Análise de Redes Elétricas
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1. Representação Matricial de Redes de Sistemas de Potência 1.6 Eq ui valênc ia ent re Fon tes
Considere um gerador atendendo a uma rede passiva (Z L): IG
ZG
IL
IS IS
ZL
VL
IL
ZG
VL
ZL
EG
Figura A – Tensão Constante
Figura B – Corrente Corrente Constante
VL = EG - IL ZG
VL = (IS - IL) ZG = IS ZG - IL ZG
Como VL deve ser o mesmo: EG - IL ZG = IS ZG - IL ZG
IS = EG / ZG
(1.1)
Então, respeitada a Equação (1), podemos podemos substituir uma fonte de tensão constante em série com uma impedância por uma fonte de corrente constante em paralelo com esta mesma impedância (podemos também usar Y G = 1 / ZG). A rede de um Sistema Elétrico de Potência (SEP) é ativa, ou seja, possui fontes.
G1
2
1
3
~ 4 6
5
G4
~
Para resolvermos este problema devemos aplicar o princípio da superposição. Então, ZL será a impedância vista do gerador G 1 (impedância de Thévenin). Este procedimento deve ser repetido para os outros geradores.
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1.7 A M atriz de Ad mit ânc ia de Barra - Y B US
Seja o sistema de três barras, dado a seguir: ~ G2
~ G1 1
2
L1
L2
L3 3 D3
(carga)
Figura 1
Em situações de equilíbrio utiliza-se apenas a rede de seqüência positiva. Então, representa-se apenas uma fase (a fase a), tendo como referência a terra (neutro). Cada barra será, portanto, um nó elétrico e o neutro será o nó de número zero. O sistema da Figura 1 pode ser representado por: 0 EG1 1
0 ~
~
ZG2
ZG1 V1
V2
ZL1
0
0
EG2
I1 1
2
YG1 V1
I2 V2
YL1
YG2 2
ou ZL2
ZL3 3 0
YL2
YL3 3
V3
ZD3
Figura 2
0
V3
YD3
Figura 3
onde:
YG1 = 1/ZG1, Y G2 = 1/ZG2, Y L1 = 1/ZL1, Y L2 = 1/ZL2, Y L3 = 1/ZL3 e YD3 = 1/ZD3 são as admitâncias/impedâmcias de geradores, linhas e transformadores; V1, V2 e V3 são as tensões nodais de barra; I1 e I2 são as correntes injetadas nas barras para representar os geradores. Na barra 3 é drenada uma corrente para a carga. Porém, não há geração I3 = 0.
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Aplicando a Lei de Kirchhoff para as correntes nas barras (nós) tem-se: I1 V1 V0 YG1 V1 V2 YL1 V1 V3 YL 2 I 2 V2 V0 YG 2 V2 V1 YL1 V2 V3 YL3 I 0 V V Y V V Y V V Y D3 L2 L3 3 0 3 1 3 2 3
Lembrando que V0 = 0 obtém-se: I1 YG1 YL1 YL 2 V1 YL1V2 YL 2 V3 I 2 YL1V1 YG 2 YL1 YL3 V2 YL3 V3 I Y V Y V Y Y Y V L2 1 L3 D3 L2 L3 2 3 3
ou YL1 YL 2 I1 YG1 YL1 YL 2 V1 I V YG 2 YL1 YL3 YL1 YL3 2 2 I 3 YD3 YL2 YL3 V3 YL 2 Y 3 L
(1.2)
YBUS
I BUS
VBUS
Vê-se que YBUS é a matriz que relaciona as correntes injetadas nas barras com as tensões nas barras, resolvendo de forma sistemática a Lei de Kirchhoff para as correntes, ou seja: IBUS = YBUS VBUS
(1.3)
Generalizando para um sistema com n barras, a matriz Y BUS fica:
YBUS
Y11 Y 21 Yn1
Y12
Y22
Yn2
Y1n
Ynn Y2n
onde:
Yii é a soma das admitânci as de todos os elementos ligados à barra i;
Yij contém o negativo da admitânci a do(s) elemento(s) de interligação das barras i e j. Exemplo 1: Monte a matriz YBUS para o sistema dado a seguir. Suponha que os G1
1
~
~
ZG1 ZT1 V1
ZL1
G2 ZG2 ZT2 V2
2
SD1 ZL2
ZL3 3 jQ3
V3 SD3 → potência aparente demandada da barra 3
valores estão em pu.
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Solução: → em pu: S = VI* e I = YV
S = VY*V*
S* = V*YV
→ determinação de Y D1,
Y = S*/(V*V) = S*/|V|2
YD3 e Y C3 (banco de capacitores). Note que as cargas e o banco de
capacitores ficam modelados por uma admitância (impedância) constante. YD1 = (SD1)*/|V1|2;
YD3 = (SD3)*/|V3|2;
YC3 = (-jQ3)*/|V3|2
→ elementos da Y BUS: Y11
Y22
Y33
1
ZG1 Z T1 1 ZG2 YD3
Z T2
YC3
YD1
1 Z L1 1
Z L2
1
Z L1
ZL2
1
1
Z L3 1 Z L3
Y12
Y21
Y23
Y32
Y31
Y13
1 ZL1 1 Z L3 1 Z L2
Exemplo 2: Calcule a matriz Y BUS do Exemplo 1 considerando os valores em pu
listados abaixo. Em seguida obtenha as injeções de corrente ( IBUS).
SD1 = 2,0 + j1,0;
ZG1 = j0,10; ZT1 = j0,05; ZG2 = j0,050; ZT2 = j0,025; ZL1 = ZL2 = ZL3 = j0,10 V1
1,0500 0 0
SD3 = 1,2 + j0,6;
;
jQ3 = j0,3
1,0789 1,330
V2
;
V3
1,0500 2,400
Solução: S*D1
YD1
YD3
Y11
Y12
Y22
Y33
YBUS
| V1 | 2 S*D3 | V3 | 2
2,0 j1,0 1,052 1,2 j0,6 1,052
1 j0,10 j0,05 Y21
Y23 1
1,814 j0,907 pu
1,814 j0,907
Y32
e
1,088 j0544 pu
Y31 1
Y13
j0,050 j0,025 j0,10 j0,10 1,08 j0,544 j0,272
1
1
j0,10 j0,10 1
1
1
Z L1
YC3
j10,0 pu
j33,33 pu 1
j0,10 j0,10
| V3 | 2
1,814 j27,574 pu
(- jQ 3 )*
1,088 j20,272 pu
j10,0 1,814 j27,574 j10,0 pu j10,0 j10,0 j33,33 j10,0 j10,0 1,088 j20,272
j0,3 1,052
j0,272 pu
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Observe que se os elementos shunt (geradores, cargas, bancos de capacitores, etc.) não forem considerados a matriz Y BUS fica singular. Exercício: Repita o Exemplo 2 considerando as barras (4 e 5) entre os geradores e os
transformadores, conforme figura abaixo. Os valores de Z BUS(1,1), ZBUS(2,2) e ZBUS(3,3) são alterados? G1 4 1
~
~
G2 ZG2
ZG1
5
ZT1 V1
ZL1
ZT2 V2
2
SD1 ZL2
ZL3 3
V3 SD3 → potência aparente demandada da barra 3
jQ3
1.8 A Matriz de Imped ânc ia de Barra - Z B US
Vimos que IBUS = YBUS VBUS. Porém, na maioria dos estudos tem-se IBUS e pretende-se obter VBUS. Para isto, é necessário calcular a matriz de impedância de barra, Z BUS =
-1 YBUS .
Então: VBUS = ZBUS IBUS
(1.4)
Para o sistema da Figura 1 a Equação (1.4) fica: V1 Z11 V Z 2 21 V3 Z31
Z12 Z 22 Z 32
Z13 I1
I 2 Z33 I 3
Z 23
(I3 = 0, pois não há geração na barra 3)
Analisando apenas para V1: V1 = Z11I1 + Z12I2 + Z13I3
(1.4-a)
Se aplicarmos o princípio da superposição para o gerador da barra 1, ou seja, se mantivermos I1 e fizermos I2 = I3 = 0 (fontes “mortas”), teremos: V1 = Z11I1. Conclui-se, então, que Z 11 é a impedância de Thévenin vista da barra 1. Generalizando: Zii é a impedância de Thévenin vista da barra i .
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Vê-se, ainda, que Z 12I2 é a contribuição da fonte da barra 2 para a tensão da barra 1. O raciocínio é válido também para Z 13I3. Então, Zij é a impedância de transferência da barra j para a barra i .
Observação: Zij NÃO é a impedância que interliga as barras i e j.
Exercício: Considere para o sistema do Exemplo 2 que
I BUS
2,096 j7,486 1,261 j15,576 . 0
Então,
obtenha as tensões de barra utilizando:
superposição;
a equação VBUS = ZBUS IBUS, considerando primeiramente apenas I1 e depois apenas I2.
Compare os resultados. Por que o VBUS obtido neste exercício é diferente daquele fornecido no Exemplo 2? Exercício: Para o sistema do Exercício anterior obtenha a corrente, tensão e potência
de cada gerador. Compare a corrente e tensão de cada gerador com a corrente injetada e a tensão na respectiva barra. Calcule S GT = SG1 + SG2 + jQ3 e SDT = SD1 + SD2. Em seguida calcule SGT – SDT. Qual o significado desta diferença? Calcule a potência em cada elemento do sistema. Verifique/faça o balanço de potência em cada barra do sistema. Exercício: Repita para o caso (V BUS) do Exemplo 2. É possível fazer o mesmo para o
sistema de 5 barras?
