Logica Digital y Microprogramable

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Introducción a la electrónica digital

Objetivos 

Aprender para qué sir ve un sistema electrónico digital, los elementos básicos de que consta, y los aspectos básico necesarios para su implementación.



Conocer los motivos que justifican el estudio de las materias que se van a enseñar en las demás unidades del libro .


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Lógica digital y microprogramable

1. El instrumento por el que los seres humanos son capaces de adaptar el entorno a sus necesidades es la tecnología. Ésta permite a los humanos controlar y actuar sobre el entorno para cambiar las condiciones físicas o circunstancias del mismo por otras más convenientes para su supervivencia o para su bienestar. Actualmente la principal tecnología de control de procesos la proporciona la electrónica digital. Pero, sea cual sea la tecnología de control empleada, no hay que olvidar que lo que se pretende, en un principio, es sustituir la presencia de un ser humano por una máquina (el avance de la tecnología permitirá además ampliar y superar las capacidades del ser humano en algunos aspectos). Es necesario, por lo tanto, estudiar las características de los procedimientos de control para poder emularlos mediante máquinas. En estos procedimientos intervienen en general tres elementos fundamentales, como se muestra en la figura siguiente: 

Los sensores : son los elementos que permiten observar el medio físico.



El procesador : interpreta lo observado en relación con el objetivo a conseguir.



Los actuadores : son los elementos que permiten actuar sobre el medio para cambiarlo.

El cuerpo humano posee estos tres elementos, que son los sentidos, la inteligencia y los brazos y piernas respectivamente. Una máquina que pretenda sustituir al hombre en las tareas de control, también deberá de tener estos tres elementos, y para su desarrollo será necesario conocer la naturaleza de las magnitudes físicas que se desean controlar para diseñar los sensores y actuadores. También Ta mbién será necesario conocer la naturaleza de los procesos básicos de la inteligencia humana para diseñar el procesador. procesador. En el estudio de la naturaleza de las magnitudes físicas, éstas se pueden clasificar atendiendo a tres criterios: 

Valor de la medida medida de la magnitud.

Magnitudes analógicas: la magnitud observable puede tomar cualquier valor dentro de un margen físicamente razonable. Magnitudes analógicas son: la luminosidad, la intensidad eléctrica, el sonido, la velocidad, etc. Magnitudes digitales: la magnitud observable no puede tomar cualquier valor dentro del margen físicamente razonable, sino sólo ciertos valores permitidos, habitualmente cantidades enteras. Magnitudes digitales son: número de perforaciones en un tubo, número de barriles de petróleo producidos, número de bombillas encendidas en un árbol de Navidad, etc. 

Evolución de la magnitud.

Magnitudes continuas: el modo de evolución de las sucesivas medidas se hace de acuerdo con un patrón continuo, es decir, entre cualquier par de medidas existen infinitas medidas. Magnitudes continuas son: el voltaje de una pila a lo largo de un mes, el número de lobos de un bosque a lo largo de un siglo, la potencia electromagnética de una onda en un rango de frecuencias, la altura de un terreno sobre el nivel del mar, etc. Magnitudes discretas: el modo de evolución de las sucesivas medidas se hace de acuerdo con un patrón discreto, es decir, entre cualquier par de medidas existe un número limitado de medidas. Magnitudes discretas son: la temperatura a las 8:00 de la mañana a lo largo de un año, las coordenadas geográficas de las intersecciones entre ciertos meridianos y paralelos, el peso de las cien primeras cajas de galletas de un lote de producción, etc.

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1. El instrumento por el que los seres humanos son capaces de adaptar el entorno a sus necesidades es la tecnología. Ésta permite a los humanos controlar y actuar sobre el entorno para cambiar las condiciones físicas o circunstancias del mismo por otras más convenientes para su supervivencia o para su bienestar. Actualmente la principal tecnología de control de procesos la proporciona la electrónica digital. Pero, sea cual sea la tecnología de control empleada, no hay que olvidar que lo que se pretende, en un principio, es sustituir la presencia de un ser humano por una máquina (el avance de la tecnología permitirá además ampliar y superar las capacidades del ser humano en algunos aspectos). Es necesario, por lo tanto, estudiar las características de los procedimientos de control para poder emularlos mediante máquinas. En estos procedimientos intervienen en general tres elementos fundamentales, como se muestra en la figura siguiente: 

Los sensores : son los elementos que permiten observar el medio físico.



El procesador : interpreta lo observado en relación con el objetivo a conseguir.



Los actuadores : son los elementos que permiten actuar sobre el medio para cambiarlo.

El cuerpo humano posee estos tres elementos, que son los sentidos, la inteligencia y los brazos y piernas respectivamente. Una máquina que pretenda sustituir al hombre en las tareas de control, también deberá de tener estos tres elementos, y para su desarrollo será necesario conocer la naturaleza de las magnitudes físicas que se desean controlar para diseñar los sensores y actuadores. También Ta mbién será necesario conocer la naturaleza de los procesos básicos de la inteligencia humana para diseñar el procesador. procesador. En el estudio de la naturaleza de las magnitudes físicas, éstas se pueden clasificar atendiendo a tres criterios: 

Valor de la medida medida de la magnitud.

Magnitudes analógicas: la magnitud observable puede tomar cualquier valor dentro de un margen físicamente razonable. Magnitudes analógicas son: la luminosidad, la intensidad eléctrica, el sonido, la velocidad, etc. Magnitudes digitales: la magnitud observable no puede tomar cualquier valor dentro del margen físicamente razonable, sino sólo ciertos valores permitidos, habitualmente cantidades enteras. Magnitudes digitales son: número de perforaciones en un tubo, número de barriles de petróleo producidos, número de bombillas encendidas en un árbol de Navidad, etc. 

Evolución de la magnitud.

Magnitudes continuas: el modo de evolución de las sucesivas medidas se hace de acuerdo con un patrón continuo, es decir, entre cualquier par de medidas existen infinitas medidas. Magnitudes continuas son: el voltaje de una pila a lo largo de un mes, el número de lobos de un bosque a lo largo de un siglo, la potencia electromagnética de una onda en un rango de frecuencias, la altura de un terreno sobre el nivel del mar, etc. Magnitudes discretas: el modo de evolución de las sucesivas medidas se hace de acuerdo con un patrón discreto, es decir, entre cualquier par de medidas existe un número limitado de medidas. Magnitudes discretas son: la temperatura a las 8:00 de la mañana a lo largo de un año, las coordenadas geográficas de las intersecciones entre ciertos meridianos y paralelos, el peso de las cien primeras cajas de galletas de un lote de producción, etc.

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Introducción a la electrónica digital 

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Naturaleza física de la magnitud.

Teniendo en cuenta la naturaleza física del fenómeno que genera la magnitud observable, las Teniendo magnitudes se clasifican en: Electromagnéticas Mecánicas Térmicas Hidráulicas Neumáticas etc. En las figuras siguientes se muestran representaciones gráficas de algunos ejemplos de los diferentes tipos de magnitudes que se pueden encontrar.

Ejemplo 1: magnitud analógica continua.

Ejemplo 2: magnitud digital continua.

Ejemplo 3: magnitud analógica discreta.

Ejemplo 4: magnitud digital discreta.

Del mismo modo que el ser humano dispone de sentidos, el procesador digital también deberá de disponer de órganos que transformen la naturaleza física original de las magnitudes a controlar en naturaleza electrónica. Estos órganos son los sensores transductores . La magnitud física entregada por el transductor se llama señal .

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Por lo tanto, una señal es una magnitud física de distinta naturaleza que la de la magnitud que se pretende controlar, pero igual a ella (o proporcional) en cuanto a valores y a evolución. Del mismo modo que las magnitudes físicas, las señales serán analógicas o digitales, continuas o discretas. El procesador digital trabaja con señales eléctricas digitales discretas. En general, se realizan una serie de transformaciones, tal como se esquematiza en la figura siguiente, para hacer llegar señales eléctricas digitales discretas al procesador.

Puede encontrarse información ampliada sobre señales y sistemas en los documentos incluidos en el disco proporcionado con el libro.

En la figura siguiente se resumen todos los procesos involucrados en un sistema de procesamiento digital (en el ejemplo, de 8 bits). Cada uno de los bloques representa un subsistema electrónico encargado de realizar la función especificada.

1.1 1. 1

Las señales eléctricas digitales proporcionan información al procesador digital, acerca de la magnitud física que se pretende controlar, mediante una codificación, que es una forma de asignar a cada uno de los diferentes valores que puede tomar una información, un símbolo o combinación única de símbolos denominada código , de acuerdo con unas reglas de asignación determinadas. La codificación empleada en los procesadores digitales es el sistema binario. A continuación se describirá este sistema, así como otros que también se utilizan en el diseño de los procesadores digitales.

En el caso del procesador humano, un sistema de codificación de magnitudes digitales adecuado a su naturaleza, y universalmente el más empleado, es el sistema de numeración decimal. Las características que hacen adecuado este sistema son:

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

El sistema consta de diez símbolos que están representados por los dígitos arábigos: {0,1,2, 3,4,5,6,7,8,9}.



Cada símbolo se representa por un trazado geométrico fácil de realizar por el ser humano en un papel o cualquier otra superficie, y también fácilmente representable en su mente.

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Introducción a la electrónica digital 

La cantidad de símbolos distintos a recordar (diez) está dentro de las posibilidades memorísticas del ser humano sin necesidad de grandes esfuerzos.



La codificación de magnitudes se realiza por combinación de símbolos según unas reglas sencillas.



Los códigos resultantes de la codificación son fácilmente interpretables por el ser humano.



El sistema de codificación aporta valores añadidos que facilitan la manipulación algebraica de las magnitudes codificadas.

Existen otros códigos o sistemas de numeración, pero por uno u otro motivo no se adecúan tan bien al procesador humano como el sistema decimal, por lo que no son tan empleados. Por ejemplo: 

Sistemas de numeración chinos: el trazado geométrico de los símbolos no es sencillo.



Sistemas mesopotámicos: constaban de muchos símbolos distintos (del orden de sesenta), por lo que sería necesario un esfuerzo memorístico para recordarlos.



Sistema romano: la manipulación algebraica es muy compleja.

Aunque parezca una trivialidad, no está de más en este momento repasar el sistema de numeración decimal e interpretar perfectamente cada uno de los puntos de la descripción del sistema (para evitar el uso de lo definido en la propia definición, las cantidades a representar numéricamente se expresarán en castellano).



Es un sistema de numeración de base diez: esto quiere decir que el sistema consta de diez símbolos, denominados dígitos. {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}



Las cantidades se codifican mediante un dígito o combinación de varios, obteniendo un número. tres: 3 veinticuatro: 24 ciento noventa y ocho: 198



En un número, cada dígito representa una cantidad, que es su contribución a la cantidad total representada por el número. La cantidad total representada por un número es la suma de las cantidades representadas por cada uno de los dígitos que forman el número:

Trescientos veinticuatro: 3 2 4 contribuciones trescientos

veinte

cuatro

⊕ trescientos veinticuatro 

El sistema es posicional, lo que quiere decir que la contribución de Cuatrocientos cuarenta y cuatro: 4 4 4 un dígito de un número depende de la posición de ese dígito. Por contribuciones ejemplo, el dígito 4 puede contribuir con la cantidad cuatro, cuarenta o cuatrocientos al total según donde esté situado: cuatrocientos cuarenta cuatro

⊕ 

La cantidad con la que contribuye cada dígito se calcula multiplicando el valor base del dígito por un peso atribuido a la posición que ocupa: valores base:

cuatrocientos cuarenta y cuatro

0: cero

1: uno

2: dos

3: tres

4: cuatro

5: cinco

6: seis

7: siete

8: ocho

9: nueve

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Lógica digital y microprogramable 

Pesos: por ser base diez, el peso atribuido a la posición n-ésima es diez elevado a n. Las posiciones se cuentan de derecha a izquierda, empezando por el cero. Además, cada posición tiene un nombre: unidades, decenas, centenas, etc., que tiene relación con el peso correspondiente a dicha posición. 4 8 4 3 Posición cero: unidades: peso = diezcero = uno Posición uno: decenas: peso = diezuno = diez Posición dos: centenas: peso = diezdos = cien Posición tres: unidades de millar: peso = dieztres = mil

El cálculo de la cantidad que representa un número puede hacerse por lo tanto con la ayuda de una tabla como la que sigue: número

75025

posición valor base

peso

contribución: valor base x peso

suma

cero

cinco

uno

cinco

uno

dos

diez

veinte

dos

cero

cien

cero

setenta y cinco

tres

cinco

mil

cinco mil

mil veinticinco

cuatro

siete

diez mil

setenta mil

Ahora que ya está definido el sistema, se puede emplear el propio sistema para representar las cantidades, de modo que la tabla anterior se puede representar más cómodamente como sigue: número

75025

posición

valor base

peso

contribución: valor base x peso

0

5

1

5x1=5

1

2

10

2x10=20

2

0

100

0x100=0

3

5

1000

5x1000=5000

4

7

10000

7x10000=70000

suma

75025

Aunque todo lo anterior pueda parecer una trivialidad, es necesario interpretar perfectamente los detalles del sistema de numeración decimal para aplicar los mismos razonamientos a otros tipos de sistemas de numeración, que por ser novedosos puede que parezcan complicados, pero no tienen más ni menos complejidad que el sistema decimal. La única diferencia es que el uso cotidiano le hace al ser humano olvidar los detalles del sistema de numeración decimal hasta el punto de usarlo de modo mecánico, pareciéndole una trivialidad. Hecho que, por otro lado, es la prueba de lo bien adecuado que es el sistema a las características del procesador: el ser humano.

Dado lo bien que funciona el sistema decimal para el ser humano, se podría pensar en fabricar un procesador electrónico que trabaje con el mismo sistema. Para ello, habría que definir 10 símbolos eléctricos que representarían a los dígitos. Podrían ser 10 tensiones distintas, por ejemplo: 0V, 1V, 2V, ..., 9V. Si el procesador dispusiera de 8 hilos por ejemplo, y en cada uno se pudiera aplicar cualquiera de esos voltajes, el sistema ya podría representar eléctricamente cualquier número del 00000000 al 99999999. Aunque esto es posible, desde el punto de vista de las posibilidades de la tecnología electrónica no es el método más adecuado, por razones técnicas que no vienen al caso. Sin embargo, lo que sí resulta adecuado tecnológicamente hablando, es hacer un procesador electrónico que trabaje, en vez de con

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diez, con sólo dos valores distintos de tensión. El sistema de numeración que utilizaría tal procesador estaría basado únicamente en dos símbolos, es decir, sería el sistema binario. Cabría aquí la duda de si tal procesador, tecnológicamente factible, podría tener algún interés práctico a la hora de controlar procesos, por estar basado en un sistema de numeración tal como el binario. La respuesta evidente (ahí están los ordenadores) es que sí. En este libro se estudiarán las bases de tales procesadores y se verá justificada la respuesta. De momento, y ya que es de interés por ser el sistema que emplean los procesadores electrónicos digitales, es necesario estudiar el sistema binario. Se hará de modo paralelo a como se hizo con el sistema decimal (en este caso, para representar las cantidades se usará el castellano o también el sistema decimal según convenga).



El binario es un sistema de numeración de base 2: esto quiere decir que el sistema consta de 2 símbolos, también denominados dígitos o bits (del inglés: BInary digiTS). {0,1}



Las cantidades se codifican mediante un dígito o combinación de varios, obteniendo un número de uno o más bits. uno: 1 tres: 11 veintitrés: 10111 cincuenta y dos : 110100



En un número, cada dígito representa una cantidad, que es su contribución a la cantidad total representada por el número. La cantidad total representada por un número es la suma de las cantidades representadas por cada uno de los dígitos que forman el número.



El sistema es posicional, lo que quiere decir que la contribución de un dígito de un número depende de la posición de ese dígito, igual que ocurría en el decimal



La cantidad con la que contribuye cada dígito se calcula multiplicando el valor base del dígito por un peso atribuido a la posición que ocupa. valores base: 0: cero. 1: uno. 

Pesos: por ser base 2, el peso atribuido a la posición n-ésima es 2 elevado a n. Las posiciones se cuentan de derecha a izquierda, empezando por el cero. 1 1 0 1 Posición 0: peso = 20 = 1 Posición 1: peso = 21 = 2 Posición 2: peso = 22 = 4 Posición tres: peso = 23 = 8







El bit de menos peso es el situado más a la derecha, y también se llama bit menos significativo o LSB (del inglés: Least Significant Bit ). El bit de mayor peso es el situado más a la izquierda, y también se llama bit más significativo o MSB (del inglés: Most Significant Bit ).

El cálculo de la cantidad que representa un número puede hacerse con la ayuda de una tabla como la que sigue:

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número

1101

posición

valor base

peso=2posición

contribución valor base x peso

0

1

20=1

1x1=1

1

0

21=2

0x2=0

2

1

22=4

1x4=4

1

23=8

1x8=8

3 ← binario

suma

13

decimal →

Como se puede apreciar, el sistema binario y decimal siguen en esencia los mismos mecanismos; son de hecho sistemas posicionales, en los que la única diferencia es la base, 2 y 10 respectivamente. Sin embargo, el sistema binario no parece muy adecuado para el procesador humano, ya que, como se irá viendo con la práctica, cantidades no muy grandes requieren de bastantes dígitos para ser representadas en el sistema binario (por ejemplo: 174 en decimal es 10101110 en binario), y estas largas secuencias de unos y ceros no son fáciles de leer, memorizar e interpretar por parte del ser humano. Por lo tanto, por un lado es necesario manejar el binario para poder diseñar procesadores electrónicos digitales, pero por otro, el ser humano se maneja mejor en decimal. Será necesario entonces conocer técnicas que permitan pasar fácilmente de un sistema al otro. Además, como se van a manejar cantidades en ambos sistemas, será necesario establecer un método para diferenciar cuándo un número está escrito en un sistema o en el otro. Por ejemplo, el número 1101 puede ser tanto binario como decimal. En los casos en que haya duda, se pondrá al lado del número un subíndice indicando la base del sistema al que pertenece. Por ejemplo, cuando se quiera poner 1101 del sistema decimal, se pondrá 110110, y cuando se quiera poner el 1101 del sistema binario, se pondrá 11012. En los casos en los que no exista duda no será necesario poner el subíndice.

La descripción del sistema binario expuesta anteriormente constituye un método para la conversión de números en sistema binario a números en sistema decimal. El método utiliza una tabla rápida basada en la anterior, en la que se disponen en una columna los dígitos del número binario, y a su lado los pesos correspondientes a los bits 1. Sumando los pesos se obtiene el número decimal equi valente.

Existen varios métodos, todos equivalentes, para realizar esta conversión. El que aquí se expone se basa en divisiones sucesivas por 2: dividir sucesivamente por 2 e l número decimal, y formar el número binario tomando el último cociente como MSB y los restos de las divisiones hasta llegar al primer resto que será el LSB.

Los métodos descritos para el cambio base entre los sistemas decimal y binario son los siguientes: empleando una tabla, disponer en una columna los dígitos del número binario, y a su lado los pesos correspondientes a los bits 1. Sumando los pesos se obtiene el número decimal equivalente. Por ejemplo, pasar 10101110 a decimal.

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

Disponer los dígitos del número binario en la columna dígitos, empezando por el LSB en la fila superior, y acabando por el MSB en la fila inferior.



En la columna pesos, disponer junto a cada dígito, las siguientes cantidades decimales:

dígitos 0 1 1 1 0 1 0 1 suma ->

pesos


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Si el dígito es 1: el peso que le corresponde según su posición. Si el dígito es 0: cero.

dígitos

pesos

0

0 2 4 8 0 32 0 128

1 1 1 0 1 0 1 suma ->



Sumar las cantidades que aparecen en la columna de los pesos. El resultado obtenido es el equivalente decimal del número binario que se quería convertir.

dígitos

pesos

0

0

1

2

1

4

1

8

0

0

1

32

0

0

1

128

suma ->

174

Por lo tanto: 101011102=17410 con la ayuda de una tabla, dividir sucesivamente por 2 el número decimal, y formar el número binario tomando el último cociente como MSB y los restos de las divisiones hasta llegar al primer resto que será el LSB. Por ejemplo, pasar 174 a binario. 

Dividir por 2 el número decimal que se desea convertir, anotando el resto de la división (que será 1 ó 0 necesariamente). 1 1



4 4 4 0

2 8 7

→ cociente

→ resto 0

Tomar el cociente de la división anterior y volverlo a dividir por 2, anotando de nuevo el resto de la división. 8 8 0



7 6 1 1

7 7 6 1

2 4 3 → cociente

→ resto 1

Volver a tomar el cociente de la división anterior y volverlo a dividir por 2, anotando de nuevo el resto de la división, y así sucesivamente hasta que el cociente obtenido no se pueda dividir más por 2 (será por lo tanto 1 ó 0). El proceso de divisiones sucesivas por 2 se puede anotar en una tabla como la que se muestra a continuación: cocientes y posteriores dividendos

restos

174

0

← resto de 174/2 (primer resto)

cociente de 174/2 →

87

1

← resto de 87/2

cociente de 87/2 →

43

1

← resto de 43/2

9


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Lógica digital y microprogramable cocientes y posteriores dividendos cociente de 43/2 → cociente de 21/2 → cociente de 10/2 → cociente de 5/2 → (último cociente) cociente de 2/2 →

21 10 5 2 1

restos 1 0 1 0

← resto de 21/2 ← resto de 10/2 ← resto de 5/2 ← resto de 2/2 (último resto)

Una vez acabadas todas las divisiones, tomar de la tabla el último cociente como MSB, y continuar construyendo el número binario añadiendo de izquierda a derecha, comenzando por el último resto obtenido, los demás restos de las divisiones tomados de abajo a arriba hasta llegar al LSB, que será el primero de los restos de la tabla. cocientes y posteriores dividendos 174 87 43 21 10 5 2 → 1 MSB 10101110

0 1 1 1 0 1 0

restos ← LSB

Por lo tanto: 17410 = 101011102 Ejemplo resuelto 1

Pasar los siguientes números decimales a binario: 57 y 325. Solución

cocientes 57 28 14 7 3 1

restos 1 0 0 1 1

5710=1110012

cocientes 325 162 81 40 20 10 5 2 1

restos 1 0 1 0 0 0 1 0

32510=1010001012

Ejemplo resuelto 2

Pasar los siguientes números binarios a decimal: 1110011 y 1010000111. Solución

dígitos 1 1 0 0 1 1 1 suma

peso 1 2 0 0 16 32 64 115

11100112=11510

10

dígitos 1 1 1 0 0 0 0 1 0 1 suma

pesos 1 2 4 0 0 0 0 128 0 512 647

10100001112=64710


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Una vez dominados estos métodos de conversión, el ser humano puede estudiar y diseñar procesadores electrónicos digitales de forma sencilla empleando su sistema habitual que es el decimal. Cuando tenga que pasarle información al sistema, simplemente tendrá que convertir los números decimales con los que se trabajó al sistema binario que es el que entiende la máquina. Al revés, cuando tenga que leer información proporcionada por la máquina, que vendrá en binario, se podrá traducir al decimal para interpretarla de modo más sencillo. En definitiva, en el trabajo con procesadores digitales, los métodos de conversión entre sistemas hacen que el decimal pueda ser una buena herramienta para manipular las cantidades binarias con las que trabaja a máquina, sin el inconveniente de tener que manejar largas listas de unos y ceros que inducen fácilmente a la confusión, y no son sencillas de interpretar. Aunque la conversión entre los sistemas binario y decimal no es nada dificultosa, no es inmediata, ya que requiere hacer algunas cuentas. Con la práctica, estas cuentas se pueden llegar a hacer con más o menos soltura, pero no serán inmediatas, salvo si son pequeñas cantidades. Por lo tanto, en usos intensivos del binario, el decimal como herramienta alternativa de manipulación de cantidades puede no ser del todo adecuada, debido al trabajo de conversión que supone.

El sistema hexadecimal, sistema de numeración posicional de base 16, al igual que el decimal, permite trabajar con cantidades de un modo más sencillo para el ser humano, que el binario. Además presenta la ventaja de que la conversión entre hexadecimal y binario no requiere hacer ningún tipo de operaciones, siendo prácticamente inmediato. El único inconveniente es la falta de costumbre en el uso del hexadecimal por parte del humano, problema que se resuelve con la práctica.



Se trata de un sistema de numeración de base 16: esto quiere decir que el sistema consta de 16 símbolos o dígitos. {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B,C,D,E,F} Obsérvese que los dígitos elegidos para formar el sistema hexadecimal son los 10 dígitos arábigos, igual que en el sistema decimal, y para los 6 dígitos que faltan se eligieron por comodidad unos símbolos ya conocidos y que son las 6 primeras letras del alfabeto, que aquí actúan como números.



Las cantidades se codifican mediante un dígito o combinación de varios, obteniendo un número. tres: 3. diez: A. veinticuatro: 18. dos mil novecientos cuarenta y dos: B7E



En un número, cada dígito representa una cantidad, que es su contribución a la cantidad total representada por el número.



La cantidad total representada por un número es la suma de las cantidades individuales representadas por cada uno de los dígitos que forman el número.



El sistema es posicional, lo que quiere decir que la contribución de un dígito del número depende de la posición de ese dígito. La cantidad con la que contribuye cada dígito se calcula multiplicando el valor base del dígito por un peso atribuido a la posición que ocupa. valores base:



0: cero

1: uno

2: dos

3: tres

4: cuatro

5: cinco

6: seis

7: siete

8: ocho

9: nueve

A: diez

B: once

C: doce

D: trece

E: catorce

F: quince

pesos: por ser base 16, el peso atribuido a la posición n-ésima es 16n. Las posiciones se cuentan de derecha a izquierda, empezando por el cero.

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4 D 9 A Posición cero: peso = 160 = 1 Posición uno: peso = 161 = 16 Posición dos: peso = 162 = 256 Posición tres: peso = 163 = 4096 En algunos casos, la notación del subíndice 16 indicador del sistema hexadecimal se sustituye por la letra H o el símbolo $. De este modo, el número hexadecimal 4D9A se indicaría de cualquiera de las formas siguientes:



4D9A16 = 4D9AH = 4D9A$ No se debe confundir la H con un dígito hexadecimal, ya que éstos sólo llegan hasta la F. Sólo indica que se trata de un número hexadecimal, careciendo de todo valor numérico. 

número

4D9A

El cálculo de la cantidad que representa un número puede hacerse por lo tanto con la ayuda de una tabla como la que sigue:

posición

dígito

valor base en decimal

peso=16posición


0

A

10

1

10x1=10

1

9

9

16

9x16=144

2

D

13

256

13x256=3328

3

4

4

4096

4x4096=16384

← hexadecimal

suma

19866

decimal →

Por lo tanto, 4D9A16 = 1986610

Al igual que ocurría con el binario, la descripción del sistema hexadecimal ya proporciona un método para convertir de hexadecimal a decimal, utilizando una tabla como la del ejemplo anterior.

El método propuesto para la conversión de decimal a hexadecimal es similar al utilizado en el paso de decimal a binario y se basa en divisiones sucesivas por 16: dividir sucesivamente por 16 el número decimal, y formar el número hexadecimal tomando el último cociente como dígito de mayor peso y los restos de las divisiones hasta llegar al primer resto que será el dígito de menor peso Como se pudo observar, la conversión entre sistemas decimal y hexadecimal no es nada inmediata, y sólo se realizará cuando sea realmente necesario. El verdadero sentido del uso del hexadecimal es en su aplicación para manipular cantidades dadas en binario, por la sencillez del paso de un sistema a otro.

-b Cada uno de los dígitos hexadecimales representa una cantidad del 0 al 15, que es su valor base. Estas cantidades, expresadas en binario, pueden requerir hasta 4 bits, tal como se indica en la siguiente tabla:

12

hexadecimal

binario

hexadecimal

binario

hexadecimal binario

hexadecimal

binario

0

0000

1

0001

2

0010

3

0011

4

0100

5

0101

6

0110

7

0111

8

1000

9

1001

A

1010

B

1011

C

1100

D

1101

E

1110

F

1111


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1

La tabla anterior constituye el paso de hexadecimal a binario o viceversa para cantidades de 0 a 15. El paso para cantidades mayores se hace en base a la tabla de equivalencias anterior de acuerdo con los métodos siguientes:

Obtener el número binario a partir de los equivalentes binarios de cuatro bits de los dígitos hexadecimales, sustituyendo cada uno de los dígitos del número hexadecimal por su equivalente binario de 4 bits.

Esta conversión sigue el procedimiento inverso a la conversión anterior: distribuir el número binario en grupos de cuatro bits comenzando por el LSB, y sustituir cada grupo por su equivalente hexadecimal

Obsérvese que la conversión entre hexadecimal y binario se hace directamente por la relación dígito hexadecimal ↔ cuatro dígitos binarios. Este método no se puede aplicar para la conversión entre binario y decimal, ya que daría resultados erróneos. Es decir, para pasar un número decimal a binario, no se puede pasar dígito a dígito, sino por el método expuesto en su momento.

Los métodos descritos para el cambio base entre los sistemas hexadecimal y decimal son los siguientes: con la ayuda de una tabla, sumar los valores base de cada dígito hexadecimal multiplicados por los pesos correspondientes a la posición que ocupan. Por ejemplo, pasar 4D9A16 a decimal. número

posición

dígito


peso=16posición


0

A

10

1

10x1=10

1

9

9

16

9x16=144

2

D

13

256

13x256=3328

3

4

4

4096

4x4096=16384

4D9A

← hexadecimal

suma

19866

decimal →

Por lo tanto, 4D9A16=1986610 con la ayuda de una tabla, dividir sucesivamente por 16 el número decimal y formar el número hexadecimal tomando el último cociente como dígito de mayor peso y los restos de las divisiones hasta llegar al primer resto que será el dígito de menor peso. Por ejemplo: pasar 1986610 a hexadecimal. 



Dividir por 16 el número decimal que se desea convertir, anotando el resto de la división (que será 15 o menos necesariamente). 1

9

1

6 3 3

8 6 8 2 6 6 6 4 2 1 1

6 1

6

1

2

4

1

→ cociente

6 6 0 → resto=10

Tomar el cociente de la división anterior y volverlo a dividir por 16, anotando de nuevo el resto de la división.

13


1

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Lógica digital y microprogramable 1 1



2 1 1 1

4 1 2 2 1 1 2 9

1 6 7 7

→ cociente

→ resto=9

Volver a tomar el cociente de la división anterior y volverlo a dividir por 16, anotando de nuevo el resto de la división. Y así sucesivamente hasta que el cociente obtenido no se pueda dividir más por 16 (será por lo tanto 15 o menos). El proceso de divisiones sucesivas por 16 se puede anotar en una tabla como la que se muestra seguidamente: cocientes y posteriores dividendos 19866 1241 77

cociente de 19866/16 → cociente de 1241/16 → (último cociente) cociente de 77/16 → 

restos 10 9 13

4

Una vez realizadas todas las divisiones, tomar las cantidades decimales del último cociente y de los restos obtenidos y transformarlas en un dígito hexadecimal, de acuerdo con la tabla de valores base de los dígitos hexadecimales. cocientes y posteriores dividendos

restos

19866 1241 77 4

último cociente → 

← resto de 19866/16 (primer resto) ← resto de 1241/16 ← resto de 77/16 (último resto)

dígitos hexadecimales → → → →

10 9 13 →

← primer resto

A 9 D 4

← último resto

Construir el número hexadecimal tomando como dígito de mayor peso el de más abajo de la tabla (el que viene del último cociente), y continuando hacia arriba (del último resto al primer resto). cocientes y posteriores dividendos

restos

dígitos hexadecimales

19866

10

A

1241 77

9 13

9 D

4

4 4D9A

Por lo tanto, 1986610=4D9AH Los métodos descritos para el cambio base entre los sistemas hexadecimal y binario son los siguientes: obtener el número binario a partir de los equivalentes binarios de cuatro bits de los dígitos hexadecimales. Por ejemplo: pasar 8C6EH a binario. 

Sustituir cada uno de los dígitos del número hexadecimal por su equivalente binario de 4 bits. dígitos →

8 ↓

C ↓

6 ↓ 0110

equivalente en binario de 4 bits → 1000 1100 0 añadido a la izquierda para completar los cuatro bits ↑ 

1110

Formar el número binario buscado juntando los bits procedentes de cada dígito hexadecimal en el mismo orden que éstos. dígitos →

equivalente en binario de 4 bits →

8 ↓ 1000 

número binario buscado →

Por lo tanto, 8C6E16=10001100011011102

14

E ↓

C 6 ↓ ↓ 1100 0110 ↓ ↓ 1000110001101110

E ↓ 1110 


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1

Paso de binario a hexadecimal: distribuir el número binario en grupos de cuatro bits comenzando por

el LSB, y sustituir cada grupo por su equivalente hexadecimal. Por ejemplo: pasar 10101101111101 2 a hexadecimal. 

Comenzando por el LSB (por la derecha), distribuir el número binario a convertir en grupos de cuatro bits. Si el último grupo no llega a cuatro bits, se deja como está.

número binario → orden a seguir en el agrupamiento →

10101101111101 

grupos formados → 10 el último grupo puede no ser de cuatro bits ↑ 

↓ 0111



1101

A partir del número binario de cuatro bits de cada grupo, obtener el equivalente en hexadecimal, que estará formado por un único dígito por grupo.

Número binario → orden a seguir en el agrupamiento →

10101101111101 

grupos formados → equivalente hexadecimal → 

↓ 1011

10 ↓ 2

↓ 1011 ↓ B

↓ 0111 ↓ 7



1101 ↓ D

Formar el número hexadecimal buscado juntando los dígitos procedentes de cada grupo y en el mismo orden que éstos.

número binario → orden a seguir en el agrupamiento →

10101101111101 

grupos formados → equivalente hexadecimal →

10 ↓ 2 

↓ 1011 ↓ B ↓

número hexadecimal buscado →

↓ 0111 ↓ 7 ↓



1101 ↓ D 

2B7D

Por lo tanto, 101011011111012=2B7DH. Ejemplo resuelto 1

Pasar los siguientes números hexadecimales a decimal y binario: F7 y D0C5. Solución

Paso a decimal: número F7

dígito


peso

valor base x peso

7

7

1

7

F

15

16

240 suma: 247

F7H=24710 número

D0C5

dígito


peso

valor base x peso

5

5

1

5

C

12

16

192

0

0

256

0

D

13

4096

53248 suma: 53445

DC05H=5355610

15


1

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Paso a binario: dígitos → equivalente en binario de 4 bits →

F ↓ 1111

7 ↓ 0111

D ↓ 1101

0 ↓ 0000

F9H=111101112 dígitos → equivalente en binario de 4 bits →

C ↓ 1100

5 ↓ 0101

D0C5H=11010000110001012 Ejemplo resuelto 2

Pasar los siguientes números decimales a hexadecimal: 236 y 12587. Solución

cocientes 236 14

restos 12 →

hexadecimal →C →E

cocientes 12587 786 49 3

restos 11 2 1 →

23610=ECH

hexadecimal →B →2 →1 →3

1258710=312BH

Ejemplo resuelto 3

Pasar los siguientes números binarios a hexadecimal: 1110011 y 1010000110. Solución

número binario →

1110011

grupos formados → equivalente hexadecimal → número hexadecimal buscado →

↓

↓

111 ↓ 7 ↓

0011 ↓ 3 ↓ 73

11100112=73$ número binario → 


10 ↓ 2 


1010000110 ↓ ↓ 1000 0110 ↓ ↓ 8 6 ↓ ↓ 286

10100001102=286$

Del mismo modo que el sistema hexadecimal, el sistema de numeración octal permite manejar cantidades binarias de forma sencilla, permitiendo conversiones entre los sistemas prácticamente inmediatas. No es tan empleado como el hexadecimal ya que los números obtenidos a partir de un número binario resultan más largos, en general, en el sistema octal, y por lo tanto el hexadecimal permite comprimir en menos espacio el número binario transformado. Sin embargo, dado que también se utiliza, conviene conocerlo.

16


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

Se trata de un sistema de numeración de base 8: esto quiere decir que el sistema consta de 8 símbolos o dígitos. {0,1,2,3,4,5,6,7} Obsérvese que los dígitos elegidos para formar el sistema octal son sólo los 8 primeros dígitos arábigos. Por lo tanto, en un número octal no puede aparecer el dígito 8 ni el 9.



Las cantidades se codifican mediante un dígito o combinación de varios, obteniendo un número. tres: 38. diez: 108. veintiséis: 328. dos mil novecientos cuarenta y dos: 55768.



En un número, cada dígito representa una cantidad, que es su contribución a la cantidad total representada por el número.



La cantidad total representada por un número es la suma de las cantidades individuales representadas por cada uno de los dígitos que forman el número.



El sistema es posicional, lo que quiere decir que la contribución de un dígito del número depende de la posición de ese dígito. La cantidad con la que contribuye cada dígito se calcula multiplicando el valor base del dígito por un peso atribuido a la posición que ocupa. Tabla de valores base:



dígito valor base

dígito

valor base

dígito

valor base

dígito

valor base

0

cero

1

uno

2

dos

3

tres

4

cuatro

5

cinco

6

seis

7

siete

suma

pesos: por ser base 8, el peso atribuido a la posición n-ésima es 8 n. Las posiciones se cuentan de derecha a izquierda, empezando por el cero. 4 7 0 3 Posición cero: peso = 80 = 1 Posición uno: peso = 81 = 8 Posición dos: peso = 82 = 64 Posición tres: peso = 83 = 512

El cálculo de la cantidad que representa un número puede hacerse por lo tanto con la ayuda de una tabla como la que sigue: número

4703

posición

dígito


peso=8posición


0

3

3

1

3x1=3

1

0

0

8

0x8=0

2

7

7

64

7x64=448

3

4

4

512

4x512=2048

← octal

2499

decimal →

Por lo tanto, 47038=249910

17


1

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Igual que ocurría en el hexadecimal, la descripción del sistema octal ya proporciona un método para convertir de octal a decimal, utilizando una tabla como la del ejemplo anterior.

El método propuesto para la conversión de decimal a octal es semejante a los empleados en el paso de decimal a hexadecimal o de decimal a binario, y se basa en divisiones sucesivas por 8: dividir sucesi vamente por 8 el número decimal y formar el número octal tomando el último cociente como dígito de mayor peso y los restos de las divisiones hasta llegar al primer resto que será el dígito de menor peso.

-b Cada uno de los dígitos octales representa una cantidad del 0 al 7, que es su valor base. Estas cantidades, expresadas en binario, pueden requerir de hasta 3 bits, tal como se indica en la siguiente tabla: octal

binario

octal

binario

octal

binario

octal

binario

0

000

1

001

2

010

3

011

4

100

5

101

6

110

7

111

La tabla anterior constituye el paso de octal a binario o viceversa para cantidades de 0 a 7. El paso para cantidades mayores se hace en base a la tabla de equivalencias anterior de acuerdo con los métodos siguientes:

Obtener el número binario a partir de los equivalentes binarios de tres bits de los dígitos octales, sustituyendo cada uno de los dígitos del número octal por su equivalente binario de 3 bits.

Esta conversión sigue el procedimiento inverso a la conversión anterior: distribuir el número binario en grupos de tres bits comenzando por el LSB, y sustituir cada grupo por su equivalente octal.

Igual que en el caso del hexadecimal, la conversión entre octal y binario se hace directamente por la relación dígito octal ↔ tres dígitos binarios. De nuevo es necesario insistir en que este método no se puede aplicar para la conversión entre binario y decimal, ya que daría resultados erróneos.

Los métodos descritos para el cambio base entre los sistemas octal y decimal son los siguientes: Paso de octal a decimal: con la ayuda de una tabla, sumar los valores base de cada dígito octal

multiplicados por los pesos correspondientes a la posición que ocupan. Por ejemplo, pasar 4703 8 a decimal. número

4703

posición

dígito


peso=8posición


0

3

3

1

3x1=3

1

0

0

8

0x8=0

2

7

7

64

7x64=448

3

4

4

512

4x512=2048

← octal

Por lo tanto, 47038=249910

18

decimal →

suma

2499


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1

Paso de decimal a octal: con la ayuda de una tabla, dividir sucesivamente por 8 el número decimal, y formar el número octal tomando el último cociente como dígito de mayor peso y los restos de las divisiones hasta llegar al primer resto que será el dígito de menor peso. Por ejemplo, pasar 1986610 a octal. 

Construcción de la tabla de cocientes y restos: cocientes y posteriores dividendos

cociente de 19866/8 → cociente de 2483/8 → cociente de 310/8 → (último cociente) cociente de 38/8 → 

restos 19866 2483 310 38 4

← resto de 19866/8 (primer resto) ← resto de 2483/8 ← resto de 310/8 ← resto de 38/8 (último resto)

2 3 6 6

Construcción del número octal comenzando por el último cociente y siguiendo por los restos tomados del último al primero: cocientes y posteriores dividendos

restos

19866

2

2483 310 38 4

3 6 6 46632

Por lo tanto, 1986610=466328 Como en el caso del hexadecimal, la conversión entre sistemas decimal y octal tampoco es inmediata, y sólo se hará cuando sea realmente necesario. El verdadero sentido del uso del octal está en su aplicación para manipular cantidades dadas en binario, debido a la sencillez del paso de un sistema al otro. Los métodos descritos para el cambio base entre los sistemas octal y binario son los siguientes: obtener el número binario a partir de los equivalentes binarios de tres bits de los dígitos octales. Por ejemplo: pasar 37258 a binario. 

Sustituir cada uno de los dígitos del número octal por su equivalente binario de 3 bits. dígitos →

3 7 ↓ ↓ equivalente en binario de 3 bits → 011 111 0 añadido a la izquierda para completar los tres bits 

2 ↓ 010

5 ↓ 101

↑

Formar el número binario buscado juntando los bits procedentes de cada dígito octal en el mismo orden que éstos.


dígitos → ↓ 011 

número binario buscado →

3 ↓ 111 ↓

7 ↓ 010 ↓

25 ↓ 101 

011111010101

Por lo tanto, eliminando el cero más a la izquierda, que no contribuye con ningún valor (igual que en decimal, los ceros a la izquierda no cuentan), 37258=111110101012. distribuir el número binario en grupos de tres bits comenzando por el LSB, y sustituir cada grupo por su equivalente octal. Por ejemplo: pasar 10111111012 a octal. 

Comenzando por el LSB (por la derecha), distribuir el número binario a convertir en grupos de tres bits. Si el último grupo no llega a tres bits, se deja como salga.

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Lógica digital y microprogramable número binario → orden a seguir en el agrupamiento →

1011111101 ↓ 011



grupos formados → 1 el último grupo puede no ser de tres bits ↑ 



101

A partir del número binario de tres bits de cada grupo, obtener el equivalente en octal, que estará formado por un único dígito por grupo. número binario →

1011111101

orden a seguir en el agrupamiento → grupos formados →



1 ↓ 1

equivalente octal → 

↓ 111

↓ 011 ↓ 3

↓ 111 ↓ 7



101 ↓ 5

Formar el número octal buscado juntando los dígitos procedentes de cada grupo y en el mismo orden que éstos. número binario → orden a seguir en el agrupamiento →

1011111101 

grupos formados →

1 ↓ 1

equivalente octal →



número octal buscado →

↓ 011 ↓ 3 ↓

↓ 111 ↓ 7 ↓



101 ↓ 5 

1375

Por lo tanto, 10111111012=13758. Ejemplo resuelto 1

Pasar los siguientes números octales a decimal y binario: 74 y 1564. Solución

Paso a decimal: número 74

dígito


peso

4

4

1

7

7

8

valor base x peso 4 56 suma: 60

748=6010

número

dígito


peso

4

4

1

4

6

6

8

48

5

5

64

320

1

1

512

512

1564

valor base x peso

suma: 884

15648=88410 Paso a binario: dígitos → equivalente en binario de 3 bits →

7

4

↓

↓

111

100

748=1111002

20


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dígitos →

1 ↓ 001


5 ↓ 101

6 ↓ 110

1

4 ↓ 100

15648=11011101002 Ejemplo resuelto 2

Pasar los siguientes números decimales a octal: 236 y 12587. Solución

cocientes 236 29 3

restos

cocientes

4 5

restos

12587 1573 196 24 3

3 5 4 0

23610=3548

1258710=304538

Ejemplo resuelto 3

Pasar los siguientes números binarios a octal: 1110011 y 1010000110. Solución

número binario →

1110011 ↓ 1 ↓ 1 ↓

grupos formados → equivalente octal → número hexadecimal buscado →

↓ 110 ↓ 6 ↓



011 3 ↓

163 11100112=1638

número binario → 


1 ↓ 1 


1010000110 ↓ ↓ 010 000 ↓ ↓ 2 0 ↓ ↓ 1206



110 ↓ 6 

10100001102=12068

Los sistemas operativos de la familia Windows ofrecen en sus últimas versiones una calculadora que permite trabajar en los sistemas de numeración estudiados anteriormente, y que puede facilitar enormemente el trabajo con sistemas digitales binarios a la hora de hacer operaciones y conversiones entre sistemas de numeración. Pero la existencia de esta herramienta no debe inducir a despreocuparse de hacer manualmente los cambios de base y olvidar los detalles de los sistemas de numeración estudiados. Al contrario, en un principio debe emplearse como herramienta de apoyo en el estudio de los sistemas para la verificación de los resultados obtenidos manualmente, y sólo cuando se dominen perfectamente las técnicas, emplearla como herramienta de trabajo. La calculadora de Windows tiene un funcionamiento semejante a una calculadora tradicional de sobremesa.

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Llegados a este punto, el estudiante ya debe comprender el sentido de la aplicación y el uso del octal y el hexadecimal. Como se pudo comprobar, el manejo de largas listas de unos y ceros no es sencillo y se presta fácilmente a la confusión, mientras que pasando esas cifras a hexadecimal u octal, el mane jo es muy sencillo.

La calculadora de Windows se encuentra normalmente en el siguiente punto de los menús del sistema: Inicio → Programas → Accesorios → Calculadora O bien, eligiendo: Inicio → Ejecutar y escribiendo calc en la barra Abrir de la ventana Ejecutar que aparece y pulsando Aceptar . Una vez realizada alguna de las instrucciones anteriores, aparecerá la ventana de la aplicación de la calculadora de Windows. Esta calculadora tiene dos posibles apariencias: estándar o científica. La que se necesita para trabajar con los diferentes sistemas de numeración es la científica. Si la versión que apareciese fuera la estándar, habría que cambiarla a la científica en la opción: Ver

→ Científica

de la barra de menús de la calculadora, tal como se indica en la figura pequeña. El aspecto de la calculadora científica es el siguiente: A partir de este punto, el funcionamiento de la calculadora es como el de cualquier otra, con la particularidad de que trabajará en el sistema de numeración seleccionado en la barra correspondiente. En el ejemplo de la figura siguiente se puede ver que el sistema seleccionado es el decimal. Para seleccionar otro sistema de numeración simplemente hay que pulsar con el puntero del ratón en el circulito blanco al lado del sistema deseado. Para hacer una conversión de un sistema a otro se seguirá el siguiente procedimiento: Seleccionar el sistema de numeración de origen del número a convertir. Por ejemplo, para convertir 2B7D 16 a binario, comenzar seleccionado hexadecimal (Hex). Obsérvese que al seleccionar el sistema hexadecimal, los dígitos de la A a la F que están en la parte inferior de la calculadora, cambiaron del color gris que tenían en el sistema decimal al color azul. El color gris indicaba que esos dígitos no estaban permitidos en el sistema decimal, y el color azul quiere decir que ahora sí están permitidos en el sistema hexadecimal 



Introducir el número a convertir. En el ejemplo, escribir 2B7D.



Seleccionar el sistema de numeración al que se quiere convertir el número introducido. En el ejemplo, seleccionar binario (Bin). Obsérvese que al seleccionar binario, todos los dígitos cambian a gris salvo el cero y el uno, que son los únicos permitidos en este sistema.

En pantalla aparecerá el equivalente binario del número introducido, que para el 2B7DH es el 101011011111012.

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1

1.2 En los apartados anteriores se describieron varios sistemas de codificación de cantidades numéricas, adecuados cada uno a la naturaleza del procesador que los emplea y a la tarea en la que se van a utilizar. 

El sistema decimal es adecuado para prácticamente todas las actividades contables del ser humano .



Los sistemas octal y hexadecimal son adecuados para el trabajo con procesadores electrónicos digitales.



El sistema binario es adecuado para la realización de procesadores electrónicos digitales, ya que al tener tan solo dos símbolos distintos, su representación eléctrica mediante dos tensiones distintas es sencilla empleando la tecnología electrónica.

El sistema binario descrito en los apartados anteriores no es el único que se puede definir utilizando sólo dos símbolos. De hecho, existen más códigos binarios que también pueden ser empleados en los procesadores electrónicos digitales, ya que para ello sólo es necesario manejar los símbolos uno y cero. Seguidamente se dará una breve relación de otros sistemas de codificación binarios.

A partir de los dígitos 1 y 0 se establecen diferentes métodos de codificación de las cantidades para obtener diferentes sistemas de numeración binarios. 

Binario natural: es el descrito en los apartados anteriores.



BCD: permite trabajar fácilmente con cantidades decimales en binario.



Binario módulo-signo: permite representar cantidades enteras positivas y negativas.



Complemento a uno: permite representar cantidades enteras positivas y negativas.



Complemento a dos: permite representar cantidades enteras positivas y negativas.



Punto fijo: permite representar cantidades fraccionarias positivas y negativas.



Punto flotante: permite representar cantidades fraccionarias positivas y negativas.



Código Gray, Jhonson, etc.

De los anteriores, se describirá, por ahora, el sistema BCD.

El sistema BCD (Binario Codificado Decimal), como su nombre sugiere, es un sistema de codificación binario para el decimal. Esto es, dado un número decimal, se sustituye cada dígito decimal por su equivalente binario de 4 bits. Y al revés, el número binario en BCD se pasa a decimal formando grupos de 4 bits comenzando por el LSB y sustituyendo cada grupo por el dígito decimal equivalente. El método es semejante al empleado en los sistemas octal y hexadecimal, pero aplicado al decimal. Es necesario tener siempre presente, que el número binario BCD no es el equivalente binario natural del número decimal convertido.

Los métodos descritos para el cambio base entre los sistemas decimal y BCD son los siguientes: Paso de decimal a BCD: obtener el número BCD a partir de los equivalentes binarios de cuatro bits

de los dígitos decimales. Por ejemplo: pasar 187910 a BCD.

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Sustituir cada uno de los dígitos del número decimal por el equivalente binario de 4 bits. dígitos →

1 8 7 ↓ ↓ ↓ 0111 equivalente en binario de 4 bits → 0001 1000 0 añadido a la izquierda para completar los cuatro bits ↑ 

9 ↓ 1001

Formar el número BCD buscado juntando los bits procedentes de cada dígito decimal en el mismo orden que éstos. dígitos → equivalente en binario de 4 bits →

1 ↓ 0001 

número BCD buscado →

8 7 ↓ ↓ 1000 0111 ↓ ↓ 1100001111001

9 ↓ 1001 

Por lo tanto, 187910=1100001111001BCD. Obsérvese que se despreciaron los ceros a la izquierda, ya que carecen de valor. distribuir el número BCD en grupos de cuatro bits comenzando por el LSB, y sustituir cada grupo por su equivalente decimal. Por ejemplo: pasar 10100101110101BCD a decimal. 

Comenzando por el LSB (por la derecha), distribuir el número BCD a convertir en grupos de cuatro bits. Si el último grupo no llega a cuatro bits, se deja como salga. número BCD → orden a seguir en el agrupamiento →

10100101110101 

grupos formados → 10 el último grupo puede no ser de cuatro bits ↑ 



0101

10100101110101 

grupos formados → equivalente decimal →

10 ↓ 2

↓ 1001 ↓ 9

↓ 0111 ↓ 7



0101 ↓ 5

Formar el número decimal buscado juntando los dígitos procedentes de cada grupo y en el mismo orden que éstos. número BCD → orden a seguir en el agrupamiento →

10100101110101 


10 ↓ 2 

número decimal buscado →

Por lo tanto, 10100101110101BCD=297510. Ejemplo resuelto 1

Pasar los siguientes números decimales a BCD: 35 y 5907.

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↓ 0111

A partir del número binario de cuatro bits de cada grupo, obtener el equivalente en decimal, que estará formado por un único dígito por grupo. Si esto no ocurre, es que el número BCD está mal construido, y realmente no se trata de BCD. número BCD → orden a seguir en el agrupamiento →



↓ 1001

↓ ↓ 1001 0111 ↓ ↓ 9 7 ↓ ↓ 2975



0101 ↓ 5 


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1

Solución

dígitos → equivalente en binario de 4 bits →

3 ↓ 0011

5 ↓ 0101

3510=110101BCD dígitos → equivalente en binario de 4 bits →

5 ↓ 101

9 ↓ 1001

0 ↓ 0000

7 ↓ 0111

590710=101100100000111BCD Ejemplo resuelto 2

Pasar los siguientes números BCD a decimal: 1110011 y 1010000110. Solución

número BCD →

1110011 ↓ 111 ↓ 7 ↓

grupos formados → equivalente decimal → número decimal buscado → 1110011BCD=7310 número BCD →

73




↓ 0011 ↓ 3 ↓

10 ↓ 2 

número decimal buscado →

1010000110 ↓ ↓ 1000 0110 ↓ ↓ 8 6 ↓ ↓ 286

1010000110BCD=28610

Mediante estos sistemas se pueden representar o codificar símbolos alfanuméricos (letras, signos de puntuación, dígitos, etc.). Estos sistemas de codificación se basan en la asignación de un valor numérico a cada símbolo alfanumérico de acuerdo con una tabla. De este modo, un texto escrito se puede representar como una secuencia de números. Si el valor numérico se representa en binario, el sistema permite manejar textos con un procesador electrónico digital. Según el valor numérico asignado a cada símbolo alfanumérico, se pueden definir muchos sistemas de codificación distintos. En la práctica existen sólo unos pocos, siendo el más empleado el sistema, código o tabla ASCII ( American Standard Code for Information Interchange , código estándar americano para intercambio de información). En este sistema hay que distinguir entre el código ASCII estándar y el ASCII extendido. 

ASCII estándar: codifica las cantidades empleando 7 bits, de modo que se representan 2 7=128

símbolos alfanuméricos distintos. La tabla recoge los símbolos más habituales y es única en el mundo. 

ASCII extendido: codifica las cantidades empleando 8 bits, de modo que se representan 28=256

símbolos alfanuméricos distintos. En los 128 primeros códigos los símbolos coinciden con los de la tabla ASCII estándar (el MSB del código es 0). Los últimos 128 códigos (el MSB del código es 1) recogen símbolos particulares de los alfabetos de diferentes países, de modo que esta parte de la tabla puede cambiar de un sitio a otro. Además del ASCII, existen otros sistemas de codificación alfanumérica, como el EBCDIC, pero son menos empleados. Las tablas de este y otros códigos se pueden consultar en Internet.

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2. En este apartado se analizarán los aspectos relativos a los procesos de la inteligencia, de modo que se sienten las bases para el desarrollo de procesadores electrónicos digitales que sean capaces de emular el razonamiento humano básico, pudiendo realizar tareas de control.

2.1 La lógica es la disciplina que estudia las condiciones bajo las que, a partir de ciertas premisas, se llega correctamente a unas conclusiones; es decir, estudia los principios de los razonamientos correctos. No se plantea la certeza o no de las premisas, sino la validez del razonamiento. La lógica no garantiza que las conclusiones obtenidas sean siempre correctas, ya que algunas veces las premisas de partida pueden ser erróneas. Sólo garantiza que en las conclusiones no surgen más errores que los posibles derivados de la falsedad de las premisas, no del razonamiento.

2.2 La lógica proposicional estudia los procesos deductivos más simples de la lógica humana, como son los razonamientos basados en los enunciados declarativos proposicionales, que se explican en los siguientes apartados.

Un enunciado declarativo proposicional o simplemente proposición es una frase en la que lo que se declara puede ser verdadero o falso, pero no ambos a la vez. Son proposiciones los siguientes enunciados declarativos, ya que son o verdaderos o falsos: 

"Tres más dos son cinco": la proposición es verdadera.



"Cuatro más seis son ocho": la proposición es falsa.



"Mañana va a llover": aunque hoy no se sepa, será verdadera o falsa.



"Madrid está en España y Roma en Francia": en conjunto se enunció una falsedad.

Los siguientes enunciados declarativos no son proposiciones, ya que de ninguno de ellos se puede decir que sean verdaderos o falsos; son simplemente deseos, consejos o enumeraciones: 

Estudiad un poco más.



Haz el bien y no mires a quién.



Vivan los novios.



Una caja.

Es el carácter de verosimilitud o falsedad de una proposición. En los ejemplos anteriores, la primera proposición es verdadera, luego su valor es verdadero; la segunda es falsa, luego su valor es falso; la tercera será verdadera o falsa, pero no se sabrá hasta mañana. La cuarta es una proposición que tiene una parte que es verdadera y otra falsa, pero tal como está enunciada, en conjunto su valor lógico es falso. Los valores lógicos se representan con los símbolos V para el verdadero y F para el falso.

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Es la representación simbólica de una proposición. Tradicionalmente, los símbolos empleados para representar las proposiciones son las letras minúsculas p, q, r , etc. Las variables proposicionales se emplean por comodidad, para no tener que escribir todo el enunciado de la proposición. Por ejemplo, p puede representar la proposición "tres más dos son cinco". Por lo tanto, se puede e xpresar que el valor lógico de la proposición es verdadero del modo siguiente: p≡V

Una conectiva es un mecanismo para obtener nuevas proposiciones a partir de otras ya existentes por combinación de ellas. En el lenguaje humano, las conectivas vienen representadas por las conjunciones: copulativas, adversativas, disyuntivas, etc. Dada la riqueza y redundancia de los lenguajes, estas expresiones, formalmente distintas, muchas veces equivalen a una misma forma de combinación lógica. Las conectivas más simples que se verán en esta unidad y el símbolo con el que se representan en el lenguaje de la lógica, son las siguientes: conectiva

Castellano

símbolo

conjunción

Y

V

disyunción

O

V

negación

no

¬

ejemplo V

llueve y hace sol →

llueve

llueve o hace sol →

llueve V hace sol →

no llueve

→

hace sol →

llueve

¬

→

p=llueve

p →

q=hace sol

V

q

pVq p

¬

Otras conectivas pueden consultarse en textos específicos de lógica. De ahora en adelante, no se emplearán más los símbolos lógicos de las conectivas por no complicar la notación, y se empleará la notación lingüística en castellano y , o y no. A partir del uso de las conectivas, las proposiciones se clasifican en dos tipos: Proposiciones simples o atómicas: son las proposiciones que no están compuestas a partir de otras mediante conectivas. Ejemplo: "Madrid está en España". Proposiciones compuestas o moleculares: son las proposiciones que están compuestas a partir de otras mediante conectivas. Las proposiciones compuestas se descomponen en proposiciones atómicas o también en otras proposiciones compuestas a su vez. En el último nivel de descomposición, las proposiciones moleculares se descomponen en proposiciones atómicas. Ejemplo: "Madrid está en España y Roma está en Francia".

Es la representación de una proposición mediante las variables lógicas de las proposiciones que la constituyen y las conectivas que las combinan. En el caso de proposiciones atómicas, su expresión lógica es simplemente la variable lógica que la representa. Ejemplos: proposición

expresión

comentario

Madrid está España

p

Es una proposición atómica

Roma está en Francia

q

También es una proposición atómica

Roma no está en Francia

no q

Es una proposición compuesta

Madrid está en España y Roma no está en Francia

p y no q

Es otra proposición compuesta

Madrid está en España y Roma no está en Francia

r = p y no q

Es una proposición compuesta a la que se asigna la variable lógica r para simplificar su expresión

Los mapas mienten

s

Es una proposición atómica

Madrid está en España y Roma no está en Francia, o los mapas mienten

r o s = p y no q o s

Es una proposición compuesta

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Son signos empleados en la notación de las relaciones lógicas para evitar las ambigüedades que, a veces, presenta la lengua hablada. Se trata de paréntesis, corchetes y llaves que agrupan adecuadamente las variables lógicas dentro de una expresión. Ejemplo: proposición

expresión

el reo va a la cárcel

p

el reo muere

q

el reo paga una multa

r

el reo va a la cárcel y , muere o paga una multa

p y (q o r)

el reo va a la cárcel y muere, o paga una multa

(p y q) o r

Aunque en la lengua hablada las dos últimas proposiciones se expresen casi del mismo modo, expresan situaciones bien distintas, tal como se refleja en su expresión lógica. De ser ciertas en su conjunto las anteriores proposiciones, en el primer caso, el reo va a ir fijo a la cárcel, y allí deberá pagar una multa si no quiere morir. En el segundo caso, el reo puede ir a la cárcel y morir en ella, o bien librarse de todo pagando una multa. Como se ve, las situaciones son muy distintas.

A partir de los conceptos y elementos descritos anteriormente, la lógica proposicional estudia los mecanismos del razonamiento humano, y los clasifica en reglas o leyes. Por ejemplo, el razonamiento lógico frente a la conectiva y es que la proposición compuesta con esta conectiva es verdadera cuando las dos proposiciones conectadas son verdaderas simultáneamente, y falsa cuando cualquiera de las dos o las dos son falsas. Esto entonces, da la lugar a la siguiente ley: 

Ley de la conectiva y : la proposición compuesta con la conectiva y es verdadera cuando las dos proposiciones conectadas son verdaderas simultáneamente, y falsa cuando cualquiera de las dos o las dos son falsas.

Por ejemplo, cuando uno dice "la sal es dulce y el agua moja", en conjunto dice una falsedad, ya que una de las proposiciones conectadas por y es falsa. Del mismo modo, el razonamiento que interpreta la conectividad o da lugar a otra ley:  Ley de la conectiva o: la proposición compuesta con la conectiva o es verdadera cuando alguna de las proposiciones conectadas, o las dos, son verdaderas, y falsa cuando las dos son falsas. Por ejemplo, cuando uno dice "la sal es dulce o el agua moja", en conjunto dice una verdad, ya que al menos una de las proposiciones conectadas por o es verdadera. Análogamente, para cada una de las conectivas, tanto las vistas hasta ahora como otras, existe una regla de funcionamiento derivada del raciocinio humano, constituyendo las reglas o leyes básicas de la lógica. Además, existen otras relaciones lógicas más complejas que permiten deducir el valor lógico de las proposiciones compuestas, a partir de sus proposiciones constituyentes. Estas relaciones se clasifican también en leyes y métodos deductivos. Mediante la aplicación de las leyes de la lógica se puede evaluar el valor lógico en conjunto de una proposición compuesta.

Son reglas que definen el orden en el que se tienen que interpretar las relaciones lógicas dentro de una expresión en la que aparecen varias conectivas. Ante una posible duda en la interpretación, las conectivas de mayor precedencia son las que se aplican primero. El orden de precedencia de las conectivas lógicas es el siguiente:

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orden de precedencia

conectiva

mayor

no

1

y menor

o

Así por ejemplo, en la expresión “p o q y no r”, primero se evalúa no r, luego q y el resultado de no r, y luego p o el resultado de la evaluación anterior. Lo que no sería correcto es evaluar primero p o q, y luego el resultado evaluarlo con y no r. Es correcto:

No es correcto:

p o q y no r

p o q y no r

1º

1º (poq)

(no r) 2º

2º ( no r )

3º

[ q y ( no r ) ]

( p o q ) y ( no r )

3º p o [ q y ( no r ) ]

El empleo de paréntesis permite aclarar o alterar los órdenes de precedencia, haciendo que se evalúen en primer lugar los términos entre paréntesis. Las reglas de precedencia en la lógica funcionan igual que en el cálculo aritmético con las operaciones suma, multiplicación, etc., por lo que su aplicación no debe presentar mayores problemas.

Una tabla de verdad es un método para expresar la relación lógica entre una proposición compuesta y sus proposiciones constituyentes. En una parte de la tabla se disponen las proposiciones constituyentes, debajo de las que se recogen todas sus posibles combinaciones de valores lógicos. En la otra parte de la tabla se dispone la proposición compuesta, debajo de la que se indica el valor lógico que toma para cada una de las combinaciones de valores de las proposiciones constituyentes. Por ejemplo, una proposición representada por la expresión p o q. La tabla de verdad que describe la relación entre la proposición compuesta y p y q será: p F F V V

q F V F V

poq F V V V

Debajo de p y q se recogieron todas las posibles combinaciones de valores lógicos que pueden presentar; a saber, las dos falsas, una verdadera y otra falsa, y viceversa, y las dos verdaderas. Al lado de cada combinación se indica el valor lógico que le corresponde a la e xpresión p o q de acuerdo con las leyes de la lógica. La anterior tabla de verdad constituye un buen método de expresar el enunciado de la ley de la conectiva o, mejor que el lenguaje habitual empleado anteriormente para definirla. Del mismo modo, cada una de las leyes elementales de la lógica se puede expresar por medio de su tabla de verdad, como se muestra a continuación:

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p F F V V

Ley de la conectiva y p y q F F F V

q F V F V

Ley de la conectiva o poq F V V V

Ley de la negación no p V V F F

Son expresiones equivalentes aquellas formalmente distintas, pero que conducen al mismo resultado lógico para todos los valores de sus proposiciones constituyentes. Por lo tanto, dos expresiones son equivalentes si tienen la misma tabla de verdad. Por ejemplo, más adelante se podrá comprobar que la expresión no (p y q) es equivalente a no p o no q.

Ejemplo resuelto 1

Identificar los siguientes elementos lógicos de la proposición enunciada: 

Proposiciones elementales constituyentes de la proposición, y asignación de variables lógicas.



Expresión lógica de la proposición.



Tabla de verdad de la expresión.

Proposición enunciada: “la temperatura es inferior a 20ºC y hay combustible en el depósito”. Solución 

Proposiciones elementales constituyentes de la proposición y asignación de variables lógicas: del enunciado se deduce que hay dos proposiciones elementales ,por lo que se definirán dos variables: p→ la temperatura es inferior a 20ºC. q→ hay combustible en el depósito.



Expresión lógica de la proposición: en el enunciado se ve que la conectiva empleada es y , luego la expresión será: p y q



Tabla de verdad de la expresión: dado que hay dos variables, las posibles combinaciones de valores lógicos para ellas son cuatro: las dos verdaderas, las dos falsas, una verdadera y otra falsa, y viceversa. El valor lógico de la expresión para cada combinación se obtiene directamente de la ley de la conectiva y , según se muestra en la tabla: p

q

p y q

F F V V

F V F V

F F F V

Llegados a este punto, se podría continuar con el estudio del lenguaje de la lógica y de las leyes y métodos que incluye. Sin embargo, no se van estudiar más elementos de este lenguaje que los ya expuestos en los apartados anteriores, ya que en el ámbito de la electrónica se emplea un lenguaje más generalista para el tratamiento de los elementos de la lógica, tal como es el álgebra de Boole, que se verá en el apartado siguiente.

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2.3 El álgebra de Boole es una teoría matemática que trata sobre las propiedades de un determinado tipo de conjuntos que cumplen ciertas características o requisitos. Como toda matemática, es una teoría abstracta, que puede ser aplicada a cualquier situación real concreta que se ajuste a las condiciones de la teoría. En el caso a tratar aquí, resulta que la estructura de la lógica proposicional se adapta perfectamente a las características del álgebra de Boole. Por lo tanto, todas las conclusiones y resultados que proporciona el álgebra de Boole pueden ser aplicados directamente a la lógica. Además, el lenguaje empleado en el álgebra de Boole se adapta muy bien para su aplicación a los procesadores electrónicos digitales. La adaptación entre la lógica, el álgebra de Boole y la electrónica digital es tan fuerte, que constantemente se mezclan conceptos y términos de unas con otras. En este sentido, a continuación se expondrá el álgebra de Boole en sus propios términos, pero algunos se irán sustituyendo por otros que pertenecen, a la electrónica o a la lógica, según es práctica común en el ámbito de la electrónica digital.

Sea un conjunto B de elementos cualesquiera, sobre el que se definen dos operaciones internas. Para representar estas operaciones se emplearán los símbolos "+" y "·", por lo que a la primera operación se le llamará suma booleana y a la segunda producto booleano . No se deben de confundir estas operaciones con la suma y el producto aritmético empleados habitualmente. Por ser operaciones internas, a cada par de elementos de B se les hace corresponder otro elemento de B. Esto se expresa como sigue: B xB →

· B x B →

(a,b ) → (a + b ) ∈ B

(a,b ) → (a · b ) ∈ B

+

donde a y b son elementos de B, o variables booleanas que representan elementos de B. El conjunto B con las operaciones definidas es un álgebra de Boole si se cumplen las siguientes condiciones o postulados: Propiedad conmutativa Para cualquier par de elementos (a,b ) de B se verifica: 

Conmutativa respecto de la suma: a + b = b + a



Conmutativa respecto del producto: a · b = b · a

Propiedad distributiva

Para cualquier trío de elementos (a,b,c ) de B se verifica: Distributiva respecto de la suma:  a · (b + c ) = a · b + a · c 

Distributiva respecto del producto: a + (b · c ) = ( a + b ) · (a + c)

Existencia de los elementos neutros Para cualquier elemento a de B, existe: 

Un elemento neutro para la suma, denominado elemento cero: "0", tal que: a + 0 = a

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Un elemento neutro para el producto, denominado elemento uno "1", tal que: a · 1 = a

Los elementos 0 y 1 son únicos en el conjunto B y sirven para todos sus elementos, es decir, son uni versales en B. Axioma del complemento Para cada elemento a de B, existe otro elemento también de B, llamado complemento de a , complementario de a , negado de a u opuesto de a , y representado como a' , a , -a , a/ , a* o a , tal que verifica: ¬



Complemento respecto de la suma: a + a = 1



Complemento respecto del producto: a · a = 0

Una vez definido lo que es un álgebra de Boole, se podría comprobar la siguiente equivalencia entre los elementos de la lógica y los del álgebra: lógica proposicional

álgebra de Boole

valor lógico V

⇐⇒

elemento 1

valor lógico F

⇐⇒

elemento 0

conectiva y

⇐⇒

operación producto: ·

conectiva o

⇐⇒

operación suma: +

conectiva no

⇐⇒

existencia del complemento

proposición o variable lógica

⇐⇒

variable booleana

expresión lógica

⇐⇒

expresión booleana

leyes de la lógica

⇐⇒

postulados del álgebra

La equivalencia anterior refleja el hecho de que la lógica proposicional es una entidad concreta que se corresponde con el modelo matemático del álgebra de Boole. En efecto:

Es el conjunto de valores lógicos que puede tomar una proposición lógica, es decir: B={V, F} Como en todo conjunto booleano tiene que haber un 0 y un 1, V y F se identifican necesariamente con estos elementos. Como se verá más adelante, F se corresponde con el 0 y V con el 1, según las leyes de la lógica. En el ámbito de la electrónica se habla de los valores lógicos 0 y 1, lo que es un abuso del lenguaje por ser una mezcla de términos, ya que 0 y 1 son valores booleanos, pero esto no supone ningún problema ni debe inducir a confusión.

Son las proposiciones o variables lógicas, que representan o toman uno de los dos valores lógicos V (1) o F (0). En el ámbito de la electrónica, los términos variable booleana y variable lógica se emplean indistintamente.

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

Suma booleana: se corresponde con la conectiva o, de modo que se puede establecer la siguiente equivalencia: poq



1

p + q



Producto booleano: se corresponde con la conectiva y , de modo que se puede establecer la siguiente equivalencia: pyq



p · q

En el ámbito de la electrónica, los términos producto lógico, suma lógica, y producto booleano y suma booleana, se emplean indistintamente. El orden de precedencia en las operaciones booleanas es el mismo que en sus equivalentes lógicos, y el mismo que en la aritmética, por lo que no debe suponer ningún problema aplicarlo correctamente: tiene mayor precedencia la negación, seguida del producto y finalmente la suma. Los paréntesis sir ven para alterar este orden.

Según las leyes de la lógica y con la ayuda de las tablas de verdad no es difícil comprobar que se cumplen. En efecto: 

Propiedad conmutativa: 

Por la ley de la conectiva

p + q ↔ p o q = q o p ↔ q + p 

Por la ley de la conectiva

p · q ↔ p y q = q y p ↔ q · p 

Propiedad distributiva: 

Según las leyes de la lógica se cumple la igualdad

p · (q + r ) ↔ p y (q o r ) = (p y q ) o (p y r ) ↔ (p · q ) + ( p · r ) Según

las leyes de la lógica se cumple la igualdad

p + (q · r ) ↔ p o (q y r ) = (p o q ) y (p o r ) ↔ (p + q ) · (p + r ) 

Elementos neutros: los neutros para la suma y el producto son respectivamente 0 ↔ F y 1 

V, ya que:

p+0↔poF=p 

p·1



p y V = p

Axioma del complemento: existe complemento para cualquier elemento de B, que en este

caso sólo tiene dos elementos, de modo que: 0=1

ya que: y:

1=0

ya que: y:

0 + 0 = 0 + 1 ↔ F o V = V ↔ 1 0 · 0 = 0 · 1 ↔ F y V = F ↔ 0 1 + 1 = 1 + 0 ↔ V o F = V ↔ 1 1 · 1 = 1 · 0 ↔ V y F = F ↔ 0

De lo anterior se puede relacionar la existencia del complemento booleano con la conectiva lógica no, de forma que el resultado de aplicar la conectiva es el complemento booleano. Es decir, son equivalentes: no p ↔ p

En el ámbito de la electrónica, el concepto de la conectiva no o equivalentemente del complemento booleano, se denomina habitualmente complemento lógico, lo que de nuevo es una mezcla de términos, pero que no supone ningún problema. Como se acaba de ver, la lógica de proposiciones es un álgebra de Boole. En adelante, todas las manipulaciones de conceptos lógicos se harán a partir de las herramientas que proporciona el álge-

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bra de Boole, que de cara a la electrónica digital son más adecuadas que las del lenguaje formal de la lógica.

A partir de los postulados del álgebra de Boole, se pueden deducir una serie de relaciones entre variables booleanas que resultan de interés por su aplicación a la manipulación de expresiones lógicas, sobre todo de cara a su simplificación. Simplificar una expresión es obtener otra expresión equivalente pero formalmente menos compleja. A continuación se da una enumeración de algunas de estas relaciones booleanas a modo de teoremas. No se incluyen las demostraciones de los teoremas ya que escapan a los objetivos del libro. Teorema de los elementos dominantes a + 1 = 1 a · 0 = 0

Teorema de idempotencia a + a = a a · a = a

Ley involutiva o de la doble negación a = a

Ley de absorción a · (a + b ) = a a + (a · b ) = a

Segunda ley de la absorción a · (a + b ) = a · b a + (a · b ) = a + b

Propiedad asociativa

(a + b ) + c = a + (b + c ) = a + b + c (a · b ) · c = a · (b · c ) = a · b · c Leyes de De Morgan a + b = a · b generalizando (a 1 + a 2 +...+a n) = a 1 · a 2 · ...·a n a · b = a + b generalizando (a 1 · a 2 · ...·a n) = a 1 + a 2 +...+a n

Los postulados y teoremas del álgebra de Boole establecen una serie de relaciones entre variables booleanas que resultan de interés por su aplicación a la manipulación de expresiones lógicas, sobre todo de cara su simplificación. La tarea de la simplificación empleando los teoremas del álgebra de Boole no tiene una regla fija, y según los teoremas que se apliquen se puede llegar a una u otra expresión. Alcanzar la más simplificada es cuestión de experiencia en la elección del teorema más adecuado para aplicar en cada caso, además de que se puede llegar de diferentes formas al mismo resultado. Ejemplo resuelto 1

Simplificar la siguiente expresión: a · b · c + a · b · c

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Solución

Sacando factor común a ·b en ambos términos: a · b · c + a · b · c = a · b · (c + c )

Aplicando el axioma del complemento al paréntesis: a · b · (c + c ) = a · b · 1 = a · b

Ejemplo resuelto 2

Simplificar la siguiente expresión: a · b · c + a · b · c + a · b · c + a Solución

Al primer y segundo términos se les puede aplicar el resultado del ejemplo 1, y aplicando la ley de absorción a los tercer y cuarto términos se tiene: [a · b · c + a · b · c ] = a · b   (a · b · c + a ) = a [a · b · c + a · b · c ] = ( a · b · c + a ) = a · b + a Aplicando la segunda ley de absorción: a · b + a = a + b

Muchas de las leyes y métodos deductivos de la lógica, que no se expusieron en la presentación de la lógica de proposiciones, se pueden interpretar más fácilmente empleando el lenguaje del álgebra de Boole. Concretamente, se pueden interpretar haciendo uso de las funciones booleanas, que de nuevo, por abuso del lenguaje, se denominan a veces funciones lógicas en el ámbito de la electrónica, lo cual se debe asumir con naturalidad.

Matemáticamente, una función booleana f es una aplicación del producto cartesiano de n-ésimo orden de B por sí mismo, en B. Esto se representa como sigue: f :

( B x B x . . . x B )

→ B

f f ( a , a , . . . , a ) ( a 1 , a 2 , . . . , a n ) → 1 2 n

∈ B

Dicho de otro modo, una función lógica o booleana es la forma matemática de representar una relación por la que a una proposición se le asigna un valor lógico a partir de los valores lógicos de otra u otras proposiciones. Por ejemplo, cuando se dice “hay que subir la temperatura si hace frío”, el valor lógico de la proposición “hay que subir la temperatura” depende del valor lógico de la proposición “hace frío”. Si “hace frío” es verdadero entonces también será cierto que “hay que subir la temperatura”, mientras que si “hace frío” es falso, entonces “hay que subir la temperatura” también es falso.

Teniendo en cuenta que, tanto la proposición que depende de otras, como éstas mismas, están todas representadas por variables lógicas, se distinguen en el ámbito de la electrónica digital los siguientes elementos, que suponen a veces un doble uso del mismo término: 

además de la aplicación matemática ya definida, la proposición o variable que depende de otras se dice que es función de ellas, o simplemente que es la función. Matemáticamente sería la variable dependiente.



aunque lo sea también la variable dependiente (la función), en este contexto se llaman variables de la función o simplemente variables las proposiciones o variables lógicas de las que depende la función. Matemáticamente serían las variables independientes.

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la expresión lógica por la que se combinan las variables para asignarle un valor a la función es la expresión de la función. En las expresiones aparecerán las variables de la función combinadas por operadores lógicos o booleanos.

Por ejemplo, cuando se dice “hay que abrir el portón si hay coches en la entrada o si pulsan el interruptor”, se pueden identificar las siguientes proposiciones, representadas por sendas variables lógicas: f → hay que abrir el portón a → hay coches en la entrada b → pulsan el interruptor

Del enunciado se deduce que el valor lógico de f depende de los valores lógicos de a y b , por lo tanto, según se definió anteriormente: f → función a, b → variables

La dependencia de f con a y b se indica de la forma: f (a, b ) → indica que f depende de a y b

La expresión lógica de la función, por la que se define la dependencia entre f y a y b , será la siguiente: f (a, b ) = a o b → expresión lógica

O empleando el lenguaje del álgebra de Boole, la expresión booleana será: f (a, b ) = a + b → expresión booleana

En lo que sigue, en general ya sólo se empleará esta última forma de expresión booleana abandonando la forma lógica, aunque por abuso del lenguaje se le llame también expresión lógica a la expresión booleana.

Dado que una función viene definida por una expresión lógica, también se puede representar por la tabla de verdad correspondiente a la expresión. De este modo, la función del anterior ejemplo del control de un portón: f (a ,b )=a +b , se puede poner como sigue: a

b

0 0 1 1

0 1 0 1

f=a+b

0 1 1 1

Como en este ejemplo, de ahora en adelante, en las tablas de verdad se van a emplear valores booleanos (1 y 0) abandonando en la notación los valores lógicos (V y F). 

Combinaciones de la tabla de verdad

El hecho de emplear unos y ceros permite imaginar que las diferentes combinaciones de valores lógicos de las n variables de una función, forman un número en binario de n bits. Puesto que en la tabla de verdad aparecen todas las posibles combinaciones de valores de las n variables, también aparecerán todos los números binarios imaginados de n bits. El método de interpretar las combinaciones de valores lógicos como números binarios permite obtener fácilmente todas las posibles combinaciones que hay que recoger en una tabla de verdad. Para ello no hay más que disponer las variables en un determinado orden, y c ontar en binario desde todos los bits a 0 hasta todos a 1, imaginando que cada variable representa un bit. 

Entradas de la tabla de verdad

La aplicación de este método permite además identificar fácilmente cada una de las filas de la tabla de verdad. A cada una de estas filas se le llama entrada de la tabla, y se identifica por

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medio del número binario asociado a ella, o más cómodamente, por su equivalente en decimal o hexadecimal. Así por ejemplo, por entrada 2 de la t abla del ejemplo anterior se entiende la fila que tiene la combinación a =1 y b =0, ya que 102=210.

Las funciones lógicas más sencillas que se pueden definir se llaman funciones primitivas y se construyen a partir de las conectivas lógicas. De este modo se puede hablar de la función y , de la función o y de la función no. Además de éstas, también se puede definir la función identidad, que es una función igual a la única variable de la que depende: f (a )=a . En el ámbito de la electrónica digital es costumbre llamar a las funciones primitivas por su nombre en inglés. En la tabla siguiente se muestran las funciones primitivas, su nombre en inglés entre paréntesis y la tabla de verdad que define su funcionamiento.

función identidad a f =a 0 1

negación (NOT) a f =a

0

0

1

1

1 0

funciones primitivas suma o (OR) a b f =a +b

producto o y (AND) a b f =a·b

0

0

0

0

0

0

0

1

1

0

1

0

1

0

1

1

0

0

1

1

1

1

1

1

Son funciones que se definen a partir de relaciones lógicas sencillas que aparecen con frecuencia en el ámbito de la electrónica digital. Una de ellas es por ejemplo la función o exclusivo o suma exclusiva, que representa la situación lógica en la que la función es verdadera cuando exclusivamente sólo una de las dos variables de las que depende es verdadera, y falsa cuando las dos variables son falsas o las dos son verdaderas . Esta función refleja situaciones como por ejemplo la siguiente: en un cajero automático, “el pago es correcto si se entrega un billete de 10 € o dos de 5 €”. Las posibles situaciones son: si no se entrega ningún billete (caso 1 de la tabla) el pago no es correcto. Si sólo se entrega un billete de 10 € (caso 2) el pago sí es correcto. Si se entregan dos billetes de 5 € (caso 3) el pago también es correcto. Finalmente, si se entrega un billete de 10 € y también se entregan dos billetes de 5 € (caso 4), en total se entregan 20 € por lo que el pago no es correcto, ya que sólo se debían de entregar 10 €.

caso 1 caso 2 caso 3 caso 4

se entrega un billete de 10 €

se entregan dos billetes de 5 €

el pago es correcto

0 0 1 1

0 1 0 1

0 1 1 0

La función lógica o exclusivo o suma exclusiva tiene su propio signo u operador, que para el álgebra de Boole es el siguiente: a o exclusivo b



a ⊕ b

⊕ → suma exclusiva

Las siguientes equivalencias pueden ser útiles para hacer simplificaciones: a ⊕ b = a · b + a · b a ⊕ b = a · b + a · b

Otras funciones elementales se definen a partir de las funciones primitivas combinadas con el operador de la negación, de modo que se obtienen las funciones y negado, o negado, etc.

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En el ámbito de la electrónica digital también es costumbre llamar a las funciones elementales por su nombre en inglés. En la tabla siguiente se muestran las funciones elementales, su nombre en inglés entre paréntesis y la tabla de verdad que define su funcionamiento.

suma o

exclusivo (XOR)

funciones elementales negado (NOR) negado (NAND)

suma o

exclusivo negado (XNOR)

a

b

f = a ⊕ b

a

b

f = a + b

a

b

f = a · b

a

b

f = a ⊕ b

0

0

0

0

0

1

0

0

1

0

0

1

0

1

1

0

1

0

0

1

1

0

1

0

1

0

1

1

0

0

1

0

1

1

0

0

1

1

0

1

1

0

1

1

0

1

1

1

Son funciones que definen relaciones más complejas que las primitivas y las elementales, y están formadas por combinación de funciones primitivas o elementales, por ejemplo f (a,b,c ) =a ⊕ b c . ·

Una función lógica es la forma matemática de representar una relación por la que a una proposición se le asigna un valor lógico a partir de los valores lógicos de otra u otras proposiciones. En el diseño de sistemas electrónicos digitales, el primer paso siempre consiste en identificar la función o funciones lógicas que se definen a partir del enunciado que describe el sistema a diseñar. En la identificación de las funciones se seguirán los siguientes pasos:  Identificar la función.  Identificar las variables de la función.  Identificar la relación lógica que define la expresión de la función o bien su tabla de verdad. Ejemplo resuelto 1

Identificar la función y las variables que se definen en el siguiente enunciado, y determinar su expresión o tabla de verdad: "Un jurado formado por tres miembros emite un fallo favorable o desfavorable sobre cierta cuestión. El fallo emitido se hace por mayoría de los votos emitidos por cada uno de sus miembros". Solución

En este caso las funciones y las variables no se encuentran explícitamente en el enunciado, sino que hay que interpretarlo como sigue (también son posibles otras interpretaciones): 

la única proposición que se puede encontrar que depende de otras es el fallo emitido por el jurado, ya que depende de lo que vota cada uno de sus miembros. Por lo tanto, la función se puede enunciar como sigue: f → el fallo emitido es favorable Este enunciado puede ser verdadero o falso según los votos de los miembros del jurado.



la función anterior depende de los votos de los tres miembros del jurado, luego habrá tres variables, que pueden ser enunciadas como sigue: a → el primer miembro votó favorablemente b → el segundo miembro votó favorablemente c → el tercer miembro votó favorablemente las tres variables pueden ser verdaderas o falsas cada una de ellas, según haya sido realmente el voto de los miembros del jurado.

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(Observación: téngase en cuenta que cabrían otras interpretaciones, como por ejemplo tomar como función "el fallo es desfavorable", o como variable "el primer miembro votó desfavorablemente", que también serán verdaderas o falsas. En cualquier caso, la interpretación queda a la elección de cada uno, y sólo será necesario mantener el criterio a lo largo de toda la resolución.) 

en este caso, encontrar la expresión que relaciona la función con las variables no es sencillo a partir del enunciado. Sin embargo, sí es posible hacer una tabla de verdad para la función, planteando todos los casos posibles de votos del jurado, y el valor de la función (fallo emitido) para cada uno de los casos. Puesto que son tres miembros, y cada uno sólo tiene dos opciones de voto: favorable (variable=1 por ser verdadera) o desfavorable (variable=0 por ser falsa), las posibles combinaciones de votos son ocho. Para obtener las ocho combinaciones se seguirá el método de generar las entradas de la tabla de verdad contando en binario con tres bits según se muestra en la siguiente tabla: entradas

a

b

c

f (a,b,c)

0 1 2 3 4 5 6 7

0 0 0 0 1 1 1 1

0 0 1 1 0 0 1 1

0 1 0 1 0 1 0 1

0 0 0 1 0 1 1 1

fallo desfavorable: hubo mayoría absoluta de votos desfavorables fallo desfavorable: hubo 2 votos desfavorables contra 1 favorable fallo desfavorable: hubo 2 votos desfavorables contra 1 favorable fallo favorable: hubo 2 votos favorables contra 1 desfavorable fallo desfavorable: hubo 2 votos desfavorables contra 1 favorable fallo favorable: hubo 2 votos favorables contra 1 desfavorable fallo favorable: hubo 2 votos favorables contra 1 desfavorable fallo favorable: hubo mayoría absoluta de votos favorables

Ejemplo resuelto 2

La alarma de una casa dispone de dos sensores V1 y V2 en sendas ventanas, y un sensor P en una puerta. Los sensores se activan cuando se abren las ventanas o la puerta respectivamente. Además, la alarma dispone de un terminal de control A que sirve para poner la alarma en estado activo de vigilancia o bien desactivarla. El sistema presenta un terminal de salida S para indicar situaciones de estado de alarma, que se deberá activar cuando la puerta o alguna ventana se abran, estando la alarma en estado activo de vigilancia. Determinar las funciones, las variables y la relación lógica que las relaciona. Solución 





la única función que hay en el enunciado es el estado del terminal de salida S, que puede ser activo o no, y que depende del estado de apertura de las ventanas y de la puerta, y de si el sistema está en estado de vigilancia. Si S=1 quiere decir que está activo y por lo tanto hay situación de alarma, y si S=0 significa que no está activo, y por lo tanto no hay estado de alarma. las variables de las que depende la función son V1, V2, P y A, es decir, del estado acti vo o no de los sensores y del estado de vigilancia del sistema. Por ejemplo, si V1=1, el sensor de la ventana está activo y si V1=0 no está activo. en este caso se puede deducir la expresión lógica directamente del enunciado del problema: S ( A,V 1 ,V 2 ,P ) = A ( V 1 + V 2 + P ) ·

Dada una función que depende de varias variables, se definen los siguientes conceptos: 

o término canónico producto: es un producto donde aparecen multiplicadas todas las variables, directamente o negadas, una y sólo una vez. Por ejemplo, dada una función f (a,b,c,d ): son minterms

a a a a

·

·

·

·

b b b b

·

·

·

·

c c c c

·

·

·

·

d d d d

no son minterms

a b c a c d c d a b b c d ·

·

·

·

·

·

·

·

·

falta la variable d falta la variable b Faltan las variables a y b la variable b aparece dos veces

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o término canónico suma: es una suma donde aparecen todas las variables, directamente o negadas, una y sólo una vez. Por ejemplo, dada una función f (a,b,c,d ): son minterms

no son minterms

a+b+c+d a+b+c+d a+b+c+d a+b+c+d 

a+b+c a + c + d c + d a + b + b + c + d

falta la variable d falta la variable b Faltan las variables a y b la variable b aparece dos veces

de entre todas las expresiones equivalentes que puede tener una función, siempre se pueden encontrar un par de ellas que se llaman expresiones canónicas y que tienen las siguientes características: 

Expresión canónica suma : está formada únicamente por suma de minterms. Por ejemplo: f ( a,b,c,d ) = a b c d + a b c d + a b c d + a b c d ·



·

·

·

·

·

·

·

·

·

·

·

Expresión canónica producto : está formada únicamente por producto de maxterms. Por

ejemplo: f ( x , y , z ) = ( x y z ) + ( x y z ) + ( x y z ) ·

·

·

·

·

·

La forma canónica de una función es de interés en ciertos casos como los que se indican a continuación:  Uso de dispositivos configurables : como se verá más adelante en la unidad correspondiente, cuando se trabaje con dispositivos electrónicos digitales configurables tales como PLD’s, PAL, GAL, etc., es conveniente expresar las funciones en su forma canónica. 

Obtención de la tabla de verdad : dada una función en una forma canónica, es inmediato obte-

ner la tabla de verdad sin necesidad de evaluar las expresiones lógicas para cada una de las entradas de la tabla. El método se basa en interpretar cada minterm (o maxterm según la expresión canónica sea suma o producto) como un número binario, que reflejará una entrada de la tabla: 

Para los minterms: suponer que las variables sin negar representan al 1 y las negadas al 0. Por ejemplo: (a b c ) se refiere a la entrada 1012=510. ·



·

Para los maxterms: suponer que las variables sin negar representan al 0 y las negadas al 1. Por ejemplo: (a + b + c ) se refiere a la entrada 0102=210.

La tabla se forma asignando los siguientes valores a la función, según cuál sea su expresión canónica: 





Expresión suma: valor 1 en las entradas referidas por los minterms, y valor 0 en las demás entradas. Expresión producto: valor 0 en las entradas referidas por los maxterms, y valor 1 en las demás entradas.

Expresión reducida de la función : en relación con lo anterior, existe una notación que permite

representar abreviadamente la expresión de una función cuando viene dada en forma canónica: 

Expresión canónica suma: se indica con el símbolo del operador sumatorio: Σ



Expresión canónica producto: se indica con el símbolo del operador productorio: Π



Al pie del operador se indicará el número de variables de las que depende la función.



En el interior del operador se disponen los números en decimal o hexadecimal de las entradas de la tabla referidas por los minterms o maxterms según el caso. Por ejemplo:

f (a,b,c,d ) = a b c d + a b c d + a b c d + a b c d + a b c d = Σ4 (3,4,7,A,D ) ·

·

·

·

·

·

·

·

·

·

·

·

g ( x,y,z ) = ( x + y + z ) · ( x + y + z ) · ( x + y + z ) = Π3 (6,3,0)

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·

·

·


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

A partir de la tabla de verdad : el método es el inverso al expuesto en el apartado anterior para

la obtención de la tabla a partir de la expresión canónica.





Expresión suma: obtener los minterms a partir de las entradas en las que la función vale 1.



Expresión producto: obtener los maxterms a partir de las entradas en las que la función vale 0.

A partir de una expresión no canónica : el procedimiento consta de dos pasos: 



Mediante el empleo de los teoremas del álgebra de Boole, desarrollar la expresión no canónica hasta obtener una expresión formada sólo por suma de productos (no canónicos posiblemente) o producto de sumas (no canónicas posiblemente) según lo deseado. Desarrollar cada término obtenido, hasta formar un término canónico. Para ello, añadir las variables que le faltan para ser canónico empleando el postulado del complemento.

Ejemplo resuelto 1

Obtener la tabla de verdad de la siguiente función, y expresarla en notación reducida: f (a,b,c,d ) = a · b · c · d + a · b · c · d + a · b · c · d + a · b · c · d + a · b · c · d + a · b · c · d Solución

Notación reducida: f (a,b,c,d ) = a · b · c · d + a · b · c · d + a · b · c · d + a · b · c · d + a · b · c · d + a · b · c · d cambiar variables por 1 y negadas por 0











por ser expresión suma

0001

0011

0100

1001

1010

1111













1

3

4

9

A

F

f (a,b,c,d ) = Σ4 (1,3,4,9,A,F )

Tabla de verdad: 

Asignar el valor 1 a las entradas de la tabla determinadas por los minterms:

→ → →

→ →

→

entradas

a

b

c

d

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F

0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1

0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1

0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1

0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1

f (a,b,c,d) 1 1 1

1 1

1

Completar la tabla con 0 en las demás entradas:

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Lógica digital y microprogramable entradas

a

b

c

d

f (a,b,c,d)

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F

0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1

0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1

0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1

0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1

0 1 0 1 1 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 1

Ejemplo resuelto 2

Obtener la expresión canónica suma y producto de la función dada por la tabla de verdad del ejercicio 1.10 del apartado de autoevaluación de este tema. Solución

La tabla de verdad es la siguiente, a partir de la que se pueden obtener los minterms (los 1's) o los maxterms (los 0's): a

b

c

d

f(a,b,c,d)

0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1

0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1

0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1

0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1

0 0 0 0 0 1 1 1 0 0 0 1 1 1 1 1

minterms

maxterms

a + b + c + d a + b + c + d a + b + c + d a + b + c + d a + b + c + d a · b · c · d a · b · c · d a · b · c · d a + b + c + d a + b + c + d a + b + c + d a · b · c · d a · b · c · d a · b · c · d a · b · c · d a · b · c · d

Expresión canónica suma: f (a,b,c,d ) = Σ4(5,6,7,11,12,13,14,15)=

=a b c d+a b c d+a b c d+a b c d+a b c d +a b c d +a b c d +a b c d ·

·

·

·

·

·

·

·

·

·

·

·

·

·

·

·

·

·

·

·

·

Expresión canónica producto: f (a,b,c,d ) = Π4(0,1,2,3,4,8,9,10)=

= (a + b + c + d ) · (a + b + c + d ) · (a + b + c + d ) · (a + b + c + d ) · (a + b + c + d ) · (a + b + c + d ) · (a + b + c + d ) · (a + b + c + d ) Ejemplo resuelto 3

Obtener una expresión canónica de la siguiente función: f (a,b,c,) = a · b + a · b +a · c + a · c

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·

·

·


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Solución

En este caso, la función ya casi está expresada como suma de productos no canónicos. Aplicando De Morgan al tercer término, ya está completamente desarrollada: f (a,b,c,) = a · b + a · b +a · c + a · c = a · b + a · b +a + c + a · c Para que cada término sea canónico se añadirá la variable que falta del modo siguiente: f (a,b,c,) =

+ a · b

a · b falta c 

+

falta c 

+

a

faltan b y c 

+

c

a · c

faltan a y b 

falta b 

f (a,b,c,) = a · b · (c + c )+ a · b · (c + c ) + a · (b + b ) · (c + c ) + c · (a + a ) · (b + b ) + a · c · (b + b )

Obsérvese que multiplicar por términos del tipo ( x + x ) no cambia nada ya que por el postulado del complemento es igual que multiplicar por 1, lo que no altera los valores según el postulado de los neutros. Aplicando la distributiva a cada paréntesis se obtienen términos canónicos: f (a,b,c,) = a · b · (c + c )+ a · b · (c + c ) + a · (b + b ) · (c + c ) + c · (a + a ) · (b + b ) + a · c · (b + b ) =

= a b c + a b c + a b c + a b c + a b c + a b c + a b c + a b c + c a b + c a b + c a b + c a b + a c b + a c b ·

·

·

·

·

·

·

·

·

·

·

·

·

·

·

·

·

·

·

·

·

·

·

·

·

·

·

·

Finalmente, aplicando la ley de idempotencia (x+x=x) para eliminar los términos repetidos, se obtiene la expresión canónica: f (a,b,c,d ) = a b c + a b c + a b c + a b c + a b c + a b c + a b c = Σ3(0,1,2,3,4,6,7) ·

·

·

·

·

·

·

·

·

·

·

·

·

·

Como ya se expuso en su momento, un sistema de control trata de generar ciertas actuaciones a partir de ciertas observaciones y ciertas condiciones de funcionamiento. Por ejemplo, el control del portón de un aparcamiento trata de generar una actuación (la apertura del portón) a partir de la observación de la presencia de coches y de la pulsación de un interruptor. Además, estas observaciones se combinan con una condición de funcionamiento como puede ser que alguna de las dos observaciones dé un resultado afirmativo. Esto se resume diciendo que “hay que abrir el portón si hay coches en la entrada o pulsan el interruptor”. Como ya se pudo intuir a partir de los ejercicios desarrollados hasta el momento, los sistemas de control más sencillos, como el ejemplo del portón, se pueden representar mediante funciones lógicas, estableciendo las siguientes relaciones: 

Función: es el elemento a controlar.



Variables: son las observaciones a partir de las que se controlará el sistema.



Expresión: son las condiciones de funcionamiento.

El proceso de control queda representado por una función lógica. En el ejemplo del portón, haciendo la siguiente definición de variables: 

P: el Portón debe abrirse → función



C: hay Coches en la entrada → variable



I: pulsan el Interruptor → variable

la función lógica que define el proceso de control es: P (C,I ) = C + I

Esta función lógica está presente en la mente del controlador del portón cuando se trata de un ser humano. En el caso de querer sustituirlo por un sistema electrónico digital, se deberán de llevar a cabo los siguientes procesos:

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Disponer de sensores que proporcionen las señales eléctricas que representen a los valores lógicos de las variables C y I. Es decir, un sensor dará por ejemplo 5V cuando haya coches en la entrada (C=1) y 0V cuando sea falso que los haya (C=0). Otro sensor podrá dar 5V cuando pulsen el interruptor (I=1) y 0V cuando sea falso que lo pulsen (I=0). Las señales obtenidas pueden denominarse como señal C y señal I respectivamente, para mejor identificar su sentido.



Disponer de un motor actuador que mueva la puerta, controlado por una línea de tensión. Si en la línea de control se aplica una señal de por ejemplo 5V al motor, la puerta se abrirá, y si se aplican 0V se cerrará (porque tira de ella un resorte, por ejemplo). La señal que controla la puerta puede denominarse señal P, de modo que se identifique con la función de control P.



Disponer de un circuito electrónico que a partir de las señales C y I genere la señal P con los valores adecuados según la relación que define la función lógica de control. En este caso, el circuito electrónico deberá de funcionar como la función lógica suma o OR. Tal circuito existe, se llama puerta OR y funciona según la tabla de la función OR: valor de la señal C

valor de la señal I

valor generado para la señal P

0V 0V 5V 5V

0V 5V 0V 5V

0V 5V 5V 5V

donde el 1 está representado por la tensión de 5V y el 0 por la de 0V. En general, cuando un sistema de control puede estar representado por una función lógica, la electrónica digital proporciona los circuitos necesarios para implementar el comportamiento de esa función, a partir de las señales eléctricas que representan los valores de las variables lógicas. El proceso de diseño, dados los conocimientos adquiridos hasta el momento, es el siguiente: 

A partir del enunciado o especificaciones del sistema de control, identificar las variables y las funciones.



A partir del enunciado o especificaciones, construir la tabla de verdad.



A partir de la tabla de verdad, obtener una expresión canónica de la función.



A partir de la expresión canónica, obtener una expresión simplificada, empleando los teoremas del álgebra de Boole.



Una vez obtenida la función simplificada que define el sistema de control, implementarla circuitalmente con las puertas y circuitos que proporciona la electrónica digital.

En las siguientes unidades se describirán otras técnicas que simplifican el proceso de diseño descrito anteriormente. Obsérvese que los valores lógicos de las variables no dependen del propio sistema, sino que vienen dados por el entorno exterior y por lo tanto, en principio, pueden tomar cualquier valor. Por otro lado, los valores que debe tomar la función son los que tiene que generar el sistema de control, y por lo tanto es responsabilidad del sistema que la función tome los valores adecuados en todas las circunstancias. Tampoco hay que olvidar que detrás de cada señal digital hay una variable lógica y por lo tanto una proposición, aunque a veces sea difícil de identificar o enunciar en el lenguaje hablado habitual. En las siguientes unidades se estudiarán los diferentes circuitos electrónicos digitales que permiten la implementación de funciones lógicas, y permiten por lo tanto el desarrollo de controladores electrónicos digitales. También se estudiarán diferentes métodos para la obtención de las funciones lógicas que definen los sistemas de control.

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En el anterior ejemplo del portón, el valor lógico 1 (la verdad) estaba representado por la tensión de 5V y el valor lógico 0 (la falsedad) estaba representado por la tensión de 0V. Esta relación es arbitraria, ya que de hecho, el problema se podría haber resuelto haciendo la asignación contraria, es decir, el 1 representado por 0V y el 0 por 5V; aunque el circuito resultante sería diferente, haría la misma función de control. El criterio queda a la elección del diseñador. La electrónica digital siempre trabaja con dos niveles distintos de tensión para representar el 0 y el 1 lógicos. Los valores concretos de tensión dependen de la tecnología con que se trabaje. Según el diseñador elija, arbitrariamente por la conveniencia en cada caso, la relación entre los valores lógicos y los niveles de tensión, se hablará de dos tipos de lógica en la electrónica digital: 

lógica positiva: el 1 está representado por el nivel mayor de tensión y el 0 por el nivel menor de tensión.



lógica negativa: el 0 está representado por el nivel mayor de tensión y el 1 por el nivel menor de tensión.

3. Pasar los siguientes números hexadecimales a decimal y binario: E8, D1A, FE0, CACA, CAFE, DE5E0.

Pasar los siguientes números decimales a hexadecimal: 256, 3687, 12584, 698574, 12234842.

Pasar los siguientes números binarios a hexadecimal: 1100110, 1001111101, 110101010101, 111100000001110, 111110001101010100011110.

Pasar los siguientes números octales a decimal y binario: 2654, 5752, 25467, 2101445.

Pasar los siguientes números decimales a octal: 256, 3687, 12584, 698574, 12234842.

Realizar los cambios de base de los ejercicios anteriores empleando la calculadora de Windows.

Pasar los siguientes números decimales a BCD: 38, 568, 785, 1111, 5566.

Pasar los siguientes números BCD a decimal: 1100110, 10110010110, 111100110000111, 10000000110000001.

Simplificar la siguiente expresión: ( a + b + c ) · ( a + b + c ) · ( a + b + c ) · ( a + c ) · ( a + c )

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Logica Digital y Microprogramable

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