MATEMATIKA BISNIS Integral Aplikasi Ekonomi dan Bisnis
Ir. Ginanjar Syamsuar, ME.
SEKOLAH TINGGI ILMU EKONOMI INDONESIA Maret 2016
INTEGRAL (ANTI DIFFERENSIAL) KONSEP DASAR INTEGRAL Dalam kalkulus integral dikenal dua macam integral, yaitu integral tak tentu dan integral tertentu. Diferensial / anti derivative / integral, yaitu suatu konsep yang berhubungan dengan proses penemuan suatu fungsi asal apabila fungsi turunan dari fungsinya diketahui (kebalikan dari derivatif atau disebut juga proses integrasi / integrand).
A. INTEGRAL TAK TENTU Mengintegralkan suatu fungsi turunan f(x) berarti adalah mencari integral atau turunan antinya, yaitu F(x). Dinamakan integral tak tentu karena ada ketidaktentuan pada nilai konstantanya. Bentuk umum:
∫
∫
�
�=� � +
�
�=
�+
�+
+
Dimana : c adalah sembarang konstanta yang nilainya tak tentu.
1) KAIDAH INTEGRASI TAK TENTU 1. ∫ � � = �
Contoh:
2. ∫
3. ∫ �
�
∫
�=∫ �
�=
Contoh: ∫ �
�
+ �=
�+
�+
�=
� = �∫
+
Contoh:
�
+
�
+
� + � + �+
=
� + � + �
+
�
+
+
�
+
+ = �+
+ = � +
�
∫
=
+
+
+
�= ∫ � + � + �+
�
+
+
+ �+
=
+
�
+
+ �+
�
� +� +� +�+ Page 1 of 16
4. ∫[
� ] �=∫
� ±
�
Contoh:
�±∫
�
∫ [ � + � − √�] � = ∫ � + � � +� +
−
5. ∫ � � = � + 6. ∫
= .
−∫
� +
� �−∫
�
√�
= � + � − √� −
−
Integral parsial
Contoh:
∫�
�
�=
Misal: =� = �
= =∫
dan
Maka:
∫�
∫�
�
�
�=
�=�
=�
−∫
�
�
−∫ −
�
�
+
�
�
� �=
�
+
�
2) APLIKASI INTEGRAL TAK TENTU DALAM EKONOMI Penerapan integral tak tentu yaitu untuk mencari persamaan fungsi total dari suatu variabel ekonomi apabila persamaan fungsi marginalnya diketahui. Karena fungsi marginal pada dasarnya merupakan turunan dari fungsi total, maka dengan proses sebaliknya yaitu integrasi dapat dicari fungsi asal dari fungsi turunan (fungsi total). Macam-macam penerapan integral tak tentu dalam ekonomi : a) Fungsi Biaya Biaya total (TC) adalah integral biaya marginal (MC) :
� Dan Biaya rata-rata (AC):
=∫
�=∫
�� =
� � Page 2 of 16
Contoh: Diketahui suatu perusahaan fungsi biaya marginalnya MC = 12Q-9Q2, maka carilah fungsi biaya total dan biaya rata-rata dimana c ( konstanta ) sebesar 4? Jawab: Secara Manual adalah sebagai berikut TC = ∫ MC dQ = ∫ Q - 9Q2 dQ = 6Q2 – 3Q3 + c Jika c = 4 TC = 6Q2 – 3Q3 + 4 AC = TC / Q = 6Q – 3Q2 + 4/Q Analisa : dari perhitungan di atas maka dapat diketahui bahwa fungsi biaya total adalah TC = 6Q2 – 3Q3 + 4 dan fungsi biaya rata-rata adalah AC = TC / Q = 6Q – 3Q2 + 4/Q.
b) Fungsi Penerimaan Penerimaan total (TR) adalah integral dari penerimaan marginal (MR).
�
=∫
=∫
Contoh : Diketahui MR suatu perusahaan adalah 15Q2 + 10Q – 5. Tentukan penerimaan totalnya (TR) Jawab: Secara Manual adalah sebagai berikut TR = ∫ MR dQ = ∫ Q + Q – 5 dQ = 5Q3 + 5Q2 – 5Q + c Pada saat Q = 0, maka: TR = 5Q3 + 5Q2 – 5Q + c TR = 5(0)3 + 5(0)2 – 5(0) + c = 0 c = 0
Sehingga fungsi dari Penerimaan Totalnya adalah: TR = 5Q3 + 5Q2 – 5Q
Page 3 of 16
c) Fungsi Produksi Produk Total : Q = f(L), dimana Q = output (quantity product) dan L = input (Labour : Tenaga kerja) Produk Marginal : MP = Q’ = dQ / dL = f’(L) Produk Total adalah integral dari produk marginal.
=∫
Contoh :
=∫ ′
Diketahui produk marginalnya 2L2 + 4, maka produk totalnya jika c = 0 ? Jawab: Secara Manual adalah sebagai berikut P = ∫ MP dL = ∫ (2L2 + 4)dL = 2/3 L3 + 4L + c jika c = 0, P = 2/3 L3 + 4L Analisa : Dari perhitungan tersebut dapat diketahui bahwa fungsi total produksi adalah P = 2/3 L3 + 4L d) Fungsi Pendapatan (Revenue) dan fungsi Produksi dari Marginal Revenue Product of Labour (MRPL) MRPL adalah mengandung arti bahwa Untuk setiap penambahan input tenaga kerja sebanyak L orang akan menyebabkan penambahan pendapatan sebanyak R satuan, dan sebaliknya. Secara rumus didefinisikan sebagai diferensial berantai antara fungsi pendapatan dengan fungsi produksi dari tenaga kerja sebagai berikut: =
∫
=∫
∗∫
� � � = � � � �
=∫
Fungsi Revenue
=∫
Fungsi Produksi
Contoh : Diketahui MRPL=150 dari fungsi MRPL = (350-4Q).3, Tentukan fungsi Revenue dan fungsi Produksinya, dan tentukan pada tingkat penambahan tenaga kerja berapakah nilai MRPL tersebut?
Page 4 of 16
Jawab: MRPL = (350-4Q).3
Maka:
=
�
�
�
=
�
=� �� =
−
=∫
�
�
�
�
=� �� ∗
=∫
−
=
−
Pada Q=0 R=0 − + = c=0 Sehingga fungsi Revenue (Pendapatannya) adalah: =
=∫
=∫
−
=
+
+
Pada saat tidak ada tambahan tenaga kerja atau L=0 maka tidak ada tambahan produk yang dihasilkan atau Q=0 Jadi: + = c=0 Sehingga fungsi Produksinya adalah:
−
∗
=
→ −
=
−
=
→
=
=�
Maka nilai MRPL = 150 diperoleh saat Tingkat penambahan tenaga kerja: =
→
=
�
=
Interpretasi: Untuk setiap penambahan Tenaga Kerja sebanyak 25 orang akan menyebabkan penambahan pendapatan sebanyak 150 satuan, dan sebaliknya. e) Fungsi Konsumsi dan Fungsi Tabungan Dalam ekonomi makro, konsumsi (C) dan tabungan (S) dinyatakan dalam fungsional terhadap pendapatan nasional (Y).
�= = + �� � = �′ = = � = =− + � ′ = = = =�+
=[ + �+
�
′ ′
−
] + [− + =
=
=
−
turunan dari C −
turunan dari S ] Page 5 of 16
Berdasarkan kaidah integrasi, konsumsi (C) adalah integral dari MPC dan tabungan (S) adalah integral dari MPS. 1. k = a = Autonomous Consumption : konsumsi otonom menunjukkan besarnya konsumsi nasional pada saat Pendapatan Nasional sebesar nol 2. k = a = Autonomous Saving : Tabungan otonom menunjukkan besarnya tabungan nasional pada saat Pendapatan Nasional sebesar nol (0). 3. MPC (Marginal Propensity to Consume) : Perbandingan antara besarnya perubahan konsumsi ΔC dengan perubahan Pendapatan Nasional ΔY yang mengakibatkan adanya perubahan konsumsi tersebut. 4. MPS (Marginal Propensity to Saving) : Perbandingan antara besarnya perubahan saving ΔS dengan perubahan Pendapatan Nasional ΔY yang mengakibatkan adanya perubahan konsumsi tersebut. Keterangan:
>� �> ⁄
MPC < 1, menunjukkan sebagian besar penggunaan tambahan pendapatan digunakan untuk menambah besarnya konsumsi, sedangkan sisanya yaitu sejumlah kecil merupakan tambahan tabungan. MPC > ½, menunjukkan lebih dari 50 % pendapatan yang diperoleh digunakan untuk konsumsi. MPC selalu positif, karena jika pendapatan naik, konsumsi akan naik. Contoh : Dimana C = ∫ MPC dY = .7 dY + c, bila pendapatan = dan konsumsi autonomsnya adalah 50, maka fungsi konsumsi, tabungan dan Pendapatan Nasionalnya adalah… Jawab: Secara Manual adalah sebagai berikut C = ∫ MPC dY = ∫0.7 dY + c = 0.7Y + 50 S = Y – ( 0.7 Y + 50 ) = Y – 50 – 0.7Y S = 0.3 Y – 50 Atau S = Y – C S = ∫ MPS dY = ∫ . dY – c = 0.3Y – 50 Y=C+S Y = ( 0.7 Y + 50 ) + ( 0.3 Y – 50 )
Analisa :Dari perhitungan di atas dapat kita ketahui bahwa fungsi konsumsi adalah C = 0.7Y + 50, fungsi tabungan adalah S = 0.3 Y – 50, dan fungsi pendapatan nasionalnya adalah Y = ( 0.7 Y + 50 ) + ( 0.3 Y – 50 ). Page 6 of 16
Contoh : Dimana S = ∫ MPS dY = . dY – c, bila pendapatan = 0 dan tabungan autonomosnya adalah 50, maka fungsi tabungan, konsumsi dan Pendapatan Nasionalnya adalah… Jawab: Secara Manual adalah sebagai berikut
S = ∫ MPS dY = ∫0.3 dY = 0.3Y – 50 Mencari fungsi konsumsi C= Y – S = Y – (0.3Y – 50) = Y – 0.3Y + 50 = 0.7Y + 50 Jadi pendapatan nasional adalah Y=C+S Y = ( 0.7 Y + 50 ) + ( 0.3 Y – 50 )
Analisa :Dari perhitungan di atas dapat kita ketahui bahwa fungsi konsumsi adalah C = 0.7Y + 50, fungsi tabungan adalah S = 0.3 Y – 50, dan fungsi pendapatan nasionalnya adalah Y = ( 0.7 Y + 50 ) + ( 0.3 Y – 50 ).
SOAL LATIHAN: SELESAIKANLAH ! 1. ∫ X3 dX
11.
2. ∫X -4 dX
12.
3. ∫9X2 dX
13.
4. ∫ � �
14.
5. ∫(� − √� + ) � 6. ∫ � + � + 7. ∫
� + �−
8. ∫X.ex² dX 9. ∫
�
�
�+
� +�
�+
15. �
16. 17. 18.
�
10. ∫(√ + �) �
19. 20.
∫ � + ∫
�
� + �
∫ √� ∫ √� ∫
+
�+
�
�
+ �−
� �
�
�
�
�
+ �
∫ √�
�
+
∫ �√ − �
�
∫ �( √ − � ) �
∫ � (√ − � ) � ∫√
� �
� +
Page 7 of 16
Soal Aplikasi EkBis: 1. Hasrat marginal untuk konsumsi (MPC) adalah 0,6. Bila pendapatan nol ( y=0 ) maka besarnya konsumsi adalah 40. Tentukan besar konsumsinya? 2. Hasrat marginal untuk menabung MPS = 0,50. Bila pendapatan nasional 200, terjadi tabungan negatif sebesar 20. Tentukanlah fungsi tabungan , S = f(y). 3. Tingkat investasi bersih, I = 10 t2/3 dan modal pada awal tahun t = 0 adalah 100. Tentukanlah fungsi capital? 4. Tentukan fungsi konsumsi dan fungsi tabungan masyarakat sebuah Negara jika diketahui autonomous consumption-nya sebesar 30 milyar dan MPC = 0,8. 5. Produk marjinal sebuah perusahaan dicerminkan oleh MP=18 X-3X2. Tentukan fungsi produk total dan produk rata-ratanya. 6. Tentukan fungsi penerimaan total dan penerimaan rata-rata dari suatu perusahaan jika penerimaan marjinalnya MR = 16 – 4 Q. 7. Biaya marjinal suatu perusahaan ditunjukkan oleh MC = 3Q2 – 6Q + 4. Tentukan fungsi biaya total dan biaya rata-ratanya jika biaya tetap perusahaan sebesar 4 satuan.
− − . Jika diketahui 8. Fungsi biaya marginal suatu produk adalah : = biaya tetapnya adalah Rp 1.000.000,00. Tentukan fungsi biayanya dan biaya total untuk produksi 40 unit.
Page 8 of 16
B. INTEGRAL TERTENTU Integral tertentu adalah integral dari suatu fungsi yang nilai-nilai variabel bebasnya (memiliki batas-batas) tertentu. Integral tertentu digunakan untuk menghitung louas area yang terletak di antara kurva y = f(x) dan sumbu horizontal x, dalam suatu rentangan yang dibatasi oleh x = a dan x = b. Dalam integral taktentu kita temukan bahwa:
∫
�
�=� � +
Jika kita ingin mengetahui hasil integrasi tersebut untuk suatu rentangan wilayah tertentu, katakanlah antara x = a dan x = b dimana a < b, maka x dapat disubtitusi dengan nilai a dan b sehingga ruas kanan persamaan di atas menjadi:
{�
+ } − {�
+ }=�
−�
F(b) – F(a) adalah hasil integral tertentu dari f(x) antara a dan b. Secara lengkap persamaan pertama tadi dapat dituliskan menjadi:
∫
�
� = [� � ] = �
−�
Notasi di ruas kiri dibaca integral f(x) untuk rentang wilayah x dari a ke b. Selanjutnya mengingat a < b, a dinamakan batas bawah integrasi, sedangkan b disebut batas atas integrasi. Pemahaman tentang integral tertentu ini akan lebih jelas dengan bantuan penjelasan grafis. Andaikan kita memiliki y = f(x), dan hendak dihitung luas area di antara kurva y = f(x) dan sumbu horizontal x untuk rentangan dari x = a dan x = b. Langkah pertama yang harus dilakukan adalah menetapkan a dan b pada sumbu horizontal x, sehingga diperoleh suatu rentangan atau interval wilayah antara a dan b. Kemudian rentangan ini dibagi-bagi menjadi sebanyak n sub-rentangan Δxi yang sama lebar. Nilai masing-masing sub-rentangan tal lain adalah Δxi = (b – a)/n; dan karena masing-masing sub-rentangan sama lebarnya, maka Δx1 = Δx2 = Δx3 = ... = Δxn. Langkah berikuitnya adalah menetapkan sembarang nama untuk titik-titik yang membatasi tiap-tiap sub-rentangan, katakanlah x. Perhatikan gambar 1 di bawah ini
Gambar 1
Page 9 of 16
Nilai atau harga masing-masing titik yang membatasi tiap sub-rentangan adalah: X0 = a X1 = a + Δx X2 = a + Δx X3 = a + Δx ................................... Xn = a + n Δx = a + b Luas seluruh area di bawah kurva untuk rentangan dari a ke b, perkataan lain adalah dari X0 ke Xn adalah : n
f(X1 Δx1 + f(X2 Δx2 + .... + f(Xn Δxn = Σ f Xi Δxi i=1
Dalam hal Δx sedemikian kecilnya atau mendekati nol, sementara n sedemikian banyaknya atau mendekati tak terhingga, maka berlaku:
�
�→∞
�
∑ �=
�� ∆�� = ∫
�
�
Selain untuk menghitung luas suatu area antara sebuah kurva dan salah satu sumbu, integral tertentu dapat pula digunakan untuk menghitung luas suatu area yang terletak di antara dua kurva. Andaikan kita memiliki dua buah kurva y1 = f(x) dan y2 = g(x), dimana f(x) < g(x), maka luas area antara kedua kurva ini untuk rentang wilayah dari a ke b (a < b) adalah:
∫{
� −
� } �=∫
�
�−∫
�
�
Gambar 2
Page 10 of 16
1) KAIDAH INTEGRASI TERTENTU Untuk a < c < b, berlaku: 1. ∫
�
2. ∫
�
3. ∫
�
� = [� � ] = �
Contoh: ∫ � �=[ � ] =
�=
Contoh: ∫ � �=[ � ] =
� = −∫
�
Contoh: ∫ �
4. ∫ �
�
−∫ �
5. ∫ {
Contoh:
�
�
� = [� ] =
� −
� } �=∫
∫ �
�=
Contoh: =
. +
�−∫
Contoh:
∫
�
�−∫
.
�=∫ � =
−
=
�=∫
� .
=
.
=
.
=
−
� = −[ � ] = −
∫ � + �
�
�
�
−
−
�=[ � ] =
� = �∫
∫
6. ∫
−�
−
=
=
�−∫
�+∫
�
�=∫
.
�
�
�
� = [ � ] + [� ]
� �=[ � ] =
−
=
.
Page 11 of 16
2) APLIKASI INTEGRAL TERTENTU DALAM EKONOMI
Price S
Surplus konsumen adalah area di atas harga (P*) dan dibawah kurva permintaan P*
Surplus produsen adalah area di bawah harga (P*) dan diatas kurva penawaran D
Quantity Q*
Gambar 3
a) Surplus Konsumen Surplus konsumen consumer s surplus mencerminkan suatu keuntungan lebih atau surplus yang dinikmati oleh konsumen tertentu berkenaan dengan tingkat harga pasar suatu barang. Fungsi permintaan P = f(Q) menunjukkan jumlah suatu barang yang akan dibeli oleh konsumen pada tingkat harga tertentu. Jika tingkat harga pasar adalah Pe, maka bagi konsumen tertentu yang sebetulnya mampu dan bersedia membayar dengan harga lebih tinggi dari Pe, hal tersebut akan menjadi keuntungan baginya, sebab ia cukup membayar barang tadi dengan harga Pe. Keuntungan lebih inilah yang oleh Alfred Marshall disebut surplus konsumen. Secara geometri, besarnya surplus konsumen ditunjukkan oleh luas area di bawah kurva permintaan tetapi di atas tingkat harga pasar.
Gambar 4
Page 12 of 16
Surplus konsumen atau Cs consumer s surplus tak lain adalah segitiga PeDE, dengan rentang wilayah yang dibatasi oleh Q = 0 sebagai batas bawah dan Q = Qe sebagai batas atas. Sehingga besarnya surplus konsumen adalah:
�� = ∫
−
Jika dalam hal fungsi permintaan berbentuk P = f (Q) atau ′
�� = ∫
Jika dalam hal fungsi permintaan berbentuk Q = f P ; P adalah nilai P untuk Q = 0 atau penggal kurva permintaan pada sumbu harga. Dengan demikian:
�� = ∫
′
−
= ∫
Contoh: Fungsi permintaan akan suatu barang ditunjukkan oleh persamaan Q = 48 – 0,03 P2. Hitunglah surplus konsumen jika tingkat harga pasar adalah 30.
Gambar 5 Q = 48 – 0,03 P2 Jika P = 0, Q = 48 Jika Q = , P = =P Jika P = Pe = 30, Q = Qe = 21 �� = ∫
′
�
=∫
− .
=[
− .
] Page 13 of 16
= {48 (40) – 0,01 (40) 3} – {48 (30) – 0,01 (30) 3} = (1920 – 640) – (1440 –270) = 110
b) Surplus Produsen Surplus produsen producer s surplus mencerminkan suatu keuntungan lebih atau surplus yang dinikmati oleh produsen tertentu berkenaan dengan tingkat harga pasar suatu barang yang ditawarkannya. Fungsi permintaan P = f(Q) menunjukkan jumlah suatu barang yang akan dijual oleh produsen pada tingkat harga tertentu. Jika tingkat harga pasar adalah Pe, maka bagi produsen tertentu yang sebetulnya bersedia menjual dengan harga yang lebih rendah dari Pe, hal tersebut akan menjadi keuntungan baginya, sebab ia kini dapat menjual barangnya dengan harga Pe yang lebih tinggi dari harga jual yang direncanakannya . Keuntungan lebih inilah yang disebut surplus produsen. Secara geometri, besarnya surplus produsen ditunjukkan oleh luas area di atas kurva penawaran tetapi di bawah tingkat harga pasar.
Gambar 6
Surplus produsen atau Ps producer s surplus tak lain adalah segitiga PeDE, dengan rentang wilayah yang dibatasi oleh Q = 0 sebagai batas bawah dan Q = Qe sebagai batas atas. Sehingga besarnya surplus produsen adalah:
�
=
−∫
Jika dalam hal fungsi permintaan berbentuk P = f (Q) atau
�
= ∫ ′
Page 14 of 16
Jika dalam hal fungsi permintaan berbentuk Q = f P ; P adalah nilai P untuk Q = 0 atau penggal kurva penawaran pada sumbu harga. Dengan demikian:
�
=
−∫
= ∫ ′
Contoh: Penawaran dan permintaan akan suatu barang di pasaran masing-masing ditunjukkan oleh Q = -30 + 5P dan Q = 60 – 4P. Hitunglah masing-masing surplus yang diperoleh konsumen dan produsen. Penawaran: Q = -30 + 5 P P = 6 + 0,2 Q Permintaan: Q = 60 – 4P P = 15 – 0,25Q Keseimbangan pasar: Qd = Qs -30 + 5 P = 60 – 4P P = 10 → Pe Q = 60 – 4P = 60 – 4 (10) = 20 → Qe
Gambar 7 Surplus konsumen: �� = ∫ � − �� = ∫
�
− .
−
= {(15) (20) – 0,125 (20)2} – 200 = 250 – 200 = 50
=[
− .
]
−
Page 15 of 16
Surplus Produsen: −∫ � � = �
=
−∫
+
= 200 – {6(20) + 0,1(20)2}
−[
=
+ .
]
= 200 – 160 = 40
SOAL LATIHAN:
Tentukan nilai integral tertentu dari soal dibawah ini: 1. ∫− � −
�
2. ∫− �√� � � 3. Tentukan p sehingga ∫ �
−�
�
�=
4. ∫ � + � 5. Tentukan luas daerah yang dibatasi oleh f(x) = 6 – 2X sumbu x dari x = 1 sampai dengan x =3 6. Tentukan luas daerah yang dibatasi oleh f(x) = X2 + 2 sumbu x dari x = 1 sampai dengan x = 4 7. Tentukan luas daerah yang dibatasi oleh f(x) = 61 - X2 dari x = 0 sampai dengan x = 4 Aplikasi EkBis: 1. Jika diketahui fungsi permintaan Y = 32 – 4x – x2, Carilah surplus konsumen : a. Jika X0 = 3 b. Jika Y0 = 27 2. Diketahui fungsi penawaran ( x + 2 )2 dan harga adalah y0 = 25, tentukanlah
surplus produsennya ! 3. Fungsi permintaan penawaran suatu barang adalah : =
−
�
�
=
+
Tentukan besarnya surplus konsumen dan surplus produsen serta gambarkan diagramnya. 4. Jika diasumsikan di sebuah pasar terdapat 10.000 individu yang identik dimana fungsi permintaan individunya terhadap komoditi-X adalah = − � dan terdapat � 1.000 produsen komoditi-X yang identik dengan fungsi penawaran masing-masingnya �� = �. a) Tentukan harga dan jumlah equilibrium pasar. b) Hitunglah Surplus Konsumen dan Surplus Produsen.?
Page 16 of 16
