MATERI KULIAH KALKULUS II
Disusun oleh : Dra. Mustamina Maulani, MT
1
MATERI KALKULUS II
1. Integra Integrall Ta Tak Ten Tentu tu 2. Inte Integra grall Te Terten rtentu tu 3. Apli Aplikas kasii Int Integ egra rall
UTS (materi 1,2,!
4. Integral Integral Lipat Dua Koordinat Koordinat Kartesian Kartesian 5. Persam Persamaan aan Dife Diferens rensial ial Orde Orde atu atu
UAS (materi UAS (materi ,",#!
Re$erensi : 1. Kalk Kalkul ulus us II! II! Pur" Pur"el elll 2. Kalkul Kalkulus us II! II! Koko Koko #arto #artono! no! IT$ 3. %al" %al"ul ulus! us! Leit Leit&o &old ld
2
%A% I I&TE'RAL TAK TE&TU
I. De$inisi :
Integral tak tentu dari fungsi f'() adala& *
∫ f ' x) d x = F ' x) + C dF ' x )
Dengan
% * konstanta pengintegralan dan
dx
= f ' x)
II. Si$at Interal Ta) Tentu
1.
∫ ' f ' x) + g ' x)) dx = ∫ f ' x) dx + ∫ g ' x) dx
2.
∫ 'k f ' x) ) dx = k ∫ f ' x) dx
III. Ta*el Interal $(+!
∫ f ' x) dx
k! konstanta (n
k( 1 n +1
(
x n +1
e in ( %os (
e( +"os ( in (
a x ! a ≠ , !1
a x ln a
e"2( %s"2 ( se" ( tg ( "s" ( "tg ( 1 X
tg ( +"tg ( se" ( + "tg ( ln
x
Latihan : Tentu)an Tentu)an interal *eri)ut :
1.
∫
' −3e x + se" 2 x − - x ) dx
3
∫ ' 3. ∫ 2.
' x
3 2
− 2 se" x tg x + 4 x − 2 ) dx
x − 2 sin x −1 ) dx
I. Meto-a Interasi 1. Meto-a Su*titusi
∫ f ' x) dx dengan su/stitusi
' ) dan integral men0adi
u = u x
∫ f 'u) du ang
dapat diselesaikan.
Latihan :
sin '4 x) dx 1. ∫ 2.
3.
∫
sin x e
∫
4 x "os '2 x 4. ∫
2 "os x
dx
5.
'2 x + 1) se" ' x + x) dx 2
2
2
+ 1) dx
∫
2 x 2 3 x 3 − 1 dx
∫ .
' x
5 2
−
"os 2 x '1 + sin 2 x)
) dx
2. Interal arsial
ika u u'() dan 6 6'() maka dari aturan diferensial
d dx
' u v) = v
du dx
+u
dv dx
u
dv dx
=
d dx
'u v) − v
du dx
7ntuk masing+masing ruas diintegralkan ter&adap 6aria/le ( didapat *
∫ u dv = u v − ∫ v du
8umus Integral Parsial
Latihan :
4
∫ x sin 2 x dx ' x + 1) ln ' x 2. ∫
∫ 2 x ln '3 x + 1) dx + ' x e ) dx 4. ∫
1.
2
∫ . Interal
3.
2
+ 2 x − 3)
2
dx
3x 1
P n ' x) dx ax 2 + bx + c)
, P n ' x) = olinom -era/at n
en0elesaian :
Tuliskan /entuk *
∫
P n ' x) dx ax
2
+ bx + c)
Qn−1 ' x) ax
2
+ bx + c + ∫
λ ax
2
+ bx + c
dx
Dideferensialkan
Latihan :
∫ 1.
+ 2 x − 3 x 2 + 4 x + 5
x 2
x 3 + x 2 − 2 x − 1
∫ 2.
− x − 2 x + 3 2
2 x 3 + 4 x − 1
dx 3.
∫ x
− x + 5
dx
4 x 2 − x − 1
∫
dx
2
− x + 2 x + 9 2
4.
dx
P n ' x)
". Interal $unsi Rasional
∫ Q ' x) dx , -er (+! -er 3 (+! n
n
n
a. ika :n'() dapat diuraikan atas faktor linier ang /erlainan. #isalna :n'()
' x − a1 ) ' x − a2 ) ...... ' x − a n )
5
P n ' x )
#aka Qn ' x )
=
P n ' x ) ' x − a1 ) ' x − a 2 ) ...... ' x − a n ) A
' x − a1 )
+
B
+ ........ +
' x − a2 )
F ' x − an )
/. ika :n'() dapat diuraikan atas faktor linier dan ada ang /erulang.
' x − a1 ) ' x − a 2 ) ...... ' x − a n ) 3
#isalna :n'() P n ' x)
#aka
Qn ' x )
=
P n ' x ) ' x − a1 ) 3 ' x − a 2 ) ......' x − a n ) A1
' x − a1 )
+
A2 ' x − a1 ) 2
+.
A3 ' x − a1 )
+ 3
A4
+ ....... +
' x − a 2 )
An ' x − a n )
". ika :n'() dapat diuraikan atas faktor kuadrat tidak /isa difaktorkan 'definit positif) ang tidak /erulang. #isalna :n'() P n ' x )
#aka
Qn ' x)
=
' ax 2 + bx + c) ' x − d 1 ) ...... ' x − d n ) P n ' x )
' ax 2 + bx
+ c) ' x − d 1 ) ...... ' x − d n )
Ax + B 2 + bx + c) ' ax
+
C 1 ' x − d 1 )
+ ....... +
C n ' x − d n )
Latihan :
+ 2 x − 3 dx 2 ∫ x + x − 2 1. x
2
4 x 3 + x 2 − 2
2.
∫ x
− 3 x + 2
dx
x + 1 dx 3 2 x + x − x
∫ 5.
3
∫ 3. x 4.
∫ x
2 x 2 + x 3
x 2
dx
+ x 2 + 4 x − 5 dx + 3 x 2 − 4 x − 12
x 3 3
+ x 2 + x + 2 x 4 + 3 x 2 + 2
x3
∫ .
+
−3 + 9 x + 2,
dx
RUMUS 4 RUMUS :
•
•
∫ u ∫ a
∫ •
∫
du
− a2
2
du
+ u
2
1
a
= ln
± a2 du
a −u 2
2a
=
2
du u2
1
=
u − a
ln
u + a
arc tg
u
+
u2
= arc sin
2
u a
+ C
+ C
± a 2 + C u a
+ C
#. Interal Trionometri 0an memuat
a 2 − x 2
a + x 2
,
2
,
x 2 − a 2
en0elesaian :
;unakan su/stitusi *
a − x 2
+ 7ntuk + 7ntuk
su*titusi x = a sin θ atau
x = a "os θ
a 2 + x 2
su*titusi x = a tg θ atau
x = a ctg θ
x − a
su*titusi x = a se" θ atau
2
+ 7ntuk
2
2
x = a "s" θ
Latihan :
1.
∫
∫ 2.
− x 2 dx − 4 x 2 x
3.
∫
x 1 − x 2 dx
dx
-
∫ 'hx + k )
. Interal
dx ax 2 + bx + c
n
en0elesaian : gunakan su/stitusi
u −1 = hx + k
5ontoh :
1.
2.
∫ ' x + 2)
∫ ' x + 2)
dx 2
x 2 + x + 1
3.
dx 2
x 2 + x + 4
4.
∫ ' x + 4)
dx x 2 + 2 x − 4
2
∫ '2 x + )
dx 2
x 2 − 2 x + 3
p
-. Interal
∫
x m ' ax n + b) q dx m +1
a. ika
n
su/stitusi
! untuk penelesaian gunakan
u q = ax n + b
m +1 /. ika
n
= Bilangan Bulat
≠ Bilangan Bulat !
m + 1 p + n q tetapi
= Bilangan Bulat ! untuk penelesaian
gunakan su/stitusi
u q x n = ax n + b
Latihan :
1
∫ x
dx 3
x − 4 4
.
2.
∫ x
dx x + 4
5.
2
∫ 5 x ( − 4 x ) dx 3
5
2
9
3.
∫ x
4dx 5
x 9 −
4.
∫ x
dx 4
x
2
−2
%A% II I&TE'RAL TERTE&TU I. De$inisi :
Integral tertentu dari fungsi f'() adala& * b
∫ f ' x) dx = F 'b) − F 'a) a
dF dx
Dengan
= f ' x)
Latihan * Tentukan Integral tertentu /erikut * 3
2 x ∫ 1.
4 x 2
−5
dx
1
2 π
2.
∫ x
sin ' 2 x + 1) dx
,
3
3.
2
∫ x 1
2 x + 5 2
+ 4 x +12
dx
%A% III ALIKASI I&TE'RAL
I. LUAS DAERAH
< g'() D f'() ,
a
/
=
,
=
D adala& daera& ang di/atasi a
≤ x ≤ b
! f ' x ) ≤ y
≤ g ' x)
b
∫
L D = ' g ' x) − f ' x) ) dx Luas daera& D adala& *
a
1,
< ( p')
( >')
d D "
,
=
D daera& ang di/atasi p ' y )
≤ x ≤ q ' y )
! c ≤ y
≤ d
d
∫
L D = ' q' y ) − p ' y ) ) dy c
Luas daera& D adala& *
Latihan : Tentukan luas daera& D
1. D daera& ang di/atasi
y = x ? y = x 2
.
2 = − + 2 ! y = x! y = , di kuadran pertama. y x 2. D daera& ang di/atasi
y = x − 4 x + 4 ? y = − x + 4 x − 1 . 3. D daera& ang di/atasi 2
2
II. olume %en-a utar 1. Meto-a 5a)ram
D
d r1 r2 k um/u putar
daera& D diputar
ter&adap garis k ter/entuk * 11
k
@olume @olume silinder /esar @olume silinder ke"il 2
2
' π r 2 ) d − ' π r 1 ) d
π
2
2
' r 2 − r 1 ) d
ika diterapkan pada daera& D ang di/atasi f'()! g'()! ( a! dan ( / Diputar ter&adap garis k ! maka 6olume ang ter/entuk adala& * b
∫
V = π
'r 2
2
2
− r 1 ) dx
a
Ilustrasi :
1. ika D diputar ter&adap garis , < g'()
D r2 f'() r1 ,
a
/
=
12
r 1 = f ' x)
b
V = π
∫ 'r
2
2
2
− r 1 ) dx
a
r 2 = g ' x)
!
b
∫
V = π C' g ' x)) 2 − ' f ' x)) 2 B dx a
2. ika D diputar ter&adap garis +p < g'()
D
,
a r1
f'()
/ r2
( +p
r 1 = f ' x) − ' − p ) = f ' x ) + p
b
V = π
∫ a
'r 2
2
2 − r 1 ) dx
!
r 2 = g ' x) − ' − p ) = g ' x ) + p
b
∫
V = π C' g ' x) + p) 2 − ' f ' x) + p) 2 B dx a
13
3. ika D diputar ter&adap garis t t r1 g'()
D
r2 f'()
,
a
/
(
r 1 = t − g ' x )
b
V = π
∫
'r 2
2
2
− r 1 ) dx
a
!
r 2 = t − f ' x )
b
∫
V = π C't − f ' x)) 2 − ' t − g ' x)) 2 B dx a
Latihan :
D daera& ang di/atasi (2 1! garis (, dan 5. dikuadran I. a. Eitung Luas daera& D Tentukan @olume D 0ika diputar ter&adap * /. ;aris ,. ". ;aris +3. d. ;aris -. 2. D daera& ang di/atasi (! +( 4! dan ,. Tentukan @olume D 0ika diputar ter&adap * a. ;aris ,. /. ;aris +5. ". ;aris 9. 14
3. D daera& ang di/atasi ole& Para/ola +(2+3( dan garis (+3, a. Tentukan luas daera& D /. Eitung @olumena 0ika diputar pd grs ( 3 ". Eitung @olumena 0ika diputar pd grs ,
2. Meto-a 5in6in
k d
t D r 1 r 2
t Tinggi daera& D r 0arak dari sum/u putar sampai titik tenga& D r 1 r d2 r 2 r d2
r sum/u putar
daera& D diputar
ter&adap garis k ter/entuk *
15
k
@olume @olume silinder /esar @olume silinder ke"il 2
2
' π r 2 ) t − ' π r 1 ) t
π
2
2
' r 2 − r 1 ) t
π
C' r + d 2) 2 − ' r − d 2) 2 B t
π
C' r 2 + rd + d 2 4) − ' r 2 − rd + d 2 4) B t
π
C r 2 + rd + d 2 4 − r 2 + rd − d 2 4 B t 2π t r d
ika diterapkan pada daera& D ang di/atasi f'()! g'()! ( a! dan ( / Diputar ter&adap garis k ! maka 6olume ang ter/entuk adala& *
b
∫
V = 2 π 'r t ) dx a
Ilustrasi :(am*il + /ara) sum*u 0 )e aristenah D!
1. ika D diputar ter&adap garis ( ,
1
< g'()
D r f'() ,
/
(
(
b
r = x
∫
V = 2 π 'r t ) dx a
!
t = g ' x) − f ' x)
b
∫
V = 2 π x ' g ' x) − f ' x ) ) dx a
2. ika D diputar ter&adap garis ( +s <
g'() D r
f'()
a +s
,
(
b
r = x − '− ) = x +
∫
V = 2 π 'r t ) dx a
/
!
t = g ' x) − f ' x)
b
∫
V = 2π ' x + ) ' g ' x) − f ' x) ) dx a
3. ika D diputar ter&adap garis ( f
1-
<
g'()
D
r
f'()
a (
,
/ f
b
r = f − x
∫
V = 2 π 'r t ) dx a
!
t = g ' x) − f ' x)
b
∫
V = 2π ' f − x ) ' g ' x) − f ' x) ) dx a
Latihan :
1. D daera& ang di/atasi (3! garis (, dan 9. dikuadran I. Tentukan @olume D 0ika diputar ter&adap * a. ;aris ( ,.
/. ;aris ( +2
".;aris (
2. D daera& ang di/atasi ( 2! +(2 4! dan ( , dikuadran I. Tentukan @olume D 0ika diputar ter&adap * a. ;aris ( ,.
/. ;aris ( +4
".;aris ( 5
III. A&7A&' %USUR LE&'KU&'A& (S!
19
∆ 2
∆! = '∆ x) 2 + '∆y) 2
1
∆ y + ∆ x
. ∆ x
∆ y dy → , dx ika ∆ x → maka ∆ x dan ∆ ! → d! ! adi d
2
1
+ d y d x
d x
e&ingga pan0ang /usur lengkungan f'() dari ( a ke ( /! adala& * 2
b
! =
∫ a
1
d y + d x
d x
Latihan : 3 2 y x = 1. Tentukan pan0ang /usur lengkungan diantara ( , dan
( 1.
= + 2. Tentukan pan0ang /usur lengkungan y 5 x 2 diantara ( 2 dan ( .
I. LUAS ERMUKAA& %E&DA UTAR 1
∆ Lengkungan f'() diantara ( a dan ( /! diputar ter&adap sum/u (! /agaimana menentukan luas permukaan ang ter0adiF
Karena
∆ "ukup ke"il maka luas permukaan ke"il dari /enda putar ang
ter0adi adala& *
f'()
∆!
2 π f ' x)
∆lua permukaan 2π f ' x) ∆ 2
2π f ' x)
1
∆ y + ∆ x
.
∆ x
2,
2
ika ∆ x → , maka
d lua permukaan
1
d y + d x
d x
e&ingga Luas Permukaan /enda ang ter0adi adala& * b
! = 2 π
∫ f ' x) a
2
d y 1 + d x
d x
Latihan :
1. Tentukan luas permukaan /enda putar ang ter0adi apa/ila lengkungan y = x diantara ( , dan ( 2 diputar ter&adap sum/u (. 2. Tentukan luas permukaan /enda putar ang ter0adi apa/ila lengkungan y = 2 x + 1 diantara ( 1 dan ( 4 diputar ter&adap garis +1.
21
%A% I I&TE'RAL LIAT DUA K88RDI&AT 5ARTESIA& I. De$inisi
ika D daera& ang di/atasi /e/erapa lengkungan pada /idang kartesian (. Dan G'(!) fungsi ang terdefinisi pada D. #aka Integral Lipat Dua dari fungsi G'(!) pada daera& D adala& *
∫∫ F ' x. y) dA !
dengan dA * Diferensial elemen luas 'd( d atau d d( )
D
g2'()
D
g1'()
,
a
/
(
;am/ar 1 * Integral Lipat Dua G'(!) pada D
II. Si$at Interal Li9at Dua ' F + " ) ' x! y ) dA = ∫∫ F ' x! y ) dA + ∫∫ " ' x ! y ) dA ∫∫ 1. D
D
D
' F ) ' x! y ) dA = ∫∫ F ' x ! y ) dA ∫∫ 2. α
α
D
D
III. Ta$siran Interal Li9at -ua g2'() D g1'()
,
a
/
(
;am/ar 2 * Tafsiran I Integral Lipat Dua
22
ika D daera& ang di/atasi a H ( H / ? f'(!) H H g'(!). #aka b g 2 ' x )
∫∫ F ' x! y) dA = ∫ ∫ F ' x! y) dy dx a g 1 ' x )
D
;am/ar 3 * Tafsiran II Integral Lipat Dua
ika D daera& ang di/atasi p 1') H ( H p 2') ? " H H d. #aka d p2 ' y )
∫∫ F ' x! y) dA = ∫ ∫ F ' x! y) dx dy c p1 ' y )
D
g2'() I
g3'() D
,
II g1'()
a
/
"
(
;am/ar 4 * Tafsiran III Integral Lipat Dua
ika D DI 7 DII.Dimana DI di/atasi a H ( H / ? g1'() H H g2'() dan DII di/atasi / H ( H " ? g1'() H H g3'(). #aka
∫∫ F ' x! y) dA = ∫∫ F ' x! y) dA + ∫∫ F ' x! y) dA D
D #
D ##
b g 2 ' x )
=∫
∫
a g 1 ' x )
F ' x! y ) dA
+
c g 3 ' x )
∫ ∫ F ' x! y) dA b g 1 ' x )
23
I. Latihan :
1. Diketa&ui D daera& ang di/atasi
Tentukan
+2! 3 ? ( +3! ( 5.
∫∫ '3 xy − x) dA . D
2. Diketa&ui D daera& ang di/atasi (2! ? ( , dikuadran I.
∫∫
'3 y + x 2 y ) dA.
Tentukan
D
D daera& ang di/atasi (3! +9 (, dikuadran III.
3. Diketa&ui
'4 xy ∫∫ Tentukan
3
D
4. Diketa&ui
2
9 − x 2
,
x 2
− 5 y ) dA .
∫ ∫ ' 3 xy + y ) dy dx
.
a. ;am/arkan daera& integrasi D. /. 7/a&la& urutan /atas inegrasi dan &itung.
5. Diketa&ui
3
− y
,
y
∫ ∫ ' 3 xy + y ) dx dy
.
a. ;am/arkan daera& integrasi D. /. 7/a&la& urutan /atas inegrasi dan &itung.
24
25
%A% ERSAMAA& DIERE&SIAL 8RDE SATU I. De$inisi
Persamaan Diferensial orde 1'PD Orde 1) adala& suatu fungsi ang memuat 6aria/le (! dan dd(.
F ' x! y!
dy dx
) = k ! k k$n tan ta
5ontoh *entu) D 8r-e 1 :
dy 1. dx
+ 4 x y = sin '2 x)
2 2 x y ' + ) dx + 2 x y dy = , 2.
dy 3.
dx
=
'3 x + 5 y −1) ' x − 4 y + 1 )
II. Masalah D 8r-e Satu
#enentukan penelesaian umum persamaan diferensial! aitu
f ' x ! y ) = C atau y = f ' x ) III. Ti9e ; Ti9e D 8r-e Satu
1. D aria*el Ter9isah
$entuk 7mum *
& ' x ! y ) dx + % ' x ! y ) dy = , Dengan #'(!) dan '(!) fungsi dalam 6aria/le ( dan
2
en0elesaian :
& ' x ! y ) dx + % ' x ! y ) dy = , & ' x ! y ) dx = − % ' x ! y ) dy Dengan opersi al0a/ar
P ' x ) dx = Q ' y ) dy
∫ P ' x ) dx = ∫ Q ' y ) dy Penelesaian umum
f ' x ! y ) = C
Latihan: Tentukan penelesaian umum PD 3 2 5 2 ' 2 5 + x y x y ) dx − 4 y dy = , 1.
'e y
+ x 3
dy
' − y 4 x 3 + 3 y 4 x )
x
2.
3.
dx
=
2
x y ) dx
− - y 2 dy = ,
9y
2. D Homoen
$entuk umum * PD
& ' x ! y ) dx + % ' x ! y ) dy = , dise/ut PD Eomogen 0ika #'(!) dan
'(!) fungi h$m$gen dera0at sama.
De$inisi $unsi homoen :
f 'kx ! ky) = k f ' x! y) Gungsi f'(!) dise/ut fungsi &omogen dera0at n 0ika n
%onto& * 2-
•
f ' x! y ) = 2 x 2 + y 2 suatu fungsi &omogen dera0at 2 karena
f 'kx! ky) = 2'kx) 2 + 'ky) 2 = 2k 2 x 2 + k 2 y 2 = k 2 '2 x 2 + y 2 ) •
f ' x! y ) = 4 x 2 + y
/ukan suatu fungsi &omogen karena
f 'kx! ky) = 4'kx) 2 + 'ky) = 4k 2 x 2 + k y = k '4kx2 + y ) en0elesaian :
u/stitusi PD
y = v x ? dy = v dx + x dv dan
& ' x ! y ) dx + % ' x ! y ) dy = , akan men0adi PD 6aria/le terpisa&
dalam 6 dan (.
Latihan : Tentukan penelesaian umum PD 2 2 ' 2 ) dx − 4 y x dy = , + x y a. 3 ' y /.
+ x 3
) dx
− 3 xy2 dy = ,
− y
".
' − y
+ x e x
) dx
+
x dy
=,
. D E)sa)
$entuk umum *
PD
& ' x ! y ) dx + % ' x ! y ) dy = , dise/ut PD Jksak 0ika
∂ & ∂ % = ∂ y ∂ x
en0elesaian :
Gungsi f'(!) % diperole& dari &u/ungan
∂ f = & ∂ x
dan
∂ f = % ∂ y
29
%ara 1 * dari
∂ f = & ∂ x
∫
f ' x ! y ) = & dx + C ' y )
Dan %') diperole& dari &u/ungan
%ara 2 * dari
∂ f = % ∂ y
∂ f = % ∂ y
∫
f ' x ! y ) = % dy + C ' x)
Dan %'() diperole& dari &u/ungan
∂ f = & ∂ x
Latihan: Tentukan penelesaian umum PD y y + + 2 y ) dy = , ' e ) dx ' x e 1. 2 2 x y ' + + 2 x ) dx 2.
dy .
dx
=
+ 2 x y
dy
=,
' y e x y + 3 ) 3 y − x e x y
". D Ti-a) E)sa)
$entuk umum * PD
& ' x ! y ) dx + % ' x ! y ) dy = , dise/ut PD tidak Jksak 0ika
∂ & ∂ % ≠ ∂ y ∂ x Dan suatu fungsi
µ
µ & ' x ! y ) dx
+ µ % ' x ! y ) dy =
ang mengaki/atkan PD
,
men0adi PD Jksak dise/ut
Gaktor Integrasi.
2
en0elesaian :
∂ & ∂ % ≠ ∂ x . a. Tun0ukkan ∂ y /. Tentukan fa"tor integrasi
µ
dengan menggunakan rumus
∂ & ∂ % − d µ ∂ x = ∂ y ∂ ( − ∂ ( µ % & ∂ x ∂ y
dengan
". elesaikan PD
d(
µ = µ ' ( ) dan ( = ( ' x ! y )
µ & ' x ! y ) dx
+ µ % ' x ! y ) dy =
,
Dengan penelesaian PD Jksak. Latihan : Tentukan penelesaian umum PD 3 ' x 1.
− x y ) dx − x 2 dy = , 3
2.
' 2 x y
2
integrasi 2 x y ' 2 3.
+ x 2 y 3
dengan fa"tor integrasi
µ = µ ' x) .
2
) dx + ' x 3 y − 2 x 2 y 3 ) dy = ,
dengan fa"tor
µ = µ ' x y )
+ y ) dx + ' x + 2 x 2 y − x 4 y 3 ) dy = ,
dengan fa"tor
1 µ = µ ' ) xy integrasi
3,
5. D Linier 8r-e Satu $entuk umum *
dy + p ' x ) y = q ' x ) dx
en0elesaian :
y = e ∫
p ' x ) dx ∫ dx + C B C ∫ q ' x ) e
− p ' x ) dx
Latihan : Tentukan penelesaian umum PD
dy 1.
+
dx x
3
dy dx
2.
dy 3.
dx
+
y x
=
' x
3
− 4 x 2 + 1)
+ ' 2 − 3 x 2 ) y = 2 y x
x
3
= '1+ ln x )
<. D %ernoulli
$entuk umum *
dy + p ' x ) y = q ' x) y α dx
α
konstanta tidak nol 31
