UNIVERSIDAD TÉCNICA DEL NORTE FACULTAD DE CIENCIAS ADMINISTRATIVAS Y ECONÓMICAS CONTABILIDAD Y AUDITORIA
María José Alquedán 3ro. C1 – 408 408 Ing. Silvia Vaca Matemáticas
Repaso
PORCENTAJES Ejercicios: 1. ¿Qué porcentaje de 500 es 60? 500
100%
60
x
=
60 x 100% 500
= 12% 2. Calcular el valor de la factura de venta de un refrigerador cuyo precio en lista es de $ 2.400 con el 15% de descuento si se aplica el 10% de impuesto a las ventas. 2400 x
100% 15
=
2400 x 15% 100% = 360
Repaso
PORCENTAJES Ejercicios: 1. ¿Qué porcentaje de 500 es 60? 500
100%
60
x
=
60 x 100% 500
= 12% 2. Calcular el valor de la factura de venta de un refrigerador cuyo precio en lista es de $ 2.400 con el 15% de descuento si se aplica el 10% de impuesto a las ventas. 2400 x
100% 15
=
2400 x 15% 100% = 360
PORCENTAJES Ejercicios: 1. ¿Qué porcentaje de 500 es 60? 500
100%
60
x
=
60 x 100% 500
= 12% 2. Calcular el valor de la factura de venta de un refrigerador cuyo precio en lista es de $ 2.400 con el 15% de descuento si se aplica el 10% de impuesto a las ventas. 2400 x
100% 15
=
2400 x 15% 100% = 360
= 2400 – 360 360 = 2040 2040 x
100% 10%
=
2040 x 10% 100% = 204
= 2040 + 204 = $2244 3. Un comerciante desea obtener una utilidad de 20%sobre el precio de costo de la mercadería adquirida en $25. 000.Calcular el precio de venta . 25000
100%
x
20%
=
25000 x 20% 100%
= $5000
= 25.000 + 5.000 = $30.000 4. Un comerciante que vende zapatos a un costo de $120 el par, con una utilidad del 25% sobre el precio de venta. Calcular el precio al que puede vender el par. PV = PC + U 100% = 75% + 25% 120 x
75% 100%
=
120 x 100% 75%
= $160 = 160 x 25% =$40 5. Calcular el cargo de depreciación anual de una maquinaria que costó $ 25.000 si su vida útil se estima en 10 años y su valor de salvamento es el 10% de su valor original.
DA =
DA =
25.0 25.000 00 2500 2500 10
= 22.5 2.500
PROGRESIONES
Progresión Aritmética U=
( + ) 2
Sn=
a + (n – 1) 1) d
Ejercicios:
1. Encontrar el vigésimo término de una progresión aritmética que se forma: 115 ; 112 ; 109 ; 106 Datos: a= 115 n= 20
U = a + (n – 1) 1) U = 115 + (20 – 1) 1) (-3) U = 58
d= (-3) 2. Encontrar los 30 primeros términos de la progresión aritmética. 15 ; 21 ; 27 ; 33
= U = a + (n – 1) 1)
U = 15 + (30 – 1) 1) (6) U = 189
=
( + ) 2
30 (15 (15 + 189) 189) 2
= 3060 3. Por la compra de un terreno una persona, paga al final del primero año $5.000, al final del segundo año $4.500, al final del tercer $4.000; ¿Cuánto pagara por el terreno si se hacen 10 pagos?
= U = a + (n – 1) 1)
U = 500 + (10 – 1) 1) (6) U = 500
=
( + ) 2
10 (5.0 (5.000 00 + 500) 500) 2 = 27500
Progresión Geométrica
Un= −
Sn=
Ejercicios:
a n 1r
1. Encontrar el décimo termino y la suma de los 10 primeros términos de la progresión geométrica. 1 ; 1,5 ; 2,25 ; 3,375
a n = 1r
Un = a − Un = 1(1,5)− Un = 1(1,5)
1 1(1,5) = 11,5
Un = 38,44
= 113,34
2. Una maquina tiene un valor de $ 15.000 si al final de cada año se deprecia en 15%. ¿Cuál será su valor después de 10 años? 15000 x
100% 85%
85% x 15.000 = 100% = 12,750
= 12.750 ÷ 15.000 = 0.85
Un = a − Un = 15.000(0,85)− Un = 15.000(0,85)
Un = 3474,25
Introducción: Matemática Financiera
INTRODUCCIÓN La matemática financiera es fundamental para tomar la mejor decisión, cuando se
invierte el dinero en proyectos o inversiones. Es necesario, que se conozca la importancia del concepto del valor del dinero del dinero a través del tiempo, como elemento fundamental de la mecánica financiera. Hay que considerar el principio de equivalencia de visión económica, que se aplican en el diagrama económico, para efecto de trasladar los flujos de caja al presente o al futuro. IMPORTANCIA Las organizaciones y las personas toman decisiones diariamente que afectan su futuro
económico, por lo cual deben analizar técnicamente los factores económicos y no económicos. Es muy importante las técnicas y modelos de la matemática financiera en la toma de
decisiones, ya que cada una de ella determinara lo que se debe hacer en un tiempo futuro.
INTRODUCCIÓN La matemática financiera es fundamental para tomar la mejor decisión, cuando se
invierte el dinero en proyectos o inversiones. Es necesario, que se conozca la importancia del concepto del valor del dinero del dinero a través del tiempo, como elemento fundamental de la mecánica financiera. Hay que considerar el principio de equivalencia de visión económica, que se aplican en el diagrama económico, para efecto de trasladar los flujos de caja al presente o al futuro. IMPORTANCIA Las organizaciones y las personas toman decisiones diariamente que afectan su futuro
económico, por lo cual deben analizar técnicamente los factores económicos y no económicos. Es muy importante las técnicas y modelos de la matemática financiera en la toma de
decisiones, ya que cada una de ella determinara lo que se debe hacer en un tiempo futuro. DEFINICIONES DE LA MATEMATICA FINANCIERA “Es una herramienta de trabajo que permite el análisis de diferentes alternativas planteadas
para la solución de un mismo problema” “Es un conjunto de conceptos y técnicas de análisis, útiles para la comparación y evaluación
económica de alternativas.” En general la matemática financiera es seleccionar la alternativa más conveniente desde el punto de vista económico.
INTERÉS SIMPLE Es la cantidad que debe pagar una persona por el uso de dinero tomado en préstamo.
En una operación matemática financiera intervienen básicamente tres elementos fundamentales: capital, tasa de interés y el tiempo o plazo. CAPITAL
Es una cantidad o masa de dinero localizada en una fecha o punto inicial de una operación financiera, se le conoce también como principal. TASA DE INTERÉS
Es la razón de los intereses devengados en un lapso de tiempo, entre el capital inicial. Se expresa en tanto por uno o tanto por ciento. TIEMPO
Es el periodo comprendido entre la fecha inicial y la fecha final de la operación financiera. Se conoce también como plazo. INVERSIONES DE DINERO A INTERÉS SIMPLE
El interés simple es aquel que se calcula sobre un capital inicial que parece invariable
en el tiempo. Los intereses se manejan por separados y se retiran de la información financiera. El interés que se obtiene en cada intervalo de tiempo es siempre el mismo.
NOMENCLATURA C=
capital inicia o principal
M=
capital final llamado monto
I=
redito generado en determinado periodo de tiempo
r=
tasa de interés que representa el costo o rendimiento de una capital productos de un préstamo o cantidad que se invierte
t=
lapso (años, meses, dias9 que permanece prestado o invertido un cápita. Formula: =
Nota:
Para aplicar la formula y resolver los problemas los datos de tiempo (t) y tasa de interés (r) deben referirse a la misma unidad de tiempo Siempre convertir la unidad de tiempo a la unidad que se hace referencia la tasa. Ejercicios 1. Hallar producido durante 5 años, por un capital de $30.000, al 6%. Datos:
I=?
=
% %
= 0,06
t = 5 años C = 30.000 r = 6%
= ∗ ∗ = 30.000 ∗ 0.06 = 9.000
2. Calcular en que se convierte, en 6 meses, un capital de $10.000 al 3,5%. Datos:
M =? t = 6 meses C = 10.000 r = 3.5%
,%
= %() = 0.00291 = ∗ ∗ = 10.000 ∗ 0.00291(6) = 174,60
=± = 10.000 + 174,60 = 10.174,60
3. ¿Durante cuánto tiempo ha de imponerse un capital de $25.000 al 5% para que se convierta en $30. 000? Datos:
M = 20.000 t=? C = 25.000 r = 5%
%
= % = 0,05 = ∗ ∗
=
=
i 5.000 25.000 ∗ 0,05
= 4 ñ
4. Se presentan $45.000 y al cabo de un año, 4 meses y 20 días se recibe $52.500. Calcular el tanto por ciento de interés. Datos:
M = 52.500
1 año
= 360
4 meses = 120
t = 1 año con 4 meses y 20
20
días C = 45.000 r =?
500 =− = 52.500 − 45.000 = 7.500
= =
∗
7.500
∗ 100 ∗ 360 45.000 ∗ 500
= 12
5. Hallar el tanto por ciento de interés simple al que deberá prestarse un capital para que al cabo de 20 años los intereses sean equivalentes al capital prestado. = 12
=
=
∗
=
(20)
=
1 20
= 0,05% ∗ 100% = 5%
6. ¿En cuánto tiempo se triplicará un capital colocado al 6%? Datos:
M= 3C t=? r = 6% = 0,06
=− = 3 − = 2
= ∗ = =
2
(0,06) 2
0,06 = 33,33
Monto a Interés Simple MONTO
Es la suma del capital original más los intereses generaos en el transcurso del tiempo.
CAPITAL
Con tiempo y tasa se convierte en:
INTERESES
CAPITAL
INTERESES
F
MONTO
Es la suma del capital original más los intereses generaos en el transcurso del tiempo.
Con tiempo y tasa se convierte en:
CAPITAL
INTERESES
CAPITAL
INTERESES
FORMULAS DE MONTO A INTERES SIMPLE
= = 1
M = monto
C=
capital r = tasa de interés t = tiempo
Ejercicios: 1. El contador Pérez deposita en un banco a plazo $10.000 y recibe un año después el total de $ 15.000 (incluyendo capital, interés) encuentre monto, interés y tipo de interés. Datos:
C= 10.000 t = 1 año M= 15.000 I=?
=− = 15.000 − 10.000 = 500 = ∗
5.000 = 10.0001ñ = 0,5 x 100% = 50% 2. Una persona toma préstamos $500 a interés simple, durante 3 años al 10% (se conviene pagar el interés cada año). ¿Cuánto recibirá en total el acreedor? Datos:
C= 5000 t = 3 años M= 15.000 I=10% = 0,1
= ∗ ∗ = 500 ∗3 ∗0,1 = 150 = = 500 150 = 650 = 1 = 5001 0,015 = 650
3. Se obtiene un crédito por $18.000 a 6 años con el 24%de interés siempre anual ¿Qué cantidad debe pagar al vencerse su deuda? Datos:
C= 5000 t = 3 años M= 15.000 I=10% = 0,1
= 1 = 18000[1 0,246] = 43,920
4. ¿Cuál es la tasa de interés simple mensual y equivalente a una tasa del 0,34 anual Datos:
r= 0,34
, 0,28
0,28 x 100
2,8% 5. ¿Cuánto tiempo tardarán $5000en convertirse en $8.750 al 25 % de interés anual? Datos:
C= 5000 M=8750 r= 25%
% = 0,25
= = 8750 −5000 = 3750 = = = 50003750 0,25 = 3 ñ
CALCULO DEL VALOR ACTUAL
El valor actual de una cantidad con vencimiento en el futuro es el capital que a un tipo de interés dado, en periodos también dados hacendera a la suma debida.
= 1 ∗ C = VA
cantidad que se cancela mucho antes del día de vencimiento
→
Ejercicio: 1. Un documento de $10.000 con vencimiento en 180 días, se desea conocer un valor actual, 60 días antes de su vencimiento, considerando una tasa del 18% anual. Datos:
M= 10000 t= 60 días r= 18% anual.
% = 0,0005 % = ,
= 9708,74 GRAFICA DEL TIEMPO YVALORES
VALOR ACTUAL
VALOR NOMINAL
Fecha de suscripción
MONTO
Fecha de vencimiento
Fecha de negociación
Ejercicios: 1. Calcular el valor actual el día de hoy de un descuento de $150.000 que vence en 210 días plazo ordenando una tasa de interés actual 18%, paga 90 días antes del vencimiento. Datos:
M= 150.000 t = 210 días r= 18%
Datos:
M= 150.000 t = 90 días r= 18%
135746,61
= +∗ = 150.000 1 0,18 360 210 = 135.746,606 = +∗ = 150.000 1 0,18 360 90 = 143540,67 143540,67
150000
90 DIAS 210 DIAS
2. El 15 de marzo un descuento de 180.000 con 180 días plazo al 1% mensual ¿Calcular su valor actual al 12 de agosto del mismo año, considerando la tasa de interés del 18% anual? Marzo Abril Mayo Junio Julio Agosto Septiembre
Datos:
M=? r= 1% t=180 dias
M = 190800 r= 18% t=30 dias
16 30 31 30 31 31 11 180 días
19 11 30 dias
= 1 ∗ = 180.000(1 0.01 30 ∗ 180) = 190.800 = +∗
= 190.800 1 0,18 360 ∗ 30 = 187.980 180000
15 de marzo
187980
190800
12 de agosto
11 de septiembre 30 DIAS
180 DIAS
Descuento
DESCUENTO
Es una operación financiera que consiste en cobrar sobre un documento los interese en forma anticipada. Esta operación es frecuente en el mundo de los negocios en transacciones comerciales a corto plazo, cuando se tiene cuentas por cobrar y necesita hacerlas efectivas antes de su fecha de vencimiento.
DEFINICIONES:
Es la operación de adquirir, antes del vencimiento, valores generalmente endosables. Es la acción de recibir o pagar un dinero hoy, a cambio de una suma mayor comprometida para una fecha futura, según las condiciones convenidas en el pagare.
DESUENTOS DE CRÉDITO:
Los documentos de crédito más usados son la LETRA DE CAMBIO Y EL PAGARÉ estos documentos se utilizan para respaldar obligaciones en dinero con vencimiento futuro, estos detallan a la persona acreedora, a la deudora, el valor de la deuda, la fecha de suscripción, el plazo y el interés. Existen otros tipos de documentos que poseen las características del pagare y la letra de cambio estos documentos son certificados de INVERSIÓN, AHORRO, FINANCIERO, BONOS DE ESTABILIZACIÓN MONETARIA, LAS NOTAS DE CRÉDITO ENTRE OTROS.
DESCUENTO
Es una operación financiera que consiste en cobrar sobre un documento los interese en forma anticipada. Esta operación es frecuente en el mundo de los negocios en transacciones comerciales a corto plazo, cuando se tiene cuentas por cobrar y necesita hacerlas efectivas antes de su fecha de vencimiento.
DEFINICIONES:
Es la operación de adquirir, antes del vencimiento, valores generalmente endosables. Es la acción de recibir o pagar un dinero hoy, a cambio de una suma mayor comprometida para una fecha futura, según las condiciones convenidas en el pagare.
DESUENTOS DE CRÉDITO:
Los documentos de crédito más usados son la LETRA DE CAMBIO Y EL PAGARÉ estos documentos se utilizan para respaldar obligaciones en dinero con vencimiento futuro, estos detallan a la persona acreedora, a la deudora, el valor de la deuda, la fecha de suscripción, el plazo y el interés. Existen otros tipos de documentos que poseen las características del pagare y la letra de cambio estos documentos son certificados de INVERSIÓN, AHORRO, FINANCIERO, BONOS DE ESTABILIZACIÓN MONETARIA, LAS NOTAS DE CRÉDITO ENTRE OTROS.
DESUENTO RACIONAL:
El descuento racional también desconocido como Descuento Simple es la diferencia entre el monto o valor a la fecha de vencimiento de un documento o deuda y el valor presente, representaremos el descuento racional como Dr.
Fórmula para el cálculo del descuento racional
= Entonces
= +∗
→
= (1 ∗ )
Donde M es el valor del documento en la fecha de vencimiento y VA es el valor actual del documento. Ejercicios: 1. Usted tiene un pagare con el valor de $30,000 que vence dentro de 4 meses, un comprador ofrece comprárselo con una con una tasa de descuento del 3% mensual simple, calcular el valor que usted recibirá por la venta del pagare y el descuento racional.
Datos
M = 30,000 r = 3% t = 4 meses
= +∗ = 1 30,000 0.034 VA = $ 26,7785.71
= +∗
= 30,000 (1 30,000 0.034) Dr = $3,214.29 2. Calcular el valor actual y el descuento racional de un pagare con valor de $1500 a 90 días plazo, suscrita el 2 de Mayo del 2012 al 12% anual, si se descuenta el 3 de Junio del mismo año al 15% anual. Mayo Junio Julio
Datos
C = $1500 t = 90 Días r = 12% Anual
33,33 x 10− = Crt = 150033,33 x 10−)(90) = 45 = = 1,500 45 M = $1,545
29 30 31 90
= +∗ = 1,545 1 0.15 360 58
27 31 58 d.antes
VA = $1,508.54
=
Dr = 1,545 1,508.54 –
Dr = $36.46 3. Pablo Martínez es tenedor de un pagare con valor de $12,500 a una tasa de interés del 10% anual y vence dentro de 235 días por motivo de liquidez lo decide vender a Juan Martínez, este ofreció comprárselo con una tasa de descuento del 18% anual, calcule el valor actual de documento y el descuento racional del mismo. Datos
C = 12,500 t = 235 Días r = 10% anual; 0.10 r = 18% anual; 0.18
C = 12,500 t = 235 Días r = 18% anual; 0.18
2,77 x 10− = Crt = 125002,77 x 10−)(235) = 815,97 = = 12500 815,97 = 13315,97 5 x 10− = +∗ = 13,315.97 1 0.18 360 235
VA = 11915.86
=
Dr = 13315,97 11915,86 –
Dr = $1400,11
DESUENTO BANCARIO, COMERCIAL O BURSATIL Fórmula
= Donde M es el valor de documento en la fecha de vencimiento d tasa de descuento del tiempo. Ejercicios: 1. ¿Cuál es el descuento bancario de una letra de cambio de $250,000suscrito a 120 días plazo, si fue descontada a 60 días antes de su vencimiento a una tasa de descuento del 2% anual?
=
Datos:
M = $250,000 d = 2% mensual; 0,02 t = 60 días
Db = 250,000 * Db = 10,00
. (60)
DESUENTO (interés simple) DESCUENTO RACIONAL •
•
•
•
= = +∗ = +∗ =
DESCUENTO BANCARIO •
=
•
Cb = M - Db
•
C
•
C
•
=
= 1 – ) M = −
Cb= Capital Bancario = cantidad de dinero que se tiene antes de la fecha de vencimiento.
Ejercicios: 1. Calcula el capital bancario y el descuento bancario de un pagare de $80000, suscrito a 120 días de plazo si se descuenta el día de hoy con una tasa de descuento de 18% anual.
Datos
M = 80000 t = 120 días d = 18% anual
5 x 10− = = 800005 x 10−)(120) = 4800
= = 80000 4800 = 75200
2. Calcular el descuento racional y el bancario de una letra de cambio de $240,000 a 210 días plazo si se descuenta 60 días antes de su vencimiento a una tasa del 1.8% mensual. Datos:
M = $240,000 t = 210 días i = 1.8% mensual; 0.018
6 x 10− = Dr = 240,000 - 231,660.23 Dr = 8,339.77
= + = , (60) +. VA = 231,660.23
= = 240000, (60) = 8640
R ELACIÓN ENTRE DOS TASAS
La tasa de interés es el precio del dinero en el mercado financiero. Al igual que el precio de cualquier producto, cuando hay más dinero la tasa baja y cuando hay escasez sube.
Las podemos calcular de la siguiente manera:
= 1
= 1 Ejercicios:
1. ¿A que tasa de interés equivale una tasa de descuento del 21% anual durante 90 días.? Datos:
d = 21% t = 90
= + 0,21 = 0,21 1 360 90 = 0,22164 100 % = 22,164 % = + 0,22164 = 0,22164 1 360 90 = 0,21 x 100% d = 21%
Siempre la tasa de interés será mayo a la de descuento
Ecuación de valor
ECUACIÓN DE VALOR
Es usual que deudores y acreedores haga un convenio para refinanciar sus deudas, es decir para reemplazar un conjunto de obligaciones que previamente contrajeron por otro conjunto de obligaciones que previamente contrajeron por otro conjunto de obligaciones que le sean equivalentes, pero con otras cantidades y fechas. En muchas ocasiones existe la necesidad de que la o las deudas que se tienen deban replantearse para replantearlos en otra u otras deudas.
Refinamiento: deudas equivalentes en un punto común. Fecha focal: punto de comparación o igualdad de ambos conjuntos de obligaciones.
FF
DEUDA ORIGINAL
=
CAMBIO DE LA DEUDA
ECUACIÓN DE VALOR
Es usual que deudores y acreedores haga un convenio para refinanciar sus deudas, es decir para reemplazar un conjunto de obligaciones que previamente contrajeron por otro conjunto de obligaciones que previamente contrajeron por otro conjunto de obligaciones que le sean equivalentes, pero con otras cantidades y fechas. En muchas ocasiones existe la necesidad de que la o las deudas que se tienen deban replantearse para replantearlos en otra u otras deudas.
Refinamiento: deudas equivalentes en un punto común. Fecha focal: punto de comparación o igualdad de ambos conjuntos de obligaciones.
FF
DEUDA ORIGINAL
=
CAMBIO DE LA DEUDA
Equivalencia en un punto en el tiempo.
FF
DEUDA ORIGINAL
=
CAMBIO DE LA DEUDA
Equivalencia en un punto en el tiempo.
FF
DEUDA ORIGINAL
=
CAMBIO DE LA DEUDA
Equivalencia en un punto en el tiempo. Una ecuación de valor es la igualdad de dos conjuntos de obligaciones (o flujos de efectivo), en una fecha determinada, la cual se le llama fecha focal o fecha de comparación. OBSERVACIÓN
El interés simple, el resultado que se obtenga de la ecuación de valor variará dependiendo de la fecha focal que se seleccione.
Ejercicios: 1. Una persona debe $20000 dentro de seis meses y $30000ª un año el acreedor acepto un pago en efectivo a los 6 meses equivalente la deuda. Determine su valor si la tasa de interés de las operaciones del 30% y se establece como fecha focal del día de hoy.
FF
x 6 meses
12 meses
20000
30000
= 20000 + 30000 = 0,30 6 1 + 0,30 12 1 + 0,30 6 1 + 12 12 12
=17391,34+23076,92 1,15 = 1,1540468,26 = 46538,46 2. Una persona debe $1000 pesos con vencimiento en un año a un interés del 14% desea saldar esta obligación por medio de dos pagos de igual valor a efectuar, a los 5 y 9 meses respectivamente. ¿Cuál será el valor de los pagos, si ambas partes acuerdan utilizar una tasa de interés del 16% y una fecha focal de un año.
1140
1000 3X
6X
12 meses FF
= 1 + = 1000(1 + 0,14 12 12) = 1140
= 0,16 3) 1140 =(1+ 0,16 9)+(1+ 12 12 1140 =1,12 +1,04 1140=2,16 = $527,78 3. La empresa XYZ debe cumplir con las obligaciones contraídas las mismas que deben pagarse dentro de dos meses, $2000 dentro de 6 meses $4000 y dentro de 10 meses $8000. El gerente desea liquidar todas sus deudas dentro de 5 meses.
¿Cuánto debe pagar dentro de 5 meses para saldar la deuda a una tasa de interés de 15%?
2000
FF
2 meses
S X
4000
6 meses
8000 10 meses
= 4000 + 8000 = 2000(1 + 0,15 3)+ 0,15 5 12 1 + 0,35 1 1 + 12 12 = 2075 + 3950,71 + 7529,411 = 13555,03 4. Una persona contrae dos obligaciones de $10000 y $15000 que serán pagadas al primero luego de 3 meses y la segunda dentro de 9 meses, el deudor propone al acreedor pagar la deuda en forma siguiente $8000 dentro de 6 meses de haber contraído las obligaciones y el saldo al final del año. ¿Cuánto tendrá que pagar al final del año para liquidar la deuda? Considere como fecha focal 12% anual.
10000
8000
3 meses
6 meses
15000
9 meses
FF 12 meses X
= 0,12 9) + 15000(1 + 0,12 3) + 8000(1 + 0,12 6)=10000(1+ 12 12 12
+ 8480 = 10900 + 15450 = 26350 − 8480 = $ 17870 5. Determinar el valor de las siguientes obligaciones, el día de hoy suponiendo una tasa de 0,4% de interés simple $1000 con vencimiento el di de hoy $2000 con vencimiento en 6 meses con interés de 5%, $3000 con vencimiento un año con interés del 6%. Utilizar el día de hoy. 6 MESES
1 AÑO
=2000(1+ 0,05 12 6) =2050
=3000(1+ 0,06 12 12) =3180
10000
2050
3180
FF X
6 meses
1 año
= 3180 = 1000 + 2050 + 0,04 12 1 + 0,04 6 1 + 12 12 = 1000 + 2009,80 + 3057,60 = 6067,40
Interés Compuesto INTERÉS COMPUESTO
Es una poderosa herramienta en el análisis y evaluación financiera de los movimientos de dinero a través del tiempo.
DEFINICIÓN
Es una operación financiera por la que se obtiene interés sobre interés, esto es la capitalización del dinero en el tiempo
DIFERENCIAS ENTRE INTERÉS
• •
Simple
• •
Interés no se acumula al capital Se usa en el corto plazo El interés es menor El interés es constante durante todo el tiempo
INTERÉS COMPUESTO
Es una poderosa herramienta en el análisis y evaluación financiera de los movimientos de dinero a través del tiempo.
DEFINICIÓN
Es una operación financiera por la que se obtiene interés sobre interés, esto es la capitalización del dinero en el tiempo
DIFERENCIAS ENTRE INTERÉS
• •
Simple
• •
• •
Compuesto
• •
Interés no se acumula al capital Se usa en el corto plazo El interés es menor El interés es constante durante todo el tiempo
El interés se acumula al capital Seusa en el largo plazo El interés es mayor El interés crese en funsión del nuevo capital
Interés simple – iteres compuesto Periodo
Monto interés simple
Monto interés compuesto
Diferencia
1 2 3 4 5
$4400 $4800 $5200 $5600 $6000
$4400 $4849 $5324 $586,40 $6442,04
$0 $40 $124 $256,40 $442,04
=
= =40000, 0 11 =400
Es así como: 2do. Periodo
3er. Periodo
Interés simple
Interés simple
Interés compuesto
Interés compuesto
=1+ =4000+0, 0 12 =4800 =44001+0, 0 11 =4840
=1+ =40001+0, 0 12 =5200 =48401+0, 0 12 = 532
VARIABLES DEL INTERÉS COMPUESTO
Periodo de capitalización
Es el espacio de tiempo en que el interés se adiciona al capital. Puede ser anual, semestral, trimestral, mensual, etc.
Tasa de interés
Es la tasa de interés por periodo de capitalización y puede ser diaria, mensual, bimestral, trimestral, semestral, anual, etc. Ejercicios: 1. Calcular el monto a interés compuesto de $1000 colocado durante 10 años a una tasa del interés del 12% anual capitalizable semestralmente. Datos C= 1000 t= 10años j= 12% cap. semestral M=?
n= 10 6 12 n=20 j= 0,212 j=0, 06 =1+ =10001+0,06 =4207,14
= =3207,141000 =2207,14
2. Una empresa obtiene un prestamos de $40000 a 10 años plazo con una tasa de interés del 15% anual capitalizable trimestralmente. Calcular el interés y el monto generado. Datos C= 40000 t= 10 años j= 15 cap. Trimestralmente M= ? I= ?
n= 10 3 12 n=40 j= 0,415 j=0,0375 =1+ =400001+0,0375 =174415,15 = =174415,1540000 =134415,15
3. Calcular por el método matemático y comercial el monto compuesto que acumulara un capital de $15000 dúrate 6 años y 9 meses al 16 % anual capitalizable semestralmente Datos C= 15000 t= 6años y 9meses j= 16% cap. semestralmente M=?
n= 6 12+9 6 n=13,5 j= 0,216 j=0, 08
=150001+0,08, Método matemático
=92394,74
Método comercial
n= 6 12+9 6 n= 816 n= 8178 6 n= 36 n= 13 x 6 n= 78
=150001+0,08 [1+0,0836] =40794,36 1,04 =42426,13 4. Calcular por los 2 métodos, el método de $20000 a 7 años y 8 meses palo al 18% anual capitalizable trimestralmente. Datos C= 20000 t= 7años y 8meses j= 18% cap. trimestralmente M=?
=200001+0,045, Método matemático
=77137,14
n= 7 12+8 3 n=30,66 j= 0,418 j=0,045 n= 7 12+8 6 n= 923 n= 9290 3 n= 23 Método comercial
n= 30 x 3 n= 90
=200001+0,045 [1+0,04523] =40794,36 1,04 =42426,13 5. Un capital de $8000 a una tasa de interés del 14% anual capitalizable semes tralmente que monto se obtiene al termino de 2 años y 7 meses. Por los 2 métodos Datos C= 8000 t= 7años y 7meses j= 14% cap. semestralmente M=?
=80001+0,07, Método matemático
=22327,59
n= 7 12+7 6 n=15,1667 j= 0,214 j=0, 07 n= 7 12+7 6 n= 916 n= 91906 n= 16 =80001+0,07 [1+0,0716] =22329,76 Método comercial
n= 15 x 6 n= 90
TASAS EQUIVALENTES
1+= 1+ 1+1ñ =1+ 1+ =1+ 1+ =1+
= = =1+ 1 De tasa nominal a tasa efectiva
1+ =1+ 1+ = √ 1 + 1+ = √ 1 + = (√ 1 + 1)
De tasa efectiva a tasa nominal
Ejercicios:
j = 40% capitalizable trimestralmente.
0, 0 4 =1+ 4 1 =1, 46411 =0,4641 100% =46,41%
A que tasa anual capitalizable trimestralmente equivale una tasa efectiva de 19, 2519%.
= 1+0,192519 1
=0,18000 100% =18%
A que tasa anual capitalizable trimestralmente se debe calcular un capital de $1000 para que produzca un monto de $5500 en 6 años y 9 meses. A que tasa efectiva equivale.
Datos M= 5500 C= 1000 t= 6años 9 meses i=?
n= 6 12+9 3 n=27 =+ = =55001000 =4500 =1+ 5500=10001+ 4 5500 1000 =1+ 4 5, 5 =1+ 4 5,5 = 1+ 4 5,5 =1+ 4 =41,0651 =26,07 %
=1+ 1 0, 2 607 =1+ 4 1 =28,73 % FORMULAS DEL MONTO A INTERÉS COMPUESTO
Es el valor del capital acumulado después de sucesivas adiciones de los intereses.
1+
M=C
I = M – C
El monto se puede expresar tomando en cuenta los períodos de capitalización menos de un año. M=C
M = Monto
1+
C = Capital inicial i/m = j = tasa de interés nominal capitalizable varias veces. m = número de capitalizaciones en el año. t = número de años.
Tasa Efectiva
Se refiere a la tasa que estamos aplicando verdaderamente a una cantidad de dinero en un periodo de tiempo (si es anual se capitaliza 1 sola vez en un año).
100
10010 110
11011 121
12.133.1211100
133.13.3110 146.41 Creció 46.41% TASA EFECTIVA
Trimestres 0
I
II
III
IV 10% x 4 t rimestres 40% TASA NOMINAL ANUAL
Tasa Efectiva
Expresada anualmente que genera intereses varias veces al año Tasa Nominal Anual 40% Capitalización
20% 0
20% 1
El dinero crece a cada frecuencia producto de la CAPITALIZACIÓN
Equivalencia entre Tasa Efectiva y Tasa Nominal
Una tasa nominal (i) y una tasa efectiva (i) son equivalentes, cuando generan el mismo monto, al ser aplicadas sobre un mismo capital y por un mismo tiempo.
FORMULAS
Valor actual a Interés Compuesto
Es el documento a deuda, antes de la fecha de vencimiento, considerando determinada tasa de interés.
Ecuación de Valor
Se utiliza cuando requiere reemplazar un conjunto de obligaciones por otro conjunto de diferentes valores de capitales en diferentes tiempos. Tomando en cuenta una fecha común llamada fecha focal se igualan a la sumatoria de los valores de los nuevos pagos convenidos. Ejercicios: 1. Calcular la tasa efectiva en que se convierte $ 3000 en un monto de $ 4500 en 6 años.
=+ 4500=30001+i1 4500 =1+i 3000 3 = 1+i 2 3 =1+i 2 i= 32 1 i=0,069 100 =, % 2. A que tasa de interés anual capitalizablemente se convertirán $4000 en ¾ veces más en 5 años a que tasa de interés efectiva es equivalente.
=5 4=20
=4000 34 =3000+4000 =7000
=+ =1+ 0,411 1 =0,1184 x 100% =,%
=+ 7000=40001+ 4 7000 =1+ 4000 4 7000 = 1+ 4000 4 = 74 14 =0,11 100% =%
Tiempo
1. En que tiempo expresa en meses, años y días un capital de $ 1000 se convierte en $ 1500 a una tasa de interés al 18% efectiva.
=+ =10001+0,18 1500 =1+0, 1 8 1000 1,5=1,18 1,5=log0,18 log1,5=log1,18 = lloog1,g1,158
0,45 ñ 121ñ =5,4 0,4 301 í =12 í 2 años 5 meses 12 días
2. En qué tiempo expresado en años, mese y días se duplicará un capital de $800 a una tasa de interés del 16% capitalizablemente semestralmente.
=+ 1600=8001+ 0,216 1600 0, 1 6 =1+ 800 2 log2=log1,08 = lolg1,og218
ñ =4,5032 9,0067 0,5032ñ 121ñ =6,0384 0,0384 =1,152
años
días
4 años 6 meses 1 día
Valor Actual
1. Calcular el valor actual de un pagare cuyo valor al vencimiento al final de 4 años es de $ 35000 considerando una tasa de interés del 12% anual capitalizablemente semestralmente.
=+− =350001+ 0,212− =,
2. Calcular el valor actual de un documento cuyo valor nominal es de $ 5000 a 6 años plazo con el 12% de interés anual capitalizablemente semestralmente desde la suscripción si se vende 2 años antes de la fecha de vencimiento considerando una tasa de interés del 14% capitalizablemente semestralmente.
5000 6 años 4 años
=+ =50001+ 0,212 =,
=+− =10060,981+ 0,214− =,
3. Después de 2 años de la fecha de subscripción se negocia un documento de $ 30000 con un vencimiento en 5 años con una tasa de interés del 21% anual capitalizable semestralmente desde la subscripción. Calcular su valor actual con las siguientes alternativas:
=1+ =300001+ 0,221 =81422,4254 a) Una tasa anual de 18% capitalizable trimestralmente.
=81422,42451+ 0,418− =48011,86
b) Una tasa anual de 21% anual capitalizable trimestralmente
=1+− =81422,42451+ 0,221− =44727,06 c) Una tasa de 24% efectiva.
=1+− =81422,42541+24 − =42705,0249
nualidad s
ANUALIDADES
Una anualidad es una serie de pagos periódicamente iguales. Puede ser pagos o depósitos de una suma de dinero a la cual se le reconoce una tasa de interés por período.
“Renta”: el valor de cada pago periódico recibe el nombre de renta, o
simplemente
anualidad. Son ejemplos de anualidades cupones de bonos, cuotas, pensiones, pagos de primas de seguros de vida, de automóviles, créditos hipotecarios. CLASIFICACIÓN DE LAS ANUALIDADES
CRITERIO Interés Tiempo Pagos
Iniciación
INTERÉS
TIPO
Simples …….. Generales Ciertos ….. Contingentes Ordinarias …… Anticipadas (al final del periodo … se realizan al inicio de los periodos ) Inmediata ……. Diferida
ANUALIDADES
Una anualidad es una serie de pagos periódicamente iguales. Puede ser pagos o depósitos de una suma de dinero a la cual se le reconoce una tasa de interés por período.
“Renta”: el valor de cada pago periódico recibe el nombre de renta, o
simplemente
anualidad. Son ejemplos de anualidades cupones de bonos, cuotas, pensiones, pagos de primas de seguros de vida, de automóviles, créditos hipotecarios. CLASIFICACIÓN DE LAS ANUALIDADES
CRITERIO Interés Tiempo Pagos
Iniciación
TIPO
Simples …….. Generales Ciertos ….. Contingentes Ordinarias …… Anticipadas (al final del periodo … se realizan al inicio de los periodos ) Inmediata ……. Diferida
INTERÉS
Anualidad simple: cuando los pagos se realizan en las mismas fechas en que se capitalizan los intereses y coinciden las frecuencias de pagos y de conversión de interés. Por ejemplo, los depósitos mensuales a una cuenta bancaria que reditúa el 11% de interés anual compuesto por meses. Anualidad general: cuando los periodos de capitalización de intereses son diferentes a los intervalos de pago. Una renta mensual con intereses capitalizables por trimestre es un ejemplo de esta clase de anualidades.
TIEMPO
Anualidad cierta: Cuando se estipulan, es decir se conocen las fechas extremas del plazo. En un crédito automotriz, por ejemplo, se establecen desde la compra el pago del enganche y el número de mensualidades en las que se liquidará el precio del automóvil. Anualidad eventual o contingente: cuando no se conocen al menos una de las fechas extremas del plazo. Un ejemplo de este tipo de anualidades es la pensión mensual que de parte del Instituto Mexicano del Seguro Social. Recibe un empleado jubilado, donde la pensión se suspende o cambia de magnitud la fallecer el empleado.
PAGOS
Anualidad anticipada: cuando los pagos o las rentas se realizan al comienzo de cada periodo. Un ejemplo de este tipo se presenta cuando se deposita cada mes un capital, en una cuenta bancaria comenzando desde la apertura. Anualidad ordinaria o vencida: cuando los pagos se realizan al final de cada periodo. Un ejemplo es la amortización de un crédito, donde la primera mensualidad se hace al terminar el primer periodo.
INICIACIÓN
Anualidad inmediata: cuando los pagos se hacen desde el primer periodo. Un ejemplo de esta categoría se presenta en la compra de un departamento, donde el enganche se paga en abonos comenzando el día de la compra. Anualidad diferida: cuando el primer pago no se realiza en el primer periodo, sino después. El ejemplo típico de este caso se relaciona con las ventas a crédito del tipo “compre ahora y pague después” que es un atractivo sistema comercial que permite hacer
el primer abono dos o más periodos después de la compra.
ANUALIDADES VENCIDAS
Anualidades ciertas vencidas simples; aquellas que vencen al final de cada período y cuyo período de pago coincide con el de capitalización. Monto de una anualidad
•
− (+) S=R Valor actual de una anualidad.
•
A= R
−(+)
ANUALIDADES ANTICIPADAS
Es una sucesión de pagos o rentas que se efectúan o vencen al inicio del período de pagos.
Monto de una anualidad anticipada S = R (1 + i )
•
(+) −
Valor actual de una anualidad anticipada. A = R (1 + i )
−(+)
Ejercicios: 1. Calcular el monto de una anualidad vencida, se realiza pagos vencidos al final de cada semestre durante tres años al 12% anual capitalizable semestralmente. Calcular el monto al final de los tres años.
Datos:
S=? R = 1000 i= 12% t= 3 años
(+) − (1 0,212) 1
S = R (1 + i )
=1000 0,12 2 =6975.32
2. Calcular el valor actual de la misma anualidad en este caso la fecha focal seria el día de hoy.
0,212)− 1(1 = 1000 0,12 2 = 4917,32
3. Calcular el valor del depósito mensual que debe hacer una persona en una institución financiera que paga el 14,4% anual capitalizable mensualmente a fin de obtener 64000$ en 6 años, además calcular los intereses ganados. Datos:
S = 64000 R=? i= 14,4% t= 6 años
− (+) S=R
= (1) 1 = (1) 1 0,12144) 6400( = 1(0,144) 1 12 =564,51
C=Rn
564,5172
C=
C=40645 I=64000- 40645 I= 23355,25
4. Calcular el valor de la cuota semestral que debe pagar una empresa que tiene una deuda de 4000.000 $ a 8 años plazo con una tasa de interés del 18 % capitalizable semestralmente. Datos:
A = 4000000 R=? i= 18%
MONTO
VALOR ACTUAL
A= R
−(+)
. − = 1(1) 0,218 4000. 0 00 = 1(1 0,18)− 2 =48119,96
1) ( = log(1) ) log(1 = log(1)
Ejercicios: 1. Cuantos depósitos de 250 $ debe hacer una persona cada trimestre para obtener 7.500$ considerando una tasa de interés del 15% anual capitalizable trimestralmente. Datos:
M =? R = 250 S = 7500 i= 15%
) (− = (+)
0,415 7500 2500,15 1) = log(log(1 4)
=20,48 ,) − (+ 7500=250( , ) + x 7500=7254,35 =245,65
2. Cuantos pagos de 120$ debe hacer una persona cada mes para cancelar una deuda de 6900$ considerando una tasa de interés del 18% anual capitalizable mensualmente en caso de que los periodos no sean osados. Calcular el pago que debe hacer el siguiente monto. Datos:
A = 6900 R = 120 i= 18% cap. Mensual n=?
) (− = (+)
0,212 6900. log(1 ) 120 = log(1 0,18) 12 =133,271 ,) (+ 6900=120( , )+x(1+0,18/12) 6900= 6895.65+ 0,14x X= 31,07
3. Cuál será la tasa de interés anual capitalizable trimestralmente a la que una serie de depósitos de $500 efectuados al final de cada bimestre podría construir un monto de $8000 en 5 años Datos:
S= 8000 R= 300 t= 5 años i=? cap trimestralmente
= =20 =[(+) 1] (1) 8000=300 1