4
ˇ RJESENJA
Rjesenja ˇ zadataka 4.1 Zadatak 1.
Δy za funkciju f u zadanoj toˇcki x0 : Δx 1) f (x) = x2 − 3x + 1 , x0 = 1, u bilo kojoj toˇcki x0 ∈ Df ;
Izraˇcunaj kvocijent
f (x) = ax2 + bx + c , x0 = u bilo kojoj toˇcki x0 ∈ Df ; 1 , x0 = 1, x0 = 3) f (x) = x toˇcki x0 ∈ Df ; √ x, x0 = 1, x0 = 4) f (x) = toˇcki x0 ∈ Df ; x−1 , x 0 = 1 , x0 = 5) f (x) = x+1 toˇcki x0 ∈ Df . 2)
Rjeˇsenje.
x0
=
2,
x0
=
2,
1, 2,
u
bilo
kojoj
2,
u
bilo
kojoj
2,
u
bilo
kojoj
1) f (x) = x2 − 3x + 1 , x0 = 1 , x0 = 2 , x0 ∈ Df ; Δy = f (x0 + Δx) − f (x0 ) = (x0 + Δx)2 − 3(x0 + Δx) + 1 − x20 + 3x0 − 1 = x20 + 2x0 Δx + Δx2 − 3x0 − 3Δx + 3x0 − x20 = Δx2 + (2x0 − 3)Δx Δy Δy Δy = Δx + 2x0 − 3, = Δx − 1, = Δx + 1; =⇒ Δx Δx x0 =1 Δx x0 =2 2) f (x) = ax2 + bx + c , x0 = 1 , x0 = 2 , x0 ∈ Df ;
Δy = f (x0 + Δx) − f (x0 ) = a(x0 + Δx)2 + b(x0 + Δx) + C − ax20 − bx0 − C = a(x20 + 2x0 Δx + Δx2 ) + bx0 + bΔx − ax20 − bx0 = ax20 + 2ax0 Δx + aΔx2 + bΔx − ax20 = aΔx2 + (2ax0 + b)Δx Δy Δy Δy = aΔx + 2ax0 + b, = aΔx + 2a + b, = aΔx + 4a + b; =⇒ Δx Δx x0 =1 Δx x0 =2
3) f (x) =
1 , x = 1 , x0 = 2 , x0 ∈ Df ; x 0
1 Δx 1 x − x0 − Δx − =− = 0 x0 + Δx x0 x0 (x0 + Δx) x0 (x0 + Δx) Δy 1 1 Δy 1 Δy , =− =− =⇒ =− 2 , ; Δx Δx 1 + Δx Δx 4 + 2Δx x =1 x =2 x0 + x0 Δx 0 0
Δy = f (x0 + Δx) − f (x0 ) =
132
ˇ RJESENJA
4
√ x , x 0 = 1 , x 0 = 2 , x 0 ∈ Df ; √ √ √ √
( x0 + Δx − x0 )( x0 + Δx + x0 ) √ √ Δy = f (x0 + Δx) − f (x0 ) = x0 + Δx − x0 = √ x0 + Δx + x0 x0 + Δx − x0 Δx =√ √ = √ √ x0 + Δx + x0 x0 + Δx + x0 1 Δy Δy Δy 1 1 =√ , ; =⇒ = √ = √ √ , Δx Δx x=1 Δx x=2 x0 + Δx + x0 1 + Δx + 1 2 + Δx + 4 4) f (x) =
x−1 , x = 1 , x 0 = 2 , x 0 ∈ Df ; x+1 0 x + Δx − 1 x0 − 1 − Δy = f (x0 + Δx) − f (x0 ) = 0 x0 + Δx + 1 x0 + 1 5) f (x) =
x2 + x0 Δx − x0 + x0 + Δx − 1 − (x20 + x0 Δx + x0 − x0 − Δx − 1) = 0 (x0 + 1)(x0 + Δx + 1) x2 + x0 Δx + Δx − 1 − x20 − x0 Δx + Δx + 1 2Δx = = 0 (x0 + 1)(x0 + Δx + 1) (x0 + 1)(x0 + Δx + 1) 2 Δy Δy 1 1 Δy = , , . = = =⇒ Δx (x0 + 1)(x0 + Δx + 1) Δx x0 =1 2 + Δx Δx x0 =2 2(3 + Δx)
133
4
ˇ RJESENJA
Zadatak 2.
Δy za funkciju f u zadanoj toˇcki x0 . Δx→0 Δx 1 , x0 = 1 , x0 = 2 , u bilo kojoj 1) f (x) = x toˇcki x0 ∈ Df ; √ x, x0 = 1, x0 = 2 , u bilo kojoj 2) f (x) = toˇcki x0 ∈ Df ;
Izraˇcunaj lim
f (x) = x3 , toˇcki x0 ∈ Df . 1 1) f (x) = ; x 3)
Rjeˇsenje.
x0
=
1,
x0
=
2,
u
bilo
kojoj
1 Δx 1 x − x0 − Δx − =− = 0 x0 + Δx x0 x0 (x0 + Δx) x0 (x0 + Δx) Δy Δy 1 lim = − 2, lim = −1, Δx→0 Δx Δx→0 Δx x0 =1 x0
Δy =f (x0 + Δx) − f (x0 ) =
Δy 1 =− , Δx x0 (x0 + Δx) Δy 1 =− ; lim 4 Δx→0 Δx x0 =2 √ 2) f (x) = x ;
√ Δy =f (x0 + Δx) − f (x0 ) = x0 + Δx − x0 x + Δx − x0 Δx =√ 0 √ =√ √ x0 + Δx + x0 x0 + Δx + x0 Δy Δy Δy 1 1 1 = √ , lim lim lim = , = √ ; 2 x0 2 Δx→0 Δx Δx→0 Δx x0 =1 Δx→0 Δx x0 =2 2 2
3) f (x) = x3 ; Δy = f (x0 + Δx) − f (x0 ) = (x0 + Δx)3 − x30 = x30 + 3x20 Δx + 3x0 Δx2 + Δx3 − x30 Δy = 3x20 + 3x0 Δx + Δx2 Δx Δy Δy Δy = 3x20 , lim lim = 3, lim = 12. Δx→0 Δx Δx→0 Δx x0 =1 Δx→0 Δx x=2
134
ˇ RJESENJA
Zadatak 3. Rjeˇsenje.
4
Pokaˇzi da je nagib tangente u toˇcki (x0 , y0 ) na grafu funkcije f (x) = ax2 + bx + c jednak 2ax0 + b . f (x) = ax2 + bx + c ; Δy 1 1 = [f (x0 + Δx) − f (x0 )] = [a(x20 + 2x0 Δx + Δx2 ) + b(x0 + Δx) + c Δx Δx Δx − ax20 − bx0 − c] 1 = [ax20 + 2ax0 Δx + aΔx2 + bx0 + bΔx − ax20 − bx0 ] Δx 1 = [aΔx2 + (2ax0 + b)Δx] = aΔx + 2ax0 + b Δx Δy = 2axb + b. lim Δx→0 Δx
135
4
ˇ RJESENJA
Zadatak 4. Rjeˇsenje.
136
Odredi jednadˇzbu f (x) = 2x2 u toˇcki (2, 8) .
tangente
na
graf
funkcije
f (x) = 2x2 , y = kx + l , T(2, 8) ; 1 1 [f (2 + Δx) − f (2)] = lim [2(2 + Δx)2 − 2 · 22 ] k = lim Δx→0 Δx Δx→0 Δx 1 1 [2(4 + 4Δx + Δx2 ) − 8] = lim (8 + 8Δx + 2Δx2 − 8) = lim Δx→0 Δx Δx→0 Δx 2Δx2 + 8Δx = lim = lim (2Δx + 8) = 8 Δx Δx→0 Δx→0 y =kx + l 8 =8 · 2 + l =⇒ l = −8 =⇒ y = 8x − 8
ˇ RJESENJA
Zadatak 5. Rjeˇsenje.
4
Odredi jednadˇzbu tangente na parabolu y = x2 koja je paralelna s pravcem y = −4x . y = x2 , y = −4x =⇒ k = −4 ; 1 1 k = lim [f (x0 + Δx) − f (x0 )] = lim [(x0 + Δx)2 − x20 ] Δx→0 Δx Δx→0 Δx 1 2 [x0 + 2x0 Δx + Δx2 − x20 ] = lim (2x0 + Δx) = 2x0 = lim Δx→0 Δx Δx→0 2x0 = − 4 =⇒ x0 = −2, y(x0 ) = y(−2) = 4 =⇒ T(−2, 4) y =kx + l =⇒ 4 = −4(−2) + l =⇒ 4 = 8 + l =⇒ l = −4 =⇒ y = −4x − 4.
137
4
ˇ RJESENJA
Zadatak 6. Rjeˇsenje.
138
Odredi jednadˇzbu tangente na parabolu y = x2 + 2x − 3 u toˇcki s apscisom x = 1 . y = x2 + 2x − 3 , T(1, y) ; y(1) =1 + 2 − 3 = 0 =⇒ T(1, 0) 1 1 [f (1 + Δx) − f (1)] = lim [(1 + Δx)2 + 2(1 + Δx) − 3 − 0] k = lim Δx→0 Δx Δx→0 Δx 1 (1 + 2Δx + Δx2 + 2 + 2Δx − 3) = lim (Δx + 4) = 4 = lim Δx→0 Δx Δx→0 y =kx + l =⇒ 0 = 4 · 1 + l =⇒ l = −4 =⇒ y = 4x − 4.
ˇ RJESENJA
Zadatak 7. Rjeˇsenje.
4
U kojoj toˇcki je tangenta na parabolu y = x2 + 2 paralelna s x -osi? y = x2 + 2 , k = 0 ; 1 1 2 [(x0 + Δx)2 + 2 − x20 − 2] = lim (x0 + 2x0 Δx + Δx2 − x20 ) k = lim Δx→0 Δx Δx→0 Δx = lim (2x0 + Δx) = 2x0 Δx→0
2x0 =0 =⇒ x0 = 0,
y(x0 ) = 2 =⇒ T(0, 2).
139
4
ˇ RJESENJA
Zadatak 8. Rjeˇsenje.
140
Odredi jednadˇzbu tangente parabole y=x2 − x + 3 koja je paralelna pravcu y = 2x − 1 . Koje su koordinate diraliˇsta? y = x2 − x + 3 , k = 2 ; 1 [(x0 + Δx)2 − (x0 + Δx) + 3 − x20 + x0 − 3] k = lim Δx→0 Δx 1 2 [x0 + 2x0 Δx + Δx2 − x0 − Δx − x20 + x0 ] = lim Δx→0 Δx = lim (2x0 − 1 + Δx) = 2x0 − 1 Δx→0 3 9 3 3 15 15 3 = − +3= =⇒ T , 2x0 − 1 =2 =⇒ x0 = , y 2 2 4 2 4 2 4 y =kx + l 15 3 =2 · + l 4 2 3 15 l = − 3 =⇒ l = 4 4 3 =⇒ y = 2x + ⇐⇒ 8x − 4y + 3 = 0. 4
ˇ RJESENJA
Zadatak 9. Rjeˇsenje.
4
Kako glasi jednadˇzba tangente povuˇcene na parabolu y = −x2 + x + 3 u njezinoj toˇcki T(−1, y) ? y = −x2 + x + 3 , T(−1, y) ; y = − (−1)2 + (−1) + 3 = −1 − 1 + 3 = 1 =⇒ T(−1, 1) f (x0 + Δx) − f (x0 ) 1 = lim [−(−1 + Δx)2 + (−1 + Δx) + 3 − 1] k = lim Δx Δx→0 Δx→0 Δx 1 [−1 + 2Δx − Δx2 − 1 + Δx + 2] = lim (3 − Δx) = 3 = lim Δx→0 Δx Δx→0 y =kx + l =⇒ 1 = 3 · (−1) + l =⇒ l = 4 =⇒ y = 3x + 4.
141
4
ˇ RJESENJA
Zadatak 10. Rjeˇsenje.
142
U kojoj se toˇcki sijeku tangente poloˇzene na parabolu y = 12 (x−1)2 u njezinim toˇckama s apscisama −1 i 2 ? y = 12 (x − 1)2 , x0 = −1 , x0 = 2 ; 1 1 =⇒ T1 (−1, 2), T2 2, y(−1) =2, y(2) = 2 2 f (x0 + Δx) − f (x0 ) 1 1 1 = lim (x0 + Δx − 1)2 − (x0 − 1)2 k = lim Δx 2 Δx→0 Δx→0 Δx 2 1 1 2 2 2 [(Δx − 2) − (−2) ] = lim [Δx − 4Δx + 4 − 4] k1 = lim Δx→0 2Δx Δx→0 2Δx Δx − 2 = −2 = lim Δx→0 2 1 1 [(1 + Δx)2 − (2 − 1)2 ] = lim [1 + 2Δx + Δx2 − 1] k2 = lim Δx→0 2Δx Δx→0 2Δx Δx =1 = lim 1 + 2 Δx→0 y =kx + l 2 = − 2(−1) + l =⇒ l1 = 0 =⇒ y = −2x 3 3 1 =1 · 2 + l =⇒ l2 = − =⇒ y = x − 2 2 2 2x + y = 0 3 x−y= 2 1 3 =⇒ x = 3x = 2 2 1 1 2 · + y = 0 =⇒ y = −1 =⇒ T , −1 2 2
ˇ RJESENJA
Zadatak 11. Rjeˇsenje.
4
U kojoj toˇcki parabole y = x2 − 2x + 5 treba postaviti tangentu koja je okomita na pravac x − y = 0 ? y = x2 − 2x + 5 , x − y = 0 ; x − y =0 =⇒ y = x =⇒ k1 = 1 =⇒ k = −1 1 [f (x0 + Δx) − f (x0 )] k = lim Δx→0 Δx 1 [(x0 + Δx)2 − 2(x0 + Δx) + 5 − x20 + 2x0 − 5] = lim Δx→0 Δx 1 2 [x0 + 2x0 Δx + Δx2 − 2x0 − 2Δx − x20 + 2x0 = lim Δx→0 Δx = lim (Δx + 2x0 − 2) = 2x0 − 2 Δx→0 1 1 17 1 = −1+5= 2x0 − 2 = − 1 =⇒ 2x0 = 1 =⇒ x0 = , y 2 2 4 4 1 17 =⇒ T , . 2 4
143
4
ˇ RJESENJA
Zadatak 12. Rjeˇsenje.
Napiˇsi jednadˇzbu tangente na parabolu y = x2 ako tangenta prolazi toˇckom T(2, 3) . y = x2 , T(2, 3) ; 1 1 2 [(x0 + Δx)2 − x20 ] = lim [x0 + 2x0 Δx + Δx2 − x20 ] k = lim Δx→0 Δx Δx→0 Δx = lim (2x0 + Δx) = 2x0 , y(x0 ) = x20 =⇒ D(x0 , x20 ) Δx→0
3 =2x0 · 2 + l =⇒ 3 = 4x0 + l 3 − x20 = 2x0 =⇒ 3 − x20 = 4x0 − 2x20 =⇒ x20 − 4x0 + 3 = 0 2 − x0 =⇒ (x0 − 1)(x0 − 3) = 0 =⇒ (x0 )1 = 1, (x0 )2 = 3 3 =4 + l =⇒ l1 = −1, 3 = 12 + l =⇒ l2 = −9 =⇒ y = 2x − 1 ili y = 6x − 9. k=
144
ˇ RJESENJA
Zadatak 13.
Neko se tijelo giba po zakonu s(t) = 4t − t2 . Koliki put ovo tijelo prijede u vremenu od t = 1 s do t = 1.5 s? Odredi srednju brzinu gibanja u tom intervalu.
Rjeˇsenje.
s(1) = 4 ·1 − 12 = 3 m, s(1.5) = 4 ·1.5 − (1.5)2 = 6 − 2.25 = 3.75 m. Tijelo - s(1.5) − s(1) = 3.75 − 3 = 0.75 m. u vremenu od t = 1 s do t = 1.5 s prijede s(t + Δt) − s(t) 4t + 4Δt − t2 − 2tΔt − (Δt)2 Δs = = = 4 − 2t − Δt = v= Δt Δt Δt 4 − 2 · 1 − 0.5 = 1.5 m/ s.
4
145
4
ˇ RJESENJA
Zadatak 14.
Tijelo se giba jednoliko po pravcu prema zakonu a) s = 20 + 3t ; b) s = 10 + 2t + 0.2t2 , gdje je t vrijeme izraˇzeno u sekundama, a s put u metrima. Kolika je: 1) srednja brzina u vremenskom intervalu [2,5]; 2) srednja brzina u vremenskom intervalu [2,3]; 3) trenutna brzina u trenutku t = 2 ?
Rjeˇsenje.
a)
s(t + Δt) − s(t) 20 + 3t + 3Δt − 20 − 3t − 3Δt Δs = = = 3 m/ s. Δt Δt Δt 2) v = 3 m/ s. 3) v = 3 m/ s. b) s(t + Δt) − s(t) 10 + 2t + 2Δt + 0.2(t + Δt)2 − 10 − 2t − 0.2t2 Δs = = = 1) v = Δt Δt Δt 2 2 2 2 2Δt + 0.2(t + 2tΔt + Δt ) − 0.2t 2Δ + 0.4tΔt + 0.2(Δt) = = 2 + 0.4t + Δt Δt 0.2Δt = 2 + 0.4 · 2 + 0.2 · 3 = 3.4 m/ s. s(t + Δt) − s(t) 10 + 2t + 2Δt + 0.2(t + Δt)2 − 10 − 2t − 0.2t2 Δs = = = 2) v = Δt Δt Δt 2 2 2 2 2Δt + 0.2(t + 2tΔt + Δt ) − 0.2t 2Δ + 0.4tΔt + 0.2(Δt) = = 2 + 0.4t + Δt Δt 0.2Δt = 2 + 0.4 · 2 + 0.2 · 1 = 3 m/ s. 3) Δt → 0 , v = 2 + 0.4t = 2 + 0.4 · 2 = 2.8 m/ s. 1) v =
146
ˇ RJESENJA
Zadatak 15.
Rjeˇsenje.
4
Tijelo baˇceno uvis brzinom v0 = 5 m/ s kre´ce se po zakonu s(t) = v0 t − 12 gt2 . U kojem je trenutku njegova brzina jednaka 2 m/ s? U kojem je trenutku ona jednaka nuli? Kolikom c´e brzinom tijelo pasti na tlo? Δs limΔt→0 v = limΔt→0 = limΔt→0 = Δt 1 v0 Δt − g(t2 + 2tΔt + Δt2 ) + 2 limΔt→0 Δt 1 limΔt→0 v0 − gt − gΔt = v0 − gt . 2
1 v0 t + v0 Δt − g(t + Δt)2 − s(t + Δt) − s(t) 2 = limΔt→0 Δt Δt 1 2 1 gt v0 Δ − gtΔt − g(Δt)2 2 2 = limΔt→0 = Δt
3 s. g 5 v0 − gt = 0 =⇒ 5 − gt = 0 =⇒ 5 = gt =⇒ t = s. g v0 − gt = 2 =⇒ 5 − gt = 2 =⇒ 3 = gt =⇒ t =
2·5 = Vrijeme leta tojela uvis jednako je vremenu pada pa je vpada = v0 − g · g 5 − 10 = −5 m/ s. Tijelo padne brzinom kojom je i izbaˇceno ali suprotnog smjera.
147
4
ˇ RJESENJA
Zadatak 16.
Rjeˇsenje.
148
Dizalo se nakon pokretanja giba - trenutaˇcnu brzinu dizala. s(t) = 1.5t2 + 2t + 12 . Nadi
po
zakonu
s(t + Δt) − s(t) 1.5(t + Δt)2 + 2t + 2Δt + 12 − 1.5t2 − 2t − 12 = limΔt→∞ = Δt Δt 1.5t2 + 3tΔt + (Δt)2 + 2t + 2Δt − 1.5t2 − 2t = limΔt→∞ 3tΔt + (Δt)2 + 2ΔtΔt = limΔt→∞ Δt limΔt→∞ (3t + Δt + 2) = 3t + 2 . v0 = 3t0 + 2 . limΔt→∞
ˇ RJESENJA
4
Rjesenja ˇ zadataka 4.2 Zadatak 1.
Odredi derivacije sljede´cih funkcija: 1) f (x) = 3x3 ; 3) f (x) = −2x−2 ; 5) f (x) =
Rjeˇsenje.
1 √ 3 · x2 ; 2
1 2) f (x) = 4 ; x 1 4) f (x) = √ ; x 1 6) f (x) = √ . 4 3 x
1) f (x) = (3x3 ) = 3 · 3x2 = 9x2 ; 1 4 2) f (x) = = (x−4 ) = −4 · x−4−1 = −4x−5 = − 5 ; 4 x x 3) f (x) = (−2x−2 ) = −2 · (−2x−2−1 ) = 4x−3 ; 1 1 1 1 1 3 1 4) f (x) = = (x− 2 ) = − x− 2 −1 = − x− 2 = − 3 = 1 2 2 x2 2x 2 1 − √ =; 2x x √ 1 3 2 1 2 2 1 2 1 1 1 1 3 x 5) f (x) = ; x = = · x 3 −1 = x− 3 = 1 = √ 2 2 3 2 3 3x 3 x 3x 3 3 3 1 1 3 3 7 = = (x− 4 ) = − · x− 4 −1 = − x− 4 = 6) f (x) = √ 3 4 3 4 4 x x4 3 3 − 7 =− √ . 4 4x x3 4x 4
149
4
ˇ RJESENJA
Zadatak 2.
Rjeˇsenje.
150
√ x 2) f (x) = − x x ; 1) f (x) = √ ; x √ √ √ x 3) f (x) = √ ; 4) f (x) = x · 3 x ; 3x
√ 5) f (x) = 3 x · x . 1 1 1 1 1 1 1 1 x √ 1) f (x) = = (x1− 2 ) = (x 2 ) = ·x 2 −1 = x− 2 = 1 = √ ; 2 2 x 2 x 2x 2 √
√ 3 3 1 3 3 4 2) f (x) = (− x x) = (− x3 ) = (−x 4 ) = − · x 4 −1 = − x− 4 = 4 4 3 3 3 ; = − √ 1 44· 4x 4x 4 √ 1 1 1 1 1 1 1 5 x x2 3) f (x) = √ = = (x 2 − 3 ) = (x 6 ) = · x 6 −1 = x− 6 = 1 3x 6 6 x3 1 1 = ; √ 5 6 6 · x5 6x 6 1 1 5 √ √ 5 5 5 1 5 4) f (x) = ( x · 3 x) = (x 2 · x 3 ) = (x 6 ) = · x 6 −1 = x− 6 = 1 = 6 6 6x 6 5 √ ; 6· 6x √ √ 3 1 1 1 1 1 6 6 5) f (x) = ( x2 · x) = ( x3 ) = (x 6 ) = (x 2 ) = · x 2 −1 = x− 2 = 2 2 1 1 = √ . 1 2 x 2x 2
ˇ RJESENJA
Zadatak 3.
4
Deriviraj sljede´ce funkcije: 1) f (x) = 3x + 2 ; 2) f (x) = 2x2 + 3x − 4 ; 3) f (x) = 3x3 − 2x2 + 3x − 1 ; 4) f (x) = x4 − 2x2 + 3x − 1 ; 1 2 1 5) f (x) = x4 − x3 + x − 1 ; 3 2 5 1 3 6) f (x) = x − x2 + x . 3
Rjeˇsenje.
1) f (x) = (3x + 2) = (3x) + 2 = 3 · x1−1 + 0 = 3 · x0 = 3 · 1 = 3 ; 2) f (x) = (2x2 +3x−4) = (2x2 ) +(3x) −4 = 2·2x2−1 +3x1−1 −0 = 4x+3 ; 3) f (x) = (3x3 − 2x2 + 3x − 1) = (3x3 ) − (2x2 ) + (3x) − 1 = 3 · 3x3−1 − 2 · 2x2−1 + 3x1−1 − 0 = 9x2 − 4x + 3 ; 4) f (x) = (x4 − 2x2 + 3x − 1) = (x4 ) − (2x2 ) + (3x) − 1 = 4 · x4−1 − + 3; 2 · 2x2−1 +3x1−1 − 0 = 4x3 − 4x 1 1 2 1 4 1 3 2 4 3 x − x + x−1 = x x x − 1 = − + 5) f (x) = 3 2 5 3 2 5 1 2 4 3 2 1 4 · x4−1 − 3 · x3−1 + x1−1 − 0 = x3 − x2 + ; 3 5 2 5 3 2 1 3 1 3 1 2 2 x −x +x = x 6) f (x) = − (x ) + x = 3 · x3−1 − 2 · x2−1 + 3 3 3 x1−1 = x2 − 2x + 1 .
151
4
ˇ RJESENJA
Zadatak 4.
Rjeˇsenje.
152
1+x 1 ; 2) f (x) = ; x x 1 1 1 3) f (x) = + 2 + 3 ; x x x 1 + x + x2 + x 3 ; 4) f (x) = x 1 + x + x2 + x3 5) f (x) = . x3 1 x 1 1) f (x) = =− 2 =− 2; x x x 1+x 1 1 x 1 +1 = = + 1 = − 2 + 0 = − 2 ; 2) f (x) = x x x x x 1 1 1 1 1 + + = − 2 + (x−2 ) + (x−3 ) = − 2 − 3) f (x) = x x2 x3 x x 1 2 3 2x−3 − 3x−4 = − 2 − 3 − 4 ; x x x 1 + x + x2 + x3 1 1 2 4) f (x) = +1+x+x = = + 1 + x + x x x 1 1 (x2 ) = − 2 + 0 + x1−1 + 2 · x2−1 = 1 + 2x − 2 ; x x 1 + x + x 2 + x3 1 1 1 1 5) f (x) = + x = + + = + 3 3 2 x x x x x3 1 1 + + 1 = (x−3 ) + (x−2 ) + (x−1 ) + 0 = −3 · x−3−1 − x x2 3 2 1 2 · x−2−1 − 1 · x−1−1 = −3x−4 − 2x−3 − x−2 = − 4 − 3 − 2 . x x x 1) f (x) =
ˇ RJESENJA
Zadatak 5.
4
Deriviraj sljede´ce funkcije: 1) f (x) =
3 2 + ; x x2 2
5
2) f (x) = 3x 3 − 4x 2 + x−2 ; b a 3) f (x) = √ + √ ; x x x π 4) f (x) = + e3 ; x √ 5) f (x) = 4x4 − 2 x ; √ √ √ 6) f (x) = x + 3 x + 4 x . √ √ 7) f (x) = 2x + 2 3 x ; √ 3 8) f (x) = √ + 3 x . x
Rjeˇsenje.
3 2 2 3 + 2 = = + = (2x−1 ) + (3x−2 ) = −1 · 1) f x x x x2 2 6 2x−1−1 − 2 · 3x−2−1 = −2x−2 − 6x−3 = − 2 − 3 ; x x 2 5 2 5 2 2 2) f (x) = (3x 3 − 4x 2 + x−2 ) = (3x 3 ) − (4x 2 ) + (x−2 ) = · 3x 3 −1 − 3 3 5 1 5 · 4x 2 −1 − 2 · x−2−1 = 2x− 3 − 10x 2 − 2x−3 ; 2 1 3 1 3 b a 1 3 = (ax− 2 +bx− 2 ) = − ·ax− 2 −1 − ·bx− 2 −1 = 3) f (x) = √ + √ 2 2 x x x 3 5 3b 1 3 a 3b a − ax− 2 − bx− 2 = − 3 − 5 = − √ − 2 √ ; 2 2 2x x 2x x 2x2 π 2x 2 π + (e3 ) = (π x−1 ) + 0 = −1 · π x−1−1 = 4) f (x) = + e3 = x x π −π x−2 = − 2 ; x 1 √ √ 5) f (x) = (4x4 − 2 x) = (4x4 ) − (2 x) = 4 · 4x4−1 − (2x 2 ) = 1 1 1 1 1 16x3 − · 2x 2 −1 = 16x3 − x− 2 = 16x3 − 1 = 16x3 − √ ; 2 x x2 1 1 1 1 1 1 √ √ √ 3 4 6) f (x) = ( x + x + x) = (x 2 + x 3 + x 4 ) = (x 2 ) + (x 3 ) + (x 4 ) = 1 1 −1 1 1 −1 1 1 −1 1 1 1 2 1 3 1 1 1 ·x 2 + ·x 3 + ·x 4 = x− 2 + x− 3 + x− 4 = 1 + 2 + 3 = 2 3 4 2 3 4 2x 2 3x 3 4x 4 1 1 1 √ + √ + √ ; 4 2 x 3 3 x2 4 x3 √ √ √ √ 1 √ √ 3 ) = = ( 2 x) + (2x√ 7) f (x) = ( 2x + 2 3 x) = ( 2x) + (2 3 x) √ √ 1 1 2 −1 2 1 1 √ 1 2 2 2 x 2 + 2 = ( 2x 2 ) + · 2x 3 −1 = · 2x 2 −1 + x− 3 = + 1 3 2 3 2 3x 3 2x 2 √ 2 2 2 = √ + √ ; √ 3 2 3 2 x 3 x2 3 x (x)
153
4
ˇ RJESENJA
1 √ √ 3 3 3 8) f = √ +3 x = √ + (3 x) = + (3x 2 ) = 1 x x x2 1 1 1 −1 1 1 3 −1 3 3 3 −2 −1 − (3x ) + · 3x 2 = − · 3x 2 + x 2 = − x− 2 + = 1 2 2 2 2 2x 2 3 3 3 3 − 3 + √ =− √ + √ . 2 x 2x x 2 x 2x 2 (x)
154
ˇ RJESENJA
Zadatak 6.
4
Izraˇcunaj derivacije sljede´cih funkcija u toˇcki x0 : 1) f (x) = 1 − x2 , x0 = 1 ; 2) f (x) = x3 − x + 101 , x0 = 2 ; √ 1 3) f (x) = x + √ , x0 = 4 ; x 1 n+1 1 x 4) f (x) = − , x0 = −1 ; n+1 n 5) f (x) = − 12 x3 − 14 x2 + x , x0 = −2 .
Rjeˇsenje.
1) f (x) = (1 − x2 ) = 1 − (x2 ) = 0 − 2x2−1 = −2x , f (1) = −2 · 1 = −2 ; 2) f (x) = (x3 − x + 101) = (x3 ) − x + 101 = 3x3−1 − 1 + 0 = 3x2 − 1 , f (2) = 3 · 22 − 1 = 3 · 4 − 1 = 12 − 1 = 11 ; 1 √ √ 1 1 1 2 √ √ 3) f (x) = x+ = ( x) + = (x ) + = rr12 x x x 1 1 1 −1 1 1 1 1 1 1 1 1 3 1 √ − 3 = x 2 + (x− 2 ) = x− 2 − x− 2 −1 = 1 − x− 2 = 2 2 2 2 2 x 2x 2 x 2 1 1 1 1 1 1 3 1 1 1 1 √ − √ , f (4) = √ − √ − = = = 2 2 2 2 8 2 8 x x x 4 4 4 3 ; 16 1 n+1 1 1 n+1 1 x x 4) f (x) = − = − = (n + 1) · n+1 n n+1 n 1 n+1−1 x − 0 = xn , f (−1) = (−1)n ; n+1 2 1 3 1 2 1 3 1 2 x = − x − + x = 3 · 5) f (x) = − x − x + x 2 4 2 4 1 3−1 1 3 1 3 x − − 2 · x2−1 + 1 = − x2 − x + 1 , f (−2) = − (−2)2 − 2 4 2 2 2 1 3 (−2) + 1 = − · 4 + 1 + 1 = −6 + 2 = −4 . 2 2
155
4
ˇ RJESENJA
Zadatak 7.
Izraˇcunaj derivacije funkcija: 1) f (x) = (3 − 4x)(x2 − 3x + 1) ; 2) f (x) = (x2 − 1)(3x + 4) ; 3) f (x) = 2x(3x + 1)(5 − 2x) ; 4) f (x) = x(x − 1)(x + 1) . 5) f (x) = (x−1)(x+1)(x2 +1) ; 6) f (x) = (x2 − x + 1)(x2 + x − 1) ; 7) f (x) = (x2 − 1)(x2 − x + 1) + (x3 − 1)(x + 1) ; √ √ 8) f (x) = (1 − x + x)(1 − x − x) ; √ √ 9) f (x) = (x x − 1)(x3 + x x + 1) ; √ √ 10) f (x) = (x2 − x a + a)(x + a) .
Rjeˇsenje.
156
1) f (x) = [(3−4x)(x2 −3x+1)] = (3−4x) (x2 −3x+1)+(3−4x)(x2 −3x+ 1) = [3 − (4x) ](x2 − 3x+ 1)+ (3 − 4x)[(x2 ) − (3x) + 1 ] = [0 − 4x1−1 ](x2 − 3x + 1) + (3 − 4x)[2x2−1 − 3x1−1 + 0] = −4(x2 − 3x + 1) + (3 − 4x)[2x − 3] = −4x2 + 12x − 4 + 6x − 9 − 8x2 + 12x = −12x2 + 30x − 13 ; 2) f (x) = [(x2 − 1)(3x + 4)] = (x2 − 1) (3x + 4) + (x2 − 1)(3x + 4) = [(x2 ) − 1 ](3x + 4) + (x2 − 1)[(3x) + 4 ] = [2x2−1 − 0](3x + 4) + (x2 − 1)[3x1−1 + 0] = 2x(3x + 4) + 3(x2 − 1) = 6x2 + 8x + 3x2 − 3 = 9x2 + 8x − 3 ; 3) f (x) = [2x(3x + 1)(5 − 2x)] = [(6x2 + 2x)(5 − 2x)] (6x2 + 2x) (5 − 2x) + (6x2 + 2x)(5 − 2x) = [(6x2 ) + (2x) ](5 − 2x) + (6x2 + 2x)[5 − (2x) ] = [2 · 6x2−1 + 2x1−1 ](5 − 2x) + (6x2 + 2x)(0 − 2x1−1 ) = (12x + 2)(5 − 2x) + (6x2 + 2x) · (−2) = 60x − 24x2 + 10 − 4x − 12x2 − 4x = −36x2 + 52x + 10 ; 4) f (x) = [x(x − 1)(x + 1)] = [x(x2 − 1)] = (x3 − x) = (x3 ) − x = 3 · x3−1 − x1−1 = 3x2 − 1 ; 5) f (x) = [(x − 1)(x + 1)(x2 + 1)] = [(x2 − 1)(x2 + 1)] = (x4 − 1) = (x4 ) − 1 = 4 · x4−1 − 0 == 4x3 ; 6) f (x) = [(x2 − x + 1)(x2 + x − 1)] = [x4 − (x − 1)2 ] = (x4 ) − [(x − 1)2 ] = 4·x4−1 −(x2 −2x+1) = 4x3 −(x2 ) +(2x) −1 = 4x3 −2·x2−1 +2x1−1 −0 = 4x3 − 2x + 2 ; 7) f (x) = [(x2 − 1)(x2 − x + 1) + (x3 − 1)(x + 1)] = [(x2 − 1)(x2 − x + 1)] + [(x3 − 1)(x + 1)] = (x2 − 1) (x2 − x + 1) + (x2 − 1)(x2 − x + 1) + (x3 − 1) (x + 1) + (x3 − 1)(x + 1) = [(x2 ) − 1 ](x2 − x + 1) + (x2 − 1)[(x2 ) − x + 1 ] + [(x3 ) − 1 ](x + 1) + (x3 − 1)(x + 1 ) = (2x2−1 − 0)(x2 − x + 1) + (x2 − 1)(2x2−1 − x1−1 + 0) + (3x3−1 − 0)(x + 1) + (x3 −1)(x1−1 +0) = 2x(x2 −x+1)+(x2 −1)(2x−1)+3x2 (x+1)+(x3 −1) = 2 + x3 − 1 = 8x3 ; 2x + 1 + 3x3 + 3x√ 2x3 − 2x2 + 2x +√2x3 − x2 − √ √ 8) f (x) = [(1 − x + x)(1 − x − x)] = [(1 − x)2 − x2 ] = [(1 − x)2 ] − 1 √ √ (x2 ) = (1 − 2 x + x) − 2x2−1 = [1 − (2 x) + x − 2x = 0 − (2x 2 ) + 1 1 1 1 x1−1 − 2x = · (−2x 2 −1 ) + 1 − 2x = −x− 2 + 1 − 2x = − √ + 1 − 2x ; 2 √ √ √ √ x √ 9) f (x) = [(x x − 1)(x3 + x x + 1)] = (x x − 1) (x3 + x x + 1) + (x x − 3 3 3 √ √ √ 1)(x3 +x x+1) = (x 2 −1) (x3 +x x+1)+(x x−1)(x3 +x 2 +1) = [(x 2) − 3 3 −1 √ √ 3 · x 2 − 0 (x3 + 1 ](x3 + x x + 1) + (x x − 1)[(x3 ) + (x 2 ) + 1 ] = 2
ˇ RJESENJA
4
3 3 √ √ 3 3 3 1 x x + 1) + (x x − 1) 3x3−1 + x 2 −1 + 0 = x 2 (x3 + x 2 + 1) + (x 2 − 2 2 1 1 +3 1+3 1 3 +2 3 3 3 3 3 1 3 3 1 1) 3x2 + x 2 = x 2 + x 2 2 + x 2 +3x 2 −3x2 + x 2 + 2 − x 2 = 2 2 2 2 2 2 7 3 7 3 2 3 1 3 2 3 1 9 7 9 3√ 2 x 2 + x + x 2 + 3x 2 − 3x + x − x 2 = x 2 = x x ; 2 2 2 √ 2 √ 2 2√ √ 2 √ 10) f (x) = [(x2 −x a+a)(x+ a)] = (x2 −x a+a) (x+ a)+(x2 −x a+ √ √ √ √ √ a)(x + a) = [(x2 ) − (x a) + a ](x + a) + (x2 − x a + a)[x + ( a) ] = √ √ √ √ (2x2−1 − x1−1 a)(x + a) + (x2 − x a + a)(x1−1 + 0) = (2x − a)(x + √ √ √ √ √ a) + (x2 − x a + a) = 2x2 + 2x a − x a − a + x2 − x a + a = 3x2 .
157
ˇ ˇ DETALJNA RJESENJA ZADATAKA IZ UDZBENIKA MATEMATIKA 4 ZA 4. RAZRED GIMNAZIJE
Zadatak 8.
Deriviraj sljede´ce funkcije: 5 ; 1) f (x) = x−2 x+2 ; 3) f (x) = x−2 5x2 − 1 ; 5) f (x) = x+2
4
2x ; 3−x 3x + 4 4) f (x) = ; 2x − 1 3x − 1 6) f (x) = 2 ; x −3 2) f (x) =
x2 − 6x + 5 ; x−3 x2 − 6x + 8 8) f (x) = 2 ; x − 6x + 9 2x2 + 3x + 1 9) f (x) = ; x+1 x6 + 8 10) f (x) = 4 ; x − 2x2 + 4 8x3 − 10x2 + 15x − 27 11) f (x) = ; 16x4 − x2 − 18x − 81 x7 − 1 12) f (x) = 7 . x +1 7) f (x) =
Rjeˇsenje.
1) f (x) =
5 (x − 2) − 5(x − 2) 0 − 5(x − 2 ) 5(x1−1 − 0 5 = == =− = 2 2 x−2 (x − 2) (x − 2) (x − 2)2
5 ; (x − 2)2
(2x) (3 − x) − 2x(3 − x) 2x 2x1−1 (3 − x) − 2x(3 − x1−1 ) = = = 2) f (x) = 3−x (3 − x)2 (3 − x)2 2(3 − x) − 2x(0 − 1) 6 − 2x + 2x 6 = = ; (3 − x)2 (3 − x)2 (3 − x)2
x+2 (x + 2) (x − 2) − (x + 2)(x − 2) = 3) f (x) = x−2 (x − 2)2 (x + 2 )(x − 2) − (x + 2)(x − 2 ) (x1−1 + 0)(x − 2) − (x + 2)(x1−1 − 0) = = = (x − 2)2 (x − 2)2 x−2−x−2 −4 4 (x − 2) − (x + 2) = = = ; (x − 2)2 (x − 2)2 (x − 2)2 (x − 2)2
3x + 4 (3x + 4) (2x − 1) − (3x + 4)(2x − 1) = 4) f (x) = 2x − 1 (2x − 1)2 [(3x) + 4 ](2x − 1) − (3x + 4)[(2x) − 1 ] = (2x − 1)2 (3x1−1 + 0)(2x − 1) − (3x + 4)(2x1−1 − 0) 3(2x − 1) − 2(3x + 4) = = = 2 (2x − 1) (2x − 1)2 6x − 3 − 6x − 8 −11 11 = =− ; 2 2 (2x − 1) (2x − 1) (2x − 1)2
2 5x − 1 (5x2 − 1) (x + 2) − (5x2 − 1)(x + 2) 5) f (x) = = x+2 (x + 2)2 −
955
4
ˇ ˇ DETALJNA RJESENJA ZADATAKA IZ UDZBENIKA MATEMATIKA 4 ZA 4. RAZRED GIMNAZIJE
[(5x2 ) − 1 ](x + 2) − (5x2 − 1)(x + 2 ) (x + 2)2 (2 · 5x2−1 − 0)(x + 2) − (5x2 − 1)(x1−1 + 0) 10x(x + 2) − (5x2 − 1) = = = 2 (x + 2) (x + 2)2 10x2 + 20x − 5x2 + 1 5x2 + 21 = ; (x + 2)2 (x + 2)2
(3x − 1) (x2 − 3) − (3x − 1)(x2 − 3) 3x − 1 = 6) f (x) = 2 x −3 (x2 − 3)2 2 2 [(3x) + 1 ](x − 3) − (3x − 1)[(x ) − 3 ] = (x2 − 3)2 1−1 2 + 0)(x − 3) − (3x − 1)(2x2−1 − 0) (3x 3(x2 − 3) − (3x − 1)(2x) = = = (x2 − 3)2 (x2 − 3)2 3x2 − 9 − 6x2 + 2x −3x2 + 2x − 9 = ; (x2 − 3)2 (x2 − 3)2
2 (x2 − 6x + 5) (x − 3) − (x2 − 6x + 5)(x − 3) x − 6x + 5 7) f (x) = = = x−3 (x − 3)2 [(x2 ) − (6x) + 5 ](x − 3) − (x2 − 6x + 5)(x − 3 ) (x − 3)2 (2x2−1 − 6x1−1 + 0)(x − 3) − (x2 − 6x + 5)(x1−1 − 0) = (x − 3)2 2 (2x − 6)(x − 3) − (x − 6x + 5) 2x2 − 6x − 6x + 18 − x2 − 6x − 5 = = = (x − 3)2 (x − 3)2 x2 − 12x + 13 ; (x − 3)2
2 x − 6x + 8 8) f (x) = x2 − 6x + 9 2 (x − 6x + 8) (x2 − 6x + 9) − (x2 − 6x + 8)(x2 − 6x + 9) = (x2 − 6x + 9)2 2 2 [(x ) − (6x) + 8 ](x − 6x + 9) − (x2 − 6x + 8)[(x2 ) − (6x) + 9 ] = (x2 − 6x + 9)2 2−1 1−1 2 − 6x + 0)(x − 6x + 9) − (x2 − 6x + 8)(2 · x2−1 − 6x1−1 + 0) (2 · x = = (x2 − 6x + 9) (2x − 6)(x2 − 6x + 9) − (x2 − 6x + 8)(2x − 6) (x2 − 6x + 9)2 2(x − 3)(x2 − 6x + 9 − x2 + 6x − 8) 2 = = ; 4 (x − 3) (x − 3)3
2 2x + 3x + 1 (2x2 + 3x + 1) (x + 1) − (2x2 + 3x + 1)(x + 1) 9) f (x) = = = x+1 (x + 1)2 [(2x2 ) + (3x) + 1 ](x + 1) − (2x2 + 3x + 1)(x + 1 ) (x + 1)2 (2 · 2x2−1 + 3x1−1 + 0)(x + 1) − [(2x + 1)(x + 1)](x1−1 + 0) = (x + 1)2 =
956
ˇ ˇ DETALJNA RJESENJA ZADATAKA IZ UDZBENIKA MATEMATIKA 4 ZA 4. RAZRED GIMNAZIJE
4
(4x + 3)(x + 1) − (2x + 1)(x + 1) (x + 1)(4x + 3 − 2x − 1) 2x + 2 = = = 2 2 x+1 (x + 1) (x + 1) 2(x + 1) = 2; x+1
x6 + 8 (x6 + 8) (x4 − 2x2 + 4) − (x6 + 8)(x4 − 2x2 + 4) 10) f (x) = = x4 − 2x2 + 4 (x4 − 2x2 + 4)2 6 4 2 6 4 = [(x ) + 8 ](x − 2x + 4) − (x + 8)[(x ) − (2x2 ) + 4 ](x4 − 2x2 + 4)2 (6x6−1 + 0)(x4 − 2x2 + 4) − (x6 + 8)(4x4−1 − 2 · 2x2−1 + 0) = (x4 − 2x2 + 4)2 5 4 2 6 6x (x − 2x + 4) − (x + 6)(4x3 − 4x) = (x4 − 2x2 + 4)2 5 4 2 6x (x − 2x + 4) − (x2 + 2)(x4 − 2x2 + 4)(4x3 − 4x) = (x4 − 2x2 + 4)2 4 2 5 (x − 2x + 4)[6x − (x2 + 2)(4x3 − 4x)] 6x5 − 4x5 + 4x3 − 8x3 + 8x = = = 4 2 2 (x − 2x + 4) x4 − 2x2 + 4 2x5 − 4x3 + 8x 2x(x4 − 4x2 + 2) = = 2x ; x4 − 2x2 + 4 x4 − 2x2 + 4
3 8x − 10x2 + 15x − 27 11) f (x) = 16x2 − x2 − 18x − 81 3 2 (8x −10x +15x−27) (16x4 −x2 −18x−81)−(8x3 −10x2 +15x−27)(16x4 −x2 −18x−81) = (16x4 −x2 −18x−81)2 =
[(8x3 ) −(10x2 ) +(15x) −27 ][16x4 −(x2 +18x+81)2 ] =
−[(2x)3 −33 −5x(2x−3)][(16x4 ) −(x2 ) −(18x) −(81) ] [16x4 −(x2 +18x+81)2 ]2 (3 · 8x3−1 −2 · 10x2−1 +15x1−1 −0)[16x4 −(x+9)2 ]
−[(2x−3)(4x2 +6x+9)−5x(2x−3)](4 · 16x4−1 −2 · x2−1 −18x1−1 −0) [16x4 −(x+9)2 ]2 2 2 (24x −20x+15)[(4x −x−9)(4x2 +x+9)]−(2x−3)(4x2 +6x+9−5x)(64x3 −2x−18) = = [(4x2 − x − 9)(4x2 +x+9)]2 (4x2 +x+9)[(24x2 − 20x+15)(4x2 − x − 9) − (2x − 3)(64x3 − 2x − 18)] (4x2 +x+9)2 (4x2 − x − 9)2 =
(96x4 − 24x3 − 216x2 − 80x3 + 20x2 + 180 + 60x2 − 15x − 135) − (128x4 − 192x3 − 4x2 + 6x − 36x + 54) (4x2 + x + 9)(4x2 − x − 9)2 4 3 96x − 104x − 136x2 + 165x − 135 − 128x4 + 192x3 + 4x2 + 30x − 54 = (4x2 + x + 9)(4x2 − x − 9)2 −32x4 + 88x3 − 132x2 + 195x − 189 = (4x2 + x + 9)(4x2 − x − 9)2 −32x4 + 96x3 − 84x2 − 8x3 − 48x2 + 195x − 189 = (4x2 + x + 9)(4x4 − x − 9)2 =
957
4
ˇ ˇ DETALJNA RJESENJA ZADATAKA IZ UDZBENIKA MATEMATIKA 4 ZA 4. RAZRED GIMNAZIJE
4x2 (−8x2 + 24x − 21) − 8x3 + 24x2 − 21x − 72x2 + 216x − 189 (4x2 + x + 9)(4x4 − x − 9)2 4x2 (−8x2 + 24x − 21) + x(−8x2 + 24x − 21) + 9(−8x2 + 24x − 21) = (4x2 + x + 9)(4x2 − x − 9)2 2 2 (4x + x + 9)(−8x + 24x − 21) −8x2 + 24x − 21 = = ; (4x2 + x + 9)(4x2 − x − 9)2 (4x2 − x − 9)2
7 x −1 (x7 − 1) (x7 + 1) − (x7 − 1)(x7 + 1) 11) f (x) = = x7 + 1 (x7 + 1)2 7 7 7 7 [(x ) − 1 ](x + 1) − (x − 1)[(x ) + 1 ] = (x7 + 1)2 7−1 7 − 0)(x + 1) − (x7 − 1)(7 · x7−1 + 0) (7 · x 7x6 (x7 + 1) − 7x6 (x7 − 1) = = = (x7 + 1)2 (x7 + 1)2 7x6 (x7 + 1 − x7 + 1) 14x6 = 7 . 7 2 (x + 1) (x + 1)2 =
958
ˇ ˇ DETALJNA RJESENJA ZADATAKA IZ UDZBENIKA MATEMATIKA 4 ZA 4. RAZRED GIMNAZIJE
Zadatak 9.
Rjeˇsenje.
Deriviraj sljede´ce funkcije: x−1 √ ; 2) f (x) = 1) f (x) = 1+ x √ 1− 3 x ; 4) f (x) = 3) f (x) = √ 3x √ √ ( x + 1)(x2 − x) √ √ 5) f (x) = ; x x+x+ x √ x x−x √ ; 6) f (x) = x− x √ (1 + x)3 √ √ ; 7) f (x) = x x + 2x + x √ √ √ ( x − x)(x x + x + x) √ 8) f (x) = . x x−1 1) f (x) = 1 1 = √ ; 2 x
4
x+1 ; √ 3x+1 √ x3 − 1 √ ; x−1
√
√ √ √ x−1 ( x − 1)( x + 1) √ √ = = ( x − 1) = ( x) − 1+ x x+1
√
√ 3 x + 1)( 3 x2 − √ 3 x + 1) √ √ x + 1 ( 3 2 2) f (x) = √ = = ( x − 3x+ √ 3x+1 3x+1 √ 2 1 √ 2 2 1 1 3 1) = ( x2 ) − ( 3 x) + 1 = (x 3 ) − (x 3 ) + 0 = x 3 −1 − x 3 −1 = 3 3 2 −1 1 1 −2 2 1 2 3 3 x − √ ; − x = 1 − 2 = √ 3 3 3 3 x 3 3 x2 3x 3 3x 3 √
3 x 1 1 − 1 1 −1 = = √ − 1 = (x− 3 ) − 0 = 3) f (x) = √ 1 3x 3x x3 1 − 1 −1 1 −4 1 1 − x 3 ; = − x 3 == − 4 = − √ 3 3 3x 3 x 3 3x √ √ √
√ x3 − 1 ( x − 1)(x + x + 1) √ = = (x + x + 1) = 4) f (x) = √ x−1 x−1 1 √ 1 1 1 1 1 x + ( x) + 1 = x1−1 + (x 2 ) + 0 = 1 + x 2 −1 = 1 + x− 2 = 1 + 1 = 2 2 2x 2 1 1+ √ ; 2 x √ √ √ √
√ x( x + 1)(x x − 1) ( x + 1)(x2 − x) √ √ √ √ 5) f (x) = = x x+x+ x x(x + x + 1)
√ √ √ ( x + 1)( x − 1)(x + x + 1) √ = = (x − 1) = x − 1 = x1−1 − 0 = 1 ; x+ x+1
√ √ √ 1 x x−x x( x − 1) √ 6) f (x) = = √ √ = ( x) = √ ; x− x x( x − 1) 2 x
√ √ √ (1 + x)3 (1 + x)3 (1 + x)3 √ √ √ √ 2 = 7) f (x) = = √ = √ x x + 2x + x x(x + 2 x + 1) x(1 + x)
959
4
ˇ ˇ DETALJNA RJESENJA ZADATAKA IZ UDZBENIKA MATEMATIKA 4 ZA 4. RAZRED GIMNAZIJE
√
1 1+ x 1 1 1 1 3 1 √ = √ +1 = (x− 2 ) = − x− 2 −1 = − x− 2 = − = 3 2 2 x x 2x− 2 1 − √ ; 2x x √ √
√ √ √
√ √ x(1 − x) x(x + x + 1) ( x − x)(x x + x + x) √ √ √ 8) f (x) = = = x x−1 ( x − 1)(x + x + 1) −(x) = −x1−1 = −1 .
960
ˇ RJESENJA
Zadatak 10.
Rjeˇsenje.
1 ; sin x 1 3) f (x) = ; tg x
1) f (x) =
4
1 1 + ; sin x cos x tg x 4) f (x) = ; ctg x 2) f (x) =
5) f (x) = tg x · ctg x ; 6) f (x) = tg x + ctg x . cos x 1 1 (sin x) − 1 · (sin x) 1) f (x) = =− 2 ; = 2 sin x sin x sin x 1 sin x 1 1 1 cos x + = 2) f (x) = = + =− 2 + sin x cos x sin x cos x sin x cos2 x sin3 x − cos3 x ; sin2 x · cos2 x 1 2 1 · tg x − 1 · (tgx) 1 1 cos 3) f (x) = =− 2 =− 2 ; = 2 tg x tg x sin x sin x 2 cos x ctg x tg x + 2 2 ctg x − tg x · (ctg x) tg x (tg x) 4) f (x) = = cos x 2 sin x = = 2 ctg x ctg x ctg x 1 2 1 + sin x cos x sin x cos x = sin x cos x = 2 sin x ; ctg2 x cos3 x cos2 2 sin x sin x cos x 5) f (x) = (tg x · ctg x) = · = 1 = 0 ; cos x sin x 1 sin2 x − cos2 x 1 − 2 = = 6) f (x) = (tg x+ctg x) = (tg x) +(ctg x) = 2 cos x sin x sin2 x cos2 x 4 cos 2x cos2 x − sin2 x =− 2 − . 1 2 sin 2x sin 2x 4
163
4
ˇ ˇ DETALJNA RJESENJA ZADATAKA IZ UDZBENIKA MATEMATIKA 4 ZA 4. RAZRED GIMNAZIJE
Zadatak 11.
Deriviraj sljede´ce funkcije: f (x) = x sin x ; f (x) = x − sin x cos x ; f (x) = x sin x cos x; f (x) = tg x − ctg x ; 1 − tg x ; 5) f (x) = 1 + tg x 1 ; 6) f (x) = tg x + cos x x + sin x ; 7) f (x) = x − sin x x + tg x 8) f (x) = ; x − tg x sin x − cos x ; 9) f (x) = sin x + cos x tg x − ctg x 10) f (x) = . tg x + ctg x 1) 2) 3) 4)
Rjeˇsenje.
962
1) f (x) = (x sin x) = x sin x + x(sin x) = x1−1 sin x + x · cos x = sin x + x cos x ; 2) f (x) = (x − sin x cos x) = x − (sin x cos x) = 1 − [(sin x) cos x + sin x(cos x) = 1 − [cos x · cos x + sin x · (− sin x) == 1 − (cos2 x − sin2 x) = 1 − cos 2x = 2 sin2 x ; 3) f (x) = (x sin x cos x) = x · (sin x cos x) + x(sin x) cos x + x sin x(cos x) = 1 sin x cos x + x cos2 x − x sin2 x = sin x cos x + x(cos2 x − sin2 x) = sin 2x + 2 x cos 2x ; 1 sin2 x + cos2 x 1 4) f (x) = (tg x−ctg x) = (tg x) −(ctg x) = + = = cos2 x sin2 x sin2 x cos2 x 4 1 = ; 1 2 sin2 2x sin 2x 4 ⎛ sin x ⎞
1− 1 − tg x cos x − sin x cos x ⎝ ⎠ 5) f (x) = = sin x = cos x + sin x 1 + tg x 1+ cos x (cos x − sin x) (cos x + sin x) − (cos x − sin x)(cos x + sin x) = (cos x + sin x)2 [(cos x) − (sin x) ](cos x + sin x) − (cos x − sin x)[(cos x) + (sin x) ] = (cos x + sin x)2 (− sin x − cos x)(cos x + sin x) − (cos x − sin x)(− sin x + cos x) = (cos x + sin x)2 2 −(sin x + cos x) + (cos x − sin x)2 = cos2 x + 2 cos x sin x + sin2 x −(cos2 x + 2 sin x cos x + sin2 x) − (sin2 x − 2 sin x cos x + cos2 x) = 1 + 2 sin x cos x 2 −1 − 2 sin x cos x − 1 + 2 sin x cos x =− ; = 1 + sin 2x 1 + sin 2x
ˇ ˇ DETALJNA RJESENJA ZADATAKA IZ UDZBENIKA MATEMATIKA 4 ZA 4. RAZRED GIMNAZIJE
4
1 1 sin x sin x + 1 + 6) f = = cos x cos x cos x cos x 2 cos x + (1 + sin x) sin x (sin x + 1) cos x − (sin x + 1)(cos x) = = cos2 x cos2 x 2 2 sin x + sin x + cos x 1 + sin x 1 − sin x = = · 1 − sin x cos2 x cos2 x cos2 x 1 1 − sin2 x ; = = = 2 2 1 − sin x cos x(1 − sin x) cos x(1 − sin x)
x + sin x (x + sin x) (x − sin x) − (x + sin x)(x − sin x) 7) f (x) = = = x − sin x (x − sin x)2 (1 + cos x)(x − sin x) − (x + sin x)(1 − cos x) (x − sin x)2 x − sin x + x cos x − sin x cos x − x + x cos x − sin x + sin x cos x 2(x cos x − sin x) = = ; 2 (x − sin x) (x − sin x)2 ⎛ sin x ⎞
x + x + tg x cos x ⎠ = x cos x + sin x =⎝ 8) f (x) = sin x x − tg x x cos x − sin x x− cos x (x cos x + sin x) (x cos x − sin x) − (x cos x + sin x)(x cos x − sin x) = (x cos x − sin x)2 [(x cos x) + (sin x) ](x cos x − sin x) − (x cos x + sin x)[(x cos x) − (sin x) ] = (x cos x − sin x)2 [x cos x+x(cos x) + cos x](x cos x− sin x)−(x cos x+ sin x)[x cos x+x(cos x) − cos x] = (x cos x − sin x)2 (cos x − x sin x + cos x)(x cos x − sin x) − (x cos x + sin x)(cos x − x sin x − cos x) = (x cos x − sin x)2 (2 cos x − x sin x)(x cos x − sin x) − (x cos x + sin x)(−x sin x) = (x cos x − sin x)2 2x cos2 x − 2 sin x cos x − x2 sin x cos x + x sin2 x + x2 cos x sin x + x sin2 x = (x cos x − sin x)2 2 2x cos x − 2 sin x cos x + 2x sin2 x 2x(cos2 x + sin2 x) − sin 2x = = (x cos x − sin x)2 (x cos x − sin x)2 2x − sin 2x = ; (x cos x − sin x)2
sin x − cos x 9) f (x) = sin x + cos x (sin x − cos x) (sin x + cos x) − (sin x − cos x)(sin x + cos x) = (sin x + cos x)2 [(sin x) − (cos x)](sin x + cos x) − (sin x − cos x)[(sin x) + (cos x) ] = (sin x + cos x)2 (cos x + sin x)(sin x + cos x) − (sin x − cos x)(cos x − sin x) = (sin x + cos x)2 (cos x + sin x)2 + (sin x − cos x)2 = (sin x + cos x)2 (x)
= tg x +
963
4
ˇ ˇ DETALJNA RJESENJA ZADATAKA IZ UDZBENIKA MATEMATIKA 4 ZA 4. RAZRED GIMNAZIJE
2 cos2 x + 2 sin x cos x + sin2 x + sin2 x − 2 sin x cos x + cos2 x = = 1 + 2 sin x cos x (sin2 x + 2 sin x cos x + cos2 x 2 ; 1 + sin 2x ⎞ ⎛ 2 ⎛ sin x sin x − cos2 x cos x ⎞
− ⎟ tg x − ctg x x sin x ⎠ = ⎜ ⎜ sin x cos x ⎟ = 10) f (x) = = ⎝ cos sin x cos x ⎝ 2 2 tg x + ctg x sin x + cos x ⎠ + cos x sin x sin x cos x (sin2 x − cos2 x) = [(sin x − cos x)(sin x + cos x)] = (sin x − cos x) (sin x + cos x) + (sin x − cos x)(sin x + cos x) = [(sin x) − (cos x) ](sin x + cos x) + (sin x − cos x)[(sin x) + (cos x) ] = (cos x + sin x)(sin x + cos x) + (sin x − cos x)(cos x−sin x) = (sin x+cos x)2 −(sin x−cos x)2 = sin2 x+2 sin x cos x+ cos2 x − sin2 x + 2 sin x cos x − cos2 x = 4 sin x cos x = 2 sin 2x . =
964
4
ˇ RJESENJA
Zadatak 12.
Rijeˇsi jednadˇzbu f (x) = 0 , ako je: 1) f (x) = x3 − 6x2 + 12x − 1 ; √ 2) f (x) = 2x3 − 3x2 − 12x + 5 ; 3) f (x) = x4 − 4x3 − 8x2 + 11 ; 4) f (x) = x5 − x3 − 2x + 25 .
Rjeˇsenje.
1) f (x) = (x3 −6x2 +12x−1) = (x3 ) −(6x2 ) +(12x) −1 = 3x2 −12x+12 , 3x2 − 12x + 12 = 0 3(x2 − 4x + 4) = 0 (x − 2)2 =0 x =2; √ 3 2 2) f (x) = (2x − 3x − 12x + 5) = 6x2 − 6x − 12 , 6x2 − 6x − 12 = 0 x2 − x − 2 = 0
√ 1±3 1+8 = 2 2 x1 = −1, x2 = 2;
x1,2 =
1±
3) f (x) = (x4 − 4x3 − 8x2 + 11) = 4x3 − 12x2 − 16x , 4x3 − 12x2 − 16x = 0 x3 − 3x2 − 4 = 0 x3 + x2 − 4x2 − 4x = 0 x2 (x + 1) − 4x(x + 1) = 0 (x + 1)(x2 − 4x) =0 x(x + 1)(x − 4) = 0 x1 = −1, x2 = 0, x3 = 4; 4) f (x) = (x5 − x3 − 2x + 25 ) = 5x4 − 3x2 − 2 , 5x4 − 3x2 − 2 = 0 3x4 + 2x4 − 3x2 − 2 = 0 3x2 (x2 − 1) + 2(x4 − 1) = 0 3x2 (x2 − 1) + 2(x2 − 1)(x2 + 1) = 0 (x2 − 1)[3x2 + 2(x2 + 1)] = 0 (x − 1)(x + 1)[3x2 + 2x2 − 2] = 0 (x − 1)(x + 1)(5x2 − 2) = 0 x1,2 = ±1 x3,4 = ± −
166
√ 2 = ± 0.4i. 5
ˇ RJESENJA
Zadatak 13.
Rijeˇsi jednadˇzbu f (x) = 0 , ako je: x ; 2 4) f (x) = tg x + ctg x .
1) f (x)=2 cos x+x ;
2) f (x) = sin x +
3) f (x)= sin x+ cos x ; Rjeˇsenje.
4
1) f (x) = (2 cos x + x) = (2 cos x) + x = −2 sin x + 1 , −2 sin x + 1 = 0 1 sin x = 2 π x = + k · 2π ili 6 5π + k · 2π , k ∈ Z; x= 6 x x 1 = cos x + , 2) f (x) = (sin x + ) = (sin x) + 2 2 2 1 cos x + = 0 2 1 cos x = − 2 π x = ± + k · 2π , k ∈ Z; 3 3) f (x) = (sin x + cos x) = (sin x) + (cos x) = cos x − sin x , cos x − sin x = 0 cos x = sin x/ : cos x, cos x = 0 tg x = 0 π x = + k · π , k ∈ Z; 4 1 1 − , 4) f (x) = (tg x + ctg x) = (tg x) + (ctg x) = 2 cos x sin2 x 1 1 − = 0/ · sin2 x cos2 x sin2 x tg2 x − 1 = 0 tg2 x = 1 tg x = ±1 π π x = + k · , k ∈ Z. 4 2
167
4
ˇ RJESENJA
Zadatak 14.
Rijeˇsi u skupu f (x) = g (x) ako je:
realnih
brojeva
jednadˇzbu
1) f (x) = − 14 x4 + 2x , g(x) = 13 x3 ; 2) f (x) = 12 x4 , g(x) = − 12 x2 + 3 ;
Rjeˇsenje.
3) f (x) = 14 x4 + 13 x3 , g(x) = 12 x2 + 10x . 1 4 1 4 1 3 1) f (x) = − x + 2x = − x +(2x) = 4· − x +2 = −x3 +2 , 4 4 4 1 3 1 2 2 x =3· x =x ; g (x) = 3 3 −x3 + 2 = x2 x3 + x2 − 2 = 0 (x − 1) (x2 + 2x + 2) = 0 $ %& ' >0, ∀x∈R
x = 1;
1 4 1 x = 4 · x3 = 2x3 , 2) f (x) = 2 2 1 2 1 2 1 x + 3 = −2 · x + 0 = −x ; g (x) = − x + 3 = − 2 2 2 2x3 = −x 2x3 + x = 0 x (2x2 + 1) = 0 $ %& ' >0, ∀x∈R
x = 0; 1 3 1 4 1 3 1 4 1 1 x + x x + x = = 4· x3 +3· x2 = x3 +x2 , 3) f (x) = 4 3 4 3 4 3 1 2 1 2 1 x + 10x = x + (10x) = 2 · x + 10 = x + 10 ; g (x) = 2 2 2
x3 + x2 = x + 10 x3 + x2 − x − 10 = 0 (x − 2) (x2 + 3x + 5) = 0 $ %& ' >0, ∀x∈R
x = 2.
168
ˇ RJESENJA
Zadatak 15.
Rjeˇsenje.
4
Rijeˇsi nejednadˇzbu f (x) > g (x) ako je: √ 1) f (x) = 2x3 − x2 + 3 , √ g(x) = x3 − 12 x2 − 3 ; 2) f (x) = 2 , g(x) = x − x3 . x √ √ 1) f (x) = (2x3 − x2 + 3) = (2x3 ) − (x2 ) + ( 3) = 3 · 2x2 − 2x + 0 = 6x2 − 2x, √ 1 2 √ 1 2 1 3 3 x − ( 3) = 3x2 − 2 · x − 0 = g (x) = x − x − 3 = (x ) − 2 2 2 3x2 − x ; 6x2 − 2x > x2 − x 3x2 − x > 0 x(3x − 1) > 0 x<0 3x < 1
x>0 3x > 1 ) (1 , +∞ x∈ 3
x ∈ −∞, 0 ) (1 , +∞ ; x ∈ −∞, 0 ∪ 3 2 2 = (2x−1 ) = −1 · 2x−1−1 = −2x−2 = − 2 , 2) f (x) = x x g (x) = (x − x3 ) = x − (x3 ) = 1 − 3x2 , 2 − 2 > 1 − 3x2 x 2 − 2 − 1 + 3x2 > 0 x 3x4 − x2 − 2 >0 x2 3x4 − x2 − 2 > 0 (jer je x2 0 ∀x ∈ R) (3x2 + 2)(x2 − 1) > 0 $ %& ' >0, ∀x∈R
x2 > 1 |x| > 1.
169
ˇ ˇ DETALJNA RJESENJA ZADATAKA IZ UDZBENIKA MATEMATIKA 4 ZA 4. RAZRED GIMNAZIJE
Zadatak 16.
Odredi sve derivacije funkcija: 1) f (x) = 2x5 − 3x ;
2) f (x) =
4
x6 ; 90
3) f (x) = ax4 + bx3 + cx2 + dx + e . Rjeˇsenje.
1) f (x) = 2x5 − 3x ; f (x) =(2x5 − 3x) = (2x5 ) − (3x) = 5 · 2x4 − 3 = 10x4 − 3 f (x) =(10x4 − 3) = (10x4 ) − 3 = 4 · 10x3 = 40x3 f (x) =(40x3 ) = 3 · 40x2 = 120x2 f iv (x) =(120x2 ) = 2 · 120x = 240x f (5) (x) =(240x) = 240 f (n) (x) =(240) = 0, 2) f (x) =
x6 90
n6
; 6 x5 x x5 = f (x) = =6· 90 90 15 5 4 x4 x x = =5· f (x) = 15 15 3 4 4x3 x x3 = f (x) = =4· 3 3 3 3 2 4x 4x = 4x2 =3· f iv = 3 3
f (5) (x) =(4x2 ) = 2 · 4x = 8x f (6) (x) =(8x) = 8 f (n) (x) =8 = 0,
n7
3) f (x) = ax4 + bx3 + cx2 + dx + e ; f (x) =(ax4 + bx3 + cx2 + dx + e) = (ax4 ) + (bx3 ) + (cx2 ) + (dx) + e = 4 · ax3 + 3 · bx2 + 2 · cx + d + 0 = 4ax3 + 3bx2 + 2cx + d f (x) =(4ax3 + 3bx2 + 2cx + d) = (4ax3 ) + (3bx2 ) + (2cx) + d = 3 · 4ax2 + 2 · 3bx + 2c + 0 = 12ax2 + 6bx + 2c f (x) =(12ax2 + 6bx + 2c) = (12ax2 ) + (6bx) + (2c) = 2 · 12ax + 6b + 0 = 24ax + 6b f (iv) (x) =(24ax + 6b) = 24a f (n) (x) =(24a) = 0,
n5
969
ˇ RJESENJA
Zadatak 17.
Odredi prve dvije derivacije funkcija: 1) f (x)= tg x+ ctg x ; 3) f (x) = tg x · ctg x .
Rjeˇsenje.
4
2) f (x) = sin x − tg x ;
1) 1 1 − cos2 x sin2 x sinx − cos2 x −(cos2 x − sin2 x) cos 2x = = 1 = − 1 2 2 sin x cos x 2 1 sin2 2x sin x cos x 4 2 −4 ctg 2x cos 2x = = −4 2 sin 2x sin 2x ctg 2x f (x) = −4 sin 2x (ctg 2x) sin 2x − ctg 2x(sin 2x) = −4 sin2 2x cos 2x −1 · cos 2x · 2 · 2 · sin 2x − 2 2x sin 2x sin = −4 2 sin 2x −2 2 cos2 2x − = −4 sin 2x 2 sin 2x sin 2x 8 + 8 cos2 2x = ; sin3 2x
f (x) =(tg x + ctg x) = (tg x) + (ctg x) =
2) 1 1 2 = cos x − = cos x − cos 2x + 1 cos 2x + 1 cos2 x 2 (cos 2x + 1) − 2(cos 2x + 1) 2 f (x) = − sin x − (cos 2x + 1)2 −4 sin 2x = − sin x + cos 2x + 1 2 4· 2 2 sin x cos x = − sin x − (cos2 x 2 2 sin x ; = − sin x − cos3 x 3) f (x) = tg x · ctg x = 1 , f (n) (x) = 0 , ∀n ∈ N . f (x) = (sin x − tg x) = cos x −
171
4
ˇ RJESENJA
Zadatak 18.
Odredi prve cˇ etiri derivacije funkcija: x−1 ; x+1 3) f (x) = x sin x .
1) f (x) = Rjeˇsenje.
1)
2) f (x) =
1 ; 1+x
x + 1 − (x − 1) x+1−x+1 2 = = = 2(x + 1)−2 (x + 1)2 (x + 1)2 (x + 1)2 4 f (x) = − 4(x + 1)−3 = − = −4(x + 1)−3 (x + 1)3 12 f (x) =12(x + 1)−4 = = 12(x + 1)−4 (x + 1)4 48 f iv (x) = − 48(x + 1)−5 = − (x + 1)5 2 · n! f n (x) =(−1)n+1 , n ∈ N; (x + 1)n+1 2) 1 1 f (x) = = [(x + 1)−1 ] = −(x + 1)−2 = − 1+x (x + 1)2 2 f (x) =2(x + 1)−3 = (x + 1)3 6 f (x) = − 6(x + 1)−4 = − (x + 1)4 24 f iv (x) =24(x + 1)−5 = (x + 1)5 n! f n (x) =(−1)n · , n ∈ N; (x + 1)n+1 3) f (x) =(x sin x) = sin x + x cos x
f (x) =
x−1 x+1
=
f (x) = cos x + cos x − x sin x = 2 cos x − x sin x f (x) = − 2 sin x − sin x − x cos x = −3 sin x − x cos x f iv (x) = − 3 cos x − cos x + x sin x = −4 cos x + x sin x.
172
ˇ RJESENJA
Zadatak 19. Rjeˇsenje.
Odredi polinom tre´ceg f (x) = ax3 + bx za koji je f (1) = 1 , f (1)=4 .
stupnja
4
oblika
f (x) = ax3 + bx ; f (x) =3ax2 + b,
f (x) = 6ax 2 f (1) =6a = 4 =⇒ a = 3 f (1) =3a + b = 2 + b = 1 =⇒ b = −1 2 =⇒ f (x) = x3 − x. 3
173
4
ˇ RJESENJA
Rjesenja ˇ zadataka 4.3 Zadatak 1.
Izraˇcunaj derivacije sljede´cih funkcija: 1) f (x) = (x − 1)2 ; 3) f (x) = (x2 + 1)2 ; 5) f (x) = (1 − x2 )3 ;
2) f (x) = (x + 1)3 ; 4) f (x) = (2x − 1)3 ; 6) f (x) = (1 − x)3 ;
7) f (x) = (1 − 2x2 )2 ; 8) f (x) = (5x2 − 3x + 1)2 ; 9) f (x) = (x3 − 4x)3 ; 10) f (x) = (4x + 1)3 − (x2 − 1)2 . Rjeˇsenje.
174
1) f (x) = [(x − 1)2 ] = 2 · (x − 1)2−1 · (x − 1) = 2(x − 1) ; 2) f (x) = [(x + 1)3 ] = 3 · (x + 1)3−1 · (x + 1) = 3(x + 1)2 ; 3) f (x) = [(x2 +1)2 ] = 2·(x2 +1)2−1 ·(x2 +1) == 2(x2 +1)·2x = 4x(x2 +1) ; 4) f (x) = [(2x−1)3 ] = 3·(2x−1)3−1 ·(2x−1) = 3(2x−1)2 ·2 = 6(2x−1)2 ; 5) f (x) = [(1 − x2 )3 ] = 3 · (1 − x2 )3−1 · (1 − x2 ) = 3(1 − x2 )2 · (−2x) = −6x(1 − x2 )2 ; 6) f (x) = [(1 − x)3 ] = 3 · (1 − x)3−1 · (1 − x) = −3(1 − x)2 ; 7) f (x) = [(1 − 2x2)2 ] = 2 · (1 − 2x2)2−1 · (1 − 2x2 ) = 2(1 − 2x2) · (−4x) = −8x(1 − 2x2 ) ; 8) f (x) = [(5x2 − 3x + 1)2 ] = 2 · (5x2 − 3x + 1)2−1 · (5x2 − 3x + 1) = 2(5x2 − 3x + 1)(10x − 3) = 2(10x − 3)(5x2 − 3x + 1) ; 9) f (x) = [(x3 − 4x)3 ] = 3 · (x3 − 4x)3−1 · (x3 − 4x) = 3(x3 − 4x)2 (3x2 − 4) ; 10) f (x) = [(4x + 1)3 − (x2 − 1)2 ] = [(4x + 1)3 ] − [(x2 − 1)2 ] = 3·(4x+1)3−1 ·(4x+1) −2·(x2 −1)2−1 ·(x2 −1) = 3(4x+1)2 ·4−2(x2 −1)·2x = 12(4x + 1)2 − 4x(x2 − 1) .
ˇ RJESENJA
Zadatak 2.
4
Izraˇcunaj derivacije sljede´cih funkcija: √ 1) f (x) = (x + x)2 ; √ 2) f (x) = (x x − 1)3 ; √ 3) f (x) = (1 + x + x)2 ; 4) f (x) = (2x + 3)2 (3 − 2x)3 ; 5) f (x) = (x − 1)2 (x + 1)2 ; 6) f (x) = (1 + 2x)(x − 3)2 (2 − 5x)3 ; 7) f (x) = (x − 1)2 (x + 1) − (x + 1)2 (x − 1) ; 8) f (x) = (x2 − 1)(x4 + x2 + 1) + (1 − x2 )3 .
Rjeˇsenje.
√ √ √ √ 1 1) f (x) = [(x + x)2 ] = 2 · (x + x) · (x + x) = 2(x + x) 1 + √ = 2 x √ √ √ √ 2 x+1 √ √ 2 x(1 + x) √ = (1 + x)(1 + 2 x) = 2x + 3 x + 1 ; 2 x √ √ √ √ 2) f (x) = [(x x − 1)3 ] = 3 · (x x − 1)3−1 · (x x − 1) = 3(x x − 3√ 9√ √ 1)2 x = x(x x − 1)2 ; 2 2 √ √ √ 3) f (x) = [(1 + x + x)2 ] = 2 · (1 + x + x) · (1 + x + x) = √ 1 2(1 + x + x) √ + 1 ; 2 x 4) f (x) = [(2x + 3)2 (3 − 2x)3 ] = 2 · (2x + 3)2−1 (2x + 3) (3 − 2x)3 + (2x + 3)2 · 3 · (3 − 2x)3−1 · (3 − 2x) = 2(2x + 3) · 2(3 − 2x)3 − 6(2x + 3)2(3 − 2x)2 = (2x+3)(3−2x)2[4(3−2x)−6(2x+3)] = (2x+3)(3−2x)2[12−8x−12x−18] = −(2x + 3)(3 − 2x)2 · 2(10x + 3) = −2(2x + 3)(3 − 2x)2 (10x + 3) ; 5) f (x) = [(x − 1)2 (x + 1)2 ] = 2(x − 1)2−1 · (x − 1) (x + 1)2 + (x − 1)2 · 2 · (x + 1)2−1 · (x + 1) = 2(x − 1)(x + 1)2 + 2(x − 1)2 (x + 1) = 2(x − 1)(x + 1)[x + 1 + x − 1] = 2(x2 − 1)2x = 4x(x2 − 1) ; 6) f (x) = [(1 + 2x)(x − 3)2 (2 − 5x)3 ] = (1 + 2x) (x − 3)2 (2 − 5x)3 + (1 + 2x)·2·(x−3)2−1 (x−3) (2−5x)3 +(1+2x)(x−3)2 ·3·(2−5x)3−1 (2−5x) = 2(x− 3)2 (2 − 5x)3 + 2(1 + 2x)(x− 3)(2 − 5x)3 − 15(1 + 2x)(x− 3)2(2 − 5x)2 = (x − 3)(2 − 5x)2 [2(x − 3)(2 − 5x) + 2(1 + 2x)(2 − 5x) − 15(1 + 2x)(x − 3)] = (x − 3)(2 − 5x)2 [4x − 10x2 − 12 + 30x + 4 − 10x + 8x − 20x2 − 45x + 45 − 30x2 + 45x] = (x − 3)(2 − 5x)2 (−60x2 + 107x + 37) ; 7) f (x) = [(x − 1)2 (x + 1) − (x + 1)2 (x − 1)] = [(x2 − 1)(x − 1 − x − 1)] = [−2(x2 − 1)] = −2(x2 − 1) = −2(2x) = −4x ; 8) f (x) = [(x2 − 1)(x4 + x2 + 1) + (1 − x2 )3 ] = [x6 − 1 + (1 − x2 )3 ] = (x6 ) −1 +[(1−x2)3 ] = 6x5 −0+3·(1−x2)3−1 ·(1−x2 ) = 6x5 +3(1−x2)2 · (−2x) = 6x5 − 6x(1 − x2)2 = 6x[x4 − (1 − x2)2 ] = 6x(x2 − 1 + x2)(x2 + 1 − x2) = 6x(2x2 − 1) .
175
4
ˇ RJESENJA
Zadatak 3.
Rjeˇsenje.
176
Deriviraj sljede´ce funkcije: √ 1) f (x) = x2 + 1 ; √ 3) f (x) = 1 + 3x2 ;
√ 5) f (x) = x + x ;
7) f (x) = 4 (x2 + 1)3 ; √ 8) f (x) = 3 1 − 2x .
√ 1 − 2x ;
4) f (x) = 4 − 3x2 ;
√ 6) f (x) = 1 − x ; 2) f (x) =
√ 1 1 1 1 1) f (x) = [ x2 + 1] = [(x2 + 1) 2 ] = (x2 + 1) 2 −1 (x2 + 1) = (x2 + 2 2 1 x ; 1)− 2 · 2x = √ x2 + 1 √ 1 1 1 1 2) f (x) = [ 1 − 2x] = [(1 − 2x) 2 ] = (1 − 2x) 2 −1 (1 − 2x) = (1 − 2 2 1 1 2x)− 2 (−2) = − √ ; 1 − 2x √ 1 1 1 3) f (x) = [ 1 + 3x2 ] = [(3x2 + 1) 2 ] = (3x2 + 1) 2 −1 (3x2 + 1) = 2 1 3x 1 2 (3x + 1)− 2 6x = √ ; 2 3x2 + 1
1 1 1 4) f (x) = [ 4 − 3x2 ] = [(4 − 3x2 ) 2 ] = (4 − 3x2 ) 2 −1 (4 − 3x2 ) = 2 3x 1 − 12 2 (4 − 3x ) · (−6x) = −
; 2 4 − 3x2
1 1 1 1 1 √ 1 5) f (x) = [ x + x] = [(x + x 2 ) 2 ] = (x + x 2 ) 2 −1 (x + x 2 ) = √ 2 1 1 −1 1 1+2 x 1 1 −1 2 2 2 (x + x ) =
· 1+ x √ · 1+ √ = 2 √ ; 2 2 2 x 2 x+ x 4 x +x x
1 1 1 1 1 √ ( 1 6) f (x) = [ 1 − x] = [(1 − x 2 ) 2 ] = − x 2 ) 2 −1 (1 − x 2 ) = (1 − 1 2 1 1 1 1 1 1 1 1 x 2 )− 2 − x− 2 =
√ − √ =−
√ ; 2 2 x 2 1− x 4 x−x x
3 3 3 7) f (x) = [ 4 (x2 + 1)3 ] = [(x2 + 1) 4 ] = (x2 + 1) 4 −1 (x2 + 1) = 4 1 3x 3 2 (x + 1)− 4 2x = √ ; 4 4 2 x2 + 1 √ 1 1 1 8) f (x) = [ 3 1 − 2x] = [(1 − 2x) 3 ] = (1 − 2x) 3 −1 (1 − 2x) = 3 2 1 2 (1 − 2x)− 3 · (−2) = −
. 3 3 3 (1 − 2x)2
4
ˇ ˇ DETALJNA RJESENJA ZADATAKA IZ UDZBENIKA MATEMATIKA 4 ZA 4. RAZRED GIMNAZIJE
Zadatak 4.
Deriviraj funkcije: x−2 ; 1) f (x) = x2 − 1 x2 − 1 ; 3) f (x) = x2 + 1 √ 5) f (x) = (x − 1) x2 + 1 ; √ 6) f (x) = (x + 1)2 x − 1 ; 8 x−2 ; 7) f (x) = 2 2x − 4 1 ; 8) f (x) = (x − 1) x2 − 1 √ x−2 x−1 9) f (x) = x · √ ; x−1−1 x2 − 1 2 1+ 2x . 10) f (x) = 1 (x2 + 1) · 2 x A
Rjeˇsenje.
976
x−2 = x2 − 1
B
√ x+1 2) f (x) = √ ; x−1 3 4) f (x) = ; 2x2 − 1
1
1
= [(x − 2)(x2 − 1)− 2 ] = (x − 2) (x2 − 1)− 2 + (x −
1 1 − 12 − 12 2 2 2)[(x − 1) ] = (x − 1) (x2 − 1)− 2 −1 (x2 − 1) = + (x − 2) − 2 1 x(x − 2) 1 1 1 − 23 2 − (x − 2)(x − 1) · 2x = − − = 3 x2 − 1 2 x2 − 1 (x2 − 1) 2 x2 − 1 (x − 2)x 2x − 1 x2 − 1 − x2 + 2x = ; = 2 3 2 2 (x − 1) (x2 − 1)3 (x − 1) x − 1 √
1 1 1 1 x+1 2) f (x) = √ = [(x + 1) 2 (x − 1)− 2 ] = [(x + 1) 2 ] (x − 1)− 2 + (x + x−1
1 1 1 1 1 3 1 1 − (x − 1)− 2 = 1) 2 [(x − 1) 2 ] = (x + 1)− 2 (x − 1)− 2 + (x + 1) 2 · − 2 √ 2 √ 1 x+1 x+1 1 √ = = − − 1 1 3 2(x − 1) 2 2 (x + 1)(x − 1) 2(x − 1) x − 1 2 2(x + 1) 2√ (x − 1)√ x−1− x+1 x+1 1 x−1−x−1 =− = 2 2(x − 1) (x + 1)(x − 1) 2(x − 1) x − 1 (x − 1) x2 − 1 x−1 1 ; =− (x − 1)2 x + 1 ⎡ ⎤ 2−1 1 1 1 x ⎦ = [(x2 − 1) 2 (x2 + 1)− 2 ] = [(x2 − 1) 2 ] (x2 + 3) f (x) = ⎣ x2 + 1 1) f
(x)
ˇ ˇ DETALJNA RJESENJA ZADATAKA IZ UDZBENIKA MATEMATIKA 4 ZA 4. RAZRED GIMNAZIJE
4
1 1 1 1 1 1 1)− 2 + (x2 − 1) 2 [(x2 + 1)− 2 ] = · (x2 − 1) 2 −1 · (x2 − 1) (x2 + 1)− 2 − 2 1 1 1 1 1 2 (x − 1) 2 (x2 + 1)− 2 −1 · (x2 + 1) = x(x2 − 1)− 2 (x2 + 1)− 2 − x(x2 − 2 1 3 x2 − 1 x x x − 1) 2 (x2 + 1) 2 = − = − 1 1 3 2 (x − 1)(x2 + 1) (x2 − 1) 2 (x2 + 1) 2 (x2 + 1) 2 x(x2 + 1) − x (x2 − 1)(x2 − 1) x3 + x − x(x2 − 1) x x2 − 1 √ = = = (x2 + 1) x2 + 1 (x2 + 1) (x2 − 1)(x2 + 1) (x2 + 1) x4 − 1 x2 + 1 2x 2x x3 + x − x3 + x = = 2 ; (x + 1)2 x2 − 1 (x2 + 1) x4 − 1 (x2 + 1) x2 − 1 x2 − 1
√ √ 1 1 3 2 −1)− 2 ) = 3 − 1 (2x2 −1)− 2 −1 · 4) f (x) = = ( 3(2x 2 2 2x √ −1 √ √ 3 3 3 2x 2x 3 −2 2 2 (2x − 1) · 4x = − = − ; (2x − 1) = − 3 2 (2x2 − 1)3 (2x2 − 1) 2 √ 1 1 5) f (x) = [(x − 1) x2 + 1] [(x − 1)(x2 + 1) 2 ] = (x − 1) (x2 + 1) 2 + (x − 1 1 1 1 1 1 1)[(x2 +1) 2 ] = (x2 +1) 2 +(x−1)· (x2 +1) 2 −1 (x2 +1) = (x2 +1) 2 + (x− 2 2 2 + 1 + x2 − x 2−x+1 1 1 x(x − 1) x 2x − √ 1)(x2 +1) 2 ·2x = (x2 +1) 2 + = = √ ; 1 x2 + 1 x2 + 1 (x2 + 1) 2 √ 1 1 6) f (x) = [(x + 1)2 x − 1] = [(x + 1)2 (x − 1) 2 ] = [(x + 1)2 ] (x − 1) 2 + 1 1 1 1 (x + 1)2 [(x − 1) 2 ] = 2 · (x + 1) · (x + 1) (x − 1) 2 + (x + 1)2 · · (x − 1) 2 −1 · 2 √ 1 1 1 (x − 1) = 2(x + 1)(x − 1) 2 + (x + 1)2 (x − 1)− 2 = 2(x + 1) x − 1 + 2 √ (x + 1)2 4(x + 1)(x − 1) + x2 + 2x + 1 (x + 1)2 √ √ = = = 2(x+1) x − 1+ 1 2 x−1 2 x−1 2(x − 1) 2
5x2 + 2x − 3 4x2 − 4 + x2 + 2x + 1 √ √ = ; 2 x−1 2 x − 1A B √
√ 8 2 2 x − 2 x − 2 ·√ √ = = ( x − 2) = 7) f (x) = 2 2x − 4 2 2 x−2 1 1 −1 1 1 1 1 1 − ; [(x − 2) 2 ] = (x − 2) 2 = (x − 2) 2 = = √ 1 2 2 2 x −2 2(x − 2) 2
1 x−1 x−1 √ √ 8) f (x) = (x − 1) = = [(x − x2 − 1 x−1 x+1 x+1 1 1 1 1 1 1 1 1) 2 (x + 1)− 2 ] = [(x − 1) 2 ] (x + 1)− 2 + (x − 1) 2 [(x + 1)− 2 ] = (x − 2
1 1 1 1 1 1 1 1 1) 2 −1 (x + 1)− 2 + (x − 1) 2 · − (x + 1)− 2 −1 = (x − 1)− 2 (x + 1)− 2 − 2 2 √ √ √ 1 3 1 x−1 x+1− x−1 x−1 1 − √ (x−1) 2 (x+1) 2 = √ − = √ 2 2 x − 1 x + 1 2 (x + 1)3 2 x − 1 (x + 1)3 x+1 x+1−x+1 1 1 √ √ ; = = √ (x + 1)2 x − 1 (x + 1) x − 1 x + 1 2 x − 1 (x + 1)3
977
4
ˇ ˇ DETALJNA RJESENJA ZADATAKA IZ UDZBENIKA MATEMATIKA 4 ZA 4. RAZRED GIMNAZIJE
√ √ √ x−2 x−1 x−2 x+1 x−2 x−1 √ = x √ 9) f (x) = x · √ =x = x−1−1 ( x − 1 − 1)2 ( x − 1 − 1)2 √ √ x−2 x−1 x−2 x−1 x, x > 2 √ √ =x = x ; −x, x ∈ [1, 2
x−1−2 x−1+1 x−2 x−1 1, x > 2 f (x) = −1, 1 x < 2 √ √ x − 1 − 1 = 0 =⇒ x − 1 = 1 x − 1 0 =⇒ x 1, =⇒ x − 1 = 1 =⇒ x = 2, √ √ x − 2 x − 1 0, x 2 x − 1, x2 4x − 4,
x2 − 4x + 4 0,
(x − 2)2 0 , x ∈ R , D(f ) = [1, +∞ \{2} ; ⎛ x2 − 1 2 ⎞ ⎛ 4x2 + x4 − 2x2 + 1 ⎞ ⎜ 1+ ⎜ ⎟ ⎟ 2x 4x2 ⎟ =⎜ ⎟ 10) f (x) = ⎜ ⎝ ⎝ ⎠ ⎠ 2 1 x + 1 2 (x + 1) · 2 x x2 ⎛ 4 ⎞ ⎛ 2 ⎞ 2 x + 2x + 1 x +1 ⎜ ⎜ ± 2x ⎟ ⎟ 2 4x ⎟ =⎜ ⎟ = ±x = ±1 . =⎜ ⎝ ⎝ x2 + 1 ⎠ ⎠ 2 2 x2 + 1 x2
978
x2
4
ˇ RJESENJA
Zadatak 5.
Deriviraj funkcije: 1) f (x) = sin 2x ; √ 3) f (x) = sin x ;
2) f (x) = cos(2x + 3) ;
1 ; x 7) f (x) = ctg(x2 ) ;
√ 6) f (x) = tg( x) ;
5) f (x) = cos
Rjeˇsenje.
180
4) f (x) = cos x2 ;
8) f (x) = sin(cos x) .
f (x) = (sin 2x) = cos 2x · (2x) = 2 cos 2x ; f (x) = [cos(2x + 3)] = − sin(2x + 3) · (2x + 3) = −2 sin(2x + 3) ; √ √ √ √ 1 3) f (x) = (sin x) = cos x · ( x) = √ cos x ; 2 x 4) f (x) = (cos x2 ) = − sin x2 · (x2 ) = −2x sin x2 ; 1 1 1 1 1 5) f (x) = cos = − sin · = 2 sin ; x x x x x √ √ 1 1 1 1 √ ·( x) = √ · √ = √ √ ; 6) f (x) = [tg( x)] = cos2 ( x) cos2 ( x) 2 x 2 x cos2 ( x) 1 2x 7) f (x) = [ctg(x2 )] = − 2 2 · (x2 ) = − 2 2 ; sin (x ) sin (x ) 8) f (x) = [sin(cos x)] = cos(cos x) · (cos x) = − cos(cos x) · sin x . 1) 2)
ˇ RJESENJA
Zadatak 6.
4
Deriviraj funkcije: 1) f (x) = cos3 x ; 3) f (x) = 12 tg2 x ; 5) f (x) = − cos2 π − x ; 2 2 6) f (x) = 2 ctg x − π ; 2 7) f (x) = cos2 x − sin2 x ;
2) f (x) = 2 ctg x ; 3 4) f (x) = 3 sin2 x ; 2
8) f (x) = (sin x + cos x)2 . Rjeˇsenje.
= 3 cos2 x(− sin x) = −3 sin x cos2 x ; 1) f (x) = (cos3 x) = 3 cos⎛2 x(cos x)⎞ 2 1 x 1 ⎠ 1 2) f (x) = (2 ctg ) = 2 · ⎝− x · 3 = −3 2 x ; 3 2 sin sin 3 3 1 sin x 1 1 2 = ; 3) f (x) = tg x = 2 tg x · 2 2 cos2 x cos3 x x x 1 3 x 4) f (x) = (3 sin2 ) = 3 · 2 sin cos · = sin x ; 2 2 2 2 π π 2 x π x x 1 2 5) f (x) = − cos − − sin − − = = 2 cos 2 2 2 2 2 2 2 1 1 − sin(π − x) = − sin x ; 2 2 π 2 1 6) f (x) = 2 ctg x − =2· π = − cos2 x ; 2 2 sin x − 2 2 2 7) f (x) = [cos x − sin x] = (cos 2x) = −2 sin 2x ; 8) f (x) = [(sin x + cos x)2 ] = (sin2 x + cos2 x + sin 2x) = (1 + sin 2x) = 2 cos 2x .
181
4
ˇ RJESENJA
Zadatak 7.
Deriviraj funkcije: 1) f (x) = sin3 2x · cos2 3x ; 2) f (x) = 4 sin2 x − 8 sin x + 3 ; 3) f (x) = sin(x2 + 1) ; 4) f (x) = 2 sin x + 3 sin3 x ; 5) f (x) = sin2 (x3 ) ; 6) f (x) = 2x tg 2x ; √ 7) f (x) = sin 1 + x2 ; 8) f (x) = tg x2 · ctg x2 .
Rjeˇsenje.
182
1) f (x) = (sin3 2x · cos2 3x) = (sin3 2x) · cos2 3x + sin3 2x · (cos2 3x) == 3 sin2 2x cos 2x·2 cos2 3x+sin3 2x2 cos 3x(− sin 3x)·3 = 6 sin2 2x cos 3x(cos 2x cos 3x− sin 2x sin 3x) = 6 sin2 2x cos 3x cos 5x ; 2) f (x) = (4 sin2 x− 8 sin x+ 3) = 8 sin x cos x− 8 cos x = 8 cos x(sin x− 1) ; 3) f (x) = [sin(x2 + 1)] = 2x cos(x2 + 1) ; 4) f (x) = (2 sin x + 3 sin3 x) = 2 cos x + 9 sin2 x cos x = cos x(2 + 9 sin2 x) ; 5) f (x) = [sin2 (x3 )] = 2 sin(x3 ) cos(x3 ) · 3x2 = 3x2 sin(2x3 ) ; 4x 1 6) f (x) = (2x tg 2x) = 2 tg 2x + 2x · · 2 = 2 tg 2x + ; 2 cos 2x cos2 2x √ √ √ 1 x 7) f (x) = (sin 1 + x2 ) = cos 1 + x2 · √ ·2x = √ cos 1 + x2 ; 2 1 + x2 1 + x2 1 8) f (x) = (tg x2 · ctg x2 ) = (tg x2 ) ctg x2 + tg x2 · (ctg x2 ) = · 2 x2 cos 1 2x 2x − = 0. 2x · ctg x2 + tg x2 − 2 2 · 2x = sin x sin x2 cos x2 sin x2 cos x2
4
ˇ ˇ DETALJNA RJESENJA ZADATAKA IZ UDZBENIKA MATEMATIKA 4 ZA 4. RAZRED GIMNAZIJE
Zadatak 8.
Deriviraj funkcije: 1) f (x) = cos4 3x − sin4 3x ; 2) f (x) = sin 4x cos 4x ; 3) f (x) = tg 2x − ctg 2x ; 4) f (x) = 3 sin x cos2 x + sin3 x ; 5) f (x) = sin6 x + cos6 x ; 6) f (x) = (sin x sin 2x − cos x cos 2x)3 ; 7) f (x) = (cos 3x cos 2x − sin 3x sin 2x)2 ; 8) f (x) = 3 sin( π − x) cos( π + x) ; 3 3 1 π 9) f (x) = − cos( − x) cos( π + x) . 2 4 4
Rjeˇsenje.
982
1) f (x) = (cos4 3x − sin4 3x) = [(cos2 3x − sin2 3x)(cos2 3x + sin2 3x)] = (cos 6x) = −6 sin 6x ; 1 1 2) f (x) = (sin 4x cos 4x) = ( sin 8x) = · 8 cos 8x = 4 cos 8x ; 2 2
2 cos 2x sin 2x sin 2x − cos2 2x − = ]= 3) f (x) = (tg 2x − ctg 2x) = cos 2x sin 2x sin 2x cos 2x
8 −1 −2 cos 4x ·4= ; = (−2 ctg 4x) = −2 · 2 sin 4x sin 4x sin2 4x 4) f (x) = (3 sin x cos2 x + sin3 x) = 3(cos3 x + sin x · 2 cos x(− sin x)) + 3 sin2 x cos x = 3 cos3 x−6 sin2 x cos x+3 sin2 x cos x = 3 cos3 x−3 sin2 x cos x = 3 cos x(cos2 x − sin2 x) = 3 cos x cos 2x ; 5) f (x) = (sin6 x + cos6 x) = [(sin2 x + cos2 x)(sin4 x − sin2 x cos2 x + cos4 x)] = (sin4 x + 2 sin2 x cos2 x + cos4 x − 3 sin2 x cos2 x)
3 3 3 = (sin2 x + cos2 x)2 − sin2 2x = 1 − sin2 2x = − ·2 sin 2x cos 2x· 4 4 4 3 2 = − sin 4x ; 2 6) f (x) = [(sin x sin 2x−cos x cos 2x)3 ] = (− cos3 3x) == −3 cos2 3x(− sin 3x)· 3 = 9 sin 3x cos2 3x ; 7) f (x) = [(cos 3x cos 2x−sin 3x sin 2x)2 ] = (cos2 5x) = 2 cos 5x(− sin 5x) = −5 sin 10x ; π π − x cos +x 8) f (x) = 3 sin 3 3 π π π π = 3 sin cos x − cos sin x cos cos x − sin sin x 3 3 √ B3 A √ 3 1 3 3 1 cos x − sin x cos x − sin x = 3 2 2 2 2
√ 3 √ ( 3 cos x − sin x)(cos x − 3 sin x) = 4
√ 3 √ 3 √ ( 3 cos2 x − sin x cos x − 3 sin x cos x + 3 sin2 x) = ( 3 − 2 sin 2x) = = 4 4
ˇ ˇ DETALJNA RJESENJA ZADATAKA IZ UDZBENIKA MATEMATIKA 4 ZA 4. RAZRED GIMNAZIJE
4
3 (−2 cos 2x) · 2 = −3 cos 2x ; 4
π π 1 − x cos +x 9) f (x) = − cos 2 4 4
π π π π 1 cos cos x + sin sin x cos cos x − sin sin x = − 2 4 4 4 4 B A √ √ 2 2 1 1 2 2 · (cos x + sin x)(cos x − sin x) = − (cos x − sin x) = = − · 2 2 2 4
1 1 1 − cos 2x = − (− sin 2x) · 2 = sin 2x . 4 4 2
983
ˇ RJESENJA
Zadatak 9.
4
Deriviraj funkcije: 1) f (x) = 1 − 2 sin(2x − π ) ;
2) f (x) = cos2 (4x − π ) − π ; 2 3) f (x) = 1 + 12 tg2 2x ;
4) f (x) = cos2 (x2 − π ) − cos2 4 ; √ 5) f (x) = sin2 (π x) + sin2 π . Rjeˇsenje.
1) f (x) = [1 − 2 sin(2x − π )] = [1 + 2 sin(π − 2x)] = [1 + 2 sin 2x] = 2 cos 2x · 2 = 4 cos 2x ; π π = cos2 (4x) − = 2 cos 4x(− sin 4x) · 2) f (x) = cos2 (4x − π ) − 2 2 4 = −4 sin 8x ; 1 2 sin 2x 1 1 ·2 = ; 3) f (x) = 1 + tg2 2x = · 2 tg 2x · 2 2 cos2 2x cos3 2x 4) f (x) = [cos2 (x2 −π )−cos2 4] = (cos2 x2 −cos2 4) = 2 cos x2 (− sin x2 )2x = −2x sin(2x2 ) ; √ 5) f (x) = (sin2 (π x) + sin2 π ) = 2 sin(π x) cos(π x)π = π sin(2π x) .
185
4
ˇ ˇ DETALJNA RJESENJA ZADATAKA IZ UDZBENIKA MATEMATIKA 4 ZA 4. RAZRED GIMNAZIJE
Zadatak 10.
Deriviraj funkcije: sin4 x − cos4 x ; sin2 x x x ctg − tg 2 2 ; 2) f (x) = x 2 x ctg − tg +4 2 2 cos x 4 ; 3) f (x) = ctg x − 3 3 sin3 x 1 − sin x 4) f (x) = ; cos 2x sin 2x 5) f (x) = ; 1 + cos x 6) f (x) = 3 cos(x2 − π ) ; sin x ; 7) f (x) = cos2 x 1 + cos 2x 8) f (x) = ; 1 − cos 2x 2 sin x + sin 2x 9) f (x) = ; 2 sin x − sin 2x sin 3x + sin 5x . 10) f (x) = cos 3x + cos 5x 1) f (x) =
Rjeˇsenje.
sin4 x − cos4 x (sin2 x − cos2 x)(sin2 x + cos2 x) 1) f = = = sin2 x sin2 x
2 2 cos x sin x − cos2 x 2 x) = −2 ctg x · − 1 = ; = (1 − ctg sin2 x sin2 x sin3 x ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ cos x x x ⎜ ⎟ ctg − tg sin 2x cos 2x ⎜ ⎟ ⎟ ⎜ 2 2 2) f (x) = ⎝ = ⎜ ⎟ ⎠ 2 x 2 x ⎝ ⎠ cos x ctg − tg +4 + 4 x x 2 2 2 2 sin 2 cos 2 ⎛ ⎛ ⎞ ⎞ 2 cos x 2 cos x
⎜ ⎜ ⎟ ⎟ sin x sin x ⎟ =⎜ ⎟ = 1 sin 2x = 1 cos 2x · =⎜ ⎝ 4 cos2 x ⎝ 4(cos2 x + sin2 x) ⎠ ⎠ 4 4 + 4 2 2 sin x sin x 1 2 = cos 2x ; 2
cos x 1 (cos x) sin3 x − cos x(sin3 x) 4 4 ctg x − − 3) f (x) = =− = 3 2 3 3 sin x 3 sin x 3 (sin3 x)2 1 − sin4 x − cos2 x · 3 sin2 x 4 sin4 x + 3 sin2 x cos2 x 4 · − = − + = − 3 sin2 x 3 sin6 x 3 sin2 x 3 sin6 x 4 4 2 2 2 2 4 −4 sin x + sin x + 3 sin x cos 3 sin x cos x − 3 sin x = 3 sin6 x 3 sin6 x 3 sin2 x(cos2 x − sin2 x) cos 2x = = ; 3 sin6 x sin4 x (x)
985
4
ˇ ˇ DETALJNA RJESENJA ZADATAKA IZ UDZBENIKA MATEMATIKA 4 ZA 4. RAZRED GIMNAZIJE
1 − sin x − cos x cos 2x − (1 − sin x)(− sin 2x) · 2 4) f = = cos 2x cos2 2x − cos x cos 2x − 2 sin x sin 2x + 2 sin 2x ; = cos2 2x 2 cos 2x(1 + cos x) + sin 2x sin x sin 2x 5) f (x) = = 1 + cos x (1 + cos x)2 2 cos 2x + 2 cos x cos 2x + sin x sin 2x = ; (1 + cos x)2 6) f (x) = [3 cos(x2 − π )] = [3 cos(π − x2 )] = [−3 cos x2 ] = 3 sin x2 · 2x = 6x sin x2 ; sin x cos2 x + 2 sin2 x cos3 x + sin2 x · 2 cos x = = = 7) f (x) = cos2 x cos4 x cos3 x 2 1 + cos x ; cos3 x
1 + cos 2x 2 cos2 x 1 8) f (x) = = = = (ctg2 x) = 2 ctg x − 2 2 1 − cos 2x 2 sin x sin x 2 cos x − 3 ; sin x
2 sin x + sin 2x 2 sin x + 2 sin x cos x 1 + cos x 9) f (x) = = = = 2 sin x − sin 2x 2 sin x − 2 sin x cos x 1 − cos x ⎛ ⎞ ⎛ x ⎞ x cos 2 cos2 x x 1 1 2 ⎠ = ctg2 2 ⎝ ⎠ = 2 ctg ⎝− x x ·2 =− 3 x ; 2 2 2 sin2 sin2 sin 2 2
2
sin 3x + sin 5x 2 sin 4x cos x 4 . = = (tg 4x) = 10) f (x) = cos 3x + cos 5x 2 cos 4x cos x cos2 4x (x)
986
4
ˇ RJESENJA
Zadatak 11.
Deriviraj sljede´ce funkcije: (x − 2)2 + 8x ; 4 − x2 (3x2 − 1)2 − (x2 + 1)2 f (x) = ; 4x2 − 4x4 (18x5 − 2x)2 ; f (x) = 4 9x + 6x2 + 1 1 f (x) =
√ ; 3 x+ x
√ 3 f (x) = 1 + x x + 3 ; 1−x f (x) = x . 1 + x2
1) f (x) = 2) 3) 4) 5) 6)
Rjeˇsenje.
2 2 (x − 2)2 + 8x x − 4x + 4 + 8x x + 4x + 4 1) f (x) = = = = (2 − x)(2 + x) (2 − x)(2 + x) 4 − x2 (x + 2)2 x+2 2−x+x+2 4 = = = ; (2 − x)(2 + x) 2−x (2 − x)2 (2 − x)2 4 2 (3x − 1)2 − (x2 + 1)2 9x − 6x2 + 1 − x4 − 2x2 − 1 2) f (x) = = = 4x2 − 4x4 4x2 (1 − x2 ) 4 8x − 8x2 8x2 (x2 − 1) 2(x − 1)(x + 1) = = = (−2) = −(x − 1)(x + 1) 4x2 (1 − x2 4x2 (1 − x)(1 + x) 0; 2 2 2 4 5 − 2x)2 (18x 4x (9x − 1)2 4x (3x − 1)2 (3x2 + 1)2 3) f (x) = = = = 9x4 + 6x2 + 1 (3x2 + 1)2 (3x2 + 1)2 [4x2 (3x2 − 1)2 ] = [(6x3 − 2x)2 ] = 2(6x3 − 2x) · (18x2 − 2) = 8x(3x2 − 1)(9x2 − 1) ; √ −4 √ −1 1 1 1 = 4) f (x) =
= [(x+ x) 3 ] = − (x+ x) 3 · 1 + √ √ 3 3 2 x x+ x √ 2 x+1 √ √ 2 x+1 2 x − = − √ √
√ ; √ 4 6 x(x + x) 3 x + x 3(x + x) 3
√ √ √ 1 2 1 3 5) f (x) = ( 1 + x x + 3) = [(1 + x x + 3) 3 ] = (1 + x x + 3)− 3 · 3 √ 1 x+1 x 2(x + 3) + x
= = √ x+3+ √ · √ ; √ 2 √ 2 x+3 3(1 + x x + 3) 3 2 x + 3 2 x + 3 3 (1 + x x + 3)2 1−x 1−x 1 1−x = +x· · = 6) f (x) = x 1 + x2 1 + x2 1 + x2 1−x 2 2 √ √ 1+x 2 2 1−x 1−x 1 + x2 x x 1 + x2 −1 − x − 2x + 2x · · · + √ = + √ 2 2 2 2 1+x (1 + x ) 1+x 2 1−x 1−x 2
188
ˇ RJESENJA
4
√ x2 − 2x − 1 1−x 1−x x x2 − 2x − 1 √ √ √ · = + · = 2 2 2 1 + x2 2 1 + x2 (1 − x)(1 + x2 ) 1 + x · 1 + x · (12+ x ) 1−x 1 − x 2(1 + x2 − x − x3 ) + x3 − 2x − x x − 2x − 1 x · = = 1 + 2 2 (1 − x)(1 + x2 ) 1 + x2 2(x − 1)(1 + x2 ) 1 + x 1 − x 2 + 2x2 − 2x − 2x3 + x3 − 2x2 − x 1−x 2 − x3 − 3x = . · 1 + x2 2(1 − x)(1 + x2 ) 1 + x2 2(1 − x)(1 + x2 )
189
4
ˇ RJESENJA
Zadatak 12. Rjeˇsenje.
190
Polumjer kruga pove´cava se brzinom 2 cm/ s. Kolikom se brzinom pove´cava njegova povrˇsina u trenutku kad je polumjer jednak 12 cm? dP dr dP(r) dP = 2π r . Zato iz = · za r = 12 cm Vrijedi P(r) = π r2 te je dr dt dr dt dr dP i = 2 cm/ s slijedi rezultat: = 2π · 12 · 2 = 48π cm2 /s . dt dt
ˇ RJESENJA
Zadatak 13.
Rjeˇsenje.
4
Mrav se brzinom v0 pribliˇzava podnoˇzju tornja visine h . Kolika je brzina njegovog pribliˇzavanja vrhu tornja u trenutku kada se nalazi na udaljenosti d od podnoˇzja? dd = v0 . Udaljenost mrava od Mrav se podnoˇzju tornja pribliˇzava brzinom dt √ vrha tornja je y = d2 + h2 . Brzina njegovog pribliˇzavanja vrhu tornja je dy v d dy dd 2d v= · v0 = √ 0 . = · = √ dt dd dt 2 d 2 + h2 h2 + d 2
191
4
ˇ RJESENJA
Zadatak 14.
Rjeˇsenje.
192
Ljestve duljine 5 m postavljene na glatku podlogu prislonjene su uza zid tako da im je kraj na visini 4 m iznad tla. U nekom trenutku ljestve poˇcnu padati te se njihov gornji kraj pribliˇzava tlu ubrzanjem 2 m/ s2 . Kojom brzinom se od zida udaljava donji kraj ljestvi kada je gornji kraj na visini 2 m? at2 = 4 − t2 , gornji Gornji kraj ljestvi pribliˇzava se tlu po zakonu y(t) = 4 − 2 √ kraj ljestvi je na visini od 2 m u trenutku t = 2 (4 − t2 = 2 =⇒ t2 = 2) . Donji se kraj udaljava od zida po zakonu x(t) = 25 − (4 − t2 )2
16t − 4t3 dx =
= 9 + 8t2 − t4 , odnosno brzinom v(t) = = dt 2 9 +√8t2 − t4 √ √ 8t − 2t3 8 2 − 2( 2)3
. Pri t = 2 ta je brzina v = = √ √ 9 + 8t2 − t4 9 + 8( 2)2 − ( 2)4 √ √ √ 4 2 8 2−4 2 √ = √ m/ s. 9 + 16 − 4 21
ˇ RJESENJA
Zadatak 15.
Rjeˇsenje.
4
Kolut polumjera R = 10 cm kotrlja se po pravcu. U vremenu t kut rotacije 2 - je zakonom ϕ (t) = t + t . Kolika je brzina i koliko je ubrzanje odreden 2 gibanja srediˇsta koluta 10 s nakon poˇcetka gibanja? d ϕ (t) = 1 + t , tj. za t = 10 s je dt ω = 11 rad/ s. Brzina koluta, odnosno obodna brzina je v = ω · R = 11 · 0.1 = dω · R dv = = 1 · 0.1 = 1.1 m/ s. Ubrzanje gibanja srediˇsta koluta je a(t) = dt dt 0.1 m/ s. Kutna brzina srediˇsta koluta je ω (t) =
193
4
ˇ RJESENJA
Zadatak 16.
Rjeˇsenje.
194
Kamenˇci´c baˇcen u mirnu vodu jezera pokrene kruˇzni val. Kada je duljina polumjera tog vala jednaka 1.5 m, brzina pove´canja polumjera iznosi 30 cm/ s. Kojom se brzinom u tom trenutku pove´cava povrˇsina omedena granicom vala? dr = 30 cm/ s = 0.3 cm/ s. Povrˇsina se poBrzina pove´canja polumjera je dt dP vecava po zakonu = 2rπ . Brzina pove´cavanja povrˇsine vala u trenutku dr dP dr dP = · = 2rπ · 0.3 = kada je polumjer tog vala r = 1.5 m je v = dt dr dt 2 · 1.5π · 0.3 = 0.9π m/ s.
ˇ RJESENJA
4
Rjesenja ˇ zadataka 4.4 Zadatak 1.
Odredi derivaciju inverzne funkcije f −1 (x) ako je: 1 x − 3; 2 1 ; 3) f (x) = 1−x 1) f (x) =
Rjeˇsenje.
2) f (x) = −2x + 5 ; 1 4) f (x) = x . e
1 1 1) (f −1 ) (x) = = 1 = 2 ; 1 f (x) − 3 2 2 1 1 1 =− ; = 2) (f −1 ) (x) = [−2f (x) − 3] −2 2 1 1 1 1 −1 =⇒ 1 − y = =⇒ f (x) = 1 − =⇒ (f −1 ) (x) = 2 ; 3) x = 1−y x x x 1 1 1 =⇒ f −1 (x) = ln = − ln x =⇒ (f −1 ) (x) = 4) x = y =⇒ ey = e x x 1 − . x
195
4
ˇ RJESENJA
Zadatak 2.
Odredi derivaciju inverzne funkcije f −1 (x) ako je: x+1 ; 2) f (x) = log2 (x − 1) ; 2x − 3 x x−1 1−e . ; 4) f (x) = 1 − ln 3) f (x) = x e 2 y+1 1) x = =⇒ y + 1 = 2xy − 3x =⇒ y(1 − 2x) = −1 − 3x 2y − 3 3x + 1 , =⇒ f −1 (x) = 2x − 1 3(2x − 1) − (3x + 1) · 2 6x − 3 − 6x − 2 5 = =− ; (f −1 ) (x) = (2x − 1)2 (2x − 1)2 (2x − 1)2 2) f −1 (x) = 2x + 1, (f −1 ) (x) = 2x ln 2 ; 1 1 =⇒ y = ln = 3) x = e−y − 1 =⇒ e−y = x + 1 =⇒ ey = x+1 1+x − ln |x + 1| , 1 (f −1 ) (x) = − ; x+1 y−1 y−1 y−1 4) x = 1 − ln =⇒ ln = 1−x = = e1−x =⇒ y − 1 = 2 2 2 2e1−x =⇒ f −1 (x) = 1 + 2e1−x , (f −1 ) (x) = 2e1−x (−1) = −2e1−x . 1) f (x) =
Rjeˇsenje.
196
ˇ RJESENJA
Zadatak 3.
4
Deriviraj sljede´ce funkcije: 2) f (x) = ex + ln x ; ln x ; 4) f (x) = x
1) f (x) = x3 ln x ; 3) f (x) = ex ln x ; 5) f (x) = (x2 − 2x + 2)ex ; 6) f (x) = x3 ln x − Rjeˇsenje.
x3 . 3
1 1) f (x) = 3x2 ln x + x3 · = x2 (1 + 3 ln x) = 3x2 ln(ex) ; x 1 x 2) f (x) = e + ; x 1 1 x 3) f (x) = e ln x + ex · = ex + ln x ; x x 1 · x − ln x · 1 1 − ln x 4) f (x) = x = ; 2 x x2 x 2 5) f (x) = (2x − 2)e + (x − 2x + 2)ex = x2 ex ; 1 1 + x3 · = 3x2 ln x − x2 + x2 = 3x2 ln x . 6) f (x) = 3x2 ln x − 3 x
197
ˇ ˇ DETALJNA RJESENJA ZADATAKA IZ UDZBENIKA MATEMATIKA 4 ZA 4. RAZRED GIMNAZIJE
Zadatak 4.
4
Odredi derivacije sljede´cih funkcija: 1) f (x) = x2 · ln2 x ; ln2 x ; x2 √ 1− x √ ; f (x) = ln 1+ x
1 f (x) = ln 1 + ; x f (x) = ln(1 + ln x) ; 1 1+x . f (x) = ln 1−x 2
2) f (x) = 3) 4) 5) 6) Rjeˇsenje.
1 1) f (x) = 2x · ln2 x + x2 · 2 ln x · = 2x(ln2 x + ln x) ; x 1 2 2 2 ln x · · x − 2x ln x 2x(ln x − ln2 x) 2(ln x − ln2 x) x 2) f (x) = = = ; 4 4 3 x √ √ √ x √ x √ √ 1 1 + x (1 − x) (1 + x) − (1 − x)(1 + x) 1− x √ · √ √ · √ 2 3) f (x) = = = 1− x 1+ x 1− x (1 + x) √ 1+ x √ √ √ √ −1 − x − 1 + x 1 1 √ − √ (1 + x) − (1 − x) · √ 1 2 x 2 x 2 x √ √ √ √ = = −√ ; (1 − x)(1 + x) (1 − x)(1 + x) x(1 − x)
1 1 1 x 1 1 −1 4) f (x) = · ; = =− =− · 1+ · x + 1 x2 1 x x + 1 x2 x(x + 1) 1+ x x 1 1 1 · = ; 5) f (x) = 1 + ln x x x(1 + ln x) 1 1 1−x 1 1−x+1+x · 6) f (x) = = = · · 2 2(1 + x) (1 − x) (1 − x)2 1+x 1+x 2 2 1−x 1−x 1 1 = . 2(1 + x)(1 − x) 2(1 − x2 )
997
ˇ RJESENJA
Zadatak 5.
4
Odredi prve dvije derivacije funkcija: ex − 1 ex ; 2) f (x) = ; 1) f (x) = x x x2 3) f (x) = x ; 4) f (x) = (x + 1)ex ; e 5) f (x) = xn e−x , n > 1 . 6) f (x) = x2n e−2x , n > 1 .
Rjeˇsenje.
ex · x − ex · 1 ex ex = , − x x2 x2 ex ex ex x2 − ex · 2x ex ex ex 2ex x 1− 2 + 2 ; − = − + = e f (x) = − 2 − x x x x2 x2 x3 x x2 x3 x4 ex 1 ex 2) f (x) = − 2+ 2, x x x x ex ex 2 e ex x2 − ex · 2x ex ex 2ex 2 − 2− − − = − + − 3 = f (x) = 4 3 2 2 3 x x x x x x x x x 1 2 2 2 x − + 3 − 3; e x x2 x x 2xex − x2 ex 2x − x2 2x x2 3) f (x) = = = − x, ex ex e e2x x x 2 2e − 2xe x − 2x 2 − x + x2 − 2x x2 − 3x + 2 f (x) = + = = ; ex ex ex e2x 1 1 − = cos−2 x − sin−2 x , 4) f (x) = cos2 x sin2 x 2 sin x 2 cos x + ; f (x) = 2 cos−3 x sin x + 2 sin−3 x cos x = cos3 x sin3 x 1 5) f (x) = cos x − , cos2 x 2 sin x f (x) = − sin x − ; cos3 x 6) f (x) = f (x) = 0 . 1) f (x) =
199
4
ˇ RJESENJA
Zadatak 6.
Rjeˇsenje.
Izraˇcunaj vrijednost prve derivacije funkcije f u toˇcki x0 , ako je: x 1) f (x) = x , x0 = −2 ; e 3x 2) f (x) = 2 , x0 = −1 ; x ln(1 − x) , x0 = 0 ; 3) f (x) = 1−x 4) f (x) = log2 (3 − 2x) , x0 = 1 . ex − xex 1 x = x− x = 1) f (−2) = 2x e e e 3x · ln 3 · x2 − 2x · 3x 2) f (−1) = x4 3−1 (−1 ln 3 − 2 2 + ln 3 ; = 3 (−1)3
1
2 + −2 = e2 + 2e2 = 3e2 ; e 3x x(x ln 3 − 2) 3x (x ln 3 − 2) = = = 4 x x3 e−2
1 · (−1) · (1 − x) + ln(1 − x) (1 − x) − ln(1 − x)(1 − x) [ln(1 − x)] 1−x 3) f (0) = = = (1 − x)2 (1 − x)2 ln(1 − x) − 1 ln1 − 1 = −1 ; = 1 (1 − x)2 2 −2 1 4) f (1) = · (−2) = − = . (3 − 2x) ln 2 (3 − 2 · 1) ln 2 ln 2
200
ˇ RJESENJA
Zadatak 7.
Odredi prve cˇ etiri derivacije funkcija: 1) f (x) =
1 ; x
3) f (x) = ln(x + 1) ; 5) f (x) = x ln x ; Rjeˇsenje.
4
2) f (x) = ln x ; 1 ; x 6) f (x) = x2 ln x .
4) f (x) = ln
1 1) f (x) = − 2 , x
2! 3! f (x) = 2x−3 = 3 , f (x) = 2 · (−3)x−4 = − 4 , x x 4! (−1)n n! f IV (x) = 3 · 4x−5 = 5 , f (n) (x) = ; xn+1 x 1 1 2! 2) f (x) = , f (x) = − 2 , f (x) = 3 , x x x 3! (−1)n+1 (n − 1) ; f IV (x) = − 4 , f n (x) = xn x 2 2·2 2 · 3! 3) f (x) = , f (x) = − , f (x) = , 2 3 (x + 1) (x + 1) (x + 1)4 2 · n! 2 · 4! f IV (x) = − , f n (x) = (−1)n+1 ; 5 (x + 1)n+1 (x + 1) 1 2! 3! 4) f (x) = − , f (x) = , f (x) = − , 2 3 (1 + x) (1 + x) (1 + x)4 n 4! (−1) n! f IV (x) = , f (n) (x) = ; 5 (1 + x)n+1 (1 + x) 1 1 5) f (x) = 1 + ln x, f (x) = , f (x) = − 2 , x x 2 (−1)n (n − 2)! IV n f (x) = 3 , f (x) = ; x xn−1 6) f (x) = sin x + x cos x, f (x) = 2 cos x − x sin x, f (x) = −3 sin x − x cos x, f IV (x) = −4 cos x + x sin x .
201
4
ˇ RJESENJA
Zadatak 8.
Deriviraj funkcije: 1) f (x) = e2x+3 ; 2
3) f (x) = xex ; √ 5) f (x) = ln(x x) ; √ 7) f (x) = ln ex ; 9) f (x) = ln2 x ; 11) f (x) = ln(sin x) ;
2
2) f (x) = e−x +2 ; 4) f (x) = ln 1 ; x √ 6) f (x) = ln n x ; √ 8) f (x) = ln x ; 1 ; 10) f (x) = ln x 12) f (x) = ln(cos x) ;
1 1−x ln ; 2 1+x
14) f (x) = ln(x + x2 − 1) .
13) f (x) =
Rjeˇsenje.
202
f (x) = (e2x+3 ) = e2x+3 · 2 = 2e2x+3 ; 2 2 2 f (x) = (e−x +2 ) = e−x +2 · (−2x) = −2xe−x +2 ; 2 2 2 2 f (x) = (xex ) = ex + x · ex · 2x = (1 + 2x2 )ex ; 1 1 4) f (x) = ln = (− ln x) − ; x x √ 3 3 ln x = ; 5) f (x) = [ln(x x)] = 2 2x √ 1 1 ln x = ; 6) f (x) = (ln n x) = n nx √ 1 1 x = ; 7) f (x) = (ln ex ) = 2 2 √ 1 1 1 8) f (x) = ( ln x) = √ · = √ ; 2 ln x x 2x ln x 2 ln x 1 ; 9) f (x) = (ln2 x) = 2 ln x · = x x 1 1 1 1 10) f (x) = ; =− 2 · =− ln x x ln x x ln2 x 1 cos x = ctg x ; 11) f (x) = [ln(sin x)] = sin x 1 12) f (x) = [ln(cos x)] = (− sin x) = − tg x ; x cos 1 1 1 1−x 1 ln ln(1 − x) − ln(1 + x) = − − = 13) f (x) = 2 1+x 2 2 2(1 − x) 1 −1 − x − 1 + x 1 = = 2 ; 2 2(1 + x) 2(1 − x ) x −1
2x 1
· 1+
= 14) f (x) = [ln(x + x2 − 1)] = x + x2 − 1 2 x2 − 1
1 x2 − 1 + x 1
·
=
. 2 2 2 x+ x −1 x −1 x −1 1) 2) 3)
ˇ RJESENJA
Zadatak 9.
4
Deriviraj funkcije: 1 ; ln2 x 1 + x2 2) f (x) = ln ; 1 − x2 1+x 1 ; 3) f (x) = ln 2 1−x √ x + x2 + 1 4) f (x) = ln √ ; x2 + 1 − x 5) f (x) = ln ln(x4 + x) ; 6) f (x) = ln(ln x) ; √ √ 7) f (x) = ln( 1 + x2 − x) + ln( 1 + x2 + x) . 2 1 1 2 1) f (x) = ; =− 3 · =− 2 ln x ln x x x ln3 x 1 + x2 1 − x2 2x(1 − x2 ) − (1 + x2 )(−2x) 2x(1 − x2 + 1 + x2 ) 2) f (x) = ln = · = = 1 − x2 1 + x2 (1 − x2 )2 1 − x4 4x ; 1 − x4 1+x 1 1 1 1+x 1 = = 3) f (x) = ln ln ln(1 + x) − ln(1 − x) = 2 1−x 4 1−x 4 4 1 1 2 1 + = = ; 4(1 + x) 4(1 − x) 4(1 − x2 ) 2(1 − x2 ) √ √ √ x + x2 + 1 4) f (x) = ln √ = ln(x + x2 + 1) − ln( x2 + 1 − x) = x2 + 1 − x 1 x 1 x 1 √ · 1+ √ · √ + −√ = √ x + x2 + 1 x2 + 1 x2 + 1 − x x2 + 1 x2 + 1 1 2 √ = √ ; x2 + 1 x2 + 1 1 1 4x3 + 1 3 +1) = · ·(4x ; 5) f (x) = [ln ln(x4 +x)] = ln(x4 + x) x4 + x (x4 + x) ln(x4 + x) 1 1 1 6) f (x) = [ln(ln x)] = · = ; ln x x x√ ln x √ 7) f (x) = [ln( 1 + x2 − x) + ln( 1 + x2 + x)] = [ln(1 + x2 − x2 )] = (ln 1) = 0 = 0 . 1) f (x) =
Rjeˇsenje.
203
4
ˇ RJESENJA
Zadatak 10.
Izraˇcunaj derivacije funkcija u zadanoj toˇcki: 1) f (x) = ex−2 , x0 = 1 ; 2) f (x) = (x + 1)e−x , x0 = 0 ; 3) f (x) = x2 ln x , x0 = 1 ; 4) f (x) = ln(x2 + 1) , x0 = 0 .
Rjeˇsenje.
204
1) f (1) = (ex−2 ) = ex−2 = e1−2 = e−1 ; 2) f (0) = [(x + 1)e−x ] = e−x + (x + 1)e−x (−1) = e−x · (1 − x − 1) = −xe−x = −0 · e−0 = 0 ; 3) f (1) = (x2 ln x) = 2x ln x + x = x(2 ln x + 1) = 1(2 ln 1 + 1) = 1 ; 2x 2·0 1 = 0. 4) f (0) = [ln(x2 + 1)] = 2 · 2x = 2 = 0+1 x +1 x +1
ˇ RJESENJA
Zadatak 11.
4
Deriviraj sljede´ce funkcije: 1 ; sin2 x x−1 2) f (x) = ln cos ; x x 3) f (x) = ln tg ; 2 x π + ; 4) f (x) = ln tg 2 4 1) f (x) = ln
2
5) f (x) = ln e1−cos x ; 6) f (x) = log 1 (sin x) ; e
Rjeˇsenje.
7) f (x) = loge2 (cos x) ; 1 . 8) f (x) = log√e cos2 x 1 2 · cos x = −2 ctg x ; 1) f (x) = ln 2 = [−2 ln(sin x)] = − sin x sin x 1 x−1 1 x−1 x − 1 1 · 2 = − 2 tg ; 2) f (x) = ln cos = · − sin x−1 x x x x x cos x x cos 1 x 1 1 1 1 1 2 3) f (x) = ln tg ; = x · · = · · = x x x 2 2 2 sin x tg cos2 sin cos2 2 2 2 x π 2 1 1 1 1 x π · = + 4) f (x) = ln tg = x π · π = 2 4 2 + + tg cos2 sin x + 2 4 2 4 2 1 ; cos x 2 5) f (x) = (ln e1−cos x ) = (1 − cos2 x) = (sin2 x) = 2 sin x cos x = sin 2x ; 1 cos x = − ctg x ; 6) f (x) = [log 1 (sin x)] = [− ln(sin x)] = − e sin x 1 1 1 1 7) f (x) = [loge2 (cos x)] = ln(cos x) = · · (− sin x) = − tg x ; 2 2 cos x 2 1 4 · = [2 ln(cos−2 x)] = [−4 ln(cos x)] = − 8) f (x) = log√e cos x cos2 x (− sin x) = 4 tg x .
205
ˇ ˇ DETALJNA RJESENJA ZADATAKA IZ UDZBENIKA MATEMATIKA 4 ZA 4. RAZRED GIMNAZIJE
Zadatak 12.
4
Deriviraj funkcije: 1) f (x) = eln sin 5x ; − log (x−1) 9 ; 2) f (x) = 1 3 √
3) f (x) = 4− log2 1−x ; − ln(x2 +x) 4) f (x) = √1 ; e 1 − sin 2x ; 5) f (x) = log2 1 + sin 2x 6) f (x) = logx (x + 2) . 2
Rjeˇsenje.
1) f (x) = (eln sin 5x ) = (sin 5x) = 5 cos 5x ;
√ 1 1 − log9 (x−1) 1 2) f (x) = ; = [3 2 log3 (x−1) ] = ( x − 1) = √ 3 2 x −1
√ 1 2 2 = [(1 − 3) f (x) = (4− log2 1−x ) = [2− log2 (1−x ) ] = 1 − x2 1 2x · (−2x) = ; x2 )−1 ] = − (1 − x2 )2 (1 − x2 )2 B A 1 − ln(x2 +x) √ 1 2 1 √ = [e 2 ln(x +x) ] = ( x2 + x) = √ 4) f (x) = · e 2 x2 + x 2x + 1 (2x + 1) = √ ; 2 x2 + x
1 − sin 2x 1 − sin 2x (sin x − cos x)2 1 1 log2 = log2 = = 5) f (x) = log2 1 + sin 2x 2 1 + sin 2x 2 (sin x + cos x)2
sin x − cos x = [log2 (sin x − cos x) − log2 (sin x + cos x)] log2 sin x + cos x 1 sin x + cos x sin x − cos x 1 cos x + sin x cos x − sin x − = + = = ln 2 sin x − cos x sin x + cos x ln 2 sin x − cos x sin x + cos x 2 2 2 2 1 sin x + cos x + sin 2x + sin x + cos x − sin 2x 2 ; =− 2 2 ln 2 ln 2 cos 2x sin x − cos x 1 1
· ln x − ln(x + 2) ln(x + 2) x + 2 x 6) f (x) = [logx (x + 2)] = = = ln x ln2 x x ln x − (x + 2) ln(x + 2) ; x(x + 2) ln2 x
2x + 3 2 ln x ln(2x + 3) 2 − 7) f (x) = log1−x =[log1−x (2x+3)−log1−x x ] = ln(1−x) ln(1−x) x2 2 2 1 2 ln(1 − x) + ln(2x + 3) ln(1 − x) + ln x 1 1−x x 1−x − = 2 · = 2x + 3 2 2 ln (1 − x) ln (1 − x) ln (1 − x) 2 2 1 2 1 1 − ln(1−x)+ ln(2x+3)− ln x = 2 · 2x + 3 x 1−x 1−x ln (1 − x) 1 − x 2x + 3 2x + 6 ln ln(1 − x) ; − 2 x(2x + 3) x
1005
4
ˇ ˇ DETALJNA RJESENJA ZADATAKA IZ UDZBENIKA MATEMATIKA 4 ZA 4. RAZRED GIMNAZIJE
ln x 8) f = (log2 log3 = log2 = (log2 ln x − log2 ln 3) ln 3
1 1 1 ln ln x 1 − log2 ln 3 = · · = . = ln 2 ln 2 ln x x x ln 2 ln x (x)
1006
x)
4
ˇ RJESENJA
Zadatak 13.
Deriviraj funkcije: 1) f (x) = log(x + 1) ; 1 2) f (x) = log 1 ; 2 x 3) f (x) = log2 (1 + log3 x) ; 4) f (x) = x log x ; 5) f (x) = log2 log3 x ; 6) f (x) = log 1 + 1 . x
Rjeˇsenje.
1 ; 1) f (x) = [log(x + 1)] = (x + 1) ln 10 1 1 ; 2) f (x) = log 1 = (log2 x) = x ln 2 2 x 1 1 · = 3) f (x) = [log2 (1 + log3 x)] = (1 + log3 x) ln 2 x ln 3
1 · ln x ln 2 1+ ln 3
1 1 1 1 = = ; · ln 3x ln 2 x ln 3 x ln 3 x ln 3x ln 2 ln 3 ln x 1 1 + ln x 1 = + = ; 4) f (x) = (x log x) = log x + ln 10 ln 10 ln 10 ln 10 1 1 1 1 5) f (x) = (log2 ln x) = · · = ; ln x ln 2 x x ln 2 ln x 1 1 1 − = 6) f (x) = log 1 + = [log(x+ 1)− log x] = x (x + 1) ln 10 x ln 10 x−x−1 1 =− . x(x + 1) ln 10 x(x + 1) ln 10
208
ˇ RJESENJA
Zadatak 14.
4
Deriviraj funkcije: 1) f (x) = 2e−3x ; 1 2 2) f (x) = e2−x ; 2 3) f (x) = ex + e−x ; e2x − e−2x ; ex + e−x 1 5) f (x) = ln ; 1 − e2x √ 6) f (x) = ln(ex + 1 + e2x ) ; 4) f (x) =
2
7) f (x) = sin ex −x ; 8) f (x) = ex sin x + e−x cos x . Rjeˇsenje.
1) f (x) = (2e−3x ) = 2e−3x (−3) = −6e−3x ; 1 1 2−x2 2 2 e 2) f (x) = = e2−x (−2x) = −xe2−x ; 2 2 3) f (x) = (ex + e−x ) = ex − e−x ; 2x e − e−2x = (ex − e−x ) = ex + e−x ; 4) f (x) = ex + e−x 1 1 2e2x (−e2x )2 = = (1 − e2x ) · − ; 5) f (x) = ln 2x 2x 2 1−e (1 − e ) 1 − e2x √ 1 2e2x √ = · ex + √ 6) f (x) = [ln(ex + 1 + e2x )] = ex + 1 + e2x 2 1 + e2x √ 1 ex ex ( 1 + e2x + ex ) √ √ = √ ; ex + 1 + e2x 1 + e2x 1 + e2x 2 2 2 2 2 7) f (x) = (sin ex −x ) = cos ex −x ·ex −x ·(2x−1) = (2x−1)ex −x cos ex −x ; 8) f (x) = (ex sin x + e−x cos x) = ex sin x + ex cos x − e−x cos x − e−x sin x = (ex − e−x )(sin x + cos x) .
209
ˇ ˇ DETALJNA RJESENJA ZADATAKA IZ UDZBENIKA MATEMATIKA 4 ZA 4. RAZRED GIMNAZIJE
Zadatak 15.
Rjeˇsenje.
4
Deriviraj sljede´ce funkcije: √ √ 4 tg x + 1 − 2 tg x ; 1) f (x) = ln √ √ 4 tg x + 1 + 2 tg x x ln x − 1 2) f (x) = ln ; x ln x + 1 √ x 4 + 1 − x2 . 3) f (x) = ln √ x 4 + 1 + x2
√ √ 4 tg x + 1 − 2 tg x 1) f (x) = ln √ √ 4 tg x + 1 + 2 tg x √
√
√ √ √ √ 4 tg x + 1 − 2 tg x 4 tg x + 1 − 2 tg x ( 4 tg x + 1 − 2 tg x)2 ·√ = ln √ = ln √ √ 4 tg x + 1 − 4 tg x 4 tg x + 1 + 2 tg x 4 tg x + 1 − 2 tg x √ √ √ √ = [ln( 4 tg x + 1 − 2 tg x)2 ] = 2[ln( 4 tg x + 1 − 2 tg x)] √ √ 2 · ( 4 tg x + 1 − 2 tg x) =√ √ 4 tg x + 1 − 2 tg x
1 2 1 √ · (tg x) · · (4 tg x + 1) − √ =√ √ tg x
4 tg x + 1 − 2 tg x 2 4 tg x + 1 1 2 1 1 2 · · √ · −√ =√ √ tg x cos2 x 4 tg x + 1 − 2 tg x 4 tg x +√1 cos2√x 2 tg x − 4 tg +1 2 1 √ ·√ = √ √ 2 4 tg x + 1 − 2 tg x 4 tg x + 1 − 2 tg x cos x 2 =− ; 2 cos x tg x(4 tg x + 1) 2 x ln x − 1 = √ ; 2) f (x) = ln 2 x ln x + 1 x 1 + x A √ B √ √ 4 + 1 − x2 4 + 1 − x2 4 + 1 − x2 x x x = ln √ ·√ = 3) f (x) = ln √ x 4 + 1 + x2 x 4 + 1 + x2 x 4 + 1 − x2 B A √ √ √ ( x4 + 1 − x2 )2 4 + 1 − x2 )2 ] = 2[ln( x4 + 1 − x2 )] = 2 · ln = [ln( x x 4 + 1 − x4
√ 2 1 1 √ ·( x4 + 1 − x2 ) = √ · √ · 4x3 − 2x = x 4 + 1 − x2 x 4 + 1 − x2 2 x4√+ 1 √ 2x3 − 2x x4 + 1 x2 − x 4 + 1 4x 4x 2 √ √ · · √ = √ = −√ . x 4 + 1 − x2 x4 + 1 x 4 + 1 − x2 x4 + 1 x4 + 1
1009
ˇ RJESENJA
Zadatak 16.
4
Rijeˇsi jednadˇzbu f (x) = 0 , ako je: 1) f (x) = ln2 x − ln x − 1 ; 2) f (x) = ln(x2 + x + 1) ; 3) f (x) = x · ln x ; 4) f (x) = x2 · ln x ; 5) f (x) = ln sin x ; 6) f (x) = ln(tg x + ctg x) .
Rjeˇsenje.
1 1 1 1) f (x) = (ln2 x − ln x − 1) = 2 ln x · − = (2 ln x − 1) . x x x 1 1 1 (2 ln x − 1) = 0 =⇒ 2 ln x − 1 = 0 =⇒ ln x = =⇒ ln x = ln e 2 =⇒ x √ 2 x = e; 2x + 1 1 · (2x + 1) = 2 . 2) f (x) = [ln(x2 + x + 1)] = 2 x +x+1 x +x+1 2x + 1 1 = 0 =⇒ 2x + 1 = 0 =⇒ 2x = −1 =⇒ x = − ; 2 2 x +x+1 3) f (x) = (x · ln x) = ln x + 1 . 1 ln x + 1 = 0 =⇒ ln x = −1 =⇒ ln x = ln e−1 =⇒ x = ; e 4) f (x) = (x2 · ln x) = 2x ln x + x = x(2 ln x + 1) . 1 =⇒ ln x = x(2 ln x + 1) = 0 =⇒ 2 ln x + 1 = 0 =⇒ ln x = − 2 1 1 ln e− 2 =⇒ x = √ ; e cos x 1 · cos x = . 5) f (x) = (ln sin x) = sin x sin x cos x π = 0 =⇒ cos x = 0 =⇒ x = + k · π ; sin x 2 1 1 1 1 · 6) f (x) = [ln(tg x+ctg x)] = − = sin x cos x · tg x + ctg x cos2 x sin2 x + cos x sin x sin x sin x cos x sin2 x − cos2 x sin2 x − cos2 x sin2 x − cos2 x = − = · = sin x cos x cos x sin2 x cos2 x sin2 x + cos2 x sin2 x · cos2 x cos x . sin x sin x cos x sin x cos x − = 0 =⇒ = = 0 =⇒ sin x = cos x =⇒ x = cos x sin x cos x sin x π + k · π, k ∈ Z . 4
211
4
ˇ RJESENJA
Zadatak 17. Rjeˇsenje.
212
x−1 , odredi (f −1 ) (x) . x x + 1 = t =⇒ x = t − 1 , t−2 x−2 t−1−1 = =⇒ f (x) = , f (t) = t−1 t−1 x−1 y−2 x= =⇒ y − 2 = xy − x =⇒ y(1 − x) = −x + 2 =⇒ f −1 (x) = y−1 x−2 , x−1 x−1−x+2 1 (f −1 ) (x) = = . 2 (x − 1) (x − 1)2 Ako je f (x + 1) =
ˇ RJESENJA
Zadatak 18. Rjeˇsenje.
4
Ako je f (2x) = e−x , odredi (f −1 ) (x) . t x t 2x = t =⇒ x = =⇒ f (t) = e− 2 =⇒ f (x) = e− 2 , 2 y y x = e− 2 =⇒ − = ln x =⇒ −y = 2 ln x =⇒ f −1 (x) = −2 ln x , 2 2 −1 (f ) (x) = − . x
213
4
ˇ RJESENJA
Zadatak 19.
Rjeˇsenje.
214
Rijeˇsi jednadˇzbu f (x) = g (x) ako je 1 . f (x) = ln(1 − x) , g(x) = 1−x 1 1 f (x) = , g (x) = ; x−1 (x − 1)2 1 1 1−x+1 1 1 = = 0 =⇒ =⇒ − = 0 =⇒ x−1 x−1 (x − 1)2 (x − 1)2 (x − 1)2 2−x = 0 =⇒ x = 2 ; (x − 1)2 x = 1, 1 − x > 0 =⇒ −x > −1 =⇒ x < 1 =⇒ nema rjeˇsenja.
ˇ RJESENJA
4
Rjesenja ˇ zadataka 4.5 Zadatak 1.
Kako glasi jednadˇzba tangente poloˇzene na graf funkcije f u toˇcki s apscisom x0 : 1) f (x) = x2 − 2x − 3 , x0 = −1 ; 1 2) f (x) = −3x2 − x + 5 , x0 = − ; 2 3) f (x) = x3 − x + 11 , x0 = 1 ; 4) f (x) = −x3 + 2x2 − x + 1 , x0 = 2 ; 5) f (x) = x4 − 3x2 + 1 , x0 = −2 .
Rjeˇsenje.
1) f (−1) = 1 + 2 − 3 = 0 ; f (x) = (x2 − 2x − 3) = 2x − 2 ; f (−1) = −4 . Jednadˇzba tangente galsi y + 0 = −4(x + 1) , odnosno y = −4x − 4 ; 1 3 1 19 = − + +5 = ; f (x) = (−3x2 − x + 5) = −6x − 1 ; 2) f − 2 4 2 4 1 19 1 = 3−1 = 2 . Jednadˇzba tangente glasi y− = 2 x+ , odnosno f − 2 4 2 8x − 4y + 23 = 0 ; 3) f (1) = 1 − 1 + 11 = 11 ; f (x) = (x3 − x + 11) = 3x − 1 ; f (1) = 2 . Jednadˇzba tangente glasi y − 11 = 2(x − 1) , odnosno y = 2x + 9 ; 4) f (2) = −8+8−2+1 = −1 ; f (2) = (−x3 +2x2 −x+1) = −3x2 +4x−1 ; f (2) = −12 + 8 − 1 = −5 . Jednadˇzba tangente glasi y + 1 = −5(x − 2) , odnosno y = −5x + 9 ; 5) f (−2) = 16 − 12 + 1 = 5 ; f (x) = (x4 − 3x2 + 1) = 4x3 − 6x ; f (−2) = −32 + 12 = −20 . Jednadˇzba tangente glasi y − 5 = −20(x + 2) , odnosno y = −20x − 35 .
215
4
ˇ RJESENJA
Zadatak 2.
Na graf funkcije f poloˇzena je tangenta s nagibom k . Odredi njezinu jednadˇzbu i koordinate diraliˇsta, ako je: 1) 2) 3) 4) 5)
Rjeˇsenje.
f (x) = x2 + 4x + 3 , k = −2 ; 1 f (x) = 2x2 − x + 1 , k = − ; 2 f (x) = x3 − 1 , k = −3 ; f (x) = x4 − 2x3 + x2 − 4 , k = 0 ; 1 f (x) = −x4 + 1 , k = . 2
1) k = f (x0 ) = (x20 + 4x0 + 3) = 2x0 + 4 = −2 =⇒ 2x0 = −6 =⇒ x0 = −3 , y0 = 9 − 12 + 3 = 0 ; koordinate diraliˇsta su (−3, 0) . Jednadˇzba tangente glasi y − 0 = −2(x + 3) , odnosno y = −2x − 6 . 1 1 =⇒ 4x0 = =⇒ 2) k = f (x0 ) = (2x20 − x0 + 1) = 4x0 − 1 = − 2 2 1 58 29 1 29 1 2 x 0 = ; y0 = − +1 = = ; koordinate diraliˇsta su , . 8 64 8 64 32 8 32 29 1 1 Jednadˇzba tangente glasi y− = − x− , odnosno 16x+32y−31 = 0 ; 32 2 8 3) k = f (x) = (x3 − 1) = 3x2 = −3 ; nema rjeˇsenja; 4) k = f (x0 ) = (x40 −2x30 +x20 −4) = 4x30 −6x20 +2x0 = 2x0 (2x20 −3x0 +1) = 1 63 ,− i (1, −4) . Tangente su pravci y + 4 = 0 0 . Tri su toˇcke: (0, −4) , 2 16 ( za sluˇcajeve x = 0 i x = 1 ) te 16y + 63 = 0 ; 1 1 1 5) k = f (x0 ) = (−x4 + 1) = −4x3 = =⇒ x3 = − =⇒ x = − , 2 8 2 15 1 15 1 y0 = − + 1 = ; koordinate diraliˇsta su − , . Jednadˇzba tangente 16 16 2 16 15 1 1 glasi y − = x+ , odnosno 8x − 16y + 19 = 0 . 16 2 2
216
ˇ RJESENJA
Zadatak 3.
Rjeˇsenje.
4
1 sˇ to je poloˇzena u Kako glasi jednadˇzba tangente na graf funkcije f (x) = x toˇcki s apscisom x = − 12 ? 1 1 1 1 1 = = − f − = −4 . = −2 ; f (x) = − 2 =⇒ f − 1 1 2 2 2 x − − 2 2 1 , odnosno y = −4x − 4 . Jednadˇzba tangente glasi y + 2 = −4 x + 2
217
4
ˇ RJESENJA
Zadatak 4.
Rjeˇsenje.
218
Napiˇsi jednadˇ zbu tangente na krivulju y = cos 2x − π + 2 u toˇcki s apscisom x0 = π . 3 2 π π 2π 1 3 = cos π − + 2 = cos + 2 = − + 2 = ; y = −2 sin 2x − y 2 2 2 2π 3 π π 3 √ π 2π =⇒ y = −2 sin − = −2 sin = − 3 . Jednadˇzba 3 2 2 3 3 √ √ π 3 1 √ , odnosno y = − 3x + (π 3 + 3) . tangente glasi y − = − 3 x − 2 2 2
ˇ RJESENJA
Zadatak 5.
Rjeˇsenje.
4
1 u njezinoj toˇcki s apscisom Napiˇsi jednadˇzbu tangente na krivulju y = √ sin x x0 = π . 2 π π 1 1 1 = =− = 1 ; y = − √ · ·cos x =⇒ y y 3 2 2 π π 2 sin x sin 2 sin3 2 2 π cos = 0 . Jednadˇzba tangente glasi y − 1 = 0 . 2
219
4
ˇ RJESENJA
Zadatak 6.
Odredi jednadˇzbe tangenata na graf funkcije u toˇcki s zadanom apscisom: 1) y = x3 , x1 = −2 ; 2) y = ln x u nultoˇcki funkcije; 3) y = ex u presjeciˇstu s osi ordinata.
Rjeˇsenje.
1) y = (−2) = −8 ; y = 3x2 =⇒ y (−2) = 12 . Jednadˇzba tangente glasi y + 8 = 12(x + 2) , odnosno y = 12x + 16 ; 1 =⇒ y (1) = 1 . Jednadˇzba 2) y = 0 =⇒ ln x = 0 =⇒ x = 1 ; y = x tangente glasi y − 0 = 1(x − 1) , odnosno y = x − 1 ; 3) x = 0 =⇒ y = e0 = 1 ; y = ex =⇒ y (0) = 1 . Jednadˇzba tangente glasi y − 1 = 1(x − 0) , odnosno y = x + 1 .
220
ˇ RJESENJA
Zadatak 7. Rjeˇsenje.
4
3x2 + 1 povuˇcene u toˇckama s ordinatom x2 + 3 1 sijeku u ishodiˇstu koordinatnog sustava.
Dokaˇzi da se tangente krivulje y =
Apscise toˇcaka dobivamo rjeˇsavanjem jednadˇzbe f (x) = 1 , tj. 3x2 + 1 = x2 + 6x(x2 + 3) − 2x(3x2 + 1) 3 =⇒ 2x2 = 2 , odakle je x1 = −1 , x2 = 1 . y = = (x2 + 3)2 6x3 + 18x − 6x3 − 2x 16x 16 = 2 ; y (±1) = ± 2 = ±1 . Jednadˇzbe tan(x2 + 3)2 (x + 3)2 4 genata glase y − 1 = x − 1 =⇒ y = x i y − 1 = −x − 1 =⇒ y = −x . One se sijeku u ishodiˇstu.
221
4
ˇ RJESENJA
Zadatak 8. Rjeˇsenje.
222
Pod kojim kutom krivulja y = ex sijeˇce os ordinate? x = 0 =⇒ y = e0 = 1 ; y = ex =⇒ y (0) = 1 . Koeficijent smjera π tangente je k = y (0) = 1 , pa je kut tg ϕ = 1 =⇒ ϕ = arc tg 1 = . 4
ˇ RJESENJA
Zadatak 9. Rjeˇsenje.
4
Pod kojim kutom sinusoida sijeˇce os x ? y = sin x , T1 (0, 0) , T2 (π , 0) , y = cos x =⇒ y (0) = 1
y (π ) = −1 . π i Koeficijenti smjera tangenata su tg ϕ1 = y (0) = 1 =⇒ ϕ1 = arc tg 1 = 4 3π . tg ϕ2 = y (π ) = −1 =⇒ ϕ2 = arc tg(−1) = 4
223
4
ˇ RJESENJA
Zadatak 10.
Pod kojim kutom krivulja y = log 1 x sijeˇce apscisnu os? 2
Rjeˇsenje.
224
1 1 =⇒ y (1) = − . Koefiy = − log2 x = 0 =⇒ x = 1 ; y = − x ln 2 ln 2 1 1 cijent smjera tangente je tgϕ = y (1) = − =⇒ ϕ = arc tg − = ln 2 ln 2 ◦ 124 43 40 .
ˇ RJESENJA
Zadatak 11. Rjeˇsenje.
4
Koliki kut s osi apscisa zatvara tangenta na graf funkcije f (x) = ex · ln(x + 1) u toˇcki s apscisom x = 0 ? 1 ex = ex + ln(x + 1) =⇒ f (0) = f (x) = ex ln(x + 1) + x + 1 x + 1 1 + ln(0 + 1) = 1 . Koeficijent smjera tangente jednak je k = e0 0+1 π f (0) = tg ϕ = 1 =⇒ ϕ = arc tg 1 = . 4
225
4
226
ˇ RJESENJA
Zadatak 12.
Tangenta poloˇzena u bilo kojoj toˇcki krivulje y = x3 + x − 2 ima pozitivan nagib. Obrazloˇzi!
Rjeˇsenje.
y = (x3 + x − 2) = 3x2 + 1 > 0 za svaki x ∈ R , pa tangenta u bilo kojoj toˇcki krivulje ima pozitivni nagib.
ˇ RJESENJA
Zadatak 13.
Tangenta poloˇzena u bilo kojoj toˇcki krivulje y = −x3 − 2x + 3 ima negativan nagib. Obrazloˇzi!
Rjeˇsenje.
y = (−x3 − 2x + 3) = −3x2 − 2 < 0 za svaki x ∈ R , pa tangenta u bilo kojoj toˇcki krivulje ima negativni nagib.
4
227
4
228
ˇ RJESENJA
Zadatak 14.
Tangenta ni u kojoj toˇcki krivulje y = −x3 + 3x2 − 3x+ 3 nema pozitvan nagib. Obrazloˇzi! Postoji li na krivulji toˇcka u kojoj tangenta poloˇzena na krivulju ima nagib k = 0?
Rjeˇsenje.
y = (−x3 +3x2 −3x+3) = −3x2 +6x−3 = −3(x2 −2x+1) = −3(x−1)2 < 0 za svaki x ∈ R . k = y = −3(x − 1)2 = 0 =⇒ x = 1 . Postoji takva toˇcka i njezine su koordinate T(1, 2) .
ˇ RJESENJA
Zadatak 15. Rjeˇsenje.
Odredi realni broj a tako da graf funkcije f (x) =
4
1 3 x − 4x + a dira os apscisa. 3
Da bi os apscisa bila tangenta na graf funkcije treba f (x) = x2 − 4 = 0 =⇒ 8 x = ±2 . Uvrstimo li x = ±2 u jednadˇzbu funkcije dobit c´ emo − 8 + a = 0 3 8 16 16 i − + 8 + a = 0 odakle slijedi a = ili a = − . 3 3 3
229
4
ˇ RJESENJA
Zadatak 16. Rjeˇsenje.
230
√ Odredi realni broj a tako da pravac y = x+a bude tangenta krivulje y = 2 x . Da bi pravac y = x + a bio tangenta zadane krivulje treba vrijediti y = √ 1 (2 x) = √ = 1 =⇒ x = 1 . Uvrstimo li x = 1 u jednadˇzbu x krivulje dobit c´emo y = 2 , odnosno diraliˇste (1, 2) . Odatle slijedi da je 2 = 1 + a =⇒ a = 1 .
ˇ RJESENJA
Zadatak 17.
Tangenate poloˇzenih na grafove funkcija f (x) = x4 − x3 − x i g(x) = 3x − x3 u dvjema toˇckama s istom apscisom paralelne su. Odredi koordinate dvaju tih diraliˇsta.
Rjeˇsenje.
Iz f (x0 ) = g (x0 ) slijedi 4x3 − 3x2 − 1 = −3x2 + 3 =⇒ x3 = 1 =⇒ x0 = 1 . f (1) = 1 − 1 − 1 = −1 , g(1) = 3 − 1 = 2 . Diraliˇsta tangenata su toˇcke (1, −1) i (1, 2) .
4
231
4
232
ˇ RJESENJA
Zadatak 18.
U toˇckama s apscisama x1 = 1 i x2 = 3 povuˇcena je sekanta na graf funkcije f (x) = x2 . U kojoj je toˇcki tangenta na graf funkcije paralelna toj sekanti?
Rjeˇsenje.
f (1) = 1 , f (3) = 9 . Sekanta prolazi toˇckama T1 (1, 1) , T2 (3, 9) . Jednadˇzba 9−1 (x − 1) =⇒ y = 4x − 3 . Da bi tangenta na graf sekante glasi y − 1 = 3−1 funkcije bila paralelna toj sekanti, mor aimati jednak koeficijent smjera. To znaˇci da je f (x) = 2x = 4 =⇒ x = 2 , f (2) = 4 . Traˇzena toˇcka je T(2, 4) .
ˇ RJESENJA
Zadatak 19.
- toˇcku krivulje y = x3 − 3x + 2 u kojoj je tangenta paralelna s pravcem Nadi y = 3x .
Rjeˇsenje.
Da bi tangenta na graf funkcije i pravac bili paralelni moraju imati isti koefi√ 2 . Vrijednosti cijent smjera. y = 3x2 − 3 =√3 =⇒ x√= ± √ √ koje funkcija 2) = ±2 2 ∓ 3 2 + 2 = ∓ 2 + 2 . Dakle, poprima u tim toˇckama su y(± √ √ √ √ traˇzene toˇcke su T1 ( 2, 2 − 2) , T2 (− 2, 2 + 2) .
4
233
4
234
ˇ RJESENJA
Zadatak 20.
- jednadˇzbe tangenata krivulje y= 1 x3 − 3 x2 +x koje su paralelne pravcu Nadi 2 - tim3tangentama? y = −x . Kolika je udaljenost medu
Rjeˇsenje.
Koeficijent smjera pravca jednak je −1 . Da bi tangenta bila paralelna s pravcem treba biti y = x2 − 3x + 1 = −1 =⇒ x2 − 3x − 2 = 0 =⇒ (x − 2)(x − 1) = 0 =⇒ x1 = 1 , x2 = 2 . Vrijednosti koje funkcija poprima 3 1 3 2−9+6 1 1 =− u tim toˇckama su y1 (1) = · 1 − · 1 + 1 = − + 1 = 3 2 3 2 6 6 3 8 8 8 − 12 4 1 i y2 (2) = ·8− ·4+2 = −6+2 = −4 = = − . 3 2 3 3 3 3 1 4 Koordinate diraliˇsta su T1 1, − , T2 2, − . Jednadˇzbe tangenata su 6 3 1 4 y+ = −(x − 1) =⇒ 6x + 6y − 5 = 0 i y + = −(x − 2) =⇒ 6 3 3x + 3y − 2 = 0 . Udaljenost toˇcke T1 od druge tangente jednaka je 1 1 √ 3 · 1 − 3 · − 2 3 − − 2 1 2 6 2 √ √ . d(T1 , t2 ) = = √ = = 12 9+9 3 2 6 2
ˇ RJESENJA
Zadatak 21.
U kojoj toˇcki krivulje y = x3 + 2x − 1 treba poloˇziti tangentu tako da bude okomita na pravac x + y = 0 ?
Rjeˇsenje.
Koeficijent smjera pravca y = −x je k = −1 . Da bi tangenta bila okomita na pravac mora imati koeficijent smjera jednak 1. y = 3x2 + 2 = 1 =⇒ 3x2 = 1 −1 =⇒ x2 = − . Ne postoji takav x ∈ R =⇒ , dakle nema rjeˇsenja. 3
4
235
4
ˇ RJESENJA
Zadatak 22.
Odredi toˇcku krivulje y = x − y + 5 = 0.
Rjeˇsenje.
236
x+1 koja je diraliˇste tangente paralelne pravcu x+2
Koeficijent smjera pravca jednak je 1. Da bi tangenta bila paralelna s pravcem 1 treba biti y = = 1 =⇒ x1,2 = −2 ± 1 =⇒ x1 = −3 , x2 = −1 . (x + 2)2 −2 −3 + 1 = = 2, Vrijednosti koje funkcija postiˇze u tim toˇckama su y1 = −3 + 2 −1 −1 + 1 y2 = = 0 . Diralista su D1 (−3, 2) , D2 (−1, 0) . −1 + 2
ˇ RJESENJA
Zadatak 23. Rjeˇsenje.
Ishodiˇstem koordinatnog sustava prolazi tangenta krivulje y = kut ta tangenta zatvara s osi apscisa?
4
√ x − 1 . Koliki
1 1 √ , jednadˇzba tangente glasi y = √ · x + l , l = 0 sli2 x−1 2 x−1 x x jedi y = √ . Sada traˇzimo diraliˇste tangente i krivulje. √ = 2 x−1 2 x−1 √ x − 1 =⇒ x = 2(x − 1) =⇒ x = 2x − 2 =⇒ x = 2 , y = 1 , D(2, 1) . 1 1 =⇒ ϕ = arc tg = 26◦ 33 54 . tg ϕ = y (2) = 2 2 y =
237
4
ˇ RJESENJA
Zadatak 24.
Rjeˇsenje.
238
U kojoj toˇcki krivulje y = pravcu x − 2y + 2 = 0 ?
√ x − 4 treba poloˇziti tangentu kako bi bila paralelna
1 Da bi tangenta bila paralelna s pravcem y = x + 1 treba vrijediti y = 2 √ √ 1 1 =⇒ x − 4 = 1 =⇒ x − 4 = 1 =⇒ x = 5 . = ( x − 4) = √ 2 x−4 U toj toˇcki funkcija poprima vrijdnost y(5) = 1 . Diraliˇste je toˇcka T(5, 1) .
ˇ RJESENJA
Zadatak 25. Rjeˇsenje.
4
Napiˇsi jednadˇzbu horizontalne tangente poloˇzene na graf funkcije f (x) = x − ln x . 1 = 0 =⇒ x = 1 , y(1) = 1 . Jednadˇzba tangente glasi f (x) = 1 − x y − 1 = 0.
239
4
ˇ RJESENJA
Zadatak 26. Rjeˇsenje.
240
Napiˇsi jednadˇzbu zajedniˇcke tangente krivulja y = sin x i y = x + 13 x3 . 1 y = (sinx) = cos x = x + x3 = 1 + x2 =⇒ cos x = 1 + x2 . 3 cos x 1 =⇒ x = 0 , y(0) = 0 . Koordinate diraliˇsta su O(0, 0) . Jednadˇzba tangente je y = x .
ˇ RJESENJA
Zadatak 27.
Odredi jednadˇzbu normale na krivulju y=x · ln x sˇ to je paralelna s pravcem 2x − 2y + 3 = 0 .
Rjeˇsenje.
Koeficijent smjera pravca je k = 1 i jednak je koeficijentu normale na krivulju. Prema tome, koeficijent smjera tangente na krivulju jest y = ln x + 1 = −1 =⇒ lnx = −2 =⇒ x = e−2 . y(e−2 ) = −2e−2 . Koordinate diraliˇsta 1 2 2 1 su D( 2 , − 2 . Jednadˇzba normale glasi y + 2 = 1 x − 2 =⇒ y = e e e e 3 x− 2 . e
4
241
4
242
ˇ RJESENJA
Zadatak 28.
Kako glasi jednadˇzba horizontalne tangente poloˇzene na krivulju y = ex +e−x ?
Rjeˇsenje.
y = ex − e−x = 0 =⇒ ex = e−x =⇒ e2x = 1 =⇒ x = 0 , y = 2 . Jednadˇzba horizontalne tangente glasi y − 2 = 0 .
ˇ RJESENJA
Zadatak 29.
U kojoj toˇcki parabole y = x2 treba poloˇziti tangentu na parabolu tako da kut - te tangente i pravca 3x − y + 1 = 0 bude jednak 45◦ ? izmedu
Rjeˇsenje.
Koeficijent smjera pravca je k1 = 3 , a koeficijent smjera tangente je k2 = - tangente i pravca jednak je tg 45◦ = y = (x2 ) = 2x . Kut izmedu k2 − k1 2x − 3 =⇒ 2x − 3 = 1 + 6x =⇒ x = −1 . 1 = = 1 + k1 · k 2 1 + 6x Vrijednost funkcije u toj toˇcki je y(−1) = (−1)2 = 1 . Dakle, ta toˇcka ima koordinate D1 (−1, 1) . Drugo rjeˇsenje je za tg(−45◦ ) = −1 . 1 2x − 3 = −1 =⇒ 2x − 3 = −1 − 6x =⇒ x = . Vrijednost funk1 + 6x 1 41 1 cije u toj toˇcki je y = , koordinate diraliˇsta su D2 , . 16 4 16
4
243
4
ˇ RJESENJA
Zadatak 30. Rjeˇsenje.
- onu toˇcku na krivulji y = x3 − x2 u kojoj poloˇzena tangenta s osi x Nadi zatvara kut od 45◦ - tanKoeficijent smjera tangente je y = (x3 − x2 ) = 3x2 − 2x . Kut izmedu 3x2 − 2x − 0 =⇒ 3x2 − 2x − 1 = 1+0 1 0 =⇒ (3x + 1)(x − 1) = 0 =⇒ x1 = 1 , x2 = − . y(1) = 0 i 3 1 1 1 4 4 1 y − = − = − . Traˇzene toˇcke su D1 (1, 0) i D2 − , − . 3 27 9 27 3 27
gente i osi x jednak je tg 45 = 1 =
244
ˇ RJESENJA
Zadatak 31.
Za koje p i q pravac y = 3x − 2 dira parabolu y = x2 + px + q u toˇcki s apscisom x = 0 ?
Rjeˇsenje.
Koeficijent smjera pravca koji dira parabolu je k = 3y = 2x + p . y (0) = p = 3 . 3x − 2 = x2 + px + q =⇒ 3 · 0 − 2 = 0 + 3 · 0 + q =⇒ q = −2 .
4
245
4
246
ˇ RJESENJA
Zadatak 32.
Kolika je povrˇsina trokuta sˇ to ga tvore pravac y = 2 − x , os apscisa i tangenta na krivulju y = 1 + 2x − x2 u toˇcki njezinog presjeka s ordinatnom osi?
Rjeˇsenje.
Za x = 0 je y(0) = 1 . Diraliˇste ima koordinate D(0, 1) . Koeficijent smjera tangente jednak je y = 2 − 2x , odnosno y (0) = 2 . Jednadˇzba tangente je y − 1 = 2(x − 0) =⇒ y = 2x + 1 . Nadimo sada sjeciˇste tangente i pravca. 1 5 1 5 1 . Preostala dva vrha 2x + 1 = 2 − x =⇒ x = i y = 2 − = , C , 3 3 3 3 3 1 trokuta su sjeciˇsta pravaca i osi apscisa, A − , 0 i B(2, 0) . Visina trokuta 2 5 1 5 je , a odgovaraju´ca stranica je + 2 = . Povrˇsina trokuta jednaka je 3 2 2 1 5 5 25 P= · · = . 2 3 2 12
ˇ RJESENJA
Zadatak 33. Rjeˇsenje.
Kolika je udaljenost ishodiˇsta od tangente na krivulju y = s apscisom 1?
√
4
x u njezinoj toˇcki
Za x = 1 je y(1) = 1 . Diraliˇste ima koordinate D(1, 1) . Koeficijent smje1 1 ra tangente je y = √ , odnosno y (1) = . Jednadˇzba tangente glasi 2 2 x 1 y − 1 = (x − 1) =⇒ x − 2y + 1 = 0 . Udaljenost tangente od ishodiˇsta 2 √ −2 · 0 + 1 5 1 . jednaka je d(O, t) = √ = √ = 5 1+4 5
247
4
ˇ RJESENJA
Zadatak 34. Rjeˇsenje.
248
√ U sjeciˇstu krivulje y = 2 − x s osi ordinata poloˇzena je tangenta na krivulju. Kolika je udaljenost te tangente od ishodiˇsta? √ √ Za x = 0 je y(0) = 2 . Diraliˇste ima koordinate D(0, 2) . Koeficijent 1 1 smjera tangente je y = − √ , odnosno y (0) = − √ . Jednadˇzba 2 2−x 2 2 √ √ 1 tangente glasi y − 2 = − √ (x − 0) =⇒ x + 2 2y − 4 = 0 . Udaljenost 2 2 0 + 2√2 · 0 − 4 4 √ tangente od ishodiˇsta jednaka je d(O, t) = = . 3 1+8
ˇ RJESENJA
Zadatak 35. Rjeˇsenje.
4
x+1 u njezinoj toˇcki s apscisom x = 2 poloˇzena je tangenta. x−1 Kolika je povrˇsina trokuta sˇ to ga ta tangenta zatvara s koordinatnim osima?
Na krivulju y =
Za x = 2 je y(2) = 3 . Koordinate diraliˇsta su D(2, 3) . Koeficijent smjera x−1−x−1 −2 tangente je y = = , odnosno y (2) = −2 . Jednadˇzba 2 (x − 1) (x − 1)2 1 2 tangente glasi y − 3 = −2(x − 2) =⇒ 2x + y = 7/ : 7 =⇒ x + y = 7 7 mn 7 ·7 x 49 y 2 1 =⇒ 7 + = 1 . Povrˇsina trokuta jednaka je P = = = . 7 2 2 4 2
249
4
ˇ RJESENJA
Zadatak 36. Rjeˇsenje.
250
Izraˇcunaj povrˇsinu trokuta odredenog koordinatnim osima i tangentom na krix u toˇcki s apscisom x = 1 . vulju y = 2x − 1 Za x = 1 je y(1) = 1 . Koordinate diraliˇsta su D(1, 1) . Koeficijent smjera 2x − 1 − 2x −1 tangente je y = = , odnosno y (1) = −1 . Jednadˇzba (2x − 1)2 (2x − 1)2 y x + = 1. tangente glasi y − 1 = −(x − 1) =⇒ x + y = 2/ : 2 =⇒ 2 2 mn 2 · 2 = 2. Povrˇsina trokuta jednaka je P = = 2 2
ˇ RJESENJA
Zadatak 37. Rjeˇsenje.
4
√ U toˇcki T(5, 1) krivulje y = x − 4 poloˇzena je tangenta na krivulju i ona s koordinatnim osima zatvara trokut. Odredi povrˇsinu tog trokuta. 1 Koordinate diraliˇsta su D(5, 1) . Koeficijent smjera tangente je y = √ , 2 x−4 1 1 odnosno y (5) = . Jednadˇzba tangente glasi y − 1 = (x − 5) =⇒ 2 2 1 3 3 x y x−y = / : =⇒ − 3 = 1 . Povrˇsina trokuta jednaka je 2 2 2 3 2 3 mn 3 · − 2 9 = . P = = 4 2 2
251
4
ˇ RJESENJA
Zadatak 38. Rjeˇsenje.
252
Kolika je povrˇsina trokuta sˇ to ga s koordinatnim osima zatvara tangenta na krivulju y = ln x u njezinoj nultoˇcki? 1 Koordinate diraliˇsta su D(1, 0) . Koeficijent smjera tangente je y = , odx nosno y (1) = 1 . Jednadˇzba tangente glasi y− 0 = x − 1 =⇒ x − y = 1 . mn 1 · 1 1 = . Povrˇsina trokuta jednaka je P = = 2 2 2
4
254
ˇ RJESENJA
Zadatak 40.
Koliki kut zatvaraju tangente poloˇzene na parabolu y = 3 + 2x − x2 u njezinim nultoˇckama?
Rjeˇsenje.
Iz jednadˇzbe parabole y = 3 + 2x − x2 = (3 − x)(1 + x) vidimo da su nultoˇcke x1 = 3 i x2 = −1 . Koeficijenti smjera tangenata su k1 = y(3) = 2 − 2 · 3 = −4 i k2 = y (−1) = 2 − 2 · (−1) = 4 . Kut pod kojim se sijeku je −8 8 −4 − 4 = = =⇒ ϕ = 28◦ 04 21 . tg ϕ = 1−4·4 −15 15
ˇ RJESENJA
Zadatak 41. Rjeˇsenje.
4
Koliki kut zatvaraju tangente na krivulju y = x3 − x poloˇzene u njezinim toˇckama s apscisama −1 i 0 ? Koeficijenti smjera tangenata su k1 = y (−1) = 3(−1)2 − 1 = 2 i k2 = −1 − 2 = 3 =⇒ y (0) = 3 · 02 − 1 = −1 . Kut pod kojim se sijeku je tg ϕ = 1−2 ◦ ϕ = 71 33 54 .
255
4
ˇ RJESENJA
Zadatak 42.
Rjeˇsenje.
256
Koliki kut zatvaraju tangente na krivulju y = x3 − x u njezinim toˇckama s apscisama x = −1 i x = 1 ? Koeficijenti smjera tangenata su k1 = y (−1) = 3 · (−1)2 − 1 = 2 i 2−2 = k2 = y (1) = 3 · (1) − 1 = 2 . Kut pod kojim se sijeku je tg ϕ = 1−4 0 =⇒ ϕ = 0 .
ˇ RJESENJA
Zadatak 43.
Koliki kut zatvaraju tangente poloˇzene na krivulju y = sjeciˇstima s koordinatnim osima?
Rjeˇsenje.
4
x−4 u njezinim x−2
Toˇcke u kojima funkcija sijeˇce koordinatne osi su x = 0 , y = 2 =⇒ T1 (0, 2) i 2 y = 0 , x = 4 =⇒ T2 (4, 0) . Koeficijenti smjera tangenata su y = , (x − 2)2 1 1 i k2 = y (4) = . Kut pod kojim se tangente sijeku je tj. k1 = y (0) = 2 2 k1 = k2 =⇒ tg ϕ = 0 =⇒ ϕ = 0 .
257
4
ˇ RJESENJA
Zadatak 44. Rjeˇsenje.
258
- kut pod kojim se sijeku krivulje y = Nadi
√ 2x i y = 12 x2 .
√ 1 2x = x2 =⇒ 8x = x4 =⇒ x(x3 − 2 8) = 0 =⇒ x(x − 2)(x2 + 2x + 4) = 0 . x1 = 0 , x2 = 2 . Koeficijenti smjera 1 1 tangenata su k1 = y (0) = √ = ∞ , k3 = y (2) = , k2 = y (0) = 0 i 2 2·0 π k4 = y (2) = 2 . U toˇcki (0,0) sijeku se pod kutom ϕ1 = , a u toˇcki (2,2) si2 1 2− k − k3 2 = 3 =⇒ ϕ = 36◦ 52 12 . jeku se pod kutom tg ϕ2 = 4 = 2 1 + k3 · k 4 1+1 4 Traˇzimo koordinate sjeciˇsta krivulja:
ˇ RJESENJA
Zadatak 45. Rjeˇsenje.
4
Pod kojim se kutom sijeku parabole y = (x − 2)2 i y = −x2 + 6x − 4 ? Traˇzimo koordinate sjeciˇsta krivulja: (x − 2)2 = −x2 + 6x − 4 =⇒ x2 − 4x + 4 + x2 − 6x + 4 = 0 =⇒ 2x2 − 10x + 8 = 0/ : 2 =⇒ x2 − 5x + 4 = 0 =⇒ (x − 1)(x − 4) = 0 , x1 = 1 i x2 = 4 . Koeficijenti smjera tangenata su: k1 = y (1) = 2 · 1 − 4 = −2 i k2 = y (1) = −2 · 1 + 6 = 4 ; k3 = y (4) = 2 · 4 − 4 = 4 i k4 = y (4) = −2 · 4 + 6 = −2 . Kut pod kojim 6 −2 − 4 = =⇒ ϕ1 = 40◦ 36 05 . se tangente sijeku je tg ϕ = 1−2·4 7
259
ˇ ˇ DETALJNA RJESENJA ZADATAKA IZ UDZBENIKA MATEMATIKA 4 ZA 4. RAZRED GIMNAZIJE
4
Rjesenja ˇ zadataka 4.6 Zadatak 1.
Odredi je li u toˇckama s apscisama x = 0 , ±1 , ±2 funkcija 1) f (x) = 3x3 − 2x + 1 ; 2) f (x) = x4 − 3x2 + x ; rastu´ca ili padaju´ca.
Rjeˇsenje.
1) f (x) = 9x2 − 2 , 2) f (x) = 4x3 − 6x + 1 , −2 x f (x) = 9x2 − 2 + 3 f (x) = 4x − 6x + 1 −
−1 + +
0 − +
1 + −
2 + +
+ = rastu´ca − = padaju´ca
1059
4
ˇ ˇ DETALJNA RJESENJA ZADATAKA IZ UDZBENIKA MATEMATIKA 4 ZA 4. RAZRED GIMNAZIJE
Zadatak 2. Rjeˇsenje.
1060
Da li funkcija f (x) = sin x · sin π − x u x = π raste ili pada? 3 2 π π π π f (x) = cos x sin −x −sin x cos −x = sin −x−x = sin −2x ; π 3 π3 32π π 3 2π π f = sin −2· = sin − π = sin − = − sin = 2 2 3 3 3 √3 π 3 π < 0 . Funkcija f u x = pada. − sin = − 3 2 2
ˇ ˇ DETALJNA RJESENJA ZADATAKA IZ UDZBENIKA MATEMATIKA 4 ZA 4. RAZRED GIMNAZIJE
Zadatak 3. Rjeˇsenje.
4
π raste ili pada? Da li funkcija f (x) = tg x · tg π − x u x = 4 6 π sin − x π 1 1 4 = − π − x − tg x tg f (x) = π 4 cos2 x 2 −x −x cos cos2 x cos 4 π 4 π − x cos − x − sin x cos x sin sin x 4 4 = π π −x −x cos x cos2 cos2 x cos2 4 1 π 4 1 π sin − 2x − sin 2x − 2x − sin 2x 1 sin 2 = 2 2 = · 2 π π 2 2 ; 2 cos x cos cos x cos −x −x 4 4 π π π π π π 1 sin − − sin 1 sin 6 − sin 3 2 3 3 = · f = · π π π 2 π π 2 6 2 2 − cos cos cos cos 6 4 6 6 12 √ 3 1 √ − 1− 3 1 1 2 2 = · < 0 . Funkcija π π 2 = · π π π π 2 2 4 − − cos cos cos cos 6 4 6 6 6 % " #$4 pada.
>0
1061
4
ˇ ˇ DETALJNA RJESENJA ZADATAKA IZ UDZBENIKA MATEMATIKA 4 ZA 4. RAZRED GIMNAZIJE
Zadatak 4.
Odredi intervale monotonosti za funkcije: 1) f (x) = x3 + 4x ; 3) f (x) = x ln x .
Rjeˇsenje.
2) f (x) =
x ; 1 + x2
1) f (x) = 3x2 + 4 > 0, ∀x ∈ R . Funkcija je strogo rastu´ca na R . >0, x ∈ −1, 1
1 + x2 − 2x2 1 − x2 (1 − x)(1 + x) 2) f (x) = = = . 2 2 2 2 2 2 <0, x ∈ R \ [−1, 1] (1 + x ) (1 + x ) (1 + x ) Funkcija je rastu´ca na −1, 1 , a padaju´ca na R \ [−1, 1] . 3) f (x) = 1 + ln x = 0 =⇒ ln x = −1 =⇒ x = e−1 . Funkcija je padaju´ca <1 ? < 1? , a rastu´ca na , +∞ . na 0, e e
1062
ˇ ˇ DETALJNA RJESENJA ZADATAKA IZ UDZBENIKA MATEMATIKA 4 ZA 4. RAZRED GIMNAZIJE
Zadatak 5.
4
Odredi intervale monotonosti funkcije f ako je 1) f (x) = 23 x3 − 2x + 1 ; 2) f (x) = 3x + 3 − 5 ; x 3 3) f (x) = x − x2 + x ; 4) f (x) = x5 − 5x4 + 4 .
Rjeˇsenje.
1) f (x) = 2x2 − 2 = 2(x − 1)(x + 1) . Stacionarne toˇcke su 1 i −1 . (x − 1)(x + 1) < 0 =⇒ x ∈ −1, 1 ; (x − 1)(x + 1) > 0 =⇒ x ∈ −∞, −1 ∪ 1, +∞ . Funkcija je padaju´ca na −1, 1 , a rastu´ca na R \ [−1, 1] . 3 3(x − 1)(x + 1) . (x − 1)(x + 1) > 0 =⇒ x ∈ 2) f (x) = 3 − 2 = x x2 −∞, −1 ∪ 1, +∞ ; (x − 1)(x + 1) < 0 =⇒ x ∈ −1, 1 . Funkcija je padaju´ca na −1, 1 \ {0} , a rastu´ca na R \ [−1, 1] . 3) f (x) = 3x2 − 2x + 1 > 0, ∀x ∈ R . Funkcija je rastu´ca na R . 4) f (x) = 5x4 − 5 · 4x3 = 5x3 (x − 4) . x3 (x − 4) > 0 =⇒ x ∈ −∞, 0 ∪ 4, +∞ ; x3 (x − 4) < 0 =⇒ x ∈ 0, 4 . Funkcija je padaju´ca na 0, 4 , a rastu´ca na R \ [0, 4] .
1063
4
ˇ ˇ DETALJNA RJESENJA ZADATAKA IZ UDZBENIKA MATEMATIKA 4 ZA 4. RAZRED GIMNAZIJE
Zadatak 6.
Odredi intervale monotonosti funkcija: 1) f (x) = 3x4 − 4x3 − 36x2 + 5 ; 2) f (x) = 4 + 6x − 9x2 − 20x3 .
Rjeˇsenje.
1) f (x) = 12x3 −12x2 −72x = 12x(x2 −x−6) = 12x(x−3)(x+2) . Stacionarne toˇcke su 0 , 3 i −2 . x(x − 3)(x + 2) > 0 =⇒ x ∈ −2, 0 ∪ 3, +∞ ; x(x − 3)(x + 2) < 0 =⇒ x ∈ −∞, −2 ∪ 0, 3 . Funkcija je padaju´ca na ∞, −2 ∪ 0, 3 , a rastu´ca na −2, 0 ∪ 3, +∞ . 2) f (x) = 6 − 18x − 60x2 = −6(10x2 + 3x − 1) = −6(10x2 + 5x − 2x − 1) = 1 1 −6(5x−1)(2x+1) . Stacionarne toˇcke su i − . (5x−1)(2x+1) < 0 =⇒ 5 2 < < 1 1? ? 1? <1 x∈ − , ; (5x − 1)(2x + 1) > 0 =⇒ x ∈ −∞, − ∪ , +∞ . 2 5 2 5 1 1 < 1 1? Funkcija je padaju´ca na R \ − , , a rastu´ca na − , . 2 5 2 5
1064
ˇ ˇ DETALJNA RJESENJA ZADATAKA IZ UDZBENIKA MATEMATIKA 4 ZA 4. RAZRED GIMNAZIJE
Zadatak 7.
4
Odredi intervale monotonosti funkcija: 1) f (x) = sin4 x + cos4 x ; 2) f (x) = sin(cos x) ; x2 ; 2 x x2 . 4) f (x) = 2 sin2 + 2 2
3) f (x) = cos x +
Rjeˇsenje.
1 1) f (x) = sin4 x+ cos4 x = (sin2 x+ cos2 x)2 − 2 sin2 x cos2 x = 1 − sin2 2x , 2 f (x) = − sin 2x cos 2x · 2 = − sin 4x . Funkcija raste za: 2kπ < 4x < (2k + 1)π , k ∈ Z , a pada za: (2k + 1)π < 4x < (2k + 2)π , tj. raste na < kπ 2k + 1 ? < 2k + 1 k + 1 ? , intervalu π , k ∈ Z , a pada na intervalu π, π , 2 4 4 2 k ∈ Z; 2) f (x) = cos(cos x)·(− sin x) (predznak ovisi samo o − sin x ), cos(cos x) > 0 , ∀x . Funkcija pada na 2kπ , (2k+1)π , k ∈ Z , a raste na (2k−1)π , 2kπ , k ∈ Z; 3) f (x) = − sin x + x = x − sin x . Funkcija pada na R−1 , a raste na R+ ; x 1 x 4) f (x) = 4 sin cos · + x = x + sin x (predznak ne ovisi o sin x , ve´c 2 2 2 samo o x ). Funkcija pada na R− , a raste na R+ .
1065
4
ˇ ˇ DETALJNA RJESENJA ZADATAKA IZ UDZBENIKA MATEMATIKA 4 ZA 4. RAZRED GIMNAZIJE
Zadatak 8. Rjeˇsenje.
1066
x x2 + raste na intervalu 0, +∞ . 2 2 x 1 x f (x) = 2 · 2 · cos · − sin · + x = x − sin x . Funkcija pada na R− , a 2 2 2 raste na R+ .
Dokaˇzi da funkcija f (x) = 2 cos2
ˇ ˇ DETALJNA RJESENJA ZADATAKA IZ UDZBENIKA MATEMATIKA 4 ZA 4. RAZRED GIMNAZIJE
Zadatak 9.
Ispitaj monotonost funkcija: x3 − 2x2 ; ex x3 − x2 3) f (x) = ; e−x 1) f (x) =
Rjeˇsenje.
4
ln2 x + 2 ln x ; x 2 ln2 x + 3 ln x . 4) f (x) = x
2) f (x) =
(3x2 − 4x)ex − (x3 − 2x2 )ex 3x2 − 4x − x3 + 2x2 1) f (x) = = 2x ex e x3 − 5x2 + 4x x(x − 1)(x − 4) =− =− . Budu´ci da je ex > 0 za ∀x ∈ R , ex ex promatramo samo brojnik x(x − 1)(x − 4) . Stacionarne toˇcke su 0 , 1 i 4 . x(x − 1)(x − 4) < 0 =⇒ x −∞, 0 ∪ 1, 4 ; x(x − 1)(x − 4) > 0 =⇒ 0, 1 ∪ 4 + ∞ . Za 0, 1 ∪ 4, +∞ funkcija pada, a na R− ∪ 1, 4
raste. 1 2 · x − (ln2 x + 2 ln x) · 1 2 ln x · + 2 + 2 ln x − ln2 x − 2 ln x x x 2) f (x) = = = x2 x2 √ √ √ √ ( 2 − ln x)( 2 + ln x) . stacionarne toˇcke su e− 2 i e 2 . Promatra2 √ √ √ x √ mo ( 2 − ln x)( 2 + ln x) < 0 =⇒ x ∈√ 0,√e− 2 ∪ e 2 , +∞ ; √ √ ( 2 − ln x)( √2 +√ln x) > 0 =⇒ x ∈ e√− 2√ , e 2 . Funkcija raste na − 2 2 + − 2 intervalu e , e , a pada na R \ e , e 2 . (3x2 − 2x)e−x + (x3 − x2 )e−x 3x2 − 2x + x3 − x2 x(x2 + 2x − 2) 3) f (x) = = = e−x e−x e−2x √ √ x[(x + 1)2 − 3] = = ex x(x + 1 − 3)(x + 1 + 3) . Stacionarne toˇcke su 0 , e−x √ √ √ √ 3 − 1 i√−1 − 3 . x(x + 1 − √ )(x + 1 + √ 3) < 0 =⇒ x ∈ −∞, √ − 3− 1 √∪ 0, 3 − 1 ; x(x + 1 − 3)(x + 1 + 3) >√0 =⇒ x ∈ − √3 − 1, 0 ∪ 3 − 1, +∞
√ na −∞, −1 − 3 ∪ 0, −1 + 3 , a raste √ . Funkcija pada na −1 − 3, 0 ∪ −1 + 3, +∞ . 1 3 · x − 2 ln2 x − 3 ln x 4 ln x · + −2 ln2 x + ln x + 3 x x 4) f (x) = = = x2 x2 2 −2 ln x − 2 ln x + 3 ln x + 3 (3 − 2 ln x)(ln x + 1) = . Stacionarne toˇcke 2 x x2 3 su x = e−1 i x2 = e 2 . (3 − 2 ln x)(ln x + 1) < 0 =⇒ x ∈ < 11? <1 √ ? √ ∪ e e, +∞ ; (3 − 2 ln x)(ln x + 1) > 0 =⇒ x ∈ ,e e . 0, e e <1 √ ? < 1? √ , e e , a pada na 0, ∪ e e, +∞ . Funkcija raste na e e
1067
4
ˇ ˇ DETALJNA RJESENJA ZADATAKA IZ UDZBENIKA MATEMATIKA 4 ZA 4. RAZRED GIMNAZIJE
Zadatak 10.
Odredi intervale monotonosti funkcija: ln x − x ; x 3 2) f (x) = log2 x + log3 x ; 2 3) f (x) = x · e−2x ; 1) f (x) =
Rjeˇsenje.
1068
4) f (x) = ln4 x − 2 ln2 x . 1 − 1 · x − (ln x − x) · 1 1 − x − ln x + x 1 − ln x = = . 1) f (x) = x 2 2 x x x2 1 − ln x < 0 =⇒ x ∈ e, +∞ ; 1 − ln x > 0 =⇒ x ∈ 0, e . Funkcija raste na 0, e , a pada na e, +∞ . 3 log x 1 1 + 3 log2 x · = · (1 + log x) . 2) f (x) = 3 log x · x log 10 x ln 10 ln 10 x <1 ? 1 Stacionarne toˇcke su 1 i . log x(1 + log x) < 0 =⇒ x ∈ ,1 ; 10 10 < 1? ∪ 1, +∞ . Funkcija raste na log x(1 + log x) > 0 =⇒ x ∈ 0, < 1? < 1 ?10 0, ∪ 1, +∞ , a pada na ,1 . 10 10 3) f (x) = e−2x + xe −2x(−2) = (1 − 2x)e−2x . e−2x je uvijek ve´ce od 0 ? <1 , +∞ ; pa promatramo samo izraz u zagradi. 1 − 2x < 0 =⇒ x ∈ 2 < < 1? 1? . Funkcija raste na −∞, , a pada na 1 − 2x > 0 =⇒ x ∈ −∞, 2 2 <1 , +∞ . 2 4 ln x 4 ln3 x 4 ln x − = (ln x−1)(ln x+1) . Stacionarne toˇcke su 1 , 4) f (x) = x x x 1 e i . Promatramo samo izraz ln x(ln x − 1)(ln x + 1) jer je x > 0 za ∀x ∈ R e zbog definicije funkcije prirodnog logaritma. ln x(ln x − 1)(ln x + 1) < 0 =⇒ < 1? <1 ? < x ∈ 0, ∪ 1, e ; ln x(ln x−1)(ln x+1) > 0 =⇒ x ∈ , 1 ∪ e, +∞ . e e < 1? <1 ? Funkcija pada na 0, ∪ 1, e , a raste na , 1 ∪ e, +∞ . e e
ˇ ˇ DETALJNA RJESENJA ZADATAKA IZ UDZBENIKA MATEMATIKA 4 ZA 4. RAZRED GIMNAZIJE
Zadatak 11. Rjeˇsenje.
4
Za koje a ∈ R funkcija f (x) = x3 − ax2 + x + 1 monotono raste na cijelom podruˇcju definicije? √ √ f (x) = 3x2 −2ax+1 . D = 4a2 −12 = 4(a2 −3) < 0 =⇒ a ∈ − 3, 3 .
1069
4
ˇ ˇ DETALJNA RJESENJA ZADATAKA IZ UDZBENIKA MATEMATIKA 4 ZA 4. RAZRED GIMNAZIJE
Zadatak 12. Rjeˇsenje.
1070
Za koje a ∈ R funkcija f (x)=2x5 +5ax4 +10x3 monotono raste na cijelom podruˇcju definicije? 2 2 2 2 f (x) = 10x4 + 20ax3 + 30x √ = √ 10x (x + 2ax + 3) . D = 4a − 12 = 2 4(a − 3) < 0 =⇒ a ∈ − 3, 3 .
ˇ ˇ DETALJNA RJESENJA ZADATAKA IZ UDZBENIKA MATEMATIKA 4 ZA 4. RAZRED GIMNAZIJE
Zadatak 13.
4
Odredi ekstreme sljede´cih funkcija: 1) f (x) = 12x − (3x − 1)2 ; 2) f (x) = −x2 + 2x + 3 ; 3) f (x) = x3 − 3x . 4) f (x) = 2x3 − 6x2 − 18x + 7 ; 5) f (x) = 2x3 + 3x2 − 12x + 5 ; 6) f (x) = x4 − 2x2 ; 7) f (x) = x4 − 8x2 − 9 ; 8) f (x) = (x + 2)(x + 1)3 ;
Rjeˇsenje.
1) Prva derivacija funkcije je f (x) = 12 − 2(3x − 1) · 3 = 12 − 18x + 6 = 18(1 − x) , a druga derivacija je f (x) = −18 . Stacionarna toˇcka je f (x) = 0 =⇒ 1 − x = 0 =⇒ x = 1 . Odredimo predznak druge derivacije u stacionarnoj toˇcki f (1) = −18 < 0 , slijedi da je x = 1 lokalni maksimum. Vrijednost funkcije u x = 1 je f (1) = 12 · 1 − (3 · 1 − 1)2 = 8 . M(1, 8) 2) f (x) = −2x + 2 = 2(1 − x) ; f (x) = −2 . Stacionarna toˇcka je x = 1 . f (1) = −2 < 0 slijedi da je x = 1 lokalni maksimum. Vrijednost funkcije u x = 1 je f (1) = 4 . M(1, 4) . 3) f (x) = 3x2 − 3 = 3(x2 − 1) , f (x) = 6x . Stacionarne toˇcke su x1 = 1 i x2 = −1 . f (1) = 6 > 0 , f (−1) = −6 < 0 slijedi da je x1 = 1 lokalni minimum, a x = −1 lokalni maksimum. Vrijednost funkcije u x1 = 1 je f (1) = −2 , a u x2 = −1 je f (−1) = 2 . M(−1, 2) , m(1, −2) . 4) f (x) = 6x2 − 12x − 18 = 6(x2 − 2x − 3) = 6(x + 1)(x − 3) , f (x) = 12x − 12 = 12(x − 1) . Stacionarne toˇcke su x1 = 3 i x2 = −1 . f (3) = 24 > 0 , f (−1) = −24 < 0 slijedi da je x1 = 3 lokalni minimum, a x2 = −1 lokalni maksimum. Vrijednost funkcije u x1 = 3 je f (3) = −41 , a u x = −1 je f (−1) = 17 . M(−1, 17) , m(3, −47) . 5) f (x) = 6x2 + 6x − 12 = 6(x2 + x − 2) = 6(x + 2)(x − 1) , f (x) = 12x + 6 . Stacionarne toˇcke su x1 = −2 , x2 = 1 . f (−2) = −18 < 0 , f (1) = 18 > 0 slijedi da je x1 = −2 lokalni maksimum, a x2 = 1 lokalni minimum. Vrijednost funkcije u x1 = −2 je f (−2) = 35 , a u x2 = 1 je f (1) = −2 . M(−2, 25) , m(1, −2) . 6) f (x) = 4x3 − 4x = 4x(x − 1)(x + 1) , f (x) = 12x2 − 4 . Stacionarne toˇcke su x1 = 0 , x2 = 1 i x3 = −1 . f (0) = −4 < 0 , f (1) = 8 > 0 , f (−1) = 8 > 0 slijedi da je x1 = 0 lokalni maksimum, x2 = 1 lokalni minimum, a x3 = −1 lokalni minimum. Vrijednost funkcije u x1 = 0 je f (0) = 0 , u x2 = 1 je f (1) = −1 i u x2 = −1 je f (−1) = −1 . M(0, 0) , m(−1, −1) , m(1, −1) . 7) f (x) = 4x3 − 16x = 4x(x − 2)(x + 2) , f (x) = 12x2 − 16 . Stacionarne toˇcke su x1 = 0 , x2 = 2 i x3 = −2 . f (0) = −16 < 0 , f (2) = 32 > 0 i f (−2) = 32 > 0 slijedi da je x1 = 0 lokalni maksimum, x2 = 2 lokalni minimum i x3 = −2 lokalni minimum. Vrijednost funkcije u x1 = 0 je f (0) = −9 , u x2 = 2 je f (2) = −25 i u x3 = −2 je f (−2) = −25 . M(0, −9) , m(2, −25) , m(−2, −25) .
1071
4
ˇ ˇ DETALJNA RJESENJA ZADATAKA IZ UDZBENIKA MATEMATIKA 4 ZA 4. RAZRED GIMNAZIJE
8) f (x) = (x + 1)3 + (x + 2)3(x + 1)2 = (x + 1)2 (x + 1 + 3x + 6) = (x + 1)2 (4x + 7) , f (x) = 2(x + 1)(4x + 7) + 4(x + 1)2 = (x + 1)(8x + 14 + 7 4x + 4) = (x + 1)(12x + 18) . Stacionarne toˇcke su x1 = −1 i x2 = − . 4 7 9 7 = > 0 slijedi da je x2 = − lokalni minimum, a f (−1) = 0 i f − 4 4 4 7 27 7 =− . x1 = −1 nije ekstrem. Vrijednost funkcije u x2 = − je f − 4 4 256 7 27 m − ,− . 4 256
1072
ˇ ˇ DETALJNA RJESENJA ZADATAKA IZ UDZBENIKA MATEMATIKA 4 ZA 4. RAZRED GIMNAZIJE
Zadatak 14. Rjeˇsenje.
Odredi ekstreme funkcije f (x) =
4
2x2 − x + 2 .
4x − 1 , f (x) = 2 2x2 − x + 2 ⎡ ⎤ 1 4 2x2 − x + 2 − (4x − 1)2 1⎢ 2x2 − x + 2 ⎥ ⎥ f (x) = ⎢ ⎣ ⎦ 2 2 2x − x + 2 8x2 − 4x + 8 − 16x2 + 8x − 1 1 4(2x2 − x + 2) − (4x − 1)2 · = 2 (2x2 − x + 2)3/2 2(2x2 − x + 2) 2x2 − x + 2 1 −8x2 + 4x + 7 1 . f = = . Stacionarna toˇcka je 4 4 2(2x2 − x + 2) 2x2 − x + 2 15 √ 1 4 2 2 = √ > 0 slijedi da je x = lokalni minimum. Vrijednost 4 15 15 15 · 2· 8 8 1 15 1 15 1 funkcije u x = je f = . m , . 4 4 8 4 8 =
1073
4
ˇ ˇ DETALJNA RJESENJA ZADATAKA IZ UDZBENIKA MATEMATIKA 4 ZA 4. RAZRED GIMNAZIJE
Zadatak 15.
Odredi intervale monotonosti i ekstremne vrijednosti funkcija: 1) f (x)=
Rjeˇsenje.
1074
x2 − 4x + 4 ; x+1
2) f (x)=
x2 + 3x + 12 . x−1
2(x − 2)(x + 1) − (x − 22 ) (x − 2)(2x + 2 − x + 2) 1) f (x) = = (x + 1)2 (x + 1)2 (x − 2)(x + 4) (x + 4 + x − 2)(x + 1)2 − 2(x − 2)(x + 4)(x + 1) = , f (x) = = 2 (x + 1) (x + 1)4 18 . Stacionarne toˇcke su x1 = 2 i x2 = −4 . Toˇcka x = −1 je (x + 1)3 toˇcka prekida. Za intervale monotonosti promatramo predznak prve derivacije funkcije. (x − 2)(x + 4) > 0 =⇒ x ∈ −∞, −4 ∪ 2, +∞ ; (x − 2)(x + 4) < 0 =⇒ x ∈ −4, −1 ∪ −1, 2 . Funkcija pada na intervalu 18 −4, −1 ∪ −1, 2 , a raste na −∞, −4 ∪ 2, +∞ . f (2) = >0 i 27 18 f (x) = − < 0 slijedi da je x1 = 2 lokalni minimum, a x2 = −4 lokalni 27 maksimum. Vrijednost funckije u x1 = 2 je f (2) = 0 , a u x2 = −4 je f (−4) = −12 . m(2, 0) , M(−4, −12) . (2x + 3)(x − 1) − x2 − 3x − 12 2x2 + x − 3 − x2 − 3x − 12 2) f (x) = = = 2 (x − 1) (x − 1)2 x2 − 2x − 15 (x − 5)(x + 3) = , 2 (x − 1) (x − 1)2 (2x − 2)(x − 1)2 − (x2 − 2x − 15)2(x − 1) f (x) = (x − 1)4 2(x2 − 2x + 1) − (2x2 − 4x − 30) 32 = = . Stacionarne toˇcke su 3 (x − 1) (x − 1)3 x1 = 5 i x = −3 . Toˇcka x = 1 je toˇcka prekida. Za intervale monotonosti promatramo predznak prve derivacije funkcije. (x − 5)(x + 3) < 0 =⇒ x ∈ −3, 1 ∪ 1, 5 ; (x − 5)(x + 3) > 0 =⇒ x ∈ −∞, −3 ∪ 5, +∞ . Funkcija pada na intervalu −3, 1 ∪ 1, 5 , a raste na −∞, −3 ∪ 5, +∞ . f (−3) = −8 < 0 i f (5) = 8 > 0 slijedi da je x1 = −3 lokalni maksimum, a x2 = 5 lokalni minimum. Vrijednost funkcije u toˇcki x1 = −3 je f (−3) = −3 , a u x2 = 5 je f (5) = 13 . M(−3, −3) , m(5, 13) .
ˇ ˇ DETALJNA RJESENJA ZADATAKA IZ UDZBENIKA MATEMATIKA 4 ZA 4. RAZRED GIMNAZIJE
Zadatak 16.
Odredi ekstreme sljede´cih funkcija: 2x 1) f (x) = 2 ; x +9 (x − 2)2 (x + 4) ; 3) f (x) = 4 x−4 4) f (x) = 2 ; x − 3x − 3 5) f (x) =
Rjeˇsenje.
4
x−1 ; x2
2) f (x) =
x2 − 2x + 2 ; x−1
x2 − x + 1 . 6) f (x) = 2 x +x+1
2(x2 + 9) − 2x · 2x 2x2 + 18 − 4x2 2(9 − x2 ) 1) f (x) = = = 2 2 2 2 2 (x + 9) (x + 9) (x + 9)2 2(3 − x)(3 + x) = , (x2 + 9)2 18 − 2x2 −4x(x2 + 9)2 − (18 − 2x2 )2(x2 + 9)(2x) = f (x) = (x2 + 9)2 (x2 + 9)4 2 2 2 4x(x + 9)[−x − 9 − 18 + 2x ] 4x(x2 − 27) = = . Stacionarne toˇcke su 2 4 (x + 9) (x2 + 9)3 12 · (−18) −12 · (−18) x1 = 3 i x2 = −3 . f (3) = < 0 i f (−3) = >0 183 183 slijedi da je x1 = 3 lokalni maksimum, a x2 = −3 lokalni minimum. Vrijed1 1 nost funkcije u toˇcki x1 = 3 je f (3) = , a u x2 = −3 je f (−3) = − . 3 3 1 1 m −3, − , M 3, . 3 3 x2 − 2x 1 1 2) f (x) = = 1− , f (x) = . Stacionarne toˇcke (x − 1)2 (x − 1)2 (x − 1)3 su x1 = 0 i x2 = 2 . f (0) = −1 < 0 i f (2) = 1 > 0 slijedi da je x1 = 0 toˇcka lokalnog maksimuma, a x2 = 2 toˇcka lokalnog minimuma. Vrijednost funkcije u toˇcki x1 = 0 je f (0) = −2 , a u x2 = 2 je f (2) = 2 . M(0, −2) , m(2, 2) . 1 1 3) f (x) = [2(x − 2)(x + 4) + (x − 2)2 ] = (x − 2)(2x + 8 + x − 2) = 4 4 1 3 3 2 3x 3 (x − 2)(3x + 6) = (x − 2)(x + 2) = (x − 4) , f (x) = · (2x) = . 4 4 4 4 2 Stacionarne toˇcke su x1 = −2 i x2 = 2 . f (−2) = −3 < 0 i f (2) = 3 > 0 slijedi da je x1 = −2 toˇcka lokalnog maksimuma, a x2 = 2 lokalnog minimuma. Vrijednost funkcije u toˇcki x1 = −2 je f (−2) = 8 , a u x2 = 2 je f (2) = 0 . M(−2, 8) , m(2, 0) . x2 − 3x − 3 − (x − 4)(2x − 3) x2 − 3x − 3 − (2x2 − 11x + 12) 4) f (x) = = 2 2 (x − 3x − 3) (x2 − 3x − 3)2 2 −x + 8x − 15 (3 − x)(x − 5) = 2 = 2 , 2 (x − 3x − 3) (x − 3x − 3)2 (−2x + 8)(x2 − 3x − 3)2 + (x2 − 8x + 15)2(x2 − 3x − 3)(2x − 3) f (x) = (x2 − 3x − 3)4
1075
4
ˇ ˇ DETALJNA RJESENJA ZADATAKA IZ UDZBENIKA MATEMATIKA 4 ZA 4. RAZRED GIMNAZIJE
(x2 − 3x − 3) · 2[(4 − x)(x2 − 3x − 3) + (2x − 3)(x2 − 8x + 15)] (x2 − 3x − 3)3 2(4x2 − 12x − 12 − x3 + 3x2 + 3x + 2x3 − 16x2 + 30x − 3x2 + 24x − 45) = (x2 − 3x − 3)3 3 2 2(x − 12x + 45x − 57) = . (x2 − 3x − 3)3 2(27 − 12 · 9 + 45 · 9 − 57) Stacionarne toˇcke su x1 = 3 i x2 = 5 . f (3) = = (9 − 9 − 3)3 2 2 · (−3) 2(125 − 12 · 25 + 45 · 5 − 57) 2 · (−7) = > 0 i f (5) = = = −27 9 343 (25 − 15 − 3)3 2 − < 0 slijedi da je x1 = 3 toˇcka lokalnog minimuma, a x2 = 5 toˇcka 49 1 −1 = , lokalnog maksimuma. Vrijednost funkcije u toˇcki x1 = 3 je f (3) = −3 3 1 1 1 a u toˇcki x2 = 5 je f (5) = . m 3, , M 5, 7 3 7 2 − 2x(x − 1) 2 − 2x2 + 2x x x x(2 − x) 2 − x 5) f (x) = = = = , f (x) = 4 4 4 x x x x3 −x3 − (2 − x)3x2 −x2 (x + 6 − 3x) 2x − 6 2(x − 3) = = = . Stacionarna 6 6 4 x x x x4 7 2 − 16 = − < 0 slijedi da je x = 2 toˇcka toˇcka je x = 2 . f (2) = 16 8 1 1 lokalnog maksimuma. Vrijednost funkcije u x = 2 je f (2) = . M 2, . 4 4 (2x − 1)(x2 + x + 1) − (2x + 1)(x2 − x + 1) 6) f (x) = (x2 + x + 1)2 3 2 2 2x + 2x + 2x − x − x − 1 − 2x3 + 2x2 − 2x − x2 + x − 1 = (x2 + x + 1)2 2 2x − 2 = 2 , (x + x + 1)2 =
4x(x2 + x + 1) − (2x2 − 2) · 2 · (x2 + x + 1)(2x + 1) (x2 + x + 1)2 2 2 4x(x + x + 1) − (4x − 4)(2x + 1) = (x2 + x + 1)3 3 2 4x + 4x + 4x − 8x3 − 4x2 + 8x + 4 = (x2 + x + 1)3 3 −4x + 12x + 4 = . (x2 + x + 1)3 4 − 12 + 4 = −4 < 0 Stacionarne toˇcke su x1 = −1 i x2 = 1 . f (−1) = 1 − 1 + 1)3 4 −4 + 12 + 4 12 = > 0 slijedi da je x1 = −1 toˇcka i f (1) = = 27 9 1 + 1 + 1)3 lokalnog maksimuma, a x2 = 1 toˇcka lokalnog minimuma. Vrijednost funk1+1+1 cije u toˇcki x1 = −1 je f (−1) = = 3 , a u toˇcki x2 = 1 je 1−1+1 f (x) =
1076
ˇ ˇ DETALJNA RJESENJA ZADATAKA IZ UDZBENIKA MATEMATIKA 4 ZA 4. RAZRED GIMNAZIJE
f (1) =
4
1 1 1−1+1 = . M(−1, 3) , m 1, . 1+1+1 3 3
1077
4
ˇ ˇ DETALJNA RJESENJA ZADATAKA IZ UDZBENIKA MATEMATIKA 4 ZA 4. RAZRED GIMNAZIJE
Zadatak 17.
Odredi ekstreme sljede´cih funkcija: 1) f (x) = x + cos x + sin x ; 1 2) f (x) = sin 2x + cos x ; 2 1 − cos x 3) f (x) = ; sin x + cos x sin x + cos x 4) f (x) = . cos 2x
Rjeˇsenje.
1078
1) f (x) = 1 − sin x + cos x , f (x) = − cos x − sin x . Stacionarne toˇcke raˇcunamo iz 1 − sin x + cos x = 0 =⇒ sin x − cos x = 1/2 =⇒ 1 − sin 2x = π 1 =⇒ sin 2x = 0 =⇒ 2x = kπ =⇒ x = k , k ∈ Z . π 3π2 π = 0 , f (π ) = 0 , f = 2 =⇒ x1 = + 2kπ i f (0) = 2 , f 2 2 2 x2 = (2k + 1)π , k ∈ Z . π = −1 < 0 i f (π ) = 1 > 0 , slijedi: funkcija postiˇze maksimum u f 2 π toˇckama x = + 2kπ , a minimum u x = (2k + 1)π . 2 2) f (x) = cos 2x − sin x = cos2 x − sin2 x − sin x = 1 − 2 sin2 x − sin x = 1+sin x−2 sin x−2 sin2 x = (1−2 sin x)(1+sin x) , f (x) = −2 sin 2x−cos x . 1 Stacionarne toˇcke raˇcunamo iz (1 − 2 sin x)(1 + sin x) = 0 =⇒ sin x = ili 2 π 3π + 2kπ . sin x = −1 . Odavde slijedi x = + 2kπ i x = 6 2 π 5π π <0 i f > 0 . Funkcija ima maksimum u toˇckama + 2kπ , f 6 6 6 5π + 2kπ , k ∈ Z . a minimum u toˇckama 6 sin x(sin x + cos x) − (1 − cos x)(cos x − sin x) 3) f (x) = (sin x + cos x)2 2 sin x + sin x cos x − cos x + cos2 x + sin x − sin x cos x = 1 + sin 2x 1 + sin x − cos x = , 1 + sin 2x (cos x + sin x)(1 + sin 2x) + (1 + sin x − cos x)(2 cos 2x) . Stacif (x) = (1 + sin 2x)2 x x x onarne toˇcke raˇcunamo iz 1+sin x−cos x = 0 =⇒ 2 sin2 +2 sin cos = 2 2 2 x x x x x 0 =⇒ 2 sin sin + cos = 0 . Odavde slijedi: sin = 0 =⇒ = 2 2 2 2 2 x x x x kπ =⇒ x = 2kπ , k ∈ Z i sin + cos = 0 =⇒ sin = − cos =⇒ 2 2 2 2 x 3π 3π = + kπ =⇒ x = + 2kπ , k ∈ Z . 2 4 2 3π f (2kπ ) > 0 i f + 2kπ < 0 pa slijedi da funkcija postiˇze minimum u 2 3π + 2kπ , k ∈ Z . toˇckama 2kπ , k ∈ Z , a maksimum u toˇckama 2
ˇ ˇ DETALJNA RJESENJA ZADATAKA IZ UDZBENIKA MATEMATIKA 4 ZA 4. RAZRED GIMNAZIJE
4
sin x + cos x 1 sin x + cos x = . = 2 2 cos 2x cos x − sin x cos x − sin x sin x + cos x sin x + cos x f (x) = , = 1 − sin 2x (cos x − sin x)2
4) f (x) =
(cos x − sin x)3 + (sin x + cos x)2 cos 2x . stacionarne toˇcke raˇcuna(1 − sin 2x)2 3π + kπ , k ∈ Z . mo iz sin x + cos x = 0 =⇒ x = 4 3π 7π + 2kπ < 0 i f + 2kπ > 0 pa slijedi da funkcija postiˇze svoj f 4 4 3π 7π + 2kπ , k ∈ Z , a minimum u toˇckama + 2kπ , maksimum u toˇckama 4 4 k ∈ Z. f (x) =
1079
4
ˇ ˇ DETALJNA RJESENJA ZADATAKA IZ UDZBENIKA MATEMATIKA 4 ZA 4. RAZRED GIMNAZIJE
Zadatak 18.
Odredi ekstreme funkcija: 1) f (x) = x2 e−x ; x ; 3) f (x) = ln x 5) f (x) = x − 2 ln x .
Rjeˇsenje.
2
2) f (x) = x · ex−x ; 4) f (x) = x2 ln x ;
1) f (x) = 2xe−x − x2 e−x = x(2 − x)e−x = (2x − x2 )e−x , f (x) = (2−2x)e−x −(2x−x2 )e−x = (2−4x+x2 )e−x . Stacionarne toˇcke raˇcunamo iz x(2−x) = 0 =⇒ x1 = 0 i x2 = 2 . f (0) = 2 > 0 ; f (2) = e−2 ·(−2) < 0 pa slijedi da je x1 = 0 toˇcka lokalnog minimuma, a x2 = 2 toˇcka lokalnog maksimuma. Vrijednost funkcije u toˇcki x1 = 0 je f (0) = 0 , a u toˇcki x2 = 2 4 je f (2) = 4e−2 . Ekstremi funkcije su toˇcke m(0, 0) i M 2, 2 . e 2 2 2 2) f (x) = ex−x + x(1 − 2x)ex−x = (1 + x − 2x2 )ex−x , f (x) = 2 2 (1 − 4x)ex−x + (1 + x − 2x2 )(1 − 2x)ex−x = (1 − 4x + 1 + x − 2x2 − 2 2 2x − 2x2 + 4x3 )ex−x = (4x3 − 4x2 − 5x + 2)ex−x . Stacionarne toˇcke raˇcu1 namo iz 1 + x − 2x2 = 0 =⇒ (1 − x)(1 + 2x) = 0 =⇒ x1 = 1 , x2 = − . 32 1 1 5 f (1) = 4 − 4 − 5 + 2 = −3 < 0 i f − = − − 1 + + 2 e− 4 = 2 2 2 1 − 43 > 0 pa slijedi da je x1 = 1 toˇcka lokalnog maksimuma, a x2 = − 3e 2 toˇcka lokalnog minimuma. Vrijednost funkcije u toˇcki x1 = 1 je f (1) = 1 , a 1 1 3 1 = − e− 4 . Ekstremi funkcije su toˇcke M(1, 1) , u toˇcki x2 = − je f − 2 2 2 1 1 . m − ,− √ 2 2 4 e3 2 ln2 x − (ln x − 1) ln x · ln x − 1 x x = ln x − 2 ln x + 2 = 3) f (x) = , f (x) = 2 4 ln x ln x x ln3 x 2 − ln x ln x − 1 . Stacionarne toˇcke traˇzimo iz = 0 =⇒ ln x − 1 = 0 =⇒ x ln3 x ln2 x 1 ln x = 1 =⇒ x = e . f (e) = > 0 pa je x = e toˇcka lokalnog minimuma. e Vrijednost funkcije u toj toˇcki je f (e) = e . Ekstrem funkcije je toˇcka m(e, e) . 2 4) f (x) = 2x ln x + x = x(1 + 2 ln x) , f (x) = 1 + 2 ln x + x · = 3 + 2 ln x . x 1 1 Stacionarne toˇcke traˇzimo iz (1 + 2 ln x) = 0 =⇒ x = √ . f √ = e e 1 1 = 2 > 0 pa je x = √ toˇcka lokalnog minimuma. Vrijednost 3+2· − 2 e 1 1 1 1 = − . Ekstrem funkcije je = · − funkcije u toj toˇcki je f √ e 2 2e e 1 1 . toˇcka m √ , − e 2e 2 2 5) f (x) = 1 − , f (x) = 2 . Stacionarne toˇcke traˇzimo iz izraza x x
1080
ˇ ˇ DETALJNA RJESENJA ZADATAKA IZ UDZBENIKA MATEMATIKA 4 ZA 4. RAZRED GIMNAZIJE
4
2 2 1 = 0 =⇒ = 1 =⇒ x = 2 . f (2) = > 0 pa je x = 2 x x 2 toˇcka lokalnog minimuma. Vrijednost funkcije u toj toˇcki je f (2) = 2 − 2 ln 2 . Ekstrem funkcije je toˇcka m(2, 2 − 2 ln 2) . 1−
1081
4
ˇ ˇ DETALJNA RJESENJA ZADATAKA IZ UDZBENIKA MATEMATIKA 4 ZA 4. RAZRED GIMNAZIJE
Zadatak 19.
Rjeˇsenje.
1082
- najmanju i najve´cu vrijednost funkcije f na danom intervalu: Nadi 1+x , x ∈ [−2, 0] ; 1) f (x) = 1−x √ 2) f (x) = 1 − 2x + x2 + 1 + 2x + x2 , x ∈ [0, 2] ; 3) f (x) = 4x3 − x|x − 2| , x ∈ [0, 3] ; 5 1 4) f (x) = |x2 + x| + |x2 + 5x + 6| , x ∈ [− , ] . 2 2
1) Najprije raspiˇsemo funkciju: ⎧ 1+x ⎪ ⎪ , x ∈ [−2, −1
⎨ x−1 , f (x) = 1+x ⎪ ⎪ ⎩ , x ∈ [−1, 0] 1−x a zatim je deriviramo ⎧ ⎧ x−1−x−1 2 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ , x ∈ [−2, −1
⎨ − (x − 1)2 , x ∈ [−2, −1
⎨ 2 (x − 1) = f (x) = 1−x+x+1 2 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎩ , x ∈ [−1, 0] , x ∈ [−1, 0] 2 (x − 1) (x − 1)2 f (x) = 0 , ∀x ∈ [−2, 0] 1 1 1 − 2 1 f (−2) = = − = , f (0) = = 1 , f (−1) = 0 . Najmanja 1+2 3 3 1 vrijednost funkcije na zadanom intervalu je m(−1, 0) , a najve´ca M(0, 1) . 2) Funkciju zapiˇsemo u obliku: f (x) = |1 − x| + |1 + x| = |1 − x| + 1 + x 1 − x + 1 + x, x ∈ [0, 1] 2, x ∈ [0, 1] = = , −1 + x + 1 + x, x ∈ 1, 2] 2x, x ∈ 1, 2] a zatim je deriviramo 0, x ∈ [0, 1] f (x) = . 2, x ∈ 1, 2] f (2) = 4 , f (0) = 2 , f (1) = 2 . Najve´ca vrijednost funkcije na intervalu je M(2, 4) , a najmanja je m(x, 2) za ∀x ∈ [0, 1] . 3) Napiˇsimo funkciju u obliku: @ 4x3 + x2 − 2x, x ∈ [0, 2
, f (x) = 4x3 − x2 + 2x, x ∈ [2, 3] a zatim je deriviramo @ @ 2 + 2x − 2, x ∈ [0, 2
12x 2(6x2 + x − 1), x ∈ [0, 2
= f (x) = 2 2(6x2 − x + 1), x ∈ [2, 3] 12x − 2x + 2, x ∈ [2, 3] 2(3x − 1)(2x + 1), x ∈ [0, 2
= . 2(6x2 − x + 1), x ∈ [2, 3] 1 11 = − , f (0) = 0 , f (2) = 32 , f (3) = 105 . Najmanja vrijednost f 3 27 1 11 funkcije na zadanom intervalu je m , − , a najve´ca M(3, 105) . 3 27
ˇ ˇ DETALJNA RJESENJA ZADATAKA IZ UDZBENIKA MATEMATIKA 4 ZA 4. RAZRED GIMNAZIJE
4
4) Napiˇsimo funkciju u obliku f (x) =|x(x + 1)| + |(x + 2)(x + 3)| ⎧ 5 ? ⎪ ⎪ x(x + 1) − (x + 2)(x + 3), x ∈ − , −2 ⎪ ⎪ 2 ⎪ ⎪ ⎨ x(x + 1) + (x + 2)(x + 3), x ∈ [−2, −1] = ⎪ −x(x + 1) + (x + 2)(x + 3), x ∈ [−1, 0
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ x(x + 1) + (x + 2)(x + 3), x ∈ 0, 1 2 ⎧ ? 5 ⎪ 2 2 ⎪ x , −2 + x − x − 5x − 6, x ∈ − ⎪ ⎪ 2 ⎨ 1 = 2 2 x + x + x + 5x + 6, x ∈ [2, −1
∪ 0, ⎪ ⎪ ⎪ 2 ⎪ ⎩ −x2 − x + x2 + 5x + 6, x ∈ [−1, 0
⎧ 5 ⎪ ⎪ −4x − 6, x ∈ − , −1 ⎪ ⎪ ⎨ 2 1 , = 2(x2 + 3x + 3), x ∈ [−2, −1 ∪ 0, ⎪ ⎪ ⎪ 2 ⎪ ⎩ 4x + 6, x ∈ [−1, 0
a zatim je deriviramo ⎧ 5 ⎪ ⎪ −4, x ∈ − , −2 ⎪ ⎪ ⎨ 2 1 f (x) = 4x + 6, x ∈ [−2, −1
∪ 0, ⎪ ⎪ ⎪ 2 ⎪ ⎩ 4, x ∈ [−1, 0
3 5 3 3 = , f − = 4 , f (−2) = 2 , 4x + 6 = 0 =⇒ x = − , f − 2 2 2 2 1 19 = . Najve´ca vrijednost funkcije na zadanom f (−1) = 2 , f (0) = 6 , f 2 2 1 19 3 3 , a najmanja m − , . intervalu je M , 2 2 2 2
1083
4
ˇ ˇ DETALJNA RJESENJA ZADATAKA IZ UDZBENIKA MATEMATIKA 4 ZA 4. RAZRED GIMNAZIJE
Zadatak 20.
- najmanju i najve´cu vrijednost funkcije f na danom intervalu: Nadi 1) f (x) = sin 2x − x , x ∈ [− π , π ] ; 2 2 2) f (x) = sin x · cos2 x , x ∈ [0, π ] ; 2 3) f (x) = tg x + ctg x , x ∈ [ π , π ] ; 6 3 sin 2x , x ∈ [π , 3π ] ; 4) f (x) = 2 sin( π + x) 4 5) f (x) = 1 cos 2x + sin x , x ∈ [0, π ] ; 2 2 6) f (x) = 2 sin 2x + cos 4x , x ∈ [0, π ] . 3
Rjeˇsenje.
1084
1 =⇒ 2x = 1) f (x) = 2 cos 2x − 1 , 2 cos 2x − 1 = 0 =⇒ cos 2x = 2 π π ± =⇒ x = ± . 3 6 π π √ √ f (x) = −4 sin 4x ; f = −2 3 , f − = 2 3. 6 6 √ π π π π π √3 π 3 π π = − ,f − =− + ,f − = ,f =− . f 6 2 6 6 2 6 2 2 2 2 π −3√3 + π π 3√3 − π , m − , . M , 6 6 6 6 x x x x 2) f (x) = cos x cos2 − 2 sin x cos sin = cos x cos2 − sin2 x = 2 2 2 2 1 1 1 1 cos x (1 − cos x) − sin2 x = cos x − cos2 x − 1 + cos2 x = cos x + 2 2 2 2 1 1 2 2 2 cos x − 1 = (cos x + cos x − 1) , cos x + cos x − 1 = 0 =⇒ 2 2√ √ √ 1± 5 −1 + 5 −1 ± 1 + 4 = − =⇒ cos x = =⇒ (cos x)1,2 = 2 2 2 ◦ x1 = 51 49 38.25 . 1 1 f (x) = (−2 cos x sin x − sin x) = − (sin 2x + sin x) , f (51◦ 49 38.25 ) < 2 2 0 , x = 51◦ 49 38.25 je toˇcka lokalnog maksimuma. f (51◦ 49 38.25) = 0.70711 , f (0) = 0 , f (π ) = 0 . m(0, 0) i m(π , 0) , M(51◦ 49 38 , 0.70711) . cos x sin2 x + cos2 x 2 sin x + = = . 3) f (x) = cos x sin x sin x cos x sin 2x 4 cos 2x 4 cos 2x π f (x) = − 2 , − 2 = 0 =⇒ cos 2x = 0 =⇒ 2x = =⇒ 2 sin 2x sin 2x π x= . 4 cos x sin x π = 0 . f (x) = − , f 4 cos3 x sin3 x √ √ π √3 √ π √ 3 4 3 f = + 3, f = 3+ = . 6 3 3 3 3
ˇ ˇ DETALJNA RJESENJA ZADATAKA IZ UDZBENIKA MATEMATIKA 4 ZA 4. RAZRED GIMNAZIJE
4
2 1 1 =⇒ 2 sin 2x 1 =⇒ sin 2x sin 2x 2 π π = 2 =⇒ sin 2x = 1 =⇒ 2x = =⇒ x = . sin 2x √ 2 4 π 4√3 π π 4 3 ,M , , i m ,2 M , 6 3 3 3 4 sin 2x sin2x sin 2x = π = 4) f (x) = π π = √2 +x sin sin cos x + sin x cos (sin x + cos x) 4 4 4 2 √ sin 2x . 2 sin x + cos x √ 2 cos 2x(sin x + cos x) − sin 2x(cos x − sin x) f (x) = 2 1 + sin 2x √ (cos x − sin x)[2(1 + sin 2x) − sin 2x] = 2 1 + sin 2x √ (cos x − sin x)(2 + sin 2x) . = 2 1 + sin 2x 5π 2 + sin 2x > 0, ∀x , cos x − sin x = 0 =⇒ sin x = cos x =⇒ x = . 4 5π 3π 3π f = −1 , f (π ) = 0 , f = 0 , f (x) 0, ∀x ∈ π , . 4 2 2 5π 3π M(π , 0) , M ,0 , m , −1 . 2 4 1 5) f (x) = (−2 sin 2x) + cos x = − sin 2x + cos x = −2 sin x cos x + cos x = 2 cos x(1 − 2 sin x) , f (x) = −2 cos 2x − sin x . π π cos x(1 − 2 sin x) = 0 =⇒ x1 = , x2 = . 2 6 π 1 π 3 = ,f = . f 2 2 6 4 π π 3 1 = 1, f = − , f (0) = . f 2 6 2 2 1 π 1 π 3 , m 0, ,m , . M , 6 4 2 2 2 6) f (x) = 4 cos 2x − 4 sin 4x = 4 cos 2x − 8 sin 2x cos 2x = 4 cos 2x(1 − 2 sin 2x) . π π 1 i sin 2x = =⇒ x = . cos 2x = 0 =⇒ x = 4 2 12 π 3 π √ π 1 = 1, f = , f (0) = 1 , f = 3 − ≈ 1.23 . f 4 12 2 3 2 π 3 π , . m(0, 1) , m , 1 , M 4 12 2
1085
4
ˇ ˇ DETALJNA RJESENJA ZADATAKA IZ UDZBENIKA MATEMATIKA 4 ZA 4. RAZRED GIMNAZIJE
Zadatak 21.
Rjeˇsenje.
1086
1 ima maksimalnu vrijednost Odredi b i c tako da funkcija f (x) = 2 x + bx + c −4 za x = 32 . 2x + b f (x) = − 2 , −2x − b = 0 =⇒ b = −2x =⇒ b = (x + bx + c)2 3 =⇒ b = −3 . −2 · 2 1 1 = −4 =⇒ −9 + 18 − 4c = = −4 =⇒ 3 2 9 9 3 − +c −3· +c 4 2 2 2 1 =⇒ 4c = 8 =⇒ x = 2 . 1 f (x) = 2 . x − 3x + 2
ˇ ˇ DETALJNA RJESENJA ZADATAKA IZ UDZBENIKA MATEMATIKA 4 ZA 4. RAZRED GIMNAZIJE
Zadatak 22. Rjeˇsenje.
Za koje vrijednosti parametra f (x) = x3 − 6x2 + kx + 1 ima maksimum ili minimum?
k
4
funkcija
f (x) = 3x2 − 12x + k = 0 , D 0 =⇒ 122 − 4 · 3m 0 =⇒ 12(12 − m) 0 =⇒ m 12 .
1087
4
ˇ ˇ DETALJNA RJESENJA ZADATAKA IZ UDZBENIKA MATEMATIKA 4 ZA 4. RAZRED GIMNAZIJE
Zadatak 23. Rjeˇsenje.
Za koje vrijednosti parametra f (x) = x3 − mx2 + 3x + 4 nema ekstrema?
m
f (x) = 3x2 − 2mx + 3 = 0 , D < 0 =⇒ 4m2 − 36 < 0 =⇒ m2 − 9 < 0 =⇒ |m| < 3 .
1088
funkcija
ˇ ˇ DETALJNA RJESENJA ZADATAKA IZ UDZBENIKA MATEMATIKA 4 ZA 4. RAZRED GIMNAZIJE
Zadatak 24.
Rjeˇsenje.
4
sin2 x ima ekstremOdredi realne brojeve a i b tako da funkcija f (x) = a − b cos x 1 π nu vrijednost za x = . 4 3 sin 2x(a − b cos x) − sin2 x · b sin x , sin 2x(a − b cos x) − sin 2x · (a − b cos x)2 b sin x = 0 . √ √ 3 1 3 3 a−b· −b· =0 2 2 √ 8 √ 3 3 3 (2a − b) − b = 0/ · 8 4√ 8√ 2 3(2a − b) − 3 3b = 0 √ √ √ 4a 3 − 2b 3 − 3b 3 = 0 √ √ √ 4a 3 − 5b 3 = 0/ : 3 f (x) =
4a − 5b = 0 f
π 3
=
3 4 1 a−b· 2
=
1 , 4 3 1 4 = 2a − b 4 2 1 3 = 4a − 2b 4 4a − 2b = 12
2a − 6 = b. 4a − 5(2a − 6) = 0 =⇒ −6a = −30 =⇒ a = 5 , b = 4 .
1089
4
ˇ ˇ DETALJNA RJESENJA ZADATAKA IZ UDZBENIKA MATEMATIKA 4 ZA 4. RAZRED GIMNAZIJE
Zadatak 25.
Dokaˇzi da je za x ∈ 0, π ispunjena nejednakost: 2 1) cos x > 1 − 12 x2 ;
Rjeˇsenje.
1090
2) sin x > x − 16 x3 .
< π? 1 . Funkcija 1) f (x) = cos x − 1 + x2 , f (x) = sin x + x > 0 , za ∀x ∈ 0, 2 < π ?2 f je rastu´ca na 0, . 2 < π? f (x) > f (0) = 0 , za ∀x ∈ 0, . 2 1 1 2) f (x) = sin x − x + x3 , f (x) = cos x + x − 1 > 0 . Funkcija f je rastu´ca 6 2 < π? na 0, . 2 < π? f (x) > f (0) = 0 , za ∀x ∈ 0, . 2
ˇ ˇ DETALJNA RJESENJA ZADATAKA IZ UDZBENIKA MATEMATIKA 4 ZA 4. RAZRED GIMNAZIJE
Zadatak 26. Rjeˇsenje.
4
Dokaˇzi da nejednadˇzba 3x − tg x > 1.75 nema rjeˇsenja na intervalu [0, π ] . 2 1 = 0 =⇒ 3 cos2 x − 1 = 0 =⇒ f (x) = 3x − tg x , f (x) = 3 − cos2 x 1 =⇒ x = 54◦ 44 08 . cos2 x = 3 f (54◦ 44 08 ) = 1.45 < 1.75 =⇒ f max < 1.75 . Nejednadˇzba nema rjeˇsenja na intervalu.
1091
4
ˇ ˇ DETALJNA RJESENJA ZADATAKA IZ UDZBENIKA MATEMATIKA 4 ZA 4. RAZRED GIMNAZIJE
Zadatak 27.
Dokaˇzi da je za x > 0 1) ex > 1 + x ;
Rjeˇsenje.
2) ln(1 + x) < x . (x)
1) f (x) = f = na R+ . f (x) > f (0) = 0 , za ∀x ∈ R+ . ex − 1 − x ,
ex − 1
> 0 , za ∀x ∈ R+ . Funkcija f je rastu´ca
2) f (x) = x − ln(1 + x) , f (x) = 1 − ∀x ∈ R+ . Funkcija je rastu´ca na R+ . f (x) > f (0) = 0 , za ∀x ∈ R+ .
1092
1+x−1 x 1 = = > 0 , za 1+x 1+x x+1
ˇ ˇ DETALJNA RJESENJA ZADATAKA IZ UDZBENIKA MATEMATIKA 4 ZA 4. RAZRED GIMNAZIJE
Zadatak 28.
Rjeˇsenje.
4
Za koje x ∈ R funkcija f (x) = (x − 1)2 + (x − 2)2 + . . . + (x − n)2 prima najmanju vrijednost? n(n + 1) = f (x) = 2[(x − 1) + (x − 2) + (x − 3) + . . . + (x − n)] = 2 nx − 2 n + 1 = 0. 2n x − 2 n+1 . x= 2
1093
4
ˇ ˇ DETALJNA RJESENJA ZADATAKA IZ UDZBENIKA MATEMATIKA 4 ZA 4. RAZRED GIMNAZIJE
Zadatak 29. Rjeˇsenje.
1094
Dokaˇzi da je za sve x ∈ R −
x 1 1 2 . 2 2 x +1
x2 + 1 − 2x2 1 − x2 (1 − x)(1 + x) = = = 0 =⇒ x1 = 1 , (x2 + 1)2 (x2 + 1)2 (x2 + 1)2 x2 = −1 . 1 1 f (1) = , f (−1) = − . 2 2 f (x) =
ˇ ˇ DETALJNA RJESENJA ZADATAKA IZ UDZBENIKA MATEMATIKA 4 ZA 4. RAZRED GIMNAZIJE
Zadatak 30.
Rjeˇsenje.
Dokaˇzi
da
je
najmanja
vrijednost 7 f (x) = cos x · sin 2x na intervalu −π , π ve´ca od − . 9
4
funkcije
f (x) = 2 sin x cos2 x , f (x) = 2 cos3 x − 4 sin2 x cos x = 2 cos x(cos2 x − 2 sin2 x) = 2 cos x(3 cos2 x − 2) . π π f (x) = 0 =⇒ x1 = , x2 = − ; 2 2 √ 2 2 1 1 2 2 =⇒ sin x = =⇒ tg2 x = =⇒ tg x = ± =⇒ x3 = cos x = 3 3 2 2 ◦ ◦ ◦ 35 15 51.8 , x4 = −35 15 51.8 , x5 = −144 44 8.2 , x6 = 144◦ 44 8.2 . 7 f (x1 ) = 0 , f (x2 ) = 0 , f (x3 ) > 0 , f (x4 ) > 0 , f (x5 ) = 0.9428 > − = 9 −0.77˙ , f (x0 ) > 0 .
1095
4
ˇ ˇ DETALJNA RJESENJA ZADATAKA IZ UDZBENIKA MATEMATIKA 4 ZA 4. RAZRED GIMNAZIJE
Zadatak 31. Rjeˇsenje.
Uz koji c´ e uvjet na koeficijente P(x) = ax4 + bx3 + cx2 + dx + e on imati dvije toˇcke pregiba?
polinoma
Druga derivacija P mora imati realne nultoˇcke. P (x) = 4ax3 + 3bx2 + 2cx + d , P (x) = 12ax2 + 6bx + 2c . 6ax2 + 3bx + c = 0 , D > 0 =⇒ 9b2 − 4 · 6a · c > 0 =⇒ 9b2 > 24ac =⇒ 3b2 > 8ac .
1096
ˇ ˇ DETALJNA RJESENJA ZADATAKA IZ UDZBENIKA MATEMATIKA 4 ZA 4. RAZRED GIMNAZIJE
Zadatak 32. Rjeˇsenje.
4
x2 − 1 . Odredi podruˇcje konveksnosti i konkavnosti za funkciju f (x) = 2 x +1
√ 3 1 − 3x2 Druga derivacija iznosi f , = 4 2 i poniˇstava se u x1 = − 3 3 (x + 1) √ x2 = 3√ . Po predznaku druge derivacije vidimo je funkcija konkavna na √ √ da √ 3 3 3 3 −∞, −
i , ∞ , a konveksna na − ,
. 3 3 3 3 (x)
1097
4
ˇ ˇ DETALJNA RJESENJA ZADATAKA IZ UDZBENIKA MATEMATIKA 4 ZA 4. RAZRED GIMNAZIJE
Zadatak 33. Rjeˇsenje.
√ Odredi podruˇcje konveksnosti i konkavnosti za funkciju f (x) = x − 3 x − 1. Druga derivacija funkcije iznosi 2 . 9 3 (x − 1)5 Ona nigdje nije jednaka nuli, medutim, za x = 1 ova derivacija nije definirana. Provjeravamo da je za x < 1 ona negativna, a za x > 1 pozitivna. Zato je −∞, 1 interval konkavnosti, a 1, ∞ interval konveksnosti. f (x) =
1098
ˇ ˇ DETALJNA RJESENJA ZADATAKA IZ UDZBENIKA MATEMATIKA 4 ZA 4. RAZRED GIMNAZIJE
4
Rjesenja ˇ zadataka 4.7 Zadatak 1.
Grafiˇcki prikaˇzi sljede´ce funkcije: 1) f (x) = x3 − 3x + 2 ; 2) f (x) = x3 − 4x2 − 3x + 12 ; 3) f (x) = x3 + 3x2 + 2x ; 4) f (x) = (x2 + x)(x − 2) ; 5) f (x) = x3 − 3x2 + 4 ; 6) f (x) = x3 − 32 x2 .
Rjeˇsenje.
1) f (x) = x3 − 3x + 2 , Df = R lim (x3 − 3x + 2) = ±∞ =⇒ nema asimptota
x→±∞
x3 − 3x + 2 = +∞ =⇒ nema asimptota x→±∞ x x3 − 3x + 2 = 0 1 0 −3 2 1 1 1 −2 0 lim
(x − 1)(x2 + x − 2) = 0 (x − 1)2 (x + 2) = 0 =⇒ x1 = −2, x f (x)
−∞, −2
−
−2, 1
+
x2,3 = 1
nultoˇcke
1, +∞
+
f (x) = 3x2 − 3 = 3(x2 − 1) f (x) = 0 =⇒ x1 = 1 , x2 = −1 , f (1) = 0 , f (−1) = 4 x f (x)
−∞, −1
+
−1, 1
−
1, +∞
+
f (x) = 6x f (1) > 0 , f (−1) < 0 =⇒ m(1, 0) , M(−1, 4) f (x) = 0 =⇒ x = 0 x f (x)
−∞, 0
−
0, +∞
+
0 0, 1 1 1, +∞
x −∞, −2 −2 −2, −1 −1 −1, 0
f (x) − 0 + 4 + 2 + 0 + f (x) + + + 0 − − − 0 + f (x) − − − − − 0 + + + negat. pozit. pozit. pozit. pozit. uzlazna nuluzlaz. max silazna infleksija silazna min uzlaz konkav. toˇcka konk. konk. konveks. konveks.
1099
4
ˇ ˇ DETALJNA RJESENJA ZADATAKA IZ UDZBENIKA MATEMATIKA 4 ZA 4. RAZRED GIMNAZIJE
y 4
2
-2
-1
x
2
1
2) f (x) = x3 − 4x2 − 3x + 12 , Df = R lim f (x) = ±∞ =⇒ nema asimptota
x→±∞
f (x) = ∞ =⇒ nema asimptota x
lim
x→±∞ 3 2
√ √ x − 4x − 3x + 12 = x2 (x − 4) − 3(x − 4) = (x − 3)(x + 3)(x − 4) √ √ =⇒ x1 = − 3, x2 = 3, x3 = 4 nultoˇcke √ √ √ √ x −∞, − 3 − 3, 3 3, 4 4, +∞
f (x) − + − + f (x) =3x2 − 8x − 3 = 3x2 − 9x + x − 3 = (3x + 1)(x − 3) 1 338 1 = ≈ 12.5, f (x) =0 =⇒ x1 = − , x2 = 3, f − 3 3 27 < 1? < 1 ? x −∞, − − ,3 3, +∞
3 3 f (x) + − +
f (3) = −6
f (x) =6x − 8 1 <0, f (3) > 0 f − 3 4 88 4 = ≈ 3.26 f (x) =0 =⇒ x = , f 3 3 27 ? ? < < 4 4 x , +∞ −∞, 3 3 f (x) − + x f (x)
f (x) f (x)
1100
√ √ −∞, − 3 − 3
fi
√ 1 − 3, − 3
−
0
+
+ − neg. uzlazna konk.
+ −
+ − pozit. uzl. konk.
nultoˇcka
fl
1 3 338 27 0 −
−
max
fi
1 4 − , 3 3 + − − pozit. silaz. konk.
fl
4 3 88 27 − 0 infl.
4
ˇ ˇ DETALJNA RJESENJA ZADATAKA IZ UDZBENIKA MATEMATIKA 4 ZA 4. RAZRED GIMNAZIJE
fi
fl
√
x
4 √ , 3 3
f (x)
+
0
f (x) f (x)
− + pozit. silaz, konvek.
− +
3
nultoˇcka
√
3
3, 4
4
4, +∞
−
−6
−
0
+
− + neg. silaz. konv.
0 +
+ + neg. uzl. konv.
+ +
+ + pozit. uzlaz. konk.
3, 3
min
nultoˇcla
3) f (x) = x3 + 3x2 + 2x , Df =R lim f (x) = ± ∞ =⇒ nema asimptota
x→±∞
f (x) = ± ∞ =⇒ nema asimptota x x + 3x + 2x =x(x + 1)(x + 2) =⇒ x1 = −2, lim
x→±∞ 3 2
x f (x)
−∞, −2
−
−2, −1
+
x2 = −1,
−1, 0
−
x3 = 0 =⇒ nultoˇcke
0, +∞
+
f (x) =3x2 + 6x + 2 √ √ √ √ 3 −6 ± 2 3 −3 ± 3 −6 ± 36 − 4 · 3 · 2 = = = −1 ± x1,2 = 6 3 3 3 √ √ 3 3 ≈ 0.4, f −1 + ≈ −0.4 f −1 − 3 3 √ √ √ √ ? < 3? < 3 3? < 3 , −1 + , +∞ x −∞, −1 − −1 − −1 + 3 3 3 3 f (x) + − + f (x) =6x + 6 = 6(x + 1) f (x1 ) <0,
f (x2 ) > 0
f (x) =0 =⇒ x = −1, x f (x)
−∞, −1
−
f (−1) = 0
−1, +∞
+
1101
4
ˇ ˇ DETALJNA RJESENJA ZADATAKA IZ UDZBENIKA MATEMATIKA 4 ZA 4. RAZRED GIMNAZIJE
f (x) f (x) f (x)
− + −
0 + −
+ + −
0.4 0 −
+ − −
neg. uzl. konk.
nultoˇcka
pozit. uzl. konk.
max
pozit. sil. konk.
f (x) f (x) f (x)
√ 3 3
−1+
− − + neg. sil. konv.
√ 3 3
−1+
−0.4 0 +
3 3
√
3 3 , 0
− + + neg. uzl. konv.
min
−1−
√
−2
−1, −1+
−1−
√
−∞, −2
x
−2, −1−
√ 3 3
x
3 3 , −1
−1 0 − 0 nultoˇcka inflek.
0
0, +∞
0 + + nultoˇcka
+ + + pozit. uzlaz. konvek.
y
-2
-1
x
0
4) f (x) = (x2 + x)(x − 2) = x(x + 1)(x − 2) = x3 − x2 − 2x , Df =R lim f (x) = ± ∞ =⇒ nema asimptota
x→±∞
lim
x→±∞
x f (x)
f (x) =∞ =⇒ nema asimptota x x1 = − 1, x2 = 0, x3 = 2
−∞, −1
−
−1, 0
+
0, 2
−
nultoˇcke 2, +∞
+
f (x) =3x2 − 2x − 2 3x2 −2x − 2 = 0 √ √ √ 2±2 7 1± 7 2 ± 4 + 24 = = , x1,2 = 6 6 3 f (x1 ) ≈0.63, f (x2 ) ≈ −2.1 < x f (x)
1102
√ 1 − 7? −∞, 3 +
x1 ≈ −0.55,
< 1 − √7 1 + √7 ? , 3 3 −
< 1 + √7 3 +
x2 ≈ 1.22
? , +∞
ˇ ˇ DETALJNA RJESENJA ZADATAKA IZ UDZBENIKA MATEMATIKA 4 ZA 4. RAZRED GIMNAZIJE
4
f (x) =6x − 2 = 2(3x − 1) f (−0.55) <0,
f (1.22) > 0 1 20 1 =− f (x) =0 =⇒ x = , f 3 3 27 ? < 1? <1 , +∞ x −∞, 3 3 f (x) − +
x
−∞, −1
−1
−1,
f (x) f (x) f (x)
− + − neg. uzl. konk.
0 + − nultoˇcka
√ 1− 7 3
√ 1− 7 3
+ + − pozit. uzl. konk.
0.63 0 − max
0
0, 13
+ − − pozit. sil. konk.
0 − − nultoˇcka
− − − negat. sil. konk.
2
2, +∞
1 3
13 , 1+3 7
√ 1+ 7 3
f (x)
− 20 27
−
−2.1
−
0
+
− 0
− + neg. sil. konk.
0 +
+ + neg. uzl. konk.
+ + nultoˇcka
+ + pozit. uzl. konv
f (x) f (x)
inflek.
min
√ 1+ 7 3 , 2
√ 1− 7 3 , 0
x
√
y
-1
0
2
x
5) f (x) = x3 − 3x2 + 4 Df =R =⇒ nema vertikalnih asimptota lim f (x) = ± ∞ =⇒ nema horizontalnih asimptota
x→±∞
f (x) = + ∞ =⇒ nema kosih asimptota x→±∞ x lim
x3 −3x2 + 4 = 0 2
1 1
−3 −1
0 −2
4 0
(x − 2)(x2 − x − 2) = 0 ⇐⇒ (x − 2)2 (x + 1) = 0 =⇒ x1 = −1,
x2,3 = 2
1103
4
ˇ ˇ DETALJNA RJESENJA ZADATAKA IZ UDZBENIKA MATEMATIKA 4 ZA 4. RAZRED GIMNAZIJE
−∞, −1
−
x f (x)
−1, 2
+
2, +∞
+
f (x) =3x2 − 6x = 3x(x − 2) f (x) =0 =⇒ x1 = 0,
x2 = 2,
−∞, 0
+
x f (x)
f (0) = 4,
0, 2
−
f (2) = 0
2, +∞
+
f (x) =6x − 6 = 6(x − 1) f (0) = − 6 < 0,
f (2) = 6 > 0 =⇒ M(0, 4),
f (x) =0 =⇒ 6x − 6 = 0 =⇒ x = 1, x f (x) x f (x) f (x) f (x)
−∞, −1 − + − negat. uzlaz. konk.
−1 0 + − nultoˇcka
f (1) = 2 =⇒ (1, 2) infleksija
−∞, 1
−
−1, 0 + + − pozit. uzlaz. konk.
m(2, 0)
1, +∞
+
0, 1 + − − pozit. silaz. max konk.
1, 2 + − + pozit. silaz. inflek. konv.
0 4 0 −
1 2 − 0
2 0 0 + nultoˇcka i min
2, +∞ + + + pozit. uzlaz. konv.
y 4
-2
-1
1
2
x
3 6) f (x) = x3 − x2 , 2 Df =R =⇒ nema vertikalnih asimptota lim f (x) = ± ∞ =⇒ nema horizontalnih asimptota
x→±∞
f (x) = + ∞ =⇒ nema kosih asimptota x→±∞ x 3 3 = 0 =⇒ x1,2 = 0, x3 − x2 = 0 =⇒ x2 x − 2 2 ? < 3? <3 , +∞ 0, −∞, 0
x 2 2 f (x) − − + lim
1104
x3 =
3 2
4
ˇ ˇ DETALJNA RJESENJA ZADATAKA IZ UDZBENIKA MATEMATIKA 4 ZA 4. RAZRED GIMNAZIJE
f (x) =3x2 − 3x = 3x(x − 1) f (x) =0 =⇒ x1 = 0, x f (x)
x2 = 1,
−∞, 0
+
f (0) = 0,
0, 1
−
f (1) = −
1 2
1, +∞
+
f (x) =6x − 3 = 3(2x − 1)
1 f (0) = − 3 =⇒ M(0, 0), f (1) = 3 =⇒ m 1, − 2 1 1 1 f (x) =0 =⇒ x = , f =− 2 2 4 ? < 1? <1 , +∞ −∞, x 2 2 f (x) − + fi x
−∞, 0
0
1 0, 2
f (x)
−
0
−
f (x) f (x)
fl
1 2 1 − 4 − 0
fi
fl 1 ,1 2 −
fi 1 1 2 0 3
−
3 1, 2 −
fl
3 2 0
fi
3 , +∞ 2
fl
+
+ 0 − − + + + − −3 − + + + + neg. uzlaz. nultoˇcka neg. silaz. neg. silaz. neg. uzlaz. nulpozit. infleks. min toˇcka uzlaz. konv. konk. i max konk. konv. konv.
1105
4
ˇ ˇ DETALJNA RJESENJA ZADATAKA IZ UDZBENIKA MATEMATIKA 4 ZA 4. RAZRED GIMNAZIJE
Zadatak 2.
Grafiˇcki prikaˇzi sljede´ce funkcije: 1) f (x) = (x − 1)2 (x + 2)2 ; 2) f (x) = (x − 1)2 (x + 1)2 ; 3) f (x) = 3x4 − 4x3 + 1 ; 4) f (x) = x(x + 1)(x − 1)(x − 2) ; 5) f (x) = x4 + x ; 6) f (x) = x4 − 4x2 .
Rjeˇsenje.
1) f (x) = (x − 1)2 (x + 2)2 , Df =R =⇒ nema vertikalnih asimptota lim f (x) = +∞ =⇒ nema horizontalnih asimptota
x→±∞
f (x) = ±∞ =⇒ nema kosih asimptota x f (x) =0 =⇒ x1,2 = 1, x3,4 = −2 lim
x→±∞
f (x) 0, ∀x ∈ R f (x) =2(x − 1)(x + 2)2 + 2(x − 1)2 (x + 2) = 2(x − 1)(x + 2)(x + 2 + x − 1) =2(x − 1)(x + 2)(2x + 1) f (x) =0 =⇒ x1 = 1,
x f
−∞, −2
(x)
1 x3 = − , 2
x2 = −2,
<
−2, −
−
+
1? 2
f (x3 ) =
< 1 ? − ,1 2 −
81 16
1, +∞
+
f (x) =2{[(x − 1) + (x + 2)](2x + 1) + (x − 1)(x + 2) · 2} =2{(2x + 1)2 + 2(x2 + x − 2)} =2{4x2 + 4x + 1 + 2x2 + 2x − 4} = 2(6x2 + 6x − 3) f (x) =6(2x2 + 2x − 1)
1 <0 f − 2 f (x) =0 =⇒ 2x2 + 2x − 1 = 0 √ √ √ −2 ± 2 3 −1 ± 3 −2 ± 4 + 8 = = x1,2 = 4 4 2 −1 − √3 −3 − √3 2 3 − √3 2 3 9 2 3 2 9 f = − = = − = 2 2 2 4 4 2 4 −1 + √3 −3 + √3 2 3 + √3 2 3 9 2 3 2 9 = − = = − = f 2 2 2 4 4 2 4 f (1) >0,
1106
f (−2) > 0,
ˇ ˇ DETALJNA RJESENJA ZADATAKA IZ UDZBENIKA MATEMATIKA 4 ZA 4. RAZRED GIMNAZIJE
−2, −1− 2
√ 3
√ −1− 3 2
−∞, −2
−2
f (x)
+
0
+
9 4
+
81 16
− + poz. sil konv.
0 + nultoˇcka i min.
+ + poz. uzl. konv.
+ 0
+ − pozit. uzl. konk.
0 −
f (x) f (x)
x
− 21 ,
f (x)
f (x) f (x)
√ −1+ 3 2
√ −1+ 3 2
√ −1− 3 , − 12 2
x
infl.
√ −1+ 3 , 1 2
1
1, +∞
+
9 4
+
0
+
− − pozit. sil. konk.
− 0
− + pozit. sil. konv.
0 + nultoˇcka i min.
+ + poz. uzl. konv
infl.
y
− 12
max
81 16
- -1
-2
4
x
1
2
2) f (x) = (x − 1)2 (x + 1)2 , Df =R, nema asimptota x1 , x2 = − 1 nultoˇcka f (x) 0, ∀x ∈ R f (x) =(x2 − 1)2 = x4 − 2x2 + 1 f (x) =4x3 − 4x = 4x(x2 − 1) f (x) =0 =⇒ x1 = 0,
x3 = 1, f (0) = 1 √ √ f (x) =12x − 4 = 4(3x − 1) = 4(x 3 − 1)(x 3 + 1)
2
x2 = −1,
2
f (0) <0,
f (−1) = f (1) > 0 √ 3 f (x) =0 =⇒ x1,2 = ± 3 √3 4 √3 =f − = f 3 3 9 −∞, −1
−1
f (x)
+
0
+
− + pozit. sil. konv.
0 + nultoˇcka i min
+ + pozit. uzl. konv.
f (x) f (x)
−1, −
√ 3 3
x
√ 3 3 , 0
0
4 9
+
1
+ 0
+ − pozit. uzl. konk.
0 −
−
√ 3 3
infl.
−
max
1107
4
ˇ ˇ DETALJNA RJESENJA ZADATAKA IZ UDZBENIKA MATEMATIKA 4 ZA 4. RAZRED GIMNAZIJE
0,
x f (x)
f (x) f (x)
√
√ 3 3
3 3
√
3 3 , 1
1
1, +∞
+
4 9
+
0
+
− − pozit. sil. konk.
− +
− + pozit. sil. konv.
0 + nultoˇcka i min.
+
infl.
pozit. uzl. konv.
y
1
x
1
-1
3) f (x) = 3x4 − 4x3 + 1 , Df =R,
nema asimptota D<0
$ %" # 3x4 −4x3 + 1 = 0 ⇐⇒ (x − 1)2 (3x2 + 2x + 1) = 0 =⇒ x1,2 = 1 3 3 3 3
1 1 1
−4 −1 2 5
0 −1 1 6
0 −1 0
1 0
f (x) =12x3 − 12x2 = 12x2 (x − 1) f (x) =0 =⇒ x1,2 = 0,
x3 = 1,
f (0) = 1
2
f (x) =36x − 24x = 12x(3x − 2) f (0) =0,
f (1) > 0
f (x) =0 =⇒ x1 = 0,
x2 =
2 , 3
f
2 3
=
11 27
Kako odrediti karakter toˇcke (0, 1) : I. naˇcin f (0 − δ ) <0,
f (0 − δ ) >0,
f (0 + δ ) < 0,
f (0 + δ ) < 0,
δ
malo =⇒ nije ekstrem
δ
malo =⇒ infleksija
II. naˇcin f (x) = 72x − 24,
f (0) = 0 =⇒ n = 3 infleksija
Definicija. Neka je f (x0 ) = f (x0 ) = . . . = f (n−1) (x0 ) = 0, 0 . Tada n = 2k =⇒ ekstrem n = 2k + 1 =⇒ infleksija
1108
f (n) (x0 ) =
ˇ ˇ DETALJNA RJESENJA ZADATAKA IZ UDZBENIKA MATEMATIKA 4 ZA 4. RAZRED GIMNAZIJE
x
−∞, 0
0
< 2? 0, 3
f (x)
+
1
+
f (x) f (x)
− + pozit. silaz. konv.
0 0
− − pozit. silaz. konk.
infl.
2 3 11 27 − 0 infl.
<2
,1
? 1
1 + ∞
+
0
+
− + pozit. silaz. konv.
0 + nultoˇcka i min.
+ + pozit. uzlaz. konv.
3
4
y
1
1
x
4) f (x) = x(x + 1)(x − 1)(x − 2) = x4 − 2x3 − x2 + 2x , Df =R lim f (x) = + ∞ =⇒ nema asimptota
x→±∞
lim
x→±∞
f (x) = ± ∞ =⇒ nema asimptota x x1 =0, x2 = −1, x3 = 1, x4 = 2 =⇒ nultoˇcke 1 = 2x2 − 2x − 2 : x− 2
(2x3 −3x2 −x + 1) −2x3 ±x2 −2x2 −x + 1 ±2x2 ∓x −2x + 1 ±2x ∓ 1 0
f (x) =4x3 − 6x2 − 2x + 2 f (x) =0 = 2x3 − 3x2 − x + 1 = 0 1 2 (x − x − 1) = 0 2 x− 2 1 15 1 = x1 = , f 2 2 16 √ √ 1± 5 1± 1+4 1 = , f (x2,3 ) ≈ − x2,3 = 2 2 2 2 2 f (x) =12x − 12x − 2 = 2(6x − 6x − 1)
1109
4
ˇ ˇ DETALJNA RJESENJA ZADATAKA IZ UDZBENIKA MATEMATIKA 4 ZA 4. RAZRED GIMNAZIJE
√
3±
15 f (x) =0 =⇒ x1,2 = 6 1 1 ± √5 <0, f >0 f 2 2
x
−∞, −1
−1
f (x) f (x) f (x)
+ − + poz. sil. konv.
0 − + nultoˇcka
x
√ 3− 15 , 0 6
−1,
√ 1− 5 2
√ 1− 5 2
− − + neg. sil. konv.
√ √ 1− 5 3− 15 2 , 6
− 0 +
√ 3− 15 6
− + + neg. uzl. konv.
min
0
0, 12
1 2
12 , 1
1
− + 0 infl. 1,
√ 3+ 15 6
f (x)
−
0
+
15 16
+
0
−
f (x) f (x)
+ − neg. uzl. konk.
+ − nultoˇcka.
+ − poz. uzl. konk.
0 −
− − poz. sil. konk.
− − nultoˇcka
− − neg. sil. konk.
x
√ 3+ 15 6
f (x) f (x) f (x)
− − 0
√ √ 3+ 15 1+ 5 , 2 6
√ 1+ 5 2
− − + neg. sil. konv.
infl.
max
√ 1+ 5 2 , 2
− 0 +
− + + neg. uzl. konv.
min
2
2, +∞
0 + + nultoˇcka
+ + + poz. uzl. konv.
y
-1
1
2
x
5) f (x) = x4 + x , f (x) = ±∞ =⇒ nema asimptota x x4 + x = 0 =⇒ x(x3 + 1) = 0 =⇒ x1 = 0, x2 = −1 – nultoˇcke
Df = R,
lim f (x) = +∞,
x→±∞
x f (x)
−∞, −1
+
f (x) =4x3 + 1
lim
x→±∞
−1, 0
−
0, +∞
+
1 1 1 3 4x + 1 =0 =⇒ x = − =⇒ x = − = − √ ≈ −0.63 3 4 4 4 3
1110
3
ˇ ˇ DETALJNA RJESENJA ZADATAKA IZ UDZBENIKA MATEMATIKA 4 ZA 4. RAZRED GIMNAZIJE
< x f
−∞,
(x)
3
−
1? − 4
4
? < 1 3 − , +∞ 4 +
f (x) =12x2 0, ∀x ∈ R 1 3 >0 =⇒ min − f 4 f (x) =0 =⇒ x = 0
6) f (x) = x4 − 4x2 , f (x) = ∞ =⇒ nema asimptota x→±∞ x→±∞ x x4 − 4x2 = x2 (x − 2)(x + 2) =⇒ x1 = −2, x2 = 0, x3 = 2 – nultoˇcke
Df = R,
lim f (x) = ∞,
x f (x)
−∞, −2
+
lim
−2, 0
−
0, 2
−
f (x) =4x3 − 8x f (x) =0 =⇒ 4x3 − 8x = 0 =⇒ 4x(x − √ √ =⇒ x = 0, x1 = 2, x = − 2 x f (x)
√ −∞, − 2
−
√ − 2, 0
+
2, +∞
+
√ √ 2)(x + 2) = 0
√ 0, 2
−
√ 2, +∞
+
f (x) =12x2 − 8 f (0) = − 8 < 0, f (0) = 0 =⇒ (0, 0) max √ √ √ f ( 2) =16 > 0, f ( 2) = −4 =⇒ ( 2, −4) min √ √ √ f (− 2) =16 > 0, f (− 2) = −4 =⇒ (− 2, −4) min 2 2 2 2 =⇒ x ± ≈ x ± 0.8 – infleksija 12x − 8 =0 =⇒ x = 3 3
1111
4
1112
ˇ ˇ DETALJNA RJESENJA ZADATAKA IZ UDZBENIKA MATEMATIKA 4 ZA 4. RAZRED GIMNAZIJE
ˇ ˇ DETALJNA RJESENJA ZADATAKA IZ UDZBENIKA MATEMATIKA 4 ZA 4. RAZRED GIMNAZIJE
Zadatak 3.
4
Grafiˇcki prikaˇzi sljede´ce funkcije: x2 2) f (x) = 2 ; x −4 x+1 4) f (x) = 3 ; x 2 x − 2x + 1 6) f (x) = ; x2 + 1
1 ; 1) f (x) = 2 x −4 x ; 3) f (x) = 2 x −4 x−1 5) f (x) = 2 ; x (x − 2)
x ; 8) 7) f (x) = 2 x +1 1 Rjeˇsenje. 1) f (x) = 2 , x −4 Df = R \ {−2, 2} 1 1 =+∞, lim =−∞ lim x→−2+ x2 −4 x→−2− x2 −4
f (x) =
x2 − 2x . x+1
⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎬
=⇒ x= ± 2 vertikalna asimptota ⎪ 1 1 ⎪ ⎪ lim =−∞, lim =+∞ ⎭ x→2+ x2 −4 x→2− x2 −4 1 lim = 0 =⇒ y = 0 horizontalna asimptota x→±∞ x2 − 4 x −∞, −2 −2, 2 2, +∞
f (x) + − + f (x) =(x2 − 4)−1 2x f (x) = − (x2 − 4)−2 · 2x = − 2 (x − 4)2 1 f (x) =0 =⇒ x = 0, f (0) = − 4 −∞, −2 −2, 0 0, 2 2, +∞
x f (x) + + − − f (x) = − 2x(x2 − 4)−2 f (x) = − 2(x2 − 4)−2 + (−2x) · (−2)(x2 − 4)−3 · 2x 8x2 8x2 − 2x2 + 8 6x2 + 8 2 + 2 = = 2 2 3 2 3 − 4) (x − 4) (x − 4) (x − 4)3 1 f (0) <0 =⇒ M 0, − , f (x) = 0, ∀x ∈ Df 4 x −∞, −2 −2, 2 2, +∞
f (x) + − + =−
(x2
x
−∞, −2
−2
−2, 0
f (x)
+
N.E.
−
f (x) f (x)
+ +
N.E. N.E.
+ −
0 1 − 4 0 −
0, 2
2
2, +∞
−
N.E.
+
− −
N.E. N.E.
− +
1113
4
ˇ ˇ DETALJNA RJESENJA ZADATAKA IZ UDZBENIKA MATEMATIKA 4 ZA 4. RAZRED GIMNAZIJE
y
x
2
-2
x2 , 2) f (x) = 2 x −4 Df = R \ {−2, 2} x2 =+∞, 2 x→−2− x −4 lim
lim
x2
x→2− x2 −4 x2
=−∞,
⎫ x2 ⎪ ⎪ =−∞ ⎪ ⎬ x→−2+ x2 −4 =⇒ x= ± 2 vertikalna asimptota ⎪ ⎪ x2 ⎪ ⎭ lim =+∞ x→2+ x2 −4 lim
= 1 =⇒ y = 1 horizontalna asimptota −4 f (x) = 0 =⇒ x2 = 0 =⇒ x = 0 nultoˇcka lim
x→±∞ x2
x f (x) f (x) =
−∞, −2
+
−2, 0
−
0, 2
−
2, +∞
+
2x(x2 − 4) − 2x · x2 2x3 − 8x − 2x3 8x = =− 2 (x2 − 4)2 (x2 − 4)2 (x − 4)2
f (x) =0 =⇒ x = 0 x f (x) f (x) = −
−∞, −2
+
(x2 − 4)4
f (0) <0 =⇒ M(0, 0), x f (x)
1114
0, 2
−
8(x2 − 4)2 − 8x · 2(x2 − 4) · 2x
x f (x) f (x) f (x)
−2, 0
+
−∞, −2
+ + +
= −8
f (x) = 0,
∀x ∈ Df
−∞, −2
+
−2, 2
−
−2 N.E. N.E. N.E.
−2, 0
− + −
0 0 0 −
2, +∞
−
x2 − 4 − 4x2 8(3x2 + 4) = (x2 − 4)3 (x2 − 4)3 2, +∞
+
0, 2
− − −
2 N.E. N.E. N.E.
2, +∞
+ − +
ˇ ˇ DETALJNA RJESENJA ZADATAKA IZ UDZBENIKA MATEMATIKA 4 ZA 4. RAZRED GIMNAZIJE
4
x , 3) f (x) = 2 x −4 Df = R \ {−2, 2} f (x) = 0 =⇒ x = 0 nultoˇcka ⎫ x x ⎪ = −∞, lim = +∞ lim ⎬ x→−2+ x2 − 4 x→−2− x2 − 4 =⇒ x = ±2 vertikalna asimptota x x ⎪ ⎭ = −∞, lim 2 = +∞ lim 2 x→2+ x − 4 x→2− x − 4 x lim = 0 =⇒ y = 0 horizontalna asimptota x→±∞ x2 − 4 −∞, −2
−
x f (x) f (x) =
0, 2
−
x2 − 4 − x · 2x x2 + 4 =− 2 , 2 2 (x − 4) (x − 4)2 x f (x)
f (x) = − f (x) =
−2, 0
+
−∞, −2
−
2, +∞
+
f (x) = 0,
−2, 2
−
∀x ∈ Df
2, +∞
−
2x(x2 − 4)2 − (x2 + 4)2(x2 − 4)2x 2x3 − 8x − 4x3 − 16x = − (x2 − 4)3 (x2 − 4)3
2x3 + 24x 2x(x2 + 12) = 2 (x2 − 4)3 (x − 4)3
f (x) =0 =⇒ x = 0 infleksija x f (x)
x f (x) f (x) f (x)
−∞, −2
−
−∞, −2
− − −
−2 N.E. N.E. N.E.
−2, 0
+ −2, 0
+ − +
0, 2
− 0 0 − 0
0, 2
− − −
2, +∞
+ 2 N.E. N.E. N.E.
2, +∞
+ − +
1115
4
ˇ ˇ DETALJNA RJESENJA ZADATAKA IZ UDZBENIKA MATEMATIKA 4 ZA 4. RAZRED GIMNAZIJE
y
-2
2
x
x+1 , x3 Df = R \ {0} 4) f (x) =
n = −1 nultoˇcka x+1 x+1 = −∞, lim = +∞, x = 0 vertikalna asimptota lim 3 x→0+ x3 x→0− x x+1 lim = 0 =⇒ y = 0 horizontalna asimptota x→±∞ x3 x f (x)
−∞, −1
+
−1, 0
−
0, +∞
+
x3 − 3x2 (x + 1) x3 − 3x3 − 3x2 −2x3 − 3x2 −2x − 3 = = = x6 x6 x6 x4 3 4 3 = f (x) =0 =⇒ x = − , f − 2 2 27 ? < < 3 3 ? −∞, − − ,0 0, +∞
x 2 2 f (x) + − − f (x) =
−2x4 + (2x + 3)4x3 x3 (−2x + 8x + 12) 6(x + 2) f (x) = = = 8 x x8 x5 3 4 3 <0 =⇒ M − , f − 2 2 27 1 1 f (x) =0 =⇒ x = −2, f (−2) = =⇒ −2, infleksija 8 8 x f (x)
−∞, −2
+
−2, 0
−
0, +∞
+
3 3 3 −∞, −2 −2 −2, − − − , −1 −1 −1, 0 0 0, +∞ 2 2 2 1 4 f (x) + + + 0 − N.E. + 8 27 f (x) + + + 0 − − − N.E. − f (x) + 0 − − − − − N.E. + x
1116
4
ˇ ˇ DETALJNA RJESENJA ZADATAKA IZ UDZBENIKA MATEMATIKA 4 ZA 4. RAZRED GIMNAZIJE
y
4 27
x
3 -1 -2 - 2
x−1 , 5) f (x) = 2 x (x − 2) Df = R \ {0, 2} f (x) = 0 =⇒ x = 1 nultoˇcka x−1 x−1 = +∞, lim = +∞, x = 0 vertikalna asimptota lim x→0+ x2 (x − 2) x→0− x2 (x − 2) x−1 x−1 lim 2 = −∞, lim = 2 = +∞, x = 2 vertikalna asimptota + − x (x − 2) x→2 x→2 x (x − 2) lim f (x) = 0 =⇒ y = 0 horizontalna asimptota x→±∞
−∞, 0
+
x f (x)
0, 1
+
1, 2
−
2, +∞
+
x−1 f (x) = 3 x − 2x2 x3 − 2x2 − (x − 1)(3x2 − 4x) x3 − 2x2 − (3x3 − 4x2 − 3x2 + 4x) f (x) = = 4 2 x (x − 2) x4 (x − 2)2 =
x3 − 2x2 − 3x3 + 7x2 − 4x −2x3 + 5x2 − 4x −x(2x2 − 5x + 4) = = x4 (x − 2)2 x4 (x − 2)2 x4 (x − 2)2
=− f (x) =0,
2x2 − 5x + 4 x3 (x − 2)2 ∀x ∈ Df x f (x)
−∞, 0
+
0, 2
−
2, +∞
−
f (x) =
−2x2 + 5x − 4 x3 (x − 2)2
f (x) =
(−4x + 5)(x − 2)2 x3 + (2x2 − 5x + 4)3x2 2(x − 2) x6 (x − 2)4
=
x(x − 2)(5 − 4x) + 6(2x2 − 5x + 4) (x2 − 2x)(5 − 4x) + 12x2 − 30x + 24 = x4 (x − 2)3 x4 (x − 2)3
=
−4x3 + 13x2 − 10x + 12x2 − 30x + 24 −4x3 + 25x2 − 40x + 24 = x4 (x − 2)3 x4 (x − 2)3
1117
4
ˇ ˇ DETALJNA RJESENJA ZADATAKA IZ UDZBENIKA MATEMATIKA 4 ZA 4. RAZRED GIMNAZIJE
x f (x)
6) f (x) =
−∞, 0
+
0, 2
+/−
2, +∞
+
(x − 1)2 x2 − 2x + 1 = 2 , 2 x +1 x +1
Df = R x2 − 2x + 1 = 1 =⇒ y = 1 horizontalna asimptota x→±∞ x2 + 1 f (x) = 0 =⇒ x = 1 nultoˇcka lim
x f (x)
f (x) =
−∞, 1
+
1, +∞
+
(2x − 2)(x2 + 1) − (x2 − 2x + 1) · 2x 2x3 − 2x2 + 2x − 2 − 2x3 + 4x2 − 2x = (x2 + 1)2 (x2 + 1)2
2x2 − 2 f (x) = 2 (x + 1)2
f (x) =0 =⇒ x = ±1,
f (1) = 0,
f (−1) = 2
f (x) =
4x(x2 + 1)2 − (2x2 − 2)2 · (x2 + 1) · 2x 4x3 + 4x − 8x3 + 8x 12x − 4x3 = = 2 2 4 2 3 (x + 1) (x + 1) (x + 1)3
f (x) =
4x(3 − x2 ) (x2 + 1)3
f (1) >0 =⇒ m(1, 0),
f (−1) < 0 =⇒ M(−1, 2) √ √ √ f (x) =0 =⇒ x1 = 0, x2,3 = ± 3, f (0) = 1, f (− 3) = 1.866, f ( 3) = 0.134 x f (x)
1118
√ −∞, − 3
+
√ − 3, 0
−
√ 0, 3
+
√ 3, +∞
−
ˇ ˇ DETALJNA RJESENJA ZADATAKA IZ UDZBENIKA MATEMATIKA 4 ZA 4. RAZRED GIMNAZIJE
4
y 1
3
0
-1
3
1
x
x , 7) f (x) = 2 x +1 Df = R,
f (x) = 0 =⇒ x = 0
lim f (x) = 0 =⇒ y = 0
x→±∞
x f (x)
−∞, 0
−
nultoˇcka
horizontalna asimptota 0, +∞
+
x2 + 1 − x · 2x x2 + 1 − 2x2 1 − x2 = = 2 2 2 2 (x + 1) (x + 1) (1 + x2 )2 1 1 f (x) =0 =⇒ x = ±1, f (−1) = − , f (1) = 2 2
f (x) =
x f (x)
−∞, −1
−
−1, 1
+
1, +∞
−
−2x(1 + x2 )2 + (x2 − 1) · 2(1 + x2 ) · 2x −2x(1 + x2 ) + x(x2 − 1) = (1 + x2 )4 (1 + x2 )3 √ √ 3 3 3 −2x − 2x + 4x − 4x 2x − 6x 2x(x − 3)(x + 3) = = = (1 + x2 )3 (1 + x2 )3 (1 + x2 )3 1 f (−1) >0 =⇒ m −1, − 2 1 f (1) <0 =⇒ M 1, 2 √ √ √ √ √ 3 3 f (x) =0 =⇒ x = 0, ± 3, f (0) = 0, f (− 3) = − , f ( 3) = 4 4 √ √ √ √ 3 3 =⇒ (0, 0), − 3, − , infleksija 3, 4 4 f (x) =
x f (x)
√ −∞, − 3
−
√ − 3, 0
+
√ 0, 3
−
√ 3, +∞
+
1119
4
ˇ ˇ DETALJNA RJESENJA ZADATAKA IZ UDZBENIKA MATEMATIKA 4 ZA 4. RAZRED GIMNAZIJE
x2 − 2x , x+1
8) f (x) = Df = R \ {−1}
x2 − 2x x2 − 2x = −∞, lim = +∞, x→−1+ x + 1 x→−1− x + 1 f (x) = 0 =⇒ x1 = 0, x2 = 2 nultoˇcka lim
x2 − 2x = ∞, x→±∞ x + 1
x = −1 vertikalna asimptota
f (x) x2 − 2x =1 = lim x→±∞ x x→±∞ x2 + x x2 − 2x x2 − 2x − x2 − x − x = lim = −3 lim (f (x) − kx) = lim x→±∞ x→±∞ x + 1 x→±∞ x+1 =⇒ y = x − 3 kosa asimptota lim
x f (x)
lim
−∞, −1
−
−1, 0
+
0, 2
−
2, +∞
+
f (x) =
(2x − 2)(x + 1) − (x2 − 2x) 2x2 − 2x + 2x − 2 − x2 + 2x x2 + 2x − 2 = = (x + 1)2 (x + 1)2 (x + 1)2
f (x) =
x2 + 2x + 1 − 3 3 =1− = 1 − 3(x + 1)−2 (x + 1)2 (x + 1)2
f (x) =0 =⇒ x2 + 2x − 2 = 0 =⇒ x2 + 2x + 1 = 3 √ =⇒ (x + 1)2 = 3 =⇒ x + 1 = ± 3 √ =⇒ x1,2 = −1 ± 3, f (x1 ) = −7.5, f (x2 ) = −0.5 √ √ √ √ −∞, −1 − 3 −1 − 3, −1 −1, −1 + 3 −1 + 3, +∞
x f (x) + − − + f (x) =
√ √ 6 , f (−1 − 3) < 0 =⇒ M(−1 − 3, −7.5) 3 (x + 1) √ √ f (−1 + 3) > 0 =⇒ m(−1 + 3, −0.5)
f (x) = 0, ∀x ∈ Df x f (x)
1120
−∞, −1
−
−1, +∞
+
ˇ ˇ DETALJNA RJESENJA ZADATAKA IZ UDZBENIKA MATEMATIKA 4 ZA 4. RAZRED GIMNAZIJE
4
1121
4
ˇ ˇ DETALJNA RJESENJA ZADATAKA IZ UDZBENIKA MATEMATIKA 4 ZA 4. RAZRED GIMNAZIJE
Zadatak 4.
Grafiˇcki prikaˇzi sljede´ce funkcije: x−2 ; x2 x2 − 1 ; f (x) = 2 x +1 x2 − 2x + 4 f (x) = 2 ; x +x−2 x2 − 4x + 3 f (x) = ; x2 − 2x x2 − 1 f (x) = 4 ; x +1 1 − 4x2 f (x) = 2 ; 4x (1 + x2 ) 1 1 f (x) = + ; x+1 x−1 1−x f (x) = . x−2 5(x − 2) f (x) = x2 Df = R \ {0}
1) f (x) = 5 2) 3) 4) 5) 6) 7) 8) Rjeˇsenje.
1)
lim f (x) = lim f (x) = −∞,
x→0+
x→0−
x = 0 vertikalna asimptota
f (x) = 0 =⇒ x = 2 nultoˇcka lim f (x) = 0, y = 0 horizontalna asimptota x→±∞
x f (x)
−∞, 0
−
0, 2
−
2, +∞
+
x2 − (x − 2)2x x − 2x + 4 5(4 − x) =5 = 4 3 x x x3 5 f (x) = 0 =⇒ x = 4, f (4) = 8 −∞, 0 0, 4 4, +∞
x f (x) − + −
f (x) = 5
(−1)x3 − (4 − x)3x2 −x − (4 − x)3 =5 x6 x4 5(−x − 12 + 3x) 5(2x − 12) 10(x − 6) = = = x4 x4 x4 5 f (4) < 0 =⇒ M 4, 8 5 5 f (x) = 0 =⇒ x = 6, f (6) = =⇒ 6, infleksija 9 9 x −∞, 0 0, 6 6, +∞
f (x) − − + f (x) = 5
1122
ˇ ˇ DETALJNA RJESENJA ZADATAKA IZ UDZBENIKA MATEMATIKA 4 ZA 4. RAZRED GIMNAZIJE
4
y
x
x2 − 1 , 2) f (x) = 2 x +1 Df = R f (x) = 0 =⇒ x = ±1 nultoˇcka x2 − 1 = 1 =⇒ y = 1 horizontalna asimptota x→±∞ x2 + 1 x −∞, −1 −1, 1 1, +∞
f (x) + − + lim
f (x) =
2x(x2 + 1) − (x2 − 1)2x 2x(x2 + 1 − x2 + 1) 4x = = 2 2 2 (x + 1) (x2 + 1)2 (x + 1)2
f (x) =0 =⇒ x = 0,
x f (x) f (x) =
f (0) = −1 −∞, 0
−
0, +∞
+
4(x2 + 1)2 − 4x · 2 · 2x(x2 + 1) 4x2 + 4 − 16x2 4(1 − 3x2 ) = = (x2 + 1)4 (x2 + 1)3 (x2 + 1)3
f (0) >0 =⇒ m(0, −1)
√ 3 −1 √3 −2 1 3 = 93 f (x) =0 =⇒ x1,2 = ± = 43 = − , f ± 3 3 2 + 1 9 3 √ 3 1 ,− infleksija =⇒ ± 3 2 √ ? < √ √ ? <√ ? < 3 3 3 3 , , +∞ x −∞, − − 3 3 3 3 f (x) − + − y
x
1123
4
ˇ ˇ DETALJNA RJESENJA ZADATAKA IZ UDZBENIKA MATEMATIKA 4 ZA 4. RAZRED GIMNAZIJE
3) f (x) =
(x − 1)2 + 3 x2 − 2x + 4 , = (x − 1)(x + 2) x2 + x − 2
Df = R \ {−2, 1} lim f (x) = +∞,
x→−2−
lim f (x) = −∞,
x→1−
f (x) = 0,
∀x ∈ R,
x f (x)
f (x) = =
lim f (x) = −∞ x = −2 vertikalna asimptota
x→−2+
lim f (x) = +∞ x = 1 vertikalna asimptota
x→1+
lim f (x) = 1 =⇒ y = 1
horizontalna asimptota
x→±∞
−∞, −2
+
−2, 1
−
1, +∞
+
(2x − 2)(x2 + x − 2) − (2x + 1)(x2 − 2x + 4) (x2 + x − 2)2 2x3 + 2x2 − 2x2 − 4x − 2x + 4 − 2x3 + 4x2 − x2 − 8x + 2x − 4 (x2 + x − 2)2
3x2 − 12x 3x(x − 4) f (x) = 2 = 2 2 (x + x − 2) (x + x − 2)2 f (x) =0 =⇒ x1 = 0,
x f (x)
f (x) =
−∞, −2
+
−2, 0
+
f (0) = −2,
0, 1
−
f (4) =
1, 4
−
2 3
4, +∞
+
(6x − 12)(x2 + x − 2)2 − (3x2 − 12x)2(x2 + x − 2)(2x + 1) (x2 + x − 2)4
=
(6x − 12)(x2 + x − 2) − (6x2 − 24x)(2x + 1) (x2 + x − 2)3
=
6x3 + 6x2 − 12x − 12x2 − 12x + 24 − 12x3 − 6x2 + 48x2 + 24x (x2 + x − 2)3
=
−6x3 + 36x2 + 24 (x2 + x − 2)3
f (0) <0 =⇒ M(0, −2),
1124
x2 = 4,
2 infleksiju teˇsko na´ci f (4) < 0 =⇒ m 4, 3
ˇ ˇ DETALJNA RJESENJA ZADATAKA IZ UDZBENIKA MATEMATIKA 4 ZA 4. RAZRED GIMNAZIJE
4
y
x
4) f (x) =
(x − 1)(x − 3) x2 − 4x + 3 , = x(x − 2) x2 − 2x
Df = R \ {0, 2} lim f (x) = +∞,
x→0−
lim f (x) = +∞,
x→2−
lim f (x) = −∞ x = 0 vertikalna asimptota
x→0+
lim f (x) = −∞,
x→2+
x = 2 vertikalna asimptota
lim f (x) = 1 =⇒ y = 1 horizontalna asimptota
x→±∞
f (x) = 0 =⇒ x1 = 1, x f (x)
f (x) = =
−∞, 0
+
x2 = 3 nultoˇcka 0, 1
−
1, 2
+
2, 3
−
3, +∞
+
(2x − 4)(x2 − 2x) − (2x − 2)(x2 − 4x + 3) (x2 − 2x)2 2x3 − 4x2 − 4x2 + 8x − 2x3 + 8x2 − 6x + 2x2 − 8x + 6 (x2 − 2x)2
f (x) =
2x2 − 6x + 6 2(x2 − 3x + 3) = > 0, (x2 − 2x)2 (x2 − 2x)2
f (x) =
(4x − 6)(x2 − 2x)2 − 2(x2 − 2x)(2x − 2)(2x2 − 6x + 6) (x2 − 2x)4
∀x ∈ Df
=
(4x − 6)(x2 − 2x) − (4x − 4)(2x2 − 6x + 6) (x2 − 2x)3
=
4x3 − 8x2 − 6x2 + 12x − 8x3 + 24x2 − 24x + 8x2 − 24x + 24 (x2 − 2x)3
f (x) =
−4x3 + 18x2 − 36x + 24 (x2 − 2x)3
infleksiju teˇsko na´ci
1125
4
ˇ ˇ DETALJNA RJESENJA ZADATAKA IZ UDZBENIKA MATEMATIKA 4 ZA 4. RAZRED GIMNAZIJE
y
x
x2 − 1 , 5) f (x) = 4 x +1 Df = R, f (x) = 0 =⇒ x1 = −1, x2 = 1 nultoˇcka lim f (x) = 0 =⇒ y = 0 horizontalna asimptota x→±∞
x f (x) f (x) = =
−∞, −1
+
−1, 1
−
1, +∞
+
2x(x4 + 1) − 4x3 (x2 − 1) 2x5 + 2x − 4x5 + 4x3 = (x4 + 1)2 (x4 + 1)2 −2x5 + 4x3 + 2x −2x(x4 − 2x2 − 1) = (x4 + 1)2 (x4 + 1)2 x4 − 2x2 − 1 = 0
(x2 − 1)2 = 2 √ x2 − 1 = ± 2 √ x2 = 1 ± 2 √ x1,2 = ± 1 + 2 ≈ 1.5 √ f (x) =0 =⇒ x1 = 0, x2,3 = ± 1 + 2 ≈ ±1.5, √ 1 √ f (0) = − 1, f ± 1 + 2 = ( 2 − 1) ≈ 0.2 2 √ √ √ √ x −∞, − 1 + 2 − 1 + 2, 0 0, 1 + 2 1 + 2, +∞
f (x) + − + − [−2(x4 −2x2 −1)−2x(4x3 −4x)](x4 +1)2 +2x(x4 −2x2 −1)2(x4 +1)4x3 (x4 +1)4 √ √ 1 √ f (0) >0 =⇒ m(0, −1), f ± 1+ 2 < 0 =⇒ M ± 1+ 2, ( 2−1) 2 infleksiju teˇsko na´ci. f (x)=
1126
ˇ ˇ DETALJNA RJESENJA ZADATAKA IZ UDZBENIKA MATEMATIKA 4 ZA 4. RAZRED GIMNAZIJE
4
y
x
6) f (x) =
1 − 4x2 , 4x2 (1 + x2 )
D f = R∗ lim f (x) = lim f (x) = +∞, x→0+
x→0−
1 f (x) = 0 =⇒ x1,2 = ± 2
nultoˇcka
lim f (x) = 0 =⇒ y = 0
x→±∞
< x
−∞, −
f (x)
f (x) =
−
1? 2
horizontalna asimptota
< 1 ? − ,0 2 +
1? 2 +
0,
−32x3 (1 + x2 ) − (1 − 4x2 )8x(1 + x2 + x2 ) 16x4 (1 + x2 )
=
−8x[4x2 (1 + x2 ) + (1 − 4x2 )(1 + 2x2 )] 16x4 (1 + x2 )
=
−1 − 2x2 + 4x2 + 8x4 − 4x2 − 4x4 2x3 (1 + x2 )2 4x4 − 2x2 − 1 2x3 (1 + x2 ) 2
2
2+
4x − 2x − 1 = 0 =⇒ x = √ 1+ 5 ≈ ±0.9, =⇒ x = ± 4 <
<1 2
?
, +∞ −
−8x(1 + x2 )4x2 − (1 − 4x2 )[8x(1 + x2 ) + 4x2 · 2x] 16x4 (1 + x2 )2
4
f (x)
<
=
f (x) =
x
x = 0 vertikalna asimptota
√ √ √ 4 + 16 2+2 5 1+ 5 = = 8 8 4 f (x) ≈ −0.25
√ √ √ √ ? 1+ 5 ? < 1+ 5 ? < 1+ 5 ? < 1+ 5 ,0 , +∞ −∞, − − 0, 4 4 4 4 − + − +
1127
4
ˇ ˇ DETALJNA RJESENJA ZADATAKA IZ UDZBENIKA MATEMATIKA 4 ZA 4. RAZRED GIMNAZIJE
y
x
7) f (x) =
1 x+1+x−1 2x 1 + = = 2 , x+1 x−1 (x + 1)(x − 1) x −1
Df = R \ {−1, 1} lim f (x) = −∞,
x→−1−
lim f (x) = −∞,
x→1−
lim f (x) = +∞ x = −1 vertikalna asimptota
x→−1+
lim f (x) = +∞ x = 1 vertikalna asimptota
x→1+
lim f (x) = 0 =⇒ y = 0 horizontalna asimptota
x→±∞
f (x) = 0 =⇒ x = 0 nultoˇcka x f (x) f (x) =
0, 1
−
1, +∞
+
−4x(−x2 −3) 4x(x2 +3) = , (x2 −1)3 (x2 −1)3
8) f (x) =
∀x ∈ Df
2x(x2 −1)2 −(x2 +1)2(x2 −1)2x 2x(x2 −1)(x2 −1−2x2 −2) = −2 2 4 (x −1) (x2 −1)4
x f (x)
−∞, −1
−
f (x) = 0 =⇒ x = 0
−1, 0
+
0, 1
−
1, +∞
+
ax + b 1−x , (oblik f (x) = ) – razlomljena linearna funkcija x−2 cx + d
Df = R \ {2}
1128
−1, 0
+
2(x2 −1)−2x·2x 2x2 −2−4x2 −2(x2 +1) = = =< 0, (x2 −1)2 (x2 −1)2 (x2 −1)2
f (x) =−2 f (x) =
−∞, −1
−
ˇ ˇ DETALJNA RJESENJA ZADATAKA IZ UDZBENIKA MATEMATIKA 4 ZA 4. RAZRED GIMNAZIJE
lim f (x) = +∞,
x→2−
f (x) = 0 =⇒ x = 1
4
lim f (x) = −∞ =⇒ x = 2 vertikalna asimptota
x→2+
nultoˇcka
lim f (x) = −1 =⇒ y = −1 horizontalna asimptota
x→±∞
x f (x)
−∞, 1
−
1, 2
+
2, +∞
−
−(x − 2) − (1 − x) −x + 2 − 1 + x 1 = = > 0, (x − 2)2 (x − 2)2 (x − 2)2 −2 2 f (x) = = 3 (x − 2) (2 − x)3 1 f (0) = − 2 −∞, 2 2, +∞
x f (x) + − f (x) =
∀x ∈ Df
1129
4
ˇ ˇ DETALJNA RJESENJA ZADATAKA IZ UDZBENIKA MATEMATIKA 4 ZA 4. RAZRED GIMNAZIJE
Zadatak 5.
Grafiˇcki prikaˇzi sljede´ce funkcije: √ 1) f (x) = x2 2 − x ;
2) f (x) = 3 (x − 1)2 ; 1
Rjeˇsenje.
3) f (x) = x + e−x ; 4) f (x) = e x . √ 1 1) f (x) = x2 2 − x = x2 (2 − x) 2 , 2 − x 0 =⇒ −x −2 =⇒ x 2 =⇒ Df = −∞, 2] lim f (x) = +∞,
x→−∞
f (x) = 0 =⇒ x1 = 0, x f (x)
f (x) = ∞ =⇒ nema asimptota x x2 = 2 nultoˇcka
lim
x→−∞
−∞, 0
+
0, 2
+
√ 1 1 1 x2 f (x) =2x(2 − x) 2 + x2 · (2 − x)− 2 (−1) = 2x 2 − x − √ 2 2 2−x 2 2 8x − 5x x(8 − 5x) 4x(2 − x) − x √ = √ = √ f (x) = 2 2−x 2 2−x 2 2−x 8 8 ≈ 1.62 f (x) =0 =⇒ x1 = 0, x2 = , f 5 5 < 8? <8 ? x ,2 0, −∞, 0
5 5 f (x) − + − 1 5 f (x) = 4x − x2 (2 − x)− 2 2 1 3 5 1 f (x) =(4 − 5x)(2 − x)− 2 + 4x − x2 − (2 − x)− 2 (−1) 2 2 8x − 5x2 (4 − 5x) · 4(2 − x) + 8x − 5x2 15x2 − 48x + 32 4 − 5x + = = =√ 2 − x 4 (2 − x)3 4 (2 − x)3 4 (2 − x)3 8 8 < 0 =⇒ M , 1.62 f (0) >0 =⇒ m(0, 0), f 5 5
1130
ˇ ˇ DETALJNA RJESENJA ZADATAKA IZ UDZBENIKA MATEMATIKA 4 ZA 4. RAZRED GIMNAZIJE
4
y
x
2 2) f (x) = 3 (x − 1)2 = (x − 1) 3 , Df = R,
f (x) = 0 =⇒ x = 1 nultoˇcka f (x) = 0 =⇒ nema asimptota lim f (x) = +∞, lim x→∞ x→±∞ x x −∞, 1 1, +∞
f (0) = 1 f (x) + + f (x) = x f (x)
1 2 2 (x − 1)− 3 = √ 3 3 3 x−1
−∞, 1
−
1, +∞
+
4 2 f (x) = − (x − 1)− 3 < 0, 9
∀x ∈ Df
y
x
3) f (x) = x + e−x > 0 , ∀x ∈ R , Df = R lim (x + e−x ) = ±∞
x→±∞
x + e−x x + e−x = +∞, lim =1 x→+∞ x→−∞ x x lim (x + e−x − x) = lim e−x = 0 lim
x→+∞
x→+∞
=⇒ y = x
desna kosa asimptota
f (x) = 1 − e
f (x) = e
−x
−x
,
f (x) = 0 =⇒ x = 0,
> 0,
∀x ∈ Df ,
x f (x)
−∞, 0
−
f (0) = 1
f (0) > 0 =⇒ m(0, 1) 0, +∞
+
1131
4
ˇ ˇ DETALJNA RJESENJA ZADATAKA IZ UDZBENIKA MATEMATIKA 4 ZA 4. RAZRED GIMNAZIJE
y
x
1
4) f (x) = e x , Df = R∗ , f (x) > 0, lim
x→0−
1 ex
= 0,
lim
x→0+
∀x ∈ R 1 ex
= +∞,
x = 0 vertikalna asimptota
1
lim e x = 1 =⇒ y = 1 horizontalna asimptota
x→±∞
1 1 f (x) = − 2 e x < 0, ∀x ∈ Df x 2 2 1 1 1 1 1 1 2x + 1 1 f (x) = 3 e x − 2 − 2 e x = 3 + 4 e x = ex x x x x x x4 1 f (x) = 0 =⇒ x = − 2 1 1 −2 f − =e = 2 2 e 1 1 infleksija =⇒ − , 2 2 e < 1? < 1 ? −∞, − − ,0 0, +∞
x 2 2 f (x) − + + y
x
1132
ˇ ˇ DETALJNA RJESENJA ZADATAKA IZ UDZBENIKA MATEMATIKA 4 ZA 4. RAZRED GIMNAZIJE
4
Rjesenja ˇ zadataka 4.8 Zadatak 1. Rjeˇsenje.
Broj 36 prikaˇzi u obliku umnoˇska dvaju pozitivnih brojeva kojima je zbroj kvadrata minimalan. 362 Iz xy = 36 i f (x) = x2 + y2 dobije se f (x) = x2 + 2 . Deriviramo funkciju x −2 2 2 · 36 2x4 − 2 · 362 = 2x − = . Poti dobijemo f (x) = 2x + 362 · x3 x3 x3 4 2 2x − 2 · 36 raˇzimo stacionarne toˇcke = 0 =⇒ 2x4 = 2 · 362 =⇒ x2 = x3 36 =⇒ x = ±6 , y = ±6 .
1133
4
1134
ˇ ˇ DETALJNA RJESENJA ZADATAKA IZ UDZBENIKA MATEMATIKA 4 ZA 4. RAZRED GIMNAZIJE
Zadatak 2.
Prikaˇzi broj 26 u obliku zbroja triju pozitivnih brojeva kojima je zbroj kvadrata minimalan. Drugi pribrojnik neka bude tri puta manji od prvog.
Rjeˇsenje.
Zapiˇsimo: 3x+x+z = 26 , te zbroj kvadrata kao f (x) = 9x2 +x2 +(26−4x)2 . Deriviramo tu funkciju i dobijemo f (x) = 20x − 8(26 − 4x) = 52x − 208 = 26(2x − 8) . Potraˇzimo stacionarne toˇcke 26(2x − 8) = 0 =⇒ 2x = 8 =⇒ x = 4 , y = 12 i z = 10 .
ˇ ˇ DETALJNA RJESENJA ZADATAKA IZ UDZBENIKA MATEMATIKA 4 ZA 4. RAZRED GIMNAZIJE
Zadatak 3. Rjeˇsenje.
4
Zbroj duljina kateta pravokutnog trokuta iznosi 10 cm. Koji od svih takvih trokuta ima najve´cu povrˇsinu? 1 1 1 Povrˇsina pravokutnog trokuta je P = ab = a(10 − a) = 5a − a2 . De2 2 2 1 riviramo funkciju P(a) = 5a − a2 i dobijemo P (a) = 5 − a . Potraˇzimo 2 stacionarne toˇcke: 5 − a = 0 =⇒ a = 5 , b = 5 . Vidimo da jednakokraˇcni pravokutni trokut ima najve´cu povrˇsinu.
1135
4
1136
ˇ ˇ DETALJNA RJESENJA ZADATAKA IZ UDZBENIKA MATEMATIKA 4 ZA 4. RAZRED GIMNAZIJE
Zadatak 4.
Zbroj duljina jedne katete i hipotenuze pravokutnog trokuta iznosi 21 cm. U skupu svih takvih trokuta odredi onaj koji ima maksimalnu povrˇsinu.
Rjeˇsenje.
a + c = 21 =⇒ c = 21 − a , b2 = c2 − a2 = (21 − a)2 − a2 = (21 − a − a)(21 − a + a) = 21(21 − 2a) . Povrˇsina pravokutnog tro ab 1 kuta je P(a) = = · [a 21(21 − 2a)] . Deriviramo tu funkciju 2 2 1 −42 1 · · 21(21 − 2a) + a · i dobijemo P (a) = = 2 2 2 21(21 − 2a) 2 · 21(21 − 2a) − 42a 882 − 84a − 42a 882 − 126a = = . Traˇzimo 2 21(21 − 2a) 4 21(21 − 2a) 4 21(21 − 2a) √ stacionarne toˇcke 882 − 126a = 0 =⇒ a = 7 , b = 21(21 − 2 · 7) = 7 3 i c = 21 − 7 = 14 .
ˇ ˇ DETALJNA RJESENJA ZADATAKA IZ UDZBENIKA MATEMATIKA 4 ZA 4. RAZRED GIMNAZIJE
Zadatak 5. Rjeˇsenje.
4
U jednakokraˇcan pravokutni trokut s katetom a = 2 cm upiˇsi pravokutnik najve´ce povrˇsine ako je jedan vrh pravokutnika u vrhu pravog kuta trokuta. P = P(x) = x(2 − x) = 2x − x2 , P (x) = 2 − 2x = 0 =⇒ x = 1 =⇒ kvadrat stranice 1.
1137
4
1138
ˇ ˇ DETALJNA RJESENJA ZADATAKA IZ UDZBENIKA MATEMATIKA 4 ZA 4. RAZRED GIMNAZIJE
Zadatak 6.
U jednakokraˇcan pravokutni trokut upiˇsi pravokutnik maksimalne povrˇsine tako da su mu dva vrha na hipotenuzi, a od ostalih dvaju po jedan na katetama. √ - duljine stranica takvog pravokutnika ako je kateta trokuta jednaka 2 2 . Nadi
Rjeˇsenje.
Duljina stranice sˇ to pripada hipotenuzi dvostruko je dulja od duljine druge stranice pravokutnika i iznosi pola duljine hipotenuze pravokutnog trokuta kojemu je pravokutnik upisan. √ √ x + 2y = 2 2 · 2 =⇒ x + 2y = 4 =⇒ x = 4 − 2y , P = xy , P(y) = y(4 − 2y) = 4y − 2y2 , P (y) = 4 − 4y = 0 =⇒ y = 1 , x = 2.
ˇ ˇ DETALJNA RJESENJA ZADATAKA IZ UDZBENIKA MATEMATIKA 4 ZA 4. RAZRED GIMNAZIJE
Zadatak 7. Rjeˇsenje.
4
Od svih pravokutnika s dijagonalom 4 cm odredi onaj s najve´com povrˇsinom. ab = a2 + b2 = 16 =⇒ a = 16 − b2 . Povrˇsina pravokutnika je P = 2 2 b 16 − b 1 . Deriviramo li funkciju P(b) = · b 16 − b2 dobit c´emo 2 2 1 2(16 − b2 ) − 2b2 1 −2b = · 16 − b2 + b · . PotraˇziP (b) = · 2 2 2 16 − b2 2 16 − b2 2 2 2 mo √ toˇcke: 32 − 4b = 0 =⇒ 4b = 32 =⇒ b = 8 =⇒ b = √ stacionarne 2 2, a = 2 2.
1139
4
1140
ˇ ˇ DETALJNA RJESENJA ZADATAKA IZ UDZBENIKA MATEMATIKA 4 ZA 4. RAZRED GIMNAZIJE
Zadatak 8.
Zbroj duljina svih bridova pravilne sˇ esterostrane prizme iznosi 36. Uz koju c´e duljinu osnovnog brida ova prizma imati najve´ci volumen?
Rjeˇsenje.
6a + 6h + 6a = √ 36 =⇒ h = 6 − 2a . Volumen prizme jednak je √ √ a2 3 · (6 − 2a) = 9a2 3 − 3a3 3 . Deriviramo funkciju V = B·h = 6· 4 √ √ √ √ V(a) = 9a2 3 − 3a3 3 i dobijemo V (a) = 18a 3 − 9a2 3 . Izjednaˇci√ √ mo to s nulom i dobijemo 18a 3 − 9a2 3 = 0 =⇒ 2a − a2 = 0 =⇒ a(2 − a) = 0 =⇒ a = 2 , h = 6 − 2 · 2 = 2 .
ˇ ˇ DETALJNA RJESENJA ZADATAKA IZ UDZBENIKA MATEMATIKA 4 ZA 4. RAZRED GIMNAZIJE
Zadatak 9.
Osnovka uspravne prizme je √ jednakokraˇcan pravokutni trokut. Dijagonala najve´ce poboˇcke dugaˇcka je 2 3 cm. U skupu ovakvih prizmi odredi onu s najve´cim volumenom.
Rjeˇsenje.
Oznaˇcimo katete baze s a , hipotenuzu s c i visinu prizme s h . Vrijedi c2 +h2 = √ 12 − h2 . (2 3)2 . Uvrstimo c2 = 2a2 i dobijemo 2a2 + h2 = 12 =⇒ a2 = 2 2 2 3 12 − h h a ·h = · h = 3h − . Volumen prizme jednak je V = B · h = 2 4 4 3 h 3 i dobijemo V (h) = 3 − · h2 . IzDeriviramo funkciju V(h) = 3h − 4 4 3 2 2 jednaˇcimo to s nulom i dobijemo · h = 3 =⇒ h = 4 =⇒ h = 2 , 4 √ 12 − 4 = 4 =⇒ a = 2 i c2 = 2 · 4 = 8 =⇒ c = 2 2 . Najve´ci a2 = 2 8 volumen je V = 3 · 2 − = 4 . 4
4
1141
4
ˇ ˇ DETALJNA RJESENJA ZADATAKA IZ UDZBENIKA MATEMATIKA 4 ZA 4. RAZRED GIMNAZIJE
Zadatak 10. Rjeˇsenje.
1142
Odredi pravilnu√trostranu prizmu najve´ceg volumena kojoj je dijagonala poboˇcke dugaˇcka 3 cm. √ = 3 −√h2 . Volumen prizme je Vrijedi a2 + h√2 = ( 3)2 =⇒ a2 √ 2 2 √ a 3 3 3 3 3 3−h V = B·h = 3·h = ·h = h− h . Deriviramo funkciju 4 4 4 4 √ √ √ √ √ 3 3 3 3 3 3 2 3 3 3 3 h− h i dobijemo V (h) = − h = (1 − h2 ) . V(h) = 4 4 4 4 4 √ 3 3 (1 − h2 ) = 0 =⇒ h2 = 1 =⇒ h = Izjednaˇcimo to s nulom i dobijemo 4 √ √ 3 . 1 , a2 = 3 − 1 = 2 =⇒ a = 2 , V = 2
ˇ ˇ DETALJNA RJESENJA ZADATAKA IZ UDZBENIKA MATEMATIKA 4 ZA 4. RAZRED GIMNAZIJE
Zadatak 11.
U skupu pravilnih trostranih piramida s boˇcnim bridom duljine 3 cm odredi onu s najve´cim volumenom.
Rjeˇsenje.
Oznaˇcimo s b = 3 brid, s a stranicu jednakostraniˇcnog trokuta koji cˇ ini bazu 2 a√3 2 a2 a2 · = 9 =⇒ = piramide. Tada vrijedi h2 + = b2 =⇒ h2 + 3 2 3 3 √ √ 1 a2 3 (9 − h2 ) 3h 1 ·h = = 9 − h2 . Volumen piramide je V = · Bh = · 3 3 4 4 √ √ 9 √ 3 3 3 3 9 √ ·h 3− · h . Deriviramo funkciju V(h) = · h 3 − · h i dobijemo 4 4 4 4 √ √ 9 √ 3 3 2 9 √ 3 3 2 V (h) = · 3 − · h . Izjednaˇcimo to s nulom · 3 = · h =⇒ 4 4 4 4 √ 18 9 27 9 − = = . h2 = 3 =⇒ h = 3 , V = 4 4 4 2
4
1143
4
ˇ ˇ DETALJNA RJESENJA ZADATAKA IZ UDZBENIKA MATEMATIKA 4 ZA 4. RAZRED GIMNAZIJE
Zadatak 12. Rjeˇsenje.
1144
√ U skupu pravilnih trostranih piramida kojima visina poboˇcke iznosi 4 3 cm odredi onu s najve´cim volumenom. Koliki je tada taj volumen? Oznaˇcimo s v visinu poboˇcke, s a stranicu jednakostraniˇ cnog trokuta ko 1 a√3 2 √ · ji cˇ ini bazu piramide. Tada vrijedi h2 + = (4 3)2 =⇒ 3 2 a2 a2 1 2 2 = 48 =⇒ = 48 − h . Volumen piramide je V = · B · h = h + 12 12 3 √ √ √ √ 1 a2 3 · · h = (48 − h2 ) · 3 · h = 48 3h − 3h3 . Deriviramo li funkciju 3 4 √ √ 3 √ √ 2 V(h) = 48 √ 3h − √ 3h dobit c´ emo 48 3 − 3 3h √ √ . Izjednaˇcimo to s nulom i dobijemo 48 3−3 3h2 = 0 =⇒ 3 3h2 = 48 3 =⇒ h2 = 16 =⇒ h = √ √ a2 = 48−16 =⇒ a2 = 36 =⇒ a = 6 , V = (48−16)· 3·4 = 128 3 . 4, 12
ˇ ˇ DETALJNA RJESENJA ZADATAKA IZ UDZBENIKA MATEMATIKA 4 ZA 4. RAZRED GIMNAZIJE
Zadatak 13. Rjeˇsenje.
4
Odredi izvodnicu stoˇsca najve´ceg volumena ako je zbroj duljina visine i polumjera osnovke 3 cm. √ h + r = 3 =⇒ h = 3 − r , a za izvodnicu stoˇsca vrijedi s = h2 + r2 . 1 1 1 Volumen stoˇsca je V = r2 π · h = r2 π (3 − r) = r2 π − r3 π . Deriviramo 3 3 3 1 3 2 li funkciju V(r) = r π − r π dobit c´emo v (r) = 2rπ − r2 π . Izjednaˇcimo 3 to s nulom i dobijemo 2rπ − r2 π = 0 =⇒ r(r − 2) √ = 0 =⇒ √ r = 2, h = 1. Izvodnica stoˇsca najve´ceg volumena jednaka je s = 1 + 4 = 5 .
1145
4
ˇ ˇ DETALJNA RJESENJA ZADATAKA IZ UDZBENIKA MATEMATIKA 4 ZA 4. RAZRED GIMNAZIJE
Zadatak 14. Rjeˇsenje.
1146
Koji stoˇzac s opsegom osnog presjeka 4 dm ima najve´ci volumen? 2s + 2r = 4 =⇒ s + r = 2 =⇒ s = 2 − r , r2 + h2 = s2 =⇒ r2 + h2 = h2 . Volumen stoˇsca je 4 − 4r + r2 =⇒ h2 = 4 − 4r =⇒ r = 1 − 4 1 2 1 1 1 V 2 (r) = r2 π · h = r4 π 2 h2 = r4 π 2 (s2 − r2 ) = r4 π 2 [(2 − r)2 − r2 ] = 3 9 9 9 1 4 2 4 4 r π (4 − 4r + r2 − r2 ) = r4 π 2 − r5 π 2 . Deriviramo li tu funkciju dobit 9 9 9 16 3 2 20 4 2 4 r π − r π = r3 π 2 (4 − 5r) . Izjednaˇcimo to s nulom c´emo V 2 (r) = 9 9 9 √ 4 3 2 6 2 5 4 r π (4 − 5r) = 0 =⇒ r = , s = , h = . 9 5 5 5
ˇ ˇ DETALJNA RJESENJA ZADATAKA IZ UDZBENIKA MATEMATIKA 4 ZA 4. RAZRED GIMNAZIJE
Zadatak 15.
Rjeˇsenje.
4
Sferi zadanog polumjera R upiˇsi 1) valjak maksimalnog volumena; 2) valjak s najve´com povrˇsinom plaˇsta; 3) stoˇzac maksimalnog volumena; 4) stoˇzac najmanjeg volumena.
1) Za valjak upisan u sferu vrijedi
h 2 2
+ r2 = R2 gdje je h visina valjka,
h2 . r polumjer baze valjka, a R polumjer sfere. Odavde slijedi r2 = R2 − 4 3 h Volumen valjka jednak je V = r2 π · h = R2 π · h − π . Deriviramo li 4 h3 3 2 2 funkciju V(h) = R π · h − π dobit c´emo V (h) = R π − h2 · π . Izjed4 4 √ 2 2 3R 3 4R 2 2 2 =⇒ h = , naˇcimo to s nulom R π − h · π = 0 =⇒ h = 4 3 3 √ 2 2 6R 2R 4r = =⇒ r = . r 2 = R2 − 12 3 3 h 2 2) Za valjak upisan u sferu vrijedi + r2 = R2 gdje je h visina va2 ljka, r polumjer baze valjka, a R polumjer sfere. Za povrˇsinu plaˇsta vrih2 · π · h . Deriviramo li funkciju P(h) = jedi P = 2rπ h = 2 R2 − 4 ⎡ ⎤ 2 2 ⎢ ⎥ h2 2− h − h ⎥= · π · h dobit c´emo P (h) = 2π ⎢ R 2 R2 − ⎣ ⎦ 2 4 4 h 4 R2 − 4 π π h2 h2 2 2 2 − = 2R − (2R − h ) . Izjednaˇcimo to s 2 2 h2 h2 2 2 R − R − 4 4 √ π (2R2 − h2 ) = 0 =⇒ 2R2 = h2 =⇒ h = R 2 , nulom 2 h R2 − 4 √ R2 R 2 h2 R2 2 2 2 =R − = =⇒ r = . r =R − 4 2 2 2 3) Za stoˇzac upisan u sferu vrijedi r2 +(h−R)2 = R2 =⇒ r2 = R2 −(h−R)2 gdje je r polumjer baze stoˇsca, h visina stoˇsca, a R polumjer sfere. Za voluπ·h 1 1 (R − h + men stoˇsca vrijedi V = r2 π · h = [r2 − (h − R)2 ] · π · h = 3 3 3 2 2 3 π·h π ·h 2π h (2R − h) = ·R− . Deriviramo li funkciju R)(R + h − R) = 3 3 3 2 3 π·h 2π · h 4π ·R− dobit c´emo V (h) = R · h − π · h2 . Izjednaˇcimo V(h) = 3 3 3 4 4π 4 R · h − π · h2 = 0 =⇒ h R − h = 0 =⇒ h = R , to s nulom 3 3 3 √ 2 4 2 1 8 2 R − R = R2 − R2 = R2 =⇒ r = R. r 2 = R2 − 3 9 9 3
1147
4
ˇ ˇ DETALJNA RJESENJA ZADATAKA IZ UDZBENIKA MATEMATIKA 4 ZA 4. RAZRED GIMNAZIJE
1 2 (R − (h − R)2 ) = 0 =⇒ R2 = (h − R)2 3 h2 − 2Rh + R2 =⇒ h(h − 2R) = 0 =⇒ h = 2R .
4) V(h) =
1148
=⇒ R2 =
ˇ ˇ DETALJNA RJESENJA ZADATAKA IZ UDZBENIKA MATEMATIKA 4 ZA 4. RAZRED GIMNAZIJE
Zadatak 16.
Odredi omjer visine i polumjera osnovke uspravnog stoˇsca koji uz dani obujam ima najmanju povrˇsinu plaˇsta.
Rjeˇsenje.
Za stoˇzac vrijedi s2 = r2 + h2 . Iz formule za volumen stoˇsca imamo 1 3V 9V 2 V = r2 π · h =⇒ h = 2 =⇒ h2 = 4 2 . Povrˇsina plaˇsta stoˇsca 3 r π r π 2 √ 9V 9V 2 jednaka je P = rπ s = rπ r2 + h2 = rπ r2 + 4 2 = π r4 + 2 . Der π r π 2 9V 1 · riviramo li funkciju P(r) = π r4 + 2 dobit c´emo P (r)π · r π 2 9V 2 r4 + 2 2 r π 2 2 18V 18V 4r3 − 2 3 . Izjednaˇcimo to s nulom i dobijemo 4r3 − 2 3 = 0 =⇒ π r π r √ 18V 2 9V 2 3 2 2 2 4r = 2 3 =⇒ 2r = 2 4 =⇒ 2r = h =⇒ h = 2r =⇒ h : r = π r π r √ 2 : 1.
4
1149
4
1150
ˇ ˇ DETALJNA RJESENJA ZADATAKA IZ UDZBENIKA MATEMATIKA 4 ZA 4. RAZRED GIMNAZIJE
Zadatak 17.
U polukuglu polumjera 4cm upisan je valjak kojemu je osnovka u ravnini osnovke polukugle. Koji od takvih valjaka ima najve´ci obujam?
Rjeˇsenje.
Vrijedi R2 = r2 + h2 =⇒ 16 = r2 + h2 =⇒ r2 = 16 − h2 . Volumen valjka je V = r2 π · h = (16 − h2)π · h = 16π h − π · h3 . Deriviramo li funkciju V(h) = 16π h − π · h3 , dobit c´emo V (h) = 16π − 3π · h2 . Izjednaˇcimo to s 16 =⇒ nulom i dobijemo 16π − 3π · h2 = 0 =⇒ 3h2 = 16 =⇒ h2 = 3 √ √ √ √ 32 4 2· 3 4 6 4 3 2 16 , r = 16 − = =⇒ r = = . h= 3 3 3 3 3
ˇ ˇ DETALJNA RJESENJA ZADATAKA IZ UDZBENIKA MATEMATIKA 4 ZA 4. RAZRED GIMNAZIJE
Zadatak 18. Rjeˇsenje.
4
Toˇckom M(x0 , y0 ) u prvom kvadrantu poloˇzi pravac koji s pozitivnim poluosima tvori trokut najmanje povrˇsine. y my0 x . Formula Jednadˇzba pravca glasi 0 + 0 = 1 . Iz nje izrazimo n = m n m − x0 m2 y 0 y m2 1 = 0 . Deriviramo za povrˇsinu trokuta glasi P = mn = 2 2(m − x0 ) 2 m − x0 m2 y 2m(m − x0 ) − m2 y i dobijemo P (m) = 0 · = funkciju P(m) = 0 · 2 m − x0 2 m − x0 y0 m · · (2m − 2x0 − m) . Sada to izjednaˇcimo s nulom i dobijemo 2 m − x0 m y0 · · (2m − 2x0 − m) = 0 =⇒ m − 2x0 = 0 =⇒ m = 2x0 , 2 m − x0 1 y0 y 1 + = 1 =⇒ 0 = =⇒ n = 2y0 . 2 n n 2
1151
4
ˇ ˇ DETALJNA RJESENJA ZADATAKA IZ UDZBENIKA MATEMATIKA 4 ZA 4. RAZRED GIMNAZIJE
Zadatak 19. Rjeˇsenje.
1152
Na osi x odredi toˇcku T tako da zbroj udaljenosti |AT| + |BT| , A(0, 3) , B(4, 5) bude sˇ to manji. √ √ Za = x2 + 32 = x2 + 9 i |BT| = (x − 4)2 + 52 = udaljenosti vrijedi |AT| x2 − 8x + 16 + 25 = x2 − 8x cimo broj udaljenosti kao √ + 41 . Naznaˇ funkciju f (x) = |AT| + |BT| = x2 + 9 + x2 − 8x + 41 . Deriviramo tu 2x 2x − 8 x funkciju i dobijemo f (x) = √ + + = √ 2 2 2 2 x +9 x +9 2 x − 8x + 41 x−4 x x−4 . Izjednaˇcimo to s nulom: √ = + 2 2 x +9 x2 − 8x + 41 x − 8x + 41 √ 0 =⇒ √x x2 − 8x + 41 + (x − 4) x2 + 9 = 0 =⇒ x x2 − 8x + 41 = (4 − x) x2 + 9/2 =⇒ x2 (x2 − 8x + 41) = (4 − x)2 (x2 + 9) =⇒ x4 − 8x3 + 41x2 = (x2 − 8x + 16)(x2 + 9) =⇒ x4 − 8x3 + 41x2 = x4 − 8x3 + 16x2 + 9x2 − 72x + 144 =⇒ 16x2 + 72x − 144 = 0 =⇒ 2x2 + 9x − 18 = 3 0 =⇒ 2x2 + 12x − 3x − 18 = 0 =⇒ (2x − 3)(x + 6) = 0 =⇒ x = , 2 3 x = −6 ; T , 0 . 2
ˇ ˇ DETALJNA RJESENJA ZADATAKA IZ UDZBENIKA MATEMATIKA 4 ZA 4. RAZRED GIMNAZIJE
Zadatak 20.
U parabolu y = 4 − x2 upiˇsi pravokutnik najve´ce povrˇsine uz uvjet da je jedna stranica pravokutnika na osi apscisa.
Rjeˇsenje.
Oznaˇcimo jedan vrh pravokutnika s T(x, 4 − x2 ) . Povrˇsina pravokutnika jednaka je P = 2x · y = 2x · (4 − x2 ) = 8x − 2x3 . Deriviramo funkciju 6x2 . Izjednaˇ P(x) = 8x − 2x3 i dobijemo P (x) = 8 − √ cimo to s nulom 4 2 3 4 8 = , y = 4− = . 8 − 6x2 = 0 =⇒ 2(4 − 3x2 ) = 0 =⇒ x = 3√ 3 3 3 √ 32 3 4 3 8 · = . Povrˇsina pravokutnika jednaka je P = 2x · y = 3 3 9
4
1153
4
1154
ˇ ˇ DETALJNA RJESENJA ZADATAKA IZ UDZBENIKA MATEMATIKA 4 ZA 4. RAZRED GIMNAZIJE
Zadatak 21.
Odsjeˇcku parabole y2 = 2px , odsjeˇcenom pravcem x = 2a upiˇsi pravokutnik najve´ce povrˇsine.
Rjeˇsenje.
Vrh pravokutnika na paraboli ima koordinate T(2a − z, y) . Povrˇsina pravo√ kutnika jednaka je P = 2y · z = 2 2px · z = 2 2p(2a −z) · z . Deriviramo funkciju P(z) = 2 2p(2a − z) · z i dobijemo P (z) = 2 2p(2a − z) − 2z · 2p 2 · 2p(2a − z) − 2zp = . Izjednaˇcimo to s nulom i imamo 2 2p(2a − z) 2 2p(2a − z) 2 · 2p(2a − z) − 2zp = 0 =⇒8ap − 4pz − 2pz = 0 =⇒ 6pz = 8ap =⇒ 4 ap 4a 2a z = a , y = 2p(2a − z) = 2p · 2a − = 2p · =2 . Po3 3 3 3 ap 4 ap 16 16 √ · a= a· = a 3ap . vrˇsina pravokutnika je P = 2y · z = 2 · 2 3 3 3 3 9
ˇ ˇ DETALJNA RJESENJA ZADATAKA IZ UDZBENIKA MATEMATIKA 4 ZA 4. RAZRED GIMNAZIJE
Zadatak 22. Rjeˇsenje.
4
Na elipsi 2x2 + y2 = 18 dane su toˇcke A(1, 4) , B(3, 0) . Odredi toˇcku C te elipse tako da trokut ABC ima maksimalnu povrˇsinu. y2 x2 + = 1 imamo y = 18 − 2x2 . Povrˇsina trokuta Iz jednadˇzbe elipse 9 18 1 1 jednaka je P = |x1 (y2 −y3 )+x2 (y3 −y1 )+x3 (y1 −y2 )| = |1(0−y)+3(y− 2 2 1 1 4) + x(4 − 0)| = | − y + 3y − 12 + 4x| = |4x + 2y − 12| = |2x + y − 6| = 2 2 |2x− 6 + 18 − 2x2 | . Deriviramo li funkciju P(x) = 2x− 6 + 18 − 2x2 do4x 2x 2 18 − 2x2 − 2x = 2− = . bit c´ emo P (x) = 2 − 2 2 18 − 2x2 18 − 2x2 18 − 2x Izjednaˇcimo to s nulom 2 18 − 2x2 − 2x = 0 =⇒ x = 18 − 2x2 . Kva2 = driramo tu jednadˇ x2 = 18 − 2x2 =⇒ 3x2 =√18 =⇒ x√ √ √ zbu i dobijemo 6 =⇒ x = ± 6 , y = ± 6 .√2x + y√− 6 je najve´ce za x = − 6 , y = − 6 . Toˇcka C ima koordinate C(− 6, − 6) .
1155
4
ˇ ˇ DETALJNA RJESENJA ZADATAKA IZ UDZBENIKA MATEMATIKA 4 ZA 4. RAZRED GIMNAZIJE
Zadatak 23. Rjeˇsenje.
1156
Odredi onu toˇcku na elipsi koja je od jednog kraja male osi najviˇse udaljena. Kolika je ta udaljenost? a 2 b 2 − a 2 y2 Iz jednadˇzbe elipse b2 x2 + a2 y2 = a2 b2 slijedi x2 = = b2 2 2 2 √ a (b − y ) . Ako je a2 2b2 , tj. a b 2 , tada je d = 2b . Neka je 2 b √ a2 2 2 2 2 (b − y2 ) + (b + y)2 = a > b 2 . Tada je d = x + (b + y) = b2 a 2 y2 a2 − 2 + b2 + 2yb + y2 . b a 2 y2 Deriviramo li funkciju d(y) = a2 − 2 + b2 + 2yb + y2 dobit c´ emo b 2a2 y − 2 + 2b + 2y 2a2 y b . Izjednaˇcimo to s nulom − 2 + 2b + 2y = b a 2 y2 2 a2 − 2 + b2 + 2yb + y2 b b3 0 =⇒ −a2 y + yb2 = −b3 =⇒ y(a2 − b2 ) = b3 =⇒ y = 2 , x= a − b2 6 7 7 2 2 b6 7 a b − a2 2 8 a2 b4 a2 (a2 − b2 )2 − a2 b4 (a − b2 )2 2− = a = = b2 (a2 − b2 )2 (a2 − b2 )2 a2 [(a2 − b2 )2 − b4 ] a2 [(a2 − b2 − b2 )(a2 − b2 + b2 )] a4 (a2 − 2b2 ) = = . (a2 − b2 )2 (a2 − b2 )2 (a2 − b2 )2 a2 b3 . a2 − 2b2 , − 2 Koordinate toˇcke T su T 2 2 a −b a − b2
ˇ ˇ DETALJNA RJESENJA ZADATAKA IZ UDZBENIKA MATEMATIKA 4 ZA 4. RAZRED GIMNAZIJE
Zadatak 24.
Od svih trokuta sˇ to ih cˇ ine radijus-vektori elipse i duˇzina F1 F2 , odredi onaj s najve´com povrˇsinom.
Rjeˇsenje.
Za radijus vektore elipse vrijedi r1 + r2 = 2a . POvrˇsina trokuta jednaka je 1 P = v · 2e = v · e . 2 Svi trokuti imaju istu osnovicu 2e , pa najve´cu povrˇsinu ima onaj s najve´com visinom, a to je onaj kojemu je toˇcka T u tjemenu (0, b) : P = b · e .
4
1157
4
ˇ ˇ DETALJNA RJESENJA ZADATAKA IZ UDZBENIKA MATEMATIKA 4 ZA 4. RAZRED GIMNAZIJE
Zadatak 25. Rjeˇsenje.
1158
1 odredi toˇcku u kojoj valja poloˇziti tangentu koja bi s Na krivulji y = 2 x +1 osi apscisa tvorila najve´ci kut. Tangenta u toˇcki pregiba Toˇcka T(x, y) je toˇcka infleksije. Deriviramo funkciju 2x y(x) dvaput: y (x) = − 2 = −2x(x2 + 1)−2 ; (x + 1)2 2 8x2 + 2 = y (x) = −2(x2 +1)−2 +(−2x)(−2)(x2 +1)−3 2x = − 2 2 (x + 1) (x + 1)3 −2(x2 + 1) + 8x2 . Izjednaˇcimo drugu derivaciju s nulom i dobijemo (x2 + 1)3 −2(x2 + 1) + 8x2 = 0 =⇒ 8x2 − 2x2 − 2 = 0 =⇒ 6x2 = 2 =⇒ (x2 + 1)3 √ √3 3 3 1 1 3 2 =⇒ x = ± , y= 1 , i x = = . Te toˇcke su T1 − 3 3 4 3 4 +1 3 √3 3 , . T2 3 4
ˇ ˇ DETALJNA RJESENJA ZADATAKA IZ UDZBENIKA MATEMATIKA 4 ZA 4. RAZRED GIMNAZIJE
4
Rjesenja ˇ sloˇzenijih zadataka Zadatak 1.
Dokaˇzi da su tangente povuˇcene na parabolu y = x2 iz bilo koje toˇcke pravca y = − 14 medusobno okomite.
Zadatak 2.
Nadi jednadˇzbu zajedniˇcke tangente krivulja y = x2 + 4x + 8 i y = x2 + 8x + 4 . Najprije pronadimo sjeciˇste ovih dviju krivulja. x2 + 4x + 8 = x2 + 8x + 4 =⇒ 4x − 8x = 4 − 8 =⇒ −4x = −4 =⇒ x = 1 , y = 13 . Toˇcka T(1, 13) je sjeciˇste tih krivulja. Derivacija
Rjeˇsenje.
1159
4
ˇ ˇ DETALJNA RJESENJA ZADATAKA IZ UDZBENIKA MATEMATIKA 4 ZA 4. RAZRED GIMNAZIJE
Zadatak 3. Rjeˇsenje.
1160
Za koje vrijednosti realnog parametra a krivulja y = 13 x3 − 4x + a dira os apscisa? 1 3 x − 4x + a = 0 . 3 2 Deriviramo funkciju y (x) = x − 4 i dobijeni izraz izjednaˇcimo s nulom jer je koeficijent smjera tangente (osi apscisa) na tu krivulju u toˇcki T(x, 0) jednak 16 1 8 , nuli. x2 − 4 − 0 =⇒ x = ±2 . · 23 − 4 · 2 + a = 0 =⇒ a = 8 − = 3 3 3 1 16 8 odnosno · (−2)3 − 4 · (−2) + a = 0 =⇒ a = −8 + = − . 3 3 3 Toˇcka u kojoj krivulja dira os apscisa je T(x, 0) , odnosno
ˇ ˇ DETALJNA RJESENJA ZADATAKA IZ UDZBENIKA MATEMATIKA 4 ZA 4. RAZRED GIMNAZIJE
Zadatak 4.
Pokaˇzi da tangenta u toˇcki (x0 , y0 ) na grafu funkcija f (x) = x3 ima jednadˇzbu y − y0 = 3x20 (x − x0 ) .
Rjeˇsenje.
Deriviramo funkciju: f (x) = 3x2 . U toˇcki x0 je f (x0 ) = 3x20 . Jednadˇzba tangente glasi: y − y0 = f (x0 )(x − x0 ) =⇒ y − y0 = 3x20 (x − x0 ) .
4
1161
4
ˇ ˇ DETALJNA RJESENJA ZADATAKA IZ UDZBENIKA MATEMATIKA 4 ZA 4. RAZRED GIMNAZIJE
Zadatak 5.
Deriviraj funkcije: 1 + x + x2 + x 3 + x 4 + x 5 + x 6 + x 7 ; 1 + x + x2 + x3 1 + x + x2 + . . . + x100 + x101 2) f (x) = . 1 − x + x2 − . . . + x49 − x50
1 + x + x 2 + x3 x4 (1 + x + x2 + x3 ) + = (1 + x4 ) = 4x3 ; 1) f (x) = 1 + x + x2 + x3 1 + x + x2 + x3 2) 1) f (x) =
Rjeˇsenje.
1162
ˇ ˇ DETALJNA RJESENJA ZADATAKA IZ UDZBENIKA MATEMATIKA 4 ZA 4. RAZRED GIMNAZIJE
Zadatak 6.
Odredi derivaciju funkcije f ◦ f ako je: 1) f (x) = −2x + 3 ; 1 3) f (x) = ; x 5) f (x) = sin x ; 7) f (x) = xn ;
Rjeˇsenje.
4
2) f (x) = x2 − x ; 2x − 1 4) f (x) = ; x+2 x 6) f (x) = ln ; 2 √ 8) f (x) = 3 x .
1) f (f (x)) = [−2(−2x + 3) + 3] = (4x − 6 + 3) = (4x − 3) = 4 ; 2) f (f (x)) = [(x2 − x)2 − (x2 − x)] = (x4 − 2x3 + x2 − x2 + x) = (x4 − 2x3 + x) = 4x3 − 6x2 + 1 ; ⎛ ⎞ ⎜1⎟ 3) f (f (x)) = ⎝ ⎠ = (x) = 1 ; 1 x ⎛ 2x − 1 ⎞ ⎛ 4x − 2 − x − 2 ⎞ 2 −1 3x − 4 ⎜ ⎜ ⎟ ⎟ x+2 x+2 4) f (f (x)) = ⎝ =⎝ = = ⎠ ⎠ 2x − 1 2x − 1 + 2x + 4 4x + 3 +2 x+2 x+2 3x − 4) (4x + 3) − (3x − 4)(4x + 3) 12x + 9 − 12x + 16 25 = = ; 2 2 (4x + 3) (4x + 3) (4x + 3)2 5) f (f (x)) = (sin(sin x)) = cos(sin x) · cos x ; 1 1 2· x · ⎡ ⎛ x ⎞⎤ ⎛ x ⎞ 2 ln ln 1 2 ⎠ = 2 · 2 = 6) f (f (x)) = ⎣ln ⎝ 2 ⎠⎦ = x ·⎝ x 2 2 4 ln ln 2 2 2 2 1 1 x · x = x ; 2 ln x ln 2 2 2 2 n n 7) f (f (x)) = [(x ) ] = (xn ) = n2 · xn −1 ; 1 √ 1 8 1 1 1 8) f (f (x)) = ( 3 3 x) = (x 9 ) = x− 9 = · 8 = √ . 9 8 9 9 x9 9 x
1163
4
ˇ ˇ DETALJNA RJESENJA ZADATAKA IZ UDZBENIKA MATEMATIKA 4 ZA 4. RAZRED GIMNAZIJE
Zadatak 7.
Rjeˇsenje.
1164
Dane su funkcije f i g . Odredi derivaciju funkcije f ◦ g ako je: x 1) f (x) = ln , g(x) = e1−2x ; 2 1 2) f (x) = ln 1 − x2 , g(x) = x ; e 1 1−x , g(x) = x ; 3) f (x) = ln 1+x e x , g(x) = e2x . 4) f (x) = ln 1−x
1−2x e1−2x e 1 2 2(e1−2x ) = = 1−2x · = 1−2x · 1) f (g(x)) = ln 2 2 4 e e 2 e1−2x · (−2) = −2 ; e1−2x B A 1 2 1 2) f (g(x)) = ln 1 − x = ln 1 − e−2x = · e 1 − e−2x 1 1 2x 2x 1 e−2x 1 e e −2x · [−(−2e )] = = = 2x = 2x−1 ; −2x 1 1−e e e −1 2 1 − e−2x 1 − 2x 2x e e ⎛ ⎛ ⎞ ⎞ ex − 1 1 1− x x ⎟ ex − 1 ⎜ ⎜ e ⎟ ) = [ln(ex − 3) f (g(x)) = ⎝ln = ⎝ln x e = (ln x ⎠ ⎠ 1 e +1 e +1 1+ x e ex
1 1 1 1 x x x x ·e − x ·e = e · − = 1) − ln(e + 1)] = x e −1 e −1 ex − 1 ex + 1 x x x 2e e +1−e +1 ex · = 2 ; 2x e −1 e x−1
2x e2x 1 e 4) f (g(x)) = ln = · 2x 2x 1−e 1 − e2x e 1 − e2x 2 1 − e2x 2e2x (1 − e2x ) − e2x · (−2e2x ) e2x (2 − 2e2x + 2e2x · = = = . 2 2x 2 2x 2x e x (1 − e ) e (1 − e ) 1 − e2x
ˇ ˇ DETALJNA RJESENJA ZADATAKA IZ UDZBENIKA MATEMATIKA 4 ZA 4. RAZRED GIMNAZIJE
Zadatak 8.
Odredi derivaciju reda n za funkcije: 1 ; x+1 x+1 3) f (x) = ; x−1 5) f (x) = cos 3x ; 1) f (x) =
Rjeˇsenje.
4
2) f (x) = ln x ; 4) f (x) = sin x ; 6) f (x) = e−2x .
1) f (x) = −1 · (x + 1)−2 =
−1 (x + 1)2
f (x) = −1 · (−2) · (x + 1)−3 =
2 (x + 1)3
f (x) = −1 · (−2) · (−3) · (x + 1)−4 = .. .
−6 (x + 1)4
f n (x) = (−1)n · n! · (x + 1)−n−1 = (−1)n ·
n! ; (x + 1)n+1
2) 1 = x−1 x −1 f (x) = −1 · x−2 = 2 x 2 f (x) = (−1) · (−2) · x−3 = 3 x .. . f (x) =
f n (x) = (−1)n−1 · (n − 1)! · x−n = (−1)n−1 ·
(n − 1)! ; xn
3) x−1+2 2 x+1−1+1 = =1+ = 1 + 2(x − 1)−1 x−1 x−1 x−1 2 f (x) = 2 · (−1)(x − 1)−2 = − (x − 1)2 4 f (x) = 2 · (−1) · (−2)(x − 1)−3 = (x − 1)3 12 f (x) = 2 · (−1) · (−2) · (−3)(x − 1)−4 = − (x − 1)4 .. . n! f n (x) = 2 · (−1)n · n! · (x − 1)−n−1 = 2 · (−1)n · (x − 1)n+1 f (x) =
1165
4
ˇ ˇ DETALJNA RJESENJA ZADATAKA IZ UDZBENIKA MATEMATIKA 4 ZA 4. RAZRED GIMNAZIJE
4)
5)
6)
f (x) = cos x f (x) = − sin x f (x) = − cos x .. . ⎧ ⎪ ⎨ sin x, cos x, f n (x) = ⎪ ⎩ − sin x, − cos x,
;k ∈ N
f (x) = −3 sin 3x f (x) = −3 · 3 cos 3x = −9 cos 3x f (x) = −3 · 3 · (−3) sin 3x = 27 sin 3x .. . ⎧ 34k · cos 3x, n = 4k ⎪ ⎪ ⎨ 4k−3 ) sin 3x, −(3 n = 4k − 3 f n (x) = 4k−2 cos 3x, ⎪ n = 4k − 2 −(3) ⎪ ⎩ 4k−1 3 sin 3x, n = 4k − 1
;k ∈ N
f (x) = −2 · e−2x f (x) = −2 · (−2) · e−2x = 4e−2x f (x) = −2 · (−2) · (−2) · e−2x = −8e−2x .. . f n (x) = (−2)n · e−2x .
1166
n = 4k n = 4k − 3 n = 4k − 2 n = 4k − 1
ˇ ˇ DETALJNA RJESENJA ZADATAKA IZ UDZBENIKA MATEMATIKA 4 ZA 4. RAZRED GIMNAZIJE
Zadatak 9.
4
Rijeˇsi jednadˇzbu f (x) = 0 ako je: 1) f (x) = 12 sin2 x − sin x + 4 ; 2) f (x) = sin x + 12 sin 2x + 13 sin 3x ; √ 3) f (x) = cos x − 3 sin x − cos 2x ; √ 4) f (x) = 2(sin x + cos x) + x − sin2 x .
Rjeˇsenje.
1) f (x) = sin x · cos x − cos x = 0 =⇒ cos x(sin x − 1) = 0 =⇒ cos x = 0 π ili sin x = 1 . x = + kπ , k ∈ Z . 2 2) f (x) = cos x + cos 2x + cos 3x = cos x + 2 cos2 x − 1 + 4 cos3 x − 3 cos x = 3 2 −2 cos x + 2 cos2 x − 1 + 4 cos √ x = 2 cos√x(2 cos x + 1) − (2 cos x + 1) = 2 cos x+1) =√( 2 cos x−1)( 2 cos x+1)(2 cos x+1) = 0 =⇒ (2 cos x−1)(2 √ 2 2 π 1 7π ili cos x = − ili cos x = − . x = + 2kπ , x = + 2kπ , cos x = 2 2 2 4 4 3π 5π 2π 4π + 2kπ , x = + 2kπ , x = + 2kπ i x = + 2kπ , k ∈ Z . x= 4 4 3 3 √ √ 3 1 · cos x + 3) f (x) = − sin x − 3 cos x + 2 sin 2x = −2( · sin x + 2 2 π π π sin 2x) = −2 sin x cos +cos x sin +sin 2x = −2 sin x+ −sin 2x = 3 3 3 π π x + + 2x x + − 2x π − 3x 9x + π 3 3 −2 · 2 sin sin = −4 sin sin = 0 =⇒ 2 2 6 6 9x + π π − 3x 2π (1 + 3k) −2π (1 + 3k) sin = 0 ili sin = 0. x = ili x = ,k∈ 6 6 9 3 Z. √ √ sin x) + (1 − 4) f (x) =√ 2(cos x − sin x) + 1 − 2 sin x cos x = 2(cos x − √ (cos x − sin x)( 2 + cos x − sin 2x) = 2(cos x − sin x) + (cos x − sin x)2 = π √ √ π + x = 0 . x = + 2kπ , sin x) = 0 =⇒ cos x = sin x ili 2 + 2 cos 4 4 5π 3π + 2kπ , x = + 2kπ , k ∈ Z . x= 4 4
1167
4
ˇ ˇ DETALJNA RJESENJA ZADATAKA IZ UDZBENIKA MATEMATIKA 4 ZA 4. RAZRED GIMNAZIJE
Zadatak 10.
Rjeˇsenje.
1168
Rijeˇsi jednadˇzbu f (x) = g (x) ako je f (x) = 3 − cos x , g(x) = 1 (3 cos x − 4 cos3 x) , π x π . 3 6 3 1 Deriviramo funkcije f i g : f (x) = sin x i g (x) = (−3 sin x+12 cos2 x sin x) = 3 sin x(4 cos2 x − 1) . Imamo jednadˇzbu sin x = sin x(4 cos2 x − 1) =⇒ sin x − sin x(4 cos2 x − 1) = 0 =⇒ sin x(1 − 4 cos2 x + 1) = π0 =⇒ √ √ sin x( 2−2 cos x)( 2+2 cos x) = 0 . Odavde slijedi sin x = 0 x = +kπ √2 √ 2 π 2 7π x = + 2kπ , x = + 2kπ ili cos x = − x = ili cos x = 2 4 4 2 3π π π 5π + 2kπ , x = + 2kπ , k ∈ Z . Budu´ci da za x vrijedi x , 4 4 6 3 π rjeˇsenje jednadˇzbe je x = + 2kπ , k ∈ Z . 4
ˇ ˇ DETALJNA RJESENJA ZADATAKA IZ UDZBENIKA MATEMATIKA 4 ZA 4. RAZRED GIMNAZIJE
Zadatak 11.
Tijelo mase 2 kg giba se pravocrtno po zakonu x(t) = 2 − 3t + 2t2 . Kolika je brzina tijela i njegova kinetiˇcka energija nakon 3 s? Kolika sila djeluje na tijelo u tom trenutku?
Rjeˇsenje.
Brzinu tijela dobit c´emo ako deriviramo izraz za put: v(t) = x (t) = −3 + 4t . Brzina tijela nakon 3 sekunde jednaka je v(3) = −3 + 4 · 3 = 9 m / s. Kine2 · 81 m · v2 = = 81 J. Da bi izraˇcunali silu tiˇcka energija jednaka je Ek = 2 2 koja djeluje na tijelo u tom trenutku moramo na´ci akceleraciju koja je jednaka derivaciji brzine. a(t) = v (t) = 4 m / s 2 , F = a · m = 4 · 2 = 8 N.
4
1169
4
ˇ ˇ DETALJNA RJESENJA ZADATAKA IZ UDZBENIKA MATEMATIKA 4 ZA 4. RAZRED GIMNAZIJE
Zadatak 12.
Rjeˇsenje.
1170
Kamen mase m izbaˇcen je vertikalno uvis poˇcetnom brzinom v0 . Kolika je kinetiˇcka energija kamena u trenutku t0 ? Na kojoj c´ e visini kinetiˇcka energija biti jednaka nuli? gt2 kojeg deriviramo i doPutanja kamena opisana je izrazom h(t) = v0 t − 2 bijemo brzinu kamena: v = h (t) = v0 − gt . Brzina kamena u trenutku t0 je m(v0 − gt0 )2 . v(t0 ) = v0 − gt0 . Kinetiˇcka energija kamena jednaka je Ek = 2 Kinetiˇcka c´ e energija biti jednaka nuli na najviˇsoj toˇcki putanje, a to je za v2 1 v2 v v h (t) = v0 − gt = 0 =⇒ t = 0 . h = v0 · 0 − g · 02 = 0 . g g 2 g 2g
ˇ ˇ DETALJNA RJESENJA ZADATAKA IZ UDZBENIKA MATEMATIKA 4 ZA 4. RAZRED GIMNAZIJE
Zadatak 13.
Rjeˇsenje.
4
Tijelo je baˇceno vertikalno uvis s visine 20 m poˇcetnom brzinom 50 m/ s. U kojem je trenutku brzina tijela jednaka nuli? Koliko je tijelo visoko iznad zemlje u tom trenutku? 1 Putanja tijela opisana je izrazom h(t) = 20 + v0 t − g · t2 . Derivacijom tog 2 izraza dobit c´emo brzinu tijela u trenutku t : v(t) = h (t) = v0 − g · t . Brzina v 50 je jednaka nuli u trenutku t = 0 = s. U tom trenutku tijelo je na visini g g 1 v2 1250 v 502 = 20 + m. h = 20 + v0 · 0 − g · 02 = 20 + t 2 g 2g g
1171
4
1172
ˇ ˇ DETALJNA RJESENJA ZADATAKA IZ UDZBENIKA MATEMATIKA 4 ZA 4. RAZRED GIMNAZIJE
Zadatak 14.
Visina metka ispaljenog poˇcetnom brzinom v0 pod kutom α mijenja se po zakonu gt2 . Ako je v0 = 500 m/ s, a nakon jedne sekunde h(t) = (v0 sin α )t − 2 brzina metka iznosi 24 g m/ s, pod kojim kutom je metak ispaljen?
Rjeˇsenje.
Brzina metka jednaka je v(t) = h (t) = v0 sin α − gt , odnosno nakon jedne g =⇒ sekunde 500 sin α − g = 24g =⇒ 500 sin α = 25g =⇒ sin α = 20 α = 29.37◦ .
ˇ ˇ DETALJNA RJESENJA ZADATAKA IZ UDZBENIKA MATEMATIKA 4 ZA 4. RAZRED GIMNAZIJE
Zadatak 15.
Kut rotacije koluta dan je zakonom ϕ (t)=t + at2 ( ϕ u radijanima, t u sekundama). Kutna brzina koluta kroz 16 s po poˇcetku vrtnje jednaka je 33 rad/ s. Za koliko c´e vremena kolut izvesti prvi okretaj?
Rjeˇsenje.
Kutna brzina jednaka je ω (t) = ϕ (t) = 1 + 2at . U trenutku t = 16 brzina je 33 = 1 + 2a · 16 =⇒ 32 = 32a =⇒ a = 1√. Za puni okretaj koluta vrijedi 1 + 8π − 1 . 2π = t + t2 =⇒ t2 + t − 2π = 0 =⇒ t = 2
4
1173
4
ˇ ˇ DETALJNA RJESENJA ZADATAKA IZ UDZBENIKA MATEMATIKA 4 ZA 4. RAZRED GIMNAZIJE
Zadatak 16. Rjeˇsenje.
1174
Kamen baˇcen u vodu stvara kruˇzne valove koji se sˇ ire brzinom od 10 m/ s. Koliko se brzinom pove´cava povrˇsina zahva´cena valom 0.5 s od pada kamena? dr = 10 m / s. r(t) = r0 + v · t =⇒ dt r(0.5) = 0 + 10 · 0.5 = 5 m. Brzina pove´cavanja povrˇsine vala jednaka je dP dr dP = · = 2rπ · 10 = 2 · 5 · π · 10 = 100π m 2 / s. dt dr dt Brzina pove´cavanja radijusa vala je
ˇ ˇ DETALJNA RJESENJA ZADATAKA IZ UDZBENIKA MATEMATIKA 4 ZA 4. RAZRED GIMNAZIJE
Zadatak 17. Rjeˇsenje.
4
Odredi parabolu y = x2 + bx + c koja dira pravac y = x u toˇcki (2, 2) . Deriviramo funkciju y (x) = 2x + b ; y (2) = 4 + b . Koeficijent smjera pravca y = x jednak je 1 pa slijedi 4 + b = 1 =⇒ b = −3 . Iz 2 = 22 + 2 · (−3) + c =⇒ c = 2 − 4 + 6 = 4 . Jednadˇzba parabole glasi y = x2 − 3x + 4 .
1175
ˇ ˇ DETALJNA RJESENJA ZADATAKA IZ UDZBENIKA MATEMATIKA 4 ZA 4. RAZRED GIMNAZIJE
Zadatak 19.
U kojoj toˇcki krivulje y = x3 − 3x2 − 7x + 6 treba poloˇziti tangentu tako da ona na pozitivnom dijelu osi ordinata odsijeca dva puta dulji odsjeˇcak nego na negativnom dijelu osi apscisa?
Rjeˇsenje.
Tangenta sijeˇce os ordinata u toˇcki T1 (0, 2a) , a os apscisa u toˇcki T2 (−a, 0) . Jednadˇzba pravca kroz te dvije toˇcke glasi y = 2x + 2a . Deriviramo jednadˇzbu krivulje y (x) = 3x2 − 6x − 7 i dobijemo koeficijent smjera tangente. Odavde slijedi k = y (x) = 3x2 − 6x − 7 = 2 , odnosno x1 = −1 , y1 = 9 i x2 = 3 , y2 = −15 . Uvrstimo koordinate tih dviju toˇcaka u jednadˇzbu tan11 −21 i a2 = . Traˇzenim uvjetima odgovara toˇcka gente i dobijemo a1 = 2 2 A(−1, 9) .
4
1177
4
1178
ˇ ˇ DETALJNA RJESENJA ZADATAKA IZ UDZBENIKA MATEMATIKA 4 ZA 4. RAZRED GIMNAZIJE
Zadatak 20.
Odredi toˇcke krivulje y = 13 x3 − 2x2 − 22x − 28 u kojima tangente imaju jednake odsjeˇcke na koordinatnim osima.
Rjeˇsenje.
Tangenta sijeˇce os ordinata u toˇcki T1 (0, a) , a os apscisa u toˇcki T2 (a, 0) . Jednadˇzba pravca kroz te dvije toˇcke glasi y = −x + a . Deriviramo jednadˇzbu krivulje y (x) = x2 − 4x − 22 i dobijemo koeficijent smjera tangente. Odavde 497 slijedi k = y (x) = x2 − 4x − 22 = −1 , odnosno x1 = 7 , y1 = − 3 497 i x2 = −3 , y2 = 11 . Traˇzenim uvjetima odgovaraju toˇcke A 7, − i 3 B(−3, 11) .
ˇ ˇ DETALJNA RJESENJA ZADATAKA IZ UDZBENIKA MATEMATIKA 4 ZA 4. RAZRED GIMNAZIJE
Zadatak 21.
Rjeˇsenje.
Iz toˇcke T(4, 1) povuci tangentu na krivulju y = jednadˇzba? Odredi koordinate diraliˇsta.
4
x−1 . Kako glasi njezina x
x − 1 Tangenta prolazi toˇckom T(4, 1) i diraliˇstem cˇ ije su koordinate D x, x x−1 pa vrijedi 1 = 4k + l i = kx + l . Odavde slijedi 1 − 4k = x x−1 1 1 − kx =⇒ k(x − 4) = − =⇒ k = − . Deriviramo jednadˇzx x x(x − 4) 1 bu krivulje y (x) = 2 i dobijemo koeficijent smjera tangente. Odavde slijedi x 1 1 k = y (x) = 2 = − =⇒ x2 − 4x = −x2 =⇒ x(x − 2) = 0 , x(x − 4) x 1 1 odnosno x = 2 , y = . Jednadˇzba tangente glasi y = x . 2 4
1179
4
ˇ ˇ DETALJNA RJESENJA ZADATAKA IZ UDZBENIKA MATEMATIKA 4 ZA 4. RAZRED GIMNAZIJE
Zadatak 24. Rjeˇsenje.
1182
- kut pod kojim se sijeku kruˇznice: Nadi 2 x + y2 − 4x = 1 , x2 + y2 − 2y = 9 . Pronadimo sjeciˇsta kruˇznica tako da oduzmemo jednu jednadˇzbu od druge. Dobit c´emo da je −4x + 2y = −8 =⇒ y = 2x − 4 . Uvrstimo ovaj izraz u prvu jednadˇzbu kruˇznice: x2 + 4x2 − 16x + 16 − 4x = 1 =⇒ x2 − 4x + 3 = 0 =⇒ x1 = 1 , x2 = 3 i y1 = −2 , y2 = 2 . Kruˇznice se sijeku u toˇckama S1 (3, 2) i S2 (1, −2) . Kut pod kojim se kruˇznice sijeku je kut pod kojim se sijeku njihove tangente u sjeciˇstu. Dakle, koeficijent smjera tangente na prvu kruˇznicu 4 − 2x jednak je k1 = y (x) = ( 1 + 4x − x2 ) = , odnosno u toˇcki 2 1 + 4x − x2 1 4−2·3 −2 = − . Koeficijent = S1 (3, 2) koeficijent iznosi k1 = 4 2 2 1 + 4 · 3 − 32 smjera tangente na drugu kruˇznicu jednak je k2 = y (x) = ( 10 − x2 + 1) = 1 · (−2x) , odnosno u toˇcki S1 (3, 2) k2 = −3 . Kut je jednak: 2 10 − x2 1 5 −3 + − k 2 − k1 2 = = 2 = −1 =⇒ ϕ = 135◦ . Za kut izmedu tg ϕ = 3 5 1 + k1 k 2 1+ 2 2 dvaju pravaca uzimamo onaj manji, ϕ = 180◦ − 135◦ = 45◦ .
ˇ ˇ DETALJNA RJESENJA ZADATAKA IZ UDZBENIKA MATEMATIKA 4 ZA 4. RAZRED GIMNAZIJE
Zadatak 25. Rjeˇsenje.
4
Dokaˇzi da pravac y = ax sijeˇce krivulju x2 + y2 = b2 pod pravim kutom. Najprije pronadimo sjeciˇste pravca i krivulje: x2 + a2 x2 = b2 =⇒ x2 (1 + b ab a2 ) = b2 =⇒ x = √ , y= √ . Sjeciˇste je toˇcka 2 1+a 1 + a2 ab b . Da bi dokazali da pravac sijeˇce krivulju pod pravim ,√ S √ 2 1+a 1 + a2 kutom moramo dokazati da se pravac i tangenta na tu krivulju, u sjeciˇstu S , sijeku pod pravim kutom. Potreban nam je koeficijent smjera te tangente. −x k = y (x) = ( b2 − x2 ) = . U toˇcki S koeficijent smjera tanb 2 − x2 b √ b 1 1 + a2 =− . gente jednak je kt = − 2 = − 2 2 2 2 a b b +a b −b b2 − √ 2 1+a 1 Koeficijent smjera pravca jednak je kp = a . Dakle, kt · kp = − · a = −1 , a sˇ to zadovoljava uvjet okomitosti pravaca k1 · k2 = −1 .
1183
4
ˇ ˇ DETALJNA RJESENJA ZADATAKA IZ UDZBENIKA MATEMATIKA 4 ZA 4. RAZRED GIMNAZIJE
Zadatak 26.
Dokaˇzi da se hiperbole xy = a2 i x2 − y2 = b2 sijeku pod pravim kutom.
Zadatak 27.
a Dokaˇzi da je diraliˇste tangente na hiperboli y= poloviˇste segmenta te tangente x - koordinatnih osi. izmedu
Zadatak 28.
Dokaˇzi da je povrˇsina trokuta sˇ to ga cˇ ini tangenta na hiperbolu xy = a2 i koordinatne osi stalna i iznosi 2a2 . Dokaˇzi da je diraliˇste srediˇste kruˇznice opisane trokutu.
Zadatak 29.
Na parabole y = x2 + 52 i y = −x2 + 2x poloˇzene su zajedniˇcke tangente. Dokaˇzi da su diraliˇsta vrhovi paralelograma i izraˇcunaj povrˇsinu tog paralelograma.
Zadatak 30.
Dokaˇzi da jednadˇzbe
Rjeˇsenje.
2) x + sin x = −π 1) cos x = π − x ; 2 imaju toˇcno jedan korijen. π π 1) f (x) = cos x + x − . f (x) = − sin x + 1 =⇒ sinx = 1 =⇒ x = . 2 2 Jedan je korijen jednadˇzbe oˇcit, x = π2 . Kako bismo dokazali da drugih korijena jednadˇzba nema, dovoljno se uvjeriti kako je funkcija f (x) = cos x + x + π2 π rastu´ca na R . f (x) = (cos x − + x) = − "sin #$x% +1 0 za sve x ∈ R . 2 1
2) x = −π jedan je korijen jednadˇzbe. Funkcija f (x) = x + π + sin x ima prvu derivaciju f (x) = 1 + cos x ve´cu od nule za sve x ∈ R te je f monotono rastu´ca funkcija. Zbog toga jednadˇzba nema drugih korijena.
1184
ˇ ˇ DETALJNA RJESENJA ZADATAKA IZ UDZBENIKA MATEMATIKA 4 ZA 4. RAZRED GIMNAZIJE
Zadatak 31.
Rijeˇsi nejednadˇzbe: 1) x9 − x5 + x > 1 ; 3) x4 − 5x < 6 .
Rjeˇsenje.
4
2) x6 − 6x + 5 > 0 ;
1) Neka je f (x) = x9 − x5 + x − 1 . Tada je f (x) = 9x8 − 5x4 + 1 te je oˇcito da je f (x) > 0 za sve x ∈ R . Funkcija f raste na cijelom podruˇcju definicije te je f (x) > f (1) = 0 za x > 1 . 2) Neka je f (x) = x6 − 6x+ 5 . Tada je f (x) = 6x5 − 6 . Rjeˇsenje nejednadˇzbe je x ∈ −∞, 1 ∪ 1, +∞ . 3) Neka je f (x) = x4 − 5x − 6 . Tada je f (x) = 4x3 − 5 . x ∈ −1, 2 .
1185
4
ˇ ˇ DETALJNA RJESENJA ZADATAKA IZ UDZBENIKA MATEMATIKA 4 ZA 4. RAZRED GIMNAZIJE
Zadatak 32.
Rijeˇsi nejednadˇzbe:
√
1) ex x2 + 1 ;
2)
x > ln(x + 1) ;
3) ex−1 xe−1 ;
4) −e x ln(−x)
1 . e
x2 + x + 1 3 1 za sve x ∈ R . 2 2 x2 + 1
Zadatak 33.
Dokaˇzi
Zadatak 34.
Dokaˇzi 14 sin6 x + cos6 x 1 za sve x ∈ R .
Zadatak 35.
- najkra´cu udaljenost toˇcke T(x, y) od krivulje y = f (x) ako je: Nadi 1) T(2, − 52 ) , y = x2 − 4x ; √ 2) T(3, 0) , y = 2 ln x .
Rjeˇsenje.
1) Trebamo prona´ci na krivulji toˇcku D(x, x2 − 4x) koja je diraliˇste tangente 5 na tu krivulju i iz nje povu´ci normalu kroz toˇcku T 2, − . Dakle, toˇc2 ke D i T pripadaju istom pravcu (normali) pa vrijedi: x2 − 4x = k · x + l 5 i − = 2k + l . Oduzmemo drugu jednadˇzbu od prve i dobijemo da je 2 2x2 − 8x + 5 . Deriviramo li jednadˇzbu krivulje dobit c´ emo koeficijent kn = 2x − 4 smjera tangente na tu krivulju: kt = y (x) = 2x − 4 . Za koeficijente smjera medusobno okomitih pravaca vrijedi: k1 · k2 = −1 pa je, prema tome, 2x2 − 8x + 5 · 2x − 4 = 2x2 − 8x + 5 = −1 =⇒ x2 − 4x + 3 = kt · kn = 2x − 4 √ 4 ± 16 − 12 =⇒ x1 = 3 , y1 = −3 i x2 = 1 , y2 = −3 . 0 =⇒ x1,2 = 2 ca udaljenost toˇ Diraliˇsta imaju koordinate D1 (3, −3) i D2 (1,−3) . Najkra´ cke 2 5 1 5 T od krivulje je: d = |D1 T| = (3 − 2)2 + −3 + = 1+ = . 2 4 4 5 2 1 5 = 1+ = . d = |D2 T| = (1 − 2)2 + −3 + 2 4 4 √ 2) Trebamo prona´ci na krivulji toˇcku D(x, 2 ln x) koja je diraliˇste tangente na tu krivulju i iz nje povu´ci normalu kroz toˇcku T 3, 0) . Dakle, toˇcke √ D i T pripadaju istom pravcu (normali) pa vrijedi: 2 ln x = k · x + l i 0 = √3k + l . Oduzmemo drugu jednadˇzbu od prve i dobijemo da je 2 ln x . Deriviramo li jednadˇzbu krivulje dobit c´emo koeficijent smjekn = x−3 1 ra tangente na tu krivulju: kt = y (x) = √ . Za koeficijente smjex ln x ra medusobno √ okomitih pravaca vrijedi: k1 · k2 = −1 pa je, prema tome, 1 2 ln x 2 · √ = −1 =⇒ x2 −3x+2 = 0 =⇒ x1,2 = kt ·kn = = x − 3 x ln x x(x − 3)
1186
ˇ ˇ DETALJNA RJESENJA ZADATAKA IZ UDZBENIKA MATEMATIKA 4 ZA 4. RAZRED GIMNAZIJE
4
√ √ 9−8 =⇒ x1 = 2 , y1 = 2 ln 2 i x2 = 1 , y2 = 0 . Diraliˇsta imaju 2 √ koordinate D1 (2, 2 ln 2)i D2 (1, 0) . Najkra´ca udaljenost toˇcke T od kri√ √ vulje je: d1 = |D1 T| = (2 − 3)2 + (2 ln 2 − 0)2 = 1 + 4 ln 2 ≈ 1.94 , √ (0 − 0)2 = 4 = 2 . Dakle, najkra´ca udaljenost d2 = |D2 T| = (1 − 3)2 + √ toˇcke T od krivulje je d1 = 1 + 4 ln 2 . 3±
1187
ˇ ˇ DETALJNA RJESENJA ZADATAKA IZ UDZBENIKA MATEMATIKA 4 ZA 4. RAZRED GIMNAZIJE
Zadatak 37.
4
U kruˇznicu polumjera r upisan je jednakokraˇcan trokut maksimalne povrˇsine. Kolike su mu stranice?
Rjeˇsenje.
Iz slike slijedi x + r = h pa je: a2 = r2 4 a2 = b2 h2 + 4 x2 − h 2 = r 2 − b 2 (h − r)2 − h2 = r2 − b2 h2 − 2hr + r2 − h2 = r2 − b2 2hr = b2 b2 h= . 2r 4 2 2 2 a2 b b2 (4r2 − b2 ) 2 = b (4r − b ) =⇒ = b2 − h2 = b2 − 2 = =⇒ a 4 4r 4r2 r2 4r2 − b2 · b2 b a · h b 2 = 4r − b2 . Povrˇsina trokuta jednaka je P = = a= r 2 4r2 1 · b3 4r2 − b2 . Deriviramo izraz za povrˇsinu: 4r2 dP 1 −2b 2 3 2 2 = 2 3b 4r − b + b · 2 2 db 4r 2 4r − b 2 2 2 4 2 6b (4r − b ) − 2b 1 24r b2 − 6b4 − 2b4 1 = 2 · . Izjednaˇcimo = 2 4r 8r 2 4r2 − b2 4r2 − b2 x2 +
to s nulom i dobijemo 3r2 b2 − b4 = 0 =⇒ b2 (3r2 − b2 ) = 0 =⇒ b2 = 3r2 . b2 (4r2 − b2 ) 3r2 (4r2 − 3r2 ) Stranica a jednaka je a2 = = = 3r2 . Slijedi r2 r2 a = b , odnosno trokut je jednakostraniˇcan.
1189
4
ˇ ˇ DETALJNA RJESENJA ZADATAKA IZ UDZBENIKA MATEMATIKA 4 ZA 4. RAZRED GIMNAZIJE
Zadatak 38.
Na elipsu b2 x2 + a2 y2 = a2 b2 poloˇzi tangentu tako da povrˇsina trokuta sˇ to ga tangenta tvori s koordinatnim osima bude sˇ to manja.
Zadatak 39.
Zadanoj elipsi upiˇsi pravokutnik najve´ce povrˇsine tako da stranice pravokutnika budu paralelne koordinatnim osima. - svim uspravnim stoˇscima izvodnice 6 cm odredi onaj koji ima maksimaMedu lan obujam.
Zadatak 40. Rjeˇsenje.
1190
Za stoˇzac vrijedi h2 = s2 − r2 = 36 − r2 . Volumen stoˇsca jednak je π 1 2 1 r π · h = r2 π (36 − r2 ) = (36r2 − r4 ) . Deriviramo izraz za volu3 3 3 π dV 3 = (72r − 4r ) . Izjednaˇcimo to s nulom i dobijemo 18r − men: dr 3 3 r = 0 =⇒ r(18 − r2 ) = √ 0 =⇒ r2 = 18 . Iz toga slijedi da je 2 h = 36 − 18 = 18 =⇒ h = 3 2 . Prema tome, traˇzeni volumen jednak je √ √ 1 V = · 18 · π · 3 2 = 18π 2 . 3
ˇ ˇ DETALJNA RJESENJA ZADATAKA IZ UDZBENIKA MATEMATIKA 4 ZA 4. RAZRED GIMNAZIJE
Zadatak 41.
4
- valjak najve´ceg volumena upisan danom stoˇscu, uz uvjet da je osnovka Nadi valjka na osnovci stoˇsca.
Rjeˇsenje.
Izdvojeni trokuti sa slike su sliˇcni pa vrijedi R : r = H : (H − h) =⇒ r = π R2 R (H − h) . Volumen valjka jednak je V = r2 π · h = 2 (H 2 h − 2Hh2 + h3 ) . H H π R2 2 dV = 2 (h − 4Hh + 3h2 ) . IzDeriviramo izraz za volumen i dobijemo dh H jednaˇcimo to s nulom: H 2 − 4Hh + 3h2 = 0 3h(h − H) − H(h − H) = 0 (h − H)(3h − H) = 0 H h= . 3 R H 2 R H− = R, a Dakle, polumjer baze valjka je r = (H − h) = H H 3 3 4 4 H volumen valjka je V = r2 π · h = R2 · pi · = · R2 π · H . 9 3 27
1191
4
ˇ ˇ DETALJNA RJESENJA ZADATAKA IZ UDZBENIKA MATEMATIKA 4 ZA 4. RAZRED GIMNAZIJE
Zadatak 42.
Zadanoj sferi upiˇsi stoˇzac s najve´com povrˇsinom plaˇsta.
Rjeˇsenje.
Plaˇst stoˇsca jednak je P = rπ s . Iz trokuta sa slike slijedi sustav jednadˇzbi: (R + x)2 + r2 = s2 x2 + r 2 = R 2 R2 + 2Rx + x2 − x2 = s2 − R2 2R2 + 2Rx = s2 s2 s2 = 2Rh =⇒ h = 2R s2 = 2R s2 − r2 s4 = s2 − r2 4R2 4R2 s2 − s4 r2 = 4R2 4R2 s2 − s4 r= . 4R2 Uvrstimo izraz za r u jednadˇzbu plaˇsta: (4R2 s2 − s4 ) P= ·π ·s 4R2 π = (4R2 s2 − s4 ) · s2 2R π 2 4 = 4R s − s6 . 2R Deriviramo izraz za plaˇst i dobiveno izjednaˇcimo s nulom:
π 16R2 s3 − 6s5 dP = · ds 4R 2 4R2 s4 − s6 π 2s3 (8R2 − 3s2 ) · = 8R s2 4R2 − s2 =
sπ 8R2 − 3s2 · 4R 4R2 − s2
8R2 − 3s2 = 0 8 s2 = R2 3 2√ s= 6R, 3
1192
ˇ ˇ DETALJNA RJESENJA ZADATAKA IZ UDZBENIKA MATEMATIKA 4 ZA 4. RAZRED GIMNAZIJE
4
8 2 R 4 s2 = 3 = R. odnosno h = 2R 2R 3
1193