ECOLE NATIONALE D’I NGENIEURS DE MONASTIR DEPARTEMENT DE GENIE MECANIQUE
2ème année Génie Mécanique Mécanique
Quelques Examens avec leurs Corrigés
« Plasticité » 2007/2008 – 2009/2010
A. Dogui Janvier 2011
Examens Examens e t Devoirs Devoirs Surveillé Surveillé s Textes e t Corrigés Corrigés
-
2007/2008 DS 2007/2008 Principal 2007/2008 Rattrapage
-
2008/2009 DS 2008/2009 Principal 2008/2009 Rattrapage
-
2009/2010 DS 2009/2010 Principal 2009/2010 Rattrapage
ENIM
MECA2
2007/2008
« Plasticité » Devoir surveillé
Durée 1h ; Documents non autorisés
On considère un matériau élastoplastique isotrope obéissant à la loi de Prandtl-Reuss : f( , α ) = σvm ( ) – σs (α ) ≤ O
& p =
3 2
D
& α σ
vm
3 D: D est la contrainte 2 équivalente de Von Mises et σs (α ) est la fonction d’écrouissage supposée identifiée sous la forme (σo, K et n sont des constantes positives données) : est la variable interne scalaire d’écrouissage, σvm ( ) =
α
σs (α ) = σo + K α n On réalise un essai de cisaillement simple monotone :
⎡0 τ 0⎤ ⎢ ⎥ : τ 0 0 ⎢ ⎥ ⎢⎣0 0 0⎥⎦ On démarre à partir d’un état initial (α =0, =0, =0) et on augment qui plastifie le matériau. Ensuite on diminue τ jusqu’à l’annuler.
τ
jusqu’à une valeur τ 1
Déterminer les composantes du tenseur de déformation en fonction de τ . Préciser, en particulier, les composantes du tenseur de déformation pour τ = τ 1 et à la fin de la décharge.
Bon travail
ENIM
MECA2
2007/2008
« Plasticité » Devoir surveillé Corrigé
Durée 1h ; Documents non autorisés
On considère un matériau élastoplastique isotrope obéissant à la loi de Prandtl-Reuss : f( , α ) = σvm ( ) – σs (α ) ≤ O 3
D
2
σ vm
& = α & p
3 D: D est la contrainte 2 équivalente de Von Mises et σs (α ) est la fonction d’écrouissage supposée identifiée sous la forme (σo, K et n sont des constantes positives données) : α est la variable interne scalaire d’écrouissage, σvm ( ) =
σs (α ) = σo + K α n On réalise un essai de cisaillement simple monotone :
⎡0 1 0 ⎤ ⎢ ⎥ : τ 1 0 0 => ⎢ ⎥ ⎢⎣0 0 0⎥⎦ σvm =
⎡0 1 0 ⎤ ⎢ ⎥ : ½ γ 1 0 0 ⎢ ⎥ ⎢⎣0 0 0⎥⎦
τ
•
τ ≤ : phase élastique
γ = τ/μ
•
σo/
γ = γ + γ
≤
e
τ ≤ τ 1 : phase élastoplastique
e
p
γ = τ/μ
α = γ /
•
τ = τ 1 :
γ = τ 1/μ
•
Décharge :
e
τ - σo)1/n / K 1/n => γ = p
=( p
γ = p
( p
γ = γ 1 =
En fin de décharge (τ = 0) :
p
(
τ - σo)1/n / K 1/n
τ 1 - σo)1/n / K 1/n (
τ 1 - σo)1/n / K 1/n p
γ =γ 1 =
(
e
γ = τ/μ
τ 1 - σo)1/n / K 1/n
ENIM
Département de Génie Mécanique
2007/2008
Plasticité Examen principal mai 2008
Durée : 1h
Aucun document autorisé
On considère une poutre droite de longueur L et de section droite carrée de côté 2a. La longueur L est beaucoup plus grande que a. L’axe x est l’axe longitudinal de la poutre. Cette poutre est encastrée en x=0 et soumise, en x=L, à un torseur qui se réduit, au centre d’inertie de la section droite, à une force F selon l’axe y. L’objectif de cet exercice est de déterminer une valeur approchée de la charge limite F lim.
y
F x
Le matériau constituant la poutre est supposé rigide plastique parfait de limite élastique en z traction σ o.
2a L
Les forces de volume sont négligées.
1. Ce problème vérifie t-il les conditions d’applicabilité des théorèmes de l’analyse limite ? justifier votre réponse. On choisi un champ de contrainte sous la forme suivante : ⎡σ τ 0⎤ : ⎢⎢τ 0 0⎥⎥ ⎢⎣ 0 0 0⎥⎦
σ
2
2
= c ( L-x) y ; τ = k (a -y )
c et k sont des constantes
2. Déterminer les constantes c et k pour que ce champ de contrainte soit statiquement admissible. 3. A partir du champ statiquement admissible obtenu, déterminer une borne inférieure de F lim.
ENIM
Département de Génie Mécanique
y
2007/2008
Plasticité Examen principal mai 2008 CORRIGE F x
z
2a L
1. Déplacement imposé nul sur la surface x = 0 Chargement nul sur les surfaces y=± a et z =± a Chargement à un seul paramètre (F ) sur la surface x=L ⇒ C’est bien un chargement proportionnel (à un seul paramètre), donc les théorèmes de l’analyse limite s’appliquent. On choisi un champ de contrainte sous la forme suivante : ⎡σ τ 0⎤ : ⎢⎢τ 0 0⎥⎥ ⎢⎣ 0 0 0⎥⎦
σ =
2
2
c ( L-x) y ; τ = k (a -y )
2. d i v = 0 ⇒ σ ,x + τ ,y = 0 ⇒ CL sur y=± a et z =± a vérifiée.
c et k sont des constantes
r
CL x=L :
r
r
σ ( x ) = σ x
r
r
+ τ y
= k
c = -2k a
(a -y ) y ⇒ F = 2ak ∫ (a 2 − y 2 ) dy = 2
2
r
8
−a
4
ka
3 4 ⇒ k = 3F/8a c = -3F/4a On vérifie bien que les efforts sur la surface x=L se réduit à la force F imposée. 4
3.
σ vm =
2
σ
+ 3τ 2
3F =
4a 4
2
2
[ y ( L-x) +
3 4
2
2 2 1/2
; Max(σ vm) = σ o ⇒ F inf
2
2
(a -y ) ]
Il faut déterminer la valeur maximale de [ y ( L-x) + Soit : Max(σ vm) =
3 LF 2a
3
⇒
F lim ≥ F inf =
2a 3 3 L
σ o
3 4
(a -y ) ] pour y=± a et 0 ≤ x ≤ L. 2
2 2
ENIM
Département de Génie Mécanique
2007/2008
Plasticité Examen de rattrapage juin 2008
Durée : 1h
Aucun document autorisé
On reprend le problème de l’examen principal : On considère une poutre droite de longueur L et de section droite carrée de côté 2a. La longueur L est beaucoup plus grande que a. L’axe x est l’axe longitudinal de la poutre. Cette poutre est encastrée en x=0 et soumise, en x=L, à un torseur qui se réduit, au centre d’inertie de la section droite, à une force F selon l’axe y. L’objectif de cet exercice est de déterminer une valeur approchée de la charge limite F lim.
y
F x
Le matériau constituant la poutre est supposé rigide plastique parfait de limite élastique en z traction σ o. Les forces de volume sont négligées.
2a L
1. On choisi un champ de vitesse sous la forme suivante : u x = u z = 0 u y = b x b est une constantes Montrer que ce champs est cinématiquement et plastiquement admissible. A partir de ce champ, déterminer une borne supérieure de F lim. 2. On choisi un autre champ de vitesse sous la forme suivante : 3 u x = u z = 0 u y = b x + c x b et c sont des constantes Montrer que ce champs est aussi cinématiquement et plastiquement admissible. A partir de ce champ, déterminer une deuxième borne supérieure de F lim.
explastr-08.doc
ENIM
Département de Génie Mécanique
2007/2008
Plasticité Examen de rattrapage juin 2008 CORRIGE y
F x
z
2a L r
1. CL cinématiques pour x=0 vérifiées ; div u =0 ⇒ CCPA Pext = FbL La seule composante non nulle de ε& est Pext = Pint ⇒
F=F sup =
4a 2 3
& ε
12
= b/2
& = ⇒ ε
b
⇒
3
Pint =
4a 2 Lb 3
σ
o
F lim ≤ F sup
σ
o
r
2. CL cinématiques pour x=0 vérifiées ; div u =0 ⇒ CCPA 2 Pext = FL(bL + c) La seule composante non nulle de ε& est ⇒
Pint =
4a
2
o L
σ
3
Pext = Pint ⇒
& ε
12
2
= (3bx + c) /2 ⇒
& ε
=
1 3
2
(3bx + c)
2
(bL + c)
F lim ≤ F sup σ o 3 Remarque : en compliquant le CCA on n’obtient pas nécessairement une meilleure borne.
explastr-08c.doc – A. Dogui
F=F sup =
4a 2
ENIM
MECA2
2008/2009
« Plasticité » Devoir surveillé
Durée 1h ;
Documents non autorisés
On considère un matériau élastoplastique isotrope obéissant à la loi de Prandtl-Reuss : f( , α ) = σ (
) – σs (α ) ≤ 0
D
3
D
2
σ
& = α & p
3 D: D est la contrainte 2 équivalente de Von Mises et σs (α ) est la fonction d’écrouissage supposée identifiée sous la forme (σ o , K sont des constantes positives données) : α est la variable interne scalaire d’écrouissage, σ (
D
) =
σ s (α ) = σ o + K α
On réalise un essai de traction torsion proportionnel ( x est une constante positive) :
⎡1 x 0⎤ ⎢ ⎥ : σ x 0 0 ⎢ ⎥ ⎢⎣0 0 0⎥⎦ 1. On démarre à partir d’un état initial (α =0, =0, =0) et on augment σ. Déterminer la valeur de σ (notée σ e) de début de plastification. Déterminer, pour cette valeur de contrainte, les composantes du tenseur de déformation. 2. On continue à augmenter σ jusqu’à une valeur σ 1. Déterminer, pour cette valeur de contrainte, les composantes du tenseur de déformation. 3. On diminue maintenant σ jusqu’à l’annuler. Déterminer, pour cette valeur nulle de contrainte, les composantes du tenseur de déformation. 4. Tracer l’allure des courbes σ (ε 11 ) et σ ( γ = 2ε 12 ).
Bon travail
ENIM - MECA2 , 2008/2009, « Plasticité », Devoir surveillé, CORRIGE
) – σs (α ) ≤ 0
D
f( , α ) = σ (
3
D
2
σ
& = α & p
σ s (α ) = σ o + K α
On réalise un essai de traction plane : 0⎤ ⎡σ 0 ⎢ ⎥ : 0 σ / 2 0 ⇒ ⎢ ⎥ ⎢⎣ 0 0 0⎥⎦ 0 0 ⎤ ⎡ 2 −ν σ ⎢ ⎥ ; e : 0 1 − 2ν 0 ⎥ 2 E ⎢ ⎢⎣ 0 0 − 3ν ⎥⎦
• • •
Si σ ≤ σ o ⇒ σ ≤ Si
2
σ o ≤ σ ≤ σ 1 :
3 Pour σ = σ 1 :
2 3
σ o :
p
0 ⎤ ⎡σ / 2 0 ⎢ ⎥ ⇒ σ = 3 σ : 0 0 0 ⎢ ⎥ 2 ⎢⎣ 0 0 − σ / 2⎥⎦
D
⎡1 0 0 ⎤ ⎢ ⎥ : ε 0 0 0 ; ⎢ ⎥ ⎢⎣0 0 − 1⎥⎦ p
Décharge :
dsplas-09.DOC
2010 / 03 / 15
+
p
p
& = ; ε
3 2
& α
p
ε = 0
3
p
ε =
2
⎡ 2 −ν 3 3 + σ o )σ 1 − ⎢( E K K 2 4 2 ⎢ : ⎢ 0 ⎢ ⎢ 0 ⎢ ⎣ •
e
=
p
ε =
α ; α =
1 K
0
0 3
2 K
(
3 2
3 2
σ - σ o)
⎤ ⎥ ⎥ ⎥ 0 ⎥ ⎥ 3ν 3 3 σ o ⎥ )σ 1 + −( + 2 E 4 K 2 K ⎦ 0
1 − 2ν 2 E
(
σ 1
σ - σ o)
2
ENIM
MECA2
2008/2009
« Plasticité » Examen principal Juin 2009
Durée 1h ;
Documents non autorisés
On considère un matériau élastoplastique isotrope obéissant à la loi de Prandtl-Reuss : f( , α ) = σ (
) – σs (α ) ≤ 0
D
3
D
2
σ
& = α & p
3 D: D est la contrainte 2 équivalente de Von Mises et σs (α ) est la fonction d’écrouissage supposée identifiée sous la forme (σ o , K sont des constantes positives données) : α est la variable interne scalaire d’écrouissage, σ (
D
) =
σ s (α ) = σ o + K α On réalise un essai de traction torsion proportionnel (x est une constante positive) :
⎡1 x 0⎤ ⎢ ⎥ : σ x 0 0 ⎢ ⎥ ⎢⎣0 0 0⎥⎦ 1. On démarre à partir d’un état initial (α =0, =0, =0) et on augment σ. Déterminer la valeur de σ (notée σ e) de début de plastification. Déterminer, pour cette valeur de contrainte, les composantes du tenseur de déformation. 2. On continue à augmenter σ jusqu’à une valeur σ 1. Déterminer, pour cette valeur de contrainte, les composantes du tenseur de déformation. 3. On diminue maintenant σ jusqu’à l’annuler. Déterminer, pour cette valeur nulle de contrainte, les composantes du tenseur de déformation. 4. Tracer l’allure des courbes σ 11 (ε 11 ) et σ 12 ( γ = 2ε 12 ) pour les phases de charge et de décharge en indiquant les pentes des différents tronçons.
Bon travail
ENIM - MECA2 , 2008/2009, « Plasticité », Examen principal, CORRIGE f( , α ) = σ (
) – σs (α ) ≤ 0
D
3
D
2
σ
& = α & p
σ s (α ) = σ o + K α On réalise un essai de traction torsion : 1. 0 ⎤ ⎡1 x 0⎤ ⎡2 / 3 x ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⇒ σ = 1 + 3 x 2 σ ⇒ D : σ x 0 0 ⇒ : σ x 0 − 1 / 3 ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢⎣0 0 0⎥⎦ ⎢⎣ 0 0 − 1 / 3⎥⎦ (1 + ν ) x 0 ⎤ ⎡ 1 σ ⎢ ⎥ ; e : (1 +ν ) x ν 0 − ⎥ E ⎢ ⎢⎣ 0 0 −ν ⎥⎦
σ e =
σ o 1 + 3 x 2
2. p
:
α 1 + 3 x 2
3 x / 2 0 ⎤ ⎡ 1 ⎢3 x / 2 − 1 / 2 ⎥ ; α = [ 1 + 3 x 2 σ - σ ]/K 0 o ⎢ ⎥ ⎢⎣ 0 0 − 1 / 2⎥⎦
Pour σ=σ 1 :
⎡ 1 σ 1 ⎢ : (1 +ν ) x E ⎢ ⎢⎣ 0
(1 + ν ) x
0 ⎤
⎥ + [σ ⎥ K 1 −ν ⎥⎦
−ν
1
0
0
3. Décharge (σ diminue) Pour σ=0 : ⎡ 1 σ o 1 ⎢ : [σ 1 ] 3 x / 2 ⎢ K 1 + 3 x 2 ⎢ 0
3 x / 2
− 1 / 2 0
⎣
3 x / 2 0 ⎤ ⎡ 1 ⎢ ⎥ 0 ] 3 x / 2 − 1 / 2 ⎢ ⎥ 1 + 3 x 2 ⎢ 0 ⎥⎦ 0 1 / 2 − ⎣ σ o
0 ⎤
⎥ ⎥ − 1 / 2⎥⎦ 0
4. Courbes σ 11 = σ ; σ 12 = xσ
E' =
EK E + K
σ 11
E
2(1 + ν )
; G’ =
GK
3G + K
=
EK
3 E + 2(1 +ν ) K
σ 12 xσ 1
σ 1 E’
σ e E
G’
xσ e E
G
ε 11
explasp-09.DOC
;G=
G
γ
2
ENI Monastir
Département de Génie Mécanique
2008/2009
Plasticité Examen de rattrapage juillet 2009
Durée : 1h
Documents non autorisés
On considère un matériau rigide plastique isotrope obéissant à la loi de Prandtl-Reuss. La fonction d’écrouissage est supposée linéaire (σ o et K étant des constantes positives) : σ s (α ) = σ o + K α On réalise, sur ce matériau, une sollicitation définie comme suit :
⎡1 0 0 ⎤ ⎢ ⎥ = ½ γ( t) ⎢0 − 1 0⎥ ⎢⎣0 0 0⎥⎦ 1. Montrer que la réponse en contrainte est sous la forme suivante ( contrainte) :
D
étant le déviateur de
⎡1 0 0 ⎤ D ⎢ ⎥ = τ( t) ⎢0 − 1 0⎥ ⎢⎣0 0 0⎥⎦ La sollicitation démarre d’un état initial (t=0) à déformation et contrainte nulles et α=0. On augmente ensuite γ jusqu’à une valeur γ 1. 2. Déterminer la contrainte équivalente de Von Mises et en déduire la valeur de τ= τ ο correspondent juste au début de la déformation. 3. Déterminer la valeur de τ= τ 1 correspondant à γ= γ 1 . 4. On diminue maintenant γ jusqu’à la valeur -γ 1. Déterminer la valeur de τ= τ 2 correspondant à γ= −γ 1. 5. On augmente maintenant de nouveau γ jusqu’à la valeur γ 1. Déterminer la valeur de τ= τ 3 correspondant à γ= γ 1. 6. Tracer la courbe de réponse τ(γ) correspondant à ces différentes phases de la sollicitation en indiquant précisément les coordonnées des points de transition.
explastr-09.doc
ENI Monastir
Département de Génie Mécanique
2008/2009
Plasticité, Examen de rattrapage, juillet 2009 CORRIGE On considère un matériau rigide plastique isotrope obéissant à la loi de Prandtl-Reuss. La fonction d’écrouissage est supposée linéaire (σ o et K étant des constantes positives) :
σ s ( α ) = σ o + K α On réalise, sur ce matériau, une sollicitation définie comme suit :
= ½ γ( t)
1.
⎡1 0 0 ⎤ ⎢ − ⎥ 1 0⎥ ⎢0 ⎢⎣0 0 0⎥⎦
Montrer que la réponse en contrainte est sous la forme suivante (
D
&=
ε
& 3α
D
σ
2σ
⇒
D
= τ( t)
D
étant le déviateur de contrainte) :
⎡1 0 0 ⎤ ⎢0 − 1 0⎥ ⎢ ⎥ ⎢⎣0 0 0⎥⎦
est sous la forme ci-dessus.
La sollicitation démarre d’un état initial (t=0) à déformation et contrainte nulles et α=0. On augmente ensuite γ jusqu’à une valeur γ 1. 2.
Déterminer la contrainte équivalente de Von Mises et en déduire la valeur de τ= τ ο correspondent juste au début de la déformation.
σ = 3 τ ; τ ≥ 0 donc σ = 3 τ ⇒ 3.
Déterminer la valeur de τ= τ 1 correspondant à γ= γ 1.
& γ & = α
3τ σ
=
& 3 α
σ = σ ο + K α 4.
3 τ ο = σ ο /
τ τ
; τ ≥ 0 donc
α = γ / 3
⇒
τ = τ ο +
K 3
γ
γ & =
& 3 α
τ τ
3
γ 1
τ = - τ 1
; τ <0 donc α = -γ / 3 + Cte
pour γ= γ 1 , α= α 1 = γ 1 / 3 ; donc σ =- 3 τ = σ ο + K α
α= (2 γ 1− γ )/ 3
⇒
τ = -τ ο -
K 3
(2 γ 1− γ )
τ 2 = -τ ο - K γ 1
On augmente maintenant de nouveau γ jusqu’à la valeur γ 1. Déterminer la valeur de τ= τ 3 correspondant à γ= γ 1 .
γ commence à augmenter quand :
3 τ = σ ο + 3 K γ 1 ; donc pour
τ <0 donc α = γ / 3 + Cte ; pour γ=− γ 1 , α= α 1 = σ = 3 τ = σ ο + K α 6.
K
On diminue maintenant γ jusqu’à la valeur -γ 1. Déterminer la valeur de τ= τ 2 correspondant à γ= −γ 1.
γ commence à diminuer quand : - 3 τ = σ ο + K γ 1 / 3 ; donc pour
5.
τ 1 = τ ο +
⇒
τ = τ ο +
K 3
τ = - τ 2
3 γ 1 ; donc
α= (4 γ 1+ γ )/ 3
(4 γ 1+ γ )
τ 3 = τ ο +
5 K 3
γ 1
Tracer la courbe de réponse τ(γ) correspondant à ces différentes phases de la sollicitation en indiquant précisément les coordonnées des points de transition.
τ
τ 3 −τ 2 τ 0 −γ 1 τ 2 explastr-09c.doc
τ 1 γ 1 γ −τ 1
ENIM
MECA2
2009/2010
« Plasticité » Devoir surveillé Mars 2010
Durée 1h ;
Documents non autorisé s
On considère un matériau élastoplastique isotrope obéissant à la loi de Prandtl Reuss. La fonction d’écrouissage est linéaire sous la forme suivante (a et K étant des constantes positives) : s (
) = a + K
On considère une sollicitation en contrainte sous la forme suivante :
1 0 : 0 1 0 0
0
0 0
1. On démarre à partir d’un état initial ( =0, =0, =0) et on augment Déterminer la valeur de (notée o) de début de plastification. Déterminer, pour cette valeur de contrainte, les composantes du tenseur de déformation. 2. On continue à augmenter jusqu’à une valeur 1. Déterminer, pour cette valeur de contrainte, les composantes du tenseur de déformation. 3. On diminue maintenant jusqu’à l’annuler. Déterminer, pour cette valeur nulle de contrainte, les composantes du tenseur de déformation. 4. Tracer l’allure de la courbe ( ) pendant la charge et la décharge.
Bon travail
ENIM - MECA2 , 2009/2010, « Plasticité », Devoir surveillé, CORRIGE
1.
:
1 0 0 1 0 0
0
= 0
Phase élastique :
Pour = :
D
0
e
=
e
=
e
o =
E
e
=
E
Pour = :
1 0 0 1 0 0
=
1 =
=
1 =
; 0
p
0
3 1
= p
a
K
3 1
= a
K
4.
=
= s (0)
a/
3
0
; 0 0
e
=
0
3. Phase de décharge élastique : Pour =0 :
e
=
1
jusqu’à
E
=
0
2. Phase de charge élastoplastique : 1
;
3
1 0 0 1 0 0
= e
1
=
+
p
1 0 0 1 0 0
; p = 1p = e
+
0
; p = 0 0
3 2
1
3
2
; e = 1e =
;
1 E
=
1
3 a K
; = =
e
1
+ 1p
p
1
; 1 p =
3 2
1
1 o
o
dsplas-10.DOC
p
1
1
2
ENIM
MECA2
2009/2010
« Plasticité » Examen principal mai 2010
Durée 1h
Documents non autorisés
Questions : 1. Donner les définitions de la contrainte et de la déformation équivalentes de Von Mises. 2. On réalise, sur un matériau élastoplastique, deux essais de traction à vitesse de déformation constante. La vitesse de déformation de l’un des essais est le double de celle de l’autre. Est-ce que les réponses () à ces deux essais seront identiques ou différentes ? justifiez votre réponse. 3. Qu’est ce que l’écrouissage ? 4. Dans la loi de Prandtl Reuss, la fonction d’écrouissage relie quoi à quoi ? 5. Pour un matériau élastoplastique obéissant à la loi de Prandtl Reuss, si sa limite d’écoulement en traction est e quelle sera sa limite d’écoulement en torsion ?
Exercice On considère une poutre droite de longueur L et de section droite carrée de côté 2 a. L’axe x est l’axe longitudinal de la poutre. Cette poutre est encastrée en x=0 et soumise, en x=L, à un torseur qui se réduit, au centre d’inertie de la section droite, à une force F selon l’axe x.
y F z
2a
x
L Le matériau constituant la poutre est supposé rigide plastique parfait de limite d’écoulement en traction e. Les forces de volume sont négligées.
L’objectif de cet exercice est de déterminer une valeur approchée de la charge limite F lim. 1. On considère un champ de contrainte de traction homogène (seule la contrainte xx= est non nulle). Trouver, en justifiant votre réponse, la valeur de pour que ce champ de contrainte soit statiquement admissible. 2. A partir du champ statiquement admissible obtenu, déterminer une borne inférieure de F lim.
Bon travail
ENIM - MECA2
« Plasticité » - Examen principal CORRIGE
2009/2010
Questions : 1. Donner les définitions de la contrainte et de la déformation équivalentes de Von Mises.
3
=
D D :σ σ
2
tel que
=
2
pD : ε pD
ε
3
2. On réalise, sur un matériau élastoplastique, deux essais de traction à vitesse de déformation constante. La vitesse de déformation de l’un des essais est le double de celle de l’autre. Est-ce que les réponses () à ces deux essais seront identiques ou différentes ? justifiez votre réponse. Réponses différentes : le comportement élastoplastique est in dépendant de la vitesse de sollicitation. 3. Qu’est ce que l’écrouissage ? La variation de la limite d’écoulement. 4. Dans la loi de Prandtl Reuss, la fonction d’écrouissage relie quoi à quoi ? La fonction d’écrouissage relie la contrainte équivalente de Von Mises à la déformation équivalente de Von Mises. 5. Pour un matériau élastoplastique obéissant à la loi de Prandtl Reuss, si sa limite d’écoulement en traction est e quelle sera sa limite d’écoulement en torsion ? e
= e / 3
Exercice
y
On considère une poutre droite de longueur L et de section droite carrée de côté 2 a. L’axe x est l’axe longitudinal de la poutre. Cette poutre est encastrée en x=0 et soumise, en x=L, à un torseur qui se réduit, au centre d’inertie de la section droite, à une force F selon l’axe x.
F z
2a
x
L Le matériau constituant la poutre est supposé rigide plastique parfait de limite d’écoulement en traction e. Les forces de volume sont négligées.
L’objectif de cet exercice est de déterminer une valeur approchée de la charge limite F lim. 1. On considère un champ de contrainte de traction homogène (seule la contrainte xx= est non nulle). Trouver, en justifiant votre réponse, la valeur de pour que ce champ de contrainte soit statiquement admissible. 2
F/S = F/4a : Eq. d’équilibre et CL statiques sont vérifiées
2. A partir du champ statiquement admissible obtenu, déterminer une borne inférieure de F lim. 2
F/4a = e F inf = 4a
2
e
F lim ≥ F inf
ENIM
MECA2
2009/2010
« Plasticité » Examen de rattrapage juin 2010
Durée 1h
Documents non autorisés
Exercice 1 : On considère un état de contrainte tel que (x étant une constante) : 11 = 22 = x Toutes les autres composantes sont nulles. 1. Déterminer la contrainte équivalente de Von Mises. 2. Préciser la forme générale du tenseur vitesse de déformation plastique pour cette sollicitation et pour une vitesse de déformation équivalente de Von Mises donnée.
Exercice 2
y
On considère une poutre droite de longueur L et de section droite carrée de côté 2a. L’axe x est l’axe longitudinal de la poutre. Cette poutre est en contact sans frottement avec un massif fixe et indéformable en z x=0 et soumise, en x=L, à un torseur qui se réduit, au centre d’inertie de la section droite, à une force
F =- F x
F 2a
x
L
(F >0).
Le matériau constituant la poutre est supposé rigide plastique parfait de limite d’écoulement en traction e. Les forces de volume sont négligées. L’objectif de cet exercice est de déterminer une valeur approchée de la charge limite F lim. 1. On considère un champ de vitesse sous la forme suivante ( et étant deux constantes, ) : u x = - x ; u y = y ; u z = z
Montrer que ce champ est cinématiquement admissible. Déterminer la valeur de pour que ce champ soit plastiquement admissible. 2. A partir du champ cinématiquement et plastiquement obtenu, déterminer une borne supérieure de F lim.
Bon travail
ENIM
MECA2
2009/2010
« Plasticité » Examen de rattrapage CORRIGE
Exercice 1 : On considère un état de contrainte tel que ( x étant une constante) : 11 = 22 = x et toutes les autres composantes sont nulles. 1.
2.
D
s
ε
p
:
=
3
2 x 0 0
0 2 x 1 0
2 1 x
2
x
= 0 1 x 0
2 x 0 0
0 2 x 1 0
1 x
2
x
0 1 x 0
Exercice 2 L’objectif de cet exercice est de déterminer une valeur approchée de la charge limite F lim. 1. CLC pour x= 0 : u x= vérifiée div u =0 = 0 0 0 2. ε : 0 / 2 0 0 / 2
Pplast = e 4 a2 L
=
; Pext = F L
Pplast = Pext F sup = 4 a2 e
;
F lim ≤ F sup
