´ nonc´e E
` Probleme eme
Matrices de Gram Dans tout le probl` prob l`eme eme E est est un espace euclidien de dimension n 1. On note (x | y ) le produit scalaire de deux vecteurs de E . 1. On se donne u, v dans E et et on note ∆(u, v
)=
(u | u ) (u | v ) (v | u )
(v | v )
.
Montrer que ∆(u, v ) 0, et que ∆(u, v ) = 0 si et et seulement si u, v son s ontt li´es. es . 2. On se donne u, u, v,w dans E et et on note ∆(u,v,w
)=
(u | u )
(u | v )
(u | w )
(v | u )
(v | v )
(v | w )
(w | u ) (w | v ) (w | w )
.
(a) Montrer que w s’´ecrit ecrit de mani`ere ere unique comme la somme d’un vecteur a combinaison lin´ li n´eair ea iree de u, v et d’un vecteur b orthogonal a` u et a` v . (b) Montrer que ∆(u,v,a) = 0. (c) Prouver que ∆(u,v,w ) = ∆(u, v ) b2 . (d) Montrer que ∆(u,v,w ) 0, avec ∆(u,v,w) = 0 si et seulement si u, u, v,w son s ontt li´es. es . 3. On va g´ g ´en´ en´eral er alise iserr les le s nota no tati tion onss et les le s r´esul es ulta tats ts pr´ec´ ec´edent ed ents. s. On note m un entier strictement positif quelconque. Pour tous vecteurs u1 , u2 , . . . , um de E , on note G(u1 , . . . , um ) la matrice carr´ee ee d’ordre m et de term te rmee g´en´ en´eral er al (ui | u j ) (`a l’intersection de la ligne i et de la colonne j ). On note ∆(u1 , . . . , um ) = det(G(u1 , . . . , um )). (a) On note F le sous-espace de E eng e ngen endr´ dr´e par pa r u1 , . . . , um−1 . Soit um = a + b (avec a ∈ F ) la d´ecompositio ecomp osition n de um sur E = F ⊕ F ⊥. Montrer que ∆(u1 , . . . , um−1 , a) = 0. (b) Prouver que ∆(u1 , . . . , um−1 , um ) = ∆(u1 , . . . , um−1 ) b2 . (c) En d´eduire eduir e ∆(u1 , . . . , um) 0 (avec ∆(u1 , . . . , um) = 0 ⇔ u 1 , . . . , um sont so nt li´es). es ). 4. Soit F un sous-espace de E , de base u1 , . . . , um . ∆(u1 , . . . , um , x) Soit d(x, F ) la distance d’un vecteur x `a F . Montrer que d(x, F )2 = . ∆(u1 , . . . , um ) 5. Soit (e) = e 1 , e2 , . . . , en une base de E . Soit (ε) = ε 1 , ε2 , . . . , εn une famille de n vecteurs de E . Montrer que les deux propositions suivantes suivantes sont ´equivalentes equivalentes : (a) Il existe une isom´etrie etrie vectorielle f de E tel tel que : ∀ k ∈ {1, . . . , n}, f (ek ) = ε k . (b) Les matrices G(e1 , . . . , en ) et G(ε1 , . . . , εn ) sont so nt ´egal eg ales es..
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Probl` eme
Corrig´e
Corrig´ e 1. On rappelle l’in´egalit´e de Cauchy-Schwarz : pour tous vecteurs u, v de E , on |(u | v )| u v , c’est-`a-dire (u | v )2 (u | v ) (v | v ), avec ´egalit´e si et seulement si u, v sont li´es. Ainsi ∆(u, v ) = (u | v ) (v | v ) − (u | v )2
0, et ∆(u, v ) = 0 ⇔ u, v sont li´es.
2. (a) Soit F le sous-espace de E engendr´e par u et v . On sait que E = F ⊕ F ⊥ . L’´ecriture w = a + b est la d´ecomposition de w sur cette somme directe. (b) Par hypoth`ese, il existe λ, µ dans R tels que a = λu + µv . Dans ∆(u,v,a) on remplace w par cette expression dans les produits scalaires (· | a ). ∆(u,v,a
)=
(u | u ) (u | v ) (u | a ) (v | u )
(v | v )
(v | a )
(a | u )
(a | v )
(a | a )
=
(u | u ) (u | v ) λ (u | u ) + µ (u | v ) (v | u ) (v | v ) λ (v | u ) + µ (v | v ) = 0 (a | u )
(a | v )
λ (a | u ) + µ (a | v )
(en effet les trois colonnes C 1 , C 2 , C 3 de ce d´eterminant v´erifient C 3 = λC 1 + µC 2 ). (c) On a (u | w ) = (u | a + b) = (u | a ). De mˆeme (v | w ) = (v | a ). Enfin (w | w ) = (a | a ) + ( b | b ) d’apr`es Pythagore. On en d´eduit (en lin´earisant par rapport a` la troisi`eme colonne) : ∆(u,v,w )
= =
+ ( | ) = ∆(
(u | u ) (u | v )
(u | a )
(v | u )
(v | v )
(v | a )
(a | u )
(a | v )
(a | a ) + ( b | b )
(u | u ) (u | v ) (u | a ) (v | u )
(v | v )
(v | a )
(a | u )
(a | v )
(a | a )
= ∆( ) + u,v,a
(u | u ) (u | v )
0
(v | u )
(v | v )
0
(a | u )
(a | v )
(b | b )
(u | u ) (u | v ) (v | u )
b b
(v | v )
=0
2
u, v ) b
(d) Puisque ∆(u, v ) 0, la question pr´ec´edente donne ∆(u,v,w ) 0. − → Plus pr´ecis´ement : ∆(u,v,w ) = 0 ⇔ (∆( u, v ) = 0 ou b = 0 ) ⇔ ( u, v li´es ou w = a ). Ainsi ∆(u,v,w ) = 0 ⇔ u, v sont li´es ou (sinon) w est dans le plan engendr´e par u et v : tout cela ´equivaut bien sˆ ur a` dire que les trois vecteurs u, v,w sont li´es. 3. (a) Notons C 1 , . . . , Cm les colonnes du d´eterminant ∆(u1 , . . . , um−1 , a). m−1
Il existe λ1 , . . . , λm−1 tels que a =
λ j u j .
j=1
On en d´eduit C m
=
(u1 | a ) (u2 | a ) .. . (um−1 | a ) (a | a )
=
m−1 j=1
λ j
(u1 | u j ) (u2 | u j ) .. . (um−1 | u j ) (a | u j )
=
m−1
λ j C j .
j=1
Ainsi les colonnes C 1 , . . . , Cm −1 , C m sont li´ees, donc ∆(u1 , . . . , um−1 , a) = 0.
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Probl` eme
Corrig´e
(b) Notons C 1 , . . . , Cm les colonnes du d´eterminant ∆(u1 , . . . , um−1 , um). m−1
Comme dans la question pr´ec´edente, notons a =
λ j u j .
j=1
Ainsi D = ∆(u1 , . . . , um , a) = 0 et D = ∆(u1 , . . . , um , um ) sont ´egaux, a` l’exception du coefficient d’indice (m, m), qui vaut a2 dans D et um 2 = a2 + b2 dans D . 1
∆(u1 , . . . , um−1 , um
)=
1
(u1 | u 1 ) .. .
=
(u1 | u 1 ) .. .
=0
.. .
(a | u 1 )
) +
(u1 | u 1 ) .. .
.. .
...
.. .
(um−1 | a )
a2 + b2
(a | u m−1 )
...
(u1 | u m−1 ) .. .
(um−1 | u 1 ) . . . (um−1 | u m−1 ) (a | u 1 )
...
(u1 | u m−1 ) .. .
...
(u1 | a ) .. .
(um−1 | u 1 ) . . . (um−1 | u m−1 )
= ∆(u1 , . . . , um−1 , a
(u1 | u m−1 ) .. .
...
= ∆( b
(um−1 | u 1 ) . . . (um−1 | u m−1 )
(a | u m−1 )
2
0 0 0
b2
u1 , . . . , um−1 ) b
2
(c) On montre la propri´et´e par r´ecurrence sur le nombre m de vecteurs. Puisque ∆(u1 ) = u1 , la propri´et´e est ´evidente si m = 1. On se donne m 2 et on suppose que la propri´et´e a ´et´e prouv´ee au rang m − 1. Avec les notations pr´ec´edentes, on a ∆(u1 , . . . , um−1 , um ) = ∆(u1 , . . . , um−1 ) b2 . Il est donc clair que ∆(u1 , . . . , um−1 , um ) 0. Ensuite : u1 , . . . , um−1 li´es ∆(u1 , . . . , um−1 ) = 0 ∆(u1 , . . . , um−1 , um) = 0 ⇔ ⇔ ou um ∈ Vect{u1 , . . . , um−1 } ou b = 0
Finalement ∆(u1 , . . . , um−1 , um ) = 0 ⇔ u 1 , . . . , um−1 , um sont li´es, ce qui prouve la propri´et´e au rang m et ach`eve la r´ecurrence. 4. Soit x = a + b la d´ecomposition de x sur F ⊕ F ⊥. On a d = d (x, F ) = b. On sait depuis (3c) que ∆(u1 , . . . , um , x) = ∆(u1 , . . . , um) b2 . Le r´esultat est alors imm´ediat en divisant par ∆(u1 , . . . , um ) > 0. 5. – On suppose qu’il existe f dans O (E ) tel que, pour tout k de {1, . . . , n}, f (ek ) = ε k . Alors : ∀ (i, j ) ∈ {1, . . . , n}2 , (εi | ε j ) = (ei | e j ) (car f conserve le produit scalaire). Autrement dit, on a l’´egalit´e matricielle G(ε1 , . . . , εn ) = G (e1 , . . . , en ). – R´eciproquement, on suppose G(ε1 , . . . , εn ) = G (e1 , . . . , en). (e) ´etant une base, il exite un unique f de L(E ) tel que ∀ k ∈ {1, . . . , n}, f (ek ) = ε k . Il reste a` prouver que f est une isom´etrie vectorielle. n
Soit x =
n
xi ei et y =
i=1
n
y j e j dans E . On a f (x) =
j=1
n
xi εi et f (y ) =
i=1
y j ε j .
j=1
Avec ces notations, et compte tenu des ´egalit´es (εi | ε j ) = (ei | e j ), on trouve :
n
(f (x) | f (y)) =
n
xi εi |
i=1
n
y j ε j
j=1
=
n
xi y j (εi | ε j ) =
i,j=1
xi y j (ei | e j ) = (x | y )
i,j=1
Cela signifie que f conserve le produit scalaire. Donc f est un ´el´ement de O(E ). Math´ ematiques en MPSI © Jean-Michel Ferrard
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