Material de Matematica

PROYECTO EDUCACIÓN PARA LA NIÑEZ Y JUVENTUD Un componente clave del Asocio para el Crecimiento

DIPLOMADO: “EDUCACIÓN INCLUSIVA Y ATENCIÓN A ESTUDIANTES CON NECESIDADES EDUCATIVAS

ESPECIALES” Este material ha sido elaborado por FEDISAL y sus asociados: FUSALMO, AIS, UDB, EDYTRA, FUNPRES y FHI360 como parte del Proyecto Educación para la Niñez y Juventud.

PROYECTO EDUCACION PARA LA NIÑEZ Y JUVENTUD Un componente clave del asocio para el crecimiento. Fecha: 28 de octubre de 2013. Tema: La matemática activa y sus estrategias metodológicas , que motiven a los estudiantes de tercer ciclo a aprender el lenguaje de la matemática.

OBJETIVO - Presentar una propuesta para una matemática activa con estrategias metodológicas que motiven y comprometan a los estudiantes de tercer ciclo a aprender matemática.

AGENDA TIEMPO 8:00 a 8:15 8:15 a 8:25 8:25 a 8:35 8:35 a 8:45 8:45 a 9:00 9:00 a 9:35 9:35 a 10:00 10:00 a 10:20 10:20 a 10:40 10:40 a 11:15 11:15 a 12:00 12:00 a 12:10 12:10 a 12:30 12:30 a 1:30 1:30 a 2:20 2:20 a 2:45 2:45 a :3:45 3:45 a 4:00

ACTIVIDADES R etr oa li men t ac ión d el q uinto dí a y rec e pc ió n d e l a t ar e a no p re s enc ia l Pa so s m eto do ló gic o s p a r a en s eñ ar un c on t eni do d e ma t em át ic a. Le ng ua j e Al g e br aic o: Po l inomi os: c onc e pto s y ti p os. Suma d e Po lino mio s. T ér mino s s e me j ant e s y no s em ej an t es. R e st a d e P oli nomi os. T ér mino s s e me j ant e s y no s em ej an t es. Mult ip lic ac i ón d e Pol ino mio s: Mo nomi o po r mon omio, mono mio por pol in omio , pol inom io po r po lino mio . Pro duc to s no ta b le s : I d e ntif ic ac ión y R e gl a s d e c álc u lo.

RECESO Conti nu ac ión d e Pro duc t os No ta bl e s. Pro duc to s no ta b le s: R ep re s ent ac ión g eom é tr ic a. Div i sión d e po lin omio s. Coc i ent e s not a bl e s.

Polígonos: Concepto. Tipos de polígonos. ALMUERZO Elementos del polígono regular Perímetros de polígonos regulares. Áreas de polígonos regulares. Evaluación y cierre de la jornada.

PASOS METODOLOGICOS PARA ENSEÑAR UN CONTENIDO DE MATEMATICA EN TERCER CICLO.

1.¿QUE SIGNIFICA ? 2. PLANTEAMIENTO DE UN HECHO DE LA VIDA REAL. 3. CONCRETO 4. SEMICONCRETO 5. ABSTRACTO 6. ¿RESOLVER PROBLEMAS DE APLICACION?

1. LENGUAJE ALGEBRAICO. POLINOMIOS : CONCEPTOS Y TIPOS. 1.¿QUE SIGNIFICA ?  Lenguaje algebraico es simplemente traducir lo que normalmente hablamos a expresiones particulares con símbolos y números.  Polinomio es una expresión algebraica que se obtiene al sumar o restar dos o más monomios.  Monomio es una expresión algebraica que consta de un solo término.

 El Término, es una expresión algebraica donde hay solo operaciones de multiplicación y división de letras y números, tanto el número como la letra puede estar elevado a una potencia.  Binomio es una expresión algebraica que posee dos términos, es una suma o resta de dos monomios.  Trinomio es una expresión algebraica que consta de tres términos.

El álgebra es la parte de las matemáticas que tienen por objeto generalizar todas las cuestiones que se pueden proponer sobre las cantidades.

Cálculo de la alineación de antenas electromagnéticas. Ejemplo: *El trabajo consiste en obtener una antena ranurada resonante para aplicarla a redes WiFi en la banda de 2.4 GHz. El diseño de la antena se hace empleando los polinomios de Chevyshev para determinar la distribución de corriente de cada elemento del arreglo y con base en estos datos, encontrar las dimensiones físicas de dicha antena. Se han simulado diferentes condiciones para la antena, tales como: cambios en el nivel de lóbulo principal a secundario, diferente número de ranuras manteniendo fija la frecuencia de operación.

♥La principal aplicación de los polinomios está en hacer pronósticos. Ejemplo: *Suponiendo que tienes una empresa dedicada a la exportación de algún producto. Tienes un registro de ventas anuales (en unidades) y hoy (2010) quieres conocer aproximadamente cuanto venderás en el 2015. Entonces utilizando tus datos puedes elaborar un polinomio (para esto existen métodos estadísticos)y luego mediante valor numérico puedes encontrar cuales serán tus ventas en cualquier año futuro. *Para el pronóstico del clima se utiliza un polinomio en el cual hay muchas variables (presión, temperatura, masas de aire, etc).

Se utiliza en la medicina. Ejemplo: Son muchas las aplicaciones de la función lineal. Ciertas situaciones requieren del uso de ecuaciones lineales para el entendimiento de algunos fenómenos. Un ejemplo es el resultado del experimento sicológico de Stenberg sobre recuperación de información y la inteligencia.

-

Para las mecánica de los fluidos. Se utiliza en la geología. Se utiliza en la astronomía. Se utiliza también para: Para medir la densidad de la materia oscura - Se utiliza para crear generadores de hadrones. - Cálculo diferencial. - Cálculo integral.

2. PLANTEAMIENTO DE UN HECHO DE LA VIDA REAL. Fui a la tienda de mi pasaje donde resido y gasté $3.75 en unos chocolates exquisitos, en total me dieron 15 chocolates. ¿Cuál fue el precio de cada chocolate? 3. CONCRETO.

4. SEMICONCRETO. Expresión aritmética: 3.75 ÷ 15 = $0.25 “El precio de cada chocolate equivale al cociente de la cantidad que gasté en éstos y el número de éstos”. De aquí podemos afirmar que : “ Lo que gasté en chocolates en la tienda fue el precio de cada dulce por el número de dulces que compré “.

5. ABSTRACTO. Escrito en Lenguaje Algebraico puede quedar de la siguiente manera: G = P·N Aquí G significa “lo que gasté”, P significa el "precio por chocolate" y N significa "la cantidad de chocolates".

6.

¿RESOLVER PROBLEMAS DE APLICACION? Si $850 es el precio a pagar por un televisor, incluyendo el IVA (13%), el precio del artículo sin incluir el IVA , cómo lo representarías? solución : Se representa así : a + a ( 0.13 ) = 850 , donde: a: precio del artículo, un valor desconocido, hasta que se resuelva la ecuación de primer grado con una incógnita. Resolviendo : 1.13a = 850 , 850/1.13 = a, entonces a = $752.21. ! Esto es lo que hacen los vendedores de los almacenes!

Grado PRODUCTOS NOTABLES Relativo

Absoluto un término ( o monomio)

Es la suma de los exponentes de las letras que hay en el término .

ga(monomio) = 3+2 = 5

Un polinomio ( más de un término)

Está determinado por el término que presenta mayor grado absoluto en el polinomio. ga(término1)= 5, ga(término2) =6

un término ( o monomio) Es el exponente de una letra específica en el término. gr(a)=3, gr(b)=2

Un polinomio

Es el mayor exponente que registra una letra específica dentro del polinomio. Para a es 5, para b es 2.

Nótese que los grados relativos no son necesariamente del mismo término, en el caso que hemos visto uno de los grados relativos salió del primer termino y otro del segundo.

TIPOS DE POLINOMIOS.

ordenado x4y3 + 2x2y5 – 3x1y8

completo

POLINOMIO

x4y + 3x2y5 – 3x3 +xy4 – 5x0

homogéneo idéntico Si : P(x)=6x2 - 3x , Q(x)= 6x2 - 3x

opuesto Si :

6x2

nulo

- 3x + 8 ,

-6x2 + 3x - 8

0x2 + 0x - 8

POLINOMIO HOMOGENEO Es aquel en el cual todos sus términos tienen el mismo grado absoluto

POLINOMIO COMPLETO Respecto a una variable, tiene todos sus exponentes, desde el mayor en forma sucesiva hasta el exponente cero.

POLINOMIO ORDENADO

POLINOMIO HETEROGENEO Es aquel en el cual todos sus términos no tienen el mismo grado absoluto.

Respecto a una variable, los exponentes de ésta van aumentando o disminuyendo.

POLINOMIO IDENTICO Con respecto a otro polinomio , es aquel que tiene iguales los coeficientes de sus términos semejantes.

POLINOMIO NULO Todos sus coeficientes so iguales a cero.

PRESABERES

2. SUMA DE POLINOMIOS. TERMINOS SEMEJANTES Y NO SEMEJANTES.

1.¿QUE SIGNIFICA ? Sumar polinomios significa añadir, agregar, adicionar los términos de un polinomio a otro polinomio, teniendo en cuenta la semejanza y no semejanza de sus términos. 2. PLANTEAMIENTO DE UN HECHO DE LA VIDA REAL. En la casa de Manolo se desea cercar un terreno rectangular de dimensiones: 5 mts. de largo y 3 mts. de ancho. Este servirá para la crianza de cabras. Cuál es la cantidad de alambre necesario si hay que darle 4 vueltas al terreno?. 3. CONCRETO.

4. SEMICONCRETO. El terreno tiene la forma de un rectángulo, el cual tiene dos parejas de lados iguales. Largo: 5mts.

ancho: 2.5 mts. Una vuelta de alambre corresponde a: (5mts.)+2(2.5mts.)=15mts. Como hay que dar 4 vueltas, significa que : 4x(15 mts.)=60 mts. de alambre serán suficientes para cercar el terreno rectangular.

5. ABSTRACTO.

El perímetro de un rectángulo se entiende como la suma de todos sus lados. Es decir : perímetro = 2ancho +2largo. Utilizando lenguaje algebraico: P = 2x + 2y , X: largo, y: ancho. Para el terreno sería : P = 4( 2x+2y) Qué pasaría si en el terreno rectangular, uno de sus largos fuese una pared ? Escribe una expresión algebraica que represente la situación. Esta es : P = 4(x + 2y)

6. ¿RESOLVER PROBLEMAS DE APLICACION?

Para sumar dos polinomios, hay que sumar entre sí los coeficientes de los términos del mismo grado ( términos semejantes ) El resultado de sumar dos términos del mismo grado, es otro término del mismo grado. Si falta algún término de alguno de los grados, se puede completar con 0. EJEMPLO 1: (Suma de polinomios de igual grado) Sumar A = - 3x2 + 2x4 - 8 - x3 + 1/2 x con B = -5x4 - 10 + 3x + 7x3.

Colocar en forma vertical y descendente cada polinomio, haciendo coincidir los términos semejantes, así: 2x4 - x3 - 3x2 + 1/2 x - 8 (el -5x4 + 7x3 + 0x2 + 3x - 10 (el ______________________________ -3x4 + 6x3 - 3x2 + 7/2 x - 18

polinomio A ordenado y completo) polinomio B ordenado y completo) sumando resultado

A + B = -3x4 + 6x3 - 3x2 + 7/2 x - 18

EJEMPLO 2: (Suma de polinomios de distinto grado) A = -3x2 + 5x - 4 B = 4x3 - 5x2 + 2x + 1 0x3 - 3x2 + 5x - 4

(grado 2) (grado 3) (el polinomio A ordenado y completo)

+ 4x3 - 5x2 + 2x + 1 (el polinomio B ordenado y completo) ____________________ 4x3 - 8x2 + 7x - 3 A + B = 4x3 - 8x2 + 7x - 3 En el polinomio de menor grado, se pueden completar los primeros términos con ceros. Así, se rellenan las columnas que faltan adelante de uno de los polinomios, para que quede en columna término a término con el otro polinomio.

EJEMPLO 3: (Uno de los términos del resultado es cero) A = 9 + 5x3 - 4x2 + x B = 4x2 - 3 - 2x 5x3 - 4x2 + x + 9

+ 0x3 + 4x2 - 2x - 3 ____________________ 5x3 + 0x2 - x + 6 A + B = 5x3 - x + 6 La suma de los términos de grado 2 dió 0x2. Luego, en el resultado final ya no se ponen los términos con coeficiente cero.

EJEMPLO 4: (No hay términos semejantes)

A = 4x3 + 5 B = -2x + x2

4x3 + 0x2 + 0x + 5 +

0x3 + x2 - 2x + 0 ____________________ 4x3 + x2 - 2x + 5

A + B = 4x3 + x2 - 2x + 5

EJEMPLO 5: (Suma de polinomios de varias letras)

A = -3xy2 + 4 - 7x2y2 - 6x2y - 5xy B = 8xy - 2xy2 + 10 + 4x3y A + B = (-3xy2 + 4 - 7x2y2 - 6x2y - 5xy) + (8xy - 2xy2 + 10 + 4x3y) = -3xy2 + 4 - 7x2y2 - 6x2y - 5xy + 8xy - 2xy2 + 10 + 4x3y = -3xy2 - 6x2y + 4 + 10 - 5xy + 8xy - 2xy2 + 4x3y - 7x2y2 = -9xy2 + 14 + 3xy - 2xy2 + 4x3y - 7x2y2 Cuando los polinomios tienen varias letras, se suman los términos semejantes, que son los que tienen las mismas letras con los mismos exponentes (la misma “ parte literal"). Para sumar estos polinomios, no es práctico usar el procedimiento de ordenarlos y sumarlos "en columnas", porque en general hay pocas coincidencias entre sus partes literales. Así que es mejor sumarlos "uno al lado del otro" y "juntar" los términos de igual parte literal.

3.RESTA DE POLINOMIOS. TERMINOS SEMEJANTES Y NO SEMEJANTES.

1. RESTA DE POLINOMIOS. TERMINOS SEMEJANTES Y NO SEMEJANTES.

6. ¿RESOLVER PROBLEMAS DE APLICACION?

6. ¿RESOLVER PROBLEMAS DE APLICACION?

Aplicación 2

Los costes, en $, por imprimir entre 200 y 400 libros en una imprenta, vienen dados por la expresión: C(x) = – (4 / 25).x2 + 70.x + 600 Mientras que el precio de venta al público por libro es de P(x) = 2000 – 4.x Donde x es el número de libros imprimidos. Escribe una expresión que determine los beneficios de la empresa en función del número de libros imprimidos, suponiendo que se venden todos.

solución: Beneficios = Venta – Costes B(x) = x.(2000 – 4.x) – (– 0,16.x2 + 70.x + 600 ) B(x) = 2000.x – 4. x2 + 0,16.x2 – 70.x – 600 B(x) = – 3,84. x2 + 1930.x – 600

POLINOMIOS

3. MULTIPLICACION DE POLINOMIOS. TERMINOS SEMEJANTES Y NO SEMEJANTES. 1.El producto de un número por un monomio . Es otro monomio semejante cuyo coeficiente es el producto del coeficiente de monomio por el número, agregando como factor la parte literal de dicho monomio.

Ejemplo :

5 . (2x2 y3 z) = 10x2 y3 z

2. Multiplicación de Monomios por monomios Es otro monomio que tiene por coeficiente el producto de los coeficientes y cuya parte literal se obtiene multiplicando las potencias que tenga la misma base.





Ejemplo : 3 x 2 .  2 x .  5  30 x 3

3. MULTIPLICACION DE POLINOMIOS. TERMINOS SEMEJANTES Y NO SEMEJANTES. 2. Multiplicación de Monomios por monomios

2. PLANTEAMIENTO DE UN HECHO DE LA VIDA REAL. Una plaza tiene forma cuadrada cuya dimensión es 5x de lado. Si un ingeniero quiere diseñar una fuente que tenga la misma forma geométrica pero de 2 m por lado, ¿tienes idea de cuál seria el área restante en la plaza una vez construida la fuente? Área de la plaza = (5x) (5x) = 25x Área de la fuente = 2 × 2 = 4 El área restante será 25x2– 4

3. Multiplicación de un monomio por polinomio. La Propiedad Distributiva puede ser usada para multiplicar un polinomio por un monomio. Sólo recuerda que el monomio debe ser multiplicado por cada término en el polinomio. Considera la expresión 2x(2x2 + 5x + 10). Esta expresión puede ser modelada con un esquema como el mostrado abajo. Este modelo se llama modelo de área porque las piezas rectangulares representan el área creada por la multiplicación de un monomio y un polinomio.

Podemos ver que el producto del ancho, 2x, y el largo, 2x2 + 5x + 10, es el área de toda la región sombreada. El área puede dividirse en tres piezas más pequeñas. Cada una de esas piezas tiene un ancho de 2x y el largo está representado por uno de los términos del polinomio.

Como los términos no son semejantes , las suma queda indicada.

Los modelos de área son una manera útil de visualizar un problema de multiplicación. Pero también podemos encontrar el producto de dos polinomios algebraicamente, aplicando la Propiedad Distributiva. Recuerda que la Propiedad Distributiva dice que multiplicar una suma por un número es lo mismo que multiplicar cada sumando por el número y luego sumarlos: a(b + c) = ab + ac. No importa cuántos términos haya:

a(b + c + d) = ab + ac + ad.

4. Multiplicación de polinomio por polinomio

4. Multiplicación de polinomio por polinomio

(x + 4)(2x + 2)

4. Multiplicación de polinomio por polinomio

4. Multiplicación de polinomio por polinomio

4. Multiplicación de polinomio por polinomio

4. Multiplicación de polinomio por polinomio

4. PRODUCTOS NOTABLES. IDENTIFICACION Y REGLAS DE CALCULO. CONCEPTUALES

PROCEDIMENTALES

ACTITUDINALES

INDICADORES DE LORO

Productos notables -Cuadrado de la suma de dos términos.

-Deducción , explicación y aplicación del cuadrado de la suma de dos términos,

-Confianza y seguridad en la deducción, demostración y aplicación del cuadrado de la suma de dos términos,

-Deduce , explica y aplica el cuadrado de la suma de dos términos, con seguridad y confianza.

-Demostración geométrica del cuadrado de la suma de dos términos, -Resolución de problemas aplicando el cuadrado de la suma de dos términos,

-Confianza al resolver problemas utilizando el cuadrado de la suma de dos términos,

-Seguridad e interés al resolver problemas aplicando

-Demuestra geométricamente el cuadrado de la suma de dos términos, con seguridad y confianza. -Resuelve problemas aplicando el cuadrado de la suma de dos términos, mostrando confianza.

(a  b  c) 3  a 3  b 3  c 3  3(a  b).(b  c).(a  c)

PRODUCTOS NOTABLES Cuadrado de un binomio

(a+b) 2 = a 2 + 2ab + b 2 (a - b) 2 = a 2 - 2ab + b 2

Suma por su diferencia

Productos notables

(a+b)(a-b ) = a2 - b 2

Producto de binomios con término común Cubo de binomio

Cuadrado de trinomio

(x+a)(x-b) = x 2 + (a+b)x + ab

(a + b) 3 = a 3+3a 2b+3ab 2 +b 3 (a - b) 3 = a 3- 3a 2b+3ab 2 - b 3

(a+b+c) 2 = a 2 +b 2 +c 22ab+2bc+2ac

EL CUADRADO DE LA SUMA DE DOS CANTIDADES.

Mario tiene una fotografía de forma cuadrada cuyos lados miden , quiere saber cuál es el área de la superficie. Recordando que para encontrar el área de un cuadrado , se multiplica lado por lado, así :

Esto corresponde al área de un cuadrado.

EL CUADRADO DE LA SUMA DE DOS CANTIDADES.

(a + b) (a + b) = aa + ab + ba + bb = a2 + 2ab + b2

( 7 a2+ 3b2 )2 = 49a4 + 42a2b2 + 9b4

EL CUADRADO DE LA DIFERENCIA DE DOS CANTIDADES.

CONCEPTUALES

PROCEDIMENTALES

ACTITUDINALES

INDICADORES DE LORO

Productos notables

-Deducción , explicación y aplicación del cuadrado de la diferencia de dos términos,

-Confianza y seguridad en la deducción, demostración y aplicación del cuadrado de la diferencia de dos términos,

-Deduce , explica y aplica el cuadrado de la diferencia de dos términos, con seguridad y confianza.

-Cuadrado de la diferencia de dos términos.

-Demostración geométrica del cuadrado de la diferencia de dos términos, -Resolución de problemas aplicando el cuadrado de la diferencia de dos términos,

-Confianza en la resolución de problemas aplicando el cuadrado de la diferencia de dos términos,

-Demuestra geométricamente el cuadrado de la diferencia de dos términos, con seguridad y confianza. - Resuelve problemas aplicando el cuadrado de la diferencia de dos términos, mostrando confianza.

(a - b) (a - b) = aa - ab - ba + bb = a2 - 2ab + b2

GENERALIZACION DEL BINOMIO.

El cuadrado de la suma de tres términos. Representación geométrica.

EL CUBO DE LA SUMA DE DOS CANTIDADES. CONCEPTUALES

PROCEDIMENTALES

ACTITUDINALES

INDICADORES DE LORO

Productos notables

-Deducción , explicación y aplicación del cubo de la suma de dos términos,

-Deduce , explica y aplica el cubo de la suma de dos términos, con seguridad y confianza.

-Cubo de la suma de dos términos.

-Demostración geométrica del cubo de la suma de dos términos,

-Confianza y seguridad en la deducción, demostración y aplicación del cubo de la suma de dos términos,

-Resolución de problemas aplicando el cubo de la suma de dos términos,

-Seguridad e interés al resolver problemas aplicando el cubo de la suma de dos términos.

-Demuestra geométricamente el cubo de la suma de dos términos, con seguridad y confianza. -Resuelve con seguridad e interés problemas aplicando

El cubo de la suma de dos términos.

En un recipiente de un decímetro cubico cabe un litro de liquido.

El cubo de la suma de dos términos.

EL CUBO DE LA DIFERENCIA DE DOS CANTIDADES. CONCEPTUALES

PROCEDIMENTALES

ACTITUDINALES

INDICADORES DE LORO

Productos notables

-Deducción , explicación y aplicación del cubo de la diferencia de dos términos,

-Deduce , explica y aplica el cubo de la diferencia de dos términos, con seguridad e interés.

-Cubo de la diferencia de dos términos.

-Demostración geométrica del cubo de la diferencia de dos términos,

- Interés y seguridad por deducir, demostrar y aplicar el cubo de la diferencia de dos términos.

-Resolución de problemas aplicando el cuadrado de la diferencia de dos términos,

-Demuestra geométricamente el cubo de la diferencia de dos términos, con seguridad y confianza. - Resuelve con confianza problemas aplicando el cubo de la diferencia de dos términos.

EL CUBO DE LA DIFERENCIA DE DOS CANTIDADES.

CONCEPTUALES

PROCEDIMENTALES

ACTITUDINALES

INDICADORES DE LORO

Productos notables

-Deducción , explicación y aplicación del producto de la suma de dos términos, por su diferencia.

- Interés y seguridad por deducir, demostrar y aplicar el producto de la suma de dos términos por su diferencia.

-Deduce , explica y aplica el producto de la suma de dos términos por su diferencia.

-Producto de la suma de dos términos por su diferencia.

-Demostración geométrica del producto de la suma de dos términos por su diferencia.

-Resolución de problemas aplicando el producto de la suma por la diferencia de dos términos,

- Colabora con sus compañeros en la resolución de problemas aplicando el producto de la suma por la diferencia de dos términos.

- Resuelve problemas en colaboración con sus compañeros aplicando el producto de la suma por la diferencia de dos términos.

El producto de la suma por la diferencia de dos términos. Es una diferencia del cuadrado de dos términos.

Diferencia de cubos de dos términos.

Para que cambie la figura, mueve los puntos resaltados para que tengas otra visión de la figura. Mueve el valor del deslizador 1 para acomodar el cubo y el valor del deslizador2 para mover las otras piezas.

Diferencia de cubos de dos términos.

Para que cambie la figura, mueve los puntos resaltados para que tengas otra visión de la figura. Mueve el valor del deslizador 1 para acomodar el cubo y el valor del deslizador2 para mover las otras piezas.

suma de cubos de dos términos

El cubo de un trinomio

(a  b  c)3  a3  b3  c3  3(a  b).(b  c).(a  c)

"Aprender haciendo, aprender interactuando, aprender buscando y aprender compartiendo"... ( Johnson y Lundvall) http://zentenotaller.blogspot.com/2008/12/representacio n-geometrica-del-cubo-de.html

4. DIVISION DE POLINOMIOS. COCIENTES NOTABLES. 4a. DIVISION DE MONOMIO ENTRE MONOMIO Se divide el coeficiente del dividiendo entre el coeficiente del divisor y a continuación se escriben las letras ordenadas alfabéticamente, elevando cada letra a un exponente igual a la diferencia entre el exponente que tiene en el dividendo y el exponente que tiene en el divisor. El signo del cociente será el que corresponda al aplicar la regla de los signos. Ejemplo :

4. DIVISION DE POLINOMIOS. COCIENTES NOTABLES. 4a. DIVISION DE MONOMIO ENTRE MONOMIO

4. DIVISION DE POLINOMIOS. COCIENTES NOTABLES. 4a. DIVISION DE MONOMIO ENTRE MONOMIO

4. DIVISION DE POLINOMIOS. COCIENTES NOTABLES.

4b. DIVISION DE UN POLINOMIO ENTRE UN MONOMIO. Se divide cada uno de los términos del polinomio por el monomio teniendo en cuenta la regla de los signos, y se suman los cocientes parciales así obtenidos. Ejemplos: 1)

2)

4c. DIVISION DE UN POLINOMIO ENTRE OTRO POLINOMIO

Caso general de división de polinomios:

4e. DIVISION SINTETICA.

2

Coeficientes del dividendo

Término independiente del divisor residuo

Cociente

División de polinomios. Uso del valor numérico.

4e. COCIENTES NOTABLES

COCIENTES NOTABLES.

COCIENTES NOTABLES.

+

5. POLIGONOS REGULARES. CONCEPTO.

5. POLIGONOS REGULARES. CONCEPTO.

POLIGONO es una figura plana cerrada delimitada por segmentos no alineados . A estos segmentos se les llama lados. El polígono es la frontera que separa al plano en dos regiones: una que está dentro, llamada región interior del polígono y una exterior, llamada región exterior del polígono. El plano es la unión de estos tres subconjuntos. La palabra polígono está formada por dos voces de origen griego: "polys": muchos y "gonía": ángulos; por lo tanto, es una figura con varios ángulos. También se define como una poligonal cerrada. Los polígonos regulares están inscritos en una circunferencia.

5. POLIGONOS REGULARES. CONCEPTO. Un polígono regular es un polígono en el que todos los lados tienen la misma longitud y todos los ángulos interiores son de la misma medida.

3

20

4

18

19

17

5

6

3. Triángulo

10. Decágono

17. Heptadecágono

4. Cuadrado

11. Endecágono

18. Octadecágono

5. Pentágono

12. Dodecágono

19.Eneadecágono

6. Hexágono

13. Tridecágono

20. Icoságono

7. Heptágono

14. Tetradecágono

8. Octadecágono

15. Pentadecágono

9. Enéagono

16. Hexadecágono

REGULAR 1. Equilátero y equiángulo.

16

15

7 14 8

9

10

11

12

13

6. TIPOS DE POLIGONOS. TIPO REGULARES Tiene sus lados y ángulos iguales. Los polígonos regulares están inscritos en una circunferencia. IRREGUALRES No tiene todos sus lados iguales. Sus vértices no están inscritos en una circunferencia.

INSCRITOS Un polígono está inscrito en una circunferencia cuando todos sus vértices son puntos de la circunferencia y todos sus lados están incluidos dentro del círculo que ésta define.

6. TIPOS DE POLIGONOS.

TIPO CIRCUNSCRITOS Un polígono está circunscrito en una circunferencia, si sus vértices están situados fuera de la circunferencia, y sus lados son tangentes a la circunferencia.

ESTRELLADOS Un polígono regular estrellado se construye uniendo los vértices no consecutivos, de un polígono regular convexo, de forma continua. Trazando diagonales se puede obtener una diversidad de polígonos estrellados.

7. ELEMENTOS DEL POLIGONO REGULAR.

Nombre del elemento del polígono regular 1. CENTRO : C .Punto interior que equidista de cada vértice.

2. RADIO : r. Es el segmento que va del centro a cada vértice. 3. APOTEMA : a . Distancia del centro al punto medio de un lado. 4. ANGULO CENTRAL. Es el formado por dos radios consecutivos. Si n es el número de lados de un polígono., la medida del ángulo central está dada por : Ac= 360° ÷ n 5. ANGULO EXTERIOR. Es el formado por un lado y la prolongación de un lado consecutivo. Ángulo exterior = Ángulo central

6. ANGULO INTERIOR . Es el formado por dos lados consecutivos. Ángulo interior =180° − Ángulo central Ai = (n -2 ) ·180º 7. LADO. Segmentos rectilíneos que forman el contorno del polígono. 8. DIAGONAL DEL POLIGONO. Es el segmento que une dos vértices que no son consecutivos. D = n· (n-3) / 2 9. CONTORNO DEL POLIGONO. Es la línea poligonal que lo limita.

10. VERTICE. Es cada uno de los puntos comunes a dos lados consecutivos.

8. PERIMETRO DE UN POLIGONO REGULAR.

P = (6 cm)( 4) = 24 cm

P = 5 · 6 = 30 cm

Cuando hablamos del perímetro del polígono, nos referimos a la suma de las longitudes de todos sus lados, es decir, la medida de su contorno. Como la medida de sus lados son iguales, entonces el perímetro se obtiene multiplicando la medida de un lado por el número de lados. Algebraicamente : P = nl ,donde : n : número de lados. l : medida del lado.

9. AREA DE UN POLIGONO REGULAR.

En general, el área de una figura es la cantidad de superficie que ocupa.

9. AREA DE UN POLIGONO REGULAR.

9. AREA DE UN POLIGONO REGULAR.

9. AREA DE UN POLIGONO REGULAR.

9. AREA DE UN POLIGONO REGULAR.