UNIVERSIDAD TECNOLOGICA DE PEREIRA
PROGRAMA DE TECNOLOGIA ELECTRICA
Curso B´asico de An´alisis de Sistemas El´ectricos de Potencia
Antonio Escobar Zuluaga
Pereira - Risaralda - Colombia 2011
1
Matriz admitancia YBU S
Los componentes de un sistema de potencia se encuentran interconectados el´ectricamente lo que hace que un cambio de un par´ametro de un elemento o de la potencia generada o demandada en un nodo, produzca una variaci´on de las corrientes, potencias o tensiones existentes en otras partes del sistema. Un efecto que inicialmente es localizado puede generar efectos globales, y su intensidad depende, entre otras cosas, de la distancia el´ectrica existente entre los elementos. La relaci´on de interdependencia entre los diferentes elementos del sistema de potencia puede ser adecuadamente caracterizada por la matriz admitancia: YBU S o la matriz impedancia ZBU S . A continuaci´on se presenta la forma de obtener la matriz YBU S a partir de las relaciones circuitales que se pueden plantear en el sistema de potencia.
1.1. Determinaci´on de las relaciones entre corrientes y tensiones nodales en un sistema interconectado Todas las tensiones nodales del sistema pueden ser agrupadas en un vector siguiendo la enumeraci´on arbitraria que el analista haya hecho de los nodos. Las corrientes se dividen en dos grandes grupos. El primer grupo lo conforman las corrientes asociadas a los generadores y a las cargas del sistema. Estas corrientes se denominan corrientes inyectadas y, por convenci´on, siempre se toman entrando al nodo donde se encuentra conectado el generador o la carga. Estas corrientes presentan una particularidad: provienen de la parte externa del sistema que representa la parte no est´atica o variable. El segundo grupo de corrientes lo conforman las corrientes que fluyen por el interior del sistema de potencia, es decir, a trav´es de las l´ıneas, de los transformadores, y de los elementos pasivos. Estas corrientes fluyen por la denominada parte interna del sistema o simplemente por el sistema interno. La figura 1 muestra un sistema de potencia con 4 nodos, 3 cargas y dos generadores, en donde el sistema se ha separado en la parte interna y la parte externa. En resumen, el sistema de potencia se divide en dos sistemas: el sistema externo y el sistema
interno. Al primer grupo pertencen los generadores y las cargas del sistema. El sistema interno lo conforman las l´ıneas, transformadores y dem´as elementos pasivos que permanecen inalterados durante la operaci´on del sistema. Los nodos permiten la interconexi´on entre el sistema interno y el sistema externo.
sistema externo
sistema interno
Figura 1: Representaci´on de un sistema de potencia a trav´es del sistema interno y externo. Cuando se formula matem´aticamente el sistema solo se escriben las ecuaciones que relacionan las corrientes inyectadas del sistema, las tensiones nodales y los par´ametros de los elementos del sistema interno escritos en forma de admitancias. Las corrientes que fluyen por el interior del sistema no se plantean expl´ıcitamente. Las relaciones existentes entre las tensiones nodales, las corrientes netas inyectadas en cada nodo y las admitancias de los elementos del sistema, se determinan aplicando a la red la primera y la segunda ley de Kirchhoff. La figura 2 muestra el sistema de potencia de 4 nodos de la figura 1 modificado. En la nueva representaci´on, los generadores y las cargas, que conforman el sistema externo, se han reemplazado por las corrientes inyectadas I1 , I2 , I3 e I4 . Como se puede observar, la corriente I1 representa el efecto neto del generador conectado al nodo 1 y la carga conectada al mismo nodo. En el nodo 2, I2 es la corriente inyectada por el generador conectado al nodo 2. En los nodos 3 y 4, las corrientes inyectadas I3 e I4 representan corrientes de las cargas conectadas a dichos nodos. La figura 2 tambi´en presenta la estructura que asumir´a el sistema de potencia cuando se repre-
sente matem´aticamente. Las corrientes inyectadas representan el sistema externo, la matriz YBU S representa al sistema interno y las tensiones nodales V1 , V2 , V3 y V4 , asociadas a los nodos, permiten unir estos dos sistemas.
V1
I1
V2
sistema interno: [Y]BUS
I2
I3 V3
I4
V4
Figura 2: Representaci´on de un sistema de potencia por corrientes inyectadas, tensiones nodales y [Y ]bus . Para llevar el sistema de potencia a una representaci´on matem´atica, se plantea inicialmente la ley de Kirchhoff de corrientes a todos los nodos del sistema. Para esto es necesario escribir los par´ametros del sistema interno en forma de admitancias. Para un elemento con impedancia zij conectado entre los nodos i y j, la admitancia se calcula como yij = 1/zij . La figura 3 muestra las l´ıneas de transmisi´on del sistema de la figura 1 representadas a trav´es de sus admitancias. A partir de esta representaci´on se pueden plantear las ecuaciones de corriente en los nodos. Suma de corrientes que salen del nodo 1 = suma de corrientes que entran al nodo 1: y12 (V1 − V2 ) + y13 (V1 − V3 ) = I1 (1) Suma de corrientes que salen del nodo 2 = suma de corrientes que entran al nodo 2: y12 (V2 − V1 ) + y24 (V2 − V4 ) = I2 (2) Suma de corrientes que salen del nodo 3 = suma de corrientes que entran al nodo 3: y13 (V3 − V1 ) + y34 (V3 − V4 ) = I3 (3) Suma de corrientes que salen del nodo 4 = suma de corrientes que entran al nodo 4: y34 (V4 − V3 ) + y24 (V4 − V2 ) = I4 (4)
V1
V2 y12
I1
I2
y 13
y 24
y I3
34
V3
I4
V4
Figura 3: Representaci´on de par´ametros de las l´ıneas usando admitancias. En las expresiones anteriores, las corrientes que circulan por el sistema interno han sido expresadas en funci´on de las tensiones nodales y las admitancias de los elementos usando la relaci´on: Corriente en la l´ınea ij: Iij = yij (Vi − Vj ) Esto quiere decir que, para el ejemplo anterior, las corrientes del sistema interno no aparecer´an explicitamente escritas en las ecuaciones y en su lugar aparecen las tensiones nodales y los par´ametros de las l´ıneas. Las expresiones (1), (2), (3) y (4) pueden reescribirse de la siguiente manera: Suma de corrientes que salen del nodo 1 = suma de corrientes que entran al nodo 1: (y12 + y13 )V1 − y12 V2 − y13 V3 = I1 (5) Suma de corrientes que salen del nodo 2 = suma de corrientes que entran al nodo 2: −y12 V1 + (y12 + y24 )V2 − y24 V4 = I2 (6) Suma de corrientes que salen del nodo 3 = suma de corrientes que entran al nodo 3: −y13 V1 + (y13 + y34 )V3 − y34 V4 = I3 (7) Suma de corrientes que salen del nodo 4 = suma de corrientes que entran al nodo 4: −y24 V2 − y34 V3 + (y24 + y34 )V4 = I4 (8)
Reescribiendo las expresiones (5), (6), (7) y (8) en forma de un producto de dos vectores se tiene: I1 =
I2 =
[ (y12 + y13 ) −y12 −y13 0 ]
[ −y12 (y12 + y24 ) 0 y24 ]
V 1 V 2 V3 V4
V1
V 2 V3 V4 I3 =
[ −y13 0 (y13 + y34 ) −y34 ]
V1
V1
V 2 V3 V4 I4 =
[ 0 −y24 −y34 (y24 + y34 ) ]
V 2 V3 V4 Estas ecuaciones pueden reescribirse de manera compacta en forma matricial, de la siguiente forma:
I1
I 2 = I3 I4
(y12 + y13 )
−y12
−y12
(y12 + y24 )
−y13
0
0
−y24
−y13
0
V1
V 2 (9) V3 (y13 + y34 ) −y34 V4 −y34 (y24 + y34 ) 0
y24
En esta representaci´on matricial, el vector de corrientes se denomina vector de corrientes inyectadas, el vector de tensiones se denomina vector de tensiones nodales o variables de estado, y la matriz conformada por las admitancias de las l´ıneas (representadas con letras min´usculas)
se denomina matriz admitancia o YBU S . En forma general, los elementos de la matriz YBU S se denominan con letras may´usculas y cada elemento toma los ´ındices de la fila y la columna a la que pertenecen. En consecuencia, el elemento Yij representa el elemento de la matriz YBU S situado en la fila i y en la columna j. Para el ejemplo anterior se tiene:
I1
Y11 Y12 Y13 Y14
I Y 2 21 Y22 Y23 Y24 = I3 Y31 Y32 Y33 Y34 I4 Y41 Y42 Y43 Y44
V1
V 2 (10) V3 V4
Al comparar las expresiones (9) y (10) se concluye que:
Y 11 Y 21 Y31 Y41
Y12 Y13 Y14 Y22 Y23 Y24 Y32 Y33 Y34 Y42 Y43 Y44
=
(y12 + y13 )
−y12
−y13
0
−y12
(y12 + y24 )
0
y24
−y13
0
(y13 + y34 )
−y34
0
−y24
−y34
(y24 + y34 )
Se puede concluir que: 1) Los elementos de la diagonal de la matriz YBU S son positivos y se obtienen sumando las admitancias de los elementos que llegan a cada nodo; 2) Los elementos por fuera de la diagonal son negativos y corresponden a las admitancias de los elementos que unen los nodos. Si no existe un elemento uniendo dos nodos entonces all´ı hay una impedancia infinita (circuito abierto) o una admitancia cero. Escrito en forma matem´atica se tiene que:
Yii =
n X
yij
j=1
Yij = −yij En general, para un sistema de n nodos se tiene: I1 . . . Ii = . ..
In
Cuya notaci´on es la siguiente:
Y11 ... Y1i ... Y1n .. .. .. .. . . . . Yi1 ... Yii ... Yin .. .. .. .. . . . . Yn1 ... Yni ... Ynn
V1 .. . Vi .. .
Vn
[I] = [YBU S ][V ] En el ejemplo anterior vamos a suponer que los valores de las impedancias de las l´ıneas en p.u. corresponden a los siguientes valores: z12 = (0,12 + j0,41)p.u.; z13 = (0,15 + j0,54)p.u.; z24 = (0,13 + j0,46)p.u. y z34 = (0,11 + j0,39)p.u. El sistema de potencia puede representarse de la forma mostrada en la figura 4.
V1
V2 z 12 = (0.12 + j 0.41) p.u.
I1 z 24 = (0.13 + j 0.46) p.u.
I3 V3
I4
I2
V4
Figura 4: Sistema de potencia en funci´on de impedancias. Al calcular la inversa de las impedancias se obtienen las siguientes admitancias: y12 = y13 = y24 = y34 =
1 z12 1 z13 1 z24 1 z34
= = = =
1 (0,12+j0,41)p.u. 1 (0,15+j0,54)p.u. 1 (0,13+j0,46)p.u. 1 (0,11+j0,39)p.u.
= (0,6575 − j2,2466)p.u. = (0,4776 − j1,7192)p.u. = (0,5689 − j2,0131)p.u. = (0,6699 − j2,3752)p.u.
El sistema en funci´on de admitancias corresponde al de la figura 5. En consecuencia, los elementos de la matriz YBU S son los siguientes: Y11 es la suma de las admitancias que llegan al nodo 1, por lo tanto: Y11 = y12 + y13 = (0,6575 − j2,2466)p.u. + (0,4776 − j1,7192)p.u. Y11 = (1,1351 − j3,9658)p.u.
y 12 = (0.6575 - j 2.2466)p.u.
I1 y 24 = (0.5689 - j 2.0131)p.u.
I3
I2
I4 Figura 5: Sistema de potencia en funci´on de admitancias. Y12 es la admitancia del elemento que une al nodo 1 y el nodo 2, con signo negativo. Y12 = −y12 = −(0,6575 − j2,2466)p.u. = (−0,6575 + j2,2466)p.u. Y13 es la admitancia del elemento que une al nodo 1 y el nodo 3, con signo negativo. Y13 = −y13 = −(0,4776 − j1,7192)p.u. = (−0,4776 + j1,7192)p.u. Y14 es la admitancia del elemento que une al nodo 1 y el nodo 4, con signo negativo. Y14 = −y14 = 0 p.u. ⇒ no existe una l´ınea que una el nodo 1 y el nodo 4. Y21 es la admitancia del elemento que une al nodo 2 y el nodo 1, con signo negativo. Y21 = −y21 = (−0,6575 + j2,2466)p.u. ⇒ y21 es la misma admitancia y12 Y22 es la suma de las admitancias que llegan al nodo 2. Y22 = y12 + y24 = (0,6575 − j2,2466)p.u. + (0,5689 − j2,0131)p.u. Y22 = (1,2264 − 4,2597)p.u. Y23 es la admitancia del elemento que une al nodo 2 y el nodo 3, con signo negativo. Y23 = 0 p.u. ⇒ no existe una l´ınea que una el nodo 2 y el nodo 3. Y24 es la admitancia del elemento que une al nodo 2 y el nodo 4, con signo negativo. Y24 = −y24 = (−0,5689 + j2,0131)p.u.
Y31 es la admitancia del elemento que une al nodo 3 y el nodo 1, con signo negativo. Y31 = −y13 = (−0,4776 + j1,7192)p.u. ⇒ y31 es la misma admitancia y13 Y32 es la admitancia del elemento que une al nodo 3 y el nodo 2, con signo negativo. Y32 = −y32 = 0 p.u. ⇒ no existe una l´ınea que una el nodo 3 y el nodo 2. Y33 es la suma de las admitancias que llegan al nodo 3. Y33 = y13 + y34 = (0,4776 − j1,7192)p.u. + (0,6699 − j2,3752)p.u. Y33 = (1,1475 − j4,0944)p.u. Y34 es la admitancia del elemento que une al nodo 3 y el nodo 4, con signo negativo. Y34 = −y34 = (−0,6699 + j2,3752)p.u. Y41 es la admitancia del elemento que une al nodo 4 y el nodo 1, con signo negativo. Y41 = −y41 = 0 p.u. ⇒ no existe una l´ınea que una el nodo 4 y el nodo 1. Y42 es la admitancia del elemento que une al nodo 4 y el nodo 2, con signo negativo. Y42 = −y42 = (−0,5689 + j2,0131)p.u. Y43 es la admitancia del elemento que une al nodo 4 y el nodo 3, con signo negativo. Y43 = −y43 = (−0,6699 + j2,3752)p.u. Y44 es la suma de las admitancias que llegan al nodo 4. Y44 = y24 + y34 = (0,5689 − j2,0131)p.u. + (0,6699 − j2,3752)p.u. Y44 = (1,2388 − j4,3883)p.u. La matriz YBU S asume entonces la siguiente forma:
(1,1351 − j3,9658)
(−0,6575 + j2,2466) (−0,4776 + j1,7192)
0
(−0,6575 + j2,2466) (1,2264 − 4,2597) 0 (−0,5689 + j2,0131) (−0,4776 + j1,7192) 0 (1,1475 − j4,0944) (−0,6699 + j2,3752) 0 (−0,5689 + j2,0131) (−0,6699 + j2,3752) (1,2388 − j4,3883) La matriz YBU S en formato de magnitud y a´ ngulo asume la siguiente forma (todos los valores se encuentran en p.u.):
4,1250∠ − 74,0277
2,3408∠106,3139 1,7843∠105,5241 0∠0
2,3408∠106,3139 4,4328∠ − 73,9377 0∠0 2,0920∠105,7808
1,7843∠105,5241
0∠0
2,0920∠105,7808 4,2521∠ − 74,3441 2,4678∠105,7512 2,4678∠105,7512 4,5598∠ − 74,2353 0∠0
1.2. Caracter´ısticas especiales de la matriz Ybus Es una matriz cuadrada de tama˜no (n × n) siendo n el n´umero de nodos. Es una matriz sim´etrica. esto quiere decir que el elemento Yij es igual al elemento Yji . Los elementos de la diagonal son positivos y se pueden calcular sumando las admitancias de los elementos conectados a los nodos. Por ejemplo, el elemento Yii es la suma de las admitancias de los elementos conectados al nodo i. Por lo tanto: n X Yii = yij j=1
Los elementos por fuera de la diagonal Yij de la matriz YBU S son el negativo de la admitancia del elemento yij . Por lo tanto: Yij = −yij La matriz es diagonalmente dominante, es decir, la magnitud de los elementos de la diagonal es num´ericamente mayor que la magnitud de los elementos fuera de la diagonal. Esto puede observarse en el ejemplo resuelto. En sistemas de potencia donde la reactancia supera en tres o m´as veces el valor de la resistencia, el a´ ngulo de los elementos de la diagonal resultan negativos y de magnitud menor a 90 grados. Los a´ ngulos de los elementos fuera de la diagonal resultan positivos y superiores pero cercanos a 90 grados. En sistemas reales de gran tama˜no la matriz YBus es dispersa, es decir, contiene muchos ceros. Esta condici´on ocurre porque normalmente s´olo existe conexi´on directa entre nodos geogr´aficamente vecinos y no existe conexi´on directa entre nodos geogr´aficamente distantes. En un sistema el´ectrico de la vida real del orden de 100 nodos, un nodo promedio puede estar interconectado con 3 o 4 nodos, y unos pocos nodos pueden tener conexi´on con 8 o 9 nodos. La figura 6 muestra el disgrama unifilar del sistema el´ectrico colombiano 2012 reducido a 93 nodos y 155 corredores y que es utilizado como sistema de prueba en
investigaciones de planeamiento de sistemas de transmisi´on de energ´ıa el´ectrica. Puede observarse que el nodo 27 tiene conexi´on con 8 nodos, mientras los nodos 51 y 52 solo presentan conexi´on con 2 nodos. Las l´ıneas punteadas son conexiones futuras mientras las l´ıneas llenas representan corredores existentes. Si se observa el esquema se puede notar que en general los nodos se conectan u´ nicamente con algunos (pocos) nodos vecinos.
81 48
49
63
46
53
45 52
47
50
51
54 56 88 84
57
43 42
55 17
12
15
37
86
41
40
68
24 39
61
76 18
21
58 38
75 19
20
22
23
82 16
62
13
66
60
14 32 31
67
69 34
70
33 73 72 4
30 65
59
8
9
85 83
2
77
79
74 36 64
87
5
29
27
93
71
89
25
35
6
1
78 10
3 7 90
28
91 26
80 11 44
92
Figura 6: Sistema Colombiano de 230KV y 500KV, de 93 nodos y 155 corredores. Se deja al lector la tarea de determinar el n´umero de conexiones que tiene cada uno de los 93 nodos de este sistema y sacar una conclusi´on para el sistema el´ectrico colombiano 2012.
1.3. Forma alternativa de construir la matriz YBU S . La matriz YBU S tambi´en puede construirse a trav´es de la multiplicaci´on de tres matrices, que en principio son m´as sencillas de construir. Seg´un esta forma alternativa, la matriz YBU S se puede obtener a trav´es del siguiente producto: YBU S = A Yprimitiva AT Donde: A es la matriz incidencia nodo-rama o tambien denominada matriz incidencia nodoelemento. Es una matriz cuyo n´umero de filas corresponde al n´umero de nodos del sistema y el n´umero de columnas al n´umero de elementos que contiene el sistema interno. AT es la transpuesta de la matriz A, es decir, una matriz donde las filas de A se convierten en las columnas de AT . Yprimitiva es una matriz que solo contiene elementos en la diagonal, si no existen acoples mutuos entre elementos. La cantidad de t´erminos en la diagonal de esta matriz es igual a n´umero de elementos que contenga el sistema interno y cada posici´on en la diagonal asume el valor de la admitancia de cada elemento. Para el sistema de potencia de la figura 5, vamos a asumir que la l´ınea de transmisi´on que une los nodos 3 y 4 sale de servicio por razones de mantenimiento. El sistema asume entonces la forma mostrada en la figura 7. Se desea encontrar la matriz YBU S del sistema de potencia para la nueva configuraci´on. Para el sistema de la figura 7 se define las siguiente matriz primitiva en p.u.:
1−2
1−3 2−4
1-2
1-3
2-4
0,6575 − j2,2466
0
0
0
0,4776 − j1,7192
0
0
0
0,5689 − j2,0131
Como se puede observar, los elementos del sistema, que en este caso son l´ıneas de transmisi´on son nombrados de acuerdo a los nodos entre los que se encuentran conectados. Por lo tanto, el elemento 1-2 representa la l´ınea que une los nodos 1 y 2. El elemento 1-3 es la l´ınea que une los nodos 1 y 3; y el elemento 2-4 es la l´ınea que une los nodos 2 y 4. Observese tambi´en
Figura 7: Sistema Colombiano de 230KV y 500KV, de 93 nodos y 155 corredores. que el elemento de la diagonal donde se intersecta la fila 1-3 con la columna 1-3, contiene la admitancia de la l´ınea de transmisi´on que une los nodos 1 y 3, y los dem´as elementos de la fila 1-3 y de la columna 1-3 son ceros. A continuaci´on construimos la matriz incidencia nodo-rama que denominamos A. Para esto construimos una matriz con tantas filas como nodos tenga el sistema, nombrados en orden ascendente, y tantas columnas como elementos tenga el sistema. Dado que el sistema de la figura 7 tiene 4 nodos (1, 2, 3 y 4) y tres l´ıneas de transmisi´on (1-2, 1-3 y 2-4), esta matriz resulta de cuatro filas y tres columnas (4x3). A continuaci´on se muestra la matriz A correspondiente a este sistema de potencia. Debe tenerse cuidado de colocar los elementos en las columnas de A en el mismo orden en que fueron colocadas en la matriz Yprimitiva .
1
1-2
1-3
2-4
1
1
0
0
1 0 1
2 −1 A= 3 0 4 0
−1 0
Cada columna de la matriz incidencia nodo-rama o nodo-elemento s´olo debe contener una posici´on con valor 1 y una posici´on con valor -1. Las dem´as posiciones deben ser ceros. Cada columna est´a asociada a un elemento del sistema as´ı: la columna 1 est´a asociada al elemento 1-2, la columna 2 al elemento 1-3
y la columna 3 al elemento 2-4. Cada columna debe tener un 1 en la fila correspondiente al nodo inicial del elemento y un -1 en la fila correspondiente al nodo final del elemento. Por lo tanto, en la columna 1, que corresponde al elemento 1-2, debe haber un 1 en la fila 1 y un -1 en la fila 2. En la columna 2, que corresponde al elemento 1-3, debe haber un 1 en la fila 1 y un -1 en la fila 3. Finalmente, en la columna 3, que corresponde al elemento 2-4, debe haber un 1 en la fila 2 y un -1 en la fila 4. Ahora realizamos la operaci´on: YBU S = A Yprimitiva AT .
1
1
−1 0 0
0 −1 0
0
0,6575 − j2,2466 0 0 1 0 0,4776 − j1,7192 0 0 0 0 0,5689 − j2,0131 −1
1 −1
1 0
0
0
0
−1
1
0
Que resulta igual a:
1
1
−1 0 0
0 −1 0
0
0,657 − j2,246 −0,657 + j2,246 0 0 1 0,477 − j1,719 0 −0,477 + j1,719 0 0 0 0,568 − j2,013 0 −0,568 + j2,013 −1
Finalmente se llega a:
1,1351 − j3,9658
−0,6575 + j2,2466 −0,4776 + j1,7192
−0,6575 + j2,2466 1,2264 − 4,2597 −0,4776 + j1,7192 0 0 −0,5689 + j2,0131
0 0,4776 − j1,7192 0
Que corresponde a la matriz YBU S del sistema de potencia analizado.
0
−0,5689 + j2,0131 0 0,568 − j2,013
0 −1
