Capítulo 01 Matrizes: 1.0 Introdução

Elementos para Álgebra Linear

Capítulo 01 Matrizes 1.0 Introdução A teoria das matrizes é muito presente em aplicações da Economia, Engenharia, Matemática, Física, Tecnologia etc. Os chineses apresentam como um dos mais antigos povos a mencionar a teoria das matrizes. Eles gostavam de diagramas conhecidos como quadrados mágicos, como o exemplo a seguir. 4 3 8

9 5 1

2 7 6

1.1 Matriz Podemos definir matrizes com sendo uma tabela de números dispostos em linhas e colunas, colocados entre parênteses ou colchetes:

 −2 1 

3 4  2 x 2

0  4    − 2 π   1 1   3 x 2

Tabelas com m linhas e n colunas são denominadas matrizes m x n sendo m e n ∈ »*

1 2º Ano Licenciatura em Matemática

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1.2 Notação e Formação de uma Matriz As matrizes costumam ser representadas por letras maiúsculas e seus elementos por letras minúsculas, acompanhadas de dois índices que indicam a linhas e a coluna, respectivamente, de cada elemento. Um formato geral para matiz m x n é: Abreviando a matriz A teríamos:

 a11 … a1n  A =      a   m1  amn 

A = [ aij ]m x n

Onde i e j representam,

respectivamente, a linha e a coluna que o elemento ocupa. Vejamos um exemplo de uma matriz 2 x 3. isso indica que a matriz possui duas linhas e três colunas. Onde:  2 −3 4    1 0 5  2 x 3

A=

a11 = 2

a12 = −3 a13 = 4

a21 = 1

a22 = 0

a23 = 5

As matrizes podem obedecer a uma lei de formação. Veja os exemplos a seguir.

Exemplo E 01) Determinar a matriz

A = [ aij ]2 x 3 = 2i + j.

Solução:  a11

A=

a12

 a21 a22

 a11 = 2.1 + 1 = 3 a12 =   a23  2 x 3  a21 = 2.2 + 1 = 5 a22 a13 

= 2.1 + 2 = 4

a13 = 2.1 + 3 = 5 

= 2.2 + 2 = 6

a23 = 2.2 + 3 = 7  2 x3

3 4 5  A=  5 6 7  2 x 3


















1.3 Matrizes Especiais 1.3.1 Matriz Linha É toda matriz do tipo 1 x n , ou seja, uma única linha. Exemplo. A = [4 5

−1]1 x 4

1.3.2 Matriz Coluna É toda matriz do tipo m x 1, ou seja, com uma única coluna. Exemplo. 3 0 B =   1    −2  4 x1

1.3.3 Matriz Quadrada É toda matriz do tipo m x m, ou seja, o mesmo número de linhas e colunas. Com isso dizemos que a matriz possui ordem n onde n é seu número de linhas e colunas.

Exemplo:

 1 −2  C =   ordem 2  4 1 2 x 2

 4 0 −1   ordem 3 D = 0 0 4    1 2 4  3 x 3

1.3.3.1 Diagonais de uma Matriz Quadrada o

o

Diagonal principal: é o conjunto de elementos, tal que i = j. Diagonal Secundária: é o conjunto de elementos, tal que i + j = n + 1 .

 a11 a12 A =  a21 a22  

a13 

Diagonal principal

a23 

Elementos a11 , a22 e a33 .

  

Diagonal Secundária Elementos a31 , a22 e
















1.3.4 Matriz Nula É toda matriz em que seus elementos são nulos. A = [ aij ] mxn = aij = 0 .

Exemplo: 0 0 0 A =  0 0 0  0 0 0  3 x 3

1.3.5 Matriz Diagonal É toda matriz quadrada onde todos os elementos que não estão na diagonal principal são nulos.

Exemplos:

1 0 A =    0 1 2 x 2

 4 0 0   B = 0 −1 0    0 0 3 3 x3

1.3.6 Matriz Identidade É toda matriz quadrada onde os elementos da diagonal principal são iguais a 1 e os demais iguais a 0.

1, se i = j I n = [aij ], aij =  0, se i ≠ j Exemplos:

1 0 I 2 =   0 1

 1 0 0   I 3 =  0 1 0  0 0 1  
















1.3.7 Matriz Transposta Chamamos de matriz transposta a matriz obtida a partir de uma matriz A, trocando-se ordenadamente suas linhas por colunas ou colunas por linhas. Notação A T .

Exemplo:  1 4 1 2 −3 Se A =  então A T =  2 5   4 5 6   −3 6 

1.3.8 Matriz Simétrica e Anti-Simétrica •

Uma matriz quadrada é simétrica quando tem-se A = A T .

•

Uma matriz quadrada é anti-simétrica quanto tem-se A = −AT .

1.3.9 Matriz Oposta Chamamos de matriz oposta de A, a matriz obtida a partir de A, trocando-se o sinal de todos os seus elementos. Notação: – A.

Exemplo:  3 −1  −3 1  T então A =   −2 2   2 −2   

A=

Exercícios 01.) Determinar a matriz B = [bij ]3x 3 , tal que 02.) Determine as seguintes matrizes: a. A = (aij ) 2 x 2 = (i + j )2 b. B = (bij )3 3 = (i − j )3

 1, se i = j

bij =  2 2 i − j ,

se i ≠ j
















Respostas 1 −3 −8 01.) B = 3 1 −5 8 5 1 

4 9  02.) a. A =   9 16 

0 −1 −8 b. B = 1 0 −1 8 1 0 

c.

2 3 4  3 2 5

C = 

03.) 6

1.4 Operações com Matrizes 1.4.1 Igualdade de Matrizes Duas matrizes A e B do mesmo tipo m x n, são iguais, se, e somente se, todos os elementos que ocupam a mesma posição são idênticos. Notação A = B.

Exemplos 1 2  x 3 B e , determinar a, b e x para que A = BT . =    a 3  b 3

E 02) Dadas as matrizes A =  Solução:

 1 2   x b  =  Então x = 1, b = 2 e a = 3 .  a 3   3 3

A = BT ⇒ 

1 − m 2 1   0 1 E 03) Para que ocorra a igualdade das matrizes  =  qual deve ser o valor de 2 0 − m 2 1 − −     m?

Solução: 1 − m 2 = 0 ⇒ m = −1 ou m = 1 Como devem ser satisfeitas simultaneamente então m = 1.  m m ⇒ 1 0 1 − = = 


















1.4.2 Adição e Subtração Dad Dada dua duas matr matriz izees A = ( aij ) mxn e B = (bij )mxn , a matriz soma A + B é a matriz C = (cij ) mxn , tal que cij

= aij + bij .

Exemplo: 2+3   1 5   1 2  0 3   1+ 0  + = =  3 4 1 5 3 1 4 ( 5 ) − − − + + −        −2 −1 Dad Dada duas uas matri atrize zess A = ( aij ) mxn e B = (bij )mxn , definimos a diferença A − B como a soma de A com com a opos oposta ta de B, ou seja seja,, A − B = A + ( − B) .

Exemplos E 04) Determine a matriz X na equação matricial

2

X − 

 −3

−1

3/ 2  1 1 / 2   −2 3/ + . 4   3 −5   −4 3  =

Solução: a b  temos que c d  

Fazendo X = 

3/ 2  a b   2 −1  1 1 / 2   −2 3/ − = +  c d   −         3 4   3 −5   −4 3 

 a − 2 b + 1   −1 2   a − 2 = −1 b + 1 = 2   a = 1 b = 1   1 1  c + 3 d − 4  =  −1 −2  ⇒  c + 3 = −1 d − 4 = −2  =  c = −4 d = 2  ∴ X =  −4 2           

2 3  5 −1  E 05) Determine a matriz X na equação matricial  −1 1  + X =  4 −3  .  4 −2  3 2     

Solução:


















1.4.3 Produto de uma Matriz por um Escalar Seja a matriz A = ( aij ) mxn e um número real k com k ≠ 0 . O produto de k pela matriz A é dado por uma matriz B, tal que, B = k.A onde bij

= k .aij .

Exemplo: 3.1   0 6 3   0 2 1   3.0 3.2 3.  −2 3 −5 = 3.( −2) 2) 3.3 3.( −5)  =  −6 9 −15  0 1 4   3.0 3.1 3.4   0 3 12 

Exercícios 5   a 5b   1 − =c . 01.) Determine a, b, c e d para que se tenha  6    − d   2 10   3  3   1 −2 x   1 −2 . 02.) Determine x, y e z que satisfaçam  = 4   3 y 5 z − 1  −6 5 0     p + q

03.) Determine p e q, tais que   0

−2 

 6 −2  . 2 p − q   0 3  =

 2 m2 − 9   2 0  04.) Verifique se existe m, m ∈  , para que se tenha  = . 0 0 m m − + 3 3      4 − m2 1   0 1  05.) Determine m, m ∈  , se existir, tal que  = . m 3 − 2 3    

06.) Seja A = (aij )2 x 3 , em que

aij = i + j .

3 4  tal 1 2 5 n m p − −   m+n

Determine m, n e p em B = 


















08.) Sejam as matrizes A = (aij )3x 2 , em que

ai j = i + 2 j , e B = (bij )3 x 2 , em que bij = 1 + i + j.

a. Determine A + B. b. Determine D = A – B.  2 −1   3 −1  1 −3  = = B C , e      . Determine A + B + C. 4 3   −2 2   −1 0 

09.) Sejam A = 

10.) Resolva as seguintes equações matriciais:  3   11  a. X +  −1 =  3   5   −2     

 2 3  4 b. X −   = 0 4 1   

 2 4   −1 3  1 11.) Determine a matriz X em  + = X −     −3 5   5 0  3

12.) Sejam as matrizes

A = (aij )7 x 9 ,

em que aij

= 2i − j ,

−1 

3 

−2 

. 4 

e B = (bij )7 x 9 , em que bij = i + j . Seja

C = A + B , em que cij = aij + bij . Determine os elementos:

a. c21

b. c63  1 −11

13.) Dada a matriz A = 

8

a. 3.A

5

3  , obtenha as matrizes: −2  b.

1 A 2

 3 −2   0 1 14.) Sejam as matrizes A =  1 −5  e B =  −3 2  . Determine as seguintes matrizes:  4 −3   1 5    

a. 2 A + B

b. A − 2 B


















2

0 3 , B =  0  1 −1  

17.) Dadas as matrizes

A=

−1 

0

2  , determine a matriz X, tal 1 0 −  

 e C =

1

que 2 A + B = X + 2C .  0 1  1 2 e B =  4 3  , determine: 18.) Sendo A =    −3 4   −2 5   

a. 2 A + AT

b. BT

Respostas 01.) 02.)

a = −1, b = x=

1 , c = 6, d 6

= −10

3 , y = −2, z = 1 4

03.) p = 3, q = 3 04.) não existe m real que satisfaça. 05.)

m = −2

06.)

m = −2, n = 4, p = −3

5  5 2 − − 07.) a.  2    3 −4 − 1   2 −7  c.  5 2   5 −1    6 

9 

 7 −7  b.   3 1 −  

1 d.  5   −9     0 1  

12.) a.

c21 = 6

b.

c63 = 18

11 3  1 − 2   3 − 33 9  2 2 13.) a.    b.  5  2 4 15 − 6  4 −1    2  6 −3  14.) a.  −1 −8   9 −1   

 3 −4  b.  7 −9   2 −13   

7   − − 1 8   2   7 15.)  1 −3  2   13  8 −2  2   3 3  0 − −  2 2  16.) X = 


















1.5 Multiplicação de Matrizes Dadas duas matrizes A = ( aij ) m x n e B = (bij ) n x p , chama – se o produto AB a matriz C = (cik ) m x p tal que: n

cij =

∑1 a

ij

⋅ bi j = ai1 ⋅ b1k + ai 2 ⋅ b2 k + ... + ain ⋅ bnk para todo i ∈ {1,2,..., m} e todo

j =

k ∈ {1,2,..., p} .

A definição garante a existência do produto AB se, e somente se, o número de colunas de A for igual ao número de linhas de B.

A

⋅Bm x p = C n x p  n xm

Colunas = Linhas

Vejamos um exemplo prático: 1 2 3  2 −1 Sejam as matrizes A =  5 −1 2  e B =  4 0  façamos o produto AB conforme o 3 2 1 2 3     

esquema abaixo. 2 4  2   1 2 3    5 −1 2       3 2 1     

−1

0 3

   

1* 2 + 2 * 4 + 3 * 2 1* ( −1) + 2 * 0 + 3 * 3  16 8  5 * 2 + ( −1) 1) * 4 + 2 * 2 5 * ( −1) 1) + ( −1) 1) * 0 + 2 * 3  = 10 1  3 * 2 + 2 * 4 + 1* 2 3 * ( −1) + 2 * 0 + 1* 3  16 0 




















Exemplos  2 −4  5 B e =   −3  . 3 1   

E 06) Encontre a matriz X em AX = B, sendo A =  Solução: 2 Temos que  3

−4 

1 2 x 2

5 a X vemos que a Matriz X é do tipo =   b  , daí  −3  2 x1  

. X = 

 2 −4   a   5   2a − 4b   5  2a − 4b = 5 ⇒ . , donde resulta o sistema cuja a = =   3 1   b   −3   3a + b   −3   2 x 2     2 x1     3a + b = −3  1 − 2    1 3 solução é a = − e b = − . Logo X =   2 2  3 −   2

E 07) Sejam as matrizes c35 , sendo que C = A ⋅ B .

Solução:

A = (aij )6 x 3 = i + j ,

e B = (bik )3 x8 = 2 j − k . Determine o elemento




















1.6 Matriz Inversa (parte I) Seja A uma matriz quadrada de ordem n. A é dita inversível se existir uma matriz B tal que:

A ⋅ B = B ⋅ A = In E neste caso B é dita a inversa de A e denota-se por A−1 . A Matriz inversa de A só irá existir se, e somente se, de det( A) ≠ 0. (Determinante será estudado no próximo capitulo).

Exemplos  4 −5  . 3 1  

E 08) Encontre a inversa da matriz A =  Solução: 4 Devemos ter  3 4a − 5c = 1   3a + c = 0

−5   a ⋅ 1   c

⇒a=

 1 0  4a − 5c 4b − 5d   1 0  = ⇒     =   donde o sistema + + d   0 1  a c b d 3 3 0 1     b

4b − 5d = 0 1 −3 e c= e também  19 19  3b + d = 1

⇒b=

5 4 e d = 19 19




















Exercícios 01.) Determine os produtos. 2 a.  4

−1  −1 ⋅

3 0

4 3 1 1

−2 

4 b.  2



−3

−3   1 ⋅

5  0

−1 

2 

 3 −1 0 1  4 02.) Sejam as matrizes A =  0 2  , B =  e C =   . Determine, caso existir:   1 −3   −1 1 4   

a. A.B

d. BT.C

b. B.A

e. B.AT

c. A.C  4 −1  0 −2 03.) Sejam as matrizes A =  4 3   1 −3

5 0 2 0

3  10 5 1  e B =   −2 5   8 1

os elementos C 12 e C 41 .  2 x   4   1 

−6 

  . Se A ⋅ B = C = (c ) , determine ij 4 x 2 4  8

−3




















Durante um almoço foram vendidos 6 sanduíches do tipo A e 10 do tipo B. Qual foi a quantidade necessária de cada ingrediente para a preparação desses 16 sanduíches?  0 1  1 2 09.) Sendo A =  e B =  4 3  , resolva a equação AT ⋅ X = BT .   −3 4   −2 5   

10.) Resolva a equação

 −1 0  1 0 , B =   e C =   .   1 3 5  −3

A ⋅ X + B = C , na qual A = 

1 0 11.) Resolva a equação A ⋅ B = X ⋅C , se A =  2 1

 1 0 −  C  2 −1 = B , 4 1   e = 3 4  . 4     0 2  

−3 

 −2 x   1 −1 B e =   0 1  é uma matriz simétrica. Qual é o 3 1    

12.) O produto das matrizes A =  valor de x?

13.) (Vunesp – Adaptado) Considere as matrizes reais 2 x 2 do tipo calcule A(x).A(x). 3/ 5 14.) Verifique se   1/ 5

−2 / 5 

 1 2 é a inversa de  −1 3  . 1 / 5   

 cos( x ) sen( x ) , s e n x x ( ) c o s ( )  

A( x ) = 




















Respostas  −2 7 5 01.) a.   −4 19 15 4 b.  2

−10 

8 

 −1 6  02.) a.  2 −6   4 −11  

b.

∃

 13  c.  −2  0  

−1 



−17 

08.) 208 g de queijo, 486 g de salada, 258 g de rosbife e 160 g de atum. 3 10 09.) X =  1 10

5 7 2 10   −1 9  2 10 

1 10.) X =    −3 −1   2  11.) X = −35 16     11 11 

12.) x = 1

 −1 d.   7

 1 13.)  sen(2 x )

4   −1 2 e.    6 −6 −11

14.) sim é inversa

03.) a.

C 12 = 23

sen( 2 x ) 



 1 − 4 15.)   1 

1 8  1 

1

 






















Capítulo 02 Determinantes 2.0 Introdução Definição: Determinante é um número real associado a uma matriz quadrada. As aplicações dos determinantes em matemática estão associadas a: - Cálculo da matriz inversa;






















Exemplos E 10) Calcular o valor dos determinantes: a. A =

b. B =

1 1 2 3 3 8



sen( x )

1 1 ⋅ 8 − 3 ⋅ = 4 − 1 = 3 ∴ det( A) = 3 2 3

cos( x ) − cos( x ) sen ( x )



sen( x) ⋅ sen ( x ) − (− cos( x ) ⋅ co cos(x )) )) = sen 2 (x ) + cos2 (x ) = 1

∴ det( B ) = 1 E 11) Calcular o valor de x, x ∈  , na igualdade: a.

3 x 3 =0 4 x + 3



 x = −4

3x ⋅ ( x + 3) − 4 ⋅ 3 = 3x 2 + 3x − 12 = 0 donde tiramos que 

 x = 1






















Exemplo 2 3 5 E 12) Calcular o determinante da matriz  1 −1 2  .  3 4 3  

Solução: +15 −16 −9 = −10

2 1 3

3 5 2 −1 2 1 4 3 3

3 −1 4

6 +18 +20

∴ det( A) = 32 − 10 = 22 = 32






















07.) Qual o valor de cada um dos seguintes determinantes: 0 1 a. −4 2 −3 0

3 5 −1

b.

−1, se i ≥ j  1, se i < j

a a2

08.) Sejam as matrizes bi j = 

1 −1 1

a

A = (aij )3 x 3 ,

em que aij

1, se i ≥ j

=

2, se i < j

1 09.) Resolva, em  , a desigualdade x 0 1 −3

−5

1 2

>

1 2 0 x 0 0

1 2  1 B    e C ( 5

10.) Sejam as matrizes A 

−a

a

, e B = (bij )3 x3 , em que

. Qual o valor de det (A) + det (B)? ( B)? 6

1

−1

4 . −6 1) Pede-se:






















1  1 2 16.) Calcule o valor de x para que o determinante da matriz A seja nulo. A =  4 9 4  .  6 x x − 7   

Respostas

01.) a. 1 b. -7 c. – 10 02.) – 1 03.) S = { −4 }

 7 3 10.) a.   e(7) 8 2 −  

b. −1 ou 2
























2.4 Menor Complementar Chamamos de menor complementar relativo ao elemento aij de uma matriz M quadrada e de ordem n > 1, o determinante de ordem n – 1, associado à matriz obtida de M quando suprimimos a linha e a coluna que passam por aij .

Exemplos
























2.5 Cofator Chamamos de cofator relativo ao elemento aij de uma matriz quadrada de ordem n o número Aij , tal que:

Aij = (−1)i + j ⋅ MCij
























Exemplos  3 1 −2 5 2 2 E 18) Calcule o determinante da matriz D =   7 4 −5  11  1 −1 11

1 3  . 0  2
























Exercícios 01.) Calcule os seguintes determinantes: 3 5 a. 0

4 0 0

2 1 −1 −2 4 0

−2

b.

0 3

3 −1 −4

1 2 5

7 0 1

1 0 c. 0

−1

3 0

5 2 7

1 1 −1
























Respostas 01.) a. – 208 b. – 3 c. 84 b. a 2 + b 2

02.) a. 0

 1  2

03.)

S = 0, 

04.)

S = {5}

c. −2 x(1 + y 2 )


























2.7.3 Filas Paralelas Proporcionais


























2.7.7 Produto de uma fila por um escalar


























2.8.2 Produto de um escalar por toda a matriz


























2.9 Regra de Chió





























































































































































































































































































































































































































4.13 Vetores Unitários Canônicos Considere os vetores i = (1,0,0), j = (0,1,0) e k = (0,0,1) estes vetores têm, cada um, comprimento 1 e estão sobre os eixos coordenados. Eles são chamados vetores unitários canônicos do espaço tridimensional. Cada vetor u = (u1 ,u2 , u3 ) pode ser expressos em termos de i, j e k. u = (u1 , u2 , u3 ) = u1 (1, 0, 0) + u2 (0,1, 0) + u3 (0, 0,1) = u1i + u2 j + u3 k

Por exemplo, o vetor v = (3,−2,4) pode ser escrito como 3i – 2j + 4k.

4.14 Produto Vetorial em Formato de Determinante O produto vetorial será representado simbolicamente por um determinante 3x3 na forma: i

j

k

u × v = u1

u2

u3

v1

v2

v3

Exemplo E 51) Se u = (1,2,-2) e v = (3,0,1), Calcule

u×v .
















4.15 Área de um Paralelogramo Se u e v são vetores em

R

3

, então || u × v || é igual a área do paralelogramo

determinado por u e v.

Exemplo (1,2, − 2) 2) e v = (3,0,1). E 52) Calcule a área do paralelogramo formado pelos vetores u = (1,2,−

Resolução: i u×v =

j

1 2 3 0

k −2 = 2i − 7 j − 6k ∴ || u × v || =

22 + (−7)2 + (−6)2

=

4 + 49 + 36 = 8 9

1

4.16 Área de um Triângulo Considere

três

pontos

no

plano

), P2 = ( x2 , y2 , z2 ) e P3 = ( x3 , y3 , z3 ) P1 = ( x1 , y1 , z1 ),

tridimensional

P1 , P2 e P3



como sendo



e tomando P1 P2 e P1 P3 a área do triângulo

formada por esses vetores será dada por:    1  A = P1 P2 × P1 P3 2

Exemplo E 53) Encontre a área do triângulo determinado pelos pontos

0, 2) 2) P1 = (2,2,0) , P2 = (−1, 0,

e

P3 = (0,4,3) .

Resolução: 

P1 P2 = ( −3, −2, 2) 









e P1 P3 = (−2, 2, 2, 3) 3) . Segue que P1 P2 x P1 P3 = ( -10, 5, -10) e 1
















4.17 Produto Misto DEFINIÇÃO: Se u, v e w são são veto vetore ress no espa espaço ço trid tridim imen ensi sion onal al entã entãoo u ⋅ (v × w ) é chamado produto misto de u, v e w. O produto misto de u = (u1 ,u2 , u3 ) , v = (v1 ,v2 , v3 ) e w = ( w1 ,w2 , w3 ) pode ser calculado através do determinante: u1

u2

u3

u ⋅ (v × w) = v1

v2

v3

w1

w2

w3

Exemplo E 54) Calcule o produto misto

u ⋅ (v × w ) dos

vetores u = 3i – 2j – 5k , v = i + 4j – 4k e w = 3j

+ 2k .

Resolução: u ⋅ ( v × w) =

TEOREMA: Se os três vetores

3 1 0

−2

4 3

−5 −4 =

49 49

2

u = (u1 ,u2 , u3 ) , v = (v1 ,v2 , v3 )

e w = ( w1 ,w2 , w3 ) têm o mesmo

ponto inicial, então eles ficam em um mesmo plano se, e somente se,

u1

u2

u3

u ⋅ (v × w) = v1

v2

v3 = 0

w1

w2

w3
















Exercícios 01.) Sejam u = (3,2,−1), v = (0,2,− (0,2,− 3) 3) e w = (2,6,7). Calcule: a. v × w b. u × (v × w) c. (u × v) × w

d. (u × v) × (v × w) e. u × (v − 2w) f. (u × v) − 2w

02.) Encontre um vetor que é ortogonal a ambos u e v. a.

u = (−6, 4, 2), v = (3, 1, 5)

b.

u = (-2, 1, 5), v = (3, 0, -3)

03.) Encontre a área do paralelogramo determinado por u e v. a.

u = (1, − 1, 1, 2), v = (0,3,1)

b.

u = (2,3,0), v = (− ( − 1,2,− 1,2,− 2) 2)

c.

u = (3,-1,4), v = (6,− (6,− 2,8) 2,8)

04.) Encontre a área do triângulo de vértices P, Q e R. a.

(2, 6, −1), Q(1,1,1 ,1,1), ), R(4,6,2) P(2,

b.

2), Q(0,3,4), (0,3,4), R (6,1 (6,1,8) ,8) P(1, −1, 2),

05.) Encontre o produto misto u ⋅ (v × w ) a.

u = (−1, 2, 4), v = (3, 4, −2), w = (−1, 2, 5)

b.

u = (3, −1, 6), v = ( 2, 4, 3), w = (5, −1, 2)

06.) Obtenha o volume do paralelepípedo de lados u, v e w. a.

u = (2, −6, 2), v = (0, 4, −2), w = (2, 2, −4)

b.

2), v = ( 4, 5,1), w = (1, 2, 2, 4) 4) u = (3,1, 2)

Respostas 1. a. (32,-6,-4) b. (-14,-20,-82) c. (27,40,-42) d. (0, 176,-264) e. (-44,55,-22) f. (-8,-3,-8) 2. a. (18,36,-18) b. (-3,9,-3) 3. a. 59 b. 101 c.0 4. a.

374

b. 285

Capítulo 01 Matrizes: 1.0 Introdução

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