Matemàtiques 1r Batxillerat Socials IES Felanitx 2014-15

NOMBRES REALS. - Els nombres racionals. - Els nombres irracionals. - Els nombres reals. La recta real. - Intervals i semirectes. - Valor absolut d'un nombre real. - Radicals. Propietats. - Notació científica. - Logaritmes. - Propietats dels logaritmes. - Logaritmes decimals i logaritmes neperians.

ARITMÈTICA MERCANTIL -

Augments i disminucions percentuals.

-

Índex de variació.

1 Departament de Matemàtiques

Exercicis de nombres reals. 1) Indica si són certes o falses les expressions següents: a)

3

aba

1

3

b

1

b) (a • b) -3 

3

d) ( 3  4)2  7

1 b • a 3 b4

c) 5 a 2 • b 7  b • 10 a 4 • b 4

e) 2 • 3 3  6 72

f)

b a g ) (3 • a • b 2 ) 2  9 • a 2 • b 4 h) ( ) 4 ( ) 4  1 a b j ) 3 a 6 b 8  a • b • 3 a 3b 5

a+b a  c+ b c

i) 5 • 3 2  3 • 4 25

k) ( 7  5 )( 7  5 )  2 l) ( 7  5 ) 2  12

m) L’equació x2+16 = 0 té dues solucions n) L’equació x3+8= 0 no té cap solució. 2) Expressa com a potència única: 3

a)

a7 a4

b)

125 3

25

c)

3

2 4 2

d)

a2 a3  a2 a

3) Extreu factors dels radicals següents: 3

a) 16x

6

b)

28 x 5 75 y 3

c)  

2  

8

10

d)

4

625a b c6

4) Efectua les operacions següents: 3

a)

4 2

b)

3

4  2 4 8

c) 2 8  4 72  7 18

d) 150  54  24

5) Calcula els valors de x que verifiquen les desigualtats següents: a) x-3 5

b) x+6 5

c) x-8 3

6) Troba els valors de x per tal que es verifiquin les igualtats següents: a) log2 x = 3

b) log3 9 = x

c) logx 16 = 4

e) logx 8 = -3

f) log 1/8 x = 1/3

g) logx 4 = 1/2

i) log4

8= x

j) log1/8

3

2=x

k) log1/2

8= x

d) log1/2 4 = x h) log1/9 x = -1/2

l) log9

3

1 =x 3


Exercicis de percentatges i índexs de variació. 1) Calcula els anys que han de passar per tal que un capital de 2000 € posats en un banc a un 6% d'interès anual es converteixin en 5000 €.

2) Calcula el tant per cent anual a què s'han de col·locar 3000 € perquè en tres anys es converteixin en 3993 €.

3) Calcula el tant per cent anual a què s'han de col·locar 1200 € perquè en dos anys es converteixin en 1399,68 €.

4) El preu d'un ordinador ha baixat durant els últims anys i ha passat de costar 3.750 € a 1.560 €. Calcula l'índex de variació i la disminució percentual del preu.

5) El preu de la vivenda va augmentar l'any 2000 un 15%, l'any 2001 un 25% i l'any 2002 va disminuir un 5%. Calcula quin ha estat l'índex de variació d'aquests tres anys i calcula quin serà el preu l'any 2002 d'una vivenda que l'any 1999 valia 240.000 €.

6) El preu d'un DVD ha baixat l’últim any i ha passat de costar 200 € a 50 €. Calcula l'índex de variació i la disminució percentual del preu.

7) Calcula els anys que han de passar per tal que un capital de 2000 € posats en un banc a un 3% d'interès anual es converteixin en 3000 €

8) Compràrem un cotxe que valia 10.000 € i que s'ha devaluat un 20 % anual. Calcula els anys que han passat si sabem que ara val 3276'8 €.

9) El preu dels esclata-sangs ha finals d'Octubre va pujar un 15 %. Dia 6 de Novembre va pujar un 10 % i dia 11 de Novembre va baixar un 12 %. Troba l'índex de variació del preu dels esclata-sangs i calcula què costaven a finals d'Octubre els esclata-sangs que dia 11 de Novembre anaven a 20 € el quilo.

10) Quants anys es necessiten perquè es tripliquin 10.000 € col·locats al 8 % anual?


Exercicis de nombres reals, percentatges i índexs de variació. 1) Expressa amb una única arrel i simplifica al màxim:

a)

4

a5

3

2

a

b)

125 3

c)

5

3

9  3  4 27

2) Calcula els valors de x que verifiquen les desigualtats següents, deixant el resultat en forma d'interval o semirecta: a) x-7 4

b) x+4 1

3) Opera i simplifica: a) (2 5  3 2 ) 2

b) (2 3  3 5 )·(3 5  4 3)

4) Efectua les operacions següents: a) 2 12  4 27  3 75

b)

2 1 125  20  45 3 2

5) Troba el valor de x en cada cas: a) log4

8= x

b) logx 4 = 1/2

c) log3

3

9=x

6) El preu dels esclata-sangs ha finals d'Octubre va pujar un 8 %. Dia 6 de Novembre va pujar un 14 % i dia 11 de Novembre va baixar un 7 %. Troba l'índex de variació del preu dels esclatasangs i calcula què costaven a finals d'Octubre els esclata-sangs que dia 11 de Novembre anaven a 25 € el quilo.

7) Calcula el tant per cent anual a què s'han de col·locar 1000 € perquè en tres anys es converteixin en 1191,016 €.

8) Calcula els anys que han de passar per tal que un cotxe comprat per 20.000€ passi a valer 12.000€, si sabem que el seu preu es devalua un 5 % anual.


Exemple d’examen de nombres reals, percentatges i índexs de variació. 1) Calcula els valors de x que verifiquen les desigualtats següents, deixant el resultat en forma d'interval o semirecta: a) x+9 5

b) x-4 7

2) Opera i simplifica: b) (2 7  3 5 )·(3 5  4 7 )

a) (2 3  4 5 )2

3) Efectua les operacions, utilitzant les propietats de les arrels: 2 4 1 a) 125  20  45 3 3 2

b)

3

a7

4

a3

 100   4) Sabent que log k = 12, calcula: a) log  3  k  

b) log(k2·1000)

5) Troba el valor de x en cada cas (fent servir la definició de logaritme i les propietats de les potències): a) log4 3 16 = x

b) logx 9 = 1/2

c) log 1/8 3 2 = x

6) Calcula el tant per cent anual a què s'han de col·locar 2000 € perquè en tres anys es converteixin en 2315,25 €. 7) A principis de setembre el preu del quilo de raors era de 50 euros. Dia 15 de setembre va pujar un 10% i dia 30 de setembre va experimentar una variació de preu desconeguda. Més tard, dia 15 d’octubre, el preu va pujar un 5%. Si en acabar aquest procés el preu és de 51,975 euros el quilo, quina va ser la variació de dia 30 de setembre? 8) Tenim doblers invertits en un negoci que no va gens bé; cada any perdem el 5%. Si començàrem amb 4.000 euros, quants d’anys han de passar per tal que el nostre capital s’hagi convertit en 3.000 euros?


POLINÒMIS I FRACCIONS ALGEBRAIQUES - Suma, resta i multiplicació de polinomis. - Divisió de polinomis. - Dividir un polinomi per x- a. Regla de Ruffini. - Valor d’un polinomi per a x = a. - Teorema de la resta. - Arrels d’un polinomi. - Factorització de polinomis. - Divisibilitat de polinomis. - Fraccions algebraiques.

EQUACIONS I SISTEMES D’EQUACIONS. - Equacions de segon grau. Interpretació gràfica. - Equacions de segon grau incompletes. - Equacions que es relacionen amb les de segon grau. - La factorització com a recurs per a resoldre equacions. - Sistemes d'equacions. Interpretació gràfica. - Resolució de sistemes d'equacions. - Problemes que es resolen amb equacions o sistemes d’equacions.


EXERCICS DE POLINOMIS. 1) Troba un polinomi P(x) de tercer grau tal que té per arrels - 4 i 2 i verifica P(-3) = 10. 2) Descompon factorialment els polinomis P(x) = x4-10x3+35x2-50x+24 i Q(x)=x3-1 3) Determina el valor de m perquè el polinomi x3+mx2-4x+5 tingui de residu 21 en dividir-lo per x+2. 4) Troba un polinomi P(x) de tercer grau tal que té per arrels 2 i -1 i verifica P(3) = 28. 5) Siguin els polinomis P(x) = x2-3x+1 i Q(x) = 2x2-3 calcula: a) Els seus quadrats respectius. b) El cub de Q(x). 6) Troba un polinomi P(x) de tercer grau tal que té per arrels 3 i -2 i verifica P(1) = 18. 7) Descompon factorialment els polinomis P(x) = x4-2x2+1 i Q(x) = x4-3x3+3x2-3x+2. 8) En cada cas, calcula el valor de m perquè la divisió sigui exacta. a) ( x² + 4x - m ) : ( x - 3 ) b) ( 5x4 + 2x² + mx + 1 ) : ( x + 2) 9) Calcula el valor de k a cada cas. a) P(x) = - 2x4- 6x³ + 2x - k i P(-2) = 31 6 4 b) P(x) =  x  5x  3x² - k i P(-1) = 12 10) L’equació x2+bx+3 = 0 té una solució que és –2. Quant val b? 11) Troba el residu de les divisions següents, sense efectuar-les a) (x17-2x3+4) : (x-1) b) (x13+3x4-5): (x+1) 12) Determina el valor de c per a que l’equació x2-8x+c=0 tingui les dues arrels iguals. 13) Troba el valor de m perquè cadascuna d’aquestes divisions sigui una divisió exacta. a) ( x³ + 8x² + 4x + m ) : ( x + 4) b) ( 2x³ - 10x² - 5x + m ) : ( x - 5 ) c) (2x4 + 3x³ - 4x² - m ) : ( x + 4) d) ( 12x² - 3x + m ) : ( x - 8) 14) Descobreix, sense dividir, quines d’aquestes divisions són exactes. a) ( x³ - 3x² + 2x - 10 ) : ( x - 3 ) b) ( x³ - x² + x + 14 ) : ( x + 2 ) c) ( x6 - 1 ) : ( x - 1 ) d) ( x5 - 3x³ + 2x ) : ( x - 4 ) 15) Troba un polinomi de tercer grau que sigui divisible per x+4, que tengui una arrel que sigui 2 i que el seu valor numèric per a x=1 sigui 15. 16) Donat el polinomi P(x) = ax3-x2+bx+c determina a, b i c de manera que P(0)=5, P(2) = -3 i que sigui divisible per x+1 17) Donat el polinomi P(x) = 2x3-x2+cx+d, determina c i d de manera que el polinomi sigui divisible per x-2 i P(-1) = -6. 7 Departament de Matemàtiques

Equacions i sistemes (no 3x3). 1) Resol

a) 4X+1 + 2X-2-65= 0. b) 4X+1-2X-3-255 = 0. c) 22X - 3·2X+1 + 5·2X-1 = 2. d) 2·9X-1 - 3X+1 + 9 = 0. e) 32X -2·3X+1= 2·3X + 9. f) 3·2-X+1 + 5·2X+1 = 23.

x • y  30 2) Resoleu el sistema d’equacions:  2 2 x  y  11 3) Una tenda ha venut 60 caixes de bolígrafs. El preu original de cada caixa era de 12 euros i ha fet un descompte d’un 25 % a unes i d’un 20 % a unes altres. Si en total ha cobrat 564 euros, a quantes caixes els ha rebaixat un 25 %? 4) Un pare té el triple d’edat que la seva filla, i fa deu anys tenia set vegades l’edat de la seva filla. Quina edat tenen el pare i la filla?   x y 2 y 5) Resol el sistema d’equacions   4 x  3 y  7

6) En una classe hi ha 30 alumnes els quals tenen 15 o 16 anys. Si la mitjana d’edats és de 15,4 anys determina quants d’ells tenen 15 anys i quants 16.

 x • y  10 7) Resol el sistema d’equacions:  2 2  x  y  21  x  3 y  5 8) Resol el sistema d’equacions següent:    x  2y  x  2  2y

9) Un grup d’estudiants de primer de batxillerat organitza un viatge amb un cost total de 5.400 euros. A l’hora de partir compareixen 6 estudiants més i això fa que cada un dels anteriors pagui 30 euros menys. Troba el número d’estudiants que anaren al viatge i el que pagaren cada un. 10) El perímetre d’un triangle rectangle és de 90 m. i el catet més gran té 3 m. menys que la hipotenusa. Troba els tres costats del triangle. 11) Resol les equacions següents: a) x  2 x  1  1  x 12) Resol les equacions: a) 2 x  5  x  11  4

b) -x3 + 13x - 12 = 0 b) x4+x3-4x2-4x = 0 8

Departament de Matemàtiques

Problemes de plantejament (una i dues incògnites). 1) Un número està format per dos dígits tals que la seva suma és 9. Invertint l’ordre de col·locació d’aquests dígits resulta un número superior en 9 unitats a l’inicial. De quin número es tracta? 2) Un grup d’amics fan un viatge i han de pagar un total de 600 € pel total dels bitllets. Com que dos no tenen doblers els altres els conviden, havent d’augmentar la seva aportació en 80 € cada un. Quants amics són? 3) Per tancar una finca rectangular de 750 m2 s’han emprat 110 metres de filferro. Determina les dimensions de la finca. 4) Un pare ha comprat un jersei per a cada un dels cinc fills i s'ha gastat en total 108,75 euros. Tres dels jerseis tenien un 15% de descompte, i un altre en tenia un 20%. Sabent que inicialment costaven el mateix, quant ha hagut de pagar per cada jersei? 5) Un comerciant va comprar dos articles per 30 euros i els va vendre per 33,9 euros. En la venda del primer article va obtenir un 10% de benefici i en la venda del segon article va guanyar un 15%. Quant li va costar cada un dels articles? 6) Si repartim les pomes d’un cistell entre vuit al·lots, sobrarien dues pomes; però si els al·lots fossin set, a cada un li correspondria una poma més i sols en sobraria una. Quantes pomes hi ha en el cistell? 7) L’arrel quadrada de l’edat d’un pare dóna l’edat del seu fill. Al cap de 24 anys l’edat del pare serà doble que la del fill. Quants anys té cada un? 8) La diagonal d’un rectangle fa 13 cm. i el perímetre 34 cm. Troba els costats del rectangle. 9) Els costats d’un triangle tenen com a mesura en centímetres tres nombres parells consecutius. Calcula el valor d’aquests costats. 10) D’aquí a 11 anys l’edat d’en Pere serà la meitat del quadrat de l’edat que tenia fa 13 anys. Calcula d’edat actual d’en Pere. 11) En augmentar 5 m el costat d'un quadrat, la superfície augmenta 75 m2. Calcula el costat del quadrat. 12) Calcula l’edat d’en Pere i na Maria si sabem que l’edat d’en Pere és doble que l’edat de na Maria, i fa 15 anys el quadrat de l’edat de na Maria era igual a l’edat d’en Pere. 13) La diagonal d'un rectangle mesura 2 cm més que un dels seus costats. Calcula les dimensions del rectangle sabent que el seu perímetre és de 14 cm. 14) Entre na Rosa i na Beatriu tenen 124 discos compactes. Si na Rosa en passa 3 a na Beatriu, aleshores na Rosa en tindrà el triple que na Beatriu. Quants discos té cadascuna? 9 Departament de Matemàtiques

EXERCICIS DE SISTEMES I POLINOMIS.

 x • y  35 1) Resol el sistema d'equacions  2 2  x  y  24  3x  y  11 2) Resol el sistema d'equacions    2 x  y  5 x  21  2 y

3) En unes rebaixes he comprat un armari, amb el 20 % de descompte, i un llit, amb el 40% de descompte, i he pagat en total 5400 euros. Abans de les rebaixes hauria hagut de pagarne 7500. Calcula el preu de cada article. 4) Un grup d'amics ha de pagar una factura de 500 euros. Si fossen dos amics més, cada un d'ells hauria de pagar 12,5 euros menys. Quants amics són? 5) En una classe hi ha 23 alumnes. Quan falten 3 al·lots i 2 al·lotes, hi ha dues vegades més al·lotes que al·lots. Troba el nombre d’al·lotes i al·lots que hi ha en aquesta classe. 6) Donat el polinomi P(x) = ax3-x2+bx+5 determina a i b de manera que P(2) = -3 i que P(x) sigui divisible per x+1. 7) Troba un polinomi P(x) de quart grau de manera que tingui per arrels 1, 2 i -3 i verifiqui P(4) = 42. y  x  2  8) Resol el sistema  1 x x  y  0 

9) Determina el valor de m perquè el polinomi -x4+mx3+2x2-4x+8 tingui de residu 3 en dividir-lo pe x+2. 10) Resol l'equació: 2 x·( x  9)( x2  16)  0  x  2  3 y Resol el sistema   5  2 x  x  y


Exemple d’examen de polinomis i equacions. 1)

Determina el valor de m perquè el polinomi -x4+2x3+mx2-4x+8 tingui de residu 21 en dividir-lo pe x+2.

2)

Donat el polinomi P(x) = ax3+2x2+bx-2 determina a i b de manera que en dividir-lo per x+1 doni 2 de residu i que P(-2) = -8.

3)

Un triangle rectangle té de perímetre 24 metres i la hipotenusa és 2 metres més gran que un dels catets. Troba els tres costats.

4)

Hem comprat 3.000 euros en accions de dues empreses, A i B. Després d’un any el valor de la inversió és de 3.200. Calcula la quantitat invertida en cada empresa si sabem que les accions de l’empresa A s’han re valoritzat un 20%, mentre que les de l’empresa B han perdut un 30% del seu valor.

5)

6)

7)

8)

  x y  y  2 x Resol el sistema d’equacions   2 x  y  5

Troba un polinomi de quart grau, P(x), que sigui divisible per (x+2), que tingui per arrels 4 i -1 i que verifiqui P(3) = -20

 x • y  24 Resol el sistema  2 2  x  y  20

En una classe hi ha 30 alumnes i tots són simpatitzants del Barça o del Madrid. Si tres alumnes del Madrid es fessin del Barça hi hauria el doble d’alumnes del Barça que del Madrid. Quants alumnes hi ha de cada equip?


Sistemes d’equacions 3x3. Mètode de Gauss. Resol els sistemes d’equacions pel mètode de Gauss.  x  y  3z  4  1)  x  y  z  2 x  2 y  z  6 

(solució: x = 1, y = 2, z = -1)

x  y  z  6  2)  x  y  z  4 3x  y  z  8 

(solució: x = 1, y = 5-  , z =  )

x  y  z  2  3) 3x  2 y  z  4  2 x  y  2 z  2 

(solució: x = 1, y = -2, z = 3)

 x  2 y  3  4)  2 x  3 y  z  4 2 x  y  5 z  4 

(solució: x = -3+2  , y =  , z = -2+  )

3x  4 y  2 z  1  5)  2 x  3 y  z  2 5 x  y  z  5 

(no té solució)

3x  4 y  z  3  6) 6 x  6 y  2 z  16  x  y  2 z  6 

(solució: x = -1, y = 1, z = -2)

3x  2 y  z  1  7) 5 x  3 y  3z  3 x  y  z  0 

(solució: x = 3/2, y = -2, z = 1/2)

x  y  z  1  8) 3x  2 y  z  1 5 x  3 y  3z  1 

(solució: x = -1-3  , y = 2+4  , z =  )

 x  2 y  z  1  9) 2 x  4 y  2 z  3 x  y  z  2 

(no té solució) 12


Problemes de plantejament (3x3). 1) El pes d’en Joan i na Maria és de 50 kg en total. El de na Maria i el seu ca és de 29 kg en total. El d’en Joan i el del ca de na Maria és de 35 Kg. Calculau el pes de cadascun. 2) Tres jugadors guanyen 310 €. Si el segon guanya 30 € menys que el primer i el tercer guanya el doble que el segon, quant va guanyar cada un d’ells? 3) En una classe de 40 alumnes, aquests han de triar un esport entre futbol, bàsquet i tennis. Determinau el nombre d’alumnes que han triat cada esport sabent que el nombre de futbolistes és el triple del de tennistes i que hi ha dos jugadors més de futbol que de bàsquet. 4) Tres germanes tenen diferents edats. Calculau-les, sabent que la seva suma és 58 anys; que la diferència entre la primera i la darrera és 4 anys; i que la suma de les dues primeres és inferior en 10 anys al triple de l’edat de la darrera. 5) En una competició esportiva celebrada en un I.E.S. han participat 50 atletes distribuïts, segons l'edat, en tres categories: infantils, cadets i juvenils. El doble del número d'atletes infantils, per una part, excedeix en una unitat el número de cadets i, per altra part, coincideix amb el quíntuple de juvenils. Determina el número d'atletes de cada categoria. 6) Un llibreter va posar a la venda tres llibres de matemàtiques, A, B i C. El llibre A es va vendre a 28 euros, el B a 30 euros i el C a 25 euros. Calculau quants exemplars va vendre de cadascun si sabem que : a) El llibreter va ingressar un total de 4280 euros; b) El llibre A es va vendre tres vegades més que el B; c) El llibre C es va vendre com A i B junts. 7) Una empresa vol invertir 8 milions d'euros en tres productes financers, A, B i C. Entre el producte A i el B vol invertir set vegades més que en el producte C. El producte A ofereix una rendibilitat del 6 %, el B del 5 % i el C del 2 %. Calculau quants milions ha de dedicar a cada producte per a obtenir una rendibilitat global del 5 %. 8) Una persona ha invertit 2.000 euros en tres empreses diferents, A,B i C. El que inverteix en A és el doble de l'invertit en B. Després d'un any la rendibilitat de l'operació ha estat d'un 10 %. Les accions de l'empresa A han augmentat el seu valor en un 10% i les del B en un 30 %. Si les accions de l'empresa C han perdut un 10 % del seu valor, calcula les quantitats invertides a cada empresa. 9) En una llibreria la setmana passada feren una promoció de tres llibres: una novel·la, un llibre de poesia i un conte. Les vendes foren de 200, 100 i 150 exemplars respectivament. Sabem que la llibreria va ingressar amb aquesta promoció 8.600 euros, que el preu d'un exemplar de novel·la és el doble que el d'un conte i que el triple de la diferència entre el preu de l'exemplar de poesia i el del conte és igual al preu d'una novel·la. Calcula el preu de cada llibre. 13 Departament de Matemàtiques

Repàs de polinomis, equacions i sistemes (2x2). 1) D’un capital de 20.000 euros se n’ha col·locat una part al 5 % d'interès anual i la restant al 4%. La primera produeix cada any 280 euros més que la segona. Troba els valors de les dues parts del capital.  2 x  y  9 2) Resol el sistema    x y  x y

3) La hipotenusa d’un triangle rectangle fa 10 cm i la suma dels catets, 14 cm. Determina el valor dels catets.

x 2  y 2  65 4) Resol el sistema d’equacions  xy  28 5) Donat el polinomi P(x) = ax3-x2+bx+5 determina a i b de manera que P(2) = 3 i que sigui divisible per x-1 6) Determina el valor de m perquè el polinomi -x4+mx3-2x2-3x+6 tingui de residu 4 en dividir-lo pe x+2. 7) Troba un polinomi P(x) de quart grau de manera que tingui per arrels -1, 2 i 3 i verifiqui P(4) = 50. 8) Un pagès espera obtenir 36€ amb la venda d’ous. En el camí cap al mercat en trenca quatre dotzenes. Per obtenir el mateix benefici, augmenta 0,45€ el preu de la dotzena. Quantes dotzenes tenia al principi?


Més sistemes d’equacions (3x3). 1) En un hipermercat es realitza el recompte de caixa al final d’un cert dia. En monedes de 10, 20 i 50 cèntims d’euro, l’import total obtingut és de 500 euros. Per altra part, se sap que 200 euros corresponen, conjuntament, a les monedes de 10 i 20 cèntims. Si en total es compten 1.800 monedes, quantes monedes ha d’haver-hi de 10, 20 i 50 cèntims per a que la caixa quadri?

2) S’està preparant l’habitual pujada a Sant Salvador posterior al dia de Pasqua. L’organització va a càrrec de la P.B. Els Tamarells. Amb l’eficàcia que els caracteritza han elaborat 390 racions de dinar, que han col·locat dins 10 caixes de tres mides: grosses, mitjanes i petites, amb capacitat per a 50, 30 i 25 dinars respectivament. si una caixa grossa fos mitjana, aleshores hi hauria el mateix nombre de caixes grosses i mitjanes. Quantes caixes hi ha de cada classe?

3) El caixer d’un banc només disposa de bitllets de 10, 20 i 50 euros. Hem tret 290 euros del banc i el caixer ens ha entregat exactament 8 bitllets. El nombre de bitllets de 10 euros que ens ha donat és el doble que el de bitllets de 20. Calcula quants bitllets ens ha donat de cada tipus.

4) Un estudiant va obtenir, en un control que constava de 3 preguntes, un total de 8 punts. En la segona pregunta va treure dos punts més que en la primera i un punt menys que en la tercera. Planteja un sistema d’equacions per determinar la puntuació obtinguda en cadascuna de les preguntes. Resol el sistema.

5) En una de les famoses partides de pòquer de sis jugadors dels dijous a vespre han guanyat n’Antoni, en Colau i en Bernat. N’Antoni ha guanyat el 20% més que els altres dos junts. En Bernat ha guanyat 100 euros més que en Colau. N’Antoni ha guanyat el triple que en Colau. Quant ha guanyat cada un?

6) Una persona ha invertit 2.000 euros en accions de tres empreses diferents, A,B i C. D’haver invertit 200 euros més en l’empresa A, la quantitat invertida en A seria el doble de la invertida en B. Després d'un any la rendibilitat de l'operació ha estat d'un 4.5%. Les accions de l'empresa A han augmentat el seu valor en un 10% i les de C un 20 %. Si les accions de l'empresa B han perdut un 15% del seu valor, calcula les quantitats invertides en cada empresa.

7) Una tenda ha venut 225 llapis de memòria de tres models diferents, que anomenarem A, B i C, i ha ingressat un total de 10.500 euros. El llapis A costa 50 euros, i els models B i C són, respectivament, un 10% i un 40% més barats que el model A. La quantitat de llapis venuts del model A és el doble que la suma dels llapis venuts dels models B i C. Calcula quantes unitats s’han venut de cada model per mitjà d’un sistema d’equacions.

8) En un berenar de matances s’han reunit 80 persones, entre homes, dones i al·lots. Comptant homes i dones junts, el seu nombre resulta que és el triple del nombre d’al·lots. A més, si hi haguessin acudit dues dones més, el seu nombre igualaria el d’homes. Determina, plantejant i resolent un sistema d’equacions, quants homes, dones i al·lots hi ha en aquest berenar.

9) Ens han regalat una pescada pròpia del mes de setembre, amb raors, pedaços i aranyes. En total hi ha 75 peixos. Sabem que el doble del nombre de pedaços és 20 unitats inferior al nombre de raors. Per altra part, les aranyes i els pedaços sumen la meitat que el nombre de raors. Quants peixos hi ha de cada espècie?

10) Una mestressa de casa va adquirir en el mercat certes quantitats de patates, pomes i taronges a un preu de 0.60 €, 0.72 € i 0.91 € el quilo respectivament. L'import total de la compra va ser 7 € i el pes total 9 kg. A més, comprà 1 kg més de taronges que de pomes. Plantejau un sistema per determinar la quantitat comprada de cada producte. Resoleu el sistema.


Exercicis de repàs de la 1ª avaluació. Equacions i sistemes. 1) En una aula hi ha 32 alumnes que són simpatitzants del Barça, del Madrid o del Mallorca. Sabem que n'hi ha el doble del Barça que del Madrid. També sabem que del Madrid n'hi ha quatre més que del Mallorca. Determina, resolent un sistema d'equacions, quants n'hi ha de cada equip. 2) Resol l'equació

5 1 x x 1   0 2 x4 x5

3) D’un capital de 20.000 euros se n’ha col·locat una part al 5 % d'interès anual i la restant al 4%. La primera produeix cada any 280 euros més que la segona. Troba els valors de les dues parts del capital. 4) Una empresa concedeix 27.200 euros per a ajuts a 100 estudiants, fills dels seus treballadors. Estableix tres quanties diferents en funció dels seus nivells educatius, A, B i C: 400 euros per als del nivell A, 160 euros en el nivell B i 200 en el C. Si per al nivell A destina cinc vegades més doblers que per al nivell B, quants estudiants hi ha a cada nivell? 5) La suma de tres nombres és 45. La suma dels dos menors és igual a la meitat del major. El triple del menor més la meitat del major és igual al major. Troba aquests tres nombres. 6) Resol l'equació

10 x  5 5  x   3 x 5 x 5

7) Resol l’equació

8 12  x  1 x6 x6

8) Tres amics, na Clara, na Marta i en Pere, han anat de compres. Na Clara ha gastat el triple que en Pere, i na Marta, la meitat que na Clara. Si, a més a més, se sap que entre tots tres han gastat un total de 1.243 €, quina quantitat ha gastat cada un d'ells? 9) Una tenda de DVD ha obtingut 247.250 € per la venda de 220 DVD de música clàssica, rock i folk (són de tirada limitada i per a col·leccionistes). Sabent que el DVD de música clàssica costa 1.250 €, que els altres dos són un 10% i un 20% més barats que aquell, respectivament, i que la suma dels DVD de rock i folk són el triple que els de clàssica, troba el nombre de DVD venuts de cada tipus. 10) El perímetre d’un triangle rectangle és de 24 metres. Si sabem que un catet és 2 metres més gran que l’altre, troba les dimensions dels seus tres costats. 11) Resol l'equació

x4 4x  2 5 x 3 x 1

12) Tenim un euro en monedes de 2, 5 i 10 cèntims; en total hi ha 22 monedes. Sabent que el nombre de monedes de 5 i 10 cèntims juntes excedeix en dues unitats el nombre de monedes de 2 cèntims, calcula quantes monedes de cada tipus tenim.


Exemple d’examen dels primers temes. 1) Tenim 1.400 euros en bitllets de 50 euros, 100 euros i 200 euros. El nombre de bitllets de 100 euros és el doble del nombre de bitllets de 50 euros. Per altra part, el nombre de bitllets de 100 euros és sis unitats superior al nombre de bitllets de 200 euros. Calcula quants bitllets hi ha de cada tipus. 2) A Portocolom hi ha un autobús que va de Cala Marçal a S’Arenal, amb capacitat per a 60 viatgers. Avui té totes les places ocupades i hi ha tres tipus de viatgers: els que paguen el bitllet normal, que val un euro; els estudiants, que paguen 0.75 euros; i els jubilats, que paguen 0.5 euros. La recaptació de l’autobús en aquest viatge és de 48 euros. Calcula el nombre de viatgers de cada tipus, sabent que els estudiants eren el doble que la resta de viatgers junts (és a dir, el nombre d’estudiants és el doble de la suma de jubilats i gent amb bitllet normal).

x  y  z  3  3) Resol pel mètode de Gauss el sistema 2 x  3 y  5 z  10 3x  5 y  6 z  4  4) En un triangle rectangle de perímetre 30 metres els dos catets es diferencien en 7 metres. Troba els tres costats.  3x  y  7 5) Resol el sistema d’equacions:    2x  y  y  3  x

6) Resol l'equació 4x - 4·2x + 3·2x-1 = 6 7) Donat el polinomi P(x) = 2x3-x2+cx+d, determina c i d de manera que el polinomi sigui divisible per x-2 i P(-1) = -6. 8) Un grup d’amics fan un viatge i han de pagar un total de 600 € pel total dels bitllets. Com que dos no tenen doblers, els altres els conviden, havent d’augmentar la seva aportació en 80 € cada un. Quants amics són?


INEQUACIONS - Inequacions amb una incògnita. - Inequacions lineals amb dues incògnites. - Sistemes d'inequacions lineals amb dues incògnites.

FUNCIONS ELEMENTALS - Concepte de funció. - Domini de definició d'una funció. - Funcions lineals y = mx + n. - Interpolació lineal. - Funcions quadràtiques. - Algunes transformacions de funcions. - Funcions - Funcions radicals. - Funcions definides "a trossos". - Valor absolut d'una funció. - Aplicacions de les funcions per a resoldre problemes de la vida quotidiana.

FUNCIONS EXPONENCIALS I LOGARÍTMIQUES - Les funcions exponencials. - Les funcions logarítmiques.

LÍMITS DE FUNCIONS: CONTINUÏTAT I BRANQUES INFINITES. - Discontinuïtats. Continuïtat. - Límit d'una funció en un punt. - Càlcul del límit d'una funció en un punt. - Comportament d'una funció quan x tendeix a ∞. - Càlcul de límits quan x tendeix a ∞. - Branques infinites. Asímptotes. - Comportament d'una funció quan x tendeix a ∞. 18 Departament de Matemàtiques

Exemples gràfics de sistemes d’inequacions (amb dues incògnites). 4 x  3 y  48  1) Resol el sistema 2 x  3 y  36 .  x  0, y  0 

3x  y  30  2) Resol el sistema  x  4 y  32  x  0, y  0 


 x  2 y  15 24 x  12 y  108  3) Resol el sistema  x  y 0  x  8  0  y  12

300 x  1.000 y  28.000 x  2 y  4) Resol el sistema  0  x  50  y  10


Sistemes d’inequacions i dominis de funcions.  y  2x  6 3 x  4 y  24  1) Resol el sistema d’inequacions:  x  y  x  10   y  0, x  0

 x  y  120 3 y  x  2) Resol el sistema d’inequacions:   x  100  y  10

2 x  3 y  2  3) Resol el sistema d’inequacions: 5 x  y  3  2 x  2 y  6  4) Resol el sistema: x  0, y  0, 3x  2 y  10, 2 x  3 y  24, x  5 y  1. 5) Resol el sistema: x  2 y  6 ;

x  y 1 ;

y5 ;

x0 ;

y0

6) Resol gràficament el sistema: x  5, x  10, y  1, 3x  2 y  10, 2x  3y  24 7) Troba el domini de les funcions: a) f(x) =

x 1 , x2  9

b) g(x) =

3

x5 , x3

c) h(x) = x  9

4

x5 , x3

c) h(x) = x 3  x 2  9 x  9

8) Troba el domini de les funcions: a) f(x) =

x 1 , x2  9

b) g(x) =

9) Troba el domini de les funcions: a) f(x) =

x2  4 , b) g(x) = x

3

x3 , c) h(x)= x3  x 2  x  1 . x 2  16


Exercicis de funcions (1). 1r de Batxillerat Socials. 1) Determina l’equació de la recta que passa pels punts (1,3) i (-2,-3) 2) Determina l’equació de la paràbola que passa pel punt (0,1) i té per vèrtex el punt (1,-1) 3) El nombre de formigues voladores h(x), en milions, en una regió, depèn de la pluja caiguda x, en mil·límetres. Si la funció que relaciona una i altra variable és h(x) = 70x-5x2, determina: a) La quantitat de pluja per a haver-hi 75 milions de formigues. b) La quantitat de formigues si cauen 10 mm. d’aigua. c) La quantitat de pluja que fa màxima la població de formigues. 4) Donada la funció y = ax2+6x-2, calcula el valor del paràmetre a per a que la paràbola en qüestió talli l’eix OX en un sol punt. 5) Calcula l’equació de la paràbola que passa pel punt (0,2) i té el vèrtex en el punt (3,-7) 6) Les funcions d’oferta i demanda d’un determinat producte són: q s ( p)  200  q d ( p)  520 

1 2 p i 4

1 2 p , es demana: 5

a) Determina el preu d’equilibri i el nombre d’unitats ofertes i demandades en aquest preu b) A quin preu es produeix una escassetat de 315 productes. 7) Determina, sense fer el dibuix, si els punts (1,-8), (5,-4) i (10,1) estan alineats. 8) S’ha comprovat que les pèrdues o guanys d’una empresa s’ajusten a la funció y  x són les anys de vida de l’empresa ( x  0 i y en milers d'euros). Es demana:

3x  12 on x6

a) Representa la funció b) A quin any deixa de tenir pèrdues l’empresa? c) Estan limitats els seus beneficis? Si ho estan, quin és el seu límit? 9) Una fàbrica de televisors té una funció de costs C(x) = 4000+50x, en euros, on x són el nombre de televisors fabricats. Els ingressos vénen donats per la funció I(x) = 120x-0.02x2, també en euros. Quants de televisors s’han de fabricar per a que el benefici sigui màxim? Quin és aquest benefici màxim? 10) Troba l’equació d’una paràbola que té el vèrtex en el punt (1,-5) i passa pel punt(0,-2) 11) Donada la funció y = ax2-3x+1, calcula el valor del paràmetre a per tal que la paràbola en qüestió talli la recta y = x-3 en un sol punt. 22 Departament de Matemàtiques

Exercicis de funcions (2). 1r de Batxillerat Socials. 1) Calcula l’equació de la paràbola que passa pel punt (0,2) i té el vèrtex en el punt de tall de les rectes y = 2x+2 i y = x+3. 2) Troba l’equació d’una paràbola que té el vèrtex en el punt d’abscissa x=-1 i passa pels punts (0,3) i (2,19). 3) S’ha comprovat que les pèrdues o guanys d’una empresa s’ajusten a la funció y  són les anys de vida de l’empresa ( x  0 i y en milers d'euros). Es demana: a) Representa la funció b) A quin any deixa de tenir pèrdues l’empresa? c) Estan limitats els seus beneficis? Si ho estan, quin és el seu límit?

4) Calcula: a)

lim

x 3  5x 2  6 x x 3  7 x 2  16 x  12

b)

x3

lim

2x  4 on x x2

x 3  2x 2  2x  1 x 3  3x 2  x  3

x 1

5) Determina l'equació de la paràbola que té el vèrtex en el punt de tall de les rectes y = x + 1 i y = 2x i que passa pel punt (0,5). 6) Les despeses anuals d'una empresa per la fabricació de x televisors són G(x) = 20000 + 250x en €, i els ingressos que s'obtenen per les vendes són I = 600x - 0,1x2 en €. Digues quants televisors s'han de fabricar perquè el benefici sigui màxim? Quin és aquest benefici?

 x 2  ax  b si x  2  7) Donada la funció f(x)=  3x 2  2 x  4 si - 2  x  1 calcula els valors de a i de b que ens ax 2  bx  2  garanteixen l’existència de tots els límits. 8) Donades les funcions y = ax2+3x+2 i y = 4x + 1 determina el valor del terme a per tal que les dues corbes es tallin en un únic punt. 9) Determina l’equació de la paràbola que passa pels punts (0,3), (1,11) i (-2,-1) 10) Segons un estudi sobre l’evolució de la població d’una espècie protegida determinada, podem establir el nombre d’individus d’aquesta espècie durant els propers anys 50t  500 mitjançant la funció f(t) = en què t és el nombre d’anys transcorreguts. t 1 a) Calcula la població actual i la prevista per d’aquí a nou anys. b) Esbrina si, segons aquesta previsió, la població tendirà a estabilitzar-se en algun valor i, si escau, troba’l. c) Dibuixa la gràfica 23 Departament de Matemàtiques

Exemple d’examen d’inequacions, inici de funcions i repàs. 3x  10 y  300 x  2 y  1) (1.5 punts) Resol el sistema d’inequacions   x  50  y  10

2) (1.25 punts) Troba el domini de les funcions a) f(x) =

x 1 , x 2  16

b) g(x) =

3

x5 x2  9

3) (1.5 punts) Donada la paràbola y = ax2+bx+2, troba a i b si sabem que el seu vèrtex és (3,-7). 4) (1.25 punts) Planteja un sistema d’equacions que permeti resoldre aquest problema: “Una persona ha invertit 2.000 euros en tres empreses diferents, A, B i C. D’haver invertit 200 euros més en l’empresa A, la quantitat invertida en A seria el doble de la invertida en B. Després d'un any la rendibilitat de l'operació ha estat d'un 4.5%. Les accions de l'empresa A han augmentat el seu valor en un 10% i les de C un 20 %. Si les accions de l'empresa B han perdut un 15% del seu valor, calcula les quantitats invertides en cada empresa”. 5) (1.75 punts)Tenim 140 euros en bitllets de 5, de 10 i de 20 euros. Hi ha el doble de bitllets de 10 que de 20. Hi ha un bitllet de 5 més que de 20. Troba quants bitllets hi ha de cada tipus. 6) (1.25 punt) Resol l’equació 1 

12  x 8  0 x6 x6

7) (1.5 punts) En un triangle rectangle de perímetre 30 metres la hipotenusa és 8 metres més gran que un dels catets. Troba els tres costats.


Exercicis de funcions (3). 1r de Batxillerat Socials. 1) Calcula

lim

x3  x2  x  1 x 2  3x  2

x 1 2) La taxa d’inflació interanual d’un país determinat durant l’any 2011, expressada en punts percentuals, i(t), es pot aproximar mitjançant la funció en què t és el temps en mesos des del començament de l’any i t = 1 és el mes de gener. a) Trobeu en quins mesos la taxa d’inflació interanual és de 3 punts percentuals. b) Trobeu en quin mes la taxa assoleix el valor mínim i calculeu aquest valor. c) Feu un esbós de la gràfica d’aquesta funció. d) Trobeu en quin mes la taxa assoleix el valor màxim i calculeu aquest valor. 3) En una explotació ramadera es declara una epidèmia, i els veterinaris preveuen que la propagació d’aquesta seguirà la funció f (x) = –2x2 + 48x + 162, en què x representa el nombre de setmanes que han transcorregut des del moment de la declaració de l’epidèmia, i f (x) indica el nombre d’animals afectats. a) Quants animals hi ha afectats en el moment de declarar-se l’epidèmia? Quantes setmanes durarà l’epidèmia fins al moment en què ja no quedi cap animal afectat? b) Indiqueu quin serà el nombre màxim d’animals afectats, i en quina setmana es produirà. 4) Un fons d’inversions posa en marxa un producte financer que aporta un benefici de R(x) euros en fer una inversió de x centenars d’euros, segons la funció R(x) = –0,01x2 + 4x + 20. a) Calculeu quina inversió produeix més beneficis. b) Calculeu el tant per cent de benefici que s’obtindrà amb una inversió de 1 000 €, i el que s’obtindrà amb una de 10 000 €. 5) Donada la funció següent: a) Determineu-ne el domini i els valors de x per als quals el signe de la funció f és negatiu. b) Determineu les asímptotes horitzontals i verticals de la funció f. 6) Considereu la funció

. Feu-ne una representació gràfica

aproximada. Justifiqueu per a quins valors de x la funció és discontínua. 7) Un estudi de laboratori sobre la propagació d’una espècie de mosques mostra que, passades t setmanes, el nombre d’individus és N(t) centenars de mosques, en què N(t)=–(t – 2)2+9. a) Quantes mosques formen la població al cap d’una setmana? Quantes setmanes han de transcórrer fins a la desaparició total de les mosques? b) Quina és la població màxima d’individus? Quantes setmanes han hagut de passar per a obtenir aquesta població màxima? 8) Troba les asímptotes de les funcions següents i situa la corba respecte d'elles: x2  1 x3 a) y = 2 b) y = 2 x 9 x 4


Exercicis de funcions (4). 1r de Batxillerat Socials. x 3  x 2  3x  2 x 2  3x  4  5 5 lim 1) Calcula: a) ) b) ) x 2  7 x  10 (sol: x3  x 2  2 x  2 (sol: 3 3 x2 x  1 lim

2) Se sap que l’expressió que representa el nombre de clients, N(t), que va durant un dia a una cadena de magatzems, en funció del nombre d’hores, t, que duen oberts, és N(t) = at2+bt, 0  t  8. Sabent que el màxim de clients que han acudit aquest dia ha estat de 160 i que s’ha produït a les 4 hores d’obrir, troba a i b (sol: a = -10 i b = 80) 3) Un proveïdor cobra l’oli segons el volum de la comanda. Així, la funció que relaciona el preu de

si 0  x  30 3x , on f(x) representa 2x  30 si 30  x

la comanda amb el volum de la mateixa és: f(x) = 

l’import, en euros, d’una comanda de x litres d’oli. a) És l’import una funció contínua del volum? b) Representa gràficament la funció)

 ax  5 si x  -2  2 4) Donada la funció (x) = x - 2x  1 si - 2  x  3 , determina a i b per tal que la funció sigui  xb  si 3  x  (x - 1) 2 contínua en tot el seu domini (sol: a= -2, b = 13). 5) El preu en euros d’un producte, durant els cinc anys que va estar en el mercat, venia donat per la funció P(t) = -t2+8t+25, on 0  t  5 (t representa els anys). Troba el màxim i el mínim del preu (sol: 41 euros i 25 euros ). 6) Considera la funció següent: a) Fes-ne la representació gràfica. b) Digues en quins punts és discontínua i quin tipus de discontinuïtat té. 7) Considera la funció següent:

. Determina les asímptotes horitzontals i verticals, si n’hi ha.

Representa la corba al voltant de les asímptotes. 8) Una empresa que fabrica bicicletes ven la totalitat de la producció. Anomenarem x el nombre de bicicletes que fabrica mensualment. Els costos mensuals de producció, en euros, segueixen la funció C(x)=180x+12 000. La venda de les bicicletes li reporta uns ingressos que segueixen la funció . Els beneficis de l’empresa són, lògicament, la diferència entre ingressos i costos. a) En quin interval cal situar la producció per a no perdre diners? b) Quantes bicicletes ha de produir mensualment l’empresa per a obtenir el benefici màxim? En aquest cas, quant guanya per cada bicicleta? 9) Un bosc té una massa forestal de 40 000m3 de fusta. Es calcula que la pluja àcida i els incendis provoquen una disminució del 6% anual de l’esmentada massa forestal, que es pot expressar en termes de la funció F(t)=40 000 · 0,94t, en què F(t) és la massa forestal que queda passats t anys. a) Justifica que la funció F és estrictament decreixent. b) D’aquí a quants anys la massa forestal s’haurà reduït a la meitat?


Exercicis de repàs de logaritmes, exponencials, polinomis,….. 1) Calcula els valors de x que verifiquen les desigualtats següents: a) x-6 2, b) x+5 3, c) x-4 5, d) x+10 7. 2) Troba els valors de x per tal que es verifiquin les igualtats següents: a) log4

8= x

b) log1/4

3

2=x

c) log1/4 x = -1/2

d) logx 4 = 1/2

3) Resol l'equació log(x-3) = 1 + log(x-8) 4) Sabent que log k = 4, calcula el valor de: a) log

1 k3

b) log(10·k3)

c) log(

k2 ) 100

5) Sabent que log k = 16, calcula el valor de: a) log

1 k

b) log(10·k-4)

c) log(

k5 ) 1000

6) Troba un polinomi de tercer grau que sigui divisible per x-4, que tingui una arrel que sigui -2 i que el seu valor numèric per a x=1 sigui 15. 7) Donat el polinomi P(x) = ax3-x2+bx+8 determina a i b de manera que P(-2) = 4 i que sigui divisible per x+1 8) Donat el polinomi P(x) = 2x3-x2+cx+d, determina c i d de manera que el polinomi sigui divisible per x-2 i P(-1) = 4. 9) Troba el valor de m perquè cadascuna d’aquestes divisions sigui una divisió exacta. a) ( x³ + mx² + 4x + m ) : ( x -2)

b) ( 2x³ +mx² +mx +3 ) : ( x - 1 )

10) Troba el residu de les divisions següents, sense efectuar-les c) (x13-2x8+4) : (x-1) d) (x16+3x3-5): (x+1) 11) Determina el valor de m perquè el polinomi -x4+mx3+2x2-5x+3 tingui de residu 4 en dividirlo pe x+2. 12) Troba un polinomi P(x) de quart grau de manera que tingui per arrels 1, 2 i -3 i verifiqui P(4) = 84 13) Resol l'equació log(x+3) = 1 + log(x-6) 14) Troba els valors de x per tal que es verifiquin les igualtats següents: a) logx 8 = 3 e) log16

8= x

b) log 1/27 x = 1/3

c) logx 9 = 1/2

f) log1/8 3 16 = x

g) log1/4

8= x

d) log1/9 x = -1/2 h) log9

4

1 =x 3 27


Exercicis de repàs de funcions. 1) Se sap que l’expressió que representa el nombre de clients, N(t), que va durant un dia a una cadena de magatzems, en funció del nombre d’hores, t, que duen oberts, és N(t) = at2+bt+376, 0  t  8. Sabent que el màxim de clients que han acudit aquest dia ha estat de 400 i que s’ha produït a les 2 hores d’obrir, troba a i b. 2) Donada la funció y = a·ekx+10, sabem que passa pels punts (0,12) i (3,20). Calcula els valors de a i k. 3) El nombre d’alumnes que estan cansats de fer exàmens ve donat per l’expressió N(t) = -(t3)2+16, on t indica els dies que fa d’ençà que es començà a fer l’estudi. Es demana: a) El nombre màxim d’alumnes que estan cansats de fer exàmens. b) Els dies que han de passar per arribar a no haver-hi cap alumne cansat. 4) La taxa d’inflació interanual d’un país determinat durant l’any 2011, expressada en punts percentuals, i(t), es pot aproximar mitjançant la funció i(t) =at2+bt+2, 1  t  12 en què t és el temps en mesos des del començament de l’any i t = 1 és el mes de gener. Si sabem que el màxim s’agafa en el mes 5 (maig) i és de 2.75 punts, calcula els valors d’a i de b. Quin és el mínim de la funció? 5) La gràfica d’una funció logarítmica del tipus y = 5 + logb(x-a) passa pels punts (3,5) i (11,7). Troba a i b. 6) Les despeses anuals d'una empresa per la fabricació de x canyes de pescar són G(x) = 20000 + 25x en €, i els ingressos que s'obtenen per les vendes són I = 60x - 0,01x2 en €. Digues quantes canyes s'han de fabricar per tal que el benefici sigui màxim? Quin és aquest benefici? 7) Segons un estudi sobre l’evolució de la població de raors davant el far de Portocolom, podem establir el nombre d’individus d’aquesta espècie durant els propers anys mitjançant 45.000t  1.000 la funció f(t) = en què t és el nombre d’anys transcorreguts. 3t  1 a) Calcula la població actual i la prevista per d’aquí a deu anys. b) Esbrina si, segons aquesta previsió, la població tendirà a estabilitzar-se en algun valor i, si escau, troba’l. c) Quants anys han de passar, segons la previsió, per haver-hi 13.500 raors? 8) El preu en euros d’un producte, durant els deu anys que va estar en el mercat, venia donat per la funció P(t) = -2t2+16t+100, on 0  t  10 (on t representa els anys). Troba el màxim i el mínim del preu. Fes una representació gràfica aproximada de la funció. 9) Durant els trenta dies consecutius d'un mes les accions d'una determinada companyia han tingut unes cotitzacions donades per la funció f(x)=0.2x2-8x+100, on x és el nombre de dies transcorreguts. a) Determina els dies que les accions varen estar de baixa (baixant de preu) i els quals van estar en alça. b) Quin dia del mes arriben al valor màxim? I al valor mínim? Quins són aquests valors? Representa gràficament la funció, indicant el seu domini de definició. 28 Departament de Matemàtiques

Més exercicis de funcions. 1) La funció f(x) =

x 2  bx  6 no té per asímptota vertical la recta x=2; determina el valor x2

de b. 2) Calcula, de manera raonada, l’equació de les asímptotes de la funció f(x) =

x3  4x 2  2x  1 x 2  2x  3

 2x  2 x0  3) Representa gràficament la funció  x  3  x 2  6 x  3  x  0 

4) Donada la funció y = ax2+8x+4, calcula el valor del paràmetre a per tal que la paràbola en qüestió talli la recta y=2x+3 en un sol punt. 5) Donada la paràbola y = ax2+bx+2, troba a i b si sabem que el seu vèrtex és

(3,-7).

x3  x  3 6) Calcula l’asímptota inclinada de la funció f(x) = 2 , dibuixa aquesta asímptota i x  x 1 representa de manera raonada la posició de la funció respecte d’aquesta asímptota.

7) Calcula a)

lim

x 3  5x 2  6 x x 3  7 x 2  16 x  12

x3

b)

lim

x 3  2x 2  2x  1 x 3  3x 2  x  3

x 1

8) Calcula les equacions de les asímptotes de la funció f(x) =

x2  x  2 x 2  3x  2

9) Calcula l’equació de la paràbola que passa pel punt (0,5) i té el vèrtex en el punt de tall de les rectes y = 2x+5 i y = x+6.  2x  4 x0  10) Representa gràficament la funció  x  5 x 2  4x  3  x  0 


Exemple d’examen de funcions. 1) (1.5 punts) Donada la funció y = a·ekx+10, sabem que passa pels punts (0,12) i (3,20). Calcula els valors de a i k. 2) (1.5 punts) Se sap que l’expressió que representa el nombre de clients, N(t), que va durant un dia a una cadena de magatzems, en funció del nombre d’hores, t, que duen oberts, és N(t) = at2+bt+376, 0  t  8. Sabent que el màxim de clients que han acudit aquest dia ha estat de 400 i que s’ha produït a les 2 hores d’obrir, troba a i b.  32(2) x si x  -2  3) (1.5 punts) Representa gràficament la funció f(x) = x 2  4 x  5 si - 2 < x < 3  2x - 10  si x  3  x -7

4) (1.5 punts) La gràfica d’una funció logarítmica del tipus y = 5 + logb(x-a) passa pels punts (3,5) i (11,7). Troba a i b. 5) (1 punt) Donada la funció y = ax2+8x+4, calcula el valor del paràmetre a per tal que la paràbola en qüestió talli la recta y=2x+3 en un sol punt. 6) (1.5 punts) Un estudi de laboratori sobre la propagació d’una espècie de mosques mostra que, passades t setmanes, el nombre d’individus és N(t) centenars de mosques, en què N(t)= –(t – 2)2+9. a) Quantes mosques formen la població al cap d’una setmana? Quantes setmanes han de transcórrer fins a la desaparició total de les mosques? b) Quina és la població màxima d’individus? Quantes setmanes han hagut de passar per a obtenir aquesta població màxima? 7) (1.5 punts) La població d'alumnes aprovats de matemàtiques ve descrita per la funció P(t) 75000 = on t són els anys que passen. Es demana: 2  3e 0, 4t a) La quantitat inicial d'alumnes aprovats. b) Els anys que han de passar per haver-hi 30.000 alumnes aprovats.


Altre exemple d’examen de funcions. 1) Suposem que el valor V, en euros, d’un producte ve donat en funció del temps t, en 25t 2 mesos, per l’expressió V(t) = 50 - 2 , on t  0. a) A quin mes el valor del t  4t  4 producte és de 34 euros. b) Què passarà amb el valor a llarg termini? (raona la resposta) 2) Un canal de televisió ha comprovat que durant els 75 minuts que va durar la transmissió d’un partit de tennis, l’índex d’audiència va anar variant segons la funció I(t) = at2+bt+19 , 0  t  75. Si sabem que als 30 minuts es va arribar a l’índex mínim de 10 punts, troba els valors de a i b. 3) Donada la funció f(x) =

x 3  5x  2 calcula de manera raonada les equacions de les seves x 2  5x  6

asímptotes.  4 x  12 x0  4) Representa gràficament la funció  x  6 x 2  6x  4  x  0 

5) Donada la funció y = 3·2kx+a, sabem que passa pels punts (0 , 8) i (8 , 53). Calcula els valors de a i k. 6) El nombre d’alumnes de 1r B de batxillerat que passen gust d’estudiar matemàtiques evoluciona cada mes segons l’expressió N(t) = -(t-6)2-2t+27, on t indica els mesos que fa d’ençà que el curs es va iniciar, 1  t  9 . Es demana: a) El nombre màxim d’alumnes que passen gust d’estudiar al llarg d’aquests nou mesos. En quin mes es dóna? b) En quin mes, o mesos, hi ha 12 alumnes de 1r B que passen gust d’estudiar?


Exemple d’examen de repàs de funcions, logaritmes i polinomis.

x3  x  3 , dibuixa aquesta x2  x 1 asímptota i representa de manera raonada la posició de la funció respecte d’aquesta asímptota.

1) (1.25 punts) Calcula l’asímptota inclinada de la funció f(x) =

lim

2) (0.75 punts) Calcula

x 3  5x 2  6 x x 3  7 x 2  16 x  12

x3

3) (0.75 punts) Troba el valor de x en cada cas, raonant el procediment de càlcul: a) log 1 3 3  x

b) log x 8 

9

1 3

c) log 8

1 x 2

4) (1.25 punts) Troba un polinomi P(x) de quart grau de manera que tingui per arrels -1, -2 i 3, i verifiqui P(-4) = -84.

5) (1 punt) Calcula les equacions de les asímptotes de la funció f(x) =

6) (1.25 punts) La funció f(x) =

x2  x  2 x 2  3x  2

x 2  bx  6 no té per asímptota vertical la recta x=2; x2

determina el valor de b. 7) (1.25 punts) Donat el polinomi P(x) = -x4+ax2+bx-2 determina a i b de manera que P(2) = -4 i que en dividir P(x) per x-3 el residu sigui -49. log( x 2 ·y 3 )  7  8) (1.25 punts) Resol el sistema d’equacions:  x3 log( )5  y 

9) (1.25 punts) Resol l’equació log(x+94) = 2 + log(x-5)


ESTADÍSTICA - Nocions generals. - Distribucions estadístiques. - Taules de freqüències. - Paràmetres estadístics.

DISTRIBUCIONS BIDIMENSIONALS - Núvols de punts. Correlació. - Mesura de la correlació. - Recta de regressió.

DISTRIBUCIONS DE VARIABLE DISCRETA. LA BINOMIAL - Distribucions estadístiques. - Càlcul de probabilitats. - Nombres combinatoris. - Distribucions de probabilitat. - Paràmetres en distribucions de probabilitat. - Distribució binomial. Descripció. - Càlcul de probabilitats en una distribució binomial. - Ajust d'un conjunt de dades a una distribució binomial.

DISTRIBUCIONS DE VARIABLE CONTINUA. LA NORMAL. - Distribucions de probabilitat de variable contínua. - La distribució normal. - Càlcul de probabilitats en distribucions normals. - La distribució binomial s'aproxima a la normal. - Ajust d'un conjunt de dades a una distribució normal.


Qüestions d’estadística. 1) El número d’hores d’estudi (x) d’una assignatura i la qualificació obtinguda (y) a l’examen corresponent va ésser per a 7 persones, la següent: hores(x)

5

8

10 12 15 17 18

qualif. (y) 3

6

5

6

9

7

9

a. Calcula el coeficient de correlació i la recta de regressió de y sobre x. b. Determina, aproximadament, la qualificació que es pot esperar per a una persona que ha estudiat 14 hores. 2) Un alumne de primer A de batxillerat ha obtingut de Matemàtiques al llarg del curs 2011/2012 les notes següents: 3, 8, 6, 2, 7, 4. Calcula la mitjana aritmètica, la desviació típica i el coeficient de variació de les seves notes. 3) Indica, de manera raonada, quines de les afirmacions següents, referides al coeficient de correlació lineal, r, són certes: a) La força de la correlació depèn del signe de r. b) Si r = -0.9 i r = +0.7, la correlació és més forta en el segon cas. c) Si r = 1 hi ha dependència lineal entre les variables x i y. d) El valor de r no depèn de la unitat de mesura. e) r pot prendre qualsevol valor. 4) Donada la següent taula de freqüències troba la mitjana, la desviació típica i el coeficient de variació: xi 1 2 3 4 fi 3 2 7 4 5) D'una distribució sabem: x =25, y = 17 , σx= 4 ,σy= 5 i σxy= 14. Troba la recta de regressió de y sobre x. Calcula quin valor de y es pot esperar, de manera aproximada, quan x = 22. 6) Troba el coeficient de correlació de la distribució següent. x 1 3 2 4 5 4 y 3 1 5 7 2 1 Calcula el valor aproximat que es pot esperar per a y quan x = 6. 7) La nota mitjana d’un examen de matemàtiques dels 25 alumnes d’una classe és 7.12. La nota mitjana de les al·lotes, que són, 10, és 8.5; calcula, de manera raonada, la nota mitjana dels al·lots.


DISTRIBUCIONS DE VARIABLE CONTINUA. NORMAL 1.- Troba:

a) P[z>1’3]

d) P[1’3
b) P[z<-1’3]

e) P[-1’96
c) P[z>-1’3] f) P[-1’3
g) P[-1’960’88]

b) P[z>-0’62] e) P[0’71
d) P[z>-1’15] g) P[-2’01
h) P[-1
c) P[z<-1’22] f) P[-0’94
3.- En una distribució N(173, 6), troba les probabilitats següents: b) P[x  180’5]

a) P[x  173 ] d) P[161  x  180’5] g) P[x>191]

e) P[161  x  170]

c) P[174  x  180’5] f) P[x=174]

h) P[x<155]

4.- En una distribució N(43, 10), calcula les probabilitats següents: a) P[x  43]

c) P[40  x  55] d) P[30  x  40]

b) P[x  30 ]

5.- En una distribució N(151, 15), calcula les probabilitats següents: a) P[x  136 ]

b) P[120  x  155] c) P[x  185] d) P[140  x  160]

6.- En una distribució N(22, 5), calcula les probabilitats següents: a) P[x  427

b) P[x  27 ]

d) P[15  x  20]

c) P[x  12’5]

e) P[17  x  30]

7.- La talla mitjana dels 200 alumnes d’un centre escolar és de 165 cm i la desviació típica 10cm. Si les talles es distribueixen normalment, calcula la probabilitat que un alumne elegit a l’atzar faci més de 180cm. Quants d’alumnes podem esperar que facin més de 180cm? 8.- Els pesos de 2000 soldats presenten una distribució normal de mitjana 65kg i la desviació típica 8kg. Calcula la probabilitat que un soldat elegit a l’atzar pesi: a) Més de 61kg. b) Entre 63 i 69 kg. c) Menys de 70 kg. d) Més de 75 kg.


9.- Per aprovar un examen d’ingrés a una escola, necessitam obtenir 50 punts o més. Per experiència d’anys anteriors, sabem que la distribució de punts obtenguts pels alumnes és normal, amb una mitjana de 55 punts i una desviació típica de 10. a) Quina probabilitat tenim que un alumne aprovi? b) Si es presentassin a l’examen 400 alumnes, quants podem esperar que ingressin en aquesta escola? 10.- En una ciutat les temperatures màximes diàries el més de juliol es distribueixen normalment amb una mitjana de 26ºC i una desviació típica de 4ºC. Quants de dies podem esperar que tenguin una temperatura màxima compresa entre 22ºC i 18ºC. 11.- Calcula les probabilitats de les distribucions binomials següents mitjançant aproximació a la normal corresponent ( teniu en compte l’ajustament de mitja unitat que cal fer en passar d’una variable discreta a una de continua). a) B(100, 0’1) Calcula P[x=10] P[x<2] i P[530]

P[x<80]

c) B(50, 0’9)

P[x  30]

Calcula P[x>45]

12.- Si llançam un dau 1000 vegades, quina és la probabilitat que el nombre de cincs obtinguts sigui menor que 100? 13.- Una moneda es llançada 400 vegades. Calcula la probabilitat que el nombre de cares: a) Sigui major que 200. b) Estigui entre 180 i 220. 14.- Una màquina produeix perns. Sabem per experiència que el 4% són defectuosos. S’empaqueten automàticament en caixes de 200. Troba les probabilitats següents relatives al nombre de perns defectuosos en una caixa triada a l’atzar: a) x<10 b) x>10 c) x=8


Exercicis de probabilitat (distribucions normal i binomial). 1) En un Institut s’ha passat un test d’agressivitat entre els alumnes, que segueix un distribució normal N(30,12). Es demana: a) Probabilitat que un alumne escollit a l’atzar tingui un grau d’agressivitat entre 20 i 35. b) Probabilitat que tingui un grau major de 40. 2) Un conjunt de persones presenta unes alçades, en cm., que es distribueixen segons una N(168,8). Es demana: a) Quin percentatge d’ells amiden entre 160 i 180 centímetres? b) Quin percentatge d’ells amiden més de 165 centímetres? 3) En una discoteca hi ha una proporció de tres homes per a cada quatre dones. Si escollim 5 persones a l’atzar es demana: a) Probabilitat que hi hagi quatre dones i un home b) Probabilitat que hi hagi tres dones i dos homes. 4) Les altures de 500 estudiants estan distribuïdes normalment amb mitjana 1,72 metres i desviació típica 12 centímetres. Es demana: a) Aproximadament, quants estudiants tenen una altura menor que 1,60 metres? b) I quants entre 1,75 i 1,90 metres? 5) En un Institut s’ha passat un test d’agressivitat entre els alumnes, que segueix un distribució normal N(25,11). Es demana: a) Probabilitat que un alumne escollit a l’atzar tingui un grau d’agressivitat entre 20 i 27. b) Probabilitat que tingui un grau major de 29. 6) Una moneda està trucada de manera que la probabilitat de treure cara és 7/11. Es tira la moneda 10 vegades. Es demana: a) La probabilitat de treure 8 cares b) La probabilitat de treure almenys una creu 7) Tenim un dau trucat amb el qual la probabilitat de treure 1 és de 0’6. Si el tiram 5 vegades volem saber: a) Probabilitat de treure exactament un 1. b) Probabilitat de treure almenys un 1. 8) Un examen consta de 6 preguntes, cada una amb tres respostes de les quals només una és la correcta. L’alumne que s’examina no sap absolutament res i contesta per atzar. Es demana: a) Probabilitat de contestar-ne exactament 3 de bé. b) Probabilitat de contestar-ne menys de 5 de bé.


Resum teòric de probabilitat. Experiències aleatòries. Successos. Les experiències aleatòries es caracteritzen perquè les condicions sota les quals es realitzen no permeten saber-ne el resultat a priori. Un succés aleatori és un esdeveniment que tindrà lloc o no depenent de l’atzar. L’espai mostral (E) és el conjunt de tots els resultats possibles d’una experiència aleatòria. Un succés és qualsevol subconjunt de E (són successos en particular el succés buit, o succés impossible, Ø, i el mateix espai mostral, o succés segur, E). Al conjunt de tots els successos d’una experiència aleatòria l’anomenarem  (E) (és el conjunt de les parts del conjunt E: té per elements els subconjunts de E). Els elements de E s’anomenen successos elementals

Operacions amb successos. Unió (A  B). Succés format per tots els elements que pertanyen, almenys, a un dels conjunts, A o B. Es verifica quan ocorre un dels dos casos, A o B, o ambdós. Intersecció (A  B). Succés format pels elements que són, simultàniament, de A i de B. Diferència (A-B). Succés format per tots els elements de A que no són de B. Complementari de A. (Simbolitzat per A , A’ o Ac). És E-A, és a dir, tots els elements de l’espai mostral que no són de A. Successos incompatibles. Es diu que A i B són incompatibles quan no tenen cap element en comú (A  B = Ø).

Definició de “probabilitat” (axiomes i propietats). Donada una experiència aleatòria construïm el seu espai mostral E i el seu conjunt de successos,  (E). Definim probabilitat com una aplicació de  (E) en els nombres reals (simbolitzada per P(S), probabilitat del succés S) que ha de verificar les propietats següents (considerades axiomes): 1. La probabilitat d’un succés ha de ser un nombre comprès entre 0 i 1. 2. La probabilitat del succés segur ha de ser 1. 3. Si tenim dos successos incompatibles, la probabilitat del succés unió ha de ser igual a la suma de les probabilitats dels dos successos. (A  B = Ø  P(A  B) = P(A) + P(B)) A partir d’aquests axiomes la probabilitat compleix moltes propietats, de les quals remarcarem les següents: a) P( A ) = 1 – P(A) b) P(Ø) = 0 c) P(A  B) = P(A) + P(B) - P(A  B).


Llei de Laplace. Es pot aplicar la llei, o regla, de Laplace quan en un experiment aleatori tots els successos elementals del seu espai mostral tenen la mateixa probabilitat. En aquesta situació, la regla de Laplace diu que per a qualsevol succés, S, la seva probabilitat, P(S), és igual al quocient entre els casos favorables i els casos possibles: casos favorables P(S) = casos possibles Són molts els experiments aleatoris en els quals no es pot aplicar la llei de Laplace. Per exemple, en el cas de llançar dos daus no trucats i sumar els resultats. El seu espai mostral és 2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12 i és clar que no té la mateixa probabilitat que la suma sigui 2 (només possible amb un 1 en cada dau) o un 7 (on són moltes les combinacions que ens permeten tal resultat). En aquest cas no es pot aplicar la regla de Laplace. Però sovint es pot fer una modificació de l’experiència per reconvertir-la en una de successos elementals equiprobables. Seria considerar l’espai mostral així: (1,1), (1,2), (1,3),...........(6,6) . És a dir, cada succés elemental seria un parell ordenat de nombres, entre 1 i 6, el primer dels quals representa el resultat obtingut amb el primer dau i el segon nombre el del segon dau (n’hi ha 36 en total). Ho representam a la taula, en la qual en lloc de posar els parells ordenats ja hem posat el resultat de la suma dels nombres obtinguts. A la primera columna s’indica el valor obtingut amb el primer dau, mentre que els nombres de la primera fila expressen els resultats del segon dau.

1 2 3 4 5 6

1 2 3 4 5 6 7

2 3 4 5 6 7 8

3 4 5 6 7 8 9

4 5 6 7 8 9 10

5 6 7 8 9 10 11

6 7 8 9 10 11 12

Ara ja es pot aplicar Laplace. Per exemple, la probabilitat que la suma sigui 2 és 1/36, doncs només hi ha un cas favorable de 36 possibles. Mentre, la probabilitat de treure un 7 és 6/36, ja que hi ha 6 casos favorables pels mateixos 36 possibles.

Probabilitat condicionada. Successos independents. Donats dos successos, A i B, s’anomena probabilitat de A condicionada a B, i s’escriu P(A/B) al P( A  B) quocient . Aquesta expressió indica la proporció de vegades que succeeix A d’entre les P( B) que succeeix B. De la relació anterior s’obté P(A  B) = P(B)·P(A/B). Canviant P(A/B) per P(B/A) en el quocient inicial obtindrem P(A  B) = P(A)·P(B/A).


Taules de contingència. Una taula de contingència bidimensional és una classificació d’observacions mostrals segons dues característiques qualitatives, cadascuna amb un nombre determinat de resultats possibles. Les files de la taula queden determinades per una de les característiques, mentre que l’altra característica determina les columnes. Aquestes taules són una eina molt pràctica per treballar la probabilitat condicionada. Un exemple ens ajuda a aclarir la situació. A la taula següent hi ha les dades de matrícula de batxillerat de l’IES Felanitx, en funció del sexe de l’alumnat (al·lots o al·lotes) i del municipi de residència (Felanitx, Porreres o Santanyí).

Al·lots Al·lotes Total

Felanitx 65 55 120

Porreres 20 40 60

Santanyí 5 15 20

Total 90 110 200

Escollim un alumne a l’atzar i ens demanem per diverses probabilitats. a) Probabilitat que sigui al·lot = P(Al·lot) = 90/200. b) Probabilitat que sigui de Porreres = P(Porreres) = 60/200. c) Probabilitat que sigui una al·lota de Felanitx = P(Al·lota ∩ Felanitx) = 55/200 d) Probabilitat que sigui un al·lot de Santanyí = P(Al·lot ∩ Santanyí) = 5/200. e) Sabent que és de Felanitx, probabilitat que sigui un al·lot = P(Al·lot/Felanitx) = 65/120. Atenció, ara en el denominador no hi posam els 200 alumnes de l’institut sinó només els 120 de Felanitx, ja que sabem que l’alumne és de Felanitx. En realitat és una versió pràctica (que farem servir sovint) de la fórmula de la probabilitat condicionada, en la qual ja s’ha simplificat: 65 P( Al·lot  Felanitx ) 200 65  P(Al·lot/Felanitx) = = 120 120 P( Felanitx ) 200 f) Sabent que és una al·lota, probabilitat que sigui de Porreres = P(Porrreres/Al·lota) = 40/110. g) Sabent que és un al·lot, probabilitat que sigui de Santanyí = P(Santanyí/Al·lot) = 5/90.


Proves compostes. Una prova composta és una experiència que està formada per diversos experiments simples realitzats de manera consecutiva. Per calcular l’espai mostral d’una prova composta convé, sovint, fer servir un diagrama en arbre que representi totes les opcions. Cada resultat ve donat per un camí del diagrama. El diagrama en arbre és un mètode gràfic de representació de l’experiència composta que consisteix a marcar, com si fossin camins o branques d’un arbre, les possibilitats que apareixen en cada un dels successos simples en què es descompon l’experiència. Per calcular la probabilitat d’un succés en un experiment compost se multipliquen les probabilitats dels successos simples que el formen. Hi ha ocasions que les proves no són successives, sinó simultànies; tot i així, pot facilitar el raonament imaginar-les com si se succeïssin en el temps. Quan s’hagin de calcular les probabilitats dels successos simples caldrà tenir present si el resultat d’una prova simple prèvia influeix en la probabilitat d’una prova simple posterior. En cas de no haver-hi influència ens trobem davant experiències independents, mentre que si hi ha influència estarem parlant d’experiències dependents. Experiències independents. Si n proves són independents i els successos S1, S2, ...., Sn corresponen, respectivament, a cada una d’elles es verifica que: P(S1 a la 1a i S2 a la 2a i .... Sn a la na ) = P(S1)· P(S2)·.... P(Sn). Experiències dependents. Si n proves són dependents i els successos S1, S2, ...., Sn corresponen, respectivament, a cada una d’elles es verifica que: P(S1 a la 1a i S2 a la 2a i .... Sn a la na ) = P(S1)· P(S2/S1)·P(S3/S1∩S2)· ... ·P(Sn/S1∩S2∩......∩Sn-1).

Probabilitat total. Suposem un espai mostral E i n successos A1, A2, ...., An, tals que són incompatibles dos a dos (Ai ∩ Aj = Ø si i  j) i, a més, A1  A2  .....  An = E (aquests conjunts Ai es diu que formen una partició del conjunt E). Llavors, per a cada succés S es verifica: P(S) = P(A1)·P(S/A1) + P(A2)·P(S/A2)+......+ P(An)·P(S/An). S’anomena probabilitat total a la probabilitat P(S) descomposta d’aquesta forma.


Exercicis de probabilitat resolts. 1) En una determinada ciutat, el 20% dels habitants parla anglès, el 30% té estudis superiors, i el 15% parla anglès i té estudis superiors. a) Calcula la probabilitat que, en elegir un habitant d’aquesta ciutat a l’atzar, ni parli anglès ni tingui estudis superiors. b) Si una persona té estudis superiors, quina és la probabilitat que parli anglès? Amb una taula de contingència. Parla anglès

No anglès

parla Total

Té estudis superiors

15

15

30

No té estudis sup.

5

65

70

Total

20

80

100

a) P(No parlar anglès ni tenir estudis superiors) = 65/100. b) P(parlar anglès/té estudis superiors) = 15/30. 2) Tenim dues urnes: U1 i U2. A l’urna U1 hi ha 4 bolles blanques i 6 bolles negres. A l’urna U2 hi ha 2 bolles blanques i 6 bolles negres. Es llança un dau de sis cares no trucat. Si surt un 1 o un 2 s’agafa una bolla de U1, si surt un altre nombre s’agafa una bolla de l’urna U2. Quina és la probabilitat que la bolla treta sigui negra? El primer succés elemental que composa l’experiment és tirar el dau. El segon és treure la bolla. Construïm el diagrama en arbre associat. 4/10

B

6/10

N

U1 (4B , 6N) 2/6

P(N) = P(U1)·P(N/U1) + P(U2)·P(N/U2) 2 6 46 = ·  ·  0.7 6 10 6 8 B

2/8 4/6 U2 (2B , 6N)

6/8

N


3) Tenim una urna amb 4 bolles blanques i 3 bolles negres. S’extreuen dues bolles, sense reemplaçament. Quina és la probabilitat que la segon bolla treta sigui blanca? Els successos elementals són “treure la primera bolla” i “treure la segona bolla”. En treure la segona s’ha de contemplar quina bolla s’ha tret en primer lloc, doncs la distribució de l’urna serà diferent segons el cas. B

3/6

B 4/7

(3B , 3N) N

3/6 (4B , 3N)

N 3/7

B

4/6 (4B , 2N)

2/6

A la primera bifurcació es planteja l’opció de la primera bolla, que pot ser blanca o negra. A continuació es representa la distribució que queda de les bolles, depenent de si la bolla que ja és fora és blanca o negra. En el següent nivell de les branques es qüestiona si la segona bolla és blanca o negra. P(2ªB) = P(1ªB)·(2ªB/1ªB) + P(1ªN)·(2ªB/1ªN) = 4 3 3 4 24 4 ·  ·   7 6 7 6 42 7

N

4) Un producte està format per tres components:A, B i C. La probabilitat que el primer component tingui una tara, o sigui defectuós, és 0.05, que el segon sigui defectuós és 0.03, i que ho sigui el tercer és 0.08. Quina és la probabilitat que el producte final, format pels components A, B i C, no tingui tara? Els diagrames en arbre són una proposta per tal de facilitar el raonament del problema; sovint ens poden servir per il·lustrar la situació. En aquest exemple deixarem el diagrama incomplet, doncs només agafarem la part de l’esquema que ens interessa. 0.92 0.97 0.95

0.08

A correcte 0.03

0.05

B correcte

A defectuós

B defectuós B correcte

B defectuós

C correcte

Si el producte no ha de tenir tara caldrà que cada un dels seus components sigui correcte. Observem que la tara, o no, de cada component és independent de les altres. Aleshores, només tenim l’opció de seguir el camí: “A correcte”, “B correcte” i “C correcte”. Com que la probabilitat d’arribar al final és el producte de les probabilitats de cada pas, el resultat és: 0.95 · 0.97 · 0.92 = 0.84778.


5) Tenim dues urnes, 1 i 2. A l’urna 1 hi ha 3 bolles blanques i 4 bolles negres. A l’urna 2 n'hi ha 5 de blanques i 4 de negres. Agafam dues bolles de l’urna 1 i les posam dins l’urna 2. Tot seguit es treu una bolla de l’urna 2. Quina és la probabilitat que la bolla treta de l’urna 2 sigui negra? Farem servir un diagrama en arbre. 7/11 U2 7B B 4N

2/6 3/7 U1 3B 4N

B

4/6 3/6

4/7

N 3/6

U2 N 6B 5N U2 B 6B 5N U2 N 5B 6N

4/11 6/11 5/11

B

P(bolla treta de l’urna 2 sigui negra) = 32 4 34 5 43 5 43 6 · ·  · ·  · ·  · ·  0.4675 7 6 11 7 6 11 7 6 11 7 6 11

N B N

6/11

B

5/11

N

5/11 6/11

B N

6) Quatre persones pensen cada una d'elles un nombre de l'1 al 10. Calcula la probabilitat que almenys dues d'elles pensin el mateix nombre. P(que almenys dues d'elles pensin el mateix nombre) = 1 – P(cap pensi el mateix nombre) = 1 -

10 9 8 7 · · · = 0.496 10 10 10 10

7) Una urna conté 5 bolles blanques i 3 de negres. Se n’extreuen 3 bolles a l’atzar sense reemplaçament. a) Calcula la probabilitat que se n’extreguin 2 de blanques i 1 de negra. b) Calcula la probabilitat que se n’extregui almenys una de negra.

543 a) P(BBN) = · · . Però com que l’ordre pot ser, també, BNB i NBB, essent la probabilitat 876 de cada un d’aquests casos la mateixa que la de BBN (surten els mateixos termes, només 543 canvia l’ordre d’aparició), la probabilitat demanada serà 3·( · · )  0.5357. (Un 876 diagrama en arbre pot ajudar a veure el procediment). 543 b) P(almenys una de negra) = 1 – P(cap negra) = 1 - · ·  0.8214. 876


7) En un poble hi ha 100 joves; 40 dels al·lots i 35 de les al·lotes juguen a tennis. El total d’al·lotes en el poble és de 45. Si elegim un jove d'aquesta localitat a l'atzar: a) Si sabem que juga a tennis, quina és la probabilitat que sigui al·lota? b) Quina és la probabilitat que sigui un al·lot que no jugui a tennis? Emprarem una taula de contingència.


Juguen a tennis 40 (*) 35 (*) 75

No juguen a tennis 15 10 25

Total 55 45 (*) 100 (*)

(El símbol (*) indica els valors que formen part de l’enunciat; la resta es dedueixen). a) P(al·lota/tennis) =

35 75

b) P(al·lot  no tennis) =

15 100

8) En el 2n C de batxillerat de l’IES Felanitx hi ha 40 alumnes, dels quals 25 estan matriculats de l’optativa d’ampliació de matemàtiques. Sabem que les al·lotes que fan ampliació són 20, i també tenim constància que hi ha 8 al·lots que no fan ampliació. Es demana: a) Una persona de 2n C ens diu que està matriculat d’ampliació, probabilitat que sigui al·lota? b) Sabent que una persona de 2n C és un al·lot, probabilitat que faci ampliació? c) Quina és la probabilitat que un alumne de 2n C sigui una al·lota que no fa ampliació? Emprarem una taula de contingència. Matriculats ampliació 5 20(*) 25(*)


No matriculats ampliació 8(*) 7 15

Total 13 27 40(*)

(El símbol (*) indica els valors que formen part de l’enunciat; la resta es dedueixen). a) P(Al·lota/Ampliació) = b) (Ampliació/Al·lot) =

20 25

5 13

c) P(Al·lota ∩ No Ampliació) =

7 40


9) Tiram un dau dues vegades. Calcula la probabilitat que el producte dels resultats sigui 12. 1 2 3 4 5 6

1 2 3 1 2 3 2 4 6 3 6 9 4 8 12 5 10 15 6 12 18

4 4 8 12 16 20 24

5 5 10 15 20 25 30

6 6 12 18 24 30 36

Construïm una taula de doble entrada, on representam els nombres obtinguts per cada dau (un per fila i l’altre per columna). A la intersecció hi posam el valor de multiplicar els resultats de les tirades. Hi ha 36 casos possibles, en 4 dels quals 4 surt el 12. Per tant: P(12) = 36

10) Una moneda ha estat trucada de forma que la probabilitat de “cara” és el doble que la de “creu”. Si es tiren a la vegada la moneda trucada i una moneda equilibrada, troba: a) La probabilitat d’obtenir una cara i una creu. b) La probabilitat d’obtenir almenys una creu. En primer lloc calculam les probabilitats de cara i creu en la moneda trucada. Sigui P(creu) = x. Aleshores P(cara) = 2x. I com que P(creu) + P(cara) = 1, tenim x + 2x = 1; x=1/3. Per tant, P(creu) = 1/3 i P(cara) = 2/3. Per clarificar el plantejament del problema que farem a continuació podem utilitzar un digrama en arbre. Cara

1/2

a) Probabilitat (una cara i una creu) = Cara trucada 1/2

0.5 Creu

2/3

1/2

21 11 ·  · = 32 32

Cara

1/3 Creu trucada

21 b) P(almenys una creu) = 1 – P(cap creu) = 1 - · = 32 2 3

1/2 Creu

11) Tenim un dau trucat en el qual la probabilitat que surti cada cara és proporcional al número que correspon a cada cara. Calcula la probabilitat de cada cara. Si anomenem P(1) = x tindrem P(2) = 2x, P(3) = 3x, P(4) = 4x, P(5) = 5x, P(6) = 6x. Com que l’espai mostral de l’experiment és E = 1,2,3,4,5,6, podem plantejar l’equació x+2x+3x+4x+5x+6x = 1, que té per solució x = 1/21. Per tant: P(1) = 1/21, P(2) = 2/21, P(3) = 3/21, P(4) = 4/21, P(5) = 5/21, P(6) = 6/21.


12) Un equip d’escacs està format per 5 homes i 10 dones. Escollim a l’atzar tres persones de l’equip. a) Quina és la probabilitat que les tres sigui dones? b) Quina és la probabilitat que hi hagi almenys un home’ c) Quina és la probabilitat que hi hagi dues dones i un home? a) P(tres dones) =

10 9 8 · ·  0.2637 15 14 13

b) P(almenys un home) = 1 – P(cap home)  1 – 0.2637 = 0.7363  10 9 5  c) P(dues dones i un home) = 3·  · ·   0.4945  15 14 13 

13) Una classe té 24 alumnes i tots ells cursen anglès i matemàtiques; 12 alumnes aproven anglès, 16 aproven matemàtiques i 4 suspenen anglès i matemàtiques. a) Calcula la probabilitat que, en elegir un alumne d’aquesta classe a l’atzar, resulti que aprova matemàtiques i suspèn anglès. b) Si sabem que un alumne aprova matemàtiques, quina és la probabilitat que aprovi anglès? c) Si sabem que un alumne aprova anglès, quina és la probabilitat que provi matemàtiques? Emprarem una taula de contingència.

Aproven anglès Suspenen anglès Total

Aproven matemàtiques 8 8 16

Suspenen matemàtiques 4 4 8

a) P(aprovar matemàtiques ∩ suspendre anglès) =

Total 12 12 24

8 1  24 3

8 16 8 c) P(aprovar matemàtiques/ aprovar anglès) = 12

b) P(aprovar anglès/ aprovar matemàtiques) =


Exercicis de Probabilitat. 1) Suposem que a la lliga de futbol 2012/13 només tenen opció de guanyar quatre equips: Barça, València, Mallorca i R.Madrid. També suposem que la probabilitat de guanyar la lliga el Mallorca és doble que la del R.Madrid, la del Barça triple que la del R.Madrid i la del València igual a la del Mallorca. Es demana: a) Probabilitat que no guanyi el R.Madrid. b) Probabilitat que guanyi el Barça. 2) Un examen tipus test està format per 10 preguntes, amb cinc respostes cada una d’elles, de les quals només una és correcta. Suposem que un alumne respon a l’atzar. a) Quina és la probabilitat que encerti exactament 8 respostes? b) Quina és la probabilitat que encerti almenys dues respostes? 3) Tenim una urna amb 3 bolles blanques, 4 bolles negres, 5 bolles vermelles i 6 bolles grogues. Es treuen quatre bolles sense reemplaçament i es demana: a) Probabilitat que cap d’elles sigui vermella. b) Probabilitat que almenys una d’elles sigui blanca. c) Probabilitat que n’hi hagi dues de negres i dues de grogues d) Probabilitat que n’hi hagi exactament tres de grogues. 4) Tiram dos daus i restam els resultats. Calcula la probabilitat que la diferència sigui 2. 5) Tenim una capsa amb tres monedes. Una d’elles és normal, una altra té dues cares i l’altra està trucada, essent la probabilitat de treure cara 1/3. Se selecciona una moneda a l’atzar i es tira a l’aire. Determina la probabilitat que surti cara. 6) Tenim una urna amb 2 bolles blanques, 5 bolles negres, 4 bolles vermelles i 6 bolles grogues. Es treuen quatre bolles sense reemplaçament i es demana: a) Probabilitat que exactament una d’elles sigui negra. b) Probabilitat que almenys una d’elles sigui vermella c) Probabilitat que n’hi hagi dues de negres i dues de vermelles. d) Probabilitat que n’hi hagi com a màxim tres de grogues. 7) Un examen tipus test està format per 8 preguntes, amb quatre respostes cada una d’elles, de les quals només una és correcta. Suposem que un alumne respon a l’atzar. a) Quina és la probabilitat que encerti exactament 6 respostes? b) Quina és la probabilitat que encerti almenys dues respostes? 8) Una moneda està trucada de manera que la probabilitat de treure cara és 7/11. Es tira la moneda 10 vegades. Es demana: c) La probabilitat de treure 8 cares d) La probabilitat de treure almenys una creu 9) Tenim dues urnes. L’urna U1 té 4 bolles negres i 3 blanques; l’urna U2 en té 2 negres i 5 blanques. Tenim una moneda trucada, amb doble probabilitat de treure cara que treure creu. Tiram la moneda i si surt cara anam a treure dues bolles de l’urna U1, si surt creu les anam a treure de l’urna U2. Quina és la probabilitat que les dues bolles tretes siguin del mateix color? 10) Tenim una urna amb la següent composició: 3 bolles blanques, 4 de vermelles i 5 de negres i 6 de grogues. Es treuen quatre bolles sense reemplaçament i es demana: 48 Departament de Matemàtiques

a) b) c) d)

Probabilitat que les quatre bolles siguin negres. Probabilitat que no n’hi hagi cap de blanca Probabilitat que almenys n’hi hagi una de blanca Probabilitat que exactament una de les quatre sigui vermella.

11) De la mateixa urna de l’exercici enterior es treuen cinc bolles (amb reemplaçament) i es demana la probabilitat que: a) Les cinc bolles siguin vermelles. b) N’hi hagi dues de negres i tres de blanques. c) N’hi hagi exactament una de vermella. 12) Es juga a tirar dards. La probabilitat de fer diana en un tir és de 1/7. Si es fan 7 tirades, determina la probabilitat de fer qualque diana. 13) Tiram un dau dues vegades. Calcula la probabilitat que el producte dels resultats sigui 12. 14) Tres persones elegeixen a l'atzar, cada una d'elles, un nombre de l'1 al 5, quina és la probabilitat que les tres elegeixin el mateix nombre? 15) Tenim dues bosses, A i B. En la bossa A hi ha 3 bolles blanques i 7 vermelles. En la bossa B hi ha 6 bolles blanques i 2 vermelles. Traiem una bola de A i la passam a B. Després s’extreu una bolla de B. a) Quina és la probabilitat que la bolla extreta de B sigui blanca? b) Quina és la probabilitat que les dues bolles siguin blanques? 16) En unes oposicions, el temari consta de 85 temes. S'elegeixen tres temes a l'atzar entre els 85. Si un opositor sap 35 dels 85 temes, quina és la probabilitat que sàpiga almenys un dels tres temes? 17) En Joan guarda en un calaix 3 parells de calcetins blancs i 4 parells de calcetins vermells; i en un altre calaix hi té 4 corbates blanques, 3 vermelles i 2 de blaves. Per vestir-se treu a l’atzar un parell de calcetins del primer calaix i una corbata del segon. Troba la probabilitat que els calcetins i la corbata siguin del mateix color. 18) Tenim un dau trucat en el qual la probabilitat que surti cada cara és proporcional al número que correspon a cada cara. Calcula la probabilitat de cada cara. 19) Considerem els mesos de trenta dies i suposem un grup de quatre persones. Es demana: a) Probabilitat que cap d'aquestes dues persones hagin nascut el mateix dia del mes. b) Probabilitat que almenys dues d'aquestes persones hagin nascut el mateix dia del mes. 20) A la lliga de futbol espanyola se suposa que només la poden guanyar el Barça o el Madrid. La probabilitat que la guanyi el Barça és 0,55. Suposem que es juguen 8 lligues. Es demana: a) Probabilitat que el Madrid no en guanyi cap b) Probabilitat que el Barça en guanyi exactament set. c) Probabilitat que el Barça en guanyi almenys una. 21) Una urna conté 7 bolles negres i 5 de blanques. Se selecciona una bolla a l’atzar. Si la bolla és blanca, es torna a l'urna i s’afegeixen tres bolles blanques més. Si la bolla és negra, no es torna a l'urna i no s’afegeix cap bolla més. Es treu una segona bolla. Quina és la probabilitat que la segona bolla treta sigui blanca?


Exercicis de probabilitat (taules de contingència). 1) El claustre de l’IES Felanitx està format per 120 membres, 48 dels quals viuen en el terme

municipal de Felanitx. Sabem que en aquest claustre hi ha 66 persones que són simpatitzants del FC Barcelona. Coneixem, també, que hi ha 24 membres d’aquest claustre que no són simpatitzants del Barcelona ni viuen en el terme de Felanitx. Es demana: a) Probabilitat que una persona del claustre, agafada a l’atzar, sigui simpatitzant del Barça i no visqui a Felanitx. b) Sabent que un membre del claustre viu a Felanitx, probabilitat que sigui del Barça. c) Sabent que un membre del claustre no és del Barça, probabilitat que visqui a Felanitx. 2) En un edifici intel·ligent dotat de sistemes d’energia solar i eòlica, se sap que l’energia subministrada cada dia prové de plaques solars amb probabilitat 0.4, de molins eòlics amb probabilitat 0.26, i d’ambdós tipus d’instal·lació amb probabilitat 0.12. Escollit un dia a l’atzar, calcula la probabilitat que l’energia sigui subministrada a l’edifici: a) Per alguna de les dues instal·lacions. b) Només per una de les dues. 3) El 30% dels habitants d’una determinada ciutat llegeixen el diari La Nació, el 13%, el diari XYZ, i el 6% els llegeixen tots dos. a) Quin percentatge d’habitants d’aquesta ciutat no llegeix cap dels dos diaris? b) S’elegeix un habitant d’aquesta ciutat a l’atzar entre els que no llegeixen el diari XYZ, quina és la probabilitat que llegeixi el diari La Nació? 4) Es realitza una anàlisi de mercat per estudiar l’acceptació de les revistes A i B. Aquest reflecteix que del total d’entrevistats que coneixen les dues revistes, al 75% els agrada la revista A, al 30% no els agrada la revista B i sí els agrada la revista A, i al 15% no els agrada cap de les dues. Suposant que aquestes dades són representatives de tota la població i que s’ha escollit a l’atzar un individu que coneix les dues revistes, es demana: a) Probabilitat que li agradin les dues revistes. b) Probabilitat que li agradi la revista B. c) Sabent que li agrada la revista A, probabilitat que no li agradi la revista B. 5) En un viatge organitzat per Europa per a 240 persones, 96 dels que hi van saben parlar anglès, 72 saben parlar francès, i 24 parlen els dos idiomes. Escollim un dels viatgers a l'atzar. a) Quina és la probabilitat que parli algun dels dos idiomes? b) Quina és la probabilitat que parli francès, sabent que parla anglès? c) Quina és la probabilitat que només parli francès?


Repàs de problemes de plantejament (sistemes 3x3). 1) Tenim 140 euros en bitllets de 5, de 10 i de 20 euros. Hi ha el doble de bitllets de 10 que de 20. Hi ha un bitllet de 5 més que de 20. Troba quants bitllets hi ha de cada tipus. 2) Tenim 1.400 euros en bitllets de 50 euros, 100 euros i 200 euros. El nombre de bitllets de 100 euros és el doble del nombre de bitllets de 50 euros. Per altra part, el nombre de bitllets de 100 euros és sis unitats superior al nombre de bitllets de 200 euros. Calcula quants bitllets hi ha de cada tipus. 3) A Portocolom hi ha un autobús que va de Cala Marçal a S’Arenal, amb capacitat per a 60 viatgers. Avui té totes les places ocupades i hi ha tres tipus de viatgers: els que paguen el bitllet normal, que val un euro; els estudiants, que paguen 0.75 euros; i els jubilats, que paguen 0.5 euros. La recaptació de l’autobús en aquest viatge és de 48 euros. Calcula el nombre de viatgers de cada tipus, sabent que els estudiants eren el doble que la resta de viatgers junts (és a dir, el nombre d’estudiants és el doble de la suma de jubilats i gent amb bitllet normal). 4) A primer de batxillerat de l’IES Felanitx hi ha tres grups: A, B i C. Entre els grups A i B hi ha el triple d’alumnes que en el grup C. Si tres alumnes del grup B passen al grup A, en el grup A hi haurà el doble d’alumnes que en el grup B. El nombre d’alumnes del grup A excedeix en 7 unitats el nombre d’alumnes del grup C. Determina quants alumnes hi ha dins cada grup. 5) Una persona ha invertit 2.000 euros en accions de tres empreses diferents, A,B i C. D’haver invertit 200 euros més en l’empresa A, la quantitat invertida en A seria el doble de la invertida en B. Després d'un any la rendibilitat de l'operació ha estat d'un 4.5%. Les accions de l'empresa A han augmentat el seu valor en un 10% i les de C un 20 %. Si les accions de l'empresa B han perdut un 15% del seu valor, calcula les quantitats invertides en cada empresa. 6) S’està preparant l’habitual pujada a Sant Salvador posterior al dia de Pasqua. L’organització va a càrrec de la P.B. Els Tamarells. Amb l’eficàcia que els caracteritza han elaborat 390 racions de dinar, que han col·locat dins 10 caixes de tres mides: grosses, mitjanes i petites, amb capacitat per a 50, 30 i 25 dinars respectivament. si una caixa grossa fos mitjana, aleshores hi hauria el mateix nombre de caixes grosses i mitjanes. Quantes caixes hi ha de cada classe? 7) En un examen de matemàtiques que constava de tres problemes, un alumne ha obtingut una qualificació total de 7.2. La puntuació del primer problema fou un 40% més que la del segon, i la del tercer fou el doble de la suma de les puntuacions del primer i el segon. Quina va ser la puntuació de cada problema? 8) En un curs de segon de batxillerat socials els alumnes són seguidors dels equips de futbol del Barcelona, el Madrid i el Mallorca. Se sap que el nombre d’alumnes seguidors del Barcelona és 5 unitats superior a la suma d’alumnes del Madrid i el Mallorca. Per altra part, el nombre d’alumnes del Barcelona és 10 unitats inferior al doble dels alumnes del Madrid. A més, si 10 alumnes del Madrid es fessin del Barcelona (cosa molt improbable), aleshores hi hauria quatre vegades més alumnes del Barcelona que del Madrid. Quants alumnes hi ha de cada equip? 9) Un pagès té cura de 10 quarterades, les quals dedica a fer pastura per a la seva guarda d’ovelles, a la vinya i a arbres fruiters. La superfície dedicada a la vinya ocupa 2 quarterades més que la dels arbres. La part de pastura té 6 quarterades menys que la dedicada a les altres dues activitats juntes. Quantes quarterades dedica a cada activitat?


Exemple d’examen de probabilitat i sistemes d’equacions. 1) (1 punt) Entre els estudiants universitaris se sap que, en època d’exàmens, el 55% pateix problemes digestius, el 20% té problemes amb el son i el 15% té problemes digestius i problemes de son. Calcula la probabilitat que un estudiant universitari agafat a l’atzar: a) No tingui problemes de son ni problemes digestius. b) Tingui problemes de son, sabent que té problemes digestius. c) Tingui problemes digestius, sabent que no té problemes de son. 2) (1 punt) Un alumne sap 25 temes d'un total de 35. Es treuen 4 temes per sorteig. a) Quina és la probabilitat que sàpiga tots els temes? b) Quina és la probabilitat que sàpiga almenys un dels 4 temes? c) Quina és la probabilitat que sàpiga exactament un dels quatre temes? 3) (1 punt) Un alumne contesta per atzar cada una de les preguntes test d'un examen. Si hi ha 10 preguntes, cada una amb cinc respostes (una de correcta), es demana: a) Probabilitat de no contestar-ne cap de bé. b) Probabilitat de contestar-ne almenys una de malament c) Probabilitat de contestar-ne exactament 7 de bé. 4) (1 punt) Tenim una urna amb 2 bolles blanques, 5 bolles negres, 4 bolles vermelles i 6 bolles grogues. Es treuen quatre bolles sense reemplaçament i es demana: a) Probabilitat que exactament una d’elles sigui negra. b) Probabilitat que almenys una d’elles sigui vermella c) Probabilitat que n’hi hagi dues de negres i dues de vermelles. d) Probabilitat que n’hi hagi com a màxim tres de grogues.

 x  2 y  3z  4  4) (1.25 punts) Resol el sistema 2 x  y  z  3  3 x  4 y  z  2  5) (1.25 punts) Planteja un sistema d’equacions que permeti resoldre el problema següent: “Una immobiliària ha venut places de garatge en tres urbanitzacions diferents. Els guanys obtinguts per la venda d’una plaça de garatge a l’urbanització A són de 2.000 euros, 4.000 euros per una de l’urbanització B i 6.000 per una de l’urbanització C. Sa sap que ha venut un 50% més de places a A que a C. També se sap que el benefici obtingut per les vendes a C és igual a la suma dels beneficis obtinguts per les vendes a A i B. Calcula quantes places ha venut a cada urbanització si el nombre de places de l’urbanització B és el 75% de les places de l’urbanització C” 6) (1.75 punts) A primer de batxillerat decideixen on han d’anar d’excursió. Les opcions són S’Amarador, Cala Mesquida i S’Algar. Els alumnes que volen anar a S’Amarador són el doble que els alumnes que volen anar a S’Algar. Si 5 dels alumnes que volen anar a S’Amarador canvien d’opció i s’apunten a Cala Mesquida, els de Cala Mesquida són el doble que els de S’Amarador. Si comptem els alumnes que volen anar a S’Amarador i a S’Algar, junts són cinc alumnes més que els de Cala Mesquida. Quants alumnes volen anar a cada platja? 7) (1.75 punts) Tenim 570 euros en bitllets de 10 €, de 20 € i de 50 €. Hi ha un bitllet més de 20 € que de 10 €. Hi ha dos bitllets menys de 20 € que de 50 €. Calcula quants bitllets hi ha de cada tipus. 52 Departament de Matemàtiques

Repàs d’equacions i sistemes (no 3x3). 1) En un triangle rectangle de perímetre 30 metres la hipotenusa és 8 metres més gran que un dels catets. Troba els tres costats. 2) En un triangle rectangle de perímetre 30 metres els dos catets es diferencien en 7 metres. Troba els tres costats. 3) Resol l’equació 1 

12  x 8  0 x6 x6

 3x  y  7 4) Resol el sistema d’equacions:    2x  y  y  3  x

5) Resol l’equació

x  2 3x   2 x  3 x 1

 2 x  y  4 6) Resol el sistema d’equacions:    6x  y  y  x 1

7) Per tancar una finca rectangular de 200 m2 s’han emprat 60 metres de filferro. Determina les dimensions de la finca. 8) Un comerciant va comprar dos articles per 28 euros i els va vendre per 32,4 euros. En la venda del primer article va obtenir un 10% de benefici i en la venda del segon article va guanyar un 20%. Quant li va costar cada un dels articles? 9) En augmentar 2 m el costat d'un quadrat, la superfície augmenta 44 m2. Calcula el costat del quadrat.

 x • y  14 10) Resol el sistema d’equacions:  2 2  x  y  45  x • y  30 11) Resol el sistema d’equacions:  ( x  4)·( y  2)  30

12) Compràrem un cotxe i una barca per 20.000 euros en total. Uns mesos després els vàrem vendre, perdent un 15% amb el cotxe i guanyant un 30% amb la barca. Si el resultat global de l’operació ens ha suposat 600 euros de benefici, quins foren els preus de compra?


Més exercicis de repàs. 1) Troba un polinomi de tercer grau que sigui divisible per x-4, que tingui una arrel que sigui -2 i que el seu valor numèric per a x=1 sigui 12. 2) Donat el polinomi P(x) = ax3-x2+bx+c determina a, b i c de manera que P(0)=1, P(2)=3 i que sigui divisible per x+1. 3) Donat el polinomi P(x) = 2x3-x2+cx+d, determina c i d de manera que el polinomi sigui divisible per x-2 i P(-1) = -4. 4) Troba un polinomi P(x) de quart grau tal que té per arrels 1, -3 i 2 i verifica P(4) =10. 5) Calcula el tant per cent anual a què s'han de col·locar 1000 € perquè en tres anys es converteixin en 1191,016 €. 6) Calcula els anys que han de passar per tal que un cotxe comprat per 18.000€ passi a valer 12.000€, si sabem que el seu preu es devalua un 3 % anual. 7) Calcula els anys que han de passar per tal que un capital de 2500 € posats en un banc a un 4% d'interès anual es converteixin en 5000 € 8) Troba el valor de x en cada cas: a) log4 3

2 = x e) log1/4

8= x

f) log9

4

8= x

b) logx 4 = 1/2 c) log3

3

9=x

d) log1/4

1 =x 3

9) Sabent que log k = 8, calcula el valor de: a) log

1 k4

b) log(10·k5)

c) log(

k3 ) 1000

10) Resol l'equació log(x+3) = 1 + log(x-6) log( x 2 ·y 3 )  7  11) Resol el sistema d’equacions:  x3 log( )5  y 

12) Resol l’equació log(x+94) = 2 + log(x-5) 13) Donat el polinomi P(x) = -x4+ax2+bx-2 determina a i b de manera que P(2) = -4 i que en dividir P(x) per x-3 el residu sigui -49. 14) Troba el valor de x en cada cas, raonant el procediment de càlcul: 1 1 x a) log 1 3 3  x b) log x 8  c) log 8 2 3 9 54 Departament de Matemàtiques


Matemàtiques 1r Batxillerat Socials IES Felanitx 2014-15

Recommend Documents