Tema:
CÍRCULO DE MOHR Y COLUMNAS
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Índice. I.- Círculo de Mohr………..……………………………………………..……3 ¿Qué es o a qué se le llama Círculo de Mohr?…………………………...3 ¿Qué es un esfuerzo combinado y qué combinaciones existen?…………4 Procedimiento para calcular el Círculo de Mohr. ….………………..……..5 Aplicaciones del Círculo de Mohr. …………………………………………6 En el diseño de la cimentación de una máquina, ¿de qué manera interviene el Círculo de Mohr? …………………………………………..……6 Ejercicios resueltos (2). ………………………………………….……7, 8, 9, 10
I. Columnas………………....…………………………………………………..11 ¿Cuáles son las fórmulas de Euler?……………………………………....11 ¿Cuál es el principio a partir del cual se deducen las fórmulas de Euller?............................................................................................…12, 13 Consideraciones especiales de las fórmulas de Euller……………..14, 15 Limitaciones de las fórmulas de Euller.………………………………….…16 Ejercicios resueltos (2).……………………………………………………17, 18 BIBLIOGRAFÍAS…………………………………………………………………...….19
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I.- Círculo de Mohr. 1. ¿Qué es o a qué se le llama Círculo de Mohr? Un enfoque mejor para determinar los esfuerzos principales normal y cortante, en un punto consiste en usar la solución semigráfica (ideada por el profesor Otto Mohr, en Alemania alrededor de 1882), que representa gráficamente las fórmulas generales para el esfuerzo en un punto. Las ecs. (6.3) y (6.4) representan la ecuación de un círculo en forma paramétrica. Cuando se traza un par de ejes coordenadas y se sitúan los valores de σ’ y τ’ que corresponden a un valor de θ, las coordenadas corresponderán a un punto que queda situado sobre la circunferencia de un círculo.
Bibliografía Fitzegerald Mecánica de Materiales, Pág. 159
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2. ¿Qué es un esfuerzo combinado y qué combinaciones existen? En general cuando hablamos de un esfuerzo combinado se refiere a los casos en que 2 o más tipos de esfuerzos actúan en un punto dado al mismo tiempo. Los esfuerzos pueden ser normales (tensión o compresión) o esfuerzos cortantes. Bibliografía Fitzegerald Mecánica de Materiales, Pág. 160, 161
Bibliografía http://www.mecapedia.uji.es/images/circulo_de_Mohr_de_tensiones.8.gif
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3. Procedimiento para calcular el Círculo de Mohr. Para construir un círculo de Mohr que sirva en la solución de problemas, se usa el siguiente procedimiento:
1. Se traza un par de ejes coordenadas tomando a σ como eje de las abscisas y a τ como eje de las ordenadas.
2. Se trazan los valores de τ y σ correspondientes a dos superficies mutuamente perpendiculares del cubo elemental, tales como las caras cd y ac de la Fig. 6.24 (a), obteniendo dos puntos en la periferia del círculo. De acuerdo con la convención de signos, los esfuerzos de tensión son positivos y los esfuerzos de compresión, negativos. Los esfuerzos cortantes que tienden a hacer girar al bloque en sentido de las manecillas del reloj, tales como los de las caras ac y bd, se consideran negativos. En el círculo de la Fig. 6.24 (b), el punto V con coordenadas (+ σx, + τ), y el punto H con coordenadas (+ σy, - τ) son los puntos que se trazarán. 3. Se traza la línea recta HCV que une estos dos puntos. Esta recta es el diámetro del círculo cuyo centro es el punto C. 4. Se completa el círculo tomando como centro el punto C y como radio CV.
Bibliografía Fitzegerald Mecánica de Materiales, Pág. 159,160
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5. Aplicaciones del Círculo de Mohr.
Diseño de ejes sujetos a esfuerzos de flexión y cortante combinados. Cálculo de esfuerzos tridimensionales. Tensión triaxial. Tensiones tangenciales máximas. Presión de fluidos. Profundidad. Cohesión. Sistema magmático. Geotecnia. Bibliografía http://www.aulamatematica.com/AMD/PDF/AMD_02/02_AMD_32_35_Mohr_1.pdf
6. En el diseño de la cimentación de una máquina, ¿De qué manera interviene el Círculo de Mohr? En el cálculo de presión de fluidos y en el cálculo de esfuerzos tridimensionales que intervienen en la cimentación (cortante, aplastamiento, deformación, etc.). También es posible encontrar las tensiones que actúan sobre cualquier plano inclinado así como las tensiones principales y las tensiones tangenciales máximas con ayuda del círculo de Mohr. Sin embargo, solo se han considerado rotaciones de ejes en el plano xy (es decir, rotaciones respecto al eje z), Bibliografía http://www.uned.es/dptoicf/mecanica_del_suelo_y_cimentaciones/images/mecansueloycimentacionescap_1.pdf
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7. Ejercicios resueltos (2). EJEMPLO 6.12 Determinar los esfuerzos principales, el esfuerzo cortante máximo y el ángulo de inclinación necesario para obtener estos esfuerzos, para el eje del ejemplo 6.8. El bloque de esfuerzos se ilustra en la Fig. 6.25.
SOLUCIÓN Los puntos V y H se trazan como se indica, y el círculo se traza con centro en C. Las coordenadas del punto C son C (2 400, 0). La distancia OB da el esfuerzo principal máximo, que se obtiene como: √( √(
)
(
)
(
)
) ⁄ 7
El esfuerzo principal mínimo es la distancia OA, que se determina así: √(
)
(
)
⁄ El ángulo de rotación del bloque, requerido para obtener estos esfuerzos es la mitad del valor de 2θ en el diagrama. Así:
La rotación se muestra en la Fig. 6.25 (c). Como el punto V se movió hasta B, puede pensarse que el esfuerzo principal máximo actúa sobre lo que era la cara vertical. El mismo razonamiento puede usarse al considerar el esfuerzo principal mínimo. El esfuerzo cortante máximo corresponde a las coordenadas del punto D, que son (2 400, 4 000). El ángulo 2θr es igual a 2θ + 90°. Por consiguiente,
Los esfuerzos para esta orientación se muestran en la Fig. 6.25 (d).
Bibliografía Fitzegerald Mecánica de Materiales, Pág. 160, 161, 162 8
EJEMPLO 6.13 Determinar los esfuerzos principales, el esfuerzo cortante máximo, y los planos en que actúan estos esfuerzos mostrados en la Fig. 6.27 (a).
SOLUCIÓN Se trazan los puntos V y H, como se indica en la Fig. 6.27 (b). Los esfuerzos principales son OB y OA. Estos valores se pueden determinar como sigue:
√(
)
(
√(
)
(
)
√(
)
(
)
) ;
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La orientación de los planos de esfuerzos principales se indica en la Fig. 6.27 (c). El esfuerzo cortante máximo es el radio del círculo; es decir, CD o CG, que es: ; Entonces,
La inclinación de los planos sobre los cuales ocurre el esfuerzo cortante máximo, y los esfuerzos sobre esos planos se indican en la Fig. 6.27 (d).
Bibliografía Fitzegerald Mecánica de Materiales, Pág. 162, 163
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II.- Columnas. 1. ¿Cuáles son las fórmulas de Euler? La base de la teoría de las columnas es la fórmula de Euler, que fue publicada en 1757 por Leonardo Euler, un matemático suizo. La fórmula de Euler que es solamente válida para columnas largas, calcula lo que se conoce como la carga crítica de pandeo. Esta es la carga última que puede ser soportada por columnas largas, es decir, la carga presente en el instante del colapso.
Bibliografía Fitzegerald Mecánica de Materiales, Pág. 258, 260
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2. ¿Cuál es el principio a partir del cual se deducen las fórmulas de Euler? La fórmula se puede deducir con facilidad de la siguiente manera. Al escribir la ecuación fundamental de flexión para el momento:
Se tiene, para el caso de Euler, que el momento es Px, de modo que (a) Donde el signo negativo de M, es el resultado de pasar de +dy/dx en el origen a
( )
(e)
Bibliografía Joseph E. Bowles Diseño de Acero Estructural, Pág. 295
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Con condiciones límite de x = 0, para y = , se obtiene B = 0 y la ecuación (b) se convierte en:
Como x = 0, para y = L o bien A = 0, o sen ky = Si A = 0, no hay deflexión de perfil, de modo que la solución debe tenerse usando sen (ky) = 0. Esto será solamente posible para valores de kL. Esta ecuación (ecuación de Euller) se describe como un valor
característico o una ecuación de valor característico. Las soluciones son:
Tomando la solución general, vemos que: √
;
El término n describe los modos de pandeo. Para la mayoría de los casos prácticos el primer modo de pandeo (n=1) producirá la falla, y a menos que se encuentren características especiales de construcción, el pandeo ocurrirá en:
Bibliografía Fitzegerald Mecánica de Materiales, Pág. 258, 260
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3. Consideraciones especiales de las fórmulas de Euller. Fórmulas de Euler para otras condiciones de los extremos La formula de Euler para columnas con extremos articulados puede modificarse para tomar en consideración otros tipos de condiciones de los extremos, algunos de los cuales se muestran en la Fig. 9.4.
Ec. (9.2)
Usando la columna con extremos articulados con el caso básico, podemos modificar la ec. (9.2) para proporcionar la carga critica de pandeo para columnas que tengan como condiciones en sus extremos las mostradas en la Fig. 9.4 (b), (c) y (d). Se necesita solamente substituir la longitud L de la ec. (9.2) por la “longitud efectiva” (mostrada en la Fig. 9.4). La longitud efectiva es la distancia entre los puntos de inflexión de la curva deformada que adopta el eje de la columna. Por ejemplo, la carga crítica de pandeo para la columna de a Fig. 9.4 (b), que tiene un extremo empotrado y el otro extremo articulado (longitud efectiva = 0.7L) se convierte en: (
)
(9.3) 14
Análogamente, la fórmula de Euler puede modificarse para las otras condiciones de los extremos en la Fig. 9.4. Para columnas doblemente empotradas (Fig. 9.4 (c), longitud efectiva = 0.5L), es:
(
) (9.4)
Para columnas con un extremo empotrado y otro libre (Fig. 9.4 (d), longitud efectiva = 2L), se convierte en:
(
) (9.5)
Para tener en cuenta la posible diferencia entre la longitud efectiva y la longitud verdadera, frecuentemente se incluye un factor de longitud efectiva en la ecuación básica. Entonces la ecuación de Euler aparecería como:
(
)
Donde K es el factor de longitud efectiva. Para los casos ideales mostrados en la Fig. 9.4 (a) a (d), los valores de K son 1.0, 0.7, 0.5 y 2.0. Bibliografía Fitzegerald Mecánica de Materiales, Pág. 261, 262
Para el valor del esfuerzo correspondiente a la carga crítica es el esfuerzo crítico y se le designa por σcr. Retomando la ecuación de Pcr = π2EI / (KL)2, y haciendo I = Ar2, donde A es el área de la sección transversal y r el radio de giro, se tiene: O
( ⁄ )
Bibliografía Beer & Johnston Mecánica de Materiales, Pág. 612
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4. Limitaciones de las fórmulas de Euller. Es muy importante tomar en cuenta que la fórmula de Euler es válida solamente hasta el Límite de Proporcionalidad del acero. También estar conscientes de que una columna pandea en la dirección en que es más débil, por lo cual el valor de “I” que se debe tomar es el más bajo. La fórmula demuestra que la CARGA CRITICA no depende de la resistencia del acero sino de su modulo de elasticidad E y de las dimensiones de la columna. Para que sea válida la fórmula de Euler, el esfuerzo durante el pandeo no debe sobrepasar el Límite de Proporcionalidad del Acero.
Bibliografía http://www.slideshare.net/wlopezalmarza/acero-estructural-pandeo
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5. Ejercicios resueltos (2). EJEMPLO 1 Determinar la carga crítica de pandeo y el esfuerzo en la columna correspondiente a la carga crítica, para una columna maciza de acero de sección circular, de 1 pulgada de diámetro y 30 pulgadas de longitud, con extremos articulados. SOLUCIÓN:
=
) [ ( )
(
=
(
]
)
⁄
( ⁄ )( )
Bibliografía Fitzegerald Mecánica de Materiales, Pág. 263
EJEMPLO 2 Una columna articulada de 2m de longitud y sección cuadrada debe hacerse de madera. Suponiendo E = 13GPa y σperm = 12 MPa y usando un factor de seguridad de 2.5, para calcular la carga crítica de pandeo de Euler, determine el tamaño de la sección transversal si la columna debe soportar: a) Una carga de 100 kN, b) Una carga de 200 kN. a) Carga de 100 kN. Usando el factor de seguridad especificado. (
)
Según la fórmula de Euler y resolviendo para I, (
)(
)
( Pero I =
4
)
/12, por tratarse de un cuadrado de lado a; entonces:
Se verifica el valor del esfuerzo normal de la columna: (
)
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Ya que σ es menor que el esfuerzo permisible, una sección transversal de 100 x 100 mm es aceptable. b) Carga de 200 kN. Resolviendo de nuevo la ecuación (10.11) para I, pero haciendo = 2.5 (200) = 500 kN, se tiene: I = 15.588 x 10 -6 mm4
El valor del esfuerzo normal es: (
)
Dado que este valor es mayor que el esfuerzo permisible, las dimensiones no son aceptables y debe elegirse una sección con base en su resistencia a compresión. Se escribe:
σ
Una sección transversal de 130 X 130 mm es aceptable. Bibliografía Beer & Johnston Mecánica de Materiales, Pág. 613
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BIBLIOGRAFÍAS.
LIBROS: Robert W. Fitzgerald Mecánica de Materiales ALFAOMEGA Págs. Consultadas: 159, 160, 161, 162, 163, 258, 260, 261, 262, 263 Ferdinand P. Beer, E. Russell Johnston, Jr. & John T. DeWolf Mecánica de Materiales Mc GRAW HILL Págs. Consultadas: 612, 613 Joseph E. Bowles Diseño de Acero Estructural LIMUSA Págs. Consultadas: 295
PÁGINAS CONSULTADAS:
http://www.slideshare.net/wlopezalmarza/acero-estructural-pandeo
http://www.uned.es/dptoicf/mecanica_del_suelo_y_cimentaciones/images/mecansueloycimentacionescap_1.pdf
http://www.aulamatematica.com/AMD/PDF/AMD_02/02_AMD_32_35_Mohr_1.pdf
http://www.mecapedia.uji.es/images/circulo_de_Mohr_de_tensiones.8.gif
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