Materi Peminatan MTK Kelas XI (Teorema Faktor)

TEOREMA FAKTOR
Pengertian Teorema Faktor
Suatu suku banyak f(x) memiliki faktor (x-k) jika dan hanya jika f(k)=0
Suatu suku banyak f(x) memiliki faktor (ax+b) jika dan hanya jika
Menentukan Faktor-faktor Linear dari Polinomial
Teorema Faktor dan Teorema sisa dapat digunakan untuk menentukan faktor-faktor linear rasional dari polynomial. Faktor linear rasional adalah bentuk (x-k) untuk
Contoh : Tentukan faktor-faktor dari suku banyak
Jawab :
Diketahui
Konstanta dari adalah
Faktor-faktor bulat dari 6 adalah
Dengan menggunakan cara sintetik (Horner), faktor bulat diuji satu persatu sampai ditemukan faktor yang memberi nilai
Untuk
+















+




Sisa = …. Apakah (x-1) adalah fakor dari f(x)?
Diperoleh
Selanjutnya kita uji pada
2-3-11111+

2
-3
-11111









+



sisa = …. Apakah (x+1) faktor dari f(x)?
+Uji untuk pada













+




sisa = …. Apakah (x-2) faktor dari f(x)?




+Uji untuk pada













+




Sisa = …. Apakah (x+2) adalah faktor dari f(x)?
Diperoleh
Jika telah diperoleh hasil pembagian yang berderajat dua maka hasil H2(x) langsung kita faktorkan dengan cara biasa:

Jadi hasil pemfaktoran f(x) adalah

Latihan Soal :
Buktikan bahwa :
(x-1) dan (x-2) adalah faktor-faktor dari
(4x-1) adalah faktor dari
(3x+2) adalah faktor dari
(x-b) adalah faktor dari
(x+a) adalah faktor dari
Tentukan nilai a dan b jika
adalah faktor dari
adalah faktor dari
adalah faktor dari
Tentukan faktor-faktor dari suku banyak berikut:



Tentukan nilai p dan faktor lain dari suku banyak jika diketahui salah satu faktornya adalah x+2.







MENENTUKAN PENYELESAIAN PERSAMAAN POLINOMIAL
Menentukan Akar-Akar Rasional Suatu Persamaan Polinomial
Untuk menentukan kemungkinan akar-akar persamaan suku banyak perhatikan teorema rasional nol sebagai berikut:
Jika memiliki koefisien-koefisien bulat dan (dengan p dan q tidak memiliki faktor prima yang sama) merupakan pembuat nol rasional , maka p haruslah faktor dari dan q fakor dari
Jika memiliki koefisien-koefisien bulat dan (dengan p dan q tidak memiliki faktor prima yang sama) merupakan pembuat nol rasional , maka p haruslah faktor dari dan q fakor dari




Suatu persamaan suku banyak berderajat n memiliki paling banyak n buah faktor
Contoh :
Tentukan akar-akar dari persamaan
Jawab :
Misalkan
Untuk menentukan akar-akar rasional yang mungkin dari , kita gunakan teorema rasional nol.
Konstanta : =12
Koefisien utama : =3
p adalah faktor dari 12 =
q adalah faktor dari 3 =
dengan demikian adalah
Dengan menggunakan cara sintetik (Horner), nilai kita uji satu persatu sampai ditemukan faktor yang memberi nilai
Untuk
+















+




Sisa = …. Apakah (x+1) adalah fakor dari f(x)?
Apakah adalah akar dari f(x)?
Diperoleh

+Selanjutnya kita uji pada













+




sisa = …. Apakah faktor dari f(x)?
apakah merupakan akar dari f(x)?
Diperoleh
Jika telah diperoleh hasil pembagian yang berderajat dua maka hasil H2(x) langsung kita faktorkan dengan cara biasa:


………….=0 atau …………=0
atau
Jadi akar-akar dari f(x) adalah , ,dan
Sehingga himpunan penyelesaiannya adalah
Jumlah dan Hasil Kali Akar Persamaan Polinomial
Persamaan polinomial f(x)=0 berderajat dua
Bentuk umum : dengan akar-akarnya dan
Jumlah akar-akarnya,
Hasil kali akar-akarnya,
Persamaan polinomial f(x)=0 berderajat tiga
Bentuk umum : dengan akar-akarnya dan
Jumlah akar-akarnya,
Jumlah hasil kali dua akar,
Hasil kali ketiga akar,
Persamaan polinomial f(x)=0 berderajat empat
Bentuk umum : dengan akar-akarnya dan
Jumlah akar-akarnya,
Jumlah hasil kali dua akar,
Jumlah hasil kali ketiga akar,
Hasil kali keempat akar,
Latihan soal :
tentukan akar-akar rasional dari setiap persamaan polynomial berikut:




2. Diketahui salah satu akar persamaan adalah 1, tentukan nilai berikut:
a. d.
b. e.
c. f.
3. Akar- akar persamaan adalah , jika tentukan nilai berikut:
a. c.
b. d.