MAKALAH
BILANGAN DAN PENGOLAHAN DATA
"FPB DAN KPK"
OLEH :
REUNARD RONAL ERIXCHON KAKISINA (16010644095)
PUTRI AMALIA INDRAYATI (16010644116)
DOSEN PENGAMPU :
NIP.
KELAS D – PENDIDIKAN GURU SEKOLAH DASAR
FAKULTAS ILMU PENDIDIKAN
UNIVERSITAS NEGERI SURABAYA
KAMPUS LIDAH WETAN
Jl Lidah Wetan, Surabaya, Telp. 031-7532160, Fax. 031-7532112
Web : http://www.unesa.ac.id , email :
[email protected]
MAKALAH
BILANGAN DAN PENGOLAHAN DATA
"FPB DAN KPK"
OLEH :
REUNARD RONAL ERIXCHON KAKISINA (16010644095)
PUTRI AMALIA INDRAYATI (16010644116)
DOSEN PENGAMPU :
NIP.
KELAS D – PENDIDIKAN GURU SEKOLAH DASAR
FAKULTAS ILMU PENDIDIKAN
UNIVERSITAS NEGERI SURABAYA
KAMPUS LIDAH WETAN
Jl Lidah Wetan, Surabaya, Telp. 031-7532160, Fax. 031-7532112
Web : http://www.unesa.ac.id , email :
[email protected]
i
KATA PENGANTAR
Assalamu'alaikum Wr. Wb.
Puji syukur kami panjatkan atas kehadirat Tuhan Yang Maha Esa karena telah melimpahkan rahmat dan hidayah-Nya sehingga kami dapat menyeleseikan tugas makalah tentang FPB dan KPK ini.
Dalam penyusunan dan pengerjaan tugas makalah ini kami sadar sepenuhnya bahwa masih banyak kekurangan baik pada teknis penulisan maupun penyampaian materi, mengingat akan terbatasnya kemampuan yang kami miliki.
Akhirnya kami berharap pembaca sekalian bisa mendapatkan tambahan ilmu yang bermanfaat dari tugas makalah kami ini.
Wassalamu'alaikum Wr. Wb.
Surabaya, 29 Agustus 2016
ii
DAFTAR ISI
HALAMAN JUDUL i
KATA PENGANTAR ii
DAFTAR ISI iii
BAB I : PENDAHULUAN 1
Latar Belakang 1
Rumusan Masalah 2
Tujuan 2
Manfaat 2
BAB II : PEMBAHASAN 3
Peta Konsep 3
Kelipatan Bilangan 4
Faktor Bilangan 4
Bilangan Prima 5
Kelipatan Persekutuan 5
Faktor Persekutuan 6
Faktor Prima 6
Faktorisasi Prima 7
FPB dan KPK 8
BAB III : PENUTUP 11
Kesimpulan 11
Saran 11
DAFTAR PUSTAKA 12
iii
BAB I
PENDAHULUAN
LATAR BELAKANG
Matematika merupakan salah satu ilmu dasar yang berkembang, baik secara teori, materi, dan kegunaannya.
Pendidikan matematika sendiri sebenarnya telah kita terima sejak kita mulai belajar menghitung. Segala sesuatu yang di hitung merupakan salah satu bagian dari pendidikan matematika.
Banyak siswa yang menganggap bahwa matematika merupakan pelajaran yang sulit. Hal ini di sebabkan oleh kebiasaan buruk seperti menghafalkan rumus tanpa memahami materi dan masalah di dalam soal terlebih dahulu. Bahkan, terkadang disertai dengan mengerjakan soal langsung tanpa adanya penerimaan materi secara jelas yang seharusnya perlu dipahami. Akibat dari hal tersebut adalah rendahnya minat siswa untuk menyukai pelajaran matematika.
Padahal bila di pahami dengan baik, matematika bukanlah hal yang rumit dan sulit. Sebab, matematika merupakan kegiatan hitung-menghitung. Namun tampak rumit, jika kita tidak dapat menguasai cara penghitungan suatu masalah di dalam soal matematika.
Oleh karena itu, perlu kita tekankan untuk mempelajari matematika dimulai dengan memahami suatu masalah dalam soal matematika dimulai dari dasarnya. Bukan dimulai dengan menghafalkan rumus. Sebab, saat siswa memahami apa yang dicari dan tujuan dari isi masalah di dalam soal matematika, maka rumus itu akan dengan mudah di terima dan di ingat tanpa harus dihafalkan.
Salah satu dari materi matematika adalah, Faktor Persekutuan Terbesar (FPB) dan Faktor Persekutuan Terkecil (KPK). Materi ini sudah mulai di terima sejak memasuki bangku Sekolah Dasar (SD) kelas 4 pada mata pelajaran Matematika Semester Ganjil. Bisa dibilang, ini bukanlah materi yang mudah. Sebab, pada materi FPB dan KPK ini kita harus menguasai beberapa materi sebelumnya yang lebih mendasar.
Berdasarkan penjabaran di atas, maka kami akan menjelaskan cara menghitung FPB dan KPK dengan beberapa materi yang harus dipahami sebelumnya.
1
RUMUSAN MASALAH
Bagaimana cara mempelajari, memahami, dan mengerjakan soal pada materi FPB dan KPK?
TUJUAN PEMBUATAN
Berdasarkan latar belakang tersebut, tujuan kami dalam pembuatan makalah ini adalah :
Untuk memenuhi kewajiban dan bentuk tanggung jawab kami sebagai mahasiswa dalam menerima tugas yang harus dikerjakan, diselesaikan, dan di kumpulkan.
Untuk membagi informasi dan sedikit pengetahuan kami demi mengetahui dan memahami bersama bagaimana cara menghitung dalam mengerjakan soal FPB dan KPK.
MANFAAT PEMBUATAN
Berdasarkan tujuan pembuatan makalah kami, manfaat yang diperoleh dari makalah kami adalah :
Meningkatkan kemampuan dalam menghitung FPB dan KPK
Menambah pemahaman dalam menghitung FPB dan KPK
2
BAB II
PEMBAHASAN
PETA KONSEP
Faktor BilanganFaktor BilanganKelipatan BilanganKelipatan Bilangan
Faktor Bilangan
Faktor Bilangan
Kelipatan Bilangan
Kelipatan Bilangan
Bilangan PrimaBilangan PrimaFaktor PrimaFaktor PrimaFPB dan KPKFPB dan KPK
Bilangan Prima
Bilangan Prima
Faktor Prima
Faktor Prima
FPB dan KPK
FPB dan KPK
Kelipatan PersekutuanKelipatan Persekutuan
Kelipatan Persekutuan
Kelipatan Persekutuan
Faktor PersekutuanFaktor Persekutuan
Faktor Persekutuan
Faktor Persekutuan
3
KELIPATAN BILANGAN
Kelipatan bilangan merupakan perkalian bilangan tertentu dengan bilangan asli. Bilangan asli yang dimaksud adalah 1, 2, 3 ,4, 5, ………………….
Misalnya :
Kelipatan bilangan 3 adalah …………….
Bilangan kelipatan 3 dapat diperoleh dengan cara perkalian yaitu mengalikan bilangan tersebut dengan bilangan asli.
Cara pengerjaan : 3 x 1 = 3
3 x 2 = 6
3 x 3 = 9
3 x 4 = 12
3 x …. = ………
Maka diperloeh hasil kelipatan bilangan 3 adalah 3, 6, 9, 12, …
Bilangan 10, 20, 30, 40 adalah kelipatan dari bilangan …………
Untuk mencari kelipatan bilangan, dilakukan dengan cara pembagian bilangan-bilangan tersebut dengan bilangan asli secara berurutan.
Cara pengerjaan : 10 : 1 = 10
20 : 2 = 10
30 : 3 = 10
40 : 4 = 10
Maka diperoleh hasil dari bilangan 10, 20, 30, 40 adalah kelipatan bilangan dari 10.
FAKTOR BILANGAN
Faktor bilangan merupakan hasil dari pembagian suatu bilangan dengan bilangan asli, dan hasil pembagiannya juga bilangan asli. Di bagi hingga habis dibagi dengan bilangan itu sendiri.
Misalnya :
Faktor 1 :
1 : 1 = 1
Maka, faktor dari 1 adalah 1
Faktor 2 :
2 : 1 = 2
2 : 2 = 1
Maka, faktor dari 2 adalah 1 dan 2
4
Faktor 3 :
3 : 1 = 3
3 : 2 = (hasilnya bukan bilangan asli)
3 : 3 = 1
Maka, faktor dari 3 adalah 1 dan 3
Faktor 4 :
4 : 1 = 4
4 : 2 = 2
4 : 3 = (hasilnya bukan bilangan asli)
4 : 4 = 1
Maka, faktor dari 4 adalah 1, 2, dan 4
Faktor 5 :
5 : 1 = 5
5 : 2 = (hasilnya bukan bilangan asli)
5 : 3 = (hasilnya bukan bilangan asli)
5 : 4 = (hasilnya bukan bilangan asli)
5 : 5 = 1
Maka, faktor dari 5 adalah 1 dan
BILANGAN PRIMA
Bilangan prima merupakan bilangan yang bila di faktorkan hanya dapat dibagi menjadi 2 bilangan faktor. Yaitu, dibagi dengan bilangan 1 dan bilangan itu sendiri.
Misalnya : 1, 2, 3, 5, 7, 11, 13, ……
KELIPATAN PERSEKUTUAN
Faktor persekutuan adalah bilangan kelipatan yang sama dari dua bilangan atau lebih.
Misalnya :
Ani les 2 hari sekali, Ina les 3 hari sekali. Jika hari ini Ani dan Ina les bersama, berapa hari lagi mereka les bersama kembali?
Jawab :
Kelipatan 2 : 2, 4, 6, 8, 10
Kelipatan 3 : 3, 6, 9, 12, 15
Dari kelipatan kedua bilangan tersebut, ditemukan bilangan kelipatan yang sama antara keduanya, yaitu bilangan 6.
Maka, faktor persekutuan dari bilangan 2 dan 3 adalah 6.
Jadi :
Mereka akan les bersama kembali 6 hari lagi
5
FAKTOR PERSEKUTUAN
Faktor persekutuan adalah faktor bilangan yang sama dari dua bilangan atau lebih.
Misalnya :
Faktor persekutuan dari 12 dan 15 adalah …………
Jawab :
Faktor 12 : 1, 2, 3, 4, 6, 12
Faktor 15 : 1, 3, 5, 15
Lihat faktor dari kedua bilangan tersebut, carilah bilangan yang sama. Dapat kita lihat, bilangan yang sama dari faktor kedua bilangan tersebut adalah 1 dan 3
Jadi :
Faktor persekutuan dari 12 dan 15 adalah 1 dan 3.
Faktor persekutuan dari 8 dan 24 adalah ………..
Jawab :
Faktor 8 : 1, 2, 4, 8
Faktor 24 : 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24
Lihat faktor kedua bilangan tersebut. Dapat kita lihat bilangan yang sama dari faktor kedua bilangan tersebut adalah bilangan 1, 2, dan 8.
Jadi :
Faktor persekutuan dari bilangan 8 dan 24 adalah 1, 2, dan 8.
FAKTOR PRIMA
Faktor prima merupakan faktor dari sebuah bilangan yang nilai bilangan dari faktornya adalah bilangan prima.
Misalnya :
Faktor prima dari 32 adalah ……..
Jawab :
Faktor 32 : 1, 2, 4, 8, 16, 32
Dari faktor bilangan tersebut, dapat kita lihat bilangan yang merupakan bilangan prima adalah bilangan 1 dan 2.
Jadi :
Faktor prima dari 32 adalah 1 dan 2.
Faktor prima dari 13 adalah ………
Jawab :
Faktor 13 : 1, 13
6
Dari faktor bilangan tersebut, dapat kita lihat bilangan yang merupakan bilangan prima adalah bilangan 1 dan 13.
Jadi :
Faktor prima dari 13 adalah 1 dan 3.
FAKTORISASI PRIMA
Faktorisasi prima merupakan perkalian dari seluruh bilangan komposit dari faktor yang terdiri dari bilangan pembagi dari bilangan prima yang paling kecil (kecuali 1) seperti 2, 3, 5, 7, dan seterusnya. Proses mengerjakan faktorisasi prima dapat dengan menggunakan cara yang cukup mudah, yaitu dengan menggunakan pohon faktor.
Pohon faktor merupakan salah satu cara untuk memfaktorkan dan membagi suatu bilangan dengan bilangan prima dimulai dari bilangan prima terkecil dan di faktorkan hingga habis.
Misalnya :
Faktorisasi prima dari 12 adalah……..
Jawab :
12
2 6
2 3
Dapat kita lihat, faktor-faktor bilangan pembagi dari pohon faktor tersebut adalah 2, 2, dan 3.
Jadi :
Faktorisasi prima dari 12 adalah 2 x 2 x 3
Faktorisasi prima dari 34 adalah………
Jawab :
34
2 17
Dapat kita lihat, faktor-faktor bilangan pembagi tersebut adalah 2 dan 17
Jadi :
Faktorisasi prima dari 34 adalah 2 x 17
7
FPB DAN KPK
FPB merupakan singkatan dari Faktor Persekutuan Terbesar. FPB biasanya dikerjakan dengan menggunakan dua bilangan atau lebih dan faktornya dapat membagi habis semua bilangan tersebut.
Menurut pemahaman kami, FPB merupakan faktor bilangan dimana bilangan faktor sama-sama dimiliki dalam faktor suatu bilangan tersebut. Kemudian, dari bilangan yang sama, di cari bilangan yang jumlahnya (pangkatnya) paling sedikit (terkecil) kemudian dikalikan semua dari faktor-faktor yang sama tersebut.
Misalnya :
Carilah FPB dari 27 dan 36!
Jawab :
27 36
3 9 2 18
3 3 2 9
3 3
27 = 3 x 3 x 3
= 3³
36 = 2 x 2 x 3 x 3
= 2² x 3²
Dari faktorisasi prima kedua bilangan tersebut, dapat kita lihat bahwa bilangan faktor yang sama dari keduanya adalah 3, kemudian bilangan 3 yang memiliki pangkat terkecil adalah pangkat 2.
Jadi :
FPB dari 27 dan 36 adalah :
FPB = 3²
= 3 x 3
= 9
Carilah FPB dari 14, 42, dan 63!
Jawab :
14 42 63
2 7 2 21 3 21
3 7 3 7
14 = 2 x 7
42 = 2 x 3 x 7
63 = 3 x 3 x 7
= 3² x 7
8
Dari faktorisasi prima ketiga bilangan tersebut, bilangan yang sama-sama dimiliki adalah bilangan 7 dengan pangkat terkecil yaitu 1.
Jadi :
FPB dari 14, 42, dan 36 adalah :
FPB = 7
KPK merupakan singkatan dari Kelipatan Persekutuan Terkecil. Menurut pemahaman kami, KPK merupakan perkalian faktor dimana semua faktor bilangan tersebut dikalikan dan apabila ada suku bilangan yang sama maka diambil salah satu dengan nilai sekutu (pangkat) paling banyak (terbesar).
Misalnya :
Dari contoh pada penjelasan FPB tadi, mari kita ambil contoh soalnya dan diganti dengan mencari KPK.
Carilah KPK dari 27 dan 36!
Jawab :
27 36
3 9 2 18
3 3 2 9
3 3
27 = 3 x 3 x 3
= 3³
36 = 2 x 2 x 3 x 3
= 2² x 3²
Dari faktorisasi prima kedua bilangan tersebut, dapat kita lihat bahwa bilangan faktor dari semua bilangan tersebut adalah 3³ dan 2² x 3² dan yang sama dari keduanya adalah bilangan 3, kemudian bilangan 3 yang memiliki pangkat terbesar adalah pangkat 3. Kemudian semua faktor dikalikan.
Jadi :
KPK dari 27 dan 36 adalah :
KPK = 2² x 3³
= 2 x 2 x 3 x 3 x 3
= 108
9
Carilah KPK dari 14, 42, dan 63
Jawab :
14 42 63
2 7 2 21 3 21
3 7 3 7
14 = 2 x 7
42 = 2 x 3 x 7
63 = 3 x 3 x 7
= 3² x 7
Dari faktorisasi prima ketiga bilangan tersebut, faktor bilangan yang sama-sama dimiliki adalah bilangan 2 dengan pangkat terbesar 1, bilangan 3 dengan pangkat terbesar 2, dan bilangan 7 dengan pangkat terbesar 1.
Jadi :
KPK dari 14, 42, dan 36 adalah :
KPK = 2 x 3² x 7
= 2 x 3 x 3 x 7
= 126
10
BAB III
PENUTUP
KESIMPULAN
SARAN
11
DAFTAR PUSTAKA
12
