Mecanica de Materiales

I. I.

CONTENIDO

CONTENIDO........... CONTENIDO...................... ..................... ..................... ..................... .................................................. ........................................ 1

II. INTRODUCCIÓN........ INTRODUCCIÓN................... ..................... ..................... ..................... ..................... ...................... ........................... ................ 2 III.

OBJETIVOS:........... OBJETIVOS:..................... ..................... ..................... ..................... ................................................. ...................................... 3

IV. IV.

MARCO MARCO TEORICO................ TEORICO........................... ..................... ..................... ..................... ..................... ......................... ..............4 4

A. MOMENTO DE INERCIA....... INERCIA.................. ..................... ..................... ..................... ..................... ......................... .............. 4 B. TEOREMA DE LOS LOS EJES PARAL PARALELOS ELOS PARA PARA UN ÁREA........... ÁREA...................... ....................7 .........7 C. CENTRO DE MASAS................. MASAS........................... ..................... ..................... ..................... ............................... ....................9 9 CENTROIDE DE ÁREAS COMPUESTAS........... COMPUESTAS...................... ..................... ...............................10 .....................10 CENTROIDE DE FIGURAS FIGURAS COMPLEJAS.......... COMPLEJAS.................... ..................... ................................. ......................11 11 D. MOMENTOS DE INERC INERCIA IA PARA PARA UN ÁREA ÁREA POR INTEGRACIÓN......... INTEGRACIÓN............. ......12 ..12 E. MOMENTO DE INERC INERCIA IA PARA PARA ÁREAS COMPUESTAS............ COMPUESTAS.............................12 .................12 PROCEDIMIENTO PROCEDIMIENTO DE ANÁLISIS............. ANÁLISIS....................... .................................................. ........................................ 12 F.

PROPIEDADES PROPIEDADES DE LA INERCIA......... INERCIA.................... ..................... ......................................... ............................... 14

G. PRODUCTO DE DE INERCIA........ INERCIA.................. ..................... ...................... ..................... ..................... .....................1 ..........1 V. CONCLUSIONES:..... CONCLUSIONES:............... ..................... ...................... ..................... ..................... ..................... ...........................1! .................1! VI.

BIBLIOGRAF"A....... BIBLIOGRAF"A................. ..................... ..................... ..................... ..................... ..................... ...................... ................ .....17 17

VII.

EJERCICIOS EJERCICIOS RESUELTOS........... RESUELTOS..................... ..................... ..................... ..................... ..................... .................. ........1# 1#

RESISTENCIA DE MATERIALES II

1

II.

INTRODUCCIÓN

El momento de inercia es una propiedad geométrica de una superficie o área que representa la distancia de un área con respecto a un eje dado. Se define como la suma de los productos de todas las áreas elementales multiplicadas por el cuadrado de las distancias a un eje. Tiene unidades de longitud elevada a la cuatro.

Es importante para el análisis de vigas y columnas, porque el diseño del tamaño de estos elementos está relacionado con el momento de inercia, ya que el momento de inercia “I define la forma apropiada que de!e la secci"n del elemento estructural.

El centroide representa el punto donde se u!ica la resultante del peso de un o!jeto, además esta posici"n representa un movimiento simple de un o!jeto al contrario si se anali#a el o!jeto completo donde cada punto presenta un movimiento más complejo. El centroide es proporcional a la u!icaci"n del área asociada. $or otra parte, tenemos una medida denominada momento de inercia que no depende solamente de la u!icaci"n del área sino de la distancia %asta un eje dado.

Este tra!ajo se reali#a con la finalidad de tener más conocimiento so!re el momento de inercia la cual se seguirá %a!lando del mismo.

III.

OBJETIVOS:


2

•

&edir el momento de inercia de un cuerpo.

•

'ompro!ar el teorema de los ejes paralelos.

•

(eterminar momentos de inercia de cuerpos con diferentes geometr)as.

IV.

MARCO TEORICO a. MOMENTO DE INERCIA

El momento de inercia o inercia rotacional es una medida de la inercia rotacional de un cuerpo. &ás concretamente el momento de inercia es una magnitud escalar que refleja la distri!uci"n de masas de un cuerpo o un sistema de part)culas en rotaci"n, respecto al eje de giro.


3

El momento de inercia s"lo depende de la geometr)a del cuerpo y de la posici"n del eje de giro* pero no depende de las fuer#as que intervienen en el movimiento. El momento de inercia desempeña un papel análogo al de la masa inercial en el caso del movimiento rectil)neo y uniforme. Es el valor escalar del momento angular longitudinal de un s"lido r)gido. 'onsidere el área +, mostrada en la figura , que se encuentra en el plano x-y .

FIGURA 1. $or definici"n, los momentos de inercia del área diferencial plana dA con respecto a los ejes x y y son dI-y/ d+ y dIy-/ d+, respectivamente. 0os momentos de inercia son determinados por integraci"n para toda área* es decir1

Ec.1

Ec.2 Tam!ién podemos formular el segundo momento de dA con respecto al polo O " eje z . + este se le llama momento de inercia polar y se lo puede calcular mediante1

Ec.3

+qu) r es la distancia perpendicular desde el polo 2eje z 3 %asta el elemento dA.


4

0as unidades para el momento de inercia implican la longitud elevada a la cuarta potencia.

CUADRO 1




Momentos de ine!ia

". TEOREMA DE #OS EJES $ARA#E#OS $ARA UN %REA Si el momento de inercia para un área se conoce con respecto a un eje que pasa a través de su centroide, lo que a menudo es el caso, es conveniente


!

determinar el momento de inercia del área con respecto a un eje paralelo correspondiente usando el teorema de ejes paralelos.

FIGURA &. 'onsidérese el momento de inercia I de un área A con respecto de un eje AA’ figura /. 4epresentado con y la distancia desde un elemento de área dA %asta

AA’.

Ec.2 +%ora, se di!uja a través del centroide C del área un eje BB’ que es paralelo a

AA’ , dic%o eje reci!e el nom!re de eje centroidal. 4epresentado con y’ la distancia desde el elemento dA %asta BB’ , se escri!e y=y’+d , donde d es la distancia entre los ejes ++5 y BB’ . Sustituyendo y5 6 d en lugar de y en la integral anterior, se escri!e1

Ec.4

Ec.7

En donde la primera integral representa el momento de inercia Ī del área con respecto del eje centroidal BB’ . 0a segunda integral momento

representa el primer

con respecto de BB’ , puesto que el centroide C del área está

locali#ado so!re dic%o eje, la segunda integral de!e ser igual a cero.


7

8inalmente, se o!serva que la 9ltima integral es igual al área total A. $or tanto se o!tiene1 Ec.:

CUADRO &. $o'iedades Geom(ti!as de #)neas * E+ementos de %ea

!. CENTRO DE MASAS


#

$odemos decir que el centro de masas es el punto donde se concentra la masa de un s"lido o sistema material de puntos. $or ejemplo, si tenemos una esfera, podemos apro-imar su comportamiento al de un punto locali#ado en su centro y con una masa igual a su densidad por el volumen. El centro de masas tiene infinidad de utilidades. $or ejemplo, las leyes de ;e
CUADRO , Centos de Masa


9

CENTROIDE DE %REAS COM$UESTAS En gran cantidad de casos una superficie cualquiera puede ser su!dividida en una serie de figuras comunes 2rectángulo, triangulo, circunferencia etc...3.=n área compuesta se puede su!dividir en varias áreas comunes cuyas e-presiones de momento de inercia sean conocidas, de manera que el momento de inercia del área compuesta es igual a la suma de los momentos de inercia de cada área com9n, siempre y cuando cada momento de inercia este referido al mismo.

CENTROIDE DE FIGURAS COM$#EJAS


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Se puede considerar que la mayor)a de las formas complejas están compuestas de varias formas simples. =n concepto que ayuda en la locali#aci"n de centroides es que si el área dispone de un eje de simetr)a, el centroide se locali#ara en dic%o eje. +lgunas figuras complejas cuentan con dos ejes de simetr)a y, por consiguiente, el centroide se locali#a en la intersecci"n de estos dos ejes. En la siguiente figura se muestran ejemplos donde ocurre esto. En los casos en que no %ay ejes de simetr)a, se usa el método de las áreas compuestas para locali#ar el centroide. $or ejemplo, considerando la siguiente figuras.

FIGURA ,.

RADIO DE GIRO DE UN %REA El radio de giro de una área plana tiene unidades de longitud y es una cantidad usada a menudo en mecánica estructural para el diseño de columnas. Si se conocen las áreas y los momentos de inercia, los radios de giro son determinados a partir de formulas

Ec.>

d. MOMENTOS DE INERCIA $ARA UN %REA $OR INTEGRACIÓN


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'uando las fronteras de un área plana son e-presadas mediante funciones matemáticas, las ecuaciones / y ? pueden ser integradas para determinar los momentos de inercia para el área.

Si el elemento de área elegido para la integraci"n tiene un tamaño diferencial en dos direcciones como se muestra en la figura /, de!e efectuarse una integraci"n do!le para evaluar el momento de inercia.

Sin em!argo, a menudo es más fácil efectuar una integraci"n simple eligiendo un elemento que tenga un tamaño diferencial o espesor en solo una direcci"n.

e. MOMENTO DE INERCIA $ARA %REAS COM$UESTAS =n área compuesta consiste en una serie de partes o formas “más simples conectadas, tales como semic)rculos, rectángulos y triángulos. Si el momento de inercia de cada una de esas partes se conoce o puede ser determinado con respecto a un eje com9n, entonces el momento de inercia del área compuesta es igual a la suma alge!raica de los momentos de inercia de todas sus partes.

$ROCEDIMIENTO DE AN%#ISIS •

El momento de inercia de un área compuesta con respecto a un eje de referencia puede ser determinado usando el siguiente procedimiento.

•

=sando un croquis, dividir el área en sus partes componentes e indique la distancia perpendicular desde el centroide de cada parte %asta el eje de referencia.

•

El momento de inercia de cada parte de!e ser determinado con respecto a su eje centroidal, que es paralelo al eje de referencia.

•

El momento de inercia de toda el área con respecto al eje de referencia es determinado sumando los resultados de sus partes componentes.


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rop!edad de los c"erpos de #o mod!$!car s" estado de reposo o mo%!m!e#to s! #o es por la acc!&# de "#a $"erza. $or ejemplo cuando empujamos algo que se mueve linealmente, solemos decir que tiene muc%a inercia. Sin em!argo, esto no es del todo correcto puesto que la inercia es, estrictamente %a!lando, la resistencia a los cam!ios en la rotaci"n de un o!jeto. 0a inercia puede calcularse mediante la el producto masa por distancia al cuadrado, o en caso de tratarse de una densidad constante y para una geometr)a continua, de la manera siguiente1

FIGURA -.


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@eamos a continuaci"n como calcularlo para un triángulo1

FIGURA -.

0a inercia es una propiedad muy importante en dinámica y estática. $or ejemplo en resistencia de materiales, es un parámetro fundamental pues es necesaria para calcular la tensi"n en una secci"n de!ida a la aplicaci"n de un momento en la estructura. (e!ido a que es inversamente proporcional a la tensi"n que sufre la secci"n en cuesti"n, es preferi!le diseñar estructuras con una alta inercia, minimi#ando as) la solicitaci"n. (e!ido a lo anterior, somos capaces de deducir los “e-traños perfiles de algunas vigas. $or ejemplo el motivo para utili#ar vigas con secci"n de do!le T es que al ser la inercia proporcional a la distancia, normalmente es preferi!le locali#ar el material en posiciones con una mayor distancia a la periferia, esto es, lo más alejados posi!les del centro de gravedad.


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Mecanica de Materiales

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