UNIVERSITA’ DI FIRENZE
DIPARTIMENTO DI ENERGETICA S. STECCO SEZIONE DI MECCANICA APPLICATA
DISPENSE DI MECCANICA APPLICATA: TEORIA DELLA LUBRIFICAZIONE
Prof. Ing. P. Toni, Ing. R. Giusti, Ing. E. Meli, Ing. S. Papini, Ing. L. Pugi, Ing. A. Rindi
1
Indice INDICE ......................... ....................................... ........................... ........................... ........................... .......................... .......................... ....................... .......... 2 1
INTRODUZIONE ......................... ...................................... .......................... ........................... ........................... ......................... ............ 4
2
ONSIDERAZIONI GENERALI .......................... CONSIDERAZIONI ....................................... ........................... ........................... ................ ... 8
3
EQUAZIONE DI R EYNOLDS ........................................ ............... 12 EYNOLDS GENERALIZZATA ...........................
4
SLITTA PIANA ......................... ....................................... ........................... ........................... ........................... ......................... ............ 15
4.1
EYNOLDS ............................................ SLITTA PIANA: EQUAZIONE DI R EYNOLDS ....................................................... ........... 15
4.2
SLITTA PIANA: SUPERFICI PIANE PARALLELE ................................................... .................................................. 17
4.3
SLITTA PIANA INFINITAMENTE LARGA. ................................................. ............................................................ ........... 18
4.3.1
4.4
Slitta piana infinitamente i nfinitamente larga: superfici piane ......................................... ......................................... 20 SLITTA PIANA DI LARGHEZZA FINITA: SUPERFICI PIANE ................................... .................................. 24
4.5
SLITTA PIANA DI LARGHEZZA INFINITAMENTE PICCOLA .................................. ................................. 27
5
COPPIA ROTOIDALE ........................... ........................................ .......................... ........................... ........................... ............... 28
5.1
COPPIA ROTOIDALE CON PERNO OSCILLANTE .................................................. ................................................. 28
5.2
COPPIA ROTOIDALE CON PERNO NON OSCILLANTE .......................................... .......................................... 33
5.3
OSC ILLANTE ..... 36 COPPIA ROTOIDALE INFINITAMENTE LARGA CON PERNO NON OSCILLANTE
5.4
COPPIA ROTOIDALE DI LARGHEZZA FINITA CON PERNO NON OSCILLANTE ....... 40
5.5
COPPIA ROTOIDALE DI LARGHEZZA INFINITAMENTE PICCOLA CON PERNO NON
OSCILLANTE .......................................... ................................................................ ............................................ ............................................ .......................... .... 44
6
UBRIFICAZIONE PER ACCOSTAMENTO .......................... LUBRIFICAZIONE ....................................... ....................... .......... 46
6.1
LUBRIFICAZIONE PER ACCOSTAMENTO: CASO PIANO INFINITAMENTE LARGO CON
SUPERFICI PIANE PARALLELE ........................................... ................................................................. ............................................ ...................... 47
2
6.2
LUBRIFICAZIONE PER ACCOSTAMENTO: CASO PIANO INFINITAMENTE LARGO CON
SUPERFICIE PIANA E CILINDRO .......................................... ................................................................ ........................................... ..................... 48
6.3 7
LUBRIFICAZIONE PER ACCOSTAMENTO: DISCO CIRCOLARE E SUPERFICIE PIANA50 LUBRIFICAZIONE FLUIDOSTATICA .......................... ........................................ ........................... ..................54 .....54
7.1
LUBRIFICAZIONE FLUIDOSTATICA: CUSCINETTO REGGISPINTA ........................ ....................... 54
7.2
LUBRIFICAZIONE FLUIDOSTATICA: CUSCINETTO PORTANTE ............................ 58
8
SCELTA DEL CUSCINETTO ......................... ...................................... ........................... ........................... ....................66 .......66
9
BIBLIOGRAFIA ......................... ....................................... ........................... .......................... .......................... .........................68 ............68
3
1 Introduzione Se tra gli elementi di una coppia cinematica caratterizzata da contatto di strisciamento viene introdotto un fluido, in modo tale che al contatto diretto fra le due superfici asciutte venga sostituito un contatto mediato solido – fluido – solido, si possono ottenere forti riduzioni del coefficiente di attrito. Per tale motivo in molte applicazioni tecniche si ricorre frequentemente a contatti mediati. Il fluido contenuto nell’intercapedine, chiamata anche meato o meandro, è
comunemente un liquido, talvolta un gas; ad esso si dà il nome di lubrificante. Il lubrificante deve essere in grado di reagire alle forze normali che i due membri a contatto si trasmettono in corrispondenza della coppia e, nello stesso tempo, di dare origine ad azioni tangenziali relativamente piccole. Tali risultati possono essere conseguiti con un’opportuna progettazione della geometria della coppia e con
un’opportuna scelta delle caratteristiche fisiche del lubrificante (in particolare della viscosità). Da un punto di vista applicativo si distinguono le seguenti tipologie di lubrificazione: 1) contatto asciutto con superfici caratterizzate da basso attrito; in questo caso non è presente alcuna lubrificazione e di conseguenza il coefficiente di attrito dipende dai materiali impiegati che inoltre tendono inevitabilmente ad usurarsi; le principali applicazioni pratiche di questo tipo di contatto riguardano le bronzine (soprattutto a base polimerica o di materiali sinterizzati); si veda la Fig. 1.1
4
F igur a 1.1 Br onzin e metall iche e polimeri che/sin teri zzate
2) lubrificazione limite; il contatto metallo - metallo sussiste ancora ma l’attrito è ridotto per mezzo di lubrificanti costituiti da sostanze grasse (in genere sintetiche) caratterizzati da catene molecolari molto lunghe; le principali applicazioni pratiche di questo tipo di contatto riguardano sempre le bronzine (sia metalliche che a base polimerica/sinterizzata); si vedano le Fig. 1.1 e 1.2
F igur a 1.2 L ubrif icazione li mite
3) lubrificazione mista; questo tipo di lubrificazione è una via di mezzo tra la precedente lubrificazione limite e le successive lubrificazioni dinamiche; il coefficiente di attrito viene ulteriormente ridotto; in alcune zone dell’interfaccia il lubrificante (in
genere sostanze grasse sintetiche) evita il
contatto metallo – metallo anche se permangono aree di contatto diretto e 5
strisciamento tra le creste delle due superfici; le principali applicazioni pratiche riguardano anche in questo caso le bronzine (sia metalliche che a base polimerica/sinterizzata); si vedano le Fig. 1.1 e 1.3
F igur a 1.3 L ubri fi cazione mista
4) lubrificazione fluidodinamica; questa tipologia di lubrificazione elimina totalmente il contatto diretto metallo - metallo ma funziona solamente in determinate condizioni di funzionamento della coppia cinematica; il coefficiente di attrito tra i membri della coppia viene drasticamente ridotto; come lubrificante è frequente l’impiego di oli sintetici; le principali
applicazioni pratiche riguardano soprattutto cuscinetti portanti e cuscinetti reggispinta (entrambi a strisciamento lubrificato ad olio); si veda la Fig. 1.4
F igur a 1.4 L ubri fi cazione idr odinamica di una sli tta piana e di una coppia rotoidale
5) lubrificazione fluidostatica; anche questo tipo di lubrificazione elimina totalmente il contatto diretto metallo - metallo ma, al contrario della precedente, funziona in qualunque condizioni di funzionamento della coppia cinematica; in questo caso tuttavia è necessario l’impiego di un sis tema
per il 6
pompaggio del lubrificante (solitamente oli sintetici) all’interno della coppia cinematica; il coefficiente di attrito tra i membri della coppia viene drasticamente ridotto; le principali applicazioni pratiche riguardano nuovamente i cuscinetti portanti ed i cuscinetti reggispinta (entrambi a strisciamento lubrificato ad olio); si veda la Fig. 1.5
F igur a 1.4 L ubri fi cazione fl ui dostatica di una sli tta piana e di una coppia r otoidale
Nel seguito della trattazione saranno considerate solamente la lubrificazione fluidodinamica e la lubrificazione fluidostatica. Più in particolare verranno dapprima presentati gli aspetti fondamentali della teoria della lubrificazione fluidodinamica e saranno descritte le principali coppie cinematiche lubrificate (la slitta piana e la coppia rotoidale); successivamente verranno analizzate la lubrificazione per accostamento e la lubrificazione fluidostatica con relative applicazioni (cuscinetti portanti e cuscinetti reggispinta) ; infine saranno forniti alcuni cenni sui criteri di scelta delle bronzine e dei cuscinetti in relazione ai loro campi di impiego.
7
2 Considerazioni generali Prima di presentare la teoria della lubrificazione, è necessario descrivere il sistema fisico di riferimento attorno al quale si svilupperà la trattazione in questione. In particolare dovranno essere analizzate la geometria del sistema considerato e le ipotesi fisiche di lavoro alla base dell a teoria della lubrificazione; infine verrà posto l’accento anche sugli output del modello (ovvero sulle grandezze che tale modello permette di valutare). La geometria del problema è descritta schematicamente in Fig. 2.1 nella quale è rappresentata una porzione sufficientemente piccola del meato. Il sistema di riferimento locale prescelto è posizionato all’interno di quest’ultimo.
y
O
x
z
F igur a 2.1 Geometr ia del problema
8
In figura sono stati poi riportati i due elementi della coppia cinematica mentre il meato che li divide è occupato da un film di lubrificante. La geometria delle pareti del meato
ed
(individuate localmente dalle funzioni
supposta nota mentre con
,
è invece la frontiera
complessiva del meato stesso, fatta eccezione per centesimi di
) è
sono state indicate le zone della frontiera in cui il
fluido entra ed esce dal meato (in questo caso spessore del meato in direzione
e
e
). Si suppone inoltre che lo
(solitamente dell’ordine dei decimi o addirittura dei
) sia trascurabile rispetto alle sue dimensioni in direzione
conseguenza l’influenza sul moto del fluido delle curvature
e ; di
delle superfici che delimitano
il meato stesso è trascurabile. Tale ipotesi geometrica è di fondamentale importanza affinché alcune delle ipotesi fisiche che seguiranno risultino ammissibili. Le superfici che delimitano il meato infine sono in moto rispetto al sistema di
riferimento fisso. Anche tali velocità (rispettivamente per i punti della superficie superficie
e
) sono supposte note. Con
necessarie per mantenere in moto le pareti
per quelli della
ed
sono state infine indicate le forze esterne
ed
del meato.
Per affrontare lo studio che ci siamo proposti è a questo punto necessario introdurre alcune ipotesi fisiche di lavoro che permettano una decisiva semplificazione del problema dal punto di vista matematico ma che, allo stesso tempo, consentano al modello di rimanere quanto più possibile aderente alla realtà fisica. Le suddette ipotesi fisiche di lavoro possono essere riassunte come segue: -
si suppone che il fluido lubrificante sia omogeneo ed incomprimibile ovvero che
la densità sia costante (ipotesi legittima nel caso di lubrificanti liquidi) -
si suppone che il fluido lubrificante possa essere modellato come un fluido
Newtoniano caratterizzato da viscosità costante ( l’assunzione sulla viscosità è tanto meglio giustificata quanto più uniforme è la temperatura del lubrificante); sotto queste prime due ipotesi gli sforzi all’interno del fluido possono essere espressi come segue
dove
è il tensore degli sforzi ( ,
),
,
(2.1)
,
la pressione all’interno del fluido,
,
,
il delta di 9
Kronecker,
la generica componente del vettore velocità
e
la generica
variabile spaziale; inoltre l’equazione di Navier – Stokes e l’equazione di continuità assumono la seguente forma semplificata
nelle quali
rappresenta il vettore accelerazione ed
volumetriche -
le forze di inerzia
(2.2) (2.3) le eventuali forze
agenti sul fluido sono trascurabili rispetto alle azioni di tipo
viscoso; questa ipotesi è giustificata sia dalla sottigliezza dello spessore del meato
sia dall’elevato valore della viscosità cinematica (rapporto tra la viscosità
∑
e la
densità ) dei comuni lub rificanti; si noti inoltre che l’accelerazione ha la seguente espressione
dove
(2.4)
; di conseguenza supporre che le azioni di inerzia
siano trascurabili equivale ad imporre sia la laminarità del moto (dal momento
che non viene considerato il termine convettivo/turbolento stazionarietà (poiché non si tiene conto del contributo di -
le forze di massa viscoso.
) che la sua
)
agenti sul fluido sono trascurabili rispetto alle azioni di tipo
Alla luce delle ipotesi fisiche appena illustrate il modello fluidodinamico del lubrificante (equazioni (2.2) – (2.3)) si riduce alla seguente forma:
(2.5) (2.6)
alle quali vanno poi associate le condizioni al contorno
dove
è la frontiera del meato e
(2.7)
(2.8)
(2.9)
è solitamente la pressione ambiente.
Per comodità si riportano le equazioni (2.5) - (2.9) anche in forma estesa
(2.10) 10
dove
(2.11)
(2.12) (2.13)
(2.14)
(2.15)
.
.
(2.16)
La descrizione del modello, nella sua forma più generale è per adesso completa.
Tale formulazione permetterà di ricavare, nel seguito della trattazione, le seguenti grandezze fisiche associate alle varie coppie cinematiche considerate: -
la distribuzione della velocità del fluido all’interno del meato
-
la distribuzione degli sforzi all’interno del meato
-
le forze esterne necessarie per mantenere in moto le pareti conseguenza l’entità di
-
ed
)
ed
del meato (e di
la portata volumetrica di lubrificante necessaria per una corretta lubrificazione.
11
3 Equazione di Reynolds generalizzata La formulazione della teoria della lubrificazione precedentemente descritta (equazioni (2.5) – (2.8)) può essere ancora semplificata per mezzo di alcune ulteriori ipotesi sul moto del fluido all’interno del meato . Tali assunzioni, pur essendo di natura essenzialmente euristica, sono sostanzialmente verificate in tutte le principali applicazioni di interesse pratico. Le ipotesi possono essere riassunte come segue: -
si assume che la componente della velocità e tutte le sue derivate spaziali siano trascurabili su tutto il meato ad eccezione delle zone vicine ai bordi
(ovvero
,
e
con
ed
); da un punto di vista fisico
ciò equivale a trascurare il moto del fluido in direzione verticale -
si assume che le derivate spaziali delle componenti e della velocità lungo e ( ,
,
,
e
,
derivate in direzione
(
consegue che
e
,
,
,
) siano trascurabili rispetto alle analoghe
e
,
) e rispetto alla pressione
(ne
); questa seconda ipotesi equivale invece, in
termini fisici, a considerare trascurabili gli sforzi tangenziali generati da variazioni di velocità in direzione e rispetto a quelli generati da variazioni di velocità in direzione e rispetto alla pressione .
Alla luce di quanto detto le equazioni di moto (2.10) – (2.12) assumono ora la forma seguente 12
(3.1)
(3.2)
∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫
dove la (3.2) mostra come non dipenda da ovvero
(3.3)
.
Integrando le (3.1) e (3.3) si ha poi
nelle quali le funzioni
(
(3.4)
(3.5)
) possono essere determinate dalle condizioni al
contorno (2.14)-(2.15). Imponendo le suddette condizioni, ricavando le
e sostituendo
nelle (3.4)-(3.5) si ottiene
(3.6)
.
(3.7)
Le equazioni (3.6)-(3.7) legano le velocità e alla pressione . Per determinare le tre incognite fondamentali del problema ( ,
e
) è necessario considerare
l’equazione di continuità (2.13). Integrando tale equazione rispetto ad
infatti
(da
a
) si ha (3.8)
D’altra parte, ricordando la formula di integrazione di Leibniz
(3.9)
dove in questo caso , e sono funzioni generiche, si ha
(3.10)
.
(3.11)
Sostituendo le (3.10) – (3.11) nell’equazione (3.8) , ricordando le espressioni per le velocità (3.6) – (3.7) e ponendo
(dove con
si è
indicato lo spessore del meato, supposto noto) si arriva alle seguente equazione alle derivate parziali nell’unica incognita
:
13
.
(3.12)
L’equazione (3.12) è comunemente chiamata equazione di Reynolds generali zzata
e costituisce, insieme alla condizione al contorno (2.16), il punto di partenza per lo studio della maggioranza dei problemi di lubrificazione. Il membro di sinistra rappresenta essenzialmente l’azione della pressione
sul moto del fluido; il primo termine del
membro di destra è il cosiddetto termine di schiacciamento (così chiamato perché associato allo schiacciamento del meato) mentre gli altri due termini di tale membro sono termini puramente idrodinamici (dovuti cioè all’effetto di trascinamento che
le pareti del
meato hanno sul fluido stesso). L’equazione (3.12) ,
noti
,
,
componenti (3.7).
e
e
unitamente alla (2.16), permette dunque di trovare, essendo
, la distribuzione di pressione
della velocità potranno essere calcolate mediante le relazioni (3.6) –
∫ ∫ [ ] ∫ ∫ Per quanto concerne le azioni
ed
necessarie per mantenere in moto le pareti
del meato (al netto dell’azione della pressione ambiente
dove
nel meato; a questo punto le
ed
) si ha invece
(3.13)
(3.14)
sono i versori normali uscenti delle superfici
ed
(rivolti all’esterno
del meato) mentre, alla luce delle precedenti ipotesi, il tensore degli sforzi
(vedi
equazione (2.1)) ha ora la forma
.
(3.15)
Per quanto riguarda infine la portata volumetrica di lubrificante , essa può essere
determinata per integrazione
dove è il versore normale uscente alla frontiera del meato
(3.16)
(diretto sempre verso
l’esterno del meato).
14
4 Slitta piana Una geometria estremamente interessante da un punto di vista applicativo è la cosiddetta slitta piana. In questo capitolo il comportamento di tale sistema verrà studiato mediante l’equazione di Reynolds generalizzata precedentemente
dedotta e saranno
analizzate nel dettaglio alcuni casi particolarmente significativi.
4.1 Slitta piana: equazione di Reynolds Nel caso di slitta piana una delle due superfici che delimitano il meato (ad esempio
) coincide col piano
mentre l’altra (in questa circostanza
) è una generica
superficie cilindrica avente generatrice parallela a e simmetrica rispetto al piano
; la
larghezza della slitta lungo , eventualmente anche infinita, è pari a (Fig. 4.1).
y
O x
F igur a 4.1 Slitta piana
15
La superficie piana
direzione con velocità
inoltre è fissa mentre la superficie cilindrica
costante. Riassumendo si ha
trasla in
∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫
.
Sotto queste ipotesi l’equazione di Reynolds
(4.1) (4.2) (4.3) (4.4)
generalizzata diventa .
Per quanto concerne invece le componenti
e
(4.5)
della velocità del fluido
(equazioni (3.6)-(3.7)) assumono la forma
.
Indicando per semplicità con
longitudinali di
ed
,
e con
,
(4.6) (4.7)
le componenti verticali e
(si veda la Fig. 4.1; le componenti laterali sono nulle per
simmetria) e ricordando le equazioni (3.13)-(3.15) si ha
dove nel caso in esame
e
(4.8) (4.9)
(4.10)
(4.11)
. Considerando poi
l’equilibrio alla traslazione (verticale e longitudinale) del fluido all’interno del meato
si
ottiene
,
(4.12) (4.13)
16
dove
,
sono le aree di
,
∫
(si è supposto
costante su
quindi che, essendo l’azione dell’ambiente sul fluido diretta longitudinalmente, i carichi verticali
e
). Se ne deduce
in generale non nulla e
si bilanciano tra loro al contrario delle
azioni longitudinali che invece tra loro differiscono.
Nel seguito per semplicità ci soffermeremo prevalentemente sulle azioni agenti sulla parete
del meato.
Per quanto riguarda infine la portata volumetrica di lubrificante l’espressione
∫ ∫
(4.14)
Nel caso elementare di superfici piane parallele le pareti del meato Fig. 4.2).
e
, essa assume
.
4.2 Slitta piana: superfici piane parallele due piani paralleli tra loro (il primo coincidente con
ed
sono
ed il secondo parallelo al primo;
y
O
x
F igur a 4.2 Slitta piana: super fi ci piane parall ele
Essendo
, l’equazione di Reynolds (4.5) si riduce alla
(4.15)
17
ovvero all’equazione di Laplace bidimensionale (associata
(2.9)
su
alla condizione al contorno
). Per le note proprietà delle soluzioni dell’equazione di Laplace (e
quindi delle funzioni armoniche), se
è costante su tutta la frontiera
anche dentro tutto il meato.
, si avrà che
Ricordando la (4.8) e le (4.10), (4.12) se ne deduce immediatamente che
(4.16)
e cioè tale slitta non può sopportare alcun carico verticale. Per tale motivo tale soluzione
non è di alcun interesse pratico. Puramente a scopo didattico ricordiamo che, nota la , le (4.6)-(4.7) permettono banalmente di determinare le componenti
e
della velocità; a
partire da esse le equazioni (4.9) e (4.11), (4.13) consentono quindi di calcolare le reazioni tangenziali
,
mentre la (4.14) fornisce il valore della portata volumetrica .
4.3 Slitta piana infinitamente larga Decisamente più interessante è il caso di slitta piana infinitamente larga (dove cioè si è supposto che larghezza della slitta tenda all’infinito in direzione
Per comodità si faccia sempre riferimento alla Fig. 4.1. L’ipotesi di infinita
ovvero
).
larghezza comporta, da un punto divista modellistico, le
seguenti semplificazioni
(4.17) .
(4.18)
Da un punto di vista fisico ciò equivale invece ad ammettere che il meato sia
molto allungato in direzione e a trascurare le cadute di pressione che inevitabilmente si avranno nella realtà in prossimità dei bordi laterali. Le soluzioni che troveremo potranno essere adattate allo studio dei casi pratici mediante l’introduzione di coefficienti correttivi
di provenienza teorica o sperimentale. Alla luce di quanto detto l’equazione di Reynolds diventa un’equazione
differenziale ordinaria avente la forma
(4.19)
mentre la condizione al contorno (2.9) diventa semplicemente
.
(4.20)
Integrando la (4.19) un prima volta si ha
(4.21) 18
mentre integrando nuovamente si ottiene
∫ ∫ ∫ ⁄∫ ∫ ⁄∫ ∫ ∫ ∫ ∫ .
(4.22)
Imponendo le condizioni al contorno (4.20) è possibile determinare i valori delle
costanti arbitrarie
e
ovvero
(4.23)
dove si è posto
.
(4.24)
La (4.21) in definitiva diventa dunque
(4.25)
mentre la (4.22) assume la forma
.
Dalla (4.25) è possibile dedurre come
meato corrispondente al punto
(4.26)
rappresenti il valore dell’altezza del
nel quale la pressione raggiunge un massimo od un
minimo. Osservando la (4.19) e la (4.25) si può inoltre notare come nel meato nascano effettivamente delle sovrappressioni (ovvero pressioni convergente ovvero che
. Infatti la condizione
positive) solo se esso è
implica, in virtù della (4.19),
decresce. Di conseguenza, essendo
necessariamente essere dovendo
e
e quindi
per
; d’altra parte,
comunque decrescere e dovendo essere
, si avrà anche
. Analogamente si dimostra che si avranno pressioni
il meato sia divergente ovvero
, dovrà
per
negative qualora
.
La (4.6) permette nuovamente di determinare la componente della velocità ( è
nulla per ipotesi) mentre sfruttando le (4.8) e (4.12) si ottiene
(4.27)
dove in questo caso i carichi verticali
e
(4.28)
sono da intendersi per unità di larghezza
della slitta (essendo essa stessa infinitamente larga). In particolare la retta di azione del carico
(Fig. 4.1) può essere determinata come segue
(4.29) 19
∫ ∫ ∫ || || ∫|
nella quale è l’eccentricità del carico stesso (si veda sempre la Fig. 4.2). Per quanto concerne invece l’azione tangenziale
si ha poi, ricordando la (4.9)
mentre la
può essere valutata mediante le espressioni (4.11), (4.13); le
(4.30)
,
(da
intendersi sempre per unità di larghezza) risultano, come era lecito attendersi, differenti tra loro (si vedano in proposito le considerazioni fatte nel paragrafo 4.1). Conoscendo i valori di
e
è possibile valutare il rapporto
e chiamarlo,
in analogia con quanto si è fatto per i contatti si strisciamento tra superfici asciutte, coefficiente di attrito della coppia lubrificata. Il valore del coefficiente
(4.31)
è una valida misura dell’efficacia della lubrificazione.
Infine, anche per quanto riguarda la portata, si introduce per comodità la portata volumetrica per unità di larghezza ; nel caso in esame la (4.14) diventa
(4.32)
da cui, ricordando la (4.6) si ottiene
.
(4.33)
4.3.1 Slitta piana infinitamente larga: superfici piane Lo scenario più semplice dal punto di vista teorico si ha quando entrambe le pareti
ed
che delimitano il meato sono piane (ovviamente non parallele tra loro per quanto
detto nel paragrafo 4.2; si veda la Fig. 4.3). A questo modello si riconducono assai bene alcune soluzioni tecniche sulle quali ci soffermeremo nel seguito della trattazione. Nel caso in esame lo spessore del meato ha l’espressione
∫ ∫
.
(4.34)
Introducendo la (4.34) nella (4.24) si ha
(4.35)
mentre, sostituendo la (4.34) nell’equazione (4.26 ), si ottiene
(4.36)
20
y
O x
F igur a 4.3 Slitta piana in fi ni tamente lar ga: superf ici piane
dove
.
(4.37)
A partire dalla (4.36), la (4.6) permette poi ancora una volta di determinare la componente
della velocità. Analogamente, combinando la (4.34) con le equazioni
(4.27), (4.28), (4.29), (4.30) e (4.31), si ottengono i valori delle principali variabili di
|| ||
progetto della coppia cinematica ovvero
, ,
ed :
dove
(4.38)
;
(4.39)
dove
dove
(4.40)
;
(4.41) (4.42)
21
||
;
(4.43)
o anche, per la (4.41),
(4.44)
dove
(4.45)
.
Per completezza si ricorda che i valori delle grandezze
,
(4.46)
e (qui non
menzionate per brevità), possono essere calcolati mediante le (4.28), (4.11), (4.13) e (4.33).
In Fig. 4.4 è rappresentato l’andamento di
diversi valori del parametro
in funzione di
per
. Risulta chiaramente dai diagrammi che, a parità di altre
circostanze, la capacità portante della coppia è massima per valori di
prossimi ad uno.
F igur a 4.4 Di str ibuzione dell e pressioni (fattor e adimensional e )
In Fig. 4.5 sono tracciate invece le funzioni questi diagrammi risulta che il parametro valori di
,
,
e
. Anche da
debba essere vicino all’unità; infatti per tali
è elevata la capacità portante della coppia ed è basso il coefficiente di attrito.
22
Figura 4.5 Andamento del carico, dell’eccentricità, della forza tangenziale e del coeff ici ente di attri to (f attori adimensionali , , e )
Questi risultati si prestano ad alcune osservazioni che divengono particolarmente semplici nel caso in cui, come accade in alcuni tipi di cuscinetti, il membro
coppia sia orientabile attorno ad un asse parallelo all’asse
della
, e quindi l’eccentricità
,
della
. In tal caso la linea di azione
, ha un valore fissato per costruzione. Ciò equivale, per
le (4.40)-(4.41), a fissare per costruzione un valore ben definito di anche di
e di conseguenza
e (si vedano le (4.39), (4.43), (4.46)). In tali circostanze dunque le
equazioni (4.36), (4.38), (4.42), (4.44) e (4.45) permettono di dedurre immediatamente il comportamento della coppia lubrificata al variare delle condizioni di impiego. Ad esempio dalla (4.38) si deduce come varia l’altezza minima del meato variare di
,
ed
al
. Tali informazioni hanno molto interesse perché, al variare delle
condizioni di impiego, il valore di
deve essere mantenuto al di sopra di un valore
minimo in relazione agli errori di planarità delle superfici che delimitano il meato ed alla loro rugosità in modo tale da evitare il contatto diretto tra le asperità delle superfici stesse. Notevole interesse hanno anche le formule (4.44)-(4.45); tuttavia tali relazioni devono essere usate con cautela dal momento che possono essere ritenute valide solamente se sono verificate le ipotesi alla base della teoria appena sviluppata (ovvero purché si abbia una corretta lubrificazione); in particolare esse cessano di essere vere quando
è così piccolo da dar luogo a contatti diretti tra le due pareti.
23
4.4 Slitta piana di larghezza finita: superfici piane I risultati del paragrafo 4.3.1 possono essere estesi al caso di meato di larghezza
finita purché si introducano opportuni coefficienti correttivi. Da un punto di vista quantitativo, passando dal primo caso al secondo, si osservano le seguenti differenze: -
la sovrappressione oltre che per
varia in questo caso anche lungo l’asse
e
anche per
e si annulla
; come conseguenza, a parità di
pressione massima, la risultante delle pressioni è nel secondo caso inferiore alla
risultante delle pressioni agenti su una striscia di larghezza nel primo caso -
la componente
della velocità è in questa circostanza diversa da zero; si ha cioè
necessariamente una fuga laterale del lubrificante -
nel caso in esame inoltre il coefficiente di attrito è più alto e quindi è più elevata la potenza dissipata. Mentre si rimanda a testi specializzati per un esame approfondito delle coppie di
larghezza finita, si riportano in Fig. 4.6 i valori del coefficiente correttivo
che permette di estendere la validità della (4.38) alle coppie di larghezza finita ( è il carico verticale che grava effettivamente sulla coppia di larghezza finita mentre carico verticale per unità di lunghezza dato dalla (4.38)).
F igur a 4.6 Coef fi ciente cor rettivo in fu nzione del r apporto per
Si noti che il diagramma in Fig. 4.6 è valido a rigore per essere usato anche per valori di
è il
ma in realtà può
sensibilmente diversi dall’unità.
24
È possibile a questo punto esaminare alcune soluzioni tecniche che bene corrispondono allo schema fin qui considerato. La coppia lubrificata costituita da una slitta piana
(detta pattino) e da una superficie piana
è applicata nei cuscinetti
reggispinta a sostentazione fluidodinamica. In Fig. 4.7 sono rappresentate le soluzioni costruttive più comuni.
F igur a 4.7 a) Cuscinetto r eggispinta a pattini f issi; b) Cuscinetto reggispinta a pattini oscil lanti ; c) Pattino bombato; d) Cuscinetto portante a pattini oscil lanti
In Fig. 4.7 a) i pattini sono fissi. In Fig. 4.7 b) i pattini sono invece orientabili
attorno ad un perno avente asse parallelo all’asse ; come anticipato nel paragrafo 4.3.1 ciò individua automaticamente il valore del l’eccentricità e di conseguenza quello di
(il perno permette anche una rotazione attorno all’asse ma questo secondo grado di libertà ha solo lo scopo di semplificare l’allineamento dei pattini ).
Una terza possibile
soluzione tecnica prevede infine che i pattini siano montati su apposite molle. La geometria del meato è in tutti e tre i casi aderente a quella considerata nel paragrafo 4.3.1. La circostanza che il membro mobile abbia moto rotatorio invece che traslatorio non porta infatti a differenze degne di rilievo se non a velocità elevate alle quali può non essere trascurabile l’effetto della forza centrifuga. Le formule (4.36)-(4.46) si adattano bene allo studio dei tre tipi di cuscinetto; in esse andrà introdotta al posto di
la lunghezza della porzione di arco di circonferenza in corrispondenza del raggio medio del pattino, mentre medio.
sarà la velocità dell’elemento mobile in corrispondenza del raggio
25
Le (4.36)-(4.46) si applicano al caso di Fig. 4.9 b) poiché in tal caso il valore di
è fissato per costruzione. Per il caso di Fig. 4.9 a) è costruttivamente fissata l’inclinazione
del pattino ovvero si ha
dipendono ora unicamente da
. Pertanto le funzioni
,
,
e
; la dipendenza delle variabili di progetto da
è meno
semplice che nel caso precedente ma comunque perfettamente determinata. Anche nel caso di pattino a molle è possibile trovare un legame tra
,
e le grandezze di progetto
purché sia nota la posizione delle molle e la loro rigidezza. Dalle (4.36)-(4.46) si possono quindi ottenere delle equazioni nelle quali non compare il parametro
ma soltanto
quantità di più immediato interesse ai fini dello studio del comportamento del cuscinetto.
Fra i tre tipi di cuscinetto sopra citati il primo (a pattini fissi), più semplice ed economico, ha prestazioni scadenti a basse velocità. Assai più soddisfacente è il comportamento fluidodinamico dei cuscinetti del secondo tipo (pattini con perno) i quali presentano anche il vantaggio di un migliore adattamento agli errori di allineamento della coppia. I cuscinetti del terzo tipo (pattini a molle) hanno un comportamento intermedio tra i precedenti e talvolta portano ad un disegno più semplice e ad un ingombro inferiore rispetto a quelli del secondo tipo. Dalla Fig. 4.5 si nota che solamente per valori non nulli del carico (cioè di
) si
hanno valori non nulli di (e quindi di ). Ne segue che i pattini oscillanti (con perno) non possono essere incernierati nella mezzeria, altrimenti la loro capacità portante sarebbe nulla; né è possibile, una volta posizionata la cerniera con
(carico applicato
a sinistra della mezzeria), far funzionare il cuscinetto nei due versi di rotazione, altrimenti
si avrebbe, in una delle due direzioni, eccentricità negativa (carico applicato a destra della mezzeria) e quindi non vi sarebbe capacità di carico. La possibilità di funzionamento in entrambi i versi di rotazione si ottiene realizzando pattini oscillanti con la superficie leggermente bombata (si veda la Fig. 4.7 c)) e incernierandoli nella mezzeria; in tal caso gli andamenti delle funzioni in Fig. 4.5 si modificano e si ottiene
capacità di carico non nulla anche per eccentricità nulla. Pattini come quelli considerati fino ad ora vengono impiegati anche per realizzare cuscinetti portanti a sostentazione fluidodinamica (si veda la Fig. 4.7 d)); si tratta di organi molto raffinati e costosi usati per sostenere rotori veloci quando di debba evitare il rischio di instabilità per fenomeni fluidodinamici.
26
4.5 Slitta piana di larghezza infinitamente piccola
Nel caso in esame si suppone che la larghezza della slitta piana sia trascurabile rispetto alla sua lunghezza
(
). Da un punto di vista grafico si faccia sempre
riferimento alla Fig. 4.1. Da un punto di vista modellistico ne consegue invece che le
derivate di rispetto ad
rispetto a ( e
(
e
) sono trascurabili rispetto alle analoghe derivate
ipotesi l’equazione di Reynolds (4.5) diventa
che, essendo
); si noti che ciò non implica che dipenda solamente da . Sotto tale
(4.47)
, si riduce a
.
(4.48)
Integrando due volte rispetto si ottiene
da cui, imponendo le condizioni al contorno
(4.49) , si ha
.
(4.50)
Si noti infine che, per le drastiche approssimazioni effettuate, se si impongono le condizioni al contorno precedenti, non possono più essere soddisfatte le condizioni
,
. Le altre grandezze di interesse per il sistema, ovvero , ,
,
,
e , possono essere calcolate rispettivamente mediante le (4.6), (4.7), (4.8), (4.12),
(4.9), (4.11), (4.13) e (4.14).
27
5 Coppia rotoidale Un’altra geometria particolarmente interessante da
un punto di vista applicativo è
la coppia rotoidale lubrificata. In questo capitolo il comportamento di tale coppia verrà studiato mediante gli strumenti teorici introdotti nei capitoli 3 e 4 mentre successivamente saranno analizzati nel dettaglio alcuni casi particolarmente significativi.
5.1 Coppia rotoidale con perno oscillante La geometria della coppia rotoidale con perno oscillante è rappresentata schematicamente in Fig. 5.1.
y
x
F igur a 5.1 Coppia rotoidale con pern o oscil lante
28
Il sistema in questione può essere descritto come segue: -
gli elementi della coppia
ed
che delimitano il meato sono costituiti in questo
caso da due cilindri di raggio
ed
aventi entrambi asse parallelo a ; l’asse
del primo cilindro (detto cuscinetto) coincide con ed ha come traccia il punto
mentre l’asse del secondo cilindro (detto perno) è parallelo all’asse del primo ed
ha come traccia il punto -
la coppia cinematica, simmetrica rispetto al piano
, ha larghezza pari a
(eventualmente anche infinita); come per la slitta piana le porzioni di frontiera del meato
sono costituite dalle aperture attraverso le quali il lubrificante
entra ed esce dal meato mentre
rappresenta sempre la frontiera
complessiva del meato stesso (fatta eccezione per -
e
)
attorno ad
con velocità angolare
mentre il cilindro
moto di rototraslazione (individuato dalla velocità
velocità angolare
e dall’orientazione
-
entrambi gli elementi della coppia si muovono di moto piano; il cilindro
,
e
le pareti
,
ed
ed
del punto
)
e dalla
indicano infine la azioni esterne necessarie per mantenere in moto del meato (rispettivamente le forze ed i momenti assiali).
Dal momento che lo spessore del meato dei cilindri
possiede un generico
del cilindro o, equivalentemente, dall’eccentricità
del vettore
ruota
è piccolo rispetto ai raggi
(e di conseguenza rispetto alle curvature delle pareti che lo
delimitano; si veda in proposito il capitolo 2) , l’analisi della coppia rotoidale può essere sostanzialmente ricondotta a quella della slitta piana introducendo opportune coordinate cilindriche. Se si indicano con nel caso della slitta piana, si ha
,
,
le variabili spaziali impiegate nel capitolo 4
dove
(5.1)
(5.2)
(5.3)
(5.4) (5.5) 29
̇ ̇ ;
(5.6)
in particolare è la coordinata radiale (crescente andando dal punto questo caso
e
al punto
; in
sono le pareti del meato coerentemente con quanto
detto nel capitolo 2), la coordinata circonferenziale e la larghezza. Analogamente le derivate cambieranno nel modo seguente:
(5.7)
(5.8)
.
(5.9)
Alla luce di quanto detto il primo membro dell’equazione di Reynolds
generalizzata (3.12) diventa
nella quale
(5.10)
.
La velocità
del punto
, sfruttando i versori
e
introdotti in
(Fig. 5.1), può essere calcolata come segue
dove
Poiché
(5.11)
(5.12)
.
(5.13)
si ottiene poi
da cui, essendo
(5.14)
,
.
Lo spessore del meato
può essere quindi ricavato notando che
nella quale
(5.15)
è il gioco radiale della coppia e
(5.16)
. L’andamento del
meato in funzione di è riportato in Fig. 5.2.
30
F igur a 5.2 An damento del meato in fun zione di
Essendo d’altra parte
̇ ̇ ̇ ̇ ̇̇ ̇ ̇ ̇ ̇ ̇̇ ̇ ̇ ̇̇ ̇ ̇ ricordando le (5.2), (5.3), (5.5) e che
,
, si ottiene
.
A questo punto, poiché
, (5.17)
(5.18)
, si hanno, per quanto riguarda il cilindro
, le seguenti relazioni
mentre per quanto concerne il cilindro
(5.19) (5.20) (5.21)
valgono ovviamente le
(5.22)
(5.23)
.
(5.24)
Sostituendo infine le (5.19)-(5.24) nella (3.12) e ricordando la (5.10) e le (5.1)-
(5.9) si ha
dove per brevità si è posto
(5.25)
. Il secondo membro della (5.25) può essere
ulteriormente semplificato come segue
31
̇̇ ̇̇ (̇̇ ) ̇ ̇ ̇ ̇ ̇ ̇
dalla quale, essendo in generale
e
(5.26)
.
(5.27)
, si ottiene
L’equazione (5.27) costituisce, insieme alla condizione al contorno
,
(5.28)
la base per lo studio dinamico della coppia lubrificata perno – cuscinetto.
Nelle applicazioni dove maggiore è l’impiego di questo tipo di coppia cinematica
il centro del perno
solitamente ruota attorno al centro
del cuscinetto. Per chiarire
qualitativamente il fenomeno si pensi al caso di una coppia perno – cuscinetto poco caricata; se la coppia è poco caricata, le variazioni di pressione sono piccole e di conseguenza le velocità nel meato variano in modo lineare all’interno de l
meato. La
portata di fluido entrante (per unità di larghezza) nel semicuscinetto inferiore attraverso la
sezione
sarà quindi
sezione
varrà
mentre la portata uscente dalla
. Poiché non vi può essere accumulo di
lubrificante, come accennato in precedenza il centro del perno
deve ruotare attorno ad
con velocità angolare ; ne consegue una variazione del volume del semicuscinetto
inferiore pari a
. Si ha quindi
(5.29)
da cui
.
(5.30)
In effetti esperienze condotte nelle condizioni sopracitate hanno mostrato
oscillazioni del pernio a frequenze pari a
. Le differenze di
pressione che si generano all’interno del meato tendono ad attenuare tale fenomeno;
le
sovrappressioni che si generano nel semicuscinetto inferiore aumentano infatti la portata uscente e riducono quella entrante diminuendo così la necessità di ruotare del centro del perno
per ristabilire la continuità.
Per quanto riguarda le altre grandezze fisiche necessarie per descrivere il sistema,
le componenti
e
della velocità possono essere calcolate a partire dalle (3.6)-(3.7)
tenendo conto delle relazioni (5.1)-(5.9) e (5.19)-(5.24)
32
∫ ∫ ( ) ∫ ∫ ( ) ∫ ∫ ∫ ∫
(5.31)
.
Le azioni
,
e
,
(5.32)
necessarie per mantenere in moto le pareti del meato (al
netto dell’azione della pressione ambiente
) hanno invece la seguente espressione (5.33) (5.34)
dove, analogamente alla (3.15), si ha
;
Per quanto concerne infine la portata volumetrica di lubrificante
(5.35)
, essa può
essere determinata come segue
;
se poi
e
sono costituite dalle sole facce laterali dei cilindri
altre aperture su
,
ed
(5.36)
(le eventuali
sono trascurabili) si ottiene
.
(5.37)
5.2 Coppia rotoidale con perno non oscillante Il caso di coppia rotoidale con perno non oscillante è rappresentato schematicamente in Fig. 5.3. L’ipotesi di perno non oscillante comporta, a livello
modellistico, le seguenti semplificazioni: -
la velocità
del punto
è nulla; di conseguenza si ha
perdita di generalità si è poi supposto -
la velocità angolare del cuscinetto è semplicità
)
̇ ̇ e
(senza
è nulla; nel seguito indicheremo per
.
33
y
x
F igur a 5.3 Coppia rotoidale con pern o non oscill ante
L’equazione di Reynolds generalizzata (5.27) assume dunque la forma
;
(5.38)
si noti come l’equazione ( 5.38) venga spesso derivata da molti autori a partire dalla (4.5)
ponendo semplicemente
e
. In realtà questo modo di procedere non è
corretto poiché nel caso della slitta piana il contributo al sostentamento del meato (pari, una volta effettuate le opportune sostituzioni, a
(essendo
) è dovuto solamente a
); nel caso della coppia rotoidale invece sia
che
sono diversi da
zero e producono due contributi di segno opposto la cui somma complessiva è pari questa volta a
.
Le componenti
dalle (5.31)-(5.32)
e
della velocità possono essere determinate sempre a partire
.
(5.39) (5.40)
Per quanto riguarda invece le azioni necessarie per mantenere in moto le pareti del meato, si introducono per semplicità le grandezze
,
e
,
ovvero le componenti 34
∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ di
e
rispettivamente ortogonali e parallele alla direzione di accostamento del perno
al cuscinetto
. Più in particolare si ha
(5.41)
(5.42)
.
(5.43)
(5.44)
(5.45)
(5.46)
Considerando poi l’equilibrio alla traslazione (parallelamente ed ortogonalmente a
) ed alla rotazione (attorno a ) del fluido all’interno del meato si ottengono le
relazioni
(5.47)
(5.48)
(5.49) 35
che, nel caso in cui
sia costituita dalle sole facce laterali dei cilindri
eventuali altre aperture su
,
sono trascurabili), diventano
ed
(5.50)
(5.51) .
(5.52)
Nel seguito per semplicità ci soffermeremo prevalentemente sulle azioni
agenti sulla parete
(le
,
e
del meato. Per quanto riguarda infine la portata volumetrica di
lubrificante , valgono sempre le relazioni (5.36) e (5.37).
5.3 Coppia rotoidale infinitamente larga con perno non oscillante Nel caso di coppia rotoidale infinitamente larga si suppone che larghezza della coppia (ovvero del cuscinetto e del perno) tenda all’infinito in direzione
. Per comodità faremo sempre riferimento alla Fig. 5.3.
ovvero
L’ipotesi di infinita larghezza comporta, da un punto divista modellistico, le
seguenti semplificazioni
(5.53) .
(5.54)
Da un punto di vista fisico ciò equivale invece ad ammettere che il meato sia
molto allungato in direzione e a trascurare le cadute di pressione che inevitabilmente si avranno nella realtà in prossimità dei bordi laterali. Le soluzioni che troveremo potranno essere adattate allo studio dei casi pratici mediante l’introduzione di coefficienti correttivi
di provenienza teorica o sperimentale. Alla luce di quanto detto l’equazione di Reynolds diventa un’equazione
differenziale ordinaria avente la forma
∫ ∫ ;
(5.55)
integrando due volte la (5.55) si ha
dove la costante
(5.56)
(5.57)
può essere determinata imponendo la condizione al contorno
e ricordando la (5.16) 36
∫ ⁄∫ ∫ ⁄∫ ∫ ∫ ̅ ̅ ̅ ̅ (5.58)
con
.
(5.59)
Le (5.56), (5.57) possono quindi essere espresse come segue
(5.60)
.
A prescindere dal valore della costante di integrazione
come la funzione
(5.61)
possiamo subito notare
sia pari mentre la funzione , a meno di un contributo costante, sia
invece dispari; in particolare si ha
con
e
).
Il valore di
può essere determinato purché si conosca il valore della pressione
in corrispondenza di un valore di supponiamo che sia
(ovvero un’altra condizione al contorno); a tale scopo
ovvero che il meato sia messo in comunicazione con
l’ambiente esterno nel punto L’andamento di
nota come solamente per
.
è riportato in Fig. (5.4). Da tale rappresentazione si
la funzione
sia sempre positiva (e nulla per
); al contrario per qualunque altro valore di la funzione
presenta una
zono negativa. Questo risultato è fisicamente inaccettabile da momento che nella realtà in
tale zona si ha la rottura del film di lubrificante per cavitazione (dovuta prevalentemente all’area sciolta nel lubrificante stesso che si libera). La zona in questione
quindi, non
producendo carico, non collabora al sostentamento del perno; si avranno di conseguenza sia una riduzione che un disassamento della risultante che non risulterà più ortogonale alla direzione
come nel caso ideale (si veda il prosieguo del paragrafo). Anche se
̅
nelle applicazioni pratiche non sono realizzabili coppie rotoidali alle quali corrisponda un diagramma di pressioni come quello del caso comunque considerata come una caso limite ideale.
, tale circostanza può essere
37
F igur a 5.4 An damento delle pression i
La (5.39) permette anche in questo caso di determinare la componente velocità (la
è nulla per ipotesi). Volendo inoltre calcolare le azioni
,
della
,
∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ unità di larghezza) agenti sul cilindro altre aperture su
,
(per
le equazioni (5.41)-(5.43) diventano (le eventuali
sono trascurabili)
(5.62)
(5.63)
(5.64)
dove
,
,
e
. Sostituendo nelle
(5.62)-(5.64) le relazioni (5.39) e (5.61) si ottengono i valori desiderati di Tuttavia, poiché gli sforzi tangenziali
pressioni
,
,
.
risultano trascurabili rispetto alle
, nelle applicazioni pratiche le grandezze
,
,
possono essere
valutate come segue
(5.65)
(5.66)
(5.67)
Sostituendo la (5.61) nelle (5.65)-(5.67) e ricordando la proprietà di disparità della
funzione si ottiene
38
) ||(
(5.68)
(5.69)
(5.70)
(5.71)
(5.72)
nelle quali , in analogia con il caso di contatto tra superfici asciutte, è il coefficiente di attrito equivalente della coppia rotoidale lubrificata. Si noti come, essendo la funzione
pari (si veda la (5.39)), l’equazione (5.69) (ovvero l’annullarsi della componente
della risultante) poteva anche essere dedotta direttamente dalla (5.63) senza usare la
(5.66).
Può essere interessante osservare che la funzione
che compare nell’espressione del coefficiente di attrito uno in tutto l’intervallo
(5.73) , si mantiene molto prossima ad
ovvero l’intervallo dei valori di
più comunemente
adottati nel proporzionamento dei cuscinetto. Pertanto si può concludere che, per valori
abituali di , il coefficiente di attrito della coppia rotoidale di larghezza infinita e perfettamente lubrificata valga circa
Dalla (5.69) si deduce quindi che la risultante delle azioni agenti sulla coppia è ortogonale alla direzione di accostamento
,
. Per quanto riguarda le grandezze
, esse possono essere calcolate mediante le (5.44)-(5.46) o le (5.47)-(5.52).
,
La situazione appena descritta può essere anche rappresentata graficamente
riportando sul cuscinetto, coerentemente con le equazioni (5.65)-(5.66), il campo di pressioni normali
agenti su
componente costante della pressione
(dove si è posto
̅
dato che la
non influisce sull’equilibrio).
Si veda in
proposito la Fig. 5.5.
39
y
x
F igu ra 5.5 An damento del campo di pression i
∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ Più in particolare, a causa della disparità della funzione , le risultanti
campo di pressioni normali inferiore e superiore
,
del
agente rispettivamente sui semicuscinetti
,
(5.74) (5.75)
hanno somma diretta ortogonalmente alla direzione di accostamento (le eventuali altre aperture su
,
del pernio
sono supposte trascurabili).
Per quanto concerne infine la portata volumetrica di lubrificante
(per unità di
larghezza), essa può essere calcolata sempre mediante la (5.36). Si noti che in questo caso la (5.37) darebbe
essendo
l’esistenza di altre aperture su
; di conseguenza è necessario comunque suppore
,
per il passaggio del lubrificante anche se queste
ultime possono essere trascurabili da un punto di vista dinamico.
5.4 Coppia rotoidale di larghezza finita con perno non oscillante I risultati del paragrafo 5.3 possono essere estesi, con le dovute cautele, al caso di
coppia rotoidale di larghezza finita . Da un punto di vista quantitativo, passando dal primo caso al secondo, si osservano le seguenti differenze: 40
-
la sovrappressione
varia in questo caso anche lungo l’asse
necessariamente, al variare di
e presenta
, una zona in cui si annulla o assume valori
negativi (in tale zona il lubrificante non è attivo e non collabora al sostentamento del perno); come conseguenza, a parità di altre condizioni, la risultante delle pressioni risulta nel secondo caso inferiore (e non più ortogonale alla direzione
caso
-
) rispetto alla risultante agente su una striscia di larghezza nel primo
la componente
della velocità è in questa circostanza diversa da zero; si ha cioè
necessariamente una fuga laterale del lubrificante in direzione -
la fuga di lubrificante dal meato in direzione assiale (lungo
) deve essere
continuamente bilanciata con l’introduzione di altro lubrificante; essa viene
solitamente effettuata in zone che non danno contributo alla sostentazione del carico (ad esempio mediante aperture sulla facce laterali dei cilindri o direttamente su
); ciò influisce nuovamente sulla riduzione e sul disassamento
dell’azione risultante
-
nel caso in esame inoltre il coefficiente di attrito è più alto e quindi è più elevata la potenza dissipata. L’alimentazione del lubrificante può avvenire con l’impiego di mezzi elementari
oppure facendo ricorsa ad una circolazione forzata; in questo caso un impianto idraulico costituito da un serbatoio, un filtro, una pompa, un refrigerante dell’olio caldo, tubazioni
di collegamento ed organi ausiliari permette un efficiente ricambio del lubrificante ed un sicuro controllo della usa temperatura. Se la portata di alimentazione del lubrificante supera un certo minimo dipendente dalle condizioni di funzionamento il perno di dispone nella sua sede come illustrato in Fig. 5.6. La zona di meato tratteggiata corrisponde alla zona portante; essa ha inizio nel punto
e termina in un punto prossimo a
(solitamente dalla parte delle
positive); tale valore è individuato dalla condizione di contemporaneo annullamento delle sovrappressioni
e della loro derivata
.
41
F igur a 5.6 Coppia r otoidale di l arghezza fin ita con per no non oscill ante
In Fig. 5.6 è riportata la forza
da applicare al cuscinetto necessaria per
bilanciare il carico gravante al perno. Come preannunciato essa non sarà più ortogonale
alla direzione di accostamento che una componente
ma avrà sia una componente
parallela a tale direzione.
normale ad essa
Spesso, soprattutto quando il cuscinetto non è in bagno d’olio e la lubrificazione
non è forzata, la portata di lubrificante non è sufficiente ad alimentare un meato dell’ampiezza di quello rappresentato in Fig. 5.6. L’arco sul quale il lubrificante è attivo
può essere sensibilmente più piccolo di quello ivi indicato e di conseguenza la capacità portante del cuscinetto risulta ulteriormente ridotta. In Fig. 5.7 è tracciato l’andamento dei parametri adimensionali
in funzione di (per
(5.76)
). Per confronto sono stati riportati anche i valori che le
prime due grandezze assumono per
.
42
FIG. 5.7
F igur a 5.7 An damento dei parametri adimensional i in fun zione di
Nella soluzione del problema diretto (note le dimensioni della coppia , , , il
carico per unità di lunghezza l’eccentricità
Sommerfeld
, la viscosità e la velocità angolare
, la portata ed il coefficiente di attrito ) si fa spesso uso del numero di
.
In Fig. 5.8 è stata riportata la dipendenza di da
, determinare
. La conoscenza di , ,
, ,
(5.77)
per diversi valori del rapporto
(e quindi quella di
) permette dunque di
ricavare e di conseguenza ; le relazioni descritte in Fig. 5.7 e la (5.76) consentono poi il calcolo di ed .
F igur a 5.8 An damento di i n f unzione del n umero di Sommerf eld di
43
Operativamente parlando per il dimensionamento di una coppia rotoidale si parte
di solito dalla conoscenza del reale carico gravante sulla coppia angolare . Fissato inizialmente il rapporto media
(
(
e della velocità
), si sceglie la pressione
per cuscinetti in metallo bianco e
cuscientti in bronzo). Dai valori di
per
e si risale poi ad e e quindi a
fissano poi il gioco radiale (con compreso nel range
. Si
) e la viscosità
del lubrificante. A questo punto è possibile calcolare il numero di Sommerfeld
ea
partire da esso, mediante la relazione di Fig. 5.8, determinare (di norma si cerca di fare in modo che
) e di conseguenza . La conoscenza di permette
sia nell’intorno di
anche di calcolare mediante la (5.16) le spessore minimo del meato, il quale andrà poi confrontato con la rugosità di perno e cuscinetto per assicurarsi che il contatto sia effettivamente mediato e non diretto. Infine la (5.76) e le relazioni di Fig. (5.7)
consentono infine di valutare ed in funzione del valore di .
5.5 Coppia rotoidale di larghezza infinitamente piccola con perno non oscillante Nel caso in esame si suppone che la larghezza trascurabile rispetto al raggio
(
della coppia rotoidale sia
). Da un punto di vista grafico si faccia sempre
riferimento alla Fig. 4.3. Da un punto di vista modellistico ne consegue invece che le
derivate di rispetto a
rispetto a ( e
(
e
) sono trascurabili rispetto alle analoghe derivate
ipotesi l’equazione di Reynolds (5.38 ) diventa
che, essendo
); si noti che ciò non implica che dipenda solamente da . Sotto tale
(5.78)
, si riduce a
.
(5.79)
Integrando due volte rispetto si ottiene
da cui, imponendo le condizioni al contorno
(5.80) , si ha (5.81)
44
dove
ovvero ,
è dato sempre dalla (5.16). Le altre grandezze di interesse per il sistema, ,
,
,
,
,
,
e
, possono essere calcolate rispettivamente
mediante le (5.39)-(5.40), (5.41)-(5.49), (5.36)-(5.37).
45
6 Lubrificazione per accostamento Nei capitoli 4 si è visto che la possibilità da parte del lubrificante di sostenere un carico dipende sia dalla presenza della velocità
sia dal fatto che il meato
convergente. La capacità portante (ovvero la presenza di sovrappressioni
è
positive)
può nascere invece anche in un meato di forma qualunque purché sia presente una velocità relativa tra i due corpi diretta ortogonalmente al piano
(ovvero ad esempio
). Facendo riferimento alla Fig. 2.1, si consideri per semplicità il caso in cui
(6.1)
(6.2)
(6.3)
.
dove cioè la parete
del meato (ovvero
muove con velocità verticale
mentre la parete
(6.4)
) è una generica superfice che si
(ovvero
) coincide con il piano
Sotto tale ipotesi l’equazione di Reynolds generali zzata (3.12) diventa
.
(6.5)
alla quale va associata la condizione al contorno
.
(6.6)
Le componenti e della velocità assumono la forma (si vedano le (3.6)-(3.7))
mentre per quanto concerne le azioni esterne ambiente
ed
(6.7)
.
(6.8)
(al netto dell’azione della pressione
) e la portata volumetrica di lubrificante
si ha sempre (analogamente
alle(3.13), (3.14), (3.16))
46
∫ ∫ ∫ ∫
(6.9)
(6.10) .
(6.11)
6.1 Lubrificazione per accostamento: caso piano infinitamente largo con superfici piane parallele La situazione in quest ione è descritta in Fig. 6.1. L’ipotesi di caso piano comporta
(6.12)
,
(6.13)
mentre, a causa dell’ipotesi di infinita larghezza, si ha
(6.14)
.
Avendo infine supposto che le superfici scrivere
,
(6.15)
siano dei piani paralleli si può
y
O
(6.16) .
(6.17)
x
F igur a 6.1 L ubr ifi cazion e per accostamento: caso piano in fi ni tamente largo con super fi ci piane par all ele
L’equazione (6.5) assume quindi la forma
.
(6.18) 47
Integrando due volte la (6.18) e tenendo conto delle condizioni iniziali si ottiene
.
(6.19) (6.20)
Per quanto riguarda la componente della velocità ( è nulla) la (6.7) diventa
(6.21)
mentre le azioni esterne (per unità di larghezza) possono essere calcolate come segue (si ricordi in proposito la simmetria del problema)
∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫|
(6.22)
dove si è supposto
costante su
(6.23)
(6.24)
.
(6.25)
. Infine per le portata volumetrica di lubrificante (per
unità di larghezza) vale la relazione
.
(6.26)
6.2 Lubrificazione per accostamento: caso piano infinitamente largo con superficie piana e cilindro La situazione analizzata in questo paragrafo è riportata in Fig. 6.2. L’ipotesi di
caso piano comporta sempre
(6.27) ,
(6.28)
mentre, a causa dell’ipotesi di infinita larghezza, si può scrivere
.
(6.29) (6.30)
48
√
Avendo infine supposto che le superfici un cilindro si ha
,
siano rispettivamente un piano ed
.
dove l’ultima approssimazione è valida poiché nella zona di lubrificazione (
si ha
.
(6.31)
)
y
x
O
F igu r a 6.2 L ubr ifi cazione per accostamento: caso piano in fi ni tamente largo con super fi cie piana e cil in dro
L’equazione (6.5) assume questa volta la forma la forma
∫ ∫ ∫ ⁄∫
(6.32)
che, integrando due volte e tenendo conto delle condizioni al contorno fornisce
con
.
,
(6.33)
(6.34)
(6.35)
49
Per quanto riguarda la componente della velocità ( è nulla) la (6.7) diventa anche in questo caso
(6.36)
mentre le azioni esterne (per unità di larghezza) possono essere calcolate come segue (si ricordi sempre la simmetria del problema)
∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫|
(6.37)
dove si è supposto
costante su
(6.38)
(6.39)
.
(6.40)
. Infine per le portata volumetrica di lubrificante (per
unità di larghezza) vale di nuovo la relazione
.
(6.41)
6.3 Lubrificazione per accostamento: disco circolare e superficie piana
In questo caso la superficie disco piatto di raggio
mentre
è
(Fig. 6.3). Il problema in questione può essere trattato più
semplicemente introducendo opportune coordinate cilindriche (con indicate le vecchie coordinate spaziali)
,
,
sono
(6.42)
(6.43)
dove
è sempre un piano coincidente con
(6.44)
(6.45)
(6.46) ;
(6.47) 50
di conseguenza si avrà, per le derivate
(6.48)
e per le velocità
(6.49)
(6.50)
̇ ̇ ̇ ̇
(6.50) (6.51)
.
(6.52)
y
O x
F igur a 6.3 L ubri fi cazione per accostamento: disco cir colar e e superf icie piana
Date la geometria e la simmetria del problema si hanno inoltre le seguenti semplificazioni
(6.53) 51
∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫
(6.54)
(6.55)
.
(6.56)
L’equazione di Reynolds (6.5) assume dunque la forma
.
(6.57)
mentre le (6.7)-(6.8) diventano
(6.58)
.
(6.59)
Integrando due volte la (6.57) si ottiene poi
(6.60)
.
Le costanti di integrazione
e
(6.61)
possono essere determinate imponendo le
seguenti condizioni al contorno
(6.62)
(6.63)
dove la (6.63) impone la conservazione della massa sul volume del meato
; se ne
deduce che
.
(6.64)
La (6.58) permette a questo punto il calcolo della componente della velocità
( è nulla) mentre per quanto riguarda le azioni esterne si ha (si ricordi sempre la simmetria del problema)
=
(6.65)
(6.66)
(6.67)
(6.68) 52
dove si è supposto
∫ ∫ ∫ costante su
. Infine per le portata volumetrica di lubrificante (per
unità di larghezza) vale la relazione
.
(6.69)
53
7 Lubrificazione fluidostatica In questo capitolo saranno prese in esame coppie cinematiche lubrificate nelle quali il lubrificante è mantenuto in pressione mediante mezzi esterni e non grazie ad azioni dinamiche tra il lubrificante e gli elementi della coppia. Questo tipo di lubrificazione si indica solitamente come lubrificazione fluidostatica. La lubrificazione fluidostatica è applicabile sia a cuscinetti reggispinta che a cuscinetti portanti, fatto questo che ne giustifica l’attuale diffusione. In particolare tale
lubrificazione presenta i seguenti benefici: è impiegabile anche quando gli elementi cinematici della coppia non sono in moto relativo tra loro; ammette l’utilizzo di meati di
altezza costante; consente consente di realizzare film di lubrificante di grande rigidezza (e quindi di sostenere grandi carichi) mediante un opportuno controllo delle condizioni di alimentazione; permette l’impiego di lubrificanti a bassa viscosità, cui corrisponde un
basso valore del coefficiente di attrito attrito della coppia.
7.1 Lubrificazione fluidostatica: cuscinetto reggispinta In Fig. 7.1 è schematicamente rappresentato un cuscinetto reggispinta a
sostentazione fluidostatica. Un albero
rotante attorno al proprio asse con velocità
angolare e caricato con una forza assiale ortogonale all’asse dell’albero dell’albero
, porta ad una estremità una parete piana
limitata dai raggi
si affaccia sulla parete piana
e
. La parete di estremità
di un membro fisso . Attraverso un foro
ricavato in , coassiale con l’asse dell’albero, viene inviato lubrificante sotto pressione entro un pozzetto di raggio
ricavato in corrispondenza dell’estremità dell’albero. Il
lubrificante viene alimentato con pressione
costante per mezzo di un circuito idraulico
non rappresentato in figura. Attraverso il foro la pressione del lubrificante passa dal 54
valore
(all’ingresso) al valore
dentro il pozzetto. Il lubrificante lubrifi cante sotto pressione tende
a sfuggire dal pozzetto verso la periferia, dando origine ad un meato tra l’albero e la sua
sede. La pressione del lubrificante, che dentro al pozzetto può ritenersi costante, decresce dentro il meato dal centro verso la periferia fino a raggiungere sul raggio esterno dell’albero il valore della pressione ambiente
.
y
O x
F igur a 7.1 L ubri fi caz cazione fl ui dos dostatica: cuscinetto cuscinetto r eggispinta ggispinta
Anche il problema in questione può essere trattato più semplicemente
introducendo opportune coordinate cilindriche (con coordinate spaziali)
,
,
sono indicate le vecchie (7.1) (7.2) (7.3) 55
dove
̇ ̇ ̇ ̇
(7.4)
(7.5)
;
(7.6)
(7.7)
di conseguenza si avrà, per le derivate
(7.8)
e per le velocità
(7.9)
(7.10) (7.11)
.
(7.12)
Poiché inoltre
(7.13) (7.14) (7.15) (7.16)
l’equazione di Reynolds generalizzata diventa
(7.17)
alla quale vanno associate le condizioni al contorno
.
Per quanto riguarda invece le componenti danno
e
(7.18)
della velocità, le (3.6)-(3.7)
(7.19)
.
(7.20)
(7.21)
Data la simmetria del problema si ha poi
;
(7.22)
di conseguenza la (7.17) assume la forma
(7.23) 56
che integrata due volte fornisce
∫ ∫ ∫ ∫
.
Le costanti di integrazione
e
(7.24) (7.25)
possono essere determinate imponendo le
seguenti condizioni al contorno
dove la (7.27) impone la conservazione della massa sul volume del meato
(7.26) (7.27) ; se ne
deduce che
.
(7.28)
La (7.29) permette anche di valutare il valore di essendo ;
poiché però nella pratica è nota solamente la pressione di alimentazione relazione che leghi
e
(7.29)
occorre una
. A tale scopo è sufficiente applicare la legge di Poiseuille al
condotto di alimentazione:
.
(7.30)
∫ ∫ ∫ Le (7.19)-(7.20) permettono a questo punto il calcolo delle componenti
e
della velocità mentre per quanto riguarda le azioni esterne si ha (ricordando la simmetria del problema)
(7.31)
(7.32)
57
∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫( ) ∫( ) || ||
dove si è supposto
costante su
e
costante su
(7.31) sia stato considerato anche il contributo
(7.33) (7.34) (7.35) (7.36)
; si noti inoltre come nella
delle pressioni nel pozzetto.
Si può infine calcolare il coefficiente di attrito del cuscinetto definito come il
rapporto tra il momento
il prodotto della forza assiale
necessario per mantenere l’albero in rotazione uniforme ed
per il raggio medio del cuscinetto ;
(7.37)
ricordando le (7.29), (7.31), (7.33) si ha poi
.
(7.38)
In generale si può dimostrare che, per assicurare una buona rigidezza al cuscinetto,
è consigliabile fare in modo che la caduta di pressione alimentazione sia paragonabile a anche che l’altezza
entro il condotto di
. Per ottenere una buona rigidezza si richiede
del meato sia la più piccola possibile. L’altezza del meato tuttavia
non può scendere al di sotto di un certo valore minimo che dipende dalla rugosità delle superfici e dalle tolleranze di lavorazione.
7.2 Lubrificazione fluidostatica: cuscinetto portante In questo paragrafo sarà descritta, a livello qualitativo, la lubrificazione fluidostatica dei cuscinetti portanti. Lo schema di Fig. 7.2 rappresenta una soluzione molto comune per cuscinetti portanti a sostentazione fluidostatica. Il perno (di raggio a cui è applicato il carico verticale
),
, è alloggiato entro una sede costituita da un cilindro 58
cavo di raggio
dentro il quale sono ricavati dei pozzetti (
in figura)
comunicanti con l’esterno per mezzo di forellini in direzione radiale; attraverso tali fori è inviato dall’esterno lubrificante in pressione (ovvero
a
). La portata di lubrificante che
giunge a ciascun pozzetto uguaglia a regime quella che sfugge dal pozzetto stesso (attraverso canalini di scarico sia in direzione assiale che in direzione longitudinale) verso l’ambiente (a pressione
x
).
y
F igur a 7.2 L ubri fi cazione f lu idostatica: cuscinetto portante
Per semplicità si suppone che il perno non ruoti (
); questa è una condizione
limite di particolare interesse perché mette in luce una delle più interessanti caratteristiche dei cuscinetti a sostentazione fluidostatica ovvero la loro attitudine funzionare anche a bassissime velocità. Inoltre essa è anche una condizione cautelativa ai fini del calcolo della capacità portante del cuscinetto poiché, all’aumentare della velocità angolare del
perno, si sovrappone all’effetto fluidostatico un effetto portante fluidodinamico con un conseguente aumento della capacità portante stessa. Si suppone inoltre che la linea di azione del carico
passi per la mezzeria di un
pozzetto. Questa ipotesi semplifica la trattazione ma, al tempo stesso, conduce a risultati non sempre cautelativi (Fig. 7.5). Prima di cominciare la trattazione analitica, è opportuno fare alcune considerazioni qualitative atte ad illustrare il funzionamento del cuscinetto. Essendo i pozzetti relativamente profondi si può ammettere che la pressione si mantenga costante 59
all’interno di essi (e
pari rispettivamente a
con
). Ciò premesso, facendo
riferimento alla Fig. 7.2, si osserva che, affinché il cuscinetto possa sopportare il carico
, occorre che nel pozzetto si sviluppi una pressione
pozzetto (i pozzetti
superiore a quella
del
e intervengono soltanto per impedire spostamenti laterali del
perno). Si nota poi che sia la pressione di alimentazione
che la pressione ambiente
sono uguali per tutti i pozzetti. Pertanto per tutti i pozzetti è costante la caduta di pressione
tra monte e valle. Tale caduta ha luogo, praticamente, soltanto in due
resistenze fluidodinamiche poste in serie (si la Fig. 7.3): la resistenza offerta dai fori di alimentazione esterno
e la resistenza offerta dalla zona che va dal pozzetto all’ambiente
(con
). Affinché nel pozzetto si sviluppi un pressione maggiore
di quella che si ha nel pozzetto
, occorre che la resistenza complessiva del circuito
comprendente il pozzetto sia maggiore di quella comprendente il pozzetto ; in tal caso infatti la portata
affluente al pozzetto è minore della portata
che affluisce al
pozzetto e di conseguenza la caduta di pressione
è minore di
pro prio quanto accade quando, sotto l’azione del carico
, il perno si accosta al pozzetto
aumentando la resistenza fluidodinamica -
sotto il carico
. Ma ciò è
. Riassumendo si ha quindi
il perno si accosta al pozzetto
aumentando la resistenza
fluidodinamica
-
aumenta la resistenza complessiva del circuito comprendente il pozzetto (mentre diminuisce la resistenza del circuito che comprende il pozzetto )
-
aumenta la pressione
nel pozzetto e diminuisce la pressione
nel pozzetto
; si stabilisce così l’equilibrio del perno all’interno della sede (l’entità
dell’accostamento del perno dipende ovviamente dal valore di
).
F igur a 7.3 Schema del cir cuito fl ui dodin amico associato al cuscinetto fl ui dostatico
60
Ciò premesso, si può impostare lo studio del cuscinetto ovvero, per una data
geometria e per un dato valore della pressione di alimentazione determinare il valore del carico
e della portata di lubrificante . Nel seguito si adotterà
la seguente notazione (Fig. 7.4): -
è come sempre l’altezza del meato è l’angolo che un raggio generico uscente da
è l’angolo compreso fra due raggi uscent i
-
forma con il raggio passante da e passanti per gli spigoli del
è l’angolo compreso fra due raggi uscenti da
e passanti per gli spigoli dei
canalini di scarico -
da
pozzetto -
, è possibile
è la dimensione assiale del pozzetto è la dimensione assiale del cuscinetto.
F igu r a 7.4 Sezion e e pianta di un pozzetto
In Fig. 7.4b è riportata anche, sviluppata in un piano, la pianta di un pozzetto. Come risulta dalla figura si è posto
.
(7.39)
Adottando la stessa nomenclatura del capitolo 5 si ha poi
nella quale
è il gioco radiale della coppia e
.
Si è già osservato che la pressione si mantiene costante (pari pozzetto. Essa poi raggiunge il valore
(7.40) ) dentro ciascun
sul contorno esterno del pozzetto in 61
comunicazione con i canalini di scarico e quindi con l’ambiente (il contorno più spesso in Fig. 7.4b). In corrispondenza della fascia compresa tra il contorno interno del pozzetto ed il suo contorno esterno a pressione ambiente il perno è molto ravvicinato alla sua sede. Su tale fascia pertanto la pressione non può essere considerata costante ma deve variare dal
valore dentro il pozzetto al valore
All’interno dell’intercapedine
. in questione nei due tratti circonferenziali la
pressione varia con una legge che può desumersi dalla (5.38); poiché il perno è fermo
, supponendo in questo caso che, data la geometria del problema,
;
poiché poi
se ne deduce che
si ha (7.41)
è lineare. Anche per quanto riguarda i
due tratti paralleli all’asse del cuscinetto, l’andamento della pressione può essere stimato mediante la (5.38); poiché adesso si abbia
, supponendo, data la geometria del problema, che
si ottiene
.
(7.42)
Dato che il tratto sul quale avviene la caduta di pressione (lungo
piccolo rispetto al raggio
, si può ammettere che nel tratto stesso
)è
assuma un
valore costante, pari ad esempio a quello corrispondente alla mezzeria del tratto considerato (ovvero
e
); ossia si può ammettere che la pressione
vari anche in questo caso linearmente.
In definitiva sulla superficie piana rappresentata in proiezione in Fig. 7.4b
(compresa l’intercapedine esterna) la pressione
esercita un’azione risultante pari
approssimativamente a
.
(7.43)
radiale risultante delle pressioni sul perno tuttavia non può essere
L’azione
calcolata usando la (7.43) ma deve essere valutata ricordando che la pressione agisce su una superfice cilindrica:
(7.44)
ovvero anche
.
(7.45) 62
∫ ∫ | Per quanto riguarda il carico esterno
agente sul perno si ha infine .
Per il calcolo delle
ciascun pozzetto
(7.46)
occorre determinare la portata di lubrificante affluente a
. Se indichiamo rispettivamente con
ed il diametro e la lunghezza
dei fori di alimentazione dei pozzetti, per la legge di Poiseuille si ha .
Per valutare le
(7.47)
è necessario invece determinare una relazione che leghi la
portata alla geometria della coppia. Tale relazione si ottiene imponendo la conservazione della portata attraverso il generico pozzetto
dove
,
(7.48)
sono le portate che sfuggono dal pozzetto in direzione assiale mentre
,
sono le portate che sfuggono in direzione circonferenziale sui due lati del pozzetto
(per simmetria si avrà
).
Ricordando le (5.39) e (5.40) si ha
(7.49)
dove
Per quanto riguarda
,
(7.50)
si ha invece, essendo
,
(7.51)
e analogamente per
.
(7.52) 63
A partire dalle equazioni (7.47), (7.48), (7.49), (7.51) si arriva infine alla relazione
nella quale
e
| |
(7.53)
(7.54)
.
Dalla (7.53) è possibile ricavare
(7.55)
mentre le equazioni (7.48), (7.49), (7.51)
permettono di calcolare il valore della portata
e quindi quello della portata complessiva ;
infine le (7.46), (7.47) consentono di valutare il carico esterno
(7.56)
.
In Fig. 7.5 è riportata la capacità di carico del cuscinetto funzione del fattore di forma
| |
per diversi valori del rapporto
in
.
F igur a 7.5 Capacitàdi cari co del cuscinetto per diversi valor i del r appor to (l in ea tratteggiata con il cari co nell a mezzeria di un pozzetto e li nea conti nu a con il car ico nella mezzer ia di un canalin o di scari co)
Si osserva infine che il coefficiente di attrito della coppia è di norma molto piccolo, specie alle basse velocità. Esso dipende ovviamente dalle azioni tangenziali che nascono nelle fasce di contorno dei pozzetti dove il meato è sottile. Alle basse velocità sulle azioni tangenziali non influisce sensibilmente la velocità di trascinamento (secondo termine della (5.39)) ma solamente la componente parabolica della velocità stessa (primo 64
termine della (5.39)). Tale componente sviluppa inoltre sui bordi del pozzetto azioni tangenziali che almeno in parte si compensano.
65
8 Scelta del cuscinetto Nelle costruzioni meccaniche sono largamente impiegati sia i cuscinetti a rotolamento che quelli a strisciamento. I cuscinetti a rotolamento si comportano meglio degli altri alle basse velocità per cui sono preferibili in caso di frequenti arresti e avviamenti; sono più adatti per le temperature estreme; richiedono una manutenzione nulla o ridotta; possono essere in grado di sostenere contemporaneamente carichi radiali e assiali; hanno dimensioni standardizzate, il che spesso ne semplifica la scelta, il calcolo e l’installazione.
Sono
molto impiegati negli impianti industriali, nelle macchine utensili ed in quelle automatiche, nelle trasmissioni in genere ed in molti altri casi. I cuscinetti a strisciamento hanno lunga durata e basso costo (almeno nei tipi standard); si comportano meglio sotto carichi variabili; sono più silenziosi e non sono di regola fonti di vibrazioni; permettono maggiori precisioni. Sono largamente impiegati nelle macchine alternative, nelle turbomacchine, in macchinari pesanti e in moltissimi altri casi con esigenze sia molto spinte che modeste. In quest’ultimo caso i grassi lubrificanti sono spesso preferiti ai lubrificanti fluidi. La Fig. 8.1 mostra, in modo indicativo, i campi tipici di impiego dei cuscinetti a rotolamento (linea continua), dei cuscinetti a strisciamento con lubrificazione di tipo 4 e 5 (linea tratto – punto; si veda il capitolo 1) e dei cuscinetti a strisciamento con lubrificazione di tipo 1, 2 e 3 (linea tratteggiata; si veda sempre il capitolo 1) al variare di carico e velocità e per diversi valori del diametro.
66
F igur a 8.1 Campi ti pici di impiego dei cuscinetti a rotolamento (li nea continua), dei cuscinetti a stri sciamento con l ubri fi cazione di ti po 4 e 5 (li nea tratto – punto) e dei cuscinetti a str isciamento con lubr if icazione di ti po 1, 2 e 3 (li nea tr atteggiata)
67
