MATEMATICAS 2013

PRUEBA DE SUFICIENCIA ACADEMICA .

GESTION 2013

CARRERA

ACTUALIZACION: Dr. Jhemis Teddy Molina Gutierrez Ing. Joacir Colombo Quezada

PRUEBA DE SUFICIENCIA ACADEMICA GESTION 2013

MATEMATICAS

CONTENIDO TEMA1 CONJUNTOS ........................................................................................................ 3 TEMA 2SISTEMAS NUMÉRICOS ................................................................................. 12 TEMA 3 NOTACIÓN CIENTÍFICA ................................................................................. 16 TEMA 4 ÁLGEBRA .......................................................................................................... 20 TEMA 5 PRODUCTOS Y COCIENTES NOTABLES ................................................. 31 1.1.

CUBO DE UN BINOMIO............................................................................. 37

PRODUCTO DE DOS BINOMIOS DE LA FORMA (x + a)(x + b) .................................. 38 TEMA 6 FACTORIZACIÓN ............................................................................................. 46 TEMA 7 EXPONENTES, RADICALES Y FRACCIONES ALGEBRAÍCAS ........... 56 TEMA 8 ECUACIONES ................................................................................................... 59 TEMA 9 LOGARITMOS ................................................................................................... 69 TEMA 10 INTRODUCCIÓN A LA ESTADÍSTICA ....................................................... 79

FACULTAD DE MEDICINA, ENFERMERIA, NUTRICION Y TECNOLOGIA MÉDICA

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TEMA 1 CONJUNTOS En la teoría de conjuntos, definimos a un conjunto como la colección de objetos o elementos que tienen una característica especial que permite que los mismos estén agrupados. Estos objetos o elementos pueden ser: Personas, animales, plantas, números, figuras, etc. De esta definición podemos identificar los siguientes componentes de un conjunto: 

Elementos: Un elemento es un objeto que pertenece a un conjunto. Ejemplo: José pertenece al Curso Preuniversitario de la Carrera de Medicina. Los elementos de un conjunto se representan por letras minúsculas del alfabeto, números o símbolos que nos ayuden a identificarlos:

a, b, c....1,2,3....., , ,  ,... 

Notación: Para poder denotar un conjunto usualmente se utilizan letras mayúsculas del alfabeto, tales como:

A, B, C, …, X, Y, Z

Un Conjunto se escribe de la siguiente manera: Nombre del conjunto = {elementos} Ejemplo:

A = {a, e, i, o, u}

REPRESENTACIÓN DE UN CONJUNTO Los conjuntos se pueden representar:  Por Extensión: Es la forma de expresar un conjunto nombrando a cada uno de sus elementos que lo componen siempre y cuando se pueda. Ejemplo:

A = {a, e, i, o, u} B = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}

 Por Comprensión: Es la forma de expresar un conjunto enunciando una propiedad particular de todos sus elementos, la misma que debe satisfacer a cada uno de los mismos. Ejemplo: Usando los conjuntos anteriores


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A  x/x es vocal del alfabeto B  x / x  Z ,0  x  9

Gráficamente Se puede representar a un conjunto a través de los Diagramas de Venn, que son Curvas Cerradas, indicando a todos sus Elementos dentro de la Curva. Ejemplo: Usando el conjunto anterior A = {a, e, i, o, u} A

.a

.u

.e .i

Para poder mencionar que un determinado elemento pertenece o no pertenece a un conjunto determinado se hace uso de los símbolos

 y  , respectivamente.

En el ejemplo anterior podemos decir que: a

A

b

A

CONJUNTOS ESPECIALES Conjunto Unitario Un conjunto que tiene un solo elemento. Ejemplo:

C = {x/ x

2 , x =4} = {2}

Conjunto Finito Un conjunto finito es aquel del cual se conoce tanto el primer como el último de sus elementos, en otras palabras podemos contar el total de sus elementos. Ejemplo: A= {3, 5, 7, 8}

El conjunto A tiene 4 elementos

B= {x/x = 2k, k=0, 1, …, 4 } = {0, 2, 4, 6, 8} El conjunto B tiene 5 elementos


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Conjunto Infinito Se dice que un conjunto es infinito cuando los elementos del conjunto no se pueden terminar de contar. Ejemplo: A= {x/x = 2k, k=0, 1, 2, 3, 4 … } = {0, 2, 4, 6, 8, 10, 12…}

Conjunto Universo Es el conjunto formado por todos los elementos de un cierto tipo y se denota por Ejemplo: A = {x/x

}

Como el conjunto A hace referencia al Conjunto de Números Enteros, entonces concluimos que 𝕌

A

Conjunto Vacío También conocido como conjunto nulo, es el conjunto que no contiene ningún elemento y es denotado por la letra griega Ø ó { }. Ejemplo: A = {Números pares cuya última cifra sea impar} = { } = Ø


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RELACIONES ENTRE CONJUNTOS Inclusión Sean A y B dos conjuntos, se dice que el conjunto A es parte del conjunto B, si todos los elementos de A pertenecen al conjunto B. Esta relación se la denota de la siguiente forma:

A  B  {x / x  A  x  B}

B

B A

Igualdad Sean A y B dos conjuntos, se dice que el conjunto A y B son iguales, si todos los elementos de A pertenecen al conjunto B y todos los elementos de B pertenecen al conjunto A. Esta relación se la denota de la siguiente forma:

A

.a

B

.o =

.e

.a

.o

.e

.

.

OPERACIONES ENTRE CONJUNTOS Unión de dos Conjuntos La unión de dos conjuntos A y B es el conjunto formado por elementos de A o de B o de ambos conjuntos y se denota por:

A  B  {x / x  A  x  B}


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Lo cual se lee: “A” unión “B”, es el conjunto formado por elementos x, tal que x pertenece a “A” ó x pertenece a “B”. Ejemplo: Si A = {1, 2, 3, 4, 5} y B = {-2, -1, 0, 1, 2} Entonces, A  B= {-2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5}

Intersección de dos Conjuntos (  ) La intersección de dos conjuntos A y B, es el conjunto formado por los elementos que pertenecen a “A” y a “B” y se denota por:

A  B  {x / x  A  x  B} Que se lee, “A” intersección “B” es el conjunto formado por los elementos x, tal que x pertenece a “A” y x pertenece a “B”. Ejemplo: Si A = {1, 2, 3, 4, 5} y B = {-2, -1, 0, 1, 2} Entonces, A B= {1, 2}

Diferencia de Conjuntos (–) La diferencia de dos conjuntos “A” y ”B” es el conjunto formado por elementos de “A” que no pertenecen a “B” y se denota por:

A  B  {x / x  A  x  B}


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Ejemplo: Si A = {1, 2, 3, 4, 5} y B = {-2, -1, 0, 1, 2} Entonces, A B= {3, 4, 5}

Diferencia Simétrica (  ) La diferencia Simétrica de dos conjuntos “A” y ”B” es el conjunto formado por elementos de “A” o de ”B” pero no de ambos, denotado por:

AB  {x / x  A  x  B} Ejemplo: Si A = {1, 2, 3, 4, 5} y B = {-2, -1, 0, 1, 2} Entonces, A B= {3, 4, 5, -2, -1, 0}

Complemento de un Conjunto (C) Dado el conjunto universo

y A  . El complemento de un conjunto “A” es el

conjunto formado por elementos de

que no pertenecen al conjunto “A” y se

denota por: Ac

AC  {x / x U  x  A}


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Ejemplo: Si

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= {x  N/x < 10} y A = {1, 3, 5, 7}, entonces: AC = {2, 4, 6, 8, 9}

EJERCICIOS PROPUESTOS Expresar por comprensión los siguientes conjuntos: 1.

A= { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6,…….}

2.

B= { Lunes, Martes, Miércoles, Jueves, Viernes, Sábado, Domingo}

3.

C= { 5, 10, 15, 20, 25, 30,…}

De los siguientes conjuntos A={ h, o, l, a}, B={ s, a, l, u, d, o} y C={ y, i, n} hallar: 4.

A

B = { h, o, l, a}

{ s, a, l, u, d, o}={ h, o, l, a, s, u, d}

5.

A B C={ h, o, l, a} { s, a, l, u, d, o} { y, i, n}={ }

6.

(A C )C = ({ h, o, l, a}

7.

Indicar como se obtiene el área seleccionada

{ y, i, n} ) C = { h, o, l, a, y, i, n } C = { s, u, d}


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De un grupo de estudiantes: 10 estudian Medicina, 12 estudian Enfermería y 4 estudian ambas materias. 8.

Indicar el número total de estudiantes

9.

Indicar el número de estudiantes que estudian una de las carreras, son 14

De los siguientes conjuntos:

Realizar las siguientes operaciones: 10.

AUB={2, 6, 4, 8, 9, 7, 5, 3}

11.

A B={2}

12.

B- A={7, 5, 3}

De un total de 110 estudiantes del curso prefacultativo de medicina, se registran los siguientes datos: 5 alumnos reprobaron matemáticas, química y biología; 9 aprobaron matemáticas y química; 20 aprobaron química y biología; 11 aprobaron matemáticas y biología; 36 aprobaron biología; 44 aprobaron química; 45 aprobaron matemáticas. Se pide calcular: 13.

¿Cuántos alumnos no aprobaron ninguna de las tres materias?

14.

¿Cuántos aprobaron (matemáticas y biología) o (matemáticas y química)?

15.

¿Cuántos aprobaron química y biología?

16.

¿Cuántos aprobaron sólo biología?


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Una mesera tomó la orden de 57 hamburguesas: 22 con cebolla, 29 con mostaza y 25 con salsa de tomate. De éstas, 10 tenían sólo cebolla y 15 sólo mostaza; 7 de las hamburguesas tenía sólo cebolla y mostaza, y 3 los tres ingredientes. Realice un diagrama de Venn y determine: 17.

¿Cuántas hamburguesas llevaban salsa y mostaza solamente?

18.

¿Cuántas sólo llevaban salsa?

19.

¿Cuántas hamburguesas llevaban cebolla o mostaza, pero no salsa?¿Cuál es el porcentaje de las granjas que producen trigo?

Se hizo una encuesta a 885 amas de casa y se encontró la siguiente información acerca de ciertos programas de televisión: a. 600 veían noticieros

b. 400 veían series policíacas

c. 620 veían programas deportivos

d. 195 veían noticieros y series policíacas

e. 190 veían series policíacas y deportivos

f. 400 veían noticieros y deportivos

Y todas ven al menos uno de estos tres programas. 20.

Determinar: ¿Cuántas de las entrevistadas ven los tres tipos de programas mencionadas?


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TEMA 2 SISTEMAS NUMÉRICOS

NÚMEROS NATURALES Los números naturales son los que se emplean para contar. Los números naturales son la sucesión de los enteros positivos cuyo conjunto se simboliza por N. N = {1, 2, 3,…} Los números naturales son cerrados, o cumplen con las propiedades de clausura, respecto de las operaciones de adición y multiplicación: Si a ε N y b ε N entonces (a + b) ε N (clausura para la adición) Si a ε N y b ε N entonces (a × b) ε N (clausura para la multiplicación) Ejemplo. 2 ε N y 3 ε N 2 + 3 = 5 ε N (clausura para la adición) 2 × 3 = 6 ε N (clausura para la multiplicación) NÚMERO ENTEROS Los enteros constan de los números naturales, el cero y los negativos de los números naturales, cuyo conjunto se designa por Z. El conjunto de los enteros, de manera concisa, se escribe Z = { x | x  N ó x = 0 ó x = –n para algún n en N } Se escribe también Z = { … , –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3, … } El conjunto de los enteros Z incluye al conjunto de los números naturales N. El conjunto de los enteros Z es cerrado respecto de las operaciones de la adición, de la multiplicación y también de la sustracción; es decir, que la suma, producto y diferencia de dos enteros es, a su vez, un entero. Observación. El conjunto de los enteros Z no es cerrado respecto de la operación de división. Por ejemplo, el cociente de los enteros 5 y 9 no es necesariamente un entero. Todos los enteros positivos, con excepción del número uno, se pueden clasificar ya sea como números compuestos o como primos.


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Un entero positivo se llama compuesto si es distinto de uno y puede ser expresado como el producto de dos o más enteros positivos, los cuales son sus factores. En ciertos casos, algunos de estos factores se pueden repetir. Por ejemplo, 6 y 24 son números compuestos porque 6 = 2 × 3

y

24= 6 × 4. Un número entero positivo se llama primo si es distinto de uno y no es compuesto; en otras palabras, la única forma en que podemos expresar un número primo p como el producto de dos enteros positivos es: p = p × 1 ó p = 1 × p. Ej. 2, 3, 5, 7, 11, … son números primos, mientras que 4, 6, 8, 9, … no son números primos. Todo entero compuesto se puede descomponer en un producto de números primos, puesto que cada factor compuesto puede, a su vez, descomponerse en factores menores hasta que, en último término, todos los factores sean primos.

NÚMEROS RACIONALES Un número racional es el que puede expresarse como el cociente de un entero p por un entero q diferente de cero. El conjunto de los números racionales se designa por Q, y brevemente se escribe Q = { x | x = p/q donde p  Z, q  Z, q ≠ 0 } El conjunto Q de los números racionales es cerrado respecto de las operaciones de adición, multiplicación, sustracción y división (excepto por cero); es decir, que la suma, producto, diferencia y cociente (excepto por cero) de dos números racionales es también un número racional. Llevando a cabo la operación de la división, todo número racional se puede representar como un decimal. Algunas representaciones "terminan" después de un número finito de cifras, esto es, las últimas cifras son cero. Por ejemplo: a)

4 2 2

b)

60 3   0,75 80 4


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En cambio, otras expresiones decimales nunca terminan, tales como: c)

1  0,3333.... 3

d)

8  1,142857142857..... 7

En estas últimas expresiones decimales, se puede observar que en cada período, los dígitos, después de un cierto momento, se repiten con el anterior, formando un grupo como “3” y “142857”. Esto

es siempre

verdad para todos los números racionales. Por tanto, la condición necesaria

y suficiente para que un número sea racional, es que en su

expresión decimal con cifras infinitas éstas presenten periodicidad.

NÚMEROS IRRACIONALES El conjunto de los números irracionales es el complemento del conjunto de los números racionales. Es decir, los números irracionales son aquellos que no se pueden expresar como el cociente de dos enteros. El desarrollo decimal de un número irracional es infinito y no periódico, por ejemplo: √2 = 1.414213562 … π = 3.14159265 … El conjunto de los números irracionales se simboliza por Q’.

NÚMEROS REALES El conjunto de los números reales es el conjunto de todos los números que son racionales o irracionales, y está constituido por números positivos, negativos y el cero. Los números reales se pueden representar por puntos de una línea recta. Se elige un punto llamado origen para representar el cero. Los números a la derecha del cero, son los llamados números positivos, y los números a la izquierda del cero son los llamados números negativos.


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El cero mismo no es ni positivo ni negativo. Los conjuntos de números, que en forma gráfica se puede observar a continuación, se relacionan de la manera siguiente:

N

Z

Q (Q

Q’)

R

TM1. Conjuntos de Números en forma gráfica

EJERCICIOS PROPUESTOS

Hallar la Suma, Resta, Multiplicación y División de los Números: 1.

7;3

2.

4 ; -9

3.

-5 ; 8

4.

-2 ; -3

Simplificar: 5.

7 – {6 – [4 – (-3)]}

6.

9 – {1 – [3 – (- 8)]}

7.

1 – {1 – [1 – (-1)]}

8.

3 – [2 – (-1)] + [3 – (-1)]

9.

– {1 + [1 – (-1)]}

10.

– {2 – [3 – (-5)] + [5 – (-3)]}


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TEMA 3 NOTACIÓN CIENTÍFICA

INTRODUCCIÓN La notación científica es la forma abreviada para expresar cantidades numéricas suficientemente grandes o al contrario cantidades suficientemente pequeñas. Para lograr este cometido se usan potencias de base diez (10) con lo cual se permite que las expresiones, en las mediciones científicas, puedan ser más explicitas, más compactas y más sencillas de utilizar, para lo cual se utiliza la siguiente nota notación:

a 10 n Donde: a  R y puede ser un número comprendido en el rango 1  a  10 n  Z ya sea positivo (+) o negativo (-). La base de la potencia es 10. La notación científica básicamente consiste en representar una cantidad como producto de un número por una potencia de 10. Si se quiere escribir un número ordinario en notación científica o el proceso inverso se procede de la siguiente manera:

Para números mayores a 1: Por ejemplo para la cantidad 950 000 (novecientos cincuenta mil), se pone un punto decimal y se recorre 5 lugares de derecha a izquierda y, de esta forma, se obtiene: 9.5x105. Si se quiere realizar la operación inversa, es decir convertir un número escrito en notación científica a decimal, se recorre el punto decimal hacia la derecha y en los espacios en blanco se rellena con ceros. Por ejemplo si se tiene la siguiente cantidad 1.5x106 se escribiría 1 500 000 (un millón quinientos mil).


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Para los números menores a 1: Por ejemplo sea la cantidad 0.00000025 para escribir en notación científica se recorre el punto hacia la derecha 7 lugares obteniéndose 2.5x10-7. Para realizar la operación inversa: sea la cantidad 3.8x10-8 se recorre el punto 8 lugares hacia la izquierda y se obtiene: 0.000000038. En los siguientes ejemplos se muestra como se puede expresar algunas cantidades en notación científica: a) 312.546 = 3.12546 x10 2

e) 0.000 000 0637 = 6.37 x10-8

b) 1 452.25 = 1.45225 x10 3

f) 17 000 000 = 1.7 x 10 7

c) 0.089752 = 8.9752 x10-2

g) 5 830 000 = 5.83 x 10 6

d) 0.00005 = 5 x10-5

h) 0.000 000 000 007 = 7 x 10-12

OPERACIONES CON NOTACIÓN CIENTÍFICA.Para realizar operaciones como se trabaja con potencias de base diez se usan las mismas reglas de potenciación.

ADICIÓN Y SUSTRACCIÓN.Para poder efectuar estas operaciones con notación científica, primeramente se debe asegurar que todas las potencias de 10 sean semejantes, caso contrario hay que procurar que lo sean. Ejemplos: a) 4.28x 10 6 +1.254 x10 6 = 5.534 x 10 6 b) 3.141 x 10 3 – 2.912 x 10 2 = 3.141 x 10 3 – 0.2912 x 10 3 = 2.8498 x 10 3 c) 2.60x108+3.55x107+8.23x106= 2.60x108+0.355x108+0.0823x108 = 3.0373x108 d) 5.6 x 10 3 + 6.56 x 10 3 = 12.16 x 10 3 e) -3 x 10 11 + 9 x 10 11 = 6 x 10 11 f)

2 x10 6 + 4 x10 5 = 2 x10 6 + 0.4 x10 6 = 2.4 x10 6


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MULTIPLICACIÓN Y DIVISIÓN CON NOTACIÓN CIENTÍFICA.Para realizar las multiplicación simplemente se multiplican los valores decimales y se suman las potencias de 10, con lo cual se obtienen resultados que (en algunos casos) se debe volver a expresar en notación científica. De igual manera se procede en la división, con la única diferencia que se deben restar las potencias de 10 del numerador menos la potencia de 10 del denominador. Ejemplos: a) a 3 . a 5 = a 3+5= a 8 .

.

.

b) (1.589 10 2)x( 4.346 10 3) = ( 1.589 4.346) x10 2-3 = 6.905794 x 10 -1 c)

= a 5-3= a 2

EJERCICIOS PROPUESTOS Escribir en notación científica las siguientes cantidades: 1. 125.265 2. 2 256.879 3. 875223.56 4. 0.000154789 5. 0.123654 6. 0.123654

Sumar y restar los siguientes números decimales: 7.

1.28 x10 4 +3.464 x10 2 + 2.4689x106

8.

2.568x103 +0.24x106 +1.3

9.

2.912x106 +6.145x104 -2.9145x102

10.

1.23x103 -2.945x104

11.

9.124x103 -2.945x102


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PRUEBA DE SUFICIENCIA ACADEMICA GESTION 2013 12.

MATEMATICAS

1.25x103 -1.25x101

Multiplicar y dividir los siguientes números decimales: 13.

(2.256 x104)(3.56 x10-3)

14.

(1.025 x1010 )(0.256 x105 )(1.658 x10 3)

15.

(5.45 x10 3)(1,28 x10 4 )

16.

(7.89 x10 6)(2.56 x10 4)

17.

(3.65 x10 10)/(2.13 x10 2)

18.

(1.36 x10 -5)/(0.234 x10 4)

19.

(4.21 x10 8)/(8.45 x10 -4)

20.

(2.34 x10 3)(4.56 x10 2)/(0.89 x10 7)

21.

(2.5 x10 3)(4.66 x10 4)/(1.66 x10 2)

22.

(1.728)(17.28)/(1.728 x10 -4)


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MATEMATICAS

TEMA 4 ÁLGEBRA

DEFINICIÓN El Algebra es la rama de las matemáticas que estudia las operaciones, como las sumas, restas, multiplicación y división de conjuntos de números. Estos números se representan por símbolos o variables.

De igual forma se puede decir que es una extensión de la aritmética cuyo objetivo es simplificar y generalizar todo lo referente a los números, empleando para ello letras, números, guarismos, etc.

EXPRESIÓN ALGEBRAICA Es un conjunto de letras, números y signos que indican una serie de operaciones a realizarse, es decir, son todas aquellas que tienen una parte numérica y una parte literal. Por ejemplo, la expresión 8a3b2c es una expresión algebraica, en este caso un monomio, el cual tiene como parte numérica al número 8 y como parte literal a3b2c. Nótese que los exponentes se consideran parte literal. Una expresión algebraica esta conformada por dos o más términos.

Por ejemplo los siguientes términos son expresiones algebraicas:


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MATEMATICAS

TÉRMINO ALGEBRAICO

Es la parte de una expresión conformada por letras y números, el cual, esta separado de otro término a través de un signo (positivo o negativo).

ELEMENTOS DE UN TÉRMINO.Un término está compuesto por un signo, un coeficiente, parte literal y exponente. Por ejemplo:

Variable.- Es toda magnitud que cambia de valor y puede ser expresada por las últimas letras del abecedario. Constante.- Es toda magnitud que tiene un valor y no cambia.


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MATEMATICAS

TÉRMINOS SEMEJANTES Son todos los términos que tienen la misma parte literal y están elevados a un mismo exponente. En cuanto al coeficiente y signo, estos pueden ser distintos o no.

CLASIFICACIÓN DE EXPRESIONES. Profundizando un poco más en lo mencionado anteriormente, existen básicamente los siguientes tipos de expresiones algebraicas:

a)

Monomios: Es una sola expresión algebraica. Ejemplos de monomios son: 4x4y2

como se puede ver es un solo término con parte numérica y parte literal

8a3b2c en este caso la letra c no tiene exponente, cuando esto suceda se asume que dicho exponente es 1, así: 8a3b2c1 m2n3

b)

en este caso aparentemente no hay una parte numérica, cuando esto suceda sabremos que hay un 1, así: 1 m2n3

Polinomios: Son dos o más expresiones algebraicas (con diferente parte literal) que se están sumando o restando. Ejemplos de polinomios son:


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Este es un polinomio de dos términos o binomio. Aunque las 3x2y +5x3y2 sus partes literales aparentemente son iguales, estas son diferentes, pues los exponentes no son iguales. 3x4 +xyz -2y2z Ahora tenemos un polinomio de tres términos o trinomio. a3 -a2b +2ab2 -5b3

Otro ejemplo de polinomio.

GRADO DE LAS EXPRESIONES ALGEBRAICAS. GRADO DE UN MONOMIO.El grado absoluto de un monomio esta dado por la suma de todos los exponentes de todas las variables que componen dicho monomio Por ejemplo: El grado de 12x6 y4z es 6+4+1=11

GRADO DE UN POLINOMIO.Esta dado por la suma de todos los exponentes de todas las variables que componen el término de mayor grado. Por ejemplo: 5x3yz5 + 7x4y6z5 – 4x2y3z5, el grado del polinomio respecto a x es 4

OPERACIONES ALGEBRAICAS.Para realizar las operaciones de suma, resta, multiplicación y división de términos se respeta los signos de agrupación. Por ejemplo:


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MATEMATICAS

SUMA DE POLINOMIOS Para sumar dos polinomios se suman los coeficientes de los términos del mismo grado. P(x) = 2x3 + 5x − 3

Q(x) = 4x − 3x2 + 2x3

1. Ordenamos los polinomios, si no lo están. Q(x) = 2x3 − 3x2 + 4x P(x) + Q(x) = (2x3 + 5x − 3) + (2x3 − 3x2 + 4x) 2. Agrupamos los monomios del mismo grado. P(x) + Q(x) = 2x3 + 2x3 − 3 x2 + 5x + 4x − 3 3. Sumamos los monomios semejantes. P(x) + Q(x) = 4x3− 3x2 + 9x − 3 RESTA DE POLINOMIOS La resta de polinomios consiste en sumar el opuesto del sustraendo. P(x) − Q(x) = (2x3 + 5x − 3) − (2x3 − 3x2 + 4x) P(x) − Q(x) = 2x3 + 5x − 3 − 2x3 + 3x2 − 4x P(x) − Q(x) = 2x3 − 2x3 + 3x2 + 5x− 4x − 3 P(x) − Q(x) = 3x2 + x − 3 MULTIPLICACIÓN DE POLINOMIOS Multiplicación de un número por un polinomio Es otro polinomio que tiene de grado el mismo del polinomio y como coeficientes el producto de los coeficientes del polinomio por el número.


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MATEMATICAS

Por ejemplo: Sea la siguiente expresión 3 ( 2x3 − 3 x2 + 4x − 2) = 6x3 − 9x2 + 12x − 6

Multiplicación de un monomio por un polinomio Se multiplica el monomio por todos y cada uno de los monomios que forman el polinomio. 3 x2 · (2x3 − 3x2 + 4x − 2) = 6x5 − 9x4 + 12x3 − 6x2 Multiplicación de polinomios P(x) = 2x2 − 3

Q(x) = 2x3 − 3x2 + 4x

Se multiplica cada monomio del primer polinomio por todos los elementos segundo polinomio. P(x) · Q(x) = (2x2 − 3) · (2x3 − 3x2 + 4x) = = 4x5 − 6x4 + 8x3 − 6x3 + 9x2 − 12x Se suman los monomios del mismo grado. = 4x5 − 6x4 + 2x3 + 9x2 − 12x Se obtiene otro polinomio cuyo grado es la suma de los grados de los polinomios que se multiplican. También podemos multiplicar polinomios de siguiente modo:


25


MATEMATICAS

DIVISIÓN ALGEBRAICA. DIVISIÓN DE DOS MONOMIOS. La división de dos monomios (dividendo y divisor) se efectúa hallando el cociente de los coeficientes y el de los factores literales, multiplicando luego dichos cocientes. Ejemplo. Efectuar la división de:

(

)

(

)

DIVISIÓN DE UN POLINOMIO ENTRE UN MONOMIO. Para dividir un polinomio entre un monomio se divide cada término del polinomio entre el monomio y luego se suman los cocientes obtenidos. Ejemplo: Dividir las siguientes expresiones:

(

)

(

)

DIVISIÓN DE POLINOMIOS. Resolver la división de polinomios: P(x) = 2x5 + 2x3 − x − 8

Q(x) = 3x2 −2x + 1

P(x) : Q(x)


26


MATEMATICAS

A la izquierda situamos el dividendo. Si el polinomio no es completo dejamos huecos en los lugares que correspondan.

A la derecha situamos el divisor dentro de una caja. Dividimos el primer monomio del dividendo entre el primer monomio del divisor. x5 : x2 = x3 Multiplicamos cada término del polinomio divisor por el resultado anterior y lo restamos del polinomio dividendo:

Volvemos a dividir el primer monomio del dividendo entre el primer monomio del divisor. Y el resultado lo multiplicamos por el divisor y lo restamos al dividendo. 2x4 : x2 = 2 x2

Procedemos igual que antes. 5x3 : x2 = 5 x


27


MATEMATICAS

Volvemos a hacer las mismas operaciones. 8x2 : x2 = 8

10x − 6 es el resto, porque su grado es menor que el del divisor y por tanto no se puede continuar dividiendo. x3+2x2 +5x+8 es el cociente.


28


MATEMATICAS

EJERCICIOS PROPUESTOS Simplificar: 1. 2.

A = 4x2 – {3x2 – 2[y – 3 (x2 – y)] + 4} B = - [x + { - (x + y) – [ - x + (y – z) – (- x + y)] – y}]

Reducir la expresión: 3.

C = (a2 – a – 7) – (a + 1)(a – 2)(a + 3)(a – 4) + (a + 2)(a – 3)(a + 4)(a – 5)

4.

Si a = 2-1, calcular el valor numérico de: (aa – a-a)2 + (aa + a-a)2 – 2a-2a

Determinar el grado absoluto de los polinomios: 5. 6.

7x7y2 + 4x3z10 – 30z9x11 3a2b4 + 5ab4 – 2a7

Dados los polinomios: P(x) = 4x2 − 1 Q(x) = x3 − 3x2 + 6x − 2 R(x) = 6x2 + x + 1 S(x) = 1/2x2 + 4 T(x) = 3/2x2 +5 U(x) = x2 + 2 Calcular: 3. P(x) + Q (x) 4. P(x) − U (x) 5. P(x) + R (x) 6. 2P(x) − R (x) 7. S(x) + T(x) + U(x)


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MATEMATICAS

8. S(x) − T (x) + U(x)

Dados los polinomios: P(x) = x4 − 2x2 − 6x − 1 Q(x) = x3 − 6x2 + 4 R(x) = 2x4 −2 x − 2 Calcular: 9. P(x) + Q(x) − R(x) 10. P(x) + 2 Q(x) − R(x) 11. Q(x)+ R(x) − P(x) Resolver :

12. (x4 −2x2 +2 ) · (x2 −2x +3) = 13. (3x2 − 5x) · (2x3 + 4x2 − x +2) = 14. (2x2 − 5x + 6) · (3x4 − 5 x3 − 6 x2 + 4x − 3) 15. (x4 − 2x3 −11x2+ 30x −20) ÷ (x2 + 3x −2) 16. (x 6+ 5x4 + 3x2 − 2x) : (x2 − x + 3)


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MATEMATICAS

TEMA 5 PRODUCTOS Y COCIENTES NOTABLES LOS PRODUCTOS NOTABLES Los productos notables son ciertos productos que cumplen reglas fijas y cuyo resultado puede escribirse por simple inspección, es decir, sin verificar la multiplicación. Las letras representan números reales, razón por la cual se pueden aplicar las propiedades operatorias de los números reales para verificar la validez de cada fórmula. Los símbolos que aparecen en las fórmulas, por ejemplo x ó a representan números reales, las cuales pueden sustituirse por expresiones algebraicas en general.

CUADRADO DE LA SUMA DE DOS CANTIDADES Elevar al cuadrado a + b equivale a multiplicar este binomio por sí mismo: (a + b)2 = (a + b )(a + b)

Al desarrollar este producto tenemos: a+b

ab a2 + ab

ab  b2 a2 + 2ab + b2 O sea (a + b)2 = a2 + 2ab + b2


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MATEMATICAS

Por tanto, el cuadrado de la suma de dos cantidades es igual al cuadrado de la primera cantidad más el duplo de la primera por la segunda más el cuadrado de la segunda cantidad. Ejemplos: 1) Desarrollar (x + 4)2 Cuadrado del primero ………………….................x 2 Doble del primero por el segundo …….. 2x × 4 = 8x Cuadrado del segundo …………………………….16

Por tanto: (x + 4)2 = x 2 + 8x + 16 Realiza estas operaciones mentalmente y escribe el producto de manera directa. Cuadrado de un monomio. Se eleva su coeficiente al cuadrado y se multiplica el exponente de cada letra por 2. Siendo el monomio 4ab2 decimos que: (4ab 2)2 = 42a 1 × 2b 2 × 2 = 16a 2b 4 En efecto: (4ab 2)2 = 4ab 2 × 4ab 2 = 16a 2b 4 Del mismo modo: (5x 3y 4z 5)2 = 25x 6y 8z 10


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MATEMATICAS

2) Desarrollar (4a + 5b 2)2 Cuadrado del primero (4a)2 = 16a 2 Doble del primero por el segundo 2 × 4a × 5b 2 = 40ab 2 Cuadrado del segundo (5b 2)2 = 25b 4 Luego (4a + 5b 2)2 = 16a 2 + 40ab 2 + 25b 4 Las operaciones detalladas para mayor facilidad, no deben escribirse sino verificarse mentalmente. 3) Desarrollar (3a 2 + 5x 3)2 (3a 2 + 5x3)2 = 9a 4 + 30a 2x 3 + 25x 6

4) Efectuar (7ax4 + 9y5)(7ax 4 + 9y5) (7ax4 + 9y5) + (7ax4 + 9y5) = (7ax4 + 9y5)2 = 49a2x8 + 126ax4y5 + 81y10


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MATEMATICAS

CUADRADO DE LA DIFERENCIA DE DOS CANTIDADES Elevar (a – b) al cuadrado equivale a multiplicar esta diferencia por sí misma: (a -b )2 = (a -b )(a -b )

Al desarrollar este producto tendremos: a–b a-b a2 -ab -ab – b2 a2 – 2ab + b2 O sea: (a – b)2 = a2 – 2ab + b2

Por tanto, el cuadrado de la diferencia de dos cantidades es igual al cuadrado de la primera menos el duplo de la primera por la segunda más el cuadrado de la segunda cantidad. Ejemplos: 1) Desarrollar (x -5)2 (x – 5)2 = x2 – 10x + 25 2) Efectuar (4a2 – 3b3)2 (4a2 -3b3)2 = 16a4 -24a2b3 + 9b6

PRODUCTO DE LA SUMA POR LA DIFERENCIA DE DOS CANTIDADES Siendo el producto (a + b)(a – b) Al desarrollar esta multiplicación tenemos:


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MATEMATICAS

ab ab a 2  ab  ab  b2 a2 

b2

O sea (a + b)(a – b) = a 2 – b 2 Por tanto la suma de dos cantidades multiplicada por su diferencia es igual al cuadrado del minuendo (en la diferencia) menos el cuadrado del sustraendo. Ejemplos: 1) Efectuar (a + x)(a – x) (a + x)(a – x) = a 2 – x 2 2) Efectuar (2a + 3b)(2a – 3b) (2a + 3b)(2a - 3b) = (2a)2 - (3b)2 = 4a 2 – 9b 2 3) Efectuar (5a n + 1 + 3a m)(3a m – 5a n + 1) Dado que el orden de los sumandos no altera la suma, 5a n + 1 + 3a m es lo mismo que 3a m + 5a n + 1 pero debe considerarse que 3a m – 5a n + 1 no es lo mismo que 5a n + 1 + 3a m. Por eso hay que fijarse en la diferencia y escribir el cuadrado del minuendo menos el cuadrado del sustraendo: (5a n + 1 + 3a m)(3a m - 5a n + 1) = (3a m)2 - (5a n + 1)2 9a 2m - 25a 2n + 2


=

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MATEMATICAS

RESULTADO DE LA SUMA POR LA DIFERENCIA 1) Efectuar (a + b + c)(a + b – c) Este producto puede convertirse en la suma de dos cantidades multiplicada por su diferencia: (a + b + c)(a + b – c) = [(a + b) + c][(a + b) – c] = (a + b)2 – c 2 = a 2 + 2ab + b 2 – c 2 Donde desarrollamos (a + b)2 según la regla del primer caso.

2) Efectuar (a + b + c)(a – b – c) Si introducimos los dos últimos términos del primer trinomio en un paréntesis precedido del signo +, lo cual no hace variar los signos, y los dos últimos términos del segundo trinomio en un paréntesis precedido del signo -, donde sí cambian los signos, tendremos: (a + b + c)(a – b – c) = [a + (b + c)][a – (b + c)] = a 2 – (b + c)2 = a 2 – (b 2 + 2bc + c 2) = a 2 – b 2 – 2bc – c 2

3) Efectuar (2x + 3y – 4z)(2x – 3y + 4z) (2x + 3y – 4z)(2x – 3y + 4z) = [2x + (3y – 4z)][2x – (3y – 4z)] = (2x)2 – (3y – 4z)2 = 4x 2 – (9y 2 – 24y z + 16z 2) = 4x 2 – 9y 2 + 24y z – 16z 2


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PRUEBA DE SUFICIENCIA ACADEMICA GESTION 2013 1.1.

MATEMATICAS

CUBO DE UN BINOMIO

1) Si elevamos a + b al cubo tendremos: (a + b)3 = (a + b)(a + b)(a + b) = (a + b)2(a + b) = (a 2 + 2ab + b 2)(a + b)

Al desarrollar esta multiplicación queda: a2 + 2ab + b2

ab a3 + 2a2b + ab2 a2b + 2ab2 + b3

a3  3a 2b  ab2  b O sea (a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3

Esto significa que el cubo de la suma de dos cantidades es igual al cubo de la primera cantidad más el triple del cuadrado de la primera por la segunda, más el triple de la primera por el cuadrado de la segunda, más el cubo de la segunda cantidad. 2) Si elevamos a – b al cubo tendremos: (a – b)3 = (a – b)2(a – b) = (a2 – 2ab + b2)(a – b)

Y al desarrollar esta multiplicación: a2 – 2ab + b2 a b a3 – 2a2b + ab2 a2b + 2ab2 - b3 a3 – 3a2b + 3ab2 – b3


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MATEMATICAS

O sea (a – b)2 = a3 – 3a2b + 3ab2 – b3 Esto significa que el cubo de la diferencia de dos cantidades es igual al cubo de la primera cantidad, menos el triple del cuadrado de la primera por la segunda, más el triple de la primera por el cuadrado de la segunda, menos el cubo de la segunda cantidad. Ejemplos: 1) Desarrollar (a + 1)3 (a + 1)3 = a 3 + 3a2(1) + 3a (12) + 13 = a3 + 3a2 + 3a + 1 2) Desarrollar (x – 2)3 (x – 2)3 = x 3 – 3x 2(2) + 3x (22) – 23 = x3 – 6x2 + 12x – 8 3) Desarrollar (4x + 5)3 (4x + 5)3 = (4x)3 + 3(4x)2(5) + 3(4x)(52) + 53 = 64x3 + 240x2 + 300x + 125 4) Desarrollar (x2 – 3y)3 (x2 – 3y)3 = (x2)3 - 3(x2)2(3y)+ 3x2(3y)2 - (3y)3 = x6 - 9x4y + 27x2y2 - 27y3

PRODUCTO DE DOS BINOMIOS DE LA FORMA (x + a)(x + b) La multiplicación nos da: x+2 x+3 x2 + 2x 3x + 6 2 x + 5x + 6

x–3 x–4 x2 - 3x - 4x + 12 2 x – 7x + 12

x–2 x+5 x2 - 2x + 5x – 10 2 x + 3x - 10

x+6 x-4 x2 + 6x - 4x - 24 2 x + 2x – 24


38


MATEMATICAS

En los cuatro ejemplos expuestos se cumplen las siguientes reglas:

1) El primer término del producto es el producto de los primeros términos de los binomios. 2) El coeficiente del segundo término del producto es la suma algebraica de los segundos términos de los binomios y en este término la x está elevada a un exponente, que es la mitad del que tiene esta letra en el primer término del producto. 3) El tercer término del producto es el producto de los segundos términos de los binomios.

PRODUCTO DE DOS BINOMIOS DE LA FORMA (mx + a)(nx + b)

En esta forma los términos en x tienen distintos coeficientes, y el producto de dos binomios puede hallarse fácilmente siguiendo los pasos de este esquema:

Para hallar el producto de (3x + 5)(4x + 6): 30 12x2 (3x + 5) (4x + 6) = 12x2 + 20x + 18x + 30 20x 18x Al reducir los términos semejantes tenemos: 12x2 + 38x + 30 Ejemplos 1) Multiplicar (x + 7)(x - 2) Coeficiente del segundo término................................................... 7 - 2 = 5 Tercer término ......................................................................7 × (- 2) = - 14 Luego ……………………………………………. (x + 7)( x - 2) = x2 + 5x - 14 2) Efectuar (x - 7)( x - 6) Coeficiente del segundo término .....................................(- 7) + (- 6) = - 13


39


MATEMATICAS

Tercer término .................................................................(- 7) × (- 6) = + 42 Luego …………………………………………... (x + 7)(x - 6) = x 2 + 13x + 42

Suprime los pasos intermedios y escribe el producto directamente. 3) Al efectuar (a - 11)(a + 9), tenemos (a - 11)(a + 9) = a2 - 2a - 99 4) Al efectuar (x2 + 7)(x2 + 3), tenemos (x2 + 7)(x2 + 3) = x4 + 10x2 + 21

Obsérvese que, como el exponente de x en el primer término del producto es 4, el exponente de x en el segundo término es la mitad de 4, o sea x2. 5) Al efectuar (x3 – 12)(x3 – 3), tenemos (x3 – 12)(x3 – 3) = x6 – 15x3 + 36

COCIENTES NOTABLES Son divisiones entre expresiones algebraicas que pueden calcularse de manera directa sin necesidad de realizar la operación, sino mediante una regla conocida. También se les clasifica según características particulares. Los cocientes notables más importantes se pueden desarrollar a partir de algunos de los productos notables vistos anteriormente. COCIENTE DE LA DIFERENCIA DE LOS CUADRADOS DE DOS CANTIDADES ENTRE LA SUMA DE LAS CANTIDADES a 2  b2  ab ab Ejemplos: 1) (

)(

)

2) Resolver


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PRUEBA DE SUFICIENCIA ACADEMICA GESTION 2013 (

)( (

MATEMATICAS

) )

3) Resolver (

)(

)

COCIENTE DE LA DIFERENCIA DE LOS CUADRADOS DE DOS CANTIDADES ENTRE LA DIFERENCIA DE LAS CANTIDADES

a 2  b2  a b ab Ejemplos: 1) Resolver (

)(

)

2) Resolver (

)(

)

3) Resolver (

)(

)


41


MATEMATICAS

COCIENTE DE LA SUMA ENTRE LA SUMA DE LOS CUBOS DE DOS CANTIDADES ENTRE LA SUMA DE LAS CANTIDADES

a 3  b3  a 2  ab  b2 ab Ejemplos: 1) Resolver (

( )

)

2) Resolver

(

)

(

)

(

)

COCIENTE DE LA DIFERENCIA DE LOS CUBOS DE DOS CANTIDADES ENTRE LA DIFERENCIA DE LAS CANTIDADES

a 3  b3  a 2  ab  b2 ab Ejemplos: 1) Resolver

2) Resolver


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MATEMATICAS

COCIENTE DE LA SUMA O DIFERENCIA DE POTENCIAS IGUALES DE DOS CANTIDADES ENTRE LA SUMA O DIFERENCIA DE LAS CANTIDADES PRIMER CASO a)

a 4  b4  a 3  a 2b  ab2  b3 a b

a 5  b5  a 4  a 3b  a 2b2  ab3  b4 b) ab SEGUNDO CASO

a 4  b4  a 3  a 2b  ab2  b3 ab TERCER CASO

a 5  b5  a 4  a 3b  a 2b2  ab3  b4 ab CUARTO CASO

a 4  b4  a) ab a 4  b4  b) ab En general: COCIENTE DE LA FORMA

an  b n ab

an  b n  a n  1  a n  2 b  a n  3 b 2  ...  ab n  2  b n  1 ab

“ESTE COCIENTE ES POSIBLE PARA UN EXPONENTE N PAR O IMPAR”

Para calcular un cociente de esta forma, se tiene en cuenta: 

El cociente tiene tantos términos como lo indique n



Todos los signos del cociente son positivos



El primer término del cociente es a n-1



El último término del cociente es b n-1



Los exponentes de a disminuyen de 1 en 1, mientras los de b aumentan de 1 en 1


43


COCIENTE DE LA FORMA

MATEMATICAS

an  b n ab

an  b n  a n  1  a n  2 b  a n  3 b 2  ...  ab n  2  b n  1 ab

“ESTE COCIENTE SOLAMENTE ES POSIBLE SI EL EXPONENTE N ES PAR”

COCIENTE DE LA FORMA

an  b n ab

a n  bn  a n 1  a n  2 b  a n 3b 2  ...  ab n  2  b n 1 ab “ESTE COCIENTE SOLAMENTE ES POSIBLE PARA UN EXPONENTE IMPAR”

EJERCICIOS PROPUESTOS Por Productos notables resolver: 1.

M = ( a + b ) ( a2 + b2 ) ( a3 – b3 ) (a2 – ab + b2) (a4 – a2 b2 + b4) + b12

2.

( a  b) 3  ( a  b) 3 K  4b 2 2a

3.

(ax + 1)2 (ax – 1)2 (a2x + 1)2

4.

(a + 2)( a – 2) (a2 – 2 a + 4) (a2 + 2 a + 4)

5.

(x2 – x + 1) (x2 + x + 1) ( x4 – x2 + 1) (x4 – 1)

6.

m2  2m  1m2  2m  1

7.

3 a  3 b 3

8. 9. 10.

3x  y9x 2  3xy  y 2 

3 4  3 2 3 4  3 16  3 8  9p2  12pq  16q 2 3p  4q


44


MATEMATICAS

Por Cocientes notables resolver: 11.

8a 3  1 2a  1

12.

a3 x3  b3 ax  b

13.

a6  b6 a2  b2

14.

m 4  16 m2

15.

16.

17.

16x 4  z 2 4x 2  z

p3 q 3  8 27 p q  2 3 8m 6  n 3 2m 2  n

18.

x2  4 x2

19.

m 3  64n 3 m  4n

20.

27p 3  q 3 3p  q


45


MATEMATICAS

TEMA 6 FACTORIZACIÓN

FACTORES Y DESCOMPOSICIÓN EN FACTORES.o Factorización, es la operación que tiene por finalidad transformar una expresión algebraica racional o entera en otra equivalente que sea igual al producto de sus factores primos o enteros. o Factorizar significa convertir una suma algebraica en producto de sus factores.

MÉTODOS DE FACTORIZACIÓN.CASOI. FACTOR COMÚN El factor común de dos o más expresiones algebraicas es la parte numérica y/o literal que esté repetida en dichas expresiones. Puede presentarse de tres formas: a) Factor común monomio Se llama así, cuando el factor común a todos los términos del polinomio es un monomio. Por ejemplo: 1) ax + ay + az = a(x + y + z) 2) 26x6 – 2x4 + 14x2 = 2x2(13x4 – x2 +7) 3) 100a2b3c – 150ab2c2 + 50ab3c3 – 200abc2 = 50abc(2ab2 – 3bc + 3bc + b2c2 - 4c)


46


MATEMATICAS

b) Factor común polinomio Se llama así cuando el factor común que aparece en la expresión es un polinomio. Por ejemplo: 1) a(x + y) – b(x + y) = (x + y)(a - b) 2) 9(u + v + w)2 – 18(u + v + w)3 = 9(u + v + w)2 [1-2(u + v + w)] = 9(u + v + w)2 (1 – 2u – 2v 2w) 3) 4m(a2 + x -1) + 3n(x-1+a2) = 4m(x -1 + a2) + 3n(x-1+a2) = (x -1 + a2)(4m + 3n) c) Factor común por agrupación Ejemplo: 1) ax – bx + ay – by

= (ax + ay) – (bx + by)

= a(x + y) – b(x+y) = (x + y)(a - b) 2) 2a2x – 5a2y + 15by – 6bx

= (2a2x – 6bx) – (5a2y – 15by)

= 2x(a2 – 3b) – 5y(a2 – 3b) = (a2 – 3b) (2x – 5y) 3) 2x2y + 2xz2 + y2z2 + xy3

= (2x2y + xy3) + (2xz2 + y2z2 )

= xy(2x + y2) + z2(2x + z2 ) = (2x + y2) + (xy + z2 )


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MATEMATICAS

CASO II. TRINOMIO CUADRADO PERFECTO Este caso de factorización es de la forma: a2 + 2ab +b2 = (a + b)2 a2 - 2ab +b2 = (a - b)2 Este trinomio se caracteriza por: a) Tener dos términos que son cuadrados perfectos y siempre con signo positivo. b) El otro término es el doble producto de las raíces cuadradas de los cuadrados perfectos. Ejemplo: 1) 4x2 – 12xy + y2 = (2x - 3y)2 2) 4(1 + a)2 – 4(1 + a)(b - 1) + (b - 1)2 = [2(1 + a) + (b - 1)]2 = [2 + 2a + b - 1)]2 = [2a + b + 1)]2 3) 9(x - y)2 + 12(x - y)(x + y) + 4(x + y)2 = [3(x - y) + 2(x + y)]2 = [3x - 3y + 2x + 2y)]2 = [5x - y)]2

CASO III. DIFERENCIA DE CUADRADOS Este caso de factorización es de la forma: a2 – b2 = (a + b)(a - b) Para factorizar esta diferencia de cuadrados, se extrae la raíz cuadrada de “a” y de “b” y se forma un producto de la diferencia de las raíces multiplicada por la suma de llas. Ejemplo: 1) 4x6 – 81y2 = (2x3)2 – (9y)2 2) 16x2y2 – 81a2b2c2

= (4xy)2 – (9abc)2 = (4xy + 9abc) (4xy - 9abc)

3) a2nb4n – 25n4 = (anb2n)2 – (5n2)2


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MATEMATICAS

= (anb2n +5n2) (anb2n - 5n2) CASO IV. TRINOMIO DE LA FORMA: x2 + bx + c Ejemplo: 1) x2 + 5x + 6 = (x+3)(x+2) 2) y2 + 50y + 336 = (y + 42)(y+8) 3) x2 -2x – 528 = (x - 24)(x + 22)

CASO V. TRINOMIO DE LA FORMA: ax2 + bx + c Ejemplo: 1) 2x2 + 29x + 90 Primera Forma de Solución: 2x2 + 29x + 90 // Multiplicando y Dividiendo entre dos =((2x)2 + 29(2x) + 180)/2 Factorizando caso IV = [(2x + 20)(2x + 9)]/2 Simplificando: = (x + 10)(2x + 9) Segunda Forma de Solución: Por la Regla de la Aspa ax2 + bx + c = (mx + p)(nx+q) m

p

n

q

Se cumple:

1) mn = a 2) pq = c 3) mq + np = b

El Problema consiste en hallar dos pares de números: m, n, p y q tales que: mn=a, pq=c y la suma del producto cruzado sea b, es decir: mq + np = b, estos números se obtienen por ensayos.


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MATEMATICAS

Aplicando la Regla de la Aspa al ejemplo: 2x2 + 29x + 90 = (x + 10)(2x+9) 1 2

10

9

Se cumple: 1) mn = 2 2) pq = 90 3) mq + np = 9 + 20 = 29 2) 20a2 - 7a - 40 Primera Forma de Solución: 20a2 - 7a - 40 // Multiplicando y Dividiendo entre veinte =((20a)2 - 7(20a) - 80)/20 Factorizando caso IV = [(20a - 32)(20a + 25)]/20 Simplificando: = (5a - 8)(4a + 5) Segunda Forma de Solución: Aplicando la Regla de la Aspa al ejemplo: 20a2 - 7a - 40 = (5a - 8)(4a + 5)

5a

-8

4a

5

Se cumple:

1) mn = 20a2 2) pq = -40 3) mq + np = 25a – 32a = -7ª


50


MATEMATICAS

3) 4n2 + n - 33 Primera Forma de Solución: 4n2 + n - 33 // Multiplicando y Dividiendo entre cuatro =((4n)2 + (4n) - 132)/4 Factorizando caso IV = [(4n - 12)(4n -11 25)]/4 Simplificando: = (n + 3)(4n - 11) Segunda Forma de Solución: Aplicando la Regla de la Aspa al ejemplo: 4n2 + n - 33 = (n + 3)(4n - 11) 1 4 Se cumple:

3

-11 1) mn = 4 2) pq = -33 3) mq + np = -11 + 12 = 1

MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO (mcm).El mcm de dos o más polinomios es el polinomio de menor grado y menor coeficiente que es el múltiplo común de cada uno de ellos. Para hallar el mcm de dos o más polinomios se sigue el siguiente procedimiento: Paso 1: Se determina si se puede factorizar las expresiones. Paso 2: Se descompone cada polinomio en el producto de sus factores primos. Paso 3: El mcm es igual al producto de todos los factores comunes y no comunes, para lo cual se toma a los factores con mayor exponente.

Ejm.: Hallar el mcm de los siguientes polinomios: 3x+3,6x−6


51


MATEMATICAS

Factorizamos cada polinomio: 3(x+1),6(x−1)

Una vez factorizados los polinomios procedemos a sacar los factores primos de los coeficientes numéricos 3 y 6. 3 3 1

6 3 2 1 3 Tomamos los factores comunes y no comunes con mayor exponente con los cuales obtenemos su producto. De los coeficientes numéricos sería x3=6 y de la parte literal sería (x+1)(x–1), con lo cual concluimos que el mcm es igual a: mcm=6(x+1)(x– 1)

MÁXIMO COMÚN DIVISOR.El MCD de dos o más polinomios es el polinomio de mayor grado y mayor coeficiente que sea divisor de los polinomios dados. Para hallar el MCD se debe proceder a: Paso 1: Se factoriza si se puede las expresiones que se estudia. Paso 2: Se descompone cada polinomio en el producto de sus factores primos. Paso 3: El MCD es igual al producto de todos los factores comunes, tomando cada factor con el menor exponente. Ejm.: Hallar el MCD de los siguientes polinomios: 48r3t4,54r2t6,60r4t2 Primero determinamos si se puede factorizar o no los polinomios. Posteriormente se obtiene el producto de los factores primos. 482 242 122 62 33 1


52


MATEMATICAS

54 2 27 3 93 33 1 60 2 30 2 15 3 55 1

Para hallar el MCD solo tomamos el producto de los factores comunes con su menor exponente, así: MCD=2x3r2t2=6r2t2 EJERCICIOS.Factorizar cada uno de las siguientes expresiones algebraicas, aplicando según corresponda los casos estudiados:

EJERCICIOS RESUELTOS: [1] a20 – a16 + a12 – a8 + a4 – a2 = a2 (a18 – a14 + a10 – a6 + a2 – 1) [2] x(2a + b + c) – 2ª – b – c = x(2a + b + c) – (2a + b + c) = (2a + b + c)(x - 1) [3] 4a3x – 4a2b + 3bm – 3amx

= (4a3x – 3amx) + ( 3bm – 4a2b) = ax (4a2 – 3m) - b(4a2 – 3m) = (4a2 – 3m)(ax - b)

[4] m2 – 8m – 1008

= (m - 36)(m - 28)

[5] (a - 1)2 + 3( a - 1) – 108 = [(a - 1) + 12][ (a - 1) - 9] = (a + 11)(a - 10) EJERCICIOS PROPUESTOS: [6] x8y8 - 15 x4y4 – 100a2

Resp. (x4y4 – 20a)( x4y4 + 5a)

[7] (2a - c)2 - (a + c)2

Resp. 3a(a – 2c)

[8]

Hallar el mcm y MCD de los siguientes polinomios y factorizar su

resultado a) 9a2bx,12ab2x2,18a3b3x


53


MATEMATICAS

b) 6y2z4,24y3z2 Resp. a) mcm: 36a3b3x2; MCD: 3abx b) mcm: 24y3z4; MCD: 6y2z2 [9] 6x4 + 5x2 - 6

Resp.(3x2 – 2) (2x2 + 3)

[10] up+q + vp+q + (uv)p + (uv)q

Resp.(uq + vp) (up + vq)

EJERCICIOS CON RESPUESTAS DE SELECCIÓN MULTIPLE [11] x16 – y16 Resp. Elegir la respuesta correcta: a) (x - y)(x + y)(x2 + y2) (x4 + y4) (x6 + y6) b) (x - y)(x + y)(x2 + y2) (x4 + y4) (x8 + y8) c) (x - y)(x + y)(x2 + y2) (x4 + y4) (x10 + y10) [12] 64a4b8 – 64a2b4c4d6 + 16c8d12 Resp. Elegir la respuesta correcta: a) (8a2b4 – 4c4d6) (8a2b4 + 4c4d6) b) (8a2b4 – 4c4d6) c) (8a2b4 – 4c4d6)2 [13] a8 + b8 + 2a2b2(a4 + b4) + 3a4b4 Resp. Elegir la respuesta correcta: a) a4b4 – a2b2 + b4 b) (a4b4 – a2b2 + b4)2 c) a4b4 – a2b2 + b4 + 1 [14] u8 – 14u4 + 25 Resp. Elegir la respuesta correcta: a) (U4 – 2u2 – 5)2 b) (U4 – 2u2 – 5) (U4 + 2u2 – 5) c) (U4 – 2u2 – 5)


54


MATEMATICAS

[15] 12(x – y)2 + 7(x - y)- 12 Resp. Elegir la respuesta correcta: a) (4x – 4y + 3)(3x – 3y - 4) b) (4x – 4y - 3)(3x – 3y + 4) c) (4x – 4y - 3)(3x – 3y - 4)

EJERCICIOS CON RESPUESTAS (

01. (

02.

) (

03. 04.

)

(

)

)

(

)(

)

(

)

05. 06. 07.

(

)

(

)

08. 09. 10.

11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. 19. 20.


55


MATEMATICAS

TEMA 7 EXPONENTES, RADICALES Y FRACCIONES ALGEBRAÍCAS EXPONENTES Exponente natural Se define: An=A.A.A…….A

n

“n”veces

LEYES DE EXPONENTES Es el conjunto de teoremas y definiciones que estudian a las diferentes relaciones, operaciones y transformaciones que se puedan realizar con los exponentes. En esta sección se hace un resumen delas propiedades de la ley de los exponentes que son válidos para cualquier número

ncon

“a” y “b”, considerados como expresiones

algebraicas 

Producto de dos potencias de la misma base:



Potencia de una potencia:



Potencia del producto de dos factores



Cociente de dos potencias de la misma base:

aman amn

(am) n amn

(ab) n anb n

am / anam-n,mn,a0 

Exponente Cero:

a0 1 LEYES DE SIGNOS +

*

+

=

+

-

*

-

=

+

+

*

-

=

-

-

*

+

=

-

EJERCICIOS RESUELTOS 1. Producto de dos potencias de la misma base:


56


MATEMATICAS

a 3a4 = a3+4 = a7 2. Cociente de dos potencias de la misma base:

a6 a2

a6 - 2 = a4

3. Potencia de una potencia:

(a2)6 = a2*6 = a 4. Potencia del producto de dos factores:

(a * b)6 = a6 * b6 RADICALES Llamaremos radical simple a la expresión n a , cumpliéndose que: Las cantidades “a” y “b” serán positivas siempre que “n” sea un número par. LEY DE RADICALES La ley de los radicales se basa en las leyes de los exponentes, pues:

√ EJERCICIOS CON RESPUESTAS (

01.

)

02.

(

)

03.

(

)

04.

05.

(

√

√

)(

)

06.

07.

(

√ √

√

)(

√

)

08.


57


MATEMATICAS

√ √

√ √

09.

( √ )( √ )(

)

10. ( 11.

)

√

√

√

12.

√

13.

√

14.

(

√

√ √

√

15.

)(

)

(

[√

]

[√

]

√

√ √

√ √

)

√

16. 17.

( (

)

(

)

(

) )

18. (

19. 20.

(

)(

)

(

)

)


58


MATEMATICAS

TEMA 8 ECUACIONES

DEFINICIÓN Una ecuación es una igualdad entre dos expresiones algebraicas, y

se

denominan miembros de la ecuación. Una ecuación es una igualdad y el resolver implica el encontrar el valor de las variables que están en la expresión algebraica, en las que aparecen valores conocidos (datos), y desconocidos (incógnitas), relacionados mediante operaciones matemáticas. Los valores conocidos pueden ser números, coeficientes o constantes; y también variables cuya magnitud se haya establecido como resultado de otras operaciones. Las incógnitas, representadas generalmente por letras, constituyen los valores que se pretende hallar. Las ecuaciones que analizaremos en este curso son: i) Ecuaciones lineales con una incógnita. ii) Ecuaciones lineales con dos incógnitas.(sistema de dos ecuaciones) iii) Ecuaciones de segundo grado con una incógnita (ecuación de segundo grado)

ECUACIONES LINEALES CON UNA INCÓGNITA. Son aquellas donde hay una sola variable en la ecuación y el resolverla implica encontrar el valor de la variable.

Ejemplo 1: Si la altura de una persona (cm) madura es, dos veces la longitud de su brazo (cm) mas 15 cm. Determinar la altura de una persona en metros, si la longitud de su brazo es 75 cm.

Ecuación que relaciona la altura (y) y la longitud del brazo (x) en centímetros:

y = 2 x + 15 Reemplazamos en la ecuación:


59


MATEMATICAS

y = 2 ×75 + 15 1m y = 165 cm × = 1, 65m 100 cm ECUACIONES LINEALES DE PRIMER GRADO CON DOS INCÓGNITAS. Son aquellas que conforman un sistema de dos ecuaciones y el resolver implica encontrar los valores de las dos incógnitas, para resolver esta ecuación existen cuatro métodos, que son: i) Método por igualación. ii) Método por sustitución iii) Método por reducción iv) Método por determinantes

i)

Método por igualación.

El método de igualación para resolver un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas consiste en despejar una de las dos incógnitas en las dos ecuaciones. Sea cual sea el valor de esta incógnita, ha de ser el mismo en las dos ecuaciones, por tanto podemos igualar las dos expresiones obteniendo una ecuación con una incógnita, que podemos resolver con facilidad. Una vez conocido el valor de una de las dos incógnitas lo sustituimos en una de las ecuaciones iniciales y calculamos la segunda. Ejemplo 2: Resolver el siguiente sistema de ecuaciones: ( ) ( ) De ambas ecuaciones (1) y (2) despejaremos la incógnita x De (1):

x = 1- 2 y De (2):

x = - 1+ 3 y Como:

x= x


60


MATEMATICAS

Entonces:

1- 2 y = - 1+ 3 y Despejar y:

3 y + 2 y = 1+ 1 5y = 2 y=

2 5

Reemplazar en (1):

2 x = 1- 2 × 5 4 x = 15 1 x= 5 Solución:

ii)

Método por sustitución.

El método de sustitución consiste en despejar una de las incógnitas en una de las ecuaciones y sustituirlo en la otra, dando lugar así a una ecuación con una incógnita. Una vez resuelta sustituimos su valor en la ecuación despejada y calculamos la segunda incógnita. Ejemplo 3: Resolver la siguiente ecuación. ( ) ( ) De (2) despejar y:

y = x+ 8 Reemplazar en (1)

3x - 2(x + 8)= 4 Despejar x:


61


MATEMATICAS

3x - 2 x - 16 = 4 x = 4 + 16 x = 20 Reemplazar en (2):

y = 20 + 8 y = 28  Solución:

iii)

x = 20; y = 28

o (20, 28)

Método por reducción.

El método de reducción consiste en multiplicar cada una de las ecuaciones por los valores necesarios, de forma que los coeficientes de una de las incógnitas sean los mismos cambiados de signo. Conseguido esto, se suman las dos ecuaciones y la incógnita que tiene los coeficientes opuestos se elimina, dando lugar a una ecuación con una incógnita, que se resuelve haciendo las operaciones necesarias. Conocida una de las incógnitas se sustituye su valor en una de las ecuaciones originales y calculamos la segunda.

Ejemplo 4: Resolver el siguiente sistema de ecuaciones. ( ) ( ) Conseguir que los coeficientes de una de las incógnitas sean los mismos pero cambiados de signo:


62


MATEMATICAS

Reemplazamos en (2):

5 + 3y = 8 8 5 3y = 8 + 8 69 y= 3 ×8

-

y=

23 7 o y= 2 8 8

 Solución: iv)

Método por determinantes.

Se resuelve por la regla de Cramer, es un método de álgebra lineal para resolver sistemas de ecuaciones. Su base teórica no es tan sencilla como los métodos vistos hasta ahora y emplea el cálculo de determinantes, y da lugar a una forma operativa sencilla y fácil de recordar, especialmente en el caso de dos ecuaciones con dos incógnitas. Ejemplo 5: Resolver el siguiente sistema de ecuaciones.

Para determinar la variable x, sus coeficientes son reemplazados por el resultado de cada ecuación. Se multiplica en diagonal, la diagonal diagonal

es positiva y la

es negativa

- 7 2 - 8 3 (- 7)×3 - 2 (- 8) x= = 1 2 1×3 - 5 ×2 5 3 - 21 + 16 - 5 = 3 - 10 - 7 5 x= 7

x=


63


MATEMATICAS

Para determinar la variable y:

1 - 7 5 - 8 (- 8)×1- 5 (- 7) = - 7 - 7 - 8 + 35 27 x= = - 7 - 7 y=

x= -

27 6 o x= - 3 7 7

 Solución: ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO CON UNA INCÓGNITA. Son aquellas ecuaciones que tienen la forma general:

ax2 + bx + c = 0 Donde a, b, c son constantes y a es diferente de cero, para resolver se puede utilizar la ecuación general o el método de factorización del aspa.

Ejemplo 6: Resolver la siguiente ecuación cuadrática por a) fórmula y b) factorización.

x2 - 3x - 10 = 0 a) Fórmula; donde a = 1; b = – 3;c = – 10. Reemplazando en la ecuación cuadrática:

x=

- b±

b 2 - 4ac 2a 2

x= x= x=

- (- 3)± (- 3) - 4 ×1×( 10) 2 ×1 3±

9 + 40 2

3± 7 2


64


MATEMATICAS

Hallando los dos valores:

3+ 7 10 ; x1 = ; x1 = 5 2 2 3- 7 - 4 x2 = ; x2 = ; x2 = - 2 2 2 x1 =

b) Por factorización.

x 2 - 3x - 10 = 0

(x - 5)(x + 2)= 0 Despejando cada factor:

x1 - 5 = 0; x1 = 5 x2 + 2 = 0; x2 = - 2 EJERCICIOS PROPUESTOS.Ecuaciones lineales: 1) El tamaño del cuerpo de un pez es 2 veces el tamaño de su cabeza. Determinar la longitud de la cabeza de un pez que tiene una longitud de 54 cm a) 27 cm

b) 18 cm

2) Hallar x: a) a-b

a2 a bc

d) 35 cm

e) ninguno

d) (a+b)(a-b)/(2b)

e) ninguno

1 x x   a ab ab

b) (a+b)(a-b)

3) Hallar el valor de x:

a)

c) 6 cm

b)

c) (a+b)(a-b)/(2a)

xa xb xc   ab ac bc

c2 a bc

c)

a 2  b2 a bc

d)

a2 abc

e)

b2 a bc

Sistema de ecuaciones: Resolver por cualquier método.


65


MATEMATICAS

4)

5)

6)

Ecuaciones cuadráticas. Resolver por cualquier método. 7) a)

5 1 ;3 2

8) a)

6 x2 - 7 x - 5 = 0 b) -

5 1 ; 3 2

c) -

5 1 ;3 2

d)

5 1 ; 3 2

e) ninguno

x 2 + 5x + 4 = 4 x (x - 2)

5 ;4 3

b) 3; -

3 2

c)

1 ;4 3

d) -

1 1 ;3 2

e) ninguno

Miscelánea. 9) A nivel del mar un globo tiene un radio de 12 cm, si este sube a 120 m.s.n.m. su volumen se incrementa en un 75 %, ¿Cuál es el radio del globo a 120 m.s.n.m.? (considerar que v  a)

1,717 cm

3

b) 67,12 cm

3

4   r3 ) 3

c) 14,46 cm

3

d) 965,5 cm

3


e) 0,904 cm

3

66


MATEMATICAS

10) Cierto doctor (mejor mantener el anonimato) fue beneficiado en su salario con un incremento del 15 % y un bono fijo de 250 Bs. Adquiere de ese modo un sueldo fijo de 6000 Bs. ¿Cuánto era su sueldo inicialmente? a)

5000 Bs

b) 5500 Bs

c) 4500 Bs

d) 4800 Bs

e) ninguno

11) Cierto granjero tiene conejos y gallinas, este cuenta 50 cabezas y 140 patas. Determinar cuánto tiene de cada especie. (considerar que sus animales son normales – nada de animales con 3 cabezas ni cinco patas) a)

30 conejos, 20 gallinas b) 25 conejos, 25 gallinas c) 20 conejos, 30 gallinas

d) ninguno

12) En un cultivo bacteriano se observó que una bacteria X “llena” toda la caja Petri en 6 días y que una bacteria Y lo “llena” en 3días. Si se sembrara ambas bacterias en la caja Petri, ¿en que tiempo lo “llenarían”? a)

9 días

b) 6 días

c) 3 días

d) 1 día e) ninguno

EJERCICIOS CON RESPUESTAS 01. (

02.

)

03. 04. 05. 06. (

07.

)

08. 09. √

10.

11.

√


67


MATEMATICAS

12. 13. 14. 15.

16. 17. 18. 19. 20.


68


MATEMATICAS

TEMA 9 LOGARITMOS DEFINICIÓN DE LOGARITMOS Logaritmo sólo es otra forma de expresar la potenciación

Aquí están los nombres que reciben cada uno de los elementos:

Representación gráfica de logaritmos en varias bases: el rojo representa el logaritmo en base e, el verde corresponde a la base 10, y el púrpura al de la base 1,7. Los logaritmos de todas las bases pasan por el punto (1, 0), esto es debido a que cualquier número elevado a la cero es igual a uno, y también los puntos (b, 1) para la base b, debido a que cualquier número elevado a la unidad es igual a sí mismo.


69


MATEMATICAS

El logaritmo de un número, en una base dada, es el exponente al cual se debe elevar la base para obtener el número. Siendo a la base, “x” el número e y el logaritmo. con a>0 y a≠1 Logaritmos decimales: Son los que tienen base 10. Se representan por log (x). Logaritmos neperianos: Son los que tienen base e. Se representan por ln (x) o L(x). Por ejemplo:

De la definición de logaritmo podemos deducir:  No existe el logaritmo de un número con base negativa.  No existe el logaritmo de un número negativo.  No existe el logaritmo de cero.  El logaritmo de 1 es cero.  El logaritmo en base a de a es uno.


70


MATEMATICAS

 El logaritmo en base a de una potencia en base a es igual al exponente.

Propiedades de los logaritmos:

1. El logaritmo de un producto es igual a la suma de los logaritmos de los factores:

2. El logaritmo de un cociente es igual al logaritmo del dividendo menos el logaritmo del divisor:

3. El logaritmo de una potencia es igual al producto del exponente por el logaritmo de la base:

4. El logaritmo de una raíz es igual al cociente entre el logaritmo del radicando y el índice de la raíz:

5. Cambio de base:


71


MATEMATICAS

Ecuaciones logarítmicas 1.

2.

3. 4.

5.

Logaritmo natural o neperiano El logaritmo con base e se denomina logaritmo natural y se denota ln x, esto quiere decir, que ln x es la inversa de la función exponencial definida por f(x) = ex.

El logaritmo natural es un logaritmo que tiene como base el número 2,718281828…


72


MATEMATICAS

Debido a que es muy incómodo trabajar con un número que tiene muchos decimales, se le ha asignado la letra “e”: e = 2,718281828… El logaritmo natural de x (ln x) es la potencia a la que se debe elevar e para obtener x. El nombre de logaritmo neperiano proviene del escocés John Neper, inventor de los primeros logaritmos y su uso es fundamentalmente en el cálculo diferencial. Algunas propiedades básicas de los logaritmos naturales son las siguientes: 

ln 1 = 0



ln e = 1



ln ex = x



eln x = x



ln (x * y) = ln x + ln y



ln(x/b)



ln (x)r = rln x

= ln x – ln y

Log 2,718281828  A  Loge  A  Ln  A Loge A  LnA

Así que cuando se aplica la definición de logaritmos a un ejercicio cualquiera debemos tomar en cuenta este cambio de notación. Por ejemplo:

LnA  n Log e A  n A  en Otro ejemplo


73


MATEMATICAS

Ejercicios Propuestos 1) Hallar el logaritmo de:

Respuesta.:

a) log2 4 =

f) log2 0,5 =

b) log3 27 =

g) log2 0,25 =

c) log2 16 =

h) log2 0,125 =

d) log5 125 =

i) log6 216 =

e) log3 243 =

j) log 100000 =

a) 2,

b) 3,

h) – 3, i) 3,

c) 4,

d) 3

e) 5,

f) – 1, g) – 2,

j) 5

2) Resolver aplicando las propiedades de logaritmos. a) log (5 . 3) = ?

b) log (23 . 3) = ?

c) log (7 : 3) = ?

d) log (2 . 3 : 4)5 =?

e) Respuesta.:

a) log 5 + log 3,

c) log 7 – log 3,

b) 3. log 2 + log 3,

d) 5. (log 2 + log 3 – log 4), e) ½ (log 3 + log 5) – log 2. 3) Cambio de base: a) log2 5 =

?

c) log3 7 = ?

b) log32 =

?

d) log5 24 = ?

Respuesta: a) log 5 / log 2,

b) log 2 / log 3,

c) log 7 / log 3,

d) log 24 / log 5.

4) Ecuaciones:

Respuesta: a) 2 ;

b) – 4 y 4;

c) 2;

d) 2,3 y – 1,3;


e) 2.

74


MATEMATICAS

5) Para determinar la edad de una roca la ciencia actualmente ha podido desarrollar una técnica basada en la concentración de material radiactivo en su interior. Cuanto más joven es la roca mayor concentración de material radiactivo encontraremos. C(x) = k. 3

–t

es la fórmula que se utiliza, donde C

(x)

representa la

concentración del material radiactivo, t el tiempo transcurrido medido en cientos de años y "k" la concentración del elemento en el momento de formarse la roca. Si k = 4500 a)¿Cuánto tiempo debe haber pasado para que hallemos una concentración de 1500?; b) ¿Qué concentración tendríamos al cabo de dos siglos?; c)¿En qué tiempo se acabaría este material?. Respuesta: a) como t = 1, pasaron cien años. b) 1,7 .10 – 92 c) La ecuación no tiene como resultado el número cero, por lo que teóricamente siempre quedaría un mínimo resto de material radiactivo. Aplicaciones de Logaritmos en pH. El pH es una medida de la acidez o basicidad de una solución. El pH es la concentración de iones o cationes hidrógeno [H+] presentes en determinada sustancia. La sigla significa "potencial de hidrógeno" (pondusHydrogenii o potentiaHydrogenii; del latín pondus, n. = peso; potentia, f. = potencia; hydrogenium, n. = hidrógeno). Este término fue acuñado por el químico danés Sørensen, quien lo definió como el logaritmo negativo de base 10 de la actividad de los iones hidrógeno. Esto es:

Algunos valores comunes del pH Sustancia/Disolución

pH

Disolución de HCl1 M

0,0

Jugo gástrico

1,5

Jugo de limón

2,4

Refresco de cola

2,5

Vinagre

2,9


75


MATEMATICAS

Jugo de naranja o manzana 3,0 Cerveza

4,5

Café

5,0

Té

5,5

y complejas. En disoluciones diluidas, en

Lluvia ácida

< 5,6

lugar

Saliva (pacientes con cáncer) 4,5 a 5,7

Desde entonces, el término "pH" se ha utilizado universalmente por lo práctico que resulta para evitar el manejo de cifras largas

de

utilizar

la

actividad

del

ion

hidrógeno, se le puede aproximar empleando

Orina

5,5-6,5

la concentración molar del ion hidrógeno.

Leche

6,5

Agua pura

7,0

Saliva humana

6,5 a 7,4

Sangre

7,35 a 7,45

Agua de mar

8,0

El pH típicamente va de 0 a 14 en disolución

Jabón de manos

9,0 a 10,0

acuosa, siendo ácidas las disoluciones con

Amoníaco

11,5

pH menores a 7, y básicas las que tienen pH

Hipoclorito de sodio

12,5

Hidróxido sódico

13,5 a 14

Por ejemplo, una concentración de [H+] = 1 × 10–7 M (0,0000001) es simplemente un pH de 7 ya que: pH = –log[10–7] = 7

mayores a 7. El pH = 7 indica la neutralidad de la disolución (donde el disolvente es agua).

Se considera que p es un operador logarítmico sobre la concentración de una solución: p = –log[...] , también se define el pOH, que mide la concentración de iones OH-.

Puesto que el agua está disociada en una pequeña extensión en iones OH– y H+, tenemos que: Kw = [H+][OH–]=10–14 en donde [H+] es la concentración de iones de hidrógeno, [OH-] la de iones hidróxido, y Kw es una constante conocida como producto iónico del agua. Por lo tanto,


76


MATEMATICAS

log Kw = log [H+] + log [OH–] –14 = log [H+] + log [OH–] 14 = –log [H+] – log [OH–] pH + pOH = 14 Por lo que se puede relacionar directamente el valor del pH con el del pOH. En disoluciones no acuosas, o fuera de condiciones normales de presión y temperatura, un pH de 7 puede no ser el neutro. El pH al cual la disolución es neutra estará relacionado con la constante de disociación del disolvente en el que se trabaje. El valor del pH se puede medir de forma precisa mediante un potenciómetro, también conocido como pH-metro, un instrumento que mide la diferencia de potencial entre dos electrodos: un electrodo de referencia (generalmente de plata/cloruro de plata) y un electrodo de vidrio que es sensible al ión hidrógeno. También se puede medir de forma aproximada el pH de una disolución empleando indicadores, ácidos o bases débiles que presentan diferente color según el pH. Generalmente se emplea papel indicador, que se trata de papel impregnado de una mezcla de indicadores. Algunos compuestos orgánicos que cambian de color en función del grado de acidez del medio en que se encuentren se utilizan como indicadores cualitativos para la determinación del pH. El papel de litmus o papel tornasol es el indicador mejor conocido. Otros indicadores usuales son la fenolftaleína y el naranja de metilo. A pesar de que muchos potenciómetros tienen escalas con valores que van desde 1 hasta 14, los valores de pH pueden ser menores que 1 y mayores que 14. Por ejemplo el ácido de batería de automóviles tiene valores cercanos de pH menores que cero, mientras que el hidróxido de sodio varía de 13,5 a 14. Un pH igual a 7 es neutro, menor que 7 es ácido y mayor que 7 es básico a 25 ºC. A distintas temperaturas, el valor de pH neutro puede variar debido a la constante de equilibrio del agua (Kw). La determinación del pH es uno de los procedimientos analíticos más importantes y más usados en ciencias tales como química, bioquímica y la química de suelos. El pH determina muchas características notables de la estructura y actividad de las biomacromoléculas y, por tanto, del comportamiento de células y organismos


77


MATEMATICAS

EJERCICIOS CON RESPUESTAS 01.

(

)

(

)

02. (

03.

)

(

04.

(

)

)

05. √

06. 07. 08.

√

09. 10. {

11.

[

]}

12. √

13.

( )

14.

( )

15.

√

√

(√ )

( ( )

16. 17.

)

√

18. {

19. 20.

(

[ )

(

)]} (

)


78


MATEMATICAS

TEMA 10 INTRODUCCIÓN A LA ESTADÍSTICA La estadística es una ciencia que nos proporciona un conjunto de métodos que se utiliza para recolectar, resumir y clasificar el comportamiento de los datos con respecto a una característica que es materia de estudio o investigación.

Una vez analizada la información o los datos, la estadística entra en otros temas como ser tomar decisiones y predecir respecto a la fuente de datos.

Concepto de Estadística.

1. Es un conjunto de métodos

que permiten la recolección, agrupación,

presentación de los datos mediante graficas o formulas, con los cuales se pueden tomar decisiones. 2. La Estadística es una disciplina que utiliza recursos matemáticos para organizar y resumir una gran cantidad de datos obtenidos de la realidad, e inferir conclusiones respecto de ellos.

Tipos de Estadística.

a) Estadística Descriptiva. El objetivo de la estadística descriptiva es describir un conjunto de datos, organizar los datos de forma tal que se puedan ver las tendencias y normas, se pueda dibujar gráficos, calcular estadísticos y redactar informes se llama estadística descriptiva, para esto se realizan los siguientes pasos:  Ordenar los datos  Recopilarlos en tablas estadísticas: distribuciones de frecuencias.  Gráficos de la distribución de frecuencias.  Cálculo de estadísticos: resumen de datos.  Interpretar resultados: presentación informe.


79


MATEMATICAS

b) Estadística Inferencial. Es el conjunto de métodos posibilitan la generalización

o técnicas

que

o toma de decisiones en base a una

información parcial obtenida mediante técnicas descriptivas, es la exposición de predicciones y toma de decisiones. El objetivo de la Inferencia Estadística es hacer afirmaciones sobre la población basadas en la información disponible en la muestra. 

Predicción ó Probabilidad



Estimación de parámetros.



Toma de decisiones.

Variables y sus clasificaciones. Los datos estadísticos

son números que representan objetos concretos,

cantidades o medidas, como ser peso de una persona, número de alumnos, etcétera, los cuales permiten contarlos y medirlos.Las unidades estadísticas son todos los elementos componentes de la población que son objeto de estudio, por ejemplo en el Censo de población la unidad estadística que es objeto de estudio es la persona. Las variables se pueden representar con letras como ser X,Y,, ..,Z; por ejemplo se quiero representar la edad de varias personas se realiza de la siguiente forma.

X: edad de la persona x1 = 20, x2 = 10, x3 = 19, x4 = 15, ………, xn=21

a) Variables Cualitativas. Son aquellas que no son medibles, que representan las cualidades de lo que se está estudiando, como ser sexo, religión, estado civil, nivel de instrucción.  Cualitativas Nominal. Los elementos solo pueden ser clasificados en categorías, pero no se da un orden o jerarquía, pueden ser color de los ojos, barrio de residencia, etcétera.


80


MATEMATICAS

 Cualitativas Ordinal. Son elementos que pueden ser clasificados en categorías que tienen un orden o jerarquía, la diferencia entre valores no se pueden realizar o no son significativas, por ejemplo grado de estudio, cargo en una empresa, etcétera. b) Variables Cuantitativas. Son aquellas que son medibles o numeradas y se caracterizan por que pueden ser cuantificables y a su vez pueden ser: Ejemplo: Edad – Precio de un producto – ingreso mensual – estatura – peso, etc. X = Edad del Individuo  Cuantitativas Discretas. Los discretos son datos puntuales que a simple pregunta se obtiene una respuesta, pueden ser la edad, números de hijos, etcétera.  Cuantitativas Continuas. Son datos que se encuentran dentro de un intervalo para reducir la cantidad de inversiones como ser ingreso, estatura, etcétera. Población y Muestra. a) Población (N). Para la estadística población es algo mas general que solo la agrupación de individuos, es el conjunto de cosas, animales, etc. que poseen algunas características en común y que conforman la totalidad de lo que se estudia. b) Muestra (n). Es un

subconjunto

de la población

total

la cual debe ser

representativa, la cual sirve para estudiar a toda la población que es representada por ella, por lo tanto la muestra siempre es menor que la población. Construcción de tablas de Frecuencias. Después de realizar una encuesta, el primer paso que se debe dar es ordenar, clasificar a los datos de una forma simple, obtener conclusiones útiles ya sea directamente o por cálculos posteriores con la finalidad de hacer un análisis más confiable de los mismos para lo cual se realizan los siguientes pasos: 1. Revisión y corrección de los datos encuestados 2. Construcción de tablas de frecuencia 3. Representación tabular, cuadros estadísticos o gráficos 4. Interpretación de datos


81


MATEMATICAS

Datos No Agrupados Son aquellos datos que normalmente son escasos, para la cual solo se los ordena de manera creciente anotando las veces que aparece cada datos observado.

Ejemplo. Se obtuvieron 10 notas de estudiantes de su primer parcial sobre 25 puntos de la materia de estadística y se quiere construir la tabla de frecuencias de las siguientes notas: 16

18

11

19

16

24

23

16

11

18

18

19

23

24

Obteniendo datos iniciales: Número de datos(n)= 10 ni= Notas de primer parcial Por ser escasos los datos la tabla de frecuencias será: Primero se ordenan los datos de manera ascendente 11

11

16

16

16

18

Se puede observar que los datos se pueden agrupar de acuerdo a la cantidad de repeticiones.

ni 16 18 11 19 16 24 23 16 11 18

Notas 11 16 18 19 23 24

ni 2 3 2 1 1 1

Datos Agrupados Son aquellos datos para los cuales se construye una tabla de frecuencias obteniendo el rango, número de intervalos, ancho de clase y frecuencias.


82


MATEMATICAS

a) Rango o Recorrido(R). Permite averiguar el rango o diferencia que existen entre los datos encuestados para lo cual se halla el dato máximo y mínimo de los observados. R = máximo xi– minino xi b) Número de Intervalos (K). Él número de intervalos proporciona la cantidad de subconjuntos que agrupa a los datos o cantidad de filas que tendrá la tabla de frecuencias. n= número de datos observados

√ c) Ancho de Clase (C). Indica cuantos valores se tomaron en cada clase los cuales deben redondearse

a un número entero

en caso que el resultado sea real.

d) Frecuencia Absoluta (ni). Se llama frecuencia absoluta a los valores que se obtienen en la encuesta los cuales están agrupados en cada intervalo. Ejemplo. Se obtuvieron las notas de 50 estudiantes del anterior semestre de la materia de estadística y se quiere construir la tabla de frecuencias de acuerdo a los siguientes datos: 8

81

74

59

46

97

16

36

66

14

19

1

100

96

78

5

40

36

82

31

30

17

41

47

90

95

82

10

38

75

30

36

77

23

78

92

28

49

62

99

28

29

6

84

37

22

84

100

92

22

Obteniendo datos iniciales: Número de datos(n)= Número Máximo= Número Mínimo= Rango= Numero de Intervalos= Ancho de Clase=

50 100 1 99 7,071≈ 14,14≈

7 14


83


MATEMATICAS

Trazar la tabla de frecuencias colocando el Límite Inferior (Li) y Limite Superior (Ls), el número de filas que tendrá la tabla está determinado por el valor obtenido en el Número de Intervalos = 7, por lo cual tendrá 7 filas Li - Ls

ni

Intervalo 1 Intervalo 2 Intervalo 3 Intervalo 4 Intervalo 5 Intervalo 6 Intervalo 7 El límite inferior se debe comenzar con el dato mínimo y a este valor se le suma el ancho de clase para obtener el límite superior y posteriormente se llena la columna de la frecuencia absoluta (ni) contando el número de notas que existe en cada intervalo Para Límites Reales

Ancho de clase=14 1+14=15 15+14=29 …..

Li - Ls 1 - 15 15 - 29 29 - 43 43 - 57 57 - 71 71 - 85 85 - 100

ni 6 8 11 3 3 10 9

Li - Ls 1 - 15 16 - 30 31 - 45 46 - 60 61 - 75 76 - 90 91 - 105

ni 6 11 8 4 4 9 8

Para Límites Aparentes

Ancho de clase=14 1+14=15 16+14=30 …..

e) Frecuencia Absoluta Acumulada (Ni). Esta frecuencia nos permite acumular la frecuencia Absoluta, lo cual implica ir sumando de la siguiente forma: N1=n1 N2=n1+n2 N3=n1+n2+n3


84


MATEMATICAS

....... Nk =n1+n2+.……+nk= n f) Frecuencia Relativa (fi). Se llama frecuencia relativa al valor de porcentaje y proporción que ocupa en la muestra un determinado intervalo de datos.

Cuya ∑ será igual a 1

Cuya ∑ será igual a 100 g) Frecuencia Relativa Acumulada (Fi). Esta frecuencia nos permite acumular la frecuencia relativa.F1= f1 F2= f1 + f2 F3 = f1 + f2+ f3 ....... Fk = f1 + f2 +.……+ fk= 1 ó 100 h) Punto Medio ó Marca De Clase (Xi). Se lo obtiene para el cálculo de algunas fórmulas y obtiene el punto medio de cada intervalo.

Ejemplo. Del ejemplo anterior hallar la frecuencia relativa y absoluta, sus respectivas frecuencias acumuladas y punto medio Li - Ls 1 - 15 16 - 30 31 - 45 46 - 60 61 - 75 76 - 90 91 - 105

ni 6 11 8 4 4 9 8

Ni 6 17 25 29 33 42 50

fi 0,12 0,22 0,16 0,08 0,08 0,18 0,16

Fi 0,12 0,34 0,50 0,58 0,66 0,84 1

fi% 12 22 16 8 8 18 16


Fi% 12 34 50 58 66 84 100

Xi 8 23 38 53 68 83 98

85


MATEMATICAS

Gráficos Estadísticos Para representar la información de manera grafica se pueden utilizar varios tipos de gráficos estadísticos:

a) Histograma. Es una serie de rectángulos

proporcionales

a la frecuencia

absoluta, para lo cual se usa en el eje horizontal se usa la clase (Limite Inferior y Superior) y en el eje vertical la frecuencia absoluta (ni).

b) Polígono de Frecuencia. Un polígono es un gráfico de línea trazada sobre los puntos medios de los techos de los rectángulos del Histograma o directamente graficando en el eje horizontal se usa el punto medio o marca de clase (xi) y en el eje vertical la frecuencia absoluta (ni).

Frecuencia Absoluta (ni)

POLIGONO 20 10 ni

0 0

8

23

38

53

68

83

98

105

Punto Medio o Marca de Clase (Xi)


86


MATEMATICAS

c) Ojivas. Para graficar en el eje horizontal se usa la clase (Limite Superior) y en el eje vertical una frecuencia acumulada (Ni, Fi, Fi%), por lo cual el grafico se mostrara la frecuencia de manera creciente.

Frecuencia Absoluta Acumulada (Ni)

OJIVA 60 40 20

Ni

0 1

15

30

45

60

75

90

105

Limite Superior (Ls)

Frecuencia Relativa Acumulada (Fi)

OJIVA 1,5 1 0,5

Fi

0 Ls

1

15

30

45

60

75

90


Para realizar la ojiva decreciente se usa una frecuencia acumulada (Ni, Fi, Fi%) pero ordenada al revés para lo cual se coloca al nombre de la frecuencia un apostrofe (Fi%’, Ni’, Fi’)


87

PRUEBA DE SUFICIENCIA ACADEMICA GESTION 2013 Li - Ls 1 - 15 16 - 30 31 - 45 46 - 60 61 - 75 76 - 90 91 - 105

ni 6 11 8 4 4 9 8

Ni 6 17 25 29 33 42 50

Ni’ 50 42 33 29 25 17 6

fi 0,12 0,22 0,16 0,08 0,08 0,18 0,16

Fi 0,12 0,34 0,50 0,58 0,66 0,84 1

MATEMATICAS Fi’ 1 0,84 0,66 0,58 0,50 0,34 0,12

fi% 12 22 16 8 8 18 16

Fi% 12 34 50 58 66 84 100

Fi% 100 84 66 58 50 34 12

Frecuencia Relativa Acumulada en Porcentaje (Fi%')

OJIVA DECRECIENTE 200 100 0 1

15

30

45

60

75

90

105

Fi%'


Frecuencia Absoluta Acumulada (Ni%')

OJIVA DECRECIENTE 100 50 Ni’

0 1

15

30

45

60

75

90

105


d) Barras. Para graficar en el eje horizontal se usa la clase (Limite Superior) y en el eje vertical la frecuencia absoluta (ni).La característica de este grafico es igual a la des histograma pero las barras separadas una de la otra.

Frecuencia Absoluta (ni)

BARRAS 15 10 5

ni

0 15

30

45

60

75

90

105



88


MATEMATICAS

e) Torta. Para graficar la torta se debe calcular primero el espacio que ocupa cada clase, para lo cual en la tabla de frecuencias se aumenta una nueva columna para calcular el espacio de cada área, cuya suma de todas las áreas es igual a 360.De manera opcional a los gráficos se puede incluir el porcentaje de ocupa que es simplemente el valor de la frecuencia relativa en porcentaje (fi%).

Li - Ls 1 - 15 16 - 30 31 - 45 46 - 60 61 - 75 76 - 90 91 - 105

ni 6 11 8 4 4 9 8

fi% 12 22 16 8 8 18 16

Ai 43,2 79,2 57,6 28,8 28,8 64,8 57,6

TORTA 16% 18% 8%

8%

12% 22%

16%

15 30 45 60

Medidas de Tendencia Central Frecuentemente se necesita tener una sola medida de la información esta medida tiene que ser representativa de todas las observaciones que indique la tendencia de los datos. La sumatoria se denota ∑ que implica la agrupación de varios datos del mismo tipo mediante la suma de los mismos de la siguiente forma. xi= Variable que representa a los datos x1, x2, x3, x4,...xn La suma de los datos


89


MATEMATICAS

x1 + x2+ x3+ x4+ ... + xn La suma de los datos utilizando una sumatoria

∑( ) a) Media Aritmética o Promedio (

). Los promedios son una medida de posición

que dan una descripción compacta de cómo están centrados los datos y una visualización más clara del nivel que alcanza la variable, pueden servir de base para medir o evaluar valores extremos o raros y brinda mayor facilidad para efectuar comparaciones.

Para datos no agrupados x1 + x2+ x3+ x4+ ... + xn = -------------------------------n

Para datos agrupados

b) Mediana (Me). Es el valor de la observación que ocupa la posición central de un conjunto de datos ordenados según su magnitud. Es el valor medio o la media aritmética de los valores medios. Geométricamente la mediana es el valor de la variable que corresponde a la vertical que divide al histograma en dos áreas iguales. Cuando determinados valores de un conjunto de observaciones son muy grandes o pequeños con respecto a los demás, entonces la media aritmética se puede distorsionar y perder su carácter representativo, en esos casos es conveniente utilizar la mediana como medida de tendencia central.

Para datos no agrupados


90


MATEMATICAS

Para calcular la mediana se debe ordenar los datos en forma ascendente.

i) Cuando n es impar. La mediana será el número que se encuentre en el centro de todos los números. ii) Cuando n es par. La mediana será el promedio de los dos números que se encuentren en el centro Para datos agrupados

Donde: Li = Límite inferior Ni – 1 = Frecuencia Acumulada anterior Ci ó Xi= Ancho de clase ni = Frecuencia de intervalo mediana

c) Moda (Mo). Es el valor de un conjunto de datos que ocurre más frecuentemente, se considera como el valor más típico de una serie de datos. Para datos agrupados se define como Clase Modal el intervalo que tiene más frecuencia.

La moda puede no existir o no ser única, las distribuciones que presentan dos o más máximos relativos se designan de modo general como bimodales o multimodales. Para datos no agrupados Es el número o números que más veces se repite Para datos agrupados

Donde: Li = Límite inferior Ci ó Xi = Ancho de clase = ni menos ni-1 = ni menos ni +1


91


MATEMATICAS

Ejercicios Propuestos 1. En una encuesta se tomo como referencia las ventas de ropas por semana de las diferentes agencias de una tienda. Y se formo la siguiente tabla:

Intervalo de lamoda Intervalo de lamediana

Li 2 16 30 44 58 72 86

- Ls - 16 - 30 - 44 - 58 - 72 - 86 - 100

ni 7 7 12 9 4 4 7 50

Ni 7 14 26 35 39 43 50

fi 0,14 0,14 0,24 0,18 0,08 0,08 0,14 1

Fi 0,14 0,28 0,52 0,7 0,78 0,86 1

fi% 14 14 24 18 8 8 14 100

Fi% 14 28 52 70 78 86 100

Xi 9 23 37 51 65 79 93

ni * xi 63 161 444 459 260 316 651 2354

a) Hallar el promedio 2354 = -----------=47,08≈47 50 b) Hallar la mediana Ci =Ls –Li = 58-44=14 = 44 +

50 14 ----- - 26 ---- = 2 9

=44 + (25-26) 1,56 = 44 + (-1) 1,56 = 44 - 1,56 = 42,44 ≈ 42 c) Hallar la moda = ni- ni-1= 12-7= 5 = ni- ni +1=12-9= 3 Ci =Ls –Li = 44-30 =14 5 = 30 + ------- 14 = 5+3 5 5 = 30 + ------- 14 =30 + -------8 4

35 7 = 30 + ------ = 30 + 8,75 = 38,75 ≈ 39 4


92


MATEMATICAS

2. Se tomó una muestra a 12 personas a las cuales se les pregunto cuantas veces se resfriaron en este invierno: 6 2

8 3

5 8

5 4

0 3

6 8

a) Construir su tabla de frecuencias ni 6 8 5 5 0 6 2 3 8 4 3 8 b) Graficar las barras

Número de Veces de resfrios 10 8 6 ni

4 2 0 6

8

5

5

0

6

2

3

8

4

3

8

c) Calcular las medidas de tendencia central Promedio 6+8+5+5+0+6+2+3+8+4+3+8 58 = ------------------------------------------ = -------- = 4,83 ≈ 5 12 12 Mediana


93


MATEMATICAS

Se ordenan los datos de manera ascendente, y como la cantidad de datos es par (12) se debe obtener el promedio de los dos números del centro. xi 0 2 3 3 4 5 5 6 6 8 8 8

5+5 Me = --------- = 5 2

Moda xi 0 2 3 3 4 5 5 6 6 8 8 8

Mo = 8

3. Calcular el promedio de la siguiente tabla Li 0 14 28 42 56 70 84

-

Ls 14 28 42 56 70 84 98

ni 6 6 11 4 3 10 10


94


MATEMATICAS

Completando la tabla Li 0 14 28 42 56 70 84

-

Ls 14 28 42 56 70 84 98

ni 6 6 11 4 3 10 10 50

xi 7 21 35 49 63 77 91

xi * ni 42 126 385 196 189 770 910 2618

2618 = -----------=52,36≈52 50

4. Indicar cuál es el intervalo de la mediana y de la moda indicando el porque

Li - Ls

ni

Intervalo 1 Intervalo 2 Intervalo 3 Intervalo 4 Intervalo 5 Intervalo 6 Intervalo 7 El intervalo de la mediana será el intervalo 4 ya que se encuentra al centro de todos los intervalos. Para la moda se debe conocer el valor de la frecuencia absoluta y el intervalo(s) será el que tiene la frecuencia mayor. 5. De la siguiente tabla graficar la torta Li - Ls 0 - 14 14 - 28 28 - 42 42 - 56 56 -70 70 - 84 84 - 98

ni 6 8 6 8 4 7 5


95


MATEMATICAS

Completando los datos Li - Ls 0 - 14 14 - 28 28 - 42 42 - 56 56 -70 70 - 84 84 - 98 44

ni 6 8 6 8 4 7 5

Ai 49 65 49 65 33 57 41

360 0 - 14 14 - 28 28 - 42 42 - 56 56 - 70 70 - 84

6. Se realizó una encuesta a 80 personas que están escritas en una materia de la universidad de decimo semestre, a los cuales se les pregunto la edad que tienen: 30 32 24 34 30 25 36 26 a) b) c) d)

31 23 25 40 25 32 26 33

31 40 26 29 34 27 31 25

24 35 33 28 39 32 40 33

36 38 38 35 27 28 34 26

37 30 33 37 27 36 31 33

30 23 29 33 23 40 31 28

40 37 23 28 24 26 28 36

35 26 32 36 26 29 40 40

35 23 29 37 23 40 34 31

Construir su tabla de frecuencias Graficar las barras y torta Calcular las medidas de tendencia central Interpretar los resultados

7. Un grupo de fábricas de constructoras invierten en miles de dólares en una determinada ciudad a objeto de ampliar su mercado en el rubro de construcción. 27 0 15 8 27 10

22 40 2 7 19 0

26 1 12 38 30 17

14 14 13 5 9 10

0 28 36 18 37 25

38 37 5 7 22 27

8 3 23 8 26 20

35 6 22 12 40 8

12 26 27 17 20 25


9 26 5 16 14 15

96

PRUEBA DE SUFICIENCIA ACADEMICA GESTION 2013 a) b) c) d) e) f) g)

MATEMATICAS

Construir su tabla de frecuencias Calcular las frecuencias relativas y absolutas Calcular las frecuencias absolutas y relativas acumuladas Indicar cuál es el valor más significativo y menos significativo Graficar las barras, ojivas y torta Calcular las medidas de tendencia central Interpretar los resultados

8. A partir de los siguientes datos:

a) b) c) d) e) f)

Calcular las frecuencia relativa Calcular las frecuencias acumuladas Indicar cuál es el valor más significativo y menos significativo Graficar las barras, ojivas y torta Calcular las medidas de tendencia central Interpretar los resultados

9. Completar los datos de la siguiente tabla Li - Ls 3-5 6 - 10 11 – 17 18 – 24 25 – 31 32 - 40

ni 8

Ni 8 23

fi

Fi

0,225 0,200 70

0,875

80 10. Clasifica las siguientes variables en cualitativas o cuantitativas VARIABLE

CUALITATIVA CUANTITATIVA NOMINAL ORDINAL CONTINUA DISCRETA

Edad de personas Forma de pago al realizar una compra Estado civil Número de habitaciones por casa


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MATEMATICAS

Salario mensual percibido por los empleados Marcas de Automóviles Grado de estudio de las personas Número de acciones vendidas Censos anuales del estudiantes Longitud de cerrojos producidos en una fábrica Peso de una persona al nacer Predicción de las ganancias por acción

11. De los siguientes datos calcular el promedio 1327 1601 1254 874 1636 1427 1661 893 984 a) 1296

b) 1295,22

c) 1290

d) 1294

e) 1293,22

12. De la siguiente tabla indicar cuándo es el valor correspondiente a la frecuencia absoluta 5 (n5)

a) 7

Li - Ls

ni

0 - 13 13 - 26 26 – 39 39 – 52 52 – 65 65 - 78 78 - 91

4 5 7 12

b) 8

Ni 9 28 36 43 50

7

c) 4

d) 6

e) 5

13. Se tomo una muestra de estudiantes a los cuales se les pregunto cuántos hijos desean tener en el futuro, y de los datos se obtuvolas modas de un total de: 4 2

3 3

a) No Hay moda Trimodal

6 5

1 3

4 4

b) Una moda

0 2

0 4

6 4

c) Bimodal

d) Multimodal

e)

14. De los siguientes datos calcular la mediana

11 a) 9

13 b) 10

9 c) 11

10

13 d) 12

14

13 e) 13


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MATEMATICAS

15. De los siguientes notas se quiere construir su tabla de frecuencias y se para lo cual se quiere averiguar cuánto es el Ancho de Clase

a) 12

b) 10

c) 14

d) 13

e) 13,5

EJERCICIOS CON RESPUESTAS 01. ¿Qué Es La Estadística? 02. ¿Cuáles Son Los Tipos De Estadística? 03. ¿Cuál es el objetivo que persigue la estadística descriptiva? 04. ¿ Qué es la estadística inferencial? 05. ¿ Qué son las variables cualitativas? 06. ¿ Qué son las variables cuantitativas? 07. ¿Cuál es la diferencia entre población y muestra? 08. ¿Cuáles son los pasos para la contrucción de las tablas de frecuencia? 09. ¿Qué son los datos no agrupados? 10. ¿Cuál es objetivo del rango o recorrido? 11. ¿Cuál es objetivo del número de intervalos? 12. ¿Cuál es objetivo del ancho de clase? 13. ¿Cuál es la diferencia entre frecuencia absoluta y relativa? 14. ¿Cuál es la diferencia entre histograma y polígono de frecuencias? 15. ¿Qué es la media aritmética? 16. ¿Qué es la mediana? 17. ¿Qué es la moda? 18. Resolver el siguiente problema. Según Ministerio de Salud, las pautas culturales han determinado que la delgadez sea sinónimo de éxito social. Muchos jóvenes luchan para conseguir el “físico ideal” motivados por modelos, artistas o por la publicidad comercial. Durante el mes de marzo del año 2013, en el colegio “ColeSur” de la ciudad de La Paz, después de las vacaciones de fin de año se observó con precaución a 27 alumnos con síntomas de anorexia, registrándose los siguientes signos visibles: Dieta Severa, Miedo a Engordar, Hiperactividad Uso de Ropa Holgada, Dieta Severa, Uso de Laxantes Miedo a Engordar, Dieta Severa, Uso de Ropa Holgada Dieta Severa, Uso de Ropa Holgada, Dieta Severa Dieta Severa, Dieta Severa, Uso de Ropa Holgada


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MATEMATICAS

Hiperactividad, Uso de Laxantes, Miedo a Engordar Uso de Laxantes, Dieta Severa, Uso de Ropa Holgada Uso de Laxantes, Hiperactividad, Uso de Laxantes Uso de Ropa Holgada, Hiperactividad, Dieta Severa Resuma la información anterior en una tabla de distribución de frecuencias.

19. Resolver el siguiente problema. En una empresa se pagan los siguientes salarios (en Bs.): Sueldos 1,200 1,300 1,400 1,500 1,600 1,700 1,800 Calcular el salario “promedio”.

No. de empleados 5 3 10 9 8 5 4

20. Resolver el siguiente problema. Los niveles del pH sanguíneo de 32 individuos son los siguientes: 7:33 7:31 7:26 7:33 7:37 7:27 7:30 7:33 7:33 7:32 7:35 7:39 7:33 7:38 7:33 7:31 7:37 7:35 7:34 7:32 7:29 7:35 7:38 7:32 7:32 7:33 7:32 7:40 7:33 7:32 7:34 7:33 a) Agrupar los datos en 5 intervalos y confeccionar la tabla de frecuencias. b) Calcular la media aritmética.


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MATEMATICAS

BIBLIOGRAFÍA MATEMÁTICAS   

“ÁLGEBRA BÁSICA”. VÍCTOR CHUNGARA CASTRO. Editorial Leonardo. Bolivia. 2011. “ÁLGEBRA”. AURELIO BALDOR. Publicaciones Cultural Códice América, S.A. México. 1997. “ÁLGEBRA CON TRIGONOMETRÍA Y GEOMETRÍA ANALÍTICA”. SEBASTIÁN LAZO. SOIPA Ltda. Bolivia. 1999.


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MATEMATICAS 2013

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