2 CONTEÚDO
04
PROFº: GEORGE
ARCOS E ÂNGULOS A Certeza de Vencer
1. ARCOS E ÂNGULOS.
r b .Observe a circunferência λ de centro O e raio R a seguir: m o c . B o λ t c R a p Sentido Padrão m O α i l a t R r o A p . w w w Os raios OA e OB determinam o ângulo central α e o o c s o n o c
R R
0 28.R
360º = 2. π rad e dividindo ambos os membros por 2, obtemos a RELAÇÃO DE TRANSFORMAÇÃO de graus para radianos e vice-versa: 180º π rad
u u u r
u uu uu r
F
limitada pelos
Exemplos: 01. Transforme os ângulos a seguir de graus para radianos: a) 30º b) 90º Resolução: Resolução: 180º − π rad 180º − π rad 30º − α rad 90º − α rad 180º .α = 30º . π 180º .α = 90º . π 30º. π 90º. π α= α = 180º 180º π π α= α = rad rad 6 2
O ângulo central α e o arco AB possuem a mesma medida, isto é, med ( α ) = med ( AB AB) .
2. UNIDADES DE MEDIDA DE ARCOS (E ÂNGULOS). Uma circunferência possui 360º e dividindo-a em 4 (quatro) partes iguais como mostram as figuras a seguir, temos: B B . A ≡E
C
D AB = 90º
30º equivale a
A ≡E
C
B A ≡E
6
rad .
90º equivale a
medida em graus? Resolução:
AC = 180 º
C
π
02. Um arco de circunferência mede
D
B
R
R 1ci 1circunferência = 6,28 ,28 rad = 2.3, .3,14ra 4rad = 2. π rad 1 circ circun unfe ferê rênc ncia ia = 360º 60º , ou ainda,
O ângulo central α é formado pelas semi-retas OA e e l aOB e possui vértice no centro O da circunferência λ . λ
R
R
arco AB .
O arco AB é a parte da circunferência pontos A e B inclusive.
KL 280208
Uma circunferência possui aproximadamente 6,28 radianos (rad), pois é a quantidade de raios que podemos colocar na mesma, veja:
2
rad .
5π rad . Qual a sua 3
.
π α =
180º − α rad 5π α − rad 3
A ≡E
C
π
180º .
60º.5 α = 300º
⇒
5π 3
α=
5π rad é 300º. 3 DICA: Substitua π rad por 180º.
A medida do arco de D AD = 270º
D AE = 360º
180º 2 2 180º π rad = 3 3 180º π r ad = 4 4 180º π rad = 6 6 π
Outra unidade de medida de arcos e ângulos é o radiano cujo comprimento é igual ao de um raio da circunferência. B
λ
R O
1 radiano = 1 raio α
R
A
FAÇO IMPACTO
A CERTEZA DE VENCER!!!
-
rad =
=
90 º
=
60 º
9 0 0 2 –
=
45 º
=
30 º
R A L U B I T S E V
r b . OBSERVAÇÃO: m oOs submúltiplos do grau são os minutos e os segundos. c . o t c 1º=60' (sessenta minutos) a p 1'=60'' (sessenta segundos) m i l a t r 3. ÂNGULOS NOTÁVEIS. o p . Eis alguns ângulos muito utilizados em trigonometria: w w w
90º
o c s o n o c e l a F
120º 135º 150º 180º
60º 45º 30º 0º
0
360º 210º 225º 240º
330º 315º 300º 270º
EXERCÍCIOS. 01. Complete a tabela: GRAUS
02. Determine em radianos a medida do ângulo formado pelos ponteiros de um relógio às 4 horas. 03. (UFRGS) Se o ponteiro menor de um relógio percorre um arco de arco de: a) b) c)
π
6 π
4 π
3
π
12
radianos, o ponteiro maior percorre um
rad
d)
rad
e)
π
2 π
rad rad
rad
04. (UNICAMP) Um relógio foi acertado exatamente ao meio-dia. Determine as horas e os minutos que estará marcando esse relógio após o ponteiro menor ter percorrido um ângulo de 42º. 05. (CEFET–MG) A medida do menor ângulo central formado pelos ponteiros de um relógio que está marcando 9h 30min, em graus, é: a) 90 d) 120 b) 105 e) 150 c) 110 06. (PUC) Um relógio foi acertado exatamente às 6 h. Que horas o relógio estará marcando após o ponteiro menor (das horas) ter percorrido um ângulo de 72º? a) 8h 12 min d) 8h 24 min b) 7h 28 min e) 8h 36 min c) 6h 50 min
RADIANOS
0º 30º 45º
07. (CESGRANRIO) Um mecanismo liga o velocímetro (marcador de velocidade) a uma das rodas dianteiras de um automóvel, de tal maneira que, quando essa roda gira 72π rad, uma engrenagem que compõe o velocímetro gira 18π 2π rad. Quando a roda gira rad, essa engrenagem 5 gira: a) 15º d) 18º b) 12º e) 9º c) 34,4º
60º 90º 120º 135º 150º
08. (PUC) Calcule o ângulo entre os ponteiros do relógio às 4 horas e 20 minutos?
180º
09. (UNOPAR–PR) Na circunferência de raio R e centro O, a seguir, considera-se um arco AP , no sentido sentido antihorário, que mede 2 radianos. A respeito do ponto P, pode-se afirmar que: a) coincide com o ponto A b) depende do raio R c) está no 1º quadrante A d) está no 2º quadrante O e) está no 3º quadrante
210º 225º 240º 270º 300º 315º
GABARITO 02 03
330º
04
360º FAÇO IMPACTO –
A CERTEZA DE VENCER!!!
05
06
07
08
09
9 0 0 2 – R A L U B I T S E V
