EXPONENTES I INTRODUCCIÓN En diversos campos de la ciencia se utilizan operaciones con números que son muy grandes o muy pequeños, como por ejemplo: a) La masa de la tierra tierra es aproximadamente aproximadamente 6 000 000 000 000 000 000 000 000 000 g! g! ") La masa de de un electr#n es: 0,000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 $%% $%% g! g! Estos números se pueden reducir, escri"i&ndolos escri"i&ndolo s en su notaci#n cient'(ica, cient'(ic a, es decir de la (orma: a) 6 ! %0* g!, aqu' la coma decimal +a de moverse * lugares a la derec+a! b) $%% ! %0 -- g!, el exponente negativo indica la coma decimal de"er. moverse -lugares a la izquierda! Estos ejemplos nos muestran la importancia del uso de los exponentes! La aplicaci#n de los exponentes en la matem.tica (inanciera, se da en el inter&s compuesto y todas las (ormulas derivadas de ella, que lo vamos a ver m.s adelante! CONCEPTO Estudia todas las clases de exponentes y las di(erentes relaciones que existen entre ellos, mediante leyes! La operaci#n que da origen al exponente es la potenciaci#n! POTENCIACIÓN Es la operaci#n que consiste en repetir un número denominado "ase, tantas veces como (actor, como lo indica otro número que es el exponente, el resultado de esto se le denomina potencia! Representación:
= " ⇔ an = a × a × a ×!!!!!!!× a
an
/ n/ veces
Donde: a: "ase, A ∈ IR n : exponente, n ∈ Z " : potencia, p ∈ IR Ejep!os: "#
-*
= -
x - x - x
= %
* veces
$#
nn
= n
x n x n x n!!!!!!! x n
n veces 1
%# &#
% = % x % x % x % x %
( -)
1 veces 2
= - x
- x
- x
- x
2 veces
- x
- x
-
'E(ES UNDA*ENTA'ES "# Prod+cto de I,+a! -ase ! xa ! x" 3 xa4" ! Ejep!os: - ! * 3 -4* 3 2 51 ! * ! 2 3 • xn.& 3 xn ! x& • xa.c 3
$# Cocien Cociente te de I,+a! I,+a! -ase -ase xa ! " x
= xa −" !
x ≠ 0
Ejep!os: 28 3 5* 3 * 4 2
2 −6 56551) 3 5% − 5 3 2 55
•
53
x$/0" 3
•
%#
Prod+cto cto de de Po Potenci enciaas de de Di1 Di1eeren rente -as -asee a a ! x ! y 3 x ! y)a ! Ejep!os: • x&y&z& 3 xyz)& • ")% 3 % ! "% • m$n$p$ 3 • -x) & 3
&#
Cocien iente d dee P Po otencias ias d dee -a -ases Di1erent entes !
xa ya
a
x = ! y
y ≠ 0
Ejep!os: 3 43 4 "# 3 = 2 3 3 8 3 8 $# 3 = 2 2
9
10
'E(ES UNDA*ENTA'ES "# Prod+cto de I,+a! -ase ! xa ! x" 3 xa4" ! Ejep!os: - ! * 3 -4* 3 2 51 ! * ! 2 3 • xn.& 3 xn ! x& • xa.c 3
$# Cocien Cociente te de I,+a! I,+a! -ase -ase xa ! " x
= xa −" !
x ≠ 0
Ejep!os: 28 3 5* 3 * 4 2
2 −6 56551) 3 5% − 5 3 2 55
•
53
x$/0" 3
•
%#
Prod+cto cto de de Po Potenci enciaas de de Di1 Di1eeren rente -as -asee a a ! x ! y 3 x ! y)a ! Ejep!os: • x&y&z& 3 xyz)& • ")% 3 % ! "% • m$n$p$ 3 • -x) & 3
&#
Cocien iente d dee P Po otencias ias d dee -a -ases Di1erent entes !
xa ya
a
x = ! y
y ≠ 0
Ejep!os: 3 43 4 "# 3 = 2 3 3 8 3 8 $# 3 = 2 2
9
10
•
•
2#
x* *
=
3 3 5
Potencia de Potencia !
(( x ) )
c a "
= xa ! " ! c !
Ejep!os: • -$)% 3 -3 3 2$ • x$#$#2 3 7x$)$82 • 7$)%8& 3 • x$#%#2 3 9"servaci#n:
( x a )" = ( x " )a = x a!"
3#
E/ponente Ne,ati4o ! x
−a
=
% xa
−a
!
a x y ! ! = x y
Ejep!os: 2 −1 =
1 2
−2
•
2
2 = 3 = 32 3 2 22 *) - 3 1 2
•
5#
4
E/ponente N+!o o Cero ! x0 3 % ! Ejep!os: "# [ -xy ] 0 = 1 0
$# •
-y x + 1 = % 0 3
x ≠ 0
x ≠ 0 y ≠ 0
)0 3
•
E6ERCICIOS RESUE'TOS
1 −3 2 −2 4 −1 = + + + B 10 "# E(ectuar 3 5 23 esoluci#n: ;rans(ormando los exponentes negativos! 3 5 2 23 + 10 , e(ectuando operaciones dentro del corc+ete! B = 3 + + 2 4
+ 23 + 10 4 4 B = [ 27 + 12 + 10] B = 49 25
B = 27 +
2a +1.4a + 2b
$#
8a − 4.16 b + 2
esoluci#n Expresando cada "ase como una potencia de "ase 2 a + 2b
.( 2
a +1
2
3 a −4
(2 )
)
=
4 b + 2
.( 2
a +1
2
)
2a + 4b
.2
3a −12
2
4b + 8
.2
+1+ 2a + 4b
3a −12+ 4b+8
=
23a 2
+ 4b+5
3a + 4b−4
Restando los exponentes de “2”. 2 3a
+ 4b + 5− ( 3a + 4b − 4 )
= 2 3a + 4b +5−3a − 4b + 4 = 2 9 = 256
n + -) veces + 6) veces -n x!x!x!!!x x!x!x!!!x % %#
= x 6 xn + x!x!x!!!x *n ) veces −
esoluci#n -n + 6) veces
x!x!x!!!x
9"s&rvese que:
= x -n+ 6
*n , ) veces
x!x!x!!!x
= x *n+
n+ -) veces
x!x!x!!!x
En la expresi#n:
= x n +-
x -n + 6 x n + - % -n + 6 − *n + n + - − 6 −n − > = *n − )( x ) (x ) = (x x 6 x n + x −n n − 6 )( x − n − ) = x − n + n − 6 −n − = x 0 > = ( x )( x > = % &#
? = aa!a
Reso!+ción La expresi#n @?A se puede escri"ir de la (orma siguiente: ? = aa!a
a + aa +%
a + aa !a
=2
Pero a a ? = aa!a
= aa!a
a+ !a
? = a a!
= aa!a = aa!(a ) = aa!( ) a 3
-a
3
= ( aa! ) = = 16
? = 16
PR7CTICA: E6ERCICIOS DE AP'ICACIÓN educir: ? =
"#
%1 ! 1 ! *$ -1 ! *1
$# %#
n + * − n + n + *
E(ectuar: ? =
*
x ! x ! x ! x%0 !!!!!!!! x *0 x ! x - ! x 1 ! x 2 !!!!!!! x -2
Calcular: D =
&#
6
a + ! *a + " a − ! %6" +
2# educir : 11 1-
+
%0 1
−
-% -%0
3# educir: 6 − % + - −%
+ −% − ( )
−-
5#
Calcular: ? = − )* )0!1 a 8# alle el exponente (inal de @xA!
/ "/ veces
x a )"c ! x "c )a ! x ac ! x ac !!!!!! x ac x -a )" )c
9# "#
72 . 7 50 . 49
Calcular: E
42
E(ectuar:
[(
a
)
−-
!a
−-
a
−-)
8 −5
""#
educir: D 3
"$#
esolver:
"%#
7 60 77
]
− - −%
58
−8 5 28 + 35 8 . 8 . 8 ........ 8
4 . 4 ....... 4
n veces
(n 2) veces
n −% n −% n −% n −% !x !x ! x > 3 x n + ) (actores
F3
n+ n+ n+ n+ x !x !x ! x n −%) (actores
allar > G F "&#
+ -n +% E 3 n− * + -n −- + -n − "2#
D3
x - )− ! x − ! x − * )
x − 1 )−% ! x −-) ! x −% )
"3#
allar @xA:
x 4 5 x 3 %6
"5#
esolver:
*x 5 *x 5 % 3 %$
EXPONENTES II En este cap'tulo +aremos una "reve introducci#n a los radicales, que luego se va a pro(undizar mediante el uso de operaciones ".sicas! Los exponentes y los radicales son utilizados de (orma continua en la parte (inanciera, como es en la conversi#n de tasas (inancieras, entre otras! PROPIEDADES %! E/ponente raccionario %
! xn
=
n
x
=
m
! x n = (n x )m = n xm !
n ≠ 0
Ejep!os: • 41 / 2
=2 4=2
• 2";% 3 • %";& 3
( 27 )2 / 3
10%;$ 3
6*&;% 3
3
(
27 )2
( 3)2
9
! Prod+cto de Radica!es
n
x !
n
y
=n
Ejep!os: 3
4 . 3 5 = 3 4 . 5 = 3 20
5
1 55 5 1 5 55 = . . = 2 3 2 3 6 3
• 4
8 .
4
5 .
3
25
32
-! Ra>? de Radica!es
x y
n
=n
x y
=
y≠0
Ejep!os: 3
•
81
3 81
3
3
3
10
•
2x 3
•
2#
3
Ra>? de Ra>?
2 16
3
27
3
x ! y
!
!
a " c
= a!"!c x !
x
OBSERVACIÓN: a "
x
=" a
x
Ejep!os: = * x 4 3 10 = 3 4 10 = 12 10
-
*
x
3
• 5 4
3#
3
1 024
Casos Especia!es "#
m
x r !
$#
m
xa
n
%#
m
xa
÷
n
p
zt
xc
=
ys !
x"
n
p
x"
÷
p
=
m!n!p
m!n !p
x an + ")p + c
= mnp
xc
x r!n!p ! y s!p ! z t
x an−")p−c
E6ERCICIOS -7SICOS "#
Calcular: 0,25 9 − 625 4 81 So!+ción: −0,5
4 %0,1
%
%
%
% $ 61 * * 1 1 * − + % = − + - = − + - = −% + - = - * % $ -
$#
Calcular:
243
− 625
−4
−1
So!+ción:
*-
− 61
%#
−*
%
−%
% * − 61
% − − 61 *
= *-
Calcular: I =
3
= *-
2
−2
4
3
23
% 1
% 1
= % = *- = *- −
5
27
%
2 40
So!+ción:
*
H
-
-
2
1
*1 (actores
-
x !
E(ectuar: > =
&#
= -× *× -× 1 ( ( − × * + - )!- + 2 )!1 + *0 = %0 0 = %
*0
-
x !
-
x !!!!!!!!!! x !!!!!!!!!!
x
÷
x
x −x −%
** (actores
So!+ción:
-
>
x!
=
-
x !!!!!!!!!!
x!
-
x
x !!!!!!!!!!
( x) ( x) -
2#
>
=
>
=
>
=
>
=
x x%1 x%% x6
** (actores
*1
x%1
×
÷
x
x −x −%
**
x −% x−-
×
−%
× x− x
x −% x−-
=
educir:
x%1 −% x%%− -
=
?=
-
x%* x
*
= x%* −
2
−
!
*
2
-
*
2
−
+
-
*
2
2
2-
2
So!+ción:
?=
-
?=
*
? ==
*
2
2
−
− *!
*
2
*
!
-−
2
*
-
2
−
*
-
+
2
2
2-
2
-! 2!* 2
+
2
− *!* 2 + -!* 2 ? = (% − * + -)!* 2 ?=0 *
2
educir: =
3#
a
% + a % + −a
So!+ción: >plicamos propiedades de exponente negativo y luego propiedades de (racciones! =a
a
% + a % + −a
= a
% + a
= a
a
%
=a
%+
% + a % %+ a
=a
% + a a + %
(% + )! ( + %) a
=a
a
a
=
a
=
E6ERCICIOS -7SICOS "#
Calcular:
$#
T
1 3
64
n
1n
656
%#
educir:
&#
R
( 32)
%0n
56
3 5
− 6n − %1n
6 56 56
Calcular el valor de: E = a a + %)a +%) 2#
5# 8#
educir:
R
educir: M
a
+%= "
% a+"
a
a + " x educir: B = a x 6
%
a + " x + " x 4 .
4 5 3
5
4
4 .
4 .
3
20 15
5
5
10
4 4
52 5
6
60
5 .
60
5
1 3
9#
Calcular:
Q
"#
Calcular:
S
""#
E(ectuar:
3
642
3
(
x2
8
" 10
x
1
4
x3
5
x . 3
1
83
3
4
x4 ) (
5
x )
48 radca!es
8
x ..........
x .
2
162
x .
3
8
Calcular:
"%#
Calcular:
220
320
3 20
2 20
20
E
2n2 1 n2 5
T
x ..........
2
45(25)n 2 1
502n
5
"&#
Calcular el valor de:
"2#
allar:
"3#
#
n
R
4
5
4
2n 1 n 2
4n
4
allar el valor de:
2
−0,50,5 − ,0 250,5 81 − 64 (0,5) ( ,0 25) −−2 1 − ,0 50 − 1 − 25 − 36 1,5 ,0 125− ,0 1253 − ,0 25 −3−1
"5#
"8#
Calcular el valor de: −4 1210 185 1 E= 5 8 54 6 0,5
"9#
allar el valor de:
F
$#
(− =
− 2 −1
81
) (− −1
)
− 0, 2 −1
243
−3 −1 16−4− 2−1 1 − 16 27
x
6*
5.
5 4
8
x .
96 radca!es
"$#
4
5
5
x
x
3
x
E
( − 27 ) − 23 + ( − 27) − 53 + 2 81
=
−0 , 2
− 1 −1 1 1 − 2 1 −3 −1 1 −16 + + 2 4 81 125
1 2
−
1 2
ECUACIONES DEINICIÓN Es una igualdad de dos expresiones, una conocida y la otra desconocida llamada inc#gnita SO'UCIÓN DE UNA ECUACIÓN Es aquel valor que toma la inc#gnita, de modo que al reemplazarla en la ecuaci#n la veri(ican o la satis(acen! Ejep!o: 2x − 1 = x + 1
x = , es una soluci#n por que 7(2) − 5 = 2(2) + 5
CON6UNTO SO'UCIÓN DE UNA ECUACIÓN Es el conjunto (ormado por todas las soluciones de una determinada ecuaci#n! Ejemplo: x
− $x + 0 = 0
C'ASIICACIÓN DE 'AS ECUACIONES DE ACUERDO A SU @RADO ECUACIÓN 'INEA' O DE PRI*ER @RADO Es de la (orma:
a!x 4 " 3 0, a J 0
Ionde: x: es la inc#gnita a, ": coe(icientes reales!
a!x 4 " 3 0 Botaci#n:
x 3 "Ga
{ 5; 4}
%0x
+ % = -x +
primer miem"ro
segundo miem"ro
E6E*P'OS -ASICOS: "#
-x 4 3 x 5 1 So!+ción:
$#
6x 5 x 4 ) 4 - 3 %1x 5 %0 So!+ción: 6x 5 x 5 4 - 3 %1x 5 %0
1x 4 % 3 %1x 5 %0
x 3 %%G%0
C#S B"";" 2x 3
%#
5
8
5x 2
So!+ción: x -
+1=−
1x
⇒
x -
+
1x
mcm= -) = 6
x 1x = − 1 ⇒ 6 + = 6( -) - ⇒ *x + %1x = %
⇒ x = % %$
C#S B"8;"9 &#
ax 4 x 3 aa 4 ") 5 % 4 a") So!+ción: a 4 %)x 3 a 4 a" , % , a"
−% ⇒x= a +% ⇒ x = a −%
⇒x=
a
( a − %)( a + %) ( a + %)
C#S B a0") ESTRATE@IAS PARA E' DESARRO''O DE PRO-'E*AS Coprensión de! prob!ea e!ección de !a 4ariab!e Lea el enunciado atentamente! Hdenti(ique las cantidades conocidas y desconocidas que presenta el pro"lema! Elija una varia"le para la cantidad desconocida! Coprensión de! prob!ea p!anteaiento Esta"lezca relaciones entre las cantidades y varia"les! ;raducir el enunciado a una o varias ecuaciones! Reso!+ción
La parte operativa de"e ser sencilla! AnF!isis de resp+esta resp+esta cop!eta Esta parte es muy importante! Kno de"e re(lexionar so"re el sentido de los números o"tenidos con respecto al contexto del pro"lema y escri"ir una respuesta completa como soluci#n a la pregunta propuesta! Bo olvidar colocar las unidades! 2#
>nastasio y nastasio! MCu.nto dinero tiene nastasio: G! x
x 3 20
x 3 -1
Entonces l ca"o de un año tienen en total
Iesde el comienzo del año se gana en cada mes 600 m.s que el mes anterior! "ril) gana siete veces lo que gana en el primer mes, MCu.nto gan# en el mes de eneroN So!+ción: "ril : G! x 4 %00) Dlanteamiento: x 4 %00 3 2x 6x 3 %00 x 3 -00 Entonces en el mes de enero gan# G! -00
PR7CTICA: E6ERCICIOS DE AP'ICACIÓN Encontrar el valor de @xA en cada caso: "# -x 4 x 5 $ 3 *x 4 %% $# x 5 2 3 x 5 2 4 *x 5 %0 %# %%x 4 1x 5 % 3 -6 4 61 x &# x -) 3 *x 2)
2# -x 5 x 4 -) 3 -x 5 x 4 ) 3# x 5 1x 4 $) 3 -x 5 1x 5 x 4 -) 5# x 4 1)x 4 2) 3 x 4 1)x 8# x 4 2)x 4 6) 4 % 3 x 4 1)x 4 $) 9# x 4 ) 4 xx 4 %) 3 x 4 -) 4 x "#
x
4
x 2 3
5
(x 3) 4
""# ax 5 a 3 m 4 mx "$# ax 4 " 3 a 4 "x "%# p 4 q)x 4 p 3 rx 4 r 5 q "&# Calcular el valor de x - 4 %, en : x 4 %)x 4 1) 3 x 4 -)x *) 4 1 "2# esolver: x 3
2x 5
10x 15
1
"3# Calcular: x %)x) en: x 4 3
x 1 2
6
"5# allar @xA en: a ")x %) 4 x 4 %)a 4 ") 3 0 "8#
5 3
x
$# allar @xA en:
1 (x 6) 2
x 3
x $ a c
x c a $
x a $ c
3
$"# esolver la ecuaci#n y +allar el valor de @xA: px qx q qx px p − + = − + = p ≠ q) q"
pa
p
p"
qa
q
PRO-'E*AS DE AP'ICACIÓN: "# >l comprar un pantal#n, una camisa y un "uzo se gast#
$# Dregunta"a una persona por la (ec+a en que compr# su computadora, respondi#: @ cu.nto asciende el total del dinero repartidoN 5# Los a+orros de un niño constan de: p 4 %)! -p 5 1) y p 4 -) monedas de 1, %0 y 0 soles respectivamente! M> cu.nto asciende sus a+orros, si al cam"iarlo en monedas de 1 soles el número de monedas o"tenidas es el do"le que el número de monedas de 1 solesN 8# Dor un tra"ajo a Campos se le pag# %0 m.s que
"5# lejandra en uno!
AP'ICACIÓN A 'A ECONO*GA En toda producci#n de cualquier "ien en una empresa, siempre intervienen dos tipos de costos: COSTOS I6OS C) Los costos (ijos o constantes, son aquellos que no var'an con la producci#n!
I 3 ingreso P4 3 precio de venta por unidad 3 número de unidades UTI'IDAD U) La utilidad est. expresada de la siguiente manera: U I 0 CT
E6ERCICIOS -7SICOS: "# Kna empresa en la que se (a"rica cierta re(acci#n de un autom#vil tiene por concepto de pago de renta del local, agua y luz una cantidad mensual (ija de %, 000!00 y por concepto de materia prima aumenta su costo a raz#n de %!0 por producto y por concepto de mano de o"ra 0!0 por producto! Ieterminar su costo total al (inal del mes si la producci#n (ue de %0,000 art'culos! So!+ción: Iel pro"lema sacamos los datos que tenemos: CO 3 % 000 ?ateria prima 3 %!0 x producto ?ano de o"ra 3 0!0 x producto q 3 %0 000 C; 3 N
C; 3 0 000 4 1q >dem.s
H 3 Dv ! q H 3 %q
eemplazando en: K 3 H 5 C; 60 000 3 %q 5 0 000 4 1q) 60 000 3 %q 5 0 000 5 1q %*0 000 3 2q 0 000 3 q Dor lo tanto se de"en de producir 0 000 unidades! PRO-'E*AS DE AP'ICACIÓN "# Kna empresa vende un art'culo a un precio de %00!00, si sus gastos por mano de o"ra son de %0!00 por producto y por concepto de materia prima de %1!00 por producto teniendo costos (ijos de %T000, 000!00 mensuales, si su producci#n mensual es de 10,000 art'culos determina la utilidad mensual de la empresa! $# La compañ'a >S9B (a"rica un per(ume para mujeres, cuyo costo varia"le por unidad es de $ y el costo (ijo de 60 000! Cada per(ume tiene un precio de venta de 1! allar el número de per(umes que de"e venderse para o"tener una utilidad de *0 000! %# Kna (."rica de zapatos, desea sa"er cu.ntos pares de"e producir para o"tener una utilidad de -0 000! dem.s, el costo (ijo mensual es de 60 000 y el precio de venta de cada par de zapatos es de 10! &# Dara producir una unidad de un producto nuevo, una compañ'a determina que el costo del material es de ,0 y el de mano de o"ra de -! El gasto general, sin importar el volumen de ventas, es de 1 000!
vendidos en un mes! Encuentre el número m'nimo de menús, que de"er. vender Dan(leto, para que sus utilidades sean mayores a los -00 soles mensuales! ECUACIONES CUADR7TICAS O DE SE@UNDO @RADO >l reducir queda de la siguiente (orma: ax
+ "x + c = 0= a ≠ 0=
a, " y c ∈ H:
Ejep!os: -x 5 %x 3 0 -x 4 *x 5 3 0 x 5 *$ 3 0 *JTODOS DE SO'UCIÓN $$#
ACTORIKACIÓN
Es cuando al ser reducida la ecuaci#n queda reducida de la siguiente manera: a. b
= 0 ↔ a = 0 ∨ b = 0
Ejep!o: allar los valores de @xA en: x
x x
− 5x − 6 = 0
- 3 -x 3 x 1x Luego se toma en (orma +orizontal, entonces tendremos: x
− 1x − 6 = 0 ⇒ ( x - )( x − ) = 0 ⇒ x−- =0∨ x−=0 ⇒ x =-∨ x =
C#S B$L % $%#
ÓR*U'A @ENERA'
Sea !a ec+ación c+adrFtica: ax + "x + c
= 0= a ≠ 0=
a, " y c ∈ H
La (#rmula general est. dada por: x%=
=
−"±
"
− *ac
a
Ejep!o: allar las ra'ces de la siguiente ecuaci#n
x + x − % = 0
Ie donde se a(irma que: a 3 %=
" 3 %= c 3 %
eemplazando en la (#rmula general: x%=
=
− %±
%
− *(%)( %)
(%)
= − %±
%+ *
= − %±
1
Ionde: x% =
− %−
1
=
x
=
− %+
C#S B − % − 1 L − % +
1
1
Bota: ∆ = b 2 − 4ac se llama discriminante!
ESTUDIO DE 'A DISCRI*INANTE RAGK)
E6ERCICIOS -7SICOS: "# x 5 - 3 0 So!+ción# >plicamos el m&todo de (actorizaci#n! x 5 - 3 0
x 5 %6 3 0
sacando la mitad)
x 5 *)x 4 *) 3 0 x3*
Y
di(erencia de cuadrados)
x3*
C#S B- 4L & $# x 4 1x 3 0 So!+ción: >plicamos el m&todo de (actorizaci#n: x 4 1x 3 0
xx 4 1) 3 0
(actorizamos x)
x30
x31
Y
C#S B- 5L %# x 4 x 5 * 3 0 So!+ción: >plicamos el m&todo de (actorizaci#n: x 4 x 5 * 3 0
aspa simple)
x
6 3 6x
x
* 3 *x x
x 4 x 5 * 3 0
x 4 6)x 5 *) 3 0 x36
Y
x3*
C#S B- 6L & &# dem.s Dv 3
x !x %00
Dv3Dc4P)
la ganancia es una parte del costo del producto)
Dlanteando tenemos: $$21 3 x 4
x !x %00
E(ectuando: $$2 100 3 %00x 4 x ;rasponiendo y luego (actorizando por aspa simple: x 4 %00x $$2 100 3 0 x % 010 x $10 Ie donde o"tenemos que: x 4 %00x $$2 100 3 0
x 4 %010)x 5 $10) 3 0 x 3 %010 Y x 3 $10
La computadora cost# $10 soles! 2# Cuando dos computadoras actúan a la vez tardan %1 minutos en dar toda una in(ormaci#n requerida!
m.s en dar dic+a in(ormaci#n que si solamente actuara la computadora m.s r.pida! MCu.nto tardar'a esta en dar dic+a in(ormaci#nN So!+ción: La primera computadora demora: x minutos La segunda computadora demora: x4%6) minutos En una +ora la primera computadora dar.
% de in(ormaci#n x
En una +ora la segunda computadora dar. Entre las dos en una +ora dar.n:
1 x
+
% x + %6
% de in(ormaci#n x + %6
de in(ormaci#n
>dem.s entre las dos en una +ora dar.n %G%1 de in(ormaci#n Luego: % % % + = ⇒ -0x + *0 = x + %6x x x + %6 %1
Ie donde o"tenemos:
⇒ x − %*x − *0 = 0 ⇒ x − *)x + %0) = 0
(actorizando)
x 3 *
x 3 %0
Y
Evalu& el costo de producir: a) %000 unidades por semana! b) 100 unidades por semana! c) Binguna unidad! So!+ción: Evaluaremos cada valor en la ecuaci#n costo! a) Dara x 3 % 000 unidades, tenemos: C % 000) 3 1 000 4 6% 000) 4 0,00% 000) C % 000) 3 %- 000 u!m! b) Dara x 3 100 unidades, tenemos: C 100) 3 1 000 4 6 100) 4 0,00 100) C 100) 3 - 100 u!m! c) Dara x 3 0 unidades, tenemos:
C 0) 3 1 000 4 60) 4 0,000) C 0) 3 1 000 u!m!
PR7CTICA: E6ERCICIOS DE AP'ICACIÓN En cada caso encontrar los valores de @xA "# -x 5 %x 3 0 $# x 5 %x 3 0 %# x 5 1x 6 3 0 &# x 4 6x 4 $ 3 0 2# 1x 4 $x 5 3 0 3# -x 5 1x 5 3 0 5# x 4 %-x 4 6 3 0 8# x 4 %G-)x 5 %G-) 3 %G9# xx 5 %) 5 1x 5 ) 3 "# x 5 %) 5 3 ""# -x 5 *) 31x 5 6 "$# x 4 -)x 5 -) 5 %-1 3 0 "%# esolver: x 4 *) 3 x1x %) 5 2x ) "&#
=
*1 ! >dem.s a X "! Calcular: aG" x
"2#
x x+a
+
x x −a
=
(
1a
* x
− a )
x a + = % a + ") " x a + ") " x−a − a 3 0, e indicar una ra'z! a x−a
x a
+ a"
+
% x+-
−
x ax + -a
=
a+ax + -a + "x + -"
x − "
$# esolver:
=
"x − " -x
PRO-'E*AS DE AP'ICACIÓN "# La suma de los cuadrados de dos números impares consecutivos es 610, determine dic+o número! $# Kn número menos su ra'z cuadrada es %-! Encuentre dic+o número! %# El largo de un jard'n rectangular es m menor que tres veces su anc+o! Ietermine el largo y el anc+o si el .rea del jard'n es % m ! &# Con 10 metros de tela met.lica se desea (a"ricar u corral para cuyes de (orma rectangular y de %10 m de .rea! MCu.nto de"en medir los ladosN 2# Carlos desea (ormar una regi#n rectangular junto al rio, construyendo una "arda como la ilustra en la (igura que se muestra!
3# ;orcuato tiene una (."rica de moc+ilas, cuyos costos (ijos mensuales son de % 121 y el costo de la mano de o"ra y material es de 0 por cada moc+ila! t) = -,$ + 0,t
− 0,%t
Encuentre la cantidad de azúcar en la sangre: a) b) c)
>l principio de la prue"a! % +ora despu&s! 2
1 2
+oras despu&s de iniciada!
8# La suma de las edades de > y F es - años y su producto %0! allar la edad de > si es el mayor: 9# La di(erencia de números es 2 y su suma multiplicada por el número menor equivale a %*! allar los números! "# Elio, un (ot#gra(o pro(esional, tiene una (oto de %6 x % cm! Iesea reducir la (oto la misma cantidad de cada lado, de modo que la (oto resultante tenga la mitad del .rea de la (oto original, MEn cu.nto tiene que reducir la longitud de cada ladoN
""#
"3#
*000 n
!
de"en producirse y venderse durante un año de (a"ricaci#n, para que vendiendo 0000 al precio de 10 soles cada uno in(erior al precio de costo y que tiene por o"jeto destruir las competencias) ya las restantes a 6 soles quede un "ene(icio del 1 por %00! "8#
como computadoras le ro"aron! esultando que no tuvo p&rdida ni ganancia! MCu.ntas computadoras le ro"aron al vendedorN $# Kna persona compr# cierto número de li"ros por
SISTE*AS 'INEA'ES CONCEPTOS PREHIOS PAR ORDENADO
Es un conjunto (ormado por dos elementos dispuestos en determinado orden: x= y) Drimera componente
PROPIEDADES: "# $#
x= y) y= x) no conmutativa)
UNCIONES Iados los conjuntos no vac'os @>A y @FA y una relaci#n O ⊂ > x F se de(ine: O es una (unci#n de @>A en @FA si y s#lo si para cada [ ∈ >, existe a lo m.s un elemento y ∈ F tal que el par x = y) ∈ O, es decir que dos pares ordenados distintos no pueden tener la misma primera componente! A en @FA se designa por: f a
f: A → B ó
b A
B
A en @FA! Ejep!o: >
F
(
a 1
b
c
( 3 7a= %), "= %), c= %)8 es (unci#n! ?
(
B
1
a
2
b
?
1
B
? = d),( -= ")8 es
a b c
?
1
<
1
c diremos: F
( 3 7%= "), = a), = c)8 no es (unci#n!
DO*INIO ( RAN@O: >"reviado por Iom() y an() respectivamente se de(ine as': Doinio: Ienominado DEH?>PEB, conjuntos de los primeros elementos de un par ordenado! Botaci#n: Iom() 3 7x\>G] y\FGx= y)\(8 Ran,o: Llamado tam"i&n H?>PEB, es el conjunto de los segundos elementos de la correspondencia que pertenecen al conjunto de llegada F! Botaci#n: an() 3 7 ] y\F Gx\> Y x= y)\(8 Ejep!o!
( 3 7%= ), -= ), 1= *), $= 6)8 Iom() 3 7%= -= 1= $8 an() 3 7= *= 6= 8
En conclusi#n:
Iom() ⊂ > ∧ an() ⊂ F !
UNCIONES ESPECIA'ES UNCIÓN CONSTANTE egla de correspondencia: ( x) 3 I( 3 H
( 3
@rF1ica: !"x) # $
0
2 3
%
x
UNCIÓN 'INEA' egla de correspondencia: ( x) 3 ax 4 "= a 0) I( 3 H
( 3 H
@rF1ica:
b
b α
α
x
y 3 mx 4 "
x
y 3 mx 4 "
mW0
mX0
m: pendiente de la recta m 3 tgα E6ERCICIOS -7SICOS: "# Calcular la (unci#n lineal que tenga: ( %) 3 - y adem.s= ( ) 3 ( -) So!+ción: ( x) 3 mx 4 " ( %) 3 m 4 " 3 - ^^^^!α) >dem.s: m 4 " 3 -m 4 ") m 4 " 3 6m 4 " " 3 *m
^^^^!β)
Ie α) y β): m 3 %
"3*
∴( x) 3 x 4 *
$#
allar los valores de @aA y @"A para que el conjunto de pares ordenados: > 3 7= 1), %= -), = a "), %= "a), a 4 "= a)8
sea una (unci#n se de"e cumplir que dos pares ordenados no de"en tener la misma primera componente, de lo contrario de"en ser iguales! Entonces: > 3 7= 1), %= -), = a "), %= "a), a 4 "= a)8 1 3 a 5 " -3"a 3a " 3 % eemplazando: > 3 7= 1), %= -), -= )8 es (unci#n! %#
() 3 - (-) 3 * (2) 3 - ( ) 3 6 (*) 3 %
Entonces ? 3 ( ) 4 ( -) 4 ( 2) 4 ( ) 4 ( *) 3 - 4 * 4 - 4 6 4 % ? 3 %2 &#
Construir la gr.(ica de las siguientes (unciones (x) 3 x 4 6 Dara gra(icar (unciones de"emos ta"ular: x
y 3 (x) 3 x 4 6
0 %
y 3 (-) 3 -) 4 6 3 0 y 3 (0) 3 0) 4 6 3 6 y 3 (%) 3 %) 4 6 3 y 3 () 3 ) 4 6 3 %0
Dares -= 0) 0= 6) %= ) = %0)
PR7CTICA: E6ERCICIOS DE AP'ICACIÓN "# allar el dominio en las siguientes (unciones: ( 3 7= -), *= 1), 6= -), = a)8
$# allar el rango de: ( 3 7= -), *= 1), 6= -)8 %# Ie la (unci#n: O 3 7= -), -= *), *= %)8 % " " (" ) (" ) Calcular: (2) (3) &# Iado: O 3 70= %), %= ), = -)8 allar: "(0) "(1)
" "(2) " "( 0) (1) (2)
2# allar @a"A, si el conjunto de pares ordenados representa una (unci#n! O 3 7= -), -= a "), = a 4 "), -= %)8 6. Construir la gr.(ica de
a# b# c# d# e# 1# ,# M# i#
las siguientes (unciones!
(x) 3 1x 5 %0 (x) 3 2x 4 (x) 3 -x 5 2 (x) 3 xG1 4$ (x) 3 x 4 1 (x) 3 xG* 4 (x) 3 x 4 1G* (x) 3 - 5 -xG (x) 3 x 4 -
SISTE*A DE $ ECUACIONES ( $ HARIA-'ES Es de la (orma: a% x 4 "% y 3 c% a x 4 " y 3 c Ionde: a%, a, "-, "* \ H! x= y= z: inc#gnitas! *JTODOS DE SO'UCIÓN Encontramos 1 m&todos de soluci#n para este sistema de ecuaciones, los cuales son: "# ?&todo de reducci#n o eliminaci#n $# ?&todo de igualaci#n %# ?&todo de sustituci#n &# ?&todo de las gra(icas 2# ?&todo de las determinantes! Dor el momento nos centraremos en el cuarto m&todo de soluci#n! Iejaremos al lector +acer un an.lisis de los dem.s m&todos, ya que se +ar.n uso despu&s!
Dara +acer uso del m&todo de las gr.(icas, de"emos separar las ecuaciones, luego se ta"ula cada ecuaci#n por separado para que sea gra(icado en el plano! La idea central es u"icar el punto por donde se cruzan interceptan) las dos rectas! Este punto es la soluci#n del sistema! E6ERCICIO -7SICO a!
Encontrar los valores de x e y usando el m&todo de las gr.(icas x 4 -y 3 %6 -x 4 y 3 -% ;a"ulamos por separado las ecuaciones: Iespejamos @yA en cada ecuaci#n: x 4 -y 3 %6
-x 4 y 3 -%
x
y 3 %6 5 x)G-
Dares
x
y 3 -% 5 -x)G
Dares
% 0 1
y 3 %6 %))G- 3 6 y 3 %6 0))G- 3 1!y 3 %6 ))G- 3 * y 3 %6 1))G- 3
%= 6) 0= 1!-) = *) 1= )
0 % 1
y 3 %6 -))G- 3 1 y 3 %6 0))G- 3 -!21 y 3 %6 %))G- 3 -!1 y 3 %6 1))G- 3
-= 1) 0= -!$) %= -!1) 1= )
3.9
y%3(x)
'.3
'
2
(3 (1
y 3 %6 5 x)G- 0 2 '
y 3 -% 5 -x)G
x
Como o"servamos el punto donde se intersectan es el 1= ), por lo tanto es la soluci#n! Nota:
PR7CTICA: E6ERCICIOS DE AP'ICACIÓN H! Encontrar los valores de x e y usando el m&todo de las gr.(icas!
x4y31 x 4 y 3 x 4 y 3 2 x 5 y 3 * x4y3% x5y3-x 5 y 3 0 x 5 1y 3 0 x 4 -y 3 % *x 4 *y 3 y 3 xG x 4 y 3
*JTODO A'@E-RAICO PARA RESO'HER UN SISTE*A DE $ ECUACIONES ( $ HARIA-'ES En este caso +aremos uso de los m&todos anteriores que mencionamos, los cuales son: ?&todo de eliminaci#n o reducci#n! ?&todo igualaci#n ?&todo sustituci#n! Ie los tres m&todos, el m.s recomendado es el de eliminaci#n o de reducci#n!
E6ERCICIOS -7SICOS
"# esolver el sistema
- 2x + 1y = !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!1) -x − 6y = 0 !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!)
So!+ción: Iecidimos eliminar la varia"le @yA, aprovec+ando el signo menos, para conseguirlo multiplicamos la primera ecuaci#n por 6 y la segunda ecuaci#n por 1, o"teniendo un sistema equivalente!
*x + 30y = 99!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!3) %1x − 30y = 0 !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!*)
*x + -0y = $$ %1x − -0y = 0
∑ ?!>!?! :
12x = $$ x=
$$ --= ⇒x= 12 %$ %$
eemplazamos el valor de @xA en la ecuaci#n %):
-- -x %$ -x − 6y = 0 ⇒ y = ⇒y= -
⇒y=
6 --
6
$# En el cine
ya que se venden %2 "oletos) ya que se recaudan %%1)
Entonces decidimos eliminar la varia"le @yA, para conseguirlo multiplicamos a la primera ecuaci#n por 1), o"teni&ndose una ecuaci#n equivalente! 1x 1y = −60 2!10x + 1y = %%1
∑?!>!?! :
!10x = -1 x=
-1 !10
= %-0 ⇒ x = %-0
eemplazamos el valor de @xA en la ecuaci#n %): x + y = %2 ⇒ y = %2 x ⇒ y = %2 − %-0 ⇒ y = * Dor lo tanto (ueron %-0 adultos y * niños! %# Kna agencia especializada en alquilar ve+'culos, co"ra una tari(a diaria y una por la distancia en il#metros! El señor Búñez pag# 1 por dos d'as y %00 il#metros, y al señor Dalacios le co"raron %61 por tres d'as y *00 il#metros! Mcu.l es la tari(a diaria de la agencia y cu.l es su tari(a por il#metrosN So!+ción:
El señor Búñez pag#: x 4 %00y 3 1 El señor palacios pag#: -x 4 *00y 3 %61 Entonces se o"tiene el siguiente sistema: x 4 %00y 3 1 ^^^!!%) -x 4 *00y 3 %61 ^^^!!) Entonces decidimos eliminar la varia"le @yA, para conseguirlo multiplicamos a la primera ecuaci#n por *), o"teni&ndose una ecuaci#n equivalente! x *00y = −-*0 -x + *00y = %61 ∑ ?!>!?! : 1x = −%21 x=
%21 1
= -1 ⇒ x = -1
eemplazamos el valor de @xA en la ecuaci#n %): 1 x 1 − -1) x + %00y = 1 ⇒ y = ⇒y=
⇒
%00 y = 0!%1
%00
Dor lo tanto la tari(a por d'a es -1 y por m! es 0!%1! PR7CTICA: E6ERCICIOS DE AP'ICACIÓN "# Encontrar los valores de @xA e @yA usando un m&todo alge"raico! •
0,x + 0,1y = %,6 0,-x + 0,*y = −0,%
•
x + -y = 2 1x − 2y = -
•
x + -y = 6x − %y = −%
•
2x − 1y = x − -y = 1
•
x − -y = 1 -x − y = −%G*
$# esolver el sistema: 0 x+%0
+
%0 y
− % 3 $
−
+ - y − % 3 % e indicar el valor de @x 4 yA x
%# esolver: - x 4 y) 4 x 5 y) 3 %1 x 4 y) 5 - x 4 -y) 3 $ e indicar: @x 4 yA &# esolver el sistema: x x
+ +
1 y 2
3 % 3 1
y
e indique el valor de @x 5 yA! 2# esolver el sistema: x
−
y
3 % 5 a
a" " x y − 3 a 5 ab$ " a
y +allar yGx! 3# esolver: a " − 3 a 4 " x−a y+" a − -" + " 3 x−a y+"
o"tener: x 4 y 5# esolver el sistema: -x 5 y 4
* y 5 -) 3 * 1 1 -
x 5 *) 3
-
e indique el producto de @x!yA 8# Iado el sistema: ax 5 "y 3 a" x 4 "y 3 a
Calcular: @yA
9# esolver y dar el valor de xGy) % x−y % x
−y
+
−
% x+y % x
+y
3 a 3 "
"# Encontrar el valor de @yA en el sistema de ecuaciones simult.neas: % 5 2y 3 % x 4 2y 3 1 x
""# allar @xA en: x 4 % 3 y) 5% x 5 % 3 y) 5% "$# En mi clase est.n -1 alumnos! Bos +an regalado por nuestro "uen comportamiento "ol'gra(os a cada c+ica y un cuaderno a cada c+ico! l ca"o de un año tienen en total l traspasar 1 li"ros de un estante a otro, resulta que uno queda con el triple del otro! MCu.ntos li"ros +a"'a inicialmenteN "9# Dienso iniciar un negocio con un amigo y voy a aportar el do"le de dinero que mi socio!
modelo de lujo requiere -! +oras para ensam"laje pero s#lo 0!* +oras para pintura! En un d'a particular, la compañ'a dedica *6!* +oras 5 persona para ensam"lar y ! +oras 5 persona para pintar, MCu.ntas sillas de cada tipo se pueden +acer exactamente sin desperdiciar recursosN $"# _ean tiene una deuda en el "anco @>grarioA, que asciende a l igual que proceso anterior usaremos los m&todos estudiados, nos re(erimos a los m&todos alge"raicos! E6ERCICIOS -7SICOS: esolver los sistemas de ecuaciones y encontrar los valores de @xA= @yA y @zA!
"#
-x + y + z = x + -y + z = %0 x + y + -z = % So!+ción: -x + y + z = !!!!!!!!!! !!!%) x + -y + z = %0 !!!!!!!!!! !!) x + y + -z = % !!!!!!!!!! !!!-)
∑?!>!?! :
1x + 1y + 1z = -0 x + y + z = 6 !!!!!!!!!! !!!!*)
eemplazando *) en %): -x + y + z
= ⇒ x + x + y + z) = ⇒ x + 6 = ⇒ x =%
eemplazando *) en ): x + -y + z
= %0 ⇒ y + x + y + z) = %0 ⇒ y + 6 = %0 ⇒y=
eemplazando *) en -): x + y + -z = % ⇒ z + x + y + z) = % ⇒ z + 6 = %
⇒z=CS B"L $L %
6 1 % x − y + z = - %0 6 $# + − = x y z $ %1 % + + =$ x y z So!+ción:
6 1 % x − y + z = -!!!!!!!!!!!!!!!!!(%) - %0 6 x + y − z = !!!!!!!!!!!!!!!!!( ) $ %1 % x + y + z = $!!!!!!!!! !!!!!!!( -) Ie las ecuaciones %) y ), decidimos eliminar la varia"le @zA, para conseguirlo multiplicamos a la segunda ecuaci#n por ), o"teni&ndose una ecuaci#n equivalente!
∑?!>!?! :
6 x
−
1 y
6 x
+
0 y
% x
+
+
% z
−
%1 y
= -!!!!!!!!! !!!!!!!!(%)
% z
= *!!!!!!!!!! !!!!!!!( )
= 2!!!!!!!!!!!!!!!*)
Ie las ecuaciones ) y -), decidimos eliminar la varia"le @zA, para conseguirlo multiplicamos a la segunda ecuaci#n por -), o"teni&ndose una ecuaci#n equivalente!
∑ ?!>!?! :
$ x
+
$ x
+ %1 + % = $!!!!!!!!!! !!!!!!( - )
% x
-0 y
− % = 6!!!!!!!!! !!!!!!!! ( )
y
+
z
z
*1 y
= %1!!!!!!!!!! !!!!!!!!! ( 1 )
Ie las ecuaciones *) y 1), decidimos eliminar la varia"le @yA, para conseguirlo multiplicamos a la cuarta ecuaci#n por -), o"teni&ndose una ecuaci#n equivalente!
−
-6 *1 − x y
= −%!!!!!!!! !!!!!!!*)
% *1 + x y
= %1!!!!!!!!!! !!!!!!!!!( 1)
∑ ?!>!?! : − %x = −6 x % = % 6 x=-
eemplazamos el valor de @xA en la ecuaci#n *): % x
+
%1 y
=2⇒
% -
+
%1 y
=2⇒
%1 y
=-
⇒y=1 eemplazamos el valor de @xA y @yA en la ecuaci#n %): 6 x
− 1 + % = - ⇒ 6 − 1 + % = - ⇒ % + % = y
z
-
1
z
z
⇒ % = z z=6
⇒ CS B%L 2L 3
%# La suma de las edades de tres +ermanos es -1 años! El mayor tiene veces la edad del menor y el triple de la edad del mediano excede en % al duplo de la edad del mayor! MCu.l es la edad de cada unoN So!+ción:
∑ ?!>!?! :
-x
+ y = 20!!!!!!!! !!!!*)
Ie las ecuaciones -) y *), decidimos eliminar la varia"le @xA, para conseguirlo multiplicamos a la tercera ecuaci#n por -) y a la cuarta ecuaci#n por ), o"teni&ndose una ecuaci#n equivalente!
− 6x + $y = 6x + *y = %*0 ∑ ?!>!?! : %-y = %*y = %%
eemplazamos el valor de @yA en la ecuaci#n *): -x + y
= 20 ⇒ -x + %%) = 20 ⇒ -x = * ⇒ x = %6
eemplazamos los valores de @xA y @yA en la ecuaci#n %): x + y + z = -1 ⇒ %6 + %% + z = -1 ⇒z= El mayor tiene %6 años, el mediano tiene%% años y el menor tiene años! &# >, F y C pueden +acer un tra"ajo en %0 d'as= > y F lo pueden +acer en % d'as= > y C en 0 d'as! MCu.ntos d'as tomar'an cada uno de ellos para +acerlo separadamenteN So!+ción: Iel pro"lema: >, F y C +acen el tra"ajo en %0 d'as
> 4 F 4C 3 %0
> y F +acen el tra"ajo en % d'as
> 4 F 3 %
> y C +acen el tra"ajo en 0 d'as
> 4 C 3 0
En % d'a +ar.n el tra"ajo: >, F y C: > + F + C = > y F: > y C:
>
+F =
> + C =
% %0
% % % 0
Entonces tenemos el siguiente sistema:
>
% !!!!!!!!!! !!!!!!!!!! !!!!!!!!!! !%) %0 % > + F = !!!!!!!!!! !!!!!!!!!! !!!!!!!!!! !) % % > + C = !!!!!!!!!! !!!!!!!!!! !!!!!!!!!! !3) 0
+F+C =
eemplazando la ecuaci#n ) en la ecuaci#n %)!
> + F + C =
% %0
⇒
% %
+C=
⇒C=
% %0
⇒C=
% %0
−
% %
% 60
Dero es en un d'a, esto quiere decir que C se demora 60 d'as solo! eemplazando la ecuaci#n -) en la ecuaci#n %)! > + F + C =
% %0
⇒
% 0
+F =
⇒F=
% %0
⇒F=
% %0
−
% 0
% 0
Dero es en un d'a, esto quiere decir que F se demora 0 d'as solo! eemplazando el valor de C en la ecuaci#n -)! > + C =
% 0
⇒ > + ⇒ > =
% 60 % -0
=
% 0
⇒ > =
% 0
−
% 60
Dero es en un d'a, esto quiere decir que > se demora -0 d'as solo!
PR7CTICA: E6ERCICIOS DE AP'ICACIÓN I.
esolver los sistemas de ecuaciones y encontrar los valores de @xA= @yA y @zA!
*x + y − -z = %2 "# x + y , z = $ x , y + z = − x y z 6 + - − * = % x y z $# + − = −- * x y z + − - = 2
x − z = −%0 z %# y − = 2 y x − 1 = 6
- * x + y + z = 6 6 * &# + − = x y z 6 − + =x y z 2#
-x − y + 1
= x + -z − 2 = *y − z + = %
II# esuelve los siguientes pro"lemas: "# La suma de tres números es -6, la suma de los dos primeros es % y la suma de los dos últimos es *! allar el mayor de dic+os números! $# La suma de las edades de una señora, su esposo y su +ija es * años! La quinta parte de la edad de la +ija es igual a la di(erencia entre las edades del padre y de la madre! La suma de las edades de la madre y la +ija es igual a *G- de la edad del padre! MCu.l es la edad de cada personaN %# La suma de las tres ci(ras de un número es %! La suma de las ci(ras centenas y decenas excede en a la ci(ra de las unidades! FC, el .ngulo > excede en -0` al .ngulo F, y este en -0` al .ngulo C! Mqu& clase de tri.ngulo es el tri.ngulo >FCN 3# Kn dep#sito se pueden llenar por los conductos > y F en 20 +oras, por los conductos > y C en * +oras y por los conductos F y C en %*0 +oras! MQu& tiempo demorar.n los - juntos en llenar el dep#sitoN 5# ;res niños juegan canicas y entre todos reúnen 11! El triple de las del primero es igual al do"le de las del segundo y sumando %0 al do"le de las del tercero resultan iguales a cinco veces las del primero! MCu.ntas canicas tiene cada unoN 8# En una caja de l.pices de colores +ay rojos, verdes y amarillos= los rojos mas los verdes suman -1= los verdes y los amarillos suman 16 y los rojos mas los amarillos suman 1%! MCu.ntos +ay de cada colorN
*ATRICES ( DETER*INANTES *ATRIK Es un conjunto de números, letras, s'm"olos, etc! que est.n ordenados en (ilas y columnas, encerrados entre corc+etes # par&ntesis! Ejep!os:
3 5 2 − 3 5/7 − 9 − 4 1 − 3/4 π =
NOTACIÓN
?3
=
6 − 2 5 9
=
− 41 2 3 4 7
Columnas
1 5 4 − 2 2 3 1 0 − 1 4 − 2 5
(ilas
Columna j j 3 )
B3
3 − 2 0 2 1 2 − 3 − 2 1 5 − 1 4 − 5 3 4 5 1 3 4 2
Oila i i 3 -)
Oila % :
-, , 0, , %
Oila - :
%, *, 1, -, *
Columna % :
-, , %, 1
'!*na 3 : 0, +2, +5, 3
El * es el elemento que pertenece a la tercera (ila y a la segunda columna esto se denota por: e1ra de !a *a1r (*n.sc!a)
* 3 n- -.*er de c!*nas -.*er de /!as
@El elemento de la (ila i, columna j, se representa por n ijA Kna matriz en general, se escri"e:
> 3
a1 a12 a13 a14 a a a a a21 a22 a23 a24 31 32 33 34
3
a 3x 4
O-SERHACIONES a#
es un matriz de orden - x *!
b#
?3
c#
2 −1 3 − 4
es una matriz cuadrada de orden !
es una matriz cuadrada, la diagonal principal de >, est. (ormada por los elementos a ij! Iiag ?) 3 7= *8
d#
*ATRICES I@UA'ES Ios matrices > y F son iguales, si lo son todos los elementos que ocupan las mismas posiciones, es decir: a ij 3 "ij, para todo i, j! Ejep!os:
2 −1 3 2 −1 3 4 5 − 7 4 5 − 7
>!
3
F!
Dara que:
2 x a − 2 − 1 3 $ 3
se de"e veri(icar que:
a 3 , x 3 , y 3 -, " 3 %! DETER*INANTE Es un número real que se o"tiene de una matriz cuadrada! Cuya notaci#n es:
>
o
det>)
DETER*INANTES DE SE@UNDO ORDEN
a = c
"
⇒ > = d
a
"
c
d
= a!d − "!c
E6ERCICIO -7SICO: >
= *
> =
-
1
-
*
1
?atriz
Ieterminante
> 3 1) 5 *-) 3 Salor del Ieterminante
DETER*INANTES DE TERCER ORDEN Emplearemos para el c.lculo de estos determinantes la RE@'A DE SARRUS, cuyo procedimiento es el siguiente:
> 3 < % 5 <
>s':
a " c mn p r s t *JTODO "
∗
Dor la RE@'A DE SARRUS +orizontal, volvemos a escri"ir las dos primeras columnas en el lado derec+o : DS a
" c
a "
m n p
m n 3 ant 4 "pr 4 cms) 5 ncr 4 spa tm")
r
r
s
t
DP
s
DS
DP
*JTODO $
∗
Dor la RE@'A DE SARRUS vertical, volvemos a escri"ir las dos primeras (ilas en la parte in(erior : a
"
c
m
n
p
DS
DP
r
s
t
a
"
c
m
n
p
3 r"p 4 msc 4 ant) 5 ncr 4 asp 4 m"t) DP
DS
E6ERCICIO -7SICO: allar el determinante: %
-
*
1
6
2
$
%
-
%
*
1
6
*
1
3 %x1x$ 4 x6x2 4 -x*x) 5 2x1x- 4 x6x%4 $x*x)
2
$
2
3 1 5 1 3 0
Entonces
Salor de la determinante Iejaremos como pr.ctica para el lector, que encuentre la determinante aumentando las dos primeras (ilas!
PR7CTICA: E6ERCICIOS DE AP'ICACIÓN "#
alla el determinante de cada matriz siguiente:
6 - >= − ) ) , - * F= 6 , %
b > b 3 6x 5 )x- 3 %
b > b 3 %
) - 0 C= - − 6 *
−- −1 I= 1 6 % %0
) − - E= * − % − %6 2 O= 2 − )% * $#
Calcular los siguientes determinantes x − 2
−2 x +
+" a −"
−" a+"
a
a
1
+%
2−
-
2+
-
1
−%
−y −
yx + y)
x
+y
m+n
m−n
m−n
m+n
−a a+ %#
x
a
− a + *) − a
allar las determinantes de las siguientes matrices:
1 2 2 > = 2 1 2 2 2 1 3 −1 0 F = 1 − 1 1 0 1 2 2 − 1 4 C = 0 1 −1 1 3 2
1 2 − 3 I = 0 − 2 4 1 − 3 1
5 2 1 E = − 3 1 7 0 1 2 2 O = 5 8
7 10
3 4 6 9
a + 1 a + 2 a + 3 P= 1 1 1 1 2 3
1 = 1 1 &#
+ c + a a + b
a bc b c
Ietermine el los) valores de @xA en cada caso
% 0 0 )
x x−) - =x x +% x
x +% ) x x x) ) = 1 0 % 0
00 0 x 0 = %00 001 * % % 2#
+ xy + y allar ? = , sa"iendo que: x + y) x
2 %1 * = x − y) %0 % 2
−
3#
Calcular: F =
1 -
−
5#
1 -
−% −* −%
E =
8#
z
0
x
y
x
0
0
z
y
3
xyz
Hndicar el valor de: E =
a
a"
"
"
a
a"
a"
"
a
RE@'A DE CRA*ER La regla de Cramer, sirve para resolver sistema de ecuaciones lineales!
RE@'A DE CRA*ER PARA DOS HARIA-'ES
a%x + "%y = c% ax + "y = c Ionde: a%, a, "%, ", c%, c \H x= y: varia"les Dor determinantes o"tenemos: x =
Ionde:
Ix Is
L
y =
Iy Is
a% "%
Ieterminante del sistema:
Is = ≠ 0 a) ")
Ieterminante con respecto de la varia"le @xA:
Ieterminante con respecto de la varia"le @yA:
Ix =
Iy =
c% "% c ) ")
a% c % a) c )
E6ERCICIO -7SICO: a# Ktiliza la regla de Cramer para resolver el sistema:
x − -y = −* 1x + 2y = % ;omando los coe(icientes de las varia"les @xA, @yA para encontrar la determinante del sistema, as': 1 Is
=
−-
1
2
−x+2
= −* y =%
x
y
= ( )( 2) − ( 1)( − -) = %* + %1 = $
Luego tomamos los coe(icientes que se encuentran despu&s del igual en azul) y los coe(icientes de las varia"les de @yA, para encontrar la determinante de @xA I x )! −1x + 2 x
y y
= −* =%
−* −-
=
Ix
%
= ( − *)( 2) − ( %)( − -) = − + - = −1
2
Luego tomamos los coe(icientes de las varia"les de @xA, luego los coe(icientes que se encuentran despu&s del igual en azul), para +allar la determinante de @yA I y )! − -y = −* x + 2y = %
x
1
Iy
=
−*
1
%
= ( )(%) − ( 1)( − *) = + 0 =
Las respuestas son: Is Ix Iy
x
=
= $ = −1 = Ix
=
Is
CS B
− 1
=
$
− 1 $
;
y
=
Iy Is
= $
$
RE@'A DE CRA*ER PARA TRES HARIA-'ES
a%x + "%y + c%z = d% a x + " y + c z = d a x + " y + c z = d - - - Ionde: a%, a, a-, "%, ", "-, c%, c, c-, d%, d, d- \H x, y, z: varia"les Dor determinantes o"tenemos: x =
Ionde:
Ix Is
L
y =
Iy Is
L
z =
Iz Is
a% "% c % Ieterminante del sistema:
Is = a ) " ) c ) ≠ 0 a- "- c -
d% "% c% Ieterminante con respecto de la varia"le @xA:
I x = d) " ) c ) d- " - c a% d% c%
Ieterminante con respecto de la varia"le @yA:
I y = a ) d) c ) a - d- c a% "% d%
Ieterminante con respecto de la varia"le @zA:
I z = a ) " ) d) a - " - d-
E6ERCICIO -7SICO: a! Kso de la regla de Cramer para resolver un sistema de tres ecuaciones lineales!
− z = x − y + -z = x + 1z =
% 0
allaremos la determinante del sistema: I s
=
Is
Iz
=
%
0
−
0
−%
-
0
1
%
0
3
0
−%
%
0
0
,
Ix
=
-
0
−
%
−%
-
0
0
1
,
Iy
=
%
-
−
0
1
-
0
1
,
>umentaremos las dos primeras columnas m&todo de
Ix
Iy
Iz
%
0
−
%
0
−%
-
0
0
1
0
-
0
−
-
0
%
−%
-
%
0
0
1
0
%
-
−
%
-
=0
%
-
0
%
0
1
0
=
=
%
0
-
%
=0
−%
%
0
0
0
0
− % 3 1) 4 0) 4 0) 5 *) 5 0) 5 0) 3$
− % 3 %1) 4 0) 4 0) 5 0) 5 0) 5 0) 3 %1 0
3 1) 4 %) 4 0) 5 *) 5 0) 5 0) 3 2 0
− % 3 0) 4 0) 4 0) 5 6) 5 0) 5 0) 3 6 0
Resp+esta: x=
Ix Is
=
CS B
− %1 1 = , −$ -
1 -
;
y=
Iy Is
=
2 −$
= −-,
z=
Iz Is
=
6 =− −$ -
−-; − -
PR7CTICA: E6ERCICIOS DE AP'ICACIÓN "#
?ediante la regla de C>?E resolver los siguientes sistemas de ecuaciones:
-x + *y = −1 a) x − y = * x + -y = b) x − y =
x + 1y = %6 c) -x − 2y = 2* *x + 1y = %d) -x + 2y = −* e)
x + -y − z = 0 -x − *y + z = x + y + z = %
1)
x + y − z = x − -y − z = -x + *y + z = 2
x + 1y + *z = % ,) x − 1y + -z = −x + $y + 1z = x + y + z = −% M) x − y + z = $ -x − y + z = %0 i)
x + y + *z = -% 1x + y + z = $ -x − y + z = %0 RADICACIÓN
En este cap'tulo +aremos uso de las operaciones aritm&ticas con radicales! DEINICIÓN
a
= b ⇔
a
= b n
=
a
≥0
y b
≥0
@ n A par
a ∧ " son mayores iguales a 0!
@ n A impar
a ∧ " son reales!
Notación: n
ndice
a
= b
a'z
adicando
Recordar !a !e de !os si,nos:
6,)
n
=∃
n
+)
OPERACIONES CON RADICA'ES E6ERCICIOS -7SICOS: "#
-
2x 1 y
-
x y
2x 1 y -
-x = - =
-x x y
⇒
$#
=
-
-x = -
- -! x - ! x - y
-
educir: a3 3 3 3 3 a b 3
1
− 2 - + − * % 6*x − 2 %6x + *x − *
1
6*x
1 %
1 xx
*0
−2
%6x
− 2x*x
−
+*
+
+ xx
− %
*x
$x
−*
− * x-x
$x
* %
-
*
a " 1 c 2 ) a"c ) a "c - )
?C? -= *= %) 3 % omogenizando los 'ndices de los radicales! b 3 % a "1 c 2 ) *x- a"c )* -x* a "c - ) 3 % a " 1 c 2 ) %2 a *" * c ) % a 6" - c $ ) 3 % a " 1c 2a *" *c a 6"-c $ 3 % a%"%c * b a"c
x y
n
6,)
=+
=−
$a
c c
x 1
-a x
d
=
=
* × × x* × x
-a
%
x
x
% x
-x
− %x + % =
d
x , ) -
e e 3 e 3 e
-
1 1 3 1
- a
− *x + *) =
-x
-x , )
+ - 210 − - -02 + - %6 !6 + %1!6 − 1%!6 + 2!6 6 +1 6 − 6 +- 6 *
-
- 6
+ ( " − -a ) 1 1 + " 1 − -a 1
−" 1 −"
-a
1
-a
1
" 1
, * a"c ) ! - a" c ) ! % a 1"c ) ?C? -= *= %) 3 % , -x* a"c )- ! *x- a" c )* ! % a 1"c ) 3 %2 a -"- c 6 )! % a *" c * ) ! % a 1"c ) %2 a%"% c % ) , a"c
PR7CTICA: E6ERCICIOS DE AP'ICACIÓN E(ectuar las siguientes operaciones: a 3 1 % − 2 - + − * % "
=
c3 d3
+
2
−-
$
-
*
e 3− (3
−
+
+ +
+3-
21
21
$*
- 10
g=
*
−
-
+
%
−
-
+ - % + - -21 + - -
$6
1
+
10
−
21
2
−-
−
2 %
+
+
%
*
-*
+
%10
+ $ + -
−
*
2
+
2
+
+
*1 0
-
%
i3
+
6-
−
-*-
j 3
21
+
%
+
-
=
=
3 - 10 + - % − - = l 3 - %-1 + - *0 − - -0 = m3
n3
21
ñ3
o3
$
p3 q3
x- y z )
−
+
2
−
-
=
=
+
10
+
10
−
%
0
+
*1
−
%1
=
+
%21 −
6-
=
x y-z )
xyz )
=
=
r 3 - 1* + - %6 − - = s 3 - -21 − - % + - * = t 3 - %6 + - % − - 10 = u3
v3
a -" ) ! a 6 " )
U3
a -" ) ! a -" 1 )
x yz ) !
-
x- y- z ) !
-
-
=
xy )
=
6
=
x 3 1 - %6 + - 1* − - % + - - = y 3 %1 z 3-
0
−
10
+
−
+
20
1
> 3
2
−1
F 3
−
-
2
−*
−*
+
%
−
+
6-
−
%21
=
-0
=
*
=
2
=
C 3 - %0* + - -1% + - - − - %- = I 3
%0
−
-0
+
+
20
*1
=
E 3 - -* − - %6 + 1 - 210 − - 01 = O3
a-" ) a" ) a -" 1 ) =
P3
a "c - ) a%" )
3
-
6
1
-
*
m n p
-
1
-
m n p
%1
a *" c 6 )
%0
m n p
*
6
-
= =
RACIONA'IKACIÓN Es el proceso que consiste en trans(ormar a uno de los componentes denominador) de una (racci#n que est. en (orma irracional en otra equivalente parcialmente racional! CASOS
n
a n−m
B n
am
, pues
n
am !n an − m
3
an 3 a
n
E6ERCICIOS -7SICOS:
∗
×
-
1
∗- ×1
1 1
-
=
1- 1
=
1
= - 1
$do Caso Caso:: Cuando el denominador irracional es un "inomio cuyos radicales tienen 'ndice , es decir: B
(=
±
"
a −
"
3 (
a +
"
3 (
a
El (actor (actor racionalizante racionalizante de: a +
i) ii)
(
a −
es
"
a −
es
"
(
a +
a +
! Dues:
"
! Dues:
"
(
a −
"
! "
!
(
a
)
a
)
−( −(
"
)
"
3
a5"
) 3 a 5 "
En &ste caso, a los (actores racionalizantes racionalizantes se les llama expresiones conjugadas! conjugadas!
E6ERCICIOS -7SICOS:
∗
1 2−
= ∗
%% + -
1
=
2−
2+
×
1 2+ 2−
)=
×
= =
(
2+
%% + -
(
%% − %% − -
2+ %% − %% − -
)=
%% − -
%er Caso: Caso: Cuando el denominador denominador irracional es un "inomio cuyo radicales tienen 'ndice -, es decir: N
(3
3
a
± 3 b
El (actor racionalizante racionalizante de: i)
+ - ")
- a
- a
ii)
- a
+ - " )- a − - a" + - " ) = ( - a ) + ( - " ) ) = a + " -
− - ") - a
− - a" + - " ) pues:
es - a
es - a
-
+ - a" + - " ) pues:
− - " )- a + - a" + - " ) = (- a ) + ( - " ) ) = a − " -
-
E6ERCICIOS -7SICOS: %0 -
2+ -
=-
%0 2+ -
×
- *$ − - % + - $ )
=
*$ − % + $ ) -
-
-
%0 - *$ − - % + - $ ) 2+-
= - *$ − - % + - $
Dara racionalizar el denominador denominador de una expresi#n que contiene tres radicales, +ay que veri(icar dos operaciones, tal como se muestra:
acionalizar el denominador de:
−
1
1
−
+
6
So!+ción: Consideremos el denominador como un "inomio + 1 ) − 6 !
=
− 1
×
+ 1 + 6)
+ 1 − 6 + 1 + 6)
=
- − -0 − + 1 ) − 6 )
=
- − -0 − % + %0
?ultiplicando am"os t&rminos nuevamente por la conjugada del denominador)
− -0 − -) × % − % + %0 ) % −
=
=
-
−1
-
%0 ) %0 )
-0 − - + 6 %0 − -$
-
=
= -−6
− 1 -0 + 6 % − *0 +1
%0
-0
%0
−
-
-$
E6ERCICIOS -7SICOS: %
"# educir: ? =
+
1
So!+ción:
( -) (
%
+
-
-
−%
−%
1
( - + %) − ( 1+ - − %) ( - + %) ( ( 1 − - + ( - + % − ( 1 + % ?= ( 1 ) − ( -) ( -) − % ( 1) − % ( 1 − - ) + ( - + %) − ( 1 + %) ?= %
?=
− 1− 1
×
?=
(
1
−
- +%
−
-
)−(
+
+ %
( 1 − %) (
×
×
+ %) 1 + %) 1
1 −%
)+(
-
%
- −%
1
-
1−-
?=
)+ -) (
−
1
)
1 +%
−%
?=0
$# Hndicar el denominador racional de: 6 1− 6
+
%0
−
%1
So!+ción: aremos un pequeño arti(icio en el denominador! 6 1− 6
=
(
+
%0
−
%1
=
( 1)
6
−
6
1! 1
−
-! 1
)+(
! 1
−
+
!! -
)
−
!1
=
6
=
1! 1
-!1
−
! -
6
(
1! 1
−
-!
) + !(
1
−
-
+
! 1
−
-! 1
)
>grupamos convenientemente en el denominador y racionalizamos cada expresi#n por separado:
=
=
6
(
1
(
−
-
)(
6 1+ 1−-
1
+
)×(
=
) (
1− 1−
6
×
−
-
) (
) = 6(
1
+
1
+ 1+ 1
-
)×(
-
×
) (
1
− -
% 1
)
+
×
) (
− 1− 1
)
=
(
6 1
+
-
)(
−
1
6
) =(
+
1
-
)(
−
1
)
El denominador es: % %# acionalizar:
− ") 1a − "
a 1
− -) *1 + *) 1) − 1 ) 1
So!+ción: aremos un arti(icio en el denominador, para simpli(icarlo con la expresi#n que se encuentra en el numerador! − ") 1a − "
a 1
− -) *1 + *) a = 1) − 1 )
− ") 1 − -) *1 + *) a = 1 a − " 1) − 1 ) 1 − -) *1 + *) 1 − -) *1 + *) = = 1 − 1 ) %0 − 1
1
=
=
− ") 1 − -) *1 + *) 1 1a − ") − 1 )
1
1
( )
( %0 + 1) = 1 − -) *1 + *)( %0 + 1) %0 − 1 ( %0 − 1) ( %0 + 1)
1 − -) *1 + *)
×
( )
1 − -) *1 + *) %0 + 1
− %1
&#
* -
−%
-
%
−
%
−
-
-
−%
So!+ción: Ksaremos las propiedades de (racci#n
E
=
* -
-
−% %
− -
%
−
=
-
* -
−%
*
=
-
- −% % - − - ,% -
−%
=
*
- −%
-
- −% - - −
−%
=
* -
−%
- − % = -
* -
( - − %)
-
−%
=
* -
(
-
)
acionalizando el denominador: =
2# >l racionalizar
( - + % = ( - + % = ( - + %) ( - − %) ( - + %)
×
-+* 6
+
−
1
, se o"tiene:
grupando en dos grupos en el denominador! -+* -+* = × 6+ + 1 = 6+ − 1 ( ( 6 + ) − 1 ) (( 6 + ) + 1 )
-+* -
+ + 1 ( 6 + ) − ( 1 ) 6
- −% - − -
−%
( + )( + ) + ) = ( + )( + ( ) + +( ) −( ) (- + * - ( 6 + + 1 = ( 6 + ) + 1 ) = (- + * - ) - * -
=
6
6
6
%0
3# >l racionalizar
− - % + - %
1
6+
- * -
1
)+ ) 1
- 6
, se o"tiene:
+ - %
=
%0
( ) -
-
( )! ( ) -
-
%0
( )!( ) -
-
-
%0
= - ×-
− - !- 6 + - !- $ %
×
− - !- - + ( - - ) ( - ) − - ! + %0 + × = = + - % 1) - + - -
-
%0-
=
− - !6 + - !$
%0 -
=
=
(
)
(
( ) ( )
)
( × - + ( - ) ( -
) -)
-
+- -
-
+
-
= + - %
PR7CTICA: E6ERCICIOS DE AP'ICACIÓN "#
-
>l racionalizar (orma:
a "
>l racionalizar -
se o"tiene una expresi#n de la
! Calcular: @a 4 "A!
$# 2
-
2 -
o"tenemos una expresi#n de la (orma:
6
proporcionar el valor de @A! *
%#
acionalizar:
&#
educir: B =
2#
Hndicar el denominador racional de:
3#
acionalizar:
5#
%+ x %+ x %%
-
9# Iividir % entre:
−
2
2
−
−
−
%
%− x %
+
−
−
-
−
-+ 2
%− x x
2 %
−%
−
? -
$
−-
*
+ %
+
-
+
, Iar su denominador:
1
"# Iar el denominador racionalizado de: % 1
+
−* 1
""# acionalizar y simpli(icar: %
"$# acionalizar O =
2 + %1
−
%1
"%# >l racionalizar
+
%+ -
% + -1
+ 1+ - + 2+* ÷ "&# E(ectuar: − -− - 2 + 6 % "2#
2
"3# esolver:
−%
−
% 2
"5# allar: %0
−%
−
0
"8# Ieterminar: E 5 !
=
$ -
−
−
-
+
"9# allar @xA: si x < 0, x 4 mx 4 m 3 0 >dem.s: m =
% -
−
-
+%
$# acionalizar: $
x1 y
$"#
a+−
=
a
allar @aA $$# allar: @E 4 %A
1 E = 2 − $%# allar:
− 6
% 6
* + %
$&# acionalizar:
1
−
-
+
1
! Hndicar el denominador:
, se o"tiene:
%0
$
+
$2#
2
$3# acionalizar:
+
10
−
se o"tiene:
% -
- +- *
$5# acionalizar: * -
$−- -
+%
'O@ARIT*OS En la actualidad, los logaritmos se aplican en los di(erentes campos pro(esionales, por ejemplo en la >dministraci#n, Econom'a, Hngenier'a, Fiolog'a, ?edicina, etc! En donde el c.lculo se reduce al uso de las calculadoras o procesadores electr#nicos!
=
x
⇔ "x = B
" W 0 ∧ " ≠ %)
Ionde: x: resultado logaritmo) ": "ase del logaritmo , " W 0 ∧ " ≠ % B: número real y positivo
IDENTIDAD UNDA*ENTA' DE 'OS 'O@ARIT*OS "
log" B
B W 0 = " W 0 ∧ " ≠ %
=B
Ejep!os: • 6log6- 3 • 2log21 3
PROPIEDADES @ENERA'ES DE 'OS 'O@ARIT*OS ")
Log" % = 0
Log""
=%
Ejep!os: • log1% 3 0= • log** 3
$)
log" > ⋅ F
log% 3 = lne 3
= log" > + log" F
, ln% 3 , lne 4 -)e 4 -) 3
Ejep!os: • log--1 3 • log* 3
%)
log"
> F
= log" > − log" F
Ejep!os: • log
1 -
3
• log1 3
&)
log" > n
= n log" >
Ejep!os: • log-% 3 log--* 3 *log-- 3 * • log1% 3 • log1 - 1 3
logn " >
NOTA:
= log" > )n = n ∈ +
,n
>%
Dor lo tanto, deducimos que: log" >n ≠
logn " >
Ejep!os: • log 2
= log 2 )- = log 2 )log 2 )log 2 )
• log 1 * = * log 1
2)
log" n >
=
% n
n ≥ = n ∈ 4
log" >
Ejep!os: 1 • log* * =
• log2 =
% 1
% -
log* *
log2
=
% 1
3)
logF > ⋅ logI F ⋅ logE I
=
logE >
Ejep!os: • log2 ! log1 ! log-1 ! log2- 3 log22 3 % • log- ! log1 ! log1$ 3
ANTI'O@ARIT*OS anti log" [
= "x
Ejep!os: • antilog - 3 - 3 • antilog 1 3 1 3 -
PROPIEDADES %) antilog" log"B) 3 B= B W 0 ∧ " W 0 ∧ " ≠ % ) log"antilog"x) 3 x =
x ∈ ∧ " W 0 ∧ " ≠ %
Ejep!os: • antilog 1log1log%6) 3 log%6 3 * • log-antilog -*00) 3 *00
E6ERCICIOS -7SICOS# "# allar @xA en: Log 1 -
x = log%00 + 1
= log%0 + - = + - = 1
%! Hndicar el valor de: >
* - * - = log + log + log = log × × = log (%) = 0 - * - *
! El valor de @xA en la ecuaci#n: logx) =
% % log%6) − log) + % %
%
logx) =log%6) − log) + log%0) logx) = log* − log + log%0)
* × %0
logx) =log
x = 0
-
-! esolver: %000log- = - x So!+ción: %000 log-
= -x -
− 1x + $
− 1x + $ e
⇒ (%0- )
log-
indique el producto de las soluciones:
= -x
− 1x + $
⇒ %0-log- = - x
− 1x + $
⇒ x − 1x + 6 = 0
⇒ %0log- = -x −1x+$ ⇒ -- = -x −1x+$ ⇒ - = x − 1x + $ Oactorizando: ⇒ x − -)x − ) = 0 Ie donde o"tenemos: x3- Y x3 Entonces el producto es: x- 3 6 *! esolver: antilogxantilogx x = %6 So!+ción: acemos uso de la de(inici#n del antilogaritmo! antilogx x x = %6 ⇒ x x
x
= ⇒ x = antilog x * = *x
1! El valor de la expresi#n:
es:
So!+ción: *
x x* antilog x * = *x ⇒ = *x ⇒ = *x ⇒ x * − 6*x = 0 %6 ⇒ x ( x - − *- = 0 ⇒ x = 0 ∨ x - − * - = 0
⇒ x =0∨ x = *
= (% + 0!%1 ) n ⇒ log = log(% + 0!%1 ) n ⇒ log = nlog(%!%1 )
⇒n=
log log(%!%1 )
⇒ n = *!$1 ≈ 1
n
*
% %-%0 = %$$$6$ % − %0
So!+ción:
n
n
% ⇒ log %-%0 = log $ %-%0 = %$$$6$% − %0 %$$$6$ %0 %-%0 $ ⇒ log = nlog ⇒ n = %$$$6$ %0
n = 1!1*
≈ 6
%-%0 %$$$6$ $ log %0
log
2! El precio D de una vela var'a en (unci#n de su longitud x según Dx) 3 log *x, donde 0,1 pies X x X * pies! a) alla el precio de una vela que mide % pie! b) Qu& longitud tiene una vela que cuesta
El precio de la vela es
b) El precio es: Dx) 3 0! 0! = log*x ⇒ *x
= (%0)
0!
⇒x=
(%0) 0! *
⇒ x = %!122 ≈ %!6
Entonces la longitud es de %!6 pies, adem.s se encuentra entre 0!1 pies y * pies
PR7CTICA: E6ERCICIOS DE AP'ICACIÓN "#
>plicando la identidad (undamental determinar el valor de las siguientes expresiones: 4 a) 7 7 3 5 4
b)
3 34 2 2 3 4 4
c) d)
7
0( 2 5 5 4 3
e) $# %#
37 3 3
3
Ieterminar el valor de: E 3 Log%0 4 Log%000 4 % a) b) c) d)
allar @xA en cada uno de los siguientes logaritmos: Log-$ 3 x Log2-*- 3 x Logx1 3 Logx-6 3
&#
allar: @EA!
2#
Hndicar el valor de: a) Log-2 3 8 3 b) 2 2 53 3 5
c) 3#
E
Calcular:
5#
1 0,3 9
6 2
3
75 16
50 81
32 243
8#
educir: Log - 4 Log1) ! Log%1
9#
Hndicar el valor de: 1 27 2 3 3 31 / 2
E
(10 ne) 3
"#
educir:
""#
Calcular: -Logx) 4 Logx 3 Log%G*
"$#
esolver: log x 5 2logx 3 % e indicar el producto de soluciones:
"%#
Luego de resolver: %4 Logx 5 Logx 4 ) 3 0, Hndicar sus soluciones:
"&#
esolver: Logx 4 %) 5 Logx %) 3 Log- 5 -Log
"2#
esolver: Logx %) 4 Logx ) 3
"3#
3
Ieterminar las siguientes expresiones: a) >ntilog2 3 b) >ntilog1- 3 c) >ntilog-log-$ 3 d) Log6 >ntilog6 3
"5# Los valores de @xA que satis(acen a la ecuaci#n: >ntilog 1− x) = 1 − x , son: "8#
Ksando calculadora, calcule los valores de los logaritmos siguientes: a# log -*0 b# log %00* c# log 0,-* d# log *,16e# log -2*,* 1# log 162,**1,# log --1-M# log 0,0*2-2 i# log 0,000*
"9#
Comprue"e las igualdades siguientes sin usar calculadora:
25 16 81 4 1 log 4 - log 3 log 24 15 80
2 log
3 16 36 6 3 log -log 4 log log 125 25 27
$#
l ca"o de - meses b) >l ca"o de 2 meses c) >l ca"o de $ meses
$"#
Calcular @nA en: • *000 3 % 4 0,01) n • 3 % 4 %G%00) n • %0$1 31000 % 4 -60G%00) n
$$#
Kn aeroplano aterriza en una pista!
$%#
La masa m en gramos) de una pastilla e(ervescente que calma el dolor de estomago en un determinado instante t segundos) viene dado por: ? 3 %10x%00!t a) Que masa tiene la ta"leta inicialmente! b) Qu& masa tiene despu&s de segundos de +a"er sido tomada! c)
RAKONES ( PROPORCIONES RAKÓN O RE'ACIÓN Es el resultado de la composici#n que se esta"lece entre las cantidades dadas! Iic+a comparaci#n se puede dar de dos (ormas: ")
allando en cuanto excede una cantidad respecto de otra por medio de
la resta)! Ejep!o: 6 3 * $)
allando en cuanto contiene una cantidad a otra por medio de la
divisi#n)! Ejep!o: 6G 3 Dor lo tanto decimos que una raz#n puede ser: >ritm&tica o por di(erencia, y Peometr'a o por cociente!
RAKÓN ARIT*JTICA O POR DIERENCIA Es la di(erencia que se da entre cantidades! Como su operaci#n ".sica es la sustracci#n o resta, La az#n >ritm&tica se puede dar de (ormas: separando las cantidades por el signo de la sustracci#n ) o por medio de un punto !) Ejem!:
! se le suma o resta una cantidad, entonces el valor de la az#n quedar. aumentado o disminuido en dic+a cantidad, respectivamente! Ejep!o:
=
*
⇒ 6 + - − = * + - ∧) 6 − % − = * − % $
$)
-
! quedase aumentado o disminuido en cierta cantidad, entonces el valor de la az#n quedara disminuido, en el primer caso, o aumentado, en el do caso, en dic+a cantidad! Ejep!o:
=
*
⇒ 6 − −%)− = * + % ∧) −%
%)
1
2
1
6 − + %)−
−-
= * − % -
! am"os t&rminos o se
RAKÓN @EO*JTRICA O POR COCIENTE Es la az#n que se esta"lece por medio del cociente que se o"tiene al dividir cantidades!
PROPIEDADES DE 'A RAKÓN @EO*JTRICA
-0
6
$)
6!1
=-⇒
∧) = -!1 %1
6:
%
6
=-⇒
!-
= -!∧) %
6 :
= - : 6
%
6
%)
= - : -
*
6
=-⇒
6!* !*
= - ∧)
6:1 :1
=-
G1
E6ERCICIOS -7SICOS "#
allar la raz#n aritm&tica y geom&trica en cada caso: a)
60cm y %1cm
b)
1!6 mm y ! mm 11
c)
12
y
5 6
So!+ción# a) 60cm 5 %1cm 3 *1cm 60cm : %1cm 3 *cm b) 1!6mm 5 !mm 3 !mm 1!6mm : !mm 3 mm c)
11 12 11 12
− ÷
5 6 5 6
= 11 − 10 = 12
=
66 60
=
11 10
1 12
$#
La raz#n de los precios de dos productos es 1G6, si el menor precio es 0 soles! MCu.l es el otro precioN 5 6 5x
x
20
=
x
= 120
= 120
x
5 24
=
El otro precio es * soles! %#
La longitud de dos piezas met.licas est.n en relaci#n de 1 a 2, la pieza met.lica m.s grande es * cm! M+allar la otra pieza met.licaN 5 7
x
=
=
x
x
42 210
=
5 30
La otra pieza met.lica tiene una longitud de -0 cm! &#
En una raz#n el consecuente es y su valor es 0,-21! Ieterminar el antecedente! x 8
x
= 0!375
= 8 × 0!375 x =3
El antecedente es -!
PROPORCIONES ritm&ticas, Kna Equidi(erencia se escri"e de (ormas siguientes: a5"3c5d T=rinos de +na P#A#
PROPIEDAD UNDA*ENTA'
v)
a!":c!d=
∀ a = " = d ∈ 4
@En toda equidi(erencia la suma de los extremos es igual a la suma de los mediosA! ! ⇒ a 4 d 3 c 4 "! Ejep!o:! 5 6 3 %% 5 $ ⇒ $ 4 3 %% 4 6 ⇒ %2 3 %2
C'ASES DE EUIDIERENCIAS E# Directa: Es aquella cuyos ;&rminos medios no son iguales
1)
Oorma Peneral: a 5 " 3 c 5 d Ejep!o: Ionde:
$52356
d: *ta di(erencial respecto a @aA= @"A= @cA a= "= c: -era di(erencial o ;ercia Ii(erencial, respecto de @aA = @"A = @cA a ≠"≠c ≠d)! E# Contin+a: Es aquella cuyos ;&rminos medios son iguales!
2)
Oorma Peneral: a 5 " 3 " 5 c Ejep!o: Ionde:
%% 5 3 5 1
": ?edia di(erencial respecto de @aA = @"A = @cA a= c : -era # ;ercia di(erencial, respecto a @aA = @"A = @cA a ≠"≠c)! 9"s: ?edia Ii(erencial o >ritm&tica
"
=
a+c
PROPORCIONES @EO*JTRICAS O EUICOCIENTES
a =c 3 " =d 3 a=d3 " =c 3
> n te c e d e n te s C o n s e c u e n te s ; ! e x tr e m o s ; ! ? e d io s
4
a "
= c ⇒ ad = "c ↔ a = c es una D!P! d
"
d
Ejep!o: % 6
=
1% ⇒ % ! 12 = 6 ! 1%⇒ -06 = -06 %2
C'ASES DE EUICOCIENTES ") E# Discreta: aquella cuyos ;&rminos medios no son iguales Ejep!o: %0 : 3 %1 : 1 Oorma Peneral: a : " 3 c : d Ionde: d : *ta proporcional respecto de a @aA = @"A = @cA a = " = c : -era o tercia proporcional, respecto de @aA = @"A y @cA a≠"≠c≠d)! $) E# Contin+a: aquella cuyos ;&rminos medios son iguales ! Ejep!o:
- : %6 3 %6 :
Oorma Peneral: a : " 3 " : c Ionde: ": ?edia proporcional respecto de @aA= @"A= @cA a = c : -era o ;ercia proporcional, respecto a @aA = @"A y @cA a ≠"≠c)! Obs: ?edia Droporcional o Peom&tricas
"
=
a!c
TRANSOR*ACIONES DE PROPORCIONES @EO*JTRICAS Kna D!P! puede su(rir +asta trans(ormaciones distintas y legitimas entre s' una trans(ormaci#n es leg'tima cuando su propiedad (undamental permanece constante en valor num&rico)!
d c = = " a " a 6) = = d c
%)
%)
- %6
=
%6
=
)
%6
=
=
c = sus variaciones leg'timas ser.n! d
d " c a = = *) = c a d " c d " d 2) = = y ) = = a " a c
)
Ejep!o: la proporci#n
a "
-)
- %6 %6 -
= %6 = puede escri"irse de modos:
=
-)
%6
=
- %6
=
*)
%6 -
=
%6
1)
- %6
= %6 =
6)
%6
= %6 =
2)
-
%6
= - = %6
)
%6 -
=
%6
Obs: Cuando la Drogresi#n Peom&trica es continua, las (ormas distintas ser.n *: todas leg'timas! CO*PARACIÓN DE PROPORCIONES @EO*JTRICAS ")
1 %0
= %⇒ =
*
1 %0
%
= - ∧) % = 6
*
%
⇒ 6 = - ∧) % = - ⇒ =
*
6
* %
&)
= % ∧)
%)
*
2
= %0 ∧) 16 = * ⇒ %
%
2 %0
= 16 *
El producto que se o"tiene al multiplicar, t&rmino a t&rmino, distintas proporciones geom&tricas da lugar a una proporci#n geom&trica! Ejep!o: ?ultiplicando
%
% - 6 6 = = - = 6 = = → antecedentes xy x = ∧) x x * $ % - % $ - 1* * % % consecuentes 6 $6 es una D!P! por que : 6 ! 6* = 1* ! $6 ∴ = 1* 6*
2)
=
$6 = 6*
Con los * ;&rminos de productos iguales se puede (ormar una proporci#n geom&trica! Ejep!o: 6 x - 3 x $ <>
$
=
6
PROPIEDADES DE 'AS PROPORCIONES @EO*JTRICAS
a "
=
c d
= se
cumple:
a
%)
" a
- )
a
d
"
c
a±c
d
"±d
c
a+c
d
a−c
c
a−"
d
a+"
= ⇒
" a
2 )
a±"
= ⇒
"
1 )
c
= ⇒
= ⇒
"
=
c±d d a
c
"
d
= = = =
"+d "−d
)
a
c
a±"
d
a
c
a+"
d
a−"
c
a±c
d
"±d
= ⇒
" a
= ⇒
" a "
= ⇒
=
c±d c c+d
=
c−d
=
a c " d
c−d c+d
OPERACIONES CON 'AS PROPORCIONES @EO*JTRICAS
%)
a " a
-)
" a "
*)
a "
c
= = =
a±
=
c ±
⇒± "± d± a c ⇒ = ⇒ cte) d " d c aG c G ⇒ = ⇒ cte) d "G dG
d c
⇒
• 3 el valor de la az#n • R 3 constante ∈ 4)
a c = ⇒ = d " d c
*endo:
1)
a "
=
c d
⇒
a "
=
c d
E6ERCICIOS -7SICOS:
! Oormar las proporciones que resulten en cada caso: a! - x * 3 m x n b. a[- 3 1"-
c! [ x 3 a x " So!+ción: a!
* n
=m
"!
"
=
c!
-
[ 1
a [
=
"a
-! allar el t&rmino desconocido: a!
-6 x
=
x 6*
"! c!
d!
%6 0
0! x
0 x
=
0!
=
1
% -= m % 1
m e! % -
=
1 %* 1 4
So!+ción: -6 × 6* = x × x -6 × 6* = x
a!
-6 × 6*
=x -6 × 6* = x 6× = x * = x %6 × x
= 0 × 0 0 × 0 x=
"!
x
=
0! × 1
c!
d!
e!
0! × 1 0! %!1
%6 1
= x × 0! =
x
=x
% - % × = ×x - 1 % ×1 = x 1 =x % =x
x
=
x
=
% 1 × ×* * -1
*! Calcular la cuarta di(erencial de los precios de tres art'culos que son:
10 5 -* 3 $ 5 x
x 3 %-
Entonces %- es la cuarta di(erencial de 10= -* y $! '.
a
=
b
7 11
+ adem.s: a × b = 308 ! Calcular @" 5 aA
So!+ción: So!+ción: Iel primer dato se deduce que: a 3 2
y " 3%%
Luego lo reemplazamos en el segundo dato!
3 *
22 3 -0
2)%%) 3 -0
=
-0 22
=*
3
6! El número de soles de >ndr&s es al de Featriz, como es a - y el de Featriz es al de Carlos, como * es a 1! ndr&s y Carlos tienen juntos ndr&s: F
=
F
y
-
C
=
* 1
?ultiplicando am"as proporciones miem"ro a miem"ro! > F
*
F C >
- 1
× = × C
=
%1
⇒ > =
y C = %1
>dem.s tenemos tenemos que: > 4 C 3 $ eemplazando > 4 C 3 4 %1 3 $ allando el dinero de Featriz:
- 3 $
3*
F=
*
× C = * × %1 = * × %1 × * = *
1
1
1
Entonces Featriz tiene
2!
a b
=
c d
a 3 0 4 x
" 5 x 3
" 3 4 x
c 5 x 3 -
c 3 - 4 x
d 5 x 3 **
d 3 ** 4 x
Entonces en la proporci#n: 0 + x + x
=
- + x ** + x
0 + x)** + x) = - + x) + x) 0** + x) + x** + x) = - + x) + x + x) 0 + 6*x + x
= $6 + 60x + x
= %6 x=*
*x
Bos piden: a 4 " 4 c 4 d 3 0 4 x 4 4 x 4 - 4 x 4 ** 4 x a 4 " 4 c 4 d 3 %*0 SERIE DE RAKONES EUIHA'ENTES EUIHA'ENTES S#R#E#)
S#R#E# Arit=tic Arit=ticas: as:
2)
S#R#E# @eo=tricas:
a
Ejep!o:
=
"
"
c
=
c
d
=
d e
= !!!!!!!cte)!
PROPIEDADES DE 'AS S#R#E#@: )
a
=
"
"
=
c
=
d
=
!!!!!
=
α
c d e
=
Rcte)
⇒
a"cd!!!!! "cde!!!!!!α
=
R )n
/ B/ :>9BE<
a
= α n = " = α n−%)
=c
= α n−)
=!!!!!=
= α
Ionde: • 3 Cte! Ie proporcionalidad ∈4) • a %f antecedente • N 3 h ;otal de azones geom&tricas • 3 Kltimo consecuente!
)
)
a "
a "
= =
c d
c d
=
=
e (
e (
= !!!!! =
= !!!!! =
α
α
=⇒
=⇒
a ± c ± e ± !!!!!! ± " ± d ± ( ± !!!!!!! ± α
ap "p
=
± c p ± e p ± !!!!!! ± p = p ± d p ± e p ± !!!!!!! ± α p
Ionde: 3 cte! Ie proporcionalidad ∈ Q 4) ! = D∈ 4
E6ERCICIOS -7SICOS: "# allar el termino desconocido en : a# 10 5 * 3 1 5 x b# %6!1 5 3 x 5 c# *1!- 5 x 3 % 5 0!0d# x 5 0!* 3 1 5 0!00* e# 10 5 x 3 x 5 %*!6 $# %# &# 2# 3#
x y
a 6 m *
3 3 3
m n
"
1 n
1
" a 3 2 %
1
6
c
3
* d
3
c
5#
% m
3
n
3
* 3 y x
8# Ios números est.n en relaci#n de - %G* a 1 %G1!
3
c d
y
a 4 " 4 c 4 d 3%
allar: a 4 " 4 c 4 d
"&# La suma, di(erencia y el cociente de números est.n en la misma relaci#n que $, 2 y ! allar el mayor de dic+os números! "2# Ios números enteros son entre s' como %0 es a $! , F y C tales que > es a F como * es a 1 y es a C como %0 es a %%! y C es -6! MCu.l es el mayor de estos dos númerosN "5#
3
" 2
3
c %0
allar la suma de los antecedentes!
a "
3
c d
$"# Cuanto se de"e aumentar simult.neamente a cada uno de los números **, , 6 y %* para que constituyan una proporci#n geom&trica! $$# La raz#n aritm&tica de dos números es a raz#n geom&trica como el menor es a 2G*! En qu& relaci#n se encuentra los números! $%# A puede vencer a @FA por -0 metros, @FA puede vencer a @CA por %1 metros! allar la distancia @dA, si @>A puede vencer a @CA por * metros! %# La di(erencia de números enteros es a su cociente como el menor es a %0! MCu.l es la menor semisuma de dic+os númerosN %"# Ios números est.n en la misma raz#n que y %G- y los G- del producto de los números es %%1! MCu.l es la di(erencia de los númerosN %$# La suma de los t&rminos de una proporci#n es -*0 y cada uno de los tres último es el 1 del t&rmino que le precede MCu.l es el menor de los t&rminosN %%# El producto de los consecuentes de una proporci#n cuya raz#n es k es 0!
*A@NITUDES PROPORCIONA'ES INTRODUCCIÓN Las de(iniciones de las magnitudes proporcionales, como ac.pite de la teor'a del eparto Droporcional, tienen car.cter estrictamente matem.tico porque los conceptos de las magnitudes 5 sean directa o inversamente proporcionales 5 no se cumplen siempre en el an.lisis matem.tico! CONCEPTOS PREHIOS ")
*a,nit+d: Es todo aquello que tiende a su(rir algún tipo de variaci#n proporcional y es usado como patr#n de medida de cierta unidad! Ejep!o: ?asa 6 ? ) = Longitud L) y ;iempo t)
$)
Cantidad: Es toda aquella unidad con el cual se limita cuantitativamente el valor de una magnitud! Ejep!o: 60 Rg= 00m= -s! Kna cantidad, por su naturaleza, puede ser: a) Cantidad Constante: >quella cantidad que tiene un valor (ijo o determinado! Ejep!o: El costo de la edici#n diaria de un peri#dico! b)
%)
Cantidad Hariab!e: >quella cantidad cuyos valores se alteran! Ejep!o: El costo de una cierta cantidad de Rilogramos de >zúcar!
+nción 1):
CONCEPTO DE *A@NITUDES PROPORCIONA'ES
*A@NITUDES PROPORCIONA'ES DIRECTA*ENTE O *A@NITUDES DIRECTA*ENTE PROPORCIONA'ES
S a lo r e s D o s i" l e s a % = a ) = a - = ! ! ! ! ! a! n " % = " ) = " - = ! ! ! ! ! !" n
> F
• Donde: a% ≠ a ≠ a- ≠!!!!an ≠ "% ≠ " ≠ "- ≠!!!!"n ≠
) = constante= ∈ : +
9 p e r a c i# n ? a t e m a t i c a Propiedad 1+ndaenta!: @Ios cantidades ser.n directamente proporcionales si y solo si el cociente de esos dos números sea una cantidad constante constante de proporcionalidad)A
Ej!
• +nción
de
proporciona!idad
Directa:
a n a a%
R 3 ; g f " =a )
" n =a n )
"% " "% =a %)
"
n
F
x 3 Saria"le Hndependiente QSi A a+entaL - a+enta Si A disin+eL - disin+e
Ejep!o: El número de o"reros con la di(icultad de la o"ra= la velocidad con la distancia= la o"ra con el rendimiento= etc! II) *A@NITUDES DE PROPORCIÓN INHERSA O *A@NITUDES INHERSA*ENTE PROPORCIONA'ES
• Donde: a% ≠ a ≠ a- ≠!!!!an ≠ "% ≠ " ≠ "- ≠!!!!"n ≠
S a lo r e s D o s i" l e s a % = a ) = a - = ! ! ! ! ! a! n " % = " ) = " - = ! ! ! ! ! !" n
> F % G
) = constante= ∈ : +
H n v e r s a d e 9 p e r a c i# n ? a t e m a t ic a
Propiedad 1+ndaenta!: @Ios cantidades ser.n inversamente proporcionales si y solo si el producto de esas cantidades sea igual a una cantidad constante potencia de inversi#n)A Ejep!o:
@rF1ico:
As>ntota A !as -ases Ejes) > a n a * a-
y 3 Saria"le Iependiente
" % =a n ) " =a * ) s% " - =a - )
3 Constante
R m3 <
x 3 Saria"le Iependiente
" * =a )
a
" n =a % )
a% "% " " -
+nción de proporciona!idad In4ersa:
"*
"n
F
Obs! Las .reas "ajo la gr.(ica de la magnitud inversamente proporcional son siempre iguales! • R 3 Potencia de In4ersión
Constante) Si A a+entaL - disin+e# Si - disin+e A a+enta Ejep!o: Búmero de o"reros vs endimientos, números de o"reros vs ;iempo= velocidad vs ;iempo= número de o"jetos vs Costo= etc! Obs! Las magnitudes proporcionales pueden (ormar proporciones a partir de su propiedad (undamental y, por lo tanto, cumplen con todas las propiedades de las Droporciones Peom&tricas= de este modo:
PROPIEDADES DE 'AS *A@NITUDES PROPORCIONA'ES ")
@ ip) F ⇒ > dp) %GF)
$)
@ dp) F ⇒ > ip) %GF)
%)
@El orden donde se u"ican las cantidades no altera la magnitud proporcionalA! dp) F ≈ F dp) > y >ip) ≈ F ip)>
&)
@ dp) F ⇒ >n dp) Fn = donde : n ∈ > ip) F ⇒ >n ip) Fn
2)
@
⇒ n > dp) n F ⇒ n > ip) n F
dp) F >ip) F
3)
donde = n∈
= F = C dp) F C 3 cte) y dp) C F3 cte), entonces > dp) F 5 C dp) F C 3 cte) y ip) C F3 cte), entonces > dp) F 5 C%
E6ERCICIOS -7SICOS
%! es directamente proporcional a F y cuando > vale 6, F vale = determinar F cuando > es %! A es ID a @FA, entonces: >
= cte!
F
#
> % F%
=
> F
=
> F-
= !!!!!!! =
> n Fn
= Cte!
Luego reemplazamos los valores del pro"lema: 6
=
% F
*
⇒ =
% * × % ⇒F = F -
⇒ F = *
! es inversamente proporcional a la magnitud F y cuando > 3 %1, F 3 *, +allar F cuando > es %0! A es H!D! a @FA entonces: >!F = cte! # > %!F% = > !F
= > - !F - = !!!!!!! = > n !Fn = cte!
Luego reemplazamos los valores: %0!F = %1!* ⇒ F =
%1!* %0
⇒F=-
-! es ID a F adem.s cuando > 3 %= F 3 $! Calcular: F cuando > 3 ! es ID a F ⇒
> F
= Cte!
Luego: % $
= F
⇒B
2
× $ = %
⇒ F = 36 ⇒ F = 6
*! El a+orro mensual de un o"rero es I!D! a la ra'z cuadrada de su sueldo! +orro: > 3 %-1
I!D!
⇒
F
> <
= Cte!
Luego: %-1 -*
=
> 126
⇒
%-1 %
=
> *
⇒ > = %0
Pastar.: 126 5 %0 3
1! El precio de un li"ro varia en (orma proporcional al número de +ojas que posee e inversamente proporcional con el número de ejemplares producidos!
(Drecio )(h ejemplares ) ⇒ = Cte! Drecio H!D! h ejemplares h +ojas Drecio I!D! h +ojas
Entonces reemplazando los valores: %6( -000 ) *0
=
x( *000 ) -00
⇒ x = %1
Costar.
6! El costo de un terreno es H!D! al cuadrado de su distancia al ;H y I!D! a su .rea! Cierto terreno cuesta
Costo H!D! (Iistancia) (Costo )(Iistancia) Como: ⇒ ( ) = Cte! Costo I!D! (rea) rea )
)
Entonces reemplazando los valores: $ 000!d a
=
x( 1d) -a
⇒ x = %00
El otro terreno costar.:
2! En una instituci#n el sueldo es I!D! a la edad y los años de servicio del empleado e H!D! al cuadrado de la categor'a! 9scar empleado de da categor'a con %0 años de servicio en la instituci#n y de -6 años de edad, gana rroyo que entr# años antes que 9scar gana rroyoN
(ños de servicio ⇒ = Cte! (Edad)( >ñosde servicio) )
Entonces reemplazando los valores:
( 00 )( ) 2 ( 6*0 )( - ) 2 = ⇒ x = 1* x (% ) ( -6 )(%0 ) >rroyo tiene 1* años!
! El costo de un s+oU in(antil de +oras de duraci#n y separado con % d'as de anticipaci#n es de
Como:
Costo I!D! Iuraci#n (Costo) ( I'as) Costo H!D! I'as
⇒ = Cte! (Iuraci#n )
Entonces reemplazando los valores:
( 00)(%)
=
x( 1 ) %
⇒ x = *0
El costo es de
Drecio I!D! Deso
( Drecio )( Solumen) Como: ⇒ = Cte! Drecio H!D! Solumen (Deso)
ecordemos: Iensidad =
Deso Solumen
>dem.s: %!6 g XW % 600 gr eemplazando los valores correspondientes:
( -00)(%0) %1
=
x( *00) %600
⇒ x = 00
El ladrillo costar.
REPARTO PROPORCIONA' Es una regla en la cual a ciertas cantidades se les puede repartir en (orma directa o inversamente proporcional a otras cantidades, las cuales reci"en el nom"re de @(actores de proporcionalidadA, de tal manera que todas estas (ormas una serie de azones iguales! NOTACIÓN# epartir un número entero @BA en partes proporcionales a @qA= @rA= @sA=!!!!= @zA
= !!!! =
α z
=
Ionde: 3 constante de proporcionalidad ∈ Q4) Obs: La operaci#n del eparto es an.loga para el eparto inverso!
RE@'A PR7CTICA >l número @BA se le dividen en números proporcionales a los 'ndices @aA @"A @cA! Ienominaremos @xA a la parte de @BA que es proporcional a @aA= @yA a la parte proporcional @"A y @zA a la parte proporcional @cA, respectivamente, de manera tal que: ") x 4 y 4 z 3 B $) x > y > z %) a > " > c Los puntos $) y %) permiten (ormar con las cantidades y con los 'ndices de proporcionalidad una serie de azones geom&tricas equivalentes! y > z ∧) a > " > c ⇒
x a
=
y "
=
z c
>plicando una de las propiedades de las azones geom&tricas: x a
y "
= =
z c
⇒
x+y+z a+"+c
=
x = a
x+y+z a+"+c
=
y = "
x+y+z a+"+c
=
z c
Dero: x 4 y 4 z 3 B
∴x=
aB a+"+c
=
y=
"B a+"+c
cB
=
=
a+"+c
C'ASES DE REPARTO I) REPARTO PROPORCIONA' SI*P'E RPS) ")
REPARTO PROPORCIONA' DIRECTO SI*P'E O DIRECTA*ENTE PROPORCIONA'
=
%) 6
⇒ x = 6=
y
=
*%) 6
⇒ %
∴ Los Búmeros del eparto son: 6 y %!
) De +n Nero entero a +n Nero Raciona!: *0G60= %1G60= %G60= %0G60! Drescindimos el Ienominador Común 60), se aplica la egla pr.ctica para cada caso: x= z=
*0 %1*) *0 + %1 + % + %0 % %1*) *0 + %1 + % + %0
=
y=
=
u=
%1 %1*) *0 + %1 + % + %0 %0 %1*) *0 + %1 + % + %0
∴ x 3 0= y 3 -0= z 3*= u 3 0
) De +n Nero entero a +n Nero Rea!:
los 'ndices de Droporcionalidad y se divide por la suma de estos últimos!
Ejep!o: epartir %10 en partes directamente proporcionales a 1= 6 y $!
∴x =
1%10) 1+6+$
∴x 3 -2!1=
= -2!1 = y3 *1=
y=
6%10) 1+6+$
= *1 =
z=
$%10) 1+6+$
= 62!1
z 3 62!1
$) REPARTO PROPORCIONA' SI*P'E INHERSO O INHERSA*ENTE PROPORCIONA': +omogenizando: *G%0= 0G%0= %1G0! %0 3 m'nimo Común Ienominador)! • >plicando uno de los casos del eparto
II) REPARTO PROPORCIONA' CO*PUESTO RPC) Es aquel donde una cantidad es dividida en partes que son directamente proporcionales a otras cantidades 'ndices de proporcionalidad) y, a su vez pueden ser directas o inversamente proporcionales a otras cantidades 'ndices de inversi#n)! Ejep!o: epartir %20 en partes I!D! con *= 1 y 6 e H!D a = *= 6! %20 3 x 4 y 4 z= ?ultiplicamos los 'ndices directamente proporcionales a %20 por las inversas de los 'ndices inversamente proporcionales a %20! %20 3 x 4 y 4 z ∧) x 3 ID) * ! ⇒ x ID)
y 3 ID) 1 ! ⇒ y ID) 1G* z 3 ID) 6 ! %G6 ⇒ z ID) % educiendo los nuevos 'ndices a su m'nimo común Ienominador: [ ID) <> x ID) G*= y ID) 1G* <> y ID) 1G*= z ID) % <> z ID) *G* epartiendo %20 en partes directamente proporcionales a = 1= *: x
= %20) = 0= y = %201) = 10 = z = %20*) = *0
∴x =
%2 0 = y
= 10 = z =
%2 *0
%2
E6ERCICIOS -7SICOS "#
Kna (irma instituye un premio de l (in de semestre este de"e distri"uirse entre sus tra"ajadores que tienen -, 1 y * (altas respectivamente! MCu.nto reci"ir. cada unoN So!+ción: • Hnvirtiendo los 'ndices de inversi#n: %G-= %G1= %G* <> +omogenizando: 0G60=
%G60= %1G60! 60 3 m'nimo Común Ienominador)! • >plicando uno de los casos del eparto
0*20) %*20) %1*20) =y= =z = 0 + % + %1 0 + % + %1 0 + % + %1 x = 00 = y = %0 = z = %10
=
⇒ ∴ x = 00 =
y
= %0=
z = %10
Cada uno reci"e:
Kna mezcla de "ronce tiene 1 partes de co"re, - de estaño y de zinc! MCu.nto g! de cada metal ser.n necesarios para preparar *0g de esa mezclaN So!+ción: plicando la egla Peneral:
1*0)
x=
1+-+ -*0)
y= z=
1+-+ *0) 1+-+
⇒ x = 0 ⇒ y = % ⇒z=
∴
%#
;res sastres compran un lote de piezas iguales de tela que valen plicando >plicando la egla Peneral: Peneral: x= y= z=
12 60) +1+2 12 601) +1+2 12 602) +1+2
⇒ x = *0 ⇒ y = 0 600 ⇒ z = *0
∴ Cada uno de"e pagar:
&#
epartir una cierta cantidad en partes proporcionales a los jornales de tres operadores que son plicando >plicando la egla Peneral: Peneral: 60B B ⇒x= 60 + %00 + 0 * %00B 1B ⇒y= y= 60 + %00 + 0 % 0B B z= ⇒z= 60 + %00 + 0 x
=
Como al segundo le corresponde
B *
+ %0 =
1B %
⇒
1B %
−
B *
= %0 ⇒
B %
= 1 ⇒ B = 60
∴ >l tercero le corresponde: 60
z=
2#
-
= 0 soles
El premio de un sorteo se reparte en (orma inversamente proporcional al número de "oletos adquiridos y son respectivamente, = - y 2! MCu.nto de dinero reci"i# el que compr# m.s "oletos, si en total se reparti#
=
y %G-
=
z %G2
=⇒x=
=
y
=
= -
z=
2
-
2
+ + = % 2% ⇒
*% *
= %2% ⇒ = %-0
El que compr# m.s "oletos reci"i#: z=
3#
2
⇒z=
%-0 2
= %6
soles
Cuat Cuatro ro soci socios os reún reúnen en 000 000 000, 000, de los los cual cuales es el primero pone *00 000= el segundo las -G* de lo que puso el primero= el tercero las 1G- de lo que puso el segundo y el cuarto lo restante! Explotan una industria durante durante * años!
ID
*00 000
do: y
ID
-ero: z
ID
1( -00 000) -
*to: U
ID
00 000
-( *00 000) *
plicando >plicando la egla Peneral: Peneral:
= -00 000
= 100 000
z
=
00 000(%100 000) *00 000 + -00 000 + 100 000 + 00 000
⇒ z = 600 000
∴ >l cuarto le corresponde 600 000!
5#
Kn +om" +om"re re deci decide de repa repart rtir ir una una +ere +erenc ncia ia en (orm (orma a proporcional en el orden en que nacieron sus +ijos! La +erencia total es de
=
x
=
x-
=
*0000( )B + + - + + n *0000( )B + + - + + n *0000( - )B + + - + + n
xn
⇒ x% =
*0000( )B
n( n + %) n( n + %) *0000( )B *0000( * )B = ⇒ x = n( n + %) n( n + %) *0000( - )B *0000( 6)B = ⇒ x- = n( n + %) n( n + %)
⇒ x ⇒ x
=
*0000( n )B + + - + + n
xn
= x % + %60 000 x % = %60 000
*0000( ) ( n + %)
⇒ xn =
*0000( n )B
n( n + %)
− *0000( ) = %60 000 n( n + %) *0 000 ) % % − = %60 000 ( n + %) n % n % % = ( n + %) n 6 6n − 6 = n + n n − 1n + 6 = 0 n−= 0∨n−- =0 n = ∨n = El +om"re tiene - +ijos!
*0000( )B
>dem.s por dato dato del pro"lema: pro"lema: xn
⇒ x% =
⇒ xn =
*0000( )B
( n + %)
PRO-'E*AS DE AP'ICACIÓN "# Hdenti(ique las varia"les y constantes en cada (ormula: a# D 3 L 4 a en geometr'a)! O#rmula para el per'metro D de un rect.ngulo : L 3 lado, a 3 anc+o! b# E 3 H en electricidad: ley de 9+m)! Iado un circuito cuya resistencia es : E 3 voltaje aplicado, H 3 corriente resultante! c# 3 Od en mec.nica)! Ie(inici#n de tra"ajo : O3 (uerza aplicada I3 distancia a trav&s de la cual se mueve la (uerza! d# O 3 ma en (isica: segunda ley de BeUton)! Iado un cuerpo de masa m : O3 (uerza aplicada, a3 aceleraci#n producida por la (uerza! e# D S 3 DS en qu'mica: ley de "oyle)! Kn gas tiene una presi#n inicial D y un volumen inicial S! Cuando la temperatura se mantiene constante, D 3 presi#n (inal, S 3 volumen (inal! 1# S 3 Cv 2 gh en din.mica de (luidos)! Iado un (luido en un recipiente a"ierto cuyo coe(iciente de velocidad es Cv: v3velocidad de descarga a trav&s de un pequeño ori(icio que esta + unidades de"ajo de la super(icie, g 3 gravedad de"ida a la gravedad! ,# C 3 %GC% 4 %GC en electricidad)! Iado un circuito el&ctrico: C3capacitancia total de dos capacitancias C% y C conectadas en serie! M# ; 3 Or en mec.nica)! Iado un cuerpo que esta rotando: ;3 momento de torsi#n producido, O3 (uerza aplicada, r3 distancias de la (uerza aplicada al centre de rotaci#n! i# H3 EG 4 r) en electricidad)! Iado un circuito con voltaje en la "ater'a E y resistencia interna r: 3 resistencia del circuito, H3 corriente resultante! j# C3 π r en geometr'a)! O#rmula para calcular la circun(erencia C de circulo: r3radio! # S3--%!1 4 0!602t en ('sica)! O#rmula para calcular la velocidad del sonido S en el aire: t 3 temperatura del aire oC) !# 3 π ;G1 000 en mec.nica)! O#rmula para calcular los ca"allos de potencia de una "arra giratoria: n3revoluciones por minuto ;3momento de torsi#n producido! # H 3 Ho 4 alo ;;o) en termodin.mica)! Iado un s#lido de longitud l o a una temperatura ;o: l 3longitud a la temperatura ;, a3coe(iciente de dilataci#n lineal del s#lido! n# <3Sot4 1 2 gt en (isica)! O#rmula para calcular la distancia de un cuerpo en ca'da li"re: So 3velocidad inicial, t3tiempo transcurrido, g3 aceleraci#n de"ida a la gravedad! $# epartir $0 entre >, F y C de modo que la parte de F sea el do"le que la de > y la de C triple que la de F! %# epartir *0 soles entre >, F y C de modo que la parte de C sea los de la de F y la de > igual a la suma de las partes de F y C! &# epartir el número *$0 en tres partes tales que cada una sea los -G de la anterior! 2# epartir %$0 soles en tres personas de modo que la parte de la sea el triple de la parte de la % y el cu.druplo de la parte de la - 3# epartir 1 en dos partes que sean entre s' como 2 es a !
5# epartir $- en dos partes que sean entre s' como - es a $G-! 8# epartir %$0 en dos partes que sean entre su como 1G6 es a 2G! 9# epartir *0 en - partes de modo que la % sea a la como $ es a y la a la - como es a 2! "# epartir 60 en tres partes tales que la % sea a la como es a -: la a la - como % es a 1! ""# epartir 16 en cuatro partes tales que la % , F, C y I de modo que la parte de > sea a la de F como - es a *= la parte de F sea a la de C como % es a - y la parte de C sea a la de I como es a -! "%# , F, y C de modo que las partes que reci"en son proporcionales a los números *, 1 y 6! es 0 soles! MCu.les son las partes de F y C y cual la suma repartidaN "&# epartir 60 soles entre 6 personas de modo que cada una de las dos primeras tenga el triple de lo que tiene cada una de las restantes! "2# epartir - en dos partes que sean a la vez directamente proporcionales a y * e inversamente proporcionales 1 y 6! "3# epartir %00 en tres partes que sea a la vez directamente proporcionales a 1, 6 y 2 e inversamente proporcionales a , - y *! "5# epartir 6$ en dos partes que sean a la vez directamente proporcionales a G- y k e inversamente proporcionales a 1G6 y ! "8# Los +om"res alquilan un garaje por -0 soles! El primero +a guardado en el * autom#viles durante 6 meses y el segundo 1 autom#viles por meses! MCu.nto de"e pagar cada unoN "9# ;res cuadrillas de o"reros +an realizado un tra"ajo por el que se +a pagado 1%6! La primera cuadrilla consta"a de %0 +om"res y tra"aj# durante % d'as= la segunda, de 6 +om"res, tra"aj# d'as y la tercera, de 1 +om"res tra"ajo % d'as! MCu.nto de"e reci"ir cada cuadrillaN $# En una o"ra se +an empleado tres cuadrillas de o"reros! La primera consta"a de %0 +om"res y tra"aj# 6 d'as a raz#n de +oras diarias de tra"ajo= la segunda, de $ +om"res, tra"ajo durante 1 d'as de 6 +oras y la tercera, de 2 +om"res, tra"ajo d'as de 1 +oras! MCu.nto de"e reci"ir cada cuadrilla si la o"ra se ajusto en *2!10N $"#
$%# La e(iciencia de un tra"ajo se mide en puntos y es directamente proporcional a los años de tra"ajo e inversamente proporcional a la ra'z cuadrada de la edad del tra"ajador! La e(iciencia de aúl es puntos cuando tiene un año de tra"ajo y 1 años de edad! MCu.l ser. su e(iciencia a los -6 añosN $&# El sueldo de un empleado es proporcional al cuadrado de la que tiene! l terminar el negocio las ganancias (ueron iguales! >veriguar el capital que impuso el primer socio! $9# La ganancia o"tenida en un negocio es repartida en (orma proporcional al capital aportado por cada uno de ellos! los 6 meses se retira el primero! >l liquidar la empresa, terminando el año, la ganancia del primero! Es 1%0! allar ganancia del segundo! %"# Ios personas > y F (orman una compañ'a! El capital que aporta > es la mitad que el de F, pero el tiempo que permanece > en la compañ'a es eles el triple del tiempo que permanece F! y la F es *0,000! allar la utilidad total de la compañ'a! %$# Kn (a"ricante empez# un negocio con K< 000 de capital! Cuatro meses despu&s acept# un socio con K< %,000 de aporte, y meses m.s tarde aceptaron en tercer socio con K< %0,000 de capital! A es proporcional a la media aritm&tica y a la media arm#nica de números! 3 , cuando la media geom&trica de dic+os números es *, +allar @>A cuando el producto de los números sea -0! %&# Kn diamante se parte en - pedazos, donde el primero pesa el do"le del segundo y &ste el triple del tercero!
ID al cuadrado de su peso y que su precio original era y F que son inversamente proporcionales para valores de F menores o iguales a -0, pero > es directamente proporcional a F para valores mayores o iguales a -0! 3 6 cuando F 3 0, Mcu.l ser. el valor de > cuando F 3 60N
RE@'A DE TRES DEINICIÓN La re,!a de tres es una (orma de resoluci#n de pro"lemas de proporcionalidad entre tres o m.s valores conocidos y una inc#gnita! En ella se esta"lece una relaci#n de linealidad proporcionalidad ) entre los valores involucrados! La egla de ;res puede ser: Sip!e: Cuando intervienen pares de cantidades proporcionales! Cop+esta: cuando intervienen o m.s pares de cantidades proporcionales! RE@'A DE TRES SI*P'E R%S) Es una regla en donde intervienen tres cantidades conocidas o datos y una desconocida o inc#gnita, distri"uidas en dos magnitudes! RE@'A DE TRES SI*P'E DIRECTA R%SD) Es cuando las magnitudes D#P# que intervienen son Directaente Proporciona!es, eso quiere decir que cuando aumenta una de ellas la otra tam"i&n aumenta o al disminuir una de ellas la otra tam"i&n disminuye! ?agnitud % ?agnitud a m.s
a
" m.s
c menos
a
x menos
E6ERCICIOS -7SICOS: %! Ie 00 litros de agua de mar se pueden extraer g de sal! Mcu.ntos litros de agua se de"en tener, si se quiere -0 g de salN So!+ción:
A,+a !itros ) 00 x 4)
Sa! , ) -0 4)
>+ora +allamos el valor de la inc#gnita: x
=
00!-0
⇒ x = 210
Reo!acMa
A?car
) 10 %00 4)
) -0 x 4)
>+ora +allamos el valor de la inc#gnita: x
= %00!-0 ⇒ x = % 10
Distancia Tiepo 4) 100 00 )
4) %0 x )
>+ora +allamos el valor de la inc#gnita: x
=
00!%0 100
⇒x=*
,.P.
D>as
S+e!do
4) % %1 )
4) x )
>+ora +allamos el valor de la inc#gnita: x
=
%1! %
⇒ x = *0
eci"ir.
'.
litros m.s de vino, MCu.ntos litros de vino producen los 10 ilos de uvaN So!+ción:
i!os de +4as
'itros de 4ino
) 10 -00 4)
) x x4* 4)
>+ora +allamos el valor de la inc#gnita: ( x + *)!10 = -00!x ⇒ 1x + %00 = -0x ⇒ 1x = %00 ⇒ x = 0
RE@'A DE TRES SI*P'E INHERSA R%SI) Es cuando las magnitudes que intervienen son In4ersaente Proporciona!es, eso quiere decir que cuando aumenta una de ellas la otra disminuye o al disminuir una de ellas la otra aumenta! I#P# ?agnitud %
?agnitud
a
"
a!" x = c
c x E6ERCICIOS -7SICOS: m.s a menos "#
Obreros
D>as
4) 0 %1 )
) $ x 4)
>+ora +allamos el valor de la inc#gnita: x
= 0!$ ⇒ x = % %1
$# Kn grupo de * excursionistas llevan v'veres para % d'as, pero al inicio de la excursi#n se suman - personas m.s, MCu.ntos d'as antes se aca"ar.n los v'veresN So!+ción:
E/c+rsionistas
D>as
) * 2 4)
4) % x )
>+ora +allamos el valor de la inc#gnita: x
=
*!% 2
⇒ x = %6
Los v'veres se aca"ar.n en: % 5 %6 3 d'as antes! %# Kn propietario tiene 6*0 corderos que puede alimentar durante 61 d'as! MCu.ntos corderos de"e vender si quiere alimentar su re"año por %1 d'as m.s dando la misma raci#nN So!+ción:
Corderos
D>as
4) 6*0 6*0 x )
) 61 0 4)
>+ora +allamos el valor de la inc#gnita: 6*0 x =
6*0!61 0
⇒ 6*0 x = 10 ⇒ x = %0
Ie"e vender %0 corderos! &# Kn "arco tiene provisiones para * d'as y las distri"uye equitativamente a todos los tripulantes!
D>as
Ración
) * -0 4)
4) % %5x )
>+ora +allamos el valor de la inc#gnita: % x
=
*!%
*
%
1
1
⇒ % x = ⇒ x =
-0
Dor lo tanto, a cada tripulante se le de"e reducir en un %G1 de su raci#n! 2# Ios +om"res y * niños pueden +acer una o"ra en 6 d'as, pero con +om"res m.s pueden +acer el mismo tra"ajo en * d'as! MEn cu.ntos d'as +ar. dic+a o"ra un +om"re tra"ajando soloN So!+ción:
*!( *+ + *n )
Obreros
D>as
) + 4 *n *+ 4 *n 4)
4) 6 * )
= 6!( + + *n ) ⇒ %6+ + %6n = %+ + *n ⇒ *+ = n ⇒ + = n
Ktilizando a+ora este dato se puede o"tener: -.P.
Obreros
D>as
4) + 4 *n + )
) 6 x 4)
>+ora +allamos el valor de la inc#gnita: x
=
6!!( + + *n) +
⇒x=
6!!( + + +) n
⇒ x = *
;ra"ajando solo un +om"re se demora * d'as!
RE@'A DE TRES CO*PUESTA R%C)
Es una regla de tres en donde intervienen tres o m.s magnitudes! *JTODO DE SO'UCIÓN Existen varios m&todos de soluci#n, en este caso emplearemos el m&todo de nom"rar= @si la magnitud es directamente proporcional I!D!) o inversamente proporcional H!D!), con la magnitud en donde se encuentra la inc#gnitaA! Pasos a se,+ir: "#
>rri"a
proporciona!es
>"ajo
>rri"a 4
proporciona!es
>"ajo
4
E6ERCICIOS -7SICOS: "#
,.P. ,.P.
obreros 4) %6 *0 )
si!!as ) 60 %00 4)
>+ora +allamos el valor de la inc#gnita: x
=
%6!%00!$!% *0!60!
⇒x=$
,.P.
M;d 4) $ )
d>as 4) % x
$#
Mobres
-.P.
,.P 'ar,o.
M;d
4) %0 %00 )
4) %0 )
,.P . AncMo
)
)
) 00 *00 4)
) * 4)
,.P . ) Pro1#
) 4)
d>as 4) 6 x
>+ora +allamos el valor de la inc#gnita: x
= %0!%0!*00 !*!-!6 ⇒ x = 1* %00!!00! -!
d>as obra ) 1 %0 4)
%0 o"ra 1
% x 4) Quedan por +acer
%−
%0 1
= * 1
o"ra
Como ya se +an tra"ajado %0 d'as y el plazo inicial era de 1 d'as, quedan por tra"ajar * d'as, pero como se pidi# que la o"ra quede terminada @xA d'as antes, entonces quedan por tra"ajar * 5 x) d'as! ,.P.
-.P.
-.P.
obreros
d>as M;d
4) -0 0 )
4) %0 % )
4) 1 * 5 x
obra
) % *G1 4)
Entonces: * x
=
-0!1!%0!* G1 *0!%!%
= -0 ⇒ * − x = -0 ⇒ x = %
PRO-'E*AS DE AP'ICACIÓN %! Kn autom#vil tarda +oras en recorrer un trayecto a $0 mG+! MCu.nto tardar. en recorrer el mismo trayecto yendo a 60 mG+N ! En 2 d'as se +ar'a una o"ra con -1 o"reros! Luego de un cierto tiempo se contrata a %* o"reros m.s y %1 d'as despu&s se termina la o"ra! M> los cu.ntos d'as se aumento el personal -! Kna cuadrilla de %2 o"reros puede terminar un tra"ajo en 1 d'as, tra"ajando %% +oras diarias, al ca"o de %- d'as de la"or se en(erman %0 de los o"reros y * d'as m.s tarde, se comunica al contratista para que entregue el tra"ajo en la (ec+a (ijada previamente! MCu.ntos o"reros adicionalmente tendr. que tomar para cumplir con tal exigenciaN *! Las maquinas ?% y ? tienen la misma cuota de producci#n semanal operando -0 +oras y -1 +oras respectivamente! l ca"o de los $ d'as se +an +ec+o los -G%% de la o"ra!
%0! Kn capataz contrata una o"ra que de"e comenzarla el d'a % de _unio y terminarla el 1 de _ulio! El % de _unio pone a tra"ajar 0 +om"res, los cuales tra"ajan +asta el d'a %* inclusive a raz#n de 6 +oras diarias! Ese d'a el propietario le dice que necesita la o"ra terminada el d'a * de _unio! Entonces, a partir del %1, coloca m.s o"reros, se tra"ajan $ +oras diarias en vez de las 6 +oras diarias! MCu.ntos o"reros aument# el capataz a partir del d'a %1N %%! Kna cuadrilla de % o"reros con un rendimiento del 0 cada uno, tra"ajando %% d'as a raz#n de +oras diarias +an +ec+o G1 de una o"ra, luego se retiran 1 o"reros y son reemplazados por - o"reros de un rendimiento del %00 tra"ajando todos a raz#n de $ +oras diarias! MEn cu.ntos d'as +icieron lo que (alta"a de la o"raN %! Kna guarnici#n de 100 +om"res tiene v'veres para 0 d'as a raz#n de - raciones diarias! MCu.ntas raciones diarias tomar. cada +om"re si se quiere que los v'veres duren 1 d'as m.sN %-! l ca"o de $ d'as solo +an +ec+o G2 de la o"ra! MCon cu.ntos +om"res tendr.n que ser re(orzados para terminar la o"ra en el tiempo (ijadoN %$!
-! Kna pared de 1 m de largo, % de alto y 0!02 de espesor +a costado 1! MCu.l ser. el espesor de otra pared de %* m de largo y 0!20 m de alto, por la cual se pagan *00N *! En %0 d'as un +om"re recorre %% m a raz#n de 1 +oras diarias de marc+a! MCu.l ser. la distancia que recorrer. en 2!1 d'as a raz#n de 1 +oras de marc+a diaria, si disminuye su marc+a de %GN 1! 6 +om"res tra"ajando durante $ d'as a raz#n de +oras diarias +an +ec+o los k de una o"ra! l reci"ir un pedido de % 000 camisas para entregar en un mes, los operarios aumentan la producci#n en un 0 tra"ajando +oras extras! MCu.ntos operarios m.s de"er. contratar si se sa"e que como son nuevos, su producci#n es el 0 de los antiguos en jornada normalN -0! Quince o"reros pueden sem"rar un terreno en semanas y % d'a!
-6!
PORCENTA6E La expresi#n @!!!!! por cientoA es derivada de la expresi#n latina @!!!!!!per centumA, apareciendo en las principales o"ras de aritm&tica en la Htalia del siglo [S y su signo ) (ue (ruto de una sucesiva mutilaci#n a trav&s de los tiempos, de la a"reviatura de %00 cto)= apareciendo &ste en un li"ro de comercio y ciencias mercantiles en el año %61! DEINICIÓN El tanto por ciento viene a ser o una, o varias, de las cien partes en las cuales se divide una cierta cantidad! La regla del tanto por ciento es una aplicaci#n de la regla de tres simple directa # Notación:
aj"
=c⇔
Ejep!o: allar el 5 por ciento de 8": 2j%〈 〉
a " ) %00
=c
2 ! % = 1!62 %00
PROPIEDADES DE' TANTO POR CIENTO ") ;oda cantidad representa el %00 de s' misma!
B3 %00 B !
$) Los porcentajes de di(erentes cantidades se pueden sumar o restar de modo alge"raico, es decir, solamente se pueden operar porcentajes que operen a una misma cantidad αB 4 βB γ B 3 α4β4γ )B ! Donde: α= β= γ ∈ Q4 *- ? 4 2? 5 %1? 3 11? RE'ACIÓN ENTRE 'A TEORGA DE' PORCENTA6E ( 'AS RACCIONES •
Las variaciones porcentuales cam"ios que experimenta una determinada cantidad, con respecto de su valor original) se pueden expresar como una (racci#n en la cual el numerador es aqu&lla cantidad a operar y el denominador es el número respecto al cual se d& a ser la repartici#n en el tanto por ciento, el indicador equivale a %00, por ejemplo)!
•
Dara convertir una determinada (racci#n a porcentaje, "asta con multiplicar dic+a (racci#n con el número al cual se +a de repartir dic+a (racci#n! Ejep!o:
) Convertir %G1 a tanto por ciento: %G1 %00) 3 0 → se lee: @veinte por cientoA! ) Convertir *G$ a tanto por 2: *G$ 2) 3 % → @doce por veintisieteA! ) Convertir $1 a (racci#n: $1G%00) 3 %$G0 ) Convertir - por %0 a (racci#n: - por %0 <> -G%0
Obs# Tanto por C+anto:
21 ) 1
=
a "
c) = d
= donde " ≠ %00!
*1
Tanto por ciento de! tanto por ciento:
(%00 + a% )(%00 + a )(%00 + a- ) (%00 + an ) − %00j %00n−%
>K =
Ejep!o: _uan Carlos compro %0 Rg! de >zúcar y lo vende +aciendo dos incrementos sucesivos del -0 y del *0 so"re el precio de venta! allar el incremento nico que se esta"leci# en la venta del >zúcar! So!+ción
(%00 + -0)(%00 + *0 ) − %00j = j %00 %
>K =
El incremento único ser. del DESCUENTOS SUCESIHOS Consiste en +allar a qu& descuento único, equivalen varios descuentos sucesivos que se +an aplicado a una determinada cantidad! En (orma general para solucionar estos casos se aplica la (ormula: Iados los descuentos sucesivos: a %, a, a-, ^, an=
IK = %00
(%00 − a )(%00 − a )(%00 − a ) (%00 − a ) j %
-
n−%
%00
n
Ejep!o: >lexander, je(e del personal de la Oa"rica Iono(rio, tiene encomendado reducir el sueldo ".sico de sus empleados!
IK = %00
(%00 − *0)(%00 − 1) j = 11j
%00−%
El Iescuento único ser. el 11 E6ERCICIOS -7SICOS "# Ietermine el - de 600 piezas! So!+ción: - XW
%00
XW0!0-
Por re,!a de tres sip!e# 600 piezas x
%00 -
Otro =todo# 0!0-x600 3 % Entonces se encuentran % piezas
x
= 600 × %00
x 3 % piezas! $# Kn li"ro que cuesta
Por re,!a de tres# %00
%0
x
= %0 × 1 %00
x 3
Entonces: %! x 1 3 -0 Entonces el precio es
%# La mano de o"ra ?) y las indemnizaciones H) suman *0 del valor de una o"ra! umento de ventas *0: %*0 Hngresos 3
>umento de ingresos 3 % 00
%00
x
x
= % 00 × %00 %0 000
x 3 % ASUNTOS CO*ERCIA'ES Kna ;ransacci#n comercial es el intercam"io de "ienes y servicios a cam"io de dinero que se esta"lece entre dos # m.s personas, de manera que la persona que vende dic+o "ien o dic+o servicio puede o"tener, como consecuencia de la transacci#n, un "ene(icio o una p&rdida de su patrimonio! Es necesario conocer las de(iniciones de las relaciones (inancieras dadas a continuaci#n: ")
Precio de Henta P4): Es aquel con el cual se cotiza un determinado art'culo! Ejep!o: zúcar cuesta sG!%!10 entonces decimos que sG!%!10 es el precio de venta del azúcar!
$)
Precio de Costo ó de Copra Pc): Es aquel con el cual se adquiere un determinado art'culo para su posterior uso! Ejep!o:
%)
Precio ijado de CatF!o,o ó Precio de 'ista P!): Es el precio determinado en una lista o cat.logo de diversas compañ'as o esta"lecimientos comerciales! Ejep!o: Los precios de una determinada marca de zapatillas de vestir en una tienda de ropa!
&)
@anancia -ene1icio Renta o Uti!idad @): Es la cantidad que se o"tiene cuando se vende cierto elemento a un precio mayor de lo que costo originalmente! Ejep!o:
2)
P=rdida P): Es la cantidad que se o"tiene cuando se vende cierto elemento a un precio menor que lo que costo originalmente! Ejep!o:
3)
Desc+ento dctoL D): Dago de un documento no vencido, al cual se le redujo el costo 5 en una cantidad acordada por am"as partes 5 como inter&s del dinero!
Obs#: %)
2)
-)
*)
1)
La ganancia "ruta es la suma de la ganancia neta m.s gastos! @- @N . ,
E6ERCICIOS -7SICOS: > continuaci#n mostraremos un ejemplo en donde veremos con claridad, c#mo se aplica las de(iniciones dadas anteriormente! "# Kn comerciante compr# una calculadora en %10 d#lares y (ija para su venta al pú"lico un precio de %$0 d#lares= sin em"argo lo vende en %21 d#lares de"ido a que +izo una re"aja de %1 d#lares! >parentemente gan# 1 d#lares, pero no es as' porque la venta le gener# gastos de 1 d#lares, por lo cual realmente gan# 0 d#lares! aremos un esquema para ayudarnos a desarrollar: Precio 1ijado: %$0 A+entó: *0 Precio de costo
@anancia br+ta
Desc+ento
%10
1
%1
Precio de 4enta: %21 %$0
>dem.s: @anancia br+ta: 1 %$0 @anancia neta @astos 0
1
*0
0 × %00j 20
= !6j
%#
% 1
>sumiendo: D! (ijado 3 1
precio (ijado) descuento 3
Pr.(icamente tenemos: Precio 1ijado: 1 Precio de costo
@anancia
Desc+ento
Iel gr.(ico tenemos: 00 4 00 4 3 1
3 10 Entonces el precio (ijado es: 110) 3
@anancia
Precio de costo
%00x) 3 x
%06*0) 3 6*
Precio de 4enta:
%00x 4 x 46* 3 6*0 x 3 *!1
El precio de costo es: %00*!1) 3
E'E*ENTOS DE' PORCENTA6E La ecuaci#n ".sica que permite identi(icar los elementos de porcentaje esta dada por: Prod+cto tasa / base P R/D: se considera como porcentaje y es el resultado de multiplicar los otros dos! : tasa y aparece con signo de porcentaje ) F: es la cantidad total con la que se selecciona la tasa, por lo general viene despu&s de la proposici#n de so"re)! Ejep!o: _ane a+orro 1 de su sueldo, que era
PRO-'E*AS DIHERSOS UE SE PRESENTAN Coisiones oyal ! +a contratado un vendedor! La compañ'a est. de acuerdo en pagarle
D3xF D 3 0!% x 0 000 D 3 *00 m ?edici#n del cam"io El cam"io en porciento aumento o disminuci#n) es la aplicaci#n de la ecuaci#n ".sica: D3xF : es el cam"io en porciento y es siempre la inc#gnita! F: es siempre el valor original! D: es el importe del cam"io! Ejemplo: Lamas C'a! +a tenido di(icultades para vender sus productos y decidi# re"ajar el presupuesto de operaci#n para el pr#ximo año! El presupuesto del año actual es
1 000 10 000
3 0!%0 3 %0 *edición econóica La administraci#n de >tlanta C'a!
Uti!idades
de cam"io x valor original 3 importe del cam"io
de cam"io x valor original 3 importe del cam"io
x %00 000 3 0 000
x 1 000 3 100
3
0 000 %00 000
3
100 1 000
3 0!0
3 0!%0
3 0 de aumento
3 %0 de aumento
Los cam"ios en porcentajes muestran que el aumento en la utilidad (ue solo la mitad del aumento en las ventas!
PRO-'E*AS DE AP'ICACIÓN "# Cam"ie los siguientes porcentajes a decimales y que"rados equivalentes en los t&rminos menores posi"les! a# b# c# d# e# 1# ,# M# i#
6 6 % %0 -!21 *00 ! 0!1
j# # !# # n# o# p# #
0!-% %%0 - 10 -G %1 %G *G1 %61 %G-
$# Cam"ie las siguientes cantidades a porcentajes! edondee el porcentaje a dos decimales cuando sea necesario! a# b# c# d# e# 1# ,# M# i# j#
# !# # n# o# p# # r# s#
0!-2 0!0* 0! 0!0!06% % !* 0!00% -!00%2 0!6
%G%0 1G G%% %G%% *G1 !%G1! %G%2 2G%0
%# Ietermine la cantidad que (alle: ajuste a dos decimales donde sea necesario! Tasa 2 - %01
* 0!%
-ase *$ 10 -%0 *0 12 -60 16
Prod+cto
% %2!$$ *0 %%2!6 -!* 2!1 0!6
&# Ietermine el cam"io en porcentaje al porcentaje completo m.s cercano= señale si existe un aumento o una disminuci#n:
2# 3# 5# 8# 9# "# ""# "$#
E! cabio es de A -0 *1 %1 *1 *1 0 600 61 %! %*! $6 100 100 $6 6! %0!2 %!% %*!0 %0 k Encuentre el * de -00! MCu.l es el -!6 de 0N MQu& porcentaje de -0 es *0N MIe qu& número es %%!2 el %1N MIe qu& número 2 es el %-1N Kn vendedor gana una comisi#n del !
"%# "&# "2# "3# "5# "8#
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estos, %%!% millones esta"a desempleados! Encuentre la tasa de desempleo llev.ndola al decimo m.s cercano de su porcentaje! Kna compañ'a +a decidido trasladar su (."rica a una localidad distinta! Seinticuatro empleados dijeron que no ir'an con la compañ'a! ! -$ empleados se encuentran de vacaciones! ! anuncia un @viaje estupendo con todos los gastos incluidosA en 6$! El corresponde a una nota al pie que dice @>ñada %1 por servicio e impuestoA)! a# MCu.l es el cargo por servicio e impuestosN b# MCu.l es el costo total del viajeN Kn comerciante minorista vendi# una gran cantidad de "lusas so"rantes a un - menos del precio original! l revisar el pedido, se encontr# que solamente se reci"ieron 11 cajas! MQu& porcentaje del pedido (all#N
