PENGEMBANGAN MEDIA PEMBELAJARAN MATEMATIKA A l at Per Per aga aga M atemati atematika ka
“Batang Napier (Napier’s Bone)”
Dosen Pengampu
:
Dewi Rahimah, S.Pd, M.Ed.
Disusun Oleh
:
Kelompok 7 1. Ersi Novita 2. Afifah Dwi K.
Semester / Kelas
:
(A1C012013) (A1C012042)
3. Ayu Varadita
(A1C012046)
4. Rahtian Fansori
(A1C012060)
IV / B
Program Studi Pendidikan Matematika Fakultas Keguruan dan Ilmu Pendidikan UNIVERSITAS BENGKULU Tahun Ajaran 2013/2014
Alat Peraga Matematika “BATANG NAPIER (Napier’s NAPIER (Napier’s Bone)” Batang Napier pertama kali ditemukan oleh seorang bangsawan dari Skotlandia yang bernama John Napier (1550 – (1550 – 1617). 1617). Batang napier terdiri atas beberapa batang atau keping yang dapat dipisah-pisahkan. Batang napier dibuat seperti tabel perkalian biasa dari angka 0 sampai 9. Alat peraga ini digunakan untuk perkalian bilangan cacah dengan pengali (0-9) (0-9) terletak pada “Batang Indeks Indeks Vertikal” Vertikal” sebanyak 1 buah dan bilangan yang dikalikan (0-9) (0-9) terletak/ditunjukkan pada “Batang “ Batang Indeks Horizontal” Horizontal ” minimal sebanyak 10 buah. buah . Di bawah “Batang Indeks Horizontal” terbagi 10 bagian bagian kecil yang masing masing terbagi dua, bagian atas menunjukkan “puluhan” bagian bawah menunjukkan “satuan”.
A. Fungsi Alat Peraga
Fungsi dari alat peraga batang napier ini adalah untuk membantu siswa dalam menghitung hasil perkalian dan pembagian bilangan cacah. Pemanfaatan lebih lanjut dapat digunakan untuk menentukan hasil akar suat u bilangan.
B. Alat Peraga Batang Napier Berdasarkan Berdasarkan Referensi 1. Gambar ALat Peraga
Alat peraga ini terdiri dari kertas-kertas yang diprint dengan angka seperti pada gambar berikut:
Catatan:
Khusus untuk batang “
dan K” tidak terpisah dalam arti batang menyatu.
2. Cara Pembuatan Alat Peraga
3. Cara Penggunaan Alat Peraga a. Perkalian Bilangan Cacah
Dalam perkalian dengan cara ini, terlebih dahulu harus membuat sebuah tabel menyerupai batang napier. Kemudian, tuliskan bilangan yang dikalikan masingmasing pada baris pertama dan kolom pertama. Isi setiap petak lainnya dengan hasil kali angka dari bilangan yang dikalikan sesuai dengan baris dan kolom petak tersebut berada. Setelah itu, dijumlahkan angka-angka pada setiap petak tersebut menurut diagonalnya. CONTOH 1 :
Hitunglah 53 x 6 = …. Cara mengerjakannya sebagai berikut:
Buatlah kotak seperti di atas, yang terdiri dari kolom indek di sebelah kiri dan kolom angka yang akan dikalikan di sebelah kanan, dalam hal ini adalah 53. Kemudian di bawah indek adalah angka pengalinya yaitu 6. Kemudian dengan melihat pada batang napier, diisikan angka-angka yang sesuai. Atau bisa juga dengan mengalikan 5 x 6 yaitu 30 dan 3 x 6 yaitu 18. Selanjutnya dihitung dengan cara jumlahkan angka tersebut secara diagonal mulai dari yang terbawah. Diagonal terbawah hanya berisi angka 8, jadi angka terakhir dari perkalian tersebut adalah 8. Diagonal kedua dijumlahkan 0 + 1 = 1 , kemudian diagonal ketiga yaitu 3. Jadi hasil perkalian antara 53 x 6 adalah 318.
CONTOH 2:
Hitunglah 574 x 623 = ….
Untuk menentukan hasil 574 x 623, caranya dengan membuat kotak seperti pada contoh soal sebelumnya. Pada diagonal pertama diperoleh angka 2. Pada diagonal kedua 1 + 1 + 8 = 10, tetapi yang ditulis adalah angka satuannya yaitu 0 sedangkan angka puluhan yaitu 1 akan ditambahkan pada diagonal ketiga. Sehingga untuk diagonal ketiga 5 + 2 + 4 + 4 = 15 ditambah 1 menjadi 16, ditulis hanya angka satuannya yaitu 6, sedangkan puluhannya akan ditambahkan ke diagonal keempat. Untuk diagonal keempat yaitu 1 + 1 + 2 + 2 = 6 kemudian ditambah 1 menjadi 7. Diagonal kelima 1 + 0 + 4 = 5. Dan diagonal teratas adalah 3. Dari semua hasil penjumlahan, kemudian disusun dari diagonal teratas ke diagonal terbawah, menjadi 357602. Jadi hasil 574 x 623 = 357.602
b. Pembagian Bilangan Cacah
1.
Hitunglah 2345 : 5 = ... Maka yang kita lakukan adalah memasangkan batang indeks dengan batang ”5”, setelah itu kita melakukan pembagian susun dengan bantuan batang napier sebagai berikut.
2.
Hitunglah 2236622 : 34 = ... Maka yang kita lakukan adalah memasangkan batang indeks dengan batang ”3” dan ”4”:
c. Menentukan Hasil Akar dari Suatu Bilangan
Menentukan nilai dari
Pertama, kita pisahkan atau kita berikan tanda pada bilangan yang akan dibagi mulai dari kanan setiap dua digit. Misalnya: 17635 → 1 76 35 874571 → 87 45 71
Jadi untuk 1681 → 16 81
Selanjutnya mulai dari kiri, digit yang sudah dipisah tadi
pilih hasil pada batang bertanda “ ” yang paling dekat tetapi tidak melebihi bilangan yang dimaksud tadi. Sebagai contoh untuk 1681 di diambil 16. Dari angka 16 ini menghasilkan indeks 4 dan menghasilkan nilai K yang sesuai adalah 8. Selanjutnya batang 8 ini disisipkan antara indeks dan batang akar seperti gambar 2. Kemudian dikurangkan seperti pada pembagian, namun dengan catatan setiap menurunkan adalah dua digit langsung. Demikian seterusnya, tetapi waktu menyisipkan harus diingat: jika K hanya satu digit maka langsung disisipkan, tetapi jika dua digit maka digit pada puluhan ditambahkan pada batang awal dan satuannya tetap . Misalnya untuk K=10
dan batang awal yang disisipkan 4 maka sisipanya menjadi batang 5 dan 0 yaitu dari 4 + 1 dan 0.
C. Alat Peraga Batang Napier setelah Dikembangkan 1. Gambar ALat Peraga
Bentuk alat peraga batang napier setelah kelompok kami kembangkan terdiri atas batang-batang napier dan bingkai seperti pada gambar berikut:
Catatan:
Batang-Batang napier terdiri dari indeks (0-9) yang berbentuk horizontal dan vertikal, angka-angka hasil perkalian dari setiap indeks, dan batang “ Khusus untuk batang “
dan K” tidak terpisah dalam arti batang menyatu.
2. Alat dan Bahan Alat Peraga Alat :
Cutter
Gunting
Penggaris
Printer
Pensil
Spidol
Penghapus
Bahan :
Karton Padi
Gabus Styrofoam
Kertas karton 6 warna (merah muda, kuning, orange, hitam, putih, dan merah)
Lem Fox
Double Tape
Kertas HVS 3 warna (putih, merah muda dan kuning)
dan K”.
3. Cara Pembuatan Alat Peraga
a) Siapkan alat dan bahan. b) Pertama-tama yang di lakukan adalah membuat batang-batang napier. Langkahlangkahnya sebagai berikut: 1. Membuat pola batang napier pada gabus Styrofoam sebanyak 12 buah dengan ketentuan batang indeks dan batang 1-9 berukuran 49,5 x 4,5 cm, sedangkan
untuk batang “ dan K ” berukuran 49,5 x 8 cm.
2. Membuat pola batang napier pada karton padi sesuai dengan ukuran yang telah ditentukan sebelumnya pada gabus Styrofoam. Catatan:
Pada karton padi pola dibuat sebanyak 24 buah, untuk menutupi bagian depan dan belakang Styrofoam. 3. Potong pola pada gabus Styrofoam dan karton padi sehingga menjadi beberapa bagian, kemudian tempelkan karton padi tersebut pada bagian depan dan belakang gabus Styrofoam, seperti pada gambar berikut.
4. Membuat pola pada kertas karton berwarna, sesuai dengan ukuran gabus Styrofoam yange telah ditutupi karton padi sebelumnya.
Catatan:
Kertas karton berwarna kuning
: batang indeks dan batang “ dan K ”
Kertas karton berwarna orange
: batang bilangan genap
Kertas karton berwarna merah muda
: batang bilangan ganjil
5. Setelah pola selesai dibuat, kemudian gunting pola pada karton berwarna tersebut dan tempelkan pada batang-batang napier dengan menggunakan lem fox dan double tape. Sehingga didapat batang-batang seperti gambar di bawah ini.
6. Membuat angka-angka hasil perkalian dari setiap indeks pada Ms. Word, dengan ukuran persegi 4,5 x 4,5 cm. Pada setiap persegi hasil perkalian dibuat satu diagonal yang membagi dua persegi tersebut, bagian atas menunjukkan “puluhan” bagian bawah menunjukkan “satuan”. Kemudian angka-angka tersebut di print dengan menggunakan printer dan kertas HVS yang berbeda warna.
Catatan:
Kertas HVS warna putih
: indeks horizontal dan vertikal
Kertas HVS warna merah muda : hasil perkalian pada indeks horizontal bilangan ganjil Kertas HVS warna kuning
: hasil perkalian pada indeks horizontal bilangan genap
7. Kemudian tempelkan angka-angka tersebut pada batang-batang yang telah dibuat sebelumnya, sehingga didapatkan batang-batang napier seperti gambar di bawah ini.
c) Langkah selanjutnya adalah membuat bingkai untuk batang-batang napier yaitu sebagai berikut: 1. Membuat pola persegi pada karton padi dengan ukuran 70,5 x 65 cm kemudian dipotong dengan menggunakan cutter.
2. Setelah dipotong, buatlah kembali suatu persegi ditengah-tengah karton padi tersebut dengan ukuran 60 x 49,5 cm dan kemudian pada persegi tersebut lapisi dengan kertas karton berwarna putih. 3. Pada bagian luar karton putih tersebut, tempelkan gabus Styrofoam sesuai ukuran, kemudian lapisi gabus Styrofoam tersebut dengan karton padi sehingga menjadi suatu bingkai.
4. Tutupi/lapisi bingkai tersebut dengan kertas karton berwarna hitam, merah, dan putih. Sehingga didapatkan bingkai seperti gambar di bawah ini.
d) Setelah batang-batang napier dan bingkai telah dibuat, tempelkan bagian indeks pada bingkai dengan menggunakan double tape, kemudian sesuaikan batang batang napier lainnya pada bingkai.
e) Langkah terakhir adalah beri nama alat peraga pada bagian atas bingkai. Dan berikut adalah hasil dari pembuatan alat peraga batang napier.
4. Cara Penggunaan Alat Peraga a. Perkalian Bilangan Cacah 1.
Perkalian dengan pengali satu angka
Untuk pengali satu angka, hasilnya dapat dilihat langsung pada indeks (pengali) dengan menjumlahkan bilangan pada setiap diagonal. CONTOH 1 :
Menentukan nilai 53 x 6 = . . .
Susunlah batang napier yang terdiri dari batang indeks di sebelah kiri dan batang angka yang akan dikalikan di sebelah kanan. Karena angka yang dikalikan pada contoh ini adalah 53, maka letakkan batang angka 5 lalu batang angka 3 di sebelah kanan indeks. Seperti pada gambar berikut:
Kemudian di bawah indeks kita lihat angka pengalinya yaitu 6 dan amati kolom angka yang akan dikalikan tepatnya yaitu pada baris yang sama dengan dengan indeks 6.
3
1
8
Karena untuk pengali satu angka, hasilnya dapat dilihat langsung pada indeks (pengali) dengan menjumlahkan bilangan pada kolom angka yang akan dikalikan. Pada gambar di atas Diagonal terbawah hanya berisi
angka 8, jadi angka terakhir dari perkalian tersebu t adalah 8. Diagonal kedua dijumlahkan 0 + 1 = 1 , kemudian diagonal pertama yaitu 3.
Jadi hasil perkalian antara 53 x 6 adalah 318.
Catatan!
Jika hasil penjumlahan bilangan dalam jajargenjang sama dengan 10 atau lebih maka yang ditulis satuannya sedangkan puluhannya ditambahkan pada jajargenjang di depannya (sebelah kirinya).
2.
Perkalian dengan pengali dua angka atau lebih
Untuk pengali dengan dua angka atau lebih, proses pengerjaannya mirip dengan pengali satu angka lalu ditambah 0 di belakang digit terakhir untuk pengali puluhan, ditambah 00 dibelakang digit terakhir untuk pengali ratusan dan seterusnya, kemudian hasilnya dijumlahkan. CONTOH 2 :
Menentukan nilai 574 x 623.
Susunlah batang napier yang terdiri dari batang indeks di sebelah kiri dan batang angka yang akan dikalikan di sebelah kanan. Karena angka yang
dikalikan pada contoh ini adalah 574, maka letakkan batang angka 5 lalu batang angka 7 kemudian batang angka 4 di sebelah kanan indeks. Seperti pada gambar berikut :
Karena angka pengalinya adalah 623, maka di bawah indeks kita perhatikan angka pengalinya 6, 2, dan 3. Dan amati kolom angka yang akan dikalikan, tepatnya yaitu pada baris yang sama dengan baris angka pengalinya.
Pertama, mulai dari satuan pada 623 yaitu 3, angka terakhir adalah 2. Diagonal ketiga dijumlahkan 1 + 1 = 2 , kemudian diagonal kedua yaitu 2 + 5 = 7 dan diagonal pertama yaitu 1. Jadi hasilnya adalah 1722.
Kedua, dilanjutkan untuk puluhan pada 623 yaitu 2, angka pada diagonal terakhir adalah 8. Diagonal ketiga dijumlahkan 0 + 4 = 4 , kemudian diagonal kedua yaitu 1 + 0 = 1 dan diagonal pertama yaitu 1. Jadi hasilnya adalah 1148 tetapi ditulis 11480 karena merupakan puluhan.
Ketiga, untuk ratusan pada 623 yatu 6, angka pada diagonal terakhir yaitu 4. Pada diagonal ketiga yaitu 2 + 2 = 4 , kemudian diagonal kedua yaitu 4 + 0 = 4 dan diagonal pertama yaitu 3. Jadi hasilnya adalah 3444, ditulis 11480 karena ditambah 00 dibelakang digit terakhir untuk pengali ratusan.
Hasil yang diperoleh kemudian dijumlahkan:
+
3. Pembagian Bilangan Cacah
Berbeda dengan perkalian, pada pembagian dengan menggunakan batang napier yang kita gunakan batang indeks untuk bilangan pembagi. CONTOH 1 :
Hitunglah 7692 : 6 = . . .
Karena bilangan pembaginya adalah 6, maka kita gunakan batang indeks horizontal 6, kemudian kita tulis setiap angka yang terdapat pada kolom indeks horizontal 6 terseebut.
0 6 12 18 24 30 36 42 48 54
Langkah pertama, dimulai dari angka paling kiri dari 7692, yaitu 7. Kemudian carilah angka kolom yang kurang dari atau sama dengan 7. Ternyata yang memenuhi adalah 6 (sehingga kita tulis 6 di bawah angka 7). Karena 6 dihasilkan dari indeks 1, angka pertama kita tulis adalah 1. Kemudian dilakukan pengurangan (7 – 6) menghasilkan 1.
Setelah itu kita turunkan nilai pada tempat kedua sehingga didapat 16. Sama seperti langkah pertama, carilah angka kolom yang kurang dari atau sama dengan 16. Ternyata yang memenuhi adalah 12 (sehingga kita tulis 12 di bawah angka 16). Karena 12 dihasilkan dari indeks 2, angka kedua yang kita tulis adalah 2. Kemudian dilakukan pengurangan (16 – 12) menghasilkan 4.
Kemudian kita turunkan nilai pada tempat ketiga didapat 49. Sama seperti langkah sebelumnya, carilah angka kolom yang kurang dari atau sama dengan 49. Ternyata yang memenuhi adalah 48 (sehingga kita tulis 48 di bawah angka 49). Karena 48 dihasilkan dari indeks 8, angka ketiga yang kita tulis adalah 8.
Kemudian dilakukan pengurangan (49-48) menghasilkan 1.
Selanjutnya turunkan nilai pada tempat keempat sehingga didapat 12. Kemudian mencari angka kolom yang kurang dari atau sama dengan 12. Ternyata yang memenuhi adalah 12 (sehingga kita tulis 12 di bawah angka 12). Karena 12 dihasilkan dari indeks 2, angka keempat yang kita tulis adalah 2. Kemudian dilakukan pengurangan (12-12) menghasilkan 0.
∶
Sehingga diperoleh hasil 7692 : 6 = 1282.
CONTOH 2 :
Hitunglah 5986 : 73 = . . .
Karena bilangan pembaginya adalah 73, maka kita gunakan batang indeks horizontal 7 dan 3, kemudian kita tulis setiap angka yang terdapat pada kolom indeks horizontal 7 dan 3 terseebut.
0 73 146 219 292 365 438 511 584 657
Langkah pertama, dimulai dari angka paling kiri dari 5986, yaitu 5. Kemudian carilah angka kolom yang kurang dari atau sama dengan 5. Ternyata yang memenuhi adalah 0 (sehingga kita tulis 0 di bawah angka 5). Karena 5 dihasilkan dari indeks 0, angka pertama kita tulis adalah 0. Kemudian lakukan pengurangan (5 – 0) menghasilkan 5.
0
√
73
5
Setelah itu kita turunkan nilai pada tempat kedua sehingga didapat 59. Sama seperti langkah pertama, carilah angka kolom yang kurang dari atau sama
00
√
73
59
dengan 59. Ternyata yang memenuhi adalah 0
0
(sehingga kita tulis 0 di bawah angka 59). Karena 0
59
dihasilkan dari indeks 0, angka kedua yang kita tulis adalah 0. Kemudian dilakukan pengurangan (59-0) menghasilkan 59.
Kemudian kita turunkan nilai pada tempat ketiga idapat 598. Sama seperti langkah sebelumnya, carilah angka kolom yang kurang dari atau sama dengan 598. Ternyata yang memenuhi adalah 584 (sehingga kita tulis 584 di bawah angka 598). Karena 584 dihasilkan dari indeks 8, angka ketiga yang kita tulis adalah 8. Kemudian
dilakukan
pengurangan
00
√
73
59 0
598 584
(598-584)
14
menghasilkan 14.
Selanjutnya turunkan nilai pada tempat keempat sehingga didapat 146. Kemudian mencari angka kolom yang kurang dari atau sama dengan 146. Ternyata yang memenuhi adalah 146 (sehingga kita tulis 146 di bawah angka 146). Karena 146 dihasilkan dari indeks 2, angka keempat yang kita tulis adalah 2. Kemudian
dilakukan
pengurangan
0082
√
73
59 0
598 584
(146-146)
menghasilkan 0.
∶
Sehingga diperoleh hasil 5986 : 73 = 82.
146 146 0
4. Menentukan Hasil Akar dari Suatu Bilangan CONTOH 1 :
Menentukan nilai dari
.
Pertama, kita pisahkan atau kita berikan tanda pada bilangan yang akan dibagi mulai dari kanan setiap dua digit sehingga menjadi 7.29.
Lalu mulai dari kelompok yang paling kiri yaitu angka 7. Perhatikan pada batang akar, bilangan yang mendekati angka 7, dan tidak boleh lebih, yaitu indeks pada angka 2.
2
√ 3 29
Selanjutnya tulis angka 4 di bawah angka 7, lalu dikurangkan, hingga hasilnya 3, dan turunkan kelompok berikutnya yaitu 29. Jadi, angka yang dicari berikutnya adalah 329.
Perhatikan pada indeks 2, terdapat angka 4 pada bagian akar, dan disebelahnya angka 4 pada kolom K. Jadi, kita sisipkan batang 4, di antara batang indeks dengan batang akar.
Lalu perhatikan baris indeks yang menghasilkan bilangan 329, dan ternyata ada pada indeks angka 7, sehingga angka 329 kita tulis di bawah 329 dan dikurangkan. Jadi hasil pengurangan akhir adalah 0 (Nol).
27
√ 3 29 3 29 0
Jadi akar dari 729 adalah 27.
CONTOH 2 :
Menentukan nilai dari
.
Pertama, kita pisahkan atau kita berikan tanda pada bilangan yang akan dibagi mulai dari kanan setiap dua digit sehingga menjadi 12.39.04.
Lalu mulai dari kelompok yang paling kiri yaitu angka 12. Perhatikan pada batang akar, bilangan yang mendekati angka 12, dan tidak boleh lebih, yaitu indeks pada angka 3
3
√ 3 39
.
Selanjutnya tulis angka 9 di bawah angka 12, lalu dikurangkan, hingga hasilnya 3, dan turunkan kelompok berikutnya yaitu 39. Jadi, angka yang dicari berikutnya adalah 339.
Perhatikan pada indeks 3, terdapat angka 9 pada bagian akar, dan disebelahnya angka 6 pada kolom K. Jadi, kita sisipkan batang 6, di antara batang indeks dengan batang akar.
35
√
3 39 3 25 14 04
Lalu perhatikan baris indeks yang menghasilkan bilangan 339, dan ternyata ada pada indeks angka 5, sehingga angka 325 kita tulis di bawah 325 dan dikurangkan. Lalu hasil pengurangannya adalah 14.
Kemudian turunkan kelompok selanjutnya yaitu angka 04, jadi angka selanjutnya yang kita cari adalah 1404.
Perhatikan pada indeks 5, terdapat angka 25 pada bagian akar, dan disebelahnya angka 10 pada kolom K. Hasil 10 ini bukan berarti langsung dikaitkan dengan batang 1 dan 0, tetapi mengikuti aturan khusus pada akar yaitu 1 ditambahkan pada 6, dan 0 tetap.
Jadi batang yang disisipkan adalah 7 dan 0 (mengganti batang 6).
Lalu perhatikan baris indeks yang menghasilkan bilangan 1404, dan ternyata ada pada indeks angka 2, sehingga angka 1404 kita tulis di bawah 1404 dan dikurangkan. Lalu, hasil pengurangan akhirnya adalah 0.
352
√ 3 39 3 25 14 04 14 04
Jadi, akar dari 123904 adalah 352.
0
Ref er ensi . . . http://allen-marga-retta.blogspot.com/2013/01/tugas-pkl.html Zahroini,
Edris.
2013.
Konten
Batang
Napier2.http://www.scribd.com/doc/177115743/Konten-Batang-Napier2. Diakses tanggal:18
Mei 2014 Arifin,
Aprianti.
2013.
Dengan
Batang
Napier
Perkalian
Menjadi
Mudah.
http://lifestyle.kompasiana.com/catatan/2013/10/08/pemanfaatan-batang-napier-untukmenghitung-perkalian-bilangan-cacah-598517.html. Diakses tanggal 19 Mei 2014
