KATA PENGANTAR Puji syukur kita haturkan kepada Allah SWT , Yang Esa yang menciptakan alam semesta. Sholawat dan salam selalu dilimpahkan kepada panutan kita Nabi Muhammad Saw beserta keluarga dan sahabatnya. Alhamdulillah, penyusunan makalah ini sebagai tugas awal yang diberikan guru mata pelajaran Matematika telah selesai pada waktunya yang sudah
ditetapkan. Ucapan
terimaksih kepada semua yang telah ikut andil dalam penysunan makalah ini. Apabila ada saran dan segenap kritikan bagi kami demi lebih baiknya makalah ini. Kami ucapkan terimaksih. Semoga makalah ini bermanfaat bagi kita semua khususnya menambah wawasan bagi kita. Surade, 17 Desember 2014
Penyusun
i
DAFTAR ISI KATA PENGANTAR .........................................................................................
i
DAFTAR ISI........................................................................................................
ii
BAB I PENDAHULUAN.................................................................................... A. Latar belakang........................................................................................
1
B. Tujuan ....................................................................................................
1
C. Ruang lingkup........................................................................................
1
BAB II PEMBAHASAN..................................................................................... A. Notasi sigma...........................................................................................
2
B. Barisan dan deret aritmatika...................................................................
4
C. Barisan dan deret geometri.....................................................................
6
BAB III KESIMPULAN......................................................................................
9
DAFTAR PUSTAKA...........................................................................................
10
ii
BAB I Pendahuluan A. Latar Belakang Penggunaan notasi sigma sebagai penyederhanaan bentuk penjumlahan yang panjang sangat menghemat waktu dan tenaga. Sebagai dasar untuk penulisan deret maka penggunaan notasi sigma beserta sifat-sifatnya menjadi sangat penting untuk dipelajari. Barisan dan deret yang disajikan meliputi pengertian tentang barisan dan deret, barisan dan deret aritmetika serta barisan dan deret geometri. Perhitungan bunga bank, penyusutan nilai barang, merupakan salah satu contoh penerapan dari barisan dan deret dalam bidang ekonomi. Tidak ketinggalan pula dibahas tentang konsep awal notasi sigma, barisan dan deret untuk mengingatkan kembali bahwa matematika berkembang dari hal-hal sederhana yang kemudian berlanjut ke hal-hal yang lebih kompleks. B. Tujuan Bahan ajar ini disusun dengan tujuan untuk mengingatkan kembali guru tentang materi dasar dalam pembelajaran Notasi Sigma, Barisan dan Deret Bilangan. Bahan ajar ini nmerupakan bahan acuan dalam diklat berjenjang tingkat dasar untuk guru-guru SMK NON TEKNIK. C. Ruang Lingkup Ruang lingkup materi yang dibahas dalam bahan ajar ini adalah: 1. Notasi Sigma a. Konsep notasi sigma b. Sifat – sifat notasi sigma 2. Barisan dan Deret a. Barisan dan Deret Aritmetika b. Barisan dan Deret Geometri
1
BAB II Pembahasan A. Notasi Sigma 1. Konsep Notasi Sigma Perhatikan jumlah 6 bilangan ganjil pertama berikut, 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 ………………………………….. (1) Pada bentuk (1) 1 disebut suku pertama, 3 disebut suku ke-2, 5 disebut suku ke-3 dan seterusnya. Perhatikan juga suku-suku bentuk (1) tersebut membentuk pola. Suku ke-1 = 1 = 2.1 – 1 Suku ke-2 = 3 = 2.2 – 1 Suku ke-3 = 5 = 2.3 – 1 Suku ke-4 = 7 = 2.4 – 1 Suku ke-5 = 5 = 2.5 – 1 Suku ke-6 = 7 = 2.6 – 1 Secara umum suku ke-k pada (1) dapat dinyatakan dalam bentuk 2k – 1 dengan k { 1, 2, 3, 4, 5, 6 } Cara untuk menuliskan secara singkat bentuk jumlahan (1) adalah dengan tanda (dibaca “sigma”) yang disebut dengan notasi sigma. Notasi sigma berasal dari huruf Yunani untuk abjad S dari perkataan “sum” yang berarti jumlah. Notasi ini diperkenalkan pertama kali oleh Leonhard Euler pada tahun 1755 dalam buku “Institutiones Calculi Differentialis”. Dengan notasi sigma bentuk jumlahan (1) dapat ditulis : 6
1 3 5 7 9 11 (2k 1) k 1
Bentuk
6 suku 6 (2k 1) dibaca “sigma 2k – 1 diamana k =1 sampai 6 ” atau “jumlah 2k k 1
– 1 untuk k = 1 sampai k = 6”. Pada notasi sigma di atas 1 dan 6 masing-masing disebut batas bawah dan batas atas, lambang k dinamakan indeks (ada pula yang menyebut k sebagai variable).
Sembarang huruf kecil dapat digunakan sebagai
indeks. n
Secara umum
a k 1
k
a1 a 2 a 3 ... a n1 a n
2. Sifat-sifat Notasi Sigma Berikut ini adalah beberapa sifat notasi sigma. Aturan suku konstan
2
Aturan jumlah
Aturan perkalian scalar
Aturan kelinearan
Aturan bagian (jika 1< m < n )
Aturan pengubahan indeks
Dan
Aturan dominasi ( jika
Aturan kuadrat
B. Barisan dan Deret Aritmatika 1. Baris Aritmatika Adalah suatu barisan bilangan yang memiliki selisih dua suku yang berurutan(beda) selalu tetap. Jika suku pertama(U1) dinyatakan dengan , selisih(beda)antara dua suku berurutan diberi notasi b, dan suku barisan ke n dilammbaangkan dengan Un, maka bentuk umum barisan aritmtika adaalah sebagai berikut: 3
Sehingga diperoleh bentuk umunya :
Keterangan :
Contoh : Carilah rumus suku ke n dari baris 1,3,5,7,9,…. Penyelesaian : Diket a = 1, dan b = 3 – 1 = 2 Hitung nilai suku ke 8 dari baris 2 ,5, 8,… Penyelesaian : Diket : a = 2, dan b = 5 – 2 = 3
2.
Barisan Aritmatika Tingkat Banyak Barisan aritmatika tingkat x adalah sebuah barisan aritmatika yang memiliki selisih yang sana tiap suku yang berurutan setelah x tingkatan. Rumus umum suku ke-n untuk barisan tingkat banyak adalah :
Dimana :
a = suku ke 1 barisan mula – mula b = suku ke 1 barisan tingkat satu c = suku ke 1 barisan tingkat dua d = suku ke 1 barisan tingkat tiga dst 4
3. Deret Aritmatika Adalah penjumlahan dari suku pada barisan aritmatika , secara umum ditulis sebagai berikut:
Bentuk umum deret dinyatakan sebagai : Deret aritmatika adalah suatu barisan aritmatika yang suku – sukunya dijumlahkan. Apabila jumlah n suku barisan aritmatika yang berurutn dinyatakan sebagai
Jika penulisan suku – suku dibalik , maka diperoleh : Dengan menjumlahkan persamaan (1) dan (2) maka diperoleh :
Jadi , secara umum jumlah n suku pertama dari deret aritmatika dapat dinyatakan dengan rumus berikut Atau
Keterangan , Contoh : Tentukan jumlah 10 suku dari deret aritmatika 11 + 16 + 21 + … Penyelesaian : a = U1 = 11 b = 16 – 11 = 5
C. Barisan dan Deret Geometri 1. Barisan Geometri 5
Adalah suatu barisan bilangan yang memiliki perbandingan (ratio) antara dua buah suku terdekat berturut – turut selalu tetap. Secara umum ditulis Nilai r diperoleh dari :
Dimana r (rasio antara dua suku yang berurutan) merupakan bilangan konstan Bentuk umum barisan geometri dengan suku pertama a dan rasio r adalah sebagai berikut.
Contoh : Diketahui barisan geometri 2, 4,8, 16, … Tentukan rumus suku ke n dan nilai suku ke 7 dari baris tersebut Penyelesaian : 1. a = 2, dan r = 4/2 = 2
2.
2.
Deret Geometri
Adalah jumlah suku – suku dari barisan geometri yang berurutan, seperti pada deret aritmstika , deret geometri juga dinyatakan dengan
Jika persamaan (1) dikalikan dengan r, maka diperoleh : Dengan mengurangkan (1) dan (2) diperoleh :
6
Sehingga , untuk r < 1, berlaku :
Untuk r > 1
3.
Deret Gometri Tak Hingga Deret geometri tak hingga adalah deret geometri yang banyk suku – sukunya tak
hingga. Deret geometri tak hingga terdiri dari 2 jenis , yaitu konvergen dan dirvergen. Jika -1< r < 1, maka jumlah deret geometri tak hingga tersebut mempunyai limit jumlah ( konvergen ).
Untuk Sehingga
Dengan :
Jika
7
BAB III KESIMPULAN 1.
Notasi sigma () digunakan untuk menyingkat bentuk jumlahan yang suku-sukunya
2.
mempunyai pola. Suatu barisan adalah fungsi yang mempunyai daerah asal himpunan bilangan bulat
3.
positif. Sebuah barisan bisa didefinisikan dengan cara eksplisit atau rekursif. Suatu barisan disebut barisan aritmetik jika selisih dari setiap dua suku yang berurutan bernilai tetap, selisih ini dinamakan beda (b). Suatu barisan disebut barisan geometri
4.
jika rasio (r) dari setiap dua suku yang berurutan bernilai tetap. Suku ke-n barisan aritmetik dirumuskan sebagai: Un a (n 1)b sedangkan untuk
barisan geometri suku ke-n dirumuskan sebagai Un ar n1 5. Deret merupakan jumlahan dari suku-suku suatu barisan. Rumus jumlah n suku pertama deret aritmetika adalah S n
n(2a (n 1)b) n(a Un ) atau S n . Rumus jumlah n 2 2
a(r n 1) a(1 r n ) atau S n untuk r 1. r 1 1 r Suku ke-n barisan aritmetik dirumuskan sebagai: Un a (n 1)b Suku ke-n barisan
suku pertama deret geometri adalah S n 6.
aritmetik dirumuskan sebagai:
Un a (n 1)b
Deret geometri tak hingga
mempunyai limit jumlah jika -1 < r < 1. Rumus jumlah sampai tak hingga deret geometri adalah S
a . 1 r
DAFTAR PUSTAKA Kasmina,dkk. 2006. Matematika Program Keahlian Teknologi, Kesehatan, Pertanian, Untuk SMK dan MAK Kelas XI.Jakarta : Erlangga. 8
9