Materiales Curriculares Matemáticas Grados K-12
OCTUBRE 2012
Derechos Reservados Conforme a la Ley Departamento de Educación de Puerto Rico
NOTIFICACIÓN DE POLÍTICA PÚBLICA El Departamento de Educación no discrimina por razón de raza, color, género, nacimiento, origen nacional, condición social, ideas políticas o religiosas, edad o impedimento en sus actividades, servicios educativos y oportunidades de empleo.
NOTA ACLARATORIA Para propósitos de carácter legal en relación con la Ley de los Derechos Civiles de 1964, el uso de los términos maestro, director, supervisor, estudiante y cualquier otro que pueda hacer referencia a ambos géneros, incluye tanto al masculino como al femenino.
Tabla de contenido Páginas Créditos
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5-10
Introducción
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11-12
Mapas de Kindergarten
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12-48
Anejos de Kindergarten
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49-84
Mapas de 1ro Grado
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85-120
Anejos de 1ro Grado
…………………………………………………………………………………………………………
121-153
Mapas de 2do Grado
……………………………………………………………………………………………………….
154-193
Anejos de 2do Grado
……………………………………………………………………………………………………….
194-231
Mapas de 3er Grado
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232-281
Anejos de 3er Grado
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282-320
Organizadores de Grados K-3
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321-328
Mapas de 4to Grado
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329—363
Anejos de 4to Grado
…………………………………………………………………………………………………………
364-480
Mapas de 5to Grado
…………………………………………………………………………………………………………
481-507
Anejos de 5to Grado
…………………………………………………………………………………………………………
508-591
Mapas de 6to Grado
…………………………………………………………………………………………………………
592-619
Anejos de 6to Grado
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620-708
Mapas de 7mo Grado
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709-737
Anejos de 7mo Grado
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738-817
Mapas de 8vo Grado
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818-838
Anejos de 8vo Grado
……………………………………………………………………………………………………….
839-895
Mapas de 9no Grado
……………………………………………………………………………………………………….
896-944
Anejos de 9no Grado Mapas de 10mo Grado
……………………………………………………………………………………………………….
945-1005
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1,006-1,072
Anejos de 10mo Grado …………………………………………………………………………………………….……
1,073-1,139
Mapas de 11mo Grado
1,140-1,204
…………………………………………………………………………………………….……
Anejos de 11mo Grado ………………………………………………………………………………………………..
1,205-1,275
Mapas de Pre Calculo
……………………………………………………………………………………………………
1,276-1,319
Anejos de Pre Calculo
……………………………………………………………………………………………………
1,320-1,365
Mapas de Probabilidad y Estadistica
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1,366-1,395
Anejos de Probabilidad y Estadistica
……………………………………………………………………………
1,396-1,424
Junta Editora Edward Moreno Alonso, Ed. D Secretario
Grisel Muñoz Marrero, Ph.D Subsecretaria para Asuntos Académicos
Pura Cotto López, M.A. Ayudante Especial Estándares y Avalúo
Edwin Benvenutti Jusino, M.A. Director Programa de Matemáticas
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Mapas Curriculares Matemáticas—Kíndergarten a Tercer Grado
Autores
Lois Williams, Ed.D edCount, LLC, consultora curricular Juan Serrano, M.A. Distrito Escolar de Caguas Arlene Martell, M.A. Distrito Escolar de Utuado
Especialistas Colaboradores María Cristina Alvarado, Ed.D
Maestros Colaboradores Julissa Rivera Sandoval Distrito Escolar de Manatí Lisbeth González Distrito Escolar de San Sebastián Waddy Sosa Distrito Escolar de Santa Isabel
El Departamento de Educación en colaboración de la Compañía edCount reconoce la aportación de todos los especialistas del programa de matemáticas (Profesores Universitarios, Facilitadores Docentes y Maestros), al Prof. Leonardo Torres Pagán y a la Especialista de Currículo, Prof. Brunilda Rivera Colón que facilitaron el proceso del desarrollo de los Mapas Curriculares y Guías Operacionales del 2007, del Programa de Matemáticas del Departamento de Educación de Puerto Rico. Este material fue de gran aportación en el desarrollo de los Materiales Curriculares desarrollados desde 2010-11 hasta 2011-12.
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Mapas Curriculares Matemáticas – Cuarto a Octavo Grado Autores Lois Williams, Ed.D edCount, LLC, consultora curricular
Maestros Colaboradores Evelyn Arzuaga Distrito Escolar de Juncos
Carlos A. Rios Rivera Distrito Escolar de San Juan II
Arlene Martell Distrito Escolar de Utuado
Maricely Sullivan Cortés Distrito Escolar de Ponce
Javier I. Dávila Distrito Escolar de Yabucoa
Rosa M. Mora Solano Distrito Escolar de Tao Bajo
Joyce M. Burgos Santiago Distrito Escolar de Salinas
Miguel A. Morales Rivera
Juan Serrano Distrito Escolar de Caguas Manuel E. Vigo Distrito Escolar de Bayamón Sallie A. Pérez Fernando Distrito Escolar de Vega Alta Daisy Rodríguez Curret Distrito Escolar de Ponce El Departamento de Educación en colaboración de la Compañía edCount reconoce la aportación de todos los especialistas del programa de matemáticas (Profesores Universitarios, Facilitadores Docentes y Maestros), al Prof. Leonardo Torres Pagán y a la Especialista de Currículo, Prof. Brunilda Rivera Colón que facilitaron el proceso del desarrollo de los Mapas Curriculares y Guías Operacionales del 2007, del Programa de Matemáticas del Departamento de Educación de Puerto Rico. Este material fue de gran aportación en el desarrollo de los Materiales Curriculares desarrollados desde 2010-11 hasta 2011-12.
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Mapas Curriculares Matemáticas—Noveno, Décimo, Undécimo, Pre Cálculo y Estadística Autores Anna Persson, M.A. edCount, LLC, consultora curricular Juan Serrano, M.A. Distrito Escolar de Caguas
Maestros Colaboradores Javier Dávila Rodríguez Distrito Escolar de Yabucoa María del Pilar Díaz Distrito Escolar de Cidra Eddie Rivera Santana Distrito Escolar de Vega Alta Keila Santiago Rodríguez Distrito Escolar de San Juan Nereida Rosario Distrito Escolar de San Juan II María Atabeira Hernández Distrito Escolar de San Juan I Iris Bermúdez Distrito Escolar de San Juan I
Gerardo Cruz Distrito Escolar de Ponce Noemí Borges Santiago Distrito Escolar de Barranquitas María Ortíz Distrito Escolar de Cidra Carlos Torrech Prieto Distrito Escolar de San Juan I José Caez Distrito Escolar de Caguas Manuel Vigo Distrito Escolar de Bayamón Luz Nereida Rosario Distrito Escolar de San Juan II María Fuentes Distrito Escolar de Gurabo
El Departamento de Educación en colaboración de la Compañía edCount reconoce la aportación de todos los especialistas del programa de matemáticas (Profesores Universitarios, Facilitadores Docentes y Maestros), al Prof. Leonardo Torres Pagán y a la Especialista de Currículo, Prof. Brunilda Rivera Colón que facilitaron el proceso del desarrollo de los Mapas Curriculares y Guías Operacionales del 2007, del Programa de Matemáticas del Departamento de Educación de Puerto Rico. Este material fue de gran aportación en el desarrollo de los Materiales Curriculares desarrollados desde 2010-11 hasta 2011-12.
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Mapas Curriculares Matemáticas Otros Colaboradores Jorge L. Alicea Santos Director de Programa de Matemáticas Pedro Villafañe Ex Director del Programa de Matemáticas Brunilda Rivera Colón Especialista de Currículo Nydia Pagán Otero, MA.Ed. Especialista de Currículo Pablo Rodríguez De Jesús Coordinador Región Educativa de Ponce (PPAA) Claribel Rivera Casanova Coordinador Regional Educativa de San Juan (PPAA Laura Kuti, Ph.D edCount, LLC Anne Calvert, B.A. edCount, LLC El Departamento de Educación en colaboración de la Compañía edCount reconoce la aportación de todos los especialistas del programa de matemáticas (Profesores Universitarios, Facilitadores Docentes y Maestros), al Prof. Leonardo Torres Pagán y a la Especialista de Currículo, Prof. Brunilda Rivera Colón que facilitaron el proceso del desarrollo de los Mapas Curriculares y Guías Operacionales del 2007, del Programa de Matemáticas del Departamento de Educación de Puerto Rico. Este material fue de gran aportación en el desarrollo de los Materiales Curriculares desarrollados desde 2010-11 hasta 2011-12.
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Matemáticas Mapas Curriculares 10mo Grado
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Unidad 10.1: Funciones y modelos cuadráticos Matemáticas 5 semanas Etapa 1 – Resultados esperados Resumen de la unidad En esta unidad, los estudiantes representarán, aplicarán y discutirán las propiedades de números complejos. Además, representarán, interpretarán y resolverán problemas que contienen funciones cuadráticas, y aplicarán el concepto de límites. Convertirán las funciones a los diferentes tipos de representación (verbal, tabla, símbolos y gráficas) e identificarán el dominio, campo de valores, intersecciones y relaciones entre los coeficientes de las funciones y las características de las gráficas. Meta de transferencia: Los estudiantes saldrán de la clase con la capacidad de usar su conocimiento sobre funciones cuadráticas para interpretar, predecir y resolver situaciones del mundo real.
Estándares de contenido y expectativas Números complejos N.SN.10.1.1 Define, representa gráficamente y realiza cómputos con los números complejos de la forma . Suma, resta y multiplica números complejos. Simplifica potencias de números imaginarios puros. Relaciona los números complejos con las soluciones de las ecuaciones cuadráticas que no tienen solución real. N.SO.10.1.2 Describe cómo las propiedades asociativas, conmutativas y distributivas de los números reales se extienden a las operaciones con números complejos. N.OE.10.1.3 Determina y aplica el conjugado de números complejos para resolver problemas. Modelos cuadráticos A.RE.10.4.1 Identifica, interpreta y traduce a través de diferentes representaciones de funciones cuadráticas. Reconoce que la gráfica de una función cuadrática es una parábola. A.RE.10.4.2 Halla el dominio y el campo de valores de las funciones cuadráticas dentro de un contexto y determina la razonabilidad de las soluciones de las ecuaciones cuadráticas (ceros de funciones cuadráticas). A.MO.10.4.3 Identifica los puntos de intersección de la gráfica de una ecuación cuadrática de la forma y=ax2 y la gráfica de una línea de la forma y = k, y la relaciona con los puntos de intersección de las soluciones de la ecuación cuadrática ax2 =k. A.PR.10.4.4 Traza la gráfica de una ecuación cuadrática y reconoce la relación entre los coeficientes de una función cuadrática y las características de su gráfica (forma, posición, interceptos, ceros, extremos, simetría, vértices). A.RE.10.4.5 Resuelve ecuaciones e inecuaciones cuadráticas con coeficientes reales sobre el conjunto de números reales y complejos. Resuelve ecuaciones cuadráticas por medio de la factorización, compleción del cuadrado, el método de la raíz, la fórmula cuadrática y la tecnología, e interpreta sus soluciones en el contexto del problema original. Desarrolla y aplica la fórmula cuadrática en la solución de ecuaciones cuadráticas. Utiliza el discriminante para determinar la naturaleza de las soluciones de una ecuación cuadrática. Construye y resuelve inecuaciones cuadráticas en una y dos variables, y representa su solución gráficamente. Junio 2012
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Unidad 10.1: Funciones y modelos cuadráticos Matemáticas 5 semanas Ideas grandes/Comprensión duradera:
Preguntas esenciales:
Nuestro sistema numérico incluye diferentes tipos de números que explican diferentes fenómenos. Los números complejos tienen operaciones y propiedades similares a las de los números reales. Las funciones cuadráticas y las gráficas tienen características únicas que nos permiten identificarlas. Las funciones cuadráticas y las gráficas se describen la una a la otra. Las soluciones se hallan y se expresan de diferentes formas.
¿Por qué tenemos diferentes tipos de números? ¿Cómo podemos probar que las operaciones y las propiedades son universales? ¿Qué hace únicas a las funciones cuadráticas y a las gráficas? ¿Por qué se relacionan las funciones y las gráficas? ¿Cuál es más importante: la metodología o las soluciones finales? ¿Por qué?
Contenido (Los estudiantes comprenderán…)
Destrezas (Los estudiantes podrán…)
Números complejos Números imaginarios Ecuaciones/funciones cuadráticas Números reales Conjugado de números coplejos Características de una función Fórmula cuadrática Desigualdades cuadráticas La relación entre los coeficientes de una función cuadrática y las características de su gráfica (forma, posición, interceptos, ceros, extremos, simetría, vértices) Un nuevo sistema numérico que combina números reales con números imaginarios (i) como . Las propiedades de los números complejos (o sea, las propiedades asociativa, conmutativa y distributiva de los números reales) Las características de una gráfica cuadrática (forma, posición, interceptos, ceros, extremos, simetría, vértices)
Vocabulario de contenido
Números complejos: conjugado, conjunto, ecuación/función cuadrática, números complejos, números imaginarios, números reales, propiedad asociativa, propiedad
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Hacer una representación gráfica y cómputos de la forma . Sumar, restar y multiplicar números complejos. Simplificar potencias de números imaginarios puros. Relacionar los números complejos con las soluciones de las ecuaciones cuadráticas que no tienen solución real. Describir cómo las propiedades asociativas, conmutativas y distributivas de los números reales se extienden a las operaciones con números complejos. Determinar y aplicar el conjugado de números complejos para resolver problemas. Identificar, interpretar y traducir a través de diferentes representaciones de funciones cuadráticas. Reconocer que la gráfica de una función cuadrática es una parábola. Hallar el dominio y el campo de valores de las funciones cuadráticas dentro de un contexto y determinar la razonabilidad de las soluciones de las ecuaciones cuadráticas (ceros de las funciones cuadráticas). Identificar los puntos de intersección de la gráfica de una ecuación cuadrática de la 1009
Unidad 10.1: Funciones y modelos cuadráticos Matemáticas 5 semanas
conmutativa, propiedad distributiva Modelos cuadráticos: coeficientes, completar el cuadrado, discriminante, dominio, extremos, forma, forma factorizada, desigualdades, intersección, máximo, mínimo, puntos, parábola, posición, fórmula cuadrática, desigualdades cuadráticas, raíz, solución, conjunto de solución, forma estándar, simetría, transformar, variable, vértice (s), forma vértice, cero
forma y=ax2, y la gráfica de una línea de la forma y = k, y relacionarla con los puntos de intersección de las soluciones de la ecuación cuadrática ax2=k. Trazar la gráfica de una ecuación cuadrática y reconocer la relación entre los coeficientes de una función cuadrática y las características de su gráfica (forma, posición, interceptos, ceros, extremos, simetría, vértices). Resolver ecuaciones e inecuaciones cuadráticas con coeficientes reales sobre un conjunto de números complejos y reales. Resolver ecuaciones cuadráticas por medio de la factorización, compleción del cuadrado, el método de la raíz, la fórmula cuadrática y la tecnología, e interpretar sus soluciones en el contexto del problema original. Desarrollar y aplicar la fórmula cuadrática en la solución de ecuaciones cuadráticas. Utilizar el discriminante para determinar la naturaleza de las soluciones de una ecuación cuadrática. Construir y resolver inecuaciones cuadráticas en una y dos variables, y representar su solución gráficamente.
Etapa 2 – Evidencia de avalúo Tareas de desempeño
Otra evidencia
Creación de problemas complejos Los estudiantes demostrarán su comprensión de la suma, la resta y la multiplicación de números complejos por medio de la creación y resolución de sus propios problemas. Discute con los estudiantes las cualidades de problemas únicos, como uno que no se adecue a una fórmula sencilla y un problema de la lección que no se use comúnmente.
Preguntas de quiz/examen (Ver anejo: 10.1 Otra evidencia – Ejemplos de preguntas de examen.)53
Instrucciones: Crea seis problemas únicos que impliquen sumar, restar y multiplicar números complejos (dos de cada uno). 53
1. Factorizada por completo, la expresión 2x2+10x-12 es equivalente a: a) 2(x-6)(x+1) b) 2(x+6)(x-1) c) 2(x+2)(x+3) d) 2(x-2)(x-3) 2. Expresado en forma factorizada, el binomio 4a2-9b2 es equivalente a: a) (2a-3b)(2a-3b) b) (2a+3b)(2a-3b)
Fuente: http://www.jmap.org/JMAP_RESOURCES_BY_TOPIC.htm
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Unidad 10.1: Funciones y modelos cuadráticos Matemáticas 5 semanas
Crea dos ecuaciones cuadráticas únicas con soluciones que impliquen números complejos. Una vez hayas creado tus problemas resuélvelos en una hoja aparte. Una vez hayas resuelto tus problemas, compártelos con un compañero.
Una vez los estudiantes hayan terminado, recoge y corrige sus trabajos. Utiliza la rúbrica de avalúo para evaluarlos (ver anejo: Organizador – Rúbrica de tarea de desempeño). Fuegos artificiales52 Los estudiantes demostrarán su comprensión de las ecuaciones cuadráticas con la siguiente tarea. Pídeles a los estudiantes que lean el siguiente problema y respondan a las preguntas. Utiliza la rúbrica de tarea de desempeño para evaluar el trabajo de los estudiantes (ver anejo: Organizador – Rúbrica de tarea de desempeño). En un espectáculo de fuegos artificiales, se lanza un cohete con fuegos artificiales desde el suelo a una velocidad inicial de 160 pies por segundo. Los espectadores observan y se preguntan qué altura alcanzará el cohete antes de comenzar a descender. La fórmula del movimiento vertical es a(t) = 0.5gt2 + vt + s, donde la constante gravitacional, g, es -32 pies por segundo cuadrado, v es la velocidad inicial y s es la altura inicial. El tiempo está representado por t y se mide en segundos, y la altura, a, se mide en pies. 1. ¿Qué función describe la altura, a, en pies, del cohete a t segundos del lanzamiento? 2. Dibuja la gráfica de la posición del cohete como una función del tiempo de lanzamiento, y haz una descripción verbal de la gráfica. 3. ¿A qué altura se encuentra el cohete a los tres segundos del lanzamiento? 4. Por la seguridad de la audiencia, el cohete, a medida que desciende, debe detonar por lo menos a 250 pies del suelo. El operador puede escoger entre varios fusibles para detonar el cohete. El fusible A detonará el cohete en 3 a 5 segundos, el fusible B lo 52
c) (4a-3b)(a+3b) d) (2a-9b)(2a+b) 2 3. Factoriza: 3a -3
4. ¿Cuál es el conjunto de solución de la ecuación x2-5x-24=0? a) b) c) d) 5. Halla las raíces de la ecuación con álgebra. 6. Considera la gráfica de la ecuación , cuando . Si se multiplica a por 3, ¿qué es cierto de la gráfica de la parábola resultante? a) El vértice está tres unidades por encima del vértice de la parábola original. b) La nueva parábola está tres unidades a la derecha de la parábola original. c) La nueva parábola es más amplia que la parábola original. d) La nueva parábola es más estrecha que la parábola original. 7. En el conjunto de ejes a continuación se encuentra la gráfica de la ecuación .
A partir de esta gráfica, ¿cuáles son las raíces de la ecuación ? a) 8 y 0
Fuente: http://ths.thrallisd.com/ourpages/auto/2010/8/9/55375440/DANA%20ALGEBRA%20I.pdf
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Unidad 10.1: Funciones y modelos cuadráticos Matemáticas 5 semanas b) 2 y -4 c) 9 y -1 d) 4 y -2 8. Greg se encuentra en un vagón al tope de una montaña rusa. La distancia, d, a la que se encuentra el vagón del suelo a medida que desciende está determinada por la ecuación 144 16t2, donde t es el número de segundos que se toma el vagón en bajar a cada punto de la machina. ¿Cuántos segundos se tomará Greg en llegar abajo?
Distancia (en pies)
detonará en 4 a 6 segundos y el fusible C lo hará en 6 a 8 segundos. ¿Cuál fusible debe usarse y por qué? 5. Supón que el cohete es lanzado desde el tope de un edificio de 200 pies de altura. ¿Cómo cambiará esto la función de la posición del cohete? ¿Cómo se verá la gráfica de la nueva posición en comparación con la gráfica de la función de la primera posición? ¿Qué te dice la nueva gráfica sobre la situación? 6. Supón que eres el operador y quieres lanzar el cohete desde el suelo para que se quede en el aire tres segundos más (13 segundos en vez de 10). ¿Cómo lo lograrás? ¿Qué efecto tendrá esto en la altura máxima que alcance el cohete?
Tiempo (en segundos)
9. Encuentra la ecuación del eje de simetría y las coordenadas del vértice de la parábola de la gráfica a continuación.
10. Simplifica: Junio 2012
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Unidad 10.1: Funciones y modelos cuadráticos Matemáticas 5 semanas 4i(1 + i) + 3(6 – 2i) 11. Responde a las siguientes preguntas sobre ecuaciones cuadráticas en forma estándar donde a, b y c son números reales.54 a. ¿Qué es cierto del discriminante cuando hay dos soluciones con números reales para una ecuación cuadrática? b. ¿Podría una ecuación cuadrática con coeficientes reales tener una solución racional y una solución irracional? Explica tu razonamiento. c. ¿Qué es cierto del discriminante cuando hay una solución con números reales? d. ¿Qué es cierto del discriminante cuando no hay soluciones con números reales para la ecuación? e. Resume lo que sabes acerca de la relación entre el discriminante y las soluciones de una cuadrática de la forma ax² + bx + c = 0 cuando a, b, y c son números reales con a ≠ 0 en su enunciado formal usando bicondicionales. Diario 1. Si es un factor de , ¿cuál es el valor de b? 2. Un arquitecto está diseñando una entrada de un museo en forma de un arco parabólico representado por la ecuación , donde y todas las dimensiones se expresan en pies. 3. Dibuja la gráfica del arco y determina su altura máxima en pies. 4. ¿Cómo sabes cuál método usar para resolver una ecuación cuadrática? 5. Describe cómo las propiedades asociativa, conmutativa y distributiva de los números reales se aplican a los números complejos. Da un ejemplo. Preguntas de entrada/salida 54
Fuente: http://www.apskids.org/Documents/Math%20II%20Unit%201TE%20APS%20Supplement.071409.pdf
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Unidad 10.1: Funciones y modelos cuadráticos Matemáticas 5 semanas 1. Melisa hizo la gráfica de la ecuación y David hizo la gráfica de la ecuación en la misma red coordenada. ¿Cuál es la relación entre las gráficas que Melisa y David dibujaron? 2. Haz la gráfica de la ecuación en una hoja de papel. Con la gráfica, determina las raíces de la ecuación . Un cohete modelo es lanzado desde el primer piso. Su altura, h metros del suelo, es una función de tiempo a t segundos desde su lanzamiento y está dada por la ecuación . ¿Cuál sería la altura máxima, al metro más próximo, obtenido con el modelo?
Etapa 3 - Plan de aprendizaje Actividades de aprendizaje
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Números complejos: Los estudiantes identificarán las propiedades de campo de los números complejos y harán una jerarquía de conjuntos de números, usando un diagrama de Venn (números complejos, números imaginarios puros, números reales, números racionales, números irracionales, números enteros, números naturales). Para más información, dirigirse a http://www.ttaconline.org/d/sol/Mathematics/Algebra2_OT01LN08.pdf. Introducción a la fórmula cuadrática55: Les da a los estudiantes tres ecuaciones cuadráticas para resolver: una que puede resolverse calculando la raíz cuadrada (solo sacar x2), una que pueda resolverse por factorización y una que pueda resolverse completando el cuadrado (ni siquiera con coeficiente principal y coeficiente de término medio). Los estudiantes pueden trabajar con este ejercicio para calentar. Discutan por qué cada problema se resuelve mejor con el método dado. Entonces dales a los estudiantes una ecuación cuadrática que haya que resolver completando el cuadrado, pero que no sea tan “fácil” como la primera (por ejemplo, y = 2x2 + 3x − 4). Discutan el porqué de que este problema no sea tan fácil al completar el cuadrado. Discutan los problemas anteriores. Luego, comiencen a derivar la fórmula cuadrática, comenzando por la forma estándar de una ecuación cuadrática y completando el cuadrado para derivar la fórmula cuadrática. Finalmente, demuestra cómo usar la fórmula para solucionar cualquier ecuación cuadrática. Tres formas de hallar las raíces de una ecuación cuadrática: los estudiantes practican hallar las raíces de las ecuaciones cuadráticas usando los tres métodos (factorización, completar el cuadrado y la fórmula cuadrática). Usan y trazan la gráfica de la forma de vértice de las ecuaciones y hallan las raíces imaginarias de las ecuaciones cuadráticas. Para hojas de cálculo, dirigirse a: http://www.wsfcs.k12.nc.us/Page/7246 Refiérete al organizador gráfico de las raíces cuadráticas: Después de aprender sobre los tres métodos de resolver ecuaciones cuadráticas (factorización, compleción del cuadrado y la ecuación
Fuente: http://distance-ed.math.tamu.edu/peic/lesson_plans/intro_quadratics2.pdf
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Unidad 10.1: Funciones y modelos cuadráticos Matemáticas 5 semanas
cuadrática), dirige a los estudiantes para que comparen cuándo puede resultar útil usar los varios métodos de resolver diferentes ecuaciones cuadráticas. A veces un método es más rápido o más útil que otro (p. ej., factorizar suele ser más rápido que usar la fórmula cuadrática si puedes factorizar una ecuación cuadrática, o completar el cuadrado es más rápido que la fórmula cuando no puedes factorizar). Los estudiantes crean un organizador gráfico de 3x5 plegable en que se enumeren todos los métodos, cómo saben cuándo pueden usar el método, cómo se usa y dos problemas de ejemplo. Área posible56: Se introducirá a los estudiantes a las desigualdades cuadráticas con una actividad en que se calcula un área con restricciones, y usando una tabla para explorar soluciones posibles. Si la longitud y anchura de un rectángulo tienen que sumar 10, ¿cuáles son algunas áreas posibles? ¿Cuáles son los extremos? Primero, haz que los estudiantes hagan una tabla en que exploren áreas posibles de un rectángulo cuya longitud y anchura suman 10. Pregúntales: ¿cuál es el área máxima posible? ¿Cuál es el área menor posible? Discute con ellos el concepto de límites a medida que cada dimensión se acerca a 0 ó el área se acerca a 0. A continuación, haz que los estudiantes oscurezcan todos los valores posibles de un lado del rectángulo. Asegúrate de que utilicen círculos abiertos en 0 y en 10. Pregúntales: ¿cómo describiríamos esto en términos algebraicos? [x (10 - x) > 0] Finalmente, pídeles a los estudiantes que oscurezcan todas las áreas que no sean posibles. Discútanlo. Dale seguimiento con el “Ejemplo para plan de la lección –Desigualdades cuadráticas” que se encuentra aquí abajo.
Ejemplos para planes de la lección
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El Factor X: Esta lección le enseñará a los estudiantes a factorizar expresiones trinómicas de la forma x2 + bx + c. Los estudiantes utilizarán cuadritos de álgebra para identificar los factores binómicos en la calculadora gráfica para comprobar el resultado. Identificarán además las intercepciones en x y en y de cada función trinomal y explorarán las relaciones entre el trinomio x2 + bx + c, y su forma factorizada (x + m)(x + n). Para más información, dirigirse a http://www.learner.org/workshops/algebra/workshop5/lessonplan1b.html. Investigación de la parábola: Los estudiantes exploran en conjunto una función cuadrática con forma estándar usando una calculadora gráfica. Esta es una lección de investigación para usarse como introducción a las traslaciones y dilaciones de las funciones (ver anejo: 10.1 Ejemplo para plan de lección – Investigación de la parábola). Competencia de lanzar huevos: Representarán funciones cuadráticas en forma de tabla, con una gráfica y con una ecuación. Compararán los datos y alternarán entre representaciones. 1. El maestro les pide a los estudiantes que lean los primeros dos párrafos de la hoja de actividades (para materiales, dirigirse a: http://illuminations.nctm.org/LessonDetail.aspx?ID=L738). 2. Pregúntale a la clase qué notan de la altura del huevo a medida que aumenta la distancia a partir de la línea de inicio. Si los puntos de datos se trazan en un plano coordenado y conectado, ¿qué forma piensas que toma la gráfica? [Los estudiantes deben notar que la altura aumenta y luego se reduce. La forma es una parábola.] 3. Haz que los estudiantes lean el tercer párrafo. Solicita a la clase que describa la forma descrita por la ecuación. [Los estudiantes deben reconocer que se trata de una ecuación cuadrática, cuya gráfica es una parábola. El coeficiente negativo antes del término x2 significa que la
Fuente: www.curriculumframer.com
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Unidad 10.1: Funciones y modelos cuadráticos Matemáticas 5 semanas
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parábola se abre hacia abajo y tiene un valor máximo.] 4. Haz que los estudiantes lean el cuarto párrafo. Pregúntales qué saben acerca de la trayectoria del huevo del Equipo C al mirar la gráfica. 5. Después de una discusión de los puntos de inicio, alturas y distancias a partir del punto inicial por cada uno de los tres equipos, solicita a los estudiantes que se tomen un minuto para anotar cuál equipo piensan que ganó la competencia y por qué. 6. Divide a los estudiantes en grupos o parejas para que trabajen la segunda página de la hoja de actividades. Necesitarán una calculadora gráfica o alguna otra herramienta de regresión para hallar las ecuaciones del Equipo A y Equipo C. Juego de “Chutes and ladders” con cuadráticas57: Esta lección está diseñada a servir de repaso de cómo resolver ecuaciones cuadráticas usando los métodos de esta unidad: gráficas, compleción del cuadrado, fórmula cuadrática y factorización. Jugarán el juego de “Chutes and Ladders”, modificado para las ecuaciones cuadráticas, mientras estudian para el examen. Materiales: tableros del juego “Chutes and Ladders” (o cualquier tablero de juego similar), 1 dado por grupo, 1 paquete de tarjetas con 1 ecuación cuadrática en cada tarjeta por grupo, 4 fichas de juego por grupo para moverlas en el tablero. En grupos de cuatro, los estudiantes deben jugar siguiendo las reglas siguientes: 1. Saca una tarjeta. 2. Tira el dado. 3. Si sacas un 1 o un 6, entonces resuelve tu ecuación cuadrática completando el cuadrado. 4. Si sacas un 2 o un 5, entonces resuelve la ecuación cuadrática con la fórmula cuadrática. 5. Si sacas un 3, entonces resuelve la ecuación cuadrática con una gráfica. 6. Si sacas un 4, entonces resuelve la ecuación cuadrática factorizando, de ser posible. Si no lo es, resuélvela de otra forma. 7. Si resuelves tu ecuación correctamente, entonces puedes mover tu ficha el número de espacios correspondiente al que te salió en el dado. 8. Si das una repuesta incorrecta a tu pregunta, entonces la persona que está a tu izquierda tiene la oportunidad de responder a tu pregunta y moverse la cantidad de espacios que te haya salido en el dado. 9. El primero en llegar al final del tablero ¡gana! Los estudiantes corroborarán las respuestas de los demás para asegurarse de que sus oponentes hayan completado sus respuestas correctamente antes de avanzar en el tablero. Al final del periodo de clase, los estudiantes entregarán sus soluciones e incluirán el proceso de respuesta a las preguntas de las tarjetas que se usaron para jugar. Esta lección puede servir de repaso de cualquier tema con otras tarjetas. Desigualdades cuadráticas58: Parte 1: Los estudiantes recibirán instrucciones directas sobre las desigualdades cuadráticas, incluidas las múltiples formas de representar las soluciones, pero limitándose a las ecuaciones cuadráticas que se pueden resolver con factorización. 1. Utiliza la “Actividad de aprendizaje –Área Posible” para introducir el tema de las desigualdades cuadráticas. 2. Relaciona los problemas con lo estudiado anteriormente sobre las desigualdades cuadráticas.
Fuente: http://www.learnnc.org/lp/pages/2981 Fuente: www.curriculumframer.com
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Unidad 10.1: Funciones y modelos cuadráticos Matemáticas 5 semanas Haz hincapié en que las soluciones de las ecuaciones relacionadas dividen la línea numérica en regiones. 3. Corrobora las respuestas a las desigualdades originales. Comienza probando con más de un punto por cada región para reforzar la idea de que si un punto funciona, funcionan todos los puntos en una región. 4. Recuérdales a los estudiantes que deben asegurarse de considerar si los extremos forman parte de la solución y que los oscurezcan, o no, si corresponde. 5. Céntrate en las ecuaciones cuadráticas que puedan resolverse con factorización y que tengan dos raíces. Los estudiantes verán otras posibilidades en la próxima parte de la lección. 6. Dales tiempo para que practiquen. 7. Expresa las soluciones en términos algebraicos y con notación de intervalos. 8. Elige ejemplos que se relacionen con la actividad anterior (“Área posible”) e interpreta las soluciones en el contexto de las dimensiones posibles dado un enunciado sobre un área. Esta es una buena oportunidad para hacer un contraste entre la ecuación y el problema del mundo real que representa. A menudo hay valores de la variable que crean un enunciado numérico verdadero, pero que dejan de tener sentido cuando se usa una ecuación cuadrática factorizada para representar la longitud y anchura de un rectángulo (ej: (x - 3)(x + 5) > 9 tiene soluciones, como x = -8, que no tienen sentido si usamos (x - 3) y (x + 5) para representar los ángulos de un rectángulo.) Parte 2: Los estudiantes recibirán instrucciones directas sobre cómo resolver desigualdades cuadráticas más difíciles, incluidas las que contienen ceros irracionales, así como desigualdades que siempre o nunca son ciertas. 1. Comiencen con gráficas que les resulten familiares, pero que tengan raíces irracionales. Solicita a los estudiantes que resuelvan las desigualdades cuadráticas con raíces irracionales. Haz que usen la calculadora para producir aproximaciones decimales y tracen la gráfica de sus conjuntos de solución. 2. Adviérteles a los estudiantes que no todas las desigualdades cuadráticas producen conjuntos de solución como los que han visto hasta ahora. Rétalos a averiguar qué está sucediendo en un reducido conjunto de ejemplos que incluyan trinomios cuadrados perfectos (con solo un extremo) y trinomios que no tengan raíces reales (el conjunto de solución es o todos los números reales o el conjunto nulo, dependiendo de la dirección de la desigualdad). 3. Haz prácticas mixtas. 4. Selecciona ejemplos que se relacionen con la actividad anterior, “Área posible”. Interpreta las soluciones en el contexto de las dimensiones posibles dado un enunciado sobre un área. Esto resulta útil para establecer que los números irracionales siguen siendo parte de la familia mayor de números reales y que deben interpretarse como medidas. 5. Utiliza las aproximaciones decimales para ayudarles a los estudiantes a entender el número como distancia, pero haz hincapié en que son aproximaciones, o sea, el decimal no es verdaderamente equivalente a la raíz.
Recursos adicionales
http://www.youtube.com/watch?v=1LsJaR72UFM http://www.scribd.com/doc/20023004/Identificar-Funciones-Pares-e-Impares-Version-Blog
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Unidad 10.1: Funciones y modelos cuadráticos Matemáticas 5 semanas
http://www.scribd.com/doc/10040975/NUMEROS-COMPLEJOS http://www.scribd.com/doc/10012176/FORMULA-CUADRATICA www.profjserrano.wordpress.com http://education.ti.com/downloads/guidebooks/graphing/84p/TI84Plus_guidebook_ES.pdf http://isa.umh.es/calc/TI/TI83/TI83manual-spa.pdf Matemáticas Integradas I, II, III de McGraw Hill Pre cálculo: Funciones y graficas de Raymond Barnett Algebra I de Glencoe Álgebra de Juan Sánchez
Conexiones a la literature Nota: Aunque los siguientes libros están dirigidos a estudiantes de la escuela primaria, éstos apuntan a los principios fundamentales de matemáticas los cuales se pueden explorar en todos los niveles. Todo el mundo disfruta de que alguien le lea y los estudiantes de la escuela secundaria no son la excepción. Estos libros son una excelente introducción a las unidades de estudio. A Más allá de la coincidencia de Martin Plimmer El matemático del rey de Juan Carlos Arce Algebra Unplugged de Kenn Amdahl y Jim Loats Solving Quadratic Equations by Completing Squares de Natalya Vinogradova (2007), disponible en línea en nctm.com Letters of a young Mathematician de Ian Stewart
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Unidad 10.2: Polinomios y funciones racionales Matemáticas 5 semanas Etapa 1 – Resultados esperados Resumen de la unidad En esta unidad, los estudiantes resolverán operaciones básicas con monomios, binomios y polinomios, a la vez que los aplicarán para analizar el comportamiento gráfico. Aplicarán la composición y descomposición de las funciones para crear modelos y solucionar problemas. Explorarán las funciones radicales e identificarán las raíces extrañas. Meta de transferencia: Los estudiantes saldrán del curso con la capacidad de utilizar su conocimiento sobre la composición y descomposición de funciones para solucionar problemas del mundo real e interpretar ecuaciones polinómicas de orden mayor en futuras clases de matemáticas.
Estándares de contenido y expectativas Funciones polinómicas A.RE.10.3.1 Suma, resta y multiplica expresiones polinómicas para resolver problemas. A.PR.10.3.2 Analiza y describe gráficas de funciones polinómicas examinando sus interceptos, ceros, dominio, alcance y comportamiento local (puntos críticos) y general. A.RE.10.3.3 Utiliza la factorización, las propiedades de los exponentes y otros conocimientos relacionados para transformar expresiones y resolver problemas. A.PR.10.3.4 Aplica la composición y descomposición de funciones a modelos y solución de problemas. Raíces y racionales N.SO.10.2.1 Extiende las propiedades de los exponentes racionales a exponentes reales, relacionando las expresiones con exponentes racionales a la expresión radical que le corresponde. N.OE.10.2.3 Simplifica radicales aplicando sus propiedades. Suma, resta, multiplica y divide expresiones. Extrae raíces con y sin tecnología. Racionaliza expresiones con radicales. A.PR.10.7.1 Modela y resuelve problemas usando variación directa, inversa y combinada. A.PR.10.7.2 Modela situaciones elaborando ecuaciones e inecuaciones basadas en funciones racionales. Utiliza una variedad de métodos para resolver ecuaciones e inecuaciones e interpreta las soluciones en términos del contexto. A.PR.10.7.3 Suma, resta, multiplica, evalúa y simplifica expresiones racionales que contienen denominadores lineales y cuadráticos. A.PR.10.7.4 Describe la gráfica de las funciones racionales, y describe las restricciones en el dominio y el campo de valores, y examina su conducta asintótica. A.PR.10.7.5 Utiliza las propiedades de los radicales para resolver ecuaciones e identifica raíces extrañas cuando estas ocurran.
Ideas grandes/Comprensión duradera:
Preguntas esenciales:
Se puede analizar una situación del mundo real representándola como una función. La función puede clasificarse por el
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¿Cómo nos ayudan las gráficas y las funciones a interpretar problemas del mundo real? ¿Qué técnicas pueden usarse para graficar 1019
Unidad 10.2: Polinomios y funciones racionales Matemáticas 5 semanas
comportamiento de su gráfica. Una entrada a veces puede parearse con una salida posible. Las ecuaciones pueden resolverse por medio de una variedad de métodos. Las gráficas de las funciones racionales tienen asíntotas verticales y horizontales.
cada tipo de función lo más eficazmente posible? ¿Por qué son importantes y necesarias las reglas de una función? ¿Cómo se seleccionan los métodos para resolver una ecuación? ¿Por qué es necesario entender el comportamiento de la gráfica de una función racional cerca de x donde la función esté indefinida?
Contenido (Los estudiantes comprenderán...)
Destrezas (Los estudiantes podrán...)
La propiedad de los exponentes Las propiedades de los exponentes racionales Las propiedades de los exponentes reales Las propiedades de los números radicales Las operaciones con números radicales La(s) gráfica(s) de las funciones racionales y las restricciones sobre el dominio y campo de valores El concepto del comportamiento asintótico
Vocabulario de contenido
General: denominador, desigualdades, exponentes, expresiones, funciones, números racionales, números radicales, números reales Características de las ecuaciones/gráficas: asíntota, eje de simetría, binomio, puntos críticos, dominio, raíces extrañas, extremos, campo de valores, intercepciones, lineal, máximo, mínimo, monomio, polinomio, cuadrático, espectro, restricciones, raíces, ceros Destrezas y métodos: variación combinada, composición, descomposición, variación directa, elaboración de preguntas, factorización, variación inversa, racionalizar, simplificar, transformar
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Sumar, restar y multiplicar expresiones polinómicas para resolver problemas. Analizar y describir gráficas de funciones polinómicas examinando sus interceptos, ceros, dominio, alcance y comportamiento local (puntos críticos) y general. Utilizar la factorización, las propiedades de los exponentes y otros conocimientos relacionados para transformar expresiones y resolver problemas. Aplicar la composición y descomposición de funciones a modelos y la solución deproblemas. Extender las propiedades de los exponentes racionales a exponentes reales, relacionando las expresiones con exponentes racionales a la expresión radical que le corresponde. Simplificar los números radicales al aplicar sus propiedades. Sumar, restar, multiplicar y dividir expresiones con números radicales. Extraer raíces con y sin tecnología. Racionalizar expresiones con números radicales. Modelar y resolver problemas usando variación directa, inversa y combinada. Modelar situaciones elaborando ecuaciones e inecuaciones basadas en funciones racionales. Utilizar una variedad de métodos para resolver ecuaciones e inecuaciones e 1020
Unidad 10.2: Polinomios y funciones racionales Matemáticas 5 semanas
interpretar las soluciones en términos del contexto. Sumar, restar, multiplicar, evaluar y simplificar expresiones racionales que contienen denominadores lineales y cuadráticos. Utilizar las propiedades de los números radicales para resolver ecuaciones e identificar las raíces extrañas cuando ocurran.
Etapa 2 – Evidencia de avalúo Tareas de desempeño
Otra evidencia
Campaña de relaciones públicas en pro de las reglas59 Los estudiantes demostrarán su comprensión de las propiedades de los exponentes (racionales a reales) y los números radicales a través de la creación de una campaña de relaciones públicas a favor de las propiedades/reglas. Instrucciones: 1. El maestro le indica a los estudiantes que su trabajo será el de mejorar la imagen de las reglas matemáticas. 2. Preséntales el siguiente problema: A través de los años, las reglas han adquirido una mala reputación: según sus detractores, confunden a la gente, se usan para torturar a los estudiantes de matemáticas y son demasiado complicadas. Tú, el estudiante, sabes que las reglas son lógicas, necesarias y no son tan misteriosas cuando uno realmente las entiende. (La culpa no la tienen las reglas en realidad, sino la gente que obliga a los estudiantes a memorizar reglas que realmente no entienden.) Para ayudar a remediar esta lamentable situación, los estudiantes: Han decidido promover las propiedades y los exponentes racionales, los exponentes reales o los números radicales.
Ejemplos de preguntas de examen/quiz62 (Ver anejo: 10.2 Otra evidencia — Ejemplos de preguntas de examen.) 1. Dibuja la gráfica de las siguientes funciones racionales: a.
59 62
b.
2. ¿Cuál expresión es equivalente a ? a) b) c) d)
Fuente: www.curriculumframer.com Fuentes: http://www.jmap.org/JMAP_RESOURCES_BY_TOPIC.htm and http://www.isbe.net/ils/math/stage_J/8D_6AJ.pdf
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Unidad 10.2: Polinomios y funciones racionales Matemáticas 5 semanas
Diseñarán anuncios que ilustren por qué las reglas y propiedades matemáticas funcionan, y qué ocurriría si no las tuviéramos. Podrán usar materiales impresos, sonido (canción o rap) o video, dependiendo de sus destrezas y acceso al equipo. No pueden simplemente decirle a la gente que las reglas y propiedades son importantes, tienen que enseñarlos y convencerlos. 3. Utiliza la rúbrica para evaluar el trabajo de los estudiantes (ver anejo: 10.2 Tarea de desempeño – Rúbrica de Campaña de relaciones públicas en pro de las reglas)
3. ¿Cuál es el producto de a) b) c) d)
y
?
4. La suma de y es 1) 2) 3) 4) 5. ¿Cuál es el conjunto de solución de a) b) c) d)
?
Diario63 1. Describe en tus palabras cómo determinarías la forma de la gráfica a partir de la ecuación antes de dibujar la gráfica como tal. 2. Explica cada letra del término FOIL.
Cómo se trabaja con polinomios - Guía del usuario con advertencias60 Los estudiantes demostrarán su comprensión de las operaciones polinómicas al crear una guía del Boletos de entrada/salida usuario con advertencias para futuros 1. Describe e ilustra cómo resolver (m-2)2. estudiantes. 2. Expresa en la forma radical más 1. Reta a los estudiantes a ayudar a futuros estudiantes de álgebra al escribir una corta simple. guía que exprese lo más esencial de lo que realmente hace falta saber a la hora de sumar, restar, multiplicar y dividir polinomios. 2. Solicita a los estudiantes que se dividan en grupos o parejas para completar lo siguiente: Resume las técnicas cubiertas en la unidad, y crea una guía integral para trabajar con polinomios. Provee ejemplos claros para cada procedimiento cubierto. Reflexiona sobre su trabajo e identifica errores potenciales por cada tipo de problema. Hazles advertencias claras de errores potenciales que deben evitarse, con ejemplos que ilustren estos errores comunes. 60 63
Fuente: www.curriculumframer.com Fuente: http://www.isbe.net/ils/math/stage_J/8D_6AJ.pdf
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Unidad 10.2: Polinomios y funciones racionales Matemáticas 5 semanas 3. En conjunto con la clase, discute los errores potenciales a evitarse que los grupos hayan incluido en sus guías. Escoge las cinco técnicas o los cinco errores potenciales más importantes y solicita a los grupos que creen un afiche donde se muestre esta información. Coloca los afiches en la pared y refiérete a ellos durante la clase. 4. Utiliza la rúbrica para evaluar el trabajo de los estudiantes (ver anejo: 10.2 Tarea de desempeño - Cómo se trabaja con polinomios). Preferencias en ositos de peluche61 Los estudiantes demostrarán su comprensión de las propiedades de los polinomios al modelar y analizar datos del Consorcio de Psicología de Puerto Rico. Instrucciones: Como consultor(a) del Consorcio de Psicología de Puerto Rico, te toca estudiar qué tipos de ositos de peluche prefieren los niños, si ositos con rasgos adultos o con rasgos de bebé. Los niños mayores tenían más probabilidades de preferir ositos con rasgos de bebé que los niños menores. En la tabla a continuación se muestra el número de niños y niñas, por edad, que eligieron ositos con rasgos de bebé. En la columna de datos combinados se muestra el promedio entre ambos sexos. (Nota: los datos son ficticios.) Edad 4 6 8
Niños 6 8 10
Niñas 8 10 14
Combinados 7 9 12
En las funciones a continuación se modelan los datos, donde x es la edad: Niños: N(x) = x + 2 Niñas: A(x) = ? 1. Escribe el modelo de función para las niñas, 61
Fuente: http://www.waterfordschools.org/cms/lib4/CT01001345/Centricity/Domain/8/Math912/Mathematical%20Topics.htm
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Unidad 10.2: Polinomios y funciones racionales Matemáticas 5 semanas A(x). 2. Escribe una expresión racional que modele los datos combinados. A continuación, simplifica la expresión. 3. Produce las gráficas de las tres expresiones modelo y describe la gráfica de la expresión en la parte (2) relativo a las otras dos gráficas. 4. Dibuja las tres gráficas para estimar el número de niños de cinco años que prefirieron los ositos con rasgos de bebé. Evalúa el trabajo de los estudiantes con la rúbrica de avalúo (ver anejo: Organizador – Rúbrica de Tarea de desempeño).
Etapa 3 – Plan de aprendizaje Actividades de aprendizaje
Rompecabezas cuadrado: Cooperando en grupos pequeños, los estudiantes discuten conceptos clave para crear y resolver rompecabezas cuadrados. Esta es una buenísima actividad antes de las asignaciones para repasar destrezas o comprobar lo aprendido anteriormente. Los estudiantes se dividen en grupos de 2 o 3 y reciben 16 tarjetas con las que formarán un cuadrado 4 x 4 para completar un rompecabezas al parear problemas matemáticos con sus respuestas correctas, o vocabulario con definiciones o ejemplos. Los rompecabezas creados por el maestro deben usarse unas cuantas veces antes de pedírseles a los estudiantes que hagan los suyos propios. Los rompecabezas hechos por los estudiantes entonces pueden intercambiarse con otros grupos para ponerlos a prueba. Guarda una copia original del rompecabezas hecho por el maestro para usarlo de clave. Para esta unidad, el maestro puede crear rompecabezas de problemas para operaciones de polinomios, factorización y simplificación de expresiones racionales o radicales. Para consultar ejemplos, dirigirse a http://www.curriculumsupport.education.nsw.gov.au/secondary/mathematics/assets/pdf/literacy y7/s4history.pdf. Posibles tamaños de alfombra: Los estudiantes explorarán si es posible factorizar polinomios al repasar primero si es posible factorizar números enteros, al considerar las áreas potenciales de alfombras con longitudes de lados que sean enteros, sin incluir el 1, y extendiéndolo a los polinomios. Comienza por algo sencillo: dales a los estudiantes áreas potenciales de alfombras (ej.: 24 pies cuadrados) y pregúntales: ¿cuántos conjuntos de dimensiones tiene esta área si los lados tienen que ser enteros mayores de 1 pie? Ej. 2 por 12, 3 por 8, 4 por 6. Dales a los estudiantes unos cuantos números para que lo intenten, algunos con más factores que otros. Incluye un primo. Solicita a los estudiantes que hagan el modelo de unos cuantos ejemplos con modelos de área, o colocando puntos en un papel cuadriculado. No utilices números grandes para esto, o si no la actividad se hace un poco tediosa. Refiriéndote a su experiencia pasada con modelos de área y la propiedad distributiva, reta a los estudiantes a que intenten resolver el problema de multiplicación del que se obtendrían algunos trinomios simples con términos positivos. Comienza con trinomios
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Unidad 10.2: Polinomios y funciones racionales Matemáticas 5 semanas
simples que se puedan factorizar (ej.: x2 + 5x + 6). Una vez hayan logrado sacar unos cuantos, dales un polinomio que sea primo sobre los números racionales (ej.: x2 + 6x + 7). Buenos ejemplos para esta exploración: debes darles una "b" lo suficientemente grande para proveer unos cuantos escenarios con el arreglo de los cuadritos rectangulares, pero no tan grande que resulte abrumador. Además, un buen valor de "c" debe ser lo suficientemente grande para que se produzca un remanente en alguno(s) arreglo(s), pero lo suficientemente pequeño como para no cerrar la brecha en los otros. Organizador gráfico plegable: Los estudiantes crean una hoja de resumen para aplicar las operaciones básicas a los monomios y polinomios. Dobla el papel en cinco áreas con el papel de forma vertical, y rotula cuatro de ellas con +, -, x, /. Por el lado corto, dóblalo en tres secciones. La sección de arriba deberá tener los nombres de las columnas; nombra las otras dos "monomios" y "polinomios": los estudiantes hacen resúmenes o escriben los pasos para completar cada una de las operaciones de los monomios y los polinomios. Organizador gráfico plegable de propiedades: Los estudiantes doblan y crean una hoja de papel por la mitad de forma vertical (como un perro caliente). Dobla sin plegar la otra mitad en rectángulos iguales. En la parte de arriba del papel, recorta por los dobleces. Escribe el nombre de una propiedad en cada rectángulo. Al voltear el nombre de la propiedad, escribe en un lado la propiedad junto con una representación gráfica y en el otro lado da un ejemplo de cómo se usa la propiedad. Los estudiantes pueden hacer uno con las propiedades usando números racionales, reales y radicales y exponentes. Pareo de gráficas y ecuaciones: Haz un conjunto de tarjetas para grupos de 3 a 4 estudiantes. El conjunto incluirá tarjetas con gráficas y tarjetas con problemas de monomios y polinomios de operaciones básicas. Los estudiantes deberán parear las gráficas con los problemas e identificar cualquier gráfica o problema que no tenga pareja. Para ganar, los estudiantes tendrán que parear de forma correcta y proveer prueba matemática para sus respuestas. Aplicación de funciones racionales64 : Este es un problema de introducción para preparar a los estudiantes para abordar las aplicaciones de las funciones racionales. Dales tiempo a los estudiantes para que piensen en cómo se usan las funciones racionales para hacer modelos. Más adelante incorpora sus ideas para revelar una solución usando varios métodos. Problema: Vamos a poner un corral adyacente a un río. No hace falta poner verja a la orilla del río. El área encercada debe medir 800 yardas cuadradas. Halla las dimensiones de x y de y que hacen falta para usar el mínimo de valla.
Ejemplos para planes de la lección
64
¿Cuán simple es tu expresión racional? Los estudiantes aprenden a simplificar las expresiones racionales usando notas y práctica de guía. Crea notas de guía a partir de las páginas de ejemplos, tacha las frases y pasos clave y entrégaselo a los estudiantes para que ellos completen lo que falta durante la discusión en clase. A continuación, usando el modelo "Me toca, te toca, nos toca", completa la hoja de actividades para los estudiantes usando las notas de guía como recurso. Para más información y hojas de actividades, dirigirse a http://www.beaconlearningcenter.com/Lessons/1512.htm.
Fuente: www.curriculumframer.com
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Unidad 10.2: Polinomios y funciones racionales Matemáticas 5 semanas
¿Quién soy? Halla un polinomio a partir de sus raíces: En esta lección, los estudiantes escribirán la ecuación de un polinomio en forma estándar dadas sus raíces y el comportamiento final de la función. Los estudiantes determinarán los extremos locales usando una herramienta para gráficas, graficarán el polinomio usando la herramienta y papel cuadriculado y hallarán las raíces complejas de un polinomio de orden mayor en forma estándar. Realizarán también operaciones con polinomios, números radicales y complejos. Esta lección les provee a los estudiantes la oportunidad de aplicar teoremas relacionados con las raíces de los polinomios y los factores de los polinomios. Materiales: papel cuadriculado, papel de gráfica, calculadora gráfica y hoja de actividades (ver anejo: 10.2 Ejemplo para plan de lección - Quién soy - Halla un polinomio a partir de sus raíces). Instrucciones: 1. Dale a cada estudiante las raíces y comportamiento final de un polinomio. Recorta las raíces y el comportamiento en tiras de papel. Estas se ordenan en orden alfabético. Los estudiantes deberán agruparse más adelante con los estudiantes que tengan el mismo polinomio (letra). 2. Usando la calculadora gráfica, aproximan los extremos, las intercepciones en x y las intercepciones en y. Grafican el polinomio en papel cuadriculado y rotulan los extremos, intercepciones en x e intercepciones en y con un par ordenado. 3. Los estudiantes escriben el polinomio en forma factorizada con factores lineales y respectivo a los números enteros. 4. En papel cuadriculado, grafican los polinomios en forma estándar en y-1 y el polinomio en forma factorizada en y-2. Deberán repetir los pasos dos y tres hasta que las gráficas coincidan. 5. Aproximan los extremos usando la calculadora gráfica. Hallan las intercepciones en x y las intercepciones en y. Grafican el polinomio en papel cuadriculado y rotulan los extremos, intercepciones en x e intercepciones en y con un par ordenado. 6. Los estudiantes colaboran para preparar un afiche con las mismas raíces y condiciones polinómicas. Deben escribir las raíces y el comportamiento final al dorso. Solo se rotulan en la parte del frente la forma estándar y los extremos. Deben incluir una escala para los ejes en x y en y. 7. Hazles observaciones inmediatas y presenta el trabajo de los estudiantes. Ganancia máxima: Los estudiantes aplican las destrezas de multiplicación de polinomios y de hallar los puntos máximos para encontrar el precio al cual ocurre la ganancia máxima en los negocios. Los estudiantes deben estar familiarizados con las destrezas de operaciones básicas, como la suma, la resta, la multiplicación, la división, los exponentes, las fracciones, los decimales, las ecuaciones cuadráticas, el eje de simetría, las ecuaciones verbales y las gráficas de las cuadráticas. 1. Discutan sobre cómo la ganancia máxima se utiliza en los negocios, usando el No. 1 de Ejemplos de ganancia máxima (ver anejo: 10.2 Ejemplo para plan de lección - Ganancia máxima). 2. Trabajen en conjunto con el ejemplo No. 2 de ejemplos de ganancia máxima. 3. Haz que los estudiantes trabajen en la hoja de actividades de ganancia máxima (ver anejo: 10.2 Ejemplo para plan de lección - Ganancia máxima).
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Unidad 10.2: Polinomios y funciones racionales Matemáticas 5 semanas Recursos adicionales
Rompecabezas cuadrado: http://www.curriculumsupport.education.nsw.gov.au/secondary/mathematics/assets/pdf/s6_teac h_ideas/gen_maths/general_lig_s6.pdf Ganancia máxima: http://www.beaconlearningcenter.com/Lessons/1509.htm www.profjserrano.wordpress.com http://education.ti.com/downloads/guidebooks/graphing/84p/TI84Plus_guidebook_ES.pdf http://isa.umh.es/calc/TI/TI83/TI83manual-spa.pdf Matemáticas Integradas I, II, III de McGraw Hill Pre cálculo: Funciones y gráficas de Raymond Barnett Algebra I de Glencoe Algebra de Juan Sánchez
Conexiones a la literatura Nota: Aunque los siguientes libros están dirigidos a estudiantes de la escuela primaria, éstos apuntan a los principios fundamentales de matemáticas los cuales se pueden explorar en todos los niveles. Todo el mundo disfruta de que alguien le lea y los estudiantes de la escuela secundaria no son la excepción. Estos libros son una excelente introducción a las unidades de estudio. Más allá de la coincidencia de Martin Plimmer El matemático del rey de Juan Carlos Arce One Hundred Hungry Ants de Elinor J. Pinczes Women and Numbers de Teri Perl
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Unidad 10.3: Funciones exponenciales y logarítmicas Matemáticas 6 semanas Etapa 1 - Resultados esperados Resumen de la unidad En esta unidad, los estudiantes representarán el crecimiento exponencial con funciones y ecuaciones exponenciales y resolverán problemas matemáticos y del mundo real usando funciones logarítmicas. Reconocerán las características principales de estas funciones y la relación inversa entre las funciones logarítmicas y exponenciales, y las aplicarán como corresponde. Meta de transferencia: Los estudiantes saldrán de la clase con la capacidad de usar su comprensión de las funciones exponenciales y logarítmicas para interpretar y predecir gráficas y tablas de funciones exponenciales, así como resolver situaciones del mundo real que no se limiten a funciones lineales y cuadráticas.
Estándares de contenido y expectativas Funciones exponenciales A.PR.10.5.1 Extiende y aplica las propiedades de los exponentes enteros a los exponentes racionales. Relaciona los exponentes racionales con su representación radical. A.PR.10.5.2 Reconoce las características principales de una función exponencial (dominio, recorrido, intersecciones en los ejes, crecimiento y decrecimiento y asíntotas). A.PR.10.5.3 Representa las funciones exponenciales por medio de tablas, gráficas, expresiones verbales y ecuaciones. Describe los efectos de los cambios de los parámetros de una función exponencial en el comportamiento de su gráfica. A.RE.10.5.4 Analiza una situación modelada por una función exponencial, formula una ecuación o inecuación y resuelve el problema. A.PR.10.5.5 Utiliza funciones exponenciales para resolver problemas que involucran crecimiento y decaimiento exponencial en contextos matemáticos y del mundo real. Funciones logarítmicas A.PR.10.6.1 Define logaritmo como la solución a una ecuación exponencial. A.PR.10.6.2 Reconoce la relación inversa entre funciones definidas por logaritmos y expresiones exponenciales, mostrando esta relación a través de una gráfica. A.PR.10.6.3 Reconoce las características principales de una función logarítmica (dominio, recorrido, intersecciones en los ejes, crecimiento y decrecimiento y asíntotas). A.PR.10.6.4 Representa las funciones logarítmicas por medio de tablas, gráficas, expresiones verbales y ecuaciones. A.PR.10.6.5 Aplica las propiedades de los logaritmos. [log xy = log x + log y; log
a
=log x –log y; log(x ) = a log (x)]
A.PR.10.6.6 Aplica la relación inversa entre funciones exponenciales y logarítmicas para resolver problemas matemáticos y del mundo real. A.RE.10.6.7 Resuelve ecuaciones logarítmicas prestando atención a las raíces extrañas e interpreta la solución en el contexto de la situación. A.PR.10.7.1 Modela y resuelve problemas usando variación directa, inversa y combinada. A.PR.10.7.2 Modela situaciones elaborando ecuaciones e inecuaciones basadas en funciones Junio 2012
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Unidad 10.3: Funciones exponenciales y logarítmicas Matemáticas 6 semanas racionales. Utiliza una variedad de métodos para resolver ecuaciones e inecuaciones e interpreta las soluciones en términos del contexto. A.PR.10.7.3 Suma, resta, multiplica, evalúa y simplifica expresiones racionales que contienen denominadores lineales y cuadráticos. A.PR.10.7.4 Describe la gráfica de las funciones racionales, y describe las restricciones en el dominio y el campo de valores, y examina su conducta asintótica. A.PR.10.7.5 Utiliza las propiedades de los radicales para resolver ecuaciones e identifica raíces extrañas cuando estas ocurran.
Ideas grandes/Comprensión duradera:
Preguntas esenciales:
Las funciones y sus inversas exhiben simetría. El término e es usado en casos de crecimiento continuo. El exponente de cualquier función exponencial es la variable independiente. Los logaritmos facilitan los cálculos que implican exponentes y números de muchos dígitos. Los patrones recurrentes pueden modelarse con una función con decrecimiento exponencial. Una función exponencial puede servir de modelo para el crecimiento o decrecimiento de una cantidad inicial.
¿Cómo se relacionan las inversas de las funciones? ¿Cuáles son algunas aplicaciones del término e? ¿Cómo puedes saber si los valores en una gráfica o tabla representan una función exponencial? ¿Por qué son útiles en las matemáticas los logaritmos y sus aplicaciones? ¿Cómo se relacionan las funciones exponenciales y logarítmicas? ¿Cómo pueden usarse las funciones exponenciales y logarítmicas para resolver ecuaciones?
Contenido (Los estudiantes comprenderán...)
Destrezas (Los estudiantes podrán...)
Las propiedades de los exponentes reales Las propiedades de los exponentes racionales Reconocer las características principales de una función exponencial (dominio, recorrido, intersecciones de los ejes, crecimiento y decrecimiento y asíntota) Reconocer las características principales de una función logarítmica (dominio, recorrido, intersecciones de los ejes, crecimiento y decrecimiento y asíntota) La propiedad de los exponentes Las características de una gráfica de función racional (por ejemplo, las restricciones al dominio y el campo de valores) Las propiedades de los números radicales El concepto de comportamiento asintótico
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Extender y aplicar las propiedades de los exponentes íntegros a los exponentes racionales. Relacionar los exponentes racionales con su representación radical. Reconocer las características principales de una función exponencial (dominio, recorrido, intersecciones en los ejes, crecimiento y decrecimiento y asíntotas) (por ejemplo, ¿cómo sabes si los valores en una gráfica o tabla representan una función exponencial?). Representar las funciones exponenciales por medio de tablas, gráficas, expresiones verbales y ecuaciones. Analizar una situación simulada por una función exponencial, formular una ecuación o desigualdad y resolver el problema. Utilizar funciones exponenciales para resolver 1029
Unidad 10.3: Funciones exponenciales y logarítmicas Matemáticas 6 semanas
Los efectos de los cambios en los parámetros de una función exponencial en el comportamiento de la gráfica El logaritmo como la solución de una ecuación exponencial La relación inversa entre las funciones exponenciales y logarítmicas
Vocabulario de contenido General de gráficas: asíntota, campo de valores, característica principal, crecimiento, decrecimiento, desigualdad, dominio, ecuación, intersecciones de los ejes, parámetros, raíces, recorrido, restricciones, soluciones extrañas Exponencial: crecimiento exponencial, decrecimiento exponencial, exponente, función exponencial Logarítmico: logaritmo, relación inversa
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problemas que impliquen crecimiento y decrecimiento exponencial en contextos reales. Reconocer la relación inversa entre las funciones definidas por logaritmos y expresiones exponenciales, mostrando está relación a través de una gráfica. Reconocer las características principales de una función logarítmica (dominio, recorrido, intersecciones de los ejes, crecimiento y decrecimiento y asíntota) (por ejemplo, en una gráfica). Representar las funciones exponenciales por medio de tablas, gráficas, expresiones verbales y ecuaciones. Aplicar las propiedades de los logaritmos [log xy = log x + log y; log x/y =log x –log y; log(x ) = a log (x)]. Aplicar la relación inversa entre las funciones exponenciales y logarítmicas para resolver problemas matemáticos y reales. Resolver las ecuaciones logarítmicas prestando atención a las raíces extrañas e interpretar la solución en el contexto de la situación. Hacer modelos y resolver problemas usando la variación directa, inversa y combinada. Hacer modelos de situaciones elaborando ecuaciones y desigualdades basadas en funciones racionales. Utilizar una variedad de métodos para resolver ecuaciones y desigualdades e interpretar las soluciones en términos de su contexto. Sumar, restar, multiplicar, evaluar y simplificar las expresiones racionales que contienen denominadores lineales y cuadráticos. Utilizar las propiedades de los números radicales para resolver ecuaciones e identificar las raíces extrañas cuando estas ocurran.
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Unidad 10.3: Funciones exponenciales y logarítmicas Matemáticas 6 semanas Etapa 2 – Evidencia de avalúo Tareas de desempeño
Otra evidencia 65
Informe de negocios de Phones R-Us Los estudiantes demostrarán su comprensión de las funciones exponenciales al desarrollar y analizar un informe de negocios. Tarea: Como director de mercadeo de Phones-R-US, el director ejecutivo te ha pedido que determines si lo que se rumora sobre el "auge de celulares" es realmente cierto. En particular, en una noticia de prensa reciente se sugería que desde el año 2010, uno de cada tres estadounidenses tiene por lo menos un teléfono celular. Si ese es el caso, la compañía planea expandir sus operaciones, inversión que podría colocarla en una situación financiera difícil durante diez años. Para preparar tu informe, has encontrado información real sobre la tasa de propietarios de celulares, como se representa en la tabla a continuación. Prepara tu informe usando esta información y haz recomendaciones en cuanto a la posible expansión. Tu informe debe incluir una discusión de cuán realistas son las predicciones de los modelos. Año Número aproximado de celulares 1985 1986 1990 1995 1996
Suscriptores 470,000 717,000 3,800,000 32,000,000 48,500,000
Utiliza la rúbrica para evaluar el trabajo de los estudiantes (ver anejo: 10.3 Tarea de desempeño - Rúbrica Phones-R-Us).
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Ejemplos de preguntas de examen/quiz68 1. La población estudiantil actual del Centro Estudiantil de Brentwood es de 2,000. La matrícula del centro aumenta a una tasa de 4 % cada año. Calculado al entero más próximo, ¿a qué número se aproximará la población estudiantil en tres años? a) 2,240 b) 2,250 c) 5,488 d) 6,240 2. Kathy está planeando comprar un carro que deprecie (pierda valor) a una tasa de 14 % al año. El costo inicial del carro es de $21,000. ¿Qué ecuación representa el valor, v, del carro después de tres años? a) b) c) d) Diario 1. Un logaritmo también se conoce como: 2. Un banco anuncia que los clientes nuevos pueden abrir una cuenta de ahorros con una tasa de interés agregada anualmente. Roberto invierte $5,000 en una cuenta con esta tasa. Si no hace depósitos o retiros adicionales a su cuenta, halla la cantidad de dinero que tendrá, al centavo más próximo, al cabo de tres años. 3. Escoge un problema matemático de los ejercicios de hoy y explica el significado de las soluciones extrañas en el contexto del problema. (En otras palabras, ¿qué significa(n) la(s) solución(es) extraña(s) en esta situación específica?)
Fuente: www.curriculumframer.com
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Unidad 10.3: Funciones exponenciales y logarítmicas Matemáticas 6 semanas CSI de álgebra66 Los estudiantes demostrarán su comprensión de las funciones logarítmicas al determinar la hora de expiración de la víctima de un crimen. Tarea: ¿Cómo la detective M. Díaz obtuvo la hora de expiración de la víctima? La detective M. Díaz es llamada a la escena de un crimen donde se acaba de encontrar un cadáver. Llega a la escena a las 10:23 de la noche y comienza su investigación. Inmediatamente le toma la temperatura corporal al cadáver y determina que es de 80˚ Farenheit. M. Díaz verifica el termostato programable y determina que el cuarto ha estado a una temperatura constante de 68˚ F durante los últimos tres días. Una vez se recopilan las pruebas de la escena del crimen, exactamente una hora después de tomar la temperatura por primera vez, se le vuelve a tomar la temperatura corporal al cadáver y se determina que es de 78.5˚ F. Al siguiente día un investigador le pregunta a la detective: "¿A qué hora falleció nuestra víctima?" Asumiendo que la temperatura corporal de esta era normal (98.6˚ F) antes de morir, ¿cómo responde M. Díaz a la pregunta?
Boletos de entrada/salida
3 en forma exponencial. 4 2. El 1 de enero de 2010, el precio de la gasolina estaba a $0.65 por litro. Si el precio de la gasolina aumentó por 0.5 % al mes, ¿cuál era el costo del galón de gasolina, al centavo más próximo, el 1 de enero un año después? 1. Escribe log81 =
Utiliza la rúbrica para evaluar el trabajo de los estudiantes (ver anejo: Organizador - Rúbrica de tarea de desempeño). ¿Cuánto tiempo se toma?67 Los estudiantes demostrarán su comprensión de las funciones exponenciales y la inversa para hacer un modelo de un fenómeno médico natural. El personal médico, en particular los farmacéuticos que trabajan con la farmacocinética, utiliza funciones exponenciales para ayudarse a determinar y controlar los regímenes de dosificación de las drogas 68
Fuente: http://www.jmap.org/JMAP_RESOURCES_BY_TOPIC.htm Fuente: www.curriculumframer.com 67 Fuente: http://www.apskids.org/Documents/CCGPS_Math_III_Unit_3_TEACHER_edition_Sept_2010v2.pdf 66
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Unidad 10.3: Funciones exponenciales y logarítmicas Matemáticas 6 semanas potencialmente tóxicas para pacientes gravemente enfermos. La idea es aumentar el nivel del fármaco en el torrente sanguíneo lo suficiente para que sea eficaz, pero no tanto como para que sea tóxico. Instrucciones: Imagina que para un paciente con un régimen de dosificación particular, un fármaco alcance su máximo nivel de 300 miligramos. El fármaco es entonces eliminado del torrente sanguíneo a una tasa de 20 % por hora. a. ¿Cuánto del fármaco queda dos horas después de alcanzar el nivel máximo? ¿Cinco horas después del nivel máximo? Haz una tabla donde muestres cómo obtuviste tus respuestas. b. Tras dos horas, la cantidad del fármaco que queda en el torrente sanguíneo del paciente puede representarse con la expresión 300(1 – 0.2)(1 – 0.2). Explica por qué. c. Representa cada valor en la tabla anterior usando una expresión similar a la que se encuentra en la parte b. d. Escribe una función que permita obtener el nivel del fármaco en el torrente sanguíneo de la paciente t horas después del nivel máximo. e. Utiliza la función que escribiste en la parte d para computar los valores de la tabla en la parte a. ¿Obtuviste los mismos resultados? f. ¿Después de cuántas horas habrá menos de 10 mg del fármaco en el torrente sanguíneo? Explica cómo determinarías la respuesta usando tanto la función de gráfica como la tabla en tu calculadora gráfica. g. Escribe una ecuación que puedas resolver para determinar cuándo la concentración del fármaco alcanzará los 10 mg exactamente. Utiliza tu calculadora gráfica para ayudarte a resolver la ecuación. Explica el método que usaste para resolver el problema. Utiliza la rúbrica para evaluar el trabajo de los estudiantes (ver anejo: Organizador - Rúbrica de tarea de desempeño). Junio 2012
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Unidad 10.3: Funciones exponenciales y logarítmicas Matemáticas 6 semanas Funciones exponenciales Los estudiantes demostrarán su comprensión de las funciones exponenciales al completar las siguientes tareas: Halla datos reales que parezcan seguir un modelo exponencial. (Incluye los datos y cita tus fuentes). Crea una gráfica de tus datos en una hoja de papel cuadriculado grande (a mano) que pueda verse desde la parte atrás del salón. Describe cómo elegiste tu escala. Rotula los ejes claramente y ponle título a tu gráfica. Halla la ecuación del modelo exponencial. (Puede ser que tengas que trazar una línea de mejor ajuste.) Muestra tu trabajo de forma clara y en su totalidad. Describe lo que significa la base de tu modelo en términos del “mundo real". Describe lo que significa la intercepción en tu modelo en términos del “mundo real." Describe los límites de tu modelo. Si tus datos no están actualizados para el día de hoy, utiliza tu modelo para predecir el valor al día de hoy y compara tu predicción con el valor real. Haz tres preguntas bien formuladas que puedan contestarse con tu gráfica. Incluye una pregunta que prediga el futuro y que pueda responderse con tu gráfica. (No tienes que responder a tus preguntas en tu afiche, pero debes poder responderlas si se te pregunta.) Utiliza la rúbrica para evaluar el trabajo de los estudiantes (ver anejo: Organizador - Rúbrica de tarea de desempeño).
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Unidad 10.3: Funciones exponenciales y logarítmicas Matemáticas 6 semanas Etapa 3 – Plan de aprendizaje Actividades de aprendizaje
Sorteo de tarjetas con soluciones extrañas: Crea un conjunto de tarjetas que contengan ecuaciones con y sin soluciones extrañas. Los estudiantes dividen las tarjetas en una de dos categorías: 1) tiene solución(es) extraña(s), y 2) no tiene solución(es) extraña(s). Por cada tarjeta, los estudiantes deberán anotar en un papel prueba de por qué cada tarjeta pertenece a la categoría que eligieron. Los estudiantes elegirán una ecuación con soluciones extrañas para crear una situación y explicar qué significa(n) la(s) solución(es) extraña(s) en el contexto de su problema. Información de la imagen69: En esta actividad se estudian las características de las gráficas de las funciones exponenciales y logarítmicas. Pídeles a los estudiantes que hagan la gráfica de y=2x en sus calculadoras gráficas. (Si no tienen acceso a estas, entonces el maestro puede crear las gráficas en la computadora o un proyector.) Pídeles que enumeren las características de la gráfica. ¿Cuál es el dominio? ¿Cuál es el recorrido? Ahora recuérdales lo que es una inversa. Puesto que la inversa es la reflexión de la gráfica cerca de la línea y=x, los estudiantes deben poder ver el patrón de la inversa cuando vean la gráfica de y=log x. Puedes pedirles que tracen la gráfica de y=2x o y=10x (puesto que y=log x solo puede estar para la base 10) en un pedazo de papel encerado. Sostén el papel frente a los estudiantes y pídeles que traigan la esquina superior izquierda suavemente en forma diagonal hacia la esquina inferior derecha. Pídeles que suelten la esquina inferior izquierda, mientras sostienen el papel frente a ellos. Lo que deben ver ahora es la "inversa" de la gráfica exponencial, es decir, la gráfica logarítmica. Pídeles que tracen la gráfica de y=log x en sus calculadoras y hagan una lista de las características de la función. Nota: el dominio y recorrido deben ser opuestos en el caso de y=10x, puesto que son la inversa una de la otra. Pídeles que tracen la gráfica de y=3x, y=4x. ¿Qué tienen en común estas gráficas? ¿Pueden proyectar lo que otras gráficas logarítmicas tendrían en común? Dobleces, pedazos y potencias de dos70: Aunque han trabajado con bases y exponentes en cursos de matemáticas anteriores, esta lección les da una visión práctica sobre el significado de los exponentes positivos y negativos. El maestro necesitará dos hojas de papel en blanco por estudiante. Estos doblarán la primera hoja por la mitad. En la hoja de actividades, se les pide que predigan cuántos dobleces son posibles (ver anejo: 10.3 Actividad de aprendizaje - Dobleces, pedazos y potencias de dos). Anotarán también el número de capas que se forman con cada doblez e introducirán ese valor en la gráfica. (Las capas representan exponentes positivos.) A continuación, los estudiantes tomarán la segunda hoja de papel y la recortarán en dos mitades por cada doblez. Anotarán también el número de pedazos y lo que este representa. (Los recortes están representados por exponentes negativos.) Modelo de decrecimiento exponencial71: Una vez hayan aprendido sobre el decrecimiento exponencial, pídeles a los estudiantes que creen una tabla, dibujen la gráfica y ecuación para hacer el modelo de un ejemplo real, como: Los científicos usan la datación con carbono para determinar las edades de las substancias con base de carbono. El isótopo carbono-14 (C14) se usa
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Fuente: www.curriculumframer.com Ibídem. 71 Fuente: http://www.apskids.org/Documents/CCGPS_Math_III_Unit_3_TEACHER_edition_Sept_2010v2.pdf 70
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Unidad 10.3: Funciones exponenciales y logarítmicas Matemáticas 6 semanas
ampliamente en la datación radiocarbónica. Esta forma de carbono se forma cuando las plantas absorben dióxido de carbono atmosférico en su material orgánico durante la fotosíntesis. Cuando las plantas mueren, dejan de formar el C14 y el C14 presente en el material se reduce de forma exponencial. La vida media del isótopo C14, la cantidad de tiempo que se toma para que la mitad del C14 se descomponga, es de aproximadamente 5730 ± 40 años. Esto se conoce como la vida media Cambridge. o Halla una ecuación que sirva de modelo para la parte del C14 inicial que permanece en una sustancia basada en carbono t años después de la muerte del espécimen. Utiliza 5730 como la vida media del carbono-14. o ¿Cuánto del C14 original permanece en un fósil que tenga 4,000 años? o Una planta contiene 64.74 % de su carbono-14 original. ¿Hace aproximadamente cuánto tiempo expiró? Organizador gráfico plegable: Los estudiantes crean una hoja de resumen en que comparen las características principales de las gráficas de funciones exponenciales y logarítmicas. Pídeles que doblen un papel por la mitad. Recorta el doblez frontal en dos mitades, escribe "gráfica de función exponencial" en una mitad y "gráfica de función logarítmica" en la otra. Debajo de cada mitad, ilustra un ejemplo de la función y enumera sus características principales. Organizador gráfico plegable de propiedades: Los estudiantes doblan y crean una hoja de papel por la mitad de forma vertical (como un perro caliente). Doblan sin plegar este medio papel en rectángulos iguales. En la mitad superior del papel, recortan por los dobleces. Escriben el nombre de una propiedad en cada rectángulo. Al voltear el nombre de la propiedad, escriben en un lado la propiedad junto con una representación gráfica y en el otro lado dan un ejemplo de cómo se usa la propiedad. Los estudiantes pueden hacer uno con las propiedades usando números racionales, números reales y radicales y exponentes.
Ejemplos para planes de la lección
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Tendencias en la producción petrolera72: Esta lección les permite a los estudiantes analizar datos de producción petrolera para ver si pueden encontrar un modelo de mejor ajuste, discutir las limitaciones del modelo y su utilidad para predecir la producción futura. Es posible que tengas que repasar cómo hacer una regresión en las calculadoras gráficas (ver anejo: 10.3 Ejemplo para plan de lección - Tendencias en la producción petrolera). Leyes logarítmicas73: Esta lección les permite a los estudiantes utilizar su experiencia previa resolviendo ecuaciones para probar cada una de las tres leyes de logaritmos. Dales a los estudiantes la hoja y permíteles trabajar en grupos (ver anejo: 10.3 Ejemplo para plan de lección Leyes logarítmicas para estudiantes). A esto debe seguirle una discusión grupal para que todos los estudiantes puedan compartir lo que han aprendido. El maestro debe entonces enseñarles a los estudiantes el enunciado formal de cada ley. Se incluye una hoja para el maestro, pero la información no debe compartirse con los estudiantes, especialmente antes de la investigación (ver anejo: 10.3 Ejemplo para plan de lección - Leyes logarítmicas para el maestro).
Fuente: www.curriculumframer.com Ibídem.
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Unidad 10.3: Funciones exponenciales y logarítmicas Matemáticas 6 semanas
E"X"P- Haciendo y deshaciendo74: En parejas, los estudiantes "aplicarán" lo que han aprendido en un contexto conceptual. Puesto que las funciones exponenciales y logarítmicas funcionan como inversas, se pueden usar las propiedades de una para "deshacer" o resolver la otra. Puede darse una buena discusión a la hora de decidir cuáles razones matemáticas utilizar. Anima a los estudiantes a que utilicen sus propias palabras, siempre manteniendo la integridad de los conceptos. (ver anejo: 10.3 Ejemplo para plan de lección - E'X'P - Haciendo y deshaciendo).
Recursos adicionales
Funciones exponenciales y logarítmicas http://hs.lindenwold.k12.nj.us/apps/classes/show_assignment.jsp?classREC_ID=329300&start=0& pff=1&showAll=true&show=1000 http://www.phschool.com/atschool/academy123/spanish/academy123_content/wl-bookdemo/ph-260ss.html http://www.phschool.com/webcodes10/index.cfm?fuseaction=home.gotoWebCode&wcprefix=ate &wcsuffix=0775 http://www.vaxasoftware.com/doc_edu/mat/potralog.pdf www.profjserrano.wordpress.com http://education.ti.com/downloads/guidebooks/graphing/84p/TI84Plus_guidebook_ES.pdf http://isa.umh.es/calc/TI/TI83/TI83manual-spa.pdf Matemáticas Integradas I, II, III de McGraw Hill Precálculo: Funciones y gráficas de Raymond Barnett Algebra I de Glencoe Algebra de Juan Sánchez
Conexiones a la literatura Nota: Aunque los siguientes libros están dirigidos a estudiantes de la escuela primaria, éstos apuntan a los principios fundamentales de matemáticas los cuales se pueden explorar en todos los niveles. Todo el mundo disfruta de que alguien le lea y los estudiantes de la escuela secundaria no son la excepción. Estos libros son una excelente introducción a las unidades de estudio. Más allá de la coincidencia de Martin Plimmer El matemático del rey de Juan Carlos Arce e: The Story of a Number de Eli Maor
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Fuente: www.curriculumframer.com
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Unidad 10.4: Valor absoluto y funciones definidas a trozos Matemáticas 3 semanas Etapa 1 - Resultados esperados Resumen de la unidad En esta unidad, los estudiantes representarán, interpretarán y resolverán problemas que impliquen funciones por partes y la función de valor absoluto. Analizarán y harán modelos de funciones definidas a trozos, realizarán la conversión entre las diferentes representaciones de una función (verbal, tablas, símbolos y gráficas) e identificarán los valores de dominio y recorrido. Meta de transferencia: Los estudiantes saldrán de la clase con la capacidad de usar su conocimiento sobre los valores y las funciones definidas a trozos para interpretar, predecir y resolver situaciones del mundo real.
Estándares de contenido y expectativas Funciones de valor absoluto A.PR.10.8.1 Analiza una situación para determinar o interpretar los valores del dominio y alcance de funciones definidas por partes. A.PR.10.8.2 Interpreta, construye y aplica la función parte entera y otras funciones definidas por parte, incluido el valor absoluto, para modelar y resolver problemas. A.PR.10.8.3 Traduce entre representaciones verbales, gráficas, tablas, símbolos de la función parte entera y otras funciones definidas por partes. A.PR.10.8.4 Analiza y traza la gráfica de la función valor absoluto. 14.0 Aplica informalmente los conceptos de cota superior e inferior y el límite.
Ideas grandes/Comprensión duradera:
Preguntas esenciales:
Las funciones definidas por partes nos permiten examinar los datos que se comportan de forma distinta dependiendo de la entrada. Los matemáticos son traductores. Los patrones de datos pueden variar su comportamiento con diferentes entradas. Las características de la gráfica comunican información esencial.
¿Por qué resulta útil entender las funciones definidas a trozos? ¿En qué se parecen los matemáticos a los traductores? ¿Cómo pueden los patrones de datos o funciones comportarse de forma distinta dadas entradas diferentes? ¿De qué forma las gráficas son herramientas importantes para los matemáticos?
Contenido (Los estudiantes comprenderán...)
Destrezas (Los estudiantes podrán...)
Las funciones pueden definirse por partes Función definida por partes La función de valor absoluto y su gráfica Los conceptos de valor máximo y mínimo y límite
Vocabulario de contenido dominio, función definida por partes, parte Junio 2012
Analizar una situación para determinar o interpretar los valores del dominio y alcance de funciones definidas por partes. Interpretar, construir y aplicar la función parte entera y otras funciones definidas por parte, incluyendo el valor absoluto, para modelar y resolver problemas. Traducir entre representaciones verbales, 1038
Unidad 10.4: Valor absoluto y funciones definidas a trozos Matemáticas 3 semanas de la función, recorrido, transformación, traslación (deslizamiento), valor absoluto, valor máximo, valor mínimo, vértice
gráficas, tablas, símbolos de la función parte entera y otras funciones definidas por partes. Analizar y trazar la gráfica de la función valor absoluto. Aplicar informalmente los conceptos de cota superior e inferior y el límite.
Etapa 2 – Evidencia de avalúo Tareas de desempeño
Otra evidencia
Costos de envío75 Los estudiantes demostrarán su comprensión de las funciones definidas por partes haciendo una gráfica de costos de envío.
Ejemplos para preguntas de examen/quiz77
1. Entrega a cada grupo de dos a tres estudiantes una revista que contenga costos de envío de una empresa en particular. Este proyecto será más divertido para los estudiantes si las revistas contienen artículos que se relacionan con sus intereses (equipo deportivo, artículos para el Prom, etc.). 2. Provee tiempo para que los estudiantes hojeen la revista y luego busquen la página que contiene los costos de envío. 3. Su tarea será escribir y hacer la gráfica de la función definida por partes para obtener el costo total (costo del pedido + costo de envío) para un envío estándar de todos los pedidos hasta $90.00, inclusive. Es posible que tengas que cambiar este número dependiendo de los intervalos en el costo de envío de la revista que están usando tus estudiantes y cuántas ecuaciones te gustaría que incluyeran en su función. 4. Si quieres, también puedes pedirles que comparen los costos de envío en diferentes áreas de los Estados Unidos o para envíos internacionales. 5. Antes de que comiencen, asegúrate de que los estudiantes entiendan que están creando una función de un pedido posible. Como el 75 77
1. Crea la gráfica de y = lxl – 2
.
2. ¿Cuál es el conjunto de solución de ? a) b) c) d) 3. ¿Cuál es el conjunto de solución de ? a) b) c) d) 4. Haz la gráfica de: 1 x < -1 y= lxl -1 < x < 3 2x – 4 x>2 Diario 1. ¿Qué es el valor absoluto de un número? 2. ¿Cómo afecta a una ecuación el valor absoluto de un número? Ilústralo con un ejemplo. 3. Utilizando un diagrama de Venn, compara las funciones de valor absoluto con las funciones definidas por partes. 4. Compara las funciones definidas por partes con las funciones escalonadas. 5. ¿Qué entiendes sobre las funciones definidas por partes? ¿Sobre cosas qué todavía tienes dudas? ¿Cuáles son esas dudas? 6. Describe cómo sabes cómo se ve la gráfica de una ecuación de valor absoluto.
Fuente: http://www.pctm.org/magazine/PiecewiseFunctions_Storm.pdf Fuente: http://www.jmap.org/JMAP_RESOURCES_BY_TOPIC.htm
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Unidad 10.4: Valor absoluto y funciones definidas a trozos Matemáticas 3 semanas costo del pedido variará de persona a persona, deben usar una variable. 6. Evalúa el trabajo de los estudiantes en la rúbrica de evaluación (ver anejo: Organizador - Rúbrica de tarea de desempeño). Gráfica de un proyecto de arte76 Los estudiantes demostrarán su comprensión de las funciones definidas por partes y valor absoluto creando un proyecto artístico de gráficas.
Boletos de entrada/salida 1. Haz la gráfica y halla el dominio y recorrido de: y = lxl + 2 2. Halla el conjunto de solución de la ecuación l2x-1l + 4 = 8z. 3. Haz la gráfica de: y = 2x-4 dominio x>3 4. Haz la gráfica de: -lxl + 1 x < 2 y= -1 x>2
Instrucciones: 1. En papel cuadriculado, haz un dibujo que contenga solo gráficas de líneas, parábolas y valores absolutos. 2. El dibujo debe componerse de un mínimo de diez ecuaciones. Debe haber por lo menos dos líneas, dos gráficas de valor absoluto y dos parábolas. Además, unas de las gráficas de valor absoluto o una de las parábolas debe tener una línea horizontal de simetría. 3. Deben entregarse dos copias para la evaluación: una con todas las partes enumeradas para que coincidan con una enumeración de las ecuaciones y el dominio de cada una escrito al lado de la ecuación, y la otra será una copia final con un dibujo delineado con marcador negro y coloreado para hacerlo atractivo. (Los dominios deben ser a la centena más próxima, de no ser enteros.) 4. Debe entregarse junto con el diseño una descripción escrita del proceso de solución y razones por las que se tomó cada paso. Evalúa el trabajo de los estudiantes en la rúbrica de evaluación (ver anejo: Organizador - Rúbrica de tarea de desempeño).
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Fuente: http://www.isbe.net/ils/math/stage_J/8BJ.pdf
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Unidad 10.4: Valor absoluto y funciones definidas a trozos Matemáticas 3 semanas Etapa 3 – Plan de aprendizaje Actividades de aprendizaje
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Correcciones del quiz: Después de repasar el material evaluado en un quiz, como los ejemplos de preguntas para quiz que aparecen más arriba en la sección de “Otra evidencia”, los estudiantes evaluarán su quiz y escribirán una reflexión basada en los errores cometidos. Revisarán también las respuestas incorrectas a partir de los comentarios del maestro. Deberán incluir: el problema original, la solución correcta con todo el proceso necesario y una explicación escrita. Esto les permite a los estudiantes identificar los errores y revisarlos de ser necesario, utilizar recursos adicionales en situaciones de resolución de problemas y reflexionar de forma acertada sobre su progreso, y usar esa reflexión para desarrollar objetivos y diseñar estrategias que les ayuden a mejorar (ver anejo: 10.4 Actividad de aprendizaje - Correcciones del quiz). A unir funciones definidas por partes: Lección de introducción para descubrir de forma gráfica las funciones definidas por partes. Los estudiantes necesitarán regla, papel transparente y hoja de actividades (ver anejo: 10.4 Actividad de aprendizaje - A unir funciones definidas a trozos). Puedes guiar a los estudiantes en los ejemplos uno y dos, no obstante, podría ser más beneficioso si les permites trabajar en las primeras dos preguntas con un compañero y luego discutir las preguntas tres y cuatro como clase. Modelo de función escalonada78: Los estudiantes hacen un modelo de una función escalonada en una tabla, gráfica y ecuación. Una compañía de envíos por correo bastante conocida cobra los gastos de envío en función del peso total de todos los artículos adquiridos por el cliente. o El costo por enviar artículos que pesen menos de tres libras es de $5. o El costo por enviar artículos que pesen por lo menos tres libras, pero menos de seis es de $10. o El costo por enviar artículos que pesen por lo menos seis libras, pero menos de nueve es de $15. o El costo por enviar artículos que pesen por lo menos nueve libras, pero menos de doce es de $20. o El costo por enviar artículos que por lo menos doce libras, pero menos de quince es de $25. o Y así sucesivamente sigue el patrón de cobro. Traza la gráfica que represente la relación entre el peso total de todos los artículos adquiridos por el cliente y sus costos de envío. Esta gráfica representa una función. ¿Por qué? ¿Cuál es el dominio de la función? Explica qué es el dominio en el contexto del problema. ¿Cuál es el recorrido de la función? Explica qué es el recorrido en el contexto del problema. ¿En qué puntos es discontinua la función? Usa la notación de función para escribir una regla de funciones definidas por partes que sirva de modelo para esta situación en el caso de los artículos que pesen menos de 25 libras. El modelo Frayer: Utiliza un modelo Frayer para consolidar la comprensión de los estudiantes de las funciones definidas por partes y de valor absoluto. Pídeles a los estudiantes que completen el modelo por cada término o determinen cuál es el término a partir de su definición, características, Fuente: http://www.apskids.org/Documents/Math%20II%20Unit%205%20TE%20APS%20Supplement_v1.pdf
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Unidad 10.4: Valor absoluto y funciones definidas a trozos Matemáticas 3 semanas
ejemplos y no ejemplos. Para ejemplos y plantillas, ver anejo: Organizador gráfico — Modelo Frayer. Conjunto de tarjetas de gráfica de valor absoluto: Haz que los estudiantes creen un conjunto de tarjetas con ecuaciones y gráficas de valor absoluto correspondientes. Los estudiantes deben tener por lo menos ocho pares totales de tarjetas y cinco pares que incluyan deslizamientos tanto horizontales como verticales. Los estudiantes intercambian su conjunto de tarjetas con un vecino para corroborar que sus ecuaciones y gráficas se corresponden correctamente. Entonces pueden usar los conjuntos de tarjetas para repasar las transformaciones de asignación.
Ejemplos para planes de la lección
Los Pérez se van de paseo79: Los estudiantes aprenden que no todas las gráficas son continuas al analizar gráficas del paseo de la familia Pérez. Leerán el relato del paseo de la familia, examinarán las gráficas dadas e identificarán cuáles gráficas describen aspectos de su paseo. Instrucciones: 1. Lee el relato del paseo de la familia Pérez (a continuación). 2. Luego examina las ocho gráficas (ver anejo: 10.4 Ejemplo para plan de lección: los Pérez se van de paseo). Cuatro de las gráficas describen aspectos de su paseo: distancia a partir del punto inicial a través del tiempo, distancia total recorrida en el tiempo, velocidad sobre tiempo y hambre sobre tiempo. Las otras cuatro gráficas no se aplican a la historia. 3. Identifica las gráficas que representan la historia y decide cómo debe llamarse el eje vertical de cada una de las gráficas correctas. Historia: A las 10:00 de la mañana de un domingo la familia Pérez salió de paseo en carro. Durante la primera hora viajaron a una velocidad de 40 millas por hora. En la segunda hora, había mucho tráfico, por lo que solo avanzaron a una velocidad de 20 millas por hora. Entre las 12:00 y 1:00 de la tarde, se pararon para almorzar y no anduvieron en carro. Después del almuerzo, comenzó a llover, así que decidieron regresar a la casa. Viajaron a 30 millas por hora para llegar. ¿Cuál de las siguientes gráficas representa la distancia a partir del punto inicial en el tiempo? ¿Distancia total recorrida en el tiempo? ¿Velocidad sobre tiempo? ¿Hambre sobre tiempo? ¿Cómo le llamarías a los intervalos en el eje de y en cada gráfica?
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Conversión de funciones definidas por partes: Los estudiantes convierten funciones definidas a trozos a tablas, gráficas y ecuaciones por medio de un plan de lección guiado. Los estudiantes identifican el carácter único de los valores críticos y documentación de las funciones definidas por partes. (ver anejo: 10.4 Ejemplo para plan de lección - Traslación de funciones definidas a trozos). Gráfica de valor absoluto: Los estudiantes utilizan sus calculadoras para parear funciones de valor absoluto con sus gráficas. Tras reflexionar sobre cómo "ver" las gráficas de valor absoluto por medio de sus funciones, los estudiantes practican cómo hacer gráficas de funciones de valor absoluto sin calculadora. (ver anejo: 10.4 Ejemplo para plan de lección – Gráfica de valor absoluto).
Fuente: http://www.curriki.org/xwiki/bin/download/Coll_edc1/TheLinsGoOnanOuting/lins.pdf
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Unidad 10.4: Valor absoluto y funciones definidas a trozos Matemáticas 3 semanas Recursos adicionales
Planificación de una estrategia de carrera: http://www.apskids.org/Documents/Math%20II%20Unit%205%20TE%20APS%20Supplement_v1.p df www.profjserrano.wordpress.com http://education.ti.com/downloads/guidebooks/graphing/84p/TI84Plus_guidebook_ES.pdf http://isa.umh.es/calc/TI/TI83/TI83manual-spa.pdf. Matemáticas Integradas I, II, III de McGraw Hill Precálculo: Funciones y gráficas de Raymond Barnett Algebra I de Glencoe Algebra de Juan Sánchez
Conexiones a la literatura Nota: Aunque los siguientes libros están dirigidos a estudiantes de la escuela primaria, éstos apuntan a los principios fundamentales de matemáticas los cuales se pueden explorar en todos los niveles. Todo el mundo disfruta de que alguien le lea y los estudiantes de la escuela secundaria no son la excepción. Estos libros son una excelente introducción a las unidades de estudio. Más allá de la coincidencia de Martin Plimmer El matemático del rey de Juan Carlos Arce Mathematical Scandals de Theoni Pappas
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Unidad 10.5: Triángulos rectángulos Matemáticas 3 semanas Etapa 1 - Resultados esperados Resumen de la unidad En esta unidad, los estudiantes explorarán el teorema de Pitágoras y las propiedades especiales de los triángulos rectángulos. Aplicarán la fórmula de distancia y las razones trigonométricas a los triángulos rectángulos. Meta de transferencia: Los estudiantes saldrán del curso con la capacidad de utilizar su conocimiento sobre los triángulos rectángulos y el teorema de Pitágoras para hacer conexiones entre el álgebra y la geometría y entender que el teorema de Pitágoras significa mucho más que a2 + b2 = c2.
Estándares de contenido y expectativas Teorema de Pitágoras G.FG.10.11.1 Prueba el Teorema de Pitágoras y su recíproco. G.LR.10.11.2 Aplica el Teorema de Pitágoras en situaciones de dos o tres dimensiones. G.LR.10.11.3 Desarrolla y aplica la fórmula de distancia para determinar la distancia entre dos puntos en el plano de las coordenadas rectangulares. Triángulos rectángulos G.FG.10.12.1 Reconoce y aplica las propiedades de un triángulo 30°−60°-90° y 45°−45°-90°. G.FG.10.12.2 Aplica las razones trigonométricas seno, coseno y tangente para determinar medidas de los ángulos y las longitudes de los lados de un triángulo rectángulo.
Ideas grandes/Comprensión duradera:
Preguntas esenciales:
Las longitudes de los lados de un triángulo rectángulo tienen una relación especial. Visualizar los triángulos en el mundo que nos rodea nos permite entender y medir nuestro mundo. Las razones trigonométricas nos permiten medir las figuras difíciles. En conjunto, la fórmula de distancia, el teorema de Pitágoras y la pendiente nos permiten medir las figuras.
¿Por qué es útil el teorema de Pitágoras? ¿Cómo nos ayudan los triángulos a visualizar el mundo? ¿Por qué las razones nos permiten medir las figuras difíciles? ¿Qué relación existe entre algunos valores de seno y coseno y los triángulos rectángulos especiales? ¿De qué forma se interrelacionan la fórmula de distancia, el teorema de Pitágoras y la pendiente?
Contenido (Los estudiantes comprenderán...)
Destrezas (Los estudiantes podrán...)
Teorema de Pitágoras La fórmula de distancia Propiedades de un triángulo (30°−60°-90° y 45°−45°-90°) Razones trigonométricas (p. ej., seno, coseno y tangente)
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Poner a prueba el teorema de Pitágoras y su recíproco. Aplicar el teorema de Pitágoras en situaciones de dos o tres dimensiones. Desarrollar y aplicar la fórmula de distancia para determinar la distancia entre dos puntos 1044
Unidad 10.5: Triángulos rectángulos Matemáticas 3 semanas Vocabulario de contenido Teorema de Pitágoras: coordenadas rectangulares, fórmula de distancia, plano, recíproco, triángulo rectángulo Razones trigonométricas: coseno, razones trigonométricas, seno, tangente, trigonometría
en el plano de las coordenadas rectangulares. Reconocer y aplicar las propiedades de un triángulo 30°−60°-90° y 45°−45°-90°. Aplicar las razones trigonométricas seno, coseno y tangente para determinar medidas de los ángulos y la longitud de los lados de un triángulo rectángulo.
Etapa 2 – Evidencia de avalúo Tareas de desempeño
Otra evidencia
Mueble de esquina80 Los estudiantes demostrarán su comprensión de los triángulos especiales y las propiedades de los triángulos 45˚-45˚-90˚ diseñando un mueble de esquina para un televisor con unas dimensiones dadas. Solicita a los estudiantes que lean el siguiente problema y respondan a las preguntas. Utiliza la rúbrica para evaluar el trabajo de los estudiantes (ver anejo: Organizador - Rúbrica de tarea de desempeño). Tarea: Carlos y su papá quieren hacer un mueble de esquina para el televisor de la sala. El mueble nuevo debe tener la misma longitud en cada lado y tener espacio suficiente para un televisor de 27 pulgadas de ancho y 24 pulgadas de profundidad. A continuación se encuentra un diagrama. ¿Cuál es la longitud mínima que debe tener cada lado del mueble para que quepa el televisor? Expresa la respuesta de forma que un carpintero pueda usarla para tomar medidas (o sea, que se pueda ubicar en una cinta métrica o regla). Muestra todo el proceso y explica en tus propias palabras lo que hiciste y por qué diste cada paso.
Ejemplos para preguntas de examen/quiz83 1. El área de un cuadrado es de 10 centímetros cuadrados. ¿Cuál es el área de las diagonales de la figura? 2. Un paralelogramo tiene lados de 10 cm y 20 cm de longitud. La medida de los ángulos agudos del paralelogramo es 30°. ¿Cuál es el área del paralelogramo? 3. Una calle asciende por una montaña a un ángulo de 4°. Por cada 100 pies de carretera, ¿cuántos pies asciende la cuesta? 4. Según el reglamento de construcción, el ángulo máximo del ascenso de una escalera en un hogar es de 42.5°. Para llegar del primer piso al segundo en una casa nueva, la escalera tendrá una distancia vertical total de 115.5 pulgadas. ¿Cuál es la distancia horizontal mínima, a la pulgada más próxima, necesaria para la escalera?
lado (pared) lado (pared) televisor
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Diario 1. Menciona tres ideas de esta unidad que te parecen importantes. Explica tus opciones. 2. Dado que los lados de un triángulo son 5 cm, 6 cm, y 8 cm, ¿es este un triángulo rectángulo? 3. Menciona dos cosas importantes que nos permite hacer la trigonometría de triángulos rectángulos. 4. Provee por lo menos tres ejemplos específicos de cuándo necesitarías usar la trigonometría
Fuente: http://www.isbe.net/ils/math/stage_I/7A_7C_9B_9DI.pdf
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Unidad 10.5: Triángulos rectángulos Matemáticas 3 semanas Ángulo del sol81 Los estudiantes demostrarán su comprensión de la relación entre los lados y ángulos de los triángulos rectángulos investigando y analizando el uso de las sombras para determinar la hora del día. Los estudiantes demostrarán además que la trigonometría de triángulos rectángulos puede usarse para hallar las longitudes laterales o medidas de los ángulos en este proyecto. Tarea: Eres un historiador científico que intenta saber más sobre los métodos usados para llevar la hora antes de la invención del reloj. Lo único que sabes hasta ahora es que la gente usaba las sombras para determinar la hora. Tu tarea es aplicar tu conocimiento de trigonometría para hacer una correlación entre las sombras y el ángulo de elevación del sol. Para entender mejor cómo podrían usarse estas sombras para marcar la hora, realizarás un experimento. Medirás la sombra de un objeto de una altura fija en cuatro momentos distintos del día. En un informe escrito para entregar, incluirás una serie de diagramas en que se traza el progreso del sol, cálculos que demuestran cómo se utilizó la tangente inversa para calcular el ángulo de elevación y conclusiones sobre la relación entre la hora del día, las sombras y los varios ángulos del sol. Todas las conclusiones deben estar justificadas por los resultados del experimento. Finalmente, compartirás tus hallazgos con tus compañeros en una presentación corta (la presentación oral no será para nota). Tu trabajo será evaluado conforme a si
de triángulos rectángulos en el mundo real. 5. Considera la siguiente cita: "Parte de las matemáticas nos la da el mundo natural, y parte tienen que inventarla los humanos". Discute esto a la luz de tu reciente estudio del teorema de Pitágoras y las razones trigonométricas básicas: seno, coseno y tangente. Boletos de entrada/salida 1. Resume lo que sabes sobre los triángulos rectángulos especiales. Provee dos ejemplos reales de triángulos rectángulos especiales. 2. Elabora tu propia definición de la trigonometría a partir de lo que has aprendido hasta ahora. 3. Describe el teorema de Pitágoras en tus propias palabras.
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Fuente: http://www.google.com/url?sa=t&rct=j&q=&esrc=s&frm=1&source=web&cd=7&ved=0CFAQFjAG&url=http%3A%2F%2Fmwhit mire.wikispaces.com%2Ffile%2Fview%2FUnit%2B2%2BReview%2B(2).doc&ei=0UstT5mOY_UiAKmp_GcBg&usg=AFQjCNHZiTNiHIajlpSiKzuAdtpISOCuWQ 81 Fuente: http://jfmueller.faculty.noctrl.edu/toolbox/examples/kristensen03/trigtaskangleofsun.pdf
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Unidad 10.5: Triángulos rectángulos Matemáticas 3 semanas seguiste todas las instrucciones, si los cálculos y diagramas están correctos y si entendiste los conceptos según quede demostrado en tus conclusiones. Utiliza la rúbrica “Ángulo del sol” para evaluar el trabajo de los estudiantes (ver anejo: 10.5 Tarea de desempeño - Rúbrica de Ángulo del sol). Anchura de un río82 Los estudiantes demostrarán su comprensión de la ley del seno y coseno midiendo la anchura de un río. Solicita a los estudiantes que lean el siguiente problema y respondan a las preguntas. Se ha contratado a un agrimensor para que halle el ancho del río Illinois. Los puntos de inspección se ubican como sigue: A está a un lado del río; B y C están del otro lado; D es paralelo a AB, y E es paralelo a AC según se muestra en la figura a continuación. BC mide 506.23 pies; BD mide 453.13 pies; BE mide 809.92 pies; CD mide 753.61 pies y CE mide 392.77 pies. Halla la anchura del río (de A a BC) a la centésima de pie más próxima. Explica por escrito lo que hiciste y por qué diste cada paso.
Requisitos de la tarea: Analiza lo que se sabe del problema y lo que hace falta saber. Identifica la información mínima necesaria para usar cada ley. Demuestra la anchura del río a la centésima 82
Fuente: http://www.isbe.net/ils/math/stage_J/6C_7B_9DJ.pdf
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Unidad 10.5: Triángulos rectángulos Matemáticas 3 semanas de pie más próxima. Discute con los estudiantes los métodos de computación que no comprometan la precisión de la respuesta final por redondear demasiado pronto en el procedimiento. Utiliza la rúbrica para evaluar el trabajo de los estudiantes (ver anejo: Organizador - Rúbrica de tarea de desempeño).
Etapa 3 – Plan de aprendizaje Actividades de aprendizaje
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Pongámonos irracionales84: Los estudiantes investigarán las posibilidades de combinaciones de lados racionales e irracionales de triángulos rectos, obtusos y agudos. Solicita a los estudiantes que trabajen en parejas para trabajar con el desafío siguiente: ¿puedes crear un ejemplo de un triángulo rectángulo con tres lados irracionales? ¿Y dos irracionales y uno racional? ¿Y un irracional y dos racionales? Finalmente, ¿puedes encontrar tres racionales? (Todas son posibles, pero es más difícil encontrar tres racionales, a menos que recuerdes haberlos visto antes.) Intenta hacer lo mismo en el caso de los triángulos agudos y obtusos. Guía de anticipación - el teorema de Pitágoras: Antes de la lección, lee los enunciados y solicita a los estudiantes que marquen si están de acuerdo o en desacuerdo con cada enunciado en la columna de “antes”. Al concluir las actividades de aprendizaje y las lecciones, solicita a los estudiantes que completen la columna de “después”. En esta ocasión deberán corregir los enunciados falsos y utilizar pruebas que apoyen su decisión. (ver anejo: 10.5 Actividad de aprendizaje - Guía de anticipación Teorema de Pitágoras) A descubrir el teorema de Pitágoras85: Esta actividad de descubrimiento ilustra las bases del teorema de Pitágoras. Los estudiantes necesitarán: papel cuadriculado grande, tijeras y tubos de pegamento si quieres que entreguen su trabajo. Instrucciones: o En un pedazo grande de papel cuadriculado, dibuja un triángulo rectángulo con catetos de 3 unidades y 4 unidades. Este triángulo debe estar posicionado de forma que se pueda dibujar un cuadrado en cada cateto. o Recorta un cuadrado 3 por 3 y un cuadrado 4 por 4 en cuadrados (1 x 1) individuales recortando por las líneas del papel cuadriculado. o Acomoda estos cuadraditos en un cuadrado mayor junto al tercer lado del triángulo. ¿Cuál piensas que será la longitud de la hipotenusa? o Repite con un triángulo con catetos de 5 y 12. o ¿Notas que se forma algún patrón entre los cuadrados que has usado por cada uno de los triángulos? Si los estudiantes están familiarizados con el teorema de Pitágoras, solicita que describan cómo se aplica el teorema a esta actividad. La fórmula de distancia: En parejas, los estudiantes juegan a un juego Fuente: www.curriculumframer.com Fuente: http://regentsprep.org/Regents/math/ALGEBRA/AT1/TActive.htm
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Unidad 10.5: Triángulos rectángulos Matemáticas 3 semanas
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en que se utiliza la fórmula de distancia para averiguar la distancia de su bote hasta su blanco. Cada pareja necesitará dos dados de diferente color –uno para la coordenada en x y uno para la coordenada en y–, así como papel cuadriculado. Los estudiantes tiran los dados para determinar el punto del blanco y anotan este punto en su propia cuadrícula. Entonces, cada estudiante tira los dados para determinar las coordenadas de su bote. Los estudiantes utilizan la fórmula de distancia para averiguar la distancia de su bote hasta el blanco. Se repiten varias rondas del juego. Más sobre razones trigonométricas86: Los estudiantes reforzarán la idea de que las razones trigonométricas son razones que implican un ángulo y dos lados de un triángulo rectángulo, y utilizarán tecnología para expandir la gama de problemas de triángulo que pueden solucionar. Notas para el maestro: o ¿Cuáles son las medidas de ángulo de un triángulo 3:4:5? Por otro lado, si sabemos la medida de los ángulos, pero no de los lados, ¿cómo podemos generar valores trigonométricos? Podríamos trazar muchos triángulos, medir todos sus ángulos y lados detenidamente y crear tablas de referencia. Mejor aún, podríamos pedirle a otra persona que determine las razones y que las grabe en una calculadora gráfica para que podamos pasar al trabajo más interesante de aplicarlas. o Saquen las calculadoras e investiguen el uso de los botones de las tres funciones trigonométricas básicas, así como el uso de los botones trigonométricos inversos. Para este punto, los estudiantes no tienen que tener una comprensión plena de la inversa de las funciones trigonométricas; lo único que necesitan saber es que si se introduce la razón adecuada, se obtendrá el ángulo correspondiente. o Mientras los estudiantes utilizan los botones trigonométricos para generar respuestas decimales, aprovecha para reforzar la idea de que un decimal es solo otra forma de escribir una razón. Por ejemplo, si calcular que el seno de un ángulo particular es 0.347, se rotula el triángulo con el opuesto = 347 unidades y la hipotenusa = 1000 unidades. o Señala que una razón trigonométrica relaciona tres números: un ángulo y dos lados. Siempre y cuando tengamos dos de los números, podremos hallar el tercero. Los estudiantes necesitarán ver ejemplos en que generen el ángulo si se les dan dos lados y ejemplos en que generen todos los lados si se les da un ángulo y un lado. Problema verbal de trigonometría de triángulos rectángulos: Los estudiantes elaboran preguntas de examen dada la tarea: Trabajas para una editorial que publica libros de texto de geometría. El redactor les pidió a todos los equipos que les ayuden a escribir un problema verbal eficaz de trigonometría de triángulos que estudiantes de escuela superior disfruten resolver. En un equipo de cuatro, elaborarás tu propio problema verbal de trigonometría de triángulos rectángulos. Este debe basarse en una situación del mundo real que te parezca interesante para estudiantes de escuela superior. Escribe y resuelve el problema en una página de libreta. Recuerda, como se trata de un problema del mundo real, la solución tiene que ser lógica. Presentarás tu problema a la clase en una cartulina grande. La cartulina deberá incluir el problema verbal y un diagrama que ayude a visualizarlo. Al dorso de la cartulina, debes pegar tu solución. Presentarás el problema frente a la case para que ellos lo resuelvan y evalúen. (ver anejo: 10.5 Actividad de aprendizaje - Problema verbal de trigonometría de triángulos rectángulos).
Fuente: www.curriculumframer.com
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Unidad 10.5: Triángulos rectángulos Matemáticas 3 semanas Ejemplos para planes de la lección
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Techado y los triángulos rectángulos: El teorema de Pitágoras se utiliza bastante para diseñar y construir estructuras. En esta lección se demuestra la relación entre la hipotenusa de un triángulo rectángulo y la longitud del cabio de un tejado a dos aguas, un estilo común que protege las casas de las condiciones atmosféricas. Los estudiantes demuestran que han entendido los conceptos relacionados con esta unidad al usar y aplicar el teorema de Pitágoras a una variedad de problemas relacionados con la construcción (ver anejo: 10.5 – Ejemplo para plan de lección - Techado y triángulos rectángulos). Pongamos a prueba la fórmula de distancia: Usando el teorema de Pitágoras, los estudiantes podrán ver cómo funciona la fórmula de distancia. A continuación, aplicarán la fórmula de distancia en un formato "Yo hago tú observas, Tú haces yo observo, Hacemos juntos". El maestro necesitará tener preparadas las gráficas de la lección antes de la clase en un proyector o papel cuadriculado. Para más información y hojas de actividades, dirigirse a http://mdk12.org/instruction/clg/lesson_plans/geometry/Pythagorean_212.htm. Introducción a la trigonometría: Se introduce a los estudiantes a los conceptos trigonométricos básicos usando triángulos especiales. Los estudiantes entenderán funciones trigonométricas básicas y computarán sus valores usando las razones adecuadas. Necesitarán regla, papel transparente y una hoja de actividades (ver anejo: 10.5 Ejemplo para plan de lección - Introducción a la trigonometría). Completarán el conjunto de notas guiadas durante la explicación del maestro y actividades de "descubrimiento". Los estudiantes también disfrutarán de crear su propio acrónimo para recordar razones trigonométricas básicas. Recorrido de valores posibles87: Sin discutir específicamente las razones trigonométricas como funciones, o usar términos como dominio y recorrido, los estudiantes explorarán los valores posibles de funciones trigonométricas de forma práctica al crear triángulos extremos. Notas para el maestro: 1. Solicita a los estudiantes que se dividan en parejas; asegúrate de que cada una tenga regla, transportador y calculadora. 2. Solicita a cada pareja que construya tres triángulos rectángulos de proporciones distintas y que rotule uno de los ángulos con "x". Mide todos los lados del ángulo "x" y organiza la información en una tabla. Además de poner una columna para el ángulo "x", crea una columna con las longitudes de los lados "o" (opuesto de x), "a" (adyacente de x) y "h" (hipotenusa). Ahora añade seis columnas adicionales: dos de seno, dos de coseno y dos de tangente. En total, la tabla deberá tener 10 columnas. 3. Solicita a los estudiantes que calculen cada una de las funciones trigonométricas de dos formas distintas por cada triángulo (razón de los lados, función trigonométrica de la calculadora) y que rotulen las columnas según el método usado. 4. Discutan los resultados; si sus respuestas son bastante diferentes en función del método, busca los errores en las medidas (o asegúrate de que la calculadora esté en modo de grado y no de radián). 5. Ahora viene lo bueno: solicita a los estudiantes que exploren el recorrido de valores posibles del seno, coseno y tangente en la trigonometría de triángulos. Dales tiempo para que consideren los valores que ya hayan generado. Fuente: www.curriculumframer.com
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Unidad 10.5: Triángulos rectángulos Matemáticas 3 semanas 6. Asegúrate de que todos los estudiantes tengan tiempo para explorar esta pregunta. Deberán crear nuevos triángulos "extremos": triángulos con un ángulo "x" muy grande o muy pequeño. ¿Qué es lo mayor o lo menor que puede ser "x"? 7. A medida que los estudiantes comienzan a hacer conjeturas (por ejemplo, parece que el seno no puede ser nunca mayor que 1, y se va acercando a 1 a medida que "x" se va acercando a 90 grados), indica a los estudiantes que prueben usar la calculadora (halla el seno de 89 grados, 89.999 grados, etc.). 8. A medida que los estudiantes comienzan a hacer conjeturas (por ejemplo, parece que el seno no puede ser nunca mayor que 1, y se va acercando a 1 a medida que "x" se va acercando a 90 grados), indica a los estudiantes que prueben usar la calculadora (halla el seno de 89 grados, 89.999 grados, etc.). 9. Sirve de facilitador para que los estudiantes se encarguen de concluir la actividad. Anímalos a discutir el concepto de límite —que el ángulo "x" puede acercase, pero nunca llegar a los 90 grados (o no se tiene triángulo), y que el valor de seno correspondiente puede acercarse pero nunca llegar a 1—. 10. Diles a los estudiantes que hay formas de usar las razones trigonométricas en casos en que los ángulos equivalgan a 1, y que hay situaciones en que las razones trigonométricas son negativas, pero que no se aplican a nuestro estudio actual de los triángulos rectángulos. El recorrido de valores que han generado sirve específicamente para aplicar las razones trigonométricas a los triángulos rectángulos. Estudiarán la aplicación extendida de las razones cuando tomen trigonometría o precálculo en el futuro.
Recursos adicionales
www.profjserrano.wordpress.com http://education.ti.com/downloads/guidebooks/graphing/84p/TI84Plus_guidebook_ES.pdf http://isa.umh.es/calc/TI/TI83/TI83manual-spa.pdf Matemáticas Integradas I, II, III de McGraw Hill Precálculo: Funciones y gráficas de Raymond Barnett Algebra I de Glencoe Álgebra de Juan Sánchez
Conexiones a la literatura Nota: Aunque los siguientes libros están dirigidos a estudiantes de la escuela primaria, éstos apuntan a los principios fundamentales de matemáticas los cuales se pueden explorar en todos los niveles. Todo el mundo disfruta de que alguien le lea y los estudiantes de la escuela secundaria no son la excepción. Estos libros son una excelente introducción a las unidades de estudio. Más allá de la coincidencia de Martin Plimmer El matemático del rey de Juan Carlos Arce
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Unidad 10.6: Unidades y escalas Matemáticas 2 semanas Etapa 1 - Resultados esperados Resumen de la unidad En esta unidad, los estudiantes aplicarán las unidades y escalas adecuadas para resolver problemas que involucren conceptos y situaciones de medir. Meta de transferencia: Los estudiantes saldrán de la clase con la capacidad de usar su conocimiento sobre las unidades y escalas de medida para determinar la unidad de medida adecuada y resolver situaciones del mundo real.
Estándares de contenido y expectativas Unidades y escalas 13.0 Toma decisiones sobre las unidades y escalas que son apropiadas para una situación de problema que involucra medición.
Ideas grandes/Comprensión duradera:
Preguntas esenciales:
Se pueden usar las medidas para describir, comparar y justificar los resultados en términos técnicos. Las unidades de medida estándares les permiten a las personas interpretar datos o resultados. Las unidades de medida dependen de la situación y figura que se está midiendo. Es importante escoger la unidad de medida adecuada para facilitar la comunicación y las interpretaciones.
¿Qué hace falta para comunicarse en lenguaje matemático? ¿Por qué necesitamos unidades de medida estándar? ¿Cómo decides qué unidad de medida usar? ¿Por qué es importante usar unidades y escalas de medición adecuadas para tomar decisiones de la vida cotidiana?
Contenido (Los estudiantes comprenderán...)
Destrezas (Los estudiantes podrán...)
Unidades de medida Sistema métrico Sistema inglés Diferentes tipos de escalas (p. ej., nominal, ordinal, de intervalo, de razón)
Vocabulario de contenido Longitud (área, equivalente, unidades de medida estándar) Sistema métrico (centi-, kilo-, metro, mili-) Sistema inglés/estadounidense comúnmente usado (milla, pulgada, pie, yarda) Volumen (cuarto, galón, litro, onza, pinta, taza) Junio 2012
Tomar decisiones sobre las unidades y escalas que son apropiadas para una situación de problema que involucra medición (p. ej., dado un conjunto de datos, determina cuál de las siguientes escalas es adecuada: nominal, ordinal, de intervalo, de razón).
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Unidad 10.6: Unidades y escalas Matemáticas 2 semanas
Peso (gramo, libra, onza, tonelada) Tiempo (año, día, hora, minuto, segundo, semana) Temperatura (Celsius, Fahrenheit) Exactitud de la escala (de intervalo, de razón, nominal, ordinal) Precisión
Etapa 2 – Evidencia de avalúo Tareas de desempeño
Otra evidencia
A medir tu mundo En la siguiente actividad, los estudiantes demostrarán su comprensión de la conversión de las unidades de medida para entender una situación. Instrucciones: 1. Encuentra tres artículos para cada tipo de medida: longitud, área, volumen y tiempo. 2. Mide cada uno de los artículos usando las unidades más apropiadas en los dos sistemas: el sistema métrico y el sistema inglés. 3. Luego, convierte la medida apropiada a una medida que no tenga sentido pensando en el tamaño del artículo. Recuerda mostrar el proceso, rotular tus unidades y rotular cuáles medidas tienen sentido y cuáles no. 4. Ahora, halla tres ejemplos de medida de temperatura. Convierte la temperatura de Celsius a Fahrenheit o viceversa. Utiliza la rúbrica para evaluar el trabajo de los estudiantes (ver anejo: Organizador - Rúbrica de tarea de desempeño).
Ejemplos para preguntas de examen/quiz 1. Provee dos medidas equivalentes de 5 metros. 2. ¿Cuál sistema métrico debe usarse para medir la longitud de un carro? 3. Convierte 35 millas por galón a kilómetros por litro. 4. Si el modelo de un avión es de una escala de 1:48, y la longitud del modelo es de 11 pulgadas, ¿cuál es la longitud del avión verdadero? O establece las escalas frente a la distancia real.
Mapa conceptual de medidas Los estudiantes demostrarán su comprensión de los tipos de medidas para los que se utilizan diferentes escalas al crear un mapa conceptual. Tarea: Crea un mapa conceptual que demuestre tu comprensión de las escalas de medida y lo que miden. Asegúrate de incluir: todo el vocabulario de esta unidad (área, Celsius, centi-, taza, día, equivalente, Junio 2012
Diario 1. ¿Qué unidades de medida usas más a menudo? 2. ¿Cuál es la importancia de tener unidades de medida estándar? 3. ¿Por qué se las llama unidades "estándar"? 4. ¿Con cuál crees que obtendrías la medida más precisa: si mides usando fórmulas o si mides directamente? Explica tu respuesta. 5. ¿Por qué ninguna medida es perfectamente precisa, independientemente la precisión con que intentemos tomarla? 6. Da ejemplos específicos de cómo podemos intentar aumentar la precisión de nuestras medidas. Boletos de entrada/salida 1. Provee dos medidas equivalentes de tres yardas. 2. ¿Cuál sistema métrico debe usarse para medir la distancia de San Juan a Caguas? 1053
Unidad 10.6: Unidades y escalas Matemáticas 2 semanas
Fahrenheit, pie, galón, gramo, hora, pulgada, intervalo, kilo-, litro, metro estándar, mili-, milla, minuto, nominal, ordinal, onza, pinta, libra, cuarto, razón, segundo, tonelada, unidades de medida, semana, yarda, año); al menos diez ejemplos de objetos que puedan medirse, y al menos cuatro ilustraciones que ayuden a explicar las conexiones en tu mapa conceptual.
3. Miguel tiene un mapa de Puerto Rico en que 1 cm equivale a 0.25 de un km. Se desplaza 11 cm en el mapa. ¿Cuán lejos estaría viajando Miguel en realidad?
Utiliza la rúbrica para evaluar el trabajo de los estudiantes (ver anejo: Organizador - Rúbrica de tarea de desempeño).
Etapa 3 – Plan de aprendizaje Actividades de aprendizaje
Preevaluación de las medidas: Maestro y estudiantes reconocen cuánto los estudiantes ya saben sobre medidas. En parejas, los estudiantes eligen objetos en la escuela para medirlos. Utiliza un organizador gráfico a dos columnas; una dirá "Suposición" y la otra, "Medida real". Los estudiantes tendrán que adivinar las medidas y luego medir el objeto. A continuación, deberán comparar ambas columnas para ver cuán acertados fueron sus estimados. Sorteo de tarjetas con tipos de escala: Provéeles a los estudiantes un conjunto de tarjetas con diferentes conjuntos de datos en cada una. Solicita a los estudiantes que dividan las tarjetas en tipos de escalas que deben usarse por cada conjunto de datos: ordinal, nominal, de intervalo y de razón. Haz que los estudiantes resuman cómo supieron dónde iba cada conjunto. Pueden añadir ejemplos de conjuntos de datos a cada categoría. Búsqueda del tesoro Métrico Manía: Reta a los estudiantes a una búsqueda del tesoro con problemas de conversión métrica para practicar las destrezas y repasar. Esconde 60 tarjetas de juego con problemas de conversión métrica en el salón. Algunas de las tarjetas deben ser fáciles de ver, pero otras estarán escondidas debajo de mesas, sillas, el zafacón, detrás de una cortina o afiche, u otros lugares donde sea fácil buscar. (No las escondas dentro de nada para que los chicos no tengan que rebuscar en gavetas o armarios). Solicita a los estudiantes que formen equipos para encontrar las tarjetas y solucionar los problemas. Los equipos solo podrán trabajar en una tarjeta a la vez y deben responder al problema correctamente antes de que puedan buscar la próxima tarjeta. Crea las tarjetas usando la clave de respuestas adjunta o invéntate las tuyas propias (ver anejo: 10.6 Actividad de aprendizaje - Búsqueda del tesoro Métrico Manía). Truco de memorización del prefijo métrico: Saca tiempo en la clase para que los estudiantes elaboren su propia técnica mnemotécnica para recordar el orden de los prefijos métricos. Usa la primera letra del prefijo en orden para crear una frase creativa (apropiada para la escuela) para ayudarte a recordar el orden. La primera letra de cada palabra de tu frase debe parear, en orden, con la primera del prefijo métrico. La clase puede votar por sus tres trucos mnemotécnicos favoritos o usar los propios.
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Unidad 10.6: Unidades y escalas Matemáticas 2 semanas Ejemplos para planes de la lección
A darle sentido a las métricas con demostraciones dramáticas: Los estudiantes exploran las relaciones entre el sistema métrico y el sistema anglosajón de unidades, así como formas convencionales de recordar algunas longitudes comunes. También se les muestra paso por paso un organizador gráfico que muestra cómo se interconectan las unidades métricas comunes. (ver anejo: 10.6 Ejemplo para plan de la lección - A darle sentido a las métricas). Método de análisis dimensional: Utiliza el organizador gráfico y los pasos para enseñar y practicar el método de conversión conocido como análisis dimensional, un método que se utiliza en la ciencia. Crea un conjunto de notas guiadas para que los estudiantes llenen los blancos con los pasos e información importante mientras estudian las notas juntos. Prepara algunos problemas de práctica adicionales para resolverlos cuando se termine con el organizador (ver anejo: 10.6 Ejemplo para plan de la lección - Método de análisis dimensional). Método de la escalera de conversiones métricas: En una escalera métrica se calculan las conversiones dentro del sistema métrico. Los estudiantes cuentan el número de "saltos" entre unidades para determinar cuántas veces mover el decimal y en qué dirección. Recuérdales que deben contar el número de saltos que se tomaría para moverse de una unidad a la otra, como por ejemplo moverse de metros a milímetros, en vez de contar el número de escalones. Para hacer la conversión de metros a milímetros, se tomarían tres saltos a la derecha, lo que significa que habría que mover el decimal tres saltos a la derecha. Primero utiliza la hoja de actividades 1 (ver anejo: 10.6 Ejemplo para plan de la lección - Método de la escalera de conversiones métricas 1) para introducir el concepto, y a continuación solicita a los estudiantes que completen la hoja de actividades 2 (ver anejo: 10.6 Ejemplo para plan de la lección - Método de la escalera para conversiones métricas 2). A medida que los estudiantes aprenden el proceso y entienden el valor de los prefijos métricos, introduce el uso de la multiplicación y la división por 10, 100 y 1000 para llegar a la misma conversión. Gigabytes de música, ¿cuánto es?: Los estudiantes aplican su conocimiento de las medidas y conversiones a un artículo noticioso sobre las descargas ilegales de música. Los estudiantes adquieren una mejor comprensión de unidades de medida poco conocidas por medio de la conversión. Para más información y materiales, dirigirse a http://www.pbs.org/newshour/extra/teachers/lessonplans/math/download_10-2.html.
Recursos adicionales
Método de la escalera de conversiones métricas: http://sciencespot.net/Pages/classmetric.html www.profjserrano.wordpress.com http://education.ti.com/downloads/guidebooks/graphing/84p/TI84Plus_guidebook_ES.pdf http://isa.umh.es/calc/TI/TI83/TI83manual-spa.pdf Matemáticas Integradas I, II, III de McGraw Hill Precálculo: Funciones y gráficas de Raymond Barnett Algebra I de Glencoe Algebra de Juan Sánchez
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Unidad 10.6: Unidades y escalas Matemáticas 2 semanas Conexiones a la literatura Nota: Aunque los siguientes libros están dirigidos a estudiantes de la escuela primaria, éstos apuntan a los principios fundamentales de matemáticas los cuales se pueden explorar en todos los niveles. Todo el mundo disfruta de que alguien le lea y los estudiantes de la escuela secundaria no son la excepción. Estos libros son una excelente introducción a las unidades de estudio. Más allá de la coincidencia de Martin Plimmer El matemático del rey de Juan Carlos Arce
Junio 2012 Adaptado de Understanding by Design de Grant Wiggins y Jay McTighe
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Unidad 10.7: Experimentos, encuestas y estudios Matemáticas 8 semanas Etapa 1 - Resultados esperados Resumen de la unidad En esta unidad, los estudiantes explorarán métodos de desarrollar, organizar, interpretar y presentar datos. Implementarán experimentos simples de comparación para llegar a conclusiones adecuadas, compararán métodos de recopilación de datos y analizarán los resultados de las muestras. Meta de transferencia: Los estudiantes saldrán del curso con la capacidad de usar su conocimiento sobre los métodos experimentales para analizar de forma crítica los datos y resultados en las publicaciones del mundo real.
Estándares de contenido y expectativas Datos experimentales E.IP.10.15.1 Describe cómo experimentos bien diseñados utilizan asignación aleatoria para balancear la variación de algunos factores con el fin de aislar los efectos de un tratamiento. E.RD.10.15.2 Diseña un experimento comparativo simple para contestar una pregunta: determina tratamientos, identifica métodos de medición de variables, asigna aleatoriamente unidades para tratamientos y recopila datos, distinguiendo entre variables explicativas y de respuesta. E.RD.10.15.3 Organiza y muestra los datos de un experimento; resume los datos utilizando medidas de tendencia central y dispersión, incluyendo la media y la desviación estándar, identifica patrones y tendencias en tablas y gráficas, y comunica métodos utilizados y los resultados del estudio experimental en lenguaje común. Muestras aleatorias y no aleatorias E.RD.10.16.1 Distingue entre preguntas que pueden investigarse a través de una encuesta simple, un estudio observacional o de un experimento. E.RD.10.16.2 Reconoce que una asociación observada entre una variable explicativa y de respuesta no necesariamente implica que las dos variables están unidas casualmente. E.RD.10.16.3 Ilustra los diferentes tipos de conclusiones que pueden extraerse de las encuestas, los estudios observacionales y los experimentos. E.AD.10.16.4 Evalúa posibles factores envueltos en un problema dado y qué información ellos proveen relacionada a la pregunta de interés. Formula preguntas específicas e identifica medidas cuantitativas que pueden ser utilizadas para proveer respuestas a la pregunta de interés. E.AD.10.16.5 Describe las ventajas y desventajas de utilizar diferentes métodos para medir variables. Explica cómo pueden surgir sesgos y sus efectos en los resultados del estudio. E.AD.10.16.6 Compara y contrasta el muestreo aleatorio de unidades de una población y la asignación aleatoria de tratamientos a las unidades experimentales. E.AD.10.16.7 Explica porqué la mayoría de las preguntas de investigación no tienen respuestas únicas y porqué pueden utilizarse varios enfoques. E.AD.10.16.8 Comunica, tanto oral como escrito, los propósitos, los métodos y los resultados de un estudio estadístico utilizando lenguaje no técnico. E.AD.10.16.9 Evalúa resultados de estudios reportados en medios informativos. E.RD.10.17.1 Compara medidas de tendencia central y de dispersión obtenidas utilizando una muestra de una población con las mismas medidas utilizando datos obtenidos de un censo de la población. E.PR.10.17.2 Reconoce que la media de la muestra tiende a acercarse a la media de la población a medida que el tamaño de la muestra aumenta. Junio 2012 1057
Unidad 10.7: Experimentos, encuestas y estudios Matemáticas 8 semanas Ideas grandes/Comprensión duradera:
Preguntas esenciales:
La metodología de recopilación de datos afecta los resultados de un estudio. La organización de los datos y su presentación influye en la interpretación. Las influencias subjetivas pueden perjudicar al investigador, y llevar a resultados que de otra forma no habrían sido obtenidos.
¿Por qué importa la metodología? ¿Mienten los números? ¿Cómo las personas utilizan los datos para influenciar a otros?
Contenido (Los estudiantes comprenderán...)
Destrezas (Los estudiantes podrán...)
Las características de los experimentos bien diseñados Las relaciones causales (esto es, que una asociación observada entre una variable explicativa y una variable de respuesta no implica necesariamente que ambas variables tengan una relación causal) Las medidas cuantitativas que pueden usarse para obtener respuestas al asunto de interés Los diferentes tipos de conclusiones que podrían sacarse a partir de muestreos, estudios observacionales y experimentos Las ventajas y desventajas de usar diferentes métodos para medir variables El concepto de sesgo y sus efectos en los resultados del estudio Por qué la mayoría de las preguntas de investigación no tienen respuestas únicas y por qué es posible usar diferentes métodos La media de la muestrea tiende a aproximarse a la media poblacional a medida que aumenta el tamaño de la muestra Los experimentos bien diseñados usan la asignación aleatoria para equilibrar algunos factores con el propósito de evitar los efectos de un tratamiento
Vocabulario de contenido
Datos experimentales (sesgo, experimento comparativo, datos, dispersión, variable explicativa, diseño experimental, media, método de medir, medidas de tendencia central, asignación aleatoria, variable de respuesta, muestra, desviación estándar,
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Diseñar un experimento de comparación sencillo para responder a una pregunta: determinar tratamientos, identificar métodos de medición de variables, asignar aleatoriamente unidades, y recopilar datos, a la vez que distingue entre variable explicativa y variable de respuesta. Organizar y mostrar los datos experimentales; resumir los datos usando medidas de tendencia central y dispersión, incluyendo la media y la desviación estándar, identificar patrones y tendencias en las tablas y gráficas, y comunicar los métodos usados y resultados del estudio en lenguaje común. Distinguir entre preguntas que podrían responderse con un muestreo simple, un estudio de observación o un experimento. Evaluar posibles factores envueltos en un problema dado y qué información proveen relacionada a la pregunta de interés. Formular preguntas específicas e identificar medidas cuantitativas que pueden ser utilizadas para proveer respuestas a la pregunta de interés. Explicar cómo pueden surgir sesgos y sus efectos en los resultados del estudio. Comparar y contrastar el muestreo aleatorio de unidades de una población y la asignación aleatoria de tratamientos a unidades experimentales. Explicar porqué la mayoría de las preguntas de investigación no tienen respuestas únicas y porqué es posible usar diferentes métodos. Comunicar, tanto oral como escrito, los propósitos, métodos y resultados de un 1058
Unidad 10.7: Experimentos, encuestas y estudios Matemáticas 8 semanas
tratamiento, variables) Muestras aleatorias y no aleatorias (relación causal, censo, factores, estudio observacional, encuesta, población, medidas cuantitativas, asignación aleatoria, muestreo aleatorio, tamaño de la muestra, encuesta, tipos de conclusiones)
estudio estadístico usando lenguaje no técnico. Evaluar los resultados de estudios ya publicados en las noticias. Comparar las medidas obtenidas de la tendencia central y la dispersión, usando un muestreo de una población, con las mismas medidas usando datos obtenidos de un censo poblacional.
Etapa 2 – Evidencia de avalúo Tareas de desempeño
Otra evidencia91
Suscripción a clubes88 Los estudiantes demostrarán su comprensión de las encuestas, el muestreo y el análisis de datos diseñando su propia encuesta. Se asume que ya han aprendido y discutido los métodos de muestreo y cómo las preguntas pueden influir en los resultados por la forma en que se han formulado. Completarán la tarea tanto dentro como fuera de la clase, y traerán los resultados de vuelta para analizarlos y presentarlos. Tarea: Tu director de actividades escolares quiere evaluar por qué los estudiantes se unen a clubes y cómo deciden en cuáles clubes apuntarse. Te parece que ya conoces la respuesta a estas preguntas. Desarrolla una encuesta que intencionalmente contenga un sesgo que produciría los resultados que prueben lo que tú crees. ¿Qué intentarás probar con tu encuesta? ¿Por qué se unen los estudiantes a clubes? ¿Cómo deciden en cuál club apuntarse? Crea una pregunta crítica para la cual al director le gustaría tener una respuesta. Diseña un conjunto de preguntas de encuesta que apoyen tu respuesta a la pregunta crítica. Lleva a cabo la encuesta y decide si lograste recopilar los datos que querías.
Ejemplos de preguntas de examen/quiz 1. Discute cuándo cada medida de tendencia central y dispersión puede resultar útil en los datos. Incluye ejemplos de cuándo no son útiles. 2. El siguiente conjunto de datos representa las puntuaciones del examen final de la clase de matemáticas de la Srta. Rodríguez. 99 98 96 95 94 93 92 92 92 92 91 90 89 89 88 87 87 85 83 82 81 80 80 78 75 74 73 70 68 65 62 59 Halla la media, mediana y moda de las puntuaciones de los exámenes. 3. Miguel hizo una encuesta de los hábitos de estudio de sus compañeros de clase. Quiere responder a la pregunta siguiente: ¿Cómo puedo sacar buena nota en mis asignaciones? A continuación se muestran los resultados de su investigación. Consejos y ayuda para las asignaciones Estudiante Carol Camila Amanda Pedro Federico Jean Juan Julia Ernesto
Consejo Pedir ayuda Pedir ayuda Copiarse de alguien Pedir ayuda Corroborar su trabajo Seguir instrucciones Pedir ayuda Corroborar su trabajo Pedir ayuda
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Fuente: http://www.isbe.net/ils/math/stage_I/10BI.pdf Fuentes: http://www.beaconlearningcenter.com/Documents/2958_4333.pdf , http://www.beaconlearningcenter.com/Documents/2958_4334.pdf 91
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Unidad 10.7: Experimentos, encuestas y estudios Matemáticas 8 semanas
Haz un resumen de los resultados con posibles razones que expliquen los resultados buenos o no apropiados para cada pregunta, y sugerencias de cómo mejorar las preguntas para obtener mejores datos. Solicita a los estudiantes que presenten sus preguntas y hallazgos frente a la clase. Utiliza la rúbrica para evaluar el trabajo de los estudiantes (ver anejo: Organizador - Rúbrica de tarea de desempeño). Cómo se trabaja con estudios Guía del usuario con advertencias89 Los estudiantes demostrarán su comprensión de las operaciones de estudios al crear una guía del usuario con advertencias para futuros estudiantes. Reta a los estudiantes a ayudar a estudiantes futuros de estadísticas al escribir una corta guía que exprese lo más esencial de lo que realmente hace falta saber a la hora de planificar, analizar y comunicar información sobre estudios. Asigna a cada pareja un tema al azar (planificación, realización, análisis, comunicación) para que completen lo siguiente: Resume las ideas principales cubiertas en la unidad relativa al tema de su guía. Provee ejemplos claros para cada idea principal cubierta. Reflexiona sobre el trabajo realizado e identifica posibles defectos de diseño causados por falta de atención a la idea principal en un proyecto de investigación imaginario. Hazles advertencias claras de errores potenciales que deben evitarse, con ejemplos que ilustren estos errores. Junto con la clase, discute los errores potenciales que deben evitarse que los grupos incluyeron en sus guías. Escoge las cinco ideas o los cinco errores potenciales más importantes y solicita a los grupos que 89
Marcos Gloria Pamela Sonia Nataniel Susana Benjamín Orlando Ricardo Oscar Jorge Lorena Miguel María Mara Patricia Isaac Samuel Roberto Tomás Víctor
Pedir ayuda Pedir ayuda Seguir instrucciones Pedir ayuda Corroborar su trabajo Copiarse de alguien Pedir ayuda Corroborar su trabajo Pedir ayuda Corroborar su trabajo Pedir ayuda Corroborar su trabajo Pedir ayuda Corroborar su trabajo Pedir ayuda Seguir instrucciones Copiarse de alguien Pedir ayuda Pedir ayuda Corroborar su trabajo Corroborar su trabajo
a. Organiza los resultados de la encuesta en una tabla. b. Crea dos gráficas que representen los resultados. c. Escribe dos enunciados que resuman el consejo de los estudiantes provisto en la tabla “Consejos y recomendaciones para estudiar” que también se muestra en las gráficas aquí arriba. d. Miguel planeó usar las medidas de la tendencia central (media, mediana y moda) para ayudarse a interpretar los resultados de la encuesta. ¿Cuál(es) podría haber usado con estos datos y por qué? Diario 1. Explica cómo se lleva a cabo una encuesta que reduzca el sesgo en el método de muestreo. 2. Compara las conclusiones de las encuestas, estudios observacionales y experimentos. 3. Formula una hipótesis sobre cuánto tiempo un estudiante promedio de décimo grado debe invertir haciendo sus asignaciones a la semana para sacar buenas notas (una B alta o
Fuente: Adaptado de www.curriculumframer.com
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Unidad 10.7: Experimentos, encuestas y estudios Matemáticas 8 semanas
trabajaron el mismo tema que creen un afiche donde se muestre esta información. Coloca los afiches en la pared y refiérete a ellos mientras das la clase. Utiliza la rúbrica para evaluar el trabajo de los estudiantes (ver anejo: 10.7 Tarea de desempeño - Cómo se trabaja con polinomios).
Prácticas de 90 Los estudiantes demostrarán su comprensión de la creación de encuestas, el análisis y la presentación de resultados al crear y llevar a cabo una encuesta, para luego analizar y presentar los resultados. En esta tarea de desempeño, los estudiantes formularán una pregunta crítica, decidirán cuál técnica de muestreo usar, diseñarán métodos de recopilación de datos, presentarán los resultados y conclusiones de sus datos, evaluarán la encuesta y describirán cómo se usa la estadística de muestreo para formar inferencias informales. Tarea: La trabajadora social de tu escuela quiere recopilar información entre los estudiantes sobre sus prácticas en cuanto a las citas amorosas. 1. Crea un conjunto de preguntas que permitan recopilar información importante para la elaboración de nuevos programas que ayuden a los estudiantes a lidiar con problemas amorosos. Escoge una técnica de muestreo y decide cuántas respuestas serán necesarias para obtener una muestra representativa. 2. Lleva a cabo el muestreo y evalúalo para determinar su claridad, sesgos, tasa de muestreo si no se hace de forma oral, y audiencias especializadas. 3. Presenta los resultados y las conclusiones a partir de los datos de forma organizada. 4. Haz predicciones y describe cómo las estadísticas de muestreo reflejan los parámetros poblacionales. 5. Describe textualmente cómo y por qué escogiste tu técnica de muestreo, de qué 90
más) en matemáticas. Diseña un experimento para probar tu hipótesis. Boletos de entrada/salida 1. ¿Qué se debe hacer para que una pregunta crítica sea buena? 2. ¿Cuál es la relación entre una media de la muestra y la media poblacional? 3. Discute las ventajas y desventajas de usar diferentes métodos para medir variables.
Fuente: http://www.isbe.net/ils/math/stage_J/10A_10BJ.pdf
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Unidad 10.7: Experimentos, encuestas y estudios Matemáticas 8 semanas porción de la población se tomará la muestra y cómo, e incluye tu análisis después de obtener el muestreo. 6. Entrega todo lo escrito, la presentación de los datos y la encuesta. Utiliza la rúbrica para evaluar el trabajo de los estudiantes (ver anejo: Organizador - Rúbrica de tarea de desempeño).
Etapa 3 – Plan de aprendizaje Actividades de aprendizaje
Repaso de las medidas de tendencia central92: Los estudiantes calculan las medidas de tendencia central (media, mediana y moda) y su recorrido para determinar cómo los valores extremos afectan las medidas. Los estudiantes necesitarán calculadoras y el maestro tendrá que preparar tarjetas con anticipación. Lleva a cabo una lección que les dé a los estudiantes una comprensión funcional de media, mediana, moda, amplitud y valor extremo antes de esta actividad: o Antes de que empiece la clase, escribe nueve números enteros en nueve tarjetas distintas; uno de los números debe ser un valor extremo. Debes crear dos o más conjuntos de nueve tarjetas. o Dales una tarjeta a nueve estudiantes distintos y solicita que pasen al frente y sostengan la tarjeta frente al resto de la clase. o Discute con la clase si es importante o no poner a los estudiantes por orden de número. o Solicita a la clase que averigüe cuál de los estudiantes al frente es la media, la mediana, la moda, la amplitud y el valor extremo. o Discute las diferentes medidas. o Solicita al estudiante con el valor extremo que se siente; haz que los estudiantes vuelvan a calcular la media, la mediana y la amplitud de los estudiantes (números) que quedan. o Si los estudiantes nunca han tenido exposición a medidas, averiguar la media de ocho números (por cualquier número par de números) podría darles algo de dificultad. Se debe guiar a los estudiantes para que descubran que hay que sacar el promedio de los dos números del medio para calcular la media. o A continuación, debe llevarse a cabo una discusión sobre cómo el valor extremo afecta las medidas de la tendencia central. o Escoge nueve estudiantes para que pasen al frente del salón y dale a cada uno un número de un conjunto de números distinto. o Repite los pasos dos y ocho de arriba. Crisis profunda - Conteo de salmones: Los estudiantes practican el método de muestreo aleatorio en el contexto de un conteo de salmones. Discute con los estudiantes cómo esta idea se traduce a otros campos de estudio. (ver anejo: 10.7 Actividad de aprendizaje - Conteo de salmones en crisis
92
Fuente: http://www.beaconlearningcenter.com/Lessons/99.htm
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Unidad 10.7: Experimentos, encuestas y estudios Matemáticas 8 semanas
profunda). Muestreo sesgado93: Solicita a los estudiantes que lean las siguientes situaciones e identifiquen cualquier sesgo en el método de muestreo. A continuación, solicítales que expliquen por qué se trata de una situación sesgada y sugiere una forma de reducir el sesgo. o Los editores de la revista Martha Stewart Living quieren determinar la tasa de aprobación de su fundadora, Martha Stewart, entre el público. Deciden enviar cuestionarios a los suscriptores para obtener esta información, de los cuales reciben 850 de vuelta. o Para proyectar el ganador de las elecciones municipales, un reportero hace una encuesta entre electores a medida que salen de las urnas en su vecindario y les pregunta por quién votaron. Se encuentra con que algunas personas no quieren proveer esa información. o El duodécimo aniversario de la muerte de Elvis Presley, una disquera de Dallas patrocina una encuesta telefónica nacional. Se les pidió a los radioescuchas de más de 1,000 estaciones radiales que llamaran a un número 1-900 (a un costo de $2.50) para que dieran su opinión sobre si Elvis Presley realmente estaba muerto o no. Resulta que 56 % de los que llamaron pensaban que Elvis estaba vivo. o En 1936, la revista Literary Digest realizó la encuesta de opinión pública más extensa de la historia (hasta esa fecha). Enviaron por correo cuestionarios a más de 10 millones de personas, cuyos nombres y direcciones habían obtenido en las guías telefónicas y listas de registro vehicular. Más de 2.4 millones de personas respondieron, y de estas 57 % indicaron que votarían por el republicano Alf Landon en las próximas elecciones presidenciales. (El incumbente demócrata Franklin Roosevelt ganó las elecciones, y se llevo el 63 % del voto popular. PISTA: ¿Quién piensas que tenía teléfonos y vehículos en 1936?) o Vas a recopilar información sobre el tipo de comida que le gusta comer a la gente cuando va de compras al centro comercial. Decides preguntarle a cada quinta persona que te pasa por el frente, siempre y cuando parezca que no les molestaría que los entrevisten. o Te interesa averiguar qué porcentaje de las mujeres tiene trabajos a tiempo completo y son jefes de familia. Decides realizar entrevistas telefónicas al azar, usando el directorio telefónico de tu localidad, todas las mañanas durante una semana. Evaluación de encuestas94: Los estudiantes evaluarán un artículo en busca de información relevante para analizar de forma objetiva una encuesta publicada y sus resultados. Selecciona un artículo o artículos para que los estudiantes lo(s) lean y analicen los métodos usados para llevar a cabo la encuesta. A continuación, solicita a los estudiantes que respondan a las siguientes preguntas: o ¿Quién pagó por la encuesta? ¿Quién realizó la encuesta? o ¿Cuánta gente participó en la encuesta? ¿Cómo fueron escogidos? o ¿A quién debieron encuestar y a quién no se encuestó? ¿De dónde eran los participantes? o ¿Qué tipo de encuesta era? ¿Qué tipos de preguntas se hicieron? ¿Cómo se hicieron las preguntas? o ¿Hay algún sesgo en la encuesta?
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Fuente: http://jfmueller.faculty.noctrl.edu/toolbox/examples/heslinga09/identify%20and%20explain%20bias.pdf 94 Fuente: http://jfmueller.faculty.noctrl.edu/toolbox/examples/heslinga09/analyze%20a%20poll.pdf
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Unidad 10.7: Experimentos, encuestas y estudios Matemáticas 8 semanas Ejemplos para planes de la lección
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Diseño de muestras/Muestras aleatorias simples95: En esta lección, los estudiantes considerarán las ventajas y desventajas de diversas técnicas de muestreo. Los estudiantes definirán una muestra aleatoria simple e identificarán fuentes posibles de sesgo en otros tipos de muestras. Examinarán además diseños de muestras y tendrán que poder reconocer cuándo hay sesgo presente en el diseño de una muestra. 1. Comienza con la actividad de calentamiento para introducir el concepto de sesgo (ver anejo: 10.7 Ejemplo para plan de lección- Diseño de muestras). 2. A continuación, realiza una discusión en clase sobre el tamaño de la muestra, comparación de los medios de muestreo, muestreo aleatorio y características de los buenos diseños de muestreo (p. ej., la muestra debe ser de un tamaño proporcional a la población. La representación insuficiente de ciertos grupos de una población o preguntas mal formuladas pueden alterar significativamente los resultados de la muestra. Estos deben ser representativos de la población, y deben seleccionarse de forma aleatoria.). 3. Finalmente, solicita a los estudiantes que completen las hojas de actividades (ver anejo: 10.7 Ejemplo para plan de lección - Diseño de muestras). Tiempo de reacción96: Los estudiantes recopilarán, organizarán y analizarán datos mientras estudian el tiempo de reacción. Los estudiantes calculan medidas de tendencia central usando una calculadora y mostrarán los datos en una gráfica. Necesitarán una calculadora gráfica, regla métrica y hoja de actividades (ver anejo: 10.7 Ejemplo para plan de lección - Tiempo de reacción). Esto puede hacerse después de estudiar las medidas de tendencia central. Procedimiento: 1. Repasa las medidas de tendencia central: La media es la suma de los números dividida por la cantidad de números. La moda es el número que más se repite. La amplitud es la diferencia entre el número mayor y el menor. 2. Divide la clase en parejas. 3. En cada pareja, el estudiante A sostiene la regla de forma vertical con la mano puesta en el extremo de 30 cm. El estudiante B, cuyo tiempo de reacción se medirá, coloca su mano debajo de la regla. El estudiante B coloca el pulgar y dedo índice a dos centímetros de la marca de 0 mm a cada lado de la regla. El estudiante A deja caer la regla y el estudiante B, mirando solo la parte de abajo de la regla, la cacha. Para cachar la regla el estudiante B tiene que juntar el pulgar y el índice lo más rápido posible. 4. Para medir el tiempo de reacción para cachar la regla, usa la marca del primer milímetro que quede justo encima del pulgar. Esta lectura indicará el tiempo de reacción. El tiempo de reacción más rápido será el número más bajo. Por ejemplo, una puntuación de 130 mm supone un tiempo de reacción más rápido que una puntuación de 155 mm. 5. Cada estudiante repite el proceso cinco veces. 6. Los estudiantes comparten sus resultados en una discusión dirigida por el maestro. 7. Anoten todos los resultados en la pizarra. 8. Cada estudiante también deberá anotar las medias de todos los miembros de la clase en la hoja de actividades y completarla (ver anejo: 10.7 Ejemplo para plan de lección - Tiempo de Fuente: http://mdk12.org/instruction/clg/lesson_plans/algebra_data_analysis/DesigningSamples_311.html Fuente: http://www.beaconlearningcenter.com/Lessons/221.htm
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Unidad 10.7: Experimentos, encuestas y estudios Matemáticas 8 semanas Recursos adicionales
El SIDA en África http://www.nationalgeographic.com/xpeditions/lessons/01/g912/africaaidsI.html www.profjserrano.wordpress.com Ejemplo para plan de lección en que los estudiantes identifican y diferencian entre tipos de muestras políticas, y seleccionan y usan representaciones visuales y estadísticas para describir una lista de datos. http://www.pbs.org/newshour/extra/teachers/lessonplans/math/math_recall_929.html http://education.ti.com/downloads/guidebooks/graphing/84p/TI84Plus_guidebook_ES.pdf http://isa.umh.es/calc/TI/TI83/TI83manual-spa.pdf Math, Culture, and Popular Media: Activities to Engage Middle School Students Through Film, Literature, and the Internet de Michaele F. Chappell and Denisse R. Thompson Matemáticas Integradas I, II, III de McGraw Hill Precálculo: Funciones y gráficas de Raymond Barnett Algebra I de Glencoe Algebra de Juan Sánchez
Conexiones a la literatura Nota: Aunque los siguientes libros están dirigidos a estudiantes de la escuela primaria, éstos apuntan a los principios fundamentales de matemáticas los cuales se pueden explorar en todos los niveles. Todo el mundo disfruta de que alguien le lea y los estudiantes de la escuela secundaria no son la excepción. Estos libros son una excelente introducción a las unidades de estudio. Más allá de la coincidencia de Martin Plimmer El matemático del rey de Juan Carlos Arce The Joy of Mathematics de Theoni Pappas Mathematics are People: Stories from the lives of Great Mathematicians de Luetta Reamer y Wilber Reimer
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Unidad 10.8: Patrones, sucesiones y series Matemáticas 4 semanas Etapa 1 - Resultados esperados Resumen de la unidad En esta unidad, los estudiantes explorarán la secuenciación y las relaciones recurrentes para investigar razones de cambio y patrones. Clasificarán y construirán sucesiones mientras desarrollan términos generales y métodos de cálculo, además de investigar el comportamiento a largo plazo de una relación de recurrencia. Meta de transferencia: Los estudiantes saldrán de la clase con la capacidad de usar su conocimiento sobre la sucesión y las relaciones de recurrencia para comprender y solucionar problemas por medio de la aplicación del razonamiento inductivo.
Estándares de contenido y expectativas Sucesiones A.CA.10.9.1 Investiga la razón de cambio encontrada en sucesiones y la utiliza para clasificar las sucesiones como aritmética, geométricas o ninguna. A.RE.10.9.2 Desarrolla el término general para las sucesiones aritméticas o geométricas y desarrolla métodos para calcular la suma de los términos para una sucesión aritmética finita o sucesión geométrica y la suma de una serie geométrica infinita. Patrones A.PR.10.10.1 Desarrolla relaciones de recurrencia para situaciones de crecimiento aritmético o geométrico. A.PR.10.1.2 Genera o construye sucesiones a partir de modelos de patrones en relaciones de recurrencia, en matemáticas y en otras disciplinas. A.PR.10.1.3 Investiga el comportamiento a largo plazo la conducta de una relación de recurrencia, con o sin tecnología.
Ideas grandes/Comprensión duradera:
Preguntas esenciales:
Los patrones dan orden al mundo y nos ayudan a darle sentido. Las razones de cambio y los patrones se investigan usando sucesiones y relaciones de recurrencia. Las sucesiones se desarrollan en términos generales. Las relaciones de recurrencia son ecuaciones que definen una sucesión.
¿Por qué son útiles los patrones? ¿Por qué investigar razones de cambio? ¿Cómo se usan los patrones para desarrollar términos generales? ¿Cómo se desarrollan relaciones de recurrencia para situaciones de crecimiento aritmético o geométrico?
Contenido (Los estudiantes comprenderán...)
Destrezas (Los estudiantes podrán...)
Métodos de calcular la suma de los términos de una sucesión aritmética finita y la suma de una serie geométrica infinita
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Investigar la razón de cambio encontrada en sucesiones y utilizarla para clasificar las sucesiones como aritmética, geométrica o 1066
Unidad 10.8: Patrones, sucesiones y series Matemáticas 4 semanas
El concepto de comportamiento asintótico
Vocabulario de contenido aritmético, clasificar, convergencia, divergencia, finito, geométrico, infinito, notación sigma (∑), patrón, relaciones de recurrencia, sucesión, serie, tasa de cambio, término general
ninguna. Desarrollar el término general para las sucesiones aritméticas o geométricas y desarrollar métodos para calcular la suma de los términos para una sucesión aritmética finita y sucesión geométrica y la suma de una serie geométrica infinita. Desarrollar relaciones de recurrencia para situaciones de crecimiento aritmético o geométrico. Generar o construir sucesiones en base a modelos de patrones de relaciones de recurrencia, tanto en matemáticas como en otras disciplinas. Investigar el comportamiento a largo plazo una relación de recurrencia, con o sin tecnología.
Etapa 2 – Evidencia de avalúo Tareas de desempeño
Otra evidencia
Un millón de dólares97 Los estudiantes demostrarán su comprensión de las sucesiones aritméticas y geométricas y de las series al describir varias formas de ahorrar un millón de dólares en una cuenta bancaria. 1. Indícales a los estudiantes que su objetivo será ahorrar un millón de dólares en una cuenta bancaria. 2. Solicita a los estudiantes que respondan a las siguientes preguntas: a. ¿Cómo podrías lograrlo en cinco años si tu método de ahorro fuese una sucesión geométrica? ¿Una serie geométrica? ¿Una sucesión aritmética? ¿Una serie aritmética? b. Describe en lenguaje sencillo cómo cada uno de estos modelos podría funcionar como un plan de ahorros. c. ¿Cuál se parece más al método que la gente realmente usaría?
Ejemplos de preguntas de examen/quiz100 1. ¿Cuál sería una fórmula del término n de la sucesión B mostrada a continuación? B = 10, 12, 14, 16,…
97
a) b) c) d) 2. ¿Cuál es la fórmula del término n de la sucesión 54, 18, 6,…? a) b) c) d)
Fuente: www.curriculumframer.com Fuente: http://www.jmap.org/JMAP_RESOURCES_BY_TOPIC.htm
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Unidad 10.8: Patrones, sucesiones y series Matemáticas 4 semanas 3. Utiliza la rúbrica para evaluar el trabajo de los estudiantes (ver anejo: Organizador - Rúbrica de tarea de desempeño). Planes de inversión98 Los estudiantes demostrarán su conocimiento de las sucesiones recursivas diseñando un plan de inversión. Tarea: 1. Busca y escribe los cinco primeros términos (años) de la sucesión representando la inversión que hace un joven de 21 años de $2,000 a un 5.5 % anual. 2. Escribe la forma recursiva de esa sucesión. 3. Decide de qué tipo de sucesión se trata y escribe la forma explícita de la sucesión y úsala para hallar el valor de la inversión a los 55 años de edad. 4. Compara la cantidad a los 55 del No. 3 con la inversión a los 21 años de $2,000 compuesta de forma continua a 5.5 % y describe el cálculo matemático que hace variar las cantidades. Muestra todo el proceso y explica en tus propias palabras lo que hiciste y por qué diste cada paso. Utiliza la rúbrica para evaluar el trabajo de los estudiantes (ver anejo: Organizador - Rúbrica de tarea de desempeño). La maravillosa campaña de mercadeo viral99 Los estudiantes demostrarán su comprensión de las sucesiones y las series al desarrollar una campaña de mercadeo viral. El estudiante, como consultor en mercadeo, ayudará a desarrollar modelos de a cuántas personas se puede llegar, considerando los efectos de los supuestos y prediciendo resultados posibles en función de la precisión de estos supuestos. El estudiante deberá además explicar claramente las limitaciones de este método con el tiempo a medida que se va agotando la reserva de clientes potenciales, y
98 99
3. ¿Cuál es el valor de
a) 1 c) 2
b) 3 d) 0
Diario a) Crea tu propia sucesión. Provee los primeros cuatro términos y el noveno término. ¿De qué tipo de sucesión se trata? ¿Cómo lo sabes? b) Compara las sucesiones aritméticas y geométricas. Da ejemplos: c) ¿Cuál es el quinceavo término de la sucesión 5, -10, 20, -40, 80,…? d) El maestro de Jonathan le pidió que expresara la suma + + + + usando notación sigma. Jonathan ha propuesto cuatro respuestas posibles. ¿Cuál de estas cuatro respuestas no es correcta? Explica cómo lo sabes. a)
b)
c)
d)
Boletos de entrada/salida 1. Compara las sucesiones aritméticas con las series. 2. ¿Cuál es la diferencia común de esta sucesión aritmética 5, 8, 11, 14? 3. Evalúa:
Fuente: http://www.isbe.net/ils/math/stage_J/6C_8A_8CJ.pdf Fuente: www.curriculumframer.com
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Unidad 10.8: Patrones, sucesiones y series Matemáticas 4 semanas cómo esto afecta la aplicabilidad del modelo. Tarea: El propietario de un parque de diversiones acaba de leer un corto artículo sobre el mercadeo viral y quiere intentarlo. Le emociona el poder detrás de la idea de "si cada persona le cuenta a dos personas, y esas personas le cuentan a dos más..." para hacer correr la voz sobre una nueva machina que van a abrir. Instrucciones: 1. Desarrolla los modelos para determinar a cuántas personas se puede llegar con una campaña de mercadeo viral. 2. Identifica los efectos de los supuestos que hagas y predice una gama de posibles resultados en función de las opciones provistas por estos supuestos. 3. Identifica el posible efecto que los errores en tus supuestos podrían tener en tus predicciones. 4. Explica claramente las limitaciones de este método con el tiempo a medida que se va agotando la reserva de clientes potenciales, y cómo esto afecta la aplicabilidad del modelo. 5. Se te evaluará en función de cuán exhaustiva sea tu lista de planes, así como tu capacidad para explicar el uso de supuestos y de comunicar las limitaciones de tus predicciones y cómo los supuestos incorrectos podrían afectarlas. Utiliza la rúbrica “La maravillosa campaña de mercadeo viral” para evaluar el trabajo de los estudiantes (ver anejo: 10.8 Tarea de desempeño - La maravillosa campaña de mercadeo viral).
Etapa 3 – Plan de aprendizaje Actividades de aprendizaje Sucesiones aritméticas
¿Aritmética? ¿Y qué tal un total?: En esta actividad, los estudiantes se centrarán en sucesiones aritméticas y desarrollarán patrones para hallar el término número n, así como la suma de n términos en una sucesión aritmética (ver anejo: 10. 8 Actividad de aprendizaje – ¿Aritmética? ¿Y qué tal un total?).
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Unidad 10.8: Patrones, sucesiones y series Matemáticas 4 semanas
¿Dónde en el mundo?: Después de repasar unos cuantos ejercicios en que se usen sucesiones y series para hacer modelos de procesos reales, a los estudiantes se les retará a que hagan una lluvia de ideas, en parejas o en grupos, para hacer una lista de diez ejemplos del mundo real de sucesiones y series que sean parte de su vida diaria. De esa lista, deberán escoger tres para elaborarlas, justificando que son aritméticas, usando las fórmulas que han aprendido, ilustrando los resultados de forma gráfica y considerando las limitaciones del patrón. (ver anejo: 10.8 Actividad de aprendizaje - Dónde en el mundo) ¿Cuál es la sucesión?: A los estudiantes se les dará un número y se les dirá que se trata de un término específico de una sucesión. ¿Cuál podría ser esa sucesión? ¿Es única la respuesta? Para hacerlo más difícil aún, se les dará un número y se les dirá que se trata de la suma de un cierto número de términos de una sucesión y se les harán las mismas preguntas (ver anejo: 10.8 Plan de aprendizaje - Cuál es la sucesión).
Sucesiones geométricas
La "familia Cuarteto": La familia Cuarteto tiene una extraña tradición, comenzando por Horacio y Wilhelmina Cuarteto a principios de los 1800. Horacio y Wilhelmina tuvieron cuatro hijos y declararon que cada descendiente debía hacer lo mismo. Cada hijo, nieto, biznieto, y así sucesivamente, ha cooperado: cada uno se ha casado y ha tenido cuatro hijos. Estima cuántos descendientes tienen al día de hoy, así como el número total de personas que hay en el árbol genealógico (sin incluir cónyuges). (Ver anejo: 10.8 Actividad de aprendizaje - La familia Cuarteto.)
Sucesiones
101
Y al décimo día: Dales a los estudiantes cinco escenarios de la vida real con sucesiones, entre ellas ejemplos de sucesiones aritméticas y geométricas. Solicita que enumeren lo que ocurriría en los primeros diez días. A continuación, haz que por cada escenario desarrollen una regla general para el término n de la sucesión. Ejemplos (a), (b), (c) y (e) son bastante sencillos, pero el ejemplos (d) no lo es (ver anejo: 10.8 Actividad de aprendizaje - Y al décimo día). Pregúntales a los estudiantes cuáles sucesiones son similares y cuáles son diferentes. Introduce y contrasta los términos de la sucesión geométrica y la sucesión aritmética. La sucesión de nunca acabar: Usando una herramienta tecnológica, como la TI-83, que tiene la capacidad de realizar la misma operación repetidas veces en las respuestas sucesivas, los estudiantes investigarán lo que sucede a medida que dejamos que las sucesiones y series continúen indefinidamente. En estas circunstancias, ¿tenderán a desaparecer los términos? ¿Es posible que una serie infinita tenga una suma finita? (Ver anejo: 10.8 Actividad de aprendizaje - La serie sin fin.) Ni geométrico ni aritmético101: Los estudiantes considerarán algunos ejemplos de sucesiones que no sean ni aritméticas ni geométricas, y determinarán los términos subsiguientes. Intentarán escribir reglas generales para el término n. Dales a los estudiantes un pequeño conjunto de ejercicios mixtos y solicita que generen los próximos cuatro términos de cada uno. Incluye en el conjunto mixto un par de ejercicios aritméticos y geométricos, pero también incluye otros como i) ejercicios que impliquen combinaciones de operaciones como: 3, 6, 7, 14, 15, 30,... (multiplicar por dos, luego sumar 1); ii) sucesiones recursivas como: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13,... (sucesión Fibonacci), y iii) Fuente: www.curriculumframer.com
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Unidad 10.8: Patrones, sucesiones y series Matemáticas 4 semanas
otras sucesiones interesantes de los ejercicios de tu libro de texto. Solicita a los estudiantes que las dividan en sucesiones que ya hayan estudiado, y en las que no se correspondan con estas categorías. ¿Cuál es mi regla?102: Crea una lista de sucesiones y series a partir de ejercicios y discusiones en clase y problemas de asignación. Incluye ejemplos aritméticos, geométricos recursivos y ejemplos cualesquiera que no se adecuen a los otros patrones. Solicita a los estudiantes que analicen los ejemplos en parejas y grupos pequeños. Por cada ejemplo, deberán generar los próximos términos, identificar el tipo y explicar cómo llegaron a su conclusión. No se debe tan solo poner énfasis en la identificación correcta, sino también en comunicar el proceso de razonamiento que los llevó a su decisión.
Ejemplos para planes de la lección
Patrones, sucesiones y series103: Los estudiantes recibirán instrucciones directas de sucesiones y series aritméticas. Deberán reunir sus experiencias de “Y al décimo día” y “¿Aritmética? ¿Y qué tal un total?” para determinar reglas generales para identificar sucesiones aritméticas, hallar términos específicos en la sucesión, calcular la suma de los primeros términos n y representar sumas usando notación sigma. Además, compararán y contrastarán los términos de una sucesión aritmética con una relación lineal. Instrucciones: 1. Solicita a los estudiantes que se refieran a las dos actividades anteriores y que trabajen en pares y grupos pequeños para resumir todo lo que han aprendido sobre las sucesiones aritméticas. Date la vuelta por el salón y anota las contribuciones en la pizarra. Asegúrate de que se incluyan todas las siguientes en el resumen: (a) cómo identificar una sucesión aritmética, (b) cómo hallar un término específico de una sucesión aritmética y (c) cómo hallar la suma de los primeros términos n de una sucesión aritmética. 2. Trabaja a partir de las observaciones y representaciones de los estudiantes para producir las formas estándares de las fórmulas para hallar término específicos y sumas de sucesiones aritméticas. Usa la notación de suma para describir la suma de los primeros términos n de una sucesión. 3. Todavía en grupos, dales a los estudiantes un ejemplo (primer término = 2, diferencias comunes = 1.5). Solicita que hallen los primeros cinco términos y creen una representación gráfica. 4. Una vez terminen esta parte, pregúntales cuántos de ellos conectaron los puntos para formar una línea. Aunque es de naturaleza lineal, ¿cómo difiere esto de las relaciones lineales que han estudiado en el pasado? Esta es una muy buena oportunidad para discutir los números discretos y los continuos, y los tipos de datos del mundo real que se prestan para cada uno. 5. Dales a los estudiantes la oportunidad de practicar usando fórmulas que hayan desarrollado usando ejercicios del libro. Sucesiones y series geométricas104: Los estudiantes recibirán instrucciones directas de sucesiones y series aritméticas. Utilizarán las experiencias de “La familia Cuarteto” y la “Sucesión de nunca
102
Fuente: www.curriculumframer.com Ibídem. 104 Ibídem. 103
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Unidad 10.8: Patrones, sucesiones y series Matemáticas 4 semanas acabar” para motivarlos a hallar la fórmula general del término n, la suma de n términos y la suma de una serie infinita. Elaborarán pautas generales para determinar si una serie converge o no. Los estudiantes utilizarán la notación sigma cuando corresponda. Instrucciones: 1. Utilizar las actividades anteriores para motivarlos a que elaboren sus propias fórmulas generales. Dales un ejemplo sencillo (primer término = 5, r =2). Solicita que enumeren los primeros cuatro términos y escriban todo el proceso. 2. Utiliza ese proceso para escribir una fórmula general para el término n. Deben poder hacerlo por su cuenta con la ayuda de algunas preguntas guía, de ser necesario. 3. Desarrolla la fórmula de la suma de una serie geométrica finita. La prueba de esto no es muy larga, pero no es razonable esperar que los estudiantes descubran la fórmula por su cuenta. Sin embargo, vale la pena tomarse el tiempo de compartirlo con ellos y asegurarse de que entiendan que se trata del resultado lógico de propiedades previamente aceptadas que ya han aprendido, y que resulta chévere ver cómo se eliminan todos los términos excepto el primero y el último. 4. Reflexiona sobre la actividad anterior y solicita a los estudiantes que identifiquen qué tipo de serie geométrica infinita podría tener una suma finita. Un buenísimo ejemplo que los estudiantes pueden asimilar es el que implica la razón 1/2 sobre una interpretación basada en la distancia recorrida. 5. Solicita a un estudiante que se pare a 10 pies de la parte de enfrente del salón y que recorra la mitad del camino hasta la pizarra; anota que recorrió 5 pies. Repite el proceso un par de veces con el voluntario, y a continuación enumera unos cuantos términos adicionales de la sucesión. A medida que sigues añadiendo a la sucesión, anota los totales de la distancia total recorrida. 6. Discute esto en términos de límites: ¿Llegará a alcanzar la pared el estudiante? ¿A qué se aproxima la cantidad recorrida, pero nunca alcanza? ¿A qué se aproxima la cantidad total recorrida, pero nunca alcanza? Una vez se haya establecido la suma de una serie geométrica finita, solicita a los estudiantes que la amolden a una serie geométrica infinita. ¿Por cuál término deben sustituir el último? 7. Esto debe llevar a una discusión de la convergencia y la divergencia, y de cuándo la suma existe y cuándo no (cuando la suma no tiene límite). Dedica un tiempo a usar la notación de suma para rotular las sumas que vayas encontrando. Mientras que las fórmulas no utilizan esta notación, las suman que vas encontrando pueden expresarse de esta forma. 8. Dales a los estudiantes la oportunidad de practicar usando estas fórmulas con ejercicios del libro. Sucesiones - Definiciones recursivas105: Los estudiantes recibirán instrucciones directas para definir términos en una sucesión relacionándolos con términos anteriores. Una vez lo intenten con sucesiones aritméticas y geométricas, podrán utilizar esta técnica en la práctica para sucesiones que no sean ni geométricas ni aritméticas, y que se describan mejor en términos recursivos. Instrucciones: 1. Usa la actividad de aprendizaje “Ni geométrico ni aritmético” para introducir el hecho de que no todas las sucesiones son o aritméticas o geométricas, y que algunas no se prestan a descripciones matemáticas simples. 105
Fuente: www.curriculumframer.com
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Unidad 10.8: Patrones, sucesiones y series Matemáticas 4 semanas 2. Desarrolla las reglas para hallar el término n de cada una de las sucesiones, y señala aquellas en que la definición sea recursiva. Pregúntales a los estudiantes si las sucesiones geométricas se pueden definir de forma recursiva. Discute el hecho de que algunas sucesiones solo pueden describirse en términos recursivos, y que no tienen fórmulas sencillas para calcular la suma de términos n. 3. Dales a los estudiantes la oportunidad de practicar la expresión de sucesiones con definiciones recursivas, así como generar términos de sucesiones, dada una definición recursiva. Un problema geométrico bastante conocido y que es un reto divertido conlleva cortar un bizcocho. ¿Cuál es el número máximo de trozos que puedes obtener con 4 pedazos? (Los pedazos no tienen que ser de forma o tamaño semejante.) Solicita a los estudiantes que intenten hacer este problema con un diagrama, y luego describe el total después de cortar cada pedazo con una definición recursiva. (El truco está en asegurarse de que cada pedazo se cruce con un pedazo ya cortado.) Esto resulta más difícil con un diagrama en el caso de más pedazos, pero los estudiantes pueden sacar la regla general y hallar el número de pedazos para números de pedazos mayores.
Recursos adicionales
www.profjserrano.wordpress.com http://www.vaxasoftware.com/doc_edu/mat/progres.pdf http://education.ti.com/downloads/guidebooks/graphing/84p/TI84Plus_guidebook_ES.pdf http://isa.umh.es/calc/TI/TI83/TI83manual-spa.pdf Matemáticas Integradas I, II, III de McGraw Hill Precálculo: Funciones y gráficas de Raymond Barnett Algebra I de Glencoe Algebra de Juan Sánchez
Conexiones a la literatura Nota: Aunque los siguientes libros están dirigidos a estudiantes de la escuela primaria, éstos apuntan a los principios fundamentales de matemáticas los cuales se pueden explorar en todos los niveles. Todo el mundo disfruta de que alguien le lea y los estudiantes de la escuela secundaria no son la excepción. Estos libros son una excelente introducción a las unidades de estudio. Más allá de la coincidencia de Martin Plimmer El matemático del rey de Juan Carlos Arce The Man Who Counted: A Collection of Mathematical Adventures de Malba Tahan Math Curse de Jo Scieszka y Lane Smith
Junio 2012 Adaptado de Understanding by Design de Grant Wiggins y Jay McTighe
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Matemáticas Anejos 10mo Grado
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Unidad 10.1: Funciones y modelos cuadráticos Matemáticas Ejemplo para plan de lección– Investigación de la parábola
Investigación de la parábola 2 La forma de la gráfica de las cuadráticas y a x b x c se llama parábola.
Trabajarán en grupos. Tómense cinco minutos para discutir las reglas y roles del grupo. Una persona se encarga de pedir tres calculadoras y de regresarlas antes de que se acabe la clase. Su misión será explorar las gráficas de parábolas manipulando los coeficientes. Utilizarán la función de gráfica para su investigación. Respondan a las siguientes preguntas lo más completamente posible; pueden también intentar incluir tantas descripciones como puedan. Selecciona una ventana ya sea manualmente o desde el menú zoom. Y= Este botón te permite acceder a la función de gráfica.
A. ¿Qué hace la “a”? 2 1. En Y1 traza la gráfica y x . Utiliza la línea gruesa sólida.
2. Describe la forma en tus propias palabras. Utiliza tantas descripciones como puedas. Utiliza el botón de trace (trazar) para hallar los puntos más altos y más bajos. Traza la gráfica en una hoja de papel cuadriculado. Utiliza la función de Table Set y Table de tu calculadora para crear una tabla. 3. En Y2 traza la gráfica de y x2 . Utiliza una línea regular. a. Describe en tus propias palabras lo que sucedió. b. Traza la gráfica en el mismo eje que el No. 1. Asegúrate de incluir una tabla. 2 4. Desactiva Y2 . Traza la gráfica de y ax in Y3 .
a. Elige un valor de a mayor que 1. Describe lo que ocurre. Cada miembro del grupo debe elegir un valor diferente para a . Traza la gráfica de los resultados de tu grupo en el mismo eje e incluye una tabla de valores. 5. Desactiva Y3 . Traza la gráfica de y ax en Y4 . 2
a. Elige un valor de a menor que 1, pero mayor que 0. Describe lo que ocurre. b. Cada miembro del grupo debe elegir un valor diferente para a . 2 6. Desactiva Y4 . Traza la gráfica de y ax in Y5
.
a. Elige un valor de a menor que 1, pero mayor que 0. Describe lo que ocurre. Cada miembro del grupo debe elegir un valor diferente para a . Traza la gráfica de los resultados de tu grupo en el mismo eje e incluye una tabla de valores.
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Unidad 10.1: Funciones y modelos cuadráticos Matemáticas Ejemplo para plan de lección– Investigación de la parábola 2 7. Desactiva Y1 y Y5 . Selecciona Y2 . Traza la gráfica de y ax en Y6 .
a. Elige un valor de a mayor que -1. Describe lo que ocurre. Cada miembro del grupo debe elegir un valor diferente para a . Traza la gráfica de los resultados de tu grupo en el mismo eje e incluye una tabla de valores. b. Compara Y1 con Y2 Y6 ¿Qué aprendiste sobre el coeficiente del término x ?. ¿Qué era igual y qué era diferente? Escribe una regla general. 2
B. ¿Qué hace la “b”? 2 1. En Y1 traza la gráfica de y x . Utiliza la línea sólida gruesa.
2. En Y2 traza la gráfica de yx2 bx0. Elige un valor de b mayor que 0. a. Utiliza una línea regular. b. Describe lo que ocurre en tus propias palabras. c. Traza la gráfica en el mismo eje que el No. 1. Asegúrate de incluir una tabla. d. Cada miembro del grupo debe elegir un valor diferente de b. 1. Desactiva Y2 . Traza la gráfica de
yx2 bx0 en Y3 .
a. Elige un valor de b menor que 0. b. Utiliza una línea regular. c. Describe lo que ocurre en tus propias palabras. d. Traza la gráfica en el mismo eje que en el No. 1. Asegúrate de incluir una tabla. e. Cada miembro del grupo debe elegir un valor diferente de b. 2. Repite los pasos 1, 2, y 3 usando c no igual a 0. c. ¿Qué aprendiste sobre el término bx ? Compara las gráficas Y1 , Y2 y Y3 . ¿Qué era igual y qué era diferente? Escribe una regla general. Inventa una “b” y predice lo que piensas que ocurrirá. Traza la gráfica para comprobar si tu hipótesis estaba correcta.**¿Tienen todas las parábolas la misma forma general? ¿Tienen todas un punto mínimo y uno máximo?
C. ¿Qué hace la “c”? 2 1. En Y1 traza la gráfica y x . Utiliza la línea sólida gruesa.
2. En Y2 traza la gráfica de
y x2 c. Elige un valor de c mayor que 0.
3. Utiliza una línea regular. 4. Describe lo que ocurre en tus propias palabras.
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Unidad 10.1: Funciones y modelos cuadráticos Matemáticas Ejemplo para plan de lección– Investigación de la parábola 5. Traza la gráfica en el mismo eje que el No. 1. Asegúrate de incluir una tabla. 6. Cada miembro del grupo debe elegir un valor diferente de c. 7. Desactiva Y2 . Traza la gráfica de y x2 c en Y3 . 8. Elige un valor de c menor que 0. 9. Utiliza una línea regular. 10. Describe lo que ocurre en tus propias palabras. 11. Traza la gráfica en el mismo eje que el No. 1. Asegúrate de incluir una tabla. 12. Cada miembro del grupo debe elegir un valor diferente de c. a. ¿Qué aprendiste sobre el término constante? Compara las gráficas Y1 , Y2 , and Y3 . ¿Qué era igual y qué era diferente? Escribe una regla general. Inventa una “c” y predice lo que piensas que ocurrirá. Traza la gráfica para comprobar si tu hipótesis estaba correcta. Hagan un afiche grupal. Les daré A, B o C. Presenten sus conclusiones junto con la gráfica. Entreguen su trabajo. Asegúrense de presentar un trabajo nítido con todas las gráficas debidamente rotuladas. Rotulen los ejes e incluyan sus ideas sobre las gráficas. Trabajo grupal
10 Afiche
Gráficas
15 Las gráficas individuales están completas, correctas y rotuladas.
Tablas
5
Descripciones
10 Describe cómo a, b, y c afectan la forma y posición de la parábola. Utiliza descripciones precisas en palabras usadas con sentido.
Reglas
10 Escribe reglas.
Todas las gráficas tienen una tabla.
Roles y responsabilidad grupales Título
Rol
Responsabilidad
Anotador
Recopila y anota los datos.
Anota y presenta los datos grupales.
Custodio
Se asegura de que todos los miembros participen.
Obtiene y regresa los materiales.
Defensor
Se asegura de que todos los miembros sean apreciados.
Presenta la respuesta grupal. Se asegura de que todos los miembros tengan información.
Administrador
Mantiene al grupo centrado en la Cálculos. tarea. Si tu grupo tiene solo tres miembros, el custodio y el defensor pueden ser la misma persona.
Fuente: http://alex.state.al.us/lesson_view.php?id=24121
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Unidad 10.1: Funciones y modelos cuadráticos Matemáticas Otra evidencia – Ejemplos de preguntas de examen 1. Factorizada por completo, la expresión e) f) g) h)
es equivalente a
6. Expresado en forma factorizada, el binomio
es equivalente a
e) f) g) h) 7. Factoriza: 8. ¿Cuál es el conjunto de solución de la ecuación a) b) c) d) 9. Halla las raíces de la ecuación
?
usando álgebra.
10. Considera la gráfica de la ecuación cierto de la gráfica de la parábola resultante?
, cuando
. Si se multiplica a por 3, ¿qué es
e) El vértice está tres unidades por encima del vértice de la parábola original. f)
La nueva parábola está tres unidades a la derecha de la parábola original.
g) La nueva parábola es más ancha que la parábola original. h) La nueva parábola es más estrecha que la parábola original. 11. Simplifica: 4i(1 + i) + 3(6 – 2i) 12. Establece la ecuación del eje de simetría y las coordenadas del vértice de la parábola de la gráfica a la derecha.
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Unidad 10.1: Funciones y modelos cuadráticos Matemáticas Otra evidencia – Ejemplos de preguntas de examen 13. La gráfica de la ecuación
se encuentra en el conjunto de ejes a continuación.
En base a esta gráfica, ¿cuáles son las raíces de la ecuación
?
e) 8 y 0 f)
2y
g) 9 y h) 4 y
Distancia (en pies)
14. Greg se encuentra en un vagón al tope de una montaña rusa. La distancia, d, a la que se encuentra el vagón del suelo a medida que desciende está determinada por la ecuación , donde t es el número de segundos que se toma el vagón en bajar a cada punto de la machina. ¿Cuántos segundos se tomará Greg en llegar abajo?
Tiempo (en segundos)
Fuente: http://www.jmap.org/JMAP_RESOURCES_BY_TOPIC.htm
1079
Unidad 10.2: Polinomios y funciones racionales Matemáticas Ejemplo para plan de lección – ¿Quién soy? – Halla un polinomio a partir de sus raíces
¿Quién soy? Halla un polinomio a partir de sus raíces Hoja de actividades para los estudiantes: Parte 1 Determina el polinomio a partir de sus raíces. 1. 2. 3. 4.
5. 6. 7. 8.
Analiza el comportamiento final de la función y las tres raíces abajo. Escribe la ecuación en forma factorizada a partir de las raíces dadas en las condiciones dadas. Verifica tus raíces con otros miembros del grupo. Cada grupo deberá trazar la gráfica de su polinomio en la mitad de una hoja de papel cuadriculado grande. Todas las gráficas deben estar limpias (traza las gráficas a lápiz y luego pásales por encima con un marcador). Gráfica: rotula los ceros, los interceptos en y, los ejes y cualquier vértice o “picos y valles”. Utiliza la calculadora gráfica para hallar el par ordenado asociado a los extremos. En el afiche escribe tu polinomio en forma factorizada. Enumera las raíces. Escribe la forma estándar del polinomio al dorso de tu afiche grupal. Utiliza la función de gráfica para trazar la gráfica de tu polinomio con precisión. Asegúrate de siempre utilizar la pantalla adecuada. En una hoja de papel de libreta escribe tu polinomio únicamente en forma estándar. Escribe tu nombre y la letra de tu grupo en la parte de arriba del papel.
Parte 2 Halla las raíces de un polinomio. 1. Obtén un polinomio de mi parte. Factoriza el polinomio y halla sus raíces. 2. Entrega tu trabajo 3. Parea tu polinomio con la gráfica correcta.
Estrategia de evaluación: Este proyecto sirve como avalúo de los objetivos en base al producto para las funciones polinómicas. Todos los estudiantes deberán aplicar los teoremas relativos a raíces racionales, irracionales, complejas imaginarias, así como su multiplicidad. Guía de calificación: Los ejes están rotulados y trazados con una regla graduada. Seleccionó una escala para que la gráfica tenga tamaño de afiche. Extremo rotulado con un par ordenado. Las raíces polinómicas están correctas. Verificó la forma con la calculadora gráfica. El polinomio factorizado se corresponde con la gráfica. Evaluación grupal
1
2
3
4
5
1
2
3
4
5
1 1 1 1
2 2 2 2
3 3 3 3
4 4 4 4
5 5 5 5
1
2
3
4
5
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Unidad 10.2: Polinomios y funciones racionales Matemáticas Ejemplo para plan de lección – ¿Quién soy? – Halla un polinomio a partir de sus raíces
Hoja de trabajo para la parte 1: Raíces
A.
Comportamiento final de la función:
E.
Derecha arriba, izquierda arriba
Comportamiento final de la función:
Izquierda abajo, derecha abajo
Raíces:
x 2i x0 x 1
Raíces:
x 2i x0
F.
x 2
Comportamiento final de la función:
Izquierda abajo, derecha arriba
Raíces:
x 2i x0
B.
Comportamiento final de la función:
Derecha abajo, izquierda arriba
Raíces:
x 2i x0
x 1
G.
Comportamiento final de la función:
Derecha e izquierda arriba
Raíces:
x3
x 2
x 3 C.
Comportamiento final de la función:
Izquierda arriba, derecha arriba
Raíces:
x 2i x0
xi 2 x0 H.
x 1
D.
Comportamiento final de la función:
Izquierda arriba, derecha abajo
Comportamiento final de la función:
Derecha arriba, izquierda arriba
Raíces:
x 3i x 3i xi 2 x0
Raíces:
x 2i x0 x 1
Fuente: http://alex.state.al.us/lesson_view.php?id=24059
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Unidad 10.2: Polinomios y funciones racionales Matemáticas Otra evidencia – Ejemplos de preguntas de examen 6. Traza la gráfica de las siguientes funciones racionales: a.
b.
7. ¿Cuál expresión es equivalente a a) b) c) d) 8. ¿Cuál es el producto de a) b) c) d) 9. La suma de 1) 2)
y
y
?
es 3)
4)
10. ¿Cuál es el conjunto de solución de a) b) c) d)
?
Fuente: http://www.jmap.org/JMAP_RESOURCES_BY_TOPIC.htm and http://www.isbe.net/ils/math/stage_J/8D_6AJ.pdf
1082
Unidad 10.2: Polinomios y funciones racionales Matemáticas Categoría Comprensión del problema
Conceptos
Precisión
Comunicación
Presentación
Tarea de desempeño – Cómo se trabaja con polinomios: Guía del usuario con advertencias 4 3 2
1
El estudiante demuestra la comprensión sofisticada necesaria para sumar, restar, multiplicar y dividir polinomios correctamente.
El estudiante demuestra la comprensión necesaria para sumar, restar, multiplicar y dividir polinomios correctamente.
El estudiante demuestra algo de la comprensión necesaria para sumar, restar, multiplicar y dividir polinomios correctamente.
El estudiante demuestra poca de la comprensión necesaria para sumar, restar, multiplicar y dividir polinomios correctamente.
El estudiante claramente explica las técnicas usadas en las operaciones con polinomios y errores comunes de los que hay que estar al tanto. Se incluyen todas las técnicas cubiertas en la unidad.
El estudiante explica las técnicas usadas en las operaciones con polinomios y errores comunes de los que hay que estar al tanto. Puede ser que omita algunas de las técnicas cubiertas en la unidad.
El estudiante explica las técnicas usadas en las operaciones con polinomios e intenta describir errores comunes de los que hay que estar al tanto. Omite algunas técnicas.
El estudiante intenta explicar las técnicas usadas en las operaciones con polinomios y describir errores comunes de los que hay que estar al tanto. Omite múltiples técnicas.
Se describen con precisión todas las técnicas usadas en las operaciones con polinomios y errores comunes. El estudiante escoge ejemplos originales y adecuados para ilustrar las técnicas y los errores.
Se describen con precisión todas las técnicas usadas en las operaciones con polinomios y errores comunes. El estudiante escoge ejemplos adecuados para ilustrar las técnicas y los errores, pero estos podrían ser semejantes a los del libro de texto o de la clase.
El estudiante utiliza vocabulario adecuado y explica los conceptos con claridad. Las técnicas están organizadas en un orden lógico y los errores comunes se explican a cabalidad.
El estudiante utiliza vocabulario adecuado y explica los conceptos. Las técnicas están organizadas en un orden lógico, pero a veces los errores comunes no se explican a cabalidad. Puede contener errores menores. En general, la Guía del usuario está bien hecha y completa, aunque a algunos elementos podría faltarles un toque profesional. Se ha prestado atención al público y al propósito, aunque la guía no siempre satisface las necesidades de un estudiante que no está familiarizado con los conceptos.
Se describen con precisión la mayor parte de las técnicas usadas en las operaciones con polinomios y errores comunes. El estudiante escoge ejemplos adecuados para ilustrar las técnicas y los errores, pero estos podrían ser semejantes a los del libro de texto o de la clase y el proceso de solución a veces contiene errores menores. El estudiante explica los conceptos, pero a veces usa los términos incorrectamente. El estudiante intenta organizar las técnicas y no logra explicar de forma adecuada las causas de los errores comunes.
Se describen con precisión algunas técnicas usadas en las operaciones con polinomios y errores comunes. El estudiante escoge ejemplos no adecuados para ilustrar las técnicas y los errores. A veces el proceso de resolución contiene múltiples errores, y estos pueden llegar a ser importantes. El estudiante no explica adecuadamente los conceptos, y no usa los términos correctamente. El estudiante intenta organizar las técnicas y explicar los errores comunes, pero no lo logra.
Algunos elementos de la Guía del usuario están bien hechos, mientras que en otros se nota un desinterés por la calidad. No queda claro que se hayan tomado en cuenta el público y el propósito, y a un estudiante no familiarizado con los conceptos se le dificultaría usarla.
La Guía del usuario está hecha de forma descuidada, y se demuestra poco interés por la calidad. Esto le resta a cualquier consideración que pueda haberse prestado a la audiencia o propósito. No le resultaría útil a un estudiante que no esté familiarizado con los conceptos.
La Guía del usuario es presentada de forma profesional, de manera que demuestra una preparación esmerada y claridad en la comunicación. Queda claro que se prestó atención al público y propósito, y que la guía podría ayudar a un estudiante que no tenga familiaridad con los conceptos.
Fuente: www.curriculumframer.com
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Unidad 10.2: Polinomios y funciones racionales Matemáticas Tarea de desempeño – Rúbrica de Campaña de relaciones públicas en pro de las reglas Categoría Comprensión del problema
Conceptos
Precisión
Comunicación
Presentación
4 El estudiante demuestra la comprensión sofisticada de que las reglas y las propiedades son lógicas y necesarias para el éxito en las matemáticas. El estudiante explica claramente las reglas y propiedades y demuestra por qué son necesarias. Todas las reglas y propiedades discutidas en esta unidad están incluidas. Se describen todas las reglas y propiedades con precisión. El estudiante elige ejemplos originales y adecuados para ilustrar la necesidad de las reglas y propiedades.
El estudiante utiliza vocabulario adecuado y explica conceptos claramente. Se presenta la importancia de las reglas y propiedades de forma convincente, junto con cómo funcionan las reglas y propiedades. Se presentan los anuncios de manera profesional, de forma que se demuestre una preparación esmerada y claridad en la comunicación. Queda claro que se ha prestado atención al público y al propósito.
Fuente: www.curriculumframer.com
3 El estudiante demuestra una comprensión de que las reglas y las propiedades son lógicas y necesarias para el éxito en las matemáticas.
2 El estudiante demuestra algo de comprensión de que las reglas y las propiedades son lógicas y necesarias para el éxito en las matemáticas.
1 El estudiante demuestra un pobre entendimiento de que las reglas y las propiedades son lógicas y necesarias para el éxito en las matemáticas.
El estudiante explica claramente las reglas y propiedades y demuestran por qué son necesarias. Es posible que omita algunas reglas y propiedades.
El estudiante explica las reglas y propiedades e intenta demostrar por qué son necesarias. Omite unas cuantas reglas o propiedades.
El estudiante intenta explicar las reglas y propiedades, pero no logra demostrar por qué son necesarias. Omite múltiples reglas o propiedades.
Se describen todas las reglas y propiedades con precisión. El estudiante elige ejemplos originales y adecuados para ilustrar la necesidad de las reglas y propiedades. Puede que los ejemplos sean similares a los discutidos en clase y a veces el proceso de resolución incluye unos cuantos errores menores. El estudiante utiliza vocabulario adecuado y explica los conceptos claramente. Se presenta la importancia de las reglas y propiedades de forma convincente, junto con cómo funcionan las reglas y propiedades, pero a veces hay algunos errores menores. En general, los anuncios están bien hechos y completos, aunque a algunos elementos podría faltarles un toque profesional. Se ha prestado atención al público y al propósito.
Se describen la mayor parte de las reglas y propiedades con precisión. El estudiante elige ejemplos adecuados para ilustrar la necesidad de las reglas y propiedades. Puede que los ejemplos sean similares a los discutidos en clase y a veces el proceso de resolución incluye múltiples errores menores. El estudiante explica los conceptos, pero a veces usa los términos incorrectamente. El estudiante intenta ilustrar la importancia de las reglas y propiedades y cómo funcionan, pero no lo hace de forma convincente.
Se describen algunas reglas y propiedades con precisión. El estudiante elige ejemplos poco adecuados para ilustrar la necesidad de las reglas y propiedades. El proceso de resolución a veces incluye múltiples errores, y los errores pueden llegar a ser importantes.
Algunos elementos de los anuncios están bien hechos, mientras que en otros se nota un desinterés por la calidad. No queda claro que se hayan tomado en cuenta el público y el propósito.
Los anuncios están hechos de forma descuidada, y se demuestra poco interés por la calidad. Esto le resta a cualquier consideración que pueda haberse prestado a la audiencia o propósito.
1084
El estudiante no explica los conceptos de forma apropiada, y no utiliza los términos con precisión. Aunque intenta explicar la importancia de las reglas y propiedades, no lo logra.
Unidad 10.3: Funciones exponenciales y logarítmicas Matemáticas Actividad de aprendizaje – Dobleces, pedazos y potencias de dos Nombre ______________________ A. Dobla una hoja de papel por la mitad. Dobla esa mitad por la mitad. ¿Cuántos dobleces piensas que son posibles? ________________ B. A medida que vas doblando, anota el número de capas que obtienes después de cada doblez. (Fíjate en que el número de dobleces es tu potencia de dos. ¿Qué representa el número de capas?) Número de dobleces
Número de capas
Potencias de dos
0
1
20 = 1
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 C. Discute cómo el número de dobleces que predijiste se compara con tus datos. D. Ahora coge una hoja de papel, recórtala en dos mitades y anota el número de pedazos que obtienes. Piensa en el número de recortes como un número negativo, puesto que se reduce el tamaño de los pedazos. Completa la tabla. (Fíjate en que el número de recortes es tu potencia de dos. ¿Qué representa el número de pedazos?) Número de recortes
Número de pedazos
Potencias de dos
0
1
20 = 1
-1 -2 -3 -4 -5
Fuente: www.curriculumframer.com
1085
Unidad 10.3: Funciones exponencials y logarítmicas Matemátics Ejemplo para plan de lección – E’X’P Haciendo y deshaciendo
E”X”P Haciendo y deshaciendo Nombre ______________________________ A. Provee razones matemáticas para justificar el primer paso de cada problema, luego resuelve para hallar x. Problema y pasos
Resuelve para hallar x
Razones matemáticas
1. 3x + 1 = 5x – 7 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11.
xlog7 = log10 log464 = x 4x = 43 ln (x + 3) = 0 e˚ = x + 3 log3x = log38 + log310 log3x = log380 log993 = x 3=x log12x = 0 12˚ = x =x
=x 12. 4log32 = log3x Log324 = log3x
B. Haz una lista de todas las reglas.
Fuente: www.curriculumframer.com
1086
Unidad 10.3: Funciones exponenciales y logarítmicas Matemáticas Ejemplo para plan de lección – Leyes logarítmicas para el maestro
Las leyes logarítmicas Para hallar las leyes de logaritmos manipulados, definimos dos términos, p y q
A partir de esto, podemos decir que
Si ahora escribimos esto en forma de logaritmo (lo llamamos hallar el logaritmo), obtenemos
Así que acabamos de encontrar la primera ley logarítmica
El logaritmo de un producto es solo la suma de los logaritmos de los términos individuales. (Así se usaron los logaritmos en la multiplicación.)
División Ahora consideremos la siguiente expresión
Nuevamente, hallamos los logaritmos para obtener
Esta es la segunda ley logarítmica
1087
Unidad 10.3: Funciones exponenciales y logarítmicas Matemáticas Ejemplo para plan de lección – Leyes logarítmicas para el maestro
1088
Unidad 10.3: Funciones exponenciales y logarítmicas Matemáticas Ejemplo para plan de lección – Leyes logarítmicas para el maestro Potencias Ahora consideremos la expresión
Nuevamente, elevamos el logaritmo a una base, con lo que se obtiene
lo cual nos provee la siguiente ley logarítmica
Cambio de la base Considera las expresiones intercambiables
Eleva los logaritmos a la base c
con lo que se obtiene
Esta regla resulta útil porque los únicos logaritmos a los que tienes acceso son de la base 10 y de la base e. (p. ej., evalúa log1001000)
Otra regla de la que debes estar consciente es Fíjate en que no importa el valor de a, el logaritmo de 1 siempre es 0. Estos resultados clave se resumen a continuación y deben memorizarse.
Fuente: http://www.mde.k12.ms.us/ACAD/ID/Curriculum/Framer/units/unit_195/Teacheraid_logslaws.pdf 1089
Unidad 10.3: Funciones exponenciales y logarítmicas Matemáticas Ejemplo para plan de lección – Leyes logarítmicas para estudiantes Leyes logarítmicas
Nombre _________________________
Investigación Usando lo que sabes acerca de las reglas de los exponentes y cómo usar los logaritmos, intenta ver si puedes completar los pasos matemáticos de cada ley logarítmica. Dado: ap = x
aq = y
1. Halla xy usando los dos enunciados dados. Aplica las reglas de los exponentes y luego usa los logaritmos.
2. Halla usando los dos enunciados dados. Aplica las reglas de los exponentes y luego usa los logaritmos.
3. Halla xn = (ap)n. Aplica las reglas de los exponentes y luego usa los logaritmos.
Fuente: www.curriculumframer.com
1090
Unidad 10.3: Funciones exponenciales y logarítmicas Matemáticas Ejemplo para plan de lección – Tendencias de producción de petróleo
Nombre ________________________ Los datos de la tabla representan la producción de petróleo en millones de barriles. Tu tarea es hallar una función para hacer un modelo de los datos, discutir las limitaciones de tu modelo y su utilidad para predecir la producción futura. Año 1880 1890 1900 1905 1910 1915 1920 1925 1930 1935 1940 1945 1950 1955 1960 1962 1964 1966 1968 1970 1972 1974 1976 1978 1980 1982 1984 1986 1988
MPB 30 77 149 215 328 432 689 1069 1412 1655 2150 2595 3803 5626 7674 8882 10310 12016 14104 16690 18584 20389 20188 21922 21722 19411 19837 20246 21338
Fuente: www.curriculumframer.com
1091
Unidad 10.3: Funciones exponenciales y logarítmicas Matemáticas Tarea de desempeño – Rúbrica de Phones-R-Us
Criterios Grado de comprensión al crear la gráfica Formación de sentido en cada parte de la tarea Claridad del informe y relevancia y documentación del resumen
Utilización de estrategias para explicar el comportamiento
Conexiones entre valores, gráficas y características Relaciona las ideas matemáticas con la situación real
RAZONAMIENTO Razonamiento y prueba Nivel 1 Nivel 2 Nivel 3 La gráfica se ve como si la La gráfica se ve como si la La gráfica se ve como si la calculadora hizo todo el trabajo. calculadora hizo la mayor parte del calculadora hizo parte del trabajo. trabajo. Los sentidos se conectan de forma Los sentidos están más o menos Los sentidos están bastante bien limitada. conectados. conectados. Expone conclusiones que parecen Expone conclusiones que parecen Expone conclusiones que tienen vagas y no están bien ser menos vagas y contienen algo algo de valor y contienen algo de documentadas. de documentación. documentación. APLICACIÓN Selección de herramientas y estrategias de computación Lo aplica, con errores u omisiones Lo aplica, con errores u Lo aplica de forma correcta y graves. omisiones menores. razonable con algunas limitaciones. Conexión Forma conexiones limitadas. Forma algunas conexiones. Forma la mayor parte de las conexiones. Forma conexiones débiles. Forma conexiones simples. Forma conexiones adecuadas.
Creación de notación algebraica – capacidad para identificar partes de funciones matemáticas
Se le dificultan la notación y las matemáticas.
Criterios Capacidad de crear, usar y aplicar lenguaje matemático, gráficas y ajuste de curvas Uso correcto de símbolos, nombres, unidades y convenciones matemáticos Uso adecuado de vocabulario matemático.
Nivel 1 Malinterpreta cómo se usa y se aplica, pero muestra algo de mérito.
Informe bien redactado y organizado
El informe está mal redactado.
A veces utiliza los símbolos, nombres y convenciones correctamente. A veces usa el vocabulario matemático correctamente cuando corresponde.
Fuente: www.curriculumframer.com
Nivel 4 La gráfica se ve como si el estudiante hizo todo el trabajo. Se conectan los sentidos con información adecuada. Expone conclusiones razonadas y bien documentadas.
Lo aplica de forma correcta y razonable con intuición.
Forma todas las conexiones posibles. Forma conexiones sólidas.
COMUNICACIÓN Representación Tiene algo de dificultad con la notación y las matemáticas.
Tiene poca dificultad con la notación y las matemáticas.
Utiliza la notación y las funciones matemáticas con facilidad y precisión.
Comunicación Nivel 2 Malinterpreta en parte cómo se usa y se aplica, pero muestra algo de mérito. Por lo general utiliza los símbolos, nombres y convenciones correctamente. Por lo general usa el vocabulario matemático correctamente cuando corresponde.
Nivel 3 Interpreta correctamente cómo se usa y se aplica e incluye algunas explicaciones lógicas. Utiliza los símbolos, nombres y convenciones correctamente de manera sistemática. Usa el vocabulario matemático correctamente de manera sistemática cuando corresponde.
Nivel 4 Interpreta correctamente cómo se usa y se aplica e incluye muy buenas explicaciones lógicas. Utiliza los símbolos, nombres y convenciones correctamente de manera sistemática y meticulosa. Usa el vocabulario matemático correctamente de manera sistemática cuando corresponde, y lo aplica de formas noveles. El informe tiene mérito y está muy bien escrito.
El informe escrito tiene algo de mérito y contiene bastantes errores.
El informe escrito tiene mérito y contiene algunos errores.
1092
Unidad 10.4: Valor absoluto y funciones definidas a trozos Matemáticas Actividad de aprendizaje – A unir funciones definidas a trozos
A unir funciones definidas a trozos – Actividad de descubrimiento guiada 1. Dadas las siguientes ecuaciones lineales, representa las soluciones con una gráfica en dos planos coordenados aparte. a. y = 3x b. y = 2x + 20
2. Usando el plano coordenado a continuación, usa papel de calcar para trazar la gráfica de la solución de la primera ecuación en función del dominio dado. a. y = 3x donde -1 < x < 4 Ahora coloca un segundo pedazo de papel de calcar y usa un lápiz de colorear distinto para trazar la gráfica de la solución a la primera ecuación en función del dominio dado. b. y = -2x + 20 donde 4 < x < 6
1093
Unidad 10.4: Valor absoluto y funciones definidas a trozos Matemáticas Actividad de aprendizaje – A unir funciones definidas a trozos 3. ¿Cuáles son algunas semejanzas entre tus primeras dos gráficas y la tercera? ¿Cuáles son algunas diferencias?
Escrito en notación funcional, el número dos se vería como sigue:
4. Esto se conoce como una función definida a trozos. Usando la tercera gráfica y la discusión que acabamos de llevar a cabo, escribe tu propia definición de una función definida a trozos.
Fuente: http://www.pctm.org/magazine/PiecewiseFunctions_Storm.pdf
1094
Unidad 10.4: Valor absoluto y funciones definidas a trozos Matemáticas Actividad de aprendizaje – Correcciones del quiz
Correcciones del quiz Objetivo: Los estudiantes podrán: Interpretar los resultados de formas que les resulten significativas dentro del contexto dado. Comunicar con eficacia su conocimiento matemático. Identificar errores en su trabajo y revisarlo cuando sea necesario. Organizar materiales de clase para que estén accesibles y listos para usarse como recurso adicional en situaciones de resolución de problemas. Reflexionar sobre su progreso con precisión y usar esa reflexión para desarrollar objetivos y diseñar estrategias que los ayuden a mejorar.
Actividad instructiva: Evaluarás tu quiz y escribirás una reflexión en base a los errores que cometiste. También revisarás las respuestas incorrectas en los comentarios que hice. Asegúrate de incluir: el problema original; la solución correcta con todo el proceso incluido, y una explicación escrita que describa tu error y por qué lo corregiste
Criterios para las correcciones de los quizes
Se incluye el problema original. Si hacen falta cálculos matemáticos, se muestran todos los pasos. Se provee una corrección para todos los problemas incorrectos. Todas las correcciones están correctas. Se provee una explicación que describe el error original y los pasos dados para corregirlo.
Se proveen las explicaciones en oraciones completas.
Correcciones al quiz de matemáticas SÍ
Incompleto o completado parcialmente
No
Todos los errores están corregidos Se incluye el problema original Se provee una solución correcta Se muestran todos los pasos (x 3) Se provee una explicación que describe el error original y los pasos dados para corregirlo. (x 3) PUNTUACIÓN TOTAL 10 puntos máximo
Fuentes: http://jfmueller.faculty.noctrl.edu/toolbox/examples/pfeifferwalford03/task%2011.pdf http://jfmueller.faculty.noctrl.edu/toolbox/examples/pfeifferwalford03/criteria%20for%20quiz%20corr ections.pdf 1095
Unidad 10.4: Valor absoluto y funciones definidas a trozos Matemáticas Ejemplo para plan de lección – Conversión de funciones definidas por partes
Conversión de funciones definidas por partes Parte 1: Introducción a las funciones definidas por partes Objetivo Familiarizar a los estudiantes con las ideas básicas relativas a las funciones definidas por partes. Definición – La siguiente gráfica se llama función definida a trozo porque la función está definida por dos o más ecuaciones distintas aplicadas a diferentes partes del dominio de la función.
Fíjate en que parece componerse de tres segmentos, cada uno una función lineal distinta en un dominio en particular. Fíjate en que los círculos rellenos incluyen ese punto, mientras que los círculos abiertos no lo incluyen.
1. ¿Cuál es el dominio del primero segmento (izquierdo)? ¿Y el recorrido? 2. ¿Cuál es el dominio del segundo segmento (medio)? ¿Y el recorrido? 3. ¿Cuál es el dominio del tercer segmento (derecho)? ¿Y el recorrido? 4. ¿Cuántas ecuaciones piensas que tendrías que usar para escribir una regla para la siguiente función definida por partes?
Fíjate en que parece componerse de dos rayos, cada uno con una función lineal distinta en un dominio en particular.
1096
Unidad 10.4: Valor absoluto y funciones definidas a trozos Matemáticas Ejemplo para plan de lección – Traslación de funciones definidas a trozos 1. ¿Cuál es el dominio del primero rayo (izquierdo)? ¿Y el recorrido? 2. ¿Cuál es el dominio del segundo rayo (derecho)? ¿Y el recorrido?
Parte 2: Tablas y gráficas de funciones definidas por partes – Objetivo: Dada una función definida por partes, los estudiantes aprenderán cómo hacer una tabla de valores y trazar la gráfica en un dominio especificado. Ambas notaciones a continuación pueden usarse para describir una función definida por partes en el dominio de la función:
2x if [5,2) 2x ,5 x 2 o f(x) = 5 if [2,6] 5 ,2 x 6
f(x) =
1. Completa la siguiente tabla de valores para las funciones definidas por partes en el dominio dado. x f(x) -5 -3 0 1 1.7 1.9 2 2.2 4 6 2. Grafica los pares ordenados de tu tabla para trazar a mano la gráfica de la función definida por partes. 3. ¿Cuántas partes tiene tu gráfica? ¿Por qué? 4. Las partes, ¿son segmentos o rayos? ¿Por qué? 5. ¿Son todos los extremos puntos sólidos o abiertos, o solo algunos? ¿Por qué? 6. ¿Fueron necesarios todos estos valores en x para trazar la gráfica de esta función definida por partes, o pudo haberse trazado esta gráfica usando menos puntos?
1097
Unidad 10.4: Valor absoluto y funciones definidas a trozos Matemáticas Ejemplo para plan de lección – Traslación de funciones definidas a trozos 7. ¿Cuáles valores de x resultó “crítico” incluir para poder trazar la gráfica de esta función definida por partes? 8. ¿Puedes generalizar sobre cuáles valores de x son esenciales en tu tabla para hacer la gráfica a mano de una función lineal definida por partes?
x 3 ,8 x 1 10 2 x ,1 x 7
9. Ahora traza grafica esta función definida por partes: f(x) =
completando la tabla de valores de la función definida por partes en el dominio dado. x
f(x)
10. ¿Por qué elegiste los valores de x que incluiste en la tabla? 11. Grafica los pares ordenados de tu tabla para hacer la gráfica a mano de la función definida por partes.
12. ¿Cuántas partes tiene tu gráfica? ¿Por qué? 13. Las partes, ¿son rayos o segmentos? ¿Por qué? 14. ¿Son todos los extremos puntos sólidos o abiertos, o solo algunos? ¿Por qué? 15. ¿Fue necesario evaluar ambas partes de la función del valor x de 1? ¿Por qué o por qué no? 16. ¿Cuáles valores de x resultó “crítico” incluir para poder trazar la gráfica de esta función definida por partes?
1098
Unidad 10.4: Valor absoluto y funciones definidas a trozos Matemáticas Ejemplo para plan de lección – Traslación de funciones definidas a trozos Parte 3: Cómo escribir funciones definidas por partes dada una gráfica. Objetivo Los estudiantes aprenderán a escribir una regla para cada parte de la gráfica especificando el dominio apropiado. 1. Repasemos la primera gráfica definida por partes de la primera lección. ¿Puedes identificar las ecuaciones de las líneas que contienen cada segmento? a. Ecuación del segmento izquierdo (azul) = b. Ecuación del medio (rojo) = c. Ecuación derecha (verde) = 2. A continuación, menciona el dominio de cada segmento. a. Dominio del segmento izquierdo (azul) = b. Dominio del medio (rojo) = c. Dominio derecho (verde) = 3. Ahora, junta el dominio con las ecuaciones para escribir la función definida por partes de la gráfica.
f (x)
Fuente: http://www.google.com/url?sa=t&rct=j&q=&esrc=s&frm=1&source=web&cd=1&ved=0CBoQFjAA&url=h ttp%3A%2F%2Fwww.math.uakron.edu%2Famc%2FPreCalculusFoundationsToCalculus%2FLimits%2FPiec ewiseLimit_Nspire%2FLinearPiecewiseFunctions_NspireWorkshop.DOC&ei=9UW9Tv7EIImniQKG0oT6Ag &usg=AFQjCNH4S2BsiKdPrIHZb0D2pe49q7oFwQ 1099
Unidad 10.4: Valor absoluto y funciones definidas a trozos Matemáticas Ejemplo para plan de lección – Gráfica de valor absoluto Parte A: Usando tu calculadora según sea necesario, parea cada ecuación con su gráfica.
1. d(t) = |t-2| 2. f(x) = |x+4| 3. r(t) = -2|t| 4. f(x) = 3|x| 5.
y = 2|2|
6.
y = 5|x+7|
7.
|n+5|
8.
|h-3|
9.
|n-6|
10.
|x-4|
11.
|x|
12.
|x+2|
1100
Unidad 10.4: Valor absoluto y funciones definidas a trozos Matemáticas Ejemplo para plan de lección – Gráfica de valor absoluto Parte B: Observa detenidamente las gráficas de valor absoluto. 1. Intenta hacer una gráfica de alta calidad de la función
|x-3|.
(Compruébala con tu calculadora una vez termines.) a. ¿Cuál es la pendiente de cada parte de tu gráfica? b. ¿Dónde se encuentra el vértice (la parte de tu gráfica donde cambia la pendiente)? c. Usando tu calculadora de ser necesario, completa la siguiente tabla que muestra cómo cambia esta función. x y
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
Explica cómo puedes ver el “vértice” en la tabla.
Explica cómo puedes ver la pendiente en cada parte de la tabla.
3
4
5
6
7
2. Intenta hacer una gráfica de alta calidad de la función |x+3|. (Compruébala con tu calculadora una vez termines.) a. ¿Cuál es la pendiente de cada parte de tu gráfica?
b. ¿Dónde se encuentra el vértice (el lugar donde cambia la pendiente de tu gráfica?) c. Usando tu calculadora cuando sea necesario, completa la siguiente tabla para mostrar cómo cambia la función. x y
Explica cómo puedes ver el “vértice” en la tabla.
Explica cómo puedes ver la pendiente en cada parte de la tabla.
1101
Unidad 10.4: Valor absoluto y funciones definidas a trozos Matemáticas Ejemplo para plan de lección – Gráfica de valor absoluto Parte C: Traza la gráfica de cada una de las ecuaciones siguientes sin usar calculadora. 1. f (x) =2|x| 2. f (x) = -3|x| 3. f (x) = |x|
4. f(x) = | x – 3|
5. f (x)= |x+5|
6. f (x)= |x-7|
7. f(x) = 2 | x+4|
8. f (x)= |x-5|
9. f (x)= |x+2|
10. ¿Cómo puedes hallar dónde se encuentra el vértice solo con ver la ecuación de valor absoluto? Fuente: http://montemath.com/alg1unit4absvaluepage2target4aGraphingAbsoluteValueFunctionsPracticeActivi ty.pdf 1102
Unidad 10.4: Valor absoluto y funciones definidas a trozos Matemáticas Ejemplo para plan de lección – Los Pérez salen de paseo
Gráfica A
Gráfica C
Gráfica E
Gráfica G
11.
Gráfica B
Gráfica D
Gráfica F
Gráfica H
1103
Unidad 10.4: Valor absoluto y funciones definidas a trozos Matemáticas Ejemplo para plan de lección – Los Pérez salen de paseo
12. Respuestas: 13. 14. 15. 16. 17. 18. 19. 20.
Gráfica A: Distancia a partir del punto de inicio; el intervalo es de 10 millas. Gráfica B: Irrelevante Gráfica C: Irrelevante Gráfica D: Hambre sobre tiempo; los intervalos son grados de hambre, p. ej., 0 es “lleno” y la escala aumenta hasta llegar a “muerto de hambre”. Gráfica E: Distancia total recorrida en el tiempo; los intervalos son de 20 millas. Gráfica F: Irrelevante Gráfica G: Velocidad sobre tiempo; el intervalo es de 10 millas por hora. Gráfica H: Irrelevante
Fuente: http://www.curriki.org/xwiki/bin/download/Coll_edc1/TheLinsGoOnanOuting/lins.pdf
1104
Unidad 10.5: Triángulos rectángulos Matemáticas Actividad de aprendizaje – Guía de anticipación del teorema de Pitágoras
Guía de anticipación del teorema de Pitágoras Marca la columna ‘Antes’ si estás de acuerdo o en desacuerdo con la afirmación. Antes De acuerdo
Afirmación
En desacuerdo
Después De acuerdo
En desacuerdo
A Pitágoras, matemático griego, se le atribuye el teorema de Pitágoras. El teorema de Pitágoras se relaciona con las longitudes de los lados de un triángulo. Los catetos de un triángulo rectángulo son los lados que forman el triángulo rectángulo. La fórmula del teorema de Pitágoras es: a² + b² = c², donde a y b son catetos del triángulo y c es la hipotenusa. La hipotenusa es siempre el cateto más corto de un triángulo rectángulo. Resulta beneficioso saber cómo hallar las medidas de los lados de los triángulos rectángulos, puesto que a menudo se utilizan en la vida real. Un triángulo rectángulo con catetos de 5 y 7 cm tiene una hipotenusa de 12 cm. Después: Vuelve sobre las afirmaciones de la guía de anticipación. ¿Sigues estando de acuerdo o en desacuerdo con las afirmaciones? Marca tu opinión ahora en la columna de la derecha. Corrige las afirmaciones en los casos en que no estés de acuerdo. Provee prueba de cada afirmación.
Fuente: http://www.google.com/url?sa=t&rct=j&q=&esrc=s&frm=1&source=web&cd=1&ved=0CB0QFjAA&url=http%3A %2F%2Fwww.aypf.org%2Ftripreports%2F2009%2Fdocuments%2FMath_Anticipation_Guide.doc&ei=EKyTqSnFMfhiALS5_iFAw&usg=AFQjCNGKVQaIMQJ3bCHCFEvPmh0iPu_bcg 1105
Unidad 10.5: Triángulos rectángulos Matemáticas Actividad de aprendizaje – Problema verbal de trigonometría de triángulos rectángulos
Problema verbal de trigonometría de triángulos rectángulos Trabajas para una editorial que publica libros de texto de geometría. La editorial le ha pedido a cada equipo que les ayude a escribir un problema verbal eficaz de trigonometría de triángulos que los estudiantes de escuela superior disfruten resolver. En un equipo de cuatro, elaborarás tu propio problema verbal de trigonometría de triángulos rectángulos. Este debe basarse en una situación que te parezca interesante para estudiantes de escuela superior en el mundo real. Escribe y resuelve el problema en una página de tu libreta. Recuerda, como se trata de un problema del mundo real, la solución tiene que ser lógica. Presentarás tu problema a la clase en una cartulina grande. La cartulina deberá incluir el problema verbal y un diagrama que ayude a visualizarlo. Al dorso de la cartulina, debes pegar tu solución. Presentarás el problema frente a la case para que ellos lo resuelvan y evalúen.
Forma Evaluarás las presentaciones de los otros equipos en este formulario. Marca las casillas correspondientes y calcula el total de la puntuación. Tu nombre: Equipo evaluado: Criterios
Pobre – 1
Bueno – 2
Excelente – 3
Problema verbal Afiche Presentación
Puntuación total Tu nota se basará en los siguientes criterios: Problema verbal de trigonometría de triángulos rectángulos debe estar escrito con creatividad. Problema verbal debe tener lógica en el mundo real. Su solución debe ser correcta y debes mostrar todos los pasos. Su afiche debe verse limpio e incluir el problema y diagrama. Deben presentarle el problema a la clase. Deben trabajar como equipo y aportar todos por igual. Deben evaluar las presentaciones de los otros equipos.
1106
Unidad 10.5: Triángulos rectángulos Matemáticas Actividad de aprendizaje – Problema verbal de trigonometría de triángulos rectángulos Rúbrica Criterios
No aceptable (0 pts)
Pobre (2 pts)
Aceptable (4 pts)
Bueno (6 pts)
Problema verbal no es muy creativo con la trigonometría de triángulos rectángulos.
Problema verbal más o menos creativo con la trigonometría de triángulos rectángulos.
Problema verbal bastante creativo con la trigonometría de triángulos rectángulos.
Problema verbal
No se escribió el problema verbal.
Aplicación al mundo real
No es lógico en el mundo real
Solución
Solución incorrecta o no se muestran los pasos.
Solución incorrecta, pero se muestran algunos pasos.
Solución correcta, pero no se muestran todos los pasos.
Solución correcta con todos los pasos.
Afiche
No se creó el afiche.
El afiche solo contiene el problema escrito sin diagrama.
Presentación
No se hizo presentación.
Pobre presentación del problema.
El afiche tiene el problema y un diagrama, pero no está se ve muy limpio. Problema bien presentado.
El afiche tiene el problema y diagrama escritos y está limpio y colorido. Problema presentado de forma muy profesional.
Trabajo en equipo
No hubo trabajo en equipo, solo una persona hizo todo el trabajo.
Trabajaron bien como equipo, algunos miembros trabajaron más que otros.
Trabajaron muy bien como equipo, todo el mundo trabajó por igual.
Evaluación de los otros equipos
No todos los miembros evaluaron a todos los equipos.
Todos los miembros evaluaron a algunos equipos.
Todos los equipos fueron evaluados.
Es lógico en el mundo real
Total 38 puntos
1107 Fuente: http://jfmueller.faculty.noctrl.edu/toolbox/examples/kleckauskas08/right%20triangle.pdf
Unidad 10.5: Triángulos rectángulos Matemáticas Ejemplo para plan de lección – Introducción a la trigonometría Presta mucha atención a la lección para llenar los blancos correspondientes en tu hoja de actividades. Haz un diagrama representativo debajo.
Una forma de recordar lo anterior es usar un acrónimo, por ejemplo, SOHCAHTOA. SOH significa CAH significa TOA significa A algunas personas les gusta usar una palabra por cada letra del acrónimo para ayudarles a recordar las razones trigonométricas. Por ejemplo: Samuel Oyó Histérico Cómo Ana Hallaba Toallas Olvidadas Afuera. 1. Inventa tu propia oración para ayudarte a recordar las razones trigonométricas. 2. Construiremos algunos triángulos especiales y evaluaremos sus razones trigonométricas. a. Recorta dos pedazos de cordón de la misma longitud. b. Utiliza un transportador para conectar los cordones a ángulos rectos en el espacio provisto en la próxima página. c. Traza una línea que conecte los otros extremos de los cordones. Ahora tenemos un triángulo recto. Traza líneas en lugar de los cordones para que después pueda volver sobre cómo se veía el triángulo. d. Sabes que uno de los ángulos interiores mide 90˚; utiliza el transportador para medir los otros dos. Escribe los valores en el triángulo que dibujaste. e. Digamos que la longitud de cada cordón es de 1 unidad. Utiliza el teorema de Pitágoras para calcular la longitud de la hipotenusa. Provee la respuesta en forma de radical y rotula tu triángulo según corresponda.
1108
Unidad 10.5: Triángulos rectángulos Matemáticas Ejemplo para plan de lección – Introducción a la trigonometría Ahora bien, puede resultar difícil medir un ángulo de forma exacta con un transportador, pero veamos las respuestas que obtuvieron los demás. Si tuviste cuidado a la hora de medir, entonces probablemente hallaste que el triángulo era un triángulo 45˚, 45˚, 90˚. Y es lo mismo con los triángulos de todos, ¡aunque no todos tengan el mismo tamaño! ¿Cómo se compara tu triángulo con el de tus vecinos? Pista: la palabra que busco empieza con “e”, estos son “triángulos e______________”. Utiliza estos ángulos sumamente precisos, y la hipotenusa que calculaste anteriormente para el siguiente problema. Recuerda que cada lado del triángulo tiene una longitud de 1. 3. a. Utiliza las razones trigonométricas para calcular el sen45˚. Con fracciones y radicales basta, ¡no te preocupes por hacer una aproximación decimal! b. ¿Cuál es el cos45˚? c. ¿tan45˚ =? 4. Ahora vamos a dibujar otro triángulo especial. Coge los dos cordones usados anteriormente y recorta uno por la mitad, descarta la otra mitad del cordón más corto. Digamos que el cordón más corto tiene una longitud de una unidad. Entonces, ¿cuál sería la longitud del cordón más largo? a. Utiliza tu transportador para conectar el cordón más largo con el cordón más corto a un ángulo de 60˚. b. Traza una línea recta que conecte los otros dos extremos de tus cordones. Traza las líneas en lugar de los cordones para que después puedas volver sobre cómo se veían los triángulos. c. Utiliza tu transportador para medir los ángulos interiores desconocidos. Agrega esta información a tu triángulo. d. Utiliza el teorema de Pitágoras para hallar la longitud del lado restante. Ten cuidado en esta parte, y recuerda que en esta ocasión el lado desconocido NO es la hipotenusa. Nuevamente, rotula tu triángulo según corresponda. Al igual que el triángulo 45˚, 45˚, 90˚ de antes, este es otro triángulo importante. Si tomas las medidas con cautela, probablemente hallarás que los ángulos interiores del triángulo de arriba medían 30,˚ 60˚ y 90˚. Utiliza estas longitudes dadas por cada lado y las razones trigonométricas para responder a las preguntas restantes. 5. Este triángulo es particularmente chévere, puesto que nos permitirá calcular los valores trigonométricas de 60˚ Y de 30˚. e. cos = a. f. tan = b. sen60˚ = c. d. Fuente: http://www.ms.uky.edu/algebracubed/lessons/triglesson.pdf
1109
Unidad 10.5: Triángulos rectángulos Matemáticas Ejemplo para plan de lección – Techado y triángulos rectángulos Medida de la unidad 12 pulg Altura unidad Longitud de la hipotenusa del cabio total
Altura total
Longitud Extensión total 2
2
2
La fórmula para hallar la hipotenusa es A + B = C unidad (12 pulg.).
donde A es la altura de la unidad y B es la longitud de la
La longitud es una mitad de la extensión. La longitud en pies y las porciones decimales se multiplican por la hipotenusa (C). Este es el mismo procedimiento matemático que usan los carpinteros para determinar la longitud del cabio. Multiplica la longitud del cabio por la longitud de la edificación. Esta es el área de un lado. Este número se duplica para obtener el área total del tejado. Los materiales de techado se encargan por cuadrado. Esto representa 100 metros cuadrados de materiales de techado. Reparte la hoja de actividades de Techado y triángulos rectángulos.
1110
Unidad 10.5: Triángulos rectángulos Matemáticas Ejemplo para plan de lección – Techado y triángulos rectángulos
Hoja de actividades de Techado y triángulos rectángulos
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Unidad 10.5: Triángulos rectángulos Matemáticas Ejemplo para plan de lección – Techado y triángulos rectángulos
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Unidad 10.5: Triángulos rectángulos Matemáticas Ejemplo para plan de lección – Techado y triángulos rectángulos
Fuente: http://www.rtc.edu/cce/Resources/Products/MathToolBox/files/9_LPRoofing&RtT3.pdf
1113
Unidad 10.5: Triángulos rectángulos Matemáticas Tarea de desempeño – Ángulo del sol Rúbrica de Ángulo del sol Nombre ______________________________ _____/4 Introducción
Identifica el objeto usado en el experimento Sí _____ No_____
Breve resumen del experimento _____/4 Diagramas
4 diagramas precisos de las cuatro diferentes divisiones del día. 1. Sí _____ No_____ 2. Sí _____
No_____
3. Sí _____
No_____
4. Sí _____
No_____
_____/4 Cálculos
Se muestran cálculos precisos de los cuatro ángulos de elevación distintos. 1. Sí _____ No_____ 2. Sí _____
No_____
3. Sí _____
No_____
4. Sí _____
No_____
_____/8 Conclusiones – Llega a conclusiones sobre las siguientes relaciones (x2)
La relación entre la longitud de la sombra y el ángulo de elevación del sol se describe con precisión. Sí _____ No_____
La relación entre la longitud de la sombra y la hora del día se describe con precisión. Sí _____ No_____
La relación entre el ángulo de elevación del sol y la hora del día se describe con precisión. Sí _____ No_____
Comenta sobre otros factores que podrían haber influido en tu decisión. Sí _____ No_____
__________/20 puntos
Fuente: http://jfmueller.faculty.noctrl.edu/toolbox/examples/kristensen03/trigtaskangleofsun.pdf 1114
Unidad 10.6: Unidades y escalas Matemáticas Actividad de aprendizaje – Búsqueda del tesoro Métrico Manía
Búsqueda del tesoro Métrico Manía
Nombre(s) ______________________________
Reglas del juego: (1) Si lo encuentras, ¡lo resuelves! No se permite volver a esconder la tarjeta si no les gusta el problema que encuentran. Tampoco se permite ver el problema antes de decidir coger una tarjeta. (2) ¡El equipo solo puede trabajar en una tarjeta a la vez! Deben terminar con una tarjeta y obtener la respuesta correcta antes de buscar la próxima tarjeta. (3) ¡Los equipos deben permanecer juntos! No se permite que un miembro del equipo resuelva el problema mientras los otros buscan tarjetas. Todos los miembros del equipo deben estar juntos a la hora de corroborar las respuestas. Instrucciones ¡Busquen una tarjeta y resuelvan el problema! Escriban la respuesta del problema en un cuadrado de los que aparecen a continuación y pídanle al maestro que la verifique. Si la respuesta está correcta, tu equipo puede empezar a busar otra tarjeta. Si no, ¡sigan intentándolo hasta que lo resuelvan!
# _____
# _____
# _____
# _____
Respuesta: _____________
Respuesta: _____________
Respuesta: _____________
# _____
Respuesta: _____________ Respuesta: _____________
# _____ Respuesta: _____________
# _____
# _____ # _____
Respuesta: _____________
Respuesta: Respuesta: _____________ _____________
Total de puntos obtenidos = _________
1115
Unidad 10.6: Unidades y escalas Matemáticas Actividad de aprendizaje – Búsqueda del tesoro Métrico Manía Clave de respuestas de la búsqueda del Tesoro Métrico Manía 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. 19. 20. 21. 22. 23. 24. 25. 26. 27. 28. 29. 30.
1 cm = 10 mm 1 m = 100 cm 1 m = 1000 mm 1 km = 1000 m 1 g = 1000 mg 1 kg = 1000 g 1 L = 1000 ml 100 cm = 1 m 1000 mm = 1 m 1000 m = 1 km 1000 mg = 1 g 1000 g = 1 kg 1000 ml = 1 L 47 mm = 4.7 cm 130 cm = 1.30 m (ó 1.3 m) 1200 m = 1.200 km (ó 1.3 m) 3456 mm = 3.456 m 45.6 cm = .456 m 55 mm = 5.5 cm 4568 m = 4.568 km 5 km = 5000 m 34 m = 3400 cm 12 cm = 120 mm 4.5 km = 4500 m 0.34 m = 34 cm 0.12 km = 120 m 320 m = 3200 cm 12.4 km = 12400 m 30 km = 3000 m 123 mm = 12.3 cm
Fuente: http://sciencespot.net/Pages/classmetric.html
31. 32. 33. 34. 35. 36. 37. 38. 39. 40. 41. 42. 43. 44. 45. 46. 47. 48. 49. 50. 51. 52. 53. 54. 55. 56. 57. 58. 59. 60.
0.45 km = 450 m 4500 mm = 4.500 m (ó 4.5 m) 4500 mg = 4.5 g 3 kg = 3000 g 1.2 kg = 1200 g 50 g = 5000 mg 120 mg = 0.120 g (ó 0.12 g) 3000 g = 3 kg 43 g = 0.453 kg 1400 mg = 1.400 g (ó 1.4 g) 340 kg = 340000 g 0.34 kg = 340 g 5 g = 5000 mg 50 g = 0.050 kg (ó 0.5 kg) 0.99 kg = 990 g 807 g = 0.807 kg 4500 mg = 4.500 g (ó 4.5 g) 7000 ml = 7 L 123 ml = 0.123 L 2 L = 2000 ml 1.2 L = 1200 ml 9.08 L = 9080 ml 45.6 ml = 0.0456 L 10 L = 10000 ml 6000 ml = 6 L 3400 ml = 3.4 L 563 ml = 0.563 L 30 L = 30000 ml 45000 ml = 45.000 L (ó 45 L) 320 ml = 0.320 L (ó 0.32 L)
1116
Unidad 10.6: Unidades y escalas Matemáticas Ejemplo para plan de lección – A darle sentido a las métricas
A darle sentido a las métricas con demostraciones dramáticas Las demostraciones les permiten a los estudiantes visualizar las unidades del sistema métrico e inglés para ayudarlos a entender las conversiones. Demuestra por medio de la dramatización los equivalentes más cercanos al sistema inglés de las unidades métricas más comunes, como por ejemplo, 1 metro es un poco más largo que una yarda, 1 litro = un poco más de un cuarto, 1 kg = un poco más de 2 libras, y un kilómetro es un poco más de ½ milla. Después de hacer esto (repitiendo en voz alta), los estudiantes deben poder recordar los equivalentes más próximos (NO números precisos), y el hecho de que la unidad métrica es un poco más que su equivalente del sistema inglés, “y por lo tanto, un poco mejor!”
Para la demostración del metro y la yarda, sostén un metro con una mano, a un lado, y la yarda al otro lado, y pregunta “¿cuál es más largo?” Bien, veamos: pon los extremos lado a lado, con los extremos más lejanos debajo del banco de demostración, y súbelos poco a poco hasta que pueda verse el metro asomarse un poco (“…y por lo tanto, el sistema métrico es ¡MÁS GRANDE Y MEJOR!”). Para la demostración del cuarto y el litro, consigue un vaso grande de 1 un litro de cilindro graduado con exactamente un litro de agua con tinte verde. Colocándolo sobre una pileta, viértelo con cuidado en una botella de un cuarto de leche, ¡que por supuesto se derramará! (“…y por lo tanto, el sistema métrico es ¡MÁS GRANDE Y MEJOR!”) En el caso de la masa, coloca un kilogramo de peso a un lado de la balanza, y dos libras de mantequilla en el otro (dos cajas de mantequilla con suficiente plasticina adentro para que pesen 2 libras), y el lado de los kilogramos baja (“…y por lo tanto, el sistema métrico es ¡MÁS GRANDE Y MEJOR!”). Para la demostración de los kilómetros y la media milla, muestra una escala agrandada en un mapa en el proyector, y diles ¡VEAN! ¡VEAN! (“…y por lo tanto, el sistema métrico es ¡MÁS GRANDE Y MEJOR!”)
Dimensiones convenientes: pídeles que encuentren alguna dimensión “conveniente” en su anatomía que mida exactamente 1 cm. La mayoría hallará que la anchura de la uña del dedo meñique (o de uno de sus otros dedos) se acerca bastante. Si no, entonces pueden buscar dos divisiones de los dedos o palma de la mano que estén a 1 cm de distancia en un punto más cercano (o más lejano). Luego, sugiéreles que hallen una dimensión similar que equivalga a una pulgada (la longitud del segmento final de mi meñique, por ejemplo. Ahora todos tendrán una “regla de tres (de dedo…)”, también “a la mano”, y disponible para cuando vayan a la ferretería, o cuando les pidan que llenen un tubo de ensayo con aproximadamente 1 cm de líquido. ¡Sí, muy a la mano! Objetos útiles: una moneda de diez centavos tiene un grosor de poco más de 1 mm y pesa ~ 1 g. Un centavo tiene un grosor de menos de 2 cm; un vellón tiene un grosor de poco más de 2 1117
Unidad 10.6: Unidades y escalas Matemáticas Ejemplo para plan de lección – A darle sentido a las métricas cm. Si tienes una balanza electrónica sensible (.1 - .01 g, ó 100-10 mg), pídeles a los chicos que predigan las dimensiones métricas (lineal y masa) de varios objetos pequeños comunes, y a continuación compruébalos. Es una buena forma de hacerse una idea aproximada de esas dimensiones métricas. A continuación se encuentran las hojas de actividades de las “Demostraciones métricas” para que los estudiantes las llenen a medida que les vas explicando la serie de equivalentes aproximados y dramatizándolas. También a continuación se encuentra “Las conexiones métricas”, para que puedan ver cómo las medidas lineales, de volumen y de masa están conectadas en el sistema métrico, así como algunos de los múltiplos y fracciones comúnmente usados que probablemente se encuentren durante el curso. DEMOSTRACIÓN MÉTRICA Busca patrones; a nuestro cerebro le gustan los patrones; busca la lógica de la métrica. A. Unidad básica de longitud (y el sistema métrico completo): ____________(__) … un poco más ____________ que __________ 1000 metros = 1 _____________ (__) … un poco más ____________ que __________ 1/100 de un dólar es __________ (no “moneda de un centavo”) …por lo tanto 1/100 de un metro debe ser 1 _______________(__) …y por lo tanto debe haber _______ cm en 1 m ¿Cuántas marcas numeradas tiene un metro? __________ Por lo tanto, cada marca numerada debe ser un __________ Cada cm se divide en ______ pequeños espacios (marcas más pequeñas) ….por lo tanto, ¿hay cuántos espacios pequeños por metro? _________ Si hay 1000 espacios pequeños en el metro, cada espacio debe ser 1/1000 de un metro. 1/1000 de algo es un mili-algo, por lo que cada espacio pequeño debe llamarse un… ______________________ (____) B. Este es un cubo, de 1 cm por lado, por lo que puede llamarse un ________________ (______) o (_____) cúbico DEFINICIÓN: 1000 centímetros cúbicos = 1 litro (l), (unidad básica de volumen) Cuando se vierte exactamente un litro de agua verde en una botella de solo un _______, se derramará un poco del agua, lo cual indica que un litro es un poco más ___________ que un _________. ¿Cómo se llamaría 1/1000 de un litro? ________________ (___) Puesto que un litro = 1000 cm3, y también = 1000 ml, ¿a qué equivale 1 cm3? ______ C. DEFINICIÓN: 1 ml de agua pesa 1 gramo (g) (unidad básica de masa) Esto es aproximadamente lo que pesa un(a) _______________________1118
Unidad 10.6: Unidades y escalas Matemáticas Ejemplo para plan de lección – A darle sentido a las métricas ¿Cómo se le llama a 1000 gramos? ____________________ (______) Un kilogramo es un poco ____________ que _______________Cada unidad del sistema métrico es un poco _______ que su equivalente más próximo del sistema inglés, por lo que el sistema métrico ¡es __________!
CLAVE DE LA DEMOSTRACIÓN MÉTRICA Busca los patrones; a nuestro cerebro le gustan los patrones; busca la lógica del sistema métrico. A. Unidad básica de longitud (y el sistema métrico completo): ___metro____(_m_) … un poco ____más________ que un(a) ____yarda______ 1000 metros = 1 __kilómetro_____ (__) … un poco ___más____ que un(a) ___yarda____ 1/100 de un dólar es __centavo______ (no “moneda de un centavo”) …por lo tanto 1/100 de un metro debe ser 1 ____centímetro___(_cm_) …y por lo tanto debe haber __100___ cm en 1 m ¿Cuántas marcas numeradas tiene un metro? __100_____ Por lo tanto, cada marca numerada debe ser un __centímetro____ Cada cm se divide en _10__ pequeños espacios (marcas más pequeñas) ….por lo tanto, ¿hay cuántos espacios pequeños por metro? _1000 (10 x 100)__ Si hay 1000 espacios pequeños en el metro, cada espacio debe ser 1/1000 de un metro. 1/1000 de algo es un mili-algo, por lo que cada espacio pequeño debe llamarse un… _______milímetro__________ (_mm_) B. Este es un cubo, de 1 cm por lado, por lo que puede llamarse un _____centímetro_____ (_cc___) o (__cm3__) cúbico DEFINICIÓN: 1000 centímetros cúbicos = 1 litro (l), (unidad básica de volumen) Cuando se vierte exactamente un litro de agua verde en una botella de solo un _cuarto___, se derramará un poco del agua, lo cual indica que un litro es un poco __más____ que un _cuarto____. ¿Cómo se llamaría 1/1000 de un litro? ____milímetro_____ (_ml_) Puesto que un litro = 1000 cm3, y también = 1000 ml, ¿a qué equivale 1 cm3? __1 ml___ C. DEFINICIÓN: 1 ml de agua pesa 1 gramo (g) (unidad básica de masa) Esto es aproximadamente lo que pesa un(a) _____sujetapapeles__________. ¿Cómo se le llama a 1000 gramos? ___kilogramo_______ (_kg_) Un kilogramo es un poco __más______ que ___2 libras de mantequilla____. Cada unidad del sistema métrico es un poco __más___ que su equivalente más próximo del sistema inglés, por lo que el sistema métrico ¡es ___MEJOR___!
1119
Unidad 10.6: Unidades y escalas Matemáticas Ejemplo para plan de lección – A darle sentido a las métricas Las Conexiones Métricas
1120
Unidad 10.6: Unidades y escalas Matemáticas Ejemplo para plan de lección – A darle sentido a las métricas
Las Conexiones Métricas: Clave
Fuente: http://www.indiana.edu/~ensiweb/connections/metrics.con.html
1121
Unidad 10.6: Unidades y escalas Matemáticas Ejemplo para plan de lección – Método de análisis dimensional Método de análisis dimensional Ejemplo 1
Ejemplo 2
Esta es una forma estructurada de ayudarte a convertir unidades. Con este método, puedes convertir de forma fácil y automática unidades sumamente complejas si tienes las fórmulas de conversión. El método conlleva los pasos siguientes:
Convierte 6.0 cm a km
Convierte 4.17 kg/m2 a g/cm2
1. Escribe el término que será convertido (tanto el número como la unidad).
6.0 cm
4.17 kg m2
2. Escribe la fórmula de conversión.
100 cm = .00100 km
1.00 m = 100 cm
1.00 kg = 1000 g 3. Construye una fracción de la fórmula de conversión, de forma tal que: a) Si la unidad del paso 1 está en el numerador, esta misma unidad debe estar en el denominador en el paso 3. b) Si la unidad del paso 1 está en el denominador, esa misma unidad debe estar en el numerador en el paso 3. Como el numerador y el denominador son iguales, la fracción debe ser igual a 1.
.00100 km 100 cm
1000 g 1.00 m 1.00 m 1.00 kg 100 cm 100 cm
4. Multiplica el término del paso 1 por la fracción en el paso 3. Como la fracción es igual a 1, puedes multiplicarla sin cambiar el tamaño del término.
6.0 cm .00100 km 100 cm
4.17 kg 1000 g 1.00 m 1.00 m m2 1.00 kg 100 cm 100 cm
5. Cancela las unidades
6.0 cm .00100 km 100 cm
4.17 kg 1000 g 1.00 mx 1.00 m 2 m 1.00 kg 100 cm 100 cm
6. Realiza el cálculo indicado redondeando la respuesta al número correcto de figuras significativas.
.000060 km ó 6.0 E -5 km
.417 g cm2
Fuente: http://www.google.com/url?sa=t&rct=j&q=&esrc=s&frm=1&source=web&cd=7&ved=0CEYQFjAG&url=h ttp%3A%2F%2Fwww.bethpage.ws%2Fbhs%2Fhclark%2FDimensional%2520Analysis.doc&ei=1F_BTrbDB eaSiQKt2qycAw&usg=AFQjCNGZyn5KRv1UzVFTaRZ7cHfvO_SNrQ 1122
Unidad 10.6: Unidades y escalas Matemáticas Ejemplo para plan de lección – Método de la escalera de conversiones métricas 1
El método escalera KILO 1000 unidades
HECTO 100 unidades
Para convertir a una unidad menor, mueve un punto decimal a la derecha o multiplica.
DECA 10 unidades
Unidad Básica
Para convertir a una unidad mayor, mueve un punto decimal a la izquierda o divide.
DECI 0.1 unidades
CENTI 0.01 unidades
MILI 0.001 unidades
Metros Litros Gramos
¿Cómo se utiliza el método de la “escalera”?
4 km = ________ m
1° - Determina tu punto inicial.
Punto inicial
2° - Cuenta los “saltos” hasta tu punto final.
¿Cuántos saltos toma?
Punto final
3° - Mueve el decimal el mismo número de saltos en la misma dirección. 4. ___.___.___. = 4000 m
Fuente: T Trimp 2000 http://sciencespot.net
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Unidad 10.6: Unidades y escalas Matemáticas Ejemplo para plan de lección – Método de la escalera de conversiones métricas 2 Métrico Manía Conversiones métricas
Nombre _________________________
Llena los cajones del diagrama de escalera.
Para convertir a una unidad menor, mueve un punto decimal a la derecha o multiplica.
Unidad Básica Para convertir a una unidad mayor, mueve un punto decimal a la izquierda o divide.
Intenta hacer las siguientes conversiones con el método del a escalera. 1000 mg = _______g
1 L = _________mL
160 cm = _____________ mm
14 km = _______m
109 g = _________kg
250 m = _____________ km
Compara usando <, > o =. 56 cm ____ 6m
7g ____ 698 mg
1124
Unidad 10.6: Unidades y escalas Matemáticas Ejemplo para plan de lección – Método de la escalera de conversiones métricas 2 Métrico Manía Conversiones métricas Llena los cajones del diagrama de escalera. Escribe la abreviatura correcta de cada unidad métrica.
Nombre _________________________
15) 5 L = ______ mL 16) 198 g = ______ kg
1) kilogramo 17) 75 mL = ______ L 2) metro 18) 50 cm = ______ m 3) gramo 19) 5.6 m = ______ cm 4) mililitro 20) 16 cm = ______ mm 5) milímetro 21) 2500 mm = ______ km 6) litro 22) 65 g = ______ mg 7) kilómetro 23) 6.3 cm = ______ mm 8) centímetro 24) 120 mg = ______ g 9) miligramo Compara usando <, > o =. Intenta realizar las siguientes conversiones usando el método de la escalera.
25) 63 m ____ 6m
10) 2000 mg = ______ g
26) 536 cm ____ 53.6 dm
11) 104 km = ______ m
27) 5 g ____ 508 mg
12) 408 cm = ______ m
28) 43 mg ____ 5 g
13) 5.6 kg = ______ g
29) 1,500 mL ____ 1.5 L
14) 8 mm = ______ cm
30) 3.6 m ____ 36 cm
Fuente: T Trimp 2000 http://sciencespot.net
1125
Unidad 10.7: Experimentos, encuestas y estudios Matemáticas Ejemplo para plan de lección – Crisis profunda conteo de salmones
Crisis profunda – Conteo de salmones Gran parte de lo que se sabe acerca de las poblaciones de salmón y atún se basa en el muestreo poblacional. El supuesto de que una muestra aleatoria es representativa de la concentración total de una población es clave en esta estrategia. Cuando se ajustan los números observados para que reflejen el alcance que tiene el animal, se llega a un estimado de las poblaciones totales. Las incertidumbres producto del deslizamiento dentro y fuera de la región de muestra y el alcance de la distribución heterogénea de individuos compromete la precisión de los estimados del muestreo. Muestreo poblacional En esta actividad, inferirás los números de una población virtual ilustrada dentro de una cuadrícula rectangular de muestreo. Observarás la precisión de las técnicas en relación con el tamaño de la muestra en que se basan los estimados.
1126
Unidad 10.7: Experimentos, encuestas y estudios Matemáticas Ejemplo para plan de lección – Crisis profunda conteo de salmones Pasos 1. Examina la cuadrícula de conteo aquí arriba. Representa un área que mide cuatro por seis metros. ¿Cuál es el área total de esta cuadrícula en su totalidad? 2. Intenta pronosticar antes de contar nada. Estima el número de peces hallados dentro de estos 24 metros cuadrados. 3. Escribe con un lápiz los números del 1 al 24 en los cuadrados. 4. Invéntate un método para elegir seis números al azar de esa misma serie de 24 números. 5. Examina los seis cuadrados identificados al seleccionar los seis números al azar. 6. Calcula el número total de peces hallados en esos seis cuadrados. Recuerda, tendrás que inventarte un plan para lidiar con los peces que se encuentran en una línea divisoria. 7. Una vez hayas calculado el número de peces de tu muestra, multiplícalo por cuatro. El número que obtengas es el estimado del número de peces en la cuadrícula de 24 cuadrados. Anótalo como tu primer estimado. 8. Elige tres cuadrados al azar. Cuenta el número total de peces en esos cuadrados. Multiplícalo por ocho. Anota este número como tu segundo estimado. 9. Selecciona un número al azar. Cuenta el número de peces en ese cuadrado. Multiplícalo por 24 para llegar a un estimado del número de peces en todo el área. 10. Repite el paso 9 dos veces más. 11. Cuenta los peces que hay realmente en toda la cuadrícula. Compara ese número con los estimados hechos a partir de los cálculos de las 6 muestras, 3 muestras y 1 muestra. Preguntas 1. ¿Por qué era importante encontrar una forma de elegir números al azar? 2. ¿Por qué necesitabas desarrollar un método de contar peces que se encontraran sobre una línea de la cuadrícula? 3. En el paso 7, ¿por qué el número de peces contados se multiplicó por cuatro? 4. ¿Cómo el número de muestras en el que se basaba el estimado afectó la precisión del estimado?
Fuente: http://www.pbs.org/saf/1306/teaching/teach2.pdf
1127
Unidad 10.7: Experimentos, encuestas y estudios Matemáticas Ejemplo para plan de lección – Diseño de muestras
Diseño de muestras/Muestras aleatorias simples Calentamiento/actividad introductoria Esta actividad sirve para introducir a los estudiantes al concepto de sesgo. Los estudiantes tendrán que reconocer cuándo hay sesgo presente en el diseño de la muestra. No deben usarse los resultados de muestras sesgadas para estimar porcentajes poblacionales. El error sistemático producto de los métodos incorrectos de muestreo podrían llevar a un estudio sesgado que favorezca ciertos resultados. Identifica las posibles fuentes de sesgo en cada estudio:
Se toma una muestra de los clientes de un supermercado para determinar su opinión sobre un tema político controversial. (Los clientes de supermercados pueden compartir características que difieren de las del público general. Al incluir solo a estas personas en una muestra puede ser que no se obtenga la gama completa de opinión pública.) Se invita a los televidentes a llamar a un número 800 para que expresen su oposición a un proyecto de ley para aumentar los impuestos a la gasolina. (Este es un ejemplo de una muestra de respuesta voluntaria. Al incluir en la muestra solo a los que se ofrezcan a participar, se tiende a obtener solo las opiniones de aquellos que tienen una opinión muy fuerte sobre un asunto en particular.) Una empresa grande obtiene nombres de una guía telefónica para sacar una muestra para una encuesta sobre hábitos de compra caseros. (Los que no tengan el número de teléfono en la guía o no tengan teléfono no serán incluidos en la muestra. Estas personas pueden tener hábitos significativamente distintos de los que sean contactados.)
Exploración Según se mencionó anteriormente, no se obtienen buenos estimados del porcentaje de una población con cualquier muestra. Estas actividades requieren que los estudiantes analicen métodos de muestreo y consideren fuentes de sesgo que podrían corromper los resultados de la muestra. La representación insuficiente de ciertos grupos de una población o preguntas mal formuladas pueden alterar de manera significativa los resultados de la muestra. Discusión en clase Para este punto, los estudiantes deben ver que el tamaño de la muestra debe ser relativamente grande y que la muestra no debe contener sesgos y ser representativa de la población. Las técnicas de muestreo aleatorio simple garantizan que cada miembro de la población tenga una probabilidad igual de ser seleccionado para la muestra. Preguntas de resumen:
¿Qué es una muestra aleatoria simple? (Una muestra aleatoria simple garantiza que todo miembro de una población tenga las mismas probabilidades de ser escogido, y que los miembros de la muestra sean escogidos de forma independiente uno del otro.) Identifica las características de los buenos diseños de muestreo. (La muestra debe ser lo suficientemente grande relativo a la población. Debe ser representativa de esta y debe seleccionarse de forma aleatoria.)
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Unidad 10.7: Experimentos, encuestas y estudios Matemáticas Ejemplo para plan de lección – Diseño de muestras
Diseño de la muestra El consejo estudiantil de la Escuela Central quiere determinar qué actividad preferirían los estudiantes: un baile, una fiesta de mantecado, una feria o una noche de película. El consejo estudiantil tiene una semana para encuestar a los estudiantes y recopilar todos los datos necesarios para tomar una decisión. Como la escuela tiene un cuerpo estudiantil grande de más de 2,000 estudiantes, contactar a todos los estudiantes no sería razonable, por lo que los miembros del consejo han acordado contactar una muestra del cuerpo estudiantil. 1. Varios estudiantes tienen ideas sobre cómo recopilar esta información. Considera cada una de las sugerencias a continuación. Comenta sobre las ventajas y desventajas de cada método. a. Sally sugiere que los treinta miembros del consejo estudiantil voten sobre cuál actividad sería más favorable. b. Anthony sugiere que cada miembro le pregunte a cinco amigos cuál actividad prefiere. Así, se tomaría una muestra de 150 estudiantes. c. Jessica sugiere que se ponga una urna de comentarios en la cafetería, para que cualquier estudiante pueda participar de la muestra. d. Antonia piensa que el consejo debe seleccionar a varios maestros al azar y encuestar a los estudiantes de sus salones hogares. e. Melanie sabe que la computadora de la oficina principal puede seleccionar estudiantes al azar para incluirlos en la muestra. 2. Describe otro método que podría usarse para generar una muestra para que los estudiantes de la Escuela Central voten sobre cuál actividad preferirían. Utiliza lo que sabes sobre el muestreo para justificar tu respuesta. 3. Por cada uno de los métodos de muestreo a continuación, identifica los grupos en la población que están insuficientemente representados. a. Para obtener una muestra de hogares, un encuestador de consumidores marca los números de personas obtenidos al azar de una guía telefónica. b. Un fabricante de autos desea encuestar a una muestra de conductores, y selecciona al azar los nombres de propietarios de autos de una lista de registro vehicular. c. Un profesor universitario desea saber qué porcentaje de jóvenes adultos, de entre las edades de 18 y 22 años, consideran que la educación es una prioridad. En registraduría, obtiene una lista de todos los estudiantes en la universidad y selecciona nombres al azar. d. Una estación radial desea examinar la proporción de sus radioescuchas que votaron en las últimas elecciones. Llevan a cabo una encuesta pidiéndoles a los radioescuchas que llamen a la estación.
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Unidad 10.7: Experimentos, encuestas y estudios Matemáticas Ejemplo para plan de lección – Diseño de muestras
Muestras aleatorias simples Una muestra es una muestra aleatoria simple si: todos los miembros de la población tienen las mismas probabilidades de ser elegidos, y los miembros de la muestra se eligen de forma independiente uno del otro 1. Determina si los siguientes métodos de muestreo producen una muestra aleatoria simple de una clase de 30 estudiantes. Utiliza los principios de muestreo aleatorio simple para justificar tus respuestas. a. Un maestro quiere seleccionar a cinco estudiantes de la clase. Elige los primeros cinco estudiantes que entran al salón.
b. Una maestra quiere elegir diez estudiantes de la clase. Hace una lista de los estudiantes en orden alfabético y selecciona cada tres estudiantes.
c. Un maestro quiere seleccionar seis estudiantes de la clase. Escribe el nombre de cada estudiante en una tarjeta, coloca las tarjetas en una caja y saca seis tarjetas de esta.
2. En ocasiones, el muestreo aleatorio provee una muestra que no es representativa de la población. Supón que hay quince chicos y quince chicas en una clase de matemáticas. Se echa el nombre de cada estudiante en un sombrero y se mezclan bien. a. ¿Produjo una muestra aleatoria simple el método de muestreo utilizado? Utiliza los principios del muestreo aleatorio simple para justificar tu respuesta.
b. ¿Es esta una muestra representativa? Justifica tu respuesta con matemáticas.
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Unidad 10.7: Experimentos, encuestas y estudios Matemáticas Ejemplo para plan de lección – Diseño de muestras
Análisis de diseño de muestras 1. Un pedido de anillos de una escuela superior acaba de llegar y está listo para distribuirse. La principal debe determinar si los estudiantes prefieren recibir sus anillos en una asamblea un día de clase o en un baile una noche. La principal no tiene tiempo para contactar a cada miembro de la clase, así que obtendrá una muestra de 50 estudiantes para encuestarlos. a. Describe un método que deba usar la principal para seleccionar los participantes del estudio. Utiliza los principios del muestreo aleatorio simple para justificar tu respuesta
2. Todos los domingos por la noche una popular estación de radio toca música nueva de bandas locales. Al finalizar el segmento el DJ le pide a los radioescuchas que llamen para dar sus reacciones: “Pa’ la basura” o “Dale más fuerte”. Un domingo por la noche 60 % de los 100 participantes votaron por “Pa’ la basura” después de escuchar una canción de una banda local. a. ¿Piensas que 60 % es un estimado razonable del porcentaje de todos los radioescuchas a los que no les gustó la música? Justifica tu respuesta con matemáticas.
3. A diez adultos seleccionados al azar se les hizo la siguiente pregunta: “¿Te sientes realizado en tu carrera actual?” Tres de los adultos respondieron que no. a. En base a estos datos, ¿cuál es la probabilidad de que un adulto seleccionado al azar respondería que no a la pregunta? b. ¿Es esta probabilidad un estimado razonable del porcentaje de la población que respondería que no? Justifica tu respuesta con matemáticas.
Fuente: http://mdk12.org/instruction/clg/lesson_plans/algebra_data_analysis/DesigningSamples_311.html 1131
Unidad 10.7: Experimentos, encuestas y estudios Matemáticas Ejemplo para plan de lección – Tiempo de reacción Tiempo de reacción: ¿cuál es el tuyo? Para realizar esta actividad debes unirte con otra persona y usar una regal métrica. 1. Un miembro del grupo se pone de pie y sostiene la regla de forma vertical por el extremo de 30 cm. El otro estudiante, sentado, colocará el pulgar y dedo índice separados sobre la marca de dos centímetros de la regla. 2. La persona que sostiene la regla la suelta y la otra persona tiene que pincharla con los dedos cuando note cualquier movimiento. 3. Anoten el tiempo de reacción en mm en esta hoja. Repitan el procedimiento cuatro veces más. Intercámbiense. Repitan el procedimiento.
(10 mm = 1 cm) Nombre ______________________
Nombre _____________________
1er intento 2do intento 3er intento 4to intento 5to intento (Media = promedio, Moda = número más común, Amplitud = valor mayor y menor) 4. Halla la mediana de cada participante 5. Halla la moda de cada participante 6. Halla la amplitud de cada participante
___________________ ___________________
________________
________________
___________________
________________
7. Obtén la media de la clase entera y anótala en esta hoja de datos. ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ 8. Halla media de toda la clase ____________ 9. Haz una gráfica completa de la hoja de datos al dorso de esta hoja. Fuente: www.beaconlearningcenter.com
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Unidad 10.7: Experimentos, encuestas y estudios Matemáticas Tarea de desempeño – Rúbrica de guía del usuario de cómo trabajar con estudios Categoría Comprensión del problema
Conceptos
Precisión
Comunicación
Presentación
4
3
2
El estudiante demuestra la comprensión sofisticada necesaria para planificar, realizar y analizar estudios, y comunicar información sobre estos. El estudiante claramente explica las técnicas usadas en la planificación, realización, análisis y comunicación de estudios y los errores comunes a tener en cuenta. Se incluyen todas las técnicas cubiertas en la unidad. Se describen con precisión todas las técnicas usadas en la planificación, realización, análisis y comunicación de estudios y los errores comunes a tener en cuenta. El estudiante escoge ejemplos originales y adecuados para ilustrar las técnicas y los errores.
El estudiante demuestra la comprensión necesaria para planificar, realizar y analizar estudios, y comunicar información sobre estos.
El estudiante demuestra algo de la comprensión necesaria para planificar, realizar y analizar estudios, y comunicar información sobre estos.
El estudiante demuestra poca de la comprensión necesaria para planificar, realizar y analizar estudios, y comunicar información sobre estos.
El estudiante explica las técnicas usadas en la planificación, realización, análisis y comunicación de estudios y los errores comunes a tener en cuenta. Puede ser que omita algunas de las técnicas cubiertas en la unidad. Se describen con precisión todas las técnicas usadas en la planificación, realización, análisis y comunicación de estudios y los errores comunes a tener en cuenta. Escoge ejemplos adecuados para ilustrar las técnicas y los errores, pero estos podrían ser semejantes a los del libro de texto o de la clase.
El estudiante explica las técnicas usadas en la planificación, realización, análisis y comunicación de estudios y los errores comunes a tener en cuenta. Omite algunas técnicas.
El estudiante intenta explicar las técnicas usadas en la planificación, realización, análisis y comunicación de estudios y los errores comunes a tener en cuenta. Omite múltiples técnicas. Se describen con precisión algunas técnicas usadas en la planificación, realización, análisis y comunicación de estudios y los errores comunes a tener en cuenta. El estudiante escoge ejemplos no adecuados para ilustrar las técnicas y los errores. A veces el proceso de resolución contiene múltiples errores, y estos pueden llegar a ser importantes.
El estudiante utiliza vocabulario adecuado y explica los conceptos con claridad. Las técnicas están organizadas en un orden lógico y los errores comunes se explican a cabalidad. La Guía del usuario es presentada de forma profesional, de manera que demuestra una preparación esmerada y claridad en la comunicación. Queda claro que se prestó atención al público y al propósito, y que la guía podría ayudar a un estudiante que no tenga familiaridad con los conceptos.
El estudiante utiliza vocabulario adecuado y explica los conceptos. Las técnicas están organizadas en un orden lógico, pero a veces los errores comunes no se explican a cabalidad. Puede contener errores menores. En general, la Guía del usuario está bien hecha y completa, aunque a algunos elementos podría faltarles un toque profesional. Se ha prestado atención al público y al propósito, aunque la guía no siempre satisface las necesidades de un estudiante que no esté familiarizado con los conceptos.
Se describen con precisión la mayor parte de las técnicas usadas en la planificación, realización, análisis y comunicación de estudios y los errores comunes a tener en cuenta. El estudiante escoge ejemplos adecuados para ilustrar las técnicas y los errores, pero estos podrían ser semejantes a los del libro de texto o de la clase, y el proceso de solución a veces contiene errores menores. El estudiante explica los conceptos, pero a veces usa los términos incorrectamente. Intenta organizar las técnicas y no logra explicar de forma adecuada las causas de los errores comunes. Algunos elementos de la Guía del usuario están bien hechos, mientras que en otros se nota un desinterés por la calidad. No queda claro que se hayan tomado en cuenta el público y el propósito, y a un estudiante no familiarizado con los conceptos se le haría difícil usarla.
Fuente: http://www.curriculum-framer.com/miss_html/events/event_4732.html
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El estudiante no explica adecuadamente los conceptos, y no usa los términos correctamente. Intenta organizar las técnicas y explicar los errores comunes, pero no lo logra. La Guía del usuario está hecha de forma descuidada, y se demuestra poco interés por la calidad. Esto le resta a cualquier consideración que pueda haberse prestado a la audiencia o propósito. No le resultaría útil a un estudiante que no esté familiarizado con los conceptos.
Unidad 10.7: Experimentos, encuestas y estudios Matemáticas Actividad de aprendizaje – ¿Aritmética? ¿Y qué tal un total?
¿Aritmética? ¿Y qué tal un total? En esta actividad, los estudiantes se centrarán en las sucesiones aritméticas y desarrollarán patrones para hallar el término n, así como la suma de términos n de una secuencia aritmética. 1. Dales a los estudiantes un conjunto mixto de sucesiones. Su primera tarea será analizar los patrones y determinar los tres términos siguientes y, a continuación, identificar las sucesiones aritméticas entre ellos. Los estudiantes deberán corroborar su trabajo y razonamiento con otros. 2. Discusión rápida: ¿cuáles son de naturaleza aritmética? ¿Cómo decides si una sucesión es aritmética? 3. Escribe las respuestas de los estudiantes en la pizarra: ¿Cómo podemos definir de la forma más concisa y precisa el tipo de sucesión? (Se prefieren las respuestas en lenguaje sencillo, en vez de definiciones que se oigan más formales.) 4. Ahora, usando solo las sucesiones aritméticas, haz una tabla de la suma de los primeros términos n. Pídeles a los estudiantes que calculen la suma de los términos 1, 2, 3 y 4 y que formulen una hipótesis de una fórmula general para la suma de los primeros términos n. Con toda probabilidad necesitarán algunas preguntas de guía. Una forma de hacerlo es sugerirles que enumeren los primeros ocho términos de una secuencia y hallen el total y que, a continuación, vuelvan a calcular el total sumando los pares siguientes: el 1ro y el 8vo, el 2do y el 7mo, el 3ro y el 6to y el 4to y el 5to, y que combinen estos subtotales. ¿Cómo podemos usar esto para desarrollar una fórmula general de la suma de los primeros términos n de una secuencia aritmética?
Fuente: http://www.curriculum-framer.com/miss_html/events/event_4732.html
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Unidad 10.7: Experimentos, encuestas y estudios Matemáticas Actividad de aprendizaje – ¿Cuál es la sucesión?
¿Cuál es la sucesión? Los estudiantes recibirán un número y se les dirá que se trata de un término específico de una sucesión. ¿Cuál puede ser la sucesión? ¿La respuesta es única? Para hacerlo más difícil, dales un número y diles que se trata de la suma de un número particular de términos de una sucesión; hazles las mismas preguntas. 1. Permíteles a los estudiantes que trabajen en parejas o grupos pequeños. Pídeles que hallen la sucesión. ¿La respuesta que hallaron, es única? Compartan y discutan. 2. Una vez la clase concluya que hay un número ilimitado de respuestas para un ejemplo como este, pídeles que generen una respuesta si el primer término y la diferencia no son enteros. 3. A continuación, pídeles que generen una respuesta si la diferencia es negativa. Para hacerlo más difícil, dales a los estudiantes un número y diles que se trata del total de un número particular de términos. Por ejemplo, “30 es la suma de los primeros 5 términos de una sucesión aritmética”. Los estudiantes deberán entonces hallar el primer término y la diferencia. Hay múltiples formas de abordar este problema: los estudiantes podrían escoger un primer término y solucionarlo por ensayo y error, o intentar resolverlo en retroceso a partir de la fórmula de una suma. 4. Dales tiempo a los estudiantes para que exploren el problema. 5. Facilita una discusión en clase sobre la naturaleza única de las soluciones (de nuevo, las soluciones no son únicas) y las estrategias para hallarlas.
Fuente: http://www.curriculum-framer.com/miss_html/events/event_4735.html
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Unidad 10.7: Experimentos, encuestas y estudios Matemáticas Actividad de aprendizaje – ¿Dónde en el mundo?
¿Dónde en el mundo? Tras repasar un par de ejercicios en que se usen las sucesiones y las series para crear modelos de procesos del mundo real, se retará a los estudiantes a que hagan una lluvia de ideas, en parejas o en grupos pequeños, de una lista de diez ejemplos del mundo real de sucesiones y series que sean parte de la vida cotidiana. De esa lista deberán escoger tres ejemplos para elaborarlos, los justificarán como aritméticos, usarán las fórmulas que han aprendido, ilustrarán los resultados con una gráfica y considerarán las limitaciones del patrón. 1. Repasa los ejemplos de secuencias y series discutidos en actividades previas. En lenguaje sencillo, ¿cuáles son las características de las situaciones para que las que puede crearse un modelo con secuencias y series aritméticas? 2. Pídeles a los estudiantes que elijan tres para elaborarlas, que las justifiquen como aritméticas y que usen sus ejemplos para demostrar las fórmulas. 3. Discutan el uso de la estimación, a saber, la flexibilidad en cuanto a con cuánta exactitud se adecua el modelo al escenario. Por ejemplo, si un estudiante quiere usar una sucesión para crear un modelo de la cantidad que gana una niñera, y estima que ganará $25 a la semana, los términos de la secuencia serán estimados del total que ha ganado. En un ejemplo como este, resulta interesante y útil crear un estimado bajo y uno alto, y generar esas sucesiones también para comparar. 4. Pídeles a los estudiantes que consideren el valor de las sumas de las sucesiones: ¿siempre tienen sentido? Considera el ejemplo anterior sobre una sucesión en que los términos son totales. La suma de estos términos, aunque fácil de calcular, no se presta a una interpretación útil. 5. Pídeles a los grupos que discutan el tema de las limitaciones sobre la utilidad de los patrones que han generado. Introduce el término “extrapolación”. ¿Existe algún límite para cuánto podemos extender la sucesión, en términos del uso práctico de los resultados? Permítele a cada grupo compartir su ejemplo favorito con la clase.
Fuente: http://www.curriculum-framer.com/miss_html/events/event_4734.html
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Unidad 10.7: Experimentos, encuestas y estudios Matemáticas Actividad de aprendizaje – La familia Cuarteto
La "familia Cuarteto" La familia Cuarteto tiene una extraña tradición, iniciada por Horacio y Wilhelmina Cuarteto a principios del siglo diecinueve. Horacio y Wilhelmina tuvieron cuatro hijos y estipularon que todos los descendientes tendrían que hacer lo mismo. Todos los hijos, nietos, biznietos, etcétera, han cooperado: todos se han casado y han tenido cuatro hijos. 1. Comparte la historia de la “familia Cuarteto con los estudiantes. 2. Estima cuántos descendientes tienen al día de hoy, así como el número total de personas que habría en su árbol genealógico (sin incluir cónyuges). 3. Por diversión, diles a los estudiantes que quieres que verifiquen su intuición sobre el problema. Explícales que Horacio comenzó a tener hijos con Wilhelmina en 1800 y pídeles que adivinen el número total de “Cuartetos” en la generación actual. Pídeles también que estimen el número total de “Cuartetos” nacidos entre 1800 y el presente. No deben hacer cálculos, solo informar lo que les dicte su intuición. Haz que escriban sus respuestas en un papelito, sin poner su nombre; recoge los papelitos y pon los resultados en la pizarra. La gama de estimados suele ser interesante. 4. Trabaja en conjunto con los estudiantes para hacer un estimado: primero, tienen que acordar un estimado de cuántas generaciones han nacido entre 1800 y el presente. 5. A continuación, enumeren los tamaños de las generaciones sucesivas hasta que obtengan la generación actual. Luego, suma los números para obtener el total. No utilicen las fórmulas de sucesiones geométricas y series todavía; las utilizarán en una actividad subsiguiente.
Fuente: http://www.curriculum-framer.com/miss_html/events/event_4738.html
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Unidad 10.7: Experimentos, encuestas y estudios Matemáticas Actividad de aprendizaje – La sucesión de nunca acabar
La sucesión de nunca acabar Usando una herramienta tecnológica, como la TI-83, que tiene la capacidad de realizar la misma operación repetidas veces en respuestas sucesivas, los estudiantes investigarán lo que sucede a medida que dejamos que las sucesiones y series continúen indefinidamente. ¿En qué circunstancias tenderán a desaparecer los términos? ¿Es posible que una serie sin fin tenga una suma finita? 1. Describe una secuencia geométrica simple (primer término = 3, razón = 4). Calcula los términos sucesivos de la siguiente forma: a. Introduce 3 en la calculadora. b.
Oprime “enter” (la TI-83 te dará el número "3" y lo almacenará como la "Respuesta").
c.
Oprime "Answer" (respuesta) (este es el "2do" "(-)" de la TI-83), "x", "4", y "Enter"; obtendrás el "12".
d.
Ahora podrás oprimir el botón de “Enter” en repetidas ocasiones y la calculadora multiplicará cada respuesta sucesiva por 4, con lo que generará muchos términos de la secuencia rápidamente.
2. Pídeles a los estudiantes que intenten esto con un par de ejemplos, algunos con razones mayores que uno y otros con razones menores que uno. ¿Qué termina ocurriendo con las razones menores que uno? 3. Discutan la idea de las sucesiones que nunca terminan, ¿existe algún límite? ¿En qué circunstancias se aproximarán los términos a un límite? ¿Y en una serie? 4. Pídeles que intenten con una serie que tenga una r baja (primer término = 2, r = .01). Enumera los primeros cinco términos y saca la suma. Si se continúa con el proceso, ¿hay algún límite, incluso si el número de términos es infinito?
Fuente: http://www.curriculum-framer.com/miss_html/events/event_4739.html
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Unidad 10.7: Experimentos, encuestas y estudios Matemáticas Actividad de aprendizaje – Y al décimo día…
Y al décimo día… Por cada una de las situaciones siguientes: ¿Qué ocurre durante los primeros 10 días? Escribe una regla general para lo que ocurre el día n. o
Un panadero decide incrementar su producción. Actualmente, produce 36 libras de pan al día, y está planificando aumentar su producción por cuatro libras diarias. ¿Cuántas libras produce al día?
o
Se realizará una competencia de matemáticas de la siguiente forma: todos los participantes tomarán una prueba difícil y los que caigan en el 50 % de las puntuaciones más altas se quedarán en la competencia. Se repetirá el proceso hasta que haya un ganador final. Si la competencia empieza con 1024 participantes, ¿cuántos quedarán en cada ronda?
o
Considera el panadero del primer problema. Si las libres están lo suficientemente frescas para venderse el día en que se hornean y el día después, pero demasiado rancias para venderse al tercer día, ¿cuántas libras hay disponibles para vender cada día?
o
Otro panadero, bastante raro, decide hornear según las siguientes reglas: (1) no hornea los fines de semana; (2) incrementará el número de libras que hornea por 5 los días que contengan la letra “u”; (3) aumentará el número de libras de pan que hornea por 3 los días que contengan la letra “n”, y no aumentará el número de libras de pan que hornea los días que no contengan ni la letra “u” ni la letra “n”. Si hornea 50 libras de pan los lunes, ¿cuántas libras horneará el resto de días?
o
En la competencia de matemáticas arriba, todos los participantes recibieron puntos según el nivel más alto al que lleguen en la competencia. Solo por tomar la prueba, se otorgan dos puntos y el número de puntos se duplica por cada nivel sucesivo. ¿Cuántos puntos se otorgan en cada nivel?
Fuente: http://www.curriculum-framer.com/miss_html/events/event_4731.html
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Unidad 10.7: Experimentos, encuestas y estudios Matemáticas Otra evidencia – Ejemplos de preguntas de examen
Ejemplos de preguntas de examen 4. ¿Cuál es la fórmula del término n de la secuencia B que se muestra a continuación? B=10, 12, 14, 16,… e) f) g) h) 5. ¿Cuál es la fórmula del término n de la sucesión 54, 18, 6,…? e) f) g) h) 6. ¿Cuál es el valor de e) 1 f) 3 g) 2 h) 0
?
Fuente: http://www.jmap.org/JMAP_RESOURCES_BY_TOPIC.htm
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Unidad 10.7: Experimentos, encuestas y estudios Matemáticas Tarea de desempeño – Rúbrica de La maravillosa campaña de mercadeo viral Categoría
Diseño
Conceptos
Precisión
Comunicación
Presentación
4
3
2
Se analizan los supuestos a cabalidad y se explora una lista exhaustiva de posibilidades. Se atienden de lleno las cuestiones prácticas y se diseñan modelos matemáticos adecuados. Se presentan con claridad los modelos matemáticos y su relación con el problema Se explica la necesidad de tener supuestos y se hace una reflexión detallada de los desafíos y limitaciones de estos.
Se analizan los supuestos y se explora una lista variada de posibilidades. Se atienden de lleno las cuestiones prácticas y se diseñan modelos matemáticos adecuados.
Se analizan los supuestos y se exploran algunas posibilidades. No se atienden las cuestiones prácticas lo suficiente y no todos los modelos matemáticos son adecuados.
Se analizan los supuestos pobremente y no se exploran las posibilidades. No se atienden las cuestiones prácticas y los modelos matemáticos no son adecuados.
Se presentan los modelos matemáticos y su relación con el problema. Se explica la necesidad de tener supuestos y se hace una reflexión de los desafíos y limitaciones de estos.
Se presentan modelos matemáticos y su relación con el problema que no son adecuados. No se aborda lo suficiente la necesidad de tener supuestos; no se hace una reflexión de los desafíos y limitaciones de estos supuestos, o es incorrecta.
Todos los modelos y cálculos están correctos, y el lenguaje y notación matemáticos, incluida la notación de suma, están correctos. Las opciones de valores para los supuestos están bien investigados y son razonables. Todos los elementos del plan de campaña están explicados clara y cabalmente usando la terminología matemática más eficaz.
La mayor parte de los modelos y cálculos están correctos, y el lenguaje y notación matemáticos, incluida la notación de suma, están correctos. Las opciones de valores para los supuestos son razonables.
Se presentan los modelos matemáticos y su relación con el problema, pero no se explican con claridad. Se toca el tema de la necesidad de tener supuestos; se hace una reflexión débil, si es que se hace, de los desafíos y limitaciones de estos supuestos. Algunos de los modelos y cálculos están correctos, otros no. El lenguaje y notación matemáticos a veces se usan mal, y a veces no se usa la notación de suma. Algunas de las opciones de valores para los supuestos no son razonables. Algunos de los elementos del plan de campaña están explicados claramente, mientras que otros se confunden. Se usa la terminología matemática de forma incompleta o con algunos errores.
Se presenta el plan de campaña de forma profesional, y demuestra esmero en la preparación y claridad en la comunicación. Queda claro que se ha prestado atención al público y al propósito.
En general, la presentación está en orden y completa, aunque a ciertos elementos podría faltarles un toque profesional. Se ha prestado atención al público y al propósito.
Algunos elementos de la presentación están en orden, mientras que en otros se muestra un desinterés por la calidad. No queda claro qué público o propósito se tomó en cuenta.
La presentación es descuidada, lo cual demuestra un desinterés por la calidad. Esto le resta a cualquier consideración que pueda haberse prestado a la audiencia o propósito.
La mayor parte de los elementos del plan de campaña están explicados claramente, usando la terminología matemática correcta.
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En su mayoría, los modelos y cálculos están incorrectos. El lenguaje y notación matemáticos contienen múltiples errores y no se usa la notación de suma. Casi todas las opciones de valores para los supuestos no son razonables. Pocos elementos del plan de campaña están explicados claramente, con lo cual resulta confusa la intención. No se usa terminología matemática o se usa incorrectamente.
Matemáticas Mapas Curriculares 11mo Grado
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Unidad 11.1: Funciones y transformaciones Matemáticas 7 semanas Etapa 1 - Resultados esperados Resumen de la unidad En esta unidad, los estudiantes explorarán el comportamiento de las funciones con sus ecuaciones respectivas y compararán las propiedades de las diferentes familias de funciones. Aplicarán las relaciones entre características importantes de una función por medio de gráficas y símbolos, y determinarán las soluciones de una función polinómica. Realizarán además la transformación básica de las funciones mientras investigan la composición y descomposición de funciones dentro de un contexto real. Aplicarán e interpretarán las transformaciones básicas de las funciones de forma verbal, gráfica y numérica. Meta de transferencia: Los estudiantes saldrán de la clase con la capacidad de usar su conocimiento sobre las familias de funciones para interpretar, predecir y resolver situaciones del mundo real que impliquen datos discretos y continuos.
Estándares de contenido y expectativas Comportamiento de las funciones A.PR.11.2.1 Determina el dominio y el alcance de las funciones a partir de sus diferentes representaciones. A.PR.11.2.2 Identifica y aplica las relaciones entre los puntos importantes de una función (ceros, puntos máximos, puntos mínimos), su comportamiento en los infinitos, la gráfica de la función, la naturaleza y el número de ceros de la función y su representación simbólica. A.PR.11.2.3 Determina el número y la naturaleza de soluciones de una ecuación polinómica con coeficientes reales sobre los números complejos. A.PR.11.2.4 Reconoce y describe la continuidad, las asíntotas, la simetría (funciones pares e impares) y relaciona estos conceptos con la gráfica de la función. A.PR.11.2.5 Compara y contrasta las características de las diferentes familias de las funciones: polinómicas, racionales, radicales, potencia, logarítmicas, trigonométricas y funciones definidas por partes, representadas de múltiples formas. A.PR.11.2.6 Describe y contrasta funciones elementales comunes (representadas simbólica y gráficamente), incluyendo xn, 1/x ln x, logax, ex, ax y las funciones trigonométricas básicas. Transformaciones de las funciones A.PR.11.3.1 Encuentra, interpreta y traza la gráfica de la suma, la resta, la multiplicación y la división (cuando existe) de dos funciones. A.PR.11.3.2 Compone y descompone dos funciones, determina su dominio, su alcance y su gráfica. Utiliza la composición de las funciones para determinar si las funciones son inversas. A.PR.11.3.3 Describe las condiciones bajo las cuales una relación inversa es una función. Determina y grafica la inversa de una función. A.PR.11.3.4 Aplica las transformaciones básicas de las funciones F (x) = ± a·f (x-h) ± k e interpreta los resultados de estas transformaciones verbalmente, gráficamente y numéricamente.
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Unidad 11.1: Funciones y transformaciones Matemáticas 7 semanas Ideas grandes/Comprensión duradera:
Preguntas esenciales:
Diferentes funciones resuelven diferentes tipos de problemas. El comportamiento de las funciones puede describirse de forma gráfica y simbólica. Los puntos críticos de una función ayudan a describir el comportamiento de esta. Las funciones elementales básicas y las funciones trigonométricas básicas tienen inversas.
¿Cómo sabemos cuáles funciones utilizar para resolver problemas? ¿Cómo podemos interpretar las funciones de forma gráfica y simbólica? ¿Por qué ciertos valores son indefinidos en el caso de ciertas funciones? ¿Cómo puedes comparar las funciones elementales comunes y las funciones trigonométricas básicas con sus inversas?
Contenido (Los estudiantes comprenderán...)
Destrezas (Los estudiantes podrán...)
Las relaciones entre los puntos importantes de una función (ceros, puntos máximos, puntos mínimos), su comportamiento cuando hay tendencia al infinito, la gráfica de una función, la naturaleza y número de los ceros de una función y su representación simbólica Los conceptos de la continuidad, la asíntota, la simetría (funciones pares e impares) y cómo relacionar estos conceptos con la gráfica de la función Las transformaciones básicas de una función, F (x) = ± a· f (x-h) ± k Las características de diferentes familias de funciones: polinomios, funciones racionales, exponentes, funciones logarítmicas y trigonométricas y funciones definidas a trozos (funciones definidas por partes)
1/x, ln x, ex,, loga x, a Las funciones trigonométricas básicas (seno, coseno, tangente) Las condiciones en que una relación inversa es una función El concepto de continuidad, asíntota y simetría, y cómo se relacionan estas ideas con la gráfica de una función
Vocabulario de contenido
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Funciones elementales comunes, incluidas x , x
Comportamiento de las funciones: asíntota, ceros, coeficiente, comportamiento de la
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Determinar el dominio y el alcance de las funciones a partir de sus diferentes representaciones. Identificar y aplicar las relaciones entre los puntos importantes de una función (ceros, puntos máximos, puntos mínimos), su comportamiento en los infinitos, la gráfica de la función, la naturaleza y el número de los ceros de la función y su representación simbólica. Determinar el número y la naturaleza de soluciones de una ecuación polinómica con coeficientes reales sobre los números complejos. Reconocer y describir la continuidad, las asíntotas, la simetría (funciones pares e impares) y relacionar estos conceptos con la gráfica de la función. Comparar y contrastar las características de las diferentes familias de las funciones: polinómicas, racionales, radicales, potencia, logarítmicas, trigonométricas y funciones definidas por partes, representadas de múltiples formas. Describir y contrastar funciones elementales comunes (con representación gráfica y simbólica), incluyendo xn, 1/x ln x, logax, ex, ax y las funciones trigonométricas básicas. Encontrar, interpretar y trazar la gráfica de la suma, la resta, la multiplicación y la división 1144
Unidad 11.1: Funciones y transformaciones Matemáticas 7 semanas
gráfica, continuidad, dominio, familia de función, función de coseno, función de tangente, función definida a trozos, función exponencial, función impar, función logarítmica, función par, función polinómica, función racional, función de seno, números complejos, puntos máximos, puntos mínimos, recorrido, representación simbólica, simetría Transformaciones de las funciones: (F (x) = ± a· f (x-h) ± k), componer, composición de la función, descomponer, inversa
(cuando existe) de dos funciones. Componer y descomponer dos funciones, determinar su dominio, su alcance y su gráfica. Utilizar la composición de las funciones para determinar si estas son inversas. Describir las condiciones en las cuales una relación inversa es una función. Determinar y trazar la gráfica de la inversa de una función. Aplicar las transformaciones básicas de las funciones F (x) = ± a· f (x-h) ± k e interpretar los resultados de estas transformaciones verbalmente, gráficamente y numéricamente.
Etapa 2 – Evidencia de avalúo Tareas de desempeño
Otra evidencia 106
Identificación de las funciones Los estudiantes demostrarán su comprensión de las familias de funciones por medio de la siguiente tarea de desempeño. 1. Prepara conjuntos de 16 tarjetas con lo siguiente: a. 4 ecuaciones de diferentes familias de funciones; b. gráficas correspondientes a las ecuaciones, enumeradas con una letra (AD); c. tabla de valores de cada gráfica, y d. la regla correspondiente a la gráfica 2. Dale a cada estudiante un conjunto de tarjetas para que completen la tarea y lean las instrucciones a continuación. Instrucciones: Parea las gráficas, ecuaciones, tablas y reglas. Anota tus respuestas en la tabla:
Gráfica
Ecuación
Tabla
Regla
Ejemplos de preguntas de examen/quiz109 1. Escribe una ecuación de cada gráfica.
a.
b. 2. Una función logarítmica "original" se desplaza verticalmente hacia abajo y 5 unidades a la derecha. ¿Cuál es el recorrido de la función transformada? 3. Selecciona la función con un factor de descomposición de 75. 110 a. y=.75(.3)x b. y=.75(.300)x
106
Fuente: http://map.mathshell.org/materials/download.php?fileid=780 Fuente: http://www.curriki.org/xwiki/bin/view/Coll_kbellflower/TicketOuttheDoor_0 110 Fuente: http://www.nsa.gov/academia/_files/collected_learning/high_school/algebra/exponential_growth_decay.pdf 109
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Unidad 11.1: Funciones y transformaciones Matemáticas 7 semanas A B C D Describe cómo pareaste cada gráfica con su ecuación. Evalúa el trabajo de los estudiantes en la rúbrica de evaluación (ver anejo: Organizador - Rúbrica de tarea de desempeño).
4.
c. y=.75x d. y=.300(.75)x e. y=300x0.75 Utiliza los datos a continuación para responder a las preguntas. 111 X (variable independiente) Y (variable dependiente)
0
1
2
3
4
5
40
42
44.1
48.1
50
53
Crea un logotipo107 Los estudiantes demostrarán su comprensión de las familias de funciones por medio de la siguiente tarea de desempeño. Crea un logotipo usando una combinación de deslizamientos verticales, expansiones o contracciones verticales, reflexión con respecto al eje de x o con respecto al eje de y de las funciones básicas enumeradas a continuación, así como líneas horizontales y verticales.
a. ¿Pueden describirse los datos como una función exponencial? b. Utiliza la gráfica, una ecuación o un argumento lógico para justificar tu respuesta anterior. 5. Sea f(x) = 2x – 1, g(x) = 3x, y h(x) = x² + 1. Completa lo siguiente: a. f(g(-3)) b. g(f(0)) c. g(f(-6))
f(x) = x, f(x) = x2, f(x) = x3, f(x) =
Diario 1. Acabas de estudiar seis funciones básicas112:
f (x) = lnx, y f(x) =
x , f (x) = logax,
1 x.
Tu logotipo debe tener atractivo estético e incluir lo siguiente: o por lo menos una de las funciones de la lista de funciones básicas; o por lo menos cuatro ecuaciones distintas; o por lo menos dos ejemplos de deslizamientos verticales y de contracciones o expansiones verticales; o por lo menos una reflexión, y o por lo menos un tipo de simetría Explica cómo tu logotipo cumple con cada uno de los criterios anteriores. Identifica cualquier punto, línea o ángulo importante asociado a la simetría de tu logotipo. Evalúa el trabajo de los estudiantes en la rúbrica de evaluación (ver anejo: Organizador - Rúbrica de tarea de desempeño). 107
f(x) = x, f(x) = x2, f(x) = x3, f(x) = logax, f (x) = lnx, y f(x) =
x , f (x) =
1 . x
a. Clasifica cada una de estas funciones básicas en par, impar o ninguna. (Justifica tu respuesta con una gráfica y álgebra.) b. Por cada función básica que clasificaste como par, sea g la función obtenida al desplazar la gráfica hacia abajo cinco unidades; determina si g es par, impar o ninguna. c. Por cada función básica que clasificaste como par, sea h la función obtenida al desplazar la gráfica hacia arriba tres unidades; determina si h es par, impar o ninguna. Boletos de entrada/salida
Fuente: http://www.curriki.org/xwiki/bin/view/Coll_yarbroughj/SymmetryofFunctions
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Unidad 11.1: Funciones y transformaciones Matemáticas 7 semanas Transformaciones de las funciones108 Los estudiantes demostrarán su comprensión de la transformación de funciones exponenciales y logarítmicas por medio de la siguiente tarea de desempeño. Instrucciones: Elige funciones exponenciales, logarítmicas, polinómicas, racionales o trigonométricas. Haz entre 1 a 5 afiches de las cinco transformaciones estudiadas en clase. Incluye ejemplos. Incluye algo que los haga memorables y fáciles de entender. Las cinco transformaciones son: traslación vertical, traslación horizontal, expansión o contracción vertical, expansión o contracción horizontal, reflexión Evalúa el trabajo de los estudiantes en la rúbrica de evaluación (ver anejo: Organizador - Rúbrica de tarea de desempeño).
1. Parea cada función con su característica113. 1. f(x) = 2x2 – 5 A. El dominio es [5, +∞) 2. g(x) = -x=3+ 4 B. El recorrido es [-5, +∞) 3. h(x) = C. El máximo es 4. 4. k(x) = 2x – 4 D. Disminuye en (-∞, +∞) 5. La función f(x) = 1/x se desplaza 3 unidades hacia arriba y 4 unidades a la izquierda. ¿Cuál es el recorrido de la función transformada?114
Etapa 3 – Plan de aprendizaje Actividades de aprendizaje
Relevo de la composición de las funciones115: Los estudiantes practican a componer funciones en equipo. En grupos de cuatro o cinco, combinan las funciones (como las expresiones polinómicas, racionales, radicales y logarítmicas), al sumar, restar, multiplicar, dividir o por composición, y evalúan los valores especificados de sus variables. Prepara un conjunto de tarjetas que contenga cada una de las funciones básicas (una por tarjeta) para cada grupo, y asegúrate de que cada persona del grupo tenga una tarjeta. Di un número que los estudiantes usarán para evaluar la primera función; los estudiantes entonces utilizarán el resultado de la primera función para evaluar la segunda función, etc., hasta que se hayan evaluado las cinco funciones. Para más información y ejemplos de tarjetas, dirigirse a http://jcschools.net/dynamic/math/Activities/CompFunctionsRelay_Activity_Alg2.pdf. Actividad de composición de funciones116: Una vez aprendan a cómo componer funciones, utiliza esta actividad para que refuercen su comprensión de cómo componer funciones. En grupos de dos
111
Ibídem. Fuente: http://www.curriki.org/xwiki/bin/view/Coll_yarbroughj/SymmetryofFunctions 108 Fuente: http://www.teachforever.com/2009/01/project-idea-transformations-of.html 113 Fuente: http://www.curriki.org/xwiki/bin/view/Coll_kbellflower/Bellringer 114 Fuente: http://www.curriki.org/xwiki/bin/view/Coll_kbellflower/TicketOuttheDoor_0 115 Fuente: http://jc-schools.net/dynamic/math/Activities/CompFunctionsRelay_Activity_Alg2.pdf 116 Fuente: http://math.tamucc.edu/~jchampion/wp-content/uploads/Function-Composition-Activity.docx 112
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Unidad 11.1: Funciones y transformaciones Matemáticas 7 semanas
a tres, los estudiantes componen funciones durante dos rondas de esta actividad (ver anejo: 11.1 Actividad de aprendizaje - Actividad de composición de funciones). A continuación, la clase completa hallará fórmulas para solucionar las funciones en cadena. Modelo Frayer: Creen modelos Frayer como clase, o pídeles a los estudiantes que creen su propio modelo Frayer por cada familia de funciones. Utiliza los modelos Frayer para facilitar una discusión en clase sobre las características de cada familia de funciones (ver anejo: Organizador— Modelo Frayer.) Familias de funciones117: Se dirige a los estudiantes paso a paso con un organizador gráfico sobre las familias de funciones básicas. Los estudiantes aprenden la forma general, las funciones originales y ejemplos gráficos de cada familia de funciones (ver anejo: 11.1 Actividad de aprendizaje - Familias de funciones). Organizadores de funciones cuadráticas118: Los estudiantes aprenden a cómo identificar las funciones cuadráticas con una gráfica a partir de la función cuadrática. A continuación, utilizarán estas destrezas para identificar deslizamiento, simetría, interceptos, ceros y vértices. (ver anejo: 11.1 Actividad de aprendizaje - Organizadores de funciones cuadráticas). Transformaciones de las funciones119: Los estudiantes utilizan un organizador gráfico para consolidar su comprensión de las distintas transformaciones que pueden sufrir las funciones. Los estudiantes entonces resumirán su nuevo conocimiento y aplicarán estas transformaciones a diferentes familias de funciones. (ver anejo: 11.1 Actividad de aprendizaje - Transformaciones de gráficas.)
Ejemplos para planes de la lección
Exploración de la simetría de funciones120: En esta lección, los estudiantes transformarán funciones básicas, incluidos los deslizamientos verticales, las expansiones, contracciones y reflexiones para crear diseños y logotipos. Aprenderán a cómo diferenciar entre funciones pares e impares por medio de gráficas y álgebra. (ver anejo: 11.1 Ejemplo para plan de lección - Exploración de la simetría de funciones). Gráficas de las familias de cuadráticas121: En esta lección de descubrimiento, los estudiantes aprenderán cómo trazar gráficas de familias de funciones cuadráticas, y se familiarizarán con las diferentes formas de la cuadrática y el papel de los distintos coeficientes por medio de una investigación con calculadora. En las lecciones de seguimiento debe incluirse la aplicación de estas reglas de cómo transformar funciones a las diferentes familias de funciones. (ver anejo: 11.1 Ejemplo para plan de lección - Gráficas de familias de funciones cuadráticas). Crecimiento y decrecimiento exponencial122: Utilizando las hojas de actividades y la TI 82/83, los estudiantes podrán obtener información estadística y enumerar variables independientes y dependientes, trazar puntos de datos, y hallar y trazar la gráfica del modelo exponencial de mejor correspondencia. Los ejemplos de la vida real serán de crecimiento y decaimiento exponencial. Para más información y hojas de actividades, dirigirse a:
117
Fuente: http://www.wsfcs.k12.nc.us/Page/7246 Ibídem. 119 Ibídem. 120 Fuente: http://www.curriki.org/xwiki/bin/view/Coll_yarbroughj/SymmetryofFunctions 121 Fuente: www.curriculumframer.com 122 Fuente: http://www.nsa.gov/academia/_files/collected_learning/high_school/algebra/exponential_growth_decay.pdf 118
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Unidad 11.1: Funciones y transformaciones Matemáticas 7 semanas
http://www.nsa.gov/academia/_files/collected_learning/high_school/algebra/exponential_growth _decay.pdf. Funciones inversas123: Los estudiantes aplicarán su conocimiento de la vida cotidiana de cómo resolver en retroceso a partir de la conclusión para comprender cómo escribir y operar las funciones inversas. Explorarán la relación entre una función y su inversa, para luego investigar la relación entre una función radical y su inversa. Colaborarán para hacer una conexión entre cómo escribir instrucciones al revés y cómo "deshacer" un algoritmo y pasar a usar la notación funcional para representar el algoritmo original y el algoritmo funcional. Las preguntas son abiertas para permitirles a los estudiantes sacar sus propias conclusiones al principio. Los estudiantes entonces estudiarán una función, así como las gráficas y tablas de funciones inversas. A través del proceso de "deshacer", se espera que determinen funciones inversas. Anímalos a que corroboren su propio trabajo con una calculadora gráfica (¿produce su respuesta la gráfica esperada?) o verificando la inversa con la tabla de valores. Nota: Se utiliza notación funcional inversa. Para más información y materiales, dirigirse a http://www.pbs.org/newshour/extra/teachers/lessonplans/math/math_recall_9-29.html.
Recursos adicionales
http://profjserrano.wordpress.com/ http://education.ti.com/downloads/guidebooks/graphing/84p/TI84Plus_guidebook_ES.pdf http://isa.umh.es/calc/TI/TI83/TI83manual-spa.pdf Matemáticas Integradas I, II, III de McGraw Hill Precálculo: Funciones y gráficas de Raymond Barnett Algebra I de Glencoe
Conexiones a la literatura Aunque los siguientes libros están dirigidos a estudiantes de la escuela primaria, éstos apuntan a los principios fundamentales de matemáticas los cuales se pueden explorar en todos los niveles. Todo el mundo disfruta de que alguien le lea y los estudiantes de la escuela secundaria no son la excepción. Estos libros son una excelente introducción a las unidades de estudio. Más allá de la coincidencia de Martin Plimmer El matemático del rey de Juan Carlos Arce La música de los números primos: El enigma de un problema matemático abierto de Marcus Du Sautoy Dots, Spots, Speckles, and Stripes de Tana Hoban Trigonometric Delights de Eli Maor Mathematics are People: Stories from the lives of Great Mathematicians de Luetta Reamer and Wilber Reimer
123
Fuente: http://www.sde.ct.gov/sde/lib/sde/pdf/curriculum/p69_possiblesentences_grades10-12_algebra2.pdf
Junio 2012 Adaptado de Understanding by Design de Grant Wiggins y Jay McTighe
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Unidad 11.2: Propiedades de los círculos y funciones trigonométricas Matemáticas 4 semanas Etapa 1 - Resultados esperados Resumen de la unidad En esta unidad, los estudiantes crearán modelos y calcularán soluciones de ecuaciones trigonométricas por medio de la transformación de funciones trigonométricas. Crearán, describirán y harán predicciones sobre fenómenos periódicos para resolver situaciones matemáticas y del mundo real. Lograrán entender teoremas básicos sobre círculos y hallarán longitudes de arco y áreas de sectores de los círculos. Meta de transferencia: Los estudiantes saldrán de la clase con la capacidad de usar su conocimiento sobre las razones y funciones para interpretar, predecir y resolver situaciones del mundo real mediante la aplicación de medidas indirectas.
Estándares de contenido y expectativas Funciones trigonométricas A.PR.11.4.1 Identifica ángulos en posición estándar y asocia su medida con la rotación del lado terminal. Define los ángulos en el plano (en posición estándar, los cuadrantes, los lados coterminales y el ángulo de referencia). A.PR.11.4.3 Representa las funciones trigonométricas por medio de tablas, gráficas, expresiones verbales y ecuaciones. Evalúa funciones trigonométricas para un número real dado. Reconoce las características principales de cada una de las funciones trigonométricas (el dominio, el recorrido, las intersecciones con los ejes, los valores máximos y mínimos, las asíntotas y los intervalos donde es creciente o decreciente). Propiedades de los círculos A.PR.11.4.2 Define el círculo unitario. M.UM.11.8.1 Determina la medida de los ángulos en grados y en radianes y establece las conversiones entre ambas unidades de medida. M.UM.11.8.2 Desarrolla y aplica los valores de las funciones trigonométricas en: 0, π/6, π/4, π/3, π/2, π, y sus múltiplos. M.TM.11.8.3 Calcula longitudes de arco. M.TM.11.8.4 Determina el área de un sector circular.
Ideas grandes/Comprensión duradera:
Preguntas esenciales:
Podemos encontrar aplicaciones de funciones trigonométricas en la vida cotidiana. Los triángulos nos permiten comprender cosas importantes. Las funciones trigonométricas sirven de modelo para situaciones de la vida real. El círculo unitario ayuda a solucionar problemas.
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¿Qué proyecto han hecho tú o tu familia que podría incluir la trigonometría? ¿Cómo nos ayudan los triángulos a entender el mundo? ¿Por qué son útiles las funciones trigonométricas? ¿Cómo el círculo unitario nos ayuda a entender nuestro mundo? 1150
Unidad 11.2: Propiedades de los círculos y funciones trigonométricas Matemáticas 4 semanas Contenido (Los estudiantes comprenderán...)
Destrezas (Los estudiantes podrán...)
Ángulos en posición estándar La definición de círculo unitario Los ángulos en el plano (en posición estándar, cuadrantes, lados coterminales y ángulo de referencia) Las características principales de cada una de las funciones trigonométricas (dominio, recorrido, intersecciones con los ejes, valor máximo y mínimo, asíntotas y crecimiento y decrecimiento de intervalos Los valores de las funciones trigonométricas en los radianes (ej., 0, π/6, π/4, π/3, π/2, π)
Vocabulario de contenido Funciones trigonométricas: amplitud, ángulo de referencia, asíntota, características de funciones trigonométricas, cuadrantes, dominio, eje principal, funciones trigonométricas, intersecciones, intervalo creciente, intervalo decreciente, lados coterminales, lado terminal, periodo, posición estándar, trigonometría, valor máximo, valor mínimo Propiedades del círculo: arco, círculo unitario, grados, pi (π), radián, sector circular, valores de las funciones trigonométricas
Identificar ángulos en posición estándar y asociar su medida con la rotación del lado terminal. Representar las funciones trigonométricas por medio de tablas, gráficas, expresiones verbales y ecuaciones. Evaluar funciones trigonométricas para un número real dado. Reconocer las características principales de cada una de las funciones trigonométricas (el dominio, el recorrido, las intersecciones con los ejes, los valores máximos y mínimos, las asíntotas y los intervalos donde es creciente o decreciente). Determinar la medida de los ángulos en grados y en radianes, y establecer las conversiones entre ambas unidades de medida. Desarrollar y aplicar los valores de las funciones trigonométricas en: 0, π/6, π/4, π/3, π/2, π y sus múltiplos. Calcular longitudes de arco. Determinar el área de un sector circular.
Etapa 2 – Evidencia de avalúo Tareas de desempeño
Otra evidencia
La estrella: ¿Cuán rápida es? ¿Cuán segura?124 Los estudiantes demostrarán su comprensión de las propiedades de los círculos al solucionar un problema sobre una estrella.
Ejemplos de preguntas de examen/quiz 1. ¿Cuál ecuación podría usarse para hallar la medida de un ángulo agudo en el ángulo rectángulo que se muestra a continuación?126
Parte 1: La gente se está quejando de que la estrella de un parque de diversiones va muy rápido, y tienen miedo de montarse. El operador de la estrella acaba de ser transferido hace poco de la estrella para niños, donde nunca había recibido ninguna queja. Tu reto es llegar hasta el 124 126
a)
senA
4 5
Fuente: www.curriculumframer.com Fuente: http://www.jmap.org/htmlstandard/Integrated_Algebra/Algebra/A.A.43.htm
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Unidad 11.2: Propiedades de los círculos y funciones trigonométricas Matemáticas 4 semanas fondo del problema y encontrarle una solución. Con un poco de investigación se obtuvieron los siguientes datos: 1. La estrella para niños tiene un diámetro de 40 pies. 2. La estrella regular tiene un diámetro de 200 pies. 3. Al preguntársele, el operador provee la siguiente información: "Llevo veinte años operando la estrella para niños, ¡y nunca he recibido ni una sola queja! Este es mi sistema: la estrella tiene asientos de diferentes colores. Seis de ellos son de color dorado brillante y se suceden a intervalos iguales. Experimentando durante varios años, encontré que si un asiento dorado llegaba al suelo cada diez toques de la segunda manecilla de mi reloj, los niños quedaban contentos. Ni muy rápido, ni muy lento. Resulta que la estrella para adultos también tiene seis asientos dorados que se suceden a intervalos iguales. Estoy haciendo lo que he hecho siempre, ¡pero los adultos dicen que es muy rápido! No lo entiendo..." Parte 2: La estrella se encuentra junto a una hermosa huerta sembrada de árboles. Sin embargo, estos están envejeciendo y, durante una tormenta reciente, algunos de los más pequeños se cayeron, y estuvieron a punto de dañar la estrella. Tu tarea es decidir qué hacer con los árboles restantes. La propietaria ha marcado unos cuantos árboles que le preocupan. Desde la base de la estrella, has medido el ángulo entre el suelo y la línea de visión hasta el tope del árbol, así como la distancia entre la base del tronco y la base de la estrella. (La estrella tiene un diámetro de 200 pies.) Árboles junto a la estrella Árbol 1 – a 45 pies de distancia, medida del ángulo = 65° Árbol 2 – a 82 pies de distancia, medida del ángulo = 38° 127 128
b) c) d) 2. El poste central de una caseta de acampar es de 8 pies de longitud, y un lado de esta es de 12 pies de longitud, según se muestra en el diagrama a continuación.127
Si se forma un ángulo recto en el lugar en que el poste central toca el suelo, ¿cuál es la medida del ángulo A al grado más cercano? a) 34 b) 42 c) 48 d) 56 3. En un reloj, la manecilla que marca la hora mide 4.5 pulgadas y la manecilla que marca los minutos mide 6 pulgadas.128 a) ¿Cuál es la medida del arco que describe la manecilla que marca la hora a medida que esta se mueve de las 11 a las 4? ¿Cuál es la longitud de este arco? b) ¿Cuál es la medida del arco que describe la manecilla que marca los minutos a medida que esta se mueve de las 11 a las 4? ¿Cuál es la longitud de este arco? c) ¿Cuál es el área del sector que cubre la manecilla que marca la hora a medida que se mueve de las 11 a las 4? 4. En el diagrama a continuación, el círculo unitario O posee los radios OB, OE , y OF ,
CB es la tangente del círculo O en B, y ED es la tangente del círculo O en E. Los puntos O, F, D y C son colineales, y FA OB .
Ibídem. Fuente: http://www.apskids.org/Documents/Math%20II%20Unit%203%20TE%20APS%20Supplement.pdf
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Unidad 11.2: Propiedades de los círculos y funciones trigonométricas Matemáticas 4 semanas Árbol 3 – a 30 pies de distancia, medida del ángulo = 78° A la propietaria no solo le preocupa si los árboles le darán a la estrella si se caen, sino también dónde le darían. Además, como los árboles seguirán creciendo, a la propietaria le gustaría que le enseñaras a cómo estar pendiente de los árboles en el futuro. Presenta tus hallazgos en un informe ilustrado. Evalúa el trabajo de los estudiantes en la rúbrica de evaluación (ver anejo: Organizador - Rúbrica de tarea de desempeño). ¿Quién tiene la razón?125 Los estudiantes demostrarán su comprensión de las funciones trigonométricas por medio del análisis de la equivalencia de dos funciones. Dados los problemas a continuación, los estudiantes crearán su propia "crítica del maestro" para los estudiantes en el problema. Evalúa el trabajo de los estudiantes en la rúbrica de evaluación (ver anejo: Organizador - Rúbrica de tarea de desempeño). Dadas las siguientes ecuaciones, determina la amplitud, el periodo, la frecuencia y cambio de fase de cada ecuación. y 2sen (x 2) 4 3
y 4 2 cos x 3.5 3 Se oye a dos estudiantes, Anthony y Christian, discutiendo estas ecuaciones; Anthony está seguro de que las ecuaciones son equivalentes, mientras que Christian insiste en que son diferentes. ¿Cuál de los dos tiene la razón? Explica
Si m C OB , identifica los segmentos de línea cuyas medidas sean cada una de las siguientes:129 sen cos tan sec
csc cot
Diario 1. Reflexiona sobre las actividades realizadas en clase y resume en tus propias palabras lo que has aprendido sobre el desarrollo de la trigonometría de triángulos.130 2. Elabora tu propia definición de la trigonometría a partir de lo que has aprendido hasta ahora. Menciona dos cosas importantes que nos permite hacer la trigonometría de triángulos. Luego menciona por lo menos tres ejemplos específicos de cuándo necesitarías usar la trigonometría de triángulos en la vida real.131 3. La maestra de Anthony le ha dicho a la clase que un círculo unitario tiene una circunferencia de 2π. Esto lo confundió, porque él pensaba que un círculo tenía 360˚.
125
Fuente: http://www.amaps.org/leftfiles/Syllabi/Algebra%202%20Sample%20Tasks.pdf Ibídem. 130 Fuente: http://jfmueller.faculty.noctrl.edu/toolbox/examples/kristensen03/trigtaskjournal.pdf 131 Ibídem. 129
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Unidad 11.2: Propiedades de los círculos y funciones trigonométricas Matemáticas 4 semanas tu respuesta de forma exhaustiva usando gráficas y un párrafo escrito que respalde tu postura.
Como Anthony es tu amigo, te gustaría ayudarlo a entender qué quiso decir la maestra. Escribe una explicación detallada en que compares los grados con los radianes. La explicación debe ser lo más detallada posible para ayudarle a Anthony a entender la conexión. Incluye cualquier cosa que pueda aclarárselo, como diagramas, ecuaciones, etc.132 Boletos de entrada/salida 1. Llena los blancos de la siguiente gráfica. Función trigonométrica sen π tan45˚ cos270˚ sen π/3 cos___
Valor exacto
Valor aproximado
3 /2
tan___
3
cos___
2 /2
¿En qué circunstancias utilizarías un aproximado de cada uno de estos valores, en vez de dar una respuesta exacta? 133 2. ¿Cuál es el recorrido de la función f(x) = sen x? En base a tu respuesta, ¿cuál es el recorrido de la función f(x) = csc x? Explica tu respuesta.134 3. Completa la tabla: Ángulo
Cuadrante
Trazar en posición estándar
Medida en grados
Ángulo cotermi nal positivo
Ángulo cotermi nal negativo
(2π)/3 π/6 (7π)/4
132
Fuente: http://www.amaps.org/leftfiles/Syllabi/Algebra%202%20Sample%20Tasks.pdf Ibídem. 134 Ibídem. 133
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Unidad 11.2: Propiedades de los círculos y funciones trigonométricas Matemáticas 4 semanas Etapa 3 – Plan de aprendizaje Actividades de aprendizaje
Truco de memorización para razones trigonométricas: Utiliza esta parte como actividad de repaso rápido. Guía a los estudiantes paso a paso para que creen sus propios trucos de memorización que les ayuden a recordar las razones trigonométricas de seno, coseno y tangente. SOH-CAH-TOA les recuerda a los estudiantes que para calcular 1) seno, tienen que dividir la longitud del lado opuesto por la hipotenusa; 2) coseno, tienen que dividir la longitud del lado adyacente por la hipotenusa, y 3) la tangente es la longitud del lado opuesto dividido por la longitud del lado adyacente. Completa el círculo unitario135: Juntos como clase, completen un círculo unitario en blanco en papel cuadriculado. Identifiquen y discutan los patrones en los círculos unitarios como forma de ayudarles a los chicos a recordarlo. Pega en la pared del salón el círculo unitario completado para que los estudiantes lo usen de referencia en lecciones futuras. Pídeles a los estudiantes que como práctica en casa completen un círculo unitario en blanco tanto en radianes como en grados. Estos también les servirán de referencia durante la unidad (ver anejo: 11.2 Actividad de aprendizaje Completa el círculo unitario). Funciones circulares de seno, coseno y tangente136: Los estudiantes calculan el seno, coseno y la tangente para trazar la gráfica de cada función. Los estudiantes entonces comparan las características de las funciones como la amplitud, el periodo, el dominio y el recorrido. Utiliza esta actividad para introducir y definir términos como amplitud, periodo y eje principal, y para discutir las características de las funciones circulares básicas (ver anejo: 11.2 Actividad de aprendizaje - Las funciones circulares seno, coseno y tangente). Recorrido de radianes137: Tras introducir a los estudiantes al círculo unitario, pídeles que jueguen al juego del recorrido de radianes para consolidar su comprensión de las medidas de los ángulos en los radianes y las coordenadas correspondientes en el círculo unitario. 1. Utiliza cinta adhesiva conductora o cinta adhesiva protectora (masking tape) para crear un círculo unitario con un diámetro de aproximadamente doce pies en el suelo en el centro del salón de clases. Incluye los ejes de x y de y para marcar los ángulos de 90 grados. Rotúlalos para que los estudiantes sepan la ubicación de 0 radianes. Marca los ángulos de 30, 45 y 60 grados en cada cuadrante. 2. Pon la aguja en el origen. Enciende la música y haz que los estudiantes caminen en un círculo hasta que se detenga la música. En ese momento cada estudiante deberá estar en uno de los ángulos del círculo unitario marcados. Haz girar la aguja. La aguja indica el estudiante que debe mencionar sus coordenadas y ubicación en el círculo unitario. Si ese estudiante comete un error, quedará eliminado(a) del juego. Si tu clase es de más de quince o dieciséis estudiantes, tal vez prefieras usar dos círculos unitarios. Evaluación de las funciones trigonométricas138: Pídeles a los estudiantes que evalúen las funciones trigonométricas utilizando triángulos rectángulos especiales, con y sin calculadora (ver anejo: 11.2 Actividad de aprendizaje - Evaluación de las funciones trigonométricas). Rompecabezas trigonométrico139: Recorta el rompecabezas cuatro por cuatro de funciones
135
Fuente: http://www.wsfcs.k12.nc.us/Page/7246 Ibídem. 137 Fuente: http://www.pleacher.com/handley/lessons/trig/radwalk.html 138 Fuente: http://www.wsfcs.k12.nc.us/Page/7246 136
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Unidad 11.2: Propiedades de los círculos y funciones trigonométricas Matemáticas 4 semanas
trigonométricas y sus equivalentes. Los estudiantes vuelven a formar el rompecabezas pareando los equivalentes. Pueden crear también sus propios rompecabezas. (ver anejo: 11.2 Actividad de aprendizaje - Rompecabezas trigonométrico). Juego del seno coseno140: Una vez se introduzca el tema de las funciones de seno y coseno, los estudiantes estarán listos para jugar al juego del seno coseno. Una vez se haya dado una introducción a los estudiantes de las seis funciones trigonométricas, jueguen el mismo juego, pero mezclen secante con coseno o cosecante con las expresiones de seno en la columna de la izquierda. Esto ayuda a consolidar en especial las destrezas de razonamiento deductivo, interpretación de gráficas y aproximación. Los estudiantes tendrán además la oportunidad de aprender de, y trabajar con otros. (ver anejo: 11.2 Actividad de aprendizaje - Juego del seno coseno). 1. Divide la clase en parejas y distribuye hojas sueltas de papel a cada una. En esta hoja habrá dos columnas. La columna de la izquierda contiene expresiones ya sea con funciones de seno o coseno. En la columna de la derecha se encuentran aproximaciones decimales de las expresiones de la columna de la izquierda, pero en un orden aleatorio. Se escogen valores de forma tal que solo uno de los cinco valores decimales sea posible por cada función. 2. Cada pareja tendrá tres minutos para parear cada expresión de la columna de la izquierda con su representación decimal correspondiente en la columna de la derecha. No se permite usar calculadora. 3. Gana la pareja que obtenga los cinco pareos correctos.
Ejemplos para planes de la lección
Ángulos en el plano141: En esta lección, los estudiantes identificarán y describirán ángulos en el plano y harán conversiones de medidas de grados a radianes, y viceversa. Guíalos paso a paso con las notas guiadas mientras los estudiantes completan las hojas a medida que discutes cada tema (ver anejo: 11.2 Ejemplo para plan de lección - Ángulos en el plano). Dales a los estudiantes problemas de práctica para consolidar la lección. Radianes, grados, longitud de arco, sectores142: En esta lección, los estudiantes aprenderán cómo convertir de radianes a grados y viceversa. Aprenderán además cómo medir la longitud de arco y área de los sectores. Guíalos paso a paso con las notas guiadas mientras los estudiantes completan las hojas a medida que discutes cada tema. (ver anejo: 11.2 Ejemplo para plan de lección Radianes, grados, longitud de arco, sectores). Gráficas del círculo unitario143: En grupos de dos a tres estudiantes, utilicen espagueti crudo para transferir las longitudes del círculo unitario a una función en papel cuadriculado puesto sobre papel de estraza grande. En el proceso, los estudiantes descubrirán y compararán las características claves de las gráficas de seno y coseno. Los estudiantes explorarán las relaciones entre las longitudes al entender cómo todas las medidas se basan solo en el espagueti inicial, que es una unidad (y por lo tanto, el círculo unitario). La mayoría de la lección tendrá un enfoque en las longitudes físicas comparativas del espagueti, no en medidas numéricas. Para más información y hojas de actividades, dirigirse a
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Fuente: http://www.pleacher.com/handley/lessons/trig/cutups.html Fuente: http://www.pleacher.com/handley/lessons/trig/sincosgm.html 141 Fuente: http://math.springbranchisd.com/high/classes/precalculus/PreCalculus_Scope_08_2008.pdf 142 Fuente: http://www.wsfcs.k12.nc.us/Page/7246 143 Fuente: http://illuminations.nctm.org/LessonDetail.aspx?id=L785 140
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Unidad 11.2: Propiedades de los círculos y funciones trigonométricas Matemáticas 4 semanas
http://www.pbs.org/newshour/extra/teachers/lessonplans/math/math_recall_9-29.html. http://illuminations.nctm.org/LessonDetail.aspx?id=L785. Materiales: papel de estraza, espagueti crudo, cinta adhesiva protectora, transportadores, reglas métricas, lápices de colores, hilo de tejer (aproximadamente 7 pies por grupo). Instrucciones: 1. Repártele las gráficas de la actividad de círculo unitario a cada estudiante. 2. El primer reto para los estudiantes será averiguar cómo dibujar un círculo con un radio equivalente a un fideo. Cuando los estudiantes comiencen a trazar los círculos, date la vuelta por el salón de clase para asegurarte de que estén bien dibujados. 3. A medida que los estudiantes comienzan a medir y marcar las medidas de sus ángulos, asegúrate de que coloquen el fideo alrededor del círculo en contra de las manecillas del reloj comenzando en (1.0). Esto los ayuda a reforzar la idea de las medidas de ángulos del círculo unitario para los ángulos que están en posición estándar. La gráfica funcionará sin importar la dirección en que coloquen el fideo sobre el círculo, pero esto los ayudará a reforzar lo que han aprendido sobre la trigonometría de los círculos unitarios. 4. No distribuyas la hoja de actividades con preguntas hasta que los estudiantes hayan terminado la hoja de gráficas correctamente. Longitud de arco y sectores de área144: Se guía a los estudiantes paso a paso con un ejemplo del mundo real para que descubran cómo calcular tanto la longitud de arco como el área de sectores circulares. Instrucciones: Longitud de arco: La medida de un arco se calcula en unidades de grados y se define como la medida de su ángulo central. La longitud de arco se calcula en unidades de distancia. En esta tarea, elaborarás una fórmula para calcular la longitud de un arco. 1. Considera la foto del carrusel aquí al lado. El caballo más próximo al centro está a 12 pies del centro del carrusel. El caballo más lejano del centro está a 24 pies de este. 2. Supón que el carrusel da una vuelta completa. a. ¿Por cuántos grados gira el caballo más lejano? b. ¿Por cuántos grados gira el caballo más próximo? c. ¿Recorren los caballos la misma distancia? ¿Por qué o por qué no? d. Si los dos caballos recorren la misma distancia, ¿cuán lejos llegan? Si recorren diferentes distancias, ¿cuán lejos llega cada uno? Explica cómo lo sabes. 3. Supón que el carrusel rota 120°. a. ¿Cuántos grados rota el caballo más lejano? b. ¿Cuántos grados rota el caballo más próximo? c. ¿Cuán lejos llega cada caballo durante esta rotación? Explica cómo lo sabes. 4. Puede hacerse un modelo de las posiciones del caballo más próximo y más lejano del centro del carrusel usando dos círculos concéntricos. Los círculos concéntricos son círculos coplanales que tienen el mismo centro.
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Fuente:http://www.atlanta.k12.ga.us/cms/lib/GA01000924/Centricity/Domain/262/Math_II_Unit_3_APS_STUDENT_E dition.pdf
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Unidad 11.2: Propiedades de los círculos y funciones trigonométricas Matemáticas 4 semanas a. Utiliza tu compás para construir círculos concéntricos que representen las posiciones del caballo más próximo y más lejano a medida que gira el carrusel. b. Considera que la distancia que recorre un caballo es la longitud de arco que atraviesa el caballo en su círculo. Utiliza tu diagrama y respuestas de los problemas 1 y 2 para ayudarte a determinar una fórmula para hallar la longitud de cualquier arco en cualquier círculo. Área de un sector: El carrusel de la foto necesita ser remodelado. Supón que, en un esfuerzo por hacerlo más colorido, la feria desea pintarle un patrón de sectores al suelo del carrusel. Un sector de un círculo es una región entre dos radios y un arco de un círculo. 5. Considera el suelo del carrusel. Puede representarse con el círculo externo de tu diagrama del Problema 3a. Utiliza tu compás para construir un único círculo que represente el suelo del carrusel. ¿Cuál es el área del suelo? Explica cómo lo sabes. 6. El propietario ha decidido pintar el suelo con un patrón de sector con ángulos centrales de 10°, 20°, y luego de 30°. Utiliza tu transportador y un escalímetro (regla triangular de ingeniero) para dibujar el patrón de tu círculo. ¿Cuántos sectores de cada medida de grado tiene tu "piso"? 7. Supón que cada sector con un ángulo central de 10° se pintará de púrpura, cada sector con un ángulo central 20° se pintará de rosa y cada sector con un ángulo central 30° se pintará de azul. ¿Cuántos pies cuadrados del piso estarán pintados de púrpura? ¿De rosa? ¿De azul? Explica cómo lo sabes. 8. Utiliza lo que aprendiste en los problemas 4 y 6 para ayudarte a determinar una fórmula para hallar la longitud de cualquier sector en cualquier círculo.
Recursos adicionales
http://profjserrano.wordpress.com/ http://education.ti.com/downloads/guidebooks/graphing/84p/TI84Plus_guidebook_ES.pdf http://isa.umh.es/calc/TI/TI83/TI83manual-spa.pdf Matemáticas Integradas I, II, III de McGraw Hill Pre cálculo: Funciones y gráficas de Raymond Barnett Algebra I de Glencoe
Conexiones a la literatura Nota: Aunque los siguientes libros están dirigidos a estudiantes de la escuela primaria, éstos apuntan a los principios fundamentales de matemáticas los cuales se pueden explorar en todos los niveles. Todo el mundo disfruta de que alguien le lea y los estudiantes de la escuela secundaria no son la excepción. Estos libros son una excelente introducción a las unidades de estudio. Más allá de la coincidencia de Martin Plimmer El matemático del rey de Juan Carlos Arce La música de los números primos: El enigma de un problema matemático abierto de Marcus Du Sautoy Trigonometric Delights de Eli Maor
Junio 2012 Adaptado de Understanding by Design de Grant Wiggins y Jay McTighe
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Unidad 11.3: Gráficas de las funciones trigonométricas Matemáticas 5 semanas Etapa 1 - Resultados esperados Resumen de la unidad En esta unidad, los estudiantes crearán modelos y calcularán soluciones de ecuaciones trigonométricas por medio de la transformación de funciones trigonométricas. Crearán, describirán y harán predicciones sobre fenómenos periódicos para resolver situaciones matemáticas y del mundo real. Meta de transferencia: Los estudiantes saldrán de la clase con la capacidad de usar su conocimiento sobre cómo trazar gráficas de las funciones trigonométricas para interpretar, predecir y resolver situaciones reales.
Estándares de contenido y expectativas Gráficas de las funciones trigonométricas: A.PR.11.4.4 Traza la gráfica de funciones de la forma: f(t) = ± A sen (Bx + C) + D, e interpreta A, B, C y D en términos de amplitud, frecuencia, periodo, deslizamiento vertical y cambio de fase. A.PR.11.4.5 Identifica las características de un fenómeno periódico usando la información provista por la gráfica. A.PR.11.4.6 Describe y hace predicciones sobre fenómenos periódicos de la vida real usando la información de la gráfica. A.PR.11.4.7 Traduce entre la representación gráfica y la algebraica para las funciones generalizadas seno y coseno. A.PR.11.4.8 Resuelve ecuaciones trigonométricas. A.PR.11.4.9 Utiliza funciones trigonométricas para construir modelos y resolver problemas matemáticos y del mundo real.
Ideas grandes/Comprensión duradera:
Preguntas esenciales:
Los valores A, B, C y D afectan la función trigonométrica de seno f(x) = A sen (Bx+C)+D. El fenómeno periódico puede describirse con matemáticas. Las funciones y gráficas trigonométricas sirven de modelo del mundo real y nos permiten resolver problemas.
¿Cómo los coeficientes A, B, C y D afectan la función trigonométrica de seno f(x) = A sen (Bx+C)+D? ¿De qué forma las matemáticas nos permiten entender el fenómeno periódico? ¿Cómo nos ayudan las gráficas y las funciones a interpretar problemas del mundo real?
Contenido (Los estudiantes comprenderán...)
Destrezas (Los estudiantes podrán...)
Las características de un fenómeno periódico La representación gráfica y algebraica de las funciones generalizadas de seno y coseno
Vocabulario de contenido amplitud, asíntota, características de las funciones trigonométricas, deslizamiento, Junio 2012
Trazar la gráfica de funciones de la forma: f(t) = ± A sen (Bx + C) + D, e interpretar A, B, C y D en términos de amplitud, frecuencia, periodo, deslizamiento vertical y cambio de fase. Identificar las características de un fenómeno periódico usando la información provista por la gráfica. 1159
Unidad 11.3: Gráficas de las funciones trigonométricas Matemáticas 5 semanas deslizamiento de fase, dominio, eje principal, frecuencia, funciones trigonométricas, intersecciones, intervalo decreciente, periodo/periódico, traslación vertical, trigonometría, valor máximo, valor mínimo
Describir y hacer predicciones sobre fenómenos periódicos de la vida real usando información de la gráfica. Traducir entre la representación gráfica y la algebraica para las funciones generalizadas seno y coseno. Resolver ecuaciones trigonométricas. Utilizar funciones trigonométricas para construir modelos y resolver problemas matemáticos y del mundo real.
Etapa 2 – Evidencia de avalúo Tareas de desempeño
Otra evidencia
Guía de gráficas trigonométricas145 Los estudiantes demostrarán su comprensión de cómo trazar funciones trigonométricas creando una guía de gráficas. Deberán crear una guía paso a paso limpia y bien rotulada de cómo trazar gráficas de funciones trigonométricas. En la guía, los estudiantes deben describir: 1. el comportamiento de las gráficas de seis funciones trigonométricas básicas (y=senθ; y=cscθ; y=cosθ; y=secθ; y=tanθ; y=cotθ); 2. cómo se relacionan, y 3. cómo las alteraciones en la función básica alteran el periodo, la amplitud, el dominio, el recorrido y el deslizamiento de fase Los estudiantes deben usar gráficas de ejemplo para apoyar sus conclusiones. Evalúa el trabajo de los estudiantes en la rúbrica de evaluación (ver anejo: Organizador - Rúbrica de tarea de desempeño).
Ejemplos de preguntas de examen/quiz 1. Dada la gráfica siguiente, responde a las preguntas a-g. 147
Cómo hacer modelos de datos climáticos reales146 Los estudiantes demostrarán su comprensión de cómo trazar gráficas de funciones de seno y coseno haciendo modelos de datos climáticos reales y prediciendo las incógnitas. Trazarán la
a. Indica un ciclo en esta gráfica usando marcas de cotejo (o cualquier otro método) para indicar el comienzo y final del ciclo. b. ¿Cuál es el periodo de esta función? c. ¿Cuál es la frecuencia de esta función? d. ¿Cuál es la amplitud de esta función? e. ¿Cuál de las siguientes ecuaciones debe asociarse con la gráfica anterior? y cos( 3 x ) 2
y cos(x ) +3 2
y 3 cos x
145
Fuente: www.curriculumframer.com Fuente: http://www.uen.org/Lessonplan/preview?LPid=25928 147 Fuente: http://www.swtc.edu:8082/mscenter/mthsci/trig/05trigfx/wk05tfx.pdf 146
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Unidad 11.3: Gráficas de las funciones trigonométricas Matemáticas 5 semanas gráfica de temperaturas en papel cuadriculado o en calculadora gráfica, y luego crearán una ecuación (modelo matemático) de los datos en función del período y amplitud de las temperaturas en un período de un año. Se proveen quince meses para que la naturaleza periódica de los datos resulte aparente. Los estudiantes pueden escoger una función de seno o coseno para su función. Materiales: Datos de temperatura de la ciudad (ver anejo: 11.3 Tarea de desempeño - Cómo hacer modelos de datos climáticos reales), papel de estraza, marcadores, yardas, reglas, cordón y cinta adhesiva. Instrucciones: 1. Indica a los estudiantes lo siguiente: "El servicio nacional de meteorología sufrió una falla en el sistema en abril (o el mes que sea) y perdieron todos los datos de ese mes porque, claro, no guardaron copia de los datos. Necesitan ayuda escribiendo un modelo que pueda predecir la temperatura promedio del mes que falta. Nos están dando otros 14 meses de datos para usarlos en nuestro modelo". "Las ecuaciones usadas para elaborar el modelo real se llaman modelos matemáticos. Por ejemplo, los ingenieros utilizan modelos matemáticos computarizados para diseñar, probar y construir cohetes, sistemas de irrigación, carros, fuegos artificiales... de todo. Tu grupo creará un modelo matemático (ecuación) para predecir los datos del mes que se perdieron de tu ciudad asignada". Nota: En las temperaturas de Salt Lake City hay un pequeño error o pequeña laguna en mayo entre el modelo y los datos reales. Los meteorólogos han notado esto como una desviación importante de la tendencia, y lo atribuyen al efecto lago dado que el Great 148 149
y 3 cos( x ) 2
y 3 cos( x ) 2 f. ¿Es esta una función par o impar? g. ¿Cuál es el recorrido de esta función? 2. Dada la gráfica a continuación, elige la función que representa.148
a) y = cos (x + p/3) b) y = cos (x - p/3) c) y = cos x + p/3 d) y = cos x - p/3 3. Resuelve: a. b. c. 4. Durante el día, la profundidad del agua varía en el fin del puerto únicamente. La tabla muestra la profundidad en pies en diferentes horas de la mañana.149 Hora
12 am
2 am
4 am
6 am
8 am
10 am
12 pm
Profun didad (pies)
3.4
8.7
11.3
9.1
3.8
0.1
1.2
a. Usa una función trigonométrica para hacer un modelo de los datos. b. Halla la profundidad a las 9 am y las 3pm. Diario 1. Compara el trazar gráficas de funciones
Fuente: http://www.swtc.edu:8082/mscenter/mthsci/trig/05trigfx/wk05tfx.pdf Fuente: http://www.scribd.com/doc/51511870/ejemplos
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Unidad 11.3: Gráficas de las funciones trigonométricas Matemáticas 5 semanas Salt Lake afecta las temperaturas de primavera. 2. Los estudiantes pueden trabajar en grupos de dos o tres. Repárteles la hoja de actividades (ver anejo: 11.3 Tarea de desempeño - Cómo hacer modelos de datos climáticos reales). Los datos climáticos contienen información de los meses y las temperaturas de cuatro ciudades dentro de un periodo de quince meses. Dale a cada grupo los datos de una ciudad. No dejes que los grupos sepan que algunos grupos tienen datos duplicados. El maestro tendrá que cubrir con corrector blanco el mes que los estudiantes tendrán que predecir. Los estudiantes tendrán que: a. Hallar la función de sus datos. b. Utilizar la función para predecir la información que falta y mostrar todos los pasos. c. Proveer la información que falta. 3. Los grupos tendrán que preparar un presentación de tres a cinco minutos. a. Escribe un modelo en la pizarra y designa a alguien para que tome nota durante la presentación. b. El grupo deberá presentar cómo hallaron la amplitud. c. Presentar cómo calcularon el periodo y el deslizamiento de fase. d. Presentar las respuestas de la hoja de guía. e. Presentar los valores predichos: ¿cuál fue el valor predicho del mes que faltaba? ¿Cómo obtuvieron ese valor? Evalúa el trabajo de los estudiantes en la rúbrica de evaluación (ver anejo: Organizador - Rúbrica de tarea de desempeño).
trigonométricas con otras funciones cuyas gráficas hayas trazado. ¿En qué se asemejan? ¿En qué se diferencian? 2. Determina los valores exactos de las seis funciones trigonométricas (y=senθ; y=cscθ; y=cosθ; y=secθ; y=tanθ; y=cotθ) de un ángulo en posición estándar cuyo lado terminal pasa por el punto (2, -3).150 3. Traza la gráfica de por lo menos un ciclo de cada uno de los siguientes:151 a. y = cos θ b. y=.2(.3)x c. y = sen (2θ) d. y = 1 + 3 cos 2 (θ - 40˚) Boletos de entrada/salida 1. ¿Cuáles son las características de las funciones de seno? ¿De coseno? ¿De tangente? 2. Sin trazar la gráfica de la función, ¿qué me pueden decir de cómo se diferencia y = 3 + 2 cos 2 (θ - 60˚) de su gráfica original? 3. Dada la función y = 3sin (2x - p/4) + 2 contesta las siguientes preguntas:152 a. ¿Cuál es la amplitud? b. ¿Cuál es el periodo? c. ¿Cuál es la frecuencia? d. ¿Hay un deslizamiento horizontal? _____ Si es así, el deslizamiento está a _____ unidades a la derecha/izquierda. e. ¿Hay un deslizamiento vertical? _____ Si es así, el deslizamiento está a _____ unidades hacia arriba/abajo. 4. Determina la amplitud de y = 3 sin (2x) + 4.153
150
Fuente: http://www.pleacher.com/mp/mlessons/trig/testmenu.html Ibídem. 152 Fuente: http://www.swtc.edu:8082/mscenter/mthsci/trig/05trigfx/wk05tfx.pdf 153 Fuente: http://www.pleacher.com/mp/mlessons/trig/testmenu.html 151
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Unidad 11.3: Gráficas de las funciones trigonométricas Matemáticas 5 semanas Etapa 3 – Plan de aprendizaje Actividades de aprendizaje
Ecuación de la curva del seno154: Haz un modelo de cómo se identifican las características de la curva de un seno dada su ecuación. Pídeles a los estudiantes que pareen las funciones de seno con sus características: periodo, amplitud y deslizamiento (ver anejo: 11.3 Actividad de aprendizaje Ecuación de la curva del seno). Nombra la gráfica trigonométrica155: Dales a los estudiantes un conjunto de seis a doce gráficas trigonométricas sacadas de libros o creadas por ti. Pídeles que las "nombren" según la ecuación que producirá la gráfica. Una vez los estudiantes hayan identificado y "nombrado" todas las gráficas correctamente, rétalos a que generen dos nombres adicionales por cada gráfica, uno usando la misma función y otro usando la cofunción. Los estudiantes pueden trabajar en parejas para crear nombres adicionales y corroborar sus respuestas usando una calculadora gráfica. Las cuatro funciones restantes156: Los estudiantes trazarán la gráfica de la tangente, cotangente, secante y cosecante usando traslaciones y dilataciones. Deben estar conscientes de que, aunque las funciones de seno y coseno son continuas, las cuatro restantes no lo son. Deben entender el comportamiento asintótico de cada una de las cuatro restantes. Utiliza los cinco puntos: máximo, mínimo e interceptos de la gráfica. Repasa con los estudiantes su conocimiento de las funciones de seno y coseno, sus interceptos en x y los valores máximo y mínimo para ayudar a trazar la gráfica de las otras cuatro funciones trigonométricas. Permíteles a los estudiantes trabajar en grupos para completar la hoja adjunta de “Las cuatro funciones restantes” (ver anejo: 11.3 Actividad de aprendizaje – Las cuatro funciones restantes). Asegúrate de que los estudiantes entiendan que las líneas verticales que aparecen en las gráficas de la calculadora de las funciones de secante, cosecante, tangente y cotangente están ahí solo para marcar el lugar de las asíntotas verticales. Cuando los estudiantes repliquen la gráfica, las asíntotas verticales deben aparecer como líneas entrecortadas para mostrar que solo están ahí de guía. Fíjate en que ni la función secante ni la cosecante tienen una amplitud, puesto que ninguna es una función limitada. Sin embargo, el valor a en y = acsc x ó y = asec x afectará la función de seno, puesto que cambiará el valor del punto máximo y mínimo.
Ejemplos para planes de la lección
Gráficas trigonométricas - ¿Qué hace una "constante fuera" de la función?157: En esta lección, los estudiantes predecirán los efectos de sumar y multiplicar por una constante en una gráfica trigonométrica, y luego confirmarán el efecto con una tabla de valores y un boceto rápido. Tendrán la oportunidad de realizar el mismo proceso con una serie de funciones trigonométricas. 1. Primero, repasen una función no trigonométrica que les resulte familiar, como y = x2. ¿Cómo se ve afectada la gráfica tras la incorporación de una constante? Describe cómo la gráfica básica se compara con la gráfica de y = 3x2, o y = x2+ 3. Traza la gráfica de las funciones para comprar y contrastar las tres funciones. 2. Una vez les hayas dado la oportunidad de completar esta parte y comparar sus respuestas en
154
Fuente: http://www.pleacher.com/handley/lessons/trig/sinegraf.html Fuente: www.curriculumframer.com 156 Fuente: http://www.doe.state.la.us/topics/comprehensive_curriculum.html 157 Fuente: www.curriculumframer.com 155
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Unidad 11.3: Gráficas de las funciones trigonométricas Matemáticas 5 semanas
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parejas, tengan una breve discusión en clase; asegúrate de que hayan descrito correctamente el efecto de sumar o multiplicar por una constante. Consideren además la pregunta: "¿Cambió la naturaleza fundamental de la forma?" (No, se desplazó, se expandió o se reflejó, pero mantuvo su naturaleza básica.) 3. Dales a los estudiantes ejemplos mixtos de funciones trigonométricas con las mismas transformaciones. Un ejemplo posible es: y = 2 sin x, y = 2 + 3cos x, y = 1 - tan x, y = 1 + 2 cot x, y = -1 + sec x, and y = 4 csc x. 4. Por cada ejemplo, haz que los estudiantes tracen la forma básica primero (por ejemplo, y=sen x). Pídeles que tracen la gráfica con los valores en x de -2 π a 2 π. En el mismo conjunto de ejes, pídeles que tracen la gráfica alterada usando los conceptos repasados, y sin trazar puntos específicos. El propósito es usar las formas básicas y consolidar la comprensión del efecto que tiene en la gráfica una constante sumada o multiplicada. Gráficas trigonométricas - ¿Qué hace una "constante fuera" de la función?158: Como este tema es un poco más complicado que el deslizamiento vertical y el cambio de amplitud estudiados anteriormente, los estudiantes explorarán primero el efecto de multiplicar y sumar una constante "dentro" de la función con ayuda tecnológica. Usando la calculadora gráfica, los estudiantes explorarán el cambio en el periodo y el deslizamiento de fase por medio de la observación, e intentarán realizar algunas generalizaciones en cuanto al efecto de multiplicar y sumar una constante con x antes de evaluar la función trigonométrica. 1. Provéeles a los estudiantes un conjunto de ejemplos de funciones trigonométricas. Elige ejemplos que representen todas las funciones, y asegúrate de que estas incluyan ejemplos del deslizamiento vertical, el cambio de amplitud, el cambio periódico y el deslizamiento de fase. 2. Pídeles a los estudiantes que grafiquen las funciones con la calculadora gráfica, y que hagan un dibujo detallado de un periodo de la gráfica y rotulen los puntos clave. 3. En parejas, los estudiantes deben analizar cada gráfica y compararla con la forma estándar con la que se relaciona. ¿Cómo los números en las funciones afectan la gráfica? ¿Podemos establecer de forma general cómo las operaciones de la variable antes de aplicar la función trigonométrica afectan la forma de la gráfica? Los estudiantes ya conocen el deslizamiento vertical y el cambio de amplitud por la lección anterior, y esa experiencia debe ayudarlos en esta exploración. 4. A medida que formulan hipótesis, sugiéreles que las pongan a prueba creando sus propias funciones, prediciendo cómo se verá la gráfica y probándola con la calculadora gráfica. Por ejemplo, una vez piensen que saben lo que el "4" hace en la función y = 2 - 3 sen (4x), haz una predicción de cómo y = 3 sen x debe verse y pruébala con la calculadora gráfica. 5. Sirve de facilitador de una discusión dirigida por los estudiantes sobre sus hallazgos. Notas sobre los datos periódicos y los deslizamientos de funciones trigonométricas159: Los estudiantes trazarán la gráfica y discutirán datos periódicos. Analizarán las características de cómo desplazar gráficas trigonométricas, como la función periódica, el periodo, el punto máximo, el punto mínimo, el eje principal y la amplitud. (ver anejo: 11. 3 Ejemplo para plan de lección - Notas sobre los datos periódicos y los deslizamientos de funciones trigonométricas).
Fuente: www.curriculumframer.com Fuente: http://www.wsfcs.k12.nc.us/Page/7246
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Unidad 11.3: Gráficas de las funciones trigonométricas Matemáticas 5 semanas Recursos adicionales
http://profjserrano.wordpress.com/ http://education.ti.com/downloads/guidebooks/graphing/84p/TI84Plus_guidebook_ES.pdf http://isa.umh.es/calc/TI/TI83/TI83manual-spa.pdf Matemáticas Integradas I, II, III de McGraw Hill Precálculo: Funciones y gráficas de Raymond Barnett Algebra I de Glencoe
Conexiones a la literatura Nota: Aunque los siguientes libros están dirigidos a estudiantes de la escuela primaria, éstos apuntan a los principios fundamentales de matemáticas los cuales se pueden explorar en todos los niveles. Todo el mundo disfruta de que alguien le lea y los estudiantes de la escuela secundaria no son la excepción. Estos libros son una excelente introducción a las unidades de estudio. Más allá de la coincidencia de Martin Plimmer El matemático del rey de Juan Carlos Arce La música de los números primos: El enigma de un problema matemático abierto de Marcus Du Sautoy Trigonometric Delights de Eli Maor
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Unidad 11.4: Vectores Matemáticas 3 semanas Etapa 1 - Resultados esperados Resumen de la unidad En esta unidad, los estudiantes aplicarán los conceptos de vectores en dos dimensiones para representar, interpretar y resolver problemas. Identificarán y aplicarán las propiedades de los vectores y juzgarán si los cómputos de los vectores son razonables. Meta de transferencia: Los estudiantes saldrán de la clase con la capacidad de usar su conocimiento sobre los vectores en dos dimensiones para trabajar con cantidades físicas que tienen tanto propiedades numéricas como direccionales.
Estándares de contenido y expectativas Números y operaciones N.SN.11.1.1 Define vectores en dos dimensiones como objetos que tienen magnitud, dirección y su representación geométrica. N.SO.11.1.2 Reconoce los vectores como sistema que tiene algunas de las propiedades de los números reales. N.OE.11.1.3 Ilustra y aplica las propiedades de suma de vectores y multiplicación por un escalar para representar, investigar y resolver problemas. Juzga la razonabilidad de los cómputos con vectores.
Ideas grandes/Comprensión duradera:
Preguntas esenciales:
Los vectores se suman y se multiplican para resolver problemas. Los modelos vectoriales de nuestro mundo tienen limitaciones. No todos los cómputos son razonables. Los vectores ayudan con los cálculos matemáticos en ingeniería y física.
¿Cómo se utilizan los vectores para resolver problemas? ¿Por qué no pueden representarse los modelos físicos de cantidades vectoriales con cantidades escalares? ¿Cómo sabes si un cómputo es razonable? ¿Cómo nos ayudan los vectores a entender el mundo?
Contenido (Los estudiantes comprenderán...)
Destrezas (Los estudiantes podrán...)
Los vectores en dos dimensiones como objetos que poseen magnitud, orientación y representación geométrica Los vectores como sistema que tiene algunas de las propiedades de los números reales Las propiedades de la suma de vectores y la multiplicación escalar
Ilustrar las propiedades de suma de vectores y multiplicación por un escalar. Aplicar las propiedades de suma de vectores y multiplicación por un escalar para representar, investigar y resolver problemas. Juzgar la razonabilidad de los cómputos con vectores.
Vocabulario de contenido dirección, dos dimensiones, magnitud, vector Junio 2012
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Unidad 11.4: Vectores Matemáticas 3 semanas Etapa 2 – Evidencia de avalúo Tareas de desempeño 160
Tesoro escondido Los estudiantes demostrarán su comprensión de los vectores mediante la elaboración de un "mapa del tesoro", del tesoro escondido de Roberto Cofresí. Instrucciones: El pirata Cofresí ha escondido tesoros en una isla con cinco árboles ubicados en los siguientes puntos (30.0 m, -20.0 m), (60.0 m, 80.0 m), (-10.0 m, -10.0 m), (40.0 m, -30.0 m) y (-70.0 m, 60.0 m). Todos los puntos se miden relativos a algún origen, como se muestra en la figura.
Otra evidencia Ejemplos de preguntas de examen/quiz 1. Dado los vectores u 2,1 and v 3,2 ,162 a. halla
uv
b. halla v + u c. saca conclusiones sobre u + v vs. v + u d. halla la magnitud de u v e. halla u - v f.
halla v - u
g. saca conclusiones sobre u - v vs. v - u h. halla u y v en términos de los vectores de base estándar i.
halla 2 u +3 v
2. Dado los vectores AB y CD a continuación, 163
En la bitácora de su barco se dan instrucciones de empezar en el árbol A y moverse hacia el B, pero cubriendo solo 1/4 de la distancia entre A y B. A continuación, moverse al árbol C, cubriendo 1/5 de la distancia entre tu ubicación actual y C. Luego, muévete hacia D, cubriendo 1/6 de la distancia entre el lugar donde te encuentras y D. Finalmente, desplázate hacia E, cubriendo 1/7 de la distancia entre tú y E; detente y excava. a. Asume que has determinado correctamente el orden en que el pirata rotuló los árboles con A, B, C, D y E, según se muestra en la figura. ¿Cuáles son las coordenadas del punto en que está enterrado su tesoro?
a. halla los componentes de cada vector
b. ¿Y si no supieras realmente la forma en que el
b. traza los vectores de posición u y v donde
160
Fuente: http://www.cramster.com/answers-sep-10/physics/vector-problem-long-john-silver-pirate-buriedtreasure_949089.aspx?rec=0 162 Fuente: http://distance-ed.math.tamu.edu/Precalculus_home/Module6/problems_6AB.pdf 163 Ibídem.
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Unidad 11.4: Vectores Matemáticas 3 semanas pirata rotuló los árboles? Reajusta el orden de los árboles, por ejemplo, B (30 m, -20 m), A (60 m, 80 m), E (-10 m, -10 m), C (40 m, -30 m), y D (-70 m, 60 m), y repite el cálculo para demostrar que la respuesta no depende del orden en que están rotulados los árboles. Evalúa el trabajo de los estudiantes en la rúbrica de evaluación (ver anejo: Organizador - Rúbrica de tarea de desempeño). 161
Vectores sobre el terreno Los estudiantes demostrarán su comprensión de los vectores para hallar la longitud de cable requerida para cruzar el Río Yauco. Además de sumar vectores, los estudiantes calcularán el vector de deslizamiento y representarán su trabajo en papel cuadriculado. (Nota: son datos ficticios.) Instrucciones: 1. Para tirar un cable sobre el Río Yauco, tienes que determinar la distancia de una orilla del río a la otra. Los postes de cableado se ubican en los puntos A y D. Comienza con el punto A. Camina 21 metros al sur. Luego camina al este y 22.5 metros sobre el puente. Finalmente, camina al norte 9 metros para llegar al punto D. Usando la información anterior, haz un dibujo a escala de las distancias y direcciones recorridas. El punto final debe llamarse D. El vector resultante que une el punto A con el punto D en tu dibujo a escala es equivalente a la suma de los vectores que representan las distancias recorridas en cada parte del recorrido. Mide la magnitud del vector AD en tu dibujo a escala. ¿Cuántos metros hay al cruzar el Río Yauco del punto A al punto D? 2. Utiliza papel cuadriculado para hallar el vector de deslizamiento resultante cuando se suman los siguientes vectores de
u = AB y v = CD c. halla u v y saca una conclusión acerca d del ángulo entre u y v d. halla la medida del ángulo (al grado más cercano) entre u y v e. halla un vector unitario en la dirección de
v Diario 1. ¿Cómo se corresponden los números de la dirección y la magnitud con la apariencia del vector? 2. ¿Qué sucede cuando mueves el vector a una nueva posición usando su punto medio? 3. Halla el valor de a si los vectores (-2,5) y (1,a) son a. paralelos b. perpendiculares Boletos de entrada/salida 1. Dado el paralelogramo ABCD, halla164
a.
DA + AB
b.
AC
2. Dados los puntos P(1,1), Q(2,3) y R(-1,7), halla lo siguiente. Redondea al grado más cercano.)165 a. la medida del ángulo P b. la medida del ángulo Q
161
Fuente: http://mathinscience.info/public/vectors/vectors.htm Fuente: http://distance-ed.math.tamu.edu/Precalculus_home/Module6/problems_6AB.pdf 165 Ibídem. 164
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Unidad 11.4: Vectores Matemáticas 3 semanas deslizamiento en el orden que se muestra: 30 pies al norte, 50 pies al oeste y 15 pies al sur. 3. Dibuja un diagrama vectorial en papel cuadriculado. Halla la magnitud y dirección de cada vector resultante. (a) Un avión que se desplaza al oeste a una velocidad aérea de 525 millas por hora. (b) Un avión que se desplaza al oeste a una velocidad de 525 millas por hora y un viento de cola de 20 millas por hora. (c) Un avión que se desplaza al oeste a una velocidad de 525 millas por hora y un viento en contra de 20 millas por hora. Evalúa el trabajo de los estudiantes en la rúbrica de evaluación (ver anejo: Organizador - Rúbrica de tarea de desempeño).
c. la medida del ángulo R
Etapa 3 – Plan de aprendizaje Actividades de aprendizaje
Información básica de vectores166: Crea una serie de notas guiadas (para una guía, véase http://www.teachnet-uk.org.uk/2006%20Projects/Maths-KS4-5_catch-up/straight_linesvectors/Introduction-vectors.ppt). Haz que los estudiantes completen las frases importantes, ilustraciones, etc. mientras que estudian las tarjetas en conjunto. Asegúrate de incluir suma, resta, multiplicación por escalar y cómo hallar vectores en las notas de guía. Dale seguimiento con la actividad de aprendizaje - Hoja de actividades Información básica de vectores. Hoja de actividades Información básica de vectores167: Los estudiantes practican la suma, resta, multiplicación por un escalar y cómo hallar vectores (ver anejo: 11.4 Actividad de aprendizaje Hoja de actividades Información básica de vectores). Caminando con los ojos vendados168: Antes de que empiece la clase, rotula las paredes del salón con los puntos cardinales N, S, E y O. Divide a los estudiantes en parejas. Uno lleva puesta una venda sobre los ojos (de verdad o virtual) mientras el otro le da direcciones. El objetivo es darle direcciones al estudiante vendado para que pueda llegar del punto A al punto B. Si se dan bien las direcciones, bastará con solo una dirección en voz alta que incluya tanto magnitud como orientación. (Si este tipo de actividad no funcionaría con tu clase, puede lograrse con una hoja de papel cuadriculado con los puntos "A" y "B" marcados.) Los estudiantes entonces nombrarán algunas cantidades que tengan tanto magnitud como orientación; solo magnitud u orientación, y ni
166
Fuente: http://www.teachnet-uk.org.uk/2006%20Projects/Maths-KS4-5_catch-up/Straight_lines-vectors.htm Ibídem. 168 Fuente: www.curriculumframer.com 167
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Unidad 11.4: Vectores Matemáticas 3 semanas
magnitud ni orientación. Los vectores y el deporte de orientación169: Los estudiantes aplican los vectores en la elaboración de modelos de situaciones físicas dentro del deporte de orientación. Usando la idea de que los vectores se identifican por magnitud (longitud) y dirección desde un punto inicial, los estudiantes competirán con otros compañeros de clase para desarrollar orientaciones en el deporte de orientación para que gane su equipo (ver anejo: 11.4 Actividad de aprendizaje - Vectores y deporte de orientación).
Ejemplos para planes de la lección
Introducción a los vectores170: Se introduce a los estudiantes a la idea de los vectores en una cuadrícula usando el ejemplo de un avión en pleno vuelo. Tras una breve mini lección, se guía paso a paso a los estudiantes con problemas de práctica antes de dejarlos que intenten unos problemas por su cuenta (ver anejo: 11.4 Ejemplo para plan de lección - Introducción de vectores). Vectores en un mapa171: Los vectores se utilizan para representar muchos conceptos, como la fuerza, la velocidad y la aceleración. Los estudiantes dibujarán un sistema de vectores y hallarán el resultante gráficamente, escribirán los componentes de un vector como una matriz de columna y hallarán el resultante por medio de la suma de matrices. Resolverán además problemas prácticos usando un sistema de vectores (ver anejo: 11.4 Ejemplo para plan de lección - Vectores en un mapa). 1. Divide la clase en parejas. Repártele a cada estudiante una copia de las hojas de actividades, un mapa de Puerto Rico, una brújula y marcadores. 2. Pídeles a los estudiantes que abran el mapa de Puerto Rico y ubiquen a San Juan. Pídeles que hagan una lluvia de ideas para determinar cómo se ve un vector. Ubica la isla de Vieques en el mapa. Dibuja una línea entre San Juan y la isla de Vieques. El aeropuerto Antonio Rivera Rodríguez está ubicado en Vieques y el Aeropuerto Internacional se ubica en San Juan. Utiliza una regla y la escala de tu mapa para determinar la distancia que tendría que recorrer el avión. La distancia es un valor escalar. Pídeles a los estudiantes que hagan una lluvia de ideas para encontrar otros valores escalares (temperatura, libras, altitud, velocidad, longitud, distancia). Pregúntales si pueden pilotar el avión de San Juan a Vieques con solo saber la distancia. Como piloto, necesitas saber la orientación. 3. Usando la brújula, pídeles a los estudiantes que hallen la dirección a la que tendría que dirigirse el piloto para orientarse de San Juan a Vieques. Expresa la dirección en grados desde el norte (0o). Ahora, expresa la distancia y la dirección juntas. En conjunto, la distancia y la orientación se llaman deslizamiento. El deslizamiento es un vector. 4. Menciónales a los estudiantes que un vector se dibuja con una cola en el punto de origen y una flecha en el destino para indicar orientación. La longitud del vector indica la distancia o su magnitud. Recuerda, si se cambia la orientación de un vector, deja de ser el mismo vector. 5. Pídeles a los estudiantes que dibujen un vector en su mapa de San Juan a Vieques. ¿Se encuentra la cola de la cabeza del vector en San Juan?
169
Fuente: http://distance-ed.math.tamu.edu/Precalculus_home/Module6/signature_lab6.pdf Fuente: www.curriculumframer.com 171 Fuente: http://mathinscience.info/public/vectors/vectors.htm 170
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Unidad 11.4: Vectores Matemáticas 3 semanas 6. Pídeles que representen los siguientes vectores en una hoja de papel cuadriculado: velocidad de viento de 20 mph hacia el norte, un carro que se desplaza a 60 mph de sur a suroeste, un barco que se desplaza a 4 nudos por hora del este al noreste. 7. Los estudiantes utilizarán la tarea de Misión Imposible para una misión encubierta como piloto en entrenamiento en el aeropuerto internacional de San Juan. 8. Los estudiantes utilizarán la hoja de componentes de vectores de la tarea de Misión Imposible como gráfica.
Recursos adicionales
http://profjserrano.wordpress.com/ http://www.vaxasoftware.com/doc_edu/mat/ptosvect.pdf http://education.ti.com/downloads/guidebooks/graphing/84p/TI84Plus_guidebook_ES.pdf http://isa.umh.es/calc/TI/TI83/TI83manual-spa.pdf Matemáticas Integradas I, II, III de McGraw Hill Precálculo: Funciones y gráficas de Raymond Barnett Algebra I de Glencoe
Conexiones a la literatura Nota: Aunque los siguientes libros están dirigidos a estudiantes de la escuela primaria, éstos apuntan a los principios fundamentales de matemáticas los cuales se pueden explorar en todos los niveles. Todo el mundo disfruta de que alguien le lea y los estudiantes de la escuela secundaria no son la excepción. Estos libros son una excelente introducción a las unidades de estudio. Más allá de la coincidencia de Martin Plimmer El matemático del rey de Juan Carlos Arce La música de los números primos: El enigma de un problema matemático abierto de Marcus Du Sautoy
Junio 2012 Adaptado de Understanding by Design de Grant Wiggins y Jay McTighe
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Unidad 11.5: Temas de trigonometría adicionales Matemáticas 5 semanas Etapa 1 - Resultados esperados Resumen de la unidad En esta unidad, los estudiantes aplicarán las funciones trigonométricas a la resolución de problemas con triángulos y explorarán las propiedades e inversa de las funciones trigonométricas. Desarrollarán y aplicarán definiciones de la función de seno y coseno, desarrollarán identidades fundamentales y resolverán problemas del mundo real. Meta de transferencia: Los estudiantes saldrán de la clase con la capacidad de usar su conocimiento sobre las propiedades e inversas de las funciones trigonométricas para interpretar, predecir y resolver situaciones del mundo real.
Estándares de contenido y expectativas Geometría G.FG.11.5.1 Desarrolla y aplica la definición de las funciones seno y coseno para resolver triángulos. G.FG.11.5.2 Desarrolla las identidades pitagóricas trigonométricas fundamentales de suma y diferencia, doble ángulos, funciones secante, cosecante, tangente y cotangente; los cuales utiliza para simplificar expresiones trigonométricas y resolver triángulos. G.FG.11.5.3 Conoce los dominios restringidos de las funciones de seno, coseno y tangente, para poder definir sus inversas. Calcula los valores de las funciones trigonométricas inversas. Define y traza la gráfica de las funciones trigonométricas inversas con dominios restringidos adecuadamente. G.FG.11.5.4 Resuelve triángulos rectángulos y usa los resultados para resolver problemas concretos. G.FG.11.5.5 Desarrolla la Ley de Seno y la Ley de Coseno y las utiliza para hallar las medidas desconocidas de los lados y los ángulos en el triángulo.
Ideas grandes/Comprensión duradera:
Preguntas esenciales:
Las funciones trigonométricas resuelven los triángulos. Las identidades pitagóricas trigonométricas simplifican las expresiones y resuelven los triángulos. Las gráficas trigonométricas y sus inversas nos permiten tomar decisiones informadas. Las medidas indirectas se basan en las propiedades de los triángulos rectángulos.
¿Por qué usarías funciones trigonométricas para resolver triángulos? ¿Por qué son útiles las identidades trigonométricas pitagóricas? ¿Cómo puedes comparar las gráficas de funciones de seno, coseno y tangente y su inversa? ¿Cómo se usan los triángulos rectángulos para tomar medidas indirectas?
Contenido (Los estudiantes comprenderán...)
Destrezas (Los estudiantes podrán...)
Conocer los dominios restringidos de la función de seno, coseno y tangente para definir sus inversas La definición de la función de seno y coseno
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Desarrollar y aplicar la definición de las funciones seno y coseno para resolver triángulos. Desarrollar las identidades pitagóricas 1172
Unidad 11.5: Temas de trigonometría adicionales Matemáticas 5 semanas
Las identidades trigonométricas pitagóricas fundamentales de suma y resta, ángulos dobles, y funciones de secante, cosecante, tangente y cotangente Los dominios restringidos de la función de seno, coseno y tangente para definir sus inversas La gráfica de las funciones trigonométricas inversas con dominios restringidos La ley de cosenos (c2 = a2 + b2 – 2ab cos C) La ley de senos
Vocabulario de contenido
ángulos dobles, dominios restringidos, funciones trigonométricas inversas, identidades trigonométricas pitagóricas, ley de cosenos, ley de senos
trigonométricas de suma y resta, doble ángulos, funciones de secante, cosecante, tangente y cotangente, que se utilizan para simplificar expresiones trigonométricas y resolver triángulos. Calcular los valores de las funciones trigonométricas inversas. Definir y trazar la gráfica de las funciones trigonométricas inversas con dominios restringidos adecuadamente. Resolver triángulos rectángulos y usa los resultados para resolver problemas concretos. Desarrollar la ley de seno y la ley de coseno y utilizarlas para hallar las medidas desconocidas de los lados y los ángulos en el triángulo.
Etapa 2 – Evidencia de avalúo Tareas de desempeño
Otra evidencia
Recorrido trigonométrico172 Los estudiantes demostrarán su conocimiento de las leyes de seno y coseno creando un recorrido trigonométrico.
Ejemplos de preguntas de examen/quiz 3. Demuestra la identidad trigonométrica: senθsecθ = (1 - cos²θ) / (senθcosθ). 4. ¿Cuál NO es una identidad? a. 1 + cos²θ = sen²θ b. csc²θ – 1 = cot²θ c. 1 + tan²θ = sec²θ d. 1-sen²θ = cos²θ 5. Escribe una oración compuesta que equivalga a cada ecuación. Pista: tu primera respuesta debe tener la forma x = ____y |y| ≤ ____.174 a. y=sen -1 x b. y=cos -1 x c. y=tan -1 x 6. Usando las ecuaciones a continuación crea una gráfica con el dominio restringido de (-1, 1) y una gráfica con el dominio restringido de todos los números reales.
Instrucciones: Tu tarea es crear un recorrido trigonométrico. Utiliza tu área inmediata* para crear un problema en el que haya que hallar una altura o distancia inaccesible. Tu problema debe ser tridimensional e incluir un triángulo rectángulo, así como el uso de las leyes de seno y coseno. Entrega el problema y su solución completa. Los estudiantes intercambian sus problemas para dar una caminata trigonométrica en que tomen medidas y resuelvan los problemas diseñados por los otros. *Nota: el maestro puede especificar o limitar el 172 174
Fuente: http://www.mrsantowski.com/MCR3U/Assignments/M11SB555.pdf Fuente: http://www.husliaschool.com/Algebra2/Book2/Teacher%20BK%20Alg2-Sect07.pdf
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Unidad 11.5: Temas de trigonometría adicionales Matemáticas 5 semanas área en que los estudiantes pueden crear su recorrido trigonométrico. Evalúa el trabajo de los estudiantes en la rúbrica de evaluación (ver anejo: Organizador - Rúbrica de tarea de desempeño). Laberinto de triángulo173 Los estudiantes demostrarán su comprensión de la ley de senos y la ley de cosenos por medio de la siguiente tarea en que trabajan como arquitectos paisajistas que han recibido la tarea de diseñar un laberinto al aire libre para un parque de diversiones. Tarea: El parque de diversiones quiere añadir un laberinto hecho de arbustos por el cual la gente pueda pasear. Han encontrado ejemplos de laberintos en otros parques que están formados por ángulos rectos únicamente, y otros de naturaleza circular. Para ser originales, les gustaría crear su primer laberinto compuesto completamente de formas triangulares sin ángulos rectos. Tú, el arquitecto paisajista, debes inventar un plan para hacer un laberinto interesante de 1 acre que esté compuesto de secciones triangulares. Los triángulos estarán bordeados de arbustos altos, y el interior de los triángulos estará cubierto de agua para que la gente no intente saltar por encima de los arbustos. Propón un diseño para esta atracción con medidas de todos los lados y ángulos, así como el área interior de los triángulos. Puedes tener algunos ángulos con las mismas dimensiones, pero asegúrate de que el diseño tenga por lo menos cinco tipos diferentes de triángulos, la variedad suficiente para ser interesantes.
a. y=Sen -1 x b. y=Cos -1 x c. y=Tan -1 x Diario 1. Comenzando por cos2x + sen2x=1 y usando tu conocimiento de las identidades por cociente y recíproca, deriva una identidad equivalente en términos de la tan x y la sec x. Muestra todo el proceso.175 2. Traza una gráfica para demostrar que y = sin -1 x es una relación y no una función. Explica por qué no es una función.176 Boletos de entrada/salida 3. Reescribe en términos de cosθ y simplifica: sen²θcot²θsecθ 4. Sea P(x, y) un punto en el cuadrante uno del círculo unitario, x2 + y2 = 1. Traza el segmento de línea OP. Sea θ el ángulo formado por OP y la porción positiva del eje de x. Ahora traza la perpendicular de P para que se encuentre con el eje de x en el punto M.177 a. Establece la razón de OP/MP en términos de θ. Establece la razón de OP/OM en términos de θ. b. Establece las coordenadas del punto P en términos de θ. c. Sustituye tus coordenadas en la ecuación del círculo unitario para demostrar una de las identidades pitagóricas. d. Ahora escoge P en otro cuadrante y repite el proceso. ¿Sigue siendo cierta la identidad?
Procedimiento: 173
Fuente: www.curriculumframer.com Fuente: http://www.amaps.org/leftfiles/Syllabi/Algebra%202%20Sample%20Tasks.pdf 176 Fuente: http://www.husliaschool.com/Algebra2/Book2/Teacher%20BK%20Alg2-Sect07.pdf 177 Fuente: http://www.amaps.org/leftfiles/Syllabi/Algebra%202%20Sample%20Tasks.pdf 175
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Unidad 11.5: Temas de trigonometría adicionales Matemáticas 5 semanas 1. Haz un boceto de tu plan. Antes de finalizarlo, asegúrate de que los caminos que la gente escoja sean variados e interesantes. Algunos deben llevar a callejones sin salida. 2. Una vez hayas terminado tu diseño, crea una versión final de tu plan con todas las medidas rotuladas, haz varias copias y traza los caminos potenciales que puede tomar la gente por el laberinto, tanto largos como cortos. Estima cuán largos son estos caminos posibles, y estima cuánto tiempo se tomaría recorrerlos a un paso relajado. 3. Para hacerle la vida más fácil al Departamento de Terrenos, informa la longitud total de verjas de arbustos a las que hay que darle mantenimiento, así como el volumen total de agua en las piscinas que tendrán que mantener. Escribe un párrafo que describa las características del plan de forma tal que sirva para "venderle" tu propuesta al comité del parque. 4. Incluye todos los cálculos que respalden tu propuesta en un apéndice adjunto al final. 5. Opcional (puntos de bono) - Da la milla extra y crea una maqueta de tu plan para asegurarte de que el comité entienda tu visión del laberinto. Evalúa el trabajo de los estudiantes en la rúbrica de evaluación (ver anejo: 11.5 Tarea de desempeño - Rúbrica del Laberinto de triángulos).
Etapa 3 – Plan de aprendizaje Actividades de aprendizaje
Funciones trigonométricas uno a uno178: Los estudiantes utilizarán el estudio previo de las funciones inversas para comprender que las funciones trigonométricas no tienen inversa a menos que restrinjamos su dominio. Primero, pídeles a los estudiantes que tracen la gráfica de y = sen x. ¿Cómo sabemos que se trata de una función? A continuación, pregúntales: ¿es una función uno a uno? ¿Tiene una función inversa?*179 Haz que los estudiantes tracen la gráfica de la relación x = sen
178
Fuente: www.curriculumframer.com *Nota importante: No todos los libros de texto son uniformes en cuanto al uso del término inversa. Algunos libros utilizan el término inversa con el sentido de "función inversa" y señalarán que la inversa no existe si al intercambiar las variables de x y de y se cra una relación que no es una función. Otros libros utilizan el término inversa para describir la relación creada por el intercambio de variables, aun cuando no se trata de una función, con lo cual cabe preguntarse 179
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Unidad 11.5: Temas de trigonometría adicionales Matemáticas 5 semanas
y. Obviamente no es una función. Reta a los estudiantes a hallar la porción mayor del sen x que sea uno a uno. Primero, pídeles que lo trabajen solos y después compara sus respuestas. ¿Cuán larga es? ¿Hay solo una respuesta posible? ¿Todo intervalo en x posee la calidad de ser uno a uno? Pídeles que hagan lo mismo para el coseno y el seno en parejas. Discútanlo como clase. Tres funciones trigonométricas inversas180: Explícales las funciones trigonométricas inversas para funciones de seno, coseno y tangente, y su dominio y recorrido. Usa esta actividad para darle seguimiento a las funciones trigonométricas uno a uno. Refiérete a la discusión anterior de las funciones trigonométricas inversas de seno, coseno y tangente y haz hincapié en la diferencia entre x = sen (hallar todos los ángulos y para los cuales el seno de y = x no sea una función), y y = arcosen x (hallar el ángulo entre -π/2 y π/2 para el cual el seno de y = x).*181 Muéstrales a los estudiantes ambas convenciones para la escritura de funciones trigonométricas inversas: el uso de "arco-" y el uso del índice superior "-1". Haz hincapié en que no se trata de un exponente, y contrástalo con colocar sen x entre paréntesis con el exponente afuera como la forma correcta de elevar el seno a la potencia negativo uno. Modela ejemplos y pídeles a los estudiantes que practiquen usando los ejemplos para comprobar su habilidad para usar las funciones trigonométricas inversas básicas (seno, coseno y tangente inversos). No les pidas que hallen la inversa de la cosecante, secante y cotangente; esto se discutirá en la próxima actividad. Funciones trigonométricas inversas182: En esta actividad, los estudiantes usarán su comprensión de la función trigonométrica inversa de seno, coseno y tangente para crear funciones inversas de cosecante, secante y cotangente. Primero, pídeles que explique en sus propias palabras lo que significa "seno inverso de x". Recopila las ideas de los estudiantes y discútelas. A continuación, rétalos a crear funciones inversas basadas en y = csc x, y = cot x usando lo que han aprendido en actividades previas. Haz que compartan y discutan sus respuestas. Luego, rétalos a explicar por qué estas inversas son menos importantes y algunos libros no las incluyen. En concreto, diles que no necesitan una función cosecante inversa para hallar la cosecante inversa de 5/3, por ejemplo, y pídeles que averigüen por qué. Dales tiempo para que lo discutan en parejas. Tengo...quién tiene183: Haz una lista de preguntas y respuestas del tema que quieras repasar. Haz dos columnas; la primera lleva "Tengo" de título y la segunda lleva "Quién tiene". La primera columna es para las respuestas y la segunda es para las preguntas (las repuestas son de la pregunta en la línea anterior). Para un ejemplo de esto con identidades trigonométricas básicas, ver anejo: 11.5 Actividad de aprendizaje - Tengo, quién tiene. A continuación, crea tarjetas por cada pregunta y respuesta que hayas preparado; sin embargo, la tarjeta debe tener la respuesta de la próxima pregunta de la lista. En el ejemplo con identidades trigonométricas fundamentales, la tarjeta número dos dice: "Tengo cos A. ¿Quién tiene sen2A + cos2A?”. La tercera tarjeta dice "Tengo 1.
"¿es la inversa una función?”. Comprueba la terminología del libro de texto que están usando tus estudiantes y guarda la coherencia terminológica con el libro para minimizar la confusión. En este documento, se utilizará el acercamiento anterior; así, el término inversa se refiere a que se trata de una función. 180 Fuente: www.curriculumframer.com 181 *Nota importante: En relación con la nota anterior sobre la falta de uniformidad en el uso del término "inversa", algunos libros diferencian entre "Arcsen x" y "arcsen x", donde uno es la función y el otro es la no función que equivale a la relación x = sen y. Nuevamente, modifica tus explicaciones en clase para reflejar la convención usada en tu texto. En este documento, usaremos la convención de no poner mayúscula para diferenciar el uso, y arcsen x se referirá a la función con recorrido restringido, o "ángulo principal". 182 Fuente: http://www.mde.k12.ms.usACADIDCurriculumFramermath_pagesgrade_hsm.html 183 Fuente: http://www.pleacher.com/handley/lessons/trig/ihave.html
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¿Quién tiene 1/sen A?" La respuesta a la pregunta en la tarjeta dos se halla en la tarjeta tres. Repárteles las tarjetas a los estudiantes al azar. Quédate con la primera tarjeta de la lista para que tú empieces y termines el ejercicio. Lee la primera tarjeta. El estudiante que tenga la respuesta a la primera pregunta entonces lee su tarjeta. El estudiante que tenga la respuesta a esa pregunta entonces lee su tarjeta, y así sucesivamente hasta que todos hayan leído la suya. Rompecabezas de identidades trigonométricas184: Los estudiantes acomodan los dieciséis cuadrados para formar un cuadrado mayor en que todos los lados se pareen para formar identidades trigonométricas. (ver anejo: 11.5 Actividad de aprendizaje - Rompecabezas trigonométrico). Identidades trigonométricas185: Utiliza una técnica de delegación gradual de la responsabilidad para modelar problemas y pedirles a los estudiantes que hagan problemas de práctica y crítica inmediata de su trabajo con la Identidad trigonométrica fundamental (ver anejo: 11.5 Actividad de aprendizaje - Identidades trigonométricas). Identidades de ángulo doble186: Los estudiantes toman nota de las identidades de ángulo doble y se les guía paso a paso con una serie de ejemplos. Pídeles que resuelvan algunos problemas de práctica por su cuenta; durante ese tiempo, date la vuelta por el salón para responder a sus preguntas (ver anejo: 11.5 Actividad de aprendizaje - Identidades de ángulo doble).
Ejemplos para planes de la lección
Cómo cambiar el dominio de una ecuación trigonométrica187: En esta lección, se les guía paso a paso a los estudiantes para cambiar el dominio de las ecuaciones trigonométricas y se les dan problemas guiados de práctica (ver anejo: 11.5 Ejemplo para plan de lección - Cómo cambiar el dominio de una ecuación trigonométrica). Desarrollar ley de cosenos188: Primero, para repasar LAL y LLL, se les darán a los estudiantes varios datos sobre triángulos y se les pedirá que los tracen con regla y transportador. Compararán triángulos entre sí para ver con cuáles conjuntos de datos se obtiene un solo triángulo, así como ver que con ciertos ejemplos de LLL no se obtiene triángulo. Los estudiantes desarrollarán la ley de cosenos como extensión lógica de la fórmula pitagórica y nuestra definición de razón de coseno. A continuación, explorarán los escenarios donde resulte útil, y verán qué sucede cuando intentan aplicarlo a uno de los ejemplos de LLL imposibles de la actividad anterior (ver anejo: 11.5 Ejemplo para plan de lección - Desarrollo de la ley de cosenos). Funciones trigonométricas inversas189: Se introduce a los estudiantes a la inversa de funciones trigonométricas con representación tanto gráfica como simbólica. A continuación, el maestro guía paso a paso a los estudiantes en el uso de las definiciones de inversa para evaluar y trazar gráficas. Provee problemas adicionales de asignación. Para más información y materiales, dirigirse a: http://mrlangemath.com/calculus/MasterMathMentorcalculusab/Unit%2040-
184
Fuente: http://www.pleacher.com/handley/lessons/trig/trgcutup.html Fuente: http://www.wsfcs.k12.nc.us/Page/7246 186 Ibídem. 187 Ibídem. 188 Fuente: http://www.mde.k12.ms.us/ACAD/ID/Curriculum/Framer/units/template_233.html 189 Fuente: http://mrlangemath.com/calculus/MasterMathMentorcalculusab/Unit%2040%20Inverse%20Trig%20Functions.pdf 185
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Unidad 11.5: Temas de trigonometría adicionales Matemáticas 5 semanas
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%20Inverse%20Trig%20Functions.pdf. Las leyes de seno y coseno ¡simplificadas!190: Esta actividad está diseñada para expandir el conocimiento de trigonometría usando la ley de senos y la ley de cosenos. Los estudiantes elaborarán una herramienta de trigonometría de triángulos para ayudarlos a visualizar las leyes de trigonometría. A continuación los estudiantes reconstruirán los triángulos por su cuenta, intercambiarán las construcciones con otros grupos y hallarán las soluciones. Corroborarán sus soluciones usando un transportador y una regla de centímetros como herramientas de medir. Necesitarán un pedazo de cartulina de color claro, marcadores rojo/azul/negro, transportador, regla y tijeras. Los estudiantes ya deben conocer el teorema de Pitágoras, así como las relaciones trigonométricas de seno, coseno y tangente con respecto a un triángulo rectángulo. Instrucciones: 1. En esta actividad se les pide a los estudiantes que hagan su propio triángulo no rectángulo y lo completen con un código de colores y razones trigonométricas escritas en su triángulo. Esto les servirá como herramienta instructiva para que la utilicen cuando estén aprendiendo por primera vez sobre la ley de senos y la ley de cosenos. o Usando un escalímetro, los estudiantes trazan una línea por el lado diagonal de una cartulina. Se forman así dos triángulos rectángulos congruentes. Recorta por la línea diagonal. Deja un triángulo de lado para usarlo después. o Usando un escalímetro, traza una línea por el triángulo rectángulo hasta el lado opuesto, dividiendo así el ángulo recto de forma tal que ya no mida 90˚. Los estudiantes deberán tener ahora un triángulo no rectángulo. o Usando un marcador rojo, pídeles que rotulen un ángulo “ángulo A”. A continuación, haz que cada estudiante coloree el opuesto del ángulo A con el marcador rojo. Completa el mismo proceso para rotular el ángulo B, y luego el lado opuesto con un marcador azul. A continuación, rotula el ángulo C y el lado opuesto con un marcador negro. o Rotula cada ángulo con una letra mayúscula, y el lado opuesto de ese ángulo con la misma letra y color, pero en minúscula. o Pídeles que volteen el triángulo y dupliquen las marcas en el dorso. o Pídeles que escriban la fórmula de la ley de senos en el centro de un lado del triángulo, y que en el otro lado del triángulo escriban las tres fórmulas de la ley de cosenos. 2. Provéeles triángulos con la medida de un ángulo dada, su lado opuesto (en cm) y otra medida que escojas. Los estudiantes deberán utilizar la ley de senos y la ley de cosenos para solucionar los triángulos. 3. En parejas o grupos pequeños, los estudiantes dibujarán unos seis triángulos, lo suficientemente grandes como para que ocupen toda la página. Infórmales que deben dibujar estos triángulos con cuidado y precisión usando un escalímetro. o Los estudiantes medirán tres de las 6 partes de cada triángulo y anotarán las medidas a la derecha del dibujo. o A continuación, intercambiarán su papel con otro compañero o grupo. En el nuevo papel, los estudiantes deberán hallar las partes que faltan de cada triángulo usando el conocimiento de trigonometría que posean. Pídeles a los estudiantes que muestren todos los pasos del proceso y no dejes que usen las herramientas de medir como muletilla. Fuente: http://www.uen.org/Lessonplan/preview?LPid=19845
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Unidad 11.5: Temas de trigonometría adicionales Matemáticas 5 semanas o o
Una vez los grupos hayan terminado, devuélvanle el papel al propietario original. Usando un transportador y una regla de centímetros, pídele al propietario original que corrija las respuestas.
Recursos adicionales
http://profjserrano.wordpress.com/ http://www.vaxasoftware.com/doc_edu/mat/trigoecu.pdf http://www.vaxasoftware.com/doc_edu/mat/trigodef.pdf http://education.ti.com/downloads/guidebooks/graphing/84p/TI84Plus_guidebook_ES.pdf http://isa.umh.es/calc/TI/TI83/TI83manual-spa.pdf Matemáticas Integradas I, II, III de McGraw Hill Precálculo: Funciones y gráficas de Raymond Barnett Algebra I de Glencoe
Conexiones a la literatura Nota: Aunque los siguientes libros están dirigidos a estudiantes de la escuela primaria, éstos apuntan a los principios fundamentales de matemáticas los cuales se pueden explorar en todos los niveles. Todo el mundo disfruta de que alguien le lea y los estudiantes de la escuela secundaria no son la excepción. Estos libros son una excelente introducción a las unidades de estudio. Más allá de la coincidencia de Martin Plimmer El matemático del rey de Juan Carlos Arce La música de los números primos: El enigma de un problema matemático abierto de Marcus Du Sautoy Trigonometric Delights de Eli Maor
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Unidad 11.6: Geometría y ecuaciones paramétricas Matemáticas 4 semanas Etapa 1 - Resultados esperados Resumen de la unidad En esta unidad, los estudiantes explorarán los métodos generales de hacer pruebas en la resolución de problemas y formularán justificaciones para los teoremas básicos de la geometría euclidiana. Investigarán las situaciones geométricas, pondrán a prueba su validez matemática, desarrollarán contraejemplos para refutar propuestas inválidas y comunicarán su razonamiento matemático de forma organizada. Aplicarán los métodos paramétricos para representar e interpretar el movimiento de los objetos en un plano, incluido el movimiento en una línea, el movimiento proyectil y el movimiento de los objetos en órbita. Convertirán además las ecuaciones paramétricas a una ecuación rectangular para interpretar una situación en contexto. Meta de transferencia: Los estudiantes saldrán de la clase con la capacidad de usar su conocimiento sobre los teoremas de la geometría euclidiana y las ecuaciones paramétricas para interpretar, predecir y resolver situaciones reales.
Estándares de contenido y expectativas Teoremas de la geometría euclidiana G.FG.11.6.1 Establece conjeturas basadas en la exploración de situaciones geométricas con o sin tecnología. G.FG.11.6.2 Establece la prueba directa o indirecta para determinar si una proposición matemática es cierta. G.FG.11.6.3 Desarrolla un contraejemplo para refutar una proposición inválida. G.FG.11.6.4 Formula e investiga la validez del recíproco de proposiciones condicionales. G.FG.11.6.5 Organiza y presenta pruebas directas e indirectas utilizando tablas de dos columnas, párrafos y flujogramas. Geometría paramétrica G.LR.11.7.1 Utiliza ecuaciones paramétricas para representar situaciones que involucran movimiento en el plano, incluyendo el movimiento en una línea, el movimiento proyectil y el movimiento de los objetos en órbitas. G.LR.11.7.2 Traduce una par de ecuaciones paramétricas a una ecuación rectangular e interpreta la situación en el contexto. G.LR.11.7.3 Investiga curvas planas, incluyendo a aquellas en forma paramétrica.
Ideas grandes/Comprensión duradera:
Preguntas esenciales:
Las proposiciones matemáticas tienen que ponerse a prueba. Las investigaciones incluyen la validez de la recíproca. Las ecuaciones paramétricas son la matemática del movimiento. Elaborar y comunicar argumentos de forma matemática es esencial para el estudio de la
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¿Cómo se sabe si una proposición matemática es cierta? ¿Por qué se investiga la validez de la recíproca de las proposiciones condicionales? ¿Cómo se describe el movimiento en términos matemáticos? ¿Cómo se comunica el razonamiento en matemáticas? 1180
Unidad 11.6: Geometría y ecuaciones paramétricas Matemáticas 4 semanas
geometría (euclidiana). La geometría euclidiana y la paramétrica se informan una de la otra.
¿Cómo se relaciona la geometría euclidiana con la paramétrica?
Contenido (Los estudiantes comprenderán...)
Destrezas (Los estudiantes podrán...)
Las proposiciones condicionales y su recíproca Métodos directos e indirectos de elaborar una prueba Diferentes formas de organizar y presentar el razonamiento matemático (p. ej., en dos columnas, párrafos y flujogramas) Forma paramétrica
Vocabulario Teoremas de la geometría euclidiana: contraejemplo, proposición inválida, prueba directa, prueba indirecta, recíproca de proposiciones condicionales, refutar, supuesto, validez Geometría paramétrica: curvas del plano, ecuación rectangular, forma paramétrica, movimiento de los objetos, movimiento en el plano, movimiento en una línea, movimiento proyectil
Establecer conjeturas basadas en la exploración de situaciones geométricas con o sin herramientas tecnológicas. Establecer la prueba directa o indirecta para determinar si una proposición matemática es cierta. Desarrollar un contraejemplo para refutar una proposición inválida. Formular e investigar la validez del recíproco de proposiciones condicionales. Organizar y presentar pruebas directas e indirectas utilizando tablas de dos columnas, párrafos y flujogramas. Utilizar ecuaciones paramétricas para representar situaciones que involucran movimiento en el plano, incluido el movimiento en una línea, el movimiento proyectil y el movimiento de los objetos en órbitas. Traducir un par de ecuaciones paramétricas a una ecuación rectangular e interpretar la situación en el contexto. Investigar curvas planas, incluyendo a aquellas en forma paramétrica.
Etapa 2 – Evidencia de avalúo Tareas de desempeño
Otra evidencia
Prueba euclidiana191
Ejemplos de preguntas de examen/quiz 1. Utiliza tu calculadora gráfica para trazar la gráfica de cada una de las curvas paramétricas. Usa WINDOW [‐3, 3] x [‐3, 3]. ¿Cuáles son las semejanzas y diferencias entre ellas?193 x = sin 2t; x = sen 3t
Los estudiantes demostrarán su comprensión de cómo probar la geometría euclidiana usando pruebas de dos columnas por medio del análisis de la ubicación del Burger King. Tarea: Las casas de Raúl (R), Ángela (A) y Beto (B) 191
Fuente adaptada de "Ejemplos por indicador de undécimo grado" del Departamento de Educación de Puerto Rico (2008). 193 Fuente: http://vhs.vale.k12.or.us/sites/vhs.vale.k12.or.us/files/u27/10-11Adv2/4-13Adv2.pdf
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Unidad 11.6: Geometría y ecuaciones paramétricas Matemáticas 4 semanas forman un triángulo isósceles con RAB como ángulo de vértice. Entre las casas de Raúl y Beto se encuentra un Burger King. Ángela piensa que el Burger King se encuentra a mitad de camino entre las casas de Raúl y Beto. Si la línea imaginaria desde el Burger King hasta la casa de Ángela es el bisector de ángulo RAB, Ángela tiene la razón. Utiliza lo que sabes sobre la geometría euclidiana para probar el enunciado de Ángela. Asegúrate de incluir: 1. Un mapa rotulado de todos los edificios, la línea bisectora y medidas de los ángulos. 2. Una prueba de dos columnas. 3. Un resumen en forma de párrafo de tu trabajo en el que incluyas si Ángela tiene la razón o no. Evalúa el trabajo de los estudiantes en la rúbrica de evaluación (ver anejo: Organizador - Rúbrica de tarea de desempeño). Funciones paramétricas192 Los estudiantes demostrarán su comprensión de las ecuaciones paramétricas al representar situaciones que impliquen movimiento en el plano y al traducir un par de ecuaciones paramétricas a una ecuación rectangular. Los estudiantes crearán un afiche que ilustre lo que saben. Un piloto del Departamento de Manejo de Peces y Vida Silvestre abastece un área de peces al sobrevolar el área y soltar los animales. La ruta de los peces usa como modelo estas ecuaciones paramétricas: x = 120t (distancia horizontal -en metros- desde donde fueron liberados, t segundos después) y=80 - 4.0t2 (altura -en metros- sobre tierra, t segundos después). 1. Escribe una ecuación de y en términos de x. 2. ¿Qué distancia desde el lago deben estar los peces para ser liberados desde el avión para
y = 2 cos t; y = 2 cos t 2. Si 1 es un ángulo exterior de ∆ MNP, demuestra que m 1 > m 4 y m 1 > m 3.194 M
N
P 1. Halla la ecuación rectangular equivalente de las ecuaciones definidas de forma paramétrica a continuación:195
2. Ines está intentando ver cuán lejos puede lanzar una flecha con su nuevo arco. Lanza la flecha a 3.5 pies sobre el suelo a un ángulo de 52° sobre la línea horizontal a una velocidad inicial de 30 pies por segundo. En el momento en que suelta la flecha, un viento de 2 m/hr (aproximadamente 2.933 pies/seg) sopla desde el este, oponiéndole resistencia a la flecha.196
a. Las ecuaciones paramétricas que representan la trayectoria de la flecha están dadas por x(t) = 15.537t, y(t) = 23.64t – 16t² + 3.5. Halla la ecuación rectangular equivalente para la trayectoria de la flecha. (Nota:
192
Fuente: Adaptado de "Ejemplos por indicador de undécimo grado" del Departamento de Educación de Puerto Rico (2008). 194 Fuente: "Ejemplos por indicador de undécimo grado" del Departamento de Educación de Puerto Rico (2008). 195 Ibídem. 196 Ibídem.
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Unidad 11.6: Geometría y ecuaciones paramétricas Matemáticas 4 semanas poder alcanzar el punto meta de 3 km de un lado a otro del lago? 3. ¡Oh no! Las lluvias de abril fueron anormalmente bajas este año y el diámetro es de 5 km menos de lo usual. Asumiendo que el punto meta es el punto equidistante del lago, ¿a qué altura hay que liberar los peces para que alcancen el punto meta en este nivel de agua anormalmente bajo?
Estas ecuaciones paramétricas son aproximaciones.) b. ¿Cuál es la altura máxima de la flecha?
Diario 1. Describe una situación en que hayas tenido varias experiencias que te llevaron a hacer una conjetura verdadera. Describe una situación en que hayas tenido varias experiencias que te llevaron a una conjetura falsa. 2. Hoy aprendí ________________ sobre las Evalúa el trabajo de los estudiantes en la rúbrica funciones paramétricas. de evaluación (ver anejo: Organizador - Rúbrica de 3. Dudas que aún tengo sobre las funciones tarea de desempeño). paramétricas: ___________________4. ¿Qué son las funciones paramétricas? Provee cinco ejemplos de cómo describen la vida real. 5. Discute la curva definida por las expresiones paramétricas:197 6. Hoy aprendí ________________ sobre la geometría euclidiana. 7. Dudas que aún tengo sobre la geometría euclidiana: ___________________. 8. Dado el siguiente enunciado: Si una figura fuese un triángulo, entonces tiene ángulos de 90˚ o menos. Indica si el enunciado recíproco es cierto o falso. Justifica tu respuesta. 9. x = 3t2 y = 2t cuando: -2 ≤ t ≤ 2. Boletos de entrada/salida 1. Traza la gráfica de la curva del plano en forma paramétrica por: 198 x = 8cosθ y = 4senθ Identifica la curva al eliminar el parámetro θ. 2. En un punto a diez yardas de un gol de fútbol, Roberto, quien está centrado con el gol, patea la bola justo en el centro (desde el suelo) a un ángulo de 20° sobre la línea horizontal y a una velocidad de 50 pies/seg directamente hacia 197 198
Fuente: "Ejemplos por indicador de undécimo grado" del Departamento de Educación de Puerto Rico (2008). Ibídem.
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Unidad 11.6: Geometría y ecuaciones paramétricas Matemáticas 4 semanas el gol (véase la figura).
Las ecuaciones paramétricas que representan la trayectoria de la bola están dadas por x = 46.985t y = 17.101t – 16t² donde x y y están medidas en pies. (Nota: Estas ecuaciones paramétricas son aproximaciones.)199 a) Halla la ecuación rectangular equivalente para la trayectoria de la bola de fútbol. b) Si la bola de fútbol alcanza los 8 pies de altura, y no hay nadie protegiendo el gol (el jugador se encuentra practicando su pateada), ¿mete la bola en la red? 3. Utiliza las ecuaciones paramétricas para describir la trayectoria de una bola de béisbol bateada a 4 pies del suelo a un ángulo de 30°, si su velocidad es de 100 pies/seg.200
a. ¿Cuánto tiempo tomará para que la bola caiga al suelo? b. ¿Cuán lejos del bateador estará la bola cuando caiga al suelo? c. ¿Sobrepasará la bola una verja de 20 pies que está a 250 pies del bateador? 4. Después de dibujar varios polígonos convexos, indica la razón entre la suma de los ángulos exteriores. 201
199
Fuente: "Ejemplos por indicador de undécimo grado" del Departamento de Educación de Puerto Rico (2008). Fuente: http://distance-ed.math.tamu.edu/Precalculus_home/Module5/problems_5D.pdf 201 Fuente: "Ejemplos por indicador de undécimo grado" del Departamento de Educación de Puerto Rico (2008). 200
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Unidad 11.6: Geometría y ecuaciones paramétricas Matemáticas 4 semanas Etapa 3 – Plan de aprendizaje Actividades de aprendizaje
Tarjetas de repaso de funciones paramétricas202: Los estudiantes reconocerán y parearán funciones paramétricas básicas dada una gráfica o la notación simbólica de la función. (ver anejo: 11.6 Actividad de aprendizaje - Tarjetas de repaso de funciones paramétricas). Carrera de gráficas de funciones paramétricas203: En parejas, los estudiantes practican a trazar gráficas de ecuaciones paramétricas. El maestro debe revisar cada gráfica antes de que el grupo pueda pasar al próximo conjunto de ecuaciones. Comienza con el número adecuado de gráficas en función del nivel de destreza que tengan los estudiantes y añade gráficas a medida que progrese la unidad. El primer grupo que termine con el número correcto de gráficas ¡gana! (ver anejo: 11.6 Actividad de aprendizaje - Carrera de gráficas de funciones paramétricas). Enigma de razonamiento deductivo204: Los estudiantes trabajan en grupos pequeños para resolver el enigma de razonamiento deductivo. Recuérdales a los estudiantes las destrezas de razonamiento deductivo usadas por Sherlock Holmes para resolver misterios, por medio de la lectura de pasajes de las historias de Sherlock Holmes leídos por el maestro o por los estudiantes. No ayudes a los grupos a resolver el misterio. Una vez hayan estado trabajando en ello durante un tiempo, pídeles a los miembros de la clase que discutan las estrategias que emplearon para resolver el enigma. A continuación, dales a los estudiantes una copia del razonamiento deductivo con una cuadrícula y déjalos trabajar en el problema un poco más. Discutan el uso de gráficas y cómo pueden ser útiles. Discutan qué destrezas o estrategias piensan los estudiantes que son necesarias para solucionar el problema y qué herramientas los ayudarán a resolverlo. En concreto, repasa con los estudiantes las tablas de dos columnas y los flujogramas que usaron en las pruebas geométricas previamente, puesto que las usarán de nuevo en esta unidad. (ver anejo: 11.6 Actividad de aprendizaje - Misterio de razonamiento deductivo) A divertirse con los ángulos205: Los estudiantes repasarán las relaciones entre ángulos formados por la intersección de dos líneas paralelas y una transversal. Provéeles una gráfica similar al Diagrama 1 (a continuación) en que las líneas a y b sean paralelas y un número que represente la medida del ángulo 1. Pídeles a los estudiantes que hallen la medida de todos los demás ángulos numerados en el diagrama y provee una justificación de cada medida hallada (p. ej., si la medida del ángulo 1 es 105˚, la medida del ángulo 5 es 105˚, puesto que los ángulos 1 y 5 son ángulos correspondientes). Los estudiantes entonces deberán proveer un argumento convincente de que los pares de ángulos son o congruentes o suplementarios (p. ej., dado que las líneas a y b son paralelas, prueba que los ángulos 1 y 7 son suplementarios), sin usar medidas de ángulos. Pueden elaborarse pruebas un poco más difíciles usando diagramas similares al Diagrama 2.
202
Fuente: http://distance-ed.math.tamu.edu/Precalculus_home/Module5/Activity_5AB.pdf Fuente: http://hollywoodhighschool.net/apps/pages/index.jsp?uREC_ID=116947&type=u&termREC_ID=&pREC_ID=210421 203
204 205
Fuente: http://www.doe.state.la.us/topics/comprehensive_curriculum.html Ibídem.
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Unidad 11.6: Geometría y ecuaciones paramétricas Matemáticas 4 semanas
Imágenes paramétricas206: Los estudiantes aprenden cómo usar la función "paramétrica" de sus calculadoras gráficas al crear una imagen usando funciones paramétricas. Pídeles a los estudiantes que tracen la gráfica de la calabaza a continuación en una calculadora gráfica primero; a continuación, deberán hacerla por su cuenta. Los estudiantes deberán crear una imagen usando por lo menos cuatro ecuaciones paramétricas y demostrar a) el conjunto de ecuaciones, b) ajustes necesarios en la gráfica, y c) un boceto de la imagen graficada con escalas. La imagen puede ser una que ellos escojan o una réplica de una imagen, como la calabaza de ejemplo aquí abajo. Ejemplo: Traza la gráfica de la imagen a continuación en una calculadora gráfica. Traza los puntos en modo paramétrico y desactiva los ejes. No uses Zoom Square. x1 8cos t y 8sin t 1 x2 3 1.5sin t y2 3 1.5cos t x3 3 1.5cos t y3 3 1.5sin t x4 4.5sin t y 4 0.75cos t 4 x5 t ((t 0.95) and (t 0.95)) y5 4.5(abs (t ) 2.55) t x6 cos 2 y6 sin t
t tstep = 0.25 10 x 10 10 y 10 206
Fuente: http://hollywoodhighschool.net/apps/pages/index.jsp?uREC_ID=116947&type=u&termREC_ID=&pREC_ID=210421
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Unidad 11.6: Geometría y ecuaciones paramétricas Matemáticas 4 semanas Proposiciones condicionales: Utiliza la técnica de Piénsalo-Emparéjate-Compártelo para introducir a los estudiantes en el concepto de las propuestas condicionales y su recíproca. Escribe una proposición condicional en la pizarra y la pregunta "indica si la recíproca es cierta o falsa. Justifica tu respuesta". Pídeles a los estudiantes que primero piensen en la respuesta a la pregunta de forma individual. A continuación, pídeles que discutan sus respuestas con un compañero (emparéjate); finalmente, pídeles que compartan sus respuestas con la clase (compártelo). Asegúrate de preguntarles a todos los grupos si usaron razonamientos o justificaciones distintos y dialoguen todos juntos sobre por qué si o por qué no.
Ejemplos para planes de la lección
Hallar las medidas de segmento y ángulo de forma analítica207: Los estudiantes organizan y presentan sus medidas de segmento y ángulo halladas de forma analítica usando una tabla de dos columnas y un flujograma. Los estudiantes redactan entonces un párrafo en que describan su prueba. 1. Repasa el símbolo correcto para denotar la medida de un segmento de línea. Asegúrate de señalar las diferencias entre los símbolos (AB, AB, AB, y AB) y sus significados. 2. Introduce el Postulado de la suma de segmentos que establece que "si A, B y M son puntos colineales y M se encuentra entre A y B, entonces AM + MB = AB". Introduce también el teorema de los puntos equidistantes que establece que "si M es el punto medio de AB, entonces AM ≅ MB”. 3. Deben proveérseles varias oportunidades a los estudiantes para que hallen las medidas de segmentos que impliquen expresiones algebraicas al emplear el postulado de la suma de segmentos y el teorema del punto equidistante. Por ejemplo: Si A se encuentra entre C y T, CA = 2x + 5, AT = 5x − 2, y CT = 8x − 2, halla x y AT. Solución: Usando el postulado de la suma de segmentos, sabemos que CA + AT = CT, por lo que x = 5 y AT = 23 unidades. 4. Además de hallar las medidas de segmentos de forma analítica, los estudiantes deberán trabajar con el Postulado de la suma de ángulos que establece que “si R está en el interior de ∠PQS, entonces m ∠PQR + m ∠RQS = m ∠PQS”. Los estudiantes deben trabajar los problemas en que tengan que hallar las medidas de varios ángulos con y sin álgebra. Pídeles además que
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usen la definición de bisector de ángulo (si PQ es un ángulo bisector de ∠RPS, entonces Q está en el interior de ∠RPS y ∠RPQ ≅ ∠SQP) para hallar las medidas de los ángulos usando álgebra. 5. Demuestra cómo se usa una tabla con dos columnas y un flujograma para que los estudiantes presenten sus hallazgos. Instruye a los estudiantes paso a paso sobre los elementos necesarios para redactar una descripción de sus hallazgos en forma de párrafo . Pruebas con historias en cadena 208: Los estudiantes trabajan con pruebas al crear una historia matemática modificada para completar una prueba basada en geometría euclidiana. En esta lección, se hace hincapié en proveer un argumento convincente y fácil de seguir por medio de razones, en vez de usar un formato particular (flujograma o tabla). 1. Provee un par de ejemplos de pruebas con argumentos convincentes y fáciles de seguir y argumentos poco convincentes y rebuscados. Identifiquen elementos de los argumentos Fuente: http://www.doe.state.la.us/topics/comprehensive_curriculum.html Fuente: http://www.doe.state.la.us/topics/comprehensive_curriculum.html
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convincentes y fáciles de seguir juntos como clase. Diles a los estudiantes que su enfoque para el día será asegurarse de que los argumentos geométricos sean tanto convincentes como fáciles de seguir. 2. En grupos de tres a cuatro estudiantes, cada miembro debe tomarse turnos escribiendo un enunciado y una razón para la prueba. El primer miembro escribe el primer enunciado y razón. El segundo lee el enunciado de la primera persona y la razón y decide si es lógico. A continuación, él o ella añade su propio enunciado y razón. El proceso continúa hasta que se haya escrito toda la prueba. Cada vez que un miembro recibe la prueba, él o ella deberá leer la prueba completa para asegurarse de que está de acuerdo con la lógica y fluidez de esta. Si a alguna persona en el grupo le preocupa algo de la información previa, debe ayudar a su compañero(a) a corregir el enunciado y luego añadir su nueva información. Los grupos deben poder usar una prueba con dos columnas, una prueba en forma de párrafo o una prueba con flujograma. 3. Busquen que las pruebas estén correctas. Cuando la mayor parte de los grupos hayan completado sus pruebas, anímalos a que discutan sus ideas con otros grupos. En este punto, los estudiantes deben preguntarse los unos a los otros si piensan que hay errores en alguna parte de su trabajo. 4. Elige tres grupos distintos para escribir una prueba particular (correcta) en la pizarra. Discutan variaciones y semejanzas de las tres pruebas con toda la clase, y hablen de los pasos extra que podrían añadirse u omitirse. Introducción a las funciones paramétricas209: Los estudiantes realizan una aplicación del mundo real y recopilan datos para el salón de clases. Los datos recopilados se usarán en el salón de clases para introducir de forma intuitiva las ecuaciones paramétricas. Se les pedirá a los estudiantes que saquen conclusiones sobre los datos y sus representaciones a partir de conocimiento previo. Se les mostrará además cómo pueden usarse las ecuaciones paramétricas en un modelo no lineal. Materiales: espacio grande como una cancha, cinta adhesiva protectora, hilo de tejer, dos cronómetros, cinta métrica de 100 pies, papel cuadriculado, hojas con tablas para anotar datos y tarjetas de tarea grupal (ver anejo: 11.6 Ejemplo para plan de lección - Introducción a las funciones paramétricas). Instrucciones: 1. En un espacio grande, como en una cancha, el maestro coloca una cuadrícula trazada en el suelo para que los estudiantes la usen antes de clase. 2. Asígnale un número a cada estudiante para que se dividan en cinco grupos. A cada grupo se le dará una tarjeta con la tarea de la actividad. (Alternativa: Si cuentas con más espacio, funcionaría mejor hacer que los estudiantes se separen en grupos de cinco en que cada persona tenga su propia tarea, en vez de que haya una tarea por grupo.) 3. Explícales lo siguiente: Estamos en una tarima. Los artistas de escenario tienen una cantidad limitada de recorridos. En la danza, el coreógrafo puede pedirle a dos bailarines que se crucen corriendo. En esta situación, cada bailarín debe conocer su trayecto para que no se choquen durante la danza. En el teatro, el director podría pedirles a dos actores que corran el uno hacia el otro. En algunas funciones se requiere que ambos actores caminen hacia atrás en el Fuente: http://parametricequationsintro-lessonstudy.wikispaces.com/
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escenario para que puedan encontrarse. Nuevamente en ambos casos cada cual debe saberse su trayectoria. Vamos a trazar unos cuantos trayectos posibles que podrían recorrerse en un escenario. 4. Preguntas guiadas para esta actividad: Los trayectos se cruzan, ¿pero significa esto que se chocarían? ¿Cuáles son las variables que afectaron cada trayecto? (tiempo, distancia y velocidad) 5. En grupos, los estudiantes enumeran los datos recopilados en una tabla en la pizarra. 6. Introduce el término "paramétrico" y dales el contexto (x y y respecto de t aparte). Entonces se le presentará el siguiente problema a la clase: ¿cómo puedes usar esta información (punto inicial, punto terminal, tiempo) para crear un grupo de gráficas y ecuaciones que representen los datos? 7. La clase seleccionará un conjunto de datos y comenzará a trabajar en el problema en grupos. La clase tendrá unos 10 minutos para lidiar con el problema, intentando usar su conocimiento para hallar soluciones a la pregunta. 8. Tengan una discusión en clase del problema e ideas de técnicas para solucionarlo. 9. Los estudiantes combinan las ecuaciones paramétricas en una ecuación cartesiana y trazarán la gráfica de la ecuación en una gráfica aparte. 10. Conecta sus resultados con la actividad al comparar la gráfica cartesiana elaborada por ellos en su propia imagen de la gráfica del gimnasio. 11. Discutan los puntos intersecantes, así como si las personas que se desplazan se chocarían y qué determina si se chocan o no. (Tiempo como variable independiente, velocidad, d=r/t). 12. Se les dará otro conjunto de datos a los grupos para completarlo en clase. Lanzamiento de los anillos: Esta lección está diseñada para introducir las ecuaciones paramétricas. Los estudiantes usarán una calculadora gráfica para generar valores numéricos y trazar gráficas de ecuaciones paramétricas para hacer modelos del movimiento de un anillo en un juego de lanzamiento de anillos. Para más información, dirigirse a www.dlt.ncssm.edu/AFM/lessons/ring_toss.doc. Lanzamiento210: Esta lección sirve para realmente consolidar la comprensión de la distinción entre seguir la trayectoria de la bola frente a seguir su altitud, a la vez que se investiga una relación cuadrática. Puede que sea necesario ilustrar unos cuantos ejemplos a modo de repaso o introducción de las ecuaciones paramétricas y su significado antes de comenzar con esta actividad. Esto ayudará a solidificar la confianza y comprensión de los estudiantes en cuanto a las ecuaciones paramétricas. Asegúrate de discutir lo que cada una de esas variables y el parámetro representan en la situación. Pregúntales: Si se cambiara el valor constante de x, ¿cómo afectaría esto la altitud de la bola con respecto al tiempo? Asocia la situación física con la parte matemática. Ayúdales a los participantes a hacer la asociación de que en este caso la aceleración, debido a la gravedad, aparece nuevamente como las segundas diferencias. Las primeras diferencias muestran que la tasa de cambio no es constante, que esta está en cambio constante. La tasa de cambio, la velocidad, cambia a un ritmo constante, llamado aceleración. Para más información, dirigirse a: http://www.utdanacenter.org/highered/alg2/downloads/IV-B-CourseContentAlgII/AlgII_3-1-2.pdf
Fuente: http://www.utdanacenter.org/highered/alg2/downloads/IV-B-CourseContentAlgII/AlgII_3-1-2.pdf
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Unidad 11.6: Geometría y ecuaciones paramétricas Matemáticas 4 semanas Recursos adicionales
http://profjserrano.wordpress.com/ http://education.ti.com/downloads/guidebooks/graphing/84p/TI84Plus_guidebook_ES.pdf http://isa.umh.es/calc/TI/TI83/TI83manual-spa.pdf Matemáticas Integradas I, II, III de McGraw Hill Precálculo: Funciones y gráficas de Raymond Barnett Algebra I de Glencoe
Conexiones a la literatura Nota: Aunque los siguientes libros están dirigidos a estudiantes de la escuela primaria, éstos apuntan a los principios fundamentales de matemáticas los cuales se pueden explorar en todos los niveles. Todo el mundo disfruta de que alguien le lea y los estudiantes de la escuela secundaria no son la excepción. Estos libros son una excelente introducción a las unidades de estudio. Más allá de la coincidencia de Martin Plimmer El matemático del rey de Juan Carlos Arce La música de los números primos: El enigma de un problema matemático abierto de Marcus Du Sautoy
Junio 2012 Adaptado de Understanding by Design de Grant Wiggins y Jay McTighe
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Unidad 11.7: Regresión lineal Matemáticas 2 semanas Etapa 1 - Resultados esperados Resumen de la unidad En esta unidad, los estudiantes determinarán el grado de correlación entre dos variables y usarán la regresión lineal por mínimos cuadrados para hacer modelos de tendencias en series de datos. Los estudiantes examinarán los efectos que tienen los valores extremos en el coeficiente de correlación y las líneas de regresión y analizarán la importancia de los valores extremos como posibles errores en los datos. Meta de transferencia: Los estudiantes saldrán de la clase con la capacidad de usar su conocimiento sobre los modelos lineales de tendencias en series de datos para interpretar datos, analizar relaciones y tendencias en los datos, y determinar correlaciones entre estos.
Estándares de contenido y expectativas Modelos de tendencias de datos E.IP.11.9.1 Determina la correlación entre dos variables numéricas utilizando la tecnología. E.IP.11.9.2 Interpreta y describe la correlación y señala las fortalezas y debilidades del coeficiente como una medida de asociación lineal. E.IP.11.9.3 Calcula y grafica los residuales de la línea de regresión por cuadrados mínimos; juzga el ajuste del modelo lineal. E.IP.11.9.4 Interpola utilizando las tendencias observadas en el diagrama de dispersión y juzga cuando las tendencias extrapoladas son apropiadas. E.IP.11.9.5 Examina la influencia de los valores extremos en la correlación y en los modelos de tendencias. Investiga y describe los efectos de los valores extremos en el coeficiente de correlación, la pendiente y los interceptos de la línea de regresión. E.IP.11.9.6 Analiza la importancia potencial de los valores extremos como avisos para errores posibles en los datos, como contraejemplos o casos únicos, especialmente cuando se describen tendencias sociales.
Ideas grandes/Comprensión duradera:
Preguntas esenciales:
La correlación nos informa de la interdependencia entre dos cantidades. Los ajustes por cuadrados mínimos se usan comúnmente en las regresiones lineales. Los valores extremos afectan la correlación. Las regresiones nos permiten interpretar la correlación entre las variables. Podemos usar una función que sirva de modelo para situaciones del mundo real para hacer estimados o predicciones sobre eventos futuros.
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¿De qué forma la correlación demuestra la solidez de las predicciones basadas en un diagrama de dispersión? ¿Por qué existen diversos métodos para las regresiones lineales? ¿Por qué los valores extremos afectan la correlación? ¿De qué forma se relacionan la regresión y la correlación? ¿Cómo se puede hacer un modelo de datos con una función lineal? 1191
Unidad 11.7: Regresión lineal Matemáticas 2 semanas Contenido (Los estudiantes comprenderán...)
Destrezas (Los estudiantes podrán...)
Investigar y describir los efectos de los valores extremos en el coeficiente de correlación, la pendiente y el intercepto de la línea de regresión Los puntos fuertes y débiles del coeficiente de correlación como medida de la asociación lineal El método de los cuadrados mínimos
Vocabulario
asociación lineal, causalidad, coeficiente, coeficiente de correlación, correlación negativa, correlación positiva, diagrama de dispersión, extrapolación, frecuencia, intercepto, interpolación, línea de mejor ajuste, línea de tendencia, pendiente, regresión lineal, regresión lineal por mínimos cuadrados, tendencia, valores extremos
Determinar la correlación entre dos variables numéricas utilizando la tecnología. Interpretar y describir la correlación y señalar las fortalezas y debilidades del coeficiente como medida de asociación lineal. Calcular y trazar la gráfica de los residuales de la línea de regresión por cuadrados mínimos; juzgar el ajuste del modelo lineal. Interpolar utilizando las tendencias observadas en el diagrama de dispersión y juzgar cuándo las tendencias extrapoladas son apropiadas. Examinar la influencia de los valores extremos en la correlación y en los modelos de tendencias. Investigar y describir los efectos de los valores extremos en el coeficiente de correlación, la pendiente y los interceptos de la línea de regresión. Analizar la importancia potencial de los valores extremos como avisos para errores posibles en los datos y como contraejemplos o casos únicos, especialmente cuando se usan para describir tendencias sociales.
Etapa 2 – Evidencia de avalúo Tareas de desempeño
Otra evidencia
Análisis del diagrama de dispersión Ejemplos de preguntas de examen/quiz Los estudiantes demostrarán su comprensión de 1. En una escuela superior del oeste, todos los la correlación al recopilar datos relacionados con estudiantes de matemáticas de duodécimo una situación del mundo real, construir un grado recibieron el mismo examen de la diagrama de dispersión a partir de los datos, unidad, pero a la clase del salón hogar 1 se le analizar el diagrama y preparar un informe. dio una versión del examen distinta de la del 1. Provéeles a los estudiantes algunas ideas para salón hogar 5.213 que recopilen datos con tendencias lineales. Salón hogar 1 Salón hogar 5 2. Dales las siguientes instrucciones. (x) (y) a. Tu tarea es elaborar una pregunta de 84 78 investigación a la que deberás responder 90 86 recopilando y analizando datos 213
Fuente: http://www.math.sunysb.edu/~preston/mat517/projects/Cutrone_Heinssen.pdf
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Unidad 11.7: Regresión lineal Matemáticas 2 semanas relacionados con una situación del mundo real. b. El maestro deberá aprobarte la pregunta y métodos de investigación. c. Una vez recopiles los datos, construye un diagrama de dispersión de estos. d. Analiza el diagrama de dispersión usando la regresión lineal. e. Halla la ecuación de la línea de tendencia. f. Usa la ecuación de la línea de tendencia para hacer una predicción. g. Halla la ecuación de la línea de mejor ajuste. h. Usa la ecuación de la línea de mejor ajuste para hacer una predicción. i. ¿Qué información de la gráfica necesitas para escribir cada ecuación? j. Explica el significado del valor de la pendiente, intercepto con el eje de y y el coeficiente de correlación. k. Identifica los valores extremos (datos anómalos) y describe su efecto sobre la pendiente, el intercepto con el eje de y el coeficiente de correlación. l. ¿Hay alguna tendencia en los datos? ¿Cómo lo sabes? m. Identifica la conclusión de los hallazgos y describe cualquier fuente de error posible a la hora de describir la tendencia. n. Compara la línea de regresión lineal obtenida con tecnología con la que se obtiene por otro método y discute las ventajas de cada método usado en un párrafo para entregar. o. Prepárate para presentar tus hallazgos frente a un grupo de tus compañeros. Evalúa el trabajo de los estudiantes en la rúbrica de evaluación (ver anejo: Organizador - Rúbrica de tarea de desempeño). Evalúa la conjetura211 Los estudiantes demostrarán su comprensión de 211
83 80 68 71 82 89 91 95 75 88
75 92 76 60 87 83 94 80 81 93
a. En tu calculadora, construye un diagrama de dispersión de las puntuaciones de los exámenes, y usa el salón hogar 1 como la variable independiente. Escribe una ecuación de la línea de mejor ajuste (redondea a la centena más próxima). b. Halla el coeficiente de correlación a la centena más próxima. c. Predice, al entero más próximo, la puntuación del salón hogar 5 y su correlación con una puntuación de 97 de un estudiante del salón hogar 1. 2. En la tabla a continuación se muestra el coeficiente intelectual de ocho estudiantes de duodécimo grado y el número de horas que cada estudiante pasa viendo televisión a la semana.214 CI (x) Hrs. de TV (y)
105
125
135
100
115
130
140
100
11
7
6
13
15
8
2
14
a. Halla la ecuación de regresión lineal de estos datos. Redondea la pendiente y los interceptos con el eje de y a la milésima más próxima. b. Halla el coeficiente de correlación. c. ¿Cuántas horas de televisión a la semana se predice que verá un estudiante con un CI de 120? (Redondea a la hora más próxima.)
Fuente: http://www.amaps.org/leftfiles/Syllabi/Algebra%202%20Sample%20Tasks.pdf
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Unidad 11.7: Regresión lineal Matemáticas 2 semanas la regresión lineal evaluando una conjetura. Tarea: A partir de los datos del Banco Mundial212, se proyecta que la población de Puerto Rico en 2020 será de 4,380,000. Usa los datos a continuación para contestar las preguntas y probar esta proyección. Año 1960 1970 1980 1990 2000 2010
Población (en miles) 2,358 2,718 3,206 3,537 3,814 3,979
1. Haz un diagrama de dispersión de los datos. ¿Por qué piensas que el Banco Mundial expresó la población en miles? 2. Determina una ecuación de regresión que podría usarse para hacer un modelo de los datos. Utiliza esta ecuación para determinar el número esperado de personas que habrá en Puerto Rico ese año. 3. ¿Cómo debes redondear tu respuesta? ¿Por qué? 4. Averigua la población actual de Puerto Rico. ¿Cómo se compara tu estimado con la población real? Explica por qué tu respuesta es distinta de la población real. 1. Halla la ecuación de la línea de tendencia. 2. Usa la ecuación de la línea de tendencia para hacer una predicción. 3. Halla la ecuación de la línea de mejor ajuste. 4. Usa la ecuación de la línea de mejor ajuste para hacer una predicción. 5. ¿Qué información de la gráfica necesitas para escribir cada ecuación? 6. Explica el significado del valor de la pendiente, intercepto con el eje de y el
Diario 1. En tus propias palabras, ¿qué es la regresión lineal? 2. ¿Qué nos dice la regresión lineal? 3. ¿Cómo se diferencia el coeficiente lineal de la media o mediana de una variable? 4. ¿Cómo puedes hacer predicciones a partir de un diagrama de dispersión? 5. A la hora de estimar los puntos que faltan usando la interpolación lineal en un diagrama de dispersión, ¿qué es lo que se asume? ¿Cuáles son las características de esos supuestos? Boletos de entrada/salida 1. En la tabla a continuación se muestra la relación entre la longitud de L, medida en centímetros, de un resorte colgante y un peso, p, medido en gramos, enganchado en el resorte. L p
8 10.36
12 12.13
16 14.35
20 16.21
24 18.52
Usando tu calculadora, construye un diagrama de dispersión donde p sea la variable independiente. Halla la ecuación de regresión lineal en la forma L = Aw + B redondeando A y B a la centena más próxima. Utiliza la ecuación hallada para predecir la longitud del resorte, a la décima más próxima de un centímetro, si se le añade un peso de 30 gramos.215 2. Pídeles a los estudiantes que completen las siguientes ideas en los últimos dos minutos de clase en un pedazo de papel: a. En clase hoy aprendí ________________________. b. Hoy tuve duda en cuanto a ____________________. 3. Pídeles que completen las siguientes ideas en
214
Fuente: http://www.math.sunysb.edu/~preston/mat517/projects/Cutrone_Heinssen.pdf Fuente: World Bank Databank, http://databank.worldbank.org 215 Fuente: http://www.math.sunysb.edu/~preston/mat517/projects/Cutrone_Heinssen.pdf 212
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Unidad 11.7: Regresión lineal Matemáticas 2 semanas coeficiente de correlación. 7. Identifica los valores extremos (datos anómalos) y describe su efecto sobre la pendiente, el intercepto con el eje de y el coeficiente de correlación. 8. ¿Hay alguna tendencia en los datos? ¿Cómo lo sabes? 9. Identifica la conclusión de los hallazgos y describe cualquier fuente posible de error a la hora de describir la tendencia. Evalúa el trabajo de los estudiantes en la rúbrica de evaluación (ver anejo: Organizador - Rúbrica de tarea de desempeño).
los primeros dos minutos de clase en un pedazo de papel: a. Explica una idea que recuerdes de la clase de ayer.
Etapa 3 – Plan de aprendizaje Actividades de aprendizaje
¿Correlación o causalidad?216: Durante un repaso de la correlación y la causalidad, diles a los estudiantes: cada par de variables que se muestra aquí tiene una fuerte asociación. ¿Causa I el II, o el II causa el I, o hay alguna otra variable que cause ambos? A. I. Llevar un audífono para sordos. II. Morir en los próximos diez años. B. I. La cantidad de leche que bebe una II. La fortaleza ósea de una persona. persona. C. I. La cantidad de dinero que gana una II. El número de años que una persona persona. asistió a la escuela. D. I. La capacidad de una cancha de II. El número de iglesias (o bares) en el baloncesto de una escuela superior. mismo pueblo. Cadena humana217: La clase recopilará datos al cronometrar cuánto tiempo se toma en que se "transfiera un toque" entre un grupo de estudiantes. Los estudiantes pueden formular sus hipótesis de si la transferencia por toque de manos será más o menos rápida que la transferencia por toque de hombros. Haz que la clase forme un círculo con suficiente espacio entre cada estudiante para que puedan tomarse de la mano cómodamente. Comiencen con la transferencia de "mano"; explícales que deben (cuando se les pida) apretar suavemente la mano de la persona a su derecha una vez hayan sentido que les apretaron la mano. Los estudiantes deben mantener los ojos cerrados para que el sentido del tacto sea la única variable. Indica cuántos estudiantes participarán en cada pase e indícale al último estudiante que diga "ya" una vez le aprieten la mano. Comienza iniciando el cronómetro mientras aprietas suavemente la mano del primer estudiante y detenlo cuando se le haya apretado la mano al último. Utiliza distintos incrementos, como de
216
Fuente: http://www.google.com/url?sa=t&rct=j&q=&esrc=s&frm=1&source=web&cd=4&ved=0CC4QFjAD&url=http%3A%2F%2F www.michigan.gov%2Fdocuments%2Fmde%2FElectronics_Math_Ingham_225966_7.doc&ei=b0zVTtjnNYHg0QGPptTaAQ &usg=AFQjCNEVvHTqwwUoHbHV6onh-CX9Ph6W_g 217 Fuente: www.curriculumframer.com
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Unidad 11.7: Regresión lineal Matemáticas 2 semanas
cuatro estudiantes, siete o trece, etc., e incluso completar la cadena dos veces. Anota los datos donde los estudiantes puedan copiarlos y permíteles que tracen los datos a mano. Provéeles un fideo de espagueti para que puedan colocar una "línea" junto a los datos y hallar una ecuación correspondiente. Repite la actividad con el pase de hombros. Deja a los estudiantes en el círculo, pero con el brazo derecho en el hombro izquierdo de la persona que está a su lado. En esta ocasión, la cadena se mueve con un toque suave del hombro. Interpolación: Provéeles a los estudiantes cinco conjuntos distintos de datos sencillos. Asegúrate de que los conjuntos de datos tengan la misma media y desviaciones estándar similares, pero que les falte el tercer valor. Pídeles que interpolen el tercer valor de cada conjunto de datos. Discutan los resultados la clase junta; asegúrate de hacer hincapié en que debido a las diferentes estructuras de los conjuntos de datos, los cálculos de la interpolación tendrán como resultado estimados drásticamente distintos. Esto ilustrará algunas de las desventajas de las interpolaciones a la hora de estimar incógnitas. Valores extremos: Preséntales conjuntos de datos en los que que tanto se contengan como no se contengan valores extremos. Pídeles a los estudiantes que identifiquen si hay valores que no parezcan corresponderse con el resto de los datos y pregúntales por qué parecen no corresponderse. Calculen regresiones lineales con y sin valores extremos para que los estudiantes hagan observaciones de cómo los valores extremos pueden afectar la línea de mejor ajuste. Organizador gráfico de correlación: Tras una discusión en clase de lo que es y lo que significa la correlación, presenta ejemplos para que los estudiantes determinen la solidez de la correlación. A continuación, crearán un organizador gráfico para identificar los tipos de correlación posibles entre dos variables, resumiendo la información importante y dando ejemplos por cada tipo de correlación. Los estudiantes crean una tabla con una columna de tipos de correlación, otra columna que describa el tipo de correlación y una columna final con ilustraciones por cada correlación. Regresión lineal en la TI-83218: Pídeles a los estudiantes que determinen una ecuación de regresión lineal de los precios de café obtenidos de un supermercado local. Haz que traigan precios de café de paquetes de diferentes tamaños de asignación el día antes, o recopila los datos para proveérselos. Pídeles que sigan el proceso que se muestra en la hoja de actividades adjunta y usen los datos para practicar a calcular una regresión lineal en la calculadora TI-83 (ver anejo: 11.7 Ejemplo para plan de lección - Regresión lineal en la TI-83).
Ejemplos para planes de la lección
Desde líneas de mejor ajuste a la regresión lineal 219: Repasa diferentes líneas con distintas pendientes y sus ecuaciones. Pídeles que adivinen la ecuación de la línea de cada diagrama de dispersión. Discútanlo como clase. Usen el organizador gráfico de línea de regresión lineal (ver anejo: 11.7 Ejemplo para plan de lección - Desde líneas de mejor ajuste a la regresión lineal) para enseñarles cómo se calcula realmente la ecuación de una línea de regresión lineal dado un conjunto de datos. Asegúrate de también demostrarles a los estudiantes cómo hacer esto con calculadora gráfica. Como práctica, dales cinco conjuntos de datos para los cuales tendrán que
218
Fuente: http://education.ti.com/calculators/downloads/AUS-NZ/Activities/Detail?id=12045 Fuente: http://www.ciclt.net/ul/okresa/Unit%206%20Acquisition%20Lesson%203%20Linear%20Regression.pdf
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Unidad 11.7: Regresión lineal Matemáticas 2 semanas
trazar los puntos, dibujar una línea de mejor ajuste y calcular la ecuación de la línea de regresión lineal. Deberán corroborar sus resultados en la calculadora (ver anejo: 11.7 Ejemplo para plan de lección - Desde líneas de mejor ajuste a la regresión lineal). Regresión lineal mediana-mediana220: Usando organizadores gráficos y notas guiadas, los estudiantes aprenderán el método de la línea mediana-mediana para hallar la ecuación de la línea de regresión lineal. Los estudiantes deben usar los mismos conjuntos de datos de los métodos de regresión lineal anteriores para hallar la ecuación de la línea de regresión lineal usando el método de línea mediana-mediana. Para más información, dirigirse a (páginas 5-9): http://www.ciclt.net/ul/okresa/Unit%206%20Acquisition%20Lesson%203%20Linear%20Regression .pdf.
Recursos adicionales
http://profjserrano.wordpress.com/ http://education.ti.com/downloads/guidebooks/graphing/84p/TI84Plus_guidebook_ES.pdf http://isa.umh.es/calc/TI/TI83/TI83manual-spa.pdf Matemáticas Integradas I, II, III de McGraw Hill Precálculo: Funciones y gráficas de Raymond Barnett Algebra I de Glencoe
Conexiones a la literatura Nota: Aunque los siguientes libros están dirigidos a estudiantes de la escuela primaria, éstos apuntan a los principios fundamentales de matemáticas los cuales se pueden explorar en todos los niveles. Todo el mundo disfruta de que alguien le lea y los estudiantes de la escuela secundaria no son la excepción. Estos libros son una excelente introducción a las unidades de estudio. Más allá de la coincidencia de Martin Plimmer El matemático del rey de Juan Carlos Arce La música de los números primos: El enigma de un problema matemático abierto de Marcus Du Sautoy
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Fuente: www.curriculumframer.com
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Unidad 11.8: Temas de probabilidad Matemáticas 6 semanas Etapa 1 - Resultados esperados Resumen de la unidad En esta unidad, los estudiantes explorarán los efectos de las transformaciones en diferentes cálculos de datos, evaluarán estudios publicados y comunicarán el propósito, métodos y resultados de un estudio estadístico. Describirán las características de la distribución normal, identificarán cuándo es útil y aplicarán la regla empírica para solucionar problemas. Meta de transferencia: Los estudiantes saldrán de la clase con la capacidad de usar su comprensión de las medidas de tendencia central, características de distribución normal y probabilidad para hacer inferencias sobre la población y predicciones o decisiones sobre eventos futuros.
Estándares de contenido y expectativas Medidas de tendencia central E.RD.11.10.1 Demuestra y describe cómo las diferentes escalas (original, lineal, raíz cuadrada, logarítmica) pueden afectar los diagramas de dispersión; resume las estadísticas y muestra cómo las distintas representaciones (tablas, gráficas, resumen numérico) revelan diferentes características de un conjunto de datos. E.AD.11.10.2 Describe e ilustra cómo se seleccionan las escalas para analizar y presentar información y cómo las transformaciones pueden utilizarse en el desarrollo de modelos lineales. E.AD.11.10.3 Comunica en forma oral y escrita los propósitos, métodos y resultados de un estudio estadístico utilizando un lenguaje no técnico. E.AD.11.10.4 Evalúa los resultados de estudios informados en los medios de comunicación. Probabilidad E.PR.11.11.1 Utiliza las permutaciones, combinaciones y la Regla de Multiplicación (Propiedad Fundamental de Conteo) para resolver problemas de conteo y de probabilidad. E.PR.11.11.2 Reconoce una escenario de probabilidad binominal, y desarrolla y dibuja la gráfica de una distribución de probabilidad para un conteo binomial. Características de la distribución normal E.PR.11.12.1 Identifica escenarios donde la distribución normal es de utilidad. Describe las características de la distribución normal. E.PR.11.12.2 Utiliza representaciones gráficas y la regla empírica para evaluar si el modelo normal es apropiado para un conjunto de datos. E.PR.11.12.3 Utiliza la regla empírica para estimar la probabilidad de que un evento ocurrirá en un intervalo específico el cual puede describirse en términos de la desviación estándar sobre la media.
Ideas grandes/Comprensión duradera:
Preguntas esenciales:
Las escalas y las transformaciones alteran los datos. La comunicación de datos estadísticos es tan importante como los resultados. Las características de un conjunto de datos proveen información sobre cuál de los varios
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¿Cómo las escalas y las transformaciones alteran los datos? ¿Cómo se pueden hacer e interpretar diferentes representaciones de los resultados? ¿Cómo pueden los datos informar qué 1198
Unidad 11.8: Temas de probabilidad Matemáticas 6 semanas
métodos es el más apropiado para resolver problemas de probabilidad. La distribución normal no se aplica a todos los conjuntos de datos.
método usar a la hora de resolver problemas de probabilidad? ¿Cuándo resulta útil una distribución normal para calcular probabilidades?
Contenido (Los estudiantes comprenderán...) Destrezas (Los estudiantes podrán...)
Los escenarios en que la distribución normal resulta útil Diferentes representaciones de datos (tablas, gráficas, resumen numérico) Diferentes escalas (original, lineal, raíz cuadrada, logarítmica) Las características de la distribución normal Cómo se utilizan las permutaciones para resolver problemas Cómo se utilizan las combinaciones para resolver problemas La regla de producto (principio fundamental de conteo) La regla empírica de la distribución normal Las características de un conjunto de datos
Vocabulario de contenido
Medidas de tendencia central: diagrama de dispersión, escalas, escala lineal, escala logarítmica, escala original, escala de raíz cuadrada, transformaciones Probabilidad: combinaciones, conteo binomial, distribución probabilística, permutaciones, probabilidad binomial, regla de producto (principio fundamental de conteo, Teorema del binomio Características de la distribución normal: desviación estándar, distribución normal, regla empírica
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Demostrar y describir cómo las diferentes escalas (original, lineal, raíz cuadrada, logarítmica) pueden afectar los diagramas de dispersión; resumir estadísticas y mostrar cómo las distintas representaciones (tablas, gráficas, resumen numérico) revelan diferentes características de un conjunto de datos. Describir e ilustrar cómo seleccionar escalas para analizar y presentar información y cómo las transformaciones pueden utilizarse para desarrollar modelos lineales. Describir e ilustrar cómo se seleccionan las escalas para analizar y presentar información y cómo pueden usarse las transformaciones para desarrollar modelos lineales. Evaluar los resultados de estudios informados en los medios de comunicación. Utilizar las permutaciones, combinaciones y la regla de multiplicación (propiedad fundamental de conteo) para resolver problemas de conteo y probabilidad. Reconocer una escenario de probabilidad binomial, y desarrollar y dibujar la gráfica de una distribución de probabilidad para un conteo binomial. Identificar escenarios en que la distribución normal es de utilidad y describir las características de esta. Utilizar representaciones gráficas y la regla empírica para evaluar si el modelo normal es apropiada para un conjunto de datos Utilizar la regla empírica para estimar la probabilidad de que un evento ocurrirá en un intervalo específico el cual puede describirse en términos de la desviación estándar sobre la media. 1199
Unidad 11.8: Temas de probabilidad Matemáticas 6 semanas Etapa 2 – Evidencia de avalúo Tareas de desempeño 221
Consejeros de lotería Los estudiantes demostrarán su comprensión del Principio fundamental de conteo y las permutaciones al diseñar un nuevo juego de lotería. Los estudiantes trabajarán en grupos de dos a tres para completar la tarea a continuación; sin embargo, cada estudiante deberá entregar su propio informe escrito al maestro quien hará de director estatal de la lotería. Tarea: Eres un matemático estadístico al que lo han contratado para aconsejar al consejo estatal, que desea diseñar un nuevo juego de lotería para recaudar fondos para un Programa Educativo de Servicio a la Juventud que tiene que ver con la defensa del medioambiente en el país. Para estudiar cómo funcionan las loterías, planificar investigar primero un juego a una escala menor. Realiza un formato sencillo de "Juega 3", en que los participantes eligen tres números en un cierto orden. El ganador es el que tenga todos los números en el orden correcto. Realiza lo siguiente para descubrir los entresijos de cómo funciona un juego de lotería como este. 1. Determina la mecánica del juego, inclusive cómo asegúrate las leyes estatales que estipulan estos juegos deben ser justos. 2. Planifica cómo realizar una simulación para ayudar a determinar las probabilidades necesarias. Anota el proceso y calcula las probabilidades necesarias para ganar. 3. Resuelve cómo determinarás el precio de venta de los boletos. 4. Determina de cuánto será el premio en efectivo para que puedas generar el ingreso necesario para el fondo.
Otra evidencia Ejemplos de preguntas de examen/quiz 1. Un automóvil en particular viene en tres estilos de carrocería con dos opciones de motor, dos opciones de transmisión y seis opciones de color. ¿Cuál es el número mínimo de carros que debe tener un concesionario para tener un carro por cada combinación posible?224 a. 13 b. 36 c. 42 d. 72 2. Halla el número total de palabras distintas de nueve letras que pueden formarse con las letras de la palabra GUAJATACA.225 3. ¿Qué valores equivalen a 3P3 ?226 a. 1 b. 9 c. 3! d. 27 4. Si hay cuatro equipos en una liga, ¿cuántos juegos tendrán que jugarse para que cada equipo juegue contra todos los demás una vez? 227 a. 6 b. 8 c. 3 d. 16 5. Dados los siguientes ingresos, transforma los datos restándole una constante a uno de los ingresos para calcular la media. Ingresos: 1; 42,000; 40,250; 40,159; 35,722; 40,700; 39,875; ... 6. Halla el área bajo una curva normal entre z = .70 and z = - 1.24. Oscurece el área debajo de la curva normal que intentas hallar. 228
221
Fuente: http://www.mde.k12.ms.us/ACAD/ID/Curriculum/Framer/events/event_1200.html Fuente: http://www.jmap.org/htmlstandard/Integrated_Algebra/Number_Sense_and_Operations/A.N.7.htm 225 Fuente: http://www.jmap.org/htmlstandard/Algebra_2_Trigonometry/Statistics_and_Probability/A2.S.10.htm 226 Fuente: http://www.jmap.org/htmlstandard/Algebra_2_Trigonometry/Statistics_and_Probability/A2.S.10.htm 227 Fuente: http://www.jmap.org/htmlstandard/Algebra_2_Trigonometry/Statistics_and_Probability/A2.S.11.htm 224
228
Source: http://www.rvgs.k12.va.us/wwwroot/resources/2008StatManual.pdf
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Unidad 11.8: Temas de probabilidad Matemáticas 6 semanas 5. Cada uno de los grupos realizará una simulación, y presentará todas las gráficas, dibujos, cómputos y diagramas en un informe oral frente a la clase. 6. Redacta informes individuales que incluyan el propósito, métodos y resultados de tu estudio de cómo funciona la lotería. Evalúa el trabajo de los estudiantes en la rúbrica de evaluación (ver anejo: Organizador - Rúbrica de tarea de desempeño). 222
Distribución binomial Los estudiantes demostrarán su comprensión de la probabilidad binomial y la distribución normal al describir una encuesta utilizando la probabilidad binomial. Deberán definir un evento y usar la distribución binomial para calcular probabilidades de eventos binomiales. Tarea: Has aprendido sobre la distribución binomial. Tu tarea es elaborar una investigación o encontrar un escenario en que los resultados podrían representarse con la distribución binomial. Muestra los resultados en una tabla y en un histograma. 1. Describe tu investigación o escenario. 2. ¿Por qué piensas que puede representarse tu investigación o escenario por medio de la distribución binomial? Utiliza las características de la distribución binomial para justificar tu respuesta. 3. Muestra los resultados en una tabla o histograma. 4. ¿Cuál es la probabilidad de que se den la mayoría de los eventos? 5. ¿Se puede utilizar una distribución normal para ilustrar los datos? Explica. Si sí se puede, utiliza la regla empírica para calcular el primer 5 % de los participantes. Si no, crea una pregunta de encuesta con la que se obtengan datos que deban distribuirse de forma normal. Evalúa el trabajo de los estudiantes en la rúbrica
7. La probabilidad de dar en el blanco es ¿Cuál es la probabilidad de dar en el blanco exactamente una vez por cuatro intentos?229 1) 3) 2)
4)
Diario 1. Describe cómo las diferentes escalas (original, lineal, raíz cuadrada, logarítmica) podrían influir en la interpretación de los datos. 2. ¿Cómo se relacionan la desviación estándar y la forma de la gráfica? 3. ¿Cómo parece cambiar el área bajo la curva cuando cambia la desviación estándar? 4. ¿Cuándo resulta útil el Principio fundamental de conteo? 5. Traza y rotula la distribución normal de las notas de un examen (0-100 pts.) si la media es 76 y las desviación estándar es de 4. 6. ¿Cuándo resulta adecuado usar una distribución binomial en vez de una distribución normal? Describe las características de la distribución binomial y la distribución normal en tu respuesta. Describe también cómo la información que te han provisto te ayuda a saber qué método utilizar.230 Boletos de entrada/salida 1. A una pareja le gustaría tener cuatro hijos. ¿Qué combinaciones posibles de orden de
222
Fuente: http://jfmueller.faculty.noctrl.edu/toolbox/examples/heslinga09/binomial%20distribution.pdf Fuente: http://www.jmap.org/htmlstandard/Algebra_2_Trigonometry/Statistics_and_Probability/A2.S.15.htm 230 Fuente: http://jfmueller.faculty.noctrl.edu/toolbox/examples/heslinga09/journal%20question2.pdf 229
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Unidad 11.8: Temas de probabilidad Matemáticas 6 semanas de evaluación (ver anejo: Organizador - Rúbrica de tarea de desempeño). Análisis de error223 Los estudiantes demostrarán su comprensión de la distribución normal al analizar el error en el trabajo de otro estudiante. Deberán describir las propiedades de la distribución normal y usarla para calcular las probabilidades, así como las estadísticas asociadas a los intervalos dentro de la distribución normal. 1. El maestro desarrolla el "trabajo de los estudiantes" para que la clase lo analice en base a errores que los estudiantes cometen comúnmente. (Habrás sido testigo de muchos errores comunes entre los estudiantes durante la unidad que podrás incluir en tu “trabajo del estudiante” falso. Una muestra de errores comunes puede ser: En vez de identificar la media de 1590 en el punto más alto de una curva de distribución normal, el estudiante mantiene el punto alto en cero e identifica la media de 1590 a la derecha del “centro” antes de calcular las desviación estándar necesaria para llegar al 10% superior.) 2. Preséntales el siguiente problema y los cálculos erróneos de los estudiantes que el maestro creó en el paso 1: A continuación, encontrarás el trabajo realizado por otro estudiante para responder al siguiente problema. El estudiante cometió un error al resolver el problema. Encuentra el error que cometió el estudiante, explícale lo que debió haber hecho y resuelve el problema correctamente. Como funcionario de admisiones de la Universidad de Puerto Rico, eres tú quien decide quién será aceptado el primero año. Según las nuevas pautas de la universidad, solo se considerarán las solicitudes de los
sexos podría haber para los cuatro hijos? 2. Vas a tu lugar de mantecado favorito y quieres pedir una barquilla con tres bolitas de mantecado. Hay cinco sabores especiales en el menú y todos te gustan: chocolate, piña colada, mangó, fresa y vainilla. ¿De cuántas formas puedes construir una barquilla de tres bolitas? Considera la posibilidad de tener tres bolitas del mismo sabor o dos bolitas del mismo y una diferente, o las tres de diferentes sabores. 3. ¿Cuántos equipos distintos de cinco miembros pueden formarse a partir de un grupo de ocho estudiantes, si cada estudiante tiene las mismas posibilidades de ser escogido?231 4. Si las puntuaciones de un examen se distribuyen de forma normal y 170 estudiantes tomaron el examen, ¿cuántos estudiantes sacaron C (usando una escala de puntuación de 76 a 86 puntos de 110)? 5. ¿Cuál es la regla empírica? Usando la regla empírica, determina si el conjunto siguiente de puntuaciones de un examen se distribuyen de forma normal. 232 55 74 78 85 64 95 72 88 78 69 6. En un informe de Twitchy Media se indica que "el ingreso promedio de las familias puertorriqueñas se redujo por $10,000 el año pasado a una media de $68,500". Discute lo que anda mal con la medida de tendencia central en este informe.233
223
Fuente: http://jfmueller.faculty.noctrl.edu/toolbox/examples/heslinga09/error%20analysis.pdf Fuente: http://www.jmap.org/htmlstandard/Algebra_2_Trigonometry/Statistics_and_Probability/A2.S.11.htm 232 Fuente: Creado por el maestro 233 Fuente: Creado por el maestro 231
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Unidad 11.8: Temas de probabilidad Matemáticas 6 semanas estudiantes que hayan tomado la prueba SAT y que estén en el primer 10%. En la prueba de este año se obtuvo una puntuación promedio de 1590 y una desviación estándar de 2.5 ¿Cuál es la puntuación menor en el examen para ser considerado para ingresar? 3. Pídeles a los estudiantes que respondan a las siguientes preguntas: ¿Qué error cometió el estudiante al resolver este problema? ¿Qué debió haber hecho el estudiante? Explícale al estudiante cómo debió haber resuelto el problema. Resuélvelo correctamente. Evalúa el trabajo de los estudiantes en la rúbrica de evaluación (ver anejo: Organizador - Rúbrica de tarea de desempeño).
Etapa 3 – Plan de aprendizaje Actividades de aprendizaje
234 235
Millonario garantizado234: Esta actividad se centra en la aplicación de las permutaciones y combinaciones de una lotería real. Se les pide a los estudiantes que determinen de forma individual el total posible de boletos y que luego trabajen en grupos para desarrollar un método de garantizar que ganarán la lotería. Está diseñado para usarse una vez se haya introducido a los estudiantes los conceptos de conteo, permutaciones y combinaciones. Distribuye la hoja de actividades "Millonario garantizado" (ver anejo: 11.8 Actividad de aprendizaje - Millonario garantizado). Pídeles a los estudiantes que completen la parte a de forma individual; a continuación, pídeles que completen el resto de las actividades en grupos. Pídeles a los grupos que le presenten sus planes a la clase. Discutan los planes según se relacionan con la probabilidad y el conteo. Extensión: En esta actividad se asume que solo hay un boleto ganador por estudiante, y una variación sería ver qué pasará si dos personas eligen el número ganador. A descubrir el dominó235: Esta actividad les da a los estudiantes la oportunidad de desarrollar sus destrezas para contar varios resultados y explorar distintos métodos y principios para el conteo. Consolida la base para desarrollar destrezas sólidas de razonamiento combinatorio y la capacidad de aplicar las herramientas de conteo, permutaciones y combinaciones en el proceso de razonamiento (no simplemente aplicando fórmulas), a la vez que se desarrollan destrezas de resolución de problemas y de pensamiento crítico. Los estudiantes trabajarán en grupos pequeños para explorar y desarrollar métodos o estrategias de resolver problemas con dominós. A continuación, cada grupo compartirá sus métodos o estrategias con la clase. Discute los métodos usados por los estudiantes, cómo desarrollaron sus métodos, cómo organizaron los datos y cómo sus métodos se relacionan con el conteo, las permutaciones, combinaciones y teoría de gráficas. Fuente: http://www.colorado.edu/education/DMP/activities/counting/olcact04.html Fuente: http://www.colorado.edu/education/DMP/activities/counting/amsact07.html
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Unidad 11.8: Temas de probabilidad Matemáticas 6 semanas
(ver anejo: 11.8 Actividad de aprendizaje - A descubrir el dominó). Cómo diferentes escalas influyen en los diagramas de dispersión: Usando el conjunto de datos que se correlacione mejor, como la altitud y el peso, pídeles a los estudiantes que creen un diagrama de dispersión. Los estudiantes entonces hallan el coeficiente de correlación y describen la relación entre las dos variables. Usando los datos, halla el logaritmo de cada valor de peso (variable dependiente) y traza el diagrama sobre los valores de altitud originales (variable independiente). Pídeles a los estudiantes que describan cómo difiere la nueva relación de la relación anterior, incluido si hay mayor o menor variabilidad en la dispersión. Usando los datos, halla la raíz cuadrada de cada valor de peso (variable dependiente) y traza el diagrama frente a los valores de altitud originales (variable independiente). Pídeles a los estudiantes que describan cómo difiere la nueva relación de la relación anterior, incluido si hay mayor o menor variabilidad en la dispersión. Distribución normal de las notas: Entrégales a los estudiantes una breve asignación cuya puntuación fue calculada usando la regla empírica de base. Rotula una pared del salón con números en incrementos del 1 al 100. Pídeles que se paren donde se encuentra su "nota" en la pared. Discutan sobre dónde está parada la mayor parte de los estudiantes y cualquier valor anómalo observado. Pregúntales aproximadamente qué porcentaje de la clase se encuentra dentro de un ámbito de puntuación en particular. Los estudiantes deberán resumir lo que aprendieron sobre la distribución normal y la regla empírica en un boleto de salida. Cómo sobrevivir al invierno236: Los estudiantes simulan una distribución binomial y calculan las probabilidades de una variedad de situaciones relativas a distribuciones de probabilidad binomiales. Para obtener hojas de actividades para estudiantes y maestros, dirigirse a: http://education.ti.com/xchange/US/Math/Statistics/11936/Stat_Penguins_TI84.pdf y http://education.ti.com/xchange/US/Math/Statistics/11936/Stat_Penguin_worksheet_TI84.pdf Organizador gráfico plegable: Pídeles a los estudiantes que creen organizadores gráficos plegables a diferentes escalas. Haz que sostengan una hoja de papel 8 ½ x 11 de lado y que la doblen en cuatro partes iguales. Las columnas deberán rotularse escala original, escala lineal, escala de raíz cuadrada y escala logarítmica. Por cada escala, pídeles que provean la definición, cuáles son las características clave, que provean un ejemplo y cómo podría influir en los diagramas de dispersión. Haz que llenen el organizador a medida que completas una versión mayor en la pizarra o en papel cuadriculado. Muéstrale a la clase cuatro diagramas de dispersión de los mismos datos, pero con diferentes escalas (p. ej., original, lineal, raíz cuadrada y logarítmica). Discutan cómo las diferentes escalas influyen en los diagramas de dispersión. Presenta estadísticas relativas al aumento en la generación de basura en Puerto Rico en distintas representaciones (p. ej., tablas, gráficas, resumen numérico). Pídeles que resuman las estadísticas y cómo las diferentes representaciones revelan diferentes características en un conjunto de datos. Dirigirse a http://www.cienciapr.org/news_view.php?id=443 para obtener estadísticas.
Ejemplos para planes de la lección
Métodos de comparar conteos: En esta lección, los estudiantes aplicarán los conceptos básicos de probabilidad, al distinguir entre permutaciones, combinaciones y el principio de conteo, y al
236
Fuente: http://education.ti.com/calculators/downloads/US/Activities/Detail?id=11936&ref=%2fcalculators%2fdownloads%2fUS %2fActivities%2fSearch%2fSubject%3fs%3d5022%26sa%3d5026%26t%3d1192%26d%3d3
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Unidad 11.8: Temas de probabilidad Matemáticas 6 semanas identificar situaciones en que cada uno resulta adecuado. A modo de resumen, los estudiantes crean un diagrama de Venn para comparar los tres métodos de conteo. Para esta lección se utiliza una serie de estrategias didácticas.
Instrucciones: 1. Conjunto de instrucciones: Pídeles a los estudiantes que hallen el número de atuendos posibles de entre tres sweater distintos y seis camisas distintas. A continuación, pídeles que consideren cuántos números de teléfono distintos hay disponibles en su pueblo. 2. Modelo/Enseñanza: Haz un diagrama de árbol para corroborar la primera respuesta al conjunto de instrucciones anterior. Discute la impracticalidad de usar un diagrama de árbol para números muy grandes. Introduce y haz un modelo de métodos de conteo más eficaz (permutaciones combinaciones). Dales diferentes situaciones para asegurarte de que sepan determinar si se trata de permutaciones o combinaciones. El orden es importante en las permutaciones, pero irrelevante en las combinaciones. 3. Práctica guiada: Trabajen juntos como clase e individualmente en los problemas dados. Ejemplifica de cada problema en la pizarra para verificar que los estudiantes estén entendiendo y para permitirles hacer preguntas. 4. Práctica independiente: Dales problemas en una hoja de actividades o del libro para que practiquen solos. 5. Participación activa: Utiliza el método de piénsalo-emparéjate-compártelo y la proximidad durante la práctica independiente. Durante este tiempo mantén a los estudiantes enfocados y date la vuelta por el salón para comprobar que estén entendiendo. Para iniciar la actividad de piénsalo-emparéjate-compártelo, preséntale una pregunta a la clase o hazle una pregunta a un par de estudiantes, deja que cada uno piense en ella de forma individual primero y luego que colabore con un compañero, para entonces compartir sus ideas con la clase o maestro. Para usar la proximidad durante la práctica independiente, date la vuelta por el salón mientras los estudiantes trabajan, y mantente cerca para responder a preguntas y orientar a los estudiantes que necesiten ayuda. 6. Para verificar si están entendiendo: Dale a cada estudiante uno de cada tipo de problema (p. ej., permutaciones y el principio fundamental de conteo) y selecciona a alguien para que le explique a la clase el tipo de problema y cómo calcular la respuesta. Haz lo mismo con cada tipo de problema, seleccionando un estudiante distinto para cada uno y ejemplifica cada problema en la pizarra para que todos los estudiantes puedan ver todo el proceso (permíteles que hagan preguntas individuales o que se lleve a cabo una discusión en clase). 7. Cierre: Crea un diagrama de Venn en que compares las permutaciones, las combinaciones y el principio fundamental de conteo. Asegúrate de que todos los estudiantes conozcan la diferencia entre una permutación y una combinación. ¿Y qué es normal, después de todo?237: En esta lección, los estudiantes explorarán la distribución normal y varias propiedades. Primero, simularán un experimento con binomios y usarán un histograma de los datos para examinar la forma general de una curva normal. A continuación, deberán trazar la gráfica de una distribución normal dada la media y la desviación estándar. Tercero, verán cómo cambia la gráfica cuando solo cambia la media o la desviación estándar.
237
Fuente: http://education.ti.com/calculators/downloads/US/Activities/Detail?id=9415&ref=%2fcalculators%2fdownloads%2fUS% 2fActivities%2fSearch%2fSubject%3fs%3d5022%26sa%3d5026%26t%3d1192%26d%3d3
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Unidad 11.8: Temas de probabilidad Matemáticas 6 semanas
Finalmente, examinarán con más detalle las distribuciones normales, al describir el porcentaje de valores de datos que caen dentro de las desviaciones estándar distintas a partir de la media. Para obtener hojas de actividades para estudiantes y maestros, dirigirse a:http://education.ti.com/xchange/US/Math/Statistics/9415/WhatsNormal_Teacher.pdf y http://education.ti.com/xchange/US/Math/Statistics/9415/WhatsNormal_Student.pdf. Curva normal estándar con monedas238: En esta lección, los estudiantes responderán a la pregunta de si los resultados de lanzar una moneda y contar las caras tienen una forma única. Los estudiantes entenderán la distribución normal y lograrán entender de dónde proviene la regla empírica. Usando datos de muestra, los estudiantes harán inferencias informales sobre medias y estándares poblacionales, inclusive cuando la media de la muestra varíe de una muestra a la otra y la distribución de la media de la muestra tenga una variabilidad menor que la distribución poblacional. Materiales: 10 monedas de un centavo por estudiante, papel cuadriculado, calculadora (ver anejo: 11.8 Ejemplo para plan del a lección - Curva normal estándar con monedas).
Recursos adicionales
http://profjserrano.wordpress.com/ http://education.ti.com/downloads/guidebooks/graphing/84p/TI84Plus_guidebook_ES.pdf http://isa.umh.es/calc/TI/TI83/TI83manual-spa.pdf Math, Culture, and Popular Media: Activities to Engage Middle School Students Through Film, Literature, and the Internet de Michaele F. Chappell and Denisse R. Thompson Matemáticas Integradas I, II, III de McGraw Hill Precálculo: Funciones y gráficas de Raymond Barnett Algebra I de Glencoe
Conexiones a la literatura Nota: Aunque los siguientes libros están dirigidos a estudiantes de la escuela primaria, éstos apuntan a los principios fundamentales de matemáticas los cuales se pueden explorar en todos los niveles. Todo el mundo disfruta de que alguien le lea y los estudiantes de la escuela secundaria no son la excepción. Estos libros son una excelente introducción a las unidades de estudio. Más allá de la coincidencia de Martin Plimmer El matemático del rey de Juan Carlos Arce La música de los números primos: El enigma de un problema matemático abierto de Marcus Du Sautoy Mathematical Scandals de Theoni Pappas Letters of a young Mathematician de Ian Stewart
238
Fuente: http://www.curriki.org/xwiki/bin/view/Coll_Group_GAMath/TheStandardnormalCurveusingcoins
Junio 2012 Adaptado de Understanding by Design de Grant Wiggins y Jay McTighe
1206
Matemáticas Anejos 11mo Grado
1207
Unidad 11.1: Funciones y transformaciones Matemáticas Actividad de aprendizaje - Actividad de composición de funciones
Actividad de composición de funciones: La función de tu equipo es:
T__ ( x)
Primera ronda Junto con la clase, computen lo siguiente.
T5 (T6 (T7 (T8 (3))))
T1 (T2 (T3 (T4 (2))))
Segunda ronda Según se les instruya, formen un equipo con otro grupo; identifiquen las funciones de sus dos grupos con f o g. Escriban las fórmulas que usarán para esta ronda:
f (x) ____________________
g (x) ____________________
Evalúen cada una de las siguientes con la ayuda del otro equipo.
f (5)
g ( f (2))
f (g( f ( g(2))))
g (3)
g (g (0))
f ( g( x))
f (g(1))
f ( f (7.5))
g( f ( x))
Tercera ronda Al igual que en la segunda ronda, formen un equipo con otro grupo; identifiquen las funciones de sus dos grupos con f o g. Escriban las fórmulas que usarán para esta ronda:
f (x) ____________________
g (x) ____________________ 1208
Unidad 11.1: Funciones y transformaciones Matemáticas Actividad de aprendizaje - Actividad de composición de funciones Evalúen cada una de las siguientes con la ayuda del otro equipo.
f (5)
g ( f (2))
f (g( f ( g(2))))
g (3)
g (g (0))
f ( g( x))
f (g(1))
f ( f (7.5))
g( f ( x))
Cuarta ronda Hallen las fórmulas de cada una de las siguientes cadenas de funciones junto con el resto de la clase. PISTA: Puedes verificar una fórmula de composición realizando la composición con un número específico. Si tu fórmula parea con la composición del número, entonces es probable que no sea correcta.
T5 (T1 ( x))
T2 (T7 ( x ))
T1 (T2 (T3 (T4 ( x))))
T5 (T6 (T7 (T8 ( x)))) T1 (T2 (T3 (T4 (T5 (T6 (T7 (T8 ( x)))))))) Utiliza tus fórmulas para computar lo siguiente directamente:
T2 (T7 (100)) T1 (T2 (T3 (T4 (0)))) T1 (T2 (T3 (T4 (T5 (T6 (T7 (T8 (4))))))))
¿Cierto o falso? Explica. Por lo general suele ser cierto que, por un número x y funciones f y g, f ( g ( x)) g ( f ( x)) 1209 Fuente: http://math.tamucc.edu/~jchampion/wp-content/uploads/Function-Composition-Activity.docx
Unidad 11.1: Funciones y transformaciones Matemáticas Actividad de aprendizaje - Familias de funciones
Familias de funciones: ¿Cuáles son las ocho funciones principales y cómo se ven sus gráficas? Nombre
Forma general
Función original
1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 1. _______________
2. _______________
3. _______________
4. _______________
5. _______________
6. _______________
1210
Unidad 11.1: Funciones y transformaciones Matemáticas Actividad de aprendizaje - Familias de funciones 7. _______________
8. _______________
Debes poder trazar la gráfica de estas ocho funciones y reconocerlas con facilidad SIN usar la calculadora.
1. _______________
2. _______________
3. _______________
4. _______________
5. _______________
6. _______________
1211
Unidad 11.1: Funciones y transformaciones Matemáticas Actividad de aprendizaje - Familias de funciones ¡Práctica! Estudia las gráficas que aparecen en la portada. Entonces, SIN MIRAR, intenta ver si puedes escribir el nombre y la ecuación de la gráfica original y luego trazar la gráfica por tu cuenta SIN USAR LA CALCULADORA.
7. _______________
8. _______________
Gráficas fáciles para mí: ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ___________________________________________________ Gráficas que necesito estudiar: ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ __________________________________________________
1212
Unidad 11.1: Funciones y transformaciones Matemáticas Actividad de aprendizaje - Organizadores de funciones cuadráticas
¿Qué me dice la forma estándar de una ecuación cuadrática sobre su gráfica? Dada una forma estándar, ¿cómo se escribe una ecuación cuadrática en…? .forma de vértice?
Funciones cuadráticas de la forma: a x2 b x c , donde a 0
¿Qué nos dice a de la gráfica?
Diámetro
a 1
¿Qué nos dice b de la gráfica?
¿Qué nos dice c de la gráfica?
Dirección de abertura
0 a 1
a0
a0
En conjunto con a, usada para hallar el eje de simetría:
x = ____
Intercepción en el eje de y
(0, c)
1213
Forma de vértice Donde el vértice es
(____, _____) Si a ≠ 1, ¡entonces tienes que dividir ax2 y bx por a!
Oda a la forma de vértice
1. y = x2 + 6x + 5
2. y = x2 + 10x – 4
ax2 + bx deja un blanco Ciérralo
3. y = 2x2 + 8x – 3
4. y = -3x2 + 6x + 2
Desplaza c Hacia el lado
Análisis de las gráficas de la función cuadrática Funciones cuadráticas
f ( x) ax 2 bx c
Hacia arriba (a>0) o hacia abajo (a<0)
Opuesto de A Eje de simetría Intercepción en el eje de y (c) b Luego multiplica (x = ; x – valor del 2a ½ b, al cuadrado vértice) ¡ESTO YA ESTÁ DADO!
Intercepciones en el eje de x, soluciones, raíces, ceros (Sea Y2 = 0, halla la intersección)
Forma de vértice
f ( x) a( x h) 2 k vértice: (h, k)
2 1. f ( x ) x 2 x 8
2 2. f ( x) x 4 x 5
2 3. f ( x) 2 x 8x 9
2 4. f ( x) 3x 12 x
2 5. f ( x) 4 x 8x 3
Fuente: http://www.wsfcs.k12.nc.us/Page/7246
1214
Unidad 11.1: Funciones y transformaciones Matemáticas Actividad de aprendizaje - Transformaciones de las gráficas
Transformaciones de las gráficas y = f(x) + b, b es una constante a. Dibuja la gráfica de f ( x ) x aquí abajo. b. En la misma cuadrícula, traza las gráficas de: i. y=f(x)+2 i.e. y=x²+2 ii. y=f(x)-3 i.e. ___________________ 2
y = f(x-a), a es una constante a. Traza la gráfica de y=x³ b. En la misma cuadrícula, traza las gráficas de: i. y = f(x-1) i.e. y=(x-1)³ ii. y=f(x+2) i.e. ___________________
y = pf(x), p es una constante a. Dibuja la gráfica de y x aquí abajo. b. En la misma cuadrícula, traza las gráficas de: i. y=2f(x) i.e. _________________ ii. y=4f(x) i.e. _________________
iii. y 1 f ( x) o sea. ________________ 3
iv. y 1 f ( x) o sea. _________________ 2
c. ¿Cuál es la conexión entre las gráficas de…? y f (x) y y f ( x) b si: i. b 0 ii. b 0 La constante que se añade al final de una función determina el deslizamiento _________________ de dicha función. Si b es negativo, la gráfica se desliza _______. Si b es positivo, la gráfica se desliza _______.
Resume tus observaciones describiendo la transformación geométrica de y =f(x) a medida que se convierte en y = f(x-a).
c. ¿Cuál es el efecto en la gráfica cuando p 1? d. ¿Cuál es el efecto en la gráfica cuando 0 p 1? 1215
Unidad 11.1 Funciones y transformaciones Matemáticas Actividad de aprendizaje - Transformaciones de gráficas y=f(kx), k es una constante Nuevas direcciones: Traza en la gráfica a continuación las gráficas de f(x) y f(2x) por cada: a) f(x)=x² b) f(x)=ex
y= -f(x) a.Traza la gráfica de y=3x y y= -3x a continuación.
y=f(-x) a. Halla f(-x) por cada una de las siguientes gráficas; luego traza la gráfica tanto de f(x) como de f(-x). i. f(x) = 2x+1 ii. f(x)=x² + 2x +1 iii. f(x)=│x-3│ b.¿Cuál transformación desliza y=f(x) a y=f(-x)?
Traza en la próxima gráfica las gráficas de f(x) y
x f por cada: 2 a) f(x)=x²
b) f(x)=2x
¿Cuál es el efecto en la gráfica cuando k 1 ? ¿Se mueve más cerca de cuál eje? ¿Cuando 0 k 1 ? ¿Se mueve más cerca de cuál eje?
b.Traza la gráfica de y=x²-2 y y= -(x²-2).
c.¿Cuál transformación desliza y=f(x) a y=f(x)?
1216
Unidad 11.1 Funciones y transformaciones Matemáticas Actividad de aprendizaje - Transformaciones de gráficas
Resumen de las transformaciones gráficas Cambia
Transformación
de f (x) f(x)+b f(x-a) pf(x) f(kx) -f(x) f(-x) **f⁻¹(x) Direcciones: En el espacio que se provee a continuación, escribe la ecuación de una gráfica original, y luego escribe la ecuación de una gráfica con al menos cuatro transformaciones de la gráfica original. A continuación, traza la gráfica de ambas funciones en la gráfica provista, y debajo de esta, describe las transformaciones. Hazlo dos veces. 1. Gráfica original: ______________
2. Gráfica original: ______________
Gráfica nueva: __________________
Gráfica nueva: _____________________
Descripción de las transformaciones:
Descripción de las transformaciones:
Fuente: http://www.wsfcs.k12.nc.us/Page/7246
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Unidad 11.1: Propiedades de las funciones trigonométricas Matemáticas Ejemplo para plan de lección – Exploración de la simetría de funciones
Exploración de la simetría de funciones Camila, gerente de Universo Uniforme, notó inmediatamente el error de diseño al ver algunos de los prototipos de uniformes. La insignia de sargento estaba al revés de la insignia original de un sargento estadounidense, aquí a la derecha. Camila verificó la descripción que se le había enviado al contratista en el extranjero y se dio cuenta inmediatamente de cómo arreglar la insignia. Entonces le envió un mensaje de correo electrónico al suplidor en el extranjero para señalarle el error e informarle a la empresa que este podía corregirse al reflejar cada una de las funciones del eje de x. Yolanda, empleada de la compañía de textiles extranjera, le contestó a Camila el mensaje y le incluyó la gráfica que se encuentra a la derecha para confirmar que Universo Uniforme estaría conforme con las nuevas fórmulas. a. ¿Qué tipo de simetría tienen estas gráficas? Si x es un número positivo, ¿cómo se compara g(x) con g(– x)? 4. Le llamamos a una función f una función par si, por cualquier número x en el dominio de f, – x está también el dominio y f(– x) = f(x). a. Supón que f es una función par y que el punto (3, 5) se encuentra en la gráfica de f. ¿Cuál otro punto sabes debe estar en la gráfica de f? Explica. b. Supón que f es una función par y que el punto (– 2, 4) se encuentra en la gráfica de f. ¿Cuál otro punto sabes debe estar en la gráfica de f? Explica. c. Si (a, b) es un punto que se encuentra en la gráfica de una función par f, ¿cuál otro punto está también en la gráfica de f?
La gráfica de la función k de la parte no negativa del dominio.
d. ¿Qué tipo de simetría tiene la gráfica de una función par? Explica por qué. e. Considera la función k, que es una función par. Parte de la gráfica de k se muestra aquí a la derecha. Usando la información de que k es una función par, completa la gráfica del resto del dominio.
1218
Unidad 11.1: Propiedades de las funciones trigonométricas Matemáticas Ejemplo para plan de lección – Exploración de la simetría de funciones 5. Ahora, usaremos algunas funciones que implican raíces cuadradas y algunas funciones lineales para crear otro logotipo. Las funciones aparecen en la tabla a continuación. El logotipo es la forma circunscrita por las gráficas de las funciones. Así, para dibujar el logotipo, necesitarás hallar los puntos de intersección entre las gráficas. Una vez tengas los puntos de intersección, podrás determinar cómo limitar el dominio de cada función para especificar los límites del logotipo. Se te pide también que especifiques la relación de las otras gráficas con la gráfica de y 2 x y que halles el recorrido de cada función una vez hayas restringido el dominio.
Función (i) (ii) (iii) (iv) (v) (vi)
Relación de la gráfica con la gráfica de (i)
Dominio
¿Cuál es el recorrido de la función con dominio limitado?
Reflexión por Reflexión por Rotación de Se interseca en ( __, __) No se interseca
Fuente: http://www.curriki.org/xwiki/bin/view/Coll_yarbroughj/SymmetryofFunctions
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Unidad 11.1: Funciones y transformaciones Matemáticas Ejemplo para plan de lección - Gráficas de familias de funciones cuadráticas
Gráficas de las familias de cuadráticas Primero, asegúrate de que la aplicación Transform App esté activa. En el Y=menu, introduce Y1 = Ax2 + Bx + C. Usa el botón ALPHA para A, B y C, pero no para x. Luego, oprime ZOOM 6 para abrir la ventana de visualización estándar. A=, B= y C= aparecerán en el área inferior izquierda de la ventana de gráfica. Activa A=1, B=0 y C=0. 1. Usa los botones de cursor derecho e izquierdo para incrementar y reducir el valor de A. Usa los valores positivo, negativo y fraccional para A. Traza cuatro o cinco de las gráficas que aparecen en la gráfica a la izquierda. Para y=ax2, describe lo que le sucede a la gráfica si el valor de a < 0 (a es negativo).
Para y=ax2, describe lo que le sucede a la gráfica si el valor de a > 0 (a es positivo).
Resume tu investigación describiendo lo que le sucede a la gráfica de una función cuadrática cuando el coeficiente del término cuadrático cambia.
2. Reconfigura el valor de A a 1. Ahora, varía el valor de C usando los botones de cursor. Intenta los valores positivo y negativo de C para producir varias gráficas diferentes. Traza cuatro o cinco gráficas diferentes en la cuadrícula a la izquierda. Para y=ax2, describe lo que le sucede a la gráfica si el valor de C > 0 (C es positivo).
Para y=x2+C, describe lo que le sucede a la gráfica si el valor de < 0 (C es negativo). Resume tu investigación describiendo lo que le sucede a la gráfica de una función cuadrática cuando cambia el término cuadrático. ____________________________________ 1220
Unidad 11.1: Funciones y transformaciones Matemáticas Ejemplo para plan de lección - Gráficas de familias de funciones cuadráticas 3. Reconfigura C=0. Ahora, considera la fórmula utilizada para ubicar el eje de simetría y el vértice. Recuerda que usamos x=-b/2a para el eje de simetría. Luego usamos la fórmula (-b/2a, f(-b/2a)) para ubicar las coordenadas (x,y) del vértice. Deja A=1 y C=0. Utiliza los botones de cursor para variar el valor de B, primero con algunos valores positivos y luego con algunos valores negativos. Traza cuatro o cinco gráficas diferentes en la cuadrícula a la derecha. Compara cada valor de B con la posición de la gráfica. A modo de resumen, describe lo que le sucede a la posición de la gráfica si el valor de B > 0 (B es positivo). ¿Qué sucede si B < 0 (B es negativo)? ¿Se desplazó la gráfica en la dirección que esperabas?
Ahora, escribe un resumen de los cambios en las gráficas cuadráticas que se dan al variar cada uno de los valores numéricos en la forma estándar de la ecuación Y = Ax2 + Bx + C. Haz una descripción tan detallada como sea posible para que tus notas sean útiles en el futuro.
1221
Unidad 11.1: Funciones y transformaciones Matemáticas Ejemplo para plan de lección - Gráficas de familias de funciones cuadráticas Forma de vértice de una función cuadrática: Antes de cambiar la función en el Y= menú , reconfigura A=1, B=0 y C=0. Ahora introduce Y1 = A (x – B)2 + C. Como la aplicación Transform App solo funciona con A, B, C y D, debemos utilizar B para h y C para k en la forma de vértice de una función cuadrática. Deja A=1 1. Usa (-2, -6) como vértice de tu primera función. Introduce los valores correspondientes de B y C, y traza la gráfica en la cuadrícula a la izquierda. Ahora, escribe la forma de vértice de la ecuación de la gráfica:
2. Cambia A para que A=2. Ahora, usa (4,5) para el vértice de la próxima gráfica, y ajusta los valores correspondientes para B y C. Traza la gráfica en la cuadrícula a la derecha. Ahora, escribe la forma de vértice de la ecuación de la gráfica:
Describe el efecto de B y C en la posición de cada una de las dos gráficas anteriores.
3. Escoge dos puntos de vértice nuevos, uno en el cuadrante II y uno en el cuadrante IV. Escribe los puntos aquí: ( , ),( , ). Ahora escribe dos ecuaciones nuevas en forma de vértice, cambiando A para que una gráfica se abra hacia arriba y sea ANCHA. En el caso de la otra gráfica, cambia A para que la gráfica se abra hacia abajo. Traza ambas gráficas en la cuadrícula a la izquierda. 1222
Unidad 11.1: Funciones y transformaciones Matemáticas Ejemplo para plan de lección - Gráficas de familias de funciones cuadráticas
Escribe la forma de vértice de tus dos ecuaciones:
Ahora deberás escribir un resumen de las investigaciones realizadas en las tres páginas anteriores. Utiliza términos que describan la forma de la gráfica, su posición, ubicación del vértice y la dirección en que se abre la gráfica.
Fuente: www.curriculumframer.com
1223
Unidad 11.2: Funciones circulares y trigonométricas Matemáticas Actividad de aprendizaje - Completa el círculo unitario
Completa el círculo unitario
1224
Unidad 11.2: Funciones circulares y trigonométricas Matemáticas Actividad de aprendizaje - Completa el círculo unitario
El círculo unitario
1225 Fuente: embeddedmath.com
Unidad 11.2: Funciones circulares y trigonométricas Matemáticas Actividad de aprendizaje - Evaluación de las funciones trigonométricas seno, coseno, tangente
Funciones circulares: Seno, coseno, tangente ¿Cómo trazo la gráfica de las funciones de seno, coseno y tangente? ¿Cómo hallo la amplitud, el periodo, el dominio y el recorrido de las funciones? 0
π/6
π/4
π/3
π/2
sen π/3
sen π/4
sen π/6
π
7 π/6
5 π/4
4 π/3
3 π/2
5 π/3
7 π/4
11 π/6
2π
Sen Cos Tan
La función de seno
Amplitud: _______ Periodo: __________ Dominio: _______________ Recorrido: ________________
La función de coseno
Amplitud: _______ Periodo: __________ Dominio: _______________ Recorrido: ________________
La función de tangente
Amplitud: _______ Periodo: __________ Dominio: _______________ Recorrido: ________________ 1226
Unidad 11.2: Funciones circulares y trigonométricas Matemáticas Actividad de aprendizaje - Evaluación de las funciones trigonométricas seno, coseno, tangente 0
π/6
π/4
π/3
π/2
2 π/3
3 π/4
5 π/6
π
7 π/6
5 π/4
4 π/3
3 π/2
5 π/3
7 π/4
11 π/6
Sen Cos Tan
La función de coseno
La función de seno
amplitud – la distancia entre el punto máximo (o mínimo) y el eje principal eje principal_______ – línea horizontal alrededor de la cual oscila la onda Amplitud: Amplitud: _______
La función de tangente
periodo – duración o longitud_______ de una repetición o ciclo Amplitud:
Periodo: __________
Periodo: __________
Periodo: __________
Dominio: _______________
Dominio: _______________
Dominio: _______________
Recorrido: ________________
Recorrido: ________________
Recorrido: ________________
Fuente: http://www.wsfcs.k12.nc.us/Page/7246 1227
2π
Unidad 11.2: Propiedades de los círculos y funciones trigonométricas Matemáticas Actividad de aprendizaje - Evaluación de las funciones trigonométricas
Triángulos especiales y evaluación de funciones trigonométricas ______ ______ ______
______ ______ ______
Practica a evaluar funciones trigonométricas 1. Evalúa las tres funciones trigonométricas en cada número real. a.
t
b. t
6
5 4
c.
t 0
d. t
2
a. ( ___, ___ ) b. ( ___, ___ ) c. ( ___, ___ ) d. ( ___, ___ ) 2. Halla el valor de cada función trigonométrica sin usar calculadora. a)
sen60
d) tan
b)
5
cos 60
e) sen
6
5 3
c)
tan 60
f) cos
11 6
3. Halla el valor de en grados y radianes sin usar calculadora.
1 2
a)
sen
d)
tan 3
b)
e)
2 2 2 sen 2
cos
c)
tan 1
f)
cos
1 2
Fuente: http://www.wsfcs.k12.nc.us/Page/7246
1228
Unidad 11.2: Funciones circulares y trigonométricas Matemáticas Actividad de aprendizaje - Juego del seno coseno
Juego del seno coseno Nombre: ____________________________________ Pareo 1
_______ cos 35
A. 0.9961
_______ cos 98
B. 0.8192
_______ cos 4
C. 0.0349
_______ cos 175
D. 0.1391
_______ cos 175
E. 0.9976
Nombre: ____________________________________ Pareo 2
_______ sen 224
A. 0.1908
_______ sen 52
B. 0.7888
_______ sen 290
C. 0.0871
_______ sen 355
D. 0.6946
_______ sen 11
E. 0.9396
1229
Unidad 11.2: Funciones circulares y trigonométricas Matemáticas Actividad de aprendizaje - Juego del seno coseno Nombre: ____________________________________ Pareo 3
_______ cos 7
A. 1.2360
_______ sec 98
B. 1.0456
_______ cos 304
C. 0.5591
_______ sec 17
D. 7.1852
_______ sec 144
E. 0.9925
Nombre: ____________________________________ Pareo 4
_______ csc 130
A. 28.653
_______ sen 289
B. 1.3054
_______ sen 185
C. 1.0402
_______ csc 254
D. 0.9455
_______ csc 358
E. 0.0871
Fuente: http://www.pleacher.com/handley/lessons/trig/sincosgm.html
1230
Unidad 11.2: Funciones circulares y trigonométricas Matemáticas Actividad de aprendizaje - Rompecabezas trigonométrico Recorta el siguiente diagrama en dieciséis piezas. Parea las expresiones equivalentes para formar un único cuadrado mayor. Atención: Las constantes aparecen en más de una ocasión. Por ejemplo, hay diez unos escondidos en el rompecabezas. Pista: Cuando hayas completado el cuadrado, habrá dieciséis constantes en el borde exterior que por supuesto no tienen pareja.
Fuente: http://www.pleacher.com/handley/lessons/trig/cutups.html
1231
Unidad 11.2: Funciones circulares y trigonométricas Matemáticas Ejemplo para plan de lección - Ángulos en el plano
Ángulos en el plano Objetivo: Los estudiantes identificarán y describirán ángulos en el plano y harán conversiones de medidas de grados a radianes, y viceversa. Definiciones Ángulo Lado inicial Lado terminal
Ángulo
Ángulo en posición estándar (El vértice es el origen y el lado inicial es el eje de x positivo)
Los ángulos positivos son generados por una rotación ____________________________. Los ángulos negativos son generados por una rotación ____________________________. El ángulo central de un círculo es un ángulo en que el vértice es el centro del círculo. La medida de un ángulo está determinada por el grado de rotación a partir del lado inicial hasta el lado terminal. Una forma de medir los ángulos es en radianes. Un radián es la medida del ángulo central .
Una revolución completa (en contra de las manecillas del Un círculo reloj ) se interseca con un arco s cuya longitud es equivalente al radio r del círculo. corresponde a 360o . Un grado es equivalente a
1 de un círculo. 360
Dos ángulos son __________________si la suma de sus medidas es
o 90 o . 2
Dos ángulos son __________________si la suma de sus medidas es o 180o . ________________________son ángulos que tienen el mismo lado inicial y terminal.
Fuente: http://math.springbranchisd.com/high/classes/precalculus/PreCalculus_Scope_08_2008.pdf
1232
Unidad 11.2: Funciones circulares y trigonométricas Matemáticas Ejemplo para plan de lección - Radianes, grados, longitud de arco, sectores
Radianes, grados, longitud de arco, sectores ¿Cómo convierto de radianes a grados y viceversa? ¿Cómo mido la longitud de un arco y el área de un sector? I. Grados y radianes Radián -
Circunferencia de un círculo = ______
Circunferencia del círculo unitario = _____
Grados Radianes: Multiplicar por _____
Radianes Grados: Multiplicar por _____
Convertir a radianes: a) 45˚
Convertir a grados: a)
6
b)
5 6
c)
4 3
b) 50˚
c) 270˚
II. Longitud de arco - _____________
Halla la longitud de un arco de un círculo con un radio de 5 cm generado al rotar un radio a un ángulo de: a) 2
b)
9
c) 40˚
d) 137˚
1233
Unidad 11.2 Funciones circulares y trigonométricas Matemáticas Ejemplo para plan de la lección - Radianes, grados, longitud de arco, sectores Un sector con un radio de 158 mm tiene las longitudes de arco dadas. Halla el ángulo del sector. Provee tu respuesta tanto en grados como en radianes. a) 10 mm
150 de mmun sector - _____________ III.b)Área
1. Halla el área de un sector de un círculo con un radio de 6 cm si su ángulo es a)
2
b)
5 12
c) 18˚ d) 73˚ 2. Un sector circular tiene un radio de 12 m. Halla el ángulo, en radianes, del sector dado que su área medida es de 100 metros cuadrados.
Ejemplo 1: El sector de un círculo con un radio de 3 cm tiene un ángulo subtendido de centro. Halla a) la longitud de arco del sector sector
5 radianes en el 18
b) el área del sector del círculo
Ejemplo 2: El área oscurecida del diagrama es un segmento de un círculo con radio r. Demuestra que el área del segmento está dada por
r 2 ( 3) . 12
Fuente: http://www.wsfcs.k12.nc.us/Page/7246
1234
Unidad 11.3: Gráficas de las funciones trigonométricas: Matemáticas Actividad de aprendizaje - Ecuación de la curva del seno Parea las ecuaciones de curva del seno a la derecha con sus características a la izquierda. Coloca la letra de la ecuación correspondiente en el blanco de sus características. Ecuaciones de curva Amplitud Periodo Deslizamiento del seno y = a. b.
________ 1.
1
2π
unidades a la izquierda
c.
________ 2.
2
π
unidades a la derecha
d.
________ 3.
1.5
unidades a la derecha
e.
________ 4.
1.5
________ 5.
1
________ 6.
2
________ 7.
1
________ 8.
1
________ 9.
1.5
________ 10.
2
________ 11.
1
3π
unidades a la izquierda
m.
________ 12.
2
Π
unidades a la derecha
n.
________ 13.
1.5
4π
2π unidades a la izquierda
o.
________ 14.
1.5
10π
π unidades a la derecha
p.
2π
unidades a la izquierda f. π unidades a la izquierda
g.
unidades a la derecha
h.
unidades a la derecha
i.
5π
unidades a la izquierda
j.
π
π unidades a la derecha
k.
unidades a la izquierda
l.
4π
q. r.
Fuente: http://www.pleacher.com/handley/lessons/trig/sinegraf.html
1235
Unidad 11.3: Gráficas de las funciones trigonométricas: Matemáticas Actividad de aprendizaje - Las cuatro funciones restantes
Las cuatro funciones restantes Utiliza papel cuadriculado para trazar las gráficas de las funciones aquí abajo en dos periodos. Asegúrate de que los ejes tengan una escala apropiada y estén debidamente rotulados. Por cada gráfica halla: 1) 2) 3) 4) 5) 6) 7)
el periodo el cambio de fase las asíntotas la ubicación y valor de los puntos máximos, de haberlos la ubicación y valor de los puntos mínimos, de haberlos ¿Alguna intercepción en x o en y? Si los hay, ¿dónde están? Corrobora tu dibujo con una calculadora gráfica.
1. y = csc2x
2. y = tanx +
3. y = 2secx – 1
4. y = -cotx -
5. y = csc3x - 1
Fuente: http://www.doe.state.la.us/topics/comprehensive_curriculum.html
1236
Unidad 11.3: Gráficas de las funciones trigonométricas: Matemáticas Ejemplo para plan de lección - Notas sobre los datos periódicos y los deslizamientos de funciones trigonométricas Mes Temp
1 47
2 52
3 61
4 70
5 77
6 84
7 88
8 87
9 80
10 71
11 60
12 51
Datos periódicos Temperatura máxima promedio mensual (⁰F) de Winston-Salem (Carolina del Norte)
Temperate Temperatura
Monthly Maximum Temp Temperatura máxima por mes
100 90 80 70 60 50 40 30 20 10 0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 MesMonth
¿Qué son las ondas de seno? ______________________________________________________ ________________________________________________________________________ Otros ejemplos de fenómenos periódicos:
Vocabulario Función periódica – _____________________________________________ Periodo –_______________________________________________________ Punto máximo – ______________________________________________ Punto mínimo – _______________________________________________ Eje principal – _________________________________________________ Amplitud – ___________________________________________________ Conecta los puntos en la gráfica anterior. ¿Cuál es el: periodo? _______ ¿Punto máximo? _______ ¿Punto mínimo? ______ ¿Amplitud? _______ 1237
Unidad 11.3: Gráficas de las funciones trigonométricas: Matemáticas Ejemplo para plan de lección - Notas sobre los datos periódicos y los deslizamientos de funciones trigonométricas La función de seno ¿Cómo se genera?
Utiliza tu calculadora para trazar la gráfica de las siguientes funciones y completar la tabla. Función Periodo Máximo Mínimo Amplitud y = sen x y = 2sen x y = 0.5sen x y = sen 2x y = sen 0.5x La forma estándar de la función de seno es y = a sen b(x + c) + d. 1. Según la tabla, ¿cómo a afecta la función de seno? 2. Según la tabla, ¿cómo b afecta la función de seno? 3. ¿Puedes encontrar una fórmula para hallar el periodo? _______ ¿La amplitud? ______ 4. Establece la amplitud de cada una de las funciones siguientes: a. y = 3sen x b. y = sen x c. y = -2sen x
d. y = 2,024sen x
5. Establece el periodo de cada una de las funciones siguientes: a. y = sen 3x b. y = sen (.25x) c. y = sen (1.2x) d. y = sen Bx Sin usar tecnología, traza las gráficas de a. y = 2senx y = -2sen x de 0 a 2π en el mismo eje. A continuación, traza la gráfica de y = sen2x de 0 a 2π.
En base a lo que sabes sobre transformaciones, predice cómo las gráficas de y = sen(x – 2) y y = sen(x) + 3 se deslizarán de la función original y = sen x. y = a sen b (x – c) + d ¿Cómo podemos crear una función de seno para hacer un modelo de la temperatura promedio máxima mensual de Winston-Salem? Fuente: http://www.wsfcs.k12.nc.us/Page/7246 Datos obtenidos en www.weather.com
1238
Unidad 11.3: Gráficas de las funciones trigonométricas: Matemáticas Tarea de desempeño - Cómo hacer modelos de datos climáticos reales
Datos, gráficas y regresión del seno Provéele datos de una ciudad a cada grupo de estudiantes. (Imprime y recorta la página tres.) La regresión de gráfica y calculadora se proveen como recurso al maestro. Los datos provistos corresponden al promedio mensual de temperaturas diarias más altas. Salt Lake City - EE. UU. Ene Feb Mar Abr 36.5 43.2 51.8 65.1
May 72.0
Jun 82.9
Jul 92.3
Ago 90.0
Sep 79.3
Oct 66.0
Nov 49.8
Dic 38.3
Ene 36.1
Feb 42.9
Mar 51.0
Ciudad de Nueva York – EE. UU. Ene Feb Mar Abr May 38.8 40.5 47.3 56.8 68.4
Jun 76.8
Jul 81.1
Ago 80.1
Sep 72.7
Oct 62.4
Nov 53.2
Dic 43.0
Ene 38.4
Feb 40.3
Mar 47.0
Vancouver – Canadá Ene Feb Mar Abr 41.7 45.7 49.5 55.2
Jun 66.9
Jul 71.4
Ago 70.9
Sep 65.3
Oct 56.5
Nov 48.2
Dic 43.5
Ene 41.5
Feb 45.6
Mar 49.1
May 61.9
1239
Unidad 11.3: Gráficas de las funciones trigonométricas: Matemáticas Tarea de desempeño - Cómo hacer modelos de datos climáticos reales Buenos Aires - Argentina Ene Feb Mar Abr 74.3 72.9 69.1 62.1
May 55.9
Jun 50.7
Jul 50.0
Ago 52.0
Sep 55.8
Oct 60.8
Nov 66.7
Dic 71.6
Ene 74.3
Feb 72.8
Mar 68.9
May 72.0
Jun 82.9
Jul 92.3
Ago 90.0
Sep 79.3
Oct 66.0
Nov 49.8
Dic 38.3
Ene 36.1
Feb 42.9
Mar 51.0
Las cuatro curvas:
Salt Lake City - EE. UU. Ene Feb Mar Abr 36.5 43.2 51.8 65.1
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - Ciudad de Nueva York - EE. UU. Ene Feb Mar Abr May 38.8 40.5 47.3 56.8 68.4
Jun 76.8
Jul 81.1
Ago 80.1
Sep 72.7
Oct 62.4
Nov 53.2
Dic 43.0
Ene 38.4
Feb 40.3
Mar 47.0
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - Vancouver – Canadá Ene Feb Mar Abr 41.7 45.7 49.5 55.2
May 61.9
Jun 66.9
Jul 71.4
Ago 70.9
Sep 65.3
Oct 56.5
Nov 48.2
Dic 43.5
Ene 41.5
Feb 45.6
Mar 49.1
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - Buenos Aires - Argentina Ene Feb Mar Abr 74. 72. 69. 62. 3 9 1 1
Ma y 55. 9
Jun 50. 7
Jul 50. 0
Ago 52. 0
Fuente: http://www.uen.org/Lessonplan/preview?LPid=25928
Sep 55. 8
Oct 60. 8
Nov 66. 7
Dic 71. 6
Ene 74. 3
Feb 72. 8
Mar 68. 9 1240
Unidad 11.4: Vectores Matemáticas Actividad de aprendizaje - Hoja de actividades para Información básica de vectores
Hoja de actividades para Información básica de vectores 1. Halla el vector de los siguientes
Q
H
G R F
P
W K
2. Halla los vectores de la línea entrecortada sumando o restando vectores.
C
F G B
A
K
H
M
E N
J L
1241
Unidad 11.4: Vectores Matemáticas Actividad de aprendizaje - Hoja de actividades para Información básica de vectores
3 3. Si p =( ( ( ) y q = ( 5
-2 4
)
Halla: 2p 3q 3p + 4q 5p – 2q 4. Escribe los siguientes vectores en términos de p y q
p
q
5. OS = 2a + 3b. OT = b – a Halla SY en términos de a y b. Halla la posición de vector del punto equidistante ST.
1242
Unidad 11.4: Vectores Matemáticas Actividad de aprendizaje - Hoja de actividades para Información básica de vectores 6. El diagrama muestra un punto P que divide la línea a razón de 5:1. Halla SP en términos de s y t.
T P
S
O
Fuente: http://www.teachnet-uk.org.uk/2006%20Projects/Maths-KS4-5_catchup/Straight_lines-vectors.htm
1243
Unidad 11.4 Vectores Matemáticas Actividad de aprendizaje - Vectores y deporte de orientación
Vectores y su uso para hacer modelos de situaciones físicas Como has aprendido, los vectores se identifican por la magnitud (longitud) y orientación a partir de un punto de inicio. Las características de los vectores resultan útiles en el deporte de la orientación. En este deporte se requiere que los competidores, en función de sus destrezas de lectura de mapas y uso de la brújula, naveguen por un trayecto predeterminado, y que lleguen a unos puntos de control que se encuentran en un orden particular. El objetivo es ser preciso y más rápido que tus competidores. Tu clase se ha inscrito en una competencia del deporte de orientación y te han designado para que elabores un conjunto de instrucciones que el equipo tendrá que seguir para poder ganar. A continuación se encuentra el mapa de la carrera en el Parque Rockville con sus puntos de control designados. El punto de control 1 se encuentra a la entrada del parque. Leyenda agua
cerro
punto de control
camino
puente
Durante la primera etapa, los competidores deberán avanzar desde la entrada del parque, el punto de control 1, hasta el punto de control 2, que se encuentra en el paseo. A continuación, el trayecto se convierte en terreno desigual hasta los demás puntos de control ordenados. Los competidores deberán evitar el terreno empinado y podrán cruzar los arroyos únicamente por puentes. Hay un arroyo a la derecha del No. 2 que se dirige a la derecha bajo el puente. Hay un cerro justo al sur del punto de control No. 3 y otro justo al norte del No. 4. La longitud de la primera parte del trayecto desde el No. 1 al No 2. es de 1.9 millas. Responde a las siguientes preguntas para que puedas elaborar instrucciones adecuadas para tu equipo. Utiliza regla y transportador. Usa la convención matemática para medir ángulos con 0° que representen
1244
Unidad 11.4 Vectores Matemáticas Actividad de aprendizaje - Vectores y deporte de orientación la dirección hacia el este. Las direcciones incluyen distancia y orientación. La distancia debe proveerse en millas. 1. Como calentamiento, traza dos puntos en una hoja de papel y conéctalos con un segmento. El segmento de línea define la magnitud/distancia y una orientación/pendiente. Explica cómo alterar el dibujo para que también describa una dirección específica, desde un punto final al otro. 2. Pasemos ahora a las instrucciones de tu equipo. Primero, necesitas trasladar a tu equipo desde la entrada del parque (No. 1) hasta el No. 2, caminando por el paseo. a. En papel encerado, dibuja un segmento de línea de por lo menos dos pulgadas. Luego, coloca el papel encerado sobre el mapa con el punto inicial del papel encerado sobre el punto final del paseo en No. 1. Esto ayudará a determinar la orientación/dirección del primer segmento del trayecto. Dirección __________________, Distancia __________________ b. Completa las instrucciones que llevarán al equipo al No. 2. Dirección __________________, Distancia __________________ c. Si tu equipo pudiese haber ido directamente del No. 2 al No. 1, ¿cuáles habrían sido las instrucciones? Dirección __________________, Distancia __________________ d. Tomando el punto No. 1 como el origen, ¿cuán lejos al este y cuán lejos al oeste se ha desplazado tu equipo hasta ahora? e. Explica por qué el total de las distancias en a y b no equivale a la distancia en c. 3. Ahora dibuja en tu mapa la ruta que recomendarías para completar el resto del trayecto. A continuación, escribe un conjunto de instrucciones por cada una de las etapas; mantén el número de instrucciones al mínimo. Si necesitas escribir más de una dirección y distancia por una etapa cualquier, explica por qué. a. del No. 2 al 3:
b. del No. 3 al 4:
1245
Unidad 11.4 Vectores Matemáticas Actividad de aprendizaje - Vectores y deporte de orientación c. del No. 4 al 5:
4. Considera el efecto cumulativo de estas instrucciones en los competidores. a. Ya que tu equipo se encuentra en el No. 5, ¿dónde se encuentra con respecto al No. 2?
b. ¿Dónde se encuentran con respecto al No. 2? 5. Después de terminar con el trayecto del deporte de orientación, los competidores tienen que regresar a sus carros (ubicados en la entrada del parque). ¿Cuál única instrucción los llevaría desde la meta en el No. 5 hasta el punto de salida en el No. 1? Leyenda agua punto de control
cerro camino
puente
Fuente: http://distance-ed.math.tamu.edu/Precalculus_home/Module6/signature_lab6.pdf
1246
Unidad 11.4: Vectores Matemáticas Ejemplo para plan de lección - Introducción a los vectores
Introducción a los vectores 1. Explica que un vector es una cantidad que tiene tanto magnitud como orientación. 2. Provee un ejemplo común de este tipo de cantidad, como pilotar un avión. La velocidad real del avión está determinada por las velocidades combinadas del viento y la velocidad a la cual vuela el avión. 3. Explica cómo la ley de triángulos de la suma de vectores explica ilustra esto, donde el piloto realmente vuela en dirección OA a la velocidad del avión, para que cuando se vea "impulsado" en la dirección AB por la velocidad del viento, alcance su destino B. OB es la dirección requerida para llegar a su destino. A
B
O 4. Explica que, según esta definición, cualquier par de vectores de la misma longitud y paralelos uno al otro son por lo tanto idénticos. Según esta definición, un vector es cualquiera de este conjunto infinito de segmentos de línea paralelos en esta dirección. Esta definición de vector se refiere a lo que a veces se conoce como vector libre. 5. Sin embargo, una vez representamos un vector en un sistema de coordenadas específico como un segmento de línea dirigido con punto inicial en el origen y punto terminal en (a, b), entonces solo hay un segmento de línea dirigido en este conjunto infinito que ahora representa nuestro vector. Esta definición de vector se refiere ahora a un vector de posición. 6. Puesto que la suma ahora implica dos vectores, ambos con un punto inicial en el origen, la suma vectorial tendría que hacerse entonces por el método del paralelograma. 7. Muéstrales a los estudiantes un vector y pídeles que elaboren formas de determinar su longitud. (Los estudiantes deben hacer la asociación con el teorema de Pitágoras o la fórmula de distancia.) 8. Instrucciones directas: notación, hallar la magnitud de un vector usando la fórmula de distancia. 9. Ejercicios de práctica guiada
Dibuja la flecha que representa el vector de un punto al otro.
Halla la magnitud de un vector dado.
Representa dos fuerzas que actúan sobre un objeto como vectores en el plano.
Fuente: www.curriculumframer.com
1247
Unidad 11.4: Vectores Matemáticas Ejemplo para plan de lección - Vectores en un mapa
Tarea Misión Imposible Buenos días, Agente I.M. Realizarás una misión encubierta como piloto en entrenamiento en el Aeropuerto Internacional de San Juan. Nos hemos tomado la libertad de colocar los siguientes artículos en tu maletín: un mapa de Puerto Rico, una brújula, una regla, un marcador y dos micro papitas. Tu misión, si decides aceptarla, contiene dos partes e implica el deslizamiento vectorial. Este mensaje no se autodestruirá en diez segundos. La agencia tiene un presupuesto reducido y debe conservar papel. Lee tu tarea con detenimiento.
Tarea I: Vuela desde San Juan hasta Mayagüez haciendo escala en Dorado. Déjale una micro papita al Agente Barney Fife de Mayberry Vice en el aeropuerto de Mayagüez. Deberás determinar el deslizamiento del vector. • • • • •
Dibuja un vector en el mapa de San Juan a Dorado. Dibuja un segundo vector en el mapa de Dorado a Mayagüez, con la cola del vector empezando en la cabeza del primer vector. Dibuja un tercer vector en tu mapa desde la cola del primer vector a la cabeza del segundo vector. Este vector se llama vector resultante. Mide la longitud del vector resultante y su orientación de San Juan a Mayagüez. Anota los resultados en grados. Este vector representa el deslizamiento total del plano. ¿Cuál es el deslizamiento del plano desde San Juan a Mayagüez?
Tarea II: Vuela desde Aguadilla hasta Ponce y haz una escala en Humacao. Déjale la otra micro papita a Arnold Ziffle, de Hooterville S.W.A.T. Deberás determinar el deslizamiento del vector. Si tú o cualquiera de tu equipo es descubierto o capturado, el secretario negará cualquier conocimiento de tus acciones y confiscará tu ipod. De hecho, el secretario está de vacaciones en Tijuana y no sabe nada de esta misión. ¡Buena suerte!
1248
Unidad 11.4: Vectores Matemáticas Ejemplo para plan de lección - Vectores en un mapa
Componentes de los vectores Transfiere los vectores de tu tarea de Misión Imposible a la gráfica siguiente.
Mide la longitud del vector resultante y su orientación de Aguadilla a Dorado. o o o
Usando la escala en el mapa, dibuja el vector en una hoja de papel cuadriculado. Aguadilla está ubicado en el origen. Determina el componente de x y el componente de y del vector. o o
componente de x (Aguadilla/Dorado) = ______________________ componente de y (Aguadilla/Dorado) = ______________________
Mide la longitud del vector y su orientación de Dorado a Mayagüez. o o o
Longitud vectorial (en pulgadas): _________ Longitud vectorial (en millas): _________ Orientación: ____________
Longitud vectorial (en pulgadas): _________ Longitud vectorial (en millas): _________ Orientación: ____________
Dibuja el vector en la gráfica a continuación con la cola en el origen. Determina el componente de x y el componente de y del vector. o o
componente (Dorado/Mayagüez) = ______________________ componente y (Dorado/Mayagüez) = ______________________
Halla el deslizamiento de x TOTAL. (Suma los distintos componentes de x.)
Halla el deslizamiento de y TOTAL. (Suma los distintos componentes de y.)
Usando los componentes de x y y, calcula la longitud del vector resultante y la orientación. Anota los resultados en millas y grados.
1249
Unidad 11.4: Vectores Matemáticas Ejemplo para plan de lección - Vectores en un mapa
1250 Fuente: http://mappery.com/map-of/Puerto-Rico-Tourist-Map
Unidad 11.5: Temas trigonométricos adicionales Matemáticas Actividad de aprendizaje - Identidades de ángulo doble
Ecuaciones con ángulos dobles
b) cos2x
sen2x = 2senxcosx 2
2
cos2x = cos x – sen x = 2cos2x – 1
Ejemplo 2: 4 cos 2 x 2 cos x 3 0 , 0 x 360
= 1 – 2sen2x Ejemplo 1: Dado que θ es agudo y tanθ = ½ halla: a) sen2θ Ejemplo 3: 3sen2x senx , 0 x 360
b) cos2θ
Tú: Dado que el ángulo x es agudo y senx = 4/5, halla a) sen2x Ejemplo 4: cos 2 x 9 cos x 5 0 , 0 x 2 Fuente: http://www.wsfcs.k12.nc.us/Page/7246
1251
Unidad 11.5: Temas trigonométricos adicionales Matemáticas Actividad de aprendizaje - Identidades trigonométricas
Identidad trigonométrica fundamental
=1
Ejemplo 1: Dado que el ángulo θ es agudo y , halla cosθ y tanθ.
Ejemplo 2:
Tú: Dado que el ángulo θ es agudo y cosθ = halla el valor de senθ y tanθ.
,
Tú: senx cos x 0 , 0 x 360
1252
5 , 7
Unidad 11.5: Temas trigonométricos adicionales Matemáticas Actividad de aprendizaje - Identidades trigonométricas Ejemplo 3:
,
Tú: 6 cos2 x senx 5 0 , x
Fuente: http://www.wsfcs.k12.nc.us/Page/7246
Ejemplo 4:
,
Tú: 2 cos2 x 3senx 3 , x
1253
Unidad 11.5: Vectores Matemáticas Actividad de aprendizaje - Rompecabezas trigonométrico
Rompecabezas de identidades trigonométricas Reacomoda los dieciséis cuadrados para formar un cuadrado mayor en que todos los lados se pareen para formar identidades trigonométricas.
1254 Fuente: http://www.pleacher.com/handley/lessons/trig/trgcutup.html
Unidad 11.5: Temas de trigonometría adicionales Matemáticas Actividad de aprendizaje - Yo tengo... quién tiene Tengo… 1. csc (B)
Quién tiene… 1.
2. cos (A) 3. 1
2. sen2A+cos2A 3.
4. csc (A)
4. sec2 B-1
5. tan2B
5. cot(-B)
6. –cot(B)
6.
7. senA
7. csc2 B-1
8. cot2B
8. cos(-B)
9. cosB
9. sen(-A)
10. –senA
10. 1-sen2B
11. cos2B
11.
12. tan B
12.
13. sec A
13. 1 + cot2 A
14. csc2 A
14.
15. sec B
15.
1255
Unidad 11.5: Temas de trigonometría adicionales Matemáticas Actividad de aprendizaje - Yo tengo... quién tiene 16. cot A
16. 1an2 B
17. sec2 B
17. 1-cos2 A
18. sen2 A
18.
19. tan A
19. cos2 B-1
20. –sen2 B
20. tan(-A)
21. –tan A
21.
22. sen B
22. tan2 A-sec2 A
23. -1
23.
24. cot B
24. sen2 A-1
25. –cos2 A
25.
Fuente: http://www.pleacher.com/handley/lessons/trig/ihave.html
1256
Unidad 11.5: Temas trigonométricos adicionales Matemáticas Ejemplo para plan de lección - Cómo cambiar el dominio de una ecuación trigonométrica Cuándo se usa este método: Cuando el ángulo no es ___ ni ___ ( __________________________).
Ejemplo 1: 4sen(3x) = 2, Paso 1: Resuelve para _________. Paso 2: Sea = ____, y resuelve para ____. Paso 3: Ajusta el dominio.
Paso 4: Resuelve la ecuación de sobre el nuevo dominio. Resulta útil trazar una gráfica de la función.
Paso 5: Halla los valores en x de las soluciones.
Ejemplo 2: Paso 1: Resuelve para _________. Paso 2: Sea = ____, y resuelve para ____. Paso 3: Ajusta el dominio.
Paso 4: Resuelve la ecuación de sobre el nuevo dominio. Resulta útil trazar una gráfica de la función.
Paso 5: Halla los valores en x de las soluciones.
Fuente: http://www.wsfcs.k12.nc.us/Page/7246
1257
Unidad 11.5: Temas trigonométricos adicionales Matemáticas Ejemplo para plan de lección - Cómo cambiar el dominio de una ecuación trigonométrica Práctica guiada 1.
= ,
2. sen( x) = ,
3.
4.
5.
6.
Fuente: http://www.wsfcs.k12.nc.us/Page/7246
,
1258
Unidad 11.5: Temas trigonométricos adicionales Matemáticas Ejemplo para plan de lección - Desarrollo de la ley de cosenos
Desarrollo de la ley de cosenos Primero, para repasar LAL y LLL, se les darán a los estudiantes varios datos sobre triángulos y se les pedirá que los tracen con regla y transportador. Compararán triángulos entre sí para ver con cuáles conjuntos de datos se obtiene un solo triángulo, así como para ver que con ciertos ejemplos de LLL no se obtiene triángulo. Los estudiantes desarrollarán la ley de cosenos como extensión lógica de la fórmula pitagórica y nuestra definición de razón de coseno. A continuación, explorarán los escenarios donde resulte útil, y verán qué sucede cuando intentan aplicarla a uno de los ejemplos de LLL imposibles de la actividad anterior. 1. Los estudiantes necesitarán reglas y transportador. 2. Dales los siguientes ejemplos y pídeles que intenten dibujar los triángulos: a. Un triángulo con lados de 5 cm, 8 cm y 10 cm. b. Un triángulo con lados de 4 cm, 5 cm y el ángulo incluido de 55 grados. c. Un triángulo con lados de 11 cm, 13 cm y 29 cm. 3. Dales tiempo para jugueteen con los diagramas. El ejemplo de LAL es bastante sencillo, pero LLL es más difícil. El ejemplo (a) es posible, pero requiere un poco de ensayo y error, pues aún no contamos con una técnica para hallar los ángulos que faltan. El ejemplo (c), por el contrario, no es posible. 4. Pídeles a los estudiantes que analicen los ejemplos en parejas y grupos pequeños. Date la vuelta por el salón para asegúrate de que estén llegando a las conclusiones correctas. 5. A continuación, pídeles que discutan las siguientes preguntas entre ellos: a. En general, ¿qué ilustra esto sobre la cantidad de información necesaria para determinar un triángulo? (Como hemos estudiado anteriormente, el LAL determina un triángulo único, independientemente de los números. Por otro lado, este no es el caso de LLL.) b. Si se proporcionan las longitudes de los lados, ¿cómo podemos comprobar si determinan un triángulo o no? (Verifica para asegurarte de que cada par de lados sume una longitud mayor que el tercer lado.) c. Aprendimos en geometría que LLL probaba la congruencia; ¿cómo es posible que LLL no garantice un triángulo? (El postulado en geometría establecía que si dos triángulos compartían el mismo LLL, se supone que haya dos triángulos. No establece que cualquier combinación de tres longitudes de lado creará un triángulo.) 6. Presenta el tema de que si un triángulo está determinado por tres lados, debe haber alguna forma de usar los lados para hallar los ángulos. 7. Desarrolla la ley de cosenos con tu clase. Tómate el tiempo de facilitar el que descubran la fórmula en vez de presentarla antes de probarla o probarla muy rápidamente. Guía a los estudiantes por cada paso de la prueba con las siguientes instrucciones; es posible que no piensen en todos los pasos por su cuenta, pero podrán realizarlos con un poco de orientación. a. Comienza con el diagrama de triángulo estándar con los lados rotulados a, b y c y los ángulos rotulados A, B y C. Pon el ángulo A en la parte de arriba del diagrama y el lado a horizontal. b. Traza la altura que conecta el ángulo A con el lado a y rotúlalo h. Rotula con "x" la porción del lado a que está adyacente al lado b y la otra porción (a-x). c. Deja que los estudiantes intenten la próxima parte por su cuenta; dependiendo del nivel que tengan puedes darles más o menos orientación. Pídeles que estipulen ecuaciones en base a lo 1259
Unidad 11.5: Temas trigonométricos adicionales Matemáticas Ejemplo para plan de lección - Desarrollo de la ley de cosenos que saben sobre los triángulos. Guíalos, de ser necesario, para que usen el teorema de Pitágoras con los dos triángulos que creaste. d. Acepta sugerencias para los próximos pasos; al final, la forma de proceder es solucionar para y h2 e igualar los resultados. A continuación, simplifica y usa trigonometría para reemplazar x por "b cos C". e. Ahora ya tienen la ley de cosenos en la variación que más les recuerda la forma de rotular usada con la fórmula pitagórica: c2 = a2 + b2 - 2 ab cos C. Han establecido una relación importante entre cuatro medidas del triángulo (como lo hicimos con la ley de senos), y si conocen tres de ellos (LAL o LLL) pueden resolver el cuarto. 8. Dales a los estudiantes la oportunidad de practicar usando estas fórmulas con ejercicios del livro. Asegúrate de incluir ejemplos en que: a. LAL esté dado y haya que hallar el tercer lado. b. El LLL de un triángulo esté dado y haya que hallar el ángulo que falta. c. Se dan tres longitudes que no formen un triángulo y haya que interpretar el resultado (con los cálculos se obtiene un valor imposible de coseno). 9. Discute con los estudiantes cómo el hecho de que LAL siempre determine un triángulo queda respaldado por la fórmula que acaban de derivar: a. Siempre y cuando el lado recto de la ecuación anterior sea positivo, obtendremos un valor para el tercer lado. b. Para ser negativo, demostrar que un tercer lado del triángulo es imposible, "2 ab cos C" tendría que ser mayor que "a2 + b2". c. Como cos C nunca es mayor que 1, podemos simplificar el enunciado anterior a: "2 ab" tendría que ser mayor que "a2 + b2". d. Pídeles a los estudiantes que exploren esta posibilidad. ¿Pueden encontrar dos números con los que sea el caso? e. Analízalo con álgebra; si estableces la desigualdad, se simplifica a (a-b) 2 es mayor que o igual a 0, lo cual es obviamente cierto para todos los valores reales de a y b. f. Finalmente, discute cómo resulta obvio a partir de un diagrama que LAL garantice un triángulo. Básicamente, LAL es un ángulo entre dos segmentos de línea: ¿cómo podría ser imposible conectar el final del segmento y crear un triángulo? 10. Los libros a menudo contienen una forma específica de la versión resuelta para coseno del ángulo en casos en que se da LLL. Discute esto con ellos; asegúrate de que lo vean como una variación de la ley de cosenos y no una fórmula más. Además, señálales que aunque sea conveniente, no es necesario. Por el contrario, podemos utilizar la versión de la ley de cosenos provista anteriormente, añadir los tres lados y resolver para el triángulo.
Fuente: http://www.mde.k12.ms.us/ACAD/ID/Curriculum/Framer/units/template_233.html
1260
Unidad 11.5: Temas trigonométricos adicionales Matemáticas Tarea de desempeño - Rúbrica del Laberinto de triángulos Categoría
Diseño
Conceptos
Precisión
Comunicación
Presentación
4
Rúbrica de Laberinto de triángulo 3
La propuesta presenta un diseño atractivo del laberinto, y utiliza matemáticas eficazmente en el diseño. Se analiza detalladamente el impacto en el Departamento de Terrenos.
La propuesta presenta un buen diseño del laberinto, y utiliza matemáticas eficazmente en el diseño. Se analiza el impacto en el Departamento de Terrenos.
La propuesta, el diagrama y las matemáticas de apoyo demuestran una comprensión cabal y sofisticada del uso de la ley de senos y cosenos para solucionar triángulos. El estudiante analiza eficazmente el diagrama para discutir su uso e impacto. El diagrama está bien rotulado y las medidas son correctas. Se hacen los cálculos correctamente, y la interpretación del uso e impacto es intuitiva y razonable.
La propuesta, el diagrama y las matemáticas de apoyo demuestran una comprensión cabal del uso de la ley de senos y cosenos para solucionar triángulos. El estudiante analiza el diagrama para discutir su uso e impacto. En general, el diagrama está bien rotulado y las medidas son precisas. Por lo general, los cálculos están correctos, con pequeños errores insignificantes, y la interpretación que hace del uso e impacto es apropiada.
Todos los elementos de la propuesta se explican clara y cabalmente usando la terminología matemática más eficaz.
Todos los elementos de la propuesta se explica clara y cabalmente usando la terminología matemática más eficaz.
Se presénta la propuesta de forma profesional y se demuestra esmero en la preparación y claridad en la comunicación. Queda claro que se ha prestado atención al público y al propósito.
En general, la propuesta se ve limpia y completa, aunque a algunos elementos podría faltarles un toque profesional. Se ha prestado atención al público y al propósito.
Fuente: www.curriculumframer.com
2
1
La propuesta presenta un diseño poco atractivo del laberinto, y demuestra dificultades utilizando las matemáticas eficazmente en el diseño. Se analiza el impacto en el Departamento de Terrenos, pero no lo suficiente. La propuesta, el diagrama y las matemáticas de apoyo demuestran alguna comprensión del uso de la ley de senos y cosenos para solucionar triángulos. El estudiante tiene dificultades analizando el diagrama para discutir su uso e impacto. La mayor parte del diagrama está bien rotulado y las medidas son correctas, pero los errores le restan a la eficacia de la propuesta. Algunos cálculos están correctos, pero contienen errores importantes, lo cual compromete la interpretación del uso e impacto. Explica algunos elementos de la propuesta claramente, pero confunde otros. Se usa la terminología matemática de forma incompleta o con errores menores. Algunos de los elementos de la propuesta se ven limpios, pero otros demuestran falta de esmero en la calidad. No queda claro cuál público o propósito se tomó en cuenta.
La propuesta presenta un diseño que no es atractivo del laberinto, y demuestra dificultades utilizando las matemáticas eficazmente en el diseño. No se analiza el impacto en el Departamento de Terrenos correctamente, o no se analiza. La propuesta, el diagrama y las matemáticas de apoyo demuestran poca comprensión del uso de la ley de senos y cosenos para solucionar triángulos. El estudiante no logra analizar adecuadamente el diagrama para discutir su uso e impacto. Hay problemas graves con el diagrama, así como con las medidas y los cálculos. Los errores son tan frecuentes que la propuesta no le resultaría útil al parque. Le falta la interpretación del uso e impacto o no es apropiada.
Se explican pocos elementos de la propuesta de forma clara. No se usa terminología matemática o se usa de forma incorrecta. La propuesta está descuidada y demuestra desinterés por la calidad. Esto le resta significativamente a cualquier consideración que pueda o no habérsele prestado al público o propósito.
1261
Unidad 11.6: Geometría y ecuaciones paramétricas Matemáticas Actividad de aprendizaje - Carrera de gráficas de funciones paramétricas
Carrera de gráficas de funciones paramétricas En parejas, los estudiantes practican a trazar gráficas de ecuaciones paramétricas siguiendo la función al pie de la letra. El maestro debe revisar cada gráfica antes de que el grupo pueda pasar al próximo conjunto de ecuaciones. El primer grupo en terminar las seis gráficas ¡gana!
x sin(3t ) y sin(4t )
1.
x 8cos t 5cos(4t ) y 8sin t 5sin(4t )
2.
x sin t sin t y cos t cos t
3.
0 t 6.3
0 t 2
0 t 6.3
tstep 0.05
tstep 0.05
tstep 0.05
1 x 1
15 x 15
1.5 x 1.5
1 y 1
15 y 15
1.5 y 1.5
Modo radián Zoom Square
Modo radián Zoom Square
x1 t 2 y1 1 t t
5.
4.
x2 t 2 y2 1 t t
x1 cos t y1 sin t
x2 t y 2 sin t
Modo radián Zoom Square Ejes desactivados
x 2 cos t y 2sin t
6.
0 t 360 tstep 5
1 t 1
0 t 2
2 x 2
tstep 0.05
tstep 0.05
2 y 2
1.2 x 1.2
1.5 x 2 xscl 4 1.5 y 1.5 yscl 1
1 y 1.6
Zoom Square Ejes desactivados Modo simultáneo
Modo radián Zoom Square Modo simultáneo
Modo grado Zoom Square Repite la gráfica con tstep distinto como 30, 45, 90 y 120.
1262 Fuente: http://hollywoodhighschool.net/apps/pages/index.jsp?uREC_ID=116947&type=u&termREC_ID=&pREC_ID=210421
Unidad 11.6: Geometría y ecuaciones paramétricas Matemáticas Actividad de aprendizaje - Enigma de razonamiento deductivo
Enigma de razonamiento deductivo Instrucciones: Preséntales a los estudiantes dos copias distintas de la hoja suelta; primero sin la gráfica y después con la gráfica al final. Instrucciones: Usando la información dada intenta resolver el siguiente enigma. Diego, Martín, Natalia y Julián todos vienen de un estado distinto: Alaska, Maine, Montana u Oklahoma. Todos tienen una lengua materna distinta: inglés, francés, ruso o español. Cada uno tiene una mascota distinta: una chinchilla, un perro, un hámster o una tortuga. Utiliza esta información y las pistas siguientes para determinar dónde vive cada uno, cuál es su lengua materna y cuál es su mascota. 1. Martín necesitaba un libro de idiomas para escribirle una carta a la persona de Alaska. 2. La persona de Oklahoma tiene un mamífero de mascota. 3. La persona de Alaska encontró su mascota frente a la puerta sobre un monte de nieve. 4. El chico que habla francés vive al este de Oklahoma. 5. El chico que habla ruso quiere escribirle a la persona de Montana, pero no habla su mismo idioma. 6. Diego compró su mascota en Perú. 7. Julián no tiene un hámster. 8. La persona que tiene el perro le escribió una carta en ruso a la persona que vive en Oklahoma, pero ella no pudo entenderla. 9. Diego tuvo que viajar al oeste para conocer a Natalia. 10. Martín está aprendiendo español en la escuela.
Enigma de razonamiento deductivo y cuadrícula AK
ME
MT
OK
Ing.
Fr.
Rus.
Esp.
Chin.
Per.
Hám
Tor.
Diego Martín Natalia Julián Chinchilla Perro Hámster Tortuga Inglés Francés Ruso Español
Fuente: http://www.doe.state.la.us/topics/comprehensive_curriculum.html
1263
Unidad 11.6: Geometría y ecuaciones paramétricas Matemáticas Actividad de aprendizaje - Tarjetas de repaso de las funciones paramétricas
Tarjetas de repaso de las funciones paramétricas Materiales: tijeras, pegamento, tarjetitas de 22-3x5, bolsita zip-lock para guardar las tarjetas juntas después Objetivo: Los estudiantes deben poder reconocer las funciones paramétricas básicas dada una gráfica o la notación simbólica de la función. Procedimiento: (1) Recorta una función paramétrica a la vez junto con su descripción. Nota: Asegúrate de recortar una sola gráfica y descripción a la vez para que no se mezclen. Cada descripción se encuentra justo debajo de su gráfica correspondiente. (2) Pega la gráfica a un lado de la tarjetita 3x5 y su descripción al otro lado. (3) Utiliza las tarjetitas de dos formas: (a) Escribe en cada gráfica algunas propiedades que la describan. (b) Con las descripciones, intenta adivinar cuál función paramétrica se decribe. Consejitos didácticos: Haz que los estudiantes utilicen tarjetas de repaso como herramienta de aprendizaje de las funciones paramétricas. Una vez las hayan aprendido, las tarjetas les pueden servir de repaso. Haz que los estudiantes se dividan en parejas y se examinen con las tarjetas del otro. Esto puede hacerse al principio de la clase durante los primeros cinco minutos como calentamiento.
1264
Unidad 11.6: Geometría y ecuaciones paramétricas Matemáticas Actividad de aprendizaje - Tarjetas de repaso de las funciones paramétricas
1265
Unidad 11.6: Geometría y ecuaciones paramétricas Matemáticas Actividad de aprendizaje - Tarjetas de repaso de las funciones paramétricas
Fuente: http://distance-ed.math.tamu.edu/Precalculus_home/Module5/Activity_5AB.pdf
1266
Unidad 11.6: Geometría y ecuaciones paramétricas Matemáticas Ejemplo para plan de lección - Introducción a las funciones paramétricas
Introducción a las funciones paramétricas Estamos en un teatro. En la tarima cada artista tiene un número particular de recorridos. En la danza, el coreógrafo puede pedirle a dos bailarines que se crucen corriendo. En esta situación, cada bailarín debe conocer su trayecto para que no se choquen durante la danza. En el teatro, el director podría pedirles a dos actores que corran el uno hacia el otro. En algunas funciones se requiere que ambos actores caminen hacia atrás en el escenario para que puedan encontrarse. Nuevamente en ambos casos cada cual debe saberse su trayectoria. Vamos a trazar unos cuantos trayectos posibles que podrían recorrerse en un escenario. Preguntas guiadas para esta actividad:
Los trayectos se cruzan, ¿pero significa esto que se chocarían? ¿Cuáles son las variables que afectaron cada trayecto? (tiempo, distancia y velocidad)
Tabla de recopilación de datos: Color del que camina
Coordenadas iniciales (x,y)
Coordenadas iniciales (x,y)
Distancia del Tiempo del trayecto trayecto (grupo que toma el (grupo de medida) tiempo)
Caminante no. 1 Caminante no. 2 Caminante no. 3 Caminante no. 4 Caminante no. 5 Caminante no. 6 Tabla de tiempo: Color del que camina Caminante no. 1 Caminante no. 2 Caminante no. 3 Caminante no. 4 Caminante no. 5 Caminante no. 6
Tabla de medidas: Tiempo de trayecto
Color del que camina Longitud del trayecto (pies) Caminante no. 1 Caminante no. 2 Caminante no. 3 Caminante no. 4 Caminante no. 5 Caminante no. 6
1267
Unidad 11.6: Geometría y ecuaciones paramétricas Matemáticas Ejemplo para plan de lección - Introducción a las funciones paramétricas Tarjetas de la tarea grupal Caminantes Los caminantes completarán los trayectos en la cuadrícula. Empezarás en un punto cerca del eje de x. Entonces, dirás "fuera" y comenzarás a recorrer tu trayecto lineal. Puedes escoger cuán larga quieres que sea la línea, pero no puedes salirte de la cuadrícula que se encuentra en el suelo de la cancha. También decides cuán rápido (o lento) caminas. Debes decir "ya" cuando hayas terminado tu recorrido para que los que están tomándote el tiempo obtengan una duración correcta. Deberás además terminar en un punto de la cuadrícula para hacerlo más preciso. Cronometradores Su tarea es cronometrar el trayecto del caminante. El caminante dirá en qué punto empezarás a cronometrar el tiempo. Detendrás el reloj cuando el caminante diga "ya". Dos personas deben cronometrar el tiempo para obtener una duración precisa. Asegúrense de corroborar ambas medidas de tiempo al final para comprobar que sean iguales. Alguien del grupo anotará el tiempo de cada caminante. Marcador del trayecto Tu tarea será marcar con cinta adhesiva el trayecto del caminante. Designaremos un color por cada caminante y tendremos hilo del color correspondiente para cada uno. Una vez se haya completado el trayecto, tu grupo lo marcará con cinta adhesiva para que lo podamos tener trazado en la cuadrícula. Medidores Tu tarea es medir el trayecto de cada caminante. Podrás medir la línea marcada con cinta adhesiva de cada caminante con una cinta métrica. Tu grupo será responsable de anotar la medida de cada trayecto. Anotadores
Tu tarea será recopilar y anotar todos los datos de la actividad. El primer dato que tendrás que recopilar será el punto inicial y terminal de cada caminante. Ambos puntos deben tener coordenadas claramente definidas. Serás además responsable de recopilar los datos de los otros grupos que estén recopilando datos (cronometradores y medidores). Estos datos se usarán luego cuando regresemos al salón.
Fuente: http://parametricequationsintro-lessonstudy.wikispaces.com/
1268
Unidad 11.7: Regresión lineal Matemáticas Ejemplo para plan de lección - Desde líneas de mejor ajuste a la regresión lineal
Regresión lineal ¿Cómo trazamos a ojo una línea de mejor ajuste de un diagrama de dispersión? En el siguiente diagrama de dispersión hay varias líneas. ¿Cuál piensas que se ajusta mejor a los datos?
Elige dos puntos en cada una de las tres líneas y halla la ecuación de cada una antes de decidir cuál se ajusta mejor. Demuestra el proceso paso a paso aquí abajo.
1269
Unidad 11.7: Regresión lineal Matemáticas Ejemplo para plan de lección - Desde líneas de mejor ajuste a la regresión lineal Una regresión lineal es una línea recta que permite aproximar la relación entre dos variables representadas por un conjunto de datos.
Halla la línea de regresión lineal calculando la pendiente
y usando la forma intercepción-pendiente de una línea (
).
Compruébalo con la regresión lineal en la calculadora gráfica. 1. Traza los siguientes puntos en la cuadrícula a continuación: (1,3), (2,2), (0,1), (3,4) A ojo: Línea de regresión lineal:
y = ______ x+ ______
Con la calculadora gráfica Línea de regresión lineal:
y = ______ x+ ______
2. Traza los siguientes puntos en la cuadrícula a continuación: Línea de regresión lineal:
y = ______ x+ ______
Con la calculadora gráfica Línea de regresión lineal:
y = ______ x+ ______
Fuente: http://www.ciclt.net/ul/okresa/Unit%206%20Acquisition%20Lesson%203%20Linear%20Regression.pdf 1270
Unidad 11.7: Geometría y ecuaciones paramétricas Matemáticas Ejemplo para plan de lección - Regresión lineal en la TI-83
Regresión lineal en la TI-83: La tarea En esta hoja de actividades, observarás datos recopilados en el Supermercado Rápido de Franklin de Guaynabo el miércoles 6 de febrero de 1999. Después de introducir los datos en la calculadora, usarás las funciones estadísticas de esta para hallar una fórmula que describa la conexión entre las variables para que puedas hacer estimados sobre el tamaño y precios de paquetes de café. Los datos – Precios del café registrados en el Supermercado Rápido de Franklin en Guaynabo International roast: Café internacional Tamaño Precio
50g $1.85
100g $3.34
200g $6.56
375g $9.97
500g $12.79
1. Para introducir estos datos en la calculadora:
(a) Oprime STAT y luego 1: EDIT para obtener . Si tienes alguna lista que quieras eliminar, sube a la barra de título y oprime CLEAR, luego ENTER. Así eliminarás cualquier dato en la lista en la que estás. No es necesario que lo hagas si deseas guardar los datos, solo continúa con la hoja de actividades. (b) Mueve el cursor hacia arriba para llegar a la barra de título de la lista y oprime 2ND DEL para
introducir una columna vacía y sin nombre a la lista. (Notarás que el cursor es una A que parpadea al final de la pantalla indicando que el ALPHA-LOCK está activado y la lista está lista para recibir un título.) (c) Escribe IRS I Z y oprime ENTER para nombrar la lista; luego usa el botón de para mover el cursor de vuelta al título de lista L1 y repite el proceso desde el paso (b) para introducir una lista vacía con el nombre de I RPRC. (d) Usa los botones de cursor para moverte hacia abajo en la lista como tal y añadir los datos que
aparecen en la tabla para obtener
.
1271
Unidad 11.7: Geometría y ecuaciones paramétricas Matemáticas Ejemplo para plan de lección - Regresión lineal en la TI-83 2. Para trazar estos datos:
(a) Oprime 2ND Y= para obtener la siguiente pantalla
.
(b) Oprime 1 o ENTER para abrir la pantalla de Plot 1, (c) Enciende la gráfica (“plot”) oprimiendo el botón de ENTER. (d) Con la flecha de bajar ve hasta Type y usa
dipersión,
para seleccionar el icono del diagrama de
al sombrearlo con el cursor parpadeante y oprimir ENTER.
(e) Muévete hacia abajo en la línea X I i s t. Nuestra X l i s t es IRSIZ y podemos escribir el nombre aquí, u oprimir 2ND STAT para obtener el menú LIST NAMES. Selecciona IRSIZ en este menú, oprime ENTER y regresarás a la pantalla de PLOT 1 y se copiará el nombre de la gráfica. (f) Desplázate hasta la línea Y l i s t, y repite el proceso de copiar (o sea, 2ND STAT para obtener los nombres de listas) para fijar IRPRC como la Y l i st. La pantalla ahora debe verse así:
. 3. Para trazar la gráfica de los datos:
(a) Oprime ZOOM seguido de 9: Zoomstat para ver los puntos trazados . Como puedes ver, estos puntos son bastante colineales, y lo que nos interesa es la línea recta que esté más “cerca” de los puntos. Esta línea se llama línea de mejor ajuste. (b) Para hallar esta línea usaremos una calculadora para hacer una regresión lineal de los datos. Oprime STAT para obtener el menú Statistics Calc y oprimir 4: LinReg(ax+b). Con esto se copia (“paste”) el comando LinReg en la pantalla inicial donde entonces necesitarás copiar los 1272
Unidad 11.7: Geometría y ecuaciones paramétricas Matemáticas Ejemplo para plan de lección - Regresión lineal en la TI-83 nombres de las listas (o sea, oprime 2ND STAT para obtener la pantalla de LIST NAMES) IRSIZ y IRPRC separadas por una coma. La coma queda justo encima del 7 en el teclado. El comando se
verá entonces así:
.
(c) Oprime ENTER para calcular los coeficientes de regresión. Los resultados se verán de la siguiente
forma:
.
(d) Para visualizar los valores de r y r2 podemos fijar el DiagnosticOn usando la función de CATALOG. Oprime 2ND 0 para ir a CATALOG y oprime x-1 para moverte a la sección D. Baja hasta
y oprime ENTER para copiar el comando en la pantalla inicial y oprime ENTER de nuevo para activar el diagnóstico. (e) Oprime 2ND ENTER dos veces para revisualizar el comando LinReg y oprime ENTER para rehacer la regresión. Los valores altos (cerca de 1) de r y r2 indican un buen ajuste de los datos al modelo lineal, por lo que es el momento adecuado para trazar la gráfica del modelo y los datos en los mismos ejes. (f) Para esto necesitamos copiar (automáticamente) la ecuación de regresión en la pantalla Y= según se computa. Esto se hace añadiendo un tercer parámetro al comando Linreg. Oprime 2ND ENTER para revisualizar el comando y escribe una coma; a continuación, copia el paramétro Y1 oprimiendo VARS
para obtener el menú Y-VARS. Elige 1:Function y luego 1:Y1 para que la
pantalla inicial se vea así:
.
(g) Oprime ENTER para rehacer la regresión con diagnóstico y también copiar la ecuación de regresión en la lista de función. Oprime ZOOM 9: ZoomStat para ver los datos y la regresión lineal.
1273
Unidad 11.7: Geometría y ecuaciones paramétricas Matemáticas Ejemplo para plan de lección - Regresión lineal en la TI-83 4. Ejercicio Responde a las siguientes preguntas. Usa el botón TRACE y los botones de flechas para leer las coordenadas desde la línea y el conjunto de datos (es posible que tengas que ajustar los valores de WINDOW para X): 1
Un competidor vende un alto número de jarras de 150 g de café y la compañía Café Internacional está considerando la producción de este tamaño de paquete. Estima el costo de una jarra de café de 150 g de Café Internacional.
2
Estima el costo de una jarra de 250 g.
3
Estima el costo fijo de producir la jarra en que viene el café.
4
¿Cuánto esperarías pagar por una jarra de 1 kg de Café Internacional?
Fuente: http://education.ti.com/calculators/downloads/AUS-NZ/Activities/Detail?id=12045
1274
Unidad 11.8: Temas de probabilidad Matemáticas Actividad de aprendizaje - A descubrir el dominó
A descubrir el dominó Una ficha de dominó es un rectángulo formado por dos cuadrados congruentes. Cada cuadrado contiene un patrón ordenado de puntos que representan un número del cero al seis. Explora y desarrolla métodos y estrategias para resolver los siguientes problemas con dominós. Problema 1: ¿Cuántas fichas de dominó distintas pueden formarse con las limitaciones anteriores o descripción de una ficha? Haz una lista de las fichas.
Problema 2: Supón que cuatro personas van a jugar a un juego de dominó. Según el conjunto de reglas que se les dan, el primer paso será dividir el conjunto total de fichas en partes iguales entre los cuatro jugadores. ¿De cuántas formas distintas puede hacerse esta división de las fichas?
Problema 3: Una vez se han dividido las fichas entre los cuatro jugadores, el propósito del juego es turnearse para jugar el conjunto completo de fichas de un extremo al otro, formando una línea. La única restricción es que los extremos que se tocan tengan el mismo valor numérico. ¿De cuántas formas distintas se puede acomodar un conjunto de fichas dadas estas restricciones? (Pista: ¿Cuántos juegos diferentes puede haber?)
Fuente: http://www.colorado.edu/education/DMP/activities/counting/amsact07.html
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Unidad 11.8: Temas de probabilidad Matemáticas Actividad de aprendizaje - Millonario garantizado
Millonario garantizado Decides que te has cansado de jugar a la lotería porque nunca ganas nada. Te enteras de una compañía australiana que ha intentado comprar todos los boletos de lotería posibles para garantizar que ganarán. Como este parece un método infalible de convertirse en millonario garantizado, decides intentarlo. Primero, deberás determinar cuántos boletos hay. En la Revancha, las bolas están numeradas del 1 al 46 y hay que escoger seis números. a. Determina cuántos boletos posibles existen para la Revancha. b. Ahora, necesitas elaborar un plan para comprar todos esos boletos. Con tu grupo, desarrolla un método para lograrlo. Asegúrate de incluir todos los costos, número de personas que participan y el tiempo que se tomaría llevarlo a cabo y cualquier otra información que resulte crucial para el plan. Se te pedirá además que expliques y justifiques el método al resto de la clase. Supón que recibirás el pote entero en efectivo si ganas (aunque sabemos que es lo que sucede en realidad).
Una empresa de investigación de Ponce se entera de tu operación y quiere saber cuál es el pote menor para garantizarle al menos $1 a cada persona que participe en el plan. c. Determina el pote menor de tu plan. ¿Revisarías tu plan dada esta idea?
Fuente: http://www.colorado.edu/education/DMP/activities/counting/olcact04.html
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Unidad 11.8: Temas de probabilidad Matemáticas Ejemplo para plan de lección - Curva normal estándar con monedas
Curva normal estándar usando monedas Los estudiantes comprenderán la distribución normal y lograrán entender de dónde viene la regla empírica. Usando datos de muestra, harán inferencias informales sobre medias y estándares poblacionales, inclusive cuando la media de la muestra varíe de una muestra a la otra y la distribución de la media de la muestra tenga una variabilidad menor que la distribución poblacional. Pregunta(s) esencial(es): ¿Tienen una forma única los resultados de lanzar una moneda y contar las caras? Materiales: 10 monedas de un centavo por estudiante, papel cuadriculado, calculadora Guía de la lección: 1. Estrategia de activación: ¿Sería raro si lanzaras diez monedas y obtuvieses cinco caras? ¿Y seis caras? ¿En qué punto sería raro el número de caras? 2. Representaciones múltiples, incluidas actividades prácticas: La exploración: a. Reparte las monedas y tazas a cada estudiante para que cada uno tenga una taza y diez monedas. b. Los estudiantes entonces mezclan las diez monedas y las dejan caer sobre el escritorio. Contarán y anotarán el número de caras. Realiza este experimento quince veces, siempre anotando los resultados de cada intento. c. Cada estudiante elaborará una gráfica de frecuencia en que demuestre los resultados del experimento. Preguntas: d. ¿Piensas que alguien en la clase obtendrá un resultado de 0 caras? ¿O un resultado de 10 caras? Explica tu razonamiento. e. Predice cómo piensas que serán los resultados de la clase. Traza una gráfica con una línea de frecuencia que se parezca a los resultados de la clase. ¿Por qué piensas que los resultados de la clase se verán de esta forma? 3. Recopila los datos de la clase y organízalos en una gráfica de frecuencia. Nota para el maestro: Necesitarás unas 500 puntuaciones para obtener una curva normal. Verifica que el promedio esté cerca de 5; la desviación estándar será de aproximadamente 1.5 para obtener un buen modelo de curva normal. Recuerda que la regla empírica será 68 %-95 %-99.7 %. 4. Pídeles a los estudiantes que creen una gráfica de frecuencia de los datos. A continuación, calcularán el porcentaje de frecuencia de cada línea. Anota los porcentajes de cada línea. 5. ¿En qué áreas son altos los porcentajes? ¿En qué áreas son bajos? ¿Qué te hace pensarlo? 6. Muéstrale a la clase la regla empírica usando la gráfica que acaban de crear. 7. Conclusión: Supón que te han dado dos monedas y te han dicho que una de ellas tiene un poco más de peso de forma que cae de cara más de lo normal. Lanzas una de las monedas 50 veces y obtienes 29 caras y 21 cruces. ¿Con cuánta confianza decidirías que la moneda que te han dado es la que tiene más peso o no? Explica tu razonamiento 1277 Fuente: http://www.curriki.org/xwiki/bin/view/Coll_Group_GAMath/TheStandardnormalCurveusingcoins
Matemáticas Mapas Curriculares Pre Calculo
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Unidad PC.1: Funciones y gráficas Matemáticas 4 semanas Etapa 1 - Resultados esperados Resumen de la unidad En esta unidad, los estudiantes utilizarán polinomios, así como funciones racionales, algebraicas, exponenciales y logarítmicas para escribir ecuaciones y trazar gráficas. Hallarán funciones compuestas e inversas y analizarán funciones y gráficas. Meta de transferencia: Los estudiantes saldrán de la clase con la capacidad de usar su conocimiento sobre cómo escribir y analizar funciones y gráficas, incluidas las funciones compuestas e inversas, para hacer modelos, predecir y resolver situaciones reales.
Estándares de contenido y expectativas Precálculo 1.0 Utiliza funciones polinómicas, racionales y algebraicas para escribir funciones y trazar gráficas, para resolver problemas, para encontrar funciones compuestas e inversas y para analizar funciones y gráficas. • Reconoce y grafica varios tipos de funciones, incluyendo las funciones polinómicas, racionales, algebraicas y de valor absoluto. Usar métodos de lápiz y papel y calculadoras que grafiquen. • Encuentra el dominio, recorrido, intercepciones, ceros, asíntotas y puntos de discontinuidad de las funciones. • Modela y resuelve problemas usando funciones y ecuaciones. • Define, encuentra y comprueba funciones inversas. • Describe la simetría de la gráfica de una función. • Decide si las funciones son pares o impares. • Entiende las curvas definidas por un parámetro y trazar sus gráficas. • Compara las magnitudes relativas de las funciones y su índice de cambio. 2.0 Resuelve problemas usando las funciones logarítmicas y exponenciales. Traza y analiza las gráficas y utiliza las funciones inversas. • Resuelve problemas verbales que involucren aplicaciones de funciones logarítmicas y exponenciales. • Encuentra el dominio, rango, intercepciones y asíntotas de funciones logarítmicas y exponenciales. • Traza y analiza las gráficas de funciones logarítmicas y exponenciales. • Define, encuentra y comprueba las funciones inversas de las funciones logarítmicas y exponenciales.
Ideas grandes/Comprensión duradera:
Preguntas esenciales:
Los valores críticos de las funciones nos revelan cosas. No todas las funciones tienen una inversa. Las funciones exponenciales y logarítmicas son funciones inversas. El concepto de límite puede aplicarse al comportamiento de las funciones.
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¿Qué nos dicen los valores críticos? ¿Cómo ayudan las funciones inversas a resolver problemas? ¿Cómo pueden las gráficas y ecuaciones de las funciones y sus inversas ayudarnos a interpretar problemas del mundo real? ¿Cómo puede aplicarse el concepto de límites en las matemáticas? 1279
Unidad PC.1: Funciones y gráficas Matemáticas 4 semanas Contenido (Los estudiantes comprenderán...)
Destrezas (Los estudiantes podrán...)
Diferentes tipos de funciones, incluidos los polinomios, las funciones racionales, algebraicas y de valor absoluto La definición de funciones inversas El concepto de simetría de la gráfica de una función Funciones pares e impares Curvas definidas paramétricamente Las funciones inversas de las funciones logarítmicas y exponenciales El dominio, recorrido, intercepciones, ceros, asíntotas y puntos de discontinuidad de las funciones
Vocabulario de contenido
Características de las funciones (asíntotas, ceros, discontinuidad, dominio, funciones impares, funciones pares, intercepción, magnitudes relativas de las funciones, máximo relativo, mínimo relativo, razón de cambio, rango, simetría) Tipos de funciones (función algebraica, función de valor absoluto, función exponencial, función logarítmica, función paramétrica, funciones compuestas, funciones inversas, funciones polinómicas, funciones racionales) Para más información referirse al glosario matemático básico en las guías operacionales del DEPR.
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Utilizar funciones polinómicas, racionales y algebraicas para escribir funciones y trazar gráficas, resolver problemas, encontrar funciones compuestas e inversas y analizar funciones y gráficas. Reconocer y trazar la gráfica de varios tipos de funciones, incluyendo las funciones polinómicas, racionales, algebraicas y de valor absoluto. Usar métodos de lápiz y papel y calculadoras que grafiquen. Encontrar el dominio, recorrido, intercepciones, ceros, asíntotas y puntos de discontinuidad de las funciones. Modelar y resolver problemas usando funciones y ecuaciones. Definir, encontrar y comprobar funciones inversas. Describir la simetría de la gráfica de una función. Determinar si las funciones son pares o impares. Entender cómo definir curvas de forma paramétrica y trazar sus gráficas. Comparar las magnitudes relativas de las funciones y su índice de cambio. Resolver problemas usando las funciones logarítmicas y exponenciales. Trazar y analizar gráficas y utilizar las funciones inversas. Resolver problemas verbales que involucren aplicaciones de funciones logarítmicas y exponenciales. Encontrar el dominio, rango, intercepciones y asíntotas de las funciones logarítmicas y exponenciales. Trazar y analizar las gráficas de funciones logarítmicas y exponenciales. Definir, encontrar y evidenciar las funciones inversas de las funciones logarítmicas y exponenciales.
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Unidad PC.1: Funciones y gráficas Matemáticas 4 semanas Etapa 2 – Evidencia de avalúo Tareas de desempeño 239
Juego de billar Los estudiantes demostrarán su comprensión de las funciones al escribir y analizar funciones que sirven de modelo para la trayectoria de una bola en una mesa de billar. Tarea: Estás jugando billar en una mesa de tamaño estándar de 92" por 46". En este juego, se acumulan puntos al hacer que la bola toque tantos lados de la mesa como sea posible antes de entrar en el hoyo. La bola se encuentra actualmente a 6 pulgadas hacia abajo y 8 pulgadas hacia la derecha del hoyo superior izquierdo. Anuncias que la vas a meter en el hoyo inferior derecho. Escribe funciones para determinar la trayectoria de la bola si: a) b) c) d)
la metes sin tocar ningún lado; la metes tras tocar exactamente un lado; la metes tras tocar exactamente dos lados, y la metes tras tocar múltiples lados.
Por cada función, determina en términos algebraicos la simetría y si la función es par, impar o ninguna. Evalúa el trabajo de los estudiantes en la rúbrica de evaluación (ver anejo: Organizador - Rúbrica de tarea de desempeño). Controlador de la calidad del aire240 Los estudiantes demostrarán su comprensión de las representaciones algebraicas, numéricas y gráficas de las funciones y sus inversas al hacer modelos del comportamiento real por medio del análisis de los requisitos de calidad del aire en la Escuela Superior de San Juan. Los estudiantes
Otra evidencia Ejemplos de preguntas de examen/quiz 1. Traza la gráfica de cada una de las siguientes. Por cada función, determina la función original (ya sea f(x) = x o g(x) = x ) y explica cuáles transformaciones se han aplicado a la función original; determina el dominio, recorrido e intercepción en y.242 a. h(x) = b. j(x) = −( ) - 2 c. k(x) = x 2 2. El precio al por mayor de una caja de 25 CD es $15 (margen de ganancia) más 25 veces el costo de manufactura por disco, representado por x.243 a. Escribe una función W(x) que dé el precio al por mayor de una caja de 25 CD en términos del costo de manufactura por disco. b. El comerciante obtiene un 20 % por cada caja de 25 CD que venda. Escribe una función R(y) que permita obtener el costo retenido de una caja de CD si y representa el precio de mayoreo de una caja de CD. c. Escribe una función C(x) que provea el costo para el cliente de una caja de 25 CD si x representa el costo de manufactura de cada CD. d. ¿Cuánto te costará comprar una caja de 25 CD si el costo de manufactura por disco es de $0.55? 3. Expresa cada ecuación logarítmica como una ecuación exponencial y resuélvela.244 1 a. log2( ) = x 32 b. log3 (x2 + x + 3) =2
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Fuente: http://www.spokaneschools.org/cms/lib/WA01000970/Centricity/Domain/391/Precal_PT_Unit_1.doc Fuente: http://www.waterfordschools.org/cms/lib4/CT01001345/Centricity/Domain/8/Math9-12/PreCalculus.htm 242 Fuente: http://www.apskids.org/Documents/Math%20II%20Unit%205%20TE%20APS%20Supplement_v1.pdf 243 Ibídem. 244 Fuente: http://www.apskids.org/Documents/CCGPS_Math_III_Unit_3_TEACHER_edition_Sept_2010v2.pdf 240
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Unidad PC.1: Funciones y gráficas Matemáticas 4 semanas elaborarán un informe para el Departamento de Educación de Puerto Rico sobre el estado de la calidad del aire para los estudiantes de la Escuela Superior de San Juan. Tarea: Como controlador de la calidad del aire, deberás analizar el sistema de ventilación de la Escuela Superior de San Juan. Tu análisis servirá para determinar la tasa de ventilación mínima requerida en función del espacio de aire por estudiante en un salón de clases de una escuela pública. El sistema de acondicionador de aire en el salón tiene la capacidad de mover 450 pies cúbicos de aire por minuto. La tasa de ventilación mínima requerida en función del espacio de aire por estudiante en un salón de una escuela pública puede basarse en la siguiente función como modelo: f(x) = 80.4 – 11 ln x, 100x 1500 En este modelo, x es el espacio de aire por estudiante en pies cúbicos y f(x) es la tasa de ventilación en pies cúbicos por minuto. Responde a las siguientes preguntas del informe a ser presentado al Departamento de Educación de Puerto Rico. 1. Traza la gráfica de la función y la tasa de ventilación requerida si hay 300 pies cúbicos de espacio de aire por estudiante. 2. Un salón de clases está diseñado para 30 estudiantes. El sistema de acondicionador de aire en el salón tiene la capacidad de mover 450 pies cúbicos de aire por minuto. a. Determina la tasa de ventilación por estudiante, asumiendo que el salón está lleno a capacidad. b. Utiliza la gráfica en el no. 1 para estimar el espacio de aire por estudiante. c. Determina el número mínimo de pies cuadrados de de suelo requerido para el
c. logx5 = 1 3 3 d. logx8 = 4 4. Evalúa cada una de las siguientes sin usar la calculadora.245 a. log 10000 b. log 0.01 c. log 10 d. log 1 e. log 107 5. Traza la gráfica de cada función para determinar si cada función puede tener simetría con respecto al eje de y, al eje de x y al origen. Verifica tu conclusión con álgebra. Determina usando álgebra si la función dada es impar, par o ninguna.246 a. y = x4 - 9x2 b. h(x) = 4x3 - 6 c. y=(x2 - 4)/x Diario 1. El costo de instalar una alfombra es de $75 por la entrega y $14 por pie cuadrado.247 a. Escribe una función f(x) que permita obtener el costo de instalar x pies cuadrados de alfombra. b. Halla f-1(x). ¿Qué obtienes con f-1(x)? c. Verifica que las funciones que escribas en las partes a y b sean inversas. 2. La propagación de un rumor o de una enfermedad puede a menudo modelarse usando una función exponencial. Ana va a abrir su propia heladería. Decide hacer correr la voz sobre la tienda avisándole a dos personas diariamente y pidiéndole a cada una que también le cuente a dos personas por día.248 a. Sea x el número del día y sea y el número de personas que saben de la apertura de
245
Fuente: http://www.apskids.org/Documents/Math%20II%20Unit%205%20TE%20APS%20Supplement_v1.pdf Fuente: http://www.abac.edu/gclement/MATH1111/Resources/Symmetry.pdf 247 Fuente: http://www.apskids.org/Documents/Math%20II%20Unit%205%20TE%20APS%20Supplement_v1.pdf 248 Ibídem. 246
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Unidad PC.1: Funciones y gráficas Matemáticas 4 semanas salón si la altura del suelo al techo es de 30 pies. Evalúa el trabajo de los estudiantes en la rúbrica de evaluación (véase documento adjunto: Organizador - Rúbrica de tarea de desempeño).
la tienda el día x. Toma el día antes de que Ana le avise a otros como el día 0, de forma tal que Ana sea la única persona que sabe de la apertura ese día 0. El día 1 es el primer día que Ana le avisa a alguien más de la apertura. b. Completa la siguiente tabla:
Análisis sísmico241 Los estudiantes utilizarán funciones exponenciales Día 0 1 2 3 4 5 y logarítmicas para hacer modelos de eventos Número de personas 1 3 que saben sísmicos reales. Crearán un afiche de su análisis del terremoto para compartir sus hallazgos con la c. Traza la gráfica de los puntos a partir de la clase. tabla de la parte a. Tarea: d. Escribe una ecuación que describa la La escala de magnitud Richter asigna un número a relación entre x (día) y y (número de cada nivel para cuantificar la energía sísmica que personas que saben) para el escenario de se libera en un terremoto. Por cada incremento la propagación de la noticia sobre la de un punto en la escala Richter, el tamaño apertura de la heladería de Ana. ¿Cuáles relativo o amplitud del temblor de un terremoto son los valores de a y b en este caso? aumenta por un factor de 10. 3. ¿Cuánto tiempo se tomará en que por lo 1. Completa la siguiente tabla que muestra la menos 500 personas sepan de la apertura si el correspondencia del tamaño relativo y rumor se propaga a esta velocidad? número en la escala de Richter. 4. El volumen de un fármaco en el torrente sanguíneo de un paciente alcanza su punto Número en la Tamaño máximo de 500 mg para luego reducirse en un escala Richter relativo 30 % cada cinco horas.249 1 10 a. Escribe una función de la cantidad del 2 medicamento restante en el torrente 3 sanguíneo a t horas de alcanzar el nivel … … máximo. 6 b. ¿Cuánto tiempo tras alcanzar el punto a. Escribe una ecuación logarítmica para la máximo se tomará para que se reduzca a relación entre el número Richter y el 200 mg? tamaño relativo de un terremoto. (Sea el Boletos de entrada/salida tamaño relativo, s, tu variable 1. Sea f(x) = 3x +5 y g(x) = x-4. 250 independiente y el número en la escala a. Halla f(g(x)). Richter, r, la variable dependiente.) ¿Cuál b. Halla (g f)(x). es el nombre de este tipo especial de 2. Para cada una de las funciones a logaritmo? continuación:251 b. Usando la ecuación que escribiste en la • describe la gráfica de la función como la parte a, halla el tamaño relativo de un 241
Fuente: http://www.apskids.org/Documents/CCGPS_Math_III_Unit_3_TEACHER_edition_Sept_2010v2.pdf Source: http://www.apskids.org/Documents/CCGPS_Math_III_Unit_3_TEACHER_edition_Sept_2010v2.pdf 250 Fuente: http://www.apskids.org/Documents/Math%20II%20Unit%205%20TE%20APS%20Supplement_v1.pdf 251 Ibídem. 249
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Unidad PC.1: Funciones y gráficas Matemáticas 4 semanas terremoto que mida 8 en la escala Richter. Halla el tamaño relativo de un terremoto que mida 2. Compara las magnitudes de ambos terremotos. c. En el 2002, ocurrió un terremoto de magnitud 7.9 en el Parque Nacional Denali de Alaska, uno de los mayores terremotos de los EE. UU. ¿Cuál fue el tamaño relativo del terremoto? d. El 29 de abril de 2003, un terremoto en Fort Payne, en Alabama, se sintió entre unos cuantos residentes del norte de Georgia. La magnitud fue de 4.6. ¿Cómo se compara el tamaño relativo del terremoto de Alabama con el tamaño relativo del terremoto de Denali? 2. En vez de discutir el tamaño relativo, a menudo preferimos discutir la cantidad de energía sísmica liberada por un terremoto. Una fórmula que relaciona el número en la escala Richter con la energía de un terremoto es r = 0.067 log E - 7.6, donde r es el número en la escala Richter y E es la energía en ergs. a. Describe cómo la fórmula de r transforma la gráfica de f(x) = log x. b. Determina el dominio, recorrido, intercepciones y asíntotas de la gráfica de r = 0.067 log E - 7.6. Traza la gráfica. c. ¿Cuál es el número Richter de un terremoto que libera 3.9 x 1015 ergs de energía? (Presta mucha atención al introducir esto en la calculadora.) d. ¿Cuánta energía se liberó en el terremoto de 2002 de Denali? ¿Y en el de 2003 de Alabama?
transformación de una gráfica en la forma f(x) = bx; • traza la gráfica de la función, e • indica el dominio, recorrido, intercepciones, ecuación de la asíntota, intervalos de incremento, intervalos de decrecimiento, y describe el comportamiento final. a. g(x) = 2 3x b. h(x) = 2-x c. k(x) = - 2x+1 3. En tus propias palabras, describe la relación entre la magnitud relativa de una función y su razón de cambio. 4. ¿Cuál de las siguientes es el conjunto más apropiado de ecuaciones paramétricas para describir la curva a continuación? (Asegúrate de fijarte en la dirección del movimiento.)252
a. b. c. d.
x = 2sent, y = 1+2cost x = 1+ 2sent, y = 2cost x = 1 + 2cost, y = 2sent x = 2cost, y = 1+2sent
Evalúa el trabajo de los estudiantes en la rúbrica de evaluación (ver anejo: Organizador - Rúbrica de tarea de desempeño).
252
Fuente: http://www.maths.usyd.edu.au/u/UG/JM/MATH1111/Quizzes/quiz20.html
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Unidad PC.1: Funciones y gráficas Matemáticas 4 semanas Etapa 3 – Plan de aprendizaje Actividades de aprendizaje
Clasificación de tarjetas para reconocer funciones: Crea un conjunto de tarjetas con ecuaciones y gráficas que los estudiantes tendrán que parear y clasificar en categorías de funciones: polinómicas, algebraicas, racionales, de valor absoluto, definidas a trozos, exponenciales y logarítmicas. Usando las tarjetas provistas y el conocimiento que ya tienen los estudiantes, pídeles que saquen conclusiones sobre las características de cada tipo de categoría de función (características: dominio, recorrido, intercepciones, ceros, asíntotas, puntos de discontinuidad, simetría). Junto con toda la clase, creen un organizador gráfico que resuma las características de los tipos de funciones. Las funciones racionales y sus gráficas253: Delega gradualmente la responsabilidad a los estudiantes usando el modelo “Yo lo hago, nosotros lo hacemos, tú lo haces” para la parte 1. Utiliza los ejemplos y como modelos de expectativas para la parte de "Yo hago". En esta actividad de aprendizaje, los estudiantes hallarán el dominio, los ceros, las asíntotas y las intercepciones de las funciones racionales. En la parte 2, describirán la simetría de la función y explorarán qué tendría que ocurrir para que las funciones tengan discontinuidades. (ver anejo: PC.1 Actividad de aprendizaje - Las funciones racionales y sus gráficas). Pasos para hallar la inversa de una función: Una vez aprendan sobre las funciones y sus inversas, los estudiantes resumirán cómo se definen, calculan e identifican con pruebas los pares inversos de las funciones. En parejas, haz que los estudiantes hagan una lluvia de ideas de cómo hallar la inversa de una función. Las parejas compartirán sus ideas iniciales con otra pareja de estudiantes y combinarán sus pasos. Junto con toda la clase, establezcan pasos que los estudiantes puedan seguir para hallar la inversa de una función. Luego, usando lo que saben de cómo hallar funciones inversas, desarrolla junto con toda la clase cómo identificar funciones si son la inversa una de la otra en una hoja de anotaciones. El maestro debe tener un ejemplo listo para que los estudiantes lo prueben. Comparación de las funciones exponenciales y logarítmicas: Concentrándose en el hecho de que la inversa de las funciones exponenciales es una función logarítmica, los estudiantes crearán organizadores gráficos plegables. Deberán comparar las características de cada tipo de función: dominio, recorrido, intercepciones, asíntotas. Pídeles a los estudiantes que doblen una hoja de papel en dos de modo que el extremo superior quede sobre el extremo inferior. Recorta el doblez frontal por la mitad, escribe "gráfica de función exponencial" en un lado y "gráfica de función logarítmica" en el otro. Debajo de cada doblez, ilustra la función con un ejemplo y enumera las características principales. Reflexiones exponenciales254: En esta actividad, los estudiantes reflejarán un punto de la función exponencial sobre la línea y = x y hallarán el lugar geométrico de la reflexión, que es la función logarítmica natural (ver anejo: PC.1 Actividad de aprendizaje - Reflexiones exponenciales). Ecuaciones paramétricas: Conjunto de notas sobre investigaciones de las elipses255: Cubre con
253
Fuente: http://doe.louisiana.gov/topics/comprehensive_curriculum.html “Advanced Math Pre Calculus” “02 AM_PreCalc_BLMs.pdf” 254 Fuente: http://education.ti.com/calculators/downloads/US/Activities/Detail?id=12276&ref=%2fcalculators%2fdownloads%2fUS %2fActivities%2fSearch%2fSubject%3fs%3d5022%26sa%3d1010%26t%3d1170
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Unidad PC.1: Funciones y gráficas Matemáticas 4 semanas líquido corrector las instrucciones para el maestro que están entre paréntesis, así como cualquier otra información que quieras que los estudiantes copien mientras les presentas un conjunto de notas de guía para introducir las elipses como ecuaciones paramétricas. Provéeles problemas de práctica adicionales. Para notas, dirigirse a: http://jwilson.coe.uga.edu/EMAT6680Fa07/Morgan/mlmass10/assingment10.html.
Ejemplos para planes de la lección
Las funciones y sus inversas256: Los estudiantes explorarán las inversas de funciones por medio del uso de la composición para verificar que las funciones sean inversas unas de las otras. Los estudiantes escribirán funciones que sirvan de modelo de situaciones reales y hallarán la composición de dos o más funciones (ver anejo: PC.1 Ejemplo para plan de lección - Las funciones y sus inversas). Funciones exponenciales y sus inversas257: Los estudiantes definen funciones logarítmicas como inversas de funciones exponenciales. Los estudiantes investigan y explican las características de funciones exponenciales y logarítmicas, incluido el dominio y el recorrido, las asíntotas, los ceros, las intercepciones, los intervalos de crecimiento y decrecimiento, así como la razón de cambio. Solo las funciones uno a uno tienen inversas que también son funciones. Para más información, dirigirse a la página 44: http://www.apskids.org/Documents/CCGPS_Math_III_Unit_3_TEACHER_edition_Sept_2010v2.pdf. Cómo trabajar con funciones exponenciales y logarítmicas258: Los estudiantes exploran funciones exponenciales y logarítmicas en términos de reflexiones, dominios, inversas, y determinan si las funciones son pares, impares o ninguna. Primero, dirige a la clase con la siguiente introducción: comenzando por la gráfica de y = 2x, dales a los estudiantes la ecuación y = 2x−1. Pregúntales cómo se diferenciarían las gráficas; trázalas para que las vean. Pídeles que provean la ecuación necesaria 2
para reflejar y = 2x−1 por el eje de x. Dada la función h(x) e x y h(x) = f(g(x)), identifica f(x) y g(x). Identifica los dominios y recorridos de cada una de las tres funciones. A continuación, clasifica la 2
función compuesta h(x) e x como par, impar o ninguna. Esta introducción guiará a los estudiantes en una exploración más profunda en el anejo (ver anejo: PC.1 Ejemplo para plan de lección - Cómo trabajar con funciones exponenciales y logarítmicas). Logaritmos comunes259: Los estudiantes entenderán la relación inversa entre los exponentes y los logaritmos y usarán esta relación para resolver problemas que impliquen logaritmos y exponentes. Los estudiantes resolverán ecuaciones logarítmicas de forma analítica, gráfica y usando las herramientas tecnológicas adecuadas. Para más información, dirigirse a las páginas 50 a la 57 de: http://www.apskids.org/Documents/CCGPS_Math_III_Unit_3_TEACHER_edition_Sept_2010v2.pdf.
255
Fuente: http://jwilson.coe.uga.edu/EMAT6680Fa07/Morgan/mlmass10/assingment10.html Fuente: http://www.apskids.org/Documents/Math%20II%20Unit%205%20TE%20APS%20Supplement_v1.pdf 257 Fuente: http://www.apskids.org/Documents/CCGPS_Math_III_Unit_3_TEACHER_edition_Sept_2010v2.pdf 258 Fuente: http://doe.louisiana.gov/topics/comprehensive_curriculum.html “Advanced Math Pre Calculus” “09 AM_PreCalc_U3_BLM.doc” 259 Fuente: http://www.apskids.org/Documents/CCGPS_Math_III_Unit_3_TEACHER_edition_Sept_2010v2.pdf 256
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Unidad PC.1: Funciones y gráficas Matemáticas 4 semanas Recursos adicionales
http://www.rfbarrow.btinternet.co.uk/htmasa2/Param1.htm http://profjserrano.wordpress.com/ http://education.ti.com/downloads/guidebooks/graphing/84p/TI84Plus_guidebook_ES.pdf http://isa.umh.es/calc/TI/TI83/TI83manual-spa.pdf Matemáticas Integradas I, II, III de Houghton-Mifflin
Conexiones a la literatura Nota: Aunque los siguientes libros están dirigidos a estudiantes de la escuela primaria, éstos apuntan a los principios fundamentales de matemáticas los cuales se pueden explorar en todos los niveles. Todo el mundo disfruta de que alguien le lea y los estudiantes de la escuela secundaria no son la excepción. Estos libros son una excelente introducción a las unidades de estudio. Más allá de la coincidencia de Martin Plimmer El matemático del rey de Juan Carlos Arce La música de los números primos: El enigma de un problema matemático abierto de Marcus Du Sautoy Trigonometric Delights de Eli Maor Women and Numbers de Teri Perl The Joy of Mathematics de Theoni Pappas
Junio 2012 Adaptado de Understanding by Design de Grant Wiggins y Jay McTighe
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Unidad PC.2: Aplicación de las funciones trigonométricas Matemáticas 5 semanas Etapa 1 - Resultados esperados Resumen de la unidad En esta unidad, los estudiantes explorarán las funciones trigonométricas usando el círculo unitario y aplicarán las funciones trigonométricas para resolver problemas. Además de evaluar funciones trigonométricas e inversas, los estudiantes trazarán las gráficas de estas a la vez que identifican características claves. Meta de transferencia: Los estudiantes saldrán de la clase con la capacidad de usar su conocimiento sobre las funciones trigonométricas usando el círculo unitario para extender la aplicación de la trigonometría a un sinnúmero de fenómenos físicos que implican la rotación y la vibración, las ondas de sonido, las ondas de luz y las órbitas planetarias.
Estándares de contenido y expectativas Precálculo 3.0 Define las funciones trigonométricas usando los triángulos rectángulos. • Resuelve problemas que involucran triángulos rectángulos y oblicuos. • Resuelve problemas y aplicarán las leyes de senos y cosenos. • Aplica las leyes de senos y cosenos para la resolución de problemas. • Encuentra el área de un triángulo conociendo dos lados y el ángulo comprendido entre ellos. 4.0 Define las funciones trigonométricas usando el círculo unitario y usarán grados y radianes. • Define seno y coseno usando el círculo unitario. • Convierte medidas de grados a radianes. • Memoriza los valores exactos del seno, coseno y tangente de 0, π/2, π/3, π/4, π/6, y múltiplos de π. Usa esos valores para encontrar otros valores trigonométricos. • Resuelve problemas que involucren aplicaciones de funciones trigonométricas. • Define y grafica las funciones trigonométricas (seno, coseno, tangente, cotangente, secante y cosecante). • Encuentra el dominio, el recorrido, los interceptos, el periodo, la amplitud y las asíntotas de las funciones trigonométricas. • Define y grafica las funciones trigonométricas inversas. • Encuentra los valores de las funciones trigonométricas y de las funciones trigonométricas inversas. • Reconoce que la tangente del ángulo que una línea forma con el eje x es igual a la pendiente de esa línea. • Establece relaciones entre las proporciones de los triángulos rectángulos, las funciones trigonométricas y las funciones circulares.
Ideas grandes/Comprensión duradera:
Preguntas esenciales:
Las funciones trigonométricas resuelven problemas de triángulos rectángulos y oblicuos. El círculo unitario define las funciones trigonométricas.
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¿Cómo se utilizan las funciones trigonométricas para resolver problemas con triángulos? ¿Cómo se relacionan las funciones circulares con las funciones trigonométricas? 1288
Unidad PC.2: Aplicación de las funciones trigonométricas Matemáticas 5 semanas
Las funciones trigonométricas tienen valores críticos. Las funciones trigonométricas específicas tienen valores predecibles no definidos. Las funciones inversas son esenciales en la resolución de problemas.
¿Qué comunican los valores críticos de las funciones trigonométricas? ¿Por qué ciertos valores son indefinidos en el caso de ciertas funciones? ¿Cómo puedes comparar las gráficas de funciones de seno, coseno y tangente y sus inversas?
Contenido (Los estudiantes comprenderán...)
Destrezas (Los estudiantes podrán...)
Leyes del seno Leyes del coseno La definición de las funciones trigonométricas usando triángulos rectángulos y el círculo unitario (en grados y radianes) La definición de seno y coseno usando el círculo unitario Los valores exactos de seno, coseno y tangente de 0, π/2, π/3, π/4, π/6, y los múltiplos de π La definición de funciones trigonométricas (seno, coseno, tangente, cotangente, secante y cosecante) y sus gráficas La definición de las funciones trigonométricas y sus gráficas La tangente del ángulo que una línea forma con el eje x equivale a la pendiente de esa línea El dominio, recorrido, interceptos, periodo, amplitud y asíntotas de las funciones trigonométricas
Vocabulario de contenido
Precálculo (ángulo coterminal, ángulo de referencia, círculo unitario, cosecante, coseno, cotangente, funciones circulares, grado, inversa, radianes, secante, tangente, triángulo oblicuo, triángulo rectángulo) Gráficas (amplitud, asíntota, dominio, intercepto, periodo, recorrido) Para más información referirse al glosario matemático básico en las guías operacionales del DEPR. Junio 2012
Resolver problemas que involucren triángulos rectángulos y oblicuos. Resolver problemas y aplicar las leyes de seno y coseno. Aplicar las leyes de seno y coseno para resolver problemas. Encontrar el área de un triángulo con dos lados y el ángulo comprendido entre ellos. Convertir medidas de grados a radianes. Memorizar los valores exactos del seno, coseno y tangente de 0, π/2, π/3, π/4, π/6, y múltiplos de π. Usar esos valores para encontrar otros valores trigonométricos. Resolver problemas que involucren aplicaciones de funciones trigonométricas. Definir y trazar la gráfica de las funciones trigonométricas (seno, coseno, tangente, cotangente, secante y cosecante). Encontrar el dominio, recorrido, interceptos, periodo, amplitud y asíntotas de las funciones trigonométricas. Definir y trazar la gráfica de funciones trigonométricas inversas. Encontrar los valores de las funciones trigonométricas y de las funciones trigonométricas inversas. Establecer relaciones entre las proporciones de los triángulos rectángulos, las funciones trigonométricas y las funciones circulares.
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Unidad PC.2: Aplicación de las funciones trigonométricas Matemáticas 5 semanas Etapa 2 – Evidencia de avalúo Tareas de desempeño
Otra evidencia 260
No exactamente un triángulo Ejemplos para preguntas de examen/quiz Los estudiantes demostrarán su comprensión de Estás visitando a tu primo, Luis, en Nueva las leyes de seno y coseno y de cómo hallar el área York. Luis está planificando construirle un de un triángulo por medio de esta tarea de techo nuevo a su garaje. Decide inclinar los desempeño. lados del tejado a un ángulo de 28°; el Tarea: diámetro del garaje es de 30 pies. Halla la Todos sabemos que si nos dan LAL o ALA, longitud de los lados del techo a la décima de contamos con suficiente información para pie más próxima.263 determinar exactamente un triángulo único. Con LLL no resulta tan sencillo y LLA es aún más difícil. 1. Documenta, con ejemplos y diagramas claros, por qué ciertos casos de LLL no determinan un triángulo, así como la variedad de posibilidades que nos permite LLA. Asume que tu audiencia son estudiantes de geometría con algo de conocimiento sobre los triángulos, En el diagrama a continuación, el círculo pero con poca familiaridad con este asunto en unitario O tiene los radios OB, OE , y OF , CB particular. es tangente con el círculo O en B y ED es 2. A continuación, por cada escenario, describe tangente con el círculo O en E. Los puntos O, el mejor proceso para calcular el área del F, D, y C son colineales, y FA OB . triángulo. 3. Explica el razonamiento que utilizaste para llegar a tu decisión del mejor proceso y cómo aplicarlo. Evalúa el trabajo de los estudiantes en la rúbrica de puntuación (ver anejo: Organizador - Rúbrica de tarea de desempeño). Evaluación del trabajo de los estudiantes261 Los estudiantes demostrarán su conocimiento de las leyes de seno y coseno al evaluar el trabajo de otros estudiantes. Analizarán el trabajo de otros estudiantes para determinar quién sacó la
260
Fuente: www.curriculumframer.com Fuente: http://www.amaps.org/leftfiles/Syllabi/Algebra%202%20Sample%20Tasks.pdf 263 Fuente: http://www.amaps.org/leftfiles/Syllabi/Algebra%202%20Sample%20Tasks.pdf 261
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Unidad PC.2: Aplicación de las funciones trigonométricas Matemáticas 5 semanas respuesta correcta, y entregarán un informe. Tarea: Dos estudiantes de la clase de la Srta. Rivera trabajaron en el problema a continuación y obtuvieron soluciones distintas. ¿Quién obtuvo la respuesta correcta? Explica tu respuesta en detalle. Dado el triángulo PQR, halla el ángulo mayor al grado más cercano.
Si m COB, identifica el segmento de línea cuyas medidas sean cada una de las siguientes: 264 sen cos tan sec csc cot
Estudiante no. 1
sen (38) sen(R) = 36 27
36sen( R ) = 27sen(38˚) 27sen(38) m R =sen-1
36
m R =27.5 m Q =180-38-27.5 m Q =115˚ Estudiante no. 2
sen (38) sen(Q) = 36 53
36sen( Q ) = 53sen(38˚) 53sen(38) m Q = sen-1
36
m Q =65˚ Evalúa el trabajo de los estudiantes en la rúbrica de puntuación (ver anejo: Organizador - Rúbrica de tarea de desempeño). Investigaciones de gráficas trigonométricas Los estudiantes demostrarán su comprensión de las funciones trigonométricas usando el círculo unitario, grados y radianes. Tarea: Investiga las gráficas de funciones
Si la cot =
8 y el cos >0, halla el valor 15
exacto de sen .265 La pendiente de la línea que forma el ángulo PQ con el eje de x es 2.32. ¿Cuál es la medida de este ángulo?266 Resuelve para x: a. 2cosx + = 0, dado que 0 ≤ x ≥ 2π b. tanx = 0, dado que ≤ x ≥ c. 3cost – 1 = 0
Diarios 1. Escribe un problema verbal que ilustre que la tangente del ángulo que forma una línea con el eje de x equivale a la pendiente de esa línea. Sé creativo, pero asegúrate de usar lenguaje y terminología matemática adecuados a la hora de describir la situación
264
Ibídem. Ibídem. 266 Fuente: https://www.etap.org/demo/trig_lesson5/instruction3tutor.htm 265
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Unidad PC.2: Aplicación de las funciones trigonométricas Matemáticas 5 semanas trigonométricas y circulares originales. 1. Traza las gráficas de inicio del seno, coseno y tangente desde 0° hasta 720°. 2. Traza la gráfica de las mismas tres funciones en modo radián. 3. Relaciona los periodos de las gráficas con los grados y radianes. 4. Escribe una ecuación para un sinusoide dado:
262
Evalúa el trabajo de los estudiantes en la rúbrica de puntuación (ver anejo: Organizador - Rúbrica de tarea de desempeño).
del problema. Prepara también una solución completa del problema, incluido un diagrama correctamente rotulado y una explicación matemática completa de cómo resolverlo.267 2. La maestra de Anthony le ha dicho a la clase que un círculo unitario tiene una circunferencia de 2 π. Esto lo confundió, porque él pensaba que un círculo tenía 360˚. Escribe una explicación detallada en que compares los grados con los radianes. La explicación debe ser lo más detallada posible para ayudarle a Anthony a entender la conexión, incluidos los diagramas y las ecuaciones.268 3. Define y traza la gráfica de las funciones trigonométricas: seno, coseno, tangente, cotangente, secante y cosecante. 4. Traza la gráfica de y = sen x desde − 4π hasta 4π.269 A. ¿Pasa la gráfica la prueba de la línea vertical? B. Ahora refleja y = sen x por la línea y = x. C. ¿Es esto una función? ¿Por qué? D. Halla una sección de la gráfica de seno con el recorrido de −1 ≤ y ≤ 1 y que sea una función de uno a uno. E. Refleja únicamente la sección con el dominio restringido por la línea y = x. F. ¿Pasa la nueva imagen la prueba de la línea vertical? G. Determina el dominio y recorrido de la imagen. Boletos de entrada/salida 1. Un agrimensor mide los lados de una parcela triangular de pantano y rotula el diagrama. ¿Cuál es el ángulo mayor del triángulo al grado más próximo?270
262
Fuente de la gráfica: http://www.kendallhunt.com/uploadedFiles/Kendall_Hunt/Content/PreK12/Product_Samples/Precalculus_Teacher_Edition_Sample_Chapter.pdf 267 Fuente: http://www.amaps.org/leftfiles/Syllabi/Algebra%202%20Sample%20Tasks.pdf 268 Ibídem. 269 Ibídem. 270 Fuente: http://www.amaps.org/leftfiles/Syllabi/Algebra%202%20Sample%20Tasks.pdf
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Unidad PC.2: Aplicación de las funciones trigonométricas Matemáticas 5 semanas
2. Halla el valor exacto de cada uno de los siguientes en el caso del ángulo θ en posición estándar si el punto (4, -1) yace en su lado terminal271: sen cos tan sec csc 3. Traza la gráfica de y = tan x sobre el intervalo − 2π ≤ x ≤ 2π.272 A. Refleja la gráfica por el eje de y = x. B. ¿Cómo restringirías el dominio para convertir la imagen en una función? 4. Llena los blancos de la siguiente gráfica y proporciona valores numéricos exactos.273
(en radianes)
0
6
2
(en grados) sen cos tan
45˚
60˚
270
5. Halla el dominio, recorrido, intercepción, amplitud, periodo, cambio de fase y ubicación del eje sinusoidal. Traza cada gráfica a mano y ubica los puntos críticos. a. y = 5 + 4cos 2(θ - 10°) b. y = -15 + 20 sen ½ (θ +120°) 271
Fuente: http://www.amaps.org/leftfiles/Syllabi/Algebra%202%20Sample%20Tasks.pdf Fuente: http://www.amaps.org/leftfiles/Syllabi/Algebra%202%20Sample%20Tasks.pdf 273 Fuente: http://www.amaps.org/leftfiles/Syllabi/Algebra%202%20Sample%20Tasks.pdf 272
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Unidad PC.2: Aplicación de las funciones trigonométricas Matemáticas 5 semanas 6. Traza dos ciclos de la función de coseno original, y = cosθ. Usando el hecho de que sec θ = 1/(cosθ) traza la gráfica de y = sec θ.274 a. ¿Cómo puedes ubicar las asíntotas en la gráfica secante al mirar la gráfica de coseno? b. ¿Tiene puntos críticos la función de secante? Si los tiene, halla algunos de ellos. Si no, explica por qué no. c. ¿Tiene puntos de inflexión la función de secante? Si los tiene, halla algunos de ellos. Si no, explica por qué no. 7. Halla: a) Arc cos ( ), b) arctan1, c) Arc tan (-
).
Etapa 3 – Plan de aprendizaje Actividades de aprendizaje
Modelo Frayer: Creen modelos Frayer juntos como clase o pídeles a los estudiantes que creen el suyo propio para la tangente de un ángulo y la tangente inversa. Utiliza los modelos Frayer como herramienta para facilitar una discusión en clase sobre la tangente de un ángulo. Incluye algunos ejemplos de resolución de problemas, como la de la pregunta de examen/quiz No. 4 arriba. (ver anejo: Organizador gráfico — Modelo Frayer.) Leyes del seno y del coseno275: Los estudiantes resumen cómo hallar los lados y ángulos desconocidos en los triángulos no rectángulos. Comparan el seno y el coseno y cuándo se usa cada regla a la hora de hallar las longitudes de lados que faltan, así como las medidas de ángulos. (ver anejo: Actividad de aprendizaje - Leyes del seno y coseno.) Leyes trigonométricas usando mapas276: Los estudiantes utilizan mapas para determinar si hace falta usar leyes trigonométricas y cómo se usan. Presenta un mapa en la pizarra en un proyector, por ejemplo. El mapa deberá tener tres ubicaciones conectadas por tres líneas que NO formen un triángulo rectángulo. Pregúntales a los estudiantes cómo se determinan las distancias o los ángulos. Diles que mientras que las funciones trigonométricas normales no pueden usarse puesto que no hay ángulo rectángulo presente, hay leyes trigonométricas que pueden usarse, y escríbelas en la pizarra. Pregúntales: ¿de dónde salen estas leyes? Muéstrales cómo derivar la ley del seno. Los estudiantes intentarán derivar la ley de coseno con la ayuda del maestro. Pídele a un voluntario que muestre su progreso en la pizarra. Dales a los estudiantes una copia de un mapa local con preguntas que incluyan las leyes. Los estudiantes pueden trabajar juntos para resolver los distintos problemas. Antes de que se acabe la clase, los estudiantes deberán completar esta parte en la
274
Fuente: http://www.kendallhunt.com/uploadedFiles/Kendall_Hunt/Content/PreK12/Product_Samples/Precalculus_Teacher_Edition_Sample_Chapter.pdf 275 Fuente: http://www.wsfcs.k12.nc.us/Page/7246 276 Fuente: https://mcla.digication.com/5127/Lesson_Plan-_Law_of_Sine_and_Cosine
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Unidad PC.2: Aplicación de las funciones trigonométricas Matemáticas 5 semanas
pizarra. Provéeles problemas de práctica en que tengan que aplicar las leyes. Cómo calcular los valores de funciones trigonométricas de ángulos generales277: Los estudiantes hallan los valores de funciones trigonométricas de ángulos generales usando ángulos coterminales. Comienza definiendo las funciones trigonométricas de cualquier ángulo. Sea θ un ángulo en posición estándar con (x, y), un punto en el lado terminal de θ. La distancia desde el origen hasta este punto es r y r = √(x2 + y2) . a) sen =
y r
b) cos =
x r
y x
c) tan = , x 0
r x r f) sec , x 0 d) cot = , y 0 e) csc , y 0 x y y (ver anejo: PC.2 Actividad de aprendizaje - Cómo calcular los valores de funciones trigonométricas de ángulos generales.)
Ejemplos para planes de la lección
Sigue a la gráfica278: Los estudiantes investigan, analizan y discuten los efectos de los cambios de parámetro en una función trigonométrica usando una calculadora gráfica (ver anejo: Ejemplo para plan de lección - Sigue a la gráfica). Medida radián y los ángulos de rotación279: Se les instruirá a los estudiantes sobre cómo medir ángulos usando los radianes. Se les pedirá que contrasten los radianes con los grados que han estudiado previamente. Instrucciones: 1. Preguntas de discusión: ¿Qué significación tienen 360 grados? (Es una rotación completa.) 2. ¿Por qué 360 es un buen número para subdividir el círculo? ¿Por qué no usar 100? ¿O algún otro número? (Factoriza primos de 100 y de 360; discute el número de subdivisiones posibles sin usar grados fraccionales.) O pídeles a los estudiantes que consideren un sistema en que una rotación tenga 100 grados. ¿Cuál sería entonces la medida de sus ángulos rectos? ¿Cuáles serían las medidas de los ángulos en los triángulos importantes que tengan lados en la razón 11- 2 y 1-2- 3 ? 3. Introduce la medida radián; haz hincapié en que hace falta entender que se trata de una razón de la longitud de arco al radio. 4. Utiliza el círculo unitario para establecer la correspondencia de 360 grados y 2 radianes . 5. Refuerza la idea de los valores exactos (por ej., ( )/3) en vez de aproximaciones decimales (por ej., ( )/3) es aproximadamente igual a 1.047). 6. Introduce las convenciones de la posición estándar, los ángulos positivos versus negativos y la idea de ángulos coterminales. 7. Utiliza los ejemplos para hacer que los estudiantes practiquen a convertir de radianes a grados y viceversa. 8. Empieza una lista a la que la clase irá añadiendo durante el curso del semestre: Ventajas de las medidas en radianes. A veces los estudiantes se muestran reacios a cosas nuevas que les parecen redundantes. Asegúrales que verán las ventajas de este sistema durante el semestre y que es por esas ventajas que los matemáticos utilizan medidas en radianes en sus cálculos y
277
Fuente: http://www.doe.state.la.us/topics/comprehensive_curriculum.html Fuente: http://www.beaconlearningcenter.com/Lessons/1490.htm 279 Fuente: www.curriculumframer.com 278
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Unidad PC.2: Aplicación de las funciones trigonométricas Matemáticas 5 semanas
comunicaciones. Trigonometría del círculo280: En esta actividad, los estudiantes harán la conexión entre el círculo unitario y la trigonometría de triángulo rectángulo como introducción a los ángulos de referencia. Discute las preguntas de seguimiento de la actividad anterior para discutir los ángulos en el círculo unitario, los ángulos de referencia, las reglas de los signos de las funciones trigonométricas y los ángulos de referencia, y por qué no importa si se te olvidan esas reglas. Discutan el dominio y el recorrido y compárenlo con lo hallado sobre el dominio y el recorrido cuando restringimos nuestros ángulos a esos triángulos internos. Instrucciones: 1. Toma un triángulo trazado en el primer cuadrante y crea su imagen reflejada en cada uno de los otros cuadrantes. 2. Una vez rotules el punto fuera de un eje, considera las seis funciones trigonométricas de cada triángulo, después de darles instrucciones de tener la dirección en cuenta (lo cual hace que los valores negativos de las funciones trigonométricas sean posibles para estos triángulos de referencia). 3. Define cada función trigonométrica, resume las reglas generales de cuándo la función trigonométrica es negativa y positiva y formula una regla para cada cuadrante de cómo relacionar un ángulo de referencia con el ángulo en posición estándar que este representa. 4. Lleva a cabo una discusión sobre el dominio y recorrido de las funciones trigonométricas más allá de los valores que son posibles con la trigonométrica de triángulos rectángulos. 5. Discute las reglas generales de si los valores trigonométricos son positivos y negativos en cada cuadrante. Asegúrate de que los estudiantes no dependan únicamente de reglas memorizadas: deben poder usar las definiciones de las funciones y el conocimiento del sistema de coordenadas cartesianas en lugar de reglas (por ej., el seno se define como y/r, r siempre es positivo, por lo que el seno es negativo donde y sea negativo, en los cuadrantes 3 y 4). 6. Asegúrate de que los estudiantes se sientan cómodos con los ángulos coterminales y hallando los ángulos de referencia adecuados. 7. Asegúrate de que los estudiantes puedan usar triángulos de 30˚-60˚-90˚ y 45˚-45˚-90˚ para hallar valores trigonométricos en cada cuadrante. 8. Presta atención especial a cómo generar valores trigonométricos para los ángulos correspondientes a los ejes; esto les resultará difícil al principio a algunos estudiantes puesto que no hay ángulo de referencia que dibujar.
Recursos adicionales
280
http://www.beaconlearningcenter.com/Lessons/1700.htm http://mrlangemath.com/calculus/MasterMathMentorcalculusab/Unit%202%20Slope%20of%20Secant%20and%20Tangent%20Lines.pdf http://profjserrano.wordpress.com/ http://education.ti.com/downloads/guidebooks/graphing/84p/TI84Plus_guidebook_ES.pdf http://isa.umh.es/calc/TI/TI83/TI83manual-spa.pdf Matemáticas Integradas I, II, III de Houghton-Mifflin
Fuente: www.curriculumframer.com
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Unidad PC.2: Aplicación de las funciones trigonométricas Matemáticas 5 semanas Conexiones a la literatura Nota: Aunque los siguientes libros están dirigidos a estudiantes de la escuela primaria, éstos apuntan a los principios fundamentales de matemáticas los cuales se pueden explorar en todos los niveles. Todo el mundo disfruta de que alguien le lea y los estudiantes de la escuela secundaria no son la excepción. Estos libros son una excelente introducción a las unidades de estudio. Más allá de la coincidencia de Martin Plimmer El matemático del rey de Juan Carlos Arce La música de los números primos: El enigma de un problema matemático abierto de Marcus Du Sautoy Trigonometric Delights de Eli Maor Letters of a young Mathematician de Ian Stewart
Junio 2012 Adaptado de Understanding by Design de Grant Wiggins y Jay McTighe
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Unidad: PC.3 Coordenadas polares y números complejos Matemáticas 4 semanas Etapa 1 - Resultados esperados Resumen de la unidad En esta unidad, los estudiantes usarán las identidades trigonométricas para resolver ecuaciones y problemas de trigonometría. Explorarán las coordenadas polares y los números complejos y sus relaciones con las funciones trigonométricas. Relacionarán el plano de coordenadas polares con el plano cartesiano, aplicarán los números complejos a la forma trigonométrica y aplicarán el teorema de De Moivre. Meta de transferencia: Los estudiantes saldrán de la clase con la capacidad de usar su conocimiento sobre las identidades y relaciones trigonométricas y las relaciones entre las coordenadas polares, los números complejos y las funciones trigonométricas para resolver situaciones del mundo real y consolidar las bases para matemáticas de más alto nivel.
Estándares de contenido y expectativas Precálculo 5.0 Demostrarán identidades trigonométricas, resolverán ecuaciones trigonométricas y resolver problemas. • Conoce la identidad básica cos2(x) + sin2(x) = 1 y demostrar que es equivalente al Teorema de Pitágoras. • Usa las identidades trigonométricas básicas para demostrar otras identidades y simplificar sus expresiones. • Utiliza las fórmulas de adición para senos, cosenos y tangentes. • Utiliza las fórmulas del ángulo medio y del ángulo doble para senos, cosenos y tangentes. • Resuelve ecuaciones trigonométricas. • Resuelve problemas verbales que involucren aplicaciones de ecuaciones trigonométricas. 6.0 Define las coordenadas polares y los números complejos y comprende su relación con las funciones trigonométricas. • Define las coordenadas polares y relacionarlas con las coordenadas Cartesianas. • Representa ecuaciones de coordenadas rectangulares en términos de coordenadas polares. • Grafica ecuaciones en el plano coordenado polar. • Define los números complejos y convertirlos a la forma trigonométrica y multiplicarlos en la forma trigonométrica. Define, demuestra y aplica el Teorema de De Moivre.
Ideas grandes/Comprensión duradera:
Preguntas esenciales:
Las coordenadas polares se relacionan con las coordenadas rectangulares y cartesianas. En las identidades trigonométricas fundamentales, μ puede ser un ángulo, un número real o una variable. El teorema de De Moivre identifica las potencias y raíces de los números complejos.
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¿Cuál es la diferencia entre las coordenadas cartesianas y las polares? ¿Cuál es la ventaja de usar identidades trigonométricas? ¿Cuál es la ventaja de usar el teorema de De Moivre? ¿Cómo se relacionan las coordenadas polares 1298
Unidad: PC.3 Coordenadas polares y números complejos Matemáticas 4 semanas y los números complejos con las funciones trigonométricas?
Contenido (Los estudiantes comprenderán...)
Destrezas (Los estudiantes podrán...)
Identidades trigonométricas La identidad básica cos2(μ) + sen2(μ) = 1 y que es equivalente al teorema de Pitágoras Las fórmulas de suma de seno, coseno y tangente Las fórmulas de ángulo medio y ángulo doble para seno, coseno y tangente La definición de coordenadas polares y números complejos La relación entre coordenadas polares y funciones trigonométricas La relación entre números complejos y funciones trigonométricas La relación entre coordenadas polares y coordenadas Cartesianas Números complejos para la trigonometría Teorema de De Moivre
Vocabulario de contenido
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Trigonometría (fórmula de ángulo doble, fórmula de ángulo medio, identidades trigonométricas) Coordenadas polares (coordenadas cartesianas, coordenadas polares, coordenadas rectangulares, números complejos, planos de coordenadas, Teorema de De Moivre) Para más información referirse al glosario matemático básico en las guías operacionales del DEPR.
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Demostrar identidades trigonométricas, resolver ecuaciones trigonométricas y resolver problemas. Demostrar la identidad básica cos2(μ) + sen2(μ) = 1 y que es equivalente al Teorema de Pitágoras. Usar identidades trigonométricas básicas para demostrar otras identidades y simplificar sus expresiones. Utilizar las fórmulas de adición para senos, cosenos y tangentes. Utilizar las fórmulas del ángulo medio y del ángulo doble para senos, cosenos y tangentes. Resolver ecuaciones trigonométricas Resolver problemas verbales que involucren aplicaciones de ecuaciones trigonométricas. Relacionar las coordenadas polares con las cartesianas. Representar las ecuaciones de coordenadas rectangulares en términos de coordenadas polares. Trazar la gráfica de ecuaciones en el plano de coordenadas polares. Convertir y multiplicar números complejos en la forma trigonométrica. Definir, demostrar y aplicar el Teorema de De Moivre.
Etapa 2 – Evidencia de avalúo Tareas de desempeño
Otra evidencia
El Revoltillo281 Los estudiantes demostrarán su comprensión de las identidades trigonométricas y la suma de
Ejemplos para preguntas de examen/quiz 1. sen50˚cos30˚ +cos50˚sen30˚ es equivalente a___________________?284
281
Fuente: http://www.mde.k12.ms.us/ACAD/ID/Curriculum/Framer/units/unit_232/Trig_Unit4_PerfTask.doc
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Unidad: PC.3 Coordenadas polares y números complejos Matemáticas 4 semanas ecuaciones trigonométricas ayudando a planificar una nueva machina para un parque de diversiones. Tarea: El parque de diversiones está planificando montar una machina nueva llamada "El Revoltillo" que consiste en sentar a las personas en 6 asientos que parecen cáscaras de huevo y hacerlas girar en patrones circulares separados. El gerente del parque quiere que la frecuencia sea distinta para cada grupo, y quiere que la gente regrese a su posición inicial en momentos distintos durante la vuelta, pero que todos regresen a la posición inicial al final. Tú eres el consultor matemático que tiene que ayudarles a determinar las velocidades adecuadas de giro y proveer modelos matemáticos para predecir la ubicación de cada cáscara de huevo en cada momento determinado. 1. Provéeles tablas en que se muestren las ubicaciones, y explícales las ecuaciones que tendrían que resolver para hallar el momento en que una cáscara está en una orientación particular, así como cuándo dos cáscaras cualquiera estarían en la misma posición relativa. 2. Usando una gráfica, demuestra la orientación relativa de las 6 cáscaras durante el transcurso de la vuelta y muéstrales que todas sí terminan en la misma orientación. (Debes también estimar una velocidad adecuada para que la vuelta sea emocionante, pero no peligrosa.) Procedimiento: 1. La posición de cada participante puede modelarse usando una ecuación trigonométrica simple: si trazamos ejes con el
2. Si cosx =
3 , ¿cuál es el valor positivo de sen 5
1 285 x? 2 3. Utiliza el teorema de De Moivre para evaluar los números complejos. Escribe los resultados en forma polar.286 a. (2 + 7i)4 b. (-9 + 0i)12 c. (1 – 13i)7 Diario 1. Convierte cada número complejo, escrito en forma rectangular, en forma polar.287 a +bi 5 = (-5i) -7 + 10i 0 + 18i
r
θ
Forma polar
2. ¿Cuáles son las coordenadas polares? ¿Cómo se relacionan las coordenadas polares con las coordenadas cartesianas? 24 3. Si tanx = , y x es un ángulo en el 7 1 cuadrante II, halla sen x.288 2 Boletos de entrada/salida 1. Utiliza el teorema de De Moivre para escribir cada uno en forma estándar a + bi.289 a. [7cos(20°) + i7sen(20°)]3 b. [2cos(120°) + i2sen(120°)]4 c. [cos(210°) + isen(210°)]3 2. Evalúa: sen300˚cos90˚ + cos300˚sen90˚.290 3 3. Si θ está en el cuadrante II y cosθ = , halla 4
284
Fuente: http://www.jmap.org/htmlstandard/Algebra_2_Trigonometry/Algebra/A2.A.76.htm Fuente: http://www.jmap.org/htmlstandard/Algebra_2_Trigonometry/Algebra/A2.A.77.htm 286 Fuente: http://www.husliaschool.com/Algebra2/Book2/Teacher%20BK%20Alg2-Sect11.pdf 287 Ibídem. 288 Fuente: http://www.jmap.org/htmlstandard/Algebra_2_Trigonometry/Algebra/A2.A.77.htm 289 Fuente: http://www.husliaschool.com/Algebra2/Book2/Teacher%20BK%20Alg2-Sect11.pdf 290 Fuente: http://www.jmap.org/htmlstandard/Algebra_2_Trigonometry/Algebra/A2.A.76.htm 285
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Unidad: PC.3 Coordenadas polares y números complejos Matemáticas 4 semanas origen en el centro de la taza, el participante a la derecha tiene una posición horizontal de f(t) = x = cos(b( )t, y una posición vertical de g(t) = y = sen(b( )t. Al comienzo de la vuelta t = 0, y todos los participantes en la posición correcta están de frente a la misma dirección. 2. Escoge distintos valores de b para las diferentes tazas e investiga cómo estos afectan la orientación de estas. 3. Determina los valores que producirán una vuelta de cinco minutos en que todas las tazas estén girando a diferentes velocidades, pero que todas regresen a la orientación original al cabo de los cinco minutos. 4. Traza diagramas que demuestren la orientación de las tazas en tres momentos distintos durante la vuelta para demostrar cómo será la experiencia. 5. Si cada taza tiene 12 pies de diámetro, verifica que nadie esté moviéndose a una velocidad incómoda. 6. Presenta una descripción narrativa de la vuelta para vendérsela al gerente del parque, y provee toda la prueba matemática necesaria para tu trabajo en un apéndice. Dales la oportunidad a los estudiantes de hacerse comentarios y observaciones sobre sus trabajos. Evalúa el trabajo de los estudiantes en la rúbrica de evaluación (ver anejo: Organizador - Rúbrica de tarea de desempeño).
un valor exacto de sen2θ.291
Las coordenadas polares de tu cara282 Los estudiantes demostrarán su comprensión del sistema de coordenadas polares al evaluar la simetría de su cara y explicar el proceso en un análisis técnico. Tarea: Cada estudiante recibe una foto de su cara tomada completamente de frente a la cámara y sin hacer ninguna expresión. Usando el centro de la punta de la nariz como el punto 0, el estudiante 282 291
Fuente: http://www.tensigma.org/media/samples/pas/pa.ma.ana.05.01.pdf Fuente: http://www.jmap.org/htmlstandard/Algebra_2_Trigonometry/Algebra/A2.A.77.htm
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Unidad: PC.3 Coordenadas polares y números complejos Matemáticas 4 semanas desarrollará una gráfica en la fotografía para completar los pasos siguientes: 1. Halla las coordenadas polares de varios puntos clave de la cara (esquina interior y exterior de los ojos y cejas, parte externa de las narices, esquinas de la boca, extremo superior e inferior de ambas orejas) y traza en la fotografía los puntos y líneas usados para determinar las coordenadas polares. 2. Halla las coordenadas cartesianas para los mismos puntos. 3. Haz una tabla en que enumeres las coordenadas de los puntos tanto en el sistema polar como en el cartesiano. 4. Redacta un análisis técnico en que expliques el proceso que usaste y una evaluación de la simetría de la cara. Se les evaluará a los estudiantes en base a lo siguiente: • Aplicación correcta del sistema polar y cartesiano en la foto y el análisis. • Puntos correctamente derivados en ambos sistemas. • Demarcación de puntos y dibujo sobre la cara estaban correctos, limpios y fáciles de entender. • Aplicación y ortografía correcta de todos los símbolos/términos matemáticos. • Evaluación de la simetría lógica y justificada. Resumen del teorema de de Moivre283 Los estudiantes demostrarán su comprensión del teorema de De Moivre al crear un afiche para resumir dicho teorema con ejemplos y aplicaciones. Tarea: Crearás un afiche para resumir el teorema de De Moivre con ejemplos. Usarás por lo menos dos de los siguientes como ejemplos en tu afiche: 1. Expresa sen3θ en términos de senθ. 2. Expresa tan3θ en términos de tanθ. 283
Fuente: www.curriculumframer.com and http://www.scribd.com/doc/52876760/24/Chapter-4-De-Moivre%E2%80%99sTheorem-and-its-Applications
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Unidad: PC.3 Coordenadas polares y números complejos Matemáticas 4 semanas 3. Expresa sen5θ en términos de senθ. 4. Demuestra que cos6 = cos6θ – 3cos4θ + 3cos2θ-1. Asegúrate de incluir lo siguiente en tu afiche. 1. Demuestra el teorema de De Moivre con ejemplos. 2. Explica las ventajas de trabajar con números complejos en forma polar en vez de forma rectangular. 3. Utiliza el Internet para investigar usos de los números complejos: áreas en que podría aplicarse el teorema de De Moivre. Provee un resumen general de por lo menos tres aplicaciones. Se te evaluará en base a lo siguiente: 1. La precisión y claridad de tus explicaciones. 2. La calidad de tus ejemplos matemáticos: ¿demuestran estos de forma adecuada lo que estás tratando probar? 3. La atención al detalle en tu presentación. Tu producto final debe ser claro y estar bien organizado, y todos los diagramas deben ser atractivos y estar bien rotulados. 4. Tu capacidad de encontrar y resumir tres aplicaciones interesantes de números complejos. Opcional (de bono) 1. Esfuérzate por explorar la matemática detrás de una de las aplicaciones que identificaste en tu investigación. Vé más allá del resumen general de la aplicación para explicar específicamente cómo se usan los números complejos en la aplicación con ejemplos claros de cálculos representativos. 2. Hemos visto en este curso que hay que añadir conceptos nuevos a la base de conceptos que se han probado anteriormente. Como no lo hicimos juntos en clase, demuestra el teorema de De Moivre. Puedes usar un libro de texto como referencia, pero deberás explicar la justificación de cada paso en tus propias palabras.
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Unidad: PC.3 Coordenadas polares y números complejos Matemáticas 4 semanas Etapa 3 – Plan de aprendizaje Actividades de aprendizaje
Identidades más complejas292: ¿Cómo podemos probar que las identidades son ciertas? Los estudiantes recibirán instrucciones directas de cómo usar las identidades trigonométricas básicas para verificar que un enunciado es, en efecto, una identidad. Tendrán también la oportunidad de usar las mismas destrezas para llegar a la conclusión de que un enunciado no es una identidad, sino un enunciado condicional (ver anejo: PC.3 Actividad de aprendizaje - Identidades más complejas). ¿Cómo se ve una identidad?293: Se les pedirá a los estudiantes que verifiquen las identidades de forma gráfica con una TI-83, además de probarlas con números específicos y usar identidades básicas. Se les retará además a que creen problemas de identidad simples al "trabajar en retroceso", y que utilicen las mismas tres estrategias de verificación que usaron en las identidades provistas (ver anejo: PC.3 Actividad de aprendizaje - ¿Cómo se ve una identidad?). ¿Cuál es la pregunta?294: Se les darán soluciones a los estudiantes y se les pedirá que saquen ecuaciones. Crearán problemas tanto sencillos como difíciles para cada solución y comprobarán si están correctas con una calculadora gráfica. Dales a los estudiantes la solución x = /4. ¿Cuántas ecuaciones simples pueden obtener que tengan esto como solución? Dales unos cuantos minutos para que piensen en algunas ideas, y luego recoge algunas de ellas y ponlas en la pizarra para discutirlas. ¿Cuántos olvidaron limitar el dominio? (ver anejo: PC.3 Actividad de aprendizaje - ¿Cuál es la pregunta?). Ahora haz que intenten lo siguiente (todas las respuestas en radianes): (a) x = 0 .276 (b) x = /6 + ( )n (c) x = /6 + ( )n, /6 + ( )n (d) (más difícil) x = 0.256, 1.256 Dales tiempo suficiente para que lo trabajen en parejas. Sugiéreles que repasen otros conjuntos de problemas pasados e intenten crear problemas al revertir los pasos de la resolución de los problemas. Para problemas con múltiples soluciones, sugiéreles que repasen el deslizamiento de periodo y cambio de fase de las funciones trigonométricas. Una vez hayan generado problemas, pídeles que los intercambien con otras parejas e intenten hallar soluciones tanto de forma gráfica como algebraica. Finalmente, deben escoger un par de sus ecuaciones y hacerlas más difíciles usando identidades trigonométricas. De nuevo, pídeles que hagan sus problemas más difíciles al "desimplificarlos". El reto de la identidad: Ya que los estudiantes dominan la verificación de identidades, pídeles que trabajen en parejas. Cada estudiante crea una ecuación de identidad a partir de identidades trigonométricas fundamentales. Las parejas se intercambian las identidades y las corroboran. Finalmente, escriben una explicación de las técnicas que usaron para crear la identidad. Multiplicaciones múltiples295: Se les pide a los estudiantes que eleven un número complejo a la décima potencia. Diles que no debe tomarse tanto tiempo como podría parecerles de primera instancia. Los estudiantes se darán cuenta de que el cálculo resulta más rápido si usan la forma polar de los números.
292
Fuente: www.curriculumframer.com Ibídem. 294 Ibídem. 295 Fuente: www.curriculumframer.com 293
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Unidad: PC.3 Coordenadas polares y números complejos Matemáticas 4 semanas 1. Preséntales a los estudiantes el problema de elevar (2 + 3i) a la décima potencia. Pídeles que lo intenten. 2. Lo ideal sería que se den cuenta de que hay una forma de usar la forma polar del número para ahorrarse bastante tiempo. Si no, el problema les tomará un tiempo, y como hay muchos cálculos que hacer, es muy probable que cometan un error por descuido en el proceso. 3. Si no lo obtienen por su cuenta, y avanzan con lentitud con los cálculos en forma rectangular, sugiéreles que hay una forma más fácil. Ya conocen otra forma de multiplicar (usando la forma r cis(θ): ¿no podría esta ayudarles a hacerlo un poco más rápido?
Ejemplos para planes de la lección
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A descubrir las identidades296: Se les dará a los estudiantes una identidad (no básica) sin decírseles que se trata de una identidad. Como tienen más experiencia con ecuaciones condicionales, asumirán que es únicamente cierta para ciertos valores de la variable. Rétalos a encontrar una solución adivinando y luego verificando sus hipótesis en la calculadora. Reúne todas las soluciones "correctas" y discútelas. Continúa dándoles más ejemplos y termina con una condicional. Con algo de ayuda, los estudiantes descubrirán las identidades recíprocas, pares/impares y de cofunción. Se llevará a cabo un estudio de los seis valores trigonométricos de un ángulo para hacer observaciones que lleven a las identidades recíprocas. Un estudio de los seis valores trigonométricos de un ángulo, en comparación con los del negativo del mismo ángulo, les ayudará a los estudiantes a ver la lógica de las identidades pares/impares. Finalmente, los estudiantes observarán las identidades de cofunción por medio de un estudio de las seis funciones trigonométricas de cada uno de los ángulos oblicuos del mismo triángulo rectángulo (ver anejo: PC.3 Ejemplo para plan de lección - Identidades de ángulo doble). Relaciones entre funciones trigonométricas297: Se les instruye a los estudiantes sobre identidades trigonométricas básicas. Resumen lo que hallaron en el ejemplo para plan de la lección “Cómo descubrir identidades en forma general”, y luego desarrollan las identidades pitagóricas y de cociente junto con el maestro. Se hará hincapié en cómo derivar estas identidades usando hechos matemáticos ya probados, así como las definiciones básicas de las funciones trigonométricas. 1. Realiza una discusión en clase para resumir los hallazgos del día anterior. En una discusión, enfatiza el hecho de que no hay fórmulas mágicas que memorizar, sino consecuencias lógicas de las definiciones básicas de las funciones. Diles a los estudiantes que esperas que memoricen las identidades a medida que las usan en problemas, pero que de ser necesario, cuentan con las herramientas para volver a derivarlas en el futuro. 2. Resume todas las identidades en forma general. 3. Cuando resumas las identidades pares/impares, repasa los conceptos de funciones pares/impares y la simetría de las gráficas. Pídeles a los estudiantes que observen el origensimetría del seno y tangente (funciones impares: f(-x) = -f(x)), así como la simetría del eje de y del coseno (función par: f(-x) = f(x)). Si no están familiarizados con los términos, se podría llevar a cabo una minilección usando y = x2 y y = x3. 4. Desarrolla las identidades de cociente con tu clase. En vez de empezar con la identidad y probarla, escribe sen x/cos x en la pizarra y pídeles que introduzcan las definiciones de las dos funciones y la simplifiquen. Observa el resultado y escríbelo en forma general. Ibídem. Ibídem.
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5. De igual forma, en vez de presentar las identidades pitagóricas y luego resolverlas, tus estudiantes pueden descubrirlas con un poco de orientación: (a) Pídeles a los estudiantes que tracen un triángulo con lados a, b e hipotenusa c, y expresen la fórmula pitagórica. (b) Escribe x en el lado opuesto del ángulo b, y enumera las seis funciones trigonométricas del ángulo x. (c) Ahora, divide a la clase en tres grupos grandes: el primero divide por el a2, el segundo divide por el b2 y el tercero divide por el c2. Pídeles que observen los resultados y que intenten reexpresarlos usando funciones trigonométricas. (d) Discutan los resultados. Enfatiza en que estas identidades no son una fórmula mágica, sino que sencillamente son versiones de la fórmula de Pitágoras reexpresada usando funciones trigonométricas. (e) Toma además la identidad pitagórica expresada con seno y coseno y usa las identidades recíproca y de cociente para desarrollar las otras dos. (f) Usando los descubrimientos de los estudiantes, demuestra cómo cos2(x) + sen2(x) = 1 equivale al teorema de Pitágoras. (g) Provéeles problemas del libro para consolidar su conocimiento de las identidades trigonométricas básicas. Fórmulas de la suma y diferencia de seno, coseno y tangente298: Primero, dados dos puntos en el círculo unitario, se les pedirá a los estudiantes que hallen la distancia de dos formas distintas, al establecer el acercamiento básico para desarrollar la fórmula para el coseno de la diferencia entre dos ángulos. A continuación, se les guiará a los estudiantes paso a paso para elaborar la fórmula de coseno de la diferencia entre dos ángulos. Se establecerán variaciones de coseno de una suma y seno de una suma y diferencia usando identidades previamente establecidas. Finalmente, se retará a los estudiantes a utilizar esta lección y su conocimiento de la relación entre seno, coseno y tangente para derivar las fórmulas de tangente de la suma o resta de dos ángulos. (ver anejo: PC.3 Ejemplo para plan de lección – Fórmulas de suma y diferencia de seno, coseno y tangente.) ¿Y qué tal ángulos dobles?299: Se retará a los estudiantes a personalizar fórmulas de seno, coseno y tangente de un ángulo doble. Los estudiantes recibirán instrucciones directas sobre fórmulas de doble ángulo. 1. Los estudiantes desarrollarán fórmulas de ángulo doble solos con muy poca orientación. Diles a los estudiantes que quieres que utilicen las fórmulas que han aprendido recientemente para desarrollar fórmulas de sen(2x), cos (2x) y tan(2x). 2. Permíteles que trabajen en parejas y discutan sus ideas. 3. Cuando crean tener la respuesta correcta, pídeles que las corroboren al introducir ángulos y evaluar, y usando el acercamiento gráfico que se introdujo en la lección anterior para verificar identidades. (Aunque vemos estas como fórmulas por la manera en que las usamos, son también identidades.) 4. Si alguna pareja tiene problemas para comenzar, recuérdales que otra forma de escribir "2x" es "x + x". 5. Revisa el ejercicio anterior; discute el proceso que nos llevó hasta este punto y cómo las Fuente: www.curriculumframer.com Ibídem.
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Unidad: PC.3 Coordenadas polares y números complejos Matemáticas 4 semanas
fórmulas dependen de las otras identidades. 6. Reta a los estudiantes a encontrar variaciones de la fórmula cos(2x) usando la identidad pitagórica (cos (2x) = (cos x)2 - (sen x) 2 = 2(cos x) 2 - 1 = 1 - 2(sen x) 2). Diles que la utilidad de estas variaciones se hará más evidente más tarde en la lección. 7. Provéeles ejemplos del libro para que apliquen las fórmulas de doble ángulo. Fórmulas de reducción de potencias300: ¿Cómo podemos reducir la potencia de una función trigonométrica? Se les retará a los estudiantes, con sugerencias de ser necesario, a personalizar las fórmulas de la lección “Y qué tal ángulos dobles” para reducir la potencia de una función trigonométrica. A continuación, los estudiantes recibirán instrucciones directas sobre fórmulas para reducir potencias. 1. Antes de comenzar, explícales que ciertos temas de matemáticas sirven de base para conceptos posteriores: las fórmulas aprendidas hoy son particularmente importantes en el estudio del cálculo. 2. Explícales que: "El objetivo de hoy es expresar una función trigonométrica cuadrada usando funciones trigonométricas que no son cuadradas." Dales tiempo para que lo intenten entender. 3. Si necesitan una pista, sugiéreles que repasen las fórmulas e identidades de las que contengan tanto funciones trigonométricas cuadradas como funciones trigonométricas que no son cuadradas. 4. Una vez identifiquen las dos versiones alternas de la fórmula de cos(A - B) como las fórmulas de interés, resultará muy sencillo resolverlas para el término cuadrado. 5. Al igual que lo hicimos en fórmulas e identidades previas, prueba la nueva fórmula al introducir algunos ángulos y evaluarla. Corrobórala además por medio de una gráfica. 6. Vuelve a hacer hincapié en que las identidades y fórmulas están interconectadas. ¿Dónde comenzó el proceso que nos llevó a estas fórmulas? (Al hallar la distancia entre dos puntos con diferentes métodos.) Junto con los estudiantes, enumera diferentes identidades y definiciones usadas para llegar desde ese punto a la fórmula actual. 7. Provéeles ejemplos del libro para que practiquen a usar las nuevas fórmulas. Coordenadas polares301: los estudiantes trazan la gráfica de un conjunto de puntos equidistantes del origen y se les pide que observen lo que estos tienen en común. Se les darán instrucciones sobre las coordenadas polares, como trazar la gráfica de puntos en coordenadas polares usando una regla y un transportador, y convertir de coordenadas polares a cartesianas, y viceversa. (ver anejo: PC.3 Ejemplo para plan de lección - Coordenadas polares) Gráficas polares especiales302: Los estudiantes exploran las gráficas de ecuaciones en forma polar incluidos los círculos, los cardioides, las rosas polares y caracoles usando una calculadora gráfica. Utilizarán las gráficas que creen para hacer generalizaciones y agrupar las gráficas en categorías. Para verificar la precisión de su trabajo y generalizaciones, usarán la calculadora gráfica. 1. Explícales que explorarán formas especiales que se expresan mucho mejor en forma polar que en forma rectangular. (Puedes mencionar que parte del valor de estas expresiones alternas se hace más evidente en cálculo de más alto nivel; ahora se encuentran sentando las bases para clases que puedan tomar en la universidad.)
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Fuente: www.curriculumframer.com Ibídem. 302 Fuente: www.curriculumframer.com 301
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Unidad: PC.3 Coordenadas polares y números complejos Matemáticas 4 semanas 2. Dales las siguientes funciones: (a) r = 5 cos (θ) (b) r = -2 sen (3 θ) (c) r = 3 cos (4 θ) (d) r = 2 + 2 sen (θ) 3. Pídeles que las tracen sin la calculadora; deben poder tener una idea de lo que está pasando al trazar la gráfica de todos los puntos que puedan generar por sus valores trigonométricos memorizados. 4. Usando la calculadora gráfica, los estudiantes deben corroborar la precisión de sus dibujos. (Primero, cambia el modo gráfico a "polar".) 5. Ahora, permíteles a los estudiantes que trabajen en parejas o grupos pequeños y rétalos a que exploren la variedad de formas que existen dentro de los cuatro tipos básicos anteriores. Por cada ejemplo, experimenta cambiando el valor y signo del número. Experimenta también cambiando el seno al coseno y viceversa. ¿Cómo afectan estos cambios a las gráficas? 6. Date la vuelta por el salón y asegúrate de que los estudiantes estén considerando un conjunto exhaustivo de variaciones. Específicamente, asegúrate de que cuando los estudiantes exploren el cuarto tipo, r = a + b sen (θ), consideren ejemplos en que el valor absoluto de a sea menor que el de b, así como ejemplos en que este es mayor. 7. Por ejemplo, deben comenzar trazando la gráfica de algunos puntos sin calculadora (aunque no tantos para las cuatro gráficas iniciales), y luego hacer predicciones de cómo la variación se comparará con las otras gráficas en esa categoría. La calculadora gráfica también puede usarse para confirmar las predicciones. 8. Para darle fin a la lección, pídeles a los estudiantes que escriban un conjunto de instrucciones de cómo trazar la gráfica de cada tipo de ecuación polar anterior y cómo las constantes afectan la gráfica.
Recursos adicionales
http://profjserrano.wordpress.com/ http://www.vaxasoftware.com/doc_edu/mat/complejo.pdf http://education.ti.com/downloads/guidebooks/graphing/84p/TI84Plus_guidebook_ES.pdf http://isa.umh.es/calc/TI/TI83/TI83manual-spa.pdf Matemáticas Integradas I, II, III de Houghton-Mifflin
Conexiones a la literatura Nota: Aunque los siguientes libros están dirigidos a estudiantes de la escuela primaria, éstos apuntan a los principios fundamentales de matemáticas los cuales se pueden explorar en todos los niveles. Todo el mundo disfruta de que alguien le lea y los estudiantes de la escuela secundaria no son la excepción. Estos libros son una excelente introducción a las unidades de estudio. John and Betty’s Journey in Complex Numbers de Matt Bower Más allá de la coincidencia de Martin Plimmer El matemático del rey de Juan Carlos Arce La música de los números primos: El enigma de un problema matemático abierto de Marcus Du Sautoy Trigonometric Delights de Eli Maor Junio 2012 Adaptado de Understanding by Design de Grant Wiggins y Jay McTighe
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Unidad PC.4: Sucesiones, límites y cónicas Matemáticas 4 semanas Etapa 1 - Resultados esperados Resumen de la unidad En esta unidad, los estudiantes explorarán sucesiones y series aritméticas y geométricas, y aplicarán el concepto de límite. Hallarán las sumas de series geométricas infinitas, utilizarán fórmulas de suma para series, usarán la recurrencia para describir una sucesión y utilizarán el concepto de límite de una sucesión o función. Analizarán y trazarán gráficas de círculos, elipses, parábolas e hipérbolas. Escribirán ecuaciones cónicas en forma estándar, identificarán la sección cónica y sus propiedades geométricas. Meta de transferencia: Los estudiantes saldrán de la clase con la capacidad de usar su conocimiento sobre sucesiones, el límite de funciones y las funciones cónicas para hacer modelos de conjuntos de valores para identificar un patrón, como el costo diario por paciente que incurre un hospital, o usar parábolas para hacer modelos de la sección de cruce de un canal y resolver problemas del mundo real.
Estándares de contenido y expectativas Precálculo 7.0 Define y utiliza las sucesiones y series aritméticas y geométricas y aplica el concepto de límite. • Utiliza la notación de la sumatoria. • Encuentra las sumas de las series infinitas geométricas. • Demuestra y utiliza las fórmulas de adición para las series aritméticas y para las series geométricas finitas e infinitas. • Usa la recurrencia para describir una sucesión. • Utiliza el concepto de límite de una secuencia o función cuando la variable independiente tienda al infinito o a un número dado. • Decide si las sucesiones simples convergen o divergen. • Resuelve problemas verbales que involucren aplicaciones de sucesiones y series. 9.0 Analiza y grafica círculos, elipses, parábolas e hipérbolas. Escribe las ecuaciones de secciones cónicas en la forma estándar (completando el cuadrado y usando conversiones si es necesario), para encontrar el tipo de sección cónica y sus propiedades geométricas (focos, asíntotas, excentricidad, etc.).
Ideas grandes/Comprensión duradera:
Preguntas esenciales:
Los patrones que cambian de forma predecible pueden describirse y generalizarse. Las figuras cónicas tienen funciones y propiedades geométricas únicas. El estudio de las cónicas es vital para entender el mundo a nuestro alrededor. Pueden aplicarse límites a las sucesiones y al comportamiento asintótico de las funciones.
¿Cuál es la diferencia entre una sucesión y una serie? ¿En qué se distinguen las figuras cónicas? ¿Cómo se aplican las características de las secciones cónicas a problemas reales? ¿Cómo puede aplicarse el concepto de límites en las matemáticas?
Contenido (Los estudiantes comprenderán...)
Destrezas (Los estudiantes podrán...)
La definición de sucesiones y series
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Definir las sucesiones y series aritméticas y 1309
Unidad PC.4: Sucesiones, límites y cónicas Matemáticas 4 semanas
aritméticas y geométricas El concepto de límite Que la recurrencia describe una sucesión El concepto de límite de una sucesión o función cuando la variable independiente tiende hacia un número infinito o dado Notación de sumatoria
Vocabulario de contenido
Sucesiones y límites (convergencia, divergencia, finito, infinito, límite, notación de sumatoria, recurrencia, sucesión, serie aritmética, serie geométrica, variable independiente) Cónicas (asíntota, círculo, completar el cuadrado, cónica, conjugar el eje, directriz, eje mayor, eje menor, eje transversal, elipsis, excentricidad, foco, forma estándar, hipérbola, parábola, punto de tangencia, radio, tangente, vértice) Para más información referirse al glosario matemático básico en las guías operacionales del DEPR.
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geométricas, y aplicar el concepto de límite. Utilizar la notación de la sumatoria. Encontrar las sumas de las series infinitas geométricas. Demostrar y utilizar las fórmulas de adición para las series aritméticas y geométricas finitas e infinitas. Usa la recurrencia para describir una sucesión. Utilizar el concepto de límite de una secuencia o función cuando la variable independiente tienda a infinito o a un número dado. Decidir si las sucesiones simples convergen o divergen. Resolver problemas verbales que involucren aplicaciones de sucesiones y series. Analizar y trazar gráficas de círculos, elipses, parábolas e hipérbolas. Escribir las ecuaciones de secciones cónicas en forma estándar (completar el cuadrado y usando conversiones si es necesario) para encontrar el tipo de sección cónica y sus propiedades geométricas (focos, asíntotas, excentricidad, etc.).
Etapa 2 – Evidencia de avalúo Tareas de desempeño
Otra evidencia
Comparación de sucesiones303 Los estudiantes demostrarán su comprensión de las sucesiones al explicar la siguiente actividad.
Ejemplos para preguntas de examen/quiz 1. Usa la notación de sumatoria para representar la suma de las series siguientes. 306 3 + 6 + 9 + 12 + … para los primeros 33 términos. -3 + 6 + -12 + 24 … para los primeros 50 términos. 1 1 6 + 2 + + … para términos n. 3 6 2. Mariana decidió a ayudar a limpiar su parque local. Recogió una bolsa de basura durante la primera semana, dos bolsas la segunda, tres bolsas la tercera, y así sucesivamente al mismo ritmo.
Tarea: Necesitarás un pedazo de hilo de tejer, tijeras y una cinta métrica. Mide un pedazo de hilo de por lo menos 5 pies de largo. Dobla el hilo por la mitad y recórtalo en dos. Coge una de las mitades y pícala por la mitad. Continúa este proceso hasta que ya no puedas recortar pedazos de hilo por la mitad. Explica lo siguiente. 1. ¿Cuántos cortes pudiste hacer? 2. Construye una sucesión de las longitudes de 303 306
Fuente: http://web.mead.k12.wa.us/bbarbero/PCBk/Ch8/PC83.pdf Fuente: http://www.amaps.org/leftfiles/Syllabi/Algebra%202%20Sample%20Tasks.pdf
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Unidad PC.4: Sucesiones, límites y cónicas Matemáticas 4 semanas hilo resultantes después de cada recorte, comenzando por la longitud de hilo original. 3. Halla una fórmula del término n de esta sucesión. 4. ¿Cuántos cortes podrías hacer en teoría? 5. Escribe un párrafo corto en que discutas por qué no pudiste hacer el número de cortes teórico. Evalúa el trabajo de los estudiantes en la rúbrica de puntuación (ver anejo: Organizador - Rúbrica de tarea de desempeño). 304
Estaciones radiales Los estudiantes demostrarán su comprensión de los círculos gráficos para analizar la amplitud de las ondas radiales. Para esto necesitarán el anejo PC.4 Tarea de desempeño - Mapa de estaciones radiales de Georgia. Instrucciones: 1. Las ondas radiales emitidas desde un transmisor forman un patrón de círculos concéntricos. Escribe una ecuación para tres círculos concéntricos. 2. Gabriel escucha la estación WYAY desde Atlanta. La casa de Gabriel se encuentra a 24 millas al este y 32 millas al sur del transmisor de la radioestación. Su casa se ubica en el borde de la amplitud de transmisión máxima de WYAY. a. Cuando una señal de radio le llega a Gabriel en su casa, ¿cuán lejos ha viajado? Dibuja el área de transmisión de WYAY en el mapa parcial de Georgia que se provee en la hoja repartida. En el mapa, ubica WYAY de Atlanta en las coordenadas (0, 0) y utiliza la escala de 100 millas = 60 mm.
a. Asumiendo que continúa con el proceso, ¿cuántas bolsas de basura habrá recogido al cabo de 26 semanas? b. ¿Cuántas bolsas de basura recoge en n semanas? c. Si Mariana recoge una bolsa de basura la primera semana, dos bolsas la segunda, cuatro la tercera, y continúa al mismo paso, ¿cuántas bolsas de basura habrá recogido al cabo de 26 semanas?307 3. Calcula
308
4. La ecuación x2 + y2 – 2x +6y +3 = 0 es equivalente a309 a. (x-1)2 + (y+3)2 = -3 b. (x-1)2 + (y+3)2 = 7 c. (x+1)2 + (y+3)2 = 7 d. (x+1)2 + (y+3)2 = 10 5. Escribe en forma estándar (para una parábola):310 y = x² +14x + 9 Diarios 1. Dada la sucesión −4, 0, 4, 8, 12 ... Pablo observa un patrón y halla una fórmula que le parece le permitirá hallar la suma de los primeros términos n. Su fórmula es . Demuestra que la fórmula de Pablo es correcta.311 2. Explica por qué "el límite... es el infinito" es matemáticamente incorrecto. 3. Explica cómo trazar la gráfica de un círculo usando la forma estándar. 4. Crea un diagrama de Venn en que compares los cuatro tipos de cónicas. Boletos de entrada/salida 1. Escribe una serie geométrica que converja en
304
Fuente: http://www.apskids.org/Documents/CCGPS%20Math%20III%20Unit%205%20TEACHER%20edition%20Jan%202010v2.pdf 307 Ibídem. Ibídem. 308 Fuente: http://www.math.ucdavis.edu/~kouba/CalcOneDIRECTORY/liminfdirectory/LimitInfinity.html 309 Fuente: http://www.jmap.org/htmlstandard/Algebra_2_Trigonometry/Algebra/A2.A.47.htm 310 Fuente: http://www.jmap.org/StaticFiles/PDFFILES/WorksheetsByTopic/QUADRATICS/Drills/PR_Vertex_Form_of_a_Quadratic_3.pdf 311 Fuente: http://www.amaps.org/leftfiles/Syllabi/Algebra%202%20Sample%20Tasks.pdf
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Unidad PC.4: Sucesiones, límites y cónicas Matemáticas 4 semanas b. Halla una ecuación que represente el área de transmisión máxima de la estación. c. Determina cuatro ubicaciones adicionales al borde del área de transmisión de WYAY, y provee las coordenadas correctas en décimos. 3. A Gabriel le gusta el reggaetón. Algunos de sus amigos le han sugerido que además de WYAY, escuche la estación WXAG en Athens y WDEN en Macon. WYAY, WXAG y WDEN son estaciones FM que por lo general tienen una amplitud de transmisión de 40 millas. Utiliza tu mapa para ayudarte a responder las siguientes preguntas. a. Dada la ubicación de la casa de Gabriel, ¿puede esperar sintonizar WXAG y WDEN? Explica cómo lo sabes. b. ¿Cuáles son las coordenadas de las intersecciones de las áreas de transmisión de la estación WYAY y la estación WDEN? Muestra tu proceso. (¿Importa si encuentras la intersección usando millas o mm? Explica.)
3. Utiliza la fórmula para evaluar la serie. 2. Discute las relaciones entre los límites y las asíntotas. ¿Cuál es la diferencia entre un acercamiento de límite a las asíntotas verticales y las horizontales? 3. Utiliza la regla recursiva dada para escribir los primeros cuatro términos de cada sucesión.312 a1 = -2 an+1 = (an)2 +3 t1 = 3x tn=
tn 1 2 n 1
4. Escribe una ecuación de un círculo con el centro en (3,-2) y que pase por el punto (-5,8).313
Evalúa el trabajo de los estudiantes en la rúbrica de evaluación (ver anejo: Organizador - Rúbrica de tarea de desempeño). La plaza cónica305 Los estudiantes demostrarán su comprensión de las cónicas al diseñar una plaza atractiva y funcional. Tarea: El parque de diversiones necesita una plaza donde la gente pueda relajarse, descansar y almorzar. El propietario quiere promocionar el valor educativo de su parque, por lo que decide que la nueva plaza deberá incorporar curvas que sean partes de secciones cónicas. Es ahí donde entras tú... 1. Necesitas desarrollar un plan detallado para la nueva plaza, incluidas ecuaciones para describir todas las curvas en esta. 305
Fuente: www.curriculumframer.com Fuente: http://www.amaps.org/leftfiles/Syllabi/Algebra%202%20Sample%20Tasks.pdf 313 Fuente: http://www.jmap.org/htmlstandard/Algebra_2_Trigonometry/Algebra/A2.A.48.htm 312
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Estos son los requisitos del propietario: a. Debe incluirse un ejemplo de cada una de las cuatro cónicas en alguna parte de la plaza. b. La plaza debe tener distintos niveles, con una fuente “hundida” en el medio. c. La diferencia en altura entre los niveles debe ser segura. También, la gente debe poder sentarse cómodamente para comerse un perro caliente o una hamburguesa. d. Debe ser lo suficientemente amplia para que quepan 400 personas cómodamente, pero no demasiado grande, por cuestiones de presupuesto. e. El diseño debe ser atractivo y divertido de explorar. Tu trabajo final debe incluir una explicación de tus elecciones, además del diagrama detallado con ecuaciones.
Evalúa el trabajo de los estudiantes en la rúbrica de evaluación (ver anejo: Organizador - Rúbrica de tarea de desempeño).
Etapa 3 – Plan de aprendizaje Actividades de aprendizaje
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Todos mis límites preferidos...314: En esta actividad, los estudiantes crearán ejemplos de varios escenarios de límites y demostrarán lo que está sucediendo gráfica, algebraica y numéricamente. Pídeles que trabajen en parejas para crear un resumen de los distintos tipos de problemas de límites que se han encontrado con ejemplos creados por los estudiantes. Pueden usar sus notas como referencia. Diles que se aseguren de cubrir todos los asuntos siguientes: a) el sentido de "el límite existe"; b) distintas formas en que no existe un límite; c) técnicas algebraicas para resolver límites; d) cómo el estudio de los límites nos ayuda a entender las asíntotas, y e) cómo evaluar los límites de forma algebraica, gráfica y numérica. Los estudiantes deben crear ejemplos que ilustren los puntos de su discusión. Dales tiempo para que se tomen turnos presentando partes de su resumen al resto de la clase. Haz hincapié en el uso correcto del lenguaje matemático. Equidistante315: Los estudiantes desarrollarán la ecuación de un círculo a partir de su definición geométrica, con énfasis en lo que se le debe a Pitágoras. Utilizarán un pedazo de cordón (de aproximadamente 10" de largo), una tachuela, un lápiz y una superficie para la tachuela (un pedazo de cartón grueso o de múltiples capas puede funcionar y puede conseguirse gratis en la cafetería o
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con el equipo de mantenimiento) para crear un círculo. Primero, pídeles que creen un par de círculos de radio especificado. También especifica el centro de cada círculo. Los estudiantes deberán atar un lazo a un extremo del cordón y amarrar el lápiz con un nudo suelto a la distancia deseada del lazo. Ancla el lazo con la tachuela y dibuja el círculo con cuidado. Dales a los estudiantes dos puntos y diles que estos están en el círculo y que les toca determinar el radio y el centro y trazar el círculo. (Asegúrate de seleccionar puntos que no estén demasiado separados o limitarás el número de círculos potenciales que pueden trazarse.) Date la vuelta por el salón y observa las estrategias de los estudiantes. Revisa y comparte sus respuestas. A continuación, pídeles que añadan tres o más soluciones a su diagrama después de llegar a la conclusión de que los dos puntos no tienen que ser extremos diametrales. Finalmente, aumenta el nivel de dificultad dándoles tres puntos a la vez. Asegúrate de cubrir cada uno de los siguientes escenarios: fácil de resolver exactamente debido a la simetría (por ej.: (2, 0), (0, 2) y (2, 4)), más difícil de resolver, pero puede estimarse visualmente (por ej.: (0, 2), (1, 3) y (2, -1) e imposible debido a que es colineal (por ej.: (0, 2), (2, 3) y (4, 4). Discute las soluciones: ¿cuándo es fácil de encontrar una solución? ¿Difícil pero posible? ¿Imposible? ¿Y si te dieran cuatro puntos (mucho más difícil de encontrar un buen ejemplo, pues la mayoría de conjuntos de cuatro puntos no yacen en el mismo círculo, aún cuando no es colineal)? ¿Dos centros?316: Los estudiantes crearán un "casi" círculo usando dos tachuelas, cerca una de la otra, y un pedazo de cordón doble del radio deseado. Después de compararlo con el círculo, harán unos cuantos experimentos con las tachuelas cada vez más separadas. ¿Cuánto podemos separarlas? A partir de esta actividad, los estudiantes trabajan en retroceso para establecer en palabras la regla que usaron físicamente, y formularán la ecuación correspondiente (ver anejo: PC.4 Actividad de aprendizaje - ¿Dos centros?). Distancias iguales317: Sin nombrar la forma, hazla doblando papel. A continuación, utiliza el papel plegado para generar la ecuación, y describe la definición verbalmente. Para crear una parábola, vira el papel de lado y coloca un punto a unas 2" del extremo inferior, centrado de forma horizontal. Elige una ubicación en el borde inferior del papel y dóblalo de forma tal que la parte de abajo toque el punto. Repite este procedimiento con múltiples ubicaciones a lo largo de la parte de abajo del papel. Una vez los estudiantes comiencen a ver la parábola formarse, pídeles que ubiquen el vértice. Identifica el foco, la excentricidad y la directriz. ¿Qué tienen en común todos los puntos de la parábola? Utiliza la discusión para introducir la definición geométrica de la parábola. Pídeles que le llamen al punto que dibujaron (1,0), al vértice (0,0) y al borde de abajo del papel la línea horizontal y = -1. Pídeles que elijan también un punto en la elipsis y que lo llamen (x, y). Dada la definición de la parábola, pídeles que dibujen segmentos de línea que representen las "distancias iguales" y formulen la ecuación de la parábola usando la fórmula de distancia. Indícales que escriban una ecuación para una parábola general si usamos la letra p para representar la distancia entre el vértice y el punto (foco). En una página nueva, pídeles a los estudiantes que experimenten aumentando y reduciendo la distancia entre el punto y la parte de abajo del papel. ¿Qué generalizaciones pueden hacer? ¿Cuál cónica?318: Se les darán a los estudiantes un grupo de cónicas en varias formas, y se les pedirá que las identifiquen y tracen sus gráficas. Pueden usar cualquier otro trabajo que hayan
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Ibídem. Ibídem. 318 Fuente: www.curriculumframer.com 317
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hecho como referencia; deberán generar un conjunto de reglas que les ayuden a diferenciar entre los cuatro tipos. (No debes tener que explicarles cómo se hace esto. Con algo de delegación gradual de la responsabilidad, deben poder hacerlo por su cuenta, o colaborar con otros compañeros.) Primero, dales un conjunto grande de cónicas mixtas en varias formas. Asegúrate de tirarles unas cuantas "curvas" (círculos que se degeneren en un punto o que solo tengan soluciones imaginarias, hipérbolas que degeneren en líneas). Pídeles a los estudiantes que tracen la gráfica de cada una de estas cónicas. Una vez tracen la gráfica del conjunto entero, pídeles que desarrollen un conjunto de reglas que les ayudarán a identificar qué tipo de cónica representa una ecuación. Hipérbolas y parábolas, al extremo319: Los estudiantes investigan la pregunta: "¿No es una hipérbola simplemente una parábola doble?" Compararán gráficas y se les debe alentar a que vayan más allá del centro o vértice antes de llegar a una conclusión. Deberán usar una función de gráfica para completar esta actividad. Dales un conjunto mixto de parábolas e hipérbolas para que tracen sus gráficas a mano. Pídeles que utilicen una herramienta tecnológica para corroborar sus gráficas y que observen cada forma desde una distancia importante (cambiar los ajustes de pantalla en-100 a 100, por ejemplo) y que dibujen lo que ven. Pregúntales: "¿No es una hipérbola simplemente dos parábolas en direcciones opuestas?" Deberán justificar su respuesta con un par de párrafos convincentes usando sus gráficas como prueba.
Ejemplos para planes de la lección
Series aritméticas320: Los estudiantes repasarán cómo hallar la fórmula de una sucesión aritmética y el término n de una sucesión aritmética antes de hallar la suma de una sucesión aritmética finita. Aplicarán entonces una sucesión aritmética finita para resolver un problema del mundo real. (ver anejo: PC.4 Ejemplo para plan de lección - Series aritméticas). Series geométricas321: Los estudiantes repasarán cómo hallar la fórmula de una sucesión geométrica y el término n de una sucesión geométrica antes de hallar la suma de una sucesión geométrica finita. Aplicarán entonces una sucesión geométrica para resolver un problema del mundo real (ver anejo: PC.4 Ejemplo para plan de lección - Series geométricas). Sucesiones como funciones322: Los estudiantes explorarán cómo pueden definirse las sucesiones usando fórmulas recursivas y cerradas. Tendrán que contar con conocimiento previo de las sucesiones aritméticas, como las funciones lineales con dominios de números enteros. Para más información, véanse las páginas 56 a la 61: http://www.apskids.org/Documents/Math_1_Teacher_Supplement_Unit_1.pdf. ¿Cuál es la función que se acerca?323: Los estudiantes utilizarán triángulos y definiciones de las funciones trigonométricas para explorar la idea básica de un límite, así como la situación en que no
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Ibídem. Fuente: http://www.google.com/url?sa=t&rct=j&q=%22adding%20arithmetic%20and%20geometric%20series%22%20lesson%20plan& Fuente=web&cd=8&ved=0CGgQFjAH&url=http%3A%2F%2Fmath.la.asu.edu%2F~kolossa%2FTAtraining%2Flessonplans%2Fwee k14.doc&ei=FkvqTqeNFeiriQL1nOSzBA&usg=AFQjCNHgI_SS4rn49Jbmy59_XEAq5K2jeg 321 Fuente: http://www.google.com/url?sa=t&rct=j&q=%22adding%20arithmetic%20and%20geometric%20series%22%20lesson%20plan& Fuente=web&cd=8&ved=0CGgQFjAH&url=http%3A%2F%2Fmath.la.asu.edu%2F~kolossa%2FTAtraining%2Flessonplans%2Fwee k14.doc&ei=FkvqTqeNFeiriQL1nOSzBA&usg=AFQjCNHgI_SS4rn49Jbmy59_XEAq5K2jeg 322 Fuente: http://www.apskids.org/Documents/Math_1_Teacher_Supplement_Unit_1.pdf 323 Fuente: www.curriculumframer.com 320
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Unidad PC.4: Sucesiones, límites y cónicas Matemáticas 4 semanas exista un límite. A continuación, los estudiantes reciben instrucciones directas sobre la definición básica de un límite, así como situaciones en que no exista un límite. Se hará hincapié en el hecho de que decir "el límite es el infinito" induce al error, pues el infinito es una forma específica de explicar cómo es que no existe límite en ciertos casos. 1. Dibuja un triángulo, llámale a un ángulo x y a los lados A, O y H (de adyacente, opuesto e hipotenusa). 2. Pídeles que consideren lo que le ocurre al triángulo a medida que el ángulo x se acerca a 0 grados y el triángulo se aplana bastante. ¿Qué le está sucediendo a las seis funciones trigonométricas? ¿A qué se aproximan las funciones trigonométricas? (Deberán analizar esto con sus gráficas; intenten dibujar triángulos sumamente planos. Debe resultar obvio que la hipotenusa y el lado adyacente se acercan a igualarse, y el lado opuesto se aproxima a 0, lo cual conduce a valores trigonométricos que se aproximan...) 3. Repite el paso 2 considerando que le permitimos al ángulo x aproximarse a 90 grados. ¿A qué se aproximan las funciones trigonométricas? 4. Facilita una discusión entre los estudiantes. ¿En cuáles ejemplos se aproximaba la función trigonométrica a un valor fijo? (El límite existe...) ¿En cuáles ejemplos no se aproximaba a un valor fijo? (El límite no existe...) 5. Haz hincapié en que si mantenemos el triángulo existente como está, entonces x nunca puede alcanzar los 0 o 90 grados. Esto, sin embargo, no afecta la pregunta "¿A qué se aproxima sen x?". 6. Vuelve a expresar "A medida que el ángulo se acercaba a 90 grados, la tangente del ángulo continuaba aumentando sin límite" en notación de límite formal. 7. Conversen sobre el hecho de que decir que existe un límite no implica que la función tiene que adquirir ese valor; por ejemplo, pídeles que consideren la función y = (x2 - 4)/(x + 2). A partir de experiencias pasadas con funciones racionales, los estudiantes a menudo saltan a la conclusión de que hay una asíntota en x = -2. (No la hay, hay un hueco en ese punto.) Pídeles que exploren el comportamiento de esta función alrededor de x = -2, primero al evaluar la función de los valores de x cerca de -2, y luego al simplificar de forma algebraica para ver que simplemente se trata de una línea que no está definida cuando x = -2. Haz hincapié en que cuando simplificamos la expresión y perdemos el factor de variable (x + 2) en el numerador y el denominador, debemos tomar nota de la restricción de dominio, que la función no está definida en x = -2. 8. Una forma común de leer la respuesta a ciertos problemas incluye la expresión: "El límite es... el infinito". Aunque se trata de una forma conveniente de leer una respuesta rápidamente, incluye un error fundamental. El uso de la palabra "es" implica que el límite existe, que de alguna forma nos estamos acercando o aproximando al "infinito". Esto obviamente no tiene sentido. El infinito no es una ubicación a la que uno pueda aproximarse. Enfatiza en que cuando decimos que un límite es el "infinito", lo que en realidad estamos diciendo es que el límite no existe: el "infinito" es un caso específico de "NE" (describe "cómo" es que el límite no existe). 9. Usando ejemplos del libro de texto, demuestra técnicas algebraicas para evaluar límites, incluso la factorización y la cancelación, racionalizar el numerador y dividir por el término de grado mayor y aplicar propiedades de los límites. 10. Repasa las funciones racionales de gráficas con asíntotas verticales. Interpreta estas asíntotas Junio 2012
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como el resultado de los límites que no existen para esos valores de x. 11. Provéeles a los estudiantes ejemplos del libro para que practiquen con los límites. Asegúrate de que los ejercicios incluyan análisis de límites en términos gráficos, numéricos y algebraicos. Límites "en" el infinito324: Los estudiantes analizan límites de razones entre dos funciones en que ambas incrementen individualmente sin límite. Harán predicciones y las corroborarán de forma numérica y gráfica, con la ayuda de una calculadora gráfica. Los estudiantes entonces recibirán instrucciones directas sobre cómo evaluar límites a medida que x incrementa o decrece sin límite y relacionarán estos límites con experiencias pasadas con asíntotas horizontales e inclinadas. 1. Pregúntales qué piensan que podría ser el "infinito dividido por el infinito". (Claro está, el infinito describe la característica de incremento sin límite, y no puede dividirse. Sin embargo, podemos dividir cosas que estén aumentando sin límite y considerar los resultados.) Escribe las siguientes funciones en la pizarra: (a) f(x) = 3 x2 - 2x (b) g(x) = 2 x2 + 5 (c) h(x) = 2x 2. ¿Cuáles son los límites de estas funciones a medida que x incrementa sin límites? (El límite no existe. Las tres funciones incrementan sin límite a medida que x incrementa sin límite.) 3. Reta a los estudiantes a explorar las razones de estas funciones. Podemos crear seis funciones nuevas que sean razones de dos de estas a la vez. (Por ejemplo y = f(x)/g(x).) ¿Pasarán a uno estas razones a medida que x aumenta bastante en tamaño? ¿Es "infinito sobre el infinito" equivalente a uno? (Por lo general no.) 4. Pídeles que trabajen en parejas para crear seis funciones nuevas y analicen sus límites a medida que x incrementa sin límites. Deben primero hacer una predicción de cada uno, y luego verificarla con números (al introducir valores altos para x en una calculadora) y trazando la gráfica de las funciones nuevas en la calculadora gráfica y oprimiendo Zoom Out para observar el comportamiento a medida que x va aumentando bastante de tamaño. 5. ¿Cómo podemos explicar el hecho de que algunos tienen límites de 0, o un valor específico que no es 0, mientras que otros no tienen límites y e incrementan sin parar? (No todos los "infinitos" son iguales: el índice de aumento importa. Por ejemplo, las funciones exponenciales con bases mayores de uno aumentan a una razón mucho mayor —sus gráficas son mucho más inclinadas— que las funciones polinómicas. Es por esto que la razón con h(x) en el numerador aumenta sin límites, mientras que la que tiene h(x) en el denominador se aproxima a 0.) 6. Enfatiza en que debemos tener cuidado a la hora de evaluar el límite de las razones, puesto que x aumenta o se reduce sin límite. 7. Asocia lo que los estudiantes observaron hoy con lo que estudiaron de las asíntotas horizontales anteriormente en la clase. Decir que existe una asíntota horizontal es decir que la función tiene un límite a medida que x aumenta o se reduce sin límite. 8. Contrasta las asíntotas horizontales y verticales; aunque ambas se relacionan con límites, son fundamentalmente distintas. Una asíntota vertical conlleva un comportamiento sobre un valor de x donde el límite no existe, mientras que la asíntota vertical implica la existencia de un límite. 9. Haz hincapié en usar el lenguaje correcto: es mejor decir "el límite a medida que x incrementa Fuente: www.curriculumframer.com
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sin límite", en vez de "el límite en el infinito". 10. Dales a los estudiantes la oportunidad de practicar la evaluación de los límites con ejercicios del libro. Asegúrate de que el conjunto de ejercicios incluya la interpretación como asíntota horizontal (o su ausencia), y la evaluación de límites en términos numéricos, algebraicos y gráficos. (Si no, sácale mayor partido al conjunto de ejercicios extendiendo las instrucciones para incluir los tres acercamientos y una discusión de las asíntotas.) El álgebra de los círculos325: En esta lección detallada, los estudiantes derivarán la ecuación de un círculo dado un centro y un radio usando el teorema de Pitágoras, convertirán de la forma general a estándar una ecuación de un círculo al completar el cuadrado, determinarán el centro y radio de un círculo dada su ecuación y trazarán un círculo en forma estándar a mano y usando la herramienta tecnológica adecuada. Para más información, véanse las páginas 12 a la 16: http://www.apskids.org/Documents/CCGPS%20Math%20III%20Unit%205%20TEACHER%20edition %20Jan%202010v2.pdf El círculo326: Los estudiantes recibirán instrucciones directas sobre la forma estándar de la ecuación del círculo, y se reforzará el hecho de que se trata únicamente de una aplicación de la fórmula de Pitágoras. Repasarán los pasos para completar el cuadrado y lo usarán para cambiar círculos de forma general a forma estándar. Los estudiantes deben entender cómo la intersección de un cono y un plano produce un círculo, y en qué condiciones esa intersección es un círculo y no una sección cónica distinta. 1. Pídeles que describan las formas que crearon en la Actividad de aprendizaje “Equidistante”: ¿cuáles son las características únicas del círculo? Utiliza esto para introducir la definición de un círculo. 2. Utiliza la definición del círculo para derivar la ecuación del círculo en forma estándar. Asegúrate de darle crédito suficiente a Pitágoras y hacer hincapié en el hecho de que se trata simplemente de un enunciado algebraico de la definición previamente discutida. Discutan la convención de usar ciertas letras para rotular el centro: (h, k), y el radio: r. 3. Con un ejemplo, expande tus expresiones y formula la ecuación en forma general. Haz que los estudiantes lo intenten. 4. Repasa los pasos para completar el cuadrado y pídeles que lo usen para convertir ecuaciones de forma estándar de vuelta a la forma general y que tracen la gráfica. No les des ejemplos en que obtengan valores que lleven a un radio de 0 o un radio imaginario, pues esto lo explorarán en la próxima actividad. 5. Lleven a cabo una discusión sobre el círculo como una intersección entre un cono y un plano. ¿Cómo tienen que encontrarse para formar un círculo? (El plano debe estar perpendicular al eje del cono.) No les muestres el caso en que el plano se interseque con el punto del cono que produce un punto único, pues lo descubrirán como parte de la próxima actividad. La elipse327: Con la actividad de aprendizaje “Dos centros”, desarrolla la forma estándar de la elipse a partir de los resultados. Los estudiantes tienen que poder completar el cuadrado para convertir de la forma general a la estándar. Deben también aprender a identificar ejes mayores y menores; esto debe hacerse no como un truco memorizado, sino con un análisis numérico (p. ej.: para hallar
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Fuente: http://www.apskids.org/Documents/CCGPS%20Math%20III%20Unit%205%20TEACHER%20edition%20Jan%202010v2.pdf 326 Fuente: www.curriculumframer.com 327 Fuente: www.curriculumframer.com
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los extremos de los ejes, ¿cuáles son los valores extremos que puede adoptar x? ¿Para qué valor de y se dará esto? Los estudiantes deben entender cómo la intersección de un cono y un plano produce una elipse, y en qué condiciones esa intersección es un círculo y no una sección cónica distinta. 1. Repasa la actividad anterior y vuelvan a estudiar la ecuación de la elipses con focos en (-3, 0), (3, 0) y la distancia fija de 8. 2. Discutan la definición de elipses y relaciónenla con la ecuación de esa elipse específica. 3. Simplifica esta ecuación para producir la forma general; esto resulta un poco confuso, e implica cuadrar ambos lados de la ecuación dos veces y expandir un poco, cancelar y combinar, pero resulta valioso que los chicos lo vean. 4. Esto puede reescribirse fácilmente en forma estándar, puesto que está centrado en el origen. 5. Discutan la forma estándar en términos generales, y demuestren la relación entre a, b y c. (Para estudiantes más avanzados, puedes derivar las formas general y estándar a partir de la definición, pero se vuelve bastante confuso si intentas hacer esto con un centro fuera del origen.) 6. Nombren y discutan los ejes mayor y menor de la elipse. Asegúrate de que los entiendan de forma numérica, no solo como datos memorizados. Usando una elipse centrada en el origen en forma estándar con un eje mayor horizontal, pídeles a los estudiantes que hallen visualmente los puntos que están más alejados del centro. ¿Qué debe ser cierto sobre el valor de y en este punto? (y = 0). Si y = 0, ¿qué debe ser x? Sigue un estilo similar de interrogación para considerar los puntos más cercanos al centro. 7. Introduce ejemplos que no estén centrados en el origen. Pídeles a los estudiantes que pasen de la forma general a la estándar (completar el cuadrado) al extraer la información necesaria para trazar la gráfica de la elipse. 8. Repasa las propiedades físicas de la elipse y el hecho de que son el resultado de la intersección de un plano y un cono. La parábola328: Usa la actividad de aprendizaje “Distancias iguales” para introducir la forma estándar y convierte de forma general a estándar completando el cuadrado. Nombra la directriz y el foco; discutan las propiedades. Los estudiantes deben entender cómo la intersección de un cono y un plano produce una parábola, y en qué condiciones esa intersección es una parábola y no una sección cónica distinta. 1. Utiliza la actividad anterior para motivar una lección sobre las formas de la ecuación de la parábola. Repasen las formas ya estudiadas de cómo escribir la ecuación y compárenlas con la ecuación que incorpora p. 2. Exploren ejemplos que no se centren en el origen (que requieran completar el cuadrado) y ejemplos que se abran hacia abajo, a la derecha o a la izquierda. 3. Dadas ecuaciones en varias formas, los estudiantes deben poder no solo trazar la gráfica de la parábola, sino también la gráfica del foco y la directriz. 4. Discutan cómo se genera una parábola por intersección de un cono y un plano. ¿Qué debe ser cierto sobre la intersección para que se forme una parábola? (El plano debe ser paralelo al borde exterior del cono para que interseque solo uno de los conos, y no pique el cono por completo, formando una elipse). Ibídem.
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5. Discutan y hagan un diagrama de la propiedad del foco de la parábola. Un proyector, con la bombilla ubicada en el foco de la parábola, es un ejemplo claro con el que los estudiantes deben familiarizarse. Dos líneas, mayormente...329: Los estudiantes comienzan con ecuaciones de hipérbolas, y las comparan con ecuaciones de líneas en términos de hallar los puntos en las formas. Consideran los puntos que están cerca del centro y alejados de este. En términos numéricos, descubrirán la idea de que las hipérbolas son asintóticas con las líneas. A continuación, con una función gráfica, deberán comparar las hipérbolas con las asíntotas. Finalmente, en la actividad que sigue, deberán resolver las hipérbolas para y e investigar el límite de las funciones de manera informal. 1. Esta actividad requiere el uso de una función gráfica: la TI-83 es una opción. 2. Considera una hipérbola sumamente sencilla: x al cuadrado - y al cuadrado = 1. Resuelve esto para y y haz la gráfica de puntos. Intenta x = 0 (imposible), 1, 2, 3, 4, 5 y algunos puntos mayores como 10, 100, y 1000. 3. Pídeles a los estudiantes que consideren las líneas y = x y y = -x. Construye una gráfica de puntos de estas líneas usando los mismos valores de x que en el paso 2. Compara estos resultados con los puntos de la hipérbola. ¿Qué observas? 4. Utiliza estos números para hacer un boceto rápido a mano de la hipérbola con los valores de x y y entre -5 y 5, y luego traza la gráfica de las líneas en el mismo conjunto de ejes. 5. Para una vista distinta de la hipérbola, pídeles que hagan otro dibujo, pero que dividan los ejes desde -1000 hasta 1000 (a esta distancia, no puedes representar el poquito de curvatura en el origen y no deberá poder distinguirse la hipérbola de las líneas). Utiliza este diagrama para llevar a cabo una discusión de los límites y las asíntotas. 6. Ahora, dales a los estudiantes un conjunto variado de hipérbolas centradas en el origen. Pídeles que tracen la gráfica de cada una usando una herramienta tecnológica (en la TI-83 esto requiere resolver cada hipérbola para y, generando dos funciones cuyas gráficas deben trazarse para ver la hipérbola. Este es un buen momento para repasar funciones y discutir por qué las hipérbolas que vayan a trazar no son funciones.). 7. Para cada hipérbola, haz que los estudiantes quiten la constante de 1 y tracen la gráfica con lo que quede. (Asimismo, resolverán para y, pero en esa ocasión el resultado serán dos líneas.) Como vimos en el ejemplo inicial, estas son las asíntotas. 8. Para cada hipérbola, con asíntotas cuya gráfica fue trazada a la vez, deben observar las gráficas con diferentes ajustes de pantalla. Asegúrate de que opriman Zoom Out lo suficiente para ver el segmento curveado en el centro desaparecer. 9. Vuelvan a discutir la idea de un límite según se puede observar en las gráficas. Además, al observar las gráficas de los números, considera el hecho de que la constante de 1 se hace trivial a medida que nos alejamos del centro, y la hipérbola prácticamente se vuelve igual a las asíntotas. Discutan el concepto de límite.
Fuente: www.curriculumframer.com
Junio 2012
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Unidad PC.4: Sucesiones, límites y cónicas Matemáticas 4 semanas
La hipérbola330: Empezando por el ejemplo para plan de la lección “Dos líneas, mayormente…”, lleven a cabo una discusión de las hipérbolas y sus asíntotas. Aprenderán a generar las asíntotas a partir de la actividad de seguimiento del día anterior, así como el atajo al usar los ejes transversal y conjugado. Es importante que vean cómo se relacionan ambos acercamientos. Considera además la hipérbola como el resultado de una definición geométrica. Al igual que con las cónicas anteriores, tendrán que convertir de la forma general a la estándar. Deben entender cómo la intersección de un cono y un plano produce una hipérbola, y en qué condiciones esa intersección es un círculo y no una sección cónica distinta. 1. Utiliza la discusión de la actividad del día anterior para empezar a estudiar las hipérbolas. 2. Introduce y discute la definición geométrica (todos los puntos de forma tal que la diferencia entre las distancias a dos puntos fijos sea una constante). Cabe admitir que esta es la definición más difícil para los estudiantes, y la que más les cuesta internalizar. Utiliza una gráfica para demostrar la diferencia constante visualmente y calcularla para un par de puntos, para darles una idea. 3. Muéstrales cómo generar las asíntotas usando una caja determinada por el eje transversal y el conjugado, pero asegúrate de que lo relaciones con la exploración del día anterior de las líneas resultantes cuando quitas el término constante. 4. Reescribe en forma estándar ecuaciones que estén en forma general (completar el cuadrado) para extraer información útil para trazar gráficas. 5. Discutan las propiedades físicas de la hipérbola (las torres de enfriamiento nuclear son una aplicación interesante), y discutan cómo la intersección de un plano y un cono doble crea una hipérbola (el plano debe intersecar ambos conos para crear la hipérbola).
Recursos adicionales
http://profjserrano.wordpress.com/ http://education.ti.com/downloads/guidebooks/graphing/84p/TI84Plus_guidebook_ES.pdf http://isa.umh.es/calc/TI/TI83/TI83manual-spa.pdf Matemáticas Integradas I, II, III de Houghton-Mifflin
Conexiones a la literatura Nota: Aunque los siguientes libros están dirigidos a estudiantes de la escuela primaria, éstos apuntan a los principios fundamentales de matemáticas los cuales se pueden explorar en todos los niveles. Todo el mundo disfruta de que alguien le lea y los estudiantes de la escuela secundaria no son la excepción. Estos libros son una excelente introducción a las unidades de estudio. Growing Patterns: Fibonacci Numbers in Nature de Sarah C. Cambell Buenas noches luna de Margaret Wise Brown Más allá de la coincidencia de Martin Plimmer El matemático del rey de Juan Carlos Arce La música de los números primos: El enigma de un problema matemático abierto de Marcus Du Sautoy Trigonometric Delights de Eli Maor
330
Fuente: www.curriculumframer.com
Junio 2012 Adaptado de Understanding by Design de Grant Wiggins y Jay McTighe
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Matemáticas Anejos Pre Calculo
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Unidad PC.1: Funciones y gráficas Matemáticas Actividad de aprendizaje - Las funciones racionales y sus gráficas
Las funciones racionales y sus gráficas PARTE I Para cada uno de los problemas a continuación: a. Halla el dominio. Iguala el denominador a cero y resuelve D(x) = 0. Las soluciones de esa ecuación son las discontinuidades de la función y no están en el dominio. b. Halla todos los ceros de la función. Iguala el denominador a cero y resuelve N(x) = 0. Si una o más de las soluciones son también soluciones de D(x) = 0, entonces ese valor de x representa la ubicación de una discontinuidad en la gráfica. Las soluciones que son únicas de N(x) = 0 representan las intercepciones en x de la gráfica. Traza los puntos de esas intercepciones . c. Identifica cualquier asíntota vertical y horizontal. Trázalas en la gráfica que tiene la línea entrecortada. d. Halla la intercepciones en y (si alguna al evaluar f(0). Traza ese punto. e. Halla y traza uno o dos puntos antes y fuera de cada una de las asíntotas verticales. f. Traza la gráfica de la función. Corrobora tus respuestas de forma gráfica usando una herramienta gráfica, y de forma numérica, al crear una tabla de valores usando la función de tabla. 1.
2.
3.
4.
5.
PARTE II 1. ¿Qué simetría ves en las gráficas trazadas en la parte I? (Piénsalo en términos de funciones pares e impares.) 2. El doble cero en el No. 2 causó la tangencia con el eje de x. ¿Qué podemos hacerle al No. 5 para hacer que su "parábola" sea una tangente del eje de x? ¿Cómo cambiaría esto tus respuestas a esta pregunta? 3. Ninguna de estas gráficas tenía "saltos" por las discontinuidades. Supón que quiero que la discontinuidad en el No. 3 sea una discontinuidad en vez de una asíntota. ¿Cómo debo cambiar la ecuación? ¿Cómo cambiaría esto la gráfica? 4. ¿Cuáles de los problemas anteriores tienen un recorrido que es el conjunto de todos los números reales? ¿Cómo lo sabes a partir de la gráfica? 5. Escribe una ecuación de una función racional que tenga (a) por lo menos un cero, (b) dos asíntotas verticales y una "discontinuidad", y (c) una asíntota horizontal que no sea 0. Dáselo a otro estudiante para que lo resuelva. Fuente: http://doe.louisiana.gov/topics/comprehensive_curriculum.html “Advanced Math Pre Calculus” “02 AM_PreCalc_U3_BLM.doc” 1323
Unidad PC.1: Funciones y gráficas Matemáticas Actividad de aprendizaje - Reflexiones exponenciales
Problema 1 - Reflexión de la función exponencial Introduce la ecuación y = ex en la pantalla . A continuación, oprime y selecciona ZStandard para observar su gráfica. ¿Cómo se vería la inversa de esta gráfica?
Recuerda que una inversa es cuando la entrada (x) se cambia por la salida (y). Oprime y anota los valores de y en la columna del valor de y original en la tabla a continuación. Ahora, anota las inversas de cada punto al intercambiar los valores de x y de y; anota los resultados en las columnas inversas en la tabla a continuación.
Valor de x original
Valor de y original
Valor de x inverso
Valor de y inverso
-2 -1 0 1 2 3
1324
Unidad PC.1: Funciones y gráficas Matemáticas Actividad de aprendizaje - Reflexiones exponenciales Ahora traza los siguientes puntos inversos al oprimir e introducir los valores inversos en L1 y L2. Para trazar los diagramas de difusión de ambas listas, oprime y reproduce la pantalla a la derecha. Ahora oprime para observar los valores trazados. ¿Qué notas sobre los valores trazados?
Traza la gráfica de la ecuación y = x para probar tu observación.
Halla la inversa de y = ex. Esto se hace intercambiando x y y (intercambiando la entrada y la salida) en la ecuación, y solucionando para y.
Comprueba el resultado que obtuviste trazando la gráfica del resultado para ver si pasa por todos los puntos trazados.
Extensión – Reflejar y = 10x Repite el mismo proceso, pero utilizando y = 10x.
Fuente: Texas Instruments Incorporated, 2010
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Unidad PC.1: Funciones y gráficas Matemáticas Ejemplo para plan de lección - Cómo trabajar con funciones exponenciales y logarítmicas
Cómo trabajar con funciones exponenciales y logarítmicas: 1. Comienza con la gráfica de y = 3x. Escribe una ecuación de cada una de las condiciones a continuación y traza la gráfica al identificar todas las asíntotas e intercepciones. Corrobora tu respuesta con una calculadora gráfica. a) Refleja la gráfica por el eje de x. b) Refleja la gráfica por el eje de y. c) Desliza la gráfica tres unidades hacia arriba y desliza la gráfica cuatro unidades a la derecha. d) Refleja la gráfica por el eje de x, luego deslízala dos unidades a la derecha. 2. Traza la gráfica en el mismo conjunto de ejes: f(x) = 2x y g(x) = log2 x. ¿Cuál es la relación entre f(x) y g(x)? 3. Completa la tabla a continuación: f(g(x)) =
f(x)
g(x)
Dominio de f(g(x))
Dominio de f
Dominio de g
1. ln(x2-4)
2. e|x|
3. (1 – lnx)2
4. 2
1
x
4. ¿Cuáles de las funciones compuestas en la tabla anterior son pares, impares o ninguna? ¿Cómo lo sabes? 5. ¿Cuáles de las funciones en la tabla tienen una inversa que sea una función? Justifica tu respuesta. 6. Halla f
1
( x) para la(s) función(es) que tenga(n) una inversa.
Fuente: http://doe.louisiana.gov/topics/comprehensive_curriculum.html “Advanced Math Pre Calculus” “09 AM_PreCalc_U3_BLM.doc” 1326
Unidad PC. 1: Funciones y gráficas Matemáticas Ejemplo para plan de lección - Las funciones y sus inversas Las funciones y sus inversas En esta tarea, nos centraremos en hallar las inversas de algunas de las funciones que has estudiado hasta este punto. Para poder entender las ideas relacionadas con las inversas, responderemos a varias preguntas críticas: ¿Qué se quiere decir con la composición de dos o más funciones? ¿Cuál es la relación entre una función y su inversa? ¿Cuál es el procedimiento que utilizamos para hallar la inversa de una función dada? ¿Cómo probamos que dos funciones son la inversa una de la otra? ¿Cómo están las gráficas de las funciones inversas relacionadas? ¿Cuáles funciones tienen inversas? Comenzaremos con Marcos y su novia Sidney. Tanto Marcos como Sidney necesitan celular nuevo. El proveedor de celulares cerca de su escuela está dando un descuento de 15 % en teléfonos para estudiantes que traigan un cupón del periódico escolar. El sábado que Sidney y Marcos van a comprar sus teléfonos se enteran de que la compañía de celulares está dando también un reembolso de $35 en el momento a cualquier cliente que compre un teléfono con pantalla táctil ese día. 1. Supón que x representa el precio original de un teléfono con pantalla táctil. a. Escribe una función P(x) que represente cuánto pagaría un cliente por un teléfono con pantalla táctil después del reembolso de $35. b. Escribe una función D(x) que represente cuánto pagaría un cliente por un teléfono con pantalla táctil si obtienen un descuento de solo 15 %. 2. Sidney sabe exactamente cuál teléfono quiere. Entra a la tienda, coge el teléfono y va directamente a la caja para pagar. Una vez el cajero aplica el reembolso de $35, Sidney le entrega el cupón de estudiante de 15 % de descuento, que el cajero también aplica a la compra. a. Escribe una función H(x) que represente cuánto pagó Sidney por su teléfono. b. Para determinar cuánto pagó Sidney por su teléfono, el cajero primero aplicó la función P(x), escrita en la Parte 1a, y luego aplicó el resultado de P(x) a la función D(x) escrita en la Parte 1b. A este proceso, en el que se usa el valor de salida de una función como valor de salida de otra, se le denomina composición de dos funciones. En este caso H(x) es la composición de las funciones D y P. Hay dos notaciones distintas para las composiciones de funciones. Podemos escribir esta composición como o como En otras palabras, . Supón que el precio original del teléfono de Sidney era $99. Halla P(99)P(99) y luego D(P(99)). ¿Cuánto pagó Sidney después del reembolso y el descuento de 15 %? Usando la función que escribiste en la Parte 2ª, halla H(99). ¿Obtuviste la misma cantidad? 3. Marcos finalmente elige un celular. Lo lleva a otra caja. Le entrega al cajero el cupón de estudiante, y el cajero lo aplica a la venta. Entonces le recuerda al cajero que se trata de un teléfono con pantalla táctil y pide el reembolso de $35. a. ¿En qué forme difiere la forma en que Marcos pagó su teléfono de la forma en que lo hizo Sidney? b. Escribe una función F(x) que represente la cantidad de dinero que Marcos pagó por su teléfono. c. Representa F(x), usando ambas notaciones, como la composición de dos funciones D y P. ¿Cómo difiere esta composición de H(x), la cantidad que pagó Sidney? d. El costo original del teléfono de Marcos también era de $99. ¿Cuánto pagó él por su teléfono? e. Compara las cantidades que pagaron Marcos y Sidney por sus teléfonos. Con esta comparación en mente, ¿qué puedes afirmar sobre la composición de dos funciones? Consideremos otro ejemplo de la composición de funciones.
1327
Unidad PC. 1: Funciones y gráficas Matemáticas Ejemplo para plan de lección - Las funciones y sus inversas 4.
Aisha necesita hacer una gráfica de datos de temperatura experimentales para un proyecto científico. Ya ha medido todas sus temperaturas en grados Farenheit, pero la maestra quiere que ponga los datos en kelvins. a. Aisha halló la siguiente ecuación para convertir de grados Farenheit a grados Celsios: , donde x representa los grados en Farenheit y C(x) representa los grados en
celsios. Utiliza esta fórmula para convertir el punto de congelación (32 ˚F) y el punto de ebullición (212 ˚F) a grados celsios. b. Aisha también halló la siguiente función para convertir los grados celsios a kelvins: , donde x representa los grados celsios y k(x) representa los kelvins. Utiliza esta fórmula y los resultados de la parte a para expresar el punto de congelamiento y de ebullición en kelvins. c. Utiliza las fórmulas de la parte a y la parte b para convertir lo siguiente a kelvins: -238 ˚F, 5000 ˚F. d. Escribe la función h(x) = K(c(x)). ¿Qué representa x en esta función? ¿Qué representa h(x)? e. Utiliza un función h(x) para convertir -238 ˚F y 5000 ˚F a kelvins. ¿Se corresponden tus resultados con lo que obtuviste en la parte c? En los ejemplos anteriores, exploraste la operación de funciones llamada composición de funciones. La composición de funciones se define de la siguiente forma: si f y g son funciones, la función compuesta f ∘ g (léase esta notación “f composición g”) es la función que tiene la fórmula (f ∘ g) (x) = f(g(x)), donde x está en el dominio de g y g(x) está en el dominio de f. Ahora permitamos que Aisha, y otros, nos ayuden a responder a nuestras próximas tres preguntas críticas: ¿Cuál es la relación entre una función y su inversa? ¿Cómo probamos que dos funciones son inversas una de la otra? ¿Qué procedimiento usamos para hallar la inversa de una función dada? Resulta ser que el proyecto de Aisha fue seleccionado para competir en una feria científica del distrito escolar. Sin embargo, los jueces le han hecho una sugerencia: que exprese las temperaturas en grados celsios en vez de kelvins. (A Aisha le encantaría que se pusieran de acuerdo.) 5. Recuerda que para convertir de grados celsios a kelvins, usamos la función K(x) = x + 273, donde x representa los grados celcios y K(x) representa los kelvins. Supón que escribimos esa función como la fórmula K = C + 273. a. Halla una fórmula de C en términos de K. ¿Qué te dice la fórmula? b. Escribe una función C de forma tal que C(x) sea la temperatura en celsios correspondiente a una temperatura x en kelvins. c. Explica textualmente el proceso de conversión de grados celsios a kelvins. ¿Expresan la misma idea la ecuación K =C + 273 y la función K(x) = x + 273? d. Explica de forma verbal el proceso de conversión de kelvins a grados celsios. ¿Expresan la misma idea tu fórmula de la parte a y la función c de la parte b? e. Calcula la función compuesta (C ∘ K)(x), y simplifica tu respuesta. ¿Cuál es el significado de x cuando utilizamos x como entrada de esta función? Al tomar las composiciones de las funciones K y C en las Partes 5e y 5f, comenzamos con un número de entrada, aplicamos una función y luego usamos la salida a partir de la primera función como entrada para la otra función. En cada uno de estos casos, ya sea que hayamos calculado (C ∘ K)(x) ó (K ∘ C)(x), la salida final era el número de entrada inicial. Tus cálculos muestran que esto ocurre con cualquier opción del número de entrada x. Es por esta relación especial entre C y K que se le llama inversa de la función K (o viceversa, K es la inversa de C) a la función -1 C, y usamos la notación K (léase “inversa de K”) como otro nombre para la función C.
La definición precisa de las funciones inversas es: si f y h son dos funciones de forma tal que (h∘ f)(x) = h(f(x)) = x para cada entrada x en el dominio de f,
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Unidad PC. 1: Funciones y gráficas Matemáticas Ejemplo para plan de lección - Las funciones y sus inversas y (f∘ h)(x) = f(h(x)) = x para cada entrada x en el dominio de h, -1
entonces h es la inversa de la función, y escribimos h = f . Además, f es la inversa de la función h, y podemos -1 escribir f =h . Fíjate en que la notación de las funciones inversas se parece a la notación de recíprocas, pero en la notación de funciones inversas el exponente “-1” no indica una recíproca. 6.
7.
Cada una de las siguientes describe la acción de una función f en una entrada de número real cualquiera. Para -1 cada parte, describe en palabras la acción de la función inversa, f , en cualquier entrada de número real. Recuerda que la acción compuesta de dos funciones debe devolvernos la entrada original. a. Acción de la función f: réstale diez a cada entrada -1 Acción de la función f : b. Acción de la función f:súmale dos tercios a cada entrada -1 Acción de la función f : c. Acción de la función f:multiplica cada entrada por un medio -1 Acción de la función f : d. Acción de la función f:multiplica cada entrada por tres quintos y súmale ocho -1 Acción de la función f : Por cada parte de la Parte 6, escribe una regla algebraica para la función y verifica que a partir de las reglas se -1 -1 obtenga la relación inversa correcta al demostrar que f (f(x)) = x y f (f (x)) = x por cualquier número real x.
Antes de proceder, hay que señalar que hay muchas funciones que no tienen una función inversa. Aprenderemos cómo probar estas funciones para ver si tienen una inversa más adelante en esta tarea. Por ahora, nos centraremos en las funciones que tienen inversa. Una función que tiene una función inversa se llama invertible. -1 8. En las tablas a continuación se proveen valores seleccionados para una función f y su función inversa f . a. Utiliza los valores dados y la definición de función inversa para completar ambas tablas. -1 x f(x) x f (x) 11 3 3 9 5 10 7 7 6 10 3 15 3 11 1 -1
b.
Por cualquier punto (a, b) en la gráfica de f, ¿cuál es el punto correspondiente en la gráfica de f ?
c.
Por cualquier punto (b, a) en la gráfica de f , ¿cuál es el punto correspondiente en la gráfica de f? Justifica tu respuesta.
-1
Como has podido ver al trabajar en la pregunta 8, si f es una función invertible y a es la entrada de la función f con -1 la que se obtiene la salida b, entonces b es la entrada de la función f con la que se obtiene a como salida. Por el -1 contrario, si g es una función invertible y b es la entrada de la función f con la que se obtiene a como salida, entonces a es la entrada de la función f con la que se obtiene b como salida. Estipulado formalmente con la notación de función obtenemos la propiedad siguiente:
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Unidad PC. 1: Funciones y gráficas Matemáticas Ejemplo para plan de lección - Las funciones y sus inversas Propiedad de la función inversa: por cualquier función invertible f y cualquier número real a y b en el dominio y recorrido de f, respectivamente, -1 f(a) = b si y solo si f (b) = a. 9.
Una vez Aisha había convertido las temperaturas en el artículo científico de kelvins a celsios, decidió, solo como referencia propia, calcular la temperatura Fahrenheit correspondiente a la temperatura en celsios. a.
Utiliza la fórmula
para hallar una fórmula para convertir las temperaturas en la otra
dirección, de una temperatura en grados celsios a la temperatura correspondiente en grados Fahrenheit. b.
Ahora, sea
, la función con la que se obtiene la temperatura en grados celsios de
cualquier temperatura dada de x grados Fahrenheit. ¿Qué se obtendría de la inversa de la función C? Utiliza la fórmula que hallaste en la parte a para ayudarte a hallar una fórmula de . c.
Corrobora que, para las funciones cualquier número real x.
y
de la parte b,
por
En la pregunta 9, se ilustra el proceso algebraico general para hallar la fórmula de la función inversa cuando nos proveen la fórmula de la función original. Este proceso se centra en la idea de que solemos representar las funciones usando x para la entrada y y para las salidas y se aplica la propiedad de función inversa. Veamos otro ejemplo. 10. Supón que María cobra un costo fijo de $10 más $9 por hora por cada vez que trabaja de niñera. La función nos da la cantidad de dinero que ganaría María por x horas de cuidar niños. a. ¿Qué nos diría la inversa de esta función? b.
Para hallar
, escribimos la función
como
y resolvemos para x. Esto nos da
. La propiedad de función inversa nos dice que la salida de f se convierte en la entrada lo tanto, escribimos la ecuación y
. Por
como la inversa de f usando x para representar nuestra entrada
o y para representar nuestra salida.
c. d. e. f. g.
Halla y explica qué significa. Determina el dominio y recorrido de la función que sirve de modelo para lo que cobra María por cuidar niños. Determina el dominio y recorrido de en el contexto de lo que cobra María por cuidar niños. En general, ¿cuáles son las relaciones entre los dominios y recorridos de una función invertible y su inversa? Explica tu razonamiento. Recuerda que probamos que dos funciones son inversas al verificar que Demuestra que y en esta parte son inversas.
En los próximos ejercicios exploraremos otro asunto crítico: cómo se relacionan las gráficas de funciones inversas.
1330
Unidad PC. 1: Funciones y gráficas Matemáticas Ejemplo para plan de lección - Las funciones y sus inversas 11. Por cada parte a continuación, utiliza un estándar, una pantalla de gráfica cuadrada con y . a. Para las funciones en el ejercicio 6, parte a, traza la gráfica , y la línea en los mismos ejes. b.
Para las funciones en el ejercicio 6, parte c, traza la gráfica
, y la línea
en los mismos ejes.
c.
Para las funciones en el ejercicio 6, parte d, traza la gráfica
, y la línea
en los mismos ejes.
d.
Si se trazaran las gráficas en un papel y se doblara este por la línea
e.
¿Piensas que obtendrías el mismo resultado con la gráfica de cualquier función f y su inversa si se trazaran en los mismos ejes usando la misma escala en ambos ejes? Explica tu razonamiento.
, ¿qué ocurriría?
12. Considera la función a.
Halla la función inversa algebraicamente.
b.
Traza una gráfica precisa de la función f en papel cuadriculado y usa la misma escala en ambos ejes.
c.
¿Qué sucede cuando doblas el papel por la línea y = x? ¿Por qué ocurre esto?
Finalmente, miremos nuestra última pregunta: ¿cuáles funciones tienen inversa y cuáles no? Para investigar esta pregunta, compararemos dos relaciones muy simples: y . Recordemos que para que cualquier relación sea una función, debe ser cierto que por cada elemento del dominio, haya un elemento pareado exactamente en el recorrido. Al observar las gráficas de estas funciones, y al usar la prueba de la línea vertical, podemos ver rápidamente que ambas relaciones son también funciones: por cada entrada hay exactamente una salida.
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Unidad PC. 1: Funciones y gráficas Matemáticas Ejemplo para plan de lección - Las funciones y sus inversas
Tabla 1: x 3 2 1 0 -1 -2 -3
Tabla 2: 3x 9 6 3 0 -3 -6 -9
x 3 2 1 0 -1 -2 -3
2
X 9 4 3 0 -3 4 -9
13. Sea y . a. Usa los valores de la tabla 1 y lo que has aprendido hasta ahora para hacer una tabla de valores que corresponda a los de una relación inversa para f. b. En los mismos ejes de coordenadas que arriba, traza una gráfica que corresponda a la de una relación inversa para f. c. ¿Representan una función los pares ordenados de tu tabla de la parte a y la gráfica de la parte b? Justifica tu respuesta. d. Utiliza los valores en la tabla 2 para hacer una tabla de valores que corresponda a los de una relación inversa para g. e. En los mismos ejes de coordenadas que arriba, traza una gráfica que corresponda a la de una relación inversa para g. f. ¿Representan una función los pares ordenados de tu tabla de la parte d y la gráfica de la parte e? Justifica tu respuesta. A partir de tus respuestas del ejercicio 13, es posible que hayas notado que aunque f y g son funciones (por cada entrada, hay solamente una solida), hay una diferencia importante en estas dos funciones. En el caso de , no solo es cierto que por toda entrada hay exactamente una salida, también es cierto que por toda salida hay exactamente una entrada. Decimos que hay una correspondencia uno a uno entre los elementos en el dominio y los elementos en el recorrido de esta función. Las funciones para las que hay una correspondencia uno a uno entre los elementos del dominio y los elementos del recorrido se dice que son funciones uno a uno. 14. Las funciones uno a uno pueden reconocerse rápidamente usando una prueba de línea horizontal. a. Explica cómo podrías usar una prueba de línea horizontal para determinar si una función es de uno a uno. ¿Por qué funciona esto? b. ¿Es una función de uno a uno? Justifica tu respuesta. c. A partir de tu experiencia con el ejercicio 13, ¿cuáles funciones piensas que tienen inversas que también son funciones? Justifica tu respuesta. Fuente: http://www.apskids.org/Documents/Math%20II%20Unit%205%20TE%20APS%20Supplement_v1.pdf 1332
Unidad PC.2: Aplicación de las funciones trigonométricas Matemáticas Actividad de aprendizaje - Cómo calcular los valores de funciones trigonométricas de ángulos generales
2. Completa la tabla a continuación:
Cómo calcular los valores de funciones trigonométricas de ángulos generales
Ángulo
1. Completa la tabla a continuación: Ángulo
-225
o
o
570
-840
o
Coterminal Ángulo o 0 - 360
Referencia Ángulo
sen
cos
Coterminal 0 - 2π
Referencia Ángulo
sen
cos
tan
7 2
tan
11 4
23 6 14 3
o
675
-390
23 3
o
15π o
780
1333
Unidad PC.2: Aplicación de las funciones trigonométricas Matemáticas Actividad de aprendizaje - Cómo calcular los valores de funciones trigonométricas de ángulos generales
3. En los problemas a continuación, se da un punto del lado terminal de un ángulo θ. Halla el valor exacto de sen , cos y tan . a) (4, 3)
b) (-3, -3)
c) (-1, 0)
4. En los problemas a continuación, identifica el cuadrante en que yace el ángulo θ. a) sen θ < 0, tan θ > 0 __________________ b) cos θ > 0, csc θ < 0__________________ c) cos θ < 0, cot θ < 0__________________ d) sec θ > 0, sen θ < 0__________________
5. Halla el valor exacto de cada una de las funciones trigonométricas restantes de θ a) sin
12 , en el cuadrante II 13 cos
tan
sec
csc
cot
tan
sec
csc
cot
4 5
b) cos , en el cuadrante III sen
Fuente: http://www.doe.state.la.us/topics/comprehensive_curriculum.html
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Unidad PC.2: Aplicación de las funciones trigonométricas Matemáticas Actividad de aprendizaje - Leyes del seno y coseno
¿Cómo hallo los lados y ángulos desconocidos en los triángulos no rectángulos? Ley del coseno
Cuándo usar la ley del coseno
Ley del seno
Cómo hallar lo que no se sabe
Cuándo usar la ley del seno
Lados y ángulos de los triángulos no rectángulos
Práctica de la ley del coseno Ejemplo 1: Si en un triángulo ABC, a=17, b=20, c=25 halla A.
Ejemplo 2: En un triángulo ABC, a=8, c=7, ángulo B=131°. Halla b y el ángulo C.
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Unidad PC.2: Aplicación de las funciones trigonométricas Matemáticas Actividad de aprendizaje - Leyes del seno y coseno
Ahora hazlo tú En cada caso, resuelve el triángulo ABC (halla los valores que faltan): a) a=3, b=5, c=6 b) a=17, b=13, ángulo C=53°
Práctica de cómo usar la lay del seno Ejemplo 1: Resuelve el triángulo ABC si a=45, el ángulo A=97°, y el ángulo B=24°.
Ahora hazlo tú En casa caso, resuelve el triángulo ABC (halla los valores que faltan): a) b=11, A=72°, B=29° b) b=1.92, c=0.778, B=115°
Fuente: http://www.amaps.org/leftfiles/Syllabi/Algebra%202%20Sample%20Tasks.pdf
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Unidad PC.2: Aplicación de las funciones trigonométricas Matemáticas Ejemplo para plan de lección - Sigue a la gráfica
Notas de demostración para el maestro de “Sigue a la gráfica” Utiliza las ecuaciones siguientes para demostrarles a los estudiantes cómo se usan las calculadoras gráficas. Asegúrate de discutir con ellos los efectos de los cambios en los parámetros una vez hayan trazado la gráfica de cada ecuación. La ecuación general de una parábola es y = a(x + b)2 + c. Traza la gráfica de y = x2. Esta es nuestra función de parábola básica. Ahora observemos lo que sucede si cambiamos el valor del parámetro a. Traza la gráfica de y = 4 x2. Traza la gráfica de y = ¼ x2. Traza la gráfica de y = -2x2. ¿Qué podemos concluir sobre el efecto del parámetro a en la gráfica de la parábola? Ahora observemos lo que ocurre cuando cambiamos el valor del parámetro c. Traza la gráfica de y = x2 + 4. Traza la gráfica de y = x2 + .5 Traza la gráfica de y = x2 – 3. ¿Qué podemos concluir sobre el efecto del parámetro c en la gráfica de la parábola? Ahora observemos lo que ocurre cuando cambiamos el valor del parámetro b. Traza la gráfica de y = (x + 4)2. Traza la gráfica de y = (x + ½ )2. Traza la gráfica de y = (x– 2) 2. ¿Qué podemos concluir sobre el efecto del parámetro b en la gráfica de la parábola? Hoy vas a investigar las gráficas de funciones trigonométricas y los efectos que un simple cambio pequeño en el parámetro puede tener sobre la gráfica. Para comenzar, trazarás la gráfica de lo que llamamos la función trigonométrica básica. A continuación, examinarás los valores de diferentes 1337
Unidad PC.2: Aplicación de las funciones trigonométricas Matemáticas Ejemplo para plan de lección - Sigue a la gráfica variables (parámetros). Escribe cada ecuación antes de trazar la gráfica. Asegúrate de incluir algunas fracciones, así como enteros, y de trazar la gráfica de cada cambio con un lápiz de color en la cuadrícula provista.
Comencemos por la función de seno. Por lo general, tenemos y = c + a sen b(x+d).
Traza la gráfica de y = sen x. Esta es la curva de seno básica. A medida que cambias cada parámetro, fíjate en cómo se diferencia la nueva gráfica de la curva básica.
Ahora observemos y = a sen x. Escoge tres valores distintos para a y traza la gráfica de las ecuaciones. Haz tus gráficas con lápices de colores distintos en la gráfica provista.
Describe el efecto de cambiar el parámetro a.___________________________________ ________________________________________________________________________ ¿Qué sucede si a es un número negativo? ______________________________________ 1338
Unidad PC.2: Aplicación de las funciones trigonométricas Matemáticas Ejemplo para plan de lección - Sigue a la gráfica
Ahora observemos y = c + sen x. Escoge tres valores distintos para c y traza la gráfica de las ecuaciones. Haz tus gráficas con lápices de colores distintos en la cuadrícula provista.
Describe el efecto de cambiar el parámetro c.___________________________________ ________________________________________________________________________ ¿Qué sucede si c es un número negativo? ______________________________________ Ahora observemos y = a sen bx. Escoge tres valores distintos para b y traza la gráfica de las ecuaciones. Haz tus gráficas con lápices de colores distintos en la gráfica provista.
Describe el efecto de cambiar el parámetro b.__________________________________ ________________________________________________________________________ ¿Qué sucede si b es un número negativo? ______________________________________
Ahora observemos y = sen (x + d) donde d es un múltiplo de π. Escoge tres valores distintos para d y traza la gráfica de las ecuaciones. Haz tus gráficas con lápices de colores distintos en la cuadrícula provista.
Describe el efecto de cambiar el parámetro d.__________________________________ ________________________________________________________________________ 1339
Unidad PC.2: Aplicación de las funciones trigonométricas Matemáticas Ejemplo para plan de lección - Sigue a la gráfica
¿Qué sucede si d es un número negativo? ______________________________________ Usando una calculadora gráfica, repite el procedimiento anterior con la función de coseno, la función de tangente, la función de secante, la función de cosecante y la función de cotangente. Una vez lo hagas, generaliza lo que has aprendido sobre los efectos de los cambios en cada parámetro en el espacio provisto a continuación. Halla la amplitud de cada uno de los siguientes. _____________ 1. y = 3 + 2 sen (x-π) _____________ 2. y = -1/2 – 5 cos (2x + 4π)
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Unidad PC.2: Aplicación de las funciones trigonométricas Matemáticas Ejemplo para plan de lección - Sigue a la gráfica Halla el periodo de cada uno de los siguientes. _____________ 3. y = 3 tan 2x _____________ 4. y = - sen(3x + 2π) _____________ 5. y = 2 + 3 sec (x - π) Halla el deslizamiento vertical de cada uno de los siguientes. _____________ 6. y = 2 + csc ( x + 7) _____________ 7. y = cot(x) – 6 _____________ 8. y = – 4 sen 3(x - π) Halla el deslizamiento de fase de cada uno de los siguientes. _____________ 9. y = 2 + 4 sen 8(x - π) _____________ 10. y = - – 3 tan (2x + 3π) _____________ 11. y = cos (4x - 6π) Discute la gráfica de cada una de las funciones siguientes. Asegúrate de mencionar el periodo, la amplitud, el deslizamiento vertical o el cambio de fase, según corresponda. Traza la gráfica de la función. No usas la calculadora gráfica. _____________ 12. y = 3 + 2 sen (x - π)
_____________ 13. y = - 1 + ½ sec (2x + π/2)
1341 Fuente: Desarrollado por Debbie Lloyd, Vernon High School, Washington County
Unidad PC.2: Aplicación de las funciones trigonométricas Matemáticas Ejemplo para plan de lección - Sigue a la gráfica
¿Cómo se ve una identidad? (1 - cos x) (1 + cos x) = (sen x)2 2 sen x = 1 - 5 sen x 1. Utiliza los dos ejemplos anteriores y una calculadora gráfica para determinar si el enunciado es una condición o una identidad. a. En primer lugar la identidad: (1 - cos x) (1 + cos x) = (sen x)2. Pídeles a los estudiantes que consideren cada lado de la ecuación como una función: f (x) = (1 - cos x) (1 + cos x) y g (x) = (sen x)2. El enunciado original es una identidad, porque estas dos funciones producen el mismo resultado para cada valor de x. ¿Cómo podemos demostrar esto con una calculadora gráfica? (Grafica ambas funciones para demostrar que son equivalentes para todos los valores de x.) b. Ahora haz lo mismo con el condicional: 2 sen x = 1 - 5 sen x. Cuando se representan gráficamente las dos funciones, verán que hay dos gráficas distintas que solo se intersecan ocasionalmente. (Señala que, debido a que ambas son periódicas, habrá múltiples soluciones periódicas. Esto se trabajará más adelante en la lección 3.) 2. Resume las tres formas que han utilizado para verificar si los enunciados son identidades: (1) mediante la conexión de los números (no es una prueba concluyente de que un enunciado sea una identidad, pero si se trabaja con un par de números al azar, es una apuesta bastante buena de que es ...), (2) algebraicamente usando las identidades trigonométricas y la simplificación, y (3) gráficamente. 3. Dales a los estudiantes ejemplos de libros de texto en los cuales se les pida verificar las identidades o averiguar si los enunciados son condicionales. Pídeles que utilicen los tres métodos. 4. Finalmente, después de haber practicado lo suficiente, rétalos a crear ejemplos sencillos similares a los tipos de problemas que han estado haciendo. Sugiéreles que trabajen en retroceso, tomando ideas de los problemas que ya han realizado. 5. Después de confirmar que las identidades que han creado son correctas utilizando los tres acercamientos, se deben emparejar y trabajar con los ejemplos de los demás.
1342 Fuente: Desarrollado por Debbie Lloyd, Vernon High School, Washington County
Unidad PC.2: Aplicación de las funciones trigonométricas Matemáticas Ejemplo para plan de lección - Sigue a la gráfica
¿Cuál es la pregunta? Se les darán soluciones a los estudiantes y se les pedirá que determinen las ecuaciones. Crearán problemas tanto sencillos como difíciles para cada solución y comprobarán si están correctas con una calculadora gráfica. 1. Dales a los estudiantes la solución x = /4. ¿Cuántas ecuaciones simples pueden obtener que tengan esto como solución? Dales a los estudiantes unos cuantos minutos para que piensen en algunas ideas, y luego recoge algunas de ellas y ponlas en la pizarra para discutirlas. ¿Cuántos olvidaron limitar el dominio? (Por ejemplo, tan x = 1 es solo parcialmente correcta —también debe restringirse el dominio—; una opción es que x debe estar en el primer cuadrante.) 2. Ahora haz que intenten lo siguiente (todas las respuestas en radianes): a. b. c. d.
x = 0 .276 x= /6+( )n x = / 6 + ( ) n, / 6 + ( ) n (más difícil) x = 0,256, 1,256
3. Dales tiempo para que lo trabajen en parejas. Sugiéreles que repasen otros conjuntos de problemas pasados e intenten crear problemas al revertir los pasos de la resolución de los problemas. 4. Para problemas con múltiples soluciones, sugiéreles que repasen el deslizamiento de periodo y fase de las funciones trigonométricas. 5. Una vez que hayan generado problemas, pídeles que los intercambien con otras parejas e intenten hallar soluciones tanto de forma gráfica como algebraica. 6. Finalmente, deben escoger un par de sus ecuaciones y hacerlas más difíciles usando identidades trigonométricas. De nuevo, pídeles que hagan sus problemas más difíciles al "desimplificarlos".
1343 Fuente: Desarrollado por Debbie Lloyd, Vernon High School, Washington County
Unidad PC.3: Coordenadas polares y números complejos Matemáticas Actividad de aprendizaje – Identidades más complejas
Identidades más complejas ¿Cómo podemos probar que las identidades son ciertas? Los estudiantes recibirán instrucciones directas de cómo usar las identidades trigonométricas básicas para verificar que un enunciado es, en efecto, una identidad. Tendrán también la oportunidad de usar las mismas competencias para llegar a la conclusión de que un enunciado no es una identidad, sino un enunciado condicional. 1. Tomando en consideración las siguientes identidades: A. B. C. D.
1 + (tan x)2 = (sec x)2 sen x = cos ( / 2 - x) (1 - cos x) (1 + cos x) = (sen x)2 2 sen x = 1 - 5 sen x
2. A y B son simplemente enunciados de las identidades que aceptamos como un hecho. C siempre es cierto, pero no es una identidad simple, y D no es una identidad. Discutan: ¿Cómo podemos diferenciar, por ejemplo, entre C y D? 3. Dales un ejemplo que los estudiantes hayan visto anteriormente, en los cuales no sea obvio que se está buscando una identidad o una condición. La clave es simplificar el enunciado: si todos los términos se cancelan, entonces no importa lo que pongas en la x, siempre será cierto (la identidad). Con el álgebra por ejemplo, usamos nuestras cuatro operaciones básicas y las propiedades de la igualdad para ver si el enunciado es una identidad o una condición. En trigonometría, se utilizan los conceptos básicos del álgebra, junto con nuestras identidades. 4. Simplifica (1 - cos x) (1 + cos x) = (sen x)2 junto con la clase y, con la ayuda de la identidad de Pitágoras, demuestra que es cierto para todos los valores de x. Simplifica: 2 sen x = 1 - 5 sen x y demuestra que solo es cierto para los valores del ángulo x que tienen el valor específico de 1/7 para el seno. (No es necesario que esuelvas para x, esto se atenderá más adelante en la unidad.) 5. Dales ejemplos de libros de texto para que los estudiantes practiquen el uso de las identidades trigonométricas para simplificar expresiones y corroboren si es una identidad o un enunciado condicional.
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Unidad PC.3: Coordenadas polares y números complejos Matemáticas Ejemplo para plan de lección – Coordenadas polares
Coordenadas polares Parte 1: Los estudiantes trazan la gráfica de un conjunto de puntos equidistantes del origen; se les pide que observen lo que estos tienen en común. ¿Cómo podemos distinguir entre ellos sin usar las coordenadas cartesianas? ¿Cómo podemos describir una forma de hallar cada punto sin usar coordenadas cartesianas? ¿Cómo podemos rotularlos? 1. Pídeles a los estudiantes que tracen la gráfica de (0, 5), (3, 4), (-4, 3), (-5, 0) y (1, raíz cuadrada (24)). 2. Pídeles que se dividan en grupos o parejas para reflexionar sobre lo siguiente: a. ¿Qué tienen en común estas gráficas? (Todas están a exactamente 5 unidades del origen.) b. ¿Cuántos puntos tienen esta cualidad? (Un número infinito de puntos.) c. ¿Qué es único de cada uno de los puntos con esta cualidad? (El ángulo que se forma con el eje de x.) d. ¿Cómo podríamos usar esto para señalar ubicaciones en el espacio? (Para identificar puntos por distancia del origen y ángulo formado con ejes de x positivos.) 3. Facilita una discusión en clase: ¿cómo podrías decirle a alguien cómo llegar a un lugar en una ciudad? (Ej. cinco cuadras al este, tres cuadras al norte, igual que en el sistema de coordenadas cartesianas.) ¿Cómo le dirías a alguien cómo llegar a un lugar en el mar? (Por ej., navega en línea recta una distancia específica en un rumbo específico, al igual que en la polar.)
Parte 2: Se les darán instrucciones a los estudiantes sobre las coordenadas polares, como trazar la gráfica de puntos en coordenadas polares usando una regla y un transportador, y convertir entre coordenadas polares y cartesianas. 4. Utiliza la actividad anterior para introducir las coordenadas polares. Hay más de una forma de señalar una ubicación, o describir cómo llegar a alguna parte. Se han pasado todas las clases de matemáticas de escuela superior describiendo ubicaciones en el espacio bidimensional en términos de cuán lejos se encuentra el punto del origen en pasos a la izquierda versus pasos a la derecha y arriba versus abajo. En la vida real, esto solo se haría si nos viéramos obligados a hacerlo, como nos lo exigen los edificios en las calles. Resulta mucho más eficaz describir las direcciones "a vuelo de pájaro". Recuerda, el trayecto más corto entre dos puntos es una línea recta. 5. Identifica las variables comúnmente usadas para r para la distancia hasta el origen, y la letra griega zeta para el ángulo formado por el eje positivo x. No les des simplemente los datos de conversión entre las coordenadas rectangulares y polares: haz un diagrama en la pizarra y rétalos a que utilicen 1345
Unidad PC.3: Coordenadas polares y números complejos Matemáticas Ejemplo para plan de lección - Logaritmos comunes
lo que saben de trigonometría para generar los datos clave: x = r cos (zeta), y = r sen (zeta), x2 + y2 = r2, y tan(zeta) = y/x. 6. Repasen los ángulos coterminales que se encontraron en la Unidad 1; ¿qué efecto tienen en esta nueva forma de señalar ubicaciones en el plano? (Nombres múltiples.) Introduce además la idea del radio negativo, con lo cual se añaden más opciones de denominación. 7. Dales a los estudiantes gráficas de relaciones que sean fáciles de trazar en ambos sistemas, como los círculos centrados en el origen, y las líneas rectas que pasan por el origen. A partir de las imágenes, pídeles que generen ecuaciones en ambos sistemas. Haz hincapié en la interpretación. Por ejemplo, r = 5 es una excelente forma de describir un círculo y se corresponde de forma precisa con la definición de un círculo: "todos los puntos se encuentran a una distancia fija, de 5 unidades, del origen". Y la ecuación zeta = /4 es una forma muy eficaz de describir los puntos de la línea con pendiente = 1 por el origen. 8. Haz la conversión entre las dos formas con álgebra usando los datos de conversión anteriores. Incluye ejemplos en que la polar no sea necesariamente una forma conveniente de expresar la relación. Por ejemplo, la cuadrática y = x2 + 2x - 3 puede convertirse en polar introduciendo los datos de conversión, pero no se simplifica a una expresión simple como los círculos anteriores centrados alrededor del origen y las líneas que pasan por el origen. Explica que la polar es mejor para algunas gráficas que otras, y una vez dominen lo básico, se les expondrá a gráficas que se expresan mucho mejor en coordenadas polares que en rectangulares. 9. Provéeles una oportunidad de practicar lo básico de las polares con ejercicios del libro de texto.
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Unidad PC.3: Coordenadas polares y números complejos Matemáticas Ejemplo para plan de lección - Fórmulas de suma y diferencia de seno, coseno y tangente
Fórmulas de suma y diferencia de seno, coseno y tangente Parte 1: Dados dos puntos del círculo unitario, se les pedirá a los estudiantes que hallen la distancia de dos formas distintas, al establecer el acercamiento básico para desarrollar la fórmula para el coseno de la diferencia entre dos ángulos. 1. En cuanto a reglas y fórmulas pasadas, en vez de presentar la fórmula para luego demostrar una prueba, se orientará a los estudiantes para que descubran la fórmula por sí solos: a. Pídeles a los estudiantes que tracen un punto en el primer cuadrante, (a,b), lo conecten con el origen y le llamen "B" al ángulo que se forma. b. Pídeles a los estudiantes que tracen un punto en el segundo cuadrante, (c, d), la misma distancia desde el origen que en el primer punto, y que denominen "A" al ángulo que se crea con el eje positivo x. c. Diles que conocen dos formas de representar la distancia entre estos dos puntos. Dales algo de tiempo para que los determinen y formulen las expresiones (una usando la fórmula de distancia, la otra por la ley de cosenos.) d. En este punto, pídeles que expresen todas sus distancias usando funciones trigonométricas y que igualen los lados. Para asistirlos, haz un diagrama bien rotulado en la pizarra. Sugiéreles que igualen ambos lados y simplifiquen. e. El resultado debe ser la fórmula de coseno (A - B). Diles que han establecido una fórmula útil que relaciona el coseno de la diferencia entre dos ángulos con los senos y cosenos de los ángulos individuales.
Parte 2: Se les guiará a los estudiantes paso a paso para elaborar la fórmula de coseno de la diferencia entre dos ángulos. Se establecerán variaciones de coseno de una suma, y seno de una suma y diferencia usando identidades previamente establecidas. 1. Repasa la actividad anterior. La regla de coseno de una diferencia es el resultado directo de la fórmula pitagórica y la ley de cosenos que se estableció en la unidad anterior. 2. Trabaja junto con los estudiantes la elaboración de la fórmula del cos(A+B). Utiliza el patrón ya establecido para formular una expresión para el cos(A - (B)). Simplifica usando identidades pares/impares y obtendrás la fórmula del coseno de una suma. 3. Ahora establece la fórmula del sen(A + B) con la ayuda de tus estudiantes. Recuérdales que el sen(A + B) = cos( /2 - (A + B)), que puede reexpresarse como cos(( /2 - A) - B). Ahora incluye esto en la fórmula de coseno de una diferencia, simplifica y obtendrás el seno de una suma. 4. Finalmente, añade (A + (-B)) a la fórmula de seno de una suma. Simplifica y obtendrás la fórmula de seno de una resta. 1347
Unidad PC.3: Coordenadas polares y números complejos Matemáticas Ejemplo para plan de lección - Fórmulas de suma y diferencia de seno, coseno y tangente 5. Haz hincapié en que todo esto está conectado. Asegúrate de que hayas procedido lo suficientemente despacio como para que los estudiantes hayan podido digerirlo todo y ver cómo está interconectado. 6. Provéeles ejemplos del libro de texto para darles la oportunidad de trabajar con estos patrones.
Parte 3: Se retará a los estudiantes a utilizar la parte 2 y su conocimiento de la relación entre seno, coseno y tangente para derivar las fórmulas de tangente de la suma o resta de dos ángulos. 1. Reta a tus estudiantes a que utilicen lo que aprendieron en la parte 2 para desarrollar las fórmulas de tangente de una suma y tangente de una resta. Enfatiza en que no deben regresar a la fórmula de distancia, sino que deben intentar elaborar lo que quieren a partir de otras identidades. 2. Dales tiempo. Si necesitan ayuda, dales la siguiente pista: "¿Qué identidad sabemos que relaciona la tangente con las funciones que estudiamos ayer?" (tan x = sen x/cos x) 3. Una vez los estudiantes pongan la razón correcta, diles que la fórmula de tangente de una suma o resta se formula por lo general en términos de tangentes, no de senos y cosenos. ¿Cómo podríamos convertir esta expresión a tangentes? (Dales la oportunidad de averiguarlo, pero si les da trabajo hallar este próximo paso, oriéntalos para que lleguen a la idea de que deben dividir el numerador y el denominador por (cos A cos B). No lo hagas por ellos; pídeles que dividan cada término y simplifiquen para producir las versiones finales de las fórmulas de la tangente de una suma o resta.
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Unidad PC.3: Coordenadas polares y números complejos Matemáticas Ejemplo para plan de lección - Identidades de ángulo doble
A descubrir las identidades Parte 1: Se les dará a los estudiantes una identidad (no básica) sin decírseles que se trata de una identidad. Como tienen más experiencia con ecuaciones condicionales, asumirán que es únicamente cierta para ciertos valores de la variable. Rétalos a encontrar una solución adivinando y luego verificando sus hipótesis en la calculadora. Reúne todas las soluciones "correctas" y discútelas. Continúa dándoles más ejemplos y termina con una condicional. Lo más probable es que no habrá ningún estudiante que encuentre accidentalmente una solución de la condicional. 1. Diles a los estudiantes que es hora de hacer un juego rápido para ver quién es el estudiante con más suerte de la clase. Primero, cada estudiante debe escoger un ángulo cuyos valores trigonométricos haya memorizado. Diles que no le digan a nadie cuál es su ángulo especial. Pídeles que utilicen la medida radián para cada comparación más tarde. (Otra cosa que puedes hacer es usar calculadora y permitirles que escojan cualquier valor del ángulo.) 2. Ahora diles que tienes una ecuación especial cuya respuesta los miembros con suerte de la clase han adivinado. Escribe lo siguiente en la pizarra: 1 + (tan x)2 = (sec x)2. Pídeles que introduzcan su ángulo para ver si son la persona con suerte con la solución correcta, pero que no se lo digan a nadie. 3. Ahora, diles que verán unas cuantas más para ver quién tiene más suerte que nadie. Intenta la siguiente ecuación como segundo ejemplo: sen x = cos ( /2 - x). Intenta esta para la tercera: (1 - cos x)(1 + cos x) = (sen x)2. 4. Finalmente, pídeles que intenten la siguiente como cuarto y último ejemplo: 2 sen x = 1 - 5 sen x. 5. Ahora pregúntales: ¿quién es la persona con suerte? A menos que hayan hecho un error de cálculo, lo que adivinaron todos debe haber satisfecho las primeras tres identidades, y nadie debe haber satisfecho con su adivinanza la condicional final. ¿Qué está sucediendo? 6. Entabla una discusión: ¿alguien tiene idea de lo que está pasando? Si nadie recuerda el concepto de los enunciados condicionales versus las identidades de Álgebra 1, pídeles que consideren las siguientes dos ecuaciones sencillas de Álgebra 1: 3(2x - 2) - x = 5x – 6, y 3(2x - 2) - x = 4x - 6.
Parte 2: Con algo de ayuda, los estudiantes descubrirán las identidades recíprocas, pares/impares y de cofunción. Se llevará a cabo un estudio de los seis valores trigonométricos de un ángulo para hacer observaciones que lleven a las identidades recíprocas. Un estudio de los seis valores trigonométricos de un ángulo, en comparación con los del negativo del mismo ángulo, les ayudará a los estudiantes a ver la lógica de las identidades pares/impares. Finalmente, los estudiantes observarán las identidades de cofunción por medio de un estudio de las seis funciones trigonométricas de cada uno de los ángulos oblicuos del mismo triángulo rectángulo.
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Unidad PC.3: Coordenadas polares y números complejos Matemáticas Ejemplo para plan de lección - Identidades de ángulo doble 2) Por medio de observaciones y ejemplos sencillos, debes poder hacer que los estudiantes generen las identidades recíprocas, pares/impares y de cofunción. 3) Recíprocas: estas son las más sencillas y son el resultado directo de las definiciones de las seis funciones. a. Pídeles a los estudiantes que dibujen un triángulo rectángulo con longitudes laterales de 3, 4 y 5, y que el ángulo x esté del lado opuesto del 4. b. Pídeles que enumeren los valores de las seis identidades trigonométricas del ángulo x en forma de fracción. c. Pídeles que se dividan en parejas y observen cuáles pares de funciones trigonométricas usan los mismos lados. ¿Cómo podemos expresar la relación en forma general? (Por ej., el sen x y el csc x usan el "4" y el "5", con uno en la recíproca del otro: sen x = 1/(cos).) Confirma que el patrón se mantenga al observar nuestros datos memorizados usando x, y y t, así como el adyacente, el opuesto y la hipotenusa. 4) Identidades pares/impares: ahora tendremos que ir al plano cartesiano. a. Pídeles que usen el mismo ángulo x del problema anterior y que lo pongan en los ejes de x y de y. Coloquen el ángulo x en el mismo conjunto de ejes. b. Mencionen los valores de seno, coseno y tangente de ambos ángulos: ¿qué observas? (sen (-x) = - sen x , etc.) c. En parejas, los estudiantes deberán discutir lo que ven y probar sus reglas hipotéticas con ángulos generados al azar en una calculadora. 5) Identidades de cofunción: no son difíciles de ver con el arreglo adecuado: a. Regresen al primer diagrama y rotulen el segundo ángulo agudo y (el opuesto del lado con longitud de 3). b. Ya tienen una lista de los valores de las seis funciones trigonométricas del ángulo x; ahora pídeles que hagan lo mismo con el ángulo y. c. Como en ambos casos estamos usando los mismos tres lados, no debe sorprenderles que obtengamos las mismas seis razones. d. Pídeles que generalicen el patrón que ven, incluida la relación entre x y y. Oriéntalos de ser necesario para llevarlos de sen x = cos y hasta t.
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Unidad PC.4: Secuencias, límites y cónicos Matemáticas Actividad de aprendizaje – ¿Dos centros?
¿Dos centros? Los estudiantes crearán un "casi" círculo usando dos tachuelas, cerca una de la otra, y un pedazo de cordón doble del radio deseado. Después de compararlo con el círculo, harán unos cuantos experimentos con las tachuelas cada vez más separadas. ¿Cuánto podemos separarlas? A partir de esta actividad, los estudiantes trabajarán en retroceso para establecer en palabras la regla que usaron físicamente, y formularán la ecuación correspondiente. 1. Cada estudiante necesitará dos tachuelas, una regla, un cordón de aproximadamente 10 " de largo, papel cuadriculado y una superficie en que se hunda la tachuela. 2. Haz que los estudiantes hagan un lazo en cada extremo del cordón, de forma que queden a una distancia de 8”. 3. Coloca el papel en posición horizontal y dibuja los ejes de las coordenadas (el eje x debe ser más grande que el de y). Rotula los ejes de forma que los enteros estén a 1" de distancia. 4. Pídeles a los estudiantes que coloquen las tachuelas bastante pegaditas entre sí, en (-1, 0) y (1, 0), anclando los extremos del cordón, y haz que tracen una elipse. (Nota: Tendrán que hacerlo en dos pasos, uno para la mitad superior y uno para la mitad inferior.) 5. Repite el proceso con las tachuelas en (-3, 0) y (3, 0). 6. Pídeles a los estudiantes que creen un par más por su propia cuenta, con las tachuelas colocadas de forma simétrica en el eje x sobre el origen. 7. Pídeles que consideren lo siguiente: ¿de qué manera la distancia entre las tachuelas afecta la forma? ¿Cuál es el límite de cuán lejos podemos poner las tachuelas? 8. Pídeles que se enfoquen en la segunda elipse (tachuelas en (-3, 0) y (3, 0)). Coloca un punto en la elipse, rotúlalo (x, y) para representar un punto general de la elipse, y escribe una ecuación que relacione el punto (x, y), los dos puntos donde se encuentran las tachuelas y la distancia fija de 8. (Si necesitan una pista, escribe la fórmula de la distancia en la pizarra.) Diles que esto no parece ser una ecuación que hayan utilizado anteriormente, sino que es la ecuación de una elipse, que van a estudiar más adelante.
Fuente: www.curriculumframer.com
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Unidad PC.4: Secuencias, límites y cónicos Matemáticas Ejemplo para plan de lección – Series aritméticas
Serie aritmética Los estudiantes repasarán cómo hallar la fórmula de una sucesión aritmética y el término n de una sucesión aritmética antes de hallar la suma de una sucesión aritmética finita. Los estudiantes entonces aplicarán una sucesión aritmética finita para resolver un problema del mundo real. 1. Discusión de calentamiento: Comienza considerando un ejemplo de la vida real que genere números que formen una sucesión aritmética. Ejemplo: Una pirámide de leños está formada por dos leños en la última fila, cuatro en la penúltima, seis en la antepenúltima y así sucesivamente, hasta llegar a 200 leños en la última fila de abajo. a. Pídeles a los estudiantes que saquen el número total de filas de leños. b. Haz que escriban e interpreten los primeros 10 términos de la sucesión de números generados por el ejemplo. c. Pídeles que identifiquen el patrón en la sucesión de números, o sea, que obtengan la "diferencia común". d. Haz que obtengan la fórmula del término n de la sucesión y la usen para hallar el número de leños en, por ejemplo, la fila número 76. e. Pídeles que computen el número de leños en las primeras 12 filas. f.
Pídeles a los estudiantes que saquen el número total de leños en la pirámide.
Fórmulas que facilitan el problema anterior. 2. Definición formal de una sucesión aritmética. Una sucesión es aritmética si hay un número d, llamado diferencia común, de forma tal que an an 1 d , para n 2. O sea, si comenzamos con un primer término en particular, y luego sumamos el mismo número sucesivamente, obtenemos una sucesión aritmética. Ejercicios: Determina si la sucesión es aritmética. Si lo es, halla la diferencia común: a. 2, 5, 9, 14, 20, … b. 25, 23, 21, 19, … c.
1 2 4 5 , ,1, , ,... 3 3 3 3
d.
an 4 3n
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Unidad PC.4: Secuencias, límites y cónicos Matemáticas Ejemplo para plan de lección – Series aritméticas 3. Cómo hallar una fórmula del término n de una sucesión aritmética cualquiera: denota la diferencia común con d, y escribe los primeros cuatro términos:
a1 , a2 a1 d , a3 a2 d ( a1 d ) d a1 2d a4 a3 d ( a2 d ) d a1 3d
Pídeles a los estudiantes que afirmen la relación entre el coeficiente de d y el número del término n para cada caso.
Haz que generalicen una fórmula para el término n de una sucesión aritmética, o sea, que obtengan el siguiente resultado: Resultado 1: El término n de una sucesión aritmética está dada por
an a1 (n 1)d , para cualquier n 1
Pídeles que utilicen la fórmula para hallar el término n de las sucesiones aritméticas identificadas en la parte 2 (préstale más atención al ejercicio No. 4).
4. Cómo hallar la fórmula de la suma de los primeros términos n de una sucesión aritmética cualquiera por medio de un ejemplo (serie aritmética finita): Considera la sucesión de los primeros 20 números pares, 2, 4, 6, 8, …,38, 40 (corrobora que los estudiantes sepan por qué la sucesión es aritmética). La suma de los primeros 20 términos está denotada por S 20 . Entonces S 20 = 2 + 4 + 6 + 8 + …+ 38 + 40 Si revertimos el orden de la suma, entonces S 20 = 40 + 38 + … + 8 + 6 + 4 + 2 Si sumamos los términos correspondientes de cada lado de las ecuaciones anteriores, obtenemos 2 S 20 = (2 + 40) + (4 + 38) + (6 + 36) +… + (38 + 2) + (40 + 2) = 20(42)
S 20 =
20 (2 + 40) 2
Haz que escriban una fórmula para la suma de los primeros 20 términos de la sucesión aritmética anterior, o sea, que obtengan lo siguiente:
1353
Unidad PC.4: Secuencias, límites y cónicos Matemáticas Ejemplo para plan de lección – Series aritméticas (número de términos en la sucesión)
S 20 =
(number of terms in the sequence) (primer término + último término) 2
Haz que generalicen una fórmula para la suma de los primeros n términos de una sucesión aritmética, o sea, que obtengan lo siguiente:
Resultado 2: La suma de los primeros términos n de una sucesión aritmética está dada por
Sn Alternativa: Sn
n (a1 an ) 2
n [2a1 (n 1)d ]. (¿Por qúe?) 2
Pídeles a los estudiantes que usen la fórmula para hallar la suma de los primeros 15 términos de las sucesiones aritméticas identificadas en la parte 2.
Halla la suma
300
(2n 5) . n 1
5. Aplicaciones 1. Pídeles a los estudiantes que apliquen las fórmulas anteriores al ejemplo de la parte 1. 2. Consigues un trabajo en el que empiezas a un salario por hora de $16. Te dan un aumento de 25 centavos por hora cada dos meses durante cinco años. ¿Cuál será tu salario por hora al cabo de los 5 años? 3. Un estudiante ahorra $3 el 1 de agosto, $5 el 2 de agosto, $7 el 3 de agosto, y así sucesivamente. ¿Cuánto habrá ahorrdo durante el mes de agosto?
Fuente: http://www.google.com/url?sa=t&rct=j&q=%22adding%20arithmetic%20and%20geometric%20series%22%20less on%20plan&source=web&cd=8&ved=0CGgQFjAH&url=http%3A%2F%2Fmath.la.asu.edu%2F~kolossa%2FTAtrainin g%2Flessonplans%2Fweek14.doc&ei=FkvqTqeNFeiriQL1nOSzBA&usg=AFQjCNHgI_SS4rn49Jbmy59_XEAq5K2jeg 1354
Unidad PC.4: Sucesiones, límites y cónicas Matemáticas Ejemplo para plan de lección – Series geométricas Series geométricas Los estudiantes repasarán cómo hallar la fórmula de una sucesión geométrica y el término n de una sucesión geométrica antes de hallar la suma de una sucesión geométrica finita. Los estudiantes entonces aplicarán una sucesión geométrica para resolver un problema del mundo real. 1. Discusión de calentamiento: Comienza considerando un ejemplo de la vida real que genere números que formen una sucesión geométrica. Ejemplo: Una mañana (día 1), tres personas empiezan a circular una carta en cadena por correo electrónico. Cada una le envía el mensaje a cinco personas más con instrucciones de que el destinatario reenvíe el mensaje a cinco personas la mañana siguiente. Supón que este proceso continúa cada mañana sin que se repitan los destinatarios. a. Pídeles a los estudiantes que calculen el número de destinatarios nuevos del mensaje el día 1, día 3, día 4 y día 5. b. Pídeles que identifiquen el patrón en la sucesión de números generados en la primera parte, o sea, que obtengan la "razón común". c. Haz que obtengan la fórmula del término n de la sucesión y la usen para calcular el número de destinatarios nuevos el séptimo día. d. Pídeles que calculen el número total de personas que han recibido el mensaje los primeros cinco días. Fórmulas que facilitan el problema anterior 2. Definición formal de una sucesión geométrica. Una sucesión es geométrica si hay un número r, llamado razón común, de forma tal que
an 1 cualquier r , or an 1 an r , para for any n 1. n≥1 an O sea, si comenzamos con un primer término en particular, y luego multiplicamos el mismo número sucesivamente, obtenemos una sucesión geométrica. Ejercicios: Determina si la sucesión es geométrica. Si lo es, halla la razón común: 1. 3, 6, 10, 15, … 2. 1, -2, 4, -8, …
3. 1,
1 1 1 , , , ... 2 4 8
2 4. an 2 3
n 1
1355
Unidad PC.4: Sucesiones, límites y cónicas Matemáticas Ejemplo para plan de lección – Series geométricas 3. Cómo hallar una fórmula del término n de una sucesión geométrica cualquiera: denota la razón común con r, y escribe los primeros términos:
a1 , a2 a1r , a3 a2 r (a1r )r a1r 2 a4 a3r (a1r 2 )r a1r 3 a. Pídeles a los estudiantes que afirmen la relación entre la potencia de r y el número del término n para cada caso. b. Haz que generalicen una fórmula para el término n de una sucesión geométrica, o sea, que obtengan el siguiente resultado: i. ii.
Resultado 3: El término n de una sucesión geométrica está dado por an = a1rn-1, para cualquier n ≥ 1.
c. Pídeles que utilicen la fórmula para hallar el término n de las sucesiones geométricas identificadas en la parte 2. 4. Cómo hallar la fórmula de la suma de los primeros términos n de una sucesión geométrica (serie geométrica finita): Escribe el siguiente resultado y explica los símbolos Resultado 4: La suma de los primeros términos n de una sucesión geométrica está dada por
a1 (r n 1) Sn , for any r 1. r≠1 para cualquier r 1 a. Pídeles a los estudiantes que usen la fórmula para hallar la suma de los primeros 15 términos de las sucesiones geométricas identificadas en la parte 2
2 Halla la suma 8 n 1 5 30
b.
n 1
5. Aplicaciones a. Pídeles a los estudiantes que apliquen las fórmulas anteriores al ejemplo de la parte 1.Se hace un depósito de $200 el primer día del mes en una cuenta de ahorros que paga un interés compuesto de 8 % mensual. ¿Cuál es el balance de la cuenta al cabo de dos años?
1356
Unidad PC.4: Sucesiones, límites y cónicas Matemáticas Ejemplo para plan de lección – Series geométricas 6. Series geométricas infinitas a. Pídeles a los estudiantes que usen una calculadora para evaluar r n para 1 r= y n = 1, 2, 5, 10, 50, y 100. 2 b. Pídeles que hagan una conjetura sobre el valor de rx como n ∞ si | r | 1 c. Pídeles a los estudiantes que hallen la fórmula de la suma de una serie geométrica infinita. Escribe el siguiente resultado y explica los símbolos 2 Resultado 5: Cuando | r | 1 , la suma de la serie geométrica infinita a1 a2 r a3 r ... está dada por
S
a1 . r 1
Cuando | r | 1 , una serie geométrica infinita no tiene suma. d. Pídeles a los estudiantes que en parejas:
n 1
i.
1 Hallen la suma 4 n 1 2
ii.
Hallen la suma
iii.
Dibuja cuantro cuadrados adyacentes. El primero debe tener lados con una longitud de 1 unidad, el segundo una longitud de 1/2, el tercero una longitud de 1/4 y el cuarto una longitud de 1/8.
2 3 n 0 3
n
Calcula el área de cada cuadrado. ¿Se forma una sucesión geométrica?
Calcula el área total de los cuatro cuadrados usando la fórmula adecuada provista anteriormente.
Si el proceso de sumar cuadrados con la mitad del perímetro del cuadrado anterior continúa indefinidamente, ¿cuál sería el área total de todos los cuadrados?
1357 Fuente: http://www.google.com/url?sa=t&rct=j&q=%22adding%20arithmetic%20and%20geometric%20series% 22%20lesson%20plan&source=web&cd=8&ved=0CGgQFjAH&url=http%3A%2F%2Fmath.la.asu.edu%2F~ kolossa%2FTAtraining%2Flessonplans%2Fweek14.doc&ei=FkvqTqeNFeiriQL1nOSzBA&usg=AFQjCNHgI_S S4rn49Jbmy59_XEAq5K2jeg
Unidad PC.4: Sucesiones, límites y cónicas Matemáticas Tarea de desempeño - Mapa de estaciones radiales de Georgia
Mapa de estaciones radiales de Georgia 100 millas = 60 mm Athens (34,12)
Atlanta (0,0)
Macon (24,-38) distancia Atlanta Athens 36mm distancia Atlanta Macon 45mm distancia Athens Macon 48mm radio de transmisión de las estaciones FM 24mm
Fuente: http://www.apskids.org/Documents/CCGPS%20Math%20III%20Unit%205%20TEACHER%20edition%20Ja n%202010v2.pdf 1358
Unidad PC.5: Modelos de datos Matemáticas Actividad de aprendizaje – Reglas para apagar fuegos
Reglas para apagar fuegos Los bomberos no dependen por completo de los indicios generados por computadora para controlar incendios. Existen algunas reglas generales que estos incorporan a sus herramientas a la hora de predecir cómo se comportará un fuego. Regla No. 1: Humedad del combustible Cuando la humedad del combustible está por debajo del 5 %, los fuegos con combustibles tanto ligeros como pesados se esparcen con igual rapidez. Cuando el nivel de humedad está por debajo de 5 y 10%, los fuegos de combustible ligero se propagan más rápidamente que los fuegos de combustibles pesados. A niveles por encima del 10 %, la rapidez de propagación vuelve a ser más o menos igual. Cuando la humedad del combustible está por encima del 15 %, los fuegos de combustibles ligeros tienden a extinguirse, mientras que los fuegos de combustibles pesados seguirán esparciéndose. 1. En un solo conjunto de ejes, traza dos gráficas posibles para la rapidez de propagación de los fue con combustible ligero y pesado. Comparte tu gráfica con otro estudiante. Discutan las diferencias que haya. Regla No. 2: Velocidad del viento Una regla general estipula que la velocidad de propagación, un índice sin dimensiones que mide cuán rápido se propagará un fuego, se duplicará por cada incremento de 4 metros por segundo (mps) en la velocidad del viento. 2. ¿Cuál es la naturaleza de la relación entre la velocidad de propagación y la velocidad del viento? Traza una gráfica posible que relacione la velocidad de propagación con la velocidad del viento. 3. Asume que la velocidad de propagación es de 6 cuando la velocidad del viento es de 0 metros por segundo. Completa la tabla de valores de la velocidad de propagación. Traza la gráfica de propagación vs. velocidad del viento.
1359
Unidad PC.5: Modelos de datos Matemáticas Actividad de aprendizaje – Reglas para apagar fuegos Velocidad de propagación 6
Velocidad del viento 0 mps
28 mps 4. ¿Cuántas millas por hora es 4 metros por segundo? ¿Cuál piensas que es la parte razonable de la gráfica que acabas de trazar? Regla No. 3: Pendiente del terreno Hay varias reglas sobre la velocidad de propagación y la pendiente del terreno en el cual se está propagando el fuego. Una de ellas sugiere que la velocidad de propagación se duplicará por cada incremento de 10° en la pendiente. Las discrepancias se dan porque hay otros factores que afectan la propagación, entre los que se incluye cuán bien comprimido está el lecho del combustible. 5. ¿Cuál es la naturaleza de la relación en esta regla?
6. Utiliza los datos en la tabla siguiente para crear diagramas de dispersión de cada tipo de combustible distinto. En los diagramas de dispersión, haz una superimposición de las funciones obtenidas anteriormente. ¿Con cuánta precisión sirven de modelo estas ecuaciones para las reglas dadas?
PENDIENTE EN GRADOS
GRAMA
DESECHOS SUELTOS
0 10 20 30 40
1.0 2.3 6.6 15.0 30.1
1.0 1.7 3.8 8.0 15.8
DESECHOS BIEN COMPRIMIDOS 1.0 1.3 2.4 4.5 8.4
50
60.5
30.8
15.9
60
126.7
64.0
32.6
Fuente: National Council of Teachers of Mathematics http://illuminations.nctm.org
1360
Unidad PC.5: Modelos de datos Matemáticas Ejemplo para plan de lección - Recto o curveado
¿Recto o curveado? Viajes internacionales Distancia aérea desde la ciudad de Nueva York en millas Pasaje de ida y vuelta en dólares desde Nueva York
Ciudad de México
Cairo
Londres
Toquio
Calcuta
Moscú
Roma
2094
5602
3458
3740
7918
4665
4281
250
750
375
1200
1500
624
520
1. Usando los datos provistos anteriormente, queremos determinar si existe una asociación entre la distancia aérea recorrida desde Nueva York hasta un destino dado y el costo del pasaje. a. ¿Cuál es la variable explicativa adecuada para esta situación? Sé específico. b. ¿Cuál es la variable de respuesta adecuada?
2. Traza un diagrama de dispersión de los datos en papel cuadriculado. ¿Qué escalas viste? 3. Utiliza una herramienta tecnológica para hallar una línea de regresión de cuadrados mínimos para los datos. a. ¿Qué nos dice la pendiente de esta línea en el contexto de esta situación? b. ¿Qué nos dice la intercepción con respecto del eje de y en este contexto?
c. Utiliza tu línea para predecir el costo del pasaje de un vuelo desde la ciudad de Nueva York a París. La distancia aérea entre Nueva York y París es de 3,636 millas. d. ¿Cuán fuerte es la asociación lineal entre las variables en esta situación? Explica tu razonamiento. 4. Copia la línea de regresión en tu diagrama y describe cómo caen los datos sobre la línea. 5. Podemos examinar más de cerca cómo los puntos de datos caen en una curva de regresión (incluida una línea) al trazar un diagrama de dispersión de los residuales de los datos y del modelo de regresión. a. ¿Qué debes utilizar como valores en x de un diagrama de dispersión de los residuales de un conjunto de puntos de datos?
1361
Unidad PC.5: Modelos de datos Matemáticas Ejemplo para plan de lección - Recto o curveado b.
¿Cuáles son los valores en y?
c.
¿Qué escalas son razonables para este diagrama?
d.
¿Cuál es el residual del punto que implica un vuelo desde Nueva York hasta Londres? ¿Qué te dice este residual? Sé específico.
e.
¿Cómo se compara este diagrama de dispersión con la gráfica completada en el problema 4 (el diagrama de dispersión de los datos en conjunto con la gráfica de la línea de regresión)?
f.
Describe cualquier patrón que veas en el diagrama de los residuales. ¿Qué te dice el diagrama sobre cuán bien se ajusta la línea de regresión a los datos?
6. Determina la suma de los cuadrados de los residuales de la línea de regresión. 7. Utiliza una herramienta tecnológica para hallar una ecuación de regresión cuadrática para los datos. a. Traza la función cuadrática en tu diagrama original de los datos. b. Utiliza tu ecuación cuadrática para predecir el costo del pasaje de un vuelo desde la ciudad de Nueva York a Paris. La distancia aérea entre Nueva York y Paris es de 3,636 millas.
8. ¿Cuál modelo piensas que mejor se amolda a los datos: el lineal o el cuadrático? Explica tu razonamiento. 9. Traza un diagrama de dispersión de los residuales de tu ecuación de regresión cuadrática. a. ¿Cuál es el residual del punto que implica un vuelo desde Nueva York hasta Londres? ¿Qué te dice este residual? Sé específico. b. Describe cualquier patrón que veas. ¿Qué te dice el diagrama sobre cuán bien se ajusta la ecuación de regresión a los datos?
10. Determina la suma de los cuadrados de los residuales de la ecuación de regresión cuadrática. ¿Cómo se compara este valor con el valor que obtuviste en el problema 6? ¿Qué te dicen estos números?
Fuente: http://www.apskids.org/Documents/Math_II_Unit_6%20_TE_APS_Web-Web.pdf
1362
Unidad PC.5: Modelos de datos Matemáticas Ejemplo para plan de lección – Regresión lineal
Regresión lineal Los datos a continuación se obtuvieron de la guardia costanera de Florida en Tallahasse, y relacionan el número de muertes de manatíes (en miles) con la tasa de registro de botes de motor de 1977 a 1994.331 Tu tarea es determinar si hay una relación lineal entre el número de registros de botes de motor y el número de manatíes muertos. Tendrás la tarea de hallar la "línea de mejor ajuste" de los datos en la siguiente tabla. Tendrás que poder explicar por qué el conjunto de datos es lineal. Año
Registro de botes de motor
Manatíes muertos
(por milésima)
331
Fuente: Yates, Moore y McCabe. The practice of statistics. W. H. Freeman y compañía, 1999. p.165.
1363
Unidad PC.5: Modelos de datos Matemáticas Ejemplo para plan de lección – Regresión lineal 1. Debajo de Edit Stat, anota los datos de registro y manatíes en las listas L1 y L2, respectivamente, en tu calculadora gráfica TI-83, y traza el diagrama de dispersión.
2. Determina la ecuación de la "línea de mejor ajuste" usando regresión lineal. Utiliza tu tabla para determinar el número predicho de muertes de manatíes si se registran 900,000 botes de motor. (Recuerda que la tabla y tu trabajo se han basado en miles de registros de botes de motor.)
3. ¿Cuál es el coeficiente de correlación que obtuviste? ¿Qué te dice este valor sobre tu línea de regresión lineal?
4. Construye un diagrama residual (almacena RESID en L4 y haz un diagrama de dispersión usando L1 y L4). Traza la gráfica a continuación. Asegúrate de rotular tus ejes y hacerlos a escala.
5. Comenta la forma de tu diagrama residual y cómo este se relaciona con tu modelo. ¿Son aleatorios tus residuales (o sea, no forman un patrón) y pequeños (relativamente cercanos a cero)? En base a tu respuesta, ¿tu línea de regresión lineal parecer corresponderse bien con los datos? Justifica tu respuesta.
6. Computa la suma de los cuadrados de los residuales de tus datos. Explica el proceso que llevaste a cabo para completar esto. 1364 Fuente: http://www.nsa.gov/academia/_files/collected_learning/high_school/algebra/swinging_pendulum.pdf
Unidad PC.5: Modelos de datos Matemáticas Ejemplo para plan de lección - Residuales
Residuales 1. Se investigarán tres métodos distintos de ajustar líneas a datos: a ojo, determinando las líneas mediana-mediana, y el método de regresión de los cuadrados mínimos. •
Hacerlo a ojo es simplemente aproximar la ecuación de una línea de mejor ajuste a partir de la inspección visual de un diagrama de dispersión de los datos.
•
La línea mediana-mediana se determina usando las medianas de grupos de los datos.
•
La línea de regresión de mínimos cuadrados es la línea que minimiza la suma de los cuadrados de las distancias verticales entre la línea y los puntos en el conjunto de datos.
a. Usando un escalímetro, determina, a ojo, una ecuación de una línea de mejor ajuste para tu diagrama de dispersión. Traza la gráfica de tu ecuación en el diagrama de dispersión con un lápiz de color. b. Usa las instrucciones provistas por tu maestro para determinar una ecuación de una línea mediana-mediana de tus datos. Usando un color distinto al que usaste en la parte a, traza la línea mediana-mediana en tu diagrama. c. Usa la calculadora para determinar la línea de regresión de los cuadrados mínimos de tu diagrama. ¿Cuál es el coeficiente de correlación de esta línea? Traza la gráfica de la línea usando otro color. 2. El residual de cualquier punto en un conjunto de datos es el error de predicción que ocurre cuando se utiliza una línea de regresión para predecir el valor de y de un valor de x dado. Si el punto del dato yace por encima de una línea de regresión, su residual está definido como la distancia vertical entre la línea y el punto. Si el punto del dato yace por debajo de una línea de regresión, su residual es el opuesto de la distancia vertical del punto a la línea. (Algunas personas se refieren a esto como la función distancia con signo desde la línea puesto que el residual es positivo cuando el punto del dato está por encima de la línea y negativo cuando se encuentra por debajo de esta.) a. En tu diagrama de dispersión, rotula cada uno de los cuatro puntos de datos que representan los condados en la tabla a continuación con sus pares ordenados. b. Vuelve a observar la línea de regresión de mínimos cuadrados que obtuviste en la parte 1c. Marca los puntos en tu línea de mínimos cuadrados correspondientes a los condados en la tabla. Por cada punto, traza un segmento de línea que represente la distancia vertical desde la línea de regresión al valor de datos correspondiente en el diagrama de dispersión. c. Halla los residuales relacionados con la línea de regresión de mínimos cuadrados para los puntos que representan los cuatro condados en la tabla. Liberty
Manatee
Residuales Hillsborough
Palm Beach
1365
Unidad PC.5: Modelos de datos Matemáticas Ejemplo para plan de lección - Residuales d. Explica qué te dice cada uno de estos residuales. e. Explica cómo computarías el residual de un punto cualquiera en el conjunto de datos. La línea de regresión de cuadrados mínimos suele representarse como ŷ = ax + b, donde es el valor predicho de y para un x dado. Como resultado de la fórmula utilizada para calcular la línea, las siguientes propiedades se mantienen en el caso de la línea de cuadrados mínimos para cualquier conjunto de datos: •
La suma de los residuales es 0.
•
La línea de regresión incluye el punto
•
La línea de regresión minimiza la suma de los cuadrados de los residuales.
•
Cada conjunto de datos tiene una línea de regresión de cuadrados mínimos única.
3. Considera que el conjunto de datos no tiene puntos de datos n distintivos. a. Escribe un par ordenado para el punto de datos No. i. b. Usando el símbolo de , escribe un par ordenado para el punto en la línea de regresión de cuadrados mínimos correspondiente al punto de datos No. i. c. Usando los pares ordenados de las parte a y b, escribe una expresión algebraica para el residual del punto de datos No. i. d. En la parte 1, la línea de regresión de mínimos cuadrados se describe como la línea que minimiza la suma de los cuadrados de las distancias verticales entre la línea y los puntos en el conjunto de datos. En otras palabras, la línea de regresión de cuadrados mínimos minimiza la suma de los cuadrados de los residuales. Escribe una expresión algebraica para la suma de los cuadrados de los residuales de un conjunto de datos con n puntos de datos particulares. 4. Utiliza tu calculadora para comparar la suma de los cuadrados de los residuales de la línea medianamediana y la línea de regresión de los cuadrados mínimos determinada en la parte 1. ¿Qué hallaste? ¿Cuál línea piensas que parece ajustarse mejor a estos datos? ¿Qué te hace pensarlo?
1366
Unidad PC.5: Modelos de datos Matemáticas Ejemplo para plan de lección - Residuales Número de votos de 25 condados de Florida en las elecciones presidenciales
Condado
Fuente: http://www.apskids.org/Documents/Math_II_Unit_6%20_TE_APS_Web-Web.pdf
1367
Matemáticas Mapas Curriculares Probabilidad y Estadística
1368
Unidad PE.1: Medidas de tendencia central Matemáticas 3 semanas Etapa 1 - Resultados esperados Resumen de la unidad En esta unidad, los estudiantes calcularán e interpretarán medidas de tendencia central y de variabilidad. Crearán, compararán y evaluarán diferentes representaciones gráficas de los mismos datos. Meta de transferencia: Los estudiantes saldrán de la clase con la capacidad de usar su conocimiento sobre las medidas de tendencia central y de variabilidad para crear presentaciones gráficas para propósitos de análisis y comunicación.
Estándares de contenido y expectativas Estadísticas 1.0 Recopila y representa los datos e interpreta las medidas de tendencia central y variabilidad. • Crea, compara y evalúa las diferentes representaciones gráficas de los mismos datos, usando histogramas, polígonos de frecuencias, funciones de distribución de frecuencias acumulativa, gráficas de pastel, diagramas de dispersión, diagramas de tallo y hojas y diagramas de caja. Calcula y usa la media, mediana, moda, media ponderada, media geométrica, media armónica, extensión, cuartiles, variación y desviación estándar.
Ideas grandes/Comprensión duradera:
Preguntas esenciales:
Las medidas de tendencia central y la variabilidad son formas comunes de comparar datos. Las representaciones gráficas comunican los datos de formas distintas. Las medidas y representaciones de los datos pueden alterar su significado. La información estadística nos ayuda a tomar decisiones informadas.
¿Cómo se comparan datos? ¿Por qué se usan ciertas representaciones gráficas para comunicar hallazgos? ¿Cómo las personas utilizan los datos para influenciar a otros? ¿Cómo influyen las estadísticas en las decisiones?
Contenido (Los estudiantes comprenderán...)
Destrezas (Los estudiantes podrán...)
Medidas de tendencia central Variabilidad de los datos Diferentes representaciones gráficas de los mismos datos (p. ej., histogramas, polígonos de frecuencia, distribuciones, funciones de frecuencias cumulativas, gráficas de pastel, diagramas de dispersión, diagramas de tallos y hojas y diagramas de caja)
Junio 2012
Recopilar y representar los datos e interpretar las medidas de tendencia central y variabilidad. Crear, comparar y evaluar diferentes representaciones gráficas de los mismos datos, usando histogramas, polígonos de frecuencias, funciones de distribución de frecuencias acumulativa, gráficas de pastel, diagramas de dispersión, diagramas de tallos y hojas y diagramas de caja. 1369
Unidad PE.1: Medidas de tendencia central Matemáticas 3 semanas
Vocabulario de contenido
Medidas de tendencia central y variación (cuartiles, desviación estándar, extensión, media, media armónica, media geométrica, media ponderada, medidas de tendencia central, mediana, moda, variabilidad, varianza) Representaciones gráficas (diagrama de caja, diagrama de dispersión, diagrama de tallos y hojas, distribución, frecuencias cumulativas, gráfica de pastel, polígono de frecuencia)
Calcular y usar la media, mediana, moda, media ponderada, media geométrica, media armónica, extensión, cuartiles, variación y desviación estándar.
Para más información referirse al glosario matemático básico en las guías operacionales del DEPR.
Etapa 2 – Evidencia de avalúo Tareas de desempeño
Otra evidencia 332
Proyecto de comida rápida Los estudiantes demostrarán las medidas de tendencia central y variabilidad al comparar el tiempo de servicio de tres restaurantes. A medida que avanzan en el estudio de los conceptos de tendencia central, variación y posición, los estudiantes recopilarán pruebas que les permitan evaluar en cuál restaurante de comida rápida deben pararse si andan con prisa. Tarea: Se tomó una muestra de tiempo de servicio (en segundos) de tres cadenas grandes de restaurantes de comida rápida. Los resultados se proveen a continuación (todos los datos son ficticios). Burger King 111 94 57 80 78 109 92 332
McDonald’s 109 84 93 123 97 56 79
Wendy’s 99 95 53 82 75 110 90
Ejemplos para preguntas de examen/quiz 1. En un estudio de una clase de álgebra avanzada en la Escuela Superior de San Juan, la clase de 21 miembros reportó el número de horas por semana que trabajaron en empleos fuera de la escuela. Las horas que reportaron son las siguientes: 10 16 15 12 0 6 19 14 15 6 0 0 10 20 18 24 7 0 12 10 15 a. Determina la media, la moda y la mediana de los datos. b. En tu opinión, ¿cuál de las tres medidas de tendencia central describe mejor tus datos? Explica tu razonamiento. c. Ángela se transfirió a la clase después de que se hiciera el estudio. Ella trabajo 19 horas a la semana. ¿Cuánto afecta su presencia a la media, la mediana y la moda? 2. A continuación se encuentra un conjunto
Fuente: http://www.rvgs.k12.va.us/wwwroot/resources/2008StatManual.pdf
Junio 2012
1370
Unidad PE.1: Medidas de tendencia central Matemáticas 3 semanas 34 67 122 95 46
110 32 68 45 99
33 65 100 94 41
1. Define la muestra aleatoria. A partir de la definición de muestra, describe cómo se obtuvieron las muestras aleatorias anteriores de los tiempos de servicio. 2. Clasifica el tipo de datos de los tiempos de servicio anteriores (cualitativos o cuantitativos, discretos o continuos), el nivel de medida asociado a los datos (nominal, ordinal, de intervalo, razón) y provee las definiciones de las respuestas que elegiste. 3. Define los términos media, mediana y moda. Calcula la media, mediana y moda de los datos de Burger King y muestra tu trabajo. A continuación, calcula la media, mediana y moda de cada muestra con una herramienta tecnológica. 4. Crea un diagrama de caja así como un diagrama de tallos y hojas de los datos de Burger King a mano y muestra tu trabajo. A continuación, crea un diagrama de caja de cada muestra en la misma cuadrícula y a su lado un diagrama de tallos y hojas de cada muestra. 5. Describe la forma de la distribución de cada muestra, y determina la mejor medida de tendencia central de cada muestra a partir de las formas de distribución de tu muestra. Explica tu razonamiento. 6. Define la desviación estándar. Calcula la varianza y la desviación estándar de los datos de Burger King y adjunta tu trabajo. 7. Supón que te da hambre, no tienes preferencia de comida y necesitas regresar a casa urgentemente para estudiar para un examen. ¿Cuál de las tres cadenas de comida rápida escogerías para satisfacer tu apetito a 334 335
de puntuaciones de octanos de gasolina de una muestra de 21 productores. 87.6, 84.8, 84.9, 86.2, 88.6, 89.5, 84.6, 85.4, 84.8, 86.3, 87.6, 86.7, 85.2, 86.5, 87.3, 88.8, 85.3, 86.2, 85.3, 87.3, 91.2 Haz un diagrama de tallos y hojas. Calcula la media y construye un diagrama de caja. 3. La tabla muestra la frecuencia de las puntuaciones de un quiz de 20 puntos. La media del quiz es 18. Halla el valor de k en la tabla. Halla la moda y la mediana de todas las puntuaciones del quiz.334 Puntuación Frecuencia
15 2
16 4
17 7
18 13
19 k
20 5
4. A continuación se provee el número de horas de televisión que ven por día una muestra de catorce personas: 2 4 1 5 4.13 4 2.09 3 6.94 4 3 Halla el resumen de cinco números, el recorrido intercuartil y los datos anómalos (si hay alguno). A continuación, traza un diagrama de caja para presentar tus hallazgos de forma gráfica.335 Diario 1. Describe el proceso necesario para calcular la desviación estándar. 2. Evalúa la frase: La varianza de un conjunto de datos siempre será mayor que la desviación estándar. ¿Es esto cierto o falso? ¿Cómo lo sabes? 3. Describe cómo se calcula la media geométrica. Boleto de salida 1. ¿Cuál medida de tendencia central queda más afectada por un dato anómalo? Explica. 2. ¿Cuándo usarías un histograma? ¿Y una gráfica de pastel? ¿Y el polígono de frecuencia para representar tus datos?
Fuente: http://www.amaps.org/leftfiles/Syllabi/Algebra%202%20Sample%20Tasks.pdf Fuente: http://www.rvgs.k12.va.us/wwwroot/resources/2008StatManual.pdf
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Unidad PE.1: Medidas de tendencia central Matemáticas 3 semanas partir de un análisis estadístico? Explica tu razonamiento. Evalúa el trabajo de los estudiantes en la rúbrica de evaluación (ver anejo: Organizador - Rúbrica de tarea de desempeño).
3. Halla la media ponderada de los números a continuación. El factor de peso de cada número se indica en paréntesis junto al número. 7(2), 12(3), 21(3), 13(4), 6(1)
Proyecto de estudio estadístico333 Los estudiantes demostrarán su comprensión de la estadística descriptiva y la representación gráfica de la estadística al reportar sus propios datos de un estudio. Para esta tarea, los estudiantes crearán e implementarán un estudio. Una vez recopilen los datos reportarán las estadísticas descriptivas y las representarán por medio de diferentes gráficas. Tarea: Con un estudio usando (2) preguntas aprobadas, haz una lista de datos de la muestra. Obtén por lo menos 50 valores; en comunidades pequeñas, obtén entre 25 a 50. Intenta elegir preguntas que produzcan datos de una población interesantes y reveladores. 1. Describe las preguntas de investigación y la naturaleza de los datos. ¿Qué representan los valores? 2. Describe el método usado para recopilar los datos. 3. Explica las razones posibles de por qué los datos podrían ser representativos de la población. ¿Cuáles son algunas fuentes posibles de sesgo o error? 4. Haz los cálculos estadísticos correspondientes a partir de lo siguiente: tamaño de la muestra, mínimo, máximo, media, mediana, moda, recorrido, desviación estándar, varianza, cuartiles. 5. Discute su relación con los datos. 6. Construye una tabla de frecuencia, un diagrama de tallos y hojas y un histograma y explica qué te dice cada uno de estos sobre tus datos. 333
Fuente: http://jfmueller.faculty.noctrl.edu/toolbox/examples/muzzyschramm99/statssurveytask.pdf
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Unidad PE.1: Medidas de tendencia central Matemáticas 3 semanas 7. Escribe, en forma de un párrafo, cualquier conclusión o inferencia que pueda hacerse a partir del análisis de tus datos. Evalúa el trabajo de los estudiantes en la rúbrica de evaluación (ver anejo: Organizador - Rúbrica de tarea de desempeño).
Etapa 3 – Plan de aprendizaje Actividades de aprendizaje
Cómo hacer histogramas en una calculadora336: En esta actividad, se introducirá a los estudiantes a las gráficas de datos cuantitativos; estos crearán gráficas con la calculadora gráfica. Primero, los estudiantes crearán un diagrama de tallos y hojas a partir de datos dados y luego crearán un histograma a mano para presentar los mismos datos en un formato distinto. A continuación, enséñales a los estudiantes cómo crear un histograma en una calculadora gráfica TI-83 o TI-84. Finalmente, compararán ambos histogramas al resumir información a partir de representaciones gráficas. Crea un escenario para los datos. Por ejemplo, usa los datos de puntuaciones de examen de una clase de álgebra 1 (89, 95, 87, 76, 62, 79, 85, 84, 85, 88, 55, 94, 84, 97, 99, 78, 63, 81, 73, 81). A continuación se proveen los pasos para crear un histograma en una TI-83/84: o Introduce los datos anteriores al presionar STAT y luego EDIT, e introducir los datos en L. o Oprime 2nd STAT PLOT y activa (oprime "ON") el diagrama. o Elige la imagen del histograma en TYPE. o Oprime GRAPH, y el histograma debe aparecer. Si no, oprime ZOOM y luego Statistics. o Para asegurarte de que las gráficas de los estudiantes sean iguales pídeles que ajusten su pantalla en WINDOW para usar el mismo Xmin, Xmax, Xscl. Cómo elegir la medida de tendencia central adecuada337: Esta actividad les ayudará a los estudiantes a desarrollar una mejor comprensión de cómo hallar la medida de tendencia central que mejor se corresponda con un conjunto de datos dado. Provéeles a parejas de estudiantes distintas características de un conjunto de datos y pídeles que desarrollen conjuntos de datos que cumplan con los criterios (p. ej.: los datos tienen siete números, la moda es 1, la mediana es 3 y la media es 9. O el conjunto de datos tiene 10 números, la mediana es 6, la media es 8, todos los números en el conjunto de datos son modas, y el número 6 no se encuentra en el conjunto de datos). Orienta a la clase durante una discusión de sus estrategias de cómo desarrollar sus conjuntos de datos. Compara los conjuntos y pídeles a los estudiantes que decidan cuál medida de tendencia central se adecua mejor a cada conjunto. (Ten algunos ejemplos adicionales disponibles en que se muestren casos en que cada medida sea más adecuada si los ejemplos de los estudiantes no proveen oportunidades de comparación.) Provéeles características específicas de la medida de 336
Fuente: Comprehensive Curriculum “Math Essentials” by the Louisiana Department of Education Fuente: http://www.google.com/url?sa=t&rct=j&q=%22dependent%20and%20independent%20events%22%20probability%20% 22performance%20task%22&source=web&cd=20&ved=0CFEQFjAJOAo&url=http%3A%2F%2Fwww.sabine.k12.la.us%2FG LE%2FMATH%2FMATH%2520WORD%2520FILES%2F11%2520MATH_ALGEBRA_I.doc&ei=gpbrTpi5E6evsQKGipHiCQ&usg =AFQjCNHNj0qY_ZDPROj7M6IGjo8pDwOs4A&cad=rja 337
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Unidad PE.1: Medidas de tendencia central Matemáticas 3 semanas tendencia central más adecuada desarrollando conjuntos de datos adicionales (por ej.: El conjunto contiene cinco números y la media es la medida más adecuada de tendencia central, el conjunto contiene 8 números y la mediana representa mejor los datos, o el conjunto contiene 15 números y la moda es la medida de tendencia central que mejor representa los datos). Discute con la clase sus respuestas y cómo desarrollaron los conjuntos de datos. Comparación de gráficas: Preséntales un conjunto de datos a los estudiantes para que los usen al comparar y evaluar diferentes representaciones gráficas. Se les asigna una representación gráfica a grupos pequeños (histogramas, polígonos de frecuencia, distribuciones, funciones de frecuencia cumulativa, gráficas de pastel, diagramas de dispersión, diagramas de tallos y hojas y diagramas de caja) para presentársela a la clase. Los estudiantes presentan lo que comunica su representación gráfica sobre los datos y si piensan que es una buena representación. Dirige una discusión en clase en que se comparen y evalúen los distintos tipos de representaciones gráficas, como por ejemplo, qué comunica cada gráfica de los datos, cuál(es) gráfica(s) resulta(n) útil(es) y cuáles no resultan útiles para entender el conjunto de datos, y cuál(es) gráfica(s) utilizarían los estudiantes para comunicar el conjunto de datos. Cambia la representación gráfica que deberá presentarle cada grupo a la clase y dales a los grupos otro conjunto de datos para comprar las representaciones gráficas. Este nuevo conjunto de datos debe representarse mejor usando gráficas distintas a las del conjunto de datos original. Tras una conversación en clase parecida a la anterior, pídeles que discutan cómo saber cuál tipo de representación gráfica usar para diferentes conjuntos de datos.
Ejemplos para planes de la lección
338
Para entender la varianza y la desviación estándar338: En esta lección los estudiantes investigarán la desviación estándar y la varianza usando distintos métodos para acercarse a la misma varianza. Se les guiará a los estudiantes paso a paso en una investigación de lo que describe la desviación estándar de un conjunto de datos. Instrucciones: 1. Crea un conjunto de seis puntos de datos de tal forma que la varianza y la desviación estándar sean cero. Haz un diagrama de dispersión de la distribución. 2. Crea un conjunto de seis puntos de datos de tal forma que la varianza y la desviación estándar sean cero. Haz una gráfica de puntos de la dispersión de la distribución. ¿Puede hacerse esto de más de una forma que no sea variar la media? Explica tu razonamiento. 3. Crea una lista de por lo menos dos conjuntos distintos de seis puntos de datos, ambos con la misma media, de tal forma que la varianza sea cuatro y la desviación estándar sea dos. Haz una gráfica de puntos de la dispersión de la distribución. 4. Crea por lo menos dos conjuntos de seis puntos de datos, de tal forma que la varianza sea cuatro, la desviación estándar sea dos y la media sea siete. Haz una gráfica de puntos de la dispersión de la distribución. 5. Crea por lo menos dos conjuntos de seis puntos de datos, de tal forma que la varianza sea dieciséis, la desviación estándar sea cuatro y la media sea diez. Haz una gráfica de puntos de la dispersión de la distribución. 6. Describe el proceso que utilizaste para obtener tus respuestas. 7. ¿Cuál es la relación entre la desviación estándar y la varianza? Fuente: http://www.apskids.org/Documents/Math_II_Unit_4_TE_APS_Supplement.pdf
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Unidad PE.1: Medidas de tendencia central Matemáticas 3 semanas
8. ¿Qué mide la desviación estándar? 9. Discute sus métodos para hallar más de un conjunto de datos que cumplan con las condiciones requeridas. Los estudiantes deben entender que los conjuntos de datos que no sean conjuntos simétricos pueden producir las varianzas y desviaciones estándar requeridas. Cómo calcular distintas medias339: En esta lección los estudiantes expandirán su comprensión de la media aritmética para calcular distintos tipos de media. Por medio de notas, ejemplos guiados y práctica en pareja los estudiantes calcularán medias geométricas, medias armónicas y medias aritméticas ponderadas (ver anejo: PE.1 Ejemplo para plan de lección - Cómo calcular distintas medias).
Recursos adicionales
http://profjserrano.wordpress.com/ http://education.ti.com/downloads/guidebooks/graphing/84p/TI84Plus_guidebook_ES.pdf http://isa.umh.es/calc/TI/TI83/TI83manual-spa.pdf Math, Culture, and Popular Media: Activities to Engage Middle School Students Through Film, Literature, and the Internet de Michaele F. Chappell and Denisse R. Thompson Matemáticas Integradas I, II, III de Houghton-Mifflin
Conexiones a la literatura Nota: Aunque los siguientes libros están dirigidos a estudiantes de la escuela primaria, éstos apuntan a los principios fundamentales de matemáticas los cuales se pueden explorar en todos los niveles. Todo el mundo disfruta de que alguien le lea y los estudiantes de la escuela secundaria no son la excepción. Estos libros son una excelente introducción a las unidades de estudio. Más allá de la coincidencia de Martin Plimmer El matemático del rey de Juan Carlos Arce La música de los números primos: El enigma de un problema matemático abierto de Marcus Du Sautoy Women and Numbers de Teri Perl Mathematics are People: Stories from the lives of Great Mathematicians de Luetta Teamer and Wilber Reimer
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Fuente: http://file.glpacademy.co.kr/eTAP/mathfiles/english/statistics/lesson3/lesson.html
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Unidad PE.2: Conceptos fundamentales de probabilidad Matemáticas 3 semanas Etapa 1 - Resultados esperados Resumen de la unidad En esta unidad, los estudiantes entenderán la probabilidad como base de la inferencia estadística. Utilizarán el principio de cálculo, permutaciones, combinaciones, el principio de adición y de multiplicación para resolver problemas. Calcularán las probabilidades de los eventos complementarios y usarán la probabilidad condicional y el Teorema de Bayes para resolver problemas. Meta de transferencia: Los estudiantes saldrán de la clase con la capacidad de usar su conocimiento sobre la probabilidad para interpretar, predecir y resolver situaciones del mundo real a partir de la inferencia estadística.
Estándares de contenido y expectativas Probabilidad y estadísticas 2.0 Resuelve problemas por medio del uso de probabilidad y las distribuciones de probabilidad. • Comprende el principio del cálculo, las permutaciones y combinaciones y usarlos para resolver problemas. • Comprende y usa la regla aditiva para calcular probabilidades de eventos mutuamente exclusivos y eventos que no sean mutuamente exclusivos. • Comprende y usa la regla multiplicativa para calcular probabilidades de eventos independientes y dependientes. • Calcula las probabilidades de eventos complementarios. • Utiliza la probabilidad condicional y el Teorema de Bayes para resolver problemas.
Ideas grandes/Comprensión duradera:
Preguntas esenciales:
Los modelos de probabilidad son herramientas útiles. Para calcular la probabilidad, hay que entender los eventos. La probabilidad teórica se utiliza para predecir la probabilidad experimental y las soluciones reales. Las distribuciones de probabilidad son herramientas que nos ayudan a entender la probabilidad de que ocurra un evento. La información estadística nos ayuda a tomar decisiones informadas.
¿Cómo utilizar la probabilidad para tomar decisiones? ¿Por qué los tipos de eventos influyen en la probabilidad? ¿Cuándo es la probabilidad algo seguro? ¿Cómo pueden las distribuciones de probabilidad ayudarnos a estimar la probabilidad de que ocurra un resultado? ¿Cómo influyen las estadísticas en las decisiones?
Contenido (Los estudiantes comprenderán...)
Destrezas (Los estudiantes podrán...)
El uso de la probabilidad y las distribuciones de probabilidad El principio del cálculo
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Resolver problemas por medio del uso de la probabilidad y las distribuciones de probabilidad. 1376
Unidad PE.2: Conceptos fundamentales de probabilidad Matemáticas 3 semanas
Las permutaciones y combinaciones La regla aditiva para calcular probabilidades de eventos mutuamente exclusivos y no mutuamente exclusivos La regla multiplicativa para calcular probabilidades de eventos dependientes e independientes La probabilidad condicional y el Teorema de Bayes
Vocabulario de contenido
combinaciones, distribución de probabilidad, eventos complementarios, eventos dependientes, eventos independientes, eventos mutuamente exclusivos, eventos no mutuamente exclusivos, permutaciones, principio de cálculo, probabilidad, probabilidad condicional, Teorema de Bayes
Usar el principio del cálculo, las permutaciones y combinaciones para resolver problemas. Usar la regla aditiva para calcular probabilidades de eventos mutuamente exclusivos y eventos que no sean mutuamente exclusivos. Usar la regla multiplicativa para calcular probabilidades de eventos dependientes e independientes. Calcular las probabilidades de eventos complementarios. Utilizar la probabilidad condicional y el Teorema de Bayes para resolver problemas.
Para más información referirse al glosario matemático básico en las guías operacionales del DEPR.
Etapa 2 – Evidencia de avalúo Tareas de desempeño
Otra evidencia
¿Qué tal si jugamos a la lotería? Los estudiantes demostrarán su comprensión del principio de cálculo de las probabilidades y cómo se aplican al rendimiento de la inversión en el mundo real por medio del análisis del pago de una lotería.
Ejemplos para preguntas de examen/quiz 1.
Tarea: Eres un funcionario estatal y estás pensando iniciar una lotería estatal para recaudar fondos. Algunos de tus compañeros creen que un pago de $5 millones es demasiado. No quieren pagar más de 10 centavos por dólar. Usando P(ganador)=0.0000001, determina si $5 millones es demasiado. Si es mucho o muy poco, determina la cantidad máxima que puede pagar la lotería y comoquiera pagar solo 10 centavos de cada dólar. Justifica tu respuesta Junio 2012
Número de goles que anota el equipo de fútbol 0 1 2 3 4 5
Probabilidad .0625 .0625 .3125 .1250 .3125 .1250
a) ¿Cuál es la probabilidad de que en un cualquier juego seleccionado al azar, el equipo de fútbol anote dos goles? b) ¿Cuál es la probabilidad de que en cualquier juego seleccionado al azar, el equipo de fútbol anote por lo menos tres 1377
Unidad PE.2: Conceptos fundamentales de probabilidad Matemáticas 3 semanas matemáticamente y escribe un argumento de un párrafo con solo palabras. Evalúa el trabajo de los estudiantes en la rúbrica de evaluación (ver anejo: Organizador - Rúbrica de tarea de desempeño). A mezclarlo todo340 En esta tarea, los estudiantes utilizarán una lista de reproducción de música creada por ellos para calcular varias probabilidades. Demostrarán sus destrezas con permutaciones, combinaciones, así como el principio de multiplicación. Tarea: Algunos de ustedes están más que familiarizados con el hecho de que los reproductores de MP3 tocan la misma canción dos o múltiples veces en el ajuste de reproducción aleatoria mucho antes de que haya tocado todas las canciones de la lista. Para esta tarea de desempeño necesitarás crear una lista de reproducción para tu reproductor MP3. Clasifica tus 25 canciones preferidas en una tabla como la siguiente. Rango
Canción
goles? 2. Se le permite a cada uno de los cinco miembros del Comité de música para el baile de primavera que seleccione una canción que tocará el DJ durante el baile de una lista de cuarenta canciones aprobadas. ¿Cuál es la probabilidad de que por lo menos dos miembros del comité elijan la misma canción?341 Diario
Boleto de salida
Artista
1.
… 25. 1. ¿Cuáles son las probabilidades de que tu canción favorita sea la vigésimo segunda en reproducirse? 2. ¿Cuántas permutaciones diferentes de estas canciones puede producir el reproductor de música? 3. ¿Cuántas combinaciones de tus siete canciones favoritas puede producir el reproductor de música (sin repetirlas)?
Describe una situación en que debas usar un evento complementario para calcular la probabilidad. ¿Qué significa que un evento sea mutuamente excluyente? ¿Cómo calculamos la probabilidad de que ocurran dos eventos mutuamente excluyentes?
Un examen con cincuenta preguntas de selección múltiple consiste en preguntas con cuatro opciones de respuesta. Estima la probabilidad de responder a por lo menos 70 % de las preguntas correctamente si todas las respuestas se eligen al azar.342 El 20 % de las personas leen el periódico A, el 30 % leen el periódico B y el 10 % leen ambos periódicos. ¿Qué porcentaje no lee el periódico? ¿Leer el periódico A y el B, son eventos independientes?343 Supón que se lleva a cabo una encuesta entre electores de tres municipios. En un municipio, el 50 % de los electores apoyan al candidato liberal, en el municipio B, el 60 % de los electores lo apoyan y en el municipio C el 35 % de los electores lo apoyan. De la población total de los tres municipios, el 40 % vive en el municipio A, el 25 % vive en el municipio B y el
340
Fuente: https://sites.google.com/a/guajome.net/andersonbl/precalculus/pcalchw/performancetask1probability Fuente: http://www.amaps.org/leftfiles/Syllabi/Algebra%202%20Sample%20Tasks.pdf 342 Ibídem. 343 Fuente: http://www.intuitor.com/student/Q2_Ch6_Probability_PracTest.php 341
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Unidad PE.2: Conceptos fundamentales de probabilidad Matemáticas 3 semanas 4. Determina la probabilidad de que las siete primeras canciones en reproducirse sean tus siete canciones favoritas en orden descendiente. 5. Calcula la probabilidad de que esto ocurra las próximas cinco veces que lo uses. 6. Calcula la probabilidad de escuchar siete canciones de tu lista de reproducción, pero solo escuchar dos de tus siete favoritas.
35 % vive en el municipio C. Dado que un elector apoya al candidato liberal, ¿cuál es la probabilidad de que viva en el municipio B, usando la fórmula de Bayes?344
Evalúa el trabajo de los estudiantes en la rúbrica de evaluación (ver anejo: Organizador - Rúbrica de tarea de desempeño).
Etapa 3 – Plan de aprendizaje Actividades de aprendizaje
Eventos dependientes e independientes345: En esta actividad, los estudiantes utilizarán su conocimiento de las razones y proporciones para calcular la probabilidad de que ocurran eventos dependientes e independientes. Explícales que, a la hora de determinar la probabilidad, es importante saber si lo que se está determinando es la probabilidad de un solo evento o de un grupo de eventos. En segundo lugar, es importante saber si los resultados son dependientes o independientes. Utilizando la toma de notas de página dividida, los estudiantes deben anotar el tipo de evento (mutuamente excluyente, no mutuamente excluyente, independiente, dependiente, complementario, no complementario), incluyendo la descripción, a la izquierda, y ejemplos de estos tipos de eventos en el lado derecho del papel. Diagrama de Venn346: En esta actividad, los estudiantes utilizarán un diagrama de Venn para comparar la probabilidad de eventos mutuamente excluyentes e inclusivos. Indícales que pongan su nombre en un diagrama de Venn y que escriban, por ejemplo, qué comida les gusta, como pizza o pescado. Discutan las probabilidades de los estudiantes en la clase a partir del diagrama de Venn. Explícales que los dos eventos (que les gusta el pescado o la pizza) no son mutuamente excluyentes porque les pueden gustar ambos. Sin embargo, algunos eventos son mutuamente excluyentes, por ejemplo, si se elige una barquilla o un vaso para una bolita de mantecado. Este es un concepto importante a la hora de determinar la probabilidad porque un evento puede incluirse en más de un resultado. Provéeles notas de ejemplos y cómo calcular eventos mutuamente excluyentes y no mutuamente excluyentes. Pídeles que estimen la probabilidad de que a un estudiante en la clase le guste jugar baloncesto o fútbol, y luego recopila los datos para calcular la probabilidad observada. Compara la probabilidad estimada (teórica) con la probabilidad observada (experimental). ¿Son mutuamente excluyentes estos eventos? ¿Cómo lo sabes?
344
Fuente: http://www.stat.yale.edu/Courses/1997-98/101/condprob.htm Fuente: Comprehensive Curriculum “Math Essentials” by the Louisiana Department of Education 346 Ibídem. 345
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Unidad PE.2: Conceptos fundamentales de probabilidad Matemáticas 3 semanas Ejemplos para planes de la lección
Combinaciones, permutaciones y el principio fundamental de conteo347: En esta lección los estudiantes repasarán las diferencias entre combinaciones, permutaciones y el principio fundamental de conteo, para luego aplicar su conocimiento previo para calcular la probabilidad (ver anejo: PE.2 Ejemplo para plan de lección - Combinaciones, permutaciones y el principio fundamental de conteo.) Instrucciones: 1. Primero, pídeles a los estudiantes que respondan a las preguntas preliminares a continuación. a. ¿Qué tipo de problema es cada uno de los siguientes?: i. ¿De cuántas formas puede elegir la Sra. González de entre un grupo de 10 estudiantes? ii. ¿De cuántas formas pueden los estudiantes ser elegidos para presidente, vicepresidente y secretario(a) si 10 estudiantes se postulan? iii. ¿De cuántas formas distintas pueden hacerse sundaes de mantecado si hay cuatro sabores, tres “toppings” líquidos y 8 “toppings” secos? 2. Toda la clase junta, completen las notas en el anejo (ver anejo: PE. 2 Ejemplo para plan de lección – Combinaciones, permutaciones y el principio fundamental de conteo). En cada parte debe incluirse si importa el orden y si los elementos son del mismo grupo o de grupos distintos. 3. Dales tiempo para que trabajen los problemas individualmente durante cinco minutos, y que luego comparen su trabajo en grupos pequeños y continúen trabajando el problema. 4. La discusión de resumen debe incluir: ¿Cuál es la probabilidad de que los primeros tres estudiantes que escoja la Sra. González sean niñas? ¿Cuál es la probabilidad de que el sundae que compres tenga un “topping” líquido y uno seco? Teorema de Bayes348: La mayor parte de los estudiantes entienden que la probabilidad de que ocurra un evento puede verse influenciada por otro evento que ya haya ocurrido. Sin embargo, muchos estudiantes no pueden entender que la probabilidad de que ocurra un evento puede de hecho depender de un evento que ocurra después. Tener información sobre el resultado de un evento puede usarse para revisar la probabilidad de que haya ocurrido un evento anterior. Este plan de lección les ayudará a los maestros a corregir este error conceptual común entre los estudiantes. También se les introducirá a los estudiantes al teorema de Bayes, que provee una fórmula para hallar una probabilidad condicional si se conocen otras probabilidades condicionales (ver anejo: PE. 2 Ejemplo para plan de lección - Teorema de Bayes).
Recursos adicionales
http://profjserrano.wordpress.com/ http://www.vaxasoftware.com/doc_edu/mat/fprobabi.pdf http://education.ti.com/downloads/guidebooks/graphing/84p/TI84Plus_guidebook_ES.pdf http://isa.umh.es/calc/TI/TI83/TI83manual-spa.pdf Matemáticas Integradas I, II, III de Houghton-Mifflin
347
Fuente: http://betterlesson.com/lesson/7395/fcp-permutation-or-combination#/lesson/7395/fcp-permutation-orcombination?from=tree1 348 Fuente: http://www.teacherlink.org/content/math/interactive/probability/lessonplans/bayes/home.html
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Unidad PE.2: Conceptos fundamentales de probabilidad Matemáticas 3 semanas Conexiones a la literatura Nota: Aunque los siguientes libros están dirigidos a estudiantes de la escuela primaria, éstos apuntan a los principios fundamentales de matemáticas los cuales se pueden explorar en todos los niveles. Todo el mundo disfruta de que alguien le lea y los estudiantes de la escuela secundaria no son la excepción. Estos libros son una excelente introducción a las unidades de estudio. A Very Improbable Story de Edward Einhorn, ilustrado por Adam Gustavson Más allá de la coincidencia de Martin Plimmer El matemático del rey de Juan Carlos Arce La música de los números primos: El enigma de un problema matemático abierto de Marcus Du Sautoy Letters of a young Mathematician de Ian Stewart
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Unidad PE.3: Distribuciones de probabilidad, distribución normal y teorema de límite central Matemáticas 4 semanas Etapa 1 - Resultados esperados Resumen de la unidad En esta unidad, los estudiantes resolverán problemas usando la probabilidad, así como las distribuciones normales y de variable aleatoria. Calcularán e interpretarán la media y la varianza de una distribución de probabilidad y aplicarán el teorema de límite central para resolver problemas. Los estudiantes hallarán la media y la desviación estándar de una distribución binomial para predecir y describir eventos. Meta de transferencia: Los estudiantes saldrán de la clase con la capacidad de usar su conocimiento sobre las distribuciones de probabilidad, las distribuciones normales y el teorema de límite central para generalizar resultados a partir de muestras pequeñas de la población total.
Estándares de contenido y expectativas Probabilidad y estadísticas 2.0 Resuelve problemas por medio del uso de la probabilidad y las distribuciones de probabilidad. • Usa variables aleatorias discretas y distribuciones de probabilidad, que incluyen las distribuciones binomiales y geométricas. • Calcula e interpreta la media y la varianza de una distribución de probabilidad. • Usa otras variables aleatorias continuas y distribuciones de probabilidad para resolver problemas. • Usa y aplica la distribución normal. Utiliza el teorema central del límite para resolver problemas.
Ideas grandes/Comprensión duradera:
Preguntas esenciales:
Los fenómenos pueden describirse y predecirse por medio de modelos binomiales y geométricos. Las distribuciones pueden usarse para estimar resultados. La media y la varianza describen cuán lejos están los datos del valor esperado. El teorema de límite central aplica la distribución normal a datos aleatorios. La información estadística nos ayuda a tomar decisiones informadas.
¿Cómo podemos predecir el futuro por medio de modelos? ¿Cómo podemos aprender de varios tipos de distribuciones? ¿Cómo afecta la varianza a los resultados de una distribución? ¿Cómo nos ayuda el teorema de límite central a entender las distribuciones y los datos? ¿Cómo influyen las estadísticas en las decisiones?
Contenido (Los estudiantes comprenderán...)
Destrezas (Los estudiantes podrán...)
El teorema de límite central El concepto de distribución normal Los conceptos de probabilidad y las distribuciones de probabilidad
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Resolver problemas por medio del uso de la probabilidad y las distribuciones de probabilidad. Usar variables aleatorias discretas y distribuciones de probabilidad que incluyen 1382
Unidad PE.3: Distribuciones de probabilidad, distribución normal y teorema de límite central Matemáticas 4 semanas Vocabulario de contenido
distribución aleatoria continua, distribución binomial, distribución geométrica, distribución de probabilidad, media, probabilidad, teorema de límite central, variables aleatorias discretas, varianza Para más información referirse al glosario matemático básico en las guías operacionales del DEPR.
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las distribuciones binomiales y geométricas. Calcular e interpretar la media y la varianza de una distribución de probabilidad. Usar otras variables aleatorias continuas y distribuciones de probabilidad para resolver problemas. Usar y aplicar la distribución normal. Utilizar el teorema central del límite para resolver problemas.
Etapa 2 – Evidencia de avalúo Tareas de desempeño
Otra evidencia
Afiche de millas por galón Los estudiantes demostrarán su comprensión de la media, la desviación estándar, la distribución normal y el teorema de límite central al analizar la eficiencia de combustible de los vehículos.
Ejemplos para preguntas de examen/quiz 1. La vida útil de una batería suele distribuirse con una vida media de 40 horas y una desviación estándar de 1.2 horas. Halla la probabilidad de que una batería seleccionada al azar dure más de 42 horas.351 2. ¿Cuál de las siguientes no es cierta sobre las distribuciones de probabilidad discreta? a) Las probabilidades negativas no son posibles. b) Las probabilidades suman 1. c) Las distribuciones son simétricas. d) La distribución estándar puede tener un valor mayor que la media. e) Todas son correctas.352 3. Dibuja un diagrama de caja para datos con distribución normal. Traza una gráfica en que los datos tengan un sesgo positivo. Traza una gráfica en que los datos tengan un sesgo negativo.
En grupos de dos o tres, los estudiantes completan lo siguiente en una hoja grande de papel; deben estar preparados para presentar frente a la clase: A continuación, se proveen las millas por galón en la ciudad y la capacidad de combustible del tanque en galones para automóviles del año 2012.349 Lista de carros 1 Honda CRZ Scion IQ Hyundai Sonata Audi A3 Toyota Prius Chevy Volt
MPG 37 37 28 34 42 60
Lista de carros 2 Bentley Mulsanne MB S600 Bugati Veyron CTS Wagon MB CL65 AMG Aston Martin DB9
1. Halla la media, mediana y desviación estándar de las millas por galón de los carros de la lista 1. 2. Halla la media, mediana y desviación
MPG 13 14 10 14 14 13
Diarios 1. Da un ejemplo de un experimento en que sea correcto usar una distribución normal como aproximación de una probabilidad binomial. Explica por qué en este ejemplo es mejor usar
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Fuente: http://www.fueleconomy.gov/feg/best-worst.shtml Fuente: http://www.amaps.org/leftfiles/Syllabi/Algebra%202%20Sample%20Tasks.pdf 352 Fuente: http://www.intuitor.com/student/Q2_Ch7_8_BinomilPracticeTest.php 351
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Unidad PE.3: Distribuciones de probabilidad, distribución normal y teorema de límite central Matemáticas 4 semanas
3.
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6.
estándar de las millas por galón de los carros de la lista 2. Haz un diagrama de caja de cada grupo de datos de millas por galón. a) ¿Cómo se comparan las medias de los dos grupos de datos? b) ¿Cómo se comparan las desviaciones estándar? ¿Cuál grupo de datos tiene la variabilidad menor en millas por galón? Usando las medidas de tendencia central de cada lista, traza una curva de distribución por cada lista. c) Explica si cada distribución se distribuye de forma normal o si tiene un sesgo positivo o negativo. d) ¿Cómo se compara tu curva de distribución con tu diagrama de caja? Usando el teorema de límite central y asumiendo que la media de población de carros de la lista 1 es 34 y la media de población de carros de la lista 2 es 11, explica qué debe sucederle a la desviación estándar y a la media de cada lista de carros si se aumentara la muestra.
Evalúa el trabajo de los estudiantes en la rúbrica de evaluación (ver anejo: Organizador gráfica - Rúbrica de tarea de desempeño). ¿Cuándo hace falta más ayuda? Los estudiantes demostrarán su comprensión de las variables aleatorias continuas y la distribución de probabilidad normal al analizar si un grupo de infantes está desarrollándose al ritmo velocidad adecuado según su Índice de Desarrollo Psicomotor. Los estudiantes redactarán una carta con sus hallazgos para el padre preocupado.
una aproximación de la probabilidad que hallar la probabilidad exacta.353 2. ¿Cómo se aplican a las distribuciones de muestreo el teorema de límite central y la ley de números grandes? 3. ¿Cuál es la diferencia entre la distribución geométrica y la binomial? Boleto de salida 1. Por lo general, se distribuyen cuatrocientos valores con una media de 120 y una desviación estándar de 15. ¿Cuál intervalo incluye 15 % de los datos? ¿Cuál intervalo incluye 95% de los datos? 2. Llena el blanco: Si se obtienen muestras de tamaño n, donde _______________, de cualquier población con una distribución cualquiera con una media de μ y una desviación estándar de σ, entonces la distribución de muestreo de las medias de la muestra se aproxima a una distribución de _______________. La distribución de muestreo de las medias de la muestra tiene una media de ____________ y un error estándar de la media de _______________.354 3. Halla la media y la desviación estándar de una distribución binomial dado n=10 y p=0.7. 4. ¿Cuál es la probabilidad de obtener una muestra aleatoria de nueve medidas con una media mayor que 50 mm de una población con una media de 47 mm y una desviación estándar de 12 mm?355
353
Fuente: http://www.amaps.org/leftfiles/Syllabi/Algebra%202%20Sample%20Tasks.pdf Fuente: http://www.rvgs.k12.va.us/wwwroot/resources/2008StatManual.pdf 355 Fuente: www.indiana.edu/~lceiub/PY206F05/Introduction.ppt 354
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Unidad PE.3: Distribuciones de probabilidad, distribución normal y teorema de límite central Matemáticas 4 semanas Tarea: Como psicólogo escolar, te toca decidir cuándo proveerle ayuda adicional a los niños. Dentro de un entorno de cuido de niños de edad temprana, debes decidir si los infantes se están desarrollando al ritmo adecuado. Para lograrlo, se utiliza el Índice de Desarrollo Psicomotor (IDP), que es aproximadamente normal con una media de 100 y una desviación estándar de 15.350 1. Decide qué porcentaje de infantes considerarías "en riesgo". (¿Parte inferior de 1%, 5%, 10%, 20%?) 2. Se elige a un infante al azar. ¿Cuál es la probabilidad de que obtenga una puntuación de 90 en el IDP? 3. ¿Te sorprendería ver una puntuación en el IDP de 90 en la muestra de estudiantes de tu escuela? ¿Te sorprendería ver una puntuación en el IDP de 90 en la población de todos los estudiantes? 4. Una madre preocupadísima te escribe y te dice que la puntuación de su hijo fue de 85 y piensa que su hijo necesita más ayuda. Usando tu categoría de "en riesgo", escríbele una carta de respuesta explicándole qué porcentaje de los niños identificas como “en riesgo”, qué puntuaciones caen dentro de esa categoría, cómo calculaste y obtuviste estas puntuaciones, si su hijo cae en esa categoría y cualquier consejo adicional que puedas darle. Evalúa las cartas de los estudiantes en la rúbrica de evaluación (ver anejo: Organizador - Rúbrica de tarea de desempeño).
Etapa 3 – Plan de aprendizaje Actividades de aprendizaje
Distribución de centavitos prietos356: Los estudiantes usarán la distribución de centavos prietos para calcular la media y la desviación estándar, y crear histogramas para entender el teorema de
350
Fuente: Adaptado de Statistical Methods for the Social Sciences de Alan Agresti y Barbara Finlay Fuente: Adaptado de: https://www.georgiastandards.org/_layouts/GeorgiaStandards/UnitBuilder/DWPublicPreview.aspx?WID=89&obj=43598 &mode=1 356
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Unidad PE.3: Distribuciones de probabilidad, distribución normal y teorema de límite central Matemáticas 4 semanas
límite central. Hacen falta entre 600 a 1000 centavitos prietos; no dudes en pedirles a los estudiantes que los traigan. 1. Determina la población total de centavos. Reparte un número igual de centavos y pídeles a los estudiantes que hagan un registro de en qué año se imprimieron. 2. Los estudiantes suman sus datos a un total de la clase. 3. Utiliza la población para hacer un modelo de cómo calcular la media, la desviación estándar y crear un histograma. Los estudiantes anotan estas representaciones de la población de centavos en un papel. 4. Repártele a cada estudiante dos centavos al azar y pídeles que calculen la media, la desviación estándar y que hagan un histograma en su papel. Repite este ejercicio con muestras aleatorias de 10 centavos y de 30 centavos. 5. Pídeles a los estudiantes que comparen los histogramas de sus muestras con el histograma de la población y pregúntales qué notan. ¿Qué otras tendencias de interés se presentan? Aplicación del teorema de límite central Después de que hayan aprendido a calcular el teorema de límite central, elige una serie de problemas en que los estudiantes tengan que aplicarlo. Asígnale un problema a grupos de tres estudiantes. Los grupos deberán resolver y presentar su problema a otros grupos, y explicar el contexto del problema y el proceso que utilizaron para resolverlo. Durante las presentaciones, los otros grupos tomarán nota de cómo resolver los problemas presentados y hacer por lo menos una pregunta de aclaración para asegurarse de que entiendan el proceso y el contexto del problema. Para encontrar problemas de ejemplo, ver el anejo: PE.3 Actividad de aprendizaje - Aplicación del teorema de límite central. Juego de dados geométrico357: Esta actividad en que participará toda la clase introduce a los estudiantes al concepto de la distribución geométrica. Además de la naturaleza interactiva de la actividad, los estudiantes tendrán la opción de completar ejercicios de simulación a mano usando una calculadora o una tabla de números aleatorios, o una computadora. Los resultados del ejercicio de simulación entonces los llevarán a una decisión durante el juego (ver anejo: PE.3 Actividad de aprendizaje - Juego de dados geométrico).
Ejemplos para planes de la lección
La distribución normal y la regla empírica358: En esta lección, se les guía a los estudiantes paso a paso para aprender los tipos de distribuciones y la regla empírica por medio de una actividad práctica. Materiales sugeridos: 1 regla de centímetro por pareja, 1 bola de tenis por pareja, notitas adhesivas pequeñas y papel cuadriculado (ver anejo: PE.3 Ejemplo para plan de lección - La distribución normal y la regla empírica). Distribuciones binomiales359: En esta lección, los estudiantes utilizan su conocimiento previo de la probabilidad y la tendencia central para investigar variables binarias. Se les pedirá que tracen la gráfica de una distribución binomial y verifiquen la simetría. Después del conjunto de notas siguiente, los estudiantes completarán la hoja de actividad de distribuciones binomiales (ver anejo: PE.3 Ejemplo para plan de lección - Distribuciones binómicas). Notas:
357
Fuente: http://courses.ncssm.edu/math/Stat_Inst2001/Section5/TheGeometricDie4.pdf Fuente: http://www.apskids.org/Documents/Math_II_Unit_4_TE_APS_Supplement.pdf 359 Fuente: http://www.apskids.org/Documents/CCGPS_Math_III_Unit_6_TE_021011.pdf 358
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Unidad PE.3: Distribuciones de probabilidad, distribución normal y teorema de límite central Matemáticas 4 semanas 1. Ahora consideraremos la probabilidad más importante de las variables aleatorias discretas: la distribución binómica. Las distribuciones binómicas son importantes porque muchas situaciones solo tienen dos resultados. Por ejemplo: a) un jugador de baloncesto puede encestar o no una bola; b) una persona puede votar que sí o que no en un referendo para aumentar el impuesto escolar; c) un bebé recién nacido es o niño o niña. 2. Las observaciones de este tipo se denominan binarias. Solo tienen dos resultados posibles. En la práctica, presentamos el resultado de interés con una variable, digamos X, y entonces determinamos la distribución de probabilidad de los valores de X posibles. 3. Las siguientes condiciones deben cumplirse para que la distribución de una variable aleatoria sea binómica. a) Hay un número fijo de intentos (n) y cada uno tiene dos resultados posibles. (El resultado de interés suele llamarse éxito y el otro fracaso.) b) Los experimentos deben ser independientes, o sea, que el resultado de uno no dependa de ni afecte al otro. c) La probabilidad de éxito, denominada p, es igual para cada experimento. La probabilidad de fracaso es 1 - p. 4. Con toda la clase, identifiquen el evento que es un éxito y la probabilidad de que ocurra en las siguientes situaciones: a) David y Rebeca van a lanzar una moneda para ver cuántas veces sale la cruz. Han lanzado la moneda 60 veces. b) Un entrenador de fútbol está planificando un juego en contra del rival más fuerte de su equipo. Su quarterback tiene una tasa de pases exitosos de 59%.
Recursos adicionales
http://www.math.csusb.edu/faculty/stanton/probstat/clt.html http://www.aulafacil.com/CursoEstadistica/Lecc-40-est.htm http://www.vaxasoftware.com/doc_edu/mat/fdist.pdf http://profjserrano.wordpress.com/ http://education.ti.com/downloads/guidebooks/graphing/84p/TI84Plus_guidebook_ES.pdf http://isa.umh.es/calc/TI/TI83/TI83manual-spa.pdf Matemáticas Integradas I, II, III de Houghton-Mifflin
Conexiones a la literatura Nota: Aunque los siguientes libros están dirigidos a estudiantes de la escuela primaria, éstos apuntan a los principios fundamentales de matemáticas los cuales se pueden explorar en todos los niveles. Todo el mundo disfruta de que alguien le lea y los estudiantes de la escuela secundaria no son la excepción. Estos libros son una excelente introducción a las unidades de estudio. Más allá de la coincidencia de Martin Plimmer El matemático del rey de Juan Carlos Arce La música de los números primos: El enigma de un problema matemático abierto de Marcus Du Sautoy Junio 2012 Adaptado de Understanding by Design de Grant Wiggins y Jay McTighe
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Unidad PE.4: Correlación, intervalos de confianza y prueba de hipótesis Matemáticas 7 semanas Etapa 1 - Resultados esperados Resumen de la unidad En esta unidad, los estudiantes calcularán e interpretarán el coeficiente de correlación de un conjunto de datos. Asimismo, calcularán y utilizarán los intervalos de confianza para hacer estimados. Aplicarán la verificación de hipótesis de las medias y las diferencias entre las medias para sacar conclusiones. Utilizarán el principio de los mínimos cuadrados para hallar la curva de mejor ajuste de un conjunto de datos. Meta de transferencia: Los estudiantes saldrán de la clase con la capacidad de utilizar su conocimiento del coeficiente de correlación de conjuntos de datos, intervalos de confianza y cualquier verificación de hipótesis para medir la relación entre dos variables y sacar conclusiones de conjuntos de datos del mundo real.
Estándares de contenido y expectativas Probabilidad y estadísticas 3.0 Utiliza intervalos de confianza y pruebas de hipótesis, ajusta curvas a los datos y calcula los coeficientes de correlación. Calcula e interpreta el coeficiente de correlación de un conjunto de datos. Calcula y usa intervalos de confianza para hacer estimados. • Utiliza las pruebas de hipótesis de medias y diferencias entre medias para llegar a conclusiones. Usa el principio de cuadrados mínimos para encontrar la curva de mejor ajuste para un conjunto de datos.
Ideas grandes/Comprensión duradera:
Preguntas esenciales:
Los coeficientes de correlación de conjuntos de datos proveen información importante en la resolución de problemas de la vida real. El coeficiente de correlación fortalece el ajuste de mínimos cuadrados a los datos originales. Una hipótesis tiene una probabilidad de ser cierta que se puede calcular. Los intervalos de confianza son estimados de un parámetro utilizado para indicar la fiabilidad. La estimación de cuadrados mínimos expande la comprensión de los coeficientes de correlación para inferir un resultado. La información estadística nos ayuda a tomar decisiones informadas.
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¿Por qué calculamos los coeficientes de correlación de un conjunto de datos? ¿Por qué la calidad de la adecuación de los mínimos cuadrados a los datos sería importante? ¿Cuál es la importancia de la verificación de una hipótesis? ¿Cómo se evalúa si los datos son fiables? ¿Cómo se relaciona la línea de mejor ajuste entre dos variables con el coeficiente de correlación? ¿Cómo influyen las estadísticas en las decisiones?
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Unidad PE.4: Correlación, intervalos de confianza y prueba de hipótesis Matemáticas 7 semanas Contenido (Los estudiantes comprenderán...)
Destrezas (Los estudiantes podrán...)
El concepto de correlación Los intervalos de confianza La verificación de hipótesis El principio de cuadrados mínimos
Vocabulario de contenido ajuste de mínimos cuadrados, coeficiente de correlación, curva de mejor ajuste, hipótesis nula, intervalo de confianza, principio de mínimos cuadrados, verificación de hipótesis de diferencias, verificación de hipótesis de medias, puntaje-z Para más información referirse al glosario matemático básico en las guías operacionales del DEPR.
Calcular el coeficiente de correlación de un conjunto de datos. Interpretar el coeficiente de correlación de un conjunto de datos. Calcular y usar los intervalos de confianza para hacer estimados. Utilizar las pruebas de hipótesis de medias y diferencias entre medias para llegar a conclusiones. Usar el principio de cuadrados mínimos para encontrar la curva de mejor ajuste para un conjunto de datos.
Etapa 2 – Evidencia de avalúo Tareas de desempeño
Otra evidencia
Interpretación de la correlación360 Los estudiantes demostrarán su comprensión de cómo interpretar la correlación al analizar datos.
Ejemplos para preguntas de examen/quiz 1. Un estudiante de escuela superior analiza si existe una relación entre el número de libros que leen los estudiantes por placer frente al número promedio de horas que pasan viendo televisión al día. Después de preguntarles a tres amigos, el estudiante reporta los resultados siguientes.363 a) Crea un diagrama de dispersión de los resultados. b) Al inspeccionar el diagrama de dispersión, reporta la misma correlación muestral entre dos variables e interpreta.
Tarea: Elige un problema que te interese y que incluya una variable dependiente y una variable independiente. 1. Los datos de la muestra de este problema deben consistir por lo menos en 20 puntos de datos y deben provenir de tu propia investigación o de una página de Internet oficial y fiable. 2. Con una herramienta tecnológica (TIInteractive u otra aplicación), construye un diagrama de dispersión y luego realiza un análisis de correlación y regresión de este conjunto de datos. 3. Escribe un informe sobre los datos y su análisis que incluya datos bibliográficos completos de la fuente de tus datos, el 360 363
No. de libros 0 5 10
Horas de televisión. 5 3 1
2. En un estudio sobre la ideología política
Fuente: web.mac.com/statsmonkey/StatsMonkey/AP_Audit_files/YMM.Rye.doc Fuente: Adaptado de Statistical Methods for the Social Sciences de Alan Agresti y Barbara Finlay
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Unidad PE.4: Correlación, intervalos de confianza y prueba de hipótesis Matemáticas 7 semanas análisis computarizado de estos (debe consistir en un diagrama de dispersión, un análisis de correlación y un análisis de regresión) y uno o dos párrafos bien escritos resumiendo tu interpretación de estos resultados. 4. Asegúrate de abordar ambas partes de la cuestión con estadística. Evalúa el trabajo de los estudiantes en la rúbrica de evaluación (ver anejo: Organizador gráfica Rúbrica de tarea de desempeño). Conexión entre el ejercicio y la comida chatarra Los estudiantes demostrarán su comprensión de la correlación de conjuntos de datos al analizar datos de la cantidad de comida chatarra que consume una persona y cuánto se ejercita a la semana. Tarea: Un grupo de padres sostiene que existe una conexión entre la cantidad de comida chatarra que consumen los niños y la cantidad de ejercicio que realizan. Han llevado a cabo una encuesta comunitaria entre jóvenes de escuela superior y sus resultados se encuentran en la tabla a continuación. El grupo quiere utilizar los datos para convencer al principal de la escuela de que si quitaran toda la comida chatarra de sus máquinas dispensadoras, los estudiantes se ejercitarían más. Cantidad de veces que un individuo consume comida chatarra en una semana 2 2 1 3 4 7
Cantidad de horas que se ejercita un individuo en una semana 5 7 6 4.5 5 1
(mientras más alto el valor más conservadora es la persona) y el número de veces a la semana que los participantes leían el periódico, se halló una correlación de r = 0.066.364 a) ¿Concluirías que la asociación muestral es débil o fuerte? b) Cuando se unió la ideología política con la religiosidad (mientras más alto era el valor más iban a la iglesia los participantes) la correlación fue de r = 0.580. ¿Cuál de estas variables explicativas parece tener una relación lineal más fuerte con la lectura del periódico? Explica. 3. Los datos siguientes son de una muestra seleccionada de una población que asumes se distribuye normalmente. Establece un intervalo de confianza de 95 % de μ. 365 3, 4, 5, 6, 6, 7, 7, 7, 8, 8, 8, 9, 9, 10, 11, 12 4. El salario por hora promedio que gana un estudiante de escuela superior en Puerto Rico es de $3.49 la hora, con una desviación estándar de $.25. Asume que los salarios por hora varían de forma normal. Calcula un intervalo de confianza de 95 % para el salario por hora promedio que gana un estudiante de escuela superior. ¿Cuál es la media, la desviación estándar y el puntaje-z de este conjunto de datos? Determina el intervalo de confianza. ¿Qué representa este intervalo en este contexto?366 5. ¿Cuáles de las siguientes son los únicos resultados posibles de la verificación de hipótesis? a) Rechazar la hipótesis nula. b) Aceptar la hipótesis nula. c) Rechazar la hipótesis alterna. d) No rechazar la hipótesis nula.
364
Ibídem. Fuente: http://www.rvgs.k12.va.us/wwwroot/resources/2008StatManual.pdf 366 Fuentes: Adaptado de: http://jfmueller.faculty.noctrl.edu/toolbox/examples/heslinga09/confidence%20intervals.pdf and http://www.minimum-wage.org/states.asp?state=Puerto%20Rico 365
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Unidad PE.4: Correlación, intervalos de confianza y prueba de hipótesis Matemáticas 7 semanas 0 2 3 3 5 1
6 5 5 3.5 2 6
1. Usando los datos de la tabla crea un diagrama de dispersión. 2. Calcula el coeficiente de correlación. 3. Describe la relación entre la cantidad de comida chatarra que consume una persona en una semana y la cantidad de ejercicio en la que participa. 4. En una página explícale tus hallazgos al principal. Asegúrate de incluir: el coeficiente de correlación y una explicación de qué significa ese coeficiente; tu descripción de la relación entre las variables; si piensas que una correlación justificaría lo que sostienen los padres; (piensa en los límites de una correlación, incluida la direccionalidad, así como la diferencia entre la correlación y la causalidad). Incluye tus sugerencias finales para el principal. Evalúa el trabajo de los estudiantes en la rúbrica de puntuación (ver anejo: Organizador - Rúbrica de tarea de desempeño). Las elecciones presidenciales en Florida361 Los estudiantes demostrarán su comprensión de la línea de mejor ajuste y los intervalos de confianza al analizar los resultados de las elecciones presidenciales del 2000 en Florida. Tarea: Las elecciones presidenciales del 2000 fueron de las más polémicas en la historia de los EE. UU. Fue la votación más cerrada desde 1876 y solamente 361 367
6. En la verificación de hipótesis nula, se comienza determinando la probabilidad de haber obtenido los datos si la hipótesis ______________ fuese cierta. Diarios 1. ¿Cuál es el espectro de valores posibles de un coeficiente de correlación? ¿Por qué el coeficiente de correlación está limitado por ese espectro? 2. Traza y rotula diagramas de dispersión en que se muestre una correlación positiva fuerte, una correlación negativa débil y ninguna correlación. 3. En tus propias palabras, ¿qué representan los valores del coeficiente de correlación? 4. En la verificación de hipótesis, que significan los siguientes: "falso positivo", "falso negativo", "verdadero positivo" y "verdadero negativo". ¿Cuál de las anteriores se clasifica como un error tipo 1? ¿Y un error tipo 2? 5. ¿Qué es un intervalo de confianza? Escribe una breve descripción e incluye la definición matemática. Boletos de entrada/salida 1. En tus propias palabras, ¿qué significa que los datos tengan una correlación negativa fuerte? 2. La gráfica a continuación muestra los precios de la gasolina y la leche en un colmado local durante un periodo de 3 semanas.367 Gasolina 12 de marzo de 2006 19 de marzo de 2006 26 de marzo de 2006
Leche
2.36
2.30
2.50
2.35
2.49
2.33
¿Qué tipo de correlación, si alguna, hubo durante el periodo de tres semanas entre el
Fuente: http://www.apskids.org/Documents/Math_II_Unit_6%20_TE_APS_Web-Web.pdf Fuente: http://www.jmap.org/htmlstandard/Integrated_Algebra/Statistics_and_Probability/A.S.13.htm
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Unidad PE.4: Correlación, intervalos de confianza y prueba de hipótesis Matemáticas 7 semanas las cuartas elecciones en que el voto electoral no reflejó el voto popular. El candidato demócrata era Al Gore y el candidato republicano George W. Bush. Gran parte de la controversia surgió debido a que en el estado de Florida se le otorgaron los 25 votos del colegio electoral a Bush. Los resultados de la votación iniciales indicaban 3,407 votos para el candidato del partido de la reforma, Pat Buchanan. Algunos analistas políticos pensaban que ese total era sorprendentemente alto. Muchos pensaban que la mayor parte de esos votos realmente eran para Gore, pero que se adjudicaron a Buchanan incorrectamente porque algunos electores encontraron la boleta de votación confusa. Divídanse en parejas y analicen los resultados de las elecciones del 2000 de los 25 condados de Florida. 1. Usando los datos (ver anejo: PE.4 Tarea de desempeño - Elecciones de Florida), creen una línea de mejor ajuste e incluyan todo el proceso cuando sea necesario, con los siguientes métodos: a) a ojo b) línea mediana- mediana c) línea de regresión de mínimos cuadrados 2. ¿Cuál piensas se ajusta mejor a los datos? ¿Por qué? 3. Cuatro condados en particular causaron bastante inquietud: Liberty, Manatee, Hillsborough y Palm Beach. a) Usando la línea de mejor ajuste que escogiste, calcula el número estimado de votos para Buchanan en cada uno de los cuatro condados. b) ¿Clasificarías alguno de estos como dato anómalo? Justifica tu respuesta. c) Calcula un intervalo de confianza de 95 % para cada uno de los cuatro condados. 4. Usando tu análisis escribe un informe de una página en que resumas tus hallazgos y les 368
precio de la gasolina y el precio de la leche? ¿Es posible que uno de estos eventos haya causado el otro? Explica tu respuesta. 3. Una empresa farmacéutica está probando una nueva pastilla para adelgazar. Según la empresa, la pastilla puede reducir significativamente el peso de un individuo. ¿Cuál es la hipótesis nula de esta prueba? Escribe una hipótesis alterna. 4. Asume que quieres obtener un margen de error de 5 % para una encuesta en particular. A medida que aumenta el tamaño de la muestra, ¿qué ocurre con tu nivel de confianza? Elige dos números distintos para "n" para usarlos de ejemplos que apoyen tu respuesta.368
Fuente: http://jfmueller.faculty.noctrl.edu/toolbox/examples/examples_tasks_math.htm
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Unidad PE.4: Correlación, intervalos de confianza y prueba de hipótesis Matemáticas 7 semanas respondas a los analistas que creían que los votos para Buchanan eran demasiados. Evalúa el trabajo de los estudiantes en la rúbrica de evaluación (ver anejo: Organizador - Rúbrica de tarea de desempeño). Verde garantizado362 En esta tarea, los estudiantes pondrán a prueba la afirmación de que "en toda bolsa de M&M habrá por lo menos 5 M&M verdes". Los estudiantes ejecutarán una verificación simulada de la hipótesis y calcularán un intervalo de confianza de 95%, para luego generalizar sus hallazgos al parámetro poblacional. Tarea: 1. Vacía la bolsa de M&M en un vaso desechable u otro contenedor pequeño. Revuélvelo vigorosamente. Sin mirar el contenedor, saca un M&M a la vez hasta que encuentres uno verde. Anota cuántos M&M tuviste que sacar para llegar al primer M&M verde. Vuelve a echar los M&M en la bolsa y revuélvelos de nuevo. Continúa hasta que la clase tenga 50 intentos. Traza y predice el número promedio de M&M necesarios para llegar al verde. ¿De qué tipo de distribución se trata? ____________________ Tiempo de espera teórico para llegar a uno verde =______chocolates. Tiempo de espera muestral para llegar a uno verde = _______ chocolates. 2. Simulaciones y modelos: ¿Cuántos M&M hay que seleccionar para tener uno de cada color? Utiliza una tabla de números aleatorios para simular esta pregunta. Explica cómo utilizarás la tabla de números aleatorios en tu simulación y hazla 10 veces. ¿Cuál es el número promedio de M&M seleccionados para obtener uno de cada color? 3. Supón que no sabes si tu paquete de M&M contiene el color azul, pero que supones que 362
Fuente: http://www.lhs.logan.k12.ut.us/~jsmart/reviewunit.htm
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Unidad PE.4: Correlación, intervalos de confianza y prueba de hipótesis Matemáticas 7 semanas probablemente sí, puesto que otras variedades de M&M sí lo tienen. Obtienes una muestra aleatoria de 10 chocolates y no encuentras ninguno azul. Concluyes que el paquete de mini M&M no incluye chocolates azules. ¿Qué tipo de error has cometido? ¿Es posible cometer un error tipo II en este experimento? 4. Cuenta todos los chocolates que hay en tu paquete. Anota el color de cada uno. Halla los valores esperados de cada color. Haz una verificación de hipótesis para calcular cuán bien se ajustan las proporciones de tu muestra a las proporciones poblacionales de cada color. ¿Qué tipo de prueba realizarás? 5. Considera que tu paquete de dulces es una muestra aleatoria de la población. Calcula un intervalo de confianza de 95% para la verdadera proporción de chocolates verdes de tu muestra. ¿Contenía tu nivel de confianza la proporción poblacional verdadera? Supón que tenías paquetes de 200 M&M y que calculaste intervalos de confianza de 95% para la proporción de chocolates verdes en cada paquete. ¿Cuántos de estos intervalos de confianza deben contener la verdadera proporción poblacional? ¿Cuál es la definición del intervalo de confianza de 95%? 6. Utiliza tus hallazgos para escribir una evaluación de la afirmación siguiente: "en toda bolsa de M&M habrá por lo menos 5 M&M verdes". Evalúa el trabajo de los estudiantes en la rúbrica de evaluación (ver anejo: Organizador - Rúbrica de tarea de desempeño).
Etapa 3 – Plan de aprendizaje Actividades de aprendizaje
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Coeficiente de correlación como medida de varianza369: Los estudiantes utilizarán su conocimiento previo de la varianza para entender el coeficiente de correlación. Tras observar la relación entre Fuente: http://www.doe.state.la.us/topics/comprehensive_curriculum.html
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Unidad PE.4: Correlación, intervalos de confianza y prueba de hipótesis Matemáticas 7 semanas
dos variables continuas en un diagrama de dispersión, los estudiantes crearán una ecuación que explique la varianza, para luego compararla con el coeficiente de correlación hecho por la clase. 1. Pídeles a los estudiantes que recopilen datos entre sus compañeros que podrían representar la relación entre dos medidas (o sea, la longitud del pie en centímetros y el tamaño de zapato de chicos y chicas) y que elaboren gráficas separadas para los chicos y las chicas. 2. Discutan las variables dependientes e independientes, y pídeles a los estudiantes que decidan cuál es la variable independiente y cuál es la dependiente en la actividad. 3. Indícales que escriban pares ordenados y busquen las relaciones en los datos de la gráfica. ¿Hay algún patrón en los datos? (Sí, a medida que aumenta la longitud del pie aumenta el tamaño de zapato.) ¿Parecen ser lineales los datos? (Los datos deben parecer lineales.) Ayúdales a los estudiantes a fijarse en la correlación positiva entre la longitud del pie y el tamaño de zapato. 4. Pídeles que hallen la razón promedio de la longitud del pie al tamaño del zapato. Esta es la constante de variación. 5. Pídeles a los estudiantes que escriban una ecuación que sirva de modelo para la situación (tamaño de zapato =razón x de longitud del pie). 6. Después del experimento, introduce el concepto del coeficiente de correlación y, usando el diagrama de dispersión creado y los datos recopilados, calcula el coeficiente de correlación junto con toda la clase. 7. Discutan la conexión entre el nivel de varianza y la solidez del coeficiente de correlación. Clasificación de tarjetas con diagramas de dispersión y correlaciones370: Los estudiantes recortan diagramas de dispersión y los organizan en grupos de: correlación positiva perfecta, correlación negativa perfecta, correlación positiva fuerte, correlación negativa fuerte, correlación positiva débil, correlación negativa débil o sin correlación (ver anejo: PE. 4 Actividad de aprendizaje Clasificación de tarjetas de diagramas de dispersión y correlaciones). Predicción de la precipitación pluvial371: En esta actividad se examinará la relación entre la precipitación anual y la temperatura, y la precipitación anual y el clima soleado. Los estudiantes trabajarán con diagramas de dispersión, crearán una curva de mejor ajuste que tenga una suma mínima de las desviaciones cuadradas (error de mínimo cuadrado) y explicarán las relaciones presentes (ver anejo: PE.4 Actividad de aprendizaje - Predicción de la precipitación pluvial). Pase del globo372: En esta actividad, los estudiantes utilizarán su conocimiento previo de la probabilidad y se les introducirá a una hipótesis nula y alterna. Los estudiantes crearán una hipótesis nula al adivinar qué porcentaje del mundo está cubierto por agua y luego pondrán a prueba su hipótesis al pasar un globo por el salón (ej. H0: = .7 y Ha: <.7). Pásense el globo en la clase, y anoten el lugar del globo que toca el estudiante con el dedo índice (tierra o agua). Recopila unos 50 a 60 datos. Verifica si es adecuado usar la aproximación normal al binomio. Calcula la probabilidad de obtener lo que obtuviste (ej. En enero de 2000, obtuvimos
= .65, con un valor de
370
Ibídem. Fuente: http://www.pbs.org/teachers/connect/resources/4457/preview/ 372 Fuente: http://www.lhs.logan.k12.ut.us/~jsmart/stat-ch6.htm 371
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Unidad PE.4: Correlación, intervalos de confianza y prueba de hipótesis Matemáticas 7 semanas
P de .48. No logres rechazar la hipótesis nula.). ¿Cómo construir un intervalo de confianza?373: Utiliza las notas guiadas para instruir a los estudiantes paso a paso en la elaboración de un intervalo de confianza. Incluye problemas de ejemplo para aplicar las notas al uso del método de la liberación gradual Yo hago, tú haces, hacemos juntos. Para encontrar notas de ejemplo, ver anejo: PE.4 Actividad de aprendizaje - Cómo construir un intervalo de confianza.
Ejemplos para planes de la lección
Cómo calcular el coeficiente de correlación374: En esta lección, se guiará paso a paso a los estudiantes en una serie de pasos a medida que aprenden cómo calcular el coeficiente de correlación de dos variables continuas a mano. Una vez se completen los cálculos, el conjunto de datos se introduce en una calculadora y se comparan los dos coeficientes de correlación (ver anejo: PE.4 Ejemplo para plan de lección - Cómo calcular el coeficiente de correlación). ¿Qué prefieres?375: Los estudiantes crean, describen y organizan datos en diagramas de dispersión para describir la asociación entre dos clasificaciones. Exploran tanto la correlación de rango de Spearman como la correlación de rango de Pearson (ver anejo: PE. 4 Ejemplo para plan de lección ¿Qué prefieres?). Antes de la lección, repasa los puntos claves a continuación. Notas de mini instrucción de puntos claves: El coeficiente de correlación de rango es un valor numérico que identifica la solidez y dirección de la relación entre dos conjuntos de datos. El coeficiente de correlación varía entre -1 y 1. Las correlaciones positivas (entre 0 y 1) indican que los valores altos en un conjunto de datos se relacionan con valores altos en otro conjunto de datos. Las correlaciones negativas (entre -1 y 0) indican que los valores altos en un conjunto de datos se relacionan con valores bajos en otro conjunto de datos. Las siguientes categorías generales indican una forma rápida de interpretar un valor de r calculado: 0.0 a 0.2 Correlación de muy débil a insignificante 0.2 a 0.4 Correlación débil y baja (no muy importante) 0.4 a 0.7 Correlación moderada 0.7 a 0.9 Correlación sólida y alta 0.9 a 1.0 Correlación muy sólida Carrera de los 37 metros376: Los estudiantes podrán utilizar e interpretar el coeficiente de correlación de Pearson, calcular el coeficiente y sacar conclusiones a partir del coeficiente de correlación de Pearson (ver anejo: PE.4 Ejemplo para plan de lección - Carrera de los 37 metros).
373
Fuente: http://stattrek.com/ap-statistics-4/confidence-interval.aspx Ibídem. 375 Fuente: http://www.iowa.gov/pages/search?q=Unit%3A+Correlation+and+Regression&=Search 376 Fuente: http://www-pub.naz.edu:9000/~jerdley3/lesson3.pdf 374
Junio 2012
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Unidad PE.4: Correlación, intervalos de confianza y prueba de hipótesis Matemáticas 7 semanas
Pasos de la verificación de hipótesis377: En esta lección, se introducirá a los estudiantes a los pasos necesarios para realizar una verificación de hipótesis. Los estudiantes completarán cada paso a medida que investigan las diferencias entre la media y sacan conclusiones a partir de instrucciones provistas por el maestro. A medida que el maestro repasa la lección, se proveen asignaciones, escritas en rojo, para los estudiantes durante el curso de las notas (ver anejo: PE.4 Ejemplo para plan de lección - Pasos de la verificación de hipótesis). Hipótesis binomial378: En esta lección, los estudiantes establecerán y evaluarán una verificación de hipótesis de una distribución binomial. Investigarán los niveles de significancia y qué acción es adecuada dados los resultados de su verificación (ver anejo: PE.4 Ejemplo para plan de lección Hipótesis binomial).
Recursos adicionales
http://profjserrano.wordpress.com/ http://www.vaxasoftware.com/doc_edu/mat/intconf.pdf http://www.vaxasoftware.com/doc_edu/mat/conthipo.pdf http://education.ti.com/downloads/guidebooks/graphing/84p/TI84Plus_guidebook_ES.pdf http://isa.umh.es/calc/TI/TI83/TI83manual-spa.pdf Matemáticas Integradas I, II, III de Houghton-Mifflin
Conexiones a la literatura Nota: Aunque los siguientes libros están dirigidos a estudiantes de la escuela primaria, éstos apuntan a los principios fundamentales de matemáticas los cuales se pueden explorar en todos los niveles. Todo el mundo disfruta de que alguien le lea y los estudiantes de la escuela secundaria no son la excepción. Estos libros son una excelente introducción a las unidades de estudio. Más allá de la coincidencia de Martin Plimmer El matemático del rey de Juan Carlos Arce La música de los números primos: El enigma de un problema matemático abierto de Marcus Du Sautoy
377
Fuente: http://www.google.com/url?sa=t&rct=j&q=historical%20note%3A%20the%20t%20distribution%20was%20formulated% 20in%201908%20by%20an%20irish%20brewing%20&source=web&cd=3&ved=0CCoQFjAC&url=http%3A%2F%2Fmtl.mat h.uiuc.edu%2Fsites%2Fdefault%2Ffiles%2FMod6B-4.doc&ei=1YTvTq6YEOn10gG9veTPCQ&usg=AFQjCNENi1nUsUyDv_0909VPD_82R18Nw 378 Fuente: http://www.teachers.net.qa/Math_lesson_plans_in_English/Gr.12_part1.pdf
Junio 2012 Adaptado de Understanding by Design de Grant Wiggins y Jay McTighe
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Matemáticas Anejos Probabilidad y Estadística
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Unidad PE.1: Medidas de tendencia central Matemáticas Ejemplo para plan de lección - Cómo calcular medias distintas
Cómo calcular medias distintas Procedimiento: 1. Pídeles a los estudiantes que tomen nota de la siguiente información. Para las preguntas en cursiva, dales tiempo para que completen la pregunta de forma independiente antes de revisarla como clase. 2. Asegúrate de repasar cada ejemplo a partir de las notas y preguntarles si tienen dudas antes de continuar. 3. Antes de repasar otros tipos de medias, tómate unos minutos para repasar la media aritmética. 4. Una vez la clase haya completado el conjunto de notas con problemas prácticos, pídeles que trabajen con un compañero para completar las preguntas para estudiantes 1 a la 5.
Notas: Media geométrica Para dos números m y n dados la media geométrica equivale a la raíz cuadrada del producto. Denotar media geométrica con g, luego, . Ejemplo 1: Si la media geométrica de 11 y n es 33, ¿qué es m? Reemplaza los números dados en la fórmula
.
Iguala ambos lados y resuelve para m.
Fórmula general Para los números x1, x2, x3, . . , xn, la media geométrica está determinada por la fórmula siguiente: La media geométrica = donde n es el conteo de números es un conjunto de datos Pregunta para la clase. ¿Cuál es la media geométrica de 3, 6, 12 y 18? Media armónica La recíproca de la media aritmética de las recíprocas de un conjunto de números se llama media armónica. Sea x1, x2, x3, . . . , xn n números dados, entonces la media armónica de estos números está definida como sigue: La media armónica = Ejemplo 2: Halla la media armónica de los números 3, 6, 12, 18 y 24. Nos dan x1 = 3, x2 = 6, x3 = 12, x4 = 18, y x5 = 24. 1399
Unidad PE.1: Medidas de tendencia central Matemáticas Ejemplo para plan de lección - Cómo calcular medias distintas Reemplaza estos valores en la fórmula de la media armónica, y simplifica.
Pregunta para la clase. ¿Cuál es la media geométrica de 4, 12, 20 y 27? Media aritmética ponderada A veces en un conjunto de datos, cada número tiene un cierto peso o importancia para hallar el promedio o media. El peso de cada número está representado por un factor numérico. Por ejemplo, en la lista de números 12, 24, 45 y 34 los números pueden tener los siguientes factores de peso a la hora de hallar su promedio: Primer número: 4 Segundo número: 5 Segundo número: 3 Cuarto número: 2 Esto significa que para hallar la suma de los valores que implica el conjunto de datos, debemos multiplicar el primer número por cuatro, el segundo por cinco, el tercero por tres y el cuarto por dos. A esto se le llama la suma ponderada de los números. Así, La suma ponderada = 12(4) + 24(5) + 45(3) + 34(2) = 371
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Unidad PE.1: Medidas de tendencia central Matemáticas Ejemplo para plan de lección - Cómo calcular medias distintas Esta suma está formada por cuatro doces, cinco veinticuatros, tres cuarentaicincos y dos trentaicuatros. Esto significa que la suma es el resultado de sumar 4+ 5 + 3 + 2 = 14 números. Para hallar la media aritmética, dividimos 371 por 14. Así, 371 14 Ahora, generalicemos el método de hallar la media aritmética ponderada. Si x1, x2, x3, . . ., xn son números con valores de peso m1, m2, m3, . . . mn, respectivamente y W es su media aritmética ponderada, entonces
La media ponderada =
W =
Pregunta para la clase. A la hora de poner la nota de la clase de cálculo, el instructor les asigna los siguientes pesos a las diferentes partes del trabajo de los estudiantes para determinar su puntuación final: Quiz: 2 Asignaciones: 3 Examen parcial: 4 Examen final : 5 Michelle obtuvo las puntuaciones siguientes en diferentes asignaciones: Quiz: 87, Asignaciones: 88, Examen parcial: 72, Examen final : 81 ¿Cuál es su puntuación final?
Preguntas para los estudiantes: 1) ¿Cuál es la media geométrica entre 3 y 48? 2) Si 25 es la media geométrica de 5 y x, ¿qué es x? 3) ¿Cuál es la media armónica de 1, 5, 75 y 135? 4) Halla la media ponderada de los números a continuación. El factor de peso de cada número se indica en paréntesis junto al número. 5(2), 12(1), 21(4), 11(3), 4(2) 5) Usando los datos a continuación, ¿cuál es la diferencia entre su media aritmética y su media ponderada, si el primer número tiene un peso de 2, el segundo tiene un peso de 1 y el tercero tiene un peso de 3? 12, 42, 11 Fuente: http://file.glpacademy.co.kr/eTAP/mathfiles/english/statistics/lesson3/lesson.html
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Unidad PE.2: Conceptos fundamentales de probabilidad Matemáticas Ejemplo para plan de lección - Combinaciones, permutaciones y el principio fundamental de conteo Principio fundamental de conteo
Permutación
Combinación
Principio fundamental de conteo
Permutación
Combinación
Instrucciones: Identifica cada uno de los problemas siguientes como principio fundamental de conteo (PFC), permutación (P) o combinación (C) y luego resuélvelos.
Instrucciones: Identifica cada uno de los problemas siguientes como principio fundamental de conteo (PFC), permutación (P) o combinación (C) y luego resuélvelos.
_____ 1) Estás trabajando en tu asignación durante el almuerzo. Si tienes nueve asignaciones, pero solo tienes tiempo para hacer cuatro, ¿cuántos conjuntos distintos de asignaciones podrías completar?
_____ 1) Estás trabajando en tu asignación durante el almuerzo. Si tienes nueve asignaciones, pero solo tienes tiempo para hacer cuatro, ¿cuántos conjuntos distintos de asignaciones podrías completar?
_____ 2) La Srta. González pone una canción mientras corrige las asignaciones. Tiene siete canciones que le gustaría poner esta semana. ¿De cuántas formas puede escoger canciones para cada día del lunes al viernes, si todos los días pone una canción distinta?
_____ 2) La Srta. González pone una canción mientras corrige las asignaciones. Tiene siete canciones que le gustaría poner esta semana. ¿De cuántas formas puede escoger canciones para cada día del lunes al viernes, si todos los días pone una canción distinta?
_____ 3) La Srta. Jiménez fotocopió distintos ejercicios de práctica para los próximos cuatro días. Cada uno de los tres ejercicios para cada salón hogar está impreso en una hoja de color distinto. ¿Cuántos tipos de papel de ejercicios de práctica rápida tiene?
_____ 3) La Srta. Jiménez fotocopió distintos ejercicios de práctica para los próximos cuatro días. Cada uno de los tres ejercicios para cada salón hogar está impreso en una hoja de color distinto. ¿Cuántos tipos de papel de ejercicios de práctica rápida tiene?
_____ 4) El Sr. Rodríguez elije a estudiantes buenos para hacer el cómputo en el proyector a medida que dicta las notas. Esta semana, ha elegido a ocho estudiantes buenos. Si elige a un estudiante distinto cada día de la semana, ¿de cuántas formas distintas podría seleccionar a sus ayudantes de proyector?
_____ 4) El Sr. Rodríguez elije a estudiantes buenos para hacer el cómputo en el proyector a medida que dicta las notas. Esta semana, ha elegido a ocho estudiantes buenos. Si elige a un estudiante distinto cada día de la semana, ¿de cuántas formas distintas podría seleccionar a sus ayudantes de proyector?
Fuente: http://betterlesson.com/lesson/7395/fcp-permutation-or-combination#/lesson/7395/fcp-permutation-or-combination?from=tree
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Unidad PE.2: Conceptos fundamentales de probabilidad Matemáticas Ejemplo para plan de lección – Teorema de Bayes
Teorema de Bayes Parte 1: Introducción 1. Preséntales a tus estudiantes las siguientes situaciones y hazles las preguntas. En todas las situaciones, supón que hay cuatro bombones en una bolsa. Dos son de uva y dos son de canicas. 2. Situación 1: Si meto la mano en la bolsa sin mirar y escojo un bombón al azar, ¿cuál es la probabilidad de que sea de uva? ¿Cuál es la probabilidad de que escoja el bombón de canicas? 3. Situación 1 (continuada): Supón que elijo un bombón de uva. Vuelvo a meter la mano en la bolsa y escojo otro bombón al azar. ¿Cual es la probabilidad de que saque uno de uva? ¿Cuál es la probabilidad de que escoja un bombón de canicas? ¿Por qué son las probabilidades distintas de las anteriores?
Parte 2: Diagrama de árbol 4. Representa esta situación en forma de diagrama de árbol. (Para los estudiantes que no estén familiarizados con los diagramas de árbol, es posible que haga falta explicarles y darles terminología. Por el resto de la lección me referiré a los nódulos y ramas de los diagramas de árbol. Por cada evento con más de un resultado posible, el diagrama de árbol tendrá un nódulo. Cualquier resultado posible en un nódulo está representado por una rama.) 5. ¿Qué representa el primer nódulo del diagrama? ¿Cuántas ramas tiene? ¿Cómo podemos rotularlas? ¿Qué probabilidades le asignamos a cada rama? 6. Sigue la rama que asume que el primer bombón que cogí es de uva. ¿Qué representa el nódulo al final de esta rama? ¿Cuántas ramas tiene? ¿Cómo podemos rotularlas? ¿Qué probabilidades le asignamos a cada rama? 7. Repite estos pasos con otra rama del primer nódulo (el que asume que el primer bombón que cogí era de canicas). 8. El diagrama de árbol ahora tiene cuatro resultados finales posibles. Rotúlalos. ¿Cómo puedes hallar la probabilidad asociada a cada una de estas ramas? 9. Supón que comienzo de nuevo, con dos bombones de uva y dos de canicas en la bolsa. Situación 2: En esta ocasión escojo un bombón al azar y me lo echo en el bolsillo sin mirarlo. Escojo otro bombón al azar y resulta ser de uva. ¿Cuál es la probabilidad de que el bombón en mi bolsillo sea de uva? ¿Cuál es la probabilidad de que haya escogido el bombón de canicas? 10. ¿Por qué no existen las mismas posibilidades de que el bombón en mi bolsillo sea de cualquiera de los dos sabores cuando había dos de cada sabor en la bolsa cuando lo cogí? 11. Utilicemos la fórmula P(AB) = P(A|B) P(B) para hallar estas probabilidades (las del procedimiento 9). ¿Qué probabilidades queremos saber? ¿Para qué más necesitamos utilizar la fórmula? ¿Cuál de estos ya conocemos? ¿Cómo podemos hallar P(G2) a partir del diagrama de árbol? Ahora, utiliza la fórmula.
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Unidad PE.2: Conceptos fundamentales de probabilidad Matemáticas Ejemplo para plan de lección – Teorema de Bayes 12. Usemos el diagrama de árbol para ayudarnos a hallar estas probabilidades. ¿Hay alguna rama que no sea necesaria en esta situación (situación 2)? ¿Por qué? ¿Qué ramas son aún posibles? ¿Hay alguna relación especial entre estos dos eventos? ¿Cuál es la relación entre las probabilidades de estos eventos? ¿Qué probabilidades podemos asignarles a dos eventos complementarios donde un evento tenga el doble de posibilidad de ocurrir que el otro?
Parte 3: Teorema de Bayes 13. Hay una fórmula matemática que puede ayudarnos a responder a este tipo de pregunta llamada teorema de Bayes. Esta fórmula resulta más útil cuando necesitamos hallar P(A|B), pero solo podemos hallar con facilidad P(B|A) y P(A). Fórmula a partir del teorema de Bayes: P(AB)
[P(B|A) P(A)]
P(A|B) 14. Refiriéndonos de nuevo a la segunda P(B) [P(B|A) P(A) + P(B|~A) P(~A)] situación con los bombones, ¿qué probabilidades buscamos? ¿Qué probabilidades sabemos a partir del diagrama de árbol? Utiliza el teorema de Bayes para hallar las dos probabilidades que buscamos. ¿Son las respuestas iguales a las que hallamos a partir del diagrama de árbol? =_________________
=
___________________________________________________________________________________________________
15. Una aplicación común del teorema de Bayes es su aplicación en los controles médicos de enfermedades. Los médicos realizan pruebas para determinar si sus pacientes tienen ciertas enfermedades. Las pruebas indican que o la persona tiene la enfermedad (resultado positivo) o no la tiene (resultado negativo). A partir de estudios, los médicos saben la probabilidad de que una persona cualquiera de una población tenga una enfermedad en particular. Saben también las probabilidades de que una persona con la enfermedad obtenga un resultado positivo en su prueba y de que una persona sin la enfermedad obtenga un resultado negativo de la prueba. 16. En el pueblo ficticio de Atlantis, los médicos han desarrollado una prueba de la Mortífera Monga de Atlantis. Saben que la probabilidad de que una persona cualquiera en Atlantis tenga la monga mortífera es de .01. Saben además que una persona que tenga la mortífera monga tiene un .95 de probabilidad de salir positivo para la enfermedad, mientras que una persona que no la tenga tiene un .94 de probabilidad de salir negativo en la prueba. Digamos que un paciente va donde un médico porque quiere hacerse la prueba de la mortífera monga de Atlantis. ¿Cuál es la probabilidad de que sí tenga la monga si sale positivo? 17. Representemos esta situación en forma de diagrama de árbol. ¿Qué debe aparecer primero en el diagrama de árbol: si la persona tiene la enfermedad o si la persona sale positivo o no en la prueba? ¿Por qué? ¿Cómo podemos rotular las dos ramas del primer nódulo? ¿Cuáles probabilidades van en cada rama? ¿Cómo sabemos la probabilidad de que alguien en Atlantis no tenga la mortífera monga de Atlantis? 18. Sigue la rama que asume que una persona tiene la enfermedad. ¿Cómo podemos rotular las dos ramas de este nódulo? ¿Cuáles probabilidades van en cada rama? ¿Cómo sabemos la probabilidad de que alguien con la mortífera monga de Atlantis salga negativo? 19. Repite estos pasos con el nódulo al final de la rama que asume que una persona no tiene la mortífera monga de Atlantis. 20. ¿Qué probabilidad buscamos? ¿Qué probabilidades sabemos a partir del diagrama de árbol? Utiliza el teorema de Bayes para responder a esta pregunta.
Fuente: http://www.teacherlink.org/content/math/interactive/probability/lessonplans/bayes/home.html
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Unidad PE.2: Conceptos fundamentales de probabilidad Matemáticas Ejemplo para plan de lección –Problemas de Ejemplo
Problemas de ejemplo 1. Sea S100 el número de caras que salen al lanzar una moneda 100 veces al aire. Utiliza el teorema de límite central para estimar: a. P(S100 · 45). b. P(45 < S100 < 55). c. P(S100 > 63). d. P(S100 < 57). 2. Había una vez dos ferrocarriles que competían por el tráfico de pasajeros de 1000 personas que salían de Chicago a la misma hora rumbo a Los Ángeles. Asume que los pasajeros tienen las mismas probabilidades de escoger cada tren. ¿Cuántos asientos debe tener un tren para asegurar una posibilidad de 99 o más de tener un asiento para cada pasajero? 3. Un club le sirve comida solo a sus miembros. Estos se sientan en mesas de 12 personas. El gerente observa durante un largo periodo de tiempo que el 95 % de las veces hay entre seis y nueve mesas llenas de miembros, y el resto de las veces existe la misma posibilidad de que los números caigan por encima o por debajo de esto. Asume que cada miembro decide venir con una probabilidad p, y que las decisiones son independientes. ¿Cuántos miembros hay? ¿Qué es p? 4. Una máquina de hacer fideos en la fábrica de espagueti de Spumoni produce aproximadamente un 5 % de fideos defectuosos, aún cuando está en el ajuste correcto. Los fideos entonces se empacan en cajas que contienen 1900 fideos cada una. Una caja es examinada y se encuentran 115 fideos defectuosos. ¿Cuál es la probabilidad aproximada de hallar por lo menos esa misma cantidad de fideos defectuosos si la máquina está en el ajuste correcto?
Fuente: http://www.teacherlink.org/content/math/interactive/probability/lessonplans/bayes/home.html
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Unidad PE.3: Distribuciones de probabilidad, distribución normal y teorema de límite central Matemáticas Actividad de aprendizaje – Juego de dados geométrico
Juego de dados geométrico Objetivo del juego: Haber acumulado la mayor parte de los puntos para el final de la quinta ronda. Objetivo de la lección: Introducir la distribución geométrica. Duración: La duración depende de cuántas preguntas se respondan y si se utiliza simulación en computadora. Supuestos: Los estudiantes ya deben haber estudiado las distribuciones de probabilidad discreta y deben poder calcular un valor esperado.
Reglas: 1. Cada ronda comienza de la misma forma: el estudiante se pone de pie. 2. El maestro lanza los dados. Si sale 1, se acaba la primera ronda. 3. Si sale otro número, la puntuación del estudiante que está de pie corresponde al número de puntos que muestran los dados. 4. El estudiante entonces debe decidir si quedarse de pie o sentarse. Si el estudiante se sienta, se queda con la puntuación que sacó. 5. El maestro vuelve a tirar el dado. Si le sale un 1, todos los estudiantes de pie pierden todos sus puntos y se acaba la ronda. Si sale cualquier otro número, el estudiante que está de pie le suma el número que salió en los dados a su puntación anterior. 6. Jueguen hasta que salga un 1, o no queden estudiantes de pie. Esto completo una "ronda". 7. El juego termina al cabo de cinco rondas.
Preguntas: 1. ¿Cuántas veces hay que tirar los dados, en promedio, para obtener un 1? 2. ¿Cuál es la puntuación esperada si mi estrategia es sentarme después de n tiradas?
Notas: 1. Utiliza un dado grande, como los que se usan para colgarlos en los espejos retrovisores (dados de peluche). 2. Este es un ejemplo de una variable geométrica aleatoria. El número esperada de tiradas es 1/p donde p = 1/6. Así, el número esperado de tiradas para sacar un 1 es de seis. 3. Juega este juego con la clase hasta que los estudiantes se hayan decidido por una estrategia personal o durante 10 a 15 minutos (o el tiempo que tengas para dedicarle al juego). 4. Simula las tiradas con una calculadora o una tabla de números aleatorios, y luego con una computadora. 5. Para calcular la puntuación esperada tras n tiradas, es necesario crear la distribución de probabilidad. Esto puede hacerse escribiendo cada una de las posibilidades; también puede hacerse utilizando la combinatoria. A medida que aumenta n, el número de cálculos se vuelve rápidamente abrumador. Para esto sirve la simulación.
Fuente: http://courses.ncssm.edu/math/Stat_Inst2001/Section5/TheGeometricDie4.pdf
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Unidad PE.3: Distribuciones de probabilidad, distribución normal y teorema de límite central Matemáticas Ejemplo para plan de lección – Distribuciones binomiales
Distribuciones binomiales 1. Identifica el evento que sea un éxito y la probabilidad de que suceda: La señora Morales pone preguntas de selección múltiple en sus exámenes y siempre tienen cinco opciones. Uno de sus estudiantes estuvo ausente durante toda la unidad, pero quiere intentar hacer la prueba porque se compone completamente de selección múltiple. Decide responder cerrando los ojos y dejando caer el lápiz sobre cada pregunta. Entonces elije la opción que más cerca esté del lápiz. El examen tiene 15 preguntas. 2. En base a datos publicados por Mars, Inc., 15 % de los M&M de maní producidos son verdes. Supón que se seleccionan 7 M&M al azar de una bolsa de tamaño grande. a. Construye la distribución binomial de los M&M verdes cuando se sacan siete M&M de una bolsa. b. Calcula la probabilidad cumulativa del número de M&M verdes en la parte a. ¿Es lo que esperabas? ¿Por qué? c. Haya P( x ≤ 4 ). Explica qué significa. d. Halla P( x < 5). Explica la relación entre P( x ≤4 ) y P( x < 5). e. Traza la gráfica de la distribución de probabilidad de los M&M verdes. ¿Cómo describirías la forma de esta distribución? ¿Por qué piensas que este es el caso? f.
¿Cuándo crees que sería simétrica una distribución binomial? Explica.
Se pueden encontrar parámetros de resumen de una distribución binomial usando los mismos métodos de cualquier distribución de una variable discreta aleatoria. Sin embargo, los estadísticos utilizan fórmulas mucho más simples para la media y la desviación estándar de una distribución binomial que puede probarse algebraicamente que es equivalente a fórmulas usadas anteriormente. En este curso, confiaremos en los estadísticos y usaremos las siguientes fórmulas: Dada una distribución de probabilidad binomial con n intentos y una probabilidad de éxito p, la media μ y la desviación estándar están dadas por: μ = np y 3. Halla la media y la desviación estándar del número de M&M verdes cuando se sacan siete M&M al azar de una bolsa de tamaño grande. Explica en tus propias palabras qué te indican la media y la desviación estándar en este contexto. 4. Explica por qué la fórmula μ = np tiene sentido.
Fuente: http://www.apskids.org/Documents/CCGPS_Math_III_Unit_6_TE_021011.pdf
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Unidad PE.3: Distribuciones de probabilidad, distribución normal y teorema de límite central Matemáticas Ejemplo para plan de lección - La distribución normal y la regla empírica
La distribución normal y la regla empírica Examinaremos un tipo de distribución que es de suma importancia en la estadística, a saber, la distribución normal. Comenzaremos recopilando datos que suelen generar este tipo de distribución. 1. Elabora un método de medir el diámetro de una bola de tenis usando una regla de centímetros. 2. Usando tu método, toma dos medidas del diámetro de la bola. Mide al mm más cercano. 3. Compila las medidas tomadas por cada estudiante en una gráfica de puntos. ¿Qué forma piensas describirá la gráfica? Explica tu razonamiento. 4. Anota tus datos en la gráfica de puntos. Cuando todos los estudiantes hayan anotado sus datos, copia la gráfica en una hoja de papel cuadriculado. 5. ¿Cómo describirías la forma de esta gráfica? 6. ¿Cómo explicas cualquier variabilidad que pueda haber en las medidas? Las distribuciones normales son unimodas, simétricas y tienen forma de campana, al igual que los diagramas a continuación.
a.
b.
En la práctica, las distribuciones no son perfectamente normales, pero muchas situaciones generan datos que son aproximadamente normales. Tomar medidas repetidamente del mismo objeto (como lo hiciste con la bola de tenis) es una de esas situaciones. Calcular las medias de muestras aleatorias de la misma población es otra. 7. Si una distribución fuese perfectamente normal, ¿qué sabrías sobre sus medidas de centro? 8. Traza una curva suave sobre los valores de los datos en tu distribución en clase de las medidas tomadas de la bola de tenis. ¿Se ve tu distribución más o menos normal? ¿Hay algún dato anómalo en los datos de la clase? ¿Puedes determinar las razones de que existan esos datos anómalos? 9. Aproxima la media de tu distribución trazando una flecha en el eje horizontal donde piensas que debe encontrarse la media. 10. En la cresta de una distribución normal, la curva es cóncava hacia abajo. A cada lado de la curva hay un punto de inflexión, el punto en que cambia la curva de ser cóncava hacia abajo a ser cóncava hacia arriba. En tu gráfica, traza un lado de la curva con el dedo para estimar el punto de inflexión. Haz una marquita en el eje debajo de este punto. Para una distribución perfectamente normal, la distancia entre la media y el punto de inflexión es una desviación estándar. ¿Cuál es la distancia en
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Unidad PE.3: Distribuciones de probabilidad, distribución normal y teorema de límite central Matemáticas Ejemplo para plan de lección - La distribución normal y la regla empírica la gráfica de la clase? Si tu distribución es aproximadamente normal, este es un estimado de la desviación estándar de tus datos. 11. Usando el estimado de la desviación estándar que obtuviste en el problema 9, haz una marca en tu gráfica que esté a una desviación estándar al lado opuesto de la media de la marca que pusiste en el problema 9. Cuenta el número de valores de datos entre tus marcas que representan una desviación estándar por debajo de la media y una desviación estándar por encima de la media. ¿Cuántos valores hay? ¿Qué porcentaje del número total de valores de datos representan? 12. Comenzando en la media y usando la desviación estándar aproximada que hallaste en el problema 9, marca dos desviaciones estándar a la derecha y dos a la izquierda en el eje horizontal. Cuenta el número de valores de datos entre tus marcas. ¿Cuántos valores hay? ¿Qué porcentaje del número total de valores de datos representan estos? 13. Comenzando en la media y usando la distancia que hallaste en el problema 9, marca tres desviaciones estándar a la derecha y tres a la izquierda en el eje horizontal. Cuenta el número de valores de datos entre tus marcas. ¿Cuántos valores hay? ¿Qué porcentaje del número total de valores de datos representan?
La regla empírica La regla empírica nos dice que si una distribución es normal, entonces aproximadamente: 68 % de los datos caerán dentro de una desviación estándar de la media; 95 % de los datos caerán dentro de dos desviaciones estándar de la media; y 99.7 % de los datos caerán dentro de tres desviaciones estándar de la media.
14. Examina los porcentajes de los valores de datos hallados en los problemas 10 al 12. A partir de tus estimados de la media y desviación estándar y de la regla empírica presentada arriba, ¿piensas que la distribución de la clase es aproximadamente normal? Justifica tu decisión. 15. Ahora calcula la media y desviación estándar reales de los datos de la clase. ¿Cuán cerca estuvieron tus estimados de estos valores? Usando estos valores, ¿qué porcentaje de los datos de la clase caen dentro de una desviación estándar de la media? ¿Dos desviaciones estándar? ¿Tres desviaciones estándar? ¿Piensas que la distribución es aproximadamente normal a partir de esta información? Justifica tu respuesta. Fuente: http://www.apskids.org/Documents/Math_II_Unit_4_TE_APS_Supplement.pdf
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Unidad PE.3: Distribuciones de probabilidad, distribución normal y teorema de límite central Matemáticas Actividad de aprendizaje - Cómo construir un intervalo de confianza
Cómo construir un intervalo de confianza: Notas de ejemplo Para construir un intervalo de confianza hacen falta cuatro pasos. 1. Identifica una estadística de muestra. Elige la estadística (por ej., media, desviación estándar) que usarás para estimar un parámetro poblacional. 2. Selecciona un nivel de confianza. Según señalamos en la sección anterior, el nivel de confianza describe la incertidumbre de un método de muestreo. A menudo, los investigadores eligen niveles de confianza de 90 %, 9 5% o 99 %, pero puede usarse cualquier porcentaje. 3. Halla el margen de error. Si estás trabajando en un problema de asignación o una pregunta de examen, probablemente te provean el margen de error. Sin embargo, muchas veces tendrás que calcular el margen de error, a partir de una de las ecuaciones siguientes. Margen de error = (valor crítico) (Desviación estándar de la estadística) Margen de error = (valor crítico) (Desviación estándar de la estadística) 4. Especifica el intervalo de confianza. El nivel de confianza denota la incertidumbre. Y el recorrido del intervalo de confianza está definido por la siguiente ecuación. intervalo de confianza = estadística de la muestra + margen de error
Fuente: http://stattrek.com/ap-statistics-4/confidence-interval.aspx
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Unidad PE.4: Correlación, intervalos de confianza y prueba de hipótesis Matemáticas Actividad de aprendizaje - Diagramas de dispersión y clasificación de tarjetas de correlaciones
Diagramas de dispersión y clasificación de tarjetas de correlaciones Los estudiantes recortan diagramas de dispersión y los organizan en grupos de: correlación positiva perfecta, correlación negativa perfecta, correlación positiva fuerte, correlación negativa fuerte, correlación positiva débil, correlación negativa débil o sin correlación.
1.
4.
6.
2.
3.
5.
7.
Fuente: http://www.doe.state.la.us/topics/comprehensive_curriculum.html
1
Unidad PE.4: Correlación, intervalos de confianza y prueba de hipótesis Matemáticas Actividad de aprendizaje – Predicción de la precipitación pluvial
Predicción de la precipitación pluvial
Precipitción anual normal (in)
El siguiente es un diagrama de dispersión de las temperaturas extremas promedio y la precipitación de cada estado.
Temperatura extrema promedio en F
1. Describe la relación entre la temperatura extrema promedio y la precipitación normal indicada en el diagrama de dispersión. 2. En la esquina inferior derecha de este diagrama se muestra una aglomeración de cinco sitios. Usando tanto la tabla como la gráfica, identifica estos cinco lugares y determina si hay alguna relación entre ellos. 3. ¿Qué observaciones puedes hacer sobre la relación entre la temperatura y la cantidad de lluvia en estas cinco ciudades? La siguiente tabla es de Greener Pastures Relocation Guide, 1984. Ciudad Los Ángeles (California) Salt Lake City (Utah) Phoenix (Arizona) Las Vegas (Nevada) San Francisco (California) Denver (Colorado) Wichita (Kansas) Oklahoma City (Oklahoma) Albuquerque (Nuevo México) Houston (Texas) Little Rock (Arkansas) Nueva Orleans (Luisiana) Nashville (Tennessee) Jackson (Missouri) Mobile (Alabama)
Pulgadas medias de lluvia 14 15 7 9 20 16 31 31 8 48 49 57 46 49 60
Porcentaje de sol 73 70 86 84 67 70 65 67 77 57 63 59 57 60 67
1412
Unidad PE.4: Correlación, intervalos de confianza y prueba de hipótesis Matemáticas Actividad de aprendizaje – Predicción de la precipitación pluvial Charlotte (Carolina del Sur) Raleigh (Carolina del Norte) Miami (Florida) St. Louis (Missouri) Lousville (Kentucky) Norfolk (Virginia)
66 60 66 58 57 63
43 43 60 36 43 45
4. ¿Cuál ciudad tiene el mayor porcentaje de sol?
5. ¿Cuáles tres ciudades tienen la menor cantidad de lluvia?
6. Haz un diagrama de dispersión con la lluvia en el eje horizontal y el porcentaje de sol en el vertical.
7. Describe la gráfica en tus propias palabras.
8. Podrás notar una aglomeración de puntos en la parte inferior derecha de la gráfica. Explica qué sabes acerca de estas ciudades simplemente por sus ubicaciones en la gráfica.
9. Traza una línea en la gráfica que represente la relación entre los datos.
10. Determina la pendiente de tu línea. Explica qué te dice de la relación entre los datos.
11. Describe las intercepciones en x y en y en tus propias palabras.
12. ¿Cómo puedes saber cuán bien se ajusta esta línea a tus datos?
Fuente: http://www.pbs.org/teachers/connect/resources/4457/preview/
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Unidad PE.4: Correlación, intervalos de confianza y prueba de hipótesis Matemáticas Ejemplo para plan de lección - Carrera de los 37 metros
Carrera de los 37 metros El coeficiente de correlación de Pearson es :
Para calcular el coeficiente de correlación de Pearson, necesitamos completar la siguiente tabla: x y ( (
Llena la tabla para usar los valores siguientes de x y de y: x 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 y 1 3 2 3 5 4 6 8 9 11 Usando los valores que necesitamos de la tabla, computa el coeficiente de correlación de Pearson.
¿Qué indica el valor del coeficiente de correlación de Pearson sobre la relación entre x y y?
Se realizó un estudio para determinar si había una relación entre la altura y la velocidad del corredor entre estudiantes de escuela elemental. Se tomó una muestra aleatoria de ocho estudiantes de una escuela elemental. Se midió la altura de cada joven en pulgadas y se calculó el tiempo que les tomaba correr 37 metros en segundos. Los resultados aparecen en la tabla a continuación. Corredor Altura Velocidad 1 60 8 2 55 11 3 56 10 4 52 12 5 48 14 6 44 16 7 47 13 8 52 12 Calcula el coeficiente de correlación de Pearson entre la altura y la velocidad de cada corredor. ¿Parece haber una relación entre ambas? Si es el caso, ¿qué tipo de relación existe? Fuente: http://www-pub.naz.edu:9000/~jerdley3/lesson3.pdf
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Unidad PE.4: Correlación, intervalos de confianza y prueba de hipótesis Matemáticas Ejemplo para plan de lección - Cómo calcular el coeficiente de correlación
Cómo calcular el coeficiente de correlación
Pregúntales a los estudiantes cuál es la serie de valores del coeficiente de correlación y qué representan esos valores. Pide voluntarios para que compartan sus respuestas con la clase. -1 ≤ r ≤ 1; -1 representa una relación lineal negativa perfecta; 1 representa una relación lineal positiva perfecta; 0 representa ninguna relación lineal
Escribe la fórmula para hallar el coeficiente de correlación en la pizarra.
Pregúntales a los estudiantes lo que deben saber para poder usar esta fórmula. Pide voluntarios para que compartan sus respuestas con la clase.
Como la serie de valores de r es pequeña, r puede redondearse. Por lo tanto, diles a los estudiantes que mantengan tantos decimales como puedan hasta el último paso. Escribe los datos siguientes sobre estudiantes de duodécimo grado de escuela superior en la pizarra.
Coeficiente 76
88
91
93
99
104
115
120
1.7
2.5
2.9
2.6
3.5
3.4
2.2
3.8
Intelectual Promedio académi co
Pregúntales a los estudiantes cuál es la variable explicativa y cuál es la variable de respuesta. Los estudiantes deberán justificar sus respuestas. 1415
Unidad PE.4: Correlación, intervalos de confianza y prueba de hipótesis Matemáticas Ejemplo para plan de lección - Cómo calcular el coeficiente de correlación El coeficiente intelectual (CI) es la variable explicativa porque se usará para predecir el promedio académico. Por lo tanto, el promedio académico es la variable respuesta.
Pídeles a los estudiantes que introduzcan los datos en la Lista 1 y la Lista 2 en la calculadora. Pídeles que computen las estadísticas de dos variables presionando la tecla 2-VAR. Pídeles que calculen el coeficiente de correlación. Pide voluntarios para que pasen a la pizarra y compartan sus resultados con la clase.
Pídeles a los estudiantes que interpreten el significado del coeficiente de correlación. Pide voluntarios para que compartan sus respuestas con la clase. Este valor de r indica una relación lineal positiva moderada entre el CI y el promedio académico del ejemplo dado.
Pregúntales a los estudiantes qué significa “moderada”. Pide voluntarios para que compartan sus respuestas con la clase. Moderado es un término relativo. No dice mucho de cuán sólida es la relación lineal. Simplemente sirve como índice entre no relación lineal y una relación lineal fuerte.
Fuente: http://www.doe.state.la.us/topics/comprehensive_curriculum.html
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Unidad PE.4: Correlación, intervalos de confianza y prueba de hipótesis Matemáticas Ejemplo para plan de lección - Hipótesis binomial
Hipótesis binomial Introducción Empieza la lección con preguntas de repaso sobre los principios y vocabularios de las pruebas de hipótesis. (¿Qué se quiere decir por inferencia estadística? ¿De qué forma se diferencia del significado de inferencia en el lenguaje común y corriente? ¿Cuál es el parámetro de la distribución binomial? ¿Cómo se relaciona esto con la media y la varianza de la distribución? ¿Cuál es la diferencia clave entre un parámetro y una estadística? ¿Qué notación se utiliza para las hipótesis nula y alternativa? ¿Cuáles son sus propósitos? ¿Cómo se formulan? ¿Cómo puedes saber a partir de la hipótesis alternativa si la prueba es de una o dos colas? ¿De qué forma se relacionan el valor crítico, la región crítica y la región de aceptación? Discute el nivel de importancia de cada detalle. Introduce la idea de que reducir el nivel de importancia incrementa la probabilidad de cometer un error distinto, a saber, aceptar la hipótesis nula cuando es la hipótesis alternativa la que es cierta.
Discusión en pares Pídeles a los estudiantes que discutan en parejas qué diferencias ya entienden entre el uso de la palabra significancia en estadísticas, en comparación con su uso en el lenguaje común y corriente. Escucha sus comentarios. Haz hincapié en que significancia en el sentido estadístico no significa "importante", sino simplemente "con pocas probabilidades de darse al azar". Introduce además la idea de que la opción común de 0.05 para el nivel de significancia es en algunos casos arbitraria y, por lo tanto, dentro de la investigación práctica, valdría la pena seguir investigando un resultado que solo "tiende hacia la significancia".
Actividad principal Dile a la clase que esta lección les permitirá consolidar su comprensión de los principios y vocabulario de probar hipótesis, y les permitirá formular y realizar pruebas de sus hipótesis sobre modelos de distribución de probabilidad binomial en situaciones prácticas. 1. Pídeles que discutan las preguntas en parejas y que entre ellos construyan respuestas escritas razonadas de forma clara. Comparte las respuestas con el resto del grupo, por ejemplo, al pedirles a los estudiantes que escriban sus respuestas en las transparencias del proyector o en hojas grandes de papel. Preguntas: a. Al pedírsele que explicara el sentido de "significancia estadística al nivel 0.05", un estudiante dijo: "Esto significa que solo hay una probabilidad de 0.05 de que la hipótesis nula sea cierta". ¿Es esta explicación esencialmente correcta? Explica tu respuesta en detalle. b. A otro estudiante se le pregunta por qué la significancia estadística aparece con tanta frecuencia en los informes de investigaciones. El estudiante responde: "Porque decir que los resultados son significantes nos dice que no se pueden explicar fácilmente con solo la probabilidad". ¿Es esta explicación esencialmente correcta? Explica tu respuesta en detalle. 2. Discutan en conjunto como clase los puntos fuertes y débiles de las respuestas, prestando particular atención a aislar los equívocos. Pónganse de acuerdo en una respuesta modelo.
1417
Unidad PE.4: Correlación, intervalos de confianza y prueba de hipótesis Matemáticas Ejemplo para plan de lección - Hipótesis binomial 3. Dales instrucciones a grupos de tres para realizar un experimento práctico que lleve a pruebas de hipótesis de modelos de distribución de probabilidad binomial. Repárteles la asignación a los estudiantes y verifica que elaboren el experimento de forma correcta; asegúrate además de que su sistema de anotación de resultados sea correcto. Dales tiempo a los estudiantes de que elaboren y realicen la prueba de hipótesis. Anota los siguientes valores clave: H0 : p = 1/4; H1 : p < 1/4; prueba de una cola; P(X ≥ 7) = 0.014 34; P(X ≥ 6) = 0.054 44, donde X es el número de cartas identificadas correctamente de las 12 cartas. En términos estrictos, una región crítica de 5 % no contendría el valor 6, pero parece sensato en este caso irse por encima del 5 % e incluir la región crítica de 6 pulgadas. Este es un punto de discusión útil. Instrucciones: 1. Tendrás que trabajar en un grupo de tres con las siguientes tareas: organizador, participante 1 y participante 2. Necesitarás un cronómetro, una baraja de cartas y una forma de generar números aleatorios. 2. Antes del experimento, el organizador utilizará números aleatorios para seleccionar 12 tarjetas y el orden en el que se utilizarán en el experimento. Es solo el palo de la baraja el que importa, por lo que los números aleatorios 1 y 2 pueden ser tréboles, el 3 y el 4 pueden ser las espadas, etc. El organizador entonces le entrega la pila de 12 cartas al participante 1 boca abajo. 3. El organizador dice "primera carta" y empieza a contar 30 segundos. Durante ese tiempo, el participante 1 voltea la primera carta y se concentra bien en ella. El participante 2 no puede ver la carta. Al cabo de 30 segundos, el participante 2 debe escribir el palo de la tarjeta. 4. Repite lo mismo con las cartas restantes. 5. Al final, cuenta el número de respuestas correctas del participante 2. 6. Ahora, formula una prueba de hipótesis para determinar si el participante 2 es telepático. Recuerda establecer tus hipótesis nula y alterna. ¿Es esta prueba de una o dos colas? ¿Cuál es la región crítica? Usando tus resultados, ¿qué puedes concluir?
Conclusión Pídeles a los estudiantes que reflexionen sobre cómo su comprensión de los principios y vocabulario de las pruebas de hipótesis se ha desarrollado durante la lección, inclusive: ¿cuál es el propósito de realizar una prueba de hipótesis? ¿Cómo podrías explicarle a alguien que no sepa de estadísticas el sentido del nivel de significancia? ¿Es "mejor" o "más interesante" encontrar que se rechaza la hipótesis nula? Alguien sostiene que nunca puede saberse nada con certeza en la ciencia. ¿Hasta qué punto estás de acuerdo? ¿Cómo te ayuda tu conocimiento de las pruebas de hipótesis a entender el argumento que se quería probar?
Resumen para los estudiantes •
• • •
Las pruebas de hipótesis son parte de la inferencia estadística. La inferencia estadística permite formular conclusiones a partir de datos de muestra sobre la población de la cual se tomó la muestra, además de usar la probabilidad para decir cuán confiados estamos de que nuestras conclusiones están correctas. Las pruebas de hipótesis permiten evaluar la prueba en los datos de la muestra sobre parámetros de distribuciones desconocidos. Hay una forma estándar de elaborar y realizar una prueba de hipótesis. La conclusión de una prueba de hipótesis debe relacionarse con el problema original, y referirse al nivel de significancia.
Fuente: http://www.teachers.net.qa/Math_lesson_plans_in_English/Gr.12_part1.pdf
1418
Unidad PE.4: Correlación, intervalos de confianza y prueba de hipótesis Matemáticas Ejemplo para plan de lección - Pasos de las pruebas de hipótesis
Pasos de las pruebas de hipótesis Objetivos: entender las pruebas de hipótesis Nota histórica: La distribución t la formuló en 1908 un empleado irlandés de una cervecería que se llamaba William Sealey Gosset. Gosset participaba de unas investigaciones de nuevos métodos de manufacturar cerveza. Gosset publicó su hallazgo bajo el pseudónimo Estudiante, por lo que a veces a la distribución t se le llama la distribución de Estudiante. Regla básica para pruebas de hipótesis: "Si, dado un supuesto, la probabilidad de que se dé un evento particular observado es excepcionalmente pequeña, concluimos que el supuesto probablemente no sea correcto". Usando esta regla, probaremos una hipótesis al analizar datos de muestra en un esfuerzo por distinguir entre resultados que puedan ocurrir fácilmente al azar y resultados que es muy poco probable que ocurran al azar. Cuando obtenemos resultados muy poco probables, concluimos que la hipótesis no es cierta. En vez de comenzar con una secuencia de pasos mecánicos, empieza a probar hipótesis con un repaso del concepto básico utilizado. Foco del asunto de la significancia: ¿difieren los resultados de la muestra de la hipótesis por una cantidad que es estadísticamente significante? La siguiente tarea te ayudará a centrarte en la significancia estadística. Tarea 4.1. Desarrolla o encuentra un ejemplo que puedas usar en el salón de clases que ilustre la idea fundamental/acercamiento básico de las pruebas de hipótesis. No escribas una hipótesis ni cualquiera de los pasos típico de las pruebas de hipótesis. En vez, escribe una narrativa sencilla de una afirmación, y da dos resultados de muestra distintos: uno que podría ocurrir fácilmente al azar, y otro resultado que tenga muchas probabilidades de ocurrir al azar. Considera cómo le explicarás la significancia estadística a la clase a medida que desarrollas el ejemplo.
Componentes de una prueba de hipótesis Paso 1: Cómo identificar las hipótesis La hipótesis nula, H0, es una afirmación de que el valor del parámetro de la población es equivalente a un valor afirmado. En algunos textos se utilizan los símbolos ≤ o ≥ en la hipótesis nula, pero en la mayor parte de las revistas profesionales se utiliza solo el símbolo =. La hipótesis nula se prueba asumiendo que es cierta, y se llega a una conclusión para rechazarla o no rechazarla. La hipótesis alterna, H1 or Ha, es la afirmación de que el parámetro tiene un valor que difiere de alguna manera de la hipótesis nula. Si te encuentras realizando un estudio y quieres usar una prueba de hipótesis para respaldar tu afirmación, dicha afirmación debe estar redactada de forma tal que se vuelva la hipótesis alterna, porque no quieres usar una prueba de hipótesis para apoyar una afirmación de que 1419
Unidad PE.4: Correlación, intervalos de confianza y prueba de hipótesis Matemáticas Ejemplo para plan de lección - Pasos de las pruebas de hipótesis un parámetro es igual a un valor especificado. Sin embargo, la afirmación de otra persona podría convertirse en la hipótesis nula o la alterna. La mejor forma de formar la hipótesis nula y alterna es escribir la afirmación de forma simbólica, y luego escribir lo opuesto de la afirmación; el enunciado que contenga la igualdad es la hipótesis nula. Tarea 4.2. Escribe o busca un conjunto de afirmaciones que puedas darles a los estudiantes para practicar a expresar las hipótesis nula y alterna correspondientes en forma simbólica.
Paso 2: Cómo calcular la estadística de prueba La estadística de prueba es un valor que se calcula a partir de los datos de la muestra, y se usa para tomar la decisión sobre si rechazar la hipótesis nula. La estadística de prueba se encuentra al convertir la media de la muestra a una puntuación de z o de t. Dependiendo del nivel de competencia entre los estudiantes, provéeles una puntuación de z o de t, o introduce la ecuación necesaria para calcular una puntuación de z o de t.
Paso 3: Cómo hallar el valor de P correspondiente El valor de P es la probabilidad asociada a la estadística de prueba.
Paso 4: Cómo identificar la región crítica y el valor crítico La región crítica (región de rechazo) es el conjunto de valores de la estadística de prueba que puede hacer que rechacemos la hipótesis nula. El nivel de significancia es la probabilidad de que la estadística de prueba caerá en la región crítica cuando la hipótesis sea cierta. Si la estadística de prueba cae en la región crítica, rechazaremos la hipótesis nula, y la probabilidad de rechazarla cuando es posible que sea cierta es un tipo de error I llamado . El valor crítico es cualquier valor que separe a la región crítica de los valores que no llevan al rechazo de la hipótesis nula. Tarea 4.3. Escribe por lo menos diez problemas de práctica para usarlos con tu clase y pídeles a los estudiantes que encuentren los valores críticos. Utiliza un nivel de significancia de 0.05, escribe un conjunto de hipótesis alternas usando una media de muestra, proporción y desviación estándar, y <, >, y ≠ Pídeles a los estudiantes que hallen el valor de P de cada problema.
1420
Unidad PE.4: Correlación, intervalos de confianza y prueba de hipótesis Matemáticas Ejemplo para plan de lección - Pasos de las pruebas de hipótesis
Paso 5: Cómo tomar una decisión Decisión: El procedimiento estándar para probar hipótesis es que siempre probamos la hipótesis nula y concluimos una de las siguientes: 1. Rechaza la hipótesis nula si la estadística de prueba cae dentro de la región crítica. 2. No rechaces la hipótesis nula si la estadística de prueba no cae dentro de la región crítica. En las investigaciones publicadas se suele utilizar el método del valor de P: 1. Rechaza la hipótesis nula si el valor de P es < . 2. No rechaces la hipótesis nula si el valor de P es ≥ . 3. Declara el valor de P y déjale la decisión al lector.
Paso 6: Conclusión de la prueba Conclusión: Los estudiantes por lo general tienen dificultades para escribir un enunciado correcto de la conclusión final. La conclusión debe abordar la afirmación original, y la redacción precisa es importante. Los estudiantes a veces no entienden la diferencia entre "aceptar o apoyar" y "no rechazar". Tarea 4.4. Explica la diferencia entre "aceptar o apoyar" y "no rechazar". Puedes encontrar un ejemplo en tu texto o crear uno, pero debes dar tu respuesta en tus propias palabras.
Fuente: http://www.google.com/url?sa=t&rct=j&q=historical%20note%3A%20the%20t%20distribution%20was%20f ormulated%20in%201908%20by%20an%20irish%20brewing%20&source=web&cd=3&ved=0CCoQFjAC&url =http%3A%2F%2Fmtl.math.uiuc.edu%2Fsites%2Fdefault%2Ffiles%2FMod6B4.doc&ei=1YTvTq6YEOn10gG9veTPCQ&usg=AFQjCNENi1nUsUyDv-_0909VPD_82R18Nw 1421
Unidad PE.4: Correlación, intervalos de confianza y prueba de hipótesis Matemáticas Ejemplo para plan de lección - ¿Qué prefieres?
¿Qué prefieres? 1. Clasifica las formas de comunicarte con tus amigos. Utiliza un 1 para tu forma favorita, 2 para tu segunda favorita, y así sucesivamente. ¡Nada de empates! No compartas tus resultados con nadie todavía. Tú
Compañero
Hablar en persona Hablar por teléfono Por mensaje de texto Por correo electrónico Facebook/MySpace Mensajería instantánea/chats
2. Ahora, compáralos con tu pareja. En una hoja de papel cuadriculado grande, traza tus puntuaciones y las de tu pareja. Asegúrate de que las tuyas sean tan grandes y fáciles de notar como sea posible. Cuelga la hoja en la pared para que otros puedan verla. a. Si tuvieses que hacer una conjetura fundamentada, ¿dirías que tu diagrama de dispersión representa una asociación fuerte, moderada o débil? ¿Representa tu diagrama de dispersión una asociación negativa o positiva? Debes estar listo para explicar tu razonamiento. b. Al observar el conjunto de gráficas, ¿cómo las organizarías? ¿Podrías ponerlas en algún orden? ¿Cómo elaboraste tu sistema para clasificarlas? Debes estar listo para compartir tus ideas con todos.
Exploración 1. Hay muchas formas de calcular los coeficientes de correlación. En esta unidad, aprenderás sobre dos: el coeficiente de correlación de rango de Spearman y el coeficiente de correlación de Pearson. Utilizaremos el coeficiente de correlación de Pearson durante gran parte de la unidad. En el caso del coeficiente de correlación de Pearson es necesario asumir que ambas variables tienen una distribución normal. La correlación de rango de Spearman se utiliza si los datos son ordinales o están clasificados por rango o si resulta poco razonable asumir que las variables se distribuyen de forma 1
normal. En esta actividad nos centraremos en el coeficiente de correlación de rango de Spearman. Mientras aprendes los cálculos, piensa en por qué te parece que funcionan. Si estás intentando medir la solidez de la asociación entre dos clasificaciones (y no hay empates), puedes usar el coeficiente de correlación de rango de Spearman. Está dado por la fórmula: donde n es el número de elementos clasificados y 1422
Unidad PE.4: Correlación, intervalos de confianza y prueba de hipótesis Matemáticas Ejemplo para plan de lección - ¿Qué prefieres? representa la suma de las diferencias cuadradas entre los rangos. Completa la tabla y usa la fórmula anterior para hallar el coeficiente de correlación de rango de Spearman.
Tú
Compañero
Diferencia de rangos (d)
Diferencias cuadradas (d2)
Hablar en persona Hablar por teléfono Por mensaje de texto Por correo electrónico Facebook/MySpace Mensajería instantánea
a. Compara tus valores con los de otros estudiantes en la clase. Corrobora los cálculos de al menos dos parejas. b. Interpreta tu diagrama de dispersión y coeficiente de correlación. Escribe un resumen de una o dos oraciones. c. Piensa en la fórmula del coeficiente de correlación de rango mientras lees la siguiente publicación de Ask Dr. Math (http://mathforum.org/library/drmath/view/52774.html) de The Math Forum. Antes de que leas las publicaciones, considera las preguntas siguientes: i. Cuando las diferencias entre tú y tu pareja son muy grandes, ¿qué le ocurre al valor de ? ¿Qué le ocurrirá al valor general del coeficiente de correlación de rango? ii. Cuando las diferencias entre tú y tu pareja son muy pequeñas, ¿qué le ocurre al valor de ? ¿Qué le ocurrirá al valor general del coeficiente de correlación de rango? Correlación de rango de Spearman Fecha: 17/02/99 a las 17:45:10 De: Bobby Tema: Correlación de rango de Spearman Quiero averiguar dónde se originaron las 6 pulgadas de la fórmula de la correlación de rango de Spearman. ¿Cómo se llegó a 6? He intentado consultar con personas y enciclopedias, pero no encuentro la respuesta. Muchas gracias.
Fecha: 17/02/99 a las 18:19:49 De: Doctor Pat
1423
Unidad PE.4: Correlación, intervalos de confianza y prueba de hipótesis Matemáticas Ejemplo para plan de lección - ¿Qué prefieres? Tema: Re: Correlación de rango de Spearman No estoy seguro, pero creo que el 6 viene de la suma de los cuadrados de los enteros del denominador. Recuerda que el rho de Spearman (si no hay empates) es equivalente a la r de Pearson cuando los rangos son tratados como coordenadas en x, y. El denominador tiene (n-1) sx·sy. Las sumas de los cuadrados de las variables de x, como son rangos, deben ser enteros consecutivos. Un método y razonamiento similares funcionan para los valores en y. Cuando encontramos las varianzas al sumar estos cuadrados, obtenemos un seis en cada denominador, y al sacar la raíz cuadrada de 6·6 obtenemos un 6 fuera del radical. Para simplifica la matemática, multiplica el numerador y el denominador por 6 y aparecerá en la parte de arriba. ¡Buena suerte! -Doctor Pat, The Math Forum http://mathforum.org/dr.math/
Fecha: 18/02/1999 a las 16:17:28 De: Doctor Pat Tema: Re: Correlación de rango de Spearman Después de enviarte la primera respuesta, publiqué una nota en una lista de estadística. Esta es una respuesta MUCHO mejor a tu pregunta que recibí de un correspondiente mío quien es un excelente matemático estadístico. -------------------------------------------------------------------2 El coeficiente de correlación de rango de Spearman se basa en la suma (diferencias ) en dos clasificaciones. Considera las situaciones extremas de las clasificaciones. Si hay N rangos y dos clasificaciones son idénticas en 2 todas partes, entonces suma(diferencias ) = 0. Si están al revés una de la otra, por ejempli, si una es 1, 2, 3, 4, 5 y la 2 otra es 5, 4, 3, 2, 1, entonces la suma(diferencias^2) = N(N - 1)/3. Mientras más cerca de 0 esté la 2 2 2 suma(diferencias ), más parecidas las clasificaciones. Mientras más cerca de N(N - 1)/3 esté la suma(diferencias ), más disparatadas las clasificaciones. Pero queremos obtener una escala común por la cual regirnos para hacer juicios, no una que dependa de N. Además, nos gustaría que la escala pasara de -1 a 1, por lo que queremos hallar 2 una transformación que lleve 0 a 1 y N(N - 1)/3 a -1. Escribe la ecuación de la línea que pasa por los puntos (0, 1) y 2 2 (N(N - 1)/3, -1). Esta línea tiene una pendiente de -6/(N(N - 1)) y una intercepción de 1. -Doctor Pat, The Math Forum
iii. Halla la ecuación de la línea que pasa por los puntos (0,1) y
,-1).
El coeficiente de correlación de Pearson es otro método de calcular una medida de una asociación lineal entre dos pares de valores (x,y). El cálculo incluye la desviación estándar. Para la mayor parte de los datos, probablemente utilizarás un paquete estadístico o calculadora gráfica para realizar los cálculos. Pero vale la pena hallar el coeficiente de correlación de un conjunto de datos pequeño a mano para entender mejor la fórmula.
1424
Unidad PE.4: Correlación, intervalos de confianza y prueba de hipótesis Matemáticas Ejemplo para plan de lección - ¿Qué prefieres? 3. Considera este conjunto de datos con detenimiento para calcular el coeficiente de correlación de Pearson. x y r= 1 4 3
8
a) Para calcular el coeficiente de 5 11 i. la media de los valores de x, ii. la media de los valores de y, iii. la desviación estándar de los valores de x, Sx iv. la desviación estándar de Sy
correlación, comienza buscando
b) Completa el cálculo del coeficiente de correlación. Recuerda que Σ es el símbolo de suma. 4. Usando un software de estadística o tu calculadora gráfica, crea una versión electrónica de tu diagrama de dispersión desde el inicio. Halla el coeficiente de correlación y escribe el coeficiente de correlación en tu diagrama de dispersión grande. 5. Al observar los diagramas de dispersión de la clase y sus coeficientes de correlación correspondientes, ¿qué notas sobre la forma de los diagramas de dispersión y los coeficientes de correlación? 6. ¿Cuáles diagramas de dispersión tenían un coeficiente de correlación negativo? ¿Cuáles diagramas de dispersión tenían un coeficiente de correlación positivo? ¿Qué podrían significar estos coeficientes de correlación en el contexto de tus clasificaciones y las de tu pareja? 7. Usa un software de estadística o tu calculadora gráfica para crear un conjunto de clasificaciones que pienses tendría un coeficiente de correlación cercano a 1. Debes estar preparado para compartir tu gráfica y el coeficiente de correlación. 8. Usa un software de estadística o tu calculadora gráfica para crear un conjunto de clasificaciones que pienses tendría un coeficiente de correlación cercano a -1. Debes estar preparado para compartir tu gráfica y el coeficiente de correlación. 9. Usa un software de estadística o tu calculadora gráfica para crear un conjunto de clasificaciones que pienses tendría un coeficiente de correlación cercano a 0. Debes estar preparado para compartir tu gráfica y el coeficiente de correlación. Resume 1. Explica qué representa el valor del coeficiente de correlación. 2. Haz una ilustración rápida de un diagrama de dispersión con una asociación positiva fuerte y asociación negativa fuerte. 3. Haz una ilustración rápida de un diagrama de dispersión con una asociación débil. 1425 Fuente: http://www.iowa.gov/pages/search?q=Unit%3A+Correlation+and+Regression&=Search
Unidad PE.4: Correlación, intervalos de confianza y prueba de hipótesis Matemáticas Tarea de desempeño - Las elecciones de Florida
Número de votos en 25 condados de Florida en las elecciones presidenciales Condado
1426 Fuente: http://www.apskids.org/Documents/Math_II_Unit_6%20_TE_APS_Web-Web.pdf
