[MARGARITA BACHILLER] - FUNDAMENTOS FÍSICOS DE LA INFORMÁTICA

qdentro = E:o

ÍvP dv éo

3

= pj1rR Eo

en donde se ha sustituido el volumen de una esfera. por su expresión. 4. Se igualan las dos expresiones obtenidas para el flujo y se despeja la magnitud del campo eléctrico:

Nótese que su dirección será radial.

EJEMPLO

1.13

Se tienen dos cilindros metálicos de longitud L y concéntricos de radios a y b ( con a < b) y cargados uniformemente con una carga igual y opuesta tal que Qª = -Q y Qb = Q según muestra la figura 1.25. Se pide

46

CAPÍTULO l. CAMPOS ELECTROSTÁTICOS

hallar el campo eléctrico en puntos a distancia r del eje común en los siguientes casos: (1) r > b; (2) r < a; (3) b > r > a.

L

Figura 1.25: Cilindros metálicos concéntricos

(1) r > b Vamos a aplicar Gauss dada la simetría del problema. Pasos: 1. Se elige como superficie gaussiana un cilindro concéntrico con los anteriores y de radio r tal que r > b (ver figura 1.26 (a)): 2. Se calcula el flujo aplicando la ecuación (1.48): e/¡

=

f

En dA =

f

E, dA

= E,

L 2,rr

3. Se calcula el flujo aplicando las ecuaciones (1.54):

= Q a + Qb = O éo

4. Se igualan las dos expresiones obtenidas para el flujo y se despeja la magnitud del campo eléctrico: Er L 21rr = O

luego: N Er=O C

47

FUNDAMENTOS FÍSICOS DE LA INFORMÁTICA

Qb

Qb

(e) a
(b) r
(a) r>b

Figura 1.26: Superficies gaussianas seleccionadas para aplicación de la ley de Gauss (2) r


Vamos a aplicar Gauss dada la simetría del problema. Pasos: l. Se elige como superficie gaussiana un cilindro concéntrico con los anteriores y de radio r tal que r < a (ver figura 1.26 (b)). '\

2. Se calcula el flujo aplicando la ecuación (1.48):

3. Se calcula el flujo aplicando las ecuaciones (1.54): ..

=

Qdentro Eo

=O

4. Se igualan las dos expresiones obtenidas para el flujo y se despeja la magnitud del campo eléctrico: luego:

N Er=O -

e

(3) b > r

>a

Vamos a aplicar Gauss dada la simetría del problema. Pasos:

48

CAPÍTULO l. CAMPOS ELECTROSTÁTICOS

l. Se elige como superficie gaussiana un cilindro concéntrico con los anteriores y de radio r tal que b > r > a (ver figura 1.26 (c)).

2. Se calcula el flujo aplicando la ecuación (1.48):

3. Se calcula el flujo aplicando las ecuaciones (1.54):

=

Qdentro

=

-Q

€o

€o

4. Se igualan las dos expresiones obtenidas para el flujo y se despeja la magnitud del campo eléctrico:

-Q

Er L 2n-r= -

éo

luego:

-Q

N r L C

Er=---21ré0

1.7.

Conductores y aislantes

Una vez que un cuerpo ha adquirido carga eléctrica, lo que suceda después depende de si el material es aislante o conductor. En los materiales aislantes o dieléctricos, como el vidrio, plástico o madera, t odos los electrones están ligados a los átomos próximos y ninguno puede moverse libremente, es decir, son materiales que resisten el paso de la corriente. Esto implica que la carga situada en un aislante permanece en la zona en la que se colocó inicialmente. En los materiales conductores parte de los electrones pueden moverse libremente en el seno del material. Esto es debido a que cuando un gran número de átomos de un metal se unen para formar una red cristalina de ese metal, el enlace de los electrones de cada átomo individual se modifica por interacciones con los átomos próximos. Uno o más de los electrones externos de cada átomo queda en libertad para moverse por todo el metal. El número de elect:rones libres depende del metal particular, pero típicamente oscila alrededor. de un electrón por átomo. Cuando

49

FUNDAMENTOS FÍSICOS DE LA INFORMÁTICA

a un átomo se le quita o se le añade un electrón, con la aparición de una carga neta se convierte en un ion. Así, en el metal los iones se distribuyen regularmente formando la red. En principio, un conductor es eléctricamente neutro porque tiene igual número de iones con carga positiva que de electrones. Sin embargo, un conductor puede adquirir carga cuando se le añaden o se le quitan electrones. Cuando introducimos un conductor dentro de un campo eléctrico externo, constante y estático, éste hará que los electrones se muevan de manera que se anule el campo eléctrico dentro del material. Es decir, en equilibrio electrostático los conductores no tienen campo eléctrico estático interno neto. Esta propiedad de los conductores se representa en la figura 1.27, en donde se muestra un conductor en un campo eléctrico externo. Los electrones del metal se mueven hacia el lado izquierdo del conductor dejando una deficiencia de electrones en el lado derecho del conductor (carga positiva). El exceso de electrones en el lado izquierdo y la ausencia de ellos en el lado derecho produce un campo eléctrico interno que se dirige .hacia la izquierda. Este campo interno anulará al externo de manera que el campo neto en el interior del conductor es nulo.

-

Eextemo

Figura 1.27: Conductor sin carga en un campo eléctrico externo Veamos ahora que ocurre cuando se añaden cargas a un conductor. Supongamos una superficie gaussíana en el interior de dicho conductor. Si a esa superficie le aplicarnos la ley de Gauss, veremos que como no hay campo, no hay flujo y p or consiguiente, no h ay carga neta dentro de un metal. Est o implica que en equilibrio electrostático todo exceso de carga está en la superficie externa de un conductor. Los mejores conductores eléctricos son los metales y sus aleaciones, aunque existen otros materiales, no metálicos, que también poseen la propiedad de conducir la electricidad como son el grafito, las soluciones salinas y cualquier material en estado de plasma. Para el transporte de la energía eléctrica el mejor material es la plata pero es muy caro por lo que el material empleado universalmente es el cobre en forma de cables de uno o varios hilos. Alternativamente, se emplea el aluminio, m etal que sí bien tiene una conductividad eléctrica del orden del 60 %

50

CAPÍTULO l. CAMPOS ELECTROSTÁTICOS

la del cobre es muy ligero lo que favorece su empleo en líneas de transmisión de energía eléctrica en las redes de alta tensión. Para aplicaciones especiales se utiliza como conductor el oro. Aunque en este apartado no se menciona, entre los aislantes y conductores se encuentran los semiconductores los cuales presentan características eléctricas entre ambos. El comportamiento de los semiconductores será estudiado en el capítulo de dispositivos electrónicos y es precisamente allí, donde se presenta la teoría de bandas la cual describe el comportamiento de los tres tipos de material.

1.8.

Resumen y Ecuaciones Básicas

Durante este capítulo se ha estudiando la carga eléctrica como la propiedad que produce los campos electromagnéticos y sobre la que actúan estos campos. Exísten dos tipos de carga: positiva y negativa. Las cargas diferentes se atraen entre sí y las cargas iguales se repelen. Además, la carga eléctrica está cuantificada, esto es, siempre se presenta en números enteros de la unidad fundamental de carga que es la carga del electrón. Otra propiedad importante es que la carga se conserva. Las cargas pueden ser puntuales, partículas cargadas 1 o bien distribuciones de carga. Dependiendo de cómo esté distribuida esa carga encontramos distribución lineal, cuando la carga está distribuida a lo largo de una línea, distribución superficial, cuando la carga está distribuida en una superficie o distribución volumétrica cuando la carga está distribuida en un volumen. En los tres casos, la carga que contiene el elemento se especifica con la densidad de carga. A continuación, el capítulo se dedica al estudio de los fenómenos eléctricos producidos cuando las cargas están separadas y en reposo. En concreto, se han estudiado los siguientes conceptos fundamentales: • La ley de Coulomb que es la ley fundamental de la interacción entre las cargas en reposo. Esta ley nos permite determinar la fuerza que ejerce una partícula cargada sobre otra. • El concepto de campo eléctrico. • El principio de superposición el cual establece que la fuerza o el campo eléctrico debido a un sistema de cargas es la suma de los vectores fuerza o campo eléctrico generados por cada carga en el sistema.

51

FUNDAMENTOS FÍSICOS DE LA INFORMÁTICA

• Dipolo eléctrico que es un sistema de dos cargas puntuales iguales pero de signo opuesto, separadas por una pequeña distancia. El campo eléct rico en un punto alejado de un dipolo es proporcional al momento dipolar y disminuye con el cubo de la distancia. • Las líneas de campo o de fuerza las cuales nos permiten visualizar los campos eléctricos. El vector de campo eléctrico en todo punto siempre es tangente a las líneas de campo eléctrico. Además, el número de líneas por unidad de área a través de una superficie perpendicular a las líneas es proporcional a la magnitud del campo eléctrico en esa región. • El concepto de flujo eléctrico el cual es una medida cuantitativa de las líneas de campo que atraviesan una superficie. • La ley de Gauss que establece la relación entre carga y flujo eléctrico que atraviesa una superficie cerrada cualesquiera que encierra a la carga. Es importante destacar la utilidad de la ley de Gauss para calcular el campo eléctrico en distribuciones de carga de gran simetría. \

Finalmente se ha analizado el comportamiento de los materiales frente a la carga eléctrica lo que nos lleva a clasificarlos como conductores, aislantes y semiconductores. ECUACIONES BÁSICAS

l. Densidad lineal de carga: A =

a;:

2. Densidad superficial de carga: a = ~ 3. Densidad volumétrica de carga: p 4. Ley de Coulomb:

r __

=

~~

1_q1 q2

1,2 -

41íEo

l"'.':"'1'

trt - rt) - ),,3

r2 - r 1

donde (~ - r'i) es el vector dirigido de la carga q1 a la carga q2 y E:0 es la permitividad eléctrica del vacío. Su valor en el SI es c 0 = 8'85 -10- 120 2 / N · m 2. La ley de Coulomb expresada con la constante de Coulomb k de valor en el ;1) SI k = 8'99 · 109 N.m2 /C2 queda: F 1 ,~ = kq1 I~ r

52

<~

1

- r 1

CAPÍTULO l. CAMPOS ELECTROSTÁTICOS

5 Campo eléctrico: •

E2 = - 1- ª[r!-rff (TÍ-ri') 1

41re0

p = qt Momento sobre un dipolo: 7 = p x E Flujo Eléctrico:
6. Momento dipolar de un dipolo:

7. 8.

9. Ley de Gauss: ef; =

1.9.

fs E. dA = 9in;:rior

Ejercicios de Autoevaluación

1. Se dispone de un sistema formado por tres cargas puntuales q1 = -1 µC situada en el punto (-3,0,-2) m, q2 = 3 µC situada en el punto (3,-5,2) m

y q3 = 4µC situada en el punto (1,-1,0) m. Se desea calcular la fuerza ejercida por estas cargas sobre una cuarta carga q4 = 1 µC situada en el punto (0,-2,4) m.

Solución:F

= (- 1'33 ~ + 0'36 üt + 2'25 üt) -10-3 N

2. Se dispone de un sistema formado por tres cargas puntuales q1 = -5 µC

situada en el punto (-1,0,-2) m, q2 = 3 µC situada en el punto (0,-3,2) m y q3 = -2 µC situada en el punto (2,1,0) m. Se desea calcular el campo eléctrico creado por estas cargas en el origen de coordenadas. Solución:

E= (-0'81 ~ + 3'34 üt + -9'20 ~)-10

3

N/C

3. Se tienen cuatro cargas puntuales q1 = -lOnC situada en (2,3,0) m, q2 = -5nC situada en (-2,4,0) rn q3 = -3 nC situada en (0,0,3) m y q4 = 2 nC situada en (0,4,0) m . (1) Calcular el campo eléctrico en el punto (0,4,0) m . (2) Calcular la fuerza eléctrica total sobre q4.

Solución:

E= (4'84, -7'47, -0'43) N/C; -¡f = (9'70, - 14'95, -0'86) N

4. Se tienen tres cargas puntuales q1 = q2 = 2 nC y q3 = -3nC, colocadas como indica la figura 1.28. Calcular la fuerza eléct rica sobre q1 . Solución:(-9,lo-9 , 13'5,lo- 9 ) N

53

FUNDAMENTOS FÍSICOS DE LA INFORMÁTICA

Y{m)

2

Q3

1

1

X(m)

2

Figura 1.28 5. Se disponen de tres cargas puntuales Qa, Qb y Qc en los puntos ~ = (2, 1) m; r& = (-1, 1) m y r{ = (1, 1) m. Sabiendo que el valor de la carga de Qª = q y el de Qc = 2q, calcular el valor de la carga Qb para que la fuerza sobre la carga Qc sea nula . Solución: Qb

= 4q

6. Tres cargas puntuales se colocan a lo largo del eje X como se muestra en la figura 1.29. La carga positiva q1 = 15µ0 está en x = 2 m, y la carga positiva q2 = 6 µC está en el origen. ¿Dónde debe estar situada la carga negativa q3

sobre el eje X de manera que la fuerza resultante sobre ella sea cero? Solución: x

= 0'775 m 2m X

q2

F23

q~ J

Fl3

ql

Figura 1.29 7. Se dispone de un sistema formado por dos cargas puntuales q1 = 3µ,C situada en el punto (-1 ,0,-1) m y q2 = lµC situada en el punto (1,-2,0) m. ¿Dónde se debería situar una tercera carga para que la fuerza sobre ella sea nula? Solución: (1'26, -1'26, -0163) m 8. Dos cargas q puntuales iguales y positivas est án a una distancia 2a. Una carga positiva unidad se coloca en el plano perpendicular a la línea que une

54

CAPÍTULO l. CAMPOS ELECTROSTÁTICOS

las cargas (ver figura 1.30). ¿A qué distancia x experimentará una fuerza máxima? Solución: x

= a {i. m Carga positiva unidad

q <----------+-<------~ q

a

a

Figura 1.30

9. De dos hilos de seda de 40 cm de longitud cuelgan dos esferas idénticas de 50 gramos de masa. Si comunicamos a las dos esferas la misma carga, el sistema adopta una posición de equilibrio formando los dos hilos un ángulo de 60°. Calcular la carga de las esferas. Solución: q

= 2'24 · 10-6 C.

10. Dos cargas positivas iguales Q están en los lugares x = -a y x = a, en el eje X de un sistema de coordenadas. Determine el campo eléctrico en cada punto P del eje Y. Solución:

2 KQ P 11: E= (y'a2+p2)3 Y

11. Se dispone de una distribución lineal y uniforme situada sobre una circunferencia de radio R cuyo centro es el origen y está en el plano XY. Se desea calcular la fuerza que esta distribución ejerce sobre una carga q situada en el punto z del eje Z.

· , , -:::t _ Sl o uc10n. F -

q>.Rz

2

Co

~

(vR2+z2)3 Uz

12. Determinar el flujo eléctrico que pasa a través de una caja cúbica colocada en un campo uniforme de tal modo que dos dé las caras son perpendiculares a E~ (ver figura 1.31). Solución: e/>= O

E=

55

FUNDAMENTOS FÍSICOS DE LA INFORMÁTICA

Figura 1.31 13. Calcular el flujo de campo eléctrico que atraviesa un hemisferio de radio R, siendo el campo E uniforme y paralelo al eje del hemisferio (ver figura 1.32). Solución: c/Jhemisferio = 1r R 2 E

\

Figura 1.32 14. Una caja cúbica contiene una carga de 6 µC. El flujo medido por una cara del cubo es 9 · 105 N m 2 /C. ¿Cuál es el flujo total que pasa por las otras cinco caras? Solución: - 2'22 . 105 N m 2 /C 15. Supongamos que se proyecta un electrón en un campo eléctrico uniforme = 100~ N/C, con una velocidad inicial de~= 2. l06üt m/s. Se quiere calcular la distancia que recorre el electrón hasta que se detiene. (me = 9'11.10- 31 kgr, qe = 1'6,10- 19 O). Solución:11'38,10-2 ~m

1J

16. Dos esferas conductores, aisladas entre sí, se cargan con Qa y Qb (ver figura 1.33). Calcular el campo eléctrico en puntos a distanciar del centro: (l)r > e; (2) a < r < b; (3)r < a.

E

;¡fr'· (2) = Solución: (1) E] = 9a+Qb 41rcor2 vector unitario en la dirección radial.

56

Qa 41reor2

;¡fr ·, (3)

E = O donde V:r es el

CAPÍTULO l. CAMPOS ELECTROSTÁTICOS

Qb

Figura 1.33 17. Una esfera de radio R1, que está cargada con una densidad de carga uniforme p, tiene una· cavidad esférica de radio R2, no concéntrica con la esfera anterior. Calcular el campo eléctrico en el interior de la cavidad (ver figura 1.34). Solución: = 3~o 01 o~

E

Figura 1.34 18. Una carga de densidad uniforme(]" = 0'2nG/m2 cubre el plano 2x-3y+z = 6 m . Calcular el campo eléctrico en el lado del plano que contiene el origen de coordenadas. Solución:

E= 11'29 -

2

~~-u; N/C

57

Capítulo 2

Potencial Eléctrico

CONTEXTO El propósito de este capítulo es desarrollar una descripción escalar del ca1 eléctrico mediante la energía potencial y el potencial eléctrico, y su relación el trabajo eléctrico. También vamos a estudiar como la energía potencial se p1 almacenar y transmitir, utilizando la capacidad eléctrica. Esto nos lleva al est1 de las baterías y los condensadores, ambos elementos imprescindibles en mm dispositivos electrónicos de uso cotidiano tales como el móvil, reproduct01 música, ordenador, etc. En este capítulo vamos a comenzar estudiando el concepto de potencial elé• co. Se introducirán las superficies equipotenciales como una forma de visua] el potencial. Además, se presenta una conexión entre las descripciones vect< y escalar del campo electrostático, es decir, vamos a estudiar la relación e campo eléctrico y potencial eléctrico. En las siguientes secciones, estudiarem< concepto de capacidad así como la posibilidad de almacenar la energía eléct mediante condensadores. En este punto estudiaremos diferentes tipos de conde dores para pa.sar a continuación a estudiar cómo calcular la capacidad equival, de un un conjunto de condensadores dispuestos en serie y paralelo. FinalmE se estudia como es posible cambiar las características de un condensador cu a introducimos entre placas un material dieléctrico.

FUNDAMENTOS FÍSICOS DE LA INFORMÁTICA

CONOCIMIENTO PREVIO NECESARIO De manera análoga al capítulo anterior resulta imprescindible manejar con soltura el cálculo vectorial y la trigonometría además del cálculo de integrales y derivadas.

OBJETIVOS DEL CAPÍTULO Los objetivos del capítulo son: l. Estudio del concepto de energía potencial y de potencial eléctrico.

2. Saber determinar el potencial eléctrico en un punto conocido su campo eléctrico y viceversa. 3. Conocer las baterías y los condensadores como dispositivos capaces de almacenar energía eléctrica. 4. Estudio de algunos tipos de condensadores típicos. 5. Aprender a determinar la capacidad equivalente a un conjunto de condensadores dispuestos en serie y/ o paralelo. 6. Estudiar los dieléctricos y cómo influyen cuando son introducidos entre las dos placas de un condensador.

GUÍA DE ESTUDIO Lo conveniente es seguir el estudio del capítulo de manera secuencial.

60

CAPÍTULO 2. POTENCIAL ELÉCTRICO

2.1.

Potencial eléctrico

E

La fuerza eléctrica ejercida por un campo eléctrico, 1 sobre una carga puntual, de la carga vendrá qJ es conservativa por lo que la variación de la energía potencial ~ dada por el producto de la fuerza por el desplazamiento, d l , que experimenta la carga q:

(2 . 1) sabiendo que la fuerza ejercida por un campo eléctrico = q resulta: dU = d[

F'

E

-qE ·

E sobre una carga q es (2.2)

Observamos que la variación de energía potencial es proporcional a la carga. Se define la diferencia de potencial} dV, como la variación de energía potencial por unidad de carga: dU -:± -4 dV=-=-l!i·dl (2.3) q

Así, para un desplazamiento desde el punto a al punto b, la diferencia de potencial entre estos puntos vendrá dada por:

(2.4) Vemos que la diferencia de potencial es el valor negativo del trabajo realizado por el campo eléctrico, por unidad de carga cuando ésta se desplaza desde el punto a al punto b. Cuando el punto a es la referencia, el potencial es cero 1 hablamos simplemente de potencial eléctrico o potencial en el punto b. Nótese que las líneas de campo eléctrico apuntan en la dirección del potencial decreciente así cuando situarnos una carga positiva en un campo eléctrico, la carga se acelera en la dirección del campo aumentando de este modo su energía cinética pero disminuyendo su energía potencial. La unidad del potencial eléctrico en el SI es el Julio(J)/Culombio(C) o lo que es lo mismo el voltio(V). Si observamos la ecuación (2.3) tenemos que las dimensiones del potencial son también las dimensiones del campo eléctrico (N/ C) multiplicada por las dimensiones del desplazamiento (m) lo que nos lleva a la siguiente relación entre unidades,

N

V

c

m

1-=1-

(2.5)

61

FUNDAMENTOS FÍSICOS DE LA INFORMÁTICA

Es interesante introducir el electronvoltio (eV) como unidad de medida de la energía que representa la energía cinética que adquiere un electrón cuando es acelerado por una diferencia de potencial de 1 voltio. La conversión de electronvoltio a julios (J) es: leV= 1'60 · 10- 19 0 ·V= 1'60 · 10-19 J (2.6) Supongamos una carga situada en el origen de coordenadas según se muestra en la figura 2.1, la cual crea un campo eléctrico La diferencia de potencial eléctrico en el punto b situado a una distancia ft de la carga q y el punto a situado en el infinito puede calcularse a partir de la expresión del campo eléctrico estudiada en el capítulo anterior. Así, sustituyendo la ecuación (1.20) en la ecuación (2.4) tendremos:

E.

-:+

siendo d l el desplazamiento radial infinitesimal. Si ~ es el vector unitario radial -:+ podemos poner que d l = dr U:: y r"b = r ~' con lo que resulta: \

dV

= __q_r

:-+

Ur ·

41rEo r 3

dr

u;= __q_ -1 dr 41rEo r 2

integrando y situando el puntob a una distancia R del centro de la carga, tenemos:

_q_ dr - [ 41rE 0r 2

q 41rEor

]R

q

(2.7)

00

o expresado en función de la constante de Coulomb: V=~ R

Figura 2.1: Cálculo del potencial en un punto b

62

(2.8)

CAPÍTULO 2. POTENCIAL ELÉCTRICO

En resumen, hemos aprendido dos modos de calcular el potencial eléctrico: (1) si se conoce el campo eléctrico se puede emplear la ecuación (2.4); (2) si no se conoce el campo eléctrico, podemos calcular el potencial empleando la ecuación (2. 7). Esta última técnica sólo es válida cuando la distribución que crea el campo eléctrico no es infinita. Es importante destacar que la diferencia de potencial entre dos conductores depende de sus formas geométricas, de su separación y de la carga de cada conductor. Si ponemos en contacto dos conductores se produce una distribución de la carga de manera que, en equilibrio electrostático, el campo es cero en el interior de ambos conductores. De este modo, los dos conductores en contacto podrían considerarse como un único conductor con una sola superficie equípotencial. Así, si unimos un conductor cargado con otro descargado, la carga se distribuirá hasta que ambos conductores se encuentren a igual potencial. Si ambos conductores son idénticos, la carga se repartirá por igual. Si, a continuación, los conductores se separan, cada uno tendrá la mitad de la carga inicial y ambos se encontraran al mismo potencial. Evidentemente, si el potencial es conocido, puede emplearse para determinar el -:7 campo eléctrico. La variación de potencial para un pequeño desplazamiento, d l , viene dada por el producto escalar:

dV

= -IÍi · d( =

-Ecos0dl

E

siendo E y dl los módulos de los vectores y &. Llamando Et a la componente del campo eléctrico paralela al desplazamiento se cumple que Et = E cos0 con lo que resulta: dV = -Et dl Despejando se obtiene: dV dl

Et=--

(2.9)

Nótese que si el desplazamiento es perpendicular al campo eléctrico, dV será igual a cero, es decir, el potencial no varía. En cambio, si el desplazamiento se produce en la misma dirección que el campo eléctrico, la variación del potencial será la mayor posible.

2.1.1.

Potencial eléctrico de un sistema de cargas puntuales

Aplicando el principio de superposición resulta que el potencial en un punto debido a varias cargas puntuales es igual a la suma de los potenciales debidos a cada

63

FUNDAMENTOS FÍSICOS DE LA INFORMÁTICA

carga por separado. Así, el potencial debido a un sistema formado por N cargas puntuales, qi, vendrá dado por: N

V-~ Qi ~ 41réoll& i=l

(2.10)

o expresado mediante la constante de Coulomb: N

V=Lkqi

EJEMPLO

(2.11)

R¡,

i =l

2.1

.Supongamos do·s cargas puntuales de 5nC y 4nC situadas en los puntos (3,4,0) m y (2,0,0) m, respectivamente. Se desea determinar el potencial eléctrico en el origen de coordenadas. Aplicando la ecuación (2.11) el potencial en el origen es la suma de los potenciales creados por cada una de las cargas: ',

k q2 kq2 V=V1+V2=-+R1 R2

v3

2 + 42 = 5 m la distancia del origen a siendo R1 = del origen a qz. Sustituyendo valores:

V= 9. 109. [5. 10-9

y R2

= 2m

la distancia

+ 4. 10-9] = -18V

5

2.1.2.

q1

2

Potencial eléctrico de distribuciones continuas de carga

Para calcular el potencial debido a una distribución continua de carga debe considerarse el elemento diferencial de carga dq como una carga puntual con lo que el sumatorio de la ecuación (2.10) se convierte e~ una integral, quedando:

V=

f

l

--dq 41réor

(2.12)

siendo r la distancia desde el elemento diferencial hasta el punto donde queremos calcular el potencial. Expresándolo en función de la constante de Coulomb resulta: (2.13)

64

CAPÍTULO 2. POTENCIAL ELÉCTRICO

Esta ecuación considera que el potencial es cero a una distancia infinita de las cargas y, por tanto, no puede utilizarse cuando la carga se encuentra en el infinito como ocurre en el caso de distribuciones teóricas de carga tales como una carga lineal infinita. En estos casos, para el cálculo de la diferencia de potencial, será necesario aplicar directamente la ecuación (2.4). EJEMPLO

2.2

Se desea calcular el potencial creado por una distribución lineal de carga infinita en un punto 1 situado a una distancia perpendicular de la línea.

'.r1

El campo eléctrico resultante tiene dirección radial ya que respee:to al punto de cálculo, siempre va a existir un elemento diferencial simétrico que anule el resto de las componentes tal y como se muestra en la figura 2.2. En estos casos, donde la distribución es infinita, el potencial se calcula a partir del campo eléctrico, aplicando la ecuación (2.4).

----~ E

Figura 2.2: Cálculo del potencial creado por una distribución lineal infinita Por otro lado, en el capítulo anterior se ha calculado el campo eléctrico creado por una distribución lineal e infinita de carga resultando ser Er = -21reA r siendo r la distancia perpendicular entre la línea y el punto donde queremos calcular el potencial. Sustituyendo en la ecuación (2.4) y resolviendo la integral, resulta: 0

-! E.d{ =-! Vi - VreJ

- ¡r1

A

Er~dr~=-

dr - __A_

lrref 21féor

¡r1

f

Er

dr

dr

21féo lrref r

.X r1 --Ln(-) 2'1Tc 0

rref

siendo rref y r1 las distancias radiales desde el punto de referencia y el punto 1 hasta la línea cargada, respectivamente. Además, se ha sustituido d por dr u;:·

1

65

FUNDAMENTOS FÍSICOS DE LA INFORMÁTICA

dado que el potencial varía en función del radio (distancia perpendicular a la línea) al igual que el campo eléctrico. Por simplicidad podemos elegir un punto de referencia en el que el potencial sea cero, el cual no puede ser Tref = O porque Ln(O) = -oo, ni tampoco Tref = oo porque Ln( oo) = oo. Sin embargo, podemos elegir cualquier punto comprendido entre cero e infinito tal que O< íref < oo y de esta forma el potencial viene dado por: ,\

r1

21Téo

íref

V= - - L n ( - )

EJEMPLO

(2.14)

2.3

Se desea determinar el potencial debido a una corteza conductora de radio R y carga q distribuida uniformemente (ver figura 2.3).

Figura 2.3: Cálculo del potencial creado por una corteza esférica A diferencia del caso anterior de una distribución de carga extendida a lo largo de una línea infinita, este caso se trata de una distribución finita por lo que, en principio, podríamos calcular el potencial por integración directa de la ecuación (2.12). Sin embargo, existe una forma más simple dado que el cálculo del campo eléctrico resulta sencillo por aplicación de la ley de Gauss al tratarse de una distribución simétrica. Después calcularemos el potencial por aplicación de la ecuación (2 .4). ,. Así, comenzamos calculando el campo eléctrico aplicando los pasos de la ley de Gauss tanto al exterior de la corteza como al interior.

(1) Campo eléctrico en el exterior. Pasos: l. Cuando la distribución es esférica, se elige corno superficie gaussiana una esfera centrada en la distribución y de radio r tal que r > R, esto es, exterior a la esfera.

66

CAPÍTULO 2. POTENCIAL ELÉCTRJCO

2. Se calcula el flujo aplicando la ecuación (1.48): =

cj En dA cj Er dA

= Er

=

cj dA

= Er 4rrr 2

en donde se ha sustituido el área de una superficie esférica de radio r por su expresión. 3. Se calcula el flujo aplicando las ecuaciones (1.54) y (1.5): (/J

=

qdentro é0

=

!!:._ E0

4. Se igualan las dos expresiones obtenidas para el flujo y se despeja la mag-

nitud del campo eléctrico:

q

E r = - -4Kcor2

o en función de la constante de Coulomb Er = ~ . Expresándolo en función T del vector unitario en dirección radial, el campo eléctrico en el exterior viene dado por: --+ kq0 (2.15) Eext = - 2 Ur

r

(2) Campo eléctrico en la corteza.

Si elegimos en el caso anterior un punto sobre la corteza esférica, es decir, re obtenemos:

=R

(2.16)

(3) Campo eléctrico en el interior. Pasos: 1. Cuando la distribución es esférica, se elige como superficie gaussiana una esfera centrada a la distribución y de radio r tal que r < R. 2. Se calcula el flujo aplicando la ecuación (1.48): 4> =

cj E,. dA = cj Er dA

= Er

cj dA

= Er 4rrr 2

en donde se ha sustituido el área de una superficie esférica de radio r por su expresión.

67

FUNDAMENTOS FÍSICOS DE LA INFORMÁTICA

3. Se calcula el flujo aplicando las ecuaciones (1.54) y (1.5) resultando ya que la carga dentro de la corteza esférica es nula.

=O

4. Se igualan las dos expresiones obtenidas para el flujo y se despeja la magnitud del campo eléctrico quedando Er = O, luego el campo eléctrico en el interior es:

Vemos como al estar la carga por la corteza esférica, si aplicamos la ley de Gauss para calcular el campo eléctrico en el interior de la corteza, poniendo una esfera gaussiana de radio menor que R, en su interior no existe carga eléctrica y, por tanto, el campo eléctrico es cero. Sin embargo, veremos seguidamente que el potencial en el interior no lo es.

(1) Potencial en el exterior. Se calcula el potencial en un punto del exterior e aplicando la ecuación (2.4) y teniendo en cuenta que d = dr

1

'

U:::

---+ --+ dV = -Eext · d l

--+ kq = -kq--+ Ur · drur = --dr 2 r r2

integrando desde el infinito (referencia) hasta un punto exterior a la corteza e~ obtenemos Ve = -k q d; = k q (2.17)

¡re

} 00

r

re

siendo re la distancia desde el, centro de la corteza esférica hasta el punto del exterior e.

(2) Potencial en la corteza Para calcular el potencial en la corteza se utiliza la expresión obtenida anteriormente con re= R: ""

V=~

,

R

(2.18)

( 3) Potencial en el interior. Para calcular el potencial en esta zona debemos tener en cuenta que para llevar la carga d esde la referencia (infinito) hasta el interior de la esfera nos encontramos con dos zonas: (1) parar> R en donde el campo eléctrico r esponde a la expresión

68

CAPÍTULO 2. POTENCIAL ELÉCTRICO

~; y (2) parar< R en donde el campo eléctrico es cero. Por tanto, aplicando la ecuación (2.4) en ambas zonas tenemos:

1r-:::::---+ Eint dr = -

¼ = - --:± E · d -:+ l = - ¡R-:-::--+ Eext. dr -

R

oo

¡Rkq - dr oor2

1r

O dr

R

de donde integrando, se obtiene:

v. -

k q

(2.19)

R

i-

Nótese que el potencial dentro de la corteza es constante y es igual al trabajo necesario por unidad de carga para transportar una carga de prueba desde el infinito hasta la corteza. No es necesario ningún trabajo adicional para llevar una carga de prueba desde la corteza hasta cualquier punto del interior de la corteza. Realmente, el campo eléctrico nulo implica simplemente que el potencial no varía. EJEMPLO

2.4

Supongamos una carga q distribuida uniformemente en un volumen esférico no conductor de radio R. Se desea calcular el potencial en el exterior y en el interior de la esfera. De manera análoga al caso anterior, vamos a calcular el potencial a través de su campo eléctrico. El campo eléctrico tanto en el exterior como en el interior ya fue calculado en el capítulo anterior aplicando la ley de Gauss. Las expresiones obtenidas para cada caso se repiten aquí por comodidad.

Campo eléctrico en el exterior (r > R): Eex~ =

eampo

· t erior . (r < R) : -::x " t. e lec rico en e 1 1n b'int

~2q

~

= .f!...I_--:--t 3 Ur = éo

qr

:-:-+

41réo R3Ur

kqr:-:-+ =~ Ur

A continuación, calcularnos el potencial en cada zona haciendo uso de las expresiones anteriores.

Potencial en el exterior El potencial aplicando la ecuación (2.4) y teniendo en cuenta que d dV

=

-=----t --+ - Eext · d l

k q :-:-+

= - 2r

Ur

dr

:-:-+ Ur

1 = dr ti; es:

k q

= - ~ dr r

integrando desde el infinito (referencia) hasta un punto ext erior al volumen esférico se obtiene:

Ve=-k

¡

r e dr

q

oo

2r

k 'q

=-

re

69

FUNDAMENTOS FÍSICOS DE LA INFORMÁTICA

siendo re la distancia desde el centro del volumen esférico hasta el punto del exterior e.

Potencial en el interior Aplicando la ecuación (2.4) y teniendo en cuenta que el potencial varía en dirección ---1' del radio d l = dr u~ calculamos el potencial a partir del campo eléctrico: 1

dV

:-:+::-:-+ = - --::±--:t b' · d l = - Er Ur · Ur

dr

= - Er

dr

Para poder resolver esta integral debemos tener en cuenta que en el camino para traer la carga de prueba desde el infinito al interior de la esfera nos encontrarnos dos zonas ya que el campo en el exterior es distinto al campo en el interior. Así:

\

operando resulta: k q(3R2 - r 2 ) V= 2R3

2.2.

(2.20)

Superficies equipotenciales

Igual que se empleó la representación gráfica del campo eléctrico a través de las líneas de fuerza, se puede representar el potencial eléctrico mediante las denominadas superficies equipotenciales, que son el lugar geométrico de los puntos del espacio en los que el potencial eléctrico tiene un mismo valor, es decir) la familia de superficies que cumplen: V(x, y, z) = cte Una característica importante de las superficies equipotenciales es que son perpendiculares a las líneas de fuerza del campo eléctrico en todo punto, lo cual resulta de las propiedades del operador gradiente. A modo de ejemplo, en el caso

70

CAPÍTULO 2. POTENCIAL ELÉCTRICO

de una carga puntual, hemos visto que el potencial viene dado por la ecuación (2. 7), por lo tanto, las superficies equipotenciales se obtienen de q =de==;:,- R= cte 41rEoR

(2.21)

que representa a una familia de esferas centradas en la carga como se puede comprobar en la figura 2 .4 (a). Otros ejemplos de superficies equi potenciales se representan de color rojo en las figuras 1.15 y 1.16_ Vemos como las líneas de fuerza son perpendiculares a las superficies equipotenciales.

---

·I "l 1' ' I t (·'.• \J' :.: ("". ("). .,,1.,;,l,. 0

Figura 2.4: Superficies equipotenciales de una carga puntual Nótese como en el interior de un conductor en equilibrio electrostático, la variación de potencial de un punto a otro de su interior es cero, por ser cero el campo eléctrico, con lo que el potencial eléctrico es el mismo a través del conductor, es decir, éste ocupa un volurnen equipotencial.

2.3.

Energía potencial electrostática

La idea de energía potencial, como forma de energía asociada a la posición de los cuerpos, está presente también en los campos eléctricos. Así, si tenemos una carga puntual q1 situada en el punto 1, el potencial en un punto 2 situado a una distancia r7 12 de la anterior, viene dado por:

V2 - _l_ q1 -

47rEo

17121

Para traer una segunda carga puntual q2 desde el ·infinito, donde está en reposo y en consecuencia no tiene energía cinética inicial, hasta el punto 2, dejándola

71

FUNDAMENTOS FÍSICOS DE LA INFORMÁTICA

también en reposo, debe realizarse un trabajo dado por:

Se define la energía potencial electrostática como el trabajo total que ha sido necesario realizar para reunir estas dos cargas. El potencial en un tercer punto, situado a una distancia r 1& de la primera carga y una distancia r2~ de la segunda, viene dado por:

· Supongamos ahora que traemos una tercera carga puntual q3 desde el infinito, donde estaba en reposo, hasta el punto 3, volviéndola a dejar en reposo. Se necesita ejercer un trabajo dado por:

Ahora, el trabajo total realizado o energía electrostática viene dado por: (2.22)

Nótese que la energía potencial electrostática es independiente del orden en el cual las cargas se transportan hasta alcanzar sus posiciones finales. Podemos concluir diciendo que la energía electrostática de un sistema de cargas puntuales es el trabajo necesario para transportar las cargas desde una distancia infinita hasta sus posiciones finales y formar el sistema de cargas. Si observamos, los dos primeros términos del segundo miembro de la ecuación anterior pueden escribirse en la forma:

en donde V1 es el potencial en el punto 1 debido a las cargas q2 y q3. Análogamente, el segundo y el tercer término representan el producto de la carga q3 por el potencial debido a las cargas q1 y q2. Finalmente, el primer y el tercer término

72

CAPÍTULO 2. POTENCIAL ELÉCTRICO

representan el producto de la carga q2 por el potencial debido a las cargas q1 y q3 • Así, podemos expresar la ecuación (2.22) en la forma:

u =

resultando finalmente que:

Es decir, la energía potencial electrostática U de un sistema de n cargas puntuales es:

l

n

U=-Em¼ 2

(2.23)

i=l

en donde ¼ es el potencial en la posición de la carga i producido por todas las demás cargas. Esta ecuación describe también la energía potencial electrostática de una distribución continua de carga. Consideremos un conductor esférico de radio R. Cuando la esfera contiene una carga q, su potencial relativo es

V= _l_!l_ 411"éo R El trabajo necesario para transportar una cantidad adicional de carga dq desde el infinito. hasta el conductor es V dq. Este trabajo es igual al incremento de energía potencial del conductor: 1 dU = Vdq = - -.!l:..dq 4nE0 R integran.do desde una carga igual a cero a una igual a Q tenemos

U=

1 41rE 0

{Q qdq= R }o

l

Q2

= _!QV

4?TE0

2R

2

(2.24)

en donde V es el potencial generado en la superficie de la esfera cargada. Aunque la ecuación se ha deducido para un conductor esférico, hay que decir que esta relación es válida para cualquier conductor.

73

FUNDAMENTOS FÍSICOS DE LA INFORMÁTICA

EJEMPLO

2.5

Supongamos tres cargas situadas a una distancia d unas de otras tal y como muestra la figura 2.5 con q1 = q, q2 = -q y q3 = q. Se desea determinar la energía electrostática de esta distribución.

d q1

d q2

q3

Figura 2.5: Sístema de cargas puntuales A partir de la ecuación (2.23) tenemos que la energía electrostática viene dada por:

Como vemos} es necesario calcular los distintos potenciales. Para ello, aplicamos la ecuación (2.7) y operando se obtiene:

Finalmente, sustituyendo y operando se obtiene que la energía electrostática es: 1 3q2 U=--81r-.s·o d

2.4.

Capacidad

Al comunicar una carga Q a un conductor, éste adquiere un potencial proporcional a esta carga que depende del tamaño y forma del conductor. Cuanto m ayor es la superficie del conductor, mayor es la cantidad de carga que puede almacenar para un determinado potencial. Tal y como hemos visto en los apartados ante.riores, la relación entre la carga Q y el potencial de un conductor esférico V, de radio R es

74

CAPÍTULO 2. POTENCIAL ELÉCTRICO

1 V = -4 7r&o QR. El hecho de que la carga sea proporcional al potencial no es exclusivo del conductor esférico sino que se da en todo conductor aislado en equilibrio.

Si a un conductor cualquiera le suministramos cargas Q1, Q2 1 Q3, .... ,Qn y al alcanzar el equilibrio adquiere potenciales ½, V2 1 ½ 1 . . . . , Vn respectivamente, se verifica que:

½ A este cociente entre la carga Q y el potencial V de un conductor aislado se le llama capacidad C:

(2.25) y se comprueba que sólo depende del medio en el que está inmerso el conductor y

de las características geométricas de éste, es decir, de su forma, tamaño, etc. Esta magnitud mide la capacidad de almacenar carga para una determinada diferencia de potencial. Así, por ejemplo, la capacidad de un conductor esférico es:

Q e --V

(2.26)

La unidad en el SI de la capacidad es el culombio partido por voltio, que se denomina faradio (F), aunque se suelen emplear submúltiplos de esta unidad como el microfaradio (µF = 10-6 F) y el picofaradío (pF = 10- 12F), por ser el faradio una unidad muy grande. Para que nos hagamos una idea, considerando a la Tierra de forma esférica de radio R = 61 4 · 106 m, resulta una capacidad de: C

2.5.

= 41rE.oR = 4?Té 0 614 - 106 = 7'07 - 10- 4

F

Almacenamiento de la energía eléctrica

Como hemos visto, todo conductor se caracteriza por un potencial eléctrico constante en todos sus puntos y dentro de él. Evidentemente, la energía potencial almacenada en el conductor procederá del trabajo necesario para colocar la carga en éste. Si disponemos de dos conductores cargados con cargas de distinto signo, la diferencia de potencial entre ellos puede acelerar cargas de prueba con lo que el sistema almacena energía. Un condensador) es un 9-ispositivo de este tipo, almacena energía porque almacena carga. La energía del condensador está contenida en el campo eléctrico del mismo. Como los dos conductores de un condensador

75

FUNDAMENTOS FÍSICOS DE LA INFORMÁTICA

están cargados, las líneas de campo eléctrico van del conductor con carga positiva al de carga negativa. Es ese campo eléctrico el que provoca la aceleración de una carga de prueba colocada entre las placas del condensador. Para determinar la energía contenida en un condensador cargado debemos determinar el trabajo necesario para cargarlo inicialmente. Un condensador se carga tomando una carga positiva, dq, de un conductor y pasándola al otro conductor. De este modo, el segundo conductor tiene una carga de +dq y el primero -dq. Si seguimos moviendo cargas dqi, las cargas existentes en los conductores se opondrán a la transferencia de más carga teniendo que realizar un trabajo para poder mover cada carga adicional. Vamos a calcular el trabajo necesario para cargar un condensador. Supongamos que los conductores ya están cargados siendo su diferencia de potencial,V, y la carga q. Sabemos que la capacidad C, se relaciona con q y V mediante la expresión (2.25). Bajo este supuesto, una carga dq, se mueve desde el conductor de carga negativa hasta el de carga positiva. La diferencia de potencial se opone a la transferencia de esa carga y el trabajo que debe efectuar es: q

\

dW=Vdq=-dq

e

El trabajo total realizado cuando partimos de una carga nula y terminamos con cargas +Q y -Q, se obtiene integrando la ecuación anterior entre q = O y q = Q:

w=

J

{Qq

dW

=

la e

dq =

Q2 2

e

(2.27)

siendo est a expresión válida para todos los condensadores. Vemos que el proceso de carga de un condensador necesita efectuar un trabajo, este trabajo queda almacenado en el condensador como energía pot encial. Es esa energía potencial la que puede mover una carga de prueba colocada entre los conductores. Por tanto, la energía potencial de"' un condensador viene dada por: Q2

U=2c

(2.28)

aplicando la ecuación (2.25), podemos poner :

cv2

U=-2

76

(2.29)

CAPÍTULO 2. POTENCIAL ELÉCTRICO

Observe que la primera ecuación se usará cuando se conozca la carga, y la segunda, cuando se conozca el potencial. Además, esta expresión es válida para todos los condensadores. Dado que la carga de un condensador requiere de trabajo, ese trabajo queda almacenado en el condensador como energía potencial, capaz de efectuar trabajo. Es esa energía potencial la que puede mover una carga de prueba colocada entre los conductores. Como hemos visto anteriormente, la energía potencial eléctrica asociada con el movimiento de una carga Q a través de un potencial fijo V, es U = Q V. Vemos que esta ecuación difiere en un factor 2 de la energía de un C?ndensador. La razón de esta diferencia es que cuando se carga un condensador, el potencial crece continuamente, de modo que en realidad el potencial promedio, cuando se cargan las placas, es de ~ . Existen otros dispositivos para almacenar energía tales como los baterías o acumuladores. Una batería es un medio químico para almacenar energía. La energía de una batería se almacena en forma de enlaces químicos en lugar de una separación de la carga. Son una forma práctica de almacenar grandes cantidades de energía, durante largos periodos, pero no son prácticos para entregar su energía con rapidez. En cambio, los condensadores tienen la posibilidad de entrega rápida de su energía. Por otro lado, mientras que el potencial de un condensador decrece a medida que el condensador entrega su carga, una batería debe de ser capaz de mantener un potencial fijo entre dos puntos (sus t erminales) al ir entregando la carga. Para cargar a un condensador lo conectaremos a una batería. La diferencia de potencial V del condensador cuando está totalmente cargado con una carga Q coincide con la que existe entre los bornes de la batería antes de que se conecte el condensador. La energía total aportada por la batería al cargar el condensador es Q.V, es decir, el doble de la energía electrostática almacenada en el condensador.

(a)

---1 ~ (b)

Figura 2.6: Símbolos utilizados para los elementos alma.cenadores de energía eléctrica. (a) Batería. (b) Condensador

77

FUNDAMENTOS FÍSICOS DE LA INFORMÁTICA

Los símbolos utilizados en los circuitos para ambas formas de almacenamiento, batería y condensador, se muestran en la figura 2.6 (a) y (b), respectivamente. Para el caso de la batería el lado pequeño representa a su polo negativo y el lado grande representa al polo positivo.

2.6.

Condensadores

Tal y como se ha comentado anteriormente, un condensador es un dispositivo formado por dos conductores cuya carga Q es igual pero de signo opuesto. La capacidad C de un condensador se define como el cociente entre la carga Q y la diferencia de potencial existente entre ellos ½ - ½:

(2.30)

En general, la capacidad depende del tamaño, forma, geometría y posición relativa de los conructores y también de las propiedades del medio aislante que los separa. Para calcular la capacidad, situamos cargas iguales y opuestas en los conductores y después determinamos la diferencia de potencial a partir del campo eléctrico existente entre los conductores. En general, cuando hablamos de la carga de un condensador, nos referimos a la carga de cualquiera de los dos conductores, esto es, Q. Análogamente, en lugar de poner ½ - V1 para la diferencia de potencial existente entre las placas, se escribe únicamente V.

2.6.1.

Condensadores de placas planas paralelas

Un condensador típico es el formado por dos placas conductoras planas y paralelas. Sea A el área de cada placa y d la distancia,. de separación de manera que esta distancia sea mucho más pequeña que la altura y anchura de las placas. Supongamos que una de las placas está cargad_a con una carga +Q y la otra con una carga - Q. Estas cargas se atraen entre sí y se distribuyen uniformemente por las caras internas de las placas. Como las placas están muy próximas podemos considerar que el campo en cualquier punto situado entre ellas es aproximadamente igual al campo creado por dos planos infinitos con cargas iguales y opuestas. Como estudiamos en el capítulo anterior, cada placa crea un campo uniforme de módulo

E = a-J(2E0 ).

78

CAPÍTULO 2. POTENCIAL ELÉCTRICO

Sumando estos campos en las distintas zonas (ver figura 2. 7) vemos que fuera del espacio entre placas el campo es nulo y dentro es igual a la suma de los dos anteriores resultando un carnpo total de módulo:

E -

(Y

-

Eo -

Q

(2.31)

EoA

siendo fJ la carga por unidad de área de cada una de las placas. Dado que el campo que existe entre las placas de este condensador es uniforme, la diferencia de potencial entre las placas es igual al campo E multiplicado por la separación de las placas, d: V=Ed=!!__d= Qd Eo Eo A

(2.32)

De esta expresión se deduce que la capacidad de un condensador de placas paralelas y planas es: (2.33)

4 El izquierda

4 E1derecha

~

E 1 izquierda

4 E2izquiertla

(a)

~

~

Elderecha

--;i,

E2lzqulerda

E1derei:ha

--;i,

E2derecha

(b)

Figura 2. 7: Dirección del campo eléctrico creado por un condensador de placas paralelas Nótese que como V es proporcional a Q, la capacidad no depende de Q ni de V. En un condensador de placas paralelas la capacidad es proporcional a la superficie de las placas e inversamente proporcional a la distancia de separación. A continuación, vamos a relacionar la ecuación de la energía de un condensador con su campo eléctrico en el caso particular de un condensador de placas paralelas. Consideremos un condensador de placas paralelas. Sabemos que la diferencia de potencial entre las placas está relacionada con el campo eléctrico a través de la

79

FUNDAMENTOS FÍSICOS DE LA INFORMÁTICA

ecuación V = E d en donde d es la distancia entre ambas placas. La capacidad viene dada por C = 6 ºdA con lo que la energía almacenada es: (2.34) El producto (A d) es el volumen del espacio comprendido entre las placas del condensador. La energía por unidad de volumen es la densidad de energía cuyo valor en un campo eléctrico E es: U= -

u

Ad

=

l 2

?

-é0 E-

(2.35)

Vemos que la energía por unidad de volumen es proporcional al cuadrado del campo eléctrico. Aunque esta ecuación se ha obtenido para un condensador de placas paralelas, es válida para cualquier campo eléctrico en el espacio vacío.

2.6.2.

Condensadores cilíndricos

Un condensador cilíndrico está formado por un pequeño cilindro o alambre conductor de radio R 1 y una corteza cilíndrica mayor de radio R2 concéntrica con la anterior y ambos de longitud L de manera que R1 ·< R2 << L (ver figura 2.8). El campo existente entre las armaduras del condensador cilíndrico, cargado con cargas 1 +Q, el cilindro interior y, -Q, el cilindro exterior, se calcula aplicando la ley de Gauss a la región R1 < r < R2, ya que tanto fuera como dentro del condensador el campo eléctrico es cero al ser la carga neta encerrada por la superficie gaussiana correspondiente nula. Así, siguiendo los pasos descritos en el capítulo anterior: l. Se considera como superficie gaussiana un cilindro de radio r tal que R1

<

r < R2 y concéntrico con los cilindros que conforman el condensador. 2. Se aplica la ecuación (1.48) sobre un elemento diferencial de área dA para determinar el flujo. Sabiendo que el campo eléctrico tiene dirección radial, resulta:

Teniendo en cuenta que el área del cilindro, en la que el flujo es no nulo, es el área envolvente del cilindro queda finalmente:

80

CAPITULO 2. POTENCIAL ELÉCTRICO

3. Se calcula el flujo aplicando la ecuación (1.54)

q> =

qdentro

=

Eo

Q Eo

4. Se igualan las dos expresiones obtenidas para el flujo y se despeja el campo eléctrico: Q Er 21fEo L r

Figura 2.8: Condensador cilíndrico Una vez determinado el campo eléctrico existente entre las armaduras, se procede a determinar la diferencia de potencial entre ellas. Para ello, se aplica la ecuación

(2.4):

integrando resulta

Por tanto, el potencial viene dado por

(2.36) Finalmente, aplicando la ecuación (2.25) se obtiene que la capacidad de un condensador cilíndrico es: C = Q = 21fEo L (2.37) V LnR2 R1

81

FUNDAMENTOS FÍSICOS DE LA INFORMÁTICA

EJEMPLO

2.6

Supongamos un condensador esférico formado por dos esferas concéntricas de radios R 1 y R2 con R 1 < R2 tal y como se muestra en la figura 2.9. Si la carga de la esfera pequeña es de +Q y la de la esfera grande es de - Q, determinar la capacidad de este condensador.

-Q

Figura 2.9: Condensador esférico El campo existente entre las esferas del condensador cargado con cargas +Q la esfera in\erior y -Q la esfera exterior, se calcula aplicando la ley de Gauss a la región R1 < r < R2, ya que tanto fuera como dentro del condensador el campo eléctrico es cero. Así, siguiendo los pasos descritos en el capítulo anterior: 1. Se considera corno superficie gaussiana una esfera de radio r tal que R1 <

r < R2 y centrada respecto a las esferas que conforman el condensador. 2. Se aplica la ecuación (1.48) sobre un elemento diferencial de área dA para determinar el flujo:


f

En dA = Er

:P dA = Er 41rr

2

en donde el área de la superficie gaussiana, en la que el flujo es no nulo, es el área de una esfera de radio r. "'-

3. Se calcula el flujo aplicando la ecuación (1.54)

cp '=

qdentro = Eo

Q €o

4. Se igualan las dos expresiones obtenidas para el flujo y se despeja el campo eléctrico:

82

CAPÍTULO 2. POTENCIAL ELÉCTRICO

Una vez determinado el campo eléctrico existente entre las esferas, se procede a determinar la diferencia de potencial entre éstas. Para ello, se aplica la ecuación (2.4):

integrando resulta VR2

-

VR1

Q

l

1

= - - - ( - - -)

R1 por tanto, el potencial del condensador esférico viene dado por 41fE 0

R2

(2.38) Finalmente, aplicando la ecuación (2.25) se obtiene la capacidad de un condensador cilíndrico: Q _ 41rco R2 R1 ----e----,-- 41Té0 - - (2.39) e_ - V - (_1_ - -1..) R2 - R1 R1

2. 7.

R2

Asociación de condensadores

Los condensadores se pueden asociar conectándolos en serie, en paralelo o mediante combinaciones de ambas.

2.7.1.

Condensadores en paralelo

Un conjunto de condensadores está conectado en paralelo cuando conectamos a un mismo punto las placas de un lado y a otro las del lado opuesto. En la figura 2.10 (a) se muestra un ejemplo de dos condensadores conectados en paralelo y en (b) su circuito equivalente. Como se puede observar, ambos condensadores tienen entre sus placas la misma diferencia de potencial V. El objetivo es determinar el condensador equivalente, C, que reemplace a la combinación de los condensadores C1 y C2. Evidentemente, se debe mantener la misma diferencia de potencial V y la carga total Q en el condensador equivalente que en la combinación paralela de 0 1 y

FUNDAMENTOS FÍSICOS DE LA INFORMÁTICA

C2. Como sabemos la carga Qi, que tienen las placas de cada uno, depende de su capacidad, Q 1 = C 1V y Q2 = C2 V y para el condensador equivalente es Q = C V. La carga total producida por la batería en el circuito de la figura 2.10 (a) es Q1 + Q2, de manera que

C1 -Ql

+Q1

C

C2 -Q2

+Q2

(a)

-Q

+Q

(b)

' Asociación de condensadores en paralelo. (a) Asociación original; (b) ConFigura 2.10: densador equivalente

La última igualdad demuestra que C = C1 +C2. De manera general, la capacidad equivalente de un conjunto de n condensadores conectados en paralelo es igual a la suma de las capacidades individuales, C

= C1 + C2 + ...... + Cn

(2.40)

Nótese que la capacidad equivalente es mayor que cualquiera de los condensadores acoplados en paralelo, es decir, cuando añadimos un condensador acoplado en paralelo, aumentamos la capacidad del sistema,~es decir, podemos almacenar más carga con la misma diferencia de potencial. EJEMPLO 2.8

Sean tres condensadores C 1 = 3 pF, C2 = 6 pF y C3 = 5 pF conectados en paralelo entre sí, y el conjunto a una batería de lOV. Calcular el con~ densador equivalente a estos tres condensadores y la carga almacenada en cada condensador.

84

CAPÍTULO 2. POTENCIAL ELÉCTRICO

El condensador equivalente C que sustituye a los tres anteriores viene dado por:

C

= C1 + C2 + C3 = 3 + 6 + 5 = 14 pF

La carga almacenada en cada condensador se calcula sabiendo que en paralelo los condensadores tienen el mismo potencial. Tendremos:

2. 7 .2.

Q1

= C1 ½ = C1 V =

Q2

= C2 V2 = C2 V

Q3

= Cs½ = C3V =

30pC

= 60pC

50pC

Condensadores en serie

Un conjunto de condensadores está conectado en serie cuando se conectan uno a continuación del otro tal y como muestra la figura 2.11 (a). En este caso la diferencia de potencial entre las placas de cada condensador es distinta para capacidades diferentes sin embargo, ahora, las cargas son iguales: V

Q

Q

C

C1

1 1 ( - + -) 01 C2.

Q C2

= - = Vi + ½ = - + - = Q

Se deduce que el valor de la capacidad equivalente se calcula mediante la expresión: 1

1

1

- +C2 e =01 e -Q

+Q

V

(a)

(b)

Figura 2.11: Asociación de condensadores en serie. (a) Asociación original; (b) Condensador equivalente

85

FUNDAMENTOS FÍSICOS DE LA INFORMÁTICA

En forma general, la capacidad equivalente de un conjunto den condensadores conectados en serie es igual a 1

1

1

1

(2.41)

= C1 + C2 + ... + Cn

C

Nótese que la capacidad equivalente es menor que la de cualquiera de los condensadores acoplados en serie. Es decir, cuando añadimos un condensador en serie disminuimos la capacidad del sistema. EJEMPLO

2.9

Supongamos tres condensadores C1 = 3F, C2 = 6F y C3 = lF conectados a una batería de V = 9V. Se desea calcular el condensador equivalente a estos tres condensadores conectados en serie, la carga almacenada en cada condensador y su potencial.

El condensador equivalente vendrá dado por: \

9

3

6

2

operando se obtiene>

La carga almacenada en el condensador equivalente es: 2 Q=CV=-9=6C 3

En los condensadores en serie se cumple que la carga es la misma, es decir> Q Q1 = Q2 = Q3 = 6C. Por otro lado, el potencial en cada condensador es:

Comprobamos que se cumple:

V

86

= V1 + V2 + V3 = 2 + 1 + 6 = 9V

=

CAPÍTULO 2. POTENCIAL ELECTRICO

EJEMPLO

2.10

Dos condensadores de capacidades C1

= 2µF y C2 = 6µF,

se conectan en

serie a una batería de 30V. Determinar: ( 1) La carga en cada condensador; (2) La diferencia de potencial entre placas de cada condensador; (3) La energía electrostática almacenada en cada condensador y la energía electrostática total almacenada.

(1) Al estar los dos condensadores conectados en serie el condensador equivalente e vendrá dado por: 1 1 1

-=-+-

e

C1

C2

de donde

Calculamos la carga Q en el condensador equivalente: Q e = -V

*

Q

3

= e v = - . 102

6

. 10

= 45µ0

y como en los condensadores en serie se cumple que las cargas son iguales entre sí e igual a la de su condensador equivalente, resulta;

(2) Para cada condensador tenemos: C1

-

02 -

Qi V1

::::;>

Q2

*

V2

V1

= Qi = 22' 5V C1

2

V2 = Q = 7'5V 02

(3) La energía electrostática viene dada por la expresión (2.28) que aplicada a cada condensador resulta:

!2 C1 ½_2 = 506'25 · 10-6 J ~ C2 ½2 = 168'75 · 10-6 2

J

y la total:

u = ! e v 2 = 675 . 1o- 6 2

J

87

FUNDAMENTOS FÍSICOS DE LA INFORMÁTICA

que es precisamente la suma de las dos anteriores. EJEMPLO

2.11

Disponemos de tres condensadores C1, C2 y C3 conectados a una batería como muestra la figura 2.12 tal que C1 = C2 = 2µF y C3 = 4µF. Calcular las cargas respectivas en cada condensador y la diferencia de potencial entre sus placas.

I

C2

_I_

I12V

Figura 2.12: Asociación de condensadores Los condensadores 1 y 3 están en paralelo, por tanto la capacidad equivalente de éstos es: .,

Nos queda ahora el condensador C2 en serie con el condensador C13, por tanto, la capacidad equivalente de estos dos es:

1

1

1

+ -C2 C13

e e

3 2

-µF

La carga para este condensador es:

Q = C. V =

3

10-6 · 12_ = · 2

18µC

Como en los condensadores en serie se cumple que la carga es la misma, Q Q13 = Q2, podemos calcular la diferencia de potencial de cada uno:

88

=

CAPÍTULO 2. POTENCIAL ELÉCTRICO

Sabiendo que en paralelo se cumple que los potenciales son iguales, V13 V3 = 3V, podemos calcular las cargas en estos condensadores:

2 .8.

Q1

C1½

= 6µC

Q3

C3V3

= 12µC

= V1 =

Dieléctricos

Aquellos materiales, como el papel, plásticos vidrio, que no conducen la electricidad fácilmente les hemos llamado aislantes. Sin embargo, en este contexto, vamos a ver que modifican los campos eléctricos externos en los que se cólocan, por ello, ahora les llamamos dieléctricos. Los dieléctricos están compuestos de átomos y moléculas cuya distribución interna de cargas se altera en presencia de un campo eléctrico de manera que las cargas positivas se desplazan con respecto a las negativas produciendo un cambio en el campo eléctrico. La diferencia con un conductor es que en los dieléctricos la carga no es libre, esto es, está ligada a los átomos o moléculas lo que provoca que el desplazamiento que sufren las cargas ante un campo eléctrico sea rnuy pequeño.

2.8.1.

Estructura molecular de un dieléctrico

Existen dos tipos de moléculas en los materiales dieléctricos: las moléculas polares y las moléculas no polares. Las moléculas polares son aquellas en las que no coincide el centro de distribución de cargas positivas y el de las negativas con lo que presentan momentos dipolares permanentes, el ejemplo más significativo es el agua. Los iones de hidrógeno no están alineados y dispuestos simétricamente a uno y otro lado del ion de oxígeno, sino que tienen una disposición triangular. Las moléculas no polares son aquellas en las que coincide el centro de distribución de las cargas positivas y negativas. Las moléculas de oxígeno, nitrógeno, compuestas por dos átomos iguales pertenecen a esta categoría. Un átomo o molécula de tipo no polar tiene momento dipolar cero. En ausencia de un campo eléctrico la mayoría de los dieléctricos con moléculas polares tienen sus dipolos orientados al azar siendo su momento dipolar neto nulo (ver figura 2.13 (a)). Sin embargo, bajo la acción de un campo eléctrico

89

FUNDAMENTOS FÍSICOS DE LA INFORMÁTICA

experimentan un par de fuerzas que tienden a orientarlas en el sentido del campo de manera que se puede observar un momento dipolar neto debido al conjunto de dipolos (ver figura 2.13 (b)).

(b)

Figura 2.13: (a) Moléculas polares sin la presencia de un campo eléctrico. (b) Moléculas polares en presencia de un campo eléctrico externo

En las moléculas no polares en presencia de un campo eléctrico externo, la carga positiva yJa carga negativa experimentan fuerzas en sentidos contrarios. De esta forma, las cargas positivas y negativas se separan hasta que la fuerza atractiva que ellas ejercen entre sí equilibre a las fuerzas debidas al campo externo. Se dice entonces que la molécula está polarizada y se comporta como un dipolo eléctrico. Por consiguiente, las moléculas no polares, se hacen polares en presencia de un campo eléctrico, ya que las fuerzas sobre cada tipo de carga son iguales y de sentido contrario (ver figura 2.14). En resumen, tanto para los dieléctricos polares como para los no polares, las moléculas del dieléctrico se polarizan en la dirección del campo eléctrico externo.

- - --

~__:)--()-0; E

-iJ-cr--()-F_:>--0. (b)

Figura 2 .14: Moléculas no polares sin la presencia de un campo eléctrico. (b) Moléculas no polares en presencia de un campo eléctrico externo

90

CAPÍTULO 2. POTENCIAL ELÉ CTRICO

2.8.2.

Ley de Gauss en dieléctricos

La pregunta que nos hacemos ahora es como afecta el uso de dieléctricos a la ley de Gauss. En el capítulo anterior se dedujo la siguiente expresión que repetimos a,quí por comodidad: e/>

=

r 15 . d 1 = Q

dentro

Ís

Eo

(2.42)

E

en donde, ahora, es el campo eléctrico neto dentro del dieléctrico (resultante de la suma del campo eléctrico externo y el campo eléctrico inducido) y Qdentro es la carga encerrada dentro de la superficie gaussiana que a su vez es la carga libre Qlibre menos la carga inducida Qínd· Se cumple que Ql~re = Qdentro con lo que la ley de Gauss cuando hay dieléctricos queda:

¡E .dA = s

Qlibre ~ Eo

(2.43)

siendo ~ la constante dieléctrica. En dieléctricos uniformes, si en la expresión anterior reemplazamos la constante éo, o permitividad eléctrica del vacío, por la perrnitividad del dieléctrico, que cumple la relación,c = 6 0 ~, y poniendo en el numerador la carga libre, resulta:

. dA = Qlibre E

(2.44)

La constante dieléctrica, ~, es la propiedad que describe el comportamiento de un dieléctrico en un campo eléctrico y permite explicar, el aumento de la capacidad de un condensador. Su valor es mayor que la uní dad y depende del material y de las condiciones externas tales como la temperatura. Bajo ciertas condiciones, y para determinados materiales se acerca bastante a la unidad (por ejemplo el aire tiene una constante dieléctrica de 1 '00059) pero existen otros materiales y condiciones en los cuales puede ser hasta de varios cientos. Cuando el campo eléctrico es rnuy alto, se arrancan electrones del dieléctrico, es decir, se vuelve conductor. A este fenómeno se le llama ruptura eléctrica y al campo máximo que el material es capaz de soportar sin romperse se le denomina rigidez dieléctrica. La tabla 2.1 muestra un conjunto representativo de valores de la constante dieléctrica aunque siempre h ay que tener en cuanta que estos valores pueden cambiar notablemente con la temperatura.

91

FUNDAMENTOS FÍSICOS DE LA INFORMÁTICA

Material Aire Baquelita Parafina Teflón Poliestireno Nylon Papel Porcelana Vidrio(Pytex)

K,

Rigidez Dieléctrica (k V/ mm)

1'0005 4'9 2'0-2'5 2'1 2'5 3'5 3'7 7

3

16 5'7

5'6

14

24 10 60 24 14

Cuadro 2.1: Propiedades dieléctricas de algunos materiales

2.8.3.

Dieléctricos en condensadores

Michael Faraday descubrió como un dieléctrico colocado en un condensador, permite mayores cargas para un determinado potencial además de dar resistencia y estabilidad mecánica a éste y reducir la posibilidad de arqueo entre las placas. \

Cuando un dieléctrico se sitúa dentro de un condensador, sus moléculas se polarizan de modo que se produce un momento dipolar neto paralelo al campo. El efecto de esta polarización es la creación de una carga superficial sobre las cargas del dieléctrico próximas a las placas. En el lado de la placa positiva del condensador tenemos carga inducida negativa y en el lado de la placa negativa del condensador tendremos carga inducida positiva (ver figura 2.15 (b)). Esta carga superficial se denomina carga ligada porque está unida a las moléculas del dieléctrico y no puede desplazarse como la carga libre que existe sobre las placas conductoras del condensador. La carga ligada produce un campo opuesto a la dirección del creado por la carga libre de los conductores. Por ello, el campo eléctrico neto entre las placas se reduce ya que algunas líneas de campo que abandonan la placa positiva penetran por el dieléctrico y llegan a la placa negativa pero otras terminan en las cargas inducidas. De acuerdo a la figura 2.15 (e) el campo resultante será:

-=t

siendo E 0 el campo eléctrico existente entre placas cuando no hay dieléctrico (ver figura 2.15 (a)) y Eín~ el campo eléctrico inducido en el dieléctrico. Evidentemente, la diferencia de potencial entre las mismas también se reduce, lo que se traduce en un aumento de la capacidad del condensador. La constante

92

CAPÍTULO 2. POTENCIAL ELÉCTRICO

Eo

#.

1

~

·.-

;~

:::i"E:J --------1f.~.,·-~

Eo

f_; _.t' .__·!.·

---+

Eind

+----,-

~··i,;t. -

-

------+r

E

---+ -

-

-

-

+·· + ·+ +

+

·Ii~·------~-ii

' : ·•. _: •.:.•·_:•.:, f,r:···_; _ ·;.:.: ~_:.·_•_ : .•· -

+

-

'+-··~----~~~' 1i ,~

+

(a)

(b)

(e)

Figura 2.15: Cuando se introduce un dieléctrico en un condensador, el' campo eléctrico del condensador (a) polariza las moléculas del dieléctrico resultando una carga inducida en la superficie del dieléctrico la cual produce su propio campo (b). Este campo se opone al campo del condensador reduciendo así el campo eléctrico neto entre placas (e)

dieléctrica es la propiedad que describe el comportamiento de un dieléctrico en un campo eléctrico. Si Ca es la capacidad en el vacío de un determinado condensador, su capacidad cuando se coloca un dieléctrico entre sus conductores es mayor que Co por un factor igual a la constante dieléctrica K cumpliéndose que:

0

= K0o

Si expresamos la capacidad en función de la permitividad del vacío tenemos:

donde

E

es la permitividad del dieléctrico.

En resumen, la introducción de un dieléctrico en un condensador] tiene las siguientes consecuencias: • Disminuye el campo eléctrico entre las placas del condensador, en una relación

(2.45)

siendo Eo el campo eléctrico entre las placas del condensador sin dieléctrico.

93

FUNDAMENTOS FÍSICOS DE LA INFORlv lÁTICA

• Disminuye la diferencia de potencial entre las placas del condensador, en una relación: V= Vo (2.46) K,

siendo Vo el potencial eléctrico entre las placas del condensador sin dieléctrico. • Aumenta la diferencia de potencial máxima que el condensador es capaz de resistir sin que salte una chispa entre las placas, esto es, sin que se produzca la ruptura eléctrica. Además proporcionan un medio para separar las placas conductoras permitiendo situarlas muy próximas pero sin llegar a ponerse en contacto eléctrico. • Aumenta la capacidad eléctrica del condensador en

K,

veces.

• La carga no se ve afectada ya que permanece la misma que ha sido cargada cuando el condensador estuvo sometido a un voltaje. Est o es cierto si el condensador se carga y después se separa de la batería antes de insertar el dieléctrico. Si el dieléctrico se inserta durante el proceso de carga, la batería suministra más carga para mantener la diferencia de potencial original. La ' total sobre las placas es: carga Q

2.8.4.

= K,Qo

(2.47)

Condensadores con varios dieléctricos

Existe la posibilidad de introducir más de un dieléctrico entre las placas de un condensador. Podemos encontrar dos posibilidades, disposición en paralelo y disposición en serie. 1. Disposición en paralelo

Cuando introducimos los dieléctricos como se muestra en la figura 2.16 (a), la capacidad de este condensador se cal<;;ula considerando que tenemos 2 condensadores en paralelo uno con dieléctrico c 1 y el otro con dieléctrico c2. Este resultado se puede generalizar para n dieléctricos. 2. Disposición en serie

Cuando introducimos los dieléctricos como se muestra en la figura 2.16 (b), la capacidad de este condensador se calcula considerando que tenemos 2 condensadores en serie uno con dieléctrico E 1 y el otro con dieléctrico Ez. Este resultado se puede generalizar para n dieléctricos.

94

CAPÍTU LO 2. POTENCIAL ELÉCTRICO

.....................

d1

··............. A2

d2

(a)

(b)

8'igura 2.16: (a) Condensador con dieléctricos en paralelo. (b) Condensador con dieléc~ricos en serie

2.8.5.

Energía almacenada en condensadores con dieléctricos

Supongamos la ecuacíón (2.28) que repetimos aquí por comodidad:

u=.!.2 e v 2 ,i expresamos la capacidad en función del área A y la distancia de separación ~ntre las placas d, y el potencial en función del campo eléctrico E y separación ~ntre las placas d, se obtiene:

U=~(: A) (E d) 2 = .!_s E 2 (Ad) 2

d

2

(2.48)

~eniendo en cuenta que A d es el volumen entre las placas que contiene el campo ~léctrico. La energía por unidad de volumen viene dada por: u

1 2 1 = -€ E = 2 2 -

K,

Eo

E

2

(2.49)

EJEMPLO 2 .11

Supongamos un condensador esférico consistente de dos esferas conductoras concéntricas de radios R2 y R1, cargadas con + Q y -Q, respectivamente y con el espacio entre esferas relleno con un material dieléctrico :le permitividad e , tal y como muestra la figura 2.17. Se desea calcular la capacidad de este condensador.

95

FUNDAMENTOS FÍSICOS DE LA INFORMÁTICA

-Q

Figura 2.17: Condensador esférico con dieléctrico En primer lugar, calcularíamos el campo eléctrico que existe entre las esferas cuando no existe dieléctrico y después a partir de éste,el campo cuando introducirnos el dieléctrico. El campo eléctrico cuando no existe dieléctrico ya ha sido calculado en un ejemplo anterior siendo su expresión:

Usando esta expresión y la ecuación (2.45) resulta que el campo eléctrico cuando existe dieléctrico es: (2.50)

Seguidamente, a partir del campo eléctrico es posible determinar el potencial aplicando la ecuación (2.4) y teniendo en cuenta que d( = dr ii;:: -:± -:+ dV = - b' · d l = -

q

4_1rr2 é

dr

integrando,

Finalmente, la capacidad se calcula aplicando la ecuación (2.25):

C = !l_ = 41rc R2R1 V

96

R1 -R2

(2.51)

CAPÍTULO 2. POTENCIAL ELÉCTRICO

EJEMPLO 2 .12

Supongamos un condensador plano de placas cuadradas de lado 20 centímetros y una separación entre placas de 4 milímetros. Se sitúa un material dieléctrico con K = 2 entre ellas de dimensiones 20 cm x 20 cm x 4 mm, es decir, se llena todo el espacio existente entre las placas del condensador. (a) Calcular la capacidad de este condensador; (b) Calcular su capacidad si sólo se inserta un bloque de dieléctrico de dimensiones 20cm x 20cm x 42mm,. (a) Para calcular la capacidad del condensador con dieléctrico comenzamos calculando la capacidad de este condensador suponiendo que no tiene el dieléctrico aplicando la ecuación (2.33) y sabiendo que la permitividad del vacío es co = 8'85pF:

G = coA = 8'85 · 10-9 · (0'2) 2 = 88, F 5p o d 0'004 Cuando el condensador se llena con el dieléctrico su capacidad se incrementa en un factor "' resultando: C = KCo

= 2 · 88'5 =

177pF

(b) Ahora, la diferencia de potencial entre las placas es igual a la suma de la diferencia de potencial del hueco y la diferencia de potencial del material dieléctrico:

V=

d

Vhueco

d

+ Vdieléctrico = Ehueco 2 + Edieléctrico 2

Ya hemos visto anteriormente que cada placa crea un campo uniforme de módulo E= a/(2c0 ) resultando un campo total de Ehueco =:, = cuando no existe material dieléctrico entre ellas. El campo eléctrico en la zona en la que se encuentra el material dieléctrico viene dado por:

&

E dieléctrico =

Ehueco K

Q c0 A

K

Combinando los dos resultados anteriores y operando se obtiene que el potencial eléctrico viene dado por:

97

FUNDAMENTOS FÍSICOS DE LA INFORMÁTICA

Finalmente, la capacidad de este nuevo condensador viene dada por:

Q

e= EJEMPLO

Q d (K+ 1 ) .s-o A 2 K,

=

E:o A 2 ;,, d (¡,¡, + 1)

8'85 10-9 (0'2) 2 2 2 0 1004 (2 + 1)

=

= 118PF

2.13

Dos placas conductoras paralelas e indefinidas están separadas una distancia d. El espacio que hay entre ellas está ocupado por dos capas de dieléctrico, cada una de espesor ~. Sus permitividades relativas son 3 y 2, respectivamente. Calcular el campo cuando se aplica una diferencia de potencial de V0 voltios a las placas. 3Eo

2t;o

Vo \

d/2

d/2 )

X

Figura 2.18: Placas conductoras con dieléctricos Vamos a calcular el campo eléctrico que existe entre las placas cuando no existe dieléctrico y después calcularemos el campo eléctrico en cada zona a partir de la relación:

siendo u

=:

0

la constante dieléctrica.

Ya hemos visto que el campo eléctrico entre placas cuando se trat"a del vacío es: -:::+ a :-:-+ E 0 = - Ux Eo

con lo que en cada zona tendremos: E

_

- é0 -

é0

_

-

3

::::}

e -_ -2éº -_ 2 ::::}

éo

98

3c 0

-

éo

E =* _

a :-:-+ Ux 3c0 E-=*1 _ a Ux :-:-+ - 1 -

-

2é0

CAPÍTULO 2. POTENCIAL ELÉCTRICO

De esta forma tenemos el campo eléctrico en función de (j. Para calcular el valor de la densidad superficial vamos a utilizar el dato de potencial dado en el enunciado. Procederemos a calcular el potencial en cada zona:

=- 2 1 d

V1

o

~ · d -::+ E1 l

= - 12

Ux

= - ¡2

4 Ux

=-

d

d

-+ - U x · dx (j

o 3€0

---:-1"

O' -dx

o 3c 0

integran.do se obtiene: a d

Vi= - - 3Eo

2

Análogamente para la segunda zona:

½

=-

J,

dE2 -=+ -::+ J,d ·d l =-

4

<5

4 2Eo

2

::-:+

-Ux ·

dx

J,d -dx <5

4 2E 0

2

2

integrando se obtiene:

Dado que esta disposición de los dieléctricos dentro del condensador es equivalente a dos condensadores en serie~ se ha de cumplir:

V0

(Y

d

a- d

5a d

= V1 + ½ = - -- - = - 12t: -3Eo 2 2€ 2 0

de donde despejando el valor de

0

(j :

O"=

Finalmente, sustituyendo en las expresiones obtenidas para el campo eléctrico en función de a- queda:

indicando el signo que los campos se mueven hacia la izquierda si V0 es positivo.

99

FUNDAMENTOS FÍSICOS DE LA INFORMÁTICA

2.9.

Resumen y Ecuaciones Básicas

Durante este capítulo se ha comenzado estudiando el potencial eléctrico que es una medida escalar que nos permite describir los fenómenos electrostáticos y su relación con el campo eléctrico. Estos conceptos son el punto de partida para estudiar a los condensadores, que son dispositivos que almacenan carga. En concreto, se han estudiado los siguientes conceptos fundamentales: • El potencial eléctrico en un punto que es el trabajo que hay que realizar para llevar una carga de prueba desde un punto de referencia hasta dicho punto. Se ha aprendido a calcular el potencial eléctrico debido a un sistema de cargas puntuales y el debido a una distribución de cargas. • La relación entre campo eléctrico y potencial eléctrico. Esta relación nos permite calcular el potencial eléctrico a partir del campo eléctrico y viceversa. • La energía potencial electrostática de un sistema de cargas que es el trabajo necesario para transportar las cargas que componen el sistema, desde una distancia infinita hasta sus posiciones finales. • El concepto de capacidad que es el cociente entre la carga y el potencial. • Las baterías y los condensadores como dispositivos para almacenar la energía eléctrica. Una batería almacena la energía eléctrica en forma de enlaces químicos mientras que un condensador almacena- energía porque almacena carga. Un condensador consta de dos conductores próximos y aislados entre sí que contienen cargas iguales y opuestas. • Efecto de la geometría de un condensador en su capacidad. En este sentido, se ha estudiado diferentes tipos de condensadores: condensadores de placas '" paralelas, cilíndricos y esféricos. • Determinación del condensador equivalente a un conjunto de condensadores dispuestos en serie y/ o paralelo de cara a su utilización en teoría de circuitos. • Los dieléctricos o materiales no conductores. Se ha estudiado como mejora la capacidad de un condensador cuando introducimos un material dieléctrico entre sus placas. Además aumenta la resistencia a la ruptura eléctrica.

100

CAPITULO 2. POTENCIAL ELÉCTRICO

ECUACIONES BÁSICAS

1. Diferencia de Potencial eléctrico: dV

= E ·d1

2. Potencial Eléctrico debido a una carga puntual: V referencia está en el infinito.

=

o/- si la posición de

3. Energía potencial electrostática: n

a) De cargas puntuales: U

= ½¿ qi¼ i=l

b) De un conductor con carga Qy potencial V: U= ½QV n

e) De un sistema de conductores: U

= ½¿ Qi ¼ i=l

4. Capacidad: C

= ~.

a) Condensador de placas paralelas: C = 21reoL b) Condensador c1"lín dr"1co: C = Ln(R / Ri) 2 e) Condensador esférico: C

éc:/

= 41reo :;_IJJ:1

5. Energía almacenada en un condensador: U= ½QV = ½CV2 6. Capacidad equivalente:

a) En los condensadores en paralelo el voltaje entre sus extremos es el mismo. La capacidad equivalente de n condensadores en paralelo viene dada por: C = C1 + C2 + .. + On b) En los condensadores en serie el módulo de la carga de las placas de los condensadores es el mismo pero ahora, las caídas de voltaje se suman. La capacidad equivalente de n condensadores en serie viene dada por: 1 _

C -

1 01

1

1

+ C2 + ··· + Gn

7. El uso de dieléctricos con permitividad e entre las placas de un condensador afecta a (cumpliéndose que e = K, e O siendo K, la constante dieléctrica del medio):

a) Campo eléctrico: E = ~ b) Capacidad: e = KCo

101

FUNDAMENTOS FiSICOS DE LA INFORMÁTICA

2.10.

Ejercicios de Autoevaluación

l. Dos cargas q y -2q están colocadas a 1 m de distancia. Obtener los puntos de la recta que las une en los que el campo es cero y los puntos del plano correspondientes a potencial cero.

Solución: El campo es cero en 1 de centro (-½, ü)y radio §-

+ v'2 y potencial cero en la circunferencia

2. Dos placas metálicas paralelas tienen 300 cm 2 de área, cada una, y están separadas una distancia de 0'25 cm. Tienen una diferencia de potencial de 0'5 V. Se desea calcular: (1) el campo eléctrico entre placas; (2) densidad de carga y carga total en cada placa.(1:0 = 8'85 10- 12 C 2 /N m 2 ) Solución: (1) E

= 200V/m ; (2)

O"=

177 10-

11

0 / m 2 ; Q = 531. 10- 13 0

3. Una carga puntual de q1 = 2 µC se sitúa en el origen de coordenadas y una segunda carga puntual de q2 = -6 µC en la posición (O, 3) m. Se pide cal~ular el potencial eléctrico en el punto P (4, O) m y el trabajo necesario para llevar una carga puntual de q3 = 3 µC desde el infinito hasta el punto P. Solución: Vp

= -6'3,103

V; W

=

18'9,10- 3 J

4. Calcule el potencial eléctrico en el punto P sobre el eje Z creado por un aro de densidad lineal uniforme A (ver figura 2.19).

. V SO1UClOn. >

•

,\

R

2eo ..Jz2+R2

z p

.. z

y

Figura 2.19

102

CAPÍTULO 2. POTEN CIAL ELÉCTRICO

5. Calcule el potencial eléctrico en el punto P sobre el eje Z creado por un disco de radio R, de densidad superficial uniforme a, situado en el plano XY y centrado en el origen de coordenadas. Solución: V

= ,_; Fz2 + R 2 (

0

z)

6. Calcule el potencial eléctrico en el punto P sobre el eje Z creado por un disco de densidad superficial uniforme a (ver figura2.20). Solución: V =

_Q_

2.e:o

(vz

2

+ b2 - Vz 2 + a 2 ) z p

z

y X

Figura 2.20

7. Dos conductores esféricos de radios r1 y r2 están separados por una distancia mucho mayor que el radio de cualquiera de las esferas. Éstas están conectadas por medio de un alambre conductor tal y como se muestra en la figura 2.21. Si las cargas sobre las esferas en equilibrio son q1 y q2 , respectivamente, encuentre la razón d e campo en la superficíe de las esferas. Ei Solución: E2

=

r2 ri

Figura 2.21

103

FUNDAMENTOS FÍSICOS DE LA INFORMÁTICA

8. U na esfera de O'2 gramos de masa cuelga de un hilo entre dos láminas verticales paralelas separadas 5 cm. La esfera tiene una carga de 6nC. ¿ Qué diferencia de potencial entre las láminas hará que el hilo forme un ángulo de 30°con la vertical?

. . 105v Sl O UCIÓil. ./3 6 9. ¿Cuántos electrones deben extraerse de un conductor esférico, inicialmente descargado, de 0'2 m de radio para tener una diferencia de potencial de 100 V en la superficie?(K=9.109 N.m2/C2;qe= 1'602.10- 19C) Solución: 1'3871,1010 electrones 10. Sea una esfera conductora S aislada, de centro O y de radio R > que tiene una carga inicial de Q; se la rodea con un anillo esférico conductor S', inicialmente neutro, concéntrica con S, de radio interior R 1 y de radio exterior R2, e inicialmente descargado (ver figura 2.22). Se pide: (1) Calcular el potencial de cada una de las zonas; (2) Calcular la diferencia de potencial entre S y S'; (3) Se conecta a continuación S' a tierra. Calcular la nueva diferencia de potencial entre S y S'. Solución:

(1)

Q

¼

Q

V3

41réoR2

Q

½

(3)

104

[ 1

41réo

Q

V1

( 2) Vs - Vs,

r > R2

41fé0 r

41rt:o

R2

4~

0

1

+ -:¡: -

< r < R2 1 ] ~1

[ 1 1 1] R2 + R - R1

= 41rso _g_ [i - _1__] R R1

Vs -Vs, =

R1

[1- Ji]

R

< r < R1

r
CAPÍTULO 2. POTENCIAL ELÉCTRICO

Figura 2.22 11. Tres esferas conductoras concéntricas de radios R1, R2 y R3 (R1 < R2 < R3) están conectadas respectivamente a tres fuentes de potencial V1, ½ y ½ (ver figura 2.23). ¿ Cuál es la carga de cada una de las esferas?

·, So1uc10n:q1

(V1-V2) = 41íEo (-L1 ) R1

- 4 q3 - 1íEo

[,.r R V3

3 -

(

J½

;

q2

_ ] = 47ffo [ ((%-Va) ((V1-V2) 1 _-1_) 1 1 ) R2

R3

. ,

R1 - R2

(V2 - V3) ]

12

_1 ) 3

Figura 2.23 12. Una esfera conductora (1) de radio R 1 se carga a un potencial V y después se aísla. A continuación, la esfera se rodea por otra esfera conductora hueca (2), concéntrica con la primera, de radios R2 y R3 (R2 < R3). Se desea calcular los potenciales de las esferas en las siguientes casos:

105

FUNDAMENTOS FÍSICOS DE LA INFORMÁTICA

l. La esfera (2) está aislada y descargada. 2. La esfera (2) se une a tierra.

3. La esfera (2)

se desconecta de tierra y después la esfera

(1) se conecta a

tierra. Solución: ( 1) V1

= V ( 1 - ~~ + ~~) ; V2 = V~~

(2) Vi

=V

(3)

V, 1 -

(1-

~~) ; V2 = O

O·\!, - V '

2 -

R1(R1-R2) R1R2+R2R3-R1R3

13. Una esfera conductora de radio R queda envuelta por una delgada capa esférica, también conductora, de radio interior 2R, concéntrica con la anterior (ver figura 2.24). En el espacio existente entre ambas, se introduce una distribución volúmica de cargas cuya densidad viene dada por:

p(r) = Po

[1 + ::]

C.m-3 para. R < r <

2R

'·

Ambas esferas conductoras se conectan a tierra. Determinar el valor de las cargas sobre la esfera interior, así como sobre las superficies interior y exterior de la capa esférica exterior. Solución: q

=

-41rp0 R 3 [2Ln2 -

½J ;qí = -4np0 R 3 [ 1l

- 2Ln2] ;qe = O

Figura 2.24 14. Dados los arcos de circunferencia mostrados en la figura 2.25 cuyas distribuciones lineales son ,X y 2.X, calcular el potencial en el punto O. Solución: Vo

106

3.>. = 8eo

CAPÍTULO 2. POTENCIAL ELÉCTRICO

z p

y 2A

Figura 2.25

15. Se carga una esfera conductora A de radio r1 = 5 cm con una carga de valor q = 10- 7C (ver figura 2.26). Se pide: (1) Las variaciones experimentadas por su potencial y por su capacidad electrostática, al introducirla en el interior de otra esfera B, también conductora, hueca, descargada y aislada, cuyos radios interior y exterior son r2 = 7 cm y r3 = 9 cm, respectivamente; (2) Estando la esfera A dentro de la B se une a tierra la superficie exterior de ésta última; detenninar el nuevo potencial y la capacidad de la esfera A. 1

Solución: (1) VA - VA = -0'286. 104 V; 0'514 · 104 V; = 19'4pF

CA

e~ -

CA

=

1'048pF; (2)

v1 =

~·

·· ·· .',

'\.,... f3

',,

", '

?'I , ' ' ,,. ..·:~ ...... _,.. ... _____ ~. . .,,.,. . r1

Figura 2.26 16. Se agrupan tres condensadores como indica la figura 2.27. Se pide: (1) Determinar la capacídad del condensador C2 para que la capacidad total sea C2. (2) Sí se aplica una tensión de lkV entre los bornes A y B, calcular la carga y la tensión en cada uno de los tres condensadores. (Datos: C1 = 5µF)

1 1V7

FUNDAMENTOS FÍSICOS DE LA INFORMÁTICA

Solución: (1) C 2 = 3'09µF;(2) Q 1 = 3'09,10-3 C; Q~ 1'18,10-3 0; V1 = 618'029V; = V2 = 381'971 V

v;

A

=

1'91,10-3 0; Q2

=

---1Cl

º1 JC2 B

Figura 2.27 17. Calcular la capacidad equivalente entre los puntos X e Y en el circuito de la figura 2.28 con 02 = lOµF y C1 = C3 = C4 = Cs = 4µF. Solución: 4µF \

C4

y

C5

Figura 2.28 18. Una esfera metálica de radio R1 tiene una carga Q y está rodeada de una capa esférica dieléctrica cuyo radio interior es R 1y el exterior R2. La permítividad de la capa es e = 4 é 0 • Calcular el campo' eléctrico en la capa dieléctrica. Solución:

108

1 = 16 Q u;: 1í't::or

2

Capítulo 3

Campos Electromagnéticos

CONTEXTO Desde la antigüedad se sabe que trozos del mineral magnetita (llamados imanes) ejercen entre sí unas fuerzas. Estas fuerzas son las fuerzas magnéticas. Hasta 1820 se pensó que el magnetismo era independiente de la electricidad; en ese año el profesor de física danés Hans Christian Oersted descubrió como una corriente eléctrica desviaba la aguja de una brújula. Oersted fue el primero en establecer que el magnetismo estaba relacionado con la electricidad. En ese mismo año André Ampere demostró que aparecen fenómenos electromagnéticos cuando existe movimiento de cargas eléctricas. También, en la década de 1820 Michael Faraday realizó una serie de trabajos fundamentales para descubrir la relación entre electricidad y magnetismo aunque fue Clerk Maxwell quien a finales de la década 1860, estableció la relación definitiva de la electricidad y el magnetismo. Estos descubrimientos trajeron consigo una gran cantidad de adelantos tecnológicos, entre los que se encuentran los generadores eléctricos, la radio y la televisión. En este capítulo, se comienza estudiando los efectos de un campo magnético sobre cargas móviles y sobre alambres portadores de corrientes. A continuación, se estudia las fuentes de los campos magnéticos. Se comienza por considerar el campo magnético producido por una sola carga móvil y, después, por las cargas en movimiento dentro de un elemento de corriente, en con'creto, calculamos los campos magnéticos producidos por algunas configuraciones de corrientes comunes, tales

109

FUNDAMENTOS FÍSICOS DE LA INFORJvfÁTICA

como un segmento de alambre recto, un alambre recto e infinit o, una espira de corriente y un solenoide. Posteriormente, analizaremos la ley de Ampére, que rela.ciona la integral lineal del campo magnético alrededor de una espira cerrada con la corriente total que atraviesa la espira. Finalmente en este capítulo se presenta un análisis de la inducción electromagnética, lo que supone, la definición del flujo magnético y el estudio de la ley de Faraday, la ley de Lenz y la inductancia. 1

CONOCIMIENTO PREVIO NECESARIO Dado que las fuerzas magnéticas así como el campo magnético son magnitudes vectoriales, para entender los conocimientos de este capítulo es necesario manejar con soltura el cálculo vectorial y la trigonometría. Además, como veremos a lo largo del capítulo, cuando se dispone de distribuciones continuas de carga resulta imprescindible el manejo de integrales para el cálculo de la fuerza o campo magnético.

ÜBJETIVOS DEL CAPÍTULO Los objetivos del capítulo son: \

1. Estudiar la fuerza ejercida por un campo magnético en distintos casos. 2. Saber determinar el campo magnético creado por cargas en movimiento. 3. Conocer la ley de Gauss para el magnetismo. 4. Conocer la ley de Ampére la cual relaciona el campo magnético con la causa que lo produce. 5. Estudiar el flujo magnético. 6. Conocer la ley de Faraday y la fuerza electromotriz inducida en un circuito debida a la variación del campo magnético. 7. Estudiar la inductancia y la inducción :rp.utua. 8. Estudiar la energía magnética.

GUÍA DE ESTUDIO Comenzaremos leyendo la sección 4.2 del capítulo 4 dónde se introduce el término de corriente eléctrica utilizado en este capítulo. A continuación, el alumno podrá abordar el estudio de este capítulo de manera secuencial.

110

CAPÍTULO 3. CAMPOS ELECTROMAGNÉTICOS

3.1.

Imanes

Los ímanes se caracterizan por ejercer fuerzas de atracción o de repulsión unos sobre otros sin necesidad de tocarse de manera análoga a las cargas eléctricas. Además, al igual que las cargas eléctricas, la intensidad de sus interacciones· depende de la distancia que los separa. Evidentemente, las cargas eléctricas producen fuerzas eléctricas y los polos magnéticos producen fuerzas magnéticas.

Si cuelgas un imán de una cuerda atado a la parte central, funcionará como :un brújula de manera que el extremo que apunta hacía el norte se llama polo norte y el que apunta hacia el sur se llama polo sur. Todo imán posee un polo norte y un polo sur. Si aproximas el polo norte de un imán al polo norte de otro, los imanes se repelen. Lo mismo ocurre si aproximas los polos sur de ambos imanes. Pero si aproximas un polo norte con un polo sur, estos se atraen, es decir, los polos semejantes se repelen y los polos opuestos se atraen. Como veremos, el comportamiento de los polos magnéticos se parece al de las cargas eléctricas en muchos aspectos pero existe una diferencia fundamental, podemos tener cargas eléctricas aisladas pero no podemos tener polos magnéticos aislados. El polo norte magnético no puede existir sin un polo surl y viceversa. Así, si partes un imán por la mitad~ cada una de las mitades se comporta como un imán completo, esto es, ambos tienen un polo norte y polo sur.

3.2.

Fuerza ejercida por un campo magnético

Vamos a estudiar la fuerza ejercida por un campo magnético sobre distintos elementos tales como una carga puntual en movimiento, una corriente eléctrica o sobre un circuito plano.

3.2.1.

Fuerza ejercida por un campo magnético sobre una carga móvil

Cuando una carga q se mueve con una velocidad -;¡} dentro de un campo magnético de intensidad se encuentra sometida a una fuerza llamada fuerza de Lorentz, que es proporcional a la carga, a su velocidad y al seno del ángulo que forman el vector velocidad y el vector campo magnétíco, y viene dada por la expresión:

1J

F,

(3.1)

111

FUNDAMENTOS FÍSICOS DE LA INFORMÁTICA

donde el símbolo x representa al producto vectorial. Esta fuerza es perpendicular al vector velocidad y al vector campo magnético, esto es, su dirección es perpendicular al plano formado por ambos vectores y su sentido se determina por la regla del tornillo o sacacorchos que nos dice que el sentido del producto vectorial es el sentido de avance de un tornillo que gire tendiendo a hacer coincidir, por el camino más corto, la dirección del primer vector , en nuestro caso -J, con la dirección del segundo vector, en nuestro caso Si los vectores -;¡j y forman un ángulo o:, el módulo de la fuerza vale:

B.

F

=qv

B

B sena

(3.2)

B

donde B y v representan los módulos de los vectores _x -;¡j, respectivamente. Su dirección es la normal al plano determinado por 1f y B. Nótese que esta fuerza es nula cuando a sea igual a cero, es decir, -;¡j_x son paralelos y su valor es máximo cuando o: sea igual a ;, es decir, -;¡j y B son perpendiculares:

B

Fmá:x. = q V B

(3.3)

La unidad del campo magnético según la ecuación (3.3) será el valor del campo magnético en un punto donde al moverse la carga positiva de 1 coulomb (C) a la velocidad de 1 metro partido por segundo ( -r;,) en dirección normal al mismo, la fuerza que actúa sobre dicha carga sea 1 newton (N). Esta unidad recibe el nombre de tesla (T), es decir: Ns lT=lmC Esta unidad es bastante grande respecto a la magnitud de los campos magnéticos encontrados en la naturaleza. Para que nos hagamos una idea, el campo magnético terrestre es algo menor a 10-4 T , los campos magnéticos próximos a imanes poderosos suelen oscilar entre O'l T y 015 T y los grandes electroimanes de laboratorio están entre 1 T y 2 T. Por ello, una unidad usada a menudo es el gauss _ (G) cuya relación con la tesla es:

Hemos estudiado que la fuerza magnética que actúa sobre una carga en movimiento es perpendicular a ese movimiento y, por consiguiente, únicamente va a modificar la dirección de su movimiento pero no su magnitud. En conclusión, los campos magnéticos no realizan trabajo sobre las partículas y no modifican su energía cinética.

112

CAPÍTULO 3. CAMPOS ELECTROMAGNÉTICOS

En el ca.so particular en el que la velocidad de una partícula cargada sea perpendicular a un campo magnético uniforme, ésta se mueve siguiendo una circunferencia (ver figura 3.1). Esto es debido a que la fuerza magnética actúa como fuerza centrípeta apareciendo una aceleración normal sobre la partícula. La magnitud de esta aceleración es an = ~ , siendo R el radio de la trayectoria circular. Evidentemente, la dirección de la aceleración es hacia el centro de la trayectoria circular. De acuerdo con la segunda ley de Newton, igualando la fuerza responsable de la aceleración, esto es, la fuerza magnética dada por la ecuación (3.3), con la expresión de la fuerza centrípeta resulta: mv2

F=qvB=-R

despejando el radio,

R= mv

(3.4)

qB

X

X

X X

xt

X

X

X

X

X

X

X X

X

X X

X

X

X

Figura 3.1: Partícula cargada con movimiento perpendicular a un campo magnético uniforme con dirección entrante al papel

Observamos que R es proporcional al producto de m por v, es decir, a la cantidad de movimiento de la partícula que se mueve, e inversamente proporcional a la carga q y a la magnitud del campo magnético, B. Téngase en cuenta que la ecuación (3.4) sólo es válida cuando la velocidad es perpendicular al campo. El periodo del movimiento circular es el tiempo que la partícula tarda en dar una vuelta completa alrededor del círculo. Sabiendo que·el periodo se relaciona con la velocidad mediante la expresión y susÜtuyendo la expresión obtenida para el

2:R

113

FUNDAMENTOS FÍSICOS DE LA INFORMÁTICA

radio resulta que el periodo viene dado por:

T= 21rm qB

(3.5)

La frecuencia, llamada frecuencia del ciclotrón, es la inversa del periodo resultando: f= qB (3.6) 21rm Existen dos aplicaciones importantes del movimiento circular de las partículas que son el espectrómetro de masa y el ciclotrón. Su estudio se sale fuera del alcance de este libro. En la explicación anterior hemos supuesto que la velocidad de la partícula era perpendicular al campo magnético. Si la velocidad no fuera perpendicular siempre puede ser descompuesta en una componente perpendicular al campo y otra componente paralela al campo. El movimiento debido a la componente perpendicular es el mismo que hemos visto anteriormente. Sin embargo, el movimiento debido a la componente paralela no se afecta por el campo magnético, con lo que permanece con~tante. La composición de ambos movimientos hace que la trayectoria de la partícula sea una hélice. Finalmente comentar que el movimiento de una partícula en un campo m agnético no uniforme es muy complicado no siendo objeto de estudio.

3.2.2.

Fuerza ejercida por un campo magnético sobre una corriente eléctrica

Aunque el concepto de corriente eléctrica será estudiado en el capítulo 4, aquí va a ser introducido brevemente por su relación con los campos magnéticos ya que éstos son generados precisamente por cargas en movimiento. La corriente eléctrica es la carga total que pasa a través de la sección transversal de un cable, por unidad de tiempo: _,_ 1 = dQ

dt Por consiguiente, la corriente eléctrica es el movimiento de cargas que circula a lo largo de un conductor, con una velocidad de conjunto -;¡j no nula e idéntica en promedio para todos ellos. Si situamos un conductor metálico en un campo magnético, y por él no circula ninguna corriente eléctrica, el conductor no está sometido a ninguna fuerza

114

CAPÍTULO 3. CAMPOS ELECTROMAGNÉTICOS

magnética, a pesar del movimiento de agitación térmica de los electrones del conductor, ya que estos movimientos se realizan en todas direcciones, compensándose entre sí dichas fuerzas. En cambio, sí circula una corriente es semejante a considerar que sus electrones se mueven con cierta velocidad, que en cada punto está dirigida según el eje del conductor. Por el10 1 cada electrón estará sometido a una fuerza magnética y, en consecuencia, resultará una acción de conjunto sobre el conductor. Supongamos un segmento de un conductor de sección A y longitud l por el que hay n cargas por unidad de volumen, de valor q, y que se mueven a lo largo del mismo con una velocidad 1T, la fuerza elemental que actúa sobre cada carga cuando existe un campo magnético Bes, de acuerdo con la ecuación (3.1), q 1f x Teniendo en cuenta que el número de cargas en el interior del conductor a lo largo de su --=* longitud es n l A, la fuerza total sobre el segmento vendrá dada por:

E.

P = (q1! x B) n 1 A Sustituyendo la ecuación de la intensidad de corriente que estudiaremos en el próximo capítulo y que escribimos aquí por comodidad, J = nqvA, la expresión de la fuerza puede escribirse:

p=I

((

X

E)

(3.7)

en donde { es el vector cuyo módulo es la longitud del conductor y cuya dirección es paralela a la corriente. La regla del tornillo también es válida en este caso. Así, por ejemplo, para un conductor coincidente con el eje X y un campo magnético contenido en el plano XY, la fuerza tendrá la dirección del eje Z tal y como muestra la figura 3.2. z

y

X

Figura 3.2: Dirección de la fuerza magnética sobre un segmento de conductor portador de corriente en un campo magnético

115

FUNDAMENTOS FÍSICOS DE LA INFORMÁTICA

En la deducción de la expresión de la fuerza, se ha considerado que el segmento de ~ conductor era rectilíneo y en consecuencia, el vector l no cambiaba de dirección a lo largo del segmento. En general, para conocer la fuerza sobre un conductor de cualquier forma se escoge un elemento diferencial que actúa sobre una --:t elemento de corriente de longitud d l resultando:

dP

(3.8)

d1

B

en donde es el vector campo magnético. A la magnitud J se denomina elemento de corriente. Para calcular la fuerza total que actúa sobre el conductor basta con integrar respecto a todos los elementos de corriente utilizando el campo magnético apropiado en cada uno de ellos. Veamos a continuación, un par de ejemplos de cálculo de la fuerza magnética que actúa sobre un conductor en un campo magnético uniforme. EJEMPLO

3.1

Supongamos un conductor de 5 metros de largo situado a lo largo del eje Y, por el que circula una corriente de 10 A en dirección positiva del eje Y. Se desea calcular la fuerza magnética sobre el conductor si el campo magnético en 1a región donde se encuentra situado es = 0'03 ~T.

B

Aplicando la ecuación (3.7) tenemos:

F = 11 X B = 10 . (5 ut X 0'03 iit) =

~

ut

~

O

5

O

0'03

O

O

= -1'5 ii; N

ut,

siendo (iit, u:t) los vectores unitarios a lo largo de los tres ejes coordenados (X, Y, Z), respectivamente. .. EJEMPLO

3.2

Supongamos un conductor plano en forma semicircular de radio R sobre el plano Y Z por el que circula una corriente I y situado en el interior de un campo magnético uniforme tal y como indica la figura 3.3 (a). Se desea determinar la fuerza magnética que actúa sobre el conductor semicircular.

B

116

CAPITULO 3. CAMPOS ELECTROMAGNÉTICOS

z

z

d9

y

y X

(a)

(b)

Figura 3.3: Conductor semicircular dentro de un campo magnético uniforme

Para calcular la fuerza magnética ejercida sobre el conductor vamos a aplicar la ecuación (3.8). Con el fin de facilitar el cálculo de esta fuerza vamos a expresar el elemento diferencial de fuerza dF en función de un ángulo 0. Esto supone, en -:+ primer lugar, expresar d l en función de sus vectores unitarios, que según vemos en la figura 3.3 (b) son:

d1 = dl

cos0

u;- dl sen0 ut = R d0 cos0 v;t- R d0 sene ti;

donde se ha sustituido dl

=R

d0.

1 x B:

Seguidamente, calculamos el producto vectorial d

d1 x

B = -B R d0 sene üt- B R d0

cos0

~

Por consiguiente, la fuerza viene dada por:

dF

= I d1 x B = -1 B R d0 sen0

ut- I B R d0 cose~

Integrando cada componente de la fuerza para valores de 0 comprendidos entre O y 1r, obt enemos finalmente:

p

-I

B R

UiJ

-I B R

ii't

fo"sen0 d8 - I B R ~ fo" [- cos0]; + I B R

cos 0 d0

=

u; [sene];= - 2 I B

Rut

117

FUNDAMENTOS FÍSICOS DE LA INFORMÁTICA

3.2.3.

Fuerza ejercida por un campo magnético sobre una espira rectangular

Tal y como hemos visto cuando un conductor, por el que circula corriente eléctrica, se sitúa en el interior de un campo magnético uniforme, se ejercen fuerzas sobre cada trozo del conductor. Si este conductor tiene la forma de una espira cerrada, la fuerza neta es nula debido a que cada fuerza tiene su simétrica que es igual y contraria. Observamos que cuando introducimos una espira con forma rectangular, por la que circula una corriente, en el interior de un campo magnético uniforme ésta sufre un conjunto de acciones magnéticas que producen en ella un movimiento de giro o rotación hasta situarla paralela al campo magnético. Este fenómeno es el que produce el par que hace trabajar los motores de corriente directa y el galvanómetro, aparato usado en los amperímetros y voltímetros. Analicemos, a continuación, que es lo que ocurre. Supongamos una espira rectangular por la que circula una corriente J que se encuentra en una región con un campo magnético uniforme cuya dirección es la del eje X. La orientación de la espira se describe mediante un vector unitario rl perpendicular al plano de la espira y cuyo sentido se determina usando la regla de la mano derecha: cuando los dedos de la mano derecha se sitúan respecto a la espira con los dedos apuntando en el sentido de la corriente, el dedo pulgar señala la dirección de ti tal y como muestra la figura 3.4 .

...,. n

Figura 3 .4: Determinación del sentido del vector-- unitario de una espira mediante la aplicación de la regla de la mano derecha Vamos a numerar los lados de la espira rectangular como 1, 2, 3 y 4 de manera que los lados 1 y 3 tienen longitud a y los lados 2 y 4 tienen longitud b (ver figura 3.5). Podemos calcular la fuerza sobre cada uno de los segmentos de la espira aplicando la ecuación (3 .7). El ángulo 0, que forma la dirección del campo magnético con la dirección de la corriente se indica en la figura 3.6 para el lado 1 (para el lado 4

118

CAPÍTULO 3. CAMPOS ELECTROMAGNÉTICOS

será semejante); los lados 2 y 4 son perpendiculares al campo magnético y entra v sale de la página, respectivamente. Por consiguiente, la fuerza sobre cada lado es: J

F1 F2

Fs F4

I aB sen0, en la dirección -Y

IbB, en la dirección -Z I aB sen0, en la dirección Y IbB, en la dirección Z

Las fuerza F1 y F3 son iguales pero opuestas como lo son las fuerzas F2 y F4 , de modo que no existe fuerza neta. Sin embargo, hay una diferencia importante entre estos dos pares de fuerzas: F1 y F3 actúan a lo largo del mismo eje no ejerciendo momento de giro sobre la espira; F2 y F4 actúan en ejes distintos, como se aprecia en la figura 3.5, apareciendo un par que hace que la espira gire en sentido de las manecillas del reloj hasta que las fuerzas F2 y F4 actúen sobre el mismo eje, esto es, cuando 0 = 90°, desapareciendo entonces el par. Cuando la espira se encuentre en el plano XY (0 = O) el par será máximo. Por último, cuando 0 cambia de signo> también cambia de signo el par y la espira tenderá a girar en sentido contrario a las manecillas del reloj.

0

z

X

Figura 3.5: Fuerzas que aparecen sobre una espira rectangular en un campo magnético uniforme

en

Calculamos el par respecto al eje central teniendo cuenta que el par creado por una fuerza es el producto vectorial del vector distancia desde el eje de giro hasta

119

FUNDAMENTOS FÍSICOS DE LA INFORMÁTICA

el punto donde se aplica la fuerza y el vector fuerza. Así, el par creado por cada fuerza es:

~

~X~

TÍ

r!x~

en donde r1' y r! son los vectores distancia que van desde el eje de giro hacia los lados 2 y 4, respectivamente (ver figura 3.6). Tanto ~ como r! tienen como magnitud ~. El par neto viene dado por:

T=11+TÍ Si 7/J es el ángulo entre °:;1 y ~ y entre TÍ y ~' y teniendo en cuenta los valores de las fuerzas obtenidos anteriormente, la magnitud del par puede expresarse como: T

\

+ r4 F4 sen'l/J = a a (J b B) sen'?/J + (J b B) sen'?/J = 2 2

r2 F2 sen'l/J

1 a b B sen'lj;

(3.9)

o expresado en función del área A = a b de la espira T

=I AB

sen'ljJ

(3.10)

Este resultado se puede generalizar a espiras planas de cualquier forma y de área A mediante técnicas de cálculo de descomponer la espira ·en rectángulos diminutos, semejantes a la espira que hemos analizado. Además si la espira posee N vueltas, el momento del par tiene la magnitud T

=N 1AB

sen'l/J

(3.11)

Definimos el momento dipolar magnético o simplemente momento magnético ¡l de la espira de corriente a:

µ = NI Ar{

(3.12)

donde 1t tiene la misma dirección y sentido que r{, es decir, es perpendicular al plano de la espira. El momento resultante sobre la espira se puede expresar en función del momento magnético como:

120

CAPÍTULO 3. CAMPOS ELECTROMAGNÉTICOS

(3.13)

La. unidad en el SI del momento magnético es el amperio por metro cuadrado ( A

m2).

L

X

Figura 3.6: Ángulo entre las fuerzas y los vectores distancia

3.2.4.

Energía en las espiras

Un campo magnético realiza un trabajo cuando hace girar una espira por la que circula una corriente eléctrica. Cuando el campo magnético es constante, la única variable es el ángulo 1/; o ángulo entre µ y Dado que la fuerza, o el par en este caso, depende de la posición, es útH el concepto de energía potencial para poder aplicar el principio de conservación de la energía. De este modo podemos relacionar la energía potencial U ('lj;) con la posición de la espira en el campo magnético. La variación de energía potencial al hacer girar la espira desde un ángulo inicial hasta un ángulo de 90°, viene dado por el trabajo realizado por el campo magnético al mover la espira entre estos ángulos, con signo negativo:

B.

U('ljJ) - U(90°)

= -

90°

1 't/J

T

d'ljJ

=-

190° (µ 1/J

{90°

J

-µ B 1P

sen'ljJ d'lj;

=µ

B sen'lj;) d'lj;

=

B cos90° - µ B cos'lj)

121

FUNDAMENTOS FÍSICOS DE LA INFORMATICA

el coseno de 90° es cero, resultando:

U( 'ljJ) - U(90°) Si se escoge por comodidad U perpendicular a se obtiene:

B

u ('1/.J) =

=

= -µ B

B cos '!jJ =

(3.14)

= 90°, es decir, cuando

O cuando 1/J

- µ

cos 'ljJ

-1! . B

µ

es

(3.15)

Vemos que la energía potencial es mínima cuando el ~omento magnéticoµ está alineado con el campo magnético esto es, cuando el ángulo entre ellos es 1/; = O. Por consiguiente, la orientación en la que ambos vectores están alineados es un punto de equilibrio estable. Este resultado está de acuerdo con lo dicho anteriormente de que el par tiende a hacer girar a la espira hasta que µ y queden alineados.

E,

B

EJEMPLO

3.3

Supongamos una espira circular de hilo conductor, de 6 cm de diámetro con 8 vueltas por la que circula una corriente de 4 A. El eje de la espira un ángulo de 60º con un campo magnético de 0'5T. Determinar el módulo del momento que actúa sobre la espira. El momento de la fuerza en la espira viene dado por la ecuación (3.13) y su módulo: 171 = x = µBsena = NI ABsena

Jµ B\

µ

donde = NI del enunciado:

A y a el ángulo entre ambos vectores.· Sust ituyendo los valores

17! = 8 · 4 · 7r • 0'03 2 · 0'5 · sen60° = 3'92 · 10-2 N 3.3.

·m

Líneas de campo magnético

En general, la dirección del campo víerie determinada por la dirección de las líneas de campo y la magnitud del campo por su densidad. Así, el campo magnético puede ser representado por líneas de campo magnético de la misma forma que las líneas de campo eléctrico representan a los campos eléctricos. Sin embargo, existen dos diferencias entre las líneas de campo eléctrico y las líneas de campo magnético:

122

CAPÍTULO 3. CAMPOS ELECTROMAGNÉTICOS

l. Las líneas de campo eléctrico poseen la dirección de la fuerza eléctrica sobre

una carga positiva mientras que las líneas de campo magnético son perpendículares a la fuerza magnética sobre una carga móvil. 2. Las líneas de campo eléctrico comienzan en las cargas positivas y terminan en las cargas negativas; las líneas de campo magnético forman circuitos cerrados. Como los polos magnéticos aislados no existen, no hay puntos en el espacio en donde las líneas de campo magnético comiencen o terminen.

A modo de ejemplo 1 en la figura 3.7 (a) se muestran las líneas de campo magnético creadas por un imán y en la figura 3. 7 (b) las líneas de campo creadas por dos imanes colocados con los polos iguales enfrentados. Observe como ·en este último caso, en la zona entre los dos imanes vemos que no existen líneas de fuerza que conecten a los dos imanes.

(a)

(b)

Figura 3.7: Líneas de campo magnético creadas por imanes. (a) Líneas de campo creadas por un único imán. (b) Líneas de campo creadas por dos imanes con sus polos iguales enfrentados

3.4.

Efecto Hall

El efecto Hall nos permite determinar el signo de los portadores de carga de una corriente. Pensemos que una corriente, por ejemplo hacia la derecha, puede estar producida por el movimiento de cargas positivas hacia la derecha o bien el movimiento de cargas negativas hacia la izquierda. Hemos estudiado que cuando las cargas se mueven en un campo magnético experimentan una fuerza perpendicular a su movimiento lo que produce que las cargas sean impulsadas hacia un lado del alambre conductor. En consecuencia, se produce una separación de cargas que denominamos Efecto Hall. Este fenómeno nos permite determinar el signo de la

123

FUNDAMENTOS FÍSICOS DE LA INFORMÁTICA

carga de un portador y el número de portadores por unidad de volumen de un conductor. Supongamos que disponemos de una cinta de metal de longitud L, a la cual se la aplica una diferencia de potencial de un extremo al otro con lo que aparece una corriente J. Ésta se coloca en el interior de un campo magnético uniforme, perpendicular a la cinta (ver figura 3.8).

L

V

® Figura 3.8: Cinta conductora perpendicular a un campo magnético constante

F

La fu~rza magnética sobre la cinta viene dada por la ecuación (3.7), = I x Vemos que esta fuerza se dirige hacia -Y según la regla de la mano derecha, es decir, hacia la izquierda de la figura 3.8. Si hubiéramos empleado la expresión de la fuerza sobre una única carga dada por la expresión (3.1) , = q7l x obtendríam~s el mismo resultado ya que si las cargas en movimiento fueran positivas y dado que la corriente va en dirección +z, entonces la velocidad de las cargas también va en dirección +Z. Según la regla de la mano derecha, la fuerza se dirige hacia a. Sin embargo, si las cargas en movimiento son negativas su velocidad tiene la dirección -Z. El producto 1f x se dirige hacia la derecha pero q es negativa provocando que q7l x dirija hacia la izquierda. Por consiguiente, en ambos casos existirá una concentración de portadores de carga en el lado izquierdo de la cinta. Esa concentración continúa hasta que la fuerza de Coulomb producida por los portadores de carga acumulados en el lado izquierdo compense la fuerza magnética. Se establece un equilibrio para un potencial eléctrico entre los puntos a y b que evita el movimiento de más cargas hacia la izquierda. Entonces

(1 B).

F

B,

B se

124

B

CAPÍTULO 3. CAMPOS ELECTROMAGNÉTICOS

las cargas se mueven sobre la cinta hacia arriba como lo harían si no hubiese campo magnético. El signo de la diferencia de potencial entre los puntos a y b determina el signo de los portadores de la carga. Así, si los portadores de carga son negativos las cargas negativas se acumulan al lado izquierdo de la cinta haciendo que el punto a esté a menor potencial que el punto b. Por el contrario, si los portadores de carga son positivos, las cargas que también se acumulan en el lado izquierdo de la cinta, harán que el punto a tenga mayor potencial que el punto b.

3.5.

Campo magnético creado por cargas puntuales en movimiento

Hemos visto como las cargas móviles, o las corrientes eléctricas, situadas en un campo magnético están sometidas a fuerzas; veamos ahora, el segundo aspecto del problema, es decir, el campo magnético creado por dichas cargas en movimiento. La primera experiencia que puso de manifiesto el campo magnético creado por la corriente eléctrica fue la de Oersted el cual observó la desviación experimentada por una aguja imantada situada en las proximidades de un conductor cuando pasa corriente. La aguja tiende a colocarse normal al conductor, esto es, en la dirección del campo.

r;,

Ji

El campo magnético creado en un punto p, situado en por una carga q positiva que se mueve en el vacío a una velocidad -J en la posición -;;7, viene dado por (ver figura 3.9): = µo q-;¡¡ x 7) (3.16) 3

("rt -

B

4 1r

lrt- 71

en donde µo es una constante de proporcionalidad llamada permeabilidad del vacío que se define como la capacidad de un material o medio para atraer y hacer pasar a través de él campos magnéticos. Su valor y unidad en el SI es:

µ 0 = 41r 10

_7T

·m _ N A = 41r 10 7 A 2

(3.17)

Esta ecuación muestra la forma del campo magnético debida a una carga en movimiento. Nótese como el campo es dependiente del tiempo ya que la posición del punto p varía al alejarse o acercarse la carga. La dirección del campo magnético vendrá dada por la regla del tornillo haciendo girar el vector 11 hacia el vector

(1-7). 125

FUNDAMENTOS FÍSICOS DE LA INFORMÁTICA

Fínahnente comentar que una carga puntual en movimiento no produce un campo magnético estático. Al ir acercándose al punto el campo magnético aumenta y disminuye a medida que la partícula se aleja de él.

EJEMPLO

3.4

Supongamos una carga q = 5 nC la cual se mueve con una velocidad de 2·104 m/s a lo largo del eje X, esto es, -:¡j = (2 ·104, O, O). Se desea determinar el campo magnético en el punto p con = (2, 3, O) m producido por esta carga cuando se encuentra situada en 7 = (5, O, O) m tal y como se muestra en la figura 3.9.

r;

z

y

p

\

Figura 3.9: Vectores de posición y campo magnético creado por una carga q en movimiento situada en un punto p

El vector distancia y su módulo vienen dados por:

f"*7 p

,r; - 7¡

(- 3, 3,0) m 3v'2m

Aplicando la ecuación (3.16) se calGula el campo magnético:

41r · 10- 7 5 · 10-9 · (2 · 104 , o, O) x ( -3, 3, O) 41f (3v'2)3 10- 15 . 10-9 . 6. 104 33. 2v12

126

u; = 0'3918 . 10-12 v! T z

CAPÍTULO 3. CAMPOS ELECT ROMAGNÉTICOS

3.6.

Campo magnético creado por corrientes eléctricas: Ley de Biot y Savart

El campo magnético estático sólo es producido por una corriente eléctrica estacionaria y es una superposición de aportaciones debidas a elementos pequeños de la trayectoria de la corriente. Supongamos, así, que se tiene un alambre conductor por el que circula una corriente eléctrica I, esto implica que existe movimiento de cargas y por consiguiente, aparecerá un campo magnético. Para deducir dicho -+ campo basta con considerar un elemento diferencial de corriente I d l . El campo magnético d producido por ese elemento diferencial viene dado por:

B

d

B = µo I 41r

-:}

~

=7"

d l x ( r2 - r1)

(3.18)

¡r1 - rt¡3

donde ~ es el vector de posición del punto donde queremos calcular el campo magnético, esto es, el punto P y rI es el vector de posición del elemento diferencial d (ver figura 3.10). A esta ecuación se la conoce como ley de Biot-Savart. Así, para calcular el campo magnético debido a un conductor, basta con integrar la ecuación anterior aplicada al camino que marca el conductor.

1

z

p

y

Figura 3.10: Vectores distancia para el cálculo del campo magnético creado por un segmento de alambre conductor En la ley de Biot-Savart, como en la de Coulomb, la intensidad de campo es -4 directamente proporcional a la de la fuente (en este caso I d l ) e inversamente proporcional al cu adrado de la distancia. Sin embargo, la regla d e la dirección del campo magnético es muy distinta a la del c~po eléct rico. Mientras que el campo eléctrico apunta en la dirección radial, el campo magnético es perpendicular tanto a la dirección de la fuente como a la del vector r[) de la fuente al

(r1' -

127

FUNDAMENTOS FÍSICOS DE LA INFORMÁTICA

-ry

.

punto. EvidentementeJ la dirección de d l está determinada por la dirección de la corriente. En resumen, el campo magnético debido a la corriente total en un circuito se calcula mediante la ley de Biot-Savart sumando (integrando) todos los elementos de corriente del circuito. En general, este cálculo es complicado exceptuando los casos de circuitos de geometría sirnple que son los estudiados en esta asignatura. Veamos algunos ejemplos de cálculo del campo magnético. EJEMPLO

3.5

Supongamos un segmento de alambre conductor de longitud L por el que circula una corriente I, coincidente con el eje z. Se desea determinar el crunpo magnético en un punto p situado sobre el eje de coordenadas Y, a una distancia b del origen de coordenadas. El vector distancia es:

ri = (O, O, a), r:! = (O, b, O), (r:! - Tí) = (O, b, -a) Nótese que b es un valor constante pero a varía con la posición del elemento Para facilitar la integral vamos a expresar a en función de un diferencial ángulo 0 (ver figura 3.11).

&.

z

p

y

Figura 3.11: Cálculo del campo magnético creado por un segmento de alambre conductor

128

CAPÍTULO 3. CAMPOS ELECTROMAGNÉTICOS

= b tg 0 y operando resulta que el módulo del vector

Teniendo en cuenta que a (r1 - ri) viene dado por:

J b2 + a 2 =

!r1 - rII

2

)b2 + b2 tg 2 0 =

b / 1 + sen 0 V cos2 0

= b cos 0

.

~

Por otro lado, tenemos que d l = (O, O, da), como a = b tg 0 derivando resulta . da= cC:,2 0 d0 con lo que d l = (O, O, cC:,2 0 d0). Así, el producto vectorial es: ~

~

dl

'"""7::+ X ( r2 - r1)

= -b2d0::--:-t Ux 2 cos 0

siendo~ el vector director en la dirección del eje de coordenadas X. Finalmente, calculamos el campo magnético aplicando la ecuación (3.18) e integrando:

B

El signo menos indíca que, en este caso, el sentido del campo magnético sigue la dirección del eje X negativa. Generalizando este resultado tenemos que el módulo del campo magnético creado por un alambre viene dado por: (3.19) ~

y el sentido se determina mediante la regla del tornillo entre los vectores d l y

(r1 - rt).

Cuando el alambre es muy largo, esto es, L > > b entonces se puede considerar que 01 '.::::: 27r y 02 ~ ~ resultando que la magnitud del campo magnético viene dada por: B= µo I (3.20) 21rb

129

FUNDAMENTOS FÍSICOS DE LA INFORMÁTICA

En resumen, vemos que en cualquier punto del espacio, las líneas de campo magnético de un conductor largo y rectilíneo que transporta una corriente son tangentes a una circunferencia de radio b alrededor del conductor, en donde b es la distancia perpendicular desde el conductor al punto. Su dirección puede determinarse aplicando la regla de la mano derecha como indica la figura 3.12.

Figura 3.12: Regla de la mano derecha para calcular la dirección del campo magnético creado por un alambre indefinido EJEMPLO

3.6

Supongamos una espira cuadrada de lado L = l m por la que circula una corriente de intensidad J = 2A según muestra la figura 3.13. Se desea calcular el campo magnético en el centro de la espira. El campo magnético en un punto cualesquiera es la suma de las contribuciones debidas a cada uno de los lados del cuadrado. Además, como el punto es el centro de_ la espira implica que dichas contribuciones serán idénticas por lo que la magnitud del campo magnético será cuatro veces la de una de sus lados.

L

Figura 3.13: Espira cuadrada de lado L Para calcular el módulo del campo magnético creado por uno de los lados, por ejemplo el derecho, aplicamos la ecuación 3.19, t eniendo en cuenta que b = ½, 01 = -¡ y 02 = ¡, resulta :

µo I B1 = - b (sen02 - sen01) 47r

130

=

µo I 1r -1[ - sen- ) L (sen 4 4 k -2

=

µo I 1r L (2 sen ) 4 k -2

CAPÍTULO 3. CAMPOS ELECTROMAGNÉTICOS

,ustituyendo valores: B1

= 10- 7

2 7 o, 5 2 sen!!.4 = 5, 66 10- T

La magnitud del campo magnético total será cuatro veces el valor anterior: Br

=

4 B1=22,6310- 7 T

La dirección se determina aplicando la regla de la mano derecha. Nótese que cada .a.do produce un campo magnético apuntando hacia dentro de la página. EJEMPLO 3.7

Supongamos una espira circular de alambre de radio R, situada en el ?lano XY y centrada en el origen de coordenadas por la que circula una :orriente J tal y como se muestra en la figura 3.14. Se desea calcular el :ampo magnético creado por la espira en un punto del eje Z.

De acuerdo con la figura 3.15 (a), el vector distancia y su módulo, expresados en :unción del ángulo 0, son:

Ti

R cos0 ~ + R sen0

~

z

(~ - Tí) lr1 - rfl

v;t

ut

- R cos 0 ~ - R sen0

JR2

üt + z ii;

+ z2

i\.nálogamente, el elemento diferencial :ver figura 3.15 (b))

dl en función del ángulo 0 viene dado por

d1 = -R sen0 d0 ~ + R

cos0 d0

ut

z p

y

Figura 3.14: Espíra circular

131

FUNDAMENTOS FÍSICOS DE LA INFORMÁTICA

El producto vectorial d ( d

Ti) será:

x (~ -

1 x (~ - rf) = R z

cos 0 d0

~+R z

sen0 d0

iit + R

2

d0

u!

A continuación, calculamos el campo magnético aplicando la ecuación (3.18):

µo I R z cos 0 d0

u; + R z sen0 d0 iit + R 2 d0 u"t (R2 + z2) i

47r

z

y

............

y

·······:),,. d0

X

(a)

(b)

Figura 3.15: Campo magnético creado por una espira circular por la que circula una corriente l. ( a) Vectores distancia definidos en la espira. (b) La espira vista desde arriba

La integral de los dos primeros términos de la expresión de después de la igualdad es cero de modo que la expresión final para el diferencial del campo magnético es: (3.21) integrando y operando resulta finalfi1:ente:

B = µo I

R2

3

41r (R2 + z2 ) 2

-::t _

H -

132

u;

µo I

R2

2

(R2 + z2):~

--

[B]~1r ~

3 Uz

(3.22)

CAPÍTULO 3. CAMPOS ELECTROMAGNÉTICOS

EJEMPLO 3.8

Supongamos una espira circular de radio 10 cm y 20 vueltas que se encuentra en el plano XY. Por ella circula una corriente de 5A en un sentido tal que el campo magnético de la espira está dirigido a lo largo del eje Z. Se desea determinar dicho campo magnético en el origen de coordenadas. El campo magnético debido a una bobina de N vueltas es N veces mayor que el campo magnético debido a una sola vuelta por tanto, debemos multiplicar. la expresión (3.22) por N. Por otro lado, en el origen de coordenadas z es igual a cero por lo que la ecuación para determinar el campo magnético (3.22), calculada en el ejemplo anterior, queda finalmente:

B-µoNI~ 2 R Uz sustituyendo los valores del ejemplo se obtiene:

B=

7

41r 10- 20 5:-:+

2 10 lQ- 2

=

Uz

27f 10-4

v!T 2

Si en lugar de hacer el cálculo en el origen de coordenadas nos pidieran calcular el campo magnético en un punto p del eje Z, por ejemplo en el punto z = 1, resulta sustituyendo valores:

B = µo N

I

2

EJEMPLO

R2

3

(R2 + z2) 2

ut =

41r 10-7 20 5 2

O, 12

(12

3

+ o, 12) 2

iit = 6, 19 10- 7 u';T

3.9

Calcular el campo magnético en un punto P del interior de un solenoide situado sobre su eje tal y como se muestra en la figura 3.16 (b). Un solenoide puede describirse como un alambre con N vueltas uniformemente ~nrollado en una forma cilíndrica de radio R y longitud L formando una hélice 3egún se muestra en la figura 3 .16 (a) . 81 campo m agnético de un solenoide es el de una serie de N espiras circulares idénticas, situadas unas junto a otras. Para calcular el campo magnético en un punto zo del interior del cilindro del solenoide, vamos a dividir la longitud L en ~lementos diferenciales dz, como se muestra en la figura 3.16 (c) . Seguidamente

133

FUNDAMENTOS FÍSICOS DE LA INFORMATICA

aplicamos la ecuación (3.22) a cada elemento díferencíal para calcular el campo magnétíco que éste crea y después sumaremos (integraremos) todos estos campos.

z

z

R

R

......... p L

L

zo

dz

(b)

(a)

(e)

Figura 3.16: (a) Solenoide. (b) Sección transversal de un solenoide. (e) Ángulos considerados para el cálculo del campo magnético en el interior de un solenoide

Teniendo en cuenta que el elemento diferencial dz contiene N fz vueltas y que la distancia desde el elemento diferencial al punto P es zo - z, si sustituimos en la expresión (3.22) ~ encontramos que el elemento diferencial del campo magnético es:

Para resolver esta integral sabemos, por trigonometría) que z0 derivada dz = resulta:

se: cx da. Haciendo el cambio de variable zo - z 2

-::t-

H

134

=

µoNI L (COS 0'.1 2

:-:-1' -

COS 0:1) U z

=

-

z =

t:a

t:cx,

y su

e integrando

(3.23)

CAPÍTULO 3. CAMPOS ELECTROMAGNÉTICOS

Si el solenoide es largo comparado con su radio, es decir, L >> R y el punto donde calculamos el campo magnético no está próximo a los extremos, entonces cqse aproxima a cero con lo que su coseno resulta ser 1, mientras que a 2 se aproxima a n con lo que su coseno se aproxima a -1. Con esta aproximación, el campo magnético en el interior de un solenoide es:

B =µo Niu;

(3.24)

L

En cambio, si el punto donde queremos calcular el campo está en un extremo del solenoide, implica que uno de los ángulos será aproximadamente ~ siendo su coseno cero mientras que el otro tiende a cero o a n grados por lo que su coseno es 1_ o - 1, de modo que el campo magnético será:

B = µo NI "i?;

(3.25)

2L

es decir, la magnitud del campo magnético en un punto próximo a cualquiera de los extremos de un solenoide largo es aproximadamente igual a la mitad que en los puntos interiores al solenoide lejos de los extremos. La figura 3.17 muestra el valor del campo magnético de un solenoide en función de la posición. Observe como la magnitud del campo magnético en el interior del solenoide es constante excepto cerca de los extremos.

1.B

1.4

1.2

º·~o

40

-30

-20

-10

O

10

20

3040

50

Figura 3.17: Magnitud del campo magnético en el interior de un solenoide

FUNDAMENTOS FÍSICOS DE LA INFORMÁTICA

3. 7.

Flujo magnético

Se puede definir el flujo magnético como el flujo del campo a través de cualquier superficie. El flujo de un campo magnético a través de una superficie se determina de un modo semejante al flujo de un campo eléctrico. Sea dA un elemento de área sobre la superficie y ri el vector unitario perpendicular al elemento. El flujo magnético se define por la expresión:

(3.26)

La unidad del flujo magnético es la unidad del campo magnético por la unidad del área, es decir, tesla por metro cuadrado. A esta unidad se la denomina weber

(Wb): 1Wb=lT.m2 Dado que el campo magnético es proporcional al número de líneas de campo magnétiG? por unidad de área, el flujo magnético es proporcional al número de líneas que atraviesan el área. EJEMPLO 3.10

Supongamos un solenoide de 1 metro de longitud, 5 centímetros de radio y 200 vueltas por el que circula una intensidad de corriente de 10 A . Se desea calcular el flujo magnético en ef interior del solenoide. Para calcular el flujo aplicando la ecuación (3.26), en primer lugar , es necesario calcular el campo magnético. La expresión de su magnitud para el caso del solenoide ya fue calculada anteriormente, siendo:

B= µo N ( L Además, hemos estudiado que el campo magnético dentro del solenoide es constante y paralelo al eje del solenoide, es decir, es perpendicular al plano de las espiras por lo que el flujo a través de la espira vendrá dado por:

136

CAPÍTULO 3. CAMPOS ELECTROMAGNÉTICOS

B

siendo a el ángulo entre y ti. Sabiendo que el área de la espira es A que el solenoide está compuesto por N espiras 1 se obtiene finalmente:

cp = N B

7r r2

= N µo N I

7r r2

L

= µo

N2 I

7r r2

= 1rr2

y

( 3.27)

L

Sustituyendo valores: e/>

= 41r · 10-7 · 200 · 10 · 7r • (0'05) 2 = 197, 39 . 10_ 7 Wb 1

3.8.

Ley de Gauss para el magnetismo

Sabemos que el flujo es una medida del número total de líneas de fuerza que pasan a través de cualquier superficie. Para el caso particular de un dipolo eléctrico veíamos que el flujo que sale de la carga positiva se equilibra con el flujo entrante en la carga negativa de manera que el flujo total a través de una superficie cerrada era igual a cero. Pues bien 1 al flujo magnético le ocurre algo parecido ya que todos los imanes al tener siempre un polo norte y un polo sur son como los dipolos, con lo que el flujo magnético total a través de cualquier superficie cerrada Ses siempre cero es decir, el flujo saliente del polo norte está siempre compensado con el flujo entrante en el polo sur. 1

(3.28)

3.9.

Ley de Ampere

La ley de Ampére, descubierta por André-Marie Ampére en 1826, relaciona un campo magnético estático con la causa que lo produce, es decir, con una corriente estacionaria. James Clerk Maxwell la redefinió posteriormente y ahora es una de las ecuaciones de Maxwell, formando parte del electromagnetismo de. la física clásica. La ley de Ampére relaciona la integral de línea de la componente tangencial del campo magnético, Bt 7 alrededor de una curva cerrada C, con la corriente I que atraviesa la superficie limitada por esa curva. En forma matemática, la ley de Ampére se escribe:

i B· 1 d

=

j Bt dl

= µ0 I

(3.29)

137

FUNDAMENTOS FÍSICOS DE LA INFORMÁTICA

en donde · representa el producto escalar e I es la corriente que penetra en el área limitada por la curva C. El sentido positivo para el camino de integración viene dado por la dirección de la corriente de acuerdo con la regla de la mano derecha. La ley de Ampére se cumple para cualquier curva siempre y cuando las corrientes sean estacionarias y continuas, es decir, que la corriente no varía en el tiempo y que no exista acumulación espacial de carga. La integral 1f · d se denomina

Pe

circulación del campo magnético

B a lo largo de la curva C.

1

La ley de Gauss nos permitía calcular el campo eléctrico producido por una distribución de cargas cuando éstas tenían simetría (esférica, cilíndrica, en un plano cargado o en una línea cargada ) . Del mismo modo, la ley de Ampere nos permitirá calcular el campo magnético producido por una distribución de corrientes cuando existe cierta simetría. Los pasos que hay que seguir para aplicar la ley de Ampére son similares a los definidos en la ley de Gauss: l. Dada la distribución de corrientes, deducir la dirección y sentido del campo magnético.

2. Elegir un camino cerrado apropiado, atravesado por las corrientes y calcular la circulación del campo magnético. Un camino apropiado es aquél en el que el campo magnético se mantiene constante y tangente a éste. 3. Determinar la circulación (el primer miembro de la ley de Ampére), es decir, la integral:

4. Determinar la intensidad de la corriente neta que atraviesa el camino cerrado. 5. Aplicar la ley de Ampére y despejar el módulo del campo magnético. A continuación, vamos a aplicar la ley de Ampere al cálculo del campo magnético creado por diferentes distribuciones de corriente en un conjunto de ejemplos. EJEMPLO

3.11

Supongamos que disponemos de un alambre largo y recto de sección circular de radio R, que transporta una corriente de intensidad I uniformemente distribuida en toda el área transversal del conductor. Se desea determinar el campo magnético dentro y fuera del alambre.

138

CAPÍTULO 3. CAMPOS ELECTROMAGNÉTICOS

para calcular el campo magnético vamos a aplicar la ley de Ampere dado el alto grado de simetría. Pasos: l. La dirección del campo magnético se obtiene aplicando la regla de la mano

derecha con el dedo pulgar indicando el sentido de la corriente. Evidentemente, La dirección del campo en un punto P, es perpendicular al plano determinado por la corriente y el punto. 2. Elegimos como camino cerrado una circunferencia de radio r, centrada-en la corriente rectilínea, y situada en una plano perpendicular a la misma tal y como se muestra en la figura 3.18. Nótese como el campo magnético es tangente a la circunferencia de radi~, con el mismo valor a lo largo de la circunferencia y paralelo al vector d l .

E

3. La circulación vale:

By

siendo a el ángulo que forma el campo magnético el elemento diferencial -+ del camino cerrado d l , que en este caso es de cero grados al ser paralelos. Resulta así:

i B· 1 d

=

Pe B

cosOºdl = B

Pe di= 21rr B

4. Fuera del alambre, r > R, la corriente que pasa a través de la curva Ces I (ver figura 3.18 (a)). Sin embargo, dentro del alambre, r < R, la corriente que pasa a través de C es 1r 2 1rr2 dado que la corriente por unidad de volumen es 1r~2 al estar uniformemente distribuida en toda el área transversal.

1

5. Aplicamos la ley de Ampere y despejamos la magnitud del campo magnético

en ambos casos. • En el exterior, 21r r B = µo I

de donde despejando se obtiene:

B= µo 1 (3.30) 21r r para r > R. Nótese que la expresión obtenida para el exterior es la misma expresión que obtuvimos aplicando la ley de Biot-Savart.

139

FUNDAMENTOS FÍSICOS DE LA INFORMÁTICA

• En el interior, 1rr2

21r r B

= µo I 1r R 2

de donde despejando se obtiene:

B

= µo

Ir

(3.31)

21rR2

parar< R.

1 .8

(a)

(b)

Figura 3.18: (a) Campo magnético creado por un alambre indefinido. (b) Relación entre el campo magnético creado por un alambre y la distancia perpendicular al alambre

Observe que dentro del alambre, el campo magnético crece con la distancia desde el centro del alambre. En la figura 3.18 (b) se muestra el gráfico de B en función de r para este ejemplo. EJEMPLO

3 .12

Se desea calcular el campo magnético en el interior de un toroide formado por N vueltas de alambre enrolladas en un aro de radio interior a y exterior by por el que circula una corriente I (ver figura 3.19). Aplicamos la ley de Ampere siguiendo los pasos descritos anteriormente: 1. El campo magnético es tangente al círculo y constante en magnitud en todos los puntos de la circunferencia.

140

CAPÍTULO 3. CAMPOS ELECTROMAGNETICOS

2. Elegimos como camino cerrado una circunferencia de radio r centrada en el centro del toroide tal y como se muestra en la figura 3.19.

,,. . . . . -----..:. .. <~~-:;, : '

I

.

1

~

b

°':X •:, 'y

·;~

''\ 5.)._l f

: .•... ··· : ._ :';

,'. i

..,./;:>/

·, -.zz:::~:.,,.•.,·

Figura 3.19: Toroide

3. La circulación vale:

fa B. d1 = fa B

COSQ

dl -:7

siendo a el ángulo entre el vector campo magnético y d l que en este caso, al ser paralelos resulta ser a= 0 1 con lo que resulta:

4. La corriente que atraviesa la circunferencia de radio r es I: le =NI 5. Aplicarnos la ley de Ampere: B 21rr

= µ,o

N I

despejando resulta que el módulo del campo eléctrico es:

B

= µoN I 21r r

(3.32)

cuando a < r < b. Nótese que si r < a no existe corriente que atraviese la circunferencia y, por tanto, el campo magnético será nulo. Por otro lado, si r > b la corriente total

141

FUNDAMENTOS FÍSICOS DE LA INFORMÁTICA

que atraviesa la circunferencia es cero ya que por cada corriente I hacia dentro existe otra de igual magnitud hacia fuera por lo que la corriente total es cero. Esto produce que el campo magnético sea nulo también en este caso. EJEMPLO

3.13

Supongamos dos conductores paralelos, de longitud L, situados a una distancia d uno del otro tal y como muestra la figura 3.20, y por los que pasan corrientes I 1 e I 2 • Entre ellos existen acciones electromagnéticas que hacen que exista entre ambos una fuerza atractiva o repulsiva dependiendo de si las corrientes circulan en el mismo sentido o en sentido opuesto. Se desea determinar el valor de dichas fuerzas en función de las intensidades que circulan por los conductores. ( Considérese que d <<< L). d

11

12

Figura 3.20: Conductores rectilíneos y paralelos portadores de corriente ---+

La corriente I 1 crea un campo magnético B 1 . Este campo magnético crea una ==--t fuerza sobre el conductor 2 la cual es perpendicular al elemento dh tal y como se muestra en la figura 3.21. Esto se cumple para todos los elementos de corriente a lo largo del conductor. El valor de dicha fuerza vendrá dado por: -=-=--t

dF12

= 12

-:-:+

dl2

~

X

B1

que como vemos está dirigida hacia el conductor l. Como el campo magnético en ~ ---:-+ el elemento diferencial I2 dl 2 es perpendicular a B1 tenemos:

Como la distancia entre los conductores es mucho m enor que sus longit udes, po--t demos decir que el campo en I 2 dl2 debido a la corriente I1 es aproximadamente

142

CAPÍTULO 3. CAMPOS ELECTROMAGNÉTICOS

igual al campo debido a un conductor infinito por el que circula una corriente Ji dado por la ecuación (3.20): · B _ µoh 1 - 21rd -:-:+

con lo que la fuerza sobre el segmento I2 dl2 será: dF12

= 12

µ0I1 dh 1rd 2

y su valor por unidad de longitud:

dF12

~

=

I µoli 2

21rd

=

µº ]¡ I2 21r_d_

12

Figura 3.21: -::-+

Análogamente, la corriente I2 crea un campo magnético B2. Este campo crea una -+ fuerza sobre el conductor l la cual es perpendicular al elemento dli , dirigida hacia el conductor 2 y cuyo valor se calcula de manera semejante al caso anterior. Finalmente subrayar que las corriente paralelas se atraen una a la otra, tal y como hemos visto. Lógicamente si una de las corrientes se invierte, también se invertirá la fuerza con lo que los conductores se repelen.

3.10.

Ley de Faraday y Ley de Lenz

La inducción electromagnética fue descubierta casi simultáneamente y de forma independiente por Michael Faraday y Joseph Henry.· Los experimentos desarrollados por Faraday dieron como resultado que en un circuito se induce una fuerza

143

FUNDAMENTOS FÍSICOS DE LA INFORMÁTICA

electromotriz ( f.e.m.) proporcional a la variación del flujo a través de la superficie que limita el circuito. Esta variación puede ser debida a un carnbio con el tiempo del campo magnético al movimiento del circuito dentro de un campo magnético o ambas situaciones. Por otro lado, la ley de Lenz establece que la corriente debida a la f.e.m. inducida se opone al cambio de flujo, es decir, la corriente inducida crea un campo magnético que tiende a conservar el flujo. Así, si disminuye el flujo, la corriente inducida crea un campo que se opone a esta disminución. El campo inducido no siempre tiene dirección y sentido opuesto al campo inductor; por ejemplo, si decrece el flujo la corriente inducida crea un campo del mismo sentido para que no disminuya el flujo.

B,

La expresión matemática que resume estas dos ideas se conoce como Ley de Faraday y nos dice que la f.e.m. inducida, {, es igual a menos la derivada del flujo con respecto al tiempo:

~ = - dcp

(3.33)

dt

Esta ecuación podemos expresarla en función del campo eléctrico que actúa sobre las cargas en el conductor y del campo magnético que origina el flujo magnético sobre la superficie S que limita el conductor C. Así, la fuerza electromotriz debida a un campo no conservativo viene dada por:

E

(3.34)

B

y el flujo del campo magnético sobre la superficie S que limita el contorno C viene dado por la ecuación (3.26), que repetimos aquí por comodidad:

(3.35) Utilizando las dos ecuaciones anteriores, podemos expresar la ley de Faraday como:

(3.36) Esta expresión representa una ley general que se aplica a cualquier contorno C, exista o no un conductor sobre C. Es, precisamente una de las ecuaciones fundamentales del electromagnetismo (una de las ecuaciones de Maxwell). Esta ley nos dice que un campo eléctrico puede ser generado por el flujo variable de un

144

CAPÍTULO 3. CAMPOS ELECTROMAGNÉTICOS

campo magnético. Es una ecuación de carácter general y refleja como el campo eléctrico no es conservativo cuando su origen es un campo magnético que varía con el tiempo. Además muestra la dependencia entre los dos campos.

Para la generación de energía eléctrica en nuestra sociedad se utiliza, en muchos casos, la ley de inducción de Faraday. Por ejemplo, la transformación de energía mecánica en corriente eléctrica se consigue con el generador de corriente alterna el cual consiste básicamente en una bobina de N espiras. Esta bobina se coloca en un campo magnético constante y se hace girar respecto a un eje perpendicular al campo. Al girar la bobina, en el campo magnético cambia el flujo magnético que la atraviesa y se induce una f.e.m. Si el conductor del devanado del generador se conecta como elemento de un circuito, entonces se genera una corriente eléctrica alterna en el circuito. En la práctica, los generadores emplean la potencia mecánica del vapor caliente o de las caídas de agua, para hacer girar grandes turbinas en campos magnéticos permitiendo generar energía eléctrica la cual se transmite en forma de corriente alterna. Una vez transmitida se emplea para hacer trabajar motores convirtiendo, de nuevo, la energía eléctrica en energía mecánica. Tal y como hemos dicho, la variación del flujo puede lograrse de tres maneras distintas: (1) por variación del campo magnético en el tiempo; (2) por movimiento del circuito dentro de un campo magnético y (3) por ambas causas. En las siguientes secciones, vamos a estudiar únicamente los dos primeros casos ya que el tercero se sale fuera del alcance de esta asignatura.

3.10.1.

Medios estacionarios

En este caso el circuito no se mueve ni cambia de forma o tamaño. La variación del flujo magnético únicamente es debida al cambio del campo magnético con el tiempo. Teniendo en cuenta esto, la ecuación (3.36) queda de la siguiente forma:

11.dt=-~ f1.i1 rc &t ls

(3.37)

Cuando se introduce en un campo magnético variable con el tiempo un conductor, el campo magnético produce un campo eléctrico variable en el interior del conductor que ejerce una fuerza sobre los electrones libres y, por tanto, se induce una corriente. Esta corriente, a su ve:z, genera un campo magnético que se opone a los cambios de flujo debidos al campo magnético variable. Por otro lado, la corriente inducida, disipa energía debido a que la conductividad del conductor es finita y, como consecuencia, se calienta. Precisamente, este fenómeno es el método

145

FUNDAMENTOS FÍSICOS DE LA INFORMÁTICA

de calentamiento por inducción, que se usa en la soldadura de metales y en las cocínas por inducción. EJEMPLO

3.14

Supongamos que tenemos una espira plana y circular de radio R y con N espiras, situada en el plano XY. El campo magnético es variable con el tiempo y viene dado por = B cos wt ~. Se desea calcular la fuerza electromotriz inducida en la espira.

B

Se trata de un medio estacionario dado que la espira permanece siempre en el mismo lugar. Lo que varía con el tiempo es el campo magnético lo cual induce una fuerza electromotriz dada por:

~=115.d1 =-_i fB-dA Jc 8t } 8 En el flujo del segundo miembro debemos tener en cuenta que el campo magnético atraviesa N espiras. Considerando una sola espira y que el vector normal a la superficie, de ésta es ti =

üt:

Is B ·

dÁ = B coswt

~ 1f R 2 ~ =

R 2 coswt

B

1f

1r

R- sen wt

La f.e.m. inducida en las N espiras será:

a

<; = - Bt N B 3.10.2.

1r

R 2 cos wt

=w

N B

9

JVIedios en movimiento

También se produce variación de flujo magnético cuando el circuito se mueve con una velocidad -;¡}' aunque el campo magn~tíco permanezca constante. Para entenderlo veamos un ejemplo. EJEMPLO

3.15

Supongamos una espira cuadrada de lado L situada en un campo magnético constante = B ~ como indica la figura 3.22 en donde se observa que sólo la mitad de la espira está dentro del campo magnético. Se desea calcular la f.e.m. inducida en la espira en (1) cuando se

E

146

CAPÍTULO 3. CAMPOS ELECTROMAGNÉTICOS

desplaza a la derecha a una velocidad de v y (2) cuando se desplaza hacia arriba a una velocidad de v. X

X

X

X

X

X

X

X

X

X

X

X

X

X

X

X

X

X

X

X

X

X

X

X

X

X

X

X

X

X

X

X

X

X

X

X

X

X

X

X

X

X

<

xtl X

X

X

X

)

L

Figura 3.22: Espira cuadrada en movimiento dentro de

un campo magnético

Como se aprecia se trata de un medio en movimiento dentro de un campo magnético constante lo que hace pensar que puede haber una variación del flujo magnético que atraviesa la espira y, por consiguiente, aparezca una f.e.m . inducida la cual viene dada por: f;, = - dcp

dt

Por otro lado, sabemos que el flujo magnético que atraviesa una espira se calcula aplicando la ecuación (3.26):

ri:dA

B

y como y rl son paralelos o lo que es lo mismo de la espira, resulta:

B es perpendicular al plano

rp =BA

siendo A el área de la espira incluida en el campo magnético. Estudiaremos los dos casos: l. Cuando la espira se desplaza a la derecha, el flujo magnético no cambia dado

que tanto el campo magnético como el área de la .espira incluida en él son con stantes 1 siempre que la espira no salga de la región donde se encuentra el campo magnético. Por tanto, tenemos:

(=O

147

FUNDAMENTOS FÍSICOS DE LA INFORMÁTICA

2. Cuando la espira se mueve hacia arriba, el área incluida dentro del campo magnético si que cambia por lo que existe variación del flujo magnético. Así, la f.e.m. inducida será: d da

( = - dt (B L a) = - B L dt

donde se ha sustituido A = L a. Sabiendo que dad de movimiento, v, de la espira resulta:

1~ es precisamente la veloci-

f,=BLv

3.11.

Inductancia

En el capítulo 2 vimos como se podía almacenar la energía de un campo eléctrico mediante los condensadores, ahora vamos a almacenar la energía de un campo magnético usando los inductores. Su funcionamiento se basa en la ley de Faraday que, como hemos visto, describe los efectos de los campos magnéticos que cambian. Es importante comentar que los inductores solo son activos cuando cambia la corriente~ Cuando la corriente eléctrica aumenta en un circuito al conectar una batería, el campo magnético alrededor del conductor también aumenta. Al crecer el campo magnético, el flujo magnético que atraviesa el área encerrada por el circuito, aumenta. Según la ley de Faraday formulada por Lenz se induce una f.e.m. en el circuito que se opone a este aumento de flujo. Por consiguiente, la f. e.m. inducida se opone a la f.e.m. de la batería y decelera la corriente. Esto es, las corrientes inducidas siempre se oponen a cualquier cambio en el flujo magnético. El resultado es que las corrientes variables en los circuitos originan efectos de inducción que tratan de reducir la rapidez de cambio de esas corrientes.

De cualquier modo, cuando los efectos del cambio de la corriente eléctrica se producen sobre el mismo circuito hablaremos de autoinducción, mientras que cuando los cambios de la corriente en un circuito induce una f.e.m. en un segundo circuito cercano al primero, decimos que hay una inductancia mutua entre los dos circuitos. ·

3.11 .1.

Autoinducción

Cuando por un circuito circula una corriente eléctrica, se crea a su alrededor un campo magnético . Si varía la intensidad de la corriente, dicho campo también

148

CAPÍTULO 3. CAMPOS ELECTROMAGNÉTICOS

variará y, según la ley de inducción electromagnética de Faraday, en el circuito se producirá una fuerza electromotriz inducida que se denomina fuerza electromotriz autoínducida. Se llama autoinducción de un circuito a la formación de conientes inducidas en el circuito cuando se produce en él variación del propio flujo. Supongamos una bobina por la que circula una corriente J. La corriente produce un campo magnético 11' que varía de un punto a otro, pero en todos los puntos el campo es proporcional a la corriente. Por tanto, el flujo magnético a través de la bobina es proporcional a la corriente: =LI

(3.38)

donde L es una constante llamada autoinducción de la bobina y depende de la forma de la bobina. La unidad en el SI de la inducción es el Henrio que según la ecuación (3.38) es igual a: lH= 1 Wb A

Para calcular la inducción en un circuito por el que circula una corriente I, comenzamos calculando el campo magnético en cada punto de la superficie encerrada por el circuito. A partir de este campo magnético podremos determinar el flujo que atraviesa la superficie y finalmente la autoinducción utilizando la ecuación (3.38). Cuando la corriente de un circuito varía, el flujo magnético debido a la corriente también cambia induciéndose una f.e.m. Como la autoinducción es constante, la variación del flujo está relacionada con la variación de la intensidad por: dm dt

=

d(L I) dt

= L dI dt

Teniendo en cuenta la ley de Faraday resulta:

( = _ dm = _ L dl dt

dt

(3.39)

En resumen, la f.e.m. inducida es proporcional a la variación de corriente. Un solenoide con muchas vueltas posee una gran autoinducción denominándose inductor. En los circuitos, los elementos inductores se presen~a con el símbolo mostrado en la figura 3.23. Normalmente, podemos despreciar la autoinducción del r esto del circuito comparado con la de un inductor.

149

FUNDAMENTOS FÍSICOS DE LA INFORMÁTICA

L

_mn_ Figura 3.23: Símbolo de un solenoide o bobina

EJEMPLO

3.16

Calcular la autoinducción de un solenoide de longitud d y N vueltas por el que circula una corriente I. De acuerdo a la ecuación (3.27) tenemos que el flujo magnético viene dado por:

m = µo n 2 I 1rr2 d siendo n = 1¡ el número de vueltas por unidad de longitud (densidad del devanado). Como vemos el flujo es proporcional a la intensidad. La constante de proporcionalidad es precisamente la autoinducción, '·

ef>m 2 L =-=µon 1rr2 d I Nótese que la autoinducción es proporcional al cuadrado del número de vueltas por unidad de longitud y al volumen (nT2 d) 1 es decir, al igual que ocurre con la capacidad, sólo depende de factores geométricos.

3.11.2.

Inducción mutua

Cuando se dispone de varios circuitos próximos entre sí, el flujo magnético que atraviesa uno de ellos depende de la corriente en este circuito y de la corriente que circula por los circuitos próximos. Supoñgamos dos circuitos próximos uno de otro tal y como muestra la figura 3.24. Por uno de ellos circula una corriente li y por el otro~· El campo magnético en la superficie del circuito 1, es la superposición de B1 debida a I1 y de~ debida a 12, siendo proporcional a Ji ==+ y B2 proporcional a I2, es decir, teniendo en cuenta la dirección de las corrientes y aplicando la regla de la mano derecha para determinar el sentido de los campos magnéticos de ambos circuitos, resulta que el campo magnético viene dado por la -=+ -=+ suma de B1 y B2. Así, podemos escribir que el flujo magnético que atraviesa el

Bi

150

CAPÍTULO 3. CAMPOS ELECTROMAGNÉTICOS

circuito 1, c/>m1, como la suma de dos partes, una proporcional a la corriente la otra proporcional a la corriente 12:

Ii

y

(3.40)

en donde L1 es la autoinducción del circuito 1 y M 1 ,2 la inducción mutua de los dos circuitos. Evidentemente, si ambos circuitos están bastante separados, el flujo a través del circuito 1 debido a la corriente 12 será pequeño y la inductancia mutua también lo será. Análogamente, el flujo magnético que atraviesa el circuito 2 vendrá dado por:

c/Jm2

= L2

12 + M2) Ji

(3.41)

en donde L2 es la autoinducción del circuito l. La inductancia mutua depende de las características físicas y construct ivas d e cada circuito y de la posición y orientación entre ellos. Aunque no es obvio, por lo que se omite en este contexto la demostración, las inductancias mutuas son iguales, es decir: M12 ,

= M21,

por lo que normalmente se simboliza la inductancia mutua por M. 12

11 .--- - - -----,81 _..__ Circuito 1

Circuito 2 _.._

Figura 3.24: Inducción mutua entre circuitos próximos entre sí

EJEMPLO

3 .1 7

Calcular la inductancia mutua entre dos solenoides concéntricos de longitud L dispuestos como indica la figura 3.25. El solenoide interior tiene N1 vueltas y radio R1 y el exterior N2 vueltas y radio R2. Supongamos que por el solenoide interior circula una corriente I1 , el módulo del campo magnético en el espacio interior debido a est a corriente es const ante y viene dada por la ecuación (3.24):

Bl

__ µo N1 Ji L

= µo

n1 11

151

FUNDAMENTOS FÍSICOS DE LA INFORMÁTICA

siendo n1 la densidad del devanado. Fuera del solenoide interno el campo magnético B1 es despreciable por ello, únicamente tomaremos el área del solenoide interior para calcular el flujo. El flujo de B1 que atraviesa el solenoide externo es:

La inductancia mutua es, por tanto: ~m12

M = - - = µo

Ji

n1 n2

L

1r

R21

12

'·

3.12.

Figura 3.25: Solenoides concéntricos

Energía magnética

Todo elemento portador de corriente en un circuito crea un campo magnético y por consiguiente, tiene una inductancia. Los elementos de un circuito t ienen una energía asociada con su campo magnético. Un inductor almacena energía magnética del mismo modo que un condensador almacena energía eléctrica. Supongamos un circuito cuyos únicos elementos son una fuerza electromotriz externa y un inductor. Aplicando la ley de las mallas de Kirchhoff (será estudiada en el capítulo 4) , es evidente que la fuerza electromotriz inducida en el inductor debe ser igual y opuesta a la de la fuente externa. Por consiguiente, teniendo en cuenta la ecuación (3.39) tenemos: dW=LldI dt dt Vemos que si la corriente aumenta, la potencia será positiva lo que significa que la fuente externa debe realizar trabajo para suministrar energía positiva al inductor, en definitiva, la energía del inductor aumenta. Por contra, si la corriente desciende la potencia pasa a ser negativa lo que significa que la fuente toma _energía

152

CAPÍTULO 3. CAMPOS ELECTROMAGNÉTICOS

del inductor disminuyendo éste su energía interna. Para calcular el cambio en la energía del inductor entre dos instantes de tiempo, basta con integrar el trabajo efectuado por la fuente externa al cambiar la corriente:

-6.U

=

t2 1 ti

dW -d dt

t

=

1t2

dl L I -d dt

t

t1

=L

1t2

I dl

t1

l 1 L I? - - L 2 2

=-

Jt ·

Llamamos energía del inductor al aumento de energía al pasar la corriente de cero a J:

UL

3.13.

= -21

L I

2

(3.42)

Resumen y Ecuaciones Básicas

Este capítulo se dedica al estudio de los fenómenos magnéticos que ocurren siempre que haya cargas en movimiento. Al inicio del capítulo se ha estudiado el problema desde dos puntos de vista: En primer lugar se ha analizado como las cargas eléctricas en movimiento y las corrientes eléctricas experimentan fuerzas magnéticas cuando se encuentran en el interior de un campo magnético; En segundo lugar, se ha estudiado como las cargas eléctricas en movimiento producen campos magnéticos. Seguidamente, se han presentado las leyes básicas que nos permiten analizar algunos de los fenómenos magnéticos. En concreto, durante este capítulo se han desarrollado los siguientes conceptos fundamentales: • La fuerzas magnéticas que actúan sobre cargas móviles y distribuciones de corriente situadas en una zona del espacio donde existe un campo magnético sin tener en cuenta las causas que producen estas fuerzas. • Los campos magnéticos creados por cargas en movimiento y por otras distribuciones de corriente lo que llevó a enunciar la ley de Biot-Savart para su cálculo. 11

El concepto de flujo magnético a través de una superficie que consiste en el número de líneas de fuerza que atraviesan esa superficie.

• La ley de Gauss para el magnetismo que nos· indica que el flujo magnético a través de una superficie cerrada es siempre nulo.

153

FUNDAMENTOS FÍSICOS DE LA INFORMÁTICA

• La ley de Ampére la cual relaciona un campo magnético estático con la causa que lo produce. Nos indica que la integral de línea de a lo largo de cualquier trayectoria cerrada es igual a una constante llamada perrneabilidad del vacío por la intensidad neta que atraviesa la superficie delimitada por la trayectoria cerrada. Esta ley resulta muy interesante para calcular el campo magnético en determinadas distribuciones de corriente.

E · dA

• La ley de Faraday la cual nos dice que en un circuito se induce una fuerza electromotriz proporcional a la variación del flujo a través de la superficie que limita el circuito. Gracias a esta ley podemos calcular la fuerza electromotriz inducida en un circuito cuando se encuentra en el interior de un campo magnético. Por otro lado, la ley de Lenz nos indica que la F .e.m. inducida tiene un sentido tal que se opone al cambio que la produce. 11

El concepto de inductancia el cual aparece como resultado de los cambios en las corrientes de un circuito. Estos cambios originan efectos de inducción al tratar de reducir la rapidez de cambio de esas corrientes. Finalmente se estudia la energía magnética que es capaz de almacenar un inductor. \

ECUACIONES BÁSIC AS

1. Fuerza sobre una carga móvil :

F=

q7l x

1J

P = I dl x B Momento magnético de una espira de corriente: -µ = NI A Momento de fuerza magnética:-:/=µ x B

2. Fuerza sobre un elemento de corriente: 3. 4.

5. Campo magnético creado por una carga puntual en movimiento:

6. Campo magnético creado por un elemento de corriente, Ley de Biot-Savart: ~ =+ ~ dE = µo Id l x ( r2 - r1)

41r

7. Ley de Ampére: Pe

154

ir1 - rfl 3

B · d1 = pBt dl = µo I

CAPÍTULO 3. CAMPOS ELECTROMAGNÉTICOS

8. Flujo magnético: efJ =

Ps B · dA

= - ~f Autoinducción: efJ = L I Energía magnética: UL = ½ L

9. Ley de Faraday: ~ 10.

11.

3.14.

I2

Ejercicios de Autoevaluación

l. En la figura 3.26 se muestra una espira triangular por la que circula una corriente I. La espira se sitúa sobre el plano ZY y está en presencia de un campo magnético = B 0 ~ . Calcular la fuerza magnética que ejerce sobre la espira triangular.

B

Solución:

P= O z L

y

Figura 3.26: Espira triangular

2. Un disco de plástico de radio R tiene una carga q uniformemente distribuida sobre su superficie. Si se gira el disco con una frecuencia angular w alrededor de su eje (ver figura 3.27). Calcular el valor del campo magnético en el centro del disco. Solución:

B = ~º/ ';/, iit z

.r y /

X

Figura 3.27: Disco cargado con carga q

155

FUNDAMENTOS FÍSICOS DE LA INFORMÁTICA

3. Un tramo de alambre de longitud L lleva una corriente I; si con el alambre se hace una bobina circular de varias espiras: (1) Hallar el número de espiras de que deberá constar la bobina para que al colocarla en el campo magnético experimente un par de momento máximo; (2) Hallar el valor de dicho momento. Solución: (1) una espira; (2)

Tmáx

=

LÍ1r B

4. En la figura 3.28 se muestran dos cilindros concéntricos, uno de ellos hueco. Por el interior circula una corriente I uniformemente distribuida en su sección, y por el exterior circula la misma corriente pero en sentido contrario, estando también uniformemente distribuida sobre la sección. Se pide el campo magnético para puntos a distancia r del eje de los cilindros tal que: (1) r < a; (2) a< r < b; (3) b < r < e; (4) r > c.

II'

Solución: (1) B

=

µo Ir. 21T a 2 '

(2) B =

µo I .

21r r '

(3) B =

2

2

µo I (c - r ) • 2 1r r (c2 -b2 ) 1

(4) B

=o

Figura 3.28: Cilindros concéntricos 5. ·un electrón cuya energía es de 104 electrón-voltios se mueve en la dirección del eje Y y entra en una región del espacio en la cual hay un campo eléctrico de 100 V / cm en la dirección del eje Z negativa. Se desprecia el peso del electrón frente a las otras fuerzas que intervienen en el problema. (1) ¿ Cuál es la dirección y magnitud de un campo magnético que permitiría al electrón seguir moviéndose horizontalmente? (2) Si es un protón el que pasa en idénticas circunstancias ¿cómo ha de ser

B

B?

Solución: (1)

B = - ~ ut; (2) B = - ~- ~

6. Dos carretes circulares de radio a y N espiras, recorridos por corrientes iguales I, son coaxiales y están separados una distancia r, tal y corno se muestra en la figura 3.29. Calcular el campo magnético en un punto del eje común que dista x del centro del sistema. Solución:

156

B = µo I~Va

2 (

1

(a2+(;+x)2)2

+

1

. )

(a2+(;-x)2)2

CAPÍTULO 3. CAMPOS ELECTROMAGNÉTICOS

Figura 3.29: Carretes circulares coaxiales con N espiras

7. Un c_o nductor metálico cilíndrico de longitud infinita lleva una corriente de 1OA uniformemente repartida. Calcular el flujo de campo magnético que atraviesa una superficie plana de longitud L=lm, situada tal y como muestra la figura 3.30. Solución: ··

,,¡.. 'f'

= 10-6 Webers metro

Figura 3.30: Conductor metalico cilíndrico

8. Una bobina está enrollada con ·200 vueltas de alambre sobre el perímetro de un armazón cuadrado de 18cm de lado. Cada vuelta tiene la misma área, igual a la del armazón y la resistencia total de la bobina es 20. Se activa un campo magnético uniforme perpendicular al plano de la bobina. Si el campo cambia linealmente de O a 0'5 Wb/ m 2 en un tiempo de 0'8s, encuentre la magnitud de la fuerza electromotriz inducida en la bobina mientras está cambiando el campo. Solución: ~ = 4'05V 9. Un conductor cilíndrico de longitud infinita lleva una corriente de J = 100 A y está colocado en un campo magnético exterior uniforme de = 50 Gauss, siendo el alambre perpendicular al campo. Hallar los puntos en los que el campo magnético resultante total vale cero.

JJ

Solución: 4 · 10-3m

157

FUNDAMENTOS FÍSICOS DE LA INFORMÁTICA

10. Dos alambres de longitud supuesta infinita llevan una corríente I en sentidos opuestos, tal y como muestra la figura 3.31. Hallar el módulo dirección y en el punto P. sentido de 1

B

·, B So1uc10n:

=

2µ,o I d 1r(4 R2 +d2 )

0 1

p

¡!

d

L-------------e R

1

@ Figura 3.31: Alambres conductores por los que circulan intensidades opuestas

11. Supongamos una alambre y una espira rectangular dispuestos como indica la figura 3.32. El alambre rectilíneo infinito lleva una corriente de 30 A y la espira lleva una corriente de 20 A. Si a=l cm, b= 8 cm y 1=30 cm. Calcular la fuerza resultante que actúa sobre el alambre. Solución: F

= 312,10-3 N

1:

.-------12___, 11

L

Figura 3.32: Espira rectangular móvil cercana a una alambre conductor

12. Tenemos un sistema de conductores conectado entre sí como muestra la figura 3.33. Se supone que la ~eparación entre los conductores que une la parte recta con la circunferencia están muy próximos pero sin tocarse. El radio de la circunferencia es a y la distancia entre los hilos verticale~ el centro de la circunferencia es h = 2a/'rr. Calcular el campo magnético 13 en el punto P (centro de la circunferencia). Solución:

158

B = ~o; u:;

CAPÍTULO 3. CAMPOS ELECTROMAGNÉTICOS

1

1 1 1

1 1 1 1 1 1

~==t::=--------~!P-----------:",, 1

1

',, a

1 1

'

:

---------

, ..

'

"",

1 1 t

Figura 3.33

13. Un anillo circular de alambre de 10 cm de diámetro se coloca con su normal formando un ángulo de 30° con la dirección de un campo magnético uniforme de 5000 Gauss (ver figura 3.34) . El anillo se hace girar de modo que su normal gira alrededor del campo a razón de 100 revoluciones por minuto. El ángulo entre la normal y el campo permanece constante. ¿ Qué fuerza electromotriz inducida aparece en el anillo? Solución: f. e.m = O

Figura 3.34

14. Una espira rectangular, mostrada en la figura 3.35, se mueve a través de una región en la que el campo magnético está dado por: Bx=6-y; By=O; Bz= O en unidades del S.L Calcular la f.e.m. inducida en la espira en función del tiempo tomando como posición inicial la most rada en la figura cuando la espira se mueve con una velocidad constante m /s.

2ut

Solución: f.e.m

= 0'2 V 159

FUNDAMENTOS FÍSICOS DE LA INFORMÁTICA

z 0.2m

O.Sm

y

Figura 3.35

15. Una bobina rectangular de N=lü vueltas gira con frecuencia f = 50 hz, en un campo magnético B = 5 T uniforme perpendicular al papel tal y como muestra la figura 3.36 donde b = 2 cm y d = 5 cm. Hallar la fuerza electromotriz inducida en la bobina en función del tiempo. Solución:f.e.m.

=

15171rsenl001rt V X

X

X

)( ~

:I

X

X

X

X

X

X

X

X

,.__X

X

X

X

X

)(

b

B

_____

__,

d

X

X

)(

Figura 3.36

16. La inductancia de una bobina de 400 espiras es de 8 milihenrios. ¿Cuál es el flujo magnético que pasa por la bobina cuando la corriente es de 5 miliarnperios? Solución: e/; = 10-1 w eb 17. Un disco circular de cobre de 10 cm de diámetro gira a 1800 revoluciones por minuto alrededor de un eje normal a él, que pasa por su centro (ver figura 3.37). Existe un campo magnético uniforme, paralelo al eje y de 4 valor 10 Gauss. ¿Qué diferencia de potencial aparece entre el eje y el borde del disco?

JJ

Solución: f.e.m

160

= 0'2355mV

CAPÍTULO 3. CAMPOS ELECTROMAGNÉTICOS

Figura 3.37 18. Una espira circular de 20 cm de radio se halla en el seno de un campo magnético de 0'01 T girando en torno a un eje perpendicular al campo a razón de 100 r.p.m.(ver figura 3.38) Hallar la f.e.m. inducida en la espira en cada instante, el valor máximo de dicha fuerza y la intensidad que circularía por la misma si tuviese una resistencia de lKD.

Solución: f,

= B S w sen0; f, = 13'16 · 10-3 V; J = 13'16 · 10-6 sen0A

Figura 3.38 19. Dos conductores rectilíneos, paralelos y muy largos transportan corrientes de sentidos contrarios e iguales a 1,5 A. Los conductores son perpendiculares al plano de un cuadrado de lado 10 cm y pasan por dos de los vértices contiguos como se indica en la figura 3.39. Calcula el campo magnético en los puntos (1) Pl situado en el centro del lado por cuyos extremos pasan los conductores y (2) P2 situado en el centro del cuadrado.

Solución: (1)

B = 12 · 10-6~T; (2) B = 6 · 10- 6~T cr··-·······-········1 P1

i . ! P2

®--···-·--····--! Figura 3.39

161

FUNDAMENTOS FÍSICOS DE LA INFORMÁTICA

20. La espira circular conductora de la figura 3.40 yace en el plano z=O, tiene de radio O' lm y una resistencia de 5!1.Si el campo magnético de esa zona es 0'2.senl03 t~T, calcular el módulo de la corriente inducida en la espira. Solución: I

=

- O' 41r cosl03 t A

z y

Figura 3.40

162

Parte II

Teoría de Circuitos

Capítulo 4

Circuitos de Corriente Continua

CONTEXTO Tal y como hemos visto en los capítulos anteriores, las cargas se mueven l la influencia de los campos eléctricos. A ese movimiento se le llama corrü eléctrica. Ahora nos vamos a centrar en el estudio de esta corriente cuand< produce en el interior de los materiales que forman los circuitos. Para descr el flujo de las corrientes en los materiales en forma macroscópica se defin1 resistencia, conductividad y resistividad que son características especificas dE materiales.

Las cargas eléctricas libres o electrones que posee un conductor metálico, en] sencia de un campo eléctrico, se desplazan hasta conseguir que en el interior conductor el campo eléctrico sea nulo. Este desplazamiento de los electrones e interior del conductor da lugar a una corriente eléctrica transitoria que cesa pronto sea compensado el campo eléctrico externo aplicado. Si se desea mantf el flujo de cargas y obtener una corriente eléctrica permanente en el seno del < ductor, es necesario conseguir un campo eléctrico constante dentro del matei es decir, una diferencia de potencial constante entre los extremos del conduc Como hemos estudiado en capítulos anteriores, los dispositivos capaces de ma: ner una diferencia de potencial constante son los generadores de energía eléct y las pilas.

En este capítulo, vamos a definir los distintos tipos de circuitos eléctricos,

FUNDAMENTOS FÍSICOS DE LA INFORMÁTICA

elementos que los componen así como el conjunto de leyes que permiten su análisis siempre considerando que la corriente que circula por el circuito es continua. '

CONOCIMIENTO PREVIO NECESARIO Para abordar el estudio de este capítulo son necesarios los conocimientos adquiridos en los capítulos pertenecientes a la parte I de la asignatura donde se estudian los conceptos de campo eléctrico, diferencia de potencial, condensadores etc. Además, son necesarios conocimientos matemáticos relativos a la resolución de sistemas de ecuaciones.

OBJETIVOS DEL CAPÍTULO Los objetivos del capítulo son: 1. Estudio del concepto de corriente eléctrica. 2. Estudio del concepto de resistencia. \

3. Estudio de la ley de Ohm y Joule. _ 4. Estudio del concepto de circuito. Esto supone estudiar las magnitudes fundamentales y los elementos básicos que pueden aparecer en un circuito. 5. Estudio de las leyes de Kirchho:ff que permitirán la resolución de circuitos1 esto es, proporcionan al alumno un mecanismo ~e cálculo de intensidades y t ensiones en un circuito. 6. Estudio de los teoremas de N orton y Thevenin que nos permiten simplificar partes de un circuito. 7. Estudio del teorema de Millman que simplifica los cálculos cuando se dispone de elementos en paralelo. ., _

GUÍA DE ESTUDIO Lo conveniente es seguir el estudio del capítulo de manera secuencial.

166

CAPÍTULO 4. CIRCUITOS DE CORRIENTE CONTINUA

4.1.

Introducción

Antes de presentar el concepto de corriente eléctrica así como los circuitos y sus :::oro.ponentes, resulta importante conocer algunas características de las formas de )nda de las magnitudes eléctricas que aparecen en ellos. :Jualquier tipo de señal en un circuito siempre se puede descomponer en otras :::oroponentes más simples. En una primera clasificación podemos diferenciar entre 3eñales constantes y señales variables. La señales constantes en el tiempo son ;1.quellas en las que su magnitud se mantiene constante en el tiempo mientras que .as señales variables cambian. En la figura 4.1 (a) y (b) se muestra un ejemplo ie cada una de ellas, respectivamente.

A. su vez, dentro de la señales variables encontramos varios tipos dependiendo de :::ómo se produce la variación: continuas y discontinuas, de signo constante y de ,igno variable, deterministas y aleatorias, periódicas y alternas. A continuación ,e van a describir brevemente cada una de ellas.

h(t

t

t

(b)

(a) h(t h(t

r-¡

1

1

i

L...J

!

t

~ t

(e)

(d)

8'igura 4.1: (a) Señal constante. (b) Señal variable continua. (e) Señal variable periódica :iiscontinua. (d) Señal variable alterna

• Señales continuas y discontinuas Una señal es continua cuando para todo instante t son iguales los valores de

167

FUNDAMENTOS FÍSICOS DE LA INFORMÁTICA

la señal inmediatamente antes y después del instante t, es decir, se cumple:

(4.1)

h(t-)

= lim h(t - D:.t)

(4.2)

h(t+)

=

lim h(t + D:.t)

(4.3)

,0.t-+0

6t-+0

En el momento que exista un único valor de la señal en el que no se cumpla la igualdad anterior decimos que la señal es discontinua. Un ejemplo de señal variable y continua se ha mostrado en la figura 4.1 (b) y un ejemplo de señal variable y discontinua se muestra en la figura 4.1 (e).

• Señales de signo constante y de signo variable. También se puede clasificar las señales según la variación de su signo. Así encontramos las señales de signo constante y las de signo variable. Nótese quelas señales de signo constante pueden ser señales continuas o variables sin embargo, las señales de signo variable obligatoriamente son siempre variables ya que su signo cambia en algún instante de tiempo.

• Señales deterministas y señales aleatorias La señales deterministas son las que se expresan mediante una ecuación matemática mientras que las señales aleatorias se caracterizan por su variación no previsible por lo que debe emplearse métodos .estadísticos para su estudio. Este tipo de señal aparece como ruido en la mayoría de los sistemas. Estos tipos de señales no serán estudiadas en este libro.

• Señales periódicas. Estas señales son un caso particular del tipo de señal variable y determinista. La característica de estas señales es que sus valores se repiten cada cierto tiempo constante. A este tiempo se le denomina periodo T, cumpliéndose: h(t + T)

= h(t)

Se denomina frecuencia f al inverso del periodo, esto es:

f = !_ T

168

(4.4)

CAPÍTULO 4. CIRCUITOS DE CORRIENTE CONTINUA

Un ejemplo de señal variable periódica discontinua se muestra en la figura 4.1 (c) y otro de señal variable periódica y continua se muestra en la figura 4.1 (d). Se llama longitud de onda a la magnitud que relaciona el periodo de la señal con su velocidad de transmisión. Teniendo en cuenta que las señales eléctricas se propagan en el vacío a la velocidad de la luz resulta que la longitud de onda viene dada por:

>..=e T

(4.5)

siendo e , la velocidad de la luz que es aproximadamente igual a 3 · 108

1;'.

• Señales alternas Las señales alternas son señales periódicas cuyo valor instantáneo y signo varía de forma continua siendo su valor medio igual a cero. En el contexto de este libro, la señal alterna será aquella señal periódica de valor medio nulo, de amplitud A, de frecuencia f y que sigue una variación regida por la función seno o coseno, es decir, son del tipo:

h(t) h(t) -

A sen(wt) A cos(wt)

(4.6) (4.7)

donde w es la pulsación o velocidad angular y se relaciona con la frecuencia y el periodo por las expresiones:

w .

27í

= 27íf = -T

(4.8) .

y su unidad es el radian/ segundo. Un ejemplo de señal variable alterna se muestra en la figura 4.1 (d). Las medidas que permiten la clasificación y análisis de las señales son su valor máximo) mínimo y medio. De entre todas las señales expuestas anteriormente, en Teoría de Circuitos y Electrónica las más importantes son las señales continuas y las señales alternas. En las señales continuas, el valor máximo, mínimo y medio es el mismo, sin embargo, en las señales alternas el valor máximo será la amplitud de la onda o valor de pico A, el mínimo será - A Y' su valor medio será cero por lo que esta magnitud carece de interés.

169

FUNDAMENTOS FÍSICOS DE LA INFORMÁTICA

Para las señales alternas resulta interesante definir una nueva magnitud llamada valor eficaz que se define como la media cuadrática de la onda:

Veficaz

=

1 ¡to+T

T to

h 2 (t) dt

(4.9)

El cálculo de esta expresión es difícil. Es interesante poner su solución en el caso en el que la señal sigue la función seno o coseno de amplitud A y media cero. Resulta entonces: A (4.10) Ve¡ icaz = y'2

4.2.

La corriente eléctrica

La corriente eléctrica es el flujo de cargas eléctricas que atraviesa la sección transversal de un cable por unidad de tiempo. Sea ~Q la carga que fluye a través de un área transversal A, en un tiempo ~t. La corriente o intensidad de corriente, I, viene dada por: (4.11)

cuando ~t tiende a cero. La unidad en el SI de la intensidad es el amperio (A) y su relación con el culombio es: lA = lC s

El movimiento de los electrones libres en un conductor es muy complicado. En ausencia de campo eléctrico estos electrones se mueven con direcciones aleatorias y velocidades relativamente grandes, del orden de 106 m/ s. Estos electrones chocan repetidamente con los iones de la red cristalina. Dado que los vectores velocidad están orientados aleatoriamente, la velocidad m edia es cero. Bajo la in fluencia de un campo eléctrico constante los electroñes libres del metal se encuentran sometidos a una fuerza en virtud de la cual se mueven, con movimiento inicialmente acelerado, pero que rápidamente se convierte en velocidad uniforme, debido a los choques con los iones fijos del conductor. Dicho desplazamiento tiene lugar en sentido contrario al campo, es decir, en sentido de los potenciales crecientes (recuérdese que la corriente eléctrica es un flujo de electrones). A esta velocidad media dirigida en sentido opuesto al campo eléctrico se denomina velocidad de desplazamiento y a su módulo velocidad de deriva.

-eE,

170

E,

CAPÍTULO 4. CIRCUITOS DE CORRIENTE CONTIN UA

Considérese una corriente en un alambre conductor de sección transversal A. Sea n el número de partículas libres portadoras de carga por unidad de volumen, llamado densidad numérica de los portadores de carga. Supongamos que cada partícula transporta una carga q y se mueve con una velocidad de desplazamiento Vd- En el tiempo í:)..t todas las partículas contenidas en el volumen Avd~t, pasan a través del área A (ver figura 4.2). El número de partículas en este volumen es nA vd ~t, y la carga total es:

b..Q

= qnAvd~t \Jd

ÍE

tit

(4.12)

A )''

Figura 4.2: Segmento de un alambre conductor portador de corriente La intensidad de corriente es por tanto:

~Q 1= =qnAvd ~t

(4.13)

Recuérdese que la densidad de portadores de carga en un conductor puede ser medida mediante el efecto Hall ya estudiado en un capítulo anterior.

1,

Se define por vector densidad de corriente a la corriente por unidad de área, esto es, J = ~. Teniendo en cuenta la expresión (4.13) resulta:

J

= qn'iiJ,

(4.14)

Observe que la conservación de la carga nos lleva al principio de conservación de la corriente. Esto significa que cuando tenemos un flujo estable, en el cual las corrientes no varían con el tiempo, la corriente total que entra en una sección del conductor debe ser igual a la corriente que sale de esa sección. Así, la corriente es igual en todos los lugares a lo largo de un alambre, aun cuando el área cambie. Esto es, si el alambre tiene áreas de sección transversal A1 y A2 en dos puntos) entonces la conservación de la corriente implica que )1A1 = J2A2, siendo J1 y J2 las densidades de corriente, respectivamente.

171

FUNDAMENTOS FÍSICOS DE LA INFORMÁTI CA

4.3.

Resistencia y Ley de Ohm

Tal y como hemos dicho anteriormente, cuando se aplica un campo eléctrico a un conductor, se genera una corriente. En este contexto, podemos considerar que la diferencia de potencial, V, debida al campo eléctrico, es la fuente de movimiento. En un metal, al ser las cargas libres negativas se mueven en dirección opuesta al campo eléctrico. Si no existieran más fuerzas sobre las cargas libres que la debida al campo eléctrico externo, la velocidad de éstas aumentaría indefinidamente. Sin embargo, esto no es así ya que lo electrones libres interaccionan con los iones de la red del metal produciendo fuerzas contrarias a su movimiento. Por ello, la cantidad de corriente que pasa por· un material, para determinada diferencia de potencial depende de las propiedades y geometría de éste. La resistencia eléctrica es una medida de la facilidad con la que fluye la carga en el interior del material. Se define la resistencia eléctrica como la relación entre el voltaje o diferencia de potencial y la corriente que pasa por él:

R=V \

(4.15)

I

La unidad de la resistencia en el SI es el ohm (n) que se define como la resistencia a través de la cual pasa una corriente de lA cuando se aplica la diferencia de potencial de 1V. Se cumple: 10= 1 V

(4.16)

A

El primero en estudiar la resistencia de diversos materiales fue Georg Simon Ohm publicando en 1826 sus resultados experimentales en donde exponía que para la mayor parte de los metales la resistencia es constante dentro de un amplio margen de diferencias de potencial. Por ello, cuando la resistencia se mantiene constante entre unos límites de diferencia de potencial decimos que el material es óhmico. "'-

La resistencia de un alambre conductor, de determinado material, puede variar con su forma. Está claro que si se duplica la longitud de un conductor, el número de choques con los iones de la red del material aumenta al doble, esto es, la resistencia de un conductor es proporcional a su longitud. Si lo que se duplica es el área transversal de un conductor, entonces puede pasar por él, el doble de corriente. Siempre que la diferencia de potencial permanezca constante, si se duplica la corriente implica que la resistencia baja a la mitad. Por tanto, la resistencia de un conductor de determinado material es inversamente proporcional

172

CAPITULO 4. CIRCUITOS DE CORRIENTE CONTINUA

Conductores

Aleaciones Conductoras Semiconductores

Aislantes

Resistividad a 20°0 (n · m) 2'82 · 10-~ 3500 .10-i:s 1'59. 10-0 1'72 · 10-1:S 10. 10-0 96. 10-0 10'6 · 10-i:s 22 . 10-0 5'6 · 10-1:S 7. 10-0 44 · 10-1:S 100. 10-0 0'45 640 5 . 1014 10° - 1014 10::, 101:S 1011 1014 101u - 1014

Material Aluminio Carbono Plata Cobre Hierro Mercurio Platino Plomo Tungsteno Latón Manganina Nicrom Germanio Silicio Ambar Madera Neopreno Poliestireno Porcelana Teflón Vidrio

r-.J

r-.J

r-.J

Cuadro 4.1: Resistividad de algunos materiales a 20°c

al área, A, de su sección transversal. Teniendo en cuenta estas dos conclusiones podemos poner:

L (4.17) A siendo p la constante de proporcionalidad, llamada resistividad del material, que sólo depende del material del que esté hecho el conductor y de la temperatura. Sus unidades en el SI son n.m. En el cuadro 4.1 se muestran la resistividad de distintos materiales a 20°C. Vemos como el carbono posee alta resistividad por lo que se utiliza normalmente en la fabricación de las resistencias de los equipos electrónicos.

R=p-

El recíproco de la resistividad es la conductividad, cr: 1

(l

=-

p

(4.18)

173

FUNDAMENTOS FÍSICOS DE LA INFORMÁTICA

Para un segmento de cable de longitud L, sección transversal A y resistencia R, por el que circula una corriente I , la diferencia de potencial a lo largo de dicho segmento viene dada por: L (4.19) V=RI=lpA Sabemos que la diferencia de potencial y el campo eléctrico se relacionan mediante la expresión V = E L y que la intensidad de corriente se relaciona con la densidad de corriente por la expresión I = J A. Sustituyendo estas expresiones en la ecuación anterior y simplificando, tenemos: E=pJ

que expresada en forma vectorial y considerando la corriente como el flujo de cargas positivas (esto implica que se mueven en la misma dirección que el campo), resulta: (4.20) Esta expresión es otra forma de expresar la ley de Ohm la cual dice que la densidad de corri~nte en un punto del conductor es igual al producto de la conductividad con el campo eléctrico en dicho punto. EJEMPLO

4.1

Se desea calcular la resistencia de un cilindro de aluminio que mide 10 cm de largo y tiene un área de sección transversal de 2 · 10-4 m 2 • Aplicando la ecuación (4.17) y utilizando el valor de la resistividad del aluminio incluido en el cuadro 4.1 resulta: R

L

= p= (2'82 · 10-8 ) A

~1 2.10-

· (--) 4

=

1' 41 · 10-5 0

Como se puede observar la resistencia del aluminio es muy pequeña por lo que se considera un buen conductor eléctrico. EJEMPLO

4.2

Un cable coaxial consta de dos conductores cilíndricos. El espacio entre los dos conductores está completamente lleno de silicio. El radio del conductor interno es a = 015 cm, el radio del conductor externo es b = 1

174

CAPÍTULO 4. CIRCUITOS DE CORRIENTE CONTINUA

cm y su longitud es de L = 10 cm. Calcule la resistencia total del silicio cuando se mide entre los conductores interno y externo. En este tipo de problemas, en donde el área de la sección transversal no permanece constante debemos dividir el objeto cuya resistencia deseamos calcular en elementos diferenciales sobre los cuales el área puede considerarse constante. Así, la forma diferencial de la expresión (4.17) quedará: dR

= Pdl A

siendo dR la resistencia de una sección de silicio de espesor dl y área A. Por otro lado, el elemento diferencial es un cilindro hueco de espesor dr, longitud L y situado a una distancia r del eje de los cilindros. Evidentemente, cualquier

corriente que pase entre los conductores interno y externo debe pasar a través de los elementos diferenciales considerados y el área a través de la cual pasa esa corriente es A = 21rrL ( área superficial de nuestro elemento diferencial sin tener en cuanta el área de sus extremos). Podemos escribir la resistencia de nuestro cilindro hueco como: dR = p L dr 21r; Integrando esta expresión desde r

R = {b dR = {b }a

}a

= a hasta r = b, tenemos: dr

p

=

27r r L

_!!_ (b dr 21r L } a r

= _P_ Ln (!!_) 21r L

a

Sustituyendo los valores dados se obtiene:

R=

4.4.

640

21f (0'1)

Ln( O'Ol ) = 706103[! 0' 005

Circuitos eléctricos

Antes de aprender a analizar los circuitos eléctricos es necesario definir qué es un circuito eléctrico, las magnitudes fundamentales que nos encontraremos y el conjunto de elementos básicos que pueden aparecer. Aunque algunos de estos elementos ya han sido estudiados en la parte I de este líbro ahora se introducen desde el punto de vista de los circuitos eléctricos. 1

175

FUNDAMENTOS FÍSICOS DE LA INFORMÁTICA

4.4.1.

Concepto de circuito eléctrico

Un circuito eléctrico es un conjunto de elementos conectados de una forma concreta a través de conductores. Un ejemplo de circuito eléctrico se muestra en la figura 4.3 en donde se pueden apreciar una serie de elementos que describiremos en la siguiente subsección.

100

Figura 4.3: Circuito eléctrico Es importante aclarar que en los circuitos eléctricos las conexiones mediante conductores entre elementos se consideran ideales, es decir, no existen pérdidas de tensión a lo largo del conductor o lo que es lo mismo todos los puntos del conductor están a la misma tensión con respecto a la referencia común. Dependiendo de las características utilizadas en la clasificación podemos encontrar diferentes tipos de circuitos entre los que destacamos:

• Circuitos lineales y no lineales. Decimos que un circuito es lineal cuando su comportamiento o respuesta frente a un estímulo es proporcional a éste. Así, un circuito se clasifica como lineal cuando todos sus componentes son lineales,.En el momento que exista un componente con comportamiento no lineal, el circuito se clasifica como no lineal.

• Circuitos activos y pasivos Este concepto está relacionado con el tipo de elementos que tiene un circuito. Cuando el circuito está formado únic?'mente por elementos pasivos, esto es, elementos que disipan energía, se llama circuito pasivo. Por contra, cuando añadimos al circuito eleme~tos que suministran energía como baterías, entonces se dice que el conjunto es un circuito activo.

• Circuitos de parámetros concentrados y distribuidos Un circuito es de parámetros concentrados cuando la distancia no afecta a la propagación de las señales. En estos casos, se considera la propagación instantánea. En caso contrario, hablamos de circuitos de parámetros

176

CAPÍTULO 4. CIRCUITOS DE CORRIENTE CONTINUA

distribuidos cuyo análisis es mucho más complicado y se sale fuera de los objetivos de este libro.

• Circuitos de corriente continua y de corriente alterna Un circuito de corriente continua es aquél por el que circula corriente siempre en el mismo sentido y con el mismo valor mientras que en los circuitos de corriente alterna la corriente varía su magnitud y su sentido cíclicamente. La forma de oscilación más común utilizada es la oscilación sinusoidal dado que se consigue una transmisión más eficiente de la energía.

• Circuitos Eléctricos o Electrónicos. Los circuitos que sólo tienen componentes eléctricos se denominan circuitos eléctricos mientras que aquellos circuitos que tienen algún componente electrónico serán circuitos electrónicos. Los componentes electrónicos serán estudiados en la tercera parte de la asignatura.

4.4.2.

Magnitudes fundamentales en los circuitos eléctricos

Aunque la mayor parte de las magnitudes manejadas en Teoría de Circuitos ya han sido estudiadas en la parte de Electromagnetismo, es interesante repasar de nuevo, a modo de resumen, aquellas magnitudes que van a ser muy utilizadas en este contexto.

• Intensidad de corriente La intensidad de corriente o corriente eléctrica se define como el flujo de cargas eléctricas que atraviesa por unidad de tiempo la sección transversal de un cable: i(t) = dq(t)

dt

donde q(t) puede considerarse que se trata de una carga positiva aunque en realidad, en los conductores metálicos lo que se mueve son los electrones. De este modo, si una cantidad de electrones se desplaza del punto de menor potencial Y al punto de mayor potencial X, a lo largo de un conductor metálico, entonces se puede suponer la existencia de una corriente con la misma cantidad de cargas positivas que se desplaza en sentido opuesto¡ de X hacia Y (del punto de mayor potencial al de menor potencial.) y este sentido será el considerado como intensidad de corriente positiva (ver figura 4.4).

177

FUNDAMENTOS FÍSICOS DE LA INFORMÁTICA

X

y

lxv

o- e-

•-~

Figura 4.4: Sentidos de la corriente y del flujo de electrones En los circuitos eléctricos la medida de la corriente eléctrica se realiza mediante un aparato llamado amperímetro. Este aparato se basa en las acciones magnéticas de la corriente eléctrica o en sus efectos caloríficos. Deben conectarse siempre en serie de modo que por ellos pase toda la corriente que se desea medir (ver figura 4.5). En consecuencia, estos aparatos deben tener muy poca resistencia interna para no provocar una variación sensible de la magnitud que tratamos de medir. Voltímetro

R V

Amperímetro

Figura 4.5: Conexión de un amperímetro y un voltímetro en un circuito • Tensión

En este contexto, con el fin de facilitar el análisis d e los circuitos, vamos a seguir el siguiente convenio. Definiremos el concepto de caída de tensión o simplemente tensión entre dos puntos X e Y de un circuito como la diferencia de potencial entre dichos puntos V x - Vy , que normalmente expresaremos por Vxy. Esta tensión será positiva si y sólo si el potencial en X es mayor que el potencial en Y, es decir, si Vx > Vy (ver figura 4.6). Siguiendo este convenio, en los elementos· pasivos, que estudiaremos más adelante, la tensión tendrá el mismo sentido que la corriente. Nótese que la convención difiere de la considerada en electromagnetismo en donde la diferencia de potencial entre dos puntos X e Y venia dada por Vy - Vx, esto es, el mismo valor que el considerado para la t ensión pero cambiado su signo.

178

CAPÍTULO 4. CIRCUITOS DE CORRIENTE CONTINUA

y

X

•

• Vxv

Figura 4.6: Sentido de la tensión utilizado en Teoría de Circuitos En los circuitos eléctricos la medida de la tensión entre dos puntos de un circuito se realiza mediante un aparato llamado voltímetro. Este aparato consiste esencialmente en un miliamperímetro al que se le agrega una gran resistencia interna. Este aparato debe colocarse en paralelo a la resistencia donde se quiere medir la tensión tal y como muestra la figura 4.5. 11

Tierra o Masa

Tal y como se estudio en Electromagnetismo, para determinar el potencial en un punto era necesario definir un punto de referencia en donde el potencial sea nulo. Dicho punto era el infinito siempre que la distribución no fuera infinita. En Teoría de Circuitos también es necesario definir ese punto de referencia a potencial OV. Ahora se tendrá en cuenta si la referencia es global o local. Como referencia global se toma el potencial de la superficie de la tierra dándole el valor de OV. Sin embargo, normalmente en un circuito interesa tomar un determinado punto como referencia local de potenciales. Esta referencia suele llamarse terminal común o masa y se le asigna el potencial de OV. Algunos de los símbolos empleados para representar la masa o tierra en un circuito se muestran en la figura 4. 7.

(a)

~ (b)

(e)

Figura 4. 7: Símbolos para representar la tierra y la masa

11

Potencia La energía perdida por unidad de tiempo en un elemento, cuando pasa una corriente por él, es la potencia P. Supongamos una carga pequeña dq que se mueve a través de una diferencia de potencial V. El cambio de energía potencial de la carga (dU) que es igu~l al trabajo efectuado (dW) por la fuerza eléctrica debido a la diferencia de potencial, está expresado por dU = V dq. Por lo tanto, la potencia, que es la rapidez a la cual la fuerza

179

FUNDAMENTOS FÍSICOS DE LA INFORMÁTICA

que impulsa a la carga gasta energía, es:

P=dW=Vdq dt dt

(4.21)

~i,

Como la corriente es J = la potencia eléctrica gastada, que es la que se debe entregar para hacer pasar la intensidad I a través del potencial V, es:

P=VI

(4.22)

Este resultado es general, independientemente del tipo de material. La unidad de la potencia eléctrica es el vatio (W). Nótese que, aplicando la ecuación ( 4.22), tenemos que 1W = l V · A. Para los materiales óhmicos, se cumple la ley de Ohm, V = R I siendo R constante. En estos casos, el gasto de potencia es, sustituyendo la tensión en la expresión anterior: (4.23)

o bien sustituyendo la intensidad:

P =VI= (R I) I = R I 2

(4.24)

La ecuación anterior se conoce como ley de Joule y expresa que la potencia eléctrica que se transforma en térmica es igual a- la resistencia por el cuadrado de la intensidad de corriente que la atraviesa. Este efecto calorífico de la corriente eléctrica tiene muchas aplicaciones como hornos eléctricos, estufas, lámparas, etc. En cualquier caso, el trabajo eléctrico puede transformarse en energía de otro tipo, según sean las condiciones del circuito eléctrico por el que circula la corriente. Por ejemplo, si existe un motor puede producirse energía mecánica usando energía eléctrica pero, en general, se convierte en calor que se desprende del circuito debido a las colisiones entre los electrones y los iones de la red cristalina del material. Por tanto, se demuestra que para mantener la corriente en un conductor debe existir una fuente de energía que mantenga el campo dentro del conductor. Teniendo en cuenta el convenio de signos establecido anteriormente para la corriente eléctrica y para la tensión, una potencia positiva nos indica que

180

CAPÍTULO 4. CIRCUITOS DE CORRJENTE CONTINUA

el elemento consume energía (movimiento de cargas positivas de un punto de mayor potencial a un punto de menor). Esto significa que se le asigna signo positivo al valor de la potencia absorbida. Si el elemento cede energía la potencia será negativa. En los circuitos eléctricos la medida de la potencia se puede realizar mediante un aparato llamado vatímetro. il

Energía Un circuito eléctrico está compuesto normalmente por un conjunto de elementos activos que generan energía eléctrica, tales como las baterías, y de elementos pasivos los cuales consumen energía, tales como las resistencias, todos ellos conectados entre sí. La energía generada por los ·elementos activos puede ser disipada en el propio elemento o puede ser transferida entre dicho elemento y el circuito al que se conecta, bien sea para almacenarla ( en bobinas o condensadores) o para cederla al circuito (resistencias). De esta manera~ las bobinas y los condensadores pueden cargarse aumentando su energía a expensas de la del circuito al que están conectados o pueden descargarse cediendo a dicho circuito la energía almacenada. Por ejemplo, las bobinas y condensadores conectados a una fuente de energía de tipo alterna están cargándose y descargándose constantemente. La unidad de medida en el SI de la energía es el Julio ( J) aunque la unidad técnica más habitual es el kilovatio-hora (KWh), que equivale a 3'6 106 J.

• Impedancia La impedancia Z, es la magnitud que establece el cociente entre la tensión e intensidad de corriente y su unidad de medida es el ohmio (n). Tiene especial importancia si la corriente varía en el tiempo. En estos casos, la impedancia se describe como un número complejo. Sin embargo, en circuitos de corriente continua la impedancia coincide con el valor de la resistencia. La impedancia será estudiada en el capítulo dedicado a los circuitos de corriente alterna.

4.4.3.

Elementos básicos

Los elementos básicos que podemos encontrar en un circuito pueden clasificarse en dipolos y cuadripolos dependiendo del número de terminales, activos y pasivos dependiendo de si ceden o consumen energía, lineales y no lineales dependiendo de si su respuesta es lineal o no lineal o ideales o reales dependiendo de si la salida es igual o no a los resultados obtenidos reahnente.

181

FUNDAMENTOS FÍSICOS DE LA INFORMÁTICA

En esta subsección, vamos a describir los elementos básicos que podemos encontrar en un circuito eléctrico los cuales pueden ser clasificados en las anteriores categorías.

4.4.3.1.

Las fuentes de energía eléctrica

Tal y como hemos dicho, para conseguir mantener una corriente estacionaria en un conductor necesitamos disponer de un suministro de energía eléctrica. Un aparato que suministra energía eléctrica recibe el nombre de fuente de energía eléctrica. En un circuito puede existir una o varias fuentes de energía. Cuando exista una única fuente, ésta será la encargada de suministrar la energía que consume el circuito pero si existen varias fuentes puede que alguna de ellas, en lugar de suministrar, consuma energía. Una posible clasificación de las fuentes eléctricas se muestra en la figura 4.8. Controlada por tensión

De tensión

<

Controlada por intensidad

Dependientes

Controlada portensión

De lntensidad

<

Controlada por intensidad

Ideales

De tensión

Fuentes de energía

Independientes

<

De intensidad

Detensión

Reales

<

De Intensidad

Figura 4.8: Clasificación de las fuentes de energía eléctrica

Las fuentes de energía ideales son elementos utilizados en la Teoría de Circuitos para el análisis y la creación de modelos que permitan analizar el comportamiento de componentes electrónicos o circuitos reales. Pueden ser independientes si sus magnitudes (tensión o corriente) se mantienen siempre constantes o dependientes

182

CAPÍTULO 4. CIRCUITOS DE CORRIENTE CONTINUA

cuando estas magnitudes dependen de otra magnitud encontrando así las controladas por tensíón y las controladas por intensidad. A continuación nos centraremos en describir únicamente las fuentes de energía que van a ser usadas en este libro.

• Fuentes de tensión

Las fuentes de tensión son los elementos activos capaces de generar una diferencia de potencial entre sus bornes. Ejemplos de este tipo de fuentes son las baterías y las pilas, que convierten la energía química en energía eléctrica o un generador que convierte la energía mecánica en energía eléctrica. Una fuente de energía eléctrica realiza trabajo sobre la carga que la atraviesa aumentando de este modo su energía potencial. En la figura 4.9 se muestran los distintos símbolos utilizados para representar una fuente de tensión. Observe que el signo + indica el terminal de mayor potencial aunque existe una representación, mostrada en la figura 4.9 ( a) en la que se omite el signo ya que la posición del mayor potencial es intrínseca a la propia representación (raya horizontal mayor representa terminal de mayor potencial).

_L

T (a)

(b)

(e)

(d)

Figura 4.9: Símbolos utilizados para representar las fuentes de tensión. (a),(b) y (e) representan a fuentes de continua y (d) representa a fuente de alterna Las fuentes de tensión pueden ser ideales o reales. Una fuente de tensión ideal es aquella que mantiene una diferencia de potencial constante entre sus dos terminales, independientemente del flujo de carga que exista entre ellos. La diferencia de potencial entre los terminales de la fuente es igual en valor absoluto a la f.e.m. de la fuente. Supongamos el circuito sencillo de la figura 4.10 en donde existe una batería ideal 1 esto es 1 coincide la f.e.m. generada, ~, con la diferencia de potencial entre sus terminales, V (e; = V). Vemos como la carga fluye de una región de bajo potencial a otra de mayor potencial. Esto significa que cuando una carga 6.q fluye a través de una fuente, su energía potencial se ve aumentada en la cantidad de 6.q · V. Seguidamente esa carga atraviesa la resistencia 1

183

FUNDAMENTOS FÍSICOS DE LA INFORMÁTICA

donde esta energía potencial se disipa en forma de energía térmica. El ritmo con el que la fuente suministra energía es la potencia de salida. Evidentemente, la potencia suministrada por la fuente es igual a la consumida por la resistencia.

+ V

R

Figura 4.10: Circuito eléctrico formado por una batería y una resistencia En una fuente de tensión real la diferencia de potencial entre los bordes de la fuente no coincide con su f.e.m, en ellas existen pérdidas. Por ello, a efectos de circuito, una fuente de tensión real puede sustituirse por una fuente ideal y una pequeña resistencia en serie con la fuente ideal denominada resistencia interna.

' • Fuentes de intensidad Las fuentes de intensidad son los elementos activos capaces de proporcionar una corriente eléctrica. En la figura 4.11 se muestran los distintos símbolos utilizados para representar una fuente de intensidad. 1