Unidade I-resistencia 2

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Unidade I – Barras Submetidas a Carregamento Transversal

1.1. Introdução

Analisaremos as tensões normais, quanto às tensões de cisalhamento, em barras prismáticas sujeitas a carregamentos transversais. Assumindo que a distribuição de tensões normais, devido à flexão, não é afetada pela presença de cisalhamento, determinaremos as forças cisalhantes, atuando nas seções horizontais em uma viga. Logo, estudaremos o fluxo cisalhante e as tensões de cisalhamento horizontais em vigas. Analisaremos a intensidade e a distribuição das tensões de cisalhamento, em vigas de seção transversal retangular e retangular e em vigas compostas de perfis de perfis de aço laminado. Considerando o cisalhamento em um corte longitudinal arbitrário, teremos que determinar o fluxo de cisalhamento e as tensões de cisalhamento ao longo do corte em análise. Isto nos permitirá determinar, as tensões de cisalhamento em um ponto qualquer de membros simétricos com parede com parede fina ou delgada. Definiremos e localizaremos o centro de cisalhamento de membro de paredes finas. Também serão determinadas as tensões de cisalhamento em membros de paredes finas, carregados assimetricamente.

1.2. Carregamento transversal em barras prismáticas

Situação muito comum em estruturas chamadas vigas, as quais são submetidas a um carregamento vertical. Tais carregamentos podem carregamentos podem ser concentrados ser concentrados ou distribuídos, ou podem ou podem ser pela pela combinação de ambos.

Consideremos a viga em balanço AB que suporta a força P em sua extremidade livre (fig. 01). Cortemos a viga por uma seção horizontal A’C’ que passa a uma distância “y1” acima da LN gerando a seção vertical de corte CC’ que passa a uma distância “x” da extremidade livre da viga, obtendo ACC’A’.

Fig. 01

Na fig. 02, observamos P’ sendo uma fração da força P aplicada à viga na seção de corte AA’, e a força cortante V’ na seção CC’, e os esforços normais "  x . dA" que agem nessa seção e a resultante das forças horizontais “H” provenientes “H” provenientes da tensão de cisalhamento na face inferior do inferior do corpo livre. Universidade do Sul de Sul de Santa Catarina – UNISUL Curso: Engenharia Civil Disciplina: Resistência dos Materiais II Professor: Rangel Pereira dos Santos, Engº. Civil

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Fig. 02

 x

. dA



P . 

.

.dA

Escrevendo a condição de equilíbrio da estrutura:  F x

F x

H  _

0



P . .

0 para o corpo livre ACC’A’:

dA 

Explicitando o valor de H, e sabendo que “x” é constante ao longo da seção transversal, temos: 

P .

_



c

. dA

 1

(1)

A integral acima representa o momento estático “Q” da área que fica acima da linha y = y1 em relação à linha neutra.

Q  _ Q



c

 1

. dA

(2)

. y '

(3)

onde: A = é a área correspondente a seção transversal em análise; y' = é a distância do seu centróide até a LN. Substituindo a Eq. 2 na Eq. 1, podemos escrever:



P .Q

.

Essa equação mostra a força horizontal H que provém das tensões de cisalhamento na face inferior da porção ACC’A’ é proporcional ao comprimento “x” dessa porção em análise. Logo para um certo valor de “y1”, o esforço cisalhante horizontal por unidade de comprimento, H/x, é constante e igual a PQ/I. O esforço horizontal por unidade de comprimento será denominado Fluxo de cisalhamento “q”.

q Universidade do Sul de Santa Catarina – UNISUL Curso: Engenharia Civil Disciplina: Resistência dos Materiais II Professor: Rangel Pereira dos Santos, Engº. Civil

P .Q

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No caso de uma viga submetida a vários carregamentos concentrados ou distribuídos (Fig. 3a), podemos substituir a força P pela soma das forças que se exercem na parte da viga que fica à esquerda da seção que passa pelo ponto C de análise, essa soma é igual à força cortante V que age na seção (Fig. 3b).

Fig. 03

q

.Q

onde: Q = é o momento estático, em relação à linha neutra, da área localizada acima ou abaixo do ponto C’ (onde o fluxo de cisalhamento é calculado); I = é o momento de inércia de toda a área da seção transversal em relação ao eixo baricêntrico. O valor de “q” permanece constante entre dois carregamentos sucessivos, pois V também é constante. Comprovamos então que, no caso de uma viga submetida à flexão pura, produzida apenas por dois conjugados iguais e de sentidos opostos, a força cortante V e a força horizontal por unidade de comprimento, “q”, são nulas.

Exemplo: Uma viga de madeira é constituída por três peças de 20 por 100 mm de seção transversal, que são pregadas umas às outras. O espaçamento entre os pregos é de 25 mm. Sabendo-se que a viga está submetida a uma força cortante V de 500N, determinar a força de corte em cada prego.

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Exercícios: 01) Três tábuas, cada uma com seção transversal retangular de 40 x 90 mm, são pregadas untas para formar uma viga que é submetida a uma força cortante vertical de 1,1 KN. Sabendo-se que o espaçamento entre cada um dos pares de pregos é de 60 mm, determinar a força cortante em cada prego.

02) Três tábuas, cada uma com 50 mm de espessura, são pregadas juntas para formar uma viga que é submetida a uma força cortante vertical. Sabendo-se que a força cisalhante admissível em cada prego é de 670 N, determinar a força cortante admissível, se o espaçamento entre os pregos é de s = 75 mm.

03) Resolver o exercício 02, considerando que o espaçamento entre os pregos é aumentado para s = 100 mm. 04) Três tábuas são pregadas juntas para formar a viga mostrada, que é submetida a uma força cortante vertical. Sabendo-se que o espaçamento entre os pregos é s = 75 mm e que a força cisalhante admissível em cada prego é de 400 N, determinar a força cortante admissível, quando w = 120 mm.


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05) Resolver o exercício 04, considerando que a largura é diminuída para w = 100 mm. 06) O perfil de aço laminado S310 x 52 é reforçado com duas placas de 16 x 200 mm e constitui a seção transversal de uma viga. Usando parafusos de 18 mm de diâmetro e espaçados longitudinalmente de 120 mm e, sabendo-se que a tensão de cisalhamento admissível nos parafusos é de 90 MPa, determinar a maior força cisalhante vertical permissível.

07) Resolver o exercício 06, considerando que duas placas de 12 x 200 mm são usadas para reforçar a viga mostrada. 08) A viga composta mostrada é constituída de dois perfis de aço laminados W150 x 29,8, unidos por parafusos de 16 mm de diâmetro e espaçados longitudinalmente de 150 mm. Sabendo-se que a tensão de cisalhamento admissível média nos parafusos é de 70 MPa, determinar a maior força cortante permissível.

09) A viga mostrada foi fabricada com dois perfis de aço laminados e duas placas, unidos por parafusos de 20 mm de diâmetro e espaçados longitudinalmente de 190 mm. Determinar a tensão de cisalhamento média nos parafusos, causada pela ação de uma força cisalhante vertical de 110 KN.


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1.3. Determinação da Tensão de Cisalhamento em uma viga

Consideremos uma viga com plano vertical de simetria, submetida a um carregamento distribuído ou concentrado que atua nesse plano. O item anterior mostrou-nos que, se V é a força cortante vertical em qualquer seção transversal, o fluxo de cisalhamento “q” (força horizontal de cisalhamento por unidade de comprimento), em um ponto C’ dessa seção é:

q

.Q

A força horizontal _ H que se exerce em um comprimento _ x da seção horizontal que passa por C´ (Fig. 04) é:

 

q.

.Q





(4)

Fig. 04

Se dividirmos a Eq. 4 pela área

  t .

, obtemos a tensão média de

cisalhamento  xy .

méd 

 





.Q



méd 

t 

.Q .t

(5)

onde: t = é a largura da seção horizontal. Sabemos que as tensões de cisalhamento que se exercem em um plano transversal e em um plano horizontal são iguais (respectivamente,

 xy e  x ). Podemos afirmar que a

expressão obtida para a tensão horizontal em C’ também representa o valor médio

 xy ao

longo da linha C1’C2’ (Fig. 05).

Fig. 05

Devemos notar que, enquanto Q é máximo para y = 0, não podemos adiantar que a tensão

méd é máxima ao longo da linha neutra, pois a tensão média depende também da

largura “t” da seção.

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Na face superior e inferior da viga

 xy = 0, uma vez que não há forças atuantes

nessas faces. Daí que  xy = 0, na aresta superior e na aresta inferior da seção transversal (Fig. 06).

Fig. 06

Quando a largura “b” da viga se mantém pequena em comparação à altura da seção, as tensões de cisalhamento variam muito pouco ao longo da linha C 1’C2’ e a Eq. 5, pode ser usada para o cálculo de  xy em qualquer ponto ao longo de C1’C2’. Para vigas de seção retangular de largura “ b” e altura “h”, onde a relação:

b 1 h 4

,o

valor da tensão de cisalhamento em C1’ e C2’ (Fig. 07) não excede mais de 0,8% de méd calculado em relação ao baricentro).

Fig. 07

1.4. Tensão de Cisalhamento para vigas de seções transversais usuais

Vimos no item anterior que para uma viga de seção retangular de largura pequena em 1 relação à altura, onde b  h , a variação da tensão de cisalhamento ao longo da largura é 4 menos de 0,8 % da tensão média

méd . Onde a Eq. 5, poderá ser utilizada para a

determinação da tensão de cisalhamento em qualquer ponto da seção transversal.

 xy 

.Q .


(6)

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onde: t = é a largura da viga; Q = representa o momento estático, em relação à linha neutra da área sombreada (Fig. 08)

Fig. 08

A distância da linha neutra ao centróide C’ da área A’, usando a Eq. 3, escrevemos:

Q  xy 

Lembrando:



b.h 3 12



2 3

.Q .t



. y ' 3c 4

 2 4 b.c 3

b.c 3

ou, sendo a área da seção transversal igual a A = 2.b.c.

 xy 

3 2

2

1

c2

(7)

A Eq. 7 mostra que a distribuição de tensões de cisalhamento em uma seção transversal de uma viga é parabólica (Fig. 09).

Fig. 09 Universidade do Sul de Santa Catarina – UNISUL Curso: Engenharia Civil Disciplina: Resistência dos Materiais II Professor: Rangel Pereira dos Santos, Engº. Civil

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Como já foi observada, a tensão de cisalhamento são nulas no topo e na base da seção transversal (y = ± c). Fazendo y = 0 na Eq. 7, podemos obter o valor da máxima tensão de cisalhamento para uma certa seção da viga retangular estreita.

máx 

3

A relação obtida indica que a máxima tensão de cisalhamento em uma viga de seção retangular é mais de 50% maior que o valor V/A, que seria obtido se, erroneamente, adotássemos uma distribuição de tensão uniforme ao longo da seção transversal. Em perfis I ou perfis de abas largas, podemos calcular o valor médio da tensão de cisalhamento  xy em uma fibra aa’ ou bb’ da seção transversal da viga (Fig. 10 a e b), pela equação:

méd 

.Q .

onde: V = é a força cortante; t = é a largura da seção da fibra calculada; Q = momento estático da área sombreada em relação à linha neutra cc’; I = momento de inércia da seção em relação ao centróide. A Fig. 10 c mostra a distribuição de tensões, marcando a méd em relação a “y”. A curva obtida é descontínua nos pontos em que ocorre diferença do valor “t”, quando se passa das abas ABGD e A’B’C’D’ para a alma EFF’E’ do perfil.

Fig. 10

No caso da alma, a tensão de cisalhamento varia muito pouco ao longo da seção bb’, e pode ser adotada igual ao valor médio méd . A tensão de cisalhamento é nula entre DE e FG, uma que esses dois segmentos fazem parte da superfície livre do perfil. Na prática considera-se que todo esforço cortante é absorvido pela alma, e que uma boa aproximação do valor máximo da tensão de cisalhamento se obtém pela equação:

méd 

rea da alma


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1.5. Cisalhamento em uma seção longitudinal arbitrária

No item 1.2 estudamos o caso de uma viga em balanço AB submetida à força vertical P atuando no seu plano de simetria. Determinaremos para essa situação a força H que se exerce no plano horizontal da parte AC da viga. Consideremos agora um corte longitudinal arbitrário A’C’C’’ da mesma porção AC da viga (Fig. 11 a). O corpo livre obtido dessa maneira está sujeito às seguintes forças horizontais: a resultante H dos esforços horizontais de cisalhamento que agem na seção longitudinal e os esforços normais

 x

. dA que agem na

seção transversal em C.

 x

. dA



P . . .dA 

Fig. 11

A condição de equilíbrio  F x



0 nos leva à mesma equação vista no item 1.2:

H  _

P . .



Encontramos então para o valor de H:

dA  0

P .Q

.

Nesta expressão, Q representa o momento estático da área sombreada (Fig. 12) em relação à LN da seção, e I o momento de inércia de toda a seção:

Fig. 12 Universidade do Sul de Santa Catarina – UNISUL Curso: Engenharia Civil Disciplina: Resistência dos Materiais II Professor: Rangel Pereira dos Santos, Engº. Civil

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Afirmamos que o fluxo cisalhante, ou esforço horizontal por unidade de comprimento, é dado pela Equação:



P .Q

.

.

No caso mais geral de uma viga submetida a várias forças concentradas ou distribuídas, situadas no seu plano de simetria, temos:

q

.Q

Exemplo: A viga AB é constituída por três peças coladas umas às outras e está submetida ao carregamento indicado, que atua em seu plano de simetria. Sabendo-se que a largura de cada unta colada é de 20 mm, determinar a tensão de cisalhamento média na seção n-n da viga. O esquema indica a localização do centróide da seção transversal, e o momento de inércia da seção é I = 8,63 x 10 6 m4. A tensão de cisalhamento deve ser calculada nas juntas caladas.


Unidade I-resistencia 2

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