Matematica Financiera

1.(.1. !actor financiero La Ley Financiera sirve e)clusivamente para obtener su equivalente en p de cualquier capital *C,t y mediante el factor se puede obtener su equivalente en cualquier otro punto. &e esta forma, no es necesario calcular el valor del Capital en el momento p para luego poder llevarlo al momento %. E)isten dos factores financieros: . &e Capitalizaci"n: si dos capitales *C,t y *C',t' son equivalentes de acuerdo a la Ley Financiera L*t,p se debe cumplir que:

CHL*t,p + C'HL*t',p + A La multiplicaci"n del Capital por su Ley Financiera para el caso  debe proporcionar el mismo resultado que el segundo Capital por su Ley Financiera, ambos capitales llevados al momento p. Esta ecuaci"n es 2til cuando queremos conocer C', ya que se deber3a llevar C al momento p y después utilizar una Ley de &escuento para poder calcular el valor de A en t' y obtener C'. &e la forma que se va a ver a continuaci"n es muc
Con esta ecuaci"n se puede calcular el valor del capital C' con las Leyes Financieras y partiendo de C, sin necesidad de llevar el capital C a p y después actualizar o descontar el capital A
#ara que sea de capitalizaci"n se debe cumplir que C'=C sea mayor que uno, esto indica que t' está más cerca en el tiempo a p que t:

&e una manera más general, dos capitales cualesquiera, C  con vencimiento en t  y C' con vencimiento en t ', son equivalentes cuando se está de acuerdo en intercambiar uno por otro. En la comparaci"n de capitales se puede apreciar tres situaciones distintas: . (i e)isten dos capitales iguales *C+C' pero periodos de tiempo distintos t-t' es me/or el primer caso puesto que, para capitales iguales, su vencimiento es más pr")imo y antes se podrá disponer del dinero. '. (i e)iste un capital mayor que el otro *C0C' y e)isten periodos de tiempo iguales *t+t', es preferible el primer caso ya que, para el mismo periodo de tiempo, se obtendrá un mayor capital. 1. En el 2ltimo caso, para capitales y periodos distintos, es dif3cil saber cuál es el me/or caso, por lo que aqu3 es necesario poder valorar los capitales en el mismo periodo de tiempo y decantarnos por una inversi"n. En el gráfico siguiente se observa como e)isten dos capitales distintos *C-C' pero el vencimiento de C es anterior al de C', por lo que no se sabe cuál es la me/or inversi"n que se puede llevar a cabo. #ara poder valorar estos casos se recurre a las eyes !inancieras.

&e una manera más general, dos capitales cualesquiera, C  con vencimiento en t  y C' con vencimiento en t ', son equivalentes cuando se está de acuerdo en intercambiar uno por otro. En la comparaci"n de capitales se puede apreciar tres situaciones distintas: . (i e)isten dos capitales iguales *C+C' pero periodos de tiempo distintos t-t' es me/or el primer caso puesto que, para capitales iguales, su vencimiento es más pr")imo y antes se podrá disponer del dinero. '. (i e)iste un capital mayor que el otro *C0C' y e)isten periodos de tiempo iguales *t+t', es preferible el primer caso ya que, para el mismo periodo de tiempo, se obtendrá un mayor capital. 1. En el 2ltimo caso, para capitales y periodos distintos, es dif3cil saber cuál es el me/or caso, por lo que aqu3 es necesario poder valorar los capitales en el mismo periodo de tiempo y decantarnos por una inversi"n. En el gráfico siguiente se observa como e)isten dos capitales distintos *C-C' pero el vencimiento de C es anterior al de C', por lo que no se sabe cuál es la me/or inversi"n que se puede llevar a cabo. #ara poder valorar estos casos se recurre a las eyes !inancieras.

E"emplo 1 4&e los siguientes capitales, con cuál te quedar3as5 Caso 6 *C,t+*.777,' *C',t'+*.7'7,' Caso 8 *C,t+*77,9 *C',t'+*77 *C1,t1+*77,7 Caso C *C,t+*.797,' *C',t'+*.77,1 En el caso 6, los dos capitales tienen el mismo vencimiento *dentro de dos a;os, por lo que es me/or inversi"n aquella que nos de un capital mayor, en este caso es *C',t' que proporciona un capital de .7'7 frente a los .777 de C. #ara el caso 8, e)isten distintos vencimientos para los mismos capitales, por lo que es conveniente elegir el tercer capital *C1,t1, ya que se podrá disponer inmediatamente de las 77 u.m. *unidades monetarias mientras que para los capitales uno y dos
1.#. eyes financieras En los casos en que tenemos distintos capitales con distintos vencimientos, para poder compararlos y decidir qué inversi"n es más venta/osa, valoramos los capitales en el momento p. Este momento p nos va a permitir valorar todas las inversiones posibles. #ara poder llevar los capitales al momento p, es necesario valerse de las Leyes Financieras necesarias. #ara referir cualquier capital al punto p de comparaci"n, se considera que el decisor financiero posee un criterio de sustituci"n de manera que ante cualquier capital *c=d es capaz de se;alar el equivalente de C en el momento p.

En el gráfico se observan dos capitales, C+> y C'+?, y ambos capitales tienen vencimientos distintos. (i se sustituye el periodo de vencimiento y se fi/a un vencimiento com2n *momento p, se observa como el C' es mayor que el C, ya que C' alcanzar3a el valor de ', mientras que C se quedar3a en torno al @. Con este sencillo gráfico se observa como la segunda inversi"n *C',t' es más rentable e interesante que la primera inversi"n. Los valores que toman C y C' en p se denominan A y A' respectivamente, de esta forma, se obtienen las siguientes equivalencias: *C,t B *A,p *C',t' B *A',p  en general: *C,t B *A,p Esto quiere decir que cualquier capital con vencimiento en %, si se calcula en el momento p, cambia de valor y valdrá A.

E"emplo 2

4Cuál de estos tres capitales, con vencimientos distintos, ser3a el más rentable o el adecuado para invertir5 La respuesta es el C', ya que, para el momento p, es el que obtiene un valor más alto, rondando las 17 u.m. mientras que los otros dos capitales estar3an alrededor de '9 u.m. %al %al y como se indicaba anteriormente, el decisor financiero posee un criterio de sustituci"n de cualquier capital *C,t por otro equivalente *A,p *A,p en el punto p de comparaci"n. La e)presi"n matemática del criterio de sustituci"n entre los capitales *C,t y *A,p recibe la denominaci"n de ey !inanciera de $aloración en p. Esta Ley se e)presa como: A+ F*C,t,p El capital A es una funci"n *F que depende de tres variables: el capital que se está valorando *C, el momento de vencimiento *t y el punto p de valoraci"n.  6 partir de aqu3 se derivan dos tipos de Leyes Financieras: D (i t-p es una Ley de Capitalizaci"n, es decir, se está llevando el capital
D (i t0p es una Ley de &escuento, ya que se está adelantando la fec
1.%. &ropiedades de las leyes financieras . La Ley Financiera debe ser en todo momento mayor que cero, ya que, por muc
E"emplo #

Con la funci"n F*I,' + IH' (i se multiplica a J por 1: F*1HI,' + 1HIH' + 'H' + 'I. Este caso es lo mismo que multiplicar por 1 toda la Funci"n: 1HF*I,' + 1HIH'+'I. Con la funci"n F*I,' + IK' (i se multiplica a J por 1: F*1HI,' + 1HI K ' + ' K ' + I. 6qu3 no es equivalente a multiplicar por tres la funci"n 1HF*I,' + 1H*I K ' + 1H? + >, son casos distintos. Este segundo e/emplo no cumplir3a la condici"n de ser
1. efle)iva de equivalencia de capitales. (e trata de igualar el momento p a t *p+t, de esta forma, la Ley Financiera debe proporcionar el valor del Capital al momento actual.

E"emplo % F*C,t,# + CH* K 7,79H*p D t (i C+, t+' y p + t + ' F*,',' + H* K 7,79H*' D ' + H*K 7,79H7 + H +  + C &e esta forma, cuando p + t, la Ley Financiera va a dar como resultado el valor de C.

I. #rincipio de subestimaci"n de los capitales futuros respecto de los actuales de igual cuant3a. Consiste en derivar la Ley Financiera respecto de t y de p: I.. Cuando se deriva la Ley Financiera respecto de t indica qué ocurre si aumenta el valor de t. En las inversiones, si t es más grande y se acerca cada vez más a p, el periodo de inversi"n es menor y se conseguirá que el valor de C sea menor del esperado, por tanto, la derivada va a dar un n2mero negativo.

I.'. Cuando se deriva respecto de p indica que ocurrirá para un aumento de p. Esto quiere decir que, si t es fi/a y se aumenta el valor de p, el periodo de inversi"n es mayor y se obtendrá una mayor rentabilidad y un mayor capital, por tanto, la derivada debe ser positiva para que se cumpla.

E"emplo ' F*C,t,# + CH* K 7,79H*pDt (i C+ M F*t,p+  K 7,79H*pDt #rimero se deriva respecto de t: derivada de K7,79H*pDt respecto de t es: D7,79 7 por tanto se cumple que al aumentar t se verá disminuida la rentabilidad.  6
9. Continuidad de la funci"n respecto a t y p. Esto no es necesario demostrarlo, ya que se sabe que toda ecuaci"n *funci"n de primer o segundo grado es continua, las funciones e)ponenciales también lo son, en su dominio de definici"n.  estas son las funciones
En el gráfico anterior se observan dos periodos de tiempo distintos, t y t'. #ara llevar el capital C de t a p se necesita una Ley Financiera de Capitalizaci"n, ya que p0t, de esta forma el capital C crecerá porque se capitaliza durante un periodo de tiempo, as3 A0C. En el segundo caso, t'0p, por lo que
E"emplo ( &ando la siguiente Ley Financiera:

a Nbtener el sustituto de *77.777,@@> en p b El capital del a;o '777 que llevado al momento p nos da el mismo resultado que el apartado anterior  c Nrdenar los siguientes capitales: *77.777, @@>, *'9.777, '777 y *I9.777, '77' esoluci"n:

Caso a) #ara poder obtener el valor del capital utilizamos la Ley Financiera, sabiendo que C  + 77.777 t  + @@> y  p + '77'

Caso *) #iden calcular el capital de origen, conociendo el valor de V  + I@.>' t  + '777 y  p + '77'

(i e)isten dos posibles inversiones: O en el a;o @@>, invirtiendo 77.777 u.m.
Caso c) E)isten tres tipos de capitales y tres tipos de vencimientos, por lo que se deben llevar todos los capitales al momento p y as3 poder ser comparados entre s3:

Aiendo el valor de los capitales, el más interesante es la segunda inversi"n, ya que invirtiendo en el a;o '777 '9.777 u.m., se consigue en el '77' 9'.?9 u.m.

1.'. Suma financiera de capitales &ado los capitales sumandos *C,t, *C',t',... *Cn,tn y una Ley Financiera F*t,p, el capital *(,% es suma financiera cuando se verifica que: ( + CP K CP' K... K CPn &onde cada CP representa el valor equivalente de los capitales anteriormente e)presados en el momento %. &e esta forma se permite sumar capitales que tienen vencimientos distintos, para ello
E"emplo + Conociendo la Ley Financiera L*C,t,p + CH* K 7,79H*pDt con p+'777 (e quiere sumar dos capitales: *'I7.777,@@I y *177.777,@@> y valorar la suma en el a;o @@?. esoluci"n: Lo primero que ,'777 + 177.777H* K 7,79H*'777 D @@> + 177.777H* K 7,7 + 117.777 ( + L K L ' + 1'.777 K 117.777 + ?I'.777  6
.?. $agnitudes derivadas

La cuant3a y vencimiento son las magnitudes primarias y fundamentales. Las magnitudes que vayan apareciendo como resultado de las operaciones realizadas como fundamentales se denominan magnitudes derivadas.