MATEMÁTICA
AULA 2 FUNÇÕES
01. (CEFET-PR) Assinale a alternativa que contém uma relação que NÃO é função. a) R1={(-2,1), (-1,1), (0,2), (1,2), (2,3)} Uma relação será função se TODO elemento do primeiro conjunto possuir UMA ÚNICA imagem no segundo conjunto.
A
-2
1
-1 0
2
B
A relação R1 é função. O conjunto A é o DOMÍNIO.
O conjunto B é o CONTRA-DOMÍNIO. O conjunto imagem é {1, 2, 3} 1 Como o conjunto imagem é 3 igual ao contra-domínio a 2 função é SOBREJETORA. Se todos elementos diferentes tivessem imagens diferentes a função seria INJETORA. Como. Por exemplo, o -2 e o -1, que são diferentes, não têm imagens diferentes a função não é injetora.
R2 b)
2
1
3
x
TODA reta vertical deve cortar o gráfico uma única vez. A relação R2 é função.
Qual é a imagem de x=1? R2(1) = 2 Vamos a um pequeno Para qual valor a função tende quando x se complemento aproxima de 3 pela direita? 2 Para qual valor a função tende quando x se aproxima de 1 pela esquerda? 2
c)
R3
A
B a
1
b
2
c
3
d) R4={(x,y)∈NxR/y2=x}
A relação R3 é função.
A relação R4 não é função, pois x=4, por exemplo, tem duas imagens y1=2 ou y2=-2.
Isolando y, teremos y = ± x
e) R5 = {( x, y ) ∈ NxR+ / y = x } A relação R5 é função, pois só temos a raiz positiva de x.
02. (UEL) Seja a função f:]-1,2[→ℜ, definida por f(x)=2x+1. O conjunto imagem de f é o intervalo: a) ]-1,5[ y b) ]-1,2[ f(2) O gráfico de y=2x+1 é uma c) ]-2,1[ d) ]-2,4[ RETA CRESCENTE, e) ]2,4[ pois a = +2, e corta o eixo y em
1 -1
2 f(-1)
x f(-1) = 2(-1)+1 = -1 f(2) = 2(2)+1 = 5 Im(f) = ]-1 , 5[
y = 1.
03. (EN) Seja a função f:[-1,3]→ℜ, uma função definida por f(x)=x2 - 4. O conjunto imagem de f é: y a) [-3,5] b) [0,5] f(3) c) [-4,5] d) [-3,0] e) [1,5] O gráfico de y=x2-4 é uma PARÁBOLA Com concavidade para CIMA. f(3) = 32-4 = 5 2
∆ b − 4ac yv = − =− 4a 4a
Vocês sabem resolver por f(x)=x2-4 derivada.
-1
3 x
2
V
0 − 4.1.(−4) yv = − = −4 4.1 f’(x)=2x =0
x=0
f(0)=-4=yv
04. (CEFET-PR) A solução da inequação simultânea 6≤x2+4x+1<3x+3, é: 6≤x2+4x+1<3x+3 • {x∈ℜ/-5≤x≤1} ∀ ∅ • {x∈ℜ/-2≤x<1} • {x∈ℜ/-5≤x≤-2} 6≤x2+4x+1 E x2+4x+1<3x+3 • {x∈ℜ/x=1} Vamos determinar 6≤x2+4x+1 0≤x2+4x-5 as x2+4x-5≥0 mentalmente raízes da função. P = c/a x1 = -5 P = -5 S = -b/a x2 = 1 S = -4
+
-5
+ 1
x
Vamos determinar mentalmente x2+x-2< 0 as raízes da função.
x2+4x+1<3x+3 P = c/a S = -b/a
x1 = -2 x2 = 1
P = -2 S = -1
+
-2
1
+
Efetuando a interseção das duas soluções, teremos: -5
1 -2
1ª inequação 2ª inequação interseção = ∅
x
3x + 4 05. Resolva a inequação > 1. x−2 a) 2 < x < 3 b) 2 ≤ x ≤ 3 c) -3 ≤ x < -1/2 d) x ≥ 3 e) nda
CUIDADO COM A TENTAÇÃO:
NÃO PODEMOS PASSAR O DENOMINADOR x-2 MULTIPLICANDO PARA O SEGUNDO MEMBRO, POIS NÃO SABEMOS SE ELE É SEMPRE POSITIVO.
Veja: Se tivéssemos
3x + 4 ( x − 2)
2
> 1,
poderíamos passar o
denominador para o segundo membro, pois ele é sempre positivo, uma vez que está elevado a um expoente par.
Toda inequação do tipo produto ou quociente deve ser resolvida analisando o sinal de cada termo, mas desde que o segundo membro seja sempre zero.
3x + 4 >1 x−2 2x + 6 >0 x−2 -
+
-3
3x + 4 −1 > 0 x−2
3 x + 4 − ( x − 2) >0 x−2
Agora, vamos analisar o sinal do numerador e do denominador +
+
-
+
-
{x∈ℜ/x<-3 ou x>2}
2
+
2x+6 x-2
2x + 6 x−2
06. (CEFET-PR) Considerando a função real definida por
f ( x) = a) b) c) d) e)
1 seu domínio é: x ( x − 2)
{x/x∈ℜ e x>0 ou x<2} {x/x∈ℜ e x<0 ou x>2} {x/x∈ℜ e 0≤x≤2} {x/x∈ℜ e x≤0 ou x≥2} {x/x∈ℜ e x≥0}
LEMBREM:
COM RESPEITO AO DOMÍNIO, SÓ EXISTEM 4 ITENS MATEMÁTICOS QUE ATRAPALHAM, SÃO ELES: DENOMINADOR O DENOMINADOR É ≠ 0 LOGARITMO
RAIZ DE ÍNDICE PAR O RADICANDO É ≥ 0 ARCOS TRIGONOMÉTRICOS
f ( x) =
1 x ( x − 2)
Nesta função, temos uma raiz quadrada, logo: x(x – 2) ≥ 0
CUIDADO: A RAIZ ESTÁ NO DENOMINADOR, LOGO O RADICANDO É SOMENTE MAIOR QUE ZERO. x(x – 2) > 0 VAMOS RESOLVER APLICANDO O TEOREMA DO GRANDE KOCHAMBRE.
+
0
1
+
1(1 – 2) = -1
{x∈ℜ/x<0 ou x>2}
2
“NO FINAL O MOCINHO SEMPRE VENCE. SE ELE NÃO VENCEU É PORQUE O FINAL AINDA NÃO CHEGOU.” PALAVRAS DO VÉIO
