INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL ESCUELA SUPERIOR DE FÍSICA Y MATEMÁTICAS MAESTRÍA EN CIENCIAS FISICOMATEMÁTICAS
MECÁNICA CUÁNTICA DE LOS ESTADOS COHERENTES Y COMPRIMIDOS.
T E S I S
Que para obtener el Grado de Maestro en Ciencias con especialidad en Física
P R E S E N T A Didier Ojeda Guillén
DIRECTORES DE TESIS Dr. Víctor David Granados García Dr. Roberto Daniel Mota Esteves
México, D. F., Diciembre de 2010
Resumen. Se formalizó la teoría de los estados coherentes y comprimidos del oscilador armónico mediante los operadores de Weyl (relacionado con el grupo de Heisenberg – Weyl ) y el operador de compresión (relacionado con el grupo de Lie no compacto ). Las propiedades de estos estados de la óptica cuántica se obtienen aplicando la mecánica cuántica y la teoría de grupos, dando así un tratamiento intermedio entre la óptica cuántica y el formalismo matemático de la teoría de grupos. Se encontró para éstos grupos y una representación en términos de los operadores de ascenso y descenso y del oscilador armónico.
� 2��
� 2��
Se desarrolló un método, basado en la propiedad de traslación del operador de Weyl y su análogo para el operador de compresión , para calcular algunas de las propiedades de los estados coherentes y comprimidos, verificándose que los estados coherentes son estados de mínima incertidumbre en el tiempo de acuerdo a la desigualdad de incertidumbre de Heisenberg, y los estados comprimidos son de mínima incertidumbre de acuerdo a la desigualdad generalizada de Schrödinger.
Se calcularon las correlaciones cuánticas dependientes y no dependientes del tiempo de los operadores no dependientes y dependientes del tiempo, de posición y de momento de los estados coherentes y comprimidos. Se demuestra que los estados coherentes no están correlacionados, mientras que los estados comprimidos sí lo están. Comparamos el producto de las dispersiones dependientes y no dependientes del tiempo de los estados coherentes y de los estados comprimidos. Se encontró que éstos difieren en un término adicional que aparece en los estados comprimidos, el cual se atribuyó a la correlación cuántica de estos.
̂
Se generalizan los resultados obtenidos para los estados coherentes y comprimidos al estudiar los estados coherentes y comprimidos del oscilador armónico, utilizando el método desarrollado en el tratamiento de los estados coherentes y comprimidos. Se demuestra que los estados coherentes y comprimidos de número también son de mínima incertidumbre en el tiempo, nuevamente de acuerdo a las desigualdades de Heisenberg y Schrödinger, respectivamente.
�
Abstract. We formally developed the theory of coherent and squeezed states for the harmonic oscillator. This was based on the Weyl operator (related to the Heisenberg – Weyl group ), and squeezing operator (related to the compact Lie group ). From quantum mechanics we obtain the coherent and squeezed state properties, giving in this way an intermediate treatment between quantum optics and the mathematical formalism of the group theory. For the groups and we find a harmonic oscillator representation for their generators in terms of annihilation and creation operators and .
�
2��
2��
�
Based on the translation property of the Weyl operator and its analogue for the squeezing operator we shall develop a method to calculate some properties of the coherent and squeezed states. We verify that the coherent states are of minimum uncertainty in time according to Heisenberg’s uncertainty inequality, and squeezed states are of minimum uncertainty in time according to Schrödinger’s generalized inequality.
We calculated the time – dependent and the time – independent quantum correlations for the operators and . We show that the coherent states are not correlated, whereas the squeezed states are. We compare the dispersion products dependent and not time – dependent of coherent and squeezed states. We show that they differ by and additional term in squeezed states, which is attributed to the quantum correlation of them.
̂
Using the method developed in the treatment of coherent and squeezed states, the results obtained for coherent and squeezed states are generalized by studying the coherent and squeezed number states for the harmonic oscillator. We show that the number coherent and squeezed states are of minimum uncertainty of time, according to the Heisenberg’s and Schrödinger’s inequalities, respectively.
��
Agradecimientos. Quiero dar gracias a Dios por todas las bendiciones que ha derramado sobre mí y por permitirme seguir creciendo como persona. A mis padres y hermana, porque siempre han creído en mí y han estado en todo momento para apoyarme incondicionalmente. Quiero agradecer también a mi esposa, por todo su amor, compresión y por estar a mi lado en los momentos más difíciles. A mis directores de tesis, el Dr. Víctor David Granados García y el Dr. Roberto Daniel Mota Esteves, por su paciencia, apoyo, confianza y la inversión de tiempo empleada en mí para sacar adelante éste trabajo. Asimismo quiero agradecer a los sinodales todas las correcciones y observaciones hechas a éste trabajo. Por último, agradecer al Programa Institucional de Formación de Investigadores (PIFI), la Beca Institucional del IPN y la Beca Conacyt, por el apoyo económico otorgado para la realización de la tesis.
���
Dedicatoria A mi esposa Diana y mi hija Camila.
��
Índice Introducción.
1
Capítulo 1.Mecánica cuántica de los estados coherentes
3
1.1 Los estados coherentes de Schrödinger. 1.2 La desigualdad de incertidumbre generalizada de Schrödinger. 1.3 Caracterización del paquete gaussiano desplazado de Schrödinger. 1.4 El grupo especial canónico de Weyl y los estados coherentes de Glauber del oscilador armónico.
Capítulo 2. Mecánica cuántica de los estados comprimidos.
2��
2.1 El grupo . 2.2 Teoría espectral del grupo . 2.3 Los estados comprimidos del oscilador armónico.
2������
4 7 12 14
30 31 36 39
Capítulo 3. Los estados coherentes y comprimidos de número del oscilador armónico.
58
3.1 Los estados coherentes de número del oscilador armónico. 3.1.1 La transformada de Bargmann y los estados excitados del oscilador armónico. 3.1.2 El operador de Weyl W(α) y los estados excitados del oscilador armónico. 3.2 Los estados comprimidos de número del oscilador armónico. 3.3 Los estados coherentes y comprimidos en la actualidad.
59 59 62 76 86
Conclusiones
88
Referencias
90
Introducción. En la primera mitad de 1926 Erwin Schrödinger publicó 9 artículos con los que revolucionó el mundo de la física, asentando las ideas de lo que hoy conocemos como Mecánica Cuántica. En base a éstos hechos, Lorentz le escribió una carta a Schrödinger [1] en mayo del mismo año en la que le expresaba que lamentaba que sus funciones de onda fueran estacionarias y no describieran un movimiento clásico. Partiendo de las observaciones de Lorentz, Schrödinger escribió un artículo en el cual desarrolló un estado de oscilador armónico gaussiano desplazado cuyo centro oscila clásicamente [2]. Con este trabajo Schrödinger introdujo un caso particular de los que hoy se conocen como estados coherentes del oscilador armónico. Los estados coherentes fueron introducidos en la óptica cuántica por Roy Glauber en 1963 mediante el estudio de la coherencia de los campos de radiación cuantizados [3], y fue en este contexto que se les denominó estados coherentes. Estos estados coherentes son de vital importancia en la actualidad ya que, entre otras cosas, describen la radiación láser coherente [4, 5]. Los estados comprimidos del oscilador armónico fueron descubiertos por Earle Hesse Kennard en 1927 mientras disfrutaba un año sabático en el Instituto Max Born de la universidad de Gottingen [1]. A pesar de que Kennard desarrolló prácticamente toda la teoría de los estados comprimidos en [1], su trabajo fue ignorado por mucho tiempo, tal vez porque su trabajo estaba muy adelantado a tu tiempo, ya que no se encontraron conexiones con los experimentos hasta muchas décadas después [1, 6]. Los estados comprimidos fueron redescubiertos en los años 70 por Yuen y Stoler [7], sin utilizar la teoría del grupo de Lie no compacto como lo haremos en esta tesis.
2��
Sin embargo, no se hace de manera muy rigurosa el tratamiento de los estados coherentes y comprimidos del oscilador armónico en los textos de óptica cuántica [6, 8], ya que no se utiliza para nada la teoría de grupos. Por otra parte, cuando se estudian los estados coherentes y comprimidos en la literatura escrita por matemáticos [9], éstos se analizan de manera muy formal en base a la teoría de grupos, en especial, a la referida a los grupos de Lie y no es clara la mecánica cuántica del problema. Los estados coherentes pueden ser tratados de una manera intermedia entre la óptica cuántica y el método formal de la teoría matemática mediante el operador de Weyl, y es ésta la motivación principal de la presente tesis, además de ser el objetivo del primer capítulo del presente trabajo. En este capítulo se dará una demostración detallada de la desigualdad generalizada de Schrödinger [10], para después encontrar los estados coherentes de Glauber. Luego se definirán �
de manera formal los estados coherentes de Glauber y se verificará, utilizando un trabajo de Mello y Moshinsky [11] sobre las transformaciones canónicas cuántica lineales, que los estados coherentes de Glauber son de mínima incertidumbre en el tiempo de acuerdo a la desigualdad de Heisenberg. Además, se calculará para los estados coherentes del oscilador armónico la correlación cuántica de los operadores de posición y momento , obteniéndose que no están correlacionados en el tiempo.
̂
En el segundo capítulo se encontrará una representación de oscilador armónico para el grupo de Lie no compacto en términos de los operadores de ascenso y descenso . De manera análoga a lo realizado en el primer capítulo con los estados coherentes del oscilador armónico, en el segundo capítulo de la tesis se formalizará la teoría de los estados comprimidos del oscilador armónico definiéndolos mediante el uso del operador de Weyl y el de compresión para luego relacionarlos con el grupo de Lie no compacto . De la definición del operador de compresión se podrá observar que los estados comprimidos son estados de dos fotones. Además, se verificará que los estados comprimidos del oscilador armónico, a diferencia de los estados coherentes, están correlacionados. Comparando el producto de las dispersiones de la posición y el momento de los estados coherentes y comprimidos no dependientes y dependientes del tiempo, se identificará el término adicional, que aparece en los estados comprimidos, con su correlación cuántica. Los resultados obtenidos para las correlaciones cuánticas de los estados coherentes y los comprimidos del oscilador armónico no se presentan ni en la óptica cuántica ni en el formalismo matemático de los estados coherentes.
��1
��1
̂
Durante el transcurso de los dos primeros capítulos se desarrollará un método basado en la propiedad de traslación del operador de Weyl y su análoga para el operador de compresión , con el cual se calcularán prácticamente todas las propiedades de los estados coherentes y comprimidos.
Notemos que los estados coherentes y comprimidos del oscilador armónico están relacionados con el estado base del oscilador armónico. Los estados coherentes y comprimidos de número del oscilador armónico, estudiados por Nieto en [12], se definen para cualquier estado excitado de oscilador armónico, generalizando los anteriores. En el tercer capítulo encontraremos las relaciones generales que satisfacen el producto de las dispersiones dependientes y no dependientes del tiempo y las correlaciones cuánticas dependientes del tiempo de los estados coherentes y comprimidos de número, obteniéndose como un caso particular, las obtenidas en los primeros dos capítulos. Además, se calculará la evolución temporal de los estados coherentes y comprimidos de número del oscilador armónico mediante el método de la transformada de Bargmann de Hecht [13] y mediante el método del operador de Weyl dependiente del tiempo, encontrando que el método del operador de Weyl dependiente del tiempo es más general que el primero.
�
Capítulo 1 Mecánica cuántica estados coherentes.
de
los
Introducción. Los estados coherentes del oscilador armónico fueron introducidos por primera vez por Erwin Schrödinger en la primera mitad de 1926, desarrollando un sistema que describiera un movimiento clásico [2]. Glauber los definió en 1963 [3] como las eigenfunciones del operador de descenso del oscilador armónico. Los estados coherentes del oscilador armónico tienen la propiedad de ser los más clásicos posibles, ya que éstos minimizan la relación de incertidumbre de Heisenberg.
En la primera sección del presente capítulo se desarrollará la manera en la que Schrödinger obtuvo los estados coherentes [2]. Hecho esto, se dará una demostración general de la desigualdad generalizada de Schrödinger [10, 14] y se obtendrán a partir de ella los estados coherentes de Glauber del oscilador armónico [3, 5], que son una generalización de los de Schrödinger. Una vez hecho esto se verificará que los estados coherentes de Glauber son de mínima incertidumbre de acuerdo a la desigualdad de Heisenberg [5] y se probará que los valores promedio de la posición y el momento dependientes del tiempo de los estados coherentes del oscilador armónico satisfacen el teorema de Ehrenfest [10, 15]. �
Para finalizar, se desarrollará la parte principal del capítulo en la cual se definirán de manera formal los estados coherentes de Glauber y se obtendrán algunas de las propiedades de los estados coherentes a través de la mecánica cuántica, partiendo del operador de Weyl. Se verificará que los estados coherentes del oscilador armónico forman una base sobrecompleta [5, 16]. Se demostrará, partiendo de un artículo de Mello y Moshinsky [11], que el producto de las dispersiones de la posición y el momento del oscilador armónico dependientes del tiempo sigue siendo de mínima incertidumbre e independiente del tiempo, con lo cual se verifica que los estados coherentes son los más clásicos posibles.
1.1 Los estados coherentes de Schrödinger. En esta sección, siguiendo el libro de Schiff [15], reproduciremos los estados encontrados por Schrödinger [2] que describen un movimiento clásico. Para ello observemos que la solución general de la ecuación de Schrödinger dependiente del tiempo del oscilador armónico
,
ℏ , =− 2ℏ + 12 , , = ⁄ℏ, =, = ℏ , =2! .
se puede expandir en términos de las autofunciones de onda del oscilador armónico autovalores de energía como sigue
(1.1)
y los
∞
en donde las
con valor
son constantes arbitrarias y las
(1.2)
explícitamente son
los polinomios de Hermite y junto con la constante de normalización
(1.3)
tienen el
(1.4)
Sustituyendo los autovalores de energía del oscilador armónico en (1.2) obtenemos que la función de onda esta expresada de la siguiente manera [15]
�
, = . ∞
=0 ⁄ , 0 = = ⁄ . ∗ ∗ ∗ = , 0= ⁄⁄ , = , = = = ! , = . !
(1.5)
Suponiendo que a la función de onda tiene la forma de un paquete gaussiano mínimo desplazado del origen una cantidad obtendremos ∞
(1.6)
Para calcular los coeficientes , multiplicamos la expresión anterior por e integramos sobre la variable . Usando la ortonormalidad de las autofunciones de onda [2, 15] obtenemos la siguiente expresión ∞
∞
∞
∞
(1.7)
en donde hemos introducido la variable adimensional . Con ayuda de la función generadora de los polinomios de Hermite , expresada de la siguiente manera
(1.8)
podemos reexpresar la integral de la derecha de (1.7) como sigue
(1.9)
Por otro lado tenemos que la integral (1.9) se puede ver de la siguiente manera
= = = ! .
(1.10)
Igualando término a término las expresiones anteriores y usando la forma explícita del coeficiente de normalización de las funciones de onda del oscilador armónico encontramos que los coeficientes están expresados de la siguiente forma
�
2 ! .
� ⁄
(1.11)
De esta manera, sustituyendo este resultado en (1.5) obtenemos que la función de onda queda expresada de la siguiente manera
, = 2! = ! 12 .
, (1.12)
Utilizando la ecuación (1.8) podemos evaluar la suma anterior con el cambio de variable con lo cual obtenemos, luego de reacomodar los términos dentro del producto de las dos exponenciales, que la función de onda del oscilador armónico dependiente del tiempo es la siguiente
=
⁄ , = ⁄ exp1− 12 − cos 1 −2 + sen− 4 sen2 . , , , =2ℏsen exp− 2ℏsen cos−2 +′ cos. , ⁄ , = ⁄ 2ℏsen exp− 12 − ∙exp{ − 2ℏsen cos−2 + cos}.
(1.13)
Schrödinger en 1926 introdujo los estados coherentes para visualizar el comportamiento dinámico de un paquete gaussiano desplazado del origen por . Para esto hizo evolucionar este paquete gaussiano en el tiempo usando básicamente la teoría dependiente del tiempo de su ecuación y las propiedades de las autofunciones y autovalores del oscilador armónico. La función de onda que Schrödinger encontró se puede obtener también haciendo propagar el estado de Schrödinger de la ecuación (1.6), que más adelante se identificará con el estado coherente de Schrödinger, con el propagador del oscilador armónico [10]
Procediendo de esta manera obtenemos que la función de onda
(1.14)
está dada por
∞
′
∞
′
(1.15)
′
�
Integrando esta expresión y reacomodando el resultado de la integral obtenemos la siguiente función de onda
, =− ℏ 2 + cos− 12 cos −sen + 2 sencos, =ℏ⁄ = , , |, | = ⁄ exp−−acos. =0 donde N es una constante de normalización y Definiendo la variable
(1.16)
.
[15] y añadiendo el término de la contribución del estado base
obtenemos nuevamente la función de onda paquete gaussiano desplazado. El módulo al cuadrado de la función de onda probabilidad de la posición dada por
, (1.13), para la evolución temporal del
(1.13) nos proporciona una densidad de
(1.17)
De aquí podemos ver que la función de onda representa un paquete de onda cuyo centro oscila alrededor de sin desparramarse [15].
Por lo tanto, la evolución temporal de la gaussiana desplazada del origen por una cantidad de Schrödinger, se puede obtener directamente aplicándole el propagador de oscilador armónico. Sin embargo debemos ser cuidadosos ya que, para que el resultado esté correcto, debemos añadir a ésta gaussiana desplazada del origen la contribución del estado base del oscilador armónico. Podemos decir por lo tanto que la construcción de Schrödinger fue una forma no explícita del uso del propagador del oscilador armónico.
1.2 Desigualdad de incertidumbre generalizada de Schrödinger. Tal como ya se mencionó, en 1926 Schrödinger [1] introdujo por primera vez un estado que satisface la igualdad en el principio de incertidumbre de Heisenberg [17]. En 1933, el mismo Schrödinger dio una demostración más general de este principio [18], que nosotros reproduciremos en ésta sección basándonos en el libro de Merzbacher [10].
�
En la desigualdad de Schrödinger, el producto de las desviaciones cuadráticas de dos operadores se puede expresar en términos de los valores esperados de su conmutador y su correlación cuántica, que definiremos de manera más formal más adelante. Con la desigualdad de Heisenberg es posible determinar los estados de mínima incertidumbre que dependen de los siguientes parámetros, los valores medios de la posición, momento y la desviación cuadrática de la posición. Estos estados son ahora conocidos como estados coherentes ya que no cambian su forma gaussiana cuando evolucionan en el tiempo [3, 14, 19]. Glauber definió los estados coherentes del oscilador armónico como autoestados del operador no hermitiano de destrucción [3].
, = ∆∆ == −−|| ,, ||= =
La demostración de Schrödinger del producto de las desviaciones cuadráticas de dos operadores hermitianos y , con conmutador , donde es también otro operador hermitiano, se basa en las desviaciones cuadráticas o varianzas de estos operadores en el estado
donde
,
|
(1.18)
son los valores promedios de los operadores y en el mismo estado , .
(1.19)
Haciendo uso de la desigualdad de Schwarz [10] inmediatamente se obtiene la desigualdad
∆∆ ≥ − −, −= −,
(1.20)
en la cual la igualdad se satisface si y solo si se cumple la condición
(1.21)
donde es una constante que determinaremos más adelante. El producto de operadores de (1.20) se puede reagrupar en la forma siguiente
− −= 12 −, −+ 2 = +⁄2
(1.22)
Así el producto de los dos operadores del lado izquierdo se escribe como una combinación lineal de su anticonmutador y su conmutador . Por lo tanto (1.20) se expresa ahora en la forma �
(1.23) ∆∆ ≥ + ⁄4 ≥ ⁄4. Esta es la forma general de la desigualdad de Schrödinger. La igualdad en la última expresión de (1.23) se tiene si y solo si � �, obteniendo el siguiente resultado (1.24) ∆∆ ≥ ⁄4. El valor esperado � se puede considerar como el análogo cuántico del
, −
primer coeficiente de correlación de las variables los operadores y [10].
=0 El
y y es llamada la correlación cuántica de
=
caso de mayor interés es cuando y la desigualdad de Schrödinger se reduce a la desigualdad de Heisenberg
∆∆̂≥ℏ2⁄ .
=̂
Estos estados deben satisfacer por condición la igualdad de Schwarz, (1.21) y se obtiene
−− −− =∆ =∆⁄,. 2F =0 + =0, i< > −⁄ =. Ψ
=0
=0
Ψ
Sumando estas dos ecuaciones se obtiene ∆
y de la resta de las mismas se obtiene
. De
(1.26)
, de donde
Ψ
Ψ
Para
(1.25)
Determinaremos ahora los estados de mínima incertidumbre que se satisfacen con acuerdo a (1.23) deben cumplir la relación
∆∆ =⁄2.
.
(1.27)
, con lo cual tenemos
∆
(1.28)
, con lo cual se tiene la siguiente relación
∆
(1.29)
De (1.28) y (1.29) se determina la constante d, con el resultado
�
� 2 . = B =p =ℏ2⁄ ∆, −ℏ − =2ℏ −. − ⁄ = 2Δ exp− 4Δ + ℏ.
(1.30)
∆
Para sigue
y
,
con lo cual podemos escribir (1.21) explícitamente como
(1.31)
∆
La solución de esta ecuación diferencial determina la función de estado normalizada siguiente
De manera general, este estado está determinado por tres parámetros determinados por el mismo estado, en forma circular.
∆
(1.32)
, , ∆ ,
a su vez
Ahora calculemos de manera general para cualquier estado del oscilador armónico. Para un estado arbitrario de oscilador armónico se puede verificar que los valores esperadores de la posición y el momento son [10, 14, 15]. Así podemos expresar el promedio de la energía del oscilador como se muestra a continuación
= ̂ =0 1 =2 ̂ −∆̂ ̂ +∆2 − = 2 + 2 . ∆̂ ℏ ∆ = 8∆ + 2 . ∆ = 2ℏ ,
(1.33)
De la igualdad (1.25) despejamos y sustituyéndose en la ecuación anterior se obtiene que el valor promedio de la energía del oscilador armónico en términos de la dispersión en la posición es
Derivando la ecuación anterior e igualando a cero se obtiene el valor mínimo estado de oscilador armónico
(1.34)
∆
para el (1.35)
que resulta ser idéntico al del estado base del oscilador armónico [10, 14, 15]. 1�
∆ ⁄ ⁄ ⁄ 1 2ℏ + 2ℏ = 2ℏ + 2ℏ , =, ̂ | | | | = = |= , =|, | | = =, , =0 ≠0 =0 =0 || = 2 +=2|| ℏℏ. =⁄ℏ, Introduciendo la expresión para
en (1.31), obtenemos la siguiente ecuación
(1.36)
donde el subíndice se refiere a que el estado tiene la dispersión cuadrática en de (1.35), y que por lo tanto, solo está determinado por los dos parámetros reales y . El operador del lado izquierdo de (1.36) se identifica así con el operador no hermitiano de destrucción del oscilador armónico [10, 14] que determina la ecuación de autovalores (1.37)
en donde es el autovalor complejo del operador de (1.36) y (1.37) y hemos denotado al estado como . Por lo tanto, podemos identificar los estados con los estados coherentes de Glauber [3, 14, 19]. Como casos particulares de este estado coherente, cuando y , (1.36) se reduce al estado coherente de Schrödinger [2, 15], y para , (1.36) se reduce al estado base del oscilador armónico [14, 15]. De acuerdo a (1.36) el cuadrado del módulo del número complejo adimensional es
(1.38)
La función de estado (1.36) en realidad describe un número infinito de estados descritos por los valores reales de y ó el complejo y son los estados coherentes de Glauber [3, 14, 19].
Por lo tanto hemos obtenido la expresión para la función de estado de los estados coherentes de Glauber, partiendo de la formulación de Schrödinger de la desigualdad de Heisenberg. Además, determinamos el parámetro complejo y reprodujimos la definición de Glauber de estos estados como autofunciones del operador de destrucción del oscilador armónico. Notemos también que los estados coherentes son aquellos estados para los cuales el valor esperado de la correlación cuántica se anula.
11
1.3 Caracterización del paquete gaussiano desplazado de Schrödinger. En esta sección identificaremos a la gaussiana desplazada del origen de Schrödinger (1.6) con un estado coherente del oscilador armónico. Para ello verificaremos que éste estado (1.6) es una eigenfunción del operador de aniquilación del oscilador armónico, satisfaciendo la definición de Glauber de los estados coherentes [3, 14, 19]. El valor esperado de la posición del paquete inicial gaussiano desplazado (1.6) se encuentra como sigue
= ∗ = ⁄ . = − ⁄ exp− = 1⁄ exp − + = ℏ ∗ ̂ = ℏ =−ℏ⁄ − = 2√ ∙ =0. ∞
∞
∞
(1.39)
∞
Haciendo el cambio de variable en (1.39) obtenemos que el valor esperado de la posición se puede calcular de la siguiente expresión ∞
∞
∞
̂ =0
(1.40)
∞
Integrando estas ecuaciones se obtiene . De manera similar podemos observar que para este paquete gaussiano, como se muestra a continuación ∞
∞
∞
∞
∞
(1.41)
∞
= ℏ + , 0 = 2ℏ√ + = 2ℏ − ℏ − , 0. = ⁄ℏ
Ahora probemos que el estado Schrödinger (1.6) del oscilador armónico es eigenfunción del operador de aniquilación . Aplicando el operador de aniquilación del oscilador armónico [10] al paquete gaussiano desplazado (1.6) tendremos lo siguiente
(1.42)
Utilizando que [15] obtenemos finalmente que el estado de Schrödinger del oscilador armónico es eigenfunción del operador de aniquilación , es decir 12
, 0 = 2ℏ , 0.
(1.43)
Así, los estados coherentes de Schrödinger representados por la gaussiana desplazada del origen son funciones propias del operador de aniquilación con el autovalor . Por lo tanto, son un caso particular de los estados coherentes de Glauber [3, 14] con , es decir .
⁄√ 2
∆
⁄ℏ=0
=
∆̂
Por otro lado, podemos probar que el estado coherente de Schrödinger tiene la propiedad de que las incertidumbres en la posición , y en el momento , satisfacen
∆∆̂= ℏ2,
(1.44)
lo cual significa físicamente que los estados coherentes son de mínima incertidumbre, en el sentido de Heisenberg [3, 10, 14].
̂
De (1.16) podemos obtener los valores promedio dependientes del tiempo de la posición del momento obteniendo
= cos, ̂= =−sin,
y
(1.45)
en donde se obtuvo la última ecuación utilizando el teorema de Ehrenfest [10, 15] para la derivada temporal de valores promedio. Luego, estos promedios satisfacen la ecuación de movimiento de un oscilador armónico clásico [14, 15]
=−.
(1.46)
El resultado más importante es que en este paquete gaussiano desplazado, su centro oscila alrededor del origen armónicamente sin extenderse ó desparramarse, como una onda solitaria (solitón). Además hemos encontrado que los valores promedio de la posición y el momento de este estado son y , respectivamente, y que los estados coherentes de Schrödinger son autofunciones del operador de destrucción del oscilador armónico con un autovalor real, por lo tanto, son un caso particular de los estados coherentes de Glauber con momento .
0
=0
1�
≠ �
Después del trabajo de Schrödinger, Kennard consideró a los estados coherentes con mediante la desigualdad de Heisenberg, pero al hacerlos propagar, cometió el error que aun aparece en los textos de Mecánica Cuántica, que es propagarlos con un propagador de partícula libre, por lo cual los estados se desparraman [21].
1.4 El grupo especial canónico de Weyl y los estados coherentes de Glauber del oscilador armónico. Los estados coherentes del oscilador armónico se conocen hoy en día gracias a los trabajos de Glauber [3], Klauder [4, 5, 22] y Sudarshan [4, 23]. Estos estados coherentes se definen de tres maneras equivalentes [1]: a) El método del operador de desplazamiento. Para el oscilador armónico, los estados coherentes están dados por la acción del operador de desplazamiento ó de Weyl sobre el estado base
|�
1 |0 =exp− 2 || √ ! | ≡ |, =exp −∗ =||⁄∗.
(1.47)
donde el operador de Weyl está definido de la siguiente manera
(1.48)
b) El método del operador de aniquilación. Para el oscilador armónico, los estados coherentes son eigefunciones del operador de aniquilación del oscilador armónico
|=|.
(1.49)
∆∆= ℏ2.
(1.50)
c) El método de mínima incertidumbre. Los estados coherentes del oscilador armónico se definen como los estados que minimizan el principio de incertidumbre de Heisenberg
Los estados coherentes son una pieza importante en la óptica cuántica ya que con ellos se describe el fenómeno de la radiación coherente láser [4]. A continuación trataremos los estados coherentes de una manera intermedia entre la óptica cuántica y las matemáticas mediante el 1�
operador de Weyl, objetivo principal de este apartado, el cual comenzaremos estudiando algunas propiedades generales del operador de Weyl ó de desplazamiento.
Para concluir este segmento se desarrollan propiedades ya conocidas de los estados coherentes como la de ser de mínima incertidumbre y lo más importante, se probará que los operadores y del oscilador armónico tienen correlación cero y que en el tiempo la propiedad de mínima incertidumbre se preserva.
̂
−∗̂, =exp , =exp −⁄ℏ. ⁄ ⁄ = +⁄√ 2 = ℏ =1 ℏ √ ∗ , ̂ , , ,̂ = , , , = , =0 =,⁄. , = −∗ =||⁄∗, =exp , =exp −̂⁄ℏ = ℏ ℏ ℏ . El operador de desplazamiento u operador de Weyl se define de la siguiente manera
[10, 14], tal como mencionó en (1.48),
(1.51)
donde es el número complejo, , son las constantes que vuelven adimensionales a los complejos y , y son los operadores de aniquilación y creación del oscilador armónico, respectivamente. Para obtener el operador de Weyl en términos de los operadores de posición y momento se utiliza la forma explícita en la que dependen los operadores en términos de . Este operador se puede expresar en forma desentrelazada mediante el uso de la identidad de Weyl [14], según la cual, si son tres operadores tales que y entonces
(1.52)
Así, utilizando el hecho de que forma desentrelazada como
obtenemos que el operador de Weyl se reescribe en
(1.53)
Es fácil verificar que este operador, al variar el parámetro complejo satisface las siguientes propiedades:
, forma un grupo, ya que
i) Utilizando la identidad de Weyl y la relación de conmutación de los operadores de aniquilación y creación de oscilador armónico obtenemos
∗ =∗∗,
(1.54) 1�
con lo cual se sigue que la composición de dos operadores de Weyl es otro operador de Weyl dado por
=exp∗ +.
(1.55)
=exp =exp∗∗ ++∗∗ ++∗∗∙∙ ++ , ++
ii) Utilizando (1.55) podemos probar que dados tres operadores de Weyl entonces
,
y
(1.56)
con lo cual obtenemos finalmente que el producto de tres operadores de Weyl es asociativo, es decir,
= exp0 −0 =. =exp∗− =−. =− =. 1 =+ , + 2!1 , , + 3!1 , , , +⋯ , =
iii) Existe el elemento identidad del grupo, el cual se genera partiendo de (1.51) cuando
(1.57)
=0
(1.58)
iv) De la definición del operador de Weyl (1.51) es fácil verificar lo siguiente
(1.59)
Luego, existe el operador inverso del operador de Weyl y está dado por
(1.60)
Por lo tanto los operadores de Weyl forman un grupo, llamado grupo de Heisenberg – Weyl, el cual se denota por . Utilizando la identidad de Hadamard [10]
(1.61)
y que se puede probar que el operador de Weyl cumple las siguientes propiedades de traslación respecto de los operadores de creación y aniquilación del oscilador armónico [9, 10, 18]
1�
=+, = +∗. | | =|0,
(1.62)
Una vez definido el operador de Weyl procederemos a aplicarlo al estado base del oscilador armónico para formar los estados coherentes como sigue
donde
| 0
(1.63)
es el estado base del oscilador armónico cuántico.
|0 =0 ∗ | ⁄ | ⁄ | | | =|0 = |0 = ! |0. |= √ +1| +1 | ⁄ | | =|0 = √ ! |. | |
De la definición del operador de Weyl y del hecho de que , obtenemos que los estados coherentes se pueden expresar como combinaciones lineales de los estados del oscilador armónico como sigue ∞
Utilizando que
(1.64)
obtenemos finalmente ∞
Por lo tanto, los estados coherentes son la superposición de los estados armónico con coeficientes complejos que dependen de , como se ve en (1.65)
(1.65) del oscilador
La definición usual de estados coherentes es fácilmente recuperable utilizando la propiedad de traslación del operador de Weyl (1.62) como sigue
|0=|0=| |==+ .|0 | 0||0 || || |0 | | | ⁄ | 0||0 = 0| = √ ! 0| =||⁄,
Así, las definiciones de los estados coherentes entre sí.
(1.66)
a) y b) arriba mencionadas son equivalentes
Otra característica importante del operador de Weyl [9, 14] está relacionada con sus valores esperados , y en donde , y son el estado base y n – ésimo del oscilador armónico y un estado coherente respectivamente. Estos valores esperados ya se encuentran calculados en la literatura [10, 16, 25] y se presentan a continuación ∞
(1.67) 1�
|
en donde hemos expresado el estado coherente de (1.65) como una combinación lineal de los estados del oscilador armónico y usamos la ortonormalidad de los mismos.
, | ∗ | ⁄ | ⁄ | | | = =||⁄||,⁄∗√ ,! √ ! | =0 | ||| =||.
De hecho, de manera más general tenemos que si su producto interno es
|
son dos estados coherentes, entonces
∞
ya que (1.67) se obtiene fácilmente haciendo
(1.68)
en (1.68).
De (1.68) obtenemos que el módulo al cuadrado de
viene dado por (1.69)
De (1.69) se sigue que los estados coherentes no son ortogonales. Sin embargo, la ortogonalidad no es una propiedad necesaria para la descripción de un conjunto de los estados de una base. De hecho, los estados coherentes forman una base sobrecompleta [5, 10, 16], que cumple la siguiente relación de cerradura
1 || = 1 ||,
(1.70)
en donde la integral es extendida sobre el plano completo con un elemento de área real.
|
La no ortogonalidad de los estados coherentes hace que la resolución a la identidad en términos de ellos no sea única, es decir, utilizando (1.68) podemos expandir un estado arbitrario en términos de estos estados de una manera infinita de formas como sigue [5, 10, 16]
| = 1 || = 1 |||⁄||⁄∗. | | ∗ | ⁄ | ⁄ | | | | = = ! .
De manera similar, calculamos
(1.71)
como sigue
∞
(1.72)
1�
| | | = = | |=∗| || =||⁄∗∗. | | | | | | | | ||= ∗∗∗, = || || =||⁄∗ ∗ − | ⁄ | = , ! ! | | − 1 | ⁄ | = !! . | = −! !. ||=||⁄||. | | |
Como es un estado coherente, entonces sabemos que , con lo cual . De manera similar tenemos que . Utilizando estos resultados y la ortonormalidad de los estados del oscilador armónico obtenemos finalmente (1.73)
Así, si tenemos dos estados coherentes
y
obtendremos
(1.74)
en donde recuperamos (1.72) haciendo
.
El valor esperado más interesante es
. Este valor esperado se calcula como sigue
′
′
′
(1.75)
Sin embargo, de la acción de los operadores de creación y aniquilación del oscilador armónico sobre un estado y de la ortonormalidad de los estados de oscilador armónico se obtiene que el valor esperado
es equivalente a
(1.76)
Finalmente, utilizando la definición de los polinomios de Laguerre [24] obtenemos
(1.77)
Si tenemos dos estados de oscilador armónico y obtendremos que los elementos de matriz del operador de Weyl en la base de los estados de número serán [25]
1�
!! ||⁄ ||, ≥ ||= !! −∗||⁄||, ≥
(1.78)
La evolución temporal de los estados coherentes también se obtiene de manera directa con ayuda del operador de Weyl. Antes de obtener la evolución temporal de los estados coherentes, veamos la evolución temporal de los operadores de aniquilación y creación del oscilador armónico cuántico. Utilizando la identidad de Hadamaard (1.61) y que el Hamiltoniano del oscilador armónico se puede expresar en términos de los operadores de aniquilación y creación como
= + 12 ℏ,
(1.79)
=ℏ⁄ ====ℏℏ⁄⁄ℏℏ⁄ ⁄, . = 1ℏ , = 1ℏ ,ℏ = ℏℏ, =−.
podemos calcular la evolución temporal de los operadores de creación y aniquilación del oscilador armónico mediante el operador de evolución temporal [10]
(1.80)
Sin embargo, ésta no es la única ni la manera más fácil. También podemos conocer y partiendo de la ecuación de movimiento de Heisenberg y de (1.79), en donde se expresa el Hamiltoniano en términos de los operadores y [10]
(1.81)
Resolviendo esta ecuación diferencial obtenemos que la dependencia temporal del operador de aniquilación es
Utilizando que
=. =0 == =.
(1.82)
, tenemos finalmente el siguiente resultado (1.83)
2�
De manera similar obtenemos que la evolución temporal del operador de creación oscilador armónico se expresa de la siguiente manera
=. | | =| =|0. |0 = ℏ⁄2 |0 |0 =ℏ⁄|0 =⁄|0. | −∗== −∗. −∗
del
(1.84)
Ahora procedamos a calcular la evolución temporal de los estados coherentes. Aplicando el operador de evolución al estado coherente obtenemos
Utilizando el hecho de que entonces
(1.85)
para el estado base del oscilador armónico,
(1.86)
Para conocer la evolución temporal del estado coherente resta calcular en (1.85) la relación . Para llegar al resultado deseado utilizamos (1.83) y (1.84) y obtenemos (1.87)
Insertando el operador identidad adecuadamente obtenemos, procediendo de manera similar obtenemos lo siguiente
−∗ ==−−∗∗. −∗ −1 ∗ ∗ − = − . = ∗ =∗
(1.88)
De este resultado podemos observar que insertando el operador identidad adecuadamente obtenemos
veces
(1.89)
Expresando el operador de Weyl como una sumatoria infinita y utilizando éste resultado podemos calcular como sigue
(1.90)
21
Así, sustituyendo (1.86) y (1.90) en la ecuación (1.85) obtenemos que la evolución temporal del estado coherente está dado por la siguiente expresión
|
|
=⁄∗|0.
Utilizando la identidad de Weyl (1.53) y la evolución temporal de los operadores (1.83) y (1.84) obtenemos
(1.91)
⁄∗|0 =⁄ ||⁄∗|0 =|| ⁄⁄ |0=|| ⁄⁄ |0 =|| ⁄⁄ |0. | | =||⁄⁄|0. | || = ==.
Por lo tanto el estado coherente dependiente del tiempo
y
de
(1.92)
se expresa de la siguiente manera (1.93)
Por otro lado, de la ecuación (1.83) podemos conocer el valor esperado del operador de aniquilación del oscilador armónico dependiente del tiempo en un estado coherente (1.94)
De manera similar de (1.84) obtenemos para el operador de aniquilación del oscilador dependiente del tiempo
=∗ =∗. ̂ = = cos−sin̂ √ 2 + √ 2 = √ 2 cos+ sin+ √ 2 ̂cos− sin = √ 2 + √ 2 .
(1.95)
Ahora, utilizando la fórmula de Euler observamos lo siguiente
(1.96)
De manera similar obtenemos para el operador de creación dependiente del tiempo del oscilador armónico el siguiente resultado
22
= =cos+sin̂ √ 2 − √ 2̂ = √ 2 cos+ sin− √ 2 ̂cos− sin = √ 2 − √ 2 .
(1.97)
Es decir, la dependencia temporal de los operadores de aniquilación y creación del oscilador armónico se obtienen sustituyendo simplemente la dependencia temporal de los operadores de posición y momento del oscilador armónico ampliamente conocidas [10], las cuales están dadas por las siguientes relaciones
̂ sin, = cos+ ̂=− cos+̂ sin, 0 =0
en donde los subíndices indican el operador al tiempo
.
(1.98)
|
Así, sustituyendo (1.94) en el estado coherente dependiente del tiempo obtenemos que éste se puede expresar en términos de la posición y el momento dependientes del tiempo como sigue
| =⁄|0 =⁄ℏℏ, =, =ℏ ℏℏ
en donde hemos utilizado que
(1.99) .
Por lo tanto, dado que la dependencia temporal de la posición y del momento del oscilador armónico clásico están dadas por
sin, = cos+ =− cos+ sin,
obtenemos que la función de onda del estado coherente dependiente del tiempo dada de la siguiente manera
, =⁄ℏ ℏ.
(1.100)
,
está
(1.101)
Es decir, el estado coherente de Glauber se obtiene sustituyendo en la ecuación (1.101) la dependencia temporal de la posición y del momento clásicos de (1.100). Este resultado es el más importante de la tesis y no aparece publicado en la literatura. 2�
=0, = =0 = =0 ⁄ ⁄ , == ⁄ ℏ ⁄. =0
Utilizando que la función de onda
, obtenemos, luego de suponer que queda expresada como sigue
, que
(1.102)
Por lo tanto, comparando esta expresión con el estado coherente de Schrödinger (1.13) podemos concluir que este último es un caso particular del estado coherente de Glauber con . El valor esperado de la posición dependiente del tiempo en un estado coherente de Glauber se pueden calcular utilizando (1.98), y que el valor esperado de la posición y el momento no dependientes del tiempo se anula en un estado de oscilador armónico obteniendo
̂ || =0 0 =0 cos+ sin0 =0+ cos+ ̂+ sin0 = cos+ sin.
(1.103)
De manera similar obtenemos que el valor esperado del momento dependiente del tiempo en un estado coherente de Glauber es el siguiente
|̂| = cos−sin. ̂ =−.
(1.104)
De (1.101) se sigue, como era de esperarse, que los valores promedio dependientes del tiempo de la posición y del momento satisfacen la ecuación de movimiento de un oscilador armónico clásico [14, 15] (1.105)
Ahora probemos que los estados coherentes de Glauber son estados de mínima incertidumbre. Para ello, recordemos primero que los operadores de creación y aniquilación del oscilador armónico se definen como
= √ 12 +̂, = √ 12 −,
(1.106)
2�
en donde
= ℏ , = √ ℏ.
̂ + − + ̂ = √ 2 , = √ 2 . √ | =| = ̂ ℏ ℏ || =2 + =2 ∗ +, ℏ ℏ |̂| = 2 − = 2 ∗ −. ∗ += √ ∗ −=− √ ℏ 2 ||=2 √ 2 ℏ =, |̂| =ℏ2 −√ 22ℏ1 =,
De aquí podemos expresar los operadores de posición y de momento como sigue
(1.107)
De la definición de los estados coherentes de Glauber , con obtenemos que los valores esperados de la posición y momento son los siguientes
. Así,
(1.108)
De la definición del complejo obtenemos que
y
. Así,
(1.109)
tal y como lo prueba de otra manera Davydov [14].
|
Combinando estos resultados obtenemos que los valores esperados de los operadores de creación y aniquilación del oscilador armónico en un estado coherente son
̂ + ||= √ 2 =, = √ −2̂ =∗. | ∗ | | | = = , =1 || |̂|
Por otro lado, en general sabemos que , con lo cual resultado y utilizando que podemos calcular y
(1.110) (1.111)
. Con este como sigue
2�
+ |= 2ℏℏ ∗ +1+2 = 2ℏ +∗ +2∗+1 = 2 + +1, |̂| =−ℏℏ2 ∗ + −2∗ −1 =− ℏ2 ∗ + −2 −1 =− 2 − −1. ̂ ∆ == ℏ||−∗ +||+1− ∗ + = ℏ , 2 2 ∗ − = ℏ. ∆̂ ==−ℏ|̂| −∗−|̂ |−1− 2 2 |
Así de las ecuaciones (1.108), (1.112) y (1.113) y la definición del complejo las desviaciones cuadráticas de los operadores de posición y momento son
(1.112)
(1.113)
obtenemos que
(1.114)
(1.115)
Por lo tanto finalmente llegamos la propiedad más conocida y fundamental de los estados coherentes, a saber, que son los estados de mínima incertidumbre o dispersión, es decir,
ℏ ̂ ∆ ∆ = 4 ,
(1.116)
con lo cual se verifica que las definiciones a) y c) de los estados coherentes dadas anteriormente son equivalentes y, dado que se probó que la definición a) es equivalente a la b) y c), entonces se concluye que las tres definiciones son equivalentes entre sí.
∆∆̂̂ ̂ =+ℎ, =+̂,
̂
Ahora calculemos el producto de las desviaciones cuadráticas en la posición y el momento dependientes del tiempo . Para ello primero consideremos una transformación canónica lineal de los operadores y en términos de los valores al tiempo de la forma de Mello y Mosinsky [11]
,
=0
(1.117) 2�
,,,,ℎℝ. ∆ = − , ∆̂ = ̂ − ̂, ℎ−�1
con la restricción de que Considerando un paquete de onda y recordando la definición de las desviaciones cuadráticas (1.118)
entonces es fácil verificar que las desviaciones cuadráticas de la posición y el momento dependientes del tiempo son [11]
∆ =∆ +∆̂ +̂+̂ −2̂, ∆̂ =∆ +ℎ∆̂ +ℎ̂+̂ −2̂. ̂+̂ −2̂ ̂ ̂+̂ ==2||̂+|̂−|ℏ= |2̂−ℏ| =2|̂| +ℏ. ̂ ̂|| = |√ +2√ −2 | = 2ℏ | +−−| = 2ℏ | |−1−∗ | | = 2 −1+ − . −∗ = √ +2 − √ −2 =2.
(1.119) (1.120)
El término es el doble de la correlación cuántica previamente definida en (1.22) [10] para los operadores y , de la desigualdad generalizada de Schrödinger y vale cero para el estado coherente del oscilador armónico como veremos a continuación. (1.121)
Expresando y en función de los operadores de creación y aniquilación obtenemos que la ecuación (1.121) se reduce a lo siguiente
De la definición del número complejo en términos de los reales
y
(1.122)
obtenemos (1.123)
Con este resultado obtenemos que la expresión (1.123) se expresa en términos de los reales como sigue
y
2�
|= 2ℏ −1+ 2ℏ. ||̂ = |̂| = ̂+̂ −2̂ =−=0. ℏ −2 +ℏ+2 ,,,ℎ, ∆∆̂ ==∆∆ ++ℎ∆∆̂̂ ,. |̂
Así, usando que de los operadores y es
y
(1.124)
, obtenemos finalmente que la correlación cuántica
(1.125)
Por lo tanto, para el oscilador armónico obtenemos de las ecuaciones (1.119) y (1.120) que las desviaciones cuadráticas dependientes del tiempo de los operadores de posición y momento sólo dependen, salvo los reales de la suma de las dispersiones no dependientes del tiempo como se sigue de (1.119), (1.120) y (1.125) (1.126)
Luego, comparando las ecuaciones (1.98) y (1.117) obtenemos que los coeficientes de la transformación canónica cuántica lineal son los siguientes
1 sin, =cos, = =−sen, ℎ=cos. ∆ = ℏ ∆̂ = ℏ ∆̂ =cos 2ℏ + ℏ1 sin ℏ , 2 ∆ = sin 2 +cos ℏ2. ∆∆̂ =cos 2ℏ + 1 sin ℏℏ2 ∙ ℏ sin 2 +cos 2
(1.127)
Así, usando que , obtenemos que las dispersiones de la posición y del momento del oscilador armónico dependientes del tiempo son
(1.128)
De este resultado podemos calcular el producto de las dispersiones de la posición y el momento dependientes del tiempo como se muestra a continuación
(1.129)
2�
ℏ +2 cos +si n ∙ c os ℏ ℏ =ℏ2 2sin ∙cos +2 cos +sin =ℏ2 sin +cos =2 . ℏ ∆ ∆̂ =2 . ℏ ℏ � + �n
Por lo tanto, finalmente se cumple la siguiente relación
(1.130)
Así, los estados coherentes mantienen la propiedad de ser de mínima incertidumbre en el tiempo [12].
,̂ =̂−̂=
̂ ℏ = 12 {, ̂} − ℏ̂ = |̂| − 2 − |||̂|. ̂ ̂ | | ||, |̂| |̂|=− 2ℏℏ ||−1− =−ℏ2 −1− ∗, =−̂ 2 ℏ −1− ||, ||= 2ℏ +− = 2ℏ ∗ + ∗ − = 2 + − Para concluir este capítulo se calculará la correlación cuántica dependiente del tiempo los operadores y de los estados coherentes de Glauber. Utilizando que obtenemos
de
(1.131)
De la definición de los operadores y en términos de los operadores de aniquilación y creación expresados en las ecuaciones (1.107) y de la dependencia temporal de estos últimos mediante el uso de las expresiones (1.83) y (1.84), se pueden calcular y de la siguiente forma
(1.132)
(1.133)
2�
2ℏ − . ̂ || =0, � ∗
Sustituyendo las expresiones anteriores en la ecuación (1.131) obtenemos finalmente que los operadores de posición y momento de los estados coherentes del oscilador armónico tienen correlación cero en cualquier instante de tiempo, es decir (1.134)
el cual es resultado original de éste trabajo.
Con todo lo anterior hemos visto que el operador de Weyl juega un papel muy importante en el estudio de los estados coherentes. Este operador forma un grupo llamado grupo de Heisenberg – Weyl , cuyos generadores son los operadores de aniquilación y creación del oscilador armónico y el operador identidad. Además nos permitieron desarrollar la teoría de los estados coherentes de una manera más formal y simple partiendo del operador de Weyl.
1
̂
También se demostró que los operadores y del oscilador armónico tienen correlación cero en cualquier instante de tiempo para los estados coherentes de Glauber, lo cual nos llevó a concluir utilizando la ecuación de evolución temporal de las desviaciones cuadráticas de Mello y Moshinsky, que la propiedad de mínima incertidumbre de los estados coherentes se preserva en el tiempo.
��
Capítulo 2
2��
El grupo de Lie y la mecánica cuántica de los estados comprimidos. Introducción. Tal como se vio en el capítulo anterior, los estados coherentes del oscilador armónico no están correlacionados y tienen la propiedad de minimizar la relación de incertidumbre de Heisenberg. Además satisfacen que las dispersiones en la posición y el momento son iguales, considerando componentes adimensionales en cuadratura [8]. Sin embargo existen otros estados que son de mínima incertidumbre de acuerdo a la desigualdad generalizada de Schrödinger, llamados estados comprimidos del oscilador armónico, pero con la particularidad de que para estos estados las dispersiones en la posición y el momento no son iguales. Los estados comprimidos del oscilador armónico, introducidos por primera vez por Kennard [27] en 1927, están relacionados con el grupo de Lie .
2��
2��
En la primera parte de este capítulo se estudiará el grupo de Lie , basándonos en el libro de Wolf [28], mediante sus generadores infinitesimales y las relaciones de conmutación que satisfacen de acuerdo al álgebra de Lie . Después, se introducirá el operador de Casimir para el álgebra y se construirá un conjunto de funciones ortonormales , con ,
2,1
2,1
,ℂ
��
2,1
que sean autofunciones simultáneas de y . En la segunda sección, siguiendo la tesis de Dorantes [29] se generará una representación del grupo en términos de los operadores de ascenso y descenso del oscilado armónico.
En la última sección del presente capítulo se procederá a formalizar, de manera análoga a como se hizo con los estados coherentes, la teoría de los estados comprimidos del oscilador armónico definiéndolos mediante el uso del operador de Weyl y el de compresión para luego relacionarlos con el grupo . Luego se calculará el producto de las dispersiones de la posición y del momento no dependientes y dependientes del tiempo para estos estados, verificando que satisfacen ser de mínima incertidumbre de acuerdo a la desigualdad generalizada de Schrödinger, pero con la propiedad de que estas dispersiones no son iguales. Para finalizar se probará que los estados comprimidos del oscilador armónico, a diferencia de los estados coherentes, sí están correlacionados en el tiempo y que esta correlación es de hecho, el término que aparece en el producto de las dispersiones de la posición y del momento dependientes del tiempo y que no aparece en el producto de las dispersiones de los estados coherentes.
2,1
2.1 El grupo de Lie
,
.
El conjunto de todas las transformaciones lineales de un espacio vectorial n – dimensional forman un grupo denotado por en donde hemos restringido a que las entradas sean reales. El grupo [16, 28] tiene muchos subgrupos de vital importancia en la física. Algunos de estos subgrupos se caracterizan por la conservación de algunas propiedades (invariantes) de los vectores sobre los cuales actúan. Dentro de estos subgrupos se encuentran los siguientes:
, ,
,, += − −⋯−,, ℝ. −⋯−, ℂ. ℝ = + −
a) Grupos ortogonales . Estos son grupos de transformación de un espacio vectorial real n – dimensional, los cuales preservan la forma cuadrática
+⋯+ || +⋯+ −
b) Grupos unitarios . Estos son grupos de transformaciones de un espacio vectorial complejo n – dimensional, los cuales preservan la forma cuadrática
Si además el determinante de las transformaciones lineales es igual a 1, estos grupos son llamados especiales y se les agrega el prefijo . Así, el grupo especial ortogonal es un grupo de Lie no compacto de vectores espaciales reales de 3 dimensiones.
2,1
+,+,−
Consideremos un espacio de tres dimensiones con métrica , en el cual la distancia es . Esta distancia es invariante bajo las “2+1” transformaciones de Lorentz ��
[28], las cuales están representadas por dos boost ó rotaciones hiperbólicas y una rotación alrededor de cada uno de los tres ejes,
1 0 0 cosh senh e�� =00 senh , cosh cosh 0 senh exp =senh0 10 cosh0 , cos −sen 0 exp =sen0 cos0 10, −∞<<∞,−∞<<∞,0<<2 ,, exp = 10 cosh0 senh0 , 0 senh cosh 0 0 0 =00 −0 −0 . 0 0 − =−0 00 00 , 0 0 =−0 00 00.
(2.1)
(2.2)
(2.3)
en donde y los operadores son los generadores infinitesimales del grupo. Estos operadores se obtienen derivando las ecuaciones (2.1), (2.2), (2.3) con respecto a los parámetros respectivamente e igualando a cero los mismos. Procediendo de esta manera obtenemos de la fórmula (2.1) lo siguiente
con lo cual obtenemos finalmente que el generador
De manera similar obtenemos que los generadores
(2.4)
se escribe como
(2.5)
y son
(2.6)
(2.7)
Utilizando las propiedades de las funciones trigonométricas ordinarias e hiperbólicas es fácil verificar que las matrices de las ecuaciones (2.1), (2.2), (2.3) tienen determinante uno, mientras que por simple inspección se observa que los generadores infinitesimales son de traza nula. ��
2,1 , =−, , =, , =.
Los generadores satisfacen el álgebra de Lie de conmutación siguientes
[28] expresada mediante las relaciones
Es interesante señalar que la única diferencia entre las álgebras de Lie signo negativo del primer conmutador.
3 2,1 = +, = −. ,± =±±, , =−2. 2,1 2 −senh 2 cosh exp = senh 2 cosh 2 , cosh senh exp =senh 22 cosh 22, exp = 0 0.
(2.8)
2,1 3 y
es el
Al igual que se puede hacer con el grupo de rotaciones , podemos encontrar operadores de ascenso y descenso para el grupo , los cuales se presentan a continuación (2.9)
Estos nuevos operadores de ascenso y descenso , junto con el generador infinitesimal definen un álgebra a través de las siguientes relaciones de conmutación
Existe otra representación del álgebra de Lie
[28] en términos de matrices
(2.10)
22
dada por
(2.11)
(2.12)
(2.13)
Los generadores infinitesimales asociados a esta representación se calculan de la misma manera en la que se hizo anteriormente, con lo cual obtenemos
→ = 12 01 −10 , → = −2 01 10,
(2.14) (2.15) ��
→ = 12 −10 10.
(2.16)
Aquí nuevamente podemos observar que los generadores infinitesimales de las ecuaciones (2.14 – 2.16) son sin traza y que las matrices del álgebra (2.11 – 2.13) tienen determinante uno. Esta representación es la del grupo [16, 28].
1,1
1,1,11 2,1 2, 1 1, 1 2, 1 2:1 2 3 1,1 cosh senh 2 2 − 0 1 = 2 1 0↔exp = senh 2 cosh 2 , = 2 10 −10 ↔exp = 0, 0 cos sen 2 = 2 01 −10 ↔exp = 2 . −sen 2 cos 2 2, 2,11:2~1,11:1~2, 2,1 , =0,=1,2,3, =± ∓ − ∓1. 2,1 1,1
El álgebra de Lie del grupo es isomorfa al álgebra de Lie de la ecuación (2.8). Sin embargo los grupos y no lo son. El grupo cubre al grupo dos veces, ya que entre ambos grupos matriciales podemos establecer un mapeo , tal como sucede entre los grupos y [28]. Una parametrización alternativa del grupo
[28] es la siguiente
(2.17)
(2.18)
(2.19)
El grupo representado aquí es el grupo
. Por lo tanto y tal como hemos visto
.
El operador de Casimir [16, 28] para el álgebra , el cual es un operador que conmuta con cada uno de los elementos del grupo, es decir satisface la relación está definido por (2.20)
Utilizando los conmutadores que definen el álgebra de Casimir para esta álgebra se puede escribir como
se puede verificar que el operador
�4
= + −. ,ℂ =, =. = ± ± ± ± ±±, ±±= ± =±1 ±,
(2.21)
Ahora construyamos un conjunto de funciones ortonormales , con , que sean autofunciones simultáneas de y [28, 29], es decir, funciones tales que satisfagan
De las relaciones de conmutación (2.10) tenemos que a las funciones obtenemos las siguientes relaciones
(2.22)
y al aplicar este operador
(2.23) (2.24)
las cuales se cumplen si y solo si
± =±.
(2.25)
± = ±∓±1 ± ±=±±=. =∓ ± =± ∓ − ∓1 ± ±=+ ±= + ±. = + ±= ±∓±1. = −1 + = −1 + = −1 +.
Las funciones no son eigenfunciones de los operadores de ascenso y descenso , pero son tales que suben o bajan el índice en uno al aplicarles los operadores y , y además, de la definición de los operadores de ascenso y descenso y de la ecuación (2.22) se puede verificar que , ya que se satisface lo siguiente [28] (2.26)
Por otro lado, utilizando que para una representación unitaria se cumple que y que de la definición del operador de Casimir obtenemos obtenemos que también se cumple en una representación irreducible
Comparando las ecuaciones (2.26) y (2.27) concluimos que
Ahora, de la ecuación (2.20) se tiene que las eigenfunciones obtenemos
(2.27)
está dado por la expresión (2.28)
. Aplicando este operador sobre
(2.29) ��
=
−1 +≥0.
Sin embargo dado que , los autovalores de finalmente podemos concluir lo siguiente
deben ser positivo definidos, con lo cual
(2.30)
Los valores de para los cuales se satisface la ecuación (2.30) son de la forma [28, 29] con la siguiente condición
=1−
≤. =,+1,+2,…
(2.31)
Por lo tanto tomará valores de la forma [28, 29] con lo cual generamos un espectro para acotado inferiormente, pero no superiormente, el cual se denota por .
2,1
Así, si tenemos un representación unitaria del grupo de Lie no compacto , en la cual y son eigenfunciones de los operadores y de la forma de la ecuación (2.22), entonces podemos escribir a como
± =∓
=1−, =,+1,+2,… = +1 +
y generamos un espectro discreto donde
para
(2.32)
acotado inferiormente, pero no superiormente, en
(2.33)
= −1 +
También se puede encontrar un espectro acotado superiormente, pero no inferiormente para utilizando que en lugar de utilizar la ecuación .
2.2 Representación de oscilador armónico del álgebra de Lie .
,
En esta sección reproduciremos los resultados de la Tesis de Dorantes [29], en la cual, para el problema del oscilador armónico unidimensional, construye operadores que satisfacen el álgebra del grupo en términos de los operadores de ascenso y descenso y definimos como [14]
2,1
= √ , =√+1,
(2.34)
��
� 1
los cuales satisfacen la relación , por lo que el Hamiltoniano se puede reescribir como . Los operadores que satisfacen el álgebra del grupo son [29]
+ �
= 14+, =−1 4 −, = 4 + = 2 .
��1
(2.35) (2.36) (2.37)
= 161 1+ − 161 − − 161 + = 16 2 +2 −− − −. = 1611 2 +2 −− −− = 163 2+1+2 +2−1 − −2+1 − +1 = 16 . = =1− = , ⁄ ⁄ 2=
Para este conjunto de operadores el operador de Casimir dado por
definido en la ecuación (2.21) está
Al aplicar el operador de Casimir sobre una función de estado obtenemos lo siguiente
(2.38)
y utilizar las ecuaciones (2.34)
Al comparar este resultado con la definición de las eigenfunciones
(2.39)
de la ecuación (2.22)
obtenemos que , pero , con lo cual [29]. Con los dos valores de obtenidos generamos dos espectros distintos acotados inferiormente pero no superiormente, lo cuales denotaremos por y .
Además, utilizando la representación de (2.37) obtenemos que el espectro está relacionado con el espectro de energía del operador Hamiltoniano en la forma . Los espectros de energía generados se muestran en la tabla 2.1.
��
1 4 54 94 .. .
1� ⁄ →1 =2
2 52 92 .. .
Tabla 2.1 Muestra los espectros de energía superiormente.
3 4 74 114 .. . ⁄ ⁄ y
3� ⁄ →3 =2
generados por
2 72 112 .. . = =
ℏ =+ 12ℏ,
y
acotados inferiormente pero no
En términos de las constantes y observamos que todo el espectro de energía viene dado por
con
=0,1,2,…
(2.40)
el número cuántico principal.
Figura 2.1 Muestra los dos espectros
⁄ ⁄ y
generados por separado.
��
2.3 Los estados comprimidos del oscilador armónico. Tal como ya se vio en la sección 1.4, las desviaciones cuadráticas de los operadores de posición y momento están dadas por las siguientes expresiones
� ∆ � ∆ ��
(1.114) (1.115)
es decir, para los estados coherentes del oscilador armónico las desviaciones cuadráticas de la posición y el momento son iguales, considerando componentes adimensionales en cuadratura [8]. De estas relaciones se obtuvo además que éstos son los estados de mínima incertidumbre o dispersión, es decir, satisfacen
∆ ∆ �
(1.116)
�
Ahora, describiremos estados que también minimicen la relación de incertidumbre generalizada de Schrödinger, pero para los cuales las desviaciones cuadráticas en la posición y el momento , en términos de componentes adimensionales en cuadratura, no sean iguales. Estos estados son los estados comprimidos del oscilador armónico [6, 12, 16].
Para encontrar estos estados consideremos la transformación unitaria [6]
, ℂ , =1=, en donde
+ ,
=∗+∗,
(2.41)
. Para que estos nuevos operadores preserven la relación de conmutación los complejos y deben satisfacer la siguiente condición
|| −|| =1.
(2.42)
La transformación unitaria HPB de la ecuación (2.41), conocida como transformación de Holstein – Primakoff [30] ó transformación de Bogoliubov [31], se puede expresar como una transformación lineal en forma matricial de la siguiente manera
=∗ ∗.
(2.43)
��
Sin embargo la transformación HPB también se pueden representar como transformaciones unitarias de la siguiente manera
� �
(2.44)
El operador es un operador unitario y es conocido como el operador de compresión. Este operador se define en términos de los operadores de ascenso y descenso del grupo y de forma análoga al operador de Weyl de los estados coherentes [6, 16]
��1
�xp 1� ∗ − �
(2.45)
en donde es el parámetro complejo de compresión definido de la siguiente manera
�xp.
(2.46)
2,1
En esta última expresión es el parámetro de compresión y inicial en el cual comienza el proceso.
es una fase que indica el tiempo
La conexión de los estados comprimidos con el grupo (2.45), ya que en la definición del operador de compresión de la representación del grupo .
se ve claramente de la ecuación aparecen los operadores y
–
2,1 =− ⁄ 1 1 2 ∗ =+ 2 − ,+ 2 ∗ −,∗ −, +⋯
Para el operador de compresión se puede verificar que se obtiene, sustituyendo por , es decir [6]. Luego, podemos desarrollar la ecuación (2.44) a través del lema de Hadamard (1.61) obteniendo (2.47)
Esta serie se puede evaluar haciendo uso de las siguientes propiedades
,=, , =.
(2.48)
Utilizando estos conmutadores la serie de la ecuación (2.47) se puede descomponer en dos series [6] de la siguiente manera
| | | | | | | | = 1+ 2! + 4! +⋯+ 1+ 3! + 5! +⋯.
(2.49)
��
Sustituyendo la ecuación (2.46) en esta expresión obtenemos que las dos series se pueden reescribir como
1 + | |�!+ | |�!+ ⋯ + �xp1+ |3!| + |5!| +⋯ | | | | | | | | = 1+ 2! + 4! +⋯+ exp1+ 3! + 5! +⋯,
cosh senh =cosh + exp senh.
las cuales corresponden a las series del finalmente obtenemos el siguiente resultado
y del
(2.50)
respectivamente, con lo cual
(2.51)
Sacando la transpuesta conjugada de la ecuación anterior obtenemos que para el operador tiene lo siguiente
se
= cosh +exp− senh.
(2.52)
=cosh , =exp senh.
(2.53)
Comparando las ecuaciones (2.51) y (2.52) con las transformaciones (2.41) obtenemos que los complejos y son [6]
Los estados comprimidos en analogía con los estados coherentes tienen están definidos de tres maneras equivalentes [1], que son a) El método del operador de desplazamiento. Para obtener los estados comprimidos necesitamos aplicar los operadores de desplazamiento y de compresión como sigue
|0 = |,, = = +
en donde Weyl respectivamente.
y
y
(2.54) son los operadores de compresión y de
b) El método del operador de aniquilación. La definición de los estados comprimidos análoga a la del operador de aniquilación del oscilador armónico es la siguiente
|, =|,,
(2.55)
4�
α�o�� + ∗ �xp senh.
en donde el operador es el definido en la ecuación (2.51) y el complejo es (2.56)
c) El método de mínima incertidumbre. Por medio de este método obtenemos que los estados comprimidos se definen en términos de la relación de incertidumbre generalizada de Schrödinger de la siguiente manera
1 1 ∆ ∆̂ ≥2 ,̂ + 2 ,̂ .
(2.57)
Cabe señalar que en la definición de los estados comprimidos mediante el operador de desplazamiento se ha aplicado primero el operador de compresión al estado base del oscilador armónico y luego el operador de Weyl . Sin embargo, también podemos construir los estados comprimidos primero aplicando el operador de Weyl al estado base, con lo cual construimos los estados coherentes previamente descritos, y luego aplicamos el operador de compresión , obteniendo
|0 = |,.
(2.58)
|,=|,.
(2.59)
Partiendo de lo anterior podemos redefinir los estados comprimidos de la ecuación (2.55) de la siguiente manera
Las definiciones (2.54) y (2.55) son conocidas como “el punto de vista gravitacional”, mientras que las definiciones (2.58) y (2.59) se conocen como “el punto de vista óptico cuántico” [6]. En el presente trabajo se utilizará la primera de estas definiciones para el desarrollo de las propiedades de los estados comprimidos.
|, = +|0 =|0 +|0.
Para obtener la forma del complejo de la definición (2.56) utilizamos la definición del operador y la ecuación (2.54), obteniendo (2.60)
Ahora, de las propiedades de traslación del operador de Weyl (1.62) podemos verificar las siguientes relaciones
=+,
= +∗.
(2.61)
Utilizando estas relaciones obtenemos que la ecuación (2.60) se puede reescribir como 4�
∗ + | + 0 + �� = + ∗|0++|0| 0.
(2.62)
Sin embargo, utilizando la ecuación (2.44) y que el operador de compresión es unitario el segundo término de la expresión anterior se anula, ya que se tiene
+|0 = =||00 =0.=|0 |, |, =|, =αcosh +∗ exp senh|,. ,| = ,|∗. =αcosh +∗ exp senh +0 =, , =0 ∗0 +0+0 ==+ 0∗+ + 0 0 ∗ = + + 0||0. =αcosh + ∗ expsenh. (2.63)
Por lo tanto el estado comprimido que se satisface
es eigeifunción del operador con eigenvalor [6], ya
(2.64)
De esta ecuación obtenemos el siguiente resultado
(2.65)
Otra manera análoga de verificar que
es la siguiente
(2.66)
Por lo tanto obtenemos que, tal como se obtuvo en la expresión (2.64)
Por otro lado, de la transformación HPB obtenemos formalmente que la matriz Jacobiana de esta transformación es
= =∗ ∗,
(2.67)
det= || − || =1.
(2.68)
con lo cual obtenemos que el Jacobiano de la transformación de HPB es distinto de cero, ya que el determinante es el siguiente
4�
Dado que el Jacobiano de la transformación de HPB es distinto de cero podemos encontrar su transformación inversa. Para encontrarla despejamos el operador de aniquilación de la primera de ellas y el operador de creación de la segunda obtenemos
∗ − + , =− ∗ + ∗. Sustituyendo la ecuación para en la ecuación para obtenemos lo siguiente | | = || − || + .
(2.67)
(2.68)
En esta última expresión podemos factorizar el operador de aniquilación para obtener el resultado deseado como se describe a continuación
= 1− |||| + 1− |||| || = − ||∗ + || − || = 1∗ || −|| + =∗ +. =∗ +, =∗ +. =exp12 exp tanhexp−112 + lncosh exp− 2 exp− tanh. |
(2.69)
Para obtener la transformación para el operador de creación simplemente tomamos el adjunto de la ecuación anterior obteniendo finalmente que la transformación inversa de la transformación HPB es la siguiente (2.70)
De manera similar a lo que ocurre con el operador de Weyl , podemos descomponer el operador de compresión mediante el uso del lema de Hadamard (1.61) [12] de la siguiente manera
(2.71)
Ahora, si solamente aplicamos el operador de compresión al estado base del oscilador armónico generamos el vacío comprimido como se muestra a continuación
44
(2.72) � |� �xp1� ∗ − |�� Utilizando la descomposición del operador de compresión y redefiniendo las exponenciales que aparecen en ella como
�xp1� �xp ��n� � �xp− 1� + �n�o�� � �xp− 1� �xp − ��n� � obtenemos que la siguiente expresión para | − 1 �xp− ��n� |� | |� � ! − 1 �n�o�� � ! + |��
(2.73)
(2.74)
|� � para ≥ 1. Ahora, dado que se cumple + |� +|� ++ (2.75) 1|� | �� y usando que �xp�n obtenemos que la ecuación (2.74) del vacío comprimido se reduce a 1 �xp ��n� (2.76) | |� �o��⁄ � ! |�� en donde hemos utilizado que
|� �!|�
Sin embargo fácilmente se puede verificar que , con lo cual obtenemos finalmente que el vacío comprimido se puede expresar en como una combinación lineal de los estados pares del oscilador armónico como sigue
�! | |� �o��⁄ �!
tanh|2.
(2.77)
4�
Ahora calculemos explícitamente la función de onda de los estados comprimidos. Para ello recordemos que para el oscilador armónico tenemos que los operadores de creación y aniquilación del oscilador armónico se escriben como
� + �
� − �
(2.78)
Sustituyendo estas relaciones en la ecuación (2.55) obtenemos la siguiente expresión
|� +|,
̂ ̂ = 2ℏ + + 2ℏ − |, =|,. |, =,, + 2ℏ + + 2ℏ ,, = ,,.
(2.79)
Usando que en el espacio de coordenadas obtenemos de la expresión anterior la siguiente ecuación diferencial [6]
(2.80)
Esta ecuación diferencial se puede reexpresar de la siguiente manera
2 ,, − −ℏ − ℏ− + ,, =0,
(2.81)
cuya solución se enuncia a continuación
2 + ℏ ,, =exp − − 2ℏ− ⁄ 1 =ℏ | −| exp−4 | −| .
(2.82)
y el factor de normalización es el siguiente
(2.83)
Por lo tanto, la función de onda de los estados comprimidos [6] está dada por la expresión 4�
2 1 ℏ �� |−| exp −4 | −| + − − 2ℏ+ − ⁄
(2.84)
Una vez calculada la función de onda de los estados comprimidos probemos que los estados comprimidos son estados de mínima incertidumbre para la desigualdad d de Schrödinger al igual que los estados coherentes, pero con la particularidad de que las fluctuaciones de y son diferentes. Para ello calculemos primero y . Utilizando las propiedades de traslación del operador de Weyl (1.62) y las ecuaciones (1.107) en las cuales expresamos los operadores de posición y momento en términos de los operadores de creación y aniquilación del oscilador armónico se obtiene
,||, ,|̂|,
ℏ ,||, =2 0 +0 =2ℏ 0++ +∗0 =2ℏ +∗ +0+0. – = =− – − ==−−−−=− , ∗ = − .
̂
(2.85)
Sin embargo, utilizando que el operador de compresión , en analogía con el operador de Weyl cumple que y que de la definición del complejo obtenemos que cambiar por implica cambiar por , que a su vez implica cambiar por y dejar sin modificar obtenemos [6]
(2.86)
Utilizando estos resultados obtenemos que el valor esperado de la posición en un estado comprimido es de la forma
∗ ℏ ,||, =2 + +0− + −∗0.
(2.87)
∗ ℏ ,||, = || =2 + .
(2.88)
Por lo tanto, de la ortonormalidad de los estados del oscilador armónico el segundo término de la expresión anterior se anula, con lo que obtenemos finalmente lo siguiente
��
Procediendo de manera similar obtenemos que el valor esperado del momento en un estado comprimido está dado por
�||� �||� − � �−� − � − ∗ + �−� − � − ∗ + �− − +∗0.
(2.89)
Por lo tanto el valor esperado del momento en un estado comprimido vale
ℏ ̂ ̂ ,||, = || =− 2 −∗. ̂ | | ,| , ,| , ,| |, ,|̂ |, ,||, =ℏ 2ℏ 0+0 =2ℏ 0++0 ∗ = 0 + ++ 0 2 =2ℏ 0+ ++∗+ ++∗0, Una vez calculados los valores esperados y como sigue
y
(2.90)
procedamos a calcular
(2.91)
en donde hemos utilizado nuevamente las propiedades de traslación del operador de Weyl y hemos insertado adecuadamente el operador identidad dos veces, una vez con el operador de Weyl y otra con el operador de compresión. Utilizando las ecuaciones (2.86) y desarrollando el cuadrado del operador se obtiene
,||,=2ℏℏ 0− + −∗++∗ℏ0 =2ℏ 0− + −∗0+ 2 +∗ =20−∗ +− 0+ +∗. |0 =0
Usando la ortonormalidad de los estados del oscilador armónico y que siguiente resultado
(2.92)
obtenemos el
��
�−∗−0+ ℏ +∗ �||� � 2 Procediendo de manera similar obtenemos que , |̂ |, es de la forma ℏ20−0 ,|̂|,=−ℏ =−ℏ2 0+− −∗0 =−ℏ2 0+∗ −+0+ −∗ =− 2 0−+∗+0+ −∗
(2.93)
(2.94)
−∗∗ =− +∗∗ =+ |0=|0 ,||,=2ℏ | −| + +∗, ,|̂|, =−ℏ2 −∗ − | +|. ,||, ,|̂|, ,||, ,|̂|, ∆ =,||,− ,||, =2ℏ | −|, ∆ = ,|̂|, − ,|̂|, =ℏ2 | +|, ℏ ∆ ∆̂ =2 | −|| +|.
Ahora, dado que y y utilizando que obtenemos finalmente que los valores esperados de los cuadrados de la posición y del momento en un estado comprimido [6, 16] son (2.95) (2.96)
Así, una vez calculados , , y podemos calcular el producto de las desviaciones cuadráticas de la posición y el momento, obteniendo para los estados comprimidos (2.97) (2.98)
con lo cual
(2.99)
��
De las ecuaciones (2.97) y (2.98) se pueden observar que, tal como se le requirió desde el inicio a los estados comprimidos, cuando la dispersión en la posición disminuye, entonces la dispersión en el momento aumenta y viceversa.
Un hecho importante de los estados comprimidos es que cuando hacemos obtenemos los estados coherentes del oscilador armónico, es decir
|� ⟶ �| �� | �
� en estos estados, (2.100)
�
�
=
Tal como ya dijimos anteriormente, cuando hacemos entonces , con lo cual y . Haciendo y en las ecuaciones (2.97) y (2.98) obtenemos que las desviaciones cuadráticas se convierten en
cosh=1 =0
=1 =0 ∆ =2ℏ , ∆̂ =ℏ2,
(2.101)
lo cual coincide totalmente con las desviaciones cuadráticas de la posición y el momento de los estados coherentes obtenidas en el capítulo anterior de este trabajo.
| −| | −| ==cosh−senhcos cosh−senh=| +sicosh−senhcos−senhsen| n h sen =cosh −2coshsenhcos+senh sen +cos .
De la definición de los complejos y observamos que
se puede reescribir como sigue
(2.102)
Utilizando la definición del coseno hiperbólico y del seno hiperbólico obtenemos el siguiente resultado
+ − − | −| = +4 −− +2 cos+ 4 cos = 21−cos+ 2 1+cos = 2 + 2 = sen 2+ cos 2. De manera similar obtenemos para el término | +| la siguiente expresión | +| = cos 2+ sen 2.
(2.103)
(2.104) ��
Por lo tanto, el producto de las dispersiones cuadráticas de la posición y del momento de los estados comprimidos se puede reescribir como [6]
� ��n 2 + �o� 2 �o� 2 + ��n 2
� 1 + ��n 2��s 2 + + (2.105) � 1 + 1 − �o�� + �o� � � 1 + ��n se�h2� Como se vio en el capítulo anterior, los estados coherentes tienen correlación cero para los operadores de posición y . Ahora calcularemos la correlación cuántica [10] de los estados comprimidos, previamente definida y que reintroducimos por conveniencia a continuación
(2.106) 1� �− � en donde � + es el anticonmutador de y . Así utilizando que el anticonmutador de y vale � + + − � − � � − � (2.108) obtenemos que el valor promedio de en un estado comprimido es de la forma �� � 1� �� − �||� (2.107) �||� − � − �||��||�� Ahora calculemos �||� sustituyendo y en términos de los operadores y a 1 de la siguiente manera través de la ecuación (1.107) y utilizando que � 1 � + − − � �||� � (2.108) − � �| |� − 1 − � ��
��
�||� y �� se calculan haciendo uso de la propiedad de traslación del operador de Weyl , de las ecuaciones (2.86) y de la ortonormalidad de los Los valores esperadores
estados de oscilador armónico obteniendo
�||� � + � � � + �� � + �− 0 +20− 0 + − + 0+ ==−+ 0 − . De manera similar calculamos , , como sigue ,,=0 +∗0∗ ∗ +2∗ 0 0 + ==00− ∗00+ =−∗ +∗.
(2.109)
(2.110)
Sustituyendo las ecuaciones (2.109) y (2.110) en (2.108) obtenemos
,|̂|, =− 2ℏ −+ −1+∗ −∗.
(2.111)
Ahora de las ecuaciones (2.88) y (2.90) obtenemos que el producto de los valores esperados de la posición y del momento en un estado comprimido está dado por la siguiente expresión
,||,,|̂|, =− 2ℏ +∗−∗ =− 2ℏ −∗.
(2.112)
Así la correlación cuántica de los estados comprimidos se encuentra sustituyendo las ecuaciones (2.111) y (2.112) en la ecuación (2.107) obteniendo el siguiente resultado
∗ −∗ +1− +∗ =− 2ℏ −+ −1+ =− 2ℏ −+∗. =cosh = senh
(2.113)
Ahora, utilizando que y obtenemos finalmente que el cuadrado de la correlación cuántica de los estados comprimidos igual a ��
− � −+∗ =− ℏ4 ∗ −2|| + ℏ =− ℏ4 cosh senh −2cosh senh +cosh senh =− 4 cosh senh −2+.
(2.114)
⁄ cosh senh =senh 2 4 . −2+ =2cos2 −2=−4sen
(2.115)
=− ℏ4 senh42 −4sen = ℏ4 senh2 sen ,
(2.116)
La ecuación anterior se puede simplificar utilizando las siguientes propiedades
Así finalmente obtenemos el cuadrado de la correlación cuántica de los estados comprimidos está dada por la siguiente expresión
con lo cual podemos observar que el segundo término de la ecuación (2.105) no es más que el cuadrado de la correlación cuántica de los estados comprimidos y que cuando obtenemos la relación de los estados coherentes. Ahora calculemos los siguientes valores esperados del operador de número estados coherentes, el vacío comprimido y los estados comprimidos.
=0 =
||, ||, ,||,.
para los
(2.117)
Estos valores esperados se calculan utilizando la ortonormalidad de los estados del oscilador armónico, las definiciones de estado coherente, vacío comprimido, estado comprimido y de las ecuaciones (1.62) y (2.86) de la siguiente manera
0 =0∗0 +∗+0 ||==00++∗+ = | | . −∗−0 || == 000− 0 =0 0−∗0||0 + ||00 0 =sinh . ,||,=00
(2.118)
(2.119) (2.120) ��
� + ∗ + ∗�∗ � + + + ∗� ∗ � || | |� + 0 0 − 0||0+ 0||0+|| ==sinh+|+ |.
∆,∆|̂|, ,|̂|, ,||, ,|̂|, ∗ ̂ ==,, ∗==∗,. ,||, ,|̂|, ℏ ,||,=2 0 +0 =2ℏ 0 + + +∗0 =2ℏ +∗+0 +0, ℏ ,|̂|,=− 2 0−0 ℏ2 0 + − −∗0 =− ∗ ℏ =− 2 − +0 − 0.
Por último encontremos el producto de las dispersiones cuadráticas en la posición y el momento dependientes del tiempo para los estados comprimidos. Para ello necesitamos calcular los valores esperados , , y sustituyendo los operadores y en términos de los operadores y , y de los complejos y expresados en las ecuaciones (1.83) (1.84) (1.94) (1.95)
Así con ayuda de los operadores de aniquilación y creación del oscilador armónico y de sus respectivos complejos dependientes del tiempo y de la ortonormalidad de los estados del oscilador armónico obtenemos que y valen respectivamente
(2.121)
(2.122)
De las transformaciones dadas por las ecuaciones (2.86) observamos, utilizando las propiedades de la acción de los operadores de creación y aniquilación de las funciones del oscilador armónico, que los últimos términos de las relaciones anteriores se anulan obteniendo
�4
(2.123) �||� � +∗, ∗ ℏ (2.124) ,||, =− 2 − . El procedimiento para obtener , | |, y , |̂ |, es muy similar al utilizado en los cálculos anteriores y así se obtiene
,||, =2ℏℏ 0 + 0 ∗ = 0 + + + 0 2 =2ℏ ℏ0− + −∗ + +∗ 0 ∗+− 0 =20∗− + + =2ℏ 0−∗−0 + +∗, ,||,=−ℏℏ20 − 0 ∗ =− 0 − + − 0 2 =−ℏ2ℏ0− − −∗ + −∗ 0 ∗−+ 0 =− 2 0∗+ + − =−ℏ20−+∗+0 + −∗. −∗∗ =− +∗∗ =+ ℏ2 − + +∗, ,||, = ℏ ,||,=− 2 − + + −∗. (2.125)
(2.126)
Utilizando las igualdades obtenemos finalmente
y
(2.127) (2.128)
��
Luego, de las ecuaciones (2.123), (2.124), (2.127) y (2.128) obtenemos las desviaciones cuadráticas de la posición y el momento dependientes del tiempo son [6]
−, (2.129) ∆ �||� − �||� � ∆̂ = ,|̂|, − ,|̂|, =ℏ2 +, (2.130) De la definición de los complejos y observamos que ∆ y ∆̂ se obtienen a partir de las dispersiones no dependientes del tiempo ∆ y ∆̂, simplemente sustituyendo
−2 − =cosh−senh −2 = sen −2 + cos , 2 2 + =cosh+senh −2 = cos −2 + sen 2 2 . −2 ℏ ∆ ∆̂ =2 1 +sen−2 senh2, por
, con lo cual obtenemos el siguiente resultado
(2.131)
(2.132)
Por lo tanto, siguiendo un procedimiento similar al presentado en la ecuación (2.105) con el cambio por obtenemos para los estados comprimidos que el producto de las dispersiones cuadráticas de la posición y el momento dependientes del tiempo está dado por la siguiente expresión (2.133)
en donde el segundo término se identifica con el cuadrado de la correlación dependiente del tiempo de la posición y el momento de los estados comprimidos, es decir
= ℏ4 sen−2 senh2. = ,
(2.134)
,ℂ ⁄ ⁄
Así se ha probado que se puede construir un conjunto de funciones ortonormales , con , que sean autofunciones simultáneas de los operadores y para la representación del grupo formulada en términos de los operadores de ascenso y descenso del oscilador armónico, de donde obtuvimos que para los valores se generan dos espectros distintos y acotados inferiormente.
2,1
��
Además se verificó que los estados comprimidos del oscilador armónico son de mínima incertidumbre de acuerdo a la desigualdad generalizada de Schrödinger, y que para estos estados cuando la dispersión en la posición aumenta, la correspondiente del momento disminuye y viceversa. El resultado más importante que se obtuvo en este capítulo, y que no aparece en los libros de texto fue que la correlación cuántica no dependiente y dependiente del tiempo de los operadores de posición y momento es diferente de cero para los estados comprimidos y se identificó la misma con el término adicional que aparece en el producto de las dispersiones al compararse con el producto de las dispersiones de los estados coherentes.
��
Capítulo 3 Los estados coherentes y comprimidos de número del oscilador armónico. Introducción. En los años 50 Senitzky, Plebanski, Husimi y Epstein [32] se preguntaron si habían otros paquetes de onda, aparte de los paquetes de los estados coherentes, que mantuvieran su forma y describieran movimiento clásico. Lo que estos autores encontraron fue que cualquier estado de número desplazado sigue el movimiento clásico y mantiene su forma [12]. En este capítulo se estudiarán los estados coherentes y comprimidos de número del oscilador armónico de manera análoga a como se hizo con los estados coherentes y comprimidos en los capítulos uno y dos del presente trabajo, tomando como referencia el trabajo de M. M. Nieto sobre estos estados del oscilador armónico [12]. El estudio de estos estados coherentes y comprimidos de número comenzará calculando la evolución temporal del primer estado excitado del oscilador armónico desplazado una distancia del origen mediante la transformada de Bargmann [13] y se comparará el resultado con el cálculo hecho mediante el operador de Weyl , obteniendo que el segundo método es más general que el que involucra la transformada de Bargmann. Luego generalizaremos los
��
resultados obtenidos a cualquier estado excitado del oscilador armónico desplazados del origen una distancia . Hecho esto se definirán los estados coherentes de número del oscilador armónico de manera formal mediante el uso del operador de Weyl y se obtendrá la forma más general de los mismos para cualquier estado excitado del oscilador armónico. Además, se calculará la m – ésima acción del operador de creación del oscilador armónico sobre un estado coherente de número del oscilador armónico y, tal y como se hizo con los estados coherentes, se calculará el producto de las dispersiones de la posición y el momento no dependientes y dependientes del tiempo para un estado coherente de número arbitrario, así como la correlación cuántica dependiente del tiempo de los operadores de posición y momento generalizando las expresiones obtenidas en el primer capítulo.
|
|,
|, |,
Para concluir el capítulo se definirán los estados comprimidos de número del oscilador armónico mediante el uso del operador de compresión utilizado en el segundo capítulo y se obtendrá la relación más general de los mismos. Después se calcularán el producto de las dispersiones de la posición y el momento no dependientes y dependientes del tiempo para un estado comprimido de número , y la correlación cuántica de un estado comprimido de número. Se probará que estos dos resultados son los más generales posibles para los estados coherentes y comprimidos de número del oscilador armónico. La correlación cuántica de un estado comprimido de número será el segundo resultado original más importante del presente trabajo.
|,
3.1 Los estados coherentes de número del oscilador armónico. 3.1.1 La transformada de Bargmann y los estados excitados del oscilador armónico. La evolución temporal de los estados de oscilador armónico se puede calcular de diversas maneras, todas de ellas equivalentes. Una de ellas es mediante el uso de la transformada de Bargmann [13, 33] y sus propiedades al poder ser expresada mediante la función generadora de los polinomios de Hermite en términos de las funciones de onda normalizadas del oscilador armónico. El operador de Weyl [4] permite también, entre otras cosas, conocer la evolución temporal de los estados de oscilador armónico pero de una forma más clara y general. En esta sección se calculará la evolución temporal del primer estado excitado del oscilador armónico desplazado una distancia del origen mediante la transformada de Bargmann [13] y luego se generalizarán los resultados para obtener la evolución temporal de cualquier estado excitado del oscilador armónico.
��
Cuando se trabaja con funciones de onda del oscilador armónico 1–dimensional muchas veces es conveniente introducir la transformada de Bargmann [13, 33], definida mediante el núcleo
, = 1 exp− 12 +√2− 12 ,
donde es un número complejo. Dada una función cuadrado integrable, de Bargmann está dada por
(3.1)
, su transformada
= ,,
(3.2)
= 1 ∗ ∗,, =+ ,ℝ ≡ . , =⁄√ 2 , , = = . ! ! √ √ !2 √ =1 =0 2 − √ Ψ ,0 = √ 2 =√2− √ √ .
donde la función de onda
se puede obtener como sigue
(3.3)
y la integral se realiza sobre el plano complejo 2 – D, es decir, con
,
.
(3.4)
De la definición del núcleo de la transformada de Bargmann y la función generadora de los polinomios de Hermite, con , obtenemos que se puede expresar en términos de las eigeufunciones del oscilador armónico mediante la siguiente relación [13] (3.5)
Una vez introducida formalmente la transformada de Bargmann, consideremos la eigenfunción del oscilador armónico con desplazada por una distancia . Esta función de onda a está dada de la siguiente manera [13] (3.6)
Usando la definición del núcleo de la transformada de Bargmann y su expansión en términos de las funciones obtenemos
��
Ψ ,0 =√2− √ 2 ,=√2− √ ! √ 2.
(3.7)
De la relación de recurrencia de las funciones de Hermite
= +12 + 2 ,
(3.8)
obtenemos que la expresión anterior se puede reescribir como
Ψ,0= −√2 √ ! √ 2 + √ ! √ 2 + .
√ 2 √ ! √ 2 Ψ,0 = ,
(3.9)
Luego hemos expandido la eigenfunción del primer estado excitado del oscilador armónico en términos de las , es decir
Ψ,0
1 = √ ! √ 2 − 2 . Ψ,0 Ψ, = 2 √ = − 2 √ 2 √ ! .
en donde los coeficientes
Así la eigenfunción
(3.10)
de (3.10) son explícitamente los siguientes (3.11)
a un tiempo posterior estará dada de la siguiente manera
(3.12)
Esta suma la podemos realizar usando la expansión del kernel de la transformada de Bargmann, ya que se tiene
��
√ ! =, = 1 exp− 12 +√2− 12
(3.13)
y
, (3.14) = =−+√2,. ! √ Utilizando estos resultados obtenemos con = ⁄√ 2 finalmente el siguiente resultado [13] . Ψ, = 2−√ 2cos
(3.15)
De esta expresión podemos ver que el módulo cuadrado de la eigenfunción del primer estado excitado del oscilador armónico dependiente del tiempo se puede expresar como
|Ψ,| = 2−√ πcos e = |Ψ− cos|. =1
(3.16)
Por lo tanto, la densidad de probabilidad es la misma del estado , pero ésta oscila alrededor del origen con la frecuencia del oscilador , con amplitud , y sin cambiar de forma como en el estado coherente [13]. De hecho siguiendo un procedimiento análogo podemos generalizar este resultado a cualquier eigenfunción del oscilador armónico de la forma [13], obteniendo
Ψ
Ψ,0 =− |Ψ,| =|− cos|.
3.1.2 El operador de Weyl
(3.17)
y los estados excitados del oscilador armónico.
Tal como ya se vio anteriormente, el operador de desplazamiento u operador de Weyl se define de la siguiente manera
=exp −∗ =||⁄∗.
[5]
(1.48)
��
=+⁄√ 2
⁄ ⁄ = ℏ =1 ℏ √ ∗
donde es un número complejo, constantes que le quitan las dimensiones a los complejos y
,
son las
.
El operador de Weyl también se puede escribir en términos de los parámetros que caracterizan a los complejos y , y utilizando la ecuación (1.106), obteniendo
∗ , =ℏ =ℏℏℏ.
(1.53)
El primer estado excitado del oscilador armónico se expresa en términos de los polinomios de Hermite como sigue [14, 24]
donde
=⁄, = ⁄ ⁄ 1 1 = 2 ℏ = √ 2 ℏ =4ℏ . es una constante adimensional y
(3.18)
es el factor de normalización y está dado por
Utilizando la fórmula de Rodrigues [24] podemos calcular el polinomio de Hermite sigue
=− =−−2 =2.
(3.19)
como
(3.20)
Luego, el primer estado excitado del oscilador armónico en forma explícita es
⁄ 4 = ℏ ⁄. = = ℏ ⁄ 4 = ℏ ⁄. ,
Utilizando el cambio de variable usual
, con
(3.21) obtenemos que la función de onda
del primer estado excitado del oscilador armónico es
Aplicando el operador de Weyl obtenemos
(3.22)
al primer estado excitado del oscilador armónico
��
⁄ 4 , = ℏ ℏ ⁄ ⁄ ⁄ = ℏ ℏ ℏ 4 ℏ ⁄ 4 = ℏ ℏ ℏ⁄ −⁄ = ℏ 4ℏ −⁄.
(3.23)
Ahora calculemos la acción del operador de Weyl dependiente del tiempo sobre la eigenfunción del primer estado excitado de oscilador armónico . En su forma desentrelazada el operador de Weyl dependiente del tiempo [10] se escribe como
=, = ℏ ℏ ℏ ,
en donde la evolución temporal de las variables clásicas dependientes del tiempo están dadas por las expresiones
(3.24)
= cos+ sin, =− sin+ cos.
y
(1.100)
Con estas expresiones obtenemos que el argumento de la primer exponencial de la ecuación (3.24) se puede expresar de la siguiente manera
− 2ℏ = 2ℏ− cos+ sin − sin+ cos =− 2 − ℏ + cossin+ ℏ cos −sin .
(3.25)
Por lo tanto tenemos la siguiente expresión para el argumento de la primer exponencial de (3.24)
− 2ℏ = −2 − +sin2+ 2ℏ cos2.
(3.26)
De igual manera obtenemos que el argumento de la segunda exponencial de (3.24) se reescribe como sigue
��
ℏ = ℏ − sin+ cos, ℏ =− sin+ ℏ cos. ⁄ 4 = ℏ ℏ ℏ −⁄ 4 ⁄ 1 =2ℏ exp4 − −sin2 − ℏ cos2− sin+ ℏ cos − cos − sinexp− 2 − cos− sin . 4 ⁄ = ℏ − cos − sin exp− − cos− sin .
(3.27)
o en términos del real obtenemos
Aplicando el operador de Weyl a
(3.28)
obtenemos el siguiente resultado
(3.29)
Así, sustituyendo los las ecuaciones (3.26) y (3.28) en la expresión anterior obtenemos
De esta expresión podemos ver fácilmente que el módulo cuadrado de expresar de la siguiente manera
(3.30)
se puede
(3.31)
Por lo tanto, comparando esta expresión con la ecuación (3.22) obtenemos finalmente
= − cos− sin,
(3.32)
con lo cual comprobamos que el operador de Weyl dependiente del tiempo aplicado a la función de onda del oscilador armónico nos da la evolución temporal de la misma pero más general, ya que este resultado se reduce al de la transformada de Bargmann con .
=0
��
Consideremos la n – ésima eigenfunción del oscilador armónico
⁄ ⁄ = 2 ! ℏ ,
(3.33)
= −1 .
(3.34)
con los polinomios de Hermite [24, 26] que se pueden calcular mediante la fórmula de Rodrigues [24]
En general el operador de Weyl aplicado a la n – ésima eingenfunción del oscilador armónico nos dará como resultado, salvo una fase, la misma eigenfunción desplazada una cantidad del origen, ya que tenemos
, =ℏℏℏ⁄ ⁄ = ℏ ℏ 2 ! ℏ − = ℏ −. = − cos− sin , =0 |,=|, | | = √ |
(3.35)
Así, repitiendo el procedimiento anteriormente realizado obtendremos que si aplicamos a obtendremos como resultado final la siguiente relación (3.36)
la cual nuevamente es un resultado más general que el obtenido a través de la transformada de Bargmann de la ecuación (3.17) ya que éste se deduce de (3.36) haciendo . Ahora introduzcamos los estados coherentes de número del oscilador armónico, los cuales se definen utilizando el operador de Weyl como se muestra a continuación
en donde
(3.37)
es el enésimo estado del oscilador armónico en la representación de Fock [12].
Considerando el primer estado excitado del oscilador armónico y utilizando la definición del operador de Weyl y que en términos del parámetro obtenemos
��
∗ − ∗ | ⁄ ⁄ | || |1, =||⁄1 = |1 = ! |1 =| |1−∗|0.
(3.38)
Así, expresando la exponencial en series de potencias del operador de creación y usando que se obtiene el siguiente resultado
| = √ +1| +1 | ⁄ | |1, =|1 = ! |1 + |0 +1 √ | ⁄ | ∗ = √ ! | +1− √ ! |.
(3.39)
Haciendo lo mismo para el segundo y tercer estado excitado del oscilador armónico obtenemos las siguientes expresiones
∗ − ∗ | ⁄ | ⁄ | | |2, = |2 = |∗2 = ∗ ! |2 =||⁄ |2 − 1!√ 2 |1 + 2! √1∙2|0 | ⁄ | = √ 2 +2√ !+1 | +2 − ∗1!√ 2 √ √ !+1 | +1+ ∗√ 2!1 ∙2 √ ! | ∗ − ∗ | ⁄ | ⁄ | | |3, = |3 = ∗ |3∗= ∗ ! |3 =||⁄ |3 − 1!√ 3 |2 + 2! √2∙3|1 − 3! √1∙2∙3|0 +1 | ⁄ | | +3 = √ 2 ∙3 +3+2 ! √ − ∗1!√ 3 √ 2 +2√ !+1 | +2 + ∗√ 2!2 ∙3 √ √ !+1 | +1 − 3!∗ √1∙2∙3 √ ! |
(3.40)
(3.41)
��
Partiendo de las fórmulas anteriores podemos encontrar que existe un patrón que se puede generalizar para obtener cualquier estado de número del oscilador armónico, lo cual nos permite, en principio, preguntarnos por la forma del n – ésimo estado coherente de número del oscilador armónico. Para conocerlo calculemos
|,=|. ∗ − | ⁄ | |,=|= ! ! | ∑ !∗ | =0,1,2,3 ∗ − ! |0=|0 ∗ − ! |1=|1−∗|0 ∗ ∗ − ∗ ! |2 = |2 − √2|1 + 2! √2∙1|0 ∗ ∗ ∗ − ∗ ! |3=|3− √3|2+ 2! √3∙2|1− 3! √3∙2∙1|0 ∑ ! | ! |0 = |0 + 1! |1 + 2! √1∙2|2 + 3! √1∙2∙3|3 +⋯ ! |1 = |1 + 1! √2|2 + 2! √2∙3|3 + 3! √2∙3∙4|4 +⋯ ! |2 = |2 + 1! √3|3 + 2! √3∙4|4 + 3! √ 3 ∙4∙5|5 +⋯ ! |3=|3+ 1! √4|4+ 2! √ 4 ∙5|5+ 3! √ 4 ∙5∙6|6+⋯
(3.42)
Para conocer el término siguiente resultado
=0 =1 =2 =3
consideremos
De manera similar, obtenemos para el término
=0 =1 =2 =3
de donde obtenemos el
las siguientes expresiones
De los resultados anteriores podemos inferir las siguientes expresiones generales
��
⁄ ∗ ∗ − − ! ! | = ! −! | − ⁄ +! ! |= ! ! | +
(3.43) (3.44)
Sustituyendo estas ecuaciones en la expresión (3.42) obtenemos que el estado de número n – ésimo en la representación de Fock está dado como se muestra a continuación [12]
⁄ ∗ − ! | ⁄ | |, = ! ! −! | − ⁄ ∗ − −+ !! | ⁄ | = ! ! −! −! | −+.
(3.45)
Cabe señalar que, utilizando el hecho de que el operador de Weyl es unitario, los estados de número del oscilador armónico heredan la ortonormalidad tal como se muestra a continuación
,|,==|=.
(3.46)
En la expresión anterior hemos definido el operador de Weyl en términos del mismo parámetro . Si consideramos dos operadores de Weyl distintos con parámetros complejos obtenemos de la ecuación (3.45) el siguiente resultado
,
⁄ ∗ | | | | − −+ !! ,|, = ! ! − ! − ! −∗ − +!! ⁄ ! ! −! −! ,,
(3.47)
con lo cual observamos que los estados coherentes de número no son ortogonales. Los estados coherentes de número forman una base sobrecompleta al igual que los estados coherentes.
|1, 1,.|1 =+|1 =1=| |1, = =||01+| +| |1, |1, =|1, =| +|1,
Por otro lado, aplicando el operador de aniquilación al estado operador de Weyl obtenemos
Así, utilizando este resultado podemos calcular
y utilizando la propiedad del
(3.48)
sin problemas para obtener (3.49) ��
|+|1,. |1, |1, =3 =||1+ ,=|1,.2| +|1, |1, |1, =| +|1,, �
De manera similar se obtiene para
la siguiente expresión
Por lo tanto podemos inferir que de manera general la aplicación estado está descrito por la expresión
(3.50)
veces del operador sobre el
(3.51)
con lo cual
|1, =∗| +∗1,|.
(3.52)
Repitiendo el mismo procedimiento para el estado coherente de número dos y utilizando el resultado obtenido para el estado coherente de número uno obtenemos los siguientes resultados
|2=+|2 | = |2,= 2 =√2|1, +|2, |1, +|2, |2, =√2 =√2||1+, |+1,|2,+√2 =√2|+2√2|1,+|2, |2, |2,==√2√2|+2√2|1,+ |1, +|2, | | | +2√2 + 1 , + =3√2| +3√2|1, +|2, +3√2|+| |1,1+,|+2,√2|1,+|2, |2, =3√2 =3√2||+3√2 =6√2| +4√2|1, +|2, |2, |2, = −12! √2| +√2|1, +|2, De estas ecuaciones podemos calcular el resultado de operar como se muestra a continuación
veces el operador al estado
(3.53)
��
|3, |3=+3 | = |3,= 3 =√ 3|2, +|3, +|3,2,+√3| 2,+|3, |3, =√3√2| =√3|2,1,+| =√3∙2|1,+2√3|2,+|3, |3, | |3, =√3∙2 =√3∙2||1,+ +2√3 2 , + √3|2, +|3, | | | 1 , +2√3√2 1 , + 2 , + =√3∙2|+3√3∙2|1,+3√3|2,+|3, |2, +|3, | |3, =4√3∙2 =√ 3 ∙2|| +3√ 3 ∙2 1 , +3√ 3 +6√3∙2|1, +4√3|2, +|4, |3, √3∙2|+ −12! √3∙2|1, |3,= −13!−2 +√3|2,+|3, |, ⁄ ! ! |, = −+! −! ! | ,,
Para el estado coherente de número tres siguiente
se obtiene utilizando los resultados anteriores lo
Nuevamente podemos inferir que operar veces el operador al estado
da como resultado (3.54)
De las ecuaciones (3.51), (3.53) y (3.54) podemos obtener una expresión más general que las anteriores en la cual aplicamos el operador veces a un estado coherente de número obteniendo
(3.55)
la cual cabe señalar que no se encontró en la literatura leída. Ahora calculemos las dispersiones cuadráticas no dependientes del tiempo y dependientes del tiempo para los estados coherentes de número. Utilizando la definición de los estados coherentes de número (3.37), las propiedades de traslación del operador de Weyl (1.62) y la ortonormalidad de los estados de oscilador armónico observemos lo siguiente
⁄ ℏ ,||,=2 +
(3.56) ��
⁄ ℏ = 2 ++ + ∗ ℏ ⁄
= 2 + ∗.
Siguiendo el mismo procedimiento obtenemos que el valor esperado del momento en un estado coherente de número n es igual a
⁄ ℏ ,, |̂|,, =− 2 ⁄ − =−ℏ2 ⁄ +− − ∗ =−ℏ2 − ∗. ,, ||,, ,, |̂|,, ,, ||,, = 2ℏℏ ,+,, = 2ℏ + = 2ℏ ++ + ∗ = 2ℏ ++ + + ∗ = 2ℏ + + + + ∗ = 2 2+1+ + ∗. ℏ2 ,−,, ,, |̂|,, = − ℏ = − ℏ2 − = − ℏ2 +− − ∗ = − ℏ2 −+ + − ∗ = − ℏ2 −− − + + − ∗ = − 2 −2+1 + + ∗.
Asimismo los valores esperados y utilizando en los dos primeros capítulos obteniendo
,, |̂|,, (3.57)
se calculan siguiendo el método
(3.58)
(3.59)
��
De las ecuaciones (3.56) – (3.58) obtenemos que las dispersiones cuadráticas de los estados coherentes de número del oscilador armónico y valen
Δ Δ̂ Δ = ,,ℏ||,, − ,, ||,∗, ∗ = 2ℏ 2+1+ + − + = + 12. Δ̂ = ,,ℏ|̂|,, − ,, |̂|,, ∗ ∗ = − 2ℏ −2+1 + + − + = + 12.
Por lo tanto el producto de las dispersiones cuadráticas de la posición vale para los estados coherentes de número lo siguiente [12]
Δ̂
(3.60)
(3.61)
Δ
y el momento
1 ΔΔ̂ = ℏ + + 2 .
(3.62)
Esta ecuación generaliza lo obtenido en la ecuación (1.116) para cualquier estado de oscilador armónico, recuperándose el resultado del estado coherente cuando .
=0
Para calcular las dispersiones dependientes del tiempo debemos considerar además que la dependencia temporal de los operadores de posición y momento se puede escribir en términos de los operadores de creación y aniquilación dependientes del tiempo dados por las ecuaciones (1.94) y (1.95) ya utilizadas anteriormente. Con estas consideraciones obtenemos
⁄ ℏ ,, ||,, = 2⁄ + = 2ℏ ⁄ |+| + + ∗ = 2ℏ + ∗. ⁄ ℏ ,, |̂ |,, =− 2 ⁄ − =−ℏ2 ⁄ |+| − + ∗ =−ℏ2 − ∗.
(3.63)
(3.64)
��
, , ||,, = 2ℏ ,, + ,,
ℏ = 2ℏ + = 2ℏ + + + ∗ = 2ℏ + + + ∗ = 2ℏ + + + + ∗ = 22+1+ 2+1+ + ∗ .. ℏ2 ,, − ,, ,, |̂ |,, = − ℏ = − ℏ2 − = −ℏ 2 + − − ∗ ∗ = − ℏ − + − 2 = − ℏ2 −− − + + − ∗ = − 2 −2+1 + − ∗ ..
(3.65)
(3.66)
Luego las dispersiones cuadráticas de la posición y el momento dependientes del tiempo son
Δ = ,, ℏ||,, − ,, ||,, + ∗ − + ∗ = 2ℏ 2+1+ 2+1+ = + 12. Δ̂ = ℏ ,, |̂|,, − ,, |̂|,, + ∗ − + ∗ = − 2 −2+1 + = ℏ + 12.
(3.67)
(3.68)
��
Por lo tanto el producto de las dispersiones cuadráticas dependientes del tiempo de la posición y el momento no varía en el tiempo y es igual al producto de las dispersiones cuadráticas no dependientes del tiempo [12] ya que se satisface
Δ
Δ̂
1 ΔΔ̂ = ℏ + 2 .
(3.69)
Tal como se puede observar, la ecuación anterior es el caso general en cual estamos en un estado coherente de número arbitrario. Nuevamente si consideramos regresamos al resultado (1.130) previamente obtenido para el estado coherente del estado base del oscilador armónico.
|,
=0
̂
La correlación cuántica dependiente del tiempo de los operadores de posición y en un estado coherente de número , definida en la ecuación (1.131), se puede calcular mediante la siguiente expresión
|, ,||,=,|̂|,− 2ℏ −,||,,|̂|,.
(3.70)
El primer término de esta expresión se puede calcular usando la dependencia temporal de los operadores de ascenso y descenso y del oscilador armónico, ecuaciones (1.83) y (1.84), las propiedades de traslación del operador de Weyl (1.62) y la ortonormalidad de los estados ce oscilador armónico como se muestra a continuación
,|ℏ̂|, = 2ℏ , − + −, = 2 − + − = 2ℏ ∗ −−∗ ++1+∗ −.
(3.71)
El tercer término de la expresión (3.70) se calcula inmediatamente de las ecuaciones (3.63) y (3.64) obteniendo el siguiente resultado
,||,,|̂|, =− 2ℏ −∗.
(3.72)
��
Sustituyendo las ecuaciones (3.71) y (3.72) en (3.70) obtenemos finalmente un resultado que generaliza el obtenido en la ecuación (1.134), a saber, que los operadores y no están correlacionados en el tiempo en cualquier estado coherente de número , es decir
̂ |,
,||,=0.
3.2 Los estados comprimidos de número del oscilador armónico. En el capítulo anterior vimos que el vacío comprimido se obtiene al aplicar el operador de compresión al estado base del oscilador armónico . A continuación aplicaremos el operador de compresión al primer estado excitado del oscilador armónico . Utilizando la ecuación (2.71) que expresa el operador de compresión desentrelazado obtenemos que
|0
− 12 exp− tanh |1,=|1= ! |1,
|1
(3.73)
en donde nuevamente hemos hechos las definiciones siguientes
exp112 exp tanh=, exp− 2 + lncosh =. |1, |0=0 ≥1 − 12 lncosh |1,= ! + |1. +|1 =1 +|1+|1 +|1= +|1 +√2∙2|1 =√1∙1| 1 =3=3|1|1.+|1
Utilizando el hecho de que como sigue
Ahora calculemos cuánto vale
para
vemos que el estado
(2.73) se puede expresar
. Para
(3.74)
��
Sustituyendo la ecuación (3.74) en (3.73) y utilizando las propiedades de los logaritmos obtenemos lo siguiente
− 32 lncosh |1,=|1= ! |1= |1 (3.75) 1 = cosh 2 exp! tanh |1. Dado que |1 = 2+1! |2 +1, entonces finalmente obtenemos que el estado |1, se puede escribir como una combinación lineal de los estados impares del oscilador armónico como
! |1,=|1= cosh⁄ 2+1 2 ! tanh|2 +1.
(3.76)
Ahora generalicemos los resultados previamente obtenidos aplicando el operador de compresión a cualquier estado , es decir obtengamos los estados comprimidos de número [12]
| |, =|1 =exp2 exp tanhexp− 12 1 + lncosh exp− 2 exp− tanh |. | 1 exp− 12 exp− tanh|= − 2 exp−! tanh |, 1 exp12 exp tanh | = 2 exp! tanh |, 2 2→
(3.77)
Para obtener el resultado calculemos primero la acción de las tres exponenciales sobre un estado por separado. Notemos que la acción de la primera y la última exponencial se pueden reescribir como
(3.78) (3.79)
las cuales se parecen a las ecuaciones (3.43) y (3.44), salvo que en éstas los operadores de creación y de aniquilación están elevados a la potencia en lugar de a la , con lo cual, haciendo el cambio de variable obtenemos ��
| exp−⁄ tanh 1 − exp − tanh ! ! | −2, 2 = ! −2 exp12 exp tanh1 | 2 exp tanh +2! = ! ! | +2, + lncosh | exp− + | +| == ++2+1 +|| = 2+1|, | 1 − l n cosh 1 2 exp− 2 + lncosh| = ! 2+1 | lncosh⁄ = ! | =cosh⁄ |. ���− 1
(3.80)
(3.81)
en donde
es el entero más grande que se puede construir a partir del número de estado
Para obtener la acción de operador siguiente manera
sobre un estado
.
observamos que la acción del
del oscilador armónico está expresada de la
(3.82)
con lo cual la acción deseada de la exponencial sobre el estado calcula como sigue
del oscilador armónico se
(3.83)
Sustituyendo (3.80), (3.81) y (3.83) en la ecuación (3.77) y definiendo el complejo obtenemos que se puede expresar de la siguiente manera
exp tanh
|, =| ⁄ ! |, =| = ! −2! | −2
=
(3.84)
��
⁄ −∗ ! � ! −2! cosh⁄ | −2 ⁄ − ∗ ! ! cosh⁄ = ! −2 −2+2! ∙ ! −2! | −2+2.
|, ⁄ ∗ 1 − cosh |,=cosh √! ! −2! −2+2! ∙ ! | −2+2,
Finalmente, observando que el número no aparece en ninguna sumatoria obtenemos que el estado está dado por
(3.85)
reproduciendo así el resultado obtenido previamente por Nieto para los estados comprimidos de número del oscilador armónico [12]. De este resultado podemos regresar a lo obtenido en las ecuaciones (2.77) y (3.73) haciendo y respectivamente.
=0 =1
|, | , ,
Hasta ahora hemos construido los estados coherentes de número y los estados comprimidos . Partiendo de las ecuaciones (3.45) y (3.85) podemos construir en la representación de Fock los estados comprimidos de número más generales definidos por la siguiente expresión
|,
|,,=| ⁄√ ! ⁄ − ∗cosh −2+2! | | = cosh⁄ ! −2! ! ! −∗ −2+2−+! ∙ ! −2+2−! | −2+2−+,
(3.86)
los cuales fueron introducidos por Plebanski [32]. Ahora calculemos para los estados comprimidos de número las dispersiones de la posición y del momento , tal como se hizo para los estados coherentes de número. Utilizando las ecuaciones (1.62), (1.107) y (2.86) y la ortonormalidad de los estados de oscilador armónico obtenemos que los valores esperados de la posición y el momento son los siguientes
Δ
Δ̂
��
⁄ ℏ , , || , , =2 + ⁄ ℏ =2⁄ ++ +∗ =2ℏ ⁄− + −∗++∗ =2ℏ +∗. ⁄ ℏ , , |̂|, , =− 2⁄ − =−ℏ2⁄ +− −∗ =−ℏ2 ⁄− − +∗+−∗ =−ℏ2 −∗. , , ||,, , , |̂|, , ℏ ,,+,, , , ||, , =2 =2ℏℏ + ∗ =2ℏ − + −++ ∗ =2ℏ − + − + +∗ =2ℏ | −| ++ +∗ =2 |−|2+1 + +∗. ℏ2,,−,, , , |̂|, , =−ℏ =−ℏ2 − ∗ =−ℏ2 − − ++− =− 2 +∗ − + + −∗
Los valores esperados continuación
y
(3.87)
(3.88)
se calculan de manera similar a
(3.89)
(3.90)
��
− −+ −∗ | +| =−ℏ2 −2+1| +| + +∗. Δ Δ̂ Δ =,ℏ,||, , −,,||, ,∗ ∗ | =2 −| 2+1 + + − + =ℏ | −| + 12. Δ̂ = ,ℏ|̂|, − , |̂|, ∗ ∗ =− 2 −| +| 12+1 + + − + = ℏ| +| + 2. Δ Δ̂ 1 ΔΔ̂ = ℏ | −| | +| + 2 . � − ℏ
Luego de las ecuaciones (3.87) – (3.90) obtenemos que las dispersiones cuadráticas de los estados comprimidos de número y están dadas por las expresiones
Por lo tanto el producto de las dispersiones cuadráticas de la posición vale para los estados comprimidos de número lo siguiente
(3.91)
(3.92)
y el momento
(3.93)
Utilizando la ecuación (2.105) podemos reescribir esta expresión en la forma [12]
1 ΔΔ̂ = ℏ + 2 1+sen senh2.
(3.94)
Las ecuaciones (3.83) y (3.94) generalizan a sus expresiones símiles (2.99) y (2.105) para cualquier estado de oscilador armónico , recuperándose las anteriores cuando como puede comprobarse fácilmente.
=0
Para finalizar esta sección calcularemos las dispersiones dependientes del tiempo de los estados comprimidos de número usando las ecuaciones (1.94) y (1.95) tal como se hizo con los estados coherentes de número. Con estas consideraciones obtenemos
, , ||, , ℏ ⁄ =2 +
(3.95)
��
⁄ ℏ � ⁄
− + + −+∗ =2ℏ +∗. , , |̂|, , ℏ ⁄ =− − 2 ⁄ ℏ =− 2 ⁄ − + − −+∗ =−ℏ2 −∗. , , ||, , =ℏ 2ℏ , + , = + 2 =ℏ2ℏ − + + − +∗ =2−∗∗ +− + + =2ℏℏ − ++ +∗ =22+1 − + +∗ . ℏ2, − , , , |̂|, , =− ℏ =− − 2 ℏ2− + − − −∗ =−ℏ =− 2 +∗ ∗ ++ + − =−2ℏℏ +++ − ∗ =−22+1 + + −∗ .
(3.96)
(3.97)
(3.98)
��
Así, para los estados comprimidos de número obtenemos que las dispersiones cuadráticas de la posición y el momento dependientes del tiempo son
= ,ℏ, ||, , − ,1, ||, , =− + 2. Δ̂ = ,|̂|, − ,|̂1|, = ℏ + + 2. Δ Δ̂ 1 ΔΔ̂ = ℏ − + + 2 . Δ
(3.99)
(3.100)
Por lo tanto el producto de las dispersiones cuadráticas dependientes del tiempo de la posición y la posición de los estados comprimidos de número está dado por (3.101)
Si sustituimos las ecuaciones (2.131) y (2.132) en la expresión anterior obtenemos
1 ∆∆̂ =ℏ + 2 1+sen−2 senh2,
(3.102)
la cual generaliza a la ecuación (2.133) para cualquier estado de oscilador armónico [12]. Para finalizar esta sección y en general, el estudio de los estados coherentes y comprimidos de número calculemos la correlación cuántica dependiente del tiempo de los operadores de posición y momento para cualquier estado comprimido de número . De la definición de la correlación cuántica obtenemos
|,,
̂ ,,||, , = ,,|̂|, , |−2ℏ| | ̂ | − ,, , , ,, , , ̂ (3.103)
Al sustituir los operadores y en términos de los operadores de ascenso y descenso dependientes del tiempo del oscilador armónico de las ecuaciones (1.83) y (1.84) podemos reescribir el primer término de la expresión anterior como sigue
��
, , |̂|ℏ, , = ,, − + −,,
2
(3.104)
A continuación se calcularán los dos primeros términos de la ecuación anterior siguiendo, como ya es costumbre, el método basado en las propiedades de traslación del operador de Weyl (1.62) y su análoga del operador de compresión (2.86)
,,,,=,, ,∗,= = + == −−∗∗− + ∗−∗+∗∗+ ∗ =−∗2+1 +∗, , , +=∗+ ,,= ∗− + |−|∗+ == +∗ | | + = || + +1|| +∗.
(3.105)
(3.106)
Los dos términos restantes de la ecuación (3.104) se calculan de manera similar a las dos expresiones anteriores y valen respectivamente
, , ||,, =−2+1 +, ,, , , = +1|| +|| +∗. ,,||, , ,,|̂|, , ,,||, , ,,||, , = 2ℏ ∗ −.
(3.107) (3.108)
El valor esperado de la ecuación (3.103) se calcula fácilmente de las ecuaciones (3.95) y (3.96) obteniendo como resultado (3.109)
Sustituyendo las expresiones (3.105) – (3.109) en la ecuación (3.103) se obtiene luego de simplificar términos, que la correlación cuántica dependiente del tiempo de los operadores de posición y momento en un estado comprimido de número es la siguiente
|,, ,,||, , = 2ℏ 2+1 −∗2+1,
(3.110)
��
en donde se ha utilizado además la condición que satisfacen los complejos y (2.42) de la transformación HPB. La ecuación (2.113) que se obtuvo en el capítulo pasado y que representa la correlación cuántica en un estado comprimido, es un caso particular de la expresión (3.110) para los casos en que y .
=0 =0
El cuadrado de la correlación cuántica para un estado comprimido de número se puede encontrar sustituyendo la definición de los complejos y de la ecuación (2.53) obteniendo el siguiente resultado
ℏ ,,||, , =− 4 2+1 −2|||| + =−ℏ + 12 cosh senh −2+. 2→2−4 1 ,,||, , =ℏ + 2 senh sen−2, ∆ ∆̂ (3.111)
Utilizando la ecuación (2.115), haciendo en ella el cambio de variable obtenemos finalmente
(3.112)
el cual, como era de esperarse, se identifica con el segundo término que aparece en el producto de las dispersiones de la posición y el momento de la expresión (3.102). Este es un resultado original y es el segundo más importante de éste trabajo, ya qu
Es importante señalar el producto de las dispersiones de la ecuación (3.102) y la correlación cuántica dependiente del tiempo de los operadores de posición y momento (3.112) para los estados comprimidos de número, son las expresiones más generales que se pueden encontrar, ya que los productos de las dispersiones y correlaciones cuánticas anteriores, no dependientes y dependientes del tiempo se pueden obtener a partir de éstas dos, haciendo, según sea el caso, para las ecuaciones no dependientes del tiempo, para los estados coherentes de número (lo cual implica hacer )y para los estados coherentes y comprimidos del oscilador armónico del primer capítulo.
=0
=0 =0
̂
=0
Este es un resultado original y es el segundo más importante de éste trabajo, ya que, tal como se mencionó, es la expresión más general que se puede encontrar para la correlación cuántica de los operadores de posición y momento del oscilador armónico, para cualquier estado coherente ó comprimido de número.
��
Por lo tanto, en el presente capítulo se verificó que el cálculo de la evolución temporal de cualquier estado del oscilador armónico desplazado una distancia del origen mediante el método del operador de Weyl es más general que el que involucra la transformada de Bargmann. Además, al desarrollar la teoría de los estados coherentes de número del oscilador armónico se generalizaron varios resultados obtenidos previamente en el primer y segundo capítulo de esta tesis para los estados coherentes y comprimidos del oscilador armónico, entre ellos el del producto de las dispersiones de la posición y el momento y la correlación cuántica de los mismos operadores para los estados comprimidos de número que, como ya se mencionó, son los estados coherentes más generales que se pueden construir para el oscilador armónico.
También se calculó la m – ésima acción del operador de creación del oscilador armónico sobre un estado coherente de número del oscilador armónico, resultado que no se encuentra en los libros de texto consultados para el desarrollo de este trabajo.
|,
3.3 Los estados coherentes y comprimidos en la actualidad. Los estados coherentes del oscilador armónico fueron introducidos por Schrödinger a finales de los años 20 [2]. Estos estados coherentes, tal como ya se mencionó, forman una base sobrecompleta, y es precisamente esta sobrecompletez y la no ortogononalidad de los estados coherentes que permiten el tratamiento adecuado de muchos problemas en física. Los estados coherentes del oscilador armónico están íntimamente relacionados con el grupo de Heisenberg – Weyl. Así, el método desarrollado en el presente trabajo es de particular importancia en aquellos casos en donde el grupo de simetría dinámica es el de Heisenberg – Weyl. El grupo de Heisenberg – Weyl no es el grupo de simetría dinámica universal, y por ende surge la pregunta de si existen propiedades análogas a los estados coherentes del oscilador armónico para cualquier grupo de Lie. El problema fue atacado por Perelemov [9] generalizando el concepto de estados coherentes para grupos de Lie arbitrarios. Esta generalización permitió aplicar el método de los estados coherentes generalizados a muchos problemas en la física, no sólo en la óptica cuántica, sino también en ramas como la radiofísica, la teoría de superfluidez, ondas de espín en el modelo de ferromagnetismo de Heisenberg, entre otros.
��
Actualmente los estados coherentes siguen siendo un tema de interés para los investigadores de todo el mundo aplicándolos últimamente a problemas como la evaporación de un hoyo negro [34, 35], fractales y las ondas del cerebro [36], ecuaciones de onda relativistas [37] y sobre la termodinámica de la geometría no conmutativa [38]. También se está aplicando la teoría de los estados coherentes y comprimidos generalizados a problemas como el del sistema cuántico de Morse [39], así como el problema de teletransportación y decoherencia[40]. Por lo tanto quisiera finalizar el presente trabajo enfatizando que la teoría de los estados coherentes y comprimidos generalizados es un tema de investigación actual y de interés en muchos campos de la ciencia.
��
Conclusiones. Los estados coherentes introducidos por Schrödinger tratando de visualizar el comportamiento dinámico de un paquete gaussiano desplazado del origen por una cantidad , son un caso particular de los estados coherentes de Glauber con � �. Aquí se da una demostración detallada de la desigualdad generalizada de Schrödinger, aclarando que las incertidumbres de Heisenberg son desviaciones cuadráticas más un término de correlación. Este término de correlación resultó ser cero a cualquier tiempo para los estados coherentes y diferente de cero para los estados comprimidos del oscilador armónico.
Mediante el cálculo del producto de las dispersiones de la posición y el momento de los estados coherentes y comprimidos del oscilador armónico, no dependientes y dependientes del tiempo, se verificó que los estados coherentes son de mínima incertidumbre de acuerdo a la relación de Heisenberg, y que los estados comprimidos son de mínima incertidumbre de acuerdo a la relación de Schrödinger. Además, se observó, mediante el teorema de Ehrenfest, que los valores esperados de la posición y el momento dependientes del tiempo de los estados coherentes del oscilador armónico satisfacen la ecuación de movimiento de un oscilador armónico clásico. Al formalizar la teoría de los estados coherentes, utilizando que éstos se pueden definir mediante la aplicación del operador de Weyl al estado base del oscilador armónico, se desarrolló un método basado en las propiedades de traslación del operador de Weyl para calcular algunas de las propiedades de los estados coherentes. Este método fue el que se utilizó también para desarrollar la teoría de los estados comprimidos y los estados coherentes y comprimidos de número del oscilador armónico. Se desarrolló la teoría de los estados coherentes y comprimidos del oscilador armónico usando la teoría de grupos relacionando estos estados con el grupo de Heisenberg – Weyl � y el grupo no compacto de Lie ��� respectivamente. Además, se encontró, basados en el trabajo de Dorantes, una representación de oscilador armónico del grupo de Lie no compacto ��� en términos de los operadores de ascenso y desscenso del oscilador armónico. Para los estados comprimidos, se calculó la correlación cuántica no dependiente y dependiente del tiempo de los operadores de posición y momento. Se compararon los productos de las dispersiones de la posición y el momento entre los estados coherentes y comprimidos. Se identificó la correlación cuántica dependiente del tiempo de los estados comprimidos con el término adicional que aparece en el producto de las dispersiones dependientes del tiempo. Este resultado no se encuentra publicado en la literatura.
��
Se calculó la evolución temporal de los estados coherentes mediante el uso de la transformada de Bargmann tal como lo hizo Hecht, y se comparó con la evolución temporal obtenida mediante el uso del operador de Weyl dependiente del tiempo, comprobando que la última es más general y clara. Se generalizó la teoría de los estados coherentes y comprimidos y se reprodujo, partiendo del trabajo de M. M. Nieto, la teoría de los estados coherentes y comprimidos de número del oscilador armónico, y se observó que estos estados siguen siendo de mínima incertidumbre de acuerdo a la relación de Schrödinger. Se probó además que el producto de las dispersiones dependientes del tiempo y la correlación cuántica de los operadores de posición y momento para los estados comprimidos del oscilador armónico son las expresiones más generales que se pueden construir, ya que éstas contienen como casos particulares los resultados de los estados coherentes de número y, por ende, los resultados de los estados coherentes y comprimidos del oscilador armónico. El resultado original más importante de éste trabajo se encontró en el primer capítulo, y corresponde a la demostración de que la función de onda del estado coherente de Glauber se expresa, en la representación de coordenadas, en términos de la evolución temporal de la posición y el momento clásicos. Otro resultado original importante es el referente a la correlación cuántica de los estados coherentes y comprimidos, ya que en la literatura no se hace referencia a ellos. El último resultado original importante es el cálculo de la m – ésima acción del operador de aniquilación del oscilador armónico a un estado coherente de número.
��
Referencias. [1] M. M. Nieto, arXiv:quant-ph/9708012v1 (1997). [2] E. Schrödinger, Naturwiss 14 (1926) 664. [3] R. J. Glauber, Phys. Rev. 130 (1963) 2529. [4] J. R. Klauder and B.-S. Skagerstam, Coherent States – Applications in Physics and Mathematical Physics, World Scientific, Singapore, 1985. [5] J. R. Klauder, E. C. G. Sudarshan, Nueva York, 1968.
Fundamentals of Quamtum Optics, W.
A. Benjamin,
[6] J. O. Cortés-Tamayo, Rev. Mex. Fis. 39 (1993) 128. [7] D. Stoler, Phys. Rev. D1 (1970) 3217, D4 (1971) 1925; H. P. Yuen, Phys. Lett. A51 (1975) 1, Phys. Rev. A13 (1976) 2226. [8] J. O. Cortés-Tamayo, Rev. Mex. Fis. 38 (1992) 309. [9] A. M. Perelemov, Generalized Coherent States and Their Applications, Heidelberg, Springer, 1986. [10] E. Merzbacher, Quantum Mechanics, John Wiley, Nueva York, 1972. [11] P. A. Mello, M. Moshinsky, “An application of linear canonical transformations: coherent states”, Rev. Mex. Fis. 22 (1973) 395. [12] M. M. Nieto, “Displaced and squeezed number states”, Phys. Lett. A229 (1997) 135. [13] K. T. Hecht, Quantum Mechanics, Nueva York, Springer-Verlag, 2000. [14] A. S. Davydov, Quantum Mechanics, Pergamon Press, Oxford, 1976. [15] L. Schiff, Quantum Mechanics, McGraw – Hill, New York, 1949. [16] A. B. Klimov, S. M. Chumakov, A Group Weinheim, WILEY-VCH Verlag GmbH, 2009.
– Theoretical Approach to Quantum Optics,
��
[17] W. Heisenberg, The physical principles of the quantum theory, Dover, New York, 1949. [18] E. Schrödinger, Sitzungb. Preuss. Akad. Wiss., 221 (1930). [19] J. Perina, Coherence of Light , D. Reidel Publishing Company, Czechoslovakia, 1985. [20] L. Landau, M. Lifshitz, Teoría Cuántica (No-Relativista), Reverté, Barcelona, 1983. [21] J. L. Powell, B. Crasemann, Quantum Mechanics, Addison Wesley, Massachusetts, 1961. [22] J. R. Klauder, Annals of Physics 11, 123 (1960); J. Math. Phys. 4, 1055 (1963); J. Math. Phys. 4, 1058 (1963). [23] E. C. G. Sudarshan, Phys. Rev. Lett. 10 (1963) 227. [24] G. B. Arfken, Mathematical Methods for Physicists, Academic Press, San Diego, 2001. [25] A. E. Glassgold, D. Holliday, “Quantum Statistical Dynamics of Laser Amplifiers”, Rev. 139 A (1965) 1717.
Phys.
[26] J. J. Sakurai, Modern Quantum Mechanics, Addison-Wesley, Nueva York 1994. [27] E. H. Kennard. Zeit. Phys. 44, (1927) 326. [28] K. B. Wolf, Topics in non compact groups for physicist , T. H. Seligman, AIP Conference Proceedings No. 71, New York, (1981).
2��
a sistemas cuánticos unidimensionales, [29] M. M. Dorantes, Aplicación del grupo Tesis de Licenciatura. México, D. F., 2007, Escuela Superior de Física y Matemáticas – IPN.
[30] T. Holstein y H. Primakoff, Phys. Rev. 58 (1940) 1098. [31] N. Bogoliubov, J. Phys. USSR 11 (1947) 292. [32] I. R. Senitzky, Phys. Rev. 95 (1954) 1115; J. Plebanski, Phys. Rev. 101 (1956) 1825, Bull. Acac. Polon. 11 (1954) 213, ibid. 14 (1955) 275; K. Husimi, Prg. Theor. Phys. 9 (1953) 381; S. T. Epstein, Am. J. Phys. 27 (1959) 291. [33] K. B. Wolf, Integral transforms in science and engineering, Plenum Press, New York, 1979. [34] A. N. St J. Farley, P. D. D’Eath, arXiv:gr-qc/0603092v1 (2006) [35] A. N. St J. Farley, P. D. D’Eath, arXiv:0708.2018v1 (2007). ��
