Matemática II - Mónica Bocco

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Ma te má tic a II - Mónic a Boc c o - slide pdf.c om

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Universidad Empresarial Siglo 21 Whitney International University System

Rector: Juan Carlos Rabbat Director de Operaciones de Whitney International University System: Nestor Ferraresi Decano de Educación Distribuida: Fernando Sastre Director de Tecnología: Jose Garello Directora Académica: Maria Belén Mendé Directora de Comunicación: Cristina Schwander Director de Marketing: Martin Vásquez Directora de Operaciones: Valeria Domínguez Secretaria de alumno: Maria Eugenia Scocco Coordinadora general: Elida Gimenez Procesamiento metodológico y didáctico: Olga Singeser Corrector de estilo gramatical: Rodolfo Bellomo Revisión Editorial: Diego Yorbandi y Mariana Vigo

Derechos Reservados Editorial: ISBN: Universidad Empresarial Siglo 21 Mons. Pablo Cabrera Km 8 . Camino a Pajas Blancas Córdoba, Argentina Impreso en Argentina


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MATEMÁTICA II Lic. Mónica Bocco


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EDUCACIÓN DISTRIBUIDA

Índice Presentación del tutor Carta al Alumno Orientación del aprendizaje Fundamentación

5 6 7 8

Objetivos Generales Programa de contenidos Esquema conceptual de la asignatura Bibliografía Evaluación y acreditación de la asignatura

9 9 11 11 13

Módulo 1: Funciones. Funciones lineales y cuadráticas Objetivos especícos Esquema conceptual Desarrollo de contenidos Funciones

15 17 18 19 19

Funciones lineales Funciones cuadráticas Autoevaluación Respuestas a la autoevaluación

22 25 28 31

Módulo 2: Funciones exponenciales, logarítmicas y trigonométricas. Límite de funciones Objetivos especícos Esquema conceptual Desarrollo de contenidos Funciones exponenciales

33 35 36 37 37

Funciones logarítmicas Funciones trigonométricas Autoevaluación Respuestas a la autoevaluación

39 41 50 54

Módulo 3: Continuidad de Funciones. Derivada de funciones y aplicaciones de la derivada Objetivos especícos Esquema conceptual Desarrollo de contenidos Funciones continuas Derivada de funciones Aplicaciones de la derivada de funciones Autoevaluación Respuesta a la autoevaluación

57 59 60 60 60 62 69 72 75

Módulo 4: Aplicaciones de la derivada. Integral de funciones y aplicaciones de la integral Objetivos especícos Esquema conceptual Desarrollo de contenidos Aplicaciones de la derivada de funciones Integral de funciones Aplicaciones de la integral de funciones

79 81 82 83 83 87 90


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Autoevaluación Respuesta a la autoevaluación


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Presentación del tutor Profesora Mónica Bocco

Datos del Tutor •

Profesora en Matemática. Universidad Nacional de Río Cuarto.

•

Licenciada en Matemática. Universidad Nacional de Río Cuarto

•

Magíster en Demografía. Universidad Nacional de Córdoba

•

Profesora Asociada (por concurso) Universidad Nacional de Córdoba (19862008)

•

Prof. Titular. Universidad Empresarial Siglo 21. (1999-2003)

•

Investigadora en temas de matemática aplicada y educación de la matemática.

•

Publicaciones cientícas,en ambas áreas, en Revistas Internacionales, Nacionales y presentaciones en Congresos y Reuniones.

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Carta al Alumno Estimado alumno/a, En primer lugar, bienvenido a una nueva materia, Herramientas Matemáticas II – Análisis matemático , que te enfrentará a nuevos desafíos. A pesar de su aparente complejidad, el Análisis Matemático sirve para simplificar ciertos problemas de la realidad. La belleza de la matemática y sus aplicaciones a las diversas áreas de conocimiento comienza en materias como esta, donde aprenderás cómo modelizar a través de funciones algunas relaciones importantes entre variables. Existen innumerables problemas en la vida cotidiana donde el uso de la matemática juega un papel fundamental para su comprensión y resolución, pero nos llevaría mucho tiempo plantearlos por lo que lo dejaremos a un lado y comenzaremos con el estudio de nuestra materia. El manual que comenzás a utilizar se complementa con la biblio grafía obligatoria, que tiene otros ejemplos y sistematizaciones, es muy importante aprovecharlos al máximo en conjunto. No olvides que en el estudio de las materias matemáticas, los ejercicios y problemas son un complemento fundamental del aprendizaje teórico, pero insisto, un complemento. No es posible aprender la teoría sin el desarrollo de la práctica ni la práctica sin la comprensión de la teoría. Por último, espero que alcances los objetivos planteados y, en mi caso, acompañarte en esta etapa del camino de estudio iniciado, en este caso, de Herramientas Matemáticas II – Análisis matemático. ¡Bienvenidos y a comenzar! Su tutora


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Orientación del aprendizaje ¡Bienvenido! Comenzamos aquí el estudio de la asignatura Matemática. Lo haremos por medio de este manual de estudio, en el cual usted encontrará todos los temas del programa. A su vez, usted podrá utilizar cualquiera de los libros mencionados en la Bibliografía Básica para la consulta de dichos temas. El método de estudio que le proponemos es el siguiente: • Inicie la lectura de cada módulo por la Introducción y los Objetivos del mismo. Esto le proporcionará una visión global de lo que está a punto de estudiar. Luego observe y analice el Esquema Conceptual del módulo, le mostrará los conceptos fundamentales involucrados y sus relaciones. •

Lleve a cabo la lectura completa de los temas da cada Módulo. Para que el estudio sea eciente siga estos pasos:

1) Prelectura: realice una primera lectura exploratoria para captar las ideas fundamentales. 2) Preguntas: piense interrogantes frente a cada título de los temas del módulo. Si es necesario escríbalos. 3) Lectura: lea las secciones o temas del módulo detenidamente, con un propósito bien denido: buscar respuestas a las preguntas antes realizadas. 4) Registro de notas: tome nota por escrito y con sus propias palabras de los aspectos relevantes de cada tema. Esta actividad es la más importante ya que le permite jar los conocimientos. 5) Repaso: luego de todos los pasos anteriores, es conveniente que realice una revisión completa de los temas del módulo. Tras la revisión, tome nota de los interrogantes aún quien no ha las podido esclarecer y envíelas por correo electrónico a su Tutorque Virtual, responderá.

•

Al nal de cada módulo hay actividades de Auto-evaluación que le permitirán vericar su evolución en el proceso de aprendizaje. Todas las actividades de auto-evaluación tienen su clave de respuesta.

•

Con el estudio de todos los temas del presente Manual, la elaboración y envío de los Trabajos Prácticos y la comprobación de su conocimiento con la actividad de auto-evaluación, usted podrá asistir a la Clase Satelital. Allí profundizará y asegurará el conocimiento del módulo.

•

Al nalizar la Clase tendrá un Examen Escrito individual. Allí usted demostrará los conocimientos aprendidos, y si ha seguido el plan de trabajo presentado antes, el resultado será óptimo. ¡Adelante!


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Fundamentación La Matemática, que es un instrumento de importancia para el desarrollo del futuro profesional en el campo de la ciencia, las relaciones empresariales, la tecnología, y el mundo cotidiano, en general. Tiene como propósito fundamental contribuir a formar y capacitar a los futuros profesionales que deberán asumir la responsabilidad de generar y/o llevar a la práctica el desarrollo de nuevos conocimientos cientícos y tecnológicos.Estas notas tienen por objetivo contribuir al desafío de generar entusiasmo y desarrollar inquietudes para abordar los temas de matemática en quienes no se sienten especialmente atraídos por esta disciplina, pero para los cuales este curso constituye una base para muchos conocimientos necesarios en su carrera universitaria. Su contenido incluye una introducción al estudio de las funciones que aparecen con más frecuencia en las aplicaciones de la matemática y constituyen la base para un tratamiento de los principales temas del Análisis Matemático: límite, derivada e integral. Estos tres grandes temas se desarrollan con las aplicaciones al estudio de grácos de funciones, problemas de optimización y cálculo de supercies, que permiten resolver situaciones-problemas propias de las distintas áreas disciplinares. Así, en este espacio curricular se presentan los temas centrales del Análisis Matemático, y an de consolidar una estructura cognitiva útil para el desarrollo, manejo e interpretación de su futura realidad como profesional, es necesario completar y complementar los mismos con la bibliografía citada en cada módulo, así como con la bibliografía adicional propuesta.


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Objetivos Generales Al nalizar la materia, usted estará en condiciones de alcanzar los siguientes objetivos: • Profundizar los conocimientos matemáticos básicos y adquirir los conceptos matemáticos necesarios para resolver cuantitativamente problemas •

inherentes a las áreas de cada carrera. Desarrollar las capacidades para organizar procesar e interpretar información comprendiendo y utilizando los aportes del pensamiento matemático.

•

Generar criterios apropiados para analizar situaciones propias de las distintas áreas especicas del conocimiento.

•

Perfeccionar habilidades que le permitan plantear modelos matemáticos para la solución de un problema.

Programa de contenidos UNIDAD 1: Relaciones y Funciones. • •

Relaciones entre conjuntos. Conjuntos de partida y de llegada de una relación. Funciones. Dominio e Imagen. Diferentes formas de determinar y representar una función: tabla, gracas y fórmulas. Funciones: su clasicación. Operaciones con funciones. Aplicaciones concretas de los conceptos en situaciones problemáticas.

UNIDAD 2: Funciones lineales y cuadráticas. •

•

Funciones lineales. Grácos. Distintos tipos. Ecuación de una recta. Pendiente predictivos. y ordenada al origen. Modelos lineales explicativos y Funciones cuadráticas. Representación gráca. Distintos casos. Vértice de una parábola. Raíces o ceros. Ecuación de segundo grado. Aplicaciones concretas en situaciones problemáticas del entorno del futuro quehacer profesional.

UNIDAD 3: Funciones exponenciales, logarítmica y trigonométricas. •

•

•

Funciones exponenciales. Denición. Dominio e imagen. Representación graca. Monotonía del crecimiento. Aplicaciones a crecimientos y cálculo de interés. Función logarítmica. Inversa de la función exponencial. Denición. Gracas. Monotonía del crecimiento. Propiedades de los logaritmos. Aplicaciones la modelización de situaciones concretas. Ángulos. Sistema de medición. Funciones trigonómetricas: seno, coseno, tangente. Propiedades: ceros, extremos, periodicidad, crecimiento y decrecimiento. Gracas. Funciones reciprocas y funciones inversas.

Unidad 4: Límite y continuidad de funciones reales. •

Limite. Concepto gráco, denición y ejemplos. Unicidad del límite. Límites laterales. Límites de funciones especiales. Operaciones con límites. Límites de la suma, diferencia, producto y cociente. Cálculo de límites usando propiedades fundamentales. Limites notables. El número e. Limites innito y en el innito. Limites indeterminados.


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•

Continuidad de una función en un punto. Continuidad en un intervalo. Funciones discontinuas.

UNIDAD 5: Derivación de funciones reales. •

Cociente incremental. Denición de derivada en un punto. Interpretación geométrica y económica. Función derivada. Derivada de las funciones elementales: constantes, lineales, potenciales, exponenciales, logarítmicas y trigonométricas. Notaciones para la derivada. Álgebra de derivadas. Derivada de la suma, de la resta, del producto y del cociente. Rectas secantes y tangentes a una curva en u punto. Regla de la cadena. Derivada del orden superior. Costo, ingreso y benecio marginal en economía.

UNIDAD 6: Aplicaciones de la derivada. •

•

Grácos de funciones. Máximo y mínimo de funciones, Puntos críticos y puntos extremos. Condiciones sucientes y necesarias para su existencia. Funciones crecientes, decrecientes y constantes en un intervalo: relación con la derivada primera. Puntos de inexión. Condiciones sucientes y necesarias para su existencia. Intervalos de concavidad y convexidad: relación con la derivada segunda. Aplicaciones en grácos de distintas funciones. La campana de gauss en estadística y funciones de comportamiento marginal en economía. Optimización. Planteo y resolución de problemas de óptimos: máxima ganancia, menor costo, máxima supercie, mayor producción, etc.

UNIDAD 7: Integración de funciones reales. •

Integral indenida. Denición de primitiva de una función. Cálculos de primitivas. Integral indenida de las funciones elementales: constantes, lineales, potencias, exponenciales, logarítmicas, trigonométricas. Propiedades de la integral indenida. Calculo de integrales indenidas: técnica de integración.

UNIDAD 8: Aplicaciones de la integral. •

Integral denida de una función continua en un intervalo: denición. Sumas superiores e inferiores de Riemann. Propiedades de la integral denida. Regla de Barrow: un método de cálculo. Calculo de áreas en el plano limitadas por una función continua y el eje de las abscisas en un intervalo. Áreas encerradas por curvas arbitrarias. Propiedades de las áreas de las guras planas. Aplicaciones a problemas concretos. Costos e ingresos a partir de los marginales respectivos.


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Esquema

conceptual de la asignatura

Funciones

Lineales

Cuadráticas

Exponenciales

Logarítmicas

Trigonométricas

Aplicaciones - Problemas

Límite

Continuidad

Cálculo diferencial

Cálculo integral

Derivada

Integral

Gráficos

Optimización

Areas

Aplicaciones - Problemas

Bibliografía Básica Haeussler, E. and Paul, R. Matemáticas para administración, economía, ciencias sociales y de la vida. Ed. Prentice Hall. 2003. México. ISBN 968-7270-97-7 Este texto de Matemáticas para Administración y Economía proporciona los fundamentos matemáticos necesarios para estudiantes de administración de empresas, economía y ciencias sociales. Inicia con temas de análisis matemático: funciones, álgebra de matrices, y matemáticas nancieras. Avanza a través del cálculo de una variables con demostraciones y los desarrollos descritos de manera suciente, pero cuidando el nivel de un estudiante de primer curso.

De Consulta y ampliación Ayres, F. y Mendelson E. Cálculo. Ed. McGraw-Hill. 2001 Bocco, M. Elementos de Matemática para las ciencias de la vida. Ed. Sima 2008


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Courant, R. y John, F. Introducción al Cálculo y al Análisis Matemático, Vol. I y II. Ed. Limusa, 1999. Guzmán, M. de y Colera, J. Matemática II –C.O.U. Ed. Anaya, 1989. Guzmán, M. de y Colera, J. Matemáticas I – C.O.U. Ed. Anaya, 1989. Hoffmann, L. Cálculo Aplicado para administración,economía y ciencias sociales. Ed. McGraw-Hill. - 2006. Larson, R.; Hostetler R. y Edwards, B. Cálculo. Ed. McGraw-Hill. 2000 Purcell, E. y Varberg, D. Cálculo con Geometría Analítica. Prentice-Hall. 2001 Stewart, J. Cálculo Diferencial e Integral. Ed. Thompson. Internacional. México. 2006. Stewart, J.; Hernández, R. y Sanmiguel, C. Introducción al Cálculo. Ed. Thompson. Internacional. México. 2007. Thomas, G. Cálculo de una variable. Ed. Pearson George. 2006

Evaluación y acreditación de la asignatura Para la evaluación del aprendizaje y acreditación de la asignatura se consideran los siguientes ítems: a) Nota de preclase: esta nota resulta de las calicaciones que realiza el Tutor Virtual sobre los Trabajos Prácticos individuales realizados por los alumnos.

b) Nota de parciales: que se administran en oportunidad de las clases satelitales. La sumatoria de las calicaciones de las notas de parciales dará el puntaje sobre el cual se valorará la nota obtenida por Exámenes parciales individuales. c) Examen Final: en función de la asistencia al Centro de Apoyo Distante y de las calicaciones resultantes de la nota de preciase y las notas de parciales, se establece los alumnos Regular Preferente Regular deberán realizarque exámenes nalesdedecondición materia (de 30 y 50 preguntasy respectivamente), quedando promovido y eximido de examen nal aquel alumno en cuyo desempeño se haya comprobado tanto la asistencia a clases como un rendimiento superior a nota seis en las instancias de evaluación. De lo precedente tenemos tres condiciones de alumnos: Asistencia a Clases

Nota de preclase

Nota de parciales

Examen nal

Alumno promovido

75%

6ó+

6ó+

No rinde examen nal

Alumno Regular Preferente

75%

4y5

4y5

Rinde examen nal de 30 preguntas

Alumno Regular

-

4ó+

-

Rinde examen nal de 50 preguntas

•

Alumno promocional: debido a su alto nivel de rendimiento no deberá rendir el examen nal de materia.

•

Alumno Regular Preferencial: es el alumno que habiendo cumplido con el requisito de asistencia no tuvo una calicación superior al 6 (seis) ya sea en las actividades preclases como en las evaluaciones individuales en los Centros Distantes y, por lo tanto, debe rendir un examen nal de 30


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preguntas.

•

Alumno Regular: para obtener su condición de regularidad, se le exige al alumno la aprobación con nota superior a 4 (cuatro) de las cuatro Trabajos Prácticos de los módulos. Este alumno, que no ha realizado los Exámenes de los módulos, deberá por tanto someterse a una evaluación más exhaustiva, realizando un examen nal de 50 preguntas. La regularidad se mantiene durante 18 MESES (5 turnos).


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Funciones. Funciones lineales y cuadráticas

MÓDULO 1


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MÓDULO I: FUNCIONES. FUNCIONES LINEALES Y CUADRÁTICAS Ampliar y profundizar estos conceptos básicos en el texto: Haeussler, E. and Paul, R. Matemáticas para administración, economía, ciencias sociales y de la vida.

CAPÍTULO 3: Funciones y grácas 3.1 Funciones. 3.2 Funciones especiales. 3.3 Combinación de funciones. 3.4 Grácas en coordenadas rectangulares. 3.5 Repaso. Aplicación práctica: Una experiencia con los impuestos CAPÍTULO 4: Rectas, parábolas y sistemas de ecuaciones 4.1 Rectas. 4.2 Aplicaciones y funciones lineales. 4.3 Funciones cuadráticas. 4.4 Repaso. Aplicación práctica: Planes de cobro en telefonía celular

Objetivos especícos •

Reconocer relaciones y/o funciones que vinculan distintos conjuntos de variables.

•

Representar funciones en distintas formas y analizar sus propiedades.

•

Enumerar y describir propiedades en grácos de funciones.

•

Denir la ecuación de una recta a partir del gráco o de valores conocidos de la misma.

•

Describir analítica y grácamente la función lineal, analizando el signicado

•

de los coecientes que determinan la misma. Determinar, a partir de los coecientes de la función cuadrática las principales características y el gráco de la misma.

•

Realizar el gráco de una función cuadrática conociendo los puntos signicativos del mismo.

•

Generar funciones que permitan modelar problemas y situaciones característicos de la actividad disciplinar.


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Esquema Conceptual

Funciones

Definición Funciones numéricas

Representación Diagramas Tablas Gráficos Fórmulas

Tipo de Funciones

Operaciones

Aplicaciones

F. Lineales

Gráfico de la recta Pendiente (inclinación)

Paralelismo Perpendicularidad

Ordenada al origen (corte eje y )

F. Cuadráticas Gráfico de Parábola

Parámetro a: Ramas

Parámetro b : Vértice

Parámetro c : corte eje y

Raíces de la Ecuación Cuadrática Discrimante


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Desarrollo de contenidos Funciones Si consideramos los conjuntos: A = {a,b,c,d} y B ={10, 20, 30, 40, 50} Podemos establecer una asociación o relación entre sus elementos indicada por las echas, en el siguiente Diagrama Sagital:

R A

B 10

a

20

b c

30 40

d 50

Decimos que: R: A → B x R y si y sólo si “la empresa x tiene y empleados” Denición: Una relación es una correspondencia que asocia elementos de un conjunto A, llamado conjunto de partida de la relación, con elementos del conjunto B, llamado conjunto de llegada.

Denición: El Dominio de la relación R es el conjunto formado por todos los elementos del conjunto de partida que están relacionados con, al menos, un elemento del conjunto de llegada. Dom R ⊆ A La Imagen de la relación R es el conjunto formado por los elementos del conjunto de llegada que están relacionados con algún elemento del dominio de la relación. Imf R ⊆ B Las relaciones que verican: 1. Dom R = A 2. Cada elemento del dominio está relacionado con un único elemento del conjunto de llegada, llamado su imagen. se llaman: FUNCIONES Denición: Una FUNCION de A en B es una relación que asocia a cada elemento x del conjunto A uno y sólo uno y del conjunto B, llamado su imagen. En símbolos: f : A → B


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f : x → y o f (x ) = y x = variable independiente y = variable dependiente

•

Diagrama Sagital

f M

N 1

a 2

c

3

b d

4

•

Tablas Dique

•

Nivel del Embalse

Río Tercero

46,56

La Viña

97,49

Cruz del Eje

37,22

San Roque

32,56

Los Molinos

52,55

Piedras Moras

29,20

Grácos

y= ( x)

x

•

Fórmulas

f ( x ) = 3 x + 1

g ( x ) = x 5

x h ( x ) = 2 x - 2

F ( x ) =

x


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Funciones Numéricas Son las funciones que relacionan variables independientes con variables dependientes que pertenecen, ambas, a conjuntos de números. Ejemplo:

f (x ) = 3 h (x ) =

3 g (x ) = x +3 x

x +1 2 x - 1

x

F ( x ) =

IMPORTANTE: El dominio de denición de una función numérica, es el mayor subconjunto de números reales (R) para los cuales se puede calcular la imagen por la función. Ejemplo: a) Dominio de f (x) = 3 x +1 es Dom f = R b) Dominio de g (x) = x 3 +3 x es Dom g = R c) Dominio de h (x) = d) Dominio de F ( x ) =

2 x - 1

{}

es Dom h = R - 1

x es Dom F =

Funciones Constantes, Crecientes y Decrecientes Una función f se dice constante en un intervalo I ⊆ Dom f , si f (x) = c para todo x en el intervalo I.

Una función f se dice creciente en un intervalo I ⊆ Dom f , si x1 < x2 ⇒ f ( x1) < f ( x2) con x1, x2 en el intervalo I. Una función f se dice decreciente en un intervalo I ⊆ Dom f ,si x 1 < x 2 ⇒ f (x 1) > f (x 2) con x 1, x 2 en el intervalo I . Ejemplo: La función y = g ( x ) cuyo gráco se presenta a continuación es creciente en el intervalo − ∞ , 3 y es decreciente en el intervalo 3 , + ∞

(

)

(

)

g (x ) 4 3 2 1 x – 4

–3

–2

1

–1

2

3

4

5

–1 –2 –3


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Operaciones con Funciones Si f y g son dos funciones, denimos:

1) (f + g) (x) = f (x) + g(x) 2) (f - g) (x) = f (x) - g(x) 3) (f . g) (x) = f (x) . g(x) 4)

si g(x) ≠ 0

Ejemplo: Consideremos dos funciones f y g denidas por las fórmulas: f (x ) =

x - 3

y

g (x ) = x

2

a) Imagen de x = 5 por la función f + g e ( f + g )(5) =f (5)+g (5)=1+5 = 6 b) Imagen de la variable a por la función

(

)

f + g es f + g (a ) = f ( a ) + g ( a ) =

a - 3 2

+ a

c) Imagen de x = 1 por la función f . g es (f . g )(1) = f (1) . g (1) =

1 - 3 2

.1= – 1

Funciones lineales Situación - Problema: Un productor coloca en el mercado 5000 productos cuando el precio es de 35$ y 3500 productos cuando cuestan 60$. es la demandada ecuación de y oferta de dicho producto que relaciona el precio x con ¿Cuál la cantidad ?

y 5000 3500

x 35

60

En este caso vemos que los valores se ubican sobre una línea recta, las funciones cuyos grácos son líneas rectas se denominan:

Denición: Llamamos función lineal a una función f : R → R , que verica: f (x) = a x + b o y = a x + b con a y b números reales, llamados parámetros de la función.


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Gráco de la Función Lineal 1) f (x) = b y = b o El gráco de la función lineal y=b es una recta horizontal (paralela al eje x ) que pasa por el punto (0,b). 2) f (x) = a x o y = a x El gráco de la función lineal f (x)=ax es la recta r determinada por el origen (0,0) y el punto A=(1,a ). 3) f (x) = a x + b o y = a x + b El gráco de la función lineal y =ax + b , es la recta determinada por los puntos y (1,a +b ). IMPORTANTE: El gráco de una función lineal es una línea recta. La recta que representa a una función lineal queda determinada unívocamente con 2 puntos. Recordar: No toda recta es el gráco de una función lineal

Nombre y signicado de los Parámetros Denición: El parámetro a de la función lineal f (x) = a x + b se llama pendiente de la recta e indica la inclinación de la misma.

y

y

y = a x + b

y = a x + b

x

x

a > 0 Recta Creciente

a < 0 Recta Decreciente

Signicado Geométrico de la pendiente

y

ða

x

y = a x + b

a = tangente trigonométrica del ángulo que forman la recta con el sentido positivo del eje x (medido en sentido antihorario)


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Denición: El parámetro b de la función lineal f (x) = a x + b se llama ordenada al origen de la recta e indica el punto donde la recta corta al eje y .

Pendiente de la Recta que pasa por dos puntos conocidos Si conocemos (x 1 , y 1) y (x 2 , y 2) que pertenecen a la recta de ecuación f (x) = a x + b entonces se verica que: y y 2 y 1 y 2 - y 1 a = x 2 - x 1

x x 1

x 2

Paralelismo y Perpendicularidad de Rectas Propiedad 1: Las rectas r 1 de ecuación y = a x 1 + b 1 y r 2 de ecuación y = a x 2 + b 2 son paralelas si y sólo si sus pendientes son iguales , es decir: r 1 // r 2 si y sólo si a 1 = a 2 Propiedad 2: Las rectas r 1 de ecuación y = a x 1 + b 1 y r 2 de ecuación y = a x 2 + b 2 son perpendiculares si y sólo si sus pendientes son inversas y de signo contrario , es decir r 1 ⊥ r 2 si y sólo si a 1 = - 1 a 2 Ejemplo: Un productor coloca en el mercado 5000 productos cuando el precio es de 35$ y 3500 productos cuando cuestan 60$. ¿Cuál es la ecuación de oferta de dicho producto que relaciona el precio x con la cantidad demandada y si la misma sigue un modelo lineal? Para esta función conocemos dos puntos de la misma: (35, 5000) y (60, 3500) entonces podemos encontrar el valor de la pendiente: a = y 2 - y 1 = 3500 - 5000 x 2 - x 1 60 - 35

= - 1500 25

= - 60

Con lo cual la ecuación de la función lineal de oferta verica: f ( x ) = - 60 x + b

Para encontrar la ordenada al origen, como conocemos que el par (35, 5000) es un punto de dicha función planteamos: f ( 35 ) = - 60 . 35 + b = 5000 y despejando b = 7100 Entonces la función de oferta f que indica para cada precio x el número de unidades y es: f ( x ) = - 60 x + 7100 Para pensar: ¿La función es decreciente o creciente?¿por qué? Si se regalaran los productos, ¿qué demanda tendríamos? ¿Cuál es el Dom f para este problema?


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Funciones cuadráticas Situación- Problema: La función que relaciona el precio con las unidades demandadas es: p = 9000 – 2x p = precio por unidad

x = Nº de unidades demandadas ¿Qué nivel de demanda maximizará el ingreso total? ¿a cuánto ascenderá dicho ingreso? Ingreso Total = Precio . Cantidad I (x) = p . x I (x) = (9000 – 2 x ) . x I (x ) = - 2 x 2 + 9000 x En esta situación la variable independiente x aparece afectada por una potencia (x 2) este tipo de funciones se denominan:

Denición: Llamamos función cuadrática a una función f : R → R que verica: f (x) = a x 2 + b x + c con a , b y c son números reales, llamados parámetros de la función y a ≠ 0 a : término cuadrático (a ≠ 0) b : término lineal c : término independiente

Gráco de la Función Cuadrática: La Parábola

y = f ( x) ramas

x

• Eje de simetría vértice

Signicado de los parámetros de la Función Cuadrática I)

El término cuadrático: a a > 0

• •

La parábola tiene “ramas hacia arriba” La función tiene un mínimo en el vértice. a < 0

• •

La parábola tiene “ramas hacia abajo” La función tiene un máximo en el vértice.


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II) El término lineal: b y

y 2 f (x) = a x + b x + c

• P

y v

x

• •

b →

x x v

desplazamiento horizontal → Vértice (x v , y v )

•

En los ejes

•

En los ejes x , y

x , y

→ y = a x 2 → y = a x 2 + b x + c

Un punto

P

x = x - x v

= ( x , y ) = ( x , y )

y = y - y v y = a x

2

y - y v = a ( x - x v )

2

2 2 y - y v = a x - 2 x x v x v 2 2 y = a x - 2 a x v x + a x v + y v Y por otro lado debe ser

y = a x

2

+ b x

+

- 2 x x v = b

c x v =

- b 2 a

Así obtenemos el valor que tiene el vértice.

Vértice de la Función Cuadrática

III) El término independiente: c f (x) = a x 2 + b x + c → f (0) = c •

El valor de c indica el punto donde la parábola corta al eje y

Intersección de la Parábola con los Ejes Coordenados •

Eje y : Par ordenado (0, c )


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•

Eje x :

a x 2 + b x + c = 0

Ecuación Cuadrática

Las soluciones o raíces de la ecuación cuadrática a x 2 + b x + c = 0 están dada por : x 1, 2 =

- b ±

2 b - 4 a c 2 a

Discriminante: D = b 2 – 4 a c D > 0 D = 0 (2 raíces) (1 raíz)

D < 0 (Sin raíces reales)

Ejemplo: La función que relaciona el precio con las unidades demandadas, para p = precio por unidad y x = Nº de unidades demandadas es: p = 9000 – 2x 2 Si el ingreso total (en $) está representado por I ( x ) = - 2 x + 9000 x ¿Qué nivel de demanda maximizará el ingreso total? ¿a cuánto ascenderá dicho ingreso? Como esta función es una función cuadrática con término cuadrático negativo, entonces el máximo ingreso se producirá en el valor del vértice. Por esto debemos encontrar: - b x v =

- 9000 =

2 a

= 2 . 250 2 ( - 2 )

Así, cuando se demanden 2250 unidades del producto se obtendrá el máximo ingreso, y lo que percibirá la empresa por el mismo será: y v = f ( x v ) = - 2 . 2250

2

+ 9000 . 2250 = 10 . 125 . 000 $

Grácamente observamos:

I(x)

10.125.000

x 2250

5000


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• • •


Para pensar: ¿Cuál es el Dom I (x )? ¿En qué intervalo la función es creciente? ¿qué nos indica en la situación planteada? ¿Cómo se obtuvo el x = 5000 que aparece en el gráco? c ¿Por qué la función pasa por el par ordenado (0,0)? ¿qué nos indica en la situación planteada?

Autoevaluación Realizar, para aanzar la ejercitación y aplicación de estos temas los ejercicios propuestos en el texto.

Ejercicio 1: ¿Cuál de los siguientes grácos representan funciones? Justicar la respuesta.

a)

b)

y

c)

y x

x

c) f ( - 1 )

d) f  -

x

x

2 3



y

y

Ejercicio 2: Dada la función f ( x ) = 3 x + 2

a) f ( 5 ) b) f ( 0 )

d)

encontrar:

e) f ( a )

f) f ( x +

x )

Ejercicio 3: Para la función f cuyo gráco se encuentra a continuación indicar, si es posible:

a) Dominio de la función b) Imagen de la función c) Corte con el eje y


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d) e) f) g) h) i)

f (2) f (5) f (0)

La imagen de – 4 La imagen de 10 El valor de x cuya imagen es –1

j) El intervalo donde f es constante k) Los intervalos donde f es creciente l) Los intervalos donde f es decreciente Ejercicio 4: Indicar el dominio de las siguientes funciones: a)

f ( x ) = 3 x + 1

d) M ( x ) =

x - 2

3 2 b) g ( x ) = x + 2 x + 5 x - 1

c) H ( ) =

e) F ( x ) =

f) G ( x ) =

3 - x

2

1

5 x + 5

3

Ejercicio 5: Para las funciones f ( x ) = x - x y g ( x ) = 2 + x encontrar, si es posible: a) ( f + g )( 1 )

b) ( f - g )( 2 )

d) f ( - 2 ) g

e)

c) ( f - g )( 2 )

f g ( - 1 )

f)

g ( 1 ) f

Ejercicio 6: Gracar, en un mismo sistema de coordenadas, las siguientes funciones lineales: a) f ( x ) = 2

b) f ( x ) = 2 x

c) y = 2 x + 3

d) y = 2 x - 1

Indicar para cada una:

a) ¿Cuál es la pendiente de la recta? b) ¿Cuál es la ordenada al origen? Ejercicio 7: Encontrar la pendiente y la ordenada al origen de cada recta, y realizar su gráco: a) 2 x + y - 2 = 0

b) x - y = - 3

Ejercicio 8: Encontrar la ecuación de la recta y realizar el gráco en cada caso: a) con pendiente a= -2 y ordenada al origen 4 b) con pendiente a= -2 y pasa por el punto (2,5) c) con ordenada al origen 3 y que pasa por el punto (3,0) d) que pasa por los puntos (-2,1) y (10,9) e) corta al eje x en 2 y al eje y en 4. f) paralela a la recta y =-2x +-1 y que pasa por el origen g) perpendicular a la recta y - 3x + 5 y tiene ordenada al origen 2 Ejercicio 9: Los siguientes grácos representan funciones cuadráticas f ( x ) = ax 2 + bx + c

Indicar en cada caso el signo de los coecientes a , b y c y del discriminante D . Justicar cada respuesta.


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a)

b)

c) y

y

y

x

x

x

Ejercicio 10: Gracar, sin dar valores numéricos a los coecientes a , b y c , una parábola de ecuación f ( x ) = ax 2 + bx + c que cumpla en cada caso: a) a > 0

b < 0

c < 0

b) a > 0

b = 0

c < 0

c) a < 0

b > 0

c = 0

Ejercicio 11: Gracar las siguientes funciones. Indicar para cada función: a) Punto de corte de la parábola con el eje y. b) Las coordenadas del vértice de la parábola. c) Puntos de corte de la parábola con el eje x (si existen). a) y = 3 x

2

2 d) y = x - 2 x + 1

2 b) y = - 2 x + 2 e) y = - x

2

c) y =

1 2

x

2

+ 2 x

+ 2 x - 4

Situaciones Problemas: Modelización. Ejercicio 12: La empresa “Remi-tax” cobra para sus viajes en la ciudad 1$ la bajada de bandera y $4 por 1000 metros recorridos. a) Indicar la función que permite modelar el costo de un viaje para x kilómetros recorridos. b) Calcular el precio de un viaje del centro al aeropuerto de 15 km de distancia. Ejercicio 13: Si el costo de producir 30 refrigeradores es de 25.000$ y el de 40 unidades del mismo refrigerador es de 30.000$. Sabiendo que el costo de producción C de la empresa está relacionado linealmente con la cantidad x de refrigeradores producidos. a) ¿Cuál es la función que permite describir los costos de producción? b) Estimar el costo de producir 35 unidades del mismo producto. c) La empresa vende los refrigeradores a 1.500$ cada uno, ¿cuál es la función de ingreso I si se supone también un comportamiento lineal de la misma?.


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Respuesta a la Autevalución Ejercicio 1: a) No es función, existen elementos con más de una imagen b) Si es función c) No es función, existen elementos con más de una imagen d) Si es función Ejercicio 2: a) 17 d) 0

b) 2 e) 3 a + 2

c) -1 f) 3 x + 3 x + 2

Ejercicio 3: a) Dom f = R - { 2 } c) 3 e) 2,5 g) 0 i) No existe, -1 Img f k) (-4,0) , (2,5) y (6,7)

b) IMG f = R 0 = [ 0 , d) No existe, 2 Dom f f) 3 h) 2,5 j) (7, ) l) (,-4), (0,2) y (5,6)

)

Ejercicio 4: a) Dom f = R c) Dom H = R - { 0 } e) Dom F = R ≤ 3 = ( - ∞, 3 ]

b) Dom g = R d) Dom M = R ≥ 2 = [ 2 , + ) f) Dom G = R - { - 5 }

Ejercicio 5: a) 1

b) 11

c) 0 e) 2

d) No existe f) No existe

3

a) b) c) d)

4

Ejercicio 6: Pendiente: 0 Pendiente: 2 Pendiente: 2 Pendiente: 2

Ordenada al origen: 2 Ordenada al origen: 0 Ordenada al origen: 3 Ordenada al origen: -1

Ejercicio 7: a) Pendiente: - 2 b) Pendiente: 1

Ordenada al origen: 2 Ordenada al origen: 3

Ejercicio 8: a) y =-2x +4 c) y =-x +3 e) y =-2x +4

b) y =-2x +9 d) y = 2 x + 7 3

3

f) y =-2x

g) y = - 1 x + 2 3 Ejercicio 9: a) a > 0

b < 0

c = 0

D > 0

b) a < 0

b = 0

c > 0

D > 0


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c) a <0 b < 0

c > 0

D > 0

Ejercicio 11: a) 1) Punto de corte de la parábola con el eje y : (0,0) 2) Las coordenadas del vértice de la parábola: (0,0) 3) Raíces de la Parábola o corte eje x : x 1 = x 2 = 0 b) 1) Punto de corte de la parábola con el eje y : (0,2) 2) Las coordenadas del vértice de la parábola: (0,2) 3) Raíces de la Parábola o corte eje x : x 1 = 1 y x 2 = -1 c) 1) Punto de corte de la parábola con el eje y : (0,0) 2) Las coordenadas del vértice de la parábola: (-2,-2) 3) Raíces de la Parábola o corte eje x : x 1 = 0 y x 2 = -4 d) 1) Punto de corte de la parábola con el eje y : (0,1) 2) Las coordenadas del vértice de la parábola: (1,0) 3) Raíces de la Parábola o corte eje x : x 1 = x 2 = 1 e)

1) Punto de corte de la parábola con el eje y: (0,-4) 2) Las coordenadas del vértice de la parábola: (1,-3) 3) Raíces de la Parábola o corte eje x : No hay raíces reales. Ejercicio 12: a) C (x ) = 4 x +1 b) 61$ Ejercicio 13: a) Costo de producción de la empresa C(x )= 500x +10.000 con x número de refrigeradores. b) Costo de producir 35 unidades del mismo tipo de refrigerador 27.500$. c) Ingreso de la empresa 1( x )=1500 con x número de refrigeradores vendidos.


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Funciones exponenciales. Logarítmicas y trigonométricas Límite de funciones

MÓDULO 2


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Funciones exponenciales. Logarítmicas y trigonométricas. Límite de funciones

MÓDULO II: FUNCIONES EXPONENCIALES, LOGARITMICAS Y TRIGONOMÉTRICA. LIMITE DE FUNCIONES Ampliar y profundizar estos conceptos básicos en el texto: Haeussler, E. and Paul, R. Matemáticas para administración, economía, ciencias sociales y de la vida.

CAPÍTULO 5: Funciones exponencial y logarítmica 5.1 Funciones exponenciales. 5.2 Funciones logarítmicas. 5.3 Propiedades de los logaritmos. 5.4 Ecuaciones logarítmicas y exponenciales. 5.5 Repaso. Aplicación práctica: Dosis de medicamento. CAPÍTULO 9: Límites y continuidad 9.1 Límites. 9.2 Límites (continuación). 9.3 Interés compuesto continuamente. 9.4 Repaso. Aplicación práctica: Deuda nacional.


Describir analítica y grácamente las funciones exponenciales y logarítmicas y reconocerlas como funciones inversas.

•

Aplicar las propiedades que denen el comportamiento gráco de las funciones exponenciales y logarítmicas.

•

Describir las funciones trigonométricas a partir de la circunferencia unitaria y las relaciones entre las mismas.

•

Gracar las funciones trigonométricas inversas.trigonométricas y deducir de ellas las funciones

•

Resolver problemas que involucran crecimientos o decrecimientos modelados por funciones exponenciales, logarítmicas y trigonométricas.

•

Comprender el concepto de límite de una función y su cálculo gráco y analítico.

•

Utilizar el concepto de límite para representar situaciones y tendencias, así como comportamientos extremos.


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Esquema Conceptual F. Exponenciales Definición

x

y= a F. Exponencial creciente (a>1)

F. Exponencial decreciente (a< 1)

Propiedades Base Decimal Base Natural Aplicaciones

F. Logarítmicas F. Logarítmica creciente (a>1)

F. Logarítmica decreciente (a< 1)

Propiedades Logaritmo decimal. Logaritmo Natural

F. Trigonométricas Ángulo Circunferencia

Función Seno

Función Coseno

Función Tangente

Propiedades

Gráficos

Funciones recíprocas

Funciones Inversas Funciones trigonométricas en triángulo


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Límite de Funciones

Definición

Gráficos

Tablas

Límites Latearales

Límites notables

Propiedades

Cálculo

Desarrollo de contenidos Funciones Exponenciales Situación- Problema I Si un capital de 100$ es invertido a una tasa del 5 % de interés compuesto anual. ¿Cuánto se obtiene como monto al nalizar el año x de inversión? En general: La función que permite modelar el Capital Final CF (cantidad nal) que se obtiene a partir de un capital inicial CI (principal) al nalizar una x inversión de x años a una tasa r de interés compuesto es: CF ( x ) = CI ( 1 + r )

Situación- Problema II Si una población de 100.000 habitantes crece a razón del 0,8 % anual ¿Cuántos individuos se podrán contabilizar en dicha población si se censa después de x años ? En general: La función que permite modelar la cantidad de individuos P de una población, a partir de una población inicial P 0 si el crecimiento anual se estima a una razón de r % es: P ( x ) = P ( 1 + r ) x 0 independiente x aparece como el exponente de En esta situación la variable una potencia este tipo de funciones se denominan:

Denición: Llamamos función exponencial a una función que verica: f (x) =ax donde la base a es un número real, que cumple a > 0 y a ≠ 1

La Función Exponencial de base mayor que 1: f (x) a x con a > 1


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• • • • • • •


Dom f = R Img f = R

∞ > 0 = (0,+∞) Interseca al eje y en (0,1) No interseca al eje x Es una función creciente Si x → + ∞ es f (x) → + ∞ Si x → − ∞ es f (x ) → 0

Ejemplo: Operaciones con la función exponencial

Obtener: ¿ Dom f ? ¿Img f ? ¿Corte con el eje y?

Propiedades de la Función Exponencial de base positiva menor que 1 f (x) 0 a x con 0 < a< 1

• • • • •

Dom f = R Img f = R> 0 = (0,+ ∞) Interseca al eje y en (0,1) y = a X No interseca al eje x (0 < a <1) Es una función decreciente

• •

Si x → +∞ es f (x) → 0 Si x → - ∞ es f (x) → +∞

y

1

x

Dos funciones exponenciales particulares: Crecimientos Naturales y = e x = (2,7172....) x y = 10 x Base Decimal

Ejemplo: Si un capital de 100$ es invertido a una tasa del 5 % de interés compuesto anual. a) ¿Cuánto se obtiene como monto al nalizar el primer año de inversión?


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Como conocemos que el capital nal CF que se obtiene a partir de un capital inicial CI al nalizar la inversión después de x años a una tasa r de interés compuesto es una función exponencial de la forma CF (x) = CI (1+r) x entonces: 1 1 CF ( 1 ) = 100 ( 1 + 0 , 05 ) = 100 ( 1 , 05 ) = 105 $

a) ¿Cuánto se obtiene como monto al nalizar el segundo año de inversión? Ahora tenemos: CF ( 2 ) = 100 ( 1 + 0 , 05 )

2

= 100 ( 1 , 05 )

2

= 110 , 25 $

Ejemplo: Si una población de 100.000 habitantes crece a razón del 0,8 % anual ¿Cuántos individuos se podrán contabilizar en dicha población el próximo año? Como la función que modeliza la cantidad de individuos P de una población, a partir de una población inicial P 0 si el crecimiento anual es a razón del r %, es x una función exponencial de la forma P ( x ) = P 0 ( 1 + r ) entonces: 1 1 P ( 1 ) = 100 . 000 ( 1 + 0 , 008 ) = 100 . 000 ( 1 , 008 ) = 100 . 800 habitantes.

¿Cuántos individuos se podrán contabilizar en dicha población si el censo se realiza en diez años? P ( 10 ) = 100 . 000 ( 1 , 008 )

• • • •

10

= 108 . 294 habitantes.

Para pensar: ¿Cuál es el Dom P (x) ? ¿Es esta función creciente o decreciente? ¿por qué? ¿Cómo es el gráco de P(x) ? ¿En qué valor la función corta al eje de las ordenadas? ¿qué nos indica en la situación planteada?

Funciones logarítmicas Situación-Problema I: ¿Cuánto tiempo deberemos tener invertido un capital de 1000$ a una tasa de interés del 6% para alcanzar un monto de 1338$? 1338 = 1000 (1+0,06)t 1,338 = (1,06)t Para resolver esta ecuación exponencial, es decir “despejar” la variable t debemos denir un nuevo tipo de función:

Denición: Llamamos función logarítmica, de base a con a > 0 y a ≠ 1 a la función que verica: f (x) = LOG a x y se dene como: LOG a x = b

a

b

= x

Importante: La función logarítmica f ( x ) = LOG a x es la función inversa x y de la función exponencial f ( x ) = a por la cual LOG a x = y a = x

Propiedades de la Función Logarítmica y = LOG a x con

a > 1


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• • • • • • •

Dom f = R > 0 = (0, + ∞) Img f = R Interseca al eje x en (1,0) No interseca al eje y Es una función creciente Si x >1 es f (x) = logax positivo Si 0 < x < 1 es f (x) = logax negativo


y

y = log ax (a >1) x

1

Propiedades de la Función Logarítmica y = log a x

con

0 < a < 1

• Dom f = R > 0 = (0,+∞) • Img f = R • Interseca al eje x en (1,0) • No interseca al eje y • Es una función decreciente • Si x > 1 es f (x) = log ax negativo • Si 0 < x < 1 es f (x) = log ax positivo

y

y = log a x (0 < a < 1) 1

x

Dos funciones logarítmicas particulares y = log 10 x = log x Logaritmo Decimal Logaritmo Natural y = log e x = In x

Propiedades del Logaritmo a) log a ( m . n ) = log a m + log a n m = log m - log n a a n r c) log a ( m ) = r . log a m

b) log a

Cambio de Base: Al utilizar la calculadora solo encontramos logaritmo decimal y logaritmo natural, entonces para el cálculo con otras bases debemos realizar: log x ln x log a x = = log a ln a

Ejemplo: ¿Cuánto tiempo deberemos tener invertido un capital de 1000$ a una tasa de interés del 6% para alcanzar un monto de 1338$? Como conocemos que el capital nal CF que se obtiene a partir de un capital inicial CI al nalizar la inversión después de x años a una tasa r de interés x compuesto es una función exponencial de la forma CF ( x ) = CI ( 1 + r ) entonces: 1338

= 1000

( 1 + 0 , 06 ) t = 1000 ( 1 , 06 ) t


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1338 1000

= 1 , 06

1 , 338 = 1 , 06

t

t

Aplicando logaritmo en ambos miembros, tenemos: t log 1, 06 1 , 338 = log 1, 06 1 , 06 y por la tercer propiedad de logaritmo:

log 1, 06 1 , 338 = t . log 1, 06 1 , 06 Ahora aplicamos, en el primer miembro la fórmula de cambio de base y en el segundo la denición de logaritmo: log 1 , 338 = t . 1 log 1 , 06 ¿Por qué da 1 el log 1, 06 1 , 06 ? Utilizando la calculadora obtenemos: t = 4,997, este valor nos indica que debemos invertir nuestro monto inicial durante 5 años para obtener, siempre con el interés compuesto del 6%, el monto requerido de 1.338$ Para pensar: ¿Cuál es el capital nal que obtendríamos si el mismo monto inicial lo invertimos a esta tasa pero por un período de 10 años? Y si quisiéramos obtener 1500$ ¿cuántos años debemos dejar este capital invertido?

Funciones Trigonométricas Trigonometría: Proviene del griego y signica medidas del triángulo (lados y ángulos). Todas las situaciones y/o fenómenos que se repiten cada cambio periódico de la variable independiente se modelizan con las funciones trigonométricas. Angulo: área del plano comprendida entre dos semirrectas que se intersecan en un punto.

lado final

0 lado inicial

En el plano cartesiano coordenado:

y

y

x

x ángulo positivo

ángulo negativo


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Sistemas de Medición Los sistemas de medición de ángulos más utilizados son el sistema radial y el sistema sexagesimal. El sistema sexagesimal es el que conocemos desde la escuela primaria, la circunferencia de radio unidad (circunferencia trigonométrica) se dividide en 360 partes y cada parte se denomina grado (º). Un ángulo recto tiene 90º y un ángulo llano tiene 180º. El sistema radial tiene la ventaja que permite indicar los valores de los ángulos sobre un sistema de ejes coordenados, es decir hacer la correspondencia entre la medida del ángulo y un número real). La circunferencia trigonométrica (radio unidad) tiene una longitud de 2 π (≈6,28). Este valor nos indica que “cabe” aproximadamente 6,28 veces el radio en el perímetro de la circunferencia. Tomando como unidad el radio (radián) un ángulo recto mide π /2 radianes y un ángulo llano mide π radianes. Relación entre los sistemas de medición: Sistema Sexagesimal (Unidad: 1 grado)

Sistema Radial (Unidad: 1 radián)

90º

/2

π

180º

π

360º

2π

Denición: Llamamos función seno del ángulo t a la función

f (t) = sen t que

t el valor de la ordenada del punto P donde el lado asigna cada ángulo nal dela ángulo que mide t radianes, interseca a la circunferencia de radio 1. Llamamos función coseno del ángulo t a la función f (t) = cos t que asigna a cada ángulo t el valor de la abscisa del punto P donde el lado nal del ángulo que mide t radianes, interseca a la circunferencia de radio 1.

En la circunferencia trigonométrica:

y 1 y

P = ( x , y )

sen x t -1

cos x x

x 1

-1


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• •

Dom (sen t) = R Dom (cos t ) = R

Img (sen t) = [-1,1] Img (cos t) = [-1,1]

Signos de las funciones Seno y Coseno en los 4 Cuadrantes Cuadrante

Valores del ángulo t /

Sen t

π 0 rad/2- rad

I

0º - 90º

II

90º - 180º / π /2 rad - π rad

III

π 180º - 270º / π rad /2 - 3rad

IV

270º - 360º /

Cos t

+

+ +

-

-

3 π /2rad – 2π rad

-

+

Periodicidad del Seno y Coseno sen t = sen(t+2P) cos = cos (t+2P) Las funciones sen t y cos t son periódicas, de período 2π

Crecimiento y Decrecimiento de las funciones Seno y Coseno Cuadrante sen t cos t

I crece decrece

II decrece decrece

III decrece crece

IV crece crece

Relación Fundamental

y 1 1

sen t x

-1

cos t

1

2 2 sen t + cos t = 1 -1

Gráco de la función seno


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Gráco de la función coseno:

Función Tangente Denición: Llamamos función tangente del ángulo t a la función

f (t) = tg t

que se dene por: f (t) =

sen t cos t

y asigna a cada ángulo t el valor de la ordenada del punto que tiene abscisa 1 y se encuentra sobre el lado nal del ángulo que mide t radianes. En la circunferencia trigonométrica:

y 1 y

tgx sen x

t cos x x

-1

x 1

-1

Dom (tg t) = R - ( 2 n + 1 ) . 2 Img (tg t) = R

• •

Signos de la función tangente en los 4 cuadrantes Cuadrante I II III IV

Valores del ángulo t 0º - 90º / 0 rad/2- rad π 90º - 180º / π /2 rad - π rad 180º - 270º / π rad /2 - 3rad π 270º - 360º /

3π /2rad – 2π rad

tg t

+ + -


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Periodicidad de la Tangente: tg t =tg (t+P) La función tg t es periódica, de período π

Crecimiento de la función tangente: Cuadrante

I

II

III

IV

sen t

crece

crece

crece

crece

Gráco de la función tangente

Funciones Trigonométricas Recíprocas

Se denen a partir de las funciones trigonométricas las siguientes tres funciones: Función Cotangente de t → Función Secante de t

cotg t =

→ sec t =

Función Cosecante de t →

1 tg t 1

cos t

cosec t =

1 sen t

Funciones Trigonométricas Recíprocas

Denición:

Las funciones denidas por: 1. arc sen : [ 0 ,1 ]

-

2. arc cos : [ 0 ,1 ] 3. arc tg : R

-

2

, 2

2

[ 0 ,

]

,

2

son las funciones inversas de y = sen t , y= cos t e y = tg t, re spectivamente, y asignan a cada valor de su dominio el ángulo cuyo arco se corresponde con el seno, coseno o tangente del mismo.


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Funciones trigonométricas para ángulos agudos de un triángulo rectángulo

En un triángulo rectángulo, para el ángulo agudo

A

cateto opuesto a sen

=

hipotenusa

hipotenusa

cateto adyacente a cos

=

tg

=

se verica:

cat. opuesto

hipotenusa cateto opuesto a

B

cateto adyacente a

O

cat. adyacente

Límite de Funciones Situación-Problema 1 c (x) = costo promedio para una producción de x unidades

“si la producción de unidades aumenta indenidamente, el costo promedio se aproxima a un nivel de estabilidad de 6$” lím c ( x ) = 6 x +

Situación-Problema 2 S (x) = supercie de un polígono de x lados

“la supercie de un círculo, de radio 1, es el valor al cual se aproximan las sucesivas áreas de los polígonos contenidos en el círculo” lím S ( x ) = x +

3 ,16

Ejemplo: lím ( x+3 ) = x 2

•

Podemos realizar el gráco de la función lineal y ver en el mismo su tendencia para valores de la variable independiente x al acercarse al número 2.

•

También podemos evaluar la tendencia de la función mediante la siguiente tabla 2 x

1,5

1,9

1,99

f ( x)

4,5

4,9

4,99

2,01

2,1

2,5

5,01

5,1

5,5

5

•

O bien realizando un razonamiento algebraico x

2

x + 3

2 + 3

x + 3

5


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Cualquiera sea la forma, vemos que si con x nos aproximamos sucientemente al número 2, por valores mayores y menores que 2, pero, x 2 los valores de las imágenes de dichos x se aproximan al número 5. Entonces lím ( x + 3 ) = 5 x 2 Ejemplo:

x 2 - 1 lím 1 + x 2 x - 1 • •

=

Gráco: No lo conocemos 2 x - 1 f ( x ) = 1 + Como x - 1

no se dene para x = 1 , es decir f (1) no existe, entonces no podemos calcular la

imagen. •

Realizamos una tabla de valores:

x 1 x

0,8

0,9

0,99

0,999

f ( x) 2,64

2,81

2,98

2,998

1,001

1,01

1,1

1,2

3,002

3,02

3,21

3,44

3 Observamos que si con x nos aproximamos sucientemente al número 1, por valores mayores y menores que 1, pero no iguales a 1, los valores de las imágenes de dichos x se aproximan al número 3. Entonces: 2 x - 1

lím 1 x

1 + x - 1

= 3

Denición: El límite de f (x) cuando x se aproxima (tiende) al número a es un número L, y escribimos lím f ( x ) = L x a si cada vez que con x nos aproximamos sucientemente al número a (por valores mayores y menores que a , pero x a ) los valores de las imágenes f (x) se aproximan al número L.

Estimación gráca del límite

lím f ( x ) = - 1 x - 1 lím f ( x ) = 1 x 2


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Ejemplo:

g ( 2 ) = 1 lím g ( x ) = 2 x - 2 lím g ( x ) = 3 x 2

Estimación del límite utilizando una tabla de valores: Ejemplo: 1 lím = x 0 x Mediante una tabla de valores obtenemos:

x 0 x

- 0,1

- 0,001

- 0,0001

0,0001

0,001

0,1

f ( x)

- 10

- 1000

- 10000

10000

1000

10

¿? lím x 0

1 x

no existe

Unicidad del Límite ¿Puede ser lím f ( x ) = L 1 x a ¿Por qué?

y

lím f ( x ) = L 2 ? x a

El límite, si existe, es único

Límites Laterales

y = f(x) lím f ( x ) = no existe x 1

2 1

x

1


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Denición: • Límite lateral derecho:

lím f ( x ) = L 1 x a +

Si cada vez que x se aproxima al número a por valores mayores que a (por la derecha de a , en la recta numérica), las imágenes f (x) se aproximan a L 1 • Límite lateral izquierdo: lím f ( x ) = L 2 x

a -

Si cada vez que x se aproxima al número a por valores menores que a (por la izquierda de a , en la recta numérica), las imágenes f (x) se aproximan a L 2

IMPORTANTE: lím f ( x ) x a + lím f ( x ) existe si y sólo si x a

existen y son iguales lím f ( x ) x a -

Dos límites particulares •

•

Límite notable:

El número e:

lím x 0

sen x

= 1

x

1 lím (1 + x ) x = e x 0

Comprobar, construyendo una tabla de valores, los resultados de estos límites notables.

Propiedades del Límite Si lím f ( x ) y lím g ( x ) existen, entonces: x a x a

1.

lím c = c x a

2.

lím x n = a n x a

3.

lím ( f ( x ) + g ( x ) ) = lím f ( x ) + lím g ( x ) x a x a x a

4.

lím ( f ( x ) - g ( x ) ) = lím f ( x ) - lím g ( x ) x a x a x a

5.

lím ( k . f ( x ) ) = k . lím f ( x ) x a x a

6.

lím ( f ( x ) . g ( x ) ) = x a

7.

8.

lím x a lím x a

f ( x ) g ( x ) n

c= función constante

=

lím f ( x ) . x a

lím g ( x ) x a

lím f ( x ) x a siempre que lím g ( x ) x a

lím g ( x ) x a

f ( x ) = n

lím f ( x ) x a

0


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9.


P (x) = polinomio en x.

lím c = c x a

Ejemplos: 3 3 1. lím ( 5 x ) = 5 . 1 = 5 x - 1

3

3

2. x lím 2 ( 2 x + x - 8 ) = ( 2 . 2 + 2 - 8 ) = 10 3. lím x

4. lím x

x 1 2 + x - 9 2 + 1 - 9 - 6 = = 2 5 1 x 2 + 4 1 + 4 x 1 2 + x - 9 2 + 1 - 9 - 6 = = 2 5 1 x 2 + 4 1 + 4

5. lím x

x

2

+ 7 =

3

lím ( x x 3

2

+ 7 ) =

3

2

+ 7 =

16

2 x - 1 ( x - 1 ).( x + 1 ) = x lím - 1 ( x - 1 ) = - 2 6. x lím - 1 x + 1 = x lím - 1 x + 1

Límite de Cociente de Polinomios: x 0 P ( x )

lím x +

+

Q ( x )

=

lím +

P ( x ) = Q ( x )

Si grado de P ( x ) < grado Q ( x )

(

) Si grado de P ( x ) > grado Q ( x )

Coeficiente del término de mayor grado de P (x) Coeficiente del término de mayor grado de Q (x) Si grado de P (x) = Grado de Q (x)

Ejemplos:

1.

x

2. x

lím +

x

lím +

3.

5

+ 2 x = 2 3 x + 2 3 3 x + 2 x 1 = 3 2 6 x + 7 x 3 4 x + 2 x = 0 5 x - 2 x

lím x +


Ejercicio 1: Gracar, en un mismo sistema de coordenadas, las funciones: a)

y = 3

d) y =

x

1

3 g) y = e x

b) y = 3 x e) y = - e

x 1

+ 1 x

3

c) y = 3 f) y = 2 .

x

- 1 1

x

3

2 , 71


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• • • •

Indicar, para cada uno de los grácos Punto de corte con el eje x (si existe) Punto de corte con el eje y (si existe) Comportamiento de la función para valores “muy grandes” (x → + ∞) Comportamiento de la función para valores “muy pequeños” (x → − ∞) Ejercicio 2: Gracar las funciones:

a) y = log 3 x • • • •

b) y = log 1 / 3 x

c) y = ln x = log e x

Indicar, para cada uno de los grácos: Punto de corte con el eje x (si existe) Punto de corte con el eje y (si existe) Comportamiento de la función para valores “muy grandes” (x → + ∞) Comportamiento de la función para valores “positivos próximos a cero” (x→ 0+)

Ejercicio 3: Los siguientes grácos corresponden a funciones exponenciales, de la x forma f (x) = a , o logarítmicas, de la forma f (x) = log x. a Indicar para cada uno de ellos a que tipo corresponde y el valor de la base a para la misma.

a)

y

b) y 9/4

4

x

x 1

- 2 y

c)

y

d) 2

x

x

1/8

3

3

Ejercicio 4: 1) Indicar, si existen, el valor de sen x , cos x y tg x para:

a) x =

b) x = 2

c) x =

3 2

2) Indicar el signo de las funciones y=sen (x), y=cos (x) y y= tg (x) para los siguientes ángulos:


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y

y

y

x

x

x

Ejercicio 5: 1) Indicar que ángulos, en la circunferencia trigonométrica, verican:

a)

sen = 0

y

cos = 1

c)

cos = 0

y

sen = -1

b)

sen = 0

y

tg

d)

cos = -1

y

sen = 0

= 0

2) Indicar en que cuadrantes se encuentran los ángulos que cumplen:

a) sen

< 0 y cos < 0

c) sen ( +

b) cos

> 0

d) cos ( + ) < 0

y tg < 0

) > 0 y tg ( + 2

) < 0 2

y

sen ( + ) < 0

Ejercicio 6: 1) A partir de los grácos de las funciones trigonométricas y utilizando las operaciones entre funciones, construir los grácos de:

a) y= 2 sen x

c) y= sen x +1

b) y= (cos x) -2

d) y =

1 cos x 2

2) Para cada una de las funciones anteriores indicar su dominio e imagen.

Ejercicio 7: Encontrar el resultado de los límites solicitados, para la función f cuyo gráco es el siguiente:

y = f (x) 6 4 2 6 - 6

- 4

- 2

2

x

4

- 2 - 4


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Si el costo total, para producir x unidades de un producto es C (x) entonces el costo promedio por unidad para una producción de x unidades del mismo producto está dado por c ( x ) = C ( x ) x

a) Si el costo total (en dólares) de una compañía grabadora el imprimir x cantidad de discos en el formato DVD está dado por C(x) = 2,2x+2500, ¿cuál es la función que dene el costo promedio por DVD? b) Obtener el costo promedio de cada unidad cuando se aumenta continuamente la producción, expresar este enunciado utilizando el concepto de límite.

Respuestas a la Autoevaluación Ejercicio 1: a) Punto de corte con el eje x : NO existe. Punto de corte con el eje y : (0,1) Comportamiento de la función para: x→ +

:3x → + ∞ y para x→ −∞:3x → 0

∞

b) Punto de corte con el eje x : NO existe. Punto de corte con el eje y : (0,2) Comportamiento de la función para: 3x+1→ + ∞ y para : 3x+1→ 1 c) Punto de corte con el eje x : Si corta, aproximadamente en x = 0,63 Punto de corte con el eje y : (0,-1) Comportamiento para : 3x+2→ + ∞ y para :3x+2→ −2 d) Punto de corte con el eje x : NO existe Punto de corte con el eje y : (0,1) Comportamiento para: x

1

:

x 0 y para

3

x

1

-

3

e) Punto de corte con el eje x : NO existe Punto de corte con el eje y : (0,-1) Comportamiento para: x

: -

x

1

0 y para x

3

-

: -

x

1 3

f) Punto de corte con el eje x : NO existe Punto de corte con el eje y : (0,2) Comportamiento para: x

1

, 2

x 0 y para x

-

,

3

2

1

x

3

g) Punto de corte con el eje x : NO existe. Punto de corte con el eje y : (0,1) Comportamiento para: x

: e

x

y para

x

x : e

-

0

Ejercicio 2: a) Punto de corte con el eje x : (1,0) Punto de corte con el eje y : NO existe. Comportamiento para: x

: log 3 x

y para

x

+ 0 : log 3 x


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b) Punto de corte con el eje x : (1,0) Punto de corte con el eje y : NO existe. Comportamiento para: x

: log 1 / 3 x

y para

+ 0 : log 1 / 3 x

x

c) Punto de corte con el eje x : (1,0) Punto de corte con el eje y : NO existe. Comportamiento para: x

: ln x

y para

x

+ 0 : ln x

Ejercicio 3:

a) f ( x ) = log 2 / 3 x x 1 f ( x ) = c) 2

b) f ( x ) = 4

x

f ( x ) = log

d)

3

x

Ejercicio 4: a) Ángulo x

sen x

cos x

tg x

1

0

no existe

0

-1

0

-1

0

no existe

2 3 2

b) a) b)

Signo de sen ( ) : + Signo de cos ( ) : - Signo de sen ( ) : - Signo de cos ( ) : -

y y

Sign o de tg ( ) : - Signo de tg ( ) : +

c)

Signo de sen ( ) : -

y

Signo de tg ( ) : -

Signo de cos ( ) : +

Ejercicio 5: 1) a)

= 0º

b)

= 0º o bien

c)

= 270º

d)

= 180º

= 180º

2) a)

pertenece al tercer cuadrante

c)

pertenece al primer cuadrante

b)

pertenece al cuarto cuadrante

d)

pertenece al primer cuadrante

Ejercicio 6: a)

f ( x ) = 2 sen x

Dom f = R

Img f

= [ - 2,2]

b)

g ( x ) = sen x + 1

Dom g = R

Img g

= [0,2]

c)

y = (COS x ) - 2

Dom y = R

Img y = [ - 3, - 1]

d)

y =

Dom y = R

Img y

1

COS x

2

= -

1

,

1

2 2

Ejercicio 7: a) +

b) – 2

c) 0


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e) + h) 0 k) 1

d) - g) – 3 j) 4

f) No existe i) - l) No existe

Ejercicio 8: a) b) c)

-2 1 2 No existe

d) e)

+ 4

11

3

4

+

+

0

0

+

3

+

0

f)

-

g)

0

No existe

h)

+

0

1 1 4 2

i)

2

1

1

Ejercicio 9: a) Ingresos totales en taquilla después del primer mes: 24 millones de dólares b) Ingresos totales en taquilla después del segundo mes: 60 millones de dólares c) Ingreso bruto total de la película a largo plazo: 120 millones de dólares, puesto que: lim x +

I ( x ) =

lim x +

Ejercicio 10: a) Costo Promedio:

2 120 x = 120 2 x + 4

c ( x ) = 2 , 2 +

2500 x

b) El costo promedio máximo por unidad producida, al aumentar en forma continua la producción será de 2,2 dólares, puesto que: lim x +

c ( x ) = 2 , 2


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Continuidad de Funciones. Derivada de Funciones y Aplicaciones de la derivada.

MÓDULO 3


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Continuidad de funciones. Derivada de funciones. Aplicaciones de la Derivada

MÓDULO III: CONTINUIDAD DE FUNCIONES. DERIVADA DE FUNCIONES Y APLICACIONES DE LA DERIVADA Ampliar y profundizar estos conceptos básicos en el texto: Haeussler, E. and Paul, R. Matemáticas para administración, economía, ciencias sociales y de la vida.

CAPÍTULO 9: Límite y continuidad 9.4 Continuidad. 9.5 Continuidad aplicada a desigualdades. 9.6 Repaso. Aplicación práctica: Deuda nacional. CAPÍTULO 10: Diferenciación 10.1 La derivada. 10.2 Reglas de diferenciación. 10.3 La derivada como una razón de cambio. 10.4 Diferenciabilidad y continuidad. 10.5 Reglas del producto y del cociente. 10.6 La regla de la cadena y la regla de la potencia. 10.7 Repaso. Aplicación práctica: Propensión marginal al consumo. CAPÍTULO 11: Temas adicionales de diferenciación 11.1 Derivadas de funciones logarítmicas. 11.2 Derivadas de funciones exponenciales. 11.5 Derivadas de orden superior. 11.6 Repaso. Aplicación práctica: Cambio de la población con respecto al tiempo. CAPÍTULO 12: Trazado de curvas 12.1 Extremos relativos. 12.2 Extremos absolutos en un intervalo cerrado. 12.4 Prueba de la segunda derivada.


Interpretar el concepto de continuidad así como las propiedades de las funciones continuas.

•

Denir derivada y función derivada e interpretarla.

•

Denir recta tangente en un punto y comprender su aplicabilidad.

•

Calcular, utilizando reglas y teoremas, derivadas de distintas funciones.

•

Determinar de valores extremos (máximos, mínimos, ptos de inexión) de funciones.

•

Aplicar criterios que le permitan obtener los extremos de una función.


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Esquema conceptual Límite de funciones Funciones continuas

Continuidad en un punto

Función continua

Propiedades

Derivada de Funciones

Recta tangente a una función en un punto Definición de f´(x) Significado geométrico

Derivada de las operaciones con funciones

Regla de la cadena

Derivada y cambios de la función

Derivada y continuidad

Aplicaciones

Desarrollo de contenidos Funciones continuas Situación- Problema I Para cada uno de los grácos obtener:


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g (2) :

no existe

h (2) = 2

lím g ( x ) no existe x 2

j (2)=

lím h ( x ) : no existe x 2

2

lím j ( x ) = 1 x 2

Vemos que ninguna de las tres funciones son continuas en x = 2, todas presentan en dicho valor un “corte”. Atendiendo a la existencia o no de la imagen y el límite denimos:

Denición: Una función y = f (x) es continua en x = a si se verican simultáneamente: 1. f (a) existe ( f se dene en el punto a ) 2. lím f ( x ) existe x

a

3. lím x

f ( x ) = f ( a ) a

Si alguna condición no se verica, se dice que f es discontinua en x = a

Denición: Una función y = f (x) es continua en todo su dominio si es continua en todo número a perteneciente al Dom f IMPORTANTE! Por denición de función continua podemos armar que: Si y = f (x) es continua en en x = a entonces es muy fácil obtener el resultado del límite de la función para x → a ya que por la tercer condición de continuidad es lím f ( x ) = f ( a ) x

a

Aplicando la denición a las funciones estudiadas podemos concluir que son:

Funciones Continuas • • • • • •

Funciones Lineales Funciones Cuadráticas Funciones Exponenciales Funciones Logarítmicas Funciones Seno y Coseno Función Tangente

en R en R en R en R> 0 = (0,+∞) en R en R - { k . / k es impar }

•

Funciones Polinómicas

en R

2

Ejemplo: y= g(x)

) -6

3

(

1

)

-2

6

2 -1 2

x

(


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a) g es continua en el punto x=0 , ya que g ( 0 ) = lím g ( x ) x

=2

0

b) g es continua en el intervalo (-2,2), pues la función g es continua en todo punto de este intervalo. c) ¿Cuáles son todos los puntos de discontinuidad de g ? 1) x=-6 , ya que g(-6 ) no existe (no se verica la 1º condición de continuidad) ¿se verica la 2º condición? 2) x-2 , ya que g(2) no existe (no se verican la 1º condición de continuidad) y notar que en este caso tampoco existe el lím g ( x ) ¿por qué?, (no se x

2

verica tampoco la 2º condición de continuidad).

3) x=4 , ya que

lím g ( x ) no existe (no se verica la 2º condición de x 4

continuidad) ¿se verica la 1º condición?

Recordar: con una de las condiciones de continuidad que no se verique en un punto a, ya la función es discontinua en dicho punto a .

Derivada de funciones Las principales aplicaciones de la derivada las encontraremos al tratar con:

•

Razón, tasa o índice de cambio

• • •

de población (consumidores, vegetal, animal, etc) de una variable económica (costo, ingreso y benecio marginal).

Y en la representación de funciones: recta tangente a una curva

Con el objetivo de denir derivada comenzamos con la aplicación geométrica:

Situación-Problema 1

l ?

¿Cuál es la recta tangente a una curva en el punto P = ( x, y) ? ¿es la recta es la recta r ?

y

y r

r

P •

P x l y

x

l

l r

P x


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Consideremos la función y = f (x) y el punto P = (x , y) = (x , f(x))

y=f

( x) recta secante

f ( x+ D x) f= f (x ) = y

y

x

x x

x+

x

Recta Secante que une P = (x , y ) con Q = ( x +∆x , f (x +∆x )) Pediente = f ( x + x ) - f ( x ) = f ( x + x ) - f ( x ) = ( x +

x ) - x

Cociente incremental

f ( x +

x

f x

x ) - f ( x ) x

Denición de la recta tangente a función ¿Cómo se dene la recta tangente al gráco de una función y = f (x) en el punto P = (x , y) es decir P = (x , f(x)) ?

Recta Secante que une P = (x, y ) con Qi = (x +∆i x , f (x +∆i x )) tiene como pendiente a: f ( x + i x ) - f ( x ) a i =

i x


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Y cuando ∆ x → 0 Se obtiene la Recta tangente al gráco de y = f (x) en el punto P = (x , f(x) ), por lo cual se dene la Pendiente de la recta tangente como: a = lím x 0

f ( x +

x ) - f ( x ) x

Denición: La pendiente de la recta secante al gráco de una función y = f (x) por los puntos P = (x,y) y Q = (x +∆x , f (x +∆x)) se dene como el cociente incremental: Pendiente de la recta Secante = f ( x + x ) - f ( x ) = f x

x

La pendiente de la recta tangente al gráco de una función y = f (x) por los puntos P = (x , y) = (x , f(x)) se dene como el límite del cociente incremental: Pendiente de la recta tangente = lím f ( x + x ) - f ( x ) x

0

x

Denición: DERIVADA de una función. La derivada de una función y = f (x), es otra función que se denota por f ' ( x ) ó d f d x

f ( x +

y se dene, para cada x , como: f ' ( x ) = lím x

x ) - f ( x ) x

0

si dicho límite existe, de lo contrario decimos que la función f no es derivable en x . r y = f(x) Geométricamente: f (x+ x) f = f (x+ x) – f (x) f (x)

x x x + x

x x

0

r es la recta tangente al gráco de f en el punto P = (x , f(x))

IMPORTANTE: La derivada de y = f (x) en cada punto x es f´(x ) e indica la velocidad, tasa, índice o rapidez con que cambia la función en el punto x.

Signicado Geométrico de la Derivada: y

r f

f (x)

f ' ( x ) =

lím x 0

f ( x +

x ) - f ( x ) x

P f ' ( x ) = tg

x x


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La derivada de la función y = f (x) en el punto x, f´(x) es igual a:

•

la pendiente de la recta tangente r al gráco de y = f (x), en el punto P = (x , f(x)).

•

la tangente trigonométrica del ángulo α que forma la recta tangente r con el semieje positivo x .

Ejemplo: f(x) =x 2 y

x - 2

1

a) f´(0)= 0 pues la recta tangente a la parábola en el punto x = 0 es horizontal (su pendiente es nula) b) El signo de f(1) es positivo porque la recta tangente a la parábola en el punto x = 1 es creciente (su pendiente es positiva) c) El signo de f´(-2) es negativo porque la recta tangente a la parábola en el punto x = -2 es decreciente (su pendiente es negativa)

Cálculo de Derivada de Funciones 1) f(x)=c

(c = número real constante) y y = c

x

f ( x ) = c

f ' ( x ) = 0

La derivada de una función constante es 0.

2) f(x)=x

y y = x

x

f ( x ) = x

f ' ( x ) = 1

La derivada de x es 1.


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Función Derivada

Función:

f ( x)

x

Derivada:

c

0

x

1

n

n x

2 e a

n - 1

1

x x

e

x

f ' ( x )

( x > 0) x

x x

a

ln a

1

ln x

( x > 0)

x 1

log a x

x

.

1

( x > 0)

ln a

sen x

cos x

cos x

- sen x

tg x

2

Ejemplo: Recta tangente a la función f (x) =x en el punto (1,1) es y= 2x-1

pues Pendiente de la recta tangente en (1,1) es f´(1) = 2 ya que:

•

Para la función f (x) -x 2 su derivada es f´(x) -2 x 2-1 = 2x •

Ordenada al origen de la recta tangente en (1,1) es -1 ya que la ecuación de la recta tangente es y-2x-b y debe pasar por el punto (1,1).

Derivada y Operaciones ' ' ' ( f + g ) ( x ) ] = [f ( x ) ] + [ g ( x ) ]

•

Derivada de una suma de funciones:

•

Derivada de una diferencia de funciones: [ ( f - g ) ( x ) ]

•

Derivada de una función por un k constante:

•

Derivada de un producto de funciones:

•

Derivada de un cociente de funciones: f

' ( x ) =

g

' ' ' = [ f ( x ) ] - [ g ( x ) ]

' ' [ ( k f ) (x ) ] = k [ f ( x ) ] (k = nº real)

' ' ' [ ( f .g ) ( x ) ] = [f ( x ) ] . g ( x ) + f ( x ) . [ g ( x ) ]

' ' [f ( x ) ] . g ( x ) - f ( x ) . [g ( x ) ] (siempre que g(x ) 2 ( g ( x ) )

0)

Ejemplo: a) Si f (x) = x +5 entonces f (x) = 1 b) Si f (x) =5x 2 -2x-1 entonces f´ (x) =10x -2


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5

4

5 sen x

c) Si f(x)=x . cos x entonces f´(x) =5x . cos x - x d) Si f ( x ) =

4 3 2 x + x + x + x + 1

entonces:

sen x

f ' ( x ) =

3 2 4 3 2 ( 4 x + 3 x + 2 x + 1 ) sen x - ( x + x + x + x + 1 ) cos x sen

2

x

Aplicaciones de la Derivada: I)

La función de costo total de un fabricante y=C(x) da el costo total y de producir y comerciar x unidades de un producto.

•

El costo medio o promedio de producción por cada unidad está dado por c ( x ) =

C ( x ) x

•

El costo marginal de producción CM(x), es decir el cambio de los costos por cada unidad adicional producida está dado por C´(x).

Costo Marginal:

C ’ (x) =

C

lím D x

0

C ( x +

= lím

x

x

0

x ) - C ( x ) x

II) La función de ingreso total de un fabricante y=I(x) da el valor total y recibido por un fabricante al vender x unidades de un producto. •

El ingreso medio o promedio por cada unidad vendida está dado por i ( x ) =

•

I ( x ) x

El ingreso marginal IM(x) , es decir el cambio en el ingreso al vender una unidad adicional y está dado por I´(x).

Ingreso Marginal:

I’ ( x ) =

I ( x +

lím x

0

x ) - I ( x ) x

III) De igual manera se denen benecio marginal y benecio promedio.

Tendencia de una función a través de la derivada:

La derivada permite decidir el comportamiento de la función. Si para todo x en un intervalo (a,b) se verica que: a) f´(x)>0 entonces f (x) es creciente. b) f´(x)<0 entonces f (x) es decreciente. c) f´(x)= 0 entonces f (x) es constante. Regla de la Cadena

Para la función g(x) -ex conocemos que g´(x) = e x Si ahora tenemos: f (x) = e x3+5 ¿Cuál será f´(x) ?


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Podemos reescribir la función anterior como f (x) = e u con u=x3+5, es decir tenemos una función compuesta:

3 x + 5 = u

x

u e = f ( x )

3 ' (x + 5 )

(e u ) '

La derivada de las funciones compuestas se obtiene utilizando la:

Regla de la Cadena: Si f es una función derivable en g (x) y g es una función derivable en x entonces la función compuesta f(g(x)) es derivable en x y se verica: ' [ f ( g ( x )) ] = f ' ( g ( x )) . g ' ( x )

o bien d f ( g ( x )) d x

=

d f d g . d g d x

Ejemplo: •

Si f ( x ) =

4 - 5 x

5 4 - x entonces f ' ( x ) =

5 4 - x

2

•

Si f ( x ) = sen ( x 3 + 5 x 2 - 3 x - 1 ) entonces 3 2 2 f ' ( x ) = (cos ( x + 5 x - 3 x - 1 ) ). (3 x + 10 x - 3 )

•

Si f ( x ) = ( x 3 - x 2 + 6 ) 100 . ln ( 3 x ) entonces 3 2 100 ( x - x + 6 ) 3 2 99 2 f ' ( x ) = 100 ( x - x + 6 ) ( 3 x - 2 x ) . ln ( 3 x ) + x

Funciones Continuas y Funciones Derivables ¿Todas las funciones son derivables? NO

1.

Si f es una función discontinua en x = a , entonces f´(a) no existe.

y = f(x)

) f no es continua en x = a a

x

f ' ( a ) no existe


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2. Existen funciones continuas que no son derivables

y = f(x)

f es continua en (- , + ) x a

y

no existen

b

Los puntos x = a y x = b se denominan puntos de corner (o puntos de esquina) IMPORTANTE! Si una función es derivable, entonces es una función continua.

Derivadas Sucesivas f

f '

f "

f ' ' '

f

( iv )

Aplicaciones de la derivada de funciones Trazado de curvas Para realizar el gráco de una función f conocemos como encontrar:

• • • •

Dom f e Img f

Cortes con los ejes coordenados Límites de la función para valores extremos Continuidad ¿Cómo determinamos los valore máximos y/o mínimos que alcanza? ¿En que puntos alcanza dichos máximos?

y = f (x) f (x ) M

x MR x M

x M R

x M

x

f (x ) M

Denición: 1. El punto xM es un punto de máximo absoluto de la función y = f (x) si verica f ( x M ) f ( x ) para todo x perteneciente al Dom f.


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El valor f (xM) es el valor máximo absoluto de la función. 2. El punto x m es un punto de mínimo absoluto de la función y = f (x) si verica f ( x m ) f ( x ) para todo x perteneciente al Dom f. El valor f (xm) es el valor mínimo absoluto de la función.

IMPORTANTE Máximo Absoluto: es el par ordenado (x M , f (x M ) ) formado por el punto de máximo absoluto y el valor máximo absoluto. Mínimo Absoluto: es el par ordenado (x m, f (x m) ) formado por el punto de mínimo absoluto y el valor mínimo absoluto. De igual manera, si consideramos un intervalo del Dominio de la función denimos:

Denición: 1. El punto x MR es un punto de máximo relativo de la función f si verica f ( x MR ) f ( x ) para todo x en un intervalo I, contenido en el Dom f.

Máximo Relativo: ( x MR , f ( x MR ) ) 2. El punto x mr es un punto de mínimo relativo de la función f si verica f ( x mr ) f ( x ) para todo x en un intervalo I, contenido en el Dom f.

Mínimo Relativo: ( x mr , f ( x mr ) )

Determinación de Máximos y Mínimos aplicando la Derivada: Si para cada punto de función trazamos recta tangente a la misma por el punto y observamos su la pendiente, podemosladeducir:

y = f ( x) f ( x M)

x M

x

x M f ( x M)

Propiedad: 1. Si f´(x)>0 para todo x en un intervalo I, entonces f crece en el intervalo. 2. Si f´(x)<0 para todo x en un intervalo I, entonces f decrece en el intervalo. 3. Si f´(x)= 0 para todo x en un intervalo I, entonces f es constante en el


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intervalo.

Denición: Un punto p que verica f´(p) =0 o bien f´(p) no existe, se denomina un punto crítico de la función y = f (x) IMPORTANTE Si x es un punto de máximo (absoluto o relativo) o bien un punto de mínimo (absoluto o relativo), entonces f´(x) = 0 , es decir x es un punto crítico. ¿Todo punto crítico será un punto de máximo y/o de mínimo? NO Ejemplo:

y 3 f ( x ) = x Punto Crítico: x = 0

x 3 x

Pto. de máximo y/o de mínimo: No tiene

Criterio para determinar Máximos y Mínimos de y = f (x) Condición Necesaria: Un punto x en el Dom f es un punto de máximo y/o de mínimo si verica f´(x) =0

Utilizando de la Derivada Segunda (f´´) tenemos un criterio para determinar:

Propiedad y 1. Si x es un punto crítico ( f ' ( x ) = 0 )

f ( x M)

y f '' ( x ) < 0 x

( x , f ( x ) ) es un MÁXIMO

x M y

2. Si x es un punto crítico ( f ' ( x ) = 0 ) y f '' ( x ) > 0 ( x , f ( x ) ) es un MÍNIMO

f ( x M)

x x M


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Ejemplo: 3 2 Máximos y mínimos de: f ( x ) = x - 3 x - 9 x + 20 Puntos Críticos: Como f ( x ) = x 3 - 3 x 2 - 9 x + 20 entonces f ' ( x ) = 3 x 2 - 6 x - 9 Entonces f ' ( x ) = 0 implica resolver 3 x 2 - 6 x - 9 = 0 y esta ecuación cuadrática tiene dos raíces: x1 = - 1 y x 2 = 3 de la función.

que son los puntos críticos

Máximos y/o Mínimos: Para determinar los mismos debemos evaluar los puntos críticos en la derivada segunda: Como f ' ( x ) = 3 x 2 - 6 x - 9 entonces f ' ' ( x ) = 6 x - 6 Entonces calculamos: f ' ' ( - 1 ) = 6 ( - 1 ) - 6 = - 12 < 0 así: x 1=-1 es un punto de máximo. f ' ' ( 3 ) = 6 ( 3 ) - 6 = 12 > 0 así: x = 3 es un punto de 2 mínimo.

• •

Y como f (-1) =25 y f (3)=7 entonces: Máximo de la función: (-1, 25) Mínimo de la función: (3,7)

IMPORTANTE Si una función es continua y su función derivada también es continua, entonces los puntos de máximo y de mínimo (absoluto o relativo) determinan los intervalos de crecimiento y/o decrecimiento de la misma.


Ejercicio 1: Indicar para la función f cuyo gráco es el siguiente todos los puntos de discontinuidad y las condiciones de la denición de continuidad que los mismos no verican.

y=f (x) 6 4

)

2 - 6

- 4

6

- 2

2

x

4

- 2 - 4

Ejercicio 2: El gráco corresponde a una función f , a partir del mismo:


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y=f (x) ) (

3 ( 1 3

1

x

-1 -1

a)

¿cuánto vale f ( - 1 ) ?

b)

¿ cuánto vale lim f ( x ) ? x - 1

c)

¿Es f continua en x = - 1 ?

d) e)

¿cuánto vale f ( 0 ) ? ¿cuánto vale lim f ( x ) ? x 0

f)

¿Es f continua en x = 0 ?

g)

¿cuánto vale f ( 1 ) ?

h)

¿cuánto vale

i)

¿Es f continua en x = 1 ?

j)

Encontrar x

g) Encontrar x

lim f ( x ) ? x 1

lim +

lim -

f ( x ) f ( x )

Ejercicio 3 En un cybercafé el precio del uso de Internet está jado según la siguiente lista: Tiempo de navegación (hs) Tarifa ($) Hasta 1 hs. 2,0 $ De 1 hs. hasta 2 hs. 1,7 $ De 2 hs. hasta 4 hs. 1,5 $ 4 hs. o más 1,0 $ a) Gracar la función que determina la tarifa a pagar por un usuario de acuerdo al tiempo de uso. b) ¿Cuál es el dominio de esta función? c) ¿Es la función discontinua? Si la respuesta es positiva señalar los puntos en los cuales se presentan las discontinuidades de la misma. Ejercicio 4: Utilizando las reglas de derivación de las operaciones, obtener el resultado de derivar las siguientes operaciones entre las funciones f y g en el punto x = 1.

Se conoce que las funciones verican f ( 1 ) = 2 , g ( 1 ) = - 3 , f ' ( 1 ) = 3 y g ' ( 1 ) = 5 : ' ' a) ( f + g ) ( 1 ) b) ( f - g ) ( 1 ) ' d) ( f . g ) ( 1 )

e)

f

' c) ( 3 . f ) ( 1 )

' ( 1 )

g

Ejercicio 5: Para cada uno de los siguientes grácos trazar la recta tangente en x=1 e indicar, a partir de la misma el signo de la derivada de la función representada en dicho punto:


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y

1

y

1

x

x

Ejercicio 6: a) Conociendo que la función f cumple f (2)=4 y f´(2)=1, indicar la ecuación de la recta tangente al gráco de f en el punto x = 2. b) Sabiendo que la recta tangente al gráco de la función g en el punto tiene por ecuación y=-2x+5 ¿cuánto vale g´(0) ? c) Sabiendo que la recta tangente al gráco de la función f en el punto (2,7) forma con el semieje x positivo un ángulo de 60º, indicar la ecuación de dicha recta. Ejercicio 7: Encontrar la fórmula de la función derivada de: a) f ( x ) = 1 - 2 x b) f ( x ) =

x

- 1

3 3 2 c) f ( x ) = 3 x - 2 x + x

2 x

k) f ( x ) = l) f ( x ) = m) f ( x ) =

2

+ 4 x + 1

3 x - 1 ln x x e 4 cos x + 3 x ln x

d) f ( x ) = x 2 - x 3 4 3 e) f ( x ) = e) f) f)

f ( x ) =

x + 2 x e

h) f ( x ) = ( x h)

3

+ 3

2 x + 15 - 2 cos x + ln x - 2

2 g) f ( x ) = ( x + 1 )( x - 1 )

j)

o) f ( x ) =

2 x

x

4

i)

3 n) f ( x ) = ( sen x ) (3 x + 49 )

2

+ 1 ) ln x

x 2 x f ( x ) = 2 e - x e 1 1 f ( x ) = - x x 2

p) f ( x ) = cos(sen( x )) q) f ( x ) = ( LN( 3 x ) + 20 ) q)

6

5 2 ( x ) = ( 5 x + 29 ) (cos x ) 3 1 + cos ( x + 1 ) s) f ( x ) = ( x + 1 ) r) r)

3 5 t) f f ( x ) = tg (2 + 3 x + x + 2 x ) + cos ( 2 x )

Ejercicio 8: Dar la ecuación de la recta tangente a cada una de las siguientes funciones, en los puntos indicados: 2 a) f ( x ) = 4 x

en (1,4)

3 2 b) h ( x ) = x + x

en x = 1

Ejercicio 9: Obtener la derivada segunda de las siguientes funciones:


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3 x a) g ( x ) = e b) g ( x ) = LN ( ax + b ) con a b números reales.

Ejercicio 10: El siguiente gráco representa una función y=g(x):

C B

g(x)

9

L D

6

I

A 3 - 3

K

E 6 H 9

3 - 6

J

12

x

F - 3

G

Indicar, señalando las dos coordenadas de cada punto (cuando corresponda): a) Un punto donde g’ es cero. b) Un punto donde g’ es positiva. c) Un punto donde g’ es negativa. d) Un máximo absoluto, si existe.

e) f) g) h) i) j)

Un existe. Un mínimo máximo absoluto, relativo, sisiexiste. Un mínimo relativo, si existe. Todos los intervalos donde g es creciente. Todos los intervalos donde g es decreciente. Todos los intervalos donde g es constante.

Ejercicio 11: Para cada una de las siguientes funciones con dominio R: 1) Encontrar, si existen, los puntos críticos 2) Determinar los máximos y/o mínimos, indicando las dos coordenadas. f ( x ) = 2 x 3 - 24 x F ( x ) = x

4

- 8 x

G ( x ) = x e

2

+ 16

x

Respuestas a la Autoevaluación Ejercicio 1: Puntos de discontinuidad: a) x=-3 ya que en dicho punto la función no está denida y no tiene límite (No se verican ninguna de las tres condiciones de continuidad) b) x=4 ya que en dicho punto la función no tiene límite (No se verican las


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condiciones 2 y 3 de la denición de continuidad)

Ejercicio 2: a) 2 d) 1 g) – 1

b) 3 e) 1 h) No existe

j) 2

k)

c) f no es continua f) f es continua i) f no es continua

Ejercicio 3: a) Dom f = (0, + ) b) La función es discontinua en x = 1, x = 2 y x = 4 . En todos estos puntos la condición que no se verica es la existencia de límite (Condiciones 2 y 3 de la denición de continuidad) Ejercicio 4: a) 8 d) 1

b) -2 e) - 19

c) 9

9

Ejercicio 5: a) f´(1)> 0

b) f´(1) < 0

Ejercicio 6: a) Recta tangente al gráco de la función es: y = x + 2 b) g´(0) =-2 c) Recta tangente al gráco de la función f en el punto (2,7) es: y = 1,73 x +3,54 Ejercicio 7: a) f ' ( x ) = - 2 b) f ' ( x ) =

1 3

c)

f ' ( x ) = 9 x

d) f ' ( x ) =

x

2

- 4 x + 1

2 - x

2 1

e) f ' ( x ) =

1

+

2 x f) f ' ( x ) =

e

x

x + 2 sen x +

4

1 x

2 ) f ' ( x ) = ( x - 1 ) + 2 x ( x + 1 ) ) f ' ( x ) = 2 x ln x +

2 x + 1 x

i) f ' ( x ) = 2 e ) f ' ( x ) = -

x

2 x x - x e - 2 xe

1 2 x

+

2 3 x


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2 ( 4 x + 4 )( 3 x - 1 ) - ( 2 x + 4 x + 1 ) 3 k) f ' ( x ) = 2 (3 x - 1 ) e l)

f ' ( x ) =

m) f ' ( x ) =

x - ln x e

x

x 2 x e

e

x 1

=

- ln x x 2 x e

4 (cos x + 3 x ) 3 (- sen x + 12 x ) ln x - x 2 ( ln x )

3 2 ) f ' ( x ) = ( cos x ) (3 x + 49 ) + 9 (sen x ) . x 2 3 6 x ( 2 x + 15 ) - 2 ( 2 x + 3 ) ) f ' ( x ) = 2 ( 2 x + 15 ) ) f ' ( x ) = sen(sen - x ) cos . x ) f ' ( x ) = )

6 ( ln( 3 x ) + 20 ) 5 x

4 2 5 f ' ( x ) = 25 ( 5 x + 29 ) (cos x ) - 2 ( 5 x + 29 ) ( cos x ).(sen x )

2 3 3 cos ( x + 1 )( - sen( x + 1))( x + 1 ) - ( 1+ cos ( x + 1 )) ' ) f ( x ) = 2 ( x + 1 ) 2 4 3 + 3 x + 10 x sen ( 2 x ) f ' ( x ) = - ) 2 3 5 cos ( 2 x ) COS (2 + 3 x + x + 2 x )

Ejercicio 8: a) y = 8x-4 Ejercicio 9: 3 x a) g " ( x ) = 9 e

a) b) c) d) e) f) g) h) i) j)

b) y = 5x-3

b) g " ( x ) =

- a

2

2 ( ax + b )

Ejercicio 10: C = (-1,11); G = (5,-3) y J = (10,5) A = (-4,5); B = (-2,10); H = (7,1) y L = (13,8) D = (1,7); E = (2,3) y F = (3,-1) Máximo absoluto: no existe. G = (5,-3) C = (-1,11) y I = (8,5) K = (11,5) (-∞, -1) ; (5,8) y (11, +∞) (-1,5) (8,11)

Ejercicio 11: a) Puntos crít icos x = -2 y x = 2. Máximo Relativo: (-2,32). Mínimo Relativo: (2,-32) b) Puntos Críticos: x = 0 , x = 2 y x = -2 Máximo Relativo: (0,16). Mínimos Absolutos: (2,0) y (-2,0)


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c) Puntos Críticos: x = -1 La función no posee máximos absolutos ni relativos. Mínimo Absoluto: (-1,0,37)


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Aplicaciones de la Derivada. Integral de Funciones y aplicaciones de la integral

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MÓDULO IV: APLICACIONES DE LA DERIVADA. INTEGRAL DE FUNCIONES Y APLICACIONES DE LA INTEGRAL Ampliar y profundizar estos conceptos básicos en el texto: Haeussler, E. and Paul, R. Matemáticas para administración, economía, ciencias sociales y de la vida.

CAPÍTULO 12: Trazado de curvas 12.1 Extremos relativos. 12.2 Extremos absolutos. 12.3 Concavidad. 12.4 Prueba de la segunda derivada. 12.5 Asíntotas. 12.6 Repaso. Aplicación práctica: Bosquejo de la curva de Phillips. CAPÍTULO 13: Aplicaciones de la diferenciación 13.1 Aplicación de máximos y mínimos. 13.2 Elasticidad de la demanda. 13.3 Repaso. Aplicación práctica: Cantidad económica de pedido. CAPÍTULO 14: Integración 14.1 La integral indenida. 14.3 Más fórmulas de integración. 14.4 Técnicas de integración. 14.5 Sumatoria. 14.6 La integral denida. 14.7 El teorema fundamental del cálculo integral 14.8 Área. 14.9 Área entre curvas. 14.10 Excedente de los consumidores y de los productores. 14.11 Repaso. Aplicación práctica: Precio de envío. CAPÍTULO 15: Métodos y aplicaciones de la integración 15.1 Integración por partes. 15.2 Integración por medio de tablas.


Aplicar criterios que permitan obtener los extremos de una función.

•

Desarrollar el procedimiento para representar curvas a partir del conocimiento de las propiedades de las funciones que las denen: crecimiento/decrecimiento, concavidad/convexidad.

•

Resolver problemas de optimización de funciones aplicados a situaciones concretas.

•

Reconocer el papel de inversas entre las operaciones de derivación e integración.

•

Deducir el concepto y el signicado del proceso de cálculo de primitivas.

•

Calcular, utilizando reglas y teoremas, integrales de distintas funciones.

•

Utilizar el cálculo de integrales para la obtención de áreas de regiones planas, volúmenes de cuerpos y otras aplicaciones.


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Esquema Conceptual Aplicaciones de la Derivada

Extremos de una función Puntos críticos Máximos Abloslutos y relativos

Puntos de inflexión

Mínimos Abloslutos y relativos

Intervalos Concavidad

Intervalos Crecimiento Decrecimiento Dominio Imagen Corte Eje x Corte Eje y Límites Continuidad Gráfico de una función Problemas de Optimización

Derivada de una función

Integral de Funciones Función Primitiva

Integral definida Integración por tablas

Integración por sustitución

Aplicaciones de la Integral Sumas de Riemann Integral definida Regla de Barrow Áreas de figuras planas


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Desarrollo de contenidos Aplicaciones de la derivada de funciones Trazado de curvas – optimización Situación-Problema 1 Una empresa de MKT estimó que x meses después de la introducción de un nuevo producto, f (x) familias lo usarán, donde: f ( x ) = -

• •

10

40 x 2 + x 9 3

0

x

12

y

f ( x ) en miles

¿Después de cuántos meses el número de familias que usarán el producto será máximo? ¿Cuántas familias, como máximo, se puede estimar que usarán el producto?

Como la función que describe el problema es una función cuadrática con ramas hacia abajo (por qué?) sabemos que el máximo se encontrará en su vértice, entonces: • x v = 6 meses • Y v = 40.000 familias Así máximo de f : (6 , 40.000)

Situación-Problema 2 El ingreso obtenido por la venta de este nuevo producto la empresa lo estima que puede obtenerse a partir de la función:

• •

¿A qué precio x debe vender el producto para lograr el máximo ingreso? ¿A cuánto ascenderá dicho ingreso si vende al precio calculado? Para realizar el gráco de esta función I conocemos como encontrar:

• • • • •

Dom I e Img I

Cortes con los ejes coordenados Límites de la función para valores extremos Continuidad Ptos y valores de Máximos y Mínimos (absolutos y relativos) Recordemos que para determinar Máximos y Mínimos de y = f (x):

1. Si x es un punto crítico (f´(x) =0) y f´´(x) < 0 entonces (x, f (x)) es un máximo 2. Si x es un punto crítico (f´(x) =0) y f´´(x) > 0 entonces (x, f (x)) es un mínimo I ( x ) =

800 x - 3 x x + 3

x

0 e I (x ) en miles

Ejemplo: 6 Determinar, si existen, los máximos y/o mínimos de: f ( x ) = x Puntos Críticos: 6 Como f ( x ) = x entonces f´ ( x ) = 6 x 5 5 Entonces f´(x) =0 implica resolver 6 x = 0 y esta ecuación tiene una única raíz: x=0 y que es el punto crítico de la función.


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Máximos y/o Mínimos: Para determinarlo debemos evaluar el punto crítico en la derivada segunda:

4

5

Como f ' ( x ) = 6 x entonces f ' ' ( x ) = 30 x Entonces calculamos: f ' ' ( 0 ) = 30 . 0 4 = 0 con lo cual no podemos determinar si es un punto de máximo o de mínimo. Por esto es necesario dar una condición suciente para determinar los extremos: IMPORTANTE •

Condición Necesaria para que un punto x sea de máximo y/o de mínimo es que la derivada primera sea nula: f´(x)=0

•

Condición Suciente para que un punto x sea de: máximo es que la primer derivada no nula sea de orden par y negativa : f

( 2 n ) ( x ) < 0

mínimo es que la primer derivada no nula sea de orden par y positiva : f ( 2 n ) ( x ) > 0

Ejemplo: Para determinar si el punto crítico de la función f (x) =x 6 es un máximo o un mínimo debemos entonces continuar el proceso de derivación: Entonces (0,0) es un mínimo de la función f (x) =x 6 Para

5 f ' ( x ) = 6 x

4 es f ' ' ( x ) = 30 x

pero

f ' ' ( 0 ) = 0

Para

4 f ' ' ( x ) = 30 x

3 es f ' ' ' ( x ) = 120 x

pero

f ' ' ' ( 0 ) = 0

Para

3 f ' ' ' ( x ) = 120 x

es f

pero

f

f ( 4 ) ( x ) = 360 x 2 ( 5 ) f ( x ) = 720 x

es f ( 5 ) ( x ) = 720 x ( 6 ) es f ( x ) = 720

Para Para

( 4 ) 2 ( x ) = 360 x

( 4 ) ( 0 ) = 0

pero

f ( 5 ) ( 0 ) = 0 ( 6 ) y ahora f ( 0 ) = 720 > 0

Concavidad de una Curva: Curvatura: Denición: Si una función f es derivable, decimos que su gráco es cóncavo hacia arriba en el intervalo (a , b ) si: f´´ (x) >0 para todo x en el intervalo. O bien: El gráco de f es cóncavo hacia arriba si f´(x) es creciente para todo x en el intervalo (a , b) esto es las pendientes de las sucesivas rectas tangentes toman valores cada vez mayores cuando x crece de a hasta b Denición: Si una función f es derivable, decimos que su gráco es cóncavo hacia abajo en el intervalo (a , b) si: f´´ (x) < 0 para todo x en el intervalo. O bien: El gráco de f es cóncavo hacia abajo si f´(x) es decreciente para todo x en el intervalo (a , b) esto es las pendientes de las sucesivas rectas tangentes toman valores cada vez menores cuando x crece de a hasta b.


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Ejemplo:

y = f (x)

f (1) x 1 f es cóncava hacia arriba en (-∞,1) f es cóncava hacia abajo en (1,+∞)

Denición: Un punto p donde la función f cambia su concavidad, se llama punto de inexión.

Ejemplo: En la función y = f (x) del gráco anterior el punto de Inexión es: (1, f (1))

•

IMPORTANTE Condición Necesaria para que un punto x sea punto de inexión es que la derivada segunda sea nula: f ' ' ( x ) = 0

•

Condición Suciente para que un punto x sea punto de inexión es que la primer derivada no nula sea de orden impar : f ( 2 n + 1) ( x )

0

Dos tipos de Puntos de Inexión

y recta tangente

a tangente horizontal: ( x i , f ( x i ) ) es un punto de inflexión a tangente horizontal

(x I) x I

pues: f ' ' ( x ) = 0 y f ' ( x ) = 0

y recta tangente g( x I) x x I

a tangente oblicua: ( x i , g ( x i ) ) es un punto de inflexión a tangente oblicua pues: g ' ' ( x ) = 0 y g ' ( x ) ¹ 0


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En resumen el criterio general para determinar Extremos (máximos, mínimos e inexiones) de una función y=f(x): Par Ordenado

Cond. Necesaria

Condición Suciente

Tipo de Extremo

( x M ,f ( x M ) )

f ' ( x M ) = 0

Primer derivada no nula de orden par y negativa

( x m ,f ( x m ) )

f ' ( x m ) = 0

Primer derivada no nula de orden par y positiva

x M Pto. de Máximo f ( x M ) Valor Máximo x m Pto. de Mínimo f ( x m ) Valor Mínimo

( x i , f ( x i ) )

f " ( x i ) = 0

Primer derivada no nula de orden impar

( x i , f ( x i ) ) Pto. de Inexión

Ejemplo: Para la función f (x) = 4 x 3 + 6 x 2 + 2 Puntos críticos Se obtienen resolviendo la ecuación f´(x) = 0 : x = -1 y x = 0 Máximos y/o Mínimos Se obtienen aplicando los criterios de suciencia a los puntos críticos: Pto. mínimo x = 0 Valor mínimo f (0) = 2 Mínimo (0,2) Pto. máximo x = -1 Valor máximo f (-1) = 4 Máximo (-1,4) Puntos de inexión Se obtienen resolviendo la ecuación f´´(x)=0 y aplicando los criterios de suciencia a la solución: x = -0,5 Pto. De Inexión (-0,5, 3) Intervalos de crecimiento y decrecimiento Se obtienen, por ser una función continua, a partir de los puntos de máximos y mínimos de la función: f crece en (-∞ , -1) y (0,+ ∞) f decrece en (-1, 0) Intervalos de concavidad Se obtienen, por ser una función continua con derivada continua, a partir de los puntos de inexión de la función: f cóncava hacia arriba en (-0,5,+ ∞) f cóncava hacia abajo en (-∞ , -0,5)

Optimización - Modelización Un problema de optimización es una situación que puede formularse de manera tal que involucre maximizar o minimizar una función que describe la misma. Ej. Encontrar máximo benecio, menor costo, mínimo tiempo, tamaño óptimo, área mínima, distancia máxima, etc...

1. Procedimiento para resolver problemas de optimización, si se conoce la función y=f(x) que modeliza el problema: a) Determinar los puntos críticos y a partir de éstos los puntos y valores máximos y/o mínimos para la función y=f(x). b) Comprobar que los valores encontrados son solución del problema planteado. 2. Procedimiento para resolver problemas de optimización, si no se conoce la función y=f(x) que explica el problema:


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a) Leer la situación-problema y, en lo posible, realizar un dibujo esquemático de la misma. Determinar datos e incógnitas del problema. b) Escribir las relaciones que representen la situación a maximizar o minimizar. c) Utilizando los datos conocidos para reescribir la ecuación del paso b) de forma tal de obtener una función y=f(x) de una variable. d) Determinar los puntos críticos y a partir de éstos los puntos y valores máximos y mínimos para la función y=f(x). e) Comprobar que los valores encontrados son solución del problema planteado.

Integral de funciones •

Integral Indenida:Operación inversa de la derivada.

•

Integral Denida:Área de una región del plano.

Situación-Problema 1 El ingreso marginal para un producto de mayor salida de fabricante es: IM ( x ) = 2000

2 - 20 x - 3 x

Cuál es el ingreso que percibe al vender 20 productos?

Situación-Problema 2 Para un grupo urbano, los sociólogos estudiaron el ingreso anual promedio de una persona con x años de educación puede percibir al buscar empleo. Estimaron que dicho ingreso y cambia con respecto a la educación en: 3 / 2 y ' ( x ) = 10 x

4

x

16

¿Cuál es el ingreso y (x) para una persona con x años de educación? En estas dos situaciones conocemos la derivada de una función y debemos encontrar la función original. El proceso es entonces:

derivada F (x)

F ' ( x ) = f ( x ) ¿¿ ??

Denición: Una primitiva de una función y = f (x) es una función F(x) que verica: F´(x) = f (x) o en notación diferencial dF(x) = f(x) dx Ejemplo: Función y = 1 y = 2x

Funciones Primitivas y = x ó y = x + 2 ó y = x - 5 y = x 2 ó y = x 2 - 7 ó y = x 2 +300

Así:


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• •


Primitiva de f (x) = 1 Primitiva de f (x) = 2 x

es es

F (x) = x + c F (x) = x 2 + c

A estas primitivas las denominamos y las notamos por:

Denición: INTEGRAL de una funciónLa integral indenida de una función y = f (x) , respecto de la variable x es una función primitiva F(x) que verica: f ( x ) dx = F ( x ) + C

si y sólo si

F ' ( x ) = f ( x )

con c una constante

Ejemplos: a)

b)

1 dx = x + C

2 x dx = x

2

+ C

Propiedad: Dos primitivas de una función son iguales, salvo una constante c aditiva, es decir: Si F 1(x) y F 2 (x) son primitivas de y = f (x) , entonces F 1(x) = F 2 (x) + c

Integral Indenida de Funciones Función: f (x) y su Integral Indenida

f ( x ) dx

1 dx = x + C k dx = k x + C

x

n

dx =

x

n + 1 + C

n- 1

n + 1 x x e dx = e + C 1

dx = ln x + c

x sen x dx = - cos x + c

cos x dx = sen x + c

Integral y Operaciones 1.

( f + g ) ( x ) dx =

f ( x ) dx +

g ( x ) dx

2.

( f - g ) ( x ) dx =

f ( x ) dx -

g ( x ) dx

3.

( k . f ) ( x ) dx = k

f ( x ) dx

( k = nº real)


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Ejemplos: 2

(4 x

a)

- 5 x + 2 ) dx = 4

x

3 - 5

3 b)

x + 3 e

x

dx =

2 x

+ 2 x + c

2

3 / 2 2 x

+ 3 e

x

+ c

3 3 x

c)

2 d)

-

1 x

dx =

4

3 cos x +

4 x

+

8 1

x

- 3 + c 3

dx = 3 sen x + ln x + c

x

Técnicas o Métodos de Integración Dentro de muchas técnicas que existen para encontrar la integral de una función, abordamos la integración por sustitución. En la actualidad con las herramientas computacionales podemos calcular la mayoría de las integrales en forma directa.

Integración por Sustitución Si F (x) es una función primitiva de y = f (x) entonces con este método podemos reescribir la integral de un producto de forma que se reduzca a un integral simple: f ( g ( x )) . g ' ( x ) dx = F ( g ( x )) + c donde F ' ( x ) = f ( x )

En la práctica se realiza la “sustitución” u = g (x) en cuyo caso du = g´dx y así: f ( g ( x )) . g ' ( x ) dx = f ( u ) . du = F ( u ) + c = F ( g ( x )) + c (siempre con F primitiva de f).

Ejemplos: a)

b)

c)

5 u 2 4 2 4 ( x + 1) . 2 x dx = con la sustitución u = x + 1 y du = 2 x dx tenemos ( u ) du = + c 5 2 5 ( x + 1 ) 2 4 entonces ( x + 1 ) . 2 x dx = + c 5 u 1 u e 3 2 5 x 3 2 5 x . e dx = con la sustitución u = 5 x y du = 15 x dx tenemos e du = + c 3 3 3 x 5 e 2 5 x 3 entonces 5 x . e dx = + c 3 4 x ( x 2 + 1 ) entonces

2 dx = con la sustitución u = x + 1 y du = 2 x dx tenemos

2

du = 2 ln u + c

u 4 x

2 dx = 2 ln ( x + 1 ) + c

( x 2 + 1 )


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d)


- 4 - 4 x 1 u 2 dx = con la sustitución u = 1 - 2 x y du = - 4 x dx tenemos du = + c 2 5 5 - 4 ( 1- 2 x ) u 2 - 4 - 4 x ( 1 - 2 x ) dx = - + c 2 5 4 ( 1 - 2 x )

entonces

Aplicaciones de la integral de funciones Integral denida de funciones. Cálculo de áreas Denición: Si y = f (x) es una función continua en el intervalo [a, b] y F(x ) es una primitiva de f en dicho intervalo, entonces la integral denida se obtiene: b f ( x ) dx = F ( b ) - F ( a )

si y sólo si

F ' ( x ) = f ( x )

a

Nota: Esta relación entre la integral denida y la función primitiva del integrando se conoce como Regla de Barrow o Teorema del Cálculo Integral. Ejemplos: a)

4 1 15 x dx = F ( 4 ) - F ( 1 ) = 8 - = 2 2 1

donde F ( x ) =

x dx =

2 x

+ c

2

b)

2

3 x dx = F ( 2 ) - F ( - 2 ) = 4 - 4 = 0 - 2

c)

2 3 2 1 ( x - 4 ) dx = F ( 2 ) - F ( - 1 ) = - 6 - = - 2 2 - 1

donde F ( x ) =

3 x 4 x dx = + c 4

donde F ( x ) = ( x - 4 ) dx =

2 x

- 4 x + c

2

Propiedades de la Integral Denida 1.

a f ( x ) dx = 0 a b

b

2.

( k . f ) ( x ) dx = k f ( x ) dx a a

3.

b ( f ± g ) ( x ) dx = a

4.

b f ( x ) dx = a

b f ( x ) dx a

= nº real) b g ( x ) dx a

c b f ( x ) dx + f ( x ) dx a c

IMPORTANTE La integral denida

con

a <

c < b

b f ( x ) dx da por resultado un número real. a

Aplicación de la Integral Denida: CÁLCULO DE ÁREAS


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¿Cuál es el área de una región plana? Para responder a esta pregunta, en el caso de que la misma no sea una gura geométrica conocida (triángulo, rectángulo, cuadrado, rombo, etc...), comenzaremos por calcular el área de una región como la siguiente:

f 0 f continua. El eje Las rectas verticales que pasan por x = a x = b

Región R del plano limitada por

f

y

R

x a

b

Casos Particulares: a) Si f (x) = 5

f ( x ) = 5, (continua y positiva). El eje x Las rectas verticales x = 1, x = 4

Región R del plano limitada por y y = 5 R

Área ( R ) = base . altura = (4 - 1) . 5 = 3 . 5 = 15

x 1

4

b) Si f ( x) = x

Región R d el plano limitada por

f ( x ) = x , (continua y positiva). El eje x Las rectas verticales x = 1, x = 4 y

y = x

Area (R ) = área triángulo + área rectángulo = ( 4 - 1 ) . 3 =

2

+ ( 4 - 1 ) . 1 =

R

15 2

x 1

4


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Cuando consideremos una región R limitada por una función f 0 y continua, el eje x y las rectas verticales que pasan por x = a , x = b , el Teorema Fundamental del Cálculo Integral nos asegura:

Área de una región en el plano: Si y = f (x) es una función continua y positiva, para todo x en el intervalo [a , b] . El área A de la región R li mitada por: la función f el eje x las rectas verticales que pasan por x = a , x = b

es igual a: b A = lím s n = lím S n = f ( x ) dx x + x + a

si dichos límites existen. Los símbolos s n y S n representan las sumas inferiores y superiores de Riemman, respectivamente, y se denen por: s

= f ( x )( x - a ) + f ( x )( x - x ) + .... + f ( x )( b - x ) m 1 1 m 2 2 1 m ( n - 1) n - 1 S n = f ( x M 1 )( x 1 - a ) + f ( x M 2 )( x 2 - x 1 ) + ... + f ( x M ( n - 1) )( b - x n - 1 ) n

con x mi = mínimo de

f en [ x i , x i + 1 ]

x Mi = máximo de

f en [ x i , x i + 1 ]

y x 0 = a , x n = b

Cálculo de Áreas I.

Si y = f (x) es una función continua y positiva en el intervalo [a , b], entonces f

y Áre a ( R ) = A =

b f ( x ) dx a

R

Donde | | = valor absoluto

x a

b

II. Si y = f (x) es una función continua y negativa en el intervalo [a , b], entonces

y

Área (R) = A =

b f ( x ) dx a

Donde | | = valor absoluto

a

x

b R f


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III. Si y = f (x) es una función continua y cambia su signo en el intervalo [a , b ], entonces

y

b f ( x ) dx + a

Área (R) A =

c f ( x ) dx b

R

x

c

a

b

R

IV. Área entre curvas: Si f (x) g (x) son funciones continuas en el intervalo [a,b], entonces el área comprendida entre los grácos de f (x) y g (x), está dada por:

f

g R

b Área (R) =A = ( f ( x ) - g ( x ) ) dx a

x a

b

Ejemplos: 1.

sen ( x ) dx = F ( ) - F ( 0 ) = 1 - ( - 1 ) = 2 donde F ( x ) = 0

2.

2 sen ( x ) dx = sen ( x ) dx + 0 0

sen x dx = - cos x + c

2 sen ( x ) dx = ( F ( ) - F ( 0 ) ) + F ( 2 ) - F ( ) = 2 + - 2 = 4

3. Para la región R graficada, ¿cuál es el área ( R ) ?

Límites de la región: Funciones: y = x + 2 e y = y=-x 2 +4 entre las abscisas x = –2 y x = 1 Notar que los valores de x = –2 y x = 1 son las abscisas de los puntos de intersección de ambas funciones (se obtienen de resolver la ecuación x+2 2 =-x +4 )

y y = x + 2 1

Área (R)=

2 (( - x + 4 ) - ( x + 2 ) ) dx = - 2

R x 2 y = – x + 4


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Resolviendo la integral denida obtenemos 1

7 10 9 2 (( - x + 4 ) - ( x + 2 ) ) dx = F ( 1 ) - F ( - 2 ) = + = 6 3 2 - 2

donde

3 2 x x 2 (( - x + 4 ) - ( x + 2 ) ) dx = - - + 2 x + c 3 2

F ( x ) =

Autoevaluación Realizar, para aanzar la ejercitación y aplicación de estos temas los ejercicios propuestos en el texto. Ejercicio 1: El siguiente gráco representa una función y= g (x):

C

g(x)

B 9

L D

6

A

3

I

- 3

K

E 6 H 9

3 - 6

J

12

x

F - 3

G

Indicar, señalando las dos coordenadas de cada punto (cuando corresponda): a) Un punto donde g” es cero. b) Un punto donde g” es positiva. c) Un punto donde g” es negativa. d) Un punto de inexión, si existe. e) Todos los intervalos donde g es cóncava hacia arriba. f) Todos los intervalos donde g es cóncava hacia abajo. Ejercicio 2: Para cada una de las siguientes funciones con dominio R, indicar los intervalos de crecimiento y decrecimiento. 3 a) f ( x ) = 2 x - 24 x

b) F ( x ) = x

4

- 8 x

c) G ( x ) = x e

2

+ 16

x

Ejercicio 3: Para cada una de las siguientes funciones con dominio R: 1) Indicar las dos coordenadas de los puntos de inexión, si existen.


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2) Indicar los intervalos de concavidad hacia arriba y concavidad hacia abajo a)

3 f ( x ) = 2 x - 24 x 4

b)

F ( x ) = x

c)

f ( x ) = 3 x

d)

G ( x ) = x e

- 8 x

4

2

+ 16

3 - 4 x

x

Ejercicio 4: Para cada una de las siguientes funciones en el dominio considerado, indicar, si existen: 1. Los puntos críticos 2. Los máximos y/o mínimos, indicando si son absolutos y/o relativos. 3. Los puntos de inexión. a) Función:

3 2 f ( x ) = 2 x + 3 x 4

b) Función: f ( x ) = x

con Dom f = [ - 2 , 7 ]

3 - 4 x

con Dom f = [ - 1 ,

)

Ejercicio 5: Si f y g son dos funciones cuyas primitivas son F y G , respectivamente. Indicar el resultado de las integrales: a)

( 2 f ( x ) + g ( x ) ) dx

c)

(x

2

+ f ( x ) ) dx

b)

( f ( x ) - 5 g ( x ) ) dx

d)

( f ( x ) - 5 ) dx

Ejercicio 6: Resolver las siguientes integrales indenidas, encontrando la primitiva de cada función a)

(x + 3 ) dx

b)

c)

x dx

d)

e)

1 x + sen x dx

f)

2 x 3 x + dx 2

1 2 - 5 x - 4 dx 3 x 4 cos x

+1

dx

5

Ejercicio 7: Evaluar las siguientes integrales. Observar que los integrandos presentan funciones compuestas. a)

c)

2 x sen( x ) dx

sen x

dx

cos x

e)

2 9 ( x - 1 ) x dx

b)

d)

f)

( 2 x 2 - 1) x e dx

x

2

3 1 - x 3 x

3 x

dx

2

- 7

dx

Ejercicio 8: Evaluar las siguientes integrales denidas:


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2 a)


2

3 x dx

b)

2 ( 3 x - 2 x + 3 ) dx

d)

0 1 c)

- 2

4 x dx

- 1 1 0

x 2 ( e - 3 ) dx

Ejercicio 9: Indicar y calcular la integral que permite encontrar el área A sombreada en cada caso:

y y 2

y = x + 1

1

-3 A -1

A

x

x

y = x 2 + 2 x - 3

2 y y = 2 - x 2

y = x A x

Situaciones Problemas: Modelización Ejercicio 10: El incremento de la población de una ciudad t años después del censo está dada por: 0 , 03 t P ' ( t ) = 600 e Encontrar la función que indica la cantidad de individuos de la población, en dicho año t , sabiendo que en el momento del censo la ciudad contaba con 20.000 habitantes. Ejercicio 11: El esquema siguiente representa la supercie que se destinará a la exposición de automóviles en un predio ferial. Determinar: a) La supercie que se deberá cubrir con materiales especiales para colocar en la misma el área atención al público, dicha supercie es la que gura sombreada en el esquema. b) La supercie que quedará libre para ocuparse con los automóviles que se exhibirán.

Nota: La curva que limita la zona donde se colocará el área de atención al público se puede aproximar por C ( x ) = 64 - x 2


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64 M

40 M

Respuestas a la Autoevaluación Ejercicio 1: a) A = (-4,5); E = (2,3); J = (10,5) y L = (13,8) b) c) d) e) f)

F = (3,-1); G = (5,-3) y H = (7,1) B = (-2,10); C = (-1,11) y D = (1,7) A = (-4,5); E = (2,3); I = (8,5) y K = (11,5) (-∞, - 4) y (2,8) (- 4,2)

Ejercicio 2: a) Intervalos de crecimiento: (-∞,-2) y (2,+ ∞). Intervalos de decrecimiento: (-2,2) b) Intervalos de crecimiento: (-2,0) y (2,+ ∞). Intervalos de decrecimiento: (-∞,-2) y (0,2) c) Intervalo de crecimiento: (-1,+ ∞). Intervalos de decrecimiento: (-∞,-1)

a)

b)

c)

d)

Ejercicio 3: 1) Puntos de Inexión: (0,0) 2) Intervalos de concavidad hacia arriba: (0,+ ∞). Intervalos de concavidad hacia abajo: (-∞,0) 1) Puntos de Inexión: (1,15 , 7,17) y (-1,15 , 7,17) 2) Intervalos de concavidad hacia arriba: (- ∞,1,15) y (1,15,+ ∞). Intervalos de concavidad hacia abajo: (-1,15 , 1,15) 1) Puntos de Inexión: (0, 0) y (0,66 , -0.6) 2) Intervalos de concavidad hacia arriba: (- ∞,0,66) y (2,+ ∞). Intervalos de concavidad hacia abajo: (0,66 , 2) 1)Puntos de Inexión: (-2 ,-0,27) 2) Intervalos de concavidad hacia arriba: (-2,+ ∞). Intervalos de concavidad hacia abajo: (-∞ ,-2)

Ejercicio 4: a) 1) Puntos críticos: x = 0 y x = -1 2) Máximo absoluto: (7,833); mínimo absoluto: (-2,-4), máximo relativo: (-1,1) y mínimo relativo: (0,0) 3) Punto de inexión: (-0,5 , 0,5) b) 1) Puntos críticos: x = 0 y x = 3 2) Máximo absoluto: no posee; mínimo absoluto: (3,-27), máximo relativo: (-1,5) y mínimo relativo es el mínimo absoluto. 3) Puntos de inexión: (0, 0) y (2,-16)


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Ejercicio 5: a) 2 F ( x ) + G ( x ) + C 3 x c) + F ( x ) + C 3

b) F ( x ) - 5 G ( x ) + C d) F ( x ) - 5 x + C

Ejercicio 6: a) F ( x ) =

x

2

+ 3 x + C

2 c) F ( x ) =

3 / 2 2 x

+ C

3 e) F ( x ) = ln x - cos x + c

2 3 x b) F ( x ) = x + + C 4 - 2 3 x 5 x d) F ( x ) = - - - 4 x + c 2 3 4 sen x f) F ( x ) = + x + C 5

Ejercicio 7: e

1

a)

2 F ( x ) = - 2 cos x + C

b) F ( x ) =

c)

F ( x ) = - ln (cos x ) + C

d) F ( x ) = -

F ( x ) =

e)

10 2 ( x - 1 ) 20

+ C

f) F ( x ) =

( 2 x - 1 ) + C

4

3 1 / 2 2 ( 1 - x )

3 3 / 2 2 (3 x - 7 )

+ C

+ C

3

Ejercicio 8: a) 4

b) 6,6

c) 21

d) –7,28

Ejercicio 9: Indicar y calcular la integral que permite encontrar el área A sombreada en cada caso: a) 6 b) 10,66 c) 4,5 Ejercicio 10: Cantidad de individuos de la población, en el año t, se puede representar por la función P ( t ) = 20000 e 0 , 03 t Ejercicio 15: a) La supercie que se deberá cubrir con materiales especiales para colocar en la misma el área atención al público es de 341,33 m2. b) La supercie que quedará libre para ocuparse con los automóviles que se exhibirán es de 2218,67 m2.


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Matemática II - Mónica Bocco

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