MA13_U04 - Desigualdade Triangular

ABC 

B > C   

AC > AB

 

−→

B > C    

BX 

 

C BX  BX  = 12 (B − C )

ABC 

 

−→

BX 

P 

 

AC 

AP B = C BP  + B C P  =   

  

 

 

1 1 (B − C ) + C  = (B + C ). 2 2   

 

 

  

ABP  = B − 12 (B − C ) = 12 (B + C )   

 

  

 

  

ABP 

 

A

X 

P 

B

C 

BP  AB = AP < AC.

ABC 

A ≥ 90◦  

 

BC 

A ≥ 90◦

A

  

ABC 

 

BC 

AB = c AC  = b

ABC  a < b+c

BC  = a −→

D

A ∈ CD

CA

AD = AB D

A

B

C 

C D = AC  + AD = AC  + AB = b + c, B DC < DBC  D BC   

  

B DA = D BA  

  

B DC  = B DA = DBA < D BA + ABC  = D BC. BC .  

a b

 

  

  

  

c

a < b + c, b < a + c, c < a + b.

  

a b

P 

c

ABC 

P B + PC < AB + AC  P A + P B + PC < AB + AC  + BC 

−→

BP 

AC 

Q CP Q

ABQ

PB + PC <

P B + ( P Q + C Q) = BQ + C Q

< ( AB + AQ) + C Q = AB + AC. AC . A

P  B

Q C 

PA + PB < AC  + BC 

P A + P C < A B + BC 

2( P A + P B + P C ) < 2( AB + AC  + BC ).

P  ∈ r PA + PB

A

A

r A B

P 

r

Q B

A

r

r A

A

r

AP  = A P 

AP  + BP  = <

A P  + BP  = A B A Q + BQ = AQ + BQ.

AQ = A Q

38

14

14 x x + 10 2x + 4

20 − 2x ABC 

AB AB

AC  = 27

BC  = 16

C < A < B  

 

 

P  ∈ BC 

ABC  Q ∈ AC 

R ∈ AB

ABC  P QR

ABC  BP R

a b

AQR CP Q

c

|b − c| < a a,b,c a3 + b3 + 3abc > c 3

a3 + b3

a+b> c ABCD

P 

P A + P B + P C  + P D ABCD P AC  n ≥ 3 n−1

P BD n− n≥3

k ≥3

A1 A2 . . . Ak Ak+1 A1 A2 . . . Ak A1 Ak Ak+1 r

s

B ∈ r

C  ∈ s

AB + BC  + C D r

A

D s

A A

D

D

A D 

r r

 B B =

s

B

C 

B ∈ r

s

C  ∈ s

 C  C  = AB + BC  + CD < AB  + B  C  + C  D

ABC  P 

B

AB > BC  P A + P B + PC < AB + AC 

ABC  P 

QR

BC 

R ∈ AC  AP < AR

BP  + P C < B Q + QR + C R

A B B AC > 60◦  

C 

Q ∈ AB

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