Manual de Algebra

UM

Universidad de Morón

Modalidad @ Distancia

ÁLGEBRA

1 Autoridades Decano

Ing. Hugo René Padovani Vicedecana

Lic. María Liliana Mazzi Secretaria Académica

Dra. Liliana Elena Lipera Secretario Adjunto

Arq. Carlos Antonio Ontiveros Director de Estudios y Coordinación

Lic. Marcelo Daniel Vinjoy Consultora General

Lic. Mónica Elsa Eines

Carrera Licenciatura en Higiene y Seguridad en el Trabajo

Director de Carrera

Lic. Carlos Héctor Colángelo Autoras de Contenidos

Nélida Aranda Mónica Elsa Eines

Procesamiento Didáctico

María Inés Sainz Diseño Editorial

Diego G. Mamone


ÍNDICE GENERAL Unidad 1 - Análisis Combinatorio Objetivos Específicos de la Unidad 1 Introducción Principio Permutaciones Simples Factorial de un Número Natural Variaciones Simples Combinaciones Simples Números Combinatorios Ejercicios Propuestos

7 8 9 9 10 10 11 13 14 15

Unidad 2 - Matrices Objetivos Específicos de la Unidad 2 Introducción Orden o Dimensión de una Matriz Definición de algunas Matrices Particulares Operaciones con Matrices Determinantes Cálculo de un Determinante de Segundo Orden (2x2) Cálculo de un Determinante de Tercer Orden (3x3) Ejercicios Resueltos Menor Complementario Adjunto o Cofactor Ejercicios Resueltos Otras Propiedades de los Determinantes Ejercicios Resueltos Ejercicios Propuestos Método para Calcular Determinantes Ejercicios Resueltos Matriz Adjunta Matriz Inversa Propiedades de las Matrices Inversas Ejercicios Resueltos Ejercicios Propuestos Rango o Características de una Matriz El Método de Gauss Ejercicios Propuestos

17 18 19 19 19 21 22 22 22 23 23 24 25 27 30 31 32 32 35 36 37 37 39 39 40 42

Unidad 3 - Sistemas de Ecuaciones Lineales Objetivos Específicos de la Unidad 3 Introducción Sistemas de Dos Ecuaciones Lineales con Dos Incógnitas Métodos de Resolución

43 44 45 45 46

Álgebra I

Facultad de Informática, Ciencias de la Comunicación y Técnicas Especiales

Reducción por Sumas o Restas Ejercicios Resueltos Clasificación Teorema de Rouche-Frobenius Regla de Cramer (Enunciado) Ejercicios Propuestos Ejercicios Resueltos Ejercicios Propuestos Método de Gauss-Jordan Ejercicios Propuestos Sistemas de Ecuaciones Homogéneos Ejercicios Propuestos Unidad 4 - Polinomios Objetivos Específicos de la Unidad 4 Introducción Grado de un Polinomio Términos Semejantes Adición de Polinomios Sustracción de Polinomios Propiedad Producto de un Polinomio por un Número Real Producto de Polinomio Potencia de Polinomio Cuadrado de un Binomio Cubo de un Binomio Binomio de Newton Cociente de Polinomios Regla de Ruffini Teorema del Resto Ejercicios Resueltos Factoreo de Polinomios Ejercicios Resueltos Ejercicios a Resolver Expresiones Algebraicas Fraccionarias Simplificación de Expresiones Algebraicas Operaciones con Expresiones Algebraicas Fraccionarias

48 48 50 51 53 55 56 58 59 67 68 70 71 72 73 73 75 75 75 76 76 76 77 77 78 78 80 82 83 83 84 88 90 91 91 91

Unidad 5 - Función Cuadrática Objetivos Específicos de la Unidad 5 Función Cuadrática Parábola Ejercicios Resueltos Ejercicios Resueltos

95 96 97 97 98 101

Unidad 6 - Vectores

103

Licenciatura en Higiene y Seguridad en el Trabajo


Objetivos Específicos de la Unidad 6 Magnitudes Vectoriales Vector Igualdad Oposición Condición de Paralelismo de Dos Vectores Suma de N Vectores Resta de Dos Vectores Producto de un Vector por un Número Versor Proyección de un Vector sobre un Eje Definición y Propiedades del Producto Escalar de Dos Vectores Producto Vectorial de Dos Vectores Estructura de Grupo Estructura de Grupo Abeliano Ejercicios Estructura de Semigrupo Ejercicios Estructura de Anillo Ejercicios Ejercicio Estructura de Cuerpo Ejercicio Ejercicio Espacio Vectorial Ejercicio Ejercicio Combinación Lineal Ejercicio Sistema de Generadores Conjunto Linealmente Independiente Base de un Espacio Vectorial Dimensión de un Espacio

Álgebra I

104 155 105 107 107 107 107 108 109 109 110 113 114 115 117 122 122 123 123 124 125 125 127 128 128 130 132 133 134 134 135 136 136




Unidad

1

Análisis Combinatorio

Álgebra I

Álgebra I


Objetivos específicos de la Unidad 1  Familiarizarse con la problemática matemática de combinar y permutar elementos.  Distinguir los casos matemáticos de permutaciones, variaciones y combinaciones.  Internalizar el concepto de número combinatorio como un objeto matemático.  Desarrollar habilidad para calcular números combinatorios.  Desarrollar habilidad para resolver problemas matemáticos de combinatoria.



INTRODUCCIÓN El Análisis Combinatorio o Combinatoria, tiene por finalidad estudiar las distintas agrupaciones de objetos, prescindiendo de la naturaleza de los mismos, y en algunos casos, no del orden. Estas funciones permiten contabilizar el número de objetos que se obtienen en una determinada situación. Nos ocuparemos de los tres problemas de la Combinatoria Simple que son: 1) Permutaciones 2) Variaciones o arreglos 3) Combinaciones. Antes de tratar estos temas veremos también el concepto de factorial, necesario para el cálculo de algunos de los problemas posteriores.

Principio Si un acontecimiento determinado puede producirse en cualquiera de las M formas, y una vez producido puede producirse un segundo evento en cualquiera de las N formas, entonces, ambos acontecimientos pueden ocurrir M.N formas. Ejemplo: Si en una biblioteca hay 3 libros de Historia (H1, H2, y H3) y 2 libros de Matemática (M1 y M2), entonces existen 3.2 = 6 maneras distintas de escoger un libro de Historia y uno de Matemática. Gráficamente, podemos determinar estas 6 maneras a través de un diagrama: H1

M1

libro de Historia H1 y Matemática M1

M2

Libro de Historia H1 y Matemática M2

H2 H3

M1


M2


M1


M2


Álgebra I


PERMUTACIONES SIMPLES Son los distintos subconjuntos que se pueden formar diferenciándose solamente por el orden de los elementos. Para determinar el número de permutaciones que se pueden formar con los n elementos del conjunto A, construiremos un diagrama, suponiendo que A tiene tres elementos a, b, y c: b, c a, b, c a c, b a, c, b b

a, c

b, a, c

c, a

b, c, a

c

a, b

c, a, b

b, a

c, b, a

Luego, podemos decir que el número de Permutaciones que pueden obtenerse de un conjunto formado por n elementos distintos, será: Pn = n.(n-1).(n-2).(n-3)….3.2.1 o sea:

Pn

Pn = n! que se lee “Permutaciones de n”

donde el símbolo n! se lee Factorial de n o n Factorial, concepto que veremos a continuación.

FACTORIAL DE UN NÚMERO NATURAL Dado un número natural n ≥ 1; decimos: factorial de n al producto de los números naturales desde 1 hasta n y lo expresamos n! n! = n (n-1) (n-2) (n-3) … 1 1! = 1 2! = 2 . 1 = 2

10



3! = 3 . 2 . 1 = 6 7! = 7 . 6 . 5 . 4 . 3 . 2 . 1 = 5040  Propiedad 1: Para todo n ε N y n ≥ 1 tenemos: (n+1)! = (n+1).n!

Usando lo visto para 3!, vemos que 4!= 4.3.2.1 = 24 =

= 4.3!

=24

 Propiedad 2: Definimos 0! = 1 Ejemplo: 1) ¿Cuántas permutaciones se pueden formar con las letras de la palabra LONDRES? Solución: Debo utilizar todos los elementos (las 7 letras) cambiándolas de posición. P7 = 7! = 5040 2) De las permutaciones que se pueden formar con las letras de la palabra LIBRO, ¿cuántas empiezan con L?, ¿cuántas empiezan con LI? Solución: La palabra LIBRO tiene 5 letras, si deseo hallar las permutaciones de aquellas que comienzan con L, entonces son 4 letras las que podré cambiar de posición, luego: P4 = 4! = 24 Si las permutaciones comienzan con LI, entonces serán 3 letras las que podré cambiar de posición, luego: P3 = 3! = 6

VARIACIONES SIMPLES Son los distintos subconjuntos que se pueden formar con los m objetos dados tomados de a n (en símbolos Vm;n), si cumple con la condición de diferir un subconjunto de otro en un elemento como mínimo o en el orden en que se encuentran ubicados. Debe considerarse que m > n ya que si m = n, estaríamos en presencia de Permutaciones y no de Variaciones.

Álgebra I

11


El número de Variaciones, de m elementos tomados de n en n, está dado por: Vm,n = m.(m-1),(m-2)….[m –(n-1)] = m! (m–n)! El número de variaciones de m elementos tomados de n en n está dado por el producto de m factores naturales decrecientes consecutivos a partir de n.

Vm;n

que se lee “Variaciones de m tomadas de a n”

Ejemplos: 1) Dados los dígitos 1, 2, 3, 4, 5 ¿cuántos números de 3 cifras diferentes puedo formar con todos ellos? Solución: Algunas de las cifras que puedo formar son: 123, 124, 125, ahora bien, la cifra 123 es diferente a 132, no se cambió ningún elemento, pero si, se alteró el orden de dos de ellos. Dos cifras serán distintas si se cambia al menos un elemento o se altera el orden en que están dispuestos. Este es un caso de variaciones de 5 elementos tomados de a 3.

V5,3 = m! = 5! = 5. 4. 3. 2. 1 = 60

(m-n)!

2!

2!

2) ¿Cuántos números de cinco dígitos puedo formar con los números del 0 al 9 sin que se repitan? ¿Cuántos son pares? ¿Cuántos son múltiplos de 5? Para resolver este problema debemos ver primero si se trata de una variación o de una combinación, en cuyo caso veremos su resolución más adelante. Formamos un número de cinco dígitos y le cambiamos el orden, al cambiar el orden tenemos números distintos, por lo tanto se trata de una variación. Para la primer pregunta, la respuesta es: 10 elementos (cantidad de cifras entre 0 y 9), tomados de a 5 (ya que nos pidieron números de 5 dígitos) cuya fórmula es:

V(10;5) =

10! = 10.9.8.7.6 = 30.240 (10 - 5)!

En cuanto a los pares son los terminados en 0, 2, 4, 6, 8. Por ejemplo tomamos los pares terminados en 2, lo dejamos como último digito, y le anteponemos otros cuatro.

12



Esto son las

V(9;4) = 9! = 9! = 9.8.7.6 = 3024

terminan en 2.

(9 - 4)!

5!

son los que

Como tenemos cinco números pares debemos hacer 3.024 esta es la cantidad de pares.

x 5 = 15.120,

Sabiendo que del total de números hallados la mitad son pares, verificamos

30.240 / 2 = 15.120

este resultado haciendo

Los múltiplos de cinco son los terminados en “0” o en “5”. Podemos tomar el “0” y lo dejamos como último digito al que le anteponemos otros cuatro. Esto son las V(9;4) = 9! = 9!

terminan en “0”.

(9 - 4)!

5!

= 9.8.7.6 = 3024 son los que

Una cantidad igual son los terminados en “5” ,entonces el resultado será

3.024 x 2 = 6.048

Respuesta: se pueden formar 30.240 números, 15.120 son pares y 6.048 múltiplos de cinco.

COMBINACIONES SIMPLES Son los distintos subconjuntos que pueden formarse con n elementos de un total m del conjunto, con la condición que cada grupo debe diferir en un elemento. m! En símbolos: Cm,n = n! (m-n)!

Cm;n

= n m

que se lee “Combinaciones de m tomadas de a n”

En donde la expresión n recibe el nombre de Número Combinatorio m Ejemplo: 1) ¿Cuántos grupos de 4 personas pueden formarse con 5 niñas y 3 niños? Solución: Al formar los grupos no importa en qué orden estén, una posibilidad sería 2 niñas y 2 niños, este es un caso de combinación de 8 elementos tomados de a 4. Álgebra I

13


8! = 8. 7. 6. 5. 4! = 70 4! . 4! 4. 3. 2. 1. 4! 2) ¿Cuántas comisiones distintas pueden formarse con 5 alumnos en cada uno, si el total de los alumnos es 50?

C8,4 =

Solución: es un caso de combinación de 50 elementos tomados de a 5.

C50,5 = 2118760

NÚMEROS COMBINATORIOS Los números combinatorios son combinaciones de m elementos tomadas de a n. Se expresan así: m n m = Entonces,

n

m! = C m;n (m-n)! n!

m, n ∈ N, n ≤ m

 Propiedad 1: m = 1 El número combinatorio “m” tomado de a “0” da 1 0

 Propiedad 2: 0 0

= 1 El número combinatorio “0” tomado de a “0” da 1

 Propiedad 3: m = 1 El número combinatorio “m” tomado de a “n” da 1 m  Propiedad 4: m = m Los números combinatorios complementarios m–n n son iguales.  Propiedad 5: Triángulo de Tartaglia.

14

Esta propiedad referida al cálculo de números combinatorios secuenciados, la veremos en la Unidad 4, al tratar el tema de Binomio de Newton.



EJERCICIOS PROPUESTOS 1) ¿De cuántas maneras se pueden disponer 5 libros en un estante?

Rta. 120

2) ¿De cuántas formas distintas pueden ubicarse en el campo de juego los jugadores de un equipo de voley? Rta. 720 3) ¿Cuántos números distintos de 4 cifras no repetidas pueden formarse con los números del 0 al 9?

Rta. 5.040

4) ¿Cuántos importes distintos puedo lograr con un billete de $ 2, uno de $ 5, uno de $ 10, uno de $ 20 y uno de $ 100, tomándolos de todas las formas posibles? Rta. 31 5) ¿De cuántas formas se pueden exponer 4 cuadros en fila, de un total de 20? Rta. 116.280 6) ¿Cuántas formas diferentes hay para ordenar las letras de la palabra PUBLICO? ¿Cuántas terminan con U? ¿Cuántas comienzan con BLI? Rta. a) 5040, b) 720, c) 24 7) ¿De cuántas maneras puede colocarse en fila una familia de 5 personas para tomarse una foto? Rta. 120 8) Si 10 estudiantes participan de una olimpíada de matemática ¿De cuántas maneras distintas pueden adjudicarse el primer y segundo premio? Rta. 90 9) Una persona debe estudiar 2 idiomas, tiene 5 para elegir ¿De cuántas formas distintas puede hacer esa elección? Rta. 10

Álgebra I

15


16



Unidad

2

Matrices

Álgebra I

Álgebra I

17


Objetivos específicos de la Unidad 2  Internalizar los conceptos de matrices, determinantes, menor complementario, adjunto, rango de una matriz.  Reconocer la matriz como conjunto ordenado de números reales.  Internalizar el concepto de dimensión de una matriz.  Reconocer algunas matrices particulares.  Desarrollar habilidad para operar con matrices.  Desarrollar habilidad para resolver determinantes.  Reconocer el determinante como un elemento matemático igual a un número real.  Conocer las principales propiedades de los determinantes.  Aplicarlas con fluidez a su resolución.  Identificar distintos métodos de resolución de determinantes.  Seleccionar el método más adecuado para la resolución de determinantes según cada caso.  Conocer las principales propiedades de las matrices.  Aplicarlas con fluidez para hallar otras matrices a partir de una dada.

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Introducción En esta unidad consideraremos las propiedades y la resolución de matrices y determinantes. Su aprendizaje resulta fundamental para el tratamiento de sistemas de ecuaciones que veremos más adelante. Definición: Una matriz es una agrupación rectangular en líneas de números, parámetros o variables. La ubicación de cada elemento de la matriz se determinará por el subíndice (ij), donde: i indicará el número de fila, j indicará el número de columna. Toda matriz es un conjunto ordenado, en la que cada línea horizontal constituye una fila de la matriz y cada línea vertical una columna de la matriz. Consideremos en símbolos, una matriz genérica de m filas y n columnas, con elementos aij. A=

a11 a21 . . am1

a12 a22

a13 a23

a14 ..... a1n a24 ..... a2n

am2

am3

am4 ..... amn

Orden o dimensión de una matriz Definición: Es un par ordenado de números naturales, el primero de los cuales indica la cantidad de filas (m) y el segundo el número de columnas (n).

Definición de algunas matrices particulares Una matriz cuadrada es aquella matriz que posee igual número de filas y de columnas.

Álgebra I

19


Ejemplo: Hallar el orden de las siguientes matrices: A=

1 2 3 0 6 8

B=

-1 0 7 4 5 8 5 -3 0

dim A: 2x3

m (filas) = 2 n (columnas) = 3

dim B: 3x3

El último ejemplo, es el caso en que la matriz posee igual número de filas que de columnas, también denominada matriz cuadrada de orden n; en este caso, de orden 3. Matriz cuadrada, se denomina aquella matriz que tiene igual número de filas que de columnas. Matriz nula es aquella cuyos elementos son todos ceros. La nombramos usualmente como O Matriz identidad es aquella matriz cuadrada, cuyos elementos de la diagonal principal son iguales a uno y todos los demás son ceros. La nombramos usualmente como I Matriz traspuesta Dada una matriz A ε Rnxm, se llama matriz traspuesta de A; a una nueva matriz que pertenece a Rmxn y que se obtiene intercambiando las filas con las columnas a partir de A. La simbolizamos como At Ejercicios: 1) Escriba una matriz nula, una matriz identidad, y una matriz cualquiera con su traspuesta. 2) Indique que elemento es coincidente en A y At . Matriz opuesta Dada una matriz A ε Rnxm, se llama matriz opuesta de A , a una nueva matriz que pertenece a Rnxm y en la cual, todos los elementos son el opuesto (es decir el mismo número con signo cambiado) de los elementos que ocupan igual posición en la matriz A...

20



Matriz adjunta: Se definirá posteriormente

OPERACIONES CON MATRICES Suma o adición de matrices Dadas dos matrices A y B, que pertenecen a un mismo conjunto Rnxm, es decir son del mismo orden; llamamos matriz suma a una matriz C que se obtiene sumando los elementos aij y bij . Simbólicamente cij= aij + bij , para todo i , para todo j. Ejercicios: 1) Verificar el enunciado de esta operación para un ejemplo de dos matrices por usted propuestas. 2) Verificar el enunciado de esta operación para un ejemplo de dos matrices opuestas por usted propuestas. Indique que resultado obtiene.

Resta o diferencia de matrices Dadas dos matrices A y B, que pertenecen a un mismo conjunto Rnxm, es decir son del mismo orden; llamamos matriz diferencia a una matriz C que se obtiene restando los elementos aij y bij . Simbólicamente cij= aij - bij , para todo i , para todo j.

Producto de dos matrices Dadas dos matrices, A que pertenece al conjunto Rnxm y una matriz B que pertenece al conjunto Rmxs, es decir el número de columnas de la primera es igual al número de filas de la segunda; llamamos matriz producto a una matriz C, que se obtiene de la siguiente manera: cij =

∑a

ijij

..bjkjk

(Obsérvese que j coincide en ambos subíndices; ya que hemos dicho que en las matrices a multiplicar, el número de columnas de la primera es igual al número de filas de la segunda) Matriz inversa Se llama matriz inversa de una matriz A cuadrada, a una matriz B tal que el producto de las mismas permite obtener la matriz identidad. Álgebra I

21


Nota: más adelante veremos como se obtiene la inversa de una matriz.

DETERMINANTES Definición: Es un número único, que es posible definir para cada matriz cuadrada. El orden de un determinante coincidirá con el de la matriz en estudio. Notación: A

CÁLCULO DE UN DETERMINANTE DE SEGUNDO ORDEN (2X2) A =

a11 a12 a21 a22

Ejemplo:

A = a11. a22 – a12. a21

1 -4 = 1.2 + 4.3 = 14 3 2

CÁLCULO DE UN DETERMINANTE DE TERCER ORDEN (3X3) REGLA DE SARRUS a11 A = a21 a31

a11 a21

a12 a22 a32

a13 a23 a33

a12 a22

a13 a23

Repetimos las dos primeras filas y consideramos los productos de los elementos de cada diagonal, las que podemos definir a derecha con signo positivo y a izquierda con signo negativo Simbólicamente A = (a11.a22.a33 + a21.a32.a13 + a31.a12.a23) – - (a13.a22.a31 + a23.a32.a11 + a33.a12.a21)

22



Ejemplo: A =

1 1 1 2 3 4 0 1 0 ======== 1 1 1 2 3 4

A = ( 1.3.0 +2.1.1 +0.1.4)-( 1.3.0 +4.1.1+ 0.1.2) =

=(0 + 2 + 0) – (0 + 4 + 0)

A = 2 – 4 = -2

EJERCICIOS RESUELTOS 1–

Calcular los siguientes determinantes: a) 1 -1 2 3

b) 6 8 10

1 0 2

3 -1 4

c)

1 4 7

2 5 8

3 6 9

Solución: a) 1 2

-1 3

A = 1.3 – (-1).2 = 5

b) 6 1 3 8 0 -1 10 2 4 ======== 6 1 3 8 0 -1 c) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 ======== 1 2 3 4 5 6

A = 6.0.4+8.2.3+10.1.(-1-) – [3.0.10+(-1).2.6+4.1.8] A = 38 – (20) = 18

A = 1.5.9+4.8.3+7.2.6 – [7.3.5+1.8.6+9.2.4] A = 225 – [225] = 0

MENOR COMPLEMENTARIO Definición: Álgebra I

23


Dado el determinante A de orden n, se llama menor del elemento aij, al determinante de orden n-1 que resulta de suprimir en A la fila i y la columna j. Notación: Mij. Ejemplo: Dado el determinante

2 -3 5 1 4 8

4 0 6

El menor complementario del elemento 2, de posición a11 será: 1 M11 = 8

0 6 = 6

El menor complementario del elemento 8, de posición a32 será: 2 4 M32 = 5 0 = -20

ADJUNTO O COFACTOR Definición: Se llama adjunto o cofactor del elemento aij a la multiplicación:

(-1)i+j. Mij = Aij

Entonces, se denomina adjunto de un elemento aij al menor complementario Mij precedido del signo + o -, según que la suma de los números que indican la fila y la columna a la cual pertenece al elemento considerado, sea par o impar, o sea multiplicado por (-1)i+j. Si tomamos el ejemplo anterior: El adjunto del elemento 2 será: A11 = (-1)1+1

1 0 8 6 =+6

El adjunto del elemento 8 será: 2 4 A32 = (-1)3+2 5 0 = -(-20) = 20  PROPIEDAD 1: Todo determinante es igual a la suma de los productos de los elementos de una fila o columna cualquiera, por sus correspondientes adjuntos.

24



El cálculo de un determinante aplicando esta propiedad, se llama desarrollo del determinante por los elementos de una fila (o columna), o método de Laplace. Ejemplo: Dado el siguiente determinante desarrollarlo según los elementos de la primer fila. 1 2 4

2 10 3 9 2 9 2 3 9 = 1.(-1)1+1 . + 2.(-1)1+2 . + 10.(-1)1+3 . 5 11 5 11 4 11 4

3 5

resolviendo cada determinante de 2º orden y sumando: 1 2 4

2 10 3 9 = -4 5 11

EJERCICIOS RESUELTOS Determinantes de 2ºorden: 1 - 3 -8 5 7 2 - -1 3

0 4

= 3.7 - [(-8).5] = 61

= (-1).4 - 0.3 = -4

Determinantes de 3ºorden: 3

1 0 3 -2 1 5 1 6 -4

Para resolverlo podemos aplicar: a) Regla de Sarrus b) Desarrollo por fila o columna

a) Por Sarrus: 1 0 3 -2 1 5 1 6 -4 ======== 1 0 3 -2 1 5 Álgebra I

25


=1.1.(-4)+(-2).6.3+1.0.5 - [3.1.1 + 5.6.1 + (-4).0.(-2)]= = -73 b) Desarrollando por filas (por ejemplo por fila 1) 1 0 3 1 5 -2 5 -2 1 -2 1 5 = 1.(-1)1+1 . + 0.(-1)1+2 . +3.(-1)1+3. = 1 6 -4 6 -4 1 -4 1 6 = 1.[1.(-4)- 5.6] - 0 + 3. [(-2).6 - 1.1]= = -73 Podríamos haber desarrollado por columna (por ejemplo columna 2) 1 0 3 -2 5 1 3 1 3 -2 1 5 = 0.(-1)1+2 . + 1.(-1)2+2 . + 6.(-1)3+2 . = 1 6 -4 1 -4 1 -4 -2 5 = 0 + 1. [1.(-4) - 3.1] - 6. [ 1.5 - (-2).3]= = -73 NOTA: Siempre que queremos aplicar desarrollo por filas o columnas, nos conviene elegir la fila o la columna que posea más cantidad de ceros; esto nos reduciría la cantidad de cuentas a realizar. 4 - -2 6 4

1 3 0 9 5 1/2

Lo resolvemos por: a) Sarrus

b) Desarrollo por fila 2

a) Por Sarrus -2 1 3 6 0 9 4 5 1/2 ======= -2 1 3 6 0 9

= (-2).0.1/2 + 6.5.3 + 4.1.9 - [ 3.0.4 + 9.5.(-2) + 1/2.1.6] = 213

b) Desarrollando por fila 2 -2 6 4

26

1 3 0 9 5 1/2

= 6.(-1)2+1 .

1

3

5 1/2

+ 0.(-1)2+2 .

-2

3

4 1/2

+ 9.(-1)2+3 .


-2 1 4 5


= -6. [ 1/2 - 15 ] + 0 - 9 [ (-2).5 - 1.4 ] = 213 Determinantes de 4º orden: Para resolverlo solo podremos aplicar desarrollo por fila o por columna. 5 -

1 0 5 8

3 -2 2 -1

5 4 8 0

-7 6 = 9 3

Desarrollando por fila 2 1 3 -7 1 3 5 3 5 -7 1 5 -7 = 0.(-1)2+1 . 2 8 9 + (-2).(-1)2+2 . 5 8 9 +4.(-1)2+3 . 5 2 9 + 6.(-1)2+4 . 5 2 8 -1 0 3 8 0 3 8 -1 3 8 -1 0 = -2276 Cada determinante podremos resolverlo por Sarrus (ya que es de 3º orden) o desarrollarlo por filas o columnas. 6 -

1 3 2 -5

0 6 2 3

0 1 9 12 1 0 4 8

= Nos conviene desarrollar por fila 1

6 9 12 3 6 9 = 1.(-1)1+1 . 2 1 0 + 0 + 0 + 1.(-1)1+4 . 2 2 1 = -117 3 4 8 -5 3 4

Otras propiedAdes de los determinantes  PROPIEDAD 2: Si en una matriz A, se multiplican todos los elementos de una fila o columna por una constante, entonces el determinante de A queda multiplicado por dicha constante. a11 �� a12 . . a1n a11 . . �� k.a1j . . a1n a21 a22 . . a2n a21 . . k.a2j . . a2n A= . . . . . B= . . . . . . . . . . . . . . . . . . . am1 am2 . . amn am1 . . k.amj . . amn Álgebra I

27


|B| = k.|A| Ejemplo: Sea la matriz B 3 B = -4 2

9 6 8

5 7 10

3 B’ = -4 2

27 5 18 7 24 10

Si multiplico por 3 los elementos de la segunda columna

luego |B’| = 3. |B|

Resolviendo |B| = 278

|B’| = 834

 PROPIEDAD 3: Sean A ε Rmxn; A’ la matriz obtenida a partir de A, intercambiando dos filas o dos columnas paralelas, el determinante de A’ tiene valor contrario al de A. A’ = - A Ejemplo: Si a la matriz B anterior le permuto la 1º y 3º fila 2 8 10 B” = -4 6 7 3 9 5

luego |B’’| = -|B|

Resolviendo |B| = 278

|B’| = -278

 PROPIEDAD 4: El valor del determinante de una matriz es igual al valor del determinante de su traspuesta. |A| = |At | Ejemplo: la traspuesta de la matriz B es: 3 -4 2 Bt = 9 6 8 5 7 10

|B| = |Bt | Resolviendo |B| = |Bt| = 278

 PROPIEDAD 5: Si A ε Rmxn , tiene una fila o una columna nula, entonces su determinante es nulo.

28



Verificar esta propiedad, sobre un ejemplo de una matriz por usted propuesta.  PROPIEDAD 6: Si A ε Rmxn tiene dos filas o dos columnas iguales, entonces su determinante es nulo. Verificar esta propiedad, sobre un ejemplo de una matriz por usted propuesta.  PROPIEDAD 7: Si en una matriz, los elementos de una fila o columna se pueden expresar como suma de otras dos; entonces el determinante de la matriz original se puede expresar como suma de dos determinantes. Ejemplo:

1 3 5

2 -1 0 2 1 0

1 3 5

2 -2 0 1 1 -1

Su resultado es 15. Veremos que a este mismo valor, lo obtenemos como suma de los resultados de los determinantes siguientes que tienen la particularidad de tener: iguales las dos primeras columnas y sus terceras columnas sumadas dan por resultado la tercera columna del determinante dado. +

1 3 5

2 0 1

1 1 = 9 + 6 = 15 1

 PROPIEDAD 8: Sea A ε Rmxn y B ε Rmxn, , se obtiene a partir de A cambiando una fila o columna por el resultado de la suma de los elementos de la misma y de los correspondientes a una paralela multiplicada por una constante; entonces el determinante de B es igual al determinante de A. Ejemplo:

1 3 5

2 -1 0 2 1 0

Su resultado recordemos, es 15.

Consideremos ahora el determinante que tiene las dos primeras columnas iguales al del determinante anterior y la tercera columna se obtiene sumando a la tercera columna del determinante dado el doble de la segunda columna, o sea:

C3 = C3 + 2.C2 Álgebra I

29


1 2 (-1+2.2) 1 3 0 (2+2.0) = 3 5 1 (0+2.1) 5

2 0 1

3 2 = 15 2

La nueva columna C3 decimos que es una combinación lineal de las columnas c3 y c2 anteriores.

EJERCICIOS RESUELTOS 1 - Calcular los siguientes determinantes sabiendo que:

a11 a12 a13 A = a21 a22 a23 = 3 a31 a32 a33

Justificar

a) -2.a11 a12 a13 B = -2.a21 a22 a23 -2.a31 a32 a33 b) -a21 -a22 -a23 C = 3.a31 3.a32 3.a33 2.a11 2.a12 2.a13 Solución: a) Observemos que la primera columna de este determinante, es igual a la primera columna del determinante A multiplicada por -2 y las otras dos permanecen sin cambio, con lo cual por la propiedad 1 será el resultado de este determinante igual a: B = -2. A

B = -2.3 = -6

b) En este caso veamos que:  se han permutado primera fila por segunda fila y luego segunda fila por tercera, y además,  la primera fila es igual a la del determinante A multiplicada por 2,  la segunda fila es igual a la del determinante A multiplicada por -1 y,  la tercera fila es igual a la tercer fila de A multiplicada por 3, con lo cual por las propiedades 2 (aplicada dos veces) y por propiedad 1 (aplicada tres veces), resulta :

30

C = (-1).(-1).2.(-1).3. A

C = -18 Licenciatura en Higiene y Seguridad en el Trabajo


2 - Calcular los siguientes determinantes sin desarrollar. Justificar. a) -2 5 0 4 -1 0 3 7 0 b) -3 7 -5 2 4 1 6 -14 10 Solución: a) Este determinante tiene por resultado 0 por tener su tercera columna con todos sus elementos nulos. (Propiedad 4). b) En este determinante la tercer fila es igual a la primera multiplicada por -2 por lo cual por propiedades 1 y 5 , su resultado es cero.

EJERCICIOS PROPUESTOS 1 - Calcular los siguientes determinantes sabiendo que: a11 a12 a13 a21 a22 a23 = 3 a13 a23 a33

Justificar

a) -3a11 -3a12 -3a13 -3a21 -3a22 -3a23 -3a13 -3a32 -3a33

Rta.: -81

b) -a11+4a13 -a31+4a33 -a21+4a23

Rta.: 3

a12 a32 a22

a13 a33 a23

2 - Calcular los siguientes determinantes sin desarrollar. Justificar. a) -1 3 4 b)

4 1 7

5 -2 3

a b 5.(a-b) 2c 2d 10.(c-d) -e -f -5.(e-f)

Rta.: 0

Rta.: 0

Álgebra I

31


MÉTODO PARA CALCULAR DETERMINANTES REGLA DE CHIO Es un método de simplificación para resolver determinantes de orden n, cuyo procedimiento es: 1) Elegimos un elemento como pivote, dicho elemento (por conveniencia) debe ser igual a 1. Si no lo poseemos, transformamos alguno de ellos en valor 1 aplicando la propiedad 8. 2) Eliminamos la fila y la columna del pivote. 3) Los elementos restantes los hallamos mediante la regla del rectángulo; o sea el transformado será igual, a su diferencia con el producto de la contradiagonal.

1 . b . .

. . . . .

. . . . .

. a . . . . . elem . transformado = elemento - a.b . . . . . .

4) El valor del determinante será igual al producto del pivote, con su signo según la ubicación de fila y columna que posea, por el determinante simplificado. 5) Podremos repetir el procedimiento, tantas veces como sea necesario.

EJERCICIOS RESUELTOS 1-

1 0 3 B = -2 1 5 1 6 -4 pivote b11 = 1 (ya poseemos pivote = 1) transformados de b22 = 1 - (-2).0 = 1 b23 = 5 - (-2).3 = 11 b32 = 6 - 0.1 = 6 b33 = -4 - 3.1 = -7 B = 1 . (-1)1+1 .

32

1

11

6

-7

luego

= -73



2-

C=

-2 6 4

1 3 0 9 5 1/2

Vamos a elegir como pivote el elemento c11, pero en este caso su valor no es 1, por lo tanto aplicamos suma de columnas, haremos C1 = C1 + C3, y el resto lo dejaremos como está. 1 C = 15 9/2

1 3 0 9 5 1/2

pivote c11 = 1 transformados de c22 = 0 - 1.15 = -15 c23 = 9 - 3.15 = -36 c32 = 5 - 9/2.1 = 1/2 c33 = 1/2 - 27/2 = -13 C = 1 . (-1)1+1 .

-15

-36

1/2

-13

luego

= 213

3- Realice nuevamente el ejercicio anterior eligiendo como pivote el elemento c12 4 -

1 0 5 8

3 -2 2 -1

5 4 8 0

transformados:

-7 6 9 3

-2 4 6 = 1 . (-1)1+1 . -13 -17 44 -25 -40 59 a22 = -2 - 0.3 = -2 a42 = -1 - 3.8 = -25 a33 = 8 - 5.5 = -17 a24 = 6 - 0.(-7) = 6 a44 = 3 - (-7).8 = 59

a32 = 2 - 3.5 = -13 a23 = 4 - 0.5 = 4 a43 = 0 - 5.8 = -40 a34 = 9 -(-7).5 = 44

Por cada vez que apliquemos el método de Chio, va bajando el orden del determinante. Para este ejercicio aplicaremos nuevamente Chio, y lo haremos sobre el determinante ya simplificado, así: -2 -13 -25

4 -17 -40

6 44 59

Álgebra I

33


Para transformar el elemento a11 en valor 1 y luego utilizarlo como pivote, haremos C1 = C1 + 3/4.C2, el resto lo dejamos como está.

1 4 -25,75 -17 -55 -40

6 44 59

= 1. (-1)1+1 .

86

198,5

216

389

a22 = -17 - 4.(-25,75) = 86 a23 = 44 - 6.(-25,75) = 198,5 a32 = -40 - 4.(-55) = 180 a33 = 59 - 6.(-55) = 389

transformado de luego quedará:

1 0 5 8

3 -2 2 -1

5 4 8 0

5 -

1 2 -1 2

6-

3 6 2 3 -2 1 -2 2 4 -5 1 4 1 3 4 -2

2 5 -3 4

-2 3 -4 6 2 -2 -1 6

1 6 2 3 0 1 -2 2 3 -5 1 4 -3 3 4 -2

-7 6 9 3

= 1 . (-1)1+1 . 1 . (-1)1+1 .

86

198,5

180

389

del 1º paso del 2º paso = -2276

1 0 0 = 1. (-1)1+1 . -1 0 1 0 3 0

= -3

Para elegir pivote hacemos C1=C1-C3

1 = 1.(-1)1+1 . -23 21

-2 2 -5 -5 10 7

Volvemos a aplicar Chio en el determinante simplificado 1 -23 21

34

-2 2 -51 -5 -5 = 1. (-1)1+1 . 10 7 52

41 -35



luego el valor del determinante será : 3 -2 4 1

6 1 -5 3

2 3 -2 2 1 4 4 -2

= 1.(-1)1+1 . 1.(-1)1+1 . del 1º paso

-51 41 52 -35

= -347

del 2º paso

MATRIZ ADJUNTA Definición: Se llama matriz adjunta de una matriz dada a la que se obtiene reemplazando cada elemento por su elemento adjunto o cofactor. Una aplicación directa del tema determinantes, es el cálculo de la matriz inversa de una matriz cuadrada. Ejercicio: Dada la siguiente matriz, hallar su matriz adjunta. 1 -1 2 A= 2 1 0 4 2 -3 Recordemos cómo hallar los adjuntos de cada elemento y no olvidemos los signos que les corresponden según la posición de fila y columna. Cada elemento de la matriz A lo reemplazaremos por su adjunto.

Adj A =

1 0 + 2 -3

-

2 0 4 -3

-1 2 - 2 -3

1 2 + 4 -3

1 -1 - 4 2

-1 2 + 1 0

1 - 2

1 -1 + 2 1

2 0

2 + 4

1 2

resolviendo cada adjunto -3 6 0 Adj A = 1 -11 -6 -2 4 3

Álgebra I

35


PROPIEDAD: Dada una matriz A ε Rmxn , adj(At) = (adj A)t La verificación de esta propiedad queda a cargo del lector.

MATRIZ INVERSA Se puede demostrar que la matriz inversa de una matriz dada, es la matriz adjunta de la traspuesta, dividida por el determinante de la matriz. En símbolos:

A-1 = adj(At) A

o por propiedad

A-1 = (adj A)t A

Ejercicio: Continuamos con el ejemplo de la matriz A anterior, y hallaremos su inversa. 1 -1 2 A= 2 1 0 4 2 -3 Primero hallamos el valor del determinante de la matriz dada, utilizando cualquier procedimiento de los vistos anteriormente. |A| = -9

es distinto de cero, por lo tanto nuestra matriz posee inversa.

Transcribimos la matriz adjunta hallada, -3 6 0 Adj A = 1 -11 -6 -2 4 3 necesitamos (adj A)t =

A-1 =

36

-3 1 -2 6 -11 4 0 -6 3

La inversa de A será -3/-9 1/-9 6/-9 -11/-9 0/-9 -6/-9

-2/-9 4/-9 3/-9

A-1 = (adj A)t |A|

luego

simplificando



1/3 -1/9 2/9 A-1 = -2/3 11/9 -4/9 0 2/3 -1/3

PROPIEDADES DE LAS MATRICES INVERSAS  PROPIEDAD A: La condición necesaria y suficiente para que una matriz cuadrada admita inversa, es que su determinante sea distinto de cero.  PROPIEDAD B: Si existe A-1 inversa de A, entonces A es inversa de A-1 (relación simétrica).  PROPIEDAD C: Es condición necesaria (no suficiente) para la existencia de inversa de una matriz, que la misma sea cuadrada.  PROPIEDAD D: Si existe la inversa de A entonces es única. Al ser única decimos que la matriz A es no singular.  PROPIEDAD E: Si existe la inversa de A, entonces (A-1)-1 = A  PROPIEDAD F: Si existen A-1 y B-1 inversas de A y B entonces: (A.B)-1 = B-1.A-1  PROPIEDAD G: Si existe A-1 como inversa de A, entonces: (At)-1 = (A-1)t Verificar estas propiedades, sobre ejemplos de matrices por usted propuestas.

EJERCICIOS RESUELTOS Ejercicio 1 – Dada la matriz A, determinar si tiene inversa y si esta existe, hallarla. Verifique. Álgebra I

37


a) 2 -1 0 3

b)

2 5 3 3 -2 -5 -1 0 1

c)

-1 2 3 2 1 0 4 -2 5

Solución: a) 2 -1 0 3

A = 6 posee inversa

adj A = 3 0 +1 2

(adj A)t = 3 +1 0 2

A-1 = (adj A)t = 3/6 +1/6 A 0 2/6

= 1/2 +1/6 0 1/3

.A=I

Verificación: A-1 A-1.A

2 0

1 3

1/2 1/6 0 1/3

1 0

0 1

b)

2 5 3 3 -2 -5 -1 0 1

A = 0 no posee inversa

c)

-1 2 2 1 4 -2

A = -49, podemos calcular su inversa

3 0 5

Para calcular la matriz adjunta de la matriz dada, reemplazaremos cada elemento por su respectivo adjunto. 1 0 + -2 5 -

2 3 -1 3 - -2 5 + 4 5

Adj A=

2 3 + 1 0 (Adj A)t =

38

2 0 2 1 4 5 + 4 -2

-

-1 2

-1 2 - 4 –2

3 -1 0 + 2

2 1

=

5 -16 -3

-10 -17 6

-8 6 -5

5 -16 -3 -10 -17 6 -8 6 -5



-5/49 16/49 3/49 A-1 = 10/49 17/49 -6/49 8/49 -6/49 5/49 Queda para el alumno la verificación de la inversa.

EJERCICIOS PROPUESTOS Ejercicio 1– Dada las siguientes matrices A, determinar si tiene inversa y si esta existe, hallarla.

Verifique las matrices inversas así obtenidas.

a) 1/2 -1

c) 2 0 5

1/2 0 1 -1 2 1 2 -3

b) 4 -1 3

0 -1 1 4 2 1 0 1 0

d) 1 2 4

0 -1 1

2 3 8

RANGO O CARACTERÍSTICA DE UNA MATRIZ Definición: Dada A ε Rmxn ,llamamos rango de A, al orden de un determinante distinto de cero de mayor orden que se puede extraer de la matriz. Ejemplo: a) Supongamos, que debemos determinar el rango de la siguiente matriz: 2 M= 4 -5

3 2 7

1 9 2

Vamos a extraer el llamado determinante de mayor orden. 2 3 1 4 2 9 -5 7 2

y lo calculamos

M = -239

Como M ≠ 0, el rango de la matriz M es 3. b) Realicemos el mismo procedimiento con la matriz: Álgebra I

39


N=

2 1 4 3 5 1 5 6 5

Podemos extraer de ella un determinante de 3º orden: N=

2 1 4 3 5 1 5 6 5

lo calculamos y N = 0

Por ser N = 0, el rango de la matriz N no es 3. Volvamos a repetir el procedimiento, pero ahora extrayendo determinante de 2º orden, por ejemplo: N’ =

2 1 3 5

lo calculamos N’ = 7 es distinto de cero por lo tanto el rango de la matriz N es 2

Ahora bien, ¿qué sucedería si tuviésemos que hallar el rango de una matriz como esta?

S=

1 2 -2 0 0 3 -1 -2 1/2 5 10 -19

0 1 10 3 0 1 0 -10 4 -4 1 0

Primero, deberíamos extraer los determinantes de mayor orden, en este caso serían de 4º orden, deberíamos calcularlos (fíjense que son varias las posibilidades de extraer determinantes de 4º orden).Si alguno de ellos es distinto de cero, el rango de la matriz S sería 4. Pero si todos ellos fuesen igual a cero, deberíamos repetir el procedimiento extrayendo determinantes de 3º orden, calculándolos, hasta encontrar alguno distinto de cero. Ejercicio: Calcule el rango de S

EL MÉTODO DE GAUSS Obviamente el cálculo del rango de S resultó un procedimiento bastante engorroso. Por eso, existe un método que nos permitir determinar el rango de una matriz y es el Método de Gauss.

40



Procedimiento: 1) Se elige un elemento distinto de cero como pivote. 2) Elimino fila y columna del pivote. 3) Los elementos restantes los calculo como el producto entre elemento por pivote, menos el producto de los elementos de la contradiagonal, o sea:

pivote . . a .

. . . . .

. b . . . . . . . . . . . elem. . . . . . .

transformado = pivote.elemento - a.b

Nótese que este cálculo del transformado es el mismo enunciado en el Método de Chio, solo que en ese momento usamos un procedimiento en el cual nos habíamos asegurado previamente que el pivote era 1.

4) Repetimos el procedimiento, tantas veces como sea posible, tomando como pivote elementos distintos de cero. 5) El rango de la matriz será igual a la cantidad de pivotes que podamos tomar. Ejemplo: Utilicemos las mismas matrices anteriores a)

M=

2 3 1 4 2 9 -5 7 2

2 4 -5

3 2 7

1 9 2

a c

b d

aplicando Gauss

1) pivote = a11 donde a = 2.2 - 4.3 = -8 b = 2.9 - 4.1 = 14 c = 2.7 - (-5).3 = 29 -8 14 d = 2.2 - (-5).1 = 9 29 9 2) pivote = -8 donde m -478 m = (-8).9 - 29.14 m = -478

Cantidad de pivotes considerados 2 y el último elemento -478 es distinto de cero, podría ser un posible pivote, por lo tanto el rango de M es 3. b) N=

2 3 5

1 5 6

4 1 5

Aplicando Gauss

Álgebra I

41


2 1 4 3 5 1 5 6 5 7 -10 7 -10

Cantidad de pivote 2, el último elemento es 0, por lo tanto el rango de N es 2.

0 c)

1 2 0 0 -1 -2 5 10

0 0 0

-2 3 1/2 -19

0 3 0 -4

1 0 -10 1

3 -3/2 -9

3 0 -4

0 -9 -4

0

351 -1287

0 0

10 1 4 0

Aplicando Gauss

1 14 -50 9/2 -27 87/2 15 -12 -141

rango R = 4

EJERCICIOS PROPUESTOS Hallar los rangos de las siguiente matrices: 1 - A =

1 2 0 -1 2 6 -3 -3 3 10 -6 -5

2 - 1 2 -2 B = 2 5 -4 -1 -3 2 2 4 -1

3 6 -2 6

Rta.: r(A) = 2

Rta.: r(B) = 4

3 - 1 0 0 1 0 1 C = 0 1 0 1 0 2 1 0 0 1 0 0

42

Rta.: r(C) = 2



Unidad

3

Sistemas de Ecuaciones Lineales

Álgebra I

Álgebra I

43


Objetivos específicos de la Unidad 3  Internalizar los conceptos de función polinómica, ecuación en n variables, sistema de ecuaciones.  Identificar distintos métodos de resolución de sistemas de ecuaciones.  Seleccionar el método más adecuado para la resolución de los sistemas según cada caso.  Clasificar los sistemas en cuanto a sus casos de solución.  Expresar la solución de un sistema en forma simbólica con propiedad.

44



INTRODUCCIÓN El propósito de esta unidad es avanzar en los conocimientos necesarios para la resolución de sistemas de ecuaciones lineales. Su inclusión en el programa de la asignatura se debe a que la mayoría de los fenómenos de la vida real no se produce en forma independiente, sino en conjunción con otros, lo cual implica buscar soluciones a ecuaciones conjuntas. Nos referiremos solamente a ecuaciones, es decir a igualdades y solo lineales, es decir de primer orden.

SISTEMAS DE DOS ECUACIONES LINEALES CON DOS INCÓGNITAS Llamamos P(x,y) a una función polinómica de dos variables. La expresión P(x, y) = 0 se denomina “ecuación de dos variables” asociada a P(x, y). Resolver la ecuación P(x, y) = 0 significa hallar los valores de x y de y que la satisfacen. Ejemplo: 2x + y = 8 algunos de los pares que la satisfacen son (0, 8); (1/2, 7); (1, 6).... etc. El conjunto de dos ecuaciones polinómicas de dos variables P(x, y) = 0 y Q(x, y) = 0 se llama “sistema de dos ecuaciones con dos variables”. En símbolos:

P(x, y) = 0 Q(x, y) = 0

Resolver un sistema de ecuaciones significa hallar la intersección de los conjuntos soluciones de las ecuaciones que lo forman. Ejemplo:

x+y=1

2x+y=3

En este caso como las ecuaciones que forman el sistema son de primer grado, el sistema se llama lineal. Álgebra I

45


Si representamos gráficamente cada una de las ecuaciones del sistema obtendremos rectas. La solución del sistema es el punto de intersección de dichas rectas. Llevemos cada ecuación del sistema a la forma explícita:

y=-x+1 y = - 2x + 3 89 Representemos cada ecuación (recordar función lineal).

MÉTODOS DE RESOLUCIÓN DE SISTEMAS DE DOS ECUACIONES LINEALES CON DOS INCÓGNITAS Hemos resuelto gráficamente un sistema de ecuaciones, existen además los siguientes métodos analíticos: SUSTITUCIÓN: Dado el siguiente sistema:

x + 3y = 7

x-2y=2 1) Se despeja una de las incógnitas en una de las ecuaciones. Por ejemplo despejo x de la primer ecuación: x = 7 - 3y 2) Se sustituye esta incógnita en la otra ecuación:

7 - 3y - 2y = 2.

3) Se resuelve esta ecuación de primer grado con una incógnita:

46



7 - 5y = 2 -5y = 2 - 7 y=1

4) Se reemplaza el valor de y en la primer ecuación y se obtiene el valor de x: x = 7 - 3.(1) x=7-3 x=4

5) Solución del sistema S = { (4, 1)} IGUALACIÓN: Sea

x+3y=7

2 x + y = 10 1) Se despeja la misma incógnita en ambas ecuaciones. Por ejemplo despejo x de ambas ecuaciones: X=7–3y X = 10 – y 2 2) Se igualan los segundos miembros de estas ecuaciones: 7 – 3 y = 10 – y 2 3) Se resuelve esta ecuación de primer grado con una incógnita:

7 – 3y = 5 – y/2 -3y + y/2 = 5 – 7 -5/2 y = -2

y = 4/5

4) Se sustituye el valor de y hallado en cualquiera de las ecuaciones del paso 1), obteniendo así, el valor de la otra incógnita: x = 7 – 3.(4/5) x = 7 – 12/5

x = 23/5 Álgebra I

47


5) Solución del sistema: S =

(23/5; 4/5)

REDUCCIÓN POR SUMAS O RESTAS Sea el sistema:

6x + 3y = 1

4x – 5y = 4 1) Los coeficientes de una de las incógnitas deben tener igual valor absoluto, en nuestro caso multiplicamos la primer ecuación por 2 y la segunda ecuación por 3:

12 x + 6y = 2

12 x – 15 y = 12

2) Se resta miembro a miembro: 12 x + 6 y = 2 12 x – 15 y = 12 12 x – 12 x + 6y – (-15 y) = 2 - 12

21 y = -10

3) Se resuelve esta ecuación lineal con una incógnita: y = -10/21 4) De forma similar igualo los valores absolutos de los coeficientes de y para obtener el valor de x. 5) Solución del sistema: S =

(17/42, -10/21)

EJERCICIOS RESUELTOS Ejercicio 1: Resolver los siguientes sistemas de ecuaciones, utilizando el método que más le agrade y verifique cada uno en forma gráfica. a)

4 y + 5x = 335 9 y - 14 x = -130

48

b)

x + 3 y = 7 2x + 6 y = 10

c)

y = 1/3 x - 1 y = -2 x - 1



Solución: a)

4 y + 5x = 335 9 y - 14 x = -130 Para este sistema aplicaremos sustitución, despejando y de la primer ecuación: Y = 335 – 5 x 4 Reemplazamos en la segunda ecuación: 9 . (335-5x) - 14 x = -130 4

753,75 - 11,25x - 14 x = -130 x = 35 Luego

. y = 335 - 5 (35) 4

Solución del sistema S =

y = 40 ( 35, 40)

Dejamos al alumno la resolución gráfica del sistema, pues se tratan de ecuaciones lineales. b)

x + 3y = 7 2 x + 6 y = 10 Para este sistema aplicaremos reducción por sumas o restas, para ello, multiplicamos por 2 la primer ecuación. 2 x + 6 y = 14 2 x + 6 y = 10 2x + 6 y - 2 x - 6 y = 14 - 10

Restamos miembro a miembro ambas ecuaciones

Llegando a una expresión del tipo 0 = 4 , un absurdo. Una solución de este tipo nos estará indicando que no existe solución para el sistema de ecuaciones. Si analizamos cada ecuación que forma el sistema, veremos que ambas Álgebra I

49


funciones lineales tienen la misma pendiente, o sea que las rectas son paralelas, no se cortan en ningún punto real. Por lo tanto este sistema es Incompatible, o sea no posee solución. Verifique el alumno gráficamente. c)

y = 1/3 x - 1

y=-2x-1 Para resolver este sistema, aprovechamos que ya se encuentra despejada una incógnita en ambas ecuaciones, utilizaremos método de igualación.

1/3 x - 1 = - 2 x - 1

1/3 x + 2x = -1 + 1

5/3 x = 0

x=0

para hallar la incógnita y, sustituimos en alguna de las ecuaciones del sistema el valor de x y = -1 Luego, la solución del sistema será: { (0, -1) } Dejamos al alumno, la resolución gráfica del sistema.

CLASIFICACIÓN  Si el sistema de ecuaciones posee solución, diremos que el sistema es COMPATIBLE.  Si el sistema posee única solución será COMPATIBLE DETERMINADO.  Si el sistema posee infinitas soluciones será COMPATIBLE INDETERMINADO.  Cuando el sistema de ecuaciones NO posee solución diremos que el sistema es INCOMPATIBLE. La parte del Álgebra que se ocupa de los diversos métodos para resolver ecuaciones, se llama Teoría de las Ecuaciones. Veremos a continuación un teorema que nos permitirá analizar cualquier sistema (saber si es compatible determinado, indeterminado o incompatible); para luego desarrollar algunos métodos de resolución.

50



TEOREMA DE ROUCHE - FROBENIUS La condición necesaria y suficiente para que un sistema sea COMPATIBLE , es que sean iguales las características o rango de la matriz de los coeficientes (M) y la ampliada (M’) (también llamada matriz orlada) con los términos independientes. Además si r(M) = r(M’) < n (nº de incógnitas), entonces el sistema es compatible indeterminado. Si r(M) = r(M’) = nº de incógnitas el sistema es compatible determinado. Y, por consecuencia, si r(M) ≠ r(M') es incompatible. Analizar los siguientes sistemas aplicando el teorema de Rouche - Frobenius: Ejemplos: 1-

3x - y - z = 2 2y - z = -1 3x - 5y = 3

ordenamos y completamos

3x - y - z = 2 0x + 2y - z = -1 3x - 5y + 0z = 3

Armamos una matriz, utilizando los coeficientes del sistema: 3 -1 -1 | 2 0 2 -1 | -1 3 -5 0 | 3 Donde la matriz de los coeficientes M es la matriz formada por las 3 primeras columnas y la matriz ampliada M’ es la completada con la cuarta columna. Debemos analizar el rango de las dos; para ello trabajamos aplicando Gauss a todo el conjunto 3 -1 -1 | 2 0 2 -1 | -1 3 -5 0 | 3 6 -3 | -3 -12 3 | 3 -18 | -18

Analizamos M (tapar cuarta columna) rango r = 3 Analizamos M’ (matriz completa) rango r’ = 3

Los rangos de ambas matrices son iguales, por lo tanto el sistema de ecuaciones es compatible. Álgebra I

51


Como además el número de incógnitas del sistema (en nuestro ejemplo x, y, z ) es 3 y coincide con los rangos, el sistema es COMPATIBLE DETERMINADO y posee única solución. 2 -

x + 2y - 3z - 4p = 6 x + 3y + z - 2p = 4 2x + 5y - 2z - 5p = 10

ya está ordenado y completo

Armamos la matriz y determinamos los rangos por Gauss 1 2 -3 -4 | 6 1 3 1 -2 | 4 2 5 -2 -5 | 10 1 1

4 4

0

2 | -2 3 | -2 1 | 0

Analizamos M (tapar 5a columna) rango r = 3 Analizamos M’ (matriz completa) rango r’ = 3

En este ejemplo los rangos de M y M’ son iguales por lo tanto el sistema de ecuaciones es compatible. Pero la cantidad de incógnitas es 4 (x, y, z, p), luego los rangos de las matrices son iguales, pero menor que el número de incógnitas [ r = r’ < número de incógnitas ]. Nuestro sistema es COMPATIBLE INDETERMINADO, posee infinitas soluciones. 3-

5x - y + 2z + w = 7 2x + y + 4z - 2w = 1 x - 3y - 6z + 5w = 0

ya está ordenado y completo

Armamos la matriz y determinamos los rangos por Gauss 5 2 1

-1 2 1 | 7 1 4 -2 | 1 -3 -6 5 | 0 7 16 -12 | -9 -14 -32 24 | -7 0 0 | -175

analizamos M (tapar 5 columna) rango r = 2 analizamos M’ (matriz completa) rango r’ = 3

En este ejemplo los rangos de M y M’ son diferentes, por lo tanto el sistema de ecuaciones es INCOMPATIBLE, o sea no posee solución.

RESUMEN: TEOREMA DE ROUCHE - FROBENIUS 52



Analizamos el rango de la matriz de los coeficientes y el rango de la ampliada con los términos independientes, luego si: r = r’ sistema COMPATIBLE

r = r’ = n incógnitas determinado, UNA SOLUCION r = r’ < n incógnitas indeterminado, INFINITAS SOLUCIONES

r ≠ r' sistema INCOMPATIBLE

No posee solución

Veremos dos métodos de resolución: Métodos

Regla de Cramer Gauss - Jordan

Donde el 1º sólo se aplica en sistemas donde el número de ecuaciones es igual al número de incógnitas (sistemas cuadrados compatibles determinados).

REGLA DE CRAMER (Enunciado) Si el determinante de un sistema lineal de n ecuaciones con n incógnitas es distinto de cero, cada incógnita está dada por una fracción en que el denominador es el determinante del sistema y el numerador es el determinante que se obtiene reemplazando en el determinante del sistema, la columna de los coeficientes de la incógnita por los términos independientes.

Dado :

x + 2y + 3z = 4 3x + 5y + z = 18 4x + y + 2z = 12

Siempre deberemos ordenar el sistema de ecuaciones, encolumnando las incógnitas en el primer miembro y dejando los términos independientes en el segundo miembro. Determinante del sistema: Será el determinante formado por los valores numéricos que acompañan a las incógnitas, lo llamaremos ∆ (delta), o sea:

∆=

1 2 3 3 5 1 4 1 2

resolviendo por cualquier método

∆ = -46 Álgebra I

53


Determinante de las incógnitas: Para nuestro caso, en que tenemos 3 incógnitas, tendremos también 3 determinantes de las incógnitas; los llamaremos ∆x (delta x), ∆y (delta y), ∆z (delta z). Para hallar ∆x utilizamos ∆ , sólo que la columna que corresponde a la incógnita x, la reemplazamos por el de los términos independientes, los elementos restantes quedan igual:

4 2 3 ∆x = 18 5 1 12 1 2

resolviendo ∆x = -138

Para hallar ∆y, reemplazamos la columna de la incógnita y, por la de los términos independientes:

1 4 3 3 18 1 4 12 2

∆y =

resolviendo ∆y = -92

Para hallar ∆z, reemplazamos la columna de la incógnita z, por la de los términos independientes:

1 2 4 3 5 18 4 1 12

∆z =

resolviendo ∆z = 46

En nuestro caso ∆ ≠ 0, el sistema de ecuaciones es COMPATIBLE y posee única solución. Dicha solución será :

x = ∆x ∆

y = ∆y ∆

z = ∆z ∆

y = -92 -46

z = 46 -46

Reemplazando:

x = -138 -46

Simplificando: x = 3

y=2

z = -1

que es la solución del sistema. Para verificar que la solución es correcta, reemplazamos en el sistema a las incógnitas por su valor, y deben verificarse las igualdades. Pueden, además, presentarse los siguientes casos:

54



1) Si ∆ = 0 ; ∆x ≠ 0 ; ∆y ≠ 0 ; ∆z ≠ 0 luego las incógnitas serán:

x = ∆x 0

y = ∆y 0

z = ∆z 0

La división por cero no existe! por lo tanto, nuestro sistema de ecuaciones es INCOMPATIBLE y no posee solución. 2) Si ∆ = 0 ; ∆x = 0 ; ∆y = 0 ; ∆z = 0 luego las incógnitas serán:

x= 0 0

y= 0 0

z= 0 0

La expresión 0/0 es una indeterminación, por lo tanto, nuestro sistema de ecuaciones es COMPATIBLE INDETERMINADO y posee infinitas soluciones.

RESUMEN

1) Sistema Compatible determinado

∆≠0

Posee única solución.

2) Sistema Compatible indeterminado

Posee infinitas soluciones

∆x = 0 ; ∆y = 0 ; ∆z = 0

3) Sistema Incompatible

No posee solución

∆= 0

∆= 0

∆x ≠ 0 ; ∆y ≠ 0 ; ∆z ≠ 0

EJERCICIOS PROPUESTOS 1 -

3z + x + 2y = 0 y + 2x + z = 2 z + 3y + 2x = 4

2 -

Álgebra I

x+y=9 x + z = 10 y + z = 11

55


Recordemos: Ordenar el sistema de ecuaciones, encolumnando las incógnitas. Si la incógnita “no existe”, completar con ceros. Rta: 1 - ∆= 10 ; ∆x = 10 ; ∆y = 10 ; ∆z = -10 x=1 ; y=1; z = -1 2 - ∆= -2 ; ∆x = -8 ; ∆y = -10 ; ∆z = -12 x=4; y=5; z=6

EJERCICIOS RESUELTOS 1 - Dado el siguiente sistema de ecuaciones hallar el valor de K tal que el mismo tenga: a) ninguna solución. b) única solución. c) infinitas soluciones.

4x + 2y - 2z = 4 3x + y + z = 8 3x + Ky + 3z = 6

Para resolver este ejercicio, utilizaremos el Teorema de Rouche-Frobenius. Solución: Escribimos la matriz M y M’, aplicamos Gauss para determinar el rango de ambas:

4 2 -2 | 4 3 1 1 | 8 3 K 3 | 6

-2 10 | 20 (4K-6) 18 | 12

(-40K+24) | (-80K+96)

Matriz M (tapar 4º columna) rango r Matriz M’ (matriz completa) rango r’

a) Si el sistema es incompatible (no posee solución), los rangos de M y M’ deben ser distintos. Para que r = 2

-40K + 24 = 0

despejando K = 3/5

Para que r’ = 3 -80K + 96 ≠ 0

56



Como K es el mismo para todas las expresiones reemplazamos por k = 3/5, y efectivamente es ≠ 0 . Entonces, para que no posea solución K = 3/5 b) Para que el sistema posea única solución, deberá cumplirse vez igual al número de incógnitas que es 3, luego:

r = r' y a su

Para que r = 3 -40K + 24 ≠ 0 se cumple para k ≠ 3/5 Para que r' = 3 es suficiente que

-40K + 24 ≠ 0

Por lo tanto, para que el sistema sea compatible determinado k ≠ 3/5 c) Para que el sistema posea infinitas soluciones, debe cumplirse: r = r' pero este valor debe ser menor que el número de incógnitas. Entonces para que r = 2 ; K = 3/5 Para que r' = 2 -80K + 96 = 0, como K es el mismo, si lo reemplazamos en la expresión es ≠ 0, nunca podremos anularla. Luego, no existe valor de K, que haga al sistema compatible indeterminado. 2 - Hallar el valor de K y M tal que el siguiente sistema sea: a) Compatible determinado. b) Compatible indeterminado. c) Incompatible.

x - 2y + z = M x - 3y + 5z = 1 5x - Ky + 9z = 5

Al igual que el ejercicio anterior, aplicaremos Rouché - Frobenius. Escribimos la matriz M y M’, aplicamos Gauss para determinar el rango de ambas:

1 -2 1 | M 1 -3 5 | 1 5 -K 9 | 5

Matriz M (tapar 4° columna) rango r

-1 4 | (1-M) (-K+10) 4 | (5-5M)

Matriz M’ (matriz completa) rango r’

(4K-44) | (-15+15M+K-MK) Álgebra I

57


a) Para que sea compatible determinado r = r’ = Nº incógnitas, las incógnitas son 3 ( x, y, z). Si r = 3 entonces 4k - 44 ≠ 0 despejamos K luego K ≠ 11 es suficiente que se cumpla solo esta condición para que el sistema tenga única solución. b) Para que el sistema sea compatible indeterminado debe cumplirse que r = r' < Nº incógnitas. Para que r = 2

4k - 44 = 0 , luego K = 11

Para que r' = 2 debe cumplirse 4K - 44 = 0

-15 + 15M + K - MK = 0

Lo primero se cumple para K = 11, cuyo valor se mantiene para la segunda expresión, si reemplazamos:

-15 + 15M + 11 - M11 = 0 despejando M = 1

Entonces para que el sistema posea infinitas soluciones debe cumplirse que

K = 11 y M = 1

c) Para que el sistema sea incompatible deber cumplirse r≠r' . Luego si r = 2 debe ser K = 11

r'= 3 debe ser M ≠ 1

Entonces, para que el sistema no posea solución deberá ser simultáneamente

K = 11 y M ≠ 1

EJERCICIO PROPUESTO 1 - Determinar la condición para que el siguiente sistema tenga solución:

58

x + 2y - 3z = a 3x - y + 2z = b x - 5y + 8z = c



Rta: Para que tenga solución deberá cumplirse que c=b-2a, además el sistema será Compatible Indeterminado. Otro método para resolver un sistema de ecuaciones:

MÉTODO DE GAUSS - JORDAN Procedimiento: Dado un sistema de ecuaciones lineales escribimos la matriz del sistema, luego: 1) Se elige como pivote cualquier elemento NO NULO de la matriz dada y se divide por‚ la fila correspondiente. 2) Los restantes elementos de la columna del pivote se transforman en ceros. 3) El transformado de todo elemento que no figure en la fila, ni en la columna del pivote, será igual a su diferencia con el producto contradiagonal dividido por el pivote.

pivote b -

- - a - - - - - - elemento - - - -

. transformado = elemento - b a pivote

4) Se reitera el mecanismo eligiendo como pivote un elemento no nulo, que no pertenezcan ni a las filas ni a las columnas de los pivotes anteriores. Veamos el procedimiento realizando algunos ejercicios; pero primero tengamos en cuenta que: 1) Siempre será conveniente analizar previamente el sistema por Rouché Frobenius. 2) Si el sistema es COMPATIBLE aplicamos el método de Gauss - Jordan para conocer el valor de las incógnitas. 3) Si el sistema es INCOMPATIBLE, no aplicamos ningún método, ya que el sistema no posee solución. Ejemplo 1: Resolver por Gauss - Jordan

3x - y - z = 2 2y - z = -1 3x - 5y = 3

Recordemos ordenar y completar el sistema

Álgebra I

59


Primero analizamos por Rouché - Frobenius, este sistema es COMPATIBLE DETERMINADO, posee única solución, pues r = r’ = 3 , donde el número de incógnitas es 3. Aplicamos Gauss - Jordan para hallar el valor de las incógnitas. Escribimos la matriz del sistema: 1) 3 0 3

-1 2 -5

-1 | 2 -1 | -1 0 | 3

Elegimos un elemento no nulo, como pivote por ejem. a11 = 3

Dividimos fila del pivote por su valor 1 -1/3 -1/3 | 2/3 Los restantes elementos de la columna 0 a22 a23 | a24 0 a32 a33 | a34 del pivote los transformamos en 0. Hallamos el transformado de los aij. 2) 1 -1/3 -1/3 | 2/3 Para hallarlos: 0 2 -1 | -1 a22= 2- (-1).0 a22 = 2 0 -4 1 | 1 3 3) 1 0 a13 | a14 . a23 = -1 0 1 -1/2 | -1/2 a23= -1 - (-1) 0 3 0 0 a33 | a34 . a24 = -1 1 0 -1/2 | 1/2 a24= -1 - 2 0 3 0 1 -1/2 | -1/2 0 0 -1 | -1 a32= -5 - (-1).3 a32 = -4 3 1 0 0 | a14 0 1 0 | a24 a33= 0 - (-1).3 a33 = 1 0 0 1 | 1 3 1 0 0 | 1 a34= 3 - 3.2 a34 = 1 0 1 0 | 0 3 0 0 1 | 1 3) Repetimos el procedimiento eligiendo un pivote, que no pertenezca ni a la fila ni a la columna del pivote anterior por ejem. a22 = 2. Dejamos la columna del pivote anterior como está .

60

a13 = -1/3 - (-1/3).(-1) 2

a13 = -1/2

. a14 = 2/3 - (-1/3) (-1) 2

a14 = 1/2



a33 = 1 - (-4).(-1) 2

a33 = -1

a34 = 1 - (-4).(-1) 2

a34 = -1

3) Repetimos el procedimiento, elegimos como pivote a33 = -1 Dejamos las columnas de los pivotes anteriores , como están

a14 = 1/2 - (-1/2).(-1) (-1)

a14 = 1

a24 = -1/2 - (-1/2).(-1) (-1)

a24 = 0

No podemos repetir el procedimiento, pues ya no hay otro elemento que podamos tomar como pivote. Después de aplicar Gauss -Jordan tantas veces como sea posible, trabajamos con la última matriz, que la transcribimos. 1 0 0 | 1 0 1 0 | 0 0 0 1 | 1 Tomando estos coeficientes formamos nuevamente un sistema de ecuaciones:

x + 0y + 0z = 1 0x + y + 0z = 0 0x + 0y + z = 1

x=1 y=0 z=1

que es la solución

Las incógnitas deben tener el mismo ordenamiento, considerado al principio del ejercicio. Para verificar si los valores hallados son correctos, podemos reemplazar las incógnitas por su valor en cada ecuación y deberá verificarse la igualdad. Ejemplo 2: Analizar por Rouché - Frobenius y resolver por Gauss- Jordan, el siguiente sistema: x+y+z=1 x + z = -2 x-y=3

Completamos y ordenamos el sistema

Álgebra I

61


Analizamos rangos de M y M’ aplicando Gauss.

1 1 1 | 1 1 0 1 | -2 1 -1 0 | 3 -1 0 | -3 -2 -1 | 2

r = 3 r’ = 3 incógnitas = 3

sistema compatible determinado

1 | -8 Resolvemos el sistema aplicando Gauss - Jordan

1 1 1 | 1 1 0 1 | -2 1 -1 0 | 3

a)

1 1 1 | 1 0 -1 0 | -3 0 -2 -1 | 2

b) 1 0 1 | -2 0 1 0 | 3 0 0 -1 | 8 c)

1 0 0 | 6 0 1 0 | 3 0 0 1 | -8

Los grupos de transformados serán : a) a22 = 0 - 1.1 = -1 1 a24 = -2 - 1.1 = -3 1

a32 = -1 - 1.1 = -2 1

a33 = 0 - 1.1 = -1 1

a34 = 3 - 1.1 = 2 1

b) a13 = 1 - 1.0 = 1 (-1)

62

a23 = 1 - 1.1 = 0 1

a33 = -1 - (-2).0 = -1 (-1)

a14 = 1 - 1.(-3) = -2 (-1) a34 = 2 - (-2).(-3) = 8 (-1)



c) a14 = -2 - 1.8 = 6 (-1)

a24 = 3 - 0.8 = 3 (-1)

Tomando los coeficientes de la última matriz, volvemos a escribir nuestro sistema de ecuaciones:

x + 0y + 0z = 6 0x + y + 0z = 3 0x + 0y + z = -8

x=6 y=3 z = -8

Solución del sistema

Ejemplo 3: Analizar por Rouché - Frobenius y resolver por Gauss - Jordan. x- y+ z =4 2x + y - 2z = 3 x+ y- z =2 -x + 2y + z = 1 1 2 1 -1

-1 1 1 2

1 -2 -1 1

| | | |

4 3 2 1

3 -4 | -5 2 -2 | -2 1 2 | 5

Hallamos los rangos de M y M’ aplicando Gauss

r=3

r’ = 3

Sistema compatible determinado posee única solución

incógnitas = 3

2 | 4 10 | 20 | 0 Aplicamos Gauss - Jordan para hallar el valor de las incógnitas

1 2 1 -1

-1 1 1 2

1 -2 -1 1

| | | |

4 3 2 1

a)

1 0 0 0

-1 3 2 1

1 -4 -2 2

| 4 | -5 | -2 | 5

b)

1 0 0 0

0 1 0 0

-1/3 | 7/3 -4/3 |-5/3 2/3 | 4/3 10/3 |20/3 Álgebra I

63


c)

1 0 0 0

0 1 0 0

0 0 1 0

| | | |

3 1 2 0

a) a22 = 1 - 2.(-1) = 3 1

a23 = -2 - 1.2 = -4 1

a24 = 3 - 4.2 = -5 1

a32 = 1 - (-1).1 = 2 1

a33 = -1 - 1.1 = -2 1

a34 = 2 - 4.1 = -2 1

a42 = 2 - (-1).(-1) = 1 1

a43 = 1 - 1.(-1) = 2 1

a44 = 1 - 4.(-1) = 5 1 b) a13 = 1 - (-1).(-4) = -1/3 3

a14 =4 - (-1).(-5) = 7/3 3

a33 = -2 - (-4).2 = 2/3 3

a34 = -2 - (-5).2 = 4/3 3

a43 = 2 - (-4).1 = 10/3 3

a44 = 5 - (-5).1 = 20/3 3

c) a14 = 7/3 - (-1/3).(4/3) = 3 2/3

a24 = -5/3 - (-4/3).(4/3) = 1 2/3

a44 = 20/3 - (4/3).(10/3) = 0 2/3 Utilizando los coeficientes de la última matriz, escribimos el sistema de ecuaciones:

x + 0y + 0z = 3 0x + y + 0z = 1 0x + 0y + z = 2 0x + 0y + 0z = 0

x=3 y = 1 Es la solución del sistema z=2

Ejemplo 4: Analizar por Rouché - Frobenius y resolver por Gauss - Jordan.

64



x + 2y - 3z - 4p = 6 x + 3y + z - 2p = 4 2x + 5y - 2z - 5p = 10

r=3 r’ = 3 nº incóg.= 4

sistema compatible indeterminado

Resolvemos aplicando Gauss - Jordan :

1 2 -3 -4 | 6 1 3 1 -2 | 4 2 5 -2 -5 | 10

a)

1 2 -3 -4 | 6 0 1 4 2 | -2 0 1 4 3 | -2

b)

1 0 -11 -8 | 10 0 1 4 2 | -2 0 0 0 1 | 0

c)

1 0 -11 0 | 10 0 1 4 0 | -2 0 0 0 1 | 0

a) a22 = 3 - 2.1 = 1 1

a23 = 1 - (-3).1 = 4 1

a24 = -2 - (-4).1 = 2 1

a25 = 4 - 6.1 = -2 1

a32 = 5 - 2.2 = 1 1

a33 = -2 - (-3).2 = 4 1

a34 = -5 - (-4).2 = 3 1

a35 = 10 - 6.2 = -2 1

b) a13 = -3 - 2.4 = -11 1

a14 = -4 - 2.2 = -8 1

a15 = 6 - 2.(-2) = 10 1

a34 = 3 - 2.1 = 1 1

c) a13 = -11 - (-8).0 = -11 1 . 2 0 a23 = 4 =4 1

a33 = 4 - 4.1 = 0 1 a35 = -2 - (-2).1 = 0 1 a15 = 10 - (-8).0 = 10 1 . 2 0 a25 = -2 = -2 1 Álgebra I

65


Volvemos a armar el sistema de ecuaciones: x + 0y - 11z + 0p = 10 x - 11z = 10 0x + y + 4z + 0p = -2 y + 4z = -2 0x + 0y + 0z + p = 0 p=0 Luego despejando: (*) x = 10 + 11z (x dependerá del valor que tome z) y = -2 - 4z (y dependerá del valor que tome z) Cuando se trata de sistemas compatibles INDETERMINADOS las incógnitas pueden tener infinitos valores que verifican cada ecuación. Del total de incógnitas que posee cada sistema de ecuaciones, algunas de ellas serán arbitrarias, (o sea pueden tomar el valor que deseemos) y otras dependerán de las anteriores. Para hallar la cantidad de variables arbitrarias del sistema: Nº variables arbitrarias = Nº incógnitas - rango En nuestro ejemplo: Nº variables arbitrarias = 4 - 3 O sea que existe una variable que tomará el valor que nosotros queremos en el sistema (*), la primera y segunda ecuación poseen la incógnita z. Luego la solución será :

Sol.= { (10 + 11z ; -2 - 4z ; z ; 0) / z ε R }

x

y

z

p

Donde z será nuestra variable arbitraria, x e y dependerán del valor de z, p es igual a 0. Ejemplo 5: Analizar por Rouché - Frobenius y resolver por Gauss - Jordan el siguiente sistema de ecuaciones. x + 3y - 4z = 4 y - 2z = 1 2x + 5y - 6z = 7

Hallamos rangos r y r’ y analizamos por Rouché‚ - Frobenius

66



1 3 -4 | 4 0 1 -2 | 1 2 5 -6 | 7 1 -2 | 1 -1 2 | -1

r=2 r’ = 2

sistema compatible indeterminado

r = r’ < Nº incóg. = 3

0 | 0 Aplicamos Gauss - Jordan: 1 3 -4 | 4 0 1 -2 | 1 2 5 -6 | 7 1 3 -4 | 4 0 1 -2 | 1 0 -1 2 | -1 1 0 2 | 1 0 1 -2 | 1 0 0 0 | 0 Hallamos la cantidad de valores arbitrarios = Nº incóg.-rango

Valores arbitrarios = 1

Armamos el sistema de ecuaciones: x + 0y + 2z = 1 0x + y - 2z = 1

x + 2z = 1 despejamos x, x = 1 - 2z y - 2z = 1 despejamos y, y = 1 + 2z

Sol. = { (1 - 2z , 1 + 2z , z) / z ε R }

En este ejemplo x e y dependerán del valor que tome z, z será nuestra variable arbitraria.

EJERCICIOS PROPUESTOS 1-

x + 2y - 3z = 4 x + 3y + z = 11 2x + 5y - 4z = 13

2 -

2x + 3y - 5z = 6 4x + 6y - 10z = 12 3x + 4.5y - 7.5z = 9

Rta: Sist.Compatible determinado x = 1, y = 3, z = 1

Rta: Sist.Compatible indeterminado valores arbitrarios 2 {(3-3/2y+5/2z, y, z) / y,z R } Álgebra I

67


3-

5x + 4y - z = 2 10x + 8y - 2z = 1

4-

3x - 3y - 2z = -2 2y - z = 1 3x - 5y = -2

Rta: Sist.compatible determinado x=1;y=1;z=1

5-

x + 2y + 3z = 2 4x + 5y + 6z = 3 3x + 7y + 5z = 4

Rta: Sist.Compatible determinado x = -13/18 ; y = 4/9 z = 11/18

Rta: Sist. Incompatible

Un caso particular:

SISTEMAS DE ECUACIONES HOMOGÉNEOS Un sistema de ecuaciones se llama homogéneo, si los términos independientes son nulos. El valor 0 para cada incógnita se llama SOLUCIÓN TRIVIAL. Todo sistema homogéneo admite la solución trivial. Una solución del sistema homogéneo en que algunas de las incógnitas toma valor distinto de cero, es una solución llamada NO TRIVIAL. Aplicando el Teorema de Rouché - Frobenius a los sistemas homogéneos, pueden presentarse dos casos: 1) Sistema compatible determinado, admite una solución, y es la solución TRIVIAL. 2) Sistema compatible indeterminado, admite infinitas soluciones NO TRIVIALES. Ejemplo 1: x+y-z=0 2x + 4y - z = 0 3x + 2y + 2z = 0 Si analizamos los rangos r y r’ de la matriz de coeficientes y la ampliada con los términos independientes respectivamente:

68

r=3 r’ = 3

sistema compatible determinado admite única solución



Incóg. = 3

La única solución del sistema es la solución trivial x = 0 ; y = 0 ; z = 0. (Podemos comprobarlo aplicando Gauss - Jordan). Ejemplo 2: x + 2y - 3z + w = 0 x - 3y + z - 2w = 0 2x + y - 3z + 5w = 0

Analizando los rangos r y r’ de la matriz de coeficientes y de la matriz ampliada respectivamente:

r = 3 ; r’ = 3

Sistema compatible

r = r’

valores arbitrarios =nº de incóg. - rango = 1

es indeterminado, admite infinitas soluciones

Aplicando Gauss - Jordan al sistema:

1 1 2

2 -3 1

-3 1 -3

1 -2 5

| 0 | 0 | 0

1 0 0

2 -5 -3

-3 4 3

1 -3 3

| 0 | 0 | 0

1 0 0

0 -7/5 -1/5 | 0 1 -4/5 3/5 | 0 0 3/5 24/5 | 0

1 0 0

0 1 0

0 0 1

11 | 0 7 | 0 8 | 0

x + 11w = 0 y + 7w = 0 z + 8w = 0

x = -11w y = -7w z = -8w

Solución = { (-11w , -7w , -8w , w) / w R }

En este sistema las incógnitas x, y, z dependen del valor de w, la que es el valor arbitrario. Álgebra I

69


NOTA: En el conjunto de infinitas soluciones que admite este sistema, la solución trivial está incluida como posibilidad.

EJERCICIOS PROPUESTOS 1-

x + 2y - 3z = 0 Rta: 4x + y + 5z = 0 3x + 2y + 3z = 0

Sistema compatible determinado admite solo solución trivial

2-

x + 2y - 3z - 2w = 0 Rta: 4x - y + 5z = 0 5x + y + 2z + 4w = 0

Sistema compatible indeterminado admite infinitas soluciones {(-7/9z, 17/9z, z, 0) / zε R }

70



Unidad

4

Polinomios

Álgebra I

Álgebra I

71


Objetivos específicos de la Unidad 4  Internalizar los conceptos de polinomio y expresión algebraica.  Reconocer el grado y otros elementos destacados del mismo.  Desarrollar habilidad para calcular el valor numérico de un polinomio.  Operar polinomios y expresiones algebraicas con fluidez según los distintos casos.  Identificar distintos casos de potencia de un binomio y de divisibilidad de polinomios y factoreo de polinomios.  Desarrollar habilidad para las distintas operaciones antes vistas.

72



INTRODUCCIÓN Si bien alguno de estos conceptos han sido vistos en etapas anteriores de la escolaridad, el trabajo fluido con polinomios representa una necesidad para encarar otros estudios posteriores de la matemática incluidos en esta carrera. Definición: Un polinomio es una expresión algebraica del tipo: a0. x0 + a1. x1 + a2 . x2 + . . . + am . xn Nótese que en este caso, hemos desarrollado la expresión simbólica sobre una sola variable, donde: 1) los exponentes son números naturales de 0 a n (siendo n finito). 2) los ai los llamaremos coeficientes, y son números reales. 3) las x son la variable y representan un número real. Los polinomios en general se designan con letras mayúsculas de imprenta; A, B, C .... etc. Ejemplo: P(x) = 5x3 - 2x + 3 Q(x) = 1/2 x4 - 1/2 x2

son polinomios con una variable (x)

B(x,y,z) = 4x2 + 7xy + z

es un polinomio con más de una variable (x, y, z)

A(x) = 3 + x-1 + 4x-2 - x3 - 7x4

no es un polinomio, pues los exponentes no son números naturales.

Definición: Los polinomios que tienen un solo término se llaman monomios.

GRADO DE UN POLINOMIO Definición: Se denomina grado de un polinomio al mayor exponente al que se halla elevada la variable, para un polinomio de una variable. Ejemplo: P(x) = 5x3 + 6x2 - 7x

es de grado 3 (término x3) Álgebra I

73


Si el polinomio posee más de una variable, se suman los exponentes de cada variable en cada término. El mayor valor de esas sumas, nos indicará el grado del polinomio. Ejemplo: R(x,y,z) = 5x - 7 x3 y2 z + 3 y2 z - 4x

es de grado 6 (término x3 y2 z)

Definiciones: Se llama coeficiente principal, al coeficiente numérico que acompaña a la variable con máximo exponente. Se llama término o coeficiente independiente, al coeficiente numérico que no está acompañado por variable. Se llama valor numérico de un polinomio, al número que se obtiene como resultado en la expresión dada, una vez reemplazadas las variables por sus respectivos valores y efectuadas las operaciones indicadas. Ejemplo: Hallar el valor numérico de: 1 - P(x,y,z) = 7x - 3y + z

x=2 para y = 6 z=3

reemplazamos las variables por sus valores y efectuamos las operaciones. P = 7.(2) - 3.(6) + 3 P = -1 2 - R(a,b,c) = 1/2 a b c - 1/3 c + a2 c3 para

a=2 b=1 c = -1

Rta.: - 14/3 Se denomina polinomio opuesto de un polinomio dado A , al que tiene como coeficientes, los opuestos de los coeficientes de A. Ejemplo:

A(x) = 3 - 1/2 x2 + 7 x3

opuesto de A(x) = -3 + 1/2 x2 - 7 x3

El opuesto de A, se simboliza (-A).

74



TÉRMINOS SEMEJANTES Definición: Llamamos términos semejantes a aquellos que poseen las mismas variables (o partes literales) elevadas a los mismos exponentes. Ejemplo: Dado el polinomio P = 3x7 + 7y5 + 4z2

y el polinomio Q = 2c2b + 2y5,

Ambos polinomios poseen un término semejante, que es 7y5 para el primero y 2y5 para el segundo polinomio.

ADICIÓN DE POLINOMIOS Para sumar algebraicamente polinomios debemos sumar algebraicamente los coeficientes de los términos semejantes, si los hubiera. Ejemplo: Sumar los siguientes polinomios

P(x,y) = -7 y3 + 25 x4 - y2 + x Q(x,y) = 3 y2 + 5 y3 + 3 x4 - 8

Los ubicaremos uno debajo del otro, encolumnando los términos semejantes así:

+

-7 y3 + 25 x4 - y2 + x +5 y3 + 3 x4 + 3 y2

-8

-2 y3 + 28 x4 + 2 y2 + x - 8

SUSTRACCIÓN DE POLINOMIOS Se llama diferencia del polinomio A y el polinomio B, en este orden, a otro polinomio que se obtiene sumando a A, el opuesto de B. Ejemplo: Dados A(x) = -7 x3 - 2x + 3

B(x) = 2 - 7 x + 3 x2 - x3 - x4 hallar A(x) - B(x) = A(x) + (-B(x)), luego: Álgebra I

75


+

-7 x3 - 2 x + 3 +x3 + 7 x - 2 - 3 x2 + x4 -6 x3 + 5 x + 1 - 3 x2 + x4

Podemos combinar ambas operaciones. Ejemplo: Dados P(x) = 2 x3 - 2 x2 + 5 Q(x) = 5 x2 + 2 x - 1 R(x) = 3 x3 - 3 x2

si queremos hallar el polinomio resultado de la operación:

P(x) + Q(x) - R(x) este será:

2 x3 - 2 x2 +5 5 x2 + 2 x - 1 -3 x3 + 3 x2

-x3 + 6 x2 + 2 x + 4

PROPIEDAD El grado del polinomio suma es igual o menor al grado del polinomio sumando de mayor grado. Nunca es mayor. En caso de la resta sucede lo mismo.

PRODUCTO DE UN POLINOMIO POR UN NUMERO REAL Sea P(x) = 2x3 - 2x2 + 5 y queremos obtener el producto: A(x) = 5.P(x)

Para ello habrá que multiplicar cada coeficiente de P(x) por el número en cuestión o sea:

A(x) = 10x3 - 10x2 + 25

PRODUCTO DE POLINOMIOS El producto de dos polinomios, es otro polinomio, que se obtiene multiplicando cada término del primero por cada término del segundo (aplicando propiedad distributiva y las leyes de potenciación) y sumando los términos semejantes.

76



Ejemplo: 1 - Multiplicar (2x3 - 2x2 + 5).(5x2 + 2x - 1) Nos conviene colocarlos mediante la siguiente disposición práctica: 2x3 - 2x2 + 5 5x2 + 2x - 1 10x5 - 10x4 + 25x2 4x4 - 4x3 + 10x 2 + 2x - 2x3 -5 10x5 - 6x4 + 27x2 - 6x3 + 10x - 5 2 - (a3x - 1/2 a2x2 + 3/4 ax3).(4a2 + 2ax - 2x) a3x - 1/2 a2x2 + 3/4 ax3 4a2 + 2ax - 2x 4a5x - 2a4x2 + 3a3x3 + 2a4x2 - 1a3x3 + 3/2a2x4 - 2a3x2 + 1a2x3 - 3/2ax4 4a5x + 0 + 2a3x3 + 3/2a2x4 - 2a3x2 + a2x3 - 3/2ax4 El grado del polinomio producto es igual a la suma de los grados de los polinomios que intervienen (por cumplirse la propiedad de la multiplicación de potencias de igual base).

POTENCIA DE UN POLINOMIO Hay dos casos particulares de la potenciación de polinomios que tienen una fórmula conocida como síntesis de dicha operación. Esos dos casos son:  el cuadrado de un binomio y,  el cubo de un binomio.

Cuadrado de un binomio (a + b)2 = (a + b).(a + b) = a2 + 2ab + b2

Álgebra I

77


Enunciado en palabras: El cuadrado del primer término, más el doble producto del primer término por el segundo, más el cuadrado del segundo término. Este polinomio resultante se denomina trinomio cuadrado perfecto.

Cubo de un binomio (a + b)3 = (a + b).(a + b).(a + b) = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 Enunciado en palabras: El cubo del primer término, más el triple producto del cuadrado del primer término por el segundo, más el triple producto del primer término por el cuadrado del segundo, más el cubo del segundo término. Este polinomio resultante se denomina cuatrinomio cubo perfecto. Si queremos obtener la potencia enésima de un binomio cualquiera, bastará con multiplicar por sí mismo n veces el binomio dado; pero esto evidentemente resulta un proceso muy complejo. Por ello presentamos el concepto del Binomio de Newton.

Binomio de Newton* Vamos a buscar una fórmula para resolver un binomio de la forma (a

+ b)n con

Repasando lo visto hasta aquí

(a + b)1 = a + b (a + b)2 = (a + b) (a + b) = a2 + 2ab + b2 (a + b)3 = (a + b) (a2 + 2ab + b2) = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 Si hiciéramos lo dicho anteriormente (a+b)4 = (a+b).(a+b).(a+b).(a+b), o también (a+b).(a+b)3

(a + b)4 = (a + b) (a3 + 3a2b + 3ab2 + b3) = a4 + 4a3b + 6a2b2 + 4ab3 + b4 Vemos que:

* Análisis matemático – Jorge Salves, Adriana Martines de Ares, Sandra Lucchetti – FACEE, Material de Educación a distancia – Universidad de Morón. 78



 cuando el binomio está elevado a 1, nos quedan dos términos, cuando está elevado a 2, nos quedan tres términos,  cuando está elevado a 3, nos quedan cuatro términos y así sucesivamente,  cuando esté elevado a la

n , tendremos n + 1 términos.

Vamos a analizar ahora cómo quedan

a

y

b.

En el primer término de cada desarrollo, a comienza elevado a la potencia del binomio y luego, en cada término siguiente, decrece el exponente una unidad hasta desaparecer, es decir hasta quedar elevado a la cero cuyo valor es 1, razón por la cual no aparece en el último término. Por otra parte b , no aparece en el primer término de cada desarrollo ya que está elevada a la cero, es decir tiene valor 1 y luego, en cada término siguiente, el exponente crece una unidad hasta llegar a n . Nos referimos ahora a los coeficientes de cada término. Del binomio elevado a la 1

1

1

Del binomio elevado a la 2

1

2


1 3

3

1


1

6

4

4

1

1

Al escribir para cada valor de n los coeficientes numéricos obtenemos el triángulo de Tartaglia, que es un esquema de números dispuestos en forma triangular con infinitas filas. Cada fila se forma con el número uno en los extremos y los demás ubicados entre ellos, surgen de sumar los dos números que se encuentran en la fila anterior. Veamos este esquema hasta la fila sexta: Fila 0 Fila 1 Fila 2 Fila 3 Fila 4 Fila 5 Fila 6

1 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1

Álgebra I

79


Entonces podemos escribir la fórmula del binomio de Newton:

Que responde a:

Ejemplos: 1- (5x4-2x2)3=(5x4)3+3(5x4)2(-2x2) + 3.(5x4)(-2x2)2 +(-2x2)3

= 125 x12 - 150x10 + 60x8 - 8x6

2- (3x+y)7 = (3x)7+ 7(3x)6 y + 21(3x)5(y)2 + 35(3x)4(y)3 +

+ 35(3x)3(y)4 +21(3x)2(y)5 + 7(3x)(y)6 + y7

Nótese que todo lo dicho hasta aquí corresponde a binomios. Si la potencia buscada es de un polinomio, no queda otro proceso que multiplicar ese polinomio por sí mismo n veces, aplicando la definición de potencia. 3- (2x2 - 3x + 2)2 = (2x2 - 3x + 2) . (2x2 - 3x + 2)

2x2 - 3x + 2 2x2 - 3x + 2

4x4 - 6x3 + 4x2 - 6x3 + 9x2 - 6x + 4x2 - 6x + 4

4x4 - 12x3 + 17x2 - 12x + 4

COCIENTE DE POLINOMIOS Para poder efectuar el cociente de dos polinomios deberá ser el dividendo de mayor o igual grado que el divisor. Así si queremos dividir A(x) = 3x2 - 2x B(x) = 6x3 - 3x2 - 9 Si deseamos obtener el resultado de efectuar A(x): B(x), esta operación no se

80



puede hacer ya que el grado de A(x) es 2 y el grado de B(x) es 3. Podemos calcular B(x) : A(x). Hallaremos pues B(x) : A(x) cuyo resultado será otro polinomio C(x) el gradodel cual será igual a la resta de los grados de B(x) y A(x) y un resto R(x) cuyo grado será menor que el grado del polinomio divisor o igual al polinomio nulo. O sea:

B(x) R(x)

A(x) C(x)

donde: B(x) es el polinomio dividendo. A(x) es el polinomio divisor. C(x) es el polinomio cociente. R(x) es el polinomio resto. PROPIEDAD: Se verificará el algoritmo de la división: B(x) = A(x).C(x) + R(x) NOTA: Para calcular la operación, el polinomio dividendo debe estar ordenado y completo con ceros los términos que falten, y el polinomio divisor debe estar ordenado de mayor a menor. El procedimiento será: 1) Se divide el primer término del dividendo por el primer término del divisor. 6x3 = 2x (aplicando regla de la potenciación) 3x2 2) Este valor 2x será el primer término del polinomio cociente. 3) Se multiplica este resultado con cada término del divisor, se le cambia el signo, y se encolumna con los términos semejantes del dividendo. 4) Se suman los términos semejantes encolumnados. 5) Se vuelve a repetir el procedimiento desde 1) utilizando ahora, los nuevos términos del polinomio dividendo, siempre y cuando el grado de este último sea mayor o igual al grado del divisor.

Álgebra I

81


+

6x3 - 3x2 - 0x - 9

3x2 - 2x

-6x3 + 4x2

2x + 1/3

+

x2 - 0x

-9

-x2 + 2/3x 2/3x - 9

Cociente C(x) = 2x + 1/3 Resto

R(x) = 2/3x - 9

Verificación: 6x3 - 3x2 - 9 = (2x + 1/3).(3x2 - 2x) + (2/3x - 9) Definición: Si el resto es el polinomio nulo, se dice que el cociente es exacto, y el polinomio dividendo es divisible por el polinomio divisor.

REGLA DE RUFFINI Si el divisor es un binomio de la forma (x ± a), no necesitaremos hacer todo el procedimiento anterior sino que podremos aplicar la Regla de Ruffini. Para aplicar esta regla procederemos de la siguiente forma: armaremos un cuadro como el siguiente: a

n1

n2

.

.

.

donde n1, n2, etc., son los coeficientes del polinomio dividendo ordenado según el grado de sus términos de mayor a menor y completando con ceros los que faltaron. En el ángulo izquierdo ubicaremos el valor a del divisor (x ± a) cambiado de signo. Explicaremos esta regla con un ejemplo: Ejemplo: 1 - Hallar el cociente entre

82

P(x) = 2x5 + 3x - 7 x2 - 2 Q(x) = x + 3



-3

2

0 0 -7 +3 -2 -6 (-6).(-3) -54 +183 -558 2 -6 18 -61 +186 -560

El primer coeficiente se baja. Luego se multiplica este valor por (-3) y se ubica debajo del segundo coeficiente y se suma. Repetiremos ésta operación con cada nuevo valor obtenido. Los números obtenidos son los coeficientes de un polinomio de grado menor en una unidad que P(x) y el último valor, el resto de esta división que es un número pues debe tener grado menor que Q(x) que es de grado uno. El cociente será: C(x) = 2x4 - 6x3 + 18x2 - 61x + 186 y el resto será: R(x) = -560 Este resto se puede calcular directamente.

TEOREMA DEL RESTO Es un procedimiento que permite calcular el resto en forma directa y que consiste en calcular el resto como el valor numérico del dividendo para x = -a en las divisiones que se pueden hacer por Ruffini. R(x) = 2.(-3)5 + 3.(-3) - 7.(-3)2 - 2

= 2.(-243) - 9 - 63 - 2

= -560

EJERCICIOS RESUELTOS 1 - Determinar k de (x3 + kx - 5) de modo tal que al dividirlo por (x - 5) de resto 150. Solución:

Aplicaremos teorema del resto.

Resto = P(a)

a = -5

-a = 5

R = (5)3 + k.(5) - 5 = 125 + 5k - 5 = 120 + 5k

el ejercicio nos indica que el resto es igual a 150, entonces

Álgebra I

83


120 + 5k = 150 despejamos k k = 150 - 120 5

k=6

2 - Si P(x) = x4 - nx2 + 1

y

Q(x) = x + 1

Calcular n para que P(x) sea divisible por Q(x). Solución:

Por teorema del resto y siendo -a = -1

P(-1) = R = (-1)4 - n.(-1)2 + 1

R=1-n+1 =-n+2

para que P(x) sea divisible por Q(x) el resto deber ser cero.

R = - n + 2 = 0 despejamos n

n=2

Otra forma de resolverlo, podría haber sido, aplicando regla de Ruffini: -1

1 0 -n 0 1 -1 1 (n-1) (-n+1) 1 -1 (-n+1) (n-1) (-n+1)

donde (-n +2) = 0

n=2

FACTOREO DE POLINOMIOS Consiste en expresar a los polinomios como producto de factores primos irreducibles, es decir, que sean solo divisible por sí mismo y por la unidad y no se pueden a su vez factorear. Veremos ahora los seis casos de factoreo. 1º CASO : FACTOR COMÚN Si en todos los términos de un polinomio figuran uno o varios factores comunes (números, múltiplos o variables), expresaremos al polinomio como producto de

84



esos factores comunes (las variables con su menor exponente) por el polinomio que resulta de dividir cada término por ese factor. Es el proceso contrario a aplicar propiedad distributiva. Sea P(x) = 2x5 + 8x3 - 4x2, en este polinomio en todos los términos aparece la variable x elevada a distintas potencias (la menor es 2) y números múltiplos todos del número 2, P(x) quedaría factoreado de la siguiente forma:

P(x) = 2x2.(x3 + 4x - 2)

2º CASO : FACTOR COMÚN POR GRUPOS DE IGUAL NUMERO DE TERMINOS Para factorear un polinomio que tiene factores comunes en grupos de igual número de términos se factorean dichos grupos y luego se factorea nuevamente con respecto a un nuevo factor común que aparece entre paréntesis. Por ejemplo si queremos factorear

Q(x) = 3x2 - 3x - xy + y

No podemos obtener algo común a todos los términos de Q(x), pero si separamos dichos términos en dos grupos:

Q(x) = (3x2 - 3x) + (-xy + y)

el primer grupo tiene como factor común a 3x y el segundo a (-y) luego

Q(x) = 3x (x - 1) - y (x - 1)

Debe quedar otra vez un polinomio donde nuevamente podamos sacar factor común, como en este caso que ambos términos tiene en común al factor (x - 1). Por lo tanto: Q(x) = (3x - y).(x - 1) 3º CASO : TRINOMIO CUADRADO PERFECTO Se llama así al polinomio que satisface las siguientes condiciones: 1) tener 3 términos. 2) dos de ellos deben ser cuadrado exacto, por ejemplo a2, b2. 3) el tercer término debe ser igual al doble producto de los dos términos del binomio, o sea 2.a.b. Por ejemplo el polinomio B(x) = 16x4 + 9x2 - 24x3 es un trinomio cuadrado perfecto ya que tiene tres términos, dos de los cuales 16x4 y 9x2 son Álgebra I

85


cuadrado de 4x2 y 3x respectivamente y el tercer término es el doble producto de ellos ya que:

2.4.x2.3.x = 24 x3

Por lo tanto el polinomio factoreado será:

B(x) = (4x2 - 3x)2

El signo menos se debe a que el doble producto es negativo. 4º CASO : CUATRINOMIO CUBO PERFECTO Se llama así al polinomio que satisface las siguientes condiciones: 1) tener cuatro términos. 2) dos de ellos serán cubo de alguna expresión por ejemplo: a3, b3. 3) los otros dos deben satisfacer el ser el triplo de uno de los términos anteriores por el cuadrado del otro y viceversa, o sea: 3a2b y 3ab2. Si queremos factorear el siguiente polinomio:

A(x) = -27x9 + 27x6y2 - 9x3y4 + y6

Es un cuatrinomio cubo perfecto ya que los términos -27x9 e y6 son cubos de (-3x3) e y2 respectivamente y los otros dos términos son:

3.(-3x3)2.y2 = + 27x6y2

3.(-3x3).(y2)2 = - 9x3y4

Por lo tanto:

A(x) =-27x9 + 27x6y2 - 9x3y4 + y6 = (-3x3 + y2)3

5º CASO: DIFERENCIA DE CUADRADOS Si tenemos un binomio, cuyos términos son cuadrados exactos, y están restados entre si por ejemplo (a2 - b2) se factorea como el producto de dos binomios, uno sumando y el otro restando las bases anteriores. Esto es, (a2 - b2) = (a + b).(a - b) Por ejemplo si queremos factorear el binomio: C(x) = 25x4 - 16y8

86



cuyos términos son cuadrados de (5x2) y (4y4) respectivamente, el polinomio factoreado será :

C(x) = (5x2 - 4y4).(5x2 + 4y4)

6º CASO: DIFERENCIA O SUMA DE POTENCIAS DE IGUAL GRADO Consiste en factorear expresiones del tipo (xn ± an), para ello debemos saber cuando esta expresión es divisible por la suma o diferencia de sus bases o sea por (x ± a). Aplicaremos teorema del resto para ver en qué‚ casos es divisible: 1) (xn + an) : (x + a)

sólo si n es impar

Demostraremos esta opción, las restantes se realizan de manera similar. (xn + an) : (x + a) si n es par

Resto = [(-a)n + an]

an + an = 2an ≠ 0

si n es impar -an + an = 0 luego la expresión (xn + an) es divisible por (x + a) sólo si el exponente n es impar. 2) (xn + an) : (x - a)

Nunca es divisible

3) (xn - an) : (x + a)

Sólo si n es par

4) (xn - an) : (x - a)

Siempre es divisible

Ejemplos: 1 - Factorear (x5 - 32) (x5 - 32) = (x5 - 25) es divisible por (x - 2) Hallemos el cociente aplicando regla de Ruffini 2

1 0 0 0 0 -32 2 4 8 16 32 1 2 4 8 16 0

resto

C = x4 + 2x3 + 4x2 + 8x + 16

Álgebra I

87


luego la expresión factoreada será : (x5 - 32) = (x4 + 2x3 + 4x2 + 8x + 16).(x - 2) 2 - Factorear (x3 + y3) Es divisible por (x + y), aplicando Ruffini: 1 0 0 y3 -y -y y2 -y3 1 -y y2 0 luego: (x3 + y3) = (x + y).(x2 - yx + y2)

EJERCICIOS RESUELTOS 1 - Factorear los siguientes polinomios aplicando distintos casos: a) x2 + 4x + 4 - y2 + 6y - 9 b) k2 + 9y + 3k - k2y c) 9x2 + 25 d) 64x6 - 48x4y4 + 12x2y8 - y12 Solución: a) x2 + 4x + 4 - y2 + 6y - 9 = (x2 + 4x + 4) - (y2 - 6y + 9)= = (x + 2)2 - (y - 3)2 = = [(x + 2) + (y - 3)].[(x + 2) - (y - 3)]= = (x + 2 + y - 3).(x + 2 - y + 3)= = (x+ y - 1).(x- y + 5) b) k2 + 9y + 3k - k2y = (k2 + 3k) + (9y - k2y)= = k(k + 3) - y(k2 - 9) = k(k + 3) - y(k - 3)(k + 3) = (k + 3).[k - y(k - 3)] c) 9x2 + 25 no se puede factorear pues es suma de potencias pares, luego esta expresión es irreducible. d) 64x6 - 48x4y4 + 12x2y8 - y12 = (4x2 - y4)3 = [(2x - y2).(2x + y2)]3

88



2 - Dividir aplicando regla de Ruffini. a) (x5 - x4 + x + 3) : (x + 1) b) (3x5 - 2x) : (x - 2) Solución: a) (x5 - x4 + x + 3) : (x + 1) -1

1 -1 0 0 1 3 -1 2 -2 2 -3 1 -2 2 -2 3 0

C(x) = x4 - 2x3 + 2x2 - 2x + 3 R(x) = 0 b) (3x5 - 2x) : (x - 2) 2

3 0 0 0 -2 0 6 12 24 48 92 3 6 12 24 46 92

C(x) = 3x4 + 6x3 + 12x2 + 24x + 46 R(x) = 92 3 - Dividir (1/16x9 - 1/2y6 - 3/8x6y2 + 3/4x3y4):(1/4x3 - 1/2y2) Ordenamos el polinomio dividendo y divisor según las potencias decrecientes de una misma variable (en este caso x) y es conveniente completar el polinomio dividendo. 1/16x9 +0x8+0x7- 3/8x6y2+0x5+0x4+ 3/4x3y4 - 1/2y6 -1/16x9

+ 1/8x6y2

1/4x3-1/2y2 1/4 x6-x3y2+y4

- 1/4x6y2 +0x5+0x4+ 3/4x3y4 - 1/2y6 + 1/4x6y2

- 1/2x3y4

1/4x3y4 - 1/2y6

-1/4x3y4 + 1/2y6

Álgebra I

0

89


Cociente C = 1/4 x6 - x3y2 + y4 Resto

R=0

La verificación quedará a cargo del lector.

EJERCICIOS A RESOLVER 1.- Dados los siguientes polinomios:

P(x) = 2x3 - x2 + x - 2

Q(x) = -3 x2 + x -1

R(x) = x 4 -1

Calcular las siguientes operaciones: a) P + Q =

d) R2 - Q =

b) P - Q =

c) 3P - Q + 3R =

g) Q . R =

e) P - R2 =

h) P / Q =

f) P . Q

=

i) R / Q =

2.- Efectuar las siguientes divisiones entre polinomios. Utilice la Regla de RUFFINI cuando sea posible, verificando el resto de la división con el TEOREMA DEL RESTO. a) ( 6x5 - 4x2 + 2x -3 ) : ( x3 - 2x + 1 ) =

Rta: C(x) = 6x2+ 12

R(x) = -10x2+26x-15

b) ( -1/2 x3 + x -1 ) : ( -x + 2 ) =

Rta: C(x) = 1/2x2+x+1

R(x) = 3

c) ( x5 - x4 + 1 ) : ( 2x3 - 2 x ) =

Rta: C(x) = 1/2x2-1/2x+1/2

R(x) = -x2+x+1

d) [ ( x- a )2 - a2 + 2 a ] : ( x + a ) =

Rta: C(x) = x – 3a

R(a) = 3a2+2a

3.- En una división de polinomios el divisor es 2x2 + x + 5, el cociente x2 + x y el resto (x + 6). ¿Cuál es el polinomio?

90

Rta.: 2x4 + 3x3 + 6x2 + 6x + 6



4.- Determinar para qué valores de m es divisible: a) 5x4 - mx3 + 3x2 - 2x - 8 por (x - 2) b) x4 + 10x3 + mx2 + 50x + 24

Rta.: m = 10 por (x + 1)

Rta.: m = 35

5.- Calcular K real para que P(x) = - Kx + 1 sea divisible por (x + K).

Rta.: No existe solución real.

EXPRESIONES ALGEBRAICAS FRACCIONARIAS Definición: Son las expresiones de la forma P(x)/Q(x) donde P(x) y Q(x) son polinomios y Q(x) ≠ del polinomio nulo. 3 2 Ejemplo: x - x + x + 3 2 x -x+1

SIMPLIFICACIÓN DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS Para simplificar una expresión algebraica, se factorean numerador y denominador y se eliminan los factores comunes a ambos. Ejemplo: Simplificar 2 x3 - 8 = (x - 2)(x + 2x + 4) 2 2x - 8x + 8 2(x - 4x + 4) 2

2 2 = (x - 2)(x + 2x2+ 4) = x + 2x + 4 2(x - 2) 2(x - 2)

OPERACIONES CON EXPRESIONES ALGEBRAICAS FRACCIONARIAS SUMA Para efectuar la suma de expresiones algebraicas fraccionarias, se procede de manera similar al caso de fracciones numéricas. Álgebra I

91


Ejemplo: 37 + 4 + 2 = 37 + 4 + 2 = 37.3 + 14.4 +2.6 14 3 7 7.2 3 7 14 . 3 El mínimo común múltiplo será = 7.2.3 Recordar: Debemos hallar el mínimo común múltiplo de los denominadores, que se forma con el producto de los factores comunes y no comunes con sus mayores exponentes. Ejemplo: hallar la suma de yx2 - xy2 1 + x3 - y3 x-y

x-y x2 - 2xy + y2

Lo primero que debemos hacer es factorear cada término:

yx(x - y) + 1 - (x - y)2 (x - y)(x2 + yx + y2) x-y (x - y)

el mínimo común múltiplo será: (x - y)2 .(x2 + yx + y2)

luego:

yx(x-y)(x-y) + (x-y)(x2+yx+y2) - (x-y)(x2+yx+y2) = (x - y)2 .(x2 + yx + y2)

=

=

=

(x - y).[yx(x-y) + (x2+yx+y2) - (x2+yx+y2)] = (x - y)2 .(x2 + yx + y2) yx2 - y2x + x2 + yx + y2 - x2 - yx - y2 (x - y) (x2 + yx + y2)

=

yx (x - y) = 2 yx (x - y)(x2 + yx + y2) x + yx + y2

MULTIPLICACIÓN Para multiplicar varias expresiones algebraicas fraccionarias, se factorean todos los numeradores y denominadores, se expresa el producto como una fracción cuyo numerador es el producto de los numeradores y cuyo denominador es el producto de los denominadores, se efectúan luego todas las simplificaciones posibles.

92



Ejemplo:

x4 - 1 . 2ax2 . 1 . (x - 1) 2x x2 + 1 (x - 1)2 ax (x2 + 1).(x - 1).(x + 1) . 2ax2 .1 . (x - 1) (x + 1) = 2x .(x2+1).(x-1)2 .ax

DIVISIÓN Para dividir dos expresiones algebraicas fraccionarias, se multiplica el dividendo por la fracción recíproca del divisor. Ejemplo: 25y2 - 36x2 : 25y + 30x = x3 - 4x x3 - 2x2 25y2 - 36x2 . x3 - 2x2 (5y - 6x)(5y + 6x) . x2(x - 2) = = x3 - 4x 25y + 30x x(x + 2)(x - 2).5(5y + 6x)

=

. = (5y - 6x) x . (x + 2) 5

Álgebra I

93


94



Unidad

5

Función Cuadrática

Álgebra I

Álgebra I

95


Objetivos específicos de la Unidad 5  Interpretar el concepto de parábola como lugar geométrico.  Reconocer la relación existente entre los coeficientes de la función y su comportamiento.  Inducir el comportamiento gráfico de una función cuadrática desde los datos de su definición.  Distinguir sus elementos principales.

96



FunciÓn CuadrÁTica Definición: Es la función racional entera de 2° grado. Su forma general es y = ax2 + bx + c Veremos que dichas funciones representan un lugar geométrico llamado parábola.

ParÁbola Definición: Es el lugar geométrico de los puntos del plano cuyas distancias a un punto fijo llamado foco y a una recta fija llamada directriz son iguales. Elementos: F : foco (punto fijo dado) d : directriz (recta fija dada) e : eje de simetría (recta perpendicular a la directriz que pasa por el foco) V : vértice (intersección del eje de simetría con la parábola. Es el punto donde la distancia al foco y a la directriz se hace mínima). La ecuación general de la parábola tiene la forma: y = ax2 + bx + c. Gráficamente:

Álgebra I

97


Ejercicios Resueltos 1) Dadas las siguientes parábolas indicar foco, eje de simetría, vértice, directriz, raíces y graficar. a) y = x2 - 3x + 2

b) x = -2y2 - 4y - 4

Solución: a) Completemos cuadrados en la ecuación y= x2 - 3x + 2 para hallar los diversos elementos: y = x2 - 3x + 2 y= x2 - 3x + 9 - 9 + 2 4 4 y=

( ) ( ) x2 - 3x + 9 4

y = x - 3 2

2

- 9 + 2 4

- 1 4

Luego: V ( 3/2; -1/4) Para saber la distancia del vértice al foco hacemos: 1 = 1 = ( en nuestro caso a 1 ) = 4a 4 Luego F ( 3/2; -1/4 + 1/4 ) directriz d: y= -1/4 - 1/4

F ( 3/2; 0 ) y= -1/2

eje de simetría e: x= 3/2 Las raíces se obtienen, igualando a cero la función y resolviendo la ecuación o sea: x2 - 3x + 2 = 0 -b ±

b2 - 4ac -(-3) ± 9 - 4.1.2 3±1 = = 2a 2.1 2

x1 = 2 v x2 = 1

98



Las raíces son los puntos (2,0) y (1,0). Gráficamente:

b) x = -2y2 - 4y - 4 x = -2 ( y2 + 2y ) - 4 x = -2 ( y2 + 2y + 1 -1 ) -4 x = -2 ( y + 1 )2 + 2 - 4 x = -2 ( y + 1 )2 - 2 Aquí, al estar elevada la “y” al cuadrado, estamos en presencia de una parábola con directriz paralela al eje y. Además 1/4a = -1/8 ( el foco está a la izquierda del vértice) V ( -2 , -1 ) F ( -2 -1/8, -1 ) d: x= -2 + 1/8

F ( -17/8, -1 ) x = -15/8

e: y = -1 raíces: -2y2 - 4y - 4 = 0 y=

-2 ±

y2 + 2y + 2 = 0 -2 ± -4

-4 2 Álgebra I

99


Al tener discriminante negativo las raíces son complejas, por lo tanto no corta al eje y. Gráficamente:

2) Dar la ecuación de la parábola que: a) Foco en (2,4) y directriz y = 0. b) Vértice en (1,2) y foco en (1,3). c) Vértice en (-1,-2) y directriz y = 1. Solución: a) xF = xV = 2 distancia del foco a la directriz 2 . 1/4a = 4

a = 1/8

yV = yF- 1 = 4 - 2 = 2 4a luego el vértice será V ( 2,2 ); a= 1/8, entonces

y = 1/8 ( x - 2 )2 + 2

y = 1/8 ( x2 - 4x + 4 ) + 2 b) d ( v . F ) = 1/4a = 1

y = 1/8 x2 - 1/2x +5/2 a = 1/4

por lo tanto la ecuación será:

100

y = 1/4 ( x - 1 )2 + 2

y = 1/4 x2 - 1/2x + 9/4



c) distancia del vértice a la directriz 1 - (-2) = 3 Al estar la directriz “arriba “ del vértice será

3 = -1/4a

a = -1/12

Luego la ecuación será:

y = -1/12 ( x + 1 )2 -2

y = -1/12 x2 - 1/6x -25/12

Ejercicios Resueltos 1) Hallar las coordenadas del foco, la ecuación de la directriz, las raíces y las coordenadas del vértice de las siguientes parábolas: a) y = - x2 - x + 2 Rta.: x1 (1,0) x2 (-2,0) V (-1/2, 9/4) F (-1/2, 2) d: y = 5/2 b) y = 2x2 - 4x +2 Rta.: x1 (1,0) x2 (1,0) V (1,0) F (1, 1/8) d: y = -1/8 c) x = y2 + 2y - 1 Rta.: y1 = -1 + 2 V (-2, -1) d: x = 5/2

y2 = -1 - 2 F (-7/4, -1)

2) Hallar la ecuación de la parábola que cumple las siguientes condiciones: a) Pasa por (-1, 1), (2, 7) y (-2, 3)

Rta.: y = x2 + x + 1

b) Pasa por (0, 3) y sus raíces son x1 = -1, x2 = 3

Rta.: y = -x2 + 2x + 3

c) Tiene por vértice a (1, -1) y foco (1, -1/2)

Rta.: y = 1/2x2 - x - 1/2

Álgebra I

101


102



Unidad

6

Vectores

Álgebra I

Álgebra I

103


Objetivos específicos de la Unidad 6  Diferenciar magnitudes escalares y vectoriales.  Distinguir vectores y versores.  Reconocer vectores iguales y opuestos.  Proyectar un vector sobre los ejes.  Distinguir las componentes cartesianas de un vector.  Adquirir habilidad para operar con vectores.  Internalizar la principales propiedades de las estructuras algebraicas.  Distinguir el concepto de las distintas estructuras algebraicas.  Clasificar una ley según sus propiedades en la estructura algebraica que corresponde.  Reconocer el trabajo con vectores en el plano como un caso particular de los espacios vectoriales.

104



MAGNITUDES VECTORIALES Todas las cosas que nos rodean y los fenómenos naturales tienen características y cualidades que, en su mayoría, pueden ponderarse con magnitudes aceptadas universalmente. Son ejemplos de estas características: el alto de un árbol, la superficie de una mesa, la densidad de un material, etc. Existen dos tipos de magnitudes:  MAGNITUDES ESCALARES Quedan definidas con un número y su correspondiente unidad de medida. Ejemplos: 1- El volumen de un cuerpo (por ejemplo 100 cm3) 2- La superficie de un recinto (por ejemplo 30 m2)  MAGNITUDES VECTORIALES Requieren para su definición no sólo un número y su correspondiente unidad de medida, sino especificar, además, la dirección y sentido en que ocurren. Ejemplos: 1- La fuerza que actúa sobre un cuerpo. 2- La velocidad de un móvil. Una magnitud vectorial posee cuatro características que la definen: 1- Su intensidad que quedará expresada con un número y la unidad de medida que la cuantifican. 2- Su dirección dada por la recta que la contiene. 3- Su sentido. 4- Su punto de aplicación.

VECTOR Un vector puede definirse también como un segmento de recta orientado. Como ya dijimos, se distinguen en él las siguientes características: 1- Su módulo, que es simplemente, su longitud, por ejemplo un valor N. Álgebra I

105


2- Su recta de acción. 3- Su sentido, dado por la punta de flecha. 4- Su punto de aplicación u origen. Debemos aclarar que el módulo de un vector nunca es negativo, (pues no existen longitudes negativas). Representación gráfica de un vector, en el plano. Recta de acción Sentido

origen

La recta de acción, sentido y punto de aplicación del vector, se hacen coincidir con las respectivas características de la magnitud vectorial a la que representa. El módulo del vector es proporcional a la intensidad de la magnitud vectorial. La escala es la que fija dicha proporcionalidad. Se define así:

Escala = Intensidad de la magnitud vectorial Módulo del vector asociado

Ejemplo: 1- Escala de fuerza = 80 kg. cm. 2- Escala de velocidad = 60 m/seg. cm. En Algebra trabajaremos con vectores libres, que son los que tienen la propiedad de poder situar el punto de aplicación libremente. Esto significa que, con sólo conservar el módulo, dirección y sentido, el vector puede colocarse en cualquier punto. Notación: Cada vector los nombraremos con una letra minúscula con una flechita arriba de ella. El módulo del vector, se indicará con la misma letra, sin la flechita. Ejemplo:

   a; b ; c 106

Son vectores Licenciatura en Higiene y Seguridad en el Trabajo


a; b; c son los módulos de esos vectores.

IGUALDAD Definimos: Dos vectores son iguales si tienen igual módulo, igual dirección y sentido coincidente.

OPOSICIÓN Definimos: Dos vectores son opuestos si teniendo igual dirección y módulo, sus sentidos son contrarios.





Si a es un determinado vector, su vector opuesto se indica: - a .

CONDICIÓN DE PARALELISMO DE DOS VECTORES   Dos vectores a y b son paralelos cuando tienen igual dirección y sentido (difieren sólo en módulo). Ejemplo:

 b

 a Ejercicios: 1) Dibuje tres vectores de distinto módulo, dirección y sentido. 2) Dibuje tres vectores de igual módulo, dirección y sentido. 3) Dibuje tres vectores de igual módulo, dirección y distinto sentido.

SUMA DE N VECTORES La suma de n vectores da un nuevo vector, que se obtiene gráficamente, aplicando el método de la poligonal. Álgebra I

107


Este método consiste en dibujar el polígono de vectores, y el vector suma tendrá:  por origen el origen del primer vector del polígono y,  por extremo, el extremo del último vector del mismo. El polígono de vectores se obtendrá dibujando un vector a continuación del otro (en orden arbitrario); de modo que el extremo de cada vector coincida con el origen del que le sucede. Ejemplo 1:

RESTA DE DOS VECTORES

 b deseamos hallar la resta entre ellos,  es el vector opuesto de b , puede escribirse: 

Sean dos vectores a y



Dado que - b

    a - b = a + (- b ) Ejemplo:

 a

 b  b

108



Ejercicio: Dados los vectores a, b, c y d; hallar gráficamente: 1. 2. 3. 4.

a+b+c a+b+d a+b-c-d a-b+c+d

PRODUCTO DE UN VECTOR POR UN NÚMERO El producto de un vector por un número, da por resultado otro vector con las siguientes características: 1- Módulo: igual al producto entre el módulo del vector dado y el valor absoluto del escalar. 2- Dirección: la misma del vector dado. 3- Sentido: el mismo del vector dado si el número es positivo, el sentido contrario si el número es negativo. El cociente entre un vector y un número se define en forma análoga.

VERSOR Definimos: Versor es todo vector de módulo igual a uno. También se lo llama vector unitario. Se lo simboliza con una letra minúscula y una flechita curva arriba.



Ejemplo: a

Teniendo en cuenta las definiciones de producto y cociente entre un vector y un número y la definición de versor, surge la siguiente conclusión: Cualquier vector dividido por su propio módulo, da un versor de igual dirección y sentido que dicho vector. Ejercicios: 1) Enuncie al igual que para el caso anterior, que relación se establece entre vector y versor para el producto. Álgebra I

109


Versores fundamentales: En particular interesa conocer dos versores:

 i , que es el versor sobre el eje x  j , que es el versor sobre el eje y PROYECCIÓN DE UN VECTOR SOBRE UN EJE Dados un vector y un eje cualquiera:

La proyección de dicho vector sobre ese eje, es otro vector que se obtiene del siguiente modo: Se coloca el origen O del vector sobre un punto cualquiera del eje, (esto puede hacerse pues el vector es libre).

Desde el extremo “E” se traza la perpendicular al eje obteniendo sobre éste el punto “E’”.

110



Definimos:

 b sobre el eje x, al vector que tiene por  origen el punto O y por extremo el punto E´ y se lo simboliza b x Se llama vector proyección del vector

Del triángulo OE’E surge que el módulo de la proyección es la siguiente:

bx = b. |cos(α)|



Donde α es el ángulo que forman el vector dado ( b ) y el eje. Recordemos que: El coseno de un ángulo es el cociente entre el cateto adyacente al mismo y la hipotenusa, en el triángulo OE’E. Por lo tanto despejando bx obtenemos en la fórmula anterior. El cos(α) debe tomarse en valor absoluto pues si α > 90º, resulta el coseno negativo. Si la proyección de un vector sobre un eje tiene igual sentido que éste, la respectiva coordenada es positiva. En cambio, si dicha proyección tiene sentido contrario al eje, la coordenada es negativa.

Vx Descomposición de un vector en función de sus proyecciones De acuerdo a lo dicho para la suma de vectores debe observarse que todo vector puede expresarse como la suma de dos vectores perpendiculares, uno que resulta de la proyección del mismo sobre el eje x y otro que resulta de la proyección sobre el eje y.

Álgebra I

111


Nótese que el b puede expresarse como la suma de bx y by Descomposición de un vector en función de los versores fundamentales Como ya dijimos:  todo vector se puede expresar como un versor por un número, y  cada vector puede expresarse como la suma de sus proyecciones por lo tanto:



a = 3i + 2

 j

Ejercicio: Para los vectores del ejemplo 1

   b y c sobre cada uno de los ejes

1) Hallar la proyección de a ,







2) Hallar: 3 a , 2 b y – c

112



3) Hallar la proyección de cada uno de esos vectores resultantes. 4) Sabiendo que |a|=2, |b|=3 y |c|=4, hallar el vector sumar y descomponer el mismo en sus versores fundamentales.

DEFINICIÓN Y PROPIEDADES DEL PRODUCTO ESCALAR DE DOS VECTORES Sean

 a

y

 b dos vectores. Su producto escalar se simboliza:

 a

x

 b

Y se define del siguiente modo:

 a

x

 b = a. b. cos(α)

Siendo α el ángulo que forman los dos vectores. El producto escalar de dos vectores da por resultado un escalar (es decir, un número), que puede ser positivo, negativo o cero, según que así sea el cos(α) Recordemos que a y b son siempre positivos por tratarse de dos módulos. Entonces:

Si α < 90º resulta cos(α) > 0 por lo tanto

 a

x

 b >0

Si α > 90º resulta cos(α) < 0 por lo tanto

 a

x

 b <0

Si α = 90 resulta cos α = 0 por lo tanto

 a

x

 b =0

La última consideración es importante y permite enunciar: El producto escalar de dos vectores perpendiculares es nulo. El producto escalar goza de la propiedad conmutativa:

 a

x

 b

=

 b

x

 a

y también de la propiedad distributiva respecto de la suma:

 a

x(

 b

+

 c

)=

 a

x

 b

+

 a

x

 c

Álgebra I

113


Ejercicio: Para los vectores del ejemplo 1, medir los ángulos existentes entre ellos, y hallar: 1)

sabiendo que |a|=2,|b|=3,|c|=4 y |d|=1.5

2) 3)

PRODUCTO VECTORIAL DE DOS VECTORES Definición:





Sean a y b dos vectores, que determinan un cierto plano π y forman entre ellos un cierto ángulo α.





El producto vectorial entre a y b (en ese orden) se define como un vector que posee las siguientes características: Módulo: c = a. b. sen α Dirección: perpendicular al plano π Sentido: Este se fija de acuerdo a la siguiente regla: Si un observador situado sobre el plano π, en el origen común de los dos vectores, de frente hacia ellos, mira el primer factor y el segundo queda a su izquierda, el sentido es de pies a cabeza. Propiedades: 1) El producto vectorial de dos vectores de igual dirección es nulo. En efecto, si los vectores tienen igual dirección e igual sentido α = 0º sen α = 0 y si tienen igual dirección pero sentido contrarios sen α = 0. En ambos casos resulta: c = a. b. sen α = 0

2) propiedad distributiva del producto vectorial respecto de la suma, o la resta.

114

 a

(

 b

+

 c

)=

 a

 b

+

 a

 c



Nota: El producto vectorial no goza de la propiedad conmutativa:

 a

 b

≠

 b

 a

Síntesis importante: Como el nombre de las operaciones lo indica recuerde que: El producto escalar de dos vectores es un número. El producto vectorial de dos vectores es otro vector. Ejercicio: Para los vectores del ejemplo 1, medir los ángulos existentes entre ellos, y hallar producto escalar y producto vectorial. Si bien Ud. en Física puede haber interactuado con vectores; el sentido de esta unidad dentro del campo del álgebra, es conceptualizar que es matemáticamente un vector como objeto matemático y presentar al alumno una formulación teórica que le permita desprenderse de la percepción y su aplicación al mundo natural. Los vectores son más precisamente, elementos de una estructura matemática llamada Espacio vectorial a la cual nos referiremos en esta parte del capítulo. Para ello, haremos una introducción paulatina y secuenciada de las estructuras algebraicas.

Estructura de Grupo Definición: Dado un conjunto de elementos M y una operación * entre un par cualquiera de elementos de ese conjunto, se denomina Grupo al par ordenado (M,*) si se cumplen las siguientes propiedades: P1. La operación * es una ley de composición interna en M. P2. La operación * es asociativa en M. P3. El conjunto M posee elemento neutro para la operación *. P4. Todo elemento de M admite un inverso para la operación *. Álgebra I

115


Ejemplo 1: Consideremos un ejemplo por el lector más que conocido, como es el caso de los números con la suma o adición. Para el par ordenado (

,+) se cumplen las siguientes propiedades

P1. La operación * es una ley de composición interna en M. En símbolos: x ε

yε

x*yε

Esta propiedad efectivamente se cumple dado que al sumar dos números reales, siempre obtenemos un real. P2. La operación * es asociativa en M. En símbolos: (a* + b)* + c = a* + (b* + c),

a,

b,

c

Esta propiedad efectivamente se cumple, dado que si a la suma de dos números reales le sumamos un tercero; el resultado es igual a la suma del primero, más la adición del segundo y el tercero. (3 + 5) + 2 = 3 + (5 + 2) P3. El conjunto M posee elemento neutro para la operación *. En Símbolos:

a ε M,

eεM/a*e=e*a=a

Esta propiedad efectivamente se cumple, dado que existe el 0, perteneciente a los números reales, que actúa como elemento neutro para la suma; es decir sumadola a cualquier otro número real en cualquier orden da siempre ese número real, es decir el resultado de la adición no altera. 0+5=5+0=5 NOTA: Obsérvese que sea la operación *, en nuestro caso para el ejemplo la +, una operación conmutativa o no, el elemento neutro debe actuar en ambos sentidos con los demás elementos, sin alterar el resultado de la operación. P4. Todo elemento de M admite un inverso para la operación *. En símbolos:

a ε M,

a’ ε M / a*a’ = a’*a = e

Esta propiedad efectivamente se cumple, dado que para todo número real a, existe el número real –a, que actúa como elemento inverso para la suma.

116



(-5) + 5 = 5 + (-5) = 0 NOTA: Obsérvese que sea la operación *, en nuestro caso para el ejemplo la +, una operación conmutativa o no, el elemento inverso debe actuar en ambos sentidos con los demás elementos, para dar siempre el neutro. Hemos probado así que (

,+) es grupo.

Aclaración: En realidad este proceso que hemos hecho no es una prueba o demostración en el sentido rigurosamente matemático; ya que esto se realiza en forma simbólica, para todos los elementos, y aplicando propiedades que permitan pasar secuencialmente de un enunciado a otro de una deducción, por eso hablaremos de verificación. No obstante se sugiere al lector que para todos los ejemplos y ejercicios de esta unidad, escriba en papel, las propiedades debidamente formuladas con símbolos para la ejemplificación, a fin de familiarizarse con los conceptos involucrados y fijar los mimos.

Estructura de Grupo abeliano Dado un conjunto de elementos M y una operación * entre un par cualquiera de elementos de ese conjunto, se denomina Grupo abeliano al grupo (M,*), si se cumple la propiedad conmutativa de la operación * en M. Ejemplo 2: Retomando el caso de el grupo ( ,+); sabemos que la suma o adición es conmutativa en los números reales; es decir si se altera el orden de los sumandos, el resultado de la adición no varía. 5 +3 = 3 +5 = 8 Hemos verificado así que (

,+) es grupo abeliano.

Ejemplo 3: Probaremos que (

- {0},.) es un grupo abeliano.

Consideremos un ejemplo por el lector más que conocido, como es el caso de los números con la multiplicación o producto. Para el par ordenado (

- {0},.) se cumplen las siguientes propiedades

Álgebra I

117


P1. La operación “.” es una ley de composición interna en R. En símbolos: x ε

- {0}

yε

- {0}

x.y ε

- {0}

Esta propiedad efectivamente se cumple dado que al multiplicar dos números reales, siempre obtenemos un real. - {0}.

P2. La operación “.” es asociativa en En símbolos: (a . b). c = a . (b . c)

a,

b,

c

Esta propiedad efectivamente se cumple, dado que si al producto de dos números reales lo multiplicamos por un tercero; el resultado es igual al producto del primero, por la multiplicación del segundo y el tercero. (3. 5). 2 = 3. (5. 2) - {0} posee elemento neutro para la operación “.”.

P3. El conjunto

aε

En Símbolos:

- {0},

eε

- {0} / a.e= e.a= a

Esta propiedad efectivamente se cumple, dado que existe el 1, perteneciente a los - {0}, que actúa como elemento neutro para el producto; es decir multiplicado por cualquier otro número real en cualquier orden da siempre ese número real y el resultado de la multiplicación no altera. 1.5 = 5.1 = 5 Nota: Obsérvese que sea la operación “.”, una operación conmutativa o no, el elemento neutro debe actuar en ambos sentidos con los demás elementos, sin alterar el resultado de la operación y por lo tanto así se debe enunciar la verificación. P4. Todo elemento de En símbolos:

aε

- {0} admite un inverso para la operación “.”. - {0},

1/a ε

- {0} / a.1/a = 1/a.a = 1

Esta propiedad efectivamente se cumple, dado que para todo número real a, existe el número real (1/a), que actúa como elemento inverso para el producto. (5). 1/5 = 1/5. 5 = 1 Por lo tanto si podemos decir que la propiedad se verifica en

118

- {0}.



NOTA: Esta última propiedad demuestra que importante es tener bien claro el conjunto M, en nuestro caso - {0}, ya que sino hubiéramos excluído el 0, tendríamos el caso a=0 y 1/a no existe. Hemos probado así que (

- {0},.) es grupo

P5. Propiedad conmutativa del producto. Sabemos que la multiplicación es conmutativa en los números reales, famosa expresión, “el orden de los factores no altera el producto”. 5. 3 = 3. 5 = 15 Hemos verificado así que (

- {0},.) es grupo abeliano.

Ejemplo 4: Supongamos la operación “ ° ” definida en Q de la siguiente forma: a°b = a+b+ab Para trabajar con estas operaciones tan abstractas, se sugiere al alumno aprenda a leerlas en forma coloquial, así le será más fácil su aplicación. Por ej., la operación “ ° ” significa sumar al primer elemento el otro y luego sumar el producto de ellos. El objetivo de la introducción de este tipo de operaciones es “despegar” al alumno de las operaciones matemáticas comunes, a fin de que adquiera una mayor generalización y pensamiento abstracto. Probemos ahora sus propiedades. P1. La operación “ ° ” es una ley de composición interna en Q. En símbolos: x ε Q

yεQ

x°y ε Q

a°b significa por la operación “°” sumar y multiplicar números racionales, así que esta propiedad efectivamente se cumple, dado que al sumar y multiplicar dos números racionales, siempre obtenemos un racional. P2. La operación “ ° ” es asociativa en Q. En símbolos: (a° b)° c = a° (b° c),

a,

b,

Álgebra I

c

119


Esta propiedad efectivamente se cumple: (a ° b) ° c= = (a +b + a.b ) ° c= = (a+b+a.b) +c + (a+b+a.b).c= = a +b +a.b +c +a.c +b.c +a.b.c Ordenando los términos que tienen uno, dos y tres factores, obtenemos: a +b +c +a.b +a.c +b.c +a.b.c(1) Por otro lado a°(b°c)= =a + (b°c) +a.(b°c)= = a+ (b+c+bc) + a. (b+c+bc) = = a+b+c+bc+a.b.+a.c+abc (2) Nótese que las expresiones (1) y (2) son coincidentes. P3. El conjunto Q posee elemento neutro para la operación “ ° ”. En Símbolos:

a ε Q,

0 ε Q / a.e= e.a= a

Esta propiedad efectivamente se cumple, dado que existe el 0, perteneciente a Q, que actúa como elemento neutro. (a°0)= a+0+a.0=a y (0°a)=0+a+0.a=a P4. Todo elemento de Q admite un inverso para la operación “ ° ”. En símbolos:

a ε Q,

a’ ε Q / a°a’ = a’° . a = e

Esta propiedad NO se cumple, dado que: a° b = a+b+ a.b Para que esta operación nos diera por resultado el neutro, o sea el 0; el segundo término debiera ser –a, pero en ese caso el producto a.(-a) del tercer término no daría 0, y el resultado de la operación a°(-a), sería (-a)2. Hemos probado así que (Q,°)no es grupo P5. Propiedad conmutativa de la operación “ ° ”. a° b =a +b + a.b = b +a +b.a = b° a

120



Sabemos que la suma y la multiplicación son conmutativas en los números racionales. Ejemplo 5: Sea la operación “ ↑ ” definida en

y dada por la siguiente expresión:

a ↑ b = a + 2.b En lenguaje coloquial:

↑ significa sumar al primer elemento el doble del segundo. Para el par ordenado (

, ↑ ) se cumplen las siguientes propiedades:

P1. La operación “ ↑ ” es una ley de composición interna en R. En símbolos: x ε

x↑yε

yε

a ↑ b = a+2.b Esta propiedad efectivamente se cumple dado que al sumar y multiplicar dos números reales, siempre obtenemos un real. P2. La operación “ ↑ ” es asociativa en

.

En símbolos: (a ↑ b) ↑ c = a ↑ (b ↑ c)

a,

b,

c

Esta propiedad NO se cumple, dado que: (a ↑ b) ↑ c = (a+2b) ↑ c= (a+2b)+2.c (1) a ↑ (b ↑ c) = a ↑ (b+2c) = a+ 2(b+2c) =a+2.b+4.c (2) Las expresiones ( 1) y ( 2) no son iguales. P3. El conjunto En Símbolos:

posee elemento neutro para la operación “ ↑ ”. aε

,

eε

/ a ↑ e = e ↑ a= a

Esta propiedad NO se cumple, dado que: a ↑ b = a+2.b = a Por lo tanto, para que el segundo miembro no altere debe ser e=0 Álgebra I

121


Como el neutro debe funcionar en ambos sentidos, debemos probar que 0 lo es también para el caso: 0 ↑ a = 0+2.a = a y esto no es cierto para todo a. P4. No corresponde verificar ya que no hay elemento neutro. P5. Propiedad conmutativa de a ↑ b = a+2.b

↑. b ↑ a = b+2.a

pero

Ejercicios 1) Dado el par ordenado (

, .)verificar si el mismo es un grupo.

2) Dado el par ordenado (Z, +) verificar si el mismo es un grupo o no. 3) Dado el par ordenado (Z, .) verificar si el mismo es un grupo o no. 4) Dado el par ordenado (V, +) donde V son los vectores en el plano que ya hemos estudiado, verificar si el mismo es un grupo o no. 5) En

se define la operación

Probar que (

┬ de la siguiente forma: a ┬ b = 2.a.b.

, ┬ ) es grupo abeliano.

Estructura de Semigrupo Dado el conjunto M y una operación se dice que el par ordenado (M, semigrupo, si se cumplen las siguientes propiedades: P1:

es una operación de ley interna en M

P2:

es asociativa en M

Ejemplo 6: Consideramos el par (

, .)

Ese par es un semigrupo ya que: P1: es una operación de ley interna en M En símbolos:

122

aε

,

bε

a.b ε


) es un


Esta propiedad efectivamente se cumple, dado que al multiplicar dos números reales siempre obtenemos otro número real. P2: es asociativa en M En símbolos:

a,

b,

cε

, (a.b).c = a.(b.c)

Esta propiedad efectivamente se cumple, dado que si al producto de dos números reales lo multiplicamos por un tercero; el resultado es igual al producto del primero, por el producto del segundo y el tercero. (3.5). 2 = 3. (5 . 2) Hemos verificado así que (

, .) es semigrupo.

Ejercicios 6) Para todos los ejercicios anteriores del 1 al 4 indicar cuales de esas estructuras son semigrupos. 7) Indicar para las operaciones de los ejemplos 4 y 5 cuales forman semigrupo con los conjuntos en los cuales se ha definido.

Estructura de Anillo La terna (M,*, ) es un anillo si se cumple que: (M, *) es un grupo abeliano; (M, ) es un semigrupo; La operación es distributiva a izquierda y a derecha, respecto de la operación *. Ejemplo 7: Ya hemos probado que ( ,+) es un grupo abeliano y que ( , .) es un semigrupo. Vamos a probar ahora, la distributividad en ambos sentidos. P: La operación operación *. En símbolos:

es distributiva a izquierda y a derecha, respecto de la a a,

b,

cεM

(b * c) = a

(b * c)

a=b

b* a a*c

c a

Esta propiedad efectivamente se cumple ya que: Álgebra I

123


3.(5+4) = 3.5 + 3.4 (5+4).3 = 5.3 + 4.3 = 27 NOTA: Es importante ver que aunque estos axiomas no requieren que la operación sea conmutativa, si debe verificarse la asociatividad en ambos sentidos, como lo afirma el enunciado de la propiedad. Hemos verificado así que (

, + , . ) es un anillo.

Ejercicios 8) Dada la terna (No, +, .)verificar si es un anillo. 9) Dada la terna (Z, +, .) verificar si es un anillo. 10) Sea las operaciones “ ↑ ” y “ ° ” en ZxZ:

↑ : (a, b) ↑ (b, c)=(a + c, b +d) ° : (a, b) °(c, d) = (a+c+2b.d, a.d+b.c)

Probar que (ZxZ, ↑ ,°) es un anillo.

Propiedades de los anillos: P1: En todo anillo (M, * , ), el neutro de la primera operación y cualquier elemento de M, da por resultado ese neutro a través de la operación . En símbolos:

a ε M,

eεM/a

e= e

a= e

Ejemplo 8: Nótese que para el anillo de ( ,+, .) el 0 neutro de “+” en , cumple esta propiedad para , ya que en el caso del producto de números reales de este ejemplo, 0 por cualquier número real da 0. a.0= 0.a = 0 Definición: Decimos que “e” es elemento absorvente para “ ” en M. P2: En todo anillo, al operar mediante , el opuesto de un elemento con otro, se obtiene el opuesto de la operación. En símbolos:

124

a ε M,

b ε M , (-a)

b= -(a

b)



Ejemplo 9: ,+, .) se cumple que:

Para el anillo de ( (-a).b= (-a.b) (-3).5= -(3.5)= -15

P3: Anillo sin divisores de 0 El anillo (M,*, ) no tiene divisores de 0, si y solo si, elementos no nulos (o sea distintos del neutro para la operación *) al operarse mediante , dan producto no nulo. a ε M,

En símbolos:

b ε M: a ≠ e

b≠e

a

b≠e

Ejemplo 10: Para el anillo de ( aε

,

bε

,+, .), se cumple que: ,a≠0

b≠0

a.b ≠ 0

Ejercicio 11) Dado ( nxn,+,.), verificar si se trata de un anillo CON divisores de 0, siendo nxn el conjunto de matrices cuadradas de orden n, y “+” la suma de matrices y “.” el producto de ellas.

Estructura de Cuerpo La terna (M,*, ) es un cuerpo si se cumple que: 1. (M,*) es un grupo abeliano; 2. (M-{0}, ) es grupo abeliano; 3. es distributivo respecto de *. Ejemplo 11: Dada la terna (

,+, . ) es un cuerpo ya que:

a) ( ,+) es un grupo abeliano, como probamos para el ejemplo 2. b) ( - {0}, . ) es un grupo abeliano, como probamos para el ejemplo 3. c) El producto de números reales es distributivo respecto de la suma de los mismos. Hemos verificado así que (

,+,.) es un cuerpo. Álgebra I

125


Ejemplo 12: Dada la terna (Z, °, ↑ ), donde: a ° b= a+b, y a ↑ b= a+b-1 Verificar que (Z, °, ↑ ) es un cuerpo. Parte 1: Para el caso de (Z,°)sabemos que es un grupo abeliano, ya que la adición en Z lo es. Parte 2: Vamos a probar que (Z, ↑ ) es grupo abeliano. En lenguaje coloquial ↑ significa sumar los dos elementos y restarle uno.

↑ es ley interna en Z, ya que: a ↑ b=a+b-1 y la suma y resta son leyes de operación interna en Z.

↑ es conmutativa en Z ya que: a ↑ b= a+b-1= b+a-1=b ↑ a

↑ es asociativa en Z ya que: (a ↑ b) ↑ c= (a+b-1) ↑ c= (a+b-1)+c-1=a+b+c-2(1) a ↑ (b ↑ c)= a ↑ (b+c-1)=a+(b+c-1)-1=a+b+c+2 (2) Se observa que (1) y (2) son expresiones iguales.

↑ tiene elemento neutro en Z, ya que: a ↑ e = a+e-1= a, resultando que el e=1 e ↑ a = e +a -1= a, resultando que el e=1

↑ tiene elemento inverso para todo elemento de Z, ya que: a ↑ a´ =a+a’+1=1 entonces a’=-a

126



Por lo tanto (Z, ↑ ) es grupo abeliano Parte 3: Falta probar que ↑ es distributiva respecto de °. (a ° b) ↑ c = (a ↑ c ) °(b ↑ c) Significa que: (a +b) ↑ c= (a +b) +c-1 (a) (a ↑ c) ° (b ↑ c) = (a+c-1)+ (b+c-1)= a+b+2c-2 (b) Como las expresiones (a) y (b) no son iguales, NO SE TRATA DE UN CUERPO; ya que faltó la distributiva de la segunda operación respecto de la primera.

Ejercicio 12) Dadas las operaciones “↑ ” y “ ” definidas en Z, probar si (Z, ↑ , cuerpo, siendo: a a

) es un

↑ b= a+b+1

b= a +b +ab

Propiedades de los cuerpos 1) Los cuerpos no admiten divisores de 0. Recordemos el enunciado de la propiedad no admitir divisores de 0. El cuerpo ( , +, .) no tiene divisores de 0, ya que elementos no nulos ( o sea distintos del neutro para la operación +) al multiplicarse, dan producto no nulo. En símbolos: aε

,

bε

,a≠0

b≠0

a.b ≠ 0

2) En todo cuerpo vale la Ley Cancelativa de M.

para todo elemento no nulo de

Todos conocemos la propiedad cancelativa para los números reales que da origen a lo que vulgarmente llamamos la simplificación. En símbolos:

a,

b,

c ε M: a.c = a.b Álgebra I

c=b

127


3) Si b≠0 entonces la ecuación b x=a admite solución única en M. Todos conocemos esta propiedad ya que vulgarmente la usamos para despejar factores de un producto. En símbolos:

b≠0

b. x = a

De lo cual se deduce que: x =

a b

Ejercicio 13) Independientemente que hemos hablado de estas propiedades para los cuerpos se solicita que verifique las siguientes propiedades para las siguientes estructuras: a) (Q,°)siendo a°b = a+b+a.b b) (Q,↑)siendo a↑b = a+2b c) (

, ┬ )siendo a ┬ b= 2.a.b

Espacio vectorial Dados: un conjunto de elementos V, no vacío; una operación ° entre sus elementos, que simbolizaremos con letras minúsculas y un cuerpo (K,+,.)con elementos que simbolizaremos con letras griegas; Se denomina espacio vectorial (V,°,K, ▀) si se cumplen las siguientes propiedades: P1: (V,°)es un grupo abeliano P2: La operación ▀ es una ley de composición externa, con operadores o escalares en K. Es decir: ▀/ K x V O sea:

128

αεKy

→V x ε V, entonces

α ▀xεV



P3: La operación ▀ satisface la asociatividad mixta, o sea:

α ε K,

β ε K,

x ε V: α ▀ ( β ▀ x)= ( α . β ) ▀ x

P4: La operación ▀ es distributiva respecto de + Es decir:

α ε K,

β ε K,

x ε V: ( α + β ) ▀ x=

( α ▀ x)°( β ▀ x) P5: La operación ▀ es distributiva respecto de °. Es decir:

α ε K,

b ε V,

c ε V:

α ▀ (b ° c)= ( α ▀ b )°( α ▀ c)

P6: La unidad del cuerpo es neutro para ▀. Es decir:

a ε V, 1 ▀ a = a

Ejemplo 13: Consideremos el grupo abeliano (V,+) siendo: • V el conjunto de los vectores en el plano y • + la suma de vectores. • ( , +, .) el cuerpo de los reales con la suma y producto, los cuales como dijimos en la propiedad 2 llamaremos escalares u operadores. • ▀ el producto de un vector por un escalar. Analizamos: P2: La operación ▀ es una ley de composición externa, con operadores o escalares en K. Es decir: ▀ / K x V V O sea:

αε

y

x ε V, entonces

α▀xεV

Esta propiedad efectivamente se cumple, dado que si multiplicamos un vector por un escalar, obtenemos otro vector, es decir ▀ es ley externa en V. P3: La operación ▀ satisface la asociatividad mixta, o sea: α ε , β ε , x ε V: α ▀ ( β ▀ x)= ( α . β ) ▀ x Álgebra I

129


Esta propiedad efectivamente se cumple, dado que si multiplicamos un escalar por un vector ( β ▀ x) y este a su vez lo multiplicamos por otro número o escalar α, obtenemos el mismo vector que si hubiéramos multiplicado el vector original x por el producto de ambos números ( α . β ). P4: La operación ▀ es distributiva respecto de +

αε

Es decir:

,

βε

,

x ε V:( α + β ) ▀ x= ( α ▀ x)+( β ▀ x)

Esta propiedad efectivamente se cumple, dado que si a la suma de dos números reales la multiplicamos por un vector, es lo mismo que si multiplicamos ese vector por cada uno de esos números, y luego sumamos los vectores. P5: La operación ▀ es distributiva respecto de °.

αε

Es decir:

,

b ε V,

c ε V: α ▀ (b ° c)= ( α ▀ b)°( α ▀ c)

Esta propiedad efectivamente se cumple, dado que si a la suma de dos vectores (b ° c), la multiplicamos por un escalar α, es lo mismo que multiplicamos ese escalar por cada uno de esos vectores y luego los sumamos. P6: La unidad del cuerpo es neutro para ▀. a ε V, 1 ▀ a = a

Es decir:

Esta propiedad efectivamente se cumple, dado que si a todo vector lo multiplicamos por el 1 que es el neutro para la operación “.” de los esclares, se obtiene el mismo vector. Por lo tanto (V,°,K,▀) es un espacio vectorial

Ejercicio 14) Queda a cargo del alumno la verificación para ejemplos concretos de vectores y esclares para las propiedades anteriores. Ejemplo 14: Consideremos el grupo abeliano (V,°) siendo: • V el conjunto de los pares ordenados de números Reales (

130


2

)y


• “°” la suma de pares definida así:

(a ,b)°(c ,d)= (a+c ,b+d)

• ( , +, .) el cuerpo de los reales con la suma y producto, los cuales como dijimos en la propiedad 2 llamaremos escalares u operadores.

▀ la operación definida como

•

x. ( a ,b )=(x. a ,x. b); o sea,

el producto de un escalar o número real por un par ordenado, es el producto de dicho escalar por cada una de las componentes del par. Analizamos: P1: (

2

, °) es un grupo abeliano

P2: La operación ▀ es una ley de composición externa, con operadores o escalares en K. Es decir: ▀ / K x V

αε

O sea:

→V xε

y

2

, entonces

α▀xε

2

α ▀ (c, d)= ( α . c, α . d ) P3: La operación ▀ satisface la asociatividad mixta, o sea:

αε

,

βε

,

xε

2

:

α ▀ ( β ▀ x)= ( α . β ) ▀ x

Desarrollando:

α ▀ ( β ▀ x ) = α ▀ ( β . c, β . d) = ( α . β . c, α . β . d) = ((α . β ).c , ( α . β ).d)=( α . β ) ▀ (c ,d) = ( α . β ) ▀ x P4: La operación ▀ es distributiva respecto de + Es decir: (α

αε

,

βε

,

xε

2

: (α+β) ▀ x=

▀ x)+( β ▀ x)

Álgebra I

131


(α + β ) ▀ x = (α + β ) ▀ (c, d) = α = (α .c, α .d)+ (β.c, β.d) = α

▀ (c, d)+ β ▀ (c, d)=

▀(c ,d) + β ▀ (c ,d)= α ▀ x+ β ▀ x

Esta propiedad efectivamente se cumple, dado que si a la suma de dos números reales (α+β), la multiplicamos por un vector, x; es lo mismo que si multiplicamos ese vector x, por cada uno de esos números, y luego sumamos los vectores α ▀ x+ β ▀ x P5: La operación ▀ es distributiva respecto de °.

αε

Es decir:

,

xε

2

,

yε

2

:α

▀(x ° y)= (α ▀ x)°(α ▀ y)

α ▀ (x ° y)= α ▀(a+c ,b+d)=(α .(a+c),α.(b+d))= =(α . a + α . c, α . B + α . d)(1) (α

▀ x)° (α ▀ y)=(α ▀(a, b)) °(α ▀(c, d))=

= (αa,αb) °(αc,αd)= (α . a+ α . c, α . B + α . d)(2) Como las expresiones (1) y (2) son iguales vemos que esta propiedad efectivamente se cumple. P6: La unidad del cuerpo es neutro para Es decir:

aε

2

▀.

,1▀a=a

Esta propiedad efectivamente se cumple, dado que si a todo vector x en nuestro caso un par ordenado de 2, lo multiplicamos por el 1 que es el neutro para la operación “.” de los escalares, se obtiene el mismo vector.

Ejercicio 15) En 2 se define la operación ° como en el ejemplo anterior y la ley de composición externa ▀ como:

α ▀ (a,b)= (a,a)

Estudiar si se trata de un espacio vectorial.

132



Combinación lineal Sea A un conjunto de vectores del espacio (V,°,K,▀); entendemos por combinación lineal a la suma de productos de escalares de K por vectores de A. Simbólicamente Ejemplo 15: En el ejemplo 1 de vectores de página 116 :

          s = a + b + c + d es decir 1. a +1. ab ++1b. +cc+1+. d ,  .  .  .  Pero también es igual a: 22..e +1 + 1a.cc++1 +b1+b.bc+1 ++1d.d . Ejemplo 16: Sean los vectores v1 = (-1, 0,2) y v2 = (-1, 2,4) en

3

.

Determinamos si el vector u= (-1, 1, 3) es combinación lineal de v1 y v2 Para que�� u sea combinación lineal de v1 y v2 deben existir escalares α1 y α2 tales que:

α1 v1 + α2 v2 = u O sea

α1 (-1, 0, 2) + α2 (-1, 2, 4) = (-1, 1, 3) Por definición es: (α1, 0, 2α1) + (-α2, 2α2, 4α2) = (-1, 1, 3) Por suma de ternas (α1 – α2, 2α2, 2α1 + 4α2) = (-1, 1, 3) Por igualdad de ternas resulta -α1 – α2 = -1 2α2 = 1 2α1 + 4α2 = 3

Álgebra I

133


Entonces

α1 + α2 = 1 α2 = ½ α1 + 2α2 = 3/2 Sustituyendo α2 = ½ en la primera ecuación, se tiene:

α1 + ½ = 1

α1 = ½

Como ambos valores α1 = ½ y α2 = ½ satisfacen la tercera relación es u = ½ v1 + ½ v2. O sea, u puede expresarse como combinación lineal única de v1 y v2.

Ejercicio 16) Sean los vectores v1 = (-1, 0,2) y v2 = (-1, 2,4) en

3

.

Determinamos si el vector u= (1, 2, 2) es combinación lineal de v1 y v2

Sistema de generadores Si un conjunto A no vacío, de vectores de un espacio ( V, °, K, ▀ ),es tal que todo vector de V puede expresarse como combinación lineal de dicho conjunto, entonces se dice que A es un sistema de generadores de V. Ejemplo 17: El conjunto A= {(1,0),(0,1),(1,1)}es un sistema de generadores de En efecto si (a,b) es cualquier vector de tal que:

2

(α,0)+(0,β)+ (γ,γ)=(a,b) (α+0+γ, 0+β+ γ)=(a,b) α+ γ=a β+ γ=b

134

.

deben existir los escalares α, β, γ

α . (1,0)+β (0,1) + γ (1,1) = (a,b)

Es decir que para todo número k ε

2

, hay solución:



α=a-k, β=b-k; γ=k, y el conjunto propuesto es un conjunto de generadores. Conjunto linealmente independiente Dado un conjunto de vectores A, incluído en V, se dice que A es linealmente independiente si y solo si, la única combinación lineal de dicha familia de vectores, cuyo resultado es el vector nulo, es la trivial. Ejemplo 18: Dado el espacio vectorial ( 3,+, , .) determinar si los siguientes conjuntos de vectores son linealmente independientes 1) A= {(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)} Sea a.(1,0,0) +b.(0,1,0) + c.(0,0,1)= (0,0,0) (a,0,0)+(0,b,0)+(0,0,c)= (0,0,0) (a,b,c)= (0,0,0) Se deduce que a=0, b=0, C=0, entonces A es linealmente independiente 2) B= {(1,-1,0),(1,1,2), (1,0,1)} Procediendo análogamente hacemos: a.(1,-1,0)+b.(1,1,2)+c.(1,0,1)= =(a,-a,0)+ (b,b,2b)+(c,0,c)= = (a+b+c, -a+b+0, 0+2b+c)= (0,0,0) De esto se deduce el siguiente sistema de ecuaciones. a+b+c=0 -a+b =0 +2b+c=0 Sistema que tiene infinitas soluciones del tipo a=k, b=k, c=-2k En consecuencia B no es linealmente independiente Álgebra I

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Base de un espacio vectorial Sea A una familia de vectores de (V,°,K,▀) Se dice que el conjunto A es una base de V si y sólo si, A es un conjunto de generadores de V y A es linealmente independiente. Ejemplo 19: a) Todo elemento de

2

admite como base

3

admite como base

A= {(1,0),(0,1)} b) Todo elemento de

A= {(1,0,0),(0,0,1),(0,1,0)}

Dimensión de un espacio Dado un espacio vectorial (V,°,K,▀) se llama dimensión de ese espacio, al cardinal de cualquiera de sus bases. Ejemplo 20: La dimensión de 2 es 2, ya que como hemos visto en el ejemplo 19, el conjunto A tiene dos elementos. La dimensión de 3 es 3, ya que como hemos visto en el ejemplo 19, el conjunto A tiene tres elementos. NOTA: Se puede demostrar que si la dimensión de un espacio vectorial es n, todas sus bases posibles tienen n elementos, aunque no lo hagamos en este curso.

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Manual de Algebra

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