GERİDEN KESTİRME YÖNTEMİ
Arazide bir P noktasından koordinatı, çevrede koordinat değerleri bilinen A, B ve C gibi en az üç komşu noktaya olan doğrultu değerlerin ölçülmesi yada bu doğrultuların farkı şeklinde elde edilen α, β açıları yardımıyla belirlenmesi işlemine Geriden kestirme hesabı denir.
Collins Yöntemi
Bu yöntemde, koordinatı bilinen üç nirengi noktasından ve üzerine alet kurularak bu nirengi noktalarına giden doğrultuların arasındaki
α
ve
açı ölçü değerlerinden faydalanarak P gibi bir kestirme noktasının koordinatlarını hesaplamada,
yardımcı bir collins noktasından faydalanılır.
Q
B
Q ε
A
β
δ
δ
ε
α
β
P
Şekil 44: Collins Yöntemi
α
C
P kestirme noktasından B nirengi noktasına çizilen doğrultunun A, P ve C noktalarından geçen çemberi kestiği Q yardımcı
noktasına collins yardımcı noktası adı verilir.
Çember geometrisinden; APB=ACQ, BPC=QAC PCA=PQA, CQP=CAP açıları aynı yayı gören çevre açılar olduğundan birbirine eşittirler. Böylece, problem ardı sıra uygulanabilen iki adet önden kestirme problemi çözümüne dönüşmüş olur.
Birinci Birinci önden kestirme kestirme problemind probleminde; e; Q noktasının koordinatları A ve C koordinat koordinatları ları bilinen bilinen nirengi nirengi noktalarınd noktalarından an faydalanarak bir önden kestirme çözümü ile kolayca denetimli bir şekilde bulunabilir. Sonra,
δ = (BQ) – (QC)
ve
δ ve ε
açıları hesaplanabilir;
ε = (QA) – (BQ)
Ancak, burada yapılacak hesaplamalarda dikkat edilmesi gereken bir önemli husus; B noktasının çemberin içinde mi yoksa dışında mı olduğudur. Eğer dışında ise; ,
δ
ve
ε
açılarının açılarının hesaplanmas hesaplanmasıı için verilen verilen formüller formüller olduğu olduğu gibi kullanılır. kullanılır.
İçerisinde ise; o zaman bu formüllerde yer alan (BQ) açıklık açısı yerine 200 g ilave edilmiş değeri, (BQ+200 g ) şeklinde
alınarak elde edilen açıklık açısı kullanılarak işlemler yapılır. Şekilden de görüldüğü gibi,
δ
ve
ε
açıları aynı zamanda
A ve C aynı yayı gören A ve C noktalarındaki CAP ve PCA çevre açılarına da olmaktadır. Bu özellikten faydalanarak A
noktalarından yapılacak ikinci bir önden kestirme hesabı ile ACP üçgeninden P noktasının koordinatları hesaplanır.
Örnek 1: Aşağıda verilen ölçülere göre 100 nolu nirenginin koordinatını hesaplayınız. NN Sağa 101 540297.28 6 102 540699.92 7
Yukarı 564800.14 0 564912.22 6
NN Y X 10 4029 40297. 7.28 2866 5648 564800 00.1 .140 40 1 10 4069 40699. 9.92 9277 5649 564912 12.2 .226 26 2 10 4080 40800. 0.03 0322 5645 564599 99.8 .852 52 3 α = 68.0341 β = 59.1432
DN BN Doğrultu 0.0000 100 101 102
68.0341
Q 101
−103
= 541
.174 m. (101 - 103
) =124 .1353
(101-103-Q) üçgeninde φ
λ
101 101
−
Q
101 −103 = 101
103 103
−
Q
101 −103 = 101
Sin α
= 521 .144
Sin Sin (α + β ) Sin Sin β Sin Sin (α + β )
=
m.
476 .239 239 m.
102 β
101
λ
α φ α
103
β
100
392 .1694 (101 − Q ) = (101 −103 ) − β = 64.9921 ; (103 − Q ) = (101 −103 ) + α = 392 QSin (101
−
QSin (103
−
Y Q
=
Y 101
+101 −
Y Q
=
Y 103
+103 −
Q)
= 40741
.601 m.; X Q
=
Q)
= 40741
.601 m.; X Q
=
X 101 X 103
Q Cos (101
+101 −
Q Cos (103
+103 −
Q)
−
Q)
−
= 565072 = 565072
( Q −101 ) = 264 .9921 ; ( Q −102 ) = 218 .3856 ; ( Q −100 ) = 218 .3856 ; ( Q −103 ) =192 .1694 101 ) − ( Q −102 102 ) = 46.6065 ;ψ = ( Q - 102 102 ) − (Q −103 103 ) = 26.2162 ϕ +ψ = 72.8227 ; ϕ = ( Q - 101
(101-103-100) üçgeninde
.492 m. .493 m.
101 −100 103
Sin ϕ
= 101 −103
= 397
Sin Sin (ϕ +ψ ) Sin ψ
101 −103 −100 = 101
=
Sin (ϕ +ψ )
.401 m.
237 .968 m.
101 −100 ) = (101 −103 ) +ψ = 150 150 .3515 ; (103 −100 ) (101
Y 100
=
Y 101
+
Y 100
=
Y 103
+
Sin (101 100 Sin
−
100 Sin (103
−
101
−
103
−
100 ) 100
=
=
103 (103
40576 .735 m.; X 100
) = 40576
101 101 )
−
.735 m.; X 100
=
− ϕ =
X 101
=
X 103
+
277 .5288
101
+
103
100 Cos (101
−
100 Cos (103
−
100
−
) = 564517
100 )
−
=
.588 m.
564517 .588 m.
Örnek 2: Verilen ölçülere göre 122 numaralı noktanın koordinatını hesaplayınız. NN 11 0 12 0 12
Y X 510826.26 424014.897 2 513985.83 421581.819 8 5160 516073 73.4 .422 4259 425974 74.4 .471 71
DN BN 12 12 2 0 11 0 12
Doğrultu 0.00000 26.0190 69.9219
121 110 α
ψ
φ ψ 121
−120
= 4863
.475 m.; (121 - 120
) = 228.2435
(121-120-Q) üçgeninde Q
= 121 −120
Q
121 −120 = 121
120
−
121
−
β
Sin Sin α Sin (α + β ) Sin Sin β Sin (α + β )
=
2170 .648 m.
= 3475
.075 m.
α β
φ
122
(120
−
Q)
=
(120 120 −121 ) + 400 QSin (120
Y Q
=
Y 120
+120
Y Q
=
Y 121
+121 −
−
QSin (121
−
β = 384 .3406 ; (121 121 − Q )
Q)
= 513457
−
Q)
−
= 513457
.276 m.; X Q .274 m.; X Q
=
(121 −120 ) +α = 254 .2625
= =
X 120
X 103
Q Cos (120
+120 −
Q Cos (121
+121 −
( Q −120 ) =184 .3405 ; ( Q −121 ) = 54 .2625 ; ( Q −110 ) = 307 .8903 ; ( Q −103 ) 122 ) − ( Q −121 121 ) = 53.6278 ;ψ = ( Q - 120 120 ) − ( Q −122 122 ) = 76.4502 ϕ = ( Q - 122
=
Q)
−
Q)
−
= 423687
= 423687
.130 m. .130 m.
107 .8903
(121-122-120) üçgeninde 122
121 = 121 −120 −121
122
120 = 121 −120 −120
Y 122
=
Y 121
+
Y 122
=
Y 120
+
Sin ϕ Sin Sin (ϕ +ψ ) Sin ψ Sin (ϕ +ψ )
122 Sin (121
121
−
120
−
122 Sin (120
Cassini Yöntemi
=
4075 .784 m.
= 5092
.363 363 m.
122 ) = 518873 .118 m.; X 122
−
122 ) = 518873 .118 m.; X 122
−
=
X 121
=
X 120
121
+
+
120
122 Cos (121
−
122 Cos (120
−
122 ) = 423012 .427 m.
−
122 ) = 423012 .426 m.
−
Cassini yöntemine göre; P geriden kestirme noktasının koordinatını hesaplamak için ABP ve BPC noktalarından geçen iki
farklı farklı çemberlerin çemberlerin kesişim noktalarınd noktalarından an hareket edilerek çözüm yapılır. Bu iki çemberin çemberin kesişim noktalarından noktalarından biri koordinatı bilinen B noktası olurken diğer kesişim noktası koordinatları hesaplanmak istenen P kestirme noktası olmaktadır.
Şekilden de görüldüğü gibi, çemberlerin B noktasından çizilen çaplarının diğer uçları cassini yöntemine göre yapılacak çözümünde kullanılan D ve E yardımcı noktaları olmaktadır. Geometrik özelliği nedeniyle, bu çemberlerde BD ve BE çaplarını gören DPB, BPE BAD ve ECB çevre açıları 100 g yani dik açı olmaktadır. Bu durumda P noktası B noktasından DE doğrusuna inilen dikin ayak noktası olmaktadır.
B A C
α α
β
β
D P
E
Şekil 44: Cassini Yöntemi A, B ve C noktaları nirengi noktası olduğundan koordinatları da bilinmektedir. aralarındaki (AB) açıklık açısı ve AB
kenar uzunluğu, bu noktanın koordinatından faydalanarak,
y ( AB) = tan −1 ( b xb AB =
( xb
− y a ) − xa
− xa ) 2 + ( yb − y a ) 2 =
yb
− y a
Sin( AB)
=
xb
− xa
Cos Cos ( AB)
formüllerinden hesaplanabilir. Sonra, ABD üçgeninden; AD kenar uzunluğu ile (AD) açıklık aç ıklık açısı,
ve
AD = AB.Cotα
(AD) = (AB)+100 g
olarak hesaplanır. Daha sonra, bu değerlerden faydalanarak, A noktasında koordinat taşımak suretiyle D noktasının koordinatları birinci temel ödev yardımıyla bulunur.
Benzer yol izlenerek, (BC) açıklık açısı ve BC kenar uzunluğu, uzunluğu, ( BC )
y c
= tan −1 (
xc
− yb ) − xb
BC =
( xc
− xb ) 2 + ( y c − yb ) 2 =
y c
− yb
Sin( BC )
=
xc
− xb
Cos Cos ( BC )
olarak hesaplanır. Sonra, CBE dik üçgeninden, CE kenar uzunluğu uzunluğu ve (CE) açıklık açısı,
CE = BC.Cotβ
ve
(CE) = (CB)-100 g
bağıntıla bağıntılarında rındann elde edilir. edilir. Daha sonra, sonra, C noktasınd noktasından an birinci temel problem çözümüne çözümüne göre koordinat koordinat taşıyarak, taşıyarak, E noktasının koordinatları da hesaplanır. Burada, BP kenarının DE kenarına dik olduğu dikkate alınırsa,
tan (DE) m1
=−
=
Y E − Y D X E − X D
X − X tan (BP) = − = m , ; tan = m , Y − Y E
D
1
2
E
D
1 m2
değerleri hesaplanır. Sonuçta, P noktasının koordinatları, açıklık açıları ile yapılan ileriden kestirme problemi çözümündeki işlemlere benzer şekilde,
X p Y p
− X D =
( Y B − Y D ) − ( X B − X D ) m2 m1
− m2
− Y D = ( X P − X D ) m1
ve X p Y p
− X E =
( Y B − Y E ) − ( X B − X E ) m2 m1
− m2
− Y E = ( X p − X E )m1
eşitlikleri eşitlikleriyle yle denetimli denetimli olarak olarak hesaplanab hesaplanabilir. ilir. Ancak böyle böyle bir denetim, denetim, sadece işlem kontrolun kontrolunuu sağlamaktad sağlamaktadır. ır. Ölçü denetimini sağlamamaktadır.
Örnek 1: Aşağıda verilen ölçülere göre 100 nolu nirenginin koordinatını hesaplayınız. NN Sağa 101 540297.28 6 102 540699.92 7
Yukarı 564800.14 0 564912.22 6
DN BN Doğrultu 100 101 0.0000 102
68.0341
102
NN Y X 101 4029 40297. 7.28 2866 5648 564800 00.1 .140 40 40699. 9.92 9277 5649 564912 12.2 .226 26 102 4069 40800. 0.03 0322 5645 564599 99.8 .852 52 103 4080 α = 68.0341 β = 59.1432 102
−101
.951 m. (101 - 102
= 417
101 O1
) =82 .71556
(101-102-D) üçgeninde (101
D )
−
101 − D
=
=
101 ) +100 g
(102
102
−
=
182 .7156
α
O2
D
α
β
103
101 Cot α = 229 .479 m.
−
100 β
(101 − D ) = (102 101
101 ) +100
−
g
=
182 .7156
X D
D =102 −101 Cot α = 229 .479 m. = X 101 +101 − D Cos (101 - D ) = 564579 .067 m.; Y D
102
−101 = 328
E
−
.022 m. (102 - 103
=
Y 101
101
+
D Sin (101 - D )
−
=
40358 .828 m.
) =180 .25684
(103-102-E) üçgeninde (103 101
X E
E )
−
=
(103
E =102
−
=
X 103
+
−102
g
= 280
.25684
Cot β = 245 .134 m.
−103
103
) −100
E Cos (103 - E )
−
=
564525 .043 m.; Y E
=
Y 103
+
103
E Sin (103 - E )
−
=
40566 .592 m.
tan( DE )
=
Y E − Y D X E − X D
= m1 = −3.8458; m 2 = −
1 m1
= 0.2600
( Y 102 − Y D ) − ( X 102 − X D ) m2 = 564517.087m. m1 − m2 Y 100 = Y D + ( X 100 − X D ) m1 = 40597.191m. = X D +
X 100
( Y 102 − Y E ) − ( X 102 − X E ) m2 = 564517.087m. m1 − m2 Y 100 = Y E + ( X 100 − X E ) m1 = 40597.191m. = X E +
X 100
Örnek 2: Verilen ölçülere göre 122 numaralı noktanın koordinatını hesaplayınız. NN 11 0 12 0 12
Y X 510826.26 424014.897 2 513985.83 421581.819 8 5160 516073 73.4 .422 4259 425974 74.4 .471 71
DN BN 12 12 2 0 11 0 12
Doğrultu 0.00000
121
26.0190 β
O2
69.9219
E
110 β 120
−110
120
−121 = 5601
(120 120
(121 121
D )
−
D
−
=
=
E )
−
= 3987
(120
120
=
.125 m. (110
110 ) +100
−
) = 341 .7762 - 121 ) = 77 .2463
g
=
41.7762
122 O1
110 Cot α = 9207 .791 m.
−
(121
E =121
−
α
.830 m. (120 - 110
−110
−110
) −100
g
=177
.2463
Cot β = 6791 .662 m.
α
120
D Cos (120 - D )
X D
=
X 120
+
X E
=
X 121
+ 121 −
tan( DE )
=
−
E Cos (121 - E )
Y E − Y D X E − X D
X 122
X 122
= 419612
.011 m.; Y E
1 m1
=
=
Y 120
Y 121
120
+
110
110
D
D
= −8.027073
2
D
= Y
D
122
D
2
1
( Y − Y ) − ( X − X ) m = 423012.432m. m −m + ( X − X ) m = 518873.123m.
= X +
110
110
E
E
= Y
E
122
Keastner Yöntemi
E
1
2
E
2
D Sin (120 - D )
−
E Sin (121 - E )
+ 121 −
( Y − Y ) − ( X − X ) m = 423012.432m. m −m + ( X − X ) m = 518873.123m.
= X +
1
Y 122
428877 .196 m.; Y D
= m1 = 0,124578; m 2 = −
1
Y 122
=
=
519603 .746 m.
= 518449
.504 m.
Keastner yöntemine göre bir geriden kestirme noktasının koordinatların hesaplamak bir diğer geriden kestirme yöntemi ,Y a ), ), B(X b ,Y ,Y b ), ), C(X ,Y ) nirengi noktaları ile kestirme noktasında kurulan çözümüdür. Bu çözümde koordinatları bilinen bilinen A(X a ,Y c ,Y c ) ,Y p ) ) noktasının koordinatları teodolitle ölçülen α, β açılarından faydalanılarak çözüm yapılır. Çözüm sonucunda aranan P(X p ,Y
aşağıdaki gibi elde edilir. Bu amaçla önce, a, b uzunlukları ve γ açısı,
a
= (Y b − Y a ) 2 + ( X b − X a ) 2 ,
b =
( Y b − Y c ) 2 + ( X b − X c ) 2 γ = ( BA) − ( BC )
(BC)
B
bağıntılarından hesaplanır. b a γ
S
A φ
ψ α
β
C
Şekil 45: Keastner Yöntemi Sonra ABCP dörtgeninin iç açıları toplamından;
ϕ
ϕ + ψ α + β + γ = η + γ + ψ + β + α = 400 ⇒ = 200 − 1 2 2
yazılır. Daha sonra da S ortak kenar uzunluğu iki üçgenden faydalanarak hesaplanabilir. Böyle bir işlem için, önce
S =
a
Sinα
Sin Sin ϕ =
b
Sin Sin β
bSin Sin α Sin Sin ψ ⇒ aSinβ
=
1 tan tan μ
’dan
μ açısı hesaplanır. Aynı zamanda buradan hesaplanmış olan 1 tan tan μ
=
1 tan tan µ
değeri,
Sin ϕ Sin ψ
bağıntısına da eşit olmaktadır. Daha sonra Trigonometrik bağıntılardan, bağıntılardan, bunun
ϕ + ψ Sin ϕ − ψ Sinϕ − Sinψ 1 − tan μ 2 2 cot 50 μ = = ( + )= Sinϕ + Sinψ 1 + tan μ ϕ + ψ Cos ϕ − ψ 2Sin Cos 2 2 2 cos
eşit olduğu yazılabilir. Bu eşitliğin düzenlenmesinden de cot cot ( 50 + μ )
ϕ + ψ ϕ − ψ ϕ − ψ ϕ + ψ = cot cot ( 50 + μ ) = η2 tan ⇒ tan = tan cot 2 2 2 2
elde edilir. Bu işlemlerin neticesinde, toplam ve fark şeklindeki η 1 ve η2 eşitliklerinden φ, ψ açıları basit bir şekilde hesaplanır.
Daha sonra, A noktasından P noktasına olan (AP) = (AB)+φ açıklık açısı ve APB üçgeninden AP kenar uzunluğu hesaplanır. Birinci temel ödev yardımıyla A noktasından başlanarak, P noktasına koordinat taşınarak, bu noktanın koordinat değerleri hesaplanır. Aynı şekilde B ve C noktalarından da faydalanarak P noktasının koordinatları denetimli bir şekilde hesaplanır.
Örnek 1: Aşağıda verilen ölçülere göre 100 nolu nirenginin koordinatını hesaplayınız. NN Sağa 101 540297.28 6 102 540699.92 7
Yukarı 564800.14 0 564912.22 6
DN BN Doğrultu 100 101 0.0000 102
68.0341 102
NN Y X 101 4029 40297. 7.28 2866 5648 564800 00.1 .140 40 40699. 9.92 9277 5649 564912 12.2 .226 26 102 4069 40800. 0.03 0322 5645 564599 99.8 .852 52 103 4080 α = 68.0341 β = 59.1432 γ = (102 a
101
101 ) − (102
−
102
=
−
103 )
−
=
417 .951 m.; b
=
282 282 .71556 102 - 103
=
101
−
180 .25684
γ
φ
=
328 .022 m.
=
ϕ + ψ α + β + γ ⇒ + γ + ψ + β + α = 400 ⇒ = 200 − 2 2 ϕ + ψ = η = 85.18199 1 2
ϕ
α
100
bSinα aSin Sin β
=
1 tan tan μ
⇒
µ = 54.82531
ϕ − ψ = tan ϕ + ψ cot cot ( 50 + μ ) = η2 = −19.73650 2 2
tan
β
ψ 103
φ = 65.44549; 65.44549; ψ = 104.91849 104.91849 (101 − 100) = (101 − 102 ) + ϕ = 148.16105 ; 101 − 100 = 101 − 102
Sin( α + ϕ )
= 412.377m.
Sinα Sin( β +ψ ) (103 103 − 100 100 ) = (103 103 − 102 ) −ψ = 275 275 .33835 ; 103 103 − 100 = 102 102 − 103 103 Sin β
X 100
=
X 101
+
X 100
=
X 103
+
100 Cos (101 - 100 )
564517 .089 m.; Y 100
=
Y 101
+
100 Cos (103 - 100 ) = 564517 .089 m.; Y 100
=
Y 103
+
101
−
103
−
=
= 219 219 .085 085 m. 100 Sin (101 - 100 )
=
40597 .181 m.
100 Sin (103 - 100 )
=
40597 .181 m.
101
−
103
−
Örnek 2: Verilen ölçülere göre 122 numaralı noktanın koordinatını hesaplayınız. NN 11 0 12 0 12
Y X 510826.26 424014.897 2 513985.83 421581.819 8 5160 516073 73.4 .422 4259 425974 74.4 .471 71
DN BN 12 12 2 0 11 0 12
Doğrultu 0.00000 26.0190 69.9219
121
γ = (110 a
110
=
−120
120
−
) −(110
−121
) =141 141 .7762
3987 .830 m.; b
=
− 77.2463 = 64.5
110 - 121
=
5601 .125 m.
=
ϕ + ψ = 200 − α + β + γ ⇒ ϕ + γ + ψ + β + α = 400 ⇒ 2 2 ϕ + ψ = η = 132.7741 1 2
ψ
110 γ
φ
β
bSinα
=
aSin Sin β
1
⇒
tan tan μ
µ = 54.1539
ϕ − ψ = tan ϕ + ψ cot( 50 + μ ) = η = 7.32095 2 2 2
tan
φ = 140.0951; 140.0951; ψ = 125.4531 125.4531 (120 − 122) = (120 − 110) − (400 − ϕ ) = 81.8713; 120 − 122 = 110 − 120
Sin( α + ϕ )
= 5092 .362m. Sinα Sin ( β +ψ ) = 4075 .787 122 ) = (121 121 − 110 110 ) −ψ = 151 151 .7932 ; 121 121 − 122 122 = 110 110 − 121 787 m. (121 − 122 Sin Sin β
X 122
=
X 122
=
120
122 Cos (120 - 122 ) = 423012 .426 m.; Y 122
X 120
+
X 121
+121 −122
−
Cos (121 - 122 )
=
423012 .429 m.; Y 122
=
120
122 Sin (120 - 122 )
Y 120
+
Y 121
+121 −122
=
−
Sin Sin (121 - 122 )
=
518873 .119 m.
= 518873
.125 m.
