Matematikawan Islam Dan Temuannya

PAPER MATEMAT MATEMATIKAWA IKAWAN N ISLAM DAN TEMUANNYA Disusun Untuk Memenuhi Tugas Mata Kuliah Filsafat Matematika Dosen Pengampu : Yanuar Yanuar Hery Murtianto, S.P.,M.P

Disusun Oleh :

Fiki Hidayah  !"#!$!%& '

Kelas : (F

PENDIDIKAN MATEMATIKA FAKULTA FAKULTAS S ILMU PENDIDIKAN PENDIDIK AN MA M ATEMATIKA) TEMATIKA) ILMU PEN*ETAHUAN ALAM DAN TEKNOLO*I INFORMASI UNI+ERSITAS P*RI SEMARAN* &$!,

A- LAT LATAR .ELAKAN .ELAKAN* *  !"al

perkem#angan

ilmu

pengetahuan

imulai

se$ak

manusia

mengenal $enis pengetahuan yang masih primitif, seperti Yunani. Kesaaran manusia tentang pengetahuan an kemanusiaan suah apat ikatakan ma$u sehingga sehingga mem#erikan mem#erikan konstri#us konstri#usii terhaap ilmu

pengetahu pengetahuan. an. Philosophy Philosophy

%filsafat& yang igunakan sekarang ini #erasal ari Yunani. 'ahkan, Thales yang yang ike ikena nall se#a se#aga gaii ahli ahli filsa filsafa fatt pert pertam ama a hiu hiup p i kota kota Yunan unani. i. Paa Paa perkem#angan ilmu pengetahuan i Yunani Yunani kuno, ilmu pengetahuan itu seniri meru merupa paka kan n hasi hasill upay upaya a manu manusi sia a mema memaha hami mi alam alam eng engan an anek aneka a selu seluk k #eluknya se(ara rasional. Se#elum masa itu, manusia memahami sifat an perilaku alam engan mitos. )inta kepaa matematika, khususnya geometri an sim#ol #ilangan, menuru menurutt *asr, *asr, #erhu# #erhu#ung ungan an langs langsung ung engan engan esensi esensi a$aran a$aran +slam, +slam, yaitu yaitu oktrin tentang kesatuan Tuhan %tauhi&. Tuhan aalah tunggal, karenanya #ilangan satu alam seri #ilangan aalah sym#ol yang paling langsung an masuk masuk akal. akal. !$ara !$aran n +slam +slam tersar tersarii alam alam prins prinsip ip tauhi tauhi lâilâh lâilâha a illallâh illallâh yang tereskripsi ari rukun iman an rukun +slam. Seluruh #angunan pemikiran an peraa#an yakni implementasi rukun iman yang terse#ut engan enam keyakinan %yakin kepaa !llah, malaikat, na#i, kita# hari akhir, an oho serta oar&. +nilah semua #erhimpit tentang pemahaman matematis yang positi-istis. Dalam matematika semua iu#ah terle#ih ahulu men$ai #entuk yang paling primitif melalui proses a#straksi/. !rtinya matematika se#agai #ahasa #erfikir #erfikir menu$u menu$u peme(ahan peme(ahan suatu masalah masalah men(akup men(akup sekurang sekurang0kura 0kurangny ngnya a tiga logika. !#straksi itu aalah kaiah0kaiah logika untuk menemukan pola0 pola keteraturan serta hu#ungan0hu#ungan #aru tanpa mempersoalkan asal muasal muasal a#stra a#straksi ksi itu. itu. Matema Matematik tika a utama utama agar agar manus manusia ia apat apat #erfik #erfikir ir an #ern #ernal alar ar aal aalah ah logi logika ka apa apatt iku ikuas asai ai eng engan an se#a se#aik ik0# 0#ai aikny knya a mela melalu luii penguasaan matematika. Pananga Panangan n ilmu"an ilmu"an Muslim Muslim terhaap terhaap matematika matematika tiak seerhana seerhana.. Se(ara prespektif filosofi konsek"ensi pola pikir epistimologi yang positi-istik perlu perlu iurai iurai posis posisii matema matematik tika a alam alam para paraigm igma a #erfik #erfikir ir sar$an sar$ana a Muslim Muslim..

Se$ara"an sains Thomas 1olstein alam Dawn of Modern Sciences %2345&, engan #aik mengulas kontri#usi +slam terhaap matematika moern yang ise ise#u #utt se#a se#aga gaii an abso absolu lute tely ly mome moment ntou ous s one one %sum#anga %sum#angan n yang sangat sangat penting&. 'esarnya sum#angan terse#ut igam#arkan se#agai sesuatu yang luar #iasa sehingga ikatakan #ah"a tiak apat memahami perkem#angan matematika moern tanpa matematika yang ikem#angkan matematika"an Muslim. .- MAT MATEMAT EMATIKAWA IKAWAN N MUSLIM !- A/u A/dullah A/dullah Muha0 Muha00ad 0ad I/n Musa Musa al1Kh2a al1Kh2a3i40i 3i40i 5$$15 5$$15", ", M'  !#u !#ullah !#ullah Muhamma +#n Musa al0Kh"ari6mi lahir sekitar tahun 745 i Kh"ari6mi, sekarang Khi-a, U6#ekistan an meninggal sekitar tahun 485. Sum#angan utamanya paa matematika mem#eri lanasan selan$utnya #agi #agi perlua perluasan san an pengem pengem#an #angan gan al$a#a al$a#arr an matema matematik tika. a. +a mem#e mem#eri ri penekatan yang sistematis an logis untuk peme(ahan persamaan linear  an persamaan kuarat %Daffa, 2377&.  !l0Kha"ari6mi merupakan tokoh ilmu"an Muslim yang sangat konsen alam alam pengem#a pengem#angan ngan matematika matematika.. 1eorge 1eorge Sarton Sarton mengataka mengatakan n #ah"a #ah"a al0 Kh"ari6mi merupakan 9salah seorang ilmu"an Muslim ter#esar an ter#aik paa paa masa masany nya9 a9.. 'uku 'uku yang itu itulis lis al0K al0Kh" h"ar ari6 i6mi mi #eri #eriu uul ul  Al-Jabr wa alMuqabalah Muqabalahfi fi Ilm al-Hisab. al-Hisab. Tulisan Tulisannya nya ini men$ai men$ai asar asar #agi pengetahuan pengetahuan matematika matematika.. 'anyak 'anyak se$ara"an se$ara"an matematika matematika yang yang menye#ut menye#ut al0Kh"ari6mi al0Kh"ari6mi se#agai 9'apak +lmu Pengetahuan !l$a#ar9. !l$a#ar9. 'uku lain yang $uga itulis oleh al0 Kh"ari6mi Kh"ari6mi aalah Dixit alori!mi  %ter$rmaha %ter$rmahan, n, aslinya hilang&, hilang&, "itab surat al Ard   %'uku pemananga pemanangan n Dunia&, #i$ al-sindhind   %ta#el astronom astronomi&, i&, %isala fi  isti&hra$ tari&h al-yahud   %Petun$uk Penanggalan Yahui&. +a $uga mem#antu alam mengkonstruksi peta unia untuk kalifah al0Mamun an terli#at alam proyek untuk menentukan keliling #umi %Kurnia"an, ;522&. 'erikut ini se#uah penyelesaian al0Kh"ari6mi #entuk ketiga yang iga#ung engan persamaan kuarat: "uadrat dan a&ar 'an&at dua sama denan bilanan bulat. Sebaai  contoh( satu &uadrat dan a&ar 'an&at dua dari se'uluh memili&i $umlah sama denan se'uluh dirham) da'at di&ata&an* bilanan a'a&ahyan men$adi basis

&uadrat* &eti&a ditambah 'an&at se'uluh* di$umlah&an men$adi tia 'uluh sembilan+ Solusi adalah( &ita membai dua bilanan denan a&ar 'an&at dua* yan menhasil&an lima. "emudian di&ali&an denan bilanan itu sendiri  sehina hasilnya adalah dua 'uluh lima. Dua 'uluh lima ditambah&an denan tia 'uluh sembilan( totalnya men$adi enam 'uluh em'at. Se&aran   $adi&an bilanan basis a&ar* sehina hasilnya men$adi dela'an* &uran&an denan a&ar 'ersamaan &uadrat* sisanya sama denan tia. Ini meru'a&an a&ar dari bilanan yan dicari* &uadrat bilanan tersebut adalah sembilan. ,Mohaini Mohamed*/(01 Dalam notasi moern, persamaannya se#agai #erikut:  x

2

+ 10 x =39

Penyelesaian menggunakan proseur al0Kh"ari6mi akan terlihat se#agai #erikut: 2

( x + 5) =39 + 25  x + 5= √ 64 =8  x =8 −5=3

2

 x =9

 !a tu$uh hal yang patut iketahui untuk menelaah karya #esar al0 Kha"ari6mi se#agai sum#angan yang (ukup #erarti #agi kha6anah +slam an pengem#angan sains an matematika %
formula

seksagesimal

atau

perenampuluhan.

Formula

perenampuluhan merupakan perhitungan kuno yang i"ariskan ari 6aman 'a#ilonia yang #iasa igunakan alam perhitungan $am yakni enam puluh etik, enam puluh menit. Seangkan esimal #anyak igunakan saat ini, sehingga angka apat igunakan operasi angka i#elakang koma, se#agai angka pe(ahan. ;. Penggunaan

-aria#el

an

sim#ol0sim#ol.

matematika aalah #ahasa sim#ol.

Hal

ini

Memang

se#enarnya

menorong

perkem#anagan formula0formula persamaan alam matematika.

pesatnya

>. Menemukan #ilangan nol. Sum#angan angka nol olehnya, mengu#ah kema$uan penemuan angka le"at angka roma"i yang #elum mengenal angka nol. !ngka nol %shifr & iterangkan pertama kali paa perhitungan sistem esimal. Temuan ini mem#uka (akra"ala #aru alam #anyak operasi an persoalan matematika. =. Penemuan nilai sim#ol phi %?&, nilai ini menyatakan per#aningan keliling 22

se#uah lingkaran yang ipakai sampai saat ini. *ilai phi itetapkan atau

se(ara

esimal

itulis

>,2=;4872.

+a

menemukan

7

#ah"a

per#aningan keliling terhaap garis tengah lingkaran #ernilai tetap alam istilah matematika inamakan konstanta. Penemuan konstanta phi mem#antu alam menghitung -olume #ola an menghitung luas maupun keliling lingkaran. 8. Menyusun aftar logaritma. Daftar ini igunakan untuk menemukan  $a"a#an atas masalah0masalah aritmatika. @. Metoe al$a#ar, temuan ini igunakan untuk menghitung tinggi segitiga. 7. Merumuskan penyelesaian persamaan kuarat engan konsep -aria#el, parameter, an akar kuarat. Persamaan kuaratik yang ipe(ahkan 2

se(ara umum mempunyai formula

ax + bx + c =0 engan penyelesaian

masalah engan rumus sekarang terkenal engan rumus !').  x 12=

−b ± √ b 2−4 ac 2a

;. I/n al1Hay6ha0) A/u Ali al1Hasan I/n al1Hasan %7( 1!$#% M' +#n al0Haytham ilahirkan i 'asra +rak. Di unia #arat ia le#ih ikenal engan nama !lha6en. +a seorang fisika"an muslim terkemuka, ahli matematika, astronomi, filosofi an keokteran. Aleh S(haaf %2374&, ia i$uluki se#agai 'apak Aptik Moern. Salah satu kontri#usinya alam #iang matematika yaitu argumennya yang iasarkan paa pernyataan #enar 

namum #elum ter#ukti #ah"a setiap nilai prima 2 mem#agi ,2 - 2&B C 2. la $uga mem#erikan metoe an proseur guna mem#angun kotak magis engan ukuran tertentu. Dalam tulisannya yang iter$emahkan oleh
 p=2

n

−1 merupakan #ilangan prima maka

2  P

aalah nilai mutlak.

Dalam tulisannya yang #er$uul  A Solid Arithmetical 2roblem* ia #erhasil meme(ahkannya engan #iang keru(ut, #erikut aalah permasalahannya: i#erikan se#uah #ilangan k untuk men(ari #ilangan  x lain seemikian  x

sehingga

3

+ x =k  . +#nu al0Haytham $uga menghitung massa ua #ena

paat engan memutar segmen para#ola: %Mohaini Mohame, ;55=: ;25& i.

Di sekitar iameter an sekitar orinal. Hasil yang keua aalah #aru. la menggunakan metoe lelah guna menentukan #atas atas an #a"ah ar -olume ari o#$ek, ia mem#erikan formula ringkasan untuk empat kekuatan #ilangan asli:  N 

n untuk k = 1, 2,3, 4 ∑ = k 

n 1

Mereka mengikuti se#agai #erikut: 1

+ 2 + 3 + … + n=

2

1

n ( n + 1) 2

+ 22+ 3 2+ … + n2=

n ( n +1 ) (2 n +1 ) 6 2

3

1

4

1

3

3

3

+ 2 + 3 + …+n =

2

n ( n+1 ) 4

( )( )[

1 1 1 + 24 + 34 + … + n 4 = n n + n + n ( n + 1 ) − 5

5

2

3

]

'e#erapa tulisannya yang lain mem#erikan sum#angan #esar  #agi matematika terapan i masanya. Karya0karyanya mengenai aritmatika komersial, $angka untuk menggam#ar lingkaran, an #e#erapa

su#$ek

lainnya

yang

#erkaitan

engan

pengukuran

menun$ukkan kepeuliannya akan ke#utuhan praktis matematika.

Daintith alam 3ncyclo'edia of Science mengungkapkan penapatnya tentang +#n al0Haytham, 9Sulit untuk per(aya #ah"a aa penulis eksakta lainnya yang telah mele"ati ilmu"an Yunani ini alam #iang apapun terutama paa a#a keempat #elas apalagi a#a kese#elas, namun #ahkan ia mampu mem#uktikan pemikirannya paa a#a ketu$uh #elas9. Pemikiran +#n al0Haytham tiak hanya paa satu atau ua #iang ilmu pengetahuan sa$a tetapi ia menyentuh spektrum yang le#ih luas sehingga men$ai ilmu pengetahuan seniri.

>.

Al1.i3uni) A/u Rayhan Muha0ad I/n Ah0ad %,# 1 !$($'  !l0'iruni seorang sar$ana yang #erasal ari 1ha6nah %!fganistan&. Sama halnya engan ilmu"an Muslim lain ari a#a pertengahan yang mempunyai

(iri

unik

menguasai

#er#agai

#iang

pengetahuan

an

ketrampilan, ilmu al0'iruni $uga men(akup #er#agai #iang, yaitu: astronomi, matematika, kronologi, geografi matematika, fisika, kimia, mineralogi, se$arah, antropologi, agama, keokteran, astrologi, an puisi. al0'iruni menguasai #ahasa !ra#, Turki, Persia, Sansekerta, !ramai(, Syria, He#re", an #e#erapa ialek +nian an +ran, selain #ahasa aslinya seniri yakni Kh"ari6mian. la $uga mempela$ari #ahasa Yunani, Mani(hean, 'a#ylonia, Syria, Eoroastrian Hinu an huruf !ra#.% Mohaini Mohame, ;55=:;22 & Salah satu kontri#usi al0'iruni alam #iang matematika aalah pem#uktian teorema 45he 6ro&en 7hord4. la mem#erikan ;; #ukti untuk teorema ini. 'erikut ini #e#erapa #ukti ari teorema terse#ut: Te83e0a "The Broken Chord"  ika !' an ') mem#entuk se#uah penghu#ung ua titik lingkaran yang terputus seperti paa gam#ar 2, an DG tegak lurus terhaap #agian yang le#ih pan$ang yaitu !' ari titik tengah #usur !'), maka !G  G' C '). 'uat GE  G' an hu#ungkan DE an D' seperti paa gam#ar ;. Hu#ungkan #usur !D an D). ika !E  ') apat i#uktikan, maka engan muah mengikuti #ah"a:  !G  !E C EG an !G  ') C G' atau !G  G' C '). Sehingga teorema ter#ukti.

1am#ar 2

1am#ar ;

.uk6i !:  DZB =ZAD + ZDA

Tetapi

 DBZ = DZB

 DBZ = ZAD + ZDA

Sekarang,

 DBZ 

ihaapkan paa setengah #usur %yaitu !D&

ZAD ihaapkan paa #usur D'

Sehingga,

ZDA

 ihaapkan paa #usur ') 1am#ar >

ai  ADZ =CDB  an  A =C 

Dengan emikian

∆ AZD dan ∆ CBD

 se#aning

Sisi !D  Sisi D) ∆ AZD

 an

∆ CBD

 aalah sama

Aleh karena itu !E  ')

.uk6i &: 'uat GE  G'. Hu#ungkan DE an D' sehingga mereka men$ai sama, Hu#ungkan !D, !), an D) seperti paa gam#ar >.  DBC 

 an

 DAC 

 ihaapkan paa #usur D)

Sekarang #usur D)  #usur !D  DBA = DCA = 45 °

 DBA = DAC = DZE

1am#ar >  DBC = DZA

 DAB = DCB

Karena DE  D' ∆ AZD =∆ DBC 

Sehingga !E  ') Dengan memperpan$ang )',

D' an G' ke F, M an T #erturut0turut, selan$utnya al0'iruni menam#ahkan se#agai #erikut: Suut pelengkap ari  DBC   aalah Maka

 MBC = DBA

 imana

 DBC = EBM 

Tetapi ai

 EBM = DBT  = DZA

DBC = DZA

 EBC 

CBM 

 aalah irisannya

Dikarenakan ke(erasan an #iang ilmu pengetahuan al0'iruni yang luas, seorang penulis 'arat Kenney alam #ukunya 5he 3xact Science #erkomentar: 9Minatnya yang luas men$ai (ontoh ilmu"an yang memiliki kekuatan intelektual, kritis an toleransi yang hanya imiliki oleh seseorang yang (eras, #aik paa masa ahulu maupun sekarang9.% Mohaini Mohame, ;55=:;2= &

=.

*hiya6h al1Din A/u9l Pa6h U0a3 I/n I/3ahi0 al1Khayya0i !$"5 1 !!#! M' la seorang ahli matematika, astronomi an penyair yang le#ih popular  engan nama Amar Khayyam. !a le#ih ari ;555 #uku yang itulis oleh Amar Khayyam. Satu ari kontri#usi matematika yang paling penting, khususnya geometri, aalah risalahnya yang #er$uul 8i shar&  ma ash&ala min musadarat &itab 9qlidis :7oncernin the Difficulties of 3uclid;s 3lements1. Dalam #uku + risalahnya, Amar mengkritik teori Gu(li tentang garis se$a$ar, seangkan alam #uku ++ an +++, ia menghu#ungkan engan teori per#aningan an ukuran. Paa a#a ke 24 esuit 1eometer, 1irolamo Sa((heri, yang karyanya ianggap se#agai langkah pertama alam geometri non0Gu(li, menasarkan se#agian #esar karyanya atas tulisan *asir al0Din. *asir al0Din %2;52 0 2;7=& aalah ahli matematika ternama Persia ternama yang men$ai pengikut an komentator Amar. Sehingga Amar ianggap se#agai pelopor #agi Sa((heri alam meletakkan asar geometri non0Gu(li. Untuk menun$ukkan pengaruh Amar Khayyam atas karya Sa((heri, per#aningan #erikut isa$ikan alam sim#olisme moern, iperpenek tetapi tiak iu#ah i #e#erapa hal yang perlu. % Mohaini Mohame, ;55=:;2=0;2@ &

P388sisi I

1am#ar = AM!< KH!YY!M

BCD = ADC 

 !) an 'D ⊥ terhaap !' an  !)  'D. 1am#arkan ') an !D, maka  ACD = BDC 

Amar

S!))HG<+  !)  'D an suut ! an '

 .

pertama

mem#uktikan

sama maka

#ah"a ∆CAB = ∆DBA.

Untuk

Kemuian Sa((heri

mem#uktikan

#ah"a

 ACD = BDC 

Dia

pertama

#ah"a  ACB = BDA  an

 ACD = BDC 

mem#uktikan

Menggam#arkan !D an ') an mem#uktikan #ah"a ∆CAB = ∆DBA

sehingga  ACD = BDC 

ai keua metoe i atas mempunyai kemiripan.

P388sisi II Proposisi ke0; yang iusulkan Amar an Sa((heri aalah se#agai #erikut:

AM!< KH!YY!M

S!))HG<+

1am#ar 8

1am#ar 8

empat persegi pan$ang !')D, G titik empat persegi pan$ang !')D, H titik tengah !', an GE

⊥

terhaap !', tengah )D, an M titik tengah !'

'uktikan #ah"a )E  DE an #ah"a GE ⊥ terhaap )D Dengan sifat kongruen segitiga

'uktikan #ah"a

 HMA= HMB

Dengan sifat kongruen segitiga Segitiga0segitiga ini muah iikuti

GE)  GED )E  DE Dua usulan terse#ut paa asarnya sama ke(uali Amar memulai engan se#uah #isektor G an garis tegak lurus GE seangkan Sa((heri mulia engan #isektor H an M. Metoe pem#uktian mereka aalah serupa. Ho"ar G-es %2345& alam #ukunya ?1 menulis #ah"a: Amar Khayyam $uga i(atat karena per#aikan kalenernya yang sangat akurat, perlakuan kritiknya terhaap alil paralel Gu(li yang memperlihatkan ia men$ai pelopor ie Sa((heri yang akhirnya memimpin alam pen(iptaan geometri non0Gu(li, khususnya, karena

kontri#usi aslinya untuk al$a#ar orang0orang !ra# tempat ia melakukan peme(ahan

se(ara

geometri,

se$auh

seperti

akar0akar

positif

yang

#erhu#ungan, setiap tipe persamaan ku#ik.

8.

Al1Tusi) Muha00ad I/n Muha00ad I/n al1Hasan !&$! 1 !&," M' Muhamma +#n Muhamma +#n al0Hasan al0Tusi le#ih ikenal engan nama *asir al0Din, se#uah gelar kehormatan yang artinya 9Pem#ela Ke#enaran9. la ikenal $uga se#agai al0Tusi. *asir al0Din ilahirkan paa tahun 2;52 i Tus, yang sekarang ekat engan kota Shirine Meshhe +ran, Khurasan. *asir al0Din se(ara luas menulis hampir i semua (a#ang ilmu pengetahuan, ari astronomi sampai filosofi serta ari ilmu gai# sampai ilmu teologi. Hampir 285 risalah telah ihasilkannya. Dalil Kea3alelan Eu;lid Se#elum

Amar

Khayyam

atau

+#n

al0Haytham,

#e#erapa

matematika"an paa perioe "aktu +slam suah men(o#a mem#uat kelima alil Gu(li se#agai se#uah teorema alam geometri Gu(li. *amun, karya *asir al0Din alam #iang geometri Gu(li pantas menapatkan apresiasi terseniri setiaknya karena empat alasan yaitu I 2.

Per(o#aannya menun$ukkan se#uah pengetahuan tentang hu#ungan antara alil an $umlah suut alam se#uah #iang segiempat.

;.

+a menyangkal hipotesis untuk suut0suut lan(ip an tumpul engan metoe kontraiksi.

>.

+a merupakan matematika"an terakhir ari perioe "aktu +slam, selama empat a#a merupakan orang yang paling #erminat alam #iang geometri, mengkritik an memoifikasi karya0karya penahulunya an se6aman engan alil keparalelan Gu(li.

=.

Di antara semua matematika"an ari Timur, karyanya merupakan satu0 satunya yang #isa men(apai ke 'arat atin, engan emikian se(ara langsung mempengaruhi karya0karya Jallis, Sa(eheri an lainnya.

Untuk mem#uktikan kelima alil terse#ut, *asir mem#erikan #e#erapa proposisi #ersama0sama engan pem#uktiannya. 'e#erapa proposisi *asir  an pem#uktianpem#uktiannya aalah se#agai #erikut: % Mohaini Mohame, ;55=:;2@0;23 &

P388sisi ! 1aris terpenek igam#arkan ari se#uah titik ke sem#arang garis yang tiak memuatnya, yang ise#ut $arak ari titik ke garis, merupakan garis tegak lurus yang ihu#ungkan ari titik ke garis terse#ut. .uk6i:

1am#ar @ Misalkan D) aalas se#uah garis yang i#erikan, ! aalah titik i luar  garis an !' tegak lurus terhaap D). 1am#arkan sem#arang garis, misal  !G, ari ! ke G paa D). ∠G'!

aalah suut siku0siku, an ∠ !G' le#ih ke(il ari se#uah suut

siku0siku. Karena !' #erhaapan engan suut yang le#ih ke(il ari keua suut terse#ut, an !G #erhaapan engan yang le#ih #esar maka !' le#ih penek aripaa !G. Sehingga, !' merupakan $arak terpenek ari ! ke D). %)atalan: Pem#uktian proposisi ini serupa engan penggunaan aturan sinus&

P388sisi &: ika ua garis tegak lurus yang sama ihu#ungkan ke se#uah garis %an memotongnya&, an titik0titik u$ungnya iga#ungkan, maka suut %atas #agian alam& merupakan suut0suut yang sama. .uk6i:

1am#ar 7 Misalkan !' an )D aalah ua garis tegak lurus terhaap 'D seemikian sehingga !'  )D. 1am#arkan garis !D an )' yang #erpotongan i G. Dalam segitiga !'D an ')D, !'  )D an 'D merupakan irisannya. Karena keuanya merupakan segitiga engan suut siku0siku, maka mereka aalah kongruen. Sehingga,  AD =BC 

BAD = BCD  ADB =CBD

Dengan emikian, 'G  DG an segitiga 'GD aalah sama kaki. Karena, !G  )G an ∠G)!  ∠G!) maka

∠D)!

 ∠'!).

P388sisi #: ika ua garis tegak lurus ihu#ungkan ke se#uah garis %an memotongnya&, an titik0titik u$ungnya iga#ungkan, maka suut %atas #agian alam& merupakan siku0siku. .uk6i:

1am#ar 4 Hu#ungkan ua garis tegak lurus yang sama yaitu !' an )D ke 'D seperti paa proposisi ;. ika

∠'!1

an

∠D)!

#ukan suut siku0siku, maka keuanya aalah

suut tumpul atau lan(ip. Pen
∠G!1.

Sehingga

∠G1)

le#ih

#esar ari ∠  
∠G1)

aalah tumpul.

 !ntara garis G1 an )D, #uat garis tegak lurus 1H paa garis !), an selan$utnya maka garis0garis tegak lurus yang melalui titik0titik yang itempatkan paa garis !), mem#uat suut yang sama engan garis 'DI yaitu !', 1G, FH, #erturut0turut #ertam#ah pan$angnya an garis tegak lurus  !' le#ih penek ari yang lainnya. Karena ∠ !G' le#ih ke(il ari ∠ !'G sehingga !G  !'. Dengan (ara yang sama, karena ∠    A<3 le#ih ke(il ari ∠  
¿  !G. Dengan emikian 1G  !'. Dengan perlakuan yang sama akan iapat #ah"a FH  1G, an

seterusnya. Karena itu, garis0garis tegak lurus ari !) ke 'D mem#entuk se#uah #arisan yang naik paa arah ) an aki#atnya garis !) an 'D #er(a#ang paa arah ) an mengumpul paa arah !.  !kan tetapi, ∠D)!

∠D)!

aalah tumpul, karena sama engan

∠  6A7

an

tiak tumpul.
paa tahun 2@82 an stuinya terus ilan$utkan oleh 1auss, 'olyai, o#a(he-sky, an
@. Sayyidina Ali Sayyiina !li #in !#i Thali# &aramallahu wa$hah, ikenal se#agai pintunya ilmu %hais *a#i:  Ana Madinah al-ilmi wa Ali babuha( A&u adalah &ota ilmu dan Ali adalah 'intunya1. !li #in !#i Thali# ra aalah saha#at
,

yakni

2 3

masing

,dan

1 9

.

menapat

ika menggunakan perhitungan langsung masing0

8

1 2

,5

 2 3

,dan 1

8 9

,

tentunya

tiak

mungkin

alam

perhitungan unta yang alam keaaan hiup. Ketika itu !li #in !#i Thali# ra menyarankan agar mereka menam#ahkan 2 ekor unta engan (ara memin$am kepaanya, sehingga $umlah unta sekarang men$ai 24 ekor.  !lhasil mereka menapatkan angka #ulat yakni 24 ekor sehingga muah alam pem#agian. Sehingga masing0masing mereka menapatkan 3 ekor % 1

1 2

#agian&, @ ekor %

3

1

 #agian& an ; ekor %

9

  #agian&. Sehingga total

yang i#agikan tetap 27 sehingga satu ekor unta milik !li #in !#i Thali# ra pun iam#ilnya kem#ali. Peristi"a ini, menun$ukan #ah"a kemampuan matematika !li #in !#i Thali# ra sungguh luar #iasa i masanya sehingga (epat tanggap

menyelesaikan persoalan0persoalan sehari0hari engan metoe yang kreatif  an non kon-ensional. %
7.

A/u al1Wa=a  !#u al0Jafa mempunyai nama lengkap Muhama #in Yahya #in +smail #in !l0!##as !#u al0Jafa al0'u6$ani. !#u al0Jafa memperkenalkan konsep tangen, (otangen, se(an (ose(an alam ilmu yang sangat terkenal untuk ilmu matematika yakni trigonometri. +a menemukan formula pen$umlahan alam trigonometri yang terkenal yakniI sin ( A + B )=sin  A . C os B + sin B . cos A

( + B )= Coa A . cos B + sin A . sin B

cos  A

tan ( A + B )=

tan A + tan B 1 −tan  A . tan B

Selain itu $uga, !#u al0Jafa mengem#angkan trigonometri sferis %#iang lengkungLkur-a&, +a menyempurnakan teorema Menelaus yang ise#ut rule of the four manitudes aturan empat #esaran&, yaitu sin a :sin c =sin  A : 1 dan

teoreatan!en "a#tu tan a : tan A =sin b : 1

Yang kemuian ari rumus itu al0 Jafa mengam#il keseimpulan #erupa teorema #aru yakni cos c

= cos a . cos b

e#ih ari itu al0Jafa $uga menemukan ua #uah rumus untuk setengah suut alam perhitungan trigonometri yaituI 2sin2½  A =1−cos A 2 c o s 2 ½  A

=1 +cos  A

Kemuian, ia $uga menemukan rumus suut gana yaituI sin2 A =2sin A . cos A

Yang ini men$ai pi$akan rumus

cos2 A = cos2 A $ sin 2 A =2cos2 A −1= 1 − 2sin2  A

%
4. Al1.a66ani a6au Muha00ad I/n >a/i3 I/n Sinan A/u A/dullah 5($1%&#'  !l0'attani atau Muhamma +#n a#ir +#n Sinan !#u !#ullah aalah tokoh #angsa !ra# an gu#ernur Syria. Dia merupakan astronom Muslim ter#esar an ahli matematika ternama. !l 'attani %'ahasa !ra# I nama lengkap: !#

!#ullNh

ʿ

Muh   Oa mma i#n N#ir i#n SinNn ar0
alam

atin

ikenal

se#agai !l#ategnius, !l#ategni atau

 !l#atenius.  !l0'attani

lahir

sekitar

484

i

Harran

ekat

Urfa,

i

Upper 

Mesopotamia, yang sekarang i Turki. !yahnya aalah seorang pem#uat  instrumen ilmiah terkenal. 'e#erapa se$ara"an 'arat menyatakan #ah"a ia #erasal ari kalangan miskin, seperti #uak !ra#, namun penulis #iografi traisional !ra# tiak menye#utkan ini. Dia tinggal an #eker$a i !r0
melintangnya ise#ut tangen. Teori tangen an kotangen inilah yang kemuian men$ai pilar asar #agi ilmu trigonometri. % M. Shoelhi, ;55;: =30 85& Dalam matematika, !l0'attani menghasilkan se$umlah persamaan trigonometri: tan % =

sin %  cos % 

sec% = √ 1 + tan %  2

+a $uga meme(ahkan persamaan

sin x =a cos x

an menemukan

rumus: sin x =

a

√ 1 +a

2


b sin ( A )= a sin ( 90 ° − A )

 !lat 1nomon yang igunakan !l0'attani mengilhami para ilmu"an untuk men(iptakan $am yang ikenal paa masa kini. +lmu"an muslim yang menekuni pengem#angan itu aalah !##as #in !#ullah Ha#sy al0Hisa# al Mar"a6i, seorang astronom mua yang mem#agi #iang alat terse#ut men$ai @5 #agian. Setiap #agian inilainya sama engan satu $am. Satu $am sama engan @5 menit an satu menit sama engan @5 etik. Dari keua pem#agian itu $elas, al0'attani mem#agi satu hari sama engan 2; $am. Sementara, !l0Mar"a6i men$ai @5 $am. Dalam perkem#angannya ketika ilmu ini i#a"a ke Gropa, per#eaan itu ikom#inasikan sehingga men$ai pem#agian "aktu yang seperti sekarang.  !l0#attani $uga #erhasil mem#uat aftar ta#el sinus,tangen, an kotangen ari 5 era$at sampai 35 era$at se(ara (ermat. Ta#el itu engan tepat ia terapkan alam operasi0operasi al$a#ar an trigonometri untuk segitiga sferis. Masih #erkait engan matematika, namun le#ih i #iang astronomi, !l0 'attani #anyak memperkenalkan terminologi astronomis seperti A!imut , #enir  dan adir yang #ersum#er ari #ahasa !ra#. !l0'attani $uga #erhasil menemukan letak kesalahan )lauius Ptolema(us tentang gerak, posisi, an

a'oee  matahari. Perhiyungan Ptolema(us men(atat 27 era$at. Sementara  !l0'attani men(atat garis #u$ur apogee matahari telah #ertam#ah 2@ era$at =5 menit. Dengan menghitung pan$ang tahun men$ai >@8 hari 8 $am =@ menit ;= etik, ketepatan hitungnya terse#ut hanya #erselisih ; menit i#aning "aktu yang se#enarnya. 'e#erapa karya !l0'attani yang ter(atat meliputi "itab Ma@rifat Matali  al-6uru$ fi ma 6aina Arba al-8ala&) Syarah al-Maqaalat al-Arba li 6atlamiyus) %isalah fi 5ahqiq Aqdar al-Ittisalat* dan A!-#i$. 'uku0#uku karya !l0'attani ini #anyak iter$emahkan ke #er#agai #ahasa, termasuk latin. % M. Shoelhi, ;55;: 85082 &

3. *hiya6h al1D?n >a0shid Mas9ud al1Kashi 1hiyath al0Dn amshi MasQu al0Kashi %atau al0Kasyani& %Persia :    !  " 1hiyas0u0in amshi Kashani& %. ( 2>45 Kashan, +ran 0

;; uni 2=;3 Samarkan, TransoRania & aalah astronom an ahli matematika Persia. !l0Kashi merupakan ilmu"an yang mengem#angkan matematika an astronomi paa 6aman ke$ayaan Dinasti Timuri, i Samarkan a#a ke02= M.  +a #er$asa mengem#angkan ilmu matematika an astronomi engan seeret penemuannya.  !l0Kashi terlahir paa 2>45 i Kashan,

se#uah paang pasir i

se#elah utara "ilayah +ran Tengah. +a hiup paa era kekuasaan Timur enk, peniri Dinasti Timuri, yang memenangkan seeret pertempuran. Timur enk  memproklamirkan irinya se#agai penguasa an tokoh restorasi Kekaisaran Mongol i Samarkan paa 2>75. Paa 2>4>, Timur enk mulai menaklukan Persia engan mere#ut "ilayah Herat. Setelah

Timur enk "afat paa 2=58, kera$aan yang

iirikannya ter#agi men$ai ua an ipimpin ua anak lelakinya. Salah satu putranya #ernama Shah
alam

kemiskinan,

tak

mem#uat

al0Kashi

putus

asa.

Semangatnya untuk #ela$ar tak pernah surut. Se$ak ke(il, matematika an

astronomi telah mem#etot perhatiannya. +a sangat men(intai keua ilmu itu. Seperti para ilmu"an he#at lainnya, ia #iasa melakukan per$alanan ari kota ke kota untuk menim#a ilmu pengetahuan. Se$umlah (atatan se$arah aa yang menye#utkan #ah"aa !l0Kashi merupakan seorang ahli astronomi an matematika yang sangat terkemuka i Samarkan. 'ahkan ia $uga sering ise#ut se#agai Ptolemy Keua oleh para ahli se$arah yang hiup paa 6aman itu. Selama hiupnya, al0Kashi telah menyum#angkan an me"ariskan seeret penemuan penting #agi astronomi an matematika Huku0 @8sinus Di Pran(is, Hukum )osinus ikenal se#agai Theoreme Q!l0Kashi %Teorema !l0Kashi&. Se#a# !l0Kashi merupakan orang yang pertama yang menemukan hukum terse#ut. Dia $uga mem#erikan se$umlah alasan mengapa Hukum )osinus #isa igunakan untuk meme(ahkan masalah0masalah yang #erhu#ungan engan segitiga. Risalah K83d dan Sinus Dalam #ukunya yang #er$uul
setara engan metoe *e"ton ikenal

penahulunya Sharaf al0Dn al0Tusi . !l0Kashi meningkat paa ini engan menggunakan

#entuk

metoe *e"ton

untuk

meme(ahkan

 x

 p

− N = 0

untuk menemukan akar *. Di Gropa 'arat , metoe yang sama kemuian i$elaskan oleh Henry 'iggs i Trigonometria 'ritanni(a yang ipu#likasikan paa tahun 2@>>. Untuk menentukan sin 2 , al0Kashi menemukan rumus #erikut sering ikaitkan engan Franois iVte i a#a ke02@:

sin3 ∅=3sin ∅− 4sin

3

∅

Kun(i aritmatika Pe3hi6un
2 & 

Dalam karyanya penekatan numerik, ia menghitung engan #enar ;? %atau W Tau Untuk& 3 seRagesimal igit tahun 2=;=, an mengkon-ersi penekatan ini ;? 27 esimal tempat akurasi. +ni $auh le#ih akurat i#aningkan

engan

perkiraan

se#elumnya

yang

i#erikan

alam

matematika Yunani %> tempat esimal oleh !r(himees&, matematika )ina %7 tempat esimal oleh Eu )hong6hi& atau matematika +nia %22 tempat esimal oleh Maha-a ari Sangamagrama&. Ketepatan perkiraan al0Kashi yang tiak ilampaui sampai uolph -an )eulen menghitung ;5 tempat esimal ? hampir ;55 tahun kemuian. Perlu i(atat #ah"a tu$uan al0Kashi #ukanlah untuk menghitung lingkaran konstan engan #anyak igit tetapi untuk menghitung #egitu tepat #ah"a lingkar ter#esar kemungkinan lingkaran %e(lipti(a& apat ihitung engan presisi yang iinginkan %iameter ram#ut&.

Pe;ahan Desi0al Pe(ahan esimal yang igunakan oleh orang0orang )ina paa 6aman kuno selama #era#a0a#a, se#enarnya merupakan pe(ahan esimal yang i(iptakan oleh al0Kashi. Pe(ahan esimal ini merupakan salah satu karya #esarnya yang memuahkan untuk menghitung aritmatika yang ia #ahas alam karyanya yang #er$uul Kun(i !ritmatika yang iter#itkan paa a"al a#a ke028 i Samarkan.

Se
paa 28;7. Sehingga #isa isimpulkan #ah"a Segitiga Khayyam mun(ul terle#ih ulu se#elum segitiga Pas(al. 25. Sha3a= al1D?n al1Mu4 a==a3 i/n Muha00ad i/n al1Mu4 a  ==a3 al1TBs? %22>8 0 2;2>& Sharaf al0Dn al0Mu6   Oa ffar i#n Muh   Oa mma i#n al0Mu6   Oaffar al0T   Os  %22>802;2>& aalah matematika"an an astronom +slam ari Persia. Sharif al0 Din menga$ar #er#agai topik matematika, astronomi an yang terkait, seperti #ilangan, ta#el astronomi, an astrologi. Tusi lahir i Tus, +ran. Dia menga$arkan #er#agai topik matematika termasuk ilmu angka, ta#el astronomi an astrologi, i !leppo an Mosul. Muri ter#aiknya aalah Kamal al0Din #in Yunus. Paa gilirannya Kamal al0Din #in Yunus melan$utkan untuk menga$ar *asir al0Din al0Tusi, salah satu yang paling terkenal ari semua ulama perioe +slam. Paa saat ini Tusi tampaknya telah memperoleh reputasi yang luar #iasa se#agai guru matematika, untuk #e#erapa per$alanan $auh #erharap untuk men$ai muri0murinya.  !l0Tusi menulis #e#erapa makalah tentang al$a#ar. Dia mem#erikan metoe yang kemuian inamakan se#agai metoe 5=0>53& Fun
kegunaan

lain

ari

ku#ik,

lihat

ku#ik.

Dalam matematika, se#uah fungsi ku#ik atau le#ih ikenal se#agai fungsi pangkat tiga aalah suatu fungsi yang memiliki #entuk '  ( x )=ax + bx + cx + d 3

2

engan a #ernilai tiak nolI atau engan kata lain merupakan suatu polinomial ore tiga. Turunan ari suatu fungsi ku#ik aalah suatu fungsi kuarat. +ntegral ari suatu fungsi ku#ik aalah fungsi pangkat empat %kuartik&. Menetapkan X%R&  5 menghasilkan persamaan ku#ik engan #entuk: 3

2

ax + bx + cx + d =0

'iasanya, koefisien a, #, (, an  merupakan #ilangan riil. Untuk menyelesaikan persamaan ku#ik, (aranya engan men(ari akar %nilai nol& ari fungsi ku#ik. Untuk peme(ahan persamaan

 x

3

+ a=bx , !l0Tusi menemukan titik

3

bx − x =a  . Dengan menggunakan turunan ari fungsi ia

maksimum yaitu

menemukan #ah"a titik maksimum aalah

 x =

mengganti

√

b 3

kem#ali ke

3

persamaan bx − x =a

 x =

 " =bx − x

memiliki solusi $ika

√

b

 " =2

3 ,

D

aalah

Diskriminan

ari

3 2

  engan

3

3

. +a menemukan #ah"a

a(2

() b

3

3 2

.

menyimpulkan #ah"a persamaan memiliki akar positif $ika Dimana

() b

persamaan.

!l0Tusi sehingga

 D =

Dia

b

3

27

2

−

a

4

)0 ,

mengerti

pentingnya iskriminan ari persamaan ku#ik an igunakan -ersi a"al ari rumus )arano untuk menemukan solusi al$a#ar untuk $enis tertentu persamaan ku#ik %. . 'erggren,2335: >5=0>53&. Sharaf al0Din $uga mengem#angkan konsep fungsi. Dalam analisisnya 3

tentang persamaan  x + d =b x

2

, misalnya, ia mulai engan mengu#ah

 x ( b − x )=d  . Dia kemuian menyatakan #ah"a 2

#entuk persamaan untuk

persamaan memiliki solusi tergantung paa apakah atau tiak 9fungsi9 i sisi

kiri

men(apai nilai

d

. Untuk

menentukan ini, ia menemukan

nilai

maksimum untuk fungsi. Dia mem#uktikan #ah"a nilai maksimum ter$ai

ketika

 x =

2b 3

. Yang mem#erikan nilai fungsional

kemuian menyatakan #ah"a $ika nilai ini kurang ari

positifI $ika sama engan

le#ih #esar ari

d

3

3

Sharaf al0Din

27 d

 , Tiak aa solusi

d  , Maka aa satu solusi i  x =

 , Maka aa ua solusi, satu i antara

2b

salah satu i antara

4b

danb

2b 3

  I an $ika

0 dan

2b 3

an

 %i(tor . Kat6, 'ill 'arton %A(to#er ;557& :

2480;52 23;Z&

Analisis Nu0e3ik Dalam analisis numerik , esensi ari metoe -iete ikenal engan al0 Tusi, an aa kemungkinan #ah"a traisi al$a#ar ari al0Tusi, serta penahulunya Amar Khayyam an penggantinya amshi al0Khasi , ikenal alge#raists Gropa a#a ke02@ , Fran(ois iete aalah yang paling penting %Ypma, T$alling . %De(em#er 2338&, 8>20882 8>=Z &. Se#uah metoe al$a#ar setara engan metoe *e"ton $uga ikenal engan al0Tusi. Penggantinya al0Kashi kemuian igunakan #entuk metoe *e"ton untuk meme(ahkan  x

 p

− N = 0

untuk menemukan akar . Di Gropa

'arat , metoe yang sama kemuian i$elaskan oleh Henry 'iggs alam #ukunya 5rionometria 6ritannica* yang iter#itkan paa tahun 2@>> %Ypma, T$alling . %De(em#er 2338&, 8>20882 8>3Z &.

). +MPGMG*T!S+ TG
tiur lagi. Aleh karena itu, Matematika men$ai salah satu pela$aran terpenting yang harus ikuasai oleh setiap orang yang ingin meraih sukses alam kehiupannya.

Dalam

keahlian

#ermatematika

ituntut

untuk

apat

menyelesaikan masalah engan #enar, sekaligus i#eri ke#e#asan untuk men$a"a# engan #er#agai (ara asalkan $a"a#annya #enar an engan (ara yang #enar. Seperti kata pepatah, 'anyak $alan menu$u \ 25.555& C 2%@R 0>R&

5.555 C 2%>R&

5.555 C >R

5.555  >R

R R 

R 

\ 25.555&^ > #erasal ari Hari Selasa, hari_ ]Mengapa 2%@R [ >R&^ 2 #erasal ari 2 minggu seangkan @R [ >R #erasal ari @ hari alam satu Minggu ke(uali Minggu karena li#ur, ikurangi > hari %Selasa,
2. Digunakan alam pengukuran pan$ang atau $arak ari suatu tempat ke tempat lain. ;. Menetapkan satuan pan$ang an satuan luas. >. 'erpikir 1eometri an #erpikir -isual alam seni, arsitek, esain, grafik, animasi serta puluhan #iang ke$uruan lainnya. ai matematika tiak hanya igunakan i sekolahan sa$a tanpa aa manfaat yang $elas. ustru matematika itu sangat penting alam kehiupan sehari0hari.

D. KGS+MPU!* 'anyak matematika"an muslim yang #erperan penting ialam perkem#angan ilmu matematika. *amun sangat memalukannya kita se#agai seorang muslim hanya seikit yang mengetahui peran mereka semua.  !l0k"ari6mi penemu al$a#ar an angka nol, +#n al0Haytham engan argumennya yang iasarkan paa pernyataan #enar namum #elum ter#ukti #ah"a setiap nilai prima 2 mem#agi ,2 - 2&B C 2 an menghitung massa ua #ena paat engan memutar segmen para#ola, !l0'iruni mem#uktikan teorema 45he 6ro&en 7hord an ia mem#erikan ;; #ukti untuk teorema ini, Amar Khayyam penemu geometri an karya Sa((heri, *asir al0Din menemukan Dalil Keparalelan Gu(li, !li #in !#i Thali# penemu KPK %kelipatan Persekutuan Terke(il&, !#u al0Jafa penemu Trigonometri, !l0 'attani menemukan prinsip0prinsip trigonometri, !l0Kashi penemu Hukum )osinus, !l0Tusi penemu Fungsi Ku#ik an #anyak lagi tokoh matematika muslim yang perannya i#iang matematika yang sangat penting.

LAMPIRAN