ÁLVARO ANDRINI MARIA JOSÉ VASCONCELLOS
8 MATEMÁTICA
PRATICANDO Matemática Coleção PRATICANDO MATEMÁTICA
EDIÇÃO RENOVADA ÁLVARO ANDRINI Licenciado em Matemática. Pós-graduado em Álgebra Linear e Equações Diferenciais. Foi professor efetivo de Matemática da rede estadual durante trinta anos. Autor de diversos livros didáticos. MATEMÁTICA
MARIA JOSÉ VASCONCELLOS Licenciada em Matemática. Coordenadora e professorade Matemática em escola da rede particular. Coautora de coleção de Matemática para o Ensino Médio.
MANUAL DO PROFESSOR 3a edição, São Paulo, 2012
COLEGA COLEGA PROFESSOR PROFESSOR
Este manual tem diversos objetivos: • Revelar ideias presentes na concepção desta coleção de Matemática, esclarecendo sua proposta pedagógica. • Contribuir para o processo de formação contínua do docente, apresentando textos e artigos cuja leitura propicia a reflexão sobre educação e práticas metodológicas. • Fornecer subsídios para enriquecer as aulas oferecendo orientações específicas para o trabalho com o Livro do Aluno, sugestões de textos, atividades propostas para avaliação e integração com outras áreas do conhecimento. • Refletir sobre o processo de avaliação em Matemática propondo ideias e sugerindo instrumentos e estratégias que possam lhe ser úteis.
Esperamos que este manual o auxilie em seu trabalho, contribuindo para o sucesso de seus alunos. Os autores
SUMÁRIO SUMÁRIO 1. Considerações sobre o ensino da Matemática e a concepção da obra.... 05 2. Estrutura da obra ............................... 06 2.1 Principais temas abordados na obra ................................................08 2.1.1 Números ......................................08 2.1.2 Álgebra ........................................10 2.1.3 Geometria ....................................10 2.1.4 Medidas .......................................11 2.1.5 Razões, porcentagens e proporcionalidade...................11 2.1.6 Estatística .....................................12 2.1.7 Funções ........................................12 3. Ideias sobre a avaliação em Matemática .........................................13 3.1 Sobre o erro ..................................14 3.2 Sobre a utilizaçãode portfólios......15 4. Textos de apoio sobre educação e práticas metodológicas................... 19 4.1 Como ensinar Matemática? ......... 19 4.2 Matemática e resolução de problemas .....................................21 4.2.1 Os vários tipos de problema: uma possível classificação ........ 22 4.2.2 Dois tempos e modos de ensinar a Aritmética ............ 25 4.3 Leitura, escrita e oralidade: competência de todas as áreas......36 4.3.1 Parágrafo extraído da Proposta de Avaliação, presente no Documento Básico do ENEM – Brasília/2002...........36
5. Quadro de conteúdos ........................ 46 6. Sobre o livro do 8o ano ...................... 52 Unidade 1 – Conjuntos numéricos ..... 52
4.3.2 A leitura, a escrita e a oralidade em Matemática ...........................37 4.3.3 Comunicação em Matemática: instrumento de ensino e aprendizagem.............................38 4.3.4 Leitura na escola .........................41 4.4 O comprometimento com o próprio aprendizado................. 44
8.1.2 História da Matemática e História da Educação Matemática .......... 115 8.1.3 Paradidáticos ........................... 115 8.1.4 Educação Matemática ............. 116 8. 2 Revistas .......................................117 8. 3 Sites ............................................ 118 9. Referências bibliográficas ................ 120
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Unidade 2 – Potenciação e notação científica ............................................. 60 Unidade 3 – Radiciação ..................... 65 Unidade 4 – Cálculo algébrico ........... 69 Unidade 5 e 6 – Produtos notáveis e fatoração ......................................... 76 Unidade 7 – Frações algébricas .......... 80 Unidade 8 – Sistemas de equações .... 84 Unidade 9 – Retas e ângulos ............. 90 Unidade 10 – Triângulos .................... 92 Unidade 11 – Triângulos: congruência e ponto notáveis ................................. 94 Unidade 12 – Quadriláteros e outros polígonos ................................ 96 Unidade 13 – Circunferência e círculo ................................................ 99 Unidade 14 – Possibilidades e estatística ........................................ 101 7. Avaliação – O que se pede por aí.... 102 8. Sugestões de livros e sites para o professor ............................... 115 8.1 Livros ...........................................115 8.1.1 Matemática por meio de jogos e resolução de problemas.......115
1. Considerações sobre o ensino da Matemática e a concepção da obra A presença cada vez maior da Matemática nas atividades humanas torna seu aprendizado fundamental para a inserção do cidadão no mundo do trabalho e das relações sociais. O caráter instrumental e científico da Matemática permite resolver problemas práticos e fornece ferramentas importantes para a construção do saber científico. Conhecimentos matemáticos, mesmo aqueles que não fazem parte do cotidiano imediato, são necessários para a alfabetização científica e técnica do indivíduo, indispensável nos dias de hoje. Concomitantemente, o desenvolvimento de capacidades intelectuais presentes no pensamento matemático, como deduzir, generalizar, argumentar e conjecturar, propicia formar indivíduos com uma visão mais ampla da realidade, preparados para atuar num mundo em constante mudança. É necessário ressaltar também que o ensino em Matemática deve buscar o desenvolvimento de posturas e atitudes necessárias à formação cidadã: confiança na própria capacidade, perseverança e disciplina na busca de resultados, respeito pelo pensamento do outro e trabalho cooperativo. Conciliar e contemplar satisfatoriamente cada um destes aspectos em sala de aula não é tarefa fácil. O livro didático deve, portanto, ser um parceiro eficiente para o professor e para o estudante. Esta foi a intenção dos autores ao escrever esta obra. Acreditamos que o primeiro passo é criar um ambiente de aprendizado que permita dar significado ao que se aprende, aproximando a Matemática do dia a dia do aluno. Nesse sentido, a contextualização de conteúdos exerce papel de destaque e deve ser explorada. Na obra, a contextualização de conteúdos está presente, mas de forma criteriosa, cuidando para não levar à banalização e à perda de consistência. O aluno deve conhecer e aplicar conhecimentos da Matemática na vida prática, mas há outro objetivo também importante: desenvolver nele o gosto pelo desafio, presente em situações da própria Matemática, de maneira que as abstrações não constituam o início ou o fim do processo, e sim mediações indispensáveis para a construção do conhecimento matemático. Visando ao equilíbrio destes dois aspectos que se complementam, sempre que possível a obra apresenta os temas e sua exercitação por meio de problemas, valorizando estratégias diversificadas de resolução, a compreensão e a aplicação de conceitos, o uso adequado de procedimentos e a análise da solução obtida. Situações que propiciam o desenvolvimento do pensamento abstrato surgem de forma gradual, respeitando o desenvolvimento cognitivo dos alunos, mas dando a sustentação necessária para a construção de conceitos e demonstração de propriedades. Consideramos indispensável o trabalho com leitura, escrita e oralidade em Matemática. Essas habilidades são desenvolvid as em todos os anos, por meio da leitura de textos envolvendo História da Matemática, textos de interesse científico ou social e, sobretudo, pela leitura dos próprios textos didáticos, escritos com foco no aluno e permeados por quadros interativos com propostas de atividades. Em várias oportunidades o aluno será incentivado a elaborar, explicitar e compartilhar diferentes caminhos de resolução de questões. Com isso, pretendemos que ele reflita sobre sua maneira de pensar, propiciando a criação de mecanismos que facilitem cada vez mais seu aprendizado. MANUAL DO PROFESSOR
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A interação entre alunos desempenha papel fundamental no desenvolvimento das capacidades cognitivas, afetivas e de inserção social. Contemplamos, nesta coleção, o trabalho em pequenos grupos. Sugerimos atividades em duplas ou trios, possibilitando o contato com outros pontos de vista para aprimorar a capacidade de comunicação e de cooperação. Contudo, as atividades em grupo não impedem o exercício individual, importante para o desenvolvimento da autodisciplina e da autonomia. As atividades de sistematização estão presentes na coleção e têm como objetivo gerar maior agilidade no uso de técnicas e procedimentos. Ressaltamos ainda o trabalho da obra com cálculo mental, estimativas e o uso da calculadora como forma de prever e verificar resultados. A abordagem da História da Matemática é uma grande aliada para despertar o interesse dos alunos. A obra se vale desse recurso em muitos momentos, apresentando a Matemática como construção humana em constante evolução, cuja história tem se construído de forma não linear, com a contribuição de grandes gênios da ciência e também a partir da prática das pessoas comuns. Disponibilizamos para o docente, neste Manual, alguns artigos envolvendo a História da Educação Matemática, pois consideramos que conhecimentos sobre práticas escolares em Matemática, ao longo do tempo, permitem refletir sobre a sala de aula hoje, enxergando-a num contexto histórico. Propomos alguns jogos matemáticos e atividades com material concreto, cuja realização é possível em sala de aula, buscando contribuir para a construção de um ambiente pedagógico mais descontraído onde aprender rime com prazer. A coleção atende às demandas do mundo atual e valoriza as atuais propostas para o ensino da Matemática. Pautados em nossa prática docente, procuramos fornecer uma base sólida por onde professor e aluno possam transitar com segurança, abrindo espaço para a criatividade, sem perder de vista a realidade de sala de aula em nosso país.
2. Estrutura da obra A obra compõe-se de quatro volumes, cada um com um Manual do Professor específico. Nos volumes, a teoria é distribuída de modo equilibrado em unidades e seções, visando dar o suporte necessário ao professor, sem tirar-lhe a liberdade de criação. Levando em consideração as diferentes formas e ritmos que cada um tem para aprender, os textos estabelecem um diálogo com o aluno para facilitar a compreensão e permitir que ele progrida na leitura com mais facilidade por meio de uma linguagem clara e simples, incluindo fotos, ilustrações, gráficos e esquemas explicativos. Atividades surgem ao longo do texto como forma de levantar conhecimentos prévios e de checar o progresso da leitura. A História da Matemática aparece ao longo dos volumes em diversas oportunidades: textos de caráter histórico, comentários e informações biográficas, ou no enunciado de alguns exercícios. Além das atividades sugeridas paralelamente à apresentação dos temas, cada unidade apresenta seções específicas com atividades, descritas a seguir.
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Exercícios Propostos ao final de cada assunto, fornecem ao aluno uma oportunidade de autocontrole de habilidades e conteúdos procedimentais adquiridos na aprendizagem, utilizando como base a teoria desenvolvida. Os exercícios estão dispostos em grau crescente de dificuldade, são diversificados e muitos deles foram retirados de avaliações de caráter oficial.
Revisando Os exercícios dessa seção constituem mais uma oportunidade de retomar e interligar os diferentes assuntos, dando ao aluno a possibilidade de mobilizar recursos para exercer as competências adquiridas. Poderão ser encaminhados para tarefa de casa ou ainda reservados pelo professor para aplicação na recuperação paralela.
Desafios Agrupamos, nessa seção, questões que exigem soluções mais criativas e elaboradas. Sugerimos que estes exercícios sejam resolvidos em duplas ou trios, permitindo que cada um contribua para a resolução, incentivando o trabalho coletivo.
Aut oa va li aç ão São propostas questões do tipo teste, apuradamente selecionadas. Muitas delas vêm de olimpíadas, vestibulares e avaliações da rede oficial, observando sempre a adequação ao nível cognitivo dos alunos a que se destinam. O professor pode utilizar esses exercícios de diversas maneiras. Por exemplo, os alunos podem resolvê-los sem ajuda, conferindo, ao final, as respostas e analisando seu aproveitamento juntamente com você.
Seção livre Apresenta exercícios ou textos envolvendo curiosidades, fatos históricos, arte, ciência e situações do cotidiano, buscando motivar o aprendizado.
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Val e a pe na le r São textos variados envolvendo Matemática, História da Matemática e outras áreas do conhecimento. Contribuem para desenvolver a habilidade leitora e de interpretação de textos.
Selo e/ou que sinaliza textos e atividades que envolvem Matemática aplicada a outras áreas do conhecimento à vivência cotidiana.
2.1 Principais temas abordados na obra A coleção distribui seu conteúdo, nos quatro volumes, em temas que poderiam ser destacados como: • Números; • Álgebra; • Geometria; • Medidas; • Razões, porcentagens e proporcionalidade; • Estatística; • Funções. São desenvolvidos procedimentos relativos a cálculo mental, estimativas, argumentação e iniciação à articulação lógica e dedutiva. Os problemas estão presentes nos textos e nas seçõesexercícios, de explorando e buscando desenvolver habilidades variadas. Lembramos, no entanto, que os alunos devem ter acesso a problemas de outras fontes, principalmente os propostos a partir de situações que surjam do contexto particular a que pertencem. Acreditamos que a competência de ler, compreender, interpretar e produzir textos não se desenvolve unicamente na aprendizagem da Língua Portuguesa, mas em todos os componentes curriculares. Quem deve, preferencialmente, tratar da leitura de textos em Matemática é o professor dessa área, pois a construção das relações entre as duas linguagens diferentes – as palavras e os símbolos matemáticos – será melhor desenvolvida por ele. Lembramos novamente que todos os textos didáticos foram escritos pensando no aluno como leitor. O professor pode utilizá-los no trabalho com leitura em Matemática.
2.1.1 Números Pesquisando a História da Matemática, fizemos um levantamento sobre a história dos números, dos processos de contagem e dos sistemas de numeração criados porantigas civilizações. O volume do 6o ano retoma e aprofunda os conhecimentos sobre o sistema de numeração decimal e seus princípios. A coleção procura sempre que possível articular Números com Medidas eGeometria. 8
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No volume do 6 o ano apresentamos inicialmente os números naturais e suas aplicações. Retomamos as operações de adição, subtração, multiplicação e divisão nos naturais a partir das ideias ligadas à elas, bem como os algoritmos usuais e as propriedades da adição e da multiplicação. As técnicas de cálculo mental e o uso de arredondamentos para estimar resultados são incentivados. Apresentamos a potenciação, sua notação e cálculo de
potência com base e
expoente natural. Trabalhamos em seguida com as raízes quadradas de números naturais com foco nas raízes exatas. Precedendo os estudos das frações apresentamos as relações “múltiplo de” e “divisor de”, os critérios de divisibilidade mais importantes, como facilitadores, o conceito de número primo e determinação do mmc e do mdc entre números naturais. o conjunto
Q
Não construímos
neste volume, mas o trabalho com frações é retomado e ampliado, tratando as
operações e apresentando problemas envolvendo as frações e suas aplicações.
A partir das re-
gras do Sistema de N umeração Decimal, lembramos o registro e a leitura de números decimais, bem como suas aplicações no cotidiano. As operações envolvendo números decimais são cuidadosamente trabalhadas nos textos e pretendem que o aluno entenda os algoritmos usuais, em especial nas multiplicações e divisões. No 7o ano, antes de apresentar os números negativos, relembramos os números naturais, apresentamos o conceito de fração como quociente e retomamos os números decimais, tendo também como novidade a localização de frações e de números decimais na reta numérica. A ideia de fração como quociente parte de situações que envolvem desenhos, para facilitar o entendimento dos alunos. Sugerimos apresentar vários exemplos concretos: 4 chocolates divididos entre 5 crianças, 2 pizzas divididas entre 8 pessoas etc. Optamos por apresentar os números negativos inteiros, fracionários e decimais, sem construir ainda os conjuntos
Z
e
Q.
A ideia é garantir um aprendizado mais consistente das operações e da
resolução de problemas envolvendo números negativos antes de formalizar os conjuntos numéricos. Entendemos que o aluno do 8o ano estará mais preparado para esta construção. No 8o ano, com apoio na história dos números e sua ligação com o desenvolvimento da humanidade, apresentamos os números reais a partir da construção dos conjuntos N, Z e Q, e dos números irracionais. A apresentação dos números irracionais é feita de forma cuidadosa, com textos acessíveis e com uma atividade concreta para apresentar o número (pi). Abordamos a representação na reta numérica estendendo oregistro para números reais.Num quadro, no final da Unidade 1 do 8o ano, apresentamos formalmente as propriedades dos números reais. Nesse volume, a potenciação, suas propriedades e a radiciação têm destaque, incluindo expoentes inteiros negativos, raízes com índice natural maior que 2, números quadrados perfeitos e raízes não exatas. No 9o ano, precedendo o trabalho com radicais, há a retomada da potenciação e suas propriedades, e da radiciação, apresentada agora de maneira mais formal. Dessa forma, pretende-se que, ao final do 9o ano, o aluno tenha formação adequada no campo dos números, para prosseguir seus estudos no Ensino Médio. MANUAL DO PROFESSOR
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2.1.2 Álgebra O livro do 6 o ano trabalha com a observação de regularidades e algumas generalizações. No 7o ano, esse trabalho é retomado e se inicia o estudo da Álgebra mais formalmente, introduzindo a linguagem algébrica, as equações e as inequações do 1 o grau. O maior objetivo neste volume, é mostrar as equações como ferramenta útil na representação e resolução de problemas, sem ofuscar as habilidades de cálculo mental, as resoluções por tentativas e por meio da A ritmética. Prosseguindo, no 8 o ano, o aluno trabalha com o cálculo algébrico, manipulando expressões, construindo o conceito de variável, de fórmula, de incógnita, aprendendo a utilizar corretamente conhecimentos importantes da Álgebra, como os produtos notáveis e a fatoração. Antes de apresentarmos os sistemas de equações do 1 o grau, retomamos a resolução de equações, resgatando o que foi visto no 7 o ano. No 9o ano, vêm as equações do 2 o grau, desenvolvidas por meio de textos simples, que facilitam o progresso do aluno. Optamos por apresentar as equações biquadradas, irracionais e fracionárias, uma vez que estes conteúdos serão necessários no Ensino M édio. Sabemos que a Álgebra possibilita aos alunos uma abertura para o estudo de outros ramos da Matemática, mas é preciso cuidado e calma ao introduzir sua linguagem para não causar confusões, insegurança e dificuldades. Propomos a abordagem gradual das diferentes concepções ou finalidades que se tem da Álgebra atualmente: a Álgebra como generalizadora da Aritmética; a Álgebra como estudo de processos para resolver problemas; a Álgebra como estudo da relação entre grandezas; e a Álgebra como estudo de estruturas matemáticas (manipulação de expressões). Os comentários sobre funções estão no item 2.1.7.
2.1.3 Geometria A Geometria é um tema abordado nos quatro volumes da coleção, pois seu estudo permite ao aluno desenvolver habilidades importantes para a compreensão e a representação organizada do mundo físico. Apresentamos a Geometria não apenas como conteúdo isolado, mas também como uma ferramenta que auxilia (e poderíamos até dizer, seguindo os passos da História, que fundamenta e serve como recurso didático) o desenvolvimento de conceitos da Matemática. O trabalho com Geometria está relacionado às atividades de observação e construção, valorizando sempre sua conexão com outros campos do conhecimento e com a vida prática. A importância da Geometria na História da Matemática é ressaltada em textos complementares. A demonstração de propriedades relativas à Geometria aparece inicialmente no volume do 7o ano, ao provarmos a congruência de ângulos opostos pelo vértice. Antes disso, nos valemos da experimentação constatando alguns fatos importantes por meio de atividades. Nos volumes do 8o e do 9o ano as demonstrações em Geometria são mais frequentes e têm por objetivo desenvolver o raciocínio dedutivo e a argumentação lógica. Procuramos apresentar essas demonstrações sempre respeitando o desenvolvimento cognitivo dos alunos, mas entendemos que sua presença é indispensável em um livro didático. 10
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Definições, conceitos e propriedades geométricas importantes são revisitados antes de apresentarmos novos conteúdos. Entendemos que a construção do conhecimento geométrico é acumulativa e fica facilitada se apoiarmos novos conhecimentos em conhecimentos anteriores e se articularmos, sempre que possível, Geometria com Medidas e com Álgebra. Para isso, procuramos apresentar textos acessíveis e atividades interessantes, diversificadas. Outro aspecto valorizado na obra é o uso do material de desenho. Ensinamos a usar o transferidor na Unidade 9 do 6 o ano, e, nos volumes do 7o e do 8o anos, os alunos são convidados a fazer construções com régua, compasso e transferidor em várias oportunidades. Consideramos a prática com material de desenho desejável em todos os anos.
2.1.4 Medidas As medidas fazem parte de nosso dia a dia e constituem um conhecimento necessário nas mais variadas profissões. Além de ser um tema com importância social, mostra também ao aluno, com clareza, a utilidade do conhecimento matemático em seu cotidiano. Balanças, fitas métricas, relógios e termômetros, por exemplo, envolvem situações com medidas em geral. Tais situações são a base para a criação de diversos problemas interessantes e significativos para os alunos. É importante que todos vivenciem experiências concretas com medidas. Assim como o fizemos com Geometria, o trabalho com Medidas se estende por toda a coleção, permitindo uma melhor compreensão do mundo físico e a integração com outras áreas do conhecimento. As medidas estão presentes em exemplos e atividades nos conteúdos de álgebra, de geometria, de funções, de estatística, na construção de gráficos, sempre que o contexto permite. No volume do 6o ano, trabalhamos com cuidado a construção do conceito de medida, que será revisitado e consolidado nos demais volumes. Muitas das dificuldades dos alunos no trato com medidas e conversões entre unidades vêm de um conceito de medida mal desenvolvido. Abordamos, ao longo da obra, medidas de comprimento, de massa, de tempo, de área, de volume, e, também, medidas de ângulos.
2.1.5 Razões, porcentagens e proporcionalidade As ideias e aplicações de razões, porcentagens e proporcionalidade são abordadas em unidades específicas nos volumes do 6o, 7o e 9o anos, mas nos demais volumes, estão presentes na abordagem de conteúdos e exercícios ligados à Álgebra e à Geometria. No 9o ano, retomamos a definição de razão para definir segmentos proporcionais, antes de demonstrar o teorema de Tales. A Unidade 5, no volume do 7o ano, dedica-se especificamente a razões e porcentagens. Destacamos a preocupação da coleção com o cálculo mental de porcentagens básicas e com o uso da calculadora como facilitadora no cálculo de porcentagens frequentes no dia a dia das pessoas. O desenvolvimento do raciocínio proporcional tem importância significativa no conteúdo de Matemática do Ensino Fundamental, no cotidiano e, futuramente, na vida profissional dos alunos. No volume do 9o ano, problemas mais complexos envolvendo porcentagens e noções sobre o cálculo de juros são abordados na Unidade 10, proporcionando um primeiro contato com a Matemática Financeira. MANUAL DO PROFESSOR
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2.1.6 Estatística O tema Estatística também é constante em toda a obra, devido à sua importância na sociedade atual. Gráficos, tabelas e dados estatísticos estão presentes em jornais, revistas e meios de comunicação em geral, fazendo parte do cotidiano da população. Aproveitando sempre o conhecimento prévio dos alunos, a coleção retoma e amplia conhecimentos básicos em Estatística. É importante que o aluno seja capaz de ler uma tabela, calcular médias, construir e interpretar gráficos estatísticos para saber analisar situações, fazer previsões e escolher rumos de ação. Por isso, a coleção traz, sempre que possível, atividades envolvendo a leitura de tabelas e gráficos estatísticos em todos os volumes. Dedica unidades e seções específicas para estudar e apresentar como construir os diversos tipos de gráficos: barras ou colunas, setores, gráficos de linhas e pictogramas. Esse trabalho é desenvolvido deixando sempre espaço para que o professor enriqueça suas aulas com atividades que abordem temas atuais, presentes no contexto de seus alunos. No tema Estatística, estão incluídos os problemas de contagem e noções de probabilidade, abordados gradualmente desde o 6o ano. Por meio de problemas, pretende-se desenvolver o raciocínio combinatório, a compreensão do princípio multiplicativo e ideias básicas sobre o cálculo de probabilidades que serão complementadas no Ensino Médio.
2.1.7 Funções Desde o 7o ano e de forma mais específica a partir do 8o ano, trabalhamos com a observação e generalização de padrões, a relação de interdependência entre grandezas, o reconhecimento e uso de variáveis, a escrita e a aplicação de fórmulas para representar algebricamente a relação entre variáveis. O conceito de função, preparado desde os anos anteriores, surge com mais facilidade e é desenvolvido com o título “Funçõ es” no volume referente ao 9 o ano. Procuramos torná-lo menos formal, uma vez que o estudo desse conteúdo é retomado e aprofundado no
Ensino Médio. Na
Unidade 4, definimos função, damos noções sobre domínio e imagem, representamos funções por meio de diagramas de flechas. Em seguida, o aluno trabalhará com gráficos e lei de formação, terá um primeiro contato com as funções do 1
o
e do 2 o graus e com o tipo de gráfico que as
representam. Observará a simetria nas parábolas e o ponto de vértice, sem, contudo, aprofundar o estudo destas funções, pois isso será feito de forma mais completa, provavelmente, no 1
o
ano
do Ensino M édio. A ênfase está em saber reconhecer uma função, identificar e interpretar suas variáveis e utilizar suas formas de representação – tabela de valores, lei de formação e gráfico –, para obter informações sobre o comportamento das grandezas envolvidas na função. É sempre desejável que o professor busque situações existentes no contexto de seus alunos, mostrando aplicações práticas para o estudo de funções. 12
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3. Ideias sobre a avaliação em Matemática Entendemos a avaliação como parte integrante do processo de ensino-aprendizagem, cujo objetivo não é somente verificar (por meio de uma medição) a quantidade de informações “retidas” pelo aluno ao longo de um determinado período. O conhecimento é construção humana e social, e nosso “saber” não é construído de um dia para o outro, de uma situação para a outra, do “não saber” ao “saber tudo”. Cada indivíduo trabalha e reelabora, de forma particular, as informações recebidas, daí a necessidade de se considerar, na avaliação, não somente o produto, mas principalmente o processo. A avaliação deve servir como um instrumento de acompanhamento e regulação do ensinar-aprender, oferecendo elementos para uma revisão de postura de todos os componentes desse processo (aluno, professor, conteúdo, metodologia e instrumentos de avaliação), ou seja, um diagnóstico que permita tomar as ações necessárias para corrigir rumos, renovando sempre o compromisso com a aprendizagem. Dessa forma, restringir a avaliação a um conceito obtido em uma prova não retrata com fidelidade o aproveitamento obtido. Somente a consideração conjunta do produto final e dos processos que levaram a ele nos permite estabelecer interpretações significativas. A avaliação será, nessa perspectiva, de grande valia para a continuidade e revisão de seu trabalho, indicando os pontos que não estão bem claros para os alunos e que, por isso, deverão ser trabalhados com mais intensidade. Para o aluno, esse será um momento de grande significação, situando-o em relação a seus progressos. Portanto, é necessário considerar a avaliação como um recurso a serviço do desenvolvimento do aluno, que o leve a assumir um compromisso com a própria aprendizagem. Durante o desenvolvimento de um conteúdo, deve-se observar nos alunos aspectos como: desenvolvimento da autonomia intelectual, criatividade na busca de soluções, habilidade de comunicação oral e escrita, posturas de relacionamento e capacidade de interpretação e de argumentação. Na elaboração de instrumentos mais formais, como provas, é importante considerar que a resolução de uma questão não deve ter como objetivo uma pontuação em si. Ela serve para revelar se habilidades e competências envolvidas foram ou não adquiridas. Na totalidade das questões, não se deve considerar uma soma de pontos, e sim um conjunto de habilidades e competências adquiridas, e outras que necessitam ser mais trabalhadas. Nesta coleção, oManual do Professor traz sugestões de instrumentos diversificados para a avaliação – incluindo fichas de acompanhamento –, contemplando atividades
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individuais e em pequenos grupos, feitas com ou sem consulta ao material didático, e atividades com participação oral ou escrita, realizadas em classe ou em casa. Esperamos que as sugestões possam ser aproveitadas ou adaptadas para atender às suas necessidades. Como leitura complementar, sugere-se a edição especial doBoletim de Educação Matemática – BOLEMA –, cujo tema é a Avaliação em Educação Matemática. Esta edição especial, a de número 33, volume 22, de agosto de 2009, está integral e gratuitamente disponível em:
. Acesso em: mar. 2012.
3.1 Sobre o erro Sempre falamos sobre a importância de considerar os erros que os alunos cometem como uma estratégia de aprendizagem. O excerto abaixo, de autoria de um grupo de professoras da Universidade do Vale do Rio dos Sinos (Unisinos), reitera essa disposição de ver nos erros a possibilidade de perceber como o estudante está procedendo, e, com isso, criar alternativas para orientá-lo.
“[...] A importância que se dá ao erro é uma questão fundamental no processo avaliativo. O erro representa, entre outras manifestações do aluno, indícios do seu processo de construção de conhecimentos. Pode indicar caminhos diferentes daqueles que o professor espera. O professor ou a professora, frente ao erro, pode compreender esse novo trajeto seguido pelo aluno, valorizando a sua produção e buscando converter ‘onão saber, estático, negativo e definitivo, em ainda não saber, provisório, relativo e potencial’ (ESTEBAN, 2001, p. 23). A autora considera excludente a dicotomia entre o acerto e o erro, tornando a avaliação escolar uma prática que desvaloriza os saberes, impede o diálogo, funcionando como instrumento de controle e de limitação das atuações, tanto de alunos como de professores e professoras, no contexto escolar.Ela também destaca que aquilo que dizemos sobre o nosso aluno é apenas uma parte do que pode ser dito, ou seja, é apenas o que nós vimos. Também os PCNs trazem considerações acerca do erro, das quais destacamos: [...] se todos os erros forem tratados da mesma maneira, assinalando-se os erros e explicando-se novamente, poderá ser útil para alguns alunos, se a explicação for suficiente para esclarecer algum tipo particular de dúvida, mas é bem provável que outros continuarão sem compreender e sem condições de reverter a situação (1997, p. 59).
Assim, ao avaliar uma situação, o professor ou a professora não apenas constata e pontua determinada dificuldade do aluno. O professor ou a professora também deci de que tipos de encaminhamentos e intervenções deve inserir em sua prática pedagógica para que o aluno supere a sua dificuldade inicial. Nesse caso, o professor ou a professora considera não apenas o que o aluno foi capaz de fazer, mas também aquilo que ele já sabe fazer, para, a partir disso, planejar as atividades seguintes. 14
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Reportamo-nos agora a algumas questões colocadas no Fascículo I [...] sobre números naturais. Está proposto, ao final dos episódios (trabalho do primeiro encontro), como tarefa, que sejam analisados os trabalhos de Alice, Juliana e Mariana. Quando é perguntado: O que ela acerta? O que ela erra?, tais questões estão sugerindo uma atenção sobre o que o aluno revela saber no processo que ele construiu e que talvez não tenha manifestado para chegar até sua resposta. No caso de Juliana, poderíamos refletir sobre a possibilidade de outra explicação para o registro que ela fez do número 21.A partir da manifestação do aluno, é possível acompanhar seu processo de construção da notação do número e interferir, se for o caso, mas a partir do que ele está compreendendo dessa representação. Em muitas situações-problema em Matemática, não há um padrão de resposta.Pode acontecer que o resultado numérico sejaum, mas o processo de resolução atéchegar a esse resultado seja construído de diversas maneiras, manifestando acompreensão que o aluno teve da situação-problema. A observação atenta a esses diferentes caminhos traçados pelos alunos compõe, entre outras formas e instrumentos utilizados, oprocesso de avaliação da aprendizagem. [...]” CHAMORRO, C. C. W.; GUÉRIOS, E.; MÄDCHE, F. C.; SILVA, J. A. da; FISCHER, M. C. B.; ENRICONI, M. H. S.; BALDISSERA, M. J. S.; WOLFF, R. Fascículo 8. Pró-letramento (Matemática). Brasília: MEC, 2008. p. 9-10.
3.2 Sobre a utilização de portfólios A avaliação é um dos componentes do Projeto Pedagógico de uma escola e pode estar dirigida para várias frentes: a avaliação do aluno, a avaliação do professor, a avaliação da instituição etc., além de poder ser efetivada usando, para isso, vários instrumentos. O texto a seguir, que deixamos como sugestão de leitura, reforça essas disposições e apresenta, com maior detalhamento, o portfólio, um desses instrumentos que pode nos auxiliar na complexa atividade da avaliação.
Identidade da escola “Toda escola situa-se em um sistema de ensino e tem sua identidade expressa no Projeto Político-Pedagógico (PPP). O PPP é elaborado pela comunidade escolar a partir da realidade da escola e da legislação e é constituído por marcos de referência, pelos planos de estudo e pelo regimento escolar. No dizer de Veiga (1997, p.16), o Projeto Político-Pedagógico, como organização do trabalho da escola como um todo, está fundado nos princípios que deverão nortear a escola. Os marcos de referência doPPP explicitam, entre outros, as concepções de mundo, de sociedade, de ser humano, de educação, de aprendizagem, de avaliação. Essas concepções precisam ser evidenciadas no cotidiano da escola, nas suas ações e decisões administrativas e pedagógicas. É claro que as evidências não ocorrem de maneira linear, como estamos abordando. A realidade é complexa e as contradições também se fazem presentes no mundo da escola. Mas, na prática, sempre há referências que balizam nossas ações. Precisamos nos perguntar para que e para quem estamos fazendo nossa atividade pedagógica. MANUAL DO PROFESSOR
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O Plano de Estudos, outro integrante do PPP, contém os conteúdos básicos a serem abordados, além de objetivos e metodologia de ensino e de avaliação. Esses Planos de Estudos também devem estar encharcados da realidade dos alunos e dos professores. Fiss e Caldieraro (2000) situam os Planos de Estudos como elemento ordenador, do ponto de vista pedagógico, do currículo escolar como a expressão concreta do PPP. Outro componente doPPP é o Regimento Escolar, que reúne as normas que regem a escola. Dentre as normas do Regimento, podemos destacar as de convivência e as da avaliação da aprendizagem dos alunos. Como se pode constatar, a prática pedagógica do professor ou da professora está em sintonia com os princípios orientadores da escola com o seu Regimento Escolar. Neste contexto pedagógico situa-se a avaliação da aprendizagem do aluno, que oferece dados para o professor ou a professora tomar decisões tanto pedagógicas quanto administrativas. Sim, essas decisões podem ter finalidade pedagógica ou administrativa, dependendo do objetivo dessa avaliação.
A avaliação da aprendizagem Como avaliamos nosso aluno em seu processo de aprendizagem, na escola? Em que momento(s)?Através de uma mera conferência deresultados?Ou, quem sabe, a partir de observações quanto a aspectos atitudinais do aluno? No que estas práticas contribuem paraa aprendizagem do aluno e, consequentemente, para o trabalho pedagógico do professor e da professora? Sustentadas nestas angústias e reflexões, percebemos uma necessidade de mudança de olhar em relação à avaliação. Precisamos repensar a avaliação como uma ação compreensiva e mediadora da trajetória do aluno, presente em toda prática pedagógica, e não como uma ação esporádica que seleciona os que sabem. A avaliação deve ter sempre a preocupação com a aprendizagem dos alunos.Uma avaliação com essa finalidade tem sido referida por diversos autores como uma avaliação formativa que, nas palavras dePerrenoud (1999), é uma avaliação ‘que ajuda o aluno aaprender e o professor a ensinar’ (p. 173).Descreve a ideia-base desta avaliação, em queo indivíduo aprenderá melhor ‘se o seu meio envolvente for capaz de lhedar respostas e regulações sob diversas formas: identificação dos erros, sugestões e contrassugestões, explicações complementares, revisão das noções de base, trabalho sobre o sentido da tarefa oua autoconfiança’ P( ERRENOUD, 1999, p.173). A avaliação só tem sentido se estiver contribuindo para melhorar a aprendizagem em curso, se puder informar o professor ou a professora sobre as condições em que se dá essa aprendizagem e o aluno sobre seu próprio percurso. Essa modalidade de avaliação, identificada por muitos autores como uma avaliação formativa, destaca-se por uma característica essencial, ausente na função somativa, que é a de realizar-se de forma contínua, integrada na ação de formação e incorporada no próprio ato de ensino. [...]
1. Vamos falar de portfólios Se você olhar em um dicionário, vai ler que portfólio vem de porta-fólio, que significa pasta ou álbum para guardar papéis. É fácil, portanto, fazer uma comparação para você entender facilmente o que é um portfólio: pode ser comparado com uma pasta em que você guarda seus documentos de modo organizado. 16
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O portfólio tem sido utilizado em muitos ramos da vida cotidiana como meio de divulgação e de propaganda.Se você entrar num site de busca na internet e solicitar o termo “portfólio”, observará centenas de exemplos de empresas, escolas e tantos outros ramos divulgando seus produtos e serviços por meio de portfólios. Por que utilizam portfólios? Porque permitem às pessoas visualizar de modo integral, ao mesmo tempo em que permitem a observação detalhada de tópicos específicos no conjunto de produtos que estão veiculando. A pergunta que fazemos é: Onde está o valor pedagógico de um portfólio? Um portfólio permite a você organizar as atividades de seus alunos. Qual é a relação disto com o portfólio como instrumento de avaliação? É o que ele permite ao leitor ver. E quem é o professor ou a professora, senão um leitor do desenvolvimento do aluno? Observe que o princípio é o mesmo. Com as atividades de seus alunos organizadas, você pode acompanhar o desenvolvimento de cada um deles de modo sistemático e contínuo.
Portfólios nos anos iniciais A utilização de portfólios não é uma inovação, pois já é um hábito de muitos professores e professoras. A inovação reside no modo de utilização dos mesmos. Um portfólio bem organizado permite ao professor ou à professora acompanhar o aluno em seu processo de aprendizagem. Com ele, você pode acompanhar e identificar os registros e acertos de seus alunos, assim como problemas de aprendizagem durante o seu ensinamento, pois os erros ficam evidenciados, ficam visíveis. Além disso, você pode “estudar” os erros e perceber as dificuldades apresentadas. Perceber erros quando ocorrem – e não depois que são consolidados e observados numa avaliação formal – possibilita que você realimente seus modos de ensinar, readequando seu planejamento e percebendo onde está o problema. Você pode ter o portfólio de cada aluno e pode também ter o seu portfólio. Nos de seus alunos, estarão organizadas as atividades que ELES fazem, as lições DELES, as produções DELES, os registros queELES fazem etc. No SEU, você pode organizar SEUS registros, SUAS observações, SUAS impressões, SEUS relatos. No SEU, vão constar as observações que VOCÊ faz das atividades DELES. Os alunos gostam de construir seus portfólios e, normalmente, são seus parceiros nisso. Para eles, é como se fosse um de seus álbuns de figurinhas, de papel de carta ou do que quer que seja. Além disso, há uma significativa contribuição que é a de possibilitar que cada criança seja produtora de seu próprio conhecimento. Criança produtora! Nada mais profícuo para você atingir o anseio pedagógico de ter a criança como produtora e não apenas como receptora de conhecimentos lhecoletânea são transmitidos na como escola.produção. Temos, então, duas dimensões em sua utilização: portfólioque como e portfólio Se você escutar que há também processofólio e que este é diferente de portfólio, é porque alguns entendem que no portfólio são armazenadas atividades concluídas dos alunos – uma sucessão de atividades já desenvolvidas, ou a última versão das diferentes atividades propostas – e no processofólio vai-se armazenando todas as etapas que vão sendo desenvolvidas. [...]
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No portfólio estaria armazenado o produto final das atividades. No processofólio estariam sendo armazenadas as tentativas para chegar ao final da atividade. Este exemplo esclarece sobre a diferença entre os dois termos. Nós estaremos utilizando apenas o termo portfólio por entendermos que engloba o outro. Fica a critério do professor ou da professora a construção de portfólios que contemplam atividades processuais ou não. Adiantamos que as atividades processuais se constituem em uma grande fonte de informações que os alunos nos dão sobre o desenvolvimento de seu pensamento, assim como sobre suas estratégias para compreender Matemática. E a avaliação formal que a escola exige que façamos, como se dá, nesse caso? Como o objeto da avaliação em Matemática não é apenas a nota – avaliação final – deve-se avaliar o processo dos alunos no desenvolvimento de suas atividades. É esta avaliação de processo que permite saber se o aluno compreendeu ou, em outras palavras, se construiu ideias matemáticas, se os seus erros refletem dificuldades parciais ou se não passam de distração. Cumpre reforçar que a avaliação está, necessariamente, atrelada aos objetivos que se tem ao ensinar e as atividades propostas vão ao encontro desses objetivos. Portanto, ao avaliarmos o desenvolvimento dos alunos ao realizarem atividades programadas, devemos nos reportar aos objetivos tidos ao iniciá-las e às possíveis mudanças de rumo que tiverem ocorrido. [...]
2. Vamos falar de registros É comum falar-se de registros queprofessores ou professorasfazem. Aqui, vamos ver possibilidades de avaliar a aprendizagem dos alunos por meio dos registros queOS ALUNOS fazem. O que são registros? São modos como os alunos expressam o movimento da aprendizagem. Os alunos constroem conhecimentos matemáticos ao desenvolverem atividades. Enquanto falam, desenham e escrevem, eles estão expressando ideias, refletindo sobre suas próprias palavras e as dos colegas, estabelecendo relações. Podemos utilizar os registros orais, os pictóricos e os escritos. Para estudar sobre registros no processo de avaliação de aprendizagem, construa um portfólio. [...]
O registro oral possibilita a você compreender como o aluno está desenvolvendo seu pensamento e que estratégias está elaborando na resolução de uma situação matemática. O registro oral como possibilidade avaliativa transcende o diálogo natural de sala de aula. Torna-se possibilidade avaliativa quando você observa intencionalmente esta fala. Em outras palavras, quando você está prestando atenção, analisa a manifestação oral de seu aluno, faz SEUS REGISTROS (para, por exemplo, anexar a seu portfólio), e acompanha a evolução das ideias manifestadas por eles. O registro oral permite que você “entenda” o que seu aluno está pensando. Ao entender, muitas vezes, você observa que o aluno resolveu uma situação matemática de outro modo que o esperado por você, porque ele disse como fez.Permite também observar que errou, mas que este erro não evidencia o desconhecimento do todo em relação ao conteúdo em estudo. [...]
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Por meio da análise do conteúdo dos portfólios de seus alunos e das observações do seu, imagine que você vai escrever uma carta para a professora que vai substituí-lo durante um mês em sua sala de aula. Nesta carta, você precisa elaborar um parecer sobre sua sala de aula, sobre os conteúdos que ministrou e o que ela ministrará. Você exemplificará seus argumentos com os dados e reflexões de cinco alunos. É senso comum que o professor ou professora deve refletir sobre sua prática.Ninguém duvida dessa afirmação. No entanto, a reflexão pela reflexão pode não levar a um resultado profícuo. Freitas (2002, p. 03) relata em suas pesquisas que: em algumas situações essa reflexão é desencadeada a partir de um acontecimento específico ocorrido em determinado momento e que exige do professor reorganizar a sua ação naquele exato momento. [...] De outra forma, que pareceu não ser comum, foi possível perceber que esta ‘reflexão na ação’ enquanto intenção deliberada de uma professora em estar atenta durante todo o tempo do trabalho para elementos que lhes permitam repensá-lo na direção de uma maior aprendizagem dos alunos.
Tal afirmação parece validar a contribuição de portfólios como instrumentos de avaliação. Registros, em suas diferentes naturezas, permitem a observação de etapas de aprendizagem e o desvelamento do pensamento dos alunos.” CHAMORRO, C. C. W; GUÉRIOS, E.; MÄDCHE, F.C.; SILVA, J. A. da; FISCHER, M. C. B.; ENRICONI, M. H. S.; BALDISSERA, M. J. S.; WOLFF, R. Fascículo 8. Pró-letramento (Matemática). Brasília: MEC, 2008. p. 11-12 e 21-22, 24-25, 29-30.
4. Textos de ap oio sobre educação e práticas metodológicas 4.1 Como ensinar Matemática? Essa questão preocupa e ocupa a mente dos professores deMatemática. A seguir levantamos alguns pontos e apresentamos sugestões sobre a postura e a prática docente. A inspiração do texto vem de um artigo escrito por George Polya, intitulado “Dez mandamentos para professores”. O artigo é dirigido a professores de Matemática, mas sua essência pode ser aproveitada para professores de todas as disciplinas.
• Demonstre interesse e tenha domínio sobre sua aula Sem motivação, ninguém é capaz de motivar os alunos para o aprendizado. Se você mostrar que não gosta de um assunto, dificilmente fará com que seu aluno se interesse por ele. Mostre ao aluno os encantos daMatemática e seu entusiasmo por eles. Junto com a motivação para ensinar, deve vir, é claro, o preparo teórico.Elabore seu plano de aula com cuidado de forma que o aluno perceba consistência em seu trabalho. Você precisa mostrar-se seguro para gerar confiança nos estudantes. MANUAL DO PROFESSOR
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• Estabeleça contato com seus alunos Procure “enxergar” o conteúdo a ser ensinado sob o ponto de vista do aluno, interagindo com ele em sala de aula, atendendo às suas expectativas e sendo sensível às suas dificuldades. • Adquira e use sua experiência A experiência prática – vivência de sala de aula – é condição básica para melhorar a prática docente. Se você é muito jovem, ouça seus colegas de profissão mais experientes. Lembre-se de quando você mesmo era estudante e das qualidades dos mestres que mais influenciaram sua vida escolar. Se já é professor há tempos, passe aos mais jovens suas vivências e aproveite para aprender também com eles. • Corrija os erros por meio da valorização dos acertos O aluno que escuta sem parar “Isto está errado”, provavelmente passará a detestar a Matemática e, consequentemente, o professor da disciplina. É difícil quebrar esse bloqueio e ter sucesso com alunos que passaram por essa experiência. Os estudantes não devem ter medo de experimentar, conjecturar e testar, mesmo que isso leve a um erro inicial. Localizar e compreender o motivo do erro muitas vezes ajuda a compreensão. A sugestão é valorizar o que foi feito corretamente, deixando que o aluno descubra seu próprio erro e aprenda com ele. Algo como: “Você começou bem, esta parte está correta, mas, acompanhe comigo: o que você observa nesta etapa da resolução? Será que juntos podemos chegar à resposta correta?”. • Ajude na medida certa e permita que seus alunos “aprendam a aprender” Ajude seusque alunos. Que da nãoresolução seja muito senão não haverá progresso. Quedeve nãoser seja demais, para o mérito sejapouco, dele. George Polya diz que o professor “uma espécie de parteira espiritual”, que dá a oportunidade ao aluno de descobrir coisas, fazer conjecturas e construir seu conhecimento. Você deve dar ao aluno não apenas informações, mas, principalmente, deve desenvolver nele atitudes que permitam a continuidade de seu aprendizado pelo resto da vida, gerando o gosto pela investigação, a criação de hábitos de estudo, a autoconfiança e a disciplina. George Polya acrescenta: “A maneira como você ensina pode ser mais importante nas aulas de Matemática do que aquilo que você ensina”.
George Polya (1887-1985) nasceu em Budapeste, Hungria. Foi professor em Zurique durante 26 anos e depois em Stanford, Estados Unidos, onde se aposentou em A arteo de resolver problemas é uma referência para os professores de 1953. Seu livro Matemática de todo mundo.
O artigo de George Polya a que nos referimos pode ser lido na íntegra na Revista do Professor de Matemática, n. 10, 1987.
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4.2 Matemática e resolução de problemas A resolução de problemas não é de domínio exclusivo da Matemática. Lidamos com problemas pessoais, profissionais e sociais todo o tempo: decidir os componentes de um cardápio, optar por um produto no supermercado, financiar um automóvel e escolher um candidato em quem votar são exemplos de situações-problema presentes no cotidiano. Podemos dizer que resolver problemas é inerente ao ser humano e, portanto, desenvolver capacidades nessa área é fundamental para todos. Consideramos que a capacidade de resolver problemas implica ser capaz de mobilizar conhecimentos, organizá-los, planejar estratégias de resolução, executá-las e verificar se a solução é adequada. Dentre as diversas ciências, a Matemática, por sua estrutura e características, é a que mais propicia o desenvolvimento da capacidade de resolver alguns tipos de problemas nos estudantes. Os problemas, tanto práticos como teóricos, permeiam por completo a Matemática, o que permite gerar, desenvolver e exercitar habilidades na resolução de problemas. Muitas pessoas, na vida adulta, podem não lembrar como utilizar uma propriedade específica descoberta em Geometria ou o processo de resolução de uma equação do 2 o grau aprendido em seus tempos de adolescente. No entanto, o aprendizado em Matemática contribui (ou deve contribuir) para que o indivíduo desenvolva estruturas de pensamento que lhe permitam, na vida adulta, resolver situações diversas. Por essa razão, você deve aplicar-se na tarefa de fazer com que seus alunos tornem-se capazes de resolver problemas. O processo é longo, requer paciência e preparo, pois certamente deve estender-se por todos os anos do Ensino Fundamental e Médio. A resolução de problemas envolve operações mentais. Algumas delas são mais frequentes e típicas desse processo. Estudiosos como George Polya e Wayne Wickelgren buscaram entender melhor essas operações e apresentaram sugestões ou estratégias que podem ajudar os estudantes (e nós, professores) a melhorar suas habilidades na resolução de problemas. Veja-as de forma simplificada:
Passo 1: Analisar e entender o problema Estratégias: • Identificar e escrever dados: o que se tem, o que se quer descobrir. Desenhar esquemas, diagramas e tabelas que ajudem a representar a situação. • Examinar casos particulares que exemplifiquem o problema.
Passo 2: Imaginar e planejar a resolução Estratégias: • Planejar a resolução passo a passo, hierarquicamente, sendo capaz de explicar, em qualquer momento da resolução, o que está fazendo e por quê. • Mobilizar conhecimentos, conjecturar, avaliar estratégias, estimar a solução. • Tentar encontrar um problema de forma, dados ou conclusões similares com menor complexidade. • Decompor o problema, trabalhando nele parte por parte. • Explorar o papel de uma variável ou condicionante, deixando o resto fixo. MANUAL DO PROFESSOR
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• Procurar reformular o problema: a) mudando a perspectiva de leitura ou a forma de notação; b) usando a argumentação por contradição; c) assumindo uma solução particular e descobrindo que características essa solução possui.
Passo 3: Implementar a estratégia e chegar à solução Passo 4: Fazer um retrospecto da resolução, avaliando o caminho escolhido e a possibilidade de usar outra estratégia. Verificar se a resposta se ajusta ao contexto do problema. Você pode ajudar o aluno em todos os passos, mediando as ações, por meio de perguntas como: “O que “Quais queremos ou mostrar nessavocê situação?”, “Quais as informações de que dispomos?”, delasdescobrir são relevantes?”, “Como sugere que encaminhemos a solução?”, “Que conhecimentos utilizaremos nessa estratégia?”, “Alguém tem outras propostas?”, “A resposta que encontramos satisfaz o problema?”. Essas orientações podem parecer óbvias, triviais e já devem fazer parte de sua prática em sala de aula. No entanto, a simplicidade não lhes tira a importância. Seu trabalho constante é crucial para que o aluno adquira o hábito do pensamento metódico, que lhe será valioso, seja qual for seu campo de atuação no futuro.
“A Matemática não é um esporte para expectadores... Não existe método de ensino que seja indiscutivelmente o melhor, como não existe a melhor interpretação de uma sonata de Beethoven. E a primeiríssima coisa, quando se trata de ajudar o aluno, é não ajudá-lo demais.” George Polya
4.2.1 Os vários tipos de problema: uma possível classificação No livro A resolução de problemas na Matemática escolar (veja referência no final do texto) há um artigo escrito por Thomas Butts, da Case Western Reserve University, situada em Cleveland, EUA. Embora escrito com foco no sistema escolar norte-americano, o autor traz uma proposta interessante de classificação de problemas que resumiremos aqui. São ideias que podem ajudá-lo a organizar melhor, e a diversificar, as atividades propostas em aula e nas avaliações. Butts separa os problemas matemáticos em cinco tipos: 1. exercícios de reconhecimento; 2. exercícios algorítmicos; 3. problemas de aplicação; 4. problemas de pesquisa aberta; 5. situações-problema. Acompanhe a descrição de cada tipo, com exemplos adequados a nosso sistema educacional. 22
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1. Exercícios de reconhecimento Como o nome já diz, têm por objetivo verificar um conceito, uma propriedade. O autor recomenda que se use nesse tipo de exercício enunciados como “Dê um exemplo”. Questões da forma “Verdadeiro ou Falso” também são eficientes. Exemplos: a) Quais das seguintes equações são do 2o grau? • 2x 5 0 • x2 x4 18 • 3x 2 5x 2 Etc. b) Verdadeiro ou falso? • Todo paralelogramo é um retângulo. • O quadrado é um paralelogramo. Etc. c) Dê exemplo de um número racional compreendido entre 2,13 e 2,14. 2. Exercícios algorítmicos Verificam a habilidade no uso de algoritmos, procedimentos algébricos e técnicas. Exemplos: a) Calcule 15 2(141 : 3 7). b) Coloque o fator comum em evidência na expressão 6ay 2az. Esses exercícios são importantes para que o aluno adquira mais agilidade no uso das ferramentas de cálculo. No entanto, devem ser dosados, de forma a não desmotivar os alunos, e apresentados, sempre que possível, de forma criativa. O autor do texto coloca muito bem esta questão: ”A habilidade para fazer cálculos, em seu sentido mais amplo, requer exercício e prática. O desafio é torná-la interessante”. Os quadrados mágicos seriam um bom exemplo de exercício de cálculo. 3
10
86 7
2
5
10
4
37
9
8
5
6 11
9
4
A inversão de sentido também é uma estratégia: “Desenhe dois retângulos diferentes que tenham área 24 cm2”, por exemplo.
3. Problemas de aplicação São os que envolvem leitura e interpretação de dados, tradução do problema para a linguagem matemática e aplicação de procedimentos e algoritmos que levem à solução. Os problemas contextualizados são importantes nessa categoria. O autor lembra que a contextualização deve ser feita com cuidado para não criar situações artificiais. A sugestão é criar problemas com base no contexto dos próprios alunos. MANUAL DO PROFESSOR
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Exemplos:
a) (CEETPS-SP) Uma empresa operadora de telefones oferece dois planos, A e B, de acordo com a tabela:
Plano
Assinatura mensal (R$)
Ligações locais (R$/minuto)
A
37,24
0,42
B
pré-pago
1,40
Após quantos minutos de ligação o valor a pagar é o mesmo nos dois planos?
b) (CEETPS-SP) A medida da diagonal da tela de uma televisão determina as polegadas da TV. Uma televisão cuja tela mede 30 cm 40 cm possui: • 16 polegadas. • 20 polegadas. • 18 polegadas. • 29 polegadas. Lembrete: 1 polegada 2,5 cm
4. Problemas de pesquisa aberta De acordo com o artigo, a função mais importante dos problemas de pesquisa aberta é incentivar a habilidade de conjectura. Em geral, o enunciado desses problemas envolve comandos do tipo: “Descubra quais”, “Mostre que”, “Encontre os valores possíveis”. Exemplos:
a) Existe um triângulo que tenha: • dois ângulos retos? • dois ângulos obtusos? • um ângulo reto e um obtuso? Justifique suas respostas. b) Descubra dois números irracionais tais que seu produto seja um número racional.
5. Situações-problema Não são problemas propriamente ditos, mas situações mais amplas, que devem ser analisadas e enfrentadas, buscando uma solução ou rumos de encaminhamento. Exemplo: Num terreno retangular, de 15 m de frente e 30 m de fundos, pretende-se construir uma casa térrea que será habitada por uma família com 4 pessoas: casal e dois filhos adolescentes. Junte-se a um colega para desenhar uma sugestão de planta baixa para essa construção. Vocês serão os arquitetos. Fiquem atentos às observações a seguir: 24
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• Pesquisem a porcentagem de terreno que pode ser ocupada e os recuos exigidos por lei. • A casa deve ter sala, cozinha, 3 quartos com banheiro, lavabo, escritório, varanda e garagem para dois carros. • A cozinha e os quartos não devem ter porta de comunicação direta com a sala. Repare que a proposta envolve várias questões, imbricadas todas na situação srcinal. Fonte de pesquisa: KRULIK, Stephen; REYS, Robert E. (Orgs.). A resolução de problemas na Matemática escolar. São Paulo: Atual, 1997.
4.2.2 Dois tempos e modos de ensinar a Aritmética O artigo a seguir, publicado naRevista História & Educação Matemática, de autoria da professora Maria Laura Magalhães Gomes, aborda o ensino da operação de adição em períodos e contextos históricos diferentes por dois autores de livros didáticos. Consideramos o texto interessante para mostrar que a forma de ensinar Matemática se modifica ao longo do tempo. Se nossos avós aprenderam muitas das coisas que aprendemos hoje, eles podem ter aprendido essas coisas de modo diferente... “O objetivo deste artigo é analisar dois excertos de obras do passado escritas com o propósito de ensinar aritmética. Fazemos uma primeira leitura comparativa desses textos, do ponto de vista do conteúdo matemático que abordam, sem levar em consideração quem os escreveu, a quem se destinavam, em que lugar e condições históricas foram produzidos. Em seguida, identificando todos esses aspectos, realizamos uma leitura contextualizada dos mesmos escritos para compreender suas características de maneira mais profunda e completa.
Dois modos Os trechos que se vão ler a seguirreproduzem a introdução da operação de adição de números naturais em dois livros-texto de aritmética escritos por autores de períodos históricos diferentes.
Primeiro Autor: Para compreender a segunda operação, a adição, é necessário saber que ela é a união de vários números, pelo menos de dois, de modo que possamos conhecer a soma resultante desse acréscimo. Deve também ser entendido que na operação de adição, pelo menos dois números são necessários, a saber, o número ao qual adicionamos o outro, que deve ser o maior, e o número a ser adicionado, que deve ser o menor. Assim, sempre adicionamos o menor número ao maior, o que é um plano mais conveniente do que seguir a ordem contrária, embora esta última seja possível, sendo o resultado o mesmo em qualquer caso. Por exemplo, se adicionarmos 2 a 8, a soma é 10, e o mesmo resultado é obtido somando 8 a 2. Portanto, se desejamos somar um número a outro, escrevemos o maior em cima e o menor embaixo, colocando os algarismos na ordem conveniente, isto é, as unidades sob as unidades, dezenas sob dezenas, centenas sob centenas etc. Sempre começamos a somar com a ordem mais baixa, a qual é de menor valor. Assim, se queremos somar 38 a 59, escrevemos os números assim: 5 9
Soma
3 8 9 7
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Dizemos então: ‘8 e 9 fazem 17’, escrevendo 7 na coluna que foi somada, e carregando o 1 (pois quando há dois algarismos em um lugar, sempre escrevemos o de ordem mais baixa e carregamos o outro para o lugar seguinte de ordem mais alta). Este 1 nós agora somamos a 3, fazendo 4, e este a 5, fazendo 9, que é escrito na coluna da qual veio. Os dois números juntos fazem 97. Segundo Autor:
...suponha que você conheça dois números, e deseje ou tenha necessidade de ter a sua soma, de conhecer o número que se pode formar juntando um ao outro – o número total de coisas que você sabe existir de uma vez, primeiro em um desses números, em seguida no outro desses números. Suponha, por exemplo, que você tenha 13 coisas em um lugar, e 26 em um outro, e que queira saber quantas tem ao todo, e, para isso, tomar a soma desses dois números, juntar 26 e 13. Você vê, à primeira olhadela, que 13 é 1 dezena e 3 unidades: que 26 é 2 dezenas e 6 unidades; você sabe que 3 unidades e 6 unidades são 9 unidades; que 1 dezena e 2 dezenas são 3 dezenas; os dois números encerram, portanto, 9 unidades e 3 dezenas; sua soma é, pois, 39. Quaisquer que sejam os doi s números, você pode usar o mesmo meio, e conhecendo a soma das unidades, das dezenas, das centenas que os dois números contêm, você conhecerá sua soma. Suponha, por exemplo, que você queira juntar 1 35 a 643, ou 2 345 a 3 621. Você verá que os dois primeiros números reunidos encerram oito unidades, sete dezenas e sete centenas; sua soma será 778. Você verá que os dois segundos números reunidos contêm seis unidades, seis dezenas, nove centenas e cinco milhares; sua soma será, portanto, 5 966. Se juntasse assim, um ao outro, números compostos de um número maior de algarismos, você perceberia logo que a necessidade de conser var na memória a soma das unidades, das dezenas, das centenas quando tiver chegado aos milhares, por exemplo, exige uma atenção fatigante, e que se ela lhe faltar, você será obrigado a recomeçar a operação. Mas para fazê-la mais facilmente, você só tem que escrever um sob o outro os números que quer juntar, colocando as unidades embaixo das un idades, as dezenas embaixo das dezenas, as centenas em baixo das centenas. Você dirá em seguida: 5 e 3 são oito, escrevo 8; 3 e 4 são 7, escrevo 7; 1 e 6 são 7, escrevo 7; a soma é, então, 778. 135 mais 643 igualam 778. Da mesma forma, você dirá: 5 e 1 são 6, escrevo 6; 4 e 2 são 6, escrevo 6; 3 e 6 são 9, escrevo 9; 2 e 3 são 5, escrevo 5. A soma é, portanto, 5 966; 2 345 mais 3 621 igualam 5 966. Fórmula da operação
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1 3 5 6 4 3
2 3 4 5 3 6 2 1
7 7 8
5966
Uma leitura comparativa Podemos observar que ambos os autores focalizam o mesmo algoritmo da adição de dois números – aquele que é ensinado na escola básica até os dias de hoje. O que podemos notar nos dois textos, além do fato de o segundo ser mais extenso que o primeiro? Certamente percebemos logo que o Primeiro Autor aborda mais diretamente o tema, nomeando imediatamente uma operação a ser ensinada, a adição, sem referir-se a qualquer motivação para efetuar essa operação. O Segundo Autor, por sua vez, não manifesta de início qualquer interesse em dar um nome a uma operação a ser feita, preocupando-se, em contrapartida, em apelar para o desejo ou a necessidade de seu leitor de conhecer o número que se pode formar juntando dois outros. Seguindo os dois excertos, verificamos que o Primeiro A utor (embora não explique a razão disso) procura deixar claro ao leitor que ao adicionar dois números, é mais conveniente somar o menor número ao maior, apesar de o resultado ser o mesmo se for seguida a ordem oposta a essa. Assim, o Primeiro Autor instrui diretamente o aprendiz no sentido de escrever o maior número em cima, e o menor número embaixo dele, colocando os algarismos na ordem conveniente, isto é, as unidades sob as unidades, dezenas sob dezenas, centenas sob centenas etc.
O Segundo Autor não tem qualquer preocupação em fixar uma ordem para a escrita dos números a serem somados, mas faz questão de, em três exemplos, chamar a atenção do leitor para a maneira como são formados os pares de números que se devem somar – tantas unidades, dezenas e centenas, sendo cada ordem da soma o resultado de juntar as ordens que compõem os números. Mais: ele diz explicitamente que esse procedimento é o que servirá para encontrar a soma de dois números quaisquer. É somente depois dessas considerações que o Segundo Autor alerta o leitor para a atenção fatigante que lhe seria exigida caso tivesse de conservar na memória a soma das uni dades, das dezenas, das centenas , atenção essa que cresceria com o crescimento dos números a serem juntados. Dessa maneira, o Segundo Autor mostra ao seu leitor que seria interessante buscar um procedimento para aliviar o esforço requerido e então, sim, ele se refere a colocar unidades embaixo de unidades, dezenas embaixo de dezenas, centenas embaixo de centenas. Após a descrição desse procedimento por meio de palavras para dois exemplos, o Segundo Autor apresenta ao leitor o que denomina de Fórmula da operação . Aí é que aparecem armadas e efetuadas as duas adições, nas quais podemos notar a presença dos símbolos '’ e '’, bem como a de um traço que separa os números a serem adicionados de sua soma. Por outro lado, voltando ao escrito do Primeiro Autor, percebemos que o seu primeiro exemplo uso do algoritmo danúmero adição que, como vimos, é introduzido estilo somar um a outro, escrevemos o maior em no cima e o ‘faça menordeste emmodo’ (sededesejamos baixo, colocando os algarismos na ordem conveniente, isto é, as unidades sob as unidades, dezenas sob dezenas, centenas sob centenas etc. Sempre começamos a somar com a ordem mais baixa, a qual é de menor valor), é de uma ‘adição com reserva’ ou ‘com transporte’:
59 38. Essa adição aparece armada como foi indicado ao leitor, acompanhada do resulta-
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do, 97, sem os símbolos '’ e ‘’ e sem um traço separando o total (identificado pela palavra Soma ) das parcelas. Só em seguida vem a explicação do que foi feito, com a instrução de “carregar o 1” que veio do 17 (soma de 9 e 8), visto que quando há dois algarismos em um lugar, sempre escrevemos o de ordem mais baixa e carregamos o outro para o lug ar seguinte de ordem mais alta. O Primeiro Autor não esclarece o porquê desse procedimento, e na con-
tinuação do texto aqui reproduzido focaliza a ‘prova dos noves’ para a operação que acabou de ser efetuada. Depois disso, ele prossegue apresentando mais dois exemplos de adições (1 916 816 e 45 318 2 732) no mesmo estilo do exemplo mostrado no trecho transcrito. O Segundo Autor também aborda a ‘adição com reserva’ no prosseguimento do excerto que apresentamos. Contudo, ele o faz depois dos três exemplos ‘sem reserva’ que mostramos, e de maneira bastante diferente, como vamos descrever a seguir. A adição escolhida para ilustrar a ‘reserva’ é 18
1 2 1 3
8 5 3 0
25, e é calculada em duas etapas:’’
1 3 3 0 4 3
Vem então uma explicação de como reduzir, por comodidade, as duas operações a uma: ... para isso, você notará que depois de ter dito 8 e 5 são 13, não tem mais unidades a considerar: você escreve então 3 unidades; mas você tem ainda dezenas: você não escreverá esta dezena que obteve juntando 8 a 5, po rém (você se lembrará dela) a guardará: dirá, então, 8 e 5 são 13, escrevo 3 e guardo 1 dezena; 1dezena que guardei e 1 dezena são 2, e 2 outras são 4, e escreverá 4 dezenas.
E só então aparece
1 8 2 5 4 3
O exame dos dois textos mostra, portanto, claramente, dois modos distintos para ensinar o algoritmo da adição de dois números naturais. Comparando esses dois modos, pudemos notar que eles se distinguem essencialmente porque: – o primeiro apresenta ao aprendiz instruções diretas de como proceder para efetuar a operação, sem a preocupação de esclarecer a razão dos procedimentos aí envolvidos; – o segundo se caracteriza por uma tentativa de dialogar com o leitor de maneira a convencê-lo da necessidade dos procedimentos mostrados para facilitar uma tarefa e mais, por buscar explicar os motivos de cada um dos passos executados nas adições. Até aqui fizemos a leitura e a análise dos dois textos de forma isolada do contexto sócio-histórico em que foram produzidos, desconhecendo apenas seus autores e a época em que foram escritos, mas também as finalidades e o público a quem se destinaram. Vamos agora examinar esses aspectos para tentar interpretar à sua luz, as marcas dos novos modos de ensinar a adição.
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Dois tempos Comecemos por identificar os livros dos quais foram extraídos os excertos em foco. O primeiro texto faz parte da Aritmética de Treviso , obra de autor anônimo publicada em 1478 – trata-se não somente de um incunábulo, isto é, de uma publicação do século da invenção da imprensa, mas do primeiro texto impresso de Matemática. O livro, que não tem um título próprio, é uma aritmética comercial, ou seja, um texto que se propõe a recordar os conhecimentos relevantes para o exercício dos negócios, especialmente em Treviso e Veneza. É importante situar Veneza no cenário do mundo do século XV: a cidade tinha, nesse período, se transformado no principal centro comercial da Europa e ao mesmo tempo em uma das cidades mais ricas do planeta então conhecido. Era ainda um centro de ensino e difusão da arte mercantil ao qual acorriam mercadores do norte, particularmente das cidades alemãs, para estudar as práticas de comércio da aritmética comercial e a troca de moedas. Uma habilidade básica que esses visitantes esperavam adquirir era certamente a proficiência em métodos da aritmética comercial italiana, a qual havia se desenvolvido cedo em decorrência do fato de os italianos em geral e os venezianos em particular terem logo compreendido a importância do uso da aritmética em suas transações diárias a partir de seu contato com o sistema indo-arábico de numeração em suas relações comerciais em torno do Mediterrâneo. A Aritmética de Treviso é escrita no dialeto veneziano, o que caracteriza uma intenção de comunicar conhecimentos a um público amplo, evento possibilitado pela invenção da imprensa. É, portanto, um texto importante por integrar o movimento da eliminação do monopólio do conhecimento por parte das classes mais elevadas socialmente (que tinham acesso aos estudos nas universidades, onde a língua usada era o latim) e da consequente ascensão de uma classe média a partir da aceleração das atividades de comércio. Avalia-se terem sido impressas trinta aritméticas práticas entre o início da imprensa na Europa e o final do século XV. Dessas, mais da metade era escrita em latim, sete em italiano, quatro em alemão e uma em francês. A crescente publicação de textos impressos em vernáculo está associada a uma mudança da Matemática, do domínio da especulação escolástica para as aplicações das manufaturas e do mercado. O ambiente histórico ao qual pertence o nosso Primeiro Autor, portanto, é o do início da Idade Moderna, no qual o desenvolvimento do comércio faz nascer o capitalismo mercantil. Culturalmente, estamos em um contexto marcado pelo florescimento das artes e pelas mudanças na orientação das ciências – é a época do Renascimento. Na Europa do século XV, tempo em que escreveu o Primeiro Autor, uma parte importante da educação matemática consiste no ensino e na aprendizagem da aritmética comercial. A escola em que tem lugar essa parte não é a universidade, mas a escola mantida pelos mestres de cálculo, a qual é frequentada pelos filhos de funcionários públicos ou de mercadores, com idades entre 12 e 16 anos. Embora a autoria da Aritmética de Treviso não seja conhecida, as palavras iniciais do texto revelam que seu autor é um desses mestres de cálculo, que se dedica, a pedido de estudantes que desejam aprender a aritmética para seguir a carreira comercial, a colocar por
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escrito os princípios fundamentais da aritmética, comumente chamada ábaco (Swetz, 1989,
p. 40). O livro é um algorismo, isto é, um tratado dedicado a explicar o uso dos símbolos indo-arábicos. Porém, trata-se de um tipo especial de algorismo – uma Practica – por apresentar situações-problema ligadas aos negócios e ao comércio. É importante referir-nos aqui ao estado de aceitação do sistema de numeração indo-arábico, à época dessa Practica . Ainda que tal sistema já fosse conhecido na Europa desde aproximadamente o ano 1000, ele ainda não tinha sido adotado universalmente. No início do século XV, a Itália estava à frente do resto do continente europeu no uso dos novos símbolos para registros e cálculos – a forma física dos algarismos no livro de Treviso já é a atual, o que não acontecia nos outros países. Assim, os conhecimentos da obra eram ainda pouco difundidos no tempo de sua publicação. Como observamos anteriormente, o Primeiro A utor não usa os símbolos ' ’ e '’. Segundo Boyer (1996), o mais antigo aparecimento do sinal ' ’ ocorreu em 1489, na aritmética comercial de Johann Widman, enquanto o sinal ' ’ foi registrado pela primeira vez em 1557, em um livro de Robert Recorde (1510-1558). Portanto esses símbolos, que o Segundo Autor usa com naturalidade, só foram incorporados aos textos matemáticos depois da publicação do primeiro texto que analisamos que, lembremos, data de 1478. Retomemos agora outros comentários tecidos na seção anterior deste texto, levando em conta o que acaba de ser exposto. Pudemos constatar que o Primeiro Autor introduz de forma um tanto rápida a adição, sem uma tabela com os chamados ‘fatos fundamentais’ e usando como primeiro exemplo uma operação ‘com reserva’. Swetz (1989) informa que os primeiros autores de aritmética essas tabelasdeemcálculo seus livros, também atribui essa abordagem ao fatoraramente de que osincluíam alunos dos mestres eram mas adolescentes que já tinham experimentado alguma educação básica na qual haviam aprendido a ler e estudado os ‘fatos fundamentais’ da adição e da multiplicação. Comentamos também a posição do Primeiro Autor em relação à ordem a ser adotada na escrita das parcelas da adição: o número maior em cima, e o menor embaixo dele. Possivelmente essa recomendação se srcina da incorporação de uma prática herdada do uso do ábaco. Quanto à instrução ao estudante no sentido de, quando a soma dos números em uma coluna exceder 10, escrever o algarismo da ordem menor e carregar o algarismo da ordem seguinte para a próxima coluna, Swetz comenta: Claramente, o conceito físico de ‘carregar’ ( portare ) um número para a coluna seguinte deve sua srcem ao ábaco, no qual um excesso de fichas em uma coluna ou linha requereria uma transferência física ou carregamento de fichas para uma posição de ordem superior. Nessa aritmética, o número carregado é somado ao algarismo que está na posição mais embaixo na coluna adjacente à esquerda, na qual a adição começa novamente de baixo para cima. Nem todos os autores antigos usam esse formato: alguns efetuam a adição da esquerda para a direita e escrevem a soma em cima ou ao lado da fileira das parcelas. (Swetz,
1989, p. 188-189) 30
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O que podemos notar, então, é que, conquanto o algoritmo seja o mesmo que conhecemos e usamos até hoje, a exposição do Primeiro A utor é portadora de sinais característicos claros das práticas abacistas, ainda muito frequentes no século XV. Para concluir estas considerações contextualizadas em relação ao texto do Primeiro Au tor, resta-nos focalizar o seu estilo conciso, marcado pelo ‘Faça desta maneira’, que mostra a concepção metodológica clara do ‘aprender fazendo’, sem a explicitação das razões dos procedimentos. Tal característica não é exclusiva da Aritmética de Treviso , e está presente também em muitos outros autores antigos de aritméticas. Esse enfoque, evidentemente, gasta menos palavras – pudemos notar que o texto do Primeiro Autor é menos extenso do que o do Segundo Autor. Por outro lado, a brevidade do texto está associada ainda ao fator econômico, uma vez que a impressão era dispendiosa e que havia dificuldades específicas na confecção de textos matemáticos. Uma outra explicação para o estilo sucinto estaria no fato de o livro ter sido planejado para ser usado sob a orientação de um mestre de cálculo, ou então em uma autoinstrução aplicada, na qual o leitor teria de se esforçar realizando um trabalho suplementar para chegar a uma compreensão mais completa do material exposto na obra. O autor não teria, pois, a intenção de escrever um texto abrangente, completo: o livro de Treviso não é uma obra teórica sobre aritmética, à maneira dos acadêmicos da época que se expressavam em latim. É, sim, um livro no qual se aprendiam conhecimentos matemáticos – os símbolos e técnicas da aritmética e os métodos do cálculo comercial, e se desenvolvia alguma apreciação sobre as aplicações dessa matemática. Finalmente, o trecho comentado neste artigo integra a discussão realizada pelo Primeiro Autor sobre as cinco operações essenciais para o aprendizado dos métodos aritméticos comerciais – trata-se da parte voltada fundamentalmente para preparar os estudantes para resolver problemas comerciais nas ocupações mercantis – são esses problemas que tomam o maior número de páginas do livro e, portanto, constituem seu objeto principal. O acento da Aritmética de Treviso cai, assim, não no aprendizado fundamentado das técnicas do cálculo aritmético, mas na aquisição de familiaridade com as mesmas como requisito básico para o domínio das aplicações demandadas no quotidiano mercantil. Em outras palavras, e usando uma metáfora muito comum, os algoritmos da adição, da subtração, da multiplicação e da divisão constituem a entrada, não o prato principal do livro renascentist a. Passemos a abordar novamente o trabalho do Segundo Autor. Mais de trezentos anos separam os dois textos de aritmética que estamos analisando, pois o nosso Segundo Autor, o marquês de Condorcet, escreveu a sua Aritmética, livro de onde extraímos o trecho inicial da Quarta Lição, em 1794. Esse tratado inacabado devido à morte de seu autor, quando fugia da perseguição do governo do Terror durante a Revolução Francesa, é um manual didático redigido com a intenção de participar de um concurso promovido por esse mesmo governo para selecionar os livros elementares a serem usados na instrução pública. A realização do concurso resultava de um aspecto característico da política educacional da França revolucionária – a composição de livros didáticos destinados a todo o país como praticamente o único meio de efetuar reformas no ensino. (Schubring, 1989).
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Devemos enfatizar que o próprio Condorcet foi o responsável por um importante projeto para o ensino no qual eram propostas a elaboração desses livros elementares e a escolha dos manuais a serem financiados pela república por meio de um concurso público. Na verdade, a situação da França do Antigo Regime era completamente ineficiente em relação à escolarização, num momento em que o país precisava de uma mão de obra mais preparada considerando-se seu contexto socioeconômico. Furet e Ozouf (1977) descrevem o quadro da instrução nesse período dizendo que somente após alguns anos passados na aprendizagem da leitura e da escrita, poucos estudantes – aqueles de melhor condição material – tinham acesso aos rudimentos da aritmética. E essa educação precária ainda se mantinha sob o controle direto e constante da Igreja; na convocação dos Estados Gerais, em 1789, apresentaram-se vigorosas reivindicações quanto à instrução da população. Com a Revolução, tomaram-se medidas contra o clero que levaram ao fechamento de muitas escolas católicas, e transferiu-se para os poderes civis a supervisão da educação pública. Propuseram-se, então, vários planos para essa educação entre os quais o de nosso Segundo Autor. Historicamente, assim, o segundo texto aqui focalizado insere-se no começo da Idade Contemporânea, no momento em que a burguesia, cuja visão de mundo abraçava fundamentalmente o Liberalismo com seus princípios básicos de liberdade, individualismo, igualdade, propriedade, democracia, obtinha seus primeiros triunfos. O interesse dos governos revolucionários franceses pela instrução pública – uma concessão ao povo que apoiava tal burguesia – está fortemente ligado ao programa de hegemonia dessa classe. No entanto, os estudos de Condorcet acerca da educação começaram bem antes dos acontecimentos revolucionários, e ele integra a face mais democrática dentre os autores de planos de educação pública da Revolução (Lopes, 1981). Na Primeira M emória sobre a Instrução Pública, em 1790, escreve: A sociedade deve ao povo uma instrução pública como meio de tornar real a igualdade de direitos . Afirmando a existência de uma desigualdade natural entre os homens, acrescenta que para garantir a igualdade de direitos prevista na lei, é suficiente que cada indivíduo seja instruído de forma a não depender daqueles que possuem conhecimentos que ele não tem. Entre esses conhecimentos comparece a aritmética: ... (aquele) que ignora a aritmética depende realmente do homem mais instruído, ao qual é obrigado a recorrer incessantemente. Ele não é igual àqueles a quem a educação deu esses conhecimentos. Ele não pode exercer os mesmos direitos com a mesma extensão e a mesma independência... Mas o homem que sabe as regras da aritmética, necessárias para os usos da vida, não está na dependência do sábio, que possui no mais alto grau o gênio das ciências matemáticas, e cujo talento lhe será de uma utilidade muito real, sem jamais poder impedi-lo do gozo de seus direitos... (Condorcet, apud Buisson, 1929, p. 56).
A visão de nosso Segundo Autor contempla, pois, a instrução em geral e o ensino da aritmética em particular como uma contribuição indispensável no sentido de tornar real a igualdade de direitos entre os cidadãos proclamada pela lei, devendo o primeiro grau de ensino previsto em seu projeto de instrução pública (Condorcet, 1997) ser acessível a todos 32
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os franceses. Dessa forma, a aritmética de seu livro elementar deveria ser ensinada a todas as crianças na escola primária. Segundo Schubring (1989), todavia, não se tem qualquer informação sobre a utilização efetiva do manual, cujo uso nas escolas primárias foi autorizado pelo Estado cinco anos após a morte de seu autor. Como pudemos notar no trecho referente ao algoritmo da adição reproduzido neste texto, a concepção metodológica de Condorcet envolve necessariamente a compreensão dos procedimentos a partir das propriedades do sistema de numeração decimal e, por isso, ele gasta mais espaço em sua abordagem do que o autor da Aritmética de Treviso para tratar do mesmo assunto. A forma escolhida para a apresentação dos algoritmos das demais operações também compreende muitas palavras, pouca formalização matemática, e nenhuma ilustração, o que reflete a época do manual (Picard, 1989), em que, devemos recordar, a imprensa já avançou muito desde o final de século XV, tempo do Primeiro Autor. A motivação para os algoritmos e a preocupação patente em tornar claras as razões de tudo o que é feito estão presentes não apenas no trecho que analisamos, mas em todo o livro. Condorcet manifesta seu ponto de vista a respeito disso no prefácio: Pareceu-me que em geral nada se deveria ensinar às crianças sem lhes ter explicado e feito sentir os motivos. Esse princípio me parece essencial na instrução, mas eu o creio muito vantajoso sobretudo em aritmética e geometria. Assim, os elementos dessas ciências não devem apenas ter como objetivo preparar as crianças para executar seguramente e facilmente em seguida os cálculos dos quais podem ter necessidade, mas devem ainda lhes mostrar elementos de lógica, e servir para desenvolver nelas a faculdade de analisar suas ideias, de raciocinar com justeza.” (Condorcet, 1989, p. 19)
Assim, nosso Segundo Autor embora tenha, como o Primeiro A utor, o propósito do domínio das técnicas operatórias pelos estudantes, não deseja nem crê que tal domínio ocorra por meio da repetição e da memorização mecânicas: acredita na potencialidade da educação aritmética de desenvolver as faculdades intelectuais dos alunos, desde que seja realizada com ênfase na compreensão. Uma característica do manual que não podemos deixar de mencionar é o fato de conter, após o texto para o estudo dos alunos, orientações aos professores, específicas para cada uma das lições que é apresentada. Especificamente quanto ao algoritmo da adição, focalizado neste artigo, ele recomenda que o mestre trabalhe muitos exemplos com os estudantes, mas que cuide para que eles se tornem autônomos, a fim de que não adquiram o hábito de repetir as palavras ‘escrevo’, ‘guardo’, sem reflexão, e por meio de uma memória por assim dizer automática. (Condorcet, 1989, p. 120)
A leitura comparativa dos dois trechos referentes à adição de números naturais mostrou-nos diferenças claras, as quais tentamos, inicialmente, destacar mediante um enfoque interno ao conteúdo dos textos. Em seguida, no que acabamos de expor, procuramos situar esses textos quanto ao entorno de sua produção a fim de enxergar, sob outro prisma, essas diferenças. Os dois modos de ensinar a aritmética ganham significação em dois tempos: dois contextos históricos distintos de educação matemática.
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Dois modos em dois tempos: comentários finais
Na leitura dos textos didáticos aqui focalizados, colocamo s em evidência uma dicotomia entre um modo que poderíamos denominar ‘aprender fazendo’, predominante no trabalho do Primeiro Autor, um mestre de cálculo da república de Veneza no século XV, e um outro modo que batizaríamos como ‘aprender compreendendo’, indispensável no escrito do Segundo Autor, um filósofo francês do Século das Luzes. É claro, como tentamos mostrar, que essas expressões pelas quais estamos chamando em dois estilos, ainda que traduzam a essência de duas concepções metodológicas, são insuficientes para revelar todos os aspectos envolvidos nas duas célebres aritméticas aqui abordadas. Todavia, essa dicotomização nos serve como ponto de partida para considerar a inadequação e as limitações de uma análise de concepções, materiais e práticas na educação matemática dissociada das muitas variáveis sociais e culturais que sempre a compõem. De fato, ao comparar mediante uma leitura descontextualizada o modo de ensinar do Primeiro Autor – que parece não se preocupar com a compreensão do significado dos procedimentos que vai ditando ao leitor – com o do Segundo Autor que, diferentemente, quer evidenciar a quem o lê os motivos de tudo aquilo que é exposto, não alcançamos uma significação completa de ambos os textos. Certamente vamos simpatizar mais com o Segundo Autor, mais próximo do que concebemos como o tratamento adequado da matemática na escola. Também queremos que os nossos alunos dominem as técnicas do cálculo aritmético entendendo-as e não simplesmente memorizando-as mecanicamente; assim, identificamo-nos mais com a atitude do filósofo iluminista. Defendemos, como Condorcet, que ao lado da dimensão instrumental da matemática escolar esteja sempre presente a dimensão formativa – enfatizamos a contribuição da matemática no desenvolvimento das faculdades do intelecto das crianças, dos adolescentes, dos jovens e adultos. E particularmente em relação à aritmética, no contexto atual em que a destreza no uso dos algoritmos usuais é menos posta em relevo, se incentiva a utilização das calculadoras e se valorizam procedimentos pessoais dos alunos bem como as estimativas e o cálculo mental (Brasil, 1997), o enfoque de nosso Segundo Autor é, sem dúvida, muito pertinente. Contudo, a abordagem do mestre de Treviso, como comenta Swetz (1989), não era somente adequada, mas desejável para as necessidades do século XV, em que um jovem frequentador das escolas de cálculo o fazia por pouco tempo – era uma educação dispendiosa. Esse jovem logo entrava como aprendiz na profissão comercial e continuava a aprender a aritmética de que precisava. Swetz especula que talvez após vários anos de trabalho e associação com outros mestres, um calculador poderia de fato começar a pesquisar os ‘porquês’ da aritmética. A atitudeenciclopédico do Primeiro Autor decorre ainda da inexistência damatemáticas; intenção de escrever um compêndio de conhecimentos mercantis e técnicas como diz o nome usado na época – Practica – seu livro é claramente orientado para objetivos mais imediatos. Assim, se a leitura e a análise dos textos do passado limitar-se a apresentar descrições das abordagens adotadas para os conteúdos matemáticos, provavelmente encontraremos
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vários aspectos curiosos e interessantes, mas teremos uma visão restrita do significado da matemática, da educação matemática e das relações entre elas e as sociedades em que se desenvolveram.”
Referências bibliográficas: BOYER, Charles. História da Matemática . Revista por Uta C. Merzbach. Tradução de Elza F. Gomide. São Paulo: Editora E dgard Blücher, 1996. BRASIL. Secretaria de Educação Fundamental. Parâmetros curriculares nacionais : Matemática. Brasília: MEC/SEF, 1997. BUISSON, Ferdinand. Condorcet . Paris: Librairie Félix Alcan, 1929. CONDORCET, Jean-Antoine-Nicolas Caritat. Réflexions et notes sur l’éducation. A cura di Manuela Albertone. Napoli: Bibliopolis, 1983. . Moyens d’apprendre à compter sûrement et avec facilité, presenté et annoté par Charles Coutel, Nicole Picard et Gert Schubring. Paris: ACL Éditions,1989.
. Informe sobre la organización general de la instrucción pública. In: Bosquejo de un cuadro histórico de los progresos del espíritu humano y otros textos. Tradução de
Francisco González Aramburo. Cidade do México: Fondo de Cultura econômica, 1997. Lire et écrire FURET, François & OZOUF, Jules Ferry. Paris: ÉditionsJoseph. de M inuit, 1977. : l’alphabétisation des français de Calvin à
LOPES, Eliane Marta T. S. Origens da educação pública : A Instrução na Revolução Burguesa do século XVIII. São Paulo: Loyola, 1981. PICARD, Nicole. Notes et commentaires sur les “Moyens ...”. In: CONDORCET, J. A. N. C. Moyens d’apprendre à compter sûrement et avec facilité . Appareil critique – études, notes, commentaires, bibliographie. Paris: ACL Éditions, 1989. SCHUBRING, Gert. Introduction: Um savant des lumières. Un livre élémentaire pour la république. In : CONDORCET, J. A. N. C. Moyens d’apprendre à compter sûrement et avec facilité . Appareil critique – études, notes, commentaires, bibliographie. Paris: ACL Éditions, 1989. of Historical Textbooks in Mathematics . Analysis Pontifícia Universidade C atólica do Rio de Janeiro, 1997. . Lecture Notes. Rio de Janeiro:
SWETZ, Frank J. Capitalism and Arithmetic (second printing). La Salle: Open Court, 1989. GOMES, Maria Laura M agalhães ( Universidade Federal de Minas Gerais (U FMG). Dois tempos e modos de ensinar a aritmética. Revista História & Educação Matemática . Rio Claro: Sociedade Brasileira de História da Matemática, v. 2, n. 2, 2002. p. 173-186.
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4.3 Leitura, escrita e oralidade: competência de todas as áreas Como trabalhar leitura, escrita e oralidade nas aulas de
Matemática?
Essa pergunta está presente no cotidiano tanto de professores que ainda não estão seguros de como desenvolverão essas habilidades quanto daqueles que já têm ações nesse sentido e querem melhorar sua prática. Para focar esse tema, compilamos quatro textos para informação e reflexão. As fontes são variadas: documentos oficiais, artigos de revistas especializadas em educação e contribuições de professores presentes em sites de qualidade especializados em educação matemática. A leitura e a escrita na sala de aula de Matemática tem sido um tema cada vez mais presente nas produções brasileiras na área de Educação Matemática. No ano de 2010 a revista Zetetiké , do CEMPEM – C írculo de Memória e Pesquisa em Educação Matemática, da UNICAMP – dedicou uma edição especial ao tema “Linguagem e Práticas Socioculturais: perspectivas para a Educação Matemática”. Essa edição da revista pode ser acessada integral e gratuitamente no endereço: . Acesso em: mar. de 2012.
Sugestão de atividade contemplando a História da Educação Matemática, leitura, escrita e oralidade Você pode propor que os alunos pesquisem junto aos pais, avós e conhecidos exemplos de experiências escolares antigas relativas à Matemática. Vários conceitos podem ser abordados dessa maneira, dependendo do momento de escolaridade. Por exemplo: “ O que é a Prova dos Noves?”, “ Como se ensinava a tabuada no seu tempo?”, “ O que se aprendia no primário/ secundário em outros tempos?”, “ Como se resolviam os problemas na aula de Matemática?”, “Como eram os livros didáticos?”, entre outras questões nessa direção. Essas experiências devem ser registradas e comunicadas aos demais colegas de classe. Uma atividade dessa natureza pode envolver vários componentes, como Língua Portuguesa e História, e é uma estratégia para desenvolver a escrita, a oralidade e a habilidade de síntese, pois a necessidade de comunicação favorece a compreensão. É preciso organizar claramente as ideias para transmiti-las aos outros colegas. Esse esforço de ultrapassar sua própria compreensão (e suas estratégias para compreende r algo) leva o aluno a refletir sobre o conceito/conteúdo para torná-lo claro aos demais alunos, o que implica aprendizado significativo.
4.3.1 Parágrafo extraído da Proposta de Avaliação, presente no Documento Básico do ENEM – Brasília/2002 “A Matriz de Competências do ENEM pressupõe que a competência de ler, compreender, interpretar e produzir textos, no sentido amplo do termo, não se desenvolve unicamente na aprendizagem da Língua Portuguesa, mas em todas as áreas e disciplinas que estruturam as atividades pedagógicas na escola. O participante deve, portanto, demonstrar , concomitantemente, possuir i nstrumental de comunicação e expressão adequado, tanto para a compreensão de um problema matemático quanto para a descrição de um processo físico, químico ou biológico 36
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e, mesmo, para a percepção das transformações de espaço/tempo da história, da geografia e da literatura.”
4.3.2 A leitura, a escrita e a oralidade em Matemática Como ficou explicitado acima, formar um aluno competente em leitura, interpretação e escrita não é responsabilidade somente do professor de Língua Portuguesa. Cada tipo de texto, romance, poema, notícia de jornal, texto científico, manual de instruções, relatório, enfim, tem características próprias e requer habilidades leitoras diferenciadas. O aluno precisa construir essas habilidades por meio do trabalho pedagógico de todos os componentes curriculares. Consideramos que o objetivo final é formar indivíduos capazes de: • Ler criticamente textos presentes em diferentes suportes (livros, jornais, manuais etc.) construindo significados para esta leitura. • Mobilizar conhecimentos prévios utilizando-os para alcançar
revistas, internet,
a compreensão do que lê.
• Variar as estratégias de leitura em função dos objetivos desta. • Organizar e expressar o conhecimento obtido por meio da oralidade ou da escrita. • Perceber as diversas funções da leit ura: ler para aprender, para se informar, por necessidade, por prazer. O professor de Língua Portuguesa pode e deve ajudar seus colegas, pois provavelmente terá informações valiosas para melhorar o trabalho dos demais docentes. No entanto, aprender a ler em M atemática envolve a participação efetiva do professor em suas aulas. É importante ressaltar que esse trabalho deve ser constante, desenvolvendo, ao longo da vida escolar , hábitos e procedimentos de leitura que acabem por se incorporar à rotina do estudante. Apresentarem os a seguir algumas sugestões para o trabalho em sala de aula tendo por base o livro didático. • Ler todos os textos do livro, escolhendo quais serão trabalhados em sala de aula para desenvolver as habilidades de leitura, escrita e oralidade. • Ter claro qual o objetivo da leitura de cada texto. texto e para que aspectos deve voltar sua atenção.
O aluno precisa saber por que lerá o
• Mapear os textos com base nos objetivos de leitura: serão lidos na íntegra ou só em parte? A leitura será feita em classe ou em casa? A resolução de atividades dos boxes permeará a leitura? • Criar estratégias diversificadas de leitura.
Exemplos: • Leitura individual silenciosa identificando no texto palavras-chave previamente indicadas pelo professor. Na seleção das palavras-chave é importante contemplar termos próprios da Matemática: incógnita, radical, expoente etc. Terminada a leitura, o professor pode mediar a discussão dos alunos em torno das palavraschave e seus significados, retomando sempre que necessário a leitura de trechos MANUAL DO PROFESSOR
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mais importantes do texto. O registro das informações, conceitos, conclusões sobre o texto e exemplos pode ser feito no quadro. • Leitura de imagens. Solicita-se que observem somente fotos, gráficos, diagramas etc., presentes no texto, sem lê-lo. Pergunta-se, por exemplo: que informações ou conhecimentos você identifica nestas imagens? O que já conhecemos? O que há de novo para você? Observando as imagens temos uma ideia do assunto do texto? Essa estratégia costuma motivar os alunos para a leitura do texto integral, que deve acontecer depois dos questionamentos. É uma forma que pode ser eficiente para resgatar conhecimentos prévios. Uma variação é pedir que leiam previamente os boxes presentes no texto e aí procurem no texto as informações que precisam para responder às questões. • Criar muitas oportunidades para os alunos expressarem oralmente e por escrito suas ideias. O texto 3 deste item discute particularmente esse assunto. Veja exemplos simples de trabalho com a oralidade e a escrita nas aulas de Matemática. Usamos aspas para apresentar as ações do professor: – Durante a correção de exercícios: “Eu resolvi o problema desta forma: Alguém pensou em uma estratégia diferente? Quem quer vir ao quadro mostrar seu raciocínio para os colegas?” – No desenvolvimento do tema polígonos: “Todo quadrilátero é um paralelogramo. Quem acha que essa afirmação é verdadeira? Quem acha que é falsa? Expliquem sua opinião para os colegas.” – Numa tarefa de casa pede-se: “Explique com palavras como você ensinaria uma pessoa que não sabe operar 5 1 3 .” com frações a calcular 2 6 4 Como dissemos, as sugestões têm foco nos textos do li vro didático, mas é importante propiciar a leitura de textos de todos os tipos. Procure explorar também jornais, internet, textos técnicos etc.
4.3.3 Comunicação em Matemática: instrumento de ensino e aprendizagem “A palavra comunicação esteve presente durante muito tempo l igada a áreas curriculares que não incluíam a Matemática. Pesquisas recentes afirmam que, em todos os níveis os alunos devem aprender a se comunicar matematicamente e que os educadores precisam estimular o espírito de questionamento e levar os seus educandos a pensar e comunicar ideias. A predominância do silêncio, no sentido de ausência de comunicação, é ainda comum em Matemática. O excesso de cálculos mecânicos, a ênfase em procedimentos e a linguagem usada para ensinar Matemática são alguns dos fatores que tornam a comunicação pouco frequente ou quase inexistente. 38
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Se os educandos são encorajados a se comunicar matematicamente com seus colegas, com o educador ou com os pais, eles têm oportunidade para explorar, organizar e conectar seus pensamentos, novos conhecimentos e diferentes pontos de vista sobre um mesmo assunto. Assim, aprender Matemática exige comunicação, no sentido de que é através dos recursos de comunicação que as informações, conceitos e representações são veiculados entre as pessoas. A comunicação do significado é a rai z da aprendizagem. Promover comunicação em Matemática é dar aos alunos a possibilidade de organizar, explorar e esclarecer seus pensamentos. O nível ou grau de compreensão de um conceito ou ideia está intimamente relacionado à comunicação bem-sucedida deste conceito ou ideia. Dessa forma, quanto mais os alunos têm oportunidade de refletir sobre um determinado assunto, falando, escrevendo ou representando, mais eles compreendem o mesmo. Somente trocando experiências em grupo, comunicando suas descobertas e dúvidas e ouvindo, lendo e analisando as ideias do outro é que o aluno interiorizará os conceitos e significados envolvidos nessa linguagem de forma a conectá-los com suas próprias ideias. A capacidade para dizer o que se deseja e entender o que se ouve ou lê deve ser um dos resultados de um bom ensino de M atemática. Essa capacidade desenvolve-se quando há oportunidades para explicar e discutir os resultados obtidos e para testar conjecturas.
A oralidade em Matemática Em toda nossa vida de falantes, a oralidade é o recurso de comunicação mais acessível, que todos podem utili zar, seja em Matemática ou em qualquer outra área do conhecimento, é um recurso simples, ágil e direto de comunicação que permite revisões quase que instantaneamente, que pode ser truncada e reiniciada, assim que se percebe uma falha ou inadequação, independentemente da idade e série escolar. Criar oportunidades para os alunos falarem nas aulas faz com que eles sejam capazes de conectar sua linguagem, seu conhecimento, suas experiências pessoais com a l inguagem da classe e da área do conhecimento que se está trabalhando. É preciso promover a comunicação pedindo que esclareçam e justifiquem suas respostas, que reajam frente às ideias dos outros, que considerem pontos de vista alter nativos. Na essência, o diálogo capacita os alunos a falar de modo significativo, conhecer outras experiências, testar novas ideias, conhecer o que eles realmente sabem e o que mais precisam aprender. A partir da discussão estabelecida, das diferentes respostas obtidas, o educador será capaz de aprender mais sobre o raciocínio de cada aluno e poderá perceber a natureza das respostas, realizando assim intervenções apropriadas. A comunicação oral favorece também a percepção das diferenças, a convivência dos alunos entre si, o exercício de escutar um ao outro numa aprendizagem coletiva. Possibili tando também aos alunos terem mais confiança em si mesmos, se sentirem mais acolhidos e sem medo de se exporem publicamente.
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A comunicação escrita A escrita é o enquadramento da realidade. Quando escrevemos não podemos ir para tantos lados como no oral, ela prevê um planejar, esse planejar não é necessariamente escrito, mas auxilia na escrita. Portanto, o oral antecede a escrita e nesse sentido a escrita pode ser usada como mais um recurso de representação das ideias dos alunos. Temos observado que escrever sobreMatemática ajuda a aprendizagem dos alunos de muitas formas, encorajando reflexão, clareando ideias, e agindo como um catalisador para as discussões em grupo. Escrever em matemática ajuda o aluno a aprender o que está sendo estudado. Além disso, a escrita auxilia o resgate da memória e muitas discussões orais poderiam ficar perdidas se não as tivéssemos registrado em forma de texto. A História, como disciplina, srcinou-se graças a esse recurso – escrita de recuperação da memória. Trabalhar essas diferentes funções da escrita em sala de aula leva o aluno a procurar descobrir a importância da língua escrita e seus múltiplos usos. Os textos servem para informar alguma coisa ou para dar ao outro o prazer de ler. Nesse sentido, os alunos precisam entender que ao produzir um texto é preciso se preocupar com as informações, com as impressões e se necessário com as instruções. A escrita também sofre evolução à medida que o educador tiver o cuidado nos momentos de correção de não usar um modelo único, mas diversificá-lo, tendo a preocupação de escrever o melhor possível para que a sua comunicação seja o mais eficiente possível. Sugestões para auxiliar a melhoria dos processos de comunicação nas aulas deMatemática: • Explorar interações nas quais os alunos explorem e expressem ideias através de discussão oral, da escrita, do desenho de diagramas, da realização de pequenos filmes, do uso de programas de computador, da elaboração e resolução de problemas. • Pedir aos alunos que expliquem seu raciocínio ou suas descobertas por escrito. • Promover discussões em pequenos grupos ou com a classe toda sobre um tema. • Valorizar a leitura em duplas dos textos no livro didático. • Propor situações-problema nas quais os alunos sejam levados a fazer conjecturas a partir de um problema e procurar argumentos para validá-las. Com esse trabalho nossos objetivos são levar os alunos a: • Relacionar materiais, desenhos, diagramas, palavras e expressões matemáticas com ideias matemáticas. • Refletir sobre e explicar o seu pensamento sobre situações e ideias matemáticas. • Relacionar a linguagem de todos os dias com a linguagem e os símbolos matemáticos. • Compreender que representar, discutir, ler, escrever e ouvir Matemática são uma parte vital da aprendizagem e da utilização da Matemática. • Desenvolver compreensões comuns sobre as ideias matemáticas, incluindo o papel das definições. • Desenvolver conjecturas e argumentos convincentes. • Compreender o valor da notação matemática e o seu papel no desenvolvimento das ideias matemáticas. 40
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A avaliação e a comunicação A avaliação tem a função de permitir que educador e educando detectem pontos frágeis, certezas e que extraiam as consequências pertinentes sobre para onde direcionar posteriormente a ênfase no ensino e na aprendizagem. Ou seja, a avaliação tem caráter diagnóstico, de acompanhamento em processo e formativo. Nesta proposta a avaliação é concebida como instrumento para ajudar o aluno a aprender. Assim, o educador revê os procedimentos que vem adotando e replaneja sua atuação, enquanto o educando vai continuamente se dando conta de seus avanços e dificuldades. A avaliação só é instrumento de aprendizagem quando o educador utiliza as informações conseguidas para planejar suas intervenções, propondo procedimentos que levem o educando a atingir novos patamares de conhecimento. O recurso da comunicação, nesse sentido, é essencial, pois no processo de comunicar o educando nos mostra ou fornece indícios de que habilidades ou atitudes está desenvolvendo e que conceitos ou fatos domina, apresenta dificuldades ou incompreensões. Os recursos da comunicação são novamente valiosos para interferir nas dificuldades encontradas ou para permitir que o educando avance mais, propondo-se outras perguntas, mudando-se a forma de abordagem. Como podemos ver, há muitas vantagens em estimular a comunicação nas aulas de Matemática. Que tal você tentar?” SMOLE, Kátia C. S.; DINIZ, Maria I . Comunicação em Matemática : instrumento de ensino e aprendizagem. Disponível em: . Acesso em: fev. 2009.
4.3.4 Leitura na escola O texto a seguir é parte do artigo intitulado “Uma reflexão acerca das competências leitoras e das concepções e crenças sobre práticas de leitura nas aulas de Matemática”, assinado por Emilio Celso de Oliveira e Célia Maria Carolino Pires. O artigo está disponível na íntegra no endereço eletrônico: .
Leitura na escola “As considerações acerca dos problemas e dificuldades de apropriação de práticas de leitura no espaço educativo nos levaram ao estudo das pesquisas de Lerner , Foucambert, Soares, Solé, e Koch e Elias. Lerner (2002, p. 76) faz uma i nstigante análise das mazelas que envolvem o trabalho escolar no que diz respeito à questão da leitura. A autora constata que a leitura aparece desvinculada dos propósitos que lhe dão sentido no uso social, destacando que cada
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situação de leitura precisa apresentar dois propósitos: por um lado, ensinar e aprender algo sobre a prática social da leitura; por outro, cumprir com um objetivo que tenha sentido na perspectiva imediata do aluno. Lerner centra sua crítica ao controle rigoroso do processo de aprendizagem do aluno, levando à produção artificial de textos específicos para o ensino, que pretensamente respeitem a maturidade do leitor , pela graduação que vai do simples ao complexo. Como resultado, a elaboração teórica de Lerner (2002, p. 80) sinaliza que a ação educativa com a leitura, para ser efetiva, torna-se uma iniciativa que tem como pressuposto a articulação dos objetivos didáticos – referentes ao ensino e à aprendizagem – e os propósitos imediatos da situação social que lhe confere sentido. Foucambert (1997, p. 95-99) apresenta um conjunto de fundamentos ou características comuns, advindos das mais diferentes motivações e modalidades de práticas sociais que definem o ato de ler, ou, em nosso entendimento, as competências leitoras. A primeira dessas características é a percepção da intencionalidade em relação ao texto, que faz o leitor definir um projeto de leitura pelo qual reconhece as modalidades e os objetivos do texto. A segunda característica é que a leitura, como qualquer comunicação, exige que se invista uma quantidade de informações bastante superior àquela que se extrai. Assim, o conhecimento prévio do leitor é posto em ação no trabalho de leitura, sendo que, quanto mais experiência tivermos como leitores em sentido amplo, mais competência ativaremos no momento de atribuir significados aos textos de interesse nas situações sociais. A terceira característica diz respeito à experiência linguística, pois a competência do leitor se manifesta ao organizar as possibilidades semânticas, à medida que o fluxo de leitura pelo material gráfico vai acontecendo, de forma a transformar informação gráfica em significados. A quarta característica está relacionada ao projeto específico que leva o leitor ao texto, no tipo de investigação buscada, podendo ser uma leit ura de correção ortográfica, de triagem de texto, de estilo, de ponto de vista, de funcionamento do discurso. A quinta característica inerente ao ato de ler reside na possibilidade de emancipação do leitor , na medida em que o contato com os diferentes textos aguça ainda mais a vontade de busca de sentido em outros textos. A sexta e última característica diz respeito à consciência da intertextualidade, e referese à competência leitora relacionada à concepção de que um texto é um nó em uma trama de outros textos, o que permite inferir que toda leitura é uma l eitura em rede. Como resultado, essas características definem, em nosso entendimento, competências leitoras que o aluno precisa desenvolver conjuntamente com o trabalho do professor , não só de língua materna, mas de qualquer área do conhecimento. Soares (2002) preconiza que ao professor de matemática e de outras áreas cabe a responsabilidade de ser um parceiro do professor de lí ngua materna em relação ao compromisso de aprendizagem de estratégias de lei tura. Consideramos que o texto matemático, ao apresentar aspectos específicos, necessita de conhecimentos por parte do leitor, sendo
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o professor de matemática o mediador qualificado na interação ativa processo de compreensão e interpretação.
do aluno durante o
Solé (1998, p. 73-74), ao tratar da leitura na escola, apresenta um conjunto de questões que o professor pode formular ao aluno-leitor para orientá-lo no processo de compreensão do que se lê. A autora verifica que o trabalho do professor em qualquer aula é excessivamente centrado na estratégia de fazer perguntas aos alunos. Para superar esse centralismo, ela propõe que as estratégias de leitura sejam organizadas pelo professor em três momentos: antes, durante e depois da leitura. Nesses momentos, o trabalho com o texto progressivamente passa por três etapas: a etapa do modelo, em que o professor lê em voz alta o texto, tanto para verbalizá-lo como para comentar dúvidas, falhas de compreensão e os mecanismos que utiliza para resolvê-las; a etapa de participação do aluno, em que o professor transfere a este a responsabilidade de interagir e buscar a compreensão do texto, por suas próprias estratégias, afastando-se aos poucos da tutela do professor; e a etapa de leitura silenciosa, que tem como finalidade transferir autonomia ao aluno em refazer o trabalho das etapas anteriores, ou seja, estabelecer os objetivos de leitura, levantar e verificar hipóteses, detectar e resolver falhas de compreensão. Esse resultado é de interesse, porque tais momentos e etapas de compreensão leitora podem ser apropriados pelo professor de matemática nas práticas que fazem uso de textos que tratem do conhecimento matemático. Koch e Elias (2008, p. 31) tomam como pressuposto básico a concepção de que o texto é lugar de interação de sujeitos sociais que, dialogicamente, nele se constituem e são constituídos; e que, por meio de ações linguísticas e sociocognitivas, autor e leitor constroem significados e partilham sentidos, sendo que, em todo e qualquer texto, implícitos dos mais variados tipos emergem na leitura pela mobilização de estratégias de compreensão para reconstituir o contexto sociocognitivo no interior do qual se encontram os atores sociais. Dentre a variedade de textos, são de especial i nteresse para o professor de matemática os enunciados de problemas, porque envolvem atividade da investigação científica que remete ao fazer do matemático e de pesquisadores de ciências. Polya (1978, p. 1-11) desenvolve uma abordagem na resolução de problemas na qual está presente a preocupação com o desenvolvimento das competências leitoras e escritoras, como investigadas por nós. Além disso, subjaz o interesse pelo processo de aprendizagem da atitude científica, por meio de uma metodologia de resolução de problemas que seja de interesse à matemática, mas que possa ser aplicada a outras áreas das ciências naturais.” OLIVEIRA , Emilio C elso de; PIRES , Célia Maria C arolino. Uma reflexão acerca das competências leitoras e das concepções e crenças sobre práticas de leitura nas aulas de Matemática. Bolema , Rio Claro (SP ), v. 23, n. 37, p. 931 a 953, dezembro 2010. Nota dos autores: Professor, apresentamos a metodologia proposta por Polya no item 4.2 deste manual.
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4.4 O comprometimento com o próprio aprendizado Sabemos que o compromisso do aluno com sua própria aprendizagem é uma das premissas para o sucesso escolar.No entanto, jovens com idade entre 11 e 17 anos vivem uma fase de descobertas, repleta de novos interesses, todos mais “importantes”, para eles, do que as aulas e o estudo. As constantes “broncas” e “sermões” sobre a necessidade de dedicar-se aos estudos não costumam funcionar. Ao contrário, podem gerar um clima hostil entre professor e aluno: — Os alunos não querem saber de nada! — O professor é muito chato, não me entende! Uma proposta é tentar fazer com que os estudantes tornem-se parceiros do professor no processo de ensinar e de aprender. Para que essa parceria se desenhe, o aluno precisa sentir que seu professor quer que ela aconteça. Isso requer uma postura de acolhimento, de vontade, de entusiasmo por parte do mestre. É importante tornar efetiva a participação do aluno no desenvolvimento do curso. Por exemplo: antes do início de um conteúdo, o professor propõe um cronograma de trabalho, com o número de aulas previsto para cada item, compartilhando com eles os objetivos do assunto e as atividades que farão: trabalhos, provas, leituras etc. Tudo isso, é claro, dentro do nível de compreensão e de atuação dos estudantes. Uma ficha pode ajudar nessa tarefa: Assunto
Objetivos
Período
Número de aulas previstas
Palavras-chave
Leituras
Atividades avaliativas
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Números naturais, inteiros, racionais, reais, dízimas, , números irracionais, reta numérica.
p. 7,8,9 p. 11 e 12 p. 14 e 15 p. 17 e 18 p. 20,21,22 p. 25 e 27
Texto de criação coletiva envolvendo a ampliação dos conjuntos numéricos.
Compreender os diversos tipos de números como criações humanas, Conjuntos analisando as numéricos necessidades que levaram à criação. Classificar os números em conjuntos.
3/3 a 24/3
A ficha, preenchida em conjunto com o aluno, permitirá que ele acompanhe o desenvolvimento do curso, sabendo com antecedência o que será tratado nas aulas, quais os objetivos do assunto, os textos que deverá ler, e em que atividades será avaliado. No verso da ficha pode ser colocada uma tabela para autoavaliação. Veja o modelo: Ficha de acompanhamento do meu desempenho Conteúdo
Adição e subtração de frações 44
Data
Tarefa/ Atividade
5/8
Exercícios da p. 180.
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Fácil
X
Média Difícil
Dúvidas, dificuldades, observações e ideias Às vezes esqueço de simplificar o resultado.
Como estou em relação a este item? Exercícios corrigidos na lousa: só errei o 46, mas agora entendi.
Não seremos ingênuos a ponto de achar que somente o uso da ficha fará com que os alunos se comprometam com os estudos, mas, sem dúvida, pode contribuir nesse processo. O aluno deve incorporá-la aos poucos, percebendo que não é uma folha de papel a mais, mas sim um instrumento útil na gestão de seu aprendizado. Para isso, é preciso criar demandas que sistematizem seu uso, tais como: • Considerá-la como material obrigatório na aula. • Retomá-la constantemente para verificar o caminho já percorrido, ajustar o cronograma e discutir o aproveitamento. • Nesses momentos, manter o aluno ativo no processo, levantando questões como: que já aprendemos aqui?doPrecisamos retomar alguma coisa?(ou Quais das palavraschave “O já conhecemos? Estamosaté dentro cronograma? Estamos atrasados adiantados)? Por quê? Quais serão nossas próximas ações?” • Valorizar muito o aluno que utiliza a ficha para preparar-se previamente, que lê o texto a ser abordado e que traz questões ou dúvidas. Usar, sempre que possível, as observações ou questões trazidas por ele para encaminhar a aula. • Mostrar que esse aluno aproveita melhor, aprende mais e ajuda a enriquecer a aula, motivando os demais a experimentarem como é bom aprender e ensinar. • Observar e incentivar o uso da ficha de autoavaliação. Se possível, acompanhar ou avaliar os registros periodicamente. Tudo o que foi proposto precisa ser realizado com constância. Adquirir uma postura e cultivá-la leva tempo e exige paciência. No entanto, se pensarmos que em algum momento teremos alunos assumindo seu papel de forma consciente e participativa no processo de ensino-aprendizagem, todo o esforço terá valido a pena. m o c . e m ti s m a re D / h c it w to o h P
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5. Quadro de conteúdos 6o ano Unidade
Conteúdo • Processos de contagem – história dos números
1 – Sistema de numeração decimal
• Noções sobre os sistemas de numeração egípcio e romano • Sistema de numeração decimal – leitura, escrita e história dos numerais indo-arábicos • Sequência dos números naturais • Sucessor, antecessor, números naturais consecutivos
2 – Números naturais
• Aplicações dos números naturais • Reta numérica • Ideias da adição e da subtração
3 – Adição e subtração de números naturais
• Cálculo mental nas adições e subtrações • Estimativas por arredondamento • Problemas envolvendo adição e subtração de números naturais • As ideias da multiplicação • Divisão – ideias e algoritmos • Multiplicação e divisão – operações inversas
4 – Multiplic ação e divisão de números naturais
• Relação fundamental da divisão • Expressões numéricas envolvendo as quatro operações fundamentais • Propriedade distributiva da multiplicação em relação à adição e à subtração • Cálculo mental de produtos • Resolução de problemas envolvendo as quatro operações fundamentais • Unidades de medida de tempo – problemas • Potenciação – significado, representação e cálculos
5 – Potenciação e raiz quadrada de números naturais
• Quadrados e cubos • Expoente zero e expoente 1 • Raiz quadrada de números naturais • Expressões numéricas • Sequência dos múltiplos de um número • Fatores ou divisores de um número natural
6 – Múltiplos e divisores
• Critérios de divisibilidade • Números primos e decomposição em fatores primos • Mínimo múltiplo comum • Divisores comuns e máximo divisor comum • Utilidade dos gráficos
7 – Dados, tabelas e gráficos de barras
• Dados e tabelas de frequência • Construção e interpretação de gráficos de barras • Elaboração e análise de uma pesquisa estatística simples
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8 – Observando formas
• • • • • •
As formas da natureza e as formas criadas pelo ser humano Formas planas e não planas Blocos retangulares – estudo e planificação Ponto, reta, plano e segmento de reta Perspectivas e vistas Construção de poliedros
9 – Ângulos
• • • •
Identificação, elementos e representação Medidas de ângulos e uso do transferidor Retas paralelas e retas perpendiculares Uso dos esquadros
10 – Polígonos e circunferências
• • • • • • • •
Polígonos – características e nomenclatura Triângulos – classificação Quadriláteros – classificação Polígonos regulares Perímetro de polígonos Circunferência – definição e elementos Uso do compasso Simetria nos polígonos e no círculo
• • • • • • •
Frações como partes do inteiro Representação e leitura Frações de uma quantidade Números mistos e frações impróprias Frações equivalentes Simplificação de frações Comparação de frações
11 – Frações
• Operações com frações • Problemas envolvendo frações e suas aplicações
12 – Números decimais
• • • • • • • • • •
A notação decimal Números decimais e o registro de medidas Números decimais na forma de fração Comparação de números decimais Adição e subtração de números decimais Multiplicação e divisão por 10, 100, 1 000, … Multiplicação de números decimais Divisão de números naturais com quociente decimal Divisão de números decimais Problemas envolvendo números decimais e suas aplicações
13 – Porcentagens
• Significado, representação e cálculos simples envolvendo porcentagens • Representação decimal de porcentagens
14 – Medidas
• • • • • • •
Conceito de medida e de unidade de medida Medidas de comprimento no SMD Medidas de superfície e área do retângulo Relações entre km2, m2 e cm 2 Conceito de volume e volume de um bloco retangular Equivalência entre litro e decímetro cúbico Medidas de massa
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7o ano Unidade
1 – Números naturais
2 – Frações e números decimais
3 – Números negativos
4 – Proporci onalidade
5 – Razões e porcentagens 6 – Construindo e interpretand o gráficos 7 – Sólidos geométricos
8 – Áreas e volumes
9 – Equações
10 – Inequações
11 – Ângulos e triângulos
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Conteúdo Retomada e aprofundamento dos conhecimentos sobre os números naturais, abordando: • sequência dos números naturais, sucessor, antecessor, números consecutivos • representação na reta numérica • múltiplos e divisores - mmc e mdc • números primos • Fração e divisão • Frações equivalentes • Frações e números decimais na reta numérica • Expressões numéricas • Potenciação e raiz quadrada de números decimais • • • • • • • • • • • • • • • • • •
Medidas de tempo Aplicações dos números negativos Comparação Representação na reta numérica Módulo e simétrico Operações com números negativos Expressões numéricas envolvendo operações com números negativos Grandezas e comparação de grandezas Razões e proporções Escalas, plantas e mapas Grandezas diretamente proporcionais Grandezas inversamente proporcionais Representação e cálculo de porcentagens Descontos e acréscimos Problemas envolvendo porcentagens Construção e análise de gráficos de barras e de setores Pictogramas Médias
•• • • • • • • • • • • • • • • • •
Poliedrose pirâmides Prismas Poliedros regulares Cilindros, cones e esferas Dimensionalidade Medidas de superfície – unidades e conversões Comparação de áreas Área do retângulo e do quadrado Cálculo de áreas por composição e decomposição de figuras Área do paralelogramo, do triângulo, do losango e do trapézio Problemas envolvendo o cálculo de áreas Relações entre unidades de medida de volume e de capacidade Observação de padrões numéricos – generalizações Uso das letras – linguagem algébrica Algumas operações com letras Resolução de equações do 1 o grau Resolução de problemas por meio de equações do 1 o grau Desigualdades – símbolos e propriedades
• • • • • • • •
Resolução de Inequações e inequações problemas Retomada sobre ângulos Ângulos suplementares, complementares, opostos pelo vértice Grau e subdivisões do grau Bissetriz de um ângulo Os ângulos nos triângulos Soma das medidas dos ângulos internos de um triângulo Soma das medidas dos ângulos internos de um quadrilátero
8o ano U n id a d e
1 – Conjuntos numéricos
Conteúdo • • • • • • • •
Números naturais Números inteiros Números racionais Representação dos números racionais Números irracionais Pi – um número irracional Números reais Os números reais e as operações
• Expoentes inteiros
2 – Potenciação e notação científica
•• • •
Propriedades das potências Potências de base 10 Multiplicação por potências de base 10 Notação científica
3 – Radiciação
• Aprofundamento sobre raízes • Raízes exatas • Raízes não exatas
4 – Cálculo algébrico
• • • • • • •
5 – Produtos notáveis
• Desenvolvimento de produtos notáveis • Aplicações dos produtos notáveis no cálculo algébrico
6 – Fatoração
• Principais casos de fatoração • Aplicações da fatoração
7 – Frações algébricas
• • • • •
8 – Sistemas de equações
9 – Retas e ângulos
10 – Triângulos
11 – Triângulos: congruência e pontos notáveis
Retomada de equações Variáveis Expressões algébricas Monômios e polinômios Operações e expressões algébricas Simplificação de expressões com letras Multiplicação de polinômios
Letras no denominador Condição de existência Problemas e equações envolvendo frações algébricas Simplificação de frações algébricas Operações com frações algébricas
• Problemas do 1o grau com duas incógnitas – representação por meio de um sistema de equações • Método da substituição • Método da adição • Dízimas periódicas na forma de fração • • • •
Posição relativa entre retas Ponto médio de um segmento Retas perpendiculares e paralelas Distância entre dois pontos
• • • •
Distância de ponto à reta Elementos, perímetro e classificação Soma das medidas dos ângulos internos de um triângulo Propriedade do ângulo externo
• • • • •
Congruência de figuras planas Casos de congruência de triângulos Mediana, bissetriz e altura em um triângulo Triângulo isósceles e triângulo equilátero Maior lado e maior ângulo de um triângulo MANUAL DO PROFESSOR
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12 – Quadriláteros e outros polígonos
• Elementos e classificação dos quadriláteros • Propriedades dos paralelogramos e dos trapézios isósceles • Ângulos de um polígono
13 – Circunferência e círculo
• • • • • • • • •
14 – Possibilidade s e estatística
•• Tabela e árvore de possibilidades Problemas de contagem • Gráficos estatísticos
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Caracterização Construção de triângulos Posições relativas de duas circunferências Posições relativas entre reta e circunferência Cordas Arco e ângulo central Comprimento de um arco Construção de polígonos regulares Ângulo inscrito
9o ano U n id a d e
1 – Potenciação e radiciação
2 – Equações do 2 o grau
3 – Sistema cartesiano
4 – Funções
• • • • • • • • •
Conteúdo Retomada e aprofundamento da potenciação e suas propriedades Retomada da radiciação Expoentes racionais Propriedades dos radicais Simplificação de radicais Adição e subtração de radicais Cálculos com radicais Racionalização Equações e grau de uma equação
• • • • • • • •
Equações incompletas do 2 o grau Forma geral de uma equação do 2 o grau Resolução de equações do o2grau pela fatoração do trinômio quadrado perfeito Fórmula geral de resolução de equações do 2 o grau Resolução de problemas envolvendo equações do 2 o grau Soma e produto das raízes de uma equação do 2 o grau Equações fracionárias e biquadradas Equações irracionais
• Localização no plano • Sistema cartesiano • Coordenadas geográficas • Conceito e aplicações • Tabela de valores e lei de formação de uma função • Interpretação de gráficos o
o
5 – Noções de probabilidade
Construção deegráficos das funções do 1 grau e do 2 grau •• Probabilidade estatística • Problemas envolvendo o cálculo de probabilidades • Conceito de população e amostra numa pesquisa estatística
6 – Teorema de Tales e semelhança de triângulos
• • • • •
Razões, proporções e segmentos proporcionais Teorema de Tales Semelhança Semelhança de triângulos Aplicação da semelhança de triângulos na resolução de problemas
7 – Relações métricas nos triângulos retângulos
• • • •
Teorema de Pitágoras e suas aplicações Diagonal do quadrado e altura do triângulo equilátero Relações métricas nos triângulos retângulos Problemas de aplicação
8 – Trigonometri a no triângulo retângulo
• Razões trigonométric as: tangente, seno e cosseno • Aplicações na resolução de problemas • As razões trigonométricas e os ângulos de 30°, 45° e 60°
9 – Círculo e cilindro
• • • •
Área do círculo Área de setor circular e de coroa circular Área da superfície e volume de um cilindro Aplicações na resolução de problemas
10 – Porcentagem e juro
• Problemas envolvendo porcentagens, descontos e acréscimos • Juros simples e composto MANUAL DO PROFESSOR
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6. Sobre o livro do 8o ano Esta seção do manual trata do desenvolvimento dos conteúdos do livro do 8o ano, trazendo, para cada unidade, objetivos gerais e específicos, sugestões e comentários sobre a utilização do livro do aluno, possibilidades de integração com outras áreas do conhecimento e de atividades para compor o processo de avaliação. No item 7 do manual de cada volume, apresentamos um conjunto de questões, contextualizadas ou não, selecionadas a partir de exames elaborados de forma criativa e pertinente por instituições públicas conceituadas. Essas questões contemplam conteúdos desenvolvidos no livro do aluno. Incluímos também, ao final dos comentários sobre cada unidade, sugestões de sites que disponibilizam objetos educacionais envolvendo os temas trabalhados: arquivos de vídeo e de áudio, jogos, experimentos, simulações, entre outros.
Unidade 1 – Conjuntos numéricos I. Objetivo geral •
Compreender as sucessivas ampliações dos conjuntos numéricos como criações do ser humano em resposta aos problemas surgidos.
II. Objetivos específicos •
•
• •
• •
•
• •
• •
Classificar números já conhecidos. Escrever o quociente de números inteiros na forma fracionária ou decimal. Traduzir números decimais exatos e decimais periódicos para a forma fracionária. Reconhecer número irracional. Resolver problemas envolvendo o perímetro do círculo. Representar números racionais e irracionais na reta numérica. Estender o campo numérico ao conjunto dos números reais. Ordenar números reais. Compreender que todo número real tem um ponto correspondente na reta e vice-versa. Reconhecer que as operações adição, subtração, multiplicação e divisão em são possíveis em . Retomar as propriedades da adição e da multiplicação, estendendo-as para o conjunto .
Q
R
R
III. Comentários Inicialmente fizemos uma revisão dos números já conhecidos: naturais, inteiros e racionais, retomando as necessidades que motivaram o surgimento dos “diversos tipos” de números. Formalizamos os conjuntos numéricos , e . É importante que os alunos percebam a ampliação dos conjuntos numéricos de até e sejam capazes de registrar números racionais tanto na forma de fração como na forma de número decimal. Na Unidade 8, mostraremos, justificando, como obter a geratriz de uma dízima periódica usando as propriedades das igualdades. Conduzimos, nos textos, a ampliação dos conjuntos partindo do conjunto e mostrando a necessidade de novos números para efetuar subtrações do tipo 5 – 7 (chegando a ) e divisões como 3 : 4 (chegando a ).
N QN Z Q
N
Q
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Z
Z
No texto sobre o conjunto , citamos o fato de a raiz quadrada de um número inteiro muitas vezes não ser um número inteiro. No entanto, aradiciação será estudada particularmente na Unidade 3. A seguir, os alunos distinguirão números racionais denúmeros irracionais pelas respectivas dízimas. Convém trabalhar com calma a ideia de irracional cuidando para que eles compreendam esses números em alcance adequado a essa faixa etária. Falar sobre o envolvimento dos gregos na história dos irracionais costuma atrair o interesse dos alunos. Julgamos pertinente incorporar o uso da calculadora nesse trabalho para mostrar como usar aproximações decimais para os números irracionais. Quando representamos os números racionais na reta, eles parecem completá-la, mas isso não é verdade, pois “sobram” infinitos pontos que representam dízimas infinitas, mas não periódicas. Por exemplo: 3 1,73205...
x 2,010010001... Mostramos no texto uma forma de determinar o ponto correspondente a 2 na reta numérica. Lembramos também a possibilidade de usar uma aproximação decimal para representar os irracionais na reta. Apresentamos como texto complementar duas demonstrações referentes à irracionalidade de 2 para sua consulta, pois não estão ao alcance de alunos de 8o ano. Há textos envolvendo a história dos números que permitem desenvolver habilidades de leitura e interpretação, aproveitando o interesse que os alunos costumam demonstrar pelo surgimento dos diversos tipos de números. Sugerimos que o item 9 seja lido e comentado, servindo como um fechamento para a unidade. Os alunos utilizam com frequência propriedades da adição e da multiplicação nos conjuntos , e , até aqui, sem preocupação com nomes e sem generalizá-las. Julgamos que no 8o ano haja condi-
NZ
Q
R
ções de escrevê-las na forma geral, para , apresentando seus nomes. O item 9 traz um quadro que tem esse objetivo. As propriedades vistas serão necessárias no cálculo algébrico, que será trabalhado na Unidade 4. Apresentamos a seguir uma demonstração para a lei do anulamento do produto, caso ache pertinente apresentar alguma demonstração para seus alunos nesse momento. Se a · b 0, então a 0 ou b 0. Demonstração: - Se a 0, temos a b 0 para qualquer b real. Provado! - Se a 0, existe 1 em (elemento inverso de a). a ab0
R
1 (a b) 1 0
a
a
[a ]
a
1 a b 1 0
1 1b0
b0 MANUAL DO PROFESSOR
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Sugestões de avaliação Os números irracionais foram apresentados nessa unidade. O trabalho com o número se inicia numa proposta de atividade de investigação em que os alunos desenharão e recortarão círculos dados seus diâmetros, medirão suas circunferências e obterão c a razão , para cada um deles, chegando a aproximações para .
d
A execução dessa atividade pode ser avaliada observando, em classe, a confecção dos círculos, a tomada das medidas e o preenchimento da tabela. A partir dos quocientes
c obtidos, a leitura do d
texto da página 22 fecha a atividade, mostrando que esse quociente é constante, é denotado por e é um número irracional. Os alunos devem perceber que os valores obtidos na tabela são aproximados. Quanto mais precisas forem as medidas, mais próximo de fica o quociente. Pode-se até verificar qual a melhor aproximação obtida na classe. A leitura do texto didático pode ser feita por um aluno com a sua mediação e com a participação dos demais. Espera-se, assim, que ele chegue à relação que permite calcular o comprimento da circunferência dado seu diâmetro ou seu raio. Outra oportunidade de avaliação interessante é o trabalho com o texto complementar deste manual “O número pi”. Por meio da história da Matemática, desenvolve-se não somente um melhor entendimento das informações explicitadas no texto didático, como também as habilidades de leitura, compreensão e expressão oral. Solicite que os alunos leiam o texto, tentando apresentar uma linha histórica que acompanhe a trajetória desse número. Em sala, eles discutirão suas anotações e você resumirá essa história no quadro. Para terminar, proponha algumas questões para avaliação.
IV. Integração com outras áreas do conhecimento Apresentamos a seguir um texto histórico curioso e interessante que propicia a integração com Língua Portuguesa e com História. Trata-se de um artigo do professor Haroldo Lisbôa da Cunha (do qual selecionamos alguns recortes) publicado pela Revista Nacional de Educação , no ano de 1934. Essa revista foi uma iniciativa do Museu Nacional para professores de todas as áreas e de todo o país. A revista circulou no início da década de 1930 e sua tiragem era enorme – a primeira edição teve 12500 exemplares impressos. Esse texto é um exemplo de como algumas questões permanecem int eressantes e sem solução ao longo do tempo. A leitura do tex to com os alunos também mostrará como a escola tratava certos temas que permanecem, ainda hoje, nos livros escolares. Atividades como esta mostram a Matemática e o ensino da Matemática como construções históricas, o que é importante. Uma parceria com Língua Portuguesa e com História enriqueceria muito a atividade, explorando aspectos como diferenças linguísticas entre as duas épocas e panorama do Brasil na década de 1930. 54
MANUAL DO PROFESSOR
Sobre a quadratura do círculo “I. A definição de . 1 – Na Matemática, o número desempenha um papel tão preponderante, e participa de aplicações tão diversas, que a sua definição clássica (razão da circunferência para o diâmetro, em um círculo qualquer) passou a ser tomada, apenas, como uma das suas variadas propriedades, acidentalmente escolhida, entre as demais, para aquele fim. E poderíamos mesmo dizer que, si por circunstâncias especiais, do círculo não cogitasse o geômetra o número teria, ainda assim, surgido na Matemática. 2 – Poderíamos, pois, tal como acontece também com o número e, base dos logaritmos neperianos (hiperbólicos ou naturais) definir o número , escolhendo uma outra qualquer das propriedades que lhe são peculiares. E, si assim procedêssemos, estaríamos então no direito de afirmar: ‘Demonstra-se que o número goza, dentre outras, da propriedade geométrica de representar a razão da circunferência para o diâmetro, em um círculo qualquer’. Mas foi principalmente a propriedade geométrica da constância da relação entre a circunferência e o diâmetro, em um círculo qualquer, que, desde tempos bem remotos chamou a atenção do homem. 3 – Investigando a mais antiga documentação, veremos que, indiretamente, o cálculo de (implícito, como sabemos, nos problemas da retificação da circunferência e da quadratura do círculo) já se apresenta em épocas que precederam à escola jônica. E, no entanto, essa escola, fundada por Tales de Mileto, um dos sete sábios da Grécia, no século VII antes de Cristo, marcou, verdadeiramente, com a instituição do método dedutivo, o surto da ciência no domínio das cogitações do homem.
II. Os primeiros valores que caberiam a . 4 – A Matemática parece ter tido seu berço no Egito, si bem que alguns historiadores atribuam, especialmente aos fenícios, os primeiros estudos referentes aos números. Mas é preciso observar que, nesse período pré-helênico, o que há de fato não é a ciência mas, sim, uma espécie de arte utilitária. Aliás, Platão, Euclides e Arquimedes são os primeiros que, verdadeiramente, se afastam desse caminho, procurando cultivar a ciência pela própria ciência. 5 – É preciso, entretanto, que façamos uma observação. Nessa primeira fase, não é dada a essa individualidade com que o distinguimos hoje. Portanto, só poderemos investigar os valores que lhe teriamsido atribuídos; pois, só com os grêgos do século V antes de Cristo, começa a ser percebida a propriedade geométrica utilizada, comumente, para a sua definição. 6 – No mais antigo documento matemático conhecido, o Papirus Rind (British Museum, Londres), composto por Amés (cujo nome significa: filho da Lúa), em uma data que se supõe ser, aproximadamente, o século XVII antes de Cristo, e decifrado, em 1868, pelo egiptólogo Eisenlohr auxiliado por Moritz Cantor, encontramos problemas dos quais resultaria: 4 4 3,16049... 3 E tomando, por exemplo 3,16, esse valor aproximado, por excesso, a menos de 0,02, nos mostra bem o grau de cultura a que chegaram os egípcios, em épocas bastante remotas (observe-se que o manual de Amés é a recomposição de obras muito mais antigas). Os assírios e babilônios, entretanto, tinham ideias menos exatas.
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MANUAL DO PROFESSOR
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Assim, de seus cálculos, deduz-se para o número o valor 3, que resulta, segundo parece, do fato de terem êles confundido a circunferência com o hexágono regular inscrito, cuja construção conheciam. Mas há quem afirme que essa hipótese só era admitida para a prática grosseira das aplicações imediatas. O mesmo valor 3, para , póde ainda ser encontrado entre os chineses ou hindus e, no ‘Velho Testamento’. Nêste, no livro III dos Reis, capítulo VII, n. 23, se lê: Fecit quoque mare
fusile decem cubitorum a l abio usque ad labium, rotundum in circuitu: quinque cubitorum altitudo eius, et resticula tringinti cubitorum cingebat illud per circuitum*. Como se vê, portanto, nêsse reservatório que Salomão mandou construir no interior de seu palácio, a relação entre a circunferência e o diâmetro era concebida de tal modo que daria: 30 3 10 (inicial da palavra grega significando: circun7 – É preciso assinalar, entretanto, que o símbolo ferência) só foi empregado sistematicamente, na acepção em que o temos, a partir de 1748, com o aparecimento da obraclássica de Euler,Introductio in Analysin Infinitorum(existente na Biblioteca Nacional). Usado por Oughtred, e também por Barrow, como representando a própria circunferência, parece ter sido William Jones, em 1706, o primeiro a aplicá-lo como ainda hoje o fazemos. Para exprimir a relação constante entre a rcunferência ci e o diâmetro, entretanto, João Bernoulli usava a letrac e Euler, mesmo, ainda em 1734, empregava p e, dois anos mais tarde, tambémc. Mais deixemos de lado essas verdadeiras curiosidades históricas e estudemos, na Grécia, os problemas envolvendo o número , principalmente, após Arquimédes (século III a. C.).
III. Os problemas clássicos da antiguidade helênica. 8 – Três problemas se tornaram clássicos na Geometria grêga: a duplicação do cubo, a trisecção do ângulo e a quadratura do círculo. A êsses problemas, si bem que acima dos recursos de que dispunham os geômetras de então, determinaram, na Matemática, progressos notáveis. A êles, pode-se dizer, se dedicou a maioria dos cultores da Geometria da escola grêga. Quando dizemos, porém: quadratura do círculo, é claro, estamos a êsse problema, subordinado o da retificação da circunferência. 9 – Mas observamos que foi o fato da definição geométrica do número que permitiu a Arquimedes perceber as analogias entre essas duas questões que seriam de natureza diversa si não fôra a constância da razão entre a circunferência e o diâmetro e entre a área do círculo e o quadrado do mesmo. Demonstrou Arquimédes, abrindo novos horizontes na Geometria, que a área do círculo equivalia à de um triângulo retângulo tendo para catetos, respectivamente: a circunferência e o ráio do mesmo. E poderemos afirmar que datam daí, verdadeiramente, as pesquisas para o cálculo do número . 10 – A Matemática grega, com se sabe,nha ti seus principais recursos nas construçõesmétricas. geo Assim, o método empregado por Euclides, o primeiro sábio da primeiraescolas das de Alexandria, era baseado no uso exclusivo da régua e do compasso note-se, ( entretanto, que a ideia de uma diretriz na resolução de um problema – método – só foi instituída, verdadeiramente, por Arquimédes). *
Nota do editor: Fez também o mar de fundição; media dez côvados de uma borda até a outra e era perfeitamente redondo: era de cinco côvados de altura e um cordão de trinta côvados o cercava em redor.
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MANUAL DO PROFESSOR
Hípias (século V a. C.) parece ter sido o primeiro a utilizar outros meios para as construções geométricas (processos mecânicos); e Platão esboçou, apenas, o método analítico que Viète, em 1580, completou, sistematizando a Álgebra simbólica. 11 — O método euclidiano assentava, portanto, em tres condições gráficas, a saber: em qual-
quer porção do plano do desenho, póde-se traçar uma réta; em qualquer porção do plano do desenho, póde-se traçar uma réta; em qualquer porção do plano dodesenho póde-se descrever uma circunferência de raio arbitrário, com o centro em um ponto escolhido à vontade; na execução de uma construção qualquer, o número de operações é limitado. Assim, o célebre problema da quadratura do círculo, que durante mais de 2 000 anos preocupou os geômetras, estava proposto da seguinte forma: Dado um círculo qualquer, construir,
com o auxílio somente da régua e do compasso, um quadrado de área rigorosamente equivalente. E, [...] não poderia, nessas condições admitir solução alguma.” CUNHA, Haroldo Lisbôa da. Sobre a quadratura do círculo . Revista Nacional de Educação. Rio de Janeiro: Museu Nacional, v. 18-19/20, 1934. p. 34-38.
V. Texto complementar para trabalhar com os alunos O número pi O número representado habitualmente pela letra grega (pi) é o irracional mais famoso da história. Ele é a razão constante entre a medida do comprimento de uma circunferência e seu diâmetro: c , onde c é o comprimento da circunferência e d é seu respectivo diâmetro. d Ao do darmos umalunar’), volta completa ao redor da Lua seguindo umkm. de Dividindo seus círculos (‘linha equador percorremos aproximadamente 10 920 essemáximos comprimento pelo diâmetro da Lua, que é 3 476 km, verificamos que essa razão é igual a aproximadamente 3,1415. Essa é uma aproximação para , pois esse número possui infinitas casas decimais e não apresenta período: é um número irracional. Hoje, com a ajuda dos computadores, é possível determinar com centenas de milhões de casas decimais. Aqui aparecem as primeiras quarenta e nove: 3,1415926535897932384626433832795028841971693993751
Utilizamos aproximações mais simples para pi: 3,14 é a mais usual.
A história de A existência de uma relação constante entre a circunferência de um círculo e seu diâmetro é conhecida há milhares de anos. Tanto os babilônios como os egípcios sabiam que essa razão era pouco maior que 3. Os babilônios adotavam uma aproximação boa para o valor de : 31 , o que equivale a 8 3,125. Em papiros egípcios há registros de como 3,16. Arquimedes, (287 a.C a 212 a.C.)conseguiu melhorar um pouco a aproximação, mostrando que se encontra limitado pelos seguintes valores: 3,14085 3,142857 Essa aproximação tem duas casas decimais corretas. MANUAL DO PROFESSOR
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Embora muitas civilizações antigas tenham observado por meio de medições que a razão
c é a mesma para círculos de diferentes tamanhos, os gregos foram os primeiros d
a compreender que e 2 são números que não podem ser escritos como quociente entre números inteiros. Contudo, embora os gregos tenham conseguido provar que 2 é irracional, o mesmo não aconteceu com . Por volta de 499 d.C., aparece em um tratado indiano sobre Matemática e Astronomia dados para a obtenção de , que resultavam em um valor aproximado de 3,1416: é uma boa aproximação com 3 casas decimais corretas. Mais tarde, outros matemáticos obtiveram melhores aproximações. Os chineses encontra ram uma fração simples 355 113 , que está bem próxima de . Em 1761, o matemático alemão Johann Lambert provou que é irracional. A. M. Legendre, em 1794, também fez essaprova. A esses dois,seguiu-se Vega, que em 1796 dá uma aproximação para com 140 casas decimais. A partir da metade do século XX, com o desenvolvimento dos computadores, foi possível calcular com um número cada vez maior de casas decimais. Em 1997, atinge-se o número fantástico de 51 539 600 000 casas decimais exatas para .
VI. Textos complementares para o professor Mostrando que 2 é irracional “Suporemos que 2 é um número racional e mostraremos que essa afirmação nos leva a uma contradição. 2 é um número racional se existem a e b inteiros, b 0, tal que a 2 . b Suponhamos que a e b não são ambos pares.
a 2 b
a a 2 ou a2 2b2 b b Se o quadrado de a é par, então a é par. ⇒
(ver quadro ao lado).
Se n é par, entãon 2k, com k natural. n2 (2k)2 4k2 2(2k2) n2, que é o quadrado de um número
a 2k natural qualquer, par, é igual ao produto de 2 por um número natural 2 k2. a2 2b2 ⇒ (2k)2 2b2 ⇒ 4k2 2b2, 2 2 Portanto, n2 é par. ou seja, b 2k Se o quadrado de b é par, então b é par. Isso contradiz a hipótese inicial de que a e b não são ambos pares. Portanto, não existe número racional a tal que a a 2. b b b Provamos que 2 não é racional. Uma demonstração geométrica de que 2 é irracional O objetivo desta nota é divulgar junto aos leitores da RPM uma demonstração da irracionalidade de 2 , extremamente elegante e fundada em argumentos geométricos. Aparentemente, o argumento central já fora utilizado pelos gregos na demonstração da incomensurabilidade do lado e da diagonal de um quadrado. Para maiores detalhes, ver o artigo Grandezas incomensuráveis e números irracionais, publicado na RPM 5. 58
MANUAL DO PROFESSOR
p , obtemos p2 2q 2 q 2 q 2, que é q p a relação do Teorema de Pitágoras. Assuma, por absurdo, que 2 , com p e q números q Começamos observando que, da igualdade 2
inteiros positivos e primos entre si. Assim, existirá um triângulo retângulo isósceles de lados inteiros p (hipotenusa) e q (cateto). Observe que quaisquer dois triângulos retângulos isósceles são semelhantes e, como p e q não possuem fator comum, esse triângulo de lados p, q e q é o menor triângulo retângulo isósceles de lados inteiros. Na figura, AD é um arco de cirC cunferência de raio q e centro C, com D z CB. Toma-se E em z AB de
)
modo que D 90°. Daí segue que z DE é tangente ao arco de circunferência mencionada e, também, que EA ED, já que são segmentos tangentes à circunferência traçados a partir de um ponto externo. q Como Bˆ 45°, segue que o triângulo EDB é isósceles e retângulo. ED DB p – q, que é inteiro. Também EB é inteiro, pois EB p – AE q – ED q – (p – q) 2q – p. Assim, o triângulo DEB é retângulo
A
p
D
E
B
isósceles e ppossui lados inteiros menores do que e q. Isso é um absurdo que seguiu da suposição2 p , com p e q inteiros primos q entre si. A conclusão é que 2 é irracional. Bonito, não é?” POSSANI, Cláudio. Uma demonstração geométrica de que 2 é irracional.
Revista do Professor de Matemática , Rio de Janeiro: SBM, n. 57, p. 16-17, 2005.
VII. Sobre as atividades propostas Boxe da página 8 A ideia é fazer com que percebam, sem formalismos, que, no conjunto dos números naturais, a adição e a multiplicação são operações fechadas e isso não acontece com a subtração e a divisão. Seção livre da página 10 21 3 4 5 ... 97 98 99 Antes de propor a leitura do texto, escreva no quadro a adição 100 e deixe-os trocar ideias de como poderiam tentar descobrir a soma mais rapidamente. Pode ser que alunos percebam o padrão que Gauss percebeu. Depois, faça a leitura e a atividade proposta. Boxe da página 12 Importante: os alunos precisam ter claro que o conjunto
Z é uma ampliação do conjunto N.
Atividade 14 Como dissemos no volume do 6o ano, exercícios com quadrados mágicos aparecerão ao longo da coleção. Indicamos um site que traz quadrados mágicos num jogo on-line: . MANUAL DO PROFESSOR
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Boxe da página 17 Não é fácil para os alunos nessa faixa de idade compreenderem que há infinitos números entre 1,3 e 1,4, por exemplo. Observe como serão as respostas às questões do boxe, mostrando mais exemplos, se necessário. Atividade 68 Seria interessante mostrar exemplos numéricos para perceberem que, se as frações estão entre zero e 1, o produto será menor do que cada uma delas. Sugestão: 1 1 1 e 1 1 , 1 1 . 2 5 10 10 2 10 5
Unidade 2 – Potenciação e notação científica I. Objetivo geral Reconhecer a notação de potências e suas propriedades como um registro prático e facilitador de cálculos.
•
II. Objetivos específicos Calcular potências de base real e expoente inteiro. Reconhecer e aplicar as propriedades de potências. Operar com potências de base 10. Reconhecer e registrar números na notação científica.
•
•
•
•
III. Comentários As potências de expoente inteiro são apresentadas pela observação de regularidades. Você pode pedir aos alunos que armem, por exemplo, um quadro com potências de base 5 em ordem decrescente. 54 625 :5 53 125 :5 52 25 : 5 51 5 :5 50 1 :5 1 51 5
Os alunos deverão perceber que, ao diminuirmos uma unidade do expoente, o valor da potência é dividido por 5, ou seja, pelo valor da base. Propondo exemplos com outras bases, os alunos perceberão a regularidade existente, visto que atividades desse tipo vêm sendo exploradas desde o 6o ano.
1 :5 52 25
Formalizamos a potenciação com expoente inteiro. Em seguida, apresentamos as propriedades das potências. Resolvemos abordá-las somente aqui, no 8o ano, porque em seguida serão importantes para o cálculo algébrico. 60
MANUAL DO PROFESSOR
O trabalho com as propriedades das potências merece atenção não só por sua importância em outras ciências, mas para evitar erros que por vezes acompanham o aluno por anos se as propriedades não forem compreendidas com clareza. Comentaremos a seguir alguns equívocos que consideramos graves, os quais, geralmente, aparecem nos registros dos alunos no início do aprendizado da Álgebra: Quando descobrem que (x y)2 x2 y2, acham que (x y)2 x2 y2. Normalmente, esse erro aparece com frequência. Cabe-lhe mostrar por meio de exemplos, pacientemente, e toda vez que o erro aparecer, que essa igualdade não é verdadeira. Os alunos também costumam “estender” erroneamente propriedades por conta própria: 2
5
7
2 3 6 ? Sempre que isso ocorrer, mostre por meio de exemplos que essa igualdade féalsa. Para introduzir a notação científica, ferramenta utilizada pela Física, Química e Biologia, retomamos primeiro as potências de base 10, buscando alicerçar o conhecimento novo no anterior. O aluno deve transitar com segurança pelos registros: 2 2 102 1 1 0,01 e vice-versa: 0,01 1 1 102 10 100 100 10
[ ]
[ ]
O texto mostra números com muitos zeros presentes em medidas e propõe a notação científica como registro mais simples, que evita erros. A escolha de um número entre 1 e 10 ocorre por conveniência. Se não houvesse essa restrição, existiriam muitas maneiras de escrever o número usando potência de 10 com expoente inteiro positivo ou expoente inteiro negativo.
(É necessário instalar um plug-in disponível no site; em espanhol.)
Sugestões de avaliação Apresentamos dois textos complementares que podem ser utilizados para desenvolver e avaliar habilidades de leitura, escrita e oralidade. O primeiro texto sugerido trata da relação entre o registro na notação científica e a precisão de medidas, numa abordagem leve, mas importante para as ciências em geral. O segundo texto trata especificamente da notação científica.
IV. Integração com outras áreas do conhecimento O trabalho com notação científica permite a integração com Ciências. Os alunos podem pesquisar e trazer dados que envolvem números com muitos zeros (distâncias astronômicas, massa do elétron, quantidade de células de um organismo etc.). O segundo texto complementar ajudará nesta tarefa. Em duplas, montam cartazes apresentando a notação científica como uma facilitadora para o registro de medidas nas diversas ciências. Para o trabalho com o texto “A notação científica e a precisão de medidas”, você pode levar para a sala de aula uma balança de cozinha, um termômetro, uma régua milimetrada, uma fita métrica de costureira etc. e explorar na prática as ideias do texto. MANUAL DO PROFESSOR
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V. Textos complementares para trabalhar com os alunos A notação científica e a precisão de medidas Ciências como a Física, a Química e a Biologia, por exemplo, usam com frequência a notação científica para registrar e fazer operações com medidas. Essa escolha não é feita só para economizar zeros. Ela também está relacionada com a precisão do instrumento que fez a medida. Vamos explicar isso partindo de uma situação bem simples: Uma pessoa mediu determinada distância usando um pedaço de corda com 1m de comprimento e sem subdivisões. A medida registrada foi de 13,2 m. Isso significa que a corda coube 13 vezes e mais “um pouco” na distância em questão. Você concorda que o algarismo 2 foi estimado? A corda não tinha subdivisões, estimou-se que esse “um pouco” se aproximaria de 2 do metro. 10 Esse algarismo 2 é chamado duvidoso, pois não foi “lido” diretamente pelo instrumento de medida (no caso, a corda). Se você escrever algarismos depois do algarismo duvidoso, eles não terão significado. A precisão dessa medida feita com a corda só vai até a primeira casa decimal. 13,2 ⇒ m (décimos de metro) ↓
duvidoso E o que isso tem a ver com a notação científica? Observe: se escrevermos 13,2 m em milímetros, teremos: 13,2 m 13 200 mm. A simples mudança de unidade (de metro para milímetro) fez com que a medida, que tinha precisão de décimos de metro, passasse a ter precisão de milímetros. O algarismo 2 não seria mais duvidoso! Isso não está correto, porque o que determina a precisão de uma medida é o instrumento utilizado, a forma como ela foi feita, enão a unidade de medida em que ela foi escrita. Quando usamos as potências de base 10, esse problema não ocorre: 1 m 1 000 mm 10³ mm Ou, na notação científica: 13,2 m 13,2 10³ mm 13,2 10³ 1,32 10¹ 10³ 1,32 104 mm Dessa forma, o algarismo 2 continua sendo duvidoso, e sabemos a precisão da medida efetuada. Essa é uma das grandes vantagens de registrar grandezas na notação científica. O texto e as atividades apresentadas a seguir são parte de arquivo disponível no site .
Notação Científica “[...] As Grandezas Físicas, objetos de estudo das Ciências ecom muitas das quais convivemos no nosso cotidiano, são aquelas que podem variar quantitativamente e possíveis de sermedidas, ou seja, de ser expressas por um número e uma unidade de medida. Por exemplo, a medida de temperatura igual a 25 graus Celsius é expressa como 25° C. 62
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Professor, peça aos alunos exemplos de outras Grandezas Físicas, com números e unidade de medida. Escreva os exemplos no quadro. A tabela a seguir mostra os prefixos, envolvendo potências de 10, usados nas medidas utilizadas nas Ciências em geral (Matemática, Física, Química, Computação, Astronomia, Nanotecnologia etc.). POTÊNCIAS DE 10 PREFIXO
SÍMBOLO
yotta (iota)
Y
zetta (zeta) exa
Z
FATORDEMULTIPLICAÇÃO 10 10
24
21
E
1018
peta
P
1015
tera
T
1012
giga
G
109
mega
M
106
quilo
K
103
hecto
H
102
deca
Da
101
100 1 deci
d
101
centi
c
102
mili
m
103
micro
(
mu)
6
nano
n
109
pico
p
1012
femto
f
1015
atto
a
1018
zepto
z
1021
yocto
y
1024
10
Usando a nomenclatura mostrada na tabela, podemos escrever: Distância da Terra ao Sol 1,52 10¹¹ m 152 109 m 152 Gm 152 gigametros Tamanho de uma célula 2,5 106 m 2,5 µm 2,5 micrometros As unidades de medida da tabela pertencem ao Sistema Internacional de Medidas (SI). Muitas, como o quilo, foram criadas em 1795; outras, como ‘micro’, em 1960, e ‘exa’ em 1975. Outras são mais recentes, por exemplo ‘yotta’ e ‘yocto’ foram criadas em 1991.
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[...] Aplicação de conhecimentos – Resolução de questões Questão 1 O objetivo desta questão é compreender a facilidade que decorre da escrita de um número muito grande como produto de uma parte inteir a, por uma potência de 10, para efetuar cálculos. Responda à questão no quadro de giz, recuperando os conhecimentos necessários para resolvê-la. Saturno é um planeta do sistema solar localizado entre a órbita de Júpiter e a de Urano. É o segundo maior planeta e o sexto mais distante do Sol. Calcule a velocidade de translação do planeta Saturno. Para esse cálculo precisamos determinar a ‘distância percorrida’ por Saturno e o ‘tempo que ele gasta percorrendo essa distância’, pois Vm S . t A distância percorrida por Saturno é, aproximadamente, o comprimento da circunferência, do centro do Sol e o raio dado pela distância de Saturno ao Sol. (Claro que essa órbita não é uma circunferência: o que calculamos é um valor aproximado.) Uma visita ao Centro de Divulgação Científica e Cultural da Universidade de São Paulo, no endereço eletrônico http://www.cdcc. sc.usp.br, mostra que a distância de Saturno ao Sol é igual a 1 427 milhões de km. O ano de Saturno (período de revolução: tempo que demora para Saturno dar uma volta ao redor do Sol) é igual a 29,46 anos terrestres, o que equivale a 258 069,6 horas (365 dias 24 h 8 760 h por ano em 29,46 anos temos 8 760 29,46 258 069,6 h). e , temos: Voltando à formula da velocidade média V m t Vm 2 3,14 1 427 1 000 000 2 580 696,6
O que propomos é trabalhar com potências de 10 e ‘cortar’ os zeros. A Notação Científica para um destes números, por exemplo, o da distância de Saturno ao Sol, é 1,427 109. No entanto, para fazer os cálculos é melhor trabalhar com os números sem vírgula. Assim, escrevemos os números como produto de uma parte inteira multiplicada por uma potência de 10, temos: 1 427 milhão km 1 427 000000 1 427 106 258 069,6 h 2 580 696 101 6 2 1 427 106 628 10 0,3473 105 34 730 km/h Vm 2R 2 3,14 1 427 10 2 580 696 10 1 2 580 696 101 t Convertendo, como faz a Astronomia, para km/s temos: 1 h 60 60 3 600 segundos Vm 34 730 9,64 km/s 3 600
As questões a seguir têm o objetivo de fixar as noções sobre Notação Científica e reforçar a utilização de potências de 10, para facilitar cálculos com números muito grandes ou muito pequenos. Resolva coletivamente com a classe.
Questão 2 Uma das unidades de medida para distâncias mais usadas em Astronomia é o ano-luz, distância percorrida pela luz em um ano: 1 ano-luz 9,46 1012 km. Comprove esse resultado sabendo que a luz se propaga a uma velocidade de aproximadamente 300 000 km/s. Resposta: aproximadamente 2,2 1019 km.
Questão 3 A massa do Sol é: 1 980 000000 000000 000000 000000 toneladas A massa da Terra é: 5 980 000 000000 000 000 000 000 kg Quantas vezes a massa do Sol é maior que a da Terra? Resposta: aproximadamente 331 vezes.
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MANUAL DO PROFESSOR
Questão 4 Sabe-se que a massa de um vírus é estimada em 10 21 kg e a massa de uma bactéria, em 0,000 000 001 g. a) Qual o peso de 5 milhões de vírus? b) E de 3 mil bactérias? Respostas: 5 1015 kg e 3 109 g.
Questão 5 A população estimada da Índia é de 1 147 995 904 habitantes; a da França é estimada em 64 057 792; e a do Brasil, 196 342 592, de acordo com o site Index Mundi. a) Quantas vezes a população da Índia é maior que a da França? b) Quantas vezes a população da Índia é maior que a do Brasil? c) Quantas vezes a população do Brasil é maior que a da França? Respostas: em valores aproximados – 17 vezes, 6 vezes, 3 vezes, respectivamente. Observação ao professor: a população estimada para o Brasil em 2008 pelo Index Mundi é superestimada em comparação com os dados do IBGE.
Questão 6 O cérebro humano tem cerca de 100 000 000 000 de neurônios. Escreva esse número em Notação Científica. Resposta: 1 1011.“
Disponível em: . Acesso em: fev. 2012.
VI. Sobre as atividades propostas Seção livre B da página 47 Os alunos podem montar os cartazes com os números que encontraram em jornais, internet etc. O texto para o cartaz explicando o que é a notação científica e as vantagens de sua utilização pode ser feito de forma coletiva. Os alunos apresentam oralmente as sugestões do que é importante escrever e você, professor, anota no quadro. O texto é analisado por todos, e depois transcrito para a cartolina. Como já dissemos, otexto complementar “Notação Científica” pode ser útil nesta ativi dade.
Unidade 3 – Radiciação I. Objetivo geral •
Reconhecer o conceito de raiz, articulado ao de potência, percebendo a conveniência de uma notação própria.
II. Objetivos específicos • • • • •
n
Reconhecer o símbolo a, sendo a um número real positivo, e n par, diferente de zero. n Reconhecer o símbolo a, sendo a 0 e n ímpar. Compreender potenciação e radiciação como operações inversas. Calcular a raiz quadrada aproximada. Identificar um número quadrado perfeito. MANUAL DO PROFESSOR
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III. Comentários O estudo de radiciação logo após o estudo de potenciação deve permitir a ligação entre os assuntos. Nesse momento, os alunos têm condições de compreender a radiciação como operação inversa da potenciação. Para isso, a articulação com Geometria é indispensável: – Dado o lado, determinar a área do quadrado: elevar ao quadrado. – Dada a área, determinar o lado do quadrado: extrair a raiz quadrada. – Dada a aresta, determinar o volume do cubo, e dado o volume do cubo, calcular a aresta. Para trabalhar contextualmente raízes quadradas e cúbicas, sugerimos, por exemplo, dar a área de uma cidade e perguntar qual seria a medida aproximada do lado, se a cidade tivesse a forma de um quadrado. De forma semelhante, pode-se usar o consumo em m 3 registrado na conta de água para o cálculo da medida da aresta do cubo que teria esse volume. A utilização de calculadora é oportuna para o cálculo de raízes quadradas exatas, tanto com resultado inteiro como com resultado decimal finito. Mostramos também que raízes não exatas são aproximadas pela calculadora, lembrando que o número de casas da aproximação deve ser adequado à precisão que o problema requer. Apresentamos os números quadrados perfeitos e o método de aproximações sucessivas para o cálculo de raízes. Os alunos costumam compreender bem esse método para obter tanto raízes exatas, como aproximadas. A fatoração é apresentada como forma de descobrir se o número é quadrado perfeito e prepara para a simplificação de radicais. Nesse momento, é importante que eles compreendam com clareza que a2 a para a 0 e que se habituem com raízes cúbicas, quartas etc. n
Também é preciso que saibam quais raízes não são definidas no conjunto dos números reais: a não se define em se a 0 e n par, n 0. Na página 56, apresentamos de maneira completa a radiciação em . No trabalho com raízes não exatas, esclareça que, por exemplo, 7 é não exata, mas é um número real, evitando que imaginem que só raízes exatas se definem em .
R
R
R
Sugestão de avaliação A unidade se inicia com uma situação contextualizada cuja resolução envolve o cálculo de uma raiz quadrada. O texto e os exercícios também exploram situações envolvendo área e volume em que as raízes quadradas e cúbicas são utilizadas. Podem-se selecionar algumas dessas situações e propor que os alunos as resolvam em duplas ou trios. Observe o trabalho dos grupos em sala, orientando os alunos, incentivando a cooperação, o respeito pelo pensamento do outro, a organização. A avaliação envolveria os aspectos conceituais e também os atitudinais, tais como: criatividade, organização, respeito pelo pensamento do outro, capacidade de argumentação.
IV. Integração com outras áreas do conhecimento As raízes quadradas, em especial, aparecem em fórmulas utilizadas, por exemplo, na Física. Pode-se selecionar uma ou duas bem simples e mostrar aos alunos. Uma sugestão: a velocidade v com que um corpo, abandonado em queda livre de uma alturah, atinge o solo pode ser calculada usando v 20 h (considerando g 10 m/s2). 66
MANUAL DO PROFESSOR
V. Atividade complementar para os alunos Temos enfatizado a importância de apresentar aos alunos jogos e brincadeiras. A sugestão a seguir trabalha com conteúdos como potenciação, radiciação, divisibilidade, expressões numéricas. As respostas corretas permitirão que o aluno ligue os pontos e obtenha uma figura. O professor pode criar perguntas diferentes ou outros desenhos.
Atividade ludo-pedagógica Instrução Completem os espaços nas frases seguintes e, à medida que forem achando as respostas, liguem os pontos correspondentes às respostas na folha anexa. No final formará uma figura. Que figura é essa? 1 a) O menor número natural não nulo é . 14
b) O sucessor par do número 13 é 16
c) O valor da potência 2 é 4
. .
d) O resultado ou quociente de 121 é 11 25 e) 625 vale .
11
.
15
f) O valor da expressão 24 20 é
.
7 g) Um número elevado ao quadrado dá 49; esse número é . 13 64 0 10 10 é h) O valor de expressão . 2 i) O único número da sequência: 1, 4, 9, 16, 23, 36 que não é um quadrado perfeito, é 23
j)
Os números 2, 12, 21, 78, 626, 1 890, 1 894 são divisíveis por dois, exceto 4
k) Um número n elevado ao cubo vale 64; o númeron é l)
27
O valor da expressão 5 2 é 2
.
.
8
m) O cubo do número 2 vale
. .
21
.
n) O número de elementos do conjunto formado pelos números naturais não nulos menores 2 que 3 é . 6
o) A raiz quadrada do valor da expressão 25 2(33 : 9 1) é p) A metade do valor da expressão 2 : (7 · 3 5) (3 2 ) : 7 é 4
3
24
q) O valor da expressão 5 1 é 2
r) O dobro de 81 é
18
3
.
22
u) O dobro do sucessor do número 10 é w) Se x3 1 000, então 2x
.
.
s) Um número escrito na base 2 é 10 011; na base 10 vale 10 t) O antecessor do número 11 é . v) A raiz quadrada de 34 é
. 3
9
19
.
.
. 20
.
MANUAL DO PROFESSOR
67
5
x) Entre os números 14, 17, 16, 5, o único divisível por 5 é 16
y) O valor da expressão 20 (6 4 7) é
.
.
z) Do número 2 000, você subtrai 1 280. A seguir, divide o resultado por 5. A raiz quadrada 12
do número que você obteve é igual a
.” 8 27
19 24 10 22
2
18
4
9
3 5
20
6 21
17 25 1 14
12
23 13
11
16
15
7
COELHO, Mozart Cavazza Pinto. Explorando o ensino da Matemática. Brasília: MEC; SEB, 2004. v. 2. p. 53.
VI. Texto complementar para o professor O texto a seguir, elaborado pela professora Rosaly Mara S. Garita, mostra como alguns de seus alunos exploraram o sistema de numeração decimal para o cálculo da raiz quadrada por tentativas.
Cálculo da raiz quadrada por tentativas “1. Cálculo de raízes exatas Para encontrar 324, por exemplo, eles (os alunos) começam por encontrar o algarismo das dezenas da raiz. Este deve ser 1 porque 10 · 10 100 é menor do que 324, enquanto 20 · 20 400 é maior do que 324. Para encontrar o algarismo das unidades, eles procuram entre aqueles cujo quadrado termine em 4, como 324. Então poderia ser 2 ou 8. Reduzem, dessa forma, as tentativas a 12 e a 18. Sendo 12 · 12 144 324, a raiz procurada deve ser 18, o que de fato se verifica, pois 18 · 18 324. 68
MANUAL DO PROFESSOR
2. Cálculo de raízes inteiras aproximadas em que o algarismo da dezena deve também ser 1, eles iniciam as Para encontrar 388, tentativas com 9 no algarismo das unidades, pois 20 · 20 400 está muito mais próximo de 388 do que 10 · 10 100. E, como 19 · 19 361, a raiz aproximada será 19. 3. Cálculo de raízes aproximadas, com erros menores do que 0,1 ou 0,01 ou ... com erro menor do que 0,1. Seja, por exemplo, o problema de calcular 13, 1 300 e multiplicar a raiz obtida por 0,1. Basta aplicar o processo anterior ao número 13 · 210 deve ser 3 e, como 30 · 30 900 e 40 · 40 Mas o algarismo das dezenas na 1 300 1 600, é este que está mais próximo de 1 300. Então iniciaram suas tentativas partindo de 39 · 39 1 521, que é muito grande ainda, bem como 38 · 38 1 444 ou 37 · 37 1 369. Como 36 · 36 1 296, a raiz procurada será 3,6. com erro inferior a 0,1, verificando que o algarismo das deAnalogamente, calcularam 38 deve ser 6 e, como 60 · 60 3 600 está perto de 3 800, tentaram 61 · 61 zenas de 3 800 3 721, donde 38 6,1...” GARITA, R. M. S. Cálculo de raízes. Revista do Professor de Matemática , Rio de Janeiro: SBM, n. 21. 1992. p.17-18.
VII. Sobre as atividades propostas Boxe da página 58 A calculadora ajuda a compreender a radiciação como operação inversa da potenciação. Faça mais exemplos, se possível, e explore com os alunos o uso da tecla e também a forma mais rápida de efetuar potenciações na calculadora usando o sinal de igual: Por exemplo, 85 calcula-se digitando 8 e o sinal de igual 4 vezes seguidas.
Atividade 29 Explique como interpretar este tipo de desigualdade. Mostre exemplos com números naturais para facilitar o entendimento.
Unidade 4 – Cálculo algébrico I. Objetivos gerais • •
Introduzir a linguagem algébrica associada naturalmente a situações significativas. Construir os usos e as regras dessa linguagem.
II. Objetivos específicos • • • • •
Reconhecer uma expressão algébrica. Calcular o valor numérico de uma expressão algébrica. Reconhecer monômios, identificando o coeficiente e a parte literal. Reconhecer polinômios e reduzir termos semelhantes. Operar com monômios e polinômios. MANUAL DO PROFESSOR
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III. Comentários O volume do 8o ano aborda Números, Geometria, Medidas e Estatística, tendo uma parte significativa dedicada ao trabalho com a Álgebra. Já ressaltamos a importância de você desenvolver em seu curso as diferentes concepções ou finalidades de Álgebra (como genera lizadora da Aritméti ca, como estudo de processos para resolver problemas, como estudo da relação entre grandezas e de estruturas matemáticas – manipulação de expressões). Vale lembrar que nos livros do 6 o e do 7 o anos, foi explorado o trabalho com a observação de padrões e as relações entre grandezas, preparando para a Á lgebra do 8 o e do 9 o anos. Iniciamos a unidade relembrando equações: o que é uma equação, o que é incógnita, o que significa resolver uma equação. Julgamos essa retomada importante. Em seguida apresentamos o conceito de variável e o uso de fórmulas para traduzir matematicamente a relação de interdependência entre grandezas. Observe que na primeira fórmula apresentada usamos no registro S 200 n 1,50 e não 1,50 n, que é mais usual, pois, ao introduzir a linguagem algébrica, pequenos detalhes que nos parecem banais não o são para os alunos. Eles entendem melhor essa ordem. O trabalho com expressões algébricas e operações é feito de forma progressiva, com base nas operações em e nas suas propriedades. Por exemplo, para desenvolver a expressão (–3x2)3, o aluno não seguirá uma “regra especial”, nem dará à expressão o nome de “potenciação com monômios”. Ele reconhecerá que temos um produto elevado a um expoente e aplicará a propriedade já conhecida: (a b)n an bn. 5x , De forma semelhante, usará frações equivalentes para efetuar adições e subtrações dox tipo 2 3 por exemplo.
R
Optamos por não trabalhar nessa coleção com a divisão de polinômios por polinômios. Esse assunto só terá relevância no 3o ano do Ensino Médio, não sendo necessário para a continuidade do curso de Ensino Fundamental. A Geometria, por meio do conceito de perímetro e de área, é uma grande aliada na construção dos procedimentos de cálculo algébrico.
(em inglês) (em inglês) (em inglês)
Sugestão de avaliação
Apresentamos abaixo a atividade “Eu tenho... quem tem...?” que trabalha a linguagem algébrica de forma agradável e lúdica. Jogos e brincadeiras são recursos importantes, pois favorecem a criatividade, a intuição e o diálogo entre os alunos e você. A participação dos alunos no jogo pode ser avaliada. O trabalho com textos também pode fazer parte da avaliação. A unidade traz boxes tratando da história da Álgebra. Esse assunto costuma interessar aos alunos. 70
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“Eu tenho... quem tem...?” “A atividade descrita a seguir foi elaborada por um grupo de professores da rede pública e particular num curso oferecido pelo CAEM em abril de 1994. Os objetivos dessa atividade são: relacionar as linguagens em prosa e a algébrica; desenvolver cálculos algébricos simples mentalmente; aplicar os conceitos da Álgebra e da Aritmética. • • •
Material: 16 tiras de papel, cada uma com uma das frases do quadro abaixo. Desenvolvimento: Os alunos em grupos de até 16 pessoas recebem uma tira cada um. Eventualmente, se o grupo for menor, alguns alunos podem receber mais de uma tira. – Um aluno é escolhido para começar a atividade. Ele faz a leitura de sua tira e o colega que possuir a resposta da instrução da tira é o próximo, que deve dar a resposta e ler a sua instrução e, assim, sucessivamente. – A atividade termina quando a última resposta for a do aluno que iniciou a rodada. Esta atividade pode ser repetida trocando-se as tiras entre os alunos até que as eventuais dificuldades de compreensão sejam sanadas. Num outro momento, o professor pode propor aos alunos a construção de uma sequência de tiras. Para isso, basta tomar cuidado para que as respostas sejam cíclicas, de modo a voltar na tira de início, não importa qual seja ela. Essa atividade pode ser feita com outros assuntos que sejam de interesse de estudo.” Tiras de “Eu tenho... quem tem...?” Eu tenho 2x. Quem tem o meu número mais uma unidade? Eu tenho 2x 1. Quem tem o dobro do meu número? Eu tenho 4x 2. Quem tem o triplo do meu número?
Eu tenho x – 2. Quem tem a área de um retângulo cujo comprimento é o meu número e a largura é 2? Eu tenho 2x – 4. Quem tem o meu número menos 4? Eu tenho 2x – 8. Quem tem o quadrado do meu número?
Eu tenho 12x 6. Quem tem 12x 6 se x vale 1 ? 6 Eu tenho 8. Quem tem a raiz cúbica do meu número? Eu tenho 2.
Eu tenho 4x2 – 32x 64. Quem tem a quarta parte do meu número?
Quem de x? tem o meu número mais o quadrado Eu tenho 2 x2. Quem tem o meu número menos 6?
Quem de x? tem o meu número menos o dobro Eu tenho – 2x. Quem tem o dobro do meu número mais 4? Eu tenho – 4x 4. Quem tem o meu número dividido por –2 acrescentado de 2 unidades?
Eu tenho x2 – 4. Quem tem um fator do meu número?
Eu tenho x2 – 8x 16. Quem tem o meu número parax 4? Eu tenho zero.
SOUZA, E. R. de; DINIZ, M. I. de S. V. Álgebra: das variáveis àsequações e funções. SãoPaulo: Caem – USP,1994. p.99-100.
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IV. Integração com outras áreas do conhecimento Tratamos de fórmulas e de variáveis. É interessante mostrar aos alunos aplicações da Álgebra para traduzir e estudar a relação entre grandezas. Segue uma sugestão bem simples, que atende ao nível de compreensão dos alunos: utilizando barras de sabão com forma de bloco retangular ou cubo, os alunos podem determinar sua densidade usando a relação d m . Para isso, medem a
V
massa da barra com balança, suas dimensões com régua e calculam seu volume. A razão m é a V densidade procurada. É possível utilizar outros objetos, como um tijolo comum, por exemplo. n o o rt a C a rt s lu I
A EVOLUÇÃO DA LINGUAGEM ALGÉBRICA Diofante – século III d.C.: utilizou abreviações para representar quantidades e operações que apareciam com maior frequência.
Al Khowarizmi – século IX d.C.: teve contato com a obra de Diofante, mas utilizou a linguagem comum, escrita, para formular e resolver problemas algébricos.
François Viète – século XVI d.C.: desenvolveu a álgebra simbólica, criando notações próximas das que utilizamos hoje.
V. Texto para trabalhar com os alunos Você sabe o que é Álgebra? o
No 7 ano você iniciou o estudo das equações. Aprendeu o que é uma equação, encontrou a solução de muitas delas e resolveu problemas usando equações para representá-los. Para lembrar como fazíamos isso, vamos descobrir o número desconhecido no problema a seguir: O dobro de um número somado a 162 resulta 270. Qual é esse número? Usando a letra x para representar o número desconhecido, escrevemos a equação que traduz o problema: 2x 162 270 Dizemos que x é a incógnita da equação 2x 162 270. Para resolvê-la fazemos: 2x 270 – 162 2x 108
x 108 2
54 da equação é 54, ou seja, o número desconhecido é 54. xA solução Verificamos se a solução está correta substituindox por 54 na equação: 2x 162 270 2 · 54 162 270 108 162 270 A igualdade é verdadeira! Acertamos! 72
MANUAL DO PROFESSOR
E o que isso tem a ver com Álgebra? O estudo das equações pertence a um ramo da matemática chamado Álgebra. A Álgebra é a parte da Matemática que estuda expressões envolvendo letras e números. Usamos os conhecimentos algébricos, entre eles a resolução de equações, para representar e resolver problemas, expressar a relação entre grandezas e generalizar propriedades. A palavra Álgebra vem de Al-jabr wal mugãbalah, título de um livro escrito pelo sábio árabe Al Khowarizmi por volta do ano 825. Essa obra foi traduzida para o latim no século XII com o título Liber algebrae et almucabala. Portanto, Álgebra deriva da tradução latina para a palavra árabe al-jabr. Do nome Al Khowarizmi derivam as palavras algarismo e algoritmo. Um matemático grego chamado Diofante, que viveu em Alexandria por volta do século III d.C. foi provavelmente o primeiro a utilizar símbolos para representar números desconhecidos. Aprenderemos ainda muitas coisas novas no campo da Álgebra. Por isso estamos falando dela! Esses conhecimentos serão importantíssimos para o aprendizado dos conteúdos do 9o ano e do Ensino Médio.
VI. Texto complementar para o professor O texto a seguir foi formado com recortes de um artigo publicado pelas professoras Márcia Cyrino e Hélia de Oliveira. O professor notará que se trata de um texto acadêmico, um pouco distinto, em seu estilo, dos textos divulgados em livros didáticos como o nosso e, além disso, é um artigo que relata uma pesquisa feita com crianças portuguesas. Mas, então, qual é o motivo de sugerirmos a leitura deste texto ao professor? Primeiro, porque ele é um texto muito interessante. Nele há um estudo das estratégias e dos tipos de pensamento algébrico mobilizados por estudantes. Segundo, porque o professor pode, ao ler o texto, identificar aspectos que são (ou não) próximos ao que ocorre em sua sala de aula. Terceiro, porque a discussão sobre pensamento algébrico é tão importante quanto necessária. Há uma tendência de acharmos que a Álgebra só se inicia quando começam a ser discutidos, em salas de aula, os conteúdos propriamente algébricos. Isso não é verdade. Há muitas atividades, disponíveis aos alunos desde o início da escolaridade, que desenvolvem não a Álgebra, mas o pensamento algébrico. No artigo que selecionamos como possível leitura complementar ao professor, há uma discussão sobre o que é pensamento algébrico. Convidamos o professor a acessar o srcinal deste artigo, que está integral e gratuitamente disponível em: .
Pensamento Algébrico ao longo do Ensino Básico em Portugal “O reconhecimento do lugar central da álgebra na Matemática tem sido acompanhado pela sua integração nos currículos do ensino básico ao redor do mundo. No entanto, são reconhecidas muitas dificuldades associadas à aprendizagem da álgebra, suscitando, por exemplo, a reflexão e o debate sobre quando iniciar o seu estudo e, de uma forma mais geral, sobre a sua própria natureza (JACOBS et al., 2007). Concomitantemente, a investigação sobre os processos de ensino e de aprendizagem da álgebra na educação elementar tem mobilizado muitos educadores matemáticos nos últimos anos, sendo vários os focos assumidos nos estudos. Kieran (2006) apresenta três grandes grupos de temas que emergiram nas actas do grupo PME (Psychology of Mathematics Education) nos últimos 30 anos, nomeadamente: a) transição
MANUAL DO PROFESSOR
73
da aritmética para a álgebra, variáveis e incógnitas, equações e resolução de equações, e problemas de palavras em álgebra; b) uso de ferramentas tecnológicas, focando-se nas múltiplas representações e na generalização; c) pensamento algébrico dos alunos do ensino elementar, focando-se no ensino/aprendizagem da álgebra, nos modelos dinâmicos de situações físicas e noutros ambientes dinâmicos da álgebra. [...] Na presente investigação identificamos as estratégias e os tipos de pensamento algébrico mobilizados por três alunos de diferentes ciclos do Ensino Básico na execução de um mesmo conjunto de tarefas matemáticas. [...] Para Lins (1992, 1994) o pensamento algébrico é um modo, entre outros, de produzir significado para a álgebra. Pensar algebricamente é para este autor: (i) pensar aritmeticamente; (ii) pensar internamente; (iii) pensar analiticamente (LINS, 1992). Pensar aritmeticamente significa que os objetos com os quais se está a trabalhar são exclusivamente números, operações aritméticas e uma relação de igualdade (LINS, 1994). Nesta perspectiva, é no bojo da linguagem aritmética que o pensamento algébrico emerge nas suas primeiras características. O pensar internamente implica considerar os números e as operações apenas segundo as suas propriedades, possivelmente envolvendo igualdade e desigualdade (LINS, 1992). As propriedades destes objetos, que sustentam a ação dos alunos, não fazem referência a coisa alguma fora do domínio desses objetos (LINS, 1994). [...] O pensar analiticamente caracteriza o pensamento algébrico ‘como um método de procura das verdades onde o desconhecido é tratado como conhecido’ (LINS, 1992, p.16). Significaque os números genéricos são tratados exatamente como se fossem específicos e as ‘incógnitas’ são tratadas exatamente como se fossem ‘dados’ (LINS,1994). [...] Temos consciência de que os tipos de pensamento algébrico mobilizados pelos alunos estão condicionados às tarefas que foram propostas. Se tivéssemos um maior número de tarefas, ou acompanhado estes alunos nas suas atividades de sala de aula, é natural que outros tipos de pensamento algébrico pudessem ter sido identificados. Por exemplo, não foram propostas tarefas que permitissem identificar se os alunos são capazes de fazer generalizações sobre sistemas matemáticos, nomeadamente, se utilizam uma generalização para construir outra generalização (por exemplo: o aluno pode justificar a generalização de que a soma de três números ímpares é um número ímpar utilizando outras generalizações: ímpar ímpar par e par ímpar ímpar). No entanto, a nossa intenção era a de identificaralguma algunscomparação dos aspectosentre centrais do de pensamento algébrico quediferentes. nos permitissem estabelecer alunos níveis de escolaridade Os tipos de pensamento algébrico revelados foram: Aritmética Generalizada: exploração de propriedades e relações entre números, exploração de propriedades das operações com números, exploração da relação de identidade, exploração da igualdade como uma relação entre quantidades, resolução de sentenças com números desconhecidos, tratamento algébrico do número, pensamento aditivo e multiplicativo; •
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Pensamento Funcional: expressão simbólica de quantidades ou operações, estabelecimento de relações funcionais, previsões, identificação e descrição de padrões numéricos, relação de equivalência; Modelação: generalizações de cálculos e relações na resolução de problemas. Relativamente às estratégias, os alunos, na maioria das vezes, demonstraram dependência de cálculos para a resolução das tarefas, utilizando o que Filloy, Rojano e Solares (2004) chamam de ‘Método de sucessivas inferências analíticas’ (Method of Successive Analytic Inferences – MSAI) e apresentaram estratégias de experimentação. Não recorreram ao uso da linguagem simbólica, sendo que apenas o aluno do 9o ano faz uso da linguagem algébrica na forma sincopada. [...] Os alunos revelarampensar aritmeticamente nos momentos em que explicitaram oralmente e representaram por escrito os passos seguidos ao efetuar cálculos, que constitui um objetivo definido para o 1o ciclo. Os alunos do 4o e 6o ano utilizaram alguns aspectos do pensamento proporcional, objetivo dos 2o e 3o ciclos para resolver um problema. Um pensar analiticamente foi revelado pelos alunos no momento em que elaboraram hipóteses iniciais para resolução de problemas. Eles discutiram cada situação, apresentando argumentos e os processos utilizados (objetivo do 3o ciclo). Dos objetivos definidos para o 2 o ciclo, os três alunos traduziram dados de um problema de uma linguagem para outra (verbal, simbólica, gráfica) e descreveram e discutiram estratégias de resolução de problemas. Somente o aluno do 4o ano utilizou propriedades das operações para simplificar o cálculo mental ou escrito e estimou ordens de grandeza do resultado, demonstrando um pensar internamente. Este pensar internamente foi ainda revelado, pelo aluno •
•
do 9o ano, no momentooem que estima a ordem de grandeza de um resultado antes de efetuar o cálculo (objetivo do 1 ciclo), além disso, reconhece múltiplos de um número natural, objetivo do 1o ciclo também atingido pelo aluno do 6o ano. Os três alunos descobriram relações entre números, objetivo definido para o 3o ciclo. Quanto aos aspectos da competência matemática para o Ensino Básico, os alunos demonstraram aptidão para analisar relações numéricas de uma situação e explicitá-las em linguagem corrente. Os alunos do 6o e do 9o revelaram predisposição para procurar padrões e regularidades e para formular generalizações em situações diversas. O aluno do 9o ano mostrou aptidão para concretizar, em casos particulares, relações entre variáveis e para analisar relações numéricas de uma situação, explicitá-las em linguagem corrente e representá-las através de diferentes processos, incluindo o uso de símbolos. Constatamos que os alunos dos três ciclos apresentaram estratégias de resolução semelhantes, e que os alunos do 1o e 2o ciclos atingiram alguns dos objetivos propostos, relativos à álgebra nas orientações curriculares, para o 3 o ciclo. Estes fatos reforçam a possibilidade do pensamento algébrico ser valorizado e assumido como orientação transversal no currículo. Apesar dos alunos do 1o e 2o ciclos terem mobilizado tipos de pensamento algébrico distintos, no que se refere a aspectos do pensamento funcional e à modelação, eles demonstraram capacidade de conjecturar e justificar fatos e relações matemáticas.” CYRINO, M. C. de C. T.; OLIVEIRA, H. M. de. Pensamento Algébrico ao longo do Ensino Básico em Portugal. Bolema, Rio Claro, v. 24, n. 38, p. 98-99;101-102;120-122, abr. 2011.
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Unidades 5 e 6 – Produtos notáveis e fatoração I. Objetivos gerais •
•
Identificar produtos notáveis como produtos especiais e utilizá-los como facilitadores de cálculos numéricos e algébricos. Compreender o significado da fatoração e sua aplicação na Álgebra.
II. Objetivos específicos • • • • • • • •
Reconhecer e desenvolver o quadrado da soma de dois termos. Reconhecer e desenvolver o quadrado da diferença de dois termos. Reconhecer e calcular o produto da soma pela diferença de dois termos. Reconhecer a forma fatorada de uma expressão. Fatorar uma expressão, colocando o fator comum em evidência. Fatorar expressões algébricas por agrupamento. Fatorar binômios que são diferenças de quadrados. Reconhecer e fatorar trinômio quadrado perfeito.
III. Comentários
a b Iniciamos a unidade mostrando que há um padrão no desenvolvimento do quadrado da soma de dois termos. É importante que os alunos percebam o produto notável como um facilitador. A interpretação geométrica dos produtos notáveis deve ser explorada, como sugere o livro. Permita que a a2 ab os alunos construam o material necessário e associem os produtos notáveis com áreas, para melhor compreensão. Lembre o que são fatores e o que é fatorar um número. Isso é importante para introduzir a fatoração envolvendo polinômios. Mais uma vez a Geometria ajuda a dar significado b ab b2 ao conteúdo aprendido. Optamos por trabalhar os produtos notáveis com maior aplicação no restante do curso. O aluno pode desenvolver o cubo da soma ou da diferença utilizando a multiplicação. No 9 o ano ele terá a oportunidade de trabalhar com o caso (x a)( x b) no estudo das equações do 2 o grau, quando mostraremos como escrever uma equação do 2 o grau dadas as suas raízes. Sugerimos que, ao dar os produtos notáveis e os casos de fatoração, você reserve exercícios para serem feitos ao final dos dois capítulos. Assim, o aluno exercitará o reconhecimento do produto notável ou do caso de fatoração que deve ser aplicado em cada exercício.
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Sugestão de avaliação Promova uma competição entre fileiras da classe ou formando grupos de 4 ou 5 alunos. Monte uma lista com aproximadamente 20 exercícios, envolvendo o desenvolvimento de produtos notáveis e a fatoração de expressões. Entregue a folha (tire cópias) ao primeiro aluno da fileira, que resolve o exercício 1 e a passa para trás. O segundo aluno resolve o exercício 2 e passa a folha para o terceiro, e assim por diante. Vence a fileira que acertar o maior número de exercícios.
IV. Integração com outras áreas do conhecimento O conhecimento matemático é ferramenta importante para a construção do saber científico. Você pode e deve conversar com seus alunos sobre isso, mostrando a eles que a Álgebra, a qual estão aprendendo, irá lhes permitir representar e estudar fenômenos, possibilitando melhor compreensão da realidade.
V. Texto complementar para o professor Como sugestão de leitura complementar ao professor, apresentamos o texto a seguir, que aborda princípios relacionados à pesquisa na História da Matemática. O artigo integral – caso o professor tenha interesse – está disponível em: . Além de discutir aspectos gerais para utilizar a História da Matemática em pesquisa e aulas de Matemática, o artigo traz exemplos de temas possíveis para investigações.
Reflexões Teórico-metodológicas para Investigações e m História da Matemática Introdução “A pesquisa em História da Matemática, como atividade científica, não difere de atividades do mesmo tipo em outras áreas do conhecimento, embora tenha particularidades que a caracterizam. Nosso propósito é destacar algumas dessas particularidades inerentes à pesquisa em História da Matemática, que possam servir como orientação aos iniciantes. Em qualquer área de conhecimento, é muito difícil iniciar uma investigação sem o conhecimento prévio de alguma teoria embasadora, e isso vale também para a História da Matemática. De nada adianta valer-se da observação, se não se sabefazer uma descrição daquilo que seviu. Nesse sentido, ao iniciar uma pesquisa em uma determinada temática, é preciso que se tenha clareza sobre o que exatamente se deseja investigar, porque se deseja investigar esse tema, porque é relevante tal investigação, o que já se sabe a esse respeito, que objetivos se pretende alcançar e como realizar essa pesquisa. Por exemplo: Se um professor quer investigar a respeito de um tópico matemático que ensina: ‘funções’, ‘números negativos’, ‘polígonos’ etc., ele terá várias fontes a pesquisar e precisará orientar sua busca de acordo com seu objetivo, quer seja de: motivação à construção de conceitos sobre o objeto matemático; uma investigação sobre o desenvolvimento epistemológico do objeto em questão; o desenvolvimento histórico da linguagem matemática que envolve sua representação; o modo como vem sendo abordado em determinadas épocas; ou ainda a relação e/ou junção entre alguns desses objetivos citados. • • • • •
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Entra-se, então, na questão metodológica que está diretamente vinculada à teoria suporte, especialmente no que se refere a trabalhos acadêmicos. Existem princípios de metodologia histórica variados que podem envolver: mapeamento de informações, análise de conteúdo, análise de discursos, história oral e outros, que podem ser aplicados à pesquisa em História da Matemática. Inserimos aqui algumas características dessas aplicações: O mapeamento de informações: a partir de diversos dados obtidos de vários modos (por: obras selecionadas, entrevistas, documentos etc.), de acordo com os objetivos do pesquisador, vai-se cruzando tais dados e extraindo informações que se coadunam, reforçam ou complementam. A análise de conteúdo: é geralmente feita a partir de textos (podendo ser estendida a outros tipos de comunicação); para os quais se busca uma atitude interpretativa, por meio de técnicas de validação, as quais podem ir desde uma descrição objetiva e sistemática do conteúdo em estudo, até uma análise categorial que envolva quantificação por números ou porcentagens. A análise de discursos: mais voltada para a parte de linguística, semântica e significados léxicos, compreende uma atitude interpretativa do sentido que se quer desvendar no discurso, o qual tem aparentemente uma constituição simbólica e polissêmica. A História Oral: baseada em memórias expressas em depoimentos orais tem como objetivo central uma reconstrução de cenários e elementos históricos de interesse ao pesquisador . Porém, qualquer que seja a metodologia ou escolha dos instrumentos metodológicos, estes deverão estar em consonância com as escolhas do historiador e, portanto, não são modelos •
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•
fixos, até porque uma investigação tem um caráter dialético temporal e de produção – de um passado para um presente mais imediato e vice-versa. À medida que se desenvolve a pesquisa, também o investigador se envolve com dados, relações, análises e produções novas, que muitas vezes exigem mudanças metodológicas. Assim também vemos acontecer no procedimento de investigações mais simples, para fins didáticos, após as quais tanto professores como alunos podem sentir essa necessidade de nova postura diante do objeto ou tema matemático investigado. Por exemplo: após investigações históricas sobre ‘equações de 2 o grau’ envol vendo um grupo de professores e alunos brasileiros, observou-se que eles tiveram argumentos convincentes para reconhecerem a importância de utilização da álgebra simbólica e até mesmo não chamarem a fórmula resolutiva desse tipo de equação simplesmente de ‘fórmula de Bhaskara’. Contudo, como todo processo vivido, algumas reflexões como referenciais e podem fornecer subsídios a quem se interessa por esse camposão de válidas pesquisa. [...]
Tipos de investigação Existem diferentes tipos de investigação em Históriada Matemática. Vamos relacionar alguns deles: 78
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1. Investigação sobre a vida de matemáticos oueducadores. Exemplos: René Descartes, Carl Friedrich Gauss, Leopoldo Nachbin,Malba Tahan, Bento de Jesus Caraça. 2. Investigação sobre a evolução de algum conceito ou teoria. Exemplos: a teoria dos grupos, o conceito de derivada, o conceito de convergência. 3. Investigação sobreuma área de conhecimento. Exemplos:a álgebra, alógica, a estatística. 4. Investigação sobre instituições. Exemplos: a Escola Politécnica de Paris, a Escola Politécnica de São Paulo, o Colégio Pedro II, o IMPA. 5. Investigação sobre o contexto cultural de uma criação. Exemplos: o contexto cultural da criação do cálculo diferencial e integral, o contexto cultural do desenvolvimento da Matemática no Brasil. 6. Investigação sobre uma época determinada. Exemplos: a Matemática no Renascimento, a Álgebra no século XIX. 7. Investigação sobre um grupo específico. Exemplos: Matemática e mulheres, a Matemática dos árabes. 8. Investigação sobre as relações da Matemática com outras áreas do conhecimento. Exemplos: Matemática e Música, a Arte na Matemática. 9. Investigação sobre as aplicações da História da Matemática. Exemplos: uso da História da Matemática em sala de aula, uso da História da Matemática em livros-texto. 10. Investigação sobre livros didáticos. Exemplos: história do livro didático na França no século XIX, os livros didáticos de Matemática para o ensino fundamental produzidos em Campinas, no século XX. 11. Investigação sobre o desenvolvimento de produções sobre a História da Matemática. Exemplos: A enciclopédias História da Matemática presente em universais. através dos anos, Historiografia da Matemática [...]” SAD, L. A.; SILVA, C. M. S. da. Reflexões Teórico-Metodológicas para Investigações em História da Matemática. Bolema, Rio Claro, ano 21, n. 30, p. 28-30 e 39, 2008.
VI. Sobre as atividades propostas Unidade 5 – Produtos notáveis Atividades 22 e 23 A palavra “prova” deve ser apresentada levando-se em conta seu significado matemático. Você poderá desenvolver no quadro de giz a prova do exercício 22 com a participação dos alunos, sugerindo o que fazer, e depois pedir para que façam, sozinhos, o exercício 23.
Unidade 6 – Fatoração Atividade 30 Verifique se associam a figura ao produto notável da soma pela diferença de dois termos. Sempre que possível, retome a representação geométrica dos produtos notáveis. MANUAL DO PROFESSOR
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Unidade 7 – Frações algébricas I. Objetivo geral •
Identificar frações algébricas naturalmente associadas a situações significativas e estender a elas os procedimentos de cálculo com frações numéricas.
II. Objetivos específicos • • •
Reconhecer frações algébricas. Simplificar frações algébricas e operar com elas. Resolver problemas usando equações fracionárias.
III. Comentários Apresentamos as frações algébricas por meio de uma situação em que aparece uma letra no denominador, aproveitando para retomar o valor numérico de uma expressão algébrica. Em um boxe, o aluno é convidado a escrever a fração algébrica que representa uma situação prática, bem como dar significado ao valor numérico da fração para x 310 e y 4. Discutimos a condição de existência de uma fração algébrica, retomando o fato de não existir divisão por zero. Ainda nesta faixa de escolarização é comum os alunos terem dúvidas e cometerem erros do tipo 8 : 0 8 ou 8 : 0 0. Por isso mostramos novamente em um boxe por que não dividimos por zero. Antes de apresentar operações envolvendo frações algébricas, propusemos diversos problemas utilizando a igualdade entre essas frações. As resoluções utilizam a propriedade fundamental das proporções e retomam as ideias sobre proporcionalidade. Dessa forma, o aluno resolverá as primeiras equações fracionárias com base em situações contextualizadas.
R
As variáveis presentes nas frações algébricas assumem valores em e os coeficientes são também números reais. Por isso, desenvolvemos as operações com frações algébricas sempre buscando analogias com as operações em . Isso facilita a compreensão dos alunos. O trabalho com a simplificação de frações algébricas precisa de atenção especial. Os alunos adquiriram diversos conhecimentos novos em Álgebra, mas ainda não dominam essa linguagem e suas regras. Por isso, é preciso paciência para detectar e corrigir erros. É comum, no início do trabalho com frações algébricas, os alunos cancelarem uma parcela do numerador com uma do denominador: x 3 3. Quando você observar esse tipo de erro, deve lembrá-los de que, para
R
x
cancelar um termo do numerador com um do denominador, estes devem ser fatores e não parcelas. No texto há um boxe chamando a atenção do aluno para esse fato. Mostrar exemplos numéricos também é eficiente: 7 5 2 2 o que não é verdadeiro. 8 53 3 As adições e subtrações de frações algébricas são explicadas com a ajuda de exemplos de adições e subtrações de frações numéricas, usando principalmente a ideia de fração equivalente. Achamos pouco produtivo trabalhar com a resolução de equações fracionárias muito elaboradas nesta etapa da escolaridade.
(em inglês) 80
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Sugestão de avaliação A unidade trabalha com problemas contextualizados cuja representação e resolução envolvem frações algébricas tanto nos textos como nos exercícios. Você pode acompanhar os alunos nas atividades usando essa observação para avaliar as habilidades desenvolvidas.
IV. Integração com outras áreas do conhecimento Consulte o item IV das Unidades 5 e 6.
V. Texto complementar para o professor Alguns erros a serem evitados “Este parágrafo destina-se a citar alguns erros que são aqui destacados pelo fato de serem comuns. [...] 1. Confundir – |–x| com – (– x). Temos: – |– 3| – 3, e – (– 3) 3. Em geral, pode-se escrever – | –x| – | x| e – (– x) x. 2. Confundir (– x)2 com – x2. Temos: (– 4) 2 (– 4)(– 4) 16 e – 42 –16. Veja que (–x)2 x2. 3. Escrever – (a b) como – a b. Por exemplo, temos que, em geral, (2 x 1) – (3x 4) 2x 1 – 3x 4. Para haver igualdade (para todo x) devemos escrever (2x 1) – (3x 4) 2x 1 – 3x – 4. 4. Concluir que se x a então cx ca. Devemos tomar cuidado. A conclusão acima só vale se c 0. Assim, se x 3, então 4x 4 · 3, ou seja, 4 x 12. Se c 0, devemos inverter o sinal de desigualdade, quer dizer, trocar com . Assim, se x 3 então – 2x (– 2) · 3, isto é, – 2 x – 6. 5. Escrever (x a)2 como x2 a2, ou (x a)3 como x3 a3 etc. Aqui só podemos dizer o óbvio. Use a fórmula correta. Assim, ( x a)2 x2 2ax a2; (x a)3 x3 3x2a 3xa2 a3 etc. 6. Em uma fração, cancelar uma parcela do numerador com uma do denominador. Esta é a mais doída de todas as infrações à regra do jogo. Equivale, no futebol, ao carrinho por trás. Veja: As simplificações nos dois casos a seguir ESTÃO ERRADAS: 3x 5 3x 5 3 5
x x x2 2x 1 x2 2x 1 2x 1 x2 x 1 x2 x 1 x1
Para cancelar algo do numerador com algo do denominador, eles devem aparecer como fatores, e não como parcelas. Por exemplo, se você deseja ardentemente cancelar x do numerador na primeira fração acima, transforme esse x em fator, colocando-o em evidência:
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x 3 5 x 3 5 1 3 5 x x x 3x 5 5 3 x x 1 x x
[
]
[
]
[
]
Observe que poderíamos ter obtido o último membro a partir do primeiro diretamente, dividindo numerador e denominador por x, o que é válido. Da mesma forma, se você quiser cancelar x2 na outra fração acima citada, basta dividir numerador e denominador por x2: 1 2 12 x x (x 0) x2 2x 1 1 x2 x 1 1 1
x
x2
3 3 3 7. Escrever x a como sendo x a, x a como sendo x a etc. A relação x a x a para a 0 é uma equação. Ao resolvê-la, você obterá a única solução x 0. Portanto, em geral, x a x a. Da mesma forma, em n n n geral tem-se: x a x a. 8. Escrever coisas como ‘2 x 6’, como equivalente a ‘ x 2 ou x 6’. Expliquemos através de um exemplo. A desigualdade |x – 4| 2 se resolve assim: devemos ter x – 4 – 2 ou x – 4 2, ou seja, x 2 ou x 6. Por que isto está errado? A resposta é simples: 2 x 6 quer dizer que 2 x e que x 6, ao passo que nós temos 2 x ou x 6. Na verdade, para se ter x tal que a x b, é preciso que seja a b. 9. Reduzir ao mesmo denominador e em seguida esquecer o denominador. Para calcular x 1 1 , acha-se o mmc de 3 e 2, que é 6, e daí escreve-se 3 2 x2131 5
6 6 Está tudo certo. Só que tem gente que responde x 5 (?!). Isso mesmo, esquece-se o denominador. Bem, na verdade esse erro ocorre mais quando se está resolvendo uma equação, como por exemplo a seguinte: 2 4 4 x1 x O mmc de (x – 1) e x é x (x – 1). Então 2x 4 (x 1) 4 6 x 4 4 x (x 1) x (x 1) O erro que estamos querendo evitar que você cometa é o de esquecer o denominador x (x – 1), e ficar com 6 x – 4 4, o que levará à resposta x 4 , errada! Basta substituir 3 tal valor na equação dada para ver que ela não é satisfeita. Mas não é por aí que queremos que você se convença do erro. A igualdade 10 5 é verdadeira, mas se você esquecer o denominador, estará escrevendo 10 5, 2um absurdo. Voltando à resolução da equação, temos: 6x – 4 4 x (x – 1), de onde resulta, após simplificações, a equação 2x2 – 5x 2 0. Resolvendo-a, obtém-se x 1 ou x 2. O conjunto-solução da equação é 1 ; 2 . (Note 2 2 que, de início, deveríamos ter observado que a equação só tem sentido se x 0 e x 1, por causa dos denominadores.)
{
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}
O erro indicado no final da página 82,talvez provenha de confusão com casos como o 14 , então ao reduzirmos o priseguinte. Se a equação a resolver é 2 4 x1 x x (x 1) meiro membro ao mesmo denominador x( – 1) x, ele também é denominador do segundo membro, logo pode ser cancelado (para x 0 e x 1): 2x 4(x 1) 14 (x 1)x x (x 1)
2x 4(x 1) 14
o que nos dá a solução x 3. Nosso conselho é que você sempre escreva o denominador, e depois, se for o caso de se poder cancelar, efetue tal cancelamento. Assim, a possibilidade de erro é menor. 10. Confundir a bc com (a b) c. Escrito dessa maneira, parece um erro pouco provável, pois ( a b) c ac bc, claramente diferente, em geral, de a bc. Porém, o erro ocorre quando se tem uma expressão numérica. Por exemplo, para calcular x 8 2 2 7 9 tem gente que efetua primeiro a 242 soma 8 2 10, para depois multiplicar pela fração, que no caso vale 61 , dando como re10 sultado 61. Este resultado é incorreto. O cálculo correto se faz assim:
x 8 2 2 7 9 8 2 2 63 8 2 61 8 61 8 5 61 101 242
28
10
5
5
5
O erro se deve a um equívoco de leitura da expressão dada. Ela é lida assim: 2 7 9 (8 2) 2 4 2
Evidentemente esta é uma expressão diferente da dada: chamando-a de y, temos: y (8 2) 2 7 9 10 2 7 9 10 2 63 10 61 61 242 242 28 10 c
c
11. Confundir ab com (ab) . c Uma das propriedades de potenciação com expoente racional nos diz que (ab) abc, que c em geral é diferente de ab . Exemplifiquemos: 4 4 Temos: 3 2 316, ao passo que (32)4 3 2 4 38, ou seja, 32 (32)4.” BOULOS, Paulo. Cálculo diferencial e integral. São Paulo: Makron Books, 1999. (Fascículo complementar do livro, p. 84-88.)
VI. Sobre as atividades propostas
Atividade 11 A discussão é interessante e as conclusões que sairão dela, muito importantes. Questione os alunos, coloque frações no quadro: 1 , 1 , 1 , 1 , por exemplo, e peça que escrevam as frações 2 3 4 5 na forma de número decimal até que concluam que quanto maior o denominador, menor será o número decimal. MANUAL DO PROFESSOR
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Boxe da página 131 O tipo de erro mostrado no boxe e é frequente nos alunos que iniciam o trabalho com expressões algébricas. É aconselhável mostrar mais exemplos seguindo o raciocínio apresentado no texto e no box: a simplificação errada leva a uma fração diferente da fração srcinal.
Unidade 8 – Sistemas de equações I. Objetivo geral •
Identificar sistemas lineares como uma linguagem algébrica adequada à descrição de situações da realidade e à sua resolução.
II. Objetivos específicos • •
Determinar o valor das incógnitas em um sistema de equações de 1 o grau. Representar e resolver uma situação-problema, utilizando um sistema de equações do 1o grau.
III. Comentários Consideramos importante mostrar ao aluno que o aprendizado da Álgebra não descarta outras formas de resolução para problemas: por tentativas, uso da Aritmética... A linguagem algébrica vem para somar e não para substituir conhecimentos anteriores. Os sistemas de equações do 1o grau devem ser vistos como uma forma eficiente de representar e resolver problemas que muitas vezes teriam solução trabalhosa, longa, se resolvidos por outras estratégias. A atividade inicial sobre o grupo formado por rapazes e moças apresenta uma situação envolvendo duas incógnitas. O objetivo é mostrar as soluções possíveis para x y 8 em e que, colocada a segunda condição (x 3y), o problema passa a ter solução única. Em seguida, a situação é traduzida para a linguagem algébrica e apresentamos o método da substituição, mostrando como ele permite chegar a uma equação com incógnita única. Valorizamos a verificação da solução obtida para os sistemas. Sempre que resolvermos um problema, um sistema, uma equação com os alunos, é importante dar significado à solução. O par que é solução do sistema de equações do o1 grau satisfaz simultaneamente as duas equações. Muitas vezes, usando tentativas, os alunos chegam a uma solução que satisfaz somente uma das equações do sistema. Para aplicar o método da adição na resolução de problemas, mostramos primeiro a soma membro a membro com igualdades envolvendo números. Acreditamos que isso facilita a compreensão. O boxe da página 152 chama a atenção para a escolha do método de resolução, mostrando que não há método “melhor ou pior”, mas sim o mais indicado para aquele sistema. É aconselhável dar liberdade ao aluno para escolher o que julgar mais conveniente, lembrando-o de verificar a solução obtida. A Seção livre propõe uma atividade lúdica interessante, que pode ser realizada em duplas na
N
sala de aula. O objetivo é exercitar a resolução de sistemas de uma forma mais agradável.
(em inglês) (em inglês) 84
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Sugestão de avaliação A linguagem algébrica permite representar e resolver situações do cotidiano, do trabalho, das ciências. Os alunos, organizados em grupos de três, podem criar uma situação contextualizada que possa ser representada e resolvida por meio de um sistema de equações. O ideal é destinar uma aula para que eles inventem seu problema com seu acompanhamento. Feito isso, o grupo escreve e apresenta para a classe uma cena dialogada (um “teatrinho” de quatro ou cinco minutos) mostrando a situação criada. Com base na apresentação, os colegas montam o sistema que representa o problema e o resolvem. O grupo corrige o problema no quadro com a participação dos colegas e sua mediação. Esta atividade oferece várias oportunidades de avaliação, não só de apropriação de conteúdos, mas do desenvolvimento de outras habilidades, entre elas: criatividade na escolha do tema, elaboração do problema e forma de apresentação, cooperação e expressão oral. Apresentamos a seguir uma sugestão de ficha para avaliar os alunos nesta atividade.
Alunos do trio
Elaboração do problema e montagem do diálogo (3,0 pontos) Aspectos avaliados: criatividade e adequação do tema, habilidade de escrita
Conteúdo e Postura e participação resolução do Apresentação durante a problema oral apresentação dos (4,0 pontos) (2,0 pontos) demais trios (1,0 ponto)
Ana Flávia Luís
Marcos
IV. Integração com outras áreas do conhecimento A atividade sugerida no item anterior visa a essa integração, uma vez que as situações e os problemas serão criados com base em situações contextualizadas.
V. Texto complementar para o professor O texto a seguir é parte de um artigo publicado pelas professoras Helena Cury e Maria Laura Sampaio. Ele trata da criptaritmética, um desafio matemático em que há uma correspondência entre letras e números. Problemas em criptaritmética, além de serem desafiadores, desempenham um importante papel no desenvolvimento do pensamento algébrico e mobilizam distintos conteúdos e conceitos matemáticos. A íntegra do texto pode ser acessada em: . MANUAL DO PROFESSOR
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O desafio de substituir letras por números: que conteúdos e estratégias podem ser desenvolvidos? [...] Para tornar a Matemática mais ‘aceitável’ para aqueles que a ela não se dedicam profissionalmente – e aqui se incluem os alunos da Educação Básica e a maior parte dos estudantes de cursos superiores – muitos matemáticos e professores de Matemática têm se esforçado em encontrar conteúdos interessantes, metodologias ou recursos novos. Martin Gardner, matemático americano que por muitos anos foi responsável por uma coluna de passatempos matemáticos na revista Scientific American, introduz mais uma obra sobre recreações matemáticas com a seguinte frase: ‘Um professor de matemática, não importa quanto goste de sua disciplina ou quão forte seja seu desejo de comunicá-la, está perpetuamente enfrentando uma esmagadora dificuldade: como conservar seus alunos acordados?’ (GARDNER, 1975, p. ix). Continuando suas observações, o mesmo autor conclui que a melhor maneira de fazer com que a Matemática seja interessante para os alunos e leigos é abordá-la com jeito de jogo. E no que ele chama de ‘jogo’, encontram-se passatempos, quebra-cabeças, paradoxos, enigmas, desafios. Outro autor que se dedicou a escrever um livro de diversões matemáticas, David Aguilar (1981), em um posfácio divertido sugere aos leitores que o livro se converta em um elemento, na mesinha de cabeceira, tal como o despertador e o sonífero. Ou seja, que sirva para despertar o interesse, mas também para relaxar ou induzir o sono. Na contracapa de dois livros da Coleção ‘O prazer da Matemática’, da Editora Gradiva, de Lisboa (GUZMÁN, 1990; BERLOQUIN, 1991), encontramos uma frase atribuída a Leibniz: ‘Não há homens mais inteligentes do que aqueles que são capazes de inventar jogos. É aí que o seu espírito se manifesta mais livremente. Seria desejável que existisse um curso inteiro de jogos tratados matematicamente.’ Dessa forma, é razoável supor que os estudantes possam se interessar por problemas curiosos, desde que sejam apresentados de uma forma que lhes chame a atenção, que os desafie ou que traga elementos do cotidiano com um toque denon-sense, recurso comum em piadas, por exemplo, em que o não esperado faz a diferença na hora da conclusão da história. Nossa dificuldade, como professores de Matemática, é encontrar o meio-termo entre uma atividade que desperte a curiosidade, desafie o estudante e, ao mesmo tempo, lhe permita construir um conhecimento novo ou desenvolver estratégias de resolução de problemas. Na busca de soluções, não necessariamente são exigidas fórmulas ou equações, mas, ao propor tais atividades aos alunos, acreditamos ser fundamental colocar uma dose de curiosidade, outra de bom-senso e completar com uma medida cheia de raciocínio lógico. E deixá-los saborear a mistura!
Os desafios de substituir letras por números e a resolução de problemas Em vários livros que envolvem Matemática como diversão, encontramos um certo tipo de quebra-cabeça que compreende contas de adição, subtração, multiplicação ou divisão, cujos elementos sãoletra, números, masque letras. O desafioesteja consiste em descobrir os valores numéricos associados não a cada de modo o resultado correto. Esse tipo de problema envolve conteúdos de Teoria dos Números, importantes para qualquer nível de ensino, mas também propicia uma excelente oportunidade de desenvolver estratégias de resolução de problemas. Um desafio matemático em que há uma correspondência biunívoca entre os números e as letras (ou símbolos) substituídos é também chamado de ‘criptaritmética’. A palavra foi introduzida em uma revista belga de Matemática recreacional, em 1931. (LOGICVILLE, 2005) 86
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A criptaritmética pode ser considerada sob a ótica da criptografia, mas nesse caso necessitamos buscar outros conhecimentos, como linguagens de programação, ou relacioná-la com outras áreas, como espionagem, segurança nacional, proteção às transações comerciais pela Internet etc. O tema é muito amplo e pode ser abordado, por exemplo, historicamente, a partir das primeiras tentativas de codificar mensage ns (KAHN, 1996; SINGH, 2001), ou literariamente, como faz Brown (2005), no best-seller ‘Fortaleza Digital’, em que o autor envolve criptógrafos em uma aventura que mistura terrorismo e informática. Nosso interesse, neste artigo, é discutir as possibilidades de uso de criptaritmética em aulas de Matemática. Vamos chamar este tipo de desafio de ‘substituição de letras por números’ e considerá-lo um problema, para o qual não temos uma fórmula pronta e para cuja solução precisamos usar estratégias para solucioná-lo. O desafio maior, no caso dos problemas de substituição de letras por números, é a possibilidade de fugir da rotina exasperante dos simples exercícios rotineiros, como bem indica Polya (1972, p. 8): Devo confessar que não me sinto cômodo quando escuto uma pessoa que fala da resolução de problemas e não pode discriminar se são rotineiros ou não. E me sinto particularmente incômodo quando a conduta total da pessoa que fala me desperta a suspeita de que ela nunca resolveu um problema não rotineiro.
[...] Alguns exemplos de problemas de substituição de letras por números Partindo do pressuposto de que os desafios do tipo ‘substituir letras por números’ são problemas, no sentido dado por Polya (1975), vamos apresentar alguns exemplos, para verificar as estratégias que podem ser desenvolvidas. Um dos mais conhecidos desafios deste tipo foi estudado por Newell e Simon (1972) e pode ser apresentado com o seguinte enunciado:
Sabendo que D 5, substitua as dez letras diferentes das palavras abaixo pelos algarismos de 0 a 9, de forma que a soma esteja correta:
DONALD G E R A L D ROBERT
Na resolução de um problema desse tipo, não há regras para iniciar; é necessário ver o desafio como um todo e reconhecer regularidades. Evidentemente, a primeira providência é substituir D por 5, o que nos faz descobrir, imediatamente, que T vale 0. Qual o próximo passo? Na visão do todo, notamos que O E O, o que lembra a propriedade do elemento neutro da adição pode propriedades nos fazer pensar E seja de 0. Mas já temos a letra T que n0,portanto 1), evocar eoutras da que operação adição, que nos levam a 9vale 10 (nvamos com 0 n 9; assim, para que O E O, é necessário que N R B seja maior que 10, de forma que tenhamos 1 O E O, o que nos leva a E 9. Uma nova visão do todo nos faz perceber que A A E 9; como 2A é par, novamente entendemos que L L R 10, para que tenhamos 1 2A 9 e A 4. Voltamos mais uma vez ao esquema srcinal, agora já com algumas letras determinadas:
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1 1 1 1 5 O N 4 L 5 G 9 R 4 L 5 R O B 9 R 0 Notamos que 1 2L R; por outro lado, 1 5 G R e R 10 (pois a soma srcinal tem apenas 6 algarismos). Se 6 G R e R 10, temos as possibilidades para R: 7 ou 8 (pois já sabemos que G não pode ser 0 e que 9 E). Se R 7, temos 1 2L 17, 2L 16 e L 8; se R 8, assim 1 2L 18, ou seja, 2L 17, o que é impossível. Logo, R 7 e L 8. Com isso, descobrimos que G 1 (pois 1 5 G 7). Fazendo um retrospecto parcial, quais números já foram determinados? T 0, G 1, A 4, D 5, R 7, L 8, E 9. Faltam apenas os números 2, 3 e 6. Se N 7 10 B (porque ‘vai 1’ 1 para a coluna à esquerda), então N 3 B e, evidentemente, N 6 e B 3. Com isso, temos O 2 e está resolvido o desafio: 526485 197485
723970 Quais conteúdos e estratégias foram envolvidos? O conhecimento do sistema de numeração de base 10; as propriedades dos números naturais; as propriedades associativa, comutativa e do elemento neutro da adição de naturais; a relação de ordem nos naturais; o raciocínio lógico, com argumentos do tipo p → q, p | q ( modus ponens) ou p → q, ~q |~p (modus tollens)2. Em termos de estratégias, examinamos casos-limite; modificamos o problema, a cada reconhecemos novo resultadoregularidades; obtido; visualizamos a solução final e revisamos os passos para verificar até onde já havíamos chegado; no final, fizemos um retrospecto, para testar a solução obtida. Com essa base, podemos pensar em outros desafios do mesmo tipo, nos quais outros elementos de Teoria dos Números podem ser introduzidos. Talvez o problema mais conhecido, publicado em 1924 (LOGICVILE, 2005), seja a historinha do rapaz que, tendo viajado para um país de língua inglesa para estudar, vê-se sem dinheiro e resolve enviar ao pai uma mensagem de forma criativa, para mostrar que estava progredindo nos estudos da língua:
1
SEND MORE MONEY
A expressão “vai 1” foi usada, como abuso de linguagem matemática, para que não se perca o caráter coloquial do raciocínio apresentado.
2
Um argumento é um conjunto de sentenças em que uma delas (a conclusão) é consequência das outras (as premissas). Um argumento é válido quando a verdade das premissas é incompatível com a falsidade da conclusão. Entre os argumentos chamados simples ou elementares, estão o modus ponens (se p então q, p, logo q) e o modus tollens (se p então q, não q, logo não p) (HEGENBERG, 1966).
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Se letras diferentes forem substituídas por número diferentes, a pergunta é: quanto dinheiro queria o rapaz? Um exame inicial mostra que são 8 os números a serem descobertos e que M 1. Neste caso, tentativa e erro serão usados com mais frequência, pois não temos ‘dicas’ imediatas. Podemos examinar S 1 10; neste caso, teremos S 9, o que determina S 9 e O 0. Mas, essa conclusão implica em que E 0 N 10 e isso só é possível se tivermos ‘vai 1’ na coluna das centenas, determinando que 1 E 0 N, ou seja, E 1 N. Portanto, na coluna das dezenas, temos E 1 R 10 E, o que nos leva a R 9, o que é a bsurdo, pois já temos S 9. Assim, concluímos que ‘vai 1’ na coluna das dezenas e temos 1 E 1 R 10 E, o que nos leva a R 8. Recapitulando, temos: O 0, M 1, R 8 e S 9. O que nos falta? Atribuir às letras que restam (D, E, N, Y) os números 2, 3, 4, 5, 6 ou 7. Mas vemos que D E 10 Y. Assim, Y D E 10, o que nos permite fazer tentativas, sabendo que Y tem que ser maior do que 1 (porque já temos 0 e 1) e portanto, D E tem que ser maior do que 11. Mas, adicionando dois a dois os números que sobram, temos somente as seguintes possibilidades: 5 7 ou 6 7. Se D 5 e E 7, temos que E 1 N 8, o que é absurdo, pois já temos R 8; se D 7 e E 5, obtemos N 6 e Y 2, o que torna a adição verdadeira. Mas temos que verificar se é única a solução. Tentemos, então, a única possibilidade que sobra (poisD 6 e E 7 leva ao mesmo absurdo de obter N 8): D 7 e E 6. Mas, desse modo, teremos N 7, o que também é absurdo, pois não podemos ter letras iguais. Com isso, concluímos a busca, descobrindo que o rapaz estava pedindo ao pai 10 652 unidades monetárias. Que conhecimentos foram usados? Novamente, o sistema de numeração de base 10; as propriedades das operações nos naturais; a relação de ordem nos naturais; os argumentos lógicos. às estratégias, desta vez fizemos uso do raciocínio vezes, recombinamosQuanto os elementos, modificamos o problema a cada resultado indireto obtido evárias entendemos como funciona a solução, para poder usá-la novamente. Em geral, estes desafios exigem um ir e vir constante entre as diversas tentativas, até concluirmos asolução, com a testagem da resposta.” CURY, H. N.; SAMPAIO, M. L. F. B. O desafio de substituir letras por números: que conteúdos e estratégias podem ser desenvolvidos? Bolema, v. 19, n. 26, p. 2-3; 6-8, 2006.
VI. Sobre as atividades propostas Boxes da página 152 O aluno, depois de aprender o método da adição e o da substituição, deve ser incentivado a avaliar qual o método mais interessante para resolver cada sistema. Dizemos ‘interessante’ no sentido de facilitar os cálculos. O boxe do alto da página tem esse objetivo. No entanto, relembre que os dois métodos são válidos. De forma semelhante, o boxe do final da página pretende mostrar que podemos optar por anular os termos em x ou os termos em y. Vale a pena também comentar que observando o sistema podemos, em muitos casos, escolher a multiplicação que resulta em cálculos mais simples. Boxe da página 153 Não nos deteremos na classificação dos sistemas, mas é importante que o aluno saiba que há sistemas impossíveis. O texto e o boxe devem ser lidos e comentados. MANUAL DO PROFESSOR
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Boxe da página 156 A regra para escrever a fração geratriz de uma dízima foi “descoberta” informalmente na Unidade 1. Nesta página os alunos verão a justificativa para a regra. Solicite que façam as atividades do boxe e, se julgar necessário, mostre mais exemplos. Seção livre da página 160 Propusemos uma competição entre duplas para exercitar a resolução de sistemas. Jogos e competições costumam envolver mais os alunos do que exercícios do tipo “resolva os sistemas abaixo”. Observe o trabalho das duplas, aproveitando para checar se osmétodos de resolução foram compreendidos.
Unidade 9 – Retas e ângulos I. Objetivos gerais • • • •
Reconhecer e denotar retas, pontos, segmentos de reta e ângulos. Desenvolver habilidades motoras por meio da utilização de instrumentos de desenho. Constatar e demonstrar propriedades geométricas. Estabelecer conexões dedutivas entre propriedades geométricas.
II. Objetivos específicos • • •
•
•
•
•
•
•
Identificar retas paralelas, retas concorrentes e retas perpendiculares. Definir ponto médio de um segmento e determiná-lo por meio da construção de sua mediatriz. Construir retas perpendiculares e retas paralelas utilizando régua e compasso. Compreender que a distância entre dois pontos no plano é a medida do segmento de reta que os une. Compreender que a distância de um ponto a uma reta é a medida do segmento perpendicular à reta com extremidades nesse ponto e num ponto da reta. Reconhecer os pares de ângulos correspondentes determinados por duas retas paralelas e uma transversal. Verificar que os ângulos correspondentes do item anterior são congruentes se, e somente se, as retas são paralelas. Deduzir a congruência dos ângulos alternos internos a partir da congruência dos ângulos correspondentes. Aplicar as congruências observadas para descobrir outras propriedades.
III. Comentários Iniciamos a unidade retomando a posição relativa entre retas para apresentar em seguida as construções de retas paralelas e de retas perpendiculares usando régua e compasso. A primeira construção é a da mediatriz de um segmento que será útil na construção da perpendicular passando por um ponto fora da reta. Nesse momento não apresentamos a propriedade da mediatriz: qualquer ponto da mediatriz de um segmento equidista de seus extremos, mas ela será apresentada na Unidade 13. No texto, sugerimos que o aluno faça as construções paralelamente à leitura, o que deve facilitar o trabalho, pois as construções foram apresentadas passo a passo. 90
MANUAL DO PROFESSOR
te n e u
Acompanhe os alunos nessa tarefa, ajudando no manuseio do material de desenho. A importância do estudo de duas retas paralelas cortadas por uma transversal está na relação entre alguns pares de ângulos que se formam nesta situação (congruentes ou suplementares), que serão úteis no trabalho com semelhança e em muitas outras situações da Geometria. Os boxes são importantes, pois organizam conceitos e propõem questões relevantes, como o paralelismo entre as retas determinar ângulos correspondentes congruentes e vice-versa. Estudamos propriedades angulares dos paralelogramos e dos trapézios. O texto permite que o aluno progrida, descobrindo as propriedades por meio dessa leitura. Nos textos, procuramos desenvolver relações dedutivas entre propriedades geométricas. Destacamos a possibilidade de um encadeamento de descobertas matemáticas. Por isso, recomendamos que os textos sejam lidos na íntegra pelos alunos, para explorar esses aspectos. Se sua escola disponibiliza acesso a computador e softwares de Geometria, como o Geogebra, por exemplo, que é um software gratuito, essa unidade é rica em situações onde esses softwares poderão ser utilizados para ilustrar propriedades. A seção Vale a pena lerda página 172 traz um texto sobre Euclides, “Os Elementos e a Geometria Euclidiana”, importantíssima para os alunos do 8o ano, que começam nesse volume a ter contato com demonstrações em Geometria. A leitura do texto da seçãoVale a pena lerda página 176 completará este trabalho, pois, usando uma analogia com jogos como damas ou xadrez, João Lucas M. Barbosa, autor do texto, apresenta, de modo acessível, a estrutura do método axiomático e a forma de construção do conhecimento em Geometria. Essas sãoleituras essenciais e podem serretomadas nas unidades seguintes, onde apresentaremos maisdemonstrações. Q o sti M
(em inglês) (em inglês)
Sugestão de avaliação Já que valorizamos a leitura dos textos desta unidade, por que não usá-la para desenvolver e avaliar as habilidades de leitura, escrita e oralidade? Um exemplo: Peça aos alunos que façam a leitura individual e silenciosa do texto e as atividades dos boxes das páginas de 168 a 174. Eles devem circular palavras-chave listadas por você, procurando exemplificar o significado delas no caderno. As palavras-chave para este texto podem ser: ângulos suplementares, ângulos complementares, ângulos o.p.v., retas paralelas, reta transversal, ângulos correspondentes. Recolha as anotações feitas por uma parte da sala e leia com os alunos algumas delas. Colegas podem complementar ou corrigir significados. Em seguida, faz-se a leitura do texto didático em voz alta e você fecha os conceitos no quadro. Outra possibilidade é avaliar os alunos pela resolução dos boxes. MANUAL DO PROFESSOR
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IV. Integração com outras áreas do conhecimento Apresentamos duas sugestões de livros paradidáticos que proporcionam excelente integração entre Geometria, Arte e Cultura. Coleção Vivendo Matemática IMENES, L. M. Geometria das dobraduras. São Paulo: Scipione, 1996. . Geometria dos mosaicos. São Paulo: Scipione, 1995.
V. Sobre as atividades propostas Boxe da página 165 Depois de os alunos trabalharem na atividade, mostre no quadro o processo de construção, para que tenham o registro formalizado no caderno.
Boxe da página 166 Aproveite para retomar os esquadros e como os utilizamos para traçar retas ou segmentos perpendiculares. Boxe da página 169 Se a escola tem computadores disponíveis, os softwares Cabri Géomètre e Geogebra seriam excelentes auxiliares para constatar com os alunos a congruência dos pares de ângulos correspondentes quando as retas cortadas pela transversal são paralelas. O Geogebra tem download gratuito, por exemplo, no site:
Unidade 10 – Triângulos I. Objetivo geral •
Demonstrar a propriedade da soma das medidas dos ângulos internos de um triângulo e a propriedade do ângulo externo.
II. Objetivos específicos • •
•
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Retomar os elementos e a classificação dos triângulos quanto aos lados e quanto aos ângulos. Demonstrar a propriedade da soma das medidas dos ângulos internos de um triângulo e a propriedade do ângulo externo. Aplicar as propriedades acima na resolução de atividades. MANUAL DO PROFESSOR
III. Comentários No livro do 7o ano, apresentamos a propriedade da soma das medidas dos ângulos internos do triângulo de maneira experimental, a partir de recortes. Nesta unidade, retomamos esse fato e apresentamos a demonstração da propriedade. É o momento de comentar que, para uma propriedade ser válida, ela precisa ser generalizada e demonstrada a partir de fatos já comprovadamente verdadeiros, iniciando com eles a ideia de demonstração mas de uma forma leve. Leia em voz alta os balões de fala do professor na página 183, onde essas ideias são exploradas. Faça o mesmo para o último parágrafo da página 184, anterior ao boxe de atividades que fecha a demonstração de propriedade do ângulo externo de um triângulo.
(em espanhol) (em inglês)
Sugestão de avaliação As atividades da Seção livre, página 187, são interessantes e diversificadas. Os alunos podem resolvê-las em duplas com mediação do professor e, no final, as folhas podem ser entregues para avaliação. Deixe uma parte da nota ou conceito para a observação do trabalho das duplas em sala: Trocam ideias? São organizados? Respeitam a opinião do outro?
IV. Integração com outras áreas do conhecimento
m o .c e
im st m a e r D / o d e ir e u ig F lo a ç n o G
Apresentamos o texto “Triângulos, para que te quero” na página 186, que trata da rigidez dos triângulos e de sua utilidade nas construções.O texto traz fotografias que ilustram essaaplicação. Você pode pedir que procurem outras fotos e montem em grupos de três alunos cartazes com elas. Outra atividade interessante émontar, com palitos de sorvete e percevejos, triângulos, quadrados, pentágonos e hexágonos, para que percebam que só o triângulo é rígido. Tome o cuidado necessário para que não semachuquem com os percevejos. O triângulo feito com os palitos de sorvete será útilpara a apresentação do caso LLL de congruência de triângulos, na Unidade 11.
jr o m l e s n A
MANUAL DO PROFESSOR
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Unidade 11 – Triângulos: congruênciae ponto notáveis I. Objetivos gerais •
Aplicar a congruência de triângulos para descobrir e demonstrar propriedades dessa figura.
•
Desenvolver o raciocínio dedutivo.
•
Fazer conexões entre as propriedades demonstradas.
•
Reconhecer triângulos e suas propriedades como figuras importantes no mundo real.
II. Objetivos específicos •
Reconhecer figuras planas congruentes.
•
Utilizar os casos de congruência para determinar se dois triângulos são ou não congruentes.
•
Determinar medianas, bissetrizes e alturas num triângulo, nomeando corretamente baricentro, incentro e ortocentro.
•
Demonstrar e aplicar as propriedades dos triângulos isósceles e equiláteros.
•
Demonstrar o fato de, no triângulo, ao maior lado opor-se o maior ângulo. Aplicar essa propriedade.
III. Comentários Seria interessante levar figuras congruentes e figuras não congruentes recortadas em cartolina para ilustrar o conceito de congruência na primeira aula sobre o assunto. Ao ler o texto com os alunos, enfatize a correta determinação de lados e ângulos correspondentes nas figuras. As atividades do boxe na página 192 podem auxiliá-lo a verificar se o conceito foi corretamente compreendido antes de iniciar o trabalho com a congruência de triângulos. Os alunos utilizarão régua, compasso e transferidor nas construções solicitadas ao longo do texto. É mais uma oportunidade para exercitar o manuseio desses instrumentos e, principalmente, para vivenciar as condições necessárias e suficientes para a determinação de um triângulo. Caso tenha construído o triângulo com palitos de sorvete sugerido na Unidade 10, retome-o para ilustrar o caso LLL. O triângulo construído com palitos e as construções feitas com régua, compasso e transferidor têm como objetivo levar o aluno a perceber que para cada conjunto de dados (lado-lado-lado, lado-ângulo-lado, ângulo-lado-ângulo) obtemos uma única classe de triângulos, todos congruentes entre si. Observe que não apresentamos o caso LAA em separado, mas como uma decorrência do caso ALA unido à propriedade da soma das medidas dos ângulos do triângulo. Apresentamos as cevianas e os pontos notáveis. As cevianas serão retomadas nas propriedades dos triângulos isósceles e equilátero. Demos destaque para as alturas do triângulo retângulo, pois serão úteis no 9o ano, no estudo das relações métricas nos triângulos retângulos. Um boxe na página 201 sugere que os alunos tracem algumas cevianas e determinem pontos notáveis por meio de construções com material de desenho. Como temos dito, as oportunidades para prática do desenho geométrico devem fazer parte do curso de Matemática. No volume do 7o ano usamos simetria e dobraduras para investigar propriedades dos ângulos nos triângulos isósceles e também nos equiláteros. 94
MANUAL DO PROFESSOR
No 8 o ano são demonstradas as propriedades da altura, bissetriz e mediana relativas à base de um triângulo isósceles – propriedades importantes, necessárias à resolução de muitos exercícios de geometria plana e espacial. Esta unidade apresenta várias demonstrações. Julgamos importante não “ignorá-las”, apresentando diretamente as propriedades, sem justificativa. É esperada uma resistência dos alunos para ler e tentar compreender demonstrações em Matemática, mas sabemos como esse trabalho auxilia no desenvolvimento do raciocínio lógico e o quanto é gratificante o momento do entendimento. A intenção é trabalhar com paciência, fazendo com que participem da construção e do encadeamento das ideias presentes na demonstração. Valorize cada palpite, mesmo que não correto, tentando manter os alunos envolvidos e sentindo que são capazes de compreender. Reforce sempre a ideia de que só aprendemos realmente aquilobem. queDepois compreendemos que tem significado para nós. Pensar dá trabalho, mas também faz muito de algumase experiências com a compreensão de demonstrações, as coisas começam a fluir melhor e muitos alunos se entusiasmam por estarem compreendendo e não decorando propriedades geométricas.
Sugestão de avaliação Foram vários os conceitos e propriedades vistos nesta unidade. Seria interessante que os alunos construíssem um quadro-resumo sintetizando todos os conhecimentos. A elaboração de resumos é importante também na Matemática. Faça a mediação dessa atividade, ensinando como organizar conceitos e fatos. Depois recolha para avaliação. Quando devolver comentado, peça que colem no caderno para consulta.
IV. Integração com outras áreas do conhecimento O desenvolvimento do raciocínio lógico dedutivo é importante para todas as atividades humanas. Neste volume essas habilidades são trabalhadas, em especial, nos capítulos voltados à Geometria.
V. Sobre as atividades propostas Boxe da página 196 Neste boxe, os alunos perceberão que podem determinar a medida do terceiro ângulo do triângulo, necessário para utilizar o caso ALA de congruência, usando a propriedade da soma das medidas dos ângulos internos. Não achamos necessário nomear mais um caso: LAA. Boxe da página 201 Proporcione, se o tempo didático permitir, mais atividades de construção de triângulos com material de desenho, pedindo aos alunos que determinem ortocentro, baricentro e incentro. Atividades 24 e 26 Exploram consequências da propriedade vista napágina anterior. Na atividade 26, lembre os alunos da propriedade do ângulo externo, que levará àconclusão de que o triângulo ilustradoé isósceles. MANUAL DO PROFESSOR
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Unidade 12 – Quadriláteros e outros polígonos I. Objetivos gerais • • •
Reconhecer quadriláteros e suas propriedades como figuras importantes para o mundo real. Desenvolver o raciocínio dedutivo. Fazer conexões entre as propriedades demonstradas.
II. Objetivos específicos • • • •
• •
•
Diferenciar polígonos convexos e não convexos. Reconhecer um quadrilátero e identificar seus elementos. Classificar quadriláteros. Demonstrar e aplicar as propriedades dos paralelogramos, retângulos, quadrados, losangos e trapézios isósceles. Calcular a soma das medidas dos ângulos internos de um polígono. Descobrir, por meio de demonstração, que a soma das medidas dos ângulos externos de um polígono é igual a 360°. Reconhecer um polígono regular e determinar a medida de seus ângulos internos.
III. Comentários Depois de definir polígonos convexos, retomamos os quadriláteros, seus elementos e sua classificação. De acordo com a definição que assumimos para trapézios, os paralelogramos seriam casos especiais de trapézios, como mostramos ao aluno na página 212. Recomendamos a leitura do texto “Sobre definições de trapézios isósceles”, apresentado no item V. Nessa unidade conhecimentos sobre a classificação e as propriedades dos quadriláteros são retomados com grau maior de aprofundamento e de formalização. Todas as propriedades dos quadriláteros abordadas foram demonstradas e reforçamos aqui os comentários feitos na Unidade 11 sobre a importância do trabalho com demonstrações para o desenvolvimento das habilidades de raciocínio. Reforce sempre que possível a ideia de que, uma vez demonstrada a propriedade, ela pode ser usada para demonstrar novas propriedades. Sugerimos a confecção de um quadro-resumo na Unidade 11. Na Unidade 12 esse quadro aparece na página 216 resumindo as principais propriedades vistas. Cada aluno também pode montar seu quadro no caderno, para consulta. No item 6, “Ângulos de um polígono”, sugerimos que os alunos façam a leitura e desenvolvam as atividades em duplas, com sua observação e mediação. O texto é simples e permite que eles cheguem à fórmula Sn (n 2) 180° e constatem o fato de a soma das medidas dos ângulos externos do polígono ser sempre igual a 360°. Você pode supervisionar o trabalho, esclarecendo possíveis dúvidas.
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Sugestão de avaliação O trabalho sugerido anteriormente para o item 6 pode ser avaliado sob o aspecto atitudinal (como trabalham as duplas) e sob o aspecto conceitual, verificando e corrigindo alguns dos exercícios propostos para o item (18, 19, 23 e 24, por exemplo).
IV. Integração com outras áreas do conhecimento Procure fazer integração com arte, arquitetura, moda, artesanato. Os alunos podem montar trabalhos mostrando os quadriláteros em terrenos, tecidos, bijuterias, artesanato, mosaicos, pisos etc.
V. Texto complementar para o professor Sobre definições de trapézios isósceles “Encontramos nos livros didáticos duas definições para o trapézio. A primeira é: Trapézio é um quadrilátero com um parde lados paralelos (ou de uma maneira
equivalente, trapézio é um quadrilátero que temdois lados paralelos). Essa definição permite que ambos os pares de lados opostos sej am paralelos, ou seja, permite que um paralelogramo seja um trapézio. Com ela temos 7 tipos de figuras que representam trapézios.
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A segunda definição é: Trapézio é um quadrilátero que apresenta um único par de lados
paralelos. Assumindo essa definição, temos 3 tipos de figuras que representam trapézios.
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Como definir um trapézio isósceles? Assumindo a primeira definição de trapézio, temos várias maneiras de definir um trapézio isósceles. Trapézio isósceles é o trapézio que tem no mínimo um par de lados opostos congruentes (ver o livro de Moise Downs, Geometria moderna, pág. 234). Nesse caso, todos os paralelogramos são trapézios isósceles. O inconveniente dessa definição é que não se pode mais dizer que os ângulos da base de um trapézio isósceles são congruentes, pois os paralelogramos são trapézios. Mas dizer que os ângulos da base de um trapézio isósceles são congruentes é uma prática incorporada por alunos e professores. Então, que definição é mais coerente com a nossa prática? Poderia dizer: Trapézio isósceles é um trapézio que tem um único par de lados congruentes? Não. Essa definição também apresenta um problema. Vejam a figura abaixo. O trapézio apresenta um único par de lados congruentes sem ser um trapézio isósceles, segundo a nossa expectativa. 143 cm
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Mas, nesse caso, basta acrescentar a palavraopostos para que essa definição se torne consistente com os nossos propósitos.
Trapézio isósceles é um trapézio que tem um único par de lados opostos congruentes (ou de uma maneira equivalente: trapézio isósceles é um trapézio que apresenta um único eixo de simetria). Dessa forma eliminam-se as figuras 1, 2, 4, 5, 6 e 7, permanecendo apenas a figura 3. Poderíamos também ter definido o trapézio isósceles como o trapézio cujas diagonais são congruentes. Nesse caso, eliminaríamos os casos 1, 2, 5, 6, mas seríamos coerentes em manter os ângulos da base congruentes entre si. Tudo é uma questão de gosto.
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E quanto à segunda definição de trapézio? Nesse caso, a definição é muito mais simples:
Trapézio isósceles é um trapézio que tem os lados opostos não paralelos congruentes. ” BONGIOVANNI, Vincenzo. Sobre definições de trapézios isósceles. Revista do Professor de Matemática n. 72, p. 9-10, 2010.
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VI. Sobre as atividades propostas Boxe da página 216 Brincadeiras como a proposta no boxe são uma maneira interessante de verificar se as propriedades foram compreendidas. Você pode sugerir mais adivinhações como: suas diagonais se cortam no ponto médio mas não são congruentes e não são perpendiculares (seria um paralelogramo).
Unidade 13 – Circunferência e círculo I. Objetivos gerais •
•
Relacionar circunferências, arcos e ângulos, estabelecendo relações dedutivas entre alguns fatos. Reconhecer a importância de circunferência, círculos e seus elementos no mundo real.
II. Objetivos específicos • • • • • • •
Distinguir circunferência de círculo. Identificar centro, raio, corda e diâmetro. Construir triângulos usando régua e compasso (dados seus lados). Conhecer as posições relativas de duas circunferências. Reconhecer as posições relativas de uma circunferência e uma reta. Reconhecer arco de circunferência e calcular seu comprimento. Relacionar a medida dos ângulos central e inscrito.
III. Comentários m e g a m I r a ri C / tto re o v a F o d n a n r e F
A unidade começa com o resgate de conhecimentos, como a diferenciação entre círculo e circunferência e de elementos como centro, raio e diâmetro. Aproveitamos a definição de circunferência para trabalhar a construção de triângulos com régua e compasso. As construções aplicam diretamente a definição de circunferência, valorizando o que foi aprendido. Há outras oportunidades de construções que utilizam o material de desenho nesta unidade, como a que envolve o traçado das mediatrizes das cordas para determinar o centro da circunferência e a construção de polígonos regulares aplicando ângulos centrais. Nesta unidade mostramos a propriedade das mediatrizes: todo ponto da mediatriz de um segmento equidista dos extremos do segmento. Utilizamos essa propriedade para demonstrar a propriedade da mediatriz de uma corda. Aproveite o texto “Construindo um conhecimento novo a partir de um fato conhecido” (página 237) para trabalhar mais uma vez as características do pensamento dedutivo. MANUAL DO PROFESSOR
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O raciocínio lógico-dedutivo se desenvolve no aluno de forma gradual; épreciso tempo para perceber , mas o progresso vale o investimento. A relação entre ângulo central e inscrito foi demonstrada. Procure fazer, passo a passo com os alunos, essa demonstração e também a constatação de que todo triângulo inscrito numa semicircunferência é retângulo.
(em inglês)
Sugestão de avaliação Ver o item IV a seguir. Os boxes ao longo desta unidade também oferecem boas oportunidades para a avaliação, pois buscam verificar a compreensão do texto didático. Você pode escolher alguns para avaliação oral e outros para avaliação escrita.
IV. Integração com outras áreas do conhecimento O aluno deve valorizar o aprendizado da Geometria como forma de compreender, descrever e representar o mundo real. Por isso, experiências que aproximem conteúdos geométricos e realidade precisam acontecer. Peça aos alunos que pesquisem e levem para a sala fotografias, desenhos e imagens e mostrem formas circulares (círculo, circunferências, arcos, cordas, setores etc.) na natureza, na arte, na decoração e na arquitetura. Os alunos podem ser estimulados a observar o espaço ao redor, procurando esses elementos em diferentes objetos, lugares, construções. Apresentamos um parágrafo escrito por Oscar Niemeyer na introdução do livro Niemeyer, poeta da arquitetura, de Jean Petit. Você pode combinar o texto com imagens da obra desse importante arquiteto brasileiro, motivando os alunos para o aprendizado do conteúdo desta unidade. “Não é o ângulo reto que me atrai, nem alinha reta, dura, inflexível criada pelo homem. O que me atrai é a curva livre e visceral. A curva que encontro nas montanhas do meu país, na mulher preferida, nas nuvens do céu e nas ondas do mar. De curvas é feito todo ouniverso. O universo curvo de Einstein.” s n e g a m I r a ls u P i/ n a p p u Z lê a P
k c o t s n ti a /L li s a r /lB i s a r B k c o t S n it a L
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Edifício Copan – Projeto de Oscar Niemeyer – São Paulo – SP.
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Memorial dos Povos Indígenas de Brasília – Projeto de Oscar Niemeyer – Brasília – DF.
Apresentamos também um texto, “A matemática eo caipira” na seçãoVale a pena ler, que pode motivar os alunos. Esses são alguns exemplos; você pode, é claro, encontrar outros mais.
V. Sobre as atividades propostas Boxe da página 232 Retome as ideias sobre simetria. Um eixo de simetria divide a figura em duas partes idênticas. Quando dobrada pelo eixo, as partes se sobrepõem perfeitamente.
Boxe da página 233 Aproveite a oportunidade de integração com Arte. Wassily Kandinsky tem inúmeras obras com motivos geométricos. Você pode mostrar outras aos alunos para que se inspirem na construção sugerida no boxe.
Unidade 14 – Possibilidades e estatística I. Objetivos gerais •
•
Perceber a importância da Matemática na organização do pensamento envolvendo possibilidades. Identificar e utilizar estratégias de síntese, representação, registro e interpretação de dados, reconhecendo os gráficos estatísticos como forma eficiente de comunicação.
II. Objetivos específicos •
Reconhecer e aplicar o princípio fundamental da contagem.
•
Construir árvores de possibilidades.
•
Resolver problemas simples de contagem.
•
Elaborar e interpretar gráficos de barras, pictogramas, gráficos de setores e de segmentos.
III. Comentários Iniciamos a unidade apresentando problemas de contagem e introduzindo os diagramas de árvore para representar as possibilidades. Há muitas oportunidades de contextualização neste assunto e você pode trazer outros problemas que despertem o interesse dos alunos. O princípio fundamental da contagem aparece naturalmente, e os alunos não costumam apresentar dificuldades para compreendê-lo e aplicá-lo. No livro do 9 o ano esse assunto é retomado para trabalhar noções básicas de probabilidade. No 6o e no 7o anos trabalhamos com pictogramas, gráficos de barras e de setores. Nesta unidade retomamos esses conhecimentos por meio de um tema importante para a educação ambiental (lixo), ressaltando as características de cada tipo de gráfico e suas aplicações. Introduzimos a construção e a análise dos gráficos de segmentos para completar o estudo dos gráficos estatísticos. MANUAL DO PROFESSOR
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Sugestão de avaliação Em geral os alunos mostram interesse pelos problemas de contagem. Você pode aproveitar isso para desenvolver e avaliar as habilidades deles na resolução desses problemas. Pode-se propor uma aula de trabalho em duplas para resolver situações clássicas como as que envolvem lançamento de moedas e dados, ou o cálculo do número de placas de automóveis com 3 letras e 4 algarismos, número de resultados possíveis para certa loteria etc. Além da correção dos problemas, a avaliação incluiria a observação do trabalho das duplas na aula. A Seção livretraz uma proposta de trabalho emduplas que também pode fazer parte daavaliação.
IV. Integração com outras áreas do conhecimento Jornais, revistas e internet são excelentes fontes de dados para a elaboração de gráficos estatísticos. Usando esses veículos, você pode envolver no estudo dos gráficos temas como saúde, esporte, cultura, dados sobre a economia do Brasil, buscando a participação de outros componentes curriculares nas atividades.
V. Atividade para trabalhar com os alunos Esta atividade envolve a aplicação do Princípio Multiplicativo para a determinação de divisores de um número natural. Quantos divisores possui o número 288? Fatorando 288, temos: 288 25 32 Cada divisor de 288 é da forma 2 x 3y, onde x {0, 1, 2, 3, 4, 5} e y {0, 1, 2}. Temos então, pelo Princípio Multiplicativo: 6 3 18 divisores número de possibilidades de escolha para y número de possibilidades de escolha para x
7. Avaliação – O que se pede por aí O objetivo deste item é oferecer a você, professor, exemplos de questões sintonizadas com as atuais tendências para a avaliação em Matemática, que têm, como pontos básicos, a aproximação com o cotidiano, a articulação entre conteúdos e a mobilização de habilidades diversificadas para a resolução de problemas. Neste volume, as questões foram selecionadas a partir de avaliações aplicadas pelo Sistema de Avaliação de Rendimento Escolar do Estado de São Paulo (Saresp). 1. Dentre as sentenças matemáticas abaixo, a única verdadeira é: (A) 0,225 0,23 (B) 0,5 0,50 5 0,6 (C) 0,4 10 (D) 0,5 0,2 1 102
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2. No jogo “Encontrando NúmerosIguais” são lançados 5 dados especialmentepreparados paraisso. Observe esta jogada: Os dados com números iguais são:
1,5
7 4
dado 1
dado 2
dado 3
1 5
11 2
1,50 dado 4
dado 5
(A) 1, 2 e 4 (B) 1, 3 e 4 (C) 2, 3 e 5 (D) 3, 4 e 5
3. A parte decimal da representação de um número segue o padrão de regularidade indicado: 0,12112111211112... . Este número é: (A) racional não inteiro. (B) inteiro negativo. (C) irracional negativo. (D) irracional positivo.
4. A letra L está assinalando, na reta numérica, o número 45,477. re o t a n e S io l e H
Qual é o número que a letra J está assinalando? (A) 45,456 (B) 45,454 (C) 45,435 (D) 45,404
5. O valor de 150 é um número irracional compreendido entre: (A) 10 e 11 (B) 11 e 12 (C) 12 e 13 (D) 13 e 14 MANUAL DO PROFESSOR
103
6. Medi o comprimento da roda de minha bicicleta e, a seguir, calculei a razão entre esta medida e o diâmetro da roda, encontrando um número entre: (A) 2 e 2,5 (B) 2,5 e 3 (C) 3 e 3,5 (D) 3,5 e 4 7. Uma lata em forma de um cilindro tem 20 cm de altura e sua base é um círculo de raio igual a 6 cm. A área do papel necessário para cobrir toda a superfície dessa lata, incluindo a tampa e o fundo, é de, aproximadamente: Dado: Área do círculo (A) 751 cm2 A R2, 3,14 2 (B) 867 cm (C) 936 cm2 (D) 980 cm2 8. Ao utilizar uma caneta e uma borracha como referências para fazer a medida do comprimento de um caderno, um aluno percebeu que: cabem exatamente 4 canetas no comprimento do caderno; cabem exatamente 2 canetas e 3 borrachas no comprimento do caderno. • •
re o t a n e S io l e H
Com base nas informaçõesobtidas, é correto dizer que no comprimentoda caneta cabe exatamente uma borracha e mais: (A) 1 de borracha. 5 (B) 1 de borracha. 4 (C) 1 de borracha. 3 (D) meia borracha.
9. Robson utilizou 3 de 1 litro de tinta para pintar a sala desua casa. Sabendo que o restante da casa 4 equivale a 3 vezes a área pintada da sala, quantos litros de tinta ele precisará para pintar os outros cômodos? (A) 2 1 litros. 4 (B) 3 3 litros. 4 9 (C) litros. 12 (D) 12 litros. 4 104
MANUAL DO PROFESSOR
10. Antonio gasta do seu salário: 1 para pagar a mensalidade da sua escola, 1 para condução e 1 5 10 2 para despesas de casa. A porcentagem que sobra do seu salário é: (A) 8% (B) 10% (C) 20% (D) 22% k c to sr e tt u h S / L C M B
11. Na figura ao lado, você vê a foto da cobra mais venenosa do mundo: a Taipan, muito encontrada na Austrália, onde habitam 8 tipos de cobras das 10 mais venenosas do mundo. Assim, podemos dizer que na Austrália é possível encontar: (A) 80% de todas as cobras do mundo. (B) 8% de todas as cobras mais venenosas do mundo. (C) 80% dos 10 tipos de cobras mais venenosas do mundo. (D) 8% dos 10 tipos de cobras mais venenosas do mundo.
Certo remédio teméem sua bula a seguinte “a cadaSehora, da quan12. tidade aplicada injetável ao paciente naturalmente eliminadainformação: pelo organismo”. 20 g metade dessa medicação foi injetada em um paciente, após 3 horas da aplicação, a quantidade do remédio presente no organismo era de aproximadamente: (A) 3,5 g (B) 3,2 g (C) 2,5 g (D) 5,2 g
13. Durante uma brincadeira de adivinhação, Juliana pedia que seus amigos falassem dois números para que ela dissesse um terceiro número, que era calculado a partir da seguinte regra: Juliana usava o primeiro número como base e o segundo como expoente e então calculava a potência. Essa regra, porém, somente ela conhecia e a brincadeira era descobrir a tal regra. Nessa brincadeira, Mateus falou os números: 21 e 3, nessa ordem. Portanto, o número encontrado por Juliana foi: (A) 504 (B) 882 (C) 1 323 (D) 9 261 MANUAL DO PROFESSOR
105
14. Simplifique a expressão abaixo para determinar o valor de A. 10 7 A 2 5 2 2 O valor de A é: (A) 214 (C) 212 (B) 212 (D) 214 15. O raio da Terra, no equador, é de aproximadamente 6400 000 metros, e a distância aproximada da Terra à Lua é de 384 000 000 metros. Podemos também apresentar corretamente o raio da Terra e a distância da Terra à Lua, respectivamente, por: (A) 6,4 103 metros, e 3,84 105 metros. (B) 6,4 106 metros, e 3,84 108 metros. (C) 6,4 106 metros, e 3,84 108 metros. (D) 6,4 108 metros, e 3,84 1010 metros.
16. Para obter qualquer termo da sequência de números ímpares (1, 3, 5, 7, 9,...) na qualn representa a posição do número na sequência, devemos usar a seguinte regra: (A) 2(n 1) (B) 2n 1 (C) 2n 1 (D) 2(n 1)
17. A média do 1o bimestre dos alunos do colégio “Aprender” foi calculada da seguinte forma: 2P T , onde P é a nota da prova e T a nota do trabalho. João tirou 7,0 na prova e 8,5 no tra3 balho, assim sua média no 1o bimestre foi: (A) 5,0 (B) 7,5 (C) 7,8 (D) 8,0 F 32 . 18. A relação entre a temperatura em graus Celsius (°C) e em Fahrenheit (°F) é dadaC por 5 9 Sabendo que a temperatura mínima da cidade de São Paulo durante o ano de 2002 foi de 5 °C, podemos afirmar que essa temperatura em graus Fahrenheit (°F) é de : (A) 20° (B) 37° (C) 41° (D) 100° 106
MANUAL DO PROFESSOR
19. Com velocidade média de 70 km/h, o tempo gasto em uma viagem da cidade A para a cidade B é de 2 h 30 min. Lúcia gastou 3 h 30 min para fazer este percurso. Podemos afirmar que a velocidade média da viagem de Lúcia foi de: (A) 36 km/h (B) 45 km/h (C) 50 km/h (D) 85 km/h
20. Uma empresa de entregas emdomicílio cobra, na grande São Paulo, R$ 5,00 fixos por cada entrega, mais R$ 0,03 por cada 1 grama. No interior do Estado, ela cobra o preço da grande São Paulo acrescido de 10%. O preço de entrega de uma encomenda de x gramas para o interior de São Paulo, em R$, é igual a: 5,03x (A) 5,03x 10 (B) 5 0,03x 5 0,03x 10 (C) (5x 0,03x) 1,1 (D) 5 0,03x 9
21. Num jogo de vôlei entre os times A e B, os dois times bloquearam exatamente o mesmo número de vezes (vamos representar porx este valor), mas o time A obteve mais pontos como consequê n3 cia destes bloqueios. O time A marcou pontos em de seus bloqueios, mais 3 vezes. Otime B mar5 2 cou pontos em de seus bloqueios, menos 2 vezes. A diferença de pontos obtidos por bloqueio 5 entre os dois times é dada pela expressão: (A) x 5 1 x 1 5 (C) x 1 (B)
(D)
1 x 5 5
22. Nas igualdades abaixo, em que a e b representam números reais, a única verdadeira é: (A) (a b)2 a2 b2 (B) (a b)( a b) a2 2ab b2 (C) a(a b) a2 ab (D) a b b
a
MANUAL DO PROFESSOR
107
23. A expressão algébrica que representa a situação: “o quadrado da soma de dois números, menos 3 unidades” é: (A) (a b)2 3 (B) (a b 3)2 (C) a2 b2 3 (D) a b 32
24. Considere as expressões: A 2a 4ba B 2a O resultado da divisão de A por B é: (A) 4ba (B) 4a 4ab b (C) 1 2b (D) 2
25. Dentre os polinômios abaixo, o único equivalente a xy z2 xz yz é: (A) (x z) (y z) (B) x(x y) z (x y) (C) x(y z) z(z y) (D) xy z(z x y)
26. Escreva a expressão algébrica que representa a área da figura abaixo. a a (A) 2 a2 a b 2 a a (B) 2 a2 a b 2 2 b (C) a2 a b 2 (D) a2 a b 2 27. Simplificando-se a expressão x 2 3x , em que x 3, obtém-se: x 9 3 (A) x 9 x (B) x3 x (C) 3 x (D) 3
108
MANUAL DO PROFESSOR
a
28. Veja o que vou fazer com um númerox: 1o) elevar ao quadrado; 2o) multiplicar o resultado por 5; 3o) somar o resultado anterior com o próprio número x multiplicado por 10; 4o) dividir todo o resultado anterior pelo número x somado com 2. Feito isso, terei montado uma fração. Se eu simplificar essa fração, obterei: (A) x 5 (B) 5 (C) 5x (D) 5x 10
29. As duas balanças apresentadas abaixo estão em equilíbrio. A A
B
C C C C C C C C C C C
A
C
B
E A D
A partir dessa informação, podemos concluir que o número de pesos do tipo C necessários para equilibrar um peso do tipo B é igual a: (A) 3 (B) 4 (C) 6 (D) 9
30. A soma das idades de Andréa e Rosana é 12. Quando Andréa tiver o dobro da idade que tem hoje, Rosana terá o triplo da idade que tem hoje, e essa soma será igual a 28. Quantos anos têm, respectivamente, Andréa e Rosana hoje? (A) 12 e 8 (B) 12 e 4 (C) 16 e 12 (D) 8 e 4
31. A soma das mesadas de Marta e João é R$ 200,00. No mês passado, Marta gastou R$ 70,00, e João gastou R$ 40,00 e, ao finaldo mês, estavam com as mesmas quantias. Amesada de Marta é: (A) R$115,00 (B) R$120,00 (C) R$135,00 (D) R$152,00 MANUAL DO PROFESSOR
109
32. Se
2 1, então y vale: 1 2
(A) 2
y
(B) 1 2 1 (C) 2 (D) 2
33. Na figura abaixo as retas paralelas r e s são cortadas pelas transversais t e v. t
s
r v
É correto afirmar que: (A) (B) 90° (C) 180° (D)
34. A estrela da figura abaixo tem seis pontas. A soma dos ângulos A, B, C, D, E e F, das pontas dessa estrela mede: B (A) 180° C A (B) 360° (C) mais do que 360° D F (D) menos do que 180° E 35. Observe os dados do triângulo abaixo. É correto afirmar que: A (A) AB é o maior lado.
tu
(B) AB AC.
tu tCu é o maior lado. (D) B
40°
(C) AC é o menor lado. 60°
B
110
MANUAL DO PROFESSOR
C
2 36. O triângulo ABC da figura abaixo é equilátero. Sabe-se que sua área é 2 cm , e que P, Q e R são pontos médios de AB, BC e AC respectivamente. A área de APQR é:
tu tu t u
A
(A) 0,25 cm
2
(B) 0,5 cm2
P
R
(C) 1,0 cm2 (D) 1,5 cm2
B
Q
C
figura abaixo, os triângulos ABC e DEF são simétricos em relação àretar. Observando a figura, 37. éNacorreto A D afirmar que: (A) o ângulo E mede 80º.
70°
E
B
(B) o ângulo D mede 30º.
8 cm
(C) o ângulo F mede 70º. 30°
(D) o lado DE mede 8 cm.
C
tu
r
B
F
tu
38. No triângulo ABC, CD é a bissetriz relativa ao ângulo C e m é perpendicular a AC . Sabe-se que ACB = 50 º, logo é igual a: A
B
(A) 40º m
D
(B) 65 º (C) 115 º
B
(D) 140º
C
39. Foi traçada a diagonal do paralelogramo abaixo, formando assim dois triângulos. I
M
S
A
É correto afirmar que: (A) a medida do ângulo é diferente da medida do ângulo . (B) as áreas de SIM e MAS têm a mesma medida.
tu
tu
(C) a medida do segmento MS é o dobro da medida do ladoMA . (D) os triâgulos SIM e MAS são isósceles. MANUAL DO PROFESSOR
111
40. A figura abaixo é um pentágono regular e a soma de seus ângulos internos é 540º. Conclui-se A B então que a medida do ângulo MDC é: (A) 72º
B
(B) 92º
E
C
(C) 108º
x
D
(D) 100º
M
41. Observe o hexágono regular CAMELO. Unindo os vértices C, M, L e C com segmentos de reta formamos um triângulo e unindo da mesmo forma os vértices A, M, L, O e nessa A, ordem, formamos umpolígonos quadrilátero. Os formados são: (A) um triângulo retângulo e um quadrado. (B) um triângulo isósceles não equilátero e um quadrado.
A
M
C
E
(C) um triângulo escaleno e um quadrilátero qualquer.
O
L
(D) um triângulo equilátero e um quadrilátero que é retângulo.
42. A mediatriz de um segmento AB é a reta perpendicular ao segmento e que passa por seu ponto médio. Na figura, o ponto O é a interseção das mediatrizes m e n dos segmentos AB e BC, B respectivamente. n m Das afirmativas abaixo, assinale a verdadeira. (A) O ponto O é o centro da circunferência que contém os A C pontos A, B e C. (B) O ponto O é o vértice de um ângulo reto. (C) O ângulo A BC é um ângulo reto. (D) O ponto O é o centro da circunferência tangente a AB e a BC.
B
o
43. Na figura, o triângulo ABC é retângulo e está inscrito no círculo de centro O. Em relação à hipotenusa AB do triângulo, o raio OC é: C (A) bissetriz do ângulo oposto ACB. A B (B) altura. O (C) mediana. (D) mediatriz.
lanchonete de uma escola mate, oferece trêsoutipos de sanduíches: hambúrguer, cachorro quenteofeou 44. A misto e três tipos de bebida: suco refrigerante. O número total de lanches distintos recidos, incluindo um sanduíche e uma bebida é de: (A) 3 (B) 6 (C) 9 (D) 12 112
MANUAL DO PROFESSOR
45. O Sr. Armando tem três carros: um carro azul, um branco e um verde quesão sempre estacionados um ao lado do outro. Assinale a alternativa que mostra corretamente o número de maneiras diferentes que os três carros podem ser estacionados. (A) 3 (B) 4 (C) 6 (D) 12
46. Diversos pedaços de papel, todos do mesmo tamanho, foram preenchidos. Em cada um deles encontramos as quatros letras da palavra PARE em ordem diferente. O número de pedaços de papel que foram preenchidos é: (A) 24 (B) 30 (C) 60 (D ) 120
47. Foi feita uma pesquisa numa escola sobre a preferência dos alunos entre estudar pela manhã ou tarde. A tabela abaixo mostra o resultado desta pesquisa de acordo com o sexo do entrevistado. HoráriodeEstudo
Manhã
Tarde
Homens
70
80
Mulheres
70
50
Baseado nesta pesquisa, podemos afirmar que: (A) as mulheres e os homens preferem estudar pela manhã. (B) a maioria prefere estudar à tarde. (C) o total de entrevistados é de 150 alunos. (D) o total de mulheres entrevistadas é de 120.
48. Uma faculdade oferece cinco cursos de graduação: Matemática, Física, Química, Biologia e Informática. O gráfico de setores abaixo representa a distribuição dos alunos da faculdade entre os cursos. Dentre os gráficos abaixo, indique aquele que também pode ser usado para representar essa distribuição. Biologia
Informática
E A D
10%
35%
Física
10% 30%
Química
Matemática MANUAL DO PROFESSOR
113
(A)
E A D
(C)
a c it á m te a M
a c is í F
a c i m í u Q
ia g o l io B
a c it á rm o f In
a ic t á m te a M
a c sií F
a ic m í u Q
a i g o l io B
a ic t á rm o f n I
a ic t á m e t a M
a ic sí F
a ic m í u Q
ia g o l o i B
a ic t á m r fo In
(D)
(B)
a c ti á m e t a M
a c i ís F
a ic ím u Q
ia g o l io B
a c ti á m r fo In
Respostas: 1. C
17. B
33. A
2. B 3. D 4. A 5. C 6. C 7. D 8. D 9. A 10. C 11. C 12. C 13. D
18. C 19. C 20. B 21. D 22. C 23. A 24. C 25. A 26. A 27. B 28. C 29. A
34. B 35. D 36. C 37. A 38. C 39. B 40. A 41. D 42. A 43. C 44. C 45. C
14. C 15. C 16. C
30. D 31. A 32. D
46. A 47. D 48. A
114
MANUAL DO PROFESSOR
8. Sugestões de livros e sites para o professor No magistério, como em várias outras profissões, estudar continuamente e atualizar-se é indispensável. Fornecemos algumas sugestões de livros e sites que podem auxiliá-lo nessa nobre tarefa – a de ensinar.
8.1 Livros 8.1.1 Matemática por meio de jogos e resolução de problemas •
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• •
•
• •
BORIN, Júlia. Jogos e resolução de problemas: uma estratégia para as aulas de Matemática. São Paulo: IME–USP, 1995. ENZENSBERGER, Hans. O diabo dos números. São Paulo: Cia. das Letras, 1997. KALEFF, Ana Maria. Quebra-cabeças geométricos e formas planas. Rio de Janeiro: Eduff, 2003. (Coleção O Prazer da Matemática.) KRULIK, Stephen; REYS, Robert E. (Orgs.). A resolução de problemas na Matemática escolar. São Paulo: Atual, 1996. LOBATO, Monteiro. Aritmética da Emília. São Paulo: Brasiliense, 1997. OBERMAIR, G. Quebra-cabeças: truques e jogos com palitos de fósforos. Rio de Janeiro: Ediouro, 1981. SMOLE, Kátia Stocco; DINIZ, Maria Ignez; MILANI, Estela. Cadernos do Mathema: Jogos de Matemática de 6o a 9o ano. São Paulo: Artmed, 2007. TAHAN, Malba. As maravilhas da Matemática. Rio de Janeiro: Bloch, 1987. ______. O homem que calculava. Rio de Janeiro: Record, 2001.
8.1.2 História da Matemática e História da Educação Matemática • • •
•
•
•
BOYER, Carl B. História da Matemática. São Paulo: Edgar Blücher, 1996. CARAÇA, Bento Jesus. Conceitos fundamentais de Matemática. Lisboa: Sá da Costa, 1998. IFRAH, Georges. Os números : a história de uma grande invenção. Rio de Janeiro: Globo, 1992. MIGUEL, A.; MIORIM, M.A. História na educação matemática: propostas e desafios. Belo Horizonte: Autêntica, 2004. MIORIM, M.A. Introdução à história da educação matemática. São Paulo: Atual, 1998. STRUICK, Dirk J. História concisa das matemáticas. Lisboa: Gradiva, 1997.
8.1.3 Paradidáticos •
•
Coleção Contando a História da Matemática. Diversos autores. São Paulo: Ática, 1996. Flashes da História da Matemática e situações-problema para o aluno resolver. Coleção Pra que serve Matemática? Diversos autores. São Paulo: Atual, 1990. Temas variados como: Números negativos, Ângulos e Álgebra, entre outros. MANUAL DO PROFESSOR
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•
•
•
Coleção Vivendo a Matemática. Diversos autores. São Paulo: Scipione, 1990. Temas variados como: problemas curiosos, os números na história das civilizações, teorema de Pitágoras, Lógica, Poliedros etc. Série A descoberta da Matemática. Diversos autores. São Paulo: Ática, 1991. Temas variados como: Números negativos, Frações e Ângulos, entre outros. BELLOS, Alex. Alex no país dos números. São Paulo: Companhia das Letras, 2011.
8.1.4 Educação Matemática •
• •
• • •
•
• •
•
CARRAHER, Terezinha; CARRAHER, David; SCHLIEMANN, Analúcia. Na vida dez, na escola zero. São Paulo: Cortez, 1995. Coleção Matemática: aprendendo e ensinando. Diversos autores. São Paulo: Atual. Coleção Tendências em Educação Matemática. Diversos autores. Belo Horizonte: Autêntica, 2001. COXFORD, Arthur F.; SHULTE, Albert P. (Org.).As ideias da Álgebra. São Paulo: Atual, 1994. D’AMBRÓSIO, Ubiratan. Etnomatemática. São Paulo: Ática, 2001. KRULIK, Stephen; REYS, Robert E. (Org.). A resolução de problemas na Matemática escolar. São Paulo: Atual, 1980. LINDQUIST, M. M.; SCHULTE, Albert P. (Org.).Aprendendo e ensinando Geometria. São Paulo: Atual, 1994. MACHADO, Nilson José. Matemática e língua materna. São Paulo: Cortez, 1990. MIGUEL, Antonio; MIORIM, Maria Ângela. O ensino da Matemática no primeiro grau. São Paulo: Atual, 1986. POLYA, G. A arte de resolver problemas. Rio de Janeiro: Interciência, 1995.
Coleção de publicações do CAEM–IME/USP: 1. O uso de malhas no ensino de Geometria. 2. Materiais didáticos para as quatro operações. 3. O conceito de ângulo e o ensino de Geometria. 4. Era uma vez na Matemática: uma conexão com a literatura infantil. 5. Álgebra: das variáveis às equações e funções. 6. Jogos e resolução de problemas: uma estratégia para as aulas de Matemática. 7. A Matemática das sete peças do Tangram. O Centro de Aperfeiçoamento do Ensino de Matemática (Caem) é um órgão de extensão vinculado ao Instituto de Matemática e Estatística (IME) da Universidade de São Paulo (USP). O Caem assessora professores, promovendo cursos e produzindo materiais de apoio para as aulas de Matemática. O site do Caem e o e-mail para contato são, respectivamente, e [email protected].
116
MANUAL DO PROFESSOR
8.2 Revistas •
Revista do Professor de Matemática (RPM) Conhecida como RPM, a revista é distribuída ininterruptamente desde o ano de 1982, e é uma publicação da Sociedade Brasileira de Matemática que, dentre outras atividades, promove também as Olimpíadas de Matemática. O endereço para contato com a RPM é Caixa Postal 66.281 – São Paulo (SP), CEP 05311-970, fone: (11) 3091-6124, e o endereço eletrônico é [email protected]. O site da revista é www.rpm.org.br, e nela o professor encontrará artigos sobre ensino de Matemática e discussões gerais que podem auxiliá-lo em suas dúvidas.
•
Boletim de Educação Matemática (Bolema) O Bolema foi criado no ano de 1985, no Programa de Pós-graduação em Educação Matemática da Unesp de Rio Claro, que é o mais antigo Programa de Pós-graduação, nessa área, na América Latina. Voltado à divulgação de artigos de pesquisa, todo o conteúdo da revista está disponível gratuitamente no site . Atualmente o BOLEMA tem três edições anuais e alguns números especiais, voltados à discussão de temas específicos (Ensino de números racionais (de 2008), Avaliação em Matemática (de 2009), História da Educação Matemática (de 2010), Educação Estatística (de 2011) e Modelagem Matemática (de 2012).
•
Revista Zetetiké O nome Zetetiké está relacionado ao termo “pesquisa”. A revista Zetetiké é uma publicação do Círculo de Memória e Pesquisa em Educação Matemática (Cempem) da Faculdade de Educação da Unicamp. A Zetetiké circula bimestralmente desde o ano de 1993 e todas as suas edições podem ser acessadas gratuitamente em: .
•
Boletim Gepem O Grupo de Estudos e Pesquisa em Educação Matemática (Gepem) é um grupo carioca que começou a funcionar no ano de 1976 e é o mais antigo ai nda em funcionamento no Brasil. Voltado a publicar artigos de pesquisa e experiências em sala de aula, o Boletim Gepem, de periodicidade bimestral, pode ser acessado gratuit amente no site: .
•
Revista Nova Escola Publicada pela Editora Abril, a revista Nova Escola é uma revista especifica de Educação Matemática, seu conteúdo é sobre Educação. Frequentemente, porém, podemos encontrar em suas páginas artigos que tratam do ensino e aprendizagem de Matemática, além de textos relativos a outras disciplinas e de discussões gerais acerca das práticas escolares. Ao contrário das demais publicações aqui referenciadas, a revista Nova Escola é uma edição comercial, que pode ser comprada em bancas e cujas edições são mensais. O site da
•
revista é: . Revista Educação e Matemática A Educação e Matemáticaé um periódico da Associação de Professores de Matemática de Portugal, publicada desde 1987 e com periodicidade atual de cincoedições anuais. A revista publica artigos sobre o ensino e aprendizagem de Matemática, relatos de experiências e propostas de atividades para a sala de aula. Háalguns artigos e materiais disponíveis on-line (o acesso integral a todos os artigos só é possível a associados) pelo site: . MANUAL DO PROFESSOR
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8.3 Sites Vivemos num mundo de comunicação e informação, o que implica serem infinitas as possibilidades de encontrarmos, à nossa disposição, motivações e propostas para implementarmos em sala de aula ou usarmos para nossa formação complementa r continuada, para atualizarmos nossos conhecimentos. A internet é um dos melhores exemplos dessas infinitas possibilidades. Mas exatamente por serem tantas as informações disponíveis, os professores devem ser cautelosos quando “passeando” pelo mundo virtual. Embora sugestões criativas para nosso trabalho possam vir de onde menos se espera – o mundo está cheio de situações que podem ser usadas criativa e criteriosamente em nossas salas de aula – nossas visitas a sites na internet não podem prescindir de uma boa dose de cuidado. Para auxiliar os professores em suas buscas, oferecemos alguns sites. Páginas virtuais de grupos de pesquisa, universidades, centros de formação conhecidos, profissionais experientes, instituições oficiais e não governamentais reconhecidas por sua atuação e programas de pós-graduação são endereços mais seguros – embora não sejam os únicos – que podem, ao serem acessados, informar o professor e motivá-lo a criar atividades e abordagens para seu cotidiano escolar. Alguns sites já foram disponibilizados nos tópicos anteriores, outros seguem abaixo: •
www.mathema.com.br O Mathema é um grupo que investiga novos métodos e materiais para o ensino de Matemática. Seu site contém textos e materiais para vários níveis de escolaridade.
•
• •
www.sbm.org.br www.sbem.com.br www.apm.pt A Sociedade Brasileira de Matemática (SBM) –, a Sociedade Brasileira de Educação Matemática (SBEM) e a Associação de Professores de Matemática de Portugal (APM) são sociedades voltadas à pesquisa e ao ensino, e em seus sites os professores podem encontrar informações sobre eventos e publicações. Essas sociedades mantêm revistas especializadas em ensino de Matemática – a SBM publica a Revista do Professor de Matemática; a APM publica as revistas Quadrante (revista teórica e de investigação) e Educação e Matemática; a SBEM publica, além de boletins eletrônicos frequentes, a Educação Matemática em Revista e a Revista Internacional de Pesquisa em Educação Matemática (Ripem). Cada estado da Federação tem uma SBEM regional, e muitas delas também mantêm boletins e revistas com informações e atividades para professores de Matemática.
•
www.ibge.gov.br
•
www.ibge.gov.br/paisesat/main.php Site do Instituto Brasi leiro de Geografia e Estatística e do link em que recentemente foi disponibilizado um mapa-múndi digital. Esse mapa-múndi traz síntese, histórico, indicadores sociais, economia, redes, meio ambiente, entre outras curiosidades, relativos a todos os países do mundo.
Veja, a seguir, exemplos – dentre os muitos existentes – de sites de Programas de Pós-graduação em Educação Matemática ou de Ensino de Ciências e Matemática emfuncionamento no Brasil. Nesses sites o professor pode encontrar informações sobre cursos, disciplinas, eventos e outras atividades relativas à pesquisa sobre o ensinode Matemática e a práticas de ensino de Matemática. 118
MANUAL DO PROFESSOR
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www.rc.unesp.br/igce/pgem/ www.pucsp.br/pos/edmat/ www.propesq.ufpe.br/index.php?option=com_content&view=article&id=70&Itemid=138 www.pg.im.ufrj.br/pemat/mestrado.htm www.edumat.ufms.br/ www.mat.ufrgs.br/~ppgem/ www.ufjf.br/mestradoedumat/ www.ppgecnm.ccet.ufrn.br/
Outros sites de interesse para os professores de Matemática • • • • • • • • • •
www.cabri.com.br/index.php www.matinterativa.com.br/layout.swf www.ime.usp.br/~matemateca www.somatematica.com.br educar.sc.usp.br/matematica matematica.com.sapo.pt nautilus.fis.uc.pt www.programaescoladigital.org.br www.obm.org.br www.obmep.org.br
Portais educacionais e objetos de aprendizagem Objetos de aprendizagem (OA) são jogos, animações, experimentos, vídeos, textos etc., disponibilizados na internet para uso de professores e alunos. Há vários portais e repositórios que podem ser consultados. Seguem sugestões: mdmat.mat.ufrgs.br www.wisc-online.com/ListObjects.aspx www.apm.pt/portal/index.php?id=26373 www.mais.mat.br/wiki/Pagina_principal www.portaldoprofessor.mec.gov.br/index.html objetoseducacionais2.mec.gov.br escolovar.org/mat.htm www.diaadia.pr.gov.br • • • • • • • •
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Repositórios de Objetos de Aprendizagem: Rived – rived.mec.gov.br
Bioe – objetoseducacionais2.mec.gov.br/ LabVirt – www.labvirt.fe.usp.br Cesta – www.cinted.ufrgs.br/CESTA •
Repositórios Internacionais: Merlot – www.merlot.org Ariadne – www.ariadne-eu.org MANUAL DO PROFESSOR
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9. Referências bibliográficas BORIN, Júlia. Jogos e resolução de problemas: uma estratégia para as aulas de Matemática. São Paulo: IME–USP, 1995. BOYER, Carl B. História da Matemática . São Paulo: Edgard Blücher, 1996. BRASIL. Ministério da Educação. Secretaria de Educação Fundamental. PCN de Matemática. Brasília: SEF/MEC, 1998. CARDOSO, Virgínia Cardia.Materiais didáticos para as quatro operações. São Paulo: IME–USP, 1992. CENTURION, Marília. Conteúdo e metodologia da Matemática, números e operações . São Paulo: Scipione, 1994. D’AMBRÓSIO, Ubiratan. Da realidade à ação: reflexões sobre educação e Matemática. São Paulo: Summus, 1995. DINIZ, Maria Ignez de Souza Vieira; SMOLE, Kátia Cristina Stocco. O conceito de ângulo e o ensino de Geometria . São Paulo: IME–USP, 1992. DOLCE, Osvaldo; POMPEO, José Nicolau. Geometria plana . São Paulo: Atual, v. 9. 1993. (Coleção Fundamentos da Matemática Elementar.) GUELLI, Oscar. A invenção dos números . São Paulo: Ática,v. 1. 1998. (Coleção Contando a História da Matemática.) GUNDLACH, Bernard H. Números e numerais. 1. ed. São Paulo: Atual, 1992. (Coleção Tópicos de História da Matemática.) IEZZI, Gelson et al. Conjuntos, funções. São Paulo: Atual, v. 1. 1985. (Coleção Fundamentos da Matemática Elementar) IFRAH, Georges. Números: a história de uma grande invenção. Rio de Janeiro: Globo, 1992. KAMII, Constance.Aritmética: novas perspectivas. Implicações da teoria de Piaget. Campinas: Papirus, 1992. KRULIK, Stephen; REYS, Robert (Orgs.). A resolução de problemas na matemática escolar . São Paulo: Atual, 1980. LIMA, Elon Lages. Áreas e volumes . Rio de Janeiro: Ao Livro Técnico, 1975. (Coleção Fundamentos da Matemática Elementar.) LINS, R. C.; GIMENEZ, J.Perspectiva em Aritmética e Álgebra parao século XXI. Campinas: Papirus, 1997. MACHADO, Nilson José. Coleção Matemática por Assunto . São Paulo: Scipione, v. 1. 1988. MOISE, E; DOWNS, F. L. Geometria moderna. São Paulo: Edgard Blücher, 1971. MONTEIRO, Jacy. Elementos de álgebra. Rio de Janeiro: Ao Livro Técnico, 1978. NETO, Ernesto Rosa. Didática da Matemática . São Paulo: Ática, 1987. NIVEN, Ivan. Números: racionais e irracionais. Rio de Janeiro: SBM, 1984. POLYA, George. A arte de resolver problemas . Rio de Janeiro: Interciência, 1978. RUBINSTEIN, Cléa et al.Matemática para o curso de formaçãode professores. São Paulo: Moderna, 1977. SANTOS, Vânia Maria Pereira (Coord.). Avaliação de aprendizagem e raciocínio em Matemática : métodos alternativos. Rio de Janeiro: IM-UFRJ; Projeto Fundão; Spec/PADCT/Capes, 1997. SOLOMON, Charles. Matemática . Série Prisma. São Paulo: Melhoramentos, 1978. SOUZA, ElianeSão Reame; Maria1994. Ignez de Souza Vieira. Álgebra: das variáveis às equações e funções. Paulo:DINIZ, IME–USP, STRUIK, Dirk J. História concisa das Matemáticas . Lisboa: Gradiva, 1997. TROTA, Fernando; IMENES,Luiz Márcio; JAKUBOVIC,José.Matemática aplicada . São Paulo: Moderna, 1980. WALLE, John A. van de. Matemática no Ensino Fundamental : formação de professores e aplicação em sala de aula. Porto Alegre: Artmed, 2009. ZABALLA, Antoni (Org.). A prática educativa: como ensinar. São Paulo: Artmed, 1998.
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