UNIVERSIDAD NACIONAL MAYOR DE SAN MARCOS (Universidad del Perú, Decana de América)
FACULTAD DE CIENCIAS MATEMÁTICAS E.A.P. INVESTIGACIÓN OPERATIVA
TEORIA DE GRAFOS Y PROGRAMACION ENTERA
Docente: Durand Romero, Romero, Luis Antonio Antonio
Alumnos:
Cuba Inga, Elizabeth Milagros
12140400
Figueroa Torres, Jair
12140405
Ciudad Universitaria, abril del 2018
INTRODUCCION
El Problema del Agente Viajero (PAV) o Traveling Salesman Problem (TSP) es un problema que se estudia en Investigación de Operaciones como parte de la toma de decisiones en las organizaciones. Este problema se plantea la siguiente pregunta: Dada una lista de ciudades y las distancias entre cada par de ciudades, ¿cuál es la ruta más corta posible que visita cada ciudad exactamente una sola vez y vuelve a la ciudad de origen? A este tipo de problemas a las ciudades se les define como nodos y a los caminos entre las ciudades se les llama arcos. Los arcos pueden ser dirigidos y no dirigidos. Si el arco es dirigido solo se puede ir desde el nodo inicial hasta el nodo final, es decir, una calle con un solo sentido, y si el arco es no dirigido, significa que los nodos se pueden recorrer en ambos sentidos. A cada arco se le puede asociar una distancia o un costo. ¿Dentro de este contexto surge el modelo del m-agente viajero como un problema de optimización matemático que se debe resolver con varias iteraciones. En este trabajo presentaremos la descripción del modelo su formulación matemática, casos aplicativos y conclusiones.
DEFINICION El objetivo principal es ayudar al agente viajero a que dado n ciudades, siendo el Cij el costo o distancia del viaje, desde la ciudad i hasta la ciudad j, encontrar una ruta o un camino que sea el más corto posible y que regrese a su ciudad de partida. Si Cij = Cij para todos las ciudades, el problema es simétrico y si Cij ≠ Cij para un par
de ciudades, entonces el problema es asimétrico. Problema del Agente Viajero Simétrico
Conocido como el Symmetric Traveling Salesman Problem (TSP o PAV). Dado un conjunto de n nodos y distancias para cada par de nodos, encontrar una longitud total mínima que visite cada uno de los nodos exactamente una vez. La distancia del nodo i al nodo j es la misma que del nodo j al nodo i. Problema del Agente Viajero Asimétrico
Conocido como Asymmetric Traveling Salesman Problem (ATSP). Dado un conjunto de nodos y distancias para cada par de nodos, encontrar una ruta de longitud total mínima que visite cada uno de los nodos exactamente una vez. En este caso, la distancia del nodo i al nodo j y la distancia del nodo j al nodo i puede ser diferente. El problema del m-TSP puede definirse un grafo completo G= (V, A), donde V es un conjunto compuesto por n+1 vértices y A={(i,j): i,j ∈V, i ≠ j} el conjunto de arcos. El vértice cero hace referencia al depósito o ciudad de origen donde los m agentes viajeros (vehículos) están ubicados. Para cada arco (i,j)∈ A existe un costo Cij=dij, donde dij corresponde a la distancia entre los nodos i y j. La solución del problema consiste en encontrar las rutas de los m agentes viajeros, teniendo en cuenta que cada ruta empieza y termina en el depósito y además cada nodo puede ser visitado una única vez, el objetivo es minimizar el costo total de visitar todos los clientes. El m-TSP puede ser utilizado para resolver las variantes del problema de ruteamiento de vehículos, entre ellos calcular el mínimo número de vehículos requeridos para atender un conjunto de clientes en el problema de VRP que tiene en cuenta restricciones de distancia. Adicionalmente se menciona en el VRPPD (vehicle routing problem with Pick up and delivery), problema de ruteamiento que considera entregas y recogidas. Por su gran facilidad para ser formulado y por su gran adaptabilidad a múltiples situaciones prácticas el TSP ha sido uno de los problemas de optimización que mayor interés ha despertado a los investigadores en las áreas de matemáticas discretas, computación e investigación de operaciones.
MODELO DEL M- AGENTE VIAJERO
Para clarificar aún más la utilidad que tiene el TSP se explicará una de sus extensiones, el m-TSP (Multiple Traveling Salesman Problem) en el cual hay m agentes viajeros. El m-TSP consiste en determinar un conjunto de rutas para m vendedores quienes parten al mismo tiempo y después de haber realizado su ruta retornan al punto de partida, cada ruta conserva las mismas condiciones de un TSP (Parten desde la ciudad origen recorren un número n de ciudades, cada ciudad es visitada solo una vez y retornan a la ciudad origen). El m-TSP busca minimizar el costo total para visitar todas las ciudades. Su formulación es la siguiente:
La ecuación (1) Corresponde a la minimización de costos totales por visitar los arcos xij. La ecuación (2) corresponde a que cada agente viajero sale del depósito. La ecuación (3) indica que cada agente viajero regresa al depósito. La ecuación (4) garantiza que exactamente un tour ingrese a cada nodo. La ecuación (5) garantiza que exactamente un tour salga de cada nodo. La ecuación (6) incluyen las restricciones de eliminación de subtours de Miller-Tucker-Zemlin.
El TSP se puede asociar con gran facili dad a múltiples problemas prácticos tales como:
− Programación de tareas en máquinas: Aunque poco parecido a un TSP, esta
situación se puede formular de la misma manera. Cada tarea se puede ver como una de las ciudades a visitar y el tiempo necesario para cambiar de tarea será la distancia que hay entre una ciudad y otra. El objetivo en este caso será minimizar el tiempo total de cambio de referencia. − Recolección de órdenes en bodegas y centros de distribución: Este problema
está asociado con la recolección de materiales en las bodegas. Suponiendo que una orden que llega requiere un subconjunto de los artículos almacenado s en la bodega. Un vehículo o una persona debe recoger todos los artículos que luego serán enviados al cliente. La relación con el TSP es inmediata. Los lugares de almacenamiento de los artículos corresponden a las ciudades, la distancia entre dos ciudades está dada por el tiempo requerido para desplazarse desde una localización a otra. El problema de encontrar la ruta más corta es decir con el tiempo de recogida más pequeño se puede resolver como un TSP. Algunos casos especiales del problema pueden resolverse fácilmente. − Optimización de rutas en el Problema de enrutamiento de vehículos: Una de las
aplicaciones de mayor importancia que se le ha asociado al TSP es su relación con el Problema de enrutamiento de vehículos (VRP- Vehicle Routing Problem). Existen también métodos de solución Heurística que buscan explotar la estructura del problema para obtener soluciones en tiempos muy cortos. Entre estos métodos se cuentan el vecino más cercano (Nearest Neighbor.), los métodos de Inserción y de Ahorros.
VARIANTES IMPORTANTES DEL MODELO M-AGENTE VIAJERO − Uno o varios lugares de despacho: En el caso de un solo lugar de despacho los
vendedores empiezan y terminan el viaje desde un mismo punto. Mientras que en el otro caso pueden empezar en uno y terminar en otro. Además, se debe considerar la asignación de los vendedores a los centros de despacho.
− Número de vendedores: El número de vendedores en el problema es un parámetro
establecido a priori o puede tratarse como una variable cuyo valor resulta de la solución del m-TSP. − Cargos Fijos: Cuando el número de vendedores en el problema no es fijo, a cada
vendedor se le asocia un costo en el cual se incurre cuando el vendedor es utilizado en la solución del problema, en este caso la minimización del número de vendedores utilizados puede ser el objetivo. − Ventanas de tiempo (m-TSPTW): Aquí determinados nodos nece sitan ser visitados en
periodos específicos de tiempo (conocidos como ventanas de tiempo), teniendo este caso específico utilización en ruteo de buses escolares, horarios de aerolíneas y en navieras. − Otras variantes especiales: Las cuales tienen restricciones sobre el número de
ciudades que pueden visitarse en cada viaje o la distancia máxima o mínima que puede tener un viaje. − Recogida postal: el problema consiste en determinar las distintas rutas para los
mensajeros con el mínimo costo posible, en este caso, el volumen pequeño de las cartas hace que no haya restricciones de capacidad de los viajeros y por eso puede modelarse como un m-TSP. − Enrutamiento de buses escolares: el objetivo es minimizar tanto el número de buses
como la distancia total del recorrido de cada uno de estos. − Robótica: los robots con el tiempo han tenido cada día más utilizaciones tanto en las
empresas como en los hogares, ha dichos robots se les asignan un número de tareas especificadas, la relación que tiene con el m-TSP consiste en encontrar la ruta más eficiente para que un conjunto de robot realice sus tareas.
APLICACION Problema de cargo fijo 1. Enunciado: He sido abordado por tres compañías de teléfonos para que me suscriba a sus servicios de larga distancia. Avantel cobra una tarifa fija de $16 al mes, más 25 centavos por minuto. Telmex cobra $25 al mes y un costo de 21 centavos por minuto. ATT tiene una tarifa mensual fija de $18 y un costo de 22 centavos por minuto. Generalmente hago 200 minutos de llamadas de larga distancia al mes. Suponiendo que no pago la tarifa fija, a menos que haga las llamadas y de que pueda dividir mis llamadas entre las tres empresas según me parezca. ¿Cómo debo utilizar los servicios de las compañías para minimizar mi cuota mensual de teléfono?
2. Planteamiento:
Variables de Decisión
0 No se usa el servicio i Yi= { 1 Sí se usa el servicio i Xi= Número a usar en la compañía i X1, X2, X3>=0 Yi E {0,1} Función Objetivo
Min z= 16Y1+25Y2+18Y3+0.25X1+0.21X2+0.22X3 Restricciones
X1+X+X3=200 X1<=200Y1 X2<=200Y2 X3<=200Y3
3. Solución: Para la solución se empleará un paquete LINGO en el que se pueden resolver problemas de Programación lineal. En este caso las variables "Xi" son de tipo entero y las variables "Yi" con de tipo binario, LINGO nos permite manejar problemas de este tipo solo se debe indicar el tipo para cada variable como se ve en la imagen de abajo, indicado esto y después de ingresar el modelo anteriormente planteado al LINGO la solución queda de la siguiente manera:
INTERPRETACION DEL PROBLEMA
Se ocupará la compañía 3 con el total de 200 minutos y un costo de $62, $44 por los minutos y $18 por el uso de la compañía. No se emplean dos compañías porque a pesar de que en la compañía 1 se cobra menos de uso, en los minutos se cobra más.
CONCLUSIONES El problema del agente viajero presenta distintas variantes dependiendo la complejidad y la dimensión de la red a la que este representa; dimensión, en términos de nodos, Conexiones y trayectorias. A partir de ello, se ident ifican distintas técnicas de las cuales se han mencionado en el documento algunas de ellas, con el fin de introducir al lector en las mismas y familiarizarlo con conceptos y elementos característicos del problema TSP.
BIBLIOGRAFIA
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Agente viajero simple y múltiple - http://opti-lineal.blogspot.pe/2013/04/agente-
viajero-simple-y-multiple-grupo-5.html
[2].
Solución
del
problema
de
múltiples
agentes
viajeros
resuelto-
https://dialnet.unirioja.es/descarga/articulo/4847352.pdf
[3].
Matemáticas
aplicadas
y
computación
/
Optimización
entera
https://sites.google.com/site/13optimizacionentera/planteamientos-y-solucion-demodelos/ejercicio-14
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