31
2.3 MECANISMO DE CUATRO BARRAS El eslabonamiento de cuatro barras es uno de los mecanismos más utilizados y más sencillos, ejemplos: Máquina de pruebas de solidez del color en telas: Se observa las curvas de acoplador superpuestas figura 2.9
figura 2.9 Máquina de pruebas de solidez del color en telas
Mecanismo de Watt de cuatro barras en la suspensión trasera de un auto figura 2.10
figura 2.10 Mecanismo de Watt
Eslabonamiento de cuatro barras para controlar la oscilación de la pala de una cargadora frontal
32
figura 2.11 Pala mecánica
2.3.1 2.3. 1 ANA LISIS DE MOVIMIENTO
figura 2.12 Diagrama de cuerpo libre para mecanismo de 4 barras
ESQUEMA CINEMATICO DEL MECANISMO DE CUATRO BARRAS La ecuación del cierre del circuito de un mecanismo de cuatro barras es:
r1 r4 r3 r2 Transformando a la forma compleja:
r1 ei0
r4 ei r3 ei r2 ei 4
3
2
Utilizando la equivalencia de Euler obtenemos:
r1 cos (0) r4 cos ( 4 ) r3 cos (3 ) r2 cos( 2 ) r1 sin(0) r4 sin ( 4 ) r3 sin(3 ) r2 sin( 2 )
33
En este caso tenemos una ecuación no lineal donde las variables dependientes o incógnitas son: 3 y 4 , la variable independiente es 2 y las constantes son: r 1 , r 2, r 3, y r 4 .
r3 cos ( 3 ) r1 r4 cos(4 ) r2 cos ( 2 ) r3 sin(3 ) r4 sin( 4 ) r2 sin( 2 ) Si elevamos al cuadrado y sumamos obtenemos:
r3
2
r12 r2 2 r4 2 2 r1 r2 cos(2 ) 2 r1 r4 cos(4 ) 2 r2 r4 (cos(4 ) cos(2 ) sin(2 ) sin(4 )) 2
cos( 4 2 )
2
2
2
r1 r2 r4 r3 2 r2 r4
r1
r4
cos(2 )
r 1 r2
cos(4 )
Utilizando las nuevas constantes:
k 3
k 2 k 1
r1
2
2
2
2
r2 r4 r3 2 r2 r 4
r 1 r 4 r 1 r 2
Obtenemos la ecuación de Freudenstein que se utilizara en síntesis de mecanismos:
cos ( 4 2 )
k3 k2 cos(2 ) k1 cos(4 ) ó
cos( 4 ) cos(2 ) sen(2 ) sen(4 ) k3 k2 cos(2 ) k1 cos(4 ) Para resolver está ecuación utilizamos las siguientes equivalencias conocidas:
4 2 sen( 4 ) 2 4 1 tan 2 2 tan
34
2 4 1 tan 2 cos 4 2 4 1 tan 2 tan
4 2 x
Para simplificar el desarrollo usamos:
sen 4 cos 4
2 x 1 x
2
1 x
2
1 x
2
Reemplazando se obtiene una ecuación de segundo grado.
cos( 2 ) 1
x 2 sen( 2 ) 2 x (k3 k2 cos ( 2 )) 1 x 2 k1 1 x 2
A x 2 B x C 0 Donde: A 2 cos 2
k1 k2cos 2 k
B 2 2 sin2
C 2 k1 (k2 1) cos 2
k
La solución para x o tan (4 / 2) es:
4 2 2 atan
B 2
B 2
2
4 A 2 C 2 2 A 2
Donde el signo – del radical se utiliza para la configuración abierta y el signo + para la configuración cruzada.
35
Procediendo de igual manera pero eliminando
3 2 2 atan
4 obtenemos
E 2
E 2
la ecuación para
3
2
4 D 2 F 2 2 D 2
Donde: D 2 cos 2
k1 k4cos 2 k
E 2 2 sin 2
F 2 k1 (k4 1) cos 2
k 5
r 4
2
r 1
2
r 2
2
r 3
k
2
2. r 2. r 3
k4 = r 1/r 3 Donde el signo – del radical se utiliza para la configuración abierta y el signo + para la configuración cruzada:
2.3.2 ANA LISIS DE LA TRAYECTORIA DE UN PUNTO DEL ACOPLA DOR La ecuación vectorial del acoplador se puede escribir como:
Rp
r2 ei r5 ei(
3
2
)
Siendo las componentes en x y y Rpx 2 r2 cos 2
r5 cos 3 2 3
180 Rpy 2 r2 sin 2 r5 sin 3 2 3 180
Con dos ejercicios de aplicación vamos a ejemplificar la importancia de la curva de acoplador 1. Ejercicio de Aplicación: Diseñar un mecanismo transportador de viga viajera con las siguientes medidas En primer lugar necesitamos un mecanismo manivela oscilador de Grashof r 1 222
r 2 100
. r 2 + r 1 < r 3 + r 4 ;
k1
r1 r2
k2
r3 20
r 4 233
233+100 < 222+206 ; 333 < 408 r1 r4
2
k3
r1
2
2
2
r2 r4 r3 2 r2 r4
2
k5
r4
2
2
2
r1 r2 r3 2 r2 r3
k4
r1 r3
36
2 0 0.1 2 A 2 cos 2
k1 k2cos 2 k
B 2 2 sin2
C 2 k1 (k2 1) cos 2
4 2 2 atan
B 2
B 2
2
4 A 2 C 2 2 A 2
D 2 cos 2
k
k1 k4cos 2 k
E 2 2 sin 2
F 2 k1 (k4 1) cos 2
3 2 2 atan
E 2
k
E 2
2
4 D 2 F 2 2 D 2
Angulo theta 4 y Angulo theta3 160
140
120 4 a
100 t e h t , 3 a t
80 e h t
60
40
20
0
100
200
300 theta 2
400
500
600
Para trazar la curva de acoplador escogeremos las siguientes medidas del vector r 5 y del ángulo de diseño α
37
3 31
r5 30
Rpx 2 r2 cos 2
r5 cos 3 2 3
180 Rpy 2 r2 sin 2 r5 sin 3 2 3 180 255.16 300 280 260 240 220 200 180 160 Rpy ( 2) 140 120 r 2 s in( 2) 100 80 60 40 20 0 20 40 60 100 80 100
Curva de Acoplador
100 75 5 0 25 0 25 50 75 100 1 25 1 50 1 75 2 00 2 25 250 2 75 3 00 3 25 3 50 3 75 4 00
100
Rpx( 2) r2 cos( 2)
357.74
Es importante orientar el mecanismo en la forma adecuada por lo que debemos determinar el ángulo de la porción recta del acoplador con la horizontal, esto se lo puede hacer tomando datos del gráfico.
atan
160 100
350 225
180
25.641
Este ángulo sirve para orientar adecuadamente el dibujo que se realiza en AutoCAD
38
En base de este diagrama se efectúa la simetría y se rota 25.641o
Necesitamos un movimiento paralelo para mover la viga viajera, lo cual se lo puede hacer de dos formas, duplicando el mecanismo o utilizando mecanismos cognados, la forma más sencilla es duplicando el mecanismo.
39
Suprimiendo las barras no necesarias, y añadimos la viga viajera y un eslabón impulsor, obteniendo el mecanismo resultante que puede ser simulado en Working Model 2D.
Los pasos para exportar del AutoCAD al WM2D son los siguientes: 1.- Los eslabones deben ser polilíneas cerradas 2.- El eslabón de entrada “Circunferencia” debe estar en el cero absoluto 3.- Se graba con la extensión .dxf AutoCADR12 3.- Se cierra el AutoCAD 4. En WM2D se selecciona importar y se busca el archivo Simulación en Working Model 2D con la curva de acoplador superpuesta
figura 2.13 Simulación en Working Model
2. Ejercicio de Aplicación: Analizar un mecanismo de suspensión de Watt Los datos son los siguientes: r 1 400
r 2 200
r3 50
r 4 200
40
3 0
r5 25
Y la curva de acoplador es: Curva de Ac oplador
160.128 200
100
Rpy ( 2) r2 sin( 2)
0
100
160.128 200
200
200
100
0
100
Rpx( 2) r 2 c os( 2)
200
300 207.895
El correspondiente dibujo en AutoCAD y simulación en WM es la siguiente:
figura 2.14 Dibujo en Autocad
41
figura 2.15 Simulación en working model
Claramente apreciamos que el Mecanismo de Watt sujeta mejor la carrocería, por lo que es muy utilizado en competencias.
2.3.3. ANA LISIS DE VELOCIDA D Efectuamos la derivación de la ecuación de cierre del circuito
r2 ei 2 r3 ei 3 r1 r4 e i 4 i 2 r2 e
i 2
i 3 r3 ei i 4 r4 ei 3
4
Igualando la parte real e imaginaria obtenemos:
3 r3
sen(3 ) 4 r4 sen(4 ) 2 r2 sen(2 ) 3 r3 cos(3 ) 4 r4 cos( 4 ) 2 r 2 cos( 2 )
Resolviendo las dos ecuaciones lineales simultáneas obtenemos:
r2 sen 2
4 2 2 3 2 r3 sen 4 2 3 2
4 2
r2 sen 3 2 2 r4 sen 3 2 4 2
2
42
Gráfica de las velocidades angulares del mecanismo propuesto para una velocidad del impulsor de 200 RPM.
99.05
FRECUENCIAS de la barra 3 y 4 100 70 40
0
10
4( 2)
20
3( 2)
50 80 110 140
179.102
170 200
0
45
90
135
180
225
0
2
270
315
360
405
180
450 449.995
2.3.4 VENTAJ A MECANICA La ventaja mecánica es la relación que existe entre la Fuerza de salida y la Fuerza de entrada en un mecanismo y es un índice de mérito del mecanismo. Para obtener la ventaja mecánica se igualan las potencias de entrada y salida y puesto que los sistemas de eslabonamientos pueden ser muy eficientes las pérdidas son a menudo menores que 10% y por lo tanto podemos suponer que las mismas son cero, por lo cual podemos decir que: POTENCIA DE ENTRADA
POTENCIA DE SALIDA
Potencia es igual a Torque x velocidad angular o Fuerza x velocidad lineal
T2 x 2
T4 x 4
La ventaja mecánica se define como:
Ventaja Mecánica V .M .
Fuerza de salida Fuerza de entrada T salida
VentajaMecanica
Fuerza salida Fuerzaentrada
rsalida T entrada r entrada
Tsalida r entrada Tentrada
r salida
43
VM
entrada salida
rentrada rsalida
2 4
rentrada rsalida
r4 sen 3 2 4 2 r entrada r2 sen 3 2 2
r salida
Determinada la VM se puede hallar la Fuerza de entrada si se conoce la Fsalida Como podemos observar la V. M. máxima se obtiene cuando 2 = 3 siendo en este caso igual a , o cuando el impulsor se alinea con el acoplador, esta posición se denomina volquete. En esta posición funcionan todos los mecanismos que multiplican las fuerzas como: Prensas Trituradoras de piedras (figura 2.17) Mecanismos de cierre de moldes en inyectoras Playos de presión (figura 2.16) Mordazas de Jics de soldadura
figura 2.16 Playo de presión
figura 2.17 Triturador de roca
44
figura 2.18 Cortador de varillas
La ventaja mecánica se reduce a cero cuando 4 = 3 o cuando el acoplador y el seguidor están alineados. En este punto el mecanismo simplemente no funciona. El ángulo entre el acoplador y el seguidor se llama ángulo de transmisión y para que un mecanismo tenga buenas características de funcionamiento este ángulo no debe ser menor a 300, ni mayor a 1500 Esto significa que el ángulo máximo de oscilación del seguidor es de 120o La ventaja mecánica puede ser obtenida en forma gráfica o analítica : A partir de las expresiones analí ticas analizadas anteriormente se puede buscar relaciones geométricas para determinar gráficamente la ventaja mecánica
figura 2.19 Determinación gráfica de la ventaja mecánica
Entonces la ω2 / ω4 estaría dada por la relación entre los segmentos perpendiculares, trazados desde los polos fijos hasta la barra 3 o estableciendo triángulos semejantes por la relación O4I / O2I
figura 2.20
Y la ventaja mecánica en un eslabonamiento de cuatro barras puede hallarse entonces a partir de la siguiente expresión:
45
VM
O4 I r entrada O2 I
r salida
3. Ejercicio de Aplicación: La figura 2.21 muestra una mordaza de cuatro barras utilizada para sostener una pieza de trabajo en su lugar, sujetándola en D. O2A = 70, O2C = 138, AB = 35, O4B = 34, O4D = 82, O2O4 = 48 mm. El eslabón 2 se encuentra a 104 0 en la posición indicada. El eslabonamiento se agarrotara cuando el eslabón 2 alcance 900. a. Calcule su ventaja mecánica en la posición mostrada b. Calcule y grafique su ventaja mecánica como una función del ángulo del eslabón AB a medida que el eslabón 2 gira de 120 a 90 0 Debemos dibujar el mecanismo en AutoCAD para tomar las medidas correspondientes:
figura 2.21 Mordaza de cuatro barras
Aplicando la formula anterior tenem os:
VM
r O4I entrada
71.71 138
O2I r
23.71 81.05
salida
5.1
Se puede posteriormente variar las medidas para tener una mejor V.M. Para efectuar determinar la V.M. por el método analítico orientamos el mecanismo en la forma convencional que como vemos corresponde a la configuración cruzada.
46
figura 2.22 Diagrama de cuerpo libre
r1 4 k1
r2 7
r1
k2
r2
2 36
r3 35 2
r1
k3
r4
r4 3
r1
2
2
E 2
4 2 2 atan
E 2
2
r2 r4 r3 2 r2 r4
36.01 180 180 4
3 2 2 atan
2
rentrada 13 k5
B 2
r4
2
rsalida 81.0 2
2
r1 r2 r3 2 r2 r3
B 2
k4
2
4 A 2 C 2 2 A 2
2
4 D 2 F 2 2 D 2
Se usa el signo + VM 2
r4 sin 3 2 4 2 rentrada r2
sin 3 2
50
2
rsalida VM analítica
50 45 40 35
VM( 2)
30 25 20 15 5.15
10 4.978
5 0
0 36 36
37.4
38.8
40.2
41.6
43
2
180
44.4
45.8
47.2
48.6
50 50
r1 r3
