con lo scopo di raccogliere il materiale trasportato dalla corrente. Il problema principale nell’utilizzo di tali dispositivi sta nel disturbo locale che essi inducono al campo di velocità, velocità, il quale può aumentare aumentare o diminuire il distacco di materiale materiale dal fondo. fondo. Con lo scopo di evitare in parte tale inconveniente esistono dei campionatori realizzati mediante geotessuto permeabile. Un altro sistema consiste nella realizzazione di trincee sul fondo del corso d’acqua, con le quali valutare il volume di sedimenti accumulato nel tempo. Esistono in Italia due bacini sperimentali, di cui uno a Torino realizzato dal CNR ed uno in Toscana dall’Università di Firenze, dotati trappole per sedimenti molto più complesse (figure 6.6 e 6.7). 6.7).



Un ulteriore metodo di valutazione del trasporto solido a livello globale si basa sulla valutazione della velocità di interrimen interrimento to delle dighe .

232


6.4. 6.4.2 2

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Metod Metodii di calcol calcolo o

L’interesse tecnico nel calcolo del trasporto solido al fondo è sorto durante la progettazione di grandi canali di irrigazione in India da parte degli ingegneri inglesi. Oltre alla valutazione delle condizioni di stabilità del fondo di tali canali non pavimentati, si poneva il problema di evitare che il materiale trasportato al fondo dal fiume finisse col sedimentare nei canali riducendo la capacità di trasporto dell’acqua. Numerose equazioni sono state proposte per il calcolo della portata solida trascinata al fondo da una corrente liquida, portata che indicheremo con i simboli: - Qs : portata solida al fondo in volume; - qs : portata solida al fondo in volume per unità di larghezza dell’alveo. Formula di Du Boys

La prima equazione che ha trovato conferme sperimentali è stata quella suggerita da Du Boys nel 1879 sulla base di un modello di trasporto per strati striscianti sovrapposti: qs = K s τ 0 (τ 0

(6.9)

− τ crcr )

dove: - K s : coefficiente coefficiente caratteristico caratteristico del materiale materiale trasportato. L’importanza che la formula di Du Boys ha avuto sul condizionamento di una lunga serie di relazioni per il calcolo della portata solida al fondo e la sua buona verifica sperimentale sono andate ben oltre l’attendibilità dello schema elementare di rappresentazione del fenomeno. Formula di Shields

Shield (1936), con considerazioni basate sempre sull’effetto dell’eccesso di sforzo al fondo rispetto al valore critico, propose l’equazione: γ s qs ρs − ρ τ 0 − τ cr cr (6.10) = 10 10 j j γq

ρ

(γ s

dove:

− γ )ds

- q: portata liquida per unità di larghezza dell’alveo. La formula di Shields non è molto utilizzata in quanto basata su dati sperimentali di laboratorio e poco adatta all’applicazione fluviale. Formula di Schoklitsch

Di tipo diverso è invece l’equazione che fu proposta da Schoklitsch (1930, 1934) sulla base dell’analisi di numerosi num erosi risultati sperimentali sperimentali e di misure sperimental sperimentali. i. La formula di Schoklits Schoklitsch ch ha la forma: qs = K s j η (q

(6.11)

− qcr )

dove: - K s : coefficiente caratteristico del materiale trasportato: K s =

2.500 ρs

(6.12)

- η: esponen esponente te con valor valorii intor intorno no a 3/2 per il traspor trasporto to al fondo di miscug miscugli li formati formati da sedimen sedimenti ti caratterizzati con il diametro D40 (in m); - qcr : portata critica per unità di larghezza alla quale inizia il movimento del fondo: qcr = 0, 26

 − ρs

ρ

ρ

5/3

/

3 2 D40 j 7/6

(6.13)


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233

Tale formula è abbastanza utilizzata per i corsi d’acqua alpini. Formula di Kalinske

Kalinske (1947), assumendo la portata solida proporzionale al volume della particella, al numero di quelle partecipanti al moto e alla loro velocità, considerata approssimativamente pari alla differenza media temporale tra la velocità al fondo e la velocità critica di trascinamento, ha ottenuto un’equazione del tipo:



qs τ 0 = f ∗ V Ds τ cr cr

(6.14)

L’andamento della funzione f , espresso analiticamente da Kalinske, è rappresentato graficamente nella figura 6.8.

Figura Figura 6.8. Equazione di Kalinske (1947) per il calcolo della portata solida al fondo qs

(per unità di larghezza).

Formula di Meyer–Peter e Müller

Un contributo importante per la valutazione del trasporto solido al fondo, ottenuto separando gli effetti della resistenza dovuta ai granuli da quelli dovuti alla morfologia del fondo , è stato dato dai lavori sperimentali della Eidgenössische Technische Hochshule di Zurigo e dagli studi di Meyer-Peter e Muller, che hanno fornito una interpretazione soddisfacente di quelle esperienze. La formula da loro proposta nel 1948 si è dimostrata

234


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in accordo sia con i risultati della E.T.H., sia con numerosi altri rilievi di laboratorio e di campagna, anche successivi. La resistenza complessiva al moto della corrente fluida si ritiene ritiene separabile separabile in due componenti: componenti: 1. componente dovuta alla scabrezza superficiale dei granuli ; 2. componente dovuta alla forma del fondo. La tensione totale media sul contorno vale: τ 0 = τ 0 + τ 0

(6.15)

dove: - τ 0 : tensione tensione dovuta alla resistenza resistenza superficiale; superficiale; - τ 0 : tensione dovuta alla resistenza di forma. Essendo τ 0 = γj R si può altresì scrivere: τ 0 = γR( γR ( j  + j  )

(6.16)

Per miscugli di varia granulometria la formula di Meyer–Peter e Müller si può scrivere nella seguente forma adimensionale: Rj  Ds

− 0, 047

ρs

− ρ = 0, 25

ρ

(ρs qs )2/3 Ds (ρ2 g )1/3

dove:

 − ρs

ρ

ρ

2/3

(6.17)

- j  : parte della pendenza motrice j che è dovuta alla sola resistenza dei granuli e non alla conformazione del fondo; la valutazione di j  si ottiene confrontando la relazione di Gauckler–Strickler–Manning per sezioni √ /3 1/2 2 rettangolari larghe ( V = ks y j ) con la relazione di di Chézy ( V = C gyj ): j  = j

 ks ks

3/2

(6.18)

dove: - ks : coefficiente di scabrezza di Gauckler–Strickler complessiva; - ks : coefficiente di scabrezza di Gauckler–Strickler dovuta esclusivamente ai granuli del materiale mobile; può essere valutato con la formula: 26 ks = 1/6 (6.19) D90

L’utilizzo del D90 , diametro corrispondente ad un passante del 90%, viene giustificato con il fenomeno del corazzamento (o armoring) armoring) del fondo : durante le fasi di piena gran parte della granulometria presente in alveo si muove, mentre durante le fasi di morbida è lecito pensare che la frazione più grossolana si fermi mentre quella più fine continui ad essere trasportata, ne consegue che la pezzatura grossolana arresta il proprio moto, s’incastra e perde il fine presente tra di essa tuttavia protegge dal distacco tutto il materiale che sta sotto di essa; il materiale in superficie di un deposito alluvionale è sempre più grossolano di quello che sta più in profondità, ne consegue che sono i diametri più grandi ( D90) quelli indicativi della resistenza del fondo. La condizione critica di inizio del movimento al fondo può essere ottenuta ottenuta imponendo nul nulla la portata solida al fondo qs = 0: ρ

ρs

−

Rj  = 0, 047 ρ Ds

(6.20)


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235

 Essendo gRj  = τ 0 /ρ e τ 0 = τ cr nelle condizioni in esame si ottiene:  τ cr = 0, 0 , 047 (γ s γ )Ds

(6.21)

−

∗ Tale valore corrisponde alla τ cr dovuta alla sola resistenza della componente di attrito dei granuli.

Formula di Einstein

Attraverso una serie di studi, iniziati negli anni ’40 e portati a conclusione nel 1950, Einstein 1 introdusse un metodo probabilistico per la valutazione della portata solida al fondo e propose una formula che ha avuto largo impiego tecnico. Tale metodo si basa sull’introduzione di due parametri adimensionali:  parametro di stabilità : Ψ=

ρs

− ρ gDs = V ∗

ρ

1 τ ∗

(6.22)

esso è uguale all’inverso del parametro di stabilità di Shields;  parametro di trasporto : Φ = qs



ρs

− ρ gD 3 s

ρ



−1/2

(6.23)

Nello schema schema di Einstein Einstein si considera una superficie superficie unitaria sul fondo dell’alveo dell’alveo:: in condizioni condizioni permanenti permanenti il numero di granuli depositati nell’unità di tempo deve essere uguale al numero di granuli erosi . A causa della turbolenza della corrente il fenomeno di erosione e sedimentazione è supposto casuale. Il trasporto al fondo è il risultato di un certo numero di passi che ogni granulo del materiale sedimentato compie compie saltuariame saltuariamente nte fino a trovare trovare le condizioni condizioni favorevo favorevoli li all’arresto. all’arresto. La distanza media percorsa dai granuli dal momento in cui sono erosi al momento in cui sono depositati vale: (6.24)

< L >= AL Ds

dove: - Ds : diametro diametro dei granuli; granuli; la distanza distanza percorsa è direttamen direttamente te proporzionale proporzionale al diametro diametro in quanto quanto minore è la possibilità di incontrare punti favorevoli all’arresto; - AL : costante costante di proporzionali proporzionalità. tà. Il numero di granuli depositati per unità di tempo ed area è proporzionale al numero di granuli trasportati , all’incirca pari a qs /Ds3, moltiplicato per la probabilità che vi sia deposizione , pari a 1/L, e quindi a: numero numero granuli granuli depositati depositati

∝ ρsDq3sAρsLDs s

Il numero di granuli erosi per unità di tempo ed area è proporzionale al numero di granuli presenti , proporzionale a 1×1/Ds2 , moltiplicato per la probabilità che vi sia distacco , proporzionale alla frazione temporale θ in cui la portanza dovuta alla turbolenza supera il peso della particella, moltiplicata per la probabilità di non ricadere , proporzionale al tempo di caduta in acqua ferma ts da un’altezza pari ad 1 diametro pari a: ts

e quindi a:

∝

Ds

   ρs −ρ ρ

gDs

θ numero numero granuli granuli erosi

1

Si tratta di Hans Albert Einstein, figlio di Albert Einstein.

∝



ρs −ρ ρ gD s

Ds3

236


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Uguagliando questo numero a quello delle particelle depositate attraverso un coefficiente globale di proporzionalità C , si ottiene l’ equazione del trasporto solido : ρs qs θ = C 2 4 AL ρs Ds Ds



g ρs ρ Ds ρ

−

La distanza < L >= > = AL Ds può essere espressa come prodotto della lunghezza media del singolo passo λDs di un granulo per il numero di passi, il quale è inversamente proporzionale alla probabilità di deposizione 1 − θ, si ottiene: AL Ds =

l’equazione del trasporto solido diventa:

λDs 1 θ

−

θ

1

ossia:

− θ = AΦ AΦ 1 + AΦ

θ=

(6.25)

La probabilità di erosione θ può essere espressa, secondo Einstein, in funzione del rapporto tra il peso della particella immersa nel fluido e la portanza fluidodinamica , si può quindi scrivere:



g (ρs ρ)Ds3 1 θ = f 2 C p ρDs2 V f f

−



(6.26)

dove: - C p : coefficiente di portanza; - V f f 2 : velocità al fondo. Poiché la velocità al fondo è proporzionale alla velocità di attrito: V f f

∝ V

∗

l’equazione del trasporto solido al fondo può essere espressa da:





g (ρs ρ)Ds θ = f = f (Ψ) f (Ψ) ρV ∗ 2

−

(6.27)

Per trasporto debole, ossia per valori Φ < 0, 4 Einstein ha proposto l’equazione: 0, 465 465Φ Φ = exp [ 0, 391Ψ]

−

(6.28)

rappresen rappresentata tata da una retta nel diagramma di figura 5.3(b). Confronto fra la formula di Einstein e quella di Meyer–Peter e Müller

È stato eseguito un confronto fra l’equazione di Einstein e quella di Meyer-Peter e Müller, trasformando la seconda seconda ed esprimendo esprimendola la con gli stessi parametri parametri di Einstein: Einstein: Φ=8



1 Ψ



− 0, 047

3/2

(6.29)

Il confronto fra le curve rappresentatrici delle due equazioni e i risultati su sedimenti uniformi è rappresentato nella figura 5.3(b), 5.3(b), che ne mostra la buona concordanza. L’accordo si riscontra anche con miscugli miscugli a granulo granulometria metria non uniforme uniforme , per i quali però è consigliato assumere per il diametro Ds due differenti valori:

−→ formula di Einstein: Ds = D35 −→ formula di Meyer–Peter e Müller: Ds = D50.

Andrea Lisjak


237

Figura Figura 6.9. Relazione fra le funzioni Φ e Ψ di Einstein (1942).

Formula di Yalin

Yalin (1963) ha ottenuto la sua formula per il calcolo di qs partendo dall’ipotesi che il moto dei granuli avvenga per salti e che ogni salto si presenti come la traiettoria di un proiettile la cui massima altezza è conseguenza non dell’azione continua di una forza di trascinamento, ma della velocità acquistata inizialmente dal granulo. Il risultato viene qui riportato in termini dei parametri Φ e Ψ di Einstein, con riferimento specifico al trasporto di granuli di quarzo in acqua ( ρs /ρ = 2, 2 , 65):

 √

Ψcr Φ = cost Ψ

con

1 Ψ

  − −   −  1 Ψcr

as = 1, 66 Ψcr

1 log10 (1 + as ) as

1

1 Ψ



1 Ψcr

(6.30)

(6.31)

la costante è risultata pari a 0,635, dal confronto con altri risultati sperimentali. Con l’aumentare della portata solida as diventa molto grande e quindi: 1 ln(1 + as ) as

→0

sicché l’equazione di Yalin si riduce alla:

 √

Ψcr Φ = 0, 635 Ψ

1 Ψ

−

1 Ψcr



(6.32)

238


Andrea Lisjak

Figura 6.10. Relazione grafica di Einstein (1950), curva a linea intera, e di Meyer–Peter e

Müller (1948), curva a tratti, per il calcolo della portata solida al fondo.

Formula di Bagnold

L’equazione di Bagnold (1956) per il trasporto solido al fondo è analoga all’equazione 6.32 ma con 0,21 al posto del coefficiente 0,635:

 √

Ψcr Φ = 0, 0 , 21 Ψ

1 Ψ

−

1 Ψcr



(6.33)

Considerazioni generali sull’impiego di formule per il calcolo del trasporto solido al fondo

Di tutte le formule esposte quella di Einstein è a tutt’oggi quella che si avvicina di più concettualmente alla fisica reale del problema. Lo studio del trasporto solido al fondo nei corsi d’acqua naturali è un problema che viene reso ancora più complicato da una serie di varianti rispetto alle sperimentazioni di laboratorio: garantita;  disponibilità di materiale per il trasporto solido non sempre garantita; trasporto;  impulsività del trasporto;  turbolenza della corrente e presenza di discontinuità di parete.

Tali formule possono in definitiva essere utilizzate per dare una valutazion valutazionee di massima massima sul camp campo o di variabilità atteso del fenomeno.

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6.5 6.5

6.5. Trasporto solido in sospensione

239

Traspo rasporto rto sol solido ido in sospen sospensio sione ne

Il trasporto solido in sospensione interessa la frazione granulometrica fine che, una volta sollevata dal fondo, rimane permanentemente miscelata all’interno dell’acqua senza dar luogo ad una nuova precipitazione, almeno finchè l’acqua rimande in movimento. Il trasporto in sospensione dà luogo alla torbidità dell’acqua e per questo motivo viene detto anche trasporto torbido.

6.5.1 6.5.1

Metodi Metodi di misu misura ra

La torbidità dell’acqua è essenzialmente una misura di concentrazione della fase solida presente , essa può essere espressa come:

−→ concentrazione massica : rapporto massa solida e volume d’acqua torbida (g/l) torbida (ppm). −→ concentrazione volumica : rapporto tra volume solido e volume d’acqua torbida

La misura di concentrazione implica per sua stessa natura un processo processo di campionamento campionamento. È evi evide dent ntee quindi che il suo valore è influenzato dal volume esso deve esser esseree sufficientemente grande da volume utilizzato utilizzato: esso non interagire con granuli, paradossalmente un volume delle stesse dimensioni dei granuli può dari luogo solamente a misure di concentrazione unitaria o nulla, e sufficientemente piccolo da non interagire con la sezione idrica nel suo complesso, in modo tale da poter apprezzare le variazioni di concentrazione con la profondità. Esistono anche metodi di misura di tipo indiretto , ossia basati sulla variazione dell’opacità dell’acqua in funzione funzione della torbidità torbidità ( torbidimetri ). ).

6.5.2 6.5.2

Equazio Equazione ne della della diffus diffusion ione–d e–disper ispersio sione ne

Conservazione della massa

Lo studio del trasporto solido in sospensione utilizza la conservazione della massa della sostanza dispersa. Seguendo un approccio di tipo lagrangiano si assume: D Dt



C s dV = 0

(6.34)

V

dove: - C s = C s (y , y , z , t) t): concentrazione della sostanza dispersa; - V : volume mobile di controllo; - D/Dt: derivata sostanziale (si prende un volume di fluido e lo si segue nel suo percorso). Alla (6.34 (6.34)) si può applicare il teorema del trasporto in modo da considerare il problema in termini di flussi entranti ed uscenti da un volume di controllo fisso V (approccio euleriano ):

 V

∂C s dV ∂t

 −

C s vs

A

· n dA = 0

(6.35)

dove: -

n:

versore normale interno alla superficie A che delimita V ;

-

vs :

velocità di migrazione del materiale disperso.

Applicando il teorema della divergenza , in modo da trasformare l’integrale di superficie in un integrale di volume, segue:

  V



∂C s + div(C div(C s vs ) dV = 0 ∂t

(6.36)

da cui, per l’ arbitrarietà del volume di controllo V e per la continuità continuità dell’integrando dell’integrando, si ha: ∂C s + div(C div(C s vs ) = 0 ∂t

(6.37)

240


La parametrizzazione della velocità

vs

Andrea Lisjak

può essere effettuata in due modi:

1. mediante le equazioni di moto del sedimento all’interno del fluido ambiente; 2. esprimendo la velocità del sedimento in funzione della velocità del fluido ambiente, una volta risolto il campo di moto di quest’ultimo. In tale contesto si utilizza il secondo metodo per cui si considera che a produrre la velocità meccanismi diversi che possono anche presentarsi assieme:

vs

concorrano

1. diffusione : avviene a livello molecolare per variazioni di concentrazione; 2. dispersione : avviene per agitazione turbolenta del fluido ambiente; 3. convezione : è indotta dal moto medio del fluido ambiente; 4. sedimentazione : è indotta dal difetto della spinta di galleggiamento rispetto al peso. Diffusione

In presenza di diffusione la migrazione avviene verso le zone a concentrazione più bassa e la velocità di diffusione si assume di norma proporzionale al gradiente della concentrazione ( prima legge di Fick ): C s vs =

(6.38)

−E d grad C s

dove: - E d : coefficiente di diffusione [L2/T ] /T ]; Dispersione

In presenza di turbolenza conviene scindere C s e vs nel seguente modo: C s = C s + C s

(6.39)

= vs + vs

(6.40)

vs

dove: - C s , v s : valori medi temporali di Reynolds; - C s , vs : componenti componenti fluttuanti fluttuanti a media temporale temporale nulla su un periodo p eriodo sufficientemen sufficientemente te lungo; ne segue che: C s vs = C s vs + C s vs + C s vs + C s vs = C s vs + C s vs

(6.41)

dove: - C s vs : termine di dispersione turbolenta; - C s vs : termine di convezione. In analogia con lo schema diffusivo si usa porre: C s vs =

(6.42)

−E · grad C s

dove: -

E:

tensore di dispersione : E =



E 11 11 E 21 21 E 31 31

E 12 12 E 22 22 E 32 32

E 13 13 E 23 23 E 33 33



(6.43)

 E ij ij esprime come fluttua la concentrazione nella direzione i (C s vsi ) per effetto di una fluttuazione della velocità nella direzione j (∂C s /∂x j ).


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241

Convezione

La velocità velocità media di migrazione è soliti porre:

vs

è legata invece alla velocità media temporale

v

del fluido ambiente. Si (6.44)

C s vs = C s E c v

dove: -

v:

velocità velocità media temporale del fluido ambiente; ambiente;

- E c : coefficiente di convezione [−], eventualmente unitario. Sedimentazione

Se la fase dispersa ha densità ρs diversa diversa da quella ρ del fluido, nascono spinte di galleggiamento differenti dal peso proprio del materiale sospeso, che acquista di conseguenza una velocità vs , propria, distinta da quella del fluido ambiente. Equazione di continuità per la fase dispersa

Nei moti turbolenti la diffusione molecolare ha spesso importanza trascurabile e l’equazione di continuità per la fase dispersa diventa: ∂C s + div(C div(C s E c v) ∂t

(6.45)

− div(E · grad C s) = 0

Assumendo come assi coordinati x,y,z gli assi principali del tensore della dispersione, ed indicando con E x , E y e E z i relativi coefficienti, si ottiene complessivamente in termini scalari:



∂C s ∂C s ∂C s ∂C s + E c v x + vy + vz ∂t ∂x ∂y ∂z

−

∂ ∂x



+ vsx

∂C s ∂C s ∂C s + vsy + vsz + ∂x ∂y ∂z

 −  −   E x

∂C s ∂x

∂ ∂y

E y

∂C s ∂y

∂ ∂z

E z

∂C s ∂z

=0

(6.46)

avendo assunto div v = div vs = 0

6.5.3 6.5.3

Metodi Metodi di calco calcolo lo

Un’applicazione particolarmente semplice dell’equazione della dispersione si presenta nello studio del trasporto trasp orto solido solido in sospensione, sospensione, sotto le seguenti seguenti ipotesi: 1. moto permanente :

2. moto uniforme :

∂ =0 ∂t ∂ =0 ∂x

3. moto bidimensionale nel piano x, y (figura 6.11): 6.11): vy = v z = 0 vsx = vsz=0 ∂C s =0 ∂z

4. pendenza del fondo modesta e quindi quasi verticalità dell’asse y : vsy =

−ws

242


Andrea Lisjak

dove: - ws : velocità di caduta libera del materiale nel fluido in esame.

Figura 6.11. Ipotesi di moto bidimensionale nel piano x, y .

Per semplificare la scrittura omettiamo nel seguito il soprasegno su C s , intendendo con questo simbolo sempre il valore medio temporale del volume di materiale sospeso per unità di volume. L’equazione ( 6.46) 6.46) si riduce alla: (6.47) −ws dC s − d E y dC s = 0 dy

dy

da cui, integrando, deriva:

 

C s ws + E y

dy

dC s =0 dy

(6.48)

Nell’ipotesi di una distribuzione della turbolenza tale da rendere il coefficiente E y indipendente da y , l’integrazione della (6.48 ( 6.48)) può essere fatta separando le variabili (figura 6.12): 6.12): C = exp C s

−

ws (y E y



− a)

(6.49)

dove: - y: distanza generica dal fondo a cui corrisponde la concentrazione C s ; - a: distanza dal fondo alla quale la concentrazione ha il valore noto C sa sa , corrisponde alla presenza di uno strato limite o all’inizio del trasporto solido al fondo. In generale tuttavia, per una corrente liquida in moto uniforme, il coefficiente coefficiente di dispersione dispersione E y è funzione di y . Soluzione di Rouse Rouse , ipotizzando di correlare E y all’agitazione turbolenta ed assumendo una legge di distribuzione logaritmic aritmica a della velocità velocità , ottenn ottennee che che il coefficie coefficient ntee di dispers dispersion ionee turbolen turbolento to può essere essere assun assunto to pari pari a: ∗

− 

E y = kv y 1

dove:

y Y

(6.50)

- k: costante di Kármán , pari all’inverso del coefficiente moltiplicatore del logaritmo della distribuzione della velocità; secondo Nikuradse k = 1/2, 5 = 0, 0 , 4; - Y : quota del pelo libero.


Andrea Lisjak

243

Figura Figura 6.12. Andame Andament nto o della della concen concentra trazio zione ne della della frazio frazione ne disper dispersa sa nell’i nell’ipot potesi esi di

coefficiente di dispersione turbolento indipendente da y .

Sostituendo l’espressione (6.50 ( 6.50)) nella (6.47 (6.47)) si ottiene: dC s = C s

la cui soluzione è data da: C s = C sa sa



− kvws · y(1 −dyy/Y y/ Y ))

(6.51)

∗

Y

−y ·

y

Y



ws /kv

a

−a

∗

(6.52)

Tale soluzione in pratica tiene conto del fatto che l’effetto gravitativo viene controbilanciato dalla fluttuazione del coefficiente di dispersione turbolento. Alcune curve, ricavate dall’equazione ( 6.52) 6.52) per valori ws /kv ∗ = cost sono riportate nella figura 5.3(b) a linea continu continuaa e poste a confronto confronto con i risultati risultati sperimentali sperimentali di Vanoni (1946). (1946). Per quanto quanto riguarda la distanza a dal fondo, il valore consigliato normalmente è 0, 05 05Y Y . La presenza del materiale solido in sospensione in realtà influisce sul meccanismo della turbolenza del fluido principalmente attenuando l’ampiezza delle oscillazioni turbolente di velocità. In tale modo gli effetti dissipativi dovuti alla turbolenza devono diminuire, ma al fluido in moto è richiesta una maggiore quantità di energia per mantenere in atto la sospensione stessa. Uno degli aspetti cinematici più evidenti dell’influenza del materiale sospeso sospeso è un aumento del gradiente gradiente della velocità nella sezione sezione trasversale. trasversale. Si veda nella figura 5.3(b) la rappresentazione grafica delle distribuzioni di velocità rilevate sperimentalmente da Vanoni e Nomicos. Soluzione di Lane e Kalinske

La soluzione di Lane e Kalinske (1941) consiste nel calcolare C s con l’equazione (6.49 ( 6.49)) assumendo però come coefficiente di dispersione E y il valore medio sulla verticale del coefficiente E y di Rouse: E y

dove con k = 0, 4 si ottiene:

≈

kv ∗ Y

  −  Y

y Y

y 1

0

kv ∗ Y dy = 6

∗

E y

≈ v15Y

(6.53)

(6.54)

Determinaz Determinazione ione della portata

Per quanto riguarda la portata massica ρs qs del materiale in sospensione per unità di larghezza si ha:



Y

ρs qs =

0

C s vs dy

(6.55)

244


Figura 6.13. Curve Curve di distribu distribuzion zionee della della concentra concentrazion zionee C s , rappor rapporta tata ta alla alla concen concen--

trazione C sa sa alla quota a del fondo, a confronto con i risultati sperimentali di Vanoni (1946).

Figura 6.14. Misu Misure re di veloc velocit itàà in funz funzio ione ne dell dellaa dist distan anza za dal dal fond fondo o eseg esegui uite te da

Vanoni e Nomicos (1959) su correnti con materiale in sospensione a varie ˜s . concentrazioni medie–spaziali medie–spaziali C

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Andrea Lisjak

245

dove: - C s : concentrazione espressa in massa per unità di volume; - vs : velocità velocità media locale del materiale trasportato trasportato nella direzione direzione della corrente. corrente. Nota la distribuzione sulla verticale di C s /C sa sa a partire da un’altezza a sul fondo, molto piccola rispetto a Y , e assunta la distribuzione logaritmica delle velocità, l’equazione della portata massica in sospensione diventa: ∗

ρs qs = C sa sa v Y

          1

a/Y

dove:

C s C sa sa

2, 5 ln

y ds + f Y Y

d

y Y

(6.56)

- f ( f (ds /Y ) /Y ) è una funzione di attrito dipendente dalla scabrezza relativa ds /Y del materiale di fondo; - (C/C sa sa ) si può utilizzare ad esempio l’espressione data da Rouse, oppure quella proposta da Lane e Kalinske. Einstein (1950) ha utilizzato, per la distribuzione delle velocità lungo la verticale, l’espressione logaritmica: vs = 5, 75log10 v∗

dove:

  30 30,, 2χy D65

(6.57)

- v∗ : velocità velocità di attrito dovuta dovuta alla sola scabrezza granulare; granulare; - χ: coefficiente correttivo assegnato in forma grafica (figura 6.15) 6.15) in funzione del rapporto fra D65 e lo ∗ spessore convenzionale δ = 11 11,, 6ν/v .

Figura Figura 6.15. Coefficiente correttivo χ di Einstein da introdurre nella legge di distribuzione

logaritmica delle velocità.

Con tale distribuzio distribuzione ne di velocità velocità e con l’equazione l’equazione di Rouse ( 6.52) per esprimere esprimere C s /C sa sa , la portata solida massica massica in sospensione sospensione,, per unità di larghezza larghezza vale: ∗



ρs qs = 11, 11 , 6C sa 303I I 1 ln sa v a 2, 303

dove:

   30 30,, 2χY D65

+ I 2

(6.58)

246


Andrea Lisjak

- I 1 e I 2 sono detti integrali di Einstein :

  −    −  1

1

I 1 =

x

a/Y

1

I 2 =

a/Y

x

1

x

x

γ

dx

(6.59)

ln x dx

(6.60)

γ

∗ Assumendo la portata solida al fondo pari a qs,fondo = 11 11,, 6C sa sa v a si ottiene l’equazione che correla il trasporto solido in sospensione con quello al fondo, sempre per unità di larghezza:



qs,s = qs,fondo 2, 303 303I I 1 ln

      30 30,, 2χY D65

+ I 2

(6.61)

Il trasporto solido totale può quindi essere assunto pari a:



qs,tot = qs,fondo 1 + 2, 2 , 303 303I I 1 ln

30 30,, 2χY D65

+ I 2

(6.62)

6.6. Trasporto solido totale

Andrea Lisjak

6.6 6.6 6.6.1 6.6.1

247

Traspo rasporto rto soli solido do total totale e Metodi Metodi di calco calcolo lo

Il trasporto solido totale di una corrente liquida può essere valutato secondo due approcci: 1. sommando le portate solide al fondo ed in sospensione, calcolate con i metodi visti in precedenza; 2. utilizzando utilizzando formule destinate destinate specificatame specificatamente nte a questo questo scopo. Metodo di Einstein

Il metodo di Einstein prevede di calcolare il trasporto solido totale per classi granulometriche , ipotizzando che ogni classe sia debolmente debolmente interagente interagente con le altre. Dal punto di vista operativo si suddivide quindi il fuso granulometrico in fasce percentili Dik ÷ Dsk , per ognuna delle quali si determina il diametro rappresentativo, corrispondente al diametro mediano Dk , e si determina il trasporto solido, mediante mediante la formula di Einstein , relativo a quel diametro:



qs = qs,fondo 1 + 2, 2 , 303 303I I 1 ln

   30 30,, 2χY D65

(6.63)

+ I 2

Successivamente si sommano tutti in contributi, pesandoli per la rispettiva misura percentuale all’interno dell’ammasso di sedimenti: ϕk = prob(D prob(Dik < D < Dsk )

Il metodo si esplica nella seguente procedura di calcolo: 1. al diametro mediano Dk si associa il parametro: ρs

Ψk =

− ρ gDk v∗

ρ

2. si applica la relazione di Einstein: Φk = f (Ψ f (Ψk )

3. la portata solida volumetrica al fondo per unità di larghezza del materiale di dimensione media Dk vale: 3/2 qsk = Φ k Dk

 − g

ρs

ρ

ρ

4. la portata solida massica al fondo per unità di larghezza larghezza del materiale materiale di dimensione dimensione media Dk vale: Gk = ρs qsk =

/ ρs Φk Dk3 2

 − g

ρs

ρ

ρ

5. la portata solida massica totale per unità di larghezza del materiale di dimensione media Dk vale: Gk,tot =

3/2 ρs Φk Dk

 −  g

ρs

ρ

ρ

1 + 2, 2 , 303 303I I 1 ln

   30 30,, 2χY D65

+ I 2

6. la portata solida massica totale per unità di larghezza vale: Gtot =



ϕk Gk,tot

È evidente che il limite di tale approccio sta nell’ipotesi di interazione debole tra le classii granulometriche, nella realtà il trasporto solido è caratterizzato da movimenti tipicamente impulsivi con forti interazioni in termini di urti fra le diverse particelle.

248


Andrea Lisjak

Metodo di Bagnold

Il metodo di Bagnold si basa su condiderazioni energetiche relative al lavoro richiesto ed al rendimento sperimentale del processo. La potenza necessaria per il trasporto di materiale solido al fondo , per unità di superficie, vale: N f f = g (ρs

− ρ)qs tan α

dove: - vs : velocità media del materiale solido al fondo; - qs : portata volumetrica solida al fondo per unità di larghezza; - tan α: coefficiente di attrito del materiale. La potenza necessaria per il trasporto solido in sospensione , per unità di superficie, vale N s = g(ρs



− ρ)qs

 ws vs

dove: - ws : velocità di caduta libera; - qs : portata volumetrica solida in sospensione per unità di larghezza. La potenza disponibile da parte della corrente liquida , per unità di larghezza B del canale della sezione rettangolare, è: N = γ Y j V

dove: - j : perdita di carico effettivo per unità di percorso ( j = dH/ ds). Bagnold ha introdotto un coefficiente di rendimento ηf per esprimere la frazione della potenza disponibile utilizzata per il trasporto solido al fondo : N s = ηf N

ed un coefficiente di rendimento ηs del trasporto in sospensione rispetto alla restante potenza disponibile (1 − ηf )N : N s = ηs (1

− ηf )N

Tenendo conto di queste posizioni e delle precedenti relazioni energetiche si può scrivere la portata solida totale qs,tot , per unità di larghezza, nella forma: N



qs,tot = qs + qs =

g (ρs

−



ηf + ηs (1 ρ) tan α

−

vs ef ) ws



(6.64)

Il calcolo della portata qs,tot richiede la conoscenza dei quattro parametri ηf , ηs , tan α e vs . Per Per rendere rendere pratico il suo impiego Bagnold ha suggerito di porre vs pari alla velocità media della corrente V e di assumere, per sospensioni in moto turbolento completamente sviluppato, ηs (1 − ηf ) ≈ 2/3 ≈ 0, 01, per cui risulta: Y jV ηf V (6.65) qs,tot = ρ + 0, 0, 01 ρs

−ρ



tan α

ws



Bagnold ha inoltre fornito graficamente valori consigliabili di tan α e di ηf .

Andrea Lisjak

6.7 6.7

6.7. Modellamento del fondo

249

Modell Modellam amen ento to del fo fondo ndo

Il movimento di una corrente fluida su un fondo incoerente , quando è accompagnato da trasporto solido, influisce sulla configurazione del fondo stesso che assume forme correlate con le caratteristiche della corrente e del materiale trasportato.

6.7.1 6.7.1

Forme orme del del fondo fondo mobile mobile

Classificazione di Simons

Una classificazione delle forme del fondo che trova attualmente largo credito è quella proposta da Simons (1961) sulla base delle sistematiche ricerche sperimentali condotte dalla Colorado State University. Il criterio fa in primo luogo riferimento al regime del moto caratterizzato dal numero di Froude : F r =

√vgy

(6.66)

dove: - v: velocità velocità media della corrente; corrente; - y: altezza media della corrente. Per quanto riguarda la caratterizzazione dello stato dell’alveo, la scelta più conveniente è apparsa quella basata sui numeri seguenti:  numero di Reynolds del trasporto solido : Re∗ =

V ∗ Ds ν

(6.67)

dove: - V ∗ : velocità velocità di attrito relativa relativa alla sola scabrezza scabrezza granulare granulare del fondo; - Ds : diametro equivalente del materiale mobile costituente il fondo; - ν : viscosità cinematica del fluido.  numero di Froude del trasporto solido : F r∗ =

V ∗ ws

(6.68)

dove: - ws : velocità di caduta libera dei granuli in acqua ferma. Al crescere di F r e F r ∗ , a parità di numero di Reynolds del trasporto solido, si osservano generalmente le configurazioni di seguito riportate (figura 6.16). 6.16). I. Ripples (F r  1): piccoli piccoli corrugamen corrugamenti ti della superficie del fondo, fondo, lunghi da 5 a 50 cm e alti da 0,5 a 5 cm cm;; II. dune (F r < 1): ondulazioni ondulazioni più accentuate accentuate con pendenza dolce a monte e ripida a valle, valle, e con movimento lento verso valle. I ripples possono formarsi anche sopra le dune le quali hanno lunghezza variabile ariabile da 50 cm fino a qualche qualche metro. Dal punto di vista idraulico essendo la corrente lenta si ha un abbassamento del profilo del pelo libero in controfase rispetto all’andamento del fondo, si ha quindi una corrente accelerata sul lato di monte, con conseguente erosione di materiale, ed una corrente rallentata sul lato di valle, con conseguente deposizione di materiale. Nel tempo si ha una traslazione del profilo di forma verso valle. III. Transizione (F r ≈ 1): corrisponde corrisponde ad uno stato di fondo con ondulazioni ondulazioni lievi e lunghe, quasi piatto; esso segue allo spianamento ed all’asportazione delle dune. IV. Fondo piano : assenza di modellamento del fondo.

250


Andrea Lisjak

Figura 6.16. Forme del fondo mobile secondo Simons.

V. Antidune (F r > 1): ondul ondulazion azionii regolari regolari e simmetrich simmetriche, e, stazionarie stazionarie o in moto più frequentemen frequentemente te verso monte. Dal punto di vista idraulica essendo la corrente veloce si ha un abbassamento del profilo del pelo libero in fase con l’andamento del fondo, si ha quindi una corrente rallentata sul lato di monte, con conseguente deposizione di materiale, ed una corrente accelerata sul lato di valle, con conseguente deposizione di materiale. Nel tempo si ha una traslazione dl profilo di forma verso monte. VI. Antidune con onde frangenti (F r  1): essendo la corrente molto veloce in fase di apertura dei filetti fluidi alcuni di essi fuoriescono fuoriescono dall’andamen dall’andamento to di forma dell’onda dell’onda e si miscelano miscelano all’aria dando luogo ad onde frangenti. Grafico di Simons e Richardson

Simons e Richardson (1961) hanno proposte per tutte le forme la rappresentazione delle curve limite delle varie configurazioni nel piano Re∗ , F r∗ , in tale rappresentazione (figura 6.17) 6.17) l’inizio del moto è definito dalla curva di Shields. Grafico di Bogárdi

Bogárdi (1959) ha proposto un diagramma (figura 6.18) sia per il calcolo del trasporto solido totale sia per l’individuazione delle configurazioni del fondo.

Andrea Lisjak

6.8. Resistenza al moto degli alvei a fondo mobile

Figura Figura 6.17. Grafi Grafico co di Simo Simons ns e

251

Rich Richaardso rdson n (196 (1961) 1) per per l’in l’indi divi vidu duaz azio ione ne dell dellaa

configurazione del fondo.

6.8 6.8

Resis Resisten tenza za al moto moto degli degli alv alvei a fondo fondo mobil mobile e

Il modellamento del fondo induce una resistenza al moto della corrente fluida che si ritiene separabile da quella dovuta alla scabrezza superficiale e con essa sommabile. La tensione totale media sul contorno vale dunque: (6.69) τ 0 = τ 0 + τ 0 dove: - τ 0 : tensione dovuta alla resistenza superficiale ; - τ 0 : tensione dovuta alla resistenza di forma . La stessa equazione, essendo τ 0 = γj R, si può scrivere: τ 0 = γj (R + R )

oppure: τ 0 = γR( γR ( j  + j  )

In termini di velocità di attrito:

        ∗

v =

si ha: v∗  =

v∗  =

τ τ0 = ρ

gRj

τ 0 = ρ

gR  j =

gRj 

τ 0 = ρ

gR  j =

gRj 

252


Andrea Lisjak

Figura 6.18. Grafico di Bogárdi (1965) per il calcolo del trasporto solido totale e per

l’individuazione delle configurazioni di fondo.

e quindi l’equazione (6.69 ( 6.69)) diventa:

v∗ 2 = v∗ 2 + v∗ 2

(6.70)

In condizioni condizioni di moto uniforme, uniforme, j coincide con la pendenza del fondo if e l’equazione:



V = C gRi f

si può scrivere:

U = C v∗

Introducendo la solita suddivisione sul coefficiente adimensionale di resistenza C , questa equazione è separabile nelle: U = C  v∗ 

U = C  v ∗ 

con il legame, che discende dalla ( 6.70): 6.70): 1 1 1 = 2 + 2 2 C C C

(6.71)

Andrea Lisjak

6.8.1 6.8.1

6.8. Resistenza al moto degli alvei a fondo mobile

253

Determi Determinaz nazion ione e della della resisten resistenza za superfici superficiale ale

Formula di Gauckler–Strickler–Manning

A partire dalla formula di Chézy del moto uniforme:



V = C gY j

e dalla formula di Gauckler–Strickler–Manning :

V = ks χ2/3 j 1/2

si ottiene: C  = ks

Y 1/6 g

(6.72)

√

Il suggerimento di Müller è quello di porre: ks =

in tal modo si ottiene:

1/6

D90

  √

26 C = g 

26

Y D90

1/6

(6.73)

Formule logaritmiche

Si possono utilizzare le formule logaritmiche come la formula di Colebrook e White con l’avvertenza di sostituire al diametro D del tubo 4R e come numero di Reynolds 4V R/ν . In tal caso come parametro di scabrezza ε è abbastana pronunciata la dispersione fra i valori proposti dai diversi autori: 2D65 , D84 oppure 2, 5D90 quando Y /D90  100.

6.8.2 6.8.2

Determi Determinaz nazion ione e della della resisten resistenza za di forma forma

Formula di Einstein–Barbarossa

L’effetto della resistenza di forma viene valutato attraverso una dipendenza funzionale del coefficiente di resistenza dal parametro: ρs − ρ D35 (6.74) Ψ35 =  ρ

R j

ottenuta graficamente e rappresentata dalla curva nel diagramma C  = U/v ∗ = f (Ψ f (Ψ35 ) della figura 5.3(b). 5.3(b).

6.8.3 6.8.3

Determi Determinaz nazion ione e della della resisten resistenza za global globale e

Diverse proposte sono state avanzate per rappresentare la resistenza globale , ossia il relativo coefficiente C , con relazioni logaritmiche analoghe a quelle utilizzate per il calcolo di C  negli alvei a fondo fisso. Formula di Richardson

Richardson (1967) ha fornito le relazioni seguenti, per alvei molto larghi ( R ≈ Y ) e fondo piano: – con trasporto solido scarso o nullo: C = 5, 9log10

Y + 5, 5, 44 D85

(6.75)

Y D85

(6.76)

– con trasporto solido apprezzabile: C = 7, 7 , 4log10

254


Andrea Lisjak

Formula di Vanoni

Per correnti lente Vanoni (1967) ha proposto, sulla base di esperienze di laboratorio, la seguente formula: C = 9, 9log10

R e∆hm

− 6, 5

(6.77)

dove: - ∆hm : altezza media delle ondulazioni del fondo di lunghezza L; - e: parametro parametro di esposizione esposizione,, dato dal rapporto tra la proiezione proiezione orizzontale orizzontale di tutto il fondo ondul ondulato ato e la proiezione della sua parte riparata rispetto alla corrente. Formula di Hey

Per corrente abbastanza veloci in alvei ghiaiosi Hey ha proposto la seguente formula: C = 5, 75log10

  aR 3, 5D85

dove: - a: coefficiente coefficiente che dipende dalla compattezza compattezza della sezione ( a = 11 ÷ 13 13,, 5).

(6.78)

6.9. Geometria idraulica

Andrea Lisjak

6.9 6.9

255

Geome Geometri tria a idrau idraulic lica a

6.9.1 6.9.1

Metodo Metodo “at statio station” n”

Leopold e Maddock hanno considerato la sezione di un canale attivo, con l’obiettivo di determinare le relazioni esistenti tra la portata Q, la profondità media della corrente Y , la larghezza della sezione B e la velocità media della corrente v. È evidente evidente che al crescere della portata aumentan aumentanoo sia Y , sia B che v, si può quindi scrivere: B = αQm (6.79) Y = βQ n

(6.80)

B = γQ p

(6.81)

dove: - m, n, p > 0. Le tre variabili Y , B e v non sono variabili indipendenti, si ha infatti: Q = Ωv = BY v

(6.82)

ne consegue che: Q = αβγQm+n+ p

Dal momento che deve anche essere: αβγ = 1 m + n + p = 1

si ha che: 0 < m, m, n, p < 1

6.9.2 6.9.2

(6.83)

Metodo Metodo “downs “downstrea tream” m”

Il metodo “downstream” “downstream” prevede prevede l’analisi l’analisi di sezioni sezioni diverse di uno stesso corso d’acqua. d’acqua. Se si considera considera una sezione di monte ed una di valle il confronto può essere fatto considerando portate avente il medesimo tempo di ritorno, ossia la medesima frequenza di accadimento, nelle due sezioni; generalmente si ha: Qm < Q v

dove: - Qm : portata di monte; - Qv : portata di valle. Fissata una probabilità di non superamento essa deve essere uguale nelle due sezioni: prob(Q prob(Qm < qm ) = prob(Q prob(Qv < qv )

Per la determinazione reale di tali portate è necessario fissare una durata ed utilizzare la curva di durata 6.19). delle portate di valle e di monte (figura 6.19). Relazione tra portata e larghezza del canale

La figura 6.20 riporta la relazione tra portata Q e larghezza del canale B : – procedendo da monte a valle la differenza tra l’andamento della portata di magra e quella di piena è molto grande;

256


Andrea Lisjak

Figura Figura 6.19. Curva di durata delle portate.

– la differenza tra portata di valle e portata di monte, riferite a due sezioni distinte, è invece molto piccola. Relazione tra portata e profondità della corrente

La figura 6.20 riporta la relazione tra portata Q e la profondità della corrente Y : si può notare un andamento analogo a quello della larghezza del canale ma con variazioni più contenute. Relazione tra portata e velocità della correte

La figura 6.20 riporta la relazione tra portata Q e velocità della corrente Y : – procedendo da monte a valle la differenza tra l’andamento della portata di magra e quella di piena è piccola; – la differenza tra portata di valle e portata di monte, riferite a due sezioni distinte, è invece molto grande.

6.9.3 6.9.3

Relazion Relazione e larghe larghezza zza e portat portata a “bank “bankful full” l”

Indipendentemente dalla presenza di argini in un corso d’acqua naturale è quasi sempre possibile individuare delle sponde naturali (banks). Le portate che riempiono tutta l’alveo di un corso d’acqua da sponda a sponda sono dette portate “bankfull” . Da un punto di vista geomorfolo geomorfologico gico è utile indagare questa questa condizione condizione in quanto significativa per la forma dell’alveo. Sotto l’ipotesi che la condizione “bankfull” corrisponda ad una portata Qb di pari frequenza in tutti i canali è possibile esprimere mediante i criteri della geometria idraulica una relazione tra la portata Qb e la larghezza bankfull B : Qb = f ( f (B )

A tal proposito sono stati eseguiti degli studi sul bacino idrografico del fiume Po (figura 6.21 con 60 misure di larghezza in corrispondenza di tratti rettilinei di canali, in assenza di soglie geologiche e vincoli strutturali di tipo antropico ed in corrispondenza delle stazioni di misura delle portate del Servizio Idrografico, in modo da poter ottenere anche la distribuzione delle portate di piena F Q (q ). Si è visto che le migliori relazioni tra portate e larghezze “bankfull” si ottengono per valori di Qb prossimi al valore mediano Q50% , ossia aventi tempo di ritorno pari a 2 anni: T R =

∆t 1 1 = = = 2 anni anni 1 F 1 F 1 0, 5

−

−

−

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257

Figura Figura 6.20. Geometria dei corsi d’acqua.

Ciò significa che le portate che mantengono attivo l’alveo vengono mediamente superate una volta ogni 2 anni. Per portate con tempo di ritorno maggiore si ha l’inondazione delle zone golenali. I risultati di tali ricerche sono stati tradotti nel diagramma di figura 5.3(b): 5.3(b): semplicemente misurando la larghezza del canale è possibile fornire una stima della portata avente tempo di ritorno pari a 2 anni. La retta A si riferisce ai corsi d’acqua alpini mentre la retta B ai corsi d’acqua di pianura e a quelli appenninici.

258


Andrea Lisjak

Figura 6.21. Bacino idrografico del fiume Po e ubicazione dele stazioni di misura.

Figura 6.22. Diagramma delle correlazione fra larghezza “bankfull” e portata mediana dei

colmi per 60 casi presi in considerazione nel bacino padano. L’individuazione di due gruppi porta a meglio definire la relazione tra larghezza e portate.

6.9. 6.9.4 4

Teorie eorie del del regi regime me

Il problema è quello di stabilire delle relazioni fisiche per spiegare e prevedere l’evoluzione di un corso d’acqua naturale. Tale problema dal punto di vista pratico si traduce nella determinazione di un numero di equazioni funzionali almeno pari al numero di gradi di libertà, ossia di parametri, di un corso d’acqua.

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259

Parametri

I parametri parametri fondamentali per la descrizione dello stato di un corso d’acqua naturale sono 8:

−→ parametri di Leopold e Maddock: 1. larghezza del canale B ; 2. profondità della corrente Y ; 3. velocità media della corrente U ; 4. pendenza del fondo if ;

−→ parametro di forma della sezione: 5. perimetro bagnato P o raggio idraulico R;

−→ parametri relativi alle forme di fondo: 6. altezza ∆h; 7. lunghezza d’onda L;

−→ parametro di andamento planimetrico: 8. rapporto di sinuosità s (=Lc /Lv ). Tra i parametri aggiuntivi c’è anche la ripidità delle sponde. Equazioni

Le equazioni equazioni disponibili sono 7 e interessa interessano: no: 1. continu continuità: ità: (Q,B,Y,U ); 2. resistenza: (U,R,if , Ds , Y ) Y ); 3. trasporto solido: (U,R,Ds , ρs , if , Qs ); 4. e 5. forme di fondo: ( ∆h, L) (2 equazioni); 6. resistenza delle sponde: (Q, Qs , U , B , Y , R , Ds ); 7. meandri (s). I termini forzanti, ossia le variabili indipendenti, sono Q, Qs , Ds e ρs . Anche utilizzando modelli più semplificati o più complessi il numero di equazioni disponibili è pari sempre al numero di parametri di stato meno uno e risultano quindi insufficienti a descrivere il problema. Principio variazionale

Il modo per risolvere tale problema è quello di ricorrere a qualche principio variazionale , ossia si ipotizza che il sistema naturale si evolva in maniera tale da massimizzare o minimizzare qualche parametro globale del sistema. sistema. Dal momento che la massimizza massimizzazione zione o la minimi minimizzaz zzazione ione implicano implicano l’esecuzio l’esecuzione ne di una derivata derivata parziale il principio variazionale è associato sempre ad un principio di conservazione . Le teorie che sfruttano un principio principio variazionale variazionale,, basato basato su un qualche parametro, parametro, sono dette teorie del regime . Le più semplici considerano come variabili di stato solamente i parametri di Leopold e Maddock e sfruttando: 1. continu continuità; ità; 2. equazione di moto; 3. equazione del trasporto solido; 4. un principio variazionale; variazionale;

260


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cercano di esprimere: (B,Y,U,i f ) = f ( f (Q, Qs , Ds )

Vista l’arbitrarietà del principio variazionale utilizzato tale tipo di approccio fornisce solo delle indicazioni di massima. Teoria di Chang

La teoria di Chang (1985) utilizza come principio principio variazional variazionalee quello quello della costanza della potenza idraulica spesa per unità di lunghezza del canale : W = γQ

∆z = γQj = cost ∆l

(6.84)

Sfruttando una serie di simulazioni numeriche al calcolatore Chang ha prodotto il grafico riportato in figura 6.23:  Grafico superiore:

– asciss ascissa: a: portata portata in condiz condizion ionee “bankf “bankfull ull”” (cfs (cfs = pie piedi di cubi al second secondo, o, cms = metri metri cubi al secondo); – ordinata: rapporto tra la pendenza del fondo S e la radice quadrata di D. le linee continue definiscono l’andamento della larghezza “bankfull” B (in metri) mentre le linee tratteggiate definiscono l’andamento della profondità della corrente Y (in metri). metri).  Grafico inferiore:

– asciss ascissa: a: portata portata in condiz condizion ionee “bankf “bankfull ull”” (cfs (cfs = pie piedi di cubi al second secondo, o, cms = metri metri cubi al secondo); – ordinata: rapporto tra la portata di materiale solido al fondo e la portata d’acqua volumetriche espresse in ppm. Si possono individuare: – linea I: soglia di stabilità; – regione 1: canali artificiali e fiumi a meandri; basse pendenza e trasporto solido per lo più al fondo; – regione 2: tratti rettilinei a canali intrecciati; – regione 3 e 4: canali di transizione da canali intrecciati (a monte) e regime a meandri (a valle).


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Figura Figura 6.23. Relazioni di regime secondo la teoria di Chang per corsi d’acqua con fondo

sabbioso.

261

262


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Parte III

Sistemazione dei corsi d’acqua

263

Capitolo 7

Sistemazione dei bacini montani Gli interventi di sistemazione dei bacini montani possono essere di due tipi. 1. Interventi di sistemazione dei versanti ; hanno lo scopo di: (a) raccogliere e localizzare le acque piovane ; (b) consolidare il pendio. 2. Interventi di sistemazione delle aste torrentizie . Hanno lo scopo di: (a) diminuire l’erosione del fondo ; (b) limitare il trasporto solido ; (c) preservare dall’ erosione i versanti ; (d) difendere opere (esistenti). Tali interventi sono legati in primo luogo alla portata di piena o di progetto Q p ed al diametro ds del sedimento. Nel caso dei bacini bacini mon montani tani il corso d’acqua d’acqua occupa normalmente normalmente quasi completamen completamente te il fondo valle. valle. Ne consegue un’azione erosiva applicata al piede dei versanti con possibilità di instabilità globale del versante a causa dello scalzamento scalzamento al piede. piede. Le frane conseguent conseguentii producono producono fenomeni fenomeni di restringimen restringimento to localizzato localizzato dell’alveo e conseguenti variazioni delle condizioni di trasporto solido.

7.1 7.1

Sistem Sistemaz azio ione ne dei dei ver versa san nti

7.1.1 7.1.1

Interv Interven enti ti di raccolta raccolta e allont allontana anamen mento to delle acque acque

Gli interventi di raccolta e allontanamento dell’acqua piovana che cade sul pendio possono essere di due tipi: 1. canalizzazioni superficiali; 2. dreni subsuperficiali. Canalizzazioni superficiali

Le canalizzazioni superficiali sono costruite in modo tale da raccogliere le acque di ruscellamento su piccole porzion porzionii di pendio pendio (dell’ (dell’ord ordine ine dei 100ha 100 ha al massim massimo). o). Lo schem schemaa fondam fondamen ental talee di inter interve vento nto è quello quello riportato in figura 5.3(b). 5.3(b). vengono realizzati realizzati mediante mediante scavo scavo man manuale uale o meccanizz meccanizzato ato ed hanno una larghezza larghezza  Canali di gronda : vengono massima massima dell’ordine dell’ordine del mezzo metro. Possono Possono essere rifiniti in modo diverso. 265

266

Capitolo 7. Sistemazione dei bacini montani

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Cunette in materiale lapideo locale: tale pavimentaz pavimentazione ione ha il duplice scopo di evitare fenomeni −→ Cunette

−→ −→

di erosione accelerata e di rallentare il flusso. Realizzat Realizzatii con elementi elementi prefabbricat prefabbricati: i: sono costituiti costituiti da una sorta di tegole tegole rovescia rovesciate te a sezione sezione trapezia con il lato di valle più stretto di quello di monte in modo da poterle incastrare l’una nell’altra. nell’altra. Sono abbastanza abbastanza sensibili sensibili all’erosione all’erosione e a fenomeni di gelo–disge gelo–disgelo lo dell’acqua dell’acqua che s’infiltra nelle fessure. Cunette Cunette in materiale legnoso: legnoso: sono opere di ingegneria naturalistic naturalisticaa o forestale. forestale.

scaricatore : viene realizzato realizzato in corrispondenza corrispondenza dei tratti a penden p endenza za maggiore (fino al 45%) ed  Canale scaricatore

è caratterizzato caratterizzato da portate di una certa entità. Talvolta alvolta è possibile possibile realizzare realizzare una successione successione di salti in modo tale da far defluire l’acqua con una serie di cascate e dissipare notevoli quantità di energia. Devono assolutamente essere pavimentati, tuttavia si sconsigliano gli interventi di ingegneria naturalistica istica per problemi problemi di durabilità durabilità dei materiali materiali impiegati. Vengono realizzati secondo due modalità principali.

−→ Cunettoni . −→ Gabbioni a materasso :

a causa causa di proble problemi mi di corrosion corrosionee del della la rete metall metallica ica se ne sconsigl sconsiglia ia l’impiego in vicinanza delle correnti principali.

I criteri progettuali di tali tipi di intervento sono essenzialmente di natura empirica e basati sull’esperienza. Dreni subsuperficiali subsuperficiali

L’obiettivo di tali interventi è quello di limitare le escursioni della falda in terreni potenzialmente instabili. È possibile eseguire secondo due schemi.  Captazione in testa dell’acqua di falda proveniente da monte:

−→ dreni a cielo aperto.  Captazione dell’acqua all’interno del terreno, cercando di raggiungere la profondità corrispondente

alla superficie di scivolamento critica:

−→ tubi drenanti; −→ pozzi drenanti; −→ gallerie e microgallerie drenanti. 7.1.2 7.1.2

Inter Interve vent ntii di consolid consolidame ament nto o del pendio pendio

Gli interventi di consolidamento del pendio possono avere due scopi: 1. protezione protezione del pendio dall’erosione; dall’erosione; 2. aumento della stabilità del pendio. Interventi di protezione dall’erosione

 Tecniche di idro–semina 1 : consistono nel getto a pressione di una miscela fluida contenente semi vegetali,

fertilizzanti e materiale d’impasto. Procedimento dimento nero–verde : consiste nella disposizione sulla superficie del pendio dei seguenti strati: paglia,  Proce

rete deteriorabile, bitume nebulizzato e sementi con nutrienti.  Piantumazioni collegate a zolle “viventi” :  Cordonate . 1

Hydro–mulching

nella letteratura inglese.

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7.1. Sistemazione dei versanti

Interventi di aumento della stabilità

 Muri in calcestruzzo.  Terre armate .  Muretti a secco.  Muri in gabbionate .  Telai a conci in calcestruzzo.  Viminate o graticciate .

267

268


7.2 7.2

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Brig Br igli lie e e sogl soglie ie

7.2. 7.2.1 1

Gener Generali alità tà

La sistemazione dell’asta di un torrente è generalmente ottenuta diminuendone la pendenza con opere trasversali che ne fissino l’alveo:  briglie : strutture sporgenti;

strutture fissate fissate nell’alve nell’alveoo stesso. stesso.  soglie : strutture Obiettivo

Gli obiettivi che gli interventi si propongono sono quelli di:

−→ ridurre l’attitudine al trasporto solido di fondo; −→ proteggere, quando sia adottata la soluzione a briglie, le sponde per la stabilizzazione che il riempimento del prisma, avente come base il paramento di monte della briglia stessa, induce.

Gli schemi della figura 7.1 illustrano la sistemazione con briglie e soglie.

Figura Figura 7.1. Schemi di sistemazione con briglie e soglie.

Pendenza di progetto

Lo scopo è quello di garantire che la tensione tangenziale al fondo: τ 0 = γRi f

sia tale, in base al criterio di stabilità stabilità di Shields, che non ci sia erosione di materiale. materiale. L’idea L’idea è quella quella di ridurre la pendenza del canale:

∆Z L Dal momento che non è possibile aumentare la lunghezza L, per ottenere la pendenza di progetto i p dell’asta if =

bisogna intervenire sul dislivello creando uno o più salti e valutando, mediante un criterio appropriato, l’energia dissipata.

7.2. Briglie e soglie

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269

Criteri di scelta

La scelta di una sistemazione a soglie o briglie di un torrente è da vedersi in una prospettiva in dipendenza dallo stato dell’asta: – briglie : pendenza lontana da quella desiderata; – soglie : pendenza prossima a quella desiderata. Distribuzione spaziale

La distribuzione delle briglie lungo l’asta dovrebbe consentire l’instaurarsi di deflussi regolari, compatibili con gli obiettivi posti a base della sistemazione, in modo che possa realizzarsi, per la portata di progetto, uno stato di moto prossimo a quello uniforme. La soglie garantiscono, fissando lo stato naturale, una maggiore stabilità della sistemazione nel tempo. Mentre con le briglie l’assetto desiderato può conseguirsi in modo relativamente certo trattandosi di un processo di riempimento, con le soglie l’esito è più incerto, legato com’è a un processo di scavo. Questa ragione consiglia di adottare nella distribuzione delle soglie un passo o modulo rapportato all’altezza dell’opera minore di quello proposto delle briglie, a parità di pendenza. Cenni sulla normativa

Le briglie chiuse si comportano in un primo tempo (fino al riempimento dell’alveo che esse controllano), come modeste dighe di sbarramento sbarramento.. La loro approv approvazione azione fa riferimento riferimento al Servizio Nazionale Nazionale Dighe se viene verificata almeno una delle seguenti condizioni: – altezza altezza sul piano di fondazion fondazionee superiore a 15 m; – invaso (provvisorio) maggiore di 1.000.000 m3

7.2.2 7.2.2

Struttu Struttura ra della della briglia briglia

Una briglia classica, di muratura di calcestruzzo o pietrame, è costituita da un muro a sezione generalmente trapezia, con paramento di monte spesso verticale, con adeguate fondazioni in alveo e sulle sponde nelle quali il muro stesso è immorsato. Il bordo b ordo superiore del muro è interessat interessatoo dal deflusso deflusso di piena solo nella parte centrale, centrale, la cui sommità è quindi più depressa. La sezione di deflusso, trapezia, è detta gáveta . Le parti del muro poste a fianco della gáveta sono denominate ali della briglia (figura 7.2). 7.2).

Figura Figura 7.2. Prospetto e sezione schematica di una briglia classica a gravità.

Gáveta

La gáveta, orizzontale o leggermente concava, si chiude sulle ali con due raccordi generalmente a 45 ◦ , mentre il bordo superiore delle ali è inclinato verso il centro di circa il 10%. Le funzioni della gáveta sono:

270


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−→ mantenere concentrato il deflusso di piena nella parte centrale del torrente, evitando che la corrente possa produrre, a monte monte del manufatto, manufatto, per erosione erosione delle sponde, l’aggirame l’aggiramento nto delle ali;

−→ tenere il getto stramazzante dalla gáveta contenuto nell’alveo di valle, eventualmente allargato, ancora impedendo l’erosione delle sponde nelle quali sono immorsate le ali.

Il bordo superiore della gáveta è leggermente sporgente rispetto al muro d’elevazione per poter allontanare dal paramento di valle e dal blocco di fondazione la zona d’impatto della lama stramazzante, evitando così gli urti del materiale solido trasportato e le azioni distruttive sul blocco stesso. La gáveta è quindi esposta alle azioni d’urto e di abrasione, per difendersi dalle quali essa può essere protetta da una lamiera di acciaio oppure da masselli o bolognini di pietra dura non geliva annegati nel getto. Fondazioni

Le fondazioni della briglia, specie nella parte centrale, devono essere profonde a sufficiente perché non abbiano a soffrire a causa dello scavo che, in assenza di una difesa, il getto può produrre nella zona d’impatto. Le ali vanno vanno immorsate immorsate per non meno di 2 m se le sponde sono di terra. L’approfondimento del blocco di fondazione verso monte con un piccolo taglione di calcestruzzo o dente di ancoraggio è spesso adottato per migliorare le condizioni di stabilità allo scorrimento. Drenaggi

Il corpo murario della briglia è attraversato da un discreto numero di punti da fori di drenaggio, il cui compito è quello di ridurre la spinta dovuta all’acqua. Controbriglia

A valle della briglia si provvede, solitamente, alla creazione d’una vasca di dissipazione, per ottenere la quale è necessario necessario disporre, ad un’adeguata un’adeguata distanza distanza a valle, valle, una soglia. Essa, definita controbriglia , è ottenuta con un muro esteso a tutta la larghezza del corrente (larghezza della gáveta e delle due ali) oppure con due muri radicati sulle sponde (quinte) e un’apertura centrale. In entrambi i casi il muro è attraversato, a interasse appropriato, da fori che assicurano la rimozione del materiale materiale che possa p ossa depositarsi depositarsi nella vasca vasca di dissipazio dissipazione. ne. A valle delle quinte l’alveo l’alveo e le sponde devono devono essere essere adeguatamente adeguatamente protetti assumendo assumendo che la corrente corrente si espanda espanda con tangente tangente planimetrica planimetrica 1:4. Al termine della protezione è da collocare una soglia. Vasca di dissipazione

Le dimensioni da assegnare alla vasca (lunghezza, altezza e forma della controbriglia), possono determinarsi utilizzando utilizzando le proposizioni proposizioni relative ai processi processi dissipativi dissipativi propri dei salti di fondo. fondo. La platea della vasca è da proteggere per evitare gli scavi che l’impatto della lama stramazzante può produrre sul fondo. La protezione, quando sia realizzata con materiale di adeguata pezzatura bloccato sul fondo, può concorrere apprezzabilmente, per la scabrezza che crea, a rendere più efficace la dissipazione.


Andrea Lisjak

271

Figura 7.3. Schema tridimensionale di briglia e controbriglia.

7.2.3 7.2.3

Dimensi Dimensiona onamen mento to della della gáve gáveta ta

Fissata la portata di progetto Q i modi di deflusso sono due: 1. transitorio: prima che il tronco di monte sia riempito del materiale trasportato e trattenuto; 2. a riempimento avvenuto: quando il tronco di monte ha assunto la pendenza di progetto. Il deflusso sulla gáveta è nel primo caso, quello considerato di norma per il suo dimensionamento, quello degli stramazzi in parete grossa . Essendo Essendo la gáveta gáveta a sezione trapezia trapezia (figura 7.2), 7.2), la relazione che dà la portata è notoriamente: C q C q (7.1) Q= 2gh0 = (11b (11b0 + 4b 4b1 )h0 2gh0 Ω

dove:



15



- b0 e b1 : basi minore e maggiore della gáveta; - h0 : carico di monte; - C q = 0, 385: coefficiente di portata. Nota la portata di progetto Q è quindi possibile calcolare i valori ( b0 , b1 , h0 ) di dimensionamento della gáveta. Generalmente si pongono due ulteriori vincoli: 1m

≤ h0 ≤ 2 m

b1

dove: - B : larghezza dell’alveo.

≤ 12 B

(7.2) (7.3)

272


Andrea Lisjak

Quando il tronco di monte sia riempito di materiali non è più lecito trascurare la velocità che anima la corrente in arrivo, in quanto la corrente è quasi sempre veloce per la pendenza del tronco stesso superiore a quella quella critica. critica. L’altezza L’altezza sulla soglia soglia può allora determinarsi determinarsi utilizzando: utilizzando:

−→ l’equazione del moto permanente quando la configurazione geometrica della sezione del tronco di monte sia diversa da quella della gáveta;

−→ l’equazione del moto uniforme se, com’è usuale, la larghezza dell’alveo sia eguale a quella della gaveta e nell’ipotesi, naturalmente, che il tronco sia esteso a a sufficienza perché il moto uniforme possa instaurarsi.

7.2.4 7.2.4

Dimensi Dimensiona onamen mento to della della vasca vasca di dissipaz dissipazion ione e

La delimitazione della vasca di dissipazione avviene mediante una struttura detta controbriglia, la quale costringe la corrente veloce a passare in critica e a formare un risalto idraulico con forte dissipazione di energia. Essa può essere costituita da: – muro; – restringimento dell’alveo (figura 7.4). 7.4).

Figura Figura 7.4. Schema di una vasca di dissipazione con restringimento.

Per la valutazione dell’effetto di tali struttura sul pelo libero del corso d’acqua si rimanda al corso di Idrologia Tecnica. Quando il salto ∆z sia di qualche rilievo, la corrente di valle non può avere influenza alcuna sul canale di monte, com’è schematicamente rappresentato in figura 7.5. Nel caso rappresentato le fonti di dissipazione sono due: 1. nel tratto tra le sezioni 0 e 1, compreso tra il muro e la sezione d’incidenza; 2. nel risalto tra le sezioni 1 e 2.


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273

Figura Figura 7.5. Briglia con getto libero e corrente lenta a monte.

Se la corrente di monte defluisce in stato di corrente lenta sulla soglia s’instaura lo stato critico, quindi con F r = 1 . Noti la portata specifica q ed il salto ∆z , le relazioni che danno l’altezza y1 el’energia H 1 nella sezione 1 (distante L1 dal muro) rapportate all’altezza critica:

   √  yc =

sono: y1 = yc

3

q2 g

1/2 −1

∆z 3 + yc 2

2 1, 06 +

H 1 y1 1 = + yc yc 2

(7.4)

(7.5)

2

yc y1

(7.6)

La dissipazione ∆H che avviene tra le sezioni 0 e 1 è pertanto: ∆H 1 H 0 H 1 3 ∆z = = + yc yc 2 yc

−

y1 yc

− −

1 2

 yc y1

2

(7.7)

mentre l’altezza y p del vortice compreso tra 0 e 1 è: y p = yc

L’angolo d’incidenza θ è: θ = cos

La lunghezza L1 vale:

  −        −   y1 yc

−1

2

1/2

yc +2 y1

1, 06

3

∆z 3 + yc 2

L1 y1 = 4, 30 ∆z ∆z

0

(7.8)

−1/2

, 09

(7.9)

(7.10)

A valle della sezione 1 valgono le formule relative alla formazione del risalto: y2 =

y1 2

1+

1 + 8F 8 F r21

(7.11)

274


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La lunghezza del risalto L2 , fondamentale per il dimensionamento della lunghezza della vasca di dissipazione, è funzione di y2 e F r1 . Una serie di misure sperimentali ha condotto ai seguenti valori L2 L2

17yy2 ≈ 17

per F r1

≈ 7 ÷ 8y2

≈2

per F r1

≈5

(7.12) (7.13)

Erosione a valle della briglia

Si vuole valutare lo scavo sul fondo di un corso d’acqua non protetto che si può produrre per l’azione del getto sfiorante dalla briglia (figura 5.3(b)). 5.3(b)). Esiste a tale scopo la formula di Schoklitsch (1932): smax = 4, 75

h0,2 q0,57 0,32 d90

− y1

(7.14)

dove: - h e y1 in metri; - d90 : diametro del materiale di fondo in millimetri; - q1 in m3 /s.

Figura 7.6. Erosione a valle di una briglia.

Tale formula può essere utilizzata per il dimensionamento del diametro D dei blocchi di protezione del fondo, imponendo che la sottoescavazione sia pari a D e risolvendo l’equazione non lineare: D1,32 = 4, 4 , 75 75h h0,2 q 0,57

− y1D0,32

La protezione del fondo a valle della briglia può essere effettuato mediante:

−→ massi legati; −→ taglioni o diaframmi trasversali di contenimento dei blocchi; −→ platea di fondazione in calcestruzzo con eventuali massi annegati.

(7.15)


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7.2.5 7.2.5

275

Dimensi Dimensiona onamen mento to statico statico della della brig briglia lia

Il problema statico statico delle briglie classiche classiche è assai semplice: semplice: si tratta di un muro a gravità il cui stato di equilibrio può essere indagato con la statica dei sistemi rigidi. Le forze che sollecitano la struttura per le varie e possibili condizioni sono: 1. peso proprio; 2. spinta sul paramento di monte; 3. sottopressioni lungo la linea di contatto calcestruzzo–terreno calcestruzzo–terreno di fondazione; 4. eventuali eventuali azioni sismiche. sismiche. Geometria

La figura 7.7 rappresenta la sezione maestra di una briglia classica.

Figura 7.7. Sezione maestra di una briglia classica.

Su un dado di fondazione a sezione rettangolare, alto P e largo B , si eleva il muro a sezione trapezia. La struttura, d’altezza H , è tracimata in sommità da una lama alta h defluente in parete grossa. A valle il deflusso avviene con altezza hv contata a partire dalla base del dado assunta come piano di riferimento. Il terreno che, con il defluire di piene e morbide, si ferma a ridosso della briglia, è caratterizzato da un angolo di attrito ϕ e dalla porosità n. Se γ d è il peso specifico del materiale, il peso di volume, per terreno asciutto , è γ t = γ d (1 − n); per terreno saturo d’acqua γ sat coefficiente di spinta attiva attiva K a sat = γ t + nγ . Il coefficiente vale: ϕ (7.16) K a = tan2 45 −

  2

Fasi di verifica

Le varie possibilità di sollecitazi sollecitazione one della struttura struttura sono esposte nelle figure 5.3(b), 5.3(b), 5.3(b) e 5.3(b). 5.3(b). In esse sono messe in evidenza le varie spinte: – a monte ( m); – a valle ( v); – idrostatiche ( S I I ); – dovute al terreno ( S T T ); – di sottopressione ( S P P ). Le varie possibilità di sollecitazione e quindi di verifica sono legate a 3 diversi stati:

276


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1. prima dell’interrimento di monte; 2. dopo l’interrimen l’interrimento to di monte monte in presenza presenza di drenaggi drenaggi nel corpo murario murario della briglia; 3. dopo l’interrimen l’interrimento to di monte monte in assenza assenza di drenaggi drenaggi nel corpo murario della briglia. briglia. Spinte agenti prime dell’interrimento a monte

Figura 7.8. Spinte agenti su una briglia prima dell’interrimento.

Prima dell’interrimento a monte della briglia si forma un piccolo bacino, si hanno le spinte seguenti (figura 7.8). 7.8). – Spinta idrostatica idrostatica sul paramento di monte e di valle più un’ulteriore spinta dovuta al terreno (immerso, peso di volume γ sat sat − γ ) nella zona compresa tra il fondo dell’alveo e il piano di fondazione. La presenza dei fori di drenaggio riduce la spinta nell’intorno dei fori stessi, però in una misura che, per essere essere localizzata, localizzata, è in sostanza sostanza trascurabile. trascurabile. – Spinta dovuta alle sottopressioni lungo il piano di contatto tra la fondazione ed il terreno. L’andamento delle sottopressioni è assunto variabile linearmente lungo il piano di fondazione tra il carico idrostatico di monte e quello di valle. Spinte agenti dopo l’interrimento a monte in presenza di drenaggi nel corpo murario della briglia

Dopo l’interrimento, nel caso di briglie con drenaggi, si hanno le spinte seguenti(figura 7.9). 7.9). – Spinta del terreno sul paramento di monte, dell’ acqua nell’eventuale zona immersa nelle vicinanze del piano di fondazione e dell’acqua per il carico h sulla gáveta. Per il calcolo della spinta del terreno sul paramento di monte è da osservare che parte del terreno stesso, in prossimità del piano di fondazione, è in stato di saturazione, mentre la rimanente parte lo è solo parzialmente, ne consegue che il peso specifico del terreno è legato al suo grado di saturazione, tuttavia la sicurezza consiglia di assumere γ t = γ sat sat . Sul paramento di valle agisce la spinta idrostatica e un’ulteriore spinta dovuta al terreno (immerso) nella zona compresa tra il fondo alveo ed il piano di fondazione.

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277

Figura Figura 7.9. Spinte agenti su una briglia dopo l’interrimento a monte in presenza di drenaggi

nel corpo murario della briglia.

– Spinta dovuta alle sottopressioni lungo il piano di contatto tra fondazione e terreno. L’andamento delle spinte delle sottopressioni è assunto variabile linearmente lungo il piano di fondazione tra la pressione di monte ed il carico idrostatico di valle. Spinte Spinte agent agentii dopo l’int l’interr errime iment nto o a monte monte in assenza assenza di drenag drenaggi gi nel corpo corpo murar murario io della della briglia

Figura Figura 7.10. Spint Spintee agent agentii su una una brigl briglia ia dopo dopo l’int l’interr errime iment nto o a monte monte in assenz assenzaa di

drenaggi nel corpo murario della briglia.

Dopo l’interrimento, nel caso di briglie senza drenaggi, si hanno le spinte seguenti (figura 7.10). 7.10). – Spinta idrostatica sommata a quella del terreno (immerso) sul paramento di monte, spinta idrostat-

278


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ica sul paramento di valle sommata ad un’ulteriore spinta del terreno (immerso) compreso il fondo

dell’alveo ed il piano di fondazione. – Spinta dovuta alle sottopressioni lungo il piano di contatto tra la fondazione ed il terreno. L’andamento delle sottopressioni è assunto variabile linearmente lungo il piano di fondazione tra il carico idrostatico di monte e quello di valle. Osservazioni sulla valutazione delle spinte

Le spinte sui paramenti della briglia e lungo la linea di fondazione sono state valutate nell’ipotesi cautelativa che le perdite di carico carico siano concentrate concentrate lungo il piano di fondazione fondazione,, assunto assunto impermeabile. impermeabile. È questo il caso delle dighe dighe fondate su roccia. Negli altri casi, casi, l’instaurarsi l’instaurarsi di un importante importante moto di filtrazione nel materiale raccolto a monte riduce la sia la spinta idrostatica agente sul paramento di monte sia la sottospinta sul piano di fondazione. Queste riduzioni sono comunque di non immediata determinazione dipendendo dalle proprietà del terreno di riempimento, di fondazione e dalla geometria del campo di moto. È importante osservare il benefic benefico o effetto effetto dei dreni dreni sulla riduzione delle spinte cui è assoggettata la struttura. Dal confronto tra i casi con e senza dreni si può osservare: 1. l’assenza della spinta idrostatica nel caso drenato in corrispondenza del paramento di monte; 2. la riduzione della pressione di monte nel caso drenato per il calcolo della sottospinta. Tipi di verifia

Per i 3 casi illustrati sono da fare le seguenti verifiche statiche:  verifica allo schiacciamento/galleggiamento della fondazione : G + P T T > S P P

(7.17)

M stab stab > M rib rib

(7.18)

 verifica al ribaltamento:  verifica allo scivolamento : (G + R

7.2.6 7.2.6

− S P P )tan ϕ > R 0

(7.19)

Filtrazi Filtrazione one sotto sotto le le brig briglie lie

Le opere idrauliche sollecitate da un dislivello tra monte e valle possono essere esposte a fenomeni di instabilità dipendenti dal processo di filtrazione che s’instaura nel terreno entro il quale le opere sono fondate. I problemi relativi al sifonamento sono da intendersi in due modi: 1. il primo modo si produce quando quando in qualche parte del campo di moto, prenda origine la rimozione, rimozione, ad opera della corrente, di particelle terrose: la rapida esaltazione del processo con la formazione di vene o piccoli canali sotterranei ( piping ), ), può portare al collasso del manufatto; 2. il secondo modo riguarda la possibilità di sollevamento di una parte del terreno ( heaving ) nella zona posta al piede di valle dell’opera quando abbia a verificarsi, in quell’intorno, la condizione che la pendenza locale ie superi quella critica critica ic . Criterio di stabilità di Lane

Il processo di sifonamento prende avvio quando la velocità massima assuma in qualche punto valori che possano possano sare luo luogo go alla alla rimozio rimozione ne del delle le partic particell ellee terrose terrose più fini fini.. Per Per contro controlla llare re il fenome fenomeno no è quindi quindi necessario contenere il valore della velocità, mediante allungamento delle linee di flusso, con conseguente diminuzione della pendenza. Il criterio di stabilità di Lane si fonda sul fatto che la resistenza al moto è molto minore lungo il contatto tra la base (orizzontale o quasi) del manufatto ed il terreno che lungo gli altri contatti tra le strutture


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279

(verticali (verticali)) di tenuta tenuta (diaframmi, (diaframmi, palancole, palancole, taglioni) taglioni) ed il terreno. Si può individuare individuare tra i vari percorsi dell’acqua dell’acqua quello critico: esso è prudenzialm prudenzialmente ente rappresenta rappresentato to dal contorno dell’opera inserita nel mezzo mezzo porosom il cui sviluppo, adeguatamente pesato nei suoi tratti (1/3 se il contatto è orizzontale o inclinato di un angolo ≤45◦ , 1 se verticale o inclinato di un angolo >45◦ deve essere un multiplo del dislivello h tra monte e valle, il cui valore deve essere non inferiore a quello definito dalla natura dei terreni interessati.

Figura 7.11. Esempio di applicazione del criterio di stabilità di Lane.

Nel caso dell’esempio riportato in figura 5.3(b) si ha: F =

2ss + b/3 2 s2 + d2 d1 + 2s b/3 + 2s h

∗

≥ F

Figura Figura 7.12. Applicazione del criterio di stabilità di Lane ad una briglia.

(7.20)

280


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Nel caso della briglia di figura 5.3(b) si ha, a fine costruzione: F =

Lv1 + Lv2 + Lv3 + (L (L01 + L02 )/3 h

∗

≥ F

(7.21)

In generale può scriversi, detti Lo e Lv gli sviluppi orizzontale e verticale: F =

1/3L0 + Lv h

∗

≥ F

(7.22)

I valori di F ∗ si trovano tabellati in funzione della granulometria del terreno. Criterio di stabilità di Terzaghi

Con riferimento allo schema di figura 7.13, una ritenuta limitata da un diaframma infisso per la profondità S 0 , Terzaghi ha considerato che possa essere interessata dal sifonamento una porzione di terreno larga S 0 /2 e profonda, al massimo, S 0 .

Figura Figura 7.13. Schema di calcolo secondo Terzaghi.

Alla base del prisma di terreno sono da considerare tre diverse pressioni: – pressione neutrale : è l’azione che si trasmette attraverso i pori, essa vale, a carico nullo ( h = 0), per terreno saturo: u = γS 0 (7.23)

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281

– pressione totale : è dovuta al peso del terreno saturo, essa vale: σ = γ sat sat S 0

(7.24)

– pressione efficace : è l’azione che si trasmette trasmette al contatto contatto tra i granuli, granuli, essa è pari alla differenza differenza tra la pressione totale e quella neutrale: (7.25) σ = σ − u Si consideri consideri il prisma di terreno di lati S 0 (profondità del diaframma) ed S 0 /2. Il campo di moto filtrante (a potenziale di velocità) sia descritto (mediante modello matematico, fisico o manuale) dal reticolo di flusso . In base alla definizione di potenziale :

  p γ

Φ= k z +

(7.26)

dove: - p: pressione nel punto; - k: coefficiente di conducibilità idraulica; sia ha che la differenza di potenziale fra valle e monte che viene dissipata tra valle e monte vale: Φ1

− Φn = kh

(7.27)

Disegnate le curve equipotenziali Φj nell’intorno della base del diaframma, si può calcolare il valor medio Φ nello spessore S 0 /2, riportando in ordinate sul piano 1–1 a profondità S 0 , nei punti di intersezione, i valori Φj , Φj +1 , dal quale si deduce il valor medio della sottopressione: h=

Φ k

(7.28)

Indicato con γ sat sat il peso specifico del terreno saturo sovrastante, lo stato critico nelle condizioni di stabilità 2 del prisma S 0 × S 0 /2 si produce quando la presione effettiva sul piano 1–1, che vale (γ sat sat − γ )S 0 /2, eguaglia la sottopressione γhS 0 /2. In queste condizion condizioni, i, la pendenza, data dal rapporto h/S 0 è detta critica ; essa vale: h γ sat sat − γ (7.29) ic = = ≈1 S 0

γ

La stabilità si realizza quando la pendenza ie = h/S 0 sia apprezzabilmente minore di ic . Il criterio di sicurezza secondo Terzaghi impone che sia: F =

ic S 0 = ic ie h

≥ 4÷5

(7.30)

Se la relazione (7.30 ( 7.30)) non è soddisfatta, un miglioramente può ottenersi con un filtro rovescio (di sovraccarico q per unità di superficie), applicato su S 0 /2 e realizzato, per esempio con un adeguato strato di materiale inerte e incoerente ed un geotessuto, così da portare F al valore desiderato. Si ha in questo caso: F = ic

7.2.7 7.2.7

S 0 q + h γh

(7.31)

Altri Altri tipi tipi di di bri brigl glie ie

Briglie aperte

I tipi di briglie, diversi da quelli classici in muratura di calcestruzzo o di pietrame, presentano una varia e maggiore distribuzione di aperture ricavate nel corpo briglia, con l’obiettivo, accanto a quello di consentire il deflusso, di fare defluir defluiree verso valle parte del materiale trasportato, ritardando o evitando il rapido riempimento del tratto a monte. Sono così nate, accanto alle briglie chiuse, le briglie aperte , variamente denominate (figura 7.14): 7.14):

282


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 filtranti;  selettive: – con apertura a finestra; – a fessura; – a pettine; – reticolari.

Figura 7.14. Schemi di briglie aperte: a finestra, a fessura, reticolari; a pettine.

Il criterio di dimensionamento fa conto per il deflusso della portata di progetto solamente sulla gáveta, mentre portate minori impegnano solamente la parte filtrante. Briglie selettive

Le briglie selettive, a differenza di quelle classiche che trattengono nel primo periodo di vita tutto il materiale trasportato trasportato dalla corrente, corrente, permetto p ermettono no una sua selezione granulometrica granulometrica , trattenendo solamente i materiali di maggior diametro e rendendo quindi meno incisivo l’intervento di sistemazione. Le briglie selettive (figura 7.15) 7.15) sono sostanzialmente delle briglie di tipo classico dotate di un’apertura di notevoli notevoli dimensioni dimensioni nella parte centrale. centrale. Tale apertura può essere fornita fornita di una griglia griglia a maglie molto larghe quando la briglia sia utilizzata anche per la trattenuta del materiale trasportato in superficie dalle acque acque di pie piena: na: tronch tronchi, i, arbusti arbusti,, . . . In quest’ quest’ult ultimo imo caso è necess necessari arioo provv provvede edere re alla alla sua manuten manutenzio zione ne periodica, specialmente dopo le piene di qualche entità.

Figura 7.15. Briglia selettiva con passerella.

Di particolare delicatezza per il corretto funzionamento del manufatto è il dimensionamento dell’apertura. Quando una corrente veloce incontra un ostacolo possono verificarsi due casi:

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283

1. la corrente ha energia specifica sufficiente per oltrepassare l’ostacolo conservando il suo carattere veloce; 2. la corrente non ha sufficient sufficientee energia per oltrepassar oltrepassaree l’ostacolo: l’ostacolo: passa in condizioni condizioni lente tramite un risalto a monte dell’ostacolo e acquista energia specifica necessaria per attraversare l’ostacolo in condizioni critiche (figura 7.16). 7.16).

Figura 7.16. Schema di funzionamento di una briglia selettiva.

Una briglia selettiva ben dimensionata deve provocare un regime idraulico del secondo tipo: ne consegue la formazione di un tratto a monte con velocità relativamente nmodeste, che produce il deposito del materiale solido. A causa della pendenza del fondo prima si depositano i materiali di maggiore diametro e poi quelli sempre più fini. Il vantaggio di una briglia selettiva è quindi che essa riduce notevolmente il flusso di materiale solido durante la piena e consente successivamente la rimozione del materiale più fine, distribuito nel tempo, per quantità e per qualità, in funzione delle portate transitanti nel corso d’acqua. Briglie per la trattenuta di materiale galleggiante

La scarsa cura dedicata alla parte alta dei bacini montani, l’instabilità dei versanti e quindi della copertura vegetale vegetale e arborea possono dare luogo alla mobilitazione mobilitazione di quantità quantità notevoli notevoli di materiali materiali litoidi e vegetali vegetali.. I quali, affluendo nei torrenti, trascinati sul fondo, in sospensione o galleggianti possono creare problemi di notevole gravità. Un provvedimento che rende relativamente agevole la rimozione dei tronchi è quello di dotare la briglia aperta di trefoli di acciaio tesi nella parte superiore, e di lasciare invece priva di ostacoli la parte bassa dell’apertura. Alcune briglie sono realizzate con il paramento di monte inclinato verso valle. La disposizione favorisce il movimento del materiale galleggiante verso l’alto e dà modo al materiale lapideo di defluire dalle luci libere sul fondo. fondo. La struttura struttura di queste queste briglie briglie (figura (figura 7.17) 7.17) è costituita da due spalle laterali di conglomerato cementizio e da alcuni (eventuali) speroni intermedi per sostenere una serie di travi, generalmente di acciaio, inclinate di 45–60 ◦ sull’orizzontale.

284


Brigli liaa aper aperta ta per per la trat tratte tenu nuta ta di corp corpii gall galleg eggi gian anti ti real realiz izza zata ta con con Figura 7.17. Brig calcestruzzo ed acciaio.

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7.3 7.3

7.3. Difese di sponda

285

Dife Difese se di spo sponda nda

7.3.1 7.3.1

Gener General alità ità

I torrenti di montagna hanno la tendenza a procedere in maniera rettilinea a causa della provalenza delle forze inerziali su quelle gravitative, ciò si traduce in tiranti limitati e velocità elevate. Le curve sono dovute essenzialm essenzialment entee a vincoli vincoli esterni di tipo geologico. geologico. In presenza di una curva si ha un’approfondimen un’approfondimento to della sponda esterna per erosione e lo spostamento del materiale eroso verso l’interno a causa di correnti secondarie vorticose. Le opere di difesa di sponda hanno come scopo principale quello di evitarne l’ erosione , specie quando essa possa compromette compromettere re la stabilità dei versanti . Le difese sono di due tipi.  Difese longitudinali o radenti : sono costruite fissando, con un muro o una scogliera o altro dispositivo,

la linea di sponda che si vuole realizzare a torrente sistemato. sono otten ottenute ute con manufat manufatti ti che, che, radica radicati ti nella sponda, sponda, si  Difese sporgenti (pennelli o repellenti ): sono protendono verso l’alveo per definire, con la loro testa, i punti che fissano la nuova linea di sponda. È opportuno ricordare che anche le briglie e le soglie (paragrafo 7.2) 7.2) contribuiscono, fissando la sezione, alla difesa delle sponde.

7.3.2 7.3.2

Difese Difese longitu longitudin dinali ali

Le difese longitudinali possono essere ottenute in vari modi e con l’utilizzo di materiali differenti a seconda di:

−→ azioni cui è esposta la riva; −→ propensione del fiume a scavare e trasportare materiale; −→ scarpa che è possibile assegnare alla sponda. Difesa con scogliere

La difesa con scogliere viene effettuata nel caso degli alvei con le sponde sponde più cimentate. La difesa con sogliera è realizzata con massi di varia pezzatura e peso: le dimensioni devono assicurare la stabilità della scogliera affinché i massi non siano asportati dalla corrente di piena, con misure che raramente superano superano il metro di diametro diametro (massi (massi di circa circa 1–1,5 1–1,5 t). Quando Quando,, tutta tuttavia via,, si tema la loro rimozio rimozione ne e asportazione, asportazione, specie per lo scavo che può prodursi al piede delle sponde, i massi possono essere collegati collegati tra loro con cavi d’acciaio (trefoli), ancorati ai massi con chiodi cementati. La fondazione della scogliera scogliera deve deve essere approfondita approfondita a non meno di 2–3 m sotto la linea di talweg. talweg. La scarpa della scogliera scogliera deve essere dell’ordine dell’ordine di 3/2 o 2/1. La sommità della difesa si limita in genere alla quota massima piena, assumendo rispetto a questa un franco franco di 0,5 m. La figura 7.18 mostra 4 diversi tipi di una difesa scogliera: a) difesa di tipo classico; b) difesa difesa con taglione taglione al piede di conglomerato conglomerato cementizio; cementizio; c) difesa difesa con taglione taglione al piede realizzato realizzato con jet–grouting; jet–grouting; d) difesa con taglione al piede rivestito per la parte emergente con pietrame: la scogliera è rivestita con terreno vegetale inerbito. La figura 7.19 rappresenta rappresenta una difesa difesa di sponda realizzata realizzata con massi: a) con la piantagione di talee 2 di salice tra i massi, il cui sviluppo radicale crea un collegamento tra la scogliera ed il terreno mentre l’ingrossamento del tronco comporta una compressione tra i massi vicini, con un miglioramento della stabilità; 2 Le talee sono segmenti segmenti di fusto di specie arbustive arbustive ed arboree in grado di produrre radici e di generare in breve tempo un altro esemplare esemplare (tra le specie che posseggono queste caratteristich caratteristichee si ricordano ricordano salici, pioppi, noccioli ldots). ldots).

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Figura Figura 7.18. Difese di sponda con scogliera.

Figura Figura 7.19. Difese di sponda realizzata con massi.

b) con latifoglie solo al di sopra della difesa, in zona che non dovrebbe essere interessata dalle piene maggiori La figura 7.20 mostra un difesa di sponda a massi con talee di salice piantate tra di essi. Le figure 7.21 e 7.22 illustrano una difesa a massi protetta al piede con colonne di jet–grouting


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Figura 7.20. Talee di salice tra i massi di una difesa.

Figura 7.21. Difesa di sponda a massi con protezione al piede con colonne consolidate.

La figura 7.23 riporta il dettaglio del collegamento tra loro dei massi collocati al piede della difesa. Difesa con gabbioni

I gabbioni sono parallelepipedi di rete metallica prodotti in stabilimento. Ripiegati per il trasporto, vengono poi aperti in sito, riempiti di pietrame, e chiusi con coperchio ancora in rete. La rete è di acciaio zincato di 2–2,2mm 2–2,2 mm circa di diametro. diametro. Il filo è talvolta talvolta plastificato plastificato;; in qualche qualche caso è impiegato filo d’allumini d’alluminio. o. La figura 7.24 illustra alcune varianti di difesa a gabbioni: a) difesa di tipo classico; b) difesa di tipo classico ma ricoperta con terreno vegetale piantato e inerbito;

288


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Figura 7.22. Difesa di sponda a massi con protezione al piede con colonne consolidate:

dettaglio delle colonna.

Figura 7.23. Collegamen Collegamente te elastico dei massi al piede piede di una difesa. difesa.

c) difesa di tipo classico ma con materiali di ricoprimento più grossolani e con piantagione di arbusti (maggiore resistenza alle piene e quindi scabrezza superiore); d) difesa ricoperta da terreno ma sostenuta sostenuta con tondame orizzontale orizzontale e paletti al piede per la sua protezione protezione contro le piene più frequenti. Le strutture a gabbioni possono essere adottate solo in corsi d’acqua con trasporto solido limitato per dimensioni dimensioni e velocità: velocità: il materiale grossolano, grossolano, investendo investendo la struttura, potrebbe infatti rompere la rete e dar quindi luogo al suo dissesto.

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Figura 7.24. Difese di sponda con gabbioni.

Figura Figura 7.25. Difese di sponda con astoni di salice.

Difesa con astoni di salice

La figura 7.25, 7.25, relativa ad un corso d’acqua sottoposto ad azioni non molto intense, rappresenta una difesa con astoni di salice disposti lungo la sponda e ancorati con filo d’acciaio e paletti. Gli astoni sono protetti al piede con una scogliera costituita da una fila di massi di adeguata pezzatura, generalmente collegati tra loro (figura 7.23). 7.23). La soluzione è adottata per alvei con pendenza minore del 3% e con limitato trasporto solido.

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Difesa con legname e pietrame

Una difesa di sponda di tipo naturalistico consiste in una struttura a cassone realizzata con tondame di larice o castagno e pietrame (figura 7.26). 7.26). Il manufatto manufatto è ottenuto ottenuto utilizzando utilizzando coppie di longaroni paralleli paralleli alla sponda a interasse interasse di 1–1,5 m, distanziati distanziati da tondelli sovrappos sovrapposti ti (a interasse di circa 1,5 m). La struttura è inclinata verso la sponda del 10–15%. Gli elementi ( d=15–25 =15–25 cm) ortogonali ortogonali alla sponda hanno un interasse interasse di circa 1,5 m e formano formano un piccolo piccolo incastro che collabora collabora con la chiodatura chiodatura alla stabilità stabilità complessiv complessiva. a. Lo spazio tra il tondame è riempito con pietrame pietr ame e terreno proveniente dallo scavo. scavo. Nel materiale di riempimento sono inserite inserite talee di salice salice (circa 10 al metro) o ramaglia viva. viva. Lo sviluppo dell’apparato dell’apparato radicale radicale delle piante costituisce un collegamento tra la palizzata e la sponda d’alveo. Il manufatto viene difeso dallo scalzamento al piede con una collana di massi collegati fra di loro e protetti protetti con pali di legno o spezzoni spezzoni di rotaia infissi per almeno 2 m. Una variante per la difesa al piede è illustrata in figura 7.27: il piede è protetto dallo scalzamento da un tappeto di pietrame che s’arresta s’arresta contro una struttura di legname. Se si producesse producesse uno scavo scavo sul bordo esterno del tappeto, il rotolamento dei massi eviterebbe l’ulteriore scavo, proteggendo così il cassone di legname e pietrame in elevazione. È talvolta utilizzata una soluzione più economica, detta a parete paretee contro contro la terra terra è parete semplice . La paret abolita: abolita: il tondame ortogonale ortogonale è sostituito da pali che vengono vengono infissi per almen0 almen0 50 cm nella sponda (figura 7.28). 7.28). Questa Questa soluzio soluzione ne è adottat adottataa per le min minori ori altezze altezze per le minori minori altezz altezzee e con ridotto ridotto pericolo pericolo di scalzamento. Per limitare lo scavo al piede della sponda sono talvolta usate le stesse strutture ma con un tappeto di protezione esterno verso l’alveo. La figura 7.29 mostra una difesa con un tappeto di protezione al piede. La figura 7.30 illustra una difesa integrata costituita da una difesa di sponda a parete semplice e soglie in alveo realizzate con legname e pietrame. La figura 7.31 mostra una difesa di sponda sp onda ottenuta con pali battuti accostati e il dettaglio della tirantatura. L’impiego dei pali battuti può farsi solo, e per contenuta profondità, in terreni sabbiosi e moderatamente ghiaiosi. Difesa con viminate e fascinate

Per la difesa delle sponde dei corsi d’acqua sono usate anche viminate (dette anche palizzate , graticci , staccionate ) e fascinate (figura 7.32). 7.32).  Le viminate sono costituite da pali conficcati nel terreno tra i quali s’intrecciano vimini di salice fresco.  Le fascinate sono simili alle viminate, con la differenza che la struttura, anziché essere costituita da un

graticcio di vimini, è formata da parecchie fascine sovrapposte. La figura 7.33 mostra una difesa costituita da una fila di massi alla base con una sovrastante fascinata viva. Difesa con muri di sponda

La difesa con muri di sponda o muri d’ala è impiegata quando siano da contenere al minimo gli spazi occupati dal torrente, per la presenza presenza di man manufatti ufatti,, quali strade, abitazioni abitazioni oppure di speciali speciali situazioni situazioni geotecniche geotecniche o topografich topografiche: e: sponde molto molto ripide,. ripide,... . Anche Anche i muri di sponda vanno fondati fondati per non meno di 2,00–2,50 2,00–2,50 m sotto la linea di talweg e, talvolta, talvolta, protetti da massi gettati alla rinfusa per evitare o ridurre lo scavo (figura 7.34) 7.34) I muri sono dotati di fori di drenaggio di diametro adeguato ed opportunamente distribuiti per indurre la spinta spinta sul muro. muro. Anche Anche in questi questi casi può essere utilizzata la tecnica tecnica del jet–grouting, jet–grouting, quando le fondazioni fondazioni del muro siano da spingere a profondità maggiori di quella indicata poc’anzi. In qualche qualche caso, caso, per proteggere proteggere l’abitato contro piene che abbiano prodotti livelli livelli maggiori dei massimi massimi conosciuti, si deve provvedere al sovralzo di muri già esistenti (figura 7.35). 7.35).

7.3. 7.3.3 3

Difes Difese e sporg sporgen enti ti

Le difese sporgenti – pennelli o repellenti – sono opere non rigide, radicate alla sponda e protese verso l’alveo fino a delimitarlo delimitarlo secondo il previsto previsto disegno disegno di sistemazio sistemazione. ne. La forma dei pennelli può essere:


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Figura 7.26. Difese di sponda con legname e pietrame a parete doppia.

- ad asta semplice; - a L; - a martello; - a baionetta; - a mazza da hockey.

291

292


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Figura 7.27. Muro di sponda con legname e pietrame a parete doppia con tappeto di

pietrame al piede.

La disposizione disposizione planimetrica rispetto all’asse dell’alveo sistemato, può essere: - ortogonale; - discendente; - ascendente. La figura 7.36 mostra i vari tipi di pennelli e la loro possibile disposizione rispetto alla direzione della corrente. La distanza tra i pennelli è dell’ordine di 2–4 volte la loro sporgenza: in queste condizioni può ritenersi che il costo, costo, con l’ammorsamen l’ammorsamento to alla sponda e la difesa difesa della testa contro lo scalzamen scalzamento, to, sia comporabile comporabile con quello di una difesa longitudinale. La presenza dei pennelli crea zone d’alveo inattive ai fini del deflusso, nelle quali, specie durante le piene, si sedimenta sedimenta una parte del materiale trasportato dalla corrente: corrente: in queste zone si sviluppano sviluppano vegetazi vegetazioni, oni, spontanee o piantate, che facilitano l’ulteriore sedimentazione e rendono stabile la sponda. La stabilità dei manufatti può essere compromessa dall’azione della corrente che li investe e dallo scavo che può crearsi intorno intorno allo loro testa. I manufatti con andamento andamento planimetrico planimetrico ascendente ascendente e quelli quelli con la testa a martello martello rivolta verso monte monte sono i più esposti alle azioni della corrente. corrente. Per contenere contenere le quali spesso il pennello è costruito con la sommità degradante dalla sponda verso l’alveo, in modo che la sezione esposta si riduca a misura che aumenta la velocità della corrente. Per contro questi pennelli presentano il vantaggio d’indirizzare la corrente che li sormonta ortogonalmente alla testa verso il centro dell’alveo.

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Difesa di sponda con legname e pietrame pietrame a parete parete semplice. semplice. Figura Figura 7.28. Difesa

Se lo scavo prodotto dalla corrente alla testa del pennello giungesse ad interessare il piano d’imposta delle fondazioni, si potrebbe produrre un franamento di una sua parte. Al quel seguirebbe un nuovo scavo al piede della nuova estremità e un ulteriore franamento: con la distruzione progressiva del manufatto, specie se questo sia costituito da una struttura rigida anziché da una struttura a massi, che risulta più deformabile e che può, con un crollo parziale, costituire protezione al piede per la parte rimanente. La difesa contro l’azione dello scavo si ottiene: approfondendo do in maniera maniera adeguata adeguata il piano di imposta delle fondazioni; fondazioni; −→ approfonden −→ disponendo attorno alla testa una difesa: cortina di colonne di jet–grouting armate collegate in sommità

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Figura 7.29. Difesa di sponda con legname e pietrame a parete semplice con tappeto di

pietrame al piede.

con un cordolo di conglomerato cementizio;

−→ disponendo alla base del pennello e particolarmente in corrispondenza della testa, un tappeto di

protezione protezione ancorato al pennel p ennello lo stesso. Le formazioni vorticose vorticose cui il pennello pennello dà luogo esauriscono esauriscono infatti infatti buona parte della loro azione azione contro la protezione. protezione. Un eventuale eventuale scavo scavo sul bordo del tappeto può produrre un movimen movimento to verso verso il basso dei massi della struttura, bloccando così l’ulteriore l’ulteriore scavo. scavo. Nei casi di minore rilievo può essere protetta da una cortina di pali di legno o di profilati metallici.

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Figura Figura 7.30. Difesa di sponda e soglie con legname e pietrame.

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Figura 7.31. Difesa di sponda pali battuti e tirantati.

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Figura Figura 7.32. Difesa di sponda con viminate o fascinate variamente disposte.

Figura Figura 7.33. Difesa di sponda con viminate o fascinate variamente disposte.

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Figura 7.34. Difese con muro di sponda.

Figura 7.35. Sovralzo di muro di sponda.

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Figura Figura 7.36. Tipi di pennelli e loro disposizione rispetto alla direzione della corrente.

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300


ortogonale costruito con massi di diametro di circa 1 m: a) intestato Figura 7.37. Pennello ortogonale alla sponda; b) a protezione di un muro di sponda.

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Figura 7.38. Pennello di massi protetto da una cortina di jet–grouting.

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Figura 7.39. Pennello di legname e pietrame radicato su sponda rivestita in pietrame.

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Figura 7.40. Pennello ad asta semplice con tappeto di protezione al piede.

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Figura 7.41. Pennello a L con tappeto di protezione.

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Capitolo 8

Sistemazioni fluviali 8.1 8.1


La difesa di un’area esposta ad esandazioni di un corso d’acqua in piena può ottenersi essenzialmente in 2 modi: 1. aumentando la sua capacità di portata ; 2. diminuendo la portata di piena che, con prefissata frequenza, transita nel tratto in esame.

8.1.1 8.1.1

Aumen Aumento to della della capacit capacità à di portata portata delle delle sezioni sezioni

La portata che transita in un corso d’acqua può essere espressa come:



Q = K j

dove:

(8.1)

- K : conveyance ; - j : pendenza motrice. È evidente quindi che per aumentare la capacità di una sezione si può agire sia sulla conveyance K che sulla pendenza motrice j . Aumento della conveyance

La conveyance può essere valutata mediante la formula di Gauckler–Strickler–Manning: K = ks ΩR2/3 = ks ByR By R2/3

(8.2)

Un suo aumento può essere ottenuto quindi in 3 modi: 1. Aumentando la profondità del canale ( y ) ossia agendo sul raggio idraulico R. In generale è un metodo sconsigliabile in quanto non produce una variazione di energia. 2. Aumentando la larghezza B del canale. È un metodo molto efficace tuttavia spesso è impedito da vincoli inamovibili. A tal proposito l’Autorità di Bacino produce dei Piani di Bacino in cui fissa delle zone di rispetto (P0, P1, P2, P3, P4) in base alla pericolosità del rischio idraulico: - P0: nessun vincolo; - P1: pericolosità moderata; - P2: pericolosità “consistente”; - P3: immediato pericolo (abitazioni a ridosso degli argini); 305

306

Capitolo 8. Sistemazioni fluviali

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- P4: aree di competenza fluviale. 3. Diminuend dell’alveo, eo, mediante mediante periodica man manutenzi utenzione one atta a rimuov rimuovere ere le specie Diminuendo o la scabr scabrezza ezza dell’alv vegetali Aumento della pendenza motrice

La pendenza di un corso d’acqua vale: j =

∆H ∆L

(8.3)

Dal momento che il dislivello ∆H è generalmente fissato, l’unica possibilità è quella di diminuirne la lunghezza complessiva. Tale risultato viene ottenuto mediante parziali rettifiche di percorso . Vista la drasticità di tali interventi essi sono da eseguire solamente quando strettamente necessari e comunque mantendo una certa congruenza :

−→ nelle curvature; −→ nella sinuosità. 8.1.2 8.1.2

Dimin Diminuzio uzione ne della della portat portata a di prog progetto etto

Quando tutte le alternative appena esposte sono state valutate allora è possibile intervenire direttamente sul sistema fiume diminuendo la portata di piena associata ad un determinato tempo di ritorno QT R . Per ottenere tale risultato si possono utilizzare:

−→ effetti d’invaso sia concentrati che diffusi; −→ canali scolmatori. Effetti d’invaso localizzati

La creazione creazione di una diga in linea provoca la creazione creazione di un lago artificiale artificiale a monte monte di essa. L’equazione L’equazione del lago può essere approssimato mediante l’equazione dell’invaso: dW ( W (t) = Q(t) dt

− R(W, ξ )

(8.4)

dove: - W ( W (t): volume d’invaso; - Q(t): portata in ingresso nell’invaso; - R(W, ξ ): funzione di rilascio dipendente sia dal volume d’invaso sia da operazioni umane controllate mediante un parametro ξ di controllo delle paratoie in uscita Tale equazione equazione può essere facilmente facilmente integrata alle differenze finite. La figura 5.3(b) esprime un possibile andamento della portata in entrata Q(t) e della funzione funzione di rilascio rilascio R. Risulta evidente che in uscita l’onda di piena è caratterizzata da uno sviluppo temporale più lungo ma da un colmo di piena più piccolo . Effetti d’invaso diffusi

Per la valutazione degli effetti d’invaso diffusi si ricorre all’approssimazione parabolica dell’equazione della convezione–diffusione relativa al moto vario nei canali: ∂Q ∂Q ∂ 2 Q + C =D 2 ∂t ∂x ∂x

Il termine che consente la diminuzione della portata al colmo è il coefficiente di diffusione D, sul quale è possibile intervenire mediante aree golenali di rallentamento .

8.2. Regolazione delle portate a mezzo di serbatoi

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307

Figura Figura 8.1. Possibile andamento della portata in entrata ed in uscita da un invaso.

Canali scolmatori

Mediante canali scolmatori si lascia che la piena arrivi non attenuata e poi si scarica parte della portata in un altro corpo idrico.

8.2 8.2 8.2. 8.2.1 1

Regol Regolaz azio ione ne delle delle portat portate e a mezz mezzo o di serbato serbatoii Digh Dighe e

Lo scopo principale per cui vengono costruite le dighe è la produzione di energia elettrica . L’utilizzo L’utilizzo delle delle dighe per la laminazione delle piene è generalmente un effetto secondario, all’ente gestore stesso della diga conviene conviene infatti infatti che la diga sia riempita il più possibile. possibile. Normalmen Normalmente te una diga è dotata di paratoie paratoie fisse che non permettono di scaricare l’acqua a valle sin dall’inizio dell’evento di piena.

Figura 8.2. Effetto di una diga per la laminazione delle piene.

Sistema distribuito di dighe

Esistono due motivazioni principali che consentono di affermare la non equivalenza tra un’unica grande diga posta alla chiusura del bacino e un sistema distribuito di tante piccole dighe in corrispondenza degli affluenti:

308


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1. fasatura dei colmi : ciascuna diga opera una diminuzione della portata al colmo ed un aumento della durata al colmo, ne consegue che allungando le code si mandano in fase diverse onde di piena con effetto sovrappositivo nella sezione di chiusura del bacino; 2. tempi di corrivazione diversificati : il tempo di corrivazion corrivazionee del bacino bacino nel suo complesso complesso è diverso diverso dai tempi di corrivazione dei singoli sottobacini.

8.2. 8.2.2 2

Casse Casse di espan espansio sione ne

Le casse di espansione svolgono in pianura un’azione analoga a quella delle dighe poste alla chiusura dei bacini bacini mon montani. tani. La casse di espansione espansione sono degli immagazzinamen immagazzinamenti ti laterali laterali ad un corso d’acqua, d’acqua, limitati da arginature, con un’opera di presa a monte della cassa ed un’opera di restituzione in alveo. La captazione delle acqua di norma non viene regolata ma si avvia in base al livello di monte mentre la restituzione è controllata in modo da avvenire progressivamente.

Figura Figura 8.3. Schema di una cassa di espansione.

Ripartitore

Il ripartitore di una cassa di espansione è generalmente costituito da uno stramazzo laterale con successivamente posta una briglia a fessura , la quale costringend costringendoo la corrente corrente lenta a passare passare in condizioni condizioni critiche critiche funge da sezione di controllo della corrente corrente a monte. monte. Il progetto delle dimensioni dimensioni P ed L dello stramazzo laterale viene eseguito per tentativi integrando l’equazione per gli stramazzi laterali in modo da garantire lo sfioro della portata Q p − Qlim . Briglia

In uscita dalla briglia la pendenza del canale è di norma inferiore a quella critica: if < ic . Le soluzioni soluzioni possibili sono due:

8.2. Regolazione delle portate a mezzo di serbatoi

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Figura Figura 8.4. Effetto Effetto di una cassa di espansion espansione: e: l’area l’area tratteggiata tratteggiata rappresent rappresentaa il volume volume

avviato verso la cassa.

Figura 8.5. Schema del ripartitore.

– figura 8.6(A): 8.6(A): tale soluzione non è ottimale in quanto la vasca di sedimentazione funziona come una trappola per sedimenti; – figura 8.6(B): 8.6(B): tale soluzione è quella ottimale in quanto la presenza del risalto creato da una controbriglia produce una movimentazione del sedimento e non vi sono pareti che ne possono bloccare il trasporto. Organi di scarico

Gli organi di scarico della cassa di espansione sono solitamente delle paratoie piane o a settore. All’uscita dalla vasca di dissipazione non ci sono mai problemi di sedimentazione in quanto l’acqua in entrata è priva di trasporto solido significante.

310


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Figura Figura 8.6. Possibili soluzioni per dissipare l’energia della corrente in uscita dalla briglia a

fessura.

8.3 8.3 8.3. 8.3.1 1

Argin Arginat atura ura dei co cors rsii d’ac d’acqu qua a Argi Argina natu ture re

Nomenclatura e criteri di dimensionamento

Per evitare le esondazioni di un corso d’acqua una delle posssibilità è quella di arginarlo, o, se il fiume è già arginato, di provvedere al sovralzo e ringrosso arginale nei tratti esposti, quando si debba controllare una portata maggiore di quella massima conosciuta. La piena alla quale commisurare la quota arginale è di regola quella caratterizzata da un tempo di ritorno di 100 anni, ovviamente con la riserva di sicurezza rappresentata da un franco arginale assunto non inferiore inferiore ad 1,00 m. L’arginatura L’arginatura viene generalmente generalmente eseguita eseguita con un rilevato rilevato di terra omogenea. omogenea. Il materiale è solitamen solitamente te terra omogenea limosa e argillosa compresa tra il tipo A-6 della classificazione CNR–UNI 10.066, ed il tipo A-4. Al materiale terroso usato per il rilevato arginale sono richiesti: – modesta permeabilità, non superiore a 10−6 − 10−8 m/s; – elevato peso specifico. La compattazione contribuisce a migliorare entrambe le proprietà. La figura 8.7 riporta la nomenclatura in uso per le arginature. Oltre alla necessità di limitare la filtrazione e di assicurare la stabilità del pendio, di deve impedire che il rilevato e la zona circostante (a campagna) siano esposti a fenomeni di sifonamento o impaludamento . Questa ulteriore garanzia comporta, talvolta, lo spostamento del piede dell’argine verso campagna più di quanto sia richiesto dalle normali verifiche statiche. statiche. La sezione trasversale di un argine deve infatti assicurare la copertura della linea di infiltrazione che può stabilirsi nel corpo arginale, a partire dalla quota di massima piena.

8.3.2 8.3.2

Distanze Distanze dagli dagli argini argini per piantagi piantagioni oni,, scavi scavi e manufa manufatti tti

Le attività o gli interventi che in qualche circostanza possono svolgersi o farsi in prossimità delle arginature fluviali sono da considerare con particolare cura per evitare che da essi possano derivare danni alla struttura o che processi di moto che si instaurino nel corpo arginale e nel sottosuolo possano evolversi pericolosamente. La materia è fondamentalmente disciplinata dal Testo unico delle disposizioni di legge intorno alle opere pubbliche delle diverse categorie (T.U. 25 luglio 1904, n. 523).

8.3.3 8.3.3

Filtrazi Filtrazione one nel corpo corpo argin arginale ale

La presenza dell’acqua in un corpo terroso influisce in modo apprezzabile sulle sue condizioni di stabilità, specie per un abbassamento relativamente rapido del livello nel corso d’acqua. Lo studio dell’andamento della filtrazione e delle sue evoluzioni in regime vario può effettuarsi utilizzando le equazioni di flusso in mezzi porosi. Esse sono di facile scrittura ma non di facile manipolazione, a causa dell’incognita e variabile forma della superficie libera.

8.3. Arginatura dei corsi d’acqua

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Figura Figura 8.7. Nomenclatura in uso per le arginature.

8.3.4 8.3.4

Stabi Stabilit lità à degl deglii argin arginii

Richiami normativi

La nozione di stato di stabilità di un pendio in materiale sciolto è espressa dal fattore di sicurezza , indicato solitamente col simbolo F , inteso come rapporto fra le azioni resistenti o stabilizzanti che si oppongono al dissesto della struttura e quelle che invece tendono a favorirlo. Il valore ottenuto è da confrontare con quelli dettati dalla normativa tecnice che disciplina la materia. La stabilità deve essere verificata relativamente alle seguenti condizioni: 1. a termine costruzione: F = 1, 1 , 2;

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2. a serbatoio pieno con il livello di massimo invaso: F = 1, 1 , 4; 3. a seguito di rapido svuotamento del serbatoio da livello massimo a livello di minimo invaso e, ove significativo, anche a livelli intermedi: F = 1, 1 , 2.

8.3.5 8.3.5

Protezi Protezione one delle delle riv rive e e delle delle arginatu arginature re

I paramenti delle rive e degli argini devono essere protetti sia dalle acque che corrono nell’alveo sia dalle acque meteoriche. I modi utilizzati per proteggere il corpo arginale sono relativamente abbastanza numerosi. Le figure 8.8 e 8.9 rappresentano l’insieme delle possibili cause di rottura o di dissesto di un argine.

Figura Figura 8.8. Possibili cause di rotture e dissesti arginali: rotture verso campagna.

8.3.6 8.3.6

Stabiliz Stabilizzazi zazione one degl deglii alvei alvei di magr magra a

Nei corsi d’acqua aventi un’ampia sezione trasversale la corrente di magra è contenuta generalmente in una zona ristretta, detta alveo di magra . Per evitare divagazioni del filone di corrente, che potrebbero modificare in maniera più o meno sistematica le zone golenali, anche con possibili timori per la stabilità degli argini maestri, maestri, l’alveo l’alveo di magra è spesso stabilizzato stabilizzato con opere appropriate. appropriate. Le opere impiegate si suddividono in due classi. 1. Opere radenti o longitudinali : sono manufatti manufatti costruiti costruiti parallelame parallelamente nte alla corrente corrente disposti specialmente men te nel nelle le sponde sponde conca concave ve delle curve. curve. Esse Esse sono sono realiz realizzat zatii con muri o rilev rilevati difesi difesi con adatti adatti rivestimenti delle sponde: – muri in calcestruzzo; – lastre di calcestruzzo gettare in opera o prefabbricate; – scogliere con blocchi naturali o artificiali; – gabbioni. 2. opere sporgenti o pennelli : sono opere che, a partire dalla sponda nella quale sono radicati, si protendono in alveo allo scopo di modificare modificare in un certo tratto di fiume, le caratteristic caratteristiche he del campo di moto della corrente.

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8.3. Arginatura dei corsi d’acqua

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Figura 8.9. Possibili cause di rotture e dissesti arginali: rotture verso fiume.

Come regola generale d’intervento bisogna sempre effettuare una progressione per tempi successivi , procedendo: – da monte a valle : se l’intervento viene fatto per motivi di sedimentazione; – da valle a monte : se l’intervento l’intervento viene fatto per motivi di sicurezza sicurezza contro le esondazion esondazioni. i.

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Idrologia Tecnica, Sistemazione Dei Corsi d'Acqua, Idraulica Fluviale

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