Modulo II Hidrologia

UNIVERSIDAD DE PIURA Facultad de Ingeniería

APUNTES DE HIDROLOGÍA Módulo II: Análisis hidrológico

Preparado por: Ing. Marina Farías de Reyes. Agosto, 2005. Para uso de la Universidad de Piura. No. de páginas 30

APUNTES DE HIDROLOGÍA Módulo II: Análisis hidrológico Capítulo 8. Modelos Modelos Probabilísticos……………………………...….. 3 Capítulo 9. Modelos Hidrológicos……………………………...….. 12

No. de páginas 30

Universidad de Piura – Facultad de Ingeniería

Hidrología

Cap. 8 MODELOS PROBABILÍSTICOS 8.1.

Introducción

El diseño de una obra civil se inicia con la selección de una solicitación que define las dimensiones de la obra. En el caso particular de una obra hidráulica, para dimensionarla, se requiere conocer el caudal máximo de diseño o la avenida de diseño. Para el dimensionamiento, no sólo se debe estimar el caudal de diseño sino que se debe predecir su probabilidad de ocurrencia, es decir, cuántas veces se espera que sea excedido el caudal de diseño en determinado tiempo. Esto, para trabajar con unos rangos de seguridad de acuerdo al tipo de obra proyectado. Para responder a lo anterior, será necesario elaborar un modelo probabilístico de la situación en análisis, cuyo resultado final es imposible predecir con certeza.

Algunas definiciones:  Universo: Conjunto de datos cuyas propiedades se van a estudiar.  Muestra: Conjunto de datos seleccionados de un universo.  Muestra representativa: Muestra que es capaz de caracterizar bien el conjunto.  Experimento: Reproducción controlada de un fenómeno.  Evento: Resultado de un experimento. Simples o compuestos.  Espacio muestra: Representación de todos los eventos de un experimento. Gráfica o analítica.

Tipos de probabilidad :  Probabilidad a priori  Probabilidad experimental  Probabilidad subjetiva

Variable aleatoria: Es una función definida sobre un espacio muestra, donde a cada evento le corresponde un número real. A partir de un espacio muestra, se pueden definir diferentes variables. Por ejemplo: doble, triple, cuadrado de un número, 1 si es par y 2 si es impar, etc. Existen dos tipos de variables, desde el punto de vista del número de eventos posibles:  

Discreta: Número de eventos es finito. Continua: Número de eventos es infinito.

Marina Farías de Reyes

3


Hidrología

Distribuciones Discretas

     

   

0,35

1,2 1,2

0,3

1

0,25 ) x ( f

0,8 0,8

0,2 x ( F

0,15 0,1

0,6 0,6 0,4 0,4

0,05

0,2 0,2

0 1

2

3

4

5

0

6

0

2

4

6

8

v.a. v.a.

Distribuciones Continuas

    

   

0,6 0,4 0,2

1 ) x ( f

0,5 0

-4

1 v.a.

8.2.

x ( F

-5

0

5

v.a.

Modelos matemáticos

Son la descripción de un fenómeno de la naturaleza mediante formulaciones matemáticas. Se distinguen dos tipos:

8.2.1. Determinístico: Cuyo resultado está definido por las condiciones en que se realiza el experimento. Sólo cambia si se cambian estas condiciones. Ejemplos de este tipo de modelos son las expresiones matemáticas para la caída libre, el caudal según Manning, la fórmula de un vertedero, etc. 8.2.2. Probabilístico o no determinístico : Cuando las condiciones en que se produce el fenómeno no determinan el resultado. Tenemos como ejemplos típicos de este tipo de modelos aquellos que describen el lanzamiento de una moneda, la extracción de una carta de un mazo, el lanzamiento de un dado, etc. Los eventos que se producen en la naturaleza tales como el clima, la sismicidad, etc. son probabilísticas.


4


8.3.

Hidrología

Modelos Probabilísticos

Los modelos probabilísticos se caracterizan porque entregan resultados aproximados, con cierto grado de confiabilidad. Además presentan otras características tales como que: • Sin variar las condiciones del experimento se obtienen diferentes resultados. • Se puede describir el conjunto de todos los resultados posibles. • Al inicio los resultados parecen sin patrón. En Hidrología, para representar las variables hidrológicas se requiere de modelos probabilísticos. Para ello, es necesaria la selección del modelo más adecuado, lo que consiste en elegir el tipo de modelo y estimar sus parámetros. Los modelos así obtenidos nos permiten la estimación de variables hidrológicas asociadas a diferentes probabilidades. Por ejemplo las lluvias en Piura, los sismos en Lima, etc. Un modelo probabilístico requiere de dos cosas fundamentales:  Espacio muestral, S.  Probabilidad, asociada a c/punto de S. Ejemplo: Lluvias en Piura. Variable aleatoria: Total de lluvia mensual en Piura. Registros: 0 – 820 mm Espacio muestral: 0 –  Probabilidad: función de probabilidad. De acuerdo al tipo de variable, se distinguen dos tipos de modelos probabilísticos: los discretos y los continuos.

8.4.

Modelos probabilísticos discretos

Entre los principales modelos probabilísticos discretos tenemos:   

Bernoulli Binomial Poisson

8.4.1. Distribución de Bernoulli Es el modelo discreto más simple y útil. La variable aleatoria tiene dos estados posibles; uno de ocurrencia del suceso o éxito y la otra de no ocurrencia o fracaso. De esta manera, si x es la variable aleatoria, se acostumbra asignarle un valor unitario si ocurre un éxito en la realización del experimento y un valor nulo si ocurre un fracaso. La función probabilidad de masa de la distribución de Bernoulli es: PX(x)= P Si PX(x)= 1- P Si

x=1 x=0


5


Hidrología

8.4.2. Distribución Binomial Este modelo surge al representar la realización de n ensayos independientes tipo Bernoulli. La variable aleatoria se define como el número de éxitos que ocurren en los n ensayos Por ejemplo, la probabilidad de que uno de los próximos diez años se produzca un Fenómeno del Niño de magnitud 3. Usada en problemas cuando se tiene:  Un número fijo de pruebas o ensayos.  Los resultados del ensayo son sólo éxito o fracaso.  Los ensayos son independientes, y  Probabilidad de éxito es constante durante todo el experimento. La función de masa de probabilidad binomial es:

donde: La distribución binomial acumulada es:

8.4.3. Distribución Poisson En un proceso Bernoulli se habla de la ocurrencia de un éxito en un aserie de ensayos idénticos e independientes. La distribución Poisson representa los éxitos llegados como si fueran puntos de una línea continua.  

Predice el número de sucesos en un determinado período de tiempo. Por ejemplo, el número de automóviles que se presenta a una zona de peaje en el intervalo de un minuto.

La distribución Poisson permite en general representar situaciones en las cuales hay una numeración, ya que la variable toma valores enteros positivos. Posibles ejemplos son el número de intervalos de lluvia en una tormenta, el número de accidentes en un año, el número de llamadas telefónicas etc.


6


8.5.

Hidrología

Principales modelos probabilísticos continuos  Uniforme  Normal  Log-normal  Exponencial  Gamma  Pearson III  Chi cuadrado  Valores extremos tipo I. Gumbel

8.5.1. Distribución Uniforme Uno de los modelos más simples para representar variables aleatorias continuas es la distribución uniforme. Usada como modelo de aproximación para una cantidad que varía aleatoriamente entre a y b. f ( x) =

1

Si a<= x<=b

b−a

Se puede demostrar que esta función es una función densidad de probabilidades, pues es positiva para todos los valores de x su integral en el rango de la variable es uno. La función distribución acumulada para este modelo probabil´sitico es lineal y creciente en el rango a, b y se calcula la integral de la función densidad en el rango en que está definida la variable aleatoria. F ( x) =

x − a b−a

Para a<= x<=b

8.5.2. Distribución Normal Este método probabilística es el más usado y el que tiene mayor importancia teórica en el campo de la estadística y de las probabilidades. Esta función tiene un gran número de aplicaciones en estadística, incluidas las pruebas de hipótesis. Una variable tiene una distribución normal si su función densidad de probabilidades está representada por la siguiente ecuación:


7


Hidrología

0.6 0.4 0.2

) x ( f

-4

1 v.a.

y  son los parámetros de la distribución, y se puede desmostrar que son iguales respectivamente al promedio y a la desviación estándar de la variable aleatoria.



8.5.3. Distribución Log-Normal Las variables físicas de interés en hidrología tales como precipitación, caudal, evaporación etc. Son generalmente positivas, por lo cual es usual que presenten distribuciones de frecuencia asimétricas. Para ello se hace una transformación logarítmica la variable de interés y luego utilizar el modelo de distribución normal para la variable transformada. Probabilidad donde ln( x x) se distribuye normalmente con los parámetros media y desviación estándar.

8.5.4. Distribución Exponencial Usada para establecer el tiempo entre dos sucesos que ocurren a una tasa constante, tal como el tiempo que existe entre dos tormentas consecutivas??. Por ejemplo puede usarse para determinar la probabilidad de toda una semana no llueva. 

La ecuación para la función de densidad de la probabilidad es:



La ecuación para la función de distribución acumulada es:

λ =

1 x


8


Hidrología

8.5.5. Distribución Gamma Muy utilizado en hidrología posee gran flexibilidad y diversidad de formas, dependiendo de los valores de sus parámetros. Esta función es asimétrica y está definida para valores positivos de la variable, lo que concuerda con la mayoria de las variables de los registros hidrológicos. La ecuación para la función de densidad de la probabilidad es:

Parámetros: Forma: a=x/b>0, Escala: b=s2/x>o Distribución Gamma (alfa, 1) 0.6 0.5

0.4

1 0.2

2

-

3 0

2

4

6

8

10 10

8.5.6. Pearson III x=m + K s Donde K es función del coeficiente de asimetría (g) y del período de retorno (Tr) o la probabilidad de excedencia P(x>X).

2.5 2.0 1.5 K 1.0 0.5 0.0

g=-0.3 g=-0.4

0

50

100

1 50

20 0

250

período de retorno


9


Hidrología

8.5.7. Log Pearson III: Sólo cambio de variable.

8.5.8. Distribución de valores extremos. extremos. VE I o Gumbel También llamada distribución de valores extremos tipo I. Representa la distribución límite del mayor valor de n valores xi independientes e idénticamente distribuidos con una distribución de tipo exponencial a medida que n crece indefinidamente. La probabilidad acumulada: F ( x > X ) = e

donde y es una variable auxiliar:

y =

− e − y

=

1 Tr

x − u a

a y u son los parámetros de la función: a =

Sx Sn


u = x − yn .a

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Hidrología

Tabla resumen


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Universidad de Piura-Facultad de Ingeniería

CAPÍTULO 9:

Hidrología

MODELOS LLUVIA-ESCORRENTIA

9.1 Ciclo de escorrentía Una cuenca es el área de terreno que drena hacia una corriente en un lugar dado. Para describir como varían los diferentes procesos de agua superficial dentro de una tormenta a través del tiempo se muestra en la figura 9.1. Intensidad de lluvia

7

6 4

5

3 2 1

0

(1) (2) (3) (4) (5) (6) (7)

Intercepción (techos, vegetación, personas) Almacenamiento en depresiones: detención, retención Humedad del suelo Agua subterránea Infiltración Flujo sub-superficial Escorrentía superficial Precipitación sobre canales, ríos y lagos.

Tiempo

Figura 9.1 Procesos del agua superficial durante una tormenta 9.2.

Factores que determinan la escorrentía

Existen diferentes tipos de factores a tener en cuenta en la estimación de la escorrentía. a. Factores climatológicos Las variables variabl es más importantes entre los l os factores facto res climatológicos son: Factor climatológico

Variable Intensidad Duración

Lluvia

Nieve


Frecuencia Distribución espacial Distribución temporal Manto Densidad Albedo Distribución espacial Distribución temporal

Factor Variable climatológico Tipo de vegetación Período de crecimiento Evapotranspiración Factores climatológicos (Temperatura, radiación, humedad, viento, etc.)

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Hidrología

b. Factores Fisiográficos

Elemento

Factor Fisiográfico Geometría

Cuenca Factores físicos

Red hidrográfica

Capacidad Almacenamiento

Variable Forma Área Pendiente Densidad de drenaje Uso del suelo Geología Topografía Infiltración Sección Forma Pendiente Rugosidad Volumen

c. Condiciones de humedad en la cuenca: Índice de precipitación anterior, caudal previo a la tormenta, escurrimiento subterráneo y evapotranspiración anterior.

9.3.

Exceso de precipitación y escorrentía directa

El exceso de precipitación o precipitación efectiva, es la precipitación que no se retiene en la superficie terrestre y tampoco se infiltra en el suelo. Después de fluir a través de la superficie de la cuenca, el exceso de precipitación se convierte en escorrentía directa a la salida de la misma. El exceso de precipitación puede representarse de manera gráfica a través de un hietograma de exceso de precipitación, que será una componente importante en el estudio de las relaciones lluvia escorrentía. Se conoce como abstracciones o pérdidas a la diferencia entre el hietograma de lluvia total observado y el hietograma de exceso de precipitación. Las pérdidas son primordialmente agua absorbida por infiltración con algo de intercepción y almacenamiento superficial. El hietograma de exceso de precipitación puede calcularse a partir del hietograma de precipitación, dependiendo de si existe o no información de caudales disponible para la tormenta, de las siguientes maneras: •

Si existe información disponible de precipitación y caudales

En este caso se

1

puede emplear el método del índice φ . •

Si sólo existe información de precipitación disponible Podremos

método SCS para abstracciones.

emplear el

En general, se emplean diversas metodologías como: Ecuaciones empíricas, regresiones múltiples, correlaciones gráficas, simulación, hidrogramas unitarios, etc. 1

Ver: Hidrología Aplicada (Chow et al). Página 138 y ss.


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9.4.

Hidrología

Método de abstracciones del SCS

9.4.1. Formulación El Servicio de Conservación de Suelos (Soil Conservation Service) de los Estados Unidos desarrolló un método para calcular las abstracciones de la precipitación de una tormenta. Para la tormenta como un todo, la profundidad de exceso de precipitación o escorrentía directa Pe es siempre menor o igual a la profundidad de precipitación P; de manera similar, después de que la escorrentía se inicia, la profundidad adicional del agua retenida en la cuenca F a es menor o igual a alguna retención potencial máxima S; como se aprecia en la Figura 9.2. Existe una cierta cantidad de precipitación I a (Abstracción inicial antes del encharcamiento) para la cual no ocurrirá escorrentía, luego la escorrentía potencial es la diferencia entre P e I a. La hipótesis del método del SCS consiste en que las relaciones de las dos cantidades reales y las dos cantidades potenciales son iguales, es decir, F a S

Del principio de continuidad:

=

Pe P − I a

P = Pe + I a + F a

Combinando estas dos ecuaciones, Pe resulta:

Pe =

( P − I a ) 2 P − I a + S

la cual es la ecuación básica para el cálculo de la profundidad de exceso de precipitación o escorrentía directa de una tormenta utilizando el método SCS. Al estudiar los resultados obtenidos para muchas cuencas experimentales pequeñas, se desarrolló una relación empírica: I a = 0,2S Con base en esto,

Pe

(P − 0,2 S )2 = P + 0,8S

Tasa de precipitación Pe Ia

I a: Abstracción inicial Pe: Exceso de precipitación F a: Abstracción continuada

Fa Tiempo

Figura 9.2.


Variables en el método de abstracciones del SCS.

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Hidrología

9.4.2. Implementación Al representar en gráficas la información de P y Pe para muchas cuencas, el SCS encontró curvas. Para estandarizar estas curvas, se define un número adimensional de curva CN, tal que 0 ≤ CN ≤ 100 . Para superficies impermeables y superficies de agua CN = 100; para superficies naturales CN<100. El número de curva y S se relacionan por, S =

1000 CN

− 10; donde S está en pulgadas.

Un factor importante a tener en cuenta en estas curvas son las condiciones antecedentes de humedad (Antecedent Moisture Conditions), las cuales se agrupan en tres condiciones básicas (Tabla 9.1):

Tabla 9.1 Condiciones antecedentes de humedad básicas empleadas en el método SCS AMC (I)

Condiciones secas

AMC (II)

Condiciones normales

AMC (III)

Condiciones húmedas

Los números de curva se aplican para condiciones antecedentes de humedad (AMC, (AMC, por sus en inglés) normales, y se establecen las siguientes relaciones para las otras dos condiciones: 4,2CN ( II ) CN ( I ) = 10 − 0,058CN ( II ) 23CN ( II ) CN ( III ) = 10 + 0,13CN ( II )

Tabla 9.2. Rangos para la clasificación de las condiciones antecedentes de humedad. Grupo AMC I II III

Lluvia antecedente total de 5días (pulg) Estación Estación inactiva activa Menor que 0,5 Menor que 1,4 0,5 a 1,1 1,4 a 2,1 Sobre 1,1 Sobre 2,1

Los números de curva han sido tabulados por el Servicio de Conservación de Suelos en base al tipo y uso de suelo. En función del tipo de suelo se definen cuatro grupos: Grupo A:

Arena profunda, suelos profundos depositados por el viento y limos

agregados. Grupo B: Suelos poco profundos depositados por el viento y marga arenosa. Grupo C : Margas arcillosas, margas arenosas poco profundas, suelos con bajo contenido orgánico y suelos con altos contenidos de arcilla. Grupo D: Suelos que se expanden significativamente cuando se mojan, arcillas altamente plásticas y ciertos suelos salinos. Los valores de CN para varios tipos de usos de suelos se dan en la Tabla 9.3. Para una cuenca hecha de varios tipos y usos de suelos se puede calcular un CN compuesto. Marina Farías de Reyes

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Hidrología

Tabla 9.3. Números de curva de escorrentía para usos selectos de suelo agrícola, urbana y suburbana (Condiciones antecedentes de humedad AMC (II), Ia =0,2 S) Descripción del uso de la tierra

Detalles de la descripción

Tratamiento o uso

Condición hidrológico

baldío

filas rectas sin tratamientos de conservación

no aplicable

77

86

91

94

no disponible

72

81

88

91

pobre bueno pobre bueno pobre bueno

72 67 70 65 66 62

81 78 79 75 74 71

88 85 84 82 80 78

91 89 88 86 82 81

no disponible

62

71

78

81

pobre bueno pobre bueno pobre bueno pobre bueno pobre bueno pobre bueno pobre aceptable bueno pobre aceptable bueno

65 63 63 61 61 59 66 58 64 55 63 51 68 49 39 47 25 6

76 75 74 73 72 70 77 72 75 69 73 67 79 69 61 67 59 35

84 83 82 81 79 78 85 81 83 78 80 76 86 79 74 81 75 70

88 87 85 84 82 81 89 85 85 83 83 80 89 84 80 88 83 79

bueno

30

58

71

78

pobre

45

66

77

83

aceptable bueno

36 25 59

60 55 74

73 70 82

79 77 86

95

95

95

95

74 76 72

84 85 82

90 89 87

92 91 89

bueno (cubierto de pasto 75%+)

39

61

74

80

aceptable (cubierto de pasto 50% - 75%)

49

69

79

84

85% impermeables

89

92

94

95

72% impermeables 65% impermeable 38% impermeable 30% impermeable 25% impermeable 65% impermeable

81 77 61 57 54 51

88 85 75 72 70 68

91 90 83 81 80 79

93 92 87 86 85 84

95

95

95

95

general

filas rectas cultivos en filas

en contorno en contorno y terraza

general

Tierra cultivada

con tratamientos de conservación filas rectas

granos pequeños


grano cerrado

filas rectas filas rectas

grano cerrado: legumbres o pradera de rotación


Pastizales o campo de animales en contorno

Vegas de ríos y praderas troncos delgados, cubierta pobre, sin hierbas

Bosques Haciendas

pavimentados con cunetas y 1

alcantarillados superficie dura grava tierra césped, parques, campos de golf, cementerios, etc.

Calles y carreteras

Áreas abiertas reas comerciales de negocios Distritos industriales Residencial

1/8 acre o menos 1/4 acre 1/3 acre 1/2 acre 1 acre

Parqueadores pavimentados, techos, accesos, etc.


Grupo hidrológico de suelo

B

A

C

D

no disponible

no disponible

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Hidrología

9.4.3. Ejemplo Calcule la escorrentía que se origina por una lluvia de 5 pulgadas en una cuenca de 1000 acres. El grupo hidrológico de suelo es de 50% el Grupo B y 50% Grupo C que se intercalan a lo largo de la cuenca. Se supone una condición antecedente de humedad II. El uso de suelo es: 40% de área residencial que es impermeable en un 30%. 12% de área residencial que es impermeable en un 65% 18% de caminos pavimentados con cunetas y alcantarillados de aguas lluvias 16% de área abierta con un 50% con cubierta aceptable de pastos y un 50% con una buena cubierta de pastos. 14% de estacionamientos, plazas, colegios y similares (toda impermeable). Solución Se ha de determinar en primer lugar un valor de CN compuesto en función del tipo y uso de suelo, tendremos entonces:

Uso de suelo % Residencial (30 % impermeable) Residencial (65 % impermeable) Carreteras Terreno abierto: Buena cubierta Aceptable cubierta Estacionamientos

El CN ponderado será entonces,

20 6 9 4 4 7

Grupo Hidrológico de suelo B C CN Producto % CN Producto 72 85 98 61 69 98

1440 510 882 244 276 686

20 6 9 4 4 7

50

4038

50

CN ponderado =

4038 + 4340 = 83. 8 100

81 90 98 74 79 98

1620 540 882 296 316 686

4340

A partir de este valor se determinará S y y Pe: 1000 − 10 = 1,93 pu lg 83.8 CN (P − 0,2 S )2 (5 − 0,2 * 1,93)2 = = 3,5 pu lg Pe = 5 + 0,8 *1,93 P + 0,8S

S =

1000

− 10 =

Si analizamos el mismo caso pero con condiciones de humedad antecedentes húmedas (AMC (III)), la precipitación efectiva resulta:


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CN ( III ) =

Hidrología

23CN ( II ) 23 * 83,8 = = 92,3 10 + 0,13CN ( II ) 10 + 0,13 * 83,8

Luego,

1000 − 10 = 0,83 pu lg 92,3 CN ( P − 0,2S ) 2 (5 − 0,2 * 0,83) 2 = = 4,13 pu lg Pe = 5 + 0,8 * 0,83 P + 0,8S

S =

1000

− 10 =

9.4.4. Efectos de la Urbanización Desde hace 25 ó 30 años se ha iniciado el estudio de los efectos de la urbanización. Inicialmente se analizaron dichos efectos en el potencial de inundaciones en pequeñas cuencas urbanas. En general, los principales efectos de la urbanización son: • Incrementos en los volúmenes totales de escorrentía y los caudales picos, que se ven expresados en los hidrogramas de crecientes. • Cambios en los caudales en las cuencas urbanas debido a un aumento en el volumen de agua disponible para la escorrentía por el aumento de zonas impermeables, producto de los estacionamientos, las calles y los techos, que reducen la cantidad de infiltración. • Los cambios de caudales se deben además, a un cambio en la eficiencia hidráulica asociados con canales artificiales, cunetas y sistemas de recolección de drenaje de tormentas, aumentado la velocidad de flujo y la magnitud de los picos de crecientes. 9.4.5. Distribución temporal de las abstracciones SCS

Hasta el momento, solamente se han calculado los profundidades de exceso de precipitación o escorrentía directa durante una tormenta. Extendiendo el método anterior, puede calcularse la distribución temporal de las abstracciones F a en una tormenta. Empleado las dos ecuaciones básicas del método y despejando F a, tendremos: F a =

S (P − I a ) P − I a + S

P ≥ I a

Diferenciando, y teniendo que Ia y S son constantes, dF a dt

2

=

S dP dt

( P − I a + S ) 2

dF  A medida que P  → → ∞,  → 0 tal como se requiere,  a dt  





La presencia de dP/dt (intensidad de lluvia) en el numerador significa que a medida que la intensidad de lluvia se incrementa, la tasa de retención de agua en la cuenca tiende a incrementarse.


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Hidrología

9.4.6. Ejemplo Ocurre una tormenta tal como se muestra en la tabla adjunta; el valor de CN es 80 y se aplica una condición antecedente de humedad II. Calcule las abstracciones que se acumulan y el istograma de exceso de precipitación. Tiempo (h)

Lluvia acumulada (pulg)

0 1 2 3 4 5 6 7

0 0.2 0.9 1.27 2.31 4.65 5.29 5.36

Solución Para CN = 80, S = (100/80)-10=2,5 pulg ; Ia = 0,2S = 0,5 pulg. La abstracción inicial absorbe toda la lluvia hasta P = 0,5 pulg. Esto incluye las 0,2 pulg de lluvia que ocurren durante la primera hora y 0,3 pulg de lluvia que caen durante la segunda hora. Para P>0,5 pulg, la abstracción continuada F a se calcula con: F a =

S ( P − I a )

2,50( P − 0,5) 2,50( P − 0,5) = P − I a + S P − 0,5 + 2,5 P + 2,0 =

Por ejemplo, después de dos horas, la precipitación que se acumula es P = 0,90 pulg. Luego, 2,5(0,9 − 0,5) F a = = 0,34 pu lg 0,9 + 2 El exceso de precipitación es lo que queda después de las abstracciones inicial y continuada: Pe = P − I a − F a = 0,9 − 0,5 − 0,34 = 0,06 pu lg El histograma de exceso de precipitación se determina tomando la diferencia de valores sucesivos de Pe, tal como se muestra en la siguiente tabla:

Histograma de lluvia Lluvia Tiempo total acumulada (h) (pulg) (pulg) 0 0.00 0.00 1 0.20 0.20 2 0.70 0.90 3 0.37 1.27 4 1.04 2.31 5 2.34 4.65 6 0.64 5.29 7 5.36 0.07


Abstracciones acumuladas (pulg) Ia Fa 0.0 0.00 0.2 0.00 0.5 0.34 0.5 0.59 0.5 1.05 0.5 1.56 0.5 1.64 0.5 1.65

Exceso de istograma lluvia de exceso de acumulado lluvia (pulg) (pulg) 0.00 0.00 0.00 0.06 0.06 0.18 0.13 0.76 0.58 2.59 1.83 3.15 0.56 3.21 0.06 19


Hidrología

Abs.. iniciales Ia

Fig. 9.3. istogramas de precipitación. A) Lluvia total, b) Abstracciones y lluvia efectiva, y c) Lluvia efectiva.


20


9.5.

Hidrología

Metodología de modelación lluvia-escorrentía Directos

Análisis de frecuencias de valores observados en la cuenca Métodos regionales Fórmulas empíricas

Métodos

Modelos de simulación con base física (agregados y distribuidos) Modelos Modelos globales y operadores hidrológicos Lluvia- Escorrentía Métodos hidrometeorológicos

9.6.

Fórmulas empíricas: Método Racional

9.6.1. Fórmulas empíricas Existen innumerables fórmulas, que tienen una aplicación limitada a las situaciones en que fueron desarrolladas. Entre los diversos tipos de fórmulas podemos destacar: - Caudal – área Q = CAn - Intensidad Q = CiA - Complejas Q = Cai (S/A)0.25 Donde,

Q = Caudal; i = Intensidad; S = pendiente media; C = coeficiente

9.6.2. Método Racional Es un método empírico y aplicable en general a pequeñas cuencas, considerándose como tales a aquellas con áreas no mayores de 2 Km2. Sin embargo la Norma peruana de drenaje permite el uso del método hasta 13 Km2. Mediante este método, se puede calcular el caudal Q de escurrimiento con la concentración de la concentración siguiente, desarrollada en 1850 por Mulvaney: Q = 0.278 CiA

Donde,

Q = Caudal máximo de crecida (m3 /s) A = área a portante (km2) C = Coeficiente de escorrentía i = intensidad de lluvia correspondiente a una tormenta cuya duración es igual al tiempo de concentración del área y con una frecuencia adecuada a la economía e importancia de la obra (mm/h)


21


Hidrología

En cuanto al valor C, no existen valores únicos. A manera referencial se pueden considerar los valores del SCS de los Estados Unidos, representados en la Tabla 9.4:

Tabla 9.4. Valores de coeficiente de escorrentía según el tipo de áreas de drenaje. Tipo de área de drenaje

Coeficiente de escorrentía ©

Comerciales

NEGOCIOS ZONAS DE VECINDARIO

0.70 – 0.95 0.50 – 0.70

Residenciales

-

Zonas unifamiliares Zonas multifamiliares separadas Zonas multifamiliares contiguas

Residencial Sub-Urbana Zonas residenciales de departamentos departamentos

0.30 – 0.50 0.40 – 0.60 0.60 – 0.75 0.25 – 0.40 0.50 – 0.70

Zonas Industriales

POCO DENSAS DENSAS

0.50 – 0.80 0.60 – 0.90

Césped. Suelo arenoso

LLANO, 2% MEDIANO, 2-7% ESCARPADO, 7%

0.05 – 0.10 0.10 – 0.15 0.15 – 0.20

Césped. Suelo gravoso

LLANO, 2% MEDIANO, 2-7% ESCARPADO, 7% Zonas no urbanizadas

9.7.

0.13 – 0.17 0.18 – 0.22 0.25 – 0.35 0.10 – 0.30

Operadores hidrológicos

9.7.1. Hidrograma Unitario El hidrograma unitario es un método lineal propuesto por Sherman en 1932

Definición El hidrograma unitario es un hidrograma típico para la cuenca. Se denomina Unitario puesto que, el volumen de escorrentía bajo el hidrograma se ajusta generalmente a 1 cm (ó 1 pulg). En general los hidrogramas unitarios no deben utilizarse para cuencas cuya área sobrepase los 5000 Km2 (~ 2000 mi2). El hidrograma unitario se puede considerar como un impulso unitario en un sistema lineal. Por lo tanto es aplicable el principio de superposición; 2 cm de escorrentía producirán un hidrograma con todas las ordenadas dos veces más grandes que aquellas del hidrograma unitario, es decir, la suma de dos hidrogramas unitarios.


22


Hidrología

Matemáticamente, el hidrograma unitario es la función Kernel U(t-T)



q (t ) = i (t )U (t − T )dt

Donde,

q(t): función del hidrograma de salida i(t): función del hietograma de entrada

Sería erróneo inferir que un hidrograma típico bastaría para una cuenca. Aún cuando las características físicas de la cuenca permanezcan relativamente constantes, las características variables de las tormentas producen cambios en la forma de los hidrogramas resultantes. Las características de una tormenta son: La duración de la lluvia, el patrón intensidadtiempo, la distribución espacial de la lluvia y la cantidad de escorrentía. Podremos concluir, que el hidrograma unitario es el hidrograma de un centímetro (o una pulgada) de escorrentía directa de una tormenta con una duración especificada.

Obtención de hidrogramas unitarios La obtención de los hidrogramas unitarios se parte de valores naturales registrados o se pueden generar hidrogramas sintéticos. El mejor hidrograma unitario es aquel que se obtiene a partir de: una tormenta de intensidad razonablemente uniforme; una duración deseada; un volumen de escorrentía cercano o mayor a 1 cm (ó 1 pulg.) El proceso de obtención de hidrogramas unitarios a partir de registros naturales de caudales es el siguiente: Separar el flujo base de la escorrentía directa. Determinar el volumen de escorrentía directa. Las ordenadas del hidrograma de escorrentía directa se dividen por la profundidad de escorrentía observada. • Las ordenadas ajustadas forman el hidrograma unitario. • • •

9.7.2. Hidrograma Superficial Superf icial de Izzard Aplicable a superficies pequeñas esencialmente impermeables. Como por ejemplo, estacionamientos, patios de descarga, zonas de almacenamiento en muelles, techos, losas de aeropuertos, etc. Izzard estableció relaciones entre las siguientes variables: • • •

Caudal de equilibrio (qe). Tiempo de equilibrio(te). Volumen de agua en detención superficial (Ve).


23


Hidrología

q qe

t

te

Figura 9. 4. Forma típica del hidrograma de Izard 2V e ; t e = 60q e

qe =

iL

3,6 * 10 6

4

;

V e =

KL 3 i

1 3

227,8

;

K =

2,8*10−5 i + c 1

S 3

Donde, te qe Ve i S K c

Tiempo de equilibrio (min) Caudal en equilibrio para una franja de 1 m de ancho (m3 /s) Volumen de detención superficial en equilibrio para la franja (m3) Intensidad de lluvia (mm/h) pendiente del terreno en forma decimal Coeficiente Coeficiente de retardo (Tabla 9.5)

Tabla 9.5 Valores sugeridos para el coeficiente de retardo Superficie Coeficiente c Pavimento de asfalto bien terminado 0.007 Pavimento alquitrán y arena 0.0075 Cubierta de pizarra 0.0082 Concreto 0.012 Pavimento alquitrán y grava 0.017 Césped denso 0.046 Paso azul pulido 0.060


24


t/te

q/qe

0

0

0.2

0.06

0.3

0.18

0.4

0.35

0.5

0.55

0.6

0.70

0.7

0.82

0.8

0.90

0.9

0.94

1

0.97

β

q/qe

0

0.97

0.5

0.34

1

0.19

1.5

0.12

2

0.09

2.5

0.07

3

0.05

5

0.02

Con: β = 60

qe t a V e



t = t e +

Hidrología

β V e

60 qe

Figura 9.5. Valores típicos del hidrograma de Izzard Ejemplo Calcular el hidrograma resultante de una lluvia de 50 mm/h sobre una superficie de concreto de 50 m de largo con una pendiente de 0.01. Datos: i = 50 mm/h; S = 0.01; k =

2,8*10 −5 i + c 1 3

c = 0,012;

L = 50 m

= 0,062

S

4

1

0,062 * 50 3 * 50 3 = 0,185 V e = m 3 / m 227,8 50 * 50 = 0.000694 qe = m 3 / s / m = 0,6941 6 3,6 * 10 Marina Farías de Reyes

l / s / m

25


t e =

V e

30q e

= 8,9

Hidrología

min

7.0E-04 6.0E-04 5.0E-04 4.0E-04 3.0E-04 2.0E-04 1.0E-04 0.0E+00 0

t 0.00 1.78 2.67 3.56 4.45 5.34 6.23 7.12 8.01 8.90 8.90 11.12 13.34 15.56 17.78 20.01 22.23 31.11

5

10

15

q (m3/s) 0.0E+00 3.5E-05 1.2E-04 2.4E-04 3.8E-04 4.9E-04 5.6E-04 6.2E-04 6.5E-04 6.7E-04 6.7E-04 2.4E-04 1.4E-04 8.3E-05 5.6E-05 4.9E-05 3.5E-05 0.0E+00


20

25

30

35

q (l/s) 0.03 0.12 0.24 0.38 0.49 0.56 0.62 0.65 0.67 0.67 0.24 0.14 0.08 0.06 0.05 0.03 -

26


Hidrología

9.7.3. Hidrograma sintético triangular del SCS Hidrogramas sintéticos Además de los hidrogramas naturales ya vistos, existen hidrogramas sintéticos que son simulados, artificiales y se obtienen usando las características fisiográficas y parámetros de la cuenca de interés. Su finalidad es representar o simular un hidrograma representativo del fenómeno hidrológico de la cuenca, para determinar el caudal pico para diseñar. Hidrograma adimensional SCS El hidrograma adimensional del SCS es un HU sintético en el cual el caudal se expresa por la relación del caudal q con respecto al caudal pico qp y el tiempo por la relación del tiempo t con respecto al tiempo de ocurrencia del pico en el HU, Tp. El HU adimensional puede calcularse para cada cuenca de interés o puede emplearse el propuesto por el SCS, que se muestra en la figura siguiente y que ha sido preparado utilizando los HU de una variedad de cuencas: t/Tp 0.35 0.72 0.82 0.86 1.00 1.14 1.18 1.35 1.83 2.00 2.36 3.00 4.00 5.00

q/qp 0.20 0.80 0.90 0.95 1.00 0.95 0.92 0.80 0.40 0.31 0.20 0.07 0.02 -

Figura 9.6. Hidrograma adimensional propuesto por el SCS Los valores de qp y Tp pueden estimarse empleando el modelo simplificado del HU triangular.

Hidrograma sintético SCS o triangular Con base en la revisión de un gran número de HU, el SCS sugiere este hidrograma donde el tiempo está dado en horas y el caudal en m3 /s.cm. El volumen generado por la separación de la lluvia en neta y abstracciones es propagado a través del río mediante el uso del hidrograma unitario. El tiempo de recesión, tr, puede aproximarse a: t r = 1.67 T p


27


Hidrología

Como el área bajo el HU debe ser igual a una escorrentía de 1 cm, puede demostrarse que: q p =

2.08 A T p

donde: A es el área de drenaje en Km2 y Tp es el tiempo de ocurrencia del pico en horas Adicionalmente, un estudio de muchas cuencas ha demostrado que: t p = 0,6t c

donde: tp: Tiempo de retardo (entre el centroide del hietograma y el pico de caudal) (h) tc: Tiempo de concentración de la cuenca. El tiempo de ocurrencia del pico, Tp, puede expresarse como: T p =

D

2

+ t p

donde: D: duración de la lluvia (h) D

.

P

tp Q qp t Tp

tr

Figura 9.7.- Hidrograma unitario triangular del SCS Este método es aplicable para cuencas pequeñas, menores a 8 Km2. Es muy usado en cuencas sin muchos datos hidrológicos. Para cuencas urbanas, donde tp y tc disminuyen por la impermeabilización y canalización se aplica:


28


Hidrología

t p = t p (cuenca

natural ). f 1 . f 2

f 1 = 1 − M a K f 2 = 1 − M c K

donde: Ma: Mc:

Porcentaje de aumento de áreas impermeables Porcentaje de áreas canalizadas K = ( −0,02185CN 3 − 0,4298CN 2 + 355CN − 6789)*10 −6

Ejemplo Determinar el hidrograma de diseño para un Tr = 50 años, para una cuenca con las siguientes características: 1. La cuenca tiene suelo con capacidad de escurrimiento sobre la media. 2. Cobertura: 60% pasto, 30% soya y 10% bosque disperso 3. Tiempo de concentración (tc) =11 horas y 1 hora de duración del intervalo de precipitación. 4. Área de la cuenca = 3,3 Km2 5. Lluvia de diseño se muestra en la tabla siguiente: Intervalo Lluvia acumulada Precipitación Precipitación de tiempo de diseño (mm) efectiva acumulada efectiva de cada (h) (mm) intervalo (cm) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

8,7 18,6 36,9 92,5 118,3 132,9 139,9 145,5 151,3 155,4 160,7

0 0.5 6.7 44.4 66.0 78.7 84.8 89.9 95.1 98.8 103.6

0 0.05 0.62 3.77 2.16 1.27 0.61 0.51 0.52 0.37 0.48

CN = 75*0.3 + 82*0.6 + 86*0.1 = 80.3 S =

25400 − 254 = 62.3mm 80.3 1 2

T p = + 6.6 = 7.1h

q p =


t p = 0.6*t c = 0.6*11 = 6.6h

t r = 1.67*7.1 =11.9h

3 2.08*3.3 = 0.967 m s 1 + 0.6*11 2

29


Hidrología

D=1h

.

P

tp = 6.6h Q qp = 0.97 m3 /s t 11.9h

7.1h

Con este hidrograma unitario y con la lluvia de diseño, hallaremos el hidrograma de diseño; para lo cual realizaremos el proceso de convolución: Q (t) = Pe (t) * HU HU (t): Se inicia con un desfase porque Pe1 = 0.

Intervalo 0 0 1 1 2 2 3 3 4 4 5 5 6 6 7 7 8 8 9 9 10

Pe (cm) Hidrograma Unitario 0 0.14 0.28 0.42 0.55 0.69 0.83 0.97 0.88 0.79 0.70

. . .

. . .

0.05

0.62

3 .7 7

2.16

0 .0 0 0 0 .0 0 7 0 .0 1 4 0.021 0 .0 2 8 0 .0 3 5 0 .0 4 2 0 .0 4 8 0 .0 4 4 0 .04 0

0.000 0.007 0.014 0.021 0.028 0.035 0.042 0.048 0.044

0.000 0.007 0.014 0.021 0.028 0.035 0.042 0.048

0.000 0.007 0.014 0.021 0.028 0.035 0.042

0.040

0.044

0 .0 4 8

0.040

0 .0 4 4

.

.

.

Escorrentía Directa 0 0.000 0.007 0.021

. . Sumatoria.

0.040

Proceso de Convolución


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Modulo II Hidrologia

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