TUGAS MAKALAH TEORI BAHASA & AUTOMATA
Anggota Kelompok 1. 2. 3. 4. 5.
:
Aedy Suciawan Afrista Reolny W Arnoldus Billy Jansen Endah Nurhayati Danang Panji P
(50407040) (50407042) (50407161) (50407318) (50407227)
UNIVERSITAS GUNADARMA Copyright ©2010
Definisi Automata Hingga Automata Hingga merupakan mesin abstrak yang terdiri dari Head Pembaca dan Kotak Kontrol Stata Hingga. Mesin ini membaca sebuah pita (tape), satu persatu karakter, dari kiri ke kanan. Perubahan stata terjadi pada mesin jika suatu karakter pita dibaca.
PITA
a
a
a
b
b
b ^
… …
Read Head
Pada saat Automata Hingga mulai membaca Pita, ia harus selalu mulai dengan berada pada suatu stata, yang ditunjuk sebagai stata awal. Sebuah Automata Hingga Deterministik (AHD) terdiri atas 5 tupel (K, VT, f, q0, Z). Dimana : 1. K adalah Himpunan Hingga berisi Stata. 2. VT adalah Himpunan Hingga berisi Simbol Input. 3. Sebuah fungsi f : K x VT, dimana K merupakan fungsi next-state. 4. q0 adalah Stata Awal anggota K. 5. Z adalah subset dari K yang berisi Stata Akhir atau Stata Penerima.
Contoh : VT = (a,b) adalah himpunan simbol input. K = (q0, q1, q2) adalah himpunan stata. Z = (q0, q1) adalah himpunan stata penerima. q0 adalah stata awal.
Fungsi Next-State f : K x VT K didefinisikan sebagai tabel berikut : f
a
b
q0
q0
q1
q1
q0
q2
q2
q2
q2
Automata Hingga Deterministik dapat dinyatakan dalam diagram berupa Graph Berarah. Pada graph berarah tersebut terdapat sebuah simpul sebagai stata awal q0. Lingkaran berlapis dua digunakan untuk menyatakan stata penerima. Bila f(q0, a) = q0, maka terdapat busur dari q0 ke q0 dengan label a. Graph berarah dari
Automata Hingga Deterministik di atas terlihat pada gambar berikut : Automata M dikatakan dapat menerima atau mengenal string w jika Stata Akhir merupakan Stata Penerima. Himpunan semua string yang dapat diterima oleh Automata M dinotasikan dengan L (M). Maka dari contoh akan menerima dan menolak untai : abababaa
diterima
aaaabab
diterima
aaabbaba
ditolak
Jawab : i)
δ (q0,abababaa) δ (q0,bababaa) δ (q1,ababaa) δ (q0,babaa) δ (q1,abaa) δ (q0,baa) δ (q1,aa) δ (q0,a) q0 Tracing berakhir di q0 (state AKHIR) kalimat abababaa diterima
ii)
δ (q0, aaaabab) δ (q0,aaabab) δ (q0,aabab) δ (q0,abab) δ (q0,bab) δ (q1,ab) δ (q0,b) q1 Tracing berakhir di q1 (state AKHIR) kalimat aaaababa diterima
iii) δ (q0, aaabbaba) δ (q0, aabbaba) δ (q0, abbaba) δ (q0, bbaba) δ (q1,bbaba) δ (q2,baba) δ (q2,aba) δ (q2,ba) δ(q2,a) q2 Tracing berakhir di q2 (bukan state AKHIR) kalimat aaabbaba ditolak
Kesimpulan : sebuah kalimat diterima oleh DFA di atas jika tracingnya berakhir di salah satu state AKHIR.
Ada tiga tipe Automata Hingga, yaitu : 1. Automata Hingga Deterministik (AHD) 2. Automata Hingga Non-Deterministik (AHN) 3. Automata Hingga Non-Deterministik dengan transisi hampa
1. AUTOMATA HINGGA DETERMINISTIK (AHD) AHD dapat dilengkapi dengan fungsi Next-State berikut : a) M(q, ^) = q untuk semua q anggota K b)
M(M(q, t), T), untuk semua t anggota VT dan T anggota VT
Dari definisi pertama, terlihat bahwa sebuah AHD tidak bisa mengubah stata tanpa membaca sebuah karakter masukan. Definisi kedua adalah sebuah definisi yang bersifat rekursif, yang menunjukkan di stata mana AHD berada pada saat di mulai di stata q dengan mendapat input berupa string w = tT. Sebuah string w adalah diterima oleh sebuah F = (K, V T, M, S, Z) jika M(S, W) = p, sedemikian hingga w adalah anggota V T dan p anggota Z.
Atau dengan kata lain, string w diterima oleh AHD jika setelah membaca habis semua karakter dari untai, AHD berada pada sebuah Stata Akhir. Himpunan semua untai w anggota VT yang diterima oleh AHD F dinotasikan sebagai L(F).
Gambar berikut merupakan digraph Transisi dari sebuah AHD. AHD pada contoh ini merupakan sebuah AHD yang menerima untai yang terdiri dari simbol 0 dan 1. AHD tersebut dapat dinyatakan sebagai berikut : F = ( {S, A, B, C}, {0, 1}, M, S, {S} ) dimana fungsi next state M adalah : M(S, 0) = B
M(S, 1) = A
M(A, 0) = C
M(A, 1) = S
M(B, 0) = S
M(B, 1) = C
M(C, 0) = A
M(C, 1) = B
Fungsi stata berikut dari AHD kadang-kadang lebih mudah disajikan dalam bentuk tabel. Untuk contoh di atas tabel yang terbentuk adalah : INPUT 0
1
STATA S
B
A
A
C
S
B
S
C
C
A
B
Contoh dari string yang diterima AHD di atas adalah 110101 dan contoh string yang tidak dapat diterima adalah 11101. Bagan operasi AHD pada kedua untai di atas adalah sebagai berikut : Penelusuran string 110101 :
Penelusuran string 11101 :
M(S, 110101) = M(A, 10101)
M(S, 11101) = M(A, 1101)
= M(S, 0101)
= M(S, 101)
= M(B, 101)
= M(A, 01)
= M(C, 01)
= M(C, 1)
= M(A, 1)
= M(B, ^)
= M(S, ^)
= B (ditolak)
= S (diterima) EQUIVALENSI 2 AHD Dua buah AHD dikatakan ekuivalen jika keduanya dapat menerima bahasa yang sama. Misalkan kedua AHD tersebut adalah A dan A’. Misalkan pula bahasa yang diterima adalah bahasa L yang dibangun oleh alfabet VT = {a1, a2, a3, ..., an}. Berikut ini algoritma untuk menguji ekuivalensi dua buah AHD. a. Berikan nama kepada semua stata masing-masing AHD dengan nama berbeda. Misalkan nama-nama tersebut adalah : S, A1, A2, ..., untuk AHD A, dan : S’, A1’, A2’, ... untuk AHD A’. b. Buat tabel (n+1) kolom, yaitu kolom-kolom : (v, v’), (va1, va1’,), ..., (va1 , van ’), yaitu pasangan terurut (stata AHD A, stata AHD A’).
c. Isikan (S, S’) pada baris pertama kolom (v, v’), di mana S dan S’ masing-masing adalah stata awal masing-masing AHD. d. Jika terdapat edge dari S ke A1 dengan a1 dan jika terdapat edge dari S’ ke A1’ juga dengan label a1, isikan pasangan terurut (A1, A1’) sebagai pada baris kolom (v a1, va1’). Lakukan hal yang sama untuk kolom-kolom berikutnya. e. Perhatikan nilai-nilai pasangan terurut pada baris pertama. Jika terdapat nilai pasangan terurut pada kolom (va1, va1’) s/d (van, van’) yang tidak sama dengan nilai pasangan terurut (v, v’), tempatkan nilai tersebut pada kolom (v, v’) baris-baris berikutnya. Lakukan hal yang sama seperti yang dilakukan pada langkah (d). Lanjutkan dengan langkah (5). f. Jika selama proses di atas dihasilkan sebuah nilai pada kolom (v, v’) dengan komponen v merupakan stata penerima sedangkan komponen v’ bukan, atau sebaliknya, maka kedua AHD tersebut tidak ekuivalen. Proses dihentikan. g. Jika kondisi (f) tidak dipenuhi dan jika tidak ada lagi pasangan terurut baru yang harus ditempatkan pada kolom (v, v’) maka proses dihentikan dan kedua AHD tersebut ekuivalen.
Dengan menggunakan algoritma di atas maka dapat dibentuk tabel berikut :
2. Ekspressi reguler
Bahasa disebut reguler jika terdapat FSA (FINITE STATE AUTOMATA) yang dapat menerimanya.
Bahasa reguler dinyatakan secara sederhana dengan ekspresi reguler/regular expression (RE).
Contoh penerapan : searching string pada file
RE -> NFA dengan ε Move -> DFA
Definisi ekspresi reguler : Jika Σ merupakan himpunan simbol, maka : 1. ∅ , λ , dan a ∈Σ adalah ekspresi reguler dasar 2. jika r dan t masing masing merupakan ekspresi reguler maka komposisi berikut merupakan ekspresi reguler :
Contoh ekspresi reguler
(0+1)* : himpunan seluruh string yang dapat dibentuk dari simbol ‘0’ dan ‘1’ (0+1)*00(0+1)* : himpunan string biner yang mengandung paling sedikit satu substring ‘00’ (0+1)*00 : himpunan string biner yang diakhiri dengan ‘00’
Bahasa Reguler Apabila r adalah RE, maka L(r) adalah bahasa reguler yang dibentuk menggunakan ekspressi reguler r. Contoh : Tentukan bahasa reguler yang dibentuk oleh r=(aa)*
Jawab : L(r) = L( (aa)* ) = { λ, aa, aaaa, aaaaaa, ... } = { a2 n | n ≥ 0 } menyatakan himpunan string a dengan jumlah genap Tentukan bahasa reguler yang dibentuk oleh r=(aa*)(bb)*b Jawab L(r) = L( (aa)* (bb)*b ) = { a2 n b2 m+1 | n,m ≥ 0 } Tentukan ekspresi reguler pembentuk bahasa pada Σ = {0,1}, yaitu L(r) = { w ∈ Σ* | w memiliki substring ‘00’ } Jawab r = (0+1)*00(0+1)* Tentukan ekspresi reguler pembentuk bahasa pada Σ = {a,b}, yaitu L(r) = { abnw | n≥ 3 , w ∈ {a , b}+ } ,maka hasilnya : r = abbb(a+b)(a+b)*
Sifat Bahasa Reguler Tertutup terhadap operasi himpunan sederhana. Jika L1 dan L2 adalah bahasa reguler, maka L1∪L2, L1 ∩L2, L1L2, ~(L1) dan L1 adalah bahasa reguler juga Tertutup terhadap homomorphic image. Jika L1 adalah bahasa reguler, maka homomorphic image h(L1) adalah bahasa reguler juga. Dimisalkan Σ dan Γ adalah alfabet, maka fungsi homomorphic dinyatakan dengan h:Σ→Γ jika w = a1 a2 ... an maka h(w) = h(a1) h(a2 ) ... h(an) Jika L adalah bahasa pada Σ maka homomorphic image bahasa L adalah h(L)= { h(w) | w∈ L} Contoh : Dimisalkan Σ = {a,b} dan Γ = {a,b,c} dan didefinisikan h(a) = ab dan h(b) =bbc homomorphic image bahasa L = {aa,aba } adalah h(L)= { abab, abbbcab}
Dimisalkan Σ = {a,b} dan Γ = {b,c,d} dan didefinisikan h(a) = dbcc dan h(b) = Banc homomorphic image bahasa L(r) yang dibentuk dari ekspresi reguler r = (a+b*)(aa)* adalah h(L(r)) yang dibentuk dengan ekspresi reguler r = (dbcc + (bdc)*) (dbccdbcc)* Hubungan RE dan NFA Setiap RE ada satu NFA dengan ε-move yang ekuivalen Konversi ekspresi reguler ke FSA
