Mallas Aprendizajes MEN Grado 10-11 Mat V2-Watermark

2016

CARTILLA ONCE: APRENDIZAJES EN MATEMÁTICAS MATEMÁT ICAS para grados 10 Y 11

MINISTERIO MINI STERIO DE EDUCACIÓN EDUCACIÓN NACIONAL DE COLOMBIA

Vers Ve rsión ión conjunta V2 2016-03-22

Equipo de integraci integraci ón de contenidos contenidos :

Mauricio Duque Margari ta Gómez Gómez Carolina Laverde Yvonne Chipatecua

Equipo de producción en matemáticas matemáticas :

Equipo de producci ón en Lenguaje Lenguaje

Margari ta de Meza Meza Nivia Yela Lili ana Garrido José Ricar do Arteaga Arteaga Mery Medina

Ángela Márquez de Arboleda Violetta Vega Martha Liliana Jiménez Inés Cristina Torres

Equipo Eq uipo del Ministerio participante en en la ve versi rsi ón final Mónica Lucía Suárez Ánge Án gela la Cubillos Mauricio Niño Ana Medina Medina Félix Antonio Gómez James Valderrama Jenny Blanco Poliana Otálora Jorge Castaño Jairo Aníbal Rey

Este trabaj o se desarr desarroll oll ó inicialment inicialmentee en el marco del del convenio 834 de 2015 entre entre el Ministe Minis terio rio de Educación Naciona l de Colombia, la Universidad Nacional de Colombia, la Universidad de los Andes y la Universidad Externado de Colombia. 2015. En esta versi versi ón se consolidan las observ observaciones aciones y a port portes es realizados por l os di fe ferent rentes es equipos equipos de dell MEN. MEN.

Mall as de aprendizaj es en mate matemáticas máticas para grados décimo y once

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Equipo de integraci integraci ón de contenidos contenidos :

Mauricio Duque Margari ta Gómez Gómez Carolina Laverde Yvonne Chipatecua

Equipo de producción en matemáticas matemáticas :

Equipo de producci ón en Lenguaje Lenguaje

Margari ta de Meza Meza Nivia Yela Lili ana Garrido José Ricar do Arteaga Arteaga Mery Medina

Ángela Márquez de Arboleda Violetta Vega Martha Liliana Jiménez Inés Cristina Torres

Equipo Eq uipo del Ministerio participante en en la ve versi rsi ón final Mónica Lucía Suárez Ánge Án gela la Cubillos Mauricio Niño Ana Medina Medina Félix Antonio Gómez James Valderrama Jenny Blanco Poliana Otálora Jorge Castaño Jairo Aníbal Rey

Este trabaj o se desarr desarroll oll ó inicialment inicialmentee en el marco del del convenio 834 de 2015 entre entre el Ministe Minis terio rio de Educación Naciona l de Colombia, la Universidad Nacional de Colombia, la Universidad de los Andes y la Universidad Externado de Colombia. 2015. En esta versi versi ón se consolidan las observ observaciones aciones y a port portes es realizados por l os di fe ferent rentes es equipos equipos de dell MEN. MEN.


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INTRODUCCIÓN Propósito del documento En estas ca rtil las presentan un desarrollo desarr ollo por grados grados y unidades de los estándares naci onale onaless de cal idad en Colombia pa ra lenguaje y matemáticas en un marco de Diseño Curricular Inverso , en el cual se busca centrar todo el desarrollo en la especificación de los aprendizajes en varias categorías, la evaluación del logro de estos aprendizajes y una posible trayectoria para lograrlos. Este trabajo no pretende responder integralmente a un currículo, pues ello implica, por ejemplo, asociar el material educativo a utilizar entre otros aspectos. Sin embargo representa un paso indispensable al presentar los a prendizajes de diferente diferente tipo tipo que deben deben logra lograrr los estudiantes, faci li tando la producc ión o selección de de materi mate rial al educativo, la pla neación detal detal lada de de activi dades de aul a y el el fomento fomento de prá ctica cticass efect efectiva ivass de eval eval uaci ón en la s dos modalidades, tanto formativa como sumativa.

Claves para leer el documento 1

Desde l a pers Desde perspectiva pectiva de de Dis Dis eño Curric Curricular ular Inverso se utili zó la metodología metodología propuesta por Wi ggins (2011) . Esta selección 2 se sustenta en que dicha aproximación, reconoce las ventajas centrado en comprensiones y desempeños Stone (1998) detal det al la de forma forma explíci ta los conoci mient mientos os (SABER) (SABER) y habil ida idades des (SABE (SABER R HACER HACER)) que los estudia nte ntess r equiere equieren n para ser compete compe tente ntes. s. Para cada c ada área á rea se presentan presentan los si guiente guientess elementos: elementos: 

Unaa vis ión general Un general para el grado.



Los desempeños planteados en los estándares nacionales, las metas de transferencia y las grandes comprensi compre nsi ones que se deben deben lograr l ograr en el respectivo año.



Se presenta igualmente una gráfica que ilustra la progresión entre años de las principales temáticas abordadas con el de fin de dar una idea sobre la progresión entre grados.



Para cada unidad se detallan posteriormente las comprensiones esperadas con las preguntas esenciales, los conocimientos y las habilidades así como los desempeños con algunos ejemplos para facilitar el diseño o selección de actividades y la ev evaluaci aluaci ón



Se continua con orientaciones orientaciones didácticas



Finalmente se anexan los derechos Básicos de Aprendizaje del respectivo grado, los cuales se encuentran integrados en el componente componente de los desem desempeños peños de la uni dad respectiva .

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to creating high -quality units: ASCD. Wiggins , G., G., & McTighe, McTighe, J. (2 011). Understanding b y design. Guide to Stone, M., Boix, V., Buchovecky, E., Dempsey, R., Gardner, H., Hammerness, K., . . . Gray, D. (1998). Teaching for understanding: link ing research with practice: J Joss oss ey-bass ey-bass publis hers. 2


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La siguiente tabla resume la estructura de los componentes de la presentación para el año, así como la definición de los términos utilizados:

EST NDARES NACIONALES DE LA DISCIPLINA Se transcri ben los desempeños indi cados en los estándares que se as ocia n al grado. Es importante recordar que los estándares naci onales s e presentan por ci clos , los cuales comprenden varios grados.

METAS DE TRANSFERENC IA Los estudiantes serán capaces de utilizar de forma autónoma su conocimiento para…

Se indica lo que el estudiante debe ser capaz de hacer de forma autónoma con lo que ha aprendido. Son los grandes aprendizaj es perdurabl es que usa rá en su vida, dentro y fuera de la escuela . Impli ca poder trans ferir lo que se aprende a un contexto escolar a otros contextos y por ello su evaluación en el ambiente escolar es limitada. Estas metas de transferencias ori entan y ayudan a dar sentido al grado.

COMPRENSIONES

Presenta, en el nivel de formulación esperado, las comprensiones que debe lograr el estudiante al final de cada año escola r. Usualmente se refieren a grandes i deas y conexiones que el estudia nte debe construir por s i mis mo, e invitan al estudiante a reflexionar, hacer conexiones y general izaciones. No se debe caer en la tentación de enseñar estos enunciados de forma memorística s ino con l a intención de ayudar a l os estudia ntes a construi r comprensi ones profundas mediante la utili zación de las preguntas esenciales Para ca da unidad s e presenta una tabl a como la que se indica a continuación como encabezado del período:

COMPRENSIONES

PREGUNTAS ESENCIALES

En este componente se describirán las comprensiones que se trabajan en la unidad respectiva

En este componente se plantea un conjunto de preguntas esenciales que pueden guiar al estudiante en su indagación y en lograr l as comprensiones que se buscan.

CONOCIMIENTOS

HABILIDADES

En este componente se hace referencia al SABER de la competencia, a los conocimientos que el estudiante debe recordar como datos, conceptos, definiciones, valores y todo aquello que se debe recordar y que no queda incluido en una habilidad de forma explícita. Si bien este componente involucra la memoria, no implica que el estudiante deba aprenderlo en un ejercicio de memorización descontextualizado, sino en el marco del uso continuo de estos conocimientos en contextos genuinos.

En este componente se hace referencia al SABER HACER, a habilidades y a procedimientos que los estudiantes deben poder utili zar de forma eficaz y flexible.

Nuevamente no se trata de promover ejercicios mecáni cos si n contexto cla ro, si no actividades genuinas y si gnificativas que lleven al estudiante a ejercitar y lograr estas habilidades y procedimientos una y otra vez, no sólo para que no las olvide, si no para que las despli egue de forma eficaz, automática y sin gran esfuerzo cognitivo para poderse dedicar a procesos de pensamiento más Con este componente se busca resolver una inquietud complejos. recurrente de los docentes en relación a lo que el estudiante debe SABER y no se encuentra explícito en los A diferencia de la categoría conocimiento que implica estándares nacionales, lo cual lleva a menudo a recordar, en esta categoría implica HACER y se evalúa en programas sobrecargados o pobres en conocimientos el marco de una tarea que permite observar la ha bil ida d. esenciales. Esta tabla es s eguida de l as evidencias de aprendizaje, ejemplos de tareas y a lgunas ori entaciones didácticas .

Mall as de aprendizaj es en matemáticas para grados décimo y once

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PROGRESIONES SECUNDARIA Pensamientos Grados

6 Negativos

7 Enteros y racionales

8 Racionales

9 Racionales

10 Reales Reconoce que no todo numero esracional y

Números: significado y usos

Fraccio nesy decimales:los comparay sitúa en la recta. Negativos: significado, representación y comparación. Definició n π.

Numérico

Compara,ordena y representaen larecta

Utilizar diferentesnumeros según el

enteros y racionales.

contexto.

Conoce el significado yusa e. Representa numeros muy grandeso muypequeños usandonotación cientifica.

que la raiz de 2no es racional. Reconoce la relacion entre los numeros y los púntos de la recta. Es conciente de la necesidad de nuevos números a partir de la solucion de diferentes tiposde ecuaciones.

Operaciones

Aproxim aal multip lode 10 mas cercano,

Realiza operacionescon negativos. Halla

redondea. Cálculos mentales. Suma, resta,

factores y multiploscomune s. Primos.Halla

multiplicay divide cualquier par de naturales el Maximo Comun Divisor y el Minimo y decimales positivos. Divide fracciones.

Comprende y usa exponentes racionales, Calcula y usaoperaciones entre racionales.

raices y logaritmos. Relaciona logaritmos con operaciones entre reales y algunasde sus exponentes.

Comun Multiplo.

Reconoce las relaciones entre las diferentes propiedades.

11 Irracionales Complejos Representa en la recta nú merosracionalese irracionales. Comprende algunas diferencias entre ellos. Comprende la relación entre los diferentes sistemas numéricos: N, Z,Q, Ry C. Comprende el signif icado yla notación de los complejos. Comprende la notación y representación de vectores en elplano. Realiza operaciones entre complejosy entre vectores en el plano.

Paralelismo y perpendicularidad. Clasifica cuadrilateros. Compara yclasifica cajas. Forma

Define yusa congruencia yse mejanza de

Visualiza, construye objetos ap artir de vistas Nombra y traza ángulos. Calcula areas de

triángulos. Generaliza a figuras semejantes.

y moldes. Representa en 2D objetos 3D.

figuras planas, descomponiendo en figuras

Define congruenciay semejanza en términos cilindros, conos y esferas. Visualiza sólidos a

Halla areas de triángulos, paralelogramos.

conocidas. Construye triángulos y polí gonos. de trasformaciones geométricas. Analiza

Halla la longitud de la circunferencia y el área

Analiza caracterí sticas de piramides, partir de moldes, vistaso tajadas.

Usa coordenadas cartesianas para analizar relaciones geométricas.

Repasa las nociones básicas de lageometrí a. Introduce la geometrí a del espacio .Estudia lascónicas ylugares geométricos.

caracterí s ticasde prismasy cilindros.

de un cí rculo usando π. Geométrico Posición

COORDENADAS CARTESIANAS

Plano cartesiano. Situa puntos yhalla coordenadas de un punto.

Teoremas de ángulos en el corte de dos Teoremas.

Medidas

usando coordenadas. Homotesias, teselaciones.

Usa la geometrí a cartesianapara analizar gráficasde funcionesy famila sde funcio nes.

Teoremas de congruencia y semejanza.

rectas y ángulos entre paralelas cortadas por Construcciones conre gla y compás.Teorema Demuestra teoremas geométricosusando

del ángulo subtendidopo t un diámetro.

secante. Comprende y usa rasformaciones

de Pitágoras yteorema de Tales de

geométricas y simetrí a.

semejanza.

volumen, capacidad, o temperatura, usando notació n decimal.

Usa coordenadas polaresy lasrelaciona con las cartesianas. Justifica relaciones

geometrí a analí tica.

Introduce coordenadas en tres dimensiones.

algebráicasusando argumentosgeométricos. Traza figuras con regla y compas. Conoce los

Justifica intuitivemente el teorema de Tales

Estima y redondea. Convierte unidadesde Métrico

Trabajac on trasformaciones geométricas

Elementos de Euclides. Sustenta relaciones geométricas con argumentos algebraicos y viseversa.

Pasa de una unidad aotra usando razones.

Calcula áreas usando aproximaciones

Comprende lasd efiniciones fundamentales y sigue la demostración de teoremasde geometrí a euclidiana. Usa argumentos de la geometrí a analí tica parajustificar relaciones geométricas o algebraicas.

Calcula áreas de figuras planas. Agranda y

Determina area exterior y volumen de

Reconoce relacionesentre unidades

sucesivas. Mide angulos en radianes. Mide

Comprende cómo medir atributos usando

reduce dibujos. Escalas.

prismas y cilindros.

determinada por la razón entre dos

longitud de arco y áreasde sectores

razones e í ndices.

cantidades como velocidad o densidad.

circulares.

Escribe, traduce expresiones. Determina el valor dando valores avariables. Determina Expresiones Algebraicas

expresiones equivalentes. Reconoce variable dependientes e independientes. Resuelve y plantea ecuaciones sencillas. Represente relaciones entre cantidades. Usa f órmulas

Simplifica expresiones algebraicas. Escribe,

Interpreta yusa expresiones algebráicas.

lee, comprendey usa diferentessimbolos≤,

Realiza operacionescon expresiones

≥.

algebraicas. Factoriza. Reconoce algunas

Recta. Planteay resuelve ecuaciones

lineales.

identid adesy las usa.

Usa propiedadesy operacionesde Determina relaciones entre variables en una expresiones algebraicas. Comprende las función. Trabaja con intervalosy valor

diferencias entre variablesy parámetrosen

absoluto de manera algebraicay geometrica. familiasde funciones. funciones

Usa expresiones algebraicas para escribir, leer e interpretar relaciones entre variables.

trigonometricas. ps

sencillas. Representa y usa funciones racionales, Conceptode función. Rectasen general, Variacional

Funciones: definición intuitiva. Patronesy

Identifica patrones. Halla el término n de una Identifica el patrón y eltérmino n_ésimo en

Representación de la variación entre 2

Funciones

sucesión.

variables. Halla recta por dospuntos,

una sucesión.

pendiente, cortes, familia de rectas.

paralelas y perpendiculares. Funciones afines y lineales. Familiade rectas, ecuaciones lineales, sistemas de ecuaciones lineales y desigualdades. Funciones cuadraticas, parábolas yecuaciones cuadráticas. Función exponencial. Razones trigonométricas.

asintotas, funciones a trozos, funció n valor Comprende qué es un polinomio y realiza

absoluto. Realiza operaciones entre

operaciones entre polinomios. Analiza y

funciones. Define la derivada como

representa con expresiones algebráicas,

pendiente de la tangente y comomedida del

gráficas en el plano cartesiano,en forma

cambio. Calcula la derivadade funciones

verbal o tablas, funciones polinomiales,

polinomiales. Comocontenido opcional:

logaritmicasy funciones trigonometricas.

funciones trigonometricas inversas, derivadas, uso de derivadas para calcular con maximos y minimos.

Razones y Proporciones

Usa distintos términos paraindicar razones

Identifica y representa relacions inversa y

equivalentes. Representa razones y

directamente proporcionales, las representa Analiza velocidad, el cambio en distancia o

proporciones entablas, gráficas o diagramas. en ecuaciones, tablas, gráficas y diagramas.

tiempo. Represen ta de diferentes maneras y Relaciona la constante de proporcionalidad y

Compararazones. Hallalatasa unitaria.

Halla constante de proporcionalidad.

relaciona porcentajes, fracciones, razones.

Relaciona razones y porcentajes.

Relaciona razones, porcentajes y fracciones.

Construye yusa diagramascirculares. Hace Datos Aleatorio

Relaciona proporciones y funciones lineales.

inferenciasa partir de tablasy gráficas. Formula preguntasacercade lasrelaciones entre los datos.

Probabilidad Usa argumentosfrec uentistas para calcular probabilidades y tomar decisiones.

Escoge la representacióngrafic am ás pertinente. Reconoce la importanciade escoger lam uestra.

Estima la probabilidad de un experimento.

Interpreta ycostruye tablas de frecuencias, histogramas. Usame didas estadí stiacas para describir e interpretar datos. Usa e interpreta diagramas de dispersión.

la pendiente.

Reconoce variables aleatorias, cualitativas y cuatitativas. Compara conjuntosde datos usando medidas de tendencia central.

Determinaprobabili dadescon argumentos

Determina probabilidadescon argumentos

frecuentistas. Reconoce eventosseguros e

frecuentistas. Identifica eventos

improbables.

independientes y eventos excluyentes.


Compara ymide atributos usando razones e Comparay mide atributos usandorazones e í ndices.

Reconoce la importancia de la muestra. Usa medidas de tendencia central para sacar conclusiones. Formulapreguntas y diseña experimentos para responderlas. Usa la probabilidad condicional. Ilustra situaciones en diagramas de Venn.

í ndices.

Representa e interpreta datosusando variables cualitativas y cuantitativas. Reconoce la importancia de lamuestra. Usa la probabilidad condicional y las reglas de probabilidad. Trabaja con eventos independientes y eventos compuestos.

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GRADO DÉCIMO Visión general del grado Para comprender la importancia de las ideas matemáticas que se aprenden en la educación media hagamos un poco de historia. En la segunda mitad del siglo XV dos grandes acontecimientos convulsionaron el mundo: se descubrió América y se popularizó la imprenta y con ello se democratizó el conocimiento. Entre los principales protagonistas de los cambios soci ales, políticos, reli giosos, científicos y tecnológicos que acaeci eron en l os si glos siguientes, están las ideas matemáticas cuyo desarroll o propici ó otras formas de ver y comprender el universo y que son precisamente las i deas bási cas de las matemáticas de la educación media. Cardano, Desca rtes y Fermat, entre otros, desa rrol laron las ideas del álgebra e introdujeron l os conceptos de la Geometría Analítica o Cartesia na, dos de los puntos central es de las matemáticas de décimo, que termina n de formalizarse en grado once. Estas ideas permitieron el estudio de curvas diferentes a circunferencias o segmentos y sustituyeron el estudio de los números y sus operaciones por la manipulación de letras, con lo que se construyó un lenguaje abstracto que permitió describir y analizar fenómenos y le dio un impulso a la física. El estudio de ángulos y relaciones entre catetos, que había

GRADO DÉCIMO Visión general del grado Para comprender la importancia de las ideas matemáticas que se aprenden en la educación media hagamos un poco de historia. En la segunda mitad del siglo XV dos grandes acontecimientos convulsionaron el mundo: se descubrió América y se popularizó la imprenta y con ello se democratizó el conocimiento. Entre los principales protagonistas de los cambios soci ales, políticos, reli giosos, científicos y tecnológicos que acaeci eron en l os si glos siguientes, están las ideas matemáticas cuyo desarroll o propici ó otras formas de ver y comprender el universo y que son precisamente las i deas bási cas de las matemáticas de la educación media. Cardano, Desca rtes y Fermat, entre otros, desa rrol laron las ideas del álgebra e introdujeron l os conceptos de la Geometría Analítica o Cartesia na, dos de los puntos central es de las matemáticas de décimo, que termina n de formalizarse en grado once. Estas ideas permitieron el estudio de curvas diferentes a circunferencias o segmentos y sustituyeron el estudio de los números y sus operaciones por la manipulación de letras, con lo que se construyó un lenguaje abstracto que permitió describir y analizar fenómenos y le dio un impulso a la física. El estudio de ángulos y relaciones entre catetos, que había acompañado a geógrafos y astrónomos, recibió un nuevo impulso ya que los viajes entre Europa y América requerían determinar la posición y el tiempo con gran precisión, estimulando el estudio de la trigonometría, otra de las áreas de las matemáticas de décimo. Uno de los temas centrales de las matemáticas y una herramienta poderosa para modelar si tuaciones de la s matemáticas , las ciencias o la técnica son las funciones. La comprensi ón del lenguaje de la s funciones es fundamental ya que modelar una situación consiste en encontrar una función que se acomode a las condiciones del contexto. Para poder elegir cuál concepto matemático se ajusta mejor a una situación particular es necesario tener presentes las características algebraicas y gráficas de diferentes tipos de funciones como: poli nomial es, exponencial es, logarítmicas, trigonométricas, etc. Por eso es necesario analizar y profundizar en la comprensión de los conceptos y no quedarse en la ejecución de algoritmos mecánicos. Otra de las ideas matemáticas que surgen en el siglo XVII y tienen hoy una gran importancia tanto dentro de las matemáticas como en sus a pli caciones es la probabilidad. A partir de un probl ema que l e planteó un amigo a Fermat sobre el juego, él y Pascal iniciaron el estudio de la incertidumbre y el azar, que hoy forman parte también de las matemáticas de décimo.


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Aprendizajes para el grado

ESTÁNDARES BÁSICOS DE COMPETENCIAS EN MATEMÁTICAS GRADOS 10 Y 11 PENSAMIENTO NUMÉRICO Y SISTEMAS NUMÉRICOS   

 

Anali zo representaciones decimales de l os números r eales para diferenciar entre racional es e irra cionales. Reconozco la i ncompletitud de los números raci onales a través de métodos numéricos, geométricos y al gebraicos. Comparo y contrasto las propiedades de los números (naturales, enteros, racionales y reales) y las de sus relaciones y operaciones para construi r, manejar y utilizar apropiadamente los di stintos si stemas numéricos. Utilizo argumentos de la teoría de números para justificar relaciones que involucran números naturales. Establezco relaciones y diferencias entre diferentes notaciones de números reales para decidir sobre su uso en una situación dada.

PENSAMIENTO ESPACIAL Y SISTEMAS GEOMÉTRICOS 

 

Identifico características de localización de objetos geométricos en sistemas de representaciones cartesianas y polares y en particular de las curvas y figuras cónicas. Uso argumentos geométricos para resolver y formular probl emas en contextos matemáticos y en otras ciencia s. Describo y modelo fenómenos periódicos del mundo real usando relaciones y funciones trigonométricas.

PENSAMIENTO METRICO Y SISTEMAS DE MEDIDAS 



Resuelvo y formulo problemas que involucren magnitudes cuyos valor es medios se suelen definir i ndirectamente como razones entre valores de otras magnitudes, como la velocidad media, la aceleración media y la densidad media. Justifico resultados obtenidos mediante procesos de aproximación sucesiva, rangos de variación y límites en situaciones de medición.

PENSAMIENTO VARIACIONAL Y SISTEMAS ALGEBRAICOS Y ANALÍTICOS  





Util izo la s técnicas de aproximación en procesos infinitos numéricos Interpreto la noci on de derivada como razón de cambio y como va lor de la pendiente de la tangente a una curva y desarrollo métodos para hallar las derivadas de algunas funciones básicas en contextos matemáticos y no matemáticos Anali zo las relaciones y propiedades entre las expresiones algebraicas y la s gráficas de funciones polinomicas y racional es de sus derivadas. Modelo si tuaciones de variaci ón periódica con funciones trigonométricos e interpreto y utili zo sus derivadas .

PENSAMIENTO ALEATORIO Y SISTEMAS DE DATOS 





 



 



Interpreto y comparo resultados de estudios con información estadística provenientes de medios de comunicación. Justifico o refuto inferencias ba sadas en razonamientos es tadísticos a partir de resultados de estudios publi cados en los medios o diseñados en el ámbito escolar. Diseño experimentos aleatorios (de las ciencias físicas, naturales o sociales) para estudiar un problema o pregunta. Descri bo tendencias que se observan en conjuntos de variables relacionadas . Interpreto nociones básicas relacionadas con el manejo de información como población, muestra, variable aleatoria, distribución de frecuencias, parámetros y estadígrafos). Uso comprensivamente algunas medidas de centralización, localización, dispersión y correlación (percentiles, cuartiles, centrali dad, distancia, rango, varianza, covarianza y normalidad). Interpreto conceptos de probabil idad condici onal e independencia de eventos. Resuelvo y planteo problemas usando conceptos básicos de conteo y probabilidad (combinaciones, permutaciones, espa cio muestral , muestreo al eatorio, muestreo con remplazo). Propongo inferencias a partir del estudio de muestras probabilísticas .


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METAS DE TRANSFERENCIAS

Los estudiantes serán capaces de utilizar autónomamente sus aprendizajes para …  

 



  

Identificar diferencias y si militudes entre números raci onales y números i rraci onales. Representar sobre la recta numérica de manera exacta y en algunos casos de manera aproximada números racional es y números i rraci onales. Usar l a función logarítmica en base e y en cualquier otra bas e, para modelar si tuaciones Calcular la razón de cambio promedio y el cambio instantáneo entre ciertas variables y usarlo para medir el cambio en un contexto particular. Identificar funciones básicas, tanto su expresión algebraica como su representación geométrica: lineal, cuadrática, polinomial es, logaritmicas y trigonométrica s. Reconocer el resultado de realizar cambios en parámetros en familias de funciones. Hacer predicci ones utili zando la probabili dad. Proponer inferencias a partir de observaciones y estudios estadísticos.


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Aprendizajes en pensamiento numérico y sistemas numéricos COMPRENSIONES Los estudia ntes comprenderán que… 





Los naturales, los enteros, los racional es y los reales constituyen sistemas de conjuntos de números con operaciones, propiedades y características propias que los diferencias y los interconectan. Los números ra cionales y sus propiedades nos si rven para representar qué tan grande o qué tan pequeño puede ser un objeto o un evento. Los números racionales nos permiten acercarnos a lo infi nitamente grande y a lo infi nitamente pequeño.


Los estudiantes guiarán la comprensión en torno a las siguientes preguntas… 







¿Cómo se diferencian los números racionales de los irracionales? ¿Cómo se establece la correspondencia entre los reales y los puntos de una recta? ¿Cómo se demuestra que a no todos los puntos de una recta les corresponden números racionales? ¿Hay muchos o hay pocos puntos en una recta a los que no les corresponden números racionales?

CONOCIMIENTOS

Los estudiantes sabrán …. (C) 



HABILIDADES Los estudiantes tendrán habilidad para…. (H)

Sistemas numéricos: naturales, enteros, racionales, reales y complejos Correspondencia entre los números reales y los puntos de una recta.













Reconocer y demostrar que no todos los números son racionales. Escribir números r eales usando dis tintos si stemas de representación y pasar de uno a otro. Representar los números reales en una recta. Situar de manera exacta números racionales y algunos irracionales como . Indicar propiedades comunes y diferencias entre números raci onales e irra cionales Usar las propiedades de los números para plantear y resolver problemas Justificar lo que hace, usando argumentos intuitivos y matemáticos .



Evidencias, actividades de aprendizaje y recomendaciones pedagógicas

1. Sistemas numéricos: naturales, enteros, racionales, reales y complejos. Utiliza diferentes representaciones para analizar y justificar propiedades y relaciones entre los sistemas numéricos. Reconoce que no todos los números son racionales.

1.1. Reconoce que no todos los números son racionales. Conoce y comprende una demostración de que no se puede escribir como cociente de dos números enteros, es decir, no es un número racional.





 

Ejemplo 1: Reproduce la demostración y sitúa en la recta numérica. Ejemplo 2: Hace una demostración similar para mostrar que tampoco es racional. Ejemplo 3: Averigua en internet acerca de quiénes, cómo y cuándo mostraron ese teorema.




8

1.2. Usa diferentes notaciones para escribir y Ejemplo 1: Muestra que 1 y 0.9999… representan el comparar números. Escribe un número racional mismo número real. Ejemplo 2: Ordena de mayor a usando la notación fraccionaria y la notación decimal menor los siguientes números: 1/3, 0.235, , y pasa de una a otra. , , 3/7 y 2/5, y los sitúa en la recta real. Justifica su respuesta. … Distingue números racionales de los Ejemplo 1: 235=235,00..; 1/37=0,027027027 1.3. Ejemplo 2: irracionales por su expansión decimal: la Reconoce y da ejemplos de algunos números expansión decimal de un número racional es . Indica algunos periódica mientras la de los irracionales es irracionales: números de su expansión decimal y los sitúa infinita no periódica aproximadamente en la recta numérica Ejemplo: Averigua en internet acerca de la manera Conoce detalles de la historia de algunos 1.4. como los babilonios, los egipcios y los griegos se números irracionales. acercaron a .

⁄             

  ̅̅ 

   

1.5. Comprende la correspondencia entre los números reales y los puntos de una recta, base de la geometría analítica. Dado un número, encuentra cuál punto de la recta le corresponde y dado un punto en la recta, determina qué número le corresponde (aproximadamente).

Ejemplo: Dados los números a, b, c, d, e, f, g, h situados en la recta real, indica cuál punto está más cerca de: ab, |c|, 1/f, y justifica la respuesta.

1.6. Justifica la necesidad de introducir nuevos sistemas numéricos a partir del problema de resolver ecuaciones.

Ejemplo: Resuelve las siguientes ecuaciones e indica qué tipo de número es su solución: ,

 

          

Analiza y justifica relaciones y propiedades de l os números y sus operaciones .

1.7. Expresa un número cualquiera como parte de Ejemplo: ¿Qué parte de 72 es 6? ¿Qué porcentaje de otro más grande. Interpreta el resultado en términos 72 es 6? Hace un gráfico de torta para visualizar la porcentuales y de manera gráfica situación 1.8. Analiza y justifica propiedades de los números Ejemplo 1: Muestra que el cuadrado de un número par es par. Ejemplo 2: Muestra que la suma de dos números impares es par. Ejemplo 3: Justifica por qué la suma de los n primeros números: 1+2+3 +4+ …+ n

 

es igual a 1.9. Analiza algunas propiedades de la suma y Ejemplo 1: Muestra que la suma o el producto de dos producto de números reales. números racionales es un número racional. Ejemplo 2: Muestra que la suma de dos números irracionales no necesariamente es un irracional. Explora las propiedades de sumar o multiplicar un irracional y un racional


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Aprendizajes en pensamiento espacial y sistemas geométricos COMPRENSIONES Los estudia ntes comprenderán que… 





Las coordenadas cartesianas permiten analizar situaciones geométricas con herramientas algebraicas y viceversa. Las coordenadas cartesianas ofrecen una nueva estrategia para probar teoremas y analizar propiedades de objetos en el pl ano. La verdad de las afirmaciones de la geometría se sustenta en la validez de las deducciones.







¿Cómo s e puede decidi r si un argumento es correcto o no? ¿Cómo se puede mostrar que una afirmación es verdadera y cómo se puede mostrar que una afirmación es falsa? ¿Cuándo es conveniente usar coordenadas cartesi anas y cuándo coordenadas polares?

COMPRENSIONES

Los estudiantes sabrán …. (C)  

Coordenadas ca rtesi anas y pola res Defini ciones y teoremas básicos de la geometría.


Los estudiantes tendrán habil idad par a…. (H) 











Localizar puntos y figuras geométricas en el plano usando sistemas de coordenadas cartesianas y polares. Analizar cómo cambia una figura en el plano cuando cambia algún parámetro de la ecuación que la representa. Usar argumentos algebraicos para resolver problemas geométricos y usar argumentos geométricos para resolver problemas algebraicos. Usar propiedades geométricas para plantear y resolver problemas Juzgar la validez de un argumento geométrico o algebraico. Justificar lo que hace, usando argumentos intuitivos y matemáticos .


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Evidencias, actividades de aprendizaje y recomendaciones pedagógicas 1. Sistemas de coordenadas cartesianas y polares

Usa diferentes sistemas de coordenadas para representar objetos geométricos en el plano y para identificar propiedades y relaciones geométricas. Coordenadas cartesianas 1.1 Usa coordenadas cartesianas para Ejemplo 1: Dibuja la recta que pasa por los puntos representar y analizar objetos geométricos (1,2) y (3,4) y la paralela a ésta que pasa por el punto (-1,3). Traza una gráfica. Ejemplo 2: Halla la distancia entre los puntos A(a,b) y B(-a,b). Encuentra las coordenadas del punto medio y muestra que efectivamente es el punto medio del segmento AB. Traza una gráfica. Ejemplo 3: Encuentra el perímetro y el área del polígono con vértices en (0,0),(1,1),(2,1) y (1,0). Traza una gráfica, identifica qué tipo de polígono es y justifica su respuesta. 1.2 A partir de una relación algebraica, identifica Ejemplo 1: Usando la definición de rectángulo, y las características geométricas que corresponden argumentos algebraicos, prueba o refuta si el polígono con vértices en es un rectángulo. Traza una gráfica. Ejemplo 2: Justifica si el punto (1,3) está sobre la circunferencia de centro (2,3) y radio 2. Ejemplo 3: Hace una gráfica del conjunto de puntos cuyas coordenadas satisfacen la condición: y justifica con argumentos algebraicos por qué esa gráfica es simétrica con respecto al eje X y al eje Y 1.3 A partir de una relación geométrica, identifica Ejemplo 1: Dadas dos rectas paralelas, indica qué la relación algebraica correspondiente relación hay entre las ecuaciones respectivas. Muestra un ejemplo que ilustre la situación. Traza una gráfica.

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Coordenadas polares

1.4. Comprende que para definir las coordenadas polares en el plano debe escoger un punto O ( el polo u origen), trazar un semieje que inicia en O (eje polar) y escoger una unidad en el eje polar. A cada punto P en el plano le hace corresponder un número r, la distancia dirigida de P a O y la medida del ángulo θ, el ángulo que se forma entre el eje polar y el segmento OP, en el sentido contrario a las manecillas del reloj. Usa las coordenadas polares para representar puntos en el plano

Ejemplo: Halla las coordenadas polares del polo O. Ejemplo 2: Traza un sistema de coordenadas polares y un punto cualquiera en el plano y encuentra las coordenadas polares del punto.

1.5 Halla las coordenadas cartesianas y polares de un punto en el plano. Identifica la relación entre ambas. Comprende las relaciones:


Ejemplo 1: Halla las coordenadas polares correspondientes a los puntos cuyas coordenadas cartesianas son: (1,0), (3,3), (-1, 11

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5). Ejemplo 2: Halla las coordenadas cartesianas de los puntos cuyas coordenadas polares son: (0, ) (2, - 3

y

1.6 Halla las ecuaciones de lugares geométricos conocidos en coordenadas polares.

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Ejemplo: Halla la ecuación de una recta que pasa por el origen en coordenadas polares. Ejemplo 2: Traza una gráfica e indica qué representa el conjunto de todos los puntos R de coordenadas R (r,π⁄4 ). Justi fica

su respuesta. Ejemplo 3: Traza una gráfica e indica qué representa el conjunto de todos los puntos Q de coordenadas Q (1,θ ). Justifica su respuesta. 1.7 Analiza ventajas y desventajas de usar el sistema de coordenadas cartesianas o polares.

Ejemplo: Analiza la diferencia entre la ecuación de una recta en coordenadas cartesianas y polares y la ecuación de una circunferencia de centro en el origen y radio 1 en coordenadas cartesianas y polares.

Usa coordenadas cartesianas para probar teoremas geométricos

1.8 Usa coordenadas cartesianas para probar Ejemplo: Usando coordenadas cartesianas muestra teoremas geométricos que el segmento que une los puntos medios de dos lados en un triángulo cualquiera es paralelo al tercero. 1.9 Utiliza el plano cartesiano para representar Ejemplo: El costo de una llamada telefónica depende situaciones y resolver problemas. linealmente del tiempo de comunicación y la distancia. En la siguiente gráfica se han presentado las llamadas efectuadas por cinco personas a diferentes países. Contesta las siguientes preguntas y justifica sus respuestas: ¿Quién ha llamado más lejos y quién más cerca? ¿Qué llamadas se han demorado el mismo tiempo? ¿Qué llamadas se han realizado a una misma distancia? ¿Dónde ubicaría una llamada efectuada al mismo lugar que la llamada A pero de duración doble que ésta?

2. Nociones y teoremas básicos de la geometría.


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Usa apropiadamente el vocabulario, conoce y comprende las afirmaciones geométricas básicas y las usa para resolver problemas.

2.1 Comprende las nociones geométricas básicas de punto, recta, paralelismo, perpendicularidad, ángulo, distancia, medida de un segmento, área y volumen, triángulos, paralelogramos, círculos y paralelepípedos, entre otras

Ejemplo 1: Determina la longitud L de la cerca, incluida la división, del jardín representado en la figura, si un lado mide x y el área total del jardín es de 100 .

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Ejemplo 2: Describe en palabras la diferencia entre un cuadrilátero, un paralelogramo, un cuadrado y un rombo y da un ejemplo de cada uno en palabras y gráficamente. Ejemplo 3: Calcula el volumen de un juguete en forma de cohete, formado por un cilindro cuyo radio de la base mide 5cm y la altura es 20cm, y tiene en la base una semiesfera y en la otra punta un cono de altura 5cm. Si va a construir el cilindro y el cono en cartulina para armar el juguete, ¿cuáles son las dimensiones de la cartulina que debe comprar? Diseña y construye el juguete y analiza su solución con sus compañeros. 2.2 Traza diferentes figuras geométricas usando Ejemplo 1: Usando regla y compás construye la regla y compás y usando aplicaciones geométricas perpendicular en el punto medio de un segmento como Geogebra. dado. Ejemplo 2: Dado un segmento, traza un cuadrado que tiene ese segmento como lado, usando la definición de cuadrado. Traza otro cuadrado que tiene el segmento inicial como diagonal. Ejemplo 3: A partir de una hoja de papel, diseña cómo y construye un ángulo recto y un cuadrado usando origami. 2.3 Realiza con precisión diferentes mediciones Ejemplo 1: Justifica la fórmula del área de un geométricas y justifica por qué. Mide segmentos, triángulo con argumentos geométricos. Ejemplo 2: distancias, ángulos, áreas, volúmenes. Calcula aproximadamente el área de un terreno irregular, partiéndolo en áreas conocidas. Diseña una estrategia para disminuir el error. 2.4 Calcula áreas y volúmenes de sólidos como: Ejemplo: Se tiene una caja en forma de cubo de lado paralelepípedos, conos, cilindros y esferas 0,5 metros, ¿Cuáles son las dimensiones del cilindro más grande que cabe en la caja? Si se guarda ese cilindro en la caja, ¿qué espacio de la caja queda vacío? ¿Cuál es el área externa del cilindro 2.5 Analiza propiedades geométricas de objetos Ejemplo: Propone dos formas diferentes de trazar geométricos y formula conjeturas una cometa (un cuadrilátero que tiene dos pares de lados adyacentes iguales) y formula conjeturas acerca de propiedades geométricas de las cometas. 2.6 Utiliza nociones geométricas básicas para Ejemplo 1: Usa el teorema de Tales para


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resolver problemas en otras áreas de las matemáticas encontrar el punto sobre la recta real asociado al número racional 5/7. Utiliza el teorema de Pitágoras para encontrar el punto sobre l a recta real asociado a los números irracionales √3 y √5.

2.7 Utiliza nociones geométricas básicas para Ejemplo 1: Una vaca está amarrada con una cuerda resolver problemas en cualquier contexto. de 5m a la mitad de la pared de un establo construido en un potrero. La pared del establo mide 8m. Traza una gráfica y calcula área y la forma del terreno por el que puede pastar la vaca. 2.8 Utiliza nociones geométricas básicas para Ejemplo 1: Usando propiedades del triángulo muestra modelar situaciones por qué se usan triángulos en la construcción de estructuras. Busca en internet imágenes de estructuras que utilicen triángulos, como la estructura de un puente. Ejemplo 2: ¿Por qué se usan trípodes para sostener cámaras de fotografía? ¿Sería mejor usar un aparato de cuatro patas? Justifique su respuesta 2.9 Utiliza de manera apropiada y pertinente Ejemplo: Usando Geogebra modela la siguiente aplicaciones de geometría dinámica para resolver situación: Se tiene una mesa de billar rectangular y problemas y modelar situaciones. dos bolas, una blanca y una roja situadas en cualquier par de puntos distintos de la mesa. Describe la trayectoria que debe seguir la bola blanca para que golpee en una banda y le pegue luego a la bola roja Conoce, comprende y usa teoremas básicos de la geometría.

2.10 Sigue una cadena de razonamientos que Ejemplo 1: Busca en Internet diferentes pruebas del llevan a la prueba de un teorema básico y es capaz de teorema de Pitágoras, las analiza, reproduce alguna y juzgar su validez y reproducirla justifica su elección. Ejemplo 2: Juzga la validez de una prueba del teorema de Pitágoras hecha por un compañero. Identifica errores si los hay y propone como repararlos 2.11 Propone una justificación intuitiva y una Ejemplo: Propone una justificación y una prueba para prueba para un teorema sencillo. Identifica en qué se el teorema: la suma de los ángulos internos de un diferencian triángulo es igual a dos rect 2.12 Comprende la diferencia entre una afirmación Ejemplo: Explica en palabras sencillas la diferencia del tipo: p implica q y una afirmación del tipo: q entre la afirmación: “Si un cuadrilátero es un implica p. Sabe cómo demostrar que una afirmación cuadrado entonces es un paralelogramo” y la del tipo p implica q es verdadera y cómo demostrar afirmación: “Si un cuadrilátero es un paralelogramo que es falsa entonces es un cuadrado”. Demuestra que la primera es verdadera y que la segunda es falsa.


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Aprendizajes en pensamiento métrico y sistemas de medidas COMPRENSIONES Los estudia ntes comprenderán que… 

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La razón de cambio promedio y la razón de cambio ins tantánea son maneras de medir cómo cambia una variabl e cuando cambia otra. Es posible medir longitudes de curvas o áreas de superficies haciendo aproximaciones sucesivas de pedazos de segmentos o de rectángulos. El descubrimiento de como la relación constante entre la longitud de la circunferencia y su diámetro es una de las principales afirmaciones de las matemáticas y hace posible medir ángulos, circunferencias, círculos o sectores circ ulares.


Los estudiantes guiarán la comprensión en torno a las siguientes preguntas…  

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¿Qué es ? ¿Cómo se puede medir el área por debajo de una parábola o la longitud de una elips e? ¿En qué se diferencian la velocidad promedio y la velocidad que marca el velocímetro? ¿A cuál velocidad se refieren los letreros de: velocidad máxima 50K/H?

CONOCIMIENTOS

Los estudiantes sabrán …. (C)  

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Medición mediante aproximaciones sucesivas. Medida de ángulos en radianes. Longitud de un arco y área de un sector circul ar. Razón de cambio promedio y razón de cambio instantáneo

HABILIDADES Los estudiantes tendrán habilidad para…. (H) 

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Hallar la medida de un ángulo cualquiera en radianes. Pasar de grados a radi anes y viceversa . Apli car l a medida de ángulos en radianes a la medida de sectores circulares, a la comprensión y cálculo de funciones trigonométricas y a la solución de problemas. Calcula r la ra zón de cambio promedio de una función en un intervalo y la razón de cambio instantáneo en un punto. Utilizar razones de cambio promedio e instantáneo como velocidad, aceleración o densidad. Justificar lo que hace, usando argumentos intuitivos y matemáticos .


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1. Medición mediante aproximaciones sucesivas

1.1.

Ejemplo 1: Estima el valor del área de un círculo de Realiza mediciones mediante aproximaciones radio 1 hallando el área de polígonos regulares sucesivas inscritos en ese círculo. Comienza con un cuadrado y n sigue con polígonos de 8, 16, 32, …, 2 lados. ¿Qué relación hay entre el área de una circunferencia de radio 1 y el área de un polígono regular inscrito? Trata de hallar una fórmula de recurrencia para el área del polígono. ¿Cuál es el error? ¿Qué sucede a medida que aumenta el número de lados del polígono? ¿Por qué? Busca en internet cómo hicieron algunas civilizaciones para calcular aproximadamente el área de un círculo.

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1.2 Traza la parábola aproxima el área entre la parábola y el intervalo [-2, 2] del eje X por la suma de áreas de rectángulos de base igual, por debajo de la parábola. Construye nuevos rectángulos cuya base es la mitad de la de los anteriores y calcula de nuevo la suma de las áreas. Repite el procedimiento un par de veces más y calcula por aproximaciones sucesivas de suma de áreas de rectángulos. Conjetura intuitivamente a qué tiende la suma de las áreas de los rectángulos, cuando el área de las bases se hace cada vez más pequeña. Averigua en internet cómo calculó Arquímedes el área por debajo de una parábola. 2. Medida de ángulos en radianes. 2.1

Comprende la defi nición de π, la usa para

calcular la longitud de la circunferencia

Ejemplo 1: Usando una cuerda, un lápiz y una tachuela halla un valor aproximado de π. Traza una

circunferencia de radio 1, calcula el área y justifica por qué. 2.2 Mide ángulos en radianes, trazando el ángulo, Ejemplo1: Explica cuánto mide en radianes un ángulo luego una circunferencia, con centro en el vértice del recto y cuánto un ángulo llano y por qué. Ejemplo 2: ángulo y midiendo el arco subtendido usando como Usando una cuerda, un lápiz y una tachuela traza un unidad de longitud el radio de la circunferencia ángulo de 2 radianes, otro de 5 y otro de 8 radianes. 2.3 Dada la medida de un ángulo, convierte Ejemplo 1: Traza, con la ayuda de un transportador, radianes en grados y viceversa un ángulo de 40° y calcula aproximadamente cuántos Mall as de aprendizaj es en matemáticas para grados décimo y once

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radianes mide, sin usar ningún instrumento diferente de su cabeza. Usando una cuerda, un lápiz y una tachuela determina cuántos radianes mide. Justifica por qué. Verifica su resultado con una calculadora. Ejemplo 2: Calcula (sin calculadora) cuántos grados mide un ángulo de π/3 radianes y justifica su respuesta. Ejemplo 3: Calcula (sin calculadora) cuántos radianes mide un ángulo de 30° y uno de 60° y justifica su respuesta. Longitud de un arco y área de un sector circular.

2.4 Mide la longitud de un arco de circunferencia y E jemplo1: Calcula la longitud de un arco de calcula el área de un sector circular circunferencia de radio 1 y ángulo radianes. Justifica la respuesta a partir de la definición de radian. Ejemplo 2: Dado el radio y el ángulo (medido en grados o radianes) de un sector circular, calcula el área y la longitud del arco correspondiente

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3.

Razón de cambio promedio y razón de cambio instantáneo

3.1 Calcula la razón de cambio promedio entre dos variables en un intervalo

Ejemplo: La gráfica muestra la distancia recorrida por un objeto con respecto al tiempo. La razón de cambio promedio entre los minutos 2 y 8 es el cambio en la distancia recorrida sobre el cambio en el tiempo: razón de cambio promedio = 2.5m / 6seg = 0,416m/seg

3.2 Reconoce y aproxima la razón de cambio instantánea de una función en un punto como el límite de la razón de cambio promedio de la función entre un punto y el punto , cuándo el punto se acerca al punto moviéndose sobre la cueva. La razón de cambio instantánea es la pendiente de la tangente a la curva en el punto , o en

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3.3 Explica la diferencia entre razón de cambio Ejemplo 1: Analiza el movimiento de dos carros en el promedio y razón de cambio instantánea. mismo intervalo de tiempo y con velocidad promedio igual en ese intervalo, pero movimientos diferentes. Hace la descripción y la gráfica de los dos movimientos. Ejemplo 2: Describe qué significa la velocidad que marca un carro en movimiento y justifica por qué . Ejemplo 3: Expl ica qué signifi ca en letrero en la carretera que dice: velocidad máxima 50km/h. Hace una gráfica que muestra el desplazamiento de un automóvil durante una hora, con una velocidad promedio inferior a 50km/h pero que no cumplió con la norma de: velocidad máxima 50km/h. Ejemplo 4: La gráfica muestra el movimiento de dos camiones que salen de A y se encuentran en B. Describe la velocidad promedio de cada uno durante el recorrido y la velocidad en por lo menos tres momentos durante recorrido, describe con palabras el movimiento de cada camión.


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Aprendizajes en pensamiento variacional, sistemas algebraicos y analíticos COMPRENSIONES Los estudia ntes comprenderán que… 

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El concepto de función es una de las columnas vertebrales de las matemáticas, las ciencias naturales y la tecnología hoy. Las diferentes representaciones: algebraica, geométrica, verbal o numérica de una función ofrecen puntos de vista complementarios que enriquecen y facilitan la comprensión. La razón de cambio promedio e instantáneo de una función permiten cuantificar cómo cambia una variable cuando cambia otra, en diferentes contextos. Cambios en parámetros producen cambios en familias de funciones. Existe una diferencia fundamental entre las razones trigonométricas, definidas entre las longitudes de los lados de un triángulo rectángulo y las funciones trigonométricas, definidas de los números reales en los reales.



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¿Si hay que modelar una situación, cuál función se debe elegir? ¿Cómo cambia la gráfica de una función si se hacen cambios a la función? ¿Si se le suma algo, o se multiplica por algo? ¿Cómo cambia la representación algebraica de la función si subo o corro la gráfica? ¿Qué diferencia hay entre las razones trigonométricas y las funciones trigonométricas?

Muchos fenómenos como los movimientos de las placas terrestres o enfermedades transmitidas por virus o bacterias, como la influenza, parecen tener un carácter periódico. CONOCIMIENTOS


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Funciones. Representación verbal, algebraica, gráfica y numérica. Polinomios y funciones polinomiales. Ecuaciones y desigualdades polinomiales. Funciones logarítmicas Funciones trigonométricas


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Realizar operaciones y factorizar polinomios. Reconocer y encontrar la raíz de un polinomio utilizando diferentes procedimientos. Trazar las gráficas y reconocer las propiedades y características de las funciones polinomiales. Resolver ecuaciones y desigualdades polinomiales. Trazar la gráfica y analizar las propiedades y características de las funciones logarítmicas y utilizarlas para modelar situaciones de crecimiento de poblaciones, decaimiento radioactivo e interés compuesto entre otras. Trazar la gráfica y analiza las propiedades y características de las funciones trigonométricas y utilizarlas para modelar situaciones de variación periódica Analizar las relaciones entre las expresiones algebraicas y las gráficas de diferentes funciones. Analizar cambios en las gráficas por cambios en los parámetros en familias de funciones. Justificar sus afirmaciones y procedimientos


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usando argumentos matemáticos.


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Evidencias, actividades de aprendizaje y recomendaciones pedagógicas 1. Funciones. Representación verbal, algebraica, gráfica y numérica y relaciones entre ellas. Comprende el concepto de función y representa gráficamente funciones Analiza propiedades y relaciones entre las diferentes representaciones de una función. 1.1 Identifica cuándo una relación es una Ejemplo: A partir de las gráficas de varias relaciones en el función. Traza la gráfica plano cartesiano, identifica cuáles corresponden a funciones y cuáles no, y justifica su elección.

1.2 Reconoce e interpreta algunas características y propiedades de las funciones como el dominio, el rango, el significado de los interceptos, los intervalos donde es negativa o positiva, creciente o decreciente. 1.3 Representa una función de cuatro maneras: verbal, describiendo la manera como cambia una variable cuando cambia la otra. Numéricamente, construyendo una tabla. Visualmente, por medio de una gráfica. Algebraicamente, por medio de una fórmula que relaciona las dos variables.

Ejemplo 1: Determina si los siguientes enunciados son correctos o no, y justifica su respuesta. La función f(x)= : corta al eje X en el rango es el intervalo [2, , el máximo de la gráfica está en el punto el dominio es el intervalo . Justifica su respuesta Ejemplo: Se quiere construir una caja cuyo fondo sea un cuadrado y la altura mida la mitad del lado de la base. ¿Cómo cambia el volumen de la caja con respecto a la longitud del lado? (descripción verbal) La relación entre el volumen V y el lado x de la caja viene dada por: Área de base = y altura= Volumen=Base x altura V = ,V= (algebraica) Gráfica

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Numérica Como tanto la longitud del lado, x como el volumen, V sólo pueden tomar valores positivos, entonces la gráfica está en el primer cuadrante. Tanto el dominio como el rango son todos los reales positivos

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1.4 A partir del contexto que trata de Ejemplo: Busca los datos en internet y construye una función modelar, determina las características de la que relacione la temperatura media en grados centígrados en función que mejor se ajusta a la situación su ciudad, con los días de un mes. Traza una gráfica y una Mall as de aprendizaj es en matemáticas para grados décimo y once

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tabla. ¿Cuál es el dominio? ¿Cuál el codominio? ¿El rango? 1.5 Reconoce los cambios y modifica la Ejemplo: Dada la gráfica de la función g, traza la gráfica de gráfica de una función a partir de cambios en , realizando diferentes su expresión algebraica como: y= af(x), y= transformaciones de la función g: A partir de la curva en verde, f(bx), y=f(x)+c, y=f(x+d) Identifica cómo ¿Cómo se modifica la curva al multiplicar a g(x) por -0.05? modifica cada parámetro a la curva original. ¿Cómo se modifica la curva al multiplicar a por 2? ¿Cómo se modifica la curva al sumarle 2 a 2x? ¿Cómo se modifica la curva al sumar 1 a

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1.6 Interpreta las características de una función que se usa para modelar una situación en términos del contexto particular. Determina qué tan pertinente es el modelo, según la situación particular

Ejemplo 1: La función se usa para modelar la trayectoria de un objeto que ha sido lanzado hacia arriba. La variable representa la altura en metros, representa el tiempo en segundos y y las condiciones iniciales. Analiza la ecuación y justifica intuitivamente la validez de la elección. Escoge unos valores para h 0 y v0 y traza una gráfica. Indica cuándo crece y cuándo decrece la función e interpreta ese comportamiento en términos del contexto. Determina la altura máxima y el tiempo que tarda el objeto desde cuándo sale hasta cuando vuelve al suelo. 1.7 Analiza las propiedades de las funciones Ejemplo 1: Analiza diferencias entre el crecimiento de una para ajustarlas al contexto que desea función lineal y una polinomial de grado 2 o 3 y busca modelar situaciones que se puedan modelar con cada una de ellas. Ejemplo 2: Analiza las curvas que forman los chorros de agua en la foto y busca una función que se acerque a ellas.

2.

Polinomios y funciones polinomiales

2.1 Reconoce las expresiones del tipo:

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los siguientes monomios:                 Ejemplo1: Evalúa en

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suma, la diferencia, el producto y el cociente Ejemplo 2: Calcula la suma, la diferencia, el producto y el de dos monomios. cociente de


22

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Reconoce que las expresiones del tipo: Ejemplo: Determina el grado y calcula el valor del polinomio: p(x) = en se denominan polinomios, que los números an, an-1 ,… a2 , a1 , a0 son los coeficientes de las potencias de x y que un polinomio toma un valor particular cuando se le da un valor a la variable x. Determina el grado del polinomio como el mayor exponente que aparece en la expresión con coeficiente diferente de cero. Calcula el valor de un polinomio para un valor de x particular. 2.3 Reconoce que una raíz de un polinomio Ejemplo1: Indica que el p(x) = 2x 3+7x 2 -17x -10 es un polinomio es un número a tal que cuando x=a, p(x)=0. de grado 3, el coeficiente de x 2 en ese polinomio es 7, el valor del polinomio en x = 3 es y verifica que son raíces de Ejemplo 2: Indica que el polinomio es un polinomio de grado cero. 3 2.4 Calcula la suma, la diferencia, el producto Ejemplo: Si p(x) = 6x - 13x 2 +29x -12 y q(x) = 2x+1, calcula y el cociente de dos polinomios p(x) + q(x) =6x 3- 13x 2 +31x -11 , p(x) - q(x) = 6x3- 13x 2 +27x 13 , p(x) * q(x) = 12x4 - 32x 3+ 71x 2 - 53x +12 y p(x) q(x) = 3x2 -5x +12

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2.5 Factoriza polinomios. Justifica por qué.

Ejemplo 1: Factoriza el polinomio: x 3- 8x 2 +27x - 36 = (x 2 - 5x +12) (x-3) Ejemplo 2: Factoriza el polinomio p(x) = 2x 3+7x2 -17x -10 = (x-2)( 2x2 +11x +5). 2.6 Reconoce que un número a es raíz de un Ejemplo 1: Como x 3- 8x2 +27x - 36 = (x 2 - 5x +12) (x-3) polinomio p(x) si y solamente si (x-a) divide a entonces 3 es raíz de p(x) = x 3 - 8x 2 +27x -36 es decir, p(3) = 0. p(x). Factoriza polinomios. Justifica por qué ¿Por qué? Ejemplo 2: Como 2 es raíz del polinomio. p(x) = 2x 3+7x2 -17x -10, es decir, como , entonces (x2) es factor de p(x), es decir, , en este 2 caso Ejemplo: Resuelve las siguientes ecuaciones e indica qué tipo 2.7 Resuelve ecuaciones de número es su solución: x+5=0, 5x-4=0, x^2-1/4=0, x^2polinomiales sencillas e indica 2=0, x^2+1=0 qué tipo de número es su solución y por qué. Justifica la necesidad de introducir nuevos sistemas numéricos a partir del problema de resolver ecuaciones polinomiales.

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Funciones polinomiales

2.8 Dado un polinomio p(x), construye la Ejemplo: Las funciones: p(x) = 3x2 - 5x +2, q(x) = 2, r(x) = x 7 son función f(x) = p(x), como la función que a funciones polinomiales. Mall as de aprendizaj es en matemáticas para grados décimo y once

23

cada número real le asigna el valor del polinomio evaluado en ese número. 2.9 Traza gráficas de funciones polinomiales Ejemplo 1: traza la gráfica de las funciones: p(x) = 3x 2 - 5x +2, de grado 0, 1 y 2, y con ayuda de una q(x) = 2, r(x) = x 7 en un mismo plano. Analiza sus semejanzas calculadora o un computador traza las y diferencias. gráficas de funciones poli nomiales de mayor grado.

2.10 Compara las gráficas de funciones polinomiales de diferente grado, e identifica semejanzas y regularidades. Usa esas regularidades para resolver problemas o modelar situaciones.

Ejemplo1: Compara las gráficas de y=(x+1), y=(x+1)(x+2), y=(x+1)(x+2)(x+3), y=(x+1)(x+2)(x+3)(x+4) etc e identifica regularidades.

Ejemplo 2: Con el apoyo de una calculadora o un computador traza las gráficas de y= x, y= y identifica semejanzas y diferencias entre las gráficas de y= para exponentes pares e impares. 2.11 Resuelve ecuaciones polinomiales Ejemplo: De la gráfica de la función polinomial: sencillas en forma algebráica o gráfica. , concluye que las Identifica las rices de la ecuación: p(x) = 0 con soluciones a la ecuación: los cortes de la gráfica de p(x) con el eje X.

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2.12 Usa la gráfica de una función poli nomial Ejemplo 1: Considera las raíces de la función para identificar cuándo una función posee o donde es un número real. Hace la gráfica de para no raíces reales y cuándo raíces complejas. y muestra que existen raíces reales. Sin embargo, Identifica las rices de la ecuación: p(x) = 0 con para no existen raíces reales. ¿Qué propiedades debe los cortes de la gráfica de p(x) con el eje X. satisfacer la gráfica de para que tenga raíces reales? Utiliza Geogebra para hacer la exploración con diferentes valores de

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24

3.

Funciones Logarítmicas

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3.1 Para valores positivos de a, a , calcula Ejemplo: Para a =2, calcula para para un número x >1. Usa la definición Justifica su respuesta. = 5 porque 25 =32. de logaritmo: y= si y sólo si . 3.2 Justifica las propiedades de los Ejemplo: logaa = 1 porque a1 =a. logaritmos, usando l a definición de logaritmo: ; = 1; logaax= x 3.3 Define la función logaritmo en base a, Ejemplo: Hace una tabla para comparar 2x con log2 x, para para un número a>0, a≠1 como una función valores enteros positivos, negativos y fraccionarios de x. de los reales positivos en los reales, que a Identifica algunas diferencias. Traza la gráfica de puntos todo número positivo x> 0 le hace correspondiente. corresponder el número log ax=y, tal que x= ay. Calcula el valor de la funci ón para x log2x diferentes valores de y de . -

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0.25=2 0.5=2 0.707=2- 1=2 0.148=2 1.414=2 2=2 4=2 32=2 1024=2

-2 -1 -0,5 0 0,2 0,5 1 2 5 10

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3.6 Para un valor particular de a elabora una Ejemplo 1: traza y analiza la gráfica de y= . Ejemplo 2: x tabla de y= con la ayuda de una Traza la gráfica de f(x) = log 2x y de g(x) = 2 Analiza las gráficas calculadora y traza la gráfica. y describe algunas relaciones entre las dos.

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3.7 Analiza la función f(x) = logax para un valor particular de a: traza la gráfica e indica: dominio, rango, cortes con los ejes, donde crece y donde decrece, dónde es positive y dónde negativa. Justifica intuitivamente las respuestas.

Ejemplo1: Analiza l a función: f(x) = log2 x Dominio: Dominio: {x| x>0} o (0, ) Rango: R Corte con el eje X: (1,0), no corta el eje Y. Si 0< x <1, log2 x<0 ; si x=1, log2 x=0 si x>1 log 2 x>0 Donde crece: si x 1 < x 2 entonces log2x 1 < log2 x2 , esta función siempre crece. Analiza cuáles de estas propiedades valen para cualquier base y justifica su respuesta

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3.8 Analiza el comportamiento y las gráficas Ejemplo: Traza varias gráficas de log_a x , para distintos de familias de funciones logarítmicas para valores de a >1. Para a=: e; 3; 5.2; 10; traza y compara las diferentes valores de la base a

gráficas. 3.9 A partir de la gráfica de la función Ejemplo 1: Traza las gráficas de f(x) = , g(x)=3+ y logaritmica y= , traza las gráficas de h(x)= - 3 Describe cómo pasar de una gráfica a la otra y g(x) = b+ , ; h(x)= k , y r(x)= cómo se afecta la gráfica con los cambios en la ecuación.

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Ejemplo 2: Traza las gráficas de f(x ) = y r(x)= Describe las diferencias e indica cómo se modificó la gráfica con los cambios en la ecuación.

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3.10 Conoce la notación y trabaja con logaritmos comunes y logaritmos en base 10. log10 x =logx . Conoce el valor aproximado de la constante e. Lo usa para trabajar con funciones logarítmicas. Traza y analiza la gráfica de la función “logaritmo natural” o f(x)=log x =lnx y de la función logx= log10 x.

Ejemplo 1: Averigua en internet acerca de la constante e. Cuánto vale? e es un número irracional cuyo valor aproximado es: e 2.718281… Se conoce como la “base natural”. Ejemplo 2: calcula: ln5 y log5.

3.11 Justifica las leyes de los logaritmos a partir de las leyes de los exponentes: loga(AB)=log aA + logaB; loga(A/B)= logaA logaB ; loga(AC)= C loga(A) 3.12 Deduce la fórmula para pasar del logaritmo en una base al logaritmo en otra base, usando las leyes de los algoritmos y los exponentes. Fórmula de cambio de base: logbx = logax/ logab 3.13 Deduce la fórmula de interés compuesto para calcular la cantidad A que recibe al final de un período de t años, si se coloca un capital inicial P, invertido a una tasa de interés compuesto r, acumulable n veces al año: A = P(1 + r/n)nt la usa para resolver problemas. 3.14 Usa las funciones logarítmicas para modelar distintas situaciones y resolver problemas.

Ejemplo: Simplifica log[x 2 ((x+1)/(x-1))1/2 ] usando las leyes de logaritmos.

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Ejemplo: Pasa de logx a lnx. Las calculadoras permiten regularmente calcular los logaritmos naturales. La fórmula de cambio de base permite calcular el logaritmo en cualquier base a partir de los logaritmos naturales. Ejemplo: Calcula cuánto tiempo necesita para doblar una inversión de 8 millones de pesos con un interés compuesto del 5% anual y compuesto cada 3 meses.

Ejemplo 1: Determina el número de decibeles de un sonido con una intensidad I de 1watt por metro cuadrado, si la relación entre los decibeles y la intensidad del sonido I está dada por: = 10(log I/10 -12 ) Ejemplo 2: La escala de Richter se utiliza para medir la intensidad M de los terremotos. M=log(I/S), donde I es la intensidad que mide el sismógrafo, a 100km del sismo y S es una intensidad estándar de 10 -4 cm. Muestra por qué la rel ación entre un grado y otro en la escala de Richter representa una intensidad 10 veces mayor. Averigua en internet sobre la intensidad de sismos recientes y los compara. Ejemplo 3: Averigua en internet cómo se usan los logaritmos para determinar la edad aproximada de fósiles antiguos, utilizando el carbono-14. 3.15 Usa las funciones logarítmicas para Ejemplo1: En un experimento, el número de individuos en una modelar situaciones de crecimiento de población de bacterias se dobla cada hora. Si al inicio había poblaciones 1000 bacterias, ¿al cabo de cuánto tiempo habrá un millón? Ejemplo 2: El crecimiento de una población de moscas en un experimento sigue el modelo: y=a ebt. Si después de 1 día hay 50 moscas y después de 3 días hay 150, cuántas habrá después de 5 días?

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3.16 Usa las funciones logarítmicas para modelar situaciones de decaimiento radioactivo.


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4. Funciones trigonométricas Comprende la definición de π. Mide ángulos en grados y en radianes con precisión.

4.1 Comprende qué significa un radián. Mide ángulos en radianes.

Ejemplo 1: Usando una cuerda y un clavo traza un ángulo de 1 radián y uno de 0.5 radianes. Ejemplo 2: Si se construye un ángulo de 8 radianes, medido en el sentido contrario a las manecillas del reloj, con el lado inicial sobre el eje X y el vértice en el origen, ¿en qué cuadrante cae el segundo lado? Justifica su respuesta. Ejemplo 3: Traza un ángulo y da su medida aproximada en radianes, usando una cuerda y un clavo. 4.2 Dada la medida de un ángulo en radianes, Ejemplo: ¿Cuánto mide en radianes un ángulo de 30°? ¿Cuánto calcula la medida en grados y viceversa. mide en grados un ángulo de radianes? Ejemplo 2: Estima la medida en radianes de un ángulo de 40° y luego verifica la estimación usando una calculadora. 4.3 Comprende y enuncia la definici ón de π Ejemplo 1: Usando una cuerda y un clavo halla de forma y usa esta constante para calcular el área del aproximada, un punto en la recta numérica correspondiente a círculo y la longitud de la circunferencia. Ejemplo 2: Usando una ruedita y una cuerda, halla de forma aproximada un punto en la recta numérica correspondiente a Ejemplo 3: Calcula con una aproximación de cinco cifras decimales el área de un círculo de radio 1 y el volumen de una esfera de radio 1. Ejemplo 3: Averigua cómo calcularon algunas civilizaciones de la antigüedad un valor aproximado de . ¿Qué referencia hay en la biblia al respecto?

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Comprende la definición y traza las gráficas de las funciones trigonométricas. Comprende la diferencia entre las razones trigonométricas entre los lados de un triángulo rectángulo y las funciones trigonométricas, definidas para cualquier número real.

4.4 En el plano cartesiano, muestra que para cualquier número x real y para cada punto P(x,0) en el eje X, puede encontrar un ángulo que mida x radianes. Averigua qué hacer cuando el número es negativo 4.5 Define las funciones f= seno: y g=coseno . Define la función como una función que a cada número real le hace corresponder un número entre -1 y 1, así: Traza un sistema de coordenadas cartesianas de centro O y llama A al punto (1,0). Traza una circunferencia C de centro O y radio 1. Traza un punto P sobre la circunferencia C, llama a las coordenadas de P y traza el segmento OP. Mide el ángulo AOP en radianes. Llama x a la medida en radianes del ángulo AOP. Define el seno de como la ordenada del punto P: . En forma similar, define coseno de como la abscisa del punto P: 4.6 Deduce algunas propiedades de las funciones trigonométricas a partir de las

      

Ejemplo: ¿Cuál es el ángulo correspondiente al número -2? ¿Cuántos radianes mide un ángulo llano y por qué? ¿Cuál es el ángulo correspondiente al número 2500? ¿Cuál es el ángulo correspondiente a √2 ?

Ejemplo1: Indica, sin usar calculadoras ni tablas, cuáles de los siguientes números son positivos y cuáles negativos y por qué: sen(2)? sen(314)? cos(-10)? Ejemplo 2: Usando únicamente la definición, una cuerda y un clavo, calcula en forma aproximada cuánto valen: sen(1)? sen(314)? sen (-10)? cos (2500)? Luego verifica con una calculadora y si se ha equivocado en alguno expl ica en qué consistió el error.

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Ejemplo 1: Usando la definición, justifica por qué para todo x, . Ejemplo 2: Usando la definición, muestra

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

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definiciones.

por qué (x)+cos2(x) . Ejemplo 3: Averigua qué significa que una función sea periódica y usando la definición, muestra por qué las funciones seno y coseno son periódicas. Identifica cuál es el período.

4.7 Traza y analiza las gráficas de las funciones f(x)=sen(x) y g(x)=cos(x), apoyándose exclusivamente en las definiciones.

Ejemplo1: A partir de la definición de la función seno, analiza el comportamiento en el intervalo [0, . ¿Donde es positiva? ¿dónde negativa? ¿dónde crece? ¿dónde decrece? ¿dónde corta en eje X? Justifica cada una de las afirmaciones anteriores con base exclusivamente en la def inición.

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Ejemplo 2: Usando Geogebra, traza la gráfica de la función:

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y la compara con la gráfica

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Ejemplo 3: Traza las gráficas de y explica las diferencias con la gráfica de y=senx.

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4.8 Define, analiza las propiedades y traza las Ejemplo: Con apoyo de una calculadora o computador traza las gráficas de las funciones tangente t(x)=tan(x) gráficas de f(x) = cot(2x) y la compara con g(x)=2cot(x). y cotangente, r(x)= cot(x).

4.9

Usa funciones trigonométricas para Ejemplo: En un parque de diversiones se tiene una rueda con


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modelar situaciones.

un radio de 8m, que tarda 12 segundos en dar una vuelta completa. En el momento de subirse el pasajero, cada coche de la rueda se encuentra a 1.20 metros de la base de la rueda. Realiza una ilustración a escala de la situación y una tabla de datos para valores del tiempo de entre 0 y 12 segundos, con intervalos de 0.5 segundos. Traslada los datos a un sistema de coordenadas, analiza la forma de la gráfica obtenida y propone una función que modele la situación. Traza una gráfica usando Geogebra. 4.10 Resuelve ecuaciones y desigualdades Ejemplo 1 : Halla todas las soluciones de l a ecuación: que involucran funciones trigonométricas. sen(x) = ½. Ejemplo 2 : Halla todos los valores de x tales que 0≤ x ≤2π para los cuales

0≤ sen(x ) ≤ ½. Usando Geogebra

traza una gráfica que ilustra su respuesta. Observación: No es necesario que se aprenda de memoria fórmulas sobre sumas o diferencias de ángulos ni que pi erda el tiempo jugando con identidades trigonométricas. Si requiere alguna fórmula puede buscarla en un texto o en internet. ¡Es indispensable que comprenda las definiciones!

4.11 Modela fenómenos periódicos Ejemplo1: Averigua cómo y por qué se usan funciones usando funciones trigonométricas trigonométricas para modelar ondas sonoras. Averigua el significado de la amplitud y la frecuencia en ese contexto. Ejemplo 2: Pregunta al profesor de física cómo se usa las funciones trigonométricas en clase de física. 4.12 Usa funciones trigonométricas para Ejemplo: En un parque de diversiones se tiene una rueda con modelar situaciones un radio de 8m, que tarda 12 segundos en dar una vuelta completa. En el momento de subirse el pasajero, cada coche de la rueda se encuentra a 1.20 metros de la base de la rueda. Realiza una ilustración a escala de la situación y una tabla de datos para valores del tiempo de entre 0 y 12 segundos, con intervalos de 0.5 segundos. Traslada los datos a un sistema de coordenadas, analiza la forma de la gráfica obtenida y propone una función que modele la situación. Traza una gráfica usando Geogebra.

Aprendizajes en pensamiento aleatorio y sistemas de datos COMPRENSIONES

Los estudiantes comprenderán que… 

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El hecho de poder inferir un resultado con base en estudios estadísticos de determinados datos es uno de los grandes l ogros de la humanidad Muchos fenómenos naturales tienen una



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¿Qué medidas estadísticas permiten resumir y entender cierta información? ¿Cómo se puede responder una pregunta utilizando


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

componente estocástica alta y la probabilidad, sus leyes y propiedades, permiten modelarlos, hacer inferencias y predecir. La probabi lidad es la bas e matemática que sirve para mostrar que muchas de la s conjeturas de l as ci encias socia les y naturales tienen vali dez.

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información recogida por medio de una encuesta? ¿Qué medidas estadísticas y representaciones gráficas son más pertinentes en cierto caso? ¿Cuándo y cómo se puede usar la probabili dad para determinar qué tan cierta es una afirmación?

CONOCIMIENTOS

Los estudiantes sabrán …. (C)   

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Representación e i nterpretación de datos Variables al eatorias , categóricas o continuas Procesos aleatorios soportados por experimentos estadísticos Inferencias a partir de encuestas, experimentos o estudios Probabilidad condicional


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Distinguir diferentes tipos de variables: categóricas, continuas, cualitativas, cuantitativas, y determinar cuál es la representación más adecuada según el contexto Juzgar inferencias hechas a partir de estudios publicados en los medios. Hacer inferencias y justi ficar la s concl usiones con bas e en estudios estadísticos Interpretar y usar conceptos de probabilidad condicional Justificar lo que hace, usando argumentos intuitivos y matemáticos .


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Evidencias, actividades de aprendizaje y recomendaciones pedagógicas 1. Representación e interpretación i nterpretación de datos Interpreta nociones básicas relacionadas con el manejo de informac i nformación ión como población, población, muestra, variable variable aleatoria, distribución de frecuencias, frecuenci as, parámetros parámetros y estadígrafos.

1.1 Estudia variables aleatorias categóricas o continuas mediante representaciones gráficas y medidas estadísticas de datos correspondientes. Reconoce si una variable puede pue de tomar cualquier cualquier valor en un intervalo de los reales, o sólo toma valores discretos 1.2 Calcula e interpreta cuantiles y percentil percentiles es para una variable aleatoria cuantitativa.

Ejemplo: Determina si la variable es continua o discreta en los siguientes casos: estatura de los miembros de su familia, color de ojos, colores en un conjunto de flores, nota final en el curso de matemáticas.

Ejemplo: Para los salarios en cierta ciudad, ¿qué quiere decir que la mediana mediana sea 2 millones? millones? y ¿que el cuantil 0.75 sea 2.5 mil millones lones?? 1.3 Representa el comportam comportamiento iento de una variable Ejemplo 1: Mira la factura de luz o de agua e aleatoria mediante un diagrama de barras, de caja, interpreta el diagrama de barras. Varios alumnos tortas o histogramas. histogramas. Anali Analiza za un diagrama y saca saca traen los recibos de sus casas, comparan los conclusiones conc lusiones a partir de él. diagramas de barras e interpretan las deferencias. Ejemplo 2: Cada alumno trae un diagrama de diagrama de barras, de caja, tortas o histogramas sacado de un periódico pe riódico o de una revista, revi sta, con la noticia o artículo correspondientes. En grupos de tres analizan los diagramas y determinan qué tanto y cómo se apoya la noticia o artículo en el diagrama. Buscan otras afirmaciones que se puedan concluir a partir de cada diagrama. 1.4 Calcula y util utiliza iza medidas de tendencia central Ejemplo: Indica qué diferencia hay entre los y medidas de varia variación ción e interpreta los resultados. resultados. siguientes casos, y justifica por qué: el promedio del examen fue 7 y la desviación de sviación estándar 1, 1, el promedio fue 7 y la desviación desvi ación estándar 0,5. 0,5. 1.5. Anali Analiza za los efectos de los puntos extremos en Ejemplo: En el conjunto de datos datos de cierta evaluación e valuación las medidas de tendencia central y dispersión, así de matemáticas, casi todas las calificaciones están como en el histograma de un conjunto de datos alrededor de 3.5, 3.5, pero hay dos datos con una nota de 0 (tal vez por haber hecho trampa), analiza cómo afectan estos extremos los resultados de la media, medi a, la dispersión y la l a forma del histograma. histograma. Relaciona parejas de variables cualitativas y cuantitativas resumiendo y representando los conjuntos de datos correspondientes correspondientes en tablas y gráficas

1.6 Representa datos categóricos de variables variab les en tablas de doble entra entrada da

dos Ejemplo: Representa en una tabla de doble entrada los datos de: fuma o no fuma vs enfermedad pulmonar. Describe la relación entre las dos variables a partir de los datos. 1.7 Representa gráficament gráficamentee datos de dos variables Ejemplo: Analiza la información que aparece en una cuantitativas y describe la relación entre las dos revista o en internet i nternet sobre la relación entre entre el nivel variables. socio-económico y el embarazo temprano en diferentes lugares de Colombia o del mundo. Inferencias y conclusiones conclusione s soportadas soportadas en estudios e stadísticos 2.


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Justifica o refuta inferencias basadas en razonamientos estadísticos a partir de estudios publicados en los medios o diseñados en el ámbito escolar. Comprende y evalúa procesos aleatorios soportados por experimentos estadísticos.

2.1 Formula una pregunta, diseña un experimento que le permita responderla responderla y realiza el proyecto. Identifica Identi fica cuál es la muestra más conveniente, qué estadísticos puede utilizar para analizar los datos y cuál es la representación gráfica más pertinente.

Ejemplo: En grupos pequeños desarrollan el siguie si guiente nte proyecto: Suponen que en su colegio se va a otorgar un premio a un estudiante escogido por los alumnos de los grados 8 a 11. 11. El resultado se conocerá al final del año pero estando a mitad de año ustedes quieren quie ren pronosticar el ganador. No sólo quieren saber esto, sino también la diferencia de de criterios entre hombres y mujeres. En el diseño de la estrategia tienen en cuenta, por ejemplo: ejempl o: ¿Qué tipo de muestra mue stra escoger? ¿Cuántos hombres y cuántas mujeres en l a muestra? ¿Cuántos de cada grado? grado? ¿Qué criterios van a tener en cuenta: ¿sólo académicos o también tambi én otros factores factores como intel inteligenci igencia, a, simpatía simpatía etc.? ¿Cómo van a cuantificar esos criterios? ¿Qué gráficas van a usar para visualizar vi sualizar los l os resultados? ¿Qué herramientas van van a usar para analizarlos y hacer predicciones? ¿Qué tan válidas serán esas predicci predicciones? ones? Discute en el grupo la estrategia propuesta por cada uno y deciden decide n cuál es la más pertinente. Realizan el proyecto correspondiente y analizan su desarrollo y la validez de sus resultados. 2.2 Usa la estadística para hacer infe inferencias rencias acerca Ejemplo: Toma 10 estudiantes del curso y obtiene de los parámetros de una población, basándose en datos de su estatura. Calcula la media y hace una una muestra de esa población inferencia sobre la estatura de los estudiantes de su clase. Analiza Anali za el proceso proceso y argumenta argumenta sobre sobre la l a validez vali dez del resultado Hace inferencias y justifica las conclusiones con base en muestras de encuestas, experimentos y estudios observacionales.

2.3 Comprende Compr ende que el tipo de muestr muestraa difiere dependiendo del estudio poblacional que esté realizando. Es consciente de la importancia de la aleatoriedad en la muestra.

Ejemplo: Determina la muestra que utilizaría para predecir el resultad resultado o de la elección el ección de personero personero en el colegio. En grupos de tres analizan las propuestas de cada compañero, deciden de ciden cuáles cuáles son las ventajas o desventajas de la propuesta de cada uno, escogen una y justifican por qué es la más indicada. 2.4 Utiliza medidas de tendencia central central y variación, Ejemplo: Compara la estatura promedio de hombres así como diagramas de barras, tortas e histogramas, y mujeres muj eres en su clase. Realiza Reali za un diagrama de barras para comparar y hacer inferencias acerca de una o con la estat e statura ura promedio promedio en el eje vertical y género más poblaciones. en el e l horizont horizontal. al. A par partir tir de esto infiere acerca acerca de la la diferencia de estatura según género, para adolescentes de esa edad. Discute la validez de las conclusiones. 2.5. Evalúa reportes basados en datos Ejemplo 1: Anali Analiza za un artíc artículo ulo del periódi periódico co sobre los resultados de las elecciones, basados en l os datos de una encuesta. Escribe un informe sustentando su opinión. Ejemplo 2: Busca en la página del Icfes los resultados de la última prueba Saber 11 y escribe un reporte analizando analizando las dife diferenc rencias ias según los l os distintos disti ntos Mall as de aprendizaj es en mate matemáticas máticas para grados décimo y once

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departamentos y según la población urbana y la l a rural. Compara los resultados de su colegio con los de su región y escribe un informe sugiriendo cómo y dónde dó nde mejorar 3. Probabilidad condicional y reglas de probabili dad Interpreta conceptos conceptos de probabilidad condicional condicional e independencia independen cia de eventos. Maneja y reconoce el uso de los conceptos de probabili probabilidad dad condicional condicional en el e l devenir deve nir cotidiano.

3.1 Representa información utilizando el lengua lenguaje je Ejemplo: Se tomaron 100 100 muestras mue stras de cierto aliment ali mento o de la teoría de conjuntos y usa esa representación que venden a la salida sali da del colegio. 30 tenían bacterias para calcular ciertas probabilidades. tipo A, 40 tenían bacterias tipo B, 10 tenían los dos tipos de bacteria. Representa los datos y calcula la probabilidad de que una muestra tomada al azar tenga al menos un tipo de bacteria. Calcula la probabilidad de que tenga máximo un tipo de bacteria. 3.2 Usa conceptos de unión, interse intersección cción y Ejemplo: Se tomaron 100 100 muestras mue stras de cierto aliment ali mento o complemento de la teoría de conjuntos, para hall ar la que venden a la salida sali da del colegio. 30 tenían bacterias probabilidad de la unión, intersección y tipo A, 40 tenían bacterias tipo B, 10 tenían los dos complemento, en algunos casos con ayuda de tipos de bacteria. bacteria. Calcula: Calcula: ¿Cuál es la l a probabilidad probabili dad de diagramas de Venn. que tenga dos tipos de bacterias? ¿Cuál es la probabilidad de que tenga alguna bacteria? ¿Cuál es la probabilidad de que tenga exactamente una bacteria?


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Recomendaciones didácticas La matemática matemática de l os grados décimo y undécimo s e construye sobre l a matemática matemática de l a educaci educaci ón básica, básic a, profundizando y generalizando los conceptos y agregando nuevas formas de ver y hacer matemáticas. Las matemáticas son como una escalera de caracol en la que cada idea idea se apoya en la s ideas ante anteriores riores y cada ve vezz se vis itan l os mismos lugares, pero un pis o más más ar riba y se ven ven de manera más general, general, más abs tracta, más más profunda o se apl ica n a nuevos temas temas . La media media es el moment mom ento o de sol idi fica r, conectar, conectar, aplicar, apli car, fundamentar fundamentar y expandir los conoci mient mientos os de la educación educaci ón bás bás ica . La comprensi comprensi ón de las características c aracterísticas propias de la s formulaciones algebraicas y la lass representaci representaci ones gráfic gráficas as de cada una de estas funciones permite usarlas para modelar diferentes situaciones y hacer predicciones. La comprensión y destreza en las operaciones entre los diferentes tipos de números, que se adquiere en la educación básic bás ica, a, soporta la compren comprensi si ón y destrez destrezaa en la l a manipula ción de de expre expresi si ones al geb gebrai rai cas, que se desarrol la en 9, 10 y 11 y que es el lenguaje que usan las matemáticas y las ciencias para expresarse. Un objetivo de las matemáticas en estos grados es adquirir la destreza necesaria en el manejo de este lenguaje, indispensable para comprender las ideas matemáticas mate máticas más avanzada s, para ejercitars e en en los procedimiento procedimientoss y pa ra ha cer matemáticas matemáticas . El El manejo de expresi expresi ones algebraicas depende de la comprensión sólida del manejo de los números, sus operaciones y propiedades. Por ejemplo, cuando al resolver una ecuación se divide una expresión por x es necesario tener presente que esta x no puede tomar el valor cero. O si al resolver una desigualdad se multiplica algo por x, es necesario tener en cuenta si x toma valores positivos o negativos ya que el comportamiento de la situación varía en cada caso. El tema central de décimo son las funciones. La idea de función iniciada en octavo, se solidifica en décimo y once. Las representaci represent aci ones verbales, verbales, gráfica , al algeb gebrai rai ca y numérica de una función con tribuyen a su c ompre omprensi nsi ón, ya que permiten permiten apreciar diferentes aspectos. Herramientas tecnológicas como calculadoras graficadoras o software geométrico como Geoge Ge ogebra, bra, fa cil itan el el trazado de gráfic gráficas as , indispensabl indis pensablee en esta área. En décimo se introducen fu nciones muy utili utili zadas como com o polinomios y logaritmos logaritmos y se pasa de las relaciones trigonomét trigonométricas ricas en entre tre los l ados de triángulos rect rectángulos ángulos a las funciones trigonométricas que relacionan números reales cualesquiera con números en el intervalo [-1,1]. Uno de los errores o confusiones más frecuentes de los estudiantes que inician cursos universitarios es la confusión entre estos dos conceptos: concept os: rela ciones y funciones trigonomé trigonométrica tricas. s. De ahí nuestra propuesta de tratarl os en grados di fere ferente ntes. s. En décimo ya las funcione funcioness s e vue vuelven lven objetos objetos con los cuales s e reali reali zan operacione operacioness y se a nali zan famili as de funciones funciones observ observando ando qué pasa en la gráfica de una función cuando se hacen cambios en un parámetro. Este nuevo nivel de variable, y la distinción del rol de la x y la b en una expresión como: , es otro punto muy importante de la s mate matemáticas máticas de décimo.

   

Las ideas geométricas acerca de polígonos, sólidos o localización de puntos y objetos en el espacio desembocan en la educación media media en l a geome geometría tría ana lítica donde, con la a yuda de la correspondencia ent entre re puntos y pareja s de números números,, se refuerzan mutuamente el álgebra y la geometría. Se tiene entonces una nueva herramienta para probar afirmaciones geométricas y la resolución de ecuaciones o desigualdades algebraicas cuenta con un nuevo recurso. El manejo y representaci representaci ón de al algunos gunos pocos datos, que se va cons truye truyendo ndo a través de la educaci ón bás ica y que permite permite inicialmente extraer información evidente con argumentos intuitivos, desemboca en herramientas cada vez más sofisticadas que permiten examinar y analizar con precisión grandes volúmenes de datos y hacer predicciones con probabi lidades de éxito cada vez mayores. El El uso de herramientas herramientas tecnológicas es un apoyo indi spensable en esta esta á rea. El paso pas o del del pensa pensa mient miento o det determ erminís inístico tico al estocástic o, de un mundo en donde l as afi rm rmaciones aciones son verdaderas o fa ls as a un mundo en donde la s afirmaciones afi rmaciones son verdaderas verdaderas con cierta probabilidad, probabilidad, es es otra de la s grandes trans formaciones que s e deben lograr en el paso por la educación media.


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Para l a construcción del conocimiento conocimiento matem matemático ático es necesari o planear actividades que perm permitan itan al estudiante relaci onar lo que sabe con las nuevas ideas, así como aplicarlas en diversos contextos. Es importante mantener un balance entre la comprensión de las ideas fundamentales, la ejercitación y el dominio de los procedimientos y algoritmos, el uso y apli cación de las ideas mat matem emáticas áticas a otras disci plinas y el el desarroll o de com compe pete tencias ncias mat matem emáticas áticas como propone proponerr y resolver problemas, razonar y comunicarse usando las matemáticas. Con el fin de interesar al estudiante en el estudio y profundización de los temas de este grado, se sugiere solicitarle que averigüee por la his toria de ideas como la definici averigü definici ón de núm número ero real o d e función, el el i nfinito, o el el de desarr sarr ollo de la s ideas de dell cálcul o, que soportan la ciencia y l a técnica técnica de hoy. hoy. Aprender y comprender autónomamente es un requisito indispensable en la preparación de los estudiantes para su ingreso a l a educación educación postsecundaria, al mu mundo ndo del del trabajo y al ejercicio responsable de la ci udadanía. Sólo así podrá aprovechar las oportunidades que le ofrece hoy la tecnología, de aprender de manera gratuita casi cualquier cosa que desee aprender, oportunidades que s egu egurament ramentee serán muchísimas más, en el moment momento o en que term terminen inen su vida escola r. El maestro debe proveer proveer al estudiante de oportunidades que le permitan: permitan: generar generar y explorar explora r conj et eturas uras ; plantear nuevos problemas e ideas propi as ; trabaj ar colaborativame colaborativamente nte con otros; r eflexiona eflexionarr sobre l o que sa be, sobre lo que comprende y sobre lo que no comprende y decidir cómo puede mejorar. Este tipo de actividades propician el desarrollo de la autonomía autonom ía y el pensamiento crítico y creativo, atributos que debe debe tener tener un indivi i ndividuo duo para desem desemp p eñarse como como ci udadano en el siglo XXI. Hoy es no sólo conveniente sino indispensable integrar la utilización de herramientas tecnológicas en la clase de matemáticas. El objetivo no es evitar que los estudiantes adquieran las destrezas necesarias en el uso de procesos y procedimientos matemáticos. La tecnología permite la solución de problemas complejos, el trabajo con datos reales, permite explorar nuevos campos o profundizar en aspectos que el estudiante considere interesantes, pero entre los impactos más grandes de la tecnología hoy están el haber puesto el conocimiento al alcance de todas aquellas personas que tienen el interés interés por aprende apr enderr y l a capacidad capac idad de aprender autónomam autónomament entee y el haber hecho hecho reali dad la posibilida d de ser parte pa rte de comunidades global es de aprendices. El uso de l a tecnología tecnología ha tenido tenido tres grandes i mpactos en en la l a educaci educaci ón en l os últi mos años: primero democratizó democratizó el el conocimi ent ento o poniendo la i nformación al alcance de todos. Luego Luego si mplificó la la comunicación y la hizo fácil, ágil y segura y recientemente facilitó la interacción entre personas de todo el mundo, con herramientas que permiten permiten ver y hablar en tiempo tiempo real real,, gratuitamente gratuitamente o a muy bajos costos costos.. Es Es i mposibl e prever prever qué nos demandar dem andaráá el el futuro, pero es respons abi abilida lidad d de de la escuela y el maestro mostra mostrar, r, interesa interesa r y capa citar al estudiante en en el uso de los desarrollos tecnológicos actuales para prepararlo para que aproveche los que con seguridad se seguirán generando. ge nerando. No ha cerlo es es como obligar lo a recorrer recorrer grandes grandes di stanci as a pi e y empeñars empeñars e en en que no conozca conozca l as enorm enormes es ventajas y posibilidades que ofrecen hoy los diferentes medios de transporte. Recursos como software, wikis, páginas web, blogs, publicaciones de otros docentes o estudiantes en la red, proyectos globales, Moocs, etc. ofrecen tanto a estudiantes como a docentes apoyos muy importantes en su labor de aprender y apoyar el aprendizaje.

Indicaciones para la evaluación formativa La evaluación constituye un elemento fundamental en el aprendizaje. No debe ser un proceso independiente, es parte integral de la planeaci ón y del desarr desarrollo ollo de cada clas cl as e, de cada uni dad, de cada ac tivida tividad. d. La eval eval uaci ón permite permite conocer los avances con respecto a los objetivos de aprendizaje, logros, progresos o dificultades y las oportunidades de mejoramiento.


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Debe ser el indi cador que le dice al maestro: ¿Qué comprendieron? ¿Cómo comprendieron? ¿Qué hago para mejora r? al joven: ¿Cómo voy? ¿Qué va cíos tengo y qué debo ha cer para l lenarl os? y al padre de famil ia : ¿Cómo va mi hi jo? ¿Cómo l o puedo apoyar para que mejore? La evaluación también le da información a la escuela sobre su desempeño y el desempeño de ca da uno de s us miembros; y a la soci edad sobre la escuela y el futuro de sus c iudadanos, informaci ón que le permite al estado tomar decis iones fundamentadas . Para l ograr lo anterior, la evalua ción debe incl uir comentari os explícitos acerca de las razones que ll evaron a ese juici o y l os cri terios y resultados de la evaluaci ón siempre deben ser conocidos prontamente por los estudiantes. Las activi dades de evaluaci ón deben ser s imil ares a lo hecho y desarroll ado en clas e, ofreciendo retos y diferentes niveles de compleji dad, que permitan que ca da cual pueda autoevalua rse y determinar, con el apoyo del maestro, qué debe hacer para mejorar. Hay muchas formas de evaluar el desempeño del joven: observando lo que hace durante la clase, hablando con él acerca del tema que se está desarrollando, pidiéndole que lleve un diario y analizando lo que escribe allí, pidiéndole que vaya haciendo un portafolio o una carpeta donde ponga los trabajos de los que se sienta orgulloso, etc. Una de las estrategias de evaluación más idóneas para este grado es la elaboración de proyectos para desarrollar en una o varias semanas. Requieren de un alto grado de autonomía de los estudiantes y les permiten trabajar en grupo, asumiendo diferentes responsa bilidades. Pueden resolver probl emas de mayor compleji dad que los que habitualmente se resulven en clas e, en los que utilicen y conecten diferentes conocimientos de matemáticas y otras disciplinas para describir, interpretar y modelar situaciones de su contexto. El estudiante debe aprender en las evaluaciones que es tan importante el proceso y la estrategia que escoja y siga para resolver un problema, como lograr ll egar a un resul tado correcto. Es importante que se forme en el hábito de verifi car, al finalizar una tarea, que efectivamente contestó la pregunta que le formularon, que resolvió el problema que le plantearon, y que la respuesta que obtuvo satisface las condiciones del problema. Otra competencia básica en la resolución de problemas es mantener una actitud reflexiva a lo largo del proceso de resolución, que lo mantenga enfocado en qué quiere logra y que le indique si el c amino que escogi ó lo lleva en esa dirección . Uno de los puntos más importantes relacionados con la evaluación es la honestidad. El estudiante debe aprender a responder por sus acciones, y en la media ya está a un paso de salir al mundo de los adultos. Debe ser consciente de que su responsabilidad como estudiante es aprender, que su aprendizaje depende de su esfuerzo y que no puede evadir esa responsabilidad acudiendo al atajo de la trampa. El maestro debe ser consciente de que tiene una responsabilidad con la sociedad cuando acredita, con sus notas, la idoneidad de cierto joven como bachiller, por tanto, es su obligación no permitir que esa información sea falsa porque esté contaminada con trampas. El maestro de los grados 10 y 11 puede escoger algunas de las preguntas de las pruebas Saber 11 que aparecen en la página del Icfes, para que los estudiantes se vayan familiarizando con esta forma de preguntar. Luego de que los estudiantes contesten estas preguntas en tiempos precisos, deben analizar no sólo los resultados sino las diferentes estrategias que se pueden usar para contestar ese tipo de exámenes. Un punto muy importante de estas pruebas, que debe ejercitars e, es l a lectura comprensi va de las preguntas, que es muchas veces la c ausa de los errores en los r esultados. Al evaluar las matemáticas es importante tener en cuenta no solo el nivel de comprensión y aplicación de los conceptos sino el nivel de desarrollo de las competencias matemáticas, dentro del contexto y grado. El maestro debe plantear situaciones que permitan observar el nivel de desarrollo en cuanto a la resolución de problemas, la comunicación, el razonamiento, etc.


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Para preparar a los j óvenes para el siglo XXI, es indi spensable ofrecerles oportunidades de aprender a reflexionar sobre sí mismo y a monitorear sus acciones. Debe aprender a autoevaluarse, a juzgar su trabajo y el de los demás de manera crítica y objetiva y a apreciar y aceptar los jui cios que otros hagan de su trabaj o, presentando argumentos váli dos cua ndo no esté de acuerdo. Debe aprender a tomar decisiones autónomamente y a responder por sus actos. Estas habilidades o competencias, indispensables para la vida de un ciudadano hoy, sólo se desarrollan si el estudiante tiene oportunidad de hacerlo. El joven que sólo sigue órdenes e instrucciones y que siempre espera el juicio del maestro acerca de su trabajo, perderá muchas oportunidades que l e ofrece el mundo hoy.


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Derechos bási cos de aprendizaje


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GRADO ONCE Visión general del grado Para comprender la importancia de las ideas matemáticas que se aprenden en la educación media hagamos un poco de his toria. En la segunda mitad del s iglo XV dos grandes a contecimientos convul si onaron el mundo: se descubrió América y se popula rizó la i mprenta y con ell o se democratizó el conocimiento. Entre los pri ncipa les protagonis tas de los ca mbios sociales, políticos, religiosos, científicos y tecnológicos que acaecieron en los siglos posteriores están las ideas matemáticas que se desar rollaron en esos s igl os, que favorecieron otras formas de ver y comprender el universo y que s on precis amente las ideas bás icas de las matemáticas de la educación media. Gerolamo Cardano (1501-1576), René Descartes (1596-1650) y Pierre de Fermat (1601-1665), entre otros, desarrollaron las ideas del álgebra e introdujeron los conceptos de la Geometría Analítica o Cartesiana. Estas ideas permitieron el estudio de curvas diferentes a circunferencias o segmentos y sustituyeron el estudio de las propiedades de los números por la manipulación de letras que generalizan esas propiedades, con lo que se construyó un lenguaje abstracto que permitió describir y analizar fenómenos y le dio un impulso a la física. Sobre estas ideas se construyó el concepto de función y este nuevo lenguaje les permitió a Isaac Newton (1642-1727) y Gottfried Leibniz (1646-1716), en la primera mitad del sigl o XVIII , desarr olla r la s matemáticas necesarias para reflexionar sobre el i nfinito y descri bir y manipular el movimiento. Esta nueva herramienta matemáti ca: el cálculo, permitió estudiar el movimiento de l os as tros, los barcos, los proyectiles, los fluidos y los gases, pero también permitió describir fenómenos como el calor, el sonido, la luz y luego la electricidad y el magnetis mo, fundamentos de l a cienci a y la tecnología de hoy. El estudio de la s funciones y una iniciación al cálculo, son algunas de los temas que se esbozan en undécimo. Otra de las ideas matemáticas que surgen en el siglo XVII y tienen hoy una gran importancia tanto dentro de las matemáticas como en sus a pli caciones es la probabilidad. A partir de un probl ema que l e planteó un amigo a Fermat sobre el j uego, él y Blaise Pascal (1623-1662) ini ciaron el estudio de la incertidumbre y el a zar, que hoy forman par te también de las matemáticas de undécimo. Entre los grandes desarr ollos del si glo XIX está el estudio de los distintos s is temas numéricos y s us ca racterísticas, en el cual s obresal en Georg Cantor (1845-1918) y Richa rd Dedekind (1831 -1916), entre otros. En la s matemática s de undécimo se miran cuáles son al gunas de estas propiedades que di ferencian a l os naturales, los racionales, los reales y l os complejos y qué características tienen las representaciones de cada uno. Esto es tal vez lo más abstracto, matemático y avanzado que se hace en matemáticas escola res, pero su comprensi ón permitirá mirar por una pequeña ventana a lgo de la belleza que entraña el universo abstracto de las matemáticas. Finalmente, otro de los temas centrales de las matemáticas de undécimo es el estudio de cómo medir propiedades o cara cterísticas abstractas, a partir de la medida de razones entre cantidades, construyendo índices como el de pobreza, el IPC, el SISBEN o la aceleración. Este tema es uno de l os principales aportes de las matemáticas a l as ci encias socia les y su comprensi ón es indi spensable para a nalizar críticamente la i nformación que aparece todos l os días en peri ódicos y revistas y que indudablemente soporta muchas decisiones que afectan nuestras vidas. NOTA: Al comparar la educación media en matemáticas en Colombi a con otros países del mundo se observan dos grandes

diferencias: en primer lugar, la educación escolar colombiana comprende once años: de primero a once, mientras en muchos otros países son doce: de primero a doce. La segunda diferencia importantes es que el currículo de matemáticas de los últimos grados suele ser flexibl e, dependiendo de la s expectativas futuras de los jóvenes. Nuestros estándares s on homogéneos. Estas dos consideraciones tienen implicaciones sobre las matemáticas de la educación media, pero sobre Mall as de aprendizaj es en matemáticas para grados décimo y once

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todo de once, en temas como cálculo, ya que este tema es en muchos currículos un tema que se desarrolla en el grado doce y como una de las opciones recomendada a aquellos estudia ntes que desean hacer ca rreras que tienen que ver con ciencias natural es, económicas o ingeniería. En Colombia, mientras en los estándares de décimo y once, en pensamiento variacional se habla de hallar, interpretar y utilizar la noción de derivada, en el exámen Saber 11 (icfes.gov.co) sólo se mencionan “sucesiones y límite” en contenidos no genéricos, pero en el examen de admisión de la Universidad Nacional

se requieren algunos conocimientos de cálculo. A partir de la reflexión anterior hemos colocado en once algunos desempeños bási cos de cálc ulo, pero hemos señalado co n asterisco y rojo a lgunos de los as pectos más avanzados, que consideramos podrían s er opcionales. Es necesari o cerciorars e antes, de cuáles son l os conocimientos r equeridos por el examen de a dmisi ón de la Universi dad Nacional, para no poner en desventaja a los a lumnos que no los ha yan adquirido en la educación media.


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Aprendizajes para el grado

ESTÁNDARES BÁSICOS DE COMPETENCIAS EN MATEMÁTICAS GRADOS 10 Y 11 PENSAMIENTO NUMÉRICO Y SISTEMAS NUMÉRICOS   

 

Anali zo representaciones decimales de l os números reales para diferenciar entre racionales e i rraci onales. Reconozco la i ncompletitud de los números raci onales a través de métodos numéricos, geométricos y al gebraicos. Comparo y contrasto las propiedades de los números (naturales, enteros, raci ona les y reales) y la s de sus relaciones y operaciones para construir, manejar y utilizar apropiadamente los distintos s is temas numéricos . Utilizo argumentos de la teoría de números para justificar relaciones que involucran números naturales. Establezco relaciones y diferencias entre diferentes notaciones de números reales para decidir sobre su uso en una situación dada.

PENSAMIENTO ESPACIAL Y SISTEMAS GEOMÉTRICOS 

 

Identifico características de localización de objetos geométricos en sistemas de representaciones cartesianas y polares y en particular de las curvas y figuras cónica s. Uso argumentos geométricos para resolver y formular probl emas en contextos matemáticos y en otras ciencia s. Describo y modelo fenómenos periódicos del mundo real usa ndo relaci ones y funci ones trigonométricas .

PENSAMIENTO METRICO Y SISTEMAS DE MEDIDAS 



Resuelvo y formulo problemas que involucren magnitudes cuyos valor es medios se suelen definir i ndirectamente como razones entre valores de otras magnitudes, como la velocidad media, la aceleración media y la densidad media. Justifico resultados obtenidos mediante procesos de aproximación sucesiva, rangos de variación y límites en situaciones de medición.

PENSAMIENTO VARIACIONAL Y SISTEMAS ALGEBRAICOS Y ANALÍTICOS  



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Util izo la s técnicas de aproximación en procesos infinitos numéricos Interpreto la noci on de derivada como razón de cambio y como va lor de la pendiente de la tangente a una curva y desarrollo métodos para hallar las derivadas de algunas funciones básicas en contextos matemáticos y no matemáticos Anali zo las r elaciones y propiedades entre las expresiones algebraicas y la s gráfi cas de funciones polinomicas y racional es de sus derivadas. Modelo si tuaciones de vari aci ón periódica con funciones trigonométricas e interpreto y utili zo sus derivadas .

PENSAMIENTO ALEATORIO Y SISTEMAS DE DATOS 

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Interpreto y comparo resultados de estudios con información estadística provenientes de medios de comunicación. Justifico o refuto inferencias ba sadas en razonamientos estadísticos a partir de resultados de estudios publi cados en los medios o diseñados en el ámbito escolar. Diseño experimentos aleatorios (de las ciencias físicas, naturales o sociales) para estudiar un problema o pregunta. Descri bo tendencias que se observan en conjuntos de variables r elacionadas. Interpreto nociones básicas relacionadas con el manejo de información como población, muestra, variable aleatoria, distribución de frecuencias, parámetros y estadígrafos). Uso comprensivamente algunas medidas de centralización, localización, dispersión y correlación (percentiles, cuartiles, centrali dad, distancia, rango, varianza, covarianza y normalidad). Interpreto conceptos de probabil idad condici onal e independencia de eventos. Resuelvo y planteo problemas usando conceptos básicos de conteo y probabilidad (combinaciones, permutaciones, espa cio muestral, muestreo aleatorio, muestreo con rempla zo). Propongo inferencias a partir del estudio de muestras probabilísticas .


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METAS DE TRANSFERENCIA Los estudiantes serán capaces de utilizar autónomamente sus aprendizajes para … 

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Reconocer y di ferencia r dis tintos tipos de números: natural es, enteros, negativos , raciona les, irracionales, reales y complejos y us arl os para resolver problemas. Identificar diferencias y semejanzas entre los números ra cionales y los irra cionales. Comprender el uso de expresiones algebrai cas en la modela ción de si tuaciones o en la r esoluci ón de problemas. Leer, escri bir e interpretar mensaj es escri tos en ese lenguaje. Comprender y us ar el l enguaje de la s funciones para representar cantidades cuya varia ci ón depende de la variaci ón de otra. Interpretar i nformación presentada en forma de una curva, en contextos de ciencias o cuotidia nos. Distinguir características de diferentes tipos de funciones. Establecer diferencias entre la manera como varían funciones: lineales, polinomiales, exponenciales, trigonométricas, etc. a fin de usarlas para modelar situaciones. Usar las propiedades de las cónicas, justificarlas con argumentos algebraicos o geométricos y usarlas para modelar si tuaciones. Comprender cómo se construyen los índices que se usan para medir atributos como la inteligencia o la pobreza. Descri bir posi ciones y figuras en el espaci o usando diversos si stemas de coordenadas. Analizar y juzgar la validez de noticias o estudios donde aparecen inferencias basadas en razonamientos estadísticos. Formular una pregunta y diseñar un experimento que permita responderla. Identificar cuál es la muestra más conveniente, qué estadísticos se pueden utilizar para anali zar los datos y cuál es la representación gráfica más pertinente. Reconocer, comprender y utilizar conceptos de probabilidad en situaciones cuotidianas. Util izar herramientas tecnológicas para resolver problemas complejos, trabajar con información real, explorar nuevos campos, construir nuevos conocimientos o profundizar en otros. *Utili zan la derivada para medir el cambio. *Interpretan la derivada como la razón de cambio instantánea. *Aplicar la derivada a la identificación de los valores extremos (máximo y mínimo) de una función.


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Aprendizajes en pensamiento numérico y sistemas numéricos COMPRENSIONES Los estudia ntes comprenderán que… 

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Cualquier número real se puede expresar por medio de una expansión decimal infinita, periódica si es racional y no periódica si es irracional. A cada punto de una recta se le puede asociar un único número real y a cada número real se le puede asociar un único punto de una recta. Hay puntos sobre la recta a los que no les corresponde ningún número racional. Hay tantos números enteros como natural es.



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¿Cómo se diferencian los números racionales de los irracionales? ¿Cómo se establece la correspondencia entre los reales y los puntos de una recta? ¿Cómo se demuestra que a no todos los puntos de una recta les corresponden números racionales? ¿Hay muchos o hay pocos puntos en una recta a los que no les corresponden números racionales? ¿Hay ecuaciones cuadráticas que no se pueden resolver?

CONOCIMIENTOS


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Sistemas numéricos: naturales, enteros, racionales, reales y complejos Correspondencia entre los números reales y los puntos de una recta. Vectores


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Reconocer y demostrar que no todos los números reales son racionales. Escribir los números reales usando dis tintos si stemas de representación. Pasar de un sistema de representaci ón a otro. Representar los números reales en una recta. Situar en la recta de manera exacta números racionales y algunos irracionales como y . Indicar propiedades comunes y diferencias entre números raci onales e irra cionales Representar números complejos en el plano complejo y realizar operaciones entre complejos. Usar las propiedades de los números para plantear y resolver problemas. Justificar lo que hace, usando argumentos intuitivos y matemáticos . *Representar vectores en el plano y realiza operaciones de suma, resta, producto por un escalar y producto punto entre vectores.

 

Evidencias, actividades de aprendizaje y recomendaciones pedagógicas 1. Representación de números reales: racionales e irracionales Analiza cómo distintas representaciones de lo s reales permiten diferenciar entre racionales e irracionales

1.1.

Reconoce que el conjunto de números Ejemplo: Representa los números -7 y 13/6 como racionales incluye los naturales, enteros números fraccionarios p/q con p y q números positivos y negativos y fracciones. Muestra enteros, de 5 formas diferentes. que todo número racional se puede escribir de diferentes maneras como un cociente de


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  



la forma , con y enteros, diferente de 0 o también como un entero seguido de una expansión decimal fi nita o periódica 1.2.

Reconoce y pasa de la representación de un número racional en la forma decimal a la forma fraccionaria: y viceversa



1.3.

1.4.

Conoce y ejemplifica la siguiente proposición: Todo número real se puede escribir con la notación decimal. La parte decimal de todo número racional es periódica, incluyendo aquellos con periodo cero, mientras que la parte decimal de un irracional no es periódi ca Conoce y ejemplifica la siguiente proposición: Dada una recta, existe una correspondencia con los números reales tal que a cada número real le corresponde un único punto de la recta y a cada punto de la recta le corresponde un único número real.

Ejemplo 1: Halla la forma fraccionaria del número decimal periódico 2,23454545… Encuentra la forma

decimal de 23/21, ¿cuál es su parte periódica? Ejemplo 2: Establece una conjetura acerca de la expansión decimal de racionales cuyo denominador tiene por factores únicamente a 2 o 5. Encuentra la representación decimal de 73/25 y justifica su conjetura. Ejemplo 3: Escribe la representación fraccionaria irreducible p/q, de 0.2 y de 0.199999... (periodo 9). Ejemplo: Escribe en notación decimal los números: 1/5; 10/7; ; . ¿Cuáles de esas formas decimales representan exactamente al número propuesto y cuáles no? ¿por qué?

  

Ejemplo 1: Dada una recta L escoge arbitrariamente dos puntos diferentes O y P y les asigna los números cero y uno respectivamente. Muestra cómo puede usar el teorema de Tales para encontrar el punto correspondiente a 2/3.

Ejemplo 2: Dada una recta L, un cero y un uno. A partir de esa escogencia, describe cómo encontrar los puntos correspondientes a los números: 3, -5, 7/3 y √2, luego los sitúa en l a recta L.

1.5 Usa la notación fraccionaria, la decimal o la Ejemplo: Busca en internet el tamaño del diámetro de científica para representar números según la un pelo, el tamaño promedio de un niño al nacer, la situación dada. distancia de la luna a la tierra, el ingreso anual promedio por habitante en Colombia, el tamaño de una bacteria y el diámetro medio de la vía láctea. Escribe esas cantidades usando la notación más conveniente y justifica su elección 2. Diferencias entre racionales e irracionales Muestra intuitivamente algunas de las propiedades más importantes de los números racionales como la


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densidad y la numerabilidad. Reconoce algunas diferencias entre los racionales y los irracionales.

2.1. Muestra que entre dos números racionales siempre se puede encontrar otro número racional.

Ejemplo: Encuentra 10 números racionales entre 1/3 y 1/2. Propone una estrategia que siempre funcione, para encontrar un número racional entre cualquier par de racionales diferentes y . Muestra por qué su estrategia funciona. La ilustra gráficamente. 2.2. Explica de manera intuitiva por qué hay tantos Ejemplo: Dados los conjuntos enteros como naturales de los números naturales, y de los números enteros, establece una correspondencia biunívoca (uno a uno) entre y así: A los número naturales 25 y 30, ¿cuáles enteros les corresponde? El número entero 10 es el correspondiente a ¿cuál número natural? Busca una manera de expresar esta correspondencia en forma general. Muestra que esta relación permite asociar cada número natural con un único entero y cada entero con un único natural. Analiza lo hecho y escribe sus conclusiones. Busca en internet otras maneras de hacerlo. 2.3. Reconoce que los números racionales no son Ejemplo: Muestra cuáles de las siguientes ecuaciones suficientes para resolver ecuaciones cuadráticas se pueden resolver usando números racionales y sencillas. cuáles no y justifica su respuesta: , , , Halla las soluciones racionales de las que se puedan resolver.

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2.4. Muestra intuitivamente algunas diferencias Ejemplo: Muestra que no es un número racional. entre los racionales y l os reales. Explica de manera Ejemplo 2: Establece una conjetura acerca de bajo intuitiva por qué hay reales que no son racionales qué condiciones para n, el número es irracional. Muestra algunos ejemplos y justifica su conjetura con argumentos matemáticos. Ejemplo 3: Indica cuáles de los siguientes números son racionales y cuáles no y por qué: 2.5. Muestra que, a cada punto de una recta numérica, dotada de un sistema de coordenadas, le corresponde un número real pero no necesariamente un número racional

 ,  ,     

Ejemplo: En el plano cartesiano de origen O, traza el punto A de coordenadas (1,0), el punto B de coordenadas y los segmentos OB y AB. Con el compás traslada el punto B sobre el eje X al punto D . ¿Cuál es el valor de la con coordenadas coordenada (abscisa de D)? Muestra que al punto D, que está sobre una recta numérica, le corresponde el número que no es un número racional.


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   

Ejemplo 2: Indica otros irracionales diferentes de ¿Conoce alguno que no sea de la forma ?

.

2.6. Muestra algunas propiedades de la aritmética Ejemplo 1: Cuáles de las siguientes afirmaciones son de los racionales y de los irracionales. ciertas y ¿por qué?: Si y son racionales la suma y el producto son racionales. Si y son irracionales la suma y el producto son irracionales. Si es racional y irracional la suma y el producto son irracionales. Ejemplo 2: Dada una circunferencia de longitud y radio , muestra que los números y no pueden ser ambos racionales. 2.7. Dados dos números enteros cualesquiera, Ejemplo 1: Construye una serie de triángulos genera infinitos números irracionales, usando rectángulos cuyos catetos miden y , donde es un triángulos y el teorema de Pitágoras número natural . Halla la medida de la hipotenusa y muestra para cuáles la longitud de la hipotenusa es un número irracional. Interpreta ese resultado en términos de las coordenadas de los puntos de una recta. ¿Para cuále s otros valores de la longitud de la hipotenusa es un número irracional? ¿Para cualquier valor de n? Ejemplo 2: Construye un triángulo rectángulo cuyos catetos miden 1 y 1. Traza un segundo triángulo rectángulo cuyos catetos son la hipotenusa del primero y el otro mide 1. Traza un tercer triángulo rectángulo cuyos catetos son la hipotenusa del segundo y el otro cateto mide unos. Continúa en esa forma. ¿Cuánto mide la hipotenusa en cada caso? Si continúa así, ¿cuánto mide la hipotenusa del décimo triángulo? Reproduce esa construcción con una hoja cuadrada y origami. Ejemplo 3: Justifica por qué el punto A de la gráfica corresponde a ¿Cómo encuentra el punto correspondiente a

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  

3.Números Complejos Comprende la defi nición, la representación y la aritmética básica entre números complejos

3.1.

Justifica la necesidad de introducir los

Ejemplo: Muestra por qué la ecuación:


  50

,

números complejos. 3.2. Indica la definición de i: un número cuyo cuadrado es -1, y de los números complejos, como los números de la forma , donde es una solución de la ecuación: . 3.3. Muestra que cualquier número real r es un número complejo de la forma r+0i. 3.4. Representa números complejos en la forma a+bi o como puntos de coordenadas (a, b) en el plano complejo.

  

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no tiene ningún número real que la satisfaga Ejemplo 1: muestra que las soluciones de la ecuación: son: Ejemplo 2: Justifica por qué no es un número real.

         

Ejemplo: Muestra que el real 5 se puede escribir como 5 + 0i. Ejemplo: Representa en el plano complejo los números: .

    

Comprende y realiza operaciones básicas con números complejos.

(– )                 

3.5. Calcula sumas, restas, multiplicaciones y Ejemplo: Calcula: divisiones con números complejos. 3.6. Usa los números complejos en la resolución de Ejemplo: Resuelve las ecuaciones: ecuaciones polinomiales. y Traza las gráficas de los polinomios respectivos y , y explica cómo interpretar gráficamente las sol uciones de las ecuaciones anteriores para un valor particular de . 4. Vectores Lee, escribe y representa vectores, realiza operaciones fundamentales y los usa para resolver problemas y modelar situaciones.

4.1. Lee, escribe y representa vectores de diferentes maneras.

Ejemplo 1: Representa en el plano cartesiano el vector u que va del punto al punto como un vector u1 [1, -6], del punto a un punto Ejemplo 2: Representa en el plano el vector de componentes: .

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4.2. Realiza operaciones fundamentales entre vectores: la suma , la diferencia , el producto de un vector por un escalar (número real), , y el producto escalar (también llamado producto punto) de dos vectores , y muestra sus propiedades

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Ejemplo 1: Dados dos vectores y , halla la suma , la diferencia , el producto por un escalar y el producto escalar . Representa en el plano las operaciones y sus resultados. Ejemplo 2: Muestra que la suma de vectores en R2 es una operación conmutativa.

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51

4.3. Calcula la magnitud de un vector usando el Ejemplo: Calcula la magnitud del vector teorema de Pitágoras. justifica su respuesta.

y

   

4.4. Calcula el producto escalar o producto punto Ejemplo: Calcula si entre dos vectores. Muestra que dos vectores son es perpendicular a perpendiculares si y sólo si el producto punto es cero. perpendiculares.

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Muestra que pero y no son

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4.5. Descompone un vector como la suma de una componente horizontal y una vertical

Ejemplo: . Traza una gráfica.



4.6. Utiliza los conocimientos de vectores para resolver problemas.

Ejemplo 1: Usa vectores y su aritmética para resolver problemas de fuerzas, tomados del texto de física. Ejemplo 2: Le pregunta al profesor de física para qué se usan los vectores en esa materia.


52

Aprendizajes en pensamiento espacial y sistemas geométricos COMPRENSIONES

PREGUNTS ESENCIALES

Los estudia ntes comprenderán que… 





La correspondencia entre puntos de la recta y números reales se extiende a una correspondencia entre puntos en un plano y parejas de números reales y puntos en el espacio y tripletas de números reales. El edifici o de la geometría euclidi ana está construi do sobre unas pocas definiciones y unos pocos postulados. Las propiedades geométricas de las cónica s permiten usarlas para modelar situaciones cuotidianas.

Los estudiantes guiarán la comprensión en torno a las siguientes preguntas…  



 

¿Por qué se llaman cónicas ? ¿Qué relación hay entre la parábola y las antenas parabólicas? ¿Qué relación hay entre las elipses y un salón elíptico? ¿Cómo se trazan espirales? ¿Cómo se localizan puntos en el espacio?

CONOCIMIENTOS

Los estudiantes sabrán …. (C)    

Nociones Geométricas Básica s Nociones básicas de geometría del espacio Cónicas Curvas y lugares geométricos












Reconocer las definiciones y demostrar teoremas bási cos de la geometría euclidia na. Usar coordenadas rectangulares para si tuar puntos y objetos y para probar relaciones en el plano y en el espacio. Representar puntos en el espacio tri-dimensional usando coordenadas rectangulares, esféricas y cilíndricas. Pasar de un sistema de coordenadas a otro. Identifica r las cónicas por sus ecuaci ones, sus gráficas y sus propiedades y utilizarlas para plantear problemas, modelar situaciones y resolver problemas. Usar argumentos algebraicos para resolver problemas geométricos y usar argumentos geométricos para resolver problemas algebraicos. Justificar lo que hace, usando argumentos intuitivos y matemáticos .


53

Evidencias, actividades de aprendizaje y recomendaciones pedagógicas 1. Nociones Geométricas Básicas Usa apropiadamente el vocabulario, conoce y comprende las definiciones y afirmaciones geométricas básicas y las usa para resolver prob lemas. Prueba teoremas básicos de la geometría.

1.1 Reconoce propiedades y relaciones Ejemplo 1: ¿Cuál es la suma de los ángulos interiores geométricas en polígonos regulares o no de un polígono de n lados? ¿Cuál es la suma de los regulares de cualquier número de lados. ángulos exteriores de un polígono de n lados? ¿Por qué? Ejemplo 2: Traza un pentágono cualquiera y calcula el área a partir de la longitud de los lados y los ángulos. Ejemplo 3: En el plano cartesiano traza un triángulo cualquiera y verifica la desigualdad del triángulo usando coordenadas 1.2 Sigue una cadena de razonamientos Ejemplo 1: Busca en Internet pruebas de alguno de que llevan a la prueba de un teorema básico los teoremas de Tales, las analiza, reproduce alguna y y es capaz de reproducirla justifica su elección. Ejemplo 2: Juzga la validez de una prueba hecha por un compañero. Identifica errores si los hay. 1.3 Se interesa y comprende las raíces Ejemplo: Busca en internet una copia de los históricas de los resultados matemáticos. Elementos de Euclides, busca allí la manera como Euclides demostró el teorema de Pitágoras y trata de seguir esa demostración. 1.4 Elabora conjeturas sobre Ejemplo: Toma un cuadrado, halla los puntos medios afirmaciones geométricas y las valida o de los lados y los une en orden ¿Qué obtiene? Hace refuta la misma construcción con un rectángulo. Luego la hace con un cuadrilátero cualquiera. Propone una conjetura, prueba que es cierta o que es falsa. Ensaya con otros polígonos. Intercambia sus conjeturas y sus pruebas con las de un compañero y juzga la validez del trabajo del compañero. 1.5 Comprende la diferencia entre una Ejemplo: Explica con palabras sencillas la diferencia afirmación del tipo: p implica q y una entre la afirmación: “Dados dos triángulos, si son afirmación del tipo: q implica p. Sabe cómo congruentes, entonces todos sus ángulos demostrar que una afirmación del tipo p correspondientes son iguales” y la afirmación: implica q es verdadera y cómo demostrar “Dados dos triángulos, si todos sus ángulos que es falsa correspondientes son iguales entonces son congruentes”. Determina y prueba cuál es verdadera

y cuál es falsa. 2. Nociones básicas de geometría del espacio Conoce y comprende nociones básicas de geometría en el espacio

2.1 Utiliza el sistema de coordenadas Ejemplo 1: Muestra en la gráfica cuál sería el eje X, cartesianas para situar puntos en el espacio. cuál el eje Y y cuál el eje z en un sistema de la mano


54



Comprende qué significa y describe cómo derecha. trazar un sistema de coordenadas en tres dimensiones. Explica qué es un sistema que satisface la “regla de la mano derecha”.

Ejemplo 2: Traza un sistema de coordenadas en R3 y sitúa el punto A(1,2,3) Ejemplo 3: Halla la distancia entre los puntos A(1,2,3) y B(-1,2,½).

  

2.2 Describe y representa planos en el Ejemplo 1: La ecuación del plano es z , porque espacio. Indica que la ecuación de la forma los puntos del plano son todos los de la forma: ax+by+cz+d=0 representa un plano en el donde y son números reales espacio cualesquiera, pero la última coordenada es cero. Ejemplo 2: Halla dos puntos situados en el plano

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    origen

Muestra que ese plano pasa por el Los puntos ¿están en ese plano? ¿Por

qué?

2.3 Representa puntos en el espacio Ejemplo1: Halla las coordenadas rectangulares usando coordenadas esféricas y cilíndricas. (cartesianas) de los puntos A y B cuyas coordenadas Pasa de una a otra cilíndricas son: A(5,π/2,3) y B(2,π/3,-3) Ejemplo 2: Halla las coordenadas cartesianas y cilíndricas del punto C cuyas coordenadas esféricas son: (2,π/3,π/2). Ejemplo 3: Halla la ecuación de una

esfera de centro en el origen y radio 1 en coordenadas cartesianas y esféricas. 3. Cónicas Define las diferentes cónicas, deduce las ecuaciones y traza las curvas. Identifica de forma visual, gráfica y algebraica algunas pro piedades. Resuelve problemas en los que se usan las propiedades geométricas de las cónicas.

3.1 Averigua en internet de donde viene el nombre de “cónicas”. Diseña y construye una maqueta que muestre la procedencia de elipses, parábolas e hipérbolas

Ejemplo 1: Analiza las diferentes cónicas que se forman al proyectar el chorro de luz de una linterna contra una pared. Ejemplo 2: Toma un vaso cilíndrico, de cristal transparente y lo llena hasta la mitad con


55

3.2

Deduce

la

ecuación

de

la

circunferencia a partir de la definición: “La

circunferencia es el conjunto de puntos que equidistan de un punto fijo” y traza una

gráfica.

3.3 Deduce la ecuación de la elipse a partir de la definición: Conjunto de puntos tales que la suma de las distancias a dos puntos fijos es constante y traza una gráfica. 3.4 Deduce la ecuación de la parábola a partir de la definición: Conjunto de puntos Q tales que la distancia de Q a un punto fijo F es igual a la distancia de Q a una recta fija d y traza una gráfica

agua coloreada. Analiza y describe las diferentes curvas que forma la superficie del agua con el vaso, al ladearlo. Ejemplo: Halla la ecuación de la circunferencia de radio 2 y centro en el punto . Traza una gráfica. Como la distancia de un punto cualquiera de la circunferencia P al punto Q(1,2) es igual a: d(P(x,y),Q(1,2))= = 2, entonces esa es la ecuación de la circunferencia con centro en Q y radio 2.

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Ejemplo: Halla la ecuación de la elipse de puntos (x,y) tales que la suma de las distancias a los puntos (-2,0) y (2,0) sea igual a 9. Traza una gráfica. Ejemplo: Usando Geogebra traza una recta d y un punto exterior F. Construye el conjunto de puntos Q cuya distancia a d es igual a la distancia a F. Traza una gráfica. {Q | distancia de Q a d es igual a la distancia de Q a F}

  

3.5 Traza la gráfica de la parábola y la de la parábola las compara. Indica cuál representa una función y cuál no y justifica su respuesta.

  

3.6 Relaciona la ecuación y la gráfica de la Ejemplo: Traza las gráficas de las parábolas: parábola con la solución de ecuaciones y a partir de cuadráticas. las gráficas resuelve las ecuaciones:

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3.7 Deduce la ecuación de la hipérbola a partir de la definición: conjunto de puntos cuya diferencia de las distancias a dos puntos fijos es constante y traza una gráfica.

Ejemplo 1: Halla la ecuación de la hipérbola de puntos (x, y) tales que la diferencia de las distancias a los puntos (-1,0) y (1,0) es 1. Traza una gráfica. Ejemplo 2: Muestra que la ecuación:

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corresponde a una hipérbola. Halla los ejes y los focos. Traza la gráfica usando Geogebra. Mall as de aprendizaj es en matemáticas para grados décimo y once

56

3.8 A partir de las ecuaciones generales Ejemplo 1: Usando Geogebra, analiza cómo cambia la de las diferentes cónicas, traza las gráficas y gráfica de la parábola , cuando analiza cómo cambian las gráficas al cambiar se modifican los parámetros o algunos parámetros en la ecuación. Ejemplo 2: Usando Geogebra, analiza cómo cambia la gráfica de la hipérbola

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Ejemplo 3: Usando Geogebra, analiza cómo cambia la gráfica de la elipse

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cuando cambian a o b.


57

Analiza las gráficas y ecuaciones cuando Ejemplo 1: Determina la ecuación y gráfica de una aplica una traslación. circunferencia de radio 1 y centro en el punto (1, -2). Ejemplo 2: Determina la ecuación de la elipse de la gráfica y justifica por qué. Ejemplo 3: Analiza la ecuación y la gráfica de la parábola si se hace una traslación de una unidad con respecto al vector [0,1], es decir, si todos los puntos se suben una unidad: el punto de coordenadas (a,b) pasa al punto de coordenadas (a,b+1). Ejemplo 4: ¿Qué sucede con la ecuación de la parábola si se traslada dos unidades a la derecha? ¿Si se traslada una unidad hacia arriba y dos unidades a la derecha? ¿Cuál es el vector de traslación correspondiente? 3.9

 

 

Aplica las propiedades de las cónicas a la resolución de problemas.

3.10 Reconoce circunferencias y hipérbolas.

propiedades de Ejemplo 1: Identifica objetos de su entorno que elipses, parábolas e tengan forma de circunferencia o elipse. Justifica por qué. Ejemplo 2: Busca en internet algunas propiedades de la parábola y la elipse 3.11 Aplica las propiedades de las cónicas Ejemplo 1: Averigua en qué consiste el “tiro a la resolución de problemas en ciencias. parabólico” y por qué se llama parabólico. Busca un ejemplo de tiro parabólico y analiza la gráfica. Ejemplo 2: Según las leyes de Kepler, las órbitas de los planetas son elípticas. Averigua cómo es la forma de la órbita de la tierra y cómo la de Mercurio y las representa gráficamente. Averigua cómo se enuncia la ley de Kepler mencionada. Aplica las propiedades de las cónicas a la Ejemplo 2: ¿Por qué razón se habla del "salón resolución de problemas en otros contextos. elíptico"? Justifica su respuesta. Ejemplo 2: ¿Por qué y cómo se usa la parábola para construir antenas parabólicas? ¿Cuál es la propiedad de la parábola que hace que las antenas parabólicas sean eficientes? Ejemplo 3: En un terremoto las ondas sísmicas se


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propagan en forma de círculos con centro en el epicentro. Si dos estaciones situadas a 200Km de distancia (una de otra) reportan que percibieron un terremoto, una a 300Km y otra a 200Km, de la estación, ¿son esos datos suficientes para determinar con exactitud el epicentro? En caso de que no sea posible, indica por qué y propone qué se requeriría para poder hacerlo. Ejemplo 4: Un depósito tiene una puerta en forma de arco parabólico que mide 3m de ancho en la base y 4m de alto, en el punto más alto. Identifica una parábola que satisfaga esas condiciones. Determina cuál es la caja de forma cúbica de mayor volumen que puede entrar por esa puerta y justifica su respuesta. Propone otros problemas aprovechando ese contexto. 4. Curvas y Lugares Geométricos Reconoce y describe curvas y lugares geométricos. Conoce y analiza algunos tipos de curvas.

4.1 Averigua en internet acerca de otros Ejemplo 1: Averigua acerca de la braquistocrona. tipos de curvas. Traza la curva y busca algunas de sus propiedades. Ejemplo 2: Averigua en internet por diferentes tipos de espirales, en qué objetos de la naturaleza aparecen estas curvas, por qué se les llama “la curva de la vida” y por qué son tan frecuentes en la

naturaleza. Traza alguna espiral usando Geogebra. Saca una fotografía o busca una lámina que muestre una espiral en la naturaleza. Reconoce y describe lugares geométricos. 4.2 Comprende qué significa un “lugar Ejemplo 1: Describe el lugar geométrico de los puntos geométrico”, reconoce lugares geométricos, Q del plano que distan 1 del punto P de coordenadas

traza la gráfica y explora la figura

(1,1). Traza la gráfica. Ejemplo 2: Usando Geogebra hace la siguiente construcción: Traza una circunferencia y un punto E sobre la circunferencia. Traza la recta OE que pasa por el centro O de la circunferencia y por el punto E. Traza un punto F exterior a la recta OE y el segmento FE. Traza la mediatriz del segmento FE y el punto Q de corte de ésta con la recta OE. Explora el lugar geométrico que describe Q cuando se mueve E. Tiene en cuenta que E debe moverse exclusivamente sobre la circunferencia y la circunferencia debe permanecer fija. Reconoce la figura que forma el punto Q al moverse. Ejemplo 2: LÑos pueblos A y B distan 10 kilómetros el uno del otro. Se va a construir una antena que les sirva a ambos pueblos, pero la antena tiene un alcance de 6 kilómetros. Traza una gráfica y muestra


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en qué sitio se puede construir la antena. Hay un tercer pueblo que también quisiera poder beneficiarse de la antena. Ese pueblo está a 8 kilómetros de A y a 8 kilómetros de B. ¿Es posible, y dónde habría que poner la antena?


60

Aprendizaj es en pensa miento métrico y s is temas de medidas COMPRENSIONES

Los estudiantes comprenderán que… 





Es posible medir longitudes, áreas o volúmenes cualesquiera, mediante procesos de aproximación sucesiva. Es posible asignar un valor y comparar atributos como la belleza, el conoci miento, el dolor, etc. En procesos de medición, es necesario analizar la precisión requerida y determinar el proceso, las herramientas y el sistema de medidas más apropiado.

PREGUNTS ESENCIALES


 

¿Qué precisión se requiere y cuáles son el proceso,

las herramientas y el sistema de medidas más apropiado? ¿Cómo s e mide la pobreza? ¿Qué es el SISBEN? ¿Qué es el PIB?

CONOCIMIENTOS Los estudiantes sabrán que…. (C)   

Estrategias de medición Mediciones usando aproximaciones s ucesi vas Medición de atributos










Dada una si tuación en que es necesario efectuar una medición, analizar qué precisión requiere y diseñar cómo medir y qué unida des e instrumentos usa r. Realizar mediciones usando aproximaciones sucesivas. Analizar diversas formas de medir atributos tales como la pobreza, la belleza, el conocimiento, el dolor, etc. Plantear y resolver problemas que involucran medidas, aj ustando la s olución al contexto. Justificar lo que hace, usando argumentos intuitivos y matemáticos .


61

Evidencias, actividades de aprendizaje y recomendaciones pedagógicas 1. Estrategias de Medición Diseña estrategias para abordar situaciones de medición que requieran grados de precisión específicos.

1.1 Elige la unidad y la notación numérica apropiada según el contexto

Ejemplo: Busca en internet el tamaño de un átomo, el diámetro de un pelo, la altura de la torre Colpatria en Bogotá, la distancia entre la tierra y la luna y el ancho de nuestra galaxia. Escoge la unidad y la notación apropiada que le permita escribir las diferentes medidas y compararlas. Justifica la elección. 1.2 Elige la estrategia adecuada para Ejemplo 1: Elige una estrategia para medir el grosor realizar una medición, según el grado de de una hoja de cuaderno. Ejemplo 2: Un médico precisión requerido. receta inyectar una dosis de 1cc de cierta medicina tres veces al día. En el empaque dice que un error superior al 10% por exceso puede causar la muerte del paciente y un error superior al 10% por defecto hace que la medicina no obre. ¿Qué estrategia debe seguir la enfermera para proteger al paciente? ¿Qué tipo de jeringa debe usar? 2.

Mediciones usando aproximaciones sucesivas

Justifica los resultados obtenidos mediante procesos de aproximación sucesiva, rangos de variación y límites en situaciones de medición.

2.1 Calcula longitudes de curvas, áreas o Ejemplo: Un objeto se desplaza sobre una trayectoria volúmenes usando aproximaciones que tiene la forma de la parábola y = desde el sucesivas. punto hasta el punto Calcula, mediante aproximaciones sucesivas, la distancia recorrida por el objeto. Realiza el proceso varias veces obteniendo cada vez una mayor precisión. Traza una gráfica que ilustre la situación. ¿Cómo halla



  

las coordenadas de los puntos A, S, T, P … y las magnitudes de los segmentos AS, ST, TP, …?

2.2 Tiene en cuenta el rango de variación Ejemplo: Un médico le prescribe a un enfermo tomar en procesos de medición. una dosis de 10 gramos de una medicina, cada 8 Mall as de aprendizaj es en matemáticas para grados décimo y once

62

horas por 3 días. La etiqueta del medicamento dice: “Atención. Luego de 8 horas queda 1/3 de la

medicina en su organismo. Si se excede los 14 gramos acuda inmediatamente a urgencias”. ¿La dosis

prescrita por el médico pone en peligro al enfermo? ¿Por qué? Hace una tabla y una gráfica que ilustren la situación. 3. Razones entre cantidades y medición de atributos. Resuelve y formula problemas que involucran magnitudes cuyos valores medios se suelen definir indirectamente como razones entre valores de otras magnitudes, tales como velocidad media, aceleración media o densidad media.

3.1 Resuelve problemas que involucran Ejemplo 1: Un ciclista en la vuelta a Colombia, razones entre magnitudes demora 2:30 horas en ir de Armenia a Cajamarca.Se imagina ´como pudo haber sido el recorrido del ciclista y hace las gráficas de la distancia recorrida con respecto al tiempo y la gráfica de la velocidad con respecto al tiempo durante ese recorrido. Compara las dos gráficas y analiza posibles incongruencias entre ellas o entre ellas y el contexto. A partir de las gráficas escribe una narración de los principales momentos de la carrera. (Imagínese que es un locutor narrando la vuelta a Colombia) Ejemplo 2: Explica qué mide el marcador de velocidad de un carro en un instante dado 3.2 Formula y resuelve problemas que Ejemplo 1: Averigua en internet cuál es la densidad involucran el valor medio de dos de dos materiales diferentes. Compara las magnitudes. densidades y explica en qué consiste la diferencia. Ejemplo 2: Hace una gráfica, coloca en el eje horizontal la edad y en el eje vertical el peso promedio de una persona desde que nace hasta los 60 años, con datos tomados de internet. A partir de la gráfica, formula y resuelve preguntas como: ¿Cuál es el peso promedio entre los 25 y los 40 años de edad? ¿Cuál es el peso promedio entre los 50 y los 60 años? ¿A qué edad el peso suele ser el máximo? 3.3 Plantea estrategias para medir y Ejemplo 1: Busca en internet qué es el IPC y diseña analizar la medida de cualidades, atributos o una estrategia para medir el IPC en su municipio. ideas abstractas. Ejemplo 2: Analiza la manera como se mide a las familias para asignarles el “Sisben”. Escribe un

comentario sobre esa medición y su significado. Ejemplo 3: Averigua en internet qué es el PIB, cómo se mide y para qué se utiliza. Busca los datos del PIB de Colombia y otros cinco países en los últimos 10 años y hace un pequeño ensayo comentando los cambios, las semejanzas y las diferencias. Ejemplo 4:


63

Analiza l a manera como se mide la “belleza” en el concurso de Miss Universo. Ejemplo 5: Averigua cómo mide la UNESCO el nivel de analfabetismo de un país. Analiza la manera cómo ha cambiado el índice de analfabetismo en los últimos 10 años en el mundo y en Colombia. Averigua cómo son las expectativas para el mundo y para Colombia para el 2020. 3.4 Plantea y resuelve problemas que Ejemplo1: Busca en un periódico reciente alguna involucran la medida de atributos noticia que dependa de la medición de algún atributo o cualidad. Analiza la forma como se definieron e hicieron las mediciones y escribe un comentario. Ejemplo 2: Analiza la manera como se miden en el colegio sus conocimientos de matemáticas. Escribe un pequeño ensayo analizando los aciertos y desaciertos de esa práctica y propone mejoras con su justificación.


64

Aprendizajes en pensamiento variacional, sistemas algebraicos y analíticos COMPRENSIONES Los estudia ntes comprenderán que… 





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Las funciones son una poderosa herramienta para modelar, manipular y predecir en si tuaciones en las cuales la variación de una variable está ligada a la variaci ón de otra. Es posi ble acercarse al i nfinito y manipularlo a través de construcciones matemáticas. El ál gebra es un lenguaje cuya escritura ideográfica universa l le permite a las matemática s y a la s ci encias expresar de manera unívoca relaciones entre variables. Es necesario leer, escribir e interpretar mensajes escritos en ese lenguaje. Las curvas en el pla no son una herramienta poderosa para presentar información acerca de la relación entre dos variables. Es necesario interpretar esta información en contextos de ciencias o cuotidianos. Identificar características propias de diferentes tipos de funciones es indis pensable para decidir qué usar para modelar si tuaciones. El cálculo y la derivada permiten describir, medir y manipular el movimiento y el cambio.

PREGUNTS ESENCIALES










¿Si hay que modelar una situación, cómo saber qué función s e debe elegir? ¿Cómo cambia la gráfica de una función si se hacen cambios a la función? ¿Qué se puede modelar usando funciones a trozos o funciones ra cionales? ¿Qué hay que hacer para interpretar la información consignada en una curva, que aparece en un periódico, una revis ta, internet o la TV? ¿Cómo juzgar la validez de una conclusión de un artículo, si se basa en información dada en una curva?

CONOCIMIENTOS




 

  



Funciones racionales, a trozos y función valor absoluto. Aritmética de funciones, suma, producto, compuesta, inversa. Sucesiones Razón de cambio promedio e instantáneo. Pendiente de la recta tangente. Definición de derivada. *Derivada de un monomio, de un poli nomio. *Relación entre la gráfica de una función y su derivada *Aplicaciones de la derivada: ratas de cambio, tangente a una curva, velocidad, gráfica de una curva, máximos y mínimos.














Traza las curvas de funciones ra cionales, funciones a trozos y función val or absoluto y resuelve ecuaci ones y desigualdades que involucran estas funciones. Efectúa operaciones entre funci ones. Hall a la inversa de una función. Halla el término siguiente, el término que ocupa un sitio dado o el patrón de formación en una sucesión representada en forma gráfica o algebraica. *Calcula la derivada de una función polinómica y traza la gráfica de la derivada. *Aplica las derivadas a calcul ar razones de cambio, tangentes a curvas, máximos o mínimos y curvas de funciones. *Relaciona la gráfica de una curva y l a de su derivada y las utiliza para modelar y analizar situaciones. Justifica lo que hace, usando ar gumentos i ntuitivos y matemáticos.


65

Evidencias, actividades de aprendizaje y recomendaciones pedagógicas 1.

Definición de función. Funciones racionales.

   

1.1 Explica la definición de función y determina Ejemplo: Compara con . Indica cuál cuando una relación es una función y cuando no. define una función de los reales en los reales y cuál no. Hace la gráfica correspondiente

1.2 Realiza diferentes operaciones entre Ejemplo1: Factoriza la expresión: 3 x3 2 -9 x1 2 +6 x-1 2 y expresiones algebraicas: sumas, productos, cocientes, resuelve la ecuación 3 x3/2 -9 x 1/2 +6 x -1/2 = 0. Ejemplo potencias. 2:Indica por qué las siguientes igualdades son falsas: y + Construye un

           contraejemplo en cada caso.

1.3 Define una función racional como Ejemplo: Calcula los valores de donde son dos para polinomios y Calcula el valor de una . Qué sucede si función racional para diferentes polinomios y diferentes valores de x.

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     

1.4 Reconoce que el dominio de una función racional son todos los reales excepto aquellos para los cuales .

Ejemplo 1: Indica cuál es el dominio y cuál el rango de la función racional:

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Ejemplo

2: Compara la función

con la función Indica las semejanzas y diferencias. Traza una gráfica que ilustre la situación.

  

1.5 Analiza la función para dos polinomios particulares y . Traza la gráfica e indica: dominio, rango, cortes con los ejes, donde crece y donde decrece. Justifica intuitivamente las respuestas. Analiza en qué consiste una asíntota y cuándo una función tiene asíntotas horizontales y cuándo tiene asíntotas verticales.

  

Ejemplo1: Analiza la función: Traza la gráfica e indica qué pasa cuándo y qué pasa cuándo se acerca a 1 por la derecha y por la izquierda. Indica qué sucede cuando tiende a infinito y a menos infinito. Indica cuál es el dominio y cuál el rango de la función. Muestra y justifica cuáles son las asíntotas horizontales y verticales de la función.




66

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Ejemplo 2: Argumenta por qué la función a pesar de ser una función racional, no posee asíntotas verticales. ¿Tiene asíntotas horizontales? ¿Por qué?

 

 

Ejemplo 3: Analiza la función g(x) = Determina el dominio, el rango y las asíntotas horizontales y verticales. Ejemplo 4: Analiza la función dada por la gráfica adjunta. Propone una representación algebraica y justifica la respuesta. Hace una tabla, con por lo menos 10 puntos (aproximados) que pertenecen a la función.

Funciones a trozos. Función valor absoluto.

1.6 Define una función a trozos dividiendo el dominio Ejemplo 1. Analiza y traza la gráfica de la función: en dos o más pedazos, y definiendo los valores de la función de forma particular para cada pedazo Indica el dominio y el rango de la función f(x).

      


67

Ejemplo 2: Dada la siguiente gráfica definida a trozos, determinar su representación algebraica.

1.7 Reconoce la función “valor absoluto” como la

función definida a trozos así: |x|=

 

Analiza la función. Determina el dominio y el rango. 1.8 Traza gráficas de funciones que involucran valor absoluto

1.9 Resuelve ecuaciones y desigualdades que involucran valor absoluto por medios algebraicos o gráficos.

Ejemplo: Traza la gráfica de la función: f(x) = | +x| - 2 y la compara con g(x) = Indica cuál es el dominio y cual el rango de cada una.

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Ejemplo: Resuelve la ecuación: resuelve la desigualdad: gráfica anterior

y analizando la

2. Operaciones entre funciones. Función inversa. Realiza diferentes operaciones entre funciones: suma, resta, multiplicación, composición y halla la función inversa cuando existe.

2.1 Realiza funciones.

operaciones

aritméticas

                   

entre Ejemplo: Dadas las funciones: y , halla la función

    determina

2.2

Calcula la compuesta de dos funciones

      

Ejemplo

función:


1:

,

y el dominio y rango de .

Dadas las funciones: y , halla la h: f compuesta con g, 68

                  , k: g compuesta con f y s: Determina , y el dominio y rango de y de . Qué relación hay entre Ejemplo 2: La función se puede escribir como compuesta ¿de cuáles funciones? ¿en qué orden?

       

2.3 Comprende que una función f es la inversa de una Ejemplo1: Muestra que la función función g si y sólo si para cualquier del es la inversa de la función dominio y calculando y *2 -3 x 2x 2x -3

   

     



*1/2 +3 Ejemplo 2: Muestra que las funciones f(x) = son la una inversa de la otra.

 2.4 Determina cuándo existe la inversa de una función y la halla si existe. Determina, a partir de la gráfica de una función y de la definición de función, cuándo existe inversa y cuándo no.

,



y g(x)=

Ejemplo 1: Analiza la gráfica siguiente y determina que la función no tiene inversa y justifica por qué. Ejemplo 2: Determina cuáles de las siguientes funciones tienen inversa y cuáles no y justifica su respuesta. , = , . Ejemplo 3: Para las funciones f y g, averigua si la función tiene i nversa, halla la inversa y traza las gráficas de la función y su inversa en los mismos ejes. Analiza sus relaciones geométricas. .

                

Funciones trigonométricas inversas

2.5 Determina cuáles funciones trigonométricas Ejemplo 1: Restringe el dominio de la función seno de tienen inversa. Halla las inversas y sus gráficas. tal manera que tenga inversa y la define. Traza la Restringe el dominio de tal manera que exista la gráfica. función inversa y traza su gráfica con ayuda de alguna aplicación tecnológica.


69

2.6 Utiliza las funciones inversas para resolver ecuaciones

           

Ejemplo: Resuelve la ecuación: ¿Para qué valores de x entre ? ¿Qué respuesta le da la calculadora para ? ¿Cuáles son todas las soluciones de la ecuación: y por qué? Analiza la gráfica de la función sen(x) y resuelve la ecuación a partir de la gráfica. Las coordenadas x de los puntos de corte de la gráfica de la función seno con la recta y=1/2 son las soluciones de la ecuación

  

  

¿Por qué?

3 Aplicaciones de funciones. Modelación. Comprende y compara las propiedades de los diferentes tipos de funciones que conoce y las usa para resolver problemas y modelar situaciones

3.1 Comprende y compara las propiedades de Ejemplo 1: traza la gráfica y analiza las funciones: funciones polinómicas, racionales, a trozos, valor y h(x) = absoluto, exponenciales, logarítmicas y . ¿Cuál es el domini o y cuál el rango de cada trigonométricas. una y por qué? ¿Hay alguna periódica? Si hay, halle el período. Estima el valor de Ejemplo 2: Usando tecnología, como la aplicación Wolfram Alpha, o Geogebra, traza las gráficas de las funciones y , analiza sus diferencias y calcula el valor de Ejemplo 3: Traza las gráficas y analiza el comportamiento de las funciones: y g(x) = Indica cuál es el dominio y cuál el rango de cada una y justifica su respuesta. ¿Qué relación hay entre las dos funciones?

                      


70

3.2 Resuelve ecuaciones sencillas que involucran Ejemplo 1: Halla las soluciones de la ecuación sen(x) = funciones polinomiales, racionales, exponenciales, Ejemplo 2: Halla todas las soluciones de la logarítmicas y trigonométricas ecuación:

 

  

3.3 Resuelve desigualdades sencillas que involucran Ejemplo: Halla las soluciones de las desigualdades expresiones algebraicas y trigonométricas usando métodos gráficos o algebraicos: y Qué valores de x satisfacen ambas desigualdades?

       

Modela diferentes situaciones usando funciones.

3.4 Identifica relaciones cuantitativas en una situación y determina la(s) clase(s) de funciones que podrían modelar estas relaciones

Ejemplo: Propone una función (puede ser a trozos) que modele la siguiente situación: La empresa HH inició actividades en el 2000. Los dos primeros años las ganancias fueron moderadas, pero aumentaron constantemente. Luego vinieron cuatro años excelentes, las ganancias aumentaron cada vez más y al finalizar el 2006 obtuvieron las mayores ganancias de su historia, situación que se mantuvo estable por un año, pero vinieron circunstancias difíciles en el mercado, las ventas bajaron considerable mente y las ganancias disminuyeron cada vez más hasta llegar a tener pérdidas durante los años 2010 y 2011. Pero se logró recuperar, han venido aumentando las ganancias desde entonces y al finalizar el 2014 reportan unas ganancias del 75% de las reportadas en el 2007. Justifica su escogencia.

3.5 Usa propiedades de las funciones para modelar situaciones particulares

Ejemplo 1: Analiza la diferencia en la manera como crece una función lineal, una polinomial, una logarítmica y una exponencial y busca situaciones que se puedan modelar con cada una de ellas. Ejemplo 2: En un laboratorio hacen un experimento con un cultivo de bacterias. Si el experimento se inicia con 500 bacterias y el número se dobla cada media hora, ¿cuántas bacterias habrá en cuatro horas? Plantea una función que modela la situación y hace una gráfica. Si en el laboratorio pueden tener máximo 100 millones de bacterias, ¿cuánto tiempo máximo pueden continuar con el experimento? 3.6 Interpreta información presentada en forma Ejemplo: En una revista aparece la siguiente gráfica gráfica. que representa las ventas de cierta empresa durante


71

sus 23 años de existencia. A partir de la gráfica escribe un reporte indicando en palabras cuál ha sido ese comportamiento 4

Sucesiones

4.1 Reconoce una sucesión como una lista infinita de números, que siguen cierto patrón. Dada una sucesión, encuentra el término siguiente a un término dado y describe el patrón general

Ejemplo 1: Dada la sucesión: 3, 6, 9, 12, 15, … indica que a1=3, a2=6 , a3 = 9 , a4= 12 , a5= 15, …, el término

que sigue a , a5 es a6 =18. A un término cualquiera an le sigue el término, a n+1 = an+3 y un término cualquiera se puede escribir como: an= 3n , donde la n de an sirve para indicar el puesto que ocupa ese número en la fila, o para contar el número de elementos que hay hasta an en la sucesión. El número an= 3n describe el patrón de formación de esta sucesión. El número a 1 = 3x1 es el primer término, a 2 = 3x2 el segundo término, a 3 = 3x3 el tercer término y an = 3xn el enésimo término de la sucesión. Ejemplo 2: Halla los 6 primeros términos y el término 20 de la sucesión: an = n2 – (-1) n, y de la sucesión: a1=2 y an=1/an-1 Ejemplo 3: Encuentra el décimo término y el término general de la siguiente sucesión, y los representa en forma gráfica y numérica. Justifica su respuesta con argumentos algebraicos o geométricos:

Aplicaciones de las sucesiones

4.1 Usa las sucesiones para calcular interés compuesto

Ejemplo 1: En cierta ciudad el valor de las casas aumenta el 10% anual, Si Carlos compra una casa en 50 millones, ¿cuánto costará al final de 1, 2, 3 y 4 años? ¿Después de cuánto tiempo vale el doble? Hace una tabla representando esos valores. Ejemplo 2: María recibe dos ofertas de trabajo: el sueldo inicial es en ambos casos 2 millones de pesos, pero en una le prometen un aumento anual de $100.000 mientras en la otra le ofrecen un aumento del 4.5% al final de cada año. ¿Cuál es el sueldo en cada caso, al inicio de cada uno de los 10 primeros años? Si María piensa permanecer 20 años en esa empresa, ¿cuál oferta es mejor y por qué? Si sólo piensa permanecer 5 años, porque quiere estudiar luego, ¿cuál oferta es mejor y por qué? Ejemplo 3: En una fábrica compran en un millón de pesos una máquina que pierde el 20% de su valor cada año. ¿Cuánto vale al final de los tres primeros años? Escribe una fórmula que le permite calcular rápidamente cuál sería un precio justo si


72

4.2 Comprende y representa en forma algebraica o gráfica sucesiones provenientes de diferentes contextos. Halla el término siguiente, el término que ocupa un sitio dado o el patrón de formación

quieren venderla después de n años de uso para comprar otra y usando la fórmula calcula en cuánto la debería vender después de diez años de uso. Ejemplo 1: Analiza la siguiente sucesión. ¿Qué relación hay entre los números y los dibujos de la gráfica? Halla el término siguiente, el término que ocupa el lugar 10 y el término general en forma gráfica y algebraica.

Ejemplo 2: Analiza la siguiente sucesión. Halla el término siguiente, el término que ocupa el lugar 10 y el término general. Un pedazo de alambre tiene la forma de M como se muestra en la figura. Se hacen cortes paralelos a las puntas sin tocar éstas. Cuando se hace un corte se producen 5 pedazos de alambre. Cuando se hacen dos cortes se producen 9 pedazos, cuando se hacen 3 cortes se producen 13 pedazos. ¿Cuántos pedazos se producen cuando se hacen 15 cortes de este mismo tipo? ¿Cómo es la sucesión del número de pedazos según el número de cortes?

5.

La Derivada

Interpreta la noción de derivada como: el valor de la pendiente de la recta tangente a la gráfica de una función; la razón de cambio instantánea de una función en un punto. Calcula la derivada de algunas funciones básicas. Aplica la derivada al cálculo de la velocidad instantánea y al trazado y análisis de curvas. 5.1 Dada una función “suave” (con gráfico que se Ejemplo. Con Geogebra dibuja la función puede hacer sin levantar la mano y que no tiene pi cos , el punto A(1,2) y un punto o quiebres), encuentra el valor de la pendiente de la movible C(1+h, f(1+h)) donde h varia de 1 hacia 0. recta secante que pasa por los puntos (a, f(a)) y (b, Dibuja el punto D que es la intersección de las rectas f(b)), con b = a + h, para h una cantidad positiva paralelas a los ejes que pasan por A y C. Escribe la pequeña. Luego encuentra el valor de la pendi ente de pendiente de la recta secante que pasa por A y C. la recta secante manteniendo fijo el valor de a, y Varia h de tal manera que el punto C se acerque al variando h, de tal manera que h es más pequeño cada punto A. Hace una tabla de los valores de la vez. Repite el ejercicio para varios valores de h y hace pendiente de la secante cuando el punto C se mueve una tabla hacia A, es decir, con valores de h cada vez más pequeños. ¿El valor de la pendiente tiende a un valor límite? ¿Qué dicen la gráfica y la tabla?

  


73

5.2

h

(f(1+h)f(1))/h

1

1

0,8

1,2

0,6

1,4

0,4

1,6

0,2

1,8

0,1

1,9

0,01

1,99

0,001

1,999

Usa la definición de derivada

Ejemplo 1. Usa la definición de derivada       para calcular la derivada deunmonomio.   para calcular la derivada       de    en .     =          f´(2) = 4. 5.3 Usa la definición de la derivada para comprobar las reglas de derivación: la derivada de una constante, la derivada del producto de una constante por un monomio, la derivada de la suma de dos monomios, la derivada de un polinomio. 5.4 Interpreta la derivada de una función como otra función. Si es la expresión que define cierta función, entonces , también es una función. Relaciona la gráfica de la función y la de su derivada. Toma un punto P(a, f(a)) e indica qué información sobre la función da f´(a).

   

               

Ejemplo: Encuentra la derivada en función polinomial:

de la

Ejemplo: Si , halla la derivada . Traza y compara las dos gráficas. ¿Cómo es la gráfica de f cuando x varía entre -4 y 0? ¿Cómo son los valores de f´ en ese intervalo? ¿Cómo es la gráfica de f cuando x= 0? ¿Cómo es la gráfica de f´ en x=0? Cómo es la gráfica de f cuando x varía entre 0 y 4? ¿Cómo son los valores de f´ en ese intervalo? Para x=2, ¿qué significa f´(2)?


74

5.5 Dada una función f(x), determina la ecuación de Ejemplo: Halla la ecuación de la recta tangente a la la tangente a la curva en un punto y traza la gráfica. curva, , en el punto La recta tangente a la curva en el punto es: , ya que f´(a) es la pendiente m de la recta tangente a la curva en el punto (a, f(a)).

   



5.6 Analiza la relación entre la derivada de una función y la gráfica de la función. Razona acerca del valor de la pendiente en , y el comportamiento de la gráfica de la función. Si el valor de la pendiente en P es un número positivo la función en ese punto es creciente, si es negativo la función decrece y si es cero ni crece ni decrece



  





Ejemplo: Considera la función , en los intervalos [-2,-1] y [1,2]. La derivada de f(x) es f´(x) = 0.6x, luego en el intervalo [ 2,-1] la variable es negativa y por tanto la derivada es negativa, pero la derivada en un punto es la pendiente de la recta tangente a la curva en ese punto luego las tangentes a la cueva en el intervalo [ 2,-1] son negativas, como en el punto E y la función decrece como se parecía en la gráfica. ¿Qué pasa entre [1,2]?

  



Aplicaciones de la derivada

5.7 Utiliza la derivada para modelar una situación Ejemplo 1: Una compañía fabrica pequeñas piezas de cuotidiana e interpreta y expl ica con palabras cuál es material quirúrgico en forma de esferas de 5 el significado de la derivada milímetros de radio y debe mantener una gran precisión en sus productos. ¿Cómo cambia el volumen de sus piezas cuando cambia la longitud del radio entre 5 y 6 milímetros? ¿Cómo es la medida del cambio instantáneo cuando el radio vale 5 milímetros? Si el error en el volumen no puede ser superior al 5%, qué error puede haber al medir el radio? Si al medir el radio se detecta un error del 2%, es necesario desechar la pieza? Mall as de aprendizaj es en matemáticas para grados décimo y once

75

5.8 Usa el concepto de derivada de una función para modelar situaciones en las que interviene la velocidad o la aceleración de un cuerpo en movimiento

Ejemplo: Un ciclista que participa en la Vuelta a Colombia, corre la etapa Armenia – Ibagué. Traza una gráfica de la función que representa la distancia recorrida con respecto al tiempo y otra de la velocidad con respecto al tiempo durante el recorrido de la etapa. Escribe qué hipótesis hizo para trazar las gráficas y muestra que las dos gráficas son coherentes. ¿Si f(x) es la gráfica que representa la distancia recorrida por el ciclista desde la partida hasta la llegada, cuál es la gráfica de la velocidad?

*Mínimos o máximos, gráficas de funciones.

5.9 Usa el concepto de derivada de una función Ejemplo: Según cierto modelo, la velocidad con que para modelar situaciones en las que es necesario sale el aire cuando uno tose depende del radio r en hallar mínimos o máximos que se contrae la tráquea y es igual a v(r) = k(r 0 – r) r2 donde k es una constante, r0 es el radio normal de la tráquea y r0 /2< r < r0 . ¿Cuál es el valor de r cuando la velocidad del aire es máxima? 5.10 Usa el concepto de derivada de una función para trazar gráficas de funciones. Dada la gráfica de la función esboza la gráfica de la derivada o viceversa.



Ejemplo 1: Traza la gráfica de la función: que pasa por el origen, a partir de la gráfica de su derivada: . Para , ¿qué le dice sobre la gráfica de la función si conoce la gráfica de la derivada? Ejemplo 2: Indica, a partir de la gráfica de su derivada dónde tiene un máximo o un mínimo la función: y explica intuitivamente por qué.


     

76

Aprendizajes en pensamiento aleatorio y sistemas de datos COMPRENSIONES Los estudia ntes comprenderán que… 







Los estudios estadísticos permiten inferir o predecir resultados a partir del anál is is de datos. Es posible soportar la validez de una conjetura basándose en argumentos provenientes de la probabilidad. La mayoría de fenómenos naturales no son determinísticos, tienen una componente estocástica alta. Es necesari o analizar y juzgar l a val idez de notici as o estudios donde aparecen inferencias basadas en razonamientos estadísticos.

PREGUNTS ESENCIALES








¿Cuál representación gráfica sirve para visualizar y entender mejor un conjunto de datos? ¿Qué medidas estadísticas permiten resumir y entender cierta información? ¿Cómo se puede responder una pregunta utilizando información recogida por medio de una encuesta? ¿Qué medidas estadísticas y representaciones gráficas es mejor usar? ¿Cuándo y cómo se puede usar la probabili dad para determinar qué tan cierta es una afirmación?

CONOCIMIENTOS




 

La representación e interpretación de datos: población, muestra, vari able al eatoria, distribución de frecuencias, parámetros y estadígrafos Variables aleatorias categóricas o continuas, variables cualitativas y cuantitativas. Inferencias y conclusi ones: Probabilidad condicional y reglas de probabilidad












Interpretar nociones básicas relacionadas con el manejo de información como población, muestra, variable aleatoria, distribución de frecuencias, parámetros y estadígrafos. Relacionar parejas de variables cualitativas y cuantitativa s. Resumir y representar los conjuntos de datos correspondientes en tablas y gráficas . Justificar o refutar inferencias basadas en razonamientos estadísticos a partir de estudios publicados en los medios o diseñados en el ámbito escolar. Evaluar procesos al eatorios soportados por experimentos estadísticos. Hacer inferencias y justificar las conclusiones con base en muestras de encuestas, experimentos y estudios observacional es. Manejar, interpretar y reconocer conceptos de probabilidad condicional e independencia en el devenir cotidiano. Usar las reglas de probabilidad para calcular probabilidades de eventos compuestos en modelos cuyos eventos simples son igualmente probables.


77


1.

Representación e interpretación de datos

Interpreta nociones básicas relacionadas con el manejo de información como población, muestra, variable aleatoria, distribución de frecuencias, parámetros y estadígrafos. Estudia variables aleatorias categóricas o continuas mediante representaciones gráficas y medidas estadísticas de datos. 1.1 Reconoce si una variable puede tomar Ejemplo: Clasifica si la variable es continua o cualquier valor en un intervalo de los reales, o discreta en los siguientes casos: estatura de los toma valores discretos. miembros de su familia, color de ojos, colores en un conjunto de flores, nota final en el curso de matemáticas. 1.2 Reconoce si los datos provienen de una Ejemplo: Se tienen los datos de las calificaciones distribución normal y usa tablas y hojas de de un grupo de 40 estudiantes. Realiza el cálculo para calcular áreas bajo la curva normal y histograma y superpone una curva normal con la porcentajes poblacionales. media y la desviación de las calificaciones. Suponiendo que los datos provienen de una población normal, el profesor decide que le coloca excelente al 15% más alto, ¿cuál es la mínima calificación para obtener excelente en la evaluación? Si el profesor decide que reprueban con una calificación de 2,8, ¿qué porcentaje del grupo pierde el examen? Relaciona parejas de variables cualitativas y cuant itativ as. Resume y representa los conjuntos d e datos correspondientes en tablas y gráficas.

1.3 Usa una hoja de cálculo o un software Ejemplo: Ajusta los datos de la cantidad de agua como Excel o Geogebra para hacer la función de que se le suministra a una planta y su ajuste a un grupo de datos crecimiento en determinado periodo de tiempo. Interpreta modelos lineales.

1.4 Interpreta la pendiente y el intercepto de Ejemplo: Realiza un experimento con un resorte: un modelo lineal en términos de los datos. toma un resorte, mantiene una punta fija y coloca distintos pesos en la otra, mide la elongación con respecto al peso aplicado por lo menos para 10 pesos diferentes y hace una tabla y una gráfica. Determina la recta que mejor se ajusta a los datos con respecto a la elongación y la fuerza aplicada. Interpreta la pendiente y el intercepto de la recta. Averigua en internet acerca de la ley de Hook para resortes. 1.5 Calcula, usando tecnología, el coeficiente de Ejemplo 1: Calcula la correlación entre la correlación en un ajuste lineal e interpreta el elongación y la fuerza aplicada, en el ejemplo del resultado. resorte (1.4). Averigua si se acerca a uno en valor absoluto. ¿Qué quiere decir esto con respecto a la relación lineal entre las dos Mall as de aprendizaj es en matemáticas para grados décimo y once

78

variables? ¿Qué tiene que ver el signo de la correlación con la pendiente de la recta, en caso de una relación lineal? Ejemplo 2: Obtiene datos en Internet del PIB y el porcentaje de analfabetismo de varios países de todos los continentes. Halla el coeficiente de correlación entre estas dos variables. ¿Se acerca a uno en valor absoluto? ¿Qué información puede concluir de la magnitud y signo de esta correlación, con respecto a una posible relación lineal entre las dos variables? Interpreta los resultados y escribe un reporte sobre el tema: “Relación entre el PIB y el analfabetismo”. 2.

Inferencias y conclusiones

Justifica o refuta inferencias basadas en razonamientos estadísticos a partir de estudios pu blicados en los medios o diseñados en el ámbito escolar. Comprende y evalúa procesos aleatorios soportados p or experimentos estadísticos.

2.1 Formula una pregunta y diseña un experimento que le permita responderla. Identifica cuál es la muestra más conveniente, qué estadísticos puede utilizar para analizar los datos y cuál es la representación gráfica más pertinente. Realiza el proyecto correspondiente y analiza su desarrollo y la validez de sus resultados

Ejemplo: Suponga que usted quiere saber cuáles son las mejores condiciones para el crecimiento del fríjol que se da en su región, evitando una plaga típica de ese fríjol. Desea analizar la cantidad de agua, de luz, de determinado fertilizante, de plaguicida, etc. Para poder sacar conclusiones hace distintas combinaciones de los factores: agua, iluminación, fertilizante, plaguicida. Decide si estas variables van a ser cuantitativas, como medición de la cantidad de agua suministrada diariamente en centímetros cúbicos o cantidad de fertilizante diario también en centímetros cúbicos o si va a considerar variables cualitativas, como: se le suministra fertilizante o no, se le suministra plaguicida o no, o cuál de distintos tipos de plaguicida usa, etc. Decide cuántas combinaciones de estos factores va a usar y cuántas plantas de fríjoles va a sembrar, para cada una de las combinaciones de estos factores. Decide cómo va a medir la variable de respuesta: podría ser el crecimiento del tallo o el número de fríjoles por planta, después de cierto período de tiempo. Analiza qué estadísticos va a usar: promedio de crecimiento o de número de fríjoles por planta en cada combinación de factores, variabilidad en cada combinación, etc. Indica cómo va a ilustrar gráficamente los resultados: podría hacer


79

diagramas de caja para cada combinación y ponerlas todas en una misma gráfica u otras que se le ocurran. Piensa cuál es la más apropiada y por qué. Discute con sus compañeros las estrategias propuestas por cada uno y deciden cuál es la más pertinente y por qué. Realizan en grupos pequeños el proyecto correspondiente y analizan su desarrollo y la validez de sus resultados. 2.2 Usa la estadística para hacer inferencias Ejemplo: Toma 10 estudiantes del curso, obtiene acerca de los parámetros de una población, datos de su estatura, calcula la media y hace una basándose en una muestra de esa población. inferencia sobre la estatura de los estudiantes de su clase. Analiza el proceso y argumenta sobre la validez del resultado. ¿Si generaliza las conclusiones de su estudio a los estudiantes de undécimo de Colombia, qué tan válidas es? ¿Por qué? Hace inferencias y justifica las conclusiones con base en muestras de encuestas, experimentos y estudios observacionales.

2.4 Es consciente de que el tipo de muestra que debe escoger depende del estudio poblacional que esté realizando. Entiende la importancia de la aleatoriedad en la muestra.

Ejemplo: Determina el método que utilizaría para predecir el resultado de la elección de alcalde en su municipio. Discute con sus compañeros los métodos propuestos por cada uno y deciden cuál es el más conveniente y por qué. 2.5 Utiliza medidas de tendencia central y Ejemplo: Compara la estatura promedio de variación, así como diagramas de barras, tortas e hombres y mujeres en su clase. Realiza un histogramas, para comparar y hacer inferencias diagrama de barras con la estatura promedio en acerca de una o más poblaciones. el eje vertical y género en el horizontal. A partir de esto infiere acerca de la diferencia de estatura según el género, para adolescentes de esa edad. Justifica la validez de su respuesta. 3. Probabilidad condicional y reglas de probabilidad Interpreta conceptos de prob abilidad con dicional e independencia de eventos. Maneja y reconoce el uso de los conceptos de probabilidad condicional e independencia en el devenir cotidiano.

3.1 Dados dos eventos A y B, determina el Ejemplo: Se tomaron 100 muestras de cierto significado de la probabilidad condicional de A alimento que venden a la salida del colegio. 30 dado B y la calcula en casos sencillos tenían bacterias tipo A, 40 tenían bacterias tipo B, 10 tenían los dos tipos de bacterias. Dado que tiene bacterias, calcula la probabilidad de que sean bacterias tipo A. 3.2 Comprende la noción de eventos Ejemplo: Se tomaron 100 muestras de cierto independientes y determina si dos eventos son alimento que venden a la salida del colegio. 30 independientes usando que la probabilidad muestras tenían bacterias tipo A, 40 tenían condicional de A dado B es la misma probabilidad bacterias tipo B, 10 tenían los dos tipos de


80

de A.

bacterias. ¿Tener bacterias tipo A es independiente de tener bacterias tipo B? 3.3 Reconoce y explica los conceptos de Ejemplo: Analiza la siguiente situación: Está probabilidad condicional e independencia en conduciendo embragado, cuál es la probabilidad contextos cotidianos. de que tenga un accidente. Usa las reglas de probabilidad para calcular probabilidades de eventos compuestos en modelos cuyos eventos simples son igualmente probables.

3.4 Conoce la diferencia entre permutaciones y combinaciones. Usa estas técnicas de conteo para calcular probabilidades de eventos compuestos y resolver problemas.

Ejemplo: Se escogen dos alumnos aleatoriamente para representante y secretario del representante en una actividad del colegio. ¿Cuál es la probabilidad de que queden Pepito Pérez y Juanita González respectivamente? Se escogen dos alumnos aleatoriamente para representantes en una actividad del colegio, ¿cuál es la probabilidad de que queden Pepito Pérez y Juanita González como representantes? 3.5 Aplica la regla de la adición Ejemplo: De los 40 niños de grado décimo, 22 , para calcular la niños juegan fútbol, 20 juegan basquetbol y 12 probabilidad de la unión de dos eventos, así juegan ajedrez. Diez niños juegan fútbol y como la regla del complemento basquetbol, 5 juegan fútbol y ajedrez, ocho niños . juegan basquetbol y ajedrez y tres practican los tres deportes, ¿cuál es la probabilidad de que un niño juegue fútbol o basquetbol? ¿Cuál es la probabilidad de que solamente realice una de estas tres actividades? ¿Cuál es la probabilidad de que practique ajedrez dado que juega basquetbol? ¿Cuál es la probabilidad de que no practique ninguna de estas tres actividades?

 

 


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Recomendaciones didácticas La educación media es el puente entre la escuela y el trabajo o la educación postsecundaria, pero el enlace entre una y otros es la prueba Saber 11. Una de las primeras recomendaciones al maestro es que sea consiente de los conocimientos que traen los alumnos de los años anteriores, pues muchos de estos serán evaluados en la prueba Saber 11. Esta prueba es l a l lave que abre o cierra oportunidades claves para los estudiantes: becas, préstamos, admis ión a instituciones de educación postsecundaria, oportunidades de empleo, etc. Por tanto, es responsabilidad de la escuela y el maestro sumini strar al estudiante todos los elementos a su al cance para que ll egue al examen con l a mejor prepara ción posi ble, sin desconocer que es el esfuerzo del estudiante, lo que él ha aprendido y su interés por conocer, los que determinan su resultado en la prueba. Temas de undécimo como el estudio de funciones y sus gráficas ofrecen espacios para repasar y profundizar en l os conocimientos bási cos de años a nteriores. La matemática de los grados décimo y undécimo se construye sobre la matemática de l a educaci ón básic a, profundizando y generalizando los conceptos y agregando nuevas formas de ver y hacer matemáticas. Las matemáticas son como una escalera de caracol en la que cada idea s e apoya en las ideas a nteriores y cada vez se visi tan los mismos lugares, pero un pis o más ar riba y se ven de manera más general, más abs tracta, más profunda o se apl ica n a nuevos temas . La media es el momento de sol idi ficar, conectar, aplic ar, fundamentar y expandir los conoci mientos de la educación bás ica . La comprensi ón de las características propias de la s formulaciones algebraicas y las representaci ones gráficas de cada una de estas funciones, permite usarlas para modelar diferentes situaciones y hacer predicciones. La comprensión y destreza en las operaciones entre los diferentes tipos de números, que se adquiere en la educación básica, soporta la comprensi ón y destreza en la manipula ción de expresi ones algebraic as, que se desarrol la en 9, 10 y 11 y que es el lenguaje que usan las matemáticas y las ciencias para expresarse. Un objetivo de las matemáticas en estos grados es adquirir la destreza necesaria en el manejo de este lenguaje, indispensable para comprender las ideas matemáticas más avanzada s, para ejercitar se en los procedimientos y para ha cer matemáticas . El manejo de expresi ones algebraicas depende de la comprensión sólida del manejo de los números, sus operaciones y propiedades. Por ejemplo, cuando al resolver una ecuación se divide una expresión por x es necesario tener presente que esta x no puede tomar el valor cero. O si al resolver una desigualdad se multiplica algo por x, es necesario tener en cuenta si x toma valores positivos o negativos ya que el comportamiento de la situación varía en cada caso. El tema central de once son las funciones. En primer lugar, se cuenta con un número interesante de funciones, con diferencias algebraicas y l as gráficas que hay que tener presentes para poder usarl as para modelar si tuaciones y hacer predicci ones. Esa visión de las funciones sustenta l a comprensión de la noción de derivada y s us a plicaciones para medir el cambio, hallar la tangente a una curva o trazar la gráfica de una función. La importancia de la derivada radica en comprender su significado, no en aprender fórmulas acerca del cálculo de derivadas de diferentes funciones. Las ideas geométricas acerca de polígonos, sólidos o localización de puntos y objetos en el espacio desembocan en la educación media en l a geometría anal ítica donde, con la ayuda de la cor respondencia entre puntos y parejas de números, se refuerzan mutuamente el álgebra y la geometría. Se tiene entonces una nueva herramienta para probar afirmaciones geométricas y la resolución de ecuaciones o desigualdades algebraicas cuenta con un nuevo recurso. El estudio de las rectas y su r elación con la proporcional idad di recta l leva al estudio de la pendiente que soporta la noción de derivada. El manejo y representaci ón de algunos pocos datos, que se va cons truyendo a través de la educ aci ón bás ica y que permite inicialmente extraer información evidente con argumentos intuitivos, desemboca en herramientas cada vez más sofisticadas que permiten examinar y analizar con precisión grandes volúmenes de datos y hacer predicciones con


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probabi lidades de éxito cada vez mayores. El uso de herramientas tecnológica s es un apoyo indis pensable en esta ár ea. El paso del pensa miento determinístico al estocástic o, de un mundo en donde l as afi rmaciones son verdaderas o fa ls as a un mundo en donde las a fir maciones son verdaderas con cierta probabilidad, es otra de las grandes trans formaciones que se deben lograr en el paso por la educación media. Para l a construcción del conocimiento matemático es necesari o planear actividades que permitan al estudiante rel aci onar lo que sabe con las nuevas ideas, así como aplicarlas en diversos contextos. Es importante mantener un balance entre la comprensión de las ideas fundamentales, la ejercitación y el dominio de los procedimientos y algoritmos, el uso y apli cación de las ideas matemáticas a otras di sci plinas y el desarroll o de competencias matemáticas como proponer y resolver problemas, razonar y comunicars e usando l as matemáticas. Con el fin de interesar al estudiante en el estudio y profundización de los temas de este grado, se sugiere solicitarle que averigüe por la his toria de ideas como la definici ón de número real o de función, el infinito, o el desarroll o de las ideas d el cálcul o, que soportan la ciencia y l a técnica de hoy. Aprender y comprender autónomamente es un requisito indispensable en la preparación de los estudiantes para su ingreso a l a educación postsecundari a, al mundo del trabajo y al ejercici o responsabl e de la ciudadanía. Sólo así podrá aprovechar las oportunidades que le ofrece hoy la tecnología, de aprender de manera gratuita casi cualquier cosa que desee aprender, oportuni dades que seguramente serán muchísimas más en el momento en que terminen su vi da escol ar. El maestro debe proveer al estudiante de oportunidades que le permitan: generar y explorar conjeturas, nuevos problemas e ideas propi as ; trabaj ar colaborativamente con otros; r eflexionar sobre l o que sa be, sobre lo que comprende y sobre lo que no comprende y decidir cómo puede mejorar. Este tipo de actividades propician el desarrollo de la autonomía y el pensamiento crítico y creativo, atributos que debe tener un individuo para desempeñarse como ci udadano en el siglo XXI. Hoy es no sólo conveniente sino indispensable integrar la utilización de herramientas tecnológicas en la clase de matemáticas. El objetivo no es evitar que los estudiantes adquieran las destrezas necesarias en el uso de procesos y procedimientos matemáticos. La tecnología permite la solución de problemas complejos, el trabajo con datos reales, permite explorar nuevos campos o profundizar en aspectos que el estudiante considere interesantes, pero entre los impactos más grandes de la tecnología hoy están el haber puesto el conocimiento al alcance de todas aquellas personas que tienen el interés por aprender y l a capacidad de aprender autónomamente y el haber hecho reali dad la posibilida d de ser parte de comunidades global es de aprendices. El uso de l a tecnología ha tenido tres gra ndes impactos en la educaci ón en l os últimos años: primero democratizó el conocimi ento poniendo l a informaci ón al alcance de todos. Luego si mplificó la comunicación y la hizo fácil, ágil y segura y recientemente facilitó la interacción entre personas de todo el mundo, con herramientas que permiten ver y hablar en tiempo real, gratuitamente o a muy ba jos costos. Es i mposibl e prever qué nos demandará el futuro, pero es respons abilidad de la escuela y el maestro mostrar, i nteresar y capacitar al estudiante en el uso de l os desar rollos tecnológicos a ctuales para prepararl o para que aproveche los que con seguridad se seguirán generando. No ha cerlo es como obligar lo a recorrer grandes di stanci as a pi e y empeñars e en que no conozca l as enormes ventajas y ni use las posibilidades que ofrecen hoy los diferentes medios de transporte. Recursos como software, wikis, páginas web, blogs, publicaciones de otros docentes o estudiantes en la red, proyectos global es, Moocs, etc. ofrecen tanto a estudiantes como a docentes apoyos muy importantes en su l abor de a prender y apoyar el aprendizaje.

Indicaciones para la evaluación formativa La evaluación constituye un elemento fundamental en el aprendizaje. No debe ser un proceso independiente, es parte integral de la planeaci ón y del desarrollo de cada clas e, de cada uni dad, de cada ac tividad. La eval uaci ón permite conocer


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los avances con respecto a los objetivos de aprendizaje, logros, progresos o dificultades y las oportunidades de mejoramiento. Debe ser el indi cador que le dice al maestro: ¿Qué comprendieron? ¿Cómo comprendieron? ¿Qué hago para mejora r? al joven: ¿Cómo voy? ¿Qué va cíos tengo y qué debo ha cer para l lenarl os? y al padre de familia : ¿Cómo va mi hi jo? ¿Cómo l o puedo apoyar para que mejore? La evaluación también le da información a la escuela sobre su desempeño y el desempeño de cada uno de sus miembros; y a l a soci edad sobre la escuela y el futuro de s us ciudadanos, i nformación que le permite al estado tomar decis iones fundamentadas. Para l ograr lo anterior, la evalua ción debe incl uir comentari os explícitos acerca de las razones que ll evaron a ese juici o y los criterios y resultados de la evaluación s iempre deben ser conocidos prontamente por los estudiantes. Las actividades de evaluaci ón deben ser s imil ares a lo hecho y desarroll ado en clas e, ofreciendo retos y diferentes niveles de compleji dad, que permitan que c ada cual pueda autoevaluars e y determinar, con el apoyo del maestro, qué debe hacer para mejorar. Hay muchas formas de evaluar el desempeño del joven: observando lo que hace durante la clase, hablando con él acerca del tema que se está desarrollando, pidiéndole que lleve un diario y analizando lo que escribe allí, pidiéndole que vaya haciendo un portafolio o una carpeta donde ponga los trabajos de los que se sienta orgulloso, etc. Una de las estrategias de evaluación más idóneas para este grado es la elaboración de proyectos para desarrollar en una o varias semanas. Requieren de un alto grado de autonomía de los estudiantes y les permiten trabajar en grupo, asumiendo diferentes responsa bilidades. Pueden resolver probl emas de mayor compleji dad que los que habitual mente se resulven en clas e, en los que utilicen y conecten diferentes conocimientos de matemáticas y otras disciplinas para describir, interpretar y modelar situaciones de su contexto. El estudiante debe aprender en las evaluaciones que es tan importante el proceso y la estrategia que escoja y siga para resolver un probl ema, como lograr ll egar a un resul tado correcto. Es i mportante que se forme en el hábito de verificar, al final izar una tarea, que efectivamente contestó la pregunta que l e formularon, que resol vió el problema que le plantearon, y que la respuesta que obtuvo satisface las condiciones del problema. Otra competencia básica en la resolución de problemas es mantener una actitud reflexiva a lo largo del proceso de resolución, que lo mantenga enfocado en qué quiere logra y que le indique si el camino que escogió l o ll eva en esa dirección o es necesa rio mejorar el rumbo. Uno de los puntos más importantes relacionados con la evaluación es la honestidad. El estudiante debe aprender a responder por sus acciones, y en la media ya está a un paso de salir al mundo de los adultos. Debe ser consciente de que su responsabilidad como estudiante es aprender, que su aprendizaje depende de su esfuerzo y que no puede evadir esa responsabilidad acudiendo al atajo de la trampa. El maestro debe ser consciente de que tiene una responsabilidad con la sociedad cuando acredita, con sus notas, la idoneidad de cierto joven como bachiller, por tanto, es su obligación no permitir que esa información sea falsa porque esté contaminada con trampas. El maestro de los grados 10 y 11 puede escoger algunas de las preguntas de las pruebas Saber 11 que aparecen en la página del Icfes, para que los estudiantes se vayan familiarizando con esta forma de preguntar. Luego de que los estudiantes contesten estas preguntas en tiempos precisos, deben analizar no sólo los resultados sino las diferentes estrategias que se pueden usar para contestar ese tipo de exámenes. Un punto muy importante de estas pruebas, que debe ejercitars e, es l a lectura comprensi va de la s preguntas , que es muchas veces la ca usa de los errores en l os resultados. En este punto es i ndis pensable ejercitarse el leer la i nformación presentada en tablas y diferentes tipos de gráficos ya que hoy es esa una forma muy común de presentar información en periódicos y revistas así como en la prueba Saber 11.


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Al evaluar las matemáticas es importante tener en cuenta no solo el nivel de comprensión y aplicación de los conceptos sino el nivel de desarrollo de las competencias matemáticas, dentro del contexto y grado. El maestro debe plantear situaciones que permitan observar el nivel de desarrollo en cuanto a la resolución de problemas, la comunicación, el razonamiento, etc. Para preparar a l os jóvenes para el siglo X XI, es i ndispensable ofrecerles oportunidades de aprender a reflexionar sobre s í mismos y a monitorear sus acciones. Debe aprender a autoevaluarse, a juzgar su trabajo y el de los demás de manera crítica y objetiva y a apreciar y aceptar los jui cios que otros hagan de su traba jo, presentando argumentos vál idos cuando no esté de acuerdo. Debe aprender a tomar decisiones autónomamente y a responder por sus actos. Estas habilidades o competencias, indispensables para la vida de un ciudadano hoy, sólo se desarrollan si el estudiante tiene oportunidad de hacerlo. El joven que sólo sigue órdenes e instrucciones y que siempre espera el juicio del maestro acerca de su trabajo, perderá muchas oportunidades que l e ofrece el mundo hoy.


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Derechos básicos de aprendizaje


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Mallas Aprendizajes MEN Grado 10-11 Mat V2-Watermark

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