CBC Matemática (51)
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PROGRAMA ANALÍTICO
:: UNIDAD 1 Números Reales y Coordenadas Cartesianas Representación de los números reales en una recta. Intervalos de Distancia en la recta real. Representación de puntos en el plano. Distancia entre dos puntos del plano.
:: UNIDAD 2 Funciones polinómicas Definición y ejemplos. Dominio e imagen. Representación gráfica. Ceros de una función. Conjuntos de positividad y de negatividad. Crecimiento y decrecimiento. Extremos locales. Función lineal. Gráfico de una función lineal. Rectas en el plano. Pendiente. Intersección de rectas. Funciones cuadráticas. Gráfico. Determinación de ceros. Imagen de una función cuadrática. Vértice y eje de simetría de una parábola. Intersección entre rectas y parábolas. Problemas de aplicación. Funciones polinómicas. Ceros. Factorización. Noción de continuidad. Teorema de Bolzano para funciones continuas. Determinación de intervalos de positividad y de negatividad de funciones polinómicas.
:: UNIDAD 3 Funciones racionales Funciones homográficas. Noción de límite en el infinito y de límites infinitos. Asíntotas horizontales y verticales de funciones racionales. Composición de funciones. Funciones inversas. Dominio y gráfico. Ejemplos.
:: UNIDAD 4 Funciones trigonométricas y exponenciales Definición de las funciones trigonométricas. Gráficos. Propiedades. Ceros, imagen, amplitud y período. Positividad y negatividad. Valores máximos y mínimos. Aplicaciones. Funciones exponenciales y logarítmicas. Estudio de ambas funciones a través de sus gráficos. Dominio e imagen. Asíntotas. Aplicaciones al crecimiento de poblaciones.
:: UNIDAD 5 Derivadas Cociente incremental. Definición de derivada. Interpretación geométrica y cinética. Recta tangente. Reglas de derivación. Aplicaciones a la construcción de curvas.
:: UNIDAD 6 Integración Primitivas. Métodos de integración: integración por partes y sustitución. Cálculo de integrales definidas. Teorema fundamental del cálculo. Regla de Barrow. Aplicación al cálculo de áreas y a problemas de mecánica.
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Ejercicios de examen ordenados por tema según la unidad a la que corresponden. Como ocurre generalmente en matemática, para poder realizar ejercicios de la unidad 2 se necesita previamente conocer y dominar los temas de la unidad 1, para trabajar con la unidad 3, los temas de la unidad 1 y 2 y así sucesivamente.
Primer parcial Unidad 1
1. Sean P = (9, -3) y Q = (1, ). Determinar todos los valores de distancia entre P y Q es 10. 2. Hallar analíticamente todos los valores de P = ( , ) sea 3.
para los cuales la
para que la distancia de
3. Escribir como un intervalo o una unión de intervalos el conjunto
A = (3, 0) a
como un intervalo o una unión de intervalos. Sea Q = (0,3). Hallar todos los puntos de la forma P = ( , ), tales que la distancia entre P y Q sea . Escribir como intervalo o unión de intervalos el conjunto Hallar analíticamente todos los puntos del eje tales que su distancia al punto (-6, 1) es
4. Escribir el conjunto 5.
6. 7.
igual a 10.
8. Hallar analíticamente las coordenadas de todos los puntos de la recta están a distancia 1 del punto (0; 0).
que
escribir como intervalo o unión de intervalos el . 10. Sean y el punto donde el gráfico de corta al eje . Determinar todos los puntos del gráfico de que están a distancia de . 9. Dadas conjunto
Unidad 2
y el vértice del gráfico de . Hallar la distancia entre y el Sea Hallar los intervalos de positividad y de negatividad de
1. Sean punto 2.
3. Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto P = (2,3) y por el vértice de la parábola que es el gráfico de
4. Sea y P el punto donde el gráfico de corta al eje x. Sea V el vértice del gráfico de la función cuadrática Calcular la distancia entre los puntos P y V.
5. Hallar los ceros e intervalos de positividad de la función
la función cuadrática cuyo gráfico pasa por los puntos (-4, 0), (5, 0) y (0, -5), y sea Dar el conjunto de positividad de .
6. Sea
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y . Encontrar y y . 8. Sean la función lineal tal que y , y Hallar el conjunto imagen de . 9. Dadas y hallar de modo que . Para el valor de hallado, encontrar todos los puntos de intersección de los gráficos de y . 10. Hallar la función cuadrática que tiene y conjunto de positividad . 11. Sea Determinar y sabiendo que la abscisa del vértice del gráfico de es y que la distancia entre los ceros de es 7. 7. Sean y la función lineal tal que todos los puntos del plano en que se cortan los gráficos de 2
12. Encontrar la función polinómica de grado 3 cuyo gráfico pasa por (-3, 0), (-2, 0), (-1, 5) y (3, 0) y escribir los conjuntos de positividad y de negatividad de .
Determinar el valor de para que hallado determinar los intervalos de crecimiento y de
13. Sea la función cuadrática tenga un solo cero. Para el valor de decrecimiento de .
14. Sea V el punto de intersección de las rectas de ecuaciones: e . Encontrar la función cuadrática tal que su gráfico tiene vértice V y pasa por el punto (2, 0).
15. Sean la función lineal tal que el conjunto imagen de .
y
16. Determina el conjunto de positividad y el conjunto de negatividad de 11 .
y
. Hallar
en los puntos (-4,0), 18. Dada hallar el valor de sabiendo que tiene un cero en . Para el valor de encontrado, indicar conjuntos de ceros e intervalos de positividad y de negatividad de . 19. Sean y la función cuyo gráfico tiene vértice y pasa por el punto Encontrar todos los puntos de intersección de los gráficos de y . 20. Sea el punto (-2,5) y el vértice de la parábola Hallar la función lineal cuyo gráfico pasa por los puntos y . 17. Determina la función polinómica de grado 3 cuyo gráfico corta al eje (1,0) y (2,0), y corta al eje en (0,-4).
Unidad 3
2.
,
tal que la recta de ecuación sea asíntota horizontal de . Para el valor de encontrado, hallar todas las asíntotas de . Sea Hallar y para que las rectas de ecuación y sean asíntotas de .
1. Dada
calcular el valor de
2 Tanto el ejercicio 8 como el ejerc icio 15 están relacionados con composición de funciones, tema perteneciente a la unidad 3 .
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3. Sean
y
Dar las ecuaciones de todas las
y Hallar para que sea un cero de Sea de encontrado dar las ecuaciones de las asíntotas de . asíntotas de la función .
4.
5. Calcular las ecuaciones de todas las asíntotas de
Para el valor
..
con y . Hallar el valor de para que la función tenga por asíntota vertical a la recta de ecuación . Para el valor de encontrado, calcular
6. Sean
7. Sea f(x) la función lineal cuyo gráfico pasa por los puntos (1,3) y (0,5)
. Dar las ecuaciones de las asíntotas de
8. Calcular
9.
tal que
tenga asíntota horizontal
.
y
Para el valor de
encontrado, hallar todas las asíntotas de . y la función inversa de . Calcular y dar las ecuaciones de Sean todas las asíntotas de .
10. Sean
. Hallar las ecuaciones de todas las asíntotas de .
Unidad 4
. Indicar el dominio de y el de . Determinar los conjuntos de positividad y de negatividad de . . Hallar y dar su imagen. Sea
1. Calcular la función inversa de 2. 3.
.
4. Sea y la imagen de .
Determinar
sabiendo que, calcular
y dar el dominio
. Calcular , la función inversa de . Sea . Hallar y calcular el dominio de y el dominio de .
5. Sea 6.
; y . Calcular 8. Hallar los ceros de en el intervalo . 9. Sea Determinar el valor máximo de y encontrar todos los en los que alcanza dicho valor máximo. 10. Se sabe que tiene un cero en . Determinar el valor de e indicar, para el valor de encontrado, la imagen de . 11. Sea . Calcular los ceros de que pertenecen al intervalo . 7. Sean
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y . Dar la imagen de . 13. Sean y . Hallar los tales que . 14. Hallar todos los tales que . 12. Sean
Segundo parcial Unidad 5 tangente al . Determinar el valor de para el cual la recta en el punto de abscisa 0 es paralela a la recta dada por . Sea . Hallar el punto del gráfico de donde la recta tangente es
1. Sea gráfico de 2.
horizontal. Dar la ecuación de dicha recta.
. Hallar el punto del gráfico de en el cual la ecuación de la recta . Sea Hallar el valor de para el cual la recta tangente al gráfico de en el punto de abscisa es paralela a la recta de ecuación . Para el valor de encontrado, dar la ecuación de dicha recta tangente. Sea Hallar los tales que . Hallar el punto P tal que la pendiente de la recta tangente al gráfico de
3. Sea tangente es 4.
5. 6.
en el punto P sea
.
. .
7. Sea abscisa
Escribir la ecuación de la recta tangente en dicho punto.
Dar la pendiente de la recta tangente al gráfico de
en el punto de
8. Hallar el punto P tal que la ecuación de la recta tangente al gráfico de
9.
punto P es . En la función
en el
existe un tal que la ecuación de la recta tangente al gráfico en dicho punto es . Hallar .
Hallar para que la recta tangente al gráfico de en
10. Sea tenga pendiente 11. 11. Sea
.
Determinar el dominio, las asíntotas verticales, los intervalos de
crecimiento y de decrecimiento y los máximos y los mínimos relativos de .
. Determinar dominio, intervalos de crecimiento y de decrecimiento y 12. Sea extremos locales de . 13. Sea
.
Hallar el dominio, la ecuación de la asíntota vertical, los intervalos de
crecimiento y de decrecimiento y los extremos locales de . Graficar aproximadamente.
14. Determinar los intervalos de crecimiento y de decrecimiento y los máximos y mínimos . Graficar aproximadamente. relativos de
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15. Estudiar los intervalos de crecimiento y de decrecimiento y determinar los máximos y mínimos relativos de .
16. Sea . Determinar los intervalos de crecimiento y de decrecimiento y los máximos y los mínimos relativos de . 17. Sea
.
Hallar dominio, intervalos de crecimiento y de decrecimiento y
.
Hallar máximos y mínimos relativos, intervalos de crecimiento y de
máximos y mínimos relativos de .
18. Sea
decrecimiento, ecuaciones de las asíntotas y hacer un gráfico aproximado de .
Unidad 6
. . 2. Calcular . 3. Calcular . 4. Calcular 5. Calcular . 6. Calcular . 7. Calcular . 8. Calcular . 9. Calcular . 10. Calcular . 1. Calcular
11. Hallar el área de la región del primer cuadrante encerrada por los gráficos de , y el eje .
12. Hallar el área de la región encerrada por los gráficos de .
y
,
para
y . 14. Calcular el área de la región encerrada entre los gráficos de y . 15. Hallar el área de la región encerrada por las curvas e . 16. Calcular el área de la región encerrada entre el eje , los gráficos de la recta . 17. Hallar el área de la región encerrada por las curvas e . 13. Calcular el área de la región limitada por los gráficos de
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y el eje . 19. Calcular el área de la región encerrada por las curvas y 20. Sea . Encontrar el área de la región encerrada entre el gráfico de y el eje . 18. Hallar el área de la región determinada por
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Soluciones 19. P1 = (3; 21) ; P2 = (1/4; 29/4)
Unidad 1
20. y = (2/5)x + 29/5
1. a = - 9 2. k = 0 ; k = 3
Unidad 3
3. (-1/2; 0) 4. (-∞; 2)(6; +∞)
1. a = - 3; A.V. en x = 3 ; x = - 3
5. k = 0 ; k = 5
2. a = 2; b = 49
6. (0; 1/12]
3. A.V. en x = 1; A.H. en y = 2
7. P1 = (0; -7) ; P2 = (0; 9)
4. a = - 3; A.V. en x = ½ ; A.H. en y = - 3
8. P1 = (0; -1) ; P2 = (4/5; 3/5)
5. A.V. en x = -3; A.H. en y = 1
9. (-∞; 4][6; +∞)
6. k = 4; h(x) =
10. P1 = (-11; -5) ; P2 = (-1; 5)
Dom h-1 = IR – {4}; Im h-1 = IR – {-3/2}
7. h(x) =
Unidad 2 1. d = 2
;
A.V. en x = 7/4 ;
A.H. en y =0
8. a = 6; A.V. en x = 2; x = - 2
2. I+ = (-∞; -3) (2; +∞) ; I- = (-3; 0) (0; 2)
9. f-1(x) =
3. y = -3x + 9 4. d =
-1 + 4; h (x) = ;
; A.V. en x = - 2 ;
A.H. en y = - 6
5. C0 = {-5; 0; 2} ; I + = (-∞; -5) (2; +∞)
10. h(x) =
; A.V. en x = - 11/3 ;
A.H. en y = 2/3
6. C+ = (-4; 2) (5; +∞) 7. g(x) = 4x – 12; P1 = (1; -8) ; P2 = (3; 0) ;
Unidad 4
P3 = (-4; -28)
8. fog(x) = - x2 + 4x – 2 ; Im fog = (-∞; 2] 9. m = 4; P1 = (1; 3) ; P2 = (1/2; 1)
1. f-1(x) =
; Dom f = (1/5; +
);
∞
10. y = -3/5·(x + 8)(x – 2)
Dom f-1= IR 2. C+ = (-∞; -3) (4; +∞); C- = (-3; 4)
11. b = 3; c = -10
3. f-1(x) = 3e5x – 4; Im f-1= (-4; +∞)
12. f(x) = -5/8·(x + 3)(x + 2)(x – 3);
4. k = 3; f -1(x) = 1 + ln
C+ = (-∞; -3) (-2; 3); C- = (-3; -2) (3; +∞)
16.
= (-∞; -3) (0; 3)(11/2; +∞);
C- = (-3; 0)(3; 11/2)
18. ] =a = 12;
= {-4; 0; 1};
1); C- = (-4; 0) (1; +∞)
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C+
6.
Dom f-1= (3; +∞)
7. h-1 (5)= 2/3
17. y = -1/2·(x + 4)(x – 1)(x – 2) C0
. ; Dom f = IR; f-1(x) = 2 + ln
5. f-1(x) =
5(x – 1)2 – 5
15. h(x) = - x2 +3x + 3; Im h = (-∞; 21/4] C+
-1
+∞); Im f-1= IR
13. c = 18; IC = (-3; + ∞) ; ID = (- ∞; -3) 14. f(x) =
; Dom f = (6;
= (-∞; -4) (0;
8. C0 = {π/2; 3π/2} 9. Máximo en – 3 ; x = {3 π/8; 7π/8}
9
10. a = 6 ; Im f = [- 9; 3] 11. C0 = {-13π/12; -5π/12; 11π/12; 19π/12;
14. IC = (- 6; 6) ; ID = (-∞; -6)(6; +∞); máx.
35π/12}
rel.: (6; 5184) ; mín. rel.: (-6; -5184)
12. h(x) = 4.sen(3x + π/4) + 3 ; Im h = [-1; 7] 13. h(x) = 3.sen(2x) – 1 ; x [0; 2] = {π/4; 5π/4}
14. S = {x/xIR: x = k π + π/12 ; x = k π + 11π/12 ; k Z}
Unidad 5 1. b = 3/10 2. P = (-2; 7) 3. P = (-3; -7)
15. IC = (-∞; -3 ) ( 3; +∞); ID = (-3; 3);
4. a = 3 ; y = 5x + 4 5. x = 1/3 ; x = 2/3 6.
P = (6; ln(72)) ; y = x – 1 + ln(72)
7. 41/5
máx.rel.: (-3; 16/e2) ; mín.rel.: (3; -8e4).
16. IC = (3; + ∞) ; ID = (-∞; 3); máx.rel.: ; mín.rel.: (3;0).
17. Dom f = (3; + ∞); IC = (3; e + 3); ID = (e +
8. P = (-5; -1) 9. x = - 2
3; +∞) máx.rel.: (e + 3; 1/e); mín.rel.: .
18. IC = (-2; 2) ; ID = (-∞; -2)(2; +∞);
10. a = - 7/2
máx.rel.: (2; 21/4) ; mín.rel.: (-2; 19/4).
11. Dom f = IR – {3} ; A.V. en x = 3 ; IC = (-∞; 1)(5; +∞) ; ID = (1; 3) (3;5) ; máx. rel.: (1; -4) ; mín. rel.: (5; 4)
12. Dom f = IR; IC = (-∞; -1)(0; +∞) ; ID = (-1; 0); máx. rel.: (-1; 1/e) ; mín. rel.: (0; 0)
13. Dom f = IR – {3}; A.V. en x = 3; IC = (-∞; 0)(6; +∞) ; ID = (0; 3) (3;6) ; máx. rel.: (0; 0) ; mín. rel.: (6; 12)
Unidad 6 1.
;
+ 3) + x /5 + C
2. -2cos( 3.
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5
e2x + (4x + 1)4/3 + C
10
4. 2 ln(x2 – x + 4) + C 5. 2/5(x – 2)3/2(x + 3) + C 6.
x2 + (7x2 + 9)3/2 + C
7. x6 – 10 cos(-4 +
) + C
8. 1/4 sen(x4) – cos (x) + C 9. 9(x2 + 5)2/3 + C 10. e x(5 – 3x) + C
≃ 11,73 u . 12. A ≃ 9,29 u . 11. A
2
2
13. 125/6 u2. 14. 81/2 u2. 15. 70/3 u2. 16. A
≃ 6,33 u . 2
17. 5/6 u2. 18. A
≃ 0,69 u . 2
19. 128/3 u2. 20. 8 u2.
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