Física 1 Batxillerat

N. Pfeiffer, A. Travesset

batxillerat

Prelim_Fisica1_Bach_(2M).indd 1

1

18/4/08 16:05:27


18/4/08 16:05:27

Índex

Continguts 1. La ciència i les seves eines de treball Pàgina 5 2. Cinemàtica Pàgina 31

3. Dinàmica Pàgina 75

4. L’energia i la seva transferència Pàgina 117

5. El corrent elèctric Pàgina 147

6. Imatges Pàgina 189

Estratègies d’investigació. Tecnologies de la informació

La Física i la Química La investigació científica Les magnituds físiques Caràcter aproximat de les mesures Magnituds escalars i vectorials

Resum Activitats d’investigació

El sistema de referència Temps: instants i intervals de temps Velocitat mitjana i instantània Acceleració mitjana i instantània Moviment uniforme Moviment uniformement variat La caiguda lliure dels cossos Expressió vectorial del moviment Moviment uniforme en dues dimensions Moviment amb acceleració constant Tir parabòlic Moviment circular

Coneixements previs de matemàtiques Document. Distància de frenada d’un automòbil Experiència. Determinació de l’acceleració de la gravetat per mitjà d’una fotografia Resum Activitats d’investigació i simulació

Principi d’inèrcia Principi fonamental de la Dinàmica Principi d’acció i reacció Llei de Hooke. Medició de les forces Fregament entre sòlids Moviment sobre plans inclinats Dinàmica del moviment circular uniforme Llei de Newton de la gravitació universal Impuls mecànic i quantitat de moviment

Coneixements previs de matemàtiques Experiència. Forces d’acció i reacció en la flotació. Principi d’Arquímedes. Experiència. Relació força-allargament en una molla Experiència. Determinació del coeficient de fregament Document. El fregament és un inconvenient? Resum Activitats d’investigació i simulació

Treball d’una força constant Condicions perquè s’efectuï treball Energia. Principi de conservació Energia cinètica i energia potencial gravitatòria Conservació de l’energia mecànica Potència. Rendiment Temperatura. Calor Primer principi de la Termodinàmica Degradació de l’energia

Ciència, tècnica i societat. Fonts d’energia renovable Ciència, tècnica i societat. L’hidrogen i l’energia del futur Resum Activitats d’investigació

El corrent elèctric. Intensitat de corrent Diferència de potencial La llei d'Ohm. Resistència elèctrica La llei de Joule Generadors. Piles El circuit elèctric El multímetre Força electromotriu Llei d’Ohm generalitzada

Document. Diferents tipus de piles Document. Cèl·lules fotovoltaiques o fotopiles Experiència. Característica d’un generador Experiència. Balanç energètic d'un circuit amb resistències elèctriques Ciència, tècnica i societat. Generació d’energia elèctrica Ciència, tècnica i societat. Elements de seguretat en els circuits elèctrics Resum Activitats d’investigació

Imatges La reflexió de la llum La refracció de la llum Imatges en miralls plans i esfèrics Les lents Instruments òptics L’ull humà Espectre de les ones electromagnètiques Dispersió de la llum Difracció i interferència. Polarització de la llum

Document. L’espectroscopi Experiència. Determinar la distància entre les ranures contigües d’un CD Resum

Solucionari Pàgina 229

Física 1 Material multimèdia batxillerat

Editat per Editorial Casals, S.A. Dipòsit legal: M–5859–2008 Fabricat per: MPO IBÉRICA Les reproduccions s’han realitzat d’acord amb l’article 32 de la Llei de la propietat intel·lectual.

Contingut bàsic de totes les unitats en format hipermèdia navegable mitjançant mapes conceptuals.

No s’autoritza la comercialització independent d’aquest CD. Aquest CD s’ha editat com a complement del llibre Física 1.

3


18/4/08 16:05:31


18/4/08 16:05:31

1 | La ciència i les seves eines de treball

Fer mesuraments és una tasca que els científics fan sovint i, probablement, és l'acció més necessària i eficaç per comprendre i conèixer les lleis de la natura. Per això, és molt convenient que a tot el món s'usi un únic sistema de mesura. El primer pas per aconseguir-ho es va fer al final del segle xviii, quan es va adoptar el metre com a unitat de longitud i es va definir com la deumilionèsima part del quadrant d'un meridià terrestre. Per determinar-ne la longitud es va mesurar l'arc del meridià comprès entre les ciutats de Dunkerque i Barcelona. Aquest arc correspon a un angle central de circumferència de 9° 40', corresponent a la diferència de latituds entre els 51° 2', de la torre de Dunkerque, i els 41° 22', del Castell de Montjuïc, punts de partida i final dels mesuraments.

U01_Fisica1_Bach_(3M).indd 5

18/4/08 16:12:34

1

| La ciència i les seves eines de treball

1 | Ens endinsem en la ciència Si ens preguntem què és la ciència, podem respondre, a grans trets, que la ciència és un conjunt de teories, models i mètodes encaminats a explicar la natura. Des de les estructures més fines de la matèria fins a l'evolució dels sistemes de galàxies a l'univers, tots els processos de la natura són objecte d'estudi de les diverses branques científiques. Des d'un altre punt de vista, es denomina ciència qualsevol coneixement obtingut a partir de l'anomenat mètode científic, que descriurem més endavant. En aquest cas, les disciplines que recorren a aquest mètode també reben el nom de ciències experimentals, atès que una de les fases més destacades del mètode científic és l'experimentació. La física i la química, que estudiarem en aquest llibre, són dues ciències experimentals. A través d'aquestes ciències intentarem descriure, simplificadament, els diversos processos que obser vem en la natura, tot elaborant models de la realitat que prediuen compor taments de la natura.

2 | La física i la química A l'univers es produeixen canvis contínuament. Sense aquests no hi hauria vida, i ni tan sols moviment. La ciència anomena fenòmens els innombrables canvis que passen a l'univers. Així, per exemple, són fenòmens la caiguda d'un cos (canvi de posició), l'evaporació d'un líquid (canvi d'estat), la reflexió de la llum (canvi de direcció dels raigs lluminosos), l'escalfament d'un cos (canvi de temperatura), etc. És evident que al voltant nostre es produeixen una infinitat de canvis o fenòmens. En un primer intent de classificació, podem dividir aquests canvis en dos grans grups: els fenòmens químics i els fenòmens físics. Els fenòmens químics són els canvis en què una o més substàncies es transformen en altres substàncies noves. Per exemple, si encenem el fogó d'una cuina de gas, aquest i l'oxigen de l'aire es van transformant en aigua i diòxid de carboni (Fig. 1). La combustió del gas és, doncs, un fenomen químic. Els fenòmens en què no es produeix la transformació d'unes substàncies en d'altres s'anomenen fenòmens físics. La fusió del gel quan s'escalfa és un fenomen físic, perquè l'aigua en estat líquid que s'obté és la mateixa substància que el gel (Fig. 2). La física és la ciència que estudia els fenòmens físics, mentre que la química s'ocupa dels fenòmens químics. Tanmateix, en algunes de les investigacions que es duen a terme actualment, és difícil establir una distinció clara entre totes dues ciències. 1. La combustió del gas és un fenomen químic.

2. La fusió del gel és un fenomen físic.

6


18/4/08 16:12:35

La ciència i les seves eines de treball | 1

3 | El mètode científic Les diverses ciències tenen objectius diferents. Amb tot, la física i la química, i també altres ciències experimentals, recorren a un mateix mètode o procediment de treball, que rep el nom de mètode científic. A continuació estudiarem, a par tir d'un exemple concret, les fases principals de què consta una feina desenvolupada segons el mètode científic. Per fer-ho farem ser vir com a exemple la investigació sobre el compor tament dels gasos, que va dur a terme el físic i químic britànic Rober t Boyle (1627-1691).

| Observació Si tanquem aire o qualsevol altre gas en un recipient amb un èmbol (Fig. 3a) i exercim una força des de l'exterior contra l'èmbol, podem aconseguir que el gas, sotmès a la pressió de l'èmbol, disminueixi apreciablement de volum (Fig. 3b).

a

Rober t Boyle s'havia fixat en aquesta propietat dels gasos, anomenada compressibilitat, i es va proposar d'investigar-la. La primera fase del mètode científic consisteix en l'observació dels fenòmens que es produeixen en la natura. Molts passen al voltant nostre i podem fixar-nos-hi fàcilment. N'hi ha d'altres, en canvi, que no s'han pogut obser var fins fa poc, després de segles de progrés científic, ja que calien instruments molt per feccionats la fabricació dels quals ha estat possible gràcies al progrés de la tecnologia, que alhora està estretament lligada amb les ciències experimentals. En aquesta primera fase es plantegen les hipòtesis sobre els fenòmens obser vats i s'elaboren les qüestions que posteriorment caldrà verificar o resoldre. Unes hipòtesis i qüestions ben elaborades són el principi d'una bona investigació.

| Experimentació Per estudiar el procés de la compressió dels gasos, Boyle va tancar aire en un tub de vidre, hi va exercir una pressió per comprimir-lo i en va mesurar el volum per als diferents valors de la pressió aplicada. Així, el seu procés d'investigació es trobava en la segona fase: la fase experimental.

b

3. a) Recipient tancat per un èmbol. b) Recipient tancat per un èmbol amb una força exterior aplicada.

Per als científics experimentar és el procés que consisteix a reproduir al laboratori els fenòmens obser vats, i repetir-los tantes vegades com calgui i procurar fer-los en les condicions més adequades per estudiar el comportament de les diferents variables que inter venen en el procés. En aquest exemple, les variables són la pressió i el volum de l'aire tancat al tub. En aquesta fase del procés, el científic fa obser vacions molt minucioses, mesura les variables que inter venen en el fenomen i anota acuradament els resultats que s'han obtingut. La tecnologia inter vé decisivament en aquesta fase, perquè apor ta dispositius i aparells de precisió per als experiments i perquè recull les innovacions que se'n deriven.

7


18/4/08 16:12:40

1


| Inducció de lleis En estudiar les dades que havia obtingut en les experiències, Boyle va detectar una regularitat, és a dir, alguna cosa que es repetia en cada obser vació. Cercar regularitat en els fenòmens és un dels principals objectius de la fase experimental del procés científic. La regularitat que va trobar Boyle en el compor tament dels gasos es pot expressar d'aquesta manera: «en una mateixa massa de gas a una temperatura constant, el producte de la pressió pel volum es manté constant». Aquest enunciat es coneix com la llei de Boyle. Una llei és un enunciat breu, de caràcter general, sobre les regularitats obser vades experimentalment en la natura. Les lleis es poden expressar de tres maneres:

v 5

1) Amb un breu enunciat verbal, com el que s'ha proposat més amunt per a la llei de Boyle.

4

2) Amb una fórmula matemàtica, que en el nostre exemple seria:

3

pV=k

pressió × volum = constant

2

3) Amb un gràfic. En el cas de la llei de Boyle, el gràfic és com el que es representa a la figura 4.

1 O

1

2

3

4

5

6

7 p

4. Gràfica de la llei de Boyle corresponent a una massa determinada de gas, la temperatura de la qual s'ha mantingut constant al llarg de tota l'experiència.

D'acord amb el que s'ha exposat fins ara, en la ciència el coneixement de nombroses experiències concretes o particulars és el punt de partida per arribar a establir les lleis, que són coneixements de caràcter general, és a dir, que no fan referència a una o diversos experiències concretes d'un fenomen, sinó a totes. Aquest procés del pensament que ens porta d'allò concret a allò general s'anomena inducció.

| Formulació de teories Anomenem teoria l'explicació que la ciència proposa per establir les causes de les regularitats obser vades en un conjunt de fenòmens. L'objectiu d'una investigació no és solament descobrir les lleis que regeixen els fenòmens naturals, és a dir, conèixer a la per fecció com són els fenòmens, sinó que a més es pretén esbrinar quines són les causes que produeixen aquests fenòmens. Alguns exemples molt coneguts són la teoria atòmica de John Dalton, la teoria de la relativitat d'Alber t Einstein i la teoria de la gran explosió o Big Bang de Georges-Henri Lemaître i George Gamow. Les teories es componen d'un cer t nombre d'afirmacions, anomenades postulats, que expliquen totes les lleis que fan referència a un conjunt de fenòmens obser vats en la natura. Així, la llei de Boyle, juntament amb altres lleis referents al compor tament dels gasos, s'explica amb l'anomenada teoria cinètica dels gasos. Alguns dels postulats d'aquesta teoria són els següents: 8


18/4/08 16:12:41


• Els gasos estan formats per un nombre de par tícules en constant moviment. • La pressió que exerceix un gas es deu als xocs que exerceixen les seves par tícules contra les parets del recipient que el conté. En la història de la ciència, amb freqüència es descobreixen fets experimentals que no es poden explicar amb les teories acceptades fins a aquell moment. Aquests descobriments posen en dubte la validesa de les teories. Quan això passa, hi ha dues possibilitats: • Cal retocar o ampliar la teoria en qüestió, de manera que també expliqui el nou fet descober t experimentalment. • En el cas que la possibilitat anterior no sigui viable, cal refer la teoria i substituir-la per una de nova.

| Deducció Si per resoldre un problema recorrem a la llei de Boyle, estem aplicant una llei física general amb l'objectiu final de predir què succeirà en un cas concret. En conseqüència, quan s'aplica la llei de Boyle estem passant del que és general a un cas concret. Aquest procés, anomenat deducció, és el contrari del d'inducció. La inducció és el procés propi de la investigació o ciència pura. La deducció és el procés propi de la tècnica o la ciència aplicada.

| Comunicació El treball científic no es considera complet fins que les conclusions a les quals s'ha arribat després d'una investigació determinada –i també els procediments i experiments que s'han dut a terme per arribar a les conclusions– no es comuniquen a la comunitat científica a través d'algunes de les múltiples publicacions especialitzades que hi ha. Amb aquesta finalitat, s'elabora un informe en què es descriu la feina feta i les conclusions a què s'ha arribat. Com a norma general, un informe ha de contenir: • Un títol, que descrigui clarament i concisa el tema que s'aborda en la investigació. Generalment, després del títol hi figura la relació dels autors d'aquesta investigació i la titulació que tenen, la categoria professional i l'ocupació. • Un resum, en què es destaquen les par ts més impor tants de la investigació, els procediments que s'han fet ser vir i les conclusions més rellevants. • Els mètodes i materials, amb un detall dels materials que s'han fet servir i, els mètodes experimentals que s'han aplicat, i les innovacions que s'hagin dut a terme per millorar els procediments anteriors. • Els resultats, que contenen, en taules i gràfics, els valors de les variables mesurades en el procés experimental i les que s'han calculat a par tir dels resultats, i també les precisions dels sistemes de mesurament i els càlculs que s'han fet.

5. A través d'Internet i altres xarxes de difusió, qualsevol científic pot consultar totes les investigacions publicades sobre un tema en concret.

9


18/4/08 16:12:44

1

| La ciència i les seves eines de treball • Les conclusions a què s'ha arribat i una concreció de les relacions matemàtiques que expressen regularitats obser vades, és a dir, les lleis. • La bibliografia, o relació de totes les publicacions consultades al llarg de la investigació, referents o par ticulars al tema. Els informes permeten a altres científics contrastar els fets investigats i divulgar les conclusions i els resultats que s'han obtingut. D'aquesta manera, la ciència progressa en el coneixement de la natura.

4 | La investigació científica Les decisions d'impulsar la investigació científica en un sentit o en un altre es regeixen, en primer lloc, per la voluntat de progrés en salut i benestar. Així doncs, són vitals les investigacions en medicina, biologia, processos físics i químics, condicions per al desenvolupament sostenible i, en general, el coneixement del món que ens envolta. A més, les empreses i indústries tenen en l'activitat econòmica un al·licient per desenvolupar avenços tecnològics que utilitzen i aprofundeixen en aquestes investigacions. En qualsevol cas, l'interès en l'activitat científica és intrínsec a l'ànsia de coneixement de l'espècie humana.

6. La investigació científica i el desenvolupament tecnològic estan intrínsecament relacionats.

Actualment, les línies de treball de les universitats i dels centres d'investigació les estableixen les polítiques d'investigació i desenvolupament dels governs, que determinen les inversions públiques dedicades a uns fins concrets. Les empreses i indústries (com les farmacèutiques, químiques, electròniques, etc.) treballen al costat d'aquests a través dels seus propis laboratoris d'investigació o finançant projectes de centres d'investigació públics i privats. En molts casos, un determinat projecte d'investigació es duu a terme en col·laboració amb molts centres d'investigació de diversos països.

5 | Les magnituds físiques Anomenem magnitud qualsevol qualitat que es pugui mesurar. Alguns exemples de magnituds són la longitud, el temps, la velocitat, la massa, la força, la intensitat d'un corrent elèctric, etc. En el llenguatge corrent s’utilitzen sovint expressions com «mesurar una vareta». Però una vareta no és una magnitud. Aquesta expressió és incorrecta, ja que no mesurem la vareta, sinó que en mesurem la longitud, el volum, la massa, etc. Les magnituds que s’utilitzen en l’estudi dels fenòmens físics reben el nom de magnituds físiques. Totes les magnituds esmentades anteriorment com a exemple són magnituds físiques. 10


18/4/08 16:12:48


6 | Expressió d'una quantitat: la unitat El resultat de mesurar una magnitud és una quantitat. Si diem, per exemple, que la longitud d’una taula és 1,5 metres estem expressant una quantitat. En aquest cas, «1,5 metres» és una quantitat de la magnitud longitud. Totes les quantitats consten sempre d'un valor numèric (1,5 a l'exemple) seguit de la unitat (metres). La unitat és una quantitat de la magnitud a la qual assignem el valor 1. Per mesurar una quantitat qualsevol la comparem amb la unitat. Així, si diem que una longitud és de 5 metres, donem a entendre que aquesta longitud és cinc vegades més gran que la unitat, és a dir, cinc vegades la longitud d'un metre. Per això, quan expressem una quantitat de qualsevol magnitud sempre es fa constar la unitat utilitzada, ja que si només donem un nombre, no té cap significat. Així, la unitat de velocitat (el metre per segon) es deriva de la de longitud (el metre) i de la de temps (el segon). La unitat de volum (el metre cúbic) es deriva de la de longitud (el metre). Les magnituds que es defineixen a par tir d'altres ja conegudes es denominen magnituds derivades i les seves corresponents unitats són les unitats derivades. Les magnituds que no es deriven d'altres prèviament definides reben el nom de magnituds fonamentals i les corresponents unitats són les unitats fonamentals. El conjunt de les unitats fonamentals i totes les que se'n deriven constitueix un sistema d'unitats.

7. Per construir un aparell de mesura cal que s'hagi definit amb precisió suficient la unitat de la magnitud que s'ha de mesurar.

7 | El Sistema Internacional d'unitats Al llarg de la història s’han fet servir diferents unitats i sistemes d’unitats. Actualment, però, s’estan unificant els criteris gràcies al fet que les normes promulgades per algunes organitzacions internacionals han estat reconegudes universalment i adoptades. Hi ha contribuït de manera decisiva la CIPM (Conferència Internacional de Pesos i Mesures), que es va crear el 1875 a París i té un organisme permanent, que és l’Oficina Internacional de Pesos i Mesures, situada a Sèvres (a prop de París). També cal destacar les contribucions de la IUPAP (Unió Internacional de Física Pura i Aplicada), especialment pel que fa a la definició d'unitats físiques, i la IUPAC (Unió Internacional de Química Pura i Aplicada), en tot el que fa referència als noms i les fórmules químiques de les substàncies. En l'onzena Conferència Internacional de Pesos i Mesures, que va tenir lloc el 1960, es va aprovar el Sistema Internacional d'unitats, que té el símbol SI en tots els idiomes. Aquest sistema d'unitats, recomanat per científics d'arreu del món, ja ha estat universalment acceptat. Tots els treballs científics han de ser publicats fent ser vir, com a mínim, les unitats del SI en els resultats de les mesures de magnituds. En el quadre següent hi ha les unitats fonamentals del SI i els seus símbols corresponents.

8. L'adopció del SI evita utilitzar diferents unitats per a una mateixa magnitud.

11


18/4/08 16:12:54

1


Magnitud Nom

Símbol

Longitud

metre

m

Temps

segon

s

Massa

kilogram

kg

Intensitat de corrent

ampere

A

kelvin

K

mol

mol

candela

cd

Temperatura Quantitat de substància Intensitat lluminosa Normes sobre noms i símbols de les unitats • Els noms de les unitats s'escriuen amb minúscula. • Cada unitat té el seu símbol i no se n'ha d'utilitzar cap altre. • Darrere dels símbols de les unitats no s’escriu cap punt. • Els símbols de les unitats el nom dels quals prové d'un nom propi, s'escriuen amb majúscula; si no procedeixen d'un nom propi, s'escriuen amb minúscula. • Mai s'afegeix la marca del plural als símbols de les unitats.

Unitat

Durant tot l'estudi de la cinemàtica i la dinàmica, les unitats fonamentals del SI que utilitzarem són les de temps, longitud i massa. La resta d'unitats que introduirem en aquests temes són unitats derivades de les tres fonamentals. La unitat de temps, el segon, s'havia definit en funció de la rotació de la Terra, com a 1/86 400 del dia solar mitjà. L'octubre de 1967 es va adoptar una nova definició, més precisa, basada en la freqüència d'una radiació emesa pels àtoms del cesi. La unitat de longitud, el metre, al principi es va definir com la deumilionèsima par t de la longitud del quadrant meridià terrestre. El 1983 la Conferència Internacional de Pesos i Mesures va adoptar com a definició més precisa del metre la longitud del trajecte que recorre la llum en el buit en 1/299 792 458 segons. La definició de la unitat de massa, el kilogram, data de 1889. El kilogram és la massa del kilogram patró, un cilindre de platí iridiat que es conser va a l'Oficina Internacional de Pesos i Mesures a Sèvres, en condicions ambientals estrictament controlades.

8 | Múltiples i submúltiples de les unitats al SI Exemple d'ús dels prefixos de les unitats del SI 2,5 Em = 2,5 exàmetres = = 2,5 × 1018 m

Per expressar còmodament quantitats molt grans o molt petites, s'ha establer t al Sistema Internacional un conjunt de prefixos que ser veixen per designar els múltiples i submúltiples de les unitats. Són els que figuren a la taula de la pàgina següent:

5 MW = 5 megawatts = 5 × 106 W 3,7 hPa = 3,7 hectopascals = = 3,7 × 102 Pa 4 ns = 4 nanosegons = 4 × 10–9 s 6,2 μm = 6,2 micròmetres = = 6,2 × 10–6 m

12


18/4/08 16:12:54


Múltiples Factor

Submúltiples

Prefix

Símbol

Factor

Prefix

Símbol

10

deca-

da

10–1

deci-

d

102

hecto-

h

10–2

centi-

c

103

kilo-

k

10–3

mil·li-

m

106

mega-

M

10–6

micro-

μ

109

giga-

G

10–9

nano-

n

1012

tera-

T

10–12

pico-

p

1015

peta-

P

10–15

femto-

f

1018

exa-

E

10–18

atto-

a

1021

zetta-

Z

10–21

zepto-

z

1024

yotta-

Y

10–24

yocto-

y

Instruments de mesura: sensibilitat i precisió

9 | Magnituds derivades i les seves unitats A partir de les magnituds fonamentals es defineixen totes les altres magnituds que s’utilitzen en la física. De la definició d’una magnitud derivada, en la majoria dels casos, es dedueix fàcilment la fórmula per calcular-la i la unitat corresponent. Agafem com a exemple una magnitud concreta: la densitat. Recordem que la densitat d’una substància és la massa d’una unitat de volum d’aquesta substància. Aquesta definició es pot expressar a través d’una senzilla igualtat. Si anomenem m la massa de la substància, V el seu volum i ρ (ro) la seva densitat: m ρ = —– V Així doncs, la densitat es deriva d’altres magnituds prèviament conegudes: la massa i el volum. El volum, alhora, és una magnitud que es deriva de la longitud. De la definició de densitat es dedueix fàcilment la unitat al SI. És la densitat d'un cos la massa m del qual fos igual a una unitat de massa (1 kg) i el volum, V, igual a una unitat de volum (1 m3). Per tant, la unitat de densitat és: m 1 kg kg —– = ———— = 1 —— m3 V 1 m3

Les dades experimentals, a partir de les quals es formulen les equacions i es verifiquen o es rebutgen les hipòtesis, s'obtenen a partir de diferents aparells de mesura que disposen d'un indicador que assenyala el valor mesurat dins d'una escala determinada. Entre las característiques dels aparells de mesura podem destacar la sensibilitat i la precisió. S'anomena sensibilitat d'un aparell de mesura la variació que es pot apreciar a l'indicador sobre l'escala de lectura de l'aparell per unitat de la magnitud mesurada que ha provocat aquesta variació. Per exemple, si utilitzem un dinamòmetre i la molla s'allarga 10 mm quan s'aplica una força de 2 N, podem expressar la sensibilitat del dinamòmetre com a (10 mm/2 N) = (5 mm/N). La precisió d'un aparell de mesura és la variació mínima de la magnitud mesurada que l'aparell pot determinar. Per exemple, un regle graduat en mil·límetres té una precisió d'1 mm, mentre que podem disposar de balances amb precisions de 0,1 g; 0,01 g; 0,001 g; etc. Els resultats d'una mesura s'han de donar juntament amb la precisió de l'aparell utilitzat per determinar-los.

13


18/4/08 16:12:55

1


RECORDA QUE Per canviar la unitat en què s'ha expressat una magnitud utilitzem els factors de conversió. Un factor de conversió és una fracció en la qual el numerador i el denominador són quantitats equivalents expressades en unitats diferents. Per exemple: 100 cm 1 kg ———— o ———— 1m 1 000 g Si volem expressar en minuts un temps de t = 225 segons, n'hi ha prou de multiplicar aquesta quantitat per un factor de conversió que tingui el numerador expressat en minuts i el denominador en segons: 1 min t = 225 s × ———— = 3,75 min 60 s Per expressar una densitat ρ = 0,25 g/cm3 en kg/m3, hauríem d'utilitzar dos factors de conversió: g 1 kg 106 cm3 kg ρ = 0,25 —— × ———— × ———— = 250 —— 3 3 cm 1 000 g 1m m3 Obser va que, en fer el producte, se simplifiquen les unitats exactament igual que si es tractés de factors numèrics.

10 | Caràcter aproximat de les mesures: cota de l’error absolut Quan afirmem que la longitud l d'una vareta és, per exemple, 38,7 cm, estem expressant el resultat d'un mesurament com una cosa totalment exacta: l = 38,7 cm En realitat, tan sols podem afirmar que la longitud l s'aproxima força (o molt) a 38,7 cm, ja que l'únic que es pot determinar quan s'efectua un mesurament són dos valors entre els quals hi ha compresa la quantitat mesurada. Podríem dir, per exemple: 38,6 cm ≤ l ≤ 38,8 cm A la pràctica, un resultat com l’anterior se sol escriure de la manera següent: l = (38,7 ± 0,1) cm

9. Diversos aparells de mesura.

Aquesta expressió indica que es pren com a resultat del mesurament la quantitat de 38,7 cm, però que, de fet, hi ha un marge de dubte des de 0,1 cm per sota fins a 0,1 cm per sobre d’aquesta quantitat. Així, doncs, qualsevol mesura es pot expressar de la manera: m ± ea On m és la quantitat que s’accepta com a valor mesurat i ea una quantitat que indica el marge d’incer tesa del resultat obtingut. La quantitat ea rep el nom de cota de l'error absolut. Obser va (fig. 10) que l’amplada del marge d’incer tesa és el doble de la cota de l’error absolut. En resum, podem afirmar el següent:

14


18/4/08 16:12:56

• S’anomena cota de l’error absolut (ea) la diferència entre el valor mesurat (m) i qualsevol dels extrems del marge d'incer tesa. A la pràctica, per determinar la cota d'error absolut d'una mesura cal el sentit comú; d'aquesta manera és possible fer-se una idea aproximada de la cota de l'error. Suposem, per exemple, que hem de mesurar la longitud d'un full de paper amb un regle graduat en mil·límetres. És evident que, si l'instrument i la nostra manera d'utilitzar-lo són correctes, el marge d'error és inferior a una divisió del regle, és a dir, a 1 mm. Amb això ja podem fer-nos una idea de quina pot ser la cota de l’error absolut.

m + ea

• El marge d’incer tesa d’un mesurament és un inter val entre els extrems del qual hi ha la quantitat mesurada. El valor central d’aquest interval es pren com a resultat del mesurament o valor mesurat (m).

m – ea


m: valor mitjà

ea

ea

marge d'incertesa 10. El resultat d'un mesurament no és un valor exacte m, sinó un interval de valors que van des de m – ea fins a m + ea.

En altres casos, per determinar més rigorosament els marges d'error, cal repetir diverses vegades el mesurament. Les petites diferències entre els diferents resultats obtinguts donen una idea del marge d’error. Com a valor mesurat s’adopta la mitjana aritmètica de tots els mesuraments fets. Com a cota de l’error es pot prendre, doncs, la diferència entre aquesta mesura i el mesurament que més se’n separi.

EXEMPLE 1.

Cinc cronometradors han mesurat el temps que tarda un nedador a recórrer 100 m. Els resultats en segons han estat els següents: 58,6

58,4

58,4

58,5

58,5

La mitjana aritmètica dels cinc valors és: (58,6 + 58,4 + 58,4 + 58,5 + 58,5) –––––––––––––––––––––––––––––––——– = 58,48 s 5 El mesurament que és més lluny d'aquesta mitjana és 58,6 s. La diferència amb la mitjana és 58,6 – 58,48 = 0,12 s. Com a cota de l’error absolut prendrem aquesta diferència arrodonida en una única xifra, és a dir, 0,1 s. Com que la cota de l'error és una dècima de segon, no podem expressar el valor mesurat escrivint fins a les centèsimes de segon. Per aquest motiu, arrodonirem també la mitjana obtinguda, de manera que l'última xifra correspongui a les dècimes de segon. Així doncs, expressarem el resultat de la manera següent: 58,5 ± 0,1 s

Cronometradors d'una prova de natació.

15


18/4/08 16:12:56

1


11 | Cota de l'error relatiu La cota de l’error absolut no dóna idea de la qualitat d’un mesurament. Suposem que, en el mesurament d’una determinada longitud, la cota de l’error absolut és d’1 mm. El resultat seria extraordinàriament precís si la longitud mesurada hagués estat de 5 km, però seria molt poc aproximat si aquesta longitud fos de 5 mm. Així doncs, per jutjar la precisió, hem de comparar la cota de l’error absolut amb la quantitat mesurada. Aquesta comparació es fa dividint tots dos nombres. S'anomena cota de l'error relatiu el quocient entre la cota de l’error absolut i la quantitat mesurada. En l'exemple proposat a l’apar tat anterior, la cota de l’error relatiu (er) seria: e 0,1 s e = —— = ———– = 0,0017 m 58,5 s Si multipliquem per 100 el resultat, la cota de l'error relatiu es pot expressar en tant per cent: er = 0,17 % Entre dues mesures és més precisa la que té una cota de l’error relatiu més petita.

12 | Xifres significatives Quantitats expressades amb nombre diferent de xifres significatives: 2,307 m (4 xifres significatives). 0,0025 cm (2 xifres significatives). 20,0 mm (3 xifres significatives). 10,008 km (5 xifres significatives). 0,003200 m (4 xifres significatives). 0,06 cm (1 xifra significativa).

Una piscina té 600 m 3 d'aigua i hi afegim la que hi ha en un vas de 200 cm 3 de capacitat. 200 cm 3 equivalen a 0,0002 m 3. Si diem que la piscina ara conté 600,0002 m 3 d'aigua, estem fent una afirmació lògica? Evidentment, no. Quan determinem el volum d’aigua que conté la piscina, l’error absolut d’aquesta mesura pot ser d'uns quants metres cúbics. En aquest cas, és absurd escriure una xifra que expressa deu mil·lèsimes de metre cúbic. Solament és raonable incloure les xifres el valor de les quals coneixem exactament o aproximadament. En l’expressió d’una quantitat s'anomenen xifres significatives totes les que escrivim a par tir de la primera que no és zero. (Obser va el quadre al marge.) Freqüentment, quan escrivim una quantitat no expressem la cota de l'error absolut. S'entén aleshores que aquest consta, com a màxim, d'algunes unitats de l'última xifra significativa. Per exemple, si s’expressa un temps com 2,0 s, entendrem que l’error absolut pot ser d’algunes dècimes de segon. Però si s’expressa com a 2,00 s, entendrem que l’error només pot ser d’unes quantes centèsimes de segon. Així doncs, el nombre de xifres significatives d’una quantitat ens proporciona una primera idea de la cota del seu error absolut i, per tant, de la precisió amb què aquesta quantitat ha estat mesurada.

16


18/4/08 16:12:57


Les dades dels problemes i els mesuraments que fem normalment, no solen tenir més de tres o quatre xifres significatives. Però quan operem amb aquestes dades i fem ser vir una calculadora, aquesta ens dóna el resultat amb vuit xifres o més; aleshores haurem de prescindir d’algunes xifres, ja que el resultat d’una operació entre quantitats aproximades no ha de tenir un nombre de xifres significatives més gran que les dades. Altrament, estaríem suposant, sense fonament, que el resultat obtingut és més precís que les dades de par tida. Per exemple, si la massa d’un cos és de 37,50 g i el volum és de 7,00 cm, com hem d’expressar-ne la densitat en g/cm3? Com ja sabem, per calcular la densitat d'un cos cal dividir la seva massa entre el volum. Si fem la divisió amb una calculadora obtenim el següent: 37,5/7 = 5,357142857 Com que una de les dades (el volum) tan sols contenia tres xifres significatives, no podem escriure el resultat amb més de tres xifres. Així, l'hem d'expressar de la manera següent: ρ = 5,36 g/cm3

11. Una balança electrònica assenyala la massa d'un objecte amb 2, 3 i 4 xifres significatives.

13 | Notació científica Ara bé, com podríem expressar, per exemple, una longitud de 45 000 m si només tenim tres xifres significatives? Òbviament no podem suprimir els dos últims zeros per deixar les tres xifres, perquè en modificaríem la quantitat. Una solució pot ser utilitzar els prefixos del SI per simbolitzar els múltiples de la unitat i escriure 45,0 km en comptes de 45 000 m. Una altra solució és utilitzar l’anomenada notació científica, que consisteix a expressar el valor numèric de qualsevol quantitat com a producte d'un nombre comprès entre 1 i 10 per una potència entera de 10. Així, per expressar 45 000 m en notació científica amb 3 xifres significatives, hem d'escriure 4,50 × 103 m. En la figura 12 es veu com apareix en una calculadora la massa d'un electró (9,1095 × 10–31 kg) expressada en notació científica, amb un nombre diferent de xifres significatives. Totes dues xifres de la dreta corresponen a l’exponent de 10. És impor tant saber que, quan es trunca una quantitat (és a dir, quan se n'eliminen alguns decimals), l'última xifra s'augmenta en una unitat, sempre que la xifra següent (la primera que s'ha eliminat) sigui igual o més gran que 5. D'aquesta manera, per exemple, el número 2,7145 expressat amb quatre xifres significatives és 2,715; ara bé, amb dues xifres significatives és 2,71, ja que la xifra de després de l'1 era un 4 (que és inferior a 5). Als ordinadors, per expressar una quantitat en notació científica, s'escriu l'exponent de 10 precedit d'una E majúscula i del signe que li correspon (generalment, quan és positiu es pot ometre).

12. Massa de l'electró en kg expressada per una calculadora en notació científica, amb 5, 4, 3 i 2 xifres significatives respectivament.

Exemple: 4,50 × 106 s'escriu 4.50E+6. 17


18/4/08 16:12:58

1


14 | Magnituds escalars i vectorials Les magnituds escalars són les que estan determinades per un valor numèric i una unitat. Per exemple, una massa de 30 kg, un volum de 0,4 m3 o una potència de 500 W, són tres quantitats per fectament determinades. Consegüentment, la massa, el volum i la potència són magnituds escalars. Però hi ha altres magnituds que requereixen alguna cosa més. Per exemple, no n'hi ha prou de dir que la força aplicada a un cos és de 200 N. No és el mateix aplicar aquesta força cap amunt, cap avall o en una direcció horitzontal, ja que l’efecte que produiria seria diferent en cada cas. Perquè una força quedi per fectament definida cal especificar-ne no solament el valor numèric, sinó també la direcció i el sentit. Les magnituds que tenen valor numèric, direcció i sentit s'anomenen magnituds vectorials i es representen amb vectors.

15 | Vectors En matemàtiques s’anomenen vectors els elements d’un conjunt en què s’han definit dues operacions (la suma vectorial i el producte per un escalar). Tenen un conjunt de propietats que ara no tractarem.

ia Lín →

v

d'a

cci

ó

B

A 13. El punt A és l'origen del vector i el punt B, l'extrem.

Els vectors que s'utilitzen en física es representen amb un segment orientat, és a dir, un segment al qual s'assigna un sentit mitjançant una punta de fletxa (Fig. 13). A les seccions 16 i 18 d'aquesta unitat definirem les dues operacions pròpies dels vectors: la suma vectorial i el producte per un escalar. Com que tot vector té un sentit, per diferenciar els dos punts que el delimiten, un l'anomenarem origen (punt A de la figura) i l'altre, extrem (punt B de la figura). Un vector es designa amb una sola lletra minúscula o amb les dues lletres corresponents a l'origen i a l'extrem amb una petita fletxa horitzontal al damunt: →

v

C1U1FIG6

→

AB

En tot vector podem distingir els elements següents: • El mòdul. És la quantitat de la magnitud vectorial en valor absolut. Es → designa amb el símbol del vector escrit entre dues barres ver ticals: |v |. Es representa gràficament mitjançant la longitud del vector. Així, el vector que representa una força de 20 N és el doble de llarg que el que representa una força de 10 N. • La direcció. És la recta que conté el vector i s'anomena línia d'acció. • El sentit. És el que indica la punta de la fletxa que es dibuixa en un dels seus extrems. Quan dos vectors tenen el mateix mòdul, direcció i sentit, es diu que són equipolents. Vegem ara quines condicions han de complir dos vectors perquè els considerem iguals, és a dir, definirem la igualtat de vectors.

18


18/4/08 16:12:58


Això es pot fer de tres maneres diferents. D'aquesta manera, haurem establer t tres tipus de vectors:

→

w

• Vectors fixos o localitzats. Són els que considerem iguals només si tenen el mateix mòdul, direcció i sentit i, a més, estan aplicats a un mateix punt. En aquest cas, els tres vectors de la figura són diferents, perquè tenen diferents punts d’aplicació. Consegüentment, no podem canviar el punt d’aplicació d’un vector fix. • Vectors lliscants. Són els que considerem iguals quan tenen el mateix → → mòdul, línia d'acció i sentit. En aquest cas, els vectors u i v de la figura → són iguals, però el vector w és diferent perquè té una línia d'acció diferent. Així doncs, el punt d’aplicació d’un vector lliscant es pot desplaçar al llarg de la seva línia d’acció.

→

v

→

u

14. Segons si es tracta de vectors fixos, lliscants o lliures, considerarem que aquests vectors són iguals o són diferents.

C1U1FIG7

• Vectors lliures. Són els que considerem iguals quan són equipolents, és a dir, quan tenen el mateix mòdul, direcció i sentit. En aquest cas, els tres vectors de la figura són iguals. Per tant, el punt d’aplicació d’un vector lliure és indiferent i el podem canviar com ens convingui.

16 | Suma vectorial S'anomena suma vectorial de dos → → → → → vectors u i v el vector s = u + v , que s'obté de la manera següent: → es pren com a origen l'extrem de u , → es traça un vector equipolent a v i la → seva suma vectorial és el vector s , que s'obté amb la unió de l'origen del primer amb l'extrem del segon (Fig. 15).

a→

→

s

→

c

d→

→

d

→

a

→

 =u →

b→

v →

v

→

c →

→

u

Per sumar diversos vectors hem de 15. Suma vectorial. traçar vectors que els siguin equipolents, de manera que l'origen de cada un coincideixi amb l'extrem de l'anterior (Fig. 16). La suma de tots s'obté traçant el vector que uneix l'origen del primer amb l'extrem de l'últim.

b

16. Suma vectorial de quatre vectors.

C1U1FIG9

La suma de diversos vectors és independent de l'ordre en què es prenen. La C1U1FIG8 suma dels vectors és, per tant, una operació amb les propietats commutativa i associativa.

17 | Resta de vectors →

→

Donats els vectors u i v , és possible trobar la diferència entre tots dos, desig→ → → → → → nada mitjançant u – v , i s'obté un altre vector d , de manera que v + d = u . A la figura 17a es representa la construcció gràfica que correspon a aquesta definició. Si tracem tots dos vectors amb l'origen al mateix punt, el vector → → → → u – v és el que té l'origen a l'extrem de v i l'extrem a l'extrem de u (en aquest mateix ordre). →

→

Per obtenir la diferència v – u , s'ha de traçar el vector en sentit contrari, és → → a dir, des de l'extrem de u fins al de v (Fig. 17b).

b

a

→

→

u

u

→

→

→

→

v

→

v– u

u –v

→

v

17. Resta de dos vectors.

19


18/4/08 16:12:59

1


18 | Producte d'un escalar per un vector El producte d'un escalar per un vector és un altre vector amb les característiques següents:

→

v

→

2v

• El seu mòdul és el valor absolut de l'escalar multiplicat pel mòdul del vector. • La direcció és la del vector. • El sentit és el del vector si l'escalar és positiu, i contrari al del vector si és negatiu.

→

v

→

3v →

v →

–2 v

Tot i que aquesta definició pot semblar una mica complicada, el concepte és molt simple, com es pot veure a la figura 18, on es presenten exemples de productes de diferents escalars per un vector. El producte d'un escalar → → r per un vector v es representa r v . A la pràctica, farem ser vir també el quocient d'un vector per un escalar. Equival al producte del vector per l'invers de l'escalar. Per exemple, el

18. Producte d'un vector per diferents escalars.

v 1 quocient —– equival al producte —– v. 2 2

19 | Vectors unitaris S'anomena vector unitari o versor qualsevol vector de mòdul 1.

C1U1FIG11

→

→

Donat un vector v , per obtenir un vector unitari e de la mateixa direcció i → sentit que v , només cal dividir-lo entre el seu mòdul: v e = —– |v | →

→

v →

→

En efecte, com que el vector e és quocient de v per un nombre positiu, ha de tenir la seva mateixa direcció i sentit. Així mateix, el mòdul és igual que el mòdul del vector par tit per l'escalar, és a dir:

e

|v | |e | = —— = 1 |v |

→

19. El vector e és un vector unitari o versor perquè el seu mòdul és igual a la unitat.

C1U1FIG12

Sabem que la posició dels diferents punts del pla s'expressa amb relació a uns eixos de coordenades. El vector unitari en la direcció de l'eix Ox i sentit positiu → se simbolitza amb i . I el vector unitari que té la direcció de l'eix → Oy i sentit positiu s'anomena j (Fig. 20).

y

→

j

O

→

i

x → →

20. Els vectors unitaris i i j tenen les direccions dels eixos de coordenades i tenen sentit positiu.

En l'apar tat següent veurem que tots els vectors del pla es poden expressar en funció dels vectors → → unitaris i i j .

c1u1fig13 20


18/4/08 16:13:00


20 | Components d'un vector S'anomenen components d'un vector les projeccions sobre els eixos de coordenades. →

A la figura 21 es poden veure els components d'un vector v . Són els segments OA i OB, que simbolitzarem amb vx i vy. Obser va la figura 22 com el signe de cada component d'un vector depèn del seu sentit, i no de la posició sobre l'eix de coordenades. Així, el → component a x del vector a és positiu perquè té el sentit positiu, per bé que està situat a la par t negativa de l'eix Ox. Anàlogament, el compo→ nent b y del vector b , tot i que es troba a la par t positiva de l'eix Oy, és negatiu.

y B →

v

VY

O

VX

x

21. Les components del vector v son vx i vy.

c1u1fig14

Qualsevol vector es pot expressar en funció dels seus components.

y

→

Observa la figura 23. És evident que el vector v és la suma dels dos vectors representats amb color vermell: →

A

→

→

bY

→

v = OA + OB

b

→

OA és un vector de la mateixa direcció que el vector unitari i , però amb longitud vx en lloc d'1. Per tant:

aX

bX

x

= vx i Igualment, podem escriure que:

→

a

= vy j . →

→

→

aY

→

Així doncs, es pot expressar el vector v com v = vx i + vy j . A la figura 24 pots veure'n alguns exemples.

22. Signes dels components d'un vector.

y

→

v

c1u1fig15

y

B →

u →

VY

v

x

→

j

→

i O

→

w

VX →

A →

x →

→

→

→ →

→

→

→

→

→

24. u = 3 i + 2 j ; v = –2 i + 4 j ; w = –4 i –3 j .

23. El vector v és igual a vx i + vy j .

21 | Relació entre els components c1u1fig17 i el mòdul d'un vector Entre els components i el mòdul d'un vector hi ha una relació trigonomètrica senzilla. →

Si α i β són els dos angles que forma un vector v amb els semieixos positius Ox i Oy, per definició de cosinus d'un angle podem escriure: vx cos α = –– |v |

i

vy cos β = ––– |v |

21


18/4/08 16:13:01

1

| La ciència i les seves eines de treball D'aquestes igualtats, se'n dedueix el següent:

y

vx = |v | cos α

→

v

VY

β

vy = |v | cos β

i

El component d'un vector sobre un eix de coordenades s'obté multiplicantne el mòdul pel cosinus de l'angle que forma amb aquest eix.

α O

x

VX →

→

25. vx= |v | cos α ; vy = |v | cos β

Els cosinus dels angles α i β que forma un vector amb els eixos de coordenades reben el nom de cosinus directors del vector.

EXEMPLE c1u1fig18 2.

Calcula els components del vector de mòdul igual a 5 representat a la figura. El component vx té sentit positiu:

y

→

vx = |v |cos α = 5 × cos 30° = 5 × 0,8660 = 4,33 Observa que el component vy té sentit negatiu i forma un angle de β = 90° – 30° = 60° amb l'eix Oy. El seu valor és:

x

→

→

v

V y = |v |cos β = –5 × cos 60° = –5 × 0,5 = –2,5 →

Per tant, el vector v es pot expressar com a: →

→

→

v = 4,33i – 2,5j

D'altra banda, obser va que si s'aplica el teorema de Pitàgores al triangle rectangle que s'assenyala a la figura 26, s'obté:

y

→

|v |2 = vx 2 + v y2

→

Vy

v

Vy

O

x

Vx

El quadrat del mòdul d'un vector és igual a la suma dels quadrats dels seus components. →

→

→

Per exemple, donat el vector v = 8i –6j , serà: →

→

|v |2 = 82 + (–6)2 = 100

26. |v |2 = vx2 + vy2 →

Per tant, el mòdul de v és: | v | = 100 = 10

22 | Operacions amb els components d’un vector

y

by

→

Sy

b a+

→

=

→

ay

s

Per sumar numèricament dos vectors se'n sumen els components ( F i g . 27): →

b

→

→

a

ax

→

→

→

→

→

→

De la mateixa manera, els components de la diferència de dos vectors s'obtenen restant els components que corresponen als dos vectors.

Sx O

→

a + b = (axi + ay j ) + (bxi + by j ) = (ax + bx) i + (ay + by) j

bx

x

27. Components de la suma de dos vectors.

Exemples:

→

→

→

→

→

→

→

→

→

→

→

→

(2i + 7j ) + (4i – 2j ) = 6i + 5j (5i + 3j ) – (2i – 4j ) = 3i + 7j

22 c1u1fig20 U01_Fisica1_Bach_(3M).indd 22

18/4/08 16:13:03


Com a aplicació de la diferència de dos vectors, ara veurem la manera de calcular els components d'un vector a partir de les coordenades de l'origen i de l'extrem.

y

OB

El vector AB es pot expressar com a diferència de dos vectors aplicat a l'origen de coordenades: AB = OB – OA Amb tot, els components dels vectors OA i OB són, respectivament, les coordenades de A i les de B: OA = xA i + yA j

OB = xB i + yB j

OA -− OB

Considerem uns eixos de coordenades (Ox i Oy) i un vector amb l'origen a A (xA’ yA) i l'extrem a B (xB’ yB) (Fig. 28).

B

OA

O

A x

28. AB = OB – OA

c1u1fig21

Consegüentment, serà: AB = (xB – xA) i + (yB – yA) j Els components d'un vector s'obtenen restant les coordenades de l'origen de les de l'extrem. Simbòlicament, s'escriu: AB = B – A Així mateix, el producte d'un escalar per un vector es pot calcular a par tir dels components del vector. Per fer-ho aplicarem la propietat distributiva d'aquesta operació respecte de la suma vectorial: r A = r (ax i + ay j) = r ax i + r ay j Els components del producte d'un escalar per un vector s'obtenen multiplicant per aquest escalar cada component del vector. Dividir un vector entre un escalar r és el mateix que multiplicar-lo per 1/r. Per això, els components del quocient d'un vector per un escalar s'obtenen dividint entre aquest escalar cada component del vector:

A ax i + ay j ax ay —–– = ————– = —– i + —– j r r r r Quan hem definit el producte d'un escalar per un vector hem vist que, donat → → un vector v qualsevol, per obtenir un vector unitari e de la mateixa direcció i sentit, n'hi ha prou de dividir-lo entre el seu mòdul, és a dir: vx vy v v xi + v y j e = —— = –––––––– = —— i + —— j = cos α i + cos β j |v | |v | |v | |v | Així doncs, podem obser var que els cosinus directors d'un vector són els components del vector unitari de la mateixa direcció i sentit.

23


18/4/08 16:13:03

1


EXEMPLE 3.

→

Determina un vector unitari de la mateixa direcció i sentit que el vector v , amb origen a A (3,1) i extrem a B (7, –2). →

Calcula els angles que forma v amb els eixos de coordenades. →

El vector v es calcula restant les coordenades de B i les de A. Simbòlicament, escrivim: →

v =B–A →

→

→

→

→

v = (7 – 3) i + (–2 –1) j = 4i – 3 j →

El mòdul de v és: |v |= 42 + (– 3)2 = 16 + 9 = 5 →

→

El vector unitari e de la mateixa direcció i sentit que el vector v es calcula dividint-lo entre el seu mòdul: v 4i – 3j 4 3 e = —– = ———– = —– i – —– j = 0,8i – 0,6j |v | 5 5 5 →

→

Sabem que els components de e són els cosinus directors v : 0,8 = cos α; –0,6 = cos β Si es determinen els angles corresponents, resulta: α = 36,87°; β = 126,87°

23 | Producte escalar de dos vectors S’anomena producte escalar de dos vectors un escalar igual al producte dels seus mòduls pel cosinus de l’angle que formen.

→

u

→

→

→ →

u · v = |u | |v | cos ϕ

ϕ

De la definició es dedueix que el signe del producte escalar de dos vectors és el del cosinus de l’angle que formen (cos ϕ).

→

v

29. Producte escalar de dos vectors: → → → → u · v = |u | |v | cos ϕ

Per tant:

→

u

• Si l'angle que formen els vectors és agut (cos ϕ > 0), el producte escalar és positiu. →

→

→

u ⋅ escalar v> 0 vés • Quan l'angle que formen és obtús (cos ϕ < 0), el producte → negatiu. u → u

• Si els vectors són perpendiculars entre si (cos ϕ = cos 90° = 0 ), el producte escalar és nul. →

→

u⋅ v> 0

c1u1fig22

→

v

u⋅ v< 0

→

→

v

→

→

v

→

→

u

→

u

→

u

→

→

u⋅ v> 0

→

v

u⋅ v< 0

→

→

v

→

→

v

→

u⋅ v= 0

→

→

u →

u

30. Signe del producte escalar dels vectors. →

24 →

u U01_Fisica1_Bach_(3M).indd 24

→

u⋅ v< 0

→

v

u⋅ v= 0

→

c1u1fig23 18/4/08 16:13:04


Per obtenir el producte escalar de dos vectors expressats en funció dels seus components, s'aplica la propietat distributiva d'aquesta operació amb relació a la suma vectorial. Per tant, es pot procedir de la mateixa manera que per multiplicar dos binomis: →

→

→

→

→

→

→

→

→

→

→

→

u · v = (ux i + uy j ) · (vxi + vy j ) = uxvxi 2 + uxvyi · j + uyvx j · i + uyvy j →

2

→

Però els productes i 2 i j 2 són iguals que la unitat. En efecte, per definició de producte escalar: →

→

→

→

i · i = j · j = 1 × 1 × cos 0° = 1 × 1 × 1 = 1 → → → →

D'altra banda, els productes i · j i j · i són nuls, ja que ambdós vectors són perpendiculars entre ells. De manera que el producte escalar queda reduït a: →

→

u · v = ux vx + uy vy El producte escalar de dos vectors és igual a la suma dels productes dels components corresponents a tots dos vectors.

EXEMPLE 4.

→

→

→

→

→

→

Calcula l'angle que formen els vectors u = 3i – 3 j i v = 7i + j . Primer obtenim el producte escalar dels dos vectors: →

→

→

→

→

→

u · v = (3i – 3 j ) · (7i + j ) = 3 × 7 + (–3) × 1 = 18 Seguidament, en calculem els mòduls: →

|v | = 72 + 12 = 50

|u | = 32 +(–3)2 = 18

→

→

→ →

Segons la definició de producte escalar: u · v = |u | |v | cos ϕ. .

Per tant: D'això, se n'obté que: cos

18 = —— = 0,6. 30

L'angle corresponent és ϕ = 53,13°.

24

| Component d'un vector en una direcció

El component d'un vector en una direcció és la projecció d'aquest sobre una recta qualsevol en aquesta direcció.

→

v

→

A la figura 31 es representen un vector v i una recta r. El component del vector en la direcció de la recta és el segment, simbolitzat per vr. Aquest segment es determina traçant perpendiculars a la recta r des dels → extrems del vector v .

r ϕ

Vr →

Ara veurem com es calcula el component d'un vector en una direcció.

31. vr és el component del vector v en la direcció de la recta r.

25


18/4/08 16:13:05

1

| La ciència i les seves eines de treball De la definició de cosinus d'un angle se'n dedueix fàcilment una impor tant relació trigonomètrica que convé recordar: la longitud de la projecció d'un segment sobre una recta és igual a la longitud del segment pel cosinus de → l'angle que formen tots dos. Per tant, el component del vector v de la figura 31 en la direcció de la recta r és:

→

v

a

Vr



O

→

vr = |v | cos ϕ

→

v

b

→

Per calcular el component d'un vector v en la direcció d'una recta r, només → → cal obtenir el producte escalar del vector v per un vector unitari e r en la direcció de r. Efectivament: Vr c

O



→

→

→

→

→

→

v · e r = |v | |e r| cos ϕ = |v | × 1 × cos ϕ = |v | cos ϕ = vr El component d'un vector en una direcció s'obté multiplicant-lo per un vector unitari en la direcció que es proposa:

→

v

→

→

vr = v · e r Vr

O



→

El component d'un vector v en la direcció d'una recta r, pot resultar positiu, → negatiu o nul. Això depèn de si l'angle format pel vector unitari e r en la direcció d'aquesta recta és agut, obtús o recte (Fig. 32).

→

32. El component d'un vector v sobre una recta r pot ser: a) positiu, b) negatiu, c) nul.

c1u1fig25

EXEMPLE 5.

→

→

→

Calcula el component del vector v = 6i + 7j en la direcció de la recta r, que passa per l'origen de coordenades i el punt P (3, –4). →

Un vector en la direcció de la recta r és el vector r , amb l'origen a O i l'extrem a P, els components del qual són les coordenades del punt P: →

→

→

r = 3i – 4j

→

Podem obtenir el vector unitari en la direcció r si dividim el vector r entre el seu mòdul: r 3i – 4 j 3i – 4 j er = —— = —————— = ———— = 0,6i – 0,8j 5 (3)2 + (–4)2 |r | →

La projecció de v sobre la recta r s'obté aplicant la fórmula: →

→

vr = v · e r →

→

→

→

vr = (6i + 7j ) · (0,6i – 0,8j ) = 6 × 0,6 – 7 × 0,8 = –2 El signe negatiu del resultat indica que el component del vector sobre la recta r té un sentit contrari al → del vector unitari e r. → El component del vector v es pot expressar també com un vector. Per fer-ho n'hi ha prou de multiplicar-ne → el valor numèric pel valor unitari e r en la direcció de la recta r : →

→

→

→

→

→

v r = vr e r = –2 · (0,6i – 0,8j ) = –1,2i + 1,6j

26


18/4/08 16:13:06

La ciència i les seves eines de treball

|1

RESUM La física i la química són ciències experimentals. La ciència anomena fenòmens tots els canvis que passen a l'univers.

Quan expressem una quantitat, són xifres significatives totes les que escrivim a par tir de la primera que no és zero.

Són fenòmens químics els canvis en què una substància o més d'una es transformen en altres substàncies; són fenòmens físics els fenòmens en què no es produeix la transformació d'unes substàncies en unes altres.

Per expressar quantitats molt grans o molt petites es pot fer ser vir la notació científica, formada per un nombre comprès entre l'1 i el 10 multiplicat per una potència entera de 10 (per exemple, 5,98 × 1024 kg).

Les fases del mètode científic són:

Les magnituds determinades per un valor numèric i una unitat són les anomenades magnituds escalars.

• Observació de la natura. Permet elaborar hipòtesis. • Experimentació. Consisteix a reproduir al laboratori els fenòmens que s'han obser vat. • Inducció de lleis. Mostra les regularitats que s'han observat experimentalment en la natura. • Formulació de teories. Formades per postulats que expliquen les lleis que fan referència a un conjunt de fenòmens observats en la natura. • Deducció. S'aplica una llei física general per predir els successos d'un cas concret. • Comunicació. S'informa la comunitat científica sobre el conjunt del procés experimental que s'ha dut a terme. Magnitud és qualsevol qualitat que es pugui mesurar. El resultat de mesurar una magnitud és una quantitat. La unitat és una quantitat a la qual assignem el valor 1. Les magnituds derivades són les que es defineixen a partir d'altres. Les magnituds fonamentals no es deriven d'altres prèviament definides. El conjunt de totes les unitats constitueix un sistema d'unitats. El sistema d'unitats universalment acceptat és el Sistema Internacional d'unitats (SI). Les magnituds fonamentals d'aquest sistema són la longitud, el temps, la massa, la intensitat de corrent elèctric, la temperatura, la quantitat de substància i la intensitat lluminosa. I les unitats corresponents són el metre (m), el segon (s), el kilogram (kg), l'ampere (A), el kelvin (K), el mol (mol) i la candela (cd). La cota de l’error absolut, ea, és el marge d'incer tesa en el resultat que s'ha obtingut en fer un mesurament. Qualsevol mesura es pot expressar de la forma següent: m ± ea, en què m és la quantitat que s'accepta com a valor mesurat. La cota de l'error relatiu, er, és el quocient entre la cota de l’error absolut i la quantitat mesurada. Com més petit és l'error relatiu, més precisa és la mesura corresponent.

Les magnituds determinades per un valor numèric, una direcció i un sentit són les anomenades magnituds vectorials i es representen mitjançant vectors. Els elements d'un vector són el mòdul, que és la quantitat de la magnitud vectorial en valor absolut, la direcció, que és la recta que conté el vector i s'anomena línia d'acció, i el sentit, que indica cap on apunta el vector i es dibuixa amb una punta de fletxa en un dels extrems del vector. S'anomenen components d'un vector les projec→ cions sobre els eixos El vectorv es →de coordenades. → → pot expressar com v = vx i + vy j . S'anomena vector unitari o versor qualsevol vector → de mòdul 1. Donat un vector v , s'obté un vector → → unitari e de la mateixa direcció i sentit que v , dividint-lo pel seu mòdul. El component d'un vector sobre un eix de coordenades s'obté multiplicant-ne el mòdul pel cosinus de l'angle que forma amb aquest eix. Per sumar numèricament dos vectors se'n sumen els components corresponents: → → → → a + b = (ax + bx) i + (ay + by) j El producte escalar de dos vectors s'obté multiplicant-ne els mòduls pel cosinus de l'angle que for→ → → → men: u · v = ⎢u ⎥ ⎢ v ⎥ cos ϕ. En funció dels components dels vectors, el producte escalar dels dos → → es calcula així: u · v = ux vx + uy vy El component d'un vector en una direcció és la projecció d'aquest sobre una recta qualsevol en l'esmentada direcció. S'obté multiplicant el vector per un vector unitari en la direcció que s'ha propo→ → sat. vr = v · e r

Contingut bàsic de la unitat en format hipermèdia, en el CD. U01_Fisica1_Bach_(3M).indd 27

27

18/4/08 16:13:07

1


A C T I V I TAT S Raona totes les respostes d'aquest apar tat. 1

2

3

Explica en quins dels casos següents passa un fenomen químic i quins són només fenòmens físics: a) Dissolució de sal en l'aigua. b) Combustió d'un llumí. c) Digestió dels aliments que mengem. d) Evaporació d'alcohol en un flascó ober t. e) Oxidació d'un clau de ferro. f) Desviació dels raigs de la llum quan travessen una lent. g) Condensació de vapor d'aigua de l'aire sobre un vidre fred. h) Carbonització de sucre per l'escalfament al foc. Considera els enunciats següents: a) Hem obser vat que una pedra, quan cau des de la boca d'un pou, tarda 3 segons a arribar fins al fons. Si ens basem en les lleis del moviment de caiguda d'un cos, arribem a la conclusió que el pou té, aproximadament, 44 m de fondària. b) L'estudi de nombrosos moviments de caiguda de diferents cossos en el buit ens demostra que la velocitat que ateny un cos en caure és independent del pes que té. Digues quin dels dos enunciats anteriors correspon a un procés d'inducció i quin a un de deducció. Per què? Posa un exemple d'inducció i un altre de deducció que siguin diferents dels anteriors. Si la unitat de longitud fos el decímetre (dm), la de temps, el minut (min) i la de massa, el gram (g), quines serien les unitats de superfície, densitat i velocitat?

4

Per què mai se supera un rècord mundial de natació en 1 mil·lèsima de segon?

5

Una persona que s'acaba de pesar assegura que té una massa de 62 kg i 317 g. És lògica aquesta afirmació?

6

En una piscina olímpica, hi caben mil milions de cigrons?

7

Quina alçada fas? Fes una estimació de la cota de l’error absolut i de l'error relatiu de la resposta.

8

És lògic expressar la super fície d'una habitació així (12,387 ± 0,1) m2?

9

En quina situació, el mòdul de la suma de dos vectors és igual a la suma dels seus mòduls?

10

Si el vector ai + bj té mòdul 2, quin mòdul té → → el vector ai – bj ?

11

Dos vectors tenen el mateix mòdul 3. Quin és el valor màxim que pot tenir el mòdul de la diferència dels dos vectors?

12

Es pot fer el producte escalar de tres vectors?

13

Considera el vector i + j . És un vector unitari?

14

Quin és el màxim valor que pot tenir el component d'un vector en una direcció?

→

→

→

→

Unitats, múltiples i submúltiples 15

Expressa les quantitats següents fent servir els múltiples o submúltiples de la unitat més adequats: 0,000025 N; 2,3 × 107 g; 25 × 10–4 A; 38 × 10–10 s; 0,006 C; 74 × 108 m.

16

Efectua els següents canvis d'unitat:

5 hg =

g

9 × 109 mm =

Pm

4 × 107 pm =

Gm 0,047 Ms =

1/20 000 Mg =

ag

1/2 000 nm =

pm

300 g =

kg

1/500 mm3 =

m3

8 x 10-5 s =

μs

0,00007 fs =

μs

0,5 GA =

mA

0,04 m2 =

ks mm2

Mesures i errors 17

S'ha mesurat cinc vegades el volum d'un cos, i s'han obtingut els resultats següents en cm3: 54,2; 53,9; 54,4; 54,0 i 54,3. Quin valor es pren com a resultat del mesurament i quina és la cota de l’error absolut?

28


18/4/08 16:13:07

La ciència i les seves eines de treball | 1 DIFICULTAT:

SENZILLA

MITJANA

ALTA

SENSE CLASSIFICAR

18

Sis cronometradors han mesurat simultàniament el temps d'un atleta en una carrera i han obtingut els resultats següents en segons: 23,1; 23,0; 20,5; 23,1; 23,3 i 23,1. Quin temps s'adopta com a resultat del mesurament i quina és la cota de l’error absolut?

19

Hem mesurat l'alçada d'una persona i l'error absolut ha estat inferior a 1 cm; també hem mesurat el diàmetre d'una moneda d'un euro i ha estat inferior a 1 mm. Quin dels dos mesuraments és més precís? Per què?

20

21

26

Components cartesians, mòduls, sumes i restes de vectors 27

Digues quina és la cota de l'error relatiu en els mesuraments els resultats dels quals han estat els següents: I = 50 ± 0,2 cm; V = 150 ± 3 cm3; t = 80 ± 0,02 s i m = 60 000 ± 30 kg. Quina és la mesura més precisa i quina la que ho és menys?

→

→

Una barra cilíndrica de plàstic, de densitat 1,200 × 103 kg/m3, té una longitud de 2,580 m i un diàmetre de 10,00 cm. Calcula'n la massa i expressa el resultat amb quatre xifres significatives.

24

La secció d'una proveta cilíndrica és de 14,5 cm2. Si s'hi aboquen 225 g d'alcohol de densitat 0,798 g/cm3, a quina altura arribarà dins la proveta? Expressa el resultat amb el mateix nombre de xifres significatives que tenen les dades.

25

Calcula amb tres xifres significatives la massa d'una bola d'acer que fa 6,43 cm de radi, si la densitat és de 7,86 g/cm3.

→

g

→

e

→

d

→

f

→

c

28

23

→

h

b

Xifres significatives Amb quantes xifres significatives s'ha expressat cada una de les quantitats següents? 26 380,0 m; 0,008502 g; 30 870 km; 300 000 kg i 100,74 s. Escriu-les en notació científica amb tres xifres significatives.

→ →

Expressa en funció dels vectors unitaris i i j tots els vectors representats a la figura. Calcula el mòdul de cada un. a

Volem mesurar 180 cm3 d'aigua amb una proveta. Si l'error relatiu ha de ser inferior al 3 %, n'hi ha prou amb una proveta graduada de 5 cm3 en 5 cm3, o cal una proveta graduada de 2 cm3 en 2 cm3?

22

S'ha de pintar la par t interior d'una volta semiesfèrica de 2,57 m de radi. Sabem que calen 0,450 kg de pintura per cobrir cada metre quadrat de super fície. Calcula els quilos de pintura que calen i expressa el resultat amb tres xifres significatives.

29

30

Calcula l'angle que forma cada un dels vectors representats a la figura de l'activitat 27 amb l'eix x positiu. Dibuixa elsc1u1acfin13 vectors u = 2i + 3j i v = 4i – 2j : a) Determina'n la suma gràficament i numèricament. b) Calcula els mòduls de tots dos vectors i el de la seva suma. →

→

→

→

→ →

→

→

→

→

→

→

Donats els vectors a = 3i – 4j i b = 8i + 6j : a) Calcula numèricament i gràficament la → → diferència a – b . b) Determina els mòduls dels dos vectors i el de la seva diferència.

Producte escalar i angle entre dos vectors 31

Calcula els següents productes escalars i especifica en cada cas si l'angle que formen ambdós vectors és agut, recte o obtús: → → → → → → → a) 2i · (3i + 2j ) b) (i + j ) · (3i + 5 j ) → → → → → → → → c) (4i + 3j ) · (4i + 3j ) d) (i + 5j ) · (i – 5j ) → → → → → → → e) (3i – 6j ) · (4i + 2j ) f) 2j · (7i – 4j ) → → → → → → → g) (3i + 4j ) · (16i –12j ) h) (i – j ) · (– j )

29


18/4/08 16:13:08

1


→

→

→

→

→

→

32

Donats els vectors a = 4i – 2j i b = i – 2j , calcula: a) El producte escalar. b) El producte dels mòduls. c) El cosinus de l'angle que formen.

33

Calcula l'angle que formen els vectors →

→

→

→

→

43

→

El vector v de la figura representa la velocitat del vent, que és de 30 km/h. Un veler avança en la direcció de la recta r. Expressa vectorialment el component de la velocitat del vent en la direcció en què navega el veler i en la direcció perpendicular a aquesta. y

→

a = 4i – 2j i b = 3i – 4j .

→

v

r

Vectors unitaris 34

→

→

→

→

→

→

Donats els vectors a = 5i – 3j i b = 2i + j , calcula el vector unitari en la direcció i el → → sentit del vector a – b . →

35

Donat el vector AB amb l'origen a A (2,–4) i l'extrem a B (10,2), troba el versor (vector unitari) de la mateixa direcció, i sentit contrari.

36

Troba un vector de mòdul 12, amb la mateixa → → → direcció i sentit que el vector v = 20i – 5j .

37

Calcula un vector amb la mateixa direcció que → → → el vector v = 72i – 15j , però de sentit contrari al d'aquest, i el mòdul del qual sigui 9.

44

Components d'un vector en una direcció 38

x

O

Una par tícula, situada al punt P de la figura, és atreta cap a A amb una força de 5 N. Alhora, és repel·lida des de B i C amb forces de 15 N cada una. Calcula'n: c1u1acfin31 → → → a) Els vectors AP , BP i CP . b) Els vectors de la mateixa direcció i sentit → → → que AP , BP i CP . c) L'expressió vectorial de les tres forces que actuen. d) La força neta o força resultant sobre la par tícula. A

P →

uA

Si el vent bufa cap al sud-oest a una velocitat de 18 km/h, quant val el component de la velocitat del vent cap a l'oest? I cap al nordest?

9 cm →

uC

→

39

40

Un cos que pesa 60 N es troba sobre un pla inclinat de 25°. Calcula el component del pes paral·lel al pla i perpendicular al pla. →

→

→ →

→

→

Donats els vectors a = 2i – 5j i b = 4i –3j , calcula la component del primer en la direcció del segon.

41

Calcula els components dels vectors → → → → → → a = 9i – 16j i b = 2i – 8j en la direcció del → → → vector s = a + b .

42

La velocitat d'un mòbil és v = 14i – 5j . Una → → → força F = 2i – j actua sobre aquest. Calcula el component d'aquesta força en la direcció del moviment.

→

→

→

uB B

12 cm

C

Investiga 45

Investiga la història de la determinació de l'arc meridià entre Dunkerque i Barcelona.

46

Investiga quin és el rellotge més precís del món actualment, com funciona i quina és la precisió que té.

c1u1actfin33

A www.ecasals.net trobaràs una llista de pàgines web que t'ajudaran a iniciar la investigació. Recorda que pots consultar enciclopèdies i llibres especialitzats.

30


18/4/08 16:13:09

2 | Cinemàtica

En la unitat 1 hem vist que la física és una ciència que estudia alguns fenòmens o canvis que es produeixen en la natura: els anomenats fenòmens físics. La part de la física anomenada cinemàtica estudia un d’aquests fenòmens: el moviment. Si hi reflexionem una estona, arribarem a la conclusió que el canvi mínim que pot experimentar un cos és el canvi de posició, és a dir, el moviment. I no només això: també podem descobrir que, en tota la resta de fenòmens físics, sempre hi trobem implicat d’alguna manera un moviment. La conclusió és evident: el moviment és el fenomen més simple i bàsic de la física. És per això que començarem l’estudi d’aquesta ciència precisament per aquest fenomen.

U02_Fis1_Bach.indd 31

18/4/08 16:43:07

2

| Cinemàtica

1

| Introducció

Quin interès té per a nosaltres l’estudi de la cinemàtica? Algunes persones se sorprendran de ser capaces de calcular coses com ara l’altura a què arribarà un cos quan el llancem a una velocitat determinada, el punt exacte en què caurà, el temps que durarà el vol del cos, etc. En canvi, d’altres pensaran que la majoria de nosaltres, incloent-hi els enginyers i els científics, mai no necessitarem fer aquesta mena de càlculs, de manera que es preguntaran per què cal que aprenguem a fer-los ara. Quan els físics estudien un fenomen, no es limiten a descriure’l en el llenguatge habitual. En l’estudi de la cinemàtica, per exemple, es defineixen conceptes (sistema de referència, mòbil puntual, trajectòria, desplaçament, velocitat mitjana, acceleració instantània, etc.) i s’expressen de forma matemàtica les relacions entre els uns i els altres. Aquesta formalització, o acció de donar forma a la idea del moviment, en la física s’ha de fer amb una precisió i un rigor superiors als del llenguatge comú. Una bona formalització és essencial en l’estudi de qualsevol fenomen físic, perquè en facilita enormement la descripció, la comprensió de les causes i la predicció de les conseqüències. Una par t de la física especialment adequada per comprendre un mètode de treball tan eficaç i per entrenar-se a fer-ne ús és la cinemàtica.

C O N E I X E M E N T S P R E V I S D E M AT E M À T I Q U E S Equació de la recta El pendent d’una recta és la tangent de l’angle que forma la recta amb l’eix d’abscisses: m = tg α. Si la recta passa pels punts (x1, y1) i (x2, y2), el pendent és: La recta de la figura talla l’eix d’ordenades en el punt (0, b). La coordenada b d’aquest punt s’anomena ordenada en l’origen de la recta. y

Si (x, y) són les coordenades genèriques d’un punt qualsevol de la recta, a par tir de la figura deduïm que:

P y�b

y

�

Si aïllem y, obtenim: y = mx + b

b O

m = tg

Aquesta és la forma explícita de l’equació de la recta. x

x

La forma implícita de l’equació de la recta és: Ax + By + C = 0.

Si aïllem y, obtenim: Quan comparem aquest resultat amb l’equació explícita y = mx + b, deduïm que correspon a una recta de . i ordenada en l’origen pendent

Gràfica del trinomi de segon grau y = ax2 + bx + c

y

a�0

y

a�0

La gràfica de les funcions amb equació de la forma y = ax2 + bx + c, és una paràbola amb l’eix de simetria paral·lel a l’eix d’ordenades. Segons si el coeficient de x2 és positiu o negatiu, les branques de la paràbola es dirigiran cap a la par t positiva o negativa de l’eix d’ordenades.

O

x

O

x

32


18/4/08 16:43:08

Cinemàtica | 2

2

| Caràcter relatiu del moviment: el sistema de referència

Diem que un cos es mou quan canvia de posició amb el pas del temps. El cos que es mou l’anomenem mòbil. El fet que el mòbil canviï de posició significa que varia la seva distància respecte d’un altre o uns altres cossos (Fig. 1). Quan varia la distància entre dos cossos A i B podem dir indistintament que A es mou en relació amb B o que B es mou respecte de A. Si un passatger d’un tren diu que «un arbre passa davant de la finestreta» no utilitza cap metàfora. Des del punt de vista físic és tan cer t que l’arbre està en moviment respecte al tren, com que el tren està en moviment respecte a l’arbre. Totes dues afirmacions signifiquen el mateix: que la distància entre el tren i l’arbre canvia. Per expressar que el moviment d’un cos s’ha de definir necessàriament en relació amb un altre cos o uns altres cossos es diu que tot moviment és relatiu. El cos o conjunt de cossos a què referim la posició d’un mòbil s’anomena sistema de referència. No té cap sentit parlar de moviment si no en coneixem el sistema de referència. Quan no s’esmenta el sistema de referència és perquè es dóna per suposat. Si una persona que camina pel carrer diu que la seva velocitat és de 6 km/h, entenem que el sistema de referència és el terra sobre el qual camina o, el que és el mateix, la Terra. Però si, en un avió en vol, un passatger afirma que està en repòs, comprenem, sense necessitat de cap més explicació, que el seu sistema de referència és l’avió en què viatja.

1. Comparant les dues fotografies del firmament fetes en dates diferents es detecta el moviment de l’astre assenyalat amb una fletxa vermella perquè ha canviat de posició pel que fa a les estrelles fixes. El conjunt d’aquestes estrelles fixes seria en aquest cas el nostre sistema de referència.

Un moviment pot ser molt complicat o molt senzill segons el sistema de referència que es consideri. Per exemple, els moviments dels planetes són complexos obser vats des de la Terra; en canvi, es poden descriure d’una manera senzilla si s’agafa com a sistema de referència el Sol, ja que al segle XVIII, l’astrònom Johannes Kepler va descobrir que els planetes descriuen el·lipses al voltant del Sol (Fig. 2).

3

| El mòbil puntual i la seva trajectòria

En l’estudi del moviment, ens limitarem a tractar del tipus de mòbil més senzill: l’anomenat mòbil puntual. Anomenem així tot mòbil prou petit perquè puguem considerar-lo un punt. Això significa que prescindim de la seva forma i de la seva mida. Un mòbil puntual no és quadrat, ni rodó, ni allargat i no té longitud, ni super fície, ni volum; es redueix simplement a un punt. Però ens hem de preguntar: quan és prou petit un mòbil perquè puguem considerar-lo un mòbil puntual?

2. En la figura superior apareix, vista des de la Terra, la trajectòria que descriu un planeta del sistema solar (simulació del planetari de Munich). En la figura inferior, la trajectòria d’aquest planeta en relació al Sol.

El concepte de petit és relatiu, ja que qualificar un objecte de petit sempre suposa comparar-lo amb alguna cosa. Per atribuir el caràcter puntual a un mòbil l’hem de comparar amb l’entorn en què es mou o es pot moure. Per exemple, podem considerar que un automòbil és un mòbil puntual en un recorregut de diversos quilòmetres. Però no podem fer el mateix quan estudiem una maniobra que fa per aparcar entre dos cotxes. 33


18/4/08 16:43:10

2

| Cinemàtica El conjunt de tots els punts pels quals passa un mòbil puntual quan efectua un moviment formen una línia anomenada trajectòria. El tipus de moviment més elemental pel que fa a la seva trajectòria és el moviment rectilini, en què la trajectòria és una recta. Recorda que les rectes es poden expressar matemàticament mitjançant equacions de primer grau. Tot moviment en què la trajectòria no és recta s’anomena moviment curvilini. paràbola

paràbola

Els moviments cur vilinis més elementals són: • El moviment circular, la trajectòria del qual és una circumferència. • El moviment parabòlic, la trajectòria del qual és una paràbola. • El moviment el·líptic, la trajectòria del qual és una el·lipse. el·lipse

el·lipse 3.

La circumferència, la paràbola i l’el·lipse són corbes que es poden expressar matemàticament mitjançant equacions de segon grau.

4

| Determinació de la posició sobre la trajectòria c1u2fig1

Determinar la posició d’un mòbil significa respondre de manera precisa la pregunta: on és el mòbil? s5

De moment tractarem aquesta qüestió suposant que la trajectòria del mòbil és coneguda. Es tracta, doncs, de determinar en quin punt d’aquesta trajectòria es troba.

s2

O

s  3 4. Mòbil puntual sobre una trajectòria corba en diverses posicions: per a s = 2, s = 5 i s = –3.

c1u2fig3

Per a això, s’escull sobre la trajectòria un punt 0 (Origen) i un sentit positiu. La posició del mòbil es determina per la longitud s de la porció de trajectòria des de l’origen O fins al mòbil. Segons si el mòbil es troba en un costat o en un altre de l’origen es considera que el valor de s és positiu o negatiu. A la figura 3 se’n mostren diversos exemples. Obser va que aquesta és, a la pràctica, la manera habitual de determinar la posició d’un vehicle en una autopista o en una carretera. Diem, per exemple: «l’automòbil avariat es troba al quilòmetre 235». Això significa que el cotxe es troba a 235 km del punt quilomètric zero. Aquest punt és l’origen i 235 km és la longitud s de la carretera, des de l’origen fins al mòbil.

5

| Desplaçament

Anomenem desplaçament la longitud de l’arc de trajectòria comprès entre la posició inicial i la posició final d’un mòbil. Si anomenem s0 la longitud de l’arc de trajectòria des de l’origen fins a la posició inicial del mòbil i s la longitud des de l’origen fins a la seva posició final, el desplaçament és la diferència s – s0 (Fig. 5). El desplaçament d’un mòbil sobre la seva trajectòria es representa simbòlicament per Δs, que es llegeix «increment de s»: Δs = s – s0

34


18/4/08 16:43:11

Cinemàtica | 2

Convé recordar que l’increment d’una magnitud física és sempre la diferència entre el seu valor final i el seu valor inicial, precisament en aquest ordre. El desplaçament resulta positiu o negatiu, segons el sentit en què el mòbil es desplaci. Així, per exemple, si la posició inicial del mòbil és s0 = 2 m i la final, s = 5 m, el seu desplaçament serà Δs = 5 m – 2 m = 3 m. Però si el mòbil es desplaça en sentit contrari entre aquestes mateixes posicions, és a dir, s0 = 5 m i s = 2 m, el desplaçament serà Δs = 2 m – 5 m = –3 m. s

6

| Temps: instants i intervals de temps

Com que el moviment és el canvi de posició d’un mòbil en transcórrer el temps, en l’estudi del moviment és essencial saber determinar instants de temps. Per això cal utilitzar un instant de referència, que sol anomenar-se origen de temps o instant zero. Per exemple, si s’avisa que «aquí s’esmorza a les vuit», s’adopta com a origen de temps la mitjanit, perquè «les vuit» significa vuit hores després de mitjanit. Si, comentant un par tit de futbol, es diu «van marcar el gol en el minut 35», s’agafa com a referència l’instant en què va començar el par tit, quan l’àrbitre va posar en mar xa el seu cronòmetre.

s0 O 5. Posició inicial s0 i posició final s sobre una trajectòria corba.

c1u2fig4

Als instants anteriors a l’origen de temps se’ls assignen valors negatius. Per exemple, si anuncien «el llançament espacial es va cancel·lar en l’instant –40 segons», interpretem que la suspensió va tenir lloc 40 segons abans de l’instant zero (que és el previst per al llançament). Però en l’estudi del moviment no solament hem de determinar instants. També necessitem expressar la durada d’intervals de temps. Un interval de temps és el temps comprès entre dos instants. La durada d’un inter val s’obté restant els temps corresponents a l’instant final (t) ) i a l’inicial (t0). Aquesta diferència se simbolitza amb Δt (increment de temps): Δt = t – t0 Un temps, que representa un instant, pot ser positiu (posterior a l’instant zero) o negatiu (anterior a l’instant zero). Però la durada d’un inter val de temps sempre és positiva. La raó és que el temps solament transcorre en un sentit (no pot tornar enrere). Per això, t sempre és més gran que t0 i, com a conseqüència, Δt = t – t0 > 0.

7. a) Un instant,

6. L’instant de posar en marxa un cronòmetre és un bon exemple d’«instant zero».

b) Un interval de temps (constituït per una infinitat d’instants).

35


18/4/08 16:43:12

2

| Cinemàtica

7

| Velocitat mitjana i instantània

S’anomena velocitat mitjana entre dos instants el desplaçament que fa el mòbil per unitat de temps entre aquests instants. Aquesta definició es pot expressar per la igualtat:

En el Sistema Internacional, la unitat de longitud és el metre i la de temps, el segon. Per això, la unitat de velocitat és el metre partit per segon (m/s). Un m/s és la velocitat d’un mòbil que es desplaça un metre cada segon. La definició de tota magnitud física compor ta una expressió matemàtica per calcular-la (que anomenem «fórmula») i una unitat per mesurar-la. Tingues present sempre que solament has de memoritzar la definició de magnitud. La fórmula i la unitat l’has de deduir d’aquesta definició. A més de la unitat del SI, a la pràctica s’utilitzen també altres unitats de velocitat; la més emprada és el quilòmetre per hora (km/h). La velocitat mitjana d’un mòbil depèn de les seves posicions inicial i final, però no de les diferents posicions intermèdies per les quals passa en moure’s. Així, per exemple, si la velocitat mitjana d’un mòbil en un inter val de temps és zero, hem d’entendre simplement que la seva posició final coincideix amb la inicial. Això pot significar dues coses: a) Que el mòbil ha estat en repòs. b) Que s’ha mogut i ha tornat al punt de par tida. Si ens diuen que un automòbil ha fet un recorregut amb una velocitat mitjana de 80 km/h, no entenem que el vehicle s’ha mantingut constantment a aquesta velocitat. En alguns moments, la seva velocitat haurà estat més alta i en uns altres, més baixa. Generalment, més que la velocitat mitjana d’un mòbil al llarg d’un recorregut, ens interessa la seva velocitat en un instant determinat, que anomenem velocitat instantània. Aquesta és, per exemple, la velocitat que indica el velocímetre d’un automòbil.

8. Velocitat instantània. Aquesta fotografia s’ha fet amb una exposició de 1/4 000 s. El moviment ha quedat «congelat», com si l’automòbil estigués aturat. Però, en realitat, en el cur tíssim inter val de temps que s’ha utilitzat per fotografiar-lo, el cotxe ha avançat 15 mm, és a dir, 0,015 m. Per tant, la seva velocitat en «l’instant» de la fotografia és:

Però si un instant no dura gens no s’hi pot fer cap desplaçament, per tant, en un instant no hi ha moviment. Què és, doncs, la velocitat instantània? En realitat, qualifiquem d’instantània la velocitat en un inter val de temps molt cur t. Suposem, per exemple, que hem aconseguit determinar que el desplaçament d’un automòbil en un interval de temps de 0,01 s ha estat de 0,2 m. Dividint les dues quantitats obtenim:

L’inter val de temps en què s’ha mesurat aquesta velocitat és tan cur t que pràcticament es confon amb un instant. Per això, considerem el resultat obtingut una velocitat instantània. 36


18/4/08 16:43:13

Cinemàtica | 2

El fet d’identificar un inter val de temps molt cur t amb un instant no és totalment precís des del punt de vista matemàtic. De tota manera, resulta suficient per comprendre i aplicar el concepte de velocitat instantània. Amb coneixements matemàtics més avançats es pot definir amb més rigor. La velocitat instantània la designarem per mitjà de v. En general, quan esmentem la velocitat d’un mòbil sense especificar si es tracta de la mitjana o de la instantània, s’entendrà que ens referim a la velocitat instantània. La velocitat té sempre el mateix signe de desplaçament (Δs). Per això pot ser positiva o negativa, segons el sentit en què es desplaça el mòbil. Per exemple, si un mòbil, A, es desplaça a 20 m/s en sentit positiu i un altre mòbil, B, ho fa a 30 m/s en sentit negatiu, les seves velocitats són: vA = 20 m/s

i

vB = –30 m/s

Tot i que el mòbil B es mou més ràpidament, hem d’acceptar que la seva velocitat és més petita que la de A, ja que –30 < 20. Per això definim el concepte de rapidesa (o celeritat) d’un moviment. S’anomena rapidesa d’un moviment el valor absolut de la seva velocitat. Segons aquesta definició, la rapidesa de cada un dels moviments de l’exemple seria: |vA| = |20| m/s = 20 m/s

i

|vB| = |–30| m/s = 30 m/s

És a dir, el mòbil que es mou més de pressa té més rapidesa.

8

| Acceleració mitjana i instantània

Quan la velocitat d’un mòbil canvia en transcórrer el temps es diu que el seu moviment és variat. En cap cas la velocitat no pot canviar instantàniament; sempre requereix un cer t temps, que pot ser molt cur t, però mai nul. Per exemple, si en posar en mar xa un automòbil, la seva velocitat augmenta des de 0 a 20 m/s, adquirirà progressivament totes les velocitats compreses entre aquestes dues fins aconseguir-ne la de 20 m/s. Per estudiar els moviments variats, es defineix una magnitud, l’acceleració, que relaciona la variació de velocitat d’un mòbil amb el temps transcorregut. L’acceleració mitjana entre dos instants és l’increment de velocitat instantània en cada unitat de temps. Segons aquesta definició, l’acceleració mitjana és:

9. Aquest automòbil és capaç d’accelerar de 0 a 100 km/h en 9 segons. Com que 100 km/h equivalen a 27,8 m/s, l’acceleració mitjana del seu moviment és:

37


18/4/08 16:43:13

2

| Cinemàtica La unitat d’acceleració del SI és el m/s cada s, que es representa simbòlicament com m/s2. Un m/s2 és l’acceleració d’un mòbil que, cada segon transcorregut, experimenta un increment de velocitat d’1 m/s. Es podrien definir diverses unitats d’acceleració. Per exemple, un quilòmetre per hora cada minut (km/h min) és l’acceleració d’un mòbil la velocitat instantània del qual s’incrementa en 1 km/h cada vegada que transcorre un temps d’un minut. Al llarg d’un inter val de temps, l’acceleració d’un mòbil pot variar, és a dir, ser diferent en cada instant. Per això definirem el concepte d’acceleració instantània, que pretén ser la mesura de l’acceleració en un determinat instant. Però ja hem vist que, en un instant, la velocitat no pot canviar i, consegüentment, no hi ha acceleració. Així doncs, no hem d’entendre l’acceleració instantània com l’acceleració en un instant, sinó en un interval de temps molt cur t. S’anomena acceleració instantània l’acceleració mesurada en un inter val de temps molt petit (que pràcticament es considera un instant).

9

| Moviment uniforme

Diem que un moviment és uniforme quan la seva velocitat és constant. Això suposa que la velocitat mitjana entre dos instants sempre té el mateix valor siguin els que siguin aquests instants. La velocitat instantània coincideix, doncs, amb la velocitat mitjana. Per això, en el moviment uniforme parlarem simplement de velocitat, sense distingir entre la mitjana i la instantània. La velocitat en el moviment uniforme es calcula aplicant la fórmula:

Si s’aïlla s s’obté: s = s0 + v (t – t0) = s0 + v Δt Aquesta expressió, anomenada equació del moviment uniforme, permet calcular la posició del mòbil en qualsevol instant. És impor tant tenir ben present que moltes de les equacions utilitzades en la física no són vàlides sempre. Solament es poden aplicar en casos determinats, que constitueixen el que anomenem el seu camp d’aplicació. El camp d’aplicació de l’equació que acabem d’obtenir és el moviment uniforme. Si s’ignora això, és molt probable que de vegades s’utilitzi de manera incorrecta. 38


18/4/08 16:43:14

Cinemàtica | 2

EXEMPLES 1.

Un mòbil es desplaça amb un moviment rectilini uniforme amb una velocitat de 5 m/s des d’un punt A cap a un altre B a 30 m de A. a) Escriu l’equació del seu moviment. b) Quina és l’equació del moviment d’un altre mòbil que, 2 segons més tard, surt de B i es dirigeix cap a A a 3 m/s?

a) Si agafem com a origen el punt A, la posició inicial del primer mòbil serà s0 = 0. Si adoptem com a origen de temps l’instant en què el primer mòbil sur t de A, l’instant inicial del seu moviment serà t0 = 0. Considerarem positiu el sentit de A a B, amb la qual cosa v = +5 m/s. Anomenarem t el temps (variable). Aplicant al primer mòbil l’equació del moviment uniforme: s = s0 + v Δt, obtenim: s1 = 0 + 5 (t – 0) Simplificant: s1 = 5t Aquesta és l’equació del moviment del primer mòbil. b) Farem servir els mateixos elements de referència que en el cas anterior. La posició inicial del segon mòbil és el punt B, situat a 30 m de l’origen de coordenades, per la qual cosa serà , s0 = 30 m. Com que aquest mòbil comença a moure’s 2 segons després que el primer, t0 = 2 s. La velocitat del segon mòbil és de –3 m/s, ja que es desplaça en sentit negatiu (de B cap a A). Anomenarem s2 la posició (variable) del segon mòbil i apliquem l’equació del moviment uniforme: s = s0 + v Δt. Així obtenim: s2 = 30 – 3 (t – 2) Simplificant: s2 = 36 – 3t Aquesta és l’equació del moviment del segon mòbil.

2.

Els pisos d’un edifici tenen 3 m d’alçària. En un instant determinat, un ascensor que puja amb una velocitat d’1,5 m/s passa pel 2n pis. Un altre ascensor, instal·lat al costat de l’anterior, passa baixant pel 9è pis 4 segons més tard, també a 1,5 m/s. Si suposem que els dos moviments són uniformes, en quin instant i a quina altura s’encreuaran? Apliquem a cada ascensor l’equació del moviment uniforme: s = s0 + v (t – t0). Per això situem l’origen de coordenades al terra de la planta 0 i considerem positiu el sentit cap amunt. També situem l’instant 0 en el moment en què el primer ascensor passa pel 2n pis. Així, per al primer ascensor, l’instant inicial és t 0 = 0. La posició inicial és la del 2n pis, és a dir, s 0 = 2 × 3 m = 6 m. I la seva velocitat, com que es mou cap amunt, és positiva: v = 1,5 m/s.

39


18/4/08 16:43:14

2

| Cinemàtica

Si substituïm aquests valors en l’equació del moviment uniforme, obtindrem la posició s1 del primer ascensor en funció del temps: s1 = 6 + 1,5 (t – 0) = 6 + 1,5 t Per al segon ascensor adoptem com a instant inicial el moment en què passa pel 9è pis: t0 = 4 s. La seva posició inicial serà, aleshores, la corresponent al 9è pis: s0 = 3 × 9 m = 27 m. I la seva velocitat, com que s’està movent cap avall, serà negativa: v = –1,5 m/s. Si substituïm aquests valors en l’equació del moviment uniforme, obtindrem la posició s2 del segon ascensor en funció del temps: s2 = 27 – 1,5 (t – 4) = 27 – 1,5 t + 6 = 33 – 1,5 t En l’instant en què els dos ascensors s’encreuen, les seves posicions s1 i s2 són iguals; per tant, podem escriure l’equació: 6 + 1,5 t = 33 – 1,5 t que té com a solució: t = 9. Els dos ascensors s’encreuen a l’instant t = 9 s. Si substituïm aquests valors en l’equació del moviment uniforme, obtindrem la posició en aquest instant: s1 = 6 + 1,5 × 9 = 19,5 Els ascensors s’encreuen a una altura de 19,5 m sobre la planta 0.

10 v/m s

| La gràfica velocitat-temps (v - t)

1

A la figura 10 apareix la gràfica velocitat-temps d’un mòbil que es desplaça amb moviment uniforme a 5 m/s (primer cas de l’exemple 1 proposat en la secció anterior).

5

0

5

t/s

10. Gràfica velocitat-temps d’un moviment uniforme amb velocitat de 5 m/s.

c1u2fig10 v/m s

| Gràfiques del moviment uniforme

1

Com que es tracta d’un moviment uniforme, cal mantenir en tot moment la mateixa velocitat. Per aquesta raó, la gràfica és una recta paral·lela a l’eix de temps. A la figura 11 s’ha representat la gràfica velocitat-temps d’un mòbil que es desplaça amb una velocitat constant de –3 m/s (segon cas de l’exemple 1 proposat en la secció anterior). La gràfica és una recta paral·lela a l’eix del temps, però situada per sota d’aquest eix, a la zona de les velocitats negatives. En la gràfica velocitat-temps queda també representat el desplaçament que fa el mòbil entre dos instants.

2 1 0 –1 –2 –3 –4

5

t/s

En el primer dels exemples anteriors, podem calcular el desplaçament fet entre els instants t = 2 s i t = 6 s multiplicant la velocitat de 5 m/s (segment AB a la figura 12) pel temps entre aquests instants (segment AC):

11. Gràfica velocitat-temps d’un moviment uniforme amb velocitat de –3 m/s.

40

c1u2fig11


18/4/08 16:43:15

Cinemàtica | 2

Al seu torn, l’àrea del rectangle ombrejat de la figura 12 és igual també al producte AB x AC (tot i que, en aquest cas, AC i AB s’expressen en unitats de longitud). Per tant, aquesta àrea representa (a escala) el desplaçament fet pel mòbil entre els instants t = 2 s i t = 6 s.

v/m s

5

1

B

L’àrea compresa entre la gràfica v–t i l’eix de temps representa, a escala, el desplaçament fet pel mòbil. 0

| La gràfica posició-temps (s - t) s1/m

s1 /m

0

0

30

2

10

20

4

20

6

30

5 C

t/s

12. L’àrea assenyalada mesura el desplaçament fet pel mòbil.

L’equació del primer moviment de l’exemple anterior era s1 = 5t. t/s

A

c1u2fig12

10

0

5

10 t/s

13. Taula i gràfica posició–temps.

Calculant s per a diferents valors de t s’obté la taula i la gràfica de la figura 13. Veiem que la gràfica posició-temps d’un moviment uniforme és una recta. El seu pendent depèn de la velocitat delc1u2fig13 moviment; com més gran sigui la velocitat, més gran serà també l’angle que forma la recta amb l’eix de temps. L’equació del segon moviment de l’exemple era s2 = 30 – 3t. La taula de valors i la gràfica corresponent que es dedueixen d’aquesta equació són les que es poden veure a la figura 14. t/s

s2/m

0

30

2

24

4

18

6

12

8

6

10

0

s2 /m 30 20 10

0

5

t/s

14. Taula i gràfica posició–temps.

Com que el mòbil es desplaça en sentit negatiu (velocitat negativa), el valor de s disminueix a mesura que transcorre el temps, c1u2fig14 amb la qual cosa la inclinació de la gràfica és descendent (al contrari del que passava en el cas anterior). Si el mòbil es mantingués en repòs (velocitat igual a zero), la seva posició seria constant quan passés el temps. En aquest cas, la gràfica posiciótemps seria una recta horitzontal. 41


18/4/08 16:43:16

2

| Cinemàtica És freqüent dibuixar les gràfiques de diversos mòbils sobre els mateixos eixos de coordenades. Això ens permet comparar-ne els moviments, veure quina distància els separa en cada instant, comprovar on i quan s’encreuen, etc.

s2 /m 30 20 10

0

5

10 t/s

15. Superposició de les gràfiques posiciótemps dels dos moviments de l’exemple estudiat.

c1u2fig15

A la figura 15 s’han representat sobre uns mateixos eixos les gràfiques posició-temps dels dos mòbils de l’exemple. S’hi pot comprovar, per exemple, que els mòbils s’encreuen al cap de 3,75 s de començar a moure’s, en un punt situat a 18,75 m de l’origen.

11

| Moviment uniformement variat

Un moviment rectilini s’anomena uniformement variat quan la seva acceleració és constant. Això suposa que l’acceleració mitjana i la instantània són iguals, per la qual cosa, no les distingim i parlem simplement d’acceleració. L’expressió de l’acceleració en el moviment uniformement variat és la següent:

Si aïllem la velocitat en l’equació anterior, s’obté: v = v0 + a (t – t0) = v0 + a Δt Si la rapidesa (mòdul de la velocitat) d’un moviment creix, es diu que el moviment és accelerat; això passa quan l’acceleració i la velocitat tenen el mateix signe. Per contra, quan la rapidesa disminueix es diu que el moviment és retardat; en aquest cas, l’acceleració i la velocitat tenen signes contraris. El desplaçament fet per un mòbil que té moviment uniformement variat es pot calcular mitjançant l’equació següent:

Aquesta expressió, que permet calcular la posició del mòbil en un instant qualsevol, s’anomena equació del moviment uniformement variat. En l’apar tat següent la justificarem a par tir de la gràfica velocitattemps. A par tir de les fórmules del moviment uniformement variat ja estudiades en deduirem una tercera, que sovint s’utilitza a la pràctica. obtenim Si substituïm Δt per aquesta expressió en l’equació:

42


18/4/08 16:43:17

Cinemàtica | 2 2

resulta Si efectuem operacions i simplifiquem, queda: , d’on es dedueix:

Cal tenir sempre ben present que el camp d’aplicació de les equacions que acabem de veure és exclusivament el moviment uniformement variat. És erroni aplicar-les a moviments l’acceleració dels quals no és constant.

EXEMPLE 3.

Dos mòbils es desplacen seguint una trajectòria rectilínia entre dos punts, A i B, que disten 110 m l’un de l’altre. El primer surt de A sense velocitat inicial i va cap a B amb una acceleració constant de 4 m/s 2. El segon surt de B dos segons més tard i va cap a A amb una velocitat constant de 20 m/s. Escriu les equacions dels seus moviments i determina en quin instant, abans d’encreuar-se, la distància entre els dos mòbils és de 38 m. Aplicarem al primer mòbil l’equació del moviment uniformement variat: s = s0 + v0 (t – t0) + ½ a (t – t0)2 Per això, situarem l’origen de coordenades al punt A i considerarem positiu el sentit de A cap a B. També situarem l’instant 0 en el moment en què el primer mòbil sur t de A. Així, per al primer mòbil, l’instant inicial serà t0 = 0, la seva posició inicial serà s0 = 0 i la velocitat inicial, v0 = 0. Com que accelera de A a B, que és el sentit positiu, l’acceleració serà positiva: a = 4 m/s2. Substituïm aquests valors en l’equació del moviment uniforme i obtenim la posició sA del primer mòbil en funció del temps: sA = 0 + 0 × (t – 0) + ½ 4 × (t – 0)2 = 2 t2 Apliquem al segon mòbil l’equació del moviment uniforme: s = s0 + v (t – t0) Per a aquest mòbil adoptarem com a instant inicial el moment en què surt de B: t0 = 2 s. La posició inicial serà, doncs, la corresponent al punt B: s0 = 110 m. La velocitat, com que es mou de B cap a A, que és el sentit negatiu, serà negativa: v = –20 m/s. Substituïm aquests valors en l’equació del moviment uniforme i obtenim la posició sB del segon mòbil en funció del temps: sB = 110 – 20 (t – 2) = 110 – 20 t + 40 = 150 – 20 t Abans que s’encreuin els mòbils, sB > sA. En l’instant en què la distància que els separa és de 38 m, es complirà que sB – sA = 38, és a dir: 150 – 20t – 2t2 = 38. Passem tots els termes al primer membre, en canviem els signes i dividim l’equació entre 2, i obtenim: t 2 + 10 t – 56 = 0 Les solucions d’aquesta equació de segon grau són t = 4 i t = –14. Els dos mòbils s’encreuen a l’instant t = 4 s. Rebutgem la solució t = –14 perquè correspon a un instant anterior a l’instant 0, en el qual els mòbils encara no havien iniciat el moviment.

43


18/4/08 16:43:17

DOCUMENT

2

| Cinemàtica

Distància de frenada d’un automòbil Quan el conductor d’un automòbil es troba un obstacle inesperadament es veu obligat a frenar de cop. Hi ha molts conductors que confien en l’eficàcia del sistema de frenada i circulen tranquil·lament a velocitats elevades, ja que creuen que podran aturar el vehicle en una distància cur ta. Suposem que, durant la frenada, la velocitat disminueix des d’un valor inicial v0 fins a 0 amb una acceleració constant a. La distància Δs recorreguda pel vehicle es pot obtenir aplicant la fórmula que acabem d’estudiar: v 2 – v02 = 2 a Δs En aquest cas, com que la velocitat final és nul·la, serà 0 – v02 = 2 a Δs. – v 02 Si aïllem Δs obtenim: Δs = ⎯⎯ . 2a

Calculem valors de la distància de frenada per a diferents velocitats: v0 = 36 km/h = 10 m/s, Δs = 102/8 = 12,5 m v0 = 90 km/h = 25 m/s, Δs = 252/8 = 78 m v0 = 120 km/h = 33,3 m/s, Δs = 33,32/8 = 139 m v0 = 180 km/h = 50 m/s, Δs = 502/8 = 313 m Com podem veure, la distància de frenada augmenta enormement amb la velocitat. El valor real de l’acceleració de frenada depèn de diversos factors, com és l’estat dels frens i dels pneumàtics, el pes del vehicle, el tipus de paviment o els materials que hi pot haver al terra (aigua líquida, gel, oli, sorra, grava...). Si algun dels factors que influeixen en l’acceleració és desfavorable, la distància de frenada pot ser sensiblement més gran de la que hem calculat.

La distància recorreguda en la frenada depèn de la velocitat inicial del vehicle i de la seva acceleració de frenada. Si considerem que l’automòbil es mou en sentit positiu, l’acceleració de frenada serà negativa. Quan el sistema de frenada del vehicle, els pneumàtics i l’estat de la calçada es troben en condicions òptimes, el valor de l’acceleració està al voltant de –4 m/s2. Si substituïm aquest valor en la fórmula emmarcada tenim: v 02 Δs = ⎯⎯ 8

En cas de boira, la distància de frenada ha de ser inferior a la distància de visibilitat màxima. Si diversos vehicles no respecten aquesta distància, es poden produir xocs en cadena.

12

| Gràfica v–t del moviment uniformement variat

A par tir de l’equació v = v0 + a Δt, es pot deduir la gràfica velocitat-temps d’un moviment uniformement variat. La gràfica velocitat-temps d’un moviment uniformement variat, com hem vist en l’exemple anterior, és una recta. El seu pendent depèn del valor de l’acceleració. Com més gran sigui, més gran serà l’angle que formarà la recta amb l’eix de temps. 44


18/4/08 16:43:18

Cinemàtica | 2

EXEMPLE 4.

Una moto, que es mou a una velocitat de 14 m/s, accelera amb moviment uniformement variat i arriba a una velocitat de 26 m/s en 8 segons. Calcula l’acceleració i traça la gràfica v - t del moviment durant aquests 8 segons. L’acceleració serà: 1,5 m/s2 La velocitat del mòbil en funció del temps resulta: v = v0 + a Δt = 14 + 1,5 (t – 0) = 14 + 1,5t Si donem diversos valors a t, obtindrem la taula següent:

t/s

v/m s–1

0

14

2

17

4

20

6

23

8

26

v/m s

1

30 20 10 0

10 t/s

5

A par tir d’aquests valors s’ha construït la gràfica de la figura, que resulta una recta.

c1u2ejem1 Quan l’acceleració és negativa, la gràfica velocitat-temps s’inclina en sentit contrari, tal com podem obser var a la figura 17. Si l’acceleració fos nul·la, la recta resultaria paral·lela a l’eix de temps; seria la gràfica d’un moviment uniforme. v

v

a0

t

0 v0 moviment retardat

v0 moviment accelerat

16. Moviment uniformement variat amb acceleració positiva.

c1u2fig16 U02_Fis1_Bach.indd 45

a0

t

O v0 moviment retardat

v0 moviment accelerat

17. Moviment uniformement variat amb acceleració negativa.

c1u2fig17

45

18/4/08 16:43:18

2

| Cinemàtica

13

| Demostració de l’equació

del moviment uniformement variat

Hem de recordar que, en el moviment uniforme, la super fície compresa entre la gràfica v–t i l’eix de temps representa el desplaçament fet pel mòbil. Això també és cer t per a qualsevol tipus de moviment, tot i que no ho demostrem. Utilitzarem aquesta propietat per deduir l’expressió de la posició del mòbil en funció del temps en el moviment uniformement variat. v

A la figura 18 s’ha representat la gràfica v–t d’un moviment uniformement variat. vo  a

vo

En l’instant inicial, la velocitat és v0.

vo 2 t

18. Càlcul del desplaçament del moviment uniformement variat per mitjà de la gràfica v–t.

c1u2fig18

Hem vist que, quan ha transcorregut un interval de temps Δt, la velocitat és v0 + a Δt. Per tant, quan només hagi transcorregut la meitat d’aquest inter val, la velocitat serà:

La super fície amb fons gris de la figura és la que representa el desplaçament fet pel mòbil en l’inter val de temps Δt. Obser va que el rectangle els costats del qual s’han assenyalat en color verd té la mateixa super fície (es pot obtenir traient un triangle de la par t dreta i afegint-ne un d’igual a l’esquerra). Consegüentment, el desplaçament s fet pel mòbil també ve donat per l’àrea d’aquest rectangle. Com que la seva base és Δt i la seva altura és la velocitat en la meitat de l’inter val, tindrem:

Si efectuem la multiplicació indicada resulta:

Aquesta expressió és l’equació del moviment uniformement variat, que queda ara justificada.

14

| Gráfica s–t del moviment uniformement variat

A partir de l’equació d’un moviment uniformement variat, se’n pot deduir la gràfica posició-temps. En tot moviment uniformement variat (com en l’exemple següent), l’equació que expressa l’abscissa del mòbil en funció del temps és de segon grau. La corba que s’obté representant-la gràficament és sempre un arc de paràbola. 46


18/4/08 16:43:19

Cinemàtica | 2

EXEMPLE 5.

Escriu l’equació del moviment proposat en l’exemple anterior. Traça’n la gràfica posició-temps. La moto tenia una velocitat inicial v0 = 14 m/s. Hem calculat que la seva acceleració era a = 1,5 m/s2. Considerarem que l’instant inicial del moviment és t0 = 0, i que la posició del mòbil en aquest instant és s0 = 0. Si apliquem aquests valors a l’equació del moviment uniformement variat, resulta:

Si simplifiquem, obtindrem: s = 14t + 0,75t2. Si donem diferents valors a t en l’expressió anterior, obtindrem la taula adjunta. Representant aquests valors s’ha traçat la gràfica del moviment que apareix al costat de la taula.

t/s

s/m

0

0

2

31

4

68

6

111

8

160

s1 /m 200

100

0

5

t/s

c1u2ejem2

15

| La caiguda lliure dels cossos

Quan els cossos cauen, la força resistent causada pel frec amb l’aire pot produir un efecte impor tant i frenar notablement el moviment. Això és el que passa quan deixem caure un cos lleuger i de super fície gran, com un full de paper. En canvi, sobre els cossos pesants i de super fície petita, l’efecte del fregament amb l’aire és menor. Pot ser imperceptible, sobretot quan el cos cau des de poca altura. Quan l’única força apreciable sobre un cos que cau és el seu pes, diem que el seu moviment és de caiguda lliure. Experimentalment es comprova que, a prop de la super fície terrestre, els cossos en caiguda lliure es desplacen amb moviment uniformement variat. L’acceleració de caiguda lliure dels cossos, anomenada acceleració de la gravetat, al nivell del mar és de 9,81 m/s2 aproximadament. Aquesta acceleració, que representarem simbòlicament per g, és lleugerament diferent en punts diferents de la super fície terrestre i disminueix amb l’altitud. Atès que les diferències són molt petites, en la majoria dels casos s’accepta el valor de 9,81 m/s2 per a tots els punts situats en la super fície de la Terra o molt a prop seu.

Valors de la gravetat a la Terra Latitud

g/m s–2

Pol Nord

90°

9,832

Groenlàndia

70°

9,825

Estocolm

59°

9,818

París

49°

9,809

Madrid

40°

9,800

Jamaica

18°

9,786

Canal de Panamà

9°

9,782

Equador

0°

9,78

Sovint, quan no es necessita calcular amb més de dues xifres significatives, s’arrodoneix el valor de g a 10 m/s2. Així doncs, per fer qualsevol càlcul sobre el moviment de caiguda lliure d’un cos, aplicarem les equacions del moviment uniformement variat i donarem a l’acceleració el valor g. En tots els casos, el signe de l’acceleració de la gravetat ha de ser el que correspongui al sentit cap avall. 47


18/4/08 16:43:20

2

| Cinemàtica

EXEMPLE 6.

Des d’una altura de 9 m es llança un cos verticalment cap amunt amb una velocitat inicial de 12 m/s. Suposant negligible la resistència de l’aire i considerant g = 10 m/s2, determina: a) La seva altura, la seva velocitat i si el moviment és accelerat o retardat al cap d’1 s i de 2 s de ser llançat. b) El temps que haurà transcorregut quan arribi a terra. c) L’altura màxima a què haurà arribat el cos.

a) Adoptarem com a origen de coordenades la intersecció amb el terra de la ver tical del punt de llançament, instant 0 el del llançament i sentit positiu cap amunt. Per tant, serà: s0 = 9 m, t0 = 0 i v0 = 12 m/s L’acceleració de la gravetat sempre té el signe corresponent al sentit cap avall. Com que hem assignat signe positiu al sentit cap amunt, l’acceleració serà negativa: a = –g = –10 m/s2 Com que es tracta d’una caiguda lliure, el moviment serà uniformement variat. Si apliquem l’equació , resulta: Simplificant s’obté: s = 9 + 12t – 5t2. Si donem a t els valors 1 s i 2 s en l’equació anterior, calcularem la posició del mòbil en aquests instants. Tenim: s (1) = 16 m i s (2) = 13 m Per calcular la velocitat del mòbil aplicarem l’equació: v = v0 + a Δt. Així obtenim: v = 12 – 10t. Substituïm t = 1 s i t = 2 s en la igualtat anterior i obtenim: v (1) = 2 m/s i v (2) = –8 m/s En l’instant t = 1 s el moviment és retardat perquè l’acceleració (–10 m/s2) no té el mateix signe que la velocitat (2 m/s). En l’instant t = 2 s el moviment és accelerat perquè l’acceleració (–10 m/s2) té el mateix signe que la velocitat (–8 m/s). b) Quan el mòbil arriba a terra, la seva posició és s = 0, ja que hem escollit aquest punt com a origen. Fent s = 0 en l’equació del moviment que abans hem obtingut, resulta: 0 = 9 + 12t – 5t2. Les solucions a aquesta equació de 2n grau són: t = 3 s i t = –0,6 s. La segona solució no és vàlida ja que, com que és negativa, correspon a un temps anterior a l’instant 0, quan el moviment encara no havia començat. Per tant, la resposta és que, quan el mòbil arriba a terra, ha transcorregut un temps de t = 3 s. c) Quan arriba a la posició d’altura màxima, la velocitat del mòbil és nul·la. Aïllem el temps en l’equació de la velocitat i obtenim t = 1,2 s. Substituïm aquest temps en l’equació de la posició: s = 9 + 12 × (1,2) – 5 × (1,2)2 = 16,2 L’altura màxima a què ha arribat el cos és de 16,2 m. 48


18/4/08 16:43:20

EXPERIÈNCIA

Cinemàtica | 2

Determinació de l’acceleració de la gravetat per mitjà d’una fotografia En l’experiència que proposem a continuació, es comprovarà si el moviment de caiguda vertical d’una pilota de ping-pong és uniformement variat i es determinarà el valor de la seva acceleració. Amb aquesta finalitat s’han enregistrat en una sola fotografia successives posicions de la pilota durant la caiguda, separades per intervals de temps iguals. Hem col·locat una pilota en un dispositiu especial per tal que, quan estirem d’un fil, caigui sense rebre cap impuls. Per enregistrar les diverses posicions de la pilota a intervals iguals de temps, hem fet una fotografia amb una exposició d’aproximadament mig segon. Al davant de l’objectiu de la càmera, girava a 31,2 voltes per segon un disc negre amb una escletxa radial, com es pot veure en la figura. D’aquesta manera, en la fotografia apareix la imatge de la pilota únicament en els instants en què l’escletxa passa per davant de l’objectiu de la càmera. El temps transcorregut entre els passos per cada posició i la següent és igual al temps que tarda el disc a fer una volta completa (període de revolució del disc). Un regle amb senyals cada 10 cm, col·locat verticalment al costat de la trajectòria de la pilota, serveix per determinar l’escala de la imatge fotogràfica.

Per obtenir les distàncies reals recorregudes per la pilota, divideix entre e les distàncies mesurades en la foto. Escriu els resultats expressats en centímetres en la primera columna d’una taula. b) Sabent que s’obtenen 31,2 imatges/segon de la pilota caient, calcula els temps (en segons) corresponents a cada imatge i escriu els resultats en la segona columna de la taula. Afegeix una tercera columna a la taula anterior amb els valors dels temps obtinguts elevats al quadrat (t 2). c) A par tir de la taula, dibuixa la gràfica posició– temps2. Com que s0 = 0, t0 = 0 i v0 = 0, si el moviment és uniformement accelerat, la seva equació serà: s = ½ g t 2. Dividint entre t 2, resulta: s/t 2 = g/2. Com que el quocient entre les dues variables representades (s i t2) és constant (g/2), la gràfica correspondrà a una proporcionalitat directa i haurà de ser una recta de pendent g/2. d) Si, efectivament, obtenim una recta, quedarà comprovat que el moviment de caiguda de la pilota és uniformement accelerat. Si mesurem en la gràfica el pendent d’aquesta recta, obtenim el valor de g/2.

a) Mesura les distàncies (en centímetres) recorreC1U2EXP1 gudes per la pilota des de la posició inicial directament sobre la fotografia. Si és possible, preneu les mesures amb un regle que tingui divisions de mig mil·límetre. Mesura també la distància d (en centímetres) entre la primera i la quarta divisió del regle que apareix en la fotografia. Com que la separació real entre aquests senyals és de 40 cm, l’escala de distàncies a la fotografia serà e = d/40.

El doble d’aquest valor serà l’acceleració g de la gravetat.

El temps entre dues imatges consecutives de la pilota és de 32,05 mil·lisegons. La distància entre els senyals del regle és de 10 cm.

49


18/4/08 16:43:21

2

| Cinemàtica

16

| Vector posició

Fins ara hem tractat el moviment d’un mòbil que es desplaça sobre una recta donada o sobre una trajectòria qualsevol prèviament coneguda. Per determinar-ne la posició només ens ha calgut una coordenada, és a dir, un únic nombre (que hem simbolitzat amb la lletra s). Per això diem que hem estudiat el moviment en un espai d’una sola dimensió (espai unidimensional). A continuació, considerarem les posicions del mòbil no en una determinada trajectòria, sinó sobre qualsevol punt d’un pla.

M

En la majoria dels casos utilitzarem com a sistema de referència la Terra o, el que és el mateix, qualsevol cos que hi està unit, per exemple el terra i les parets d’una casa. Però en algunes ocasions pot ser convenient utilitzar altres sistemes de referència que es mouen respecte a la Terra, com són un vehicle en marxa, el Sol, etc.

→

→

y

r

→

0

xi



Un pla és un espai bidimensional perquè calen dos eixos de coordenades per determinar la posició d’un mòbil sobre ell mateix. Per això definirem en aquest pla dos eixos de coordenades rectangulars, Ox i Oy. En física, aquests eixos sempre se suposen lligats a un o diversos cossos reals que constitueixen el que anomenem sistema de referència. Hem d’imaginar els eixos de coordenades com si estiguessin enganxats o soldats al sistema de referència.

yj

x

19. Vector posició d’un mòbil puntual.

Un cop establerts el sistema de referència i uns eixos de coordenades que hi estiguin lligats, expressarem la posició del mòbil mitjançant el seu vector posició (Fig. 19). El vector posició d’un mòbil puntual és el vector que té el seu origen en l’origen de coordenades i el seu extrem en el mòbil.

c1u2fig19

→

Simbolitzarem per r el vector de posició. Com que les components són les coordenades (x, y) del mòbil puntual, el vector posició és: →

→

→

r = xi + yj

17 Po

P →

r

20. Vector desplaçament, Δr, d’un mòbil que es desplaça de P0 a P seguint una trajectòria corba.

| Vector desplaçament

Imaginem un mòbil puntual que es troba inicialment en el punt P0 i es desplaça fins al punt P, seguint una trajectòria corba qualsevol (Fig. 20). El canvi de posició que ha experimentat es representa per l’anomenat vector desplaçament. El vector desplaçament és el vector que té l’origen en la posició inicial del mòbil i l’extrem en la seva posició final.

Po

P →

→

→

r  r  ro

→

→

ro

r

c1u2fig20 O

21. El vector desplaçament és l’increment del vector posició.

50

→ →

A la figura 21, O és l’origen de coordenades i els vectors r 0 i r són, respectivament, els vectors posició final i inicial del mòbil puntual que es desplaça de la posició P0 a la posició P. Segons el que hem vist a la unitat 1 sobre la diferència de dos vectors, és evident que el vector desplaçament és: →

→

→

r – r 0 = Δr

c1u2fig21


18/4/08 16:43:22

Cinemàtica | 2

Així doncs, també podem afirmar que: El vector desplaçament és la diferència entre el vector posició final i l’inicial, o l’increment del vector posició. Obser va que el vector desplaçament només depèn de les posicions inicial i final del mòbil, però no de la trajectòria seguida per passar d’una posició a una altra.

18

| Vector velocitat mitjana

La velocitat mitjana és el desplaçament que fa un mòbil per unitat de temps entre dos instants donats. Si considerem vectorialment el desplaçament, la velocitat mitjana, segons la definició anterior, serà el vector: →

v

→

r

r

→

r

El vector velocitat mitjana té la mateixa direcció i el mateix sentit que el vector desplaçament, ja que s’obté dividint-lo per un escalar, Δt, que sempre és positiu. El mòdul del vector velocitat mitjana, en el Sistema Internacional, s’expressa en metres per segon (m/s). La velocitat mitjana d’un mòbil es calcula sempre entre dos instants, és a dir, en un interval de temps. Imaginem un mòbil que es desplaça sobre una trajectòria corba, i que P0, P1, P2, P3 i P4 són les posicions per les quals passa en els instants t = 0 s, t = 1 s, t = 2 s, t = 3 s i t = 4 s, respectivament (Fig. 22). La seva velocitat mitjana serà: → r v

P1 →

v Po

v

→

vm1 → vm2

→

v → m3 vm4

P2 P3 P4

22. Vectors velocitat mitjana per a diferents desplaçaments del mòbil a partir del punt P0. Com més curt sigui el c1u2fig22 desplaçament, més s’aproximarà la seva direcció a la de la recta tangent P0 a la trajectòria.

v v Obser va que hem definit dos tipus de velocitat: la velocitat sobre una tra→ jectòria donada (v) ) i el vector velocitat (v ). Per evitar confondre l’una amb l’altra, farem ser vir la paraula velocitat per fer referència al vector velocitat, mentre que anomenarem velocitat lineal la velocitat sobre la trajectòria. Vegem ara quina relació hi ha entre els seus valors numèrics. Sabem que:

→

v

r

51


18/4/08 16:43:23

2

| Cinemàtica Com que Δt sempre és positiu, el mòdul (o valor absolut) de la velocitat lineal és:

I el mòdul del vector velocitat:

→

r

v

P1

Aquestes dues fraccions tenen el mateix denominador. Per tant, serà més gran la que té el numerador més gran. Ara bé, com podem veure a la figura → 23, en tot moviment sempre passa que |Δs| ≥ |Δr |. (Són iguals només en el moviment rectilini.)

P2

23. El desplaçament sobre una trajectòria corba és més gran, en mòdul, que el vector desplaçament.

Per tant, el mòdul de la velocitat lineal mitjana serà també més gran o igual que el del vector velocitat mitjana (igual en el moviment rectilini). →

|vm| ≥ |v m|

EXEMPLE 7.

c1u2fig24

Un mòbil puntual es desplaça en 5 s des del punt A (3,0) al punt B (0,3), i les seves coordenades s’han expressat en metres, seguint un arc de circumferència amb centre en l’origen de coordenades.

Calcula’n: a) La velocitat lineal mitjana.

y

B

b) El mòdul del vector velocitat mitjana.

a) El desplaçament del mòbil sobre la trajectòria és la quar ta par t de la longitud de la circumferència:

A x

O

y

La velocitat lineal mitjana del mòbil és:

B

→

vB →

→

b) El vector desplaçament és el vector

r

El vector velocitat mitjana és: →

v

r

i

j

vA

i

j

A x

O

i

j

El mòdul d’aquest vector resulta: →

v

c1u2ejem3 c1u2ejem3

Com que es tracta d’un moviment cur vilini, el mòdul del vector velocitat mitjana, tal com havíem vist, resulta més petit que el de la velocitat lineal mitjana.

52


18/4/08 16:43:24

Cinemàtica | 2

19

| Vector velocitat instantània

Anomenem vector velocitat instantània la velocitat mitjana corresponent a un inter val de temps infinitament petit. El designarem per → mitjà de v . A la figura 22 podem obser var com, pel fet de considerar un inter val de temps cada vegada més cur t, el vector velocitat mitjana d’un mòbil s’aproxima a la tangent a la seva trajectòria en la posició inicial P0. Quan l’inter val de temps és molt petit, la direcció de la velocitat mitjana arriba a confondre’s amb la de la tangent a la trajectòria. Matemàticament, això només passa quan Δt és infinitesimal (infinitament petit).

→

v1

En conseqüència, el vector velocitat instantània és sempre tangent a la trajectòria del mòbil (Fig. 24).

→

vm

A la figura 23 hem vist que l’arc recorregut sobre una trajectòria corba (|Δs|) → és més gran que la corda (|Δr |). Però quan l’arc i la corda són infinitament petits, es confonen i poden considerar-se iguals: →

|Δs|= |Δr | Per tant, en un inter val de temps infinitesimal:

P2

P1

→

→

v2

→

24. v 1: Velocitat instantània a P1. v 2: Velocitat instantània a P2. → v m: Velocitat mitjana entre P1 i P2.

→

r

c1u2fig23

→

És a dir:

|v | = |v |

El mòdul del vector velocitat instantània és igual al de la velocitat lineal instantània.

y

B

EXEMPLE 8.

Un mòbil puntual es desplaça des del punt A (3,0) al punt B (0, 3), les coordenades dels quals s’han expressat en metres, descrivint un arc de circumferència amb centre a l’origen de coordenades. La seva velocitat lineal instantània a A és vA = 0,7 m/s i a B, vB = 1,2 m/s. Calcula’n els vectors velocitat instantània al punt A i al punt B. Els vectors velocitat instantània a A i a B són tangents a la circumferència, tenen el sentit del moviment i coincideixen en mòdul amb la velocitat lineal, és a dir, els seus mòduls són, respectivament, 0,7 m/s i 1,2 m/s.

A x

O

y

B

→

vB →

vA A x

O

→

Però obser vem que v A té sentit cap a la par t positiva de l’eix → Oy, mentre que v B en té cap a la par t negativa de l’eix Ox. Així, expressades vectorialment, aquestes velocitats són: →

→

→

→

v A = 0,7j i v B = –1,2i .

c1u2ejem3 c1u2ejem3

53


18/4/08 16:43:25

2

| Cinemàtica

20

El vector acceleració mitjana és l’increment del vector velocitat instantània per unitat dos instants donats. → → de temps entre

a →

→

v0

| Vector acceleració mitjana

v1

v1

v0

→

→

→

→

v0

→

a

v →

→

a

v0

v1

→

v

→

v

→

→

v1

v

→

→

→

a

v

→ → → El mòdul mitjana s’expressa en m/s2 en el SI. vde  vl’acceleració 1 v 0

→

v  v1 v0

Com que Δt és un escalar positiu, l’acceleració mitjana és sempre un vector de la mateixa direcció i el mateix sentit que l’increment de velocitat.

b →

→

→

v1

v1

v0

Aquest increment de velocitat pot ser la conseqüència d’un augment o una disminució de la rapidesa (Fig. 25), d’un canvi de direcció del moviment c1u2fig25 (Fig. 26) o de les dues coses alhora (Fig. 27).

→

v0 →

→

a

→

v1

v →

→

→

a

→

v  v1 v0

→

v0

25. a) Augment de la rapidesa. L’increment de la velocitat té la mateixa direcció i el mateix sentit que la velocitat → inicial v0. b) Disminució de la rapidesa. L’increment de velocitat té la direcció de c1u2fig25 → la velocitat inicial v0, però sentit contrari.

→

v0

→

v1 →

v1

→

→

v0

v0 →

→

v1

→

→

v  v1 v0

→

a

→

v1

26. Canvi de direcció del moviment. Tot i que el mòdul de la velocitat no canvia, hi ha un increment del vector velocitat.

→

→

→

a

27. Canvi de direcció i de rapidesa. L’increment del vector velocitat respon, en aquest cas, a un canvi simultani de la rapidesa i la direcció del moviment.

c1u2fig26/27

EXEMPLE 9.

→

v  v1 v0

La velocitat instantània d’un mòbil puntual en funció del temps, expressada en unitats del SI, és → → → v = (t2 – 8)i + (5 – 2t)j . Calcula’n l’acceleració mitjana entre els instants t = 1 s i t = 4 s. Calcularem la velocitat en els instants t = 1 s i t = 4 s, donant aquests valors a t en l’expressió del vector velocitat: →

→

→

→

→

→

→

→

v (1) = (12 – 8)i + (5 – 2 × 1)j = –7i + 3j (m/s) →

→

v (4) = (42 – 8)i + (5 – 2 × 4)j = 8i –3j (m/s) L’increment de velocitat experimentat pel mòbil és: →

→

→

→

→

→

→

→

→

Δv = v (4) – v (1) = (8i –3j ) – (–7i + 3j ) = 15i –6j (m/s) El temps transcorregut és: Δt = 4 s – 1 s = 3 s. Per tant, l’acceleració mitjana serà: → i j v → a i j

54


18/4/08 16:43:26

Cinemàtica | 2

10. Un mòbil recorre en 8 s la semicircumferència de la figura en el sentit ABC amb una velocitat lineal constant de 20 m/s. Calcula’n el mòdul de l’acceleració mitjana: a) Entre les posicions A i B.

y

b) Entre les posicions A i C. A la figura apareixen els vectors velocitat en les posicions A, B i C. Tots tres són tangents a la trajectòria, tenen el sentit del moviment i el mateix mòdul (20 m/s).

→

vA A

→

→

→

C x

O

Expressats vectorialment són: →

→

vB

B

→

vC →

→

v A = 20j (m/s), v B = 20i (m/s), v C = –20j (m/s) c1u2ejem5

a) Evidentment, el temps que utilitza el mòbil per anar de A a B és 4 s (la meitat del que tarda a desplaçar-se de A a C). L’acceleració mitjana entre A i B és, per tant: → → i j v v → i j a →

El seu mòdul és: a

b) L’acceleració mitjana entre A i C és: → → j j v v → j a →

I el seu mòdul és: |a m| = –5 (m/s2).

21

| Vector acceleració instantània →

Anomenem acceleració instantània l’acceleració mitjana en un inter val de temps infinitesimal.

a

En el moviment rectilini variat, l’acceleració instantània té la mateixa direcció que la velocitat, és a dir, la de la trajectòria. En el moviment curvilini, l’acceleració instantània mai no té la mateixa direcció que la velocitat. El vector velocitat és sempre tangent a la trajectòria, mentre que el vector acceleració no ho és en cap cas.

moviment accelerat

→

Quan els vectors velocitat i acceleració són perpendiculars, el moviment no és ni accelerat ni retardat (Fig. 28c). La velocitat no augmenta ni disminueix; només en canvia la direcció. El producte escalar dels dos vectors ha → → de ser nul: v · a = 0.

v → → v

b →

a → → a

Quan l’acceleració forma un angle agut amb la velocitat, la velocitat augmenta i diem que el moviment és accelerat en aquell instant (Fig. 28a). Per → → això, cal que el producte escalar dels dos vectors sigui positiu: v · a > 0. Quan l’acceleració forma un angle obtús amb la velocitat, la velocitat disminueix i diem que el moviment és retardat en aquest instant (Fig. 28b). Per això, → → cal que el producte escalar dels dos vectors sigui negatiu: v · a < 0.

v → → v → a → → a

moviment retardat →

v → → v

c →

a → → a moviment no accelerat ni retardat 28. Direcció del vector acceleració en diversos casos.

55


c1u2fig28 c1u2fig28

18/4/08 16:43:27

2

| Cinemàtica

22

| Moviment uniforme

en dues dimensions

Ara estudiarem el moviment uniforme, però considerant-lo en dues dimensions i tractant-lo vectorialment. Ja sabem que s’anomena moviment uniforme el moviment en què la velocitat és constant. Com que la velocitat és un vector, el moviment uniforme ha de ser forçosament rectilini. Efectivament, si el vector velocitat és constant, seran invariables no tan sols el mòdul, sinó també la direcció i el sentit. I si la direcció d’un moviment no canvia, és rectilini. Tot moviment amb velocitat lineal constant s’anomena també uniforme. Però si no és rectilini, hi afegim un altre qualificatiu que n’especifica la trajectòria, per exemple, moviment cur vilini uniforme o moviment circular uniforme. En el moviment uniforme no es distingeix entre velocitat mitjana i instantània perquè totes dues són iguals. L’expressió de la velocitat en el moviment uniforme és: →

r

→

v

→

r

→

r

→

Si aïllem r obtindrem: →

→

→

→

→

r = r 0 + v (t – t0) = r 0 + v Δt

Aquesta és l’equació vectorial del moviment uniforme que ens permet calcular el vector posició del mòbil en qualsevol instant.

EXEMPLES 11. Un mòbil es desplaça en 3 s, amb moviment rectilini uniforme, del punt A (–3, 2) al B (6, 14), les coordenades del qual s’han expressat en metres.

y B

a) Escriu el vector posició del mòbil en funció del temps. b) Determina l’equació cartesiana de la seva trajectòria. c) Calcula’n la posició 5 s després d’haver sortit del punt A. →

v →

→

→

a) La posició inicial del mòbil (punt A) és r0 = –3i + 2j ; prendrem com a instant inicial t0 = 0. Primerament calcularem la velocitat del mòbil.

A 0

x

El desplaçament realitzat serà: →

→

→

→

→

→

→

→

→

Δr = r – r 0 = (6i + 14j ) – (–3i + 2j ) = 9i + 12j

c1u2ejem6

56


18/4/08 16:43:28

Cinemàtica | 2

→

Així, la velocitat serà: v →

i

r

→

j

3i

3

→

j

→

Apliquem l’equació r = r 0 + v (t – t0), i obtenim: →

→

→

→

→

→

→

r = –3i + 2j + (3i + 4j ) t = (–3 + 3t)i + (2 + 4t)j

b) L’equació que acabem d’obtenir és la forma vectorial de l’equació de la trajectòria. Per expressar → aquesta equació en forma car tesiana tindrem en compte que les components del vector posició r són les coordenades (x, y) del mòbil: –3 + 3t = x 2 + 4t = y Aïllem t en les dues equacions, i obtenim:

Igualem les expressions de t i obtenim la relació entre les dues coordenades x i y del mòbil, és a dir, l’equació de la seva trajectòria:

Multipliquem l’equació per 12 (MCM de 3 i 4) i per transposició de tots els termes del primer membre, resulta: 4x –3y + 18 = 0 c) La posició a l’instant t = 5 s es calcula donant aquest valor a t en l’equació obtinguda: →

→

→

→

→

r (5) = (–3 + 3 × 5) i + (2 + 4 × 5) j = 12 i + 22 j (m) →

→

→

→

12. Un mòbil puntual A es troba en la posició r 0A = –2i + 5j (m) en l’instant t 0A = 0 i es desplaça amb → → → velocitat constant v A = 3i –2j (m/s). →

→

→

→

Un altre mòbil puntual B es troba en la r 0B = 24i + 8j (m) en l’instant t 0B = 2 s i es mou amb velocitat → → → v B = –2i –4j (m/s), també constant. Determina si els dos mòbils xocaran. →

→

→

En primer lloc aplicarem l’equació del moviment uniforme r = r 0 + v (t – t0) a cada un dels mòbils: →

→

→

→

→

→

→

→

→

→

Mòbil A: r A = –2i + 5j + (3i –2j ) t = (–2 + 3t) i + (5 –2t) j . →

→

→

→

Mòbil B: r B = 24i + 8j + (–2i –4j ) (t –2) = (28 –2t) i + (16 –4t) j . Si xoquen, hi haurà un instant en el qual tots dos es trobaran en la mateixa posició, és a dir, un valor de → → t per al qual r A = r B: →

→

→

→

(–2 + 3t)i + (5 –2t)j = (28 –2t)i + (16 –4t)j

Perquè els dos vectors siguin iguals, també ho han de ser les components: –2 + 3t = 28 –2t 5 –2t = 16 –4t La solució de la primera equació és t = 6 s. Podem comprovar fàcilment que, per a t = 6, no es compleix la segona equació. En conseqüència, no hi ha cap valor de t vàlid per a les dues equacions; podem afirmar, doncs, que els mòbils no xocaran.

57


18/4/08 16:43:28

2

| Cinemàtica

23

| Moviment amb acceleració constant

Tot seguit estudiarem els moviments en què el vector acceleració és constant en mòdul, direcció i sentit. En aquest cas, l’acceleració mitjana i la instantània coincideixen, per la qual cosa no distingim entre l’una i l’altra. L’expressió de l’acceleració és: →

v

→

a

29. Quan la resistència de l’aire és nul·la, un cos que cau verticalment es desplaça amb moviment rectilini uniformement accelerat.

→

→

v

v

A par tir de la igualtat anterior es dedueix la velocitat en funció del temps: →

→

→

→

→

v = v 0 + a (t – t0) = v 0 + a Δt L’expressió del desplaçament fet pel mòbil és anàloga a la que vam obtenir en estudiar el moviment en una sola dimensió: →

r

→

v

→

a

El moviment amb acceleració constant pot ser de dos tipus: a) Si la velocitat inicial és nul·la o té la mateixa direcció que l’acceleració, el moviment és rectilini i rep el nom de moviment rectilini uniformement variat (Fig. 29).

30. Quan la resistència de l’aire és nul·la, un cos llançat obliquament es desplaça amb moviment parabòlic.

b) Si la velocitat inicial té diferent direcció que l’acceleració, el mòbil descriu una paràbola l’eix de simetria de la qual és paral·lel al vector d’acceleració. El mòbil fa en aquest cas un moviment parabòlic (Fig. 30).

24

| Tir parabòlic

Quan un mòbil es desplaça amb una acceleració constant (en mòdul, direcció i sentit) que no té la direcció de la velocitat, descriu una paràbola. Si la seva acceleració és la de la gravetat, diem que es tracta d’un tir parabòlic. El tir horitzontal i el tir oblic són exemples de tir parabòlic. No obstant això, en realitat no acostumen a ser exactament parabòlics, ja que hi ha altres forces (com és el cas del fregament amb l’aire) que varien l’acceleració del mòbil i en modifiquen la trajectòria. En altres casos, el recorregut és tan gran que l’acceleració de la gravetat no és igual en tots els punts. La trajectòria seria, doncs, una el·lipse o una hipèrbola, en comptes d’una paràbola. Com que el tir parabòlic no és més que un cas par ticular del moviment amb acceleració constant, no cal recórrer a nous conceptes teòrics per estudiar-lo. Veurem amb un exemple pràctic com s’apliquen al tir parabòlic les equacions vectorials del moviment amb acceleració constant. 58


18/4/08 16:43:29

Cinemàtica | 2

EXEMPLES 13. Una pilota roda sobre una taula horitzontal amb una velocitat de 15 m/s, arriba a la vora i cau a terra. a) Suposa negligible la resistència de l’aire, escriu l’expressió del seu vector posició en funció del temps a partir de l’instant en què surt de la taula. b) A quin tipus de moviment corresponen les expressions de les components horitzontal i vertical d’aquest vector posició? →

v0

x

O

moviment uniforme

x

moviment uniformement variat

O

y

y

a) Escollim l’origen de coordenades en la posició de la pilota en l’instant en què sur t de la taula. Assignem a aquest instant el valor t0 = 0. Escollim els eixos de coordenades Ox i Oy, com es pot veure a la figura. Obser va que hem assignat signe positiu al sentit cap avall sobre l’eix Oy. En → → → aquest cas, la posició inicial és el vector nul r 0 = 0i + 0j i la velocitat inicial és → → v 0 = 15i . L’acceleració és la de la gravetat de mòdul 9,8 m/s2, direcció ver tical i sentit cap avall, que hem → → considerat positiu. Així, serà: a = 9,8j . Substituïm aquests valors en: →

r

→

→

r

→

v →

a →

→

→

→

I resulta: r = 15i × t + 4,9j × t 2 = 15t i + 4,9t 2 j (m). b) Les components del vector posició són les coordenades x i y del mòbil. Per tant, a la vista del resultat anterior, podem escriure: x = 15 t, cas par ticular de l’equació s – s0 = v (t – t0 ) y = 4,9 t 2, cas par ticular de l’equació

v

a

La primera d’aquestes equacions correspon a un moviment rectilini uniforme amb una velocitat de 15 m/s. La segona correspon a un moviment rectilini uniformement accelerat sense velocitat inicial i amb una acceleració de 9,8 m/s2. Un tir parabòlic es pot considerar com la superposició (o realització simultània) de dos moviments rectilinis: un d’uniforme en direcció horitzontal i un altre d’uniformement variat en direcció ver tical.

59


18/4/08 16:43:30

2

| Cinemàtica

14. Des d’una altura de 50 m sobre el terra es llança un cos obliquament cap amunt amb una velocitat inicial de 25 m/s, que forma un angle de 37° amb l’horitzontal. Suposant nul·la la resistència de l’aire, determina: a) El vector de posició del mòbil en funció del temps.

y

b) El punt en què xocarà sobre la superfície horitzontal del terra.

voy

→

vO

c) La velocitat del mòbil en funció del temps.

vox

d) La velocitat amb què xocarà amb el terra.

→

rA

50 m

e) L’equació de la trajectòria d’aquest moviment. 0

f) L’altura màxima que aconseguirà el mòbil.

x

a) Per començar establirem els eixos de coordenades Ox i Oy, tal com es veu a la figura i assignarem a l’instant inicial el valor t0 = 0. Per expressar la posició del mòbil en funció del temps aplicarem l’equació vectorial del moviment c1u2ejem8 amb acceleració constant. →

r

→

→

v

a

→

→

El vector posició inicial serà r 0 = 50j (m). Les components del vector velocitat inicial seran: v0x = v0 cos α = 25 m/s × cos 37° = 25 m/s × 0,8 = 20 m/s v0y = v0 cos β = 25 m/s × cos 53° = 25 m/s × 0,6 = 15 m/s →

→

→

Consegüentment, la velocitat inicial serà v 0 = 20i + 15j (m/s). L’acceleració és la de la gravetat, el mòdul de la qual considerarem igual a 10 m/s2, la seva direcció ver tical i el seu sentit negatiu (ja que hem escollit el sentit cap amunt com a positiu): → → a = –10j (m/s2). →

→

→

Si substituïm en l’equació del moviment els valors de r 0, t0, v 0 i a , obtenim: →

r

j

i

j

→

j →

→

→

Si aïllem r i simplifiquem, resulta: r = 20ti + (50 + 15t – 5t2)j . →

→

→

Com que r = xi + yj , el resultat anterior equival a: x = 20t y = 50 + 15t – 5t2 b) En l’instant en què el cos xoca amb el terra es compleix que y = 0, és a dir: 50 + 15t – 5t2 = 0 Les solucions d’aquesta equació de 2n grau són t = –2 s i t = 5 s. Rebutgem la solució t = –2 s perquè correspon a un instant anterior a l’instant inicial del moviment (t0 = 0).

60


18/4/08 16:43:30

Cinemàtica | 2

Així doncs, la solució vàlida és t = 5 s. El valor de la coordenada x del mòbil en aquest instant serà: x = 20t = 20 × 5 = 100 Per tant, el cos xocarà amb el terra en el punt x = 100 m. →

→

→

c) Hem vist que la velocitat del mòbil és v = v 0 + a Δt. →

→

Si en aquesta equació substituïm v 0, a i t0 pels seus valors, obtenim: →

→

→

→

v = 20i + 15j + (–10j ) (t – 0) →

→

→

Simplificant, resulta: v = 20i + (15 – 10t)j (m/s). →

→

→

Atès que v = vxi + vy j , aquest resultat també es pot expressar de la manera següent: vx = 20 m/s vy = 15 –10t m/s d) Hem calculat que el mòbil arriba a terra en l’instant t = 5 s. Si substituïm t per aquest valor en l’equació que acabem de deduir, obtindrem la velocitat del mòbil en arribar a terra: →

→

→

→

→

v (5) = 20i + (15 – 10 × 5)j = 20i –35j

→

→

La velocitat del mòbil en arribar a terra és 20i –35j (m/s). e) L’expressió del vector posició en funció del temps, obtinguda en l’apar tat a), és l’equació vectorial de la trajectòria. Per obtenir-ne l’equació car tesiana, expressarem en funció del temps les dues components (x, y) del vector posició: x = 20t y = 50 + 15t –5t2 A continuació, eliminarem el temps d’aquestes equacions, aïllant-lo en la primera i substituint-lo en la segona: t = x/20 y = 50 + 15 (x/20) – 5 (x/20)2 Un cop fetes les operacions resulta: y = 50 + 0,75x –0,0125x2. Aquesta funció és un trinomi de segon grau, la representació gràfica del qual és una paràbola. f) En el punt més alt de la paràbola descrita pel mòbil, el vector velocitat, com que és tangent a la trajectòria, és horitzontal. Per tant, la component ver tical (vy) ha de ser nul·la: vy = 15 –10t = 0 La solució d’aquesta equació és t = 1,5 s. Aquest és l’instant en què el mòbil passa pel punt més alt. La seva altura es calcula substituint t per 1,5 en la component y del vector posició: y (1, 5) = 50 + 15 × 1,5 – 5 × 1,52 = 61,25 L’altura màxima que aconsegueix el mòbil és de 61,25 m.

61


18/4/08 16:43:31

2

| Cinemàtica

25 P

s



O

C

31. Determinació de la posició en el moviment circular. La posició del mòbil (P) en relació amb l’origen (O) es determina per mitjà de l’arc s o l’angle ϕ.

| Moviment circular

El moviment circular és el que té com a trajectòria una circumferència. Per tal de determinar la posició del mòbil, hem de prendre un punt de referència O (Fig. 31). Si el mòbil és en el punt P, podrem determinar-ne la posició de dues maneres: a) Per mitjà de l’arc s, els extrems del qual són O i P. b) Per mitjà de l’angle ϕ, format pels radis CO i CP. La circumferència es pot recórrer en dos sentits: a un li correspondrà signe positiu i a l’altre, signe negatiu. Per regla general, considerarem positiu el sentit contrari al del gir de les agulles del rellotge, tal com indica la figura 31. En aquest cas, tant l’arc com l’angle són positius, ja que, per anar de l’origen O al punt P, es recorren en sentit positiu. En el Sistema Internacional d’Unitats, l’arc s s’expressa en metres i l’angle ϕ, en radiants. Un radiant (rad) és un angle que comprèn un arc de longitud igual al radi, en una circumferència que té com a centre el vèr tex de l’angle. Una circumferència completa és un arc de 360° i té una longitud de 2πr, és a dir, 2π radis. Per tant, 360° són 2π rad. D’això deduïm que un radiant equival a 360°/2π ≈ 57° 18’.

sr

Imaginem un angle de ϕ radiants, que té com a vèr tex el centre d’una circumferència de radi r. Atesa la definició de radiant, aquest angle comprendrà un arc s, la longitud del qual contindrà ϕ vegades el radi. Per tant: s=ϕr

1rad r 32. Un angle d’un radiant, situat amb el vèrtex al centre d’una circumferència, ocupa un arc (s) de longitud igual a la del radi (r).

Anomenem velocitat angular mitjana l’angle que gira el mòbil en cada unitat de temps entre dos instants donats

La velocitat angular mitjana en un inter val de temps infinitament petit s’anomena velocitat angular instantània; i la designarem com ω. En el SI s’expressa en radians per segon (rad/s). Un radiant per segon és la velocitat angular d’un mòbil que gira un radiant cada segon. Unes altres unitats de velocitat molt utilitzades són les revolucions per segon (rev/s) i les revolucions per minut (rev/min o rpm). Per poder convertir aquestes unitats a rad/s, cal recordar que una revolució equival a 2π radiants. En el moviment circular se sol anomenar velocitat lineal la velocitat del mòbil, per distingir-la de la velocitat angular. La relació entre la velocitat (o velocitat lineal) i la velocitat angular és idèntica a l’establer ta entre l’arc i l’angle: v=ωr 62


18/4/08 16:43:32

Cinemàtica | 2

26

| Moviment circular uniforme

Anomenem moviment circular uniforme el d’un mòbil que recorre una circumferència a velocitat angular constant. Com que v = ω r, la velocitat lineal v també és constant. Les fórmules aplicables a aquest tipus de moviment són anàlogues a les d’un moviment uniforme:

A partir de la velocitat angular, es calcula l’expressió de la posició angular: ϕ = ϕ0 + ω Δt

EXEMPLE 15. Un punt A d’una roda que gira segons un moviment circular uniforme està situat a 20 cm de l’eix de rotació i té una velocitat lineal de 8 m/s. Calcula la velocitat lineal d’un altre punt B, de la mateixa roda, que es troba a 30 cm de l’eix. Quantes voltes farà la roda en 10 s? Primerament calcularem la velocitat angular de la roda. Si apliquem l’expressió v = ω r al punt A, resultarà 8 = ω × 0,2. Així, ω = 8/0,2 = 40. Per tant, la velocitat angular de la roda serà: ω = 40 rad/s. El punt B té la mateixa velocitat angular i el seu radi és r = 0,3 m. Així, la velocitat lineal serà: v = ω r = 40 × 0,3 = 12. És a dir, la velocitat lineal del punt B equival a v = 12 m/s. Per calcular les voltes que ha fet en 10 s, calcularem l’angle descrit per la roda en girar en aquest temps: Δϕ = ω Δt = 40 × 10 = 400. La roda ha girat un angle Δϕ = 400 rad. Ara només cal expressar l’angle en revolucions:

27

| Acceleració centrípeta en el moviment circular uniforme

→

→

→

→ →

�Δ

Malgrat tot, hi ha un increment de velocitat donat per la diferència vectorial → → → Δv = v 2 – v 1. → v → Si hi ha un increment de velocitat hi ha d’haver una acceleració: am

�

A la figura 33 es representen els vectors velocitat inicial (v 1) i velocitat final → (v 2) d’un mòbil que només canvia la direcció del moviment; és a dir, els dos vectors tenen el mateix mòdul. →

33. Variació de la direcció del moviment, sense canviar el mòdul de la velocitat.

63


18/4/08 16:43:32

→

2

| Cinemàtica Aquesta circumstància es dóna en el moviment circular uniforme, en el qual la direcció del vector velocitat varia, mentre que el mòdul es manté constant. Així, en el moviment circular uniforme hi haurà una acceleració. Vegem com podem determinar-la. Comparem les definicions dels vectors velocitat instantània i acceleració instantània. Són, respectivament: → r v en un inter val de temps Δt infinitament petit. →

a

→

v

en un inter val de temps Δt infinitament petit. →

→

Entre l’acceleració a i la velocitat v hi ha exactament la mateixa relació que → → entre la velocitat v i la posició r . A la figura 34a s’han representat, per a diversos instants, els vectors posició i velocitat en un moviment circular uniforme. Mentre que el mòbil que recorre la → → circumferència fa una volta, els vectors r (aplicat en el centre) i v (perpendi→ cular a r i aplicat a l’extrem) giren també 360°.

→

a

→

→

→ A la figura 34b s’han dibuixat els mateixos vectors v , però aplicats en un mateix punt. Com que tots tenen la mateixa longitud, l’extrem descriu → → r a la figura 34a). també una circumferència (com

→ →

→ →

→

Com que entre a i v hi ha la mateixa relació que entre v i r , el vector a ha de → ser perpendicular a v i estar aplicat a l’extrem. A més, si apliquem el vector → → a al mòbil (situat a l’extrem del vector r a la figura 34), comprovem que el sentit és cap al centre de la trajectòria. Per tant, l’acceleració instantània en el moviment circular uniforme és perpendicular al vector velocitat instantània i té sentit cap al centre de la trajectòria. S’anomena acceleració centrípeta.

b

Vegem quin n’és el mòdul o valor numèric. Hem vist que el mòdul del vector velocitat instantània és igual al de la velocitat lineal instantània:

→

→

→

v →

On r = |r | i Δt és el temps que necessita el mòbil per fer una volta sencera. 34. a) Vectors posició i velocitat en un moviment circular uniforme. b) Vectors velocitat i acceleració del moviment circular aplicats a un mateix punt.

→

→

→

→

Com que entre |a | i |v | hi ha la mateixa relació que entre |v | i |r |, serà: →

a

Però si aïllem Δt de la primera igualtat resulta: →

Substituïm aquest valor en l’expressió de |a | i obtenim: →

a

→

→

v

v

→

v

→

̸ v

En el moviment circular uniforme l’acceleració centrípeta és igual al quadrat de la velocitat par tit pel radi de la trajectòria. →

a 64


18/4/08 16:43:33

Cinemàtica

|2

RESUM Un cos (mòbil) es mou quan canvia de posició respecte d’un altre cos o conjunt de cossos, que anomenem sistema de referència. Si el mòbil és molt petit respecte de l’entorn en què es mou, el considerem un punt i l’anomenem mòbil puntual. La línia que formen tots els punts per on passa un mòbil puntual és la seva trajectòria. La posició d’un mòbil puntual es determina per la longitud s de la seva trajectòria des d’un origen arbitrari, O, fins al mòbil. Segons si el mòbil es troba a un costat o a l’altre de l’origen, el valor de s és positiu o negatiu. El desplaçament és la diferència entre els valors que determinen les posicions final i inicial del mòbil: Δs = s – s0. L’interval de temps és el temps transcorregut entre dos instants: Δt = t – t0. Sempre és positiu.

mateix signe); quan disminueix, es diu que és retardat (l’acceleració i la velocitat tenen signes contraris). Un moviment és uniforme quan la seva velocitat és constant. En el moviment uniforme, la velocitat (tant la mitjana com la instantània) és:

Si aïllem s obtenim l’equació del moviment uniforme: s = s0 + v (t – t0) La gràfica d’aquesta equació és una recta. Un moviment rectilini és uniformement variat quan la seva acceleració és constant. En el moviment uniformement variat, l’acceleració (tant mitjana com instantània) és:

La velocitat mitjana entre dos instats és el desplaçament que fa el mòbil per unitat de temps entre aquests instants: Si aïllem v obtenim: v = v0 + a (t – t0) És positiva o negativa d’acord amb el sentit del moviment. La unitat de la velocitat mitjana en el SI és el metre partit per segon (m/s), que és la velocitat d’un mòbil que es desplaça un metre cada segon. La velocitat instantània és la velocitat mitjana en un inter val de temps infinitament petit. La rapidesa d’un moviment és el mòdul o valor absolut de la seva velocitat. L’acceleració mitjana entre dos instants donats és l’increment de velocitat instantània que experimenta un mòbil per unitat de temps entre aquests instants:

La unitat de l’acceleració mitjana en el SI és el metre per segon cada segon (m/s2), que és l’acceleració d’un mòbil que a cada segon experimenta un increment de velocitat d’1 m/s. L’acceleració instantània és l’acceleració mitjana en un inter val de temps infinitament breu. Quan la rapidesa creix, es diu que el moviment és accelerat (l’acceleració i la velocitat tenen el

La gràfica d’aquesta equació és una recta. L’equació del moviment uniformement variat és:

La gràfica d’aquesta equació és una paràbola. De les equacions anteriors deduïm: v 2 – v02 = 2a Δs Caiguda lliure és el moviment dels cossos sobre els quals únicament hi actua el seu pes. Al nivell de la super fície terrestre, els cossos en caiguda lliure es mouen amb una acceleració de 9,81 m/s2, anomenada acceleració de la gravetat. El vector posició d’un mòbil puntual és el vector que té l’origen a l’origen de coordenades i l’extrem al mòbil. Si les coordenades del mòbil són (x, y), el → → → vector posició és: r = xi + yj . El vector desplaçament és el vector que té l’origen a la posició inicial del mòbil i l’extrem a la posició final. També és la diferència entre el vector posició final i l’inicial, o l’increment del vector posició: → → → r – r 0 = Δr .

Contingut bàsic de la unitat en format hipermèdia, en el CD. U02_Fis1_Bach.indd 65

65

18/4/08 16:43:34

2

| Cinemàtica

RESUM El vector velocitat mitjana és el desplaçament realitzat per unitat de temps entre dos instants donats: →

r

v Té la direcció desplaçament.

i

→

sentit

del

vector

El vector velocitat instantània és la velocitat mitjana en un inter val de temps infinitament petit. És tangent a la trajectòria. El mòdul del vector velocitat instantània és igual al de la velocitat lineal: → |v | = |v |. El vector acceleració mitjana és l’increment de la velocitat instantània per unitat de temps entre dos instants donats: →

v

→

a

→

v

El vector acceleració instantània és l’acceleració mitjana en un inter val de temps infinitament petit. El moviment és accelerat quan els vectors velocitat i acceleració formen un angle agut; aleshores el →→ producte escalar és positiu: a v > 0. El moviment és retardat quan els vectors velocitat i acceleració formen un angle obtús; aleshores el →→ producte escalar és negatiu: a v < 0. En el moviment uniforme, el vector velocitat és constant; com que la direcció de la velocitat no varia, la trajectòria és recta. La velocitat mitjana i la instantània són iguals: → →

v

→

r

r

el

L’equació del moviment amb acceleració constant és:

r

D’aquí es dedueix l’equació del moviment unifor→ → → me: r = r 0 + v (t – t0).

→

r

→

→

v

a

El moviment amb acceleració constant és rectilini si la velocitat inicial és nul·la o té la direcció de l’acceleració; és parabòlic quan la velocitat inicial no té la mateixa direcció que l’acceleració. El tir parabòlic és el moviment amb acceleració constant en el qual l’acceleració és la de la gravetat. En el SI els angles s’expressen en radiants. Un radiant (rad) és un angle que, en tota circumferència amb centre al seu vèr tex, abraça un arc de longitud igual al radi. Entre un angle central, ϕ, i l’arc que comprèn, s, s’estableix la relació s = ϕ r. La velocitat angular, ω, és l’angle que descriu el mòbil per unitat de temps; la seva unitat en el SI és el radiant per segon (rad/s), que es defineix com la velocitat angular d’un mòbil que gira un radiant cada segon. En el moviment circular, la velocitat, v, definida com l’arc recorregut per unitat de temps, s’anomena velocitat lineal; compleix la relació: v = ω r. El moviment circular uniforme és el que té velocitat angular i lineal constants. Es compleix: , que equival a ϕ = ϕ0 + ω Δt. L’acceleració centrípeta en el moviment circular uniforme té sentit cap al centre de la trajectòria i té com a valor: →

a

En el moviment amb acceleració constant les acceleracions mitjana i instantània són iguals: →

a

66


→

v

Contingut bàsic de la unitat en format hipermèdia, en el CD. 18/4/08 16:43:34

Cinemàtica

|2

A C T I V I TAT S Desplaçament i velocitat mitjana 1

5

En aquesta taula s’han registrat les posicions d’un mòbil sobre la seva trajectòria en diversos instants:

Un ciclista puja un por t de muntanya amb una velocitat mitjana de 16 km/h. En el descens recorre exactament la mateixa distància que en la pujada, però amb una velocitat mitjana de 48 km/h. Calcula’n la velocitat mitjana en el recorregut total.

Temps t/s

Posició s/m

0

–5

2

3

5

9

8

12

Temps t/s

Posició s/m

12

7

0

–8

3

2,8

5

10

9

24,4

10

28

Moviment uniforme (amb un sol mòbil) 6

De l’estudi d’un moviment s’han extret les dades següents:

Calcula el desplaçament que fa i la velocitat mitjana en els inter vals de temps següents: a) De 0 s a 2 s. e) De 5 s a 8 s. b) De 0 s a 5 s. f) De 8 s a 12 s. c) De 0 s a 12 s. g) De 2 s a 8 s. d) De 2 s a 5 s. h) De 5 s a 12 s. 2

3

4

La posició d’un mòbil en funció del temps és: s = 2t2 + 5t – 9. Calcula’n el desplaçament i la velocitat mitjana en els intervals de temps següents: a) De 0 s a 1 s. c) De 2 s a 5 s. b) De 0 s a 4 s. d) De 3 s a 8 s.

Es pot tractar d’un moviment uniforme? 7

Una casa té 8 pisos de 4 m d’alçària cada un. Quan engega l’ascensor a la planta baixa, posem en mar xa un cronòmetre i obser vem que, quan arriba al 8è pis, marca 48 s. Immediatament, l’ascensor baixa i, quan arriba una altra vegada a la planta baixa, el cronòmetre assenyala 80 s. Calcula la velocitat mitjana de l’ascensor en la pujada, en la baixada i en el recorregut complet. En una cursa ciclista es passa per un port de muntanya de 18 km de pujada i 24 km de baixada. Els ciclistes triguen 40 minuts a pujar-lo i 20 minuts a baixar el por t. Calcula la velocitat mitjana dels ciclistes: a) En la pujada. b) En la baixada. c) En tot el recorregut.

Quines són l’abscissa inicial, l’instant inicial i la velocitat del moviment la gràfica posiciótemps del qual s’ha representat en aquesta figura? Escriu-ne l’equació.

30 20 10

0

1

2

3

4

5

8

Representa les gràfiques velocitat-temps i posició-temps per a un mòbil que es desplaça amb una velocitat de 27 km/h, c1u2act finconstant 6 des de l’instant t = 0 fins a l’instant t = 80 s.

9

Quin és el desplaçament total realitzat en dues hores pel mòbil al qual correspon la gràfica v-t de la figura?

67


18/4/08 16:43:35

2 DIFICULTAT:

| Cinemàtica SENZILLA

MITJANA

ALTA

SENSE CLASSIFICAR

Representa la gràfica s–t corresponent, suposant que per a t = 0, s = 0.

Moviment uniformement variat (un mòbil) 13

Un tren, partint del repòs, tarda 40 s a augmentar la velocitat des de 10 m/s fins a 25 m/s, amb moviment uniformement accelerat. Calcula’n l’acceleració i l’espai que recorre en els 40 s.

14

Quina velocitat en km/h aconseguiria una nau espacial al cap de 4 minuts i 10 segons de ser llançada si, durant aquest temps, es mantingués amb una acceleració constant de 0,032 km/s2? Quina distància recorrerà en aquest temps?

15

El conductor d’un automòbil que circula a una velocitat v0 frena i atura el vehicle en un espai de 40 m i en un temps de 4 s. Suposant que el moviment hagi estat uniformement retardat, calcula la velocitat inicial v0 i l’acceleració de la frenada.

16

Escriu l’expressió de la posició en funció del temps d’un mòbil que es desplaça sobre una recta amb una acceleració constant de –2 m/s 2, sabent que, en l’instant t = 3 s, es troba en el punt s = 20 m i es mou amb una velocitat de 12 m/s. Determina’n la posició i la velocitat en l’instant t = 10 s.

17

A la figura apareix la gràfica velocitat-temps d’un mòbil. Explica les característiques del moviment rectilini que correspongui a cada un dels trams d’aquesta gràfica. Calcula el desplaçament total fet pel mòbil des de l’instant t = 0 fins a l’instant t = 34 s.

�1

v/km h 100

0

1

2

t/h

–100

Moviment uniforme (amb dos mòbils) 10

11

12

Sobre una recta es desplacen dos mòbils amb velocitats constants. El primer parteix del punt d’abscissa 20 m i es mou a 5 m/s. El segon par teix de l’origen de coordenades 3 s més tard, i es desplaça 12 m/s en persecució del primer. Escriu les equacions dels dos moviments i calcula en quin c1u2actfin17 instant el segon mòbil atraparà el primer. Dues estacions ferroviàries, M i N, disten entre si 48 km. A les 8 h sur t de M cap a N un tren, que viatja amb una velocitat de 45 km/h. A un quar t de nou, sur t un altre tren de N i es dirigeix cap a M a 60 km/h. En quin punt s’encreuaran? Resol el problema numèricament i gràficament, prenent M com a origen de coordenades i sentit positiu de M a N. Un automòbil circula a 90 km/h en passar per la posició d’un control de policia. Dos segons després, per davant del control, passa un cotxe de policia, a 126 km/h, en persecució del primer. Si tots dos mantenen la seva velocitat, calcula quan atraparà el cotxe de policia el primer automòbil i a quina distància del punt de control ho aconseguirà. Utilitza la representació gràfica de posiciótemps, de cada mòbil, per resoldre el problema.

v/m s

�1

20 10

0

18

10

20

30

t/s

Llancem un bloc cap amunt, al llarg d’un pla inclinat, a una velocitat inicial de 18 m/s. El c1u2actfin16 bloc s’atura en 2 s i, a continuació, baixa pel

68


18/4/08 16:43:36

Cinemàtica | 2

pla inclinat i triga 3 s a arribar al punt inicial. Calcula: a) La distància recorreguda sobre el pla i l’acceleració en l’ascens. b) L’acceleració en el descens i la velocitat d’arribada al punt de par tida. 19

Un mòbil puntual, que es desplaça amb moviment rectilini, accelera a 2 m/s2 durant 15 s par tint del repòs; a continuació manté la velocitat adquirida durant els 10 s següents i finalment frena fins que s’atura en uns altres 10 s. a) Representa el gràfic velocitat-temps d’aquest moviment. b) Calcula, a par tir del gràfic velocitattemps, el desplaçament total fet pel mòbil.

20

L’acceleració de la gravetat de la super fície de la Lluna és d’1,6 m/s2. Amb quina velocitat en km/h arribaria al terra lunar un cos que caigués sense velocitat inicial des de 5 m d’altura?

21

Es llança un cos ver ticalment cap amunt amb una velocitat inicial de 45 km/h. Quina altura aconseguirà? Quant de temps trigarà a passar un altre cop pel punt de par tida? (Dada: g = 9,8 m/s2.)

22

24

Un tren ràpid circula a 108 km/h darrere d’un tren de mercaderies que circula a 54 km/h per la mateixa via i en el mateix sentit. Els maquinistes s’adonen de la situació quan els trens es troben a una distància de 120 m. El ràpid aplica una acceleració de –0,6 m/s2 per frenar, mentre que el de mercaderies accelera 0,4 m/s2. Calcula el temps que transcorre a partir del moment que els trens apliquen les seves acceleracions fins que els dos adquireixen la mateixa velocitat. Explica de manera raonada si els trens arriben a xocar.

25

Les dues rectes representades a la figura corresponen a les gràfiques velocitat-temps de dos mòbils A i B que es desplacen sobre una mateixa trajectòria rectilínia. En l’instant t = 0, el mòbil A es troba en el punt s = 25 m i el mòbil B, en el punt s = 40 m. Expressa la posició de cada un dels mòbils en funció del temps i calcula en quin instant xoquen. v/m s

�1

5

Un coet de focs artificials puja, verticalment, amb una acceleració mitjana de 8 m/s2, durant un temps de 5 segons. A continuació, es mou només sotmès a l’acció de la gravetat. Suposant que la resistència de l’aire és negligible, calcula: a) L’altura màxima que assoleix. b) El temps total de vol del coet.

0

mòbil A

5

10 t/s

mòbil B

Moviment uniformement variat (dos mòbils) 23

Un home corre a la màxima velocitat que pot assolir, a 6 m/s, per atrapar un tren que està a punt de sortir. Quan es troba a l’andana a 32 m de l’escaleta de l’últim vagó, el tren es posa en marxa amb una acceleració constant de 0,5 m/s2. Aconseguirà atrapar el tren? Dibuixa les gràfiques posició-temps i velocitattemps de l’home i del tren.

26

Els dos mòbils les gràfiques velocitat-temps dels quals estan representades a la figura es desplacen sobre la mateixa recta. Sabent que, en l’instant t = 0, el mòbil A es troba en la posició s = –10 m i el B, en la posició s = 40 m, traça les gràfiques posició-temps dels dos mòbils. Dedueix de les gràfiques en quina posició i en quin instant xocaran.

c1u2actfin27 69


18/4/08 16:43:37

2

| Cinemàtica

v/m s

Vector velocitat

�1

31

10

mòbil A 0

10

20 t/s

mòbil B 27

28

29

30

De dos punts A i B, que disten entre si 200 m, surten simultàniament dos mòbils. El que surt de A té una velocitat inicial de 5 m/s i es dirigeix cap a B amb una acceleració constant de 1 m/s2. El que surt de B va cap a A amb un moviment uniforme de rapidesa 12 m/s. En quin punt s’encreuaran? Resol el problema numèricament i gràficament.

32

El sostre d’un ascensor, que baixa amb veloc1u2actfin28 citat constant de 2,5 m/s, passa per un punt O. Des d’aquest mateix punt, 6 s més tard, es deixa caure un objecte sense velocitat inicial. Suposant nul·la la resistència de l’aire, determina a quina distància de O xocarà l’objecte amb el sostre de l’ascensor. (Dada: g = 10 m/s2.) Un punt A es troba a la mateixa ver tical que un altre punt B, a 60 m d’altura sobre aquest. Des de A es deixa caure un cos sense velocitat inicial. Dos segons més tard es llança un altre cos ver ticalment cap amunt, des de B, amb una velocitat inicial de 20 m/s. (Dada: g = 10 m/s2.) En quin instant el primer cos estarà a triple altura que el segon? Dibuixa les gràfiques posició-temps i velocitattemps de tots dos mòbils. Des de dalt d’una torre es deixa caure una pedra sense velocitat inicial. Dos segons més tard se’n llança una altra des de la mateixa posició amb una velocitat inicial de 25 m/s, dirigida ver ticalment cap avall. Calcula l’altura de la torre sabent que totes dues arribaran simultàniament i que la resistència de l’aire és negligible. Quina serà la velocitat que aconseguirà cada una d’elles? (Dada: g = 10 m/s2.)

Un mòbil puntual es troba en la posició → → r 0 = 5 i + 2j (m). En un temps de 2 s fa un → → → desplaçament Δr = –i + 3j (m); en els → → → 3 s següents, es desplaça Δr = –2i –2j (m); → → → i en els 5 s següents, Δr = 4i –5j (m). a) Dibuixa el vector de posició inicial del mòbil i els seus desplaçaments successius. b) Calcula la posició final del mòbil i la seva velocitat mitjana en el recorregut total efectuat.

→

Un mòbil recorre la circumferència, de radi r = 12 m representada a la figura. Par teix de O i passa successivament per A, B i C, fins que torna a O, recorrent cada quar t de circumferència en 2 s. Calcula la velocitat mitjana del mòbil en els inter vals següents: → a) 0 s – 2 s. y b) 0 s – 4 s. A c) 0 s – 8 s. d) 2 s – 6 s. e) 4 s – 6 s. B O →

x

C

33

34

35

El vector de posició d’un mòbil és → → r = 2ti + (t2 – 6)j (m), on t és el temps en segons. Calcula: a) El desplaçament entre els instants t = 0 i t = 4s. c1u2actfin32 b) La velocitat mitjana entre els dos instants.

→

El vector de posició d’un mòbil és → → r = t3i + (2t2 – 5)j (m), on t és el temps en segons. Calcula’n la velocitat mitjana entre els instants t = 0 i t = 4 s.

→

Un mòbil puntual sur t, en l’instant t = 0, del vèr tex A d’un quadrat ABCD i en recorre tot el perímetre en 20 s amb velocitat lineal constant. Les coordenades en m dels vèr texs del quadrat són: A (0, 0), B (20, 0), C (20, 20) i D (0, 20). Escriu-ne el vector velocitat en els instants t = 2 s, t = 5 s, t = 12 s i t = 19 s.

70


18/4/08 16:43:38

Cinemàtica | 2

36

El vector velocitat instantània d’un mòbil és → → → v = (t2 + 2t – 8)i + (3t2 – 9t + 6)j (m/s), on t és el temps en segons. Calcula’n el vector velocitat instantània per a t = 0, t = 1 s i t = 5 s. Determina l’instant en què la seva velocitat és nul·la.

c) Determina l’equació cartesiana de la seva trajectòria. 43

Vector acceleració 37

38

Escriu el vector velocitat instantània del mòbil de l’activitat 32 en els punts 0, A, B i C. Calcula l’acceleració mitjana del mòbil en els inter vals de temps següents: a) 0 s – 2 s. d) 2 s – 6 s. b) 0 s – 4 s. e) 4 s – 6 s. c) 0 s – 8 s.

Adoptant els eixos de coordenades de la figura, la velocitat d’un vaixell A en nusos → → → (milles/hora) és v A = 16i + 12j . El radar de A detecta un altre vaixell B situat a 5 milles al nord i a 1 milla a l’est, que navega amb → → → una velocitat de v B = 12i – 8j (nusos). Expressa els vectors de posició de tots dos vaixells en funció del temps i determina si xocaran en cas que mantinguin els rumbs i les velocitats respectives. N

y

B

O

E S

→

El vector velocitat d’un mòbil és v = (t2 + 3t – → → 6)i – (t2 – 3t – 1)j (m/s), on t és el temps en segons. Calcula’n l’acceleració mitjana entre els instants t = 0 i t = 2 s.

A

x

Moviment uniforme en dues dimensions 39

Un mòbil es desplaça amb velocitat constant → → → v = 5i – 3j (m/s). Sabent que en l’instant t = 2 s, passa pel punt de coordenades en m (4, 7), expressa el vector posició del mòbil en funció del temps i calcula’n la posició en l’instant t = 5 s.

40

Les posicions de dos mòbils A i B en funció del temps en segons són: → → → r A = (5t - 7)i + (t + 8)j (m) →

→

→

r B = (3t + 9)i + (3t – 10)j (m). Els mòbils xocaran?

41

42

44

Moviment amb acceleració constant 45

Un mòbil es desplaça amb moviment uniforme. El seu vector de posició en funció del temps en → → → segons és r = (2t + 3)i + (t – 5)j (m). Determina la velocitat del mòbil i l’equació de la recta que recorre. La posició d’un mòbil en l’instant t = 3 s és → → r (3) = 2i + 4j (m) i, en l’instant t = 7 s, → → → r (7) = 10i – 8j (m). a) Calcula’n el vector velocitat si el moviment és uniforme. b) Determina la posició del mòbil en l’instant t = 10 s.

Un mòbil puntual es troba en la posició: → → r 01 = 5 000i + 300j (m) i es desplaça amb → → una velocitat v 1 = –72i (m/s). Un altre mòbil, en el mateix instant, es troba en la posició → → r 02 = 3 000j (m) i té una velocitat → → → v 2 = 28i – 54j . Escriu els vectors de posició dels dos mòbils en funció del temps. Determina en quin instant i en quina posició xocaran.

→

→

46

Un cos par teix de l’origen de coordenades, en l’instant t = 0, amb una velocitat inicial → → → v 0 = 30i + 80j (m/s). Expressa’n els vectors posició i velocitat en funció del temps si es mou amb una acceleració constant → → → a = 2i – 8j (m/s2). Calcula’n la posició en l’instant en què la seva → → velocitat és v = 50i (m/s). Un mòbil par teix del repòs en la posició → r 0 = 5j (m) i es mou amb acceleració cons→ → → tant a = 6i + 10j (m/s2). a) Expressa’n el vector posició en funció del temps.

→

71


18/4/08 16:43:39

2

| Cinemàtica

b) Escriu l’equació car tesiana de la seva trajectòria. Quina classe de trajectòria s’obté? 47

Des de la terrassa d’un edifici de 30 m d’alçària es llança horitzontalment una pedra amb una velocitat inicial de 40 m/s. (Dada: g = 10 m/s2.) a) Expressa’n els vectors posició i velocitat en funció del temps. b) A quina distància de l’edifici xocarà amb el terra? c) Determina’n la velocitat en aquest instant.

48

Un home és a la riba d’un riu de 60 m d’amplada. Calcula si podrà llançar una pedra que arribi fins a l’altra riba, sabent que és capaç de comunicar-li una velocitat inicial de 25 m/s i que l’abast màxim s’aconsegueix quan la direcció del llançament forma un angle de 45° amb l’horitzontal.

49

50

51

Es llança un cos obliquament cap avall des d’una altura de 20 m sobre el terra, amb una velocitat inicial de 10 m/s, que forma un angle ϕ amb l’horitzontal tal que sin ϕ = 0,6 i cos ϕ = 0,8. (Dada: g = 10 m/s2.) a) Expressa’n el vector posició en funció del temps. b) Determina l’equació cartesiana de la seva trajectòria i indica de quin tipus de línia es tracta. Es llança un cos obliquament cap amunt amb una velocitat inicial de 32 m/s que forma un angle de 30° amb l’horitzontal. a) A quina distància del punt de par tida caurà si el terra és horitzontal? b) Quina serà la seva velocitat 2 s després de llançar-lo? c) Quina serà l’altura màxima que assolirà. Un avió que vola a 500 m d’altura i a 900 km/h deixa caure un objecte pesant en l’instant en què sobrevola un punt P d’una plana. Si g = 10 m/s2 i la resistència de l’aire és negligible: a) A quina distància de P xocarà l’objecte contra el terra? b) Calcula’n el vector velocitat en arribar al terra.

52

Un noi intenta fer passar una pedra per damunt d’una tanca situada a 10 m de distància llançant-la amb una velocitat inicial de 20 m/s en una direcció que forma un angle de 45° amb l’horitzontal. Si g = 10 m/s2 i la resistència de l’aire és negligible: a) Calcula l’altura màxima a què arribarà la pedra sobre el punt de llançament. b) Determina si aconseguirà fer passar la pedra per damunt de la tanca tenint en compte que té una alçària de 8 m sobre el punt de llançament.

53

Des d’una altura de 80 m es llança un cos horitzontalment. Quina velocitat inicial li hem de comunicar perquè caigui a terra a una distància de 50 m, mesurada horitzontalment?

Moviment circular uniforme 54

Una roda de 80 cm de radi fa dues voltes i mitja amb moviment circular uniforme. Expressa en radiants l’angle que descriu en el gir i calcula la longitud de l’arc descrit per un punt de la perifèria de la roda.

55

Un ventilador gira amb una velocitat angular constant de 20 revolucions per segon. Calcula: a) La velocitat lineal de l’extrem d’una de les aspes, que descriu una circumferència de 15 cm de radi. b) La longitud de l’arc recorregut per aquest punt en 4 h de funcionament del ventilador.

56

Dos punts A i B d’una plataforma giratòria es troben, respectivament, a 2 m i 3,5 m de l’eix. Si la velocitat lineal de A és de 6 m/s, quina serà la de B? Calcula les velocitats angulars i les acceleracions centrípetes dels dos punts.

57

Un cavall A es troba situat a 2 m de l’eix de rotació d’uns cavallets i un altre cavall a 2,8 m. Quan la plataforma dels cavallets gira, el cavall A es mou amb una velocitat d’1,5 m/s. a) Amb quina velocitat i amb quina acceleració centrípeta es mourà el segon cavall? b) Quantes voltes faran els cavallets en 3 minuts?

72


18/4/08 16:43:39

Cinemàtica | 2

58

Expressa la velocitat angular de la Terra en rad/h i calcula la velocitat lineal d’un punt de l’equador en km/h. (Dada: radi de la Terra: 6 370 km.)

Qüestions relatives a tots els apartats 59

Raona si poden ser negatius:

64

Un automòbil incrementa la seva velocitat des de 0 m/s fins a 25 m/s en 10 s. Expressa’n l’acceleració mitjana en km/h min (km/h cada minut).

65

Quina acceleració és més gran, 5 km/h s o 3 000 m/min2?

66

Raona quin és el signe de l’acceleració d’un mòbil quan: a) Es desplaça en sentit positiu amb moviment accelerat. b) Es desplaça en sentit negatiu amb moviment accelerat. c) Es desplaça en sentit positiu amb moviment retardat. d) Es desplaça en sentit negatiu amb moviment retardat.

67

La gràfica velocitat-temps d’un moviment d’un mòbil al llarg d’un temps de 4 s és la següent:

a) Un desplaçament. b) Un temps. c) Un inter val de temps. 60

Posa un exemple de moviment: a) En el qual un transatlàntic pugui ser considerat un mòbil puntual. b) En el qual un automòbil petit no pugui ser considerat un mòbil puntual. Raona les respostes.

61

Dos mòbils es desplacen sobre una mateixa recta amb moviment uniforme en sentits oposats. Explica si per a tots dos són del mateix signe o de signe contrari: a) El desplaçament. b) El temps transcorregut. c) La velocitat. d) La rapidesa.

62

Un mòbil va de A a B amb velocitat constant, està aturat durant un temps a B i torna a A de nou amb velocitat constant. Quina podria ser la gràfica s-t (posició-temps) del seu moviment? Raona en quins inter vals de temps el moviment és accelerat i en quins inter vals és retardat.

63

Un mòbil va de A a B amb velocitat constant, està aturat un cer t temps a B i torna novament a A amb velocitat constant. Quina podria ser la gràfica v-t (velocitat-temps) del seu moviment?

68

Un cos s’ha deixat caure sense velocitat inicial des d’una altura petita, h, i arriba al terra amb una velocitat v. Dedueix des de quina altura cal deixar-lo caure perquè arribi al terra amb una velocitat 2v, suposant que la resistència de l’aire és nul·la.

69

En l’instant t = 3 s, un mòbil es troba en el punt A (–2, 1) i en l’instant t = 7 s, en el punt B (4, 9). Les coordenades dels dos punts estan expressades en metres.

73


18/4/08 16:43:40

2

| Cinemàtica

Calcula la velocitat mitjana del mòbil entre aquests instants. 70

En aquestes figures s’han representat els vectors velocitat i acceleració de quatre mòbils que es mouen amb acceleració constant. Raona quin tipus de trajectòria seguiran i si el seu moviment és accelerat o retardat en l’angle representat a cada figura.

76

Per què en el moviment circular uniforme hi ha acceleració? Si un mòbil recorre una circumferència de radi 4 m, quina ha de ser la seva velocitat perquè la seva acceleració tingui el mateix valor que la de la gravetat en la super fície terrestre?

77

Un mòbil, que es desplaça amb moviment circular uniforme, té una acceleració centrípeta de 2,4 m/s2. Dedueix quin valor tindria aquesta acceleració si: a) Augmentés al doble la velocitat lineal del mòbil. b) Recorregués una trajectòria de radi triple.

→

v

→

v

→

a a

71

72

73

74

75

→

→

a

v

b

→

→

a c

→

v

a

d

Un mòbil, en l’instant t = 5 s, es troba en el punt que té com a coordenades en m (3,7) i es mou amb una velocitat constant → → → v = 2i – 3j (m/s). Expressa’n el vector posició en funció del temps. Considerant que l’acceleració de la gravetat → és g = –10j (m/s2) escriu, en funció del temps, el vector velocitat i el vector posició d’un mòbil que és llançat amb una velocitat → → → inicial v 0 = 15i + 20j (m/s) des del punt que té com a coordenades en m (0, 8). Llancem una pedra obliquament cap amunt → → → amb una velocitat inicial v 0 = 30i + 20j (m/s). Suposant que només actua l’acceleració de → la gravetat g = –10j (m/s2), raona quins valors tindran en el punt més alt de la trajectòria la velocitat del mòbil i la seva acceleració. Indica quines de les magnituds següents tenen el mateix valor a tots els punts d’una roda que està girant al voltant d’un eix fix perpendicular a la roda pel centre: a) El radi de la trajectòria. b) L’arc recorregut. c) L’angle girat. d) El temps transcorregut. e) La velocitat lineal. f) La velocitat angular. Un mòbil recorre una circumferència de 5 m de radi amb una velocitat angular constant de 40 rad/s. Expressa’n la velocitat angular en rev/min i calcula’n la velocitat lineal.

Investiga 78

Investiga sobre les velocitats màximes a què arriben diversos tipus de trens d’alta velocitat que circulen al món.

79

La màxima acceleració que pot resistir el cos humà depèn del temps que hi estigui sotmès. Investiga sobre aquesta qüestió i en quines situacions es dóna.

80

Busca una aplicació informàtica que et permeti simular el tir parabòlic. L’objectiu és esbrinar l’abast que s’aconsegueix en el llançament, a una velocitat determinada, per exemple de 40 m/s, segons quin sigui l’angle d’elevació del tir. Elabora una taula amb els angles d’elevació de cada llançament des de 15º fins a 75º en passos de 5º. Per cadascun d’aquests angles, fes córrer la simulació i anota els valors de l’abast i el temps total transcorregut. Un cop completada la taula respon les qüestions següents: a) L’abast assolit augmenta amb l’angle d’elevació?, o potser disminueix? b) Un abast determinat s’aconsegueix amb un únic angle d’elevació? c) Esbrina la relació entre el temps total transcorregut i l’angle d’elevació del tir.

A www.ecasals.net trobaràs una llista de pàgines web que t’ajudaran a iniciar la investigació i a efectuar la simulació proposada.

74


18/4/08 16:43:41

3 | Dinàmica

La ciència no es limita a la mera descripció i formalització matemàtica; a més, proposa teories per desvetllar les causes dels fenòmens. Un objectiu d’aquesta unitat és fer un pas més en el coneixement del mètode científic, aprenent a conèixer una teoria i a utilitzar-la, aplicant-la a la realitat física. La teoria que exposarem aquí serà l’enunciada en les lleis de Newton, que constitueixen la base de l’anomenada mecànica clàssica. El coneixement de les bases teòriques de la mecànica clàssica és molt senzill, ja que l’enunciat de les lleis de Newton és breu i molt clar. Però l’aplicació pràctica no sempre resulta tan fàcil, ja que demana una comprensió total i un ús rigorós de les lleis. La mecànica clàssica és essencial per comprendre les forces gravitatòries, predominants en els fenòmens a gran escala de l’univers, com són el moviment dels astres, la formació dels estels i de les galàxies, etc. És també una base imprescindible per entendre la teoria de la relativitat d’Einstein. A més, té tanta importància en la física que conèixer-la ja ha de ser un objectiu primordial d’aquesta unitat.


18/4/08 16:56:35

3

| Dinàmica

C O N E I X E M E N T S P R E V I S D E M AT E M À T I Q U E S Proporcionalitat directa i inversa y

Dues magnituds són directament proporcionals quan el seu quocient és constant.

y�kx

Si simbolitzem per mitjà de x i y els valors d’aquestes magnituds, es compleix que: y —= k x

� x

La constant k rep el nom de constant de proporcionalitat directa. La gràfica de la proporcionalitat directa és una recta que passa per l’origen de coordenades.

Mates a/nuevo 01-

El pendent d’aquesta recta és la constant de proporcionalitat k = tg α.

Dues magnituds són inversament proporcionals quan el seu producte és constant.

y

Si simbolitzem per mitjà de x i y els valors d’aquestes magnituds, es compleix que: k y�� x

xy=k La gràfica de la proporcionalitat inversa és una branca d’hipèrbola com la representada en la figura, si les dues variables són positives.

x

Projecció d’un segment sobre una recta Mates b nueva 01 →

En la figura s’ha dibuixat (de color blau) la projecció d’un segment a sobre → → una recta r , per a tres posicions diferents del segment a .

a

�

a

� �

�

a

�

�

Basant-nos en les definicions de sinus i cosinus d’un angle, deduïm fàcilment que en els tres casos es compleix que: proj a = a cos α = a sin β

76


18/4/08 16:56:35

Dinàmica | 3

1 | Introducció Dedicarem aquesta unitat a l’estudi de la dinàmica, que estableix una teoria sobre les causes del moviment i els seus canvis. Tant la dinàmica com la cinemàtica formen par t de la mecànica, que, al seu torn, és una par t de la física. La teoria que exposarem aquí correspon a l’anomenada mecànica clàssica o newtoniana, que es basa en els principis coneguts com a lleis de Newton. En aquesta teoria, l’espai i el temps es consideren magnituds absolutes (no relatives), és a dir, independents del sistema de referència en què se situa l’obser vador. Una teoria posterior de la qual no ens ocuparem aquí, la teoria de la relativitat d’Einstein, no accepta el caràcter absolut de l’espai i el temps. Aquesta teoria és la base de la mecànica relativista, que s’aplica únicament a fenòmens físics en els quals inter venen enormes velocitats (comparables a la de la llum). D’altra banda, hi ha fenòmens que ni la mecànica clàssica ni la mecànica relativista no poden explicar, per la qual cosa ha calgut establir la mecànica quàntica. Tot i això, la mecànica clàssica continua vigent perquè és més senzilla i també perquè permet explicar la majoria dels moviments que obser vem al nostre voltant. Les altres mecàniques, més complexes, només s’apliquen quan la clàssica resulta inoperant, com és el cas de les velocitats properes a la de la llum o dels fenòmens relatius al moviment de les par tícules subatòmiques. La mecànica clàssica no es contradiu amb aquestes altres teories; simplement n’és un cas par ticular. Les teories científiques no són inamovibles. En moltes ocasions ha calgut per feccionar-les o substituir-les per unes altres per tal de poder explicar les causes de nous fenòmens obser vats pels científics. Com a exemple, començarem fent una referència històrica breu a les teories sobre el moviment. La pròpia experiència ens ensenya alguns aspectes bàsics sobre les forces i els moviments. El filòsof i pensador Aristòtil (384 aC) va arribar a la conclusió que per mantenir un cos en moviment rectilini i uniforme calia impulsar-lo amb una força constant. Com més gran fos la força aplicada, tant més gran seria la celeritat del moviment. En principi, aquesta explicació pot resultar satisfactòria, ja que la nostra experiència ens ensenya que, efectivament, per moure un cos sobre una superfície horitzontal cal exercir una força. Ara bé, quan analitzem la qüestió amb més deteniment, obser vem que aquestes idees no són aplicables a tots els mòbils. És el cas, per exemple, del moviment de caiguda dels cossos. Quan un cos cau, es desplaça, impulsat per una força constant: el seu pes. Segons la teoria citada, el seu moviment hauria de ser uniforme. Ben al contrari, sabem que els cossos cauen amb un moviment accelerat. La teoria aristotèlica tampoc no és aplicable al moviment dels astres, que aparentment es desplacen de manera indefinida a l’espai sense que els impulsi cap força. Així, com que ni el moviment dels astres ni el de la caiguda dels cossos no es podien explicar com el moviment d’un cos sobre un pla horitzontal, els seguidors d’Aristòtil no van tenir més opció que admetre que cada un d’aquests fenòmens obeïa lleis diferents. 77


18/4/08 16:56:36

3

| Dinàmica El moviment de caiguda s’explicava per la tendència natural d’un cos a situar-se en el lloc de la matèria a la qual per tany. La matèria estaria constituïda per quatre elements: terra, aigua, aire i foc, ordenats del més pesant al més lleuger. La terra ocuparia la capa més baixa i, per damunt se situarien l’aigua i després l’aire, mentre que a la capa més alta hi hauria el foc. En una mateixa matèria, un cos pesant cauria amb més rapidesa que un de menys pesant. Segons Aristòtil, tots els cossos celestes es mourien amb un moviment circular continu al voltant de la Terra, situada al centre del cosmos. Els astres i els planetes girarien gràcies al moviment d’esferes cristal·lines, en contacte les unes amb les altres. El conjunt de totes les esferes celestes hauria estat animat inicialment per l’acció del «primer motor». El pensament d’Aristòtil sobre les forces i el moviment va exercir la seva influència durant gairebé vint segles, fins que el físic i astrònom italià Galileu Galilei va remarcar els errors de la teoria d’Aristòtil, tot aplicant el que més endavant s’anomenaria mètode científic, és a dir, una sèrie d’experiments que tenen com a objectiu comprovar les teories proposades. Així, per exemple, va demostrar que tots els cossos cauen amb la mateixa acceleració, independentment de la massa; i va arribar a la conclusió que el moviment d’un cos sobre el qual no actuen forces és rectilini i uniforme. En aquella època encara no s’havien desenvolupat algunes de les teories matemàtiques que simplifiquen i faciliten enormement l’estudi del moviment (càlcul diferencial i càlcul integral). És per això que els càlculs i les deduccions de Galileu acostumaven a basar-se en enginyoses construccions geomètriques que avui resulten innecessàriament laborioses.

1. Galileu Galilei (1564 – 1642).

Igualment, Galileu va utilitzar un telescopi construït per ell mateix per tal de dur a terme observacions astronòmiques. D’aquesta manera va descobrir els satèl·lits de Júpiter i va demostrar que la Terra no és el centre de tots els astres. Unes dècades més tard, el físic i matemàtic anglès Isaac Newton va escriure una obra clau per al desenvolupament de la ciència: Philosophiae naturalis principia mathematica (Principis matemàtics de la filosofia natural). Entre les apor tacions més valuoses d’aquest treball destaquen els principis del moviment, establerts a partir dels descobriments de Galileu, actualment coneguts com a lleis de Newton.

2. Isaac Newton (1643 – 1727).

En aquesta unitat ens ocuparem de la dinàmica de la par tícula, és a dir, del mòbil puntual i, en alguns casos, de sistemes formats per dues par tícules. Tot i això, les lleis que aquí estudiarem es poden aplicar també a qualsevol classe de cos rígid si el seu moviment és de → → v v translació. Això significa que → → → v v → v tots els seus punts se des→ v v placen amb la mateixa velocitat en mòdul, direcció i sentit. En aquest cas, el moviment del cos queda per fectament descrit pel d’una sola de les par tícules, ja que totes es mouen de la mateixa manera (Fig. 3). 3. Un cos té moviment de translació quan totes les seves partícules es mouen amb la mateixa velocitat.

78


18/4/08 16:56:37

Dinàmica | 3

2 | Principi d’inèrcia Es diu que una par tícula està en equilibri quan el seu moviment és rectilini i uniforme o que està en repòs, és a dir, quan el seu estat de repòs o moviment no s’altera. El principi d’inèrcia, també anomenat primera llei de Newton, estableix la condició perquè una par tícula es mantingui en equilibri. Principi d’inèrcia o primera llei de Newton Tot cos es manté en repòs o en moviment rectilini i uniforme mentre no hi actua cap força. Hem d’entendre que la condició que estableix el principi d’inèrcia es compleix: • Quan sobre el cos no hi actua cap força exterior, és a dir, cap força exercida per un altre cos.

4. La sonda espacial Voyager 2, que va iniciar el seu viatge l’any 1977, va arribar a les proximitats del planeta Urà el 1989 i ara s’allunya definitivament del sistema solar i es perdrà per l’espai.

• Quan actuen forces exteriors sobre el cos, però de manera que els seus efectes es contraresten i la seva resultant és nul·la. Obser va que, segons aquest principi, no cal cap força per mantenir un cos en moviment. En canvi sí que cal una força per accelerar-lo, és a dir, per modificar-ne la velocitat, ja sigui augmentant-la, disminuint-la o canviant-ne la direcció.

→

F

Així, les naus espacials, un cop s’han llançat, poden arribar a enormes distàncies del nostre planeta sense necessitat de ser impulsades per un motor al llarg del seu recorregut. Sempre que un cos es desplaça amb moviment rectilini i uniforme podem assegurar que la resultant de les forces que hi actuen és nul·la. Considerem, per exemple, les forces que actuen sobre la càrrega elevada per una grua; si suposem negligibles els fregaments, en són solament dues: el pes i la força cap amunt que exerceix el cable (Fig. 5). Quan la càrrega puja amb un moviment uniforme, els mòduls són iguals i totes dues forces es contraresten. Passa el mateix quan està aturada i quan baixa a una velocitat constant.

3 | Principi fonamental de la dinàmica Segons la primera llei de Newton, l’acceleració d’un cos sempre és deguda a les forces que actuen sobre aquest cos.

→

P

5. Quan la càrrega puja amb moviment uniforme, el seu pes i la força que exerceix el cable s’anul·len mútuament, perquè són iguals i de sentit contrari (si suposem nuls els fregaments).

La segona llei completa la primera, concretant la relació entre els valors de l’acceleració i els de les forces que l’originen. Principi fonamental de la dinàmica o segona llei de Newton L’acceleració d’un cos és directament proporcional a la resultant de les forces que actuen sobre aquest, i té la mateixa direcció i el mateix sentit. Podem expressar aquesta llei per mitjà de la fórmula: →

→

ΣF = m a

79


18/4/08 16:56:38

3

| Dinàmica →

ΣF representa la força resultant o força neta sobre el cos (suma vectorial de → totes les forces que actuen sobre el cos), a és l’acceleració amb la qual es mou el cos per l’acció d’aquestes forces i m és el coeficient de proporcionalitat entre la força resultant i l’acceleració del cos. El coeficient m s’anomena massa inert. Rep aquest nom perquè la massa iner t d’un cos és una mesura de la seva inèrcia o resistència a canviar de velocitat. Efectivament, segons la fórmula, com més gran és la massa més gran serà la força necessària per comunicar-li una acceleració determinada; és a dir, més costarà modificar-ne la velocitat. Al SI s’adopta com a unitat de massa el kilogram (kg). Un kilogram és la massa del kilogram-patró, que és un cilindre de platí que es conser va a l’Oficina Internacional de Pesos i Mesures, a Sèvres. La massa inert d’un cos és un concepte diferent del de la massa que es mesura amb la balança, anomenada massa gravitatòria o massa pesant. Però, adoptant el mateix kilogram-patró per definir les unitats de les dues masses, la massa inert i la massa gravitatòria dels cossos resulten sempre iguals. És per aquesta raó que no s’acostuma a distingir entre l’una i l’altra; simplement es parla de massa per fer referència a qualsevol de les dues. A l’hora d’aplicar el principi fonamental de la dinàmica, és essencial tenir en compte aquests fets: • Les tres magnituds que inter venen han d’expressar-se en unitats coherents, és a dir, del mateix sistema. Com que actualment sempre s’utilitza el SI, expressarem la força en N, la massa en kg i l’acceleració en m/s2. • Les lleis de Newton s’apliquen a un sistema (un cos o un conjunt de cossos), si té la mateixa velocitat en tots els punts, és a dir, té un moviment de translació. És essencial saber a quin sistema aplicarem la segona llei de Newton per saber quines són les forces que hem de considerar. • La força a la qual fa referència la fórmula fonamental de la dinàmica sempre és la força resultant o força neta sobre el sistema, és a dir, la suma vectorial de totes les forces que uns altres cossos hi exerceixen. El principi fonamental de la dinàmica permet definir la unitat de força a partir de les unitats de massa i d’acceleració prèviament establertes. La unitat de força del SI és el newton (N). Un newton és la força que cal aplicar a un cos de massa 1 kg perquè es mogui amb una acceleració d’ 1 m/s2. Convé comparar el newton amb una altra unitat de força que coneixem prou bé, el kilogram-força o kilopond (kp), ja que és la que fem ser vir en la vida quotidiana per expressar els pesos dels cossos (malgrat que no la usarem en física, perquè no per tany al SI). En el llenguatge habitual se sol parlar simplement de quilo. Diem, per exemple: «he comprat 2 quilos de pomes» o bé «la càrrega màxima que admet aquest ascensor és de 300 quilos». En els dos casos, ens estem referint als kilograms-força o kiloponds.

80


18/4/08 16:56:38

Dinàmica | 3

Un kilopond és el pes del kilogram-patró en un lloc de gravetat normal. La gravetat normal és una acceleració de la gravetat de 9,80665 m/s2. Com que en molts càlculs no cal utilitzar sis xifres, aquest valor de la gravetat se sol expressar amb dues o tres xifres significatives (9,8 m/s2 o 9,81 m/s2).

m � 1 kg

1 kp equival a 9,81 N, és a dir, que un newton és una mica més de la desena par t d’un kilopond. L’explicació és la següent: Quan en un lloc de gravetat normal es deixa caure lliurement un cos de massa 1 kg, la força que l’accelera és d’1 kp (el seu pes) i la seva acceleració és de 9,81 m/s2. →

→

Si apliquem a aquest cas el principi fonamental de la dinàmica, ΣF = m a , resulta:

→

p � 1 kp

→

g � 9,81 m/s2

6. Relació entre el kp i el N.

1 kp = 1 kg × 9,81 m/s2 = 9,81 N Del principi fonamental de la dinàmica es pot deduir fàcilment la relació entre el pes i la massa dels cossos. Efectivament, si un cos de massa m cau lliurement, l’única → força que actua sobre aquest cos és el seu pes, P . Com que → l’acceleració és la de la gravetat, g , si apliquem la segona llei de Newton s’obté: →

→

P=mg

Si en l’anterior igualtat s’expressa la massa, m, en kg i la → gravetat, g , en m/s2 és a dir, en unitats del SI, s’obté el pes P del cos en N.

7. a) El pes dels cossos és una força que es pot mesurar amb un dinamòmetre. b) La massa dels cossos es mesura amb una balança.

EXEMPLES 1.

El pes d’un astronauta equipat amb el vestit espacial és PL = 150 N a la superfície de la Lluna. Si sabem que l’acceleració de la gravetat a la Lluna és gL = 1,62 m/s2, calcula: a) La massa de l’astronauta. b) El seu pes a la Terra.

a) A la super fície de la Lluna es complirà: PL = m gL PL 150 N Si aïllem m: m = — = ————— = 92,6 kg gL 1,62 m/s2 b) A la super fície de la Terra: PT = m gT = 92,6 kg × 9,81 m/s2 = 907 N

81


18/4/08 16:56:39

3

2.

| Dinàmica

A un cos de massa m = 30 kg, que es troba en repòs, se li aplica una força vertical cap amunt de → F = 40 kp. Amb quina acceleració pujarà? →

→

Sobre aquest cos actuen dues forces: el seu pes P i la força ver tical cap amunt, F .

→

F

Expressem els valors de les dues forces en newtons. Calculem el pes del cos aplicant la relació entre la massa i el pes que acabem de veure: P = m g = 30 kg × 9,81 m/s2 = 294,3 N

m

Si tenim en compte que 1 kp equival a 9,81 N, calculem el valor de F en N. 9,81 N

F

1 kp

→

P

La força resultant sobre el cos és: F – P = 392,4 N – 294,3 N = 98,1 N. Apliquem a aquest cos el principi fonamental de la dinàmica: F – P = m a. Si aïllem l’acceleració s’obté: F–P 98,1 N a = ——— = ————– = 3,27 m/s2 m 30 kg

4 | Principi d’acció i reacció a -F

F

Per tal d’aplicar correctament a un cos la segona llei de Newton, cal determinar quines són les forces que actuen sobre aquest cos. El principi d’acció F -F i reacció, o tercera llei de Newton, és imprescindible per saber quines forces actuen sobre els cossos. Principi d’acció i reacció o tercera llei de Newton Sempre que un cos exerceix una força (acció) sobre un altre, el segon exerceix sobre el primer una altra força (reacció) de mòdul i direcció iguals als de la primera força però de sentit contrari.

b

F

-F

→

-F

8. a) L’acció F actua sobre la planxa i la → reacció –F , sobre la mà. No es contraresten perquè actuen sobre cossos diferents. → b) L’acció F actua sobre la mà dreta i la → reacció –F , sobre l’esquerra. Com que les dues mans pertanyen al mateix cos, podem dir que, en aquest cas, les dues forces es contraresten.

Tot i que aquest enunciat és molt clar, sovint es cometen errors a l’hora d’aplicar-lo. Per això farem alguns aclariments sobre la seva aplicació i proposarem alguns exemples. En primer lloc, l’enunciat inicial expressa que totes les forces són interaccions mútues entre dos cossos. És a dir, no hi pot haver una sola força, ja que sempre estarà acompanyada d’una altra. Una l’anomenarem acció i l’altra, reacció. L’acció i la reacció actuen sobre cossos diferents o sobre par ts diferents d’un mateix cos. Quan actuen sobre cossos diferents, no es poden contrarestar l’una amb l’altra (Fig. 8a). Només quan es tracta de forces d’interacció entre dues par ts d’un mateix cos rígid, es pot afirmar que l’acció i la reacció es contraresten entre si (Fig. 8b).

82


18/4/08 16:56:39

Dinàmica | 3

L’acció i la reacció no són causa i efecte, ni es produeix la primera abans que la segona. Les dos forces són simultànies i no pot existir l’una sense l’altra. Quan dos cossos interaccionen, és a dir, quan cada un exerceix una força sobre l’altre, el nom assignat a cada una de les forces és arbitrari; seria igualment correcte designar-les a la inversa. L’acció i la reacció són sempre dues forces del mateix tipus. Si l’acció és una força d’atracció gravitatòria, la reacció és també una atracció gravitatòria. Si l’acció és una repulsió electrostàtica, la reacció també ho és. De la mateixa manera, quan l’acció és una força per contacte, igualment ho és la reacció. A continuació proposem alguns exemples pràctics sobre l’aplicació de la tercera llei de Newton. a) Quan un noi salta del monopatí, exerceix una força sobre el monopatí, però, alhora, rep una força de reacció igual i de sentit contrari (Fig. 9a). Això queda clarament manifestat perquè el noi i el monopatí surten projectats en sentits oposats (Fig. 9b); com que les dues forces tenen igual magnitud, el monopatí, la massa del qual és molt inferior a la del noi, experimenta una acceleració molt més gran.

–F

–F –F

–F

–F

–F

F F

F →

→

9. a) Les forces F i –F són acció i reacció. b) A conseqüència d’aquestes forces, el noi i el monopatí, resulten impulsats en sentits contraris.

b) Els avions a reacció emeten raigs de gas a alta velocitat. Per això, els reactors han de fer una gran força cap enrere sobre els gasos expulsats. La reacció és una altra força, igual i de sentit contrari, que els gasos exerceixen sobre el reactor i que impulsa l’avió cap endavant (Fig. 10). c) Considerem un cos C en repòs sobre una super fície horitzontal, per exemple, sobre una taula (Fig. 11). Vegem quines són les forces que actuen sobre aquest cos i les seves accions o reaccions corresponents. → En primer lloc, actua el pes P del cos, que és la força amb què la Terra l’atreu i que podem suposar aplicada al centre de gravetat de C. La seva → reacció és la força –P amb què el cos C atreu la Terra; aquesta reacció no s’ha representat en la figura, ja que s’hauria de dibuixar aplicada al centre de la Terra.

F

F

F →

10. El reactor exerceix una gran força (–F ) sobre els gasos expel·lits, i la reacció → d’aquests gasos ( F ) l’impulsa cap endavant.

→

-– F→ F

→

P

→

D’altra banda, el cos C exerceix una força F contra la taula. A la figura s’ha dibuixat mitjançant un conjunt de petits vectors per indicar que és una força per contacte repar tida sobre tota la super fície de supor t. → → Aquesta força F actua sobre la taula i el seu mòdul és igual que el de P . → La reacció corresponent és la força –F que la taula exerceix cap amunt sobre el cos C.

11. El cos es manté en repòs sobre la → taula perquè el seu pes P és contrarestat → per la reacció – F de la mateixa taula. → Aquesta no és la reacció de P , sinó la → força F que el cos exerceix contra la taula.

83


18/4/08 16:56:40

3

| Dinàmica →

→

Per tant, les forces P i –F , tot i ser iguals i de sentit contrari, no són acció i reacció. Les dues actuen sobre el cos C i es contraresten mútuament; per això C es manté en repòs. d) Imaginem ara un automòbil que està posant-se en moviment amb una certa acceleració sobre un terreny horitzontal. És evident que, si l’automòbil està accelerant, hi ha d’haver una força que en provoqui l’acceleració. Quin és el cos que exerceix aquesta força sobre l’automòbil? La primera resposta que se’ns acut és el motor. Però cal tenir en compte que el motor forma par t de l’automòbil i, consegüentment, aquesta resposta suposa que el vehicle exerceix una força sobre ell mateix. En aquest cas la reacció, que actuaria sobre el motor, contrarestaria l’acció, ja que totes dues forces s’apliquen a un mateix cos.

-FR

FR →

12. La força de fregament F R, que exerceix el terra sobre les rodes de tracció del cotxe, és la reacció de la → força – F R que fan les rodes contra el terra quan el motor les fa girar.

F

-F

FR

13. La força que accelera el cotxe és → → → F R – F . La que accelera el remolc és F .

La força que exerceix el motor no provoca directament l’acceleració del cotxe, sinó que simplement fa girar les rodes (les anomenades rodes motrius o de tracció). Les rodes exerceixen sobre el terra una força de → → fregament –F R cap enrere. La reacció corresponent és una altra força F R, cap endavant, que exerceix el terra sobre aquestes rodes; aquesta és la força que provoca l’acceleració de l’automòbil. Així doncs, encara que FR F -F sembli paradoxal, la força motriu que accelera l’automòbil no l’exerceix el motor, sinó el terra (Fig. 12). Efectivament, hom sap que si s’aixeca lleugerament el cotxe fins a evitar el contacte de les rodes de tracció amb el terra, per molt que s’accioni l’accelerador, l’automòbil no es mourà; solament s’aconseguirà fer-ne girar les rodes. El mateix passa quan el terra llisca tant que pràcticament no hi ha força de fregament entre les rodes motrius i el terra. e) Amb un automòbil s’intenta arrossegar un remolc sobre un terreny horit→ zontal. Si l’automòbil exerceix una força F sobre el remolc, segons el → principi d’acció i reacció, el remolc exercirà una altra força –F , igual i de sentit contrari, sobre el cotxe. Si tots dos empenyen amb la mateixa força en sentits oposats, com és possible que l’automòbil arrossegui el remolc? La resposta a aquesta qüestió és que, sobre el remolc, únicament hi → actua la força F cap endavant (Fig. 13). Però sobre l’automòbil no actua → → únicament la reacció –F del remolc, sinó també la força F R que exerceix el terra sobre les rodes de tracció (com acabem de veure en l’exemple → → d). El mòdul de F R és més gran que el de F i la resultant de totes dues forces té sentit cap endavant. Així doncs, és lògic que el conjunt acceleri cap endavant, ja que, tant sobre el remolc com sobre l’automòbil, la força resultant té aquest sentit.

EXEMPLES 3.

Dues caixes de masses m1 = 30 kg i m2 = 20 kg es troben en repòs sobre un pla horitzontal sense fregament. S’empeny la primera caixa fins que entra en contacte amb la segona. A partir d’aquest moment, es continua empenyent horitzontalment amb una força constant de 75 N. a) Calcula l’acceleració amb què es mourà el conjunt format per les dues caixes. b) Calcula el valor de la força que exercirà cada una de les caixes sobre l’altra.

84


18/4/08 16:56:41

Dinàmica | 3

Vegem quines són les forces que actuen sobre la primera caixa:

m 2 = 20 kg

→

• El seu pes P 1. →

m 1 = 30 kg

→

• La força –P 1 que exerceix el terra. Es contraresta amb P 1 → (no és la reacció de P 1).

→

F1

→

• La força F 1 amb què s’empeny.

→

→

−P 2

−P1

Vegem ara quines són les forces que actuen sobre la segona caixa: → • El seu pes P 2. →

→

P2 →

→

→

• La força –F 2 que exerceix la segona caixa sobre la primera.

→

→

P1 −F 2 F 2

→

• La força –P 2 que exerceix el terra. Es contraresta amb P 2 (no és la reacció de P 2). →

→

→

• La força F 2 amb què la primera caixa empeny la segona. F 2 i –F 2 són acció i reacció. a) Apliquem la segona llei de Newton al sistema format per les caixes. Cal tenir en compte totes les → → → → → → forces que actuen sobre el conjunt, però F 2 s’anul·la amb –F 2, P 1 amb –P 1 i P 2 amb –P 2. Així, la → força resultant és només F 1. Com que la massa del sistema és m1 + m2, serà: F1 = (m1 + m2) a F1 75 N Aïllem a, resulta: a = —--——---– = —--------— = 1,5 m/s2. (m1 + m2) 50 kg b) Apliquem ara la segona llei de Newton a la segona caixa. La seva massa és m2 i la força resultant → sobre la caixa és F 2. Per tant, serà: F2 = m2 a = 20 kg × 1,5 m/s2 = 30 N La força que exerceix la segona caixa sobre la primera, per ser la reacció de l’anterior, és de sentit contrari i també de 30 N. 4.

Una locomotora de massa m1 = 40 000 kg arrossega dos vagons de masses m2 = m3= 30 000 kg. Si l’acceleració del tren és de 0,5 m/s2, calcula: a) La força que impulsa el tren exercida per les vies sobre les rodes de la locomotora. b) La força que fa cada enganxall. a

a) Per contestar la primera pregunta aplicarem el principi fonamental de la dinàmica al sistema format per la locomotora i els dos vagons (sistema a de la figura). Com que els seus pesos estan contrarestats per la reacció del terra, l’única força que cal considerar és la força F que exerceix la via sobre les rodes de la locomotora:

→

F

b →

T1

c →

T2

F = (m1 + m2 + m3) a = (40 000 + 30 000 + + 30 000) kg × 0,5 m/s2 = 50 000 N b) La força T1 que exerceix el primer enganxall, anomenada tensió de l’enganxall, es calcularà aplicant la segona llei de Newton al sistema constituït per dos vagons (sistema b de la figura). Sobre aquest sistema hi actua la força T1 que exerceix l’enganxall de la locomotora. No hem d’incloure-hi la força F, perquè està aplicada a la locomotora, que no forma part del sistema que ara estem considerant. Així, obtindrem: T1 = (m2 + m3) a = (30 000 + 30 000) kg × 0,5 m/s2 = 30 000 N

85


18/4/08 16:56:41

3

| Dinàmica

Aplicarem ara la segona llei de Newton al sistema constituït pel segon vagó solament (sistema c de la figura). Sobre aquest sistema hi actua la força T2, exercida pel segon enganxall: T2 = m3 a = 30 000 kg × 0,5 m/s2 = 15 000 N

A continuació veurem algun exemple d’aplicació de les lleis de Newton a cossos units per fils. En tots els casos suposarem que els fils són inextensibles (no s’allarguen en estirar-los) i que la seva massa és negligible.

→

T →

T

→

T

→

T a)

b)

a

b

14. Tensió d’un fil: a) Forces d’un fil sobre els cossos units a ell. b) Forces dels cossos sobre el fil.

La força que exerceix un fil sobre un cos unit a ell s’anomena tensió del fil (Fig. 14a). Aquesta força sempre té sentit del cos cap al fil, ja que el fil no pot empènyer cossos, només pot «tirar» dels cossos units als seus extrems. Al seu torn, cada un dels cossos de què tira el fil exerceix sobre el fil una força de reacció igual i de sentit contrari (Fig. 14b). Aquestes forces fan que es tensi. Si la massa del fil és negligible, la seva tensió té el mateix valor en tots dos extrems.

EXEMPLE 5.

Dos cossos de masses m1 = 10 kg i m2 = 6 kg (Fig. a) estan penjats dels extrems d’un fil que passa per una petita corriola de massa negligible. a) Amb quina acceleració es mouran? b) Quin valor té la tensió de les branques del fil? (Dada: g = 10m/s2.) a) Per resoldre el problema aplicarem el principi fonamental de la dinàmica per separat a cada un dels dos cossos suspesos del fil. →

Sobre el cos de 10 kg hi actuen dues forces: el seu pes, P 1 = m 1 g, i la tensió del fil, que és la força T amb què el fil l’estira cap amunt (Fig. b). Si considerem positiu el sentit del moviment (cap avall) i apliquem la segona llei de Newton a aquest cos, resulta la següent igualtat:

→

T →

a

→

6 kg

m1 g – T = m1 a

T

10 kg

a

→

6 kg a

→

→

10 kg

P2

a

→

P2 →

P1 →

a

P1

b

c

Igualment, sobre el cos de 6 kg actuen el seu pes, P2 = m2 g i la tensió del fil T (Fig. c). Si considerem com a sentit positiu el del moviment (en aquest cas, cap amunt) i apliquem a aquest cos la segona llei de Newton, tenim: T – m2 g = m2 a Si sumem les dues equacions s’obté: m1 g – m2 g = (m1 + m2 ) a. Si aïllem l’acceleració resulta: (10 – 6) kg x 10 m/s2 (m1 – m2) g a = —————– = —————————––— = 2,5 m/s2 m 1 + m2 (10 + 6) kg 86


18/4/08 16:56:42

Dinàmica | 3

b) La tensió del fil és pot obtenir a par tir de qualsevol de les equacions plantejades: T = m2 g + m2 a = m2 (g + a) = 6 kg × (10 + 2,5) m/s2 = 75 N

EXPERIÈNCIA

T = m1 g – m1 a = m1 (g – a) = 10 kg × (10 – 2,5) m/s2 = 75 N

Forces d’acció i reacció en la flotació Recordem el principi d’Arquímedes, que explica la força que experimenta un cos sòlid qualsevol submergit en un fluid: Tot cos submergit totalment o parcialment en un líquid experimenta una força d’empenyiment vertical i en sentit ascendent, de valor igual al pes del fluid desallotjat. Per dur a terme l’experiència, utilitzarem els materials següents: • Un dinamòmetre, de poca força màxima (1 o 2 N). • Un fil prim. • Un tap de goma d’uns 4 cm de diàmetre. • Una agulla de cap o un clau petit. • Un got de cafè de plàstic transparent que omplirem d’aigua fins a la meitat (el tap s’ha de poder submergir totalment en l’aigua). Farem ser vir el fil i l’agulla de cap per subjectar el tap de goma i poder-lo penjar del dinamòmetre amb objecte d’esbrinar-ne el pes. Farem prop de la vora del got de plàstic un parell d’orificis petits diametralment oposats, pels quals farem passar el fil del qual penjarem el got amb l’aigua.

→

−E

→

Penjarem el tap del dinamòmetre i en determinarem el pes P 1 (a).

→

P1

→

P1

Després submergirem en l’aigua el tap penjat del dinamòmetre, però sense arribar a tocar el fons del got (b).

a

→

b

Experiència filmada en el CD

La diferència de pesos correspon a l’empenyiment –E que experimenta el tap en l’aigua. A continuació, mesurarem la força de reacció de l’empenyiment que el tap exercirà sobre l’aigua. →

Amb el dinamòmetre determinarem el pes P 2 del got amb aigua (c). Tot seguit, pesarem el got amb el dinamòmetre, però amb el tap submergit en l’aigua i subjectant-lo amb el fil, de manera que no toqui el fons del got (d).

→

P2

→

En aquesta situació, el tap està aplicant a l’aigua la força E de reacció a l’empenyiment. El dinamòmetre ha de detectar aquesta força, de manera que la → lectura incrementarà en el valor de la força de reacció E del tap sobre l’aigua. →

→

→

P2 →

E

c

d

D’aquesta manera, comprovarem experimentalment que les forces E i –E (acció i reacció) tenen la mateixa intensitat.

87


18/4/08 16:56:42

EXPERIÈNCIA

3

| Dinàmica

Relació força-allargament en una molla

Pengem una molla ver ticalment d’un punt fix. Hi pengem un supor t en el qual es poden posar una o més peses de 0,25 N cada una. Mesurem els allargaments de la molla amb diversos pesos i en recollim els resultats en la taula que apareix a continuació. Si representem en una gràfica aquests valors obtenim una recta que passa per l’origen de coordenades. Això indica que la relació entre el pes penjat de la molla i l’allargament és una proporcionalitat directa. Nombre de peses

Pes/N

Allargament/mm

P/N 1

1

0,25

16

0,75

2

0,5

31

0,5

3

0,75

46

0,25

4

1

62

5 | Llei de Hooke. Medició de les forces

→

Fm →

a

→

O

Fm

10 20 30 40 50 60 �x/mm

F ext →

F ext O

Quan la força exercida per una molla és directament proporcional a la deformació que experimenta, diem que compleix la llei de Hooke. L’expressió matemàtica d’aquesta llei és: F=–kx

→

b

F ext →

F ext

→

Fm O →

Fm

15. a) Esquema d’una molla allargada per una força exterior Fext i la O força Fm que exerceix la molla. b) La molla comprimida per una força exterior Fext i la força Fm que, en aquest cas exerceix la molla.

F és la força exercida per la molla, x és la deformació produïda per la força F i k és una constant característica de la molla, anomenada constant elàstica o constant de recuperació, que s’expressa en N/m al SI. La direcció de la força que exerceix la molla és la del seu eix longitudinal. El signe negatiu de la fórmula indica que el sentit de la força és contrari al de la deformació de la molla: si allarguem la molla, tendeix a encongir-se i, si l’escurcem, tendeix a allargar-se (Fig. 15). En els dos casos, la força exercida per la molla s’oposa a la força exterior aplicada i tendeix a retornar-la a la seva posició d’equilibri. Mentre la força aplicada no sobrepassa un valor determinat, quan es deixa d’aplicar, la molla recupera la longitud inicial. Els materials que es

88


18/4/08 16:56:43

Dinàmica | 3

compor ten d’aquesta manera s’anomenen materials elàstics; no obstant això, no tots compleixen la llei de Hooke. Al contrari, altres materials es deformen permanentment quan s’hi aplica una força; s’anomenen materials plàstics. Si mesurem l’allargament d’una molla que compleix la llei de Hooke, podem deduir el valor de la força que hi actua . Per això, cal calibrar-la prèviament, és a dir, penjar-hi diversos pesos coneguts i mesurar els allargaments que provoquen en la molla, per tal de determinar la relació de proporcionalitat entre les dues magnituds (constant elàstica de la molla). A partir d’aquestes dades, podrem construir una escala que ens permeti llegir directament el valor de la força aplicada a la molla. En això es basen els aparells utilitzats per mesurar forces, anomenats dinamòmetres. En la figura 16 es pot veure un dinamòmetre constituït per una molla situada a l’interior d’un cilindre de material transparent. Si tirem de l’extrem de la molla, s’allarga i l’extrem oposat ens indica el valor de la força aplicada sobre una escala disposada al llarg del cilindre. Hi ha diversos models de dinamòmetres, per bé que tots es basen en el mateix principi, la llei de Hooke.

16. Dinamòmetres

EXEMPLE 6.

Un bloc que pesa 5 N està suspès d’un dinamòmetre penjat del sostre d’un ascensor. Calcula què marcarà el dinamòmetre en les situacions següents: a) L’ascensor puja accelerant amb una acceleració d’1 m/s2. b) L’ascensor puja amb moviment uniforme. c) L’ascensor puja frenant amb una acceleració de 2 m/s2. d) L’ascensor cau amb una acceleració de la gravetat perquè s’ha trencat el cable que el sostenia. (Dada: g = 10 m/s2.)

Per tal de poder aplicar el principi fonamental de la dinàmica, ens cal conèixer la massa del bloc. La calcularem a par tir de l’equació P = m g. Si aïllem m obtenim:

→

F

P 5N m = — = ————– = 0,5 kg g 10 m/s2 Per tal de determinar les forces que actuen sobre el bloc tindrem en compte que, segons la tercera llei de Newton, aquestes forces cal que les exerceixin necessàriament uns altres cossos. Només dos cossos poden fer força sobre el bloc:

→

P

• La Terra, que l’atrau a distància amb una força que és el pes del bloc. • El dinamòmetre, que tira del bloc cap amunt. Així, les forces que actuen sobre el bloc són el seu pes, P = 5 N, i la força, F, cap amunt que exerceix el dinamòmetre (vegeu la figura). Si adoptem el sentit cap amunt com a positiu i apliquem el principi fonamental de la dinàmica, resulta: F – P = m a, es decir: F = P + m a

89


18/4/08 16:56:44

3

| Dinàmica

La força indicada pel dinamòmetre és la que hi exerceix el bloc. Però, segons el principi d’acció i reacció, aquesta força és igual a la força F que exerceix el dinamòmetre sobre el bloc. Vegem ara quin és el valor en cada un dels casos proposats.

a) Si l’ascensor puja accelerant, l’acceleració tindrà el mateix sentit que el moviment, és a dir, cap amunt. Com que hem adoptat aquest sentit com a positiu, l’acceleració serà positiva: a = 1 m/s2. Aplicant la fórmula que hem obtingut, resulta: F = 5 N + 0,5 kg × 1 m/s2 = 5,5 N El dinamòmetre marca una força més gran que el pes del bloc. b) Si l’ascensor puja amb moviment uniforme, l’acceleració és nul·la, i resulta: F = 5 N + 0,5 kg × 0 m/s2 = 5 N El dinamòmetre marcarà el pes del bloc igual que si l’ascensor es trobés en repòs. c) Si l’ascensor puja frenant, l’acceleració té sentit contrari al del moviment, és a dir, cap avall, i serà a = –2 m/s2; Per tant: F = 5 N + 0,5 kg × (–2 m/s2) = 4 N En aquest cas, el dinamòmetre marcarà una força inferior al pes del bloc. d) Si l’ascensor cau, l’acceleració cap avall és a = –10 m/s2, i resulta: F = 5 N + 0,5 kg × (–10 m/s2) = 0 N El dinamòmetre no marcarà cap força. El bloc, aparentment, no pesa res; es diu que en aquest moment es troba en estat d’ingravidesa.

6 | Fregament entre sòlids

| Fregament cinètic

→

−F R

Imaginem que empenyem un cos fent-lo lliscar sobre una super fície horitzontal. Sabem que, en el moment que deixem d’impulsar-lo, el cos començarà a perdre velocitat i acabarà aturant-se. Això es deu a una força d’interacció entre el cos i la super fície on és aquest cos, anomenada força de fregament cinètic.

→

FR

→

→

17. La força del fregament cinètic –FR és exercida per la super fície sobre el cos → que llisca al llarg d’aquesta. La força F R és la que exerceix el cos sobre la super fície. Aquestes forces, d’igual intensitat i sentit contrari, són acció i reacció.

El cos que llisca exerceix una força F R en la mateixa direcció i el mateix sentit del moviment sobre la super fície en què s’aguanta. Alhora, la super→ fície exerceix una altra força –F R que actua sobre el cos en sentit contrari i que el frena (Fig. 17). La intensitat de la força de fregament cinètic per lliscament entre cossos sòlids és: →

→

|F R| = μc |F N| →

On μc és un coeficient anomenat coeficient de fregament cinètic i F N és la força que exerceix el cos sobre la super fície de supor t en direcció perpendicular a la super fície (força normal). El coeficient de fregament cinètic depèn de la naturalesa de les dues superfícies en contacte, és a dir, del material que les constitueix i del seu estat 90


18/4/08 16:56:44

Dinàmica | 3

(grau de poliment, de netedat, de lubrificat, de corrosió, etc.), però és pràcticament independent de l’extensió de les super fícies i de la velocitat amb què una llisca sobre l’altra. El seu valor és un simple nombre sense unitat, ja que es tracta d’un quocient de dos forces, i es determina experimentalment.

| Fregament estàtic Imaginem un cos en repòs sobre una super fície plana horitzontal. Sabem → que, tot i aplicar-hi una força horitzontal F , si no és prou intensa, el cos restarà immòbil. Això és degut al fet que la super fície en la qual es recolza → el cos exerceix una altra força F R, de la mateixa intensitat i de sentit contrari, anomenada força de fregament estàtic (Figs. 19a i 19b). Igualment, el cos → exercirà una altra força F , igual i oposada, sobre la super fície (principi d’acció i reacció). El fregament és, com totes les forces, una interacció mútua entre dos cossos i actua paral·lelament a la super fície de contacte entre ells. →

Si s’augmenta la intensitat de la força aplicada F , arriba un moment en què el cos, malgrat la força de fregament, comença a moure’s sobre la super fície de supor t. Això és degut al fet que la força de fregament estàtic no pot superar un cer t límit (Fig. 19c). El valor màxim del mòdul de la força de fregament estàtic per lliscament entre sòlids ve donat per l’expressió següent: →

→

|FR| ≤ μE |FN| →

On μE és un coeficient anomenat coeficient de fregament estàtic i |F N| és el mòdul de la força que exerceix el cos sobre la super fície de suport en direcció perpendicular a la super fície (força normal). El coeficient de fregament estàtic, μE, és lleugerament més gran que el cinètic, μc. Com en el cas del fregament cinètic, el valor del fregament estàtic depèn de la naturalesa i de l’estat de les super fícies en contacte.

18. El fregament és degut al fet que una infinitat de rugositats minúscules de la superfície del cos entren en contacte amb les de la superfície on es recolza, amb la qual cosa es produeix una força mútua d’interacció entre elles.

a →

→

F

FR

b →

→

FR

F

c →

→

FR

F

19. Força de fregament estàtic per lliscament. a) La força aplicada és inferior al valor màxim de la força de fregament → → → | F | = | F R| < |μE F N|, i el cos no es mou. b) La força aplicada és igual al valor màxim de la força de fregament: → → → | F | = | F R| = |μE F N|, i el cos no es mou. c) La força aplicada supera el valor màxim de la força de fregament: → → → | F | > | F R| = |μE F N|, i el cos es mou.

EXEMPLES 7.

Empenyem un cos de massa m = 20 kg, fent-lo lliscar sobre una superfície horitzontal amb una velocitat v0 = 6 m/s. Si deixem d’empènyer-lo, recorre 4 m i s’atura. Calcula el coeficient de lliscament cinètic entre aquest cos i el terra. Com que la força de fregament és constant, el cos s’aturarà amb moviment uniformement variat. Podem calcular-ne l’acceleració aplicant l’equació: v 2 – v 02 = 2 a Δs

→

FN

D’on es dedueix: v 2 – v 02 0 – (6 m/s)2 a = ———– = —————— = – 4,5 m/s2 2 s 2×4m Les forces que actuen sobre el cos són el seu pes P = m g = 200 N, la reacció FN del terra (igual i de sentit contrari al pes) i la força de fregament, FR.

→

FR →

P

91


18/4/08 16:56:45

3

| Dinàmica

La força resultant sobre el cos és la força de fregament FR, ja que P queda contrarestat per FN. Si apliquem al cos la segona llei de Newton, obtenim: FR = m a = 20 kg × (–4,5 m/s2) = –90 N (Els signes negatius de l’acceleració i la força són deguts al fet que tenen sentit contrari a la velocitat, que ha estat considerada positiva.) Aïllem el coeficient de fregament de la igualtat: |FR| = μC |FN|. Per tant:

8.

| FR |

90 N

| FN |

200 N

0,45

Una caixa de massa m es troba en repòs sobre el terra horitzontal d’un camió. El coeficient de fregament estàtic entre aquesta caixa i el terra del vehicle és μE = 0,35. Quina és la màxima acceleració amb què pot frenar el camió sense que la caixa llisqui sobre el terra?

FN

FR

→

Sobre la caixa hi actuen el seu pes, P , i la reacció normal del terra → del camió F N. Aquestes forces són iguals i de sentit contrari i es → → contraresten mútuament. El seu valor es |F N| = |P | = m g.

P

Quan el camió frena, la caixa tendeix a continuar el seu moviment lliscant cap endavant. Per això el terra exerceix sobre la caixa → una força de lliscament estàtic F R cap enrere, que s’oposa a aquest lliscament. →

→

→

La força resultant sobre la caixa és F R, ja que P i F N es contraresten l’una amb l’altra. D’altra banda, si la caixa no llisca, es mou amb l’acceleració a del camió. Si apliquem la segona llei de Newton tenim: FR = m a Però també sabem que la força de fregament estàtic compleix la condició: →

→

→

|F R| ≤ μ |F N| = μ |P | = μ m g →

→

Si substituïm en aquesta desigualtat |F R| per m |a |, resulta: →

m |a | ≤ μ m g Si dividim la desigualtat per la massa m de la caixa, tenim: →

|a | ≤ μ g = 0,35 × 10 m/s2 = 3,5 m/s2 La màxima acceleració amb què pot frenar el camió sense que la caixa hi llisqui a sobre és de 3,5 m/s 2.

9.

Un noi de massa m1= 50 kg intenta arrossegar un armari de massa m2 = 180 kg sobre el terra horitzontal d’una habitació. El coeficient de fregament estàtic per lliscament entre el noi i el terra és μ1 = 0,5, i entre l’armari i el terra, μ2 = 0,2. Aconseguirà aquest noi el seu propòsit? A la figura hi apareixen les forces que actuen horitzontalment sobre el noi (en vermell), sobre l’armari (en blau) i sobre el terra (en gris). Les forces de nom igual i signe contrari són acció i reacció. →

Obser va que el fregament –R 2 sobre l’armari té el sentit cap enrere perquè tendeix a lliscar cap endavant.

92


18/4/08 16:56:45

Dinàmica | 3

→

En canvi, el fregament R1 sobre el noi té el sentit cap endavant, ja que el peu tendeix a lliscar cap endarrere. Perquè el conjunt noi-armari es desplaci cap endavant, la → → força R1 ha de superar –R 2.

F

-F

Per això cal que: →

→

|R1| > |R2| Si l’armari llisca, la seva força de fregament amb el terra assolirà el valor màxim: →

|R2 | ≤ μ2 m2 g = 0,2 × 180 kg × 10 m/s2 = 360 N

R2

-R2

R1

-R1

Però la força de fregament entre el noi i el terra té un valor màxim: →

|R1 | ≤ μ1 m1 g = 0,5 × 50 kg × 10 m/s2 = 250 N →

→

Per tant, és impossible que |R1| sigui més gran que |R2|. El noi no podrà arrossegar l’armari, ja que els peus lliscaran sobre el terra tan bon punt intenti exercir una força superior a 250 N. 10. Dos cossos, de masses m1 = 3 kg i m2 = 2 kg, estan units als extrems d’un fil inextensible i de massa negligible, que passa per la canal d’una petita corriola fixa. El primer es troba sobre un pla horitzontal i el segon penja verticalment del fil. El coeficient de fregament cinètic entre el primer cos i el pla és de 0,4. a) Calcula la intensitat de la força paral·lela al pla que s’ha d’aplicar al primer cos perquè el segon pugui amb una acceleració de 2,5 m/s2.

→

N

b) Determina el valor de la tensió del fil en aquestes circumstàncies. Les forces que actuen sobre el cos situat sobre el pla (en → vermell a la figura) són el seu pes (P 1), la reacció nor→ mal del pla (N ), que contraresta exactament el pes, la → força horitzontal aplicada (F ), la força de fregament → cinètic (F R) en sentit contrari al del moviment i la tensió → del fil (T ).

→

→

F

T

→

FR

→

P1

→

T

→

P2

Sabem que: →

→

|N |= |P 1| = m1 g = 3 kg × 9,8 m/s2 = 29,4 N →

→

|F R| = μ |N | = 0,4 × 29,4 N = 11,76 N →

→

Les forces sobre el cos que penja del fil (en blau a la figura) són el pes (P 2) i la tensió del fil T . El pes del cos és: →

|P 2| = m2 g = 2 kg × 9,8 m/s2 = 19,6 N Aplicarem la segona llei de Newton a cada un dels dos cossos per separat, adoptant com a sentit positiu el del moviment. Com que estan units mitjançant un fil inextensible, tots dos cossos es mouen amb → → igual acceleració, a = 2,5 m/s2. Com que les forces P 1 i N s’anul·len mútuament, no apareixen en les equacions. Són: →

→

→

→

→

|F | – |F R| – |T | = m1 a |T | – |P 2| = m2 a

93


18/4/08 16:56:46

3

| Dinàmica

→

a) Podem eliminar la incògnita |T | sumant les dues equacions: →

→

→

|F | – |F R| – |P 2| = (m1 + m2) a →

Si aïllem: |F |: →

→

→

|F | = (m1 + m2) a + |F R| + |P 2| = 5 kg × 2,5 m/s2 + 11,76 N + 19,6 N = 43,9 N →

b) Quan aïllem |T | de la segona equació, resulta: →

→

|T | = |P 2| + m2 a = 19,6 N + 2 kg × 2,5 m/s2 = 24,6 N

7 | Moviment sobre plans inclinats a

A continuació veurem alguns exemples d’aplicació de les lleis de Newton a cossos que pugen o baixen per una rampa o pla inclinat.

b

α

h

α

d a) b) 20. La inclinació d’un pla s’expressa per mitjà de: a) L’angle α. b) El pendent h/d = tg α.

La inclinació d’una rampa sol expressar-se mitjançant l’angle α que forma amb el pla horitzontal (Fig. 20a). Però també és freqüent expressar-la per mitjà del pendent, que és el quocient h/d entre l’altura h que s’ascendeix en pujar pel pla inclinat i la distància d que s’avança horitzontalment (Fig. 20b). El pendent d’un pla inclinat coincideix amb la tangent trigonomètrica de l’angle α que forma amb el pla horitzontal. És freqüent expressar el pendent en tant per cent. Per exemple, si diem que el pendent d’una rampa és del 12 % significa que ascendeix 12 m per cada 100 m avançats horitzontalment. El pendent seria llavors tg α = 12 m / 100 m = 0,12 Cal adver tir que, si l’angle d’inclinació α és petit, es pot acceptar com a pendent sin α, ja que el seu valor és pràcticament igual al de tg α.

EXEMPLES 11. Calcula l’acceleració amb què baixaria per un pla inclinat de 30° un cos amb un coeficient de fregament cinètic amb el pla de μ = 0,2. →

Les forces que actuen sobre el cos són: →

FR

→

• El seu pes P , que s’ha descompost en la força P T, paral·lela al pla → inclinat (component tangencial del pes), i la força P N, perpendicular al pla (component normal del pes). •

→

−PN

→

→

PT

→

La reacció del pla –P N, que contraresta P N.

→

→

• La força de fregament cinètic F R, que s’oposa al moviment. →

→

PN →

P

Obser va que l’angle format pels vectors P i P N és igual a l’angle d’inclinació del pla (30°), ja que els costats de l’un són perpendiculars als de l’altre. En conseqüència, → → i tenint en compte que |P | = m g, les components de P són: →

→

→

→

|P T |=|P | sin 30° = m g sin 30° |P N|= |P | cos 30° = m g cos 30° I el mòdul de la força de fregament cinètic valdrà: →

→

|F R| = μ |P N| = μ m g cos 30° 94


18/4/08 16:56:46

Dinàmica | 3

→

→

→

→

La força resultant sobre el cos és |P T| – |F R|, ja que P N i –P N es contraresten. Quan apliquem al cos la segona llei de Newton, resulta: →

→

|P T| – |F R |= m a Si aïllem l’acceleració a, obtindrem:

3,21 m/s2 12. Apliquem a un cos de massa m = 2 kg que es troba sobre un pla inclinat de pendent 25 % una força → F paral·lela al pla per mantenir-lo en repòs. El coeficient de fregament estàtic entre tots dos és μ = 0,15. →

Entre quins valors pot variar la intensitat de la força F sense que el cos es mogui? (Dada: g = 9,8 m/s2.)

→

a

−PN →

En primer lloc calculem l’angle α d’inclinació del pla:

→

= 0,25; α = 14,04° 100 A continuació determinarem, com en el problema anterior, els components del pes paral·lel i perpendicular al pla, i també el valor màxim → |F R| de la força de fregament: tg α =

FR

→

PT

25

F1

→

→

P

PN

→

|P | = m g = 2 kg × 9,80 m/s2 = 19,6 N →

→

→

→

|P T| = |P | sin α = 19,6 N × 0,2426 = 4,75 N

→

F2

|P N| = |P | cos α = 19,6 N × 0,9701 = 19,0 N →

→

→

|F R| = μ |P N| = 0,15 × 19,0N = 2,85 N

→

FR

→

Quan la força aplicada és mínima (F 1 en la figura a), el cos està a punt de lliscar cap avall pel pla inclinat. En aquest cas, el fregament, que impedeix el moviment, serà màxim i tindrà sentit cap amunt. Si el cos no es mou, la força resultant sobre ell serà nul·la: →

→

b

→

−PN

PT →

→

P

PN

→

|F 1 | + |F R| – |P T| = 0 D’on deduïm: →

→

→

|F 1| = |P T| – |F R| = 4,75 N – 2,85 N = 1,9 N →

Quan la força aplicada sigui màxima (F 2 en la figura b), el cos estarà a punt de pujar pel pla inclinat. En aquest cas, el fregament, que impedeix el moviment, serà màxim i tindrà sentit cap avall. Si el cos no es mou, la força resultant sobre ell serà nul·la: →

→

→

|F 2| – |F R| – |P T| = 0 D’on deduïm: →

→

→

|F 2| = |P T| + |F R| = 4,75 N + 2,85 N = 7,6 N El cos no lliscarà sobre el pla inclinat ni cap avall ni cap amunt si la força que s’hi aplica està compresa entre 1,9 N i 7,6 N. Si la força aplicada té un valor intermedi entre els dos que hem calculat, el fregament no adoptarà el seu valor màxim de 2,85 N, sinó el valor just perquè les forces s’equilibrin i el cos no es mogui. →

Quin valor tindria el fregament si la força aplicada fos |F |= 5 N?

95


18/4/08 16:56:47

EXPERIÈNCIA

3

| Dinàmica

Determinació del coeficient de fregament estàtic Aquesta experiència proposa un procediment per determinar el coeficient de fregament estàtic entre diversos objectes i super fícies sobre les quals poden lliscar. En primer lloc muntarem un dispositiu consistent en una làmina que puguem inclinar gradualment, de manera que sigui possible determinar quin és l’angle que aquest pla forma amb l’horitzontal per mitjà d’un transpor tador d’angles. Col·locarem l’objecte sobre el pla inclinat a una cer ta distància de la base. D’acord amb l’esquema de forces del pla inclinat, l’objecte començarà a lliscar cap a la par t baixa quan el component del pes, paral·lel al pla, superi el valor de la força de fregament estàtic màxima entre l’objecte i la super fície del pla inclinat:

DOCUMENT


→

→

|T | > |F R| →

→

La força de fregament màxima és: |F R| = μ |N | = μ m g cos α. →

El component de pes paral·lel al pla és: |T | = m g sin α. Així, perquè el cos llisqui ha de ser: m g sin α > μ m g cos α. Dividint aquesta igualtat entre m g cos α, resulta: tg α > μ. Determinarem diversos cops (5 o més) la tangent de l’angle a partir del qual l’objecte comença a lliscar, i s’adoptarà com a valor del coeficient de fregament la mitjana de tots els resultats obtinguts. Amb una col·lecció de tres super fícies i tres objectes diferents es poden determinar nou coeficients de fregament estàtic per lliscament de les diverses combinacions objecte -super fície.

El fregament és un inconvenient? Vivim en un món amb fregaments. De fet, podem distingir diversos tipus de fregament, com són el que experimenta un objecte que es desplaça dins d’un fluid, líquid o gas, o el que experimenta un objecte al lliscament de la superfície de contacte amb el terra sobre el qual es mou. Quan un avió es desplaça per mitjà del vol, l’aire hi exerceix una força de resistència que és: F ≈ c v2. Malgrat tot, aquesta llei empírica no és exacta i depèn de molts factors; fins i tot quan l’avió es desplaça pel terra de la pista i la velocitat és molt petita, la força és més aviat proporcional a la velocitat, i no al seu quadrat. Quan una bola o una bombolla es mouen lentament dins d’un líquid viscós, la força de fregament sobre elles és proporcional a la seva velocitat. No obstant

això, per a moviments ràpids, la força de fregament és pràcticament proporcional al quadrat de la velocitat. En qualsevol cas, determinar el coeficient c és molt complex i només es calcula per a alguns objectes en unes condicions molt concretes, per mitjà de proves en dispositius com ara túnels de vent o túnels aerodinàmics. Així es determinen els coeficients aerodinàmics d’automòbils, avions, coets, etc. Com hem vist, la força de fregament per lliscament es pot descriure per mitjà d’una llei senzilla: |FR| = μ |N|. Malgrat que el coeficient de fregament no és exactament constant, la fórmula és una bona aproximació per avaluar la força de fregament en cer tes circumstàncies pràctiques de gran interès per a l’enginyeria.

96


18/4/08 16:56:47

DOCUMENT

Dinàmica | 3

Les forces de fregament són les responsables d’un enorme consum energètic, pràcticament incalculable, però també, en gran par t, inevitable. En el camp de la tecnologia són molt impor tants les investigacions sobre tota mena de dispositius que disminueixin el fregament entre les par ts mòbils i fixes, gràcies a lubricants cada vegada millors i al disseny de peces amb una bona aerodinàmica per als diversos mecanismes que formen par t de motors, màquines i carrosseries. Tanmateix, el fregament ens resulta tan útil que seria molt difícil viure en el nostre món sense ell. Per exemple, sense fregament no seríem capaços de caminar, ja que relliscaríem en qualsevol superfície on recolzéssim el peu o la sabata; pujar o baixar unes escales seria un gran problema; seure en una cadira seria un veritable exercici d’equilibri; caldria subjectar al terra els mobles i els electrodomèstics per mantenir-los fixos en la posició; cap vehicle no podria fer girar les rodes; ni carretons, ni carros, ni carretes, ni motos, ni cotxes, ni trens, ni avions no es podrien moure amb els mecanismes actuals; escriure amb un bolígraf seria impossible; no seríem capaços de fer un nus a una corda o un fil, no hi hauria manera de cosir

res i, com a conseqüència, els teixits no existirien… Les naus espacials, quan han sortit de l’atmosfera terrestre, han fet nombrosos moviments sense fregament amb l’aire. Els astronautes, que evolucionen a l’espai exterior dels mòduls espacials, han viscut ja aquesta experiència. Malgrat tot, resultaria molt difícil eliminar el fregament en la super fície de la Terra. De tota manera, ens convé continuar comptant-hi.

Fem ser vir olis lubricants per disminuir les pèrdues per fregament en tota classe de màquines i motors.

8 | Dinàmica del moviment circular uniforme Com ja vam veure en l’estudi dels moviments, una partícula que descriu un moviment circular uniforme té una acceleració dirigida de manera constant cap al centre de la trajectòria, que rep el nom d’acceleració normal o centrípeta. El seu mòdul és: → v2 | ac| = —— = ω 2 r r

→

Fc

→

−F c

On v és la velocitat lineal del mòbil; r, el radi de la circumferència i ω, la velocitat angular. Segons el principi fonamental de la dinàmica, el valor de la força resultant sobre el mòbil, si té massa m, ha de ser: v2 | Fc | = m | an | = m —— = m ω2 r r →

21. Força centrípeta sobre una pedra en moviment circular.

Aquesta força té la mateixa reacció i sentit que l’acceleració normal; per tant, està dirigida cap al centre de la circumferència (Fig. 21). Per aquesta raó, rep el nom de força centrípeta. És impor tant recordar que la força centrípeta en el moviment circular uniforme no és una força més que cal afegir, sinó que és la resultant de totes les forces que actuen sobre el mòbil. 97


18/4/08 16:56:48

3

| Dinàmica

EXEMPLES 13. Un nen puja en una de les «cadires voladores» d’un parc d’atraccions. La cadena que subjecta la cadira forma un angle de 20° amb la vertical quan l’atracció gira amb un moviment circular uniforme. Podem considerar el nen juntament amb la cadira com un mòbil puntual de 45 kg que descriu una circumferència de 6 m de radi. Calcula la velocitat angular a què gira l’atracció. Quantes voltes fa en un minut? Com es veu a la figura, sobre el mòbil hi actuen dues forces: → → → el seu pes (P = m g ) i la tensió, T , del cable que l’aguanta. → → La resultant ha de ser la força centrípeta (F c = m a n), dirigida cap al centre de la circumferència horitzontal que el mòbil descriu.

→

T

De l’esquema de forces de la figura deduïm: →

→

FC

→

→

P

|F c| = |T | sin 20° →

20°

→

|P | = |T | cos 20° Si dividim les dues expressions i simplifiquem, obtindrem: → |F c | —— → = tg 20° |P | →

→

És a dir: |F c| = |P | tg 20°. →

→

→

Però sabem que |F c| = m |a n| = m ω2 r i que |P | = m g. Per tant, tenim que: m ω2 r = m g tg 20°. Si aïllem de l’equació la velocitat angular ω s’obté: g tg 20° 9,8 × 0,3640 ω = ———— = —————------— =0,771 r 6 Així, la velocitat angular de l’atracció és de 0,771 rad/s. El nombre de voltes que farà cada minut, Δt = 60 s, serà: 0,771

rad

60 s

s

1 min

46,26 rad

1 volta

voltes

En un minut l’atracció fa 7,36 voltes.

14. Un disc situat en un pla horitzontal gira al voltant del seu centre. Un petit objecte que té un coeficient de fregament estàtic per lliscament sobre el disc de 0,35, està col·locat a 10 cm del centre del disc. Quin valor en rev/min ha de tenir la velocitat angular del disc perquè l’objecte s’hi mantingui al damunt? Sobre el petit objecte hi actuen tres forces: →

• El seu pes |P | = m g. →

• La força normal que exerceix el disc cap amunt, que contraresta al pes de l’objecte: |N | = m g. • La força de fregament estàtic cap al centre, ja que l’objecte tendeix a allunyar-se d’aquest punt: → → |R | ≤ μ |N |. → →

→

Com que P i N es contraresten mútuament, la força resultant és R .

98


18/4/08 16:56:49

Dinàmica | 3

Si l’objecte es mou amb el disc sense lliscar-hi, descriurà una circumferència de radi r = 10 cm amb la mateixa velocitat → angular ω del disc. La força resultant R ha de ser la força centrípeta d’aquest moviment: →

10 cm →

N →

R

→

|R | = |F c| = m ω2 r →

→

→

→

→

P

Substituïm els valors de |R | i |N | en la desigualtat |R | ≤ μ |N |, resulta: m ω2 r ≤ μ m g Si aïllem ω s’obté: 0,35 × 9,8 ms–2 0,1 m

r

Expressem-ho en rev/min: rad 1 rev 60 s 5,86 ——– × ——-------– × —------—– = 56 rev/min rad 1 min s La velocitat angular del disc per tal que l’objecte s’hi mantingui al damunt ha de ser, com a màxim, de 56 rev/min.

15. Un automòbil circula per un revolt de radi r = 40 m peraltat, de manera que la superfície de la carretera està inclinada un angle α = 26°. Es comprova que la màxima velocitat a la qual el cotxe pot agafar el revolt sense patinar lateralment és de 94 km/h. Calcula el coeficient de fregament estàtic per lliscament lateral entre les rodes i la superfície de la carretera. Les forces que actuen sobre el mòbil són: →

→

N

• El pes |P | = m g = 9,8 m.

Ny

→

• La força normal N que exerceix el terra perpendicularment contra les rodes del cotxe. →

→

• El fregament |R | = μ |N | del terra sobre les rodes.

Centre de la corba

Nx Rx

→

Ry La força de fregament R és la màxima, perquè el cotxe va a la → R màxima velocitat possible sense lliscar lateralment. La → → � direcció de R és paral·lela al terra inclinat i el sentit, cap P a la par t baixa del peralt, ja que l’automòbil tendeix a patinar cap a l’exterior del revolt, és a dir, cap a la par t alta. (S’han dibuixat totes les forces aplicades en un mateix punt, com si el cotxe fos un mòbil puntual, per tal de simplificar la figura.) → →

Per determinar la resultant d’aquestes tres forces, que serà la força centrípeta, descomponem N i R en els components horitzontals i ver ticals. Tindrem en compte que tots els triangles rectangles de la figura tenen l’angle menor igual a l’angle α = 26°. La raó és que els dos triangles verds tenen els costats paral·lels als de α; els dos triangles blaus, els tenen perpendiculars als de α. De la figura deduïm, aleshores: →

Nx = |N | sin 26° →

Ny = |N | cos 26° →

→

→

→

Rx = |R | cos 26° = μ |N | cos 26° R y = |R | sin 26° = μ |N | sin 26°

99


18/4/08 16:56:49

3

| Dinàmica

→

La força vertical cap amunt Ny s’ha d’anul·lar amb les forces cap avall |P | i R y, ja que en direcció vertical no hi ha acceleració (ni moviment): →

→

→

|P | + R y = Ny , és a dir, 9,8 m + μ sin 26° |N |= cos 26° |N |

(1)

→

La força centrípeta és |F c| = m v2 / r = m × 26,12 / 40 = 17,8 m. Ha de ser igual a la força resultant sobre el cotxe, Nx + Rx : →

→

→

Nx + Rx = |F c|, és a dir, sin 26° |N | + μ cos 26° |N | = 17,03 m (2) Igualem els valors de m, aïllats de (1) i (2), resulta: sin

sin

→

Eliminem el factor |N | que apareix en tots els termes de l’equació i aïllem μ, obtenim: 17,03 ×cos 26° – 9,81 × sin 26° 9,81 × cos 26° + 17,03 × sin 26°

9 | Llei de Newton de la gravitació universal Totes els estels que podem contemplar de nit al cel pertanyen a la nostra galàxia i, a més, són els que tenim més a prop. Malgrat això, la immensa majoria són a una distància tan gran que no en podem percebre el moviment. Diem que són estels fixos. Els planetes del sistema solar són molt més petits i es troben a una distància molt inferior. És per això que n’hi ha alguns –Venus, Mar t, Júpiter i Saturn– que són visibles a simple vista. També en podem detectar el moviment amb relació al fons del cel format pels estels fixos. Al segle XVI un astrònom danès, Tycho Brahe, va registrar amb gran precisió durant anys les posicions dels planetes visibles. Això va permetre conèixer-ne les trajectòries respecte del fons dels estels fixos. El laboriós treball de Tycho Brahe pot semblar poc interessant i força inútil; tanmateix, va ser la base que va donar lloc a un impor tantíssim desenvolupament de la física.

22. Tycho Brahe (1546-1601).

Per la seva banda, l’astrònom alemany Johannes Kepler, a par tir de les dades obtingudes per Tycho Brahe, va aconseguir descriure correctament el moviment el·líptic dels planetes al voltant del Sol. Isaac Newton, basant-se en els estudis de Galileu sobre el moviment dels cossos, va enunciar les lleis de la dinàmica i la llei de la gravitació universal. Aquestes lleis expliquen les causes del moviment de la Lluna i dels planetes al voltant del Sol descrit per Kepler. Segons la llei de Newton de la gravitació universal, dues par tícules s’atrauen amb una força directament proporcional a les seves masses i inversament proporcional al quadrat de la distància que les separa. Això s’expressa per mitjà de la igualtat: →

|F |

100


18/4/08 16:56:50

Dinàmica | 3

En aquesta igualtat, m i m’ representen les masses de les dues par tícules; d és la distància que les separa i G és una constant anomenada constant de gravitació universal. El valor de G no va ser determinat per Newton, sinó per Henr y Cavendish el 1798. Expressat en unitats de Sistema Internacional, és: G = 6,67 × 10–11 N m2/kg2 Per mitjà de la llei de la gravitació universal es pot calcular també la força d’atracció que exerceix una massa esfèrica. Per exemple, per calcular el pes d’un cos, que és la força amb què la Terra l’atrau, n’hi ha prou d’aplicar la llei de Newton, en què m és la massa de la Terra; m’, la massa del cos; i d, la distància entre el cos i el centre de la Terra. Per tant, per als cossos que són a la super fície terrestre, la distància d és el radi de la Terra. De la mateixa forma, es pot calcular amb quina força la Terra atreu els cossos que es troben en qualsevol punt de l’espai exterior. 23. Johannes Kepler (1571-1630).

EXEMPLES 16. A partir de la llei de la gravitació universal, calcula la massa de la Terra, si sabem que el seu radi, R, és de 6 380 km.

m

Sabem que, en la superfície terrestre, un cos de massa 1 kg pesa 1 kp. Això equival a dir que és atret amb una força de 9,81 N quan la distància al centre del planeta és el radi de la Terra.

R

Podem aplicar la llei de la gravitació universal: →

|F | Considerem: →

|F | = 9,81 N, m’ = 1 kg i d = 6 380 km = 6,38 × 106 m.

Si aïllem m (massa de la Terra), s’obté: 5,99 x 1024 kg En aquest exemple precedent acabem de veure que, gràcies a les lleis de Newton, es pot calcular la massa de la Terra. També podem calcular les masses de la Lluna, del Sol i de molts altres astres. Sense aquestes lleis, hauria estat impossible assolir el coneixement que tenim de l’univers. També serien impossibles l’astronàutica i la tecnologia basada en els satèl·lits ar tificials que actualment s’aplica a les comunicacions telefòniques, a la televisió, a la navegació terrestre, marítima i aèria (GPS), a l’obser vació meteorològica, etc.

101


18/4/08 16:56:51

3

| Dinàmica

10

| Teorema de l’impuls mecànic i la quantitat de moviment

Una força que actua sobre un objecte determinat produeix un efecte o un altre, segons l’inter val de temps en què estigui actuant. Per avaluar aquest efecte es defineix una nova magnitud física anomenada impuls mecànic. En el cas d’una força constant, l’impuls mecànic és el producte de la força per l’inter val de temps en què aquesta força actua: →

→

l = F Δt

Així, l’impuls és una magnitud vectorial que té la mateixa direcció i sentit que la força que el produeix. En el Sistema Internacional, s’expressa en N s. Anomenem quantitat de moviment o moment lineal el producte de la massa d’un cos per la seva velocitat. →

→

P=mv

La quantitat de moviment és el producte d’un escalar positiu (m) per un → vector (v ); es tracta, doncs, d’un altre vector de la mateixa direcció i sentit que el vector velocitat. En el Sistema Internacional s’expressa en kg m/s. Un kg m/s és la quantitat de moviment que té un cos d’1 kg que es desplaça a 1 m/s. El teorema de l’impuls mecànic i la quantitat de moviment és una nova manera d’enunciar el principi fonamental de la dinàmica. Diu el següent: L’impuls mecànic de la força resultant que actua sobre un cos es igual al increment de la seva quantitat de moviment. Vegem com amb aquest teorema deduïm de la segona llei de Newton de la dinàmica. →

Si la força resultant F sobre un cos és constant, l’impuls que li comunica → → en un temps constant Δt és: l = F Δt. →

→

Però, pel principi fonamental de la Dinàmica: F = m a . →

→

→

Substituïm aquest valor de F en l’expressió de l’impuls, i resulta: l = m a Δt. Però una força constant produeix un moviment uniformement accele→ → → → → rat, en el qual a Δt = v 2– v 1, i on v 2 és la velocitat final i v 1, la velocitat inicial del mòbil. Substituint aquest resultat en la igualtat anterior, resulta: →

→

→

→

→

→

→

→

→

l = m a Δt = m (v 2 – v 1) = m v 2 – m v 1 = p 2 – p 1 = Δp

Per tant, podem escriure: →

→

l = Δp

102


18/4/08 16:56:51

Dinàmica | 3

Aquesta relació entre l’impuls mecànic i la quantitat de moviment –que hem demostrat per a una força resultant constant–, és igualment vàlida si aquesta força no es manté constant. Però en aquest cas, el càlcul de l’impuls demana una sèrie de coneixements matemàtics que superen els continguts d’aquest curs.

EXEMPLE 17. Un automòbil de 1 200 kg de massa es mou en línia recta a 10 m/s. S’hi aplica una força constant, i en 20 s assoleix una velocitat de 40 m/s en la mateixa direcció i sentit que la inicial. Quina ha estat la intensitat de la força aplicada sobre l’automòbil? Podríem resoldre el problema calculant l’acceleració del mòbil mitjançant les equacions del moviment uniformement variat, i després podríem multiplicar aquesta acceleració per la massa per trobar la força aplicada. Tanmateix, veurem que per mitjà del teorema de l’impuls s’obté també el resultat correcte. Com que el moviment es produeix en una única direcció, no cal utilitzar vectors. En aquest cas: I = Δp = m (v2 – v1) = 1 200 kg × (40 m/s – 10 m/s) = 36 000 kg m/s Aïllem F de la igualtat I = F Δt, i obtenim:

Per tant, la força resultant aplicada ha estat de 1 800 N.

Del teorema de l’impuls deduïm que: La quantitat de moviment d’un cos es manté constant mentre no hi actua cap impuls. Aquesta afirmació equival al principi d’inèrcia. Efectivament, si la quantitat de moviment d’un cos es manté constant, com que la massa és també constant, ho serà la velocitat, és a dir, que el cos estarà en repòs o el seu moviment serà rectilini i uniforme.

11

| Principi de conservació de la quantitat de moviment

Anomenem sistema de partícules un conjunt partícules que aïllem, mentalment, per tal d’estudiar-les. Segons aquesta definició, qualsevol cosa material pot ser considerada un sistema de par tícules, perquè tot cos es pot imaginar format per un conjunt de fragments suficientment petits per anomenar-los par tícules. De vegades, les par tícules d’un sistema es mouen gairebé amb total independència les unes de les altres. És el que passa, per exemple, amb les molècules dels gasos. 103


18/4/08 16:56:51

3

| Dinàmica Les molècules dels líquids no es mouen tan independentment a causa de les forces que exerceixen les unes sobre les altres. Però també pot passar que, a causa de les forces entre les par tícules d’un sistema, les distàncies entre elles es mantinguin pràcticament invariables. És el cas dels anomenats sòlids rígids o indeformables, com ara una biga metàl·lica, una pedra o una ampolla de vidre. Sobre les par tícules d’un sistema es distingeixen dues classes de forces: →

−F 5

→

F4 →

→

−F 3

→

−F 1 F1

−F 4 →

−F 6

→

F2

→

→

F5

→

−F 2 →

F6 →

F3

24. Forces interiors (en blau) i exteriors (en vermell) sobre un sistema format per tres cossos sobre els quals exerceix força un quart cos (en gris) que no pertany al sistema.

• Les forces interiors, que són les exercides entre elles per les partícules del sistema. La reacció de cada una d’aquestes forces és també una força interior (forces blaves de la figura 24). Com que cada acció és igual i de sentit contrari a la reacció corresponent, podem assegurar que la → suma de totes les forces interiors d’un sistema és nul·la: ΣF int = 0. Això no significa que aquestes forces es contrarestin les unes amb les altres; per això haurien d’actuar totes sobre la mateixa par tícula. • Les forces exteriors, que també actuen sobre les par tícules del sistema, però les exerceixen cossos que no per tanyen al sistema (forces vermelles de la figura 24). Les reaccions d’aquestes forces (grises en la figura) actuen sobre cossos aliens al sistema i queden fora del nostre àmbit d’estudi. El teorema de l’impuls mecànic es pot generalitzar per fer-lo aplicable a un sistema. Per això definim la quantitat de moviment d’un sistema de partícules com la suma vectorial de les quantitats de moviment de totes les seves partícules: →

→

→

→

→

psist = p1 + p2 + p3 + ... + pn → → →

→

Considerem un sistema de n partícules i anomenem F 1, F 2, F 3 ... F n, la resultant de les forces que actuen sobre cada partícula. Si apliquem el teorema de l’impuls mecànic a cada par tícula del sistema, tindrem: →

→

→

→

→

→

F 1 Δt = Δp1 F 2 Δt = Δp2 F 3 Δt = Δp3 ... → → F n Δt = Δpn Sumem les anteriors igualtats i resulta: →

→

→

→

→

→

→

→

(F 1 + F 2 + F 3 + ... + F n) Δt = Δp1 + Δp2 + Δp3 + ... + Δpn

(1)

En el primer membre apareix la suma de totes les forces que actuen sobre les par tícules del sistema, que es pot expressar també com la suma de les forces exteriors més la suma de les forces interiors (que es nul·la): →

→

→

→

→

→

→

→

F 1 + F 2 + F 3 + ... + F n = ΣF ext + ΣF int = ΣF ext + 0 = ΣF ext D’altra banda, la suma dels increments dóna la quantitat de moviment de cada partícula és l’increment de la quantitat de moviment del sistema: →

→

→

→

→

Δp1 + Δp2 + Δp3 + ... + Δpn = Δpsist En conseqüència, podem escriure la igualtat (1) de la manera següent: →

→

(ΣF ext) Δt = Δpsist 104


18/4/08 16:56:52

Dinàmica | 3

La igualtat que acabem de obtenir és l’expressió del teorema de l’impuls mecànic i la quantitat de moviment aplicat a un sistema de partícules. Una conseqüència d’aquest teorema és que, si la resultant de les forces → → exteriors és nul·la (ΣF ext = 0), serà també: Δpsist = 0, o, el que és el mateix, la quantitat de moviment del sistema no variarà. Aquesta llei física, per la seva utilitat i per la senzillesa de la seva aplicació, té una enorme importància, i és per això que se’l considera un “principi”. Principi de conservació de la quantitat de moviment Si la resultant de les forces exteriors que actuen sobre un sistema de par tícules és nul·la, la quantitat de moviment total del sistema resta constant. Convé obser var que, malgrat que la resultant de les forces exteriors sigui nul·la, cada una de les par tícules del sistema pot modificar-ne la quantitat de moviment; és només la quantitat de moviment total del sistema la que es conser va. El principi de conser vació de la quantitat de moviment fa referència a magnituds vectorials. Això significa que es pot aplicar per separat a cada una de les components dels vectors. Considerant, per exemple, els compo→ nents en la direcció de l’eix Ox, si el component F x de la resultant de les → forces exteriors sobre un sistema de par tícules és nul·la, la component p x de la quantitat de moviment del sistema és constant.

EXEMPLES 18. Dues boles de billar, de 150 g de massa cada una, estan sobre un pla horitzontal. Una de les boles es desplaça a una velocitat de → 8i (m/s), mentre que la segona està en repòs. Com a conseqüència del xoc entre les dues boles, la primera es mou després del xoc amb → → una velocitat de 4i + 4j (m/s).

→

V1

a) Calcula la velocitat de la segona bola després del xoc. b) Quina ha estat la variació de la quantitat de moviment experimentada per cada bola? a) Es tracta d’un sistema aïllat, ja que la resultant de les forces externes, el pes i la normal, sobre cada bola, s’anul·len. En aquest cas, podem aplicar el principi de conser vació de la quantitat de moviment i igualar les quantitats de moviment inicial i final del → sistema: V1 →

→

→

→

V1

→

p1 + p2 = p1’ + p2’ →

→

→

→

→

→

Aplicat a aquest cas, és: m 8i + m 0 = m (4i + 4j ) + m v 2 →

→

Si dividim entre m i aïllem v 2, s’obté: v 2 = (4i – 4j ) m/s.

→

V2

b) La variació de la quantitat de moviment que experimenta cada bola val: →

→

→

→

→

→

→

→

→

Δp1 = 0,15 × (4i + 4j ) – 0,15 × 8i = –0,6i + 0,6j (kg m s–1) →

→

Δp2 = 0,15 × (4i – 4j ) – 0 = 0,6i – 0,6j (kg m s–1) 105


18/4/08 16:56:52

3

| Dinàmica

19. Un bloc de fusta de massa M = 140 g està en repòs sobre una taula horitzontal. Una bala de massa m = 20 g disparada horitzontalment s’hi incrusta amb una velocitat v0 = 400 m/s. Calcula la velocitat que adquirirà el bloc amb la bala incrustada, suposant nul·les les forces de fregament. Considerem el sistema format per la bala i el bloc. En incrustar-se la bala, els dos cossos exerciran una gran força mútua cada un sobre l’altre. Són forces interiors al sistema. També actua una força exterior, exercida per la Terra: el pes del bloc amb la bala. Però aquesta força és contrarestada per la que exerceix la taula que els sosté. Una altra força exterior, la de fregament, se suposa nul·la. Per tant, es conser varà la quantitat de moviment del sistema. La quantitat de moviment inicial és la de la bala: m v0 La final és la del bloc amb la bala movent-se amb una velocitat v : (M + m) v. Igualem les dues quantitats i tenim: M v0 = (M + m) v Aïllem v, i obtenim: m v0 0,02 kg x 400 m/s v = ———– = —-------------------————— = 50 m/s M+m (0,14 + 0,02) kg Quan, com en aquest cas, dos cossos queden units en xocar, es diu que han experimentat un xoc plàstic o totalment inelàstic. 20. Un home de massa m = 60 kg camina sobre una plataforma de massa m1 = 120 kg que es desplaça amb una velocitat v1 = 2 m/s sobre una via horitzontal pràcticament sense fregament. Una segona plataforma de massa m2 = 100 kg es troba en repòs sobre la mateixa via. Quan està suficientment a prop, l’home salta a la segona plataforma. Si la velocitat final de la segona plataforma amb l’home a sobre és v2 = 1,5 m/s, quina serà la velocitat final de la primera? Considerem el sistema format per l’home i les dues plataformes. Com que els pesos d’aquests cossos queden contrarestats per la força normal que exerceix la via que els sosté, la resultant de les forces exteriors és nul·la i es conser varà la quantitat de moviment del sistema. Si anomenem v1’ la velocitat final de la primera plataforma, tindrem: Quantitat de moviment inicial del sistema: (m1 + m) v1 Quantitat de moviment final del sistema: m1 v1’ + (m2 + m) v2 Si igualem les dues quantitats obtenim l’equació: (m1 + m) v1 = m1 v1’ + (m2 + m) v2 Aïllem v1’, resulta: (m1 + m) v1 – (m2 + m) v2 (120 + 60) kg × 2 m/s – (100 + 60) kg × 1,5 m/s v1’ = ———-----------------------------------------------– = —------------------------------------——--------------------------------------------------------——— = 1 m/s 120 kg m1

106


18/4/08 16:56:53

Dinàmica | 3

RESUM Principi de inèrcia o primera llei de Newton. Tot cos resta en repòs o en moviment rectilini i uniforme mentre no hi actua cap força. Principi fonamental de la dinàmica o segona llei de Newton. L’acceleració d’un cos és directament proporcional a la resultant de les forces que actuen sobre el cos i té la mateixa direcció i → → sentit: ΣF = m a . Principi d’acció i reacció o tercera llei de Newton. Sempre que un cos exerceix força sobre un altre, el segon exerceix sobre el primer una altra força d’igual mòdul i línea d’acció, però de sentit contrari. La unitat de força del SI és el newton (N), que és la força que, aplicada a un cos de massa 1 kg, li comunica una acceleració d’1 m/s2.

Llei de Newton de la gravitació universal. Dues par tícules s’atrauen amb una força directament proporcional a les seves masses i inversament proporcional al quadrat de la distància que les separa: m m' → |F | = G d2 G = 6,67 × 10–11 N m2 kg–2 és la constant de gravitació universal. L’impuls mecànic d’una força constant és el producte de la força per l’interval de temps en què aquesta → → força actua: l = F Δt. S’expressa en N s. La quantitat de moviment o moment lineal és el producte de la massa d’un cos per la seva velocitat: → → P = m v . S’expressa en kg m s–1.

El kilopond (kp) és la unitat de pes usual en la vida quotidiana. No per tany al SI. 1 kp = 9,81 N.

Teorema de l’impuls mecànic. L’impuls mecànic de la força resultant sobre un cos és igual a l’increment de la seva quantitat de moviment.

La relació entre el pes P i la massa m de tot cos és: P = m g.

Un sistema de partícules és un conjunt de par tícules que aïllem per tal d’estudiar-les.

Compleixen la llei de Hooke els cossos elàstics que exerceixen una força directament proporcional a la deformació que experimenten: F = – k x; k és la constant elàstica o constant de recuperació. S’expressa en N/m.

Forces interiors són les exercides entre elles per les partícules d’un sistema. La seva suma vectorial és nul·la.

La força de fregament cinètic entre sòlids és: → → |F R| = μc |F N|; μc és el coeficient de fregament cinètic. El màxim valor de la força de fregament estàtic entre sòlids ve donat per l’expressió: → → |F R| ≤ μE |F N|; μE és el coeficient de fregament està→

tic i F N és la força normal que exerceix el cos sobre la super fície de supor t. Dinàmica del moviment circular uniforme. La resultant de les forces que actuen sobre un cos amb moviment circular uniforme és la força centrípeta, que té el mòdul: →

|F c| =

Forces exteriors són les que actuen sobre les partícules del sistema, però les exerceixen cossos que no per tanyen al sistema. La quantitat de moviment d’un sistema de partícules és la suma vectorial de les quantitats de moviment de totes les seves par tícules. Principi de conservació de la quantitat de moviment. Si la resultant de les forces exteriors que actuen sobre un sistema de par tícules és nul·la, la quantitat de moviment total del sistema es manté constant.

m v2 = m ω2 r r

On v és la velocitat lineal, ω la velocitat angular i r, el radi de la trajectòria.


107

18/4/08 16:56:53

3

| Dinàmica

A C T I V I TAT S 1

Calcula quina força ver tical constant cap amunt cal exercir sobre un cos de massa 200 kg per tal que: a) Pugi amb una acceleració de 3 m/s2. b) Es mantingui pujant amb velocitat constant. c) En un temps de 3 segons disminueixi la velocitat d’ascens de 15 m/s a 9 m/s.

2

Quina força constant cal exercir sobre les rodes d’un automòbil de massa 800 kg per aturar-lo en 4 segons quan s’està movent a 90 km/h?

3

Un automòbil de massa 1 200 kg que circula a 45 km/h, a causa d’un xoc amb un obstacle de grans dimensions, s’atura en un espai de 50 cm. Calcula la força que exerceix l’obstacle contra el vehicle, si la suposem constant

4

5

6

7

Un conductor circula a 72 km/h per una carretera horitzontal en un dia de boira i frena quan veu un obstacle a la calçada a 60 m de distància. L’automòbil, amb el seu conductor, té una massa total de 1 200 kg i la força de frenada que actua sobre el vehicle és de 3 000 N. Raona si el cotxe xocarà o no amb l’obstacle. Un automòbil arrossega un remolc de massa m = 400 kg. Par teix del repòs i aconsegueix una velocitat v = 81 km/h en 20 segons amb moviment uniformement accelerat. A continuació es desplaça durant 2 minuts a aquesta velocitat. Finalment, s’atura en 120 m amb acceleració constant. La força resistent pel fregament del remolc és de 500 N i se suposa constant. Calcula la força que exerceix l’enganxall sobre el remolc en cada una de les tres fases del moviment. Un mòbil puntual es desplaça amb moviment rectilini uniformement variat. La seva accele→ → → ració es a = 48i + 14j (m/s2). Calcula’n la massa, si sabem que sobre el mòbil actua → una força |F | = 2,5 N.

Del sostre d’un automòbil penja un pèndol de 52 cm de longitud. Quan el vehicle accelera, el cos que penja del fil se separa 20 cm de la ver tical que passa pel punt de suspensió. Calcula l’acceleració del cotxe. →

a

52 cm

Principi fonamental de la dinàmica

20 cm

Principi d’acció i reacció 8

Una locomotora té una massa m = 70 tm i arrossega un vagó de massa m’ = 50 tm amb una acceleració de 0,5 m/s2. Calcula la força que exerceix l’enganxall i la força mútua entre les rodes de la locomotora i la via.

9

Un cos de massa m1 = 300 g penja d’un fil. Un altre cos de massa m2 = 100 g penja de l’anterior per mitjà d’un segon fil (vegeu la figura). Si s’exerceix una força de 6 N cap amunt sobre el primer fil, amb quina acceleració es mourà el sistema i quina serà la tensió del segon fil?

6N

300 g

100 g

108


18/4/08 16:56:54

Dinàmica | 3

DIFICULTAT:

MITJANA

SENZILLA

ALTA

SENSE CLASSIFICAR

10

Si un home de 60 kg es pesés en una petita bàscula de bany, col·locada sobre el terra d’un ascensor que baixa amb acceleració constant de 0,4 m/s2, què marcaria la bàscula? Expressa el resultat en kp. I si l’ascensor baixés amb una velocitat constant de 2 m/s?

11

Un home es pesa en una bàscula de bany col·locada al terra d’un ascensor aturat. La bàscula indica 64 kp. Calcula l’acceleració del ascensor quan es posa en marxa, si la bàscula marca en aquest moment 68 kp. Què marcarà la bàscula quan l’ascensor pugi frenant amb una acceleració de 2 m/s2?

12

De cada un dels extrems d’un fil que passa pel coll d’una petita corriola fixa penja un cos de massa 200 g. D’un dels cossos se suspèn una massa suplementària i s’observa que el sistema es mou amb una acceleració de 2 m/s2. Calcula la massa afegida i la tensió del fil durant el moviment accelerat. (Dada: g = 10 m/s2.)

13

Dos cossos, de massa 1,2 kg cada un, pengen dels extrems d’un fil inextensible que passa per una corriola fixa de massa negligible. Quina massa caldrà afegir a un dels extrems perquè, par tint del repòs, recorri 5 m en 5 segons amb moviment uniformement accelerat?

Representa gràficament l’allargament de la molla en funció de la força aplicada. Dedueix, a par tir de la gràfica, quins pesos hem suspès de la molla si s’ha allargat en cada cas: a) 20 cm. b) 35 cm. c) 45 cm. 15

Fregament cinètic 16

Un cos de massa m = 50 kg es troba sobre un pla horitzontal. El coeficient de fregament cinètic per lliscament entre aquest cos i la super fície del pla és μ = 0,25. Calcula amb quina força caldrà empènyer aquest cos horitzontalment: a) Perquè es desplaci sobre el pla amb velocitat constant. b) Perquè es desplaci amb una acceleració a = 2 m/s2.

17

Un cos de massa m = 25 kg es llança lliscant sobre un pla horitzontal i amb una velocitat inicial v0 = 20 m/s. El coeficient de fregament cinètic entre aquest cos i el pla és μ = 0,4. Calcula el valor de la força de fregament i la distància que el cos recorrerà fins que s’aturi.

18

Un cos és impulsat sobre un pla horitzontal i llisca amb una velocitat de 6 m/s. En un instant determinat, la força que l’impulsava s’atura i s’observa que el cos recorre 9 m fins que queda en repòs. Calcula el coeficient de fregament cinètic per desplaçament entre el cos i el pla.

19

Un cos de massa m = 500 g es troba sobre una super fície horitzontal. El coeficient de fregament cinètic per lliscament entre tots dos és μ = 0,1. Calcula’n l’acceleració si s’hi aplica una força

Llei de Hooke 14

Es mesuren els allargaments d’una molla de la qual s’han suspès diversos pesos. Els resultats obtinguts apareixen a la taula següent: Força/N

Allargament/m

3

0,065

7

0,155

10

0,22

13

0,29

17

0,38

Una molla de 20 cm de longitud presenta una longitud de 25 cm quan hi pengem un objecte de 4 kg de massa. a) Calcula la constant elàstica de la molla en N/m. b) Quant s’allargarà la molla per cada N de força que l’estiri?

109


18/4/08 16:56:54

3

| Dinàmica

F = 2 N, dirigida obliquament cap avall i que forma un angle de 45° amb el pla horitzontal. 20

21

Un cos de massa m = 5 kg llisca sobre un pla horitzontal. El coeficient de fregament cinètic per lliscament entre ells és μ = 0,75. S’hi aplica una força constant F = 40 N en una direcció que forma un angle α amb la horitzontal. Expressa l’acceleració del cos en funció de α.

24

Sobre el terra horitzontal d’un vehicle que es mou a 54 km/h hi ha un objecte de massa m. El coeficient de fregament estàtic per lliscament entre l’objecte i el terra del vehicle és μ = 0,1. Si el vehicle frena i s’atura en un espai de 75 m, lliscarà l’objecte sobre el terra?

25

Un cos de massa m 1 = 2 kg que pot lliscar sobre un pla horitzontal està lligat a l’extrem d’un fil que passa per una petita corriola fixa, tal com es veu a la figura. El coeficient de fregament estàtic entre el cos i el pla és μ = 0,25. De l’altre extrem del fil penja un segon cos de massa m 2 = 3 kg. S’aplica una força horitzontal F al primer cos perquè el conjunt resti en repòs. Entre quins valors pot variar la intensitat d’aquesta força?

Els tres cossos representats en la figura estan units per fils inextensibles i de massa negligible. El coeficient de fregament cinètic per lliscament entre cada un dels cossos i el pla horitzontal sobre el qual es recolzen és μ = 0,3. Calcula l’acceleració del sistema i la tensió dels dos fils quan s’aplica al sistema la força de 200 N indicada en la figura.

10 kg

10 kg

20 kg

→

2 kg

F

200 N

3 kg

Fregament estàtic 22

23

Un home es troba sobre una super fície horitzontal. El coeficient de fregament estàtic entre les soles de les seves sabates i el terra és μ = 0,4. Calcula l’acceleració màxima amb què podrà córrer si no té cap altre punt de supor t més que el terra. Anomena m la massa de l’home i considera g = 9,8 m/s 2. Un home de massa m 1 = 80 kg intenta arrossegar sobre una super fície horitzontal un bloc de massa m 2 = 300 kg. El coeficient de fregament estàtic per lliscament entre el bloc i el terra és μ 1 = 0,8, i el que hi ha entre l’home i el terra, μ 2 = 0,2. Explica raonadament si podrà arrossegar el bloc.

Moviment sobre plans inclinats 26

Un cos està sobre un pla inclinat amb un angle α tal que sin α = 0,6 i cos α = 0,8. El coeficient de fregament cinètic per lliscament entre els dos és μ = 0,4. Dibuixa totes les forces que actuen sobre aquest cos i calcula l’acceleració amb què baixarà pel pla inclinat.

27

Un cos es troba en repòs en la posició més alta d’un pla inclinat de 30 m de longitud i 5 % de pendent. Si el coeficient de fregament per lliscament entre aquest cos i el pla és μ = 0,02, quina velocitat assolirà quan arribi a la par t més baixa del pla si el deixem lliscar lliurement?

110


18/4/08 16:56:55

Dinàmica | 3

28

29

Un trineu de massa m = 70 kg llisca per un pendent de 30° d’inclinació amb una velocitat v 0 = 2 m/s. El coeficient de fregament cinètic per lliscament entre el trineu i la neu és μ = 0,2. Calcula la velocitat que assolirà el trineu quan hagi recorregut 20 m.

el coeficient de fregament cinètic, μc = 0,25. Quan deixem anar el cos, baixarà o no pel pla inclinat? Quina força de fregament actuarà sobre el Mcos? Respon les mateixes m preguntes suposant que el pendent del pla és del 15 %.

→

F M

M

Un cos es troba en repòs sobre un pla inclinat de 17 m de longitud que té el punt més elevat a 8 m d’altura. Si el deixem baixar lliurement lliscant sobre el pla → M F sense comunicar-li cap impuls, obser vem que, en els 2 primers segons, llisca 5 m.M Calcula elM coeficient de fregament cinètic per lliscament entre aquest cos i el pla inclinat.

Resum de les lleis de Newton

→

F

→

30

Un cos de massa m = 250 kg és sostingut en repòs sobre un pla inclinat de pendent 50 %. El coeficient de fregament estàtic per M → F lliscament entre el cos i el pla és μe = 0,3, i M M M

F

→

F

m

32

M

M

→

F

31

M

→

F

31 - 45 Per a totes les figures següents, són vàlides aquestes dades: m M M = 6 kg m = 2 kg F = 75 N μ = 0,4 sin α =M0,6 cos α = 0,8 g = 10 m/s2 M m Se suposa que les politges que apareixen en algunes de les figures tenen massa negligiM m on ble i que només hi ha fregament allà → F apareix la lletra grega μ. M Calcula, en cada cas, l’acceleració del sistema → representat a la figura Fi la tensió del fil, si és M que n’hi ha. m

33

M

M M

M m

M

M

→

F

→

M

M

→

F

M M →

F

M

M

34

35

m

M

36 →

F

M →

M

→

m

M

m

→

M

m

M

M

m M

→

F

M

M

MM

M M m

M U03_Fis1_Bach.indd 111

M

→

F

m →

M

F

→

→

M

m m

mm

M F

F

M M

M

m MM m

M

F

M

m

M

F

F

M M

→

→

m →

M

F

M m m

→

m

→

M

M M m

F

→

F

M

m

m

M→ F M

→

F m

M

M

M

m m

M

39

M

→

F

m

m

M

→

F

M M

→

F

→

F

→

M

38

M

m

→

F

F

M

37

M

M

m

M

M

F

→

F

F

F

m

MMM

M

→

M

→

F

m m

M

m

→

→

M

M

m

F

M

F

F

M

F

→

MM

F

M

M

→

m

m

M M →

F

M

→

F

→

F

→

F

MM

m

F

111 m m

M

M M

18/4/08 16:56:55

F

M

m

M

M

M

3

→

F M

| Dinàmica M

→

M

m

M

M

41 M

m

M

M

F M

M

F →

F

MF

F

m

m

44 M

→

M M

M

F

M

M

m

M

F

m

M

M

m m

MM →

m

45

→

F

→

F

mm M

m

43 M

M

M

M

M

F

m

M MM

→

→

42

M

M m

F

m

→

→

M

M

m

→

M

M

M

40 →

→

F

M

→

F

M

F

m

m

M

F

m

M

→

F

m

→

M

m m

M

M

→

F

M

F

→

F

→

m

M

Dinàmica del moviment circularMuniforme m

MM

46

→

F

m

→

F M

m m

50

m

Quina força cal aplicar M Ma un cos de massa 4 kg que es mou amb una velocitat de 5 m/s perquè descrigui una circumferència de 50 cm de m radi sense variar el mòdul de la seva velocitat? Quina direcció ha de tenir aquesta força? m MM

47 M

M →

F

48

49

→ Un cos de 100 g es desplaça F amb una velom de 20 m/s. A par tir d’un instant determinat, s’hi aplicaMuna força de 50 N que es manté constantment perpendicular a la direcció del moviment. Calcula el radi de la m trajectòria que descriurà i el nombre de voltes que farà cada segon. m

mcitat

Un automòbil de 1 200 M kg de massa descriu un revolt de 50 m de radi sobre una carretera de super fície horitzontal. Calcula la velocitat lineal màxima a la qual pot recórrer el revolt sense derrapar, si el coeficient de fregament estàtic per lliscament entre les rodes i el terra val 0,4. Un noi fa girar una pedra lligada a l’extrem d’una corda de 60 cm de longitud a una velocitat angular de 300 rev/min, en una circumferència vertical. Si la massa de la pedra és de 150 g, calcula les tensions de la corda quan la pedra passa per les posicions més alta i més baixa de la seva trajectòria.

M

m

M

Fem girar una pedra de 50 g en M un pla ver tical lligada a una corda de 40 cm de longitud. Quina serà la tensió de la corda M quan la pedra es trobi en el punt més alt de la seva trajectòria si la velocitat lineal és, en aquest moment, de 3 m/s? Quin serà el valor mínim de la velocitat perquè m la corda es mantingui tensa quan la pedra M M passa pel punt més alt de la M circumferència? (Dada: g = 10 m/s2.)

51

M

→

T

r 50 cm

→

P

Un cos de massa m que penja d’un fil de 130 cm de longitud (vegeu la figura) descriu una circumferència de 50 cm de radi. Calcula la velocitat angular d’aquest moviment en rps. (Tingues en compte que sobre el cos hi actuen solament dues forces: el seu pes, P, i la

112


18/4/08 16:56:56

Dinàmica | 3

quina en serà la velocitat final? Aplica el teorema de l’impuls mecànic i la quantitat de moviment.

tensió del fil, T. La resultant de les dues forces és la força centrípeta, Fc.) Llei de la gravitació universal 52

53

Quin és el pes, a la super fície de la Terra, d’un cos de 500 g de massa? Amb quina força és atret aquest cos quan es troba a 10 000 km del centre de la Terra? I a una altura, sobre la super fície de la Terra, de 10 000 km? (Dades: massa de la Terra: 5,98 × 1024 kg; radi de la Terra: 6 370 km; constant universal de gravitació: G = 6,67 × 10–11 N m2 kg–2.) Quin seria el pes a la superfície del planeta Mart d’un astronauta que, amb l’equip complet, té una massa de 150 kg? Quina és l’acceleració de la gravetat a Mart? (Dades: massa de Mart: 6,4 × 1023 kg; radi de Mar t: 3,4 × 106 m.)

54

La massa de la Terra és 81 vegades la massa de la Lluna. La força d’atracció gravitatòria entre la Terra i la Lluna és de 2,0 × 1020 N. Calcula la distància entre els centres de la Terra i la Lluna, i dóna el resultat amb dues xifres significatives, en notació científica. (Dades: constant universal de gravitació: G = 6,67 × 10 –11 N m 2 kg –2; massa de la Terra: 5,98 × 10 24 kg.)

55

Un planeta té una massa igual a la meitat de la massa de la Terra, i el seu radi també és la meitat del de la Terra. Si un objecte pesa 40 N a la superfície de la Terra, quin serà el pes d’aquest objecte a la superfície del planeta esmentat?

56

El pes d’un cos a la superfície de la Terra és de 360 N. A quina altura de la superfície de la Terra haurem de situar-lo per tal que la força d’atracció gravitatòria de la Terra sobre aquest cos sigui de 90 N? (Dada: radi de la Terra: 6,37 × 106 m.)

58

Sobre un mòbil de massa 50 kg hi actua una → força F constant en mòdul, direcció i sentit. A l’instant t = 0, la seva velocitat és → → → v 0 = 4i – 6j (m/s). A l’instant t = 3 s, és → → → → v = 16i – 9j (m/s). Calcula la força F fent ser vir el teorema de l’impuls mecànic i la quantitat de moviment,

59

A l’instant t = 0, la velocitat d’un mòbil és → → → v 0 = 4i – 5j (m/s). A l’instant t = 3 s, és → → → v = 16i + 4j (m/s). Sabem que, durant aquest temps, ha actuat una força constant sobre el mòbil i que la seva massa és de 2 kg. Calcula el mòdul d’aquesta força.

60

Un tennista colpeja amb la raqueta una pilota de tennis que es movia en una direcció a 90 km/h. Després del cop, la pilota es mou en la mateixa direcció, però en sentit contrari a l’inicial, a una velocitat de 144 km/h. La massa de la pilota és de 80 g, i el temps de contacte entre la raqueta i la pilota ha estat de 0,02 segons. a) Calcula la força mitjana que ha actuat sobre la pilota. b) Quin valor té la variació de la quantitat de moviment de la raqueta com a conseqüència del xoc?

61

Una bola de billar de 100 g de massa xoca amb una velocitat de 2 m/s contra una de les bandes de la taula sense perdre velocitat. La trajectòria de la bola, tant abans com després de xocar i desviar-se, forma un angle de 30° amb la banda. Calcula l’impuls mecànic que rep la bola en el xoc.

Principi de conservació de la quantitat de moviment 62

Amb un fusell de massa m1 = 3 kg es dispara una bala de massa m2 = 20 g, que sur t amb una velocitat de 900 m/s. Calcula la velocitat de retrocés del fusell.

63

Un cos de 400 g cau verticalment. A l’instant en què la seva velocitat és de 12 m/s s’hi

Impuls mecànic i quantitat de moviment 57

La velocitat d’un mòbil de massa m = 20 kg → → → és v = i – 4j (m/s). Si s’hi aplica una força → → → constant F = 4i + 2j (N) durant 10 segons,

113


18/4/08 16:56:57

3

| Dinàmica

incrusta una bala de 40 g que es mou horitzontalment a 300 m/s. Calcula la velocitat del bloc amb la bala immediatament després de l’impacte. 64

65

69

→

Un carretó de massa 5 kg es mou amb una velocitat de 4 m/s sobre una super fície plana i horitzontal. Es deixa caure ver ticalment una bossa de sorra, que queda sobre el carretó, i s’obser va que la velocitat es redueix a 2,5 m/s. Considerant negligible el fregament, calcula la massa de la bossa de sorra. Un nen de 40 kg llisca a una velocitat de 6 m/s sobre el terra horitzontal amb un monopatí de 5 kg, quan salta en la direcció i sentit de la marxa amb una velocitat de 8 m/s respecte del terra. Determina la velocitat i el sentit del moviment del monopatí després del salt.

66

Un cos de 200 g de massa, que es mou a 9 m/s, xoca contra un altre, de 300 g, que està en repòs. L’impacte fa que la velocitat del primer es desviï 90° de la direcció inicial i disminueixi a 3 m/s. Calcula la velocitat del segon cos després del xoc.

67

Dues embarcacions, A i B, de masses mA = 300 kg i mB = 225 kg, floten sobre la superfície en repòs d’un llac, alineades i amb les proes orientades en sentits oposats. Un home salta de l’embarcació A a la B, de manera que les dues embarcacions comencen a moure’s a 1 m/s en sentits contraris. Calcula la massa de l’home i el component horitzontal de la seva velocitat en el salt.

→ →

→

Calcula amb quina acceleració es mourà. 70

Un ascensor de 300 kg de massa puja amb una acceleració de 2 m/s2. El cable tira amb una força de 400 N i sobre l’ascensor també hi actua una força cap avall causada pel fregament. Calcula el valor d’aquesta força.

71

Un cos A exerceix una força F sobre un altre cos B. Indica si les característiques següents → de F són iguals o diferents de les de la seva reacció i, si són diferents, explica la diferència: a) Mòdul. b) Direcció. c) Sentit. d) Línia d’acció. e) Cos que l’exerceix. f) Cos sobre el qual actua. g) Tipus de força.

72

Sobre la superfície horitzontal d’una taula de 7 kg de massa s’ha col·locat una caixa de 5 kg. Fes un esquema de totes les forces que actuen sobre la taula, indica’n el valor i explica quina és la reacció de cada una.

73

Un vehicle avariat és arrossegat per un cable amb moviment accelerat. Raona si l’acceleració és deguda al fet que el cable tira del vehicle amb més força que el vehicle tira del cable.

74

L’escala d’un dinamòmetre té 8 cm de longitud i està graduada de 0 a 20 N. Quant val la constant elàstica de la seva molla? Quant s’allargarà si hi pengem un pes de 6 N?

75

Explica les diferències entre els fregaments per lliscament cinètic i estàtic pel que fa a:


Raona quins dels cossos següents estan en equilibri. a) Un llibre en repòs sobre una taula. b) Un cotxe que circula per una carretera recta amb velocitat constant. c) Una poma que cau d’un arbre. Què es pot afirmar sobre el valor de la força resultant que actua sobre cada un d’aquests cossos?

Sobre un cos de massa 12 kg, col·locat sobre una superfície horitzontal sense fregament, s’apliquen les forces representades a la figura.

→

114


18/4/08 16:56:57

Dinàmica | 3

76

a) Les condicions necessàries perquè aparegui la força de fregament. b) El càlcul de la intensitat de la força de fregament. c) El valor del coeficient de fregament.

81

Per equilibrar la roda d’un cotxe, s’hi ha collocat una peça de plom de 80 g a una distància de 25 cm de l’eix de rotació. Determina el valor de la força centrípeta que experimenta aquesta peça quan la roda gira a 720 rev/min.

Un cos que pesa 15 N està en repòs sobre una super fície plana i horitzontal. El coeficient de fregament estàtic per lliscament entre el cos i la super fície es 0,6.

82

En un circuit horitzontal sense peralts, un cotxe agafa sense problema un revolt de radi r amb velocitat v. Raona en quin dels casos següents és més fàcil que patini i sur ti de la pista: a) Quan agafa el mateix revolt a una velocitat 1,5 v. b) Quan agafa un revolt de radi 0,5 r amb velocitat v.

83

Un cos pesa 1 N a la super fície de la Terra. Calcula quant pesaria a la super fície d’un planeta:

Quin serà el valor de la força de fregament si s’aplica al cos una força horitzontal de 8 N? I si la força és de 10 N? 77

78

Explica com determinaries el coeficient de fregament estàtic per lliscament entre un cos i el terra de la teva habitació utilitzant un dinamòmetre. Un bloc està en contacte amb una placa plana ver tical. Quan la placa es mou amb → una acceleració a en la direcció i sentit que s’indica en la figura, s’observa que el cos no cau, sinó que es manté com si estigués enganxat a la placa. Intenta explicar aquest fet considerant totes les forces que actuen sobre el bloc.

a) De la mateixa massa que la Terra i doble radi. b) De la mateixa densitat que la Terra i doble radi. Tingues en compte que el volum del planeta seria 23 = 8 vegades el de la Terra. 84

→

79

Un cos de 5 kg, situat sobre un pla inclinat 30°, es manté en repòs a causa del fregament. Fes un esquema de les forces que actuen sobre aquest cos i calcula la intensitat de cada una.

80

Calcula la força que cal aplicar a un cos de 100 kg en la direcció del moviment per tal que es mogui amb una acceleració de 3 m/s 2 : a) Sobre un pla horitzontal sense fregament. b) Quan puja per un pla inclinat 45° sense fregament. c) Quan puja ver ticalment.

Considera el sistema físic format per un automòbil i el conductor. Indica quines de les forces següents són forces interiors o exteriors i quines no actuen sobre el sistema: a) El pes del conductor. b) La força que exerceix el cotxe contra el terra. c) La força que exerceix l’aire contra el cotxe. d) La força que exerceix el conductor sobre el fre. e) La força de fregament del terra sobre les rodes. f) La força que exerceix el motor sobre els eixos de les rodes.

85

Si canvia únicament la direcció de la velocitat d’un mòbil: a) En varia la quantitat de moviment? b) S’hi ha aplicat un impuls mecànic? Raona les respostes.

86

Un cos A, de 300 g, es mou a 2 m/s. Un altre cos B, de 200 g, es mou darrere del primer a 10 m/s en la mateixa direcció i

115


18/4/08 16:56:58

3

| Dinàmica

sentit. Quan xoca amb A, la velocitat de B es redueix a 4 m/s sense canviar de direcció. Calcula com canvien en el xoc les quantitats de moviment de A, de B i del conjunt dels dos cossos. Indica si es produeixen o no aquests canvis i explica per què.

Investiga 87

Busca informació sobre els valors del coeficient de fregament per lliscament entre les super fícies de cossos sòlids formats per diversos materials. Presenta la informació obtinguda en forma de taula.

88

Investiga sobre com s’impulsen els coets espacials. Quins principis físics que ja coneixeu s’apliquen per explicar-ho?

89

Busca una aplicació informàtica que et permeti simular el pla inclinat. L’objectiu és esbrinar per diferents coeficients dinàmics (o cinètics) de fricció per lliscament, quin angle d’inclinació correspondrà a una acceleració aproximadament nul·la.

Per això escollim un cos d’una massa, per exemple de 10 kg, que deixarem baixar per un pla inclinat, amb una velocitat inicial d’1 m/s en sentit descendent. Elabora una taula amb els valors del coeficient de fricció dinàmic: 0,1; 0,2; 0,3; 0,4; 0,5; 0,6 i 0,7. Per cadascun d’aquests valors, fes córrer la simulació i anota l’angle pel qual l’acceleració és més propera a zero, i anota també el valor d’aquesta acceleració. En acabat, en una quar ta columna de la taula, anota els valors de les tangents dels angles que has determinat experimentalment. a) Es pot inferir alguna relació entre el valor del coeficient de fricció i la tangent de l’angle d’elevació del pla inclinat, pel qual l’acceleració és nul·la? b) Dibuixa un esquema de les forces que actuen en els casos de l’apar tat anterior. c) Demostra, analíticament, la relació que has trobat experimentalment. A www.ecasals.net trobaràs una llista de pàgines web que t’ajudaran a iniciar la investigació i a efectuar la simulació proposada.

116


18/4/08 16:56:58

4 | L’energia i la seva transferència

El primer a utilitzar la paraula energia en el sentit que se li dóna actualment va ser el físic anglès Thomas Young (1773-1829) al principi del segle xix. Podem afirmar que és un concepte recent en la història de la humanitat. Actualment, fem servir tant aquesta paraula, que n’assumim el significat com si fos clar i evident. De fet, el concepte general d’energia no es pot definir. Només es descriuen els diferents tipus d’energia. L’univers està constituït per matèria i energia. Això fa palesa la gran importància d’aquest concepte. Avui en dia es creu que matèria i energia són formes diferents d’una mateixa realitat. L’objectiu d’aquesta unitat és avançar en el coneixement de l’energia, de les seves formes i les seves propietats, basant-nos en les destreses i els conceptes adquirits amb l’estudi de la cinemàtica i la dinàmica.


21/4/08 13:54:00

4

| L’energia i la seva transferència

1 | Treball d’una força constant En el llenguatge quotidià, anomenem treball la realització de tasques molt diverses que suposen un esforç físic o intel·lectual. Tanmateix, en física aquest terme té un significat molt més precís i restringit. Per tal que resulti fàcilment comprensible, introduirem el concepte de treball a través d’un exemple concret. Imaginem que empenyem un carretó en línia recta i en una super fície horitzontal (Fig. 1). Si l'empenyem amb una força constant d’intensitat F el carretó experimentarà un desplaçament Δs en aquesta mateixa direcció. El producte F Δs s’anomena treball, i es representa amb la lletra W.

→

F

s 1. El treball és el producte de la intensitat F de la força pel desplaçament Δs.

El treball d’una força constant que es desplaça sobre la seva línia d’acció és el producte de la intensitat de la força pel desplaçament realitzat. W = F Δs La unitat de treball del SI és el joule, i el seu símbol és J. Un joule és el treball que fa una força d’1 N quan el seu punt d’aplicació es desplaça 1 m sobre la seva línia d’acció. Segons aquesta definició: 1 J = 1 N × 1 m. Quan la força que actua sobre un cos té el mateix sentit que el moviment (força motriu), el treball que fa és positiu, ja que F i Δs tenen el → mateix signe. F És el cas de l’exemple de la figura 1. n

→ sentit oposat al del moviment (força resistent), En canvi, si la força té F F i Δs tenen signes contraris i el treball realitzat és negatiu. És el que passa, per exemple,→ quan la força de fregament frena un cos en moviFt ment (Fig. 2).

s

→

Fr

→

2. La força de fregament FR fa un treball negatiu quan frena el cotxe.

118


21/4/08 13:54:11

L’energia i la seva transferència | 4

En molts casos, la força aplicada a un cos no té la mateixa direcció del moviment. És el que passa, per exemple, quan fem que un cos es desplaci sobre una super fície horitzontal estirant-lo per mitjà d’una corda inclinada (Fig. 3).

→

Fn →

F →

Ft s 3. Quan la força no té la direcció del desplaçament, realitza el treball el seu component tangencial Ft.

En aquest cas, descompondrem en dos la força aplicada: una, anomenada component tangencial, en la direcció del moviment (tangent a la trajectòria); i l’altra, anomenada component normal, en direcció perpendicular a la del → moviment. La component tangencial, que designem per mitjà de F t, és la que fa augmentar o disminuir la velocitat del cos i fa tot el treball. La component → F n, perpendicular a la trajectòria (força deflectora) només fa canviar la direcció del moviment i no fa treball. →

En conseqüència, el treball realitzat per la força F és: W = Ft Δs Aquesta expressió es pot aplicar sempre que Ft sigui constant, tant si la trajectòria és recta com si és corba. La component tangencial Ft de la força es pot calcular per mitjà de l’expressió trigonomètrica de la projecció d’un segment: Ft = F cos ϕ. Tenint en compte aquesta igualtat, podem expressar el treball com: W = F Δs cos ϕ Aquesta expressió és aplicable quan la força és constant i la trajectòria és recta. El treball es pot expressar també com el producte escalar dels vectors força i desplaçament: → →

W = F Δr →

Aquesta expressió és aplicable si F és constant en mòdul, direcció i sentit, tant si la trajectòria és recta com si és corba. És impor tant obser var que hem definit el treball d’una força. És a dir, tot i que sobre un cos actuïn simultàniament diverses forces, podem calcular separadament el treball realitzat per cada una. La suma dels treballs realitzats per diverses forces concurrents aplicades a un cos és igual al que fa la força resultant. També és possible definir el treball d’una força no constant, és a dir, que va variant d’intensitat i direcció al llarg del recorregut. Malgrat tot, això requereix uns coneixements matemàtics més avançats que els propis d’aquest curs. 119


21/4/08 13:54:11

4


EXEMPLES 1.

Calcula el treball que es realitza quan es fan 20 voltes a una maneta de radi r = 20 cm, aplicant-hi una força tangencial de 15 N. Com que la força es manté tangent a la circumferència que descriu, es tracta d’un cas en el qual la força tangencial és constant: Ft = 15 N. En aquest cas, el treball es pot calcular com el producte de la força tangencial per la longitud de l’arc de trajectòria recorregut, Δs. Si la maneta fa 20 voltes:

cm

Ft

20

Δs = 20 × 2πr = 20 × 2π × 0,2 m = 25,13 m El treball realitzat és: W = Ft Δs = 15 N × 25,13 m = 377 J. 2.

Un cos es desplaça des del punt A (–2, 1) fins al B (4, 3), les coordenades dels quals s’han expressat en metres. Sobre aquest punt actua una força constant → → → → F = 3i – 5j (N). Quin treball fa la força F en aquest desplaçament? El desplaçament que fa el mòbil s’obté restant els vectors de posició final i inicial: →

→

→

→

→

→

→

→

→

Δr = r B – r A = (4i + 3j ) – (–2i + j ) = 6i + 2 j

El treball és el producte escalar de la força pel desplaçament: → →

→

→

→

→

W = F Δr = (3i – 5 j ) · (6i + 2 j ) = 3 × 6 – 5 × 2 = 8 →

El treball realitzat per la força F és W = 8 J.

3.

Un bloc de massa m = 5 kg és arrossegat sobre una superfície plana i horitzontal per mitjà d’una corda. → Per això, s’aplica a la corda una força F de 40 N en direcció horitzontal. El coeficient de fregament cinètic entre el bloc i la superfície en què es recolza és μ = 0,5. →

Calcula el treball que fa el pes de cos, la força F i la força de fregament quan el bloc es desplaça 8 m. (Dada: g = 10 m/s2.) El pes del bloc és P = m g = 5 kg × 10 m/s2 = 50 N. La reacció normal del pla, N, és igual i de sentit contrari. La força exercida per la corda és F = 40 N.

→

N

→

→

F

FR

La força de fregament sobre el bloc és:

→

P

FR = – μ |N| = –0,5 × 50 N = –25 N El signe negatiu és degut al fet que té sentit oposat al del moviment (que havíem adoptat com a positiu).

c2u4ejem 1

El desplaçament del bloc és Δs = 8 m. El treball realitzat pel pes del cos és nul, perquè és perpendicular al desplaçament: WP = P × Δs × cos 90° = 50 N × 8 m × 0 = 0 J →

El treball realitzat per la força aplicada F és: WF = F Δs = 40 N × 8 m = 320 J. →

El treball de la força de fregament F R és: WR = FR Δs = –25 N × 8 m = –200 J.

120


21/4/08 13:54:13


2 | Condicions perquè s’efectuï treball Obser vem que, segons la definició de treball establer ta en l’apar tat anterior, calen tres condicions perquè s’efectuï treball: • Que una força actuï sobre un cos. • Que es mogui el punt d’aplicació d’aquesta força. • Que la direcció del moviment no sigui perpendicular a la força. →

→

F

→

4. La força F que exerceix la dona quan aguanta la càmera no fa treball perquè el seu punt d’aplicació no es mou.

F

→

5. La força F que exerceix l’automòbil sobre la caixa no efectua treball perquè és perpendicular al moviment.

Així doncs, per exemple, la força que exercim per aguantar un pes immòbil (Fig. 4), encara que arribi a produir-nos un gran cansament, no efectua treball, ja que el seu punt d’aplicació no es desplaça. Tampoc no efectua treball la força que fa la baca d’un automòbil per sostenir una maleta sobre el vehicle (Fig. 5). Això es deu al fet que, en aquest cas, la força exercida es manté constantment perpendicular al moviment.

3 | Energia A l’univers, a la natura o al nostre voltant contínuament tenen lloc transformacions o canvis que necessiten energia per produir-se. Simplement amb l’activitat del nostre cos provoquem constantment variacions en el nostre entorn. Per fer-ho en tenim prou amb l’energia apor tada pels aliments que ingerim. Però moltes transformacions requereixen una energia molt superior a l’apor tada pel cos humà i hem de recórrer a altres fonts que ens la proporcionin. Encara que la quantitat d’energia que hi ha a la natura és enorme i només en necessitem una ínfima par t, per poder-la utilitzar hem hagut d’idear mitjans nombrosos i molt diversos, com ara centrals i xarxes elèctriques, motors, explosius, etc. En el món actual, el desenvolupament econòmic i el benestar depenen tant de l’ús de l’energia, que qualsevol problema relacionat amb aquest camp és de gran transcendència. Una par t de l’energia que tenen els cossos és l’energia mecànica, que es compon de l’energia cinètica –deguda al moviment– i l’energia potencial –que depèn de la posició del cos en un camp de forces (com pot ser un camp gravitatori o elèctric).

Macroscòpic i microscòpic Anomenem macroscòpic allò que té una mida suficient per poder-ho veure a simple vista. Qualifiquem de microscòpic allò que és tan petit que només es pot veure amb l’ajuda d’un microscopi. Per extensió, s’anomena microscòpic tot el que és extremadament petit. En aquest sentit podem dir, per exemple, que els electrons són microscòpics, encara que no siguin visibles amb els microscopis més potents.

L’energia mecànica dels cossos és una energia a nivell macroscòpic. Però les partícules que els conformen també tenen una energia a nivell microscò121


21/4/08 13:54:14

4

| L’energia i la seva transferència pic que podem considerar emmagatzemada a l’interior de la matèria. Aquesta energia rep el nom d'energia interna de la matèria. L’energia corporal dels éssers vius, la dels aliments, la dels combustibles i explosius, són essencialment energia interna.

6. La saltadora al trampolí té energia potencial.

7. La saltadora, quan arriba a l’aigua, té energia cinètica.

Així doncs, podem establir la següent classificació de l'energia dels cossos: Energia mecànica Energia

Energia cinètica Energia potencial

Energia interna Sempre que s’efectua treball es produeix una transmissió o transformació de l’energia. El treball efectuat constitueix una mesura de l’energia transmesa o transformada. És per això que l’energia s’expressa en les mateixes unitats que el treball. Així doncs, la unitat d’energia del SI és el joule. Segons l’origen o la forma en què es transmet l’energia, pot ser: • Energia elèctrica. Depèn de la posició d’una càrrega elèctrica en un camp elèctric. • Energia nuclear. És la que es desprèn en la fissió o la fusió dels nuclis atòmics. • Energia radiant. És la que es propaga en forma d’ones electromagnètiques; per exemple, la llum o els raigs ultraviolats. • Energia solar. És la irradiada pel Sol. • Energia eòlica. És la generada pel vent. • Energia geotèrmica. És la que sorgeix de l’interior de la Terra en forma de calor.

4 | Principi de conservació de l’energia

8. Encara que les piles del cotxe contenen energia, no la percebem.

Tots els cossos tenen una gran quantitat d’energia. Per exemple, la gasolina d’un automòbil subministra l’energia necessària per fer un viatge de diversos centenars de quilòmetres. Els aliments que ingerim al llarg del dia ens donen l’energia per dur a terme les nostres funcions vitals durant tota la jornada. Però tant la gasolina com els aliments tenen una energia encara molt més gran que la que podem aprofitar. Només percebem l’energia interna dels cossos quan es transforma o es transmet d’un cos a un altre.

122


21/4/08 13:54:15


El motor d’un automòbil funciona gràcies a l’energia de la gasolina o del gasoil que consumeix. És a dir, l’energia cinètica d’un cotxe en moviment prové de l’energia interna del seu combustible. El motor no crea energia, únicament la transmet al vehicle. Quan el cotxe accelera, aquesta energia es manifesta transformant-se en energia cinètica. Quan l’automòbil frena i s'atura, la seva energia cinètica no desapareix, sinó que es transforma majorment en energia interna dels discos de fre i també dels pneumàtics i fins i tot del terra, que experimenten un augment de temperatura. Les nombroses experiències i obser vacions sobre l’energia realitzades pels investigadors, particularment al segle XVII, han donat lloc a una de les lleis més important de la física, el principi de conservació de l’energia. Es pot enunciar de la manera següent:

9. L’energia de les piles només es posa de manifest quan és transferida al cotxe i el fa moure.

L’energia no es pot crear ni destruir, sinó només transformar-se o transmetre’s d’uns cossos a uns altres.

5 | Energia cinètica Perquè un cos que està en repòs adquireixi certa velocitat, cal aplicar-li una força al llarg d’un recorregut, és a dir, efectuar un treball. D’altra banda, tot cos que es mou pot posar en moviment uns altres cossos efectuant un treball sobre ell mateix. Això és el que passa, per exemple, quan una bola xoca amb una altra que està en repòs. Aquestes i moltes altres obser vacions fan palès que els cossos tenen una energia a causa del seu moviment. És l’anomenada energia cinètica. Tractarem ara de determinar l’energia cinètica d’un mòbil. És lògic considerar que, si un cos està en repòs, no té energia cinètica. Per posar-lo en moviment li hem d’aplicar una força que, mitjançant un treball, li comuniqui aquesta energia. N’hi haurà prou de calcular aquest treball per saber l’energia cinètica que el cos ha adquirit. Considerem un mòbil puntual de massa m, que es troba en repòs. Suposem que se li aplica una o diverses forces, la resultant de les quals és una força constant d’intensitat F. El mòbil es mourà amb moviment uniformement variat i, en un inter val de temps Δt, farà un desplaçament Δs en la direcció de la força aplicada. L’energia cinètica adquirida pel mòbil en aquest inter val de temps és igual al treball fet per F (Fig. 10): Ek = W = F Δs

s →

m

F

v0 0 10. L’energia cinètica adquirida pel mòbil equival al treball realitzat per la força F.

c2u4 fig 10

(1)

Si l’acceleració del mòbil és a, pel principi fonamental de la dinàmica tindrem: F=ma I, com que el moviment és uniformement variat sense velocitat inicial, el desplaçament efectuat en el temps Δt és: 1 s = ––– a ( t)2 2

123


21/4/08 13:54:16

4

| L’energia i la seva transferència Substituint els dos valors en l’expressió (1), resulta: 1 1 1 Ek = W = F s = m a ––– a ( t)2 = ––– m a2 ( t)2 = ––– m (a t)2 2 2 2 Si la velocitat inicial és nul·la, el producte a Δt és igual a la velocitat final v del mòbil. Per tant, obtenim: 1 Ek = ––– m v 2 2 Aquesta expressió només és aplicable quan un únic valor de velocitat caracteritza el moviment del mòbil, cosa que únicament es compleix si és un mòbil puntual o si totes les seves par tícules tenen la mateixa velocitat, és a dir, si el seu moviment és de translació. Obser vem, a més, que, com que l’energia cinètica d’un mòbil és funció de la seva velocitat, el seu valor depèn del sistema de referència escollit. Per tant, podem afirmar que l’energia cinètica és relativa. L’energia cinètica, com totes les altres formes d’energia, s’expressa en joules en el SI. Hem calculat el valor de l’energia cinètica suposant que acceleràvem el mòbil aplicant-hi una força constant. Però, tot i que la força resultant sobre un cos no sigui constant, s’arriba a la mateixa expressió de l’energia cinètica. Malgrat tot, la demostració d’aquest fet demana mètodes matemàtics que no són propis d’aquest curs. En la demostració anterior, hem suposat que el mòbil partia del repòs. Però també pot passar que, en l’instant inicial, tingui ja una velocitat v0 i, per tant, cer ta energia cinètica. En aquest cas, s’obté que el treball realitzat per la resultant de totes les forces aplicades és igual a l’increment de l’energia cinètica del mòbil: 1 1 W = Ek = ––– m v 2 – ––– m v02 2 2 Quan el treball total realitzat sobre un mòbil és positiu, la seva velocitat augmenta i també ho fa la seva energia cinètica (ΔE k > 0). Quan el treball total realitzat sobre un mòbil és negatiu, la seva velocitat disminueix i també ho fa la seva energia cinètica (ΔE k < 0).

11. Un tren d’alta velocitat arriba a posseir una energia cinètica descomunal a causa de la gran massa que té i, sobretot, a la velocitat a què arriba. És per això que cal realitzar un treball enorme per aturar-ne el moviment.

Quan la força aplicada a un mòbil es manté constantment perpendicular al moviment, només en fa canviar la direcció sense que n’augmenti ni en disminueixi la velocitat. Així, una força perpendicular a la trajectòria del mòbil no fa variar la seva energia cinètica (ΔE k = 0). Això explica per què una força perpendicular al moviment no fa treball, tal com hem vist en els apar tats 1 i 2 d’aquesta unitat.

124


21/4/08 13:54:17


6 | Energia potencial gravitatòria Per aixecar un cos des del terra fins a una cer ta altura hem d’aplicar una força i efectuar un treball. En conseqüència, hem de pensar que quan aixequem un cos li comuniquem energia. D’altra banda, quan deixem caure un cos observem que mentre baixa la seva velocitat augmenta i, per tant, va adquirint energia cinètica. Aquestes obser vacions semblen indicar que els cossos tenen una energia que depèn de la seva altura sobre el terra. L’energia que té un cos a causa de la seva posició en un camp gravitatori s’anomena energia potencial gravitatòria. Vegem com es pot calcular. Imaginem un cos de massa m que es troba a una altura h sobre el terra. En aquesta posició, com ja hem dit, tindrà certa energia potencial gravitatòria. En canvi, quan estigui al nivell del terra, considerarem que la seva energia potencial és nul·la.

→

→

p �m g

h

Per tant, si deixem caure el cos, perdrà tota la seva energia potencial Ep. que no desapareix, sinó que es transforma en energia cinètica: Ep = Ek Sabem que l’energia cinètica adquirida per un cos és igual al treball realitzat per la resultant de les forces que actuen sobre aquest cos. En el cas d’un cos que cau, aquest treball és el treball WP de la força pes. Per tant: Ek = Wp

12. El pes d’un cos de massa m que cau des d’una altura h fins al terra fa un treball WP = m g h.

De les dos igualtats anteriors es dedueix que Ep = Wp. És a dir, el treball efectuat pel pes mentre el cos cau fins al terra és igual a l’energia potencial gravitatòria que tenia inicialment. Com que el pes és P = m g i el desplaçament és igual a l’altura h (Fig. 12), serà:

c2u4 fig 11

Ep = m g h Aquesta energia potencial gravitatòria s’expressa en joules en el SI. Cal fer algunes puntualitzacions sobre l’expressió de l’energia potencial gravitatòria que hem obtingut: • La fórmula Ep = m g h només és vàlida en una zona de l’espai prou petita per poder considerar que g és constant. • Si el cos no és una partícula, sinó un cos extens, l’altura h és la del seu centre de gravetat. • L’altura h s’ha de mesurar a partir de la posició on l’energia potencial és nul·la. Aquesta posició es pot triar arbitràriament. Si un cos es troba per sota d’aquesta posició, l’altura i l’energia potencial es consideren negatives (Fig. 13). • Segons el que hem dit, l’energia potencial gravitatòria d’un cos és relativa, perquè el seu valor depèn de la posició de referència escollida.

Ep � 0

Ep � 0

nivell d’energia potencial nul·la

Ep � 0 13. El valor de l’energia potencial gravitatòria d’un cos depèn de la posició de referència on la considerem nul·la.

c2u4 fig 12

125


21/4/08 13:54:19

4

| L’energia i la seva transferència Si un cos es troba a una altura h1 i es desplaça fins a una altura h2 (que pot ser més gran o més petita que h1), el treball realitzat pel seu pes serà: Wp = m g (h1 – h2) = m g h1 – m g h2 = Ep1 – Ep2 = –ΔEp Per tant: El treball realitzat pel pes d’un cos és igual a l’energia potencial que perd (l’increment de la seva energia potencial amb signe negatiu).

7 | Conservació de l’energia mecànica La suma de l’energia cinètica i l’energia potencial d’un cos s’anomena energia mecànica: EM = Ek + Ep Si varien les energies cinètica i potencial d’un cos, també en pot variar l’energia mecànica, de manera que podem escriure: ΔEM = ΔEk + ΔEp Vegem què passa si l’única força que actua sobre un cos és el seu propi pes P. Com que P és la força resultant sobre el cos, el treball Wp que fa serà igual a l’increment de la seva energia cinètica: Wp = ΔEk. Però, com que P és el pes del cos: Wp = –ΔEp. La conseqüència és que: ΔEM = ΔEk + ΔEp = Wp – Wp = 0. ΔEM = 0 significa que EM no varia. Per tant, podem afirmar que, quan sobre un cos només fa treball el seu pes, se'n conserva l'energia mecànica. Per això diem que la força pes és una força conservativa. Però el pes no és l’única força conser vativa; més endavant en veurem d’altres. De la mateixa manera que per mitjà de la força pes hem definit l’energia potencial gravitatòria, a par tir de cada força conser vativa definirem una nova classe d’energia potencial, que formarà par t de l’energia mecànica dels cossos. Per exemple, si tenim dos cossos amb càrrega elèctrica, a causa de la força d’interacció entre les càrregues, cal fer treball per aproximar-los o allunyar-los l’un de l’altre. L’energia que els comuniquem en fer-ho s’anomena energia potencial elèctrica. El seu valor depèn de la distància entre els cossos. Si deformem una molla empenyent o tirant d’un dels extrems mentre que l’altre es manté fix, efectuem un treball. L’energia que es comunica a una molla en deformar-la s’anomena energia potencial elàstica. El seu valor depèn de la deformació experimentada per la molla. De tota força conser vativa es pot afirmar el mateix que hem deduït per a la força pes: Si sobre un cos només hi fan treball forces conservatives, la seva energia mecànica es manté constant. 126


21/4/08 13:54:19


Les forces que fan variar l’energia mecànica dels cossos s’anomenen forces no conservatives o forces dissipatives. Una de les que més ens interessen és la força de fregament. Tota força s’ha de considerar dissipativa si a par tir d’ella no s’ha definit una energia potencial.

EXEMPLES 4.

Es llança des del terra, obliquament cap amunt, un cos de massa 0,2 kg amb una velocitat inicial de 8 m/s. Suposant nul el fregament amb l’aire, determinem el mòdul de la seva velocitat quan sigui a 3 m d’altura. Considerem g = 10 m/s2. Sabem que aquest cos es mourà amb l’acceleració de la gravetat (constant) i descriurà una paràbola. Com que el fregament amb l’aire és nul, l’única força que hi actua és el seu pes. En conseqüència, l’energia mecànica del cos es mantindrà invariable. Si considerem que, al terra, l’altura és 0, l’energia mecànica en l’instant inicial és només energia 1 cinètica: EMO = Ek0 = ––– m v02 2 1 I quan és a una altura h: EM = Ek + EP = ––– m v 2 + m g h 2 1 1 2 Igualant ambdues expressions obtenim: ––– m v0 = ––– m v 2 + m g h 2 2 Simplificant per m i multiplicant per 2 aquesta equació, resulta: v02 = v 2 + 2 g h Aïllem v: v =

v0 2 – 2 g h =

(8 m/s)2 – 2 × 10 m/s2 × 3 m =

4 m2 /s2 = 2 m/s

No podem determinar la direcció de la velocitat final sense conèixer l’expressió vectorial de la velocitat inicial. 5.

Una bola de plom, de massa m, està penjada d’un fil de L = 50 cm de longitud i massa negligible. La bola es desplaça fins que el fil forma un angle de α = 60° amb la vertical (vegeu la figura) i es deixa anar. Si la resistència de l’aire és negligible i g = 9,8 m/s2, quina velocitat tindrà la bola quan passi pel punt més baix de l’arc que descriu? Si la resistència de l’aire sobre la bola és nul·la, només actuen sobre la bola el seu pes P i la tensió del fil T. La tensió T té la direcció del radi de la circumferència que descriu la bola en deixar-la anar. Per tant, és perpendicular al moviment i no efectua treball. Com que l’única força que efectua treball és el pes de la bola, se’n conser varà l’energia mecànica.

O

→

T C

A →

P

Si considerem nul·la l’altura de la bola en la seva posició més baixa, quan el fil està inclinat 60° la seva altura és (vegeu la figura): h = BC = OB – OC = L – L cos α = 0,5 m – 0,5 m cos 60° = 0,25 m

B

Igualem l’energia mecànica de la bola en la seva posició inicial i en el punt més baix: c2u4 ejem 2 1 m g h = ––– m v 2 2 Aïllem v i obtenim: v=

2gh=

2 × 9,8 m/s2 × 0,25 m =

4,9 m2 /s2 = 2,21 m/s

127


21/4/08 13:54:20

4


8 | Treball i energia mecànica Hem vist que, quan només fa treball el pes (o qualsevol força conservativa), es conser va l’energia mecànica dels cossos. Al contrari, quan el treball sobre un cos és realitzat per forces dissipatives, la seva energia mecànica varia. En uns casos, l’energia mecànica disminueix, transformant-se totalment o parcialment en energia interna. Per exemple, quan un ciclista frena, la transformació de la seva energia cinètica en energia interna es manifesta per l’escalfament dels frens i les rodes. D’altres vegades passa el contrari, que l’energia mecànica augmenta a costa de l’energia interna. Quan un automòbil accelera, una par t de l’energia interna del combustible que utilitza es transforma en energia cinètica del vehicle. Quan pugem per una escala, transformem l’energia interna del nostre cos en energia potencial gravitatòria. Vegem ara la relació que hi ha entre treball i energia mecànica. El treball total W efectuat sobre un cos es pot descompondre en el treball WC de les forces conser vatives i el WD de les forces dissipatives: W = WC + WD Però hem vist que W = ΔEk i WC = –ΔEP. Substituint en la igualtat anterior, resulta: ΔEk = –ΔEP + WD. Aïllant WD, obtenim: WD = ΔEk + ΔEP = ΔEM És a dir, El treball de les forces dissipatives que actuen sobre un cos és igual a l’increment de l’energia mecànica. Si les forces dissipatives efectuen un treball positiu sobre un cos (WD > 0), la seva energia mecànica augmenta. Però si efectuen un treball negatiu (WD < 0), la seva energia mecànica disminueix.

14. Un escalador transforma la seva energia interna en energia mecànica: energia cinètica quan es mou cap amunt i energia potencial quan guanya altura.

128


21/4/08 13:54:21


EXEMPLE 6.

Al capdamunt d’una rampa, les dimensions de la qual estan indicades a la figura, es manté en repòs un cos de massa m = 4 kg. Calcula la velocitat que assolirà el cos quan arribi, si es deixa lliscar per la rampa, sabent que el coeficient de fregament cinètic entre tots dos és μ C = 0,25. Resoldrem el problema igualant l’increment d’energia mecànica que el cos experimenta al treball de les forces no conservatives (en aquest cas només el fregament): 10

WD = WR = ΔEM El pes del cos és: P = m g = 4 kg × 10 m/s = 40 N.

m

2

→

N

6m

El seu component N normal al pla és: N = P cos α = 40 N × 8/10 = 32 N

→

R

I la força de fregament equival a: R = μC N = 0,25 × 32 N = 8 N

→

T

→

N

→

P

El treball WR efectuat pel fregament és negatiu, ja que la força i el desplaçament tenen sentits contraris: WR = R Δs = –8 N × 10 m = –80 J Aquest resultat ens indica que el cos perd 80 J de la seva energia mecànica a causa del fregament. m/s2 ejem × 6 m =3240 J L’energia mecànica en la posició inicial és: EM1 = Ek1 + Ep1 = 0 + m g h = 4 kg × 10 c2u4 I en la posició final: 1 1 EM2 = EK2 + EP2 = ––– m v 2 + 0 = ––– 4 v 2 = 2 v 2 2 2 Com que WR = ΔEM = EM2 – EM1, obtenim: –80 = 2 v2 – 240. Si aïllem v, obtenim: v = 8,9 m/s.

9 | Potència La potència és la característica més significativa dels motors i, en general, de tot dispositiu que transforma o transmet energia. Diem que un dispositiu “té molta potència” quan és capaç d’efectuar molt treball o transmetre molta energia en poc temps. l diem que “desenvolupa”molta potència quan fa efectiva aquesta capacitat, és a dir, quan està realitzant treball o transmetent energia. La definició precisa és la següent: Potència és el treball efectuat per unitat de temps. W P = –––– t La unitat de potència del SI és el watt (W). 129


21/4/08 13:54:22

4


Un watt és la potència que es desenvolupa quan s’efectua un treball d’1 joule cada segon.

Per consegüent, podem escriure: 1J 1 W = ––––– 1s Una altra unitat de potència, que no pertany al Sistema Internacional, però que encara s’usa per expressar les potències dels motors és el cavall de vapor (CV). Un CV és la potència que es desenvolupa en aixecar un pes de 75 kp a 1 m d’altura en 1 s. Correspon a la potència que, per terme mitjà, és capaç de desenvolupar un cavall. La seva relació amb el watt és: 1 CV = 736 W. Suposem que sobre un cos hi actua una força motriu d’intensitat F, constant i en la direcció del moviment. Si aquesta força s’equilibra amb la força resistent causada pel fregament, el cos es desplaçarà amb moviment rectilini i uniforme. La potència que desenvolupa la força F és: W F s P = ––– = ––––– t t Però tenint en compte que, en un moviment uniforme, Δs/Δt és la velocitat v amb què el cos es desplaça, resulta: P=Fv

15. Una de les 18 turbines de la central hidroelèctrica de Foz do Iguaçu, Brasil. Té una potència de 700 MW.

Aquesta fórmula expressa molt clarament que la potència depèn tant de la força que s’exerceix com de la velocitat amb què es mou el punt d’aplicació. Quan un motor desenvolupa més potència que un altre, no sempre exerceix més força; pot ser que la força sigui inferior i la velocitat, molt superior.

EXEMPLES 7.

Quina potència es necessita per elevar un cabal de 200 l d’aigua per minut fins a una altura de 15 m? Les pèrdues d’energia per fregament se suposen negligibles. Sabent que la massa d’1 litre d’aigua és d’1 kg, podem calcular que a cada minut s’eleva una massa d’aigua de m = 200 kg. El treball necessari per elevar aquesta quantitat d’aigua és igual a l’increment de la seva energia mecànica (que, en aquest cas, és només la potencial gravitatòria): W = ΔEM = ΔEp = m g h = 200 kg × 9,8 m/s2 × 15 m = 29 400 J Com que aquest treball s’ha d’efectuar en 60 s, la potència és: W 29 400 J P = ––– = –––––––––– = 490 W t 60 s

8.

Quina potència es desenvolupa en arrossegar amb velocitat constant de 36 km/h un cos de massa 800 kg sobre una superfície horitzontal, si el coeficient de fregament cinètic per lliscament entre tots dos és 0,2?

130


21/4/08 13:54:23


Calcularem en primer lloc la potència fent ser vir l’expressió: P = F v. Expressarem la velocitat en unitats del SI: v = 36 km/h = 10 m/s. La força que cal fer per arrossegar el cos ha de ser igual i oposada a la força de fregament que s’oposa al moviment, ja que, si el moviment és uniforme, la força resultant sobre el cos que llisca ha de ser nul·la. El valor de la força de fregament és: FR = μC N = μC m g = 0,2 × 800 kg × 9,8 m/s2 = 1 568 N Per tant, la potència necessària serà: P = F v = 1 568 N × 10 m/s = 15 680 W Com que no podem donar el resultat amb més de tres xifres significatives, direm que es desenvolupa una potència P = 15,7 kW. Obser va que, quan transpor tem un cos horitzontalment, el seu pes no fa treball, ja que és una força ver tical i, en conseqüència, perpendicular al desplaçament.

10 | El kilowatt-hora El kilowatt-hora és una unitat de treball o energia que, com que no per tany al SI, s’utilitzarà cada cop menys. Malgrat tot, les companyies elèctriques acostumen a expressar en aquesta unitat l’energia consumida pels usuaris. Un kilowatt-hora (kWh) és el treball que s’efectua en desenvolupar una potència constant d’1 kilowatt durant 1 hora. De la definició de potència es dedueix que el treball efectuat en desenvolupar una potència P durant un temps Δt és: W = P Δt. Aplicant aquesta expressió a 1 kWh podem obtenir la relació entre el kWh i el J: 1 kWh = 1 kW × 1 h = 1 000 W × 3 600 s = 3 600 000 J

EXEMPLE 9.

Calcula els kWh que consumeix en 8 h una estufa la potència de la qual és de 2 000 W. Expressa també el resultat en MJ. Com que 2 000 W són 2 kW, aplicant l’expressió W = P Δt, obtenim: W = 2 kW × 8 h = 16 kWh Aquesta energia expressada en MJ és: 3 600000 J 1 MJ 16 kWh = 16 kWh × ––––––––––––– × ––––––– = 5,76 MJ 1 kWh 106 J

131


21/4/08 13:54:24

4


11 | Rendiment Cada cop que utilitzem una font d’energia ho fem amb la intenció de ser vir-nos-en per fer alguna cosa que considerem útil. Així, utilitzem l’energia de la gasolina per moure un automòbil, o la d’unes piles per fer sonar una ràdio, o la de la xar xa elèctrica per fer pujar un ascensor, etc. Però mai no s’aprofita tota l’energia disponible. Sempre n’hi ha una par t que no s’empra amb la finalitat pretesa i diem que “es perd”. Per exemple, de l’energia que subministra la combustió de la gasolina d’un automòbil, una par t s’utilitza per moure’l, però una altra es perd en produir vibracions i en escalfar diverses par ts del vehicle. En l’energia total, ET, consumida en un procés, distingirem: • L’ energia útil, EU, que és la utilitzada per a la finalitat pretesa. • L’ energia perduda, EP, els efectes de la qual no preteníem però que són inevitables. Efectivament, es compleix que: ET = EU + EP. Anomenem rendiment d’un procés el quocient entre l’energia útil i l’energia total consumida. Se simbolitza per mitjà de la lletra grega η (eta). EU = –––– ET Per exemple, si en un procés es consumeix una energia de 5 000 J i es perd una energia de 800 J, l’energia útil és: EU = ET – EP = 5 000 J – 800 J = 4 200 J El rendiment d’aquest procés seria: EU 4200 J = ––– = –––––––– = 0,84 ET 5000 J Això significa que de cada joule d’energia consumida s’aprofiten 0,84 J. Sovint, el rendiment es multiplica per 100 per expressar-lo en percentatge. En el cas de l’exemple seria: η = 84 %. El rendiment d’un procés també es pot calcular a par tir de l’energia total consumida per unitat de temps (potència total, PT) i l’energia útil per unitat de temps (potència útil, PU): PU = ––– PT En tots els processos cal procurar que el rendiment sigui el màxim possible, per tal de disminuir l’impacte sobre el medi ambient i estalviar energia. 132


21/4/08 13:54:24


EXEMPLE 10. Un muntacàrregues de massa 450 kg ha de pujar fins a una altura de 12 m en 30 s. Calcula la potència que ha de tenir el motor si s’estima que el rendiment de la instal·lació serà del 60 %.

L’energia útil és la potencial gravitatòria que es comunica al muntacàrregues en elevar-lo: EU = m g h = 450 kg × 9,8 m/s2 × 12 m = 52 920 J La potència útil serà, doncs: EU 52 920 J PU = ––– = –––––––––– = 1764 W 30 s t La potència del motor és la potència total consumida en el procés i es compleix que: PU PU 1 764 W η = –––, d’on deduïm: PT = = ––––––––— = 2940 W = 2,94 kW PT η 0,6

12 | Temperatura Quan parlem de temperatura, acostumem a pensar en la sensació fisiològica que sentim quan toquem un cos. Expressem aquesta sensació utilitzant paraules com ara glaçat, fred, tebi, calent o molt calent. Per mitjà del sentit del tacte percebem la temperatura dels cossos. Gràcies al tacte, quan toquem dos cossos podem distingir quin té una temperatura més elevada Ara bé, què és la temperatura? Hem vist que la matèria té energia interna, a conseqüència de la seva pròpia constitució. Les seves par tícules exerceixen forces d’interacció les unes amb les altres, per la qual cosa una par t de l’energia interna de la matèria és energia potencial. Com que aquestes partícules estan en moviment continu, una altra part de l’energia interna de la matèria és energia cinètica. Quan la temperatura d’un cos augmenta, s’incrementa l’energia cinètica de translació de les seves partícules; i si la temperatura baixa, aquesta energia disminueix. La temperatura d’un cos depèn de l’energia cinètica mitjana del moviment de translació de les seves par tícules.

100°C

373 K Punt d’ebullició de l’aigua

0°C

273 K Punt de congelació de l’aigua

–273°C

0K

Zero absolut

16. Correspondència entre l’escala centígrada o Celsius (esquerra) i l’absoluta o Kelvin (dreta). La temperatura absoluta T s’obté sumant 273 a la centígrada t: T = t + 273. Els increments de temperatura són iguals per a ambdues escales: ΔT = Δt

Parlem d’energia cinètica mitjana perquè, malgrat que la temperatura d’un cos no canviï, les energies cinètiques de cada una de les seves par tícules són diferents i varien contínuament. Només la mitjana d’aquestes energies es manté constant. Fins avui, no hi ha un límit conegut per a les temperatures altes. En canvi, sí que n’hi ha un per a la temperatura més baixa. Aquesta temperatura s’anomena zero absolut, i correspon a -273,15 en l’escala centígrada o Celsius. Per a determinades finalitats cal utilitzar una escala de temperatures en la qual el punt zero coincideix amb el zero absolut. Aquesta escala s’anomena escala absoluta de temperatures o escala Kelvin (Fig. 16). 133


21/4/08 13:54:25

4


13 | Calor Si posem en contacte dos cossos a temperatures diferents, es transfereix energia del de temperatura més alta al de temperatura més baixa, fins que les dues s’igualen. En aquest moment, diem que els cossos estan en equilibri tèrmic, i la temperatura comuna s’anomena temperatura d’equilibri. La calor és la magnitud física que mesura l’energia transmesa d’un cos a un altre, com a conseqüència de la diferència entre les temperatures respectives. Així, resulta incorrecte dir que els cossos contenen calor. Els cossos tenen energia interna. La calor és l’energia que es transfereix d’un cos a un altre per diferència de temperatures, i només mentre s’efectua aquesta transferència. En aquest sentit, la calor s’assembla al treball, ja que és una altra forma de transferència d’energia entre dos cossos. L’energia es pot transferir en forma de calor de tres maneres diferents: per conducció, per convecció i per radiació. 17. La calor no pot propagar-se per conducció en el buit. Aquesta propietat s’aprofita per construir recipients de doble paret, a dins de la qual es fa el buit. Són els vasos Dewar i els termos, en els quals podem mantenir una substància durant hores sense que pràcticament no en variï la temperatura.

La conducció és la forma de transmissió calorífica pròpia dels cossos sòlids, i es dóna per contacte directe entre cossos o zones d’un cos a temperatures diferents. Els àtoms, les molècules o els ions que formen un cos i tenen una elevada energia cinètica de translació, xoquen amb els veïns més pròxims, que es mouen més lentament, i els transfereixen par t de la seva energia. Ells, al seu torn, la transmeten a uns altres, i així successivament. Aquesta energia d’agitació tèrmica de les par tícules es transmet a tot el cos, produint una elevació successiva i gradual de la seva temperatura. Hi ha sòlids que són bons conductors de la calor, com és el cas dels metalls, entre els quals destaquen la plata i el coure. En canvi, la fusta, el suro i els plàstics, que s’utilitzen com a aïllants tèrmics, són mals conductors de la calor.

18. Moviment de convecció dels líquids.

La convecció és la forma de propagació calorífica pròpia dels fluids (líquids i gasos). En la convecció, la transferència d’energia es produeix pel desplaçament i mescla de par ts del fluid a diferents temperatures. Si escalfem la par t més baixa d’un fluid, la temperatura en aquesta zona augmenta, el líquid es dilata i, per tant, en disminueix la densitat. Com a conseqüència, les par tícules de les capes inferiors pugen i són substituïdes per les procedents de les capes superiors. D’aquesta manera, es produeixen uns corrents en el si del fluid, anomenats corrents de convecció. La radiació és la forma de propagació calorífica per mitjà d’ones electromagnètiques, sense necessitat de cap medi ni supor t material.

19. La calor que irradia el Sol arriba a la Terra per mitjà d’ones electromagnètiques.

Tots els cossos emeten energia en forma d’ones electromagnètiques, que són semblants a les de la llum, les de la ràdio, les dels aparells de microones o les dels raigs X, que es propaguen en totes direccions, sense necessitat de cap medi material. Aquesta emissió d’ones electromagnètiques és més gran com més elevada és la temperatura del cos.

134


21/4/08 13:54:27


Aquestes ones poden travessar molts medis materials sense pràcticament escalfar-los, com seria el cas de l’aire. Però quan incideixen sobre uns altres cossos, com poden ser el terra, una paret o l’aigua del mar, en par t són reflectides i en part són absorbides, i la seva energia es transforma en energia interna del cos que les absorbeix. En el SI l’energia transferida a un cos en forma de calor s’expressa en joules. Malgrat tot, una unitat d’ús encara molt freqüent és la caloria. Sovint, s’expressa en calories l’energia que subministra un aliment determinat, o la que proporciona un combustible. La caloria és la calor necessària per fer pujar 1 °C la temperatura d’1 g d’aigua. 1 caloria = 4,18 joules L'energia en forma de calor que absorbeix un cos de massa m quan experimenta un increment de temperatura Δt és: Q = c m Δt on c és una constant anomenada capacitat calorífica específica o calor específica. El seu valor és una propietat característica de cada substància. La capacitat calorífica específica o calor específica d’una substància és la quantitat d’energia en forma de calor que s’ha de subministrar a una unitat de massa d’aquesta substància per elevar-ne la temperatura 1 K. S’expressa en joules per cada kilogram i per cada kelvin (J/kg K). De la definició de caloria deduïm que la capacitat calorífica específica de l’aigua és 1 cal/g °C, que en el SI és:

Capacitats calorífiques específiques J/kg K

cal/g °C

Aigua

4 180

1

Alcohol

2 427

0,58

Alumini

895

0,214

Bronze

360

0,086

Coure

385

0,0921

Substància

Glicerina

2 340

0,56

Ferro

447

0,107

Llautó

393

0,094

Marbre

879

0,21

Mercuri

140

0,0334

Plata

233

0,0557

Plom

128

0,0306

Vidre

833

0,199

1 cal 4,18 J 103 g 1 °C c (aigua) = ——— × ———— × ——— × ——— = 4 180 J/kg K g °C 1 cal 1 kg 1K

EXEMPLE 11. Dues peces metàl·liques, una de bronze i una altra de plata, tenen masses iguals de 150 g i estan a 18 °C de temperatura. a) Calcula la quantitat d’energia en forma de calor que cal transmetre a la peça de bronze perquè la seva temperatura augmenti fins a 50 °C. b) Si se subministrés la mateixa energia a la peça de plata, a quina temperatura arribaria? En la taula de capacitats calorífiques específiques pots trobar la capacitat calorífica específica del bronze (360 J/kg K) i de la plata (233 J/kg K). a) La calor necessària per escalfar la peça de bronze és: Q = c m Δt = 360 J/kg K × 0,15 kg × (50 – 18) K = 360 × 0,15 × 32 J = 1 728 J b) Aïllant Δt de la mateixa fórmula podem calcular l’increment de temperatura de la peça de plata: Q 1728 J 1728 t = ––---– = –––––––––---------------------------------– = -----------------------------––– K = 49,4 K = 49,4 °C cm 233 J/kg K × 0,15 kg 233 × 0,15 La seva temperatura final serà: t = t0 + Δt = 18 °C + 49,4 °C = 67,4 °C 135


21/4/08 13:54:28

4


14 | Primer principi de la termodinàmica La termodinàmica és la branca de la física que estudia les transferències d’energia entre els cossos i el medi que els envolta. Hem vist que aquestes transferències d’energia poden produir-se per mitjà del treball i de la calor. Els cossos o sistemes objecte d’estudi de la termodinàmica són conjunts de par tícules que es poden descriure amb claredat, distingint-los de l’entorn que els envolta. Un sistema és un conjunt de partícules separat de l’entorn per una super fície tancada, que pot ser imaginària. Entre el sistema i l’entorn es produeixen transferències d’energia, o bé en forma de calor o bé en forma de treball. Si es comunica energia a un sistema fent-hi treball sense que hi hagi intercanvi de calor entre el sistema i l’entorn, diem que s’ha realitzat un treball adiabàtic. Això passa quan el sistema es troba en un recipient les parets del qual no condueixen la calor o quan el treball es fa tan ràpidament que no hi ha temps perquè es produeixi el flux de calor. S’obser va que el treball adiabàtic realitzat sobre un sistema només depèn dels estats inicial i final del sistema, però no de la forma en què es realitza el treball. Això ens permet associar a cada estat del sistema una energia U, que anomenem energia interna del sistema, de manera que l’increment d’aquesta energia sigui igual al treball adiabàtic realitzat sobre el sistema: ΔU = W adiabàtic A un sistema no aïllat tèrmicament de l’entorn se li pot comunicar energia tant en forma de treball, W, com en forma de calor, Q. S’ha obser vat que l’estat final del sistema només depèn de la suma W + Q, però no del valor de cada un d’aquests sumands. És a dir, no impor ta quina par t de l’energia s’ha subministrat en forma de treball i quina en forma de calor.

W

+

Q

Així, una mateixa variació de l’energia interna d’un sistema es pot realitzar d’infinitat de maneres, de manera que podríem escriure: W1 + Q1 = W2 + Q2 = W3 + Q3 = ... = W adiabàtic + 0 = ΔU En conseqüència, podem enunciar el principi següent: Primer principi de la termodinàmica L’energia que rep un sistema en forma de calor més el treball realitzat sobre el sistema és igual a l’increment de la seva energia interna.

W

–

Q

20. Conveni de signes en el primer principi de la Termodinàmica. Considerem positius la calor i el treball que aporten energia al sistema. Si extreuen energia del sistema, són negatius.

Q + W = ΔU Cal remarcar que el treball W realitzat sobre un sistema pot ser negatiu. En aquest cas, el sistema cedeix energia a l’entorn, realitzant sobre ell un treball positiu (–W). De la mateixa forma, si Q és negatiu, es transmet energia en forma de calor del sistema a l’entorn.

136


21/4/08 13:54:29


EXEMPLE 12. L’aigua d’una cascada de h = 150 m d’alçària cau pràcticament sense velocitat inicial sobre un rabeig on queda en repòs. Si no intercanvia calor amb l’entorn, quina variació de temperatura experimentarà? (Dada: capacitat calorífica específica de l’aigua: c = 4 180 J/kg K.) Considerem el sistema constituït per una massa d’aigua m. Com que no hi ha transmissió de calor, Q = 0. La força que realitza treball sobre l’aigua és el seu pes: P = m g. El treball realitzat és: W = m g h. Per tant, l’increment d’energia interna del sistema és: ΔU = Q + W = 0 + m g h = m g h Com que l’energia cinètica final és igual a la inicial, tota aquesta energia (m g h) es convertirà en energia interna de l’aigua, que es manifestarà per un augment de la seva temperatura. Si c és la calor específica de l’aigua, serà: ΔU = c m Δt És a dir: m g h = c m Δt Aïllant Δt, resulta: gh 9,8 m s-2 × 150 m t = ––-----– = –––––––––-------------------------– = 0,35 K c 4180 J/kg K (Comprova que la unitat d’aquest resultat és correcta). L’aigua augmentarà 0,35 °C.

15 | Degradació de l’energia En el primer principi de la termodinàmica hem vist una gran semblança entre el treball i la calor, que apareixen com a equivalents. Però ara ens fixarem en una diferència impor tant entre tots dos. Imaginem un cos que llisca sobre un terra pla i horitzontal. Sabem que el treball realitzat per la força de fregament l’obligarà a aturar-se, transformant l’energia cinètica que posseïa en energia interna del cos i del terra, que augmentaran de temperatura. Aquest procés es produeix espontàniament. L’energia interna emmagatzemada al cos i al terra es propaga en forma de calor als punts de l’entorn que no han experimentat l’escalfament i que, per tant, estan a una temperatura inferior. Però és impossible extreure l’energia interna emmagatzemada en forma de treball mecànic que faci recuperar al mòbil l’energia cinètica inicial. Podem incrementar l’energia interna d’un sistema transferint-la en forma de treball o de calor, indistintament. 137


21/4/08 13:54:30

4

| L’energia i la seva transferència També podem extraure energia interna d’un sistema només en forma de calor, però –excepte en processos molt específics– no la podem extraure tota en forma de treball. Això constitueix una diferència transcendental entre calor i treball.

a

Quan un sistema cedeix energia interna en forma de treball, en transmet una par t en forma de calor al medi que l’envolta. És el que passa en els exemples següents: • Quan, a par tir de l’energia interna del nostre cos, fem un treball físic.

b

• Quan, a par tir de l’energia interna de la gasolina, el motor d’un cotxe realitza el treball necessari per moure el vehicle. • Quan un explosiu, a par tir de la seva energia interna, fa el treball de trencar una roca. • Quan una pila proporciona la seva energia interna per moure el motor d'una joguina. En tots aquests processos l’energia no desapareix, però es transforma parcialment en un tipus d’energia no utilitzable per fer treball. Diem, aleshores, que l’energia ha experimentat una degradació.

c

L’energia cinètica d’un cos amb moviment de translació és deguda a un moviment ordenat de les seves par tícules, ja que totes es desplacen a la mateixa velocitat (Fig. 21a). 21. a) L’energia cinètica mecànica d’un cos és deguda al seu moviment i requereix un moviment ordenat de totes les seves partícules. b) L’energia cinètica interna d’un cos respon al moviment desordenat d’agitació tèrmica de les seves partícules. c) Els cossos en moviment tenen, simultàniament, les dues classes d’energia cinètica. La velocitat real de cada partícula és la suma vectorial de les dues velocitats.

Però una par t de la seva energia interna també és energia cinètica de les seves par tícules. Aquesta energia, que anomenem d’agitació tèrmica, és deguda a un moviment desordenat o caòtic, i a que cada par tícula es mou amb una velocitat diferent (Fig. 21b). En la realitat, els dos moviments, l’ordenat i el desordenat, es produeixen simultàniament (Fig. 21c). L’energia del moviment ordenat de les par tícules es pot transmetre fàcilment en forma de treball. Passa el contrari amb l’energia del moviment desordenat. Així, el desordre disminueix la capacitat de l’energia per produir treball mecànic. Per tant, amb el desordre es degrada l’energia. S’ha definit una magnitud física que expressa el grau de desordre o la manca de disponibilitat de l’energia per produir treball; s’anomena entropia, però el seu estudi sobrepassa els límits d’aquest curs. Com que el moviment de les partícules té propensió a desordenar-se i mai no en té a ordenarse espontàniament, l’energia tendeix a degradar-se. És per això que podem afirmar que l’entropia de l'Univers creix.

22. Les molècules de l’aigua que surt d’un embassament pel sobreeixidor d’una presa cauen amb un moviment ordenat. Però, quan l’aigua xoca amb el terra, salta, forma grans turbulències i el seu moviment esdevé caòtic. En aquest procés la seva energia cinètica es degrada transformant-se en energia interna, que es tradueix en un petit augment de la seva temperatura.

138


21/4/08 13:54:31


Ciència, tècnica i societat

Fonts d’energia renovables

A

ctualment, més del 80 % de l’energia que es consumeix a la Unió Europea procedeix dels combustibles fòssils: petroli (40 %), gas natural (25 %) i carbó (15 %). La situació a escala mundial és similar. Els combustibles fòssils no solament s’empren com a fonts d’energia, també tenen una altra aplicació d’enorme interès: la fabricació de productes químics i farmacèutics. Les reserves mundials de combustibles fòssils poden arribar a esgotar-se, ja que no és possible renovar el que s’ha consumit. Per això diem que són fonts d’energia no renovables. Els combustibles fòssils tenen l’inconvenient del seu impacte negatiu sobre el medi ambient, a causa de l’emissió de gasos que produeix la seva combustió. A la Unió Europea, un inconvenient afegit és la inseguretat en el proveïment, que depèn necessàriament de les importacions. Malgrat això, segons previsions de la Comissió Europea, la utilització dels combustibles fòssils s’incrementarà al món fins arribar a un 88 %, si no s’adopten disposicions polítiques eficaces.

Tot el que acabem d'exposar, posa de manifest la urgent necessitat de pensar seriosament en l’ús d’altres fonts energètiques que estiguein sempre disponibles: les anomenades fonts d’energia renovables. Les principals fonts d’energia renovables són: • L’energia hidroelèctrica, que és la produïda per la caiguda de l’aigua. • L’energia eòlica, produïda pel vent. • L’energia solar, procedent de la radiació electromagnètica del Sol. • L’energia de la biomassa, procedent de productes o residus agrícoles i forestals.

L’energia procedent de la radiació electromagnètica del Sol és inesgotable a escala humana.

La taula següent posa de manifest en quin percentatge s’utilitza cadascuna de les principals fonts d’energia a Espanya, i la previsió per a l’any 2011 segons la Subdirecció General de Planificació Energètica. Font d’energia

Any 2007 (%)

Any 2011 (%)

Carbó

12,5

8,5

Petroli

47,9

45,3

Gas natural

20,9

24,6

Nuclear

10,3

9,2

8,5

12,5

Energies renovables

Les centrals tèrmiques utilitzen combustibles no renovables.

Actualment es malbarata massa energia. És essencial prendre consciència d’aquest fet i comprendre que és tan important utilitzar noves fonts d’energia com emprar-ne les disponibles d’una manera més eficaç i responsable, cosa que equival a dir més racional.

139


21/4/08 13:54:38

4



L’hidrogen i l’energia del futur

U

na possible solució als problemes derivats de l’ús de fonts d’energia no renovables pot ser l’ús de la pila d’hidrogen. Està constituïda per un conjunt de cèllules apilades, cada una de les quals té un ànode o elèctrode negatiu i un càtode o elèctrode positiu, separats per un conductor iònic o electròlit. S’injecta un corrent continu d’hidrogen a l’ànode, on experimenta l’oxidació següent: H 2 → 2 H + + 2 e -. Els ions H+, atrets pel càtode, es desplacen cap a ell a través de l’electròlit. Al mateix temps, s’injecta un corrent d’aire al càtode, on l’oxigen experimenta la reducció: 1 ––– O2 + 2 H+ + 2 e– → H2O. 2

De les anteriors equacions químiques deduïm que es produeixen tants electrons en un elèctrode com se’n consumeixen a l’altre. Els electrons produïts a l’ànode, a través del circuit exterior, substitueixen els consumits al càtode. Aquest flux d’electrons constitueix el corrent elèctric subministrat per la pila d’hidrogen. Expressant les reaccions en els dos elèctrodes com una única equació, resulta: 1

amb motor elèctric impulsats per pila d’hidrogen. Un dels principals avantatges que presenten és que no contaminen, ja que només emeten a la atmosfera vapor d’aigua. La primera estació de subministrament d’hidrogen com a combustible es va inaugurar l’any 2003 a Islàndia, per proveir tres autobusos de transport públic de Reykjavik. També s’està desenvolupant un prototip d’avió europeu que fa servir aquesta tecnologia, i també un submarí que es pot mantenir submergit durant setmanes sense sortir a la superfície. Les piles d’hidrogen són especialment útils en llocs allunyats de grans centres de consum; per exemple, en naus espacials, estacions meteorològiques, cases rurals, etc. Un sistema amb cel·la de combustible que funciona amb hidrogen pot ser compacte, lleuger i no té peces mòbils importants. En principi, els sistemes amb piles de combustible van tenir un gran èxit en la navegació espacial, però fins al final de la dècada dels vuitanta no es va aconseguir reduir-ne prou el cost per aplicar-los a uns usos més corrents.

H2 + ––– O2 → H2O, que és la reacció de combustió de 2

l’hidrogen. Així, les piles d’hidrogen són dispositius en els quals gran part de l’energia de combustió d’aquest gas es transforma directament en energia elèctrica. Les piles d’hidrogen es diferencien de les piles i les bateries elèctriques en el fet que no s’esgoten ni necessiten ser recarregades, ja que funcionen mentre rebin subministrament d’hidrogen i oxigen (o aire). Una cèl·lula d’hidrogen produeix una força electromotriu massa baixa, de manera que se n’agrupen moltes en sèrie i en paral·lel per formar una pila d’hidrogen. L’hidrogen es pot obtenir per mitjà de panells solars fotovoltaics, que proporcionen el corrent elèctric necessari per dur a terme l’electròlisi de l’aigua. Ja s’han creat alguns models de cotxes i autobusos

e�

e�

�

� H2

O2

Hidrogen

Aire

H+

H2 O Ánode

H 2 → 2 H+ � 2 e–

Electròlit

Aire � Aigua

Càtode

1/2 O2 � 2 H+ � 2 e+ → H2 O

140


21/4/08 13:54:45


RESUM El treball d’una força constant que es desplaça sobre la seva línia d’acció és el producte de la intensitat de la força pel seu desplaçament:

El treball total realitzat sobre un cos és igual a l’increment de la seva energia cinètica: W = ΔEk.

W = F Δs

Potència és el treball efectuat per unitat de temps: W P = –––– t

El joule, unitat de treball del SI, és el treball que fa una força d’1 N quan el seu punt d’aplicació es desplaça 1 m sobre la seva línia d’acció. →

La component tangencial, Ft, d’una força F és → la component de F en la direcció del moviment (tangent a la trajectòria).

El watt és la unitat de potència del SI. Es defineix com la potència que es desenvolupa quan es fa un treball d’1 joule cada segon.

El treball d’una força de component tangencial constant és W = Ft Δs.

El rendiment d’un procés és el quocient entre l’energia útil i l’energia total consumida: EU = –––– ET

El treball d’una força constant és el producte escalar de la força pel desplaçament: →

→

W = F · Δr

Principi de conservació de l’energia. L’energia no es pot crear ni destruir, sinó únicament transformarse o transmetre’s d’uns cossos a uns altres. Energia cinètica és la que té un cos a causa del seu moviment. Si el moviment és de translació, el seu valor és: 1 Ek = ––– m v 2 2 Energia potencial d’un cos és la que depèn de la seva posició en un camp de forces. Mentre l’acceleració g de la gravetat sigui constant, l’energia potencial gravitatòria d’un cos a una altura h és: Ep = m g h. Energia mecànica és la suma de les energies cinètica i potencial. Energia interna de la matèria és la que tenen a escala microscòpica les partícules que constitueixen els cossos. El treball de les forces conservatives que actuen sobre un cos no en fa variar l’energia mecànica. Es compleix que: WC = – ΔEp El treball de les forces dissipatives (no conservatives) que actuen sobre un cos és igual a l’increment de la seva energia mecànica: WD = ΔEk + ΔEP = ΔEM

La calor és la magnitud física que mesura l’energia transmesa d’un cos a un altre, com a conseqüència de la diferència entre les temperatures. La caloria, unitat de calor que no pertany al SI, equival a 4,18 joules. Les formes de transmissió de la calor són: conducció (per contacte entre les partícules constituents de la matèria), convecció (per desplaçament i mescla de fluids a diferent temperatura) i radiació (per ones electromagnètiques, sense necessitat d’un medi material). La capacitat calorífica específica o calor específica d’una substància és la quantitat d’energia en forma de calor que s’ha de subministrar a una unitat de massa d’aquesta substància per elevar-ne la temperatura 1 K. L’energia que absorbeix un cos, de massa m i calor específica c, quan experimenta un increment de temperatura Δt és: Q = c m Δt Primer principi de la termodinàmica. L’energia que un sistema rep en forma de calor més el treball realitzat sobre el sistema és igual a l’increment de la seva energia interna: Q + W = ΔU La degradació de l’energia és la seva transformació en formes d’energia no utilitzables per realitzar treball.


141

21/4/08 13:54:47

4

|

L’energia i la seva transferència

A C T I V I TAT S Treball 1

Un trineu de massa 80 kg llisca 150 m per un vessant inclinat 15°. Quin treball efectua el pes del trineu en aquest recorregut?

2

Per un pla inclinat 30° es puja un cos de massa m = 120 kg fent-lo lliscar amb movi→ ment uniforme gràcies a una força F paral·lela al pla.

7

Calcula el treball efectuat per la força → → → F = 30i – 20j (N) quan el seu punt d’aplicació es desplaça des del punt A al B, les coordenades dels quals en metres són A (–6, 2) i B (4, 10).

8

Des d’un punt que adoptem com a origen de coordenades, amb una velocitat inicial → → → v 0 = 50i + 80j (m/s), es llança obliquament cap amunt un cos de massa m = 200 g. Suposant nul·la la resistència de l’aire i sabent que l’acceleració de la gravetat és → → g = –10j (m/s2), expressa el vector posició del mòbil en funció del temps. Calcula el treball que fa el pes del cos entre els instants t = 2 s i t = 10 s.

El coeficient de fregament per lliscament entre aquest cos i el pla és μC = 0,3. → Calcula el treball efectuat per la força F quan el cos recorre 10 m sobre el pla inclinat. 3

Una persona arrossega amb moviment rectilini uniforme un moble que pesa 1 200 N. El moble es desplaça 5 m sobre el terra, que és horitzontal. El coeficient de fregament cinètic entre el moble i el terra és μC = 0,35. Calcula el treball realitzat pel pes del moble, per la força que exerceix la persona i per la força de fregament.

4

Un home arrossega un sac de massa 80 kg sobre una super fície horitzontal. Per fer-ho tira amb una força constant d’una corda inclinada 30° cap amunt, lligada al sac. El coeficient de fregament dinàmic per lliscament entre el sac i el terra és de 0,4.

Energia cinètica 9

Un coet de massa 0,4 kg, que es mou amb una velocitat de 40 m/s, explota i es parteix en dos fragments. Un fragment, de massa 0,25 kg, sur t llançat a 70 m/s i l’altre, a 120 m/s. Quina energia han adquirit a causa de l’explosió?

10

Expressa, d’acord amb el temps, la velocitat del mòbil de l’exercici 8. Calcula l’increment de la seva energia cinètica entre els instants t = 2 s i t = 10 s. Comprova si el seu valor coincideix amb el treball efectuat pel seu pes (única força que actua sobre ell).

11

Un vehicle de massa 800 kg, partint del repòs, recorre una pista circular de 20 m de radi. La component tangencial de la força que actua sobre seu és constant de Ft = 80 N. Quina serà la seva velocitat en acabar la primera volta? I en acabar la segona?

12

Un cos de massa m = 20 kg, segueix una trajectòria corba, que passa pels punts A (2, 7) i B (6, 2), les coordenades dels quals s’han expressat en m. Sobre aquest cos només hi actua una força constant → → → F = 10i – 6j (N). Si la seva velocitat en passar per A és de vA = 3 m/s, quin serà el mòdul de la seva velocitat en passar per B?

Calcula el treball que efectua l’home quan arrossega el sac 25 m: a) Amb moviment uniforme. b) Amb una acceleració constant d’1 m/s2. 5

Un mòbil de massa 4 kg, par tint del repòs, es mou sobre una circumferència de 10 m de radi amb una acceleració tangencial at = 0,2 m/s2. Determina el treball total efectuat sobre el mòbil a la primera volta.

6

Una mola d’esmolar cilíndrica té 20 cm de radi i fa 150 voltes per minut. L’esmolador pressiona la fulla d’un ganivet contra la vora de la mola amb una força de 15 N. Troba el treball efectuat per la força de fregament en 10 s si el coeficient de fregament entre el ganivet i la mola és de 0,6.

142


21/4/08 13:54:48


DIFICULTAT:

SENZILLA

MITJANA

ALTA

SENSE CLASSIFICAR

Energia potencial gravitatòria 13

Dues pedres es deixen caure sense velocitat inicial. Una, de massa 3 kg, cau des d’una altura de 8 m i xoca contra el terra. L’altra, de massa 2 kg, cau des d’una altura de 5 m sobre el terra fins al fons d’un pou de 10 m de profunditat. Si la resistència de l’aire és negligible, quina de les dues pedres xocarà més violentament?

14

Per aixecar un cos des del terra fins a una altura de 15 m cal fer un treball de 735 J. Si considerem que, al terra, la seva energia potencial gravitatòria és nul·la, quin seria el seu valor a 4 m sota el nivell del terra?

15

Hi ha 600 llaunes de refresc, de 11,6 cm d’alçària i 340 g de massa cada una, recolzades sobre les seves bases al terra. Calcula el treball que s’efectua en col·locar-les formant una pila de 5 fileres d’alçària (amb 120 llaunes a cada filera).

19

Treball i energia mecànica 20

Una pilota, de massa m = 300 g, és llançada ver ticalment cap amunt amb una velocitat inicial de 8 m/s des d’una altura de 6 m i, en arribar al terra, té una velocitat d’11 m/s. Calcula l’energia mecànica perduda pel fregament amb l’aire.

21

Un infant de massa m = 40 kg baixa per un tobogan de 4 m d’alçària i 12 m de longitud. La força de fregament que s’oposa al seu moviment és de 80 N. Calcula l’energia mecànica que perd durant el descens i la seva velocitat en arribar al final del tobogan.

22

El coeficient de fregament cinètic per lliscament entre un cos de massa m = 2 kg i un pla horitzontal és μ = 0,4. Quan el cos està en repòs s'hi aplica una força → horitzontal constant F fins que assoleix una velocitat de 12 m/s en un desplaçament de 10 m. → a) Calcula el treball efectuat per la força F fins aquell instant. b) Si, a par tir de l’esmentat instant, deixa → d’actuar la força F , quina distància recorrerà el cos fins que s'aturi?

23

Un cavall tira d’un cotxe de massa 250 kg sobre un terreny horitzontal. Les forces de fregament que actuen sobre el cotxe equivalen a una força única de 300 N en sentit contrari al del moviment. Partint del repòs, el cavall tira del cotxe amb una força de 500 N durant 4 s. Calcula: a) El treball efectuat pel cavall en els 4 s.

Conservació de l’energia mecànica 16

Des del terra es llança obliquament cap amunt un cos de massa m amb una velocitat de 25 m/s. Suposant negligible la resistència de l’aire, aplica la conservació de l’energia mecànica per calcular el valor de la seva velocitat en el punt més alt de la trajectòria, si és a 2,5 m d’altura.

17

Amb quina velocitat inicial cal llançar un cos verticalment cap amunt des d’una altura de 5 m perquè, en arribar al terra, la seva velocitat sigui de 18 m/s? i si es llança verticalment cap avall? i horitzontalment?

18

Una vagoneta d’unes muntanyes russes amb passatgers té una massa total de 350 kg. Quan es troba en un punt de la seva trajectòria a 6 m d’altura sobre el terra, la seva velocitat és de 12 m/s. Si no perdés energia per fregament: a) Quina seria la seva velocitat en un punt situat a 10 m d’altura? b) Quina és l’altura màxima que podria assolir?

Dos cossos de masses m1 = 400 g i m2 = 500 g són mantinguts en repòs penjats dels extrems d’un fil que passa per una petita politja. Si es deixen anar, quina variació d’energia potencial haurà experimentat el conjunt en l’instant en què cada cos hagi recorregut 2 m? Si no hi ha fregament, quina serà la velocitat dels cossos en aquest instant?

143


21/4/08 13:54:48

4


b) L’energia cinètica que ha adquirit el cotxe.

29

Una màquina consumeix una potència de 2 500 W de la xarxa de subministrament elèctric. Si fa un treball de 29,7 MJ en 6 h, quin rendiment té?

30

Quina potència ha de tenir el motor d’una bomba hidràulica per elevar un cabal d’aigua de 200 litres/minut a una altura de 15 m, si el rendiment de la instal·lació és del 60%? Quant gastarà en 8 hores de funcionament si el preu del kWh és de 0,1 euros?

31

El motor d’un automòbil desenvolupa una potència de 30 kW quan circula per una carretera a una velocitat constant de 90 km/h. En aquestes condicions, consumeix 7 litres de gasolina cada 100 km. Si cada litre de gasolina subministra 40 MJ, quin percentatge de l’energia consumida aprofita el motor?

32

El motor d’una grua, funcionant amb una potència de 15 kW, eleva un cos de 5 000 kg de massa a una altura de 4 m en 20 s. Calcula: a) L’energia perduda en aquesta operació. b) El rendiment de la grua.

33

Una escala mecànica de 15 m de longitud salva un desnivell de 5 m. Quan es desplaça a 0,5 m/s amb un càrrega total de 1 200 kg el seu motor consumeix una potència de 4,9 k W. Calcula’n el rendiment.

c) L’energia dissipada en forma de calor a causa del fregament. 24

Un cos, de massa m = 50 kg, es desplaça lliscant sobre el terra amb una velocitat de 10 m/s quan arriba al peu d’una rampa. El mòbil arriba a una altura de 2 m lliscant 8 m sobre la rampa. a) Calcula el treball efectuat per la força de fregament entre el cos i la super fície de la rampa. b) Determina el valor de la força de fregament entre tots dos. c) Baixarà per la rampa o es quedarà en repòs sobre la rampa?

Potència 25

Quina potència desenvolupa un cavall que arrossega un cos de massa 300 kg sobre una super fície horitzontal amb una velocitat de 10 km/h, si el coeficient de fregament cinètic entre el cos i el terra és μC = 0,2?

26

El salt d’aigua d’una central hidroelèctrica té una alçària de 80 m. Quina potència subministraria la central si el cabal fos de 4 m3 d’aigua per segon i no hi hagués pèrdues, és a dir, si tota l’energia mecànica es transformés en energia elèctrica?

27

La mitjana anual de l’energia que rep del Sol cada m 2 d’un territori és de 10 4 J per minut. Quina super fície del territori rep anualment la mateixa quantitat d’energia que la produïda per una central nuclear de 1 750 MW? Expressa el resultat en km 2.

Rendiment 28

Un motor de potència útil 36 kW té un rendiment del 70 %. Calcula l’energia que es perd quan funciona a plena potència durant 12 hores.

Calor i temperatura 34

Calcula la quantitat d’energia necessària per escalfar 100 kg d’aigua líquida des de 0 °C fins a 100 °C. Quina massa d’alumini es podria escalfar de 0 °C a 100 °C amb aquesta mateixa quantitat d’energia?

35

Calcula l’energia, en forma de calor, que desprèn en refredar-se un litre d’alcohol, des de 30 °C fins a 10 °C. (Dada: densitat de l’alcohol a 30 °C: 780 kg/m3.)

36

La temperatura mitjana de l’aigua del mar Mediterrani davant de la costa de Barcelona

144


21/4/08 13:54:49


és de 23,5 °C durant el mes de setembre i de 12 °C durant el mes de febrer. Quina quantitat d’energia, en forma de calor, haurà cedit cada m3 d’aigua del mar en refredar-se, entre la temperatura de l’estiu i la de l’hivern? (Dada: densitat de l’aigua del mar: 1 030 kg/m3.)

42

Calcula la quantitat d’energia corporal que perd una persona de 70 kg de massa si puja per l’escala fins a la terrassa d’un gratacel de 300 m d’alçària, suposant que només transforma en energia mecànica el 20 % de l’energia corporal consumida. Per al sistema constituït pel cos d’aquesta persona, quin és el valor en aquest procés de cada un dels termes (W, Q i ΔU) del primer principi de la termodinàmica? Busca el poder energètic d’algun aliment en l’etiqueta de l’envàs i determina quina quantitat n’hauria de menjar per recuperar l’energia perduda.

43

En una terminal ferroviària s’ha dissenyat un para-xocs hidràulic que conté 250 litres de líquid de densitat 0,9 g/cm3 i calor específica 2 000 J/kg K, i és capaç d'aturar, en un espai de 4 m, un tren de 300 TM que hi xoqui a 9 km/h.

Calor i treball 37

38

39

Calcula l’energia despresa, en forma de calor, quan s'atura un camió de 20 000 kg de massa per l’acció dels seus frens en el moment en què circula a 72 km/h, suposant que tota l’energia cinètica es dissipa en forma de calor. Quina quantitat d’energia es dissipa, en forma de calor, quan es per fora una làmina metàl·lica amb una màquina de potència 0,25 CV durant un minut? Suposa que el 75 % de l’energia subministrada pel trepant es transforma en calor. Una bala de plom, que es mou amb una velocitat de 600 m/s, s’esclafa contra una paret de pedra. Quant augmentaria la temperatura de la bala si no intercanviés calor amb l’entorn?

40

Una quantitat determinada de gas s’expandeix, realitzant un treball de 200 kJ. Si durant aquest procés se li han subministrat 50 Kcal en forma de calor, quant ha variat la seva energia interna?

41

En una cascada d’aigua, la pèrdua d’energia potencial gravitatòria incrementa la seva energia interna. Calcula l’augment de temperatura de l’aigua en una cascada de 30 m d’alçària. La cascada més alta d’Europa és al circ glacial de Gavarnie, prop de Pau, als Pirineus francesos: l’aigua cau des d’una altura de 420 m. Quin seria l’augment de temperatura de l’aigua en aquesta cascada? (Aquests augments de temperatura són menors en la naturalesa, ja que una part de l’energia es dissipa quan s’evapora aigua durant la caiguda.)

a) Calcula la força constant que haurà d’exercir el para-xocs. b) Si tota l’energia absorbida pel para-xocs es transmet al líquid, quin increment de temperatura experimentarà? 44

Un motor fa girar un cilindre de 20 cm de radi. Amb el motor en marxa, s’aplica un fre a la perifèria del cilindre. Quan la força tangencial exercida pel fre és de 1 400 N, el motor es manté girant constantment a 3 000 rev/min. Calcula la potència que desenvolupa el motor. S’observa que el motor consumeix 2,75 litres de combustible, quan funciona en les condicions anteriors, durant 12 minuts. Sabent que cada litre del combustible utilitzat proporciona una energia de 35,5 MJ, determina el rendiment del motor i la quantitat d’energia en forma de calor que es dissipa en el fre.


Indica quines d’aquestes energies podem afirmar que són renovables: la del petroli, l’elèctrica, la solar, la nuclear, l’eòlica, la hidràulica, la del carbó, la de la biomassa, la del gas natural i la geotèrmica.

145


21/4/08 13:54:50

4


46

Explica les condicions necessàries per a poder aplicar cada una de les expressions següents del treball d’una força: a) W = F Δs. b) W = Ft Δs. → → c) W = F Δs cos ϕ. d) W = F Δr .

47

Un vehicle de massa m es mou amb velocitat v. Raona quin d’aquests mòbils tindrà una energia cinètica més gran: a) Un vehicle amb una massa un 40 % més gran que m, amb velocitat v. b) Un vehicle de massa m, amb una velocitat un 40 % més gran que v.

48

49

50

Quina condició s’ha de complir perquè l’energia cinètica d’un mòbil es pugui calcular com a ½ m v2? I perquè la seva energia potencial gravitatòria es pugui calcular com a m g h? Raona si poden ser negatives l’energia cinètica d’un cos i la seva energia potencial gravitatòria. Digues a quin treball sobre un cos és igual: a) El seu increment d’energia cinètica. b) El seu increment d’energia potencial gravitatòria. c) El seu increment d’energia mecànica.

51

En què es transforma l’energia mecànica que perd un cos? Pot perdre energia mecànica un cos amb energia mecànica nul·la? Justifica les respostes.

52

Indica si el treball realitzat per una força conser vativa pot fer que variï l’energia: a) Cinètica. b) Potencial. c) Interna de la matèria. d) Mecànica. Respon la mateixa qüestió en el cas que la força sigui dissipativa.

53

Quina potència es desenvolupa en sostenir un cos de massa 10 kg a 5 m d’altura durant 20 s? Raona la resposta.

54

Quines condicions es necessiten perquè s'intercanviï calor per conducció, per convecció i per radiació entre dos sòlids? a) Que hi hagi un medi material entre ells. b) Que hi hagi un fluid entre ells. c) Que estiguin a diferent temperatura.

55

Amb tres focus de calor idèntics escalfem les mateixes masses d’aigua, mercuri i glicerina, que inicialment estaven a la mateixa temperatura. Quina d’aquestes substàncies incrementa abans la seva temperatura en 50 °C? Per què?

56

Per què, quan fem un treball físic, la temperatura del nostre cos augmenta i suem?

57

Basant-te en el primer principi de la termodinàmica, explica per què quan inflem la roda d’una bicicleta s’escalfa l’aire que hi introduïm.

58

Indica si només depenen dels estats inicial i final d’un sistema: a) El treball W realitzat sobre el sistema. b) La calor Q comunicada al sistema. c) La suma Q + W. En quins principis es basen les respostes?

59

Què significa que l’energia es degrada? Explica-ho amb un exemple.

Investiga 60

Busca la informació següent sobre algunes centrals hidroelèctriques: a) Energia emmagatzemada a l’embassament quan el nivell de l’aigua és el màxim. b) Potència elèctrica que pot subministrar la central. Si l’embassament estigués ple i l’energia emmagatzemada es transformés totalment en energia elèctrica, durant quant de temps podria funcionar la central amb la màxima potència sense rebre cap apor tació d’aigua?

61

Investiga quants kilowatts-hora gasta la teva localitat o la teva comarca a l’any en electricitat.

A www.ecasals.net trobaràs una llista de pàgines web que t’ajudaran a iniciar la investigació. No oblidis consultar també enciclopèdies i llibres especialitzats.

146


21/4/08 13:54:50

5 | El corrent elèctric

A escala humana, el corrent elèctric és molt important. Els seus efectes i la facilitat de transformació de l’energia elèctrica en un altre tipus d’energia amb poquíssimes pèrdues, han convertit aquesta classe d’energia en la principal font del procés tecnològic. El desenvolupament de la tecnologia del segle anterior i de l’actual seria inconcebible sense la gran aportació de l’energia elèctrica. El debat actual sobre les energies renovables i no renovables gira a l’entorn dels processos de transformació d’una determinada font d’energia en energia elèctrica.

U05-Fisica2_Bach (3m).indd 147

21/4/08 13:43:59

5

| El corrent elèctric

1 | El corrent elèctric El corrent elèctric és un moviment de càrregues elèctriques a l’interior d’un conductor. Habitualment s’anomena corrent elèctric el desplaçament del conjunt dels electrons en els conductors metàl·lics. Rarament pensem que també hi ha corrents elèctrics en els líquids i en els gasos. Fins i tot podem afirmar que, perquè existeixi un corrent elèctric, no és imprescindible la matèria: un feix d’electrons o d’ions desplaçant-se en el buit constitueix un corrent elèctric.

| Mecanismes del corrent elèctric als metalls +

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

1. Els electrons del núvol electrònic es mouen lliurement entre els ions positius del metall. +

+

+

+ +

+

+ +

+

+

+

sentit convencional del corrent 2. Els electrons es mouen desordenadament dins del cos del metall. Quan s’estableix un corrent elèctric, el conjunt es desplaça a una cer ta velocitat de deriva.

Els metalls en estat sòlid formen reticles cristal·lins tridimensionals en els quals els àtoms es troben molt pròxims els uns dels altres. Els electrons que són més a l’exterior de cada àtom, es troben dèbilment atrets pel nucli. A més, es deixa sentir l’atracció dels àtoms veïns. Per tot això, un o uns quants electrons dels més exteriors de cada àtom del metall poden ser cedits fàcilment. Aquests electrons no estan associats a cap nucli concret, sinó que formen un núvol electrònic comunitari que per tany de la mateixa manera a tots els àtoms que formen el cristall metàl·lic. En aquest núvol, els electrons es mouen lliurement a gran velocitat i en totes direccions entre els ions de la xarxa cristal·lina, sense experimentar cap desplaçament de conjunt. Quan s’estableix el corrent elèctric, aquests electrons lliures, adquireixen un moviment uniformement accelerat (Fig. 2). En el seu moviment collideixen amb altres electrons i amb els ions positius de la xarxa cristal·lina i són frenats intensament, i per tant l’energia cinètica adquirida es dissipa ràpidament. Aquest electrons són accelerats i frenats successivament una vegada i una altra. Com a resultat, s’estableix un règim de moviment en què el conjunt dels electrons adquireix una cer ta velocitat mitjana anomenada velocitat de deriva. Actualment, aquest mecanisme clàssic de la conducció elèctrica als metalls ha estat substituït per un altre de més modern basat en la mecànica quàntica, l’explicació de la qual correspon a cursos més avançats.

| Mecanismes del corrent elèctric als líquids Algunes dissolucions líquides contenen ions positius i negatius procedents de la substància dissolta i també els contenen els líquids que resulten de fondre aquests compostos. Aquestes substàncies són els electròlits. L’àcid sulfúric, el clorur de sodi, dihidròxid de potassi, etc., són exemples d’electròlits. Quan s’aplica un corrent elèctric, per exemple, a una dissolució de clorur de coure (II) (CuCl2), els ions de clor (Cl−) es desplacen cap a l’elèctrode positiu (+), i en canvi els ions de coure (Cu2+) es desplacen cap al negatiu (–). En la dissolució hi ha un corrent iònic doble (Fig. 3). 3. Moviment dels ions en una solució d’un electròlit.

148


21/4/08 13:44:04

El corrent elèctric | 5

El corrent elèctric en els líquids iònics es diferencia del dels sòlids metàllics en què hi ha un doble desplaçament d’ions en lloc d’electrons; a més, es produeix una transformació química.

| Mecanismes del corrent elèctric als gasos A diferència dels metalls o dels líquids, els gasos no tenen càrregues elèctriques lliures que es puguin desplaçar, de manera que, a pressió atmosfèrica normal són mals conductors elèctrics. L’aire es compor ta com un aïllant elèctric i si de vegades presenta una lleugeríssima conductivitat és a causa de la presència d’ions gasosos. Per tal que un gas condueixi el corrent elèctric, aquest ha d’estar ionitzat. Són agents ionitzants la calor (els gasos s’ionitzen fàcilment a temperatures elevades), les radiacions emeses per substàncies radioactives, els raigs ultraviolats, els raigs X i els raigs còsmics. El desplaçament dels ions a través del gas s’anomena descàrrega elèctrica. Quan la diferència entre càrregues elèctriques és molt elevada i els punts es troben relativament pròxims, els ions que hi ha a l’aire s’acceleren amb tanta intensitat que l’energia cinètica que adquireixen permet que ionitzin per xoc altres molècules, i així successivament. Es produeix una ionització en cadena, que és la causa de la guspira o descàrrega elèctrica. És el cas, per exemple, de les descàrregues a l’atmosfera entre núvols (llampecs) o entre els núvols i el terra (llamps) (Fig. 4). Els gasos són més bons conductors com més en disminueix la pressió, perquè com que les molècules del gas estan molt separades les unes de les altres, els ions formats poden adquirir una elevada energia cinètica i produir, en cada xoc, nous ions.

2 | Intensitat de corrent Ja que el corrent elèctric és un moviment de càrregues a l’interior d’un conductor, podem determinar-lo si en coneixem la càrrega que travessa una secció del conductor en cada unitat de temps. La intensitat d’un corrent elèctric és la càrrega Q que travessa una secció del conductor en cada unitat de temps: Q I = —— t

4. Llamps i llampecs en un núvol de tempesta.

Ordres de magnitud d’algunes intensitats 105 A: Fosa d’alumini mitjançant l’electròlisi. 104 A: Descàrrega elèctrica en una tempesta. 103 A: Motor d’un tren d’alta velocitat. 102 A: Motor d’arrencada d’un automòbil. 10 A : Resistència d’escalfament d’una rentadora. 1 A : Bombeta molt potent. 10–1 A: Bombeta de poca potència, motor d’una joguina. 10–2 A: Díodes LED, pilots lluminosos en aparells de música, rellotges elèctrics, etc. 10–6 A: Circuits integrats en ordinadors, calculadores, etc.

La unitat d’intensitat de corrent elèctric és l’ampere (A). És una de les set unitats fonamentals del SI. De l’equació anterior resulta: Q = I Δt 1C=1A 1s Un coulomb és la càrrega que passa cada segon a través de la secció d’un conductor recorregut per la intensitat d’1 ampere. A la pràctica, a vegades es fa servir com a quantitat de càrrega la que transpor ta en una hora un corrent constant d’1 A. Aquesta càrrega s’anomena ampere hora (Ah).

5. La càrrega total que emmagatzema la bateria d’automòbil de la figura és de 36 Ah.

149


21/4/08 13:44:05

5


3 | Diferència de potencial La diferència de potencial entre dos punts és l’energia que se cedeix per unitat de càrrega elèctrica que circula entre aquests dos punts. V1 – V2 = W / Q La unitat de diferència de potencial és el volt, i el seu símbol és V. Si entre dos punts d’un circuit hi ha una diferència de potencial d’un volt, entre aquests dos punts se cedirà una energia d’un joule per cada coulomb de càrrega elèctrica que hi circuli. 1V=1J/1C Així doncs, si dos punts tenen una diferència de potencial i s’uneixen mitjançant un conductor, es produirà un flux de corrent elèctric entre ambdós punts. Com veurem en l’apartat 8, un generador de corrent elèctric permet mantenir una diferència de potencial constant i, en conseqüència, un corrent elèctric permanent entre els extrems d’un conductor.

4 | La llei d’Ohm En augmentar la diferència de potencial entre els extrems d’un conductor, augmenta la intensitat de corrent que hi circula. En alguns conductors, com els metalls, hi ha una relació de proporcionalitat directa entre la intensitat de corrent i la diferència de potencial aplicada. Aquesta proporcionalitat la va descobrir el físic alemany Georg Simon Ohm el 1827, i en honor seu es coneix com la llei d’Ohm: La diferència de potencial aplicada entre els extrems d’un conductor metàl·lic és directament proporcional a la intensitat de corrent que hi circula. VA – VB = R I El significat de la constant R és fàcil d’entendre. Si s’aplica la mateixa diferència de potencial a dos conductors, a i b, de la mateixa longitud i secció, però d’un material diferent, hi circularan corrents diferents (Fig. 7).

6. Georg Simon Ohm (1787-1854). Físic alemany. Va fer estudis sobre geometria, òptica, acústica, sobre la polarització de les piles i la interferència dels raigs polaritzats en els cristalls. Tanmateix, se l’ha conegut pels estudis que va fer sobre la resistència elèctrica dels conductors metàl·lics i per la descoberta de la llei que duu el seu nom. A més de l’esmentada llei, també duu el seu nom la unitat de resistència elèctrica en el Sistema Internacional, l’ohm, de símbol Ω.

Per exemple, per a una mateixa diferència de potencial aplicada, V, pel conductor a hi circula una intensitat més gran que pel conductor b; és a dir que b ofereix més dificultat per al desplaçament de les càrregues elèctriques. Per a la majoria de conductors metàl·lics, la diferència de potencial aplicada entre els seus extrems és una funció lineal de la intensitat que hi circula. Aquesta mena de conductors que compleixen bé la llei d’Ohm s’anomenen conductors lineals o òhmics. Hi ha un altre tipus de conductors, com ara les dissolucions iòniques, els gasos, els díodes o els semiconductors, en els quals la relació entre la diferència de potencial i la intensitat que hi circula no presenta una relació lineal. Per aquest motiu s’anomenen conductors no lineals o no òhmics.

150


21/4/08 13:44:06


(V A � V B ) / V

(V A  V B ) / V b

b a

a V

I1

I2 I / A

7. El pendent de cada recta mesura la resistència de cada conductor.

I/A 8. Relació entre la diferència de potencial i la intensitat de corrent elèctric per a un gas a i per a una dissolució iònica b.

A la figura 8 s’ha representat la variació de la intensitat de corrent amb la diferència de potencial en un gas a i en una dissolució iònica b. La representació gràfica V –I s’anomena característica del conductor. Encara que a l’estudi del corrent elèctric que es fa en aquesta unitat se suposi que els conductors són lineals, cal tenir en compte que n’hi ha molts que no obeeixen la llei d’Ohm, i la seva aplicació es basa en aquest compor tament no lineal, com veurem en l’apar tat 6, sobre els sensors.

5 | Resistència elèctrica La constant R de la llei d’Ohm expressa la dificultat que ofereix un conductor quan passa el corrent elèctric, i s’anomena resistència elèctrica. La resistència elèctrica representa una més gran o més petita dificultat de desplaçament dels electrons en un conductor. Els cossos que presenten poca resistència són bons conductors; els cossos amb una resistència elevada són mals conductors, i s’anomenen aïllants o dielèctrics. La llei d’Ohm permet definir la unitat de resistència elèctrica, anomenada ohm, que se simbolitza amb la lletra grega omega majúscula (Ω). Un conductor té una resistència d’1 ohm (Ω) quan, en aplicar-hi una diferència de potencial d’1 volt, deixa passar un corrent d’1 ampere. 1

1V = ——– 1A

En la majoria dels casos, interessa que els fils conductors que s’utilitzen als circuits tinguin molt poca resistència. Amb tot, a vegades cal que per un conductor o per una par t d’un circuit hi corri una intensitat molt petita. Per aconseguir-ho, la resistència d’aquesta par t ha de ser molt gran. Els dispositius dissenyats específicament per oferir una oposició apreciable al pas del corrent elèctric s’anomenen resistències. Una resistència pot consistir en un fil metàl·lic molt llarg d’un material que no sigui gaire bon conductor, enrotllat sobre un dielèctric.

151


21/4/08 13:44:07


5

Actualment, són d’ús generalitzat les resistències ceràmiques, com la de la figura 9. Ocupen un espai reduït i són molt econòmiques. Per construirles es col·loca una finíssima capa de grafit sobre un material aïllant que es recobreix amb una capa de pintura, també aïllant. A l’exterior por ten unes anelles de colors que codifiquen el valor de la resistència (tal com es por obser var a la taula del marge). El primer color és la xifra de les desenes. El segon color, la de les unitats. El tercer color és l’exponent de la potència de 10 que multiplica els altres dos. El quar t color n’indica la tolerància. Així, la resistència de la figura 10 és:

9. Resistència ceràmica.

Groc = 4; violeta = 7; vermell = 2 i daurat = 5 % R = 47 × 102 Ω = 4 700 Ω; amb un error relatiu er = 5 % (R queda entre 4 465 Ω i 4 935 Ω)

Codi de colors per identificar les resistències Color

| Associació de resistències

Dígit

Negre Marró

0 1

Vermell

2

Taronja

3

Groc

4

Verd

5

Blau

6

Violeta

7

Gris

8

Blanc

9

No es fabriquen resistències de tots els valors possibles que es poden utilitzar en un circuit. No obstant això, podem associar les resistències les unes amb les altres per obtenir el valor de la resistència que necessitem. Hi ha dues formes bàsiques d’associar resistències: en sèrie i en paral·lel. La connexió de resistències en sèrie consisteix a connectar una resistència després de l’altra, de manera que el conjunt ofereixi una única línia de corrent (Fig. 10). Així, per totes les resistències hi circula la mateixa intensitat de corrent, quan entre els extrems s’aplica una diferència de potencial determinada. És una associació de resistències amb intensitat de corrent comuna.

Tolerància Color Daurat Platejat Sense senyal

R1 A

La connexió de resistències en paral·lel consisteix a connectar els extrems de cada resistència entre els mateixos punts (Fig. 11). Quan es fa circular corrent per aquesta associació de resistències, la intensitat de corrent que arriba al punt d’origen de l'associació es divideix en tantes parts com branques hi ha, de manera que la suma de les intensitats de cada branca és igual a la intensitat de corrent que arriba i també és igual a la intensitat que sur t per l’altre extrem de l’associació.

Valor ± 5% ± 10 % ± 20 %

R2 B

R3 C

D

10. Associació de resistències en sèrie.

R1 R2 A

B R3

11. Associació de resistències en paral·lel.

La caiguda de potencial en cada una de les resistències connectades en paral·lel és la mateixa, ja que estan connectades entre els mateixos punts inicial i final. Es pot dir que es tracta d’una associació de resistències de caiguda de potencial comuna. Una resistència equivalent d’una associació és una resistència que, si es col·loca en lloc del conjunt al qual equival, no modifica les característiques del circuit. Hi circula la mateixa intensitat de corrent quan s’hi aplica la mateixa diferència de potencial que a l’associació equivalent. A més, s’hi dissipa la mateixa energia que en el conjunt de resistències al qual equival. Podem calcular la resistència equivalent a un conjunt de resistències en sèrie, si obser vem la figura 10. S’hi pot obser var que la caiguda de potencial del conjunt és igual a la suma de les caigudes de potencial en cada resistència:

152


21/4/08 13:44:09


VA – VD = (VA – VB) + (VB – VC) + (VC – VD) VA – VD = I R, (VA – VB) = I R1, (VB – VC) = I R2 i (VC – VD) = I R3 Per tant:

I R = I R1 + I R2 + I R3

I simplificant per I, resulta:

R = R1 + R2 + R3

En general, resulta:

R = ∑ Ri

És a dir, En una associació de resistències en sèrie, la resistència equivalent és igual a la suma de totes aquestes. Quan es fa una associació de resistències en sèrie, s’obté una resistència equivalent més gran que qualsevol d’aquestes resistències. Per saber quina és la resistència equivalent a un conjunt de resistències en paral·lel, podem utilitzar la característica de la caiguda de potencial comú en totes, i la intensitat de corrent, I, es divideix en tantes par ts com branques hi ha, la suma de les quals és igual a la intensitat total. Si prenem com a model l’associació de la figura 11, podem veure que, si les intensitats que circulen per cada resistència són I1, I2 i I3, aleshores: I = I1 + I2 + I3 Segons la llei d’Ohm, tenim: VA – VB I = ———– R

VA – VB I1 = ———– , R1

VA – VB I2 = ———– R2

VA – VB I3 = ———– R3

Substituïm en l’equació anterior: VA – VB VA – VB VA – VB VA – VB ——— = ——— + ——— + ——— R R1 R2 R3 I dividim entre el factor comú VA – VB, amb la qual cosa s’obté: 1 1 1 1 —— = —— + —— + —— R R1 R2 R3 En general, resulta: 1 R

=

1 Ri

És a dir, En una associació de resistències en paral·lel, la inversa de la resistència equivalent és igual a la suma de les inverses de les resistències. La resistència que equival a un conjunt de resistències en paral·lel és més petita que qualsevol d’aquestes. Els receptors del corrent elèctric (llums, electrodomèstics, maquinària) en una instal·lació elèctrica es connecten a la línia de corrent en paral·lel, ja que tots funcionen a la mateixa diferència de potencial aplicada. 153


21/4/08 13:44:09

5


EXEMPLE 1.

Es disposa de tres resistències 20 Ω, 30 Ω i 60 Ω.

I

a) Si les connectem en sèrie i s’aplica als extrems una diferència de potencial de 220 V, quina intensitat de corrent hi circula?

A

R 1 = 20

R 2 = 30

R 3 = 60 B

b) Si es connecten en paral·lel i s’aplica entre els extrems la mateixa diferència de potencial de 220 V, quina és la intensitat de corrent que circula per cada una? a) Per trobar la intensitat que circula quan s’associen en sèrie, cal determinar el valor de resistència equivalent: R = R1 + R2 + R3 R = 20 Ω + 30 Ω + 60 Ω = 110 Ω I segons la llei d’Ohm, tenim: 220 V VA – VB I = ———– = ———– = 2 A R 110 b) Quan s’associen en paral·lel, la resistència equivalent té un valor de: 1 1 1 1 —— = —— + —— + —— R2 R3 R R1 1 1 1 1 —— = ——– + ——– + ——– R 20 30 60 Amb la qual cosa es troba que R = 10 Ω. Si apliquem la llei d’Ohm, s’obté: VA – VB 220 V I = ——— = ——— = 22 A R 10 Aquesta seria la intensitat de corrent elèctric que circularia per la resistència equivalent. El seu valor és igual a la suma de les intensitats que circularan per cada una de les resistències que formen el conjunt: I1 + I2 + I3 = 22 A

I1

Si apliquem la llei d’Ohm a cada resistència, tenim: VA – VB 220 V I1 = ——— = ——— = 11 A R1 20 VA – VB 220 V 22 I2= ——— = ——— = —— A R2 30 3

I2

I A

I3

R 1 = 20 R 2 = 30 B R 3 = 60

VA – VB 220 V 11 I3 = ——— = ——— = —— A R3 60 3

154


21/4/08 13:44:10


| Resistència d’un conductor metàl·lic La resistència d’un conductor metàl·lic depèn de les seves característiques físiques: el material de què és fet, l’homogeneïtat i la forma. I no depèn ni de la diferència de potencial aplicada ni de la intensitat de corrent que hi circula. Ohm va estudiar la resistència dels fils conductors metàl·lics i va comprovar, experimentalment, que aquesta resistència és proporcional a la longitud del fil, I, i inversament proporcional a la seva secció, S; és a dir, a l’àrea d’un tall transversal del fil. Va reflectir aquestes conclusions en la següent expressió matemàtica: R=ρl/S La constant de proporcionalitat, ρ, és la resistivitat o resistència específica, característica del material que constitueix el fil conductor. La resistivitat seria la resistència d’un fil conductor d’1 m de longitud i d’una secció d’1 m2. D’això, se’n dedueix que la resistivitat es mesura al SI en Ω × m. De vegades, interessa intercalar en un circuit una resistència variable per poder modificar la intensitat de corrent que hi circula; aquest tipus de resistències variables se sol anomenar reòstats, com el que hi ha a la figura 12. Els reòstats estan basats en la propietat que la resistència d’un conductor metàl·lic és proporcional a la seva longitud. Estan constituïts per un fil conductor enrotllat damunt d’un material aïllant. Un botó permet girar un contacte, anomenat cursor; segons la seva posició, la longitud d’espires que s’intercalaran al circuit de corrent és més gran o més petita, i d’aquesta manera es modifica la resistència connectada al circuit. Per als metalls purs, el valor de ρ augmenta amb la temperatura. A la pràctica, s’observa que la variació de la resistivitat és directament proporcional a l’increment de la temperatura, segons la següent expressió: ρ – ρ0 = ρ0 α t

Material

Resistivitat Coeficient a 20 °C de (Ω m) temperatura (a 20 °C per °C)

Plata

1,6 × 10–8

3,8 × 10–3

Coure

1,7 × 10–8

3,9 × 10–3

Alumini

2,8 × 10–8

3,9 × 10–3

Tungstè

5,5 × 10–8

4,5 × 10–3

Llautó

6 × 10–8

2 × 10–3

Ferro

10 × 10–8

5 × 10–3

Plom

22 × 10–8

4,3 × 10–3

Manganina

44 × 10–8

0,0

Constantà

49 × 10–8

2 × 10–6

Nicrom

100 × 10–8

4 × 10–4

Carboni

3 500 × 10–8

–0,5 × 10–3

Germani

0,45

–48 × 10–3

Silici

640

–75 × 10–3

Fusta

108 × 1014

Vidre

1 010 × 1014

Ebonita

1 013 × 1016

Mica

1 011× 1015

Ambre

5 × 1014

Sofre

1015

De la qual cosa resulta: ρ = ρ0 (1 + α t). En aquesta expressió, ρo és la resistivitat a 0 °C, α és el coeficient de variació de la resistivitat amb la temperatura i t és la temperatura en °C. Per poder utilitzar els valors que s’han donat a la taula de resistivitat i coeficients de variació amb la temperatura, només cal canviar l’expressió anterior per la següent: ρ = ρ20 [1 + α (t – 20 °C)] En els no-metalls i electròlits la resistivitat disminueix quan augmenta la temperatura. Són més bons conductors a temperatures elevades.

12. Resistència variable de cursor.

155


21/4/08 13:44:11

5


6 | Sensors Un sensor és un component elèctric que permet mesurar una variable física o química. Molts sensors estan basats en materials que varien la seva resistència elèctrica en funció de la variable que es vol mesurar. Alguns materials tenen un compor tament diferent del dels conductors metàl·lics pel que fa a la variació de la resistència elèctrica en funció de la temperatura. Els materials on aquesta variació és més accentuada són anomenats termistors i s’utilitzen com a sensors de temperatura. Hi ha dos tipus de termistors. Aquells en els quals la seva resistència disminueix amb la temperatura són els NTC (negative temperature coefficient), o termistors de coeficient de temperatura negatiu. Aquells en els quals augmenta la resistència en augmentar la temperatura són els PTC (positive temperature coefficient), o termistors de coeficient de temperatura positiu. En els gràfics següents es mostra el compor tament d’un termistor tipus NTC (fig. 13) i d’un altre tipus PTC (fig. 14).

Resistència / ohms 1,0E+07 1,0E+06 1,0E+05 1,0E+04 1,0E+03 1,0E+02 1,0E+01 1,0E+00 0

50

100

150

200

250 300 350 Temperatura / ºC

13. Variació de la resistència amb la temperatura d’un termistor tipus NTC.

Resistència / ohms 1,0E+10 1,0E+09 1,0E+08 1,0E+07 1,0E+06 1,0E+05 1,0E+04 1,0E+03 1,0E+02 1,0E+01 1,0E+00 0 50

100

150

200

250 300 350 Temperatura / ºC

14. Variació de la resistència amb la temperatura d’un termistor tipus PTC.

La majoria d’aquests materials no metàl·lics no segueixen la llei d’Ohm, és a dir, la relació entre la intensitat i el voltatge aplicat als seus extrems no és constant. De tota manera, un cop conegut el seu comportament pel que fa a la variació de la resistència, poden ser usats com a sensors tèrmics amb gran precisió. Els termistors s’apliquen en el disseny i la fabricació de circuits com ara la mesura de temperatures en sistemes de climatització, o el control o l'alarma de la flama dels pilots dels calefactors del gas. Altres materials, com les fotoresistències, presenten valors diferents de la seva resistència elèctrica en funció de la intensitat de la llum que reben. Aquestes característiques permeten fer-los servir per construir sensors per mesurar la intensitat de llum.

15. Fotoresistència.

Les fotoresistències, també anomenades fotoconductors, (Fig. 15), són dispositius semiconductors que, quan no estan il·luminats, tenen una resistència elèctrica elevada. La seva resistència va disminuint a mesura que augmenta la intensitat de la llum incident damunt la super fície sensible. Aquesta característica permet la seva aplicació en fotòmetres, sistemes de seguretat, sistemes d’encesa o apagat de l’enllumenat, entre d’altres.

156


21/4/08 13:44:12


7 | La llei de Joule Quan s’aplica una diferència de potencial entre els extrems d’un conductor metàl·lic, els electrons lliures que conté s’acceleren i adquireixen energia cinètica. Aquesta energia es transfereix al conductor a través del xoc dels electrons amb els ions de la xarxa cristal·lina del metall, n’eleva la temperatura i, posteriorment, es dissipa en forma de calor. L’energia cedida per les càrregues quan pateixen una caiguda de potencial determinada té un valor de: W = Q (VA – VB) De la llei d’Ohm resulta:

VA – VB = R I.

Per tant, tenim:

W = Q R I.

I si tenim en compte que:

Q = I Δt,

Obtenim:

W = R I2 Δt

D’aquesta expressió, se’n desprèn que l’energia que el corrent elèctric cedeix en circular per un conductor és proporcional: • al quadrat de la intensitat de corrent,

16. James Prescott Joule (1818-1889). Físic anglès. Va investigar les relacions entre treball i calor i va arribar a formular el principi de conservació de l’energia. També va obtenir l’equivalent mecànic de la calor, va contribuir a explicar la teoria cinètica dels gasos i va formular la llei que duu el seu nom. En honor seu, s’ha donat el nom a la unitat de treball en el Sistema Internacional, el joule, de símbol J.

• a la resistència del conductor, • al temps de durada del pas de corrent. L’equació anterior expressa també la llei de Joule: L’energia transferida en forma de calor a la resistència és directament proporcional al quadrat de la intensitat de corrent.

| Aplicacions de l’efecte Joule Són diverses les aplicacions de l’efecte Joule en els conductors metàl·lics:

17. Fogó elèctric.

a) Calefacció elèctrica Molts dels aparells de calefacció elèctrica tenen el funcionament basat en l’efecte Joule: les estufes, els fogons elèctrics, les planxes, els assecadors de cabells, etc. La majoria estan formats per un fil d’un aliatge inoxidable (per exemple, ferroníquel) pel qual circula el corrent, i es produeix un gran despreniment de calor (Fig. 17). b) Il·luminació per incandescència Les làmpades d’incandescència estan formades per una ampolla de vidre, que conté un filament de tungstè pel qual es fa circular un corrent elèctric que el posa incandescent i, a més de desprendre una mica de calor, fa llum. Actualment, són d’ús molt freqüent les làmpades halògenes (Fig. 18); a dins, el filament pot arribar a temperatures més altes i fer una llum més intensa i blanca.

18. Làmpada halògena.

c) Fusibles Són dispositius que protegeixen alguns circuits del pas d’intensitats de corrent massa elevades. Estan constituïts per un filament metàl·lic d’un aliatge amb un punt de fusió baix (Fig. 19). Quan la intensitat de corrent és elevada, la calor fon el fil i talla el pas de corrent. 19. Fusibles.

157


21/4/08 13:44:15

5


8 | Generadors Si es vol que el corrent elèctric en un conductor sigui permanent són necessàries dues condicions: • Disposar de càrregues elèctriques que es puguin desplaçar lliurement. En el cas dels metalls són els electrons, en els electròlits els ions. • Mantenir permanentment una diferència de potencial elèctric entre els extrems del conductor. Analitzem la situació següent: volem que l’aigua que baixa per les rampes d’un tobogan d’un parc aquàtic flueixi constantment. Per això necessitem un motor que la impulsi des de la piscina inferior a la part superior del tobogan. El motor s’ocupa d’elevar l’energia potencial de l’aigua, que després, quan baixa per la rampa, es transforma en una altra classe d’energia. Una cosa semblant passa amb el corrent elèctric. Són necessaris uns aparells anomenats generadors la missió dels quals és comunicar energia potencial a les càrregues elèctriques perquè circulin constantment pels conductors. Els generadors elèctrics actuen de manera anàloga al motor que eleva l’aigua del tobogan, és a dir, eleven l’energia potencial de les càrregues elèctriques des del born de potencial menor fins al born de potencial més gran a costa de l’energia subministrada per una transformació química que s’esdevé a l’interior del generador. Aquest és el cas de les piles i els acumuladors, o bé de l’energia mecànica subministrada per un salt d’aigua o per vapor a pressió, que és el cas dels alternadors de les centrals elèctriques. Hi ha casos par ticulars com el de les fotopiles, que tractarem en un proper document.

sentit convencional del corrent elèctric

20. Sentit convencional del corrent elèctric.

Amb relació al sentit en què es mouen les càrregues elèctriques, es considera que circulen del born o pol positiu (+) al born negatiu (–). És l’anomenat sentit convencional del corrent elèctric. Es considera que el corrent circula en el sentit dels potencials decreixents (Fig. 20). El fet que en física es consideri com a sentit del corrent elèctric, l’oposat al sentit que es mouen en realitat els electrons, no suposa cap inconvenient en el seu estudi. Les piles, els acumuladors i les dinamos mantenen sempre la mateixa polaritat. Consegüentment, els corrents elèctrics presents en els conductors que uneixen els seus borns tenen sempre el mateix sentit. Aquest corrent rep el nom del corrent continu. Els alternadors, en canvi, creen un corrent elèctric que varia periòdicament de sentit. Aquest corrent s’anomena corrent altern. Les piles i els acumuladors són generadors electroquímics. Un generador electroquímic és un dispositiu que permet obtenir energia elèctrica a partir de determinades reaccions químiques. Podem classificar els diferents generadors electroquímics en funció del seu compor tament un cop descarregats: • Les piles són dispositius que, una vegada descarregats, no es poden tornar a utilitzar. • Els acumuladors poden ser recarregats elèctricament i això permet que alguns dels reactius consumits es regenerin.

158


21/4/08 13:44:16


9 | Piles El primer generador electroquímic va ser la pila de Volta formada per una sèrie de discos de coure i de zinc disposats alternativament i entre els quals hi havia peces de roba amarades d’una solució d’àcid sulfúric. Si s’introdueix una làmina de zinc en una dissolució de sulfat de coure (II), es pot obser var que, damunt el zinc, es diposita una capa de coure metàllic, i el color de la dissolució passa d’un blau intens a un blau molt clar o, que fins i tot pot arribar a ser incolor (Fig. 21). En el vas han esdevingut alhora dues reaccions químiques: Zn(s) → Zn2+(aq) + 2 e Cu2+(aq) + 2 e → Cu(s) Recorda que la primera és una reacció d’oxidació perquè el zinc perd electrons. La segona és una reacció de reducció perquè l’ió coure guanya electrons. Els electrons cedits pel zinc són captats per l’ió coure (II). La transferència d’electrons esdevé directament del zinc als ions Cu2+ i s’allibera l’energia en forma de calor. Però podem aconseguir que par t de l’energia alliberada aparegui en forma d’energia elèctrica aprofitable. Per aconseguir-ho, és condició necessària separar cada semireacció, de tal manera que la transferència d’electrons es faci, no directament, sinó a través d’un fil conductor exterior. Això s’aconsegueix mitjançant el dispositiu experimental de la figura 22.

21. Quan introduïm una làmina de zinc en una solució que conté Cu2+, hi ha una transferència d’electrons del Zn al Cu2+(aq), el coure es diposita i la solució empal·lideix.

En el recipient de l'esquerra hi ha una dissolució de sulfat de coure (II), en què s’ha submergit una làmina de coure. El de la dreta conté una dissolució de sulfat de zinc. Les làmines de coure i zinc s’uneixen per mitjà d’un fil conductor. L’amperímetre intercalat indica el pas d’un corrent elèctric. El sistema es completa amb un pont salí, que és un tub amb forma d’U la missió del qual és assegurar i mantenir la neutralitat de les càrregues en ambdues solucions. En comptes d’usar un pont salí, es poden separar amb un envà porós que permeti el moviment dels ions. El dispositiu experimental explicat constitueix una pila voltaica anomenada normalment pila elèctrica. En una pila elèctrica s’obté energia elèctrica a par tir d’una reacció química d’oxidació-reducció. La pila que hem explicat s’anomena pila Daniell. 22. Muntatge d’una pila Daniell.

El valor màxim de la diferència de potencial entre els elèctrodes de la pila s’anomena força electromotriu (fem) de la pila i se simbolitza per ε(pila), tal com veurem en l’apar tat 15. Una pila Daniell té una fem d'1,1 V. Les piles que hem descrit tenen interès històric, però no són pràctiques perquè són difícils de transpor tar, ja que les solucions que les constitueixen vessen fàcilment. Les piles que utilitzem en la pràctica són les anomenades piles seques, que poden ser de dos tipus: piles salines (tipus Leclanché) i piles alcalines.

159


21/4/08 13:44:17

DOCUMENT

5


Diferents tipus de piles Les piles voltaiques són generadors elèctrics de gran consum: s’avalua que, cada any, s’en gasten a tot el món més de deu mil milions. Tant les piles salines com les piles alcalines són piles seques perquè la solució de l’electròlit és “gelificada” per evitar-ne el vessament i poder-les utilitzar en qualsevol posició. Ambdues proporcionen una fem d’1,5 V. La figura a mostra una pila salina tipus Leclanché. L’electròlit és una pasta negrosa formada per clorur d’amoni, òxid de manganès (IV) i aigua. L’ànode (+) de zinc constitueix l’embolcall de la pila i par ticipa en la reacció d’oxidació. En el càtode (−), el reactiu és l’òxid de manganès (IV) i el col·lector del corrent elèctric és una barra de carbó situada al centre de la pila. a

La miniaturització de molts aparells que funcionen amb piles ha obligat a fabricar piles més i més petites. Les anomenades piles botó, molt usades per fer funcionar rellotges, calculadores, aparells fotogràfics, etc., són molt semblants a les alcalines. L’electròlit és una solució concentrada d’hidròxid de potassi però l’òxid de manganès (IV) s’ha substituït per òxid de mercuri (II) o òxid de plata. c

Les anomenades incorrectament piles recarregables són, en realitat, acumuladors de cadmi-níquel, dels quals en parlarem en l'apar tat següent. Algunes substàncies químiques que contenen les piles poden originar seriosos problemes de contaminació. Diposita sempre les piles usades en els contenidors que hi ha per a aquest efecte en molts comerços.

En la figura b es mostren unes piles alcalines. L’ànode és d’acer i el reactiu anòdic és el zinc en pols i amalgamat (una amalgama és un aliatge de mercuri i un metall). El càtode és també d’acer. L’electròlit és una pasta formada per hidròxid de potassi, òxid de manganès (IV) i aigua. b

Les piles de combustible són sistemes en els quals es transforma energia d’una reacció química en electricitat. Podríem dir que és el procés invers de l’electròlisi. Les piles de combustible funcionen mentre es disposi dels reactius inicials. En esquema, una pila de combustible està formada per un conjunt de cel·les apilades, cadascuna de les quals té un ànode, al qual es va injectant el combustible i un càtode al que es va introduint un oxidant. En cas que el combustible sigui hidrogen i l’oxidant aire, es tracta de la pila d’hidrogen, explicada en la unitat 4.

Les piles alcalines són més adients per a aparells que han de funcionar de manera contínua i que necessiten corrents impor tants. Les salines, més econòmiques de preu, són més adequades per a aparells de funcionament intermitent.

160


21/4/08 13:44:18

DOCUMENT


Cèl·lules fotovoltaiques o fotopiles Les cèl·lules fotovoltaiques són dispositius capaços de convertir la llum en una diferència de potencial. Es basen en l’efecte fotovoltaic que consisteix en la creació d’una diferència de potencial quan s’il·lumina la super fície de la unió de dos tipus de semiconductors, que estan formats principalment de silici amb una petita quantitat d’impureses, de diferents característiques químiques. Aquesta diferència de potencial es pot aplicar a un circuit extern i produir-hi un corrent.

connectades en sèrie amb les que podem tenir diferències de potencial suficients per carregar acumuladors de 12 V o 24 V. Per obtenir més quantitat d’energia es connecten uns quants panells en paral·lel i així podem carregar els acumuladors amb poc temps.

Els satèl·lits ar tificials utilitzen les fotopiles com a sistema d’aprovisionament d’energia des de fa molt temps. L’estació espacial internacional, ISS, es nodreix, quasi exclusivament, de l’energia elèctrica que produeix una gran super fície de panells solars de cèl·lules fotovoltaiques.

Les fotopiles poden transformar l’energia lluminosa provinent del Sol en energia elèctrica de corrent continu, i a par tir d’elles disposem d’una forma molt neta d’obtenir energia elèctrica, atès que el seu funcionament no produeix cap tipus de residu. Cada cèl·lula fotovoltaica és capaç de proporcionar una diferència de potencial petita, d’uns 0,5 volts. Per tal d’obtenir una quantitat d’energia elèctrica important, es munten panells amb moltes fotopiles

Les investigacions i la tecnologia actuals estan abaratint els costos de la producció de cèl·lules fotovoltaiques i això farà que l’obtenció d’una par t de l’energia elèctrica a par tir d'aquestes cèl·lules sigui una alternativa econòmica i, sobretot no contaminant. El medi ambient en sor tirà molt afavorit amb l’utilització a gran escala d’aquesta forma alternativa de producció d’energia elèctrica.

161


21/4/08 13:44:21

5


10 | Els acumuladors Un acumulador és un dispositiu electroquímic la reacció de funcionament del qual és reversible. Quan es descarrega actua com una pila i, un cop descarregat, es pot recarregar fent-hi passar un corrent elèctric. El procés de càrrega és una electròlisi. Les reaccions de descàrrega i de càrrega son oposades. Els acumuladors d’ús més freqüent es poden classificar en dos grups: • Els acumuladors de cadmi-níquel coneguts amb aquest nom perquè l’energia elèctrica la subministra la reacció entre el cadmi metàl·lic i un òxid hidratat de níquel. L’electròlit és una dissolució concentrada d’hidròxid de potassi. Aquests acumuladors són fàcilment transpor tables i s’utilitzen en càmeres i reproductors audiovisuals por tàtils. • Els acumuladors de plom, anomenats així perquè els reactius són el plom i l’òxid de plom (IV). L’electròlit és una solució d’àcid sulfúric 6 mol/L . Són els acumuladors usats habitualment en els automòbils.

DOCUMENT

23. La càrrega total que pot facilitar un generador electroquímic en determina la capacitat. Els acumuladors cadmi-níquel de la fotografia poden subministrar una càrrega de 1000 a 24000 mAh.

24. Per posar en marxa l’automòbil s’utilitza l’energia emmagatzemada en l’acumulador, anomenat correntment “bateria”. Quan el motor de l’automòbil és en funcionament, retorna energia a l’acumulador.

Reaccions químiques als acumuladors de plom En connectar els elèctrodes es produeix un corrent d’electrons des del plom cap a l’òxid de plom (IV). El procés en l’ànode és: Descàrrega

Pb + SO4

PbSO4 + 2 e–

2–

Càrrega

Quan l’acumulador subministra corrent es produeix una disminució de la concentració d’àcid sulfúric i el sulfat de plom precipita sobre els elèctrodes. Per tornar a carregar l’acumulador es connecten els elèctrodes a un corrent elèctric la força electromotriu del qual sigui superior a la subministrada per l’acumulador i de sentit oposat.

Els electrons despresos a l’ànode es fan circular cap al càtode a través d’un conductor: s’origina un corrent elèctric. El procés catòdic és: Descàrrega

PbO2 + 4 H+ + SO4 2– + 2 e–

PbSO4 + 2 H2O Càrrega

162


21/4/08 13:44:22


11 | Receptors Els aparells que transformen l’energia elèctrica que hi circula en un altre tipus d’energia s’anomenen receptors. Són receptors que aprofiten l’energia tèrmica els que transformen l’energia elèctrica en calor (Fig. 25). És el cas de les làmpades que aprofiten la calor per posar incandescent un filament que, com a conseqüència, produeix llum; altres exemples són els termos elèctrics que subministren aigua calenta sanitària, les estufes elèctriques i els assecadors de cabells. En altres receptors, com els motors elèctrics, la majoria de l’energia elèctrica es transforma en energia mecànica (Fig. 25), aprofitant el fenomen d’inducció electromagnètica, que estudiarem en un curs posterior.

25. Receptor tèrmic.

26. Receptors mecànics.

Un tercer tipus de receptors utilitza l’energia elèctrica que els travessa per produir reaccions químiques; són les cèl·lules electrolítiques (Fig. 27). Quan es carrega una bateria d’acumuladors, l’energia elèctrica subministrada s’utilitza per produir una reacció química.

27. Receptors químics.

Quan el corrent elèctric travessa un d’aquests receptors, ho fa en el sentit dels potencials decreixents, és a dir, que el seu potencial disminueix. En els receptors tèrmics, l’energia elèctrica es transforma totalment en calor; en els motors i en les cèl·lules electrolítiques o en les bateries d’acumuladors una par t de l’energia elèctrica es transforma en calor i una altra, la més impor tant, en energia mecànica o química.

12 | El circuit elèctric Per aprofitar els efectes del corrent elèctric necessitem un generador, mitjançant el qual comuniquem energia a les càrregues elèctriques; uns conductors, per on aquestes circulen i uns receptors, que són els aparells específicament dissenyats per aprofitar l’energia elèctrica, i transformar-la en altres menes d’energia. El generador, els conductors i els receptors formen el circuit elèctric. La creixent complexitat dels circuits elèctrics de molts aparells que es fan ser vir quotidianament ha obligat a miniaturitzar-los. Un primer pas va ser l’ús de circuits impresos, en què els fils de connexió es van substituir per pistes de coure impreses sobre una placa aïllant (Fig. 28). D’aquesta manera es van suprimir totes les connexions, origen de nombroses avaries. Els enormes progressos de l’electrònica han permès implantar en una petita pastilla de silici –de pocs mil·límetres quadrats de super fície– milers de components elèctrics. S’anomenen circuits integrats (Fig. 29).

28. Circuits i components electrònics d’una placa d’un ordinador.

29. Circuits integrats impresos sobre una placa de silici.

163


21/4/08 13:44:23

5


Fil conductor

Díode electroluminescent (LED)

Fils sense contacte elèctric

Motor

Fils amb contacte elèctric

Generador (Pila)

Interruptor ober t Amperímetre Interruptor tancat Voltímetre Bombeta Resistència variable Resistència

Reòstat Cuba electrolítica

Díode

30. Símbols dels components elèctrics.

Els circuits es representen amb un esquema, que és un dibuix simbòlic dels components elèctrics que el constitueixen i de la manera en què aquests components es troben units elèctricament. Per muntar el circuit de la figura 31, necessitem una pila, un interruptor, una bombeta i els corresponents fils de connexió. A la figura, l’interruptor està ober t. Això fa que els dos fils no estiguen en contacte; diem que el circuit està obert perquè no hi circula corrent elèctric. Si premem l’interruptor, el circuit queda tancat. La continuïtat ininterrompuda de conductors permet el pas del corrent elèctric.

31. Circuit elèctric elemental.

El circuit de la figura 32, constituït per dues bombetes, un interruptor, una font d’alimentació de corrent continu i els fils conductors, és un circuit en sèrie. Els electrons no s’acumulen ni s’escapen en cap part del circuit. Les càrregues elèctriques en moviment es conser ven. En un circuit en sèrie, la intensitat de corrent és la mateixa en tots els seus punts. 32. Circuit en sèrie.

Les dues bombetes del circuit de la figura 33 estan en paral·lel (o derivació). En els punts A i B hi ha dos nusos. Un nus és un punt del circuit en què convergeixen tres conductors o més. El circuit posseeix tres branques. Una branca és la porció de circuit compresa entre dos nusos. La branca principal conté el generador i les altres dues, que s’anomenen derivades, contenen una bombeta cadascuna. Al punt A, la intensitat de corrent total subministrada pel generador es repar teix en dues fraccions, una que circula per la bombeta B 1 i l’altra, per la bombeta B2. Si mesurem les intensitats que circulen per cada una de les branques, obtindrem: Itotal = IB1 + IB2

A

B1

B

B2

La suma de les intensitats dels corrents que arriben a un nus és igual a la suma de les intensitats dels corrents que en parteixen.

33. Circuit en paral·lel.

164


21/4/08 13:44:25


13 | El multímetre. Aplicacions El multímetre o polímetre és un aparell per mesurar diferents magnituds relacionades amb el corrent elèctric. S’utilitza per mesurar intensitats de corrent i diferències de potencial, tant en corrent continu com en altern; també mesura resistències òhmiques. Hi ha dos tipus bàsics de multímetres: els analògics (Fig. 34) i els digitals (Fig. 35). Els primers tenen una fina agulla que es pot desplaçar al llarg d’una escala de valors. En aquest cas, primer cal calcular el valor que correspon a cada divisió de l’escala per determinar el valor de la lectura; el valor de cada divisió s’obté dividint el rang de mesura seleccionat entre el nombre de divisions de l’escala. Si multipliquem aquest valor pel nombre de divisions que indica l’agulla, obtenim el resultat de la mesura.

34. Multímetre analògic.

En el cas dels multímetres digitals, la mesura s’obté directament mitjançant una lectura numèrica.

Escales de mesura de resistències elèctriques Escales de mesura d’intensitats en corrent continu Escales de mesura de caiguda de potencial en corrent continu

Escales de mesura de tensions en corrent altern

Escales de mesura d’intensitat en corrent altern Born d’entrada del pol positiu per a mesures d’intensitats de fins a un valor màxim de 10 A

Born de connexió al punt de potencial elevat o a un extrem de la resistència

Born d’entrada del pol positiu, per a intensitats de corrent de fins a 200 mA

Born de sortida de les intensitats de connexió al punt de potencial baix o a l’altre extrem de la resistència

35. Multímetre digital.

| Mesura de la intensitat de corrent elèctric La intensitat de corrent que circula per un conductor es mesura amb un amperímetre. El seu funcionament es basa en els efectes magnètics del corrent elèctric (matèria d’estudi d’un curs posterior). Els amperímetres es munten en sèrie amb el conductor, de manera que a través seu hi circula tot el corrent la intensitat del qual es vol mesurar. Per no alterar apreciablement les característiques del circuit al qual s’apliquen, la seva resistència és molt petita. 165


21/4/08 13:44:26

5

| El corrent elèctric I1

I

A

B R1 R2

Amb l’objectiu d’evitar que circuli per l’aparell una intensitat massa elevada, o perquè l’agulla es desviï sensiblement, es munta, en paral·lel amb l’amperímetre, una resistència anomenada xunt (Fig. 36). D’aquesta manera, quan la intensitat de corrent arriba al punt A, es divideix en dos: una petita par t passa per l’amperímetre (I 1) i la resta passa pel xunt (I 2). Els multímetres incorporen uns xunts que es poden escollir mitjançant un selector, o mitjançant la connexió del cable a un born determinat del multímetre. El calibre escollit fixa el valor màxim de la intensitat que pot circular per l’amperímetre en les condicions d’utilització.

I2 36. Amperímetre i xunt.

Quan mesurem la intensitat en una branca d’un circuit, cal que procedim amb extrema cautela, ja que si utilitzem un calibre petit, i la intensitat que circula sobrepassa el valor màxim del rang escollit, l’aparell es podria espatllar. Per tal que això no passi, els multímetres solen dur un fusible de protecció que interromp el pas del corrent en aquests casos, i inhabilita l’amperímetre fins que es restitueix el fusible que s’ha espatllat.

| Mesura de la diferència de potencial entre dos punts d’un circuit

I

A

I1 R1 R2

I2

37. Connexió d’un voltímetre.

B

Els aparells que permeten determinar els valors de la diferència de potencial s’anomenen voltímetres. De fet, són amperímetres que es caracteritzen perquè tenen una gran sensibilitat (calen molt pocs mA per desviar l’agulla d’un extrem a l’altre de l’escala) i perquè tenen una gran resistència interna. Els voltímetres es munten en derivació entre els punts que tenen la diferència de potencial que volem mesurar (Fig. 37). La mesura de la diferència de potencial entre dos punts A i B d’un conductor només és correcta si, en intercalar l’aparell de mesura, no s’altera apreciablement la intensitat que circula pel conductor. Quan es col·loca el voltímetre, el corrent l es bifurca en dos, I1 i I2. Si l1 ≈ l, aleshores l2 és menyspreable: VA – VB = R l ≈ R l1 Per tal que l 2 sigui menyspreable, R 2 cal que sigui molt elevada. Com més gran sigui el valor d’aquesta resistència, més precís serà el valor de V A – V B.

| Mesura de resistències òhmiques Per mesurar una resistència elèctrica, l’element que cal mesurar no ha d’estar connectat a cap circuit. Cal ajustar l’aparell a zero, posant en contacte totes dues terminals dels connectors del multímetre. Després s’ha d’escollir, amb el selector corresponent, el rang de mesura de resistències més gran i aleshores es pot efectuar una primera mesura. Després d’aquesta primera lectura, cal seleccionar el rang més adequat per al valor de la resistència que s’ha obtingut en la primera lectura, tornar a ajustar a zero l’aparell i prendre la mesura de la resistència.

166


21/4/08 13:44:28


EXEMPLE 2.

Una intensitat de 10 mA desvia totalment l’agulla d’un mil·liamperímetre molt sensible, que té una resistència interna de R1 = 50 Ω. a) Quina resistència R2 cal connectar a l’aparell, i de quina manera, per convertir-lo en un amperímetre que pugui mesurar intensitats de 10 A? b) I si es vol utilitzar com un voltímetre que pugui mesurar diferències de potencial de 100 V? a) Atès que el corrent total que circula és de 10 A i el mil·liamperímetre només aguanta 10 mA, cal connectar una resistència en paral·lel (xunt) per la qual haurà de circular-hi la major par t de la intensitat de corrent. Si anomenem I1 la intensitat que passa pel mil·liamperímetre i I2 la que passa pel xunt, la intensitat total I és:

I

I = I1 + I2

A

mA

I1

B R1

I2

I

Per tant:

A

I1

B

I2 = I – I1 = 10 A – 0,01 A = 9,99 A

R1

I2

Si apliquem la llei d’Ohm, resulta:

mA

R2

Amperímetre.

VA – VB = R1 l1 = R2 l2 0,01 A × 50 R1 I1 R2 = ——— = ——————— = 5 × 10–2 I2 9,99 A

I = 10 mA R2

b) Per transformar el mil·liamperímetre en un voltímetre, cal que li associem una resistència R2 en sèrie. Quan connectem el conjunt a dos punts que tinguin una diferència de potencial de 100 V, pel mil·liamperímetre hi haurà de circular una intensitat de corrent I = 10 mA.

I = 10 mA A

R2

mA

R1 mA

RV2 –V = 100 V A B R1

B

Si apliquem la llei d’Ohm, obtenim: A

VA – VB = (R1 + R2) l 100 V VA – VB R2 = ————– – R1 = ———— – 50 I 10 –2 A

= 9 950

VA –VB = 100 V

B

Voltímetre.

167


21/4/08 13:44:29

5


14 | Força electromotriu d’un generador A l’interior del generador el corrent circula en el sentit dels potencials creixents, mentre que en el circuit exterior circula en el sentit dels potencials decreixents. Les càrregues elèctriques, quan es desplacen pel circuit extern, van cedint par t de la seva energia potencial als diferents elements que formen el circuit. L’apor tació d’energia al corrent elèctric per par t del generador està en funció de la quantitat de càrrega desplaçada. S’anomena força electromotriu d’un generador l’energia comunicada per unitat de càrrega que es posa en circulació. L’escrivim abreujadament: fem, i es representa amb la lletra ε. Matemàticament, s’expressa de la manera següent: W ε = —— Q La unitat de la fem al SI és 1 J / 1 C, és a dir, el volt, la mateixa unitat que es fa ser vir per mesurar el potencial elèctric. El terme "força" que s’utilitza en l’expressió no està relacionat amb el concepte de força que es fa ser vir en mecànica; una fem s’expressa en volts, mentre que una força s’expressa en newtons.

15 | Força contraelectromotriu d’un receptor S’anomena força contraelectromotriu d’un receptor l’energia transformada per unitat de càrrega, sense comptar la dissipada per l’efecte Joule. Abreujadament, es designa com fcem i se simbolitza amb: W' ' = —— Q La força contraelectromotriu també es mesura en volts, ja que W’ es mesura en joules i Q en coulombs.

16 | Llei d’Ohm generalitzada En un circuit elèctric en què hi ha generadors connectats en sèrie, resistències òhmiques i receptors, la caiguda de potencial entre dos punts A i B del circuit es calcula amb l’aplicació de la llei d’Ohm generalitzada: VA – VB = (∑R + ∑r + ∑R’) I + ∑ε’ – ∑ε On ∑R és la suma de totes les resistències òhmiques que creuen el corrent quan van de A a B, ∑r és la suma de les resistències internes dels generadors que hi ha entre els punts A i B, ∑R’ és la suma de les resistències de tots els receptors que es creuen, ∑ε’ és la suma de totes les seves forces contraelectromotrius i ∑ε és la suma de totes les fem dels generadors travessats pel 168


21/4/08 13:44:30


corrent entre A i B. En els generadors, si el corrent circula entrant pel born negatiu i sortint-ne pel positiu, la fem produeix un augment de potencial, en comptes d’una caiguda. Un generador connectat de manera que el corrent entri pel pol positiu i surti pel negatiu, seria equivalent a un receptor i la seva fem provocaria una caiguda de potencial. Si es calcula la diferència de potencial en recórrer un cicle complet al circuit de corrent, el resultat ha de ser zero, VA – VA, i per tant, en podem escriure l’expressió resultant: ∑ε = (∑R + ∑r + ∑R’) I + ∑ε’ que expressa, per una banda, totes les aportacions d’energia al circuit per unitat de càrrega i, per una altra, tots els consums o transformacions d’aquesta energia.

| Diferència de potencial en borns d’un generador S’anomena diferència de potencial en borns d’un generador la caiguda de potencial que hi ha entre els seus borns positiu i negatiu. Si apliquem la llei d’Ohm generalitzada al circuit de la figura 38, veiem que:

B

,r

A

V

VB – VA = I r – ε Per tant, la diferència de potencial en borns és: VA – VB = ε – I r La diferència de potencial entre els pols d’un generador només és igual a la seva fem si el producte I r = 0; això pot passar, almenys teòricament, en dos casos:

R 38. Circuit amb un generador i una resistència externa.

a) Quan r = 0. Això representa un generador sense resistència interna, una cosa gairebé impossible, per bé que, per exemple, una bateria d’acumuladors de plom (com la d’un automòbil) té una resistència interna de només unes quantes dècimes d’ohm i, en aquest cas, pràcticament coincideixen la fem i la caiguda de tensió entre borns. b) Quan I = 0. Aquesta circumstància ocorre en un circuit ober t quan no hi ha pas de corrent.

EXEMPLE 3.

Una pila de 4,5 V de fem té una resistència interna d’1 Ω. Tenim connectada una resistència òhmica de 8 Ω, en sèrie amb la pila, tal com mostra l’esquema de la figura.

ε = 4,5 V r = 1

B

A

a) Quina intensitat passa pel circuit? b) Quina és la diferència de potencial en borns de la pila?

R=8

a) Podem aplicar la llei d’Ohm generalitzada a tot el circuit, en un cicle complet, i obtindrem: 4,5 V I = ——— = ————– = 0,5 A R+r (8 + 1) La intensitat que passa pel circuit té un valor de 0,5 A. b) La diferència de potencial entre borns de la pila es calcula de la manera següent: VA – VB = ε – I r = 4,5 – 0,5 × 1 = 4 La diferència de potencial en borns de la pila és de 4 V. 169


21/4/08 13:44:30

EXPERIÈNCIA

5


Característica d’un generador Construirem un circuit com el que es veu a la figura, amb els elements següents: una pila de 4,5 V, un reòstat (resistència variable) alimentat per la pila, un voltímetre per mesurar la diferència de potencial en borns de la pila i un amperímetre, amb el qual mesurarem la intensitat de corrent que circula en cada cas.

ε = 4,5 V

A

V

Començarem aplicant valors elevats de la Esquema del circuit. Circuit de l’experiència. resistència del reòstat. A continuació, disminuirem aquests valors amb l’objectiu d’anotar les intensitats de corrent que corresponen a les diferències de potencial de 4,4; 4,3; 4,2; 4,1; 4,0 i 3,9 volts. Anotarem les dades en una taula com la següent: u9figexp1 Diferència de potencial / V

4,4

4,3

4,2

4,1

4,0

3,9

Intensitat / mA a) Dibuixa la característica tensió–intensitat del generador. La característica d’un generador és la gràfica de la funció VA – VB = f l, en la qual VA – VB és la diferència de potencial en borns del generador i I la intensitat de corrent que circula. La gràfica es construeix col·locant els valors de la diferència de potencial a les ordenades i els de la intensitat de corrent, a les abscisses. b) Què assenyala el voltímetre en circuit ober t? Quina és la fem del generador? Si, a la gràfica de l’apar tat anterior, esbrinem quin és el punt de tall de l’eix d’ordenades, trobarem precisament el valor de la diferència de potencial que marcaria el voltímetre quan la intensitat fos zero, és a dir, quan no circulés corrent, com en el cas d’un circuit ober t. En aquest cas, la diferència de potencial en borns de la pila és igual a la seva fem.


c) Quina és la resistència interna del generador? L’equació de la característica és: VA – VB = ε – r l On –r és igual al pendent de la recta. Es pot determinar el valor de r gràficament o calcular-lo a par tir d’un dels parells de valors anotats a la taula anterior. d) Quina és la intensitat de cur tcircuit? Si es prolonga la característica V – l, arribarà a tallar a l’eix de les intensitats en un punt l’abscissa del qual s’anomena intensitat de cur tcircuit. En aquest punt, la caiguda de tensió és nul·la i un corrent d’intensitat elevada recorre el fil conductor. Quan es munta un circuit, cal evitar arribar a aquesta situació, perquè, com que circula a una gran intensitat de corrent, es poden deteriorar els elements del circuit. Aquesta situació es produiria si s’unissin directament els borns d’un generador amb un bon conductor metàl·lic. El valor de la intensitat de cur tcircuit també es pot calcular a par tir de l’equació VA – VB = ε – r l, atès que en cur tcircuit VA – VB = 0; ε – r l = 0, és a dir, ε = r l. I=— r e) Quina és la resistència que ofereix el reòstat quan efectuem una de les lectures de la taula? Per calcular R, apliquem la llei d’Ohm generalitzada: ε=Rl+rl R=—–r I 170


21/4/08 13:44:31


| Diferència de potencial en borns d’un receptor Quan apliquem la llei d’Ohm generalitzada als extrems del receptor de la figura 39, obtenim la relació següent:

I A

(VA – VB) = R’ l + ε’

M R', '

B

39. Esquema d’un receptor.

S’hi expressa que la diferència de potencial en borns d’un receptor és igual a la caiguda òhmica del potencial (R’ l) més la caiguda de potencial, a causa de la força contraelectromotriu (ε’) del receptor.

EXEMPLES 4.

Disposem d’un generador, la resistència del qual és r = 1 Ω. a) Quan connectem als borns d’aquest generador un voltímetre de resistència interna molt elevada, aquest assenyala 120 V. Què representa la indicació d’aquest aparell? Representa la fem del generador. A causa de la gran resistència del voltímetre, la intensitat de corrent que hi circula és insignificant, l ≈ 0:

,r

B

A

VA – VB = ε – r l ≈ ε ε = 120 V

V

b) Entre els borns del generador s’intercala una resistència, R; el voltímetre assenyala ara 100 V. Quina és la intensitat de corrent que recorre el circuit, i quin és el valor de la resistència R? El voltímetre mesura ara la diferència de potencial entre borns. VA – VB = – r I – (VA – VB) I = ——————r 120 V – 100 V I = ———————– = 20 A 1

u9fig16

(, r)

B

Segons la llei d’Ohm, tenim:

A

R

100 V (VA – VB) R = ————– = ——— = 5 I 20 A c) Substituïm la resistència R per un motor al qual s’impedeix girar; aleshores, el voltímetre marca 80 V. Quina és la intensitat de corrent que circula pel motor? Quina és la seva resistència? Un motor al qual s’impedeix girar és equivalent a una resistència òhmica; el corrent que hi circula es transforma únicament en calor. El voltímetre dóna el valor de la diferència de potencial en borns del generador: ,r

VA – VB = – r I – (VA – VB) I = —————– r 120 V – 80 V I = —————— = 40 A 1

B

M

A

V

171

u9fig18 U05-Fisica2_Bach (3m).indd 171

21/4/08 13:44:32

5


Calcularem la resistència del motor aplicant la llei d’Ohm: (VA – VB) 80 V Rm= ———– = ——— = 2 I 40 A Veiem que la resistència d’un motor és relativament petita, per la qual cosa, si es bloqueja, un corrent molt intens recorre el motor, i es corre un elevat risc de cremar-lo. d) Si es deixa girar el motor, el voltímetre assenyala 110 V. Quina intensitat hi circula ara? Quin és el valor de la fcem del motor? Ara el voltímetre també assenyala la diferència de potencial en borns del generador: VA – VB = – r I 120 V – 110 V – (VA – VB) I = —————– = ——————— = 10 A r 1 Si apliquem la llei d’Ohm generalitzada en un cicle complet del circuit, obtenim: ε = ε’ + (Rm + r) l I

5.

ε’ = ε – (Rm + r) l = 120 V – (2 + 1) Ω × 10 A = 90 V

En el circuit de la figura, l’amperímetre A 3 marca una intensitat de corrent de 0,7 A. Els punts A, B i C són nusos del circuit. Els fils conductors que connecten els diferents elements del circuit tenen una resistència elèctrica insignificant. Els valors de les diferents resistències òhmiques del circuit són: R1 = 10 Ω, R2 = 3 Ω, R3 = 1 Ω, R4 = 8 Ω, R5 = 6 Ω, r = 0,1 Ω.

R1

A1

R2

R3

A

A3

R4

C

B R5

A2

a) Calcula les intensitats que mesuraran els amperímetres A1 i A2. b) Calcula les diferències de potencial VA – VB i VB – VC. c) Quina és la fem del generador? I la diferència de potencial en borns? d) Quin és el valor de la resistència equivalent a totes les del circuit? a) Començarem dibuixant sobre l’esquema les diferents intensitats que passaran per cada branca del circuit. Recorda que la branca és el tram de fil conductor entre dos nusos del circuit. Un nus és un punt del circuit en què convergeixen tres conductors o més.

R1 I A3

R2

I1 A1 I2

R3

A

I3

R4

C

B R5

I4 A2

Intentarem fer circular el corrent sor tint pel pol positiu i entrant pel pol negatiu del generador. Així, en el nostre cas, podríem assignar les intensitats de corrent que s’indiquen a la figura. A par tir de la proposta anterior podem aplicar la llei dels nusos (la suma de les intensitats que arriben a un nus és igual a la suma de les intensitats que en sur ten) i la llei d’Ohm a totes les branques del circuit que calgui, de manera que s’obtinguin tantes equacions independents com incògnites. En el nostre cas, tenim: Per a l’amperímetre A1:

l = l1 + l2

Apliquem la llei d’Ohm entre els punts A i B:

172


21/4/08 13:44:32


VA – VB = l1 R1

o

VA – VB = l2 (R2 + R3)

Podem establir la igualtat: l1 R1 = l2 (R2 + R3). Si sabem que l = 0,7 A, ja que és la intensitat de corrent que assenyala l’amperímetre A3, substituint els valors de les resistències, obtenim el següent sistema d’equacions: l1 + l2 = 0,7 10 l1 = l2 (3 + 1) l2 = 0,7 – l1 Substituïm a la segona equació: l1 10 = (0,7 – l1) 4 Ho dividim entre 4: 0,7 I1 = ——– = 0,2 3,5

I1 2,5 = 0,7 – I1

Per tant, la lectura de l’amperímetre A1 és de 0,2 A. Per a l’amperímetre A2, tenim: l3 + l4 = 0,7 l3 8 = l4 6 Per això:

l4 = 0,4 A.

La lectura de l’amperímetre A2 és de 0,4 A. b) Ara podem calcular els valors de les diferències de potencial: VA – VB = l1 R1

i

VB – VC = l4 R5

Per tant: VA – VB = 0,2 A × 10 Ω = 2 V VB – VC = 0,4 A × 6 Ω = 2,4 V c) A par tir dels resultats de l’apar tat anterior, podem calcular directament la diferència de potencial en borns del generador: VA – VC = (VA – VB) + (VB – VC) = 2 V + 2,4 V = 4,4 V La diferència de potencial en borns del generador és de 4,4 V. Farem ser vir aquest resultat per calcular la fem del generador: VA – VC = ε – l r Aïllem la ε: ε = (VA – VC) + l r I substituïm els valors: ε = 4,4 V + 0,7 A × 0,1 Ω = 4,47 V Per tant, el valor de la força electromotriu del generador és de 4,47 V.

173


21/4/08 13:44:33

5


d) La resistència equivalent a totes les del circuit ha de ser d’un valor tal, que a través seu hi passi una intensitat de corrent de 0,7 A, quan s’aplica entre els seus extrems una diferència de potencial igual a la caiguda de potencial en borns del generador, és a dir, 4,4 V.

I

,r

C

A

Apliquem la llei d’Ohm: R

VA – VC = l R Per tant: 4,4 V VA – VC R = ————— = ———– ≅ 5,1 I 0,7 A El circuit té una resistència equivalent de valor igual a 5,1 Ω.

17 | Energia del corrent continu Hem vist que els generadors comuniquen energia potencial a les càrregues elèctriques perquè circulin pels conductors i els diferents elements que formen par t d’un circuit. L’energia que les càrregues van cedint al llarg del circuit de corrent es dissipa en forma de calor a les resistències, o bé es transforma en energia mecànica (en els motors) o en energia química (a les cèl·lules electrolítiques). L’energia que les càrregues elèctriques cedeixen entre dos punts determinats d’un circuit es pot calcular mitjançant l'equació següent: E = Q (VA – VB) E és l’energia cedida per una càrrega Q quan es desplaça entre dos punts que tenen una diferència de potencial de VA – VB. A par tir de la definició de la intensitat de corrent, podem escriure: Q = l Δt Substituint en l’equació anterior tenim: E = l (VA – VB) Δt En el cas d’una resistència òhmica és: (VA – VB) = l R, i l’energia cedida és: E = l2 R Δt Aquesta expressió és la llei de Joule. En un receptor, la caiguda de potencial entre els seus borns és: (VA – VB) = l R’ + ε’. L’energia transformada és: E = l2 R’ Δt + l ε’ Δt En aquesta expressió, el primer terme correspon a l’energia dissipada per efecte Joule en la resistència del receptor i el segon terme és l’energia transformada pel receptor en un altre tipus d’energia, mecànica o química. Els comptadors del consum d’energia elèctrica de casa nostra mesuren els kWh que consumim, i el consum d’energia es tarifa amb aquesta unitat. 174


21/4/08 13:44:33


EXEMPLES 6.

Un assecador de cabells porta una resistència de 1 300 W i un motor, que acciona el ventilador, de 40 W. Amb quant de temps consumeix una energia d’1 kWh? La potència total de l’aparell és de 1 300 W + 40 W = 1 340 W, és a dir, 1,34 kW. E = P Δt E 1 kWh t = —— = ———— = 0,75 h P 1,34 kW

7.

La il·luminació d’una aula es fa mitjançant 10 fluorescents connectats en paral·lel a la diferència de potencial de 220 V de la línia. Si cal encendre els llums durant 4 hores diàries, una mitjana de 20 dies al mes: a) Quanta energia consumeixen els llums, cada mes, calculada en kWh? b) Si el preu del kWh és de 0,10 euros, quina és la despesa dels fluorescents d’una aula al llarg de 10 mesos? (Dada: a l’efecte del funcionament, podem suposar que un fluorescent equival a una resistència òhmica de 1 100 Ω.) a) Per calcular l’energia que consumeix cada fluorescent al llarg d’un temps determinat, aplicarem la llei de Joule, i primer calcularem la intensitat de corrent que circula per un fluorescent: VA – VB 220 V I = ———— = ————– = 0,2 A R 1 100 Per tant, si substituïm els valors a la llei de Joule per un temps de funcionament d’un mes, obtenim: Δt = 4 (hores/dia) × 20 dies × (3 600 s/hora) = 288 000 s E = l2 R Δt = 0,22 × 1 100 × 288 000 = 12 672 000 Cada fluorescent consumeix al llarg d’un mes 12 672 000 J. Els 10 fluorescents d’una aula consumeixen 126 720 000 J. Ara només cal canviar d’unitats: 1 kWh 126 720 000 J —————–– = 35,2 kWh 3 600 000 J Al llarg d’un mes els llums d’una aula consumeixen 35,2 kWh. b) Per al càlcul de la il·luminació d’una aula al llarg de 10 mesos, a par tir del resultat anterior, l’operació és la següent: 10 mesos

35,2 kWh 0,10 euros ————— —————–– = 35,2 euros 1 k Wh 1 mes

La despesa d’il·luminació d’una aula al llarg de 10 mesos és de 35,2 euros.

175


21/4/08 13:44:34

5


18 | Potència del corrent continu El quocient E/Δt és l’energia cedida pel corrent en cada unitat de temps, és a dir, la potència: P = l (VA – VB) La potència d’un corrent és igual al producte de la seva intensitat per la caiguda de potencial. Si mesurem la intensitat en amperes i la diferència de potencial en volts, la potència és en watts (W): 1W=1A×1V En una resistència òhmica la potència consumida s’expressa així: P = l2 R La potència que es transforma en un altre tipus d’energia, en un receptor, s’anomena potència útil i es calcula així: Pu = l ε’ El rendiment del receptor és el quocient entre la potència útil i la potència total consumida. Es representa amb la lletra grega η, i té un valor de: Pu ' = —— = ———— P VA – VB On ε’ és la fcem del receptor i VA – VB la diferència de potencial aplicada entre els seus borns, quan el receptor està en funcionament.

EXEMPLE 8.

Si ens fixem en les dades del motor de l’exemple 4c, observem que té una fcem de 90 V, una resistència interna de 2 Ω i que funciona amb una intensitat de corrent de 10 A. Quin és el rendiment del motor en aquestes condicions de funcionament?

La caiguda de potencial en borns del motor és: VA – VB = ε’ + l R’ = 90 V + 10 A × 2 Ω = 110 V Per tant, el rendiment és: ’ 90 V = ———– = ———- = 0,818 VA – VB 110 V El rendiment del motor és de 0,818, o bé, d’un 81,8 %.

176


21/4/08 13:44:34

EXPERIÈNCIA


Balanç energètic d’un circuit amb resistències elèctriques En aquesta experiència avaluarem experimentalment l’energia consumida en un circuit amb resistències elèctriques. Material necessari: • Generador de corrent elèctric, o pila, 4,5 V. • Resistències ceràmiques: R1 = 80 Ω; R2 = 60 Ω; R3 = 30 Ω; R4 = 50 Ω. • Amperímetre, multímetre per mesurar intensitats de corrent. • Voltímetre, o multímetre per mesurar diferències de potencial. • Interruptor. Es connecten els elements com en el circuit de la figura: R3

R4 R2

R1

ε, r

Hem de mesurar la diferència de potencial entre els extrems de cada resistència i la diferència de potencial entre els borns del generador. També hem de mesurar els valors de les intensitats que circulen per cadascuna de les resistències del circuit. Amb aquestes dades omplim la taula següent: Element

Resistència R1

Resistència R2

Resistència R3

Resistència R4

Generador

Diferència de potencial (ΔV)/volts Intensitat I/mA Potència P = I ΔV /wats Un cop realitzades les mesures indicades de les diferències de potencial i les intensitats de corrent en cada element del circuit, podem fer un balanç de l’energia aplicada, calculant per a cada element la potència consumida tot fent el producte de la diferència de potencial per la intensitat de corrent corresponent. Finalment, podem comprovar que la suma de les potències consumides en les resistències és igual a la potència total subministrada pel generador. Aquesta experiència també ens permet demostrar la llei d’Ohm i les equivalències per a les associacions de resistències. Així, es pot comprovar que per cada element del circuit, el valor de la resistència és igual al quocient entre la diferència de potencial i la intensitat mesurades. De manera similar, podem obtenir el valor de la resistència equivalent de tot el circuit dividint la diferència de potencial i la intensitat del generador, finalment podem calcular la resistència equivalent al conjunt utilitzat i comprovar que dóna el valor anterior.

177


21/4/08 13:44:35

5



Generació d’energia elèctrica

L

es centrals de producció d’energia elèctrica utilitzen diverses fonts primàries d’energia. Actualment, la font primària més important prové dels combustibles fòssils: el petroli, el carbó i el gas natural. Altres fonts primàries són les fonts d’energia renovables, entre les quals podem esmentar l’eòlica, la solar, la de les marees, la hidroelèctrica, la geotèrmica, la de les onades del mar i la de la biomassa. Finalment, una altra font d’energia de gran importància és l’energia nuclear. Al gràfic adjunt pots veure en quina proporció s’han utilitzat i es preveu que s’utilitzaran les principals fonts energètiques per a la producció d’energia elèctrica a la Unió Europea al llarg de diverses dècades.

100 90 80 70 60 50 40 30 20 10 0

A les centrals hidroelèctriques s’emmagatzema una gran quantitat d’aigua en embassaments, llacs de muntanya i salts. L’energia potencial de l’aigua emmagatzemada s’aprofita per moure les turbines, situades a la part més baixa, que, unides a generadors elèctrics, produeixen l’energia elèctrica. Avui en dia, aproximadament un 7 % de l’energia mundial és hidroelèctrica.

% 11,9

8,1

Eòlica

7,1

Biomassa

2,0

Hidroelèctrica

1,7 10,5

9,1

Gas natural Petroli

36,8 34,6

Carbó

0,9

Central hidroelèctrica. 26,7 Nuclear

33,1

17,4

1995

2000

2010

2020

2030

Fonts energètiques per a la producció d’electricitat a la Unió Europea.

Les centrals tèrmiques transformen en energia elèctrica l’energia química de combustibles com el petroli, el gas natural o el carbó. Gran part de l’energia elèctrica mundial s’obté, actualment, de les centrals tèrmiques. Els greus inconvenients de les centrals tèrmiques són els gasos de combustió que envien a l’atmosfera i l’esgotament de les fonts d’energia.

Central tèrmica.

L’energia de la radiació solar que arriba abundantment a la superfície de la Terra es pot aprofitar amb les centrals solars, en què grans superfícies de panells de cèl·lules fotovoltaiques transformen l’energia de radiació del Sol en energia elèctrica. L’inconvenient d’aquestes centrals és l’elevat cost econòmic de les cèl·lules fotovoltaiques, encara que la tecnologia actual està desenvolupant cèl·lules cada vegada més barates i eficients. L’energia de les marees s’utilitza en preses construïdes sobre estuaris, en què, quan puja la marea, darrere de la presa s’arriba a un nivell d’aigua alt. Quan baixa la marea i la diferència de nivell és d’uns 3 m, l’aigua es fa passar a través de grans turbines, que, al seu torn, fan moure els generadors d’energia elèctrica. És un cas semblant al de les centrals hidroelèctriques, en les quals s’aprofita l’energia potencial de l’aigua.

Central d’aprofitament de l’energia de les marees.

178


21/4/08 13:44:42


Ciència, tècnica i societat L’energia de les onades és objecte d’investigació i desenvolupament. Actualment, s’han construït diversos generadors experimentals que aprofiten l’energia cinètica de l’onatge i la transformen en energia elèctrica. L’energia geotèrmica es fa servir per a calefacció o per generar energia elèctrica. En el procés es transforma energia calorífica en elèctrica. Procedeix de l’interior de la Terra, emergeix a la superfície a través de les esquerdes que s’obren a l’escorça terrestre a les zones volcàniques. S’explota principalment en països com Islàndia o Nova Zelanda. En tot el món, uns vint països fan servir l’energia geotèrmica. L’energia de la biomassa procedeix de la matèria orgànica, com ara la fusta o les deixalles agrícoles. En alguns països s’han construït centrals de biomassa. S’hi transforma l’energia química (energia interna) de la biomassa, que es fa servir com a combustible, en energia elèctrica, de manera semblant a una central tèrmica. Les centrals nuclears utilitzen l’energia dels nuclis atòmics (energia interna) d’una substància radioactiva per transformar-la en energia elèctrica. Aquestes centrals plantegen problemes greus, com ara el risc de contaminació radioactiva per accident i la difícil eliminació o emmagatzematge en llocs d’alta seguretat, dels residus

radioactius de les barres de combustible que ja han estat usades. S’estan duent a terme importants investigacions per al desenvolupament de l’energia nuclear de fusió, que soluciona tots dos problemes, però no se’n preveu l’ús comercial fins al 2030.

Central nuclear.

Les centrals eòliques transformen l’energia cinètica de l’aire en energia elèctrica. Constitueixen una font d’energia renovable amb un important desenvolupament en els últims anys. S’estudia detingudament en l'apartat següent.

L’energia eòlica, una important font renovable d’electricitat

L

’energia que el vent arriba a emmagatzemar en tot el planeta s’avalua entorn del 2 % de l’energia de radiació solar que incideix sobre la superfície terrestre. És

l’anomenada energia eòlica. Al llarg de la història, la humanitat ha aprofitat aquesta energia per a diverses aplicacions, com la navegació marítima amb vaixells velers o els molins de vent, que s’han fet servir per moldre el blat i altres cereals. En els últims anys, els avenços tecnològics han perfeccionat els molins de vent que es fan servir combinats amb generadors elèctrics, de manera que s’ha obtingut un elevat aprofitament de la transformació de l’energia eòlica en energia elèctrica. Els aerogeneradors s’instal·len en àmplies zones de terreny, en llocs on la regularitat dels vents –de velocitats compreses entre 5 m/s i 25 m/s– permet aprofitar un 20 % de la potència instal·lada o fins i tot més. Espanya s’ha convertit, per darrere d’Alemanya, en una de les potències mundials en aprofitament de l’energia eòlica per generar electricitat. L’energia eòlica va superar la hidràulica en la generació d’electricitat l’any 2005, amb un 7,8 % del total d’energia elèctrica generada, i es preveu que aquest percentatge continuï pujant.

Aerogeneradors de tres pales.

La potència eòlica instal·lada fins a l’any 2007, i la prevista per a l’any 2011, queda reflectida en la taula següent.

179


21/4/08 13:44:49

5



Comunitat autònoma Andalusia

Potència total (MW) 1/07/2007

Potència total (MW) 2011

864

4 000

1 676

4 000

278

950

4

500

130

800

0

300

Castella i Lleó

2 253

6 438

Castella-la Manxa

2 615

6 500

255

3 016

0

400

2 712

6 500

447

665

Madrid

0

200

Múrcia

122

850

Navarra

917

1 536

País Basc

144

624

Comunitat Valenciana

415

3 500

12 832

39 479

Aragó Astúries Illes Balears Canàries Cantàbria

Catalunya Extremadura Galícia La Rioja

Totals

A la figura següent podem veure esquemàticament el funcionament d’un aerogenerador dissenyat per obtenir el màxim rendiment energètic. La majoria dels grans aerogeneradors tenen tres pales, de longituds compreses entre 20 m i 40 m, en funció del potencial nominal del generador. El conjunt d’aquestes pales i la peça central que les subjecta, anomenada boixa, constitueix el rotor. En funcionament, el vent fa girar el rotor a unes 22 rpm. El generador

Multiplicador

Rotor

Generador

Dibuix esquemàtic dels components d’un aerogenerador.

d'energia elèctrica gira a 1 500 rpm; per tant, entre l’eix de gir del rotor i el del generador s’hi ha d’intercalar un multiplicador. El generador es posa en funcionament a velocitats del vent superiors a 5 m/s, i es deté quan se superen els 25 m/s, amb l’objectiu d’evitar possibles desperfectes a l’estructura o a les diferents parts del conjunt. Els aerogeneradors estan dissenyats per funcionar al màxim rendiment a velocitats del vent compreses entre els 15 m/s i els 25 m/s, tot i que també funcionen a velocitats inferiors, per poder aprofitar la màxima energia possible. La proporció més gran d’energia que un aerogenerador pot captar de l’energia cinètica que porta el vent, està determinada per la llei de Betz, establerta pel científic alemany Albert Betz el 1919. Aquest valor màxim és al voltant del 59 % de l’energia del vent abans de travessar el rotor, i s’obté quan la relació entre la velocitat del vent després de travessar el rotor és una tercera part de la velocitat del vent abans de travessar-lo. Segons la regularitat del vent, als llocs on s’instal·len parcs eòlics, s’estima un funcionament dels aerogeneradors d’entre un 20 % i un 70 % del temps total. La vida útil de funcionament d’un aerogenerador es pot establir entre 20 i 25 anys. A més de l’estalvi que suposa generar energia elèctrica mitjançant aerogeneradors, la transformació de l’energia eòlica en energia elèctrica evita l’augment a l’atmosfera dels anomenats gasos d’efecte hivernacle, i els consegüents efectes negatius que provocaria aquest augment.

180


21/4/08 13:44:56



Elements de seguretat en els circuits elèctrics

E

ls diversos receptors que es connecten a un circuit de corrent elèctric tenen unes característiques de funcionament que requereixen uns valors molt ben delimitats de diferència de potencial aplicada i intensitat de corrent que hi circula. Amb l’objectiu de garantir les condicions adequades, totes les instal·lacions elèctriques han de disposar d’uns elements de seguretat per evitar les possibles incidències de la línia. En les instal·lacions elèctriques d’un habitatge, els elements de seguretat són, principalment: • L’interruptor general de la instal·lació, que dóna pas o interromp la circulació del corrent elèctric al circuit. Això permet fer noves instal·lacions o reparar els dispositius i aparells avariats. • Els interruptors automàtics o disjuntors, que obren un circuit quan hi ha unes condicions determinades, com, per exemple, quan el corrent arriba a un valor màxim o mínim. Els interruptors diferencials són interruptors automàtics que funcionen quan es produeix una diferència d’intensitats determinada entre dues branques d’un circuit. En les instal·lacions domèstiques s’utilitzen com a elements de protecció contra la fuga de corrents perillosos per al cos humà; solen actuar com un corrent diferencial de 30 mA. Els interruptors magnetotèrmics tenen dos sistemes de desconnexió: un de tèrmic (que actua amb sobreintensitats petites d’una durada relativament llarga) i un altre de magnètic (que actua amb intensitats de corrent elevades d’una durada curta). Tots eviten sobreintensitats o curtcircuits a la línia, que podrien produir incendis o desperfectes als aparells que s’hi connecten, o

•

•

accidents greus a les persones, que podrien patir una descàrrega per contacte amb alguna part conductora del circuit. Els fusibles són uns dispositius en què el corrent circula per un filament d’un aliatge metàl·lic amb un punt de fusió baix. Quan es produeix un curtcircuit a la línia, l’elevada intensitat provoca un gran despreniment de calor al filament, i aleshores aquest es fon, obre el circuit i talla el pas de corrent. Alguns aparells elèctrics duen un fusible de protecció per evitar que una sobretensió els deteriori. Un cop resolt el problema, cal substituir el fusible espatllat per un de nou. La presa de terra d’una instal·lació és una línia que està connectada directament a una terra instal·lada al sòl, que pot recollir tots els corrents elèctrics de fuga o pèrdues dels diferents electrodomèstics o altres aparells elèctrics amb elements metàl·lics que formen part de la seva estructura: rentadores, rentaplats, microones, neveres, cuines elèctriques, motors, bombes hidràuliques, etc. Aquesta línia de terra canalitza els corrents que poden circular per les parts metàl·liques d’aquests dispositius –com a conseqüència d’un mal contacte–, les descarrega cap al terra, i així evita que passin a través de les persones quan toquen l’aparell connectat a la línia, principalment si tenen la pell humida, ja que en aquesta circumstància la resistència elèctrica del cos humà disminueix fins a valors molt petits, amb la qual cosa és fàcil que a través del cos hi passi una elevada intensitat de corrent cap al terra.

Dispositius de seguretat d’una instal·lació elèctrica d’un habitatge.

181


21/4/08 13:45:01

5


RESUM El moviment de càrregues elèctriques a través d'un conductor, de manera continuada i en un determinat sentit predominant és el que constitueix el corrent elèctric. Aquest corrent és provocat per un camp elèctric que es manté en l'interior del conductor i que es posa de manifest amb una diferència de potencial aplicada entre els seus extrems, (VA – VB). La unitat del potencial elèctric en el SI és el volt (V). La intensitat de corrent elèctric en un conductor es defineix així: I=

Q

Força electromotriu d’un generador: ε=

W Q

Força contraelectromotriu d’un receptor: ε’ =

W’ Q

Llei d’Ohm generalitzada: (VA – VB) = (Σ R + Σ r + Σ R’) I + Σ ε’ – Σ ε Per a un cicle complet d’un circuit:

t

(VA – VB) = 0

La seva unitat en el SI és l'ampere (A). Podem escriure: La llei d’Ohm:

Σ ε = (Σ R + Σ r + Σ R’) I + Σ ε’ (VA – VB) = R I

La unitat de la resistència elèctrica és l'ohm (Ω). Resistència equivalent a un conjunt de resistències en sèrie:

Energia del corrent continu: E = I (VA – VB) Δt Potència del corrent continu:

R = Σ Ri

P = I (VA – VB)

Resistència equivalent a una associació de resistències en paral·lel:

Potència útil, és la potència que es transforma en un altre tipus d'energia en un receptor:

1 R

=Σ

1

Pu = I ε’

Ri

Resistència d’un fil conductor metàl·lic: R=

Rendiment d'un receptor, és el quocient entre la potència útil i la potència total consumida:

ρl η=

S

Pu P

=

ε’ VA – VB

Llei de Joule. L'energia transferida en forma de calor a la resistència és directament proporcional al quadrat de la intensitat de corrent, a la resistència del conductor i a al temps de durada del pas de corrent. W = R I2 Δt

182




A C T I V I TAT S Intensitat de corrent 1

2

3

A través de la secció perpendicular d'un conductor hi circulen 6 × 1021 electrons per minut. a) Quina intensitat de corrent hi circula, expressada en A? b) Quants electrons circulen en una hora per aquest conductor? (Dada: càrrega de l'electró: 1,6 × 10–19 C.) Calcula quants electrons travessen la secció d'un fil conductor, en un temps de 5 segonas, quan hi passa a través una intensitat de corrent de 0,1 A. (Dada: càrrega de l'electró: 1,6 × 10–19 C.) Pels circuits d'una calculadora en funcionament hi passa un corrent de 0,125 mA. Una pila de 3 V i 0,7 Ah de càrrega alimenta el circuit elèctric de la calculadora. Si la pila funciona fins que la càrrega és de 0,05 Ah: a) Quant de temps dura la pila? b) Quina energia total subministra la pila durant tot el temps de funcionament?

4

La bateria d'una càmera de vídeo duu les indicacions següents: 6 V, 1 200 mAh. Quan la bateria està totalment carregada, té una durada de 90 minuts, fins que apareix l'indicador de bateria descarregada. Si la bateria funciona fins que queda un 5 % de la càrrega total: a) Quina intensitat circula per la càmera en funcionament? b) Quina energia ha consumit en el temps indicat?

5

L’acumulador d’un automòbil té una capacitat de 36 Ah. Per arrencar l’automòbil, es fa funcionar durant 2 s el motor d’arrencada, pel qual hi circula un corrent de 150 A. Quantes vegades podríem accionar-lo sense necessitat de recarregar l’acumulador? Tingues en compte que l’acumulador s’inutilitza quan la seva capacitat es inferior a 5 Ah.

6

Per distracció, es deixa encesa la il·luminació de posició de l’automòbil de l’activitat anterior. La il·luminació de posició consisteix en 5 làmpades: els 4 fars, recorreguts per un

corrent de 0,5 A, i el llum de la matrícula, que consumeix 0,2 A. Quan temps tarda a descarregar-se la bateria?

Lleis d'Ohm i de Joule 7

Quan s'aplica als extrems d'un conductor una diferència de potencial de 120 V, pel conductor hi circula una intensitat de corrent de 5 A. Quina és la resistència del conductor? Quina energia perd cada C de càrrega en circular per aquesta resistència?

8

A través d'un conductor hi circulen 30 C cada minut. Si la resistència és de 40 Ω, quina és la diferència de potencial entre els seus extrems? Quina energia cal per fer circular 50 C per aquesta resistència?

9

A través d'una bombeta connectada a la xarxa de 220 V, hi circulen 0,1818 A d'intensitat. Quina és la resistència de la bombeta en funcionament? Quina energia ha perdut el corrent al cap de mitja hora?

10

S'escalfen 200 ml d aigua amb una resistència d'immersió, entre una temperatura inicial de 20 °C i una temperatura final de 35 °C, en un temps de 10 minuts. Si ha circulat una intensitat de corrent de 2 A, quin valor té la resistència, suposant que tota la calor que s'ha desprès, per l'efecte Joule, s'utilitza per escalfar l'aigua? Quina diferència de potencial s'ha aplicat a la resistència durant aquest temps? (Dada: capacitat calorífica específica de l'aigua: 4 180 kJ/kg K.)

11

Calcula la diferència de potencial necessària per tal que circuli una intensitat de corrent de 2,5 A per una resistència de 50 W. Quina quantitat de calor s’ha desprès en la resistència en 10 minuts?

12

Explica de manera raonada si la llei d’Ohm es pot aplicar a qualsevol tipus de conductor.

13

Descriu tres aplicacions de l’efecte Joule i esmenta els noms de tres aparells que les utilitzen.

183


21/4/08 13:45:03

5

DIFICULTAD:

14

| El corrent elèctric MEDIO

SENCILLO

ALTO

SIN CLASIFICAR

S'ha realitzat una experiència amb la resistència d'un escalfador d'aire i s'han obtingut els resultats que figuren a la taula següent: (VA – VB) / V

1,78

12,6

3,66

25,8

5,23

36,9

8,12

57,2

10,6

74,8

13,8

97,6

17

18

Es vol construir una resistència d'1 Ω utilitzant fil de manganina de 0,1 mm de diàmetre. Quina longitud de fil necessitem?

20

Un fil metàl·lic de 4 m de longitud i 1 mm de diàmetre té una resistència d'1 Ω. Quina és la resistència d'un fil conductor del mateix material de 20 m de longitud i 0,05 mm de diàmetre?

Associació de resistències 21

Tres resistències de 2 Ω, 3 Ω i 6 Ω estan unides en sèrie. Es connecten els extrems a un generador de 4,5 V. Quina és la intensitat de corrent que hi circula? Quin és el valor de la diferència de potencial entre els extrems de cada resistència? Quina intensitat de corrent circularia per cada resistència si estiguessin connectades en paral·lel?

22

Entre els extrems de tres resistències elèctriques de 10 Ω, 20 Ω i 30 Ω, muntades en paral·lel, s'aplica una diferència de potencial de 100 V. Quina és la intensitat de corrent que circula per cada resistència? Quin és el valor de la resistència equivalent a totes?

23

Una intensitat de corrent de 150 A es ramifica a través de quatre conductors en parallel, les resistències del quals són: 1 Ω, 2 Ω, 4 Ω i 8 Ω. Quina intensitat de corrent circula per cada conductor?

24

Un circuit elèctric està format per un generador, un amperímetre, tres resistències iguals connectades en paral·lel i un voltímetre que mesura la diferència de potencial entre els extrems de les tres resistències. L'amperímetre marca 1,5 A i el voltímetre, 12 V. Quin és el valor de cada resistència?

25

Tres resistències en paral·lel de 20 Ω, 30 Ω i 60 Ω estan associades, en sèrie, amb una altra de 40 Ω. Entre els extrems d'aquest circuit s'aplica una tensió de 125 V. Quina intensitat circula per la resistència de 40 Ω?

Explica com són les característiques dels conductors no òhmics i esmenta’n dos exemples.

Resistivitat 16

19

I / mA

VA – VB és la diferència de potencial aplicada als extrems de la resistència (en volts) i I és la intensitat de corrent que hi circula (en mil·liamperes). Representa en una gràfica la relació entre la diferència de potencial, VA – VB, en ordenades, i la intensitat de corrent, I, en abscisses, per a la resistència donada. Quin és el valor de la resistència de l'escalfador? 15

corrent de 5,9 A. A par tir d'aquestes dades, calcula la resistivitat del coure.

Un cable de 10 m de longitud i 5 mm2 de secció té una resistència de 24 Ω. Quina resistència té un cable conductor del mateix material, però de 60 m de longitud i 10 mm2 de secció? En una xarxa de distribució elèctrica s'han fet ser vir 350 km de fil de coure de 2 cm de diàmetre. Quina és la resistència del cable de coure? Quina energia perd cada C a la línia si hi circula una intensitat de corrent de 20 A? Quan apliquem 1 V de diferència de potencial entre els extrems d'un fil de coure de 10 m de longitud i 1 mm2 de secció, a través d'aquest fil hi circula una intensitat de

184


21/4/08 13:45:03


a) La intensitat de corrent a través de les resistències R2, R3 i R4. b) La calor que es desprèn, per l'efecte Joule, a la resistència R5 en 10 minuts. c) La caiguda de tensió a la resistència R2.

Quina és la caiguda de tensió en les tres resistències col·locades en paral·lel? 26

Quin valor té la resistència R2 de la figura? Quin és el valor de la resistència equivalent a R 1 i R 2?

R 2 = 20

I = 10 mA mA

R 1 = 80

R 1 = 10

R2

A

R 3 = 10

B

R 4 = 10

VA –VB = 50 V V

27

30

El circuit de la figura té quatre resistències: R1, R2, R3 i R4, i un microamperímetre (aparell molt sensible) connectat a C i D. act38 Els valors de R1 i de R4 són: R1 = 100 Ω i R4 = 50 Ω; R3 és una resistència variable (reòstat) i R2 és una resistència el valor de la qual volem determinar. Quan la resistència R3 (reòstat) és de 60 Ω, el microamperímetre no assenyala pas de corrent. Quina és la diferència de potencial entre C i D? Quin és el valor de R2?

R1

2

31

D

29

La diferència de potencial entre els extrems de la resistència R1 de la figura és de 50 V. Calcula'n:

2

2

2

A

B

R3

S'han unit tres resistències iguals, de 5 Ω cada una formaact39 un triangle. S'ha aplicat una diferència de potencial de 50 V entre dos vèr texs del triangle. Quina intensitat de corrent circula per cada resistència?

2

4

B R4

act 41

1

4

R2

A

Determina la resistència equivalent a la xarxa de la figura. Quina és la diferència de potencial entre A i B si l'amperímetre marca 1 A? A

C

28

R5= 5

Es munten en sèrie dos grups de làmpades cada un dels quals està constituït per sis làmpades iguals connectades en paral·lel. act42 Entre els extrems del muntatge s'aplica una diferència de potencial de 200 V. Si sabem que la resistència de cada làmpada és de 180 Ω, calcula: a) La caiguda de tensió en cada una. b) La intensitat de corrent que passa per cada una. c) Si es desconnecten dues làmpades de cada grup, quin és ara el valor de la intensitat de corrent que les travessa?

Aparells de mesura 32

Calcula la resistència que cal connectar en paral·lel amb un amperímetre de 0,2 Ω de resistència interna per tal que per l'aparell hi circuli només un 10 % de la intensitat del circuit.

185


21/4/08 13:45:04

5

33

34


Un voltímetre de 250 V té una resistència interna de 20 000 Ω. Si es connecta en sèrie amb una determinada resistència a una línia de 125 V, el voltímetre assenyala 100 V. Quin és el valor de la resistència connectada? Quin és el valor de la intensitat de corrent que hi circula? Si connectem un amperímetre a una diferència de potencial determinada, assenyala 8 A. Si hi intercalem una resistència de 2,2 Ω en sèrie amb l'amperímetre, assenyala 6,5 A. A par tir d'aquestes dades, calcula:

39

Generadors i receptors 40

a) La diferència de potencial aplicada a l'amperímetre.

35

S'han determinat els valors de la tensió entre els borns d'una pila i les intensitats de corrent subministrades quan la connectem a un reòstat. Els resultats són a la taula següent: (VA – VB) / V

I/A

b) La resistència interna de l'aparell.

8,2

1

Tenim un mil·liamperímetre graduat entre 0 mA i 20 mA. Té una resistència interna d'1 Ω. Calcula el valor i la manera de connectar resistències amb l'aparell per transformar-lo en:

7,4

2

6,6

3

5,8

4

5,0

5

a) Un amperímetre destinat a mesurar intensitats compreses entre 0 A i 10 A.

a) Dibuixa la característica V – I per a aquest generador. b) Determina gràficament el valor de la seva fem. c) Calcula gràficament la intensitat de cur tcircuit. d) Troba la resistència interna de la pila. e) Quina és la intensitat de corrent subministrada quan la tensió és de 6 V? I quan és de 4 V? f) Calcula la resistència del circuit exterior quan la caiguda de tensió entre els borns de la pila és de 6 V.

b) Un voltímetre destinat a mesurar caigudes de potencial entre 0 V i 10 V.

Energia del corrent elèctric 36

El motor d'un muntacàrregues consumeix 10 A a 220 V per elevar un pes de 6 000 N a una velocitat de 8 m/min. Calcula el rendiment de la instal·lació.

Una bombeta elèctrica té impreses les dades següents: 220 V – 100 W. Determina: a) La resistència elèctrica. b) La intensitat de corrent que hi circula. c) El que gasta en 8 hores de funcionament si el preu del kWh és de 0,1 euros.

37

Es vol connectar una bombeta de 12 V i de 40 W a la xarxa de 220 V. Calcula: a) La resistència de la bombeta. b) La resistència que cal acoblar en sèrie amb la bombeta perquè aquesta llueixi amb la brillantor normal i no es fongui.

41

La característica V – I d'un generador és una línia recta que passa pels punts (I = 0,8 A; V = 11,2 V) i (I = 1,4 A; V = 8,8 V). Calcula: a) La fem del generador. b) La resistència interna del generador.

38

Hi ha tres resistències iguals. Quan es munten en paral·lel i es connecten a una determinada tensió, consumeixen 900 W. Quina potència consumeixen si es munten en sèrie i es connecten a la mateixa tensió?

42

La característica V – I d'un receptor és una línia que passa pels punts (I = 1 A; V = 5 V) i (I = 2,5 A; V = 12,5 V). Quina és la potència dissipada en forma de calor quan s'aplica una diferència de potencial de 10 V?

186


21/4/08 13:45:04


43

Dues resistències elèctriques de 20 Ω i 15 Ω es connecten successivament, en sèrie i en paral·lel, a una pila de 12 V de fem i 0,5 Ω de resistència interna. Determina, en cada cas: a) La intensitat de corrent que hi circula. b) La diferència de potencial entre els borns de la pila.

Llei d'Ohm generalitzada 44

Disposem d'una pila de 10 V de fem. Quan es connecta a una resistència de 50 Ω, la diferència de potencial entre els borns és 9,5 V. Determina: a) La intensitat de corrent a través de la resistència. b) La resistència interna de la pila. c) La calor que es desprèn a la resistència de 50 Ω en 5 minuts.

45

Tenim un circuit format per un generador, una resistència de 20 Ω i els corresponents fils conductors, que tenen una resistència insignificant. La caiguda de potencial entre els extrems de la resistència és de 20 V. Si connectem el mateix generador a una resistència de 100 Ω, la intensitat de corrent que circula pel circuit té un valor de 0,208 A. Calcula: a) La fem del generador. b) La resistència interna del generador.

46

Una bateria de 60 V i resistència interna de 0,2 Ω alimenta un conjunt de bombetes que tenen una resistència total de 15 Ω. La resistència total dels conductors que s'han utilitzat en les connexions és de 0,5 Ω. A par tir d'aquestes dades, troba: a) La resistència total del circuit. b) La intensitat del corrent que el recorre. c) La caiguda de potencial entre els borns de la bateria. d) La potència total dissipada pel circuit exterior. e) La diferència de potencial entre els extrems de la sèrie de bombetes.

47

Un generador de 10 V de fem i una resistència interna de 0,5 Ω alimenta un motor de 6 V de fcem i 4,5 Ω de resistència. Calcula: a) La potència mecànica aprofitada pel motor. b) La potència dissipada pel motor per l'efecte Joule. c) El rendiment del motor. d) La diferència de potencial entre els borns del motor.

48

Disposem d'un generador de corrent continu de 100 V de fem i una resistència interna d'1 Ω. Connectem els borns d'aquest generador, simultàniament, a un voltímetre i a un motor. Quan el motor gira en règim normal, el voltímetre assenyala 90 V i, quan s'impedeix que giri, el voltímetre assenyala 80 V. Calcula: a) La resistència del motor. b) La fcem del motor. c) La potència del motor.

49

Un generador de 10 V de fem i 1 Ω de resistència interna està connectat a un circuit amb dues derivacions; en una de les branques hi ha una resistència de 30 Ω i en l'altra, una cèl·lula electrolítica de 2 V de fcem i 5 Ω de resistència interna. Determina'n: a) La intensitat de corrent a través de la cèllula electrolítica. b) La intensitat de corrent a través de la resistència. c) La caiguda de potencial entre borns del generador.

50

Un motor de fcem ε’ = 90 V i de resistència interna 4 Ω està connectat a un generador de fcem ε = 110 V i de resistència interna 1 Ω. Aquest motor s'utilitza per pujar a velocitat constant una massa m = 100 kg. Calcula: a) La intensitat de corrent que alimenta el motor. b) La potència que consumeix. c) La potència mecànica que subministra, suposant que el rendiment de la transformació d'energia elèctrica en mecànica és del 80 %. d) La velocitat a què puja la massa.

187


21/4/08 13:45:05

5

51

52


Un motor que té una resistència interna de 2 Ω està muntat en sèrie amb un conductor òhmic de resistència R = 8 Ω. Aquest conjunt consumeix una potència P = 1 kW quan hi circula un corrent de 5 A. Calcula la fcem del motor. Una cèl·lula electrolítica consumeix una potència elèctrica de 1 000 W quan la travessa un corrent de 60 A. La potència que es deu a l'efecte Joule és de 400 W. Calcula:

55

Per què circula corrent per un conductor metàl·lic quan connectem els extrems als pols d'una pila?

56

Per què el clorur de sodi sòlid no condueix el corrent elèctric i, en canvi, sí que ho fa quan està dissolt amb aigua o fos?

57

Fes un esquema d'un circuit elèctric que contingui els elements següents: una pila de 3 V, un interruptor, una resistència R1 en sèrie amb una altra resistència R2, un amperímetre i un voltímetre que mesuri la diferència de potencial de la segona resistència.

58

Estudia quina és la intensitat de corrent que fa saltar els interruptors automàtics de la instal·lació elèctrica de casa (sol estar indicada sobre l'interruptor). Busca la secció de fusibles del llibre d'instruccions d'un automòbil. Quants fusibles hi ha? Anomena'n tres, i indica què protegeixen i a quina intensitat de corrent es fonen.

59

Explica, raonadament, si podem aplicar la llei d'Ohm a qualsevol tipus de conductor.

60

Descriu tres aplicacions de l'efecte Joule i esmenta tres aparells que les utilitzin.

61

Si interessa que una estufa elèctrica construïda amb un fil metàl·lic doni més calor, cal augmentar o disminuir la longitud del fil? Raona la resposta.

62

És possible que un generador de fem = 4,5 V i resistència interna r = 1 Ω pugui subministrar una intensitat de corrent de 5 A? Per què?

a) La fcem de la cèl·lula electrolítica. b) La resistència interna d'aquest receptor. 53

S'ha muntat el circuit que es pot veure a la figura. Les característiques dels aparells que s'hi representen són les següents: • • • •

Generador: fem ε = 24 V; r = 1 Ω. Resistència variable (reòstat): R. Cèl·lula electrolítica: fcem, ε’ = 3 V; r’ = 2 Ω. Motor: fcem, ε’’ = 15 V; r’’ = 0,2 Ω.

r R

r'' M

r' '

''

Col·loquem el reòstat a 8 Ω i tanquem el circuit. Calcula: a) La intensitat de corrent que hi circula. b) La potència útil del motor. act39 c) La caiguda de potencial en borns de la cèl·lula electrolítica. d) La calor que desprèn la resistència R a cada minut.


Si tenim dues esferes metàl·liques recolzades sobre dos suports aïllants, una vareta de vidre i un drap de seda, explica quines operacions cal fer per carregar totes dues esferes: a) Amb càrregues del mateix signe. b) Amb càrregues de signe contrari.

Investiga 63

Investiga què és una gàbia de Faraday i com funciona.

64

Investiga què és la superconductivitat.

A www.ecasals.net trobaràs una llista de pàgines web que t'ajudaran a iniciar la investigació. Recorda que pots consultar enciclopèdies i llibres especialitzats.

188


21/4/08 13:45:06

6 | Imatges

El nostre món es presenta en imatges gràcies a la llum. Des de la seva aparició a la Terra, la humanitat ha venerat la llum. Sense ella, probablement la vida no hauria estat possible a la Terra. La llum, fenomen físic tan espectacular i meravellós, ha plantejat molts dubtes sobre la seva naturalesa. Fins i tot en l’actualitat, els científics han de recórrer a dos models, l’ondulatori i el corpuscular, per poder explicar totes les interaccions en què intervé. Se li assigna, per tant, una naturalesa dual. L'òptica és la part de la física que estudia el comportament de la llum; com es crea, com viatja per diferents medis i com conforma imatges que poden ser apreciades pels nostres ulls.


21/4/08 17:21:01

6 | Imatges

1 | La percepció de la llum Per mitjà del sentit de la vista, arriba al nostre cer vell la majoria de la infor· mació del món físic que ens envolta i percebem els canvis que esdevenen a la natura. Però en un món sense llum de poc ens ser virien els nostres ulls. Anomenem llum tot allò que impressiona la nostra vista, i l’òptica és la part de la física que s’encarrega de l’estudi. En època recent, els dominis de l’òptica s’han estès a molts fenòmens que els nostres ulls no perceben directament, per exemple, les radiacions infraroges i ultraviolades. Les estrelles (Fig. 1) –entre les quals es troba el Sol–, els cossos incandes· cents –com els filaments de les bombetes– o els gasos luminiscents –com els continguts als anomenats tubs fluorescents– són cossos lluminosos o fonts de llum.

1. Les Plèiades són un grup d’estrelles molt joves i molt lluminoses que són visibles a simple vista com un petit cúmul durant les nits d’hivern.

La majoria dels objectes que ens envolten es veuen perquè retornen als nostres ulls par t de la llum que reben d’un cos lluminós. Aquests objectes es diuen il·luminats. Són objectes il·luminats aquest llibre, la taula de tre· ball, les parets de l’habitació, la Lluna, els planetes, etc. Al llarg d’aquesta unitat no farem distinció entre cossos lluminosos i cos· sos il·luminats. Com que rebem llum d’aquests, els considerarem, els uns i els altres, com a cossos lluminosos. Hem d’assenyalar que la llum que perceben els nostres ulls es només la part «visible» de l’energia emesa pels cossos lluminosos; una altra par t és emesa en forma d’altres radiacions, com per exemple la infraroja, que no és «visible», però sí detectable. En efecte, si apropem la mà a una bombeta encesa, notem una for ta emissió d’energia en forma de calor.

2 | Cossos transparents, opacs i translúcids La llum que en aquest moment arriba a la vista del lector travessa la capa d’aire que hi ha entre el text imprès i els seus ulls. Diem que l’aire és trans· parent. Els cossos que deixen passar la llum a través d’ells són medis transparents. Si exceptuem el buit, no hi ha cap medi absolutament transparent. Quan la llum travessa un medi, experimenta un debilitament. Així, l’aigua és trans· parent en petits espessors, però no permet que la llum arribi a les profun· ditats marines. Aquest afebliment és degut a l’absorció que pateix la llum pels cossos i depèn del medi travessat i del seu espessor. La majoria dels cossos no deixa passar la llum a través d’ells; es diu que són opacs. HI ha cossos que la deixen passar parcialment, però no permeten distingir la forma dels objectes a través d’ells. Són els cossos translúcids, com per exemple aquest full de paper.

190


21/4/08 17:21:01

Imatges | 6

3 | Imatges La cambra fosca és una caixa tancada (Fig. 2) la paret de la qual és d’un material translúcid. En el centre de la paret davantera, s’ha practicat un petit forat per deixar passar la llum. Si al davant de la cambra fosca col· loquem, per exemple, unes fruites i una ampolla, les veurem reproduïdes invertides sobre el paper translúcid. Aquesta reproducció de l’objecte, que en diem imatge, s’explica fàcilment admetent que la llum es propaga en línia recta. En efecte, un raig de llum que par teix d’un extrem de la fruita travessa l’orifici i arriba a la seva imatge en línia recta. El mateix passa amb l’extrem de l’ampolla. Pot procedir-se així per a cada punt del conjunt. Veiem que cada punt de la imatge es troba en línia recta amb el correspo· nent punt de l’objecte (Fig. 3).

A O

B' A'

B

2. Cambra fosca.

3. Formació d’una imatge en una cambra fosca.

Hem vist que en el paper translúcid del fons de la cambra fosca es forma la imatge de la fruita i l’ampolla. Però és evident que no hi ha cap fruita sobre el paper translúcid, ni cap ampolla. En tots dos casos es reprodueixen els objectes, de manera que als nostres ulls els «sembla veure» la fruita i l’am· polla on no hi són. Una imatge és una reproducció d’un objecte per mitjans òptics. Si, després de reflectir-se en un mirall, els raigs lluminosos que parteixen d’un punt P (o bé de les seves prolongacions) es reuneixen en un nou punt P’, aquest punt P’ és la imatge del punt P. Per exemple, tots els raigs llumi· nosos que surten d’un punt de la fruita es reuneixen de nou en un punt del paper translúcid. Aquest punt és la imatge del punt inicial de la fruita. Quan ens situem davant d’un mirall, tots els raigs que surten, posem per cas, de la punta del nas es reflecteixen en el mirall, de manera que les seves prolon· gacions es tallen en un punt, que és la imatge de la punta del nas. Si en lloc d’un punt es tracta d’un objecte extens format per infinitat de punts, a cada un li correspon la seva imatge i a l’inrevés. En estudiar miralls, lents, prismes, etc., trobarem imatges que es poden projectar sobre una pantalla –com en el cas de la fruita– i altres que només es poden veure –com en els miralls plans–. Les imatges poden ser més grans, més petites o iguals que l’objecte. Si tenen el mateix sentit que l’ob· jecte, es diu que són dretes; si el seu sentit és contrari, són invertides.

191


21/4/08 17:21:02

6 | Imatges

4 | La reflexió de la llum La reflexió de la llum es produeix quan aquesta rebota en una super fí· cie de separació de dos medis i continua propagant-se en el mateix medi, però canviant de direcció o sentit. Tots els cossos reflecteixen par t de la llum que els arriba, però algunes super fícies polides la reflecteixen totalment i regularment. Aquestes super· fícies s’anomenen miralls (Fig. 4a). La per fecció de les imatges de la figura 4a es deu a la regularitat de la reflexió a les super fícies llises. Es diu que la reflexió és especular. En una reflexió especular un feix de raigs lluminosos paral·lels, un cop reflectits en un mirall, continuen sent paral·lels (Fig. 4b).

4. a) Reflexió especular a la superfície de l’aigua en calma d’un estany.

4. b) Esquema de la reflexió especular d’un feix de raigs de llum paral·lels.

La super fície agitada del mar (Fig. 5a) actua com si estigués fig 7 bformada per infinitat de petites super fícies disposades irregularment i amb diferent orientació, per tant, les direccions dels raigs reflectits són diferents (Fig. 5b). Es diu que la reflexió és difusa. Gràcies a la difusió de la llum són visibles la majoria dels cossos. La llum, reflectida o difusa pels objectes que reben directament la llum del Sol, il· lumina altres objectes que es troben a l’ombra.

5. a) Reflexió difusa de la llum de la Lluna a l’aigua del mar.

192


5. b) Esquema de la reflexió difusa d’un feix de raigs de llum paral·lels.

fig 8 b 21/4/08 17:21:03

Imatges | 6

| Les lleis de la reflexió de la llum

it re

αr

ig

αi

ra

nt

e id

fle

c in

ct

ig ra

El raig que arriba al mirall s’anomena raig incident i, el que se n’allunya, raig reflectit. La perpendicular al mirall en el punt d’incidència, 0, s’anome· na normal (Fig. 6). L’angle que forma el raig incident amb la normal és l’angle d’incidència, αi; i el que forma l’angle reflectit amb aquesta, l’angle de reflexió, αr.

normal

Per estudiar les lleis de la reflexió de la llum utilitzem un mirall i un focus que ens proporciona un feix estret de llum.

La normal està situada en el mateix pla que el raig incident i que el reflectit. Per tant, podem afirmar que: O

Quan la llum es reflecteix especularment en una super fície, el raig incident, el raig reflectit i la normal estan en un mateix pla (primera llei de la reflexió). Obser va les fotografies de la figura 7 (a, b, c i d). Els raigs procedents d’un focus es reflecteixen al mirall. En variar l’angle d’incidència, també varia l’angle de reflexió. Es pot comprovar que, a cada cas, l’angle d’incidència és igual al de reflexió.

a

b

c

En general, podem afirmar que: L’angle de reflexió és igual a l’angle d’incidència (segona llei de la reflexió). αi = αr

6. Esquema de la reflexió d’un raig sobre una superfície especular. fig 9

d 7. La llum procedent d’un focus lluminós es reflecteix en un petit mirall AB situat sobre un diàmetre d’un cercle graduat. Observa que el raig incident i el raig reflectit sempre estan en el pla del disc i que, en cada cas, l’angle d’incidència és igual al de reflexió.

5 | La refracció de la llum En introduir una canya de refresc en un got amb aigua (Fig. 8), sembla que estigui doblegada a la seva super fície. És clar que els raigs lluminosos que par teixen de la seva porció submergida, en arribar a la super fície de l’ai· gua, experimenten un canvi brusc de direcció, a causa de la diferent veloci· tat amb què la llum es propaga a l’aigua i a l’aire. La construcció geomètrica de la trajectòria dels raigs de llum capaç d’expli· car aquest fenomen és la que es pot obser var en el dibuix (Fig. 9). Els raigs de llum, en arribar a la super fície, canvien de direcció, perquè varia la seva velocitat; i el punt A sembla ser a A’. S’anomena refracció de la llum el canvi de direcció que experimenten els raigs lluminosos en passar d’un medi a un altre, on la seva velocitat és diferent. 193


21/4/08 17:21:04

6 | Imatges

g

i ra

aire

in de

ci nt g rai rac

ref

A'

tat

A

aigua 8. Canyeta submergida en aigua. S’aprecia clarament la distorsió de la imatge per la refracció de la llum procedent de la part submergida en l’aigua.

9. Esquema de la refracció de la canyeta en l’aigua i de la imatge que forma la fig 34 nostra vista.

10. Refracció d’un raig de llum en passar de l’aire a l’aigua.

El raig que incideix sobre la super fície de separació de dos medis s’anome· na raig incident i l’angle que forma amb la normal, angle d’incidència, αi. El raig lluminós un cop ha penetrat en el nou medi i ha patit el canvi de direcció, és el raig refractat; i l’angle que forma amb la normal és l’angle de refracció, αr (Fig. 10).

Taula d’índexs de refracció Oli d’oliva 1,48 Aire (a 20 °C i 1 atm) 1,00029 Aigua 1,33 Alcohol 1,36 Benzè 1,50 Quars 1,54 Diamant 2,42 Glicerina 1,47 Gel 1,32 Sal comuna 1,54 Sulfur de carboni 1,63 Vidre De 1,46 a 1,96 Fixa’t en l’elevat índex de refracció del diamant.

| Índex de refracció En òptica es defineix una magnitud anomenada índex de refracció absolut o, simplement, índex de refracció, entre altres raons per no haver de treba· llar contínuament amb velocitats de la llum, els valors de les quals sempre són molt elevats. S’anomena índex de refracció d’una substància la relació entre les velocitats de la llum en el buit i a través d’aquesta substància. Es representa per la lletra n. Per exemple, la velocitat de la llum en l’aigua és de 225 000 km/s; per consegüent, l’índex de refracció de l’aigua és el següent:

Velocitat de la llum en el buit 300 000 km/s n = ––––––––––––––––––––––––––——— = –––––––––––––—— = 1,33 Velocitat de la llum en l’aigua 225 000 km/s

Això significa que la velocitat de propagació de la llum en el buit és 1,33 vegades major que en l’aigua. En ser la velocitat de la llum en el buit la més gran de totes, l’índex de refracció és sempre superior a la unitat.

| Les lleis de la refracció de la llum La formulació de les lleis de la refracció –en concret de la segona, que relaciona els angles d’incidència i de refracció– no és tan senzilla com ho és la de la reflexió. Una prova d’això és que no es va establir fins a l’any 1620 per l’astrònom i matemàtic holandès Willebrord Snell. Amb un focus que ens proporciona un feix estret de llum, una làmina trans· parent i un semicercle graduat hem obtingut la sèrie de fotografies de la figura 11. Fem penetrar en la làmina de vidre el feix estret de llum i en variar l’angle d’incidència també varia el de refracció. 194


21/4/08 17:21:05

Imatges | 6

En tots els casos es comprova que: El raig incident, el raig refractat i la normal a la super fície de separació dels medis estan en un mateix pla (primera llei de la refracció). És evident el paral·lelisme entre aquesta llei i la primera llei de la reflexió.

a

b

c

d

11. Imatges de la refracció d’un feix de llum, amb diferents angles d’incidència.

Per establir la segona llei de la refracció, mesurem els valors dels angles d’incidència i de refracció. Aparentment no mantenen cap relació els uns amb els altres. En canvi, si mesurem en cada cas les semicordes AA’ i BB’ (Fig. 12) i n’efectuem el quocient, se n’adver teix la constància.

A

A' αi O

Els quocients AA’/BB’ són sensiblement iguals no solament en aquests quatre casos, sinó per a qualsevol valor d’αi i la seva corresponent αr en làmines de vidre. Quina és la relació existent entre aquests dos quocients i els angles αi i αr?

αr B'

De la definició del sinus d’un angle:

AA’ sin α i = ––––– AO

i

BB’ sin α r = ––––– BO

AO i BO són iguals per fet de ser radis d’una mateixa circumferència. Dividint les dues expressions membre a membre:

sin αi AA’ ––––––— = ––––– sin αr BB’

I com que ja hem vist que AA’/BB’ és constant i igual en la làmina de vidre a 1,50 (vegeu taula del marge):

sin αi ––––––— = 1,50 sin αr

B

12. Esquema de la refracció d’un raig de fig 37 llum.

Valors d’angles d’incidència, de refracció, semicordes AA’ i BB’ i quocients AA’/BB’ per a les quatre imatges de la figura 11 αi

AA’

αr

BB’

AA’

°

cm

°

cm

BB’

15 30 50 70

1,8 3,7 5,6 6,9

10 20 30 38,5

1,2 2,5 3,7 4,6

1,50 1,48 1,51 1,50

Repetint l’experiència amb qualsevol altre material transparent, s’obté que la relació (sin αi / sin αr) es manté constant per a cadascun d’ells. Per tant: La relació entre els sinus dels angles d’incidència i de refracció és constant per a dos medis determinats i és igual a l’índex de refracció del segon medi dividit per l’índex de refracció del primer medi (segona llei de la refracció o llei de Snell).

sin αi n2 ––––––— = –––– sin αr n1 195


21/4/08 17:21:06

6 | Imatges

Com que en el cas estudiat, n1 = 1, en ser l’aire el primer medi, la relació anterior ens dóna directament l’índex de refracció del vidre.

sin αi n2 ––––––— = –––– = n2 = 1,50 sin αr 1

Quant a la trajectòria que segueixen els raigs de llum en refractar-se, poden donar-se dos casos essencialment diferents: que la llum passi d’un medi amb un índex de refracció més baix a un altre de més alt o a l’inrevés. En el primer cas es diu que la llum passa d’un medi menys refringent a un altre de més refringent, i, en el segon cas, d’un més refringent a una altre de menys refringent. Si n1 i n2 són els índexs de refracció dels medis 1 i 2, i n1 < n2, aplicant la llei de Snell es dedueix que αi > αr, és a dir, l’angle d’inci· dència és major que el de refracció. Per tant, quan la llum passa d’un medi menys refringent a un altre de més refringent, s’acosta a la normal. Aquest cas es dóna, per exemple, quan la llum passa de l’aire a l’aigua o al vidre. En canvi, si n1 > n2, aplicant la llei de Snell deduïm que αi < αr; és a dir, quan la llum passa d’un medi més refringent a un altre menys refringent, s’allu· nya de la normal. Aquest és el cas dels raigs de llum quan passen de l’ai· gua a l’aire.

EXEMPLE 1. Un raig de llum incideix sobre una làmina de vidre amb un angle de 45°. S’observa que una petita part de la llum es reflecteix i una part es refracta. El raig refractat forma un angle de 30° amb la normal. a) Quant val l’angle de reflexió? b) Quin és l’índex de refracció absolut del vidre? c) A quina velocitat es propaga la llum en el vidre? a) L’angle de reflexió és igual al d’incidència: α = 45°. b) L’índex de refracció es calcula a par tir de la segona llei de la refracció o llei de Snell:

sin αi sin αr

=

n2 n1

I, en ser l’aire el primer medi, n1 = 1 2

sin 45° n2 = = sin 30°

2 1

= 2

2 L’índex de refracció del vidre és: 2

c) La velocitat de la llum en el vidre es trobarà a par tir de la definició de l’índex de refracció:

n=

Velocitat de la llum en el buit Velocitat de la llum en el vidre

d’on: v =

c n

3 × 10 m/s

=

c v

8

=

2

= 2,12 × 10 8 m/s

La velocitat de propagació de la llum en el vidre és de 2,12 × 10 8 m/s

196


21/4/08 17:21:06

Imatges | 6

| Angle límit i reflexió total Obser va la figura 13. En un prisma de vidre entra un raig verd, un de groc i un altre de vermell. En sortir d’aquest, es refracten i, com que passen d’un medi més refringent a un altre menys refringent, s’allunyen de la normal. A mesura que creix l’angle d’incidència, també ho fa l’angle de refracció. Per aquesta raó, el raig groc sur t més desviat que el vermell. Per a un determi· nat angle d’incidència el raig refractat forma un angle de 90° amb la nor· mal, és a dir, sur t rasant a la super fície. El raig de color verd, com que incideix amb un angle encara més gran, ja no pot refractar-se i, en comptes d’això, es reflecteix. La super fície de separació dels dos medis es compor ta, en aquest cas, com un mirall perfectament reflector: es diu que es produeix una reflexió total.

13. El raig verd pateix una reflexió total per incidir sobre la superfície de separació dels dos medis amb un angle superior a l’angle límit.

L’angle d’incidència pel qual es produeix una refracció de 90° s’anomena angle límit. Pels angles d’incidència superiors a l’angle límit, no és possi· ble la refracció; la llum es reflecteix totalment. Fixa’t que el fenomen de la reflexió total només es produeix quan la llum passa d’un medi més refringent a un altre de menys refringent, i mai a l’inrevés. L’angle límit per a dos medis determinats es pot calcular a par tir de la llei de Snell. Com que per a l’angle límit, que designarem per αL, es produeix una refracció de 90°:

sin α L n2 ––––––—– = –––– sin 90° n1

I

2

com que sin 90° = 1

n2 sin α L = ––––– n1

D’aquesta equació es dedueix que n2 ha de ser menor que n1, ja que el sinus de qualsevol angle és menor o igual que la unitat. Per tant, la reflexió total només es podrà produir en passar la llum d’un medi més refringent a un altre de menys refringent.

1

F

Angle límit

14. Els raigs que incideixen en la superfície de separació aigua-aire amb un angle superior a 48,5° es reflecteixen totalment, com passa en el raig inferior.

En el cas particular que el segon medi sigui l’aire (n2 = 1), aleshores:

1 sin αL = –––– n1

L’angle límit té un valor determinat per a cada super fície de separació de dos medis. El conjunt aigua-aire té un angle límit de 48,5°. Si un raig de llum que viatja per l’aigua arriba a la super fície amb un angle major que 48,5°, no sur t de l’aigua, sinó que es reflecteix totalment (Fig. 14). La reflexió total explica fenòmens com els miratges: les capes d’aire més properes a les super fícies de sorres o a les carreteres molt caldejades i en calma, desvien els raigs procedents d’objectes, de manera que incideixen en els ulls com si aquests es reflectissin en super fícies d’aigua (Fig. 15). Les capes d’aire més calentes tenen índexs de refracció menors que les d’aire fred, de manera que els raigs que s’hi refracten són desviats cap amunt. Així, quan aquests raigs incideixen en els ulls d’un obser vador, aquest pensa que s’han reflectit al terra.

15. Figura d’un miratge produït per les capes d’aire calent sobre la sorra d’un desert.

197


21/4/08 17:21:06

6 | Imatges

| Aplicacions de la reflexió total Entre les aplicacions de la reflexió total podem citar les següents: Fonts lluminoses Els xorrolls d’aigua de les fonts lluminoses (Fig. 16) mantenen la llum empresonada, perquè els raigs incideixen en la super fície que delimita els xorrolls amb inclinacions superiors a l’angle límit i, per tant, pateixen refle· xions totals contínues.

16. Font lluminosa. La llum que viatja dins de cada xorroll d’aigua no pot sortir perquè pateix reflexions totals en incidir sobre les parets del xorroll.

Prismes de reflexió total Consisteixen en prismes rectes isòsceles (Fig. 17). Els raigs que penetren perpendicularment per una de les cares iguals pateixen una reflexió total quan incideixen sobre la cara major i sur ten desviats perpendicularment per l’altra cara. Si incideixen sobre la seva cara major, experimenten dues reflexions totals i sur ten paral·lelament als que entren, però en sentit con· trari (Fig. 17).

17. Prismes de reflexió total.

Aquests prismes són excel·lents reflectors i s’utilitzen en molts instru· ments òptics, sobretot quan es tracta de canviar la direcció o el sentit dels raigs com en els periscopis (Fig. 18), prismàtics (Fig. 19), els telèmetres, els fotòmetres, els visors de càmeres fotogràfiques, els prismes zenitals, etc.

18. Trajectòria dels raigs de llum en l’interior d’un periscopi.

UNI 6 CAT DOC 1 BIS

19. Trajectòria dels raigs de llum en un prismàtic.

198


21/4/08 17:21:08

Imatges | 6

Fibres òptiques Una fibra òptica és un fil molt fi (de l’ordre de 0,1 mm de diàmetre) que està construït a par tir de silici i que és capaç de guiar la llum. La llum entra per un extrem de la fibra, topa amb les parets d’aquesta sota un angle superior al límit i, després d’experimentar un gran nombre de reflexions totals, arri· ba a l’altre extrem sense haver aconseguit escapar (Fig. 20). Si hi introduïm senyals lluminosos codificats, es poden recollir a l’altre extrem. Actualment s’aconsegueixen empalmar desenes de quilòmetres de fibra òptica i es poden enviar missatges parlats, imatges, teletext, bancs de dades, etc. Amb una qualitat i per fecció extraordinàries. La fibra òptica ha suposat, durant l’última dècada, una gran revolució en la comunicació telefònica, de vídeo i canals de televisió i Internet. En medici· na són cada vegada més utilitzades per explorar el cos humà i fer, mit· jançant les imatges que proporcionen, inter vencions quirúrgiques internes de gran eficàcia i amb una agressió mínima a les par ts del cos que no estan afectades.

20. La fibra òptica manté la llum en el seu interior, fins i tot quan la dobleguem en espiral.

6 | Imatges en miralls plans Què «veiem» quan situem un objecte davant d’un mirall pla? Dit amb parau· les de l’òptica, com és la imatge d’un objecte en un mirall pla? Comencem pel cas més senzill: que l’objecte sigui puntual. De l’objecte puntual O (Fig. 21) en surt un nombre infinit de raigs de llum que incideixen en el mirall. A la figura se n’ha dibuixat dos que, un cop reflectits, arriben a l’ull. Aquests raigs compleixen, evidentment, les lleis de la reflexió de la llum. Obser va que els raigs reflectits divergeixen (se separen entre ells mateixos) i que les seves prolongacions es tallen a O’. L’ull rep la mateixa sensació que si els raigs procedissin d’aquest punt.

O

Els òrgans de la visió són constituïts de tal manera que perceben qualsevol raig que els arriba com si procedís en línia recta del focus que l’origina. En conseqüència, el cer vell humà «perllonga» els raigs divergents fins i tot més enllà del mirall, fins que es tallen en un punt. Aquest punt es diu imat· ge vir tual del punt O. Una imatge virtual és una il·lusió òptica, perquè darrere del mirall no hi ha llum, només pot «veure’s» i no pot projectar-se sobre una pantalla. Observa que el punt imatge, O’, és simètric de O respecte del mirall.

O' 21. Imatge d’un punt en un mirall pla.

fig 11

Per trobar la imatge d’un punt en un mirall pla bastarà amb cercar el simètric respecte del mirall. La imatge d’un objecte extens serà la imatge de cada un dels seus punts. Si es tracta de dibuixar la imatge de la fletxa AB (Fig. 22) escollirem els raigs que parteixen dels seus extrems. Percebem tots els raigs lluminosos que sur ten dels punts A i B i es reflecteixen en el mirall com si procedissin dels punts A’ i B’, respectivament. A’B’ és la imatge vir tual de la fletxa AB. Les imatges que es formen en els miralls plans són virtuals, dretes i de la mateixa mida que l’objecte. Aquest és el cas de la imatge que es forma en un mirall pla quan ens hi mirem.

B A

A' B'

22. A’B’ és la imatge de la fletxa AB.

fig 12 199


21/4/08 17:21:08

6 | Imatges

Experimentalment, podem comprovar que la imatge formada en un mirall pla és simètrica de l’objecte. A uns 15 cm de distància d’un mirall situem un objecte de més alçària que aquell, per exemple un retolador (Fig. 23). Movem un retolador del mateix model, però de diferent color, situat darrere del mirall, fins que la par t superior (que sobresur t del mirall) aparegui com a una continuació de la imatge. El retolador situat darrere del mirall es troba, doncs, a la mateixa posició que la imatge vir tual. En mesurar la dis· tància de tots dos objectes al mirall, veiem que és idèntica. Malgrat que la imatge formada en un mirall és dreta i de la mateixa mida que l’objecte, és simètrica respecte d’aquest. Així, per exemple, la imatge que tenim de nosaltres mateixos, en obser var-nos en un mirall pla, és dife· rent de la imatge amb què ens veuen els altres. De la mateixa manera, les imatges de les lletres son també simètriques respecte de les originals. Obser varem una imatge igual a la lletra original, en totes les lletres que posseeixin un eix se simetria ver tical com, per exemple, les lletres majús· cules A, H, I, M, O, T, U, X, Y. 23. Imatge, en un mirall pla, d’un retolador. En la mateixa posició de la imatge virtual, hem situat un retolador del mateix model, però de diferent color.

7 | Miralls esfèrics A la pràctica, els miralls corbats presenten més varietat d’usos que els miralls plans. Entre aquests trobem els esfèrics, que són emprats en retro· visors de cotxes i motos, microscopis, telescopis. En alguns establiments es fan ser vir com a sistema de vigilància, etc. Un mirall esfèric és aquell la superfície del qual és esfèrica. En realitat, utilitzem com a mirall només una part de l’esfera: un casquet esfèric. Quan la llum és reflectida per la par t interna de la super fície, es diu que el mirall és còncau (Fig. 24a) i, quan és reflectida per la par t externa, es diu que és convex (Fig. 25a). A la pràctica, no fa falta dibuixar els miralls esfèrics en tres dimensions, sinó que els representem en secció (Fig. 24b i 25b).

C

a

24. Mirall còncau i secció. fig 14

b

a

25. Mirall convex i secció. fig 15

O

b

26. C, centre de curvatura; O, centre de figura; CO, eix principal. fig 16

El centre de l’esfera a què per tany el casquet es diu centre de curvatura (Fig. 26). El centre o pol del casquet es diu centre de figura. La recta que passa pel centre de cur vatura i el de figura és l’eix principal. La distància entre el centre de figura i el centre de cur vatura és el radi de curvatura.

27. Mirall còncau.

28. Mirall convex.

200


21/4/08 17:21:11

Imatges | 6

8 | Focus principal d’un mirall còncau Què s’obser va quan un feix de raigs lluminosos paral·lels al l’eix principal incideix sobre un mirall còncau? Tots els raigs paral·lels a l’eix principal, en reflectir-se, convergeixen i tallen aquest eix sensiblement en un mateix punt, F, que rep el nom de focus principal del mirall còncau (Fig. 29a). Aquest punt es troba aproximada· ment en el centre del radi CO (Fig. 29b). El focus principal d’un mirall còncau és el punt on convergeixen els raigs reflectits que provenen de raigs incidents paral·lels a l’eix principal. En els miralls còncaus, els raigs reflectits en el mirall, provinents de raigs incidents paral·lels, es tallen en el focus i per això es diu que el focus és real.

I I' C

F

P P'

î ˆr

O

C

F

O

R' a

b

c

R

29. Trajectòria dels raigs paral·lels a l’eix principal en un mirall còncau.

fig 17 L’explicació de perquè es tallen en un punt es troba enB les lleis de la reflexió de la llum. Un raig incident com ara el raig IP (Fig. 29c), en quina direcció sur t reflectit? Tracem la normal en el punt P, que és un radi del casquet, i amb un transpor tador d’angles dibuixem un angle de reflexió, r, igual al d’incidència, i. El raig reflectit és el PR. Un altre raig, I’P’, es reflec· teix en la direcció P’R’. Procedint així amb cada un d’ells, resulta que tots els raigs reflectits es tallen molt aproximadament en F (Fig. 29b).

fig 17 C

La distància FO, distància entre el focus principal i el centre de figura, es diu distància focal del mirall. És molt aproximadament igual a la meitat del seu radi de cur vatura: R f = 2 Es diu potència d’un mirall còncau la inversa de la distància focal expressada en metres. Com a unitat per mesurar la potència es fa ser vir la diòptria. Un mirall d’un metre de distància focal té una potència d’una diòptria. Un mirall de 2 m de distància focal té una potència de p = 1/(2 m) = 0,5 diòptries. Si la distàn· cia focal fos de 25 cm, p = 1/(0,25 m) = 4 diòptries. Obser va que la potència d’un mirall còncau mesura la seva capacitat de convergència. Com més gran és el seu valor, més convergeixen els raigs que s’hi reflecteixen. La relació de proporcionalitat inversa entre la potència i la distància focal implica que els miralls còncaus tenen més potència com menor és el radi de cur vatura. 201


21/4/08 17:21:11

6 | Imatges

9 | Focus principal d’un mirall convex Quan un feix de raigs lluminosos paral·lels a l’eix principal incideix sobre un mirall convex, els raigs reflectits (Fig. 30a) divergeixen. En aquest cas, els raigs reflectits no es tallen en un punt, però sí ho fan les seves prolongaci· ons (Fig. 30b). El punt F, on es tallen les prolongacions de raigs reflectits, es denomina focus principal del mirall convex. El focus principal d’un mirall convex és el punt on convergeixen les prolongacions dels raigs reflectits que provenen de raigs incidents paral·lels a l’eix principal. Com que les prolongacions dels raigs són les que passen pel focus, es tracta d’un focus virtual. R R' I I' O

F

ˆr î

P P'

C

O

a

b

F

C

c

30. Trajectòria dels raigs paral·lels a l’eix principal en un mirall convex.

fig 20 b

fig 20 c

La comprovació de perquè les prolongacions dels raigs reflectits passen pel focus es troba, de nou, en la segona llei de la reflexió. Els raigs IP, I’P’, etc. (Fig. 30c) tenen com a reflectits PR, P’R’, etc., les prolongacions dels quals es tallen a F. El focus del mirall convex es troba, aproximadament, a la mei· tat de la distància CO. La distància FO es la distància focal del mirall convex. Les distàncies mesurades darrere del mirall es consideren negatives per tal de distingirles de les que mesurem davant del mirall, que considerem com a positives. El seu valor és molt aproximadament la meitat del radi de cur vatura: R f = – 2 Així doncs, la potència d’un mirall esfèric convex, que es defineix exacta· ment igual que per a un mirall còncau, serà negativa. Per exemple, un mirall convex que té una potència de –2 diòptries posseeix una distància focal de –0,5 m.

10 | Imatge d’un punt en un mirall esfèric Per trobar la forma, la posició i la mida d’un objecte en un mirall esfèric, hem de trobar, en primer lloc, la imatge d’un punt P. De la mateixa manera que amb els miralls plans, si els raigs procedents de P, un cop reflectits aquests o les seves prolongacions, es reuneixen en un P’, aquest punt P’ és la imatge de P.

202


21/4/08 17:21:12

Imatges | 6

Dels infinits raigs lluminosos que un punt P envia al mirall, només caldrà conèixer on es tallen els reflectits de dos d’aquests per tenir el punt imatge.

P

Determinats raigs descriuen trajectòries conegudes d’antuvi, com ara: a) els raigs paral·lels a l’eix principal es reflecteixen passant pel focus;

C

b) els raigs que passen pel centre de cur vatura, per ser perpendiculars al mirall, es reflecteixen sobre ells mateixos (no canvien de direcció, però sí de sentit); c) els raigs que passen pel focus es reflecteixen paral·lels a l’eix principal (pel principi de reversibilitat dels raigs de llum). Tenint en compte aquests criteris, la imatge del punt P en el mirall còncau de la figura 31 és P’. La imatge formada en tallar-se els raigs reflectits en el mirall s’anomena imatge real. Es pot projectar sobre una pantalla, però no la pot veure un ull situat a P’. Per poder veure-la, l’ull ha de situar-se en una posició on arribin els raigs que formen la imatge, un cop que s’ha for· mat aquesta. En canvi, la imatge de P en el mirall convex de la figura 32 és P’; és una imatge virtual perquè no es tallen els raigs, sinó les seves prolongacions. No es pot projectar sobre una pantalla, però pot «veure’s». L’ull haurà de situar-se en un lloc on puguin incidir els raigs reflectits en el mirall, les prolongacions dels quals formen la imatge.

F

O

P'

31. La imatge de P és P’ (és real).

fig 21 P P' F

C

32. La imatge de P és P’ (és virtual).

fig 22

11 | Imatges d’objectes en miralls esfèrics La imatge d’un objecte extens és la imatge dels seus punts. Per trobar la imatge de la fletxa AP (Fig. 33 i 34) només caldrà dibuixar la dels punts A i P. La del punt A és A’, atès que els raigs escollits coincideixen i l’objecte és perpendicular a l’eix principal; i la de P, segons hem vist, és P’. La imatge de la fletxa AP és, doncs, A’P’.

P

La imatge produïda pel mirall còncau (Fig. 33) és real, invertida i menor que l’objecte. La proporcionada pel mirall convex (Fig. 34) és virtual, dreta i menor que l’objecte.

A' A

F P'

Les característiques de les imatges produïdes en miralls còncaus o conve· xos depenen de la posició de l’objecte i de la distància que el separi del mirall. Per facilitar el traçat de les imatges, mourem l’objecte sobre l’eix principal. Quant a les posicions de l’objecte, les limitarem a cinc molt característi· ques:

C

33. La imatge de la fletxa AP és A’P’. Com fig 23en el mirall es que els raigs reflectits tallen, la imatge és real.

a) més enllà del centre de cur vatura (si es troba molt lluny, es diu que està a l’infinit); b) en el centre de cur vatura;

P P'

c) entre el centre de cur vatura i el focus; d) en el focus, i

A

A' F

C

e) entre el focus i el mirall. Si entenem bé la construcció de les imatges en aquestes cinc possibilitats, serem capaços de dibuixar-les en qualsevol cas.

34. La imatge de la fletxa AP és A’P’. Com que les prolongacions dels raigs reflectits es tallen, la imatge és virtual.

fig 24

203


21/4/08 17:21:13

6 | Imatges

| Miralls còncaus Quan l’objecte es troba a més del doble de la distància focal, la imatge, que es forma prop del focus, és real, invertida i menor que l’objecte (Fig. 35). Si l’objecte se situa en el centre de curvatura (Fig. 36), la imatge és real, invertida, de mida igual a la de l’objecte i situada en el centre de curvatura. Quan l’objecte es troba entre el centre de cur vatura i el focus (Fig. 37), la imatge es forma més enllà del centre de cur vatura; és real, invertida i més gran que l’objecte. P

P A'

A

C

C

A C A'

F

y

F O

y'

F

P' P' 35.

36.

37.

fig 26

fig 25

En situar l’objecte en el focus, no es forma imatge (Fig. 38) ni real ni virtual, perquè els raigs reflectits són paral·lels i, per tant,figno27es tallen. Es diu que la imatge queda en l’infinit. Obser va el cas en què l’objecte es troba entre el focus i el mirall. Els raigs reflectits divergeixen, però les seves prolongacions es tallen darrere del mirall. La imatge és virtual, dreta i més gran que l’objecte (Fig. 39). Si es disposa d’un mirall còncau, resulta fàcil comprovar tot el que acabem d’estudiar. Els miralls que algunes persones fan ser vir per a l’afaitat o per 28 maquillar-se sonfigcòncaus. P'

P

P P P'

C

AF

38.

C

F

A

39.

fig 27

A'

A

A' F

C

30la opcio 1 40. Representaciófigde formació de la imatge d’un objecte llunyà en un mirall convex.

| Miralls convexos Quan l’objecte es troba lluny del mirall, és a dir, a l’infinit (Fig. 40), la imatge és virtual, dreta i menor que l’objecte. Aquest és, precisament, el cas que es presenta en els miralls retrovisors dels automòbils, que acostumen a ser miralls convexos. Quan apropem l’objecte al mirall, la imatge és cada cop més gran, però sempre virtual i dreta. No obstant això, la mida de la imatge mai no serà tan gran com la de l’objecte. 204


21/4/08 17:21:14

Imatges | 6

EXEMPLE 2. Situem un objecte de 2 cm d’alçària a 10 cm del centre d’un mirall còncau de 4 cm de radi. a) Fent servir paper mil·limetrat, fes un dibuix de la prolongació dels raigs des de l’objecte per formar la imatge. b) A partir del dibuix anterior, troba la posició i la mida aproximades de la imatge. a) Per traçar la figura farem ser vir les trajectòries conegudes del raig que incideix paral·lel a l’eix, del que passa pel focus i del que incideix al centre del mirall. b) A par tir del dibuix anterior i fent ser vir mesures proporcionals a les dades de l’enunciat obtenim que la imatge es forma a una distància del centre de figura:

y

s’ = 2,5 cm

Veient la imatge formada, ja podem anotar que aquesta és inver tida, i fent les mesures adients podem esbrinar la seva mida, que dóna un valor aproximat de:

y'

y’ = – 0,5 cm

ejer 2 dels quals s’obté Dibuix del traçat de raigs, a partir la imatge.

El signe negatiu indica que la imatge és inver tida. Podem dir que la imatge és real, menor i invertida.

3. Troba la imatge d’un objecte d’1,65 cm situat a 4 cm d’un mirall esfèric convex de 6 cm de radi, mitjançant el traçat gràfic de raigs de trajectòries conegudes. Observa la imatge trobada i descriu-ne les característiques, respecte l’objecte. Per traçar la figura farem ser vir les trajectòries conegudes del raig que incideix paral·lel a l’eix, del que passa pel centre i del que incideix en el centre del mirall. S’obser va que la imatge que es forma és virtual, atès que es forma en el lloc on es creuen les prolon· gacions dels raigs reflectits en el mirall, també veiem que és dreta i menor que l’objecte.

y

y'

F

C

Dibuix del traçat de raigs, a partir dels quals s’obté la ejer 3 imatge.

205


21/4/08 17:21:15

6 | Imatges

12 | Les lents. Classes Les lupes, els vidres d’unes ulleres, l’objectiu d’una màquina fotogràfica, etc. són exemples de lents que estem acostumats a veure i a fer ser vir. Però, què és una lent? Per a què ser veix? Una lent és un cos transparent limitat per dues super fícies, de les quals almenys una és corba. BICONVEXA

BICÒNCAVA

PLA CÒNCAVA CONVEXA CONVEXA

PLA CÒNCAVA

CONVEXO CÒNCAVA

A

Quan les cares corbes són porcions de super fície esfèrica, la lent és una lent esfèrica. Si la super fície fos cilíndrica, la lent seria cilíndrica.

B

41. Representació de lents esfèriques. A Representació esquemàtica d’una lent fig 51 convergent. B Representació esquemàtica d’una lent divergent.

Ens limitarem a l’estudi de les lents esfèriques. A la figura 41 es detallen la forma i el nom dels diferents tipus de lents esfèriques vistes de cantó. Les tres primeres s’anomenen convergents, perquè fan convergir els raigs que les travessen (Fig. 42). Les altres són divergents, perquè els fan diver· gir (Fig. 43). Es distingeixen fàcilment perquè les convergents son més gruixudes al centre que a les vores; en canvi, les divergents són més gruixudes a la vora que al centre. Si mirem un objecte llunyà a través d’una lent divergent, la seva imatge sempre es veu dreta; en canvi, a través d’una lent convergent, veurem la seva imatge inver tida.

42. Refracció de la llum en una lent convergent.

43. Refracció de la llum en una lent divergent.

13 | Elements de les lents A la figura 44 s’han dibuixat els centres de les super fícies que corresponen a les cares de la lent. Aquests punts, C i C’, són els centres de curvatura. La recta que uneix tots dos punts s’anomena eix principal de la lent.

C

F

O

F'

C'

44. Els centres de curvatura són C i C’; la recta que passa per CC’ és l’eix principal; el punt O és el centre òptic; i F i F’ són els fig 54 focus.

L

I

I'

45. Una lent convergent pot considerar-se con una successió fig de prismes. Els raigs, 55 en travessar-los, pateixen dues desviacions.

Els raigs que incideixen paral·lels a l’eix principal, després de travessar una lent convergent, (Fig. 46), es reuneixen en un punt que s’anomena focus

206


21/4/08 17:21:16

Imatges | 6

principal de la lent convergent. També es compleix la propietat inversa: els raigs que passen pel focus, després de refractar-se en la lent, sur ten paral·lels a l’eix principal. A la lent divergent (Fig. 47) els raigs se separen, però les seves prolonga· cions semblen procedir d’un punt situat a l’altra banda de la lent: l’anomenat focus principal de la lent divergent.

F'

Tant les lents convergents com les divergents posseeixen dos focus, un a cada costat de la lent i dos centres de cur vatura. El centre òptic d’una lent és un punt del seu eix principal que té la propietat que tot raig que hi passa travessa la lent sense desviar-se. Aquest punt coincideix molt aproximadament amb el centre geomètric de la lent i és d’una gran impor tància en la construcció de les imatges.

fig 56

46. Lent convergent descomposta en prismes.

La distància entre el focus principal de la lent i el centre òptic s’anomena distància focal. La distància focal és aproximadament la meitat de la distància entre el centre de cur vatura i el centre òptic. Les lents la distància focal de les quals és molt cur ta són molt convergents o molt divergents. La potència d’una lent es mesura per la inversa de la seva distància focal.

1 p = –––– f’

F'

47. Lent divergent descomposta en fig 57 prismes.

La potència, p, s’expressa en diòptries, quan la distància focal, f’, es mesu· ra en metres. S’assigna potència positiva a les lents convergents i negativa a les divergents. En l’estudi de les lents tractarem només amb lents primes i les represen· tarem com als dibuixos esquemàtics de la figura 41.

| Pas de la llum a través d’una lent Quan un raig de llum, per exemple LI (Fig. 45), arriba a la super fície d’una lent, es refracta, es propaga en la direcció II’ i, quan arriba al punt I’, es refracta de nou i sur t a l’exterior. Si, en lloc d’un raig, fem incidir un feix de raigs paral·lels a l’eix principal, cada un entra i surt de la lent en dos punts de la seva superfície, que es pot considerar que pertanyen a prismes de diferent angle, i es desvien més els dels extrems que els centrals (Fig. 46).

48. Lent convergent.

El raig que passa pel centre òptic no es desvia. Això provoca que el feix emergent no conser vi el seu paral·lelisme, sinó que sigui convergent. En les lents divergents succeeix el contrari: el feix incident paral·lel es transforma, a la sor tida, en un feix divergent (Fig. 47). Resumint: a) Tot raig paral·lel a l’eix principal es refracta i passa pel focus. b) Tot raig que passa pel centre òptic no es desvia.

49. Lent divergent.

c) Tot raig que passa pel focus es refracta paral·lel a l’eix principal.

207


21/4/08 17:21:17

6 | Imatges

14 | Imatges formades per lents primes P

Per trobar la forma, la posició i la mida de les imatges formades per lents primes, hem de trobar, en primer lloc, la imatge d’un punt P. Si els raigs que sur ten d’un punt P, després de travessar la lent, es tallen en un punt, P’, aquest punt P’ és la imatge real de P. Si, pel contrari, es tallen les prolon· gacions dels raigs refractats, la imatge és virtual.

1 2 3

F

F' P'

fig 58 50. Pas dels raigs refractats en una lent convergent prima. P’ és la imatge real de P.

P

1 2

3

C

P' F'

F

C'

51. Pas dels raigsfig refractats en una lent 59 divergent prima. P’ és la imatge virtual de P.

B

Els raigs que surten d’un punt P i la trajectòria dels quals és coneguda amb anterioritat són els que compleixen les condicions abans exposades en els punts a), b) i c) de l’apartat anterior. Per a la lent convergent de la figura 50, són els raigs 1, 2 i 3. P’ és la imatge de P, que en aquest cas és real perquè es tallen els raigs lluminosos, de manera que es podrà veure directament o projectar sobre una pantalla. Per a la lent divergent de la figura 51, aquests raigs estan també indicats amb els mateixos números, 1, 2 i 3. Com que es tallen les seves prolonga· cions, la imatge, P’, és virtual: no la podem projectar sobre una pantalla, B però la podem veure. Quan un objecte és extens, la seva imatge és la que correspon a A' cada un dels seus punts. En realitat, només ens cal traçar les dels seus extrems. A F O F' Se simplifica molt la determinació d’aquesta imatge col·locant l’objecte sobreP' l’eix principal, atès que la imatge d’un punt col·locat sobre aquest es B' troba sobre el mateix eix. Les posicions que pot ocupar un objecte queden reduïdes a dues regions: B a més distància de la lent que el focus oBentre el focus i la lent. A la figura 52 (a, b i c) s’han dibuixat les imatges de l’objecte AB (utilitzant dos dels A' de A' es coneixen) per a diferents posicions raigs les direccions dels quals A F O F' A F O F' l’objecte, des de l’infinit fins al focus en una lent convergent. Fixa’t que les imatges creixen de mida a mesura que l’objecte s’apropa al focus. Sempre B' B' són reals i invertides. B

B

F

O

A'

A'

A' A

A

F' B'

a

b

F

O

A

F' B'

c

F

O

F'

B'

52. S’observa com les imatges augmenten de mida a mesura que l’objecte s’apropa al B focus. Són sempre reals i invertides.

B

A'

A' A

F

O

Quan l’objecte AB està al focus, els raigs són paral·lels després de creuar A F O F' la lent i no hi ha imatge. Es diu que es forma a l’infinit (Fig. 53).

F'

A la figura 54 es mostra la construcció geomètrica de la imatge A’B’ d’un objecte situat entre el focus i elB'centre òptic. La imatge és virtual, més gran i dreta.

B'

B A' A

F

O

Aquest és el cas de les imatges obtingudes quan es fa ser vir la lent com a lupa. De manera anàloga, arribarem a la conclusió següent a les lents diver· gents: s’obtenen imatges virtuals, menors que l’objecte i al mateix costat

F'

B'

208


21/4/08 17:21:18

Imatges | 6

de la lent que l’objecte (Fig. 55). Les lents utilitzades per corregir la miopia són divergents. B'

B

C

A F

B O

F'

C'

A' C

53. La imatge de la figfletxa 61 AB es forma a l’infinit.

B'

B F A O

F'

C'

54. Construcció de la imatge quan figentre 62 el focus i el centre l’objecte es troba òptic. La imatge és virtual, dreta i més gran que l’objecte.

A

F' A'

O

F

55. Construcció de la imatge en una lent divergent. La imatge és virtual, dreta i fig 63 menor que l’objecte.

En les lents divergents sempre s’obté una imatge vir tual. Quan l’objecte es troba en el focus, la mida de la imatge és la meitat de la mida de l’ob· jecte, com es pot comprovar fàcilment fent la corresponent construcció gràfica.

EXEMPLE 4. Un objecte de 2 cm d’alçària està situat a 4 cm al davant d’una lent prima convergent de distància focal igual a 12 cm. Troba la posició, la mida i l’orientació de la seva imatge a través de la lent fent un dibuix, sobre paper mil·limetrat, dels raigs de trajectòries conegudes. Per traçar la figura. farem ser vir les trajectòries conegu· des del raig que incideix paral·lel a l’eix, del que passa pel primer focus i del que travessa la lent pel centre sense desviar-se.

y'

F'

y

En obser var la imatge podem concloure que la imatge és virtual, dreta i més gran que l’objecte. Traçat de raigs, a partir dels quals s’obté la imatge.

5. Un objecte de 2 cm d’alçària està situat a 4 cm al davant d’una lent prima divergent de distància focal igual a 8 cm. Troba la posició, la mida i l’orientació de la seva imatge a través de la lent fent un dibuix, sobre paper mil·limetrat, dels raigs de trajectòries conegudes.

ejer 4 y

F'

y'

Per traçar la figura, farem ser vir les trajectòries conegu· des del raig que incideix paral·lel a l’eix, del que incideix en direcció al focus i del que creua la lent pel seu centre sense desviar-se. Podem concloure que la imatge és virtual, dreta i menor que l’objecte.

Traçat de raigs, a partir dels quals s’obté la imatge.

ejer 5


209

21/4/08 17:21:19

6 | Imatges

15 | Instruments òptics La combinació de miralls, lents, prismes, etc., que formen el que denomi· nem sistemes òptics, permet ampliar la capacitat d’obser vació de l’ull humà fins a límits insospitats. Aquests sistemes òptics s’utilitzen en els instruments òptics, que podem classificar en dos grans grups: els d’obser· vació i els de projecció. El seu nom n’indica la utilitat. És tan gran el nombre d’instruments òptics i tan important el seu ús, que resulta difícil escollir un parell per al seu estudi. Descriurem molt breument el microscopi, que ens permet veure el món infinitament petit, i el telescopi, que ens permet obser var el món extraordinàriament llunyà.

| El microscopi A B

F

Quan es desitja obser var un objecte molt petit, hem de recórrer a mitjans òptics. El més senzill és la lupa. L’objecte es col·loca dintre de la distància focal perquè es formi una imatge vir tual ampliada (Fig. 54).

L1

L F' B''

B' F'1

F1 A' A''

56. Esquema de la trajectòria dels rajos en fig 66 L és l’objectiu i l’interior d’un microscopi. L1 l’ocular. Per construir la imatge A”B”, hem seguit les normes per a la construcció d’imatges en lents convergents primes.

Però moltes vegades aquesta ampliació no és suficient; llavors s’acudeix a l’associació de dues lents de tal manera que la imatge vir tual resultant estigui molt ampliada. Les dues lents, L i L1, estan col·locades en els extrems d’un tub subjecte a un supor t. La primera de les lents, que es diu objectiu, dóna una imatge real A‘B‘ que, en ser rebuda per la segona lent, anomenada ocular, produ· eix una altra imatge A”B”, vir tual i molt ampliada, que és la que percebem nosaltres (Fig. 56). Això exigeix que l’objecte AB es col·loqui fora de la dis· tància focal de l’objectiu, però el més a prop possible del focus; i que la imatge real formada per l’objectiu quedi dintre de la distància focal de l’ocular. Les característiques que defineixen un microscopi són l’augment i el poder de resolució. L’augment és el resultat de multiplicar els corresponents augments de l’objectiu i de l’ocular. El poder de resolució és la mínima separació entre dues partícules de l’objecte que es poden distingir, mitjan· çant el microscopi, amb claredat i fidelitat.

| El telescopi Un telescopi és un instrument òptic que s’utilitza per a l’obser vació d’ob· jectes molt llunyans. El sistema òptic que forma el telescopi consta també de dues par ts fonamentals: l’objectiu i l’ocular . 57. Telescopi refractor.

F

L’objectiu recull els rajos de llum procedents d’un objecte infinitament dis· tant i els fa convergir en el focus, el que dóna una imatge molt petita, real i invertida de l’objecte, que podem impressionar sobre una pel·lícula fotogrà· fica. També es pot observar aquesta imatge amb una lent de gran potència, és a dir, de distància focal molt cur ta, anomenada ocular. El telescopi es diu refractor (Fig. 57 i 58) si l’objectiu és una lent (normal· ment un conjunt de lents per corregir les aberracions).

58. Trajectòria de la llum en un telescopi refractor. La imatge formada per l’objectiu fig 67 B s’observa amb l’ocular.

210


21/4/08 17:21:20

Imatges | 6

Si l’objectiu és un mirall corbat, normalment parabòlic (per evitar aberraci· ons d’esfericitat), el telescopi es diu reflector (Fig. 59 i 60). Com els teles· copis reflectors tenen el focus en el mateix costat pel qual entra la llum, no podem mirar directament amb un ocular la imatge formada en el focus, perquè amb el cap taparíem l’entrada de llum. Una forma de resoldre el problema consisteix a col·locar un petit mirall pla o un prisma de reflexió total dintre del tub i treure lateralment la llum, tal com s’observa en la figura 60. Aquest tipus de telescopi es diu reflector de Newton.

59. Telescopi reflector de Newton.

Les característiques que defineixen un telescopi són la potència i el poder de resolució. Quan observem a simple vista la Lluna o les estrelles, la llum que procedeix d’aquests astres arriba fins a la retina i passa a través de la pupil·la del nostre ull, que, àdhuc en plena foscor, té una ober tura d’uns pocs mil· límetres. En canvi, quan mirem a través del telescopi, ens arriba tota la llum que recull l’objectiu. Per exemple, un telescopi de 100 mm de diàme· tre recull unes 150 vegades més llum que l’ull humà. La imatge formada per l’objectiu s’obser va amb l’ocular. Si aquesta imatge és molt lluminosa –com la de la Lluna o la d’un planeta–, podrem mirar-la amb un ocular de molts augments, per la qual cosa veurem aquests astres molt engrandits. Per contra, si observem un objecte poc brillant, com per exemple, una nebu· losa o una galàxia, la imatge serà poc lluminosa i podrem forçar pocs aug· ments. Així doncs, els “augments” que podem obtenir amb un telescopi depenen del seu diàmetre i de l’objecte obser vat.

F

F

60. Trajectòria de la llum en un telescopi fig 68 B reflector de Newton.

DOCUMENT

La potència d’un telescopi ve donada per la capacitat d’obser var objectes molt poc brillants; i, el poder de resolució, per la capacitat de veure imat· ges separades d’objectes que es troben relativament pròxims els uns dels altres. Tant la potència com el poder de resolució depenen del diàmetre de l’objectiu. És més fàcil i més econòmic fabricar miralls grans que lents grans. Això explica que els telescopis més importants, situats en els obser· vatoris astronòmics terrestres, siguin reflectors.

El telescopi espacial Hubble El 24 d’abril de 1990, el transbordador Discover y va posar en òrbita el telescopi espacial Hubble, a una altura d’uns 600 km sobre la super fície de la Terra. L’avantatge principal de tenir un telescopi en òrbita és que no es veu afectat per les distorsions òptiques de l’atmosfera. El cost del projecte ha sobrepassat els 1 500 milions de dòlars. Inicialment es va estimar que el seu fun· cionament duraria uns 15 anys, és a dir, que la seva vida útil s’es· gotaria l’any 2005. Però després de successives millores i repara· cions, segueix vigent i oferint imatges de gran vàlua científica. El Hubble és un telescopi reflector, amb un mirall de 2,4 m de dià· metre. El seu poder de resolució és deu vegades superior al dels telescopis situats a la Terra. Pot detectar senyals d’objectes situ· ats a uns 14 000 milions d’anys-llum, generats durant una etapa més primitiva de l’Univers.

211


21/4/08 17:21:21

6 | Imatges

16 | L’ull humà. La visió i els seus defectes Els ulls constitueixen l’òrgan de la visió humana. La llum procedent dels objectes penetra en l’ull, formant-hi una imatge. Seguint la trajectòria de la llum trobem les distintes par ts que formen l’ull humà (Fig. 61). La còrnia és una membrana transparent que protegeix l’ull. En ella la llum es refracta i es desvia cap al centre de l’ull. L’iris és un diafragma muscular, que regula la grandària del seu orifici cen· tral, anomenat pupil·la, amb la finalitat de deixar passar la quantitat de llum adequada per a una correcta visió. Com més gran sigui la intensitat de llum exterior, més es tancarà la pupil·la. El seu diàmetre pot variar des d’uns 2 fins a uns 8 mm. Si es mira de prop l’ull d’una persona, es pot observar que la pupil·la es dilata en la foscor i es tanca quan la llum que hi incideix es fa més intensa. A continuació, hi ha el cristal·lí, lent convergent que pot deformar-se lleu· gerament mitjançant l’acció d’uns petits músculs, músculs ciliars. Aquest procés es denomina acomodació i permet enfocar les imatges sobre la part posterior interna de l’ull. La cavitat situada entre la còrnia i el cristal·lí conté un líquid transparent anomenat humor aquós. Darrere el cristal·lí, la llum ha de convergir a la retina, situada en la paret interior del fons de l’ull. Distribuïdes per tota la retina es troben multitud de cèl·lules sensibles a la llum, els cons i els bastons, els primers sensibles als diversos colors i, els segons, a la llum, és a dir, al blanc i al negre. La imatge formada en la retina es transmet al cer vell a través del ner vi òptic, el qual s’uneix a la retina en una zona anomenada punt cec, ja que allí no hi ha ni cons ni bastons, i, per tant, no es perceben les imatges que s’hi formen. La imatge formada en la retina està inver tida respecte a l’objecte (Fig. 62); el cer vell s’encarrega de recuperar la posició dreta de la imatge. La cavitat posterior al cristal·lí conté un líquid clar i gelatinós anomenat humor vitri. Dos ulls donen un camp de visió més ampli i permeten establir de manera eficaç la distància als objectes i la seva profunditat. Cada ull té una visió lleugerament diferent d’un mateix objecte. Mitjançant la combinació d’aquestes imatges, el cer vell aconsegueix una interpretació dels objectes en tres dimensions. Aquest fenomen s’anomena visió estroboscòpica. Cristal·lí Còrnia Músculs ciliars Pupil·la Humor aquós Iris Músculs ciliars

Coroides Escleròtica Iris

Lent (cristal·lí)

Retina Taca groga

Imatge Pupil·la

Ner vi òptic Objecte

Còrnia

Retina

Humor vitri

61. Dibuix esquemàtic de les diferents parts de l’ull humà.

62. Esquema d’una imatge formada en la retina d’un ull.

212


21/4/08 17:21:22

Imatges | 6

Els defectes de la visió poden estar provocats per deformacions del globus ocular o un funcionament incorrecte d’alguna de les parts de l’ull. Entre els defectes més comuns podem citar la miopia i la hipermetropia. La miopia es produeix quan l’eix ocular, és a dir, la recta que travessa l’ull pel seu centre, és més llarga del que és normal. En aquest cas els rajos lluminosos paral·lels convergeixen en un punt situat davant de la retina (Fig. 63). Els miops no veuen clarament objectes llunyans. Aquest defecte es corregeix col·locant una lent divergent davant de l’ull (Fig. 64). Una tèc· nica moderna permet corregir la miopia amb una inter venció quirúrgica, en la qual s’extirpa una fina capa de la còrnia amb un làser d’alta energia de feix molt fi que actua a manera de bisturí de gran precisió.

63. En un ull miop la llum paral·lela convergeix davant de la retina.

64. Una lent divergent corregeix la miopia enfocant la llum paral·lela sobre la retina.

En un ull hipermetrop la llum procedent d’un punt pròxim convergeix en un punt situat darrere la retina (Fig. 65), ja que l’eix ocular és més curt del que és normal. Els hipermetropes no poden veure amb claredat objectes pro· pers. La correcció consisteix a col·locar davant de l’ull una lent convergent (Fig. 66).

65. La llum procedent d’un punt pròxim es concentraria darrere de la retina.

66. Una lent convergent focalitza correctament sobre la retina la llum d’un punt pròxim.

67. Ulleres per a la correcció de miopia.

68. Ulleres per a la correcció d’hipermetropia.

213


21/4/08 17:21:24

6 | Imatges

17 | La llum visible en l’espectre de les ones electromagnètiques L’any 1850, Léon Foucault va muntar un dispositiu que permetia mesurar la velocitat de propagació de la llum a l’aire i a l’aigua. La velocitat de la llum a l’aire va donar com a resultat 298 000 km/s i a l’aigua, 224 000 km/s. El valor calculat actualment per a la velocitat de la llum que es propaga en el buit és de 299 792,458 km/s. A la pràctica, s’utilitza 300 000 km/s. Al segle XIX, el matemàtic i físic escocès James Clerk Maxwell va establir les equacions matemàtiques que descriuen el compor tament i la interrela· ció dels camps elèctrics i magnètics. Aquestes equacions, a més, predeien la possibilitat de produir ones electromagnètiques a par tir de camps elèc· trics variables i també permetien calcular-ne la velocitat. El resultat va ser sorprenent: la velocitat de propagació de les ones electro· magnètiques a l’aire és la mateixa o molt semblant que la velocitat de la llum, calculada experimentalment mitjançant mètodes com ara el de Foucault. Aquesta coincidència va impulsar Maxwell a proposar que la llum era, també, una ona electromagnètica, l’espectre de la qual ocupava una franja estreta dins l’espectre de totes les ones electromagnètiques possi· bles (Fig. 69). Quan les càrregues elèctriques oscil·len, radien ones electromagnètiques. La velocitat de propagació de l’ona és igual al producte de la longitud d’ona per la freqüència d’oscil·lació de les càrregues: c=λν

Freqüència (υ) Hz

υ

3 x10

(c és la velocitat de propagació de les ones electromagnètiques en el buit, λ la longitud d’ona i ν la seva freqüència).

6

3 x10

8

3 x10

10

2

10

1

10

0

3 x10

12

Microones

Ones hertzianes Longitud d'ona (λ) m

10

10

·1

10

·2

10

Longitud d'ona (λ) 700 nm

Freqüència (υ) 0,40 x10 15 Hz

·3

10

3 x10

Infraroig ·4

10

·5

14

visible

γ

10

600

·6

3 x10

16

·7

500

15

0,50 x10

10

18

Raigs X

Ultraviolat

10

3 x10

·8

10

·9

10

Raigs γ ·10

10

·11

10

·12

400

0,75 x10

15

Llum visible

69. Espectre de les ones electromagnètiques i franja corresponent a la llum visible.

214


21/4/08 17:21:25

Imatges | 6

Podem veure en el gràfic de l’espectre de les ones electromagnètiques que, n’hi ha de molts tipus diferents i amb aplicacions molt diverses. En teoria, són possibles radiacions electromagnètiques de qualsevol freqüèn· cia o de qualsevol longitud d’ona.

| Ones de ràdio Les ones de ràdio tenen les freqüències més petites i, per tant, els corres· ponen les longituds d’ona més grans. Aquestes són la base dels diferents sistemes de telecomunicacions. També s’anomenen ones her tzianes, per· què van ser descober tes pel físic alemany Heinrich Her tz el 1888. Es classifiquen en tres grups: Ones de ràdio llargues, fins a freqüències de 106 Hz i longituds d’ona des de desenes de milers de quilòmetres fins a uns centenars de metres. Algunes d’aquestes ones, a més de ser vir per a comunicacions a gran dis· tància, provenen de sistemes d’estels llunyans i són la base de la radioas· tronomia, que permet descobrir noves característiques de l’Univers. Ones de ràdio AM (d’amplitud modulada), entre uns 500 i 1 600 kHz, o bé longituds d’ona d’entre 600 m i desenes de metres. S’anomenaven antiga· ment, d’ona mitjana. Ones de ràdio curtes, que abasten des de freqüències de l’ordre de 10 MHz fins a valors de milions de MHz i les longituds d’ona de les quals estan compreses entre unes desenes de metres i algunes dècimes de mil· límetres. En aquesta franja hi ha incloses les ones de televisió terrestre i ràdio de FM, les ones de radar i també les microones. Les primeres tenen unes longituds d’ona que van des de desenes de metre fins a valors prò· xims al metre. Un radar emet unes ones de ràdio molt cur tes, d’una longi· tud d’ona de l’ordre del centímetre, i detecta els ecos que es produeixen en xocar contra els objectes que troben en el seu camí i determina, així, la distància a l’objecte a par tir de l’inter val de temps que es tarda a rebre l’eco. Les microones poden tenir longituds d’ona d’entre uns quants centí· metres fins a algunes dècimes de mil·límetres. Les seves freqüències són pròximes a les freqüències naturals de vibració de la molècula d’aigua. Per això, les microones són absorbides fàcilment per l’aigua dels aliments. Aquest és el mecanisme bàsic de l’escalfament en els forns de microones.

| Raigs infrarojos Els raigs infrarojos corresponen a les ones electromagnètiques amb fre· qüències d’entre milions de MHz i centenars de milions de MHz, és a dir, de longituds d’ona d’entre dècimes de mm fins a algun μm. Tots els cossos calents emeten radiació en aquesta franja. Hi ha pel·lícules fotogràfiques que permeten obtenir imatges dels cossos a par tir dels raigs infrarojos que emeten, encara que no hi hagi llum. Els satèl·lits meteorològics en fan ser vir per obtenir mapes de temperatures de les diverses zones del planeta.

215


21/4/08 17:21:25

6 | Imatges

| Llum visible La llum visible abasta des d’uns 4,3 × 1014 Hz (llum roja) fins a uns 7,5 × 1014 Hz (llum violeta), que corresponen a longituds d’ona d’entre 0,7 μm i 0,4 μm. Aquesta radiació s’anomena així, perquè els nostres ulls hi són sensibles i ens permet, a través del mecanisme de la visió humana, formar les imatges del món que ens envolta. La llum visible ocupa una fran· ja molt reduïda dins tot l’espectre de les ones electromagnètiques

| Raigs ultraviolats Els raigs ultraviolats corresponen a les ones electromagnètiques amb freqüències entre 7,5 × 1014 Hz i 3 × 1017 Hz, o bé amb longituds d’ona entre unes dècimes de μm i 1 nm. Aquests poden produir la destrucció dels enllaços de les molècules de la matèria orgànica. És per això que és tan important per a la vida a la Terra disposar d’una capa superior a l’atmosfera que sigui capaç d’absorbir gran par t d’aquesta radiació o, com a mínim, la par t més energètica i perjudicial. Es tracta de l’anomenada capa d’ozó, situada entre 15 i 85 km d’altura, amb una concentració més gran d’ozó entre els 15 i els 35 km. Darrerament s’està estudiant molt aquesta capa per tal de controlar-ne el deteriorament provocat per productes volàtils fabricats per l’home.

70. Mapa digitalitzat, elaborat des d’un satèl·lit, de la capa d’ozó centrat en l’Antàrtida. En aquesta zona la capa és més fina com a conseqüència de la producció de substàncies volàtils que destrueixen les molècules d’ozó.

La par t menys energètica de la franja correspon a la radiació ultraviolada «tova», utilitzada per algunes persones per bronzejar-se quan fa bon temps i tenir un aspecte, segons la tradició, més saludable, encara que estudis mèdics actuals li atribueixen la causa de diversos càncers de pell.

| Raigs X Anomenem raigs X les ones electromagnètiques amb freqüències de 1016 fins 5 × 1020 Hz o longituds d’ona d’unes desenes de nm a valors de dèci· mes de pm. La franja de freqüència mes baixa, menys perjudicial per a les persones, és utilitzada en medicina per obtenir les anomenades radiografies, les quals permeten d’obtenir una imatge de l’interior del cos humà, atès que cada tipus de teixit ofereix una absorció diferent al seu pas. Amb aquesta tècnica es poden veure, amb força detall, fractures d’algun dels ossos de l’esquelet ocasionades en algun accident.

71. Radiografia de raigs X, una de les aplicacions de les ones electromagnètiques a la diagnosi mèdica.

La franja més energètica d’aquesta radiació s’utilitza en l’anàlisi de l’es· tructura de diferents aliatges metàl·lics, atès que les dimensions de la xarxa metàl·lica és de l’ordre de la longitud d’ona d’aquests raigs X i en produeixen la difracció. L’estudi de les figures de difracció que se n’obte· nen permet identificar el tipus d’estructura interna i les seves dimensions.

| Raigs gamma Anomenem raigs gamma (γ), la franja d’ones electromagnètiques de fre· qüències més elevades, més grans de 1019 Hz i, per tant, de longituds d’ona més petites de 30 p m. Aquesta radiació es produeix, principalment, en algunes reaccions de desintegració dels nuclis atòmics i és la més ener· gètica de l’espectre.

216


21/4/08 17:21:26

Imatges | 6

18 | Dispersió de la llum La majoria dels materials a través dels quals es propaga la llum presenten un índex de refracció independent de la freqüència de la radiació que els creua. En aquests, tots els colors de la llum es desvien de la mateixa mane· ra en refractar-s’hi. Són els medis no dispersius. Altres materials, en canvi, presenten un índex de refracció diferent per a cada freqüència de la llum que els creua; són els anomenats medis dispersius. Quan la llum blanca del Sol o d’algun altre focus de llum composta creua un prisma òptic d’un medi dispersiu, els diversos colors que la formen, cadascun d’una longitud d’ona determinada, es desvien un angle diferent en cada cas, ja que presenten índexs de refracció diferents (Fig. 72). En aquests casos diem que la llum s’ha dispersat. El fenomen produeix la descomposició de la llum blanca en l’espectre de colors que la formen, anomenat arc iris (Fig. 73). És el mateix fenomen que dibuixa al cel l’arc de Sant Mar tí, quan la tempesta ja ha passat. Aquest es produeix com a con· seqüència de la refracció de la llum del Sol en les gotes d’aigua que formen els núvols (Fig. 74).

72. Dispersió de la llum blanca en refractar-se en un prisma. La desviació de cada color és diferent. Aquí s’ha fig 15 representat, només, l’esquema de desviació dels colors violeta, verd i vermell.

73. Dispersió de la llum blanca en un prisma.

74. Fotografia de l’arc de Sant Martí format en acabar de ploure.

L’espectre de la llum del Sol està format pels colors: violeta, turquí, blau, verd, groc, ataronjat i vermell. Si aïllem un dels set colors de l’espectre fent, per exemple, una escletxa en una pantalla (Fig. 75) i refractem aquest color en un altre prisma, només aconseguirem desviar-lo, però el color continuarà sent el mateix. Els colors de l’arc iris són colors simples o monocromàtics. La descomposició d’una llum composta en llums monocromàtiques s’anomena dispersió de la llum o dispersió cromàtica. L’estudi dels espectres de la llum del Sol, dels estels o d’un simple focus lluminós ha permès de conèixer l’estructura de la matèria i constitueix un dels capítols més fructífers de la ciència: l’espectroscòpia. 75. Cadascun dels colors és monocromàtic. Quan passa per un altre prisma, només experimenta una desviació.

217


21/4/08 17:21:27

DOCUMENT

6 | Imatges

L’espectroscopi Amb la finalitat de dispersar i analitzar la llum composta, emesa per fonts lluminoses diverses, s’utilitzen uns aparells anomenats espectroscopis.

E

C

P

O

Esquema d’un espectroscopi simple.

Isaac Newton utilitzà un prisma triangular com a espectroscopi per tal de descompondre la llum natural i obtenir-ne l’espectre. Un espectroscopi simple està format per una plataforma circular sobre la qual se situa el prisma dispersiu, P. Un tub colimador, C, que és recorregut per la llum incident, consta d’un sistema d’escletxes per focalitzar convenientment el raig de llum i d’una lent convergent. L’escletxa i la lent estan situades de manera que la llum que incideix sobre el prisma formi un feix de llum paral·lela. Quan la llum travessa el prisma pateix diferents desviacions per cada longitud d’ona que la compon. Els raigs emergents del prisma es fan passar a través del tub d’observació, O, que té una lent convergent a l’entrada i, en l’altre extrem, un ocular a través del qual es fan les observacions. Un tercer tub duu una petita escala graduada transparent (E), il·luminada per darrere, amb una lent que envia els raigs procedents d’aquesta escala cap a l’altra cara del prisma, en la qual es reflecteixen de forma que penetren en el tub d’observació, per tal que l’observador vegi, superposats, l’espectre i l’escala graduada. En comptes d’un prisma es pot utilitzar una xarxa de difracció per obtenir l’espectre de la llum que vulguem analitzar. En els espectroscopis de prisma la dispersió de la llum no és lineal, mentre que, en els de xarxa de difracció la dispersió és pràcticament lineal. A més, la resolució fent servir xarxes de difracció és molt elevada, per exemple, es pot distingir una radiació de longitud d’ona de 460,002 nm d’una altra de 460,004 nm. Les tècniques espectroscòpiques són molt útils en l’anàlisi química i en l’estudi de la composició dels estels i astres lluminosos. A més, la quantitat de dades experimentals obtingudes per aquestes tècniques han servit per a l’elaboració i la comprovació experimental de la teoria atòmica actual. L’espectroscòpia és la branca científica en què s’obtenen mesuraments amb la precisió més elevada; per això té una gran importància en les diverses tècniques de mesura.

218


21/4/08 17:21:28

Imatges | 6

19 | Difracció i interferència Quan la llum incideix sobre un obstacle o una ober tura de dimensions de l’ordre o inferiors a la seva longitud d’ona es produeix el fenomen de la difracció. En aquest cas, l’obstacle es conver teix en un focus emisor d’ones d’igual longitud d’ona que la incident. Si tenim en compte que la longitud d’ona de la llum visible és de l’ordre de dècimes de micròmetre, per tal de poder obser var la difracció d’un feix de llum, caldrà que aquest incideixi sobre objectes que presentin característiques –forats, puntes, escletxes, etc.– de les dimensions indicades. Si s’il·luminen dues escletxes primes paral·leles, situades en una pantalla opaca, amb una mateixa font lluminosa puntual, quan la llum que travessa aquestes dues escletxes es recull sobre una super fície plana paral·lela a les escletxes, s’obser ven unes figures d’inter ferència (vegeu la Fig. 76). Una escletxa

Dues escletxes

Frontsd'ona plana

Pantalla

76. Esquema de les interferències produïdes per la difracció de la llum en una escletxa molt estreta, que es fa passar després per dues escletxes també molt estretes.

Aquest va ser, en esquema, l’experiment que va fer el físic Thomas Young, el 1 801, en el qual va demostrar la naturalesa ondulatòria de la llum. En realitat, la font lluminosa puntual es pot obtenir per mitjà de la difracció a través d’una primera escletxa de la llum procedent d’un focus parabòlic. Sobre la pantalla es produeixen una sèrie de franges clares i fosques. Les franges més clares, amb més intensitat de llum, corresponen a les inter fe· rències constructives, que es produeixen quan la diferència de distàncies a les dues escletxes és igual a un nombre enter de longituds d’ona. Uns altres dispositius en què es pot produir difracció de la llum, són les anomenades xarxes de difracció. Consisteixen en un gran nombre de línies o escletxes situades paral·lelament i separades de manera regular sobre una super fície plana. Hi ha xarxes de difracció per reflexió, en les quals el feix de llum és reflectit per les línies que sobresur ten entre els solcs. Els discos CD de música o els CD-ROM de dades es compor ten de manera similar a xarxes de difrac· ció per reflexió (Fig. 77); en reflectir-s’hi una llum composta, es produeix la separació dels colors que la componen ja que cada màxim de difracció es correspon a una longitud d’ona diferent. En les xarxes de difracció per transmissió, la llum travessa les escletxes que queden entre les franges opaques gravades a la super fície. D’entre aquestes xarxes de difracció són molt comunes les formades per làmines de plàstic. Algunes d’aquestes poden tenir de l’ordre de 10 000 escletxes per cm, amb una separació entre escletxes de d = 1 cm / 10 000 = 10–6 m.

77. La dispersió de la llum composta, reflectida en la superfície d’un CD, és conseqüència de la difracció produïda per reflexió.

219


21/4/08 17:21:29

EXPERIÈNCIA

6 | Imatges

Determinar la distància entre les ranures contigües d’un CD. Material • Tres o quatre trossos de llistó de fusta de més de 10 cm de longitud. • Car tró. • Un full de paper blanc. • Cinta adhesiva. • Agulla de cosir. • Punter làser (de longitud d’ona coneguda). • Disc CD o DVD. Procediment Amb un paper blanc mida quartilla fes una pantalla i enganxa-la a un marc de cartró per donar-li rigidesa. Amb els llistons de fusta i la cinta adhesiva fes un suport per a la pantalla i un altre per al CD de mane· ra que puguin mantenir-se en posició vertical. Col·loca sobre una taula el punter, la pantalla i el CD en la disposició que es mostra a la imatge següent. El raig emès pel punter ha de ser horitzon· tal i ha d’estar a l’altura del centre del disc. Fes un petit forat amb una agulla en el punt de la pantalla il·luminat pel laser perquè aquest pugui travessar-la i arribar fins a la zona gravada del disc a l’altura del seu centre, com es veu a la figura.

La teoria de la difracció demostra que l’angle ϕ format pel raig central i cadascun dels rajos laterals (figura b) compleix la relació: λ

sin ϕ =

s

( λ és la longitud d’ona de la llum emesa pel punter i s és la distància entre els solcs del disc.) I

d Làser Disc Dis Pantalla

Per determinar l’angle ϕ, mesura les distàncies: • l entre la pantalla i el disc • d entre el punt lluminós central i cadascun dels punts laterals (recorda que han de ser ambdues iguals). En encendre el punter, la llum que incideix sobre el disc es reflecteix en la super fície d’aquest, que actua com una xarxa de difracció. La inter ferència de les ones difractades produeix tres feixos de llum intensa que projecten tres punts lluminosos sobre la pantalla. S’han d’ajustar les posicions del disc i la pantalla perquè els tres punts quedin alineats; el central ha de coincidir amb el forat de la pantalla i els punts laterals han de quedar equidistants del central.

Sabent que: d

tg ϕ =

l

troba amb una calculadora el valor de l’angle ϕ. Aplicant la fórmula abans establer ta calcula la dis· tancia s entre els solcs del disc: s=

λ sin ϕ

220


21/4/08 17:21:31

Imatges | 6

20 | Polarització de la llum Les ones electromagnètiques, com la llum del Sol, no produeixen vibraci· ons dels punts del medi, sinó que la vibració és dels vectors intensitat de camp elèctric i de camp magnètic, perpendiculars entre ells i, també, a la direcció de propagació. Ara bé, la direcció d’oscil·lació també varia a l’atzar i no està polaritzada linealment (Fig. 78). La llum natural pot polaritzar-se quan travessa substàncies que absorbei· xen par t de la radiació lluminosa i que deixen passar, únicament, les oscil· lacions que es produeixen en unes direccions determinades. D’aquesta manera, la llum emergent es troba polaritzada. Les substàncies que pre· senten aquesta propietat s’anomenen polaritzadores. La llum disminueix en intensitat, però, a ull nu, no es distingeix si està polaritzada. Per veureho, podem col·locar dues peces d’aquest material, situant la direcció de polarització de la segona perpendicular a la de la primera peça; la llum polaritzada pel primer polaritzador no travessarà el segon (Fig. 79). Direcció de polarització E

E

Direcció de propagació

78. Esquema de les direccions d’oscil·lació del vector intensitat de camp elèctric, situades en un pla perpendicular a la direcció de propagació.

fig 30

E

Direcció de polarització La llum polaritzada no creua el 2n vidre polaritzador 79. Esquema de polarització de la llum en travessar vidres polaritzadors.

figles 31 direccions de polarització paral· Si situem dos vidres polaritzadors amb leles, podem veure què hi ha al darrere (Fig. 80a). Quan situem les seves direccions de polarització creuades, la llum polaritzada pel primer no tra· vessa el segon vidre (Fig. 80b).

80. a) Vidres polaritzadors amb direccions de polarització paral·leles. b) Els mateixos vidres amb les direccions de polarització creuades.

Les ulleres amb vidres polaritzadors basen el seu efecte en la col·locació d’un vidre polaritzador amb la direcció de polarització vertical. D’aquesta manera, la llum directa del Sol es polaritza en reflectir-se al terra i no enlluerna qui les porta. També s’utilitzen ulleres amb vidres polaritzadors per veure cinema en tres dimensions.

Quan la llum incideix en la super fície de separació de dos medis, una par t d’aquesta es refracta cap al segon medi, mentre que una altra par t es reflecteix i es continua propagant pel primer medi. Si l’angle que formen el raig reflectit i el refractat és de 90°, llavors la llum reflectida queda polarit· zada en una direcció perpendicular al pla format pels raigs incident, reflectit i refractat. 221


21/4/08 17:21:32

6 | Imatges

RESUM Els medis transparents són els cossos que deixen passar la llum a través d’ells. Els medis opacs són els que no deixen passar la llum a través d’ells. Els medis translúcids són els que deixen passar parcialment la llum, però no permeten distingir la forma dels objectes a través d’ells. La reflexió és la desviació dels raigs de llum a la super fície de separació de dos medis quan conti· nua propagant-se en el mateix medi sense passar a l’altre. L’angle d’incidència és l’angle que forma el raig incident amb la normal a la super fície de separació dels medis i l’angle de reflexió el que forma el raig reflectit amb la normal.

La reflexió total es produeix quan l’angle d’incidèn· cia és superior a l’angle límit; llavors no és possible la refracció i la llum es reflecteix totalment. S’anomena imatge real la formada en tallar-se els raigs desviats per un sistema òptic. Pot projectarse sobre una pantalla. S’anomena imatge virtual la formada en tallar-se les prolongacions dels raigs desviats per un siste· ma òptic. No pot projectar-se sobre una pantalla. Trajectòria dels raigs en un mirall esfèric a) Els raigs paral·lels a l’eix principal es reflecteixen passant tots per un mateix punt (focus). b) Els raigs que passen pel centre de cur vatura, no canvien de direcció, però sí de sentit. c) Els raigs que passen pel focus es reflecteixen paral·lels a l’eix principal.

Lleis de la reflexió 1. El raig incident, el reflectit i la normal són al mateix pla. 2. L’angle d’incidència és igual al de reflexió. La refracció és la desviació dels raigs de llum en passar d’un medi a un altre, on la seva velocitat és diferent. L’angle de refracció és el que forma el raig refrac· tat amb la normal a la super fície de separació dels medis. L’índex de refracció (n) d’una substància és la rela· ció entre les velocitats de la llum en el buit (c) i a través d’aquesta substància (v): n = v/c. Lleis de la refracció 1. El raig incident, el refractat i la normal són al mateix pla. 2. La relació entre els sinus dels angles d’incidèn· cia i de refracció és igual a l’índex de refracció del segon medi dividit per l’índex de refracció del primer: sin αi / sin αr = n2 / n1 L’angle límit és l’angle d’incidència pel qual l’angle de refracció és de 90°.

222


Trajectòria dels raigs en una lent a) Els raigs paral·lels a l’eix principal es refracten passant tots per un mateix punt (focus). b) Els raigs que passen pel centre òptic no es desvien. c) Els raigs que passen pel focus es refracten paral·lels a l’eix principal. El medi dispersiu és el que presenta un índex de refracció diferent per a cada freqüència de la llum. La dispersió és la separació de la llum en raigs dels diversos colors que la formen (espectre). Es pro· dueix en els medis dispersius. La difracció és la desviació dels raigs de llum en totes direccions quan incideixen sobre un obstacle o una escletxa. La interferència constructiva és el fenomen pel qual dues ones de llum de la mateixa freqüència, en trobar-se en un punt, s’enfor teixen mútuament. Si s’anul·len totalment o parcial el fenomen s’anomena interferència destructiva. La llum polaritzada és la llum, les vibracions de la qual tenen lloc en un únic pla dels que contenen al raig lluminós.


Imatges | 6

A C T I V I TAT S Velocitat de la llum 1 La nostra galàxia, la Via Làctia, té un diàme· tre d’uns 100 000 anys llum. Expressa aquesta distància en quilòmetres. 2 La matinada del 24 de febrer de 1987, l’as· trònom canadenc Ian Shelton va descobrir en el Gran Núvol de Magalhaes –una galàxia satèl·lit de la nostra– el primer estel super· nova visible sense ajut òptic des de l’època de Kepler. Era a 170 000 anys llum de nosal· tres. Expressa aquesta distància en quilòme· tres. Quant ha tardat a arribar fins a nosal· tres la llum d’aquesta supernova? 3 Durant l’exploració espacial del sistema solar, la nau Voyager 2 va enviar unes imatges molt valuoses del planeta Neptú i del seu satèl·lit Tritó. Calcula quant temps van tardar a arribar les primeres dades d’aquestes imatges a la Terra, si suposem que, quan les va enviar, la nau es trobava a uns 4 400 milions de km de la Terra. Dada: c = 300 000 km/s 4 Sabent que la Terra té un radi de 6 637 km, calcula el temps que trigaria la llum a donar una volta completa a la Terra. Quantes voltes podria donar en 1 segon? 5 Els mòduls espacials que van posar-se damunt la super fície de Mar t van enviar les imatges per mitjà de les ones electromagnè· tiques. Quin hagués estat el temps mínim de reacció del robot que es desplaçava sobre la super fície de Mar t, si el seu control s’hagués fet des de la Terra que es trobava a 250 milions de km?

7 Calcula la velocitat de la llum vermella a l’in· terior d’un prisma òptic, sabent que l’índex de refracció per a aquest color és d’1,44. Calcula l’índex de refracció del color violeta del mateix prisma, sabent que la seva llum viatja en el prisma a 188 800 km/s. 8 Un raig incideix en la super fície d’un estany i forma un angle de 30° amb la normal. Quin angle forma el raig refractat amb aquesta? 9 Un raig de llum que prové de l’aire penetra en un medi amb un angle d’incidència de 45°. El raig refractat forma amb la normal un angle de 30°. Quin és l’índex de refracció d’aquest medi? Amb quina velocitat s’hi pro· paga la llum? 10 Un raig lluminós incideix damunt la super fí· cie d’un tros de cristall amb un angle de 60°. El raig refractat i el reflectit formen entre ells un angle de 90°. Quin és l’índex de refracció del cristall? 11 La llum es propaga a 300 000 km/s a l’aire, a 225 000 km/s a l’aigua i a 200 000 km/s en un determinat tipus de vidre. Raona a quin d’aquests correspon cadascun dels tres medis de la figura, en la qual s’ha repre· sentat la trajectòria d’un raig de llum que incideix des del medi a. Trajectòria seguida per un raig de llum que tra· vessa tres medis –a, b i c– d’índexs de refracció diferents. La relació dels angles és: αa < αc < αb αa

Reflexió i refracció αb

αb

6 L’índex de refracció de l’aigua respecte al buit és de 4/3. Quina és la velocitat de la llum en l’aigua? αc

223


21/4/08 17:21:33

6 | Imatges

dificultat:

MITJANA

SENZILLA

ALTA

SENSE CLASSIFICAR

12 Un raig lluminós que es propaga a l’aire arriba a la superfície de l’aigua amb un angle d’inci· dència de 15° i es produeixen els fenòmens de reflexió i de refracció. L’índex de refracció de l’aigua respecte a l’aire és de 4/3. Fes un dibuix esquemàtic de la situació i calcula els angles de reflexió i de refracció. 13 Un raig de llum vermella que es propaga per l’aire incideix sobre un vidre amb un angle de 30° respecte a la direcció normal en la super fície del vidre. L’índex de refracció del vidre per a la llum vermella val nv = 1,5 i l’ín· dex de refracció de l’aire val na = 1. Fes un esquema indicant les direccions dels raigs reflectit i refractat i calcula el valor dels angles que formen aquests raigs amb la normal. Reflexió total 14 Quan la llum passa de l’alcohol a l’aire, l’an· gle límit té un valor de 47°. Calcula l’índex de refracció de l’alcohol.

18 Un raig de llum emergeix de l’aigua a l’aire. Si l’índex de refracció de l’aigua respecte a l’aire és de 4/3, quin és el valor màxim que pot tenir l’angle d’incidència perquè el raig pugui sor tir de l’aigua? Fixa’t que l’angle de refracció no pot ser superior a 90°. Miralls 19 Dibuixa com es forma, en un mirall pla, la imatge d’un triangle rectangle paral·lel al mirall, amb un dels seus catets situat horitzontalment. 20 Demostra que l’alçària mínima d’un mirall pla col·locat verticalment ha de ser la meitat de l’alçada d’una persona que s'hi mira, si vol veure la seva imatge sencera. 21 Tres raigs, 1, 2 i 3, incideixen en els miralls de la figura. Dibuixa els corresponents raigs reflectits. 3 3

15 Calcula l’angle límit quan la llum passa d’un vidre amb un índex de refracció d’1,6 a l’aire. 16 Calcula la velocitat de la llum en un medi, sabent que l’angle límit amb què emergeix a l’aire un raig de llum que en prové és de 60°.

2 2

FF

1 1 a) a)

17 Tenim una peça de vidre, la secció de la qual és la que s’indica a la figura. Si l’índex de refracció del vidre té un valor de 2, quin és el valor de l’angle límit per a aquest material? Dibuixa la trajectòria que seguirà el raig de llum, r, a l’interior de la peça de vidre. Es produirà una reflexió total a la cara BC?

3 3 2 2 FF

1 1

B b) b) 60°

r

acti acti 10 10

n= 2 A

C

224


21/4/08 17:21:34

Imatges | 6

22 a) Dibuixa la imatge de la fletxa AB en el mirall còncau de la figura. Quines són les característiques de la imatge?

Lents 25 Dibuixa les imatges de la fletxa AB a les lents de les figures següents:

B B A A

C

F

C

F

b) Dibuixa la imatgeacti de 11 la fletxa AB en el mirall convex de la figura. Quines són les característiques de la imatge?

F'

C'

F

C'

B A C

F'

acti 30 a

B A

F

C

acti 12

23 Un objecte es reflecteix en un mirall esfèric còncau. La imatge és tres vegades més gran que l’objecte i dreta. Si la potència del mirall és de 10 diòptries, calcula les posicions de l’objecte i de la imatge. Traça les trajectòries dels raigs de llum que, par tint de l’objecte, determinen la posició de la imatge. Per a això, fes ser vir paper mil·limetrat. 24 Resol l’exercici anterior, però ara amb un mirall de potència igual a –10 diòptries i amb l’objecte tres vegades més gran que la imatge.

26 Un objecte de 8 cm d’alçària està situat sobre l’eix principal d’una lent convergent, la distància focal acti de 30 la qual és de 20 cm. b L’objecte està a 10 cm de la lent. a) Calcula la potència de la lent. b) Dibuixa la imatge fent ser vir paper mil· limetrat. Quines són la seva mida i la seva posició? 27 Dibuixa la imatge de la fletxa AB obtinguda amb el sistema òptic de la figura. Indica'n les característiques.

B A F1

F'1

F2

F'2

acti 32

225


21/4/08 17:21:35

6 | Imatges

28 Una lent convergent de 5 diòptries forma una imatge de doble alçària que l’objecte. Troba les posicions de l’objecte i de la imatge res· pecte de la lent i obté la imatge per mitjà del traçat de raigs de llum de trajectòries cone· gudes, fent ser vir paper mil·limetrat, en els casos següents:

a) La imatge és dreta.

b) La imatge és inver tida.

29 Troba la imatge d’un objecte d'1,4 cm d’alçària situat a 30 cm a l’esquerra del focus principal d’una lent divergent de –5 diòptries de potència. Quin és l’augment lateral d’aquesta imatge? Fes els càlculs pel mèto· de gràfic, tot fent ser vir paper mil·limetrat. (Nota, s’anomena augment lateral, el quocient de la mida de la imatge respecte la mida de l’objecte)

31 La llum que entra pel forat O practicat en el centre de la cara P de la figura incideix en un mirall situat a la base. A quina cara i en quin punt incidirà el raig reflectit? Per què?

P O

32 Un raig de llum entra actiper 8 un forat O a la caixa C i sur t en la direcció D després de reflectirse en un mirall pla. Dibuixa la posició del mirall i la normal al punt d’incidència. Quant val l’angle d’incidència?

Qüestions relatives a tots els apartats 30 Galileu va voler determinar la velocitat de la llum fent un experiment en el qual pretenia mesurar el temps que aquesta tardava a recórrer una distància determinada, tot situ· ant dos observadors a una distància conegu· da. El primer d’aquests mostrava un llum cap a la direcció on es trobava el segon. Aquest, en veure el senyal, mostrava un altre llum cap a la direcció on es trobava el primer, el qual s’encarregava de mesurar el temps transcorregut entre l’instant que havia mos· trat el seu llum i l’instant en què percebia el llum de l’altre obser vador. Suposant que va poder col·locar els obser vadors a una dis· tància de 15 km, calcula el temps que tarda· ria la llum a anar d’un punt a l’altre, i explica, de manera raonada, per què va fracassar l’experiment, i Galileu va concloure que la llum es propagava instantàniament, a una velocitat infinita.

O

C

D

acti 9

33 Un raig lluminós incideix damunt la superfície de l’aigua amb un angle de 60°. Calcula les direccions del raig reflectit i del raig refractat. 34 Per a un determinat angle d’incidència, quina de les substàncies indicades a la taula d’ín· dexs de refracció que apareix en aquesta unitat produeix una desviació més gran de la llum que hi incideix? 35 Calcula la freqüència d’una ona electromag· nètica que té una longitud d’ona de 5 800 àngstroms. Dada: 1 àngstrom = 10–10 m.

226


21/4/08 17:21:35

Imatges | 6

36 La desviació que experimenta un raig de llum quan passa d’un medi a a un medi b és la que pots veure a la figura. Un dels medis és l’aigua i l’altre el vidre. Quin és l’aigua? Justifica la resposta.

a

b

38 Explica, de manera raonada, com es produ· eix el fenomen de la dispersió de la llum quan aquesta travessa un prisma de materi· al transparent i dispersiu. 39 Si, quan s’il·lumina un prisma dispersiu amb un feix de llum, observem que la llum que ha travessat el prisma no s’ha dispersat, qui· nes conclusions en podrem treure? 40 Com s’hauria de procedir per esbrinar la dis· tància focal d’un mirall còncau? 41 Com pot esbrinar-se si un mirall és còncau o convex sense tocar-lo per res?

37 Dibuixa la trajectòria act 15 que seguirà el raig de llum de la figura. Com són entre ells el raig incident i l’emergent de la làmina de vidre? Aire

42 Col·loquem un objecte de 2 cm d’alçària sobre l’eix principal d’un mirall còncau i a 10 cm del centre de figura. Si el mirall té 12 cm de radi, calcula les característiques de la imatge formada, fent ser vir un paper mil·limetrat.

Vidre

Aire

act 16

227


21/4/08 17:21:36


21/4/08 17:21:36

✓ Solucionari

El solucionari únicament inclou les solucions numèriques.

USolucionario_Fisica1_Bach_(2M).indd 229

18/4/08 17:25:33

Solucionari

1


10. 11. 15. 16.

17. 18. 19. 20. 21. 22.

23. 24. 25. 26. 27.

28. 29. 30. 31.

32. 33. 34. 35. 36. 37. 38. 39. 40. 41. 42.

2 6 25 µN; 23 Mg; 2,5 mA; 3,8 ns; 6 mC; 7,4 Gm 500 g; 9 × 10–9 Pm; 4 × 10–14 Gm; 47 ks; 19 5 × 10 ag; 4 × 104 mm2; 0,5 pm; 0,3 kg; –12 3 2 × 10 m ; 80 µs; 7 × 10–14 µs; 5 × 1011 mA 54,2 ± 0,3 cm3 23,2 ± 0,2 s La mesura de l’altura d’una persona Més precisa la t (er < 0,025 %); menys precisa la V (er < 2 %) De 5 en 5 cm3 6 xifres; 2,64 × 104 m. 4 xifres; 8,50 × 10–3 g 5 xifres; 3,09 × 104 km. 6 xifres; 3,00 × 105 kg 5 xifres; 1,01 × 102 s 24,32 kg 19,4 cm 8,75 kg 18,7 kg → → → → → → → → → → → → → → → → → a = 3i – 5j ; b = –3i + 7j ; c = 7i ; d = 5i –7j ; e = –4i –7j ; f = 3i + 3j ; → → → → → → → → → g = –4j ; h = 6i + 3j ; |a | = 5,83; |b | = 7,62; |c | = 7; |d | = 8,60; → → → → |e | = 8,06; |f | = 4,24; |g | = 4; |c | = 6,71 –59°; 113,2°; 0°; –54,5°; 240,3°; 45°; –90°; 26,6° → → a) 6i + j b) 3,606; 4,472; 6,083 → → a) –5i –10j b) 5; 10; 11,18 a) 6, agut b) 8, agut c) 25, agut d) –24, obtús e) 0, recte f) –8, obtús g) 0, recte h) 1, agut a) 8 b) 10 c) 0,8 26° 34’ → → 0,6i –0,8j → → –0,8i –0,6j → → 9,6i –7,2j → → –8,81i + 1,84j 12,7 km/h; 0 25,4 N; 54,4 N 4,6 18,30; 8,106 2,22 N

230


18/4/08 17:25:33

Solucionari

43. 44.

2

26,8 km/h; 13,4 km/h → → → → a) 12i ; 12i + 9j ; 9j → → → → b) i ; 0,8i + 0,6j ; j → → → → c) –5i (N); 12i + 9j (N); 15j (N) → → d) 7i + 24j (N)

| Cinemàtica

1.

2.

3. 4. 5. 6. 7. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17.

18. 19. 20. 21. 22. 23. 24. 25.

26. 27. 28. 29. 30.

a) 8 m; 4 m/s b) 14 m; 2,8 m/s c) 12 m; 1 m/s d) 6 m; 2 m/s e) 3 m; 1 m/s f) –5m; –1,25 m/s g) 9 m; 1,5 m/s h) –2 m ; –0,286 m/s a) Δs = 7 m; vm = 7 m/s b) Δs = 52 m; vm = 13 m/s. c) Δs = 57 m; vm = 197 m/s d) Δs = 135 m; vm = 27 m/s. 0,67 m/s; –1 m/s; 0 a) 27 km/h b) 72 km/h c) 42 km/h 24 km/h Pot ser un moviment uniforme. v = 3,6 m/s 15 m; 1 s; 6 m/s; s = 9 + 6t 88 km s1= 20 + 5t; s2= 12t– 36; 8 s A 27 km de M 7 s; 175 m 0,375 m/s2; 700 m 28 800 km/h; 1 000 km 20 m/s; 5 m/s2 s = –t2 + 18t– 25; 55 m; –2 m/s vo = 0; a = 1,5 m/s2 vo = 12 m/s; a = 0,6 m/s2 vo = 18 m/s; a = 0 vo = 18 m/s; a = –4,5 m/s2 450 m a) 18 m; –9 m/s2 b) –4 m/s2; –12 m/s 675 m 14,4 km/h 7,81 m; 2,50 s a) 182 m b) 15,17 s Sí, en 8 s 15 s. No xoquen sA= 25 + 3t+ 0,25t2 sB = 40 – 0,2t2 3,33 s 93,5 m; 17,25 s A 89 m de A 20 m t=5s 180 m; 60 m/s; 65 m/s 231


18/4/08 17:25:33

Solucionari

31. 32.

33. 34. 35. 36. 37.

38. 39. 40. 41. 42. 43. 44.

45. 46. 47.

48. 49. 50. 51. 52. 53. 54. 55. 57. 58.

3

→

→

→

→

b) 6i – 2j (m); 0,1i – 0,4j (m/s) → → a) 6i + 6j (m/s) → b) 6i (m/s) c) 0 → d) – 6j (m/s) → → e) –6i – 6j (m/s) → → a) 8i + 16j (m) → → b) 2i + 4j (m/s) → → 16i + 18j (m/s) → → → → → → → → v (2) = 4i (m/s); v (6) = 4j (m/s); v (12) = –4i (m/s); v (19) = –4j (m/s) → → → → → → → → v (0) = –8i + 6j (m/s); v (1) = –5i (m/s); v (3) = 27i + 36j (m/s); t = 2 s → → a) (3π/2)i – (3π/2)j (m/s) → b) (–3π/2)j (m/s) c) 0 → d) (–3π/2)i (m/s) → → e) (–3π/2)i + (3π/2)j (m/s) → → 5i + j (m/s) → → → → → → r (t) = (–6 + 5t)i + (18 – 3t)j (m); r (5) = 19i – 2j (m) No. → → → v = 2i + j (m/s); x – 2y + 13 = 0 → → → → → → v = 2i – 3j (m/s); r (10) = 16i – 17j (m) → → → r A = 16ti – 12tj (milles) → → → r B = (1 + 12t)i + (5t– 8)j (milles) → → → r 1 = (5 000 – 72t)i + 300j → → → r 2 = 28ti + (3 000 – 54t)j → → 50 s; 1400i + 300j (m) → → → → → → r (t) = (30 t + t2)i + (80t – 4t2)j (m); r (10) = 400i + 400j (m) → → → r (t) = 3t2 i + (5t + 5t2)j (m); 5x –3y +15 = 0; És una recta. → → → → → → a) r = 40ti + (30 – 5t2)j (m); v = 40i – 10tj (m/s) b) 98 m → → c) 40i – 24,5j (m/s) Sí → → 8i – 21j (m/s) → → a) 88,7 m b) 27,7i – 4j (m/s) c) 12,8 m 2 500 m No 12,5 m/s a) 78 s; 2,5 m/s → → b) 30 s; (6i + 6,5j ) m/s 50 km/h Este, 60 km/h Sur v = 2,1 m/s; ac = 1,575 m/s2; Δϕ = 21,49 revolucions. ω = 0,2618 rad/s; v = 1 668 km/h

| Dinàmica

1.

a) 2 560 N b) 1 969 N c) 1 560 N

232


18/4/08 17:25:33

Solucionari

2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14.

15. 16. 17. 18. 19. 20. 21. 22. 23. 24. 25. 26. 27. 28. 29. 30. 31. 32. 33. 34. 35. 36. 37. 38. 39. 40. 41. 42. 43. 44. 45. 46.

5 000 N 187 500 N Xoca (necessita 80 m). 950 N; 500 N, –344 N 0,05 kg 4,08 m/s2 25 000 N; 60 000 N 5,2 m/s2; 1,5 N 57,6 kp; 60 kp 0,613 m/s2; 50,9 kp 0,1 kg; 2,4 N 0,102 kg a) 9 N b) 15,8 N c) 20,3 N a) 784 N/m b) 1,3 mm a) 123 N; b) 223 N 98 N; 51 m 0,204 0,82 m/s2 (8 cos α + 6 sen α – 7,35) m/s2 2,06 m/s2; 100 N; 50 N 3,92 m/s2 No podrà. Lliscarà sobre el sòl. Entre 24,5 N i 34,3 N 2,74 m/s2 4,20 m/s 11,5 m/s 0,244 Baixa; 548 N. No baixa; 364 N 2,5 m/s2 12,5 m/s2 8,5 m/s2 9 m/s2 3 m/s2 6 m/s2 2,8 m/s2 3,3 m/s2 5 m/s2; 30 N 7,5 m/s2; 15 N 6,5 m/s2; 21 N 6 m/s2; 24 N 5,2 m/s2; 28,8 N 4,5 m/s2; 9 N 1,1 m/s2; 10,2 N 200 N; radial cap al centre de la circumferència. 233


18/4/08 17:25:34

Solucionari

47. 48. 49. 50. 51. 52. 53. 54. 55. 56. 57. 58. 59. 60. 61. 62. 63. 64. 65. 66. 67.

4

0,8 m; 3,98 voltes/s 14 m/s 87,4 N; 90,3 N 0,63 N; 2 m/s 0,45 rps 4,9 N; 2,0 N; 0,74 N 554 N; 3,69 m/s2 3,8 × 108 m 80 N 6,37 × 106 m → → 3i + 6j (m/s). Ha augmentat la celeritat. → → → f = 200i – 50j N → |f | = 10 N a) 260 N b) 5,2 kg m/s → i = 0,2 N s v = –6 m/s → → → v = 27,3i +10,9j (m/s) m = 3 kg v = 10 m/s → → → v = 6i – 2j (m/s) m = 75 kg; v = 4 m/s

| L’energia

i la seva transferència

1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 14. 15. 16. 17. 18. 19. 20. 21. 22. 23.

3,04 × 104 J 8,94 kJ –2 100 N a) 9,143 kJ b) 11,143 kJ 50,3 J 283 J 140 J –320 J 1,37 kJ –320 J 5,01 m/s; 7,09 m/s 4 m/s –196,2 J 463,8 J 24 m/s 15,03 m/s a) 8,1 m/s b) 13,3 m –1,96 J; 2,09 m/s 9,09 J –960 N; 5,52 m/s a) 784 J b) 18,4 m a) 3 200 J

234


18/4/08 17:25:34

Solucionari

24.

25. 26. 27. 28. 29. 30. 31. 32. 33. 34. 35. 36. 37. 38. 39. 40. 41. 42. 43. 44.

5

b) 1 280 J c) –1 920 J a) –1 520 J b) 190 N c) 122,5 N 1,63 kW 3,14 MW 10,5 km2 666,6 MJ η = 55 % 817 W; 0,65 euros 43 % a) 103,8 kJ b) 65,4 % 0,4 4,18 × 107 J; 467,04 kg –3,85 × 104 J 1,18×107 cal 4 × 106 J 8 280 J 1 406,3 °C 9 kJ 0,07 °C; 0,98 °C 206 010 J; 1 030 050 J; 1 030 050 J; 824 040 J a) –234 375 N b) 0,0016 °C 87 990 W; 65 %; 12,46 MJ/L


1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 14. 16. 17. 18. 19. 20. 21. 22.

a) 16 A b) 3,6 × 1023 electrons 3,125 × 1018 electrons a) 5200 h b) 7020 J a) 0,76 A b) 24,62 kJ 372 vegades 14,1 h 24 Ω; 120 J 20 V; 1000 J 1 210 Ω; 72 kJ 5,23 Ω; 10,45 V 142 Ω 6Ω 9,4 Ω; 188 J 1,7 × 10–8 Ωm 3,6 cm 2 000 Ω 0,41 A; 0,82 V; 1,23 V; 2,46 V; 2,25 A; 1,5 A; 0,75 A 10 A; 5 A; 3,3 A; 5,45 Ω 235


18/4/08 17:25:34

Solucionari

23. 24. 25. 26. 27. 28. 29. 30. 31.

32. 33. 34. 35. 36. 37. 38. 39. 40.

41. 42. 43. 44. 45. 46.

47.

48.

49.

50.

80 A; 40 A; 20 A; 10 A 24 Ω 2,5 A; 25 V 4 920 Ω; 5 000 Ω 0; 120 Ω a) 10 A; 5 A; 5 A a) R2: 1 A; R3 i R4: 2 A b) 75 kJ; c) 25 V 6 Ω; 24 V a) 100 V b) 0,555 A c) 0,555 A 22,2 mΩ 5 kΩ; 5 Ma a) 76,3 V b) 9,53 Ω a) 1/499 Ω en paral·lel b) 499 Ω en sèrie a) 484 Ω b) 0,45 A c) 0,08 euros a) 3,6 Ω b) 62,4 Ω 100 W 36,4 % b) 9 V c) 11,25 A d) 0,8 Ω e) 3,75 A; 6,25 A f) 1,6 Ω a) 14,4 V b) 4 Ω 20 W a) 0,338 A i 1,32 A b) 11,83 V i 11,34 V a) 0,19 A b) 2,63 Ω c) 541,5 J a) 21 V b) 1 Ω a) 15,7 Ω b) 3,82 A c) 59,2 V d) 226 W e) 57,3 V a) 4,8 W b) 2,88 W c) 62,5 % d) 9,6 V a) 4 Ω b) 50 V c) 500 W a) 1,29 A b) 0,28 A c) 8,4 V a) 4 A b) 424 W

236


18/4/08 17:25:34

Solucionari

51. 52. 53.

6

c) 288 W d) 0,29 m/s 150 V a) 10 V b) 0,11 Ω 0,54 A b) 8 W c) 4,07 V d) 138 Ω

| Imatges

1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. 22. 23. 24. 26. 28. 29. 30. 33. 34. 35. 36. 37. 39. 42.

9,47 × 1017 km 1,61 × 1018 km; 170 000 anys 1,47 × 104 s 0,133 s; 7,5 voltes 1 667 s 225 000 km/s 208 300 km/s; 1,59 22° 2; 212 100 km/s 3 a, vidre; b, aire; c, aigua Angle de reflexió 15°; angle de refracció 11,2° Angle de reflexió 30°; angle de refracció 19,5° 1,37 38,7° n = 1,16; 2,6 × 108 m/s Angle límit 45°; hi ha reflexió total a BC Angle límit 48,6° a) Real, inver tida i menor; b) Vir tual, dreta i menor. 6,7 cm; –20 cm 20 cm; –6,7 cm 5 diòptries; 16 cm; –20 cm a) –10 cm; –20 cm; b) –30 cm; 60 cm 0,4 5 × 10–5 s Angle de reflexió 60°; angle de refracció 40,5° El diamant, d’índex de refracció 2,42 5,17 × 1014 H b és aigua i a, vidre Són paral·lels Que és monocromàtica Real, inver tida i major; s’ = –15 cm; y’ = – 3 cm

237


18/4/08 17:25:34


18/4/08 17:25:34

Editorial Casals, fundada el 1870

Llibre adaptat als continguts que prescriu el Reial Decret 1467/2007, de 2 de novembre, que estableix l’estructura del Batxillerat i en fixa les ensenyances mínimes.

Les activitats d’aquest llibre es proposen com a models d’exercicis que cada alumne/a ha de resoldre a la seva llibreta o quadern. En cap cas ha de fer-les al llibre mateix.

Coordinació editorial: Bernat Romaní Revisió lingüística: Àngels Pons Disseny cober ta: Eumogràfic Disseny interior i maquetació: Eclipse Creativa Il·lustració: Pano, R. Colera, J. Magrià Fotografia: ACI, AGE Fotostock, Getty Images, PRISMA, Fons editorial.

Les reproduccions s’han realitzat segons l’article 32 de la Llei de la propietat intel·lectual.

© ©

N. Pfeiffer, A. Travesset Editorial Casals, S. A., Casp 79, 08013 Barcelona Tel.: 902 107 007 Fax: 93 265 68 95 http://www.editorialcasals.com http://www.ecasals.net

Primera edició: abril de 2008 ISBN: 978-84-218-3896-9 Dipòsit legal: B-20172-2008 Printed in Spain Imprès a Índice, S. L.

No és permesa la reproducció total o parcial d’aquest llibre, ni el seu tractament informàtic, ni la transmissió en cap forma o per qualsevol mitjà ja sigui electrònic, mecànic, per fotocòpia, per enregistrament o per altres mètodes, sense el permís previ i per escrit dels titulars del copyright.


18/4/08 17:25:34


18/4/08 17:25:34

Física 1 Batxillerat

Recommend Documents